MeC-PRO-1314-Problemas Mecanica clÃsica enunciados

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Problemas y ejercicios de Mecánica Cĺasica
Propuestos por los profesores de la asignatura
Escuela de Ingenierı́a Aerońautica y del Espacio
Universidad Polit́ecnica de Madrid
3 de septiembre de 2012
II
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Índice general
1. Cinemática del Śolido: Actitud 1
2. Cinemática del śolido: Campo de velocidades 3
3. Composicíon de movimientos 7
3.1. Composición de movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7
3.2. Movimiento plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
4. Ecuaciones generales 21
5. Est́atica 23
6. Movimiento rectil ı́neo 31
6.1. CasoF(ẋ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. CasoF(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32
7. Movimiento del punto libre 35
7.1. Partı́cula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 35
7.2. Movimientos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 37
7.3. Dinámica orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39
8. Punto sometido a ligaduras 43
8.1. Punto sobre superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43
8.2. Punto sobre curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
9. Dinámica relativa 49
10. Exámenes: Dińamica del Punto 53
10.1. Exámenes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53
10.2. Exámenes más antiguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 59
11. Dinámica del śolido 63
11.1. Geometrı́a de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63
11.2. Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
11.3. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
11.4. Exámenes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 72
III
IV ÍNDICE GENERAL
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 1
Cinemática del Śolido: Actitud
Ejercicio 1.1: SeanOx2y2z2 los ejes ligados a un sólido. En el instante inicial coinciden con
los fijosOx1y1z1. Se gira el sólidoπ4 alrededor de su ejeOz2, y luego otra vez
π
4 alrededor de
Ox2.
Obtener la matriz de giro proyectando directamente los vectores unitarios.
Obtenerla mediante la composición de los dos giros.
Comprobar que es ortogonal, multiplicándola por su transpuesta.
Ejercicio 1.2: SeanOx2y2z2 los ejes ligados a un sólido. En el instante inicial coinciden con
los fijosOx1y1z1.
Se gira el sólido 90o alrededor de su ejeOx2 y a continuación otros 90o alrededor de su
ejeOy2, en la nueva posición. Obtener la posición de los vectoresunitarios del sólido.
Con el sólido en la posición original, se dan los mismos giros pero en orden inverso:
primero alrededor deOy2 y luego deOx2. Obtener la matriz de giro, y comprobar que no
coincide con la anterior.
Ejercicio 1.3: Una placa rectangularS2 puede mo-
verse sobre un plano fijoS1 manteniendo un lado
en contacto con el plano. Como coordenadas se to-
marán el ánguloϕ que forma ese lado con el eje
O1x1, y el θ que forma el plano de la placa con el
plano fijoO1x1y1.
Calcular el tensor de giro de los ejesOx2y2z2 ligados
a la placa (ver figura) en función deϕ y θ .
x1
y1
z1
ϕ
O1
x0 ≡ x2
y0
z0
θ
y2z2
O
Ejercicio 1.4: Una placa planaS2, a la que se fija
un sistema de referenciaOx2y2z2, está siempre apo-
yada en un plano móvilO1x0y0. Este plano puede gi-
rar respecto a unos ejes fijos alrededor el eje común
O1y1. Se tomarán como coordenadas el ánguloφ en-
treO1x1 y O1x0, el ánguloθ entreOx2 y O1x0, y las
coordenadas(ξ ,η,0) deO en ejesS0.
Obtener la matriz de giro de los ejesS2 ligados
a la placa respecto a los ejes fijos.
SeaM un punto arbitrario de la placa, de coor-
denadas(a,b,0) en ejesS2. Obtener sus coor-
denadas en ejes fijos.
x1
y1 ≡ y0
z1
φ
O1
x0
z0
η
ξ
O
x2
y2
z2
θ
1
2 CAṔITULO 1. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: ACTITUD
Ejercicio 1.5: El detector de estrellas (star tracker) es un ins-
trumento para determinar la actitud de un satélite. Identifica
estrellas de dirección conocida en ejes fijos (catálogo deestre-
llas), y determina su dirección en ejes sólido.
Un detector ha identificado dos estrellasA y B, de dirección
θ1, φ1 y θ2, φ2 en ejes sólidoS2. Esas estrellas tienen direc-
cionesθ ′1, φ
′
1 y θ
′
2, φ
′
2 en ejes fijosS1. θ y φ son coordenadas
esféricas (longitud y latitud o, en astronomı́a, ascensi´on recta
y declinación).
Plantear un sistema de ecuaciones del que se pueda ob-
tener la matriz de giro del satélite.
Razonar si las condiciones son suficientes o redundan-
tes. ¿Bastarı́a con detectar una estrella?
x1
y1
z1
O1
⋆
A
φ
θ
Ejercicio 1.6: Desde un aviónA (sistema asociadoS2) se detecta otroB, y se quiere transmitir
su posición a un terceroC (sistema asociadoS3). Por sus sistemas de navegación y control de
actitud, cada avión conoce su vector posición y su matriz de giro respecto a unos ejes fijosS1.
A conoce el vector posiciónABen sus propios ejesS2. ¿Qué operaciones tiene que realizar
para transmitirle aC el vectorO1B en ejes fijos?
Con lo que recibe deA, ¿Qué operaciones tiene que realizarC para conocerCB en sus
propios ejesS3?
Ejercicio 1.7: Seak0 el vector unitario segúnOzde unos ejes ligados a un sólido. Se conocen
sus componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el ángulo de nutaciónθ del sólido.
Ejercicio 1.8: Seak0 el vector unitario segúnOzde unos ejes ligados a un sólido. Se conocen
sus componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el ángulo de precesiónψ del sólido.
Ejercicio 1.9: Se conocen los versoresi0 y k0 de un sólido me-
diante sus componentes en ejes fijos,[a,b,c]⊤ y [d,e, f ]⊤. Usando
los ángulos clásicos de Euler, razonar un algoritmo que, mediante
productos vectoriales y escalares, permita obtener, en este orden:
El ángulo de nutaciónθ
El eje de nodos
El ángulo de precesiónψ
El ángulo de rotación propiaφ
x1
z1
x0
y0
z0 ≡ z3
φ
θ
E. N.
ψ
Ejercicio 1.10: En el ejercicio anterior, razonar cómo se puede modificar elalgoritmo —
cuando sea necesario— para asignar sin ambigüedades el cuadrante de cada ángulo.
Ejercicio 1.11: De un avión se conoce el versor según el eje longitudinal,i0, mediante sus
componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el ángulo de asientoθ (pitch) del avión. Se
usan los ángulos de Tait-Bryan.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 2
Cinemática del śolido: Campo de
velocidades
Ejercicio 2.1: Un sólido se mueve respecto a un sistema de referenciaOxyz. En un instante
dado, la velocidad de puntoA de coordenadas(a,0,0) esv0 j , la deB(0,a,0) esv0(j +k), y la
deC(0,0,a) esv0(i + j +k). Hallar,en ese instante,la velocidad de mı́nimo deslizamiento, el
eje instantáneo de rotación y la velocidad angular.
Ejercicio 2.2: En un instante dado, los puntosA(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a) tienen, respec-
tivamente, las velocidades~vA = (vx,aω,−aω),~vB = (0,aω,vz) y~vC = (aω,aω,0). Determinar
vx y vz para que los tres puntos puedan pertenecer a un sólido. En este caso, determinar su
velocidad angular y eje instantáneo de rotación en ese momento.
Ejercicio 2.3: Un sólido 0 se mueve de modo que:
~̇i0 = ω~j0−ω~k0 ~̇j0 =−ω~i0+ω~k0 ~̇k0 = ω~i0−ω~j0
Calcular el vector velocidad angular, proyectado en ejes s´olido.
Ejercicio 2.4: La varillaABse encuentra unida por jun-
tas de rótula a los collaresA y B que se desplazan a lo
largo de las dos varillas que se indican en la figura. Sa-
biendo que el collarA se mueve hacia el origen de coor-
denadas con una velocidad constante de 25 cm/s, calcular
la velocidad de collarB y su aceleración.
Ejercicio 2.5: En la figura se muestra un cubo cuyas aristas tienen de longitudL. En la posición
representada en la figura se conocen las velocidadeslineales de sus vérticesA, B y C, siendo:
vA =−vi −vj +vk
vB =−vi +2vk
vC = 2vk
Determinar en ese instante:
1. Velocidad angular
2. Ecuación vectorial del E.I.R.M.D.
3
4 CAṔITULO 2. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES
Problema 2.1: En un instante un helicópte-
ro avanza horizontalmente con una velocidad
constanteV. El eje rotor del helicóptero está in-
clinado un ánguloθ sobre la vertical hacia ade-
lante y contenido en el planoOYZ. La velocidad
angular del rotor esω constante.Hallar en ese
instante:
1. Los elementos del movimiento helicoidal tangente del rotor.
2. Definir las axoides del rotor.
3. Particularizar los resultados anteriores para los valores:V = 300 KM/h,θ = 30o, ω = 100
r.p.m.
Problema 2.2: Un cilindro de radioR rueda, pivota y desliza so-
bre un cono vertical, fijo, de radioR y semiángulo en el vértice
30o. El movimiento es tal que en todo momento se mantienen en
contacto las generatrices de ambos sólidos. La base inferior del ci-
lindro rueda y pivota sin deslizar sobre la del cono. El planoque
contiene a los dos ejes y la generatriz de contacto gira alrededor
del eje del cono con velocidad angular constanteω.
1. Hallar los parámetros del movimiento helicoidal tangente del cilindro: E.I.R.M.D., velo-
cidad de mı́nimo deslizamiento y velocidad angular.
2. Hallar las axoides del movimiento del cilindro.
3. Hallar la aceleración angular del cilindro.
Problema 2.3: Un sólidoSse mueve de tal forma que dos de sus puntosA y B, separados por
una distanciaa, recorren respectivamente los ejesOxy Oyde un sistema de referencia ortogonal
fijo Oxyz. Además un planoπ deSque pasa porAB ha de pasar en todo momento por el punto
C(0,0,a/2) del ejeOz. Se pide:
1. Hallar el eje instantáneo de rotación y deslizamiento en el instante inicial, cuandoA
está en(a,0,0) y B en (0,0,0).
2. Obtener la velocidad angular y la posición del E.I.R. en función del ánguloθ que forman
AB y Oxy sus derivadas.
Los ejes ligados al sólido se tomarán de modo que en el instante inicial coincidan con los fijos.
Problema 2.4: El sistema de referenciaOxyz(sólido 0)
se mueve respecto al sistemaO1x1y1z1 (sólido 1) de modo
que en todo instante: i) el puntoO está en el ejeO1y1;
ii) el eje Ox pasa por el punto fijoA del sistema 1 de
coordenadasx1 = a, y1 = z1 = 0; iii) el ángulo entre el
ejeOyy el planoO1x1y1 es igual an ángulo entre los ejes
O1x1 y Ox. Llamemosθ a este último ángulo tal como
aparece en la figura. Se pide: i) Determinar en función de
θ y θ̇ los vectores~vO01 y ω01, ii) Determinar las axoides
del movimiento 0/1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
5
Problema 2.5: La figura representa esquemáticamente
una junta Cardan para transmitir una rotación de un árbol
e1 a otroe2 que forma un ánguloα con él y con el que
es concurrente. Determinar el coeficiente de transmisión
ω/Ω en función deα y el ánguloϕ que forma el brazo
AB de la cruz Cardan con una lı́nea de referencia fijazz′
perpendicular a los ejese1 y e2.
Problema 2.6: Un discoD de radioa se mueve respecto a un sistema de referenciaO1x1y1z1
permaneciendo tangente en todo momento a los planosO1x1y1 y O1x1z1. La velocidad de rota-
ción del disco tiene componentes iguales según el ejeO1x1 y la normal al plano que lo contiene.
La velocidad del punto que está en contacto conO1x1y1 no tiene componente segúnO1x1.
Hallar las axoides de este movimiento.
Problema 2.7: Un cono circular recto, cuya base tiene
un radioR, y cuya altura esh, se mueve con relación a un
sistema de referencia permaneciendo siempre tangente a
un planoπ del mismo.
El movimiento del cono viene definido en cada instante
por su velocidad de rodadura~ω y la velocidad de desliza-
miento correspondiente a la partı́culaM que es~vD, ya que
se considera nula la velocidad de pivotamiento del mismo
(~vD es perpendicular a~ω).
Se pide calcular:
1. a) Velocidades del vérticeP y del centroQ de la base del cono.
b) Posición del eje instantáneo de rotación del movimiento
2. En el supuesto de que tanto~ω como~vD tengan módulo constante al variar el tiempo.
a) Axoides de este movimiento.
b) Valor de la aceleración angular de este movimiento.
c) Aceleración del vérticeP y centroQ de la base del cono.
d) Puntos de aceleración nula.
3. Suponiendo que|~ω|= a · t y |~vD|= b · t repetir los cálculos del apartado 2).
NOTA: se entiende aquı́ por “velocidad de deslizamiento” nola velocidad de mı́nimo desli-
zamiento del sólido, sino la de un punto del cono en contactocon el plano, respecto al mismo
plano. Velocidad de pivotamiento es la componente de la velocidad angular normal al plano de
contacto.
Problema 2.8: Un discoD de radioa rueda y pivota sin
deslizar sobre el planoO1x1y1 de un sistema de referencia
ortogonal, manteniéndose constantemente perpendicular
a dicho plano.
SeaC la curva del planoO1x1y1 descrita por el punto de
contacto yϕ el ángulo que la tangente a la misma forma
conO1x1. Definamos el sistema de ejes móvilesOxyzin-
dicado en la figura y tales que el ejeOyes el eje del disco,
Ozes paralelo aO1z1 y el triedroOxyzsea a derechas.
Finalmente, llamemosp,q, r a las componentes en los ejesOxyzde la velocidad de rotación
del disco respecto a triedro de referenciaO1x1y1z1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
6 CAṔITULO 2. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES
El movimiento se realiza de tal manera que en todo momento se verifica la relación
q= 4r cosϕ (2.1)
Si tomamos el origen de arcosC en el puntoO1 en el que además se supone queϕ = 0, se pide:
1. Obtener a partir de (2.1) la ecuación intrı́nsecas= s(ϕ) de la curvaC.
2. Obtener las ecuaciones paramétricasx1 = x1(ϕ), y1 = y1(ϕ) de la curvaC. Dibujarla e
identificarla.En todo lo que sigue se supondrá quer = ω =constante.
3. Velocidad de rotación~Ω del disco.
4. Eje instantáneo.
5. Axoides del movimiento.
6. Valor ded~Ω/dt.
7. Aceleración del punto del disco que está en contacto conO1x1y1.
Problema 2.9: Se tiene una escuadra formada por dos varillasDM y DN unidas enD formando
ángulo recto. El vérticeD de la escuadra recorre con velocidad constanteaω/
√
2 una circunfe-
rencia de radioa/
√
2, contenida en el plano fijoOx1y1, y de centro el el punto de coordenadas
(a/
√
2,0,0). La varilla DM desliza por el punto fijoA(0,0,−a
√
2) y la DN por B(a
√
2,0,0).
En el instante inicialD pasa por el origenO. Del movimiento de la escuadra respecto a los ejes
fijos se pide, en función del tiempo:
1. Velocidad de los puntos que en cada momento están pasandoporA y B.
2. Velocidad angular
3. Aceleración angular
4. Axoide fija
5. Aceleración de los puntos que están pasando porA y B
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 3
Composicíon de movimientos
3.1. Composicíon de movimientos
Además de los problemas y ejercicios de este capı́tulo, es conveniente resolver los del an-
terior con las técnicas de composición de movimientos, y comparar las ventajas de uno u otro
camino.
Ejercicio 3.1.1: Un disco de radior (sólido 2) rueda sin deslizar por el interior de una circun-
ferencia fija de radio 2r y centroO (Sólido 1). El ejeOx0 del sistema intermedio 0 contiene en
todo momento al centro del discoC. En un instante genérico, se pide:
Velocidades angulares relativa y absoluta.
Aceleración del punto de contactoI por composi-
ción de movimientos.
Aceleración deI mediante el campo de aceleracio-
nes del sólido 2.
Razonar los pasos que habrı́a que dar para calcular
la aceleración deI derivando su vector posición.
Se trabajará en ejes 0, dejando los resultados en función
de las derivadas del ánguloθ que formanOx1 y Ox0.
C
I
x1
x0
O
θ
Ejercicio 3.1.2: SeaS1 un sistema de referencia con origen en el Sol y direcciones fijas en el
espacio; el ejeSz1 es normal a la órbita de la Tierra. SeaS0 un sistema con origen en el Sol, eje
Sz0 ≡ Sz1, y el ejeSx0 pasa siempre por el centro de la Tierra. Finalmente, seaS2 un sistema de
referencia unido a la Tierra, con origen en su centro. Se llama dı́a solar al periodode rotación de
la Tierra respecto al radio vector desde el SolSx0. Se llama dı́a sidéreo a su periodo de rotación
respecto a los ejes de direcciones fijas.
Se supondrá, para simplificar, que el eje de ro-
tación absoluta de la Tierraω21 (Eje de polos)
es paralelo aSz1. Se supondrá también que la
órbita de la Tierra es circular y se recorre con
velocidad uniforme. Inicialmente coincidenS1
y S0. Sabiendo que el periodo de la órbita (año)
vale aproximadamente 365,25 dı́as y que el dı́a
solar dura 24 horas, calcular la duración del dı́a
sidéreo. x1
y1
z1 ≡ z0
x0
y0
ω21
7
8 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
Ejercicio 3.1.3: Se repetirá el ejercicio ante-
rior, pero teniendo en cuenta la inclinación del
eje polar: la dirección de la velocidad angular
absoluta de la Tierraω21 es paralela al plano
Sx1z1 y forma un ánguloθ = 23,45o conSz1, en
la dirección negativa deSx1. Comparar la dura-
ción del dı́a sidéreo con la calculada antes. (El
International Earth Rotation Service da un valor
|ω21|= 0,000072921 rad/s). x1
y1
z1 ≡ z0
x0
y0
θ ω21
Ejercicio 3.1.4: Un discoS2 de radioR rueda y pivo-
ta sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1 manteniéndose
siempre perpendicular a él. Sean(x,y) las coordenadas
en ejesS1 de la proyección del centro del disco. Expre-
sar en función de estas coordenadas, de los ángulos de
Euler y de sus derivadas la condición cinemática de no
deslizamiento. x1
y1
z1
x0
y0
z0
ϕ̇
ϕ
ψ
ψ̇
I
C
Ejercicio 3.1.5: Un disco S2 de radioR rueda y pi-
vota sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1. Sean(x,y)
las coordenadas en ejesS1 de la proyección del centro
del disco. Expresar en función de estas coordenadas, de
los ángulos de Euler y de sus derivadas la condición ci-
nemática de no deslizamiento. x1 y1
z1
x0
y0
z0
ϕ̇
ϕ
θ̇
θ
ψ
ψ̇
I
C
Ejercicio 3.1.6: Una esfera de radioR (sólidoS2) rueda y pivota sin deslizar sobre un plano
fijo Ox1y1. Sean(x,y,R) las coordenadas de su centro en dichos ejes. Expresar la condición
cinemática de no deslizamiento en función de las coordenadas, de los ángulos de Euler de la
esfera, y de sus derivadas.
Ejercicio 3.1.7: En la pelı́cula2001: Una odisea del espacio,se pre-
senta un sistema para crear gravedad artificial en una astronave. Se trata
de un cilindro girando alrededor de su eje, y los astronautasviven en la
superficie interior. La fuerza centrı́fuga proporciona unasensación de
gravedad.
Suponiendo un radio de 10m, calcular la velocidad angular del
cilindro en rpm para obtener una gravedad de 0,1g.
Sea un caso genérico con un cilindro de radioRgirando con velo-
cidad angularω. Un astronauta corre por la superficie interior del
cilindro con velocidad constante en el mismo sentido de la rota-
ción. Calcular la gravedad que experimenta (se puede despreciar
la altura del astronauta frente al radio del cilindro.
Supóngase ahora que corre en sentido opuesto a la rotación. ¿A
qué velocidad empezarı́a a flotar?
Problema 3.1.1: La rueda de un ferrocarril de radior se mueve rodando sin deslizar sobre
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 9
un raı́l que traza una circunferencia de radioR en el plano horizontal. El plano que define la
rueda es en todo momento tangente al raı́l y perpendicular alplano horizontal. Supongamos
que el centro geométricoO de la rueda se mueve con una velocidad de módulo constante (v0).
Consideremos un sistema de referenciaS0 ligado al movimiento de la rueda: su origen está en el
centro de la rueda, el ejeZ0 es perpendicular a su superficie,Y0 es vertical yX0 es perpendicular
a los dos anteriores. Utilizar coordenadas cartesianas referidas a estos ejes para responder a las
siguientes preguntas:
1) Velocidad angular y aceleración angular de la rueda
respecto al sistema de referenciaS0 y respecto a
otro fijo en la vı́a. (7 puntos)
2) Velocidad y aceleración del punto más alto de la
rueda respecto al sistema de referenciaS0 y respec-
to al fijo en la vı́a. (7 puntos)
3) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamien-
to de la rueda, ası́ como su velocidad de mı́nimo
deslizamiento. (6 puntos)
R
r
O
Z0X0
Problema 3.1.2: Un proyectil cilı́ndrico gira con velocidad angular constanteΩ alrededor de
su eje. A su vez, el centro geométricoO del cilindro describe, respecto a un sistema de referencia
absolutoS1, una trayectoria plana que es tangente en todo momento al ejedel cilindro.
Definimos un sistema de referenciaS0 asociado al movimiento del
proyectil: está centrado en el puntoO de forma que el ejeXO coin-
cide con el eje de simetrı́a del cilindro. El ejeYO está en todo mo-
mento contenido en el plano del movimiento del centro del cilin-
dro, y es perpendicular a la trayectoria que describe el punto O.
FinalmenteZO se define de forma que el sistema de ejes está orien-
tado positivamente (a derechas). Estudiaremos dos casos:
O
XO
YO
O1 X1
Y1
Ω
1) El puntoO describe una circunferencia de radioRcon velocidad de módulo constantev0.
Expresar en el sistema de ejesSO:
a) Velocidad y aceleración angular absolutas del proyectil (7/20).
b) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento. Velocidad de mı́nimo desliza-
miento (6/20).
2) El puntoO describe la trayectoria correspondiente a un tiro parabólico de ángulo 45◦
sobre la horizontal y velocidad inicialv0, sometido a un valor arbitrariog de la aceleración
de la gravedad. Expresar en el sistema de ejesSO:
c) Velocidad angular absoluta del proyectil en el punto más alto de la trayectoria (7/20).
Problema 3.1.3: Un disco de radioR gira sobre el plano horizontal con velocidad angular
constanteΩ alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Lo ejes dibujados en la figura
pertenecen a un sistema de referenciaS0 solidario al movimiento del disco. Sobre el disco hay
dos barras,AB y CD, con las siguientes propiedades:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
10 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
Durante el movimiento del disco ambas barras permanecen
en el planoY0Z0.
La barraAB tiene una longitud 2Ry su extremoA está unido
al borde del disco.
La barraCD tiene una longitudR. Gira con velocidad angular
constante 2ω en el planoY0Z0 de forma que su extremoC
permanece fijo en el centro del disco y el extremoD desliza
a lo largo de la barraAB mediante una corredera.
Se pide calcular:
R
A
B
C
D
X0
Y0
Z0
2ω
θ
1) Velocidad angular de la barraAB relativa al sistema de referenciaS0 ligado al disco (4
puntos).
2) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento de labarraAB respecto al sistema de
referencia absoluto. Hallar la velocidad de deslizamiento(4 puntos).
3) Velocidad y aceleración del punto B relativas al sistemaS0. Velocidad y aceleración ab-
solutas del punto B (2 puntos).
Problema 3.1.4: Se quiere estudiar el movimien-
to de las hélices durante el despegue y transición a
vuelo horizontal de la aeronave de rotores pivotantes
Osprey. Para simplificar se supondrá que los rotores
son sólidos rı́gidos, que giran con velocidad angu-
lar constante respecto a ejes ligados a la barquilla,
ωr i0 el derecho y−ωr i0 el izquierdo. Inicialmente
los motores están verticales (θ = π/2), y se van in-
clinando hasta alinearse con el eje longitudinal del
aparatoOx1, según una ley conocidaθ(t).
xT
zT
OT
x1
z1
O
x0
θ
Los ejes ligados al aparato,Ox1y1z1 se mantienen siempre paralelos a los fijos en tierra, y a
todos los efectos se considerarán como fijos. Se conoceOA= a, AB= b y BC= R. Todos los
resultados se proyectaŕan en los ejes 0.
Se pide:
1. Velocidad angular absoluta del rotor derecho (sólido 2), ω21, proyectada en los ejes
Ox0y0z0 solidarios a las barquillas de los motores, en función deωr y las derivadas de
θ .
2. Aceleración angular absoluta de este rotor,α21.
3. En el instante inicial, aceleración respecto al sistemafijo 1 (ejes aparato) del extremoC
de la pala, que en ese momento se encuentra en(b,a+R,0), aplicando las expresiones
del campo de aceleraciones del sólido 2.
4. Calcular esa mismaaceleración~aC21 mediante la composición de movimientos 2/0 + 0/1,
y comprobar que se obtiene la misma expresión.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 11
ωr
−ωr
x0
z0
x1
y1 ≡ y0
z1
O
A
B
C
θ
θ
Problema 3.1.5: Un vehı́culo rectangular (sólido 0), de 4R de largo y 2R de ancho, tiene
cuatro ruedas de radioRen los vértices. Todas están contenidas en planos verticales, y ruedan y
pivotan sin deslizar sobre el plano horizontalO5x5y5. Las dos delanteras (1 y 2) son directrices
y sus planos forman ángulosφ1 y φ2 con Ox0z0. Las dos traseras (3 y 4) son motrices y sus
planos están fijos respecto a 0. Para que no deslicen en las curvas, el motor las mueve a través
de un diferencial, de modo que sus velocidades angulares de rodadura cumplen la relación
ω r45+ω
r
35 = 2ω, siendoω constante. Se pide:
1. Determinarφ2 en función deφ1 para que el movimiento 0/5 sea posible.
2. Determinarω r45, ω
r
35 y la velocidad angular del vehı́culo en función deω y φ1.
3. En el caso tanφ1 = 2, hallar razonadamente la base y ruleta del movimiento del vehı́culo
y la trayectoria deO (punto medio del eje trasero). En el instante inicial,O está sobreO5
y los ejes tienen las mismas direcciones.
Con las mismas condiciones iniciales, y manteniendoω constante, el vehı́culo se mueve de
modo queO recorre el arco de cicloidex= R(1−cosu), y= R(u−sinu), u∈ [0,2π ]. Se pide:
4. Determinar la ley horariau= u(t).
5. Hallar la ley de mando de la rueda,φ1(t), para queO recorra dicha trayectoria.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
12 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
O
x
y
x
y
O
1
2
3
4
ψ
φ
φ
5
5
5
1
2
0
0
Problema 3.1.6: Un sistema material (un ratón de bola) está apoyado sobre el plano fijoO1x1y1
y consta de:
Un paralelepı́pedo (S0) que se apoya y
desliza sobre el plano fijo; lleva asocia-
do el sistemaOxyzde ejes paralelos a los
lados.
Una esfera de radioR (S2) cuyo centro
está fijo en el puntoO deS0; rueda y pi-
vota sin deslizar sobre el plano fijo.
Dos discos de radior (S3 y S4) que pue-
den girar libremente alrededor de ejes fi-
jos en S0; sus centros son(R+ r,0,0)0
y (0,R+ r,0)0, respectivamente, y sus
velocidades angulares relativasω30 =
(0, α̇,0) y ω40 = (β̇ ,0,0); están en con-
tacto sin deslizamiento con la esfera en
los puntosA y B respectivamente.
x1
y1
z1
b
x
y
z
O
α̇
β̇
θ (ξ ,η ,0)
x
z
O
A
α
y
z
O
B
β
Se usarán:(ξ ,η), coordenadas en ejes fijos de la proyección deO; θ , ángulo entreO1x1 y
una paralela aOx; ángulosα y β girados por los discosS3 y S4 alrededor de sus respectivos ejes
(ver figuras); velocidad angular absoluta de la esfera, proyectada en ejesS0: ω21= (ωx,ωy,ωz)0.
Los resultados se proyectarán en ejesS0, salvo los que por definición exigen otros. Se pide:
1. Ecuaciones de la ligadura de no deslizamiento de la esferasobre el plano fijo, proyectadas
en ejesS0.
2. Expresar las componentes de la velocidad angularω21 en función deα̇, β̇ y θ̇ .
3. A continuación se estudia un movimiento particular: Se colocaO sobre el ejeO1z1, con
los ejesS0 paralelos a los fijos, y se mueve el ratón de modo quevO01 = ΩRi1 y θ̇ = Ω,
ambos constantes. Calcularω21(t).
4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija de la esfera,rAF(t,λ )
5. Identificar qué superficie es.
6. Por razonamientos geométricos, identificar la axoide m´ovil.
7. Obtenerα(t) y β (t), suponiendo que ambas sean nulas ent = 0.
8. Calcular la aceleración angular relativa de la esfera,ω̇20.
Problema 3.1.7: Una esfera de radioa rueda y pivota sin deslizar por el interior de una super-
ficie cónica de revolución de ejeOz1 y semiángulo cónico 60o. El centroC de la esfera describe,
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 13
con velocidad angularω constante, una circunferencia de radioa contenida en un plano perpen-
dicular aOz1 y con centro sobre este eje. Una figura representa la vista general del sistema y la
otra es un corte por el plano auxiliarxOzque contiene el centro de la esfera y que gira alrededor
deOzen el curso del movimiento con velocidad angularω. Se pide:
1. Demostrar que con las condiciones impuestas, el vector velocidad angular de la esfera
Ω ha de quedar contenido en el planoxOz. En lo sucesivo supondremos que la relación
entre las velocidades de rodadura y de pivotamiento se mantiene constante a lo largo del
movimiento.
2. Demostrar que con esta nueva condición el eje instantáneo de rotación de la esfera corta
a Oz1 en un punto fijo.
3. Determinar las superficies axoides y la velocidad angularΩ en los siguientes movimientos
particulares:
a) Cuando en todo momento la velocidad de pivotamiento es nula.
b) Cuando la axoide fija se reduce a un plano.
c) Cuando el movimiento de la esfera es un movimiento plano.
d) Cuando el punto de tangenciaH de la esfera y el ejeOz1 se mantiene fijo.
4. CalculardΩ/dt en el movimiento particular a).
5. calcular la aceleración deH en este caso particular.
Problema 3.1.8: El sistema material de la figura está constituido por:
a) Un cono circular recto (Sólido 1) fijo en el espacio de semiángulo en el vértice 30o, radio
de la baseR y eje verticalOz1.
b) Un cilindro circular recto (Sólido 2) móvil de alturaR y radio de la baseR/2.
El cilindro rueda, pivota y desliza sobre la superficie exterior del cono de forma que en todo
momento tienen una generatriz común. Se sabe que la generatriz de contacto cilindro/cono gira
con velocidad angular constanteω alrededor del ejeOz1, y que la base inferior del cilindro
rueda sin deslizar sobre la base del cono.
En el movimiento cilindro/cono descrito se pide:
1. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
2. Velocidad angular.
3. Velocidad angular de rodadura y pivotamiento.
4. Axoides fija y móvil.
5. Aceleración angular.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
14 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
6. Velocidad del puntoM situado en la base superior del cilindro según se indica.
Nota: todos los cálculos deben realizarse en los ejesOx0y0z0 que se indican en la figura y que
en todo momento acompañan a la generatriz de contacto cilindro/cono.
Problema 3.1.9: Se considera el sistema material constituido por:
a) Una esferaE, de centroO1 y radioR (sólido 3) cuyo movimiento respecto a un sistema
fijo (sólido 1) es una rotación pura de valorω constante alrededor de un diámetro vertical
AB.
b) Un plano horizontalπ (sólido 4) cuyo movimiento respecto al sólido 1 es también una
rotación pura de valorΩ constante alrededor de la verticalAB. Dicho plano está situado
a una distancia 2R por debajo del centroO1 de la esferaE.
c) Un cono circular rectoC (sólido 2) de vértice el puntoO (intersección de la rectaAB y
el planoπ), que rueda sin deslizar por el exterior de la esfera y por la cara superior del
planoπ .
En la figura se representa la sección meridiana del sistema material considerado. Los ejes
Ox0y0z0 están ligados a dicha sección y deben utilizarse para el c´alculo de todas las magni-
tudes vectoriales que intervienen en el problema.
Se pide:
1. Velocidad angular absoluta del eje del cono.
2. Velocidad angular absoluta del movimiento absoluto del cono.
3. Axoides fija y móvil del movimiento absoluto del cono.
4. Aceleración angular absoluta del cono.
Para el caso en queΩ =−ω/2.
5. ¿Cuáles son las superficies axoides?
6. Aceleración del puntoM del cono en contacto con la esfera.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 15
Problema 3.1.10: Un diferencial de automóvil está formado por dos conos iguales (sólidos 1
y 2) de eje común y semiángulo en el vértice de 30o. Dichos conos pueden girar libremente
alrededor de su eje con movimientos independientes.
El tercer cono (sólido 3) de semiángulo en el vértice de 60o, puede
moverse sobre los conos anteriores girando alrededor de su eje OE3
y rodando sin deslizar sobre las generatrices de contacto con los
conos 1 y 2.
El eje del cono 3,OE3, es un radio fijode una corona circular
(sólido 4) cuyo plano es constantemente perpendicular al eje de
los conos 1 y 2, y a la que se comunica una velocidad angular
constanteΩ4.
Si la velocidad angular del cono 1 esΩ1, se pide:
1. Velocidades angularesω30 y ω20.
2. Eje instantáneo de rotación en el movimiento del sólido 3.
3. Axoides fija y móvil del movimiento anterior.
4. Para una velocidad angularΩ4 dada, ¿qué valor debe tomarΩ1 para que el módulo de
ω34 sea mı́nimo? ¿Cuál será en ese caso la velocidad angularω20?
5. Representar gráficamenteω20 en función deΩ1 para unaΩ4 dada y determinar el valor
deΩ1 que hace máxima la rotación deω20.
Problema 3.1.11: Un disco infinitamente delgado (sólido 2), de radioR, rueda y pivota sin
deslizar sobre un plano fijoOx1y1 (sólido 1). Sea I el punto de contacto del disco y el plano.
Para especificar su configuración se usarán:ξ , η coordenadas en ejes 1 de la proyección del
centro del discoC sobre el plano;ψ, θ y ϕ, ángulos de precesión, nutación y rotación propia
del disco, respectivamente. Los resultados se proyectarán en los ejes auxiliaresIx0y0z0 (sólido
0), con origen en el punto de contacto y girado el ángulo de precesión respecto aS1. Para el
caso general, se pide:
1. Velocidad angular del disco en función de los ángulos deEuler y sus derivadas.
2. Obtenerξ̇ y η̇ en función de los ángulos de Euler y sus derivadas.
Del movimiento del disco se sabe que la axoide fija es un cono circular con centro en el
origen, ejeOz1, radio de la baseR, y semiángulo en el vértice 30o. En el instante inicial el punto
I está sobre el ejeOy1. La proyección deC se mueve sobre el plano con velocidad de módulo
constanteω R
(
1+
√
3/2
)
. Para este movimiento, se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
16 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
3. Basándose en las propiedades de las axoides, deducir razonadamente:
a) Dirección del vector velocidad angular en el momento inicial
b) Axoide móvil
c) Valores de los ángulos de Euler en el momento inicial.
4. Velocidad angular del disco.
5. Aceleración angular del disco
ψ
ϕ
I
C
θ θ
x1
y1
z1
x0 ≡ x3
y0
z0 y3
z3
y1
z1
IO
Problema 3.1.12: Una esfera de radioa y cen-
tro C (S2) rueda y pivota sin deslizar sobre un
cilindro circular fijo de radioR (S1). El punto
de contactoM recorre sobre el cilindro la hélice
R(cosθ i1+sinθ j1+θ tanα k1)
con velocidadRω. Sobre la esfera recorre una
circunferencia de radioacosβ . De las dos posi-
ciones posibles, la circunferencia queda por en-
cima del centroC.
En la resolución convendrá usar los ejes in-
termediosMx0y0z0 asociados a las coordena-
das cilı́ndricas del punto de contacto. Salvo que
algún resultado exija otra cosa, las soluciones
vectoriales se proyectarán en estos ejes.
Se pide: x
y
z
x0
y0
z0
b
b
θ
M
C
b b
β
C
M
1. Velocidad angular deMx0y0z0.
2. Eje instantáneo de rotación del movimiento 2/0.
3. Módulo de la velocidad angularω20.
4. Aceleración angular absolutaα21
5. Axoide fija del movimiento 2/1.
Problema 3.1.13: Una esfera de radioa se mueve sobre un cilindro circular fijo, de eje vertical
y radioR, de manera que:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 17
La esfera rueda sin deslizar sobre el cilindro.
La velocidad angular de la esfera es un vector de móduloω(t), contenido en el plano
tangente común a los dos sólidos, y que forma un ánguloθ constante con la vertical.
En un instante arbitrario la posición del punto geométrico de contactoM viene dada por sus
coordenadas cilı́ndricas(ψ,z), y su velocidadv forma un ánguloα con la horizontal.
Se pide:
1. Trabajando en los ejes auxiliaresMx0y0z0, determinar la condición de no deslizamiento
de la esfera sobre el cilindro, en función deω, θ , α y v.
2. Hallarv y α en función deω y θ . Identificar la trayectoria del puntoM sobre el cilindro
para las condiciones inicialesψ(0) = 0, z(0) = 0, v(0) = v
(√
2
2 j1+
√
2
2 k1
)
.
3. Identificar la trayectoria deM sobre la esfera. Para ello puede ser útil introducir como
sistema intermedio el triedro intrı́nseco de la trayectoria deM sobre el cilindro.
4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija. Identificar laaxoide móvil, sin necesidad de
hallar su ecuación.
5. Aceleración del puntoM considerado como de la esfera en el movimiento absoluto.
6. Se estudia ahora el movimiento de la esfera respecto a unosejes paralelos a los fijos
con origen en el centro de la esfera: identificar las axoides fija y móvil, sin hallar sus
ecuaciones.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
18 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
3.2. Movimiento plano
Ejercicio 3.2.1: En un movimiento plano, una recta del plano móvil pasa siempre por un punto
fijo O, y un punto de la recta describe una circunferencia que pasa por O. Hallar la base y la
ruleta.
Ejercicio 3.2.2: La base de un movimiento es una recta, y un punto del plano móvil recorre
otra recta que forma un ánguloϕ con la anterior. Hallar la ruleta.
Ejercicio 3.2.3: En un cuadrilátero planoABCD, AB= CD = a,
BD= AC= b> a, CD es fijo. Hallar la base y la ruleta del movi-
miento deAB.
Ejercicio 3.2.4: Repetir el ejercicio anterior para el casob< a.
Ejercicio 3.2.5: En un movimiento plano la base es una recta y un punto del planomóvil
describe una circunferencia tangente a la base. Hallar la ruleta.
Ejercicio 3.2.6: En un movimiento plano, la base es una recta y un punto describe la catenaria
y= acoshxa. Hallar la ruleta.
Ejercicio 3.2.7: En un movimiento plano, una circunferencia del
plano móvil pasa siempre por un punto fijoP, y un puntoM de esta
circunferencia describe una rectar que pasa porP.
1. Hallar la base y la ruleta del movimiento.
2. Ecuación del movimiento del punto que tiene trayectoriarec-
tilı́nea admitiendo que la velocidad de sucesión de los cen-
tros instantáneos es una constantev.
Problema 3.2.1: Los engranajesA, B,C, que aparecen en la figura, están unidos por un pasador
en su centro a la barraABC. El engranajeA es fijo, mientras que la barraABC gira en sentido
contrario a las agujas del reloj con una velocidad angularω constante. Sabiendo que en su
movimiento los engranajes ruedan sin deslizar sobre sus circunferencias primitivas de radios
RA > RB > RC, calcular:
1. Velocidad angular del engranajeB en su movimiento absoluto.
2. Base y ruleta del engranajeB en dicho movimiento.
3. Velocidad angular del engranajeC en su movimiento absoluto. ¿Depende del tamaño del
engranaje intermedio?
4. Velocidad del engranajeC respecto del engranajeB.
5. Base y ruleta del engranajeC en su movimiento absoluto.
6. Aceleración lineal del diente del engranajeC situado en cada instante en el punto de
tangencia entre las circunferencias primitivas de los engranajesC y B.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.2. MOVIMIENTO PLANO 19
Problema 3.2.2: La figura representa un tren de engranajes planetario con lossiguientes ele-
mentos:
Sol: Rueda de radio 2r que gira respecto de su eje fijo a tierra.
Planetarios: Ruedas de radior cuyos ejes están articulados al brazoAB.
Brazo: BarraAB articulada tanto al engranaje sol como a los planetarios. Posee una ve-
locidad angular constanteω0 en el sentido de las agujas del reloj.
Corona: Engranaje estático y concéntrico con el sol.
Teniendo en cuenta que durante la transferencia del movimiento rotatorio las ruedas acopladas
ruedan sin deslizar, calcular:
1. Velocidad angular de los engranajes planetarios respecto al brazo.
2. Velocidad angular absoluta de los engranajes planetarios.
3. Velocidad angular absoluta del engranaje sol.
4. Velocidad lineal absoluta del puntoC del planetario.
5. Aceleración lineal absoluta del puntoC del planetario.
NOTA: se recomienda utilizar los ejesOXYZligados al brazo y la numeración de sólidos de la
figura.
Problema 3.2.3: Una varillaAB, de longitud 2a, se mueve en un plano, referido a unos ejes
ortogonalesO1X1Y1 de forma que su extremoA describe el ejeO1X1 con velocidad constantev,
mientrasque la velocidad del extremoB forma con la varilla el mismo ángulo que esta forma
con el ejeO1X1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
20 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
En el instante inicial la varilla está situada sobre el ejeO1Y1 encontrándose el extremoB en
la parte negativa de dicho eje. Se pide:
1. Determinar en función del tiempo la velocidad angular dela
varilla.
2. Determinar la base y la ruleta correspondientes al movimien-
to de la varilla.
3. Determinar el valor máximo de la aceleración angular dela
varilla.
O1
y1
x1
v
θ
θ
A
B
vB
Problema 3.2.4: Consideremos un plano horizontal referido a dos ejes ortogonalesOxy. Sea
Oz la vertical que pasa porO. Sobre los ejesOx, Oy ruedan sin deslizar dos discos igualesA
y B de radioR que quedan contenidos respectivamente en los planosOxz, Oyz. Seanx,y las
distancias de los centros de los discos al ejeOz.
Un planoP que se mantiene horizontal en todo momento se apoya en ambos discos rodando
y pivotando sobre ellos sin deslizamiento.
El movimiento del discoB viene determinado por la ecuación
y= asinω t
y el discoA vendrá obligado por las ligaduras cinemáticas que tiene impuestas. Si inicialmente
valex= a, se pide:
1. Demostrar que la distancia entre los centros de ambos discos se mantiene constante a lo
largo del movimiento verificándose la relaciónx2+y2 = a2.
2. Calcular la velocidad angularΩ del planoP.
3. Determinar la base del planoP.
4. Determinar e identificar la trayectoria del punto deP que inicialmente se proyecta enO.
5. Determinar la ruleta del movimiento deP.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 4
Ecuaciones generales
Ejercicio 4.1: Sea una partı́cula libre sometida únicamente a su peso.
Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento, del momento cinético en el origen,
y de la energı́a.
Comprobar que solo las tres primeras son independientes. Razonar si las tres del momento
cinético son independientes entre sı́, y por tanto podrı́an sustituir a las de la cantidad de
movimiento, o no.
Razonar cuáles dan lugar a integrales primeras, y cuáles son independientes.
Ejercicio 4.2: Sean dos partı́culas no pesadas unidas por un muelle ideal delongitud nula.
Plantear las ecuaciones generales, y razonar cuáles son independientes.
Ejercicio 4.3: Sean tres partı́culas no pesadas. Todas están sometidas a fuerzas de acción-
reacción entre ellas. Razonar cómo habrı́a que plantear las ecuaciones generales para poder
determinar el movimiento del sistema.
Ejercicio 4.4: Una esfera pesada homogénea rueda, pivota y desliza sobre un plano horizontal.
Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que habrı́a que plantear
para resolver el sistema.
Ejercicio 4.5: Una esfera pesada homogénea rueda y pivota sin deslizar sobre un plano hori-
zontal. Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que habrı́a que
plantear para resolver el sistema.
Ejercicio 4.6: Una esfera pesada homogénea, de masamy radioR, rueda y pivota sin deslizar
sobre un plano horizontal rugoso de coeficienteµ. Se sabe que su momento cinético respecto
al centro de masasC vale 25mR
2 ω. En el instante inicial está sobre el origen con velocidad
v0 = (a,b,0) y velocidad angularω0 = (p,q, r). Obtenerv(t) y ω(t). Calcular, en función de
los valores iniciales, el tiempo que tarda en dejar de deslizar.
x0
y0
z0
ϕ̇
ψ̇
Ejercicio 4.7: Un cilindro homogéneo y pesado, de masam
y alturaH, está en contacto con un plano horizontal liso a lo
largo de una generatriz. En ejesS0 ligados a la precesión, su
velocidad angular valeω(t) = [ϕ̇,0, ψ̇] y su momento cinético
respecto al centroLG = [Ixϕ̇,0, Izψ̇ ].
Reducir el sistema de fuerzas de ligadura al centro de
masas.
Demostrar que el momento cinético es constante en ejes móvilesS0.
Calcular el valor máximo dėψ para que el cilindro no se levante por un extremo.
21
22 CAṔITULO 4. ECUACIONES GENERALES
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 5
Estática
Ejercicio 5.1: Una partı́cula pesada de masam está unida al origen de coordenadas por un
muelle ideal de longitud natural nula y constantek. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.2: Una partı́cula pesada de masam se mueve por una esfera lisa con ligadura
bilateral. Determinar las posiciones de equilibrio. Determinar las zonas de equilibrio si la esfera
es rugosa de coeficienteµ.
Ejercicio 5.3: Una partı́cula pesada de masam se mueve por un aro vertical liso de radio
r. Determinar las posiciones de equilibrio tomando como coordenada generalizada el ángulo
θ desde el punto más bajo. Determinar las zonas de equilibriosi entre aro y partı́cula existe
rozamiento de coeficienteµ.
Ejercicio 5.4: Una partı́cula se mueve sobre un plano rugoso de coeficienteµ inclinado un
ánguloα respecto a la horizontal. Sea el ejeOx normal al plano hacia arriba y elOx la lı́nea
de máxima pendiente hacia abajo. La partı́cula está unidaal origen mediante un muelle de
constantek y longitud natural nula. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.5: Repetir el ejercicio anterior con un muelle de longitud natural a.
Ejercicio 5.6: En el plano vertical disponemos de una curvaC
lisa por la que puede deslizar una partı́cula material de peso P. La
partı́cula está unida a un hilo que pasa por una pequeña polea para
suspender por el otro extremo otra partı́cula de pesoQ. Se pide:
1. Averiguar cuál ha de ser la curvaC para que los dos puntos
se mantengan en equilibrio para todas las posiciones.
2. Discutir la naturaleza deC según los valores relativos deP y
Q.
Ejercicio 5.7: Una partı́cula material de pesoP puede moverse
sobre una parábola de eje vertical de parámetrop y con una conca-
vidad dirigida hacia arriba.
El punto es además repelido por el foco de la parábola con una
fuerzaF = hr2 proporcional al cuadrado de la distancia. Hallar las
posiciones de equilibrio de la partı́cula y estudiar su estabilidad.
Ejercicio 5.8: Un punto material pesadoM de masamestá obligado a moverse sin rozamiento
sobre la hélice de ecuaciones
x= Rcosθ y= Rsinθ z= R
θ
2π
en donde el ejezes vertical y ascendente.
23
24 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
Sobre el puntoM actúa, además de su peso, una fuerza repulsiva de la forma
F =
mg
R
AM
siendoA el punto de coordenadas(R,0,0). Se pide:
1. Determinar las posiciones de equilibrio situadas en la zona 0≤ z≤ R.
2. Calcular la reacción normal de la curva en la posición deequilibrio del puntoM definida
por θ = 2π .
Problema 5.1: Un punto de pesoP puede moverse sobre el
helicoide
x= u cosv y= u sinv z= av
en el queOzes la vertical ascendente.
El punto está sometido a su propio peso y a una repulsión del
ejeOzde valor
F =
Pλ r2
a
√
a2+ r2
siendor la distancia que separa al punto de dicho eje.
Si entre el punto y la superficie existe un rozamiento de coefi-
ciente f = 1/
√
2, se pide:
1. Zonas de equilibrio en el caso en queλ = 0.
2. Zonas de equilibrio siλ =
√
3/8.
Problema 5.2: Una partı́cula de pesoP puede moverse sobre una
superficie esférica de radioa a la que puede abandonar por su cara
interna.
La partı́cula es repelida por el punto más bajo de la esfera con una
fuerza proporcional a la distanciaF = hr. Se pide:
1. En la ausencia de rozamiento, averiguar las posiciones de
equilibrio de la partı́cula estudiando su estabilidad y dis-
cutiendo el problema según los valores del parámetroλ =
ha/P.
2. Si entre la partı́cula y la superficie existe un rozamientode
coeficientef , discutir todas las posiciones de equilibrio exis-
tentes según los valores relativos deλ y f .
Problema 5.3: Una partı́culaP, de masam y sin peso, se mueve sobre la curva lisa de ecua-
cionesx2+y2 = a2, z= 0.
Otra partı́culaQ, de la misma masa y también sin peso, se mueve por la recta rugosa de
ecuacionesx= 0, z= a. El coeficiente de rozamiento entre la partı́culaQ y la recta esµ.
Como coordenadas generalizadas se tomarán la coordenaday deQ y el ánguloθ entreOxy
OP.
Las dos partı́culas están unidaspor un muelle de constantek y longitud natural nula.
Se pide:
Todas las configuraciones de equilibrio conµ = 0 (1/3)
Todas las posiciones y/o zonas de equilibrio conµ > 0 (2/3)
Para cada solución, además de dar los valores habrá que hacer un diagrama con las posicio-
nes de equilibrio y, de forma aproximada, las zonas de equilibrio.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
25
Ejercicio 5.9: Una grúa de masaM se apoya sobre una base de longi-
tud 2a. Su centro de gravedad está en la vertical del centro de la base.
La pluma mideb> a desde la vertical del centro. Analizar el sistema de
fuerzas de ligadura sobre la base. Calcular la máxima cargaque puede
levantar sin que vuelque.
Ejercicio 5.10: Una varilla pesada de longituda y masam está unida al origen mediante un
cojinete ideal que le permite girar alrededor deOy manteniéndose siempre dentro del plano
Oxz, dondeOzes vertical ascendente. Dicho plano gira alrededor deOzcon velocidad angular
ω constante. Seaθ el ángulo que la varilla forma con el eje vertical. Determinar todas las
posiciones de equilibrio relativo al plano y su estabilidad.
Problema 5.4: Se dispone de una varillaAB homogénea y pesada de masam y longitud 3R2
cuyo extremoA está obligado a moverse sin rozamiento sobre una circunferencia fija de radio
R, como se indica en la figura. El conjunto está contenido en unplano vertical.
El ejeOx repele a todas y cada una de las partı́culas de la varillaAB con una fuerza propor-
cional al producto de la masa de cada partı́cula por la distancia que la separa de dicho eje siendo
la constante de proporcionalidad 2g/3R. Se pide:
1. Resultante y momento resultante de las fuerzas di-
rectamente aplicadas a la varilla respecto al punto
A.
2. Plantear las ecuaciones que determinan las posicio-
nes de equilibrio y la reacción ena mediante las
ecuaciones generales de equilibrio.
3. Calcular la reacción enA para las posiciones de
equilibrio en que la varillaAB no está alineada con
el ejeOy.
Problema 5.5: Consideremos un taburete formado por un disco de radioa y tres patas soldadas
en su superficie en tres puntos que forman un triángulo equilátero. Seaλa la distancia a la que
se encuentra el centro de gravedad del taburete del plano quepasa por los extremos de sus patas.
El taburete ası́ constituido se sitúa sobre un plano inclinado un ánguloα sobre la horizontal.
De las tres patas solamente una presenta un coeficiente de rozamientof con el plano. Las otras
dos son lisas.
Llamemosϕ el ángulo que forma con la lı́nea de máxima pendiente del plano el radio que
va a la pata rugosa. Se pide:
1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de
equilibrio del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va au-
mentando el ánguloα hasta que el equilibrio se
rompe por el vuelco o por deslizamiento. Discutir
cuál de estas dos circunstancias se presenta prime-
ro. Determinar el valor deα para el que se presenta
y estudiar la influencia que puede tener el valor de
λ . Repetir el análisis para todas las posiciones de
equilibrio.
Problema 5.6: El sistema material de la figura, contenido en un plano horizontal, está cons-
tituido por dos varillas iguales de longituda articuladas por su extremo en un punto fijoA del
plano, por un muelle de longitud natural cero y constante de rigidezk, que une los extremosB
y C de las varillas, y por un disco homogéneo de radioa/4 y masaM, que se sitúa entre las dos
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
26 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
varillas como se indica en la figura.
El punto fijo A atrae a todos y cada uno de los elementos diferenciales de masa del dis-
co proporcionalmente al producto de la masa del elemento porla distancia. La constante de
proporcionalidad es igual a 4k/m.
Se tomará como parámetro para definir la posición del sistema el ánguloϕ de la figura. Se
pide:
1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de equilibrio
del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va aumentandoel
ánguloα hasta que el equilibrio se rompe por el vuelco o
por deslizamiento. Discutir cuál de estas dos circunstancias
se presenta primero. Determinar el valor deα para el que se
presenta y estudiar la influencia que puede tener el valor de
λ . Repetir el análisis para todas las posiciones de equilibrio.
Problema 5.7: Dos semidiscos iguales y homogéneos de radioR y masam se unen entre
sı́ como se indica en la figura; los vérticesA mediante una articulación, y los vérticesB y C
mediante un muelle de longitud natural nula y constante de rigidezk = mg/3πR. El conjunto
está contenido en un plano vertical, apoyado sobre el ejeOx, y sometido al peso.
Suponiendo que entre los semidiscos y el ejeOxno hay rozamiento:
1. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
2. Determinar todas las posiciones de equilibrio.
3. Reacción enA para dichas posiciones.
Si entre los semidiscos y el ejeOx existe un coeficiente
de rozamientof ,
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
5. Estudiar cómo varı́an las posiciones de equilibrio al variar f .
Nota: Considérense solamente las posiciones 0≤ ϕ ≤ 0.
Problema 5.8: El sistema de la figura, contenido en
el plano horizontalOxy, está formado por un aro de
radioR y centroO, y un disco de radioR/2 y centro
C. El aro está articulado en el puntoO y su masam
está concentrada en un puntoA del mismo. La masa
del disco, de valor 6m, se concentra uniformemente
en el diámetroBD del mismo. Ambos sólidos están
siempre en contacto con ligadura bilateral y entre sus
superficies existe un rozamiento de coeficientef .
Sobre las masas del sistema actúa una atracción del ejeOx proporcional a la masa y a la
distancia al mismo, siendok la constante de proporcionalidad.
Para fijar la posición del sistema se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i)α,
ángulo entreOA y el ejeOx; ii) β , ángulo entreOC y el ejeOx; iii) γ, ángulo entre el diámetro
BD y OC.
Se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
27
1. Determinar en función de las coordenadas generalizadas, para una posición genérica, la
expresión de la resultante y del momento respecto aC del sistema de fuerzas de atracción
que actúan sobre el disco.
2. Plantear las ecuaciones e inecuaciones necesarias que permitan obtener las posiciones de
equilibrio del sistema.
3. Determinar el rango de valores deβ para los que existe equilibrio. Determinar las posi-
ciones de equilibrio.
4. Para el caso particularf = 0, obtener las ecuaciones de equilibrio.
5. Obtener las posiciones de equilibrio correspondientes al apartado anterior.
6. Repetir los dos apartados anteriores para el caso en quef sea infinito.
Problema 5.9: El dispositivo de la figura es un modelo muy simplificado de losreguladores
centrı́fugos usados en transmisiones continuas de ciclomotores y camiones. La fuerza centrı́fuga
del giroω alrededor deOy tira del contrapesoAB, de modo que el extremoD vence la fuerza
del muelle y empuja el plato cónico de la polea contra el otroplato. Ası́ varı́a la distancia al eje
de la correa y la relación de transmisión.
Se estudiará como un problema de estática: el equilibrio del contrapesoDCABen su plano,
sometido únicamente a la fuerza centrı́fuga, a la del muelle y a las ligaduras. El contrapeso se
modela como un sólido plano formado por dos varillas,AB (de longituda y masaM) y CD
(de longitudb y masa despreciable), rı́gidamente unidas formando un único sólido en forma
de L y articuladas en el origenO por el extremoC. La articulación es lisa y permite el giro
en el planoOxy. Cada elemento de masa deAB experimenta una fuerzaδFc = δmω2xi. El
extremoD empuja la polea y sufre la fuerzaFm del muelle de constantek y longitud natural
nula, siempre paralelo al ejeOy. Para simplificar, se desprecian todas las demás fuerzas (pesos,
rozamientos, otras fuerzas que la polea pueda transmitir aD, etc.). Se consideran dos diseños
para el contrapeso:DCAB (caso a) yCDAB (caso b). La configuración del sistema viene dada
por el ánguloθ de lafigura. Para el estudio del equilibrio,ω se considerará como un parámetro
constante. Se pide:
1. Para el caso (a), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobre la varillaAB
2. Obtener todas las configuraciones de equilibrio del sólidoDCABen función deω
3. Para el caso (b), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobreAB
4. Obtener la configuración de equilibrio del sólidoCDAB, en la forma tan2θ = f (ω)
5. A la vista de los resultados, razonar cuál de los dos dise˜nos es más apropiado para un
regulador que permita aproximar los platos de la polea al crecerω.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
28 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
θ
k
δFc
Fm
x
y
O
A
B
C D
(a)
θ
k
δFc
Fm
x
y
O
A
B
C
D
(b)
Problema 5.10: Se tiene un sistema plano formado por un discopesadode radioR y masa
m apoyado enB sobre una pared vertical. Su centroC está suspendido del puntoA de la pared
mediante una varillasin masa, con articulaciones lisas enA y C. La longitud de la varilla es tal
que forma un ánguloβ con la pared cuando el disco está en contacto. Entre el discoy la pared
hay rozamiento de coeficienteµ.
Además del peso, sobre el disco actúa una fuerza conocidaF , aplicada en la periferia y tan-
gente a la circunferencia formando un ánguloα con la horizontal (podrı́a hacerse, por ejemplo,
tirando de un hilo arrollado al disco). Se aplica por debajo del centro (caso a) o por encima
(caso b). Inicialmente la fuerza es pequeña, y el sistema está obviamente en equilibrio. Luego
se va aumentandoF hasta que el disco empiece a girar o se levante. Se pide:
1. Aislando la varilla, determinar ladirección de la reacciónT que transmite al disco enC.
2. Para el caso a), se pide:
a) Plantear las ecuaciones de equilibrio del disco. Las ecuaciones serán más sencillas
si se escoge bien el punto en que se toman momentos.
b) SeaN la reacción normal de la pared enB y R la fuerza de rozamiento; obtenerlas
junto conT en función de los datos del problema.
c) Obtener el valor deF necesario para que el disco se separe de la pared, en función
de los demás datos del problema.
d) Obtener el valor deF necesario para que el disco empiece a girar. Comprobar que
siempre gira antes de separarse.
3. Repetir los pasos anteriores para el caso b) (téngase cuidado con el sentido deR).
4. Comparando los resultados, razonar si es más fácil hacerlo girar desde arriba o desde
abajo.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
29
A
B C
(a)
β
α
F
A
B C
(b)
β α
F
Problema 5.11: Se tiene una placa cuadrada de ladoa y masam. Uno de sus lados se apoya
sin rozamiento sobre el plano horizontal lisoOx1y1. Sobre la placa actúan las fuerzas:
Peso
Muelle de constantek y longitud natural nula ente el punto fijoA(0,0,a) y el B, punto
medio del lado opuesto al apoyado.
Repulsión del origen sobre cada elemento de masa, proporcional a la masa y a la distancia,
δ~F = δmω2~r.
La configuración viene dada por las coordenadasξ ,η del punto medioC del lado que se apoya;
el ánguloθ del plano de la placa con el horizontalOx1y1; y el ánguloψ de la normal al lado
apoyadoCx0 con el ejeOx1. Se pide:
1. Analizar el sistema de reacciones distribuidas sobre el lado con apoyo liso: determinar el
número de incógnitas y escoger un sistema equivalente para representarlo.
2. Hallar la resultante de la repulsión y comprobar que su momento en el centro de masasG
de la placa es nulo.
3. Expresar la fuerza del muelle,CB y CG en función de las coordenadas generalizadas.
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.
5. De estas ecuaciones obtener una relación entre tanψ y η,ξ y otra entre la distanciaOC y
θ .
6. Interpretar geométricamente la relación entreψ y las coordenadas deC. Se compro-
bará que las soluciones tienen simetrı́a de revolución y que el resto del problema se puede
resolver con la simplificaciónη = ψ = 0.
7. Plantear con esta simplificación la ecuación de equilibrio de momentos enC. Se ob-
tendrá una relación entreξ y θ que, con la segunda de (5), determina la configuración
de equilibrio. Comprobar que la componente segúnOz1 da la misma información que la
primera de (5).
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
30 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
A
O
B
C
x0
y0ψ
θ
δ~F
η
ξ
x1
y1
z1
Problema 5.12: Un sistema plano está forma-
do por dos discos homogéneos de radioR, de
masa despreciable, y una barra de pesoP y lon-
gitud λR. Cada disco está unido a un extremo
de la barra con una articulación lisa. El sistema
está apoyado sobre una recta rugosa (ejeOx1)
que forma un ánguloα con la horizontal. El
coeficiente de rozamiento entre los discos y la
recta esf . El disco más bajo① está frenado,
es decir, la barra ejerce un momentoM sobre
el disco, que será el necesario para que no gi-
re. El otro disco puede girar libremente. Para la
configuración de equilibrio, se pide:
α
x1①
②
N1
N2R1
R2
1. La reacción normal sobre el primer disco,N1.
2. Fuerza de rozamiento sobre el primer discoR1.
3. Reacción normal sobre el segundo discoN2.
4. Rozamiento sobre el segundo discoR2.
5. Momento de frenoM.
6. Valor deα para que el conjunto vuelque.
7. Valor deα para que empiece a deslizar.
8. Valor del coeficiente de rozamientof para que las dos condiciones coincidan
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 6
Movimiento rectil ı́neo
6.1. CasoF(ẋ)
Ejercicio 6.1.1: Una partı́cula de masaM se coloca en reposo sobre un plano inclinado un
ánguloα con la horizontal. El coeficiente de rozamiento esµ < tanα. Razonar si hay velocidad
lı́mite. Obtener la ley horaria del movimiento.
Ejercicio 6.1.2: Según la ley de Stokes, la resistencia sobre una esfera de radio r que se mueve
en un fluido de coeficiente de viscosidadη esF(v) = 6πη r v. Calcular la velocidad lı́mite de
una esfera de densidadρ , doble de la del fluido, y la ley horaria cuando se deja caer desde el
reposo.
Ejercicio 6.1.3: Una esfera de masam, radio r y coeficiente de resistencia aerodinámicaCD
cae en el aire de densidadρ . Calcular la velocidad lı́mite y la ley horaria.
Aplicarlo al caso de un balón de fútbol:m= 410− 450 g,CD = 0,5, 2πr = 68−70 cm,
ρ = 1,225 kg/m3.
NOTA: Al superar una velocidad entre 20 y 25 m/s, según la rugosidad de las superficie, el régimen pasa de
laminar a turbulento, yCD cae bruscamente a un valor de aproximadamente 0,1. Si la velocidad lı́mite calculada
con el primer valor es mayor que esta, habrá que calcularla de nuevo con elCD menor. Este efecto lo usó David
Beckham en el mundial de 2002: Tira a gran velocidad por encima de la barrera; al acercarse a la porterı́a parece
que se va alto. Pero ya se ha frenado lo suficiente para entrar en régimen laminar, con lo que de pronto sube la
resistencia, cae bruscamente y entra en la porterı́a.
31
32 CAṔITULO 6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
6.2. CasoF(x)
Ejercicio 6.2.1: Un punto material de masam se mueve sobre una rectaOx, sometido a un
campo cuyo potencial esV(x) = mgx[(x/a)2−3]. Determinar su ley horaria, cuando se lanza
desdex0 = a con una velocidadv0 =
√
8ga.
Ejercicio 6.2.2: Un punto de masam realiza un movimiento unidimensional a lo largo del eje
Oxsometido sólo a la acción de la fuerzaF = mKxex/a i, dondeK y a son constantes conocidas.
Inicialmente el punto se sitúa en la posiciónx= a y se le comunica una velocidadv0 según el
sentido negativo del ejeOx. Estudiar en función dev0 el tipo de movimiento que sigue el punto.
16 de Septiembre de 1991
Ejercicio 6.2.3: Un punto material de masam, realiza un movimiento unidimensional, a lo
largo del ejeOx, sometido a una fuerza que deriva del potencialV(x) = −(mg/a2)x2(x−a).
Inicialmente, el punto está en el origen y tiene una velocidadv0, según el sentido negativo del
ejeOx. Estudiar cualitativamente el movimiento del punto, según sea el valor dev0.
4 de Abril de 1991
Ejercicio 6.2.4: Un punto material de masam realiza un movimiento unidimensional según el
ejeOxsometido a una fuerza que deriva del potencialV(x) =−mgxe−x/a. Inicialmente sesitúa
enx= a y se le comunica una velocidadv0 hacia la izquierda. Estudiar el movimiento del punto
según el valor dev0.
11 de Septiembre de 1990
Ejercicio 6.2.5: Un punto material de masam se mueve sobre una rectaOx sometido a una
fuerza que deriva del potencialV(x) =−(mg/a3)x2(x2−a2). Inicialmente se sitúa en el origen
y se lanza con una velocidadv0. ¿Cuál es el mı́nimo valor dev0 necesario para que el punto
llegue al infinito?
29 de Junio de 1988
6.3. Oscilador armónico
Ejercicio 6.3.1: Un cubo de aristaa y densidad la mitad de la del agua está flotando con la
cara superior horizontal. Se empuja un poco hacia abajo, sinhundirlo del todo, y se suelta sin
girarlo, de modo que se mueve siempre con la misma orientaci´on. Calcular la frecuencia de las
oscilaciones.
Ejercicio 6.3.2: Una partı́cula pesada de masamse mueve por una recta horizontal rugosa, de
coeficiente de rozamientof . Está unida a un puntoO de la recta por un muelle de constantek y
longitud natural cero. Integrar la ecuación del movimiento, razonando cómo se han de tratar los
cambios de signo en la fuerza de rozamiento. Inicialmente selanza desdeO con velocidadv0.
Septiembre de 1996
Problema 6.3.1: Sea Ox una recta horizontal sobre la que se desplaza un partı́cula material
pesadaM de masam; seaµ el coeficiente de rozamiento existente entre la partı́culaM y la recta.
Además del peso, sobreM actúa la fuerza de un muelle, de longitud natural nula y constante de
rigidezk, que une la partı́cula con el origenO de la rectaOx.
En el instante considerado como inicial,t = 0, la partı́cula se sitúa en el origen,x0 = 0,
y se lanza con una velocidad ˙x0 > 0. Se inicia ası́ un movimiento en el que la partı́cula viaja
hacia el semiespaciox> 0 hasta alcanzar una separación máximax1; posteriormente, comienza
a moverse hacia el semiespaciox< 0 hasta alcanzar, en él, una separación máximax2.
Para el primer tramo del movimiento de la partı́cula (cuandoẋ> 0), se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
6.3. OSCILADOR ARMÓNICO 33
1) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento deM. Determinar su ley horaria.
Calcular la elongación máximax1, en función de los datos conocidos del problema, y el
tiempo que tarda en alcanzarla.
Para el segundo tramo del movimiento de la partı́cula (cuando ẋ< 0), se pide:
2) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento deM. Determinar las condicio-
nes iniciales aplicables a este tramo. Determinar su ley horaria. Calcular la elongación
máximax2, en función de los datos conocidos del problema, y el tiempoque tarda en
alcanzarla.
3) Determinar el máximo valor de la constante de rigidezk del muelle necesaria para que,
una vez alcanzada la máxima separaciónx2 en el segundo tramo, la partı́culaM perma-
nezca en reposo. Explicar razonadamente la condición que se impone para determinar
dicho valor máximo.
4) Analizar si se disipa, o no, energı́a en el proceso. Si la respuesta es afirmativa determinar
la energı́a disipada; si es negativa razonar por qué no se produce disipación.
NOTA: El análisis se facilita si se introducen las siguientes variables y parámetros adimen-
sionales:
ω =
√
k
m
, τ = ω t, z= x
ω
ẋ0
, ε =
µ g
ẋ0
√
m
k
ETSIA, septiembre de 2007
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
34 CAṔITULO 6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 7
Movimiento del punto libre
7.1. Part́ıcula libre
Ejercicio 7.1.1: Un punto materialM se desplaza en el espacio sometido a una fuerza que
simultáneamente es paralela a un plano fijoP y normal a la velocidad deM. Sabiendo que la
magnitud de esta fuerza es proporcional a la velocidad deM y que en el instante inicialM
está dotado de una velocidadv0 que forma un ánguloα con el planoP, se pide:
1. Determinar el movimiento deM especificando su trayectoria y su ley horaria.
2. Indicar cómo serı́a el movimiento del punto en el caso de que la fuerza indicada fuese
proporcional al cubo de la velocidad deM.
Mayo de 1968
Ejercicio 7.1.2: Una partı́cula de masam se mueve bajo la acción de una fuerza~F = m~v∧~B
siendo~v la velocidad de la partı́cula, y~B un vector de módulo y dirección constantes. Describir
el tipo de movimiento que sigue la partı́cula en función delvalor inicial de~u, componente de
velocidad paralela a~B. Obtener el radio de curvatura de la trayectoria cuandou= 0.
Septiembre de 1991
35
36 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
Problema 7.1.1: Una partı́culaM de masam y desprovista de peso se mueve sin rozamiento
sobre un plano referido a un par de ejes ortogonalesOxy, sometida a un campoF tal que si la
partı́cula se lanza con una velocidadv0 desde el punto(x0,y0) la velocidadv que lleva cuando
llega a un punto genérico(x,y) verifica que
v2 = v20+2ω
2(xy−x0y0)
Se pide:
a) Determinar del campoF que actúa sobre la partı́cula.
b) Plantear e integrar completamente las ecuaciones del movimiento de la partı́cula.
c) Si la partı́cula se lanza desde un punto cuyo vector de posición esr0 con una velocidad
v0, ¿Qué condición deben verificarr0 y v0 para que la partı́cula no se marche al infinito?.
d) ¿Cuál serı́a el movimiento limite de la partı́cula si se cumple la condición anterior?
e) Para una velocidad inicialv0 de módulo dado, ¿desde qué región del plano podrı́a lanzarse
la partı́cula para que no se marche al infinito?.
f) Determinar completamente las constantes de integración y hacer un dibujo aproximado
de la trayectoria si se lanza la partı́cula desde(0,a) con una velocidadv0 =−
a
2
ω(i + j).
Febrero de 1990
Problema 7.1.2: Una partı́cula material pesadaM, de masam, y cuya carga eléctrica esq,
está obligada a moverse sin rozamiento por un plano horizontal OXY. La partı́culam está uni-
da al puntoO mediante un muelleOM, cuya longitud sin deformar, y constante elástica son
respectivamentea y mω2, de forma que la fuerza que el muelle ejerce sobre el puntoM será:
F =−mω2 (r −a) ur
en donder representa la distanciaOM y ur es el versor de la dirección y sentido deOM.
Se considera finalmente un campo magnético definido por:
B =
mω
q
k
siendok el versor de la vertical ascendente.
La posición de la partı́culaM en el plano quedará determinada indistintamente por sus coor-
denadas cartesianas(x,y) y por sus coordenadas polares(r,θ). Se pide:
1. Determinar, en función dex, y, y sus derivadas, las componentes según los ejesOX y OY
de las fuerzas que actúan sobreM.
2. Plantear, utilizando las coordenadasx, y, las ecuaciones de movimiento deM.
3. Plantear, utilizando las coordenadasr, θ , las ecuaciones de energı́a cinética y de momento
cinético respecto aO.
4. Reducir la cuadraturas las ecuaciones determinadas en elapartado anterior con objeto de
determinar la trayectoria y la ley horaria deM.
5. Suponiendo queM se encuentra inicialmente a una distanciaa de O, ¿en qué dirección
se deberá lanzar y cuál debe ser el valor de la velocidad deM, con objeto de que el
movimiento de dicho punto sea uniforme?
6. Suponiendo que el punto se encuentra inicialmente a una distanciaa deO y que se lanza
en dirección radial, ¿cuál será el valor mı́nimo de la velocidad inicial con objeto de que
M llegue a una distancia 2a deO?
E.T.S.I. Aeronáuticos
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
7.2. MOVIMIENTOS CENTRALES 37
Problema 7.1.3: Un punto materialM, de masam, se mueve sin rozamiento sobre un plano,
atraı́do proporcionalmente a su masa y a la distancia por dospuntos de ese plano, el unoO fijo
y otro Sque gira uniformemente alrededor deO.
La constante de proporcionalidad de las fuerzas atractivasesk.
La velocidad angular de la rectaOSse representa porω y la distanciaOSse tomará igual a
a. Se pide:
Calcular la trayectoria deM con relación a la recta móvilOS.
Estudiar el movimiento en el caso particulark = ω2/2 suponiendo que en el instante
inicial el puntoM se encuentra enO y no tiene velocidad.
Calcular el valor máximo de la velocidad relativa deM en el caso particular definido en
el apartado 2).
Nota: La ecuaciónde la trayectoria pedida en el apartado 2 debe contener cuatro constantes
indeterminadas.
E.T.S.I.A., marzo de 1966
7.2. Movimientos centrales
Ejercicio 7.2.1: Una partı́cula de masam está sometida a una fuerza central respecto al punto
fijo O de valor:F= Km
(
r2−3ar+2a2
)
ur dondeK y a son constantes positivas. Estudiar para
qué valores del radio son posibles órbitas circulares de centroO, y determinar la velocidad en
función del radio.
Septiembre de 1994
Ejercicio 7.2.2: Una partı́cula de masamestá sometida a la fuerza centralF =−km
r3
ur , donde
k es una constante positiva yr es la distancia al polo de atracción. SeaC la constante de áreas
y E la energı́a mecánica total de la partı́cula. Determinar, según sea(C2− k) > / = / < 0 y
E > /= / < 0, si la partı́cula puede irse al infinito y en caso de que ası́ sea, si lo hace con rama
asintótica, parabólica o espiral.
Septiembre de 1993
Ejercicio 7.2.3: Una partı́cula describe una órbita circular de radioa bajo la acción de una
fuerza central que solo depende de la distanciar al poloO. Sabiendo quedicho polo se encuen-
tra sobre laórbita de la part́ıcula,obtener la ecuación de la trayectoria respecto a un sistem de
referencia con origen enO y la forma de la fuerza.
Septiembre de 1996
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
38 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
Problema 7.2.1: Una partı́cula de masamse mueve sin rozamiento sobre un planoOxysome-
tida a la fuerza central
F =−mω
2a3
r2
(1−2λ cosθ)ur
dondeλ es un parámetro positivo.
Inicialmente la partı́cula se encuentra en(a,0) con una velocidadωa dirigida según la parte
positiva deOy. Se pide:
1. Establecer la ecuación diferencial de la trayectoria dela partı́cula, integrarla y particula-
rizarla para las condiciones iniciales dadas.
A continuación vamos a ir resolviendo una serie de cuestiones que tienen por finalidad el análisis
del movimiento y de la trayectoria.
2. Dibujar en un diagrama cartesiano el valor dea/r en función deθ y observar la influencia
que tiene el parámetroλ en la curva obtenida.
3. Razonar a la vista de las curvas anteriores que para valores pequeños deλ existen dos
puntos del plano por los que pasa varias veces la trayectoriaantes de marcharse al infinito.
SeanM y M′ estos dos puntos. Situarlos exactamente en el plano.
4. La velocidad de la partı́cula va pasando alternativamente por unos valores máximos y
mı́nimos. Seanθi los valores deθ en los puntos correspondientes. Obtener una ecuación
trascendente que nos dé los valoresθi buscados.
5. Hallar el valor que la velocidad va tomando en función deθ y en particular calcular sus
máximos y mı́nimos en función de losθi anteriores.
6. Establecer la ecuación que nos da el valorθ∞ para el que la trayectoria se marcha al
infinito.
7. Obtener el mı́nimo valor deλ para el cual la partı́cula se marcha al infinito sin que su
velocidad haya crecido en ningún momento. Seaλm este valor.
8. Estudiar si la marcha al infinito se hace con rama asintótica o parabólica considerando
especialmente el caso en queλ = λm.
9. Hacer un dibujo aproximado de la trayectoria en el caso en queλ = 1/10.
Septiembre de 1985
Problema 7.2.2: Una partı́cula material de masam es atraı́da por un punto fijoO de un plano
Oxycon una fuerza
F =−3km
r4
(
1+
2a
r
)
donder es la distancia que la separa deO.
En el momento inicial la partı́cula se encuentra en(3a,0) con una velocidadv0 j . Se pide:
1. Plantear las ecuaciones del movimiento de la partı́cula,dejando la integración pendiente
de una cuadratura del tipo
t =
∫
r2dr
√
ϕ(r)
2. Obtener completamente integrada la trayectoria para el caso en quev0 es tal queϕ(r)
queda reducida a un polinomio de 2o grado. Dibujar dicha trayectoria.
3. Determinar en este caso el tiempo que la partı́cula tarda en llegar aO ignorando la singu-
laridad fı́sica que presenta este punto.
4. Determinar qué rango de velocidades hacen que la partı́cula se marche al infinito.
5. Estudiar la existencia de ası́ntota en este caso.
6. Estudiar la existencia y estabilidad de movimientos circulares estacionarios.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
7.3. DINÁMICA ORBITAL 39
7.3. Dinámica orbital
Ejercicio 7.3.1: Un satélite de masam, sigue una órbita circular de radioa alrededor de la
Tierra; en un instante dado se ponen en funcionamiento sus cohetes, durante un tiempo muy
corto frente al perı́odo orbital, que incrementan su velocidad en∆v, en la dirección tangente a
la órbita. Discutir el tipo de órbita en función de∆v. En caso de órbita cerrada, ¿En qué punto
alcanza la distancia máxima a la Tierra?
Junio de 1992
Ejercicio 7.3.2: Una nave espacial describe una órbita circular de radioR con velocidadvc
alrededor de la Tierra, supuesta perfectamente esférica.Desde la nave se lanza una partı́cula,
de masa despreciable frente a la de la nave, con velocidadv0 = εvc relativa a la nave, en una
dirección que forma un ánguloϕ0 con el radio vector. SeanT y T0 los perı́odos de las órbitas
de nave y partı́cula, respectivamente. Determinar el cociente T/T0 en términos deε y de ϕ0;
hallar la relaciónf (ε,ϕ0) necesaria para que los perı́odos coincidan, y explicarla mediante un
adecuado diagrama de velocidades.
Febrero de 1993
Ejercicio 7.3.3: Dos satélites 1 y 2, siguen la misma órbita circular, de radio r0, alrededor de
la Tierra, de forma que sus radios vectores están separadosun ánguloα; en un puntoP dado
el satélite 1 enciende sus motores, lo que le comunica súbitamente un incremento de velocidad
∆v (tangente a la órbita). Determinar el valor de∆v, necesario para que los dos satélites se
encuentren la próxima vez que pasen porP.
Septiembre de 1993
Ejercicio 7.3.4: Sobre un plano fijo y lisoOxy, dondeOyes la vertical ascendente, se mueven
dos partı́culas pesadas de igual masam. Además de su peso, entre las partı́culas existe una
fuerza de atracción de valorGm
2
r2
, dondeG es una constante positiva yr es la distancia entre
ellas. Inicialmente una partı́cula está en el origen con velocidad nula y la otra está en el punto
de coordenadas(0,a) con velocidadv0 i. Determinar el movimiento del centro de masas de las
partı́culas y el mı́nimo valor dev0 para el cual la distancia entre las partı́culas aumenta hasta el
infinito.
Febrero de 1995
Ejercicio 7.3.5: Considérese una Tierra perfectamente esférica que atraea una partı́cula de
masam con una fuerzaF = −mµr3 r , siendor el vector posición con origen en el centroO de
la Tierra. Una nave espacial de masam se encuentra en órbita circular de radioa alrededor de
la Tierra. En un instante dado(t = 0) se encienden los motores que proporcionan un empuje
constante en la dirección radial de valorF1 = ε mµa2 ur . Mostrar que existe un valor crı́tico del
parámetroε, por encima del cual la nave escapa del campo gravitatorio terrestre. Determinar
dicho valor crı́tico.
Junio de 1999
Ejercicio 7.3.6: Se tiene un planeta perfectamente esférico de radioR y constante gravitatoria
µ. A una distanciar > R del centro se lanza una partı́cula con una velocidadv normal al ra-
dio. Describir y dibujar los tipos de trayectorias que se obtienen cuandov varı́a de 0 a∞. En
particular, hay que calcular los valores dev para las tres trayectoriasseparatrices:tangente al
planeta, circular y parabólica; describir las trayectorias en las cuatro regiones determinadas por
las separatrices; y comentar cómo varı́an la energı́a mec´anica, el pericentro y el foco vacı́o con
v.
Problema 7.3.1: SeaM una partı́cula material de masam, que se mueve en un planoP, atraı́da
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
40 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
por un puntoA del planoP, con una fuerza de intensidad
mµ
|AM|2
.
SeaOx1y1 una referencia galileana, rectangular, ligada al planoP; el centro atractivoA, es
móvil, y describe la rectay1 = L, con velocidad constante de valor−U i. En el instante consi-
derado como inicial, el puntoA atraviesa el ejeOy1, y la partı́cula material se lanza, desde el
origenO, con una velocidad,respecto a la referenciaOx1y1, de valorv0 = v0 j1. Se pide:
a) Determinar la trayectoria seguida porM en una referenciaAxy, con origen enA y ejes
paralelos a los de la referenciaOx1y1.
b) ¿Cuál es la mı́nima velocidadv0, con que debe lanzarse la partı́cula para que no quede
atrapada por el centro atractivoA?.
c) Determinar, para la trayectoria obtenida en el apartado a), las ası́ntotas, en el supuesto en
que la velocidadv0 sea superior al valor calculado en el apartado b). ¿Cuál es la mı́nima
distancia deM al centro atractivo?.
d) Determinar el valor de la velocidadv0 con la que es necesario lanzar la partı́culaM, para
que se escape con una ası́ntota paralela aAx.
e) Supóngase que se cumplen las condiciones del apartado anterior. Un observador ligado
a Ox1y1, si espera un tiempo suficientemente largo, detecta un incremento de la energı́a
total de la partı́cula. Calcular ese incremento y explicar su origen.
Febrero de 1991
Problema 7.3.2: Se tiene un sistema de referenciaExyz, con origen en el centro de la tierra
y ejes de direcciones fijas en el espacio, que para este problema se considerará inercial.Ez
coincide con el eje de rotación de la tierra yExycon el plano ecuatorial. En el instantet = 0 un
satélite se encuentra en la posición~r0 = 24λR25 (1,0,0) con velocidad~v0 =
√
25µ
24λR(−
1
5,
1√
2
, 1√
2
).
R es el radio ecuatorial de la tierra,µ su constante gravitatoria, yλ una constante positiva. Se
pide:
1. Determinar los vectores~h (momento cinético especı́fico) y~e (excentricidad).
2. Identificar el tipo de órbita y obtener, en función de losdatos del enunciado, el parámetro
p, si es parabólica, o el semieje mayora si es elı́ptica o hiperbólica.
3. En el instante inicial, se encienden los motores durante un tiempo muy breve, de modo
que su efecto se puede asimilar a una percusión. Calcular, en función deλ , R y µ, el
impulso por unidad de masa necesario para que la órbita pasea ser circular y ecuatorial.
4. Sabiendo que en estos ejes la velocidad angular de la tierra esΩE = 0,058833
√
µ/R3,
calcularλ para que el satélite sea geosı́ncrono, es decir, el periodode la órbita sea igual
que el de revolución de la tierra (dı́a sidéreo).
ETSIA, septiembre 2000
Problema 7.3.3: Se tiene un planeta de radioR y constante gravitatoriaµ. Un satélite recorre
una órbita kepleriana respecto al planeta. En un instante dado se encuentra en 3R/5
[
−
√
3,1,0
]
con velocidad
√
µ/R
[
−
√
2/3,−
√
1/2,0
]
respecto a unos ejes inercialesOx1y1z1 con origen
en el centro del planeta. Se pide:
1. Vector excentricidad.
2. Radios y velocidades en el apocentro y el pericentro.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
7.3. DINÁMICA ORBITAL 41
3. ¿Chocará el satélite con el planeta?
El planeta gira con velocidad angular
√
µ/(6R)3 k1. Se quiere ahora llevar el satélite a una
órbita tal que esté siempre en la misma posición respectoal planeta. Se tratará por tanto de una
órbita circular y ecuatorial, cuya velocidad angularn sea la misma que la de rotación del planeta.
Se usará una órbita elı́ptica intermedia o de transferencia, coplanaria y tangente a la inicial y
a la circular estacionaria. Cuando el satélite llega al apocentro de su órbita, se encienden los
motores en la dirección tangente, proporcionando un incremento de velocidad instantáneo∆v1,
de modo que entre en la órbita de transferencia. Cuando llega al apocentro de ésta, se encienden
de nuevo para proporcionar un∆v2 que lo lleve a la circular estacionaria. Determinar:
4. Radio de la órbita estacionariarE.
5. Incrementos de velocidad∆v1 y ∆v2 para realizar la transferencia.
S
S
S
P
rE
∆v1
∆v2
Problema 7.3.4: Se quiere estudiar el fenómeno de captura de un cometa por parte de un
planeta, por ejemplo Júpiter. ComomS≫ mJ ≫ mC, se puede considerar que el Sol está en el
origen de un sistema inercialSx1y1z1; que Júpiter describe una órbita circular de radioa en el
sentido contrario a las agujas del reloj, contenida en el plano Sx1y1; y que el cometa se mueve
en órbita kepleriana respecto al Sol de modo que la atracci´on de Júpiter es despreciable, excepto
cuando esté muy cerca, dentro de la llamadaesfera de influencia.
Inicialmente se detecta el cometa en la posición~r0 = 2a(0,0,−1) con velocidad
~v0 =
√
µs
a
(
0,1/
√
2,1/
√
2
)
en ejes inerciales (µs es la constante gravitatoria del Sol).
1. Determinar~h, p, E y~epara el cometa en órbita solar.
2. Identificar el tipo de órbita y localizar el perihelio.
3. Comprobar que corta a la de Júpiter y calcular la velocidad en el punto de corte.
Supongamos que, cuando el cometa llega a(0,a,0), Júpiter acaba de pasar y está a una dis-
tanciab a lo largo de su órbita. Sib≪ a, podemos considerar que el arco de circunferencia entre
los dos es una recta, y que Júpiter está en(−b,a,0) con una velocidad paralela aSx1. Tomamos
unos ejes paralelos a los fijos con origen en Júpiter,Jx0y0z0, y estudiamos el movimiento del
cometa respecto a estos ejes. Al serb≪ a, podemos aplicara el problema de los dos cuerpos,
despreciando la atracción solar. Además, como la masa delcometa es despreciable, mientras
esté cerca seguirá una órbita kepleriana respecto a Júpiter (ahora conµJ en vez deµS). Si es
cerrada y no sale de laesfera de influencia,el cometa ha sido capturado por Júpiter. Para ese
instante, se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
42 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
4. Velocidad y posición del cometa respecto a los ejes 0.
5. Energı́a de la órbita respecto a Júpiter (nótese que enlas velocidades apareceráµs, pero
la constante gravitatoria de esta órbita esµJ).
6. Valor máximo de la distanciab de cruce para que la órbita sea cerrada1.
1Nótese que esta condición no es suficiente para que haya captura: además hace falta que toda la órbita relativa
quede dentro de laesfera de influencia. Para hacerse una idea de las magnitudes,µJ es aproximadamente mil veces
menor queµS. El paso de órbita solar a órbita respecto a Júpiter deberı́a hacerse al entrar en la esfera de influencia,
y no en el punto “fácil” que se ha escogido aquı́ para simplificar.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 8
Punto sometido a ligaduras
8.1. Punto sobre superficie
Ejercicio 8.1.1: Un punto pesado de masam está obligado a moverse sin rozamiento sobre
la superficie cónica de ecuaciónz2 = x2 + y2, referida a un sistema inercialOxyzdondeOz
es vertical ascendente. Inicialmente las coordenadas del punto son(a,0,a) y su velocidad es√
ag j . Determinar los paralelos entre los que va a tener lugar el movimiento del punto.
Febrero de 1995
Ejercicio 8.1.2: Una partı́cula pesada de masam se mueve sin rozamiento en el paraboloide
az= r2, (a ≡Cte. positiva), siendo el ejeOz la vertical ascendente. Si inicialmenter = a y se
lanza con velocidadv0 tangente al paralelo local, dejar el cálculo del movimiento reducido a
cuadraturas. Determinar los valores máximo y mı́nimo que alcanzar a lo largo del movimiento.
Abril de 1996
Ejercicio 8.1.3: Una partı́cula pesada de masam, se mueve por una superficie lisa esférica,
estando atraı́da por el punto más alto de la misma y el módulo de la atracción es 2mg. En
un instante dado el punto se encuentra en el ecuador con velocidad de módulov0 tangente al
mismo. Calcular el radio de curvatura de la trayectoria en dicho punto.
Septiembre de 1994
Problema 8.1.1: Un punto materialM, de masam, está obligado a moverse por el interior de un
cilindro recto cuya sección es una circunferencia de radioR. Se representa porf el coeficiente
de rozamiento entre el punto y el cilindro.
En el instante inicial el puntoM se encuentra en una determinada posición del cilindro y se
le lanza con una velocidadv0 que forma un ánguloα0 con la correspondiente generatriz.
Se pide:
1. Determinar en el instante inicial las componentes tangencial y normal de la aceleración,
ası́ como el correspondiente radio de curvatura de la trayectoria.
2. Plantear las ecuaciones de movimiento delpunto utilizando como parámetros las coorde-
nadas cilı́ndricas deM.
3. Determinar en un instante arbitrario la reacción normalN del cilindro en función de la
velocidadv deM y el ánguloα que dicha velocidad forma con la generatriz.
4. Estudiar el movimiento deM determinando su trayectoria y ley horaria.
5. Calcular en función del tiempo la reacción normalN del cilindro.
NOTA.- Se supondrá nulo el peso del punto materialM.
Febrero de 1969
Problema 8.1.2: Un punto material de masam sin peso, se mueve sin rozamiento sobre un
43
44 CAṔITULO 8. PUNTO SOMETIDO A LIGADURAS
cono de ejeOzy vérticeO fijos, y cuyo semiángulo en el vérticeα es tal que
tg α =
1
At
siendoA una constante positiva conocida yt el tiempo.
En el instante inicial(t = 0) se sitúa el punto a una distancial del vérticeO y está dotado
de una velocidad, relativa al cono,λ perpendicular a la generatriz correspondiente.
Sobre el punto actúa una fuerza de valor:
F =−ml
2λ 2
Ar3t
k
siendor la distancia entre el punto y el ejeOzy k el versor del ejeOz. Se pide:
1. Ecuaciones del movimiento absoluto del punto en coordenadas cilı́ndricas.
2. Trayectoria absoluta del punto en coordenadas cilı́ndricas.
3. Reacción que el cono ejerce sobre el punto en función deltiempo.
4. Trabajo realizado porF en el movimiento absoluto del punto en el intervalot = 1 at = 2.
5. Trabajo realizado por la reacción en el movimiento absoluto del punto en el intervalo
t = 1 at = 2.
Abril de 1972
Problema 8.1.3: Un punto materialM de masam, no pesado, se mueve sin rozamiento, con
ligadura bilateral, sobre un helicoide de ecuaciones
x= r cosθ , y= r sinθ , z= kθ
referidas a un sistema de ejesOXYZfijos. El punto es atraı́do por el ejeOZ con una fuerza de
valor:F = mk
4ω2
r3
, siendok y ω constantes conocidas.
En el instante inicial se lanza el punto con las siguientes condiciones iniciales:
r0 = k,
(
dr
dt
)
0
=
kω√
2
,
(
dθ
dt
)
0
=
ω
2
Se pide:
1. Determinar completamente el movimiento del punto, es decir, determinarr(t), θ(t).
2. Determinar la reacción de la superficie sobre el punto, enfunción del tiempo.
Septiembre de 1981
Problema 8.1.4: SeaO1x1y1z1 un sistema de referencia galileano, triortogonal y orientado a
derechas, en el queO1z1 es la vertical ascendente; considérese la esferaE de centroO1 y radio
a y seaC1 la circunferencia horizontal deE, situada en el plano de ecuaciónz1 = a/2.
Sobre un planoπ , en el que se considera un sistema de referencia ortogonalOxy, se traza la
circunferenciaC, de centroO y radioa
√
3.
El planoπ se mueve permaneciendo en contacto con la esferaE, de forma que la circun-
ferenciaC de π , rueda sin deslizar sobre la circunferenciaC1 de E; el movimiento se realiza
de forma tal, que el punto geométrico de contacto entre ambas circunferencias, describe la cir-
cunferenciaC1 con velocidad constante de valor(aω
√
3). (En la figura se esquematizan los
elementos geométricos que intervienen, en un instante genérico).
Dos puntos materialesP y Q, de igual masam, están unidos por un hilo flexible inextensible,
de longitudl y sin masa, y se mueven sometidos a las siguientes condiciones:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
8.1. PUNTO SOBRE SUPERFICIE 45
El puntoP, se mueve con ligadura bilateral y sin rozamiento, sobre el planoπ , sometido
a la acción de las siguientes fuerzas directamente aplicadas:i) el peso,mg, ii) una repul-
sión del puntoO1 proporcional a la masa y la distancia, siendog/(2a) la constante de
proporcionalidad, yiii) una atracción del diámetroOM deC, proporcional a la masa y la
distancia, siendo(3ω2) la constante de proporcionalidad.
El hilo que une ambos puntos, pasa por un orificio del planoπ practicado en el puntoO;
de su otro extremo pende el puntoQ, que se mueve en la verticalOO1, y sobre él actúan,
como fuerzas directamente aplicadas, únicamente el peso.
Se pide:
a) Determinar las fuerzas de inercia que han de tenerse en cuenta al analizar el movimiento
relativo del puntoP respecto del planoπ . Determinar la componente paralela al plano
y analizar si se compensa, o nó, con alguna de las fuerzas directamente aplicadas que
actúan sobre el punto.
b) Comprobar que el movimiento del puntoP, respecto del planoπ , es central; plantear
las ecuaciones que gobiernan dicho movimiento; suponga queel hilo se mantiene tenso
durante todo el movimiento (“a posteriori”, una vez determinado el movimiento, puede
comprobarse la veracidad de esta hipótesis).
c) Reducir a cuadraturas las ecuaciones planteadas en b). Determinar los movimientos esta-
cionarios del puntoP y analizar cuales son estables y cuales no.
d) Determinar, en un movimiento estacionario genérico, lareacción normal del planoπ so-
bre el puntoP.
Junio de 1988
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
46 CAṔITULO 8. PUNTO SOMETIDO A LIGADURAS
8.2. Punto sobre curva
Ejercicio 8.2.1: Una partı́cula pesada se mueve por una circunferencia lisa de radioRy centro
O fijo, que gira alrededor de un diámetro vertical con velocidad angular constanteω. Se estudia
el movimiento relativo a la circunferencia mediante el ángulo θ que forma la partı́cula con el
punto más bajo de la circunferencia. (a) Obtener la integral de la energı́a para el movimiento
relativo. (b) Calcular en función de la posiciónθ la reacción de la curva en la dirección normal
a su plano.
Septiembre de 2001
Ejercicio 8.2.2: Dejar reducido a cuadraturas la ecuación del movimiento deuna partı́cula de
masamque puede moverse sobre una circunferencia vertical de radio r y está unida a un resorte
de constanteK y longitud natural nula cuyo extremo está fijo (ver figura) a una distancial por
debajo del punto más bajo de la circunferencia.
Junio de 2002
Ejercicio 8.2.3: Una partı́cula materialM no pesada, de masam, está obligada a moverse
sobre un aro circular de radioa situado en un plano vertical y con centro en el origenO. Sobre
M actúa una fuerza repulsiva e inversamente proporcional a la distancia al puntoA = (0,−a)
con constante de proporcionalidadK =+2a2m.
a) Plantear las ecuaciones del movimiento. (2 puntos)
b) Si parat = 0, θ̇ = θ̇0, θ = θ0 siendoθ el ángulo entre~OA y ~OM, hallar la reacción en
función deθ . (2 puntos)
c) Dejar reducido a una cuadratura la ecuación del movimiento. (1 punto)
Junio de 2003
Ejercicio 8.2.4: Una partı́cula de masam se mueve con ligadura unilateral por el interior de
una circunferencia vertical, rugosa, de radioR (el coeficiente de rozamiento entre la partı́cula y
la circunferencia esµ). En el instante inicial se lanza desde el punto más bajo de la circunferen-
cia, con una velocidadv0 suficientemente grande para que la partı́cula alcance el punto superior.
¿Con qué velocidad llega al punto más alto?
θ
Sugerencias:̈θ = ddθ
(
1
2θ̇
2
)
. En algún paso del desarrollo, aparecen dos cami-
nos, uno de ellos sencillo y directo; para quienes quieran seguir el complicado,
puede ser útil la integral siguiente:
∫ θ
0
(sinθ +µ cosθ)e2µθ =
−1
1+µ2
{
eµθ
(
cosθ −2µ sinθ −µ2 cosθ
)
+µ2−1
}
Junio de 1994
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
8.2. PUNTO SOBRE CURVA 47
Problema 8.2.1: Se dispone de un alambre elásticoAB sin masa, de longitudπa el cual se
empotra en una pared por su extremoA.
Se flexa el alambre sujetándolo por su extremoB, de manera que adopte la forma de una
semicircunferencia, y en esta posición, se coloca un puntomaterialM, no pesado, de masam
sobre el mismo.
En el instante inicial se suelta el extremoB del alambre y debido a su elasticidad, trata de
recuperar su forma rectilı́nea, arrastrando al puntoM.
Se sabe que la curva que adopta el alambre en cada instante, esun arco de circunferencia,
con centro variableC sobre el ejeAY y cuyo radio varı́a según la ley conocida
CA= R(t)
Se tomará como parámetro para definir la posición del punto, el ánguloϕ de la figura ad-
junta. Sabiendo que no existe rozamiento, se pide:
1. Expresión de la posición, velocidad y aceleración absoluta del punto, en función det, ϕ
y sus derivadas.2. Ecuación diferencial del movimiento [ecuación que determinaϕ(t)].
Suponiendo el caso particular en queCA= R(t) = v0t +a, y que se lance el punto en el
instante inicial desdeϕ0 = π/2, con una velocidad absoluta, de valorv0 i +v0 j . Se pide:
3. Integrar completamente la ecuación del movimiento.
4. Determinar la fuerza que el alambre ejerce sobre el punto en cada instante.
5. Trayectoria absoluta descrita por el punto.
6. Determinar el instante y la posición absoluta del punto,cuando este abandona el alambre.
7. Trayectoria descrita por el punto, a partir del instante en que abandona el alambre.
Julio de 1974
Problema 8.2.2: Un punto material pesadoM de masam, se mueve sobre una hélice situada
en un cilindro recto cuya sección es una circunferencia de radio R y cuyo eje es vertical. Se
representará porα el ángulo que la hélice forma con el plano horizontal y porf el coeficiente
de rozamiento existente entre el puntoM y la hélice.
En el instante inicial se sitúa el punto en una determinada posición de la hélice y se le
abandona sin comunicarle velocidad.
Sabiendo que el coeficiente de rozamientof cumple la condiciónf < tg α, se pide:
1. Calcular en el instante inicial las componentes tangencial y normal de la aceleración de
M.
2. Plantear las ecuaciones que proporcionan el movimiento deM.
3. Demostrar que la velocidad del puntoM tiende a un valor finito cuando el tiempo tiende
a infinito.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
48 CAṔITULO 8. PUNTO SOMETIDO A LIGADURAS
4. Calcular la velocidad lı́mite deM y determinar los valores lı́mites de las componentes
tangencial, normal y binormal de la reacción que la héliceejerce sobre el punto.
5. Estudiar el movimiento deM en el caso de que el ánguloα de la hélice valga 45o, que el
coeficiente de rozamiento seaf =
√
3
3
y que inicialmente se lance el punto hacia abajo
con una velocidadv0 =
√
2 ·g ·R.
Febrero de 1969
Problema 8.2.3: Sea el sistema inercialOx1y1z1, conOz1 vertical ascendente. Alrededor del
ejeOz1 gira con velocidad angular constanteω el sistemaOxyz, Ozcoincidiendo conOz1. Una
partı́cula pesada de masam se mueve sobre la curva lisa del sistemaOxyzde ecuacióny = 0,
z= x
3
a2 − x, dondea = g/ω
2. Dejar reducido a cuadratura el movimiento de la partı́culasobre
la curva. Si inicialmente la partı́cula está en el origen y se lanza con una velocidad respecto al
sistemaOxyzde valorv0, estudiar cualitativamente el movimiento del punto segúnsea el valor
dev0.
Septiembre de 1994
Problema 8.2.4: SeaO1x1y1 una referencia cartesiana rectangular que, se admitirá, constituye
una referencia galileana. Un aroA de radioa rueda sin deslizar por el interior de un aro de radio
2a y centroO1, de forma que su centroO se mueve con velocidad constanteaω. Una partı́cula
M de masam, no pesada, se mueve con ligadura bilateral y sin rozamientosobre el aroA. Se
pretende estudiar el movimiento de la partı́culaM relativo al aroA y para ello se toman unos
ejesOxy ligados a este. En el instante inicial el puntoO se encuentra en(a,0), los ejesOxyson
paralelos a losO1x1y1, y la partı́cula s encuentra en(2a,0) y se lanza con una velocidad relativa
al aro de valor~v0 = (2+Λ)aω~j. Se pide:
1. Plantear la ecuación que gobierna el movimiento de la partı́culaM
2. Reducir a cuadraturas el movimiento. Realizar un análisis cualitativo de los distintos tipos
de movimiento que pueden presentarse en función del parámetroΛ. ¿Para qué valores del
parámetroΛ se generan movimientos asintóticos? ¿A qué posición tiende asintóticamente
la partı́culaM en dichos movimientos?
En el caso particular en el queΛ = 2:
3. Obtener, integrando completamente el problema, la ley horaria con la que la partı́cula se
mueve por el aro.
4. Determinar, en función de la posición, el valor de la reacción normal del aro sobre la
partı́cula.
5. En el caso en que la ligadura fuese unilateral, con posibilidad de desprendimiento de la
partı́cula hacia el interior del aro, analizar si se produceo no desprendimiento; en caso de
que se produzca, localizar la posición en que tienen lugar.
NOTA: resulta conveniente, a partir del apartado 2), utilizar como coordenada generalizada
el ánguloθ que el radio vector
−−→
OM forma con el radio vector
−−→
OO1.
ω t
O1 x1
y1
x
y
Mθ
O
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 9
Dinámica relativa
Ejercicio 9.1: Una partı́cula pesada de masam se encuentra sobre una referencia plana móvil
Oxy, que gira con velocidad constante de móduloω alrededor de su eje fijoOy (vertical as-
cendente). La partı́cula está unida al origen del sistema mediante un muelle de longitud natural
nula y constante de rigidezk. Inicialmente se encuentra en reposo en una posición dada por sus
coordenadasx0,y0. Se pide calcular las trayectorias que puede seguir la mismaen función de
los valores que pueda tomar el parámetro adimensionalλ = mω2/k.
Febrero de 1995
Ejercicio 9.2: Una partı́cula pesada se mueve por una circunferencia lisa de radioR y centro
O fijo, que gira alrededor de un diámetro vertical con velocidad angular constanteω. Se estudia
el movimiento relativo a la circunferencia mediante el ángulo θ que forma la partı́cula con el
punto más bajo de la circunferencia. (a) Obtener la integral de la energı́a para el movimiento
relativo. (b) Calcular en función de la posiciónθ la reacción de la curva en la dirección normal
a su plano.
Ejercicio 9.3: Un plano liso gira con velocidad angular constante~ω constante alrededor de un
eje horizontalOxcontenido en el plano. Una partı́cula pesada de masam se mueve sobre dicho
plano con un movimiento de leyes conocidasx(t), y(t) respecto a un sistema de referencia ligado
al mismo. Si en el momento inicialt = 0 el plano está horizontal, se pide obtener la reacción
normal que ejerce sobre la partı́cula.
Abril de 1995
Ejercicio 9.4: Una partı́culaM está obligada a moverse por un plano lisoOxy, que a su vez se
mueve respecto a un sistema inercial del siguiente modo: la direcciónOy permanece siempre
paralela a sı́ misma; el plano gira con velocidad angular constanteω; O se desplaza con acelera-
ción constanteg por una recta fija del sistema inercial, ortogonal aOy. Plantear las ecuaciones
del movimiento deM relativo al plano, cuando no actúan más fuerzas que las de ligadura.
Septiembre de 1996
Ejercicio 9.5: SeaOx1y1z1 un sistema de referencia inercial tal queOz1 es la vertical ascen-
dente. SeaOx0y0z0 un sistema giratorio respecto al anterior tal queOz0 siempre coincide con
Oz1 y ~ω01 = ω~k1 (ω =cte.). Una partı́culaP de masam se mueve sin rozamiento por una recta
del sistema 0 de ecuaciones paramétricas:
x0 = ξ , y0 = 0 , z0 = κ ·ξ (κ = cte.)
Sabiendo que el peso es la única fuerza directamente aplicada que actúa sobre la partı́cula se
pide:
a) Dejar reducido a una cuadratura la determinación deξ (t).
b) A partir de la cuadratura anterior, hacer un estudio cualitativo del movimiento de la
partı́cula según sean las condiciones iniciales.
49
50 CAṔITULO 9. DINÁMICA RELATIVA
Septiembre de 2007
Ejercicio 9.6: En un planeta de radioR y masaM, los cuerpos pesan en los polos el doble que
en el ecuador. Determinar la duración del dı́a.
Ejercicio 9.7: Una partı́cula pesada se mueve sin rozamiento sobre la parábola de ecuación
y = 0, z= b
(
x
a
)2
, cuyo ejeOz es vertical. La parábola gira con velocidad angular constante
ω = Λa
√
2gbalrededor deOz. Determinar, en función deΛ, las posiciones de equilibrio relativo
de la partı́cula. En el caso en queΛ = 1, determinar el movimiento y la reacción normal cuando
la partı́cula se lanza desde el vérticeO con una velocidadv0 relativa a la parábola.
Junio de 2000
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
51
Problema 9.1: Una estación espacialO, se encuentra en órbita circularalrededor de la Tierra
siendoR el radio de su órbita. Se pretende, analizar el movimiento,respecto de la estación
espacialO, de una naveM que desea atracar en ella.
x1
y1
z1
C
x
y
z
b
M
R
O
ρ
Para la descripciónanalı́tica del problema se considerarán los si-
guientes sistemas de referencia:i) Cx1y1z1, con origen en el centro
de la TierraC, el planoCx1y1 coincidiendo con el plano de la órbita
circular seguida por la estación, y el ejeCz1 perpendicular al mis-
mo, ii) Oxyz, con origen en la estación espacial, el ejeOx según
la vertical ascendente, el ejeOy tangente a la órbita y el ejeOz
normal al plano orbital. En la resolución del problema se tendrán
en cuenta las siguientes hipótesis simplificatorias:a) el sistema de
referenciaCx1y1z1 se considerará inercial y,b) la Tierra es perfec-
tamente esférica y atrae a cualquier partı́cula materialM de masa
m con una fuerza igual a
F =− mµ|CM |3CM .
Se pide:
a) Determinar las fuerzas de inercia, de arrastre y de Coriolis, que es preciso tener en cuenta
para analizar el movimiento de una partı́culaM de masam, respecto de la referenciaOxyz.
La posición de la partı́culaM se fijará mediante el radio vectorOM = ρ = xi +yj +zk.
b) Suponiendo que|ρ| ≪ |CM | obtener un desarrollo en serie de potencias del parámetro
pequeño|ρ|/R de la fuerza gravitatoria terrestre que actúa sobreM.
c) Se denominagradiente de gravedada la suma de la fuerza de inercia de arrastre y la
atracción gravitatoria terrestre. Obténgase una expresión aproximada del gradiente de
gravedad, usando, para la atracción gravitatoria terrestre, los dos primeros términos del
desarrollo obtenido en b).
d) Plantéense las ecuaciones que gobiernan el movimiento libre de una partı́culaM de masa
m, respecto de la estación espacialOxyz; obténgase una versión aproximada de las ecua-
ciones, usando, para el gradiente de gravedad, la expresión aproximada determinada en
el apartado anterior. (Ecuaciones de Hill).
e) Intégrense las ecuaciones de Hill a partir de unas condiciones iniciales arbitrarias
en t = 0 : x= x0, y= y0, z= z0, ẋ= ẋ0, ẏ= ẏ0, ż= ż0 (1)
Si la partı́culaM representa una nave espacial que evoluciona en las proximidades de la estación,
la solución obtenida en e) permite resolver, en principio,el problema de atraque de la nave en
la estación, mediante una maniobra de dos impulsos:
f) Si en el instantet = 0 la nave se encuentra con el estado dinámico definido en (1),ave-
riguar el impulso que es necesario dar a la nave para que en el instante finalt = τ, se
encuentre en la estación espacial (origenO : x= y= z= 0).
g) Averiguar el impulso que es necesario darle a la nave, en elinstante finalt = τ, para
dejarla en reposo en el origenO.
Abril de 1994
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
52 CAṔITULO 9. DINÁMICA RELATIVA
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 10
Exámenes: Dińamica del Punto
Se incluyen aquı́ problemas propuestos en exámenes de Mec´anica de años anteriores. En las
secciones anteriores se han propuesto problemas o ejercicios sobre partes concretas del temario
de Dinámica del Punto: movimiento con ligaduras, dinámica relativa, etc. Los de esta sección
suelen requerir técnicas correspondientes a varias partes.
10.1. Ex́amenes recientes
53
54 CAṔITULO 10. EXÁMENES: DINÁMICA DEL PUNTO
Problema 10.1.1: Una partı́cula pesadaM (sólido 2) está obligada a moverse por el interior
de un tubo liso sin masa (sólido 0), tal como se muestra en la figura. El tubo está contenido en
un plano verticalOx1y1 fijo (sólido 1), y gira alrededor de su punto centralO, que está fijo, con
velocidad angularω k1. En el instante inicial, el eje del tuboOx coincide con el eje horizontal
fijo Ox1, siendoOy1 la vertical ascendente. Se quiere estudiar el movimiento dela partı́cula
relativo al tubo, es decir, el movimiento 2/0.
1. Calcular todas las fuerzas de inercia que intervienen. (20%)
2. Plantear las ecuaciones del movimiento en el planoOxy. (20%)
3. Calcular la reacción normal del tubo en función dex, ẋ y t. (20%)
4. Integrar completamente la ecuación diferencial del movimiento relativo, dejándola en
función de dos constantes de integración arbitrariasA y B. (20%)
5. En t = 0, la partı́cula está en el origen y se lanza con velocidad relativa ẋ0. Determinar
esta velocidad y las constantesA y B para que el movimiento resultante sea una oscilación
armónica (se supone que el tubo es suficientemente largo, demodo que la partı́cula no
llega a salir por el extremo). (20%)
m g
x1
y1
x
y ω t
ω t
M
N
O
EUITA, marzo de 2003
Problema 10.1.2: Una partı́culaM (sólido 2), de masam, está obligada a moverse por una recta
lisa de movimiento conocido (sólido 0), tal como se muestraen la figura. La recta está contenida
en un plano fijoO1x1y1 (sólido 1), y gira alrededor de uno de sus puntosO, con aceleración
angularα k1 constante.O se mueve con aceleración constantegi1 a lo largo del ejeO1x1. En
el instante inicial,O coincide con el origenO1 y la rectaOx coincide con el eje fijoOx1. Se
quiere estudiar el movimiento de la partı́culaM relativo a la recta, es decir, el movimiento 2/0.
Se tomará como incógnita la coordenadax de M, de modo queOM = xi. Todos los resultados
se proyectarán en los ejesOxyz.
Cinemática
1. Calcular el ánguloθ de la figura como función del tiempo. (10%)
2. Calcular la aceleración de arrastreaM01 como función del tiempo y dex. (30%)
3. Calcular la aceleración de Coriolis deM en función de ˙x y t. (20%)
Se supone ahora que sobre la partı́cula actúa un pesomgi1 en la dirección del ejeO1x1, y que
ent = 0 se lanza desdex= 0 con velocidad relativa ˙x= v.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
10.1. EXÁMENES RECIENTES 55
Dinámica
4. Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento deM en el movimiento 2/0,
proyectadas en ejes 0. (20%)
5. Calcular el valor de la reacción normal de la recta ent = 0. (20%)
x1
m g
x1
y1
x
y θ
θ
M
N
O
O1
EUITA, junio de 2003
Problema 10.1.3: SeaO1x1y1z1 un sistema de referencia inercial tal que el ejeO1z1 es vertical
ascendente. El sistemaOx0y0z0 de la figura se mueve respecto al sistema 1 de tal modo que:
i) ~ω01 es constante siendo su valorω~k1 = ω~k0; ii) el planoOx0z0 rueda sin deslizar sobre el
cilindro circular del sistema 1 de ejeO1z1 y radioR; iii) zO1 = Ren todo instante. SeaA el punto
intersección, en un instante genérico, entre el ejeOy0 y la generatriz del cilindro que está en
contacto con el planoOx0z0. Seaα el ángulo entreO1x1 y Ox0 y η la coordenaday0 del puntoA.
Una partı́cula pesadaM, de masam, está obligada a moverse sin rozamiento por la circun-
ferencia del sistema 0 que está contenida en el planoOx0z0, tiene radioR y centro en el punto
O. Seaθ el ángulo, en un instante genérico, entreOM y la parte negativa del ejeOz0.
Se pide:
a) Determinarα y η en función del tiempo sabiendo que inicialmente sus valores son nulos.
b) Determinar, en función deθ y sus derivadas respecto al tiempo, las expresiones de las
fuerzas de inercia que intervienen en el estudio del movimiento de la partı́cula respecto
al sistema 0.
c) A partir de las ecuaciones del movimiento respecto al sistema 0, dejar el cálculo deθ(t)
reducido a una cuadratura.
d) Estudiar cualitativamente qué tipo de movimientos puede tener la partı́cula, indicando en
particular si existen posiciones de equilibrio o siθ puede realizar movimientos asintóticos
hacia ciertos valores.
e) Determinar la reacción de la curva sobre la partı́cula.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
56 CAṔITULO 10. EXÁMENES: DINÁMICA DEL PUNTO
ETSIA, Junio de 2002
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
10.1. EXÁMENES RECIENTES 57
Problema 10.1.4: Se tiene una placa horizontalOx0y0 (sistemaS0) que gira respecto a un
sistema fijoOx1y1z1, alrededor del eje vertical comúnOz0 ≡ Oz1. La velocidad angular es
constante:ω01 = ω k0. En la placa se talla una ranura de ecuación polarr = a+bθ , dondea y
b son constantes positivas. Por la ranura se mueve sin rozamiento y con ligadura bilateral una
partı́culaM de masam (sistemaS2).
En el instante inicial los ejesS0 coinciden con los fijos. La partı́cula se deja enr = a, θ = 0,
en reposo respecto a la placa giratoria.Se recomienda trabajar en coordenadas polares sobreS0.
Se pide:
1. Razonar qué fuerzas hay que tener en cuenta en el movimiento de la partı́cula relativo a
la placa móvil, sin calcular todavı́a su expresión detallada.
2. Plantear la ecuación de la energı́a para el movimiento relativo 2/0. Razonar cuáles de las
fuerzas no trabajan y si alguna es potencial.
3. Dejar el problema reducido a una cuadratura enθ y t. Habrá que justificar la elección de
signo, planteando la correspondiente ecuación de cantidad de movimiento.
4. Demostrar quėθ → |ω| cuandot → ∞.
5. Supóngase que la ranura está abierta por su extremormax= c. Calcular la velocidad ab-
soluta con que la partı́cula abandona la placa (proyectada en ejesS0 y en polares).
6. Razonar el sentido en que ha de girar la placa para que el módulo de la velocidad absoluta
de salida sea máximo, y si es posible ajustar los parámetros para que la velocidad absoluta
de salida tenga dirección radial.
x1
y1
ω t
O
x0
y0
ur
uθ M
r
θ
ETSIA, septiembre de 2008
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
58 CAṔITULO 10. EXÁMENES: DINÁMICA DEL PUNTO
Problema 10.1.5: El sistemaOx0y0z0 de la figura gira con velocidad angular constanteω
alrededor del eje verticalOz1 ≡ Oz0 del sistema inercialOx1y1z1. Considérese el arcoAB de la
curva lisa de ecuaciones:



y0 = 0
z0 =
a
2
(1−cosπx0
a
)
(−2a≤ x0 ≤ 2a)
Un punto materialM de masamse mueve por la curva anterior, a la que puede abandonar por
sus extremosA o B, en cuyo caso comenzarı́a a moverse sobre el planoOx0y0, que es rugoso
con coeficiente de rozamientoµ. Además de su peso, sobre la partı́cula actúa una atracci´on
del puntoO, proporcional a la masa y a la distancia a este punto, siendoω2 la constante de
proporcionalidad. Se pretende estudiar el movimiento del punto respecto al sistemaOx0y0z0,
para lo cual se pide:
a) Determinar en función de la posición(x0,y0,z0) y velocidad(ẋ0, ẏ0, ż0) de la partı́cula,
las expresiones de las fuerzas de inercia de arrastre y de Coriolis.
b) Suponiendo que el punto se está moviendo sobre la curva, dejar su movimiento reducido
a una cuadratura.
c) Si inicialmente el punto está en el origenO y su velocidad respecto al sistema 0 esv0 i0,
estudiar cualitativamente el movimiento del punto subre lacurva según sea el valor dev0.
¿Para qué rango de valores dev0 el punto abandona la curva por sus extremosA o B?
d) Si v0 = 2
√
2ga+ω2a2, comprobar que la partı́cula abandona la curva por su extremo A.
¿Con qué velocidad lo hace?
e) En lo que sigue, el punto se mueve sobre el plano rugosoOx0y0, siendo las condiciones
iniciales de este movimiento las que tiene a la salida de la curva. Determinar la compo-
nente normal de la reacción del plano sobre el punto.
f) Determinar las componentes según la tangente y la normala la trayectoria de las fuerzas
que actúan sobre el punto. Siv es la magnitud de la velocidad yϕ el ángulo que forma
con el ejeOx0, hallarv(t) y ϕ(t).
g) Determinar la trayectoria y la ley horaria del movimiento.
h) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que el punto abandona lacurva hasta que se para? ¿En
qué punto del plano se para?
i) Calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamientodesde que el punto abandona la
curva hasta que se para.
ETSIA, Junio de 1994
x1
y1
O
x0
y0
z1 ≡ z0
A
B
b
M
b
Mϕ t
n
ω t
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
10.2. EXÁMENES MÁS ANTIGUOS 59
10.2. Ex́amenes ḿas antiguos
En esta sección se incluyen problemas de exámenes anteriores al plan de estudios 2000. Esto
presenta dificultades, porque la asignatura Mecánica del plan 1974 de la ETSIA, y la correspon-
diente de la EUITA, tenı́an programas más amplios que la Mecánica Clásica; de hecho incluı́a
temas de Mecánica Analı́tica, de Mecánica Orbital y Dinámica de la Actitud, y hasta de Vibra-
ciones: teorı́a del potencial, formulación hamiltoniana, linealización (pequeños movimientos),
modos de vibración. Por tanto, algunas preguntas no podrán resolverse con los conocimien-
tos correspondientes a esta asignatura. Pero no por eso vamos a dejar de lado otros temas que
sı́ pueden tratarse y tienen un interés notable.
En las secciones anteriores también hay problemas anteriores a 2000, pero todo lo que se
pregunta se puede resolver con los conocimientos de Mecánica Clásica. Se dejan para esta parte
los que tengan alguna cuestión que ya no se incluye, y que obviamente no es necesario tratar.
Problema 10.2.1: Un punto materialA de masa 3m, se mueve, sin rozamiento, por una cir-
cunferencia de centroO y radioa contenida en un plano vertical, en el que se elige un sistema
de referenciaOxyzcuyo ejeOy coincide con la vertical ascendente que pasa porO. Un punto
B de masam se mueve, en el planoOxy, unido con el puntoA mediante un muelle de longitud
natural nula y constante de rigidezK = (mg)/a. Para determinar la configuración del sistema
se utilizarán, como coordenadas generalizadas, el ángulo ϕ que el radio vectorOA forma con
el ejeOy, y las coordenadas(x,y) del puntoB. Se pide:
1. Determı́nese la energı́a potencial del sistema en funci´on de las coordenadas generalizadas.
Hallar las posiciones de equilibrio, especificando cuales son estables y cuales inestables.
2. Determı́nese la energı́a cinética del sistema en funci´on de las coordenadas y velocidades
generalizadas.
3. Linealı́cese la energı́a cinética y la energı́a potencial del sistema, alrededor de la posición
de equilibrio estable determinada en 1.
4. Plantéense las ecuaciones de Lagrange que gobiernan lospequeños movimientos del sis-
tema alrededor de la posición de equilibrio estable anteriormente mencionada.
5. Obténganse las frecuencias naturales de vibración delsistema y las formas modales aso-
ciadas a cada uno de los modos propios de oscilación. Determı́nense unas coordenadas
normales del sistema.
7 de Junio de 1986
Aϕ
x
y
O
B
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
60 CAṔITULO 10. EXÁMENES: DINÁMICA DEL PUNTO
Problema 10.2.2: Se tiene un sistema galileanoOx1y1z1, cuyo ejeOz1 coincide con la vertical
ascendente. Otro sistemaOxyz, tal queOzcoincide conOz1, gira con velocidad angular cons-
tanteω = ω k1 respecto al primero. Solidario aOxyzhay un cilindro circular, de radioR, cuyo
eje esOx. Sobre el cilindro se mueve una partı́culaP de masamy carga eléctricaq, con ligadura
bilateral sin rozamiento. Sobre la partı́cula actúan las siguientes fuerzas.a) el peso;b) Fuerza
de LorentzF = qv21∧B, dondeB = Bk1.
1. Plantear las ecuaciones del movimiento de la partı́cula respecto al sistema móvilOxyz,
calculando todas las fuerzas que intervienen.
2. Calcular en función deω el valor deB necesario para que desaparezcan las fuerzas de-
pendientes de la velocidad.
3. Para este valor deB, comprobar que el movimiento segúnOx queda desacoplado, e inte-
grarlo completamente.
4. Para este mismo valor, reducir a cuadraturas el movimiento eny y z. Hacer un estudio
cualitativo, indicando los distintos tipos de movimiento en función del parámetroλ = 2gRω2
y las posiciones de equilibrio estables o inestables. (Paraeste análisis puede ser más
cómodo usar la variableθ indicada en la figura).
5. Linealizar este movimiento para valores pequeños deθ . Determinar el perı́odo.
6. Para estos pequeños movimientos en las proximidades deθ = 0, determinar los valores
deω que dan lugar a trayectorias cerradas sobre el cilindro.
7. Para condiciones indicadas en los números 3 y 4, calcularel valor de la reacción normal
en función de la posición.
Marzo de 1993
x1
y1
O
x
y
z1 ≡ z
b
P
ω t
P
θ
y
z
O
Problema 10.2.3: Considérese la referencia galileana trirectangularOx1y1z1, cuyo ejeOz1
coincide con una vertical ascendente. SeaOxyzuna referencia trirectangular, que gira con ve-
locidad angular constante,−ω j , alrededor del ejeOy1, cuyo ejeOy coincide conOy1 y cuyo
planoOxzcoincide con el planoOx1z1 de la referencia galileana; inicialmente, ambas referen-
cias coinciden.
SeaM, una partı́cula material, pesada, de masam,sometida a una atracción del punto de
coordenadasx1 = y1 = 0, z1 = a, proporcional a la masa y la distancia, siendok = (g/a) la
constante de proporcionalidad (g≡ aceleración de la gravedad). Se pide:
Determinar los campos de fuerzas de inercia, de arrastre y deCoriolis, que debe conside-
rar un observador unido a la referenciaOxyz, que pretenda analizar el movimiento de la
partı́culaM.
El puntoM, es obligado a moverse sin rozamiento y con ligadura bilateral, sobre la cir-
cunferenciaC de ecuaciones:
x= 0, y2 + z2 = a2.
Dejar reducido a cuadraturas, el movimiento del puntoM.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
10.2. EXÁMENES MÁS ANTIGUOS 61
Realizar un análisis cualitativo del movimiento del punto; mostrar que existe cuatro posi-
ciones de equilibrio relativo aC, e indicar cuales son estables.
Determinar el periodo de los pequeños movimientos del punto M alrededor de una de las
posiciones de equilibrio estable.
Obtener la reacción que la circunferencia ejerce sobre el punto.
Supóngase al punto situado inicialmente enx= y= 0, z= A; se lanza con una velocidad,
relativa aC, de valorv0 = aω.
Determinar el tiempo que tarda el punto en alcanzar el equilibrio relativo aC.
Trabajo que la reacción normal realiza, en el movimiento del punto, respecto a la referen-
ciaOx1y1z1, desde el instante inicial, hasta que alcanza el equilibriorelativo aC.
Abril de 1989
Problema 10.2.4: SeaOx1y1z1 un sistema de referencia galileano triortogonal y orientado a
derechas; su origen coincide con el centroO de un aro de masaM y radio a contenido en el
planoOx1y1. Sean(r,θ ,ϕ) las coordenadas esféricas, asociadas a la referenciaOx1y1z1, de un
punto genéricoP del espacio, y seaV(r,θ ,ϕ) el potencial gravitatorio generado por la masa del
aro en el puntoP. Se pide:
a) Obtener una expresión que proporcione, mediante una única cuadratura, el potencial gra-
vitatorioV(r,θ ,ϕ).
b) Obténgase un desarrollo asintótico deV(r,θ ,ϕ), en potencias del parámetro pequeño
(r/a)≪ 1, que proporcione expresiones aproximadas para el potencial en las proximida-
des del centroO del aro.
c) Compruebe que, si se aproxima el potencial, en las cercanias del origenO, por los tres
primeros términos del desarrollo asintótico obtenido enb), adopta la forma
V ≃ µ
4a3
(2z21−x21−y21)
conµ = GM (G es la constante de gravitación universal).
Se pretende analizar el movimiento de una partı́cula material de masam respecto de la hélice
de representación paramétrica
(x,y,z) = b(senψ,1−cosψ,ψ);
dicha hélice se encuentra rı́gidamente unida a una referencia Oxyz, cuyo ejeOzcoincide con el
ejeOz1 de la referencia galileana, alrededor del cual gira con velocidad angular constanteω. Se
admitirán las siguientes hipótesis:i) la hélice es lisa,ii) el cociente(b/a≪ 1, y en consecuencia
el potencial gravitatorio puede aproximarse por la expresión recogida en el apartado c). Se pide:
d) Reducir a cuadraturas el movimiento de la partı́cula respecto de la hélice.
e) Analizar las posibles posiciones de equilibrio en funci´on del parámetro,Λ = µ(2a3ω2).
¿Para qué valor deΛ se presenta una posición de equilibrio relativo enψ =30o?
f) Realizar un análisis cualitativo del movimiento de la partı́cula.
g) Determinar la reacción de la hélice sobre la partı́cula, si ésta se encuentra en equilibrio
relativo en la posiciónψ = 30o.
Abril de 1992
Problema 10.2.5: Hay en el sistema solar dos grupos de asteroides, los Troyanos, que acom-
pañan a Júpiter en su órbita alrededor del Sol. Cada grupose sitúa en el vértice de un triángulo
equilátero contenido en el plano de la órbita, con Júpiter y el Sol en los otros dos vértices. Un
grupo va por delante de Júpiter, y otro por detrás.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
62 CAṔITULO 10. EXÁMENES: DINÁMICA DEL PUNTO
Para estudiar este movimiento estacionario —que es una solución particular del problema
de los tres cuerpos— se considerarán tres masas aisladas del resto del universo,m1, m2 y m3.
Sus vectores posición respecto de un sistema inercial son~r1,~r2 y~r3. Para facilitar los cálculos
se usarán las magnitudesM = m1+m2+m3,~u=~r1−~r3 y~v=~r2−~r3.
1. Plantear las ecuaciones del movimiento de las tres masas respecto del sistema inercial.
Será conveniente expresar las fuerzas en función de~u y~v.
2. Plantear las ecuaciones del movimiento dem1 y m2 respecto de un sistema con origen en
m3 y ejes paralelos a los inerciales.
3. Dejar estas ecuaciones en la forma~̈u=−GM|~u|3~u+ f (~u,~v), y análogamente para~v.
4. Comprobar que un movimiento tal que las tres masas forman un triángulo equilátero
(|~u|= |~v|= |~u−~v|) es solución de las ecuaciones (si se obtiene la misma ecuación para~u
y~v, y las condiciones iniciales son las adecuadas, tendremos la misma órbita giradaπ/3
).
5. Si inicialmente~u = R~i y ~v = R
(
1
2
~i+
√
3
2
~j
)
, calcular los vectores velocidad que deben
tener en ese momentom1 y m2 en los ejes no inerciales, para que se produzca este movi-
miento estacionario, con órbitas circulares alrededor dem3.
6. Comprobar que también es posible una solución en la que las tres masas están siempre
alineadas (~u= λ~v), pero sólo para determinados valores deλ . Obtener la ecuación escalar
de la que se obtienen estos valores (sin pérdida de generalidad, se puede considerarλ >
1).
Enero de 1998
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 11
Dinámica del śolido
11.1. Geometŕıa de Masas
Ejercicio 11.1.1: Sea un sistema material y un puntoO del espacio. Considérese un sistema
de ejes triortogonalOx, Oy, Oz. Demostrar que la suma de dos cualesquiera de los momentos
de inercia respecto a los anteriores ejes es mayor o igual queel momento de inercia restante.
Ejercicio 11.1.2: Sea un sistema material y un puntoO del espacio. Considérense los mo-
mentos de inercia respecto a todas las rectas que pasan porO. Demostrar que los máximos y
mı́nimos relativos de los anteriores momentos son los momentos principales de inercia.
Ejercicio 11.1.3: SeaSuna distribución de masa yO un punto; demostrar que si un planoπ
que pasa porO es plano de simetrı́a deSentonces la normal porO aπ es una recta principal de
inercia de la distribuciónS, en el puntoO.
Ejercicio 11.1.4: Sea una distribución de masas y un puntoO. Demostrar que si dos direc-
ciones principales de inercia respecto al puntoO no son perpendiculares entre sı́, entonces los
momentos principales asociados a ellas son iguales.
Como aplicación, razónese si el tensor central de inerciade un tetraedro regular es esférico.
Ejercicio 11.1.5: Calcúlese razonadamente el tensor central de inercia de una distribución de
masa formada por cuatro esferas iguales macizas de masam y radioa, situadas en los vértices
de un tetraedro regular de lado 2a.
Ejercicio 11.1.6: Determinar el tensor central de inercia del disco plano perfo-
rado de la figura, de radioR y densidad superficialσ . La perforación tiene forma
de cuadrado circunscrito de ladoR
√
2.
x
y
Ejercicio 11.1.7: Un cuerpo está formado por una esfera de radioR, cuyo material tiene una
densidad volumétricaρ . Tiene un hueco esférico de radioR/2, que se rellena con un material
de densidad 9ρ . Los centros de las dos esferas están a una distanciaR/2. Calcular su centro de
masas y su tensor central de inercia, tomando como ejez el que une los dos centros.
63
64 CAṔITULO 11. DINÁMICA DEL SÓLIDO
Ejercicio 11.1.8: Una pata de tren de aterrizaje se puede modelar de modo
esquemático como una varillaOC de longitudL y masam, articulada en el
origenO, y dos cilindros homogéneos de masaM, radio R y alturaH; el
centro geométrico de cada cilindro está a una distanciaa del extremoC de
la varilla. Hallar su tensor de inercia enO (el ejeOz tiene la dirección de la
varilla y el Oyes paralelo a los ejes de los cilindros).
a
O
C
y
z
Problema 11.1.1: Se considera un cono de revolución homogéneo de masaM, radioRy altura
h. Se coloca con su eje coincidiendo conOzy su vértice en el origen. Se pide:
1. Altura a quese encuentra el centro de gravedad.
2. Tensor de inercia en el origen.
3. Tensor central de inercia.
4. Momento de inercia respecto a un diámetro de la base.
5. Hallar un punto de su eje en el cual el elipsoide de inercia es esfera.
6. Relación entreRy h para que el elipsoide central sea esfera.
7. Momento de inercia respecto a una generatriz.
Problema 11.1.2: Se considera el segmento de paraboloide macizo homogéneo yde masam:
z≥ h
R2
(
x2+y2
)
, z≤ h
Se pide:
1. Tensor de inercia en el vértice.
2. Posición de su centro de gravedad.
3. Tensor central de inercia.
4. Relación entreRy h para que el tensor sea esférico.
5. Determinar en este último caso los ejes principales en cualquier punto de espacio.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
11.2. CINÉTICA 65
11.2. Cińetica
Ejercicio 11.2.1: Sea el movimiento de un sólido respecto a un sistema de referencia dado,
y seaP un punto del sólido. Si en un instante dadovP = 0 y la velocidad angular valeω~u
(‖~u‖ = 1), deducir razonadamente si son válidas, en ese instante,las siguientes expresiones
para la energı́a cinética y el momento cinético respecto al puntoP: T = 12IPω
2; LP = IPω u,
dondeIP es el momento de inercia respecto a la recta que pasa porP y tiene direcciónu.
Ejercicio 11.2.2: Sean~ω la velocidad angular de un sólido respecto a un sistema inercial,
e I su momento de inercia enG respecto a la recta paralela a~ω que pasa porG. Responder
justificadamente cuándo son ciertas las siguientes afirmaciones:
a) La energı́a cinética del sólido en el movimiento relativo al su centro de masas esTG =
1
2I ω
2.
b) El momento cinético del mismo sólido enG esLG = I ~ω .
Ejercicio 11.2.3: Una varillaAB de masam y longituda tiene el
extremoA articulado en el origenO, y además está contenida en
un plano vertical que gira alrededor deOz1 con velocidad angular
constanteΩ. Todas las ligaduras son lisas. Seaθ el ángulo de la
varilla con el plano horizontal fijoOx1y1.
Analizar el sistema de fuerzas de ligadura que transmiten la
articulación y el plano, reducidos aA. En particular conside-
rar si trabajan y si se conserva la energı́a.
Calcular el tensor de inercia de la varilla en los ejesAx2y2z2
ligados a la varilla y en losAxyz(S0) ligados al plano girato-
rio.
Calcular el momento cinético enA proyectado en ejes 2 y en
ejes 0.
x1
y1
A
Ωt
x
y≡ y2
z1 ≡ z
x2
z2
B
θθ̇
Ω
Ejercicio 11.2.4: Una placa cuadrada de masam y lado a
tiene dos vértices fijos mediante rótulas lisas, uno en el origen
O y otro en el ejeOy de un sistema inercialOxyz, dondeOz
es vertical ascendente. Seaθ el ángulo que la placa forma con
Oyz.
Analizar las fuerzas de ligadura y razonar si el sistema
es isostático o no.
Calcular el tensor de inercia enO, en ejes paralelos a los
S2 de la figura.
Calcular el momento cinético enO, proyectado en ejes
S2 y en ejesS1, y la energı́a cinética.
Obtener una ecuación que determina el movimiento de
la placa.
x
y
z
θ
O
A
x2
y2
z2
G
mg
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
66 CAṔITULO 11. DINÁMICA DEL SÓLIDO
Ejercicio 11.2.5: Una placa cuadrada de masam y lado a
tiene una aristaOA apoyada sobre un plano horizontal liso y
fijo O1x1z1. Se tomarán los ejesOxyzy Gx2y2z2 de la figura,
que acompañan a la placa: uno en la traslación y precesión, y
otro solidario a ella. Seaθ el ángulo que la placa forma con
la verticalOz (análogo a la nutación),ϕ el que la aristaOA
forma conO1x1 (precesión), yx e y las coordenadas en ejes
fijos de la proyección del centro de masas de la placa.
Analizar las fuerzas de ligadura y reducirlas al centro de
la arista apoyada.
Calcular el momento cinético enG y enO.
Calcular la energı́a cinética.
Obtener cuatro ecuaciones que den directamente inte-
grales primeras.
x1
y1
z1
ϕ
x
y
z
θ
O
A
x2
y2
z2
G
Mx
N
mg
Ejercicio 11.2.6: Un disco pesado de masam y radio a
está ligado de modo que su centroC desliza libremente por el
eje Ox0, y gira manteniéndose su plano constantemente nor-
mal a este. A su vez,Ox0 gira alrededor del eje vertical fijo
Ox1 ≡ Ox0 con velocidad angular constanteω. Para situar el
disco se usarán las coordenadas generalizadas de la figura.Se
pide:
1. Analizar las fuerzas y momentos de ligadura que el eje transmite al disco.
2. Calcular el momento cinético del disco enC y enO (proyectados en ejesS0), y su energı́a
cinética.
3. Razonar si se conserva la energı́a.
Ejercicio 11.2.7: Un cilindro homogéneo de masaM,
radioR y alturah apoya una generatriz en un plano hori-
zontal liso. Usando los ángulos de la figura, y trabajando
en los ejesGxyz, se pide:
1. Momento cinético enG y energı́a cinética.
2. Analizar el sistema de fuerzas de ligadura que actúa
sobre el cilindro y reducirlo aG.
3. Plantear las ecuaciones del movimiento del cilindro
e integrarlas.
4. Para las condiciones inicialesφ̇(0) =ω, ψ̇(0)=Ω,
obtener el momento de las fuerzas de ligadura enG.
5. Para unaω constante, obtener laΩ máxima para
que no se levante del suelo.
x1
y1
z1
G
ψ
x
y
z
ϕ̇
ψ̇
Ejercicio 11.2.8: Un disco de radior y masam está articulado enO
mediante una varilla sin masa de longitudL, normal al disco. Se usarán
los ángulos de la figura, y se proyectará en los ejes de las coordenadas
esféricasa ur , uθ , uϕ . Calcular: a) Momento cinético del disco respecto
al origenO. b) Energı́a cinética del disco.
aHay que tener cuidado con el orden, para que formen un triedroa derechas
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
x
y
z
O
uθ
uruϕ
θ
ϕ
ψ
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
11.3. DINÁMICA 67
11.3. Dinámica
Ejercicio 11.3.1: Sobre la periferia de un disco de masamy radioRse enrolla un hilo, flexible,
inextensible y sin masa, de longitudL (yo-yo); con el hilo totalmente enrollado se sujeta un
extremoA, se coloca el disco vertical, y se abandona a la acción de la gravedad. Averiguar la
velocidad de rotación que tiene el disco cuando se ha desenrollado todo el hilo, y el tiempo que
tarda en hacerlo.
Septiembre de 1994
Problema 11.3.1: El sistema material indicado en la figura está formado por una horquilla que
puede girar alrededor de un eje horizontalABy un disco que gira alrededor del ejeCD montado
sobre la horquilla perpendicularmente alABy de forma que el plano del disco contiene en todo
momento a la horizontalAB
Se supondrán los siguientes triedros de referencia,
todos ellos triortogonales y a derechas:
El O1x1y1z1 fijo (sistema 1) tal queO1y1 coin-
cide con el eje de giroAB y O1z1 es vertical
descendente.
El Ox2y2z2 ligado a la horquilla (sistema 2) tal
queOx2 coincide con el eje de giroCD y Oy2
es paralelo alOy1.
El Ox0y0z0 ligado al disco (sistema 0) tal que
Ox0 coincide conOx2.
La posición del sistema quedará determinada me-
diante el ánguloθ que la horquilla forma con la ver-
tical descendente y el ánguloϕ de giro del disco con
respecto a la horquilla.
Se representará porM la masa de la horquilla, pora la distancia del centro de masasG de la
misma al ejeAB, porρ su radio de giro con respecto al ejeAB, porm la masa del disco, porb
la mı́nima distancia entre los ejesAB y CD y porR el radio del disco.
Suponiendo que el espesor del disco es despreciable, se pide:
1. Calcular la energı́a cinética del sistema constituı́dopor la varilla y el disco.
2. Calcular el momento cinético del disco respecto a su centro de masasO expresado me-
diante sus componentes en el triedroOx2y2z2.
3. Calcular el momento cinético del conjunto horquilla-disco respecto al puntoO1, expresa-
do mediante sus componentes en el triedroOx1y1z1.
4. Plantear las ecuaciones del movimiento del sistema y reducirlas a cuadraturas.
5. Determinar los componentes según el triedroOx2y2z2 de la resultante y momento resul-
tante respecto aO de las fuerzas que el ejeCD ejerce sobre el disco.
Julio de 1968
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
68 CAṔITULO 11. DINÁMICA DEL SÓLIDO
Problema 11.3.2: El sistema material de la figura se compone de dos varillas sinmasa,OA
y AG, de longitudes2a y a, respectivamente, y un disco de centroG, radio 2a y masam. El
disco se mantiene constantemente perpendicular a la varilla AG, alrededor de la cual puede
girar libremente; la varillaOA puede girar libremente alrededor de la vertical que pasa porsu
extremoO, de forma que el extremoA describe una circunferencia horizontal de centroO y
radio 2a; las dos varillas se unen por el extremoA mediante una articulación que únicamente
permite el giro relativo de las dos varillas alrededor de la tangente enA a la circunferencia
descrita por este extremo.
Se considerará el movimiento del sistema respecto
de la referencia triortogonal y orientada a derechas,
Oxyz, con origen enO, y cuyo ejeOzcoincide con la
vertical ascendente; si se estima conveniente, puede
usarse la referencia{G; u1,u2,u3} que acompaña
al disco en su movimiento, y que tiene origen en
su centroG, con los vectores unitariosu3 dirigido
según la prolongación de la varillaAG, u2 perpen-
dicular al anterior y contenido en el plano vertical
definido por la varillaAG, y u1 perpendicular a los
dos anteriores.
Para el análisis del sistema se tomarán las siguientes coordenadas generalizadas:i) ϕ, ángulo
que ~OA forma con la dirección del ejeOx, ii) θ , ángulo que la varillaAG forma con el plano
horizontalOxy, y iii) ψ, ángulo que un radio fijo al disco forma con el plano verticalque
contiene a la varilla. Se pide:
a) Determinar, en función de las coordenadas y velocidadesgeneralizadas:i) la energı́a
cinética del sistema,ii) momento cinético del sistema respecto del centro de masasG,
y, iii) momento cinético del sistema respecto del origenO.
b) Plantear, aislando el disco, la ecuación de momento cin´etico respecto del centro de masas;
deducir una integral primera y las componentes del momento que la varillaAG transmite
al disco.
c) Plantear, para todo el sistema, la ecuación de momento cinético en el puntoO; deducir
una integral primera.
d) Deducir otra integral primera independiente de las anteriores y reducir el problema a
cuadraturas.
e) Plantear, aislando el disco, la ecuación de cantidad de movimiento; deducir las compo-
nentes de la reacción que la varillaAG transmite al disco.
f) Determinar el sistema de fuerzas que se transmite de una a otra varilla a través de la unión
deA.
g) Hallar la lagrangiana del sistema y deducir las ecuaciones de Lagrange para las coorde-
nadas cı́clicas.
Septiembre de 1992
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
11.3. DINÁMICA 69
Problema 11.3.3: Consideremos un plano inclinado un ángulo de 30o sobre el horizontal y
unos ejesOxy rectangulares marcados en el mismo, siendoOx la lı́nea de máxima pendiente
orientada positivamente en sentido descendente yOyuna recta horizontal.
Sobre dicho plano va a rodar y pivotar sin deslizamiento
un artilugio constituido por un eje con dos discos que gi-
ran sobre él en sus extremos. El ejeABse puede conside-
rar como una varilla de longitud 2a y masam. Los discos
extremos tienen radioa y masam. Una vista tomada per-
perdicularmente al plano inclinado está representada en
la figura adjunta.
La configuración del sistema ası́ constituido queda deter-
minada por los siguientes parámetros. Coordenadasξ , η
del centro de masas del ejeAB, ánguloθ formado porAB
con la horizontalOyy ángulos de rotaciónϕ1 y ϕ2 de los
discosD1 D2 sobre el ejeAB. En lo que sigue puede ser
interesante la consideración de un sistema de ejes móvi-
les GXY indicados en la figura, siendoGY coincidente
conAB y GX perpendicular aAB y paralelo al plano in-
clinado.
y
x
ξ
η
gsinπ/6
θ
Y
X
G
B
A
X1
Y1
X2
Y2
Supondremos que entre los discos y el plano existente en todomomento rozamiento sufi-
ciente para evitar el deslizamiento. Las reacciones tangenciales en los puntos de contacto las
denominaremosX1, Y1, X2, Y2, como están indicadas en la figura.
El sistema es abandonado a la acción de la gravedad partiendo de las siguientes condiciones
inicialesξ = η = 0, ξ̇ = η̇ = 0, ϕ̇1 =−ω, ϕ̇2 = ω
Se pide:
1. Establecer tres ligaduras que expresen el no deslizamiento de los discos sobre el plano.
La primera de ellas (1) expresará la anulación de la velocidad de los puntos de contacto
de los discos en sentido deAB y será común para ambos discos. Las otras dos (2) y (3)
expresarán la anulación de las velocidades en sentido perpendicular aABde los puntos de
contacto deD1 y D2 respectivamente. Comprobar que entre (2) y (3) se verifica lacom-
binación lineal: 2̇θ + ϕ̇1− ϕ̇2 = 0 (4) que será útil a la hora de efectuar la integración
del sistema de ecuaciones diferenciales.
2. Establecer la ecuación (5) de la cantidad de movimiento en sentidoGX.
3. Obtener el valor del momento cinético del artilugio completo enG considerando el mo-
vimiento relativo a ejes de direcciones fijas que pasan porG, si bien dicho vector se
deberá dar en componentesGXYZ.
4. Aplicar la ecuación (6) de la componenteGZ del momento cinético enG.
5. Establecer las ecuaciones (7) y (8) del momento cinéticoen el centro de cada uno de los
discos separadamente, quedándose con la componenteGY.
6. El sistema de ecuaciones (1) a (8), que tiene la ecuación (4) combinación de las (2) y (3),
nos determina los valores deξ , η, θ , ϕ1, ϕ2, X1, X2. EliminandoX1, X2 entre las (6), (7)
y (8) se obtiene una relación que comparada con la derivada de (4) permite obtener en
función del tiempo los valores deθ y deϕ1−ϕ2. Obtener estos valores.
7. EliminadoX1, X2 entre (5), (7) y (8) y combinando con las derivadas de (1) y (2)obtener
el valor deϕ1(t). Como ya se conocı́aϕ1−ϕ2 procedente del apartado 6) obtener también
ϕ2(t).
Septiembre de 1984
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
70 CAṔITULO 11. DINÁMICA DEL SÓLIDO
Problema 11.3.4: Un planoP gira alrededor del eje horizontalOx1 de un sistema de referencia
galileanoOx1y1z1 con una velocidad angular constanteω partiendo de la posición horizontal
Ox1y1. Sobre el plano rueda y pivota sin deslizar una esfera homog´enea de radioa y masam.
La posición de la esfera queda fijada mediante las distanciasξ , η del punto de contacto aOy1z1
y Ox1, y mediante los tres ángulos de Euler que definen su orientación respecto al planoP. Sea
Ixyzun triedro móvil que tiene su origen en el punto de contactoI de la esfera con el plano, el
eje Ix es una horizontal de éste y el ejeIy es una lı́nea de máxima pendiente. Un observador
ligado al planoP pretende estudiar el movimiento de la esfera, determinandolas distanciasξ ,
η en función del tiempo ası́ como las componentesp, q, r en los ejesIxyzde la velocidad de
rotación de la esfera relativa aP. Para establecer las ecuaciones de este movimiento relativo
tendrá que introducir las correspondientes fuerzas ficticias de arrastre y Coriolis que estarán
distribuidas por toda la masa de la esfera.
Se pide:
1. Reducir el sistema de fuerzas de inercia de
arrastre al puntoI , dando resultante del siste-
ma y momento enI .
2. Reducir el sistema de fuerzas de Coriolis al
puntoI .
3. Escribir las ecuaciones (1) y (2) de no desliza-
miento de la esfera sobre el plano.
4. Escribir las ecuaciones (3), (4) y (5) del mo-
mento cinético de la esfera respecto al punto
I considerando el movimiento relativo que po-
see respecto al triedroIxyz.
5. Integrar completamente el sistema (1) a (5) de-
terminando los valores deξ , η, p, q, r en fun-
ción del tiempo. Particularizar los resultados
anteriores para el caso en que se tiene inicial-
menteξ = η = 0, ξ̇ = v0, η̇ = 0, r = 0.
x1
y1
z1
ω t
O
x
y
z
b
b
η
ξ
I
ETSIA, Septiembre de 1984
Problema 11.3.5: Consideremos un disco pesado, homogéneo de masam y radio R. En el
centroM del disco hay unida rı́gidamente y perpendicular a él una varilla MN sin masa y de
longitud 2R.
El sólido ası́ formado se pone en movimiento de modo que el extremoN se apoye sobre un
plano fijo, horizontalOx1y1 y sin rozamiento.
Para el estudio del movimiento se consideran los tres sistemas de ejes siguientes:
Ox1y1z1: Sistema ortogonal que se considera fijo y
a sus versores llamaremosi,j , k.
Mx2y2z2: Sistema móvil de ejes paralelos aOx1y1z1
y de origenM.
Mx3y3z3: Sistema móvil ligado al sólido y de origen
enM. El ejeMz3 es la prolongación deNM y
los Mx3, My3 dos diámetros ortogonales.
Inicialmente el puntoN se encuentra enO(0,0,0), el M en (
√
3R,0,R) y Mx3 está en el
planoOx1z1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
11.3. DINÁMICA 71
La velocidad inicial deM valeωRj y la velocidad de rotación, también en el instante inicial,
es la suma de las dos siguientes:
ω1 = ω k sobreOz1 (11.1)
ω2 =
16g−ω2R
8ωR
(
√
3i + k) sobreMz3 (11.2)
Se elegirán como parámetros para fijar la posición del sólido las coordenadas(ξ ,η) de la
proyección deM sobreOx1y1 y los ángulos de Euler(ψ,θ ,ϕ) del sistemaMx3y3z3 respecto al
Mx2y2z2. Se pide:
1o.- Energı́a cinética del sólido en función de los parámetros que fijan su posición y de sus
derivadas respecto al tiempo.
2o.- Función de fuerzas de la que derivan las fuerzas activas.
3o.- Ecuaciones generales del movimiento.
4o.- Movimiento de M.
5o.- Integrar completamente las ecuaciones del movimiento para las condiciones iniciales da-
das.
ETSIA, Marzo de 1973
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
72 CAṔITULO 11. DINÁMICA DEL SÓLIDO
11.4. Ex́amenes recientes
Mecánica II ETSIA, Junio 2011
El sistema de la figura está formado por dos discos pesados igualesA (sólidoS2) y B (sólido
S3), de masam y radio a. Sus centros están unidos por una varillaAB, de masa despreciable
y longitud 2a, mediante cojinetes con restricción axial, de modo que susplanos permanecen
normales a la varilla, y pueden girar libremente alrededor de esta. El conjunto está apoyado
sobre el planoOx1y1 de un sistema inercial dondeOz1 es la vertical ascendente.
Todos los resultados se proyectarán en los ejesGx0y0z0 de la figura, con origen en el centro
de masas del sistema,Gx0 segúnAB, y Gz0 paralelo aOz1.
La configuración del sistema viene dada porξ y η, coordenadas enS1 de la proyección de
G; ψ, ángulo que formaGx0z0 conOx1z1; φ , ángulo girado porA respecto aGz0 y θ , ángulo
análogo paraB1
Supóngase que los dos discos ruedan y pivotansin deslizarsobreOx1y1.
1. Calcular las ecuaciones que expresan la condición cinemática de no deslizamiento en los
puntos de contacto de los discos,C y D. Razonar si son todas independientes y si se
podrán calcular todas las fuerzas de ligadura. En caso contrario indicar cuáles sı́ y cuales
no o solo en combinación con otras.2
Supóngase ahora que los dos discospueden deslizar libremente.
2. Para el sistema completo, plantear las ecuaciones de cantidad de movimiento y de mo-
mento cinético respecto al centro de masas. Compruébese que hace falta una ecuación
más.
3. Plantear otra ecuación, distinta de las anteriores, quedé directamente una integral prime-
ra. Como hay varias posibilidades, se recomienda tomar la m´as sencilla.
4. Integrar completamente el movimiento para las condiciones inicialesξ = η = ψ = θ =
φ = ξ̇ = η̇ = θ̇ = 0, ψ̇ = Ω, φ̇ = ω ent = 0. Calcular las fuerzas de ligadura.
5. Par un valor dado deΩ, calcular el valor máximo deω para que no vuelque el sistema.
x1
y1
z1
O
x0
y0
z0
b
b
G
(ξ ,η)
B
A
D
C
θ̇
ψ̇
φ̇
ψ
1Solo se tendrán en cuenta los resultados proyectados en ejesS0, y en función de las coordenadas del enunciado.
Cada respuesta tendrá que estar incluida en el apartado en que se pregunta.
2Valoración provisional: 3-4-1-1-1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
11.4. EXÁMENES RECIENTES 73
Mecánica II ETSIA, Septiembre de 2010
Se tiene una esfera homogénea pesada, de radioa y masa
mque rueda, pivota y desliza sobre un plano horizontal fi-
jo Oxy. El plano es rugoso, con coeficiente de rozamiento
al deslizamientoµ, según el modelo de Coulomb-Morin.
No hay resistencia al pivotamiento ni a la rodadura. No
actúa ninguna fuerza más que el peso y las correspon-
dientes a las ligaduras que se acaban de describir.
Para determinar la configuración cinemática de la esfe-
ra se usarán las componentes de su velocidad angular en
ejes fijos,(ωx,ωy,ωz), y las coordenadas de su centroC
en ejes fijos,(x,y,a) . No se necesita la orientación de la
esfera, ni se usará ningún parámetro de actitud. Recuérde-
se que el momento de inercia de la esfera respecto a un
eje que pasa por su centro es25ma
2.
En el instante inicial, el centro está sobre el origenO con
velocidad(ωa,0,0), y la velocidad angular es(ω,ω,0) .
Se pide:
x
y
z
b
B
C
N
Fr
ω
1. Obtener la fuerza de rozamiento en un instante genérico,en función de las incógnitas
cinemáticas y los datos del enunciado.
2. Plantear la ecuación de la cantidad de movimiento y del momento cinético enC. Com-
probar que, con lo obtenido en el apartado anterior, queda unsistema cerrado con tantas
ecuaciones como incógnitas.
3. Plantear la ecuación del momento cinético en el puntoB de contacto con el plano, y obte-
ner tres integrales primeras; calcular las constantes paralas condiciones iniciales dadas.
4. Demostrar que esta última ecuación es combinación lineal de las del segundo apartado.
5. Sustituir las integrales primeras en la ecuación de cantidad de movimiento, y comprobar
que se puede obtener una ecuación diferencial de variablesseparadas en las derivadas de
x ey.
6. Para las condiciones iniciales del enunciado, integrarla completamente, y obtener las
ecuaciones horarias deC. Identificar la trayectoria.
7. Calcular el tiempo necesario para que se anule la velocidad de deslizamiento.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
74 CAṔITULO 11. DINÁMICA DEL SÓLIDO
Mecánica II ETSIA, junio de 2010
El sistema material de la figura está formado por:
Una varillaOG3 sin masa, de longitudb, articulada mediante una rótula lisa en el origen
de coordenadasO de un sistema inercialS1. Oz1 es la vertical ascendente.
Un disco pesadoS3 de masam y radio R, normal a la varilla y fijo enG3 mediante un
cojinete liso con restricción axial que solo permite el giro alrededor deOz0.
Otro disco pesado idénticoS2, fijo en un puntoG2 de la varilla a distanciaa < b de O,
con un cojinete liso como el anterior.
Para situar los discos se usan como coordenadas generalizadas sus ángulos de precesiónψ
y nutaciónθ , y los de rotación propia de cada discoϕ2 y ϕ3. Todos los resultados vectoriales se
darán en los ejes de RésalS0 que se muestran en la figura.
Para simplificar las expresiones, los momentos principalesen O de los discos se tomarán
comoA2,A2,C2 y A3,A3,C3, pero cuando haya que usar los centrales se usará su valor real.
Todos los resultados se expresarán en función de las coordenadas generalizadas y sus derivadas.
Se pide:3
1. Obtener el potencial del sistema.
2. Razonar qué componentes de fuerzas y momentos de ligadura se transmiten entre la vari-
lla y el discoS3.
3. Determinar el momento cinético del discoS3 respecto a su centro de masasG3.
4. Obtener el momento cinético del sistema enO.
5. Obtener la energı́a cinética del sistema.
6. Usando los métodos de la mecánica de Newton-Euler, deducir razonadamente cuatro in-
tegrales primeras y calcular su valor.
7. [Esta pregunta es voluntaria, y puede servir para mejorarla nota general] Plantear una
ecuación diferencial que determineθ̈ , y en la que no intervengan incógnitas de ligadura.
Si se lanza el sistema con unas condiciones inicialesθ0, ψ̇0, (ϕ̇2)0, (ϕ̇3)0 y θ̇0= 0, deducir
la relación que tienen que cumplir estos valores para que elmovimiento sea estacionario
(θ̈ = 0).
x1
y1
z1
θ
θ
bO
ϕ2
G2 b
ϕ3
G3 b
x0
y0
z0
ψ
3Valoración provisional de los apartados: 1-1-1-2-1-4-(+)
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
11.4. EXÁMENES RECIENTES 75
Mecánica II ETSIA, junio de 2007
SeaO1x1y1z1 un sistema de referencia inercial tal queO1z1 es vertical ascendente. El sistema
material de la figura está formado por dos sólidos: el sólido 3 es un marco cuadradoABCD
de lado 2a, con el ejeEF en el centro; su masa es despreciable. En el centroG del ejeEF
se coloca el sólido 2, un discode masam y radio R. Está fijo mediante un cojinete liso con
restricción axial, de modo que sólo puede girar libremente alrededor deEF, manteniéndose
siempre perpendicular a él.
El ladoABdel marco se apoya siempre sobre el planoOx1y1 sin rozamiento.
La única fuerza directamente aplicada sobre el sistema es el peso del disco.
Para definir la posición del sistema material respecto a la referenciaO1x1y1z1 se usan las
cinco coordenadas generalizadas siguientes:ξ y η, coordenadasx1 ey1 del puntoG; ψ, ángulo
que el ladoAB forma con el ejeO1x1; θ , ángulo que el ejeEF forma con la vertical;ϕ, ángulo
definido entre un radio del disco y la dirección del ladoAB del cuadrado.
Para el estudio del movimiento del sistema, se pide:
a) Obtener, en función de las coordenadas generalizadas y sus derivadas, la expresión del
momento cinético del sistema respecto a su centro de masasG. Puede ser convenien-
te trabajar en los ejesS3 de la figura. Obtener la expresión de la energı́a cinética en el
movimiento absoluto.
b) Indicar qué componentes no nulas tienen la resultante y el momento del sistema de reac-
ciones de contacto del planoO1x1y1 sobre el ladoAB del marco; hacer lo mismo para el
sistema de reacciones de contacto del marco sobre el disco.
c) Utilizando los métodos de la mecánica newtoniana, plantear razonadamente cinco ecua-
ciones de la dinámica donde sólo aparezcan como incógnitas las coordenadas generali-
zadas y sus derivadas. Estudiar cuántas dan lugar a integrales primeras. Dejar reducido a
cuadraturas el cálculo deθ(t)
d) Determinar cuánto tienen que valer en el instante inicial los ángulos y sus derivadas para
que el ejeEF se mantenga siempre vertical.
x1
y1
z1
b
θ
ψ
x3
y3
z3
ϕ̇
A
F
B
G
(ξ ,η)
C
E
D
O1
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica