AyA - APU - ETSIA - Aerodinámica II - Beneyto

Vista previa del material en texto

Escuela Técnica Superior de Ingenieros 
Aeronáuticos 
 
 
Aerodinámica II 
 
 
 
 
 
Curso 2012-2013 
Jaime Beneyto Gómez de Barreda 
 
jaimebeneyto@gmail.com 
Asignatura: AERODINAMICA II Código: 4141 
Curso 4 Nº de Créditos 6 Tipo: Prácticas (laboratorio, taller, etc.): NO 
 Semestre 1 Horas Semanales 4 
 
• PERFILES AERODINÁMICOS EN RÉGIMEN TRANSÓNICO. 
Fenómenos físicos. Números de Mach crítico y de divergencia de fuerzas. Cálculo de los números de 
Mach de divergencia de sustentación y de resistencia. Perfiles con distribución de presiones picuda, con 
borde de salida grueso y con sustentación retrasada. 
 
• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE CUERPOS ESBELTOS. 
Linealización del problema. Campo próximo y campo lejano. Empalme de las soluciones. 
 
• FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS. 
Formula de Ward. Campo axial y campo cruzado. Ejemplos de aplicación. Teoría de alas esbeltas. 
Soluciones para pequeños espesores y curvaturas. 
 
• FUERZAS LONGITUDINALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS. 
Cálculo de la resistencia de onda. Regla del área en régimen transónico. Optimización de la resistencia de 
onda. Regla del área de Hayes. 
 
• TEORÍA POTENCIAL (PEQUEÑAS PERTURBACIONES) DE CUERPOS ESBELTOS EN RÉGIMEN 
TRANSÓNICO. 
Planteamiento del problema. Campo próximo y campo lejano. Regiones de validez. Escalas. Regla de 
semejanza transónica. 
 
• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN INCOMPRESIBLE. 
Problema simétrico y sustentador. Límites de la formulación del problema sustentador para alargamientos 
grandes y para alargamientos pequeños. Teoría del plano de Trefftz. 
 
• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN SUPERSÓNICO. 
Manantial supersónico. Formula de Evvard. Formula de Evvard-Krasilshchilova. Solución para puntos 
influidos por un borde de salida subsónico. 
 
• ENTRADA EN PÉRDIDA Y COEFICIENTE DE SUSTENTACIÓN MÁXIMO DE ALAS A BAJAS 
VELOCIDADES. 
Entrada en pérdida tridimensional. Utilización de la información obtenida en régimen bidimensional. 
Influencia de la flecha en el comportamiento de la capa límite. Tipos de entrada en pérdida. Coeficiente 
de sustentación máximo. Efectos de los parámetros de forma, de los números de Reynolds y de Mach. 
Estabilidad del ala durante la entrada en pérdida. 
 
• AERODINÁMICA EXPERIMENTAL. 
Ensayos en túnel aerodinámico. Tipos de túneles. Leyes de semejanza. Tipos de medidas. 
Instrumentación. Visualización del flujo alrededor de un cuerpo. 
 
• MÉTODOS DE PREDICCIÓN DE LA RESISTENCIA AERODINÁMICA. 
Clasificación. Coeficientes de fricción. Efecto de la compresibilidad. Resistencias inducida y de onda. 
Factor de eficiencia. Resistencia de componentes. Resistencia de interferencia. 
Curso 09/10 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
• H. Ashley, M. Landahl. “Aerodynamics of Wings and Bodies”. Dover. 1985. 
• J. Katz y A. Plotkin. “Low-Speed Aerodynamics: from wing theory to panel methods”. Mc Graw-Hill. 1991. 
• R.T. Jones y D. Cohen. “High Speed Wing Theory”. Princeton University Press. 1960. 
• AGARD CP-124 “Aerodynamic drag”, 1973. 
• ESDU Data Sheets. 
 
 
Curso 09/10 
Asignatura(s) soporte(s): MECANICA DE FLUIDOS II 
AERODINAMICA I 
OPTATIVA (A1) 
 
Capítulo 3 51
CAPITULO 3 
 
TEORIA POTENCIAL LINEALIZADA DE CUERPOS ESBELTOS 
 
3.1. INTRODUCCION 
 
Un cuerpo esbelto está caracterizado geométricamente por el hecho de que las dimensiones 
máximas medidas paralelamente a los ejes y y z, son mucho menores que la dimensión máxima 
medida paralelamente al eje x. En otras palabras, a lo largo del cuerpo, de longitud l, la variable 
x varía entre cero y l, mientras que las variables y y z varían entre cero y valores del orden de 
εl (con ε <<1), tal como se esquematiza en la figura 3.1. 
 
U∞
z 
y 
x 
 
Fig. 3.1. Geometría de un cuerpo esbelto. 
 
Esta particularidad permite abordar el estudio del movimiento fluido alrededor de un cuerpo 
esbelto dividiendo el dominio fluido en dos regiones, una próxima al cuerpo o interior, en la que, 
como se verá, la solución obedece a una formulación similar a la obtenida para el movimiento 
bidimensional incompresible, y otra lejana o exterior, en la que la solución es axilsimétrica. 
Obviamente, existe una región intermedia donde han de coexistir ambas soluciones. Esta 
descomposición en dos zonas simplifica notablemente la resolución del problema en cada una de 
ellas. 
 
3.2. CUERPOS ESBELTOS AXILSIMÉTRICOS 
 
Se analizará en primer lugar el flujo alrededor de un cuerpo esbelto de revolución cuando, 
además, la corriente incidente no perturbada es paralela al eje de revolución del cuerpo. En este 
caso el cuerpo no sustentará y el flujo será axilsimétrico. Se empieza estudiando este caso 
simplificado para obtener con mayor facilidad el orden de magnitud de la perturbación 
introducida por el cuerpo esbelto. 
 
Para aprovechar la simetría de revolución se utiliza un sistema de coordenadas polares (x, r, θ) 
de forma que la el eje x es paralelo a la corriente incidente no perturbada. En dicho sistema de 
referencia la ecuación del cuerpo esbelto se puede escribir 
 
 ( ) ( ) ( ), 1, , 0c c cr r x R x R x l x lε ε= = ≤∼ ≤ 
 
dónde c ( )R x es una función tal que sus derivadas son de orden unidad y a la que se denominará 
como la forma dilatada del cuerpo esbelto. 
 
Como se comprobará más adelante, en el caso de los cuerpos esbeltos se obtiene una 
perturbación (efecto) de distinto orden que el de la causa, y no basta con hacer un desarrollo de 
 
 
 Capítulo 3 52 
perturbaciones regulares para obtener la solución linealizada, siendo necesario realizar un 
acoplamiento de desarrollos asintóticos. Se hará un desarrollo asintótico para el campo próximo 
al cuerpo, campo interior, y otro para el campo lejano, campo exterior. El primero debe cumplir 
con la condición de contorno sobre el cuerpo mientras que el segundo debe cumplir con la 
condición de contorno en el infinito, debiendo finalmente acoplarse ambos desarrollos en una 
zona de validez común. 
 
La ecuación diferencial del potencial de velocidades (la ecuación general, escrita en coordenadas 
cilíndricas, y con θ∂ ∂ =0) es: 
 
 ( ) ( )
2
2 2 2 2 2x xx r rr r x r xr
aa a
r
− Φ Φ + − Φ Φ + Φ − Φ Φ Φ = 0 (3.1) 
 
siendo la condición de contorno sobre el cuerpo 
 
 ( )d en
d
cr
c
x
r r r x
x
Φ
= =
Φ
 (3.2) 
 
y la condición de contorno en el infinito 
 
 . (3.3) enU x x∞Φ → → −∞
 
Finalmente la velocidad del sonido local viene dada por la ecuación de Euler-Bernoulli: 
 
 2 2 2 2 21
2 x r
a a Uγ∞
− ⎡= − Φ + Φ −⎣ ∞ ⎤⎦ . (3.4) 
 
Se tomará un desarrollo asintótico para el campo interior, que se denota con el superíndice i, y 
otro para el campo exterior, que se denota con el superíndice o, de la forma 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
1 2
2
1 2
, , 0
, , 0
i i i
o o o
U x x R x R
U x x r x r 3
εϕ ε ϕ ε
εϕ ε ϕ
∞
∞
Φ = + + +
Φ = + + + ε
 
 
dónde para estudiar la zona cercana al cuerpo se ha dilatado la variable radial R r ε= de forma 
que las variaciones de la variable R serán de orden l, el mismo que las variaciones en la variable 
x al movernos sobre el cuerpo esbelto. 
 
Para el caso en que el cuerpo esbelto sea una aguja alineada con la corriente incidente, ε=0, debe 
cumplirse , y como ( )
0
lim , 0ir x rε → Φ =
 
 ( ) ( ) ( )21 2, , 0
i i
i i
R Rx R x Rr R
ϕ εϕ ε
ε
∂Φ ∂Φ
= = + +
∂ ∂
 
 
será y por tanto ( )1 ,iR x Rϕ = 0 ( )1 1i g xϕ = 
 
 
Capítulo 3 53
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
1 2
2
1 2
, 0
, , 0
i i
o o o
U x g x x R
U x x r x r
ε ε ϕ ε
3εϕ ε ϕ
∞
∞
Φ = + + +
Φ = + + + ε
 (3.5) 
 
3.2.1. Campo interior 
 
Escribiendo las ecuaciones (3.1) y (3.4) en términos de las variables próximas, introduciendo el 
desarrollo en serie de potencias (3.5) y despreciando términos de orden superior se tiene: 
 
 
 2 2
1 0i iRR RR
ϕ ϕ+ = . (3.6) 
 
Asimismo la condición de contorno expresada por la ecuación (3.2) se aplica al campo interior y 
se escribe en función de las variables interiores como sigue 
 
 
( )( )2 , d
d
i
R c c
x R x RU x
ϕ
∞
= . (3.7) 
 
Se observa que falta una condición de contorno en el infinito, R→∞, para el campo próximo y 
una condición de contorno en r→0 para el campo lejano, estas condiciones se imponen forzando 
el acoplamiento de las soluciones interior y exterior. 
 
La solución de las ecuaciones (3.6) y (3.7) es 
 
 ( ) ( )2 2, lni c cx R U R R R g xϕ ∞ ′= + 
 
dónde ( )2g x es la constante de integración. La expresión del desarrollo asintótico para el campo 
interior se puede escribir finalmente 
 
 ( ) ( )( ) ( )21 2ln 0i c cU x g x U R R R g x 3ε ε∞ ∞ ′Φ = + + + + ε (3.8) 
 
3.2.2. Acoplamiento de las soluciones interior y exterior 
 
Se realiza el acoplamiento forzando que la velocidad radial en la zona más alejada del campo 
próximo sean igual a la velocidad radial en la zona más interior del campo lejano usando las 
expresiones de los desarrollos asintóticos 
 
 
( ) ( )
( )
2
1 2
2 2
2
, , ...
, ... ...
o o o
r r r
i i c c
r r
x r x r
R Rx R U
r
εϕ ε ϕ
ε ϕ ε ∞
⎫Φ = + +
⎪
⎬′
Φ = + = + ⎪
⎭
 (3.9) 
 
se obtienen las condiciones de contorno para los términos del desarrollo de en r→0 oΦ
 
 
 
 Capítulo 3 54 
 
( )
( )
10
20
lim , 0
lim ,
o
rr
o c c
rr
x r
R Rx r U
r
ϕ
ϕ
→
∞→
=
′
=
 (3.10) 
 
que junto a las condiciones de contorno en el infinito cierran el problema del campo exterior 
 
 (3.11) 
1 1
2 2
lim 0 lim 0
lim 0 lim 0
o o
rx x
o
r xx x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞
= =
= =
x
o
 
Introduciendo el desarrollo asintótico del campo exterior en la ecuación (3.1) y reteniendo el 
término de primer orden se obtiene la ecuación diferencial 
 
 ( )2 1 1 111 0o o oxx r rrM rϕ ϕ ϕ∞− + + = , 
 
que junto a las condiciones de contorno (3.10) y (3.11) nos proporciona la solución de primer 
orden del campo exterior . 1 0
oϕ =
 
Finalmente, haciendo el acoplamiento de los potenciales interior y exterior se obtiene ( )1 0g x = 
y los potenciales son 
 
 
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
2 3
2
2 20
ln 0
, 0
con lim , ln ln
i
c c
o o
o
c c c cr
U x U R R R g x
U x x r
g x x r U R R r U R R
ε ε
ε ϕ ε
ϕ ε
∞ ∞
∞
∞ ∞→
′Φ = + + +
Φ = + +
⎡ ⎤′ ′= − +
⎣ ⎦
. (3.12) 
 
Una vez obtenido el orden de la perturbación puede definirse el potencial de perturbación del 
campo interior 2 2
i iϕ ε ϕ= , y del campo exterior 2 2
o oϕ ε ϕ= , volviendo a las variables físicas, 
para obtener 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
0
d, ln ;
2 d
dcon lim , ln
2π d
i c
o c
r
sUx r r g x M
x
sUg x x r r
x
ϕ
π
ϕ
∞
∞
∞
→
= +
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
 (3.13) 
 
dónde se ha tenido en cuenta que 
 
 d d2π
d d
c c
c
s rr
x x
= . 
 
El primer término del potencial de perturbación interior representa un manantial bidimensional 
incompresible en el plano transversal, cuya intensidad depende de la variación del área 
transversal del cuerpo esbelto. En el segundo término se encuentra la dependencia de la solución 
del número de Mach, y como se verá más adelante en dicho término influye la forma de todo el 
cuerpo esbelto. 
 
Capítulo 3 55
 
3.2.3. Campo exterior 
 
La ecuación diferencial y condiciones de contorno para el término del potencial de perturbación 
del campo exterior son 
 
 
( )
( )
2
0
0
11 0
dlim
2π d
lim 0
lim 0
o o o
xx r rr
o c
r c cr
o
rr
o
xr
M
r
sUr U r r
x
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∞
∞
∞→
→∞
→
− + + =
⎧ ′= =⎪
⎪⎪ =⎨
⎪
=⎪
⎪⎩
 (3.14) 
 
dónde sc(x) es el área de la sección transversal del cuerpo esbelto. 
 
La solución de este problema puede obtenerse fácilmente mediante la superposición de 
manantiales de intensidad ( )f x por unidad de longitud a lo largo del eje x 
 
( )
[ ]
,
2 2 2 2 2
0 0
Distribución de manantiales subsónicos Distribuc
 de intensidad a lo largo del eje
 de revolución, 0,
1 ( ) 1 ( )( , ) ó 
4 2( ) ( )
l x rl
o
f x
x l
f d f dx r
2x r x
βξ ξ ξ ξϕ
π πξ β ξ β
−
∈
= − −
− + − −
∫ ∫
( )
[ ]
ión de manantiales supersónicos 
 de intensidad a lo largo del eje de 
 revolución, 0,
f x
x l∈
r
 (3.15) 
 
dónde 2 1 2Mβ ∞= − . La intensidad de los manantiales debe ser tal que cumpla con la condición 
de contorno para , por tanto será 0r → ( ) ( )cf x U s x∞ ′= . 
 
Introduciendo la solución del campo exterior en la expresión para ( )g x dada por la ecuación 
(3.13) se obtiene la solución completa para el campo interior. Para ello se debe desarrollar la 
expresión del potencial exterior para , lo haremos escribiendo r = εR con R≈l y haciendo 
el límite de las expresiones cuando ε → 0. Hay que tener presente que dichas expresiones 
contienen una singularidad cuando r → 0 (inevitablemente el valor de ξ coincidirá, en un punto, 
con el de x) y hay que manejar esta singularidad analíticamente. 
0r →
 
3.2.3.1. Caso subsónico 
 
En el caso subsónico, M∞ < 1, se tiene: 
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
( )d d ( ) ( )( ) d
( ) ( ) ( )
l l l
f ff x
x r x r x r
ξ ξ ξ ξx f ξ
ξ β ξ β ξ β
−
= −
− + − + − +∫ ∫ ∫ . 
 
El primer sumando del segundo miembro es integrable analíticamente, mientras que el segundo 
sumando no es singular cuando r = εR → 0 (cuando x − ξ → 0 también lo hace f(x) − f(ξ)). 
Integrando el primer sumando resulta: 
 
 
 
 Capítulo 3 56 
 
2
2 2 2 2
0 0
0
ln 1
( )
1
l
l l
xd
rd x
r rx r x
r
ξ
βξ ξ
β βξ β ξ
β
⎛ ⎞−
x ξ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎛ ⎞− −⎝ ⎠ ⎢ ⎥= − = − + +⎜ ⎟⎢ ⎥− + ⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎣ ⎦+⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ , 
 
de modo que el potencial de perturbación vale: 
 
 
2
2 2 2 2 2 2 2
0 0
1 1
( )d ( ) ( )( ) ln ln d
( ) ( )
1 1
l l
r
l xf fl xf x
xx r x rr
x
β
ξ ξ ξx f ξ
ξ β ξ ββ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎜ ⎟−⎢ ⎥ −⎝ ⎠−= − + −⎢ ⎥
− + − +⎢ ⎥⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ . 
 
Para estudiar el comportamiento de esta expresión cuando r ∼ εR, se desarrolla en serie esta 
última expresión y, teniendo en cuenta que 
 
 
2 2
411 1
2
R R
l x l x
βε βε 0( )ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 . 
 
 1 1 2
2
2+ 0FHG
I
KJ + = +
βε εR
x
( ) , 
 
si se desprecian términos de orden superior se obtiene 
 
 2
2 2 2
0 0
( )d ( ) ( )2 ( ) ln ln ln d 0( )
2 ( )( )
l lf ff x R
xx l xx r
ξ ξ β ξx fε ξ ε
ξξ β
⎡ ⎤ −
= − + + − +⎢ ⎥
−−− + ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
introduciendo esta expresión en la ecuación (3.15) se obtiene en función de las variables físicas 
 
( )
2 2 20
0 0
( )d ( ) ( ) ( )lim , ln ln d ...
4π 2π 4π2 ( )( )
l l
o c c c c
r
s U s x s x sU Ur x r
xx l xx r
ξ ξ ξβϕ ξ
ξξ β
∞∞ ∞
→
′ ′ ′ ′⎡ ⎤ −
= − = + + +⎢ ⎥
−−− + ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
 
y por tanto con (3.13) 
 
 
2
0
d ( )( ) ln d
4 d 4 ( ) 4π
l
c cs s xU Ug x
x x l x x
ξβ ( )cs ξ
π ξ
∞ ∞
′ ′−
= +
− −∫ . (3.16) 
 
Integrando por partes en la expresión anterior y suponiendo sc’(0) = sc’(l) = 0 se tiene 
 
 ( ) ( )
0
( )( ) ln ( ) ln d ( ) ln d
2 2 4 4
x l
c
c c
x
U s x U Ug x s x s xβ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
π π π
∞ ∞ ∞
′
′′ ′′= − − + −∫ ∫ 
 
 
3.2.3.2. Caso supersónico 
 
Capítulo 3 57
 
Si el cuerpo esbelto vuela en régimen supersónico, M∞ > 1, se tiene: 
 
 
,
2 2
0
1 ( )d( , )
2π ( )
l x r
o fx r
2x r
β ξ ξϕ
ξ β
−
= −
− −
∫ 
 
donde ahora es . Utilizando el mismo procedimiento que en el caso subsónico se 
desarrolla la integral en potencias de ε 
β 2 2 1= −∞M
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
( )d d ( ) ( )( ) d
( ) ( ) ( )
x r x r x rf ff x
x r x r x r
β β βξ ξ ξ ξx f ξ
ξ β ξ β ξ β
− − − −
= −
− − − − − −
∫ ∫ ∫ , 
 
(hay que observar que el límite superior es siempre x−βr porque estamos considerando ahora 
puntos en los que 0 < x < l), 
 
 
2
2 2 2 2
0 0
0
d
d ln 1
( )
1
x r
x r x r
x
x xr
r rx r x
r
β
β β
ξ
ξ ξβ
β βξ β ξ
β
−
− − ξ
−
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥= − = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎣ ⎦−⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ , 
 
de modo que el potencial de velocidades de perturbación será 
 
 
2
2 2 2 2 2 2
0 0
( )d ( ) ( )( ) ln ln 1 1 d
( ) ( )
x r x r
f rxf x
r xx r x r
β β
ξ ξ β ξf x f ξ
βξ β ξ β
− −⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠− − − −⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ 
 
y haciendo r = εR, teniendo en cuenta que 
 
 1 1 2 0
2
2+ − FHG
I
KJ = +
βε εR
x
( ) 
 
se tiene finalmente, para ε→0, 
 
 
,
2 2 2
0 0
( )d d ( ) ( )1( , ) ln ln d ...
2π 2π d 2 2π( )
l x r x
o c c c cU s s s x sU Ux r rx x xx r
β ξ ξ ξβϕ ξ
ξξ β
−
∞ ∞ ∞
′ ′ −⎡ ⎤= − = + + +⎢ ⎥ −⎣ ⎦− −
∫ ∫
′
 
 
y por tanto con (3.13) 
 
 ( )
0
( ) ( ) ( )ln d
2π 2 2π
x
c cU s x s x sUg x
x x
ξβ c ξ
ξ
∞ ∞
′ ′ −
= +
−∫
′
 (3.17) 
 
Integrando por partes en la expresión anterior y suponiendo (0) 0cs ′ = , se tiene 
 
 
 
 Capítulo 3 58 
 ( ) ( )
0
( ) ln ( ) ln d
2π 2 2π
x
c
c
U s x Ug x s xβ ξ ξ ξ∞ ∞
′
′′= + −∫ 
 
Por tanto, tan sólo conociendo sc(x) es posible calcular f(x) y g(x). Hay que observar que g(x) 
tiene singularidades aparentes tanto en el caso subsónico como en el supersónico. 
 
Caso subsónico 
 
1. Existe una singularidad en x = 0 en el término f(x)lnx, siempre que f(0) ≠ 0, o lo que es lo 
mismo sc´(0) ≠ 0. Para cuerpos de revolución dsc/dx = 0 equivale a rc(x)drc/dx = 0, que se 
cumple en x = 0 siempre que el cuerpo no sea romo (fig. 3.2a). Esta condición debe cumplirse 
además para que los desarrollos asintóticos hechos sean válidos. 
 
2. Existe una singularidad en x = l dada por el término f(x)ln(l−x) siempre que f(l) ≠ 0, es decir, 
sc´(l) ≠ 0 (fig. 3.2b). 
 
Estas singularidades en g(x) no afectarán al cálculo (capítulo 4) de las fuerzas transversales ya 
que no dependen de esta función. 
 
Caso supersónico 
 
Existe una singularidad en x = 0 en el término f(x)lnx del mismo tipo que la vista en el caso 
subsónico. La singularidad en x = l no aparece. 
 
 
 
 
a b 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.2. Análisis de las singularidades de la solución. 
 
 
3.2.4. Coeficiente de presión sobre el cuerpo 
 
El coeficiente de presión sobre el obstáculo se obtiene introduciendo el desarrollo del potencial 
interior en la ecuación (3.4) y siguiendo un procedimiento análogo al utilizado para obtener la 
expresión para Cp en la teoría potencial linealizada de alas, obteniéndose finalmente: 
 
 
( )2
2
2
2
1
2
ii
rx
p
p pC
U UU
ϕϕ
ρ
∞
∞ ∞
∞ ∞
⎡ ⎤− ⎢ ⎥= = − +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 . 
 
 
 
Capítulo 3 59
3.3. CUERPOS ESBELTOS NO AXILSIMÉTRICOS 
 
Para estudiar el campo de velocidades en las proximidades del obstáculo utilizaremos 
coordenadas cartesianas de forma que el eje x sea paralelo a la corriente incidente no perturbada. 
La ecuación de la superficie del cuerpo en dicho sistema de referencia se puede escribir en la 
forma , siendo las dimensiones del cuerpo esbelto en las direcciones y, z mucho 
menores que la dimensión en la dirección x, y utilizando la longitud del cuerpo esbelto como 
longitud característica se tiene 
( ), , 0F x y z =
 
 , 1x l y z lε ε∼ ∼ . 
 
De forma análoga a lo hecho en el caso de cuerpos esbeltos de revolución, se buscará un 
desarrollo en serie del parámetro ε para obtener la aproximación de primer orden a la solución. 
 
La ecuación diferencial para el potencial de velocidades es: 
 
 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2x xx y yy z zz x y xy x z xz y z yza a a− Φ Φ + − Φ Φ + − Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ = 0 
 (3.18) 
 
siendo la condición de contorno sobre el cuerpo 
 
 (3.19) 0F∇Φ ⋅∇ =
 
y la condición de contorno en el infinito 
 
 . (3.20) enU x x∞Φ → → −∞
 
La velocidad del sonido local viene dada por la ecuación de Euler-Bernoulli: 
 
 2 2 2 2 2 21
2 x y z
a a Uγ∞
−
∞⎡ ⎤= − Φ + Φ + Φ −⎣ ⎦ . (3.21) 
 
Teniendo en cuenta el resultado obtenido en el caso de cuerpos esbeltos de revolución, parece 
lógico que el primer término no nulo para el desarrollo asintótico del campo interior sea de la 
forma 
 
 ( ) ( )2 2 , , 0i iU x x Y Z 3ε ϕ∞Φ = + + ε (3.22) 
 
siendo Y = y/ε, Z = z/ε las variables próximas definidas de forma que su variación en el campo 
interior sea de orden l. Esto será cierto siempre que la forma del cuerpo varíe "suavemente" con 
x, Y, y Z. 
 
3.3.1. Campo interior 
 
Escribiendo las ecuaciones (3.18) y (3.21) en términos de las variables próximas se tiene: 
 
 
 
 Capítulo 3 60 
 ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
Y YY Z ZZ
x xxa a a
ε ε ε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ Φ Φ Φ
− Φ Φ + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 2 2 4
2 2 2 0x Y xY x Z xZ Y Z YZ
ε ε ε
− Φ Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ = , (3.23) 
 
 
2 2
2 2 2 2
2 2
1
2
Y Z
xa a U
γ
ε ε
∞ ∞
⎡ ⎤Φ Φ−
= − Φ + + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 . (3.24) 
 
Introduciendo en las ecuaciones anteriores el desarrollo en serie de potencias (3.22) se obtiene la 
ecuación diferencial que debe cumplir el primer término del desarrollo 
 
 (3.25) 2 2 0
i i
YY ZZϕ ϕ+ =
 
La ecuación obtenida indica que el campo próximo está gobernado por la ecuación 
bidimensional de Laplace, en la que no aparece M∞. Esta peculiaridad indica que el campo 
próximo de un cuerpo esbelto es muy independiente del régimen de vuelo (sea subsónico o 
supersónico). Obsérvese que lo que en realidad diferencia esta ecuación de la que se obtiene en 
la teoría linealizada de alas es que aquí ha desaparecido el término ( )1 2− ∞M xxϕ debido a que las 
otras dos derivadas (respecto de y y z) son mucho mayores. Otra manera de que dicho término no 
apareciese sería que M∞ estuviese muy próximo a la unidad (régimen transónico). Todo esto 
indica que los cuerpos esbeltos están especialmente bien adaptados para el vuelo en transónico 
ya que el campo próximo es insensible al número de Mach (sólo hasta cierto punto, ya que, 
como se verá posteriormente, y cómo ocurría en el caso axilsimétrico, aparece en la solución una 
función g(x) que sí depende de M∞) y no se producirán cambios bruscos en el flujo al pasar por 
la zona transónica. 
 
Una vez impuestas las condiciones de contorno, será posible encontrar la solución salvo una 
función aditiva g(x) que depende del campo lejano (puesto que en la ecuación no aparecen 
derivadas con respecto a x), pero que no va a influir ni en las fuerzas transversales ni en los 
momentos de tales fuerzas, puesto que provocará el mismo cambio de presión en todos los 
puntos de una sección dada. 
 
No se necesita la expresión (3.24) para calcular el potencial de velocidades, al menos en primera 
aproximación; sí se necesita en cambio, para calcular el campo de presión. Por ahora no es 
posible saber cuál de los términos entre corchetes es dominante en dicha expresión (de hecho, se 
comprueba posteriormente que ambos resultan ser del mismo orden). 
 
Para completar la formulación del campo interior es preciso establecer las condiciones de 
contorno sobre el obstáculo que, para el potencial de perturbación escrito en variables interiores 
y despreciando términos de orden superior, se convierte en: 
 
 . 2 2 0
i i
x Y Y Z ZU F F Fϕ ϕ∞ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ =
 
Se considera en cada punto de la superficie un sistema de coordenadas local x, N, Σ, tal que N es 
la dirección de la normal exterior a la intersección de la pared del obstáculo con planos x = cte 
 
Capítulo 3 61
(que, en general, no coincide con la normal a la superficie), Σ es tangente a las curvas 
intersección de la pared con planos x = cte. (figura 3.3). Sobre la superficie FΣ = 0, por lo tanto: 
 
 , 2 0
i
x N NU F Fϕ∞ + =
 
 
 
 
Fig. 3.3. Definición del sistema de coordenadas x,N,Σ. 
 
 2
d
d
i
N x cF N
x
=
NU F
ϕ
∞
= −
), ,i
 (3.26) 
 
donde N = Nc(x) describe la curva intersección de la superficie del cuerpo con el plano Σ=0, 
como se muestra en la figura 3.3. La expresión (3.26) recuerda a la que se obtuvo al desarrollar 
la teoría potencial linealizada de alas. Allí zp jugaba el papel que en este caso juega Nc. 
 
Nótese que, contrariamente a lo que se hizo en el caso de los perfiles y alas delgados, no está 
justificado transferir las condiciones de contorno al esqueleto (la aguja) debido a que la solución 
es más “singular” en el esqueleto (aparece un manantial y no una distribución superficial de 
ellos). 
 
Dado que en la solución del campo próximo aparece una función aditiva g(x) que depende del 
campo alejado, antes de seguir conviene analizar el comportamiento del campo próximo a gran 
distancia. 
 
No se puede esperar que la solución del problema del campo próximo valga muy lejos del 
obstáculo, puesto que las ecuaciones correspondientes se han obtenido suponiendo que tanto y 
como z son del orden de ε (estamos muy cerca del cuerpo).Además, hay que observar que en la 
ecuación diferencial han desaparecido todas las derivadas con respecto a x, llegándose a una 
ecuación degenerada. En alguna región del campo deberán reaparecer términos que contengan 
derivadas con respecto a x. Para analizar cómo se comporta la solución interior para valores 
grandes de Y y de Z (que no significa necesariamente valores grandes de y = εY y z = εZ), hay 
que tener en cuenta que 2 ( x Y Zϕ , la expresión del potencial de perturbación válida en el 
campo próximo, es solución de la ecuación bidimensional de Laplace y, por tanto, se puede 
obtener una solución formal empleando el teorema de Green en dos dimensiones como se hizo 
en teoría de paneles 
 
ϕN
ϕ Y
ϕZ
U∞
Σ = 0 
tan−1(dNc/dx) 
FY
F ϕN N
FZ
Z 
Y x = cte 
 
 
 Capítulo 3 62 
 ( )2 2 2
1 ln d
2π
i i i
N 2R g xN σ σ
ϕ ϕ ϕ Σ∂⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (3.27) 
 
dónde el subíndice σ indica que la variable se evalúa sobre la superficie del cuerpo, y siendo 
 
 ( ) ( )2 2R Y Y Z Zσ σ= − + − σ . 
 
Para obtener el comportamiento del potencial dado por la ecuación (3.27) lejos del cuerpo (Y2 + 
Z2 → ∞) conviene recordar que el segundo término de la integral corresponde a dobletes sobre el 
contorno del cuerpo y que su contribución al potencial lejano es despreciable frente al primer 
término del integrando, que representa manantiales situados sobre el contorno del cuerpo. Con 
esto se puede escribir el comportamiento lejano del campo interior como 
 
 ( )2 2
1lim ln d
2π
i i
NR 2
R g xσϕ ϕ Σ→∞ = ∫ + (3.28) 
 
esta expresión representa un manantial bidimensional situado en el origen del sistema de 
referencia y de intensidad la suma de las intensidades de los manantiales distribuidos sobre la 
superficie de la sección del cuerpo. Para calcular la intensidad del manantial sólo se requiere el 
valor de 2
i
Nϕ sobre la superficie de la sección, que es conocida sobre el contorno del cuerpo, 
ecuación (3.26), por tanto 
 
 2
d dd d
d d
i c c
N
N SU U
x xσ σ
ϕ Σ Σ∞ ∞= =∫ ∫ 
 
En resumen, a gran distancia del cuerpo esbelto será: 
 
 ( ) 2 22 2
dlim ( , , ) ln , donde 
2π d
i c
R
SU 2x Y Z R g x R Y Z
x
ϕ ∞
→∞
= + = + , 
 
que es la expresión matemática del llamado principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune, que 
establece que: 
 
a) El campo alejado de un cuerpo esbelto es axisimétrico e idéntico al que produciría un cuerpo 
de revolución con la misma ley de áreas Sc(x) (cuerpo esbelto de revolución equivalente). 
 
b) En el campo próximo la corriente alrededor del cuerpo dado difiere de la del cuerpo de 
revolución equivalente en un término que representa un campo bidimensional incompresible. 
 
Hay que recordar, una vez más, que en la primera aproximación del problema interior (campo 
próximo) la variable x aparece como parámetro y no como variable independiente. A la solución 
obtenida para 2
iϕ (x,Y,Z) ha habido que sumarle una función ( )2g x que coincide con la calculada 
en el caso axilsimétrico. 
 
En resumen, definiendo el potencial de perturbación del campo interior como se hizo en el caso 
axilsimétrico 2 2
i iϕ ε ϕ= , el potencial de velocidades obedece al desarrollo Φ(x,Y,Z) = U∞x + 
( , ,i )x Y Zϕ , y las ecuaciones y condiciones de contorno correspondientes al potencial de 
perturbación del campo interior son: 
 
Capítulo 3 63
 
Ecuación diferencial para el potencial de perturbación: 
 
 . 0
i i
YY ZZϕ ϕ+ =
 
Condiciones de contorno: 
 
 1) En la superficie del obstáculo: d
d
i
n cn
U x
ϕ
∞
= 
 
 2) Lejos del cuerpo ( )R Y Z= + → ∞2 2 : d( , , ) ( , ) ln ( )
2π d
i i csUx Y Z x r r g x
x
ϕ ϕ ∞→ = + 
 
dónde , y la relación entre ( ) ( )c cn x N xε= ( )g x y ( )2g x es fácil de obtener. 
 
El coeficiente de presión sobre el obstáculo se obtiene de la ecuación (3.24) siguiendo un 
procedimiento análogo al utilizado al obtener la expresión para Cp en la teoría potencial 
linealizada de alas, obteniéndose finalmente: 
 
 
( ) ( )2 2
2
2
2
1
2
i ii
y zx
p
p pC
U UU
ϕ ϕϕ
ρ
∞
∞ ∞
∞ ∞
⎡ ⎤+− ⎢ ⎥= = − +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
 . (3.29) 
 
Una interpretación alternativa del resultado anterior es la siguiente: Considérese el movimiento 
como bidimensional (en los planos x = cte) y la variación con x como si fuera la variación con el 
tiempo que ve un observador que se mueve a velocidad U∞, es decir, t = x/U∞; entonces, 
aplicando la ecuación de Bernoulli para movimiento incompresible no estacionario, se obtendría 
 
 ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 22 21 1 12 2 2
i i
t xp p U V W Uρ ρ ρ ε ρϕ ρε ϕ ϕ∞ ∞ ∞ ∞
⎛ ⎞− = − Φ − + + − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
i
Y Z 
 
(ya que en el problema bidimensional la velocidad incidente V W∞ ∞+j k es nula y 
, expresión que conduce a 2 22 2
i i
t t xUε ϕ ε ϕ ∞Φ = = (3.29). 
 
 
Como ejemplo de aplicación de lo analizado en este Capítulo consideremos un cono esbelto, de 
semiángulo δ (δ << 1) que vuela a través del aire en calma en régimen supersónico (M∞ > 1, 
β = ∞M
2 1− ) con ángulo de ataque nulo, tal como se indica en la figura 3.4. 
 
U∞ δ 
 
Fig. 3.4. Cono esbelto de semiángulo δ. 
 
 
 
 Capítulo 3 64 
Teniendo en cuenta que 
 
 rc(x) = δx , sc = πδ2x2 , dsc/dx = 2πδ2x 
 
el comportamiento lejano del potencial de velocidades de perturbación correspondiente al campo 
próximo será 
 
 ϕi(x,R) = U∞xδ2lnr + g(x). 
 
La función g(x) vale, de acuerdo con la expresión (3.17) 
 
 2( ) ln 1
2
g x U x
x
βδ∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
de modo que 
 
 ln 1
2
i rU x
x
βϕ ∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 21 1 ln
2
i rU x
x
βδ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞Φ = + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 . 
 
Si se desea ahora calcular el valor de las componentes de la velocidad sobre el cono, será 
 
 2 ln
2
i ru U U
x x
βδ∞ ∞
∂Φ
= = +
∂
 , 
 
y sobre la superficie del cono, r = δx, se tiene: 
 
 u U U= +∞ ∞δ
δβ2
2
ln , 
 
mientras que 
 
 2 xw U
r
δ ∞= , 
 
de modo que sobre la superficie del cono es 
 
 w U= ∞δ . 
 
Así pues, sobre el cono será: 
 
 w
u
U
U U
=
+
= +∞
∞ ∞
δ
δ δβ
δ δ
2
3
2
0
ln
( lnδ) , 
 
de modo que, como tiene que ser, se cumple la condición de contorno. Compruebe que el 
coeficiente de presión sobre el cono vale: 
 
Capítulo 3 65
 
 cp = − +
L
NM
O
QPδ
δβ2 1 2
2
ln . 
 
Observe que ln(βδ/2) > 1, es decir, se produce una deceleración del fluido y por lo tanto una 
compresión. 
 
 
EJERCICIOS 
 
3.1. Se pretende calcular el efecto que produce en tierra el paso de un avión que vuela a 
M∞ = 2 y altura h constante. Para calcular el campo lejano se puede suponer el aparato de 
revolución y con longitud l, con una distribución de áreas: 
 
 , ε << 1 , 0 ≤ x ≤ 1 ( ) 2 2 2 33 2S x l x xπ ε ⎡= −⎣ ⎤⎦
]
 
 Calcule y dibuje en forma esquemática la distribución de cp a lo largo de la recta proyección 
de la trayectoria sobre el suelo (supuesta la tierra plana). Al esquematizar cp, discuta en qué 
se distingue del correspondiente a un avión bidimensional que tenga la misma silueta que el 
considerado. Interesa en particular discutir la expresión para valores grandes de x. 
 
********** 
 
3.2. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, 
de velocidad U∞, presión p∞ y densidad ρ∞. El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de 
longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga 
que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al 
flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide: 
 
 1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. 
Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 
 2) Calcule el error, E = 1−Um/U∞,que se comete en la determinación de la velocidad debido 
a este efecto, en función de le/d. Um es la velocidad medida, definida como 
, y p[ 1/ 22( ) /m o eU p p ρ∞= − o es la presión de remanso de la corriente incidente. 
 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la nariz. 
 
 r 
x 
l 
e 
U∞
p∞
ρ∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
**********Capítulo 3 66 
 
3.3. Un cuerpo esbelto cuya superficie viene dada por la expresión: 
 
 r x R x x ko , , sin
/θ ε θ ε ε θa f a f e j= = −1 1 2
 
 vuela a ángulo de ataque nulo y velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal. 
 
 a) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial 
de velocidades (sin linealizar). 
 b) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial 
de perturbación correspondiente al campo próximo. 
 c) A la vista de la forma del obstáculo, desarrolle el potencial de perturbación del campo 
próximo en serie de potencias de ε1/2: ϕ = ϕo + ε
1/2ϕ1 + ... Transfiera la condición de 
contorno a la circunferencia R = x y escriba la ecuación diferencial y las condiciones de 
contorno para ϕo y ϕ1. 
 d) Calcule ϕo. Compare con la solución para el cono. 
 e) Calcule ϕ1. Para ello ensaye soluciones del tipo ϕ1(r,θ) = F(θ)/rn. Discuta la influencia de 
k. 
 f) Indique cómo calcularía la función g(x). 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 67
CAPITULO 4 
 
FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS 
 
4.1. INTRODUCCION 
 
Aunque en la solución correspondiente al campo próximo aparece una función de x, g(x), que es 
desconocida en tanto no se haga el acoplamiento con el campo alejado, no es necesario conocerla 
para calcular las fuerzas transversales y los momentos correspondientes, porque la contribución 
de g(x) al campo de presiones en cada plano x = cte es uniforme y no da resultante en dicho 
plano. 
 
Para calcular las fuerzas transversales (sustentación y fuerza lateral) consideraremos el elemento 
fluido de la figura 4.1 limitado por: 
 
a) La sección 1, situada en un plano perpendicular a la corriente no perturbada (que está alineada 
con el eje x), y suficientemente lejos corriente arriba como para no estar influida por el 
obstáculo. 
b) La sección 3, paralela a la anterior. 
c) La superficie cilíndrica de revolución 2, situada en la parte exterior del campo próximo, de 
radio suficientemente grande como para que en ella tengamos exclusivamente la componente 
axilsimétrica de la perturbación. 
d) La superficie del obstáculo, Σ. 
 
 
x 
Z Y 
3 
2 
1 
U∞ Σ 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.1. Elemento de control para calcular las fuerzas transversales sobre la porción de un cuerpo contenida entre el 
morro y el plano 3 (x = x3). 
 
Aplicando el teorema de conservación de cantidad de movimiento, en las direcciones Y y Z, al 
elemento considerado, se obtiene la fuerza lateral, FY, y la sustentación, FZ, que actúan sobre la 
parte de cuerpo contenida entre el morro y la sección 3, es decir. 
 
3 3
3 3
d d dY x yF U U U Y Z oY
( )ϕρ σ ε ρ ε∞ ∞
∂
− = = +
∂∫∫ ∫∫ , (4.1a) 
3 3
3 3
d d dZ x zF U U U Y Z oZ
( )ϕρ σ ε ρ ε∞ ∞
∂
− = = +
∂∫∫ ∫∫ . (4.1b) 
 
donde se ha tenido en cuenta que ρ = ρ∞ + ..., Ux = U∞ + ..., Uy = ε2ϕy = εϕY, U = ε2ϕ = εϕz z Z y 
dσ = dydz = ε2dYdZ, se ha eliminado el superíndice i del potencial interior para simplificar la 
escritura. 
 
 
 Capítulo 4 68 
 
Para calcular las integrales que aparecen en los segundos miembros de (4.1a) y (4.1b) 
consideremos los esquemas representados en la figura 4.2. Ambos representan la sección 3. Al 
integrar en dicha sección, bien sea por bandas paralelas al eje Y o paralelas al eje Z, son posibles 
dos casos, según la banda de integración intersecte o no al cuerpo. En el primer caso la integral 
en dicha banda valdrá ϕ − ϕ3 A + ϕB − ϕ = −(ϕB 4 A − ϕBB), mientras que en el segundo valdrá ϕ − ϕ1 2 
= 0 (teniendo en cuenta que en la circunferencia exterior el potencial tiene un valor constante). 
Así pues, las expresiones (4.1a) y (4.1b) valdrán: 
Z 
Y Y 
Z 
2 1 
4 
2 
B A 3 
1 
3 
A 
B 
4 
Y1 
Y2 
Z2 
Z1 
Fig. 4.2. Integración por bandas horizontales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1a) e integración 
por bandas verticales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1b). 
 
2
3 1
d d ( )d d
Z
A B
Z C
Y Z Z Z
Y
ϕ ϕ ϕ ϕ∂ = − − = −
∂∫∫ ∫ ∫
2
3 1
d d ( )d d
Y
A B
Y C
Z Y Y
Z
ϕ ϕ ϕ∂ = − − =
∂∫∫ ∫ Yϕ∫
, )dT
 , , 
 
y combinando estas expresiones se deduce que, salvo términos de orden superior: 
 
 , donde T = Y + iZ (4.2) 
3 3
3i (d id ) i ( ;Y Z
C C
F F U Z Y U x Y Zε ρ ϕ ε ρ ϕ∞ ∞ ∞ ∞+ = − = −∫ ∫
 
y la integral está, en principio, calculada a lo largo de la línea de intersección de la superficie del 
obstáculo con el plano 3. 
 
La ventaja de escribir (4.2) en forma compleja reside en que, siendo ϕ solución de la ecuación de 
Laplace, el cálculo de las integrales en el plano T se simplifica mucho. La parte real de la 
integral será la fuerza transversal, y la parte imaginaria de la integral será la sustentación. Ambas 
fuerzas corresponden a la parte del obstáculo comprendida entre el morro y la sección 3, y ambas 
son perpendiculares a la corriente incidente no perturbada, que coincide con el eje x. Hay que 
señalar que las fuerzas calculadas sólo dependen de lo que ocurre en la sección 3: los valores de 
la fuerza son independientes de la forma anterior del obstáculo, siempre que éste sea esbelto. 
 
Aunque en lo que sigue no se precisa imponer condición alguna sobre dSc/dx, considerar 
aplicables los resultados a cuerpos con dSc/dx < 0 conduce a resultados absurdos. Lo que ocurre 
es que en las zonas donde dSc/dx < 0 la corriente se desprende (aparece la estela de las secciones 
anteriores), las presiones se uniformizan y dichas zonas dejan de sustentar. 
 
 
 
 
 
Capítulo 4 69
 
4.2. FORMULA DE WARD 
 
Ya se dijo en el Capítulo anterior que ϕ(x; Y, Z) obedece a la ecuación 0YY ZZϕ ϕ+ = y, por tanto, 
es la parte real de una función analítica, W(T), de la variable compleja T, cuya expresión general 
es: 
 
0
1
( ) ( ; , ) i ( ; , ) ( ) ln ( ) nnW T x Y Z x Y Z A x T A x Tϕ ψ
∞
−= + = + ∑ 0 d( ) 2 d c
SUA x xπ
∞= , donde .(4.3a) 
 
Por lo tanto: 
 
0
1
( ; , ) ( ) ln ( ) i ( ; , )nnx Y Z A x T A x T x Y Zϕ ψ
∞
−= + −∑ ; (4.3b) 
 
introduciendo la expresión (4.3) en la integral que aparece en (4.2), se tiene: 
 
3 0 3 1 3 3
d( ; , )d ( ) ln d ( ) i ( ; , )d
C C C C
Tx Y Z T A x T T A x x Y Z TTϕ ψ= + −∫ ∫ ∫ ∫ , (4.4) 
 
donde se han omitido los términos de W(T) que no contribuyen a la integral. El último término 
del segundo miembro se puede integrar por partes como sigue (obsérvese que T es uniforme pero 
ψ no lo es): 
 
[ ] 33 3
( ; , )( ; , )d ( ; , ) d d
C C C
x Y Zx Y Z T T x Y Z S T S
S S
ψψ ψ ∂∂= −
∂ ∂∫ ∫ ∫ , 
 
y, con esta transformación, la ecuación (4.4) se reduce a: 
 
3 3
3 0 3 1 3
( ; , ) ( ; , )( ; , )d ( ) ln d 2πi ( ) i d i d
C C C C
x Y Z x Y Zx Y Z T A x T T A x T S T SS S
ψ ψϕ ∂ ∂= + − +
∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ . 
 (4.5) 
 
Es fácil comprobar que el primer y el tercer término del segundo miembro son iguales y se 
contrarrestan. En cuanto al último término, teniendo en cuenta las condiciones de Cauchy–
Riemann y las condiciones de contorno (ecuación (3.11) del Capítulo anterior), se convierte en: 
 
( )d d dd d d d
c
g c
C C C
N ST S T S U T U T SS N x x
ψ ϕ
∞ ∞
∂ ∂= = =
∂ ∂∫ ∫ ∫ (4.6) 
 
donde Tg es el afijo del centro de gravedad de la sección del cuerpo considerada. El último paso 
en la expresión (4.6) se justifica comprobando que la parte real de TdNcdS es el momento del 
elemento de área dNcdS respecto del eje Z, y que el coeficiente de la parte imaginaria es el 
momento respecto al eje Y. 
 
 
 
 Capítulo 4 70 
Llevando la expresión (4.6) a la (4.5) y ésta a la (4.2) resulta finalmente la fórmula de Ward: 
 
( )3 1 d2π dY Z g cF iF U A U T Sxε ρ∞ ∞ ∞⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦ , (4.7) 
 
donde A1 es el residuo de la función de variable compleja W(T) que aparece en la solución del 
problema próximo correspondiente a x = x3, y TgSc representa los momentos del área de la 
sección considerada respecto a los ejes Z e Y, todo ello medido en coordenadas próximas. 
 
Hay que recordar, una vez más, que FY y FZ son las fuerzas entre el morro y la sección x3; las 
fuerzas en una rebanada de espesor unidad en la dirección axial serán:( )23 1 2
d d d di 2d d d d
Y Z
g c
F F AU U Tx x x x
ε ρ π∞ ∞ ∞
⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
S , 
 
de modo que los momentos respecto al morro, de guiñada y cabeceo, respectivamente, valdrán: 
 
3 3
3
3 1
0 0
d di i d ( i ) 2π ( )d ( ) ( )d d 2π
x x
Y Z
Z Y Y Z g c
F F U
3 3M M x x x F F U A x x T x S xx x ε ρ
∞
∞ ∞
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥− = + = + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠
⎣ ⎦
∫ ∫ . (4.8) 
 
Obsérvese que mientras que el valor de la fuerza depende exclusivamente de la sección x3, la 
posición de la resultante depende de la forma del cuerpo entre el morro y x = x3. 
 
 
4.3. FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS 
 
 
Antes de presentar un ejemplo de aplicación de la fórmula de Ward, conviene precisar algunos 
detalles relativos al campo próximo. Para calcular A1 hay que analizar el problema bidimensional 
correspondiente al plano x = x3. Como el problema es lineal, su solución se puede expresar como 
la suma de la de dos problemas que llamaremos problema axial y problema cruzado, y que 
corresponden a las configuraciones de la figura 4.3, donde el eje x' coincide con la línea de 
sustentación nula del cuerpo, de esta forma el problema axial no contribuye a las fuerzas y 
bastará con resolver el problema cruzado para calcularlas. 
 
Capítulo 4 71
Fig. 4.3. Descomposición del problema en axial y cruzado. 
 
 
La expresión del potencial de perturbación se escribe como 
 
 ϕ ϕ ϕx Y Z x Y Z x Y Za c, , , , , ,a f a f a f= ′ ′ ′ + ′ ′ ′ 
 
Nótese que expresamos la solución de estos dos problemas (axial y cruzado) en las variables de 
los ejes cuerpo (x′,Y′,Z′) en lugar de las de los ejes viento (x,Y,Z) originales. 
 
Introduciendo esta expresión en la formulación del problema del campo próximo, es decir, ϕYY + 
ϕZZ = 0, con ϕ tendiendo a la solución del campo alejado cuando Y2 + Z2 → ∞ y ϕN = U∞dNc/dx 
sobre el obstáculo, se obtienen los siguientes problemas: 
 
• Problema axial: ϕaY'Y' + ϕaZ'Z' = 0, con ϕa tendiendo a la solución del campo alejado cuando 
′ + ′ → ∞Y Z2 2 y con una condición de contorno sobre el obstáculo aún por determinar. 
 
• Problema cruzado: ϕcY'Y' + ϕcZ'Z' = 0, con ϕc → 0 cuando ′ + ′ → ∞Y Z2 2
∞U x z a ccos sinα α ε ϕ ϕa f b g2 z a c∞ ′ + ′ + +α ε ϕ ϕa f b g2
Φ + Φ =
, e igual que en el 
caso anterior con una condición de contorno sobre el obstáculo a determinar. 
 
Para calcular las condiciones de contorno que deben cumplir ϕa y ϕc sobre el cuerpo esbelto 
conviene expresar ésta en términos del potencial de velocidades, ∇Φ.∇F=0, donde F(x′,y′,z′) = 0 
es la ecuación de la superficie del cuerpo en los nuevos ejes y el potencial de velocidades es 
 
 ( ) ( )2 , , , ,a cU x x y z x y zε ϕ ϕ∞ ′ ′ ′ ′ ′ ′Φ = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦
 = U x . ′ + ′ + + ≈
 
Así pues, en el nuevo sistema de coordenadas ligado al cuerpo, la condición de contorno sobre el 
obstáculo, Φ + , se escribirá 0x x y y z zF F F′ ′ ′ ′ ′ ′
 
 U F F U Fx aY cY Y aZ cZ Z∞ ′ ′ ′ ′ ∞ ′ ′ ′+ + + + +ε ϕ ϕ =ε
α ε ϕ ϕ
ε
b g b g 0 , 
 
o bien, poniendo ϕ ϕ ϕaY Y aZ Z aN NF F F′ ′ ′ ′ ′ ′+ = , ϕ ϕ ϕcY Y cZ Z cN NF F F′ ′ ′ ′ ′ ′+ = , 
 
α 
x´ 
z´ z 
x U∞
α 
x´ 
z´ z 
x 
U∞sin
α 
x´ 
z´ z 
x 
U∞cosα
α
 
 
 Capítulo 4 72 
U F U F Fx Z aN cN N∞ ′ ∞ ′ ′ ′ ′+ + + =
α
ε ϕ ϕc h 0 , 
 
y teniendo en cuenta que F FZ N′ ′= cosθ , donde θ es el ángulo que forma la normal a la curva 
corte del cuerpo esbelto por un plano x = cte con el eje Z′, se tiene 
 
 U F U Fx aN cN∞ ′ ∞ ′ ′ ′+ + + N =
α
ε θ ϕ ϕcose j 0 , 
 
− = + +′
′
′
∞
′
∞
F
F U
x
UN
aN cNα
ε
θ ϕ ϕcos . 
 
/F = dN'Teniendo en cuenta que –Fx′ N′ c/dx', donde N' = N'c(x') es la ecuación de la superficie del 
obstáculo en los nuevos ejes, resulta: 
 
d
cos
d
aN cN cN
U U x
ϕ ϕα θ
ε
′ ′
∞ ∞
′
+ + =
′
 , 
 
condición de contorno que ahora separamos en dos condiciones, una para ϕ y otra para ϕa c: 
 
d
d
a cNU
N x
ϕ
∞
′∂
=
′ ′∂
 
 
ε
ϕ
α θ
∂
∂ ′
+ =∞
c
N
U cos 0 . 
 
El problema axial es complicado de resolver, salvo si la forma del obstáculo permite el uso de 
determinados sistemas de coordenadas que facilitan la resolución de la ecuación de Laplace. Una 
de estas formas es el cuerpo de revolución, en cuyo caso en la solución sólo aparece el primer 
término (el logarítmico). La solución general de este problema se puede escribir de todas formas 
como: 
 
( )
( )1 1
d dRe ln Re ln
2π d 2π d
a a
c n c n
a Sn n
SN
S a S aU UT T T
x xT T T
ϕ
∞ ∞
∞ ∞
N
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥′⎢ ⎥= + = − +
′ ′′ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑ . 
 
donde son coeficientes (función de x) desconocidos y Tana SN = −αxi. 
 
Respecto al campo cruzado, la condición de contorno obtenida sobre el obstáculo puede resultar 
inicialmente poco familiar. Se puede obtener un problema mucho más reconocible definiendo 
una nueva función relacionada con la solución del problema cruzado en la forma 
 
~ϕ εϕ αc c U Z= + ′∞ 
 
de modo que esta función cumple también la ecuación de Laplace, ~ ~ϕ ϕcY Y cZ Z′ ′ ′ ′+ = 0, y las 
condiciones de contorno 
 
 sobre el cuerpo: 
∂
∂ ′
=
~ϕ c
N
0 , 
 
 
Capítulo 4 73
′ + ′ → ∞ → ′∞Y Z U Zc
2 2 : ~ϕ α . 
 
Nótese que ~ϕ c obedece a una formulación análoga a la de la determinación del potencial del 
problema bidimensional que resulta al cortar el cuerpo por el plano x´ = x3 con velocidad normal 
nula sobre el obstáculo y velocidad vertical αU∞ en el infinito (figura 4.4). Resuelto este último 
problema se podrá escribir la solución en la forma 
 
( )
( )1
1 Re
c
n
c c n
SN
aU Z
T T
ϕ ϕ α
ε
∞
∞
⎡ ⎤
′ ⎢ ⎥= − =
⎢ ⎥−⎣ ⎦
∑ , 
 
de modo que el potencial de velocidades de perturbación del campo próximo resulta: 
 
( )
( )1
dRe ln
2π d
a c
c n
SN n
SN
S aU T T
x T T
ϕ
∞
∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥= − +
⎢ ⎥−⎣ ⎦
∑ na 
 
o bien, llamando a a an n
a
n
c= +
 
1
d( ) ln( )
2π d ( )
c n
SN n
SN
S aUW T T T
x T T
∞
∞= − +
−∑ , 
 
 
Fig. 4.4. Las condiciones de contorno que debe satisfacer el potencial de velocidades de perturbación del campo 
próximo en el caso de un cuerpo esbelto como el representado (problema 1) se pueden expresar como suma 
de las correspondientes al campo axial (problema 2) y las del campo cruzado (problema 3), si bien a la hora 
de resolver este último es más conveniente analizar el problema del campo cruzado modificado (problema 
4). 
 
Ahora bien, 
α 
δ 
x 
y 
z 
U∞
αU∞
ϕN=0 
ϕN=0 
ϕN=0 ϕN=0 4
(α−δ)U∞
(α+δ)U∞
δU∞δU∞ 1 δU∞ δU∞
δU∞ αU∞
2
αU∞
30 0 
δU∞
 
 
 Capítulo 4 74 
 
ln( ) ln SNSN
TT T T T− = − +… 
 
de modo que 
 
1
d d1( ; ) ln ( )2π d 2 d
c c
SN
S SU UW x T T a Tx T xπ
∞ ∞= + − … + 
 
De aquí se deduce que el residuo, A1, que interviene en la fórmula de Ward vale: 
 
1
d
2π d
c
SN
SU
1A T ax
∞= − + (4.9) 
 
y la fórmula de Ward se puede escribir en la forma 
 
3
1 1
d di 2π( ) (d d
a c c
Y Z SN g c
SF F U a a U T U T Sx xε ρ∞ ∞ ∞ ∞ )
⎡ ⎤+ = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
 . (4.10) 
 
Si la corriente no perturbada incide según la línea de sustentación nula del cuerpo será TSN = 0 y 
 = 0, por lo que de la fórmula de Ward se tendrá: 1
ca
 
1
d ( )2π d
a
g c
Ua Tx
∞ ′= − S 
 
como no depende del ángulo de ataque la ecuación (4.10) se puede escribir 1
aa
 
3
1
di 2π d
c SN
Y Z c
TF F U a U S xε ρ∞ ∞ ∞
⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦
 (4.10) 
 
En general, será difícil conocer la línea de sustentación nula del cuerpo, salvo casos particulares 
como el de cuerpos de revolución o cuerpos con planos de simetría. 
 
 
4.4. EJEMPLO DE APLICACION 
 
Como ejemplo de aplicación de la formula de Ward, consideremos cualquiera de los dos cuerpos 
esbeltos representado en la figura 4.5, formados por un ala plana y un fuselaje de revolución, 
cuyo eje está contenido en el plano del ala (ala media). Para estos cuerpos esbeltos se quiere 
calcular la sustentación del conjunto (suponiendo que vuela con ángulo de ataque α, sin guiñada, 
y velocidad U y en una atmósfera de densidad ρ∞ ∞) y el factor de interferencia ala-fuselaje 
definido en la forma: (FZ ALA+FUSELAJE − FZ FUSELAJE)/FZ ALA sin FUSELAJE, así como el momento de 
cabeceo respecto al morro. 
 
Antes de entrar en los cálculos, son precisasdos observaciones previas: se supone que tanto R(x) 
como b(x) alcanzan sus máximos valores en la sección posterior (más adelante se volverá sobre 
este punto); y una vez que ya se ha aclarado qué términos son dominantes en el campo próximo 
y cuál es su orden de magnitud, volvemos a usar variables y funciones no dilatadas. 
 
 
Capítulo 4 75
z 
y 
x L 
b b 
RbRb
 
Fig. 4.5. Ejemplos de cuerpo esbelto con alas y de cuerpo esbelto cónico. 
 
Para aplicar la fórmula de Ward nos concentramos en el problema bidimensional 
correspondiente al plano x = x3. Como se ha dicho, el residuo estará dado por (4.9), escrito en 
variables no dilatadas. Para calcular a1 se consideran los planos t, Ω y τ, con las funciones de 
transformación que se indican en la figura 4.6. 
 
 
 
 
z 
y 
b 
Rb
Plano t 
ζ 
η 
Plano τ 
′ = − +
−
t t t
R
t tg
b
g
2
 
2
t
ρ
τ
τ
′ = + 
z' 
Plano t' 
y' 
b
R
b
b+
2
 − −b
R
b
b
2
 
αU∞ αU∞ αU∞
ρ 
21
2
bRb
b
ρ
⎛ ⎞
⎜ ⎟= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 Fig. 4.6. Planos t, Ω y τ con las funciones de transformación que los relacionan. 
 
El potencial complejo total (el incidente más el de perturbación) en el plano τ será: 
 
( )22
( ) i
4
bb R b
F Uτ α τ
τ∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥= − −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
 , 
 
y el potencial total en el plano Ω: 
 
( )22 2( ) i bF U b Rα ∞Ω = − Ω − + b , 
 
con lo que el potencial total en el plano t vale: 
 
 
 
 Capítulo 4 76 
2 22 2
( ) i b bSN
SN
R RF t U t t b
t t b
α ∞
⎛ ⎞ ⎛
= − − + − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟
⎠
 . 
 
El potencial complejo de perturbación en el plano t es: 
 
2 22 2
2( ) i ( ) i ( ) 1 1( )
b b
SN SN
SNSN
R b R bf t U t t U t t
t tt t
α α∞ ∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥+ − = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎢ ⎥−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 . 
 
Es fácil ahora obtener que el residuo vale: 
 
4 4
1 2i 2
bb Ra U
b
α ∞
+
= . 
 
De acuerdo con las expresiones (4.7) y (4.10) se tiene: 
 
4 4
2 2
2
di 2π i d2
b S
Y Z c
b R tF F U U S Nxb
ρ α ρ∞ ∞ ∞ ∞
+
+ = + , 
 
donde dtSN/dx = −iα (nótese que añadir ahora el efecto de un ángulo de guiñada es trivial). Así 
pues, las fuerzas sobre el cuerpo esbelto son: 
 
ALA FUSELAJE
4 4 2
2
20 , π
b b
Y Z
b R b R
F F U
b
α ρ
+ ∞ ∞
+ −
= =
2
 . (4.11) 
 
ALA sin FUSELAJE
2 2πZF U bα ρ∞ ∞= , y haciendo b = RHaciendo R = 0 tenemos , tenemos b b
FUSELAJE
2 2πZ bF U Rα ρ∞ ∞= , de modo que el factor de interferencia vale: 
 
F F
F
R
b
Z Z
Z
bALA FUSELAJE FUSELAJE
ALA sin FUSELAJE
+
−
= −
F
HG
I
KJ
1
2
2
2
 . 
 
El momento de cabeceo respecto al morro valdrá: 
 
0
d d
d
L
z
Y
FM x x
x
= −∫ . 
 
En el caso particular del cuerpo cónico de la figura 4.5, se tiene FZ(x) = (x2/L2)FZ(L), por lo que 
el momento valdrá: 
 
4 4 2
2
2
2 π
3
b b
Y
b R b R
M L U
b
α ρ∞ ∞
+ −
= −
2
 . 
 
 
Capítulo 4 77
 
4.5. ALAS ESBELTAS 
 
Consideremos el ala representada en la figura 4.7, de espesor nulo, esbelta y que 
provisionalmente supondremos plana aunque pronto se verá que es posible generalizar el 
desarrollo a alas con ciertos tipos de curvatura. Ahora, que se sabe cómo calcular la resultante de 
las fuerzas que operan sobre el ala (ya hemos visto que vale 2 2π ( )ZF U bα ρ∞ ∞= L ), nos 
planteamos determinar cómo se distribuyen dichas fuerzas sobre la forma en planta del ala. 
 
x 
L 
b(x) 
y 
 
Fig. 4.7. Ala esbelta. 
 
La ecuación linealizada del potencial de velocidades de perturbación queda, en primera 
aproximación: 
 
ϕ ϕyy zz+ = 0 , (4.12) 
 
y la condición de contorno sobre el ala es: 
 
ϕ
αz
U∞
= − . (4.13) 
 
Aunque se ha supuesto que el ala es plana, la generalización a alas con curvatura función sólo de 
la variable x es obvia. En el infinito la perturbación introducida por el ala se debe amortiguar, 
salvo en la estela y sus proximidades. Como se ha dicho antes en relación con el problema 
cruzado, ϕ es el potencial de perturbación del (conocido) problema bidimensional representado 
en la figura 4.8, cuya solución es: 
 
b(x) −b(x y 
z 
αU∞
 
Fig. 4.8. Problema auxiliar para resolver el problema cruzado (bidimensional) del ala plana esbelta. 
 
( )2 2( ; , ) Re i ( )x y z U t b x tϕ α ∞⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ , (4.14) 
 
donde Re indica la parte real y t' = y' + iz' es la variable compleja. Observe que en la expresión 
anterior la variable x juega un papel de parámetro, en este caso a través, exclusivamente, de b(x). 
 
 
 Capítulo 4 78 
Para calcular el coeficiente de presión sobre la placa plana interesa conocer ϕ(x';y',0±). De la 
expresión (4.14) deducimos: 
 
2 2( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α± ∞′ ′ ′ ′= ± − y (4.15) 
 
correspondiendo un signo u otro según se esté en extradós o intradós (véase la figura 4.9). El 
coeficiente de presión, cp = −2ϕx'/U∞ (donde no se han escrito los términos ( )2 2 /Y Z Uϕ ϕ′ ′ 2∞+ , ni 
los correspondientes al cambio de sistema de referencia a ejes cuerpo, ya que van a tener el 
mismo valor en el extradós y en el intradós y sólo estamos interesados en su diferencia, el 
coeficiente local de sustentación), valdrá, en el extradós: 
 
y 
z 
 
Fig. 4.9. Correspondencia entre los signos ± en la expresión (4.15). 
 
 2 22 ( )pec b x y …x
α ∂ ′ ′= − − +
′∂
 , 
 
y en el intradós: 
 
 2 22 ( )pic b x yx
α ∂ ′ ′= −
′∂
…+ , 
 
de modo que el coeficiente de sustentación local es: 
 
 2 2
2 2
d( ) d( , ) ( , ) ( , ) 4 ( ) 4
( )
l p pi e
bb x xc x y c x y c x y b x yx b x y
α α
′
′∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = − =′∂ ′ ′−
 . (4.16) 
 
Nótese que, como se ha comentado, para calcular la expresión (4.16) no ha sido preciso utilizar 
la expresión (3.17) del Capítulo 3 completa ya que los términos no calculados son iguales en 
cpi(x',y') y cpe(x',y'). 
 
La ecuación (4.16) requiere dos observaciones. La primera es que la solución obtenida presenta 
una singularidad en el borde de ataque que es característica de los bordes de ataque subsónicos, y 
la segunda es que el ala sustenta sólo en las secciones donde db/dx' > 0 (esta particularidad se 
comenta posteriormente). 
 
En general, la distribución de sustentación obtenida cl(x',y') no cumple la condición de Kutta 
salvo si db/dx' = 0 en la sección final (borde estacionario). 
 
αU∞
z=0+, y>0 
ϕy<0 
z=0−, y>0 
ϕy>0 
 
Capítulo 4 79
Para calcular el coeficiente de sustentación del ala, integramos primero respecto a x' (en bandas 
paralelas al eje x'), teniendo en cuenta que b(x'borde ataque) = y', con lo cual: 
 
borde ataque
2 2 2( ) 4 ( ) d 4 ( )
L
l
x
cc y b x y x b L yxα α
′
∂′ ′ ′ ′= − =′∂∫ 2′− . 
 
La expresión anterior nos dice que (inesperadamente) la distribución de sustentación a lo largo 
de la envergadura es elíptica. Conocido cl(y'), el coeficiente global de sustentación vale: 
 
1 π(4 ) π2
2 2L
b b
c
bc
α
αΛ= = 2 /b cΛ =, donde . 
 
y el coeficiente de resistencia inducida (recurriendo a lo visto al estudiar el Plano de Treffz) será: 
 
2
2π
π 4
L
Di
cc αΛ= =
Λ
 . 
 
Es importante observar que cDi/cL = α/2, lo que indica que la fuerza resultante no es 
perpendicular a la placa (porque existe succión en el borde de ataque subsónico). 
 
Cuando db/dx' < 0 lo anterior no vale para estudiar lo que ocurre su secciones situadas detrás de 
aquella en que b(x') es máxima, porque hay que tener en cuenta los torbellinos que se desprenden 
del borde de salida (tal como se indica en la figura 4.10a). 
 
Consideremos un ala plana como la representada en la figura 4.10b. Vamos a comprobar que la 
solución del problema cruzado correspondiente a la sección 1 es solución del correspondiente a 
la sección 2. 
 
En efecto, ambos problemas difieren exclusivamente en la condición de contorno sobre el ala. 
(En la figura 4.10c se han representado las trazas del ala (y estela) sobre las que hay que imponer 
las condiciones de contorno en las secciones 1 y 2). 
 
 
x 
z 
2b(x1) 2b(x2) 
Problema 1 Problema 2 
a c 
1 2 
x 
z 
2 1 
b 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.10. a) Ala esbelta en la que en parte de ella es db/dx' < 0. b) Forma en planta equivalente utilizada en la 
discusión. c) Contornos no comunes de los problemas 1 y 2. 
 
La parte|y'| ≤ b(x'2) es la misma para los dos problemas por lo que las condiciones de contorno 
son, lógicamente, idénticas en esta parte. La otra parte b(x' ) ≤ |y'| ≤ b(x'2 1) parece distinta (sólo en 
apariencia), porque en 1 hay placa y en 2 hay estela. Para ver que también ahora ambos 
 
 
 Capítulo 4 80 
problemas son idénticos basta con analizar el salto del potencial de perturbación en la estela: ϕ 
experimenta un salto a través de la estela que depende de la intensidad de los torbellinos 
desprendidos del borde de salida, y como los torbellinos que llegan a 2 no han experimentado 
modificación alguna después de salir de 1, el salto de ϕ a través de la estela en 2 es igual al salto 
a través de la parte correspondiente de la placa en 1. Así pues, la solución del problema 1 cumple 
la ecuación diferencial y condiciones de contorno del problema 2, por lo que, al no haber 
variación con x', el comportamiento es semejante al que se produciría si fuera db/dx' = 0. 
 
 
 
 
4.6. ALAS ESBELTAS CON PEQUEÑOS ESPESORES Y CURVATURAS EN EL SENTIDO 
 DE LA ENVERGADURA 
 
Lo dicho hasta ahora sirve para calcular alas cuya sección, al cortar por un plano x' = cte es una 
línea recta. Se ha desarrollado una teoría asintótica para estudiar los efectos de espesor y 
curvatura en alas esbeltas a un cierto ángulo de ataque (Plotkin, 1983). 
 
Sea εc el pequeño parámetro que mide la desviación de la superficie del ala respecto al ala plana 
con ángulo de ataque α que ya hemos estudiado. El problema se aborda haciendo un análisis de 
perturbaciones a partir del ala plana esbelta, del que resultará un desarrollo distinto del obtenido 
en el caso de cuerpos esbeltos, en el que no aparecerán términos logarítmicos (porque, para todas 
las secciones, S(x') = 0). 
 
Consideremos el problema auxiliar que habría que resolver para obtener el campo cruzado: el ala 
plana estará en z' = 0 y sometida a una velocidad αU∞ paralela al eje z'. Utilizando las variables 
físicas y',z', la formulación para el potencial total en el campo próximo cruzado estará definida 
por la ecuación diferencial: 
 
0y y z zϕ ϕ′ ′ ′ ′+ = , (4.17) 
 
y la condición de contorno sobre la superficie del obstáculo, cuya ecuación es εcf(x',y') − z' = 0, 
es decir: 
 
( ) ( )( , ) ; , ( , ) ; , ( , ) 0c y y c z cf x y x y z f x y x y z f x yε ϕ ε ϕ ε′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = = . (4.18) 
 
Nótese que en esta condición de contorno, (4.18), las derivadas respecto a x' no aparecen por 
tratarse de una configuración esbelta. La condición de contorno en el infinito es: 
 
U zϕ α ∞ ′→ , (4.19) 
 
Si fuera εc = 0 el potencial resultante, ϕ 0(x';y',z'), sería el potencial del problema auxiliar para el 
campo cruzado del ala plana esbelta situada en z' = 0. Cuando εc es pequeño, pero no nulo, 
podremos poner: 
 
0 1( ; , ) ( ; , ) ( ; , )cx y z x y z x y zϕ ϕ ε ϕ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + …+ (4.20) 
 
 
Capítulo 4 81
Llevando (4.20) al sistema (4.17)–(4.19), despreciando consistentemente términos de orden 
superior, transfiriendo la condición de contorno al esqueleto y anulando coeficientes de las 
sucesivas potencias de εc (en este caso, cero y uno) se tienen los problemas siguientes: 
 
Problema de orden cero: 
 
Ecuación diferencial ϕ 0y'y' + ϕ 0z'z' = 0 . (4.21) 
 
Condición de contorno sobre el obstáculo ϕ 0z'(x';y',0) = 0 . (4.22) 
 
Condición de contorno en el infinito ϕ 0→ αU∞z' . (4.23) 
 
La solución de este problema es conocida (véase el apartado 4.5, aunque las expresiones que se 
obtuvieron ahí eran para el potencial de perturbación y no para el potencial total). En particular, 
se deduce que 
 
2 2
0 ( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α
±
∞′ ′ ′ ′= ± − y . (4.24) 
 
Problema de primer orden: 
 
Ecuación diferencial ϕ 1y'y' + ϕ 1z'z' = 0. (4.25) 
 
Condición de contorno sobre el obstáculo. Para escribir esta condición se debe proceder con 
cuidado, ya que al transferir la condición de contorno al ala plana aparecen nuevos términos en 
εc. Un primer paso sería: 
 
( ) ( )
( )
0 0
1
( , ) ; , ( , ) ; , ( , )
 ; , ( , ) 0
c y y c z c
c z c
f x y x y z f x y x y z f x y
x y z f x y
ε ϕ ε ϕ ε
ε ϕ ε
′ ′ ′
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = −
′ ′ ′ ′ ′− = −…
 
=
 
 
y, desarrollando en serie de Taylor en el entorno de z' = 0 se tiene: 
 
( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
1
( , ) ; , 0 ; ,0 ( , ) ; , 0
 ; , 0 0
c y y z c z z
c z
f x y x y x y f x y x y
x y
ε ϕ ϕ ε ϕ
ε ϕ
± ±
′ ′ ′ ′ ′
±
′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− −
′ ′− −…
± −
=
z
±
′ ′
 
 
y tomando los términos en εc
 
 . 1 0 0( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 )yz y zx y f x y x y f x y x yϕ ϕ ϕ
± ±
′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= −
 
ϕ = −ϕ ) resulta finalmente: Teniendo en cuenta la expresión (4.21) ( 0z'z' 0y'y'
 
1 0( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 )z yx y f x y x yy
ϕ ϕ± ±′ ′
∂ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= ⎣ ⎦′∂
 . 
 
De acuerdo con la ecuación (4.24) se tiene: 
 
 
 
 Capítulo 4 82 
0 2 2
( ; , 0 )
( )
y
yx y U
b x y
ϕ α±′ ∞
′
′ ′ =
′ ′−
∓ , 
 
y, finalmente: 
 
1
2 2
( ; , 0 ) ( , )
( )
z x y yf x y
U y b x y
ϕ α
±
′
∞
⎡ ⎤′ ′ ′∂ ⎢ ⎥′ ′=
′∂ ⎢ ⎥′ ′−⎣ ⎦
∓ . (4.26) 
 
La condición de contorno en el infinito es: 
 
ϕ 1 → 0 (4.27) 
 
Las ecuaciones (4.25)-(4.27) indican que la formulación del problema correspondiente a la 
primera aproximación, ϕ 1, es análoga a la del potencial de perturbación de un perfil en régimen 
incompresible, por lo que serán válidos los mismos métodos de resolución. Hay que hacer la 
salvedad de que en la teoría de perfiles era necesario imponer la condición de Kutta para que la 
solución fuera única, mientras que aquí la condición que se debe imponer es que la circulación 
alrededor del obstáculo es nula. De hecho, esta condición ya ha sido impuesta para obtener las 
soluciones de los apartados 4.4 y 4.5. Así, en el problema de ala con espesor, f(x',y') = ±E(x',y'), 
como f(x',y') es antisimétrica respecto a z' = 0, el segundo miembro de la expresión (4.26) será 
simétrico, como si se tratase de un problema de curvatura de un perfil bidimensional. En 
consecuencia, como ϕ 1 y ϕ 1x' resultan ser antisimétricas, la conclusión es que el espesor 
corrige la sustentación del ala plana. 
 
En un problema de curvatura, f(x',y') = C(x'; y'), el segundo miembro de la expresión (4.26) es 
antisimétrico, como si se tratase de un problema de espesor de perfiles: la curvatura no corrige la 
sustentación del ala plana. 
 
Para aclarar estos conceptos, consideremos un ala con distribución elíptica de espesor (que es el 
caso más sencillo de problema de espesor). En este caso particular, tendremos: 
 
2 2( ; ) ( )E x y b x y′ ′ ′ ′± = ± − . 
 
Siempre que sea E(x';y') simétrica respecto a y' = 0, la distribución de circulación a lo largo del 
supuesto perfil bidimensional será antisimétrica respecto a y' = 0 y, por lo tanto, su integral entre 
−b(x') y +b(x') será nula. No hay circulación alrededor del perfil. La expresión (4.26) se reducirá 
a: 
 
1 ( ; , 0 )z x y
U
ϕ α
±
′
∞
′ ′
= − 
 
que es la condición de contorno para la corriente alrededor de una placa plana con ángulo de 
ataque α pero sin circulación. La solución para el potencial de perturbación es ya conocida: 
 
2 2
1( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α
±
∞′ ′ ′ ′= ± − y , 
 
 
Capítulo 4 83
de manera que: 
 
2 2
0 1( ; , 0 ) ( ; , 0 ) ( ; , 0 ) (1 ) ( )c cx y x y x y U b xϕ ϕ ε ϕ ε α
± ± ±
∞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = ± + y−
b
 . 
 
Por consiguiente, en primera aproximación, el espesor corrige el potencial de velocidades de la 
placa plana mediante el factor (1 + εc). La sustentación será, por tanto: 
 
2 2πzF Uρ α∞ ∞= . 
 
Para analizar un problema sencillo de curvatura, consideremos la parábola 
 
2 2( )( ; ) ( )
b x yC x y b x
′ ′−′ ′ = ′ . 
 
La condición de contorno (4.26) se reduce a: 
 
2 2
1
2 2
( ; , 0 ) ( ) 2
( ) ( )
z x y b x y
U b x b x y
ϕ α
±
∞
′ ′ ′ ′−
=
′ ′ −
∓ 
′
 . 
 
Como este problema es análogo al problema bidimensionalde espesor, se resuelve utilizando 
técnicas análogas. 
 
De este modo se puede entender que el potencial de velocidades ha sido generado por una 
distribución de manantiales de intensidad 
 
2 2
0
1 0 2 2
0
( ) 22 ( ; , 0 ) 2
( ) ( )
z
b x yx y U
b x b x y
ϕ α+′ ∞
′ ′−′ ′ = −
′ ′ ′−
 , ⏐y' ⏐ ≤ b(x') 0
 
y utilizando las expresiones deducidas en la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen 
incompresible (cambiando x' por y' y x' por y' en las expresiones para perfiles) se tiene 0 0
 
( )
1 0
1 0
0- ( )
( ; , 0 )1( ; , 0) x d
π
b x
z
y
b x
x y
0x y yy y
ϕϕ
′
+
′
′
′
′ ′
′ ′ ′=
′ ′−∫ , 
 
de modo que sustituyendo la expresión de ϕ 1z'(x';y' ,0+0 ) obtenida de la condición de contorno 
queda 
 
( ) 2 2
0
1 02 2
0 0( )
( ) 2( ; , 0) x d
π ( )( ) ( )
b x
y
b x
b x yUx y y
b x y y b x y
αϕ
′
∞
′
′−
′ ′−′ ′ ′= −
′ ′ ′ ′ ′− −∫ . 
 
Introduciendo el cambio de variable y' = b(x') cosθ0, se obtiene: 0
 
 
 
 Capítulo 4 84 
1 0
0
00
( ; , 0) cos 2x d
π cos cos
y x y
U
π
ϕ θα θ
θ θ
′
∞
′ ′
= −
−∫ , 
 
y, finalmente: 
 
1 ( ; , 0) 2 ( )y
yx y U
b x
ϕ α′ ∞′ ′ = − ′
 . 
 
Nótese que, aunque ϕ 1 depende de x' (y por tanto contribuye a c (x',y',0
±
p )), es simétrica respecto 
a z' = 0 y no contribuye a la sustentación. 
 
 
 
Capítulo 5 85
CAPITULO 5 
 
FUERZAS LONGITUDINALES EN CUERPOS ESBELTOS 
 
5.1. INTRODUCCION 
 
El objeto de este capítulo es calcular la resistencia de onda de un cuerpo que vuela en régimen 
supersónico. La resistencia aerodinámica de un cuerpo esbelto tiene tres sumandos: 1) el debido 
a la viscosidad (resistencias de presión y de rozamiento, no calculables mediante la teoría 
potencial), 2) el debido a la estela de torbellinos (resistencia inducida, calculable mediante la 
teoría desarrollada para el plano de Trefftz) y 3) el debido a las ondas de presión producidas 
cuando vuela en régimen supersónico (resistencia de onda). 
 
La mayor parte de este Capítulo se refiere a cuerpos esbeltos. Sólo al final del mismo se 
considerará la resistencia de onda de configuraciones "no tan esbeltas", es decir, aquellas cuyo 
estudio se puede abordar mediante la linealización del potencial de velocidades, pero sin 
introducir la hipótesis adicional de cuerpo esbelto. Una configuración de este tipo podría 
consistir en un fuselaje esbelto y un ala de alargamiento medio. Para estas configuraciones se 
mostrará cómo se pueden aprovechar parte de los razonamientos y expresiones obtenidos para 
los cuerpos esbeltos modificándolos adecuadamente. 
 
 
5.2. EXPRESION DE LA RESISTENCIA EN FUNCION DEL POTENCIAL DE 
 PERTURBACIONES DEL CAMPO LEJANO 
 
Consideremos el elemento de control de la figura 5.1, que está limitado exteriormente por un 
cilindro circular, S2, de radio, R, finito pero grande, cuyo eje es paralelo a la corriente incidente 
no perturbada, y que pasa, por ejemplo, por el centro de gravedad del avión. La corriente no está 
perturbada en la base S1 del cilindro; para que ocurra esto basta, en el caso supersónico, con que 
la base contenga el punto más adelantado del avión, no es necesario alejarla infinitamente 
corriente arriba. La base S3 está situada en el plano de Trefftz (x = l3). 
 
 
Fig. 5.1. Elemento de control utilizado para relacionar la resistencia con el potencial de perturbaciones en el campo 
lejano. Se utilizan las coordenadas cilíndricas x,r. 
 
Las ecuaciones de balance que hay que utilizar son la ecuación de continuidad: 
 
 − + + + =∞∞ ∞ zz zzρε ϕ σ ρ ε ϕ σUr
S
x
S
2
2
2
3
0d d( )ρ U S1 , (5.1) 
U∞
x 
R 
S3
S2
S1
l3
r 
l 
 
 
 Capítulo 5 86 
y la ecuación de conservación de la componente horizontal de la cantidad de movimiento: 
 
− + + + + = − −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −zz zz zzρ ρε ϕ ε ϕ σ ρ ε ϕ σ σU S U U p p Dr x
S
x
S S
2
1
2 2
2
2 2
3 3
( ) ( ) ( )d d d . (5.2) 
 
Restando de la expresión (5.2) la (5.1) multiplicada por U∞ y despreciando términos de orden 
superior en cada integral, tenemos: 
 
 D p p Ux r
S S
x
S
= − − − −∞ ∞ ∞ ∞zz zz zzρ ε ϕ ϕ σ σ ρ ε ϕ σ4
2 3
2
3
d d( ) d . (5.3) 
 
De los tres términos del segundo miembro, el primero se debe a que la perturbación llega al área 
lateral del elemento de control; es la resistencia de onda, que aparece exclusivamente en régimen 
supersónico (en régimen subsónico la perturbación debida a los manantiales se amortigua más 
rápidamente y la integral es nula). El segundo término se debe a que la presión en S3 es distinta 
de p∞ porque esta zona está perturbada por los torbellinos desprendidos del ala del avión (que la 
atraviesan); este término es la resistencia inducida. El tercer término, aparentemente muy grande, 
es en realidad mucho menor que los otros dos si S3 está suficientemente lejos corriente abajo 
(plano de Trefftz), y además se cancela con un término en ϕx proveniente de la segunda integral. 
 
 
5.3. VELOCIDADES AXIALES Y RADIALES DEBIDAS A UNA SUPERPOSICION DE 
 MANANTIALES SUPERSONICOS A LO LARGO DEL EJE x 
 
Vamos a considerar exclusivamente el primer término del segundo miembro de la expresión 
(5.3) y a suponer que el régimen de vuelo es supersónico. Como R es muy grande, el campo en 
S2 es axilsimétrico (recuérdese el principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune, Capítulo 3) y 
se puede representar por una distribución de manantiales, f(x), situados en r = 0, 0 < x < l. La 
relación entre f(x) y el área, S(x), de la sección recta del cuerpo ya se obtuvo para los cuerpos 
esbeltos en el Capítulo 3, resultando f(x) = −(U∞/2π)dS/dx (para el caso M∞ > 1). Pondremos, por 
tanto: 
 
 ϕ
β
β
( , )
( )
( )
,
x r
f x x
x x r
o o
o
l x r
=
− −
−
z d2 2
0
2
 , (5.4) 
 
donde el límite superior de la integral será el menor de los valores, l ó x−βr. En adelante 
supondremos f(0) = f(l) = 0, lo que limita la aplicación de las expresiones resultantes a ciertos 
cuerpos esbeltos de geometría particular (figura 5.2) pero simplifica notablemente el desarrollo 
posterior. 
 
Hay que advertir que cuando el cuerpo tiene base de área no nula, la ecuación (5.3) para la 
resistencia de onda es válida siempre que la presión de base valga p∞. Para que ocurriera tal cosa 
la estela del cuerpo debería ser asimilable a una zona cilíndrica de propiedades uniformes que se 
prolongara hasta el infinito. Esto excluye los cuerpos 4 y 5 de la figura 5.2. Sin embargo, aun en 
el caso 1 de la figura 5.2, la hipótesis de que la presión de base es igual a p∞ es sólo una 
aproximación, pues el tubo de corriente que coincide con el cuerpo se estrecha más o menos al 
sobrepasar la base, de acuerdo con la cantidad de movimiento que tenga la capa límite al llegar a 
 
Capítulo 5 87
esa sección. El estrechamiento produce una expansión que disminuye la presión de base, cuyo 
valor no se puede estimar con una teoría potencial. 
 
3 
1 
2 
4 
5 
 
Fig. 5.2. Algunos cuerpos esbeltos de revolución a los que se puede (casos 1 y 2) y a los que no se puede aplicar 
(casos 3, 4 y 5) el presente tratamiento matemático basado en que f(0) = f(l) = 0. En el caso 3 es dS/dx ≠ 0 
en x = 0 y en los casos 4 y 5 es dS/dx ≠ 0 en x = l. 
 
En la expresión (5.3) aparecen las componentes ϕx y ϕr de la velocidad de perturbación. Para 
calcularlas, en vez de derivar directamente la expresión (5.4) respecto a x ó respecto a r, con lo 
que se haría el integrando aún más singular, se empieza integrando por partes: 
 
 ϕ β
β
( , ) ( ) ln ( )
,
x r f x x x x x ro o o
l x r
= − − + − −LNM
O
QP =
−
z d 2 2 2
0
e j 
 =
− −
RST
UVW + − + − −
−
z0 2 2 2
0
f x r r
f x x x x x r xo o o
l
o
x r
( ) ln
( ) ln ( )
,
β β
β
β
e jd , (5.5) 
 
donde las dos opciones indicadas entre corchetes corresponden, respectivamente, a que el límite 
superior valga l ó x – βr. 
 
Derivando ahora la expresión (5.5) respecto a x, teniendo en cuenta que esta variable puede 
aparecer en el límite superior de la integral (5.5), se obtiene: 
 
 ϕ
β β β β β
β
x
o
o
o
l x r
x r
f x r r f x r r
f x
x x r
x( , )( ) ln ( ) ln
( )
,
=
− −
RST
UVW + −
RST
UVW + − −
−
z0 0 2 2 2
0 b g
d , 
 
donde el segundo de los corchetes corresponde a la parte de la derivada que depende del límite 
superior de la integral. Como los corchetes se cancelan entre sí, resulta: 
 
 ϕ
β
β
x
o o
o
l x r
x r
f x x
x x r
( , )
( )
( )
,
=
− −
−
z d2 2
0
2
 . (5.6) 
 
Derivando la expresión (5.5) respecto a r se tiene 
 
 
 
 Capítulo 5 88 
 
0 0
( , ) 1 ( ) ln( ) ( ) lnr
x r
f x r rf x r f x r r
r
ϕ
β β ββ β β β
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨− −− − + − ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
+⎬ 
 +
− + − −
−
− −
−
z 1 2 2 2 22 2 2
0 x x x x r
r
x x r
f x x
o o o
o o
l x r
b g b gβ
β
β
β
( )
,
d . 
 
En esta expresión parte de los corchetes se cancelan entre sí, y en la integral, tras multiplicar y 
dividir por x−xo−[(x−xo]2−β2r2]1/2, se simplifica notablemente el integrando, de modo que se 
obtiene: 
 
 
( )
,
2 2 2
0
0
1( , ) 1 ( )d1 ( )
l x r
o
r o o
o
x x
x r f
rf x r x x rr
β
ϕ
β β
− ⎛ ⎞⎧ ⎫ −⎪ ⎪ ⎜ ⎟= − −⎨ ⎬ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎪ ⎪ − −⎩ ⎭ ⎝ ⎠
∫ x x , 
 
es decir: 
 
 ϕ
β
β
r
o o o
o
l x r
x r
r
x x f x x
x x r
( , )
( ) ( )
( )
,
= −
−
− −
−
z1 2 2
0
d
2
 . (5.7) 
 
 
5.4. EXPRESION DE LA RESISTENCIA DE ONDA 
 
Dividiendo el contorno S2 en anillos de área dσ =2πRdx, el primer término del segundo miembro 
de la ecuación (5.3) proporciona la siguiente expresión: 
 
 
, ,3
4 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 20 0
( )d ( ) ( )d2π d
( ) ( )
l l x R l x R
ONDA
R
f x x x x f x xD x
x x R x x R
β β
β
ρ ε
β β
− −
∞
⎡ ⎤ ⎡ −⎢ ⎥ ⎢=
⎢ ⎥ ⎢− − − −⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ ∫
⎤
⎥
⎥
⎦
 . (5.8) 
 
Introduciendo la nueva variable x′ = x–βR, la expresión (5.8) resulta: 
 
( ) ( )
, ,3
4 1 1 2 2 2
1 1 2 20 0 0
( )d ( ) ( )d2π d
( ) 2 ( ) 2
l R l x l x
ONDA
f x x x R x f x xD x
x x x R x x x x R x
β
βρ ε
β β
− ′ ′
∞
⎡ ⎤ ⎡ ′ + −⎢ ⎥ ⎢ ′=
⎢ ⎥ ⎢′ ′ ′ ′− + − − + −
⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ ∫
⎤
⎥
⎥
⎦
 . (5.9) 
 
Considerada esta última integral como una integral triple, agrupamos ahora la parte del 
integrando en que aparece R, 
 
 F x R x R x
x R x x R x
( , )′ = ′ + −
′ + − ′ + −
β
β β
2
1 22 2b gb g
 , 
 
y vemos qué ocurre con F(x′,R) para valores muy grandes de R. Cuando x′ es del orden de l, (que 
es del orden de magnitud de x1 y x2, x′ ∼ x1∼ x2 ∼ l << βR) F(x′,R) tiende a 1/2. En cambio, para 
valores muy grandes de x′, x′ >> βR, F(x′,R) tenderá a 1. Entre ambos casos extremos F(x′,R) 
 
Capítulo 5 89
variará de una cierta forma continua, no necesariamente monótona, entre los valores 1/2 y 1, 
como se esquematiza en la figura 5.3. 
 
 
Fig. 5.3. Representación esquemática de F(x′,R) para valores muy grandes de R. 
 
Basándonos en lo anterior, para calcular la integral (5.9) dividimos el intervalo 0 ≤ x′ ≤ l3–βR en 
dos partes: 
 
1) 0 ≤ x′ ≤ a, donde a es grande comparado con l, pero mucho menor que βR. En este caso 
pondremos en el integrando de (5.9) el valor F(x′,R) = 1/2. 
 
2) En el caso a ≤ x′ ≤ l3–βR despreciaremos x1 y x2 (que valen a lo sumo l) frente a x′ (que es 
mayor que a). La contribución a la integral que aparece en (5.9) de esta parte del intervalo x′ 
se reduce a: 
 
 
3
4
1 1 2 2
0 0
( )2π ( )d ( )d d 0( 2 )
l R l l
a
x R f x x f x x xx x R
β
βρ ε β
−
∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ =′ ′ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ , 
 
donde se ha tomado l como límite superior en las integrales en x1 y x2, ya que es obviamente 
menor que x'. Como es f(0) = f (l) = 0, será 
 
 ( ) ( )f x x f x x
l l
1 1
0
2 2
0
0d dz z= = , 
 
con lo cual la expresión de la resistencia de onda queda: 
 
 
, ,
4 1 1 2 2
1 20 0 0
( )d ( )dπ d
l x l xa
ONDA
f x x f x xD x
x x x x
ρ ε
′ ′
∞
⎡ ⎤ ⎡
⎢ ⎥ ⎢
⎤
⎥ ′=
′ ′⎢ ⎥ ⎢− −
⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫ ∫ ⎥
⎦
1 
 (5.10) 
F(x’,R) 
x’ 
1/2 
l a βR l3−βR 
 
Antes de seguir con el tratamiento de la ecuación (5.10) conviene comentar la razón de ser de la 
simplificación introducida. Básicamente resulta que, superado un cierto valor de x′, no llega a S2 
la perturbación del obstáculo. Algo parecido ocurre en el régimen supersónico bidimensional 
(Aerodinámica I), donde las perturbaciones quedan localizadas entre las características extremas 
que parten del obstáculo y (dentro de la validez de la teoría potencial linealizada) las condiciones 
de la corriente incidente se recuperan una vez atravesada la característica posterior, tal como se 
ha representado en la figura 5.4a para un perfil lenticular típico. 
 
 
 Capítulo 5 90 
a 
 
Fig. 5.4. Campo lejano, de acuerdo con la teoría potencial linealizada en régimen supersónico. a) movimiento 
bidimensional b) movimiento axilsimétrico. La huella superior representa el flujo de cantidad de 
movimiento. De von Kármán (1963). 
 
En el caso axilsimétrico no ocurre exactamente lo mismo, véase la figura 5.4b. La perturbación 
introducida por el obstáculo no desaparece de forma abrupta al atravesar la característica 
posterior, sino que crece bruscamente para disminuir, tendiendo a cero para un cierto x′ >> l. 
 
La razón de la diferencia entre los casos bidimensional y axilsimétrico es la siguiente: en 
bidimensional la intensidad de la onda depende exclusivamente del cambio de la pendiente de la 
pared del obstáculo. Así, en un perfil rómbico, por ejemplo, hay una onda de expansión en la 
cresta de intensidad doble que la de cada una de las ondas de compresión que aparecen en los 
bordes de ataque y salida. El resultado es que la onda de compresión que parte del borde de 
salida cancela toda la perturbación que incide en ella, devolviendo la corriente a las condiciones 
no perturbadas. 
 
En axilsimétrico, por el contrario, la intensidad de la onda depende del cambio de la pendiente 
de la pared del obstáculo y de la distancia al eje de simetría donde se produce dicho cambio. Un 
cierto cambio en la pendiente ocasionado lejos del eje de simetría produce una onda más débil 
que la misma desviación ocasionada cerca del eje. Por tanto, en un cuerpo de revolución cuya 
línea meridiana sea un rombo, igual a la del perfil bidimensional, la expansión que aparece en la 
sección de área máxima es más débil que la suma de las compresiones causadas en el morro y la 
cola. Como consecuencia, la onda que parte de la cola tiene mayor intensidad que la que haría 
falta para cancelar la perturbación que llega a ella. 
 
Volviendo a la expresión (5.10), integramos primero en la variable x′. El dominio de integración 
está representado en la figura 5.5, el límite inferior de la integración respecto a x′ es la mayor de 
las cantidades x1 ó x2, de modo que: 
 
 d ′
′ − ′ −
= ′ − − + ′ − ′ − =z xx x x x x x x x x x x
x x
a
x x
a
( )( )
ln ( )( )
,
,1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
2 2 
 = − − + − − − −ln ( )( ) ln2 21 2 1 2 1 2a x x a x a x x x . 
 
Además, como a >> x1 ≈ x2 ≈ l, será: 
 
 ln ( )( ) ln2 2 41 2 1 2a x x a x a x a
l
a− − + − − = + 0
FH IK . 
 
b 
 
Capítulo 5 91
a 
x’ 
x2
x1
x1>x2x2>x1
x’=x1 
x2=0 x’=x2 
x1=0 
 
Fig. 5.5. Dominio de integración para el cálculo de la expresión (5.10). 
 
Los límites de integración para x1 y x2 son ahora 0 y l. Al llevar estas expresiones a (5.10) se 
tiene: 
 
4
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0 0
π ln 4 ( )d ( )d ( ) ( ) ln d d
l l l l
ONDAD a f x x f x x f x f x x x x xρ ε∞
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎨ ⎬−
⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ . (5.11) 
 
El primer término del segundo miembro de la expresión (5.11) es nulo, por la misma razón de 
antes. Queda, por tanto: 
 
 4 1 2 1 2 1
0 0
π ( ) ( ) ln d d
l l
ONDAD f x f x x xρ ε∞= − −∫ ∫ 2x x . (5.12) 
 
Integrando por partes, por ejemplo en x1, y teniendo en cuenta que, cuando a < x2 < b, es 
 
 x
dx
x x
x x
a
b
x a
x b1
1 2
1 2 1
1
−
= −z ==ln , 
 
se obtiene finalmente 
 
 4 21 1
1 2
0 0
d ( )π ( ) x d
l l
ONDA
f xD f x
x x
ρ ε∞
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫ x , (5.13) 
 
cuya estructura matemática es análoga a la de la expresión que proporciona la resistencia 
inducida de un ala (Aerodinámica I), hecho ya advertido por von Kármán en 1936. 
 
 
 
 
 
 
 Capítulo 5 925.5. MINIMA RESISTENCIA DE ONDA DE CUERPOS ESBELTOS 
 
La forma de la ecuación (5.13) sugiere utilizar un artificio matemático análogo al que se empleó 
en el desarrollo de la teoría de alas largas. Introduciendo la variable trigonométrica 
 
 x l= +
2
1( cosω ) , 
 
no será difícil minimizar la resistencia de onda desarrollando f(x) en serie de sinnω (este 
desarrollo es, circunstancialmente, el más apropiado porque estamos estudiando el caso en que 
f(0) = f(l) =0, aunque sería igualmente posible un desarrollo en serie de cos nω): 
 
 
1
d( ) sin2π d 2π n
n
U Uf x lx A nω
∞
∞ ∞
=
= − = − ∑S . (5.14) 
 
De acuerdo con la expresión (5.13), será: 
 
 
2 2
4 2 2
1 1
2 11 10 0
cos
sin x sin d
4π cos cos
m
ONDA n
n m
mA m dU lD A n
π π
ω ωρ
ε ω
ω ω
∞ ∞
∞ ∞
= =
⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭
∑ ∑∫ ∫ 1ω ω 
 
2 2
4 2
1
π
8 n
n
U l
nA
ρ
ε
∞
∞ ∞
=
= ∑ . (5.15) 
 
Una vez expresada la resistencia de onda como suma de cuadrados perfectos, para minimizarla 
bastará con anular aquellos términos An que no aparezcan en las ligaduras geométricas. Veamos 
algunos tipos de ligaduras que se pueden expresar fácilmente en función de los coeficientes An. 
 
Para relacionar la distribución de áreas con An, se integra la expresión (5.14) entre x = 0 (ω = π) 
y x genérico (ω genérico), de modo que: 
 
ω
 S( ) sin sinω ξ ξ ξ
π
z= − ∑
=
∞
l A nn
n
2
1
2
d 
 
2
1
2
sin( 1) sin( 1)sin 2(π )4 2 1n
n
n nl A A n n 1
ω ωωω
∞
=
⎡ ⎤+ −⎛= − + + −⎢ ⎥⎜ + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ⎞⎟ . (5.16) 
 
Integrando la expresión (5.16) entre π y 0 obtenemos el volumen, V, del cuerpo: 
 
 [ ]
3 3 2
1 2 1
0
(π ) sin sin d π8 8
Al lV A A A
π
ω ω ω ω ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 2 , (5.17) 
 
donde se han omitido, antes de integrar, aquellos términos que, con seguridad, no contribuyen a 
la integral. 
 
 
 
 
Capítulo 5 93
5.6. LA OJIVA OPTIMA DE VON KARMAN 
 
Supongamos que sean datos tanto la longitud, l, como el área final, S(l). De acuerdo con la 
expresión (5.16), será: 
 
 1 2
4 ( )
π
lA
l
= S , 
 
mientras que la optimización exige que An = 0 para n ≥ 2. La resistencia de la ojiva óptima será, 
de acuerdo con la expresión (5.15): 
 
 
22
4 2 ( )
πONDA
U lD l
ρε ∞ ∞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
S , 
 
y la distribución de áreas: 
 
 ( ) sin 2( ) ππ 2
l ωθ ω⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
SS . (5.18) 
 
Es interesante saber cómo es de sensible al número de Mach, M∞, la forma de la ojiva óptima de 
von Kármán. M∞ no aparece en la expresión (5.18) que, basada en la teoría de cuerpos esbeltos, 
para un cuerpo dado es tanto más aproximada cuanto más cerca esté M∞ de 1. Existe un método 
sencillo, debido a Newton (véase, por ejemplo, Hayes & Probstein (1959), Chernyi (1961)) para 
calcular la distribución de presiones en obstáculos bidimensionales o axilsimétricos cuando 
M∞ → ∞. Con la aproximación newtoniana no es difícil calcular la forma de mínima resistencia 
de onda de una ojiva de revolución de longitud l y radio de la base r(l). La ojiva resultante para 
r(l)/l = 0.1 está representada en la figura 5.6, junto con la ojiva de von Kármán para el mismo 
valor de la relación r(l)/l. La diferencia entre las dos no es excesiva. 
r(x)/r(l) 
Modelo de Newton 
x/l 
1 0,5 0 
0 
0,5 
1 
von Kármán 
Fig. 5.6. Perfil de la ojiva óptima de von Kármán comparado con el de la ojiva óptima newtoniana, para r(l)/l = 0.1. 
En la representación adimensional utilizada las ojivas de von Kármán para distintos valores de r(l)/l 
coinciden en una sola curva. Esto no es enteramente cierto para las distintas ojivas óptimas newtonianas 
aunque para r(l)/l < 0.5 las diferencias entre unas y otras son inapreciables. 
 
 
5.7. EL CUERPO OPTIMO DE SEARS-HAACK 
 
En este caso el área final es nula, pero es dato el volumen, V. Por lo tanto, A1 = 0 y, de acuerdo 
con la expresión (5.17), 
 
 
 
 Capítulo 5 94 
 2 3
16
π
VA
l
= − . 
 
Además, la condición de mínima resistencia exige An = 0 para n ≥ 3. La resistencia de onda del 
cuerpo óptimo de Sears-Haack vale: 
 
 
2 24
4
64
πONDA
U VD
l
ρε ∞ ∞= , 
 
y la distribución de áreas 
 
 34 sin 3 16( ) sin sinπ 3 3π
V V
l l
ωω ω ω⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦S . (5.19) 
 
Hay que observar que tanto la ojiva de von Kármán como el cuerpo de Sears-Haack son 
ligeramente romos. Aunque la teoría de cuerpos esbeltos tiene dudosa aplicación cerca de una 
proa roma, los efectos locales son despreciables siempre que el radio de curvatura de la proa no 
sea excesivamente grande. El llamado "von Kármán spike" es una pequeña protuberancia axial 
fijada a una proa roma, y que sirve para deformar (por efecto viscoso) el campo aerodinámico en 
las proximidades de la proa, haciendo que se asemeje al debido a una proa aguda. 
 
 
5.8. REGLA DEL AREA DE HAYES 
 
Lo contenido hasta ahora en este capítulo se funda en el principio de equivalencia de Oswatitsch-
Keune para cuerpos esbeltos (Capítulo 3). De acuerdo con este principio, para obtener el cuerpo 
esbelto que tenga la misma resistencia de onda que otro de revolución basta distribuir por igual 
en ambos las áreas de las secciones por planos x constante. 
 
El principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune no se puede aplicar cuando el cuerpo no es 
esbelto, por ejemplo en el caso de un fuselaje esbelto con alas de alargamiento medio, pero W.D. 
Hayes lo generalizó de forma que es aplicable a distribuciones de manantiales situados tanto en 
el eje como fuera del eje x. Veremos que la regla de Hayes se reduce formalmente al principio de 
equivalencia de Oswatitsch-Keune cuando M∞ ≈ 1 ó cuando los manantiales están 
suficientemente próximos al eje x. 
 
Para aplicar el método de Hayes se comienza por calcular la resistencia de onda de una 
distribución general de manantiales. Dicha resistencia de onda está relacionada, como se sabe, 
con el flujo radial de la componente axial de cantidad de movimiento a través de una superficie 
cilíndrica circular cuyas generatrices son paralelas al eje x y cuyo radio, R, es muy grande. Como 
ahora el campo lejano no es de revolución, para calcular dicho flujo se divide la superficie 
cilíndrica en bandas con θ = cte, paralelas a las generatrices, y se calcula por separado el flujo a 
través de cada banda. La resistencia de onda será la suma de las contribuciones de cada banda o, 
en otros términos: 
 
 
2π
0
( ) d2π
OCE
ONDA
DD θ θ= ∫ , (5.20) 
 
 
Capítulo 5 95
donde DOCE(θ) sería la resistencia de onda que tendría un cuerpo esbelto hipotético que 
produjese el mismo flujo de cantidad de movimiento. 
 
La ventaja de operar así reside en que, como se verá, es posible desplazar los manantiales que 
generan el campo fluido creado por el cuerpo hasta el eje x para calcular cada DOCE(θ) sin 
modificar su intensidad. Por lo tanto se calculará la contribución de cada banda utilizando la 
teoría ya desarrollada para un cuerpo esbelto de revolución que, en general, será distinto para 
cada banda. 
 
Para trasladar los manantiales, consideremos la contribución al potencial en un punto 
(x,Rcosθ,Rsinθ) situado en la generatriz θ, de un manantial de intensidad f(x1,y1,z1)dx1dy1dz1 
situado en (x1,y1,z1), 
 
 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
( , , )d d dd
( ) ( cos ) ( sin )
f x y z x y z
x x R y R z
ϕ
β θ θ
=
⎡ ⎤− − − + −⎣ ⎦1
 . 
 
Si trasladamos el manantial, manteniendo su intensidad, a un punto (xi,0,0) sin modificar el 
valor, K, del radicando, el potencial no variará. El lugar geométrico de los puntos (x1,y1,z1) que 
mantienen constante el valor K del radicando es un hiperboloide de dos hojas (un hiperboloide 
distinto para cada K) con centro en x = (x,Rcosθ,Rsinθ) y eje en la generatriz θ del cilindro, tal 
como se indica en la figura 5.7. Las ecuaciones de los distintos hiperboloides son: 
 
 
x 
(x1,y1,z1) 
Plano θ x,Rcosθ,Rsinθ 
K=0 
K≠0 
(xi,0,0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.7. Secciones, por el plano θ, de las hojas anteriores de los hiperboloides, para distintos valores de K. Los 
manantiales situados en (x1,y1,z1) no están necesariamente en dicho plano y el punto que aparece en la 
figura representándolo essu proyección sobre él. 
 
 x x R
R
y z
R
y z K− = ± − + + + +1 1 1 2 1
2
1
2
2
21
2 1β θ θ
β
( cos sin ) ( ) , (5.21) 
 
donde el signo + corresponde a la hoja anterior, que es la que vamos a considerar, pues x > x1. El 
caso K = 0 corresponde al cono de Mach con vértice en el punto efecto. 
 
La invariancia de ϕ en el proceso de traslación de los manantiales no implica automáticamente 
las de ϕx y ϕr, que son los factores que realmente intervienen en la expresión integral de la 
resistencia de onda (expresión (5.3)). En efecto, si xi dependiera de x, R y θ, la derivación de ϕ 
respecto a x y respecto a R daría términos adicionales, puesto que sería: 
 ϕ = ϕ(x,R,θ,xi(x1,y1,z1,x,R,θ)) 
 
 
 
 Capítulo 5 96 
de modo que al derivar se obtendría 
 
 d d;d d
i i
i i
x x
x x x x R R x
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂R
1 1− −
 . 
 
 No consideramos la derivación respecto a θ porque ϕθ no aparece en la expresión (5.3). 
 
Sin embargo, no se produce la dependencia mencionada y es inmediato comprobar que cuando 
R → ∞, xi no depende de x ni de R en primera aproximación. En efecto, si en la expresión (5.21) 
se desprecian los términos 0(R–2) se obtiene la ecuación del plano tangente al cono de Mach a lo 
largo de la generatriz situada en el plano θ, (véase la figura 5.8), de ecuación: 
 
z 
xi
y 
x 
θ x
 
Fig. 5.8. Plano tangente al cono de Mach a lo largo del cual hay que deslizar los manantiales hasta su corte con el 
eje y=z=0 para calcular la contribución a la resistencia de onda de la generatriz θ del elemento de control. 
El cono que se muestra es la envolvente de los planos tangentes. 
 
 x y z x R xi1 = − = . (5.22) β θ β θ βcos s
2
in
 
En resumen, para calcular la contribución a la resistencia de onda del flujo de cantidad de 
movimiento a través de la generatriz situada entre θ y θ + dθ se corta por planos dados por la 
ecuación (5.22), un plano para cada xi, y se trasladan al punto (xi,0,0) todos los manantiales 
situados entre los planos correspondientes a xi y xi + dxi, con la misma intensidad que tenían en 
sus puntos de partida. 
 
Es claro que la ley de traslación y, por tanto, la forma del cuerpo esbelto resultante, dependen del 
número de Mach, y del ángulo θ. Si dividimos el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π en n 
partes iguales, tendremos n cuerpos esbeltos distintos (aunque consideraciones de simetría 
reduzcan este número a n/2 ó n/4). La media de las n resistencias será, para el β considerado, la 
resistencia de onda del cuerpo. Ahora la resistencia de onda del cuerpo sí depende de M
β = −∞( )
/M 2 11
∞, a 
diferencia de lo que ocurre cuando el cuerpo es esbelto. 
 
 
5.9. MANANTIALES QUE REPRESENTAN UN ALA SIMETRICA 
 
Vamos a tratar aquí sólo problemas no sustentadores. El efecto del problema sustentador, que no 
presenta dificultades insuperables en su desarrollo, puede verse en Ashley & Landahl (1965), pp. 
183-185. 
En el Capítulo 3, en la ecuación (3.26) se obtuvo la intensidad de los manantiales supersónicos 
que hay que distribuir por unidad de longitud a lo largo del eje para representar un cuerpo 
 
Capítulo 5 97
esbelto de revolución. En el caso de un ala, la intensidad de los manantiales supersónicos que 
hay que distribuir, por unidad de área en el plano z1 = 0, para representar el efecto de espesor de 
un ala en régimen supersónico es −w/π, es decir 
 
 1 1( , ) π
pzUf x y x
∞ ∂= − ∂ . (5.23) 
 
Para trasladar los manantiales del ala simétrica, consideremos el caso, tal como se muestra en la 
figura 5.9, de un ala plana, delgada, simétrica respecto a z1 = 0, cuyos bordes de ataque y salida 
tienen espesor nulo y que se representa mediante manantiales de intensidad por unidad de área 
dada por la ecuación (5.23), situados en z1 = 0. Las rectas a lo largo de las que hay que deslizar 
los manantiales son: 
 
 
Fig. 5.9. Secciones de un ala delgada por planos dados por (5.24). 
 
 
 x y i1 1− = xβ θcos . (5.24) 
 
En el caso de la figura 5.9 los manantiales llegados a (xi,0,0) tienen una intensidad total, por 
unidad de longitud de eje: 
 
 ( , ) d 2 d2
y yB B
p
i p
y yA A
zU Uf x yx xθ π π
∞ ∞∂ ∂= − = −∂ ∂ z y∫ ∫ , (5.25) 
 
donde el intercambio de orden de integración y derivación está justificado pues, como se ha 
supuesto, zp(yA) = zp(yB) = 0. 
 
La integral que aparece en el tercer miembro de la expresión (5.25) es el área de la sección del 
ala que se obtiene al cortar ésta con el plano de expresión (5.24), vista paralelamente al eje x. La 
intensidad, por unidad de longitud de eje x, de los manantiales que representan el efecto de 
espesor de un ala delgada está dada por una expresión que es formalmente idéntica a la expresión 
(5.14). La diferencia de que para el fuselaje la intensidad de los manantiales se obtenga mediante 
secciones normales al eje, mientras que en el ala son secciones oblicuas es sólo aparente, puesto 
que el fuselaje es esbelto. Obsérvese que en general habrá que poner distribuciones de 
manantiales en el eje de una longitud mayor que la que ocupa la propia ala. Véase por ejemplo el 
punto xi2 de la figura 5.9. 
 
En lo sucesivo utilizaremos las expresiones (5.12) ó (5.13) para calcular la contribución a la 
resistencia de onda de la generatriz θ, pero ahora será: 
 
x 
xi2
y 
xi1
yB
yA
 
 
 Capítulo 5 98 
 ( , ) ( ) ( , )2πi f i w
Uf x x xiθ θ∞ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦S S , (5.26) 
 
donde Sf representa el área de las secciones normales del fuselaje y Sw el área de las secciones 
oblicuas del ala. 
 
Los límites de integración pueden no coincidir con los del fuselaje. Habrá que ver dónde cortan 
al eje los planos tangentes a los conos de Mach que contienen los extremos del ala, los cuales en 
general varían al variar θ. 
 
En la figura 5.10 (Harris, 1963) se muestran los resultados obtenidos en el cálculo del coeficiente 
de resistencia de onda de un cuerpo de revolución empleando la teoría de cuerpos esbeltos, el 
método de las características y la regla del área, junto con resultados experimentales. El método 
de las características presenta el mejor acuerdo con los resultados experimentales, la teoría de 
cuerpos esbeltos (que utiliza la ley de áreas obtenida a partir de las secciones rectas) se comporta 
bien cerca de M∞ = 1, pero al aumentar M∞ sobrevalora la resistencia. La influencia del número 
de Mach aumenta al aumentar el espesor relativo (ya que los cuerpos son menos esbeltos). 
 
Obsérvese que los resultados obtenidos mediante la regla del área reproducen el efecto del 
número de Mach. 
 
0,16 
0,08 
0 
0,08 
0 
0 
0,08 
0 1 2 3 4 
cD
cD
cD
M∞
a 
b 
c 
1 
1 
S(x)/Smax
x/l 
d 
 
Fig. 5.10. Coeficiente de resistencia de onda de cuerpos de revolución de diferentes espesores relativos F (a: F = 
1/7; b: F = 1/10; c: F = 1/13), cuya ley de áreas, S(x), se representa en d). Línea continua: método de las 
características. Línea discontinua corta: teoría de cuerpos esbeltos. Línea discontinua larga: regla del 
área. 
 
 
 
5.10. OPTIMIZACION DEL FUSELAJE DE UN AVION DE ALA DADA 
 
 
Capítulo 5 99
Vamos a tratar de minimizar la resistencia de onda de un avión formado por un fuselaje de 
revolución y un ala simétrica dada, que no puede ser modificada en el proceso de optimización. 
Vamos a suponer además que la longitud del fuselaje es suficientemente grande comparada con 
la envergadura de las alas como para no exceder, para ningún θ, los límites de integración 0,l. 
 
De acuerdo con las expresiones (5.12), (5.20) y (5.26), será: 
 
2π
42
1 1 2 2 1 2 1 22
0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( , ) ln d d d
8π
l l
ONDA f w f wD U x x x x x x x xερ θ θ∞ ∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ S S S S θ . 
 (5.27) 
 
Representamos la contribución del ala mediante un desarrollo en serie de Fourier simétrico 
respecto a los dos ejes, θ = 0, θ = π/2. 
 
 ( , ) ( ) cosSw i n i
n
x B xθ θ=
=
∞
∑ 2
0
n . 
 
Con ello el integrando de la expresión (5.27) constará de tres tipos de términos: 
 
1. Independientes de θ: 
 
 1 0 1 2 0 2( ) ( ) ( ) ( )f fx B x x B x⎡ ⎤ ⎡+ +⎣ ⎦ ⎣SS ⎤⎦ . 
 
2. Proporcionales a cos2nθ, que van a desaparecer al integrar en θ: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) cosS Sf n f n
n
x B x x B x n1 2 2 1
1
2+
=
∞
∑ θ . 
 
3. Proporcionales a cos22nθ, que no desaparecen al integrar, pero que, como dependen sólo del 
ala, no son modificables y dan una contribución fija a la resistencia: 
 
 . ( ) ( ) cosB x B x nn n
n
1 2
2
1
2 θ
=
∞
∑
 
Hay además términos en cos2pθ cos2qθ que no contribuyen a la integral. 
 
Hemos reducido el problema a minimizar integrales en las que no aparece θ; la distribución de 
áreas Sf(x1) + B0(x1) deberá coincidir con la de un cuerpo esbelto de revolución que, cumpliendo 
las ligaduras correspondientes, tenga mínima resistencia de onda. Por lo tanto, se trata de 
optimizar el cuerpo esbelto suma del fuselaje y un promedio azimutal de las contribuciones del 
ala. 
 
 
La regla del área de Hayes en la forma explicada en este Capítulo se aplica para calcular la 
resistencia de onda de configuraciones no esbeltas: aviones, alas planas no sustentadoras, 
 
 
 Capítulo 5 100 
carenas axilsimétricas o alas-canal, aviones volando en formación, depósitos o bombas próximos 
entre sí, etc. 
 
Sobre el cálculo de la resistencia de onda de aviones convencionales existe abundante literatura; 
véase Jumper (1983), donde se presenta un método simplificado de cálculo, así como 
bibliografía adicional. 
 
La resistencia de onda de alas de forma en planta elíptica y perfil lenticular ha sido calculada por 
Jones (1956), quien también ha utilizado la idea de superponer manantiales negativos (que dan 
lugar a volúmenes negativos pero resistencias positivas) para calcular el efecto en la resistencia 
de disminuciones locales de área. También Lock (1957) calculó la resistencia de onda de alas 
simétricas de forma en planta rectangular. 
 
La interferencia de dos o más cuerpos de Sears-Haack ha sido considerada por Nielsen (1985). 
Nielsen parte de una expresión análoga a la (5.27) para calcular la resistencia de onda de dos 
cuerpos, integra analíticamente respecto a x1 y x2 y numéricamente la integral respecto a θ, que 
es bastante complicada. La resistencia mínima del conjunto es 1.12 veces la de un sólo cuerpo 
(44% de reducción de la resistencia por interferencia favorable). Con seis cuerpos la reducción 
es de 49.5% y con más se puede llegar hasta el 53.4%. 
 
 
REFERENCIAS 
 
Ashley, H., Landahl, M.L., “Aerodynamics of Wings and Bodies”, Addison-Wesley Publishing 
Company, Reading, Mass., 1965, pp. 99-123 y 173-191. 
 
Brown, C.E., "Aerodynamics of Bodies at High Speeds", en "High Speed Aerodynamics and Jet 
Propulsion", Donovan A.F. y Lawrence, H.R., Eds., Vol. VII, 1957, pp. 244-280. 
 
Chernyi, G.G., “Introduction to Hypersonic Flow”, Academic Press, New York, 1961, Chap. III, 
pp. 105-112. 
 
Ferrari, C., "Interaction Problems", en "High Speed Aerodynamics and Jet Propulsion", Donovan 
A.F. y Lawrence, H.R., Eds., Vol. VII, 1957, pp. 343-360. 
 
Harris, R.V., "An Analysis and Correlation of Aircraft Wave Drag", NASA TM-X-905, 1963. 
 
Hayes, W.D., Probstein, R., “Hypersonic Flow Theory”, 1st ed., Academic Press, New York, 
1959, Chap. III, pp. 93-109. 
 
Jones, R.T., “Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speeds”, NACA Report No. 1284, 1956. 
 
Jumper, E.J., “Wave Drag Prediction Using a Simplified Supersonic Area Rule”, J. Aircraft, Vol. 
20, No. 10, Oct. 1983, pp. 893-895. 
 
von Kármán, T., “From Low Speed Aerodynamics to Astronautics”, Pergamon Press, Oxford, 
1963, p. 15. 
 
 
Capítulo 5 101
Lock, R.C., “A Note on the Application of the Supersonic Area Rule to the Determination of the 
Wave Drag of Rectangular Wings”, J. Fluid Mech., Vol. 2, Part 6, 1957, pp. 575-582. 
 
Nielsen, J.N., “Arrays of Bodies of Revolution for Minimum Wave Drag”, J. Aircraft, Vol. 22, 
No. 10, Oct. 1985, pp. 901-909. 
 
Nielsen, J.N., "Missile Aerodynamics", McGraw-Hill, 1960. 
 
A. Laverón Simavilla Página 36 
 
CAPÍTULO 2. TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE 
ALAS EN RÉGIMEN SUPERSÓNICO 
1. INTRODUCCIÓN 
La aproximación de flujo incompressible para la resolución de problemas aeronáuticos ha sido 
empleada desde los inicios de la aerodinámica con excelentes resultados. De hecho, el estudio 
de los perfiles aerodinámicos de alas y rotores se hizo en la primera mitad del siglo XX 
asumiendo una simplificación adicional, el estudio de pequeñas perturbaciones linealizando el 
problema. Incluso esta simplificación adicional ofrecía resultados excelentes añadiendo en 
ciertos casos, como la entrada en pérdida y la resistencia, los efectos no viscosos mediante otras 
consideraciones. Por ejemplo, la restricción de la viscosidad a una zona pequeña cercana a la 
superficie del obstáculo, mediante la teoría de la capa límite. 
Siguiendo el mismo método de trabajo, con el desarrollo de los aviones de alta velocidad se 
desarrollaron métodos que corregían los resultados del flujo incompresible. Pero en seguida se 
constató la necesidad de desarrollar una nueva teoría para poder obtener resultados aceptables 
en este régimen de vuelo, ya que las correcciones al modelo incompresible no proporcionaban 
buenos resultados. 
La razón fundamental de la necesidad de una nueva teoría es que en el flujo incompresible las 
perturbaciones en la presión y velocidad, se propagan instantáneamente a todos los puntos del 
espacio, es decir, se propagan con velocidad infinita. Sin embargo en flujo compresible las 
perturbaciones en la presión y velocidad se propagan con velocidad finita: la velocidad del 
sonido local. En el caso en que el obstáculo se mueva a velocidad cercana a la del sonido, y 
menor que esta, la propagación de las perturbaciones en la velocidad sólo alcanzarán una zona 
pequeña por delante del obstáculo. En el caso de movimiento supersónico, las perturbaciones en 
la presión nunca podrán rebasar al obstáculo, lo que constituye una diferencia sustancial 
respecto al movimiento subsónico. 
En la Figura 20 se muestra cómo es la propagación de las perturbaciones en la presión debidas a 
una perturbación elemental, manantial, que se desplaza con una cierta velocidad, ��, subsónica. 
La velocidad de propagación es la del sonido, y en teoría de perturbaciones puede aproximarse 
por la velocidad del sonido en el infinito, �� . Por ello en sucesivos instantes de tiempo, 
��� ���� ���, la perturbación va propagándose más rápidamente que la velocidad de avance del 
manantial. Como se ve en la figura, en este caso el mecanismo de propagación ha roto la 
simetría del caso incompresible y se produce una concentración de la perturbación aguas arriba 
del obstáculo, causante del efecto Doppler. A pesar de las diferencias, la estructura de la 
solución es similar a la del problema compresible y en el modelo de la teoría de pequeñas 
perturbaciones puede obtenerse la solución del problema compresible a partir de la solución 
incompresible. 
A. Laverón Simavilla Página 37 
 
Figura 20. Propagación de las perturbaciones de la presión desde un manantial 
elemental que se mueve a velocidad 	�, siendo la velocidad del sonido 
� � 	�. 
En la Figura 21 la velocidad de propagación es menor que la velocidad de avance del manantial, 
por lo que la perturbación nunca lo alcanzará. En este caso, la perturbación queda confinada al 
interior de un cono dentro del cual se encuentran todas las esferas emitidas por los puntos por 
los que ha pasado la perturbación en instantes anteriores. Este cono es el cono de Mach, frontera 
entre la zona perturbada de la que no lo está, y constituye la zona en la que se concentran las 
perturbaciones. Esta solución tiene una estructura muy diferente al caso subsónico y por tanto 
debe aplicarse una teoría específica, no es posible obtener soluciones mediante correcciones al 
modelo incompresible. 
Figura 21. Propagación de las perturbaciones de la presión desde un manantial elemental que se 
mueve a velocidad 	�, siendo la velocidad del sonido 
� � 	�. 
De la la Figura 22 se deduce el valor del semiángulo del cono de Mach en funcióndel número 
de Mach de la corriente no perturbada 
 
2
2
11 1 1
sin y cos tan
1
Ma
U M M M
γ γ γ
β
∞∞
∞ ∞ ∞ ∞
−
= = = ⇒ = =
−
 (62) 
A. Laverón Simavilla Página 38 
 
U t∞
a t∞
 
Figura 22. Cono de Mach. 
2. LINEALIZACIÓN DEL PROBLEMA SUPERSÓNICO 
Al igual que en el caso de movimiento irrotacional incompresible y subsónico, para régimen 
supersónico puede linealizarse la ecuación del potencial de velocidades obteniéndose una 
ecuación muy semejante a la ecuación de onda. Al linealizar el problema, éste puede reducirse a 
la superposición de singularidades elementales de forma que se reproduzcan las condiciones de 
contorno. 
Mediante la teoría linealizada pueden calcularse de forma sencilla las distribuciones de 
velocidad y presión, así como las fuerzas globales sobre los perfiles, alas o cuerpos. De hecho 
esta sencilla teoría permite calcular la Resistencia de Onda, que es una resistencia asociada al 
movimiento supersónico, no encontrándose en subsónico. En movimiento incompresible la 
resistencia aerodinámica es nula, tal y como se deduce del teorema de d’Alembert. La influencia 
de los efectos de compresibilidad en régimen subsónico, se limita a aumentar la magnitud de las 
velocidades de perturbación, sin cambiar la estructura de la solución incompresible. Sin 
embargo la estructura de la solución supersónica es muy diferente y se produce un flujo neto de 
cantidad de movimiento en la dirección de la corriente incidente no perturbada a través de la 
superficie lateral del infinito, que da lugar a la llamada Resistencia de Onda. 
La linealización del problema asume que las perturbaciones en las variables son infinitamente 
pequeñas y no tiene en cuenta posibles discontinuidades en la solución, es decir, la existencia de 
ondas de choque. Para poder considerarlas es necesario recurrir a teorías de orden superior. La 
influencia de las ondas de choque en la resistencia aerodinámica es evidente, ya que aunque la 
presión aguas abajo recupere el valor de la presión aguas arriba, el valor de la velocidad no 
puede recuperarse debido al cambio en la presión de remanso inducido por la onda de choque. 
Esto hace que pueda parecer que existe una Resistencia de Choque similar a la Resistencia de 
Onda. Lo cierto es que esto no es así y la Resistencia de Onda ofrece una buena aproximación a 
la resistencia real de los obstáculos en flujo supersónico, es decir, no existen dos resistencias 
una de Onda y otra de Choque aditivas, sino que la Resistencia de Onda permite calcular de 
forma simplificada la resistencia del movimiento supersónico que en realidad es debida a la 
existencia de la onda de choque. El fenómeno es similar al que se tiene con la resistencia 
inducida que puede calcularse mediante la teoría del plano de Trefftz aunque la distribución de 
velocidades en el plano del infinito aguas abajo en realidad es muy diferente al del modelo. 
A. Laverón Simavilla Página 39 
 
3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA LINEALIZADO 
Linealizando el potencial de velocidades para un ala volando en régimen supersónico, tomando 
un sistema de referencia tal que la velocidad incidente no perturbada está alineada con el eje x, 
se tiene 
 ( ) ( ), , , , ,x y z U x x y zϕ∞Φ = + con U cϕ ∞≪ , (63) 
donde U∞ es la velocidad de la corriente incidente no perturbada, y c es la longitud 
característica de la cuerda de los perfiles del ala. 
La ecuación que debe cumplir el potencial de perturbación linealizado, ϕ , es 
 ( )21 0xx yy zzM ϕ ϕ ϕ∞− + + = , (64) 
y las condiciones de contorno son 
( )
( )
, ,0 d
,
d
x e
e
x y z
x y
U x
ϕ
λ
+
∞
= = y 
( )
( )
, ,0 d
,
d
z i
i
x y z
x y
U x
ϕ
λ
−
∞
= = con , F.P.x y∈ (65) 
 ( ), , 0x y zϕ = en el infinito aguas arriba. 
De la ecuación de Euler-Bernoulli se obtiene el coeficiente de presión en función del potencial 
de velocidades de perturbación 
 
2 x
pC
U
ϕ
∞
= − . (66) 
Esta forma de la ecuación para el potencial de perturbación sólo es válida cuando el coeficiente 
del primer término es de orden unidad, por tanto no es válido en régimen transónico 
21 0M ∞− ≈ , ni en régimen hipersónico 1M∞ ≫ . 
Aunque esta ecuación puede parecer similar a la que se tiene en régimen compresible subsónico, 
nada más lejos de la realidad. En este caso la ecuación diferencial es hiperbólica, mientras que 
en régimen subsónico es elíptica, lo que cambia completamente el carácter de la solución. Por 
ello, antes de tratar de resolver el problema es necesario tener en cuenta una serie de 
consideraciones previas. 
4. BORDES DE ATAQUE/SALIDA SUPERSÓNICOS Y SUBSÓNICOS 
Los bordes de las alas se clasifican como subsónicos o supersónicos dependiendo de la 
magnitud de la proyección de la velocidad de la corriente incidente no perturbada en la 
dirección normal al mismo: 
1. Un borde supersónico es aquel en que la proyección de la velocidad en la dirección 
normal al borde es supersónica. 
2. Un borde subsónico es aquel en que la proyección de la velocidad en la dirección 
normal al borde es subsónica. 
A. Laverón Simavilla Página 40 
 
Si las rectas x = x1 ± βy , donde x1 es una constante, son tangentes al borde del ala en algún 
punto, entonces en ese punto la velocidad normal será a∞, como se muestra a continuación 
 
 
� 
V ⋅
� 
N =U∞ sinγ
tanγ =
1
β
⇒ sinγ =
1
1+ β 2
=
β 2=M∞
2−1
�
1
M∞
 
 
 
 
 
⇒
� 
V ⋅
� 
N =
U∞
M∞
= a∞
 (67) 
Estos puntos separan el borde de ataque supersónico del subsónico. En la Figura 23 se muestra 
un esquema con las proyecciones de la velocidad de la corriente incidente no perturbada en el 
borde de ataque, en un borde de ataque supersónico y en el punto del borde de ataque en que la 
velocidad normal es a∞. 
γ
1
arctanγ
β
=
a∞
 
Figura 23. Esquema de la velocidad normal al borde de ataque en el punto del borde de ataque 
sónico y en puntos con borde de ataque supersónicos 
 
En la Figura 24 se muestra los distintos bordes de ataque/salida subsónicos/supersónicos que 
pueden encontrarse en un ala volando en régimen supersónico. 
A. Laverón Simavilla Página 41 
 
Borde de 
salida 
supersónico
Borde de 
ataque 
supersónico
Borde de 
ataque 
subsónico
Borde de 
ataque 
subsónico
Borde de 
salida 
subsónico
Borde de 
salida 
subsónico
U∞
( )arctan 1 β
Figura 24. Esquema de los bordes de ataque y salida subsónicos y supersónicos de un ala de 
forma en planta genérica. 
5. SINGULARIDADES ELEMENTALES EN FLUJO SUPERSÓNICO 
Existen una serie de soluciones elementales de la ecuación (64) que reciben nombres análogos a 
las singularidades elementales ya conocidas del flujo subsónico: 
1. Potencial de perturbación en ( ), ,x y z producido por un manantial supersónico de 
intensidad unidad situado en el punto ( ), , 0o ox y 
 ( )
( ) ( )2 22 2
1 1
, ,
2
o o
x y z
x x y y z
ϕ
π β
= −
 − − − + 
 (68) 
2. Potencial de perturbación en ( ), ,x y z producido por una herradura de torbellinos 
supersónica de intensidad unidad situada en el punto ( ), , 0o ox y 
 ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
1
, ,
2
o
o o o
z x x
x y z
y y z x x y y z
ϕ
π β
−
= −
   − + − − − +   
 (69) 
3. Potencial de perturbación en ( ), ,x y z producido por un doblete supersónico de 
intensidad unidad situado en el punto ( ), , 0o ox y 
 ( )
( ) ( ){ }
2
3 2
2 22 2
1
, ,
2
o o
z
x y z
x x y y z
β
ϕ
π β
=
 − − − + 
. (70) 
A. Laverón Simavilla Página 42 
 
6. CONO DE MACH Y BORDES DE ATAQUE Y SALIDA 
SUBSÓNICOS Y SUPERSÓNICOS 
Todas las soluciones elementales citadas contienen el término 
 ( ) ( )2 22 2o ox x y y zβ  − − − +  , (71) 
que sólo es real para puntos ( ), ,x y z que se encuentren dentro del cono de Mach anterior o 
posterior del punto ( ), , 0o ox y . Además, debido a que las perturbaciones en régimen 
supersónico sólo se propagan aguas abajo, los únicos puntos que reciben la perturbación 
producida por la singularidad situada en ( ), , 0o ox y , son los que se encuentran dentro de 
semicono de Mach posterior convértice en la singularidad, como se muestra en la Figura 25. 
 
Arctan(1/b)
(x0, y0, z0)
Punto que produce la perturbación
(x, y, z) 
Radicando positivo
Carente de sentido físico
(x, y, z) 
Radicando positivo
Con sentido físico
Puntos que captan la perturbación
(x, y, z) 
Radicando negativo
Carente de sentido físico
 
Figura 25. Cono de Mach con vértice en la singularidad. 
 
De forma similar, si se considera el cono de Mach con vértice en el punto ( ), ,x y z , se 
comprueba que el término (71) sólo es positivo para los puntos ( ), , 0o ox y que se encuentran en 
el interior de dicho cono. Esto significa que el punto ( ), ,x y z sólo se ve afectado por las 
singularidades que se encuentran dentro del cono de Mach anterior con vértice en él, como se 
muestra en la Figura 26. 
A. Laverón Simavilla Página 43 
 
(x, y, z)
Punto perturbado
(x0, y0, z0) 
Puntos que perturban
(x0, y0, z0) 
Radicando negativo
Carente de sentido físico
(x0, y0, z0) 
Radicando positivo
Carente de sentido físico
( )arctan 1 β
Figura 26. Cono de Mach anterior centrado en el punto en que se evalúa la perturbación. 
 
7. DISTRIBUCIÓN DE SINGULARIDADES EN EL PLANO DEL ALA 
Al igual que en el caso subsónico, se puede obtener el potencial de velocidades de perturbación, 
mediante una distribución adecuada de singularidades sobre la forma en planta del ala y de la 
estela. 
Se comprueba en la Figura 27 que la intersección del cono de Mach con vértice en el punto 

�� �� �� con el plano del ala, z=0, es una hipérbola. Por tanto, el punto situado en el vértice del 
cono sólo se verá afectado por los puntos del plano que se encuentran en la zona que está aguas 
arriba de esa hipérbola. 
En el caso de que el cono de Mach tenga vértice en un punto del plano del ala 
�� �� ��, su 
intersección con el plano del ala son dos rectas de pendiente �� �� . Por ello el punto situado en 
el vértice del cono sólo se verá afectado por los puntos del plano que se encuentran aguas arriba 
de dichas rectas. 
A. Laverón Simavilla Página 44 
 
 
Figura 27. Intersección del cono de Mach con planos z=cte. 
En la Figura 28 se representa la forma en planta de un ala, a partir de la figura se muestra que la 
zona del plano del ala perturbada es la que se encuentra aguas abajo de las rectas de pendiente 
1 β tangentes al ala y aguas abajo del borde de ataque supersónico y subsónico. 
 
M∞
 
Figura 28. Forma en planta de un ala y distintas zonas que se pueden reconocer. 
La importancia de la distinción entre bordes supersónicos y subsónicos radica en que un punto, 
P, como el mostrado en la Figura 29, afectado por un borde de ataque supersónico, es decir, que 
en su cono de Mach anterior sólo hay un borde de ataque supersónico, no estaría afectado por 
perturbaciones fuera del ala. Se comprueba que todos los puntos situados fuera del ala y dentro 
de su cono de Mach anterior no están perturbados. 
A. Laverón Simavilla Página 45 
 
 
Figura 29. Punto sobre el extradós del ala afectado por un borde de ataque supersónico. 
 
Sin embargo, los puntos afectados por bordes de ataque o salida subsónicos, como el punto P 
representado en la Figura 30, sí estarán afectados por perturbaciones fuera del ala, como las 
producidas por el punto Q. 
∞
U∞
 
Figura 30. Representación de un punto P del extradós del ala afectado por un borde de ataque 
subsónico. 
 
Los únicos puntos afectados por la estela del ala, punto Q en la Figura 31, son los que tienen 
dentro de su cono de Mach anterior un borde de salida subsónico, como se desprende de dicha 
figura. 
A. Laverón Simavilla Página 46 
 
U∞
 
Figura 31. Punto del ala afectado por la estela. 
 
8. DESCOMPOSICIÓN DEL PROBLEMA EN SIMÉTRICO Y 
ANTISIMÉTRICO 
De forma similar a como se hiciera en el caso subsónico, se pueden aprovechar las propiedades 
de simetría y antisimetría de las condiciones de contorno del problema, para encontrar la 
distribución de singularidades sobre la forma en planta de ala y la estela, que hace que se 
cumplan las condiciones de contorno sobre ellas. 
Separando la condición de contorno sobre el ala en suma de otras dos, una simétrica y otra 
antisimétrica, se obtienen los siguientes problemas: 
A. SIMÉTRICO (ESPESOR) 
Se resuelve mediante una distribución de manantiales supersónicos de intensidad ( ),o oq x y por 
unidad de superficie sobre la forma en planta del ala, cuyo potencial de velocidades es 
 ( ) ( )
( ) ( )2 22 2
,1
, , d d
2
o o
o o
S
o o
q x y
x y z x y
x x y y z
ϕ
π β
= −
 − − − + 
∫∫ , (72) 
siendo la intensidad de los manantiales 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d ,
, , 2 , 2 2 ,
d
e o o
o o o o e o o e o o
o
z x y
q x y w x y w x y U U x y
x
λ∞ ∞= ∆ = = = , (73) 
y finalmente se tiene 
 ( ) ( )
( ) ( )2 22 2
,
, , d de o o o o
S
o o
x yU
x y z x y
x x y y z
λ
ϕ
π β
∞= −
 − − − + 
∫∫ . (74) 
A. Laverón Simavilla Página 47 
 
La superficie S es la parte de la forma en planta del ala que se encuentra dentro del cono de 
Mach anterior del punto ( ), ,x y z , ya que sólo la forma en planta del ala soporta un salto de 
velocidad vertical de perturbación. 
En el caso simétrico basta con resolver una integral de superficie para poder obtener el potencial 
de velocidades, y con él la distribución de presiones, conocida la forma del ala. Sin embargo 
sería necesario resolver una ecuación integral para resolver el problema inverso. 
B. ANTISIMÉTRICA (CURVATURA Y ÁNGULO DE ATAQUE) 
Se resuelve mediante una distribución de torbellinos supersónicos de intensidad ( ),o ox yγ por 
unidad de superficie, cuyo potencial de velocidades es 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
,
, , d d
2
o o o
o o
S
o o o
x y x xz
x y z x y
y y z x x y y z
γ
ϕ
π β
−
= −
   − + − − − +   
∫∫ . (75) 
siendo la intensidad de los torbellinos 
 ( ) ( ) ( ) ( ), , 2 , ,o o o o e o o pe o ox y u x y u x y U C x yγ ∞= −∆ = − = , (76) 
y finalmente se tiene 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
,
, , d d
2
pe o o o
o o
S
o o o
C x y x xzU
x y z x y
y y z x x y y z
ϕ
π β
∞
−
= −
   − + − − − +   
∫∫ . (77) 
La superficie S es la parte de la forma en planta del ala que se encuentra dentro del cono de 
Mach anterior del punto ( ), ,x y z , ya que sólo en la parte del plano z=0 donde tenemos ala se 
puede tener un salto de presión. 
O mediante una distribución de dobletes supersónicos de intensidad ( ),o om x y por unidad de 
superficie, cuyo potencial de velocidades es 
 ( ) ( )
( ) ( ){ }
2
3 2
2 22 2
,
, , d d
2
o o
o o
S
o o
m x yz
x y z x y
x x y y z
β
ϕ
π β
=
 − − − + 
∫∫ , (78) 
siendo la intensidad de los dobletes 
 ( ) ( ), ,o o o om x y x yϕ= −∆ . (79) 
La superficie S es la parte de la forma en planta del ala y la estela que se encuentra dentro del 
cono de Mach anterior del punto ( ), ,x y z , ya que sólo en la forma en planta del ala y en la 
estela se puede producir un salto en el potencial de velocidades de perturbación. 
En el caso antisimétrico basta con resolver una integral de superficie para poder obtener el 
potencial de velocidades, y con él la forma del ala, conocida la distribución de presiones sobre 
el ala o la distribución de circulación sobre el ala. Sin embargo sería necesario resolver una 
A. Laverón Simavilla Página 48 
 
ecuación integral para resolver el problema directo. Las integrales que se deben resolver en el 
caso antisimétrico son más complejas que las del caso simétrico, y por ello no se resuelven 
analíticamente, sino numéricamente. 
9. RELACIÓN ENTRE LA FORMA DEL ALA Y LA INTENSIDAD DE 
LOS MANANTIALES QUE MODELIZAN UN ALA SIMÉTRICA EN 
RÉGIMEN SUPERSÓNICO 
En lo que sigue se demuestra la relación entre el resultado avanzado en la ecuación (73). 
Mediante la ecuación (65) se puede relacionar la forma del ala con la distribución de 
manantiales que se deben emplear para modelizar dicho ala. Para ello se deberá calcular la 
velocidad vertical que induce una distribución de manantiales plana cualquiera sobrelos puntos 
de la distribución. En particular, tomando una distribución de manantiales de intensidad por 
unidad de superficie q(xo,yo,0), el potencial de velocidades que induce en un punto P(x,y,z) un 
diferencial de superficie de la distribución de manantiales situado en ( ), ,0o ox y , viene dado por 
la siguiente expresión 
 ( ) ( )
( ) ( )2 22 2
,1
, ,
2
o o o o
o o
q x y dx dy
d x y z
x x y y z
ϕ
π β
= −
 − − − + 
. (80) 
Derivando en la expresión del potencial de velocidades se obtiene la velocidad vertical inducida 
en el punto P 
 ( ) ( )
( ) ( )( )
2
2 22 2
,1
, ,
2
o o o o
o o
q x y zdx dy
dw x y z
x x y y z
β
π β
= −
− − − +
. (81) 
Esta expresión muestra que la velocidad inducida por un elemento diferencial de la distribución 
de manantiales situado en (xo, yo, 0) es nula en todos los puntos del plano z=0 distintos de sí 
mismo. Es decir 
 ( ) ( ) ( ), , 0 , ,0 d , ,0 0o ox y x y w x y∀ ≠ ⇒ = . (82) 
Este es un resultado muy importante porque implica que se puede calcular la velocidad vertical 
sobre un punto del plano 0z = sin considerar las intensidades del resto de los manantiales. 
Sólo es necesario conocer la intensidad del manantial situado en el punto en que se calcula la 
velocidad vertical. Por tanto, hay una relación directa entre la velocidad vertical en un punto del 
plano 0z = y la intensidad del manantial situado en ese punto. Además, si el resto de los 
manantiales de la distribución no influyen en la velocidad vertical en el punto P, para calcular 
dicha velocidad, se puede reemplazar la distribución de intensidades por otra definida como 
sigue 
 
( ) ( ) [ ] [ ]
( ) [ ] [ ]
, , en , ,
, 0 en , ,
o o o o
o o o o
q x y q x y x x b x b y y a y a
q x y x x b x b y y a y a
 = ∈ − + ∈ − +

= ∉ − + ∉ − +
ɶ ∩
ɶ ∪
 (83) 
donde a y b son las constantes representadas en la Figura 32. Con esta distribución de 
intensidades se calcula el potencial de velocidades auxiliar, ϕɶ , más fácil de calcular que el 
A. Laverón Simavilla Página 49 
 
potencial de velocidades ya que la nueva distribución de singularidades tiene intensidad 
constante en el dominio de integración y se tiene 
 ( ) ( )
( ) ( )( )2 22 2
,
, ,
2
o o
S
o o
q x y dx dy
x y z
x x y y z
ϕ
π β
= −
− − − +
∫∫ɶ , (84) 
dónde S es la superficie del ala que se encuentra dentro del cono de Mach anterior del punto P 
como se muestra en la Figura 32. 
 
Figura 32. Superficie de integración para el cálculo de ϕɶ 
 
La integral (84) puede resolverse integrando en bandas paralelas al eje y como se muestra en la 
Figura 33. 
 
 
Figura 33. Integración en bandas paralelas al eje y. 
 
Para puntos tales que 0z ≥ se tiene 
A. Laverón Simavilla Página 50 
 
 ( )
( )
( )2
22 2 2 2
( )1
d
( , , ) , d
( )
x x z y y xo o o
o
o
o ox x b y y xo o o
y
x y z A x y x
x x y y z
β
ϕ
β β
= − =
+
= − =
 
 =  
− − − −  
∫ ∫ɶ . (85) 
Se hace notar que la condición 0z ≥ se ha empleado al escribir el límite superior en xo. 
La integral en oy se calcula como sigue 
 
( )
( )
( )2
22 2 2 2
( )1
( ) 12 2 2 2
2 22
( ) 11
2 2 2
d
( )
d
( ) d π1 1 .
1
1
( )
y y xo o
o
o oy y xo o
o
y y xo o
o
oy y xo o
o
y
x x y y z
y
x x z
y y
x x z
β β
β
β η
β β βηβ
β
=
=
=
= −
=
− − − −
 
 
 − − = = =
−−
−
− −
∫
∫ ∫
 (86) 
Dónde 
 
( )
( )2 2 2
o
o
y y
x x z
β
η
β
−
=
− −
. (87) 
Obsérvese que y1 e y2 están sobre la hipérbola 
 ( ) ( )2 22 2o ox x y y zβ  − = − +  , (88) 
 y, por tanto, para ( )2o oy y x= , 1η = y para ( )1o oy y x= , 1η = − . 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
( , , ) d
2 2
,
2
,
.
2
x z
o
x b
q x y q x y
x y z x x z x b
q x y
x z x b
q x y
b z
β
ϕ β
β β
β
β
β
β
−
+
−
= − = − − − − =  
= − − − − =  
= − −
∫ɶ
 (89) 
De dónde se obtiene finalmente 
 ( )1 ,
2
q x y
z z
ϕ ϕ∂ ∂
= =
∂ ∂
ɶ
. (90) 
En definitiva, el manantial que se debe colocar en el punto ( ), ,0x y + para que la velocidad 
vertical en dicho punto sea ( ), ,0w x y + debe ser tal que 
A. Laverón Simavilla Página 51 
 
 ( ) ( ), 2 , ,0q x y w x y += , (91) 
y empleando la condición de contorno sobre el ala, ecuación (65), se obtiene la relación entre la 
intensidad de los manantiales sobre la forma en planta del ala, FP, y la forma del ala 
 ( ) ( ), 2 , para , FPeq x y U x y x yλ∞= ∈ . (92) 
10. MODELIZACIÓN DE ALAS NO SIMÉTRICAS MEDIANTE 
DISTRIBUCIONES DE MANANTIALES 
En este apartado se va a explicar cómo se pueden resolver alas no simétricas mediante 
distribuciones de manantiales sobre el plano del ala, z=0. La ventaja de esta formulación es que 
proporciona la solución del problema directo para alas antisimétricas. De esta forma, el 
problema antisimétrico estaría resuelto simplemente resolviendo integrales, sin necesidad de 
resolver ecuaciones integrales; el problema inverso mediante la formulación con distribuciones 
de torbellinos (ecuación (77)) o dobletes (ecuación (78)) y el problema directo mediante 
distribuciones de manantiales, Para ello se resuelve el extradós del ala, ( ), ,0x yϕ + , integrando 
los manantiales sobre una superficie, S, que es la superficie sobre la que hay velocidad vertical, 
y que no tiene porqué ser la superficie del ala, dentro del cono de Mach anterior con vértice en 
( ), ,0x y + . Los problemas deben descomponerse en su parte simétrica y antisimétrica ya que 
cada uno de estos problemas se resuelve de distinta manera. A continuación se analizan las 
superficies de integración para los distintos casos. 
A. PROBLEMA SIMÉTRICO 
En el caso del problema simétrico se puede asegurar que la distribución de manantiales fuera del 
ala será de intensidad nula. Esto es así ya que por la simetría del problema debe ser 
w x,y,z( )= −w x,y,−z( ), pero como la solución fuera del ala debe ser continua no hay otra 
posibilidad más que w x,y,z( )= 0 para x,y ∉ FP . 
En este caso la distribución de manantiales que afectan al punto P es conocida y se puede 
calcular el potencial de velocidades integrando una distribución de manantiales conocida a una 
superficie también conocida, la superficie del ala dentro del cono de Mach anterior, S. La 
velocidad horizontal sobre dicho punto se obtiene mediante la fórmula de Evvard, derivando la 
expresión del potencial de velocidades respecto a la variable x para calcular la velocidad 
horizontal de perturbación, u. (Ver Anexo 1). La Figura 34 muestra el dominio de integración S. 
 
( )
( )
( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ), ,0 d1
( , , )
π ( ) ( )
( , ,0 )
d d
1
 .
π ( )
yB
ba o o o
y ba o oA
o o
o o
o
S o o
w x y y y
u x y z
x x y y y z
w x y
x y
x
x x y y z
β β
β β
+
+
= −
− − − −
∂
∂
−
− − − −
∫
∫∫
 (93) 
 
A. Laverón Simavilla Página 52 
 
M∞
 
Figura 34. Dominio de integración para la fórmula de Evvard. 
B. PROBLEMA ANTISIMÉTRICO 
Para un punto P influido por bordes subsónicos la distribución de manantiales que afectan a P 
no es conocida fuera del ala y para poder calcular la velocidad de perturbación horizontal sobre 
dicho punto será necesario imponer condiciones adicionales que permiten resolver el problema 
en diferentes casos: borde de ataque y borde de salida. 
I. PUNTOS INFLUIDOS POR BORDES DE ATAQUE SUPERSÓNICOS 
En este caso, de todos los puntos del plano z=0 que se encuentran dentro del cono de Mach 
anterior, sólo los puntos sobre sla forma en planta del ala tienen una velocidad vertical de 
perturbación no nula. Como ya se vió anteriormente, los puntos que se encuentran aguas arriba 
del barde de ataque supersónico no están perturbados. Por ello, al igual que en el caso simétrico, 
es conocida la distribución de velocidades verticales de perturbación al ser conocida la forma 
del ala: 
( ) ( )
( )
, 2 , para , FP
, 0 para , FP
eq x y U x y x y
q x y x y
λ∞= ∈
= ∉
 
La velocidad de perturbación, u, puede calcularse por tanto mediante la fórmula de Evvard, (ver 
Anexo 1. Fórmula de Evvard) mediante la ecuación(33). 
II. PUNTOS INFLUIDOS POR BORDES DE ATAQUE SUBSÓNICOS. 
En este caso debido a la antisimetría del problema se debe cumplir ϕ x,y,z( )= −ϕ x,y,−z( ), 
pero como la solución fuera del ala debe ser continua hasta el borde de ataque no hay otra 
posibilidad más que ϕ x,y,z( )= 0 para x,y ∉ FP . Empleando esta condición se obtiene la 
fórmula de Evvard-Krasilshchikova (Anexo 2). 
Mediante la fórmula de Evvard-Krasilshchikova se comprueba que en el cálculo del potencial 
de velocidades sobre un punto, P, del ala, el efecto de las singularidades situadas fuera del ala 
(de intensidad desconocida) se compensa con el efecto de las singularidades situadas en una 
determinada zona del ala. Por ello se puede calcular el potencial de velocidades de perturbación 
aunque no se conozca la intensidad de los manantiales situados fuera del ala. 
A. Laverón Simavilla Página 53 
 
U∞
( ), , 0B BB x y
 
Figura 35. Puntos del extradós influidos por bordes de ataque subsónicos. 
Imponiendo que ϕ xB , yB ,0
+( )= 0 , como se ve en la Figura 35, se demuestra que la influencia 
en P de los manantiales de la zona rayada en rojo en la figura, se compensa con el efecto de los 
manantiales de la zona rayada en verde en la figura. Por lo que el potencial de velocidades en el 
punto P viene dado por la ecuación 
 ( ) ( )
( ) ( )2 22 2
,
, , d de o o o o
S
o o
x yU
x y z x y
x x y y z
λ
ϕ
π β
∞= −
 − − − + 
∫∫ (94) 
Siendo S la superficie delimitada por PBB’A. El segmento BB’, característica reflejada, es 
paralelo a la característica PA. 
Para calcular la distribución del coeficiente de presión sobre el ala (Anexo 3) es necesario 
derivar la ecuación (94) teniendo en cuenta que los límites del área de integración varían con la 
variable, x, respecto a la que se deriva. Finalmente se obtiene la expresión para la velocidad de 
perturbación en la dirección del eje x 
 
2 2 2
S
B'
2 2 2
A
2 2 2
B'
( , ,0 )
d d
π ( , ,0 )
( ) ( )
( ( ), ,0 )d
 
( ( )) ( )
( ( ), ,0 )d
 (1 )
( ( )) ( )
o o
o o
o
o o
y
ba o o o
ba o oy
o cr o o o
cr o oy
w x y
x y
x
u x y
x x y y
w x y y y
x x y y y
x w x y y y
x x x y y y
β
β
β
+
+
+
+
∂
∂
= −
− − −
− −
− − −
∆
− −
∆ − − −
∫∫
∫
B
.
y
∫
 (95) 
A. Laverón Simavilla Página 54 
 
El primer término es una integral sobre la superficie en la que se encuentran los manantiales que 
perturban el punto P, que como se vió anteriormente es el área PBB’A. El segundo término es 
una integral de línea a lo largo del segmento de borde de ataque supersónico AB’. El tercer 
término es una integral de línea a lo largo de la característica reflejada BB’, este último término 
se halla multiplicado por un factor 
 1 o
x
x
∆ 
− ∆ 
 (96) 
Este factor tiene una expresión sencilla en el caso en que 2M ∞ = , ya que de la Figura 36 se 
comprueba 
 
1 tano
x
x
β γ
∆
= ⇒ =
∆
, (97) 
donde γ es el ángulo que forma la característica reflejada con el borde de ataque subsónico. 
 
De forma análoga, a partir de la Figura 36 se obtiene una expresión sencilla para (96) si la 
característica se refleja en un borde marginal ya que 
 1o
x
x
∆
=
∆
, (98) 
por lo que no es necesario calcular la integral a lo largo de la característica reflejada, al ser nulo 
el factor por el que hay que multiplicarla. 
En cualquier caso, se puede resolver fácilmente el problema reescalando el ala en la dirección 
del eje y como se muestra en la Figura 36, ya que de esta forma se obtiene una configuración en 
que las características reflejadas forman un ángulo recto con las características, como en el caso 
2M ∞ = . Se puede resolver el problema reescalado fácilmente, y posteriormente deshacer el 
cambio de variable en y para volver a las variables físicas del problema. 
A. Laverón Simavilla Página 55 
 
 
Figura 36. Características reflejadas para distintos valores del número de Mach al 
variar la posición del punto P una magnitud x∆ 
III. PUNTOS INFLUIDOS POR BORDES DE SALIDA SUBSÓNICOS. 
Este caso se diferencia del borde de ataque subsónico por la influencia de la estela. En la estela 
no puede imponerse que el potencial de velocidades sea nulo, porque dicho potencial no tiene 
por qué ser continuo sobre la estela, en general ( ) ( ), ,0 , ,0estela estela estela estelax y x yϕ ϕ+ −≠ . Se 
cumple, sin embargo, la condición de que la velocidad horizontal de perturbación, u, debe ser 
continua sobre la estela, ya que ésta no puede soportar saltos de presión entre intradós y 
extradós. 
Las condiciones a imponer para simplificar las expresiones del potencial de velocidades y de la 
velocidad horizontal de perturbación son en este caso: 
 ( ), ,0 0D Dx yϕ + = (99) 
 ( ), , 0 0B Bu x y + = (100) 
De la primera condición, ecuación (99), se deduce (Evvard-Krasilshchikova) que el potencial de 
velocidades producido por los manantiales situados en la zona rayada en rojo de la Figura 37 se 
compensa con el potencial de velocidades que producen en el punto P los manantiales de la 
zona rayada en azul de la misma figura. 
De la segunda condición, ecuación (100), se demuestra que los manantiales situados en la zona 
de la Figura 37 rayada en morado no influyen en el cálculo de u xP , yP ,0
+( ). Además, al ser D 
un punto sobre un borde marginal, la integral de línea extendida a la característica reflejada, que 
surgiría al derivar el potencial de velocidades respecto a la variable x para calcular la velocidad 
de perturbación u xP , yP ,0
+( ), no hay que calcularla al estar multiplicada por un factor nulo. 
B 
M∞ ≠ 2 
M∞ = 2
B1 
∆xo ∆x γ 
π/4 
tan−1(1/β) 
xo,x 
yo,y 
xo,x 
βyo,βy 
b) 
a) 
A. Laverón Simavilla Página 56 
 
P(x,y,0)
U∞
A
B
B’
D
 
Figura 37. Punto del ala influido por un borde de salida subsónico. 
Finalmente la expresión para el cálculo de la velocidad de perturbación u xP , yP ,0
+( ) para un 
punto afectado por un borde de salida subsónico es (Anexo 4) 
 
2 2 2
2 2 2
'
( , ,0)
d d
π ( , ,0 )
( ) ( )
( ( ), ,0)d
 .
( ( )) ( )
o o
o o
o
o oS
ba o o o
ba o oAB
w x y
x y
x
u x y
x x y y
w x y y y
x x y y y
β
β
+
∂
∂
− = +
− − −
+
− − −
∫∫
∫
 (101) 
Siendo S la superficie PBB’A, y la integral de línea está extendida al segmento AB’ del borde de 
ataque. Esta expresión es más sencilla que la de puntos influidos por bordes de ataque 
subsónicos, al no tener el término de la integral de línea sobre la característica reflejada. 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 57 
 
11. ANEXO 1. FÓRMULA DE EVVARD 
Consideremos un punto P(x,y,z) cuyo cono de Mach anterior corta al plano z = 0 en la rama de 
hipérbola representada en la Figura 38. Para calcular el potencial de perturbación en P 
superponemos el efecto de los manantiales (de intensidades conocidas) situados en xo,yo,0 (zona 
sombreada de la Figura 38). 
 
2 2 2 2 2
( , ,0 )d d1
( , , )
π ( ) ( )
o o o o
o o
w x y x y
x y z
x x y y z
ϕ
β β
+
= −
− − − −
∫∫ (102)(2.3) 
 
Figura 38. Problema sustentador influido por borde de ataque exclusivamente 
supersónico. La zona rayada es un dominio de integración típico. 
Antes de derivar respecto a x para calcular u(x,y,z), conviene integrar por partes con el fin de 
“disminuir la gravedad de la singularidad”. Empezamos descomponiendo la integral como si 
fuéramos a integrar en bandas paralelas al eje x. 
 
( )B 2 2
2
( )A 2 2 2 2
( , , 0 )d
( )
π ( , , ) d
( )
1
( )
o
y y o ox x yo o cm o
o
o
oy y x x yo o ba o
o
x x
w x y
y y z
x y z y
x x
y y z
β
ϕ
β β
+
= =
= =
  −  
  − +  − = −
 −
− 
− + 
 
∫ ∫
 (103) 
yA e yB son las coordenadas de los puntos A y B respectivamente. xba(yo) es la abcisa del borde 
de ataque y xcm(yo) la de la intersección del cono de Mach con el plano z = 0. Ahora es cuando 
integramos por partes la integral en xo. 
U∞ 
xo,x 
yo,y 
A 
a 
b 
B 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M.Perales, A. Sanz Página 58 
 
 
( ) 2 2
2
( )
2 2 2 2
( , ,0 )d
( )
( )
1
( )
o
o ox x yo cm o
o
ox x yo ba o
o
x x
w x y
y y z
x x
y y z
β
β β
+
=
=
 − 
 − +  =
−
−
− +
∫ 
( )
( )
( )
( )
( , ,0 )
( , ,0 ) ln ( , ) ln ( , )d
x x yo cm o
x x yo cm o o o
o o o o o o o
x x yo ba o o
x x yo ba o
w x y
w x y f x y f x y x
x
= +=+
=
=
∂
= −
∂∫
 (104) 
donde 
 f x y
x x
y y z
x x
y y z
o o
o
o
o
o
( , )
( )
( )
( )
=
−
− +
+
−
− +
−
β β β2 2
2
2 2 2 2
1 
Observando que ln(f (xcm(yo),yo)) = 0 (hay que recordar la ecuación del cono de Mach), la 
ecuación (103) se convierte en la siguiente: 
( ) ( )
B
A
( , , 0 )
π ( , , ) ( ), , 0 ln ( ), d ln ( , )d d
y yo
o o
ba o o ba o o o o o o o
o
y yo
w x y
x y z w x y y f x y y y f x y x y
x
ϕ
=
+
+
=
∂
− = +
∂∫ ∫∫
 (105) 
Obsérvese que en la integral de superficie xo e yo son independientes. Sin embargo, en la 
integral de línea respecto a yo, que está calculada a lo largo del borde de ataque, xba es función 
de yo. 
Para derivar (105) respecto a x y obtener la componente de la velocidad horizontal de 
perturbación, u, hay que tener en cuenta que el dominio de integración depende de x 
 
∆x 
P P1 
B1 
B 
A 
A1 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 59 
 
 
[ ]
0
π ( , , ) π ( , , )
π ( , , ) l im
x
x x y z x y z
u x y z
x
ϕ ϕ
∆ →
− +∆ − −
− = =
∆
 
 
0
S+A ABB1 1
1lim ( , ,0 )ln ( , , ; , )d do o o o o o
x o
w
x y f x x y z x y x y
x x
+
∆ →

∂= +∆ +∆ ∂

∫∫ 
 
B1
A1
( ( ) , ,0 )ln ( , , ; ( ), )d
y
ba o o ba o o o
y
w x y y f x x y z x y y y++ +∆ −∫ 
 
S
( , ,0 )ln ( , , ; , )d do o o o o o
o
w
x y f x y z x y x y
x
+∂− −
∂∫ 
 
B
A
( ( ), ,0 )ln ( , , ; ( ) , )d
y
ba o o ba o o o
y
w x y y f x y z x y y y+

− =

∫ 
 
0
S
ln ( , , ; , ) ln ( , , ; , )
( , ,0 ) l im d do o o oo o o o
xo
f x x y z x y f x y z x yw
x y x y
x x
+
∆ →
+∆ −∂= +
∂ ∆∫∫ 
 
B
0
A
ln ( , , ; ( ) , ) ln ( , , ; ( ) , )
( ( ) , ,0 ) lim d
y
ba o o ba o o
ba o o o
x
y
f x x y z x y y f x y z x y y
w x y y y
x
+
∆ →
+∆ −
+ +
∆∫ 
 
0
A ABB1 1
1lim ( , ,0 )ln ( , , ; , )d do o o o o o
x o
w
x y f x x y z x y x y
x x
+
∆ →

∂+ +∆ +
∆ ∂

∫∫ 
 
A
A1
( ( ) , ,0 )ln ( , , ; ( ) , )d
y
ba o o ba o o o
y
w x y y f x x y z x y y y++ +∆ +∫ 
 
B1
B
( ( ) , ,0 )ln ( , , ; ( ) , )d
y
ba o o ba o o o
y
w x y y f x x y z x y y y+


+ +∆ 


∫ 
Para conocer el orden de magnitud de la integral de superficie sobre A1ABB1 se estima el valor 
del integrando sobre el cono de Mach con vértice en (x,y,z): 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 60 
 
 
2
2 2 2 2
ln ( , , ; , ) ln 1
( ) ( )
o o
o o
o o
x x x x x x
f x x y z x y
y y z y y zβ β
 
  +∆ − +∆ − +∆ = + − 
 − + − +  
 
∼ 
 
2
ln 1 1 1
( ) ( )o o
x x
x
y y z y y zβ β β β
 
 ∆ ∆ + + + − ∆ − + − +   
∼ ∼ 
y sobre el cono de Mach con vértice en (x+∆x,y,z) 
 ln ( , , ; , ) 0o of x x y z x y+∆ = 
De esta manera se obtiene que 
 
A ABB1 1
1 ( , ,0 )ln ( , , ; )d do o o o o o
o
w
x y f x x y z x y x y
x x
+∂ +∆
∆ ∂∫∫ ∼ 
 1 ( )B A
o
w
x x y y x
x x
∂⋅ ⋅ ∆ ⋅∆ ⋅ − ∆
∆ ∂
∼ ∼ 
Con más razón serán despreciables las integrales de línea sobre el borde de ataque (BB1 y A1A). 
Finalmente: 
( )
( ) ( )
B
2 22 2 2 2 2 2 2 2
A
( , , 0 )
d d( ), , 0 d1 1
( , , )
π π( ) ( ) ( )
o oy
o o
ba o o o o
ba o o o oy
w x y
x yw x y y y x
u x y z
x x y y y z x x y y zβ β β β
+
+
∂
∂
= − −
− − − − − − − −
∫ ∫∫
 
 (106) 
En muchos casos de interés w es independiente de xo y desaparece la integral de superficie. Tal 
ocurre, por ejemplo, cuando el ala está formada por planos. 
 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 61 
 
12. ANEXO 2. FÓRMULA DE EVVARD- KRASILSHCHIKOVA 
En el caso de un borde de ataque parcialmente subsónico para un problema antisimétrico, 
Evvard (1950) y Krasilshchikova (1961) comprobaron matemáticamente que los manantiales 
que representan las velocidades verticales en el plano del ala fuera del ala tienen un valor y 
signo apropiado para que su efecto sobre el ala cancele el de parte de los manantiales existentes 
sobre el ala. 
Por ejemplo, si el ala es una placa plana con ángulo de ataque positivo, la velocidad vertical 
sobre ella será negativa. En cambio, debido al paso de la corriente de intradós a extradós, en la 
zona perturbada delante de los bordes de ataque subsónicos la velocidad vertical es positiva. 
Demostraremos que el efecto de los manantiales que hay que situar en el plano del ala fuera del 
ala para representar estas velocidades verticales positivas se contrarresta con el de una parte de 
los sumideros situados en el ala que se podrá delimitar perfectamente. 
Intentemos calcular el potencial de perturbación, ϕ, en el punto P del extradós del ala 
sustentadora, y de espesor nulo, de la Figura 39. De acuerdo con la ecuación (102) 
particularizada para el punto efecto xP,yP,0 : 
 P P
2 2 2
P PPAB'OCBP
( , , 0)d d1
( , , 0 )
π ( ) ( )
o o o o
o o
w x y x y
x y
x x y y
ϕ
β
+ = −
− − −∫∫
 (107) 
donde PAB′OCBP es el contorno del dominio de integración. 
 
Figura 39. Dominio de integración para aplicar el método de Evvard-Krasilshchikova. 
En lo sucesivo utilizaremos coordenadas características centradas en el punto O, borde de 
ataque sónico. El paso de unas a otras coordenadas está definido como sigue: 
 x – βy = r x + βy = s 
 xo – βyo = ro xo + βyo = so 
 
( , ) 1
( , ) 2
o o
o o
x y
r s β
∂
=
∂
 
xo,x 
U∞ 
yo,y 
ro,r 
so,s 
C 
A 
B’ 
P 
O 
B 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 62 
 
En función de las nuevas coordenadas 
 P P
P PPAB'OCBP
( , , 0)d d1
( , , 0 )
2π ( )( )
o o o o
o o
w r s r s
r s
r r s s
ϕ
β
+ = −
− −∫∫ (108) 
Ordenando el integrando como si fuéramos a integrar en bandas paralelas al eje s tenemos 
 
P P
P P
P P
ABB
( , , 0)d d1
( , , 0 )
2π
r r s so o
o o o o
o o
r r so o
w r s s r
r s
s s r r
ϕ
β
= =
+
= ′=
 
 = − − − −
  
∫ ∫ 
 
B P
P P0 B O
( , , 0)d d1
2π
r r s so o
o o o o
o o
r so o
w r s s r
s s r rβ
= =
= ′=
 
 −  − −
  
∫ ∫ (109) 
El término entre corchetes de (109) está dividido en dos sumandos. El primero corresponde a la 
integración sobre el dominio PAB′BP, extendida a manantiales conocidos. El segundo 
corresponde a la integración sobre B′OCB, extendida en parte a manantiales conocidos (los de 
B′OB) y en parte a manantiales desconocidos (los de OCB). 
Vamos a demostrar que el efecto de los manantiales en OCB contrarresta al de los sumideros en 
B′OB. 
Parecería lógico empezar intentando escribir una ecuación que permitiera calcular la intensidad 
de cada manantial desconocido de OCB en función de las de otros situados corriente arriba, 
unos en el ala y otros delante del borde de ataque subsónico. La idea física que expresaríamos 
matemáticamente sería que en puntos sobre OCB ϕ debe ser nula, por ser antisimétrica y 
continua. 
Lo verdaderamente sorprendente es que basta expresar que ϕ es nulo en un solo punto (el punto 
B) para comprobar que el efecto de B′OB se anula con el de OCB a la hora de calcular el 
potencial en cualquier punto situado a lo largo de la recta BP . 
Expresando que ϕ(xB,,yB,0
+) es nulo 
 
B P
B B
P B0 B'O
( , , 0)d d1
( , , 0 ) 0
2π
r r s so o
o o o o
o o
r so o
w r s s r
x y
s s r r
ϕ
β
= =
+
= =
 
 = − = − −
  
∫ ∫ (110) 
Obsérvese que hemos tenido en cuenta que sB = sP en la última expresión 
Suponemos integrada la integral que está dentro del corchete en la expresión (110) y escribimos 
 
P
P
B'O
( , ,0)d
( )
s so
o o o
o
o
so
w r s s
F r
s s
=
=
=
−∫ (111) 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 63 
 
La dependencia de la integral (111) con ro procede no sólo del numerador del integrandosino 
del límite inferior de integración. Hay que observar que F(ro) es continua. Sin embargo, el 
integrando de (111) presenta singularidades, integrables, en el borde subsónico, OB, y en so = 
sP y por tanto no se puede extender a la velocidad el razonamiento que se va a hacer a 
continuación para la función F(ro) y extraer la conclusión de que w(ro,so,0) = 0. 
Sustituyendo (111) en (110) tenemos la siguiente ecuación integral (de Abel) para calcular F(ro) 
 
B
B0
( )d
0
r ro
o o
o
ro
F r r
r r
=
=
=
−∫ (112) 
La solución de la ecuación integral para la función continua Φ(τ) 
 
0
( )
( )
( )
t
d
f t
t α
τ τ
τ
Φ
=
−∫ 
es: 
 
1
0
sin π d ( )d
( )
π d ( )
t
f
t
t t α
α τ τ
τ −
Φ =
−∫ 
ver p.e. Courant & Hilbert, Vol 1, pag. 532. 
La solución de (112) es F(ro) = 0. No se puede ahora deducir además de (111) lo mismo para 
w(ro,so,0) porque esta función es discontinua en el borde de ataque subsónico y no podemos 
aplicar, por tanto, la expresión anterior. 
Llevando el resultado obtenido a (109) desaparece el segundo de los términos y, por tanto, para 
calcular ϕ en P basta extender la integral al dominio PAB′BP. Los manantiales existentes en 
OCB contrarrestan a los sumideros en B′OB. 
Si la característica PA corta a un borde de ataque subsónico, Figura 40, habrá que reflejarla 
tantas veces como sea necesario hasta llegar a un borde supersónico. En el caso de la Figura 
40.a habrá que extender la integral al dominio PAA′B′BP. En el caso de la Figura 40.b hay que 
descontar dos veces la zona B′A′D. 
 
 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 64 
 
 
Figura 40. Punto P influido por dos bordes de ataque subsónicos. 
En el caso de un ala en delta con los dos bordes subsónicos no se puede aplicar el método de 
Evvard-Krasilshchikova porque hay infinitas reflexiones. 
 
U∞ 
A 
A’ 
B 
B’ 
P U∞ 
A 
P 
A’ 
B’ 
B 
D 
a) b) 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 65 
 
13. ANEXO 3. BORDE DE ATAQUE PARCIALMENTE SUBSÓNICO 
Derivando respecto a x el valor calculado de ϕ tenemos u en el extradós. La del intradós será 
igual en valor absoluto y de signo contrario. 
Si queremos derivar bajo el signo integral una expresión análoga a la (107) pero extendida al 
dominio AB′ BP nos encontramos con la dificultad de que el dominio de integración depende de 
la posición del punto efecto P. 
 
Figura 41. Variación del dominio de integración con la posición del punto efecto. 
La Figura 41 es la repetición de la 2.6, pero en ella están superpuestos los dominios de 
integración correspondientes a los puntos efecto P(x,y,0) y P1(x+∆x,y,0). Llamaremos, para 
simplificar la escritura: 
 
2 2 2
1
( ) ; ( , ,0 )
( ) ( )
o o
o o
F x w w x y
x x y yβ
+= =
− − −
 (113) 
 
[ ]2 2 2
1
( ) ; ( ( ), ,0 )
( ) ( )
ba ba ba o o
ba o o
F x w w x y y
x x y y yβ
+= =
− − −
 
 
[ ]2 2 2
1
( ) ; ( ( ), ,0 )
( ) ( )
cr cr cr o o
cr o o
F x w w x y y
x x y y yβ
+= =
− − −
 
donde el subíndice "ba" se refiere al borde de ataque y el "cr" a la característica reflejada. 
Aplicando la fórmula de Evvard-Krasilshchikova para calcular el potencial ϕ en P tenemos: 
 
AB'BP
1
( , , 0 ) ( ) d d
π o o
x y wF x x yϕ + = − ∫∫ (114) 
 
xo,x 
U∞ 
yo,y 
ro,r 
so,s 
C 
A1 
B’ 
P1 
O 
B 
B1 
P 
B’1 
A 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 66 
 
Haciendo lo mismo para el punto P1(x+∆x,y,0), 
 
A B' B P1 1 1 1
1
( , , 0 ) ( ) d d
π o o
x x y wF x x x yϕ ++ ∆ = − + ∆∫∫ (115) 
Antes de proceder con el cálculo de las dos últimas expresiones, integramos por partes como se 
hizo para obtener la fórmula de Evvard. De esta forma, llamando, análogamente a lo que se hizo 
en el apartado 2.3, 
 
2
( ) 1
( ) ( )
o o
o o
x x x x
f x
y y y yβ β
 − −
= + − − − 
 
 
2
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
ba o ba o
ba
o o
x x y x x y
f x
y y y yβ β
 − −
= + − − − 
 
 
2
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
cr o cr o
cr
o o
x x y x x y
f x
y y y yβ β
 − −
= + − − − 
 
y, teniendo en cuenta que 
 [ ]( ) ln ( )F x f x
x
∂
=
∂
 
 [ ]( ) ln ( )ba baF x f x
x
∂
=
∂
 
 [ ]( ) ln ( )cr crF x f x
x
∂
=
∂
 
se obtiene: 
B' B
AB'BPA B'
π ( , , 0 ) ln ( ) d ln ( ) d ln ( ) d d
y y
ba ba o cr cr o o o
o
y y
w
x y w f x y w f x y f x x y
x
ϕ +
∂
− = + +
∂∫ ∫ ∫∫
 (116) 
B' B1 1
A B'1 1
π ( , , 0 ) ln ( ) d ln ( ) d
y y
ba ba o cr cr o
y y
x x y w f x x y w f x x yϕ +− + ∆ = + ∆ + + ∆ +∫ ∫ 
 A B' B P1 1 1 1
ln ( ) d do o
o
w
f x x x y
x
∂
+ + ∆
∂∫∫ (117) 
Hay que notar que no aparecen integrales de línea extendidas a las líneas AP, PB, A1P1 y P1B1 
porque sobre ellas ln f = 0, ya que pertenecen a los conos de Mach con vértice en los puntos P y 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 67 
 
P1, respectivamente. Descomponemos el dominio al que está extendida la integral de superficie 
de la expresión (117) de la forma siguiente. 
 A B' B P AB'BP A APP BB P P B' B'BB1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + − 
El primero de los cuatro dominios que aparecen en el segundo miembro de esta descomposición 
es común a las integrales de superficie de las expresiones (116) y (117). Los otros tres dominios 
son bandas cuyo espesor tiende a cero con ∆x. 
Estamos ya en condiciones de expresar u(x,y,0+). 
0
π ( , ,0 ) π ( , ,0 )
π ( , ,0 ) lim
x
x x y x y
u x y
x
ϕ ϕ+ +
+
∆ →
   − + ∆ − −   − = =
∆
 
 
B'
0
A
ln ( ) ln ( )
lim d
y
ba ba
ba o
x
y
f x x f x
w y
x∆ →

+ ∆ −
= +
∆

∫ 
 
AB'BP
ln ( ) ln ( )
d do o
o
w f x x f x
x y
x x
∂ + ∆ −
+ +
∂ ∆∫∫ 
 
B1 B
B' B'1
1 1
ln ( ) d ln ( ) d
y y
cr cr o cr cr o
y y
w f x x y w f x y
x x
+ + ∆ − +
∆ ∆∫ ∫ 
 
A APP1 1
1
ln ( ) d do o
o
w
f x x x y
x x
∂
+ + ∆ +
∆ ∂∫∫ 
 
BB P P1 1
1
ln ( ) d do o
o
w
f x x x y
x x
∂
+ + ∆ −
∆ ∂∫∫ 
 
B' B'BB1 1
1
ln ( ) d do o
o
w
f x x x y
x x

∂ 
− + ∆ 
∆ ∂ 
∫∫ (118) 
Si en esta última integral deshiciésemos el proceso de integración por partes tendríamos 
 
B1
B' B'BB1 1 B'1
ln ( )d d ln ( ) d
y
o o cr cr o
o
y
w
f x x x y w f x x y
x
∂
+ ∆ = + ∆ −
∂∫∫ ∫ 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 68 
 
 
B
B' B'BB1 1B'
ln ( ) d ( ) d d
y
cr cr o o o
y
w f x x y wF x x x y− + ∆ + + ∆ −∫ ∫∫ 
 
BB 1
B' B1
ln ( ) d ln ( ) d
yy
ba ba o ba ba o
y y
w f x x y w f x x y
′
− + ∆ − + ∆∫ ∫ 
y sustituyendo en (118) se obtiene, finalmente 
B'
0
A
ln ( ) ln ( )
π ( , , 0 ) lim d
y
ba ba
ba o
x
y
f x x f x
u x y w y
x
+
∆ →

+ ∆ −
− = +
∆

∫ 
 
AB'BP
ln ( ) ln ( )
d do o
o
w f x x f x
x y
x x
∂ + ∆ −
+ +
∂ ∆∫∫ 
 
B
B'
ln ( ) ln ( , )
d
y
cr cr
cr o
y
f x x f x y
w y
x
+ ∆ −
+ −
∆∫ 
 
A APP1 1
1
ln ( ) d do o
o
w
f x x x y
x x
∂
+ + ∆ +
∆ ∂∫∫ 
 
BB P P1 1
1
ln ( ) d do o
o
w
f x x x y
x x
∂
+ + ∆ −
∆ ∂∫∫ 
 
B' B'BB1 1
1
( ) d do owF x x x y
x
− + ∆ +
∆ ∫∫ 
 
BA 1
A B1
1 ln ( )d ln ( )d
yy
ba ba o ba ba o
y y
w f x x y w f x x y
x
 
 
+ +∆ + +∆  ∆  
  
∫ ∫ (119) 
Para estimar el orden de magnitud de la integral de área extendida a A1APP1, ésta puede 
evaluarse como la media de los valores del integrando a lo largo de las líneas AP y A1P1, 
multiplicadas por el ancho de la banda, ∆xo=∆x, y la longitud (y − yA). Consideremos el valor del 
factor lnf(xo,yo) sobre la línea AP (x − xo = β(y − yo)) 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 69 
 
 
2
ln ( , ) ln 1
( ) ( )
o o
o o
o o
x x x x x x
f x y
y y y yβ β
 
 + ∆ − + ∆ − = + − =  − −   
 
 
2
ln 1 1 1 ln 1 2
( ) ( ) ( )o o o
x x x
x
y y y y y yβ β β
    ∆ ∆ ∆ = + + + − + ≈ ∆   − − −     
≃ (120) 
Sobre la línea A1P1, que está sobre el cono de Mach (x + ∆x − xo = β(y − yo)), lnf(xo,yo) = 0. Por 
lo tanto, ( )3 / 2( )P Ax y y x xϕ ∆ − ∆ ∆∼ ∼ , que al dividir por ∆x tenderá a cero cuando ∆x 
tienda a cero. Con más razón,la contribución de las integrales de línea a lo largo del borde de 
ataque A1A y BB1 tenderán a cero cuando ∆x tiende a cero. 
Lo mismo ocurre con la contribución del dominio BB1P1P. A diferencia con lo obtenido en la 
fórmula de Evvard, en este caso se refleja la característica en el borde subsónico y aparece el 
dominio B' B'BB1 1 (correspondiente a la última integral de (119)) cuya contribución a la 
integral no es nula, porque en este caso el factor que aparece no es el logaritmo de una cantidad 
que es la unidad o casi la unidad. 
Finalmente, esta última integral de superficie se puede calcular en la forma: 
2
B' B'BB B' B1 1 1 1
( ) d d ( ) d 0( )o o o o owF x x x y wF x x y x x
 
 
+ ∆ = + ∆ ∆ + ∆ 
  
∫∫ ∫ (121) 
En el caso de M∞ = 2 , ∆xo = tanγ∆x, cosa que se deduce de la geometría de la Figura 42.b. 
Dicha figura procede de la Figura 42.a (que representa las proximidades de BB1 en el borde 
marginal contrayendo la coordenada y de forma que las características de una y otra familia se 
corten en ángulo recto). Para M∞ ≠ 2 la geometría se complica y habrá que calcular ∆xo/∆x 
en cada caso. 
Con los razonamientos anteriores u(x,y,0+) tiene un valor: 
 
B' B
A B'
π ( , , 0 ) ln ( ) d ln ( ) d
y y
ba ba o cr cr o
y y
u x y w f x y w f x y
x
+ ∂− = + +
∂∫ ∫ 
 
B
2 2 2
AB'BP B'
d
ln ( ) d d
( ( )) ( )
y
o cr o
o o
o cr o oy
x w yw
f x x y
x x x x x y y yβ
∆∂ ∂
+ −
∂ ∂ ∆ − − −∫∫ ∫ (122) 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 70 
 
 
Figura 42. Construcción geométrica para relacionar ∆xo/∆x con la inclinación del borde 
de ataque subsónico. Las figuras a y b coinciden en el caso particular M∞
2 = 2. γ es el ángulo 
que forma la característica de la familia xo − yo = cte con el borde de ataque subsónico 
en el punto de intersección de éste con x − xo = −(y − yo). 
Tenemos finalmente: 
B'
2 2 2 2 2 2
AB'BP A
( , , 0 )
d d
( ( ), , 0 ) d
π ( , , 0 )
( ) ( ) ( ( )) ( )
o o y
o o
o ba o o o
o o ba o oy
w x y
x y
x w x y y y
u x y
x x y y x x y y yβ β
+
+
+
∂
∂
= − − −
− − − − − −∫∫ ∫
 
B
2 2 2
B'
( ( ), , 0 ) d
(1 )
( ( )) ( )
y
o cr o o o
cr o oy
x w x y y y
x x x y y yβ
+∆
− −
∆ − − −∫ (123) 
Note que en el caso de borde marginal ∆xo/∆x = 1 y la última integral desaparece 
(independientemente del valor de β). 
 
B 
M∞ ≠ 2 
M∞ = 2
B1 
∆xo ∆x γ 
π/4 
tan−1(1/β) 
xo,x 
yo,y 
xo,x 
βyo,βy 
b) 
a) 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 71 
 
14. ANEXO 4. BORDE DE SALIDA PARCIALMENTE SUBSÓNICO 
Cuando en el cálculo de potencial en el punto P aparezcan manantiales situados detrás de un 
borde de salida subsónico, como ocurre en la Figura 43, hay que modificar ligeramente el 
procedimiento anterior, porque ϕ no es continuo en la parte situada detrás del borde de salida 
(debido a los torbellinos que se desprenden) y no es correcto expresar que es nulo. 
 
Figura 43. Dominio de integración en el caso de un borde de salida subsónico. 
Imaginemos el ala como si estuviera suplementada mediante una placa metálica, EDB, cuya 
forma es la apropiada para producir la misma velocidad vertical que habría en la realidad. Nos 
adelantamos a decir que no es necesario calcular la forma de la placa; es la apropiada y basta. 
De acuerdo con lo que hemos dicho al explicar el método de Evvard–Krasilshchikova, el efecto 
de todos los manantiales situados delante de DD′ sobre puntos de la recta DP es nulo. Podemos 
por tanto utilizar una expresión análoga a la (123) para calcular u en cualquier punto de dicha 
recta y, en particular, en los puntos B y P. 
Teniendo en cuenta que ED es un “borde marginal”, y por tanto ∆xo/∆x = 1 , tenemos 
 P P
2 2 2
P PAB'D'FDBP
( , , 0)
d d
π ( , , 0 )
( ) ( )
o o
o o
o
o o
w x y
x y
x
u x y
x x y yβ
+
∂
∂
− = +
− − −∫∫ 
 
2 2 2
P PAB'D'
( ( ), ,0)d
( ( )) ( )
ba o o o
ba o o
w x y y y
x x y y yβ
+
− − −∫ (124) 
Por razones que luego entenderemos, conviene desdoblar la expresión anterior, separando la 
contribución de los manantiales situados corriente arriba de la característica BB′, reflejada en el 
borde de salida, de la contribución de los manantiales situados corriente abajo de dicha 
característica. 
 u(xP,yP,0
+) = u1(xP,yP,0
+) + u2(xP,yP,0
+), 
xo,x 
U∞ 
yo,y 
ro,r 
so,s 
F 
A 
D’ 
P 
O 
E D 
B 
B’ 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 72 
 
donde: 
 1 P P
2 2 2
P PB'D'FDB
( , , 0)
d d
π ( , , 0 )
( ) ( )
o o
o o
o
o o
w x y
x y
x
u x y
x x y yβ
+
∂
∂
− = +
− − −∫∫ 
 
2 2 2
P PB'D'
( ( ), ,0)d
( ( )) ( )
ba o o o
ba o o
w x y y y
x x y y yβ
+
− − −∫ (125) 
 2 P P
2 2 2
P PAB'BP
( , , 0)
d d
π ( , , 0 )
( ) ( )
o o
o o
o
o o
w x y
x y
x
u x y
x x y yβ
+
∂
∂
− = +
− − −∫∫ 
 
2 2 2
P PAB'
( ( ), ,0)d
( ( )) ( )
ba o o o
ba o o
w x y y y
x x y y yβ
+
− − −∫ (126) 
Obsérvese que mientras que u1(xP,yP,0
+) depende de manantiales sobre el ala (ya conocidos) y 
de otros en la estela (desconocidos), u2(xP,yP,0
+), depende sólo de manantiales conocidos y se 
puede calcular. 
Escribiendo u1(xP,yP,0
+) en coordenadas características centradas en O tenemos: 
 
B P
1 P P
P P
D B'D'
( / )d d
2 π ( , , 0 )
r r s so o
o o o
o o
r r s so o
w x s r
u r s
s s r r
β
= =
+
= =
 
∂ ∂ − = + − −  
∫ ∫ 
 
B
P P
D
( , ( ), 0) d ( ) d
1
d( ( ))
r ro
o ba o ba o o
oba o o
r ro
w r s r s r r
rs s r r r
=
=
 
+ − 
− − ∫ (127) 
donde sba = sba(ro) es la ecuación del borde de ataque B'D' . 
Introduciendo la función continua F(ro,sP) 
 
P
P
P P
B'D'
( , ( ), 0) d ( ) ( / )d
( , ) 1
d( )
s so
o ba o ba o o o
o
oba o o
s so
w r s r s r w x s
F r s
rs s r s s
=
=
  ∂ ∂
= − + 
− −  ∫ (128) 
podemos escribir (127) como sigue: 
 
B
P
1 P P
P
D
( , )d
2 π ( , , 0 )
r ro
o o
o
r ro
F r s r
u r s
r r
β
=
+
=
− =
−∫ (129) 
I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 73 
 
Para calcular la contribución de los manantiales en la estela utilizamos el hecho de que ahora la 
función que es antisimétrica y continua, y por tanto nula en la estela, es u(x,y,0+). En particular, 
expresando en coordenadas características que u es nula en B (condición de Kutta), obtenemos 
 
B
B
B
( , )d
0
r ro
o o
o
r ro
F r s r
r r
=
=
=
−∫ (130) 
donde el numerador del integrando es la función (128). Note que está definido igual que en 
(128) y que, además, sP = sB. 
Como F(ro,sP) es continua, la ecuación integral de Abel (130) implica que F(ro,sP) = 0. De 
acuerdo con (129) u1(rP,sP,0
+) = 0, y u(xP,yP,0
+) se reduce a u2 (xP,yP,0
+), expresable en función 
de manantiales sobre parte del ala. 
En resumen, la contribución de los manantiales situados corriente arriba de B´B se anula al 
calcular la velocidad u a lo largo de la característica que pasa por B y P. 
 
 1 
�����������	
�����
�
��������	�
��
�
�	�
��������������
��
��	������
����
�
�
��������������
��������	������
��
�
	��
��	��
�������
����
���������
��
��	�
�	�����
��
����������
������������
������	� ��
���
���
���������
��
��!�
 
0∆Φ = 
 
�
�����
"
� 
��
����
���������������������
����	�����	��
��	����
���	�����
�
���������������	�����
��
�����#
����	������	$�
�
�
� ���
������
�������������������������
����
�	������	 �������	
���
��	 ���������
���������
��
�������������
������������
������	�����	��
�����������
�
���
������
��������� %�� ��	��������&� �
�
�� ��������
���� ��������� ��� �
�� ������������ ���
�����	�������
���
��	
��
��	��	��
��������������������
������������
���$�
�
��������������
�
�������
������������������������'��
���
�����(�	��
	���
����!�
 
 
D
A dxdydz A Nds
Σ
∇ ⋅ = − ⋅��� ��
� � �
 %)& 
 
������ A
�
����
���
���������	�
�������
����)�������� N
�
����
���	�
������	��	�
����
*��
���� A F G G F= ∇ − ∇
�
'���������� 
�����������������������
����+�������
����	��	���������
�����
����	� ��
�� 0, 0F G∆ = ∆ = '�����
������
�!�
 
0A F G F G G F F G∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∆ − ∆ − ∇ ⋅∇ =
�
 
 
��������
��������	��
�����
�����	,����
'���$�%)&'��	���	����
��
�
 ( ) 0F G G F Nds
Σ
∇ − ∇ ⋅ =��
�
 %+& 
 
�
����
� 
����
	� ���
� ��
����� %���
���
��
������ �
	
� ��� �
��������������
�'�
�
����� ������	-
� ��� �	�
������
	&� �
	
� ������	� ��� �������
�� ��� �������
����
�	�����	� ��� 
�� �
�	��$� .
	
� ����� ��� ���
� , mF G= Φ = Φ '� ������ mΦ ��� ���
�������
�� ,���	
��� ��	� 
�� �
�
���
�� ��� ,
���� 
���
�� ���
��� ��� 
�� �
����
,���	����.��(��	��	�
���
�	��'��
���������
�����	!�
 
 2 
1 log (2D)
2
1 (3D)
4
m P
m
P
x x
x x
π
π
Φ = −
Φ = −
−
� ���
� ���
 
 
�
���
�����%+&�������	��
����
	���� �
�� 	����	
�����
�������		��������������
��������
������
���������	�
�� m mA = Φ∇Φ − Φ ∇Φ
�
��
������
����)$����-'�����	���	�
�
,
	�������
	���/�01�21��∞1��3'�
�
 
 
 
�������0�����
��
��	 ����������
�	��'��3����
�
��
��	 �����������������
��
������
�������
������������
����%�����
����
��	 ����������	�
�
	
&����������
	
�'��
��
������
��0����∞'����2���� �
��
��	 ��������
�
��� �	
�%���45&���
���-	�
���%���
+5&� ��� 	
���� 2��
�� �(��
��� ���� �������� ��� �
����.'���� ����
�� mΦ �� m∇Φ ����
�� ����
�$��
���
�����%+&�����������
�����(�	��
	��������
 
( ) ( ) ( )
1 2
m m m m
S S S S SB W
NdS N dS N dS
ε ε+ + ∞
Φ∇Φ − Φ ∇Φ ⋅ = − Φ∇Φ ⋅ + Φ ∇Φ ⋅�� �� ��
��� ��� ���
� � �� � � � �� � � �� � � � ��
 
 
��� ��� #
��� �����	� 0, como y ε → Φ ∇Φ � ���� ������
�� ��� �2� �� �
� ����	��	'�
( ) ( ), P Px xΦ → Φ ∇Φ → ∇Φ
��� ���
���
�����,	
��+��������
���	����	������	-
$��
�����,	
��)�
P 
SB 
SW 
S� 
N
���
N
���
N
���
N
���
N
���
N
���
S∞ 
 3 
������� 
� ( ) , puesto que la integral P m
S
x NdS
ε
−Φ ∇Φ ⋅��
��� ���
��� ��� ,
���� ���
���	���� 
�
�	
��������2��	��
�������	�
���
�
���
�����,
����
���
�'��������	� �
�
���
�$�
6�������������������
 
 ( ) ( )P m m
S S SB W
x NdS
+ + ∞
Φ = Φ ∇Φ − Φ∇Φ ⋅��
����
 %4& 
 
.�	� ��	
� �
	��'� �
� ��
����� %+&� ���	�� 
����
	��� �
������ 
� �
� �
��	 ����� �0'�
�������	�����
� 
#�	
� ����� 	����	
� ���� ����	��	� ���� �
�	��'� �� �� �������� 
��
7�������
������	��	8� iΦ '��
����	� ��
� 0i∆Φ = $��
 
 
 
6��������
�����.������	�������
���
�	�,�������#
���
���(��
�	��$����������
���
�����������
 
 ( ) 0m i i m
SB
NdSΦ ∇Φ − Φ ∇Φ ⋅ =��
���
 %9& 
 
��� ���
� ��
��������#
� ���
��� N
�
� ����� �
� ��	�
�� �(��	��	� 
� �0'� �
	
��
��
�������
������
��
��
�
	��������
���
�����%4&$�
�
:��
������'�	���
�����
����
�������%4&���%9&�	��
��
�
 
( ) ( ) ( )( ) +P m i i m
SB
x N N dSΦ = Φ ∇Φ − ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅��
��� ����
 
 
( )
0
 + m m m m
S SW
N N dS N N dS
= ∞
Φ∞
� �
� �+ Φ ∇Φ ⋅ − Φ∇Φ ⋅ Φ ∇Φ ⋅ − Φ∇Φ ⋅
� �
� �
�� ��
��� ��� ��� ���
� � � ��
� � � � � � � � � � � � �
 
 
�����������	�������� /N n∇Φ ⋅ = ∂Φ ∂
���
��
�
�
�����,	
����	������3'��
������
��
/ n∂Φ ∂ ����������
�
��	
��������3��� N
���
�����������������
������
�
������
����
����3$�.�	���	
��
	��'�
��#
��	������	� Px → ∞
�
'��
�����,	
�����	����∞��������
!�
( ) = cos sinU x zα α∞ ∞Φ + $� 6��� ����� ����� ��� �������� ��� �
�� ��� ������� �����
����������������!�
�
 
 4 
( ) ( ) ( ) +iP m i m m
S S SB B W
A B C
x dS NdS NdS
n n
+ −
∞
∂Φ� �∂ΦΦ = − Φ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ Φ� �∂ ∂� ��� �� ��
�����
� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � ��
%;& 
 
������ ��� �
� ����,	
�� �'� �
� �
��	 ����� ��� ��� 	���		�� 
#�	
� 
�
� ���
� ���� ��
+ −Φ − Φ �������
��������������
��
��	
����������$��
�
����
�����,	
�����
�
	���� ( )S Pm x xΦ −� � ������� Sx� �����
������������������������	'�
�
�,�� mΦ ����
��������	�	��
	��
���������������������
���	��
�������� Px
�
���	�

���
�
���
�����
��� ��� ��� �
���� Sx
�
$�5�� ���
� �	�
� �
� ����,	
������� �
����
����	�	��
	������
�
�����	��
���������
�
���
�������	���
��
��	 ����������
�	���
�����������
�� i
n n
∂Φ∂Φ −∂ ∂ $�����
������,	
����
�����
�
	���������	����� m N∇Φ ⋅
���
�
��
�
��������	�	��
	������������������
���	��
�������� Px
�
���	�
�������������
���
�������
���� Sx
�
�����"����	������
�
	�
� �
���
��	 �������0����3�%��	���������&$�
�
�,�����
������,	
��������
���������	�	��
	����������	��
�������������������
�
��� �
	,�� ��� �
� �
��	 ����� ���� �
�	��� �� ��� �
� �
��	 ����� ��� ���������
��
�'� ���
�"�N
���
�����������
�� iΦ − Φ ���
+ −Φ − Φ �	��������
�����$�
 
������������������
�����
 
6�����
����#
����
������
������������
������������
������������ ��������
�������
�
���		���������������'��
�������������������	����
�� 
��
���	�������	����	�����
�������
������������
������!�
�
�������
����	�
��
���
�	����
�
!� 0
n
∂Φ =∂ %<& 
 
���
���������������
�����
����
�	�����
��(�	������%;&��������������
 
 ( )
manantiales dobletes dobletes
d d dP m m m
S S SB B W
S N S N Sσ µ + − ∞Φ = − Φ − ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ + Φ� � �
� �� � � �� � � �� � � � �� � � � � � � � � � � �
 %=& 
 
����
 
,i in
σ µ∂Φ= = Φ − Φ∂ 
 
.
	
� ������	� �
� ���
����� ���� �	�����
� ��� #
��� �����	� .� 
� �0$� ��� �	�����
�
�
����	������	���������� �	�
�!�
�
 
 5 
 ����������
�!�������"��
�
�
6������	
	� ����� ����,���
� ��� �������
�� ���	�� ��� ��	 ��$� ��� ����	����
�
��	���
�������
���
�����%=&�
�
 ����������
�!��
�������
�
5�	��
	����%=&���������	��
�����������%<&'��������	'� 0N∇Φ ⋅ = $����������
����
��
����,���
�������
����������
���������������'��'����
�
���
���'��$�
�
�������������!�
���������
������ iΦ �
�
5���������� ����
����������$�.�	��"�����'��
	
������� ��
	� ����
�������������
���
	� iΦ /�>'���������
�����
�
	����������
�
���
���$�
 
d ( ) dP m m
S SB W
N S N Sµ + − ∞Φ = − ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ + Φ� � 
 
����µ = Φ $�
�
���� ���
	,�'� �
	
� ��"�	
	� �
� �����	,����
� ���� ������� �
���� ��	� ����
����	��
�������
	� iΦ = Φ �����0!�
 
d ( ) diP m m
S SB W
S N S
n
+ −
∞
∂ΦΦ = − Φ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ + Φ∂� � 
 
��� �
��
��	� �
��'� ������������������� ��� ����� ��� ���"
� iΦ '� �����	�� ���
��	� ��
��
���
��
�
�����
����������
������������
�
���
��������	��
��������	��
����
�	�������
�
$������
����%)&�
� iA = ∇Φ ������������ 0iA∇ ⋅ = ∆Φ = '��
�,��
 
 0 = i
V S SBi B B
A dxdydz A Nds ds
n
∂Φ∇ ⋅ = = ⋅ ∂��� �� ��
� � �
 
 
�������	'�
 
d 0i
SB
s
n
∂Φ =∂�� 
 
�������0�����������
���������
�	��������
�����	��0$�
 
 6 
 
	!#�������
�
������������
����
�������	
������
	
�+5$�
�
.�	�
�
��
	�����������!�
 
1( )
2m P S P
x L x xπΦ = − 
 
 2
1( )
2
S P
m P
S P
x x
x
x xπ
−∇Φ =
−
 
 
 
cos
2m S P
N
x x
θ
π
−∇Φ ⋅ =
− ��%�$)& 
 
������ ( )a ng , p SN x xθ = − �
�
.�	���	
��
	��'�����������
��������"�����
����������%+5&������������
��
���
��
���
������
���
����	��
����"�� �	�
�
����,
�������������"��
����
 
( )
( )
( )
22
i pi
P
P SP S
e ef t
t tt t
β θβ
ππ
−
= =
−− , ( )ang - , eje P P St t xθ = 
 
�
�,������������
������������
��������
 
 
( )cos cos( )
2 2
P
P
S P S P
t
t t t t
β θ θ
π π
−
Φ = =
− − ��������%�$+& 
 
����������������,
����
�� �	�
�������	�������"�������������$������������������
����������������������������������������������������������������������������
:��
�����������
	
����%�$)&���%�$+&�������������
� m N∇Φ ⋅ ��������������
�����

���������������������
��
���
��������"�� N− $�
�
A~JLoyr~,ftt!tiA- j[_ 
-
¿ f2f ~~r 
lt.l ..:.a:.G [o, ~] @ 
'. 
¡. 
-
*'%¡ erc.tc...~o f. 5 
~o • f; :~ (z .i) ~: i lYot b~)f U-Z , 
1-'0 b ~:: Z. ~ [Od-J bLS)=J): 2b (~-~) 
~~----f-I-~Z f ~ a.. ~ f ~~IA 
O¿¿~i 
~ ~~("&:~O 4-..6 z 
l s' 
A _ # 
AlE -6 
'. 
R .3: ~(~e:á~ ¡;Id tíO ~ ,¿ u. (Le ~ I O t ) ~ 
) 	 Ji,o :Ji -~fbJ.. =) C4.ree:f.&i;¡í.~ "'- f yo 
_ ~1J";: .2 O())·~ ,. 6CJ) -= 60 ( í.... (iJ1.) ; do <t: -i. 
~ d/0~ 2:4­
+ 
/' 
, /' 
r~:~ ~él1(:!l ~11ft:..t;e¡A:.. ~ tt-~~&.'{.D 
.z~ :: El~).Z ~® .ec. ::. fej) . % 
.) ?'D~ a-~ft,·co t)u -=-D r::. {-SO 
t);c" ~ 
4~ -l)S "U(~dq) tiJa I -1 z S2.(.o d.J o ... ~ 
/ I f ~ -7r U.t - ~,,¡{~_;¡,)._ (::r~,J-:" ~ -_$i ti~ t - 0-).l 
:: &, 7k 19'1 (4<: (~1) "'~ ::: &'U.o1 V1. (1- - srt ) d~_ 
9t {,~ - (f-j)'- /: Y2 -'h 1/1 -(l-{Y 
~~ ~{;,·(.o f. 
i {t-;;2.)ds 
-KU~ • ~~ -'hit-e-d 
~ ~ JoO ~ 1w:w...i«4 r M & .;I",~~ ~IA 
d exfrlJiMlo M ~ 
,. 
~ xJ,..e;¿;... ~l /,'",,!4-. ~.é .&.;.u-. de s<k.-""t!J:> ~~ .t .,t..Jk¡ ¡(j,Ir~ 
$t.~: Ulo'") = ~t~ 
:t",tl'~1>: U (0-) :,;UA+2J$ 
lA/u ,-4l ¿¡"'~ét,« .IJ,. d r"~ ...le Ú<rtJc.Í...,... 
 
 
Problemas de la teoría potencial linealizada de cuerpos esbeltos y de fuerzas transversales 
sobre cuerpos esbeltos 
 
 
1. Se considera un cono esbelto de revolución, de semiángulo δ << 1, que se mueve con ángulo 
de ataque nulo a través del aire en calma. Calcule, para M∞ = 0.6 y M∞ = 2 : 
 
 a) El potencial de velocidades de perturbación correspondiente al campo próximo. 
 b) Las componentes de la velocidad sobre la superficie del cono. 
 c) El coeficiente de presión sobre el cono. 
 d) La resistencia aerodinámica de la superficie lateral del cono por unidad de longitud, 
obtenida por integración a partir de c). 
 
 
2. Calcule, utilizando la teoría de los cuerpos esbeltos, la posición del centro de presiones en 
cada una de las ojivas siguientes. Todas ellas son axilsimétricas, tienen la misma longitud, l, 
y radio máximo, R(l). Las funciones R(x) que las representan son: 
 
 1) R x R l xla f a f= cónica 
 2) R x R l xl
x
la f a f e j= −
L
NM
O
QP2
2
 ojival 
 3) R x R l xla f a f= parabólica 
 4) R x R l xl
x
la f a f e j= −2
2
 elíptica 
 
 
3. La figura representa un ala esbelta de espesor nulo, cuerda máxima L y envergadura 2b 
(b << L) cuyas secciones, al cortar por planos paralelos al XZ son líneas rectas que forman 
un ángulo α (α << 1) con el eje X, que coincide con la dirección de la corriente incidente. 
Las secciones por planos paralelos al YZ son arcos de círculo, de forma que el arco de 
círculo que constituye la sección final tiene una flecha b/2. Se desea calcular la sustentación 
que se produce sobre el ala. Para ello: 
 
 a) Defina el problema cruzado que debe resolver. 
 b) Mediante una transformación de Yukovski calcule el potencial del problema cruzado. 
 c) Calcule las fuerzas que aparecen sobre la configuración. 
 
x 
U∞ 
y 
z 
α 
L b
b/2 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Se considera un cuerpo esbelto de revolución, de longitud L, formado por una proa afilada y 
una sección final cilíndrica. Por efecto de la incidencia se desprenden torbellinos como los 
indicados en la figura. 
 
 Se desea conocer el incremento de sustentación debido a los torbellinos. Hágase aplicación 
al caso de: 
 
 y y xLa
a
o
= , z z xLa
a
o
= 
 
 
y
R
a
o
= 0.5 , 
z
R
a
o
= 0 , ΓαU R∞
= 0 08. 
 
 donde α es el ángulo de incidencia. 
 
y 
R 
z 
ya 
 
 
 
 za 
 
 
 
 
 
 
5. Se pretende calcular el efecto que produce en tierra el paso de un avión que vuela a 
M∞ = 2 y altura h constante. Para calcular el campo lejano se puede suponer el aparato de 
revolución y con longitud l, con una distribución de áreas: 
 
 , ε << 1 , 0 ≤ x ≤ 1 ( ) 2 2 2 33 2S x l x xπ ε ⎡= −⎣ ⎤⎦
 
 Calcule y dibuje en forma esquemática la distribución de cp a lo largo de la recta proyección 
de la trayectoria sobre el suelo (supuesta la tierra plana). Al esquematizar cp, discuta en qué 
se distingue del correspondiente a un avión bidimensional que tenga la misma silueta que el 
considerado. Interesa en particular discutir la expresión para valores grandes de x. 
 
 
6. Un cuerpo esbelto cuya superficie viene dada por la expresión: 
 
 r x R x x ko , , sin
/θ ε θ ε ε θa f a f e j= = −1 1 2
 
 vuela a ángulo de ataque nulo y velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal. 
 
 a) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial 
de velocidades (sin linealizar). 
 
 
 b) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial 
de perturbación correspondiente al campo próximo. 
 c) A la vista de la forma del obstáculo, desarrolle el potencial de perturbación del campo 
próximo en serie de potencias de ε1/2: ϕ = ϕo + ε1/2ϕ1 + ... Transfiera la condición de 
contorno a la circunferencia R = x y escriba la ecuación diferencial y las condiciones de 
contorno para ϕo y ϕ1. 
 d) Calcule ϕo. Compare con la solución para el cono. 
 e) Calcule ϕ1. Para ello ensaye soluciones del tipo ϕ1(r,θ) = F(θ)/rn. Discuta la influencia de 
k. 
 f) Indique cómo calcularía la función g(x). 
 
 
7. Considere un fuselaje esbelto axilsimétrico que cumple las siguientes especificaciones: 
 
- La longitud total es L. 
- La variación con el ángulo de ataque, α, del momento de las fuerzas aerodinámicas 
respecto al morro, M, vale 
 
 2 3 21 1
8
dM U L K K
d
πρ
α ∞ ∞
= − << 
 
 En estas condiciones: 
 
 1) Determine la ley de áreas del cuerpo que cumple las ligaduras anteriores y tiene 
resistencia de onda mínima. 
 2) Calcule los valores del volumen y del área de la sección final de dicho cuerpo. 
Esquematice su ley de áreas. 
 3) Comente la validez de la solución obtenida. 
 
 
8. Se ha construido un cuerpo esbelto axilsimétrico en dos escalones, sujeto a las siguientes 
ligaduras: 
 
 1) Longitud total, L. Longitud de cada escalón L/2. 
 2) Area de la base del primer escalón (zona posterior): A. Area de la base del segundo 
escalón (zona anterior): A/2. 
 3) dR(x)/dx = 0 para x = L/2 y x = L. 
 
 Para calcular el campo aerodinámico alrededor de dicho cuerpo, se superponen en el eje x 
manantiales de acuerdo con la ley: 
 
 f x
U A
KL x
La f a f a f= + = +∞4 3 2 1sin sin cosθ θ θ 
 
 a) Compruebe que el cuerpo esbelto correspondiente cumple las ligaduras. Para ello, 
determine K. 
 b) Esquematice R(x). 
 c) Calcule la resistencia de onda. 
 
 
 d) Compare dicho valor con el del cuerpo óptimo que cumple las ligaduras 1 y 2 (pero no la 
3). 
 e) Compruebe que es posible reducir el valor obtenido en c) cumpliendo las ligaduras 1, 2 y 
3. 
 
 
9. Se desea construir un fuselaje axilsimétrico esbelto macizo de longitud L y densidad 
constante cuyo centro de gravedad esté situado a una distancia d = 5L/8 del morro y con 
S(L) = So. 
 
 a) Calcule la distribución de áreas del fuselaje que cumple las ligaduras anteriores y tiene 
mínima resistencia de onda. 
 b) Compruebe la validez de la solución obtenida. 
 c) Calcule el volumen de dicho cuerpo y el momento respecto al morro de las fuerzas 
aerodinámicas. 
 
 
10. Se desea construir un misil esbelto, compuesto de un fuselaje axilsimétrico y un ala plana 
que cumpla las siguientes especificaciones: 
 
 1) La longitud del fuselaje es l y la cuerda del ala l/2, coincidiendo el borde de salida del 
ala con la sección final del fuselaje. 
 2) El ala es de forma en planta rectangular y alargamiento Λ = 0.5, formada por perfiles 
simétricos, iguales, de intradós y extradós parabólicos; el espesor máximo se alcanza en 
el punto medio de la cuerda y vale 
 
 τ πmax =
4
3
2lε 
 
 3) El volumen del misil (fuselaje y ala) es 
 
 V l= 38
2 3πε 
 
 y el centro de masas del mismo, supuesto de densidad uniforme, se encuentra a una 
distancia 3l/4 del morro. 
 
 a) Determine la ley de áreas del cuerpo que cumple las ligaduras especificadas en 3) y tenga 
resistencia de onda mínima. Esquematice dicha ley de áreas. 
 b) Esquematice la ley de áreas del fuselaje. Calcule el valor de la sección final del mismo. 
 
NOTA: Desprecie consistentemente infinitésimos de orden superior. 
 
 
 
 
 
11. Considere el ala esbelta, plana, cuya forma en planta se indica en la figura, volando a 
través del aire en calma, con ángulo de ataque α y velocidad U∞. Determine, en función del 
 
 
parámetro δ, los valores de los coeficientesde sustentación y de resistencia inducida, la 
posición del centro de presiones y el valor de la sustentación. 0 ≤ δ ≤ L/10. 
 
 ¿Qué ocurre cuando δ = 0? 
 
 y 
L/10 
δ 
L/2 
L/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
12. Considere el ala cuya geometría se define en la figura, volando con ángulo de ataque nulo 
a través del aire en calma en régimen supersónico (M∞ = 2 ). Calcule y represente la ley 
de áreas a considerar para el cálculo de la resistencia de onda de dicho ala mediante la 
regla de Hayes en los casos θ = 0, θ = π/2, θ = π/4. 
 
 Comente, si las hubiera, las particularidades de las soluciones obtenidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
M∞ 
δ<<1
x c/2 
c/2 
c 
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Considere un ala rectangular volando a ángulo de ataque nulo a M∞ = 2 y provista de 
perfiles simétricos iguales a lo largo de la envergadura, dados por la expresión: 
 
 z x x xe = − < < <ε ε1 0
3 2a f / , <1 1 
 
 
 
 en variables adimensionalizadas con la cuerda, c. 
 
 a) Calcule la resistencia de onda en los casos en que el alargamiento sea Λ = ε y Λ = 1/ε. 
 b) Compare la resistencia por unidad de envergadura en uno y otro caso. 
 
NOTA. Desprecie consistentemente infinitésimos de orden superior. 
 
 
14. Considere un ala de forma en planta triangular y alargamiento Λ = 1, tal como se indica en 
la figura A. Las secciones del ala al cortar por planos x = cte son rombos (figura B) cuyo 
espesor máximo sigue la ley 
 
 τ ε ξ ξ ξx l xla f b g= −43 2
22 1 2 3 2/ / = 
 
 a) Esquematice la ley de áreas del cuerpo de revolución equivalente, de acuerdo con el 
principio de Oswatitsch-Keune. 
 b) Calcule la resistencia de onda de dicho cuerpo. 
 c) Esquematice las leyes de áreas a considerar en el cálculo de la resistencia mediante la 
regla de Hayes (M∞ = 2 ) en los casos θ = 0 y θ = π/2. Aproxime las intersecciones del 
ala con los distintos planos por polígonos. 
 
 
b(x) 
τ(x) y 
z 
l/4 
l 
y 
x 
l/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
COMENTARIOS SOBRE ALAS ESBELTAS 
 
La teoría de ala esbeltas expuesta es válida para alas de pequeño alargamiento que vuelan a ángulos de 
ataque pequeños. No es de esperar por tanto que los resultados que proporciona esta teoría sean 
correctos si falla alguno de los condicionantes señalados. Por ejemplo, en la figura 4.18 se muestra la 
variación con el ángulo de ataque del coeficiente de sustentación y del coeficiente de momento 
respecto al vértice de un ala delta de alargamiento Λ = 0.75 medida en régimen supersónico a número 
de Mach M∞ = 1.75. Hay que decir que el ala tiene intradós plano pero también cierto espesor, lo que 
implica también cierto efecto de curvatura en los cortes del ala por planos x = constante, razón por la 
cual, para ajustar mejor a los datos experimentales, las rectas del coeficiente de sustentación y del 
coeficiente de momento no pasan por el origen y aparecen en el grafico levemente desplazadas. El 
acuerdo entre teoría y experimentos es bastante bueno en el intervalo de ángulos de ataque 
considerado, si bien se observa que para |α| > 1.5º (0.03 radianes), las diferencias empiezan a ser 
apreciables. El intervalo de validez es limitado, estando en 5º ó 7º el límite superior del ángulo de 
ataque para el que la aproximación teórica es aceptable. 
 
Fig. 4.18. Variación con el ángulo de ataque, a, del coeficiente 
de sustentación, cL, y del coeficiente de momento, cMy, de un 
ala esbelta plana de forma en planta triangular (ala delta). De 
Jones (1946). 
 
Respecto a la influencia del alargamiento, el rango de validez 
de los resultados teóricos queda claramente expuesto en la 
figura 4.20, donde se comparan datos experimentales relativos 
a la dependencia de la pendiente de la curva de coeficiente de 
sustentación del ala con el alargamiento, con la predicción de 
la teoría de alas esbeltas, dcL/dα = πΛ/2. Como se puede 
apreciar el acuerdo entre teoría potencial y resultados medidos 
en túnel es excelente hasta valores de la esbeltez de orden 
unidad, pero las discrepancias resultan demasiado grandes para valores de la esbeltez mayores (para 
Λ = 2 la predicción teórica es casi un 50% superior a los resultados experimentales). 
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
-2 -1 0 1 2
α [º] 
cMy 
cL 
 
Fig. 4.20. Variación con la esbeltez, Λ, de la pendiente 
de la curva de sustentación, dcL/dα, de alas esbeltas 
planas de forma en planta triangular. La línea continua 
corresponde expresión, dcL/dα = πΛ/2, los símbolos 
representan resultados experimentales de dos fuentes 
distintas y la línea de trazos la curva de ajuste de los 
datos experimentales. Los datos experimentales son de 
Ashley & Landahl (1985). 
 
Finalmente en las figuras 4.22, 4.23 y 4.24 se presentan 
los resultados medidos en el túnel A9 de IDR/UPM con 
un ala esbelta como la definida en la figura 4.21. Para 
estos ensayos se ha empleado el método de las imágenes, de modo que en realidad sólo se ensaya 
media ala montada perpendicularmente a una placa plana de forma circular que actúa como superficie 
aerodinámicamente especular. Ala y chapa especular están separadas de la pared del túnel para evitar 
que la capa límite de este incida sobre el ala, Entre la chapa especular y le pared del túnel existe un 
cuerpo carenado que permite que el ala, articulada a la chapa especular en el morro, se pueda ocultar 
en el cuerpo carenado, variando así la porción de ala expuesta a la corriente, definida por el ángulo θm 
(o por la flecha del borde de ataque, σ = π/2 – θm), y por tanto su envergadura. Las tomas están 
 1
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
dispuestas a lo largo de tres arcos de circunferencia con centro en el morro del ala, cuyos radios valen 
0.50L, 0.65L y 0.80L, con L = 0.5 m. La separación angular entre dos tomas adyacentes en un mismo 
arco es ∆θ = 40/26 grados (1.5385º) o un múltiplo de este ángulo. 
 
Se han ensayado tres alas con flechas diferentes, correspondientes a los valores σ = 60º (θm = 30º), 
σ = 50º (θm = 40º), y σ = 40º (θm = 50º), que equivalen a valores de la esbeltez de 1.91, 2.37 y 2.69, 
respectivamente, habiéndose medido las distribuciones de presión sobre extradós e intradós de cada ala 
para valores del ángulo de ataque de 0º a 20º en incrementos de 2º. 
 
Fig. 4.21. Definición del modelo de ala 
empleado en los ensayos de medida del 
coeficiente de presión en el túnel A9 de 
IDR/UPM. La línea A-A´ representa el plano 
especular. Las tomas están dispuestas sobre 
arcos de circunferencia en los radios indicados, 
equiespaciadas angularmente. 
 
Para comparar los coeficientes de presión 
medidos con los que proporciona la teoría 
potencial linealizada de alas esbeltas es preciso 
considerar que aquí sí se deben retener los términos cuadráticos en la expresión del coeficiente de 
presión al calcular éste, que se cancelan en el cálculo del coeficiente de sustentación; calculando la 
velocidad conjugada en cada plano x = constante se tiene 
 
2 2
d ( ) i i
d ( )
Cf t tv w U
t b x t
α ∞
⎛ ⎞
⎜= − =
⎜ −⎝ ⎠
∓ ⎟
⎟
, (4.1) 
de modo que sobre el ala es 
 
2
,
( )
c c yw U v U
z y b x y2
ϕ ϕ
α α∞ ∞
∂ ∂
= = − = =
∂ ∂ −
∓ , (4.2) 
y así, el coeficiente de presión sobre el ala vale 
 
2
2
22 2
d ( )( )
d( , ) 2 1
( )( )
p
b xb x yxc x y
b x yb x y
α α
⎛ ⎞
= + +⎜
−− ⎝ ⎠
∓ 2 ⎟ . (4.3) 
Según se puede apreciar en las figuras 4.22, 4.23 y 4.24, el acuerdo entre los resultados teóricos y 
experimentales es bueno si el ángulo de ataque es pequeño, independientemente de la flecha del ala, 
siendo mejor la concordancia entre teoría y experimentos en el extradós del ala que en el intradós. Ello 
es debido a que en cada sección x = constante del extradós del ala aparece un pico de succión a lo largo 
del borde de ataque mientras que en el intradós lo que se tiene es un punto de remanso. Obviamente 
para alas como las ensayadas, donde db(x)/dx es constante, la expresión(4.3) indica que en términos 
de la variable y/b(x) (en cierto sentido equivalente a la variable θ/θm empleada para representar los 
resultados medidos) los resultados teóricos no dependen de la sección x considerada. Ciertamente esto 
es no es así en los resultados experimentales, donde se observa una dependencia de los valores de los 
coeficientes de presión con la distancia al vértice del ala, debida sin duda a los cada vez más 
importantes efectos asociados al crecimiento de la capa límite. 
 
Es importante observar que conforme aumenta el ángulo de ataque la solución experimental cerca del 
borde de ataque se modifica debido a la formación del torbellino característico de estas alas a ángulos 
de ataque elevados. Esto se manifiesta en las medidas por la presencia de una zona próxima al borde 
donde el coeficiente de presión en vez de crecer se mantiene constante o incluso disminuye muy cerca 
del borde del ala. El torbellino aparece para ángulos de ataque tanto menores cuanto mayor es la flecha 
 2
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
(alas más esbeltas). Como el torbellino va creciendo en tamaño con la distancia al vértice del ala, a la 
par que su núcleo se va separando del extradós del ala, es lógico que para alas más esbeltas (figura 
4.22) las cargas de presión sean más intensas y 
repartidas en una zona menor cuanto más cerca 
se esté del vértice del ala; es ilustrativo comparar 
el comportamiento que muestran los datos 
experimentales correspondientes al extradós en la 
figura 4.22 para α = 12º y α = 16º: el torbellino 
ha ido creciendo en intensidad como era de 
esperar, y la intensidad del pico de succión 
aumenta con el ángulo de ataque. 
 
 
Fig. 4.22. Distribuciones de coeficiente de 
presión, cp, medidas a lo largo de arcos de 
circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós 
de un ala con forma de sector circular tal como la 
representada en la figura 4.21. Los resultados 
corresponden a un ala de flecha σ = 60º y 
alargamiento Λ = 1.91; los símbolos identifican 
el radio del arco de circunferencia donde están 
dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente 
clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) 
y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a 
los resultados de la teoría potencial linealizada de 
alas esbeltas (expresión (4.3)) 
 
Fig. 4.23. Distribuciones de coeficiente de 
presión, cp, medidas a lo largo de arcos de 
circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós 
de un ala con forma de sector circular tal como la 
representada en la figura 4.21. Los resultados 
corresponden a un ala de flecha σ = 50º y 
alargamiento Λ = 2.37; los símbolos identifican 
el radio del arco de circunferencia donde están 
dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente 
clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) 
y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a 
los resultados de la teoría potencial linealizada de 
alas esbeltas (expresión (4.3)). 
 
Al disminuir la flecha la aparición del torbellino 
de borde de ataque se retrasa, aparece para 
ángulos de ataque mayores (figuras 4.23 y 4.24), 
y el comportamiento se asemeja cada vez más al 
de las alas de alargamiento grande: existe 
desprendimiento de la capa límite en el borde de 
ataque, ya que el ala es de pequeño espesor y el 
radio de curvatura en el borde también lo es, pero ahora los efectos de barrido de la capa límite hacia el 
borde son menores y el aumento del valor del ángulo de ataque se traduce en un notable crecimiento de 
la zona desprendida. 
0 0.4 0.8 0 0.4 0.8
0 
2 
0 
2 
0 
θ
2 
/θm θ/θm
cp 
α = 2º α = 8º 
cp 
cp 
α = 4º 
α = 6º 
α = 12º 
α = 16º 
= 60º σ
0 
2 
0 0.4 0.8 0 0.4 0.8
0 
2 
0 
2 
θ/θm θ/θm
cp 
α = 2º α = 8º 
cp 
cp 
α = 4º 
α = 6º 
α = 12º 
α = 16º 
σ = 50º 
 3
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
 
Fig. 4.24. Distribuciones de coeficiente de 
presión, cp, medidas a lo largo de arcos de 
circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós 
de un ala con forma de sector circular tal como la 
representada en la figura 4.21. Los resultados 
corresponden a un ala de flecha σ = 40º y 
alargamiento Λ = 2.69; los símbolos identifican 
el radio del arco de circunferencia donde están 
dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente 
clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) 
y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a 
los resultados de la teoría potencial linealizada de 
alas esbeltas (expresión (4.3)). 
 
A la vista de los diferentes resultados 
experimentales es claro que la teoría potencial 
linealizada de alas esbeltas tiene un rango de 
ángulos de ataque de validez muy limitado, entre 
–5º y 5º aproximadamente. No es de esperar por 
tanto que esta teoría sirva para explicar el 
comportamiento aerodinámico de las alas esbeltas 
en entornos de maniobra reales, donde en 
ocasiones es preciso volar con ángulos de ataque 
grandes. Si se tiene en cuenta que este tipo de alas se emplean, salvo excepciones, en aviones de uso 
militar a los que se exige alta maniobrabilidad, lo que implica respuestas seguras de la aeronave en un 
amplio margen de valores del ángulo de ataque, se entiende que se haya dedicado un esfuerzo 
considerable a la aerodinámica de alas para vuelo a velocidad elevada a altos ángulos de ataque (Rom, 
1992). A grandes rasgos, de acuerdo con este autor, para alas esbeltas sin guiñada se pueden distinguir 
hasta seis regiones de características fluidas distintas según sea el valor del ángulo de ataque: 
0 0.4 0.8 0 0.4 0.8
0 
2 
0 
2 
0 
2 
θ/θm θ/θm
cp 
cp 
cp 
α = 2º 
α = 4º 
α = 6º 
α = 8º 
α = 12º 
α = 16º 
σ = 40º 
 
1- Para valores muy pequeños del ángulo de ataque el flujo sobre el ala es estacionario y la capa límite 
permanece adherida. El coeficiente de sustentación del ala varía linealmente con el ángulo de 
ataque (esta es la zona de validez de la teoría potencial linealizada de alas esbeltas). 
2- Para valores pequeños la variación del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es casi 
lineal, el flujo sigue siendo estacionario, simétrico respecto al plano medio del ala, y aunque la 
capa límite se desprende cerca del borde de ataque, la capa de cortadura se readhiere pronto, 
formando burbujas de recirculación todavía poco importantes. 
3- Cuando el valor del ángulo de ataque se puede calificar de entre moderado y alto, la capa límite está 
claramente desprendida, con formación de dos torbellinos. El flujo continúa siendo simétrico y 
estacionario, y la variación del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es 
marcadamente no lineal. 
4- Si los valores del ángulo de ataque son grandes la característica que diferencia el flujo del descrito 
en el punto 3 es la aparición de asimetrías en la configuración turbillonaria. Por supuesto la 
dependencia de la sustentación con el ángulo de ataque sigue siendo no lineal. 
5- Para valores todavía mayores se produce la rotura o explosión de los torbellinos ligados a los bordes 
del ala, lo que genera la pérdida de sustentación y la aparición de condiciones no estacionarias en el 
flujo. 
6- A valores muy elevados del ángulo de ataque la corriente está completamente desprendida en el 
extradós, lo que da lugar a una estela turbillonaria no estacionaria. En este rango de valores el ala 
está en pérdida. 
 
 4
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
TORBELLINOS DE BORDE DE ATAQUE EN ALAS ESBELTAS 
 
Como se ha dicho, las alas en delta con bordes de ataque subsónicos para vuelo supersónico son una 
solución con notables ventajas desde el punto de vista aerodinámico y estructural, pues dichas alas 
generan al lo largo del borde de ataque fuerzas de succión que disminuyen la resistencia aerodinámica 
de la aeronave. Sin embargo estas alas ofrecen características aerodinámicas aparentemente pobres a 
bajas velocidades, pues a bajas velocidades el ángulo de ataque ha de ser elevado, lo que trae consigo 
el desprendimiento de la capa límite cerca del borde de ataque del ala, situaciónque ocurre incluso 
para valores no demasiado altos de este ángulo. Esta desventaja, el desprendimiento de la capa límite, 
es sólo aparente, pues normalmente el desprendimiento de la capa límite viene acompañado con la 
posterior readhesión de la capa de cortadura resultante, dando lugar a la aparición de torbellinos que 
discurren paralelamente a los bordes de ataque del ala, cuyo efecto es beneficioso si el flujo resultante 
resulta ser estable y controlable. Ciertamente la formación de estos torbellinos va aparejada de un 
aumento de la resistencia a causa de la disminución de la succión de borde de ataque, efecto hasta 
cierto punto compensado por el aumento de sustentación generado por el pico de succión ocasionado 
por los torbellinos. 
 
En la figura 4.27 se presenta el esquema de la sección de un torbellino de borde de ataque, donde se 
suelen distinguir tres regiones diferentes. Existe una capa de cortadura que alimenta al núcleo 
rotacional, capa que se inicia en el borde de ataque y cuyo espesor crece con la distancia a dicho borde; 
existe también un núcleo rotacional cuyo diámetro viene a ser del orden del 30% del tamaño del 
torbellino, donde la vorticidad se supone distribuida de forma continua, y finalmente está el sub-núcleo 
viscoso, con dimensiones típicas del orden del 5% del tamaño del torbellino, en el los gradientes de 
presión (de remanso y estática) y de velocidad son muy acusados. El sub-núcleo viscoso gira como un 
sólido rígido, alcanzando su velocidad axial hasta el triple del valor de la velocidad de la corriente 
incidente. 
 
Fig. 4.27. Esquema de la sección de un torbellino de 
borde de ataque. C) capa de cortadura, R) núcleo 
rotacional, y V) sub-núcleo viscoso; de Nelson & 
Pelletier (2003). 
C R 
V 
 
Un ejemplo típico de ala delta diseñada con el criterio 
de aprovechar los torbellinos de borde de ataque es la 
del Concorde (figura 4.28), la única aeronave 
supersónica de uso civil en servicio durante varias 
décadas. En régimen subsónico bajo (en las 
maniobras de despegue y aterrizaje) la configuración 
fluida sobre las alas del Concorde está fuertemente condicionada por dos intensos torbellinos de borde 
de ataque, muy estables, mientras que en régimen de vuelo supersónico, donde no son precisos valores 
altos del coeficiente de sustentación y el ángulo de ataque es por tanto pequeño, la corriente permanece 
adherida sobre el ala, normalmente sin ondas de choque. 
 
Fig. 4.28. Avión Concorde 
 
Otro tipo de aeronaves donde las alas en delta tienen una 
amplia aplicación es en los aviones de combate. En los 
primeros aviones supersónicos de uso militar equipados 
con este tipo de alas el mayor interés estuvo en mejorar 
sus características de vuelo en supersónico, de modo que 
fueron equipados con alas delta con bordes de ataque 
angulosos. Sin embargo muchas de estas aeronaves 
 5
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
presentaban prestaciones demasiado pobres en las maniobras realizadas a menores velocidades, en los 
regímenes subsónico y transónico, así como en las de despegue y aterrizaje, y en general en todas 
aquellas en las que eran necesarios ángulos de ataque elevados, siendo la razón de este 
comportamiento que tales alas no fueron diseñadas para utilizar los posibles efectos beneficiosos que 
indefectiblemente aparecen cerca del borde de ataque al aumentar el valor del ángulo de ataque. 
 
Con los años se hizo necesario aumentar las prestaciones de los aviones de combate en los regímenes 
subsónico y transónico, sin reducir, por supuesto, de forma apreciable las prestaciones de las aeronaves 
en vuelo supersónico. Fue entonces cuando, en los años setenta, cuando se incorporan al diseño 
dispositivos como los llamados extensiones de borde ataque (EBA, o en inglés Leading Edge 
Extensions, LEX), que son prolongaciones sustentadoras de las alas que nacen del fuselaje con flechas 
muy elevadas (figura 4.29). La finalidad de estas extensiones es la generación de torbellinos para 
estabilizar el flujo en el extradós del ala hasta valores muy elevados del ángulo de ataque. También se 
suelen añadir flaps de borde de ataque cuya deflexión ayuda a mantener la succión de borde de ataque 
y mantener acotada la resistencia aerodinámica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.29. Dos aeronaves de uso militar equipadas con alas en delta modificadas con los dispositivos 
conocidos como extensiones de borde de ataque: F-16 a la izquierda y Su-27 a la derecha. 
 
Así pues, el diseño de las alas de los aviones de combate está condicionado por muchos aspectos que 
implican limitaciones, como se esboza en la figura 4.30 para el caso de una ala típica de avión de 
combate, destacando la necesidad de valores altos del coeficiente de sustentación (lo que implica 
valores elevados del ángulo de ataque) en subsónico y transónico, y valores moderados de tal 
coeficiente en supersónico. En la figura 4.30 se indican también los diferentes tipos de flujo sobre el 
ala, desde capa límite completamente adherida en el extradós del ala hasta corriente totalmente 
desprendida, y en cada caso con y sin ondas de choque. Sea cual sea el caso el comportamiento de las 
alas en delta depende fuertemente de la aparición de los torbellinos de borde de ataque, lo que 
combinado con la existencia o no de ondas de choque da lugar a una amplia variedad de 
configuraciones fluidas sobre el ala (véase, por ejemplo, Yegna Narayan & Seshadri, 1996). 
 
Fig. 4.30. Situaciones de 
diseño a considerar en el plano 
ángulo de ataque, α, versus 
número de Mach de vuelo, M, 
en el proceso de diseño de un 
ala para un avión supersónico 
de combate, de Yegna Narayan 
& Seshadri (1996). 
 
Cuando el valor del ángulo de 
ataque de un ala en delta es 
muy elevado, α > 20º, el eje 
del torbellino de borde de 
 6
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
ataque conforme se aleja del vértice del ala lo hace también del extradós, en dirección perpendicular al 
plano del ala. A estos valores elevados del ángulo de ataque suele ocurrir además que, transcurrida una 
cierta distancia desde su nacimiento, el torbellino pierda su estructura regular y hasta cierto punto 
ordenada. Inicialmente el torbellino se percibe con una estructura fluida estable, de forma casi 
cilíndrica (el torbellino crece en sentido radial lentamente), con un núcleo o eje rectilíneo alrededor del 
cual se produce el movimiento de las partículas fluidas, con distribuciones de velocidades axiales, 
radiales y tangenciales bien definidas. Sin embargo, es frecuente que tras recorrer una cierta distancia, 
bajo condiciones que son bien conocidas pero de acuerdo con un mecanismo todavía no comprendido 
plenamente, el movimiento de giro relativamente lento de las partículas fluidas alrededor del núcleo se 
transforme súbitamente en otra estructura fluida de tamaño mucho mayor, dando lugar a un 
movimiento altamente fluctuante (figura 4.31) en el que tanto la velocidad de giro como la longitudinal 
se reducen drásticamente en la parte central del flujo turbillonario. Al producirse esta expansión el 
tamaño de la zona disipativa del flujo aumenta, afectando al resto del flujo sobre el cuerpo, y dado que 
los efectos disipativos aumentan lo hacen en consecuencia las pérdidas. Este fenómeno de transición es 
conocido como crisis o colapso del torbellino (en inglés vortex breakdown) y su existencia puede tener 
efectos perniciosos o beneficiosos sobre la aerodinámica del ala dependiendo de su aplicación. Por ello 
se ha dedicado bastante esfuerzo para entender y controlar el fenómeno de la crisis turbillonaria, bien 
para prevenir su ocurrencia o bien para provocarla, habiéndose dedicado desde los años cincuenta 
considerables recursos para poder disponer de técnicas de control del flujo sobre el ala capaces de 
alterar el punto donde se produce el colapso del torbellino en alas en delta que vuelan a ángulos de 
ataque elevados. 
 
Fig, 4.31. Visualización en túnel hidrodinámico de los 
torbellinos de borde de ataque sobre un ala endelta a 
ángulo de ataque elevado. Como se observa, cerca del borde 
de salida del ala se pierde la forma regular del torbellino, 
apareciendo otra estructura turbillonaria de tamaño bastante 
mayor. La transición de una a otra estructura del torbellino 
es conocida como crisis o colapso del torbellino; de 
Mitchell & Délery (2001) 
 
Aunque hay muchas teorías que con mayor o menor acierto 
explican el fenómeno del colapso turbillonario, ninguna está completamente aceptada. Desde el punto 
de vista experimental mucha de la información disponible proviene de ensayos con torbellinos aislados 
en el interior de tubos, y de estos ensayos ha sido posible identificar una amplísima variedad de 
tipologías en el colapso de torbellinos. Si se trata específicamente de alas esbeltas en delta a ángulos de 
ataque elevados, la variedad se reduce, siendo posible identificar dos tipos básicos de crisis 
turbillonaria, conocidos como crisis turbillonaria de burbuja y de espiral, representando cada uno los 
extremos de un conjunto de tipos de colapso que varía de modo continuo de uno a otro. En la figura 
4.32-A se presenta un esquema de la crisis de torbellino del tipo de burbuja; el núcleo del torbellino 
parece expandirse y abrirse sobre una superficie de forma ovalada, dando lugar posteriormente a 
anillos turbillonarios que se alejan convectivamente corriente abajo. En el modo espiral (figura 4.32-B) 
el núcleo turbillonario no se dispersa, sino que inicia un movimiento espiral adoptando una forma 
parecida a la de un sacacorchos. Hay que decir que lo normal es que el tipo espiral evolucione 
rápidamente hacia el de burbuja. 
 
Fig. 4.32. Esquemas de la forma del núcleo turbillonario durante el 
fenómeno de la crisis del torbellino en los casos de A) transición de tipo 
burbuja y anillos turbillonarios, y B) transición con deformación del 
núcleo en espiral; esquemas dibujados según la información disponible en 
Rom (1992). 
 
 7
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
Parece bien establecido que la crisis turbillonaria depende básicamente de la relación entre los perfiles 
de velocidad tangencial, Vθ, y los de velocidad axial, Va, de manera que para evitar que este fenómeno 
de crisis ocurra en ningún punto del torbellino el cociente Vθ/Va ha de ser mayor de un cierto valor 
crítico situado en torno a 1.3, esto significa que el ángulo de la hélice del torbellino, γ = tan–1(Vθ/Va) no 
debe ser superior a 50º, y si por cualquier circunstancia se sobrepasa este valor, γ > 50º, se produce el 
colapso del torbellino (Mitchell & Délery, 2001). Esta respuesta del torbellino resulta condicionada 
también por el campo de presiones que el torbellino encuentra durante su avance; un gradiente de 
presiones adverso puede adelantar la aparición de la crisis, pues un gradiente tal actúa 
fundamentalmente sobre la componente axial de la velocidad , frenándola, de modo que el cociente 
Vθ/Va aumenta. En sentido contrario, un gradiente favorable tiene un efecto estabilizador, pudiendo 
incluso, si ya ha ocurrido la crisis turbillonaria, forzar la posterior reordenación del flujo y formación 
de un torbellino regular. 
 
Respecto a los parámetros de forma del ala y de la actitud de la misma, en la figura 4.33 se presenta la 
variación con el ángulo de ataque del punto donde tiene lugar la crisis del torbellino para alas en delta 
sin guiñada pero con diferentes alargamientos, y para un ala de 65º de flecha y varios ángulos de 
guiñada. Para un ángulo de ataque dado, al aumentar la flecha del ala (disminuir por tanto el 
alargamiento) el punto donde se produce el colapso turbillonario se retrasa, siendo la explicación que 
el barrido del torbellino hacia el borde de salida es tanto mayor cuanto más grande es la flecha del 
borde de ataque. Con relación a la guiñada, como cuando el ala tiene guiñada es como si un borde de 
ataque disminuye su flecha mientras que el otro la aumenta, es de esperar que la crisis del torbellino se 
presente antes (más cerca del vértice del ala) en el borde de ataque adelantado que en el retrasado; así 
lo indican los datos experimentales representados en la figura 4.33, que muestran un comportamiento 
consistente con los condicionantes geométricos ya que en el borde adelantado el barrido de la corriente 
hacia el borde de salida es menos intenso que el otro borde de ataque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.33. Relación entre el ángulo de ataque del ala, α, y la distancia adimensional hasta el vértice del 
ala, medida paralelamente al eje x, donde se produce la crisis turbillonaria, x/L. Los resultados del 
gráfico A corresponden a alas sin guiñada con distintas flechas, y los del gráfico B a un ala de 65º de 
flecha con diferentes ángulos de guiñada; los datos son de Nelson & Pelletier (2003). 
 
Entre las posibles aplicaciones de la crisis del torbellino está la disipación de los intensos torbellinos 
que emanan de los bordes marginales de las alas de las aeronaves, y en particular de las aeronaves 
comerciales, y también su uso en dispositivos que mejoren el mezclado de aire y combustible en 
cámaras de combustión. Como efectos desfavorables, sobre todo en las alas en delta de aviones de 
combate, hay que contabilizar la pérdida de sustentación unida a la aparición de vibraciones 
 8
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
indeseables, e incluso, dado que el colapso turbillonario raramente se produce simultáneamente en los 
dos torbellinos del ala (uno en cada borde de ataque), la diferencia de sustentación entre una y otra 
semiala induce un momento de balanceo que puede comprometer la estabilidad lateral de la aeronave 
(aunque también se ha sugerido que esta asimetría, de poder ser plenamente controlada, podría ser un 
modo de aumentar la velocidad de maniobra del vehículo). En cualquier caso, dado que la estabilidad 
del torbellino depende principalmente del valor de la relación Vθ/Va, cualquier acción que disminuya la 
componente tangencial o incremente la componente axial es estabilizadora, tendente a retrasar la 
aparición de la crisis del torbellino. 
 
Dado que parece inevitable la formación de torbellinos de borde de ataque en las alas en delta cuando 
el ángulo de incidencia es elevado, los esfuerzos realizados para mejorar las prestaciones de estas alas 
a altos ángulos de ataque se centran en la puesta a punto de dispositivos capaces de fijar por una parte 
la posición del torbellino respecto al borde de ataque del ala, y por otra controlar la aparición del 
fenómeno de la crisis turbillonaria. Tales dispositivos se pueden clasificar en dos grandes grupos: 
neumáticos y mecánicos. En los primeros se actúa sobre el flujo próximo al borde de ataque del ala, 
succionando a través de ranuras o superficies porosas dispuestas a lo largo del borde de ataque, o 
soplando en el borde de salida del ala. Los dispositivos mecánicos consisten principalmente en flaps de 
borde de ataque de distintos tipos (Marchmann, 1981 a, 1981 b; Rao 1979, Rao & Johnson 1981), dos 
de los cuales se muestran en la figura 4.34. Cuando el flap está plegado y el ángulo de ataque es grande 
el torbellino se forma en el extradós del ala, generando una fuerza de sustentación adicional debida a la 
succión del torbellino (normal al plano del ala), si bien en esta situación se pierde en gran medida la 
succión de borde de ataque (en el plano de ataque) existente cuando no se ha formado el torbellino al 
rebordear la corriente el borde de ataque del ala. Al desplegar el flap el torbellino se forma sobre la 
superficie deflectada, de manera que se modifica la dirección de la resultante de la fuerza de succión 
generada por el torbellino, resultando ahora inclinada respecto al plano del ala. 
 
Fig. 4.34. Esquemas de dos tipos diferentes de flaps de borde de 
ataque: flap normal (A) y flap plegado (B); de Rao (1979). 
 
Dentro de los dispositivos mecánicos pueden ser incluidas también 
las extensiones de borde de ataque, cuyo desarrollo se remonta a la 
década de los setenta (Luckring, 1977;Lamar 1980), apéndices del fuselaje con gran ángulo de ataque 
(véase la figura 4.29) cuyo objetivo es la formación de un torbellino previo que comunique energía 
cinética al del borde de ataque del ala. En Mitchell & Délery (2001) se puede encontrar una 
descripción detallada del estado del conocimiento en relación con los diferentes dispositivos 
empleados para el control de torbellinos de borde de ataque en alas en delta. 
 
 
INESTABILIDAD DE BALANCEO DE LAS ALAS ESBELTAS 
 
Una inestabilidad de balanceo característica de las alas esbeltas con flechas muy acusadas 
(alargamientos pequeños) es la que se puede llamar de ciclo límite de balanceo (en inglés wing rock). 
Tal inestabilidad está muy estrechamente ligada a los torbellinos de borde de ataque del ala, y aparece 
cuando estos torbellinos tienen un papel dominante en la aerodinámica del ala, como ocurre cuando el 
ala vuela con ángulos de ataque elevados. Lo más llamativo de esta inestabilidad de balanceo es que el 
movimiento de giro alrededor del eje longitudinal del ala permanece acotado; el ala sigue un 
movimiento de vaivén en balanceo y aunque en los extremos de cada ciclo el ángulo de balanceo 
pueda ser muy grande, hasta ±40º, la misma interacción de los torbellinos de borde de ataque con el 
extradós del ala genera los momentos aerodinámicos necesarios para que el fenómeno no sea 
divergente, de manera que el ala gira alternativamente en un sentido y en sentido contrario alrededor 
de su eje longitudinal de simetría. 
 
 9
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
El fenómeno no fue detectado hasta que en los albores y desarrollo inicial de las aeronaves para vuelo 
supersónico se empezó a dotar a estas con alas en gran flecha para aprovechar así las ventajas de los 
bordes de ataque subsónicos. Probablemente la primera aeronave en sufrir este tipo de inestabilidad de 
balaceo fue el avión experimental Handley Page 115 (figura 4.36), provisto de un ala en delta con un 
ángulo de flecha de 75º (Ross, 1972, 1979). Pronto se pudo demostrar que este tipo de movimiento 
indeseado no era únicamente propio de esta aeronave, sino una característica intrínseca de las 
aeronaves con alas en delta y alargamientos pequeños. Hay dos configuraciones de vuelo donde la 
probabilidad de que este fenómeno de vaivén en balanceo aparezca, una es el ciclo límite de balanceo 
que se produce a ángulos de ataque relativamente pequeños en régimen transónico debido al 
desprendimiento y readherencia de la corriente a causa del movimiento oscilatorio del ala, la otra 
configuración ha sido observada principalmente en régimen subsónico con altos valores del ángulo de 
ataque, y se explica generalmente al considerar la interacción dinámica de los torbellinos de borde de 
ataque con el ala (Ericsson, 1995; Guglieri & Quaglotti, 1997; Katz. 1999). 
 
Fig. 4.36. Avión experimental Handley Page 115, 
desarrollado en los años sesenta. 
 
Para analizar el fenómeno del ciclo límite de 
balanceo ligado a los torbellinos de borde de ataque, conviene tener presente la diferente morfología 
del flujo turbillonario sobre el ala según sea el ángulo de ataque, α, y el alargamiento del ala, Λ (o, lo 
que es lo mismo, la flecha σ, pues Λ = 4/tanσ). En la figura 4.37 se muestran las diferentes 
posibilidades en el plano Λ-α para alas en delta sin guiñada, plasmándose en esta figura la experiencia 
adquirida en un buen número de ensayos estáticos en túneles aerodinámicos e hidrodinámicos. Existe 
una amplia región central cuando los ángulos de ataque son pequeños, que se va estrechando conforme 
aumenta el ángulo de ataque, donde los torbellinos de borde de ataque son simétricos respecto al plano 
de simetría del ala. En la parte izquierda del diagrama, para ángulos de ataque grandes, la evidencia 
experimental muestra que la configuración de torbellinos es asimétrica, un torbellino está más cerca 
del ala que otro, lo que afecta a las fuerzas de succión creadas por cada uno de ellos y da lugar a un 
momento de balanceo. En el otro extremo, en la zona de la derecha del diagrama, para alargamientos 
mayores y ángulos de ataque grandes, el flujo sobre el ala se caracteriza por la aparición del colapso o 
crisis turbillonaria, que ocurre tanto más cerca del vértice del ala cuanto mayor es el ángulo de ataque 
(la línea de separación dibujada en la figura 4.37 corresponde a la situación en la que la crisis 
turbillonaria tiene lugar en el borde de salida del ala). 
 
Fig. 4.37. Regiones donde se aprecia 
simetría, asimetría o crisis turbillonaria en 
el plano Λ-α (alargamiento versus ángulo 
de ataque) para el caso de alas en delta sin 
guiñada; de Ericsson (1995) y Katz (1999). 
 
Tomando como referencia los resultados 
estáticos de la figura 4.37, resulta patente 
que para que exista movimiento de 
balanceo del ala ha de haber asimetría en 
los torbellinos de borde de ataque, de 
modo que la sustentación adicional 
generada por uno y otro sea diferente en 
cada semiala. Sin tener en cuenta otros 
efectos distintos de los torbellinos, en la figura 4.38 se muestran distintos esquemas de la 
configuración turbillonaria sobre el extradós de un ala en delta con 80º de flecha y 30º de ángulo de 
ataque. En los esquemas se ha representado la traza del ala al cortar por un plano x = constante, vista 
 10
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
desde el borde de salida, y los torbellinos de borde de ataque; los distintos dibujos corresponden a 
instantes sucesivos dentro de un ciclo de balanceo, de modo que en el instante inicial, t = 0. la semiala 
de la izquierda está subiendo. 
 
Considérese que al inicio del ciclo el ángulo de balance es nulo (φ = 0º), el ala izquierda está subiendo 
y la derecha bajando, en razón de lo cual el torbellino de la izquierda está más próximo al ala que el de 
la derecha; existe por tanto diferente succión en ambas semi-alas, dando lugar a un momento de 
balance que tiende a acentuar todavía más el movimiento. Conforme transcurre el tiempo y el ángulo 
de guiñada aumenta, el torbellino de la derecha se va acercando al ala, mientras que el de la izquierda 
se aleja, y así llega un momento, φ ≈ 45º, en que el torbellino de la derecha está tan cerca del ala (y a la 
vez el torbellino de la izquierda tan lejos) que las fuerzas adicionales sobre el ala debidas a los 
torbellinos dan lugar a un momento de balanceo negativo, de manera que, de ser este momento 
suficiente, el movimiento de giro alrededor del eje longitudinal del ala se invierte, comenzando a 
disminuir el ángulo de balanceo. Este movimiento en sentido contrario se mantiene hasta que se 
alcanza una situación análoga en el otro extremo del ciclo, de modo que se obtiene una oscilación en 
balanceo sostenida (ciclo límite). 
 
Fig. 4.38. Descripción esquemática de la 
posición a lo largo de un ciclo de balanceo 
de los torbellinos de borde de ataque de un 
ala con flecha σ = 80º y ángulo de ataque 
α = 30º. En cada esquema se indica, 
además del tiempo, t, el valor del ángulo 
de balanceo, φ, y entre paréntesis el signo 
del momento de balanceo debido a la 
sustentación adicional generada por los 
torbellinos; de Katz (1999). 
 
Hay que añadir, finalmente, que esta 
inestabilidad de balanceo no es únicamente 
propia de las alas en delta con 
alargamientos pequeños, si bien en estas 
alas la inestabilidad es tanto más 
improbable cuanto mayor es el alargamiento (el alargamiento aumenta el amortiguamiento del ala): En 
el caso de aeronaves, donde además del ala existe un fuselaje, la inestabilidad de balanceo puede tener 
lugar también, incluso con aviones con alas de alargamientos grandes, habiéndose identificado dos 
causas para este movimiento de vaivén en balanceo; una de ellas es la interacción con las alas de los 
torbellinos que se desprenden de la proa del fuselaje (Ericsson, 1989), como se indica en la figura 4.39. 
La otra causa es la interacción con las alas de los torbellinos que se forman en las extensiones de borde 
de ataque si el avión está equipado conestos dispositivos (figura 4.39), o en las superficies de mando 
delanteras en aeronaves tipo canard. En la figura 4.40 se presentan las plantas de algunos aviones de 
combate propensos a este tipo de inestabilidad. 
 
Fig. 4.39. Esquemas de los torbellinos 
que se forman en la proa de un avión a 
bajos y a altos ángulos de ataque, y 
esquema de la distribución de 
torbellinos concentrados sobre una 
aeronave equipadas con extensiones 
de borde de ataque; de Nelson & 
Pelletier (2003). 
 11
A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.40. Algunos aviones con alas no esbeltas propensos a la inestabilidad de vaivén en balanceo; de 
Katz (1999). 
 
REFERENCIAS 
▪ Ashley, H. & Landahl, M., Aerodynamics of Wings and Bodies, Dover Publications, Inc., New York, N.Y., 
U.S.A., 1965. 
▪ Ericsson, L.E., Wing Rock Generated by Forebody Vortices, J. Aircraft, 26, 110-116, 1989. 
▪ Ericsson, L.E., Challenges in High-Alpha Vehicle Dynamics, Progress Aerospace Sci., 31, 291-334, 1995. 
▪ Guglieri, G. & Quagliotti, F., Experimental Observation and Discussion of the Wing Rock Phenomenon, 
Aerospace Sci. Technol., 33, 111-123, 1997 
▪ Jones, R.T., Properties of Low-Aspect Ratio Pointed Wings at Speeds Below and Above the Speed of Sound, 
NACA Report 835,Washington, U.S.A., 1946. 
▪ Katz, J., Wing/Vortex Interactions and Wing Rock, Progress Aerospace Sci., 35, 727-750, 1999 
▪ Lamar, J.E., Analysis and Design of Strake-Wing Configurations, J. Aircraft, 17, 20-27, 1980. 
▪ Luckring, J.M., Aerodynamics of Strake-Wing Interaction, J. Aircraft, 16, 756-762, 1979. 
▪ Marchman, J.F., Aerodynamic of Inverted Leading-Edge Flaps on Delta Wings, J. Aircraft, 18, 1051-1056, 
1981 b. 
▪ Marchman, J.F., Effectiveness of Leading-Edge Vortex Flaps on 60 and 75 Degree Delta Wings, J. Aircraft,, 
18, 280-286, 1981 a. 
▪ Mitchell, A.M. & Délery, J., Research into Vortex Breakdown Control, Progress Aerospace Sci., 37, 385-
418, 2001. 
▪ Nelson, R.C. & Pelletier, A., The Unsteady Aerodynamics of Slender Wings and Aircraft Undergoing Large 
Amplitude Maneuvers, Progress Aerospace Sci., 39, 185-248, 2003. 
▪ Rao, D.M. & Johnson, T.D., Investigation of Delta Wing Leading-Edge Devices, J. Aircraft, 18, 161-167, 
1981. 
▪ Rao, D.M., Leading-Edge Vortex Flaps Experiments on a 74º Delta Wing, NASA CR 159161, 1979. 
▪ Rom, J., High Angle of Attack Aerodynamics, Springer-Verlag, New York, N.Y., USA, 1992. 
▪ Ross, A.J., Investigation of Nonlinear Motion Experienced on a Slender-Wing Research Aircraft, J. Aircraft, 
9, 625-631, 1972. 
▪ Ross, A.J., Lateral Stability at High Angle of Attack, Particularly Wing Rock, AGARD CP-260, Paper 10, 
May 1979. 
▪ Walchner, O., Sytematic Wind-Tunnel Measurements of Missiles, NACA TM 1122, Washington, U.S.A., 
1947. 
▪ Yegna Narayan, K. & Seshadri, S.N., Types of Flow on the Lee Side of Delta Wings, Progress Aerospace 
Sci., 33, 167-257, 1997. 
 12
 
En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en 
calma con velocidad U

 y ángulo de ataque  << 1. La forma en planta del ala está definida por las 
expresiones: 
 1 0( )b x b   , 0    0, 
 2( )b x b , 0    1, 
con  = x/L. Dentro de la validez de la 
teoría de alas esbeltas, determine, en 
función de 0 (0  0  1), la posición 
del centro de presiones del ala. 
 
SOLUCIÓN 
Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección  es proporcional al 
cuadrado de b(), de modo que 
 F1() = kb20, 0    0, 
 F2() = kb22, 0    1, 
Tomando momentos respecto a  = 0, se tiene 
0 0
0
0
0 0
1 1
11 2
2 1 1 2 20
0 0
d ( ) d ( )(1) d d ( ) ( )d ( ) ( )d
d dcp
F F
F F F F F
 


 
 
            
 
         
 
0
0
1
2 3
0 0
0
11 d d 4
6cp


            

y 
0 
b 
b 
b(x) 
1 
U

 
Primer ejercicio 
Considere un ala esbelta cuya forma en planta está definida por la expresión 
 
2 31 ( ) (3 2 ) ( 2)
2
x x x
b x l a a a
l l l

   
       
   
, 
Con  << 1, 0 ≤ x ≤ l, y 0 ≤ a ≤ 1. 
Sabiendo que la sección máxima del ala se alcanza en x = l, indique si el ala cumple o no la 
hipótesis de Kutta en el borde de salida. Determine la posición del centro de presiones del ala en 
función del parámetro a. 
 
 
Para que se cumpla la hipótesis de Kutta ha de ser db/dx = 0 en x = l, es decir 
 
2
2 3
2(3 2 ) 3( 2)
d ( ) 0
d
(3 2 ) ( 2)
x l
x x
a a a
b x l l
x x x x
a a a
l l l


 
     
 
 
   
      
   
 
lo que se cumple cualquiera que sea al valor de a. Para el cálculo del centro de presiones se ha de 
calcular el momento respecto a x = 0 de la sustentación, de modo que, eliminando las constantes 
que aparecen en uno y otro miembro, como b(l) = 2l, se tiene 
 
2 32
2
0 0
1 d ( ) d 2(3 2 ) 3( 2) d (6 )
d 12( )
l l
cp
b x x x x l
x x x a a a x a
x l l lb l
    
           
     
  
Considere una familia de alas esbeltas planas de cuerda máxima l cuya forma en planta está definida por la 
expresión 
2
2( ) (2 ) ; / ; 0 1 ; 1
l
b k x l
k

          
determine el valor de k para que se cumpla la condición de Kutta en la sección final (borde estacionario), y 
para este valor de k, considerando que el ala vuela con ángulo de ataque  a través del aire en calma, 
determine el coeficiente de sustentación del ala. 
 
2
d 2 0 1
d
x l
b x
k k
x lk


 
     
 
 
2
0
42 ( )d
3
l
S b x x l  ; 
2 2 2
2
4 ( ) 4 34
3
b l l
S
l



    ; 3
2 2L
c
 
 

  . 
 
 
 
AII 
Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), cuya 
forma en planta queda definida por la expresión 
 2y b
a a
  
  
 
, 
siendo  = x/L, con 0    1, y a un parámetro adimensional 
(1/2  a  1) que identifica a los distintos miembros de la 
familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque 
pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la 
posición del centro de presiones. 
 
SOLUCIÓN 
Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en  = a (x = La), y dicho 
máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente 
que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación 
entre el morro y la sección x vale F(x) = ky2, con 2k U  , de modo que tomando momentos 
con respecto a x = 0, llamando  = x/(La) = /a, se tiene 
 
 
 
   
1 1
0 0
d
1 d 1 d
dcp
F
F F F

    

    , 
 
 
 
1 1
2 3 4
0 0
71 d 1 4 4 d
1 15cp
F
F

             , y por tanto 
7
15cp
x La . 
 
 
y 
x 
b 
L 
U

 
y 
x 
b U

 
Considere un cuerpo esbelto de longitud L formado por una ojiva cónica de longitud cL 
(1/5  c  1) y un cuerpo cilíndrico de radio L, con  << 1. En la parte cilíndrica del cuerpo hay 
unas alas planas de forma en planta triangular, siendo 2b la envergadura del conjunto, con b << L. 
Supuesto que el cuerpo vuela con ángulo de ataque  ( << 1) y velocidad U

 a través de una 
atmósfera en calma de densidad 

. Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de 
cuerpos esbeltos calcule, en función del parámetro c la sustentación producida por el cuerpo así 
como y la posición del centro de presiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación del cuerpo es ( ) , ( ) ( ) si 0bRb x x b x R x x Lc
    y 
( ) , ( ) siRb x L b x Ax B cL x L     donde y(1 ) 1
b L L bcA B
L c c
   
 
. La fuerza de 
sustentación total sólo depende de la sección final, x = L, 
4 4 2 2
2
( ) ( )( )z
b L L b
F L K
b
  
 con 
2K U  . La posición del centro de presiones xcpestá dada por 
1 2 1 2
0 0
( ) d d d
L cL L
cp z z z z
cL
x F L x F x F x F I I      , donde la fuerza lateral Fz esta definida por tramos 
 
2
1 ( ) si 0z xF x K x cLc
   y  
42 2
2 2
( )( ) ( ) si
( )z
L
F x K Ax B L cL x L
Ax B


 
      
 
 
siendo 2 31 1
0
2d 3
cL
zI x F K cL  , e 
4 4
2 2 3
2d 2( ) d
( )
L L
z
cL cL
L AI x F K x Ax B A x
Ax B
      
 
  
 2 3 3 2 2 32 (1 ) (1 )3K A L c ABL c I
     
  
 
con 4 4 4 43 3 3 32 d 2 d( ) ( ) ( )
L L
cL cL
Ax Ax B BI L x L x
Ax B Ax B Ax B
 
       
   
  
 
2 2 24 5 2 3
2 2 2
12 2
( ) ( )
c L cbL L
AL B ALc B b
 
       
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
z 
x 
cL 
L 
L 
U

 
y 
b 
b 
x 
cL 
 
G:\2011\2011 Pepe\DOCENCIA\AII ejercicios seleccionados\03 ce masa y centro dados S.doc 
1 
 
Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x) 
esté dada por la ley 
d ( )( ) ( ) do
S xlx
S x x
  
donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga 
resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas 
situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo. 
Compruebe la validez de la solución obtenida. 
 
 
La masa, M, es 
 
3
1 1 3
0 0
4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ;( ) 4
l l
o o o
o
l l MM x S x x S x x l S l S A A
S x l
   
 
       
La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 
4 4 2
1
0 0 0
d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )dd 4 2 4 2 2
l l
cm o o n o
S x Al lx M x S x x l x x A n A
x

              
  
   
Sustituyendo el valor de A1 se obtiene 
2 3
2
o
MA
l 
  
Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x)  0, es decir d ( ) 0d
S x
x
 
2
1 2 1 1
1
d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos )d
S x AA A A A
x A
           
que se anula en  = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la 
condición. 
 
Considere un cuerpo esbelto de revolución de longitud l, con área final no nula y volumen 
V = l3k/16. Determine el valor de la sección final que define el cuerpo óptimo (resistencia de onda 
mínima) que satisface estas ligaduras. 
 
De la condición del volumen resulta k = 2A1 – A2, de manera el cuerpo de resistencia de onda 
mínima ha de ser el que tenga A1 y A2 no nulos y el resto de los términos del desarrollo nulos. Dicha 
resistencia es por tanto  2 21 22ondaD H A A  , con 2 2 / 8H U l  ; expresando por ejemplo A2 en 
función de A1, de la condición de resistencia mínima se obtiene 
2 2
1 1
1 1
d d 2(2 ) 0
d d
ondaD H A A k
A A
      , 
es decir 1 14(2 ) 0A A k   , o bien A1 = 4k/9, y como A1 = 4S(l)/(l
2), resulta S(l) = l2k/9. 
 
 
 
 
Considere un cuerpo esbelto de revolución, de 
longitud total l y radio de la sección final l, con 
 << 1. Supuesto que la densidad del cuerpo es 
uniforme, de valor c, y sabiendo que el volumen del 
cuerpo, V, y que el momento de inercia respecto al 
eje r, Ir, valen 
 2 31
2
V l , 2 5r cI k l  , 
determine el cuerpo de resistencia de onda mínima 
que cumple las ligaduras dadas. Represente, en 
función de x/l, el radio del cuerpo r(x/l). 
 
 
SOLUCIÓN 
En variables dilatadas la variación de la ley de áreas se expresa como 
1
d sin
d nn
l A n
x



 
S , con 
x
l
 
2
1( cos ) , y con estos cambios la ley de áreas y el volumen dilatados son 
 
2
1
2
sin 2 sin( 1) sin( 1)( ) ( )
4 2 1 1nn
l n n
A A
n n
  
  


   
      
   
S , 
3
2
18 2
Al
V A
 
  
 
, 
y la resistencia de onda vale 
2 2
2
18
ONDA n
n
U l
D nA
  

  . 
Con los datos del enunciado, en la sección final,  = 0, se cumple l2 = l2A1/4, de modo que 
A1 = 4; del volumen V = l3(A1 – A2/2)/8 = l3/2, se obtiene A2 = 0, y para el momento de inercia 
5 2 3 3
0
0 0
1 1 1 d( ) d ( ) d
3 3 d
l l
l
r
c
I k l x x x x x x x
x


     
S
S S
 
5
35
10
1 1 sin 1+cos sin d
3 3 16 nn
l
l A n

    


 
  
 
 ; 
   2 3
10
16 1 3 sin 1+3cos +3cos +cos sin dn
n
k A n

      


 
   
 
 
10
7 7 3 1sin sin sin2 sin3 sin4 d
4 4 4 8nn
A n

     


  
      
  
 1 3 4
7 3 1
2 4 4 8
A A A
  
   
 
 
de donde se obtiene A4 = –6A3 + 8[32(1 – 3k) – 7] = –6A3 + 8(25 – 96k); introduciendo A1 = 4, 
A2 = 0 y A4 en función de A3 en la expresión de la resistencia de onda, haciendo dDONDA/dA3 = 0, se 
obtiene  3
64 25 96
49
A k  , y  4
8 25 96
49
A k  . 
 
 
 
 
r 
x 
l 
l 
1. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de 
velocidad U, presión p y densidad . El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l 
de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios 
de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez 
de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide: 
1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. 
Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, 
E = 1Um/U,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función 
de le /d. Um es la velocidad medida, definida como  
1/ 22( ) /m o eU p p   , y po es la presión de 
remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad 
sobre la nariz. 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es: 
 
  0
( ) ( )( , ) 2 ( ) ln d
2
l
r f x f
x r f x
xx l x

 


  
 
, con d( )
4 d
U
f x
x
 
S . 
Como  ( ) 2
2
d
r x x l x
l
  en 0  x  l, y r(x) = d/2 en x  l, resulta  
2
2( ) 8
U d
f x l x
l
   o 
f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l. 
 
Cuando 0  x  l se tiene:  
 
2
2
0
( , ) 2 ln d
8 2
l
U d r x
x r l x
xl x l x

 


 

   
 
 
 , (1) 
y cuando x  l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 
2
2
0
( , ) d
8
l
U d l
x r
xl

 

  
 , y como 
 
2
0 0
d 1 d ln 1
2
l l
l l x l l
l l x
x x x x

 
 
    
        
     
, se obtiene 
2
16
U d
x
   , de modo que 
2
216x
U d
x
  y por tanto 
2 2
2 2
2
8 8
x
pe
e
d d
c
U x l


      . El error es 
2
21 1 16pe e
d
E c
l
    . 
 
Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta 
que
0 0
d d d 2
l x l
x
x
x l
x

  


   
   , se tiene    
2
2( , ) 2 ln 28 2
U d r
x r l x l x
l x l x
 
 
    
  
, y 
de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida. 
r 
x 
l 
e 
U 
p 
 
Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud l, que vuela con ángulo de ataque nulo a M∞ = 2 , 
cuya ley de áreas está dada por la expresión 2 2 2 3( ) (3 2 )S l     ,  = x/l, 0 1; 1   . 
Determine el campo de velocidades sobre el cuerpo. 
 
2
0
( ) ( )( ) ln d
2
x
r f x f
U x f x
x x

 


 
     
 
 
 , 
3d( ) 1
2 d
U US x
f x x
x l 
        
 
; 
2 2
0 0 0 0
3 3 3( ) ( ) / ( / ) 1 3d d d ( )d 1
2
x x x x
U U Uf x f x x l l x
x x
x x l l
  
    
    
  
              
     
 
    
2 3 31 ln 1
2 2
U x r x
U x x
l x l




    
         
    
; únicamente falta derivar y particularizar en la superficie del 
cuerpo 
 
 
 
G:\users\6 libros\0 viejos\07 AII\a edicion 1\cap_2_alas_sup\Evvard_Krasish_final.doc 
1
Fórmula de Evvard-Krasílshchikova 
1 2
1 2( , ,0 ) d d d do o oo o o o
S S S
w w wx y x y y y I Ir r r

        
para calcular la componente u de velocidad de perturbación hay que derivar respecto de x, 
consideramos dos sumandos, u1 y u2, que corresponden a las contribuciones de las áreas S1 y S2 
respectivamente 
1 1 d d
B H
A ba
xy
o
o o
y x
wu I y xx x r
 
        
  
  
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
d d ( ) d ( ) d
B H H B H A
A ba ba B ba A
y x x x y x y
o o o
o o B o A o
y x x x y x y
a a
w w wy x y x x y x xx r r r
 


   
    
 
2 2 d d
B H
B R
y x
o
o o
y x
wu I y xx x r

 
      
    
  
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
d d ( ) d ( ) d
B H B H B H B
B R B R B R B
y x x y x y x y
o o o
o o B o B o
y x x y x y x y
b b
w w wy x y x x y x xx r r r

 

   
    
Las integrales 2a (en u1, donde ( ) ( )ba A H Ax y x y ) y 1b (en u2, donde ( ) ( )H B R Bx y x y ) son nulas 
y la 1a y 2b se cancelan entre sí (tienen el mismo límite superior e inferior en B’, 
( ) ( )ba B R Bx y x y  . En u1 queda un término que es equivalente a aplicar la fórmula de Evvard a la 
región S1 
1
1d d
B H
o baA ba
y x
o o
o o
x xy x
w wu y x
r x r



 
   
  
  
En cuanto al término que queda en u2, no se puede aplicar la fórmula de Evvard directamente pues 
la posición de la característica R no permanece fija sino que es función de x 
0 0
0 0
2 0
0 0
0
d d
1d d
B H
H RB R
B H
R RB R
y x
o o oH R
o
x x x xy x
y x
o o oR
x x x xy x
w w wx xu y x
x r x r x r
w w wxy x
r x r x r



 
 
               
  
   
   
 
 
 
donde se ha tenido en cuenta que 1Hx
x



 , 
o
r r
x x
 
 
 
, y que se cancelan los términos en 
0
0
Hx x
w
r

. 
En realidad es la fórmula de Evvard más un término adicional, el tercero, que es una integral de 
línea a lo largo de la característica reflejada R multiplicada por el factor Rx
x


, el límite de la 
relación entre ΔxR y Δx cuando Δx tiende a cero, donde ΔxR es el desplazamiento de la característica 
reflejada R al mover el punto P una distancia Δx según el eje x. Finalmente se obtiene 
 
0
0 0 0
1 2 0 0 0 0
0
1d 1 d d d
B B
A Bba
y y
R
y yx x
w w wxu u u y y x y
r x r x r
  


              
 
G:\users\6 libros\0 viejos\07 AII\a edicion 1\cap_2_alas_sup\Evvard_Krasish_final.doc 
2
 
 
 
Nota 
0 0
0
0
0
0 0 0
2 0 0
0 0
0
0 0
0
d d
1d d
1d d
B H
H RB R
B H
HB R
R
H H
R H RR
y x
o o oH R
x x x xy x
y x
o oR
o
x xy x x x
x x x
o o o oR
x x x x x xx
w w wx xu y x
x r x r x r
w wxy w x
x r r x r
w w w wxy x
r x r r x r



 
 

  
               
             
  
    
  
 
 

0 0
0 0
0
1d d
B
B
B H
R RB R
y
y
y x
o o oR
x x x xy x
w w wxy x
r x r x r

  


 
   
   

 
 
Ala con ba parabólico 
 
Utilizando variables adimensionalizadas con la cuerda c, 
 = x/c y  = y/c la ecuación del borde de ataque es  = 2/2, 
cuya derivada d/d = 1/(d/d) vale la unidad en  = 1 y 
 = 1/2, de modo que para ||  1/2 el borde de ataque es 
supersónico, y subsónico cuando || > 1/2. 
 
La ecuación de las características que parten de un punto 
genérico del borde de salida (1,) son o –  = m(o – 1), con 
m = ±1. Sustituyendo en esta expresión la ecuación del borde 
de ataque, ba = 2o /2, y dando a la pendiente m los valores 
apropiados se obtienes los puntos A (m = 1) y B (m = –1): 
 A
B
1 3 2
1 3 2
 
 
   

    
. (1) 
Nótese que si  = 0 es A = – B, con A < 0 y B > 0. 
 
Si es || > 1/2 hay calcular también el punto de corte con el borde de ataque de la característica reflejada, 
B', cuya ecuación es o – B = o – B, o bien cr = o – B + B, y escribiendo B en función de B 
(ecuación del borde de ataque) y éste en función de h según la segunda de (2) 
 2B B
1 3 2 3 2
2cr o o
              , (2) 
en el punto B' es 2B' B' / 2cr    , de modo que sustituyendo en (2) se obtiene la ecuación de segundo 
grado 2B' B'/ 2 (3 2 3 2 ) 0         cuya solución es 
 B' 1 7 2 4 3 2       , (3) 
cuyo valor es la unidad para  = 1/2, como debe ser. 
 
Falta por determinar el ángulo  entre la tangente al borde de ataque en el punto B y la característica 
reflejada (cuya pendiente es 1). La pendiente en el punto B del borde de ataque es 
do/do|B = 1/(do/do)|B = 1/B, se modo que 
 
B
d 1
d 1 3 2
o
o

 

  
. (4) 
 
Por tanto, como la velocidad vertical de perturbación es constante w = wo = – U, para ||  1/2 se tiene 
 
   
B
A
2 2
d(1, ,0)
1 ( )
o
ba o o
U
u




    

  
 
y para || > 1/2 el resultado es 
 
   
B'
A
2 2
d(1, ,0)
1 ( )
o
ba o o
U
u




    
 
  
 
  
   
B
B'
2 2
d1 tan
1 ( )
o
cr o o
U




    
 
  
 
A 
B 
A 
B 
B` 


|| > 1/2 
||  1/2 
con ba = 2o /2, y A, B, B, y cr dados por (1), (2) y (3). 
 
Calcule y represente la distribución 
de velocidad de perturbación según 
el eje x, u(x,y,0), a lo largo de una 
línea paralela al borde de ataque de 
un ala simétrica, de forma en 
planta rectangular, cuerda c y 
envergadura 2c, borde de salida 
z = c[1 – (y/c)2], con <<1, 
como la representada en la figura. 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
En lo que sigue se supone que (xo,yo,zo) y (x,y,z) son variables adimensionales que han sido 
adimensionalizadas con la cuerda c. Para el número de Mach dado ( = 1) la velocidad en un punto 
del plano z = 0 es 
 
 
B
A
2 2
(0, ,0 )d1( , ,0)
π ( )
y
o o
y o
w y y
u x y
x y y

 
 
 , 
 
y teniendo en cuenta que en el borde de ataque la velocidad vertical es w(0,y,0+) = U(1 – y2), se 
tiene 
 
 
B B
A A
2 2 2
2 2 2 2
(1 )d 1 2 ( ) ( )π d( )
( ) ( )
y y
o o o o
o
y yo o
y y y y y y y yu
y y
U x y y x y y 
     
   
   
  = 
 
 
B B
A A
2
2 2
2 2 2
2 2
1 2
1 2d d
1
1
o o
y
o
y
o
y y y y
y yx x
y y y yx xx x
xy y
x


 


    
               
   
  
 
  = 
 
B
A
2 2 2 21 11 arcsin 2 1
2 2
y x x xy


  
    
         
    
. 
 
Donde al escribir la última expresión se ha considerado que 
 
 
2
d arcsin
1





 , 
 
 2
2
d 1
1
 


  

 , 
 
  
2
2
2
d 1 arcsin 1
21
 
  

  

 . 
 
x 
y 
z 
M 2  
M

 
xo 
yo 
P(x,y) 
Q 
zona 1 
zona 2 
zona 2 
yA 
yB 
1 
Para evaluar el resultado en las distintas zonas hay que tener en cuenta que en la zona 1, punto P, 
x < 1 – y, es yA = y – x, de modo que A = [y – (y – x)]/x = 1, y que yB = y + x, y en este otro límite 
resulta B = [y – (y + x)]/x = –1. Con estos valores se tiene: 
 
 2 2P 11
2
u
y x
U 
 
    
 
, para x < 1 – y. 
 
En la zona 2, punto Q, x  1 – y, también es yA = y – x, y por tanto A = [y – (y – x)]/x = 1, pero la 
otra característica llega al borde marginal, por tanto yB = 1, y ahora es B = (y – 1)/x, resultando: 
 
  
2
Q 2 21 1 1 π 1 11 arcsin 1 3 1
π 2 2 2
u y y
y x x y
U x x 
       
           
      
, para x  1 – y. 
 
En el gráfico siguiente se han representado las curvas de variación de la velocidad horizontal de 
perturbación, u/(U), con la coordenada y para distintos valores de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.0
0.5
1.0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
–u/(U) 
y 
x = 1 
x = 0 
x = 0.25 
x = 0.5 
x = 0.75 
 
En la figura se ha representado el borde marginal de un ala plana que vuela en régimen supersónico 
a M

 = 2 con ángulo de ataque  << 1. 
Dentro del alcance de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico,determine la variación con el ángulo 
(siendo 0    /2) de la velocidad de 
perturbación paralela al eje x en el punto 
señalado, u(c,0,0+). Escriba claramente, en 
cada caso, los límites de integración y los 
integrandos de las expresiones que 
determinan la velocidad pedida. 
 
SOLUCIÓN 
En lo que sigue se supone que (xo,yo,zo) y (x,y,z) son 
variables adimensionales que han sido adimensionalizadas 
con la cuerda c. Cuando ambos bordes de ataque son 
supersónicos el problema se resuelve empleando el método 
de Evvard, que queda reducido al cálculo de una integral de 
línea pues, al ser una placa plana, la integral de superficie es 
nula. Así pues, para el número de Mach dado ( = 1) la 
velocidad en un punto del plano z = 0 es 
 
 
   
B
A
2 2
( ), ,0 d1( , ,0)
π ( )
y
ba o o o
y
ba o o
w x y y y
u x y
x x y y y

 
  
 . 
Llamando k1 = tan1, y k2 = tan2 (en el caso propuesto es 
k1 = 0), las ecuaciones de los bordes de ataque y las 
características que determinan los límites de la integral son 
 
 1 A
11
o o
o o
x k y y x
y
x x y y k
   

   
 
 2 B
21
o o
o o
x k y y x
y
x x y y k
  

   
 
y teniendo en cuenta que en los bordes de ataque la velocidad vertical es w(xba(yo),yo,0+) = –U, se 
tiene 
 
       
B
A
0
2 2 2 2
01 2
d dπ
y
o o
y
o o o o
y yu
U x k y y y x k y y y 
  
     
  
 
A A
0 0
2 2 2 2 2 2
2 21 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
d d1 1
1 12 2
1 1 1 1
o o
y y
o o o o
y y
k x y y k x k x y y k x
y y y y
k k k k
  
     
   
   
  
 1 2
2 2
1 21 2
1 π 1 πarcsin arcsin
2 21 1
y k x y k x
x k y x k yk k
    
      
     
 
Si se considera ahora el caso de un borde de ataque supersónico y otro subsónico, como se indica en 
la figura, al problema se trata con el método de Evvard-Krasishchikova. 
También aquí desaparece la integral de superficie, quedando únicamente las integrales de línea a lo 
largo de parte del borde de ataque supersónico y a lo largo de la característica reflejada en el borde 
de ataque subsónico. 
 c 
c 
y 
x 
U

 
 
u(c,0,0+) 
 
M

 
xo 
yo 
P(x,y) 
yA 
yB 
2 
1 
 
 
   
 
 
   
B´ B
A B´
2 2 2 2
( ), ,0 d ( ), ,0 d1 1( , ,0) 1 tan
π π( ) ( )
y y
ba o o o cr o o o
y y
ba o o cr o o
w x y y y w x y y y
u x y
x x y y y x x y y y

 
   
     
  
Llamando, al igual que antes k1 = tan1 < 1, k2 = tan2 > 1 (en el caso propuesto es k1 = 0), la 
ecuación del borde de ataque AB´ es xo = – k1yo, y la de la característica reflejada B´B 
xo = yo + (k2 – 1)(x + y)(k2 + 1), de modo que los límites de las integrales son 
 A
11
y x
y
k



,  2B´
1 2
1 1
1 1
k
y y x
k k

  
 
, B
21
y x
y
k



. 
De las dos integrales que contribuyen a la velocidad, para la primera se tiene 
 
   
   
  
B´
A
1 2 1 2 1 2AB´
2 2 2
2 111
1 2 2dπ 1 πarcsin
1 21
y
o
y
o o
k k x k k k k yyu
U k x k ykx k y y y 
     
   
     
 
 y para la segunda 
 
   
B
B´
B´B 2
2
1 222
2
dπ 11
11
1
y
o
y
o o
yu k x y
U k x k y
k
x y x y y y
k
 
 
  
  
     
 
 
y así 
 AB´ B´B
1( , ,0) 1 tan
π
u x y U u u      . 
 
 
 
 
M

 
xo 
yo 
P(x,y) 
yA 
yB 2 
1 
yB’ 

En la figura se ha representado un ala, de cuerda c y envergadura 2c, que vuela en régimen supersónico a 
M

 = 2 con ángulo de ataque  << 1. El ala está formada por un cuerpo central y por dos planos sin 
espesor, como se indica en la figura. El contorno del ala al cortar por planos y = constante está formado 
por rectas (véase el esquema) y la ecuación del borde de salida del ala es. 
 ( , ) 0z c y  , para 
2
c
y c  , (1) 
 
22( , ) 1 yz c y c
c

  
    
   
, para 
2
c
y  , (2) 
con  << 1. En la expresión (2) el 
signo positivo corresponde al 
extradós y el negativo al intradós. 
Dentro del alcance de la teoría 
potencial linealizada de alas en 
régimen supersónico, determine la 
velocidad de perturbación paralela al 
eje x a lo largo de dicho eje x, 
u(x,0,0), tanto en el extradós como en 
el intradós del ala. Escriba 
claramente, en cada caso, los límites 
de integración y los integrandos de 
las expresiones que determinan la 
velocidad pedida. 
++++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se descompone el problema en dos: simétrico (S) y antisimétrico (A). En el problema simétrico la 
ecuación del borde de ataque es y = x/2, de modo que en una sección como la AA’ la cuerda vale 
c(y) = c – 2y, y el semi-ángulo de la sección 
  
 
1 2 / 1 2 /( , ) 2( ) 1
( ) 1 2 /
c y c y cz c y y
y
c y c y c c

 
   
    
  
; 
por tanto la ecuación del cuerpo es z(x,y) = (y)x + constante, y la condición de contorno queda 
 ( , ) 1 2 /w x y U y c   . Como se pide la velocidad en el eje x, la intersección de la característica que 
parte de (x,0,0) con el borde de ataque ocurre en yA’ = x/3, y así 
 
/ 3
S
2 2
0
212( ,0,0 ) d
2
ox
o
o o
y
U cu x y
x y y


 

 
 
 . 
 
Para el problema antisimétrico se tiene w(x,y) = –U

, yA’ = x/2, y por tanto 
 
/ 2
A
2 20
2 1( ,0,0 ) d
x
o
o o
U
u x y
x y y


 
 
 . 
 
La velocidad pedida es pues S A( ,0,0 ) ( ,0,0 ) ( ,0,0 )u x u x u x    
 
 

z 
y 
x 
c 
c/2 
c/2 
c/2 
c/2 
U

 
A 
A’ 
A’ A 
S A 
w =U w =U 
w = 
= 
A B 
w = 
w = 
Considere un ala como la que se muestra en la figura que 
vuela con número de Mach M∞ = 2 a través del aire en 
calma; dentro de la aproximación de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, escriba la o las 
expresiones que permitirían calcular la velocidad de 
perturbación paralela al eje x a lo largo del borde de salida, 
u(c,y,0+), con |y| < c. Suponga  << 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El problema puede descomponerse en dos, como se 
muestra en la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A: Cuña de semiángulo  con  = 0 (problema simétrico) con velocidad w = 0 fuera de la forma en planta 
del ala. 
B: cuña de cuerda c/4 (chaflán resaltado como zona rayada) con semiángulo /2 y con  = /2, con w = 0 
en el resto del ala, que es un problema mixto. 
 
El problema B se descompone a su vez en dos: 
B1 : cuña de cuerda c/4 de semiángulo /2 con  = 0 (problema simétrico) 
B2: placa de cuerda c/4 a ángulo de ataque  = /2 (problema sustentador) con un borde marginal ocluido 
por el resto del ala (w = 0) y el otro libre (véase el problema del alerón). 
 
 
 
M∞ = 2 
c 
y 
x 
c 
c 
c/2 
c/4 
c 
M∞ = 2 
z 
x 
c/4 
c 



M∞ = 2 
z 
x 
y 
A
 A 
O
 A B
 A 
x
 A 
x
 A 
y
 A 
 
● Considere un ala de intradós y extradós planos tanto en y ≤ 0, como en y > 0, como se indica en la 
figura. Supuesto que el ala vuela en régimen supersónico a M∞ = 21/2, de modo que la corriente 
incidente es paralela al suelo plano del intradós situado en y ≤ 0, y que los perfiles son cuñas de 
semiángulo . 
Dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, escriba 
las expresiones que determinan la velocidad de 
perturbación en el borde de salida, u(c,y,0), en los 
puntos y = –c, y = 0, e y = +c. Indique claramente, 
en cada caso, los integrandos y los límites de 
integración de las expresiones pedidas. Si en algún 
caso es capaz de decir la solución sin necesidad de 
realizar cálculos, explique claramente el 
razonamiento que le ha permitido obtener el 
resultado. 
 
SOLUCIÓN 
El borde de ataque del ala propuesta es supersónico para y < 0 y sónico para y > 0. El caso sónico 
puede ser analizado como el caso límite de un borde de ataque supersónico o el de uno subsónico 
(obviamente el resultado es el mismo). Si se considera el límite supersónico, extradós e intradós del 
ala están desacoplados, de modo que no hace falta descomponer el problema en simétrico y 
antisimétrico. 
En el intradós,como la corriente incidente está alineada con el mismo, en ejes viento es w = 0 en 
todo el intradós, de modo que u(c,–c,0–) = 0, u(c,0,0–) = 0,y u(c,c,0–) = 0. 
En el extradós la velocidad vertical vale w = 2U∞ en toda el ala, y las velocidades pedidas son 
u(c,–c,0+) = ubidimensional, 
0 /2
2 2 2 2
0
d d2( ,0,0 )
( )
c
o o
c o o o
y yU
u c
c y c y y


 

 
   
    
  
u(c, c,0+) = 0, 
 
 
 
 
c 
 
c 
 
x 
 
z 
 
y 
 M∞ 
 
En la figura se ha representado un ala plana que vuela a través del aire en calma en régimen 
supersónico, M 2  . Escriba las expresiones que, dentro de la validez de la teoría potencial 
linealizada de alas en régimen supersónico, permitirían determinar la velocidad de perturbación u en 
los puntos A(c,0,0) y B(c,7c/8,0). 
 
 
 
 
En el punto 1, como el ala es plana, la velocidad viene dada 
por la fórmula de Evvard-Krasilshchikova, que en este caso, 
aprovechando la simetría de la configuración, se puede 
escribir 
2 2
OB'
( ( ), )2( ,0,0)
( ( ))
ba o o o
ba o o
w x y y dy
u c
c x y y
  
 
 
BB'
2 2
B'BB'B
( ( ), )2(1 tan )
( ( ))
o o o
o o
w x y y dy
c x y y


 
 
 
con xba(yo) = 0, w= –U, xBB'(yo) = yo – c/2, yB' = c/2, 
yB = 3c/4, y 
tan tan 14tan tan
4 31 tan tan
4



 



 
    
  
 
de modo que 
 
/ 2 3 / 4
2 2 2 2
0 / 2
2 2( ,0,0)
3 3 / 2
c c
o o
o c o o
dy dyU
u c
c y c y y



 
  
     
  . 
 
En el punto 2, como B es un borde marginal queda 
 
/ 8
22
/8
( ,7 /8,0)
7 /8
c
o
c o
dyU
u c c
c c y





 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
2 
B' 
A 
U

 
O 
x 
y 
c 
B 
B' 
A' 
A 
1 

U

 
O 
x 
y 
c 

Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x) 
esté dada por la ley 
d ( )( ) ( ) do
S xlx
S x x
  
donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga 
resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas 
situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo. 
Compruebe la validez de la solución obtenida 
 
 
 
 
La masa, M, es 
 
3
1 1 3
0 0
4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ;( ) 4
l l
o o o
o
l l MM x S x x S x x l S l S A A
S x l
   
 
       
La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 
4 4 2
1
0 0 0
d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )dd 4 2 4 2 2
l l
cm o o n o
S x Al lx M x S x x l x x A n A
x

              
  
   
Sustituyendo el valor de A1 se obtiene 
2 3
2
o
MA
l 
  
Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x)  0, es decir d ( ) 0d
S x
x
 
2
1 2 1 1
1
d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos )d
S x AA A A A
x A
           
que se anula en  = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la 
condición. 
 
Considere un ala de cuerda c y envergadura 4c, cuyo perfil es una cuña de semiángulo  (siendo 
 << 1), que vuela en régimen supersónico (M∞ = 2 ) con ángulo de ataque nulo sobre un suelo 
plano situado en z = 0. Si es c la altura de vuelo sobre el suelo y u0 = u(c, 2c, c) la velocidad de 
perturbación paralela al eje x, medida sobre el ala en el punto medio del borde de salida (u0 << U∞), 
represente en los gráficos adjuntos la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo 
largo de dicho eje (línea AB, en el tramo 0  x  3c) y a lo largo de la línea paralela al eje x que 
pasa por el punto (0,0,c/4), línea CD, también en el tramo 0  x  3c. 
Explique las razones que justifican sus dibujos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como todos los perfiles son iguales, y el ala es de forma en planta rectangular, sobre el ala, salvo en 
las zonas de influencia de los bordes marginales, la velocidad de perturbación pedida es u = u0, y 
justamente en los bordes marginales, con esta geometría se tiene u = u0/2. Esto es así tanto en el 
plano del ala como en las zonas perturbadas por el ala donde no se nota la influencia de los bordes 
marginales (donde es u = u0), y en los planos verticales que pasan por los bordes marginales, es 
decir y = 0 e y = 4c, en las porciones de plano comprendidas entre los conos de Mach que parten del 
borde de ataque y del borde de salida, como se indica en la figura, donde es u = u0/2. 
 
Para simular el suelo se ha de colocar un ala 
imagen en z = c, para cumplir así las 
condiciones de contorno en z = 0. En 
consecuencia, a lo largo de las líneas pedidas, 
AB y CD, hay tramos no perturbados, otros 
donde únicamente llega la perturbación 
producida por una de las alas (como ocurre en 
el segmento 3c/4  x  5c/4 de la línea CD, 
donde sólo llega la perturbación producida por 
el ala situada en z = c), y otros donde llegan las 
perturbaciones debidas a ambas alas. La 
solución es pues como se indica en los gráficos 
adjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea AB 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea CD 
c 
c 
z 
x 
M∞ 
A B 
C D 
c 
c 
z 
x 
M∞ 

B A 
C D 
4c 
c 
M∞ 
y 
x A B 
C D 
 
Considere un ala de forma en planta triangular, que vuela en régimen supersónico (M

= 2 ) a 
través del aire en calma con ángulo de ataque nulo. Los perfiles del ala son cuñas de semiángulo  
definido por la expresión (y) = h(y)/c(y), siendo 
 h(y)=oc[1 – (2y/c)2], 
 c(y)=c(1 – |2y/c|), 
con – c/2yc/2 y o<<1. 
Determine la distribución de coeficiente de presión a lo largo del eje x, en el intervalo 0xc; 
indique claramente el integrando y los límites de integración de la o las expresiones resultantes. 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
Se trata de un problema simétrico, cuya 
solución, teniendo en cuenta que y = 0 es un 
plano de simetría, resulta ser 
 
  
 
 
 
B B
A
2 22 2
0
( ), ,0 ( ), ,01 2( ,0,0) d d
( ( )) ( ( ))
y y
ba o o ba o o
o o
y
ba o o ba o o
w x y y w x y y
u x y y
x x y y x x y y 
   
   
  , 
 
donde, de acuerdo con la figura, en yo ≥ 0 es 
 
yB = x/3, xba(yo) = 2yo, w = (yo)U∞, con 
 
 
2 21 1
2( ) 121
o o
o
o o o
o
y y
yc c
y
y c
c
  
  
   
      
 
, 
 
de modo que 
 
 
 
/3
2 2
0
2 1 2 /( ,0,0) d
( 2 )
x
o o
o
o o
U y c
u x y
x y y


  
 
 . 
 
M

 
z 
y 
c 
c/2 
c/2 
x 
h 
yo 
xo 
(x,0,0) 
c/2 
c(yo) = c – 2yo 
xba(yo) = 2yo 
yB 
Considere el ala plana, cuya forma en planta está representada en la figura, volando a través del aire 
en calma con ángulo de ataque  ( << 1) en régimen supersónico (M = 2) El ala tiene 5a de 
cuerda y una envergadura de 8a, y en variables adimensionalizadas con la longitud a,  = x/a, 
 = y/a, los bordes de ataque oblicuos responden a la expresión  = (1 + 3/5). Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones 
que determinan la velocidad de perturbación paralela al eje  a lo largo de dicho eje, u(,0,0+), 
dentro del ala, 0    5. Exprese claramente los valores del o de los integrados y de los límites de 
integración. Indique cómo resolvería el problema si, manteniendo la forma del borde de ataque, la 
cuerda del ala fuera mayor (haga un esquema indicando los manantiales que contribuyen a la 
velocidad en el punto). 
 
Solución 
En 0    1 la solución es la bidimensional: u(,0,0+) = U, mientras que en 1    5, como el 
ala es plana, w = constante, la integral de superficie es nula, y teniendo en cuenta la simetría del 
recinto de integración cuando se calcula la velocidad en el eje, se tiene 
B' B
B'
2 2 2 2
0
( ( ), ,0 )d ( ( ), ,0 )d1 ( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
y y
ba o o o cr o o o
ba o o cr o oy
w x y y y w x y y y
u x y
x x y y x x y y
 
 
   
   
  , 
con w = –U en todo el ala. Dividiendo por a queda 
B' B
B'
2 2 2 2
0 00
d d( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
o o
ba o cr o
u
U
 

   

        


  
   
  
con  B'1 5
4
   ,  B
1 5 3
8
   , ( ) 0ba o   , B'( )cr o o     , y 
3 1tan tan atan
4 5 4


 
   
 
 
Si el ala tuviese mayor cuerda las características reflejadas se cruzarían, que dando el esquema de 
manantiales de la segunda figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(+) 
(–) 


U 


 = 1 + 3/5 
B' 
B 
A' 
A 
 
 
Considere un ala de forma en planta rectangular, de cuerda c y envergadura 2c, cuyos perfiles son 
cuñas de semiángulo , con  << 1, volando con ángulo de ataque nulo en régimen supersónico a 
M

 = 2 a través del aire en calma en presencia de otra ala igual, de modo que la distancia entre los 
bordes marginales adyacentes es c. Calcule y dibuje la variación de la velocidad de perturbación 
paralela al eje x a lo largo de la línea A-B, u(c,y,0+). 
 
 
 
 
 
 
El problema de calcular la velocidad de perturbación sobre una cuña de semiángulo  es bien 
conocido, de solución: u(c,y,0+) = U

[/2 – arcsin[y/c – 1)], y > 0, si los ejes están centrados en el 
punto medio del borde de ataque de la cuña. Esta solución, desplazada convenientemente 
proporciona la solución pedida, cuya representación gráfica es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M

 
2c 2c c 
c 
x 
y 
A B 
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5
2u/(U

) 
y/c 
 
Considere la configuración formada por 
dos alas planas, A, y B, ambas de forma 
en planta triangular, colocadas con 
ángulo de ataque  y – en un túnel 
supersónico ( << 1). Las alas están 
unidas rígidamente mediante una varilla 
(que no tiene efectos aerodinámicos) a un 
punto O equidistante entre ambas. 
Determine los momentos según los ejes x 
y z, Mx y Mz respectivamente, que las 
alas ejercen en el punto O. 
 
 
 
SOLUCIÓN 
 
El ala B tiene un comportamiento 
bidimensional en todos los puntos de la 
forma en planta, de modo que, como es 
plana y el número de Mach tal que b = 1, resulta cLB = –4 y cDB = 42, estando las fuerza de 
sustentación y de resistencia aerodinámica aplicadas en el un punto sobre el ala en la línea y = –c/2. 
Se podría argumentar que en virtud del teorema del flujo inverso (cap. 2, p. 60) los valores 
correspondientes para el ala A son, en módulo, los mismos, si bien conviene calcularlos dada la 
extrema sencillez del cálculo. Este cálculo está hecho en el ejercicio 2.1 para alas con dos bordes de 
ataque supersónicos, pero los resultados obtenidos no son directamente aplicables aquí, pues al ser 
los bordes sónicos los resultados de 2.1 presentan singularidades. La solución es 
       
0 2
2 2 2 2
0
2
d dπ
y x
o o
y x o o o o
y yu
U x y y y x y y y

 
  
     
 
0 2
2 2
0
2
d d1 1 2
2( ) 2( )
2 2
y x
o o
y x
o o
y y x y x y x
x y x yy x y x y x y x x yy y


 
    
      
  , 
de modo que, como clA(x,y) = 4u/U, el coeficiente de sustentación del ala vale 
 2 2 22 2 2
. . 0 0 0
8 2 d d 16 d( / ) 16d d 4
2
1
c x c
LA
F P
x x y y x
c x x x x
c c cx y y
x
   

  
 
 
 
   
   
   
  
    , 
y en consecuencia, como el ala es plana con bordes de ataque no subsónicos cDA = 42. Así pues 
como los coeficientes de resistencia son iguales es Mz = 0, y el coeficiente de momento de balanceo 
Mx = 4LAc, con 
 2 2 2 21 2
2A LA
L U c c U c     
 
 
 
 
 
M 2  
c 
c 
c 
c 
c 
c 
c 
c 
y 
O x 
A 
B 
M 2  
x 
z 
O 
A 
M 2  
x 
z 

O 
B 
Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, indique las 
integrales que se deberían calcular (especificando claramente el integrando y los límites de 
integración) para determinar el valor de la velocidad horizontal de perturbación en el extradós del 
ala plana cuya forma en planta está representada en la figura, que vuela con ángulo de ataque α<<1 
y número de Mach 2M∞ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( )3
I 2
22( )
1 dπ
( )2
y x
o
oy x
o
Uu y
yx y y
α
+
∞
−
−= −
 − − − 
 
∫ 
 
 
2( )0 3
II 2 2
2 22 0( )3
1 1d dπ π
( ) ( )2 2
y x
o o
o oy x o o
U Uu y y
y yx y y x y y
α α
+
∞ ∞
−
− −= − −
   + − − − − −   
   
∫ ∫ 
 
2(4 )
III 2
22( )
1 dπ
( )2
c x y
o
oy x
o
Uu y
yx y y
α
− −
∞
−
−= −
 − − − 
 
∫ 
 
2(4 )0
IV 2 2
2 22 0( )3
1 1d dπ π
( ) ( )2 2
c x y
o o
o oy x o o
U Uu y y
y yx y y x y y
α α
− −
∞ ∞
−
− −= − −
   + − − − − −   
   
∫ ∫ 
M∞ 
I 
M∞ 
II
M∞ 
III
M∞ 
IV
AERODINÁMICA II S-1
EJERCICIO S01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un ala de cuerda c y envergadura 4c, cuyo perfil es una cuña de semiángulo δ (siendo 
δ << 1), que vuela en régimen supersónico (M∞ = 2 ) con ángulo de ataque nulo sobre un suelo 
plano situado en z = 0. Si es c la altura de vuelo sobre el suelo y u0 = u(c, 2c, c) la velocidad de 
perturbación paralela al eje x, medida sobre el ala en el punto medio del borde de salida (u0 << U∞), 
represente en los gráficos adjuntos la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo 
largo de dicho eje (línea AB, en el tramo 0 ≤ x ≤ 3c) y a lo largo de la línea paralela al eje x que 
pasa por el punto (0,0,c/4), línea CD, también en el tramo 0 ≤ x ≤ 3c. 
Explique las razones que justifican sus dibujos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Como todos los perfiles son iguales, y el ala es de forma en planta rectangular, sobre el ala, salvo en 
las zonas de influencia de los bordes marginales, la velocidad de perturbación pedida es u = u0, y 
justamente en los bordes marginales, con esta geometría se tiene u = u0/2. Esto es así tanto en el 
plano del ala como en las zonas perturbadas por el ala donde no se nota la influencia de los bordes 
marginales (donde es u = u0), y en los planos verticales que pasan por los bordes marginales, es 
decir y = 0 e y = 4c, en las porciones de plano comprendidas entre los conos de Mach que parten del 
borde de ataque y del borde de salida, como se indica en la figura, donde es u = u0/2. 
 
Para simular el suelo se ha de colocar un ala 
imagen en z = −c, para cumplir así las 
condiciones de contorno en z = 0. En 
consecuencia, a lo largo de las líneas pedidas, 
AB y CD, hay tramos no perturbados, otros 
donde únicamente llega la perturbación 
producida por una de las alas (como ocurre en 
el segmento 3c/4 ≤ x ≤ 5c/4 de la línea CD, 
donde sólo llega la perturbación producida por 
el ala situada en z = c), y otros donde llegan las 
perturbaciones debidas a ambas alas. La 
solución es pues como se indica en los gráficos 
adjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea AB 
c 2c 3c 0 
0 
u0 
Línea CD 
c 
c 
z 
x 
M∞ 
A B 
C D 
c 
c 
z 
x 
M∞ 
δ 
B A 
C D 
4c 
c 
M∞ 
y 
x A B 
C D 
AERODINÁMICA II S-2
 
EJERCICIO S02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Calcule la resistencia inducida de un ala de envergadura b y alargamiento Λ que vuela en régimen 
estacionario en el seno de un fluido incompresible de densidad ρ∞ a velocidad U∞, sabiendo que la 
velocidad vertical, w(∞,y,0±), en la estela viene dada por la expresión 
2( , ,0 ) cos 2cos cos 2w y A B CU θ θ θ
±
∞
∞ ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ 
donde cos2
by θ= , 0 θ π≤ ≤ , y A, B y C son constantes conocidas. 
 
Solución 
La resistencia inducida es la misma que la de un ala larga de la misma envergadura. La velocidad 
inducida en la estela (el doble que sobre el ala) es 
21
sin
( , ,0 ) cos 2cos cos 2sin
n
n
nA n
w y A B CU
θ
θ θ θθ
∞
+
=
∞
∞ ⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦
∑
 es decir 
2
1
sin sin cos (2cos cos 2 ) sin sin 2 sin 32n
n
BnA n A B C A Cθ θ θ θ θ θ θ θ
∞
=
⎡ ⎤= + + + = + +⎣ ⎦∑ 
Por lo tanto, 1 2 3; 2 ; 32
BA A A A C= = = . El coeficiente de resistencia inducida es 
2 22 2
4 4 8 3Di n
B CC nA Aπ π ⎡ ⎤Λ Λ= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 
 
EJERCICIO S03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un cuerpo esbelto de longitud l cuyas secciones transversalesson elipses de semiejes 
a(x) y ka(x), con a(x) << l y k < 1 de orden unidad e igual para todas las secciones. Calcule la 
distribución de fuerzas sobre el cuerpo Fz(x), que para cada x representa la fuerza desde el morro 
hasta la sección x, cuando el cuerpo vuela a ángulo de ataque α a través del aire en calma con 
velocidad U∞ en el seno de una atmósfera de densidad ρ∞. 
 
Solución 
1
d
2 d
g
Y Z
T
F iF U a U S xρ π∞ ∞ ∞
⎡ ⎤
+ = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
 
2bt τ τ= + 2
(1 )2
12
ar k
ab k
⎧ = +⎪
⎨
= −⎪⎩
 
2
( ) rF i U i U tτ α τ ατ∞ ∞
⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 2
1 ( )a i U r bα ∞= + 
gT i xα= − 
2 2 2 2 22 ( )zF U U b r U ka U aρ πα απ ρ απ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦ 
 
 
 
 
r 
a 
ka 
AERODINÁMICA II S-3
EJERCICIO S04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● En la figura se han representado (necesariamente de forma idealizada) las distribuciones de 
coeficiente presión en el extradós correspondientes a los tres efectos (espesor, curvatura y ángulo de 
ataque) que configuran un cierto perfil de ala. Supuesto que dichas distribuciones corresponden al 
caso incompresible, y supuesto que es aplicable la teoría linealizada, determine la variación con el 
ángulo de ataque α (0 ≤ α ≤ 0,04) del número de Mach crítico, Mcr, del perfil en consideración. 
Solución 
El coeficiente de presión en el extradós del perfil es la suma de los tres efectos considerados, y el 
mínimo de la distribución resultante depende, obviamente, del valor del ángulo de ataque. A la vista 
de las distribuciones es evidente que tal mínimo ocurrirá en el punto medio del perfil (si el ángulo 
de ataque es pequeño) y estará gobernado por la distribución de coeficiente de presión asociada a la 
curvatura, mientras que el mínimo ocurrirá en el borde de ataque del mismo (si el ángulo de ataque 
es grande), estando ahora gobernado por la distribución de coeficiente de presión asociada al ángulo 
de ataque. El valor límite que separa estas dos regiones se obtiene expresando la igualdad de ambos 
mínimos: cpe,esp,x/c=0 + cpe,curv,x/c=0 + cpe,ang,x/c=0 = cpe,esp,x/c=1/2 + cpe,curv,x/c=1/2 + cpe,ang,x/c=1/2, es decir: 
0,1 + 0 + 15α = 0,1 + 0,2 + 5α,, de donde resulta α = 0,02. 
En la tabla adjunta se muestran los valores de cpe,x/c=0 y cpe,x/c=1/2 para los valores del ángulo de 
ataque indicado, el valor mínimo de cada par y el valor del número de Mach crítico Mcr que se 
obtiene del gráfico correspondiente. 
 
 
 
 
α [radian] −cpe,x/c=0 −cpe,x/c=1/2 −cpe,min Mcr 
0 0,10 0,30 0,30 ≈0,795
0,01 0,25 0,35 0,35 ≈0,780
0,02 0,40 0,40 0,40 ≈0,760
0,03 0,55 0,45 0,55 ≈0,720
0,04 0,70 0,50 0,70 ≈0,685
 
 
 
 
 
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
α 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
Mcr 
−cpe 
0,2 
0 
0 1/2 1 
x/c 
curvatura 
−cpe 
0,1 
0 
0 1/2 1 
x/c 
espesor 
−cpe/α 
10 
0 
0 1/2 1 
x/c 
ángulo de ataque 
15 
5 
 
AERODINÁMICA II S-4
EJERCICIO S05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un ala esbelta de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes a y 
ka, con a<<l y k < 1 (k es igual para todas las secciones). Se quiere calcular el ala que produzca 
mínima resistencia de onda, que tenga un volumen V dado (ya que dentro del ala irá alojado el 
combustible) y que la distancia entre el centro de presiones y el centro de gravedad del ala, supuesta 
sólida y de densidad uniforme, sea l/20, como se muestra en la figura. Se pide: 
1. Calcule, en función de los coeficientes An, la distancia entre el centro de gravedad y el morro 
del ala (vea la nota al final del enunciado). 
2. Si la fuerza hasta una sección dada (cuando el ala vuela con ángulo de ataque α) se escribe 
como ( ) ( )2zF x U S xk
α ρ∞ ∞= , donde S(x) es la distribución de áreas, calcule la distancia a la 
que se encuentra el centro de presiones del morro del ala en función de los coeficientes An. 
3. Escriba la ligadura que expresa la distancia que debe existir entre el centro de presiones y el 
centro de gravedad en función de los coeficientes An. 
4. Escriba claramente las ecuaciones que hay que resolver para obtener los coeficientes An para 
que el ala tenga mínima resistencia de onda y cumpla las ligaduras. 
5. Indique cómo comprobaría que la solución obtenida es válida. 
Nota: recuerde que 
1
sinn
n
dS l A n
dx
θ
∞
=
= ∑ , donde S(x) es la 
distribución de áreas al cortar el cuerpo por secciones 
normales a su eje longitudinal. 
 
 
Solución 
 
1) 
32
14 32
1
20 1
11
8 2 81 11( )d 16 8 2 8 2 2
l
cg cg
AAl A
AAlx xS x x x AV V AA
π
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= → = − − =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ . 
2) ( ) 2
1
0
d ( ) 12 2
l
z cp z cp
AlF l x x F x x A
⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ . 
3) 2 21 1 2 1 3 219 22 5 10 020cp cg
lx x A A A A A A− = → − − + = . 
4) Hay que minimizar Donda cumpliendo las siguientes ligaduras: 
3
2
18 2
AlV Aπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (1) 
2 2
1 1 2 1 3 219 22 5 10 0A A A A A A− − + = . (2) 
Como en las ligaduras sólo aparecen los coeficientes A1, A2 y A3, el resto debe ser cero para que 
Donda sea mínima, por tanto hay que minimizar las función: 
2 2 2
1 2 32 3A A A+ + 
cumpliendo las ligaduras (1) y (2). 
Para ello se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange: 
32 2 2 2 22
1 2 3 1 1 1 2 1 3 2( 2 3 ) (19 22 5 10 )8 2
AlA A A A V A A A A A Aπλ μ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + − − + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
L 
3
1 1 2 3
1
0 2 (38 22 5 ) 08
lA A A AA
πλ μ∂ = → + + − − =∂
L 
CG CP 
l/20 
AERODINÁMICA II S-5
3
2 1 2
2
0 4 ( 22 20 ) 016
lA A AA
πλ μ∂ = → − + − + =∂
L 
3 1
3
0 6 5 0A AA μ
∂ = → − =∂
L 
3
2
1 08 2
Al A Vπ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
2 2
1 1 2 1 3 219 22 5 10 0A A A A A A− − + = 
Este sistema de ecuaciones no lineales proporciona los valores de A1, A2 y A3 que dan mínima 
resistencia de onda. 
5) Revisamos las hipótesis empleadas a lo largo del ejercicio: 
a) Para que el modelo empleado para el cálculo del momento sea válido: 
 d 0 (0, )d
S x lx ≥ ∈ . 
b) Hipótesis hecha para el cálculo de la resistencia de onda. A simple vista se comprueba que 
se cumple: 
 d 0 (0, )d
S x lx = = . 
c) Para que la teoría de cuerpos esbeltos sea aplicable: 
 
2 2 2 11 12
( ) ( ) ( )4 4 2( ) ( )
l AS l A l lA ka l a l lkS l ka l
π π π
π
⎫⎪= → = → = <<⎬
= ⎪⎭
. 
 
EJERCICIO S06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), 
cuya forma en planta queda definida por la expresión 
 2y b
a a
ξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
siendo ξ = x/L, con 0 ≤ ξ ≤ 1, y a un parámetro adimensional 
(1/2 ≤ a ≤ 1) que identifica a los distintos miembros de la 
familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque 
pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la 
posición del centro de presiones. 
 
Solución 
Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en ξ = a (x = La), y dicho 
máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente 
que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación 
entre el morro y la sección x vale F(x) = ky2, con 2k Uαπρ∞ ∞= , de modo que tomando momentos 
con respecto a x = 0, llamando η = x/(La) = ξ/a, se tiene 
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
d
1 d 1 d
dcp
F
F F F
η
η η η η η
η
= = −∫ ∫ , 
( )
( ) ( )
1 1
2 3 4
0 0
71 d 1 4 4 d
1 15cp
F
F
η
η η η η η η= − = − − + =∫ ∫ , y por tanto 
7
15cp
x La= . 
 
 
 
y 
x 
b 
L 
U∞ 
y 
x 
b U∞ 
AERODINÁMICA II S-6
EJERCICIO S07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en 
calma con velocidad U∞ y ángulo de ataque α << 1. La forma en planta del ala está definida por las 
expresiones: 
 1 0( )b x b ξ ξ= , 0 ≤ ξ ≤ ξ0, 
 2 ( )b x bξ= , ξ0 ≤ ξ ≤ 1, 
con ξ = x/L. Dentro de la validez de la 
teoría de alas esbeltas, determine, en 
función de ξ0 (0 ≤ ξ0 ≤ 1), la posicióndel centro de presiones del ala. 
 
Solución 
Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección ξ es proporcional al 
cuadrado de b(ξ), de modo que 
 F1(ξ) = kb2ξ0ξ, 0 ≤ ξ ≤ ξ0, 
 F2(ξ) = kb2ξ2, ξ0 ≤ ξ ≤ 1, 
Tomando momentos respecto a ξ = 0, se tiene 
0 0
0
0
0 0
1 1
11 2
2 1 1 2 20
0 0
d ( ) d ( )(1) d d ( ) ( )d ( ) ( )d
d dcp
F FF F F F F
ξ ξ
ξ
ξ
ξ ξ
ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
ξ ξ
= + = − + −∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
0
0
1
2 3
0 0
0
11 d d 4
6cp
ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − − = −∫ ∫ 
EJERCICIO S08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere el ala plana, cuya forma en planta está representada en la figura, volando a través del 
aire en calma con ángulo de ataque α (α << 1) en régimen supersónico (M∞ = √2) El ala tiene 5a de 
cuerda y una envergadura de 8a, y en variables adimensionalizadas con la longitud a, ξ = x/a, 
η = y/a, los bordes de ataque oblicuos responden a la expresión η = ±(1 + 3ξ/5). Dentro de la 
validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones 
que determinan la velocidad de perturbación paralela al eje ξ a lo largo de dicho eje, u(ξ,0,0+), 
dentro del ala, 0 ≤ ξ ≤ 5. Exprese claramente los valores del o de los integrados y de los límites de 
integración. Indique cómo resolvería el problema si, manteniendo la forma del borde de ataque, la 
cuerda del ala fuera mayor (haga un esquema indicando los manantiales que contribuyen a la 
velocidad en el punto). 
 
Solución 
En 0 ≤ ξ ≤ 1 la solución es la bidimensional: u(ξ,0,0+) = αU∞, mientras que en 1 ≤ ξ ≤ 5, como el 
ala es plana, w = constante, la integral de superficie es nula, y teniendo en cuenta la simetría del 
recinto de integración cuando se calcula la velocidad en el eje, se tiene 
B' B
B'
2 2 2 2
0
( ( ), ,0 )d ( ( ), ,0 )d1 ( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
y y
ba o o o cr o o o
ba o o cr o oy
w x y y y w x y y yu x y
x x y y x x y y
π γ
+ +
+− = + −
− − − −∫ ∫ , 
con w = –αU∞ en todo el ala. Dividiendo por a queda 
B' B
B'
2 2 2 2
0 00
d d( , ,0 ) (1 tan )
2 ( ( )) ( ( ))
o o
ba o cr o
u
U
η η
η
η ηπ ξ η γ
α ξ ξ η η ξ ξ η η
+
∞
= + −
− − − −∫ ∫ 
ξ 
y 
ξ0 
b 
b 
b(x) 
1 
U∞ 
AERODINÁMICA II S-7
con ( )B'
1 5
4
η ξ= − , ( )B
1 5 3
8
η ξ= + , ( ) 0ba oξ η = , B'( )cr o oξ η η η= − , y 
3 1tan tan atan
4 5 4
πγ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Si el ala tuviese mayor cuerda las características reflejadas se cruzarían, que dando el esquema de 
manantiales de la segunda figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO S09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Un ala plana de forma en planta rectangular, envergadura b y superficie S, vuela a través del aire 
en calma (de densidad ρ) con velocidad U∞ y ángulo de ataque α << 1. La velocidad inducida a lo 
largo de la huella de la estela del ala en el plano de Trefftz vale w(∞,y,0) = kU∞, donde k es una 
constante (k << 1). Determine la sustentación del ala. 
 
Solución 
En el plano de Trefftz, si fuera un ala elíptica que dejara la misma huella se tendría 
w(∞,y,0) = kU∞ = A1U∞, luego A1 = k, y cL = πΛA1/2 = πb
2A1/(2S) = πb2k/(2S), por tanto 
2 2 21
2 L
L U Sc U b kρ πρ∞ ∞= = 
 
EJERCICIO S10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● En la figura se ha representado la forma en 
planta genérica de una familia de alas planas 
esbeltas (ε << 1). Supuesto que vuelan a 
través del aire en calma con ángulo de 
ataque α << 1, determine la sustentación y la 
posición del centro de presiones en los casos 
k = 2, 1, 0 y –1. 
 
Solución 
Cuando –1 ≤ k ≤ 0 la zona posterior del ala 
(1/2 ≤ x/l ≤ 1) no sustenta pues db/dx ≤ 0, entonces 
( )221
4
F U lαρ ε∞= , xCP = l/3. 
(+) 
(–)
η 
ξ 
U∞ 
ξ 
η η = 1 + 3ξ/5 
B' 
B 
A' 
A 
l/2 l/2 
εl(1+k)/2 
εl/2 
x 
y 
AERODINÁMICA II S-8
 
Cuando es k >0 se tiene ( )221
4
F U k lαρ ε∞= ,y el momento respecto a (0,0) es 
( ) ( )
/ 2
2 22
0 1 2
0 / 2
d d( ) d ( ) d
d d
l l
l
M U x b x x x b x x
x x
αρ ∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − + +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ , 
con 1( )b x xε= y ( )2
1( ) 1
2
b x k x l kε ε= + − . En el caso k = 1 el ala es triangular y por tanto 
xCP = 2l/3, mientras que para k = 2 resulta xCP = 20l/27. 
 
EJERCICIO S11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere la familia de alas planas esbeltas, de cuerda máxima l y de sección final 2b0 cuya 
forma en planta está dada por la expresión 
 0 (2 )( ) ; / ,
2 1
b kb x l
k
ξ ξξ ξ−= =
−
 0 ≤ ξ ≤ 1, 
donde b(ξ) es la semienvergadura en la sección ξ = constante. El parámetro de la familia toma 
valores en el intervalo 2/3 ≤ k ≤ 2. Se pide 
1) Calcule la posición del centro de presiones en función del parámetro k de la familia. 
2) Determine la posición del centro de presiones en el ala de la familia que tiene borde de salida 
estacionario. 
 
Solución 
Como es bien sabido, un ala esbelta sólo sustenta en la parte del ala donde db(ξ)/dξ > 0; así pues, de 
db(ξ)/dξ = 0 resulta ξmax = k, siendo ξmax el punto donde b(ξ) alcanza su valor máximo, que es: 
 1) 
2
0
max 2 1
b kb
k
=
−
 si k ≤ 1 (en este caso el ala sólo sustenta en el intervalo 0 ≤ ξ ≤ k) 
 2) bmax = b0 si k ≥ 1 (ahora sustenta toda la superficie del ala, 0 ≤ ξ ≤ 1) 
Por tanto, será: 
 ( )
max
2
max 2
max 0
1 dcp bb
ξ
ξ ξ ξ ξ= − ∫ , 
donde ξcp es la posición del centro de presiones, resultando 
 ( )224
0
1 72 d
15
k
cp
kk k
k
ξ ξ ξ ξ= − − =∫ , en el caso 1) y 
 
( )
( )
( )
1 222
2 2
0
1 20 15 31 2 d 1
2 1 15 2 1
cp
k kk
k k
ξ ξ ξ ξ − += − − = −
− −∫ , en el caso 2). 
Obviamente para el borde de salida estacionario es ξcp =7k/15, con k = 1. 
 
 
EJERCICIO S12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Calcule la sustentación producida por un ala esbelta 
de forma en planta triangular cuyas secciones al cortar 
por planos y = constante son arcos de circunferencia 
(figura S12-1), de modo que el ala está recortada 
sobre un cilindro circular de radio R (véase la figura 
S12-2). 
 
 
Plano ω = t−tg 
αU∞ 
Fig. S12-1 
AERODINÁMICA II S-9
Solución 
Una vez definido el problema en el plano ω (un arco de circulo con los extremos en (−b,0) y (b,0) y 
su punto medio en (0,kb), la transformación de Yukovski, 2 /(4 )bω τ τ= + , convierte el contorno 
inicial en una circunferencia de centro en (0, kb/2) y radio R = (1+k2)½b/2 y sometida a una 
corriente incidente de intensidad αU∞ paralela al eje z. El potencial complejo en el plano τ es: 
 
2
i
i 2
RU
kb
α τ
τ∞
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 
de forma que en el plano ω el potencial complejo de perturbación vale: 
 
2
( ) i i
i 2
Rf U U
kb
ω α τ α ω
τ∞ ∞
⎛ ⎞
= − − +⎜ ⎟−⎝ ⎠
, 
Para calcular el residuo de f(ω), que es igual al residuo del problema escrito en la variable t, se 
calcula el residuo de cada uno de los tres sumandos que aparecen en el segundo miembro de esta 
expresión. Así pues: 
 τ ω
ω
ω
ω
ω
ω
= + −
F
HG
I
KJ
= − +
F
HG
I
KJ = − +
1
2
1 1 1
2
2
2 4
2
2
2
2
2b b b... .. ., 
 
2 2 2
2 ...ii 2 ...
2 4
R R R
kb bkbτ ωω
ω
= = +
− − − +
, 
de modo que 
 
2 2
( ) i ...
4
b Rf Uω α ω ω
ω ω∞
⎛ ⎞
= − − − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. 
En consecuencia el residuo vale: 
 
2 2
2 2
1
2i i
4 4
b ka U R U bα α∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+
= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
y la fuerza vertical sobre el ala: 
 
2
2 2
12π 1 π .2
kF a U U bρ αρ∞ ∞ ∞ ∞
⎛ ⎞
= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Como se ve en el límite de k<<1 la sustentación no cambia (en primer orden) con respecto de la que 
habría con k=0. 
 
Cálculo de la posición del centro 
 kb f R b
f R
f R kb f R b= + −
+
+ − + − =( ) , ( )
2
2
2
4 4
0a f a f 
 kb f R b
f R
f R kb f R b= − −
−
− − − − =( ) , ( )
2
2
2
4 4
0a f a f 
Restando 
 f R f R kbR f R f R f R f R kbR fR kbR+ − − − = + + − + − − − = − =a f a f a f a fb g a f a fb g2 2 2 2 4 2 0 
y por tanto f=kb/2. 
 
 
 
 
 
 
Fig. S12-2 
AERODINÁMICA II S-10
EJERCICIO S13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
● Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corrienteincidente de un líquido ideal, de 
velocidad U∞, presión p∞ y densidad ρ∞. El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l 
de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios 
de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez 
de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos: 
Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. 
Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, 
E = 1−Um/U∞,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función de 
le /d. Um es la velocidad medida, definida como [ ]1/ 22( ) /m o eU p p ρ∞= − , y po es la presión de 
remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la 
nariz. 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es: 
 
( ) 0
( ) ( )( , ) 2 ( ) ln d
2
l
r f x fx r f x
xx l x
ξϕ ξ
ξ
−
= − −
−− ∫ , con 
d( )
4 d
Uf x
xπ
∞= −
S . 
Como ( )( ) 2
2
dr x x l x
l
= − en 0 ≤ x ≤ l, y r(x) = d/2 en x ≥ l, resulta ( )
2
2( ) 8
U df x l x
l
∞= − − o 
f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l. 
 
Cuando 0 ≤ x ≤ l se tiene: ( )
( )
2
2
0
( , ) 2 ln d
8 2
l
U d r xx r l x
xl x l x
ξϕ ξ
ξ
∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥= − −
−⎢ ⎥−⎣ ⎦
∫ , (1) 
y cuando x ≥ l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 
2
2
0
( , ) d
8
l
U d lx r
xl
ξϕ ξ
ξ
∞ −= −
−∫ , y como 
( )
2
0 0
d 1 d ln 1
2
l l
l l x l ll l x
x x x x
ξ ξ ξ
ξ ξ
⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= + = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ , se obtiene 
2
16
U d
x
ϕ ∞= − , de modo que 
2
216x
U d
x
ϕ ∞= y por tanto 
2 2
2 2
2
8 8
x
pe
e
d dc
U x l
ϕ
∞
= − = − = − . El error es 
2
21 1 16pe e
dE c
l
= − − − . 
 
Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta 
que
0 0
d d d 2
l x l
x
x x l
x
ξ ξ ξ ξ
ξ
−
= − = −
−∫ ∫ ∫ , se tiene ( ) ( )
2
2( , ) 2 ln 28 2
U d rx r l x l x
l x l x
ϕ ∞
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − + −
⎢ ⎥−⎣ ⎦
, y 
de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida. 
r 
x 
l 
e 
U∞ 
p∞ 
ρ∞ 
W.H. Mason
3/10/06
7. Transonic Aerodynamics of
Airfoils and Wings
7.1 Introduction
Transonic flow occurs when there is mixed sub- and supersonic local flow in the same flowfield
(typically with freestream Mach numbers from M = 0.6 or 0.7 to 1.2). Usually the supersonic
region of the flow is terminated by a shock wave, allowing the flow to slow down to subsonic
speeds. This complicates both computations and wind tunnel testing. It also means that there is very
little analytic theory available for guidance in designing for transonic flow conditions. Importantly,
not only is the outer inviscid portion of the flow governed by nonlinear flow equations, but the
nonlinear flow features typically require that viscous effects be included immediately in the
flowfield analysis for accurate design and analysis work. Note also that hypersonic vehicles with
bow shocks necessarily have a region of subsonic flow behind the shock, so there is an element of
transonic flow on those vehicles too.
In the days of propeller airplanes the transonic flow limitations on the propeller mostly kept
airplanes from flying fast enough to encounter transonic flow over the rest of the airplane. Here the
propeller was moving much faster than the airplane, and adverse transonic aerodynamic problems
appeared on the prop first, limiting the speed and thus transonic flow problems over the rest of the
aircraft. However, WWII fighters could reach transonic speeds in a dive, and major problems often
arose. One notable example was the Lockheed P-38 Lightning. Transonic effects prevented the
airplane from readily recovering from dives, and during one flight test, Lockheed test pilot Ralph
Virden had a fatal accident. Pitching moment change with Mach number (Mach tuck), and Mach
induced changes in control effectiveness were major culprits.1
The invention of the jet engine allowed aircraft to fly at much higher speeds (recall that the
Germans used the Me 262 at the end of WWII, in 1944, and the Gloster Meteor was apparently the
first operational jet fighter). Since the advent of the jet engine, virtually all commercial transports
now cruise in the transonic speed range. As the Mach number increases, shock waves appear in the
flowfield, getting stronger as the speed increases. The shock waves lead to a rapid increase in drag,
both due to the emergence of wave drag, and also because the pressure rise through a shock wave
thickens the boundary layer, leading to increased viscous drag. Thus cruise speed is limited by the
rapid drag rise. To pick the value of the Mach number associated with the rapid increase in drag, we
need to define the drag divergence Mach number, MDD. Several definitions are available. The one
used here will be the Mach number at which dCD/dM = 0.10.
7-2 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
After WWII, it was found that the Germans were studying swept wings to delay the drag rise
Mach number. Allied examination of German research led to both the North American F-86 and the
Boeing B-47 designs being changed to swept wing configurations. The idea of swept wings can be
traced to Busemann’s Volta conference paper of 1935, and the wartime ideas of R.T. Jones at the
NACA. Ironically, the airplane used for the first manned supersonic flight (the X-1, in 1947), did
not use a jet engine or wing sweep. It was a rocket powered straight wing airplane. However, shortly
thereafter, the F-86, a swept wing jet powered fighter, went supersonic in a shallow dive.
Thus, advances in one technology, propulsion, had a major impact on another, aerodynamics,
and illustrates the need to carefully integrate the various technologies to achieve the best total
system performance. The formal process of performing this integration has become known as
multidisciplinary design optimization (MDO).
7.2 Physical aspects of flowfield development with Mach number.
Figure 7-1, taken from the classic training manual, Aerodynamics for Naval Aviators,2 shows the
development of the flow with increasing Mach number, starting from subsonic speeds. At some
freestream Mach number the local flow becomes sonic at a single point on the upper surface where
the flow reaches its highest speed locally. This is the critical Mach number. As the freestream
Mach number increases further, a region of supersonic flow develops. Normally the flow is brought
back to subsonic speed by the occurrence of a shock wave in the flow. Although it is possible to
design an airfoil to have a shock-free recompression, this situation is usually possible for only a
single combination of Mach number and lift coefficient. As the Mach number increases, the shock
moves aft and becomes stronger. As the Mach number continues to increase, a supersonic region
and shock wave also develops on the lower surface. As the Mach number approaches one, the
shocks move all the way to the trailing edge. Finally, when the Mach number becomes slightly
greater than one, a bow wave appears just ahead of the airfoil, and the shocks at the trailing edge
become oblique. These shock waves are the basis for the sonic boom. Many variations in the
specific details of the flowfield development are possible, depending on the specific geometry of the
airfoil.
This typical progression of the flow pattern, as shown in Figure 7-1, leads to rapid variations in
drag, lift and pitching moment with change in Mach number. Today we can predict these variations
computationally. However, when these changes were initially found in flight, they were dangerous
and appeared mysterious to designers because there was no understanding of the fluid mechanics
of the phenomena.
Note that problems with pitching moment variation with Mach number and the flowfield over a
control surface using a hinged deflection led to the introductionof the all-flying tail in the X-1 and
later models of the F-86. Subsequently, all-flying tails became standard on most supersonic tactical
aircraft. This was considered an important military advantage, and was classified for several years.
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-3
3/10/06
Based on military experience, Lockheed used an all-flying tail on the L-1011, while the other
transport manufacturers continued to use a horizontal tail and elevator.
Figure 7-1. Progression of shock waves with increasing Mach number, as shown in
Aerodynamics for Naval Aviators,2 a classic Navy training manual (not copyrighted).
7.3 Technology Issues/developments
7.3.1 The slotted wall wind tunnel
Several advances in technology were key to our ability to design efficient transonic aircraft. The
problem with wind tunnel testing was the reflection of shocks from the tunnel walls and the
7-4 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
tendency of the flow to choke as it went past the model. Wind tunnel results were completely
wrong. The invention of the slotted wall wind tunnel at NACA Langley in the late 1940s allowed the
tunnel interference effects to be significantly reduced, and led to practical wind tunnel testing
methods. A chapter in Becker’s book describes how this capability came about.3 The slots are
clearly shown in Figure 7-2. Using the 8-foot slotted wall wind tunnel at NASA Langley,
Whitcomb, who had earlier developed the area rule, made a breakthrough in airfoil design. His
supercritical airfoil designs spurred renewed interest in airfoil design for increased efficiency at
transonic speeds.4 His group also had to figure out how to simulate the full scale Reynolds number
at sub scale conditions.5 Finally, in the early 1970s, breakthroughs in computational methods
produced the first transonic airfoil analysis codes, which are described briefly in the next section.
Figure 7-2. A slotted wall wing tunnel test section. This picture is of a small blow-down
tunnel design that was used to validate the concept before the large
continuous-flow tunnels were constructed at NACA Langley Research
Center. This specific tunnel is a copy of the one made at Langley and was
constructed by Republic Aviation in Farmingdale, NY. When Fairchild
aviation purchased Republic, Grumman Aircraft bought the tunnel.
7.3.2 Computational challenges/methods
The theoretical/computational transonic flow problem was very hard. Initially, very few analytic or
numerical methods were available. By 1970, “everybody” was trying to come up with a method to
compute the transonic flow over an airfoil (the “blunt body problem”, which was important in
predicting the flowfield at the nose of re-entering ballistic missiles and the manned space program,
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-5
3/10/06
had just been conquered, see Chapter 11). The transonic problem is difficult because it is inherently
nonlinear, and the steady solution changes math types, being elliptic in the subsonic portion of the
flow and hyperbolic in the supersonic part of the flow. Earll Murman and Julian Cole made the
major breakthrough.6 Using transonic small disturbance theory, they came up with a scheme that
could be used to develop a practical computational method. Equation 7-1 illustrates how the
nonlinear term in the equation allows for the equation to change type, and indeed provides a way for
the type to be found locally in a computational scheme.
 
1− M∞
2 − γ + 1( )M∞2φx⎡⎣ ⎤⎦
>0 elliptic PDE
<0 hyperbolic PDE
  
φxx + φyy = 0 (7-1)
In Murman and Coles’s scheme shocks emerged naturally during the numerical solution of the
equation. Essentially, they used finite difference approximations for the partial derivatives in the
transonic small disturbance equation. The key to making the scheme work was to test the flow at
each point to see if the flow was subsonic or supersonic. If it was subsonic, a central difference was
used for the second derivative in the x-direction. If the flow was supersonic, they used an upwind
difference to approximate this derivative. This allowed the numerical method to mimic the physical
behavior of the flowfield. The nonlinear coefficient of the φxx term in Eq. (7-1) is a first derivative in
x, φx. A central difference approximation can be used for this term. Since the solution is found by
iteration, old values can be used for φx. Their approach became known as “mixed differencing,”
and it was a simple way to capture the physics of the mixed elliptic-hyperbolic type of the partial
differential equation. Because shocks emerge during the solution process, The method is termed a
“shock capturing” method, and was much simpler for a general 3D method than a competing
method at the time, in which shocks were located and across which the Rankine-Hugoniot
conditions were satisfied analytically. This was known as a “shock fitting” method. Although
several theoretical refinements were required, their scheme led to today’s codes. Hall has described
the circumstances under which this breakthrough took place.7 The code known as TSFOIL was the
final development of small disturbance theory methods for 2D.8
After hearing Earll Murman describe his new method at the AIAA Aerospace Sciences
Meeting in New York City in January of 1970, Antony Jameson, at the time working for Grumman,
returned to Bethpage on Long Island, coded up the method himself, and then went on to extend the
approach to solve the full potential equation in body fitted coordinates. This required several
additional major contributions to the theory. The code he developed was known as FLO6,9 and,
after several more major methodology developments, resulted in the extremely efficient full potential
7-6 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
flow code known as FLO36.10 These were the first truly accurate and useful transonic airfoil
analysis codes. Holst has published a survey describing current full potential methods.11
The next logical development was to add viscous effects to the inviscid calculations, and to
switch to the Euler equations for the outer inviscid flow. By now, many researchers were working
on computational flow methodology, which had become an entire field known as CFD. An entrance
to the literature on computational methodology is available in the survey article by Jameson.12 The
Euler solution method used here is from a code known as MSES,13 by Prof. Mark Drela of MIT.
Figure 7-3 provides a comparison of the predictions for the transonic flow over an NACA
0012 airfoil at M = 0.75 and 2° angle of attack for the key inviscid flow models. In general, the
results are in good agreement. However, the full potential solution predicts a shock that is too
strong, and too far aft. The small disturbance theory is in close agreement with the full potential
solution, while the Euler equation model, which is the most accurate of these flow models, has a
weaker shock located ahead of the other methods. This occurs for two reasons. First, the potential
flow model does not contain the correct shock jump. Second, there is no loss in stagnation pressure
across the shock in the potential flow models, making them insensitive to the “back pressure”
downstream, to use an analogy from nozzle flows.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Cp-upper (TSFOIL2)
Cp-lower (TSFOIL2)
CP (FLO36)
Cp (MSES)
Cp crit
Cp
X/C
NACA 0012 airfoil, M = 0.75, α = 2°
Euler Eqn. Sol'n.
Full potential eqn. sol'n
Transonic small disturnbance
theory eqn. sol'n.
Cp critical
Figure 7-3. Comparison of pressure distributions on an NACA 0012 airfoil at M = 0.75, and
α = 2° using three different computational methods, small disturbance theory
(TSFOIL2), the full potential equation (FLO36), and the Euler equations (MSES).
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-7
3/10/06
Several key points need to be made while examining Figure 7-3. First, the solutions for transonic
flow are found from iterative solutions ofa system of nonlinear algebraic equations. This is much
more difficult than the subsonic case, where the equations for panel methods are linear. The codes
require much more care in their operation to obtain good results. Students often ask for solutions
for flow cases that are too difficult to solve. You can’t ask for a solution at M = 0.95 and 10° angle
of attack and expect to get a result from most codes. Students should start with known cases that
work, and try to progress slowly to the more difficult cases. Next, the shock is typically smeared
over several grid points in the numerical solution. The actual solution point symbols have been
included in the plots in Figure 7-3 to illustrate this. Finally, the region where the flow is locally
supersonic can be observed by comparing the local value of the pressure coefficient to the critical
value, shown on the figure as a dashed line. If the pressure coefficient at a point on the airfoil is
lower (more negative) than the critical value at that point, the flow is supersonic at that point. The
critical value is the point on the airfoil where, assuming isentropic flow, the value of the pressure
corresponds to a local Mach number of one. The derivation of Cpcrit is given in any good basic
compressible flow text, and the formula is:
Cpcrit = −
2
γM∞
2 1 −
2
γ + 1
+
γ −1
γ + 1
M∞
2⎛ 
⎝ ⎜ 
⎞ 
⎠ ⎟ 
γ
γ −1
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
 (7-2)
Dedicated airfoil pressure distribution plotting packages usually include a tick mark on the Cp scale
to indicate the critical value.
Next, we use the full potential equation solution to illustrate the development of the flow with
increasing Mach number for the same NACA 0012 airfoil used above in Figure 7-3. Figure 7-4
shows how the pressure distribution changes from subcritical to supercritical. At M = 0.50, the flow
expands around the leading edge and then starts to slow down. This is the typical subsonic
behavior. At M = 0.70 the flow continues to expand after going around the leading edge, and it
returns to subsonic speed through a shock wave, which is fairly weak. As the freestream Mach
number increases further, the shock moves aft rapidly, becoming much stronger. In this case we are
looking at inviscid solutions, and this strong shock would likely separate the boundary layer,
requiring the inclusion of viscous effects to get a solution that accurately models the real flow.
The effect of changing angle of attack on the pressure distribution, using the NACA 0012, as
used in Figures 7-3 and 7-4, is shown in Figure 7-5. The results are similar to the case of
increasing Mach number. The solution changes rapidly with relatively small changes in angle of
attack. The shock wave develops fast, with the strength increasing and the position moving aft
rapidly.
7-8 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
CP(M=0.50)
CP(M=0.70)
CP(M=0.75)
C
p
X/C
NACA 0012 airfoil, FLO36 solution, α = 2°
M=0.50
M=0.70
M=0.75
Figure 7-4. Pressure distribution change with increasing Mach number, NACA 0012 airfoil, α = 2°.
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
C
P
(α = 0°)
CP(α = 1°)
CP(α = 2°)
Cp
x/c
FLO36
NACA 0012 airfoil, M = 0.75
Figure 7-5. Change in pressure distribution with change in angle of attack,
NACA 0012 airfoil, Μ = 0.75
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-9
3/10/06
7.4 Airfoils
7.4.1 NASA Supercritical airfoils
As described above, in the late 1960s Richard Whitcomb, at NASA Langley, developed airfoils that
had significantly better transonic performance than previous airfoils. It was found that airfoils could
be designed to have a drag rise Mach number much higher than previously obtained. To show how
this occurs we will compare the typical transonic airfoils in use at the time, the NACA 6A series
foils, with one of the NASA supercritical airfoils. Figure 7-6 contains a plot of the NACA 64A410
airfoil and its transonic pressure distribution. Figure 7-7 contains similar data for a NASA
supercritical airfoil, Foil 31. The difference between these figures illustrates the modern approach to
transonic airfoil design. We will discuss the differences after the figures are presented.
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
y/c
x/c
Note small leading edge radius
Note continuous curvature 
all along the upper surface
Note low amount of aft camber
a) NACA 64A410 airfoil
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
C
p
x/c
FLO36 prediction (inviscid)
M = 0.72, α = 0°, C
L
 = 0.665
Note strong shock
Note that flow accelerates 
continuously into the shock
Note the low aft loading associated 
with absence of aft camber.
b) transonic pressure distribution on the NACA 64A410
Figure 7-6. NACA 64A 410 airfoil shape and related pressure distribution.
7-10 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
y/c
x/c
Note low curvature 
all along the upper surface
Note large leading edge radius
Note large amount of aft camber
a) FOIL 31
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
x/c
C
p
FLO36 prediction (inviscid)
M = 0.73, α = 0°, C
L
 = 1.04
Note weak shockNote that the pressure 
distribution is "filled out", 
providing much more lift 
even though shock is weaker
Note the high aft loading 
associated with aft camber.
"Noisy" pressure distribution is associated 
with "noisy" ordinates, typical of NASA 
supercritical ordinate values
b) Transonic pressure distribution on the supercritical airfoil, Foil 31.
Figure 7-7. FOIL 31 airfoil shape and related pressure distribution.
Note that the shock wave on the supercritical airfoil is much weaker than the shock on the
64A410, even though the lift is significantly greater. This illustrates the advances made in airfoil
design. Although the 6A series airfoils were widely used in transonic and supersonic applications,
they were actually designed during and just after WWII to attain laminar boundary layer flow over
a portion of the airfoil. They were not designed for good transonic performance (no one knew how
to do this at that time). The history and development of supercritical airfoils has been described by
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-11
3/10/06
Harris14, as well as by Becker, cited previously.4 Whitcomb’s original unclassified paper was
presented in 1974.15 These references should be read to get the authentic description of the
development of supercritical airfoils. We will give a very brief overview here next.
Essentially, the key to transonic airfoil design to is to control the expansion of the flow to
supersonic speed and its subsequent recompression. It was remarkable that Whitcomb was able to
do this using an experimental approach. Because it was so difficult, he was a major proponent of
developing computational methods for transonic airfoil design. Key elements of supercritical
airfoils are i) A relatively large leading edge radius is used to expand the flow at the upper surface
leading edge, thus obtaining more lift than obtained on airfoils like the 64A410, as shown in Figure
5. ii) To maintain the supersonic flow along a constant pressure plateau, or even have it slow down
slightly approaching the shock, the upper surface is much “flatter” than previous airfoils. By
slowing the flow going into the shock, a relatively weak shock, compared to the amount of lift
generated, is used to bring the flow down to subsonic speed. iii) Another means of obtaining lift
without strong shocks at transonic speed is to use aft camber. Note the amount of lift generated on
the lower surface aft portion of the supercritical airfoil in Fig. 7-7b compared to the conventional
airfoil in Fig. 7-6b. One potential drawback to the use of aft camber is the large zero lift pitching
moment. iv) Finally, to avoid flow separation, the upper and lower surfaces at the trailingedge are
nearly parallel, resulting in a finite thickness trailing edge. The base drag is small at transonic
speeds compared to the reduction in profile drag. These are the essential ingredients in supercritical
airfoil design, and modern aerodynamic designers pick the best aspect of these elements to fit their
particular application.
Whitcomb cited four design guidelines for airfoil development.
1. An off-design criteria is to have a well behaved sonic plateau at a Mach number of 0.025
below the design Mach number.
2. The gradient of the aft pressure recovery should be gradual enough to avoid separation
(This may mean a thick trailing edge airfoil, typically 0.7% thick on a 10/11% thick
airfoil.)
3. Aft camber so that with αdes ≅ 0 the upper surface is not sloped aft.
4. Gradually decreasing supercritical velocity to obtain a weak shock.
Aerodynamicists in industry have also made significant contributions to transonic aerodynamic
design. The best summary of transonic design for transport aircraft is by Lynch.16 Figure 7-8
contains a summary chart developed by Lynch to identify the issues associated with leading edge
radius and aft camber.
7-12 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
Figure 7-8. Lynch’s supercritical airfoil design considerations
7.4.2 The Divergent Trailing Edge Airfoil
Just when supercritical airfoil development appeared to be completed, a further development in
airfoil design was made: the divergent trailing edge airfoil. Henne and Gregg at Douglas made
further improvements in airfoil performance by continuing the trend to make the upper and lower
surfaces parallel at the trailing edge by using a trailing edge where the upper and lower surfaces are
diverging at the trailing edge.17 This airfoil was used on the MD-11.
7.4.3 Transonic airfoil performance: the Korn Equation
Attempts have been made to estimate the capability of transonic airfoils for the purposes of design
studies without performing wind tunnel or detailed computational design work. This is important in
the initial stages of aircraft design, where airfoil performance needs to be estimated before the actual
airfoil design has been done. Here we provide an approximate method for estimating the transonic
performance of airfoils. It is based on “the Korn equation,” which was an empirical relation
developed by Dave Korn at the NYU Courant Institute in the early 1970s, and in use at Grumman
when I arrived in 1974. Based on his experience, it appeared that airfoils could be designed for a
variety of Mach numbers, thickness to chord ratios, and design lift coefficients, but in all cases there
seemed to be a limit to the combination. In particular, the Korn equation is
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-13
3/10/06
MDD +
CL
10
+
t
c
⎛ 
⎝ 
⎞ 
⎠ = κA , (7-3)
where κ A is an airfoil technology factor. The airfoil technology factor has a value of 0.87 for an
NACA 6-series airfoil section, and a value of 0.95 for a supercritical section. MDD is the drag
divergence Mach number, CL is the lift coefficient, and t/c is the airfoil thickness to chord ratio. This
relation provides a simple means of estimating the possible combination of Mach, lift and thickness
that can be obtained using modern airfoil design, and variations of it have been shown graphically
by many authors, where the scales are often left off when presented for the public by aircraft
companies. Note that the Korn equation is sensitive to the value of the technology factor.
Figure 7-9, from Mason,18 compares the prediction from the Korn equation with other
estimates. In Figure 7-9a, the estimates of both older airfoils and modern supercritical airfoil
performance presented by Shevell19 are compared, and the agreement is good, with the exception of
being overly pessimistic regarding older conventional airfoils at lower thickness ratios. Figure 7-9b
compares the Korn equation with NASA projections1 4 for supercritical airfoils based on a wealth of
data and experience. In this case the Korn equation is extremely good at lift coefficients of 0.4 and
0.7, but overly optimistic at higher lift coefficients. This type of technology representation is
important in developing integrated designs. To develop each point on this type of chart represents a
large effort on the part of the designer (in this case the aerodynamicist).
The extension of this method to swept wings using simple sweep theory and an approximate
drag rise curve shape will be given in the section on wings, below.
7.4.4 Design Methods
We gave some general approaches and guidelines for airfoil design for transonic flow above
describing Whitcomb’s supercritical airfoils. Although details are “beyond the scope” (as they
say) of this chapter, we should point out that there are two distinct approaches available for airfoil
design. Aerodynamicists frequently use inverse methods, where a target pressure distribution is
specified and the required shape (which might not exist for an arbitrary pressure distribution
prescription) is found. Alternatively, optimization methods may be used, where the shape is
described by a set of design variables that are then used in an optimization routine. This can be
computationally expensive. In addition, many optimization methods require gradients of the
solution with respect to the design variables, and modern CFD methods have been developed to
obtain the sensitivity of the design to geometric and flow perturbations as part of the solution.
Finally, at transonic speed we need to avoid undo sensitivity to the specified design conditions. This
requires a statistical design approach. An important recent advance in this area has been made by
Huyse.20
7-14 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18
t/c
MDD
Shevell advanced transonic
airfoil estimate
Korn equation, κA = .95
Korn equation, κA = .87
Shevell estimate,
mid 70's transport
airfoil performance
a) Comparison of the Korn equation with Shevell's estimates.19
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.02 0.06 0.10 0.14 0.18
t/c
MDD CL
0.4
0.7
1.0
NASA projection
Korn equation estimate, κA = .95
b) Comparison of the Korn equation with NASA projections1 4
Figure 7-9. Validation of the Korn equation for airfoil performance projection
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-15
3/10/06
7.5 Wings
We now turn our attention to wings. Today, at transonic speeds wings are swept to delay drag rise.
However, even though the Boeing B-47 had a swept wing, they weren’t adopted across-the-board
immediately, even at Boeing. Initially, jet engines had poor fuel efficiency, and weren’t considered
appropriate for very long-range aircraft. In one famous instance, Boeing was working on a long-
range turboprop bomber for the Air Force. When they started to present their design to the Air
Force at WPAFB in Dayton, Ohio, they were immediately told to switch to a swept wing pure jet
design. They didn’t have time to return to Seattle, and did the work in Dayton, with the help of
phone calls back to Seattle and by recruiting other Boeing engineers already in Dayton at the time.
To show the Air Force the design, they made a model. Figure 7-10 shows the actual model, as
displayed in the Museum of Flight in Seattle a few years ago. This design became the B-52. It is
famous for having been designed in a Dayton, Ohio hotel room.
 
a). B-52 illustrating planform b) B-52 illustrating high-wing mount
Figure 7-10. Model of the B-52, as carved by George Schairer, Boeing aerodynamicist, in the Van
Cleve Hotel in Dayton in October 1948,21 as displayed in the Museum of Flight in
Seattle, picture by the author (note reflection because the model was displayed inside
a glass case).
Although swept wings delay drag rise, there are other problems associated with swept wings,
so that the aerodynamicist will want to use as little sweep as possible. Even at subsonic speed, as
shown in the previous chapter, wing sweep will tendto shift the load outboard, leading to high
section CLs, and the possibility of outboard stall, accompanied by pitchup. The wing is twisted
(washed out) to unload the tip. The lift curve slope also decreases. In addition, for a given span, the
actual wing length is longer, and hence heavier. High lift devices aren’t as effective if the trailing
edge is swept, and finally, swept wings are prone to flutter. Thus the total system design must be
7-16 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
considered when selecting the wing sweep. One of the benefits of advanced airfoils is that they can
achieve the same performance as a wing with a less capable airfoil using less sweep. This explains
the general trend to modern transports having less sweep than earlier transports.
7.5.1 Transonic Transport Wing Concepts
These wings are generally high aspect ratio swept tapered wings that clearly have an airfoil
embedded in them. Generally we consider aft swept wings.
Cruise Design: Normally the aerodynamic designer is given the planform and maximum thickness
and told to design the twist and camber, as well as shifting the thickness envelope slightly. He then
tries to obtain “good” isobars on the wing. The natural tendency is for the flow to unsweep at the
root and tip. So the designer tries to reduce this tendency to obtain an effective aerodynamic sweep
as large as the geometric sweep. If possible, he would actually like to make the effective
aerodynamic sweep greater than the geometric sweep. This is unlikely to happen. Generally the
wing has a weak shock wave. Possibly the best tutorial paper on the problem of isobar unsweep is
by Haines,22 who is actually considering the thickness effects at zero lift.
We illustrate the problem of isobar unsweep with an example taken from work at Grumman to
design the initial G-III wing (the G-III doesn’t have this wing, it was considered too expensive, and
the actual G-III has a highly modified version of the G-II wing). Figure 7-11 from 197823
illustrates the situation.
In Figure 7-11 we see the isobar pattern at transonic speed on the planform in the upper left-
hand side of the figure. This wing was designed with subsonic methods, which were essentially all
that was available at the time. Note that the isobars are tending to unsweep. On the upper right-hand
side of the figure we see that at subsonic speed the pressure distributions at the 30% and 70% span
stations lie on top of each other, the isobars are good. The lower left-hand side of the figure shows
the predicted pressure distributions at these same two stations when the Mach number is increased
to the transonic cruise Mach. There has been a large change in the distributions at the two stations,
with the outboard shock ahead of the inboard shock. Finally, on the lower right-hand side we see
the same predictions, but with wind tunnel data included. Clearly the prediction and the test results
agree well and show that extra effort is required to design the wing when the flow is transonic.
Although for a given span the aerodynamicist generally prefers an elliptic spanload, it might be
better for the design if the load is shifted inboard slightly, reducing the root bending moment and
hence wing structural weight. 24 The optimum spanload with a winglet present is not elliptic either.
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-17
3/10/06
Figure 7-11. Explicit transonic three-dimensional effects.2 3
Essentially, the twist distribution is found to generate the design spanload. Note that spanloads
are predicted fairly well using linear theory codes, it is primarily the chord load that reflects the
nonlinearity of transonic flow. Once the basic twist is found, root and tip mods are developed to
maintain the isobar pattern. Without special effort, the chord load is drawn aft at the root and shifts
forward at the tip. Changes in camber and thickness are introduced to counter these effects. The
planform may deviate from pure trapezoidal. In all likelihood there will be a Yehudi* at the inboard
trailing edge to house the landing gear. The planform in Fig. 7-11 also has a leading edge glove
inboard. This allows the t/c to be lower for the same t, and increasing the chord lowers the section cl
required to obtain the spanload required, as well as helping maintain isobar sweep. Breaks in the
 
* See Chapter 6 for a discussion of the so-called Yehudi flap.
7-18 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
planform chord distribution produce rapid variations in the section lift distribution because the
spanload will tend to remain smooth. The section lift distribution may be smoothed out by using
several smaller spanwise breaks. This has been done on modern Boeing and Airbus designs.
The designer also has to consider buffet margins. This means the wing CL has to be capable of
a 1.3g turn at the highest cruise Mach number without predicting any significant flow separation.
Other important details include nacelle/pylon interference and the resulting detailed shaping,
and manufacturing constraints. This means considering the limits to curvature and the
manufacturing department’s desire for straight-line wrap or ruled surfaces.
Once the design starts to get close to the desired properties, local inverse methods can be
applied to achieve the target pressure distributions.
Transonic Configuration Design Finally, a recent review of the design process by Jameson is
worth reading to get some idea of the current design process and future possibilities.25
7.5.2 The Korn equation applied to drag prediction on swept wings
As described above, the Korn equation can be used to estimate the drag divergence Mach number.
This equation has been extended to include sweep using simple sweep theory1 8 and 26. The result is
given by:
Mdd =
κ A
cosΛ
−
t / c( )
cos2 Λ
−
cl
10cos3 Λ
(7-4)
This model estimates the drag divergence Mach number as a function of an airfoil technology factor
(κA), the thickness-to-chord ratio (t/c), the lift coefficient (cl), and the sweep angle (Λ). Recall that
the airfoil technology factor has a value of 0.87 for a NACA 6-series airfoil section, and a value of
0.95 for a supercritical section.
With this approximation for the drag divergence Mach number, we can now calculate the critical
Mach number. The definition of the drag divergence Mach number is taken to be:
∂CD
∂M = 0.1 (7-5)
Next, make use of Lock’s proposed empirically-derived shape of the drag rise27
CD = 20 M - Mcrit 4 (7-6)
The definition of the drag divergence Mach number is equated to the derivative of the drag rise
formula given above to produce the following equation:
∂CD
∂M = 0.1 = 80 M - Mcrit
3
(7-7)
We can then solve this equation for the critical Mach number:
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-19
3/10/06
Mcrit = Mdd - 0.180
1/3
(7-8)
where the drag divergence Mach number is given by the extended Korn equation.
Joel Grassmeyer then developed a method to compute the wave drag coefficient for use in
MDO studies of a transonic strut-braced wing concept using the following relation: 28
cdwave = 20 M - Mcrit 4 
Sstrip
Sref
for M > Mcrit, (7-9)
where the local t/c, cl, and half-chord sweep angle are specified for a number of spanwise strips
along the wing, and the drag of each strip is combined to form the total wave drag. In the equation
above, the wave drag for each strip is multiplied by the ratio of the strip area (Sstrip) to the reference
area (Sref). The example given here uses eight spanwise strips.
This method has been validated with the Boeing 747-100, as shown in Figure 7-12. The solid
lines represent the current model predictions, and the discrete data points represent the Boeing 747
flight test data. The predictions show good agreement with the data over a wide range of Mach
numbers and lift coefficients. We re-emphasize that the results are sensitive to the value of the
airfoil technology factor. A value of 0.89 was used for theBoeing 747 results in Figure 7-12.
Based on an analysis of the Boeing 777, a value of 0.955 was used to simulate that aircraft’s wave
drag characteristics.
7.5.3 Fighter Wing Concepts/Issue
Bradley has given a good survey of the issues for transonic aerodynamic design of fighters.29 We
conclude this chapter with a few comments on these aspects of transonic aerodynamics.
Attached Flow Maneuver Wing Design: To push performance past the cruise lift condition the
situation changes. If the goal is to obtain efficient lift at high lift coefficients using attached flow
design, the emphasis switches from an elliptic loading to a span loading that pushes each section lift
coefficient to its limit. Thus, if the planform is a simple trapezoidal planform with a single airfoil
section, the goal is to attain a constant section CL across the wing.30 The penalty for a non-elliptic
spanload is small compared to the additional profile drag for airfoils operating past their attached
flow condition on portions of the wing. This is essentially what was done on the X-29. The so-
called “Grumman K” airfoil was used on the X-29.
Two other considerations need to be addressed. Wings designed to operate over a wide range of
conditions can use the leading and trailing edge devices to approximate the optimum wing shape by
using a deflection schedule to automatically deflect to the best shape. Although research has been
7-20 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
done on smooth surfaces to do this, in most cases the devices are simply flap deflections. In the
case of the X-29, the airfoil was shaped for the maneuver design point, and the devices were used to
reduce the trailing edge camber at lower lift coefficients.
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
Prediction, CL = 0.4
Prediction, CL = 0.5
Prediction, CL = 0.6
Flight Test, CL = 0.4
Flight Test, CL = 0.5
Flight Test, CL = 0.6
C
D
Mach number
747-100 test data taken from Mair and Birdsall, 
Aircraft Performance, Cambridge University Press, 1992, pp. 255-257
Figure 7-12: Comparison of approximate drag rise methodology with Boeing 747-100
flight test data from Mair and Birdsall31
The second consideration is airfoil-planform integration. If the airfoil is designed to be heavily
loaded, there is likely to be a fairly strong shock well aft on the wing. To obtain low drag this shock
should be highly swept. This means that the trailing edge of the wing should be highly swept. This
can be done using a wing with inverse taper or a forward swept wing. This is one reason to consider
a forward swept wing concept. However, a forward swept wing with a canard must be balanced with
a large negative static margin to gain the full benefit of the concept. The X-29 is about 32 -35%
unstable for this reason.
Finally, when the airfoils are being pushed to their limits, planform kinks are a very poor idea.
The tendency of the spanload to remain smooth means that the local lift coefficients change rapidly
in the kink region, and local lift coefficients often becoming excessively large.
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-21
3/10/06
Another alternative is to include a canard in the configuration. A canard can be used to carry
additional load at extreme maneuver conditions.
Vortex Flow/Strake Maneuver Wing Design: Another method of obtaining high maneuver lift has
proven effective on the F-16 and F-18 aircraft. In this case, inboard strakes are used (Northrop
called theirs a LEX, leading edge extension, dating back to the F-5 days). The strakes produce a
strong vortex at high angles of attack. The vortices flow over the aircraft surfaces, and as a result of
the low pressure field, create additional lift. Careful shaping of the strake is required, but good
performance can be obtained. Note that these airplanes also use leading and trailing edge wing
device scheduling to achieve optimum performance.
Figure 7-13 shows, in a rough sense, how the two concepts compare. Here “E” is the
efficiency factor in the drag due to lift term of the classic drag polar,
CDL =
CL2
πARE
(7-10)
Figure 7-13. Effectiveness of various wing concepts in terms of efficiency, E.
7.6 Exercises
1. Read the paper by Frank Lynch (Ref. 16), and write a one page summary in preparation for a
class discussion on the paper.
7-22 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
7.7 References
 
1 R.L. Foss, “From Propellers to Jets in Fighter Aircraft Design,” AIAA Paper 78-3005, in
Diamond Jubilee of Powered Flight, The Evolution of Aircraft Design, Jay D. Pinson, ed., Dec. 14-
15, 1978. pp. 51-64. (This paper contains the estimated drag rise characteristics of the P-38.
2 H.H. Hurt, Jr., Aerodynamics for Naval Aviators, Revised edition, 1965, published by Direction
of the Commander, Naval Air Systems Command, United States Navy, reprinted by Aviation
Supplies and Academics, Inc., 7005 132n d Place SE, Renton, Washington 98059-3153.
3 John V. Becker, “Transonic Wind Tunnel Development (1940-1950),” Chapter III in The High-
Speed Frontier, NASA SP-445, 1980. A must read to get insight into the aerodynamic research and
development process, as well as to get a physical understanding of how airfoils work and how the
slotted wall tunnel evolved.
4 John V. Becker, “Supercritical Airfoils (1957-1978)” in “The High-Speed Airfoil Program,”
Chapter II in The High-Speed Frontier, NASA SP-445, pp. 55-60.
5 James A. Blackwell, Jr., “Experimental Testing at Transonic Speeds,” in Transonic
Aerodynamics, ed. by D. Nixon, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 81, AIAA,
Washington, 1982. pp. 189-238. (Blackwell worked for Whitcomb at NASA before going to work
for Lockheed)
6 Murman, E., M., and Cole, J.D., “Calculation of Plane Steady Transonic Flows,” AIAA J., Vol. 9,
No. 1, 1971, pp. 114-121 (presented at the 8th Aerospace Sciences Mtg., New York, Jan. 1970.)
7 M.G. Hall, “On innovation in aerodynamics,” The Aeronautical Journal, Dec. 1996, pp. 463-
470.
8 Murman, E.M., Bailey, F.R., and Johnson, M.L., “TSFOIL — A Computer Code for Two-
Dimensional Transonic Calculations, Including Wind-Tunnel Wall Effects and Wave Drag
Evaluation,” NASA SP-347, March 1975. (code available on Mason’s software website)
9 Antony Jamson, “Iterative Solution of Transonic Flows Over Airfoils and Wings, Including
Flows at Mach 1,” Comm. Pure. Appl. Math., Vol. 27, 1974. Pp. 283-309.
10 Antony Jameson, “Acceleration of Transonic Potential Flow Calculations on Aribtrary Meshes
by the Multiple Grid Method,” Proceeding of the AIAA 4th Computational Fluid Dynamics Conf.,
AIAA, New York, 1979, pp. 122-146.
11 Terry L. Holst, “Transonic flow computations using nonlinear potential methods,” Progress in
Aerospace Sciences, Vol. 36, 2000, pp. 1-61.
12 Antony Jameson, “Full-Potential, Euler, and Navier-Stokes Schemes,” in Applied
Computational Aerodynamics, ed by P. Henne, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics,
Vol. 125, AIAA, Washington, 1990. pp. 39-88.
13 Mark Drela, “Newton Solution of Coupled Viscous/Inviscid Multielement Airfoil Flows,”
AIAA Paper 90-1470, June 1990.
14 Charles D. Harris, “NASA Supercritical Airfoils,” NASA TP 2969, March 1990. This is the
written version of a talk authored by Whitcomb and Harris given at the NASA Langley Conference
“Advanced Technology Airfoil Research,” March 1978. Most of the papers appeared in NASA
CP 2046 (note the slight delay in publication of this paper!) The paper explains the reasoning
behind the concept development and the refinement in design. A “must report”, it also contains the
coordinates for the entire family of airfoils and updates the research to 1990.
15 Richard Whitcomb, “Review of NASA Supercritical Airfoils,” ICAS Paper 74-10, 1974. This is
the first public paper on Whitcomb’s new airfoil concept.
Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-23
3/10/0616 Frank Lynch, “Commercial Transports—Aerodynamic Design for Cruise Efficiency,” in
Transonic Aerodynamics, ed. by D. Nixon, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol.
81, AIAA, Washington, 1982. pp. 81-144.
17 Preston Henne, “Innovation with Computational Aerodynamics: The Divergent Trailing edge
Airfoil,” in Applied Computational Aerodynamics, ed by P. Henne, AIAA Progress in Astronautics
and Aeronautics, Vol. 125, AIAA, Washington, 1990. pp. 221-261. This paper takes airfoil design
concepts one step further, and describes the airfoil used on the MD-11 (Although I was told this
concept was used on the C-17, a close examination of the trailing edge flaps manufactured at
Marion Composites, during an Aerospace Manufacturing Class tour, showed that this airfoil isn’t
on the plane. Email from Preston Henne confirmed this when he read an earlier version of these
notes.). Rob Gregg is a co-inventor of this airfoil concept.
18 W.H. Mason, “Analytic Models for Technology Integration in Aircraft Design,” AIAA Paper
90-3262, September 1990.
19 Richard S. Shevell, Fundamentals of Flight, 2n d ed., Prentice-Hall, Englewood-Cliffs, 1989, pp.
223.
20 Luc Huyse, “Free-form Airfoil Shape Optimization Under Uncertainty Using Maximum
expected Value and Second-order second-moment Strategies,” NASA/CR-2001-211020, ICASE
Report No. 2001-18, June 2001. http://www.icase.edu/library/reports/rdp/2001.html#2001-18
21 Clive Irving, Wide-Body: Triumph of the 747, William Morrow and Co., New York, 1993, pp.
122-124.
22 A.B. (Barry) Haines, “Wing Section Design for Swept-Back Wings at Transonic Speed,”
Journal of the Royal Aeronautical Society, Vol. 61, April 1957, pp. 238-244. This paper explains
how root and tip modifications are made to make the isobars swept on a swept wing. Old, but an
important paper.
23 W.H. Mason, D.A. MacKenzie, M.A. Stern, and J.K. Johnson, “A Numerical Three
Dimensional Viscous Transonic Wing-Body Analysis and Design Tool,” AIAA Paper 78-101,
Jan.1978.
24 Sergio Iglesias and W. H. Mason, “Optimum Spanloads Including Wing Structural Weight,”
1st AIAA Aircraft Technology, Integration, and Operations Forum, Los Angeles, CA, AIAA Paper
2001-5234, October 16-17, 2001.
25 Antony Jameson, “Re-Engineering the Design Process through Computation,” AIAA Paper 97-
0641, Jan. 1997. This paper contains a good description of the transport wing design problem as
currently done. Prof. Jameson does a good job of articulating the process for the non-expert wing
designer, something the company experts haven’t done often. This may be because they consider
the process to be competition sensitive.
26 Brett Malone and W.H. Mason, “Multidisciplinary Optimization in Aircraft Design Using
Analytic Technology Models,” Journal of Aircraft, Vol. 32, No. 2, March-April, 1995, pp. 431-
438.
27 Hilton, W.F., High Speed Aerodynamics, Longmans, Green & Co., London, 1952, pp. 47-49
28 Grasmeyer, J.M., Naghshineh, A., Tetrault, P.-A., Grossman, B., Haftka, R.T., Kapania, R.K.,
Mason, W.H., Schetz, J.A., “Multidisciplinary Design Optimization of a Strut-Braced Wing
Aircraft with Tip-Mounted Engines,” MAD Center Report MAD 98-01-01, January 1998, which
can be downloaded from http://www.aoe.vt.edu/aoe/faculty/Mason_f/MRthesis.html
29 Richard Bradley, “Practical Aerodynamic Problems—Military Aircraft,” in Transonic
Aerodynamics, ed. by D. Nixon, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 81, AIAA,
Washington, 1982. pp. 149-187.
7-24 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics
3/10/06
 
30 W.H. Mason, “Wing-Canard Aerodynamics at Transonic Speeds - Fundamental Considerations
on Minimum Drag Spanloads,” AIAA Paper 82-0097, January 1982
31 Mair, W.A., and Birdsall, D.L., Aircraft Performance, Cambridge University Press, 1992, pp.
255-257.
NASA
Technical
Paper
2969
1990
National Aeronautics-and
Space Administration
Office of Management
Scientific and Technical
Information Division
NASA Supercritical
Airfoils
A Matrix of Family-Related Airfoils
Charles D. Harris
Langley Research Center
Hampton, Virginia
Summary
A concerted effort within the National Aero-
nautics and Space Administration (NASA) during
the 1960's and 1970's was directed toward develop-
ing practical two-dimensional turbulent airfoils with
good transonic behavior while retaining acceptable
low-speed characteristics and focused on a concept
referred to as the supercritical airfoil. This dis-
tinctive airfoil shape, based on the concept of local
supersonic flow with isentropic recompression, was
characterized by a large leading-edge radius, reduced
curvature over the middle region of the upper surface,
and substantial aft camber.
This report summarizes the supercritical airfoil
development program in a chronological fashion, dis-
cusses some of the design guidelines, and presents
coordinates of a matrix of family-related super-
critical airfoils with thicknesses from 2 to 18 percent
and design lift coefficients from 0 to 1.0.
Introduction
A concerted effort within the National Aero-
nautics and Space Administration (NASA) during
the 1960's and 1970's was directed toward develop-
ing practical airfoils with two-dimensional transonic
turbulent flow and improved drag divergence Mach
numbers while retaining acceptable low-speed max-
imum lift and stall characteristics and focused on a
concept referred to as the supercritical airfoil. This
distinctive airfoil shape, based on the concept of local
supersonic flow with isentropic recompression, was
characterized by a large leading-edge radius, reduced
curvature over the middle region of the upper surface,
and substantial aft camber.
The early phase of this effort was successful in
significantly extending drag-rise Mach numbers be-
yond those of conventional airfoils such as the Na-
tional Advisory Committee for Aeronautics (NACA)
6-series airfoils. These early supercritical airfoils (de-
noted by the SC(phase 1) prefix), however, experi-
enced a gradual increase in drag at Mach numbers
just preceding drag divergence (referred to as drag
creep). This gradual buildup of drag was largely as-
sociated with an intermediate off-design second ve-
locity peak (an acceleration of the flow over the rear
upper-surface portion of the airfoil just before the fi-
nal recompression at the trailing edge) and relatively
weak shock waves above the upper surface.
Improvements to these early, phase 1 airfoils re-
sulted in airfoils with significantly reduced drag creep
characteristics. These early, phase 1 airfoils and the
improved phase 1 airfoils were developed before ad-
equate theoretical analysis codes were available and
resulted from iterative contour modifications during
wind-tunnel testing. The process consisted of eval-
uating experimental pressure distributions at design
and off-design conditions and physically altering the
airfoil profiles to yield the best drag characteristics
over a range of experimental test conditions.
The insight gained and the design guidelines that
were recognized during these early phase 1 investiga-
tions, together with transonic, viscous, airfoil anal-
ysis codes developed during the same time period,
resulted in the design of a matrix of family-related
supercritical airfoils (denoted by the SC(phase 2)
prefix).
The purpose of this report is to summarize the
background of the NASA supercritical airfoil devel-
opment, to discuss some of the airfoil design guide-
lines, and to present coordinates of a matrix of
family-related supercritical airfoils with thicknesses
from 2 to 18 percent and design lift coefficients from
0 to 1.0. Much of the discussion pertaining to the fun-
damental design concepts is taken from reference 1
and unpublished lectures on supercritical technology
presented by Richard T. Whitcomb in 1970. In-
formation on the development of supercritical air-
foils and earlier publications were originallyclas-
sified confidential but have since been declassified.
Reference 2 discusses potential benefits of applying
supercritical airfoil technology to various types of air-
craft and flight programs to demonstrate such appli-
cations. Table I indicates some of the major mile-
stones in the development of supercritical airfoils.
The high maximum lift and docile stall behavior
observed on thick supercritical airfoils generated an
interest in developing advanced airfoils for low-speed
general aviation application. Starting in the early
1970's, several such airfoils were developed. Empha-
sis was placed on designing turbulent airfoils with low
cruise drag, high climb lift-to-drag ratios, high maxi-
mum lift, and predictable, docile stall characteristics.
During the mid 1970's, several medium-speed air-
foils were developed that were intended to fill the gap
between the low-speed airfoils and the supercritical
airfoils for application on light executive-type air-
planes. These airfoils provided higher cruise Mach
numbers than the low-speed airfoils while retaimng
good high-lift, low-speed characteristics.
References 3 to 12 document the research effort
on NASA low- and medium-speed airfoils.
Symbols
Cp pressure coefficient,
qoo
Cp,soni c pressure coefficient corresponding to
local Mach number of 1.0
Cd
Cl
am
Cn
K
M
m
p
q
Rc
SC
TE
tic
x
OL
Subscripts:
DD
1
u
(x)
airfoil chord, distance along refer-
ence line from leading edge to trail-
ing edge
section drag coefficient
section lift coefficient
section pitching-moment coefficient
about the quarter chord
section normal-force coefficient
curvature of airfoil surfaces,
d2y/dx 2
free-stream Mach number
slope of airfoil surface, dy/dx
pressure, psf
dynamic pressure, psf
Reynolds number based on free-
stream conditions and airfoil chord
supercritical
trailing edge
thickness-to-chord ratio
distance along airfoil reference line
measured from leading edge
distance normal to airfoil reference
line
angle of attack
drag divergence
lower surface
upper surface
free-stream conditions
Airfoil designation:
The airfoil designation is in the form SC(2)-0710,
where SC(2) indicates supercritical (phase 2). The
next two digits designate the airfoil design lift co-
efficient in tenths (0.7), and the last two digits desig-
nate the airfoil maximum thickness in percent chord
(10 percent).
SC(1)-0710 supercritical (phase 1)--0.7 design
lift coefficient, 10 percent thick
SC(2)-0710 supercritical (phase 2)--0.7 design
lift coefficient, 10 percent thick
SC(3)-0710 supercritical (phase 3)--0.7 design
lift coefficient, 10 percent thick
Development of Supercritical Airfoils
Slotted Supercritical Airfoil
In the early 1960's, Richard T. Whitcomb of the
Langley Research Center proposed, on the basis of
intuitive reasoning and substantiating experimenta-
tion, an airfoil shape (fig. 1) with supersonic flow
over a major portion of the upper surface and sub-
sonic drag rise well beyond the critical Mach num-
ber (ref. 13). The airfoil had a slot between the up-
per and lower surfaces near the three-quarter chord
to energize the boundary layer and delay separation
on both surfaces. It incorporated negative camber
ahead of the slot with substantial positive camber
rearward of the slot. Wind-tunnel results obtained
for two-dimensional models of a 13.5-percent-thick
airfoil of the slotted shape and a NACA 64A-series
airfoil of the same thickness ratio indicated that for
a design-section normal-force coefficient of 0.65 the
slotted airfoil had a drag-rise Mach number of 0.79
compared with a drag-rise Mach number of 0.67 for
the 64A-series airfoil. The drag at a Mach number
just less than that of drag rise for the slotted air-
foil was due almost entirely to skin friction losses
and was approximately 10 percent greater than that
for the 64A-series airfoil. The slotted airfoil shape
also significantly increased the stall normal-force co-
efficient at high subsonic speeds. The pitching-
moment coefficients for the slotted shape were
substantially more negative than those for more con-
ventional airfoils. The rationale leading to the slotted
shape was discussed in reference 13. Because the slot-
ted airfoil was designed to operate efficiently at Mach
numbers above the "critical" Mach number (the free-
stream Mach number at which local sonic veloci-
ties develop) with an extensive region of supersonic
flow on the upper surface, it was referred to as the
"supercritical airfoil." Reference 14 indicated that
the gains obtained for this two-dimensional slot-
ted airfoil shape were also realized for _. three-
dimensional swept wing configuration that incorpo-
rated the airfoil shape.
Integral Supercritical Airfoil
It was recognized that the presence of a slot
increased skin friction drag and structural complica-
tions. Furthermore, both two-dimensional and three-
dimensional investigations of the slotted airfoil indi-
cated that the shape of the lower surface just ahead
of the slot itself was extremely critical and required
very close dimensional tolerances.
Becauseof thesedisadvantages,an unslottedor
integralsupercriticalairfoil (fig. 1) wasdevelopedin
the mid 1960's.Theresultsof the first workon the
integralairfoilweregivenlimiteddistributionin 1967
in aconfidentialLangleyworkingpaper.This paper
waslaterdeclassifiedandformedthe basisfor much
ofthereviewof NASAsupercriticalairfoilspresented
in reference1. Exceptfor the eliminationof theslot,
thegeneralshapeofthis integralairfoilwassimilarto
that oftheslottedairfoil. Propershapingofthepres-
suredistributionswasutilized to controlboundary-
layerseparationratherthan atransferof streamen-
ergyfromthe lowerto uppersurfacethrougha slot.
The maximumthickness-to-chordratio for the inte-
gral supercriticalairfoil was0.il rather than 0.135
asusedfor the slottedairfoil. Theoreticalboundary-
layercalculationsindicatedthat theflowonthelower
surfaceof an integralairfoil with the greaterthick-
nessratioof the slottedairfoil wouldhaveseparated
becauseof therelativelyhighadversepressuregradi-
entsat the point of curvaturereversal.
The experimentalresults shownin figure 2 in-
dicatedthat for a normal-forcecoefficientof 0.65
the drag-riseMach numberfor the integral airfoil
wasslightly higherthan that for the slottedairfoil
of reference13. However,a simplifiedanalysisindi-
catedthat the dragrisefor aslottedairfoil with the
samethicknessratio of the integralairfoil wouldbe
roughly0.81.A rule of thumbis that, all elsebeing
equal,there is approximately0.01changein drag-
riseMachnumberfor every0.01changein thickness
ratio. Thus, the integral airfoil wassomewhatless
effectivethan theslottedairfoil in delayingdragrise.
For reference,the drag-risecharacteristicsfor a
NACA 641-212airfoil, obtainedfrom reference15,
arealsopresentedin figure2. A comparisonof the
thicknessdistribution for this 6-seriesairfoil with
that for the supercriticalairfoil suggestedthat the
ll-percent-thick supercritical airfoil was approxi-
mately structurally equivalentto the 12-percent-
thick 6-seriesairfoil. Comparedwith this 6-series
airfoil, the integral supercriticalairfoil delayedthe
drag-riseMachnumberby an incrementsomewhat
greaterthan0.1.
Notethe dip in dragcoefficientat M = 0.79 for
the slotted airfoil. There has been much discussion
over the years as to whether it is possible to isen-
tropical.|y decelerate a supersonic flow to a subsonic
flow without creating a shock wave. At this particu-
lar point, the shock wave almost disappeared. There
was only a very small glimmer of a wave in schlieren
pictures and there did not appear to be much wave
energy loss in the wake drag measurements behind
the model. It was, for all practical purposes, a shock-
free condition. Even though the ideal of a shock-
free flow had been accomplished, it was decided that
since aircraft must be efficient over a range of oper-
ating conditions, a shock-free point-design flow was
impractical. It was believed that it was more im-
portant to design airfoilsthat had the lowest possi-
ble level of drag up to the cruise point without the
shock-free drag dip. The low-speed drag for the inte-
gral airfoil was about the same level as for the more
conventional 6-series airfoil because the added skin
friction of the second component of the slotted air-
foil had been eliminated. There was a gradual rise
in drag due to wave losses and finally an abrupt rise
when the flow finally separated, but no attempt was
made to achieve a shock-free condition.
The integral supercritical airfoil also provided a
substantial increase in the Mach number and normal-
force coefficient at which boundary-layer separation
occurred compared with that for the conventional
NACA 6-series airfoil of similar thickness (fig. 3).
The separation boundary in figure 3 is sometimes
called a buffet boundary. In this case, it represents a
force boundary, that is, the boundary where the flow
over the whole airfoil deteriorated rapidly. Beyond
this line, the airfoil experienced large drag increases.
The boundary for the 6-series airfoil, indicating a
gradual decrease with increasing Mach number, is
typical of conventional airfoils. For the supercritical
airfoil, the boundary is pushed well out in both
Mach number and normal force. This is extremely
important for maneuvering aircraft.
In addition, pitching-moment coefficients for the
integral supercritical airfoil were reduced compared
with the slotted airfoil (fig. 4). It should be noted,
however, that the relatively large pitching moments
on supercritical airfoils are not as penalizing in their
application to swept wings as commonly thought.
Tests of three-dimensional aircraft configurations in-
corporating the supercritical airfoil (ref. 16) have
indicated that the optimum twist for supercritical
wings designed for higher speeds is greater than for
lower speed designs. As the design Mach number ap-
proaches 1.0, the magnitude of the optimum twist in-
creases. This large amount of twist substantially re-
duces or eliminates the trim penalty associated _ith
the greater negative pitching moment for the super-
critical airfoil.
A more recent comparison (ref. 17) of the trim
drag measurements for a wide-body transonic model
with conventional and supercritical wings at a Mach
number of 0.82 indicated that the trim drag for
the supercritical wing configuration was not signif-
icantly higher than that for the conventional wide-
body configuration.
The contours of the integral airfoil were such that
it could be defined by several equations empirically
3
fitted to variousregionsof the airfoil. Sincethe
supercriticalairfoil conceptswerestill in the devel-
opmentstage,however,theseequationswerenever
published.
General Design Philosophy
This section discusses the concepts and reason-
ing at this point in the development of supercriti-
cal airfoils that were incorporated into the integral
supercritical airfoil.
A comparison of supercritical flow phenomena for
a conventional airfoil and the NASA supercritical air-
foil is shown in figure 5. As an airfoil approaches the
speed of sound, the velocities on the upper surface be-
come supersonic because of the accelerated flow over
the upper surface, and there is a local field of super-
sonic flow extending vertically from the airfoil and
immersed in the general subsonic field. On conven-
tional airfoils this pocket of accelerating supersonic
flow is terminated near midchord by a more or less
pronounced shock wave with attendant wave losses.
This shock wave is followed immediately by a decel-
erating flow to the trailing edge. The pressure rise
through the shock wave may, when superimposed on
the adverse pressure gradient at the trailing edge,
cause separation of the boundary layer with further
increases in drag as well as buffeting and stability
problems.
The surface pressure distribution and flow field
shown at the bottom of figure 5 are representative of
those obtained for NASA supercritical airfoils. The
upper-surface pressure and related velocity distribu-
tions are characterized by a shock location signifi-
cantly aft of the midchord, an approximately uni-
form supersonic velocity from about 5 percent chord
to the shock, a plateau in the pressure distribution
downstream of the shock, a relatively steep pres-
sure recovery on the extreme rearward region, and
a trailing-edge pressure slightly more positive than
ambient pressure. The lower surface has roughly con-
stant negative pressure coefficients corresponding to
subcritical velocities over the forward region and a
rapid increase in pressure rearward of the midchord
to a substantially positive pressure forward of the
trailing edge.
The elimination of the flow acceleration on the
upper surface ahead of the shock wave results primar-
ily from reduced curvature over the midchord region
of the supercritical airfoil and provides a reduction
of the Mach number ahead of the shock for a given
lift coefficient with a resulting decrease of the shock
strength. The strength and extent of the shock at the
design condition could be reduced below that of the
pressure distribution shown by shaping the airfoil to
provide a gradual deceleration of the supersonic flow
4
from near the leading edge to the shock wave. The
extensive experiments up to this point indicated that
the shape associated with the design point pressure
distribution shown in figure 5 provided acceptable
drag values over a wide Mach number and lift co-
efficient range.
Figure 6 shows a schematic of what happens in
the supersonic flow field above the upper surface of
the supercritical airfoil to yield a very weak shock
wave and in some cases to eliminate the shock. As
mentioned earlier, the local supersonic field is im-
mersed in a subsonic field, and the division between
the two fields is called the sonic line. The airfoil
produces expansion waves, or waves that tend to re-
duce pressure and increase velocity starting near the
leading edge. If the flow field were a purely super-
sonic flow, there would be a continual expansion or
acceleration of the flow from leading edge to trailing
edge. There is actually an infinite series of expan-
sions that move out of this supersonic field, but the
effect is illustrated schematically for a single expan-
sion shown as a dashed line. These lines are called
characteristic lines. When the flow is mixed, the ex-
pansion waves that emanate from the leading edge
are reflected back from the sonic line as compression
waves that propagate back through the supersonic
field to the airfoil surface. Up to this point of con-
tact, all the expansion waves have been accelerating
the flow, but as soon as t'he compression waves get
back to the surface, they start to decelerate the flow.
These compression waves are then reflected off the
solid airfoil surface as more compression waves. So,
there are sets of competing waves or disturbances
working in the flow that are the key to obtaining
good transonic characteristics for airfoils. The idea
is to design the shape of the airfoil just right so that
these compression or decelerating disturbances tend
to balance out the accelerating ones to get an airfoil
that has a flat top pressure distribution even though
there is continuous curvature over the upper surface.
Two primary factors influence the balancing of these
expansion and compression waves: the leading edge
and the surface over the forward and midchord re-
gions. First, there need to be strong expans_ns from
the leading-edge region so they can be reflected back
as compression waves--thus the large leading radius
characteristic of supercritical airfoils. The leading
edge is substantially larger than for previous airfoils
and is more than twice that for a 6-series airfoil of the
same thickness-to-chord ratio. Second, the curvature
over the midchord region must be kept fairly small
so that there is not a very large amount of accel-
erations being emanated that must be overcome by
the reflected compression waves--thus the flattened
upper-surface characteristicof supercritical airfoils.
Isentropic recompression is thus encouraged and at
design conditions an extensive chordwise region of
generally constant supersonic flow is maintained over
the upper surface and terminated with a very weak
shock wave. As noted in reference 18, these two con-
cepts are consistent with the work done by Pearcey
(ref. 19) when he demonstrated that the essential
geometric feature of sections designed to exploit the
isentropic compression due to waves reflected from
the sonic line is an abrupt change on the upper sur-
face from the relatively high curvature of the leading
edge to a relatively low curvature downstream and
that this can be provided with a large leading-edge
radius.
Pressure distributions measured on the
ll-percent-thick integral airfoil provide a general
indication of the flow phenomena associated with
NASA supercritical airfoils at design, subcritical, in-
termediate off-design, and high-lift conditions (fig. 7).
Figure 7(a) shows the nearest experimental pres-
sure distribution to design conditions at a Mach num-
ber slightly above the design value. The shock wave
location is rearward of that for the design condi-
tion with a small acceleration ahead of the shock.
This causes a slight increase in shock losses but does
not result in boundary-layer separation. Separation
would occur when the shock wave moves farther rear-
ward and the pressure plateau is eliminated.
The flow is a little more complex over the aft
part of the airfoil. One of the important features
of the supercritical airfoil is to keep the flow just be-
hind the shock wave moving at close to the speed of
sound (fig. 5). The plateau in the pressure distribu-
tion tends to control the forward movement of dis-
turbances associated with the decelerating flow near
the trailing edge of the airfoil. This prevents the dis-
turbances from moving forward near the surface and
causing the flow to converge into the usual shock
wave. However, since the flow at a moderate dis-
tance above the surface is subsonic, the disturbances
can move forward and downward into the supersonic
region to decelerate the flow leading into the shock
wave. The combination of these effects significantly
reduces the extent and strength of the shock wave.
In fact it was a key factor in obtaining the shock-
free design condition described in reference 13 for the
slotted airfoil.
The pressure plateau behind the shock wave is
also necessary to stabilize the boundary layer. When
the boundary layer moves through the pressure drop
at the shock, it decelerates more than the stream
flow because it does not have as much momentum
as the stream. If the pressure gradient behind the
shock wave is too great, the boundary-layer flow will
reverse and result in separated flow. The problem is
how to keep the boundary-layer flow from reversing.
If the boundary layer has to go through a continuous
adverse pressure gradient from ahead of the shock
to the trailing edge, boundary-layer theory indicates
that it will separate. However, the plateau in the
pressure distribution rearward of the shock wave
allows a reenergization of the boundary layer by
mixing between the shock and the final pressure rise
at the trailing edge. As a result, the boundary
layer can move through a greater total pressure rise
without separating.
Considering another part of the boundary-layer
story, the pressure coefficient at the trailing edge
on a conventional airfoil is fairly positive. Theoreti-
cally it recovers to stagnation pressure, but in real-
ity, because it is impossible for the boundary layer to
reach stagnation conditions, it separates locally and
the pressure rise is less. On the supercritical airfoil,
the intent was to keep the boundary layer attached
while it underwent the total pressure rise through
the shock wave and the trailing-edge recovery. If the
pressures had to rise from the level ahead of the shock
to the usual positive pressures at the trailing edge,
boundary-layer theory indicates that it would sepa-
rate even though there is a plateau. Therefore, the
supercritical airfoil was designed so that the pressure
coefficient at the trailing edge was only slightly posi-
tive by making the slope of the lower surface equal to
that of the upper surface at the trailing edge. This
results in the airfoil having a very sharp and thin
trailing edge. The importance of this effect is shown
by the experimental data in figure 7(a). The near-
ambient pressure at the trailing edge, which results
from the small included angle of the trailing edge,
reduces to a minimum the total pressure rise the
upper-surface boundary layer must traverse and thus
minimizes the tendency toward separation.
Turning now to the lower surface, it has been
mentioned before that lift is produced by the aft
lower-surface cusp, resulting in the type of aft-loaded
pressure distribution shown in figure 7(a). There is a
severe pressure rise near two-thirds chord to substan-
tially positive pressures in the cusp region. Again re-
ferring to boundary-layer theory, boundary layerg-go-
ing into such positive pressures tend to separate much
more readily than when going into a pressure rise
from less than stream pressure to stream pressure,
so that a pressure rise on the lower surface greater
than that on the upper surface cannot be tolerated.
Therefore, it is important that the velocities on the
forward region of the lower surface do not go super-
sonic. As soon as the flow there goes supersonic, a
shock wave pressure rise is superimposed on the pro-
nounced pressure rise leading into the cusp, which
increases the tendency for the boundary layer to
separate. In fact, experiments were conducted where
the flow on the lower surface went supersonic, and
for such cases, the flow did separate.
Attention was also paid to the shape of the pres-
sure rise into the lower-surface cusp as defined by the
Stratford criteria of reference 20. There is initially an
abrupt rise or steep positive gradient followed by a
gradually decreasing gradient into the cusp. This in
effect forces the boundary layer right up to the point
of separation and then eases off by reducing the rate
of pressure rise. In theory, at this point there is zero
shear or skin friction, although no decrease in drag
that would be associated with this supposedly zero
shear was ever measured during supercritical airfoil
testing.
In figure 7(b), a subcritical pressure distribution
is shown for the same angle of attack. The pressure
distribution has a negative peak near the leading
edge, followed by a gradual increase in pressure. It is
important to keep this peak from becoming so high
that the flow will separate. By keeping the velocities
down in the middle region (region of low surface
curvature) while accelerating the flow over the rear
region (region of high surface curvature), the pressure
distribution over the mid upper surface is quite flat
and has a low level. The lower surface is the same
as at supercritical speeds because the lower surface
even for the supercritical case is still subcritical.
In figure 7(c), a pressure distribution is shown
for an intermediate condition between the design and
subcritical points at a Mach number just below the
design value. Notice that the front part of the pres-
sure distribution looks quite similar to that of the
design point, fairly fiat, but the shock location is sig-
nificantly farther forward than for the design con-
dition. Behind the shock wave the flow experiences
a reacceleration because of the increased curvature
of the rear part of the airfoil resulting in a second
supersonic peak near three-quarter chord. When at-
tempting to design for a minimum shock strength
condition, the rearward curvature had to be increased
and, as a result, the reacceleration velocity at the
intermediate conditions could be sufficiently great to
cause a second shock wave. The total pressure rise
through this second shock and the immediately fol=lowing trailing-edge pressure recovery may cause sig-
nificant boundary-layer separation near the trailing
edge.
The pressure distribution shown in figure 7(d) is
that measured at the high-lift corner of the variation
of normal force with Mach number for separation on-
set, shown previously in figure 3. The shock wave,
associated with a local upstream Mach number of 1.4,
causes a very large adverse pressure gradient. How-
ever, the trailing-edge pressure recovery and a surface
oil flow visualization study indicated that the bound-
ary layer did not completely separate. The bulge in
the pressure distribution aft of the shock wave and
the surface oil study indicated a very large separation
bubble under the shock with flow reattachment near
three-quarter chord. For conventional airfoil shapes,
the presence of a shock wave associated with an up-
stream Mach number of 1.4 would cause very severe
boundary-layer separation. The key to the greater
stability of the boundary layer for the supercritical
airfoil was the plateau in the pressure distribution
aft of the shock described above. For conventional
airfoils, the pressure immediately downstream of the
shock wave continues to increase and the higher pres-
sure behind the bubble tends to force the bubble
away from the surface. With the plateau on the
supercritical airfoil, this adverse effect is eliminated.
Effects of Trailing-Edge Thickness
The design philosophy of the supercritical airfoil
required that the trailing-edge slopes of the upper
and lower surfaces be equal. This requirement served
to retard flow separation by reducing the pressure-
recovery gradient on the upper surface so that the
pressure coefficients recovered to only slightly posi-
tive values at the trailing edge. For an airfoil with
a sharp trailing edge, as was the case for early
supercritical airfoils, such restrictions resulted in the
airfoil being structurally thin over the aft region.
Because of structural problems associated with
sharp trailing edges and the potential aerodynamic
advantages of thickened trailing edges for transonic
airfoils (discussed, for example, in ref. 18), an ex-
ploratory investigation was made during the early
development phases of the supercritical airfoil to de-
termine the effects on the aerodynamic characteris-
tics of thickening the trailing edge (fig. 8). Figure 9
shows that increasing the trailing-edge thickness of
an interim ll-percent-thick supercritical airfoil from
0 to 1.0 percent of the chord resulted in a significant
decrease in wave drag at transonic Mach numbers;
however, this decrease was achieved at the expense
of higher drag at subcritical Mach numbers. Vari-
ous numbering systems were used during the devel-
opment of the supercritical airfoils. The ll-percent-
thick airfoil with 0-percent-thick trailing edge was
referred to as airfoil 4, and the ll-percent-thick air-
foil with the 1-percent-thick blunt trailing edge was
referred to as airfoil 5. These airfoil numbers had no
special meaning with respect to airfoil characteristics
but were simply configuration numbers used for iden-
tification purposes. Figure 1 summarizes the progres-
sion of supercritical airfoil shapes to this point.
Advantages of thick trailing edges at transonic
Mach numbers were real and significant, but practical
6
applicationappearedto dependonwhetherthe drag
penalty at subcriticalMachnumberscould be re-
ducedor eliminated.Twoquestionsnaturallyarose:
what wouldthe optimumtrailing-edgethicknessbe
for supercriticalairfoils,and couldthe dragpenalty
at the subcriticalMachnumbersdue to the thick-
enedtrailing edgebe reducedby propershapingof
thetrailing edge?
In order to investigatemore comprehensively
the effects of trailing-edge geometry, a refined
10-percent-thicksupercritical airfoil was modified
(circa 1970) to permit variations in trailing-edge
thicknessfrom 0 to 1.5percentof the chordand in-
clusionof a cavity in the trailing edge(fig. 10). The
refined10-percent-thickairfoil with the 1-percent-
thick blunt trailing edgewas identified as airfoil
9, the 1-percent-thicktrailing edgewith cavity as
airfoil 9a, the 1.5-percent-thicktrailing edgewith
cavity as airfoil 10, and the 0.7-percent-thicktrail-
ing edgewith cavity as airfoil 11. The results,
discussedin reference21 and summarizedin fig-
ures 11 and 12, suggestedseveralgeneralconclu-
sions: (1) increasingtrailing-edgethicknessyielded
reductionsin transonicdraglevelswith noapparent
penaltyat subcriticalMachnumbersup to atrailing-.
edgethicknessof about 0.7 percent, (2) increases
in bothsubsonicandtransonicdraglevelsappeared
with increasesin trailing-edgethicknessbeyondap-
proximately0.7 percent,(3) small drag reductions
throughthe Machnumberrangeresultedwhenthe
1.0-percent-thicktrailing edgewasmodifiedto in-
cludeacavityin thetrailingedge,(4) thereappeared
to existsomerelationshipbetweenthe optimumair-
foil trailing-edgethicknessand the boundary-layer
displacementthicknessoverthe uppersurfaceof the
airfoil (reversalof the favorableeffectof increasing
trailing-edgethicknessappearedto occurwhenthe
airfoil trailing-edgethicknessexceededthe displace-
ment thicknessof the upper-surfaceboundarylayer
at the trailing edge),and (5) the generaldesigncri-
terion to realizethe full aerodynamicadvantageof
trailing-edgethicknessappearedto besuchthat the
pressurecoefficientsovertheuppersurfaceoftheair-
foil recoverto approximatelyzeroat thetrailingedge
with the trailing-edgethicknessequalto or slightly
lessthan the localupper-surfaceboundary-layerdis-
placementthickness. The experimentalresults for
airfoil 9awereincludedin the AGARD experimen-
tal databaseof reference22 for computerprogram
assessment.
As aconsequenceof this investigation,mostsub-
sequentexperimentaldevelopmentof supercritical
airfoils wascarriedout with cuspedtrailing edges
about 0.7 percentthick. Much later in the super-
critical airfoildevelopmentprogram,whenthe avail-
ability ofanalyticalcodes(discussedin latersections)
madeit easierto explorevariationsin trailing-edge
geometry,the optimum trailing-edgethicknesswas
found to vary with the maximumthicknessof the
airfoil andto besomewhatlessthan 0.7percent.
Effects of Maximum Thickness
In order to provide a source of systematic exper-
imental data for the early supercritical airfoils, the
11-percent-thick airfoil 5 and the 10-percent-thick
airfoil 9 were reported in more detail in reference 23
to compare the aerodynamic characteristics of two
airfoils of different maximum thicknesses. As noted
above, the trailing edges of both airfoils were blunt
and 1 percent thick. Although maximum thickness
was the primary variable, dissimilarities between the
two airfoils prevented a comparison based on pure
thickness. However, general observations concern-
ing the results were made. For the thinner airfoil,
the onset of trailing-edge separation began at an ap-
proximately 0.1 higher normal-force coefficient at the
higher test Mach numbers, and the drag divergence
Mach number at a normal-force coefficient of 0.7 was
0.01 higher. Both effects were associated with lower
induced velocities over the thinner airfoil.
Effects of Aft Upper-Surface Curvature
The dissimilarities between the l 1-percent-thick
airfoil 5 and the 10-percent-thick airfoil 9 were in
the contours of the rear upper surface. As discussed
earlier, the rear upper surface of the supercritical
airfoil is shaped to accelerate the flow following the
shock wave in order to produce a near-sonic plateau
at design conditions. Near the design normal-force
coefficient, at intermediate supercritical conditions
between the onset of supersonic flow and the design
point, the upper-surface shock wave is forward and
the rear upper-surface contour necessary to produce
the near-sonic plateau at design conditions causes the
flow to expand into a second region of supercritical
flow in the vicinity of three-quarter chord. Care must
be exercised that this second region of supercritical
flow is not permitted to expand to such an extentthat a second shock wave is formed, which would
tend to separate the flow over the rear portion of the
airfoil. As part of the systematic wind-tunnel de-
velopment of the supercritical airfoil, modifications
over the rear upper surface of supercritical airfoil 5
were made to evaluate the effect of the magnitude
of the off-design second velocity peak on the design
point. Surface slopes over the rear upper surface of
airfoil 5 were modified as shown in figure 13, and
the resultant airfoil was designated as airfoil 6. The
modification was accomplished by removing material
over approximately the rear 60 percent of the up-
per surface without changing the trailing-edge thick-
ness and resulted in an increase in surface curvature
around midchord and a decrease in surface curvature
over approximately the rearmost 30 percent of the
airfoil. (For small values of slope, curvature may be
approximated by dm/dx, which is the second deriva-
tive of the surface contour d2y/dx2.) The evaluation
is documented in reference 24.
The results indicated that attempts to reduce
the magnitude of the second velocity peak at inter-
mediate off-design conditions in that particular man-
ner had an adverse effect on drag at design con-
ditions. The results suggested, however, that in
order to avoid drag penalties associated with the de-
velopment of the second velocity peak into a second
shock system on the upper surface at intermediate
off-design conditions, the magnitude of the second
peak should be less than that of the leading-edge
peak.
Wave losses are approximately proportional to
the local Mach number entering the shock and can
he minimized by maintaining a region of low curva-
ture and thereby reducing local velocities ahead of
the shock. The broad region of relatively low, nearly
uniform, upper-surface curvature on the super-
critical airfoil extends from slightly rearward of the
leading edge to about 70 or 75 percent chord. Refer-
ence 25 describes the results of extending this region
of low curvature nearer to the trailing edge in an
attempt to achieve a more rearward location of the
upper-surface shock wave without rapid increases in
wave losses and associated separation, thus delay-
ing the drag divergence Mach number at a particular
normal-force coefficient or delaying the drag break for
a particular Mach number to a higher normal-force
coefficient. Extending this low curvature region too
near the trailing edge, however, forces a region of rel-
atively high curvature in the vicinity of the trailing
edge with increased trailing-edge slope. This high
curvature would be expected to produce a more ad-
verse pressure gradient at the trailing edge, where
the boundary layer is most sensitive, and would re-
sult in a greater tendency toward trailing-edge sepa-
ration. The degree and chordwise extent of low cur-
vature therefore strongly influences both the strength
of the shock wave and the onset of trailing-edge sep-
aration, the two principal causes of drag divergence.
The results indicated that although simply extending
the region of low curvature farther than on earlier
supercritical airfoils provided a modest improvement
in drag divergence Mach number, it had an unaccept-
ably adverse effect on drag at lower Mach numbers.
An Improved Supercritical Airfoil
During the early development of the two-
dimensional supercritical airfoil, emphasis was placed
upon developing an airfoil with the highest drag-
divergence Mach number attainable at a normal-force
coefficient of about 0.7. The normal-force coefficient
of 0.7 was chosen as the design goal since, when
account was taken of the effects of sweep, it was
representative of lift coefficients at which advanced
technology near-sonic transports utilizing the super-
critical airfoil concept were then expected to cruise.
The resultant airfoil, identified as supercritical
airfoil 11, with a ratio of maximum thickness to
chord of 0.10 and a ratio of trailing-edge thickness
to chord of 0.007, had a drag divergence Mach num-
ber of about 0.79 and was reported in reference 21.
This airfoil experienced, however, a "creep" or grad-
ual increase in the drag coefficient of about 14 counts
(c d increment of 0.0014) between the subcritical
Mach number of 0.60 and the drag divergence Mach
number at the design normal-force coefficient. This
gradual buildup of drag was largely associated with
an intermediate off-design second velocity peak and
relatively weak shock waves above the upper surface
at these speeds. It was believed that with proper
shape refinements, the drag creep could be reduced
or eliminated.
Following the development of airfoil 11, design
studies of advanced technology transport configura-
tions suggested that cruise Mach number require-
ments would be somewhat lower than originally
anticipated, thereby reducing wing sweep and lift
coefficient. Consequently, the design lift coefficient
at which the supercritical airfoil was b@ing developed
was lowered to about 0.55. The wind-tunnel tests
(circa 1972) required for airfoil optimization at the
lower normal-force coefficient also provided the op-
portunity to explore the drag creep problem, thus
drag creep was included as a goal and an imPor-
tant factor in the wind-tunnel program. The result
(ref. 26) was an airfoil, identified as airfoil 26a, with
a slightly smaller leading-edge radius, reduced cur-
vature over the forward and rear upper Surfface, re-
duced aft camber, and minor changes over the lower
surface. Until this point in the supercritical airfoil
development program, the airfoils could more or less
still be defined by several empirical equations. In
the process of developing airfoil 26a, attempts were
made to retain the capability of being able to describe
the airfoils with geometric functions, but such efforts
were not successful. Airfoil 26a and subsequent air-
foils were not, therefore, mathematically described.
Such refinements in the airfoil shape produced
improvements in the overall drag characteristics at
normal-force coefficients from about 0.30 to 0.65
compared with earlier supercritical airfoils developed
for a normal-force coefficient of 0.70. The drag
divergence Mach number of the improved super-
critical airfoil 26a varied from approximately 0.82
at a normal-force coefficient of 0.30 to 0.78 at a
normal-force coefficient of 0.80 with no drag creep
evident up to normal-force coefficients of about 0.65.
As discussed in reference 26, these improved drag
creep characteristics were largely attributed to a
more favorable flow recompression over the forward
upper surface and the elimination of a region of
overexpansion near three-quarter chord.
Effects of Aft Camber
During the development of the improved
10-percent-thick airfoil 26a, a number of systematic
contour modifications were evaluated. These indi-
vidual modifications were intermediate steps toward
a definite design goal but may be organized into small
groups of related contour variations. One such group-
ing showed the effects of variations in surface slope
and curvature distributions over the rear portion of
the airfoil. Although not approached from the stand-
point of camber effects per se, the variations of sur-
face slope and curvature distributions resulted in air-
foils with different aft camber and, for convenience,
were referred to in this manner. Reference 27 doc-
uments the aerodynamic characteristics of these air-
foils with different aft camber.
/
Supercritical Airfoil 31
Emphasis on fuel economy during the early 1970's
generated considerable interest in fuel-conserving air-
craft envisioned to cruise at Mach numbers near
those of then current transports. Such an air-
craft could utilize supercritical airfoil technology to
achieve weight and drag reductions by permitting
the use of thicker wings with higher aspect ratios
and less sweep. Because wings with higher as-
pect ratios would require airfoils with design lift co-
efficientshigher than 0.55, airfoil improvements again
centered around developing an airfoil with a design
normal-force coefficient of about 0.70 without incur-
ring the troublesome drag creep problem of the ear-
lier airfoil 11.
In order to apply the drag creep improvements in-
corporated into airfoil 26a, it was used as the starting
point in extending the design normal-force coefficient
to 0.70. Initially, the location of maximum upper-
surface thickness above the reference line was moved
forward from 0.40c to 0.38c, and the rear of the airfoil
(both upper and lower surfaces) was displaced down-
ward by an amount that varied from 0.0c at the new
position of maximum thickness to 0.01c at the trail-
ing edge, thereby increasing the aft camber. Moving
the position of upper-surface maximum thickness for-
ward by 0.02c simply compressed the forward upper
surface longitudinally and maintained the same gen-
eral family resemblance to airfoil 26a.
In addition to the aforementioned changes, sev-
eral experimental modifications were necessary be-
fore arriving at the final configuration: airfoil 31
(circa 1974). These modifications consisted of small
curvature variations near the upper-surface leading
edge to better control the development of supersonic
flow in this region and over the forward lower surface
to flatten the forward lower-surface pressure distri-
bution. Geometric characteristics of airfoil 31 are
shown in figure 14 and compared with those of air-
foil 12. Airfoil 12 differs very little from airfoil 11
(ref. 26) and was selected as a basis of comparison
because data were available over a wider range of
off-design conditions than for airfoil 11.
The results presented in reference 28 and summa-
rized in figure 15 show that airfoil 31 produced signif-
icant improvements in the drag characteristics com-
pared with the earlier supercritical airfoil 12 designed
for the same normal-force coefficient (Ca = 0.7).
Drag creep was practically eliminated at normal-
force coefficients between 0.4 and 0.7 and greatly re-
duced at other normal-force coefficients. Substantial
reductions in the drag levels preceding drag diver-
gence were also achieved at all normal-force co-
efficients. The Mach numbers at which drag diverged
were delayed for airfoil 31 at normal-force coefficients
up to about 0.6 (by approximately 0.01 and 0.02 at
normal-force coefficients of 0.4 and 0.6, respectively)
but were slightly lower at higher normal-force co-
efficients. The trade-off between reduced drag lev-
els preceding drag divergence through the range of
normal-force coefficients and reduced drag divergence
Mach numbers at the higher normal-force coefficients
called attention to the compromises that are some-
times necessary in the design of airfoils for prac-
tical applications over a wide range of operating
conditions.
Supercritical airfoils through number 31 were'de-
veloped through intuitive contour modifications in
the wind tunnel before adequate theoretical design
or analysis codes were available and are referred to
as phase 1 airfoils. They resulted from an experi-
mentally iterative process of evaluating experimental
pressure distributions at design and off-design con-
ditions and physically altering the airfoil profile to
yield the best drag characteristics over a range of test
conditions. The models were constructed to provide
the capability of on-site (mounted in test section)
modifications. They consisted of a metal core with
9
metalleadingandtrailingedgesthat wereremovable
to provideleading-and trailing-edgemodifications.
Theupperandlowersurfacesbetweenthesteellead-
ing andtrailing edgeswereformedwith plasticfiller
materialthat couldbeeasilyreshaped.Changesto
the surfacecontourscouldbemadeby addingor re-
movingfill material.Controlandmeasurementof the
contourswereprovidedby templatesthat rodespan-
wiseon the metal leadingandtrailing edges.When
time permitted and contourvariationswereknown
aheadof time, sweeptemplateswereconstructedto
aid in modelchanges.Whenexperimentaldatasug-
gestedchangesduringa tunnelentry,shortspanwise
stripsofthe modelwerefirst modifiedandsmoothed
by handandthena templatecastto that shapewas
madeto aid in gettinga uniform contouracrossthe
remainderof the span. Using suchtechniques,it
wasbelievedthat coordinatescouldbe maintained
to anexperimentalaccuracyof abouty/c = 0.0001
(y = 0.0025 in. for a 25-in.-chord model). It was not
realistic or practical to believe that the models could
be modified and measured on site much better than
this.
Theoretically Designed Supercritical Airfoil
The successes in achieving virtually shock-free
flow in wind-tunnel tests of two-dimensional airfoils,
combined with the evolution of advanced technology
aircraft, gave impetus to the development of a prac-
tical approach to the theoretical design of transonic
lifting airfoils with minimum wave losses. One ap-
proach was the complex hodograph method for the
design of shockless supercritical airfoils reported in
reference 29. This mathematical approach was used
by P. R. Garabedian of New York University to de-
sign an airfoil to be shock free (isentropic recom-
pression) at a Mach number of 0.78, a lift coefficient
of 0.59, and with a maximum thickness-to-chord ra-
tio of about 0.10. The aerodynamic characteristics
of this airfoil were then measured in the Langley
8-Foot Transonic Pressure Tunnel to evaluate ex-
perimentally the validity of the design technique.
Reference 30 presents the results of the experiment
and compares them with the aerodynamic charac-
teristics of the improved supercritical airfoil 26a,
which was experimentally designed for similar design
conditions.
Three major conclusions were reached: (1) ex-
cept for slight degradation at off-design conditions
(drag creep and reduced drag divergence Mach num-
bers at low Ca), the experimental aerodynamic char-
acteristics of the theoretical airfoil compared well
with those of the experimentally designed airfoil;
(2) undue emphasis on a single-point shockless de-
sign goal would more than likely compromise off-
design characteristics--a more realistic design goal
would be a minimum wave loss design point that
would also provide acceptable off-design characteris-
tics; and (3) the complex hodograph design method
could be a valuable design tool if used in conjunc-
tion with an adequate analysis program to evaluate
off-design characteristics.
Theoretical and experimental results of several
other airfoils designed by use of the complex hodo-
graph method of reference 29 are reported in refer-
ences 31 and 32.
Theoretical Drag Calculations
The airfoil analysis code described in reference 29
gained wide acceptance for the prediction of two-
dimensional pressure distributions but was based on
a nonconservative form (NCF) of the equation for the
velocity potential describing transonic flow. As dis-
cussed by Garabedian (refs. 33 and 34), however, the
NCF method fell short of giving an adequate predic-
tion of drag-rise Mach numbers because of erroneous
positive terms in the artificial viscosity. The shock
jumps defined by the NCF method created mass in-
stead of conserving it (see, also, ref. 35), resulting
in overprediction of the wave drag, especially in the
case of large supersonic zones. A correction was made
to this "old" analysis code to account for the mass
generated by the NCF method, leading to a more sat-
isfactory evaluation of the wave drag. In addition to
the corrected wave drag formulation, an accelerated
iteration scheme developed by Jameson (ref. 36) was
incorporated to reduce computation time. A compar-
ison between experimental drag characteristics and
theoretical drag characteristics derived from the im-
proved "new" analysis code for the interim super-
critical airfoil 27 is presented in reference 37. Results
(representative results shown in fig. 16) indicate that
the "new" version of the analysis code provides more
accurate predictions of drag rise and suggest a good
cookbook method of applying the new code.General Design Guidelines
During the experimental development of these
phase 1 airfoils, design guidelines were r_ognized
that yielded the best compromises in drag charac-
teristics over a range of test conditions.
The first guideline, referred to as the sonic
plateau, is that at some incremental normal-force
coefficient and Mach number below the design con-
ditions the pressure distribution on the upper and
lower surfaces be flat with the upper-surface pres-
sures just below the sonic value. A generalized
off-design sonic-plateau pressure distribution on a
representative supercritical airfoil is presented in fig-
ure 17. The increment in normal-force coefficient was
10
a functionof thedesignnormal-forcecoefficientand
appearedto be about-0.25 to -0.30 for Cn = 0.70.
The increment in Mach number was just enough to
reduce the upper-surface pressures to below sonic ve-
locity. This "sonic plateau" was an off-design condi-
tion that was observed to be consistent with the best
compromise between design and off-design drag char-
acteristics over a wide range of conditions. Whenever
off-design drag characteristics were sacrificed in or-
der to enhance the design drag characteristics, devi-
ation from a flat, sonic plateau was observed. Toward
the end of the experimental phase 1 airfoil develop-
ment effort, judgments as to the suitability of various
model modifications were generally made on the basis
of two experimental data points--the design condi-
tion and the off-design sonic-plateau condition.
On the upper surface the sonic plateau extends
from near the leading edge to the start of the aft
pressure recovery and on the lower surface from
near the leading edge to the recompression region
entering into the cusp. The rearward extent of
the upper-surface plateau is determined by a second
design guideline that requires the gradient of the
aft pressure recovery be gradual enough to avoid
local separation problems near the trailing edge for
lift coefficients and Mach numbers up to the design
point. Consequently, the rearward extent of the
upper-surface plateau would depend on thickness
ratio since the thicker the airfoil, the higher the
induced velocities from which the flow must recover
and, therefore, the farther forward the aft pressure
recovery must begin.
A third design guideline requires that the airfoil
have sufficient aft camber so that at design conditions
the angle of attack be about zero. This prevents the
location of the upper-surface crest (position of zero
slope) from being too far forward with the negative
pressure coefficients over the midchord acting over
a rearward-facing surface. Both experiments and
theoretical analyses have indicated that an increase
in angle of attack to positive values results in an
abrupt increase in wave drag. A generalized design
pressure distribution on a representative supercritical
airfoil is presented in figure 18.
The aft camber results in a concave region near
the trailing edge on the lower surface with positive
pressures, producing negative pitching moments and
increased hinge moments, while the physical concav-
ity reduces the structural depth of the flap or aileron.
As noted in reference 38, however, both experimen-
tal and calculated results have indicated that these
positive pressures are important in achieving a high
drag-rise Mach number. The depth of the concavity
must, therefore, be a compromise based on a number
of considerations.
A fourth design guideline specifies a gradually
decreasing velocity in the supercritical flow region
over the upper surface. This usually results in the
highest drag-rise Mach number for a given design
lift coefficient. Also, the highest usable drag rise
or lift coefficient is generally obtained with a weak
shock wave at the end of the supercritical region
(ref. 38). Permitting a weak shock rather than
trying to design for a shock-free design point also
reduces the off-design penalties usually associated
with "point design" airfoils.
Analytically Designed Supercritical Airfoils
Based on the general design guidelines discussed
above, two supercritical airfoils (fig. 19) were de-
signed (circa 1975)--the 10-percent-thick airfoil 33
reported in reference 39 and the 14-percent-thick air-
foil reported in reference 40. The design normal-
force coefficient was 0.7 for both airfoils. An iter-
ative computational design process was used that
consisted of altering the airfoil coordinates until the
viscous airfoil analysis program of reference 29 in-
dicated that the aforementioned design criteria had
been satisfied. Until this point in the development
of supercritical airfoils, design had been totally de-
pendent on experimental methods and was extremely
tedious, time consuming, and expensive. The design
of these two airfoils by using the numerical code and
the experimental verification of the results was in-
tended to demonstrate that airfoils could be reliably
designed by computational methods, thus reducing
the cost and wind-tunnel time of developing super-
critical airfoils.
Figure 20 presents sketches of the experimentally
developed airfoil 31 and the analytically designed air-
foil 33, and figures 21 and 22 compare the experimen-
tal pressure distributions nearest to the off-design
sonic-plateau and design conditions for the two air-
foils. To obtain airfoil 33, the ordinates of airfoil 31
were modified over the forward upper and lower sur-
faces, decreased over the rear upper surfaces, and
increased in the vicinity of 80 percent chord on the
lower surface. Referring to the experimental pres-
sure distributions that approach the off-design sonic-
plateau criterion (fig. 21), the alterations over the up-
per surface and forward lower surface were necessary
to obtain the desired plateau pressure distribution
and to reduce the upper-surface aft pressure recov-
ery gradient. The ordinates on the rear lower surface
were increased, with the maximum increase at 80 per-
cent, to provide increased depth for control surface
and flap structural requirements. Subtracting from
the upper surface and adding to the lower surface
over the aft portion of the airfoil in this manner re-
duced the aft camber and, therefore, increased the
11
angleof attack requiredto achievea givennormal-
forcecoefficient.Themodificationsalsohadto assure
that the angle-of-attackdesignguidelinehad been
met,that is, that theangleof attackrequiredfor the
designnormal-forcecoefficientof 0.7remainnear0°.
Sincethe bestdrag-risecharacteristicsareoften
obtainedon airfoilswith a smallamountof upper-
surfacetrailing-edgeseparationand sincetheoreti-
cal treatmentsof the flow at trailing-edgeregions
aregenerallyunreliable,theoreticallypredictedflow
separationat 98percentchordwasacceptedduring
thedesignprocess.Attemptsto achieveamorerear-
ward locationof theoreticalseparationby reducing
the aft pressurerecoverygradientwouldhaveforced
therearterminusofthesonicplateauforward,result-
ing in higherinducedvelocitiesin the plateauregion
anda probablereductionin drag-riseMachnumber.
Relaxingthe separationrequirementsin this man-
ner during the designprocessprovedto be reason-
ablesincethe computationalresultsgenerallyover-
predictedseparationandseparationwasnotobserved
in the experimentaldata. The upper-surfacesonic
plateauextendedfromapproximately3to 80percent
chordon the 10-percent-thickairfoil and from ap-
proximately5to 66percentchordon the 14-percent-
thick airfoil.
Theexperimentalresults(refs.39and40)showed
that the 10-percent-thick airfoil 33 and the
14-percent-thickairfoilhadgooddrag-risecharacter-
isticsovera wide rangeof normal-forcecoefficients
with no measurableshock lossesup to the Mach
numbersat which drag divergenceoccurredfor
normal-forcecoefficientsup to 0.7. The drag-
risecharacteristicsof the computationallydesigned,
10-percent-thickairfoil 33arecomparedwith those
of the earlierexperimentallydesignedairfoil 31 in
figure23andwith thoseof the analyticallydesigned
14-percent-thickairfoil in figure24.
Reference41documentsthe low-speedcharacter-isticsof the 14-percent-thickairfoil obtainedin the
LangleyLow-TurbulencePressureTunnel. This air-
foil demonstratedexcellentlow-speedqualitiesand
achievedunflappedC/,ma x = 2.22 at Rc = 12 x 106.
Reference 42, which discusses the status of
NASA's airfoil research program in 1975, includes in-
formation on the status of supercritical airfoils during
that time period.
Matrix of Phase 2 Supercritical Airfoils
The experimental verification of the design guide-
lines or "target pressure distributions" and the suc-
cess with which two airfoils were designed using com-
putational methods prompted the design of a matrix
of family-related airfoils, all based on the guidelines
12
described above and referred to as the supercritical
phase 2 airfoils.
Figures 25 and 26 show the matrix of the airfoils
that were designed and indicate the various applica-
tions to which they may be applied. The solid sym-
bols indicate the airfoils that have been tested. The
10- and 14-percent-thick airfoils, as discussed above,
were tested in the Langley 8-Foot Transonic Pres-
sure Tunnel and reported in references 39 and 40.
The three 6-percent-thick airfoils were tested in the
Langley 6- by 28-Inch Transonic Tunnel. The results
of the 6-percent-thick airfoils also verified the ana-
lytical design process but are unpublished. Airfoil
coordinates, along with sketches of the airfoils, are
presented in tables II through XXII. Even though the
codes would have permitted definition of coordinates
to more decimal places than shown in these tables,
it was felt that the development program was still
essentially an experimental process, and, except for
the thinner airfoils, no attempt was made to define
the vertical coordinates to less than y/c = 0.0001.
Attention is called to the fact that the coordinates
are not presented relative to conventional chord lines.
To simplify comparisons between supercritical air-
foils, it was the custom to present coordinates rela-
tive to a common reference line rather than the stan-
dard method of defining airfoils relative to a reference
chordline connecting the leading and trailing edges.
Design conditions for each airfoil were established
by specifying maximum thickness and lift coefficient
and letting the Mach number "float" to assume what-
ever value, was required to achieve the generalized
design and off-design pressure distributions shown in
figures 17 and 18. Figures 27 and 2.8 show repre-
sentative off-design sonic-plateau pressure distribu-
tions for some of the airfoils and indicate the design
lift coefficient and the Mach numbers at which the
sonic plateaus occurred. Figure 29 shows the ana-
lytical drag divergence Mach numbers and includes
the measured drag divergence Mach numbers for the
10- and 14-percent-thick airfoils designed for cl =
0.70 discussed above. Drag divergence Mach num-
ber was defined as the point where the slope--of the
curve of section drag coefficient as a function of Mach
number equals 0.1, dcd/dM = 0.1. Figure 30 shows
how the leading-edge radius of the airfoils varies with
maximum thickness and indicates the variation to be
parabolic in nature.
All airfoils were assumed to be fully turbulent
during the design process with transition at 3 per-
cent chord. For airfoils less than 6 percent thick,
chord Reynolds number was specified to be 10 × 106.
For airfoils 6 percent thick or more, chord Reynolds
number was specified to be 30 x 106. These Reynolds
numberswerefelt to be representativeof theproba-
ble applicationsfor the airfoils.
If airfoils with thicknessratios intermediateto
thosepresentedin tablesII to XXII aredesired,and
changesin thicknessratios arenot morethan 1 or
2 percent,the ordinatescan be linearly scaledor
interpolated from these tables without seriously
alteringthegradientsof thetheoreticalpressuredis-
tributions. The two symmetricalairfoilsshownin
the matrix weredevelopedby wrappingthe thick-
nessdistributionofthe least-camberedairfoil of each
thicknessratio aroundthe referenceline, filling in
the resultantupper and lowerrear cuspedsurfaces
sothat the surfaceswerestraight linesfrom about
65 percentchord to the trailing edge,and mak-
ing smallmodificationsto the coordinatesto make
sure that both surfacessatisfiedthe upper-surface
sonic-plateauguidelineat zeroangleof attack. The
12-percent-thicksymmetricalairfoil, SC(2)-0012,was
tested at high Reynoldsnumbersin the Langley
0.3-MeterTransonicCryogenicTunnel,and the re-
sultswerereportedin reference43. The 14-percent-
thickairfoil camberedfor 0.7lift coefficientwasalso
testedat highReynoldsnumbersandreportedin ref-
erences44and45.
Phase 3 Supercritical Airfoils
There appeared to be some concern that the
leading-edge radii of the supercritical airfoils were
too large to be compatible with good low-speed char-
acteristics, that the airfoils had nose down pitching
moments that were too large, and that there was
not enough structural depth over the rear cusp re-
gion where flaps would normally be located. After
the design of the matrix of phase 2 airfoils was com-
pleted, an attempt was made to address these con-
cerns during the late 1970's. The airfoils studied
during these investigations were referred to as super-
critical phase 3 airfoils.
Studies (using the same iterative computation
techniques as used in the design of the phase 2 air-
foils) indicated that reductions in pitching moments
could be achieved by thickening the airfoil in the
vicinity of the rear lower surface and undercutting
the forward lower surface without significantly de-
grading the airfoil performance at design conditions.
Undercutting the forward lower surface also resulted
in an effectively smaller leading-edge radius.
Figure 31 compares sketches of the original
12-percent-thick phase 2 supercritical airfoil designed
for 0.7 lift coefficient and the same airfoil with the
forward lower surface undercut. Figure 32 indicates
that the upper surface was relatively unaffected at
design conditions by this modification. The curva-
tures over the lower surface where the undercut sur-
face fairs back into the original airfoil are increased,
resulting in higher velocities in the midchord region
and slightly reduced pitching moments at a more neg-
ative angle of attack. Removing material in this man-
ner increases curvature at the ends of the removal
area and decreases curvature in the middle of the
area and has a "water bed" effect on the velocities:
velocities go up in one place but go down somewhere
else.
Thickening the aft region of the airfoil by about
9 percent of the original thickness at 80 percent chord
(fig. 33) to approximately the same thickness as a
NACA 65-series airfoil by filling in the lower-surface
cusp also resulted in a small decrease in pitching mo-
ment (fig. 34) but required a slightly higher angle of
attack to achieve the same lift coefficient. More re-
cent studies (ref. 46, for example) have indicated that
substantial thickening of supercritical-type airfoils in
the vicinity of 80 percent chord would be possible
without sacrificing transonic performance.
In order to evaluate such modifications experi-
mentally, the existing 14-percent-thick model used
in the low-speed evaluation of SC(2)-0714 was mod-
ified and tested at low speeds in the Langley Low-
Turbulence Pressure Tunnel. Figure 35 shows
sketches of the two airfoils and figures 36 and 37 com-
pare the theoretical pressure distributions at the de-
sign and sonic-plateau conditions. The experimental
results (unpublished) indicated that small reductions
in leading-edge pressure peaks were achieved with the
smaller leading-edge radius but that low-speed stall
occurred a couple of degrees earlier and the maximum
lift attained decreased from about 2.2 to 2.1. Subse-
quent tests of the NASA SC(3)-0714 in the Langley
0.3-Meter Transonic Cryogenic Tunnel are reported
in references 47 and 48.
The effort to incorporate these phase 3 modifica-
tions into the entire matrix of phase 2 supercritical
airfoils was abandoned, however, when