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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2004
Microeconomía I
EAE 210 B
Profesor : Felipe Zurita
fzurita@faceapuc.cl
Horario clases: MJ 1000 hrs., sala 105
Atención de alumnos : M 1130 − 1200 hrs.
Ayudantes : Gabriela Gurovich
Eugenio Camus
Horario ayudantías: V 1500, sala 103
http://www.economia.puc.cl/profesores/fzurita/M1.htm
1 Objetivo y descripción
El objetivo de este curso es introducir a los alumnos en el análisis microeconómico
tradicional, esto es, la aplicación sistemática de la hipótesis de racionalidad en la
toma de decisiones en el estudio del mercado como mecanismo de organización de la
actividad económica.
Los temas a tratar incluyen las teorías del consumidor y del productor, el análisis
de mercados bajo competencia perfecta e imperfecta en equilibrio parcial y general,
ciertos elementos de teoría de juegos y una introducción al análisis de la incertidumbre.
Si bien el curso es predominantemente teórico, las aplicaciones de la teoría reciben
especial atención. No existe un texto base para el curso; en cambio, se distribuirán
durante el semestre apuntes para este curso escritos por Bernardita Vial y el profesor.
Las lecturas adicionales sugeridas para cada tema se incorporan al final de cada
capítulo.
De todas formas, es recomendable complementar su lectura con otros textos.
Quizás el más cercano sea “Teoría Microeconómica: Principios Básicos y Aplica-
ciones”, escrito por Walter Nicholson y editado por McGraw-Hill, sexta edición, 1997
(330.1 N629m.E 1997). Otros libros que contienen el material que se cubrirá en el
curso son:
• Frank, Robert H., “Microeconomía y Conducta”, McGraw-Hill, 1992.
• Hirshleifer, Jack y Amihai Glazer, “Microeconomía, Teoría y Aplicaciones”,
Prentice Hall, quinta edición, 1994.
1
• Varian, Hal, “Microeconomía: un Enfoque Moderno”, Antoni Bosch, tercera
edición, 1993.
• Fontaine, Ernesto, “Teoría de los Precios”, Ediciones Universidad Católica, ter-
cera edición, 1992.
• Fernández de Castro, Juan y Juan Tugores, “Fundamentos de Microeconomía”,
McGraw-Hill, segunda edición, 1997. (En las lecturas sugeridas más abajo se
hace referencia a este libro, y no al siguiente, de los mismos autores.)
• Fernández de Castro, Juan y Juan Tugores, “Microeconomía”, McGraw-Hill,
1998.
• Layard, Richard y Alan Walters, “Microeconomic Theory”, McGraw-Hill, 1978.
Por otro lado, este curso presupone que el alumno está familiarizado con la op-
timización matemática. Es muy recomendable, entonces, estudiar los apuntes de
optimización (en la página web), el Trabajo Docente No. 57, “Modelos de Opti-
mización”, de Gonzalo Edwards, o revisar algún libro como “Métodos Fundamentales
de Economía Matemática” de Alpha Chiang (McGraw-Hill, 3a edición, 1987; 330.0151
C532f.E 1987, capítulos 12 y 21).
2 Programa
I. Elección Individual
(1) Decisiones y Preferencias
a. Preferencias y utilidad.
b. Aplicaciones: consumidor enmercados competitivos, consumo intertem-
poral y otros.
c. Noción de bienestar.
(2) Demanda Individual y Bienestar
a. Propiedades de la función de demanda.
b. Elasticidades. Dualidad.
c. Bienestar: Variación Equivalente, Variación Compensatoria, Exce-
dente.
d. Preferencias reveladas.
(3) Oferta Individual
a. Funciones de producción.
2
b. Costos.
c. Maximización de ganancias.
(4) Incertidumbre
a. Estados de la naturaleza.
b. Utilidad esperada.
c. Aversión al riesgo.
II. Equilibrio
(1) Situaciones Sociales
a. Interacción estratégica.
b. Noción de equilibrio.
c. Bienestar social.
(2) Competencia Perfecta
a. Equilibrio Walrasiano.
b. Equilibrio parcial.
c. Equilibrio general.
(3) Teoría de Juegos
a. Mejor respuesta.
b. Equilibrio de Nash.
c. Juegos dinámicos y perfección.
(4) Competencia Imperfecta
a. Monopolio y monopsonio.
b. Oligopolio: Cournot, Bertrand, Stackelberg.
c. Carteles y acuerdos colusivos.
3 Evaluación
Las pruebas cubren las materias tratadas en clase y en las lecturas obligatorias (mar-
cadas con *).
Los controles se toman en la hora de ayudantía. Para evitar que razones de
fuerza mayor e imprevistos afecten la nota final, se elimina la peor nota de tarea o
control.
El calendario de pruebas se encontrará en la página web.
3
Las ponderaciones asignadas a cada evaluación son las siguientes:
Ponderaciones
Controles y tareas 25%
Primera prueba 20%
Segunda prueba 20%
Examen final 35%
4 Aspectos Administrativos
• No habrá clases el martes 3 de agosto ni el jueves 4 de noviembre. Éstas se
recuperarán el viernes 6 de agosto y el viernes 15 de octubre, respectivamente.
• Las inasistencias a pruebas y controles no se justifican:
— En el caso de las pruebas, el porcentaje correspondiente se suma automáti-
camente al del examen.
— En el caso de los controles, se obtiene un uno (pero se elimina el peor).
— Las tareas se entregan en el horario de clases del día asignado; no hay
postergaciones ni excusas. No se reciben tareas fuera de plazo o entregadas
a algún ayudante.
• Solicitudes de recorrección:
— Se hacen directamente al profesor, como máximo siete días después de la
entrega de la prueba o control.
— Se explican y fundamentan por escrito, en el formulario disponible en la
página web del curso.
— No tendrá derecho a recorrección una prueba escrita total o parcialmente
con lápiz mina (grafito).
4
Microeconomía I
EAE 210 B
Segundo Semestre de 2004
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Eugenio Camus
Gabriela Gurovich
Primer Control
Tiempo Total: 60 minutos
Puntaje Total: 40 puntos
Importante:
• Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito, pierde el derecho a recorrección.
• Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
• Las respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
1. Producción [26 puntos]
Considere el caso de una empresa con una tecnología descrita por:
q = T
√
L
donde T es el tamaño de la planta (medido en metros cuadrados), L el número de trabajadores, y q el
número de unidades de producto. El metro cuadrado de planta cuesta $wT , y a cada trabajador se
le paga $wL. El tamaño de la planta no es posible cambiarlo en el corto plazo; más aún, considérelo
fijo en un nivel de T0.
(a) [2 puntos] ¿Cuántos trabajadores se deben contratar para producir q unidades del bien?
(b) [2 puntos] Explique por qué la función de costos (de corto plazo) es:
C (q, wL, wT ) = wL
q2
T 2
+wTT
(c) [4 puntos] Caracterice y dibuje las funciones de costo medio y costo marginal. En particular,
establezca si son crecientes o decrecientes, y si una es superior a la otra.
(d) [4 puntos] Explique cuánto querría vender el dueño de esta empresa si pudiese vender la cantidad
que quisiera al precio p, y si su motivación fuese únicamente lucrar. Sea claro y preciso.
Considere de ahora en adelante que el tamaño de la planta es variable.
(e) [5 puntos] Si el precio p es tal que en la situación anterior la empresa obtenía ganancias,
¿querría ampliar el tamaño de la planta? Fundamente.
(f) [3 puntos] ¿Diría Ud. que la tecnología de esta empresa tiene retornos decrecientes a escala?
Fundamente.
(g) [4 puntos] Obtenga la función de costos de largo plazo. Caracterice y dibuje las funciones de
costo medio y marginal.
(h) [2 puntos] Explique cuánto querría vender el dueño de esta empresa si pudiese vender la cantidad
que quisiera al precio p, y si su motivación fuese únicamente lucrar. Sea claro y preciso.
2. El objetivo de la empresa [14 puntos]
Por razones que no son del todo claras, ciertos gremios han conseguido obtener el control o la admi-
nistración de las instituciones que proveen sus servicios. Por ejemplo, los gerentes de los hospitales
son médicos, los administradores del poder judicial son abogados, y los directores de los colegios son
profesores. En caso de conseguir el control, es probable que esas instituciones no solo no maximicen
ganancias, sino que en cambio actúen como cooperativas gremiales, maximizando el pago total a
médicos, abogados o profesores que trabajan en la institución.
Para ser concretos, imagine que la provisión de serviciosmédicos (q) requiere de médicos (L1) y
otros profesionales (enfermeras, kinesiólogos, optometristas, etc.) (L2). Considere el caso de una
clínica bajo dos regímenes alternativos:
(a) Su dueño no es médico, y su objetivo es el lucro. Esto es, su comportamiento se obtiene de:
max
{L1,L2,q}
π = pq − (w1L1 + w2L2)
s/a q = f (L1, L2)
(b) Su dueño es la cooperativa de médicos de la misma clínica, de manera que las utilidades se
reparten entre ellos. A la cooperativa le interesa que el grupo de médicos reciba el mayor
ingreso posible, pero la clínica se debe autofinanciar. Esto es, su comportamiento se obtiene
de:
max
{L1,L2,q}
π + w1L1 = pq −w2L2
s/a q = f (L1, L2)
π ≥ 0 (autofinanciamiento)
El lagrangeano asociado es:
max
{L1,L2}
£ = pf (L1, L2)− w2L2 + λ (pf (L1, L2)− w1L1 − w2L2)
Compare las decisiones de contratación de médicos (L1), contratación de otros profe-
sionales (L2), y cantidad de servicios provistos (q) bajo ambos regímenes, suponiendo que
los precios de todos los insumos y del producto están dados y que f (L1, L2) es homogénea de
un grado r < 1. Explique clara e intuitivamente sus resultados.
[En caso de “pánico matemático”, al menos discuta intuitivamente las diferencias entre am-
bos objetivos y los comportamientos que de ellos se desprenden].
Pauta
AL USAR LA PAUTA, TENGA PRESENTE QUE:
És sólo una pauta. Cada respuesta que aquí se ofrece no es la única respuesta correcta. Por otro
lado, no se espera que las respuestas que Ud. dio en la prueba tengan esta extensión.
1. Producción [26 puntos]
Considere el caso de una empresa con una tecnología descrita por:
q = T
√
L
donde T es el tamaño de la planta (medido en metros cuadrados), L el número de trabajadores, y q el
número de unidades de producto. El metro cuadrado de planta cuesta $wT10, y a cada trabajador se
le paga $wL. El tamaño de la planta no es posible cambiarlo en el corto plazo; más aún, considérelo
fijo en un nivel de T0.
(a) ¿Cuántos trabajadores se deben contratar para producir q unidades del bien?
Como T está fija, basta con despejar L de la función de producción:
L =
q2
T 2
(b) Explique por qué la función de costos (de corto plazo) es:
C (q, wL, wT ) = wL
q2
T 2
+wTT
Como T está fijo, no es una variable de decisión. Luego, para producir q unidades de producto
existe una única manera, la que naturalmente es la del mínimo costo. Entonces:
C (q,wL, wT ) = wLL
∗ +wTT
= wL
q2
T 2
+ wTT
(c) Caracterice y dibuje las funciones de costo medio y costo marginal. En particular, establezca
si son crecientes o decrecientes, y si una es superior a la otra.
Costo medio :
C (q)
q
= wL
q
T 2
+
wTT
q
Costo marginal :
∂C (q)
∂q
=
2wL
T 2
q
El costo marginal es creciente y lineal; de hecho, un rayo que parte desde el origen. Luego, el
costo medio debe en algún tramo ser superior y en otro inferior. Se cortan en:
C (q)
q
=
∂C (q)
∂q
⇔ wL q
T 2
+
wTT
q
=
2wL
T 2
q
⇔ q =
r
wT
wL
T
3
2
y en esa cantidad, su altura es:
∂C (q)
∂q
=
2wL
T 2
r
wT
wL
T
3
2 = 2
r
wLwT
T
A la izquierda de q el CMg es menor que el CMe, de manera que éste es decreciente; lo contrario
ocurre a la derecha de q.
(d) Explique cuánto quisiera vender el dueño de esta empresa si pudiese vender la cantidad que
quisiera al precio p, y si su motivación fuese únicamente lucrar. Sea claro y preciso.
Sabemos que si el objetivo de la empresa es maximizar ganancias, escogerá la cantidad que
iguale su CMg al precio, siempre y cuando (i) el CMg sea creciente (y en nuestro caso es
creciente en todas partes), y (ii) el precio supere al CMe, de manera que las ganancias sean
positivas. Entonces tenemos:
p = CMg
⇔ p = 2wL
T 2
q ⇔
q∗ = 12
p
wL
T 2
Por otro lado, π ≥ 0 si y sólo si:
p ≥ 2
r
wLwT
T
de manera que la curva de oferta está dada por:
q∗ =
½
0 si p < 2
p
wLwT
T
1
2
p
wL
T 2 si p ≥ 2pwLwTT
Considere de ahora en adelante que el tamaño de la planta es variable.
(e) Si el precio p es tal que en la situación anterior la empresa obtenía ganancias, ¿querría ampliar
el tamaño de la planta?
La pregunta se puede reformular de la siguiente forma: en el nivel de uso T0 ¿es el valor de
la productividad marginal del factor mayor o menor que su precio?
p
∂f
∂T
= p
√
L
= p
√
L∗
= p
r
q∗2
T 2
= p
³
1
2
p
wL
T 2
´2
T 2
=
1
2
p2
T
wL
El valor de la productividad marginal es mayor que su precio si:
1
2
p2
T
wL
> wT
⇔ p >
√
2
r
wLwT
T
Pero para que π > 0 necesitábamos que p > 2
p
wLwT
T >
√
2
p
wLwT
T , por lo que efectivamente el
empresario querría ampliar su planta.
(f) ¿Diría Ud. que la tecnología de esta empresa tiene retornos decrecientes a escala? Fundamente.
No; tiene retornos crecientes a escala. De hecho, es homogénea de grado 32 :
f (λT,λL) = λT
√
λL = λ
3
2T
√
L
⇒ f (λT,λL)
f (T,L)
= λ
3
2 > λ
para λ > 1. Así, amplificaciones de los insumos consiguen aumentos más que proporcionales
del producto.
(g) Obtenga la función de costos de largo plazo. Dibuje las funciones de costo medio y marginal.
El problema:
min
{T,L}
wLL+ wTT
s/a q ≤ T
√
L
tiene como CPO:
T
2
√
L√
L
=
wL
wT
q = T
√
L
Luego,
L∗ =
³
1
2wL
3
√
4 3
q¡
wT qw2L
¢´2
T ∗ = q
1
2wL
3√4 3
q
(wT qw2L)
Entonces:
C (q) = wLL
∗ + wTT ∗
= wL
µ
1
2wL
3
√
4 3
q¡
wT qw2L
¢¶2
+wT
q
1
2wL
3
√
4 3
q¡
wT qw2L
¢
=
3
2
( 3
√
wT )
2 ( 3
√
q)2 3
√
wL
3
√
2
Sea α = 32
¡
3
√
wT
¢2
3
√
wL
3
√
2. Entonces tenemos:
C (q) = αq
2
3
C (q)
q
=
α
q
1
3
∂C (q)
∂q
=
2
3
α
q
1
3
Observe que el CMg es decreciente y siempre menor que el costo medio; por esto, el CMe es
siempre decreciente (reflejando los rendimientos crecientes).
(h) Explique cuánto quisiera vender el dueño de esta empresa si pudiese vender la cantidad que
quisiera al precio p, y si su motivación fuese únicamente lucrar. Sea claro y preciso.
El problema de max{q} π (q) no tiene solución en este caso, porque π siempre crece con q.
2. El objetivo de la empresa [14 puntos]
Por razones que no son del todo claras, ciertos gremios han conseguido obtener el control o la admi-
nistración de las instituciones que proveen sus servicios. Por ejemplo, los gerentes de los hospitales
son médicos, los administradores del poder judicial son abogados, y los directores de los colegios son
profesores. En caso de conseguir el control, es probable que esas instituciones no solo no maximicen
ganancias, sino que en cambio actúen como cooperativas gremiales, maximizando el pago total a
médicos, abogados o profesores que trabajan en la institución.
Para ser concretos, imagine que la provisión de servicios médicos (q) requiere de médicos (L1) y
otros profesionales (enfermeras, kinesiólogos, optometristas, etc.) (L2). Considere el caso de una
clínica bajo dos regímenes alternativos:
(a) Su dueño no es médico, y su objetivo es el lucro. Esto es, su comportamiento se obtiene de:
max
{L1,L2,q}
π = pq − (w1L1 + w2L2)
s/a q = f (L1, L2)
(b) Su dueño es la cooperativa de médicos de la misma clínica, de manera que las utilidades se
reparten entre ellos. A la cooperativa le interesa que el grupo de médicos reciba el mayor
ingreso posible, pero la clínica se debe autofinanciar. Esto es, su comportamiento se obtiene
de:
max
{L1,L2,q}
π + w1L1 = pq −w2L2
s/a q = f (L1, L2)
π ≥ 0 (autofinanciamiento)
El lagrangeano asociado es:
max
{L1,L2}
£ = pf (L1, L2)− w2L2 + λ (pf (L1, L2)− w1L1 − w2L2)
Compare las decisiones de contratación de médicos (L1), contratación de otros profe-
sionales (L2), y cantidad de servicios provistos (q) bajo ambos regímenes, suponiendo que
los precios de todos los insumos y del producto están dados y que f (L1, L2) es homogénea de
un grado r < 1. Explique clara e intuitivamente sus resultados.
RESPUESTA:
i. Lo primero que se debe observar es que una función homogénea de un grado r < 1implica
retornos decrecientes a escala, de manera que el costo medio es creciente en todas partes.
En efecto, si L∗1 y L∗2 son los niveles óptimos de contratación de insumos para un nivel de
producción de q0, entonces el nivel de producto para el cual contratar δL∗1y δL∗2 es óptimo
es q1 = f (δL∗1, δL∗2) = δ
rf (L∗1, L∗2) < δq0. Luego, el costo medio es mayor:
C (q1)
q1
=
w1 (δL
∗
1) +wK (δL
∗
2)
q1
= δ
C (q0)
q1
>
C (q0)
q0
ii. En segundo lugar, es claro que la restricción de autofinanciamiento se satisfará sin holgura
(el objetivo es pagar la mayor cantidad posible a los médicos, de manera que cualquier
dinero adicional será usado). Esto es, el nivel de producto que la cooperativa escogerá
satisface:
π =
·
p− C (q)
q
¸
q = 0
iii. Luego, la cooperativa escoge una cantidad tal que el precio es igual al costo medio. Llamé-
mosle q∗∗ a esta cantidad. Como el CMe es siempre creciente, el CMg debe ser mayor para
cada q, de manera que la clínica maximizadora de ganancias produce menos unidades que
la cooperativa:
p = C 0 (q∗) >
C (q∗)
q∗
⇒ p = C (q
∗∗)
q∗∗
ocurre con q∗∗ > q∗.
iv. Ver que la cooperativa contrata más médicos es sencillo: mientras la regla de contratación
(CPO) de la clínica maximizadora de ganancias es p ∂f∂L1 = w1, la de la cooperativa es
p ∂f∂L1 = w1
λ
1+λ < w1, donde λ es el multiplicador de la restricción de autofinanciamiento.
Intuitivamente, mientras contratar un médico adicional le cuesta w1 tanto a la clínica con
fines de lucro como a la cooperativa, esta última ve en ese pago un beneficio (aumentar el
ingreso de sus socios).
v. Respecto de L2, no es claro. Si bien es cierto que la cooperativa produce más, también es
cierto que ocupa una tecnología más intensiva en L1, como se desprende de su CPO:
p ∂f∂L1
p ∂f∂L2
=
w1
w2
λ
1 + λ
<
w1
w2
λ
1 + λ
Gráficamente:
2L
1L
*q
**q
2L
1L
*q
**q
Microeconomía I
EAE 210 B
Segundo Semestre de 2004
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Eugenio Camus
Gabriela Gurovich
Primera Prueba
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 80 puntos
IMPORTANTE:
Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito, pierde el derecho a recorrección.
Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
Las tres respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
1. Preguntas cortas [22 puntos]
(a) [5 puntos] Un deudor no puede transformarse en acreedor producto de una caída de la tasa de
interés. Comente.
(b) [6 puntos] Hay cinco caminos por los que Pedrito puede ir a su escuela. Todos los días de la
semana escoge uno distinto, pero todos los lunes toma el 1, todos los martes el 2, etc. Como
en cada día tiene las mismas alternativas, y lo observamos en distintos días escoger cada una
de ellas, podemos concluir que (i) está indiferente entre todos los caminos, ó (ii) no es posible
construir una relación de preferencias para representar su comportamiento.
(c) [5 puntos] Construya dos funciones de utilidad distintas que racionalicen su decisión de dar esta
prueba. (O, si lo considera apropiado, explique por qué no tenía elección).
(d) [6 puntos] Demuestre que si f (x) es una función cóncava, entonces cualquier transformación
monótona creciente de f (x) es cuasicóncava.
Recuerde que f (x) es cóncava si para todo λ ∈ [0, 1], f (λx+ (1− λ)x0) ≥ λf (x)+(1− λ) f (x0),
y que f (x) es cuasicóncava si para todo λ ∈ [0, 1], f (λx+ (1− λ)x0) ≥ min {f (x) , f (x0)} .
2. Demanda [32 puntos]
Considere la siguiente función de utilidad:
u (x1, x2) = 2
√
x1 + x2
En lo que sigue, m representa al ingreso, p1 el precio del bien 1 y p2 el del 2.
(a) [5 puntos] Caracterice las preferencias que representan, dibujando cuidadosamente el mapa de
curvas de indiferencia que generan. ¿Se trata de dos bienes? ¿Tiene esta persona preferencias
por la variedad?
(b) [10 puntos] Verifique, sin olvidar eventuales condiciones de segundo orden, que las demandas
ordinarias (o marshallianas) por cada bien son respectivamente:
x∗1 =
³
p2
p1
´2
si m ≥ p22p1
m
p1
si m < p
2
2
p1
x∗2 =
(
m
p2
− p2p1 si m ≥
p22
p1
0 si m < p
2
2
p1
(c) [2 puntos] Explique claramente por qué esta persona no consumiría del bien 2 si su ingreso
fuese menor que p
2
2
p1
. ¿Acaso no lo valora?
(d) [2 puntos] Determine si cada bien es normal, inferior, o neutro.
(e) [3 puntos] Encuentre el valor del multiplicador lagrangeano. Explique, entonces, por qué a
este tipo de función de utilidad se le conoce como de “métrica monetaria”.
(f) [6 puntos] Encuentre la función de gasto mínimo C (p1, p2, u), y derive a partir de ella las
demandas compensadas (o hicksianas) por cada bien. Recuerde que el Lema de Shephard
establece que:
∂C
∂pj
= x∗∗j
(g) [4 puntos] Verifique el cumplimiento de la ecuación de Slutzky, esto es:
∂xM1 (p1, p2,m)
∂p1
=
∂xH1 (p1, p2, u)
∂p1
− ∂x
M
1 (p1, p2,m)
∂m
xM1 (p1, p2,m)
Explique su significado.
3. Consumo Intertemporal [26 puntos]
Severo Fierro es una persona ordenada, inflexible, incluso algo neurótica según algunos. Inde-
pendientemente de si eso es cierto o no, Severo cree en el balance, en el equilibrio, y se ha impuesto
la disciplina de no consumir hoy un peso adicional si no puede garantizarse a sí mismo que podrá
también hacerlo en el futuro. De este modo, su comportamiento de consumo intertemporal se puede
representar por medio de la siguiente función de utilidad:
u(c1, c2) = min {c1, c2}
donde c1 es consumo presente y c2 consumo futuro. Siendo también un hombre imaginativo y de
visión, tiene tres proyectos de inversión independientes e indivisibles en carpeta, como se indica en
la siguiente tabla:
Proyecto Inversión Retorno
α 10 20
β 10 10
γ 20 30
Severo, por otro lado, tiene una dotación de (c1, c2) = (200, 0) , y no tiene acceso al mercado de
crédito.
(a) [5 puntos] Caracterice su conjunto de posibilidades de consumo. Sea extremadamente cuida-
doso(a) al indicar qué puntos de la frontera pertenecen y cuáles no pertenecen al conjunto.
(b) [2 puntos] Verifique que Severo podría escoger un perfil de consumo como (c∗1, c∗2) = (60, 60).
(c) [5 puntos] Lo anterior significa que Severo podría desperdiciaría hasta 100 unidades de consumo
en el presente, lo que ha llevado a sus críticos a tildarlo de “irracional”. Existen diversos sentidos
que se le pueden atribuir a la palabra irracional. Por ejemplo, fallar el Axioma de Transitividad,
o bien fallar el Axioma 0. Explique qué significa ser irracional en ambos casos. ¿Es Severo una
persona irracional en el sentido del Axioma de Transitividad? ¿Y en el sentido del Axioma 0?
(d) [6 puntos] No obstante lo anterior, es indudable que el comportamiento de Severo escapa a lo
normal. Su amigo Miope Apuretti, por otro lado, tiene la siguiente preferencia:
(bc1,bc2) Â (ec1,ec2)⇔
{bc1 > ec1} ó {bc1 = ec1 y bc2 > ec2}
i. ¿Qué haría Miope si estuviese en el lugar de Severo?
ii. ¿Es irracional Miope en alguno de los sentidos mencionados en (c)?
(e) [5 puntos] Suponga en cambio que se abre un mercado de crédito, en donde se puede prestar o
pedir prestado a la tasa de r = 10%.
i. Determine el nuevo conjunto de posibilidades de consumo.
ii. ¿Qué hará Severo en esta nueva situación? ¿Desechará algo de consumo en alguna fecha?
iii. ¿Qué haría Miope si estuviera en los zapatos de Severo?
(f) [3 puntos] Imagine que, finalmente, Miope y Severo llegan a viejos, y se juntan en su bar favorito
a conversar sobre sus experiencias. Miope, muerto de sed y envidiando con toda su alma la
cerveza que Severo toma, le confiesa que se arrepiente de haber actuado de la manera que lo
hizo, con total descuido por su futuro. Severo, a propósito, es economista; quizás por eso le dice
con toda seguridad: “no te creo”. ¿Es acaso Severo un fiel devoto del Axioma 0? Suponga que
Miope actuó y habló honestamente siempre; ¿es su comportamiento compatible con el Axioma
0?
Pauta
AL USAR LA PAUTA, TENGA PRESENTE QUE:
És sólo una pauta. Cada respuesta que aquí se ofrece no es la única respuesta correcta. Por otro
lado, no se espera que las respuestas que Ud. dió en la prueba tengan esta extensión (evidentemente,
hacer esta pauta le tomó al profesor más de 80 minutos).
1. Preguntas cortas [22 puntos]
(a) [5 puntos] Un deudor no puede transformarse en acreedor producto de una caída de la tasa de
interés. Comente.
Verdadero. Cuando la tasa de interés cae, una personacon una dotación de consumo in-
tertemporal de (m1,m2) ve rotar el límite de sus posibilidades sobre ese punto, creciendo a la
derecha de m1 y bajando a la izquierda. Un deudor, por otro lado, consume más que su ingreso
corriente, por lo que está a la derecha de m1. Se deduce, entonces, que su elección previa está
antes en su jerarquía implícita que todo otro punto de su conjunto de posibilidades antiguo.
Pero como ese conjunto se achicó a la izquierda de m1, entonces todo punto nuevo en que sería
acreedor está por debajo que su consumo antiguo, y siendo éste todavía posible, no dejará de
ser deudor.
(b) [6 puntos] Hay cinco caminos por los que Pedrito puede ir a su escuela. Todos los días de la
semana escoge uno distinto, pero todos los lunes toma el 1, todos los martes el 2, etc. Como
en cada día tiene las mismas alternativas, y lo observamos en distintos días escoger cada una
de ellas, podemos concluir que (i) está indiferente entre todos los caminos, ó (ii) no es posible
construir una relación de preferencias para representar su comportamiento.
Efectivamente, no es posible construir una preferencia (salvo la trivial, en que todo camino
le es indiferente) que racionalice la decisión de Pedrito si consideramos al conjunto universal de
actos como A = {1, 2, 3, 4, 5}. Sin embargo, el enunciado sugiere otra regularidad: la decisión
es sistemáticamente distinta en cada día de la semana. Luego, si un acto consistiera de una
camino y un día de la semana, de manera que A = {1, 2, 3, 4, 5} × {L,Ma,Mi, J, V }, entonces
sí podemos contruir una preferencia que racionaliza la decisión. Por ejemplo: (1, L) % (x,L)
para todo x ∈ {1, 2, 3, 4, 5} ; (2,Ma) % (x,Ma) para todo x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, etc.
(c) [5 puntos] Construya dos funciones de utilidad distintas que racionalicen su decisión de dar esta
prueba. (O, si lo considera apropiado, explique por qué no tenía elección).
Una función de utilidad racionaliza una decisión si es posible la acción escogida maximiza esa
función de utilidad dentro del conjunto de acciones disponibles.
a u v
Dar la prueba 1 13
No darla 0 −13
(d) [6 puntos] Demuestre que si f (x) es una función cóncava, entonces cualquier transformación
monótona creciente de f (x) es cuasicóncava.
Recuerde que f (x) es cóncava si para todo λ ∈ [0, 1], f (λx+ (1− λ)x0) ≥ λf (x)+(1− λ) f (x0),
y que f (x) es cuasicóncava si para todo λ ∈ [0, 1], f (λx+ (1− λ)x0) ≥ min {f (x) , f (x0)} .
Sea h (x) = (g ◦ f) (x) = g (f (x)) una transformación monótona creciente de f , de manera
que g es creciente. Observe que:
λf (x) + (1− λ) f ¡x0¢ ≥ min©f (x) , f ¡x0¢ª
Luego, si f (x) < f (x0)⇒
f
¡
λx+ (1− λ)x0¢ ≥ f (x)
⇒ g ¡f ¡λx+ (1− λ)x0¢¢ ≥ g (f (x)) (porque g es creciente)
⇔ h ¡λx+ (1− λ)x0¢ ≥ h (x) (por definición de h)
En cambio, si f (x0) < f (x)⇒
f
¡
λx+ (1− λ)x0¢ ≥ f ¡x0¢
⇒ g ¡f ¡λx+ (1− λ)x0¢¢ ≥ g ¡f ¡x0¢¢ (porque g es creciente)
⇔ h ¡λx+ (1− λ)x0¢ ≥ h ¡x0¢ (por definición de h)
Pero f (x) < f (x0)⇔ h (x) < h (x0), de manera que
h
¡
λx+ (1− λ)x0¢ ≥ min©h (x) , h ¡x0¢ª
QED.
2. Demanda [32 puntos]
Considere la siguiente función de utilidad:
u (x1, x2) = 2
√
x1 + x2
(a) [5 puntos] Caracterice las preferencias que representan, dibujando cuidadosamente el mapa de
curvas de indiferencia que generan. ¿Se trata de dos bienes? ¿Tiene esta persona preferencias
por la variedad?
Las curvas de indiferencia satisfacen:
u = 2
√
x1 + x2 ⇒ x2 = u− 2√x1
Ésta es una familia de curvas decrecientes, convexas, que interceptan el eje vertical en u:
f (x1, u) = u− 2√x1
f (0, u) = u
∂f (x1, u)
∂x1
= − 1√
x1
< 0
∂2f (x1, u)
∂x21
=
1
2
¡√
x1
¢3 > 0
0
2
4
6
8
10
x2
2 4 6 8 10x1
(b) [10 puntos] Verifique, sin olvidar eventuales condiciones de segundo orden, que las demandas
ordinarias (o marshallianas) por cada bien son respectivamente:
El problema:
max
{x1,x2,λ≥0}
£ = x2 + 2
√
x1 + λ (m− x1p1 − x2p2)
tiene una solución en el caso A o en el caso B, según sea el valor de m :
∂£
∂x1
=
1√
x1
− λp1 ≤ 0 c.h.c. ∂£
∂x1
x1 = 0
∂£
∂x2
= 1− λp2 ≤ 0 c.h.c. ∂£
∂x2
x2 = 0
∂£
∂λ
= m− x1p1 − x2p2 ≥ 0 c.h.c. ∂£
∂λ
λ = 0
CASO A: x1, x2,λ > 0 :
x1 > 0⇒ 1√
x1
− λp1 = 0⇒ x1 = 1
λ2p21
x2 > 0⇒ 1− λp2 = 0⇒ λ = 1
p2
⇒ x1 =
p22
p21
λ > 0⇒ m− x1p1 − x2p2 = 0⇒ x2 = mp2 −
p2
p1
Pero en este caso, x2 ≥ 0 sólo si mp2 −
p2
p1
≥ 0⇔
n
m ≥ p22p1
o
Las condición de segundo orden es:¯̄̄̄
¯̄̄ 0 −p1 −p2−p1 − 12(√x1)3 0
−p2 0 0
¯̄̄̄
¯̄̄ = 1
2
p22¡√
x1
¢3 > 0
lo que ocurre porque la función es cuasicóncava.
CASO B: x1,λ > 0, x2 = 0
x1 > 0⇒ 1√
x1
− λp1 = 0⇒ λ = 1√
x1p1
x2 = 0⇒ 1− λp2 ≤ 0⇒ λ ≥ 1
p2
λ > 0⇒ m− x1p1 − x2p2 = 0⇒ x1 = mp1
Por otro lado,
λ =
1q
m
p1
p1
≥ 1
p2
⇔ m ≤ p
2
2
p1
En este caso no tenemos condición de segundo orden, puesto que dos restricciones se satisfacen
con igualdad, y sólo hay dos variables. Así, tenemos:
x∗1 =
³
p2
p1
´2
si m ≥ p22p1
m
p1
si m < p
2
2
p1
x∗2 =
(
m
p2
− p2p1 si m ≥
p22
p1
0 si m < p
2
2
p1
(c) [2 puntos] Explique claramente por qué esta persona no consumiría del bien 2 si su ingreso
fuese menor que p
2
2
p1
. ¿Acaso no lo valora?
Observe que la disposición a pagar por una unidad del bien 2 es de:
dc1
dc2
¯̄̄̄
u
=
1
TMS
=
√
x1
Si esta persona gastara todo su ingreso en el bien 1, estaría dispuesta a pagar por la primera
unidad del bien 2
q
m
p1
unidades del bien 1, lo que es menor que su costo de oportunidad si:r
m
p1
≤ p2
p1
⇔ m ≤ p
2
2
p1
.
Lo valora, pero en menos de lo que cuesta.
(d) [2 puntos] Determine si cada bien es normal, inferior, o neutro.
La respuesta depende del tramo que miremos:
∂
∂m x
∗
1 x
∗
2
m ≥ p22p1 0 (neutro) 1p2 > 0 (normal)
m <
p22
p1
1
p1
> 0 (normal) 0 (neutro)
(e) [3 puntos] Encuentre el valor del multiplicador lagrangeano. Explique, entonces, por qué a
este tipo de función de utilidad se le conoce como de “métrica monetaria”.
De (b) tenemos:
λ∗
m ≥ p22p1 1p2
m <
p22
p1
1√
mp1
Luego, en el caso de que se consuma de ambos bienes, la utilidad marginal del ingreso es
constante, y vale lo mismo que una unidad del bien 2. Luego, si el bien 2 se adopta como
unidad de cuenta, un util es un peso, lo que explica el nombre. Alternativamente, vemos que
u = x2 + 2
√
x1 =
m
p2
− x1 p1p2 + 2
√
x1, de donde vemos que la utilidad varía en proporción al
ingreso.
(f) [6 puntos] Encuentre la función de gasto mínimo C (p1, p2, u), y derive a partir de ella las
demandas compensadas (o hicksianas) por cada bien. Recuerde que el Lema de Shephard
establece que:
∂C
∂pj
= x∗∗j
Sabemos que los resultados del primal y el dual coinciden cuando se evalúa en el mismo nivel
de ingreso/utilidad. Entonces, obtenemos la función de utilidad indirecta y la invertimos:
v = u∗ = x∗2 + 2
p
x∗1
m ≥ p22p1 mp2 −
p2
p1
+ 2
r³
p2
p1
´2
= mp2 +
1
p1
p2
m <
p22
p1
0 + 2
q
m
p1
=⇒
C∗ =
m ≥ p22p1 p2u−
p22
p1
m <
p22
p1
1
4u
2p1
Luego, por Lema de Shephard, tenemos:
∂C∗
∂p1
= x∗∗1
∂C∗
∂p2
= x∗∗2
m ≥ p22p1
p22
p21
−2p2−up1p1
m <
p22
p1
1
4u
2 0
(g) [4 puntos] Verifique el cumplimiento de la ecuación de Slutzky, esto es:
∂xM1 (p1, p2,m)
∂p1
=
∂xH1 (p1, p2, u)
∂p1
− ∂x
M
1 (p1, p2,m)
∂m
xM1 (p1, p2,m)
Explique su significado.
En efecto, tenemos
∂xM1
∂p1
∂xH1
∂p1
∂xM1
∂m x
∗
1
m ≥ p22p1 −2
p22
p31
−2p22
p31
0
³
p2
p1
´2
m <
p22
p1
−m
p21
0 1p1
m
p1
En el caso de que el ingreso sea alto, el bien 1 es neutro, por lo que no existe efecto ingreso (las
demandas compensada y ordinaria coinciden). En cambio, si el ingreso es bajo, se gasta todo
el ingreso en el bien 1, por lo que el efecto total corresponde sólo al efecto ingreso..
3. Consumo Intertemporal [26 puntos]
Severo Fierro es una persona ordenada, inflexible, incluso algo neurótica según algunos. Inde-
pendientemente de si eso es cierto o no, Severo cree en el balance, en el equilibrio, y se ha impuesto
la disciplina de no consumir hoy un peso adicional si no puede garantizarse a sí mismo que podrá
también hacerlo en el futuro. De este modo, su comportamiento de consumo intertemporal se puede
representar por medio de la siguientefunción de utilidad:
u(c1, c2) = min {c1, c2}
donde c1 es consumo presente y c2 consumo futuro. Siendo también un hombre imaginativo y de
visión, tiene tres proyectos de inversión independientes e indivisibles en carpeta, como se indica en
la siguiente tabla:
Proyecto Inversión Retorno
α 10 20
β 10 10
γ 20 30
Severo, por otro lado, tiene una dotación de (c1, c2) = (200, 0) , y no tiene acceso al mercado de
crédito.
(a) [5 puntos] Caracterice su conjunto de posibilidades de consumo. Sea extremadamente cuida-
doso(a) al indicar qué puntos de la frontera pertenecen y cuáles no pertenecen al conjunto.
.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200x
El conjunto es toda el área rodeada por la línea gruesa. El conjunto contiene a toda su frontera.
(b) [2 puntos] Verifique que Severo podría escoger un perfil de consumo como (c∗1, c∗2) = (60, 60).
Cualquiera de los puntos entre (60, 60) y (160, 60) le da la misma utilidad: en esa recta,
min {x, 60} = 60. El punto del vértice es, entonces, una elección consistente con esa función de
utilidad.
(c) [5 puntos] Lo anterior significa que Severo desperdiciaría hasta 100 unidades de consumo en el
presente, lo que ha llevado a sus críticos a tildarlo de “irracional”. Existen diversos sentidos
que se le pueden atribuir a la palabra irracional. Por ejemplo, fallar el Axioma de Transitividad,
o bien fallar el Axioma 0. Explique qué significa ser irracional en ambos casos. ¿Es Severo una
persona irracional en el sentido del Axioma de Transitividad? ¿Y en el sentido del Axioma 0?
En el punto (60, 60) Severo considera tanto al consumo presente como al futuro localmente
neutros, de manera que no consumir de alguno de ellos no afecta su utilidad. Más aún, siendo
su comportamiento compatible con la maximización de alguna función de utilidad, sus prefer-
encias deben satisfacer reflexividad, completitud, transitividad y continuidad. Sin embargo, el
cumplimiento del axioma 0 es imposible de verificar a partir del comportamiento, puesto que se
refiere a una sensación interior; en cambio, su violación se manifiesta en el arrepentimiento no
ocasionado por la ignorancia.
(d) [6 puntos] No obstante lo anterior, es indudable que el comportamiento de Severo escapa a lo
normal. Su amigo Miope Apuretti, por otro lado, tiene la siguiente preferencia:
(bc1,bc2) Â (ec1,ec2)⇔
{bc1 > ec1} ó {bc1 = ec1 y bc2 > ec2}
i. ¿Qué haría Miope si estuviese en el lugar de Severo?
La preferencia descrita es lexicográfica: Miope consumirá todo lo que pueda en el presente,
y solamente si tiene que escoger entre posibilidades que no involucran un sacrificio de con-
sumo presente, escogerá lo más posible de consumo futuro. En el conjunto de posibilidades
decrito en (a), su elección es el punto (200, 0) .
ii. ¿Es irracional Miope en alguno de los sentidos mencionados en (c)?
La preferencia lexicográfica satisface transitividad, por lo que no es irracional en ese sentido.
Respecto del axioma 0, ya se dijo que no es comprobable por medio de la mera observación
del comportamiento.
(e) [5 puntos] Suponga en cambio que se abre un mercado de crédito, en donde se puede prestar o
pedir prestado a la tasa de r = 10%.
i. Determine el nuevo conjunto de posibilidades de consumo.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
150155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220x
El nivel óptimo de inversión es 30, gastado en los dos proyectos más rentables: α (cuya TIR
es de 100%) y γ (cuya TIR es de 50%). El proyecto β tiene una TIR de 0%, que es menor
que la tasa de interés. Luego, el conjunto de posibilidades de consumo está descrito por:
c2 ≤ 1.1
µ
−30 + 50
1.1
+ 200
¶
− 1.1c1 = 237− 1.1c1
c1, c2 ≥ 0
ii. ¿Qué hará Severo en esta nueva situación? ¿Desechará algo de consumo en alguna fecha?
La elección de Severo (que ocurre ahora sin indiferencia) resuelve:
c2 = 237− 1110c1
c2 = c1
⇒ c∗1 =
790
7
≈ 112. 86 = c∗2
Para conseguir este perfil de consumo, ahorra
¡
200− 30− 7907
¢
= 4007 ≈ 57. 143 : en t = 1,
ahorro que se transforma en 4007 ∗ 1110 = 4407 ≈ 62. 857 : en t = 2, lo que agregado al retorno
de la inversión de 50 constituye el consumo deseado. Como ahora el costo de oportunidad
de consumir en cualquier fecha es positivo (a diferencia de la situación anterior), ahora no
desecha ningún bien.
iii. ¿Qué haría Miope si estuviera en los zapatos de Severo?
Miope, en cambio, escogería c∗1 =
237
1.1 . Esto es, haría los mismos proyectos, y se endeudaría
contra su retorno, obteniendo un total de 200− 30 + 50 ∗ 1011 = 2371.1 ≈ 215. 45.
(f) [3 puntos] Imagine que, finalmente, Miope y Severo llegan a viejos, y se juntan en su bar fa-
vorito a conversar sobre sus experiencias. Miope, muerto de sed y envidiando con toda su alma
la cerveza que Severo toma, le confiesa que se arrepiente de haber actuado de la manera que lo
hizo, con total descuido por su futuro. Severo, a propósito, es economista; quizás por eso le dice
con toda seguridad: “no te creo”. ¿Es acaso Severo un fiel devoto del Axioma 0? Suponga que
Miope actuó y habló honestamente siempre; ¿es su comportamiento compatible con el Axioma 0?
Bajo el Axioma 0, el bienestar y la utilidad son la misma cosa, de manera que bajo ninguna
circunstancia puede la persona actuar en contra de su bienestar. Eso lleva a Severo a dudar
de lo que Miope declara. El único arrepentimiento posible es el originado en la ignorancia (me
arrepiento de no haber comprado el boleto de la lotería ganador, pero como en el momento de
la compra ignoraba cuál era, no podría haberlo escogido). Luego, si Miope honestamente se
arrepiente, reconoce que actuó en contra de su bienestar, lo que contradice al Axioma 0.
Microeconomía I
EAE 210 B
Segundo Semestre de 2004
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Eugenio Camus
Gabriela Gurovich
Segunda Prueba
Tiempo Total: 80 minutos
Puntaje Total: 80 puntos
Importante:
• Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz grafito, pierde el derecho a recorrección.
• Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
• Las respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
Formulario
(1) Descomposición de Slutzky: ∂x
M
i
∂pj
=
∂xHi
∂pj
− ∂xMi∂m xj i, j = 1, 2.
(2) Agregación de Engel: 1 = p1
∂xM1
∂m + p2
∂xM2
∂m
(3) Agregación de Cournot: −xi = p1 ∂x
M
1
∂pi
+ p2
∂xM2
∂pi
i = 1, 2.
(4) Simetría de Hicks: ∂x
H
1
∂p2
=
∂xH2
∂p1
(5) Identidad de Roy: xMi = −
∂v(p1,p2,m)
∂pi
∂v(p1,p2,m)
∂m
i = 1, 2.
(6) Lema de Shephard: xHi =
∂C(p1,p2,u)
∂pi
i = 1, 2.
Homogeneidad de grado cero de las demandas:
(7) Demanda ordinaria: ∂x
M
i
∂p1
p1 +
∂xMi
∂p2
p2 +
∂xMi
∂m m = 0 i = 1, 2.
(8) Demanda compensada: ∂x
H
i
∂p1
p1 +
∂xHi
∂p2
p2 = 0 i = 1, 2.
(9) Función de costo o gasto min: C (p1, p2, u) = min{x1,x2,γ} [x1p1 + x2p2 + γ [u− u (x1, x2)]]
(10) Función de utilidad indirecta: v (p1, p2,m) = max{x1,x2,λ} [u (x1, x2) + λ [m− x1p1 + x2p2]]
(11) Elasticidad insumo-producto εq,L =
∂q
∂L
L
q =
PMgL
PMeL
(12) Elasticidad producto total εPT = (εq,L + εq,K)
(13) Elasticidad costo total εCT = ∆%CT∆%q =
∂C∗
∂q
q
C∗ =
CMg
CMe
1. Preguntas cortas [22 puntos]
(a) [10 puntos] ¿Bajo qué circunstancias es razonable predecir que un mercado se estabilizará en
un equilibrio walrasiano? En particular:
i. ¿Se requiere un gran número de participantes en el mercado?
ii. ¿Se requiere que a precios mayores al de equilibrio haya un exceso de oferta, y a precios
inferiores un exceso de demanda?
(b) [12 puntos] El consumidor α compró la canasta (x1, x2) = (1, 9) cuando los precios eran
(p1, p2) = (1, 1), y la canasta (5, 6) cuando los precios fueron (2, 1). En cambio, el consumidor
β compró en el primer caso la canasta (7, 3), y la (7, 2) en el segundo.
i. ¿Son compatibles esas decisiones con la hipótesis de la maximización de (alguna función de)
utilidad? Esto es, satisfacen los axiomas fuerte y débil de preferencias reveladas? Explique
claramente.
ii. Considere a α y a β como miembros del grupo "consumidores". ¿Es coherente el compor-
tamiento del grupo de consumidorescon los axiomas fuerte y débil de preferencias reveladas?
Discuta.
2. Bienestar del consumidor [32 puntos]
Considere el caso de un consumidor con función de utilidad indirecta:
v (p1, p2,m) =
0, 20,20, 80,8m
p0,21 p
0,8
2
=
km
p0,21 p
0,8
2
,
donde k = 154
4
5 . Su ingreso es de m = 100, e incialmente enfrenta los precios p1 = 1 y p2 = 2. El
gobierno estudia la posibilidad de regular ciertos aspectos de la producción del bien 1 (en particular,
la contaminación que genera) pero está preocupado por el daño que la consecuente alza en el precio
tendría sobre los consumidores. De aprobarse la regulación en estudio, el precio del bien 1 subiría a
2. Hay 100 consumidores del bien 1, todos iguales al consumidor descrito arriba.
Las siguientes preguntas se refieren a un consumidor individual:
(a) [3 puntos] Encuentre su demanda por el bien 1.
(b) [1 punto] ¿Qué pasaría con la cantidad demandada del bien 1 si el precio subiera de 1 a 2?
(c) [5 puntos] Si el gobierno lo quisiera compensar por el aumento en el precio causado por la
regulación, ¿cuánto tendría que pagarle?
(d) [5 puntos] Por su parte, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar el consumidor para evitar que la
regulación no se aprobara?
(e) [3 puntos] Calcule la variación del excedente del consumidor marshalliano.
(f) [5 puntos] Comente sobre el origen de la diferencia entre sus respuestas a (c) y a (d).
(g) [10 puntos] Suponga, en cambio, que Ud. no conoce la función de utilidad indirecta ni las
demandas, sino solamente sabe que las cantidades demandadas a los precios de 1 y de 2 son las
que calculó en (b), y que de disponer de $1 adicional de ingreso, el consumidor compraría 410
unidades más del bien 2 . Intente una aproximación a (c), (d) y (e). (por ejemplo, suponiendo
que las demandas son lineales). Explique claramente su procedimiento.
3. Demanda incierta [26 puntos]
Considere el caso de un empresario que debe escoger entre dos tecnologías para la fabricación de
un producto, el que vende en un mercado perfectamente competitivo. La tecnología A requiere una
inversión fuerte, pero permite producir con costos marginales más bajos que la B. En particular,
las funciones de costo (incluyendo la inversión) asociadas a ambas tecnologías son las siguientes:
CA (q) = 10000 + 20q +
1
2
q2
CB (q) = 10 + 20q + 2q
2
(a) [10 puntos] Calcule el precio de venta del producto p a partir del cual al empresario le conviene
escoger la tecnología A. Compruebe entonces, que al precio de p = 100 preferiría la B, mientras
que al precio de p = 200 preferiría la A.
(b) [10 puntos] El problema de decisión se complica por el hecho de que la tecnología debe ser
escogida antes de saber si la demanda será alta (p = 200) o baja (p = 100) [pero no la cantidad,
que sigue pudiendo escogerse después de conocer el precio de venta]. Si el empresario tuviera
una riqueza inicial de 7000 y fuera neutral al riesgo, ¿cuál es la mínima probabilidad que debiera
asociarle al estado de la naturaleza en que la demanda es alta para preferir la tecnología A?
(c) [6 puntos] Suponga, en cambio, que hay dos empresarios aversos al riesgo, idénticos entre ellos
en cuanto a riqueza y posibilidades. Uno de ellos optó por A y el otro por B (donde sus
diferentes decisiones se explican por las diferentes probabilidades que le asocian a cada evento).
¿Existe algún algún acuerdo que ambos pudieran suscribir, bajo el cual cada uno de ellos se
compromete a mandarle un cheque al otro en estados distintos, y que deje a ambos en una
posición libre de riesgo? Explique claramente.
Pauta
AL USAR LA PAUTA, TENGA PRESENTE QUE:
És sólo una pauta. Cada respuesta que aquí se ofrece no es la única respuesta correcta. Por otro
lado, no se espera que las respuestas que Ud. dió en la prueba tengan esta extensión. A veces estas
respuestas son demasiado abundantes, y otras demasiado escuetas.
1. Preguntas cortas
(a) ¿Bajo qué circunstancias es razonable predecir que un mercado se estabilizará en un equilibrio
walrasiano? En particular:
El equilibrio walrasiano es la noción apropiada cuando el mercado opera bajo competencia
perfecta, esto es, cuando la competencia entre compradores y vendedores es tan fuerte que
ninguno tiene poder de negociación, enfretando en consecuencia ofertas y demandas perfecta-
mente elásticas.
i. ¿Se requiere un gran número de participantes en el mercado?
No. Por ejemplo, en una situación como la descrita en clases, con 2 compradores idéndicos
y un vendedor es posible que ninguno tenga poder de negociación.
ii. ¿Se requiere que a precios mayores al de equilibrio haya un exceso de oferta, y a precios
inferiores un exceso de demanda?
No. Por ejemplo, si la demanda tuviese una pendiente positiva y menor que la de la
oferta, entonces sobre el precio de equilibrio habrían excesos de demanda. Sin embargo,
hacia la derecha de la cantidad de equilibrio no existen beneficios potenciales del intercam-
bio, de manera que debiéramos considerar al equilibrio walrasiano como el estado de reposo
del sistema ("equilibrio marshalliano").
(b) El consumidor α compró la canasta (x1, x2) = (1, 9) cuando los precios eran (p1, p2) = (1, 1),
y la canasta (5, 6) cuando los precios fueron (2, 1). En cambio, el consumidor β compró en el
primer caso la canasta (7, 3), y la (7, 2) en el segundo.
i. ¿Son compatibles esas decisiones con la hipótesis de la maximización de (alguna función de)
utilidad? Esto es, satisfacen los axiomas fuerte y débil de preferencias reveladas? Explique
claramente.
Sí. Para verlo, construimos a partir de los datos entregados matrices indicando el valor de
cada canasta en cada circunstancia:
Alfa
x y Px Py Precios/Canasta A B
A 1 9 1 1 A 10 11
B 5 6 2 1 B 11 16
Beta
x y Px Py Precios/Canasta A B
A 7 3 1 1 A 10 9
B 7 2 2 1 B 17 16
Observe que cuando la canasta A es escogida por α, B no es alcanzable, de manera que no
hay manera de que las decisiones de α contradigan cualquiera de los axiomas de preferencias
reveladas. Similarmente, cuando β escoge la canasta B, la A es inalcanzable.
ii. Considere a α y a β como miembros del grupo "consumidores". ¿Es coherente el compor-
tamiento del grupo de consumidores con los axiomas fuerte y débil de preferencias reveladas?
Discuta.
No lo es. En efecto, tenemos:
Grupo
x y Px Py Precios/Canasta A B
A 8 12 1 1 A 20 20
B 12 8 2 1 B 28 32
Observe que cuando el grupo escogió A, B era alcanzable, de manera que A
d B; pero
cuando B se escogió, A también era alcanzable, esto es B
d A, lo que contradice ambos
axiomas de preferencias reveladas.
Este ejemplo ilustra el resultado de que aún cuando todos los individuos se comporten de
manera coherente con algún objetivo (racionalmente), el comportamiento grupal general-
mente no lo es. La causa en este caso son los efectos ingreso. En el cambio de la situación
A a la B, el consumidor α mejora su posición (aumenta su poder de compra), mientras el
β la ve empeorar. Esta redistribución de la riqueza reordena las demandas, generando la
incoherencia.
(Observe que esta redistribución ocurre aún cuando ambos tienen el mismo ingreso nominal.
¿Por qué?)
2. Bienestar del consumidor
Considere el caso de un consumidor con función de utilidad indirecta:
v (p1, p2,m) =
0, 20,20, 80,8m
p0,21 p
0,8
2
=
km
p0,21 p
0,8
2
,
donde k = 154
4
5 . Su ingreso es de m = 100, e incialmente enfrenta los precios p1 = 1 y p2 = 2. El
gobierno estudia la posibilidad de regular ciertos aspectos de la producción del bien 1 (en particular,
la contaminación que genera) pero está preocupado por el daño que la consecuente alza en el precio
tendría sobre los consumidores. De aprobarse la regulación en estudio, el precio del bien 1 subiría a
2. Hay 100 consumidores del bien 1, todos iguales al consumidor descrito arriba.
Las siguientes preguntas se refieren a un consumidor individual:
(a) Encuentre su demanda por el bien 1.
Por (5) tenemos:
xM1 = −
∂
∂p1
³
km
p0.21 p
0.8
2
´
∂
∂m
³
km
p0.21 p
0.8
2
´ = 0.2m
p1
(b) ¿Qué pasaría con la cantidad demandada del bien 1 si el precio subiera de 1 a 2?La cantidad demandada pasa de 0.21001 = 20 a 0.2
100
2 = 10.
(c) Si el gobierno lo quisiera compensar por el aumento en el precio causado por la regulación,
¿cuánto tendría que pagarle?
La variación compensatoria (el cambio ocurre, pero lo deja como si no), esto es, C (p1 = 2, p2 = 2, u0)−
C (p1 = 1, p2 = 2, u0) . Es necesario calcular u0, que lo obtenemos de evaluar la función de util-
idad indirecta en la situación inicial:
v (p1, p2,m) =
1
54
4
5m
p0,21 p
0,8
2
=
1
54
4
5 100
1
2
10 2
8
10
= 10
5
√
24
4
5
= 34. 822
Entonces tenemos:
4C = 2
2
10 2
8
10 10 5
√
24
4
5
1
54
4
5
− 1
2
10 2
8
10 10 5
√
24
4
5
1
54
4
5
= 100
5
√
2− 100 = 14. 870
(d) Por su parte, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar el consumidor para evitar que la regulación no
se aprobara?
La variación equivalente (el cambio no ocurre, pero queda como si sí), esto es, C (p1 = 2, p2 = 2, u1)−
C (p1 = 1, p2 = 2, u1) . Es necesario calcular u1, que lo obtenemos de evaluar la función de util-
idad indirecta en la situación final:
v (p1, p2,m) =
1
54
4
5m
p0,21 p
0,8
2
=
1
54
4
5 100
2
2
10 2
8
10
= 10× 4 45
= 30. 314
Entonces tenemos:
4C = 2
2
10 2
8
10 10× 4 45
1
54
4
5
− 1
2
10 2
8
10 10× 4 45
1
54
4
5
= 100− 50× 2 45 = 12. 945
(e) Calcule la variación del excedente del consumidor marshalliano.
Tenemos: Z 2
1
1
5100
p
dp = 20 ln p|21 = 20 ln 2 = 13. 863
(f) Comente sobre el origen de la diferencia entre sus respuestas a (c) y a (d).
El origen está en el efecto ingreso. En efecto, tenemos que el bien 1 es normal (como se
desprende de que la cantidad demandada crezca en el ingreso), y que, al ser negativo el cambio,
su disposición a pagar cae después de ocurrido por su mayor pobreza.
(g) Suponga, en cambio, que Ud. no conoce la función de utilidad indirecta ni las demandas, sino
solamente sabe que las cantidades demandadas a los precios de 1 y de 2 son las que calculó en
(b), y que de disponer de $1 adicional de ingreso, el consumidor compraría 0, 4 unidades más del
bien 2 . Intente una aproximación a (c), (d) y (e). (por ejemplo, suponiendo que las demandas
son lineales). Explique claramente su procedimiento.
Supongamos que las demandas son lineales. Entonces, para calcular la VC es necesario en-
contrar el punto x, para lo cual necesitamos conocer la pendiente de la demanda hicksiana
asociada a u0. Similarmente, para calcular la VE necesitamos encontrar el punto y, para lo que
necesitamos la pendiente de la demanda hicksiana asociada a u1
M
H(u0)
2010
1
2
H(u1)
y x
M
H(u0)
2010
1
2
H(u1)
y x
Sabemos que ∂x
M
1
∂p1
= 10−202−1 = −10 y que
∂xM2
∂m = 0, 4.
Por (2),
1 = 1 ∗ ∂x
M
1
∂m
+ 2 ∗ 0.4⇒ ∂x
M
1
∂m
= 0, 2
Por (1) aplicada al bien 1 en la situación inicial,
−10 = ∂x
H
1
∂p1
− 0.2 ∗ 20⇒ ∂x
H
1
∂p1
= −6
Entonces:
−6 = x− 20
2− 1 ⇒ x = 14
Por (1) aplicada al bien 1 en la situación final,
−10 = ∂x
H
1
∂p1
− 0.2 ∗ 10⇒ ∂x
H
1
∂p1
= −8
Entonces:
−8 = 10− y
2− 1 ⇒ y = 18
(Observe que el dibujo está mal, en el sentido que supone x > y). Calculamos las áreas que
corresponden a las variaciones:
V C = 14 ∗ 1 + 1
2
∗ 1 ∗ (20− 14) = 17
V E = 10 ∗ 1 + 1
2
∗ 1 ∗ (18− 10) = 14
V ECM = 10 ∗ 1 + 1
2
∗ 1 ∗ (20− 10) = 15
3. Demanda incierta [26 puntos]
Considere el caso de un empresario que debe escoger entre dos tecnologías para la fabricación de un
producto, el que vende en un mercado perfectamente competitivo. La tecnología A requiere una
inversión fuerte, pero permite producir con costos marginales más bajos que la B. En particulas,
las funciones de costo (incluyendo la inversión) asociadas a ambas tecnologías son las siguientes:
CA (q) = 10000 + 20q +
1
2
q2
CB (q) = 10 + 20q + 2q
2
(a) Calcule el precio de venta del producto p a partir del cual al empresario le conviene escoger la
tecnología A. Compruebe entonces, que al precio de p = 100 preferiría a la B, mientras que al
precio de p = 200 preferiría la A.
Si p es conocido, bajo A escogería (a ser tomado con precaución: observe que hemos descuidado
CSO y de máximo global, por lo que lo que sigue no es cierto para todo p):
q∗A = p− 20 = argmax{q} pq −
µ
10000 + 20q +
1
2
q2
¶
obteniendo:
πA =
1
2
p2 − 20p− 9800
Bajo B, en cambio:
q∗B =
1
4
p− 5 = argmax
{q}
pq − ¡10 + 20q + 2q2¢
obteniendo:
πB =
1
8
p2 − 5p+ 40
La utilidad bajo A es mayor cuando:
πA ≥ πB
⇔ 1
2
p2 − 20p− 9800 ≥ 1
8
p2 − 5p+ 40
⇒ p ≥ 12
√
185 + 22 = 183. 22
(b) El problema de decisión se complica por el hecho de que la tecnología (pero no la cantidad, que
sigue pudiendo escogerse después de conocer el precio) debe ser escogida antes de saber si la
demanda será alta (p = 200) o baja (p = 100) . Si el empresario tuviera una riqueza inicial de
7000 y fuera neutral al riesgo, ¿cuál es la mínima probabilidad que debiera asociarle al estado
de la naturaleza en que la demanda alta para preferir la tecnología A?
Evaluando, tenemos que las utilidades serían:
π A B
p = 100 −6800 790
p = 200 6200 4040
Entonces, su consumo (7000 + π) sería de:
c A B
p = 100 200 7790
p = 200 13200 11040
Si es neutral al riesgo, u (c) = c. Luego:
(1− x) (200) + x (13200) ≥ (1− x) (7790) + x (11040)
⇔ x ≥ 253
325
= 0.778 46
(c) Suponga, en cambio, que hay dos empresarios aversos al riesgo, idénticos entre ellos en cuanto
a riqueza y posibilidades. Uno de ellos optó por A y el otro por B (donde sus diferentes
decisiones se explican por las diferentes probabilidades que le asocian a cada evento). ¿Existe
algún algún acuerdo que ambos pudieran suscribir, bajo el cual cada uno de ellos se compromete
a mandarle un cheque al otro en estados distintos, y que deje a ambos en una posición libre de
riesgo? Explique claramente.: :
No es posible, puesto que las "dotaciones" de ambos están al mismo lado de la línea de certeza.
Microeconomía I
EAE 210 B
Segundo Semestre de 2004
Profesor: Felipe Zurita
Ayudantes: Eugenio Camus
Gabriela Gurovich
Examen Final
Tiempo Total: 120 minutos
Puntaje Total: 120 puntos + 30 de bono
Importante:
² Si escribe todas o una parte de sus respuestas con lápiz gra…to, pierde el derecho a recorrección.
² Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
² Las respuestas deben ir en grupos separados de hojas.
Formulario
(1) Descomposición de Slutzky: ∂x
M
i
∂pj =
∂xHi
∂pj ¡
∂xMi
∂m xj i, j = 1,2.
(2) Agregación de Engel: 1 = p1
∂xM1
∂m + p2
∂xM2
∂m
(3) Agregación de Cournot: ¡xi = p1 ∂x
M
1
∂pi
+ p2∂x
M
2
∂pi
i = 1, 2.
(4) Simetría de Hicks: ∂x
H
1
∂p2
= ∂x
H
2
∂p1
(5) Identidad de Roy: xMi = ¡
∂v(p1 ,p2,m)
∂pi
∂v(p1 ,p2,m)
∂m
i = 1, 2.
(6) Lema de Shephard: xHi =
∂C(p1,p2 ,u)
∂pi
i = 1, 2.
Homogeneidad de grado cero de las demandas:
(7) Demanda ordinaria: ∂x
M
i
∂p1 p1 +
∂xMi
∂p2 p2 +
∂xMi
∂m m = 0 i = 1, 2.
(8) Demanda compensada: ∂x
H
i
∂p1
p1 +
∂xHi
∂p2
p2 = 0 i = 1, 2.
(9) Función de costo o gasto min: C (p1, p2,u) = minfx1,x2,γg [x1p1 + x2p2 + γ [u ¡ u(x1,x2)]]
(10) Función de utilidad indirecta: v (p1, p2,m) = maxfx1 ,x2 ,λg [u (x1, x2) + λ [m ¡x1p1 +x2p2]]
(11) Elasticidad insumo-producto εq,L = ∂q∂L
L
q =
PMgL
PMeL
(12) Elasticidad producto total εPT = (εq,L + εq,K)
(13) Elasticidad costo total εCT = ¢%CT¢%q =
∂C¤
∂q
q
C¤ =
CMg
CMe
1. Producción [30 puntos + 5 de bono]
Un empresario cuyo único objetivo es el lucro posee la tecnología q ·
p
TL para fabricar cosos,
donde L es trabajo (medido en días por mes), T es el tamaño de la planta (medido en metros cuadra-
dos), y q es el número de unidades producidas de cosos por mes. El mercado laboral es ‡exible, de
manera que se puede alterar L casi de manera inmediata. En cambio, toma varios meses cambiar el
tamaño de planta. Los precios de insumos y producto son, respectivamente, wL, wT y P.
(a) [10 puntos] Suponga que el empresario compra los insumos en mercados perfectamente com-
petitivos. Compruebe que las funciones de costos de corto y largo plazos son, respectivamente,
C (q, wT ,wL, T) = wT T +
wL
T
q2
C (q, wT ,wL) = (2
p
wLwT ) q
(b) [10 puntos] Suponga además que el empresario vende el producto en un mercado perfectamentecompetitivo, y que los precios de los insumos son wT = 4.900 y wL = 10.000. Encuentre sus
funciones de oferta de corto y largo plazos. Explique.
En lo que sigue, considere sólo los costos de largo plazo:
(c) [5 puntos] Suponga, en cambio, que el empresario es un monopolista en el mercado de cosos
(por "pura suerte"), y enfrenta la demanda:
P = 80.000 ¡ 1
20
Q.
¿Qué precio de venta …jará?
(d) Suponga, en cambio, que existen dos empresarios en el mercado. Ambos cuentan con la misma
tecnología, pero uno de ellos le arrienda la planta a su papá con un descuento 1349 del precio de
mercado.
i. [5 puntos] Determine el equilibrio de Bertrand de este mercado.
ii. [BONO: 5 puntos] Comente sobre la e…ciencia de ese equilibrio.
2. Consumo [30 puntos]
(a) [5 puntos] Explique en qué consiste el problema del consumidor.
(b) [5 puntos] ¿Qué debe cumplirse para que podamos medir su bienestar a partir de su compor-
tamiento?
(c) [5 puntos] Explique qué son la Variación Compensatoria y la Variación Equivalente.
(d) [15 puntos] Escoja 2 de las primeras 8 ecuaciones de la primera página. Demuéstrelas, y explique
su signi…cado.
3. La propina [30 puntos + 5 de bono]
Un cliente hambriento entra a un restorán en busca de buena comida y buena atención. Un mozo un
tanto ‡ojo quisiera descansar y recibir buenas propinas. El cliente puede dejar una propina generosa
(G) o miserable (M). El mozo puede brindar una atención excelente (E) o lamentable (L). Sus
preferencias se expresan en las siguientes jerarquías:
(a1, a2) Cliente (jugador 1) Mozo (jugador 2)
GE 2± 2±
GL 4± 1±
ME 1± 4±
ML 3± 3±
(a) [3 puntos] Construya dos funciones de utilidad, una para el cliente y otra para el mozo, que
representen sus respectivas preferencias.
(b) [3 puntos] Explique por qué ambas pueden, de hecho, ser representadas por muchas otras
funciones de utilidad. ¿Cuáles?
(c) [5 puntos] Construya una matriz de pagos que represente al juego estratégico en que ambos
jugadores toman sus decisiones de manera simultánea. Utilice las funciones de utilidad que
construyó en (a), llame al cliente "jugador 1" y al mozo "jugador 2", y ubique al jugador 1 de
manera que escoja …las y al 2 de forma que escoja columnas en la matriz.
(d) [2 puntos] Encuentre todos los per…les de acciones (a1, a2) e…cientes. Explique.
(e) [2 puntos] Encuentre todos los equilibrios de Nash. Explique. En particular, ¿por qué no es
de equilibrio tener una atención excelente y dejar una propina generosa?
(f) [6 puntos] Suponga que el mozo mueve primero, esto es, el cliente escoge qué propina dar des-
pués de ver cómo lo atendió el mozo. ¿Cambia esto la conclusión anterior? Es decir, ¿toman
decisiones distintas los jugadores en el equilibrio perfecto en subjuegos de este juego dinámico
que en el equilibrio de Nash encontrado en (e)?
(g) [9 puntos] ¿Cambiaría su conclusión si el juego se repitiera in…nitamente? En particular,
suponga que el cliente vuelve al restorán con probabilidad π, que existen n mozos en el restorán
de manera que la probabilidad de toparse con el mismo es 1n, y que la función de utilidad de
cada jugador es de la forma:
Ui = (1 ¡ δ)
1X
t=0
δtuit
donde δ es la probabilidad de jugar nuevamente el mismo juego, con el mismo mozo, en la ronda
siguiente, esto es δ = πn.
i. ¿Para qué valores de δ se puede conseguir en un equilibrio de Nash del juego repetido
in…nitas veces que el mozo brinde una atención excelente (E) y que el cliente deje una
propina generosa (G)?
ii. Explique, entonces, por qué ese comportamiento es más probable en pueblos chicos y con
restoranes pequeños.
(h) [BONO: 5 puntos] Suponga, en cambio, que cada ronda corresponde a lo que ocurre en una
generación. Existe en cada ronda un grupo de mozos interactuando con un grupo de clientes.
Todos viven sólo un período, pero sus hijos y los hijos de sus hijos, etc., juegan eternamente
el mismo juego. ¿Qué ocurriría si en una generación se produce una mutación, de acuerdo a
la cual mozos y clientes valoran la reciprocidad? Esto es, los clientes gozan siendo generosos
con mozos que atienden bien, y gozan castigando con propinas miserables a los que no, y por
otro lado los mozos gozan atendiendo bien a clientes generosos, y atendiendo mal a clientes
tacaños. Sin realizar cálculo alguno, ¿qué podría decir sobre las posibilidades de sobrevivencia
(o estabilidad evolutiva) de estrategias como estas?
4. Competencia, equilibrio y e…ciencia [30 puntos]
Considere una economía de intercambio (esto es, sin producción) compuesta de dos personas, A
y B, que valoran el consumo de dos bienes, x1 y x2. A tiene 200 unidades del bien 1 y 600 del bien
2; B tiene 600 unidades del bien 1 y 600 del 2. Ambos tienen preferencias representables por medio
de la función de utilidad:
u (x1, x2) = min fx1,x2g
(a) [5 puntos] Encuentre el conjunto de mejoras paretianas respecto de la dotación inicial. Ilústrelo
en una caja de Edgeworth. Explique.
(b) [5 puntos] Encuentre el conjunto de asignaciones e…cientes. Ilústrelo en una caja de Edgeworth.
Explique.
(c) [2 puntos] De acuerdo al Primer Teorema del Bienestar, ¿qué asignaciones no se pueden con-
seguir en un equilibrio walrasiano?
(d) [10 puntos] Encuentre el conjunto de equilibrios walrasianos (Ayuda: son muchos equilibrios;
el camino del razonamiento debiera ser superior al del cálculo mecánico para encontrarlos).
Ilústrelo en una caja de Edgeworth. Explique.
(e) [5 puntos] ¿Tiene sentido usar al equilibrio walrasiano como noción de equilibrio en este con-
texto?
(f) [3 puntos] Si en lugar de transar en mercados anónimos a precios dados, A le hiciera una oferta a
B del estilo "tómalo o déjalo", y si B tuviera buenas razones para creer que no hay posibilidades
de futuras negociaciones, ¿cuál cree que será el resultado? Es decir, ¿qué oferta hará A? ¿La
aceptará B?
5. Más e…ciencia [BONO: 20 puntos]
Una sociedad de dos personas debe tomar una decisión colectiva, escogiendo un valor para x dentro
del intervalo cerrado X = [0, 15]. Si gusta, puede pensar en x como un bien público. Por ejemplo,
x puede ser el número de hectáreas de parques que se desea construir en una comuna, o el número de
horas por día que dos vecinos contratan conjuntamente de patrullaje de una empresa de seguridad.
Lo importante es que sólo pueden escoger un valor para x. Todos los bene…cios y costos de cada
posibilidad para cada individuo están resumidos en sus respectivas funciones de utilidad, u1 (x) y
u2 (x), respectivamente, según se muestra en el siguiente dibujo:
x
u
( )1u x
( )2u x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x
u
( )1u x
( )2u x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Determine el conjunto de asignaciones e…cientes (u óptimas en el sentido de Pareto). Explique
claramente su razonamiento.
Pauta
AL USAR LA PAUTA, TENGA PRESENTE QUE:
És sólo una pauta. Cada respuesta que aquí se ofrece no es la única respuesta correcta. Por otro
lado, no se espera que las respuestas que Ud. dió en la prueba tengan esta extensión. A veces estas
respuestas son demasiado abundantes, y otras demasiado escuetas.
1. Producción [30 puntos + 5 de bono]
Un empresario cuyo único objetivo es el lucro posee la tecnología q ·
p
TL para fabricar cosos,
donde L es trabajo (medido en días por mes), T es el tamaño de la planta (medido en metros cuadra-
dos), y q es el número de unidades producidas de cosos por mes. El mercado laboral es ‡exible, de
manera que se puede alterar L casi de manera inmediata. En cambio, toma varios meses cambiar el
tamaño de planta. Los precios de insumos y producto son, respectivamente, wL, wT y P.
(a) [10 puntos] Suponga que el empresario compra los insumos en mercados perfectamente com-
petitivos. Compruebe que las funciones de costos de corto y largo plazos son, respectivamente,
C (q, wT ,wL, T) = wT T +
wL
T
q2
C (q, wT ,wL) = (2
p
wLwT ) q
Independientemente del plazo, es claro que no conviene producir por debajo de la frontera,
de manera que q =
p
TL, .
En el corto plazo: T …jo implica L = q
2T , de manera que C (q, wT ,wL, T) = wTT + wL
q2
T .
En el largo plazo: el problema
min
L,T
wLL +wTT + λ
³p
TL ¡ q
´
tiene las CPO:
wL
wT
=
p
T
2
p
Lp
L
2
p
T
= T
L
p
TL = q
Reemplazando:
q =
r
wL
wT
L2 = L
r
wL
wT
) L¤ = q
r
wT
wL
T ¤ =
wL
wT
L¤ =
wL
wT
q
r
wT
wL
) T ¤ = q
r
wL
wT
C (q,wT, wL) = wL
µ
q
r
wT
wL
¶
+wT
µ
q
r
wL
wT
¶
= q (2
p
wLwT )
Por otro lado, sabemos que las CSO se satisfacen toda vez que la función de producción es
cuasicóncava.
(b) [10 puntos] Suponga además que el empresario vende el producto en un mercado perfectamente
competitivo, y que los precios de los insumos son wT = 4.900 y wL = 10.000. Encuentre sus
funciones de oferta de corto y largo plazos. Explique.
En el corto plazo tiene rendimientos decrecientes, por lo que su oferta es el CMg en aquél
tramo en que el precio supere al CMe mínimo. Calculamos:
C (q) = 4900T +10000
q2
T
CMg = 20000
T
q
CMe =
4900T
q + 10000
q
T
Para encontrar el CMe mínimo:
CMe = CMg
20000
T
q =
4900T
q
+ 10000
q
T
eq = 710T
min CMe =
20000
T
7
10
T = 14 000
Luego, la oferta de corto plazo cuando tiene una capacidad instalada de T es:
q¤ (P) =
½
0 si P < 14.000
1
20000PT si P > 14.000
En el largo plazo,
C (q) = 2
p
4900 ¤ 10000q = 14000q
por lo que el CMe y el CMg son constantes (esto ocurre por los rendimientos constantes a escala
que se desprenden de la homogeneidad de grado 1 de la función de producción). Luego, la
oferta de largo plazo es:
q¤ (P) =
8
<
:
0 si P < 14.000
indeterminada si P = 14.000
1 si P > 14.000
En lo que sigue, considere sólo los costos de largo plazo:
(c) [5 puntos] Suponga, en cambio, que el empresario es un monopolista en el mercado de cosos
(por "pura suerte"), y enfreta la demanda
P = 80000 ¡ 1
20
Q
¿Qué precio de venta …jará?
Al precio P , la cantidad demandada es Q = 1600000 ¡ 20P. Resolvemos:
max
P
π (P ) = (P ¡ 14000) (1600 000 ¡ 20P)
) P ¤ = 47000
(d) Suponga, en cambio, que existen dos empresarios en el mercado. Ambos cuentan con la misma
tecnología, pero uno de ellos le arrienda la planta a su papá con un descuento 1349 del precio de
mercado.
i. [5 puntos] Determine el equilibrio de Bertrand de este mercado.
El hijo afortunado tiene costos medios menores:
CMe = 2
s
4900 ¤ 10000 ¤
µ
1 ¡ 13
49
¶
= 12000
En el equilibrio de Bertrand, éste cobra 13.999 con lo que evita la entrada del otro, quedán-
dose con el 100% del mercado. Esto es mejor que compartir el mercado, porque al pre-
cio de 14.000 conseguiría π = α (14000 ¡ 12000) (1600000 ¡ 20 ¤ 14000) = 2640 000 000α,
donde α es su participación de mercado, mientras que cobrando 13999 consigue π =
(13999 ¡ 12000) (1600000 ¡ 20 ¤ 13999) = 2638 719980, de manera que cualquier partici-
pación menor que 99, 9 52% (obtenida de 2640000 000α · 2638 719 980) lo incentivaría a
rebajar su precio en $1. Por otro lado, sabemos que no tiene incentivos a cobrar menos
que eso porque en ese punto su función de ganancias es decreciente en P :
π (P) = (P ¡ 12000) (1600000 ¡ 20P)
∂π
∂P
= 241 600 ¡ 40P
= ¡318360 < 0 en P = 13.999
ii. [BONO: 5 puntos] Comente sobre la e…ciencia de ese equilibrio.
Observe lo curioso de esta situación: tenemos "precios mentirosos" (el hijo afortunado
no interioriza el verdadero costo de oportunidad de un insumo, por la distorsión creada
por el regalo del padre) y, sin embargo, la asignación de recursos es, para todos los efectos
prácticos, e…ciente: el precio de venta del producto corresponde (aproximadamente) al CMg
social, de manera que en el margen el BMg social es igual al CMg social. La distorsión de
precios se traduce sólo en "rentas" para el hijo afortunado porque el competidor potencial
no ve "precios mentirosos".
2. Consumidor [30 puntos]
(a) [5 puntos]. Explique en qué consiste el problema del consumidor.
(b) [5 puntos]. ¿Qué debe cumplirse para que podamos medir su bienestar a partir de su compor-
tamiento?
(c) [5 puntos]. Explique qué son la Variación Compensatoria y la Variación Equivalente.
(d) [15 puntos]. Escoja 2 de las primeras 8 ecuaciones de la primera página. Demuéstrelas, y
explique su signi…cado.
3. La propina [30 puntos + 5 de bono]
Un cliente hambriento entra a un restorán en busca de buena comida y buena atención. Un mozo un
tanto ‡ojo quisiera descansar y recibir buenas propinas. El cliente puede dejar una propina generosa
(G) o miserable (M). El mozo puede brindar una atención excelente (E) o lamentable (L). Sus
preferencias se expresan en las siguientes jerarquías:
(a1, a2) Cliente (jugador 1) Mozo (jugador 2)
GE 2± 2±
GL 4± 1±
ME 1± 4±
ML 3± 3±
(a) [3 puntos] Construya dos funciones de utilidad, una para el cliente y otra para el mozo, que
representen sus respectivas preferencias.
Por ejemplo, asignar el número cuatro al primer lugar de la jerarquía, y restarle 1 por cada
lugar que se avance, esto es, si j es el lugar en la jerarquía, u = 5 ¡ j.
(b) [3 puntos] Explique por qué ambas pueden, de hecho, ser representadas por muchas otras fun-
ciones de utilidad. ¿Cuáles?
La utilidad es ordinal. Cualquier transformación monótona creciente representa a la misma
preferencia. Sin embargo, si se quiere considerar como una función Bernoulli (para aplicar
utilidad esperada), entonces sólo transformaciones lineales preservan la preferencia.
(c) [5 puntos] Construya una matriz de pagos que represente al juego estratégico en que ambos
jugadores toman sus decisiones de manera simultánea. Utilice las funciones de utilidad que
construyó en (a), llame al cliente "jugador 1" y al mozo "jugador 2", y ubique al jugador 1 de
manera que escoja …las y al 2 de forma que escoja columnas en la matriz.
J1n J2 E L
G 3,3 1,4
M 4,1 2,2
(d) [2 puntos] Encuentre todos los per…les de acciones (a1, a2) e…cientes. Explique.
Son e…cientes todos salvo ML, puesto que sólo ML tiene una mejora paretiana (GE).
(e) [2 puntos] Encuentre todos los equilibrios de Nash. Explique. En particular, ¿por qué no es
de equilibrio tener una atención excelente y dejar una propina generosa?
Existe un único equilibrio de Nash, porque M es una estrategia dominante para J1 y L lo
es para J2. GE no es de equilibrio, porque dado que la atención es excelente de todos modos,
el cliente preferiría ahorrarse la propina, mientras que dado que la propina es generosa de todos
modos, el mozo pre…ere ahorrarse el esfuerzo. El problema es que en este juego nadie puede
atar la recompensa al "buen comportamiento".
(f) [6 puntos] Suponga que el mozo mueve primero, esto es, el cliente escoge qué propina dar des-
pués de ver cómo lo atendió el mozo. ¿Cambia esto la conclusión anterior? Es decir, ¿toman
decisiones distintas los jugadores en el equilibrio perfecto en subjuegos de este juego dinámico
que en el equilibrio de Nash encontrado en (e)?
En la forma extensiva de este juego vemos que en el único equilibrio perfecto en subjuegos
el mozo escoge L y el cliente M, esto es, conseguimos el mismo comportamiento que antes.
Mozo [2]
1Cliente [1]
E L
(3,3) (4,1) (1,4) (2,2)
G M G M
Mozo [2]
1Cliente [1]
E L
(3,3) (4,1) (1,4) (2,2)
G M G M
Más aún, esto no depende de la noción de equilibrio que ocupemos. Observe que este juego
dinámico tiene la siguiente matriz de pagos asociada:
J1n J2 E L
GG 3,3 1,4
MG 4, 1 1,4
GM 3,3 2,2
MM 4, 1 2,2
donde en las estrategias del jugador 1 la primera entrada se re…ere a la respuesta a E y la
segunda a L; existe un único equilibrio de Nash, que como dijimos arriba, es también perfecto
en subjuegos.
El problema persiste: no tiene sentido pagar una buena propina por una atención que ya se
recibió.
(g) [9 puntos] ¿Cambiaría su conclusión si el juego se repitiera in…nitamente? En particular,
suponga que el cliente vuelve al restorán con probabilidas π, que existen n mozos en el restorán
de manera que la probabilidad de toparse con el mismo es 1n, y que la función de utilidad de
cada jugador es de la forma:
Ui = (1 ¡ δ)
1X
t=0
δtuit
donde δ es la probabilidad de jugar nuevamente el mismo juego, con el mismo mozo,en la ronda
siguiente, esto es δ = πn.
i. ¿Para qué valores de δ se puede conseguir en un equilibrio de Nash del juego repetido in…ni-
tas veces que el mozo brinde una atención excelente (E) y que el cliente deje una propina
generosa (G)?
Supongamos que ambos ocupan la estrategia: "portarse bien al comienzo del juego, y en
toda historia en que ambos se hayan portado bien, y mal si alguien alguna vez se portó mal",
donde "portarse mal" es escoger M en el caso del cliente y L en el caso del mozo. Entonces,
tanto al comienzo del juego como en cualquier historia en que ambos se han portado bien,
la evaluación de cada acción es como sigue:
Mozo :
U(E) = (1 ¡ δ)
µ
3 + δ3
1 ¡ δ
¶
= 3
U (L) = (1 ¡ δ)
µ
4 +
δ ¤ 2
1 ¡ δ
¶
= 4 ¡ 2δ
Cliente :
U (G) = (1 ¡ δ)
µ
3 +
δ3
1 ¡ δ
¶
= 3
U (M) = (1 ¡ δ)
µ
4 + δ ¤ 2
1 ¡ δ
¶
= 4 ¡ 2δ
De manera que ambos pre…eren portarse bien si
3 ¸ 4 ¡ 2δ
, δ ¸ 1
2
Observe que la función de utilidad es de facto una función de utilidad esperada, por lo que
el valor de δ encontrado es sensible a la función de utilidad escogida (salvo por transforma-
ciones lineales).
ii. Explique, entonces, por qué ese comportamiento es más probable en pueblos chicos y con
restoranes pequeños.
Se requiere un valor alto de δ, pero δ es la probabilidad de toparse en la fecha siguiente
con el mismo mozo (para lo que se requiere haber ido al mismo restorán). Entonces, si
el cliente no es frecuente (porque va poco a restoranes, o porque va siempre a restoranes
distintos), o si es muy difícil toparse con el mismo mozo (porque hay muchos), más bajo es
δ y, por tanto, más difícil que los jugadores sean "su…cientemente pacientes" (en el sentido
de valorar lo que puedan hacerse mutuamente en el futuro) y que las amenazas de castigo
futuro afecten su comportamiento presente.
(h) [BONO: 5 puntos] Suponga, en cambio, que cada ronda corresponde a lo que ocurre en una
generación. Existe en cada ronda un grupo de mozos interactuando con un grupo de clientes.
Todos viven sólo un período, pero sus hijos y los hijos de sus hijos, etc., juegan eternamente
el mismo juego. ¿Qué ocurriría si en una generación se produce una mutación, de acuerdo a
la cual mozos y clientes valoran la reciprocidad? Esto es, los clientes gozan siendo generosos
con mozos que atienden bien, y gozan castigando con propinas miserables a los que no, y por
otro lado los mozos gozan atendiendo bien a clientes generosos, y atendiendo mal a clientes
tacaños. Sin realizar cálculo alguno, ¿qué podría decir sobre las posibilidades de sobrevivencia
(o estabilidad evolutiva) de estrategias como estas?
Si dos mutantes se encuentran, claramente tienen una ventaja evolutiva sobre los no mutantes,
porque consiguen ambos pagos más altos (y por tanto mayores facilidades de que esas preferen-
cias se reproduzcan en la población). El problema está en que se encuentren un mutante con
un no mutante, porque el no mutante gana a costas del mutante.
4. Competencia, equilibrio y e…ciencia [30 puntos]
Considere una economía de intercambio (esto es, sin producción) compuesta de dos personas, A
y B, que valoran el consumo de dos bienes, x1 y x2. A tiene 200 unidades del bien 1 y 600 del bien
2; B tiene 600 unidades del bien 1 y 600 del 2. Ambos tienen preferencias representables por medio
de la función de utilidad:
u (x1, x2) = min fx1,x2g
(a) [5 puntos] Encuentre el conjunto de mejoras paretianas respecto de la dotación inicial. Ilústrelo
en una caja de Edgeworth. Explique.
(b) [5 puntos] Encuentre el conjunto de asignaciones e…cientes. Ilústrelo en una caja de Edgeworth.
Explique.
(c) [2 puntos] De acuerdo al Primer Teorema del Bienestar, ¿qué asignaciones no se pueden con-
seguir en un equilibrio walrasiano?
(d) [10 puntos] Encuentre el conjunto de equilibrios walrasianos (Ayuda: son muchos equilibrios;
el camino del razonamiento debiera ser superior al del cálculo mecánico para encontrarlos).
Ilústrelo en una caja de Edgeworth. Explique.
(e) [5 puntos] ¿Tiene sentido usar al equilibrio walrasiano como noción de equilibrio en este con-
texto?
(f) [3 puntos] Si en lugar de transar en mercados anónimos a precios dados, A le hiciera una oferta a
B del estilo "tómalo o déjalo", y si B tuviera buenas razones para creer que no hay posibilidades
de futuras negociaciones, ¿cuál cree que será el resultado? Es decir, ¿qué oferta hará A? ¿La
aceptará B?
5. Más e…ciencia [BONO: 20 puntos]
Una sociedad de dos personas debe tomar una decisión colectiva, escogiendo un valor para x dentro
del intervalo cerrado X = [0, 15]. Si gusta, puede pensar en x como un bien público. Por ejemplo,
x puede ser el número de hectáreas de parques que se desea construir en una comuna, o el número de
horas por día que dos vecinos contratan conjuntamente de patrullaje de una empresa de seguridad.
Lo importante es que sólo pueden escoger un valor para x. Todos los bene…cios y costos de cada
posibilidad para cada individuo están resumidos en sus respectivas funciones de utilidad, u1 (x) y
u2 (x), respectivamente, según se muestra en el siguiente dibujo:
x
u
( )1u x
( )2u x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x
u
( )1u x
( )2u x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Determine el conjunto de asignaciones e…cientes (u óptimas en el sentido de Pareto). Explique
claramente su razonamiento.
R: Son paretianas aquellas decisiones (x) para las cuales es cierto que no existe otra decisión x0
que deje a al menos uno mejor y a nadie peor, esto es, aquellas para las que no existen mejoras
paretianas. Observe que esto implica, por ejemplo, que aquellos puntos en que ambas funciones de
utilidad son crecientes no son e…cientes, porque en el extremo derecho de ese intervalo ambos están
mejor que en cualquier otro punto, es decir, el extremo derecho del intervalo es una mejora paretiana
para todos los puntos del intervalo. Lo propio ocurre con intervalos en que ambas funciones son
decrecientes, cuyos puntos son dominados por el extremo izquierdo. Podemos descartar entonces los
intervalos (0, 2], [5,9) y (12,15]. Por otro lado, observe que para todos los puntos en (2, 5) existen
mejoras paretianas: por ejemplo, el punto x = 0.ó el punto x = 9. Entonces, el conjunto de decisiones
e…cientes es f0g [ [9,12] . En efecto, en todo el intervalo [9,12] la utilidad de uno cae y la del otro
aumenta. El punto x = 0, por otro lado, es mejor para el individuo 1 que todo punto entre [9, 12] ,
pero todo punto en [9, 12] es mejor que x = 0 para el individuo 2. Luego, ningún punto en este
conjunto tiene una mejora paretiana.