Apuntes 2006

Vista previa del material en texto

Apuntes E211B 2006
Rodrigo A. Cerda. 1
November 8, 2006
1Nota: Este apunte no incluye acentos. No crean que no lo reconozco, solo que
el programa en que estoy escribiendo me impide poner estos acentos :)
2
Contents
1 Repaso de matematicas 1
1.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Retornos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Funciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Funciones homoteticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Propiedades de funciones homogeneas de grado 1 . . . . . . . 9
1.3 Optimizacion univariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Funciones Concavas y Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Funcion de Valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Funcion de Valor aplicada a la maximizacion de utili-
dades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Funcion de Valor aplicada a la minimizacion de costos 17
1.6 Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Teorema de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
ii CONTENTS
1.8 Estatica comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9 Optimizacion multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Optimizacion multivariada sujeta a restricciones . . . . . . . 24
1.10.1 Condiciones de segundo orden alternativas . . . . . . . 26
1.11 Estatica comparativa multivariada y Regla de Cramer . . . . 27
1.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Demanda de factores por empresa 35
2.1 Supuestos y Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Elasticidad precio de factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Caso 1: Funcion de produccion de proporciones fijas . 40
2.2.2 Caso 2: Sustitucion en la funcion de produccion . . . 46
2.3 Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Parte a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Parte b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3 Parte c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.1 Parte a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.2 Parte b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.3 Parte c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 Oferta de Factores 75
3.1 oferta de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Modelo de un periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.2 Impacto del salario real sobre el margen extensivo (de-
cision de entrada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
CONTENTS iii
3.1.3 Impacto del salario real sobre el margen intensivo
(caso de personas que están trabajando) . . . . . . . . 83
3.1.4 Efecto Ingreso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.5 Efecto Sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Elasticidad de la oferta de trabajo agregada . . . . . . . . . . 91
3.3 Discontinuidad en oferta de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Equilibrio Walrasiano y equilibrio general 95
4.1 Elementos de los modelos de equilibrio general . . . . . . . . 96
4.1.1 Economia de intercambio puro . . . . . . . . . . . . . 96
4.2 Ley de Walras (La interdependencia de mercados) . . . . . . 103
4.3 La caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4 La mano invisible: Eficiencia de Pareto de la asignacion de
mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.1 Eficiencia de pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.2 Problema de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4.3 Los dos teoremas fundamentales de bienestar . . . . . 112
4.5 Economia con produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5.1 Definicion de equilibrio competitivo (walrasiano) con
produccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6 Ejercicios resueltos de equilibris walrasianos y equilibrio general117
4.6.1 Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.6.2 Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Equilibrios competitivos del tipo Arrow-Debreu 125
5.1 Preferencias y evolución de dotaciones . . . . . . . . . . . . . 125
iv CONTENTS
5.1.1 Mercados de Arrow-Debreu, la restricción presupues-
taria y la solución del problema . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 El equilibrio competitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2.1 Ejemplo de equilibrio competitivo bajo mercados de
capitales perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Incidencia de impuestos 141
6.1 Descripcion de la Economia (Modelo de 2 por 2) . . . . . . . 141
7 Politica de contratos optima 159
7.1 Caracteristicas del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Chapter 1
Repaso de matematicas
1.1 Funciones
La relacion entre insumos y produccion la escribimos a traves de la siguiente
funcion:
y = f(x1, x2, .., xn) (1.1)
donde y es la produccion mientras que (x1, x2, .., xn) son los insumos.
Preguntas tipicas con respecto a esta funcion de produccion:
• Sustitucion
Suponga que estamos usando un vector x = (x1, x2, .., xn) para producir
y. Deseamos mantener la produccion constante, por alguna razon usted
desea aumentar x1, Que ocurre con el nivel de uso del resto de los insumos?
1
2 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
• Escala:
Suponga que estamos usando un vector x = (x1, x2, .., xn) para producir
y. Decidimos aumentar o disminuir los insumos en cierta cantidad, Que
ocurre con el nivel de produccion?
1.1.1 Sustitucion
Suponga que se produce una cantidad y* utiliando cantidades de insumos
(x∗1, x
∗
1) por medio de la siguiente tecnologia:
y∗ = f(x∗1, x∗2) ∀j > 0
Ahora suponga que desea disminuir la cantidad de x1 y aumentar x2 para
mantener constante y. Dicho de otra forma, la pregunta es cuanto se debe
ajustar x2 ante un cambio pequeno en x1 si se quiere mantener constante
y. Este es un problema de SUSTITUCION. Cuanto debe cambiar x2 ante
el cambio de x1 se conoce como la TASA MARGINAL DE SUSTITUCION
TECNICA.
• Tasa Marginal de sustitucion tecnica (TMST)
La tasa marginal de sustitucion tecnica se puede obtener formalmente
de la siguiente forma.
1.1. FUNCIONES 3
dy =
δf
δx1
dx1 +
δf
δx2
dx2
Como la produccion se mantiene constante:
0 =
δf
δx1
dx1 +
δf
δx2
dx2
que puede ser resuelto para obtener:
dx2
dx1
= − δf/δx1
δf/δx2
(1.2)
Insertar grafico en clases
• Ejemplo: Suponga una tecnologia Cobb-Douglas, f(x1, x2) = xβ1x1−β2 .
En este caso, la tasa marginal de sustitucion tecnica es:
δf
δx1
= β(
x2
x1
)1−β
δf
δx2
= (1− β)(x1
x2
)β
(1.3)
Por lo tanto,
4 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
dx2
dx1
= − δf/δx1
δf/δx2
= − β
1− β
x2
x1
(1.4)
• Elasticidad de sustitucion
La tasa marginal de sustitucion tecnica mide la pendiente de la isocuanta.
La elasticidad de sustitucion mide la curvatura de la isocuanta....
es decir, la elasticidad de sustitucion mide el cambio porcentual en el
cuociente de los insumos dividido por el cambio porcentual en la TMST,
manteniendo constante el nivel de produccion.
1.1.2 Retornos a escala
Para caracterizar las propiedades de escala, generalmente se utilizan los
conceptos de retornos a escala.
Definicion.Una tecnologia tiene retornos constantes a escala si:
f(jx1, jx2, .., jxn) = jf(x1, x2, .., xn) ∀j > 0 (1.5)
Significado: Si tenemos una funcion d eproduccion que es de retornos
constantes a escala, es posible REPLICAR la produccion, aumentando los
insumos
1.1. FUNCIONES 5
Definicion.Una tecnologia tiene retornos crecientes a escala si:
f(jx1, jx2, .., jxn) > jf(x1, x2,.., xn) ∀j > 0 (1.6)
Significado: Al doblar todos los insumos, la cantidad producida aumenta
mas que el doble. Ejemplo: suponga el caso de una empresa que se dedica
al almacenar objetos. La bodega tiene dimensiones a metros de largo, a
metros de ancho y a metros de alto. Volumen es a3. Suponga que se doblan
los metros de ancho, largo y alto. El volumen (que es la produccion es este
caso) aumenta a (2a)3 > 2(a)3.
Definicion.Una tecnologia tiene retornos decrecientes a escala si:
f(jx1, jx2, .., jxn) < jf(x1, x2, .., xn) ∀j > 0 (1.7)
Significado: Al doblar todos los insumos, la cantidad producida aumenta
menos que el doble. Ejemplo:Suponga el caso de aumentar al doble los
granos, agua y fertilizantes en una granja. La produccion no aumenta al
doble porque el terreno es escaso para tantos insumos.
6 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
1.1.3 Funciones homogeneas
Un funcion es homogenea de grado r si la multiplicacion de cada uno de sus
argumentos por la constante j produce:
f(jx1, jx2, .., jxn) = jrf(x1, x2, .., xn) (1.8)
Notese que la funcion homogenea grado 1, cumple con
f(jx1, jx2, .., jxn) = jf(x1, x2, .., xn) (1.9)
que es la misma definicion de una funcion de retornos constante a escala.
Esto quiere decir que una empresa tiene una retornos constantes a escla en
produccion si y solo si su funcion de produccion es homogenea de grado 1
Ejemplo 1
sea f(x, y, w) = x/y + 2w/3x. Multiplicando cada variable por j, se
obtiene:
f(jx, jy, jw) =
jx
jy
+
2(jw)
3(jx)
=
x
y
+
2(w)
3(x)
= j0f(x, y, w)
Por lo tanto esta funcion es homognea de grado 0.
1.1. FUNCIONES 7
Ejemplo 2
sea f(x, y, w) = x2/y + 2w2/x. Multiplicando cada variable por j, se
obtiene:
f(jx, jy, jw) =
(jx)2
jy
+
2(jw)2
(jx)
= j(
(x)2
y
+
2(w)2
(x)
)
Por lo tanto esta funcion es homogenea de grado 1.
Una funcion homogenea de grado k ≥ 1, entonces δfδx es homogenea de
grado k-1.
Prueba: Se debe diferenciar f(tx) = tkf(x) con respect a x:
δf(tx)
δ(tx)
t =
δf(x)
δ(x)
tk
δf(tx)
δ(tx)
=
δf(x)
δ(x)
tk−1
Esto establece el resultado. QED
1.1.4 Funciones homoteticas
Definicion. Una funcion g:R → R es una transformacion monotonica posi-
tiva si g es una funcion creciente, esto es
8 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
x > y ⇒ g(x) > g(y)
Definicion. Una funcion homotetica es una transformacion monotonica
de una funcion que es homogenea de grado 1 esto es
f(x) es homotetica si y solo si
f(x) = g(h(x))
donde h(x) es una funcion homogenea de grado 1 y g(.) es una transfor-
macion monotonica.
INSERTAR GRAFICO EN CLASES
Las funciones homoteticas y las funciones homogeneas tienen como par-
ticularidad que la TMST en ambos casos no depende de la escala de pro-
duccion
1.2. PROPIEDADES DE FUNCIONES HOMOGENEAS DE GRADO 19
1.2 Propiedades de funciones homogeneas de grado
1
Propiedad 1: Dada una funcion de produccion homogenea de grado 1 del
tipo Q=f(K,L), el producto medio del trabajo (PMEL) y el producto medio
del capital (PMEK) pueden escribirse solo como funciones de la relacion
capital-trabajo, k = KL .
Prueba: El producto medio del trabajo es Q/L
Q
L
= L−1Q
= f(
K
L
,
L
L
)
= f(k, 1)
= g(k)
Misma prueba para producto medio del capital
Ejemplo: Caso Cobb-Douglas (verlo en clses)
Propiedad 2: Dada una funcion de produccion homogenea de grado 1
del tipo Q=f(K,L), el producto marginal del trabajo (PMgL) y el producto
marginal del capital (PMgK) pueden escribirse solo como funciones de la
relacion capital-trabajo, k = KL .
Prueba: Caso Producto marginal del trabajo
Escriba Q = QL ∗ L = PMEL ∗ L = g(k)L. Entonces:
10 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
PMgL =
∂PMEL
∂L
L + g(k)
=
∂g(k)
∂k
∂k
∂L
L + g(k)
= −∂g(k)
∂k
K
L2
L + g(k)
= −∂g(k)
∂k
k + g(k)
Prueba: Caso Producto marginal del capital
PMgK =
∂g(k)L
∂K
= L
∂g(k)
∂K
= L
∂g(k)
∂k
∂k
∂K
= L
∂g(k)
∂k
1
L
=
∂g(k)
∂k
Ejemplo: Caso Cobb-Douglas (verlo en clases)
Propiedad 3 (Teorema de Euler): Dada una funcion de produccion ho-
mogenea de grado 1 del tipo Q=f(K,L), entonces:
K
∂Q
∂K
+ L
∂Q
∂L
= Q
Prueba:
1.3. OPTIMIZACION UNIVARIANTE 11
De la propiedad 2, sabemos que:
∂Q
∂K
=
∂g(k)
∂k
∂Q
∂L
= −∂g(k)
∂k
k + g(k)
Por lo tanto:
K
∂Q
∂K
+ L
∂Q
∂L
= K
[
∂g(k)
∂k
]
+ L
[
−∂g(k)
∂k
k + g(k)
]
Lg(k) = Q
1.3 Optimizacion univariante
Sea f(.):R→R una funcion. Decimos que esta funcion tiene un maximo en
x* si f(x)≤f(x*), ∀ x.
Si f(x)<f(x*), ∀ x. Entonces x* es una maximo estricto. Si f(x)>f(x*),
∀ x. Entonces x* es una minimo estricto.
Condiciones de primer y segundo orden
Suponga que la funcion f es diferenciable que tiene un maximo en x*.
Entonces:
∂f(x∗)
∂x
= 0 (1.10)
∂2f(x∗)
∂2x
≤ 0 (1.11)
12 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
Ejemplo:
sea f(x,a)=ln(x)-ax, ∀x ≥ 0
∂f(x∗)
∂x
=
1
x
− a = 0
∂2f(x∗)
∂2x
=
−1
x2
≤ 0
1.4 Funciones Concavas y Convexas
1.4.1 Concavidad
Una funcion univariante es concava si:
f(tx + (1− t)z) ≥ tf(x) + (1− t)f(z) (1.12)
para todo x, z, ademas de para todo 0 ≤ t ≤ 1.
Una funcion concava tiene la propiedad que f evaluada en el promedio
de x y z es mayor que el promedio de f(x) y de f(z).
Insertar figura en clases
Caracteristicas:
A. Si f es diferenciable, entonces f es concava si y solo si ∂
2f(x)
∂2x
≤ 0, ∀x.
Ejemplo: f(x) = ln(x). Esta funcion es concava.
B. una funcion concava cumple con:
1.4. FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS 13
f(x) ≤ f(y) + ∂f(y)
∂y
[x− y],∀x, y (1.13)
Insertar figura en clases
Esto quiere decir que una funcion concava crece menos rapido que una
funcion lineal.
c. Si f es concava y si ∂f(x∗)∂x = 0 entonces x∗ es un maximo de esa
funcion.
Prueba. Si f es concava entonces, la segunda derivada de f es menor
o igual a cero en todo x. Entonces, ocupando (1.13), y tomando y = x∗,
tenemos que:
f(x) ≤ f(x∗) + ∂f(x∗)
∂x
[x− x∗] = f(x∗) (1.14)
lo que indica que para funciones concavas, la condicion de primer orden
es necesaria y suficiente para segurar un maximo.
Es unico este maximo?
1.4.2 Convexidad
Una funcion convexa satisface
f(tx + (1− t)z) ≤ tf(x) + (1− t)f(z) (1.15)
14 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
para todo x, z, ademas de para todo 0 ≤ t ≤ 1.
Una funcion convexa tiene la propiedad que f evaluada en el promedio
de x y z es menor que el promedio de f(x) y de f(z).
Tal como en el caso de concavidad, se pueden establecer las siguientes
propiedades:
A. Si f es una funcion convexa, entonces ∂
2f(x)
∂2x
≥ 0, ∀x.
B. Si f es una funcion convexa entonces,
f(x) ≥ f(y) + ∂f(y)
∂y
[x− y], ∀x, y (1.16)
C. Si f es una funcion conveza, y si ∂f(x∗)∂x = 0 entonces x∗ es un minimo
de esa funcion.
1.5 Funcion de Valor
Suponga que f(x,a) es una funcion tanto de x como de a. La diferencia
radica en que x es la variable de eleccion mientras que a es una parametro
del problema. Ejemplo: x es cantidad consumida pero a es precio. La
primera variable la elige el consumidor mientras que la segunda no la elige
(precios dados).
Notese que generalmente, para cada valor distinto de a, deberia haber
una eleccion distinta para x. (es decir, en terminos del ejemplo: para dis-
tintos precios, cambia la eleccion de cantidad consumida). De esta forma
escribiremos x(a) - esto es x depende de a.
1.5. FUNCION DE VALOR 15
Definicion: Se define la funcion de valor de este problema como: M(a) =
f(x(a), a).
M(a) = maxx f(x, a)
o alternativamente
M(a) = f(x(a), a)
Esto nos indica los valores OPTIMIZADOS de f para distintos valores
de a.
Ejemplo de funcion de valor.
Tomemos la funcion f(x,a)=ln(x)-ax. Como vimos antes, su maximo esta
dado por la condicion:
∂f(x∗)
∂x
=
1
x
− a = 0
De ahi que el maximo esta dado por: x(a) = 1/a. Esto quiere decir que
si cambia a, cambia el maximo.
Ahora la funcion de valor es
16 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
M(a) = maxx f(x(a), a) = maxx ln(x(a))− ax(a)
= ln(1/a)− a(1/a)
= ln(1/a)− 1
1.5.1 Funcion de Valor aplicada a la maximizacion de utili-
dades
Considere el caso de una empresa que emplea un factor x al precio w. La
empresa produce por medio de la funciong(x) = xa, donde 1 > a > 0.
Suponga que el objetivo de la empresa es maximizar sus utilidades (es
decir maximizar la funcion):
M(a) = f(x(a), a) = maxx g(x)− wx
= maxx xa − wx
La condicion de optimalidad es:
axa−1 = w
mientras que la condicion de segundo orden es:
1.5. FUNCION DE VALOR 17
a(a− 1)xa−2 ≤ 0
lo que satisface la condicion de optimalidad cuando a < 1. Por lo tanto,
la cantidad de x optima es:
x = (
w
a
)
1
a−1
Y la funcion de valor (la funcion que nos entrega las utilidades maximas)
M(a) = f(x(a), a) = maxx g(x)− wx
= maxx xa − wx
= (
w
a
)
a
a−1 − w(w
a
)
1
a−1
1.5.2 Funcion de Valor aplicada a la minimizacion de costos
Alternativamente la misma empresa, podria tener una meta de produccion
y desea producir al minimo costo. En este caso, el objetivo de la empresa
es minimizar costos sujeto al meta de produccion, Y0, (es decir minimza la
funcion):
18 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
M(a) = f(x(a), a) = minx wx
s.a. xa = Y0
Por lo tanto, la cantidad de x optima es:
x = Y
1
a
0
Y la funcion de valor (la funcion que nos entrega los minimos costos) es:
M(a) = f(x(a), a) = wY
1
a
0
1.6 Funciones implicitas
En un problema de maximizacion tipicamente se obtiene:
u′(c1)
u′(c2)
=
p1
p2
Ademas la restriccion presupuestaria es:
p1c1 + p2c2 = I
1.6. FUNCIONES IMPLICITAS 19
Combinando estas ecuaciones se obtiene:
u′(c1)
u′( I−p1c1p2 )
=
p1
p2
o
u′(c1)
u′( I−p1c1p2 )
− p1
p2
= 0
Una ecuacion de esta forma se puede escribir mas general como:
F (c1, I, p1, p2) = 0
Intuicion: dado un conjunto de valores (I, p1, p2), existe un nivel de c1
que permite cumplir con la igualdad. Si cambia el conjunto (I, p1, p2), debe
cambiar c1 para seguir cumpliendo con la igualdad.
Esto quiere decir que la ecuacion F (c1, I, p1, p2) = 0 puede definir una
funcion implicita como la siguiente: c1 = c1(I, p1, p2).
En general, nos interesa saber cuales son las propiedades de esta fun-
ciones implicitas.
Teorema: Si F (c1, I, p1, p2) es una funcion que
(a) tiene derivadas parciales continuas,
Fc1, FI , Fp1, Fp2, y
(b) si en un punto (c01, I, p1, p2), Fc1 no es cero,
20 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
entonces se puede definir una funcion implicita c1 = c1(I, p1, p2) en el
vecindario de (c01, I, p1, p2). Ademas la funcion c1 = c1(I, p1, p2) es continua
y tiene derivadas parciales continuas
ESTE ES UN TEOREMA MUY IMPORTANTE PARA REALIZAR
ESTATICAS COMPARATIVAS PORQUE EN ESTATICA COMPARA-
TIVA NOS PREGUNTAMOS JUSTAMENTE CUAL ES LA DERIVADA
PARCIAL DE LA FUNCION c1 EN RELACION A ALGUNOS DE LOS
PARAMETROS
1.7 Teorema de la envolvente
Como cambia la funcion de valor (valor optimizado) cuando ”movemos” el
parametro a?
∂M(a)
∂a
=
∂f(x(a), a)
∂x
∂x(a)
∂a
+
∂f(x(a), a)
∂a
Ahora, como x(a) es la eleccion que maximiza f, tenemos que:
∂f(x(a), a)
∂x
= 0
Por lo tanto, sustituyendo, tenemos:
∂M(a)
∂a
=
∂f(x(a), a)
∂a
=
∂f(x, a)
∂a x=x(a)
1.8. ESTATICA COMPARATIVA 21
Que dice esto? El impacto de un cambio de a sobre la funcion de valor
es igual al impacto cuando se esta evaluando en el punto optimo.
Lo que ocurre es lo siguiente. Un cambio en a tiene dos impactos:
a. Sobre la funcion f directamente
b. sobre la decision x
Pero como x esta elegido optimamente, un cambio pequeo en x no tiene
impacto sobre f. Es decir, este efecto indirecto no es importante.
1.8 Estatica comparativa
A veces, nos interesa saber como cambia las elecciones optimas, es decir
como cambia x(a), cuando cambiamos un parametros del problema (en este
caso el parametro a).
Esto se conoce como analisis de estatica comparativa o analisis de sensi-
bilidad.
Como procedemos en este caso?
Sabemos que en el optimo, se cumple que:
∂f(x(a), a)
∂x
= 0 (1.17)
Supongamos que variamos el parametro a, como cambia este identidad?
∂2f(x(a), a)
∂2x
∂x(a)
∂a
+
∂2f(x(a), a)
∂x∂a
= 0
22 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
De aqui, podemos obtener cuanto cambia x cuando cambiamos a, esto
es ∂x(a)∂a .
∂x(a)
∂a
= −∂
2f(x(a), a)/∂x∂a
∂2f(x(a), a)/∂2x
(1.18)
Notese que el signo del denominador es negativo debido a la condicion
de segundo orden.
Ejemplo: la funcion f(x,a)=ln(x)-ax. De acuerdo a (9), tendriamos:
∂x(a)
∂a
= − −1−1/x2 < 0 (1.19)
1.9 Optimizacion multivariada
Partamos analizando el problema con dos variables, (x1, x2).
max
x1,x2
f(x1, x2) (1.20)
Condiciones de primer orden
∂f(x1, x2)
∂x1
= 0 (1.21)
∂f(x1, x2)
∂x2
= 0 (1.22)
1.9. OPTIMIZACION MULTIVARIADA 23
Condiciones de segundo orden
Utilizamos el Hessiano, que toma la forma:
H =


f11 f12
f21 f22

 (1.23)
donde fij = ∂
2f
∂xi∂xj
Calculo nos indica que para que las decisiones x1∗, x2∗ sean optimas (en
el caso de un maximo) se requiere que el Hessiano sea negativo semidefinido.
Esto es si para cualquier vector (h1, h2), se satisface que:
( h1 h2 )


f11 f12
f21 f22

 (
h1
h2
) ≤ 0 (1.24)
En el caso de un minimo la desigualdad es ≥.
OJO:
Una matriz A es:
a) Positiva definida si y solo si los determinates menores principales son
todos positivos
a) Negativa definida si y solo si los determinates menores principales de
orden k tiene signo (−1)k para k=1,..,n
24 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
1.10 Optimizacion multivariada sujeta a restric-
ciones
max
x1,x2
f(x1, x2)
g(x1, x2) = G
Ejemplo: Preferencias Cobb-Douglas
max
x1,x2
xα1 x
1−α
2
p1x1 + p2x2 = M
Para resolver podemos ocupar directamente el metodo Lagrangeano:
L(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λ[G− g(x1, x2)]
o en el caso de nuestro ejemplo:
L(x1, x2, λ) = xα1 x
1−α
2 + λ[M − p1x1 − p2x2]
Este Lagrangeano, L(x1, x2, λ), define el nivel maximo de f(.), pero sujeto
a la restriccion.
1.10. OPTIMIZACION MULTIVARIADA SUJETA A RESTRICCIONES25
En este problema λ se conoce como el multiplicador de Lagrange. Cual
es su intuicion? Notese que:
∂L(x1, x2, λ)
∂G
= λ
De esta forma λ indica cuanto aumenta la funcion objetivo, si se permite
mas G, es decir se hace ”menos restrictiva” nuestra restriccion.
Condiciones de primer orden del Lagrangeano
∂L(x1, x2, λ)
∂x1
=
∂f(x1, x2)
∂x1
− λ∂g(x1, x2)
∂x1
= 0
∂L(x1, x2, λ)
∂x2
=
∂f(x1, x2)
∂x2
− λ∂g(x1, x2)
∂x2
= 0
∂L(x1, x2, λ)
∂λ
= −g(x1, x2) = 0
Condiciones de segundo orden del Lagrangeano
D2L(x1, x2, λ) =


∂2L(x1,x2,λ)
∂2x1
∂2L(x1,x2,λ)
∂x1∂x2
∂2L(x1,x2,λ)
∂x2∂x1
∂2L(x1,x2,λ)
∂2x2

 (1.25)
o alternativamente:
Donde:
∂2L(xi, xj , λ)
∂2xi
=
∂2f(xi, xj)
∂2xi
− λ∂
2g(xi, xj)
∂2xi
∂2L(xi, xj , λ)
∂xi∂xj
=
∂2f(xi, xj)
∂xi∂xj
− λ∂
2g(xi, xj)
∂xi∂xj
26 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
Nuevamente para que las decisiones x1∗, x2∗ sean optimas (en el caso de
un maximo) se requiere que D2L(x1, x2, λ) sea negativo semidefinido. Esto
es si para cualquier vector (h1, h2), se satisface que:
( h1 h2 )


∂2L(x1,x2,λ)
∂2x1
∂2L(x1,x2,λ)
∂x1∂x2
∂2L(x1,x2,λ)
∂x2∂x1
∂2L(x1,x2,λ)
∂2x2

 (
h1
h2
) ≤ 0 (1.26)
Sujeto a DL(x1, x2, λ)(h1, h2) = 0, donde la matriz de primeras derivadas
del Lagrangeano es DL(x1, x2, λ).
Que indica esta condicion? que el Hessiano de L(.) debe ser negativo
semidefinido sujeto a una restriccion lineal, que indica tangencia a la funcion
objetivo L(.).
Insertar figura en clases que explique porque de la restriccion
1.10.1 Condiciones de segundo orden alternativas
Verificar las condiciones de segundo orden de ese problema, puede ser com-
plicado. Alternativamente se puede verificar que la siguiente condicion de
segundo orden, sea negativa semidefinida:
D2L(x1, x2, λ) =


b0 b1 b2
b1 h11 h12
b2 h21 h22


(1.27)
donde
1.11. ESTATICA COMPARATIVA MULTIVARIADA Y REGLA DE CRAMER27
b0 =
∂2L(x1, x2, λ)
∂2λ
= 0
b1 =
∂2L(x1, x2, λ)
∂λ∂x1
=
−∂g(x1, x2)
∂x1
b2 =
∂2L(x1, x2, λ)
∂λ∂x2
=
−∂g(x1, x2)
∂x2
hij =
∂2L(x1, x2, λ)
∂xi∂xj
En este caso, la condicion de segundo orden que indica que la condicion
de segundo orden asegura un maximo es:
det


b0 b1 b2
b1 h11 h12
b2 h21 h22


> 0 (1.28)
1.11 Estatica comparativa multivariada y Regla
de CramerSuponga el siguiente Lagrangeano donde a es un parametro:
L(x1, x2, a, λ) = f(x1, x2, a) + λ[G− g(x1, x2, a)]
Las condiciones de primer orden son:
28 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
∂L(x1, x2, a, λ)
∂λ
= G− g(x1, x2, a) = 0
∂L(x1, x2, a, λ)
∂x1
=
∂f(x1, x2, a)
∂x1
− λ∂g(x1, x2, a)
∂x1
= 0
∂L(x1, x2, a, λ)
∂x2
=
∂f(x1, x2, a)
∂x2
− λ∂g(x1, x2, a)
∂x2
= 0
Ahora, las funciones optimas depende de a (como vimos antes), por lo
que las condicones de primer orden se pueden escribir como:
∂L(x1(a), x2(a), a, λ(a))
∂λ
= 0
∂L(x1(a), x2(a), a, λ(a))
∂x1
= 0
∂L(x1(a), x2(a), a, λ(a))
∂x2
= 0
La estatica comparativa indica como vaian las decisiones optimas cuando
cambia a. En este caso podemos hacer lo siguiente:
[
∂2L
∂λ∂x1
∂x1
∂a
+
∂2L
∂λ∂x2
∂x2
∂a
+
∂2L
∂2λ
∂λ
∂a
]
+
∂2L
∂λ∂a
= 0
[
∂2L
∂2x1
∂x1
∂a
+
∂2L
∂x1∂x2
∂x2
∂a
+
∂2L
∂x1∂λ
∂λ
∂a
]
+
∂2L
∂x1∂a
= 0
[
∂2L
∂x2∂x1
∂x1
∂a
+
∂2L
∂2x2
∂x2
∂a
+
∂2L
∂x2∂λ
∂λ
∂a
]
+
∂2L
∂x2∂a
= 0
Estas condiciones se pueden escribir como sistema matricial de la sigu-
iente forma:
1.11. ESTATICA COMPARATIVA MULTIVARIADA Y REGLA DE CRAMER29


∂2L
∂2λ
∂2L
∂λ∂x1
∂2L
∂λ∂x2
∂2L
∂x1∂λ
∂2L
∂2x1
∂2L
∂λ∂x1
∂2L
∂x2∂λ
∂2L
∂x2∂x1
∂2L
∂2x2




∂λ
∂a
∂x1
∂a
∂x2
∂a


=


− ∂2L∂λ∂a
− ∂2L∂x1∂a
− ∂2L∂x2∂a


(1.29)
Notese que:
D2L(x1, x2, λ) =


∂2L
∂2λ
∂2L
∂λ∂x1
∂2L
∂λ∂x2
∂2L
∂x1∂λ
∂2L
∂2x1
∂2L
∂λ∂x1
∂2L
∂x2∂λ
∂2L
∂x2∂x1
∂2L
∂2x2


(1.30)
y que ∂
2L
∂λ∂a = 0.
Este es un sistema de tres incognitas, ∂λ∂a ,
∂x1
∂a ,
∂x2
∂a y tres ecuaciones (el
resto son conocidos).
Como resolver esto? Una posibilidad es resolver reemplzando ecuacion
por ecuacion.
Otra posibilidad es ocupar la regla de Cramer. La idea es la siguiente:


a11 . . . a1n
. . . . . .
an1 . . . ann




x1
. . .
xn


=


b1
. . .
bn


(1.31)
Escribiremos este sistema como Ax=b.
Regla de Cramer: Para encontrar el componente xi, replace la columna
numero i de la matriz A con el vector b. La nueva matriz resultante es Ai.
Entonces xi se puede encontrar de la siguiente forma:
30 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
xi =
det(Ai)
det(A)
(1.32)
1.12 Ejercicios
Considere una economa con idnticas personas. Cada persona vive por un
mximo de 2 periodos. En el periodo 1, cada individuo trabaja y obtiene un
ingreso w por su trabajo. Al final del periodo 1, las personas mueren con
probabilidad p o sobrevive con probabilidad, 1-p. Asuma que las personas
maximizan la siguiente funcin de utilidad:
maxc1,c2 u(c1) + β(1− p)u(c2)
donde β < 1 es un factor de descuento, p es la probabilidad de sobre-
vivencia al periodo 2, mientras que c1 y c2 son niveles de consumo en periodo
1 y periodo 2, respectivamente. La funcion de utilidad u(.) es creciente y
cncava en consumo, y es la misma en ambos periodos.
Asuma que los individuos no obtienen ingreso en el periodo 2, pero
pueden guardar parte de su ingreso en periodo 1 para el segundo periodo.
Lo que guardan para el periodo 2, lo llamaremos S.
a) Como justificara usted la funcin de utilidad escrita arriba en terminos
de la funciones de utilidad esperada? Cual es el supuesto implcito acerca de
la utilidad en caso de fallecimiento?
1.12. EJERCICIOS 31
b) Asuma que cada individuo debe decidir en el periodo 1 cuanto S dejar
para el periodo 2, pero si no sobrevive, sus ahorros se pierden (tanto desde
el punto de vista del individuo como desde el punto de vista de la economa)
Cuanto estaria dispuesto a pagar un individuo por una disminucin marginal
en su probabilidad de muerte en este caso? Al responder esta pregunta
usted debe tratar de expresar sus respuestas en pesos. Cmo cambian sus
decisiones de consumo si disminuye p?
maxc1,c2 u(c1) + β(1− p)u(c2)
w = c1 + S
S = c2
(1.33)
La restriccin presupestaria en terminos esprados es:
w + (1− p)S = c1 + S + (1− p)c2
L∗ = u(c∗1) + β(1− p)u(c∗2) + λ[w − pS∗ − c∗1 − (1− p)c∗2]
32 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
Disposicion a pagar por menor p:
δL∗
δp
= −βu(c∗2) + λ[−S∗ + c∗2]
Pero como S∗ = c∗2, se obtiene que
δL∗
δp
= −βu(c∗2)
Para dejarlo en pesos, se divide por λ:
δL∗
δpλ
= −βu(c
∗
2)
λ
= −βu(c
∗
2)
u1(c∗1)
c) Asuma que cada individuo debe decidir en el periodo 1 cuanto S dejar
para el periodo 2, pero si no sobrevive, sus ahorros se reparten equitativa-
mente entre las personas que sobreviven. Cunto estara dispuesto a pagar
un individuo por una disminucin marginal en su probabilidad de muerte en
este caso? Cmo se compara su respuesta en esta pregunta con su respuesta
en la parte b?
d) Cmo cambian sus respuestas en b y c si asume que el individuo tiene
ingreso Y en el periodo 2?
e) Ahora asuma que existe la siguiente posibilidad. Todos los individuos
1.12. EJERCICIOS 33
pueden juntar sus ahorros para el segundo periodo S e invertirlos en una
cuenta bancaria que paga D en el periodo 2 por cada 1 invertido. Cual
es el retorno competitivo (D) que paga el banco? Cmo cambia la decisin
optima de consumo de los individuos entre periodos en este caso? Cunto
estara dispuesto a pagar un individuo por una disminucin marginal en su
probabilidad de muerte en este caso, asumiendo que la disminucin en p es
(o no es) observada por el banco?
34 CHAPTER 1. REPASO DE MATEMATICAS
Chapter 2
Demanda de factores por
empresa
2.1 Supuestos y Conceptos basicos
Definicion: Factor es un bien que se ocupa como insumo en un proceso de
produccion
supongase una empresa que produce el bien Q con la funcion de produc-
cion Q=f(K,L) donde K y L son factores de produccion.
Los supuestos sobre la funcion de produccion son:
a) f(K,L) es creciente en ambos factores
b) f(K,L) es retornos constantes a escala en ambos factores
c) f(K,L) satisface condiciones de Inada en K y L. Esto es:
35
36 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
limK→0 fK(K, L) = ∞
limL→0 fL(K, L) = ∞
limK→∞ fK(K, L) = 0
limL→∞ fL(K, L) = 0
Ejemplo: Tecnologia Cobb-Douglas
Q = AKαL1−α, 0 < α < 1
De ahi que:
limK→0 αAKα−1L1−α = ∞
limL→0 (1− α)AKαL−α = ∞
limK→∞ αAKα−1L1−α = 0
limL→∞ (1− α)AKαL−α = 0
Supuestos sobre precios: Los precios de los factores son: r y w respecti-
vamente.
El problema de minimizacion de costos que resuelve esta empresa es:
2.1. SUPUESTOS Y CONCEPTOS BASICOS 37
minL,K wL + rK
Q = f(K,L)
K ≥ 0, L ≥ 0
O
L = wL + rK + λ(Q− f(K, L))
Cuyas condiciones de primer orden (CPO) son:
w = λfL(K, L) (2.1)
r = λfK(K,L) (2.2)
Q = f(K, L) (2.3)
Estas son condiciones bien conocidas:
VALOR PRODUCTO MARGINAL IGUAL A PRECIO DEL FACTOR.
Notese que las ecuaciones (2.1), (2.2) y (2.3) se pueden escribir como:
38 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
w − λfL(K, L) = 0
r − λfK(K, L) = 0
Q− f(K, L) = 0
Esto define un conjunto de tres ecuaciones de la forma:
F (K,L, λ, Q,w, r) = 0
lo que define tres ecuaciones implicitas para K, L y λ.
K = h(w, r,Q) (2.4)
L = g(w, r,Q) (2.5)
λ = j(w, r,Q) (2.6)
las ecuacions (2.4) y (2.5) son las ecuaciones de demanda por factores
de la empresa.
Veamos ejemplo de ecuaciones (2.4) y (2.5) en el caso Cobb-Douglas.
Con esta finalidad notese que en el caso Cobb-Douglas, (2.1) y (2.2) se
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 39
pueden escribir como:
w = (1− α)AKαL−α L
L
= (1− α)Q
L
r = αAKα−1L1−α
K
K
= α
Q
K
O alternativamente:
L = (1− α)Q
w
= g(w, r,Q)
K = α
Q
r
= h(w, r,Q)
2.2 Elasticidad precio de factores
Pregunta de Interes: Cuanto disminuye (porcentualmente) la cantidad de-
mandada de factores si aumenta el precio del factor en 1 por ciento?
En el caso Cobb-Douglas tendriamos:
∂L
∂w
w
L
= −(1− α) Q
w2
w
L
= −(1− α)
∂K
∂r
r
K
= −α Q
r2
r
K
= −α
En el caso general:
40 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
∂L
∂w
w
L
=
∂g(w, r,Q)
∂w
w
g(w, r,Q)
=
∂g(w, r,Q)/g(w, r,Q)
∂w/w
= elasticidad de g(w, r,Q)
en relacion a w
De forma similar en el caso de la demanda por K, tenemos:
∂K
∂r
r
K
=
∂h(w, r,Q)
∂r
r
h(w, r,Q)
=∂h(w, r,Q)/h(w, r,Q)
∂r/r
= elasticidad de h(w, r,Q)
en relacion a r
Por lo tanto, sabemos que las cantidades demandadas de factores resc-
cionana lass variaciones en precio de acuerdo a la elasticidad de la demanda.
PERO, DE QUE DEPENDE LA ELASTICIDAD DE DEMANDA DE
ESTOS FACTORES?
Esa es la pregunta que nos interesa responder.....
2.2.1 Caso 1: Funcion de produccion de proporciones fijas
CONSUMIDORES: Suponga que existe un consumidor representativo cuyo
problema es:
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 41
maxX,Y U(X,Y )
pX + Y = M
donde U(.,.) es una funcion de utilidad creciente y concava en ambos
bienes (X,Y), p es el precio de X y M es el ingreso del consumidor.
De esta forma, tenemos
L = U(X, Y ) + λ(M − pX − Y )
Cuyas CPO son:
UX(X, Y ) = λp
UY (X, Y ) = λ
M = pX + Y
Las soluciones a estas ecuaciones (ocupando funciones implicitas son):
X = f(M,p)
Y = g(M,p)
λ = h(M,p)
42 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
Estatica comparativa (utilizando las funciones implicitas en las CPO)
nos permiten calcular:
UXX
∂X
∂p
+ UXY
∂Y
∂p
= λ +
∂λ
∂p
p
UY X
∂X
∂p
+ UY Y
∂Y
∂p
=
∂λ
∂p
0 = X +
∂X
∂p
p +
∂Y
∂p
Estas condiciones se pueden escribir como sistema matricial de la sigu-
iente forma:


0 −p −1
−p UXX UXY
−1 UY X UY Y




∂λ
∂p
∂X
∂p
∂Y
∂p


=


X
λ
0


(2.7)
La regla de Cramer nos indica que (asumiendo que UXY = 0 por simpli-
cidad, este supuesto en realidad no es necesario):
∂X
∂p
=
pXUY Y − λ
detH
< 0
como det(H) > 0.
Por lo tanto la elasticidad de demanda es:
ηd =
∂X/X
∂p/p
= (
pXUY Y − λ
detH
)(
UX
UY X
) < 0
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 43
PRODUCCION: Suponga que para producir X, se requiere como minimo
”a” unidades de K y ”b” unidades de L, esto es:
X = min(aK, bL)
Problema de minimizacion de costos de la empresa es:
C(X, r, w) = minK,L rK + wL
s.a. X = min(aK, bL)
Condicion de optimalidad requiere que:
X
a
= K
X
b
= L
(2.8)
Por lo que la funcion de costos es:
C(X, r,w) = r
X
a
+ w
X
b
= (
r
a
+
w
b
)X
Finalmente, si asumimos competencia perfecta tenemos:
44 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
p =
∂C(X, r, w)
∂X
=
r
a
+
w
b
PREGUNTA: De que depende la elasticidad de la demanda por factor L
en este ambiente? Para contestar asuma que aumenta marginalmente w,...
entonces el precio p debe aumentar:
∂p =
∂w
b
∂p
p
=
∂w
b
1
p
=
∂w
w
w
bp︸︷︷︸
sL
donde sL es la fraccion del costo de produccion gastado en L (partici-
pacion de L). Pero el aumento de precios produce una caida en la cantidad
demandada por el producto X:
∂X
X
= ηd
∂p
p
= ηdsL
∂w
w
(2.9)
Finalmente, notese que como hay proporciones fijas en la funcion de
produccion, se tiene que:
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 45
∂X = b∂L
∂X
X
=
b∂L
X
=
b∂L
bL
=
∂L
L
(2.10)
Por lo tanto, (2.9) y (2.10) indican que:
ηdsL
∂w
w
=
∂L
L
O alternativamente:
∂L/L
∂w/w︸ ︷︷ ︸
elasticidad L,w
= ηdsL
POR LO TANTO:
EN UNA INDUSTRIA de proporciones fijas, LA ELASTICIDAD DE
DEMANDA DE UN FACTOR VARIA CON:
(1) LA ELASTICIDAD DE DEMANDA DEL PRODUCTO FINAL (ηd)
(2) LA PARTICIPACION DEL FACTOR SOBRE EL COSTO TOTAL
DE PRODUCCION (sL)
46 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
2.2.2 Caso 2: Sustitucion en la funcion de produccion
la funcion de produccion del caso anterior, no permitia sustitucion PERO,
Y SI HAY SUSTITUCION EN LA FUNCION DE PRODUCCION? En ese
caso resulta util el concepto de ELASTICIDAD DE SUSTITUCION
PREGUNTA: Como se describe el grado de sustituibilidad de un factor
por otro?
Esto significa sustituir factores para un nivel de produccion dado (movimiento
sobre isocuanta....esto se pueed obtener a traves de un problema d emini-
mizacion de costos)
Ejemplo: Caso Cobb-Douglas
Q = xα1 x
1−α
2
Una empresa que minimiza costos, resuelve:
L = w1x1 + w2x2 + λ(Q− xα1 x1−α2 )
cuyas Condiciones de primer orden (CPO) son:
w1 = λαxα−11 x
1−α
2 (2.11)
w2 = λ(1− α)xα1 x−α2 (2.12)
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 47
y = xα1 x
1−α
2 (2.13)
Dividiendo (2.11) por (2.12):
w1
w2
=
α
1− α
x2
x1
(2.14)
Concepto de sustitucion:
Cuanto cambia x2x1 cuando cambia
w2
w1
?
∂(x2/x1)
∂(w2/w1)
= −(1− α)/α
(w2w1 )
2
< 0 (2.15)
Es negativa, porque es un movimiento a traves de la isocuanta!! Esta es
una medida de sustitucion. Sin embargo, una medida mas fecuentemente
ocupada es:
σ = − ∂(x2/x1)
∂(w2/w1)
(w2/w1)
(x2/x1)
= −
∂(x2/x1)
(x2/x1)
∂(w2/w1)
(w2/w1)
= − ∂log(x2/x1)
∂log(w2/w1)
Esta medida se conoce como ELASTICIDAD DE SUSTITUCION DI-
RECTA y mide:
CAMBIO PORCENTUAL EN LA RELACION x2x1 cuando HAY UN
48 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
CAMBIO PORCENTUAL EN LA RELACION w2w1
En el caso Cobb-Douglas, tenemos:
x2
x1
=
1− α
α
w2
w1
∂(x2/x1)
∂(w2/w1)
= −(1− α)/α
(w2w1 )
2
Por lo tanto, σ es:
− ∂(x2/x1)
∂(w2/w1)
(w2/w1)
(x2/x1)
=
(1− α)/α
(w2w1 )
2
(w2/w1)
1−α
α
w1
w2
= 1
De acuerdo a las CPO de minimizacion de costos, se tiene:
f1(x1, x2) = λw1
f2(x1, x2) = λw2
⇒ f1
f2
=
w1
w2
(2.16)
Por lo tanto, una forma alternativa de escribir la elasticidad de sustitu-
cion es:
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 49
σ = −∂(x2/x1)
∂(f2/f1)
(f2/f1)
(x2/x1)
= −
∂(x2/x1)
(x2/x1)
∂(f2/f1)
(f2/f1)
= −∂log(x2/x1)
∂log(f2/f1)
Evaluemos esta expresion. En una isocuanta Q = Q0, y por lo tanto
puede escribirse x2 = x2(x1). Dividiendo y multiplicando por dx1, se tiene:
σ = −f1x2
f2x1
d(x1/x2)/dx1
d(f1/f2)/dx1
Evaluemos estos terminos:
d(x1/x2)/dx1 = (x2 − x1 dx2
dx1
)
1
x22
= (x2 + x1
f1
f2
)
1
x22
= (f1x1 + f2x2)
1
f2x22
Como:
dx2
dx1
= −f1(x1, x2(x1))
f2(x1, x2(x1))
50 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
Entonces:
d(f1/f2)
dx1
=
1
f22
[f2(
∂f1
∂x1
+
∂f1
∂x2
∂x2
∂x1
)
−f1(∂f2
∂x1
+
∂f2
∂x2
∂x2
∂x1
)]
= −d
2x2
dx21
Como dx2/dx1 = −f1/f2 y asumiendo f12 = f21, se obtiene:
d(f1/f2)
dx1
= −d
2x2
dx21
= (f22 f11 − 2f1f2f12 + f21 f22)
1
f32
Combinando estas expresiones:
σ = −f1x2
f2x1
f32
f2x22
f2x2 + f1x1
(f22 f11 − 2f1f2f12 + f21 f22)
O alternativamente:
σ = − f1f2(f2x2 + f1x1)
x1x2(f22 f11 − 2f1f2f12 + f21 f22)
Bastante horrible, no??? Esta expresion se simplifica drasticamente si la
funcion de produccion es homogenea de grado 1.
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 51
En ese caso, ocuparemos la siguiente propiedad de una funcion homoge-
nea de grado 1.
Teorema: Si f(x1, x2) es homogenea de grado r, entonces su derivadas
parciales f1, f2 son homogeneas de grado r-1.
Prueba del teorema: Como la funcion es homogenea de grado r, entonces:
f(tx1, tx2) = trf(x1, x2)
diferenciando ambos lados en relacion a xi, i = 1, 2, se obtiene:
∂f(tx1, tx2)
∂txi
∂txi)
∂xi
= tr
∂f(x1, x2)
∂xi
∂f(tx1, tx2)
∂txi
t = tr
∂f(x1, x2)
∂xi
⇒ ∂f(tx1, tx2)
∂txi
= tr−1
∂f(x1, x2)
∂xi
Pero esto indica que la funcion ∂f(tx1,tx2)∂xi evaluada en (tx1, tx2) es ho-
mogenea de grado r-1. QED.
Volvamos ahora a la tarea de simplificar σ cuando f(.,.) es homogenea
de grado 1 (HD1). Recordemos que:
σ = − f1f2(f2x2 + f1x1)
x1x2(f22 f11 − 2f1f2f12 + f21 f22)
52 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
Para simplificar notese que como f es HD1, entonces f1 y f2 son homo-
genea de grado cero (HD0). De ahi que el teorema de Euler en el caso de f1
entrega:
f11x1 + f12x2 = 0
f11 = −f12 x2
x1
Del mismo modo para f2:
f22 = −f12 x1
x2
Ademas por teorema de Euler, f1x1 + f2x2 = Q, por lo tanto haciendo
estas sustituciones:
σ = − f1f2Q−x1x2f12(f22 x2x1 + 2f1f2 + f21
x2
x1
)
= − f1f2Q−f12(f22 x22 + 2f1f2x1x2 + f21 x21)
= − f1f2Q−f12(f2x2 + f1x1)2
= − f1f2−f12Q
⇒ σ = f1f2
f12Q
Cual es la intuicion? Mientras mas complementarios son los factores (f12
2.2. ELASTICIDAD PRECIO DE FACTORES 53
grande), menor es σ
Ocupemos el concepto de elasticidad de sustitucion para entender de que
depende la elasticidad de demanda de los factores cuando hay sustitucion.
Caracteristica del ejercicio: OBTENDREMOS DEMANDAS COMPEN-
SADAS, ESTO ES MANTENIENDONOS EN LAS MISMA ISOCUANTA.
Como?:RESOLVIENDO UN PROBLEMA DE MINIMIZACION DE
COSTOS
Tal como antes, El problema de minimizacion de costos que resuelve esta
empresa es:
minL,K wL + rK
Q0 = f(K,L)
O
L = wL + rK + λ(Q0 − f(K,L))
Cuyas condiciones de primer orden (CPO) son:
54 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
w = λfL(K, L)
r = λfK(K,L)
Q0 = f(K,L)
Estas ecuaciones definen funciones de demanda implicitas por K y L
(ademas de λ).
Para encontrar de que depende la elasticidad-precio de la demanda de
los factores, realizaremos estaticas comparativas. Nos centraremos en un
cambio de w:


0 fL fK
fL λfLL λfLK
fK λfKL λfKK




∂λ
∂w
∂L
∂w
∂K
∂w


=


0
1
0


Ocupando la regla de Cramer, se tiene:
∂K
∂w
=
−fKfL
λ(f2LfKK − 2fKfLfKL + f2KfLL)
(2.17)
Que en el caso de funciones HD1, se obtiene tal como antes:
∂K
∂w
=
fKfLKL
λQ2fKL
(2.18)
De ahi que:
2.3. EJERCICIO 1 55
∂K
∂w
=
fKfL
QfKL
LK
w/fLQ
∂K
∂w
w
K
= σ
fLL
Q
= σSL (2.19)
Y similarmente:
∂L
∂w
w
L
= −σ(1− fLL
Q
)
= −σ(1− SL) (2.20)
donde fLLQ = SL
A continuacion, ejercicios resueltos.
2.3 Ejercicio 1
Considere el caso de una empresa monopolica que produce el bien X, a un
costo constante por unidad C. Este bien es ocupado junto con el bien Z, que
puede ser ofrecido por muchas otras empresas, para producir el bien final Y
que se vende a los consumidores en el mercado.
Asuma que la funcin de produccin de Y es retornos constantes a escala
y que todas las empresas tienen acceso a esta tecnologa. Asuma que Z es
ofrecido en un mercado competitivo y su curva de oferta tiene pendiente
positiva.
56 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
2.3.1 Parte a
Si la produccin de 1 unidad de Y requiere 1 unidad de X y 1 unidad de
Z, describa las decisiones optimas de produccion y precio de la empresa
monopolica que produce X. Cmo dependen las decisiones de precios de X en
las condiciones de oferta de Z y en las condiciones de demanda de Y?
Solucion:
Partamos resolviendo el problema de minimizacion de costos de la em-
presa Y. De este problema obtendremos las demandas por los factores X y
Z.
minX,Z PxX + PzZ
Y = min(X, Z)
Como vimos en clases, los casos de tecnologias Leontief tienen soluciones
del tipo:
X = Y (2.21)
Z = Y (2.22)
Dadas estas soluciones, podemos escribir la funcion de costos optimizada
como:
2.3. EJERCICIO 1 57
C(Px, Pz, Y ) = (Px + Pz)Y (2.23)
Como el mercado de Y es competitivo, se debe cumplir que Precio=Costo
marginal, es decir:
Py =
∂(Px + Pz)Y
∂Y
Py = Px + Pz (2.24)
Con esta informacion, podemos resolver el problema de monopolista:
maxX XPx(X)− cX
Ahora, el paso clave es darse cuenta que de acuerdo a (2.24), la funcion
de demanda del factor X, dada por Px(X), se puede escribir como:
Px(X) = Py(Y (X)) + Pz(Z(X)) (2.25)
debido a que la demanda de Y, se puede escribir como Py(Y), pero
como Y=X, de acuerdo a la tecnologia Leontief, entonces se reconoce que
un aumento de X debe afectar el precio de Y. Misma idea para Z. De esta
forma, se escribe el problema del monopolista como:
58 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
maxX X [Py(Y (X))− Pz(Z(X))]− cX
La maximizacion de este problema produce la siguiente condicion:
Px + X
[
∂Py
∂Y
∂Y
∂X
− ∂Pz
∂Z
∂Z
∂X
]
= c
En esta ecuacion el lado izquierdo es ingreso marginal y el derecho es
costo marginal. Como X=Y=Z y como ∂Y∂X =
∂Z
∂X = 1, podemos reescribir:
Px + Y
[
∂Py
∂Y
− ∂Pz
∂Z
]
= c
Px
[
1 +
Y
Px
∂Py
∂Y
− Y
Px
∂Pz
∂Z
]
= c
Px
[
1 +
Py
Px
∂Py
∂Y
Y
Py
− Pz
Px
∂Pz
∂Z
Z
Pz
]
= c
De ahi se obtiene finalmente:
Px =
c[
1 + PyPx
1
ηY,Py
− PzPx 1²Z,Pz
] (2.26)
donde ηY,Py = ∂Y∂Py
Py
Y , ²X,Pz =
∂Z
∂Pz
Pz
Z .
La ecuacion (2.26) indica que el monopolista fija su precio de acuerdo a
las condiciones de demanda del productor del bien final Y y de las condi-
2.3. EJERCICIO 1 59
ciones de oferta del bien Z. Si el producto del bien final enfrenta una demanda
muy elastica, el monopolista de X pierde poder para fijar Px. La razon es
que si aumenta Px, debido a la condicion de precio igual a costo marginal en
la industria de Y, debe aumentar Py, lo que si la demanda es muy elastica,
disminuye bruscamente la demanda por Y y por consiguiente la demanda
por X. Del mismo modo mientras mas elastica sea la oferta de Z, mas facil
es expandir la produccion de Z, lo que nuevamente afecta la determinacion
de Px.
2.3.2 Parte b
Dadas las condiciones de equilibrio del punto A, bajo que condiciones quisiera
el productor monopolista de X comenzar a producir Z? Puede ser conve-
niente para la empresa que produce X producir Z en el caso que el costo de
producir Z fuera mayor que el precio de mercado por Z? Que determina la
cantidad producida de Z por la empresa que produce X?
En este caso el problema es similar, pero ahora debemos introducir la
produccion de Z, es decir se resuelve:
maxX,Z X [Py(Y (X))− Pz(Z(X))]− cX + PzZ − cz(Z)
Donde cZ(Z) es la funcion de costo de X al producir Z. Como sabemos
que X=Z, entonces se puede reescribir:
60 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
maxX X [Py(Y (X))− Pz(Z(X))]− cX + PzZ(X)− cz(Z(X))
Este es un problema en una unica variable, X. Su condicion de primer
orden es:
Px + X
[
∂Py
∂Y
∂Y
∂X
− ∂Pz
∂Z
∂Z
∂X
]
= c + (
∂cZ
∂Z
− Pz)
Siguiendo los mismos pasos que en la parte (a), se obtiene:
Px =
c + (∂cZ∂Z − Pz)[
1 + PyPx
1
ηY,Py
− PzPx 1²Z,Pz
] (2.27)
En este caso producir Z, tiene un efecto fundamentalmente sobre costo
marginal, es como si lo redefinieramos. Si el costo marginal de Z que enfrenta
X, es mayor que su precio, entonces X puede reaccionar aumentando precio.
Pero fijense que el aumento en precio puede ser pequeo incluso, si el costo
marginal de Z es muy alto comparado al precio de mercado de Z, si ocurre
que los terminos en el denominador son altos, por ejemplo debido a que la
elasticidad de la demanda del producto final es pequea.
Este punto es importante!!! Las empresas competitivas en Z, producen
una cantidad tal que se iguale precio con costo marginal en ese mercado.
Esto determina una cantidad ofrecida de Z. A X, le puede convenir expandir
la cantidad de Z, aunque el costo marginal de producir Z sea mas alto que
2.3. EJERCICIO 1 61
su precio (es decir con perdidas), si no afecta mucho su precio de X y le
permite expandir la oferta de Z (lo que produce que se aumente X para
producir mas Y).
2.3.3 Parte c
Ahora asuma que la oferta de Z es perfectamente elastica al precio Pz y que
la funcion de produccion de Y es de retornos constantes a escala, pero no
de proporciones fija.
En este caso describa las decisiones optimas de cantidades producidas y
precio por parte de la empresa monopolica. Que determina el poder de la
empresa monopolica?
Una forma de resolver esta pregunta es la siguiente.
Un monopolista tipico maximiza:
maxX XPx(X)− cX
Cuya solucion es:
Px =
c[
1 + 1ηX,Px
] (2.28)
donde donde ηX,Px = ∂X∂Px
Px
X es la elasticidad de la demanda por el
factor X. En clases vimos que la elasticidad de demanda por factores, se
descomponia en dos casos: (1) cuando no hay sustitucion (lo vimos a traves
62 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
del caso Leontief), lo que es un efecto ingreso, y (2) cuando hay un efecto
sustitucion puro (isocuanta cosntante).La elasticidad total, es la suma de
ambos efectos. Como vimos en clases el primer efecto era ηY,PysX y el
segundo era −(1 − sX)σ donde σ es la elasticidad de sustitucion. Como la
participacion de X en lo costos de Y esta dado por sX = PxPy , entonces el
efecto ingreso es ηY,Py PxPy (esto es justamente lo que encontrabamos en el
caso de la parte a).
Por lo tanto, sin efecto sustitucion:
ηX,Px = ηY,Py
Px
Py
(2.29)
Esto ocurria en el caso de la Leontief. Pero ahora tenemos sustitucion,
entonces:
ηX,Px = ηY,PysX − (1− sX)σ (2.30)
Por lo tanto en este caso el resultado seria
Px =
c[
1 + 1ηY,PysX−(1−sX)σ
] (2.31)
Esta es una forma simple resolver el problema. Debemos darnos cuentade que depende la elasticidad de demanda del factor X y eso lo conocemos.
En este caso la elasticidad de sustitucion pasa a ser relevante.
2.4. EJERCICIO 2 63
2.4 Ejercicio 2
Considere una economa que usa un nico factor de produccin, trabajo L,
para producir 2 diferentes bienes Y1 y Y2. Asuma que la tecnologa es de
retornos constantes a escala en el sector j, tal que Yj=Aj*Lj, donde Aj es el
nivel de productividad del sector j y Lj es la cantidad de trabajo empleada
en el sector j. Asuma que todos los consumidores en esta economa son
idnticos (podemos ocupar un consumidor representativo) y tienen la funcin
de utilidad homottica U(Y1,Y2), creciente y cncava en ambos bienes.
Asuma que cada individuo (y por lo tanto el consumidor representativo)
tiene disponibles L unidades de trabajo, que ofrece al mercado del trabajo.
2.4.1 Parte a
Si la productividad en cada sector crece a la tasa g (comun para ambos sec-
tores),como cambian a traves del tiempo los precios, producciones, cantidad
de trabajo e ingreso real en cada sector?
Solucion:
Para resolver esta pregunta debemos hacer interactuar a los consumi-
dores con las empresas. Partiremos resolviendo el problema del consumidor
y posteriormente lo haremos con las empresas. Despues las haremos inter-
actuar.
La empresa que produce Y1 resuelve el siguiente problema.
maxL1 p1A1L1 − wL1
64 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
La condicion de primer orden es:
p1A1 = w
Lo que esta a la izquierda es la productividad marginal de un trabajador
en sector 1 y a la derecha esta su costo marginal. El problema de la empresa
que produce Y2 es analogo, es decir:
maxL2 p2A2L2 − wL2
La condicion de primer orden es:
p2A2 = w
Por lo tanto del problema de las empresas se obtiene:
p1 =
w
A1
(2.32)
p2 =
w
A2
(2.33)
Por el lado del consumidor tenemos:
2.4. EJERCICIO 2 65
maxY1,Y2 U(Y1, Y2)
p1Y1 + p2Y2 = M
El lagrangeano asociado a este problema es:
L = U(Y1, Y2) + λ(M − p1Y1 − p2Y2)
Cuyas condiciones de primer oden son:
UY1(Y1, Y2) = λp1
UY2(Y1, Y2) = λp2
p1Y1 + p2Y2 = M
Lo que implica que:
UY1(Y1, Y2)
UY2(Y1, Y2)
=
p1
p2
(2.34)
Esta es la conocida igualdad entre tasa marginal de sustitucion y precios
relativos. Pero si hacemos intercatuar a las empresas con el consumidor,
combinando (2.32), (2.33) y (2.34), se obtiene:
66 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
UY1(Y1, Y2)
UY2(Y1, Y2)
=
A2
A1
(2.35)
Cuando la tecnologia A1 y A2 crecen a la misma tasa, no hy cambios
en precios relativos. Entonces a medidad que hay mejor tecnologia y mas
produccion, lo que ocurre es que se desplaza hacia afuera la restriccion pre-
supuestaria del consumidor de forma paralela.
Esto es importante porque como la funcion de utilidad es homotetica, nos
desplazamos a traves del mismo rayo. esto quiere decir que las cantidades
relativas Y1Y2 , se mantienen constantes.
Acabamos de ver, a partir del consumidor (lado de la demanda), que las
cantidades relativas se mantienen constantes. Pero notemos que por el lado
de la oferta tenemos:
Y1
Y2
=
A1
A2
L1
L2
(2.36)
Como en equilibrio lo que ocurre con la demanda debe ser igual a lo
que ocurre con la oferta, el lado izquierdo de (2.36) es constante (lo de-
terminamos por el lado de la demanda). Debe cumplirse entonces que el
lado derecho tambien es constante. Sabemos que A − 1 y A2 crecen a la
misma tasa por lo tanto A1A2 es constante. Entonces debe cumplirse que
L1
L2
es tambien constante.
2.4. EJERCICIO 2 67
2.4.2 Parte b
Si la productividad en cada sector crece a distintas tasas. como cambian a
traves del tiempo los precios, producciones, cantidad de trabajo e ingreso real
en cada sector? Que sectores crece ms rapido en terminos de produccion?
Y en terminos de factores de produccion?
Solucion:
Supongase que A1 crece mas rapido que A2, esto es g1 > g2. En este
caso hay cambio en precios relativos, de hecho estan cayendo porque:
p1
p2
=
A2
A1
(2.37)
Para saber que ocurre en esta economia, nos interesa saber que ocurre
con la relacion Y1/Y2. Pero esto sabemos que depende de la elasticidad de
sustitucion, recordemos que:
σ =
dlog(Y1/Y2)
dlog(p2/p1)
(2.38)
Para entender como se relaciona la elasticidad de sustitucion con el cam-
bio en la relacion Y1/Y2, multiplique por dlog(p2/p1), de forma de obtener:
σdlog(p2/p1) = dlog(Y1/Y2)
68 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
Sumando dlog(p1/p2) a ambos lados:
σdlog(p2/p1) + dlog(p1/p2) = dlog(Y1/Y2) + dlog(p1/p2)
Lo que se puede escribir como:
(σ − 1)dlog(p2/p1) = dlog(p1Y1/p2Y2) (2.39)
Como A1 crece mas rapido que A2, entonces dlog(p2/p1) > 0. Que ocurre
con la relacion Y1/Y2? Depende de la elasticidad de sustitucion.
Por ejemplo supongamos que σ = 0. En ese caso:
−dlog(p2/p1) = dlog(p1/p2) + dlog(Y1/Y2)
0 = dlog(Y1/Y2)
La intuicion es que el caso de σ = 0 supone ausencia total de sustitu-
cion, este es el caso de la curva de utilidad del tipo Leontief. En ese caso,
aunque cambien los precios relativos, no cambian las cantidades relativas.
Que ocurre con trabajo? Tal como antes para responder esto vamos al lado
de la oferta:
2.4. EJERCICIO 2 69
Y1
Y2
=
A1
A2
L1
L2
El lado izquierdo no cambia, pero sabemos que A1A2 crece, por lo tanto lo
que tiene que ocurrir es que L1L2 disminuya en la misma cantidad que crece
A1
A2
. por lo tanto hay movimiento de trabajo entre sectores.
Caso 2: σ = 1. Es decir permitimos sustitucion. En ese caso la ecuacion
(2.39), pasa a ser:
0 = dlog(p1Y1/p2Y2)
dlog(Y2/Y1) = dlog(p1/p2) = g2 − g1 (2.40)
Entonces Y2/Y1 crece a la tasa g2 − g1. Si volvemos a las ecuaciones de
oferta.
Y1
Y2
=
A1
A2
L1
L2
Tomando sus tasas de crecimiento, se obtiene:
70 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
dlog(Y1/Y2) = g1 − g2︸ ︷︷ ︸
dlog(A1/A2)
+dlog(L1/L2) (2.41)
Pero como vimos por el lado de la demanda, dlog(Y1/Y2) = g1−g2, por lo
tanto dlog(L1/L2) = 0. Es decir la relacion L1/L2 se mantienen constante.
Caso 3: σ > 1. En ese caso, (2.39) es:
(σ − 1)︸ ︷︷ ︸
+
dlog(p2/p1)︸ ︷︷ ︸
(g1−g2)>0
= dlog(p1Y1/p2Y2) (2.42)
Por lo tanto, dlog(p1Y1/p2Y2) > 0. Pero
dlog(p1Y1/p2Y2) = dlog(p1/p2) + dlogY1 − dlogY2
= g2 − g1 + (g1 − g2) + dlogL1 − dlogL2
= dlogL1 − dlogL2 > 0 (2.43)
En este caso, crecen los recursos (trabajadores) en sector 1 y caen en
sector 2. Intuicion: Como g1 > g2, el precio relativo de 1 cae en relacion al
precio de 2. Como la elasticidad de sustitucion en la curva de utilidad es
alta, al caer el precio relativo p1/p2, se sustituye rapidamente, produciendo
una caida en la demanda del producto 2 versus la demanda del producto
2.4. EJERCICIO 2 71
1. Las empresas reaccionan por medio de disminuir en terminos relativos la
produccion del sector 2 y aumentar en el sector 1. Esto lo llevan a cabo por
medio de aumentar trabajo en sector 1 y disminuirlo en sector 2.
Caso 4: σ < 1. En ese caso
(σ − 1)︸ ︷︷ ︸
−
dlog(p2/p1)︸ ︷︷ ︸
(g1−g2)>0
= dlog(p1Y1/p2Y2) (2.44)
Por lo tanto, dlog(p1Y1/p2Y2) < 0. Pero
dlog(p1Y1/p2Y2) = g2 − g1 + (g1 − g2) + dlogL1 − dlogL2
= dlogL1 − dlogL2 < 0 (2.45)
En este caso, crecen los recursos (trabajadores) en sector 2 y caen en
sector 1. Intuicion: Esta cayendo el precio relativo del sector 1 en relacion
al sector 2, pero la demanda reacciona poco. Esto hace que el gasto en sector
1 como fraccion del gasto en sector 2, sea menor. Esto se mide a traves del
termino dlog(p1Y1/p2Y2) < 0. Como el gasto (lado de la demanda) en el
sector 1 es proporcionalmente menor, la oferta reacciona sacando recursos
de ese sector, es decir disminuyendo el numero de trabajadores del sector 1
y aumentandolos en 2.
72 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
En sintesis, el resultado depende de la magnitud de la elasticidad de
sustitucion.
2.4.3 Parte c
Si la productividad crece a tasas constantes en cada sector, Se acelera, de-
sacelera o permanece constante el crecimiento de la produccin real?
Solucion:
Se define producto real, como producto nominal dividido por un indice
de precios, por ejemplo p2,es decir:
Y =
p1Y1 + p2Y2
p2
=
p1
p2
Y1 + Y2
Para obtener su tasa de crecimiento:
dY = d(
p1
p2
)Y1 +
p1
p2
d(Y1) + d(Y2)
dY
Y
=
d(p1p2 )Y1
Y
+
p1
p2
d(Y1)
Y
+
d(Y2)
Y
dY
Y
=
p1
p2
Y1
Y
d(p1p2 )
p1
p2
+
p1
p2
Y1
Y
dY1
Y1
+
Y2
Y
dY2
Y2
si definimos s2 = Y2Y y s1 =
p1
p2
Y1
Y , entonces tenemos:
dY
Y︸︷︷︸
dlogY
= s1
d(p1p2 )
p1
p2︸ ︷︷ ︸
dlog
p1
p2
+s1
dY1
Y1︸︷︷︸
dlogY1
+s2
dY2
Y2︸︷︷︸
dlogY2
2.4. EJERCICIO 2 73
Por lo tanto, la tasa de crecimiento del producto real es:
dlogY = s1(dlog
p1
p2
+ dlogY1) + s2dlogY2 (2.46)
Esto es un promedio ponderado del crecimiento del sector 1 y el sector
2 incluyendo cambios en precios relativos.
Como es la tasa de crecimiento del producto real? La respuesta depen-
dera de la elasticidad de sustitucion. Veamos: Tomemos ciertos casos
Caso σ = 1: De la parte b, sabemos que como dlog(L1/L2) = 0, los nive-
les de trabajo en cada sector se mantienen constantes,dlog(L1) = dlog(L2) =
0 por lo tanto:
dlogY = s1( dlog
p1
p2︸ ︷︷ ︸
dlogA2/A1=g2−g1
+g1 + dlogL1) + s2(g2 + dlogL2)
= s1(g2 − g1 + g1) + s2g2
= s1g2 + s2g2
= g2 (2.47)
Por lo tanto cuando σ = 1, la tasa de crecimiento real es constante.
Esto se debe a que cada sector crece a tasa constante, g1 y g2, y tambien
ocurre lo mismo con precios relativos, por lo tanto todos los elementos que
determinan crecimiento real estan constante.
74 CHAPTER 2. DEMANDA DE FACTORES POR EMPRESA
Caso σ = 0: Sabemos de la parte b, que dlogY1 = dlogY2, mientras que
dlog p1p2 = g2 − g1. De ahi que:
dlogY = s1(dlog
p1
p2
+ dlogY1) + s2(dlogY2)
= s1(g2 − g + dlogY1) + s2dlogY1
= s1(g2 − g1) + (s1 + s2)dlogY1
= s1(g2 − g1) + dlogY1
= s1(g2 − g1) + (g1 + dlogL1) (2.48)
Donde se ocupo s1 + s2 = 1. Tasa de crecimiento deja de ser con-
stante, depende de la tasa de crecimiento de L1. Pero esta tasa no puede
ser constante, de hecho debe desalerarse, porque la oferta total de trabajo
es limitado.
Chapter 3
Oferta de Factores
3.1 oferta de trabajo
3.1.1 Modelo de un periodo
Nos centraremos en analizar el problema de un individuo (porque los indi-
viduos son los que ofrecen trabajo)
Elementos del problema del individuo:
1. Al individuo le gusta consumir.
2. Pero para consumir, debe trabajar.
3. Aunque le disgusta trabajar (prefiere el ocio)
4. Hay tiempo limitado (24 horas) que debe ser ocupado para trabajar o
para ocio
5. si trabajo, obtiene un salario w por hora trabajada
75
76 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
6. El consumo tiene un precio, p.
7. El individuo tiene un ingreso de fuentes distintas al trabajo (por ejem-
plo herencias) igual a A.
Como podemos pensar en el problema de los individuos en este contexto?
Los elementos A y C, los podemos escribir a partir de suponer la siguiente
funcion de utilidad sobre consumo, c, y ocio, h:
U(c, h)
donde Uc > 0 y Uh < 0.
Ademas, el elemento D significa que:
h + l = 24
donde l es la cantidad de tiempo que se ofrece para trabajar.
El resto de los elementos tienen un denominador comun, nos indican las
posibilidades de consumo del individuo dependen de: (1) cuanto trabaja,
(2) de cuanto le pagan por hora trabajada (w), (3) de los ingresos que no
dependen de su esfuerzo laboral y (4) del precio del consumo. Esto se resume
en la siguiente restriccion presupuestaria:
pc = wl + A
3.1. OFERTA DE TRABAJO 77
De esta forma, el individuo debe resolver el siguiente problema:
maxc,h,l U(c, h) (3.1)
h + l = 24 (3.2)
pc = wl + A (3.3)
donde el individuo enfrenta precios (porque?) y decide cantidades.
Ahora si reemplazamos (2) en (1), tenemos:
maxc,h U(c, h)
pc = w(24− h) + A
O alternativamente:
maxc,h U(c, h)
pc + wh = 24w + A
donde 24w + A es ingreso potencial (”full income”).
Por el momento supongamos que:
U(c, h) = (
cα − 1
α
) + b(
hφ − 1
φ
)
78 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
Entonces, el individuo resuelve:
maxc,h (
cα − 1
α
) + b(
hφ − 1
φ
)
pc + wh = 24w + A
O alternativamente:
L(w, p) = maxc,h (c
α − 1
α
) + b(
hφ − 1
φ
)
+ λ(24w + A− pc− wh)
Las CPO son:
cα−1 = λp (3.4)
bhφ−1 = λw (3.5)
pc + wh = 24w + A (3.6)
De (4) y (5), se obtiene:
bhφ−1
cα−1︸ ︷︷ ︸
TMS
=
w
p︸︷︷︸
precio relativo
(3.7)
INSERTAR GRAFICO EN CLASES
3.1. OFERTA DE TRABAJO 79
Esta igualda de TMS y precios relativos determina la cantidad de ocio
y consumo de la persona.
Dado que se determina ocio, sabemos cuanto trabaja la persona porque
l = 24− h.
Pero, pueden existir soluciones de esquina, es decir que las personas no
trabajen y dediquen todo su tiempo a ocio. (Ver grafico en clases)
Intuicion: Pueden existir personas con un ingreso independiente de tra-
bajo (A) lo suficientement grande como para que le permita comsumir. No
necesita trabajar.
Esto se da cuando:
b24φ−1
(A/p)α−1
≥ w
p
(3.8)
Donde b24
φ−1
(A/p)α−1 se conoce como el salario de reserva. Es decir el minimo
salario al que se esta dispuesto a trabajar (a salarios menores no se trabaja).
En resumen, en este modelo de un solo periodo (estatico), hay dos deci-
siones de oferta de trabajo:
A) Trabajar versus no trabajar. (Decision de entrada. Se conoce como
margen extensivo)
Esta decision esta caracterizada por salario real wp con salario de reserva.
Si salario real es al menos tan grande como el salario de reserva, se ofrece
trabajo. Esto es, se trabaja si y solo si:
80 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
w
p
≥ wr︸︷︷︸
salario reserva
B) Si se decide trabajar, cuanto trabajar. (Se conoce como margen
intensivo). Esto lo obtenemos a traves de la condicion:
bhφ−1
cα−1︸ ︷︷ ︸
TMS
=
w
p︸︷︷︸
precio relativo
Lo que es interesante es que ambas decisiones estan influidas por el salario
real wp . Por lo tanto, lo que trataremos de hacer a continuacion es ver como
el salario real afecta a ambas decisiones por separado. Partamos por la
decision del margen extensivo.
3.1.2 Impacto del salario real sobre el margen extensivo (de-
cision de entrada)
Primero,en general cuando se observa el mercado laboral, hay personas que
trabajan y otras que no trabajan. Es decir hay decisiones que varian entre
personas, esto se conoce como HETEROGENEIDAD.
Una forma por la que podemos generar heterogeneidad es por medio
de suponer que el parametro b de la funcion de utilidad es distinto entre
personas (Que significa intuitivamente este supuesto?)
Supuesto:
3.1. OFERTA DE TRABAJO 81
lnb = xβ + e (3.9)
donde e distribuye de acuerdo a N(0, σ2e) y donde x es un vector de
caracteristicas.
Insertar grafico en clases
Esto es interesante porque las personas que deciden trabajar cumplen
con:
b24φ−1
(A/p)α−1
≤ w
p
⇒ lnb + (φ− 1)ln24− (α− 1)ln(A/p) ≤ ln(w
p
)
Por lo tanto, ocupando (9), se obtiene que las personas que desean tra-
bajar son aquellas que estan caracterizadas por:
xβ + e + (φ− 1)ln24− (α− 1)ln(A/p) ≤ ln(w
p
)
O alternativamente:
e ≤ ln(w
p
)− xβ + (α− 1)ln(A/p)− (φ− 1)ln24
Por lo tanto, la fraccion de la problacion que trabaja es:
82 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
Φ(
ln(wp )− xβ + (α− 1)ln(A/p)− (φ− 1)ln24
σe
)
Supongamos ahora que aumenta marginalmente el salario real ln(wp ).
Que sucede con la fraccion de personas que oferece trabajo?
∂Φ
∂ln(wp )
=
φ(
ln(wp )− xβ + (α− 1)ln(A/p)−K
σe
)
1
σe
> 0
donde K = (φ − 1)ln24 Un ejercicio similar es preguntarse que ocurre
con la fraccion de personas que trabaja si aumenta el ingreso del tipo A.
Esto es:
∂Φ
∂ln(A/p)
=
φ(
ln(wp )− xβ + (α− 1)ln(A/p)−K
σe
)
α− 1
σe
Que indica esta expresion? Que la fraccion de personas trabajando dis-
minuye si α− 1 < 0. Este caso es esperable porque indica concavidad en la
funcion de consumo. Porque?
En resumen, la fraccion de personas trabajando:
A) aumenta si aumenta el salario real (esto es un aumento al costo de
oportunidad del ocio)
3.1. OFERTA DE TRABAJO 83
B) disminuye si aumenta la riqueza A (efecto riqueza que produce la
salida de las personas con mayor ingreso)
3.1.3 Impacto del salario real sobre el margen intensivo
(caso de personas que están trabajando)
Si aumenta el salario real, el impactosobre las personas que estan traba-
jando; es de dos tipos:
A) efecto ingreso
B) efecto sustitucion
INSERTAR GRAFICO EN CLASES
Ambos efectos tienen distinto signo. Por lo que no sabemos cual es el
impacto sobre aquellas personas que estan trabajando antes del aumento en
salarios reales.
maxc,h U(c, h)
pc + wh = 24w + A
CPO:
Uc(c, h) = λp
Uh(c, h) = λw
pc + wh = 24w + A
84 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
Estáticas comparativas
Ucc
∂c
∂w
+ Uch
∂h
∂w
=
∂λ
∂w
p
Uhc
∂c
∂w
+ Uhh
∂h
∂w
=
∂λ
∂w
w + λ
p
∂c
∂w
+ h + w
∂h
∂w
= 24
Lo que se puede reescribir como:


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0




∂c
∂w
∂h
∂w
∂λ
∂w


=


0
λ
(h− 24)


Por lo tanto aplicando la regla de Cramer:
∂h
∂w
=
det


Ucc 0 −p
Uch λ −w
−p (h− 24) 0


det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


Lo que entrega:
3.1. OFERTA DE TRABAJO 85
∂h
∂w
=
(h− 24)(Uccw − Uchp)
det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


+
−p2λ
det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


(3.10)
Preguntas
• det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


?
• Uch?
Como se trata de un hessinao orlado en un problema de maximización
se debe cumplir que:
det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


> 0
es decir:
−Uccw2 + Uchpw − p [pUhh − wUch] > 0
→ − [w2Ucc − 2pwUch + p2Uhh
]
> 0
Por lo tanto Uch = Uhc > 0 y tenemos que:
86 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
∂h
∂w
=
(h− 24)(Uccw − Uchp)
det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


︸ ︷︷ ︸
+
+
−p2λ
det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


︸ ︷︷ ︸
−
Formalmente, esto lo podemos ver a traves de la ecuacion de SLUTSKY.
En este caso, la ecuacion de Slustky es:
∂h(p, w, A)
∂w
=
∂h(p, w, u)
∂w︸ ︷︷ ︸
efecto sustitucion
+
∂h(p, w, A)
∂A
l
︸ ︷︷ ︸
efecto ingreso
donde l(p, w, A) es la oferta de trabajo que depende de p,w y A.
3.1.4 Efecto Ingreso
El efecto ingreso se puede calcular, como el impacto cuando aumenta A
(ingreso autónomo)
Estáticas comparativas
Ucc
∂c
∂A
+ Uch
∂h
∂A
=
∂λ
∂A
p
Uhc
∂c
∂A
+ Uhh
∂h
∂A
=
∂λ
∂A
w
p
∂c
∂A
+ w
∂h
∂A
= 1
Lo que se puede reescribir como:
3.1. OFERTA DE TRABAJO 87


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0




∂c
∂w
∂h
∂w
∂λ
∂w


=


0
0
1


Por lo tanto aplicando la regla de Cramer:
∂h
∂A
=
det


Ucc 0 −p
Uch 0 −w
−p 1 0


det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


Lo que entrega:
∂h
∂A
=
(Uccw − Uchp)
det


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


(3.11)
3.1.5 Efecto Sustitución
El efecto sustitución se calcula, como el impacto en h cuando aumenta w,
pero manteniendose sobre la misma curva de utilidad. Eso es justamente
cuando resolvemos el problema de minimización de gasto, sujeto a un nivel
de utilidad, es decir:
88 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
minc,h pc + wh
s.a. U0 = U(c, h)
CPO:
p = µUc(c, h)
w = µUh(c, h)
U0 = U(c, h)
donde µ es el multiplicador de lagrange de la restricción.
Estáticas comparativas
−µUcc ∂c
∂w
− µUch ∂h
∂w
− ∂µ
∂w
Uc = 0
−µUhc ∂c
∂w
− µUhh ∂h
∂w
− ∂µ
∂w
Uh = −1
−Uc ∂c
∂w
− Uh ∂h
∂w
= 0
Lo que se puede reescribir como:


−µUcc −µUch −Uc
−µUch −µUhh −Uh
−Uc −Uh 0




∂c
∂w
∂h
∂w
∂µ
∂w


=


0
−1
0


3.1. OFERTA DE TRABAJO 89
Por lo tanto aplicando la regla de Cramer:
∂h
∂w u=u0
=
det


−µUcc 0 −Uc
−µUch −1 −Uh
−Uc 0 0


det


−µUcc −µUch −Uc
−µUch −µUhh −Uh
−Uc −Uh 0


Lo que entrega:
∂h
∂w u=u0
=
U2c
det


−µUcc −µUch −Uc
−µUch −µUhh −Uh
−Uc −Uh 0


(3.12)
Pero nótese que de la CPO: Uc = pµ . Además nótese que
det


−µUcc −µUch −Uc
−µUch −µUhh −Uh
−Uc −Uh 0


= − 1
µ


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


(3.13)
Por lo tanto:
90 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
∂h
∂w u=u0
=
p2/µ2
− 1µ


Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


(3.14)
O alternativamente:
∂h
∂w u=u0
=
−p2/µ

Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


(3.15)
Finalmente nótese que de la CPO del problema de minimización de costos
tenemos: Uc = pµ , mientras que de la CPO de maximización de utilidad
tenemos: Uc = λp, por lo tanto:
λ =
1
µ
Entonces:
∂h
∂w u=u0
=
−p2λ

Ucc Uch −p
Uch Uhh −w
−p −w 0


(3.16)
Por lo tanto, acabamos de derivar el efecto sustitución
3.2. ELASTICIDAD DE LA OFERTA DE TRABAJO AGREGADA 91
3.2 Elasticidad de la oferta de trabajo agregada
La oferta de trabajo agregada es:
Ls(w) = Lis(w)Φ(w)
donde Lis(w) es la oferta de trabajo per capita (horas), mientras que
Φ(w) es la fracción de la población que está en la fuerza de trabajo.
La elasticidad de la oferta agregada se puede calcular de la siguiente
forma:
∂Ls(w)
∂w
=
∂Lis(w)
∂w
Φ(w) + Lis(w)
∂Φ(w)
∂w
Multiplicando por wLs , tenemos:
∂Ls(w)
∂w
w
Ls︸ ︷︷ ︸
elasticidad oferta agregada
=
∂Lis(w)
∂w
w
Ls
Φ(w) + Lis(w)
w
Ls
∂Φ(w)
∂w
=
∂Lis(w)
∂w
w
Lis
LisΦ(w)
Ls
+
LisΦ(w)
Ls
∂Φ(w)
∂w
w
Φ(w)
Pero como LisΦ(w) = Ls, se obtiene que:
92 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
∂Ls(w)
∂w
w
Ls︸ ︷︷ ︸
elasticidad oferta agregada
=
∂Lis(w)
∂w
w
Lis︸ ︷︷ ︸
elasticidad oferta individual
+
∂Φ(w)
∂w
w
Φ(w)︸ ︷︷ ︸
elasticidad entrada
3.3 Discontinuidad en oferta de trabajo
Considere el caso de trabajo igual a {0, 24}. Esto quiere decir que no se
pueden elegir horas entre 0 y 24: se trabajo 24 horas (jornada completa) o
no se trabaja.
Por simplicidad volvamos al caso con función de utilidad:
U(c, h) = (
cα − 1
α
) + b(
hφ − 1
φ
)
En ese caso, sabemos que la persona trabaja si:
b24φ−1
(A/p)α−1
≤ w
p
•Cual es la oferta de trabajo individual?
Lis =



24 b24
φ−1
(A/p)α−1 ≤ wp
0 b24
φ−1
(A/p)α−1 >
w
p



Insertar gráfico en clases
3.3. DISCONTINUIDAD EN OFERTA DE TRABAJO 93
•Cuantas personas trabajan?
La fracción de personas que se encuentran trabajando está determinada
por el hecho que los que quieren trabajar cumplen:
xβ + e + (φ− 1)ln24− (α− 1)ln(A/p) ≤ ln(w
p
)
O alternativamente:
e ≤ ln(w
p
)− xβ + (α− 1)ln(A/p)− (φ− 1)ln24
Por lo tanto, la fracción de la problacion que trabaja es:
Φ(
ln(wp )− xβ + (α− 1)ln(A/p)− (φ− 1)ln24
σe
)
De esta forma la oferta total de trabajo, si hay N personas es:
Ls = 24︸︷︷︸
individual
Φ(
ln(wp )− xβ + (α− 1)ln(A/p)− (φ− 1)ln24
σe
)
︸ ︷︷ ︸
frac. trabajando
N
94 CHAPTER 3. OFERTA DE FACTORES
Chapter 4
Equilibrio Walrasiano y
equilibrio general
Hasta ahora hemos considerado modelos de equilibrio ”parcial”. El adje-
tivo parcial indica que hemos estado mirando a un mercado por un bien
particular, por ejemplo el mercado del trabajo (laboral).
Sin embargo, al haber hecho esto, hemos olvidado las interrelaciones con
otros mercados.
Un modelo que incluya estas interdependencias entre mercados puede
ayudarnos a explicar fenomenos como el que cambios en precios de un mer-
cado afecte las cantidades y los precios en otros mercados.
Ejemplos de este tipo de casos pueden encontrarse en comercio interna-
cional, cuando tratados de libre comercio permiten importar productos mas
baratos, lo que finalmente puede impactar a todad la economia. Tambien
pueden encontrarse ejemplos en los impactos de los impuestos o problemas
95
96CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
inter-temporales (donde el equilibrio de hoy afecta lo que ocurre en el futuro
a traves del ahorro de las personas).
Para tratar este tipo de casos, veremos modelos de equilibrio general
4.1 Elementos de los modelos de equilibrio general
En general, los modelos que ocupamos en economia se basan en los siguientes
supuestos:
a. Asumimos que existen mercados para todos los bienes que existen en
la economia
b Asumimos que los mercados se vacian.
c. Asumimos que todos los agentes se comportan competitivamente.
Esto quiere decir que toman los precios como dados.
4.1.1 Economia de intercambio puro
Supuestos:
Economia con muchos bienes(N) y muchos consumidores (I).
Los consumidores pueden tener distintas funciones de utilidad.
Por el momento no habran empresas. Solo dotaciones.
Cada bien tiene asociado un precio pn.
Consumo del bien n por consumidor i es cin.
La funcion de utilidad del consumidor i es ui(ci1, c
i
2, .., c
i
n). Creciente en
cada uno de los bienes.
El consumidor i tiene dotaciones de los N bienes. la dotacion del bien n
del consumidor i es ein.
4.1. ELEMENTOS DE LOS MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL97
Que ocurre en esta economia?
Cada individuo tiene dotaciones de todos los bienes. Una posibilidad es
que cada individuo consuma sus dotaciones.
En ese caso, no hay intercambio.
Pero y si, los individuos quisieran consumir cantidades de cada bien
distinta a las dotaciones? En ese caso, debe existir intercambio.
Como se produce el intercambio? En el mercado: se vende o se compra
al precio de mercado.
Por lo tanto en nuestra economia hay dos etapas:
1. Cada persona resuelve su problema
2. Las decisiones optimas de cada persona interactuan en el mercado.
Pero estos mercados deben vaciarse.
• Primeta etapa: Que hace cada individuo?
max ui(ci1, c
i
2, .., c
i
n) (4.1)
N∑
n=1
pnc
i
n =
N∑
n=1
pne
i
n (4.2)
La solucion a este problema es:
98CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
ci,∗1 = c
i
1(M, p1, p2, ....)
ci,∗2 = c
i
2(M, p1, p2, ....)
....
ci,∗N = c
i
N (M, p1, p2, ....)
λi,∗ = λi(M, p1, p2, ....)
Hay N+1 soluciones.
• Segunda etapa: Mercados se vacian
Pensemos en el individuo numero 1. Su solucion para la cantidad del
bien tipo 1 es c1,∗1 .
Pensemos en el individuo numero 2. Su solucion para la cantidad del
bien tipo 1 es c2,∗1 .
Pensemos en el individuo numero I. Su solucion para la cantidad del bien
tipo 1 es cI,∗1 .
Por lo tanto, la demanda total en el mercado dle bien 1 es:
Cd1 = c
1,∗
1 + c
2,∗
1 + c
3,∗
1 + c
4,∗
1 + .... + c
I,∗
1
=
I∑
i=1
ci,∗1
=
I∑
i=1
ci1(p1, p2, ....)
Donde eliminamos el M de la funciones de demanda para simplificar la
4.1. ELEMENTOS DE LOS MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL99
notacion.
Cuanto es la oferta en el mercado del bien 1?
Cs1 = e
1
1 + e
2
1 + e
3
1 + e
4
1 + .... + e
I
1
=
I∑
i=1
ei1
En equilibrio, los mercados se vacian....es decir cantidad demandada
igual a cantidad ofrecida esto es:
Cd1 = C
s
1
I∑
i=1
ci1(p1, p2, ....) =
I∑
i=1
ei1
Esto se puede generalizar para todos los bienes:
I∑
i=1
cin(p1, p2, ....) =
I∑
i=1
ein∀n ∈ N (4.3)
Que ocurre si no se cumple esta ultima condicion? Por ejemplo si la
cantidad demandada es mayor que la ofrecida en el caso del bien 1, esto es:
I∑
i=1
ci1(p1, p2, ....) >
I∑
i=1
ei1
En este caso, no hay equilibrio......
100CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
la forma de lograr el equilibrio en el mercado del bien tipo 1 es a traves
del precio de mercado⇒aumento de p1
• Definicion de equilibrio competitivo (walrasiano).
Un equilibrio competitivo (walrasiano) es una asignacion de recursos
{ci1, ci2, .., ciN}Ii=1 y unos precios {p1, p2, ..., pn} tal que:
Tomado los precios como dados, cada consumidor elige {ci1, ci2, .., ciN}
como solucion del problema de maximizacion (1) sujeto a (2)
Dada la solucion de cada consumidor, los mercados se vacian para todos
los bienes. Es decir se cumple la condicion (3)
Como llegamos a este equilibrio?
La historia del rematador Walrasiano...
1. El rematador walrasiano anuncia un precio para todos los bienes en
la economia (para todos los mercados).
2. Cada consumidor calcula su demanda por el bien a ese precio. Se
descuenta su dotacion del bien para obtener los excesos de demandas.
3. El rematador Walrasiano verifica si la suma de las demandas netas es
cero.
4. Si la suma de demandas no es cero, se parte nuevamente con otro
precio.
Se sigue este procedimiento hasta que se encuentre el precio de equilibrio.
• Ejemplo 1: sea una economia con
dos bienes (bien 1 y bien 2)
dos consumidores (A y B)
cuyas funciones de utilidad son:
4.1. ELEMENTOS DE LOS MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL101
UA = (c1,A)α(c2,A)1−α
UB = (c1,B)β(c2,B)1−β
con dotaciones (1,0) y (0,1) respectivamente
Determine el equilibrio competitivo de esta economia.
Recordemos que la solucion esta relacionada con encontrar las asigna-
ciones (cantidades consumidas) y los precios.
Solucion:
El problema del individuo tipo A es:
max (c1,A)α(c2,A)1−α
p1c1,A + p2c2,A = p1
Sus funciones de demanda son:
c1,A = α
c2,A = (1− α)p1
p2
De la misma forma el individuo tipo B resuelve:
102CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
max (c1,B)β(c2,B)1−β
p1c1,B + p2c2,B = p2
Sus funciones de demanda son:
c1,B = β
p2
p1
c2,A = (1− β)
Has aqui hemos encontrado las asignaciones como funciones de los pre-
cios....pero no conocemos los precios...
como los obtenemos? Ocupando las condiciones de vacio de mercado.
Por ejemplo en el caso del bien 1, tenemos que la cantidad demandada
total debe ser igual a la cantidad ofrecida, esto es:
α + β
p2
p1
= 1
⇒ p2
p1
=
1− α
β
Esta ecuacion, nos permite determinar precios relativos!!!! y asignaciones
finales, que son
4.2. LEY DE WALRAS (LA INTERDEPENDENCIA DE MERCADOS)103
c1,A = α
c2,A = (1− α) β1− α = β
c1,B = β
1− α
β
= 1− α
c2,A = (1− β)
Fijense, que hemos solucionado el equilibrio competitivo, pero sin ocupar
la segunda condicion d vacio de mercado (bien 2). Porque? Hemos ocupado
la ley de Walras!!
4.2 Ley de Walras (La interdependencia de mer-
cados)
La mayor ventaja de los modelos de equilibrio genral es que toman en con-
sideracion la interdependencia entre los mercados.
Esto tiene una aplicacion interesante (ley de Walras):
Suponga una economia con N mercados (libros, hamburguesas, papas,
etc..), Si N-1 mercados se vacian (es decir oferta igual a demanda), entonces
el mercado restante debe vaciarse.
Prueba de la ley de Walras.
Partamos de la restriccion presupuestaria de un consumidor, especifica-
mente del consumidor i:
104CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
N∑
n=1
pnc
i
n =
N∑
n=1
pne
i
n
Esta restriccion se puede escribir de la siguiente forma (porque?):
N∑
n=1
pnc
i,∗
n =
N∑
n=1
pne
i
n
N∑
n=1
cin(p1, p2, ....) =
N∑
n=1
pne
i
n
O alternativamente como:
N∑
n=1
pn (cin(p1, p2, ....)− ein)︸ ︷︷ ︸
din
= 0
donde din es el exceso de demanda del bien n por parte del consumidor i
en relacion a su dotacion inicial.
Como esta ultima restriccion se cumple para todos los individuos, si
sumamos a traves de todos ellos, se obtiene:
I∑
i=1
N∑
n=1
pnd
i
n = 0
O intercambiando las sumatorias y sacando los precios fuera de la suma-
toria de los individuos:
4.3. LA CAJA DE EDGEWORTH 105
N∑
n=1
pn
I∑
i=1
din
︸ ︷︷ ︸
Dn
= 0 (4.4)
Donde Dn es el exceso de demanda total en el mercado n. Esta ecuacion
(4) indica que la suma de excesos de demanda deben ser cero.
Dos conclusiones importantes:
a) Suponga el caso de N=2. Si un mercado tiene exceso de demanda
entonces el otro mercado debe tener exceso de oferta.
b) (LEY DE WALRAS) Si hay N mercados, y hay N-1 mercados en
equilibrio (exceso de demanda cero), entonces el mercado restante tambien
debe estarlo.
Supuesto implicito de la ley de Walras: No saciedad de las preferencias.
Porque?
La razon es que partimos suponiendo que la restriccion presupuestaria
del consumidor se cumple con igualdad. Es decir, si aumenta el ingreso
de esta persona, aumenta su consumo para cumplir con esta igualdad. Si
existiera saciedad en prefrencias, esto no necesariamente ocurriria.
4.3 La caja de Edgeworth
Otra forma de encontrar equilibrio en el caso de dos consumidores y dos
bienes: La caja de Edgeworth
Sabemos que el problema que resuelve cada individuo es:
106CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
maxci1,ci2
ui(ci1, c
i
2)
p1c
i
1 + p2c
i
2 = p1e
i
1 + p2e
i
2
Particularidad de este problema. La restriccion presupuestaria no tiene
ingreso M exogeno, si no que es funcion de las dotaciones.
Como es esta restriccion presupuestaria?Reescribamosla como:
p1c
i
1 + p2c
i
2 = p1e
i
1 + p2e
i
2
ci2 =
p1e
i
1 + p2e
i
2
p2︸ ︷︷ ︸
intercepto
−p1
p2︸︷︷︸
pendiente
ci1
Que cosas deben destacarse de esta restriccion presupuestaria:
1) Tal como en los casos tipicos, la restriccion presupuestaria tiene una
pendiente dada por la razon (negativa) de los precios reslativos de los bienes.
2) La diferencia ocurre en el intercepto que depende de los precios y de
las dotaciones
Como dibujamos la restriccion presupuestaria? En el grafico cuyos ejes
son (ci1, c
i
2), primeros dibujamos el punto de dotaciones y despues hacemos
pasar la restriccion presupuestaria por ese punto (dada la pendiente que
conocemos).
Los graficos 1 y 2 muestran estas restricciones presupuestarias junto a
las curvas de indiferencia de cada consumidor en cada caso
4.3. LA CAJA DE EDGEWORTH 107
Insertar grafico 1 y grafico 2 en clases
Ahora podemos dibujar la caja de Edgeworth.
Los 2 graficos se ponen juntos. El grafico del segundo consumidor se rota
en 180 grados y se junta con el grafico del consumidor 1 tal que los puntos
de dotacion coincidan
Porque coinciden los puntos de dotacion?
Porque el tamao de la caja se determina por la suma de las dotaciones.
Es dicir el largo de los ejes para consumo del bien 1 y del bien 2 deben ser
la suma de las dotaciones de cada uno de estos bienes.
Insertar grafico 3 en clases
Cada punto de esta caja indica una asignacion para ambos agentes.
Las cantidades para el agente 1 se miden desde el origen O1 mientras
que las cantidades para el agente 2 se miden desde el origen O2.
Cada punto en la caja es factible. Es decir cada punto es factible en el
sentido que en cada bien las sumas de las cantidades para cada agente son
iguales a las dotaciones disponibles. (mientras que ningun punto fuera de la
caja es factible).
Ahora si se incluyen las curvas de indiferencia para cada agente, se ob-
tiene el grafico 4.
Insertar grafico 4 en clases
En ese caso, los agentes estan maximizando pero ademas es un equilibrio
(porque?).
Finalmente notese que en equilibrio:
TMS1 = TMS2 = p1p2 . (esto tambien ocurria cuando no ocupabamos la
caja de Edgeworth)
108CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
4.4 La mano invisible: Eficiencia de Pareto de la
asignacion de mercado
”Cada individuo busca su propia ganancia, y en ese caso, el esta guiado por
una mano invisible para promover el interes publico, aunque esa no era su
intencion”
Adam Smith (1723-1790)
4.4.1 Eficiencia de pareto
Definicion: Una asignacion de bienes entre individuos {ci1, ci2, .., ciN}Ii=1 es
eficiente si:
(1) La asignacion es factible, es decir:
I∑
i=1
cin =
I∑
i=1
ein ∀n (4.5)
(2) no existe otra asignacion {c̃i1, c̃i2, .., c̃iN}Ii=1 tal que
(2.a) esta asignacion es factible,
I∑
i=1
c̃in =
I∑
i=1
ein ∀n (4.6)
(2.b){c̃i1, c̃i2, .., c̃iN}Ii=1 es estrictamente preferida por a lo menos un con-
sumidor j i = 1, 2, ..., I, pero debilmente preferida por el resto:
4.4. LA MANO INVISIBLE: EFICIENCIA DE PARETO DE LA ASIGNACION DE MERCADO109
U j(c̃j1, c̃
j
2, .., c̃
j
N ) > U
j(cj1, c
j
2, .., c
j
N ) (4.7)
U i(c̃i1, c̃
i
2, .., c̃
i
N ) ≥ U i(ci1, ci2, .., ciN ) ∀i 6= j (4.8)
Definicion informal: Una asignacion es Pareto Eficiente (PE) si ningun
consumidor puede estar mejor sin hacer a lo menos a otro consumidor peor.
Caracteristica:
• No hemos hablado de precios, solo de asignaciones
• Este concepto es similar a que un planificador central asigne cantidades
entre personas.
• Como las personas no interactuan, no es necesario el sistema de precios.
Este concepto responde la pregunta:
• Dada las dotaciones iniciales, podemos reasignar las dotaciones en-
tre los agentes de forma de aumentar el bienestar de al menos una de las
personas pero sin empeorar la situacion de otras personas?
Como podemos encontrar esas asignaciones eficientes en el sentido de
Pareto en la caja de Edgeworth?
Para ser PE, las curvas de utilidad deben ser tangentes
Porque?
Tomen cualquier par de curvas que no son tangentes , si no que se cortan
en dos puntos. Es facil mostrar que se puede mejorar la situacion de ambas
personas
Por lo tanto, todos los puntos de tangencia entre curvas de utilidad en
la caja de Edgeworth son PE
110CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
Resolvamos el equilibrio PE del problema que vimos antes. Recorde-
moslo:
• Ejemplo 1: sea una economia con
dos bienes (bien 1 y bien 2)
dos consumidores (A y B)
cuyas funciones de utilidad son:
UA = (c1,A)α(c2,A)1−α
UB = (c1,B)β(c2,B)1−β
con dotaciones (1,0) y (0,1) respectivamente
4.4.2 Problema de Pareto
Asumamos que el consumidor tipo B tiene un nivel de utilidad inicial U0.
La pregunta de PE es si se puede mejorar el nivel de utilidad de A, sujeto
que no debemos empeorar al tipo B.
max (c1,A)α(c2,A)1−α
(c1,B)β(c2,B)1−β ≥ U0
c1,A + c1,B = 1
c2,A + c2,B = 1
4.4. LA MANO INVISIBLE: EFICIENCIA DE PARETO DE LA ASIGNACION DE MERCADO111
Solucion:
L = (c1,A)α(c2,A)1−α + λ0(c
β
1,Bc
1−β
2,B − U0) + ...
λ1(1− c1,A − c1,B) + λ2(1− c2,A − c2,B)
CPO:
∂L
∂c1,A
: α(c1,A)α−1(c2,A)1−α = λ1
∂L
∂c2,A
: (1− α)(c1,A)α(c2,A)−α = λ2
∂L
∂c1,B
: λ0βc
β−1
1,B c
1−β
2,B = λ1
∂L
∂c2,B
: λ0(1− β)cβ1,Bc−β2,B = λ2
Por lo tanto:
α
1− α
c2,A
c1,A
=
β
1− β
c2,B
c1,B
Pero esta es la misma condicion que se obtenia al resolver el equilibrio
112CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
Walrasiano!!!!
4.4.3 Los dos teoremas fundamentales de bienestar
•Primer teorema de bienestar
Cada equilibrio competitivo (Walrasiano) es Pareto Eficiente (supuesto:
las preferencias no se sacian)
• Segundo teorema del bienestar
Bajo ciertos supuestos, cada asignacion pareto eficiente puede ser decen-
tralizada como un equilibrio competitivo (Walrasiano )
4.5 Economia con produccion
Supuestos:
• bienes: Economia con muchos bienes (N). Cada bien tiene asociado un
precio pn.
•consumidores: Economia con muchos consumidores (I).
Los consumidores pueden tener distintas funciones de utilidad.
Consumo del bien n por consumidor i es cin.
La funcion de utilidad del consumidor i es ui(ci1, c
i
2, .., c
i
n). Creciente en
cada uno de los bienes.
Consumidores enfrentan precios
• Empresas: Bienes son producidos por empresas. En total hay J em-
presas
Para producir los bienes, las empresas tienen funciones de produccion:
fj(Kj , Lj)
4.5. ECONOMIA CON PRODUCCION 113
donde j indexa empresas , Kj y Lj son factores de produccion
Empresas enfrentan precios. Cuales?
los precios a los que venden su produccion, pn.
los precios a los que contratan sus factores de produccion, w, r.
• Dotacion de factores
La economia tiene una dotacion total de factores: K̃, L̃
En este economia, las empresas y las personas enfrentan precios.
Para cualquier nivel de precios, ellos deben decidir optimamente
Tal como antes, las etapas son:
1. Cada persona resuelve su problema y cada empresa resuelve su prob-
lema
2. Las decisiones optimas de cada persona interactuan en el mercado.
Pero estos mercados deben vaciarse.
4.5.1 Definicion de equilibrio competitivo (walrasiano) con
produccion
Un equilibrio competitivo (walrasiano) con produccion es una asignacion de
recursos {q1, q2, .., qN} y unos precios {p1, p2, ..., pn} tal que:
•Tomado los precios como dados, cada consumidor resuelve su problema
max ui(ci1, c
i
2, .., c
i
n) (4.9)
N∑
n=1
pnc
i
n = M (4.10)
•Tomado los precios como dados, cada empresa resuelve su problema de
114CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
maximizacion
max pqsj − wLj − rKj (4.11)
qsj = fj(Kj , Lj) (4.12)
• Dada la soluciones de los consumidores y las empresas, los mercados
se vacian para todos los bienes y factores, es decir:
I∑
i
cin =
J∑
j
qjn ∀n (4.13)
J∑
j
Kj = K̃ (4.14)
J∑
j
Lj = L̃ (4.15)
Ejemplo: Caso de 1 consumidor y 1 empresa
• Consumidor con preferencias, sobre consumo y ocio. Dotacion de
tiempo es 1 unidad. Precios p, w.
maxc,h aln(c) + (1− a)ln(h)
pc + wh = w
• Empresa:Funcion de produccion q = aL
Resolver equilibrio competitivo
4.5. ECONOMIA CON PRODUCCION 115
Solucion del consumidor
Las CPO del consumidor son:
a
c
= λp
1− a
h
= λw
Por lo tanto, condiciones de optimalidad:
a
1− a
h
c
=
p
w
pc + wh = w
Resolviendo las funciones de demanda son:
h(w, p) = 1− a
c(w, p) =
w
p
a
• Solucion de la empresa
maxL paL− wL
Solucion es:
116CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
pa = w
Esta condicion indica que la empresa tiene cero utilidad.
• Vacio de mercados
Dos mercados: bien de consumo y trabajo:
h(w, p) + L = 1
c(w, p) = qs
Entonces de vacio del mercado del trabajo tenemos:
L = 1− h(w, p) = 1− (1− a) = a
Hemos determinado la cantidad de trabajo. Ahora podemos determinar
la cantidad de bien de consumo, a traves del vacio del mercado del bien de
consumo:
c(w, p) = qs = aL = a2
Falta determinar precios relativos.
Como lo hacemos? Ocupemos nuevamente la condicion de vacio de mer-
4.6. EJERCICIOS RESUELTOS DE EQUILIBRIS WALRASIANOS Y EQUILIBRIO GENERAL117
cado del bien de consumo:
w
p
a = a2
→ w
p
= a
4.6 Ejercicios resueltos de equilibris walrasianos y
equilibrio general
4.6.1 Ejercicio 1
Considere una empresa competitiva con dos bienes (x, h), un consumidor, y
una firma (F). La funcion de utilidad del consumidor es:
u(c, l) = x + ln(h) (4.16)
donde x es consumo y h son horas de ocio. El consumidor tiene una
dotacion de 24 horas de tiempo, parte de las cuales ls puede dedicar a
trabajar y ademas, tiene una funcion de produccion cuya tecnologia es :
x = 2L (4.17)
donde L es la demanda por trabajo.
Encuentre los precios y las cantidades de equilibrio.
118CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
Respuesta:
Definicon de equilibrio: El equilibrio competitivo es una asignacion de
precios w/p y unas asignaciones de cantidades (x, h, l) tal que:
a) el consumidor maximiza
b) la empresa maximiza
c) los mercados se vacian
Ocuparemos estas tres partes de la definicion de equilibrio para encontrar
los precios y asignaciones.
Consumidor resuelve:
maxx,h x + ln(h) (4.18)
px + wh = 24w (4.19)
Solucion
L = x + ln(h) + λ(24w − px− wh)
CPO
4.6. EJERCICIOS RESUELTOS DE EQUILIBRIS WALRASIANOS Y EQUILIBRIO GENERAL119
1 = λp
1
h
= λw
Por lo tanto, demanda por ocio es:
⇒ h = p
w
o alternativamente , la oferta por trabajo es:
⇒ Ls = 24− p
w
(4.20)
Por el lado de la empresa:
maxL p2L− wL (4.21)
CPO:
p2 = w
⇒ p
w
=
1
2
(4.22)
120CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
Hemos encontrados los precios de equilibrio.
Para encontrar cantidades de equilibrio, se deben ocupar las condiciones
de vacio de mercado. Por ejemplo, el vacio del mercado del trabajo:
24− p
w︸ ︷︷ ︸
oferta
= L︸︷︷︸
demanda
(4.23)
Pero como pw =
1
2 , entonces, cantidad de trabajo de equilibrio es:
L = 24− 1
2
(4.24)
Para obtener la cantidad de x, se puede ocupar la funcion de produccion
de la empresa:
x = 2L = 2(24− 1
2
) = 47 (4.25)
4.6.2 Ejercicio 2
En una economia hay 2 bienes, educacion (e) y comida (f), producidas al
ocupar trabajo (L) y tierra (T), de acuerdo a las siguientes funciones de
produccion:
4.6. EJERCICIOS RESUELTOS DE EQUILIBRIS WALRASIANOS Y EQUILIBRIO GENERAL121
e = (Min(L, T ))2
f = (LT )0.5
Ademas, hay un unico consumidor con la siguiente funcion de utilidad:
u(e, f) = eαf1−α
El consumidor tiene como dotaciones de L y T (ωL, ωT ). Para simplificar
sus calculos asuma que ωL = ωT = 1 y α = 0.5.
Encontrar las asignaciones optimas (asignaciones de Pareto) de L y T
entre sectores.
Solucion:
Las asigaciones optimas se pueden encontrar resolviendo la asignacion
de Pareto.
Sean (Le, Te) y (Lf , Tf ) las asignaciones entre sectores.
Por lo tanto, el problema de maximizacion que enfrenta el consumidor
es:
122CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
max e0.5f0.5 (4.26)
e = (Min(Le, Te))2 (4.27)
f = (LfTf )0.5 (4.28)
Le + Lf = 1 (4.29)
Te + Tf = 1 (4.30)
donde las ecuaciones (14) y (15) son las ecuaciones de vacio de mercado.
Notese que en este caso, como es un problema de Pareto, no hay precios
envueltos.
Por lo tanto, si se reemplaza (12) y (13) en (11), se obtiene:
max Min(Le, Te)(LfTf )0.25
Le + Lf = 1
Te + Tf = 1
Pero, para resolver, noten que lo optimo en el sector de educacion es
Le = Te (la funcion de produccion es una transformacion de la funcion de
produccion Leontief). Por lo tanto:
4.6. EJERCICIOS RESUELTOS DE EQUILIBRIS WALRASIANOS Y EQUILIBRIO GENERAL123
max Le(LfTf )0.25
Le + Lf = 1
Te + Tf = 1
Finalmente por vacio de mercados y por condicion Le = Te,el problema
se puede escribir como:
max Le((1− Le)(1− Te))0.25
O alternativamente:
maxLe Le(1− Le)0.5 (4.31)
De esta forma resolver (16) es lo mismo que resolver (11) a (15). En esta
caso, la CPO es:
(1− Le)0.5 − 0.5 ∗ (1− Le)−0.5Le = 0
1 = 0.5
Le
1− Le
124CHAPTER 4. EQUILIBRIO WALRASIANO Y EQUILIBRIO GENERAL
Le =
2
3
Por lo tanto, las asignaciones son:
Le =
2
3
= Te
Tf =
1
3
= Lf
e = (
2
3
)2
f = =
1
3
Chapter 5
Equilibrios competitivos del
tipo Arrow-Debreu
Analizaremos decisiones de consumo en el contexto de equilibrio competi-
tivos, con horizonte de tiempo infinito e incertidumbre.
La forma de analizar el problema será el utilizar la estructura de mer-
cados completos del tipo Arrow-Debreu. A continuación, explicaremos la
estructura de nuestro problema.
5.1 Preferencias y evolución de dotaciones
Shocks y evolución de dotaciones
Supondremos que un hogar elige su patrón de consumo de acuerdo a su
estructura de preferencias y la evolución de sus dotaciones. Estas dotaciones
vaŕıan de acuerdo a shocks. El shock que ocurre en el periodo t, se anotará
como st, por lo tanto la historia de shocks hasta el periodo t se indexará de
125
126CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
la siguiente forma:
St = [st, st−1, ...., s0] (5.1)
La figura 5.1 muestra un ejemplo de historia de shocks. Esta figura es
lo que se conoce como un arbol de Lucas: cada una de sus distintas ramas
muestra las posibles historias. Por simplicidad del gráfico supondremos que
el máximo tiempo es t=2 y no hasta infinito. Esto es sólo para hacer el
ejemplo gráfico. En el eje de las xs, se muestra el tiempo y en el eje de
las ys se muestra la posición en términos de shocks. Partimos en t=0, con
completa certidumbre. Esto lo indica el hecho que cuando t=0 estamos en un
único nodo. Sin embargo cuando consideramos qué puede ocurrir a futuro,
sabemos que en t=1, pueden existir dos posibilidades: un shock bueno (B)
o un shock malo (M). En t=2, nuevamente ocurre algo parecido. Una vez
que ocurrió el shock de t=1, ocurrirá otro shock en t=2 que puede ser bueno
o malo. Como resultado, las posibles posiciones en t=2 son: (BB), (BM),
(MB) y (MM). Por lo tanto las posibles historias de shocks son condicional
que estamos en t=0 (conocido):
5.1. PREFERENCIAS Y EVOLUCIÓN DE DOTACIONES 127
S1 = B
S1 = M
S2 = BB
S2 = BM
S2 = MB
S2 = MM
Figure 5.1: Ejemplo de historia de shocks
128CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
Asumiremos que los shocks evolucionan a través del tiempo por medio
de la siguiente función de probabilidad:
π(St|s0) = π(st|st−1)π(st−1|st−2)...π(s1|s0) (5.2)
π(St|Sτ ) = π(st|st−1)...π(sτ+1|sτ ) (5.3)
La ecuación (5.2) indica que la probabilidad de ir del estado Sτ al estado
St no depende de la historia ocurrida antes de τ .
Los shocks determinan las dotaciones, por lo tanto estas últimas tienen
la siguiente notación:
yit = y
i(st) (5.4)
Donde i indica el hogar i, en un contexto en que existen muchos hogares,
e.g. i ∈ I donde I es el set de hogares.
Preferencias
Los hogares tienen una función de utilidad separable a través del tiempo
que depende solamente de consumo corriente. Esta funcion de utilidad es
creciente y concava en consumo. Los hogares descuentan el futuro a la tasa
β < 1. Este último parámetro describe la preferencia de consumo de loshogares en distintos momentos del tiempo. Esto nos permite escribir la
función de utilidad esperada en t = 0 como:
5.1. PREFERENCIAS Y EVOLUCIÓN DE DOTACIONES 129
U(Ci) =
∞∑
τ=0
∑
Sτ
u[cit(S
τ )]π(St|s0) (5.5)
El problema del hogar será elegir Ci = {cit(Sτ )}∞τ=0. Para esto necesita-
mos especificar la restricción presupuestaria.
5.1.1 Mercados de Arrow-Debreu, la restricción presupues-
taria y la solución del problema
Mercados de financieros
Permitiremos la existencia de distintos activos financieros. Un activo fi-
nanciero estará indexado por la historia St. Pra que quede claro el concepto
partamos considerando el caso de la figura 5.1, es decir con tres periodos
de tiempo solamente. En este caso, existirá un activo financiero que lla-
maremos b2(BB). Este es un activo financiero que paga b2 unidades del
bien f́ısico si ocurre la historia BB en el momento t=2. So ocurre cualquier
otra historia, es decir en otro nodo de la figura, no paga nada. La idea es
que estos activos financieros se transan en el momento t=0 y que existe un
activo financiero para cada posible historia de shocks. Es decir existirán los
siguientes activos financieros:
1. b1(B): paga b1 unidades de bien f́ısico en el nodo B y cero en los otros
nodos
2. b1(M) paga b1 unidades de bien f́ısico en el nodo M y cero en los otros
nodos
130CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
3. b2(BB) paga b2 unidades de bien f́ısico en el nodo BB y cero en los
otros nodos
4. b2(BM) paga b2 unidades de bien f́ısico en el nodo BM y cero en los
otros nodos
5. b2(MB) paga b2 unidades de bien f́ısico en el nodo MB y cero en los
otros nodos
6. b2(MM) paga b2 unidades de bien f́ısico en el nodo MM y cero en los
otros nodos
Recordemos que el caso que estamos analizando es con timepo hasta
infinito. Por lo tanto definiremos las cantidades transadas de los activos
Arrow-Debreu por el individuo i como bt,i(St), donde (St) nos recuerda que
pueden ocurrir distintas historias y por lo tanto existen distintos activos
Arrow-Debreu (AD).
Restricción presupuestaria
Volvamos al caso de la figura 5.1, y posteriormente lo generalizaremos al
caso de infinitos periodos.
Como es la restricción presupuestaria que enfrenta el individuo en el
periodo t=0?
yi0 − ci0(s0) = q1(B)b1,i(B) + q1(M)b1,i(M) + q2(BB)b2,i(BB) + q2(BM)b2,i(BM)
+q2(MB)b2,i(MB) + q2(MM)b2,i(MM) (5.6)
5.1. PREFERENCIAS Y EVOLUCIÓN DE DOTACIONES 131
donde el precio del activo financiero que se transa para la historia (St)
en el momento t es qt(St). Este precio se conoce como un precio del tipo
Arrow-Debreu. Por lo tanto (5.6) indica que todo el ingreso en el momento
t=0 que no se consume, se utiliza para transar activos financieros del tipo
AD.
Además nótese que una vez que llegamos al periodo t=1, si ocurre el
shock B, se debe cumplir:
ci1(B) = y
i
1(B) + b1,i(B) (5.7)
Si por otro lado ocurriera el shock M, tendŕıamos que el consumo se debe
restringir a:
ci1(M) = y
i
1(M) + b1,i(M) (5.8)
En el periodo t=2, tenemos que considera las situaciones en cada uno de
los cuatros nodos finales, es decir tendŕıamos:
ci2(BB) = y
i
2(BB) + b2,i(BB) (5.9)
ci2(BM) = y
i
2(BM) + b2,i(BM) (5.10)
ci2(MB) = y
i
2(MB) + b2,i(MB) (5.11)
ci2(MM) = y
i
2(MM) + b2,i(MM) (5.12)
132CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
Pero nótese que reemplazando (5.7)-(5.12) en (5.6), se tiene que:
yi0 − ci0(s0) = q1(B)
[
ci1(B)− yi1(B))
]
+ q1(M)
[
ci1(M)− yi1(M))
]
+q2(BB)
[
ci2(BB)− yi2(BB))
]
+ q2(BM)
[
ci2(BM)− yi2(BM))
]
+q2(MB)
[
ci2(MB)− yi2(MB))
]
+ q2(MM)
[
ci2(MM)− yi2(MM))
]
Lo que se puede resscribir como:
yi0 +q1(B)y
i
1(B) + q1(M)y
i
1(M) + q2(BB)y
i
2(BB)
+ q2(BM)yi2(BM) + q2(MB)y
i
2(MB) + q2(MM)y
i
2(MM)
= ci0(s0) + q1(B)c
i
1(B) + q1(M)c
i
1(M) + q2(BB)c
i
2(BB)
+ q2(BM)ci2(BM) + q2(MB)c
i
2(MB) + q2(MM)c
i
2(MM)
O alternativamente:
2∑
τ=0
∑
Sτ
qτ (Sτ )cit(S
τ ) =
2∑
τ=0
∑
Sτ
qτ (Sτ )yit(S
τ ) (5.13)
En esta restriccion presupuestaria se observan dos sumatorias, tal como
en el caso de la funcion de utilidad. La primera suma a traves del tiempo
mientras que la segunda suma a traves de estados de la naturaleza para cada
momento del tiempo.
De esta forma todas las transacciones ocurren al iniciarse el horizonte de
5.1. PREFERENCIAS Y EVOLUCIÓN DE DOTACIONES 133
tiempo, y por lo tanto existe una unica restriccion presupuestaria para cada
hogar. Esta restriccion presupuestaria, en el caso de tiempo hasta infinito
es análoga a la anterior es decir:
∞∑
τ=0
∑
Sτ
q0τ (S
τ )cit(S
τ ) ≤
∞∑
τ=0
∑
Sτ
q0τ (S
τ )yit(S
τ ) (5.14)
Por lo tanto, cada hogar resuelve:
L =
∞∑
τ=0
∑
Sτ
u[cit(S
τ )]π(St|s0) + µi[
∞∑
τ=0
∑
Sτ
q0τ (S
τ )yit(S
τ )−
∞∑
τ=0
∑
Sτ
q0τ (S
τ )cit(S
τ )]
Donde µi es el multiplicador de lagrange del hogar i. Lo que implica
para el hogar i:
∂L
∂cit(Sτ )
⇒ βtuc(cit(Sτ ))π(St|s0) = µiq0τ (St)
Similarmente para el hogar j (distinto de i):
∂L
∂cjt (Sτ )
⇒ βtuc(cjt (Sτ ))π(St|s0) = µjq0τ (St)
Por lo tanto:
134CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
uc(cit(S
t))
uc(c
j
t (St))
=
µi
µj
, ∀t,∀St, ∀i 6= j (5.15)
Esta condicion es el resultado clave de este tipo de modelos de mercados
completos. Dado que el ratioo de precios sombras no dependen del tiempo
y o del estado de la naturaleza, los individuos se aseguran entre ellos de tal
forma en que no varie el ratio de utilidades marginales entre ellos a traves
del timepo y de estados de la naturaleza.
5.2 El equilibrio competitivo
A continuacion cerraremos el modelo por medio de establecer las condi-
ciones que nos entrega el equilibrio competitivo. Para esto las siguientes
definiciones seran utilizadas mas tarde:
Definicion 1: Un sistema de precios es una secuencia de fun-
ciones {q0t (St)}.
Definicion 2: Una asignacion es una lista de secuencias de
funciones {cit(St)}∞t=0.
Definicion 3: Una asignacion factible satisface:
∑
i
cii(S
t) ≤
∑
i
yii(S
t) (5.16)
5.2. EL EQUILIBRIO COMPETITIVO 135
Esta ultima definicion cuando se satisface con igualdad indica que los
mercados se vacian.
Estas definiciones nos permiten definir el equilibrio competitivo de esta
economia:
Definicion de equilibrio competitivo: Un equilibrio competi-
tivo es una asignacion factible y un sistema de precios tal que
cada hogar resuelve su problema.
Supongamos que:
u(c) =
c1−γ
1− γ
En este caso, de acuerdo a la maximizacion de los hogares, tenemos:
cit(S
t) = cjt (S
t)(
µi
µj
)
−1
γ
Vacio de mercados impone:
∑
i
cii(S
t) =
∑
i
yii(S
t)
Supongamos que hay N hogares en la economia. Entonces, ocupando
estas dos condiciones, tenemos:
136CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
c1t (S
t) + c2t (S
t) + c3t (S
t) + ... + cNt (S
t) =
∑
i
yii(S
t)
cNt (S
t)[(
µ1
µN
)
−1
γ + (
µ2
µN
)
−1
γ + .... + (
µ1
µN−1
)
−1
γ + 1] =
∑
i
yii(S
t)
cNt (S
t) =
(µN )
−1
γ
∑
i(µi)
−1
γ
∑
i
yii(S
t)
Lo que puede resumirse como:
cjt (S
t) =
(µj)
−1
γ
∑
i(µi)
−1
γ
∑
i
yii(S
t), ∀j (5.17)
Esta condicion nos entrega nuevamente la solucion de aseguramiento per-
fecto porque
∑
i y
i
i(S
t) es simplemente la dotacion agregada de la economia
en el estado St. De esta forma la razon (µj)
−1
γ
∑
i(µi)
−1
γ
nos indica como se reparte
la dotacion total de recursos de la economia entre los hogares. Esto depende
simplemente de los multiplicadores de Lagrange!!! En este caso, la variacion
en el consumo depende solamente de shocks agragados a la economia, porque
son estos shocks los que mueven la dotacion total de recursos. A continua-
cion resolveremos un ejemplo que permitira dejar mas claro el concepto de
equilibrio competitivo.
5.2. EL EQUILIBRIO COMPETITIVO 137
5.2.1 Ejemplo de equilibrio competitivo bajo mercados de
capitales perfectos
Para caracterizar el equilibrio competitivo resolveremos la asignacion de
recursos asi como el sistema de precios (tal como lo indica la definicion de
equilibrio competitivo).Supondremos que hay solo dos agentes en la economia, cuya dotacion
puede ser igual a 0 o 1, es decir st ∈ {0, 1}. Ademas, esta dotacion es peri-
odica en el sentido que si el agente 1 tiene dotacion 0 en el periodo actual,
este mismo agente debe tener dotacion 1 el proximo periodo y asi sucesiva-
mente. Asimismo, supondremos que no existe incertidumbre agregada, por
lo tanto las dotaciones de los agentes 1 y 2 evolucionan de la siguinete forma:
Dotacion agente 1 (1, 0, 1, ....)
Dotacion agente 2 (0, 1, 0, ....)
Cual es el sistema de precios? De la condicion de primer orden de los
agentes sabemos que:
q0t (S
t) = βtπ(St|s0)uc(c
i
t(S
t))
µi
Normalizando el precio del bien en el momento cero igual a uno, tenemos:
138CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
q00(s0) = 1 =
uc(ci0(s0))
µi
(5.18)
Ademas, sabemos que no hay incertidumbre agregada, por lo tanto dado
que los agentes se aseguran perfectamente, el patron de consumo es constante
a traves del tiempo para cada agente, e.g. ci0(s0) = c
i
t(S
t), ∀i.
Adicionalmente, sabempos que se debe cumplir:
π(1|0) = π(0|1) = 1 (5.19)
π(0|0) = π(1|1) = 0 (5.20)
Esto ultimo se debe a que con certidumbre se conoce el movimiento de
las dotaciones a nivel individual. Esto quiere decir que:
π(St|s0) = 1 si St = S̃t (5.21)
Donde S̃t es un historia con probabilidad de ocurrencia positiva.
Toda esta informacion nos indica que:
q0t (S
t) = βt si St = S̃t (5.22)
Si St 6= S̃t, entonces q0t (St) = 0.
5.2. EL EQUILIBRIO COMPETITIVO 139
Para resolver las cantidades, ocupamos la restriccion presupuestaria:
∞∑
τ=0
∑
St
q0t (s
t)[cit(S
t)− yit(St)] =
uc(ci0(s0))
µi
∞∑
τ=0
∑
St
βtπ(St|s0)[cit(St)− yit(St)]
=
∞∑
τ=0
∑
St
βt[cit(S
t)− yit(St)]
= 0
De esto se desprende que:
c1t = (1− β)
∞∑
j=0
β2j =
1
1 + β
(5.23)
c2t = (1− β)β
∞∑
j=0
β2j =
β
1 + β
(5.24)
Por lo tanto c1t > c
2
t . La intuicion de este resultado, es que el agente 1
parte con dotacion en el momento t=0, y por lo tanto es mas rico que el
agente 2.
140CHAPTER 5. EQUILIBRIOS COMPETITIVOS DEL TIPO ARROW-DEBREU
Chapter 6
Incidencia de impuestos
Esta parte de los apuntes se basan en:
Fullerton, D. y Metcalf, G. (2002) ”Tax Incidence”, Handbook of public
Economics, Vol 4. Capitulo 26.
Jones, R.W. (1965) ”The structure of simple general equilibrium mod-
els”, Journal of Political Economy, 73: 557-572.
Harberger, A. (1962) ”The incidence of corporation income tax”, Journal
of Political Economy, 70: 215-240.
6.1 Descripcion de la Economia (Modelo de 2 por
2)
• Bienes:
2 bienes (X,Y). Sus precios son (px, py)
2 factores de produccion (K,L). Sus precios son (r, w)
• Consumidores:
141
142 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
Consumidor representativo
Funcion de utilidad U(X,Y), creciente y concava en ambos bienes
Elasticidad de Sustitucion:
σd =
d(X/Y )/(X/Y )
d(py/px)/(py/px)
Consumidor tiene dotacion de L y K: (L̃, K̃)
Restriccion presupuestaria:
pxX + pyY = rK̃ + wL̃︸ ︷︷ ︸
Ingreso
• Empresas: 2 tipos de empresas
Xs = F (Kx, Lx)
Y s = G(Ky, Ly)
Ambas funciones de produccion crecientes en capital y trabajo.
Ambas funciones de produccion son de rendimientos constantes a escala.
Ademas, la tecnologia (funcion de produccion) esta caracterizada por el
grado de sustitucion entre factores:
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 143
σx =
d(Kx/Lx)/(Kx/Lx)
d(w/r)/(w/r)
σy =
d(Ky/Ly)/(Ky/Ly)
d(w/r)/(w/r)
• vacio de mercados:
Kx + Ky = K̃
Lx + Ly = L̃
Xd = Xs
Y d = Y s
Donde Xd es la cantidad demanda por X (consumidor) mientras que Xs
es la cantidad ofrecida (empresas). Misma idea para el caso de Y.
Para caracterizar esta economia al ocurrir un cambio exogeno, por ejem-
plo aumento en algun precio (ejemplo r), perturbaremos las condiciones que
caracetrizan a la economia.
Partiremos perturbando las condiciones de vacio de mercado.
Como
Kx + Ky = K̃
Entonces:
144 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
dKx + dKy = dK̃ = 0
⇒ Kx dKx
Kx
+ Ky
dKy
Ky
= 0
⇒ Kx
K̃
dKx
Kx
+
Ky
K̃
dKy
Ky
= 0
O alternativamente:
λkxK̂x + λkyK̂y = 0 (6.1)
donde λkx es la fraccion de capital en el sector X, mientras que K̂x es
la tasa de variacion porcentual en el stock de capital en sector X. Ademas
λkx + λky = 1
De forma similar, se obtiene:
λLxL̂x + λLyL̂y = 0 (6.2)
donde la interpretacion es la misma y λLx + λLy = 1
Un segundo tipo de informacion se obtiene a partir de la elasticidad de
sustitucion de las funciones de produccion:
σx =
d(Kx/Lx)/(Kx/Lx)
d(w/r)/(w/r)
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 145
Pero
d(Kx/Lx)
(Kx/Lx)
=
1
Lx
dKx
(Kx/Lx)
− Kx
L2x
dLx
(Kx/Lx)
=
dKx
Kx
− dLx
Lx
= K̂x − L̂x
Por lo tanto:
σx =
K̂x − L̂x
ŵ − r̂ (6.3)
De forma similar, se obtiene:
σy =
K̂y − L̂y
ŵ − r̂ (6.4)
Y por el lado de la demanda:
σd =
X̂ − Ŷ
p̂y − p̂x (6.5)
Hasta ahora no hemos incorporado informacion de maximizacion.
Las condiciones de optimizacion de las empresas son:
146 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
pxFk = r
pxFL = w
pyGk = r
pyGL = w
Pero ademas, por cero utilidad (dado que las funciones de produccion
son de retornos constantes a escala):
pxX = wLx + rKx
pyY = wLy + rKy
Perturbando la ecuacion de cero utilidad tenemos:
pxdX + dpxX = dwLx + wdLx + drKx + rdKx
O:
pxX
dX
X
+ pxX
dpx
px
= wLx
dw
w
+ wLx
dLx
Lx
+ rKx
dr
r
..
+rKx
dKx
Kx
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 147
Dividiendo por pxX, se obtiene:
X̂ + p̂x =
wLx
pxX︸ ︷︷ ︸
θLx
(ŵ + L̂x) +
rKx
pxX︸ ︷︷ ︸
θKx
(r̂ + K̂x) (6.6)
donde θLx + θKx = 1.
Similarmente:
Ŷ + p̂y =
wLy
pyY︸ ︷︷ ︸
θLy
(ŵ + L̂y) +
rKy
pyY︸︷︷︸
θKy
(r̂ + K̂y) (6.7)
donde θLy + θKy = 1.
Cual es la intuicion?
Informacion de funciones de produccion se puede resumir en:
X = F (Kx, Lx)
Perturbando, se obtiene:
dX = FKdKx + FLdLx
⇒ dX
X
=
FKKx
X
dKx
Kx
+
FLLx
X
dLx
Lx
Pero como FK = rpx y FL =
w
px
, entonces:
148 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
X̂ =
rKx
pxX︸ ︷︷ ︸
θKx
K̂x +
wLx
pxX︸ ︷︷ ︸
θLX
L̂x (6.8)
De forma similar:
Ŷ =
rKy
pyY︸︷︷︸
θKy
K̂y +
wLy
pyY︸ ︷︷ ︸
θLy
L̂y (6.9)
En resumen, hay 9 ecuaciones
pero 10 incognitas:
X̂, Ŷ , L̂x, L̂y, K̂x, K̂y, p̂x, p̂y, ŵ, r̂
No nos interesan los cambios en precios nominales!!!
Nos interesan los cambios en precios relativos. Mostraremos que se puede
escribir el sistema como funcion de:
(X̂ − Ŷ ), (p̂x − p̂y), (ŵ − r̂)
Por lo que buscaremos un sistema de tres ecuaciones para solucionar esas
tres variables.
Tomando las ecuaciones (6) y (8) se obtiene:
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 149
p̂x = θKx r̂ + θLxŵ
De las ecuaciones (7) y (9):
p̂y = θKy r̂ + θLy ŵ
Restando una de otra:
p̂x − p̂y = (θKx − θKy)r̂ + (θLx − θLy)ŵ
Pero como:
θKx + θKy = 1
θLx + θLy = 1
Entonces:
θKx − θLx = θLy − θKy
Por lo tanto:
150 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
p̂x − p̂y = (θLx − θLy)(ŵ − r̂) (6.10)
Hasta ahora, hemos ocupado las ecuaciones (6) a (9), lo que nos ha
permitido obtener (10).
Ahora, ocuparemos el resto de las ecuaciones.
Restando (2) de (1), se obtiene:
λKxK̂x − λLxL̂x + λKyK̂y − λLy L̂y = 0
Pero sumando y restando λKxL̂x y λKy L̂y:
λKxK̂x − λKxL̂x + λKxL̂x − λLxL̂x + ..
λKyK̂y − λKy L̂y + λKy L̂y − λLy L̂y = 0
Lo que puede escribirse como:
λKx(K̂x − L̂x) + λKy(K̂y − L̂y) + ..
L̂x(λKx − λLx) + L̂y(λKy − λLy) = 0
Ocupando (3) y (4):
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 151
λKxσx(ŵ − r̂) + λKyσy(ŵ − r̂) + ..
L̂x(λKx − λLx) + L̂y(λKy − λLy) = 0
Pero como:
λKx + λKy = 1
λLx + λLy = 1
Entonces:
λKx − λLx = λLy − λKy
Y por lo tanto:
λKxσx(ŵ − r̂) + λKyσy(ŵ − r̂) = (L̂y − L̂x)(λKx − λLx)
O:
1
λLx − λKx
(λKxσx + λKyσy)(ŵ − r̂) = (L̂x − L̂y)
(6.11)
152 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
Ademas Restando (9) de (8):
(X̂ − Ŷ ) = θKxK̂x + (1− θKx)L̂x − θKyK̂y − (1− θKy)L̂y
(X̂ − Ŷ )− θKx(K̂x − L̂x) + θKy(K̂y − L̂y) = L̂x − L̂y
(6.12)
Ecuaciones (11) y (12) finalmente producen:
(λLx − λKx)(X̂ − Ŷ ) = (σx(λLxθKx + λKxθLx) + ...
σy(λLyθKy+ λKyθLy))(ŵ − r̂)
(6.13)
Hay una ecuacion que no hemos ocupado:
(X̂ − Ŷ ) = σd(p̂x − p̂y)
Sistema de 3 ecuaciones y tres incognitas:
p̂x − p̂y = (θLx − θLy)(ŵ − r̂) (6.14)
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 153
(X̂ − Ŷ ) = σd(p̂y − p̂x) (6.15)
(λLx − λKx)(X̂ − Ŷ ) = (σx(λLxθKx + λKxθLx) + ...
σy(λLyθKy + λKyθLy))(ŵ − r̂)
(6.16)
donde las incognitas son:
(X̂ − Ŷ ), (p̂x − p̂y), (ŵ − r̂)
Impacto del impuesto al retorno del capital en sector X
Supuesto: el gobierno impone un impuesto al retorno del capital solo en
el sector x.
El dueno de una unidad de capital exige el mismo retorno en ambos
sectores: r
Sin embargo, lo que paga cada empresa es distinto. La empresa Y paga
r por cada unidad de capital mientras que la empresa X paga r(1 + tKX).
En terminos de cambios porcentuales, un aumento de tasa de retorno en
sector Y es:
154 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
r̂ =
dr
r
Mientras que en sector X, los cambios porcentuales en el pago al retorno
al capital en el sector X es:
dr(1 + tKX)
r(1 + tKX)︸ ︷︷ ︸
r̂
+
rd(1 + tKX)
r(1 + tKX)︸ ︷︷ ︸
t̂KX
Como se modifican nuestras ecuaciones?
La ecuacion de demanda -ecuacion 15- no depende de tasas de rentabil-
idad, por lo que no se modifica.
La ecuacion (14) si se modifica.
Primera que nada, reemplazamos (θLx − θLy) = (θKy − θKx), porque el
impuesto se carga en capital, por lo que nos interesa la fraccion del gasto en
capital.
p̂x − p̂y = θKy(ŵ − r̂)− θKx(ŵ − r̂ − t̂KX)
= (θKy − θKx)(ŵ − r̂) + θKx t̂KX
Por lo tanto, lo que indica esta ecuacion es que el aumento en la tasa
de impuesto al capital en sector x presiona a aumentar los precios relativos,
porque se presiona el costo marginal de producir x al alza.
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 155
Tambien se modifica la ecuacion 16. Para simplificar la notacion, defi-
namos:
λ∗ = λLx − λKx
ax = λLxθKx + λKxθLx
ay = λLyθKy + λKyθLy
En ese caso, como el impuesto se crga solo en el sector x, nuestra ecuacion
(16) se modifica a:
λ∗(X̂ − Ŷ ) = σxax(ŵ − r̂ − t̂Kx) + σyay(ŵ − r̂)
= (σxax + σyay)(ŵ − r̂)− σxaxt̂Kx
Esta ecuacion indica que al existir este impuesto hay un impacto negativo
sobre la cantidad ofrecida por la empresa X (terminos de las unidades de
Y).
Intuitivamente, lo que ocurre es que al hacerse mas ”caro” el capital en
el sector x, se sustituye trabajo por capital (efecto captados por elasticidad
de sustitucion), pero ademas existe un efecto escala negativo captado por
los elementos ax. Esto se debe a que la iso-costos que enfrenta la empresa x
es mas restrictiva, lo que impide alcanzar niveles de produccion mas altos.
Por lo tanto, el nuevo sistema de ecuaciones que enfrentamos es:
156 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
p̂x − p̂y = (θKy − θKx)(ŵ − r̂) + θKx t̂KX (6.17)
(X̂ − Ŷ ) = σd(p̂y − p̂x) (6.18)
λ∗(X̂ − Ŷ ) = (σxax + σyay)(ŵ − r̂)
−σxaxt̂Kx (6.19)
Ahora, resolviendo el sistema de ecuaciones 817) a (19), se obtiene:
(ŵ − r̂) = (−λ
∗σDθKX + axσx
D
)t̂KX (6.20)
donde 0 < D = σxax + σyay + λ∗σd(θKy − θKx)
Noten que −λ∗σDθKX < 0 mientras que axσx > 0. Por lo tanto el
impacto del impuesto no es claro sobre los precios relativos.
Intuicion.
• El termino −λ∗σDθKX < 0 representa un efecto ingreso. Si aumenta
tKX , se presional el costo marginal de X, lo que redunda en mayores precios
relativos para X. Esto traspasa demanda de X a Y. Para poder satisfacer esta
demanda, deben traspasarse factores de X a Y, y si el sector X es intensivo
6.1. DESCRIPCION DE LA ECONOMIA (MODELO DE 2 POR 2) 157
en trabajo (como hemos supuesto), debe disminuir w/r de forma que en el
sector Y se contraten las unidades de L y K que se dejan desempleadas en
en el sector X.
Lo importante es notar que debe disminuir w mas de lo que lo hace r
porque el sector X deja desempleado relativamente mas L que K.
• El termino σaax > 0 representa un efecto sustitucion. Si aumenta tKX ,
dentro del sector X, se tiende a aumentar la demanda por L (en terminos
relativos a la de K). Esto prseiona al alza w/r
El resultado final depende de cual efecto es mayor.
158 CHAPTER 6. INCIDENCIA DE IMPUESTOS
Chapter 7
Politica de contratos optima
7.1 Caracteristicas del problema
Negociacion entre empleador (principal) y trabajador (agente)
Produccion se debe repartir entre ambos. la meta del contrato es deter-
minar la forma optima de hacerlo
Produccion depende de esfuerzo del trabajador
Trabajador decide esfuerzo
Empleador no observa esfuerzo
Empleador solo observa produccion final
x es la producion, que puede tener las siguientes posibilidades (x1, x2, ..., xn)
El trabajador puede tomar ”a” acciones
x(a) es la produccion como funcion de la accion
Sea πia la probabilidad de xi si el agente decide la accion a
”b” es la accion que el principal desea inducir
Sea πib la probabilidad de xi si el agente decide la accion b
159
160 CHAPTER 7. POLITICA DE CONTRATOS OPTIMA
El principal ofrece el siguiente contrato: si ocurre xi, se le paga al tra-
bajador si, mientras que el principal se queda con xi − si
Si el trabajador no acepta el contrato, puede ir a otra empresa, donde
obtiene un nivel de utilidad Ũ
El principal desea maximizar retorno esperado
n∑
i=1
(xi − si)πib
Al agente, le interesa su nivel de utilidad. Si el agente elige la accion
”a”, su nivel de utilidad es:
n∑
i=1
u(si)πia − ca
donde ca es el costo del esfuerzo de elegir a.
Problema en que el principal observa la accion del agente
En este caso, sabe si tomo la accion b. Cual es el contrato optimo que
se debe ofrecer en este caso al trabajador?
Debemos darnos cuenta que incluso si el principal sabe que se eligio
la accion b como deseaba, pueden existir distintos niveles de produccion
(produccion es aleatoria)
Problema 1: Es posible observar la accion del agente
7.1. CARACTERISTICAS DEL PROBLEMA 161
maxsi
n∑
i=1
(xi − si)πib (7.1)
n∑
i=1
u(si)πib − cb ≥ Ũ (7.2)
Lo interesante de este problema es que es similar a un problema de
Pareto.
La restriccion (ecuacion 2) se conoce como la restriccion de ”participa-
cion”
El lagrangeano asociado a este problema es:
L =
n∑
i=1
(xi − si)πib + λ(
n∑
i=1
u(si)πib − cb − Ũ) (7.3)
La eleccion optima de si, es decir al pago al trabajador cuando ocurrio
xi esta dado por (condicion de primer orden):
−πib + λus(si)πib = 0
O alternativamente
1
us(si)
= λ (7.4)
162 CHAPTER 7. POLITICA DE CONTRATOS OPTIMA
Que indica la ecuacion (4)? El lado derecho es una constante, por lo
tanto el lado izquierdo tambien debe serlo. Esto indica que independiente
de cuanto sea el nivel de produccion siempre se paga un monto constante.
Este es un tipo de seguro para el trabajador...sueldo fijo independiente
del resultado de produccion.
El resultado se debe a que la funcion de utilidad del principal es lineal,
mientras que la funcion de utilidad del trabajador es concava.
Problema 2: No es posible observar la accion del agente
En este caso el principal debe entregar incentivos para que se elija la
accion que le interesa.
Esto lo haremos incorporando una nueva restriccion que le indique al
trabajador que elija la accion ”b”.
El problema es:
maxsi
n∑
i=1
(xi − si)πib (7.5)
n∑
i=1
u(si)πib − cb ≥ Ũ (7.6)
n∑
i=1
u(si)πib − cb ≥
n∑
i=1
u(si)πia − ca ∀a (7.7)
La ultima restriccion se conoce como restriccion de ”compatilidad de
incentivos”. Ocurre para todo ”a”.
El lagrangeano asociado a este problema es:
7.1. CARACTERISTICAS DEL PROBLEMA 163
L =
n∑
i=1
(xi − si)πib + λ(
n∑
i=1
u(si)πib − cb − Ũ)
+µ(
n∑
i=1
u(si)πib − cb −
n∑
i=1
u(si)πia + ca)
Cuya condicion de primer orden es:
1
us(si)
= λ + µ(1− πia
πib
) (7.8)
Interpretacion:
1. Primero notemos que tenemos el mismo resultado que en el problema
1, si µ = 0. En ese caso, aunque no se observen las acciones del agente, se
paga sueldo fijo. Porque? Cuando µ = 0, entonces:
n∑
i=1
u(si)πib − cb >
n∑
i=1
u(si)πia − ca ∀a
Pero como, se paga sueldo fijo, entonces:
u(s̃)
n∑
i=1
πib − cb >u(s̃)
n∑
i=1
πia − ca
ca > cb
Esto quiere decir que se pagara sueldo fijo, aunque no se pueda observar
164 CHAPTER 7. POLITICA DE CONTRATOS OPTIMA
la accion del agente, si el costo del esfuerzo del agente es siempre menor en el
caso que le interesa al principal. Nos es necesario dar incentivos adicionales
para elegir b.
2. si µ > 0.
Resultado 1: si deja de ser constante.
Resultado 2: Se paga mayor si mientras menor sea πiaπib . Esta fraccion
se conoce como la ”relacion de probabilidades”. Mientras mayor es esta
fraccion, mas probable es que la accion ”a” haya sido elegida, contrariamente
a lo que deseabamos (si fueramos el principal). En ese caso, el principal
reacciona por medio disminuir el pago si.