65517_ResumendeProbabilidades

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA 
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA 
 
 
 
TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES 
 
 
A.- Introducción: 
 
A menudo, en conversaciones cotidianas se utilizan expresiones como “es probable 
que...”, donde el término probabilidad está dado como sinónimo de posibilidad y así se 
entiende usualmente. Sin embargo, esta convención lingüística no es la que corresponde en el 
ámbito estadístico, ya que la probabilidad de que un evento ocurra, es la medida asociada a la 
posible ocurrencia de éste, la que puede obtenerse después de observar muchas veces el 
fenómeno del cual proviene este evento y así poder cuantificar los efectos de los factores 
aleatorios que inciden en sus resultados. 
Lo anterior, hace evidente la necesidad de conocer algunos conceptos básicos que nos 
permitan establecer y estructurar leyes de probabilidad. 
 
 
 
B.- Conceptos Básicos: 
 
B.1.- Experimento Aleatorio : )( ε
 
Un experimento aleatorio es cualquier situación que puede ser repetida bajo 
condiciones esencialmente estables y cuyos resultados dependen del azar. Desde esta 
perspectiva podemos decir que cualquier situación que involucre el tomar una decisión bajo 
condiciones de incertidumbre es un experimento aleatorio. 
Debemos tener presente que un experimento aleatorio puede ser de repetición efectiva, 
es decir, se puede realizar cuantas veces sea necesario, o de repetición factible (restringidas). 
 
Ejemplo1: 
 
=ε1 Lanzar una moneda al aire. 
 
=ε2 Lanzar 3 veces una moneda al aire. 
 
=ε3 Realizar una inversión en la bolsa de valores. 
 
 
 
OBS: 
Considerando los ejemplos dados, podemos establecer que estos se diferencian en 
cuanto a las repeticiones, puesto que los experimentos 1 y 2 son de repetición efectiva, en 
cambio el experimento 3 es de repetición factible. 
 
 
 
B.2.- Espacio muestral : )(Ω
 
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. 
 
{ }εωω= deposibleresultadounes/Ω 
 
 
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Ejemplo 2: 
Para los experimentos del ejemplo 1 tenemos: 
 
{ }
{ }
{ }perder,mantener,ganar
)s,s,s(,)c,s,s(,)s,c,s(,)s,s,c(,)c,c,s(,)c,s,c(,)s,c,c(,)c,c,c(
s,c
3
2
1
=
=
=
Ω
Ω
Ω
 
 
 
 
B.3.- Suceso o evento: 
 
Se define como suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, un 
suceso es un conjunto particular de resultados posibles de ε 
 
A es un suceso ⇔ A ⊆ Ω 
 
 
OBS: 
Un suceso compuesto por sólo uno de los resultados posibles de ε se denomina suceso 
elemental. 
 
 
 
Ejemplo 3: 
Si consideramos los experimentos del ejemplo 1 y sus correspondientes espacios 
muestrales del ejemplo 2, podemos considerar los siguientes sucesos: 
 
 
 
a) Para ε 1
 
A = { }cararesultamonedalaEn { }c 
 
B = { } φ cantodecaemonedaLa
selloocaraaparecemonedalaEn
 
C = { } Ω 
 
 
b) Para ε 2
 
A = { En los 3 lanzamientos no aparece cara } 
 = { (s, s, s) } 
 
B = { En los 3 lanzamientos aparecen 2 caras } 
 = { (c, c, s) , (c, s, s) , (s , c , c) } 
 
C = { Se observan mas de 3 caras } 
 = φ 
 
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c) Para ε , tenemos: 3
 
A ={ La inversión es exitosa } 
 
 = {ganar} 
 
 
B = La inversión no produce pérdidas} 
 
 ={ ganar, mantener} 
 
 
C ={ La inversión produce cambios de capital} 
 
 = {ganar, perder } 
 
 
 
Obs: 
 Resulta evidente que el responsable de tomar una decisión debe tener claro cuales 
son las probabilidades de ocurrencia de los sucesos, de manera tal que su decisión involucre el 
mínimo riesgo. 
 
 
B.4.- ¿Cuándo un suceso ocurre? 
 
 Un suceso A ocurre, si al realizar el experimento aleatorio, el resultado obtenido se 
encuentra en A, es decir: 
A ocurre ⇔ ω ∈ A 
 
Obs: 
 El suceso que ocurre en todas las realizaciones del experimento, se denomina 
suceso seguro (Ω), y el que jamás ocurre se denomina suceso imposible (φ). 
Si el resultado obtenido del experimento no se encuentra en A, podemos decir que 
A no ha ocurrido, simbólicamente: 
 
A no ocurre ⇔ ω ∉ A ⇔ ω ∈ A’ 
 
 
Algunos sucesos particulares son: 
 
a) El suceso seguro, éste suceso siempre ocurre y coincide con el espacio muestral Ω 
b) El suceso imposible, éste se caracteriza por que nunca ocurre y corresponde al 
conjunto vacío ∅ 
c) Suceso elemental, el que se caracteriza por contener sólo un punto del espacio 
muestral, o sea es un conjunto unitario {ω} 
 
 
 
 
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C.- Álgebra de Sucesos: 
 
 Considerando los conceptos dados anteriormente, podemos observar que estos se 
apoyan básicamente en el lenguaje conjuntista, esto nos permite tratar el álgebra de sucesos en 
forma análoga al álgebra de conjuntos. En el cuadro siguiente estableceremos un paralelo 
entre lenguaje conjuntista y lenguaje probabilístico. 
 
Proposición probabilística Proposición conjuntista Símbolo 
Suceso seguro 
Suceso imposible 
Suceso 
Ocurre 
No ocurre 
Sucesos excluyentes 
///////////////////////////////////////////////////////
Conjunto Universo 
Conjunto vacío 
Subconjunto 
Pertenece 
No pertenece 
Conjuntos disjuntos 
///////////////////////////////////////////
Ω 
∅ 
⊆ 
∈ 
∉ 
A ∩ B = ∅ 
/////////////////////////////
En Términos de la Ocurrencia de Sucesos 
Ocurre A ω ∈ Α A 
No ocurre A ω ∉ A ↔ ω ∈ A’ A’ 
Ocurre A u ocurre B u ocurren ambos ω ∈ A ∨ ω ∈ B A ∪ B 
Ocurre A y ocurre B ω ∈ A ∧ ω ∈ B A ∩ B 
Ocurre A, pero no ocurre B 
(sólo ocurre A) 
ω ∈ A ∧ ω ∉ B 
ω ∈ (A - B) 
A ∩ B’ 
A – B 
Ocurre A u ocurre, pero no ambos. 
(sólo uno ocurre) ω ∈ (A - B) ∨ ω ∈ (B - A) 
A ∧ B 
(A∪B) – (A∩B) 
(A – B) ∪ (B - A) 
Si ocurre A, entonces ocurre B. ω ∈ Α ⇒ ω ∈ Β Α ⊆ Β 
 
De acuerdo al cuadro anterior cualquier proposición respecto de la ocurrencia de sucesos 
puede expresarse en lenguaje conjuntista mediante la unión (∪) , la intersección (∩), la 
diferencia (-), la diferencia simétrica ( ), el complemento (‘) y la inclusión ( ⊆ ). 
 
D.- El concepto de probabilidad: 
 
 El concepto de probabilidad dice relación con el concepto de medida, cuya 
obtención puede ser subjetiva u objetiva. Una probabilidad es subjetiva cuando las 
repeticiones del experimento son factibles, por lo que se estima a partir de los antecedentes 
disponibles respecto de la ocurrencia del suceso de interés, en cambio si las repeticiones de un 
experimento son efectivas se dice que la probabilidad es objetiva. 
 
D.1.- La definición Clásica: 
 
 Sean Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ε y A un suceso 
en Ω. Se define la probabilidad de que A ocurra como la razón entre el numero de resultados 
favorables al suceso A y el numero de resultados posibles del experimento, es decir: 
 
posiblescasosdenúmero
favorablecasosdenúmeroAP =)( 
es decir: 
 
)(
)()(
Ω=
n
AnAP 
 
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Obs: 
 La definición clásica de probabilidades es de uso frecuente aunque muy limitado 
puesto que su aplicación supone el conocer todos los puntos del espacio muestral, es decir, 
este debe ser finito y todos deben tener igual posibilidad de ocurrencia (equiprobables). 
 
 
D.2.- La definición de probabilidad como frecuencia relativa: 
 
 Sea ε un experimento aleatorio y A un suceso de interés se define la frecuencia 
relativa de ocurrencia del suceso A como: 
n
nh AA = 
 
donde nA : número de relaciones en la que ocurrió A. 
 n : número de repeticiones del experimento. 
Luego: 
 
 
 A
n
h)A(P lim
∞→
= 
 
Obs: 
 Esta definición se basa en el hecho de que para grandes cantidades de repeticiones del 
experimento, las frecuencias relativas tienden a ser estables, sin embargo la introducción del 
concepto de límite le hace perder su carácter experimental, lo que dificulta su uso práctico. 
 
 
D.3.- La definición axiomática de probabilidades: 
 
Sea Ω el espacio muestral asociado aun experimento aleatorio ε y U el conjunto de 
todos los sucesos en Ω . Si Ρ una función definida de U en ℝ; P es una función de 
probabilidad, si y solo si, satisface los siguientes axiomas: 
 
Ax 1 P(Ω) = 1 
Ax 2 P(A) ≥ 0 ∀ A ⊆ Ω (o bien ∀ A ∈ U) 
Ax 3 si { } Son sucesos mutuamente excluyentes en Ω, entonces: ∞=1iiA
( )AA i1ii1i PUP
∞
=
∞
=
Σ=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
 
 
Obs: 
 
1.- De acuerdo a la ultima definición tenemos que la probabilidad es una función P por: 
)A(PA
U:P ℜ 
2.- La definición clásica de probabilidades es la que proporciona un inicio optimo a la teoría de 
las probabilidades. 
3.- Nótese que tanto la definición clásica como la definición a través de la frecuencia relativa, 
satisface las condiciones impuestas por la definición axiomática. 
 
 
 
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D.4.- Propiedades de las probabilidades: 
 
1.- P (A’) = 1 - P (A) 
2.- P (∅) = 0 
3.- Si ⎨A1 , A2 ,……, An⎬ es una colección de sucesos mutuamente excluyentes, entonces: 
 
)A(PAUP i
n
1i
i
n
1i ==
Σ=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
 
 
 
4.- Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B) 
5.- Si A, B y C son sucesos cualesquiera en Ω, entonces: 
i) P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
ii) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) +P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) -P(B ∩ C)+P (A∩B∩C) 
 
6.- P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) 
7.- Si ⎨ A1 , A2 ,……, An ⎬ es una colección de sucesos cualesquiera, entonces: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
i
n
1i
AUP = 1- ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∩
=
'
i
n
1i
AP 
 
E.- Probabilidad condicional e independencia: 
 
E.1.- Probabilidad condicional: 
Una probabilidad condicional expresa la medida de ocurrencia de suceso sujeto a la 
ocurrencia de otro. Formalmente la podemos definir de la siguiente manera: 
 
Sean A y B dos sucesos en Ω, se define la probabilidad de que el suceso A ocurra 
dado que el suceso B a ocurrido como 
 
( ) 0)B(P,
)B(P
)BA(PBAP ≠∩= 
 
Obs: 
1.- El concepto de probabilidad condicional P(A/B), se refiere a la probabilidad de 
ocurrencia del suceso A, en el espacio muestral reducido por la condición (B). 
2.- La probabilidad condicional por si sola, no constituye una ley de probabilidades, sin 
embargo esta satisface algunas propiedade4s que detallamos a continuación: 
 
Prop. 1.- Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces 
 
( ) ( ) 0ABPBAP == 
 
Prop. 2.- Si A ⊆ B, entonces: a) ( )
)B(P
)A(PBAP = 
 b) ( ) 1ABP = 
 
Prop. 3.- ( ) ( )BAP1B'AP −= 
 
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Obs: 
 Considerando la definición de probabilidad condicional, podemos establecer que: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAP*BPABP*APBAP ==∩ 
 
E.2.- Independencia estadística: 
 
Otro concepto importante relativo a la condición de un conjunto de sucesos es la 
independencia, respecto de esta, decimos que: 
 
“Dos ó más sucesos son mutuamente independientes, si y solo si, la ocurrencia de uno no 
incide el la ocurrencia de los otros.” 
 
De acuerdo a esta definición, si A y B son sucesos independientes, entonces la 
ocurrencia de A no incide en la ocurrencia de B, luego: 
 
( ) )B(PABP = (a) 
 
pero, por definición de probabilidad condicional, se tiene que: 
 
( )
)A(P
)BA(PABP ∩= (b) 
 
por lo tanto, bajo la hipótesis de independencia (a) = (b), es decir: 
 
)A(P
)BA(P)B(P ∩= 
 
de donde al despejar, se obtiene: 
 
P(A) * P(B) = P(A∩B) 
 
De lo anterior, podemos establecer que la independencia estadística se comprueba verificando 
la igualdad entre la probabilidad conjunta y el producto de las probabilidades marginales. 
 
Propiedad: 
Resulta muy útil el tener presente que si una colección de sucesos son mutuamente 
independiente, también lo son: las uniones de K sucesos, las interacciones de K sucesos y los 
complementos de éstos. 
 
Consecuencia: 
En particular si A y B son sucesos mutuamente independientes entonces: 
i) A y B’ son independientes 
ii) A’ y B son independientes, y 
iii) A’ y B’ son independientes. 
 
 
 
 
 
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F.- Algunos teoremas relativos a probabilidades: 
 
F.1.- Teorema del Producto: 
 
Sean ⎨ A1 , A2 ,……, Ak ⎬ una colección de sucesos cualquiera en Ω, entonces: 
 
 P(A1 ∩ A2 ∩……∩ Ak ) = P(A1)* ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∩⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∩⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
i
1k
1ik21
3
1
2 AP*..........*P*P A
AA
A
A
A 
Lema: 
En particular, si los sucesos de la colección son mutuamente independientes, entonces: 
P(A1 ∩ A2 ∩……∩ Ak ) = P(A1)*P(A2)*P(A3)*…….*P(Ak-1)*P(Ak) 
 
F.2.- Teorema de la Probabilidad Total: 
 
Definición previa: 
Una colección de sucesos ⎨ A1 , A2 ,……, Ak ⎬ constituye una participación 
de Ω, si y solo si estos satisfacen las siguientes condiciones: 
 
i) Ai ≠ ∅ ∀i 
ii) Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j 
iii) A1 ∪ A2∪ …… ∪Ak = Ω 
 
Lo anterior nos permite establecer que si ⎨ A1 , A2 ,……, Ak ⎬ es una partición de Ω, entonces: 
i) P(Ai) > 0 ∀i 
ii) P(Ai ∪ Aj) = P(Ai) + P(Aj) ∀i ≠ j 
iii) 1)A(P i
k
1i
=Σ
=
( )
 
El Teorema de la Probabilidad Total: 
 
Sea ⎨ A1 , A2 ,……, Ak ⎬ una partición de Ω; si B es Un suceso de interés, 
entonces: 
( ) ( )ii
k
1i
AP*BPBP A
=
Σ=
)BA(P)B(P i
k
1i
∩Σ=
=
 
este teorema se puede verificar descomponiendo el suceso B de la siguiente manera: 
 
B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪……..∪ (B ∩ Ak) 
 
Esta descomposición del suceso B es una partición del mismo, inducida por la partición de Ω, 
luego: 
 
 pero, por teorema del producto se tiene que 
 ( )iii ABP*)A(P)BA(P =∩ 
 
 finalmente reemplazando en P(B) se obtieneel resultado deseado. 
 
 
 
 
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Obs: 
Una probabilidad obtenida mediante el teorema de la probabilidad total, se puede 
interpretar como un promedio ponderado de las probabilidades de ocurrencia del suceso en cada 
uno de los espacios muestrales reducidos por la partición. 
 
F.3.- Teorema de Bayes: 
 
Sea ⎨ A1 , A2 ,……, Ak ⎬ una partición de Ω, y B un suceso de interés, entonces: 
 
( ) ( )
( )
kj1;
)A(P*ABP
)A(P*ABP
BAP
ii
k
1i
jj
j ≤≤
Σ
=
=
 
 
Obs: 
1.- El teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes están fuertemente 
relacionados, en el primero interesa la probabilidad de ocurrencia del suceso de interés, 
la que depende de la ocurrencia de cada elemento de la partición del espacio; en cambio 
en el segundo, la ocurrencia del suceso de interés se da por hecha, interesando ahora 
obtener la probabilidad de cada elemento de partición. 
2.- El teorema de Bayes proporciona probabilidades a posteriori, es decir, después de que el 
suceso de interés ocurrió. 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1.- Sean A, B y C tres sucesos en Ω, exprese en términos de ocurrencia de éstos, lo 
representado en cada uno de los diagramas dados a continuación: 
 
Ω Ω Ω 
 
 
 
 
Ω Ω Ω 
 
 
 
 
 
 
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2.- Suponga que un experimento aleatorio es: 
 
ε = “Participar en un juego hasta ganar 2 veces consecutivas o que se retira del juego después 
de la quinta jugada” 
 
a) Determine el espacio muestral asociado. 
b) Describa los sucesos: 
 
 i) El jugador llega hasta el tercer intento 
 ii) El jugador se retira después del quinto intento 
 
3.- Un ejecutivo de cuentas de un banco, selecciona aleatoriamente una cuenta corriente de su 
cartera y registrar su último saldo promedio: 
a) Describa el espacio muestral 
b) Describa simbólicamente los siguientes sucesos y sus correspondientes complementos: 
 i) La cuenta está sobregirada 
 ii) La cuenta tiene un saldo de alo menos M$100 
 iii) el saldo de la cuenta está entre M$50 y M$230 
 iv) El saldo es a lo más M$50 ó a lo menos M$450 
 v) El saldo difiere de M$500 en menos de M$165 
 vi) el saldo supera a M$500 en más de M$280 
 
4.- Sea ε = “El orden en el que se eligen los objetos a,b,c y d; y sean los sucesos: 
 
A = { a está en primer lugar} 
B = { b está en tercer lugar} 
Describa Ω, A y B 
¿Qué puede decir del suceso {Sólo tres objetos están en el lugar correcto}? 
Describa el suceso {Sólo dos de los objetos están en el lugar correcto} 
 
5.- Un lote contiene artículos que pesan 5, 10, 15,......, 45, 50 grs. suponga que en total son 20 
artículos, de los cuales se encuentran 2 por categoría. Un experimento consiste en seleccionar 
2 artículos aleatoriamente, si X representa el peso del primer artículo e Y representa el peso 
del segundo, describa: 
 
a) El espacio muestral 
b) Los sucesos A = {X = Y}, B = {Y > X}, C = {El segundo artículo pesa el doble del 
primero}, D = {El peso promedio de los artículos es menos de 30 grs.} 
c) Usando b) describa los sucesos: 
 i) A ∪ B 
 ii) C – D 
 iii) D ∩ B ∩ C 
 iv) A′ ∪ D 
 
6.- Un lote consta de 10 artículos buenos; 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. 
 
6.1.- Si se elige un articulo al azar ¿Cuál es la probabilidad que: 
 
a) No tenga defectos? 
b) Sea bueno o tenga defectos graves? 
c) Tenga pequeños defectos? 
 
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6.2.- Si se elige aleatoriamente 2 artículos del lote ¿Cuál es la probabilidad que: 
 
a) Ambos sean buenos? 
b) A lo menos uno sea bueno? 
c) Exactamente uno sea bueno? 
d) A lo más uno sea bueno? 
e) Sea bueno el segundo si el primero tiene defectos graves? 
f) Ambos tengan defectos? 
g) Uno tenga defectos graves y el otro defectos pequeños? 
 
6.3.- Si se eligen aleatoriamente 4 artículos ¿Cuál es la probabilidad que: 
 
a) Todos sean buenos? 
b) Todos tengan defectos graves? 
c) Todos tengan pequeños defectos? 
d) Dos sean buenos, uno tenga defectos graves y el otro pequeños defectos? 
 
6.4.- Suponga que se seleccionan los artículos uno a uno ¿Cuál es la probabilidad de que el 
último con pequeños defectos se obtenga: 
 
a) En la cuarta extracción? 
b) En la sexta extracción? 
c) En la décimo sexta extracción? 
 
7.- De los artículos producidos por una industria manufacturera se sabe que: 
 
 El 30% son de alto costo 
 El 40% son artículos de exportación 
 El 60% de los artículos de alto costo son de exportación 
 
En base a esta información, determine la proporción de artículos que: 
 
a) Son de alto costo, si son de exportación. 
b) Sean de alto costo y de exportación. 
c) Sean de alto costo o de exportación 
d) Sean de alto costo, pero no sean de exportación. 
 
8.- El 6% de los artículos producidos por una máquina manual son defectuosos, mientras que 
el 2% de los artículos producidos por una máquina eléctrica son defectuosos. Se selecciona 
aleatoriamente un artículo proveniente de cada máquina ¿Cuál es la probabilidad de que: 
 
a) Sólo uno sea defectuoso? 
b) A lo más uno sea defectuoso? 
c) Al menos uno sea defectuoso? 
d) Ninguno sea defectuoso? 
 
9.- Una empresa tiene 2 programas de capacitación para sus empleados A y B. Con el 
programa A se tiene un 20% de fracaso y con el programa B un 10% de fracaso. El programa 
B es mucho más caro que le programa A, razón por la cual la empresa lo utiliza sólo en el 
30% de las veces. Se entrenó a un trabajador según uno de estos programas, pero fracasó. 
¿cuál es la probabilidad de que el programa aplicado sea el A? 
 
 
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10.- Sean A y B dos sucesos tal que: 
P(A) = 0,8 
P(B) = 0,5 
P(A ∩B) = 0,4 
Determine la probabilidad de que ocurra: 
a) Al menos uno de ellos. 
b) Sólo uno de ellos. 
c) Sólo B. 
d) Ninguno de ellos. 
e) A dado que B ocurrió ¿Cómo son los sucesos A y B? 
 
11.- Una planta armadora de computadoras recibe microcircuitos de 3 proveedores (P, Q y R), 
se sabe que Q y R proveen la misma cantidad de microcircuitos, siendo para cada uno de ellos 
del doble de lo que provee P. Además el porcentaje de microcircuitos defectuosos para p, Q y 
R son 5, 10 y 12% respectivamente. Si los circuitos son almacenados en una misma bodega 
sin ningún tipo de discriminación: 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un microcircuito elegido al azar sea defectuoso? 
b) Si un circuitono es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por 
Q? 
 
12.- De la cartera de cuenta correntista (C.C.) que maneja un ejecutivo de cuenta del Banco- 
Riendo, los que están clasificados como personas y empresas, se tiene la siguiente 
información: 
 El 55% de los C.C. son personas. 
 De las personas el 60% tienen sobre giro 
 De las personas con sobregiro el 70% tiene tarjeta de crédito. 
 El 69% de sus C.C. tienen sobre giro. 
 El 75% de sus C.C. que son personas tienen tarjeta de crédito. 
 A las personas no es le otorga tarjeta de crédito. 
 
a) ¿Cuál es la proporción de C.C. que poseen tarjeta de crédito y no tienen sobre giro? 
b) Si al seleccionar un C.C., ésta tiene sobre giro ¿Cuál es la probabilidad de que sea una 
empresa? 
c) ¿Cuál es la proporción de C.C. que tienen sobre giro o tarjeta de crédito? 
d) ¿Cuál es la proporción de C.C. que poseen tarjeta de crédito? 
e) ¿Cuál es la proporción de personas C.C. que poseen tarjeta de crédito si no tienen 
sobre giro? 
 
13.- Si es una colección de sucesos independientes, muestre que: k 1ii )A( =
 
))A(P1(1)A(P i
k
1i
i
k
1i
−π−=∪
==
 
 
14.- Demuestre que si P(A/B) > P(A), entonces P(B/A) > P(B) 
 
15.- Un estudiante tiene en el bolsillo derecho de su pantalón 2 monedas de $100.- y 3 
monedas de $50.- y en el bolsillo izquierdo 1 moneda de $100.- y 4 monedas de $50.-. 
mientras espera locomoción un tanto distraído saca una moneda del bolsillo izquierdo y la 
pone en el bolsillo derecho. Al subir al microbús y para cancelar su pasaje saca una moneda 
de cada bolsillo. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de ambas monedas sea: 
a) $100.- b) $150.- c) $200.- 
 
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PROBLEMAS CON RESPUESTA 
 
1.- La junta de accionistas de una compañía está representada por nueve directores, de los 
cuales 5 están a favor de participar en un leasing y 4 se oponen. Cuando se convocó de 
urgencia a una reunión para considerar el asunto, solo cinco directores se presentaron. La 
decisión de participación de la C.I.A, requiere de la simple mayoría de los presentes. ¿Cuál es 
la probabilidad de que se logre la participación de la compañía en el leasing? 
 
(R: 0,6428) 
 
2.- Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El 
porcentaje de fracasos es 20% para A y 10% para B. Sin embargo, B cuesta más y por ello se 
utiliza solamente en el 30% de los casos. Se entrenó a un trabajador según uno de los dos 
métodos pero no logró aprenderlo correctamente. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido 
entrenado por el método A?. 
 
(R: 0,8235) 
 
3.- Un sistema eléctrico consta de dos subsistemas A y B. A partir de una serie de pruebas se 
supone que la probabilidad que A falle es 0,2; que sólo B falle es 0,15 y que A y B fallen es 
0,15. Determine: 
 
a) La probabilidad que A falle si B ha fallado. 
(R: 0,5) 
b) La probabilidad que sólo falle A. 
(R: 0,05) 
 
4.- Un artículo de temporada tiene un 90% de probabilidad de ser vendido, dejando una 
utilidad de $1500.- . Si no se vende en la temporada debe ser desechado generando una 
pérdida de $350.-. ¿Cuál es la utilidad promedio por artículo? 
 
(R: $1315) 
 
5.- El gerente de una compañía de renta de automóviles compra neumáticos en lotes de 200 
para aprovechar los descuentos por mayoreo. El gerente sabe por experiencias anteriores que 
de los lotes de 20 neumáticos nuevos adquiridos en una distribuidora 15 salen defectuosos y 
deben ser reemplazados durante la primera semana de uso. Si por cada lote de 200 neumáticos 
el gerente de la compañía que renta automóviles, inspecciona el 10% ¿Cuál es la probabilidad 
que en un lote se encuentre: 
a) Solamente uno defectuoso. 
(R: 0,3499) 
b) No más de 3 defectuosos. 
(R: 0,9788) 
c) Ningún neumático defectuoso. 
(R: 0,1936) 
 
6.- Una caja fuerte contiene 100 facturas, de las cuales 10 no han sido cancelada, 5 han sido 
declaradas nulas y 2 facturas presentan ambas características. Supóngase que se sabe que una 
factura elegida al azar no ha sido cancelada ¿Cuál es la probabilidad de que también haya sido 
declarada nula? 
 
(R: 0,2) 
 
 
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7.- Una urna contiene 2 fichas negras, 3 blancas y 4 rojas. Se extrae una ficha al azar y se deja 
a un lado. A continuación, se extrae la siguiente ficha y se deja a un lado, y así sucesivamente. 
Determine la probabilidad de extraer primero las 2 fichas negras, después las 3 fichas blancas 
y por último, las rojas. 
 
(R: 0,004) 
 
8.- De acuerdo a las tablas actuariales que maneja la Compañía de Seguros “Hombre 
precavido vale por dos”, se sabe que el 75% de los hombres que contratan un seguro a los 40 
años sobrevive a los 65 años y que el 90% de las mujeres de 35 años sobrevive a los 60 años. 
Si un matrimonio está compuesto por un hombre de 40 años y una mujer de 35 años ¿Cuál es 
la probabilidad que: 
 
a) Ambos vivan dentro de 25 años? 
(R: 0,675) 
b) Viva solamente el marido? 
(R: 0,075) 
c) Viva solamente la mujer? 
(R: 0,225) 
d) Viva al menos uno de ellos? 
(R: 0,975) 
 
9.- Dos tubos defectuosos se confunden con dos buenos. Los tubos se prueban uno a uno, 
hasta encontrar los defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de hallar el último tubo defectuoso: 
 
a) En la 2da. prueba? 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
1:R 
b) En la 3ra. prueba? 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∋
1:R 
c) En la 4ta. prueba? 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1:R 
 
10.- Cierto industrial produce e televisores en dos fábricas. El 10% de los televisores 
producidos por la fábrica A se envían con defectos, mientras que el 5% de los producidos por 
la fábrica B salen con defectos. Si la fábrica A produce 100.000.- televisores por año y la 
fábrica B produce 50.000.- televisores por año. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un 
televisor defectuoso?. 
(R: 0,083 ) 
 
11.- Del problema anterior, si se compra un Tv. y resulta ser defectuoso. ¿Cuál es la 
probabilidad de que haya sido por la fábrica A?. 
(R: 0,8) 
 
 
12.- En la tabla adjunta se dan los resultados de la inspección de unas piezas suministradas 
por 3 proveedores diferentes. 
 
 
 
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PIEZAS A B C TOTAL 
CORRECTA 3.900 2.400 1.400 7.700 
DEMASIADO CORTA 400 250 200 850 
DEMASIADO LARGA 700 350 400 1.450 
TOTAL 5.000 3.000 2.000 10.000 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada sea defectuosa? 
(R: 0,23) 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza defectuosa sea demasiado larga? 
(R: 0,63) 
 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea defectuosa y sea del proveedor C? 
(R: 0,0604) 
 
d) ¿Existe independencia entre el hecho de que la pieza sea correcta y haya sido suministrada por 
el proveedor C? 
(R: No) 
 
13.- El Ministerio de Transporte desea saber cual de los medios de locomoción colectiva 
presta un mejor servicio a la comunidad, para ello se realizó una encuesta a la población sobre 
la calidad del servicio de locomoción, tomando en cuenta, micros, metroy taxis. La 
información que se obtiene relativa a las probabilidades de cuáles de los medios presentan un 
mejor servicio es: 
8% afirma que los tres medios tienen buen servicio. 
62% afirma que sólo uno tiene buen servicio. 
56% afirma que micros o metro tienen buen servicio. 
8% afirma que micros y taxis tienen buen servicio. 
24% afirma que metro y taxis tienen buen servicio. 
11% afirma que micros y metro tienen buen servicio. 
22% afirma que sólo las micros tienen buen servicio. 
 
a) A juicio de los encuestados ¿Cuál de los tres medios de locomoción tiene mejor 
servicio?. 
(R: taxi) 
 
b) Determine la probabilidad de que ninguno de estos medios de locomoción presenten 
un buen servicio. 
(R: 0,11) 
 
c) Si un entrevistado considera bueno el servicio proporcionado por el metro ¿Cuál es la 
probabilidad que también considere bueno al de las micros?. 
(R: 0,2558) 
 
d) De los entrevistados que califican como bueno el servicio proporcionado por las 
micros ¿Cuál es la proporción que considera bueno el servicio proporcionado por los 
taxis?. 
(R: 0,2424) 
 
e) Si el buen servicio resultó ser el metro ¿Cuál es la probabilidad que no sean los taxis?. 
(R: 0,4419) 
f) ¿Cuál es la probabilidad que el mejor servicio sea el de taxi, pero no el de las micros 
ni del metro?. (R: 0,24) 
 
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	TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES
	A es un suceso ( A ( (
	A ocurre ( ( ( A
	EJERCICIOS PROPUESTOS