MIT - EYRM - APUNTE RECOPILACIÓN

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ESTÁTICA Y
RESISTENCIA DE
MATERIALES
 
MOVIMIENTO DE
INCLUSIÓN TOTAL 
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APUNTES - RECOPILACIÓN
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Tema : Introducción 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema : INTRODUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
F
 FLEXIÓN 
M
TORSIÓN
TRACCIÓN
F F F 
CORTADURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Tema: Introducción 
I.1.- INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
 
La MECÁNICA estudia los SÓLIDOS RÍGIDOS 
 
La RESISTENCIA DE MATERIALES estudia los SÓLIDOS DEFORMABLES 
 
Se propone el siguiente ejemplo: 
 
Se quiere levantar un cuerpo de 100 Kg de peso y para hacer menor el esfuerzo a realizar, se 
utiliza una barra, que a través de un apoyo intermedio O, se usará como una palanca. Se desea 
en un principio calcular el esfuerzo P que se deberá aplicar en el extremo de la barra 
 
 
P 
 
 
100 Kg 
 O 
 
 
 1 m 2 m 
 
 Fig. I.1.a 
 
Suponiendo la barra utilizada, como rígida, es la Mecánica la que resuelve el problema. Así 
por la ecuación de equilibrio: 
 
KgPPMO 501.1002.0 =→==∑ 
 
Pero la barra, en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se rompiese 
o que se deformase demasiado y por tanto no nos sirviese para elevar el peso de 100 Kg. 
 
 100 Kg La barra se rompe O P 
 
 
 1 m 2 m 
 
 Fig. I.1.b 
 
 100 Kg 
 O 
La barra se deforma demasiado
P 
 
 1 m 2 m 
 Fig. I.1.c 
 
Será precisamente la RESISTENCIA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar la 
barra a utilizar, para evitar que se rompa o que se deforme demasiado 
2 
Sección I1: Introducción a la Resistencia de Materiales 
 
¡ Que no se rompa la barra ¡
 
Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos, provocan en ellos fuerzas interiores 
o tensiones que se oponen a las exteriores. Ello es debido porque las fuerzas exteriores alteran 
las posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del cuerpo y se 
desarrollan entonces fuerzas internas que tratan de recuperar las posiciones iniciales de las 
mismas 
 
 Fint Fint Fext Fext
 
en reposo 
 Fig. I.2 
 
Al aumentar el valor de las fuerzas exteriores aumentará el valor de las fuerzas interiores y 
ello sucederá así hasta que éstas llegan a su valor límite y ya no pueden crecer más. A partir 
de aquí el sólido romperá. 
 
 F1int
F1ext 
 
F2int>F1int 
F2ext>F1ext 
 
 F3int=Fint max>F2int F3ext>F2ext 
 
 
La barra se rompe F4ext>F3ext 
Fig. I.3 
 
Se denomina resistencia mecánica de un cuerpo: “a las fuerzas internas máximas o 
tensiones que es capaz de desarrollar dicho cuerpo”. Dependerá de las dimensiones del 
mismo y del material del que esté hecho. 
 
¡ Que no se deforme demasiado la barra ¡
 
En el ejemplo gráfico anterior, se observa que a medida que se va aumentando la fuerza 
externa, el cuerpo se va deformando más. Se tendrá que controlar que los sólidos no se 
deformen demasiado y dejen de ser útiles. 
 
Se denomina rigidez de un cuerpo: “a la resistencia que presenta a dejarse deformar” 
 
Conclusión final:
La RESISTENCIA DE MATERIALES permitirá calcular: 
• Las fuerzas internas o tensiones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se 
rompan) 
• Las deformaciones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se deformen 
demasiado) 
3 
Tema: Introducción 
I.2.-PRINCIPIOS GENERALES EN LOS QUE SE VA A BASAR LA RESISTENCIA 
DE MATERIALES 
 
A continuación se enunciarán tres Principios que aplicaremos en la mayor parte de la 
Resistencia de Materiales y que servirán para simplificar los cálculos 
 
Principio de los Pequeños Desplazamientos 
 
Según este Principio, se admite que al aplicar las fuerzas exteriores sobre los cuerpos, los 
desplazamientos que se originan, son en la mayoría de los casos pequeños en relación con las 
dimensiones de los mismos. Ello nos permitirá que las ecuaciones de equilibrio de la Estática 
las podamos aplicar sobre el cuerpo en su posición inicial, es decir sin haberse deformado. 
 
Ejemplo: Sea una estructura formada por dos cables que soportan una carga. Se desea calcular 
las tensiones en los cables 
 
 
 β
 α
 
 
 O
 
 P 
 Fig. I.4.a 
 
Al considerar la estructura deformable, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se deberían 
plantear, en rigor, en la estructura ya deformada. Es decir cuando los extremos inferiores de 
las cuerdas y por tanto la carga P se ha trasladado al punto O´. 
 
Estableciendo pues, las ecuaciones de equilibrio en el punto O´ se tendría: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con estas ecuaciones de equilibrio no se podrán obtener los valores de F1 y F2 pues se 
desconocen las variaciones ∆α y ∆β que han sufrido las inclinaciones de los cables. 
 
 
O 
P 
α+∆α 
β-∆β 
O´ 
Fig. I.4.b 
PFFF
senFsenFF
y
x
=∆++∆−=
∆+=∆−=
∑
∑
)cos(.)cos(.0
)(.)(.0
12
12
ααββ
ααββ
P 
α+∆α
β-∆β F2
F1
O´
Fig. I.4.c 
4 
Sección I.2: Principios Generales 
Si se supone ahora que las deformaciones de los cables van a ser pequeñas y aplicamos el 
“Principio de los Pequeños Desplazamientos”, las ecuaciones de equilibrio se aplicarán ahora 
a la estructura de cables aún sin deformar (en el punto O) y se podrá resolver fácilmente el 
valor de las tensiones en ambos cables. 
 
 β
F2 α
β F1α 
 O
 
O Fig. I.4.e P 
 
PFFF
senFsenFF
y
x
=+=
==
∑
∑
αβ
αβ
cos.cos.0
..0
12
12P 
Fig. I.4.d 
 
Con estas dos ecuaciones se obtienen los valores de F1 y F2
 
Observaciones: 
 
Los valores obtenidos de F1 y F2 no serán exactamente los reales, pero tendrán una 
aproximación suficiente pata considerarlos como válidos. A partir de ellos se podrá estudiar la 
deformación de la estructura. 
 
Si los desplazamientos de la estructura no fuesen tan pequeños, los resultados así obtenidos 
no serían válidos y no se podría aplicar este Principio. 
 
Este Principio se podrá aplicar en la mayor parte de los problemas que resuelve la Resistencia 
de Materiales, ya que generalmente se trabajará con pequeñas deformaciones 
 
 
 
Principio de la Superposición de los Efectos 
 
Este Principio dice que: “ Los efectos producidos por varias cargas actuando sobre un 
cuerpo (fuerzas internas o tensiones y deformaciones), se pueden obtener, siempre que las 
deformaciones producidas sean pequeñas, como suna de los efectos producidos por cada 
una de las cargas actuando separadamente” 
 
 
 
 += 
 (1) (2) 
 
 tensiones (2) + tensiones tensiones (1) = deformaciones (2) +deformaciones = deformaciones (1) Fig. I.5 
 
5 
Tema: Introducción 
Observaciones: 
 
Este Principio es de gran utilidad y se aplicará también en muchos problemas de la 
Resistencia de Materiales, dado que permite dividir el caso de una solicitación general de 
cargas, que puede ser compleja, en casos sencillos que resultan haciendo actuar por separado 
dichas cargas y así en muchos casos poder utilizar los Prontuarios que dan soluciones para 
dichos casos simples de cargas. 
 
Si las deformaciones producidas fuesen grandes este Principio no se podría aplicar. Éste sería 
el caso, por ejemplo, de una viga de “gran esbeltez” (vigas de longitudes grandes y pequeñas 
secciones) sometida a una carga de compresión y otra de flexión 
 
F F P P + ≠ 
 
 
 Fig.I.6.b Fig.I.6.c Fig. I.6.a 
 
P actuando sola → acorta la viga (Fig. I.6.b) 
F actuando sola → flexiona la viga (Fig. I.6.c) 
P y F actuando juntas → F (flexiona la viga) y P (acorta la viga y la flexiona aún más) 
(Fig. I.6.a) 
 
 
Principio de Saint Venant 
 
Este Principio dice: “Si se sustituye el sistema de fuerzas que está actuando sobre un cuerpo 
por otro equivalente a él, los efectos que ambos sistemas producen (tensiones y 
deformaciones) serán similares en todos los puntos del cuerpo, salvo en aquellos que se 
encuentran en la zona próxima a donde estaban aplicadas las fuerzas” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según este Principio las tensiones y deformaciones producidas por las cargas en (Fig. I.7.a), 
son las mismas que las que aparecerán en (Fig. I.7.b), salvo en lazona rayada, próxima a 
donde actúan las cargas, que serán diferentes: 
 
En la zona rayada: tensiones y deformaciones (Fig. I.7 a) ≠ tensiones y deformaciones (Fig. 
I.7.b) 
En el resto: tensiones y deformaciones (Fig. I.7.a) = tensiones y deformaciones (Fig. I.7.b) 
F1 
F2 R = F1 +F2 +F3 
F3 
Fig. I.7.b Fig. I.7.a 
6 
Sección I.2: Principios Generales 
Así, se podrá aplicar este Principio a problemas de Resistencia de Materiales en donde la 
superficie donde actúa la carga, es pequeña en relación con las dimensiones de la pieza, pues 
en este caso la zona afectada por el cambio (zona rayada) tendría poca consideración. 
 
 
 R = Σ FSI 
 
 
→
 
 
 
 Fig. I.8.a 
 
 
 
 
R = Σ F NO 
 →
 
 
 
 Fig. I.8.b 
 
 
 
Como se observa en (Fig. I.8.a), la zona rayada (donde se van a producir las alteraciones en el 
estado de tensiones y deformaciones), es pequeña, con lo cual la sustitución del sistema de 
fuerzas por su resultante, apenas va a suponer alteración de dicho estado en la viga. No ocurre 
lo mismo en el caso de (Fig. I.8.b), donde la zona rayada es grande y por tanto la zona donde 
se van a dar las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones, al sustituir el sistema 
de fuerzas por su resultante, es muy amplia, con lo cual no se podrá hacer dicha sustitución, 
pues se cometerían errores graves en los cálculos. 
 
7 
 Tema 1: Tensiones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 1 : TENSIONES 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
 S 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆F O
F2 
F4 
∆S σ nS u
ρ τ 
Tema 1: Tensiones 
1.1.- CONCEPTO DE TENSIÓN 
 
Consideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, ..,Fn y que esté en 
equilibrio estático (no se mueve) y en equilibrio elástico (ya está deformado). 
 
 F3 
F1 
 
 
S Fn F5 F4 
F2 
 
 
 Fig. 1.1.a
 
Debido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del sólido las fuerzas 
interiores, que se oponen a la acción de las exteriores y tratan de llevar al sólido a la 
posición que tenía inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionemos el 
sólido por la superficie S. 
F3 F1 
S S 
∆F 
2 
 
Las dos partes en que ha quedado dividido el sólido no estarían ahora en equilibrio. Para 
reproducir dicho equilibrio se tendría que restablecer las acciones que cada parte del 
sólido ejercía sobre la otra. Estas acciones son las fuerzas interiores (∆F), fuerzas que 
las partículas de un lado de la superficie S ejercían sobre las del otro lado 
 
Se denomina: 
 
 
Tensión media en el punto O: 
 
 
 
Tensión en el punto O: 
 
 
 
 
 
∆F 
O 
F2 
F4 
∆S ∆S 
Fn O F5 
Fig. 1.1.b Fig. 1.1.c
S
F
med ∆
∆
=
r
r
ρ
S
F
S ∆
∆
= →∆
r
r
0limρ )1.1(
Sección 1.2: Tensiones normales y cortantes 
1.2.- TENSIONES NORMALES Y CORTANTES
 
 
 F1 
 S 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensión en el punto O: 
 
es un vector de la misma dirección y sentido que F
r
∆ pero de menor módulo (va 
dividido por ∆S) 
 
Tensión normal )(σr : es la componente de la tensión ρ
r
 sobre la dirección normal a la 
superficie S. 
 
Se obtendrá: 
 
∆F O
F2 
F4 
∆S σ 
ρ τ 
nS u
Fig. 1.2
S
F
S ∆
∆
= →∆
r
r limρ 0
ur
r
.ρσ = )2.1(.uσ σ=r r
S
siendo el vector unitario normal a la suu
r
perficie 
3 
 
 
Tensión cortante )(τr : es la componente de la tensión ρ
r
 sobre la propia superficie S 
 
Se cumplirá que: 
 
con lo cual: 
 
 
1.3.- ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO
 
Si se hubiese seccionado el sólido por diferentes superficies S que pasen por el punto O 
se hubiesen obtenido diferentes valores de la tensión ρ
r
 en dicho punto, puesto que las 
acciones que se estaban ejerciendo sobre el punto O por parte de los que le rodean no 
serían las mismas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 τσρ +=τσρ
rrr
+= )3.1(
τ ρ σ= −rr r 2 2τ ρ σ= − )4.1(
F3 
F1 
ρ2 
ρ3 ρ1 Fn F5 F4 
ρ4 F2 ρn 
Fig. 1.3
Tema 1: Tensiones 
Al conjunto de todos los valores de las tensiones ρ en un punto O, correspondientes a 
todas las superficies que pasen por él, se le denomina: ESTADO DE TENSIONES DEL 
PUNTO O 
Así, según se ve en (Fig. 1.4.a y b), si seccionásemos por la superficie S1 actuaría la 
tensión ρ1, si seccionásemos por la superficie Sn actuaría la tensión ρn, etc..Luego cada 
tensión va asociada a una Superficie 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO 
 
De todas las tensiones que puede haber en un punto, se verá cómo, si seleccionamos 6 
de ellas, a las que denominaremos “Componentes del estado de tensiones en un 
punto”, a partir de ellas, se podrán conocer todas las demás. 
 
Sea O un punto del sólido cuyo “Estado de tensiones” se quiere conocer. Aislemos un 
elemento de volumen diferencial, en forma de paralelepípedo recto, con vértice en O, 
origen de un sistema de ejes coordenados: x,y,z, coincidentes con las aristas del 
paralelepípedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndole 
semejante a sí mismo, en el límite, el paralelepípedo tiende al punto O y todas sus caras 
pasan por O, con lo cual se podrá considerar las tensiones sobre sus caras como 
tensiones en el punto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 F1 
F2 
F4 
ρ1 
S1 
Fig. 1.4.a
F2 
F4 
ρn 
Sn 
Fig. 1.4.b
F3 
F1 
y
O Fn x F5 F4 
zF2 
Fig. 1.5
 Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto 
 
Ampliemos el paralelepípedo y por lo visto en 1.2., sobre cada una de las caras de dicho 
paralelepípedo habrá una tensión normal σ y una tensión cortante τ. Si descomponemos 
ésta a su vez, en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, se 
tendrán 3 tensiones en cada una de las caras y por tanto 18 tensiones sobre el 
paralelepípedo completo. 
 
σ´yy 
 
 τ´yx
 τ´yz σz 
 τ´xyτzx dy τxz σx σ´x τ´zy τzy
 
τ´xzτ´zxσ´z τxy
dx x O 
 τyx τyzdz 
 
 
z σy Fig. 1.6
 
Nomenclatura utilizada 
 
Para las tensiones normales: σx → el subíndice “x”, indica que esta tensión está sobre 
una superficie normal al eje X 
 
Para las tensiones cortantes: τxy → el primer subíndice “x”, indica que está sobre una 
superficie normal al eje X y el segundo subíndice “y”, indica que lleva la dirección del 
eje Y 
 
Observación: en las caras del paralelepípedo paralelas a las que contienen a los ejes 
coordenados, las tensiones se las distingue con un “prima” en la parte superior: σ´x, τ´xy
 
Convenios de signos para las tensiones 
 
Para las tensiones normales: σ → se consideran positivas, (σ > 0), cuando van 
dirigidas en el mismo sentido que la normal saliente a la superficie donde está aplicada. 
(Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones normales dibujadas en las diferentes 
caras del paralelepípedo serían positivas). 
 
Para las tensiones cortantes: τ → se consideran positivas, (τ > 0), cuando las que están 
aplicadas sobre las caras del paralelepípedo que pasan por O llevan sentido contrario al 
de los ejes positivos y las que están aplicadas en las caras que no pasan por O llevan el 
mismo sentido que los ejes positivos. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones 
cortantes dibujadas en las diferentes caras del paralelepípedo serían positivas). 
5 
Tema 1: Tensiones 
Las tensiones en las tres caras del paralelepípedo que no pasan por O ( σ´x, σ´y, σ´z, τ´xy, 
τ´yz, τ´zx ) se podrían expresar matemáticamente en función de las tensiones en las otras 
tres caras que pasan por O ( σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx ) por desarrollo de Tylor: 
 
 
 
dx
x
dx
x
dx
x
xz
xzxz
xy
xyxy
x
x ...
´´
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+
τττ
τ
ττσσ x
´σ =
 
 
dy
y
dy
y
dy
y
yz
yzyz
yx
yxyx
y
y ...
´´
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+
τ
ττ
τ
ττ
σ
σy
´σ = )5.1(
 
 
dz
z
dz
z
dz
z
zy
zyzy
zx
zxzx
z
z ...
´´
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+
τ
ττ
τ
ττ
σ
σz
´σ = 
 
 
Si reduciésemos las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndose semejante a sí 
mismo, el paralelepípedo tendería al punto O y en el límite todas sus caras pasarían por 
O, con lo cual se podría considerar que: 
 
 xzxzxyxyx ττττσ ==
´´
yzyzyxyxyττττσ ===
´´
zyzyzxzxz ττττσ ===
´´
xσ =
´
yσ
´
zσ
´
 
 )6.1(
 
 
 
 
Así pues, en este caso, serán sólo 9 las tensiones distintas que actúan sobre las caras de 
dicho paralelepípedo: 3 tensiones normales y 6 tensiones cortantes. 
 
Por último si establecemos las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo:Σ F = 0, 
Σ M = 0, se obtendría que: 
 
 )7.1(xzzxzyyzyxxy ττττττ ===
 
 
Conclusión: Serán sólo 6 las tensiones distintas que actúan sobre las caras del 
paralelepípedo, que serán: 
 
 
zxyzxyzyx τττσσσ 
 
 
a estas 6 tensiones se las denomina:Componentes del estado de tensiones del punto O 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto 
TENSOR DE TENSIONES 
 
Supuestamente conocidas las 6 componentes del estado de tensiones en un punto O 
cualquiera: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx , vamos a desarrollar una fórmula que permita conocer 
las tensiones sobre cualquier superficie que pase por O. 
 
Para ello tracemos una superficie S que cortará al paralelepípedo diferencial en un plano 
de área dS y aislemos del cuerpo el elemento de volumen diferencial que en forma de 
tetraedro con vértice en O se nos ha formado. 
 
F3 
F1 y 
7 
 
O
dS
Fn x F5 F4 
 zF2 
 Fig. 1.7
 
 
Ampliando dicho tetraedro y situando las tensiones sobre las caras del mismo será: 
 
y 
 σz
 
 
 
 
 
 
 
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio del tetraedro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ecuaciones que expresadas en forma matricial quedará: 
 
u 
n 
x
z 
O 
ρ 
τ 
dS
τzxτxz
( )
siendo en general : . . .
y estando la superficie definida por :
cos ,cos ,cos
x y zi j
dS
u
kρ ρ ρ ρ
α β γ
= + +
rr rr
r
σx στzy
τxy
τyzτyx
σy Fig. 1.8
0 . . .cos . .cos . .cos
dividiendo por : .cos .cos .cos
y haciendo lo mismo en los otros ejes :
0 .cos .cos .cos
0 .cos .cos .cos
0 .co
x x x yx zx
x x yx zx
x x x yx zx
y y xy y zy
z z xz
F ds ds ds ds
ds
F
F
F
ρ σ α τ β τ
ρ σ α τ β τ γ
ρ σ α τ β τ γ
ρ τ α σ β τ γ
ρ τ
= = + +
= + +
= = + +
= = + +
= =
∑
∑
∑
∑ s .cos .cosyz zα τ β σ γ+ +
)8.1(
γ
Tema 1: Tensiones 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
σττ
τστ
ττσ
ρ
ρ
ρ
cos
cos
cos
.
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x 
 )9.1(
 
 
 
 
uT r
r
.=ρ )10.1(y en forma abreviada: 
 
siendo: 
"" TensionesdeTensorT
zyzxz
zyyxy
zxyxx
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
σττ
τστ
ττσ
 )11.1( 
 
 
Conclusión: 
 
Conocidas las componentes del Estado de Tensiones en un punto: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx 
y dada una superficie S cualquiera que pase por dicho punto, definida por su vector 
normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (1.9) 
la tensión ρ sobre dicha superficie. 
 
Una vez conocida la tensión ρ, se podrá obtener por las ecuaciones (1.2) y (1.3): 
 
22
..
σρτσρτ
σσρσ
−=−=
==
rrr
rrrr uu 
)12.1( 
 
 
 
 
 
Caso Particular: TENSIONES PLANAS:
 
Se considera que un estado de tensiones es plano cuando se cumpla: 
 
 σz = 0, τxz = 0, τyz = 0 
 
(Este es un caso que se presenta con mucha frecuencia) 
 
La ecuación matricial (1.9) sería: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
στ
τσ
ρ
ρ
ρ
cos
cos
cos
.
000
0
0
yxy
yxx
z
y
x
 
 
 
 
o lo que es lo mismo: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
α
στ
τσ
ρ
ρ
cos
cos
.
yxy
yxx
y
x )13.1(
 
 0=zρ 
 
 
8 
Sección 1.4: Tensiones Principales 
 
 
1.4.- TENSIONES PRINCIPALES
 
De las infinitas Tensiones que puede haber en un punto de un sólido, relativas a las 
infinitas superficies S que pasen por él, habrá unas que tengan los valores máximo y 
mínimo, a las que se denominará: TENSIONES PRINCIPALES. A las superficies S 
correspondientes se las denominará : SUPERFICIES PRINCIPALES y a las 
direcciones de los vectores normales a dichas superficies se las denominará: 
DIRECCIONES PRINCIPALES. 
 
Para su cálculo se tendrá e
Principales se cumplirá: 
 
 Existirán pues muchas superficies, como la dS
n cuenta, aunque no se demostrará, que en las Superficies 
.9 a), en las cuales habrá 
nsiones normales (σ ) y cortantes (τ ) y habrá algunas, como la dS , (Fig.1.9 b), en las 
 
 
 
ÁLCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES
1, (Fig.1
0 con lo cual :τ ρ σ= =rr r
te 1 1 2
que no habrá tensiones cortantes y por tanto sólo habrá tensiones normales (σ2), con lo 
cual, en estos casos, la tensión total (ρ2) coincidirá con la tensión normal 
 
 
 F1 
F2 
F3 
F4 5 
F1 
2 
F3 
F4 F5 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
e Tensiones en un punto O: 
, σ , σ , τ , τ , τ y sea S una Superficie Principal que pasa por O, definida por su 
ir: 
 llevando est
 
Supongamos conocidas las 6 componentes del Estado d
σx y z xy yz zx
vector normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ). 
 
En función de lo dicho antes, se deberá cumpl
 
 
 
 
y as expresiones a la ecuación (1.8) que da el valor de 
 
 
 
F
O x
y
z
dS
ig. 1.9.a
ρ1 
 
σ1 
u1 1 
F
τ1 F
O x
z
dS2
ig. 
u2 ρ2 = σ2 
τ
F 1.9.b 
2 = 0
dS1: Superficie cualquiera dS2: Principal 
u
 Superficie
rr .ρρ = : 
γρρβρραρρ cos.cos.cos. === yx z
con lo cual
9 
ρ, quedará: 
)14.1(
Tema 1: Tensiones 
 
 
10 
 
 
 
 
operando
 para que este sistema de ecuaciones homogéneo, tenga solución no nula, tendrá que 
erificarse que el determinante formado por los coeficientes sea nulo, es decir: 
esolviendo este determ ación de tercer grado, se 
btendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2, ρ3
 PRINCIPALES
: 
 
 
 
 
 
 
 
Y
v
 
 
 
 
 
 
R inante, que da lugar a una ecu
o
y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2, ρ3 = σ3
 
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES 
ra conocer las direcciones en 
s que éstas aparecen: direcciones principales, se resolverá el sistema de ecuaciones 
 para q
e auxiliará con la euación: 
as direcciones principales a de ecuaciones 
rmado por (1.17.a) y (1.17.b): 
 
.cos .cos .cos ( 1.14) .cos
.cos .cos .cos ( 1.14) .cos
.cos .cos .cos ( 1.14) .cos
x x yx zx
y xy y zy
z xz yz z
por
por
por
ρ σ α τ β τ γ ρ α
ρ τ α σ β τ γ ρ β
ρ τ α τ β σ γ ρ γ
= + + = =
= + + = =
= + + = =
0cos.cos.cos).( =++− γτβταρσ
0cos).(cos.cos.
0cos.cos).(cos.
=−++
=+−+
γρσβτατ
γτβρσατ
zyzxz
zyyxy
zxyxx
0=
−
−
ρσττ
τρστ
zyzxz
zyyxy
− ττρσ zxyxx
 
Una vez obtenidas las tensiones principales: ρ1, ρ2, ρ3, pa
la
(1.15) obtenido anteriormente, sustituyendo en él la tensión ρ, para cada uno de los 
valores obtenidos de las tensiones principales. Así será: 
 
 
)15.1(
)16.1(
0cos).(cos.cos.
0cos.cos).(cos.
=−++
=+−+
0cos.cos.cos).( =++− izxiyxiix
iiziyzixz
izyiiyixy
γρσβτατ
γτβρσατ
γτβταρσ
 
 
 
 
y ue la dirección obtenida se exprese como un vector unitario: 
s 
1=iu
r
 
 
 
L se obtendrán pues resolviendo el sistem
fo
 
 
 
 
1coscoscos 222 =++ iii γβα
).17.1( a
1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
para cos , cos , cos
para cos , cos , cos
i
i
).17.1( b
1 1para cos , cos , cosiρ ρ α β γ= →
ρ ρ α β γ
ρ ρ α β γ
= →
= →
Sección 1.4: Tensiones Principales 
11 
ASO PARTICULAR: TENSIONES PLANASC
 
Para el caso de tensiones planas: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, le ecuación (1.16) que da el 
álculo de las tensiones principales se verá reducida a la ecuación siguiente: 
 
 
ste determ ugar a una ecuación de segundo grado, se 
ndrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2
 
: 
 operand
or su parte las direcciones principales se obtendrán a partir de las ecuaciones (1.17.a) y 
.17.b) eliminando los términos representativos de la tercera dimensión y se verán 
as direcciones principales a de ecuaciones 
rmado por (1.20.a) y (1.20.b): 
c
 
 
0=
− ρστ yxy
− τρσ yxx
 
 
 
Resolviendo e inante, que da l
obte
y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2
 
Desarrollando el determinante: 
 
siendo las raíces de esta ecuación
)18.1(
0).().( 22 =−++− xyyxyx τσσσσρρ
 
 
2
)..(4) 22
1
xyyxy τσσσρ
−−
=
()( xyx σσσ +++ 
 
 
 
 
 
y o: 
2
)..(4)()(22
2
xyyxyxyx τσσσσσσρ
−−+−+
=
 
 
22
11 .4)(.
1
xyyx
yx τσσ 22
σσ
σρ +−+
+
==
22
22 .4)(.2
1
2 xyyx
yx τσσ
σσ
σρ +−−
+
==
 
 
 
 
 
 
P
(1
reducidas a las expresiones: 
 
 
)19.1(
0cos.
=+−+ 0cos).(cos.
cos).( =+− ix
iiyixy
iyxi
βρσατ
βταρσ
 
 
 
 
L se obtendrán pues resolviendo el sistem
1coscos 22 =+ ii βα
).20.1( a
20.1(
1 1
2para cos , cosi
).b
fo
 
 1para cos , cosiρ ρ α β= →
 
2 2ρ ρ α β= →
 
Tema 1: Tensiones 
12 
.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR1 
método de cálculo analítico para el cálculo de 
ensiones. En este apartado se verá un método gráfico. 
 
En los apartados anteriores se ha visto un 
T
 
CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANAS
 
El método gráfico se va a desarrollar en primer lugar para el caso de Tensiones Planas, 
ues es el que mas se utilizará debido a su sencillez de aplicación y la gran ayuda de su 
das las tres componentes del estado de tensiones plano en un punto 
: σ , σ , τ (Fig.1.10 a). Al no existir tensiones en la tercera dimensión (z), se podrá 
espon
asa por O y definida por su vector normal unitario:u (cosα, cosβ, 0). 
ie S se obtendrán 
s valores de las tensiones σ y τ correspondientes. Así: 
 unos ejes coordenados, en los que en el 
je de abcisas llevásemos las tensiones normales y en el de ordenadas, las cortantes y 
p
aportación gráfica. 
 
Supongamos conoci
O x y xy
simplificar el dibujo y representar tan sólo la proyección del ele mento diferencial de 
volumen sobre el plano xy. (Fig.1.10 b) 
 
 
x 
y σ
z 
σx σx 
σy 
τxy
τxy
yx
τ
O
Fig.1.10.a
y 
σx σx 
σy 
σy 
τxy
τxy
τyx
τyx
x
y
Fig.1.10.b
 
τ 
S α 
 
 
 
 
 
 
 
Se desea conocer las tensiones corr dientes a una superficie S cualquiera, que 
p
 
Empleando las ecuaciones analíticas (1.13) y (1.12) para cada superfic
lo
 
 
 
 
 
 
 Si representásemos estos valores obtenidos en
e
uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de los 
mismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr” 
 
 
u
σ
τ
Oyx
1 1 1para superficie ,S 1
2 2 2 2para superficie ,
.............................................................................
para superficie ,n n n n
S
S
α α σ τ= → →
α α σ τ
α α σ τ
= → →
= → →
σ
τ 
O 
(σ1,τ1)
(σ2,τ2)
(σn,τn) Fig.1.11
 
 
 
 
Sección 1.5: Representación de Mohr 
13 
e demuestra, aunque no se hará, que la circunferencia de Mohr obtenida al unir todos 
los puntos: (σ1τ1), (σ2τ2),…… (σnτn), es una circunferencia que tiene por Centro y 
Radio los siguientes valores: 
 
 
(1.21) 
 
 
siendo: σx, σy, τxy, las tres componentes del estado de tensiones planas en el punto O. 
 
 
Criterios de signos para las tensiones, al utilizar el método gráfico de Mohr
S
 
 
• Tensiones normales (σ): se consideran positivas las tensiones normales cuyo 
sentido es saliente de la superficie, es decir en el sentido de la normal exterior a 
la superficie. Negativas en caso contrario 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Tensiones cortantes (τ): se consideran positivas cuando su sentido deja a la 
derecha a la superficie. Dicho de otro modo, cuando su sentido de circulación 
(en sentido figurado), alrededor del elemento es horario. En la (Fig. 1.13.a) se 
representan las diferentes posiciones de τ > 0, con respecto a la superficie S. 
Las posiciones de τ < 0, caso contrario, se indican en la (Fig.1.13.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: Los criterios de signos utilizados para las tensiones cortantes, en la 
representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 1.3. para la resolución 
analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los 
problemas. 
 
 
σ > 0 S 
σ < 0 
S 
next next
Fig.1.12.a Fig.1.12.b
τ > 0 
τ 
τ
τ
τ
τ 
τ 
τ 
τ S 
S 
S 
S 
S 
S 
S 
S 
Fig.1.13.a
τ < 0
τ
τ 
τ 
τ 
τ
τ
τ
τ S
S 
S 
S 
S 
S 
S 
S 
Fig.1.13.b 
2
2Centro : ,0 Radio :
2 2
x y x y
xy
σ σ σ σ
τ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tema 1: Tensiones 
14 
Construcción de la circunferencia de Mohr:
 
Supónganse conocidas las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: 
σx, σy, τxy (Fig.1.14.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisas 
llevaremos las tensiones normales (σ) y en el de ordenadas las tensiones cortantes (τ). 
(Fig.1.14.b). 
 
La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de tensiones se 
hará de la siguiente forma: 
 
La superficie SA ( σx>0, τxy<0, por criterios de signos de Mohr), vendrá representada en 
los ejes coordenados por el punto A. A su vez, la superficie SB ( σy>0, τyx>0, por 
criterios de signos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el punto 
B. Si unimos, con una recta, los puntos A y B, la intersección de ésta con el eje de 
abcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.14.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efectivamente con la construcción realizada, el centro será: 
 
 
y el radio será: 
 
 
 
expresiones que coinciden con las expresadas anteriormente en (1.21). 
 
 
 
 
 
 
SA SA 
SB 
SB 
O x
y
σxσx
σy
τxy
τxy
τyx
σy 
τyx
Fig.1.14.a
O C
A 
B
σ
τ
σx 
D 
σy
τxy
τyx
Fig.1.14.b
E
22
yxOEODOC
σσ +
=
+
=
( ) ( ) 2
2
22
2 xy
yxDACDCA τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=+=
Sección 1.5: Representación de Mohr 
Cálculo de las tensiones σ y τ en una superficie S cualquiera: 
 
A partir de las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: σx, σy, τxy, se 
dibujará en un sistema de ejes coordenados: (σ, τ), la circunferencia de Mohr tal y como 
ente las tensiones σ y τ 
normal unitario: u (cosα, cosβ, 0).(Ver Fig.1.15.a) 
 
 
 
 
 
El proc
superfi
bien, p el estado de 
nsiones de la superficie SA), al punto S, (que representará el estado de tensiones de la 
perficie S ente en sent α (“ el 
oble del anterio ). (Ver Fig.1.15.b) 
ediante este procedimiento las tensiones en la superficie S serán pues: 
: .co
ensión cortante: 
O C CH OC CS
n
se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio 
Indiquemos a continuación cómo poder conocer gráficam
correspondientes a una superficie S cualquiera que pase por O, definida por su vector 
s
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
edimiento será el siguiente: Para pasar de la superficie SA (definida por uA), a la 
cie S (definida por uS), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Pues 
ara pasar en la circunferencia de Mohr, del punto A, (representativo d
te
su ), se tendrá que girar, igualm ido antihorario, el ángulo 2
d r ”
 
M
 
tensión normal s
t .S se
H O
SH C
σ β
τ β
= +
=
 
os valores de OC “centro” y CS “radio” se han obtenido anteriormente de la 
ircunferencia de Mohr) 
bservación:
= = +
=
(l
c
 
O 
omo consecuencia del procedimiento anterior resultará, que dos superficies 
 
C
perpendiculares que pasen por O, estarán representadas gráficamente en la 
circunferencia de Mohr por dos puntos diametralmente opuestos de dicha 
circunferencia. Véase por ejemplo el caso de las superficies SA y SB representadas en 
los puntos diametralmente opuestos A y B de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.15.a y 
.15.b) 1
 
SA
SB 
O x
y
σx
σx
σy 
τxy
τ
y 
τyx
xy
τyx
σ
Fig.1.15.a
S
σ
β
O C σ τS u uA
α
A 
B
τ
σx 
D σy
τxy
τyx
S 
H 
σ
τ 
2αβ 
Fig.1.15.b
Tema 1: Tensiones 
Cálculo de las tensiones principales: 
 
Se sabe, por lo visto en (1.4) que las tensiones principales son las tensiones máxima y 
 
 
, se observa que los puntos M y N de dicha 
io s. Así pues las tensiones principales serán: 
 
 
 
 
 
 
 
on las mismas ecuaciones (1.19) obtenidas analíticamente) 
r
stado de tensiones 
max, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así pues para 
btener la superficie principal: SM, sobre la que se dará dicha tensión principal, se 
eberá girar la Superficie SA, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1. 
ig.1.16.a). 
iendo: 
a otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la tensión 
rincipal mínima:σ2 = σmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver 
ig.1.16.a), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la 
circunferencia). 
mínima y que en las superficies donde aparecen, no hay tensiones cortantes. Es decir, se 
cumple: ρ =σ, τ = 0. 
SA 
O x
SB 
y
σx
σx
16 
 
De la circunferencia de Mohr, (Fig.1.16.b)
circunferencia cumplen dichas condic ne
 
 
(s
 
Las direcciones principales también se podrán obtener a pa
ohr. Se observa (Fig.1.16.b), para pasar del punto A del circulo (representativo del 
tir de la circunferencia de 
M
e de la superficie SA), al punto M, que es donde se dará la tensión 
principal: σ1 = σ
o
d
(F
 
s
 
 
L
p
F
σy 
τxyτxy
yxτ
τyx
Fi
σy
g.1.16.a
SM 
σ1=σmax
uM 
uA 
ϕ1SN 
σ2=σmin
90º 
O C
B
A 
σ
τ
σx 
D σy
τxy
τyx
Fig.1.16.b
2ϕ1
M 
N
σ2
σ1 
112 ϕ
2
σσ
τ
ϕ ⇒== xyADtag
− yxCA (1.23) 
2
2
1 1 max entro Radio 2 2
x y y
xyOC C
σ σ σxσOM M Cσ ρ σ τ
+ −⎛ ⎞
= = = = + = + = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2 2 min Centro Radio 2 2
x y x y
xyON OC CN
σ σ σ σ
σ ρ σ τ
+ −⎛ ⎞
= = = = − = − = − +⎜ ⎟
⎠⎝
(1.22) 
Sección 1.5: Representación de Mohr 
Cálculo de la tensión cortante máxima:
 
Los puntos del círculo de Mohr donde la tensión cortante es máxima, son los puntos F y 
G, los de máxima ordenada. (Fig.1.17). 
 
O C
A
B 
σ
τ 
 
 
17 
 
σx
Dσy 
τxy
yx
Fi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El val nsión corta e máxima será pu
 bien: 
or de la te nt es: 
 
 
 
 
 
o
 
 
 
 
Las superficies SF y SG, donde se darán las τmax, estarán a ± 45º de las superficies 
principales SM y SN, pues los puntos F y G de la circunferencia se encuentran a 90º de 
los puntos M y N. (Fig.1.17). 
 
 
ASO DE TENSIONES TRIAXIALESC
 
Se dice que un elemento de material se encuentra en un estado de tensiones triaxial 
cuando está sometido a tensiones en los tres ejes coordenados. 
 un paralelepípedo diferencial alrededor de él y sean los ejes 1, 
 y 3, los ejes principales 
 
Supongamos un punto O,
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
τ
g.1.17
2ϕ1
M
N 
σ2 
σ1
F
G
τmax
τmax
2
2
max Ra ( por ecuación 1.21) .24)2
x y
xyCF
σ σ
τ τ
−⎛ ⎞
= = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
dio (1=
1 2DiRadio (1.25)OM ONmax 2 2 2
ámetro σ στ −−= = = =
σ1 σ1 
σ2 
σ2 
σ3 
σ3 
1
2
3 Fi
O
g.1.18
Tema 1: Tensiones 
18 
a S, paralela al eje 3, las tensiones σ y τ sobre 
icha superficie las podremos obtener del círculo de Mohr (A), (ver fig. 1.20), 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La m
2 (en este caso las tensiones σ y τ
círculo de Mohr (B), (ver fig.1.
estado de tensiones plano (pues las tensiones σ
cortásemos por una superficie S paralela iones 
álisis ante ens y τ sobre 
uperficies S paralelas a uno de los ejes principales. Si se quisieran calcular sobre otras 
Si se corta por una superficie inclinad
d
correspondiente a las tensiones σ1 y σ2, similar a un estado de tensiones plano (pues las 
tensiones σ3 no afectarían a dicha superficie). 
 
σ3 
σ
τ 
θ S 
nS 
σ1 
isma conclusión general es válida si cortásemos por una superficie S paralela al eje 
 sobre dicha superficie las podríamos obtener del 
20), correspondiente a las tensiones σ1 y σ3, similar a un 
2 no afectarían a dicha superficie) o si 
 al eje 1 (en este caso las tens σ y τ sobre 
dicha superficie las podríamos obtener del círculo de Mohr (C), (ver fig.1.20), 
correspondiente a las tensiones σ2 y σ3). 
 
Se ha supuesto en la construcción de los círculos que: σ1 > σ2 > σ3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En cada uno de los círculos podremos hallar la τmax correspondiente, siendo la τMAX 
absoluta la correspondiente al círculo de Mohr mayor (B) y valdría: 
 
 
 
n el anE rior hemos considerado el cálculo de las t iones σ
s
superficies S cualquiera, (no paralelas a ningún eje principal), el análisis sería algo más 
complejo y no se verá en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondientes 
de σ y τ darán puntos situados sobre el área limitada por las tres circunferencias de 
Mohr 
σ2 
σ O 3 1 
2 
Fi
3 
g.1.19
τ 
σ1 σ2 σ3 σO
τMAX A
B
C
τ 
O
2
31
Fig.1.20
σστ =MAX
−
Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones 
19 
 SECCIÓN. RELACIONES ENTRE 1.6.- FORMAS DE TRABAJO DE UNA
TENSIONES Y SOLICITACIONES 
CCIÓN
 
FORMAS DE TRABAJO DE UNA SE 
onsideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas exteriores y que se encuentra 
n equilibrio estátic elástico. 
egún lo visto en el apartado 1.1, si se d Internas o Tensiones 
, seccionamos el sólido por dicha 
p
cía sobre él. Estas acciones son precisamente las Fuerzas 
ternas o Tensiones que aparecerían sobre los puntos de la superficie S seccionada. 
ues bien, para saber algo de ellas, hagamos lo siguiente: 
omemos un sistem (centro de gravedad de la 
cción S), siendo el eje X perpendic superficie S y con sentido positivo saliente 
e la misma y los ejes Y y Z los ejes principales de la
ositivos de tal forma que formen un triedro directo 
 
C
e o y
 F1 
F2 
F3 
Fn F4 F5 
Fig. 1.21.a
 
 
 S
 
 
 
 
 
 
S esea conocer las Fuerzas 
que aparecen en una superficie determinada S
su erficie y nos quedamos con una de las dos partes del mismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El trozo de sólido seccionado no estará en equilibrio, a no ser que se restablezcan las 
acciones que el otro trozo ejer
In
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T a de ejes coordenados con origen en G
se ular a la
d sección S, con sus sentidos 
p
 
∆F 
O
S 
F1 
2 F
F4 
∆S 
Fig. 1.21.b
G
F
S 
1 
F2 
Fig. 1.21.c
x 
y 
z 
F4 
Tema 1: Tensiones 
La acción de las Fuerzas Exteriores, actuando sobre este trozo del sólido, en el punto G, 
vendrán dadas por: Rext y Mext 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G 
S 
F1 
F2 
F4 
Fig. 1.21
20 
 
 
 
 
 
 
or último, si proyectamos Rint y Mint sobre los tres ejes de referencia XYZ, nos darán 6 
omponentes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz, 
 
 
Para que este trozo de sólido seccionado esté en equilibrio, el sistema de Fuerzas 
Interiores extendido a lo largo de la superficie S, (fuerzas que las partículas del otro 
lado de la superficie S que hemos apartado, estaban actuando sobre las partículas de la 
superficie S del lado del sólido que nos hemos quedado), producirán una acción en G 
dada por: Rint y Mint y se tendrá que cumplir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.d
x 
y 
z 
Rext Mext
ext = Resultante de las Fuerzas Exteriores 
M = Momento resultante de las Fuerzas 
Exteriores respecto de G 
R
ext
G 
S 
F1 
F2 
F4 
Fig. 1.21.e
x 
y 
z 
Rext Mext
RintMint
int ext 
Mint = - Mext 
R = - R
F1 
G
S 
F2 
F4 
Fig. 1.21.f
x 
y 
z 
RintMint
Ry 
M
Rx 
z 
Mz 
R
x 
My 
Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones 
21 
 de la 
 
 
jem
Cada una de esas componentes nos indica una Forma de Trabajo o de Solicitación
sección S: 
 
 
 
 
 
 
E plos: 
 
 
 
 
 
 
 
Rx (fuerza normal) → N (TRACCIÓN – COMPRESIÓN) 
DURA en eje Y) 
R (fuerza cortante) → Vz (CORTADURA en eje Z) 
M momento flector) → My (FLEXIÓN en plano XZ, alrededor del eje Y) 
Mz omento flector) → Mz (FLEXIÓN en plano XY, alrededor del eje Z) 
Ry (fuerza cortante) → Vy (CORTA
z
 
Mx (momento torsor) → T (TORSIÓN) 
y (
 (m
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y
z N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y 
z 
Vy 
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y 
z Vz 
G 
S 
F1 
F2 
F4 
x 
y
z 
T
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y 
z 
My 
G
S 
F1 
F4 
F2 
x 
z Mz 
TRACCIÓN COMPRESIÓN 
F F F F
x x
CORTADURA en eje Y 
y 
x 
F 
M 
TORSIÓN 
x 
y
F
FLEXIÓN en el plano XY 
(alrededor eje Z)
x 
y
F 
x 
y 
z 
IÓN en plano XZ FLEX
(alrededor eje y) 
z
y
x 
F
CORTADURA en eje Z 
Fig.1.22
Tema 1: Tensiones 
RELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONES 
 
Cada una de estas Solicitaciones así obtenidas serán resultado de las Tensiones (o 
 
 
 
 
 
 las Tensiones o Fuerzas internas en cada 
conocidas las Solicitaciones (Resultante y 
Mom : N, Vy, Vz, T, My, Mz) . 
 
 
 
Fuerzas Internas)distribuidas a lo largo de la sección S. Unas y otras estarán 
relacionadas de la siguiente manera: 
 
G
S 
F1 
F2 
F4 x 
y
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vy 
N
V
T
M
M
z 
z 
z 
z
y
y
Gσ 
ρ τ 
dS 
y τxz
ττxy
 
22 
 
 
 
 
Sección S 
Fig.1.23.b 
x
S
xy
S
xyxz dSy..σ
Fig. 1.23.a
( ) ∫∫
∫∫∫
=−=
===
S
xzz
S
xyy
S
x
dSzMdSzyT
dSVdSVdSN
.....
...
σττ
ττσ
Estas ecuaciones se utilizarán para calcular
uno de los puntos de una sección S, una vez 
ento resultante de las Fuerzas interiores
∫=zM
S
(1.26) 
Tema 2: Deformaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 2 : DEFORMACIONES 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
u1 
u2 u3 
ε1 ε2 
ε3 
δ1δ2
δ3
γ1/2 γ2/2 
γ3/2 
F1 F3 
F2 
Fn 
Tema 2: Deformaciones 
2.1.- INTRODUCCIÓN
 
Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la 
deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera 
de los paralelepípedos elementales que lo forman. 
 
Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede 
descomponer e cuatro partes: 
 
1º.- Una TRASLACIÓN que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´ 
 
 
F3 F1 y
 
 xO Fn F5 F4 O´
 zF2 
 
 
Fig. 2.1 
 
 
2º.-Una ROTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´ 
 
 
 F3 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin 
deformarse 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
F2 
Fn F4 F5 O´
Eje Rotación
Fig. 2.2 
Sección 2.1: Introducción 
3º.-Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo 
 
F3 
F1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º.- Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMÉTRICAS” de los ángulos que 
forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del 
paralelepípedo. 
 
Observación:
 
En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por qué 
de ello lo veremos a continuación: 
 
Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por 
ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentido 
horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos 
acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que 
denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, 
o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual 
la arista OA habría que girarla 1º mas en sentido antihorario y la arista OB restarla 1º, 
osea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación 
F2 
Fn F5 F4 O´
Fig. 2.3 
F3 
F1 
F2 
Fn F5 F4 O´
Fig. 2.4 
= 
O OA 
B B
1º2º 
deformación 
angular
4º 
3º
3 
+
OA A 
B deformación rotación 
angular simétrica
3º 1º
Tema 2: Deformaciones 
2.2.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓN
 
Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo: 
deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del 
paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD´, con lo cual el elemento lineal 
OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD´. 
 
4 
 y 
 
 
 D D´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Se denomina DEFORMACIÓN UNITARIA (δ) del elemento lineal OD, al 
cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento 
lineal: OD, es decir: 
 
 
 
Si observamos la fig.2.5. se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario 
ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos 
ODD´y ODoDo´ se obtiene: 
 
 
 
Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia 
dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN 
LONGITUDINAL UNITARIA (ε) y otra en dirección perpendicular al elemento lineal 
OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN ANGULAR UNITARIA (γ/2). Se 
cumplirá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O x 
z 
Fig. 2.5 
1 
Do δ
Do´ 
OD
DD´
=δ
r (2.1) 
OD
DD
OD
DD ´´
1
=→= δδ
y 
D 
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
+=
γεδ
γεδ
r
rrD´ 
γ/2 Do ε (2.2) 
Do´ 1 δ 
x O 
z 
Fig. 2.6 
Sección 2.2: Concepto de deformación 
2.3.- ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO
 
Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el 
Estado de Deformaciones 
 
Tal y como se vió en 1.3 que……………..”a cada superficie S que pase por un punto O 
de un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ 
(tensión cortante)”……………..y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haber 
en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O” 
 
En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: 
 
“A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde una 
deformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y γ/2 
(deformación angular unitaria).” 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O sw le 
denomina: Estado de Deformaciones del puno O” 
 
Siguiendo con dicha analogía, vimos en 1.3 que…………….”de las infinitas Tensiones 
que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan 
por él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, denominadas componentes del 
estado de tensiones en el punto O, podremos conocer todas las demás a través de la 
ecuación (1.9): 
 
 
 
 
 
Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir: 
 
“De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las 
infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de 
ellas: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el 
punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que 
como ahora se verá, será similar a la de las tensiones (1.9).” 
O
u1 
u2 u3 
ε1 ε2 
ε3 
δ1δ2
δ3
γ1/2 γ2/2 
γ3/2 
F1 F3 
F2 
Fn 
Fig. 2.7 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
σττ
τστ
ττσ
ρ
ρ
ρ
cos
cos
cos
.
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
Tema 2: Deformaciones 
Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6 
componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y sea OD un elemento 
lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer. 
 
La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = ODo , 
dado por sus cosenos directores: u (cos α, cos β, cos γ). Construyamos ahora un 
paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver fig.2.8). El 
paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos α (en dirección del eje OX), cos β 
(en dirección del eje OY) y cos γ (en dirección del eje OZ). 
 
 
y 
D 
D´ 
6 
 
Do δ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los 
correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones 
longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: εx, εy, εz, γxy, 
γyz, γzx. 
 
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O x 
z 
Fig. 2.8 
1 Do´ 
cos β 
u 
cos α
cos γ 
y 
εy.cosβ
δ
cos β 
εx.cosαcos α
εz.cosγ 
cos γ 
O x 
z 
Fig. 2.9 
γεδβεδαεδ cos.cos.cos. zzyyxx ===
Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto 
7 
 
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: γxy, γyz, γzx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(γyx/2).cosβ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría: 
 
 
 
 
 
 
 
 
δ 
(γxy/2).cosα 
y 
cos α 
cos β 
O x 
γyx/2α
γ
δ
β
γ
δ
cos.
2
cos.
2
xy
y
yx
x
=
=
γxy/2 
cos α O 
δ 
(γxz/2).cosα 
(γzx/2).cosγ 
x γxz/2 
cos γ 
z 
γzx/2 α
γ
δ
γ
γ
δ
cos.
2
cos.
2
xz
z
zx
x
=
=
(γyz/2).cosβ 
δ 
(γzy/2).cosγ cos β
cos γ
O z 
γzy/2 
γyz/2 
y 
β
γ
δ
γ
γ
δ
cos.
2
cos.
2
yz
z
zy
y
=
=
Fig. 2.10.a), b), c) 
γεβ
γ
αγδ
γ
γ
βεα
γ
δ
γγβ
γ
αεδ
cos.cos.
2
cos.
2
cos.
2
cos.cos.
2
cos.
2
cos.
2
cos.
z
yzxz
z
zy
y
xy
y
zxyx
xx
++=
++=
++=
(2.3) 
Tema 2: Deformaciones 
Poniendo las ecuaciones (2.3) en forma matricial, sería: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
ε
γγ
γ
ε
γ
γγε
δ
δ
δ
cos
cos
cos
.
22
22
22
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x
z
y
x
 
 
 (2.4) 
 
 
 
 
 r
=δ uD r.y en forma abreviada: (2.5) 
 
siendo: 
""
22
22
22
nesDeformaciodeTensorD
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x
ε
γγ
γ
ε
γ
γγ
ε
=
 
 
 
 
 
 
 
 Conclusión: 
 
Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, γxy, 
γyz, γzx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario: 
u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (2.4), la deformación δ 
en dicha dirección. 
 
Una vez conocida la deformación δ, se podrá obtener ε y γ/2, (ver fig.2.6): 
 
22
22
..
εδγεδγ
εεδε
−=−=
==
rr
r
rrrr uu )6.2( 
 
 
 
 
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
 
Se considera un estado de deformaciones planas cuando se cumpla: 
 
0,0,0 === yzxzz γγε 
 
La ecuación matricial (2.4) se verá reducida a: 
 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
α
ε
γ
γ
ε
δ
δ
cos
cos
.
2
2
y
xy
yx
x
y
x )7.2( 
 
 
 
 
8 
Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto 
9 
onvenios de signos para las deformacionesC
 
Para las deformaciones longitudinales: ε → se consideran positivas, (ε > 0), cuando 
 
ara las deformaciones angulares: γ → se consideran positivas, (γ > 0), cuando 
 
o mismo sería con γxz y γyz
bservaciones: Analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de 
expresen alargamientos (negativas en caso contrario) 
 
 
ε < 0 
O 
D 
Do
ε > 0 
O 
D 
Do 
1 Do´ 
 
 
 1D ´o
el vector unitario ODo, en la direcció el vector unitario ODo, en la dirección OD, 
 
n OD, 
 
P
indiquen una disminución del ángulo recto inicial que forman las aristas del 
paralelepípedo que están en los ejes coordenados (negativas en caso contrario) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L
 
 
 
O
deformaciones
 
Vistas las analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, se 
 obtendrán a 2 sobre 
n efecto: 
podrá concluir que si se en todas las ecuaciones obtenidas en el Tema 1 sobre 
Tensiones, se hacen los siguientes cambios: 
 
 
 
se las ecuaciones equivalentes correspondientes al Tem
Deformaciones. 
 
 
 
E
se alarga y pasa a ODo´ se acorta y pasa a ODo´ 
O A O
A
 
B 
A´ 
´ B
γyx/2 
γxy/2 
γxy > 0 
y 
 
γyx/2 
x
B
A
B´
´
γxy/2 
γxy < 0 
x 
y
Fig. 2.12 
2
γτεσδρ →→→ r
rrrr
Fig. 2.11 
Tema 2: Deformaciones 
 
 
10 
 
 
 
 
.4.- DEFORMACIONES PRINCIPALES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 
De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a 
currirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá 
 
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ αττσρ cos
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
ε
γγ
γ
ε
γ
ε
δ
δ
δ
cos
cos
cos
.
22
22
22
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x
z
y
x
⎤⎡ γγ
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣ γ
β
σττ
τστ
ρ
ρ
cos
cos.
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
(1 9).
TENSIONES DEFORMACIONES 
(2.4) 
22
22
..
εδγεδγ
εεδε
−=−=
==
rr
r
rrrr uu
22
..
σρτσρτ
σσρσ
−=−=
==
rrr
rrrr uu
)6.2((1.12)
las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los 
valores máximo y mínimo a las que se denominará: DEFORMACIONES 
PRINCIPALES. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las 
denominará : DIRECCIONES PRINCIPALES. 
 
O
que: γ / 2 = 0 y por tanto: δ = ε. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
D 
Do
1 
x 
y 
z 
ε
δ
γ/2 
F1
F2
F3
Fn
OD: dirección 
O
D 
Do
1
x
y
z
ε = δ
γ/2 = 0 
F1
F2
F3
Fn
OD: dirección 
principal
Fig. 2.13 
cualquiera
Sección 2.4: Deformaciones Principales 
CÁLCULO DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES
 
En el tema de Tensiones las ecuaciones 1.16, nos permitían calcular las tensiones 
principales: 
 
 
33
22
11
σρ
σρ
σρ
=
=
=
0=
−
−
−
ρσττ
τρστ
ττρσ
zyzxz
zyyxy
zxyxx 
→ 
 
 
 Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se 
obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios: 
 
2
γτεσδρ →→→ r
rrrr 
 
 
y quedarán las ecuaciones: 
 
 
0
22
22
22
=
−
−
−
δε
γγ
γ
δε
γ
γγδε
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x 
 
(2.8) 
 
 
 
 
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se 
obtendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2, δ3
y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2, δ3 = ε3 
 
 
 
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES
 
En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían 
dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.: 
 
 
0cos).(cos.cos.
0cos.cos).(cos.
0cos.cos.cos).(
=−++
=+−+
=++−
iiziyzixz
izyiiyixy
izxiyxiix
γρσβτατ
γτβρσατ
γτβταρσ
 
 
 
 
 1coscoscos 222 =++ iii γβα 
 
Pues bien, haciendo nuevamente los cambios: 
 
2
γτεσδρ →→→ r
rrrr 
 
 
11 
Tema 2: Deformaciones 
obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones 
Principales y serán: 
 
 
0cos).(cos.
2
cos.
2
0cos.
2
cos).(cos.
2
0cos.
2
cos.
2
cos).(
=−++
=+−+
=++−
iizi
yz
i
xz
i
zy
iiyi
xy
i
zx
i
yx
iix
γδεβ
γ
α
γ
γ
γ
βδεα
γ
γ
γ
β
γ
αδε 
 
 (2.9.a) 
 
 
 
 
 
 (2.9.b) 1coscoscos 222 =++ iii γβα 
 
 
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
 
Para el caso particular de deformaciones planas: 
, 
0,0,0 === yzxzz γγε
La ecuación para el cálculo de las Deformaciones Principales (2.8) quedaría reducida a 
: 
 
 
0
2
2 =
−
−
δε
γ
γ
δε
y
xy
yx
x (2.10) 
 
 
 
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado se 
tendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2 
y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2
 
Si aplicamos la fórmula de resolución de la ecuación de 2º grado, se obtendrían: 
 
 
12 
 
 
 
 
 
Por 
su parte las Direcciones Principales se obtendrán de: 
( )
( )
2
2
22
2
2
11
2
.4.
2
1
2
2
.4.
2
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
+
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+
+
==
xy
yx
yx
xy
yx
yx
γ
εε
εε
εδ
γ
εε
εε
εδ
(2.11) 
 
0cos).(cos.
2
0cos.
2
cos).(
=−+
=+−
iiyi
xy
i
yx
iix
βδεα
γ
β
γ
αδε (2.12.a) 
 
 
 
 (2.12.b) 1coscos 22 =+ ii βα
Sección 2.5: Representación de Mohr 
2.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR
 
Al igual que en el caso de las Tensiones, podremos desarrollar también un método 
gráfico para el cálculo de las deformaciones 
 
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
 
Supongamos conocidas las tres componentes del estado de deformaciones plano en un 
punto O: εx, εy, γxy, y se quieren calcular, gráficamente, las deformaciones: ε y γ/2 
correspondientes en una dirección cualquiera OD, definida por su vector unitario: 
u (cosα, cosβ) 
 
 
y D β = 90-α D´ 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se sabe, por lo visto en 2.3., que para cada dirección OD se obtendrían por las 
ecuaciones analíticas (2.7) y (2.6), un par de valores: ε y γ/2. Así: 
 
 
 
 
 
 
 
 Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en el 
eje de abcisas llevásemos las deformaciones longitudinales (ε) y en el de ordenadas, las 
deformaciones angulares (γ/2) y uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, 
que el lugar geométrico de los mismos es una circunferencia, a la que denominaremos 
“Circunferencia de Mohr” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do 
ε γ/2
δu Do´ 
xO 
β
α
Fig. 2.14 
1 1
2 2
para dirección , / 2
para dirección , / 2
.............................................................................para dirección , / 2n n
OD
OD
OD
1 1
2 2
n n
α α ε
α α ε γ
α α ε γ
= → →
= → →
= → →
γ
(ε2,γ2/2γ/2 
ε O 
(ε1,γ1/2)
(εn,γn/2)
Fig. 2.15 
Tema 2: Deformaciones 
Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr 
 
• Deformaciones longitudinales (ε): se consideran positivas las deformaciones 
longitudinales cuando indican un alargamiento. Negativas en caso contrario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D D ε > 0 
ε < 0 
14 
• Deformaciones angulares (γ/2): se consideran positivas cuando impliquen un 
giro en sentido horario. Negativas en caso contrario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones: 
Como las tensiones cortantes (τ) son las que producen las deformaciones angulares 
(γ/2), se observa por lo visto en la sección 1.5 del tema de Tensiones, que hay 
coherencia con los criterios de signos dados para las tensiones cortantes y el dado ahora 
para las deformaciones angulares: τ > 0 → γ/2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los criterios de signos utilizados para las deformaciones angulares, en la representación 
gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 2.3. para la resolución analítica. Este 
hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los problemas. 
 
 
O Do
1 Do´ 
Do
O 1Do´
Fig. 2.16 
γ/2 > 0 γ/2 < 0
D D´ 
O
D´ D 
O 
Fig. 2.17
τ
τ τ
τ τ > 0 → γ/2 > 0 τ 
ττ 
τ
Fig.2.18
Sección 2.5: Representación de Mohr 
15 
: 
onstrucción de la circunferencia de Mohr:
Ejemplo
 yy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
 
Supónganse conocidas las componentes del estado de deformaciones plano en un punto 
maciones 
as deformaciones relativas al eje X ( εx > 0, γxy/2 < 0, por criterios de signos de Mohr), 
O: εx, εy, γxy. (Fig.2.20.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de 
abcisas llevaremos las deformaciones longitudinales unitarias (ε) y en el de ordenadas 
las deformaciones angulares simétricas (γ/2). 
La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de Defor
se hará de una forma similar a como se construyó la Circunferencia de Mohr relativa a 
las Tensiones 
 
L
estarán representadas en los ejes coordenados por el punto X. A su vez, las 
deformaciones correspondientes al eje Y ( εy > 0, γyx/2 > 0, por criterios de signos de 
Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto Y. Si unimos, con 
una recta, los puntos X e Y, la intersección de ésta con el eje de abcisas (punto C), será 
el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.2.20.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
Y 
1 
εx 
εy 
X 1 
γxy/2 
γyx/2 
δx 
δy 
ux 
uy 
O A
B 
A´
B´ 
γyx/2 > 0 
γxy/2 > 0 
γxy > 0 
x
Criterio de signos para la 
resolución analítica 
O A 
B B´
γyx/2 > 0 
A´ 
γxy/2 < 0 
x 
Criterio de signos para la 
resolución gráfica (Mohr) 
Fig. 2.19 
O C 
X 
Y
ε 
γ/2 
εx εy 
γyx/2 
Fi
D E
γxy/2 
g.2.20.a Fig.2.20.b.
Tema 2: Deformaciones 
Por su construcción, se deduce fácilmente que la Circunferencia de Mohr tendrá por 
Centro y Radio los siguientes valores: 
 
 
16 
 
2
Centro :
2
Radio :
2 2
x y
x y xy
OC
CX
 
 2
ε ε
ε ε γ
+
=
−⎛ ⎞ ⎛
= +⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
(2.13) 
 
 
 
 
 
Cálculo de las deformaciones ε y γ/2 en una dirección OD cualquiera: 
 
A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, 
γxy, se dibujará en un sistema de ejes coordenados: (ε, γ/2), la circunferencia de Mohr, 
tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio 
De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones ε y γ/2 
correspondientes a una dirección OD, definida por su vector unitario: uD (cosα, senα). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El procedimiento será el siguiente: Para pasar de la dirección OX (definida por uX), a la 
dirección OD (definida por uD), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. 
Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto X, (representativo del 
estado de deformaciones de la direccion OX), al punto D, (que representará el estado de 
deformaciones de la dirección OD), se tendrá que girar, igualmente en sentido 
antihorario, el ángulo 2α.(o sea el doble del anterior). 
 
Mediante este procedimiento las deformaciones en la dirección OD serán pues: 
 
Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cos β 
Deformación angular: γ/2 = DH = CD.senβ 
 
(los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán de la circunferencia de Mohr) 
 
O C
X 
Y
ε 
γ/2 
εx 
εy 
γxy/2 
γyx/2 
Y 
D
H
ε
γ/2 
2α β 
O X1 
1 
εx 
εy 
γxy/2 
γyx/2 
δx 
δy 
ux 
uy 
δ 
ε γ/2 
1 uD 
D 
α 
Fig.2.21
Sección 2.5: Representación de Mohr 
Cálculo de las deformaciones principales: 
 
Se sabe, por lo visto en (2.4) que las deformaciones principales son las deformaciones 
máxima y mínima y que en las direcciones donde aparecen, no hay deformaciones 
angulares. Es decir, se cumple: δ =ε, γ/2 = 0. 
γ/2 
Y Yγyx/2 
εy γyx/2 δy 
17 
 
 
Observando la Circunferencia de Mohr, se ve que los puntos M y N corresponden a las 
deformaciones máximas y mínimas y en ellos no hay deformaciones angulares, por 
tanto esos puntos estarán representando a las deformaciones principales. Sus valores 
serán: 
 
 
 
Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia de 
Mohr. Se observa (Fig.2.22), que para pasar del punto X del circulo (representativo del 
estado de deformaciones de la dirección OX), al punto M, que es donde se dará la 
deformación principal: ε1 = εmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así 
pues para obtener la dirección principal OM, sobre la que se dará dicha deformación 
principal, se deberá girar la dirección OX, en el mismo sentido (es decir antihorario), el 
ángulo ϕ1. 
 
siendo: 
 
 
 
 
La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la deformación 
principal mínima: ε2 = εmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver 
Fig.2.22), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la 
circunferencia). 
O C 
X 
ε
εx 
E εy 
γxy/2 
2ϕ1
M
N
ε2
ε1 
O X1 
1 
εx 
γxy/2 
δx ux 
uy 
1 
uM 
M
δ1 = ε1 
ϕ1 
Fig.2.22
2 2
1 1
2 2
2 2
Centro Radio MAX
2 2 2
Centro Radio MIN
2 2 2
x y x y xy
x y x y xy
OM OC CM
ON OC CN
ε ε ε ε γ
δ ε
ε ε ε ε γ
δ ε
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = + = + = + + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = − = − = − + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2.14) 
11
2
22 ϕ
εε
γ
εε
γ
ϕ ⇒
−
=
−
==
yx
xy
yx
xy
CE
XEtag (2.15) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 3 : CUERPO ELÁSTICO 
 
 
 
 
 σ LR 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LP 
LE 
LFi LFf F 
ε O 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
3.1.- INTRODUCCIÓN 
 
La experiencia nos enseña que todo cuerpo bajo la acción de las fuerzas aplicadas, se 
deforma y que al suprimir éstas, el cuerpo tiende a recuperar su forma inicial. Esta 
propiedad que poseen todos los cuerpos, en mayor o menor grado, se denomina 
ELASTICIDAD. 
 
Dependiendo del material del que estén hechos los cuerpos, se tendrá que unos cuerpos 
se comportarán más elásticos que otros y a su vez, para un cuerpo de un material 
determinado, dependiendo de la magnitud de las fuerzas aplicadas, se comportará total o 
parcialmente elástico. Se dirá que se comporta “totalmente elástico” si al retirar la 
fuerza a la que está sometido recupera totalmente su forma inicial y “parcialmente 
elástico” en caso contrario, es decir que al retirar la fuerza aplicada no recupera 
totalmente la forma inicial, dejando en él una deformación permanente. 
 
sí mismo, en nuestro análisis, admitiremos que los cuerpos son ISÓTROPOS, es 
.2.- RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES. LEY DE 
L 
2 
 
 
 
A
decir, que sus propiedades elásticas son iguales en cualquier dirección. Esto no ocurre 
exactamente por ejemplo en materiales fibrosos comola madera, ni en materiales 
formados por laminación. En estos materiales habrá que hacer un estudio específico de 
los mismos, aunque en muchos casos, los resultados que se obtienen con esta hipótesis 
son satisfactorios. 
 
 
3
HOOKE GENERALIZADA
 
Se ha visto en los temas 1º y 2º que en un cuerpo sometido a fuerzas exteriores, a cada 
punto del mismo, le corresponde un “estado de tensiones” y un “estado de 
deformaciones”. Siendo unas, consecuencia de las otras, es evidente que ha de existir 
una relación entre ambos estados. Fue Hooke el que dedujo dichas relaciones. 
 
 
 
 
 
F 
L 
L+∆L 
F 
L
L´
L+∆L
deformación 
elástica 
deformación 
permanente 
L 
F 
L+∆L 
L 
deformación 
elástica 
Fig.3.1 
Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada 
 3 
LEY DE HOOKE
 
 
 
“Existe proporcionalidad entre las componentes del estado de tensiones y las 
componentes del estado de deformaciones”. 
 
Los coeficientes que regulan dicha proporcionalidad dependen de las constantes físicas 
del material y no de las particularidades geométricas del cuerpo. 
 
Para estudiar la deformación del paralelepípedo elemental debida a la acción de las 
tensiones, utilizaremos el Principio de Superposición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformaciones debidas a σx: 
 
Experimentalmente se ha demostrado que las tensiones normales σ, actuando sobre las 
caras opuestas del paralelepípedo sólo originan deformaciones longitudinales ε según 
las aristas del paralelepípedo y no producen ninguna deformación angular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según la Ley de Hooke: las deformaciones longitudinales ε, son proporcionales a las 
tensiones normales σ que las producen: 
 
x
y
z 
σx σx 
σy 
σy 
τxy
τyx
O
Fig.3.2
σz 
τyz
τxzτzx
τzy
O
x
y
z 
σxσx
A BA´ B´
C 
D
C´ 
D´ 
Fig.3.3
´ ´
1
1 1. Cte proporcionalidadxx x
x
L A B AB
L AB E E
ε σ∆ −= = = → =
Tema 3: Cuerpo Elástico 
4 
Siendo E = MÓDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL. Es una constante física 
de cada material y se obtiene experimentalmente. Sus dimensiones son: N/mm2
Según se observa en la figura (3.3), el alargamiento longitudinal ε1x debido a la tensión 
normal σx, va acompañado de acortamientos longitudinales en dirección de los ejes y y 
z, que según la ley de Hooke vienen dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
siendo υ = COEFICIENTE DE POISSON. Es también una constante física de cada 
material y es adimensional. 
 
De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión normal σx, 
se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones normales σy y σz: 
 
Deformaciones debidas a σy: 
 
 
 
 
Deformaciones debidas a σz: 
 
 
 
 
 
y aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones 
normales: σx, σy y σz, serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones longitudinales ε, con las tensiones 
normales σ. 
 
 
 
 
 
 
EAD
ADDA
L
L
EAC
ACCA
L
L
x
x
z
z
z
x
x
y
y
y
σνενε
σνενε
..
..
1
´´
1
1
´´
1
−=−=
−
=
∆
=
−=−=
−
=
∆
=
EE
y
yzx
y
y
σ
νενεε
σ
ε .. 2222 −=−===
EE
z
zyx
z
z
σ
νενεε
σ
ε .. 3333 −=−===
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=++=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=++=
EEE
EEE
EEE
yxz
zzzz
zxy
yyyy
zyx
xxxx
σσνσεεεε
σσν
σ
εεεε
σσνσεεεε
.
.
.
321
321
321
(3.1) 
Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada 
 
 5 
eformaciones debidas a τ
 
D xy: 
te que las tensiones cortantes τ, actuando 
bre las caras del paralelepípedo, originan deformaciones angulares γ. 
egún la ley de Hooke: las deformaciones angulares γ son proporcionales a las tensiones 
endo Es una constante física de 
ada material y se obtiene expe m ntalmente. Sus dimensiones son: N/mm2. 
e igual forma que formaciones debidas a la tensión cortante τxy, 
 obtendrían la maciones debidas a las tensiones co antes τyx y τzx: 
eformaciones debidas a τ
 
También se ha demostrado experimentalmen
so
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S
cortantes τ: 
 
 
 
 
si G = MÓDULO DE ELASTICIDAD ANGULAR.
c ri e
 
D hemos obtenidos las de
eforse s d rt
 
D xy y a τzx : 
 aplicando el Prin o d uperposició las de aciones debidas a las tensiones 
ortantes: τxy, τyz y τ serán: 
 
 
 
y cipi e S n, form
c zx, 
 
 
 
 
 
Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones angulares γ, con las tensiones 
cortantes τ. 
 
 
τyx
γyx/2 
B B´ 
τxy
O x 
τxy
τ
γxy/2 
yx
A 
A´ 
Fig.3.4
G
alidadproporcionCte
GOA
AAtag xyxyxy
1.1
´
=→==≅ τγγ
G
yz
yz
τ
γ =
G
zx
zx
τ
γ =
GGG zxyzxy
zxyzxy τγ
τ
γ
τ
γ === (3.2) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
 
 
6 
 
Así pues el resumen de ecuaciones que relacionan las tensiones y deformaciones 
obtenidas en (3.1) y (3.2), y dadas por la Ley de Hooke generalizada son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones inversas son: 
 
 
 
 
 
 
 
 siendo: 
 
 
 
 
Observación: Las constantes físicas: E, G y υ, están relacionadas entre ellas mediante la 
siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
Valores de E, G y υ, para diversos materiales: 
 
 
 MATERIAL E (N/mm2) G (N/mm2) υ 
acero 2,1.105 81000 0,3 
aluminio (aleacción) 0,73.105 28000 0,33 
Madera laminada 41,2.10 0,45 
cobre 1,2.105 47000 0,36 
 
 
 
 
 
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
EEE
yxz
z
σ
ν
σ
ε .
⎠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
EEE
EEE
zxy
y
zyx
x
σ
σσ
ν
σ
ε
σσ
ν
σ
ε
.
.
Gzx
γ
G
G
zx
yz
yz
xy
xy
τ
τ
τ
γ
γ
=
=
=
(3.3) 
GGe
GGe
G
zxzz
yzyzyy
xyxy
...2.
...2.
.
3
3
τελσ
τελσ
Ge xx ..2. 3 ελσ
zxγ
γ
γτ
=+=
=+=
=+=
(3.4) 
zyxe εεε ++=3 ( )( )νν
νλ
.21.1
.
−+
=
E
(3.5) (3.6) 
( )ν+= 1.2
EG (3.7) 
Sección 3.3.: Trabajo de las fuerzas externas 
 7 
.3.- TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERNAS
 
3
 
Sea un cuerpo elástico con los vínculos externos suficientes para que no pueda moverse 
 aplicación. 
ean: δ1, δ2,… δi,… δn, las componentes de dichos desplazamientos en la dirección de 
s fuerzas respect
 La aplicación lenta y gradual de las fuerzas hace que los desplazamientos de las 
uy pequeñas y por 
ucida (Téngase en 
icio desde que se 
• Se supone despreciable el rozamiento con los enlaces externos 
 realizan las 
e
s decir: 
las fuerzas exteriores depende únicamente de 
s valor ”. 
álculo de T
y apliquemos sobre él, de forma lenta y gradual, las fuerzas: F1, F2,.. Fi,…Fn, 
que originarán los desplazamientos: ∆1, ∆2,… ∆i,… ∆n, de sus puntos de
S
la ivas. 
 
 
F1 
F2 
Fi 
R1 R2 
Fig. 3.5
 
i
∆i 
 
 
 i´
δi 
i´´
∆1 
∆2 n 
δ1 
 
∆ 
 δn δ2 
 Fn 
 
 
 
 
Tengamos a continuación las siguientes consideraciones: 
 
•
partículas del cuerpo, los hagan con velocidades m
consiguiente puede despreciarse la energía cinética prod
cuenta, por ejemplo, que la carga que recibe un pilar de un edif
construye el pilar hasta que se termina el edificio, al cabo de varios meses, va a 
ir aumentando de forma muy lenta y gradual). 
 
Debido a estas consideraciones se podrá admitir que: “ todo el trabajo que
erzas externas: T , se invierte totalmente en deformar al cuerpo, transformándose en fu
Energía de Deformación:U”. 
 
E
 
y al no existir disipación de energía, estaremos en el caso de un sistema conservativo y 
n consecuencia: “ el trabajo que realizan e
su es iniciales y finales y no del orden en que son aplicadas
 
C e:
 
Al aplicarse las fuerzas externas de un modo gradual, sus valores en un estado 
intermedio, valdrán: 
1
2 n
1´
2´ n´
UTe = (3.8) 
10:.,.....,......,. 21 ≤≤αααα
 
 α siendoFFFF ni
 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
8 
 según la leyde Hooke, en ese instante intermedio, las componentes δ de los 
esplazamientos de sus puntos de aplicación serán: 
 
on lo cual, el trabajo elemental que realizarán las fuerzas externas será: 
 
 
 
 
 
 
 
 queda finalm
y
d
 
 10:.,.....,......,. 21 ≤≤ αδαδαδαδα siendoni
C
y ente: 
 
 
 
bservación
∑
=
=
n
i
iie FT
1
..
2
1 δ(3.9) 
∫+++=
+++=
=+++=
1
0
2211
2211
2211
.)................(:
.).................(
).(.........).(.......).(..).(..
ααδδδδ
ααδδδδ
ααδααδααδαα
dFFFFTegrando
dFFFF
FdFdFdFdF
nniie
nnii
nniiedT
int
O : Si en lugar de las fuerzas Fi aplicadas, aplicásemos momentos Mi, que 
rodujeran giros θi en su misma dirección, la expresión del trabajo sería: 
.4.- ENE M N
p
 
 
 
 
 
 
3 ACIÓRGÍA DE DEFOR
 
La energía de deformación de un cuerpo elástico, la podremos obtener sumando las 
nergías de deformación de cada uno de los paralelepípedos elementales que lo forman. 
 cuerpo elástico, uno paralelepípedo elemental de lados: dx, dy, dz. 
l trabajo que realizarán las diferentes fuerzas elásticas que actúan sobre el 
aralelepípedo serán: 
∑
=
=
n
i
iie MT
1
..
2
1 θ (3.10) 
e
 
Aislemos pues, de un
 
 y 
z
σy 
σy 
τ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
p
 
x
 
σx σx 
xy
τyx
3.6
O
Fig.
σz 
dy 
dz τyz
τxzτzx
τzy
dx
Sección 3.4: Energía de deformación 
 9 
obre las dos caras perpendiculares al eje X: 
 
 
 repitiendo lo mismo sobre las dos caras perpendiculares al eje Y y las dos caras 
rpendic
 
 
 
a energía de deform en será
 
 
 
i sustituimos las deformaciones en función de las tensiones, según las ecuaciones 3.3 
e la ley de Hooke generalizada 
 
 
 
 
 
 
 
uedará finalmente como expresión de la Energía de Deformación por unidad de 
 
bservación:
S
 
 
 
 
 
Y
pe ulares al eje Z, quedará: 
 
L ación por unidad de volum : 
 
 
S
d
 
 
 
q
volumen: 
 
 
 
La Energía de Deformación U del cuerpo elástico total será: 
 
 
 
O En las fórmulas obtenidas no hemos considerado el Trabajo debido a las 
º orden, que se despreciaría frente al Trabajo de las Fuerzas 
Fuerzas de Gravedad que actuarían sobre el paralelepípedo, debido a que obtendríamos 
un infinitésimo de 4
Elásticas que es de 3º orden, como se ha visto. 
 
 
dxdzdydxdzdydxdzdy xzxz
xy
xyxx .2
....
2
.
2
....
2
.....
2
=++ τ11 γ
γ1 τεσ
dzdydxxzxz
xy
xyxx ...2
.
2
...
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
γτ
γ
τεσ
dzdydxdUT yzyzxzxyzzyxxe ..).......(2
1 γτγτεσεσ ++++==d .ε yσ xyγ + xzτ
)......(
2
1
yzyzxzxzxyxyzyxxdVo
.zyl
dU γτγτσεσ +++++== (3.11) u ε σ ε γ τ
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+−= zyxx
σσ
ν
σ
ε .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=
EEE
EEE
yxz
z
zxy
y
σσ
ν
σ
ε
σσ
ν
σ
ε
.
.
⎠⎝ EEE
G
G
zx
zx
yz
yz
τ
γ
τ
γ
Gxy
xyτγ =
=
=
[ ] ( )222222 1.(.2.
.2
1
zyx ..2
)... zxyzxyzyzxyx GE
u νσσσ −++= τττσσσσσσ +++++
∫=
vol
VolduU )(.
(3.12) 
(3.13) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
3.5.- DIAGRAMAS DE TENSIONES – DEFORMACIONES
 
Las propiedades mecánicas de los materiales, tales como: RESISTENCIA, RIGIDEZ, 
s Tensiones - Deformaciones 
rmalizadas del 
material a ensayar y sometiéndola a esfuerzos crecientes de Tracción (o en su caso de 
diendo en cada 
 y las correspondientes 
i en unos ejes coorde os las defor ε al eje de abcisas y las 
nsiones σ al de ordenadas se obtendrá un gráfico que es el Diagrama de tensiones – 
eformaciones. Cada material tendrá su propio Diagrama. 
para el caso de un acero estructural, conocido 
DUCTILIDAD, …………., se obtienen de los Diagrama
 
Estos diagramas se obtienen a partir de una probeta de dimensiones no
Compresión) hasta llegar a romperla. Durante el proceso se irán mi
instante los valores de la tensión a la que esté sometida: σ = F/Ao
deformaciones que se van produciendo: ε = ∆L/L. 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
S nados llevam maciones 
te
d
 
El Diagrama tensiones – deformaciones 
también como acero dulce de construcción, uno de los metales mas usados en edificios, 
puentes, grúas, etc…, es el siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: Este diagrama no está dibujado a escala, pero se representa así, para 
destacar con más claridad los puntos y partes mas significativas del mismo. 
nalicemos pues dicho Diagrama: A
LP 
LE 
ε O 
Fig.3.8
F LFi LFf 
LR σ 
L
Ao : área inicial de la 
sección transversal
F F
Fig.3.7
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
Tramo O – LP: 
 
Este tramo inicial es una recta y existirá 
deformaciones ε, se cumple pues la Ley de Hooke: 
por tanto proporcionalidad entre tensiones σ y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a pendiente d ódulo de Elasticidad 
ngitudinal E del material. Y nos va a medir la RIGIDEZ de un material 
Rigidez de un material es la mayor o menor resistencia que opone dicho material a 
ejarse deformar” 
jemplo: Supongamos que tenemos los gráficos de dos materiales representados en la 
gura 3.10. 
 
 
 
 
 
 
e observa que la recta de proporcionalidad del material 1 tiene mayor pendiente que la 
el material 2: α > α → tag α > tag α → E > E → “el material 1 es más 
2: ε1 < ε2 
 11 
 
 
 
 
 
 
L e la recta de proporcionalidad nos proporciona el M
lo
 
“
d
 
E
fi
 
 
 
 
 
 
S
d 1 2 1 2 1 2
rígido que el material 2”. 
 
Efectivamente: se observa que sometidos los dos materiales a la misma tensión: σ1 = σ2, 
el material 1 se deforma menos que el material 
 
 
LP 
LE 
LFi LFf 
LR σ 
ε O 
α 
ε 
σ 
σP 
LP : Límite de Proporcionalidad 
 
σ : Tensión de proporcionalidad 
tag α = σ/ε = E (Módulo de Elasticidad 
 longitudinal) 
P
 
Fig.3.9
F 
ε
σσε =→= E
E
LP LP σ 
σ1 
σ
σ2 = σ1 
ε1 ε2 ε ε 
α1 α2 
Material 1 Material 2 
Fig.3.10
Tema 3: Cuerpo Elástico 
Tramo LP - LE: 
 
A partir de LP el diagrama deja de ser una recta y comienza a ser una curva. El punto 
LE “límite elástico”, representa la máxima tensión que puede alcanzar el material para 
omportarse elásticamente, es decir, sin que se produzcan en él deformaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c
permanentes 
 
 
 LR σ 
LP 
LE 
LFi LFf 
12 
 
 
ε O 
α 
σE 
LE : Límite Elástico 
 
σE : Tensión elástica 
Fig.3.11
 
Así pues, si una vez alcanzado el punto LE descargamos la probeta, la línea de descarga 
se hará recorriendo en sentido contrario la de carga y la probeta volvería a su estado 
inicial en el punto O. 
Campo Elástico 
F 
L
Fi LFf 
LR σ 
ε O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
L
α 
σE 
Fig.3.12
F 
Carga Descarga
 
 
 
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
Tramo LE – LFi – LFf : 
cada nor, hasta alcanzar el 
ede 
terial se dice que ha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez alcanzado el punto LE, si seguimos aumentando la carga sobre la probeta, el 
diagrama continua curvándose con una pendiente vez me
punto LFi. y a partir de dicho punto el material se deforma de forma apreciable (pu
observarse a simple vista) sin necesidad de un aumento de carga, con lo cual aparece 
una línea horizontal en el gráfico hasta llegar al punto LFf . El ma
entrado en fluencia y se vuelve perfectamente plástico 
 
 
 
LP 
LE 
LFi 
σ LR 
 
 13 
 LFf 
 σ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las deformaciones que sufre la probeta en este tramo son del orden de 10 a 15 veces la 
producida hasta el tramo anterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
ε O 
α 
F 
LF : Límite Fluencia inicial 
 
σF : Tensión de fluencia 
i
 
F 
LFf : Límite Fluencia final 
Fig.3.13
Tema 3: Cuerpo Elástico 
Tramo LFf – LR - F: 
ntar la carga que actúa sobre ella. Y así hasta llegar al punto más alto del 
iagrama LR, que representará la máxima carga que es capaz de aguantar el materialResistencia a la rotura de un material es la máxima tensión capaz de soportar hasta 
Ff, la probeta se va alargando uniformemente en toda su longitud 
y este alargamiento va acompañado de una contracción lateral, pero esta contracción 
n 
nicial Ao, con lo cual no va a supo
valores obtenidos de las tensiones: σ = F/Ao. Pero a partir de LFf, la reducción del área 
empieza a ser sig ativa y l a ser visible, produciéndose el fenómeno de 
“estricción” en una zona concreta de la probeta y produciéndose finalmente la rotura en 
el punto F del diagrama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Después de las grandes deformaciones producidas en el material durante el tramo de 
fluencia anterior, el material sufre cambios en su estructura cristalina y empieza a 
“endurecerse por deformación”, así pues, para seguir deformando la probeta se requiere 
de nuevo aume
d
hasta romperse 
L
L
L
εO
R 
LFf LFi 
14 
“
romperse” . (También se la denomina: “resistencia última del material” ). 
 
Hasta llegar al punto L
lateral es muy pequeña y apenas significa variación en el valor del área de la secció
transversal i ner un efecto significativo sobre los 
nific lega 
 
P 
E 
 
α 
σR 
LR : Límite de Rotura 
 
σR : Tensión de rotura 
F
Resistencia a
F 
 la rotura del material 
ig.3.14
región de fractura 
F F
Fig.3.15
región de estricción 
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
 
gar de obtener las tensiones tomando como referencia el área 
icial de la sección de la probeta: σ = F/A , tomásemos el área verdadera de la sección 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
el Diagrama se observa las grandes deformaciones permanentes que ha sufrido el 
aterial antes de romperse. Pues bien la propiedad que define esto se denomina: 
Ductilidad de un material es la capacidad que tiene para sufrir deformaciones 
ermanentes antes de romperse” . 
e puede obtener midiendo la longitud de la probeta antes y después del ensayo ( una 
ez rota), mediante la siguiente fórmula: 
 
Si a partir de LFf, en lu
in o
de la probeta en cada instante: σ = F/A, el diagrama, por lo dicho antes, se mantendría 
prácticamente igual hasta LFf, a partir de él, al empezar a ser significativas las 
reducciones de la sección transversal, el diagrama tomaría la línea azul que se indica en 
la figura siguiente y en lugar de decrecer la curva de LR a F, seguiría creciendo e iría de 
LR a F´ y este sería el verdadero diagrama de tensiones-deformaciones. No obstante 
este cambio no se considera. 
D
m
Ductilidad 
 
“
p
 
S
v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LP 
 
i 
 
 
LR
σ
LFf LF
LE
εO
α 
R 
LR : Límite de Rotu
 
σR : Tensión de rotu
ra 
ra 
Resistencia a la rotura del material 
F 
Fig.3.16
F´ 
L 
F F
L+∆L
F F
7
ductilidad :
Fig.3.1
 15 
.100 (3.14)L
L
∆
Tema 3: Cuerpo Elástico 
16 
el Diagrama a escala natural, se observarán las grandes 
eformaciones que se producen hasta la rotura final comparadas con las deformaciones 
 suelen tomar 
los tres puntos en uno solo, de t que: LP = LE = LF. En consec ncia el 
diagrama a efectos prácticos se podrá simplificar de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sta si
 
Si representásemos 
d
apenas apreciables que se producen hasta el límite elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa que los puntos LP, LE y LF están todos ellos muy próximos. 
Así pues en el caso que nos ocupa del acero dulce, a efectos prácticos,
LP 
 i 
LFf 
 
Fig.3.18
F LE LF
LR σ 
 se
al forma ue
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E tuación no se da en otros materiales. 
 
 
 
 
εO 
σ 
LR 
LP = LE = LF 
F 
ε O 
Fig.3.19
fu
σP ≅ σE ≅ σF = fy “resistencia elástica del 
material” o “tensión del límite elástico” 
fy
σR = fu “resistencia a la rotura del material” 
o “tensión de rotura” 
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
Otras consideraciones sobre el Diagrama 
 
Elasticidad - Plasticidad 
Supongamos que sobrepasamos el punto LE (límite elástico) y nos encontramos en el 
punto A del diagrama y una vez en él, descargamos la probeta. Durante la descarga se 
sigue la línea recta AA´, paralela a la recta de proporcionalidad O-LP. Cuando se 
alcanza el punto A´, se ha suprimido por completo la carga, pero el material queda con 
una “Deformación Permanente: OA´”. En este caso se dice que el material es 
“parcialmente elástico”.
 
A´ : Deformación permanente o residual con la que quedará la probeta al descargarla 
´A´´ :Deformación elástica, parte de la deformación total que recupera al descargarla 
a característica de u aterial por la cual sufre deformaciones inelásticas más allá de 
 deformación en el límite elástico (LE), se conoce como: “plasticidad “Así pues en el 
iagrama distinguiremos dos zonas: la stica (ZE) y la zona plástica (ZP) 
 
L
i LFf 
LR 
ε O 
σ 
E 
LF
 17 
 
Así se tendrá: 
 
A´´ : Deformación total que tendrá la probO eta al alcanzar el punto A del diagrama 
O
A
 
 
L n m
la
d zona elá
 
 
α 
F 
LP 
A 
´ 
Fig.3.20
A´A´ 
Deformación permanente
Deformación elástica
Deformación total
CargaDescarga
ZE ZP 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
18 
del material se altera y sus 
ropie 
argado la pr ta hasta el punto A y al llegar a dicho punto la descargamos. Ya hemos 
isto que el terial en la descarga alcanza el punto A´ y ha quedado con una 
eformación perm volvemos a cargar de nuevo, la línea de 
arga es de nu y al llegar de nuevo al punto A sigue el diagrama original de 
nsión-deformación hasta el punto F 
ra linealmente elástica 
hasta el punto A (su l material m
comportamiento elástico, pero por el contrario su zona plástica se reduce. Este nuevo 
comportamiento encuentra aplicaciones por ejemplo en los cables de los ascensores. 
 
 
Diagramas de otros materiales
Si el material permanece dentro de la zona elástica, puede cargarse, descargarse y 
volverse a cargar sin un cambio significativo en su comportamiento; sin embargo, 
cuando se carga en la zona plástica, la estructura interna 
p dades cambian. Por ejemplo, supongamos como en el caso anterior que hemos
c obe
mav
d anente. Pues bien, si ahora le
 la Ac evo ´A
te
 
LE 
LFi LFf 
LR σ 
ε O 
 
Se observa que en la nueva carga el material se comporta de mane
perior al punto LE), con lo cual e ejora su 
 
 
El diagrama tensiones-deformaciones, visto anteriormente, es el correspondiente a un 
mbién como acero dulce de construcción. Otros m teriales 
mas correspondientes a 
de construcción (ya visto), las aleaciones de 
luminio y el hormigón y destaquemos las diferencias principales que hay entre ellos 
acero estructural, conocido ta
d
a
arán lugar a otros diagramas. Veamos a continuación los diagra
res prototipos de materiales: el acero dulce t
a
 
 
 
 
α 
Fig.3.21
F 
LP 
A 
A´´ A´ 
CargaDescarga
ZE ZP 
Deformación permanente
Deformación elástica
Deformación total
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
Acero dulce de construcción 
material muy dúctil (sufre grandes 
deformaciones permanentes antes de LRσ 
 19 
romperse) 
Observación: este acero es de bajo 
contenido en carbono. Si aumentamos el 
contenido en carbono se vuelve menos 
dúctil pero mas resistente. 
LP 
LE 
LFi LFf F 
 
presenta un punto de fluencia bien 
definido 
 
 
Aleacciones de aluminio 
 
 material dúctil 
 
 no presenta un punto de fluencia definido 
Observación: en estos casos se suele definir 
un punto de fluencia en el diagrama y se 
obtiene trazando una línea paralela a la recta 
de proporcionalidadpara una deformación de 
0,002 (0,2 %) 
 
 
Hormigón, Vidrio, Cerámicas…. 
 frágil ( muy poco dúctil). 
Los m rompen con poco 
alargam a excedido el 
límite de proporcionalidad. Por lo tanto la rotura 
aparece bruscamente, sin previo aviso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ε O 
Fig.3.22 
LP 
LE 
LF
σ 
ε O 
LR
0,002
Fig.3.23 
material 
ateriales frágiles se 
iento después de que se h
LP 
LR σ 
ε O 
Fi
 
g.3.24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
Ensayo de Compresión 
 
El ensayo a compresión se realiza colocando una probeta cilíndrica o prismática entre 
los platos de una prensa. 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ta, 
na parte inicial igual que el de tracción, pero la tensión de rotura se suele alcanzar para 
alores más elevados 
Las curvas tensión-deformación para el ensayo a compresión difieren de las del ensayo 
a tracción. 
Así, en los materiales dúctiles, las partes iniciales de ambos diagramas son parecidas, 
pero a partir de la fluencia difieren bastante. En el ensayo a tracción la probeta se va 
alargando y termina por romper, en cambio en el ensayo a compresión, la probeta se va
acortando y abombando lateralmente y se aplana, sin producirse la rotura. 
El prototipo de diagrama a compresión de un material dúctil sería pues: 
 
Fig.3.25 
Fig.3.26 
LP 
 
En los materiales frágiles, el diagrama correspondiente al ensayo a compresión presen
u
v
LR (tracción) 
σ 
ε O 
Fig.3.28
LR (compresión) 
LP 
LE 
LF
σ 
ε O 0,002
Fig.3.27 
Sección 3.6: Coeficientes de seguridad 
 21 
EGURIDAD3.6.- COEFICIENTES DE S 
 
c
minimi s tensiones límites del material mayorar las cargas aplicadas. 
 
Coeficiente de minoración de la tensión lí
ar dos coeficientes de seguridad, uno para 
 y otro para 
Según la normativa CTE se deberán apli
zar la
mite del material 
s que actúan sobre un cuer
 
Ya hemos visto que al aumentar las carga po aumentan las 
tensiones en los puntos de su interior, debiendo evitar que las mismas alcancen los 
valores correspondientes a las tensio es 
materiales dú r de dicha tensión límite se 
suele adoptar del límite elástico (resistencia elástica): fy y en el caso de los 
materiales frágiles, como sería el caso del hormigón, se tomará como valor de la 
ite de rotura (resistencia a la rotura): fu
 
yor o menor precisión de las tensiones límites 
c terísticos para los distintos materiales, se 
introdu coeficiente de seguridad que
 
Así por ejemplo en el caso del acero, al 
tensiones límites indicadas por los fabric
se usan unos coeficientes de seguridad pe
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tabla 3.1 de las características mecánicas mínimas de los aceros 
n límites del material. En el caso de los 
ctiles, como es el caso del acero, para el valo
la tensión
tensión límite, la tensión lím
Con el objeto de tener en cuenta la ma
marcadas por los fabricantes, valores arac
ce un minimiza dichos valores. 
ser un material homogéneo, los valores de las 
antes suelen ser bastante precisas, con lo cual 
queños para minorar las tensiones límites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σ 
εO 
material dúctil 
fy f
 
 Espesor nominal t (mm) 
 Tensión del límite elástico 
 fy (N/mm2) 
Tensión de rotura 
 fu (N/mm2) 
 
Designación 
el tipo de acero 
t≤16 16≤t≤40 40≤t≤63 3≤t≤100 
d
S235 235 225 215 360 
S275 275 265 255 410 
S355 355 345 335 470 
S450 450 430 410 550 
siendo:
: nsión del límite elástico para el cálcu
: t sión del límite elástico indicado por los fabricantes (ver tabla 3.1)
coeficiente de seguridad del material 1,05;1,1;1,25;1,4
yd
y
M
f
f
γ
te lo
en
= =
yd
LE ≅ LF
Fig.3.29
 
 
y
yd
M
f
γ
=
f
(3.15) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
22 
igones, al ser un material heterogéneo, los coeficientes de 
inoración de las tensiones límites son más grandes, al ser éstas más imprecisas. 
 
oeficiente de m ara l
Para el caso de los horm
m
 
 σ 
 LR 
ε O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C ayoración p as cargas aplicadas 
 
Dado que en la determinación de las cargas 
structura, no se pueden obtener muchas veces sus valores exactos, es conveniente 
ayorar éstas, multiplicándolas por un coeficiente de seguridad, y trabajar con valores 
ayores para suplir esas posibles dife tre el valor real que tendrá una carga y 
 
ansmite la
nosotros trabajaremos con valores estadístic
donde nos encontremos, su altitud y su ubicac
están recogidos en las Normativas (CTE-SE
encontrar en casos ocasionales en que se 
Normativas. De ahí esa necesidad de ma
que nos dan las Normativas. 
 
Otro caso que ocurre con frecuencia es por 
vibraciones transmitidas por maquinaria o b
unos cálculos demasiado precisos para determ
consecuencia de ellos se transmiten la barra o e uctura. 
 
Es evidente que cuanto mayor sea la incertidumbre en el conocimiento del valor de una 
 
endo:
ste coeficiente dependerá de la categoría del control de su fabricación y de su ejecución.)
er normativa CTE-SE-F
si
material frágil 
fu 
fud
Fig.3.30 
u
ud
M
ff
γ
= (3.16) 
: tensión del límite de rotura para el cálculo
: tensión del límite de rotura indicado por los fabricantes
: coeficiente de seguridad del material 1,7; 2; 2,2; 2,5; 3 .
ud
u
M
f
f
γ =
(e
V
que actúan sobre una determinada barra o 
e
m
m rencias en
el valor que nosotros hayamos obtenido. 
Así por ejemplo, en la carga que tr nieve o el viento sobre una edificación, 
os, que se obtienen según la zona geográfica 
ión dentro de esa zona. Dichos valores 
-AE). Pero es evidente que nos podremos 
puedan superar los valores indicados en las 
yorar los valores característicos de las cargas 
ejemplo, en los casos de impactos o de 
ien por terremotos, tampoco se dispone de 
inar con exactitud las cargas que como 
 a str
carga, mayor debe de ser el coeficiente de seguridad con el que mayoremos la carga. No 
obstante en las cargas que se transmiten a las edificaciones en general, las Normativas 
ya fijan los coeficientes de seguridad para la mayoración de las cargas que debemos 
aplicar. 
Sección 3.6: Coeficientes de seguridad 
 23 
as mayoradas: 
 
 
 
ación ria 
Desestabilizadora Estabilizadora 
Así pues las cargas a considerar en los cálculos serán las carg
 
 
 
(3.17) * .P P γ=
siendo :
* : Carga mayorada (con la que se trabajará en los cálculos)P
 
 
 
Observaciones: 
 
1) En la normativa CTE-SE se indican los coeficientes de seguridad a emplear en las 
edificaciones: 
: Carga aplicada (valor característico)
: Coeficiente de seguridad para las cargas (ver tabla 3.2 )
P
γ
 
Tabla 3.2 de coeficientes parciales de seguridad (γ) para las acciones (cargas) 
Tipo de verificación Tipo de acción Situación persistente o transitoria 
 Favorable Desfavorable 
Permanente 
-Peso propio, peso del terreno 
-Empuje del terreno 
 
 1,35 
 1,35 
 
 0,8 
 0,7 
-Presión del agua 1,2 0,9 
 
 
 Resistencia 
 
 
Variable: viento, nieve,… 1,5 0 
T persistente o transitoipo de verificación Tipo de acción Situ
Permanente 
-Peso propio, peso del terreno 
 
 1,1 
 1,35 
 1,05 
 
 0,9 
 0,8 
 0,95 
-Empuje del terreno 
-Presión del agua 
 
Estabilid
Variable: viento, nieve,… 1,5 0 
 
 ad 
 
2) Cuando sobre una barra o estructura actúan varias acciones (cargas) 
simultáneamente, los coeficientes de seguridad de las mismas pue
en sus valores. Ver normativas CTE-SE. Y CTE-AE 
 
den sufrir reducciones 
 re stencia y de 
plearán las 
yorar.
 
 
 
 
 
 
3) La mayoración de cargas se empleará paralas comprobaciones de
stabilidad. En cam eformaciones se em
si
e bio para las comprobaciones de las d
cargas sin ma 
 
 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
3.7.- CRITERIOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES A 
RESISTENCIA 
 
1.-Criterio elástico de dimensionamiento: 
La resistencia elástica de una sección se obtendrá cuando en un punto de la misma se 
lcance la t n n del límite elástico f terio rrollará en los siguientes 
mas) 
.-Criterio plástico de dimensionamiento:
 
a sió se desae y. (Este cri
te
 
fy 
24 
 
 
 S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
a resistencia plástica de una sección se obtendrá cuando en todos los puntos de la 
 
L
misma se alcance la tensión del límite elástico fy. (Este criterio se desarrollará en los 
siguientes temas) 
 
 
 
F1 
F2 
F4 
Fig. 3.31
F1 
 
 
 
 
 
 
 
 
fy 
S 
fy 
fy F2 
F4 
 Fig. 3.32
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sección 3.7: Criterios para el dimensionamiento de secciones a resistencia 
3.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: 
 
Este criterio era el a aplicando con la Normativa anterior. 
ación que absorbe un 
en y unas deformaciones 
m n” 
 
Y esta teoría dice: “Un cuerpo falla elásticamente cuando la energía que se emplea en 
las deformaciones angulares, alcanza el valor de ésta obtenido en el ensayo a tracción, 
beta se alcanza la tensión del límite elástico fy
es principales: σ1>σ2>σ3
 
 
 
 
 l sorberá una ene
ento
U y en una deformación angular de sus caras: Ud. 
ues resultará: 
 
 
i sometemos al paralelepípedo a una tensión media σm dada por: 
d
or la ecuación (3.12) para obtener la energía de deformación, vista en la sección 3.4, 
ndremos que: 
que se vení
 
Esta teoría esta basada en lo siguiente: “La energía de deform
cuerpo se emplea en producir en él un cambio de volum
angulares en las caras de los paralelepípedos elementales que lo for a
cuando en la pro
 
Para ver la fórmula que expresa esta teoría partimos de un paralelepípedo sometido a 
sus tres tension
 
= +
σ1 
σ2 
σ3 
σm 
 25 
 
 
 
 
 
σm 
σm 
σ1-σm 
σ2-σm 
σ3-σm 
Fig.3.33
(b)(a) (c) 
 
 
El paralelepípedo de
invertirá, por lo anterio
a fig.3.33.a., ab
rmente dicho, en un increm
rgía de deformación U, que se 
 de volumen del paralelepípedo 
∆vol
 
Así p
 
S
 
 
 
 
este estado de tensiones, (ver fig.3.33.b), tan sólo proporcionará al paralelepípedo un 
cambio de volumen: U∆vol, con lo cual el estado de tensiones de la fig.3.33.c, será el que 
proporcionará la energía de deformación necesaria para las deformaciones angulares de 
s caras: U . su
 
P
te
 
 
1 2 3 (3.19)
3m
σ σ σσ + +=
[ ] ( )222222 .
.2
1)....(.2.
.2
1
zxyzxyzyzxyxzyx GE
U τττσσσσσσνσσσ +++++−++=
(3.18)vol dU U U∆= +
Tema 3: Cuerpo Elástico 
26 
ara el caso d
on lo cual la ecuación (3.12) quedaría ahora: 
 
 
 
inalm
 sustituyendo las expresiones obtenidas para U y para U∆vol, (ecuaciones 3.20 y 3.21 
spectivamente), quedará: 
 
 
 
 
0
01
=
Para el estado de tensiones del paralelepípedo planteado en la fig.3.31.a, sería: 
 
== 
 2= yz
xyx
y τσσ
 
 
con lo cual la ecuación (3.12) quedaría: 
 
03 == zxz τσσ
τσσ
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
1 2. .( . . . ) (3.20)
2.
U .
E
σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦ 
 
P el paralelepípedo de la fig.3.31.b, sería: 
 
2 2 2 2 21 1. 2. .( . . . ) . 3. 2. .(3.
2. 2.vol m m m m m m m m m m mE E
σ σ σ ν σ σ σ σ σ σ σ ν σ∆ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + − + + = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0
0
0
==
==
= = 
 
 
 
c
 
U
23. .(1 2. )mσ ν= −
 
y sustituyendo σm por su valor: dado en la ecuación (3.19) y operando queda: 
2.E
 
F ente de la ecuación 3.18: 
 
 
 
 
y
re
 
 
zxmz
yzmy
xymx
τσσ
τσσ
τσσ
volddvol UUUUUU ∆∆ −=→+=
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2. . 2. . 2. . 2. . (3.21)
6.vol
U
E
ν σ σ σ σ σ σ σ σ σ∆
− ⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦
2 2 2
1 2 2 3 3 1( ) ( ) ( )1 . (3.22)
3. 2d vol
U
E
σ σ σ σ σ σν
∆
⎡ ⎤− + − + −+
= − = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
U U
 
 
 
 
 
 
 Sección 3.7: Criterios para el dimensionamiento de secciones a resistencia 
 27 
epípedo elemental para el caso del 
nsayo a tracción, cuando la probeta haya alcanzado la tensión del límite elástico será: 
 sustituyendo en la ecuación 3.22 la energía de deformación angular para este caso 
 
ara Ud (ecuaciones 3.22 y 3.23): 
 
 
 
 
 
aso particular
Por otra parte el estado de tensiones de un paralel
e
 
 
1
2 0
0
ydf
3
σ
σ
σ
=
=
=
 
 
 
fydfyd
 
 
 
 
Fig.3.34 
y
sería: 
 2 (3.23)
3.d yd
f1 .U
E
ν+
= 
 
Finalmente si aplicamos esta teoría, se tendrán que igualar las dos expresiones obtenidas
p
 
2 2 2
21 2 2 3 1( ) ( ) )1 1 . perando
3. 2 3. yd
f
E E
σ σ σ σ σ3(σ.ν ν y o
⎡ ⎤− + − + −+ +
=⎥⎢
⎣ ⎦
 
 
si
 
 
Para dimensionar a resistencia con este criterio, según lo visto anteriormente, será: 
 
2 2 2
1 2 2 3 3 1( ) ( ) falla
2 yd
fσ σ σ σ σ− + − − = →) (σ +
 
 2( ) 2 21 2 2 3 3 1( ) ( )
2 yd
fσ σ
∗ ∗− + 
 
 
 
 
C : Tensiones planas 
 
Para el caso de tensiones planas si hacemos σ3 = 0 se tendrá: 
 
 
 
σ σ σ σ∗ ∗ ∗ ∗− + −
≤
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
1 2 1 2. ydfσ σ σ σ
∗ ∗ ∗ ∗+ − ≤
(3.24) 
(3.25) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
28 
 
y por último sustituyendo las tensiones principales σ1 y σ2 en función de las 
omponentes del estado de tensiones (ecuaciones 1.19): 
bservación
c
 
 22
1 .4
1
2 xy
yx τ)(.
2 yx
σσ
σσ
σ +−+=
+
 
 
 
 
 
 ecuación 3.25 resultará: 
22
2 .4)(.2
1
2 xyyx
yx τσσ
σσ
σ +−−
+
=
la
 
 
 2 2 2. 3. x y x y xy yd
 
 
O : Cuando las tensiones normales sean cero, la fórmula de Von Mises 
uedará: q
 
*2 *3. yd
f
f
3xy yd xy yd
τ τ τ≤ → ≤ = 
fσ σ σ σ τ∗ ∗ ∗ ∗ ∗+ − + ≤ (3.26) 
 (3.27)
 
A esta tensión cortante se la denomina “tensión cortante en el límite elástico”: τyd 
 
 
Tema 4: Tracción - Compresión 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 4 : TRACCIÓN - COMPRESIÓN 
F 
A 
G 
N = F 
x 
y 
z 
O 
 
σx 
 σx 
σx 
σx σx 
σx 
Tema 4: Tracción - Compresión 
2 
4.1.- INTRODUCCIÓN 
 
Una sección de una pieza está solicitada a Tracción-Compresión cuando la resultante de 
las fuerzas interiores tiene la componente Rx = N 
 
En este tema se estudiará sólidos que sólo trabajen a TRACCIÓN-COMPRESIÓN, es 
decir, sólidos en los que en todas sus secciones tan sólo aparezca la componente Rx= N 
de las fuerzas interiores. 
 
Ejemplos: 
Las BARRAS que componen las cerchas o vigas en celosía 
 
Los CABLES que sujetan barras 
 
Los DEPOSITOS o RECIPIENTES a PRESIÓN 
 
 
3 
1 
2 
4 
5 
6 
7 
1 
F1 
F1 
2 F2 F2 
Rx= N N 
N 
TRACCIÓN (N>0) 
COMPRESIÓN (N<0) 
x 
x 
x 
y 
z 
G 
Fig. 4.1 
1 2 
1 
2 
F1 
F1 
F2 
F2 
Fig. 4.2 
Sección 4.2: Tensiones 
 
 3 
4.2.-TENSIONES 
 
Consideremos una barra prismática trabajando a Tracción-Compresión y cortemos por 
una sección recta transversal de la misma (A). 
 
 
 
Para ver como se distribuyen las fuerzas internas o tensiones en dicha sección, tomemos 
en un punto O (z,y) cualquiera de la sección A, un elemento diferencial de área: dA. Las 
tensiones serán, según lo visto en la sección 1.6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y según las relaciones tensiones-solicitaciones, ecuaciones (1.26): 
 
 
 
 
 
 
Se ha tenido en cuenta que al trabajar la sección sólo a Tracción-Compresión: Vy = Vz = 
T = My = Mz=0 
 
Con estas 6 ecuaciones por si solas no se podrá determinar las tensiones: σx, τxy, τxz. 
Para poder calcularlas se recurrirá a hipótesis 
 
La hipótesis que resuelve la indeterminación del sistema de ecuaciones anteriormente 
planteado, es la HIPÓTESIS DE BERNOUILLI o de CONSERVACIÓN DE LAS 
SECCIONES PLANAS, que dice: “las secciones transversales del prisma que eran 
planas y perpendiculares a su línea medía antes de la deformación, al producirse ésta, 
A 
F F F 
A 
G 
N = F 
x 
y 
z 
O 
 
Fig. 4.3 
 
F 
A 
G N = F 
x 
y 
z 
 
O 
dA 
y 
 z 
 dA 
O σxτxy 
 τxz 
Fig. 4.4 
( ) 0..0..0...
0.0..
=====−=
======
∫∫∫
∫∫∫
A
xz
A
xy
A
xyxz
A
xzz
A
xyy
A
x
dAyMdAzMdAzyT
dAVdAVFdAN
σσττ
ττσ
Tema 4: Tracción - Compresión 
4 
se trasladan paralelamente a sí mismas, permaneciendo planas y perpendiculares a 
dicha línea media” 
 
Esta hipótesis se puede comprobar experimentalmente sometiendo a Tracción una barra 
prismática en la que se han trazado previamente sobre su superficie una retícula de 
líneas rectas, unas perpendiculares y otras paralelas al eje longitudinal del prisma 
Se observa que todas las líneas rectas, paralelas al eje longitudinal, alargan por igual, 
con lo cual se podrá decir que “la deformación longitudinal unitaria es constante”, es 
decir: εX = cte 
 
En virtud de ello y según la ley de Hooke: 
cteEcte
E xx
x
x ==→== εσ
σε . → σx = cte 
 Llevando esta conclusión a la primera de las ecuaciones anteriormente planteadas: 
 
:..)(. dondedeFAdANctesiFdAN x
A
xx
A
x ===→=== ∫∫ σσσσ 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa igualmente que cualquier rectángulo formado por la retícula de líneas rectas, 
por ejemplo el abcd, después de la deformación, se transforma en el rectángulo 
a´b´c´d ́ y por tanto sigue manteniendo sus ángulos rectos, es decir, no se producen 
deformaciones angulares. Así pues: γxy =0 γyz =0 γzx =0 
 
y por la ley de Hooke: 0 0 0xy yz zxxy yz zxG G G
τ τ τγ γ γ= = = = = = con lo cual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a a´ b b´ 
c c´ d d´ 
F F 
Fig. 4.5 
cte
A
F
A
N
x ===σ
F 
A 
G 
N = F 
x 
y 
z 
O 
 
σx 
 σx 
σx 
σx σx 
σx 
σx = cte = F/A 
Fig. 4.6 
000 === zxyzxy τττ
Sección 4.2: Tensiones 
 
 5 
Conclusión: “En una barra prismática que trabaje sólo a TRACCIÓN-COMPRESIÓN, 
las componentes del estado de tensiones en un punto cualquiera de la misma serán”: 
 
 
 
 
 
Observación: La sección por donde se corta la barra prismática para obtener las 
componentes del estado de tensiones en un punto, es una sección recta transversal, es 
decir, perpendicular al eje x de la barra. 
Pero si en lugar de cortar la barra por la sección recta transversal A, la cortamos por una 
sección inclinada B, las tensiones correspondientes las podríamos obtener a partir de las 
ecuaciones matriciales (1.9), vistas en la sección 1.3 o bien a través del círculo de Mohr. 
 
 
Así: conocidas las componentes del estado de tensiones en el punto O, al cortar por la 
sección recta transversal A: 
 
 
 
La tensión sobre la sección inclinada, B, será: 
 
 
 
 
 
 
Las tensiones normal y cortante serán: 
 
 
 
00
00
0
==
==
====
zxz
yzy
xyx cteA
F
A
N
τσ
τσ
τσ
 
x G 
y 
O 
N=F 
σx=F/A=cte 
A F 
F F 
z 
A 
F x 
O 
 
ρx 
σ 
τ 
α 
G 
B 
F x 
O 
 
α 
G 
B u 
F 
Fig. 4.8 
00000 ======== zxyzxyzyx cteA
F
A
N τττσσσ
0
0
cos.
0
cos
.
000
000
00
=
=
=
→




















=










z
y
xxx
z
y
x
sen
ρ
ρ
ασρ
α
ασ
ρ
ρ
ρ
αασσρτασρσ senu xx .cos.cos..
222 =−=== r
r
Fig. 4.7 
(4.1) 
(4.2) 
(4.3) 
P 
σx σx x 
z 
y 
Tema 4: Tracción - Compresión 
6 
Diagramas de Fuerzas Normales: 
 
Estos diagramas nos dan las fuerzas normales N en cada sección de la barra prismática. 
 
Ejemplo: Representemos los diagramas de fuerzas normales para la barra prismática de 
la figura, sometida a las fuerzas F1 y F2 que se indican. 
 
tramo L1 : tramo L2 : 
 
 
 
 
 
 
 
tramo L3 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 F2 F2 F1 
L1 L3 L2 
x z 
y 
G 
Sección recta 
 Transversal (A) 
F1 F1 
F1-F2 
N 
x + Fig. 4.9 
F1 
σx = N/A = (F1-F2)/A = cte 
N = F1-F2 x F1 F2 
σx = N/A = F1/A = cte 
N = F1 
x 
σx = N/A = F1/A = cte 
N = F1 
x 
F1 
Sección 4.2: Tensiones 
 
 7 
Barras prismáticas de sección variable. Concentración de Tensiones: 
 
 
Para valores de α pequeños → σx ≅ cte Para valores de α grandes → σx ≠ cte 
En general, en las barras prismáticas con variación “brusca” de sección → σx ≠ cte 
 
Ocurre que en los puntos próximos a donde se detecta el cambio “brusco” de sección, 
esto es, en los puntos : m y n indicados en las figuras, se producen tensiones superiores 
a la tensión media y a medida que nos vamos alejando de ellos, las tensiones van 
disminuyendo, llegando a producirse tensiones inferiores a la tensión media en los 
puntos mas distantes de ellos. La tensión máxima se obtiene: 
 
 
El valor de k va a depender de: 
• Tipo de solicitación: Tracción, Flexión, etc.. 
• Geometría y dimensiones del cambio de sección 
• Tipo de material 
y es un valor que se puede obtener experimentalmente 
 
Observación: La concentración de tensiones adquiere mucha importancia en el cálculo 
de piezas sometidas a cargas repetidas o de fatiga, pues en estos casos, en los puntos m 
y n, donde se concentran las tensiones y donde aparecen las σmax, son los puntos donde 
romperán las barras. 
 
F F 
α 
α 
Fig. 4.10 
N 
N 
σmax 
σmedia 
m n 
N 
N 
σmedia 
σmax 
n m 
Fig. 4.11 
""1..max tensionesdeiónconcentracdeecoeficientksiendoA
N
kk med ≥== σσ
(4.4) 
Tema 4: Tracción - Compresión 
8 
Para disminuir el efecto de estas concentraciones de tensiones debemos de tratar de 
diseñar cambios suaves de sección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1..1.. maxmax ≈→==>>→== kA
N
kkk
A
N
kk medmed σσσσ 
 
 
 
 
 
4.3.-DEFORMACIONES 
 
Conocidas, en la sección anterior, las “Componentes del estado de tensiones” en un 
punto O de una barra prismática que trabaje a Tracción-Compresión, la obtención de las 
“Componentes del estado de deformaciones”, en dicho punto, se obtendrán aplicando la 
Ley Generalizada de Hooke: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
N 
σmax 
σmedia 
m n 
N 
N 
σmax 
σmedia 
m n 
0.
0.
0
=−=
=−=
==
zx
x
z
yz
x
y
xy
x
x
E
E
E
γσνε
γσνε
γσε
Fig. 4.12 
(4.5) 
Sección 4.3: Deformaciones 
 
 9 
Desplazamiento u de una sección de una barra: 
 
Al aplicar a una barra de longitud L, una fuerza F de tracción, ésta sufrirá un 
alargamiento total ∆L y cada una de las secciones de la barra sufrirán desplazamientos 
u. Los desplazamientos u de las secciones se calcularán de la siguiente forma: 
 
 
 
Por definición: 
( )
( ) . .xx x
dx
dx dx dx
dx E
σε ε∆= → ∆ = = 
1 1 1
1 1
0 0 0
( ) ( ) .
.
x x x
x Nu x x dx dx dx
E A E
σ= ∆ = ∆ = =∫ ∫ ∫ 
 
 
Alargamiento total de la barra ∆L: 
 
0 0 0
( ) . .
.
L L L
x NL dx dx dx
E A E
σ∆ = ∆ = =∫ ∫ ∫ 
 
 
Casos particulares: 
 
• Si: N = cte A = cte E = cte → 
 
 
• Si N, A, E, varían pero de forma discreta (a saltos): → 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
L ∆L 
x dx 
Fig. 4.13 
 ∆x1 = u x1 
∫=∆
L
AE
dxN
L
0 .
.
AE
LN
L
.
.=∆
∑=∆
ii
ii
AE
LN
L
.
.
(4.6) 
(4.7) 
(4.8) 
Tema 4: Tracción - Compresión 
10 
4.4.-RESOLUCIÓN DE CASOS HIPERESTÁTICOS 
 
Cuando en una barra o en una estructura el número de ecuaciones de equilibrio es 
inferior al número de incógnitas, se dice que es un caso Hiperestático 
 
 
 
 
 
 
 
Éstos casos suelen darse cuando la barra o la estructura tienen apoyos (ligaduras) de 
más. 
 
Para resolver pues un caso hiperestático no serán suficientes las Ecuaciones de 
equilibrio y se buscarán para complementarlas Ecuaciones de Deformación, de tal 
forma que se cumpla: 
 
 
 
 
 
El estudio de este apartado se desarrollará a través de la resolución de varios ejemplos 
 
 
Ejemplo 1º: Barra empotrada en ambos extremos sometida a una fuerza 
 
 
 
 
Ecuación de equilibrio: 
Incógnitas: RA, RB 
 
¡ Es un CASO HIPERESTÁTICO ! , tiene apoyos de más (está doblemente empotrada y 
con un solo empotramiento sería suficiente). 
 
La barra ISOSTÁTICA sería: 
 
 
pero está barra no sería equivalente a la dada, para que fuera equivalente sería: 
F RA 
L1 L2 
F RA RB 
L1 L2 Fig. 4.14 
Nº ECUACIONES EQUILIBRIO < Nº INCÓGNITAS 
⇓ 
CASO HIPERESTÁTICO 
Nº ECUACIONESEQUILIBRIO + Nº ECUACIONES DE DEFORMACIÓN = 
 = Nº INCÓGNITAS 
0 (4.9)A BF R R F= + =∑
Sección 4.4: Resolución de casos hiperestáticos 
 
 11 
barra ISOSTÁTICA EQUIVALENTE: 
 
 
 con la condición (ecuación de 
 deformación): ∆L = 0 (4.10) 
 
 
 tramo L1: 
 
 
 
 
 
 tramo L2: 
 
 
 
 
 
 
Desarrollando la ecuación (4.10), por la expresión dada en (4.8): 
 
 
 
 
y resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de equilibrio (4.9) y la 
ecuación de deformación (4.11): 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2º: Barra empotrada en ambos extremos sometida a un incremento de 
temperatura: Tensiones de origen térmico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de equilibrio: 0 (4.13)A BF R R= =∑ 
Incógnitas: RA, RB 
 
¡ Es un CASO HIPERESTÁTICO ! , tiene apoyos de más (está doblemente empotrada y 
con un solo empotramiento sería suficiente). 
 
F RA RB 
L1 L2 
RB 
RA 
N 
x 
+ 
- 
N = RA RA 
RB N = RB 
21
1
21
2 ..
LL
LF
R
LL
LF
R BA +
=
+
=
∆T>0 
RA RB 
L Fig. 4.16 
1 2. . .0 0 (4.11)
. . .
i i A B
i i
N L R L R L
L L
E A E A E A
−∆ = → ∆ = = + =∑
Fig. 4.15 
(4.12) 
Tema 4: Tracción - Compresión 
12 
barra ISOSTÁTICA EQUIVALENTE: 
 
 
 con la condición (ecuación de 
 deformación): ∆L = 0 (4.14) 
 
 
 tramo 0-x-L: 
 
 
 
 
 
 
Desarrollando la ecuación (4.14) y aplicando el Principio de Superposición de Efectos: 
 
0)()(0 =∆+∆∆=∆→=∆ BRLTLLL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de equilibrio (4.13) y la 
ecuación de deformación (4.15): 
 
 
y las tensiones que se habrán generado en la barra empotrada por efecto del incremento 
de temperatura serían: 
 
 
 
Observación: Las tensiones se han originado porque debido al ∆T>0, al querer dilatar la 
barra y no poder hacerlo al estar doblemente empotrada, presionará a los 
empotramientos y por consiguiente aparecerán las reacciones en éstos. Esto no pasaría 
si hubiese habido un solo empotramiento y la barra hubiese podido dilatar libremente 
 
 
 
 
 
RA RB 
L 
RB 
N x 
- 
∆T>0 
RB Rx = RB 
L 
∆T>0 
∆L 
( ) . .
coef. dilatación térmico
L T L Tα
α
∆ ∆ = ∆
=
L 
∆L 
RB 
AE
LR
RL BB .
.
)(
−=∆
TAERR BA ∆== ... α
TE
A
R
A
N B
x ∆−=
−
== ..ασ
L 
∆T>0 
∆L 
0=xσ
.
. . 0 (4.15)
.
BR LL L T
E A
α −∆ = ∆ + =
Fig. 4.17 
(4.16) 
(4.17) 
Sección 4.4: Resolución de casos hiperestáticos 
 
 13 
 
Ejemplo 3º: Barra pretensada de hormigón armado 
 
Dado que el hormigón es un material que resiste muy mal los esfuerzos de tracción, 
podremos mejorar su resistencia a la tracción si introducimos en él redondos de acero 
previamente traccionados. 
 
El procedimiento será el siguiente: 
 
1ª fase: Se toman redondos de acero y los estiramos sometiéndolos a una fuerza de 
tracción de X Kg. 
 
 
 
 
la tensión a que estará sometido el redondo de acero será: 
 
 siendo AAc = área de la sección del redondo de acero 
 
 
2ª fase: Sin destensar todavía los redondos de acero, añadimos el hormigón y 
esperamos a que éste fragüe, cuando esto ocurra, el redondo de acero se habrá quedado 
totalmente adherido al hormigón. En éste instante destensamos los redondos de acero, 
liberándolos de la fuerza X a los que les teníamos sometidos y como consecuencia de 
ello el redondo de acero tenderá a acortarse y arrastrará con él al hormigón, provocando 
en él una compresión. Asi ocurrirá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para calcular la parte de la fuerza X que absorberá tanto el redondo de acero como el 
hormigón, se secciona transversalmente la barra y estudiamos el equilibrio de una de las 
dos partes seccionadas 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de equilibrio: ´´ ´́0 (4.18)Ac HF X F F= = +∑ 
Incógnitas: F´Ác, F´´H 
 
¡ Es un CASO HIPERESTÁTICO ! , tiene materiales de más. Se añadirá una ecuación 
de deformación 
 
X X redondo de acero 
Ac
A A
X=´σ
X X 
redondo de acero hormigón 
L Fig. 4.18 
X 
F´´H 
F´´Ac 
F´´H 
Tema 4: Tracción - Compresión 
14 
 
La ecuación de deformación será, al quedar el redondo de acero y el hormigón 
fuertemente adheridos, se acortarán por igual, es decir, se cumplirá: 
 
∆LAc = ∆LH (4.19) 
 
y desarrollando esta ecuación: 
´́ ´́. .
. .
Ac H
Ac Ac H H
F L F L
E A E A
= (4.20) 
 
 
y resolviendo el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de equilibrio (4.18) y la 
ecuación de deformación (4.20): 
 
 
 
 
 
y las tensiones correspondientes serán: 
 
con lo que sumando las tensiones obtenidas en ambos materiales después de estas dos 
fases, quedarán: 
 
 
Conclusiones: la barra de hormigón armado pretensado al estar previamente trabajando 
a compresión, como consecuencia del pretensado, mejorará su capacidad para resistir 
mayores esfuerzos a tracción. Ésta conclusión se puede apreciar a través del diagrama 
tensiones-deformaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hormigón normal Hormigón pretensado 
 
 
HHAcAc
AcAc
Ac AEAE
AE
XF
..
.
.´´
+
=
HHAcAc
HH
H AEAE
AE
XF
..
.
.´´
+
=
HHAcAc
Ac
Ac
Ac
Ac AEAE
E
X
A
F
..
.
´´
´´
+
−=−=σ
HHAcAc
H
H
H
H AEAE
E
X
A
F
..
.
´´
´´
+
−=−=σ
HHAcAc
Ac
Ac
AcAcAc AEAE
E
X
A
X
..
.´´´
+
−=+= σσσ
HHAcAc
H
HH AEAE
E
X
..
.´´
+
−== σσ
O 
ε 
Resistencia 
 a la 
 tracción 
fu 
σ 
O 
ε 
Resistencia 
 a la 
 tracción 
fu 
O´ 
σ 
σH = σ´´H 
Fig. 4.19 
(4.21) 
(4.22) 
(4.23) 
Sección 4.4: Resolución de casos hiperestáticos 
 
 15 
 
Ejemplo 4º: Defectos de montaje 
 
Se quiere montar la estructura que se indica en la figura 4.20, que estará formada por 
tres barras del mismo material (E Kg/cm2) y de la misma sección (A cm2). Las barras se 
deberán articular en O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al tratar de efectuar el montaje se observa que la barra central 1, en lugar de tener la 
longitud L, tiene de longitud: L+∆L, con lo cual al ir a acoplarlas en O, se dará la 
siguiente situación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se supone que el valor de ∆L es pequeño y el montador, en lugar de serrar la barra 1 
para eliminarlo, aplica un esfuerzo de tracción a las barras 2 y 3, alargándolas hasta 
hacerlas coincidir con el extremo O´ de la barra 1. Una vez acopladas las tres barras en 
O´, libera a las barras 2 y 3 del esfuerzo a las que la sometió. Como consecuencia de 
ello, las barras 2 y 3 que estaban alargadas, tratarán de acortarse y arrastrarán con ellas a 
la barra1 comprimiéndola. Finalmente tendremos las tres barras acopladas en el punto 
O´´. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
1 2 3 
O 
α α 
Fig. 4.20 
L 
1 2 3 
O 
α α 
∆L 
O´ 
L 
1 2 3 
O 
α α 
∆L 
O´ 
Fig. 4.21 
Fig. 4.22 
Tema 4: Tracción - Compresión 
16 
Así pues, debido al montaje se han introducido esfuerzos (tensiones) en las tres barras. 
Planteemos el cálculo de los valores de esos esfuerzos: 
 
Establezcamos el equilibrio de fuerzas de las tres barras en el punto O´´: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: al ser las deformaciones pequeñas se supondrá que el ángulo que forman 
las barras inclinadas 2 y 3, al quedar unidas en O´´, es ≅ α. 
 
Ecuaciones de equilibrio: 
2 3
1 2 3
0 . .
0 .cos .cos
x
y
F F sen F sen
F F F F
α α
α α
= =
= = +
∑
∑
 
Incógnitas: F1, F2, F3 
 
¡ Es un CASO HIPERESTÁTICO ! , tiene barras de más. Se añadirá una ecuación de 
deformación 
 La ecuación de deformación a plantear será una que relacione el alargamiento de las 
barras 2 y 3 con el acortamiento de la 1. Para ello en la siguiente figura se ha ampliado 
el detalle de las uniones de las barras. 
 
 
de la figura se pueden obtener las siguientes relaciones: 
αδ
δ
cos.3
1
=∆
∆=∆+L
LL
 → LL
L
∆=∆+
∆
1
3
cosα
 →
3
1
.
cos
..
cos .
L
F
F LE A L
E A
α
α
+ = ∆ 
 
resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (4.24) y (4.25), se obtendrán: F1, F2, 
F3 
y dividiendo por las áreas de las secciones de las barras, se obtendrían: σ1, σ2, σ3 
L 
∆L δ 
∆L1 ∆L3 
O 
O´ 
O´´ 
L 
≅α ≅α 
Fig. 4.23 
F1 
F2 F3 
α 
α 
O´´ 
(4.24) 
(4.25) 
Sección 4.5: Recipientes a presión 
 
 17 
Conclusiones: A las tensiones que estarán sometidas las barras de la estructura cuando 
tengan que soportar una carga determinada, se le añadirán estas tensiones debidas al 
montaje y como normalmente éstas no estaban previstas en el dimensionamiento de las 
barras por el proyectista de las mismas, la estructura podría llegar a fallar. 
 
 
4.5.-RECIPIENTES A PRESIÓN 
 
Las formas más comunes de los recipientes a presión para contener líquidos o gases a 
presión en su interior, son las esfericas y las cilíndricas. 
 
Distinción entre recipientes a presión de pared delgada y de pared gruesa: 
 
 e = espesor 
 re = radio exterior 
 ri = radio interior 
 rm = radio medio = ( re + ri ) / 2 
 r = radio en una posición cualquiera 
 
 
 
 
 
 
 
 
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA : 
 
Dado que el espesor e de la pared es pequeño en relación con el radio, la pared del 
depósito se comportará como si fuese una membrana y no tendrá resistencia a la flexión. 
Las tensiones están distribuidas uniformemente a través del espesor de la pared y no 
tienen componente radial. 
 
Recipientes esféricos de pared delgada: 
 
Debido a la presión interior p, un elemento de esfera estará sometido a las tensiones σ2 
indicadas en la figura. Dada la simetría de la esfera las tensiones serán uniformes a lo 
largo de toda ella 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rm 
re 
ri 
r 
e 
Fig. 4.24 
PARED DELGADA: rm ≥ 10.e 
 
PARED GRUESA: rm ≤ 10.e 
σ2 
σ2 
σ2 
σ2 σ2 = tensión anular 
 p = presión interior 
Fig. 4.25 
Tema 4: Tracción - Compresión 
18 
 Seccionando la esfera por la mitad y planteando el equilibrio de fuerzas de una de las 
dos partes seccionadas, se tendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Área proyectada sobre la 
 que actúa p 
 
2
20 .2. . . . .x m mF r e p rσ π π= =∑ → 
 
 
 Recipientes cilíndricos de pared delgada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Debido a la presión p en el interior del cilindro, un elemento de cilindro estará sometido 
a las tensiones σ1 y σ2 indicadas en la figura. 
 
Seccionando transversalmente el cilindro y planteando el equilibrio de una de las partes 
seccionadas, se tendrá: 
 
 
 
 
 → 
 
σ2 
x 
e σ2 
σ2 
rm 
p=presión rm 
e
rp m
.2
.
2 =σ
σ1 
σ1 
σ2 
σ2 
σ1 = tensión longitudinal 
σ2 = tensión anular 
p = presión interior 
 
Fig. 4.27 
σ1 
e 
p x 
rm 
Área sobre la que se 
proyecta p 
2
1 .....2.0 mmx rperF ππσ ==∑
e
rp m
.2
.
1 =σ
Fig. 4.26 
Fig. 4.28 
(4.26) 
(4.27) 
Sección 4.5: Recipientes a presión 
 
 19 
Seccionando ahora longitudinalmente el cilindro y estudiando el equilibrio de una de las 
partes: 
 
 
 Área proyectada sobre la que actúa p 
 
 
 → 
 
 
 
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED GRUESA : 
 
En este caso, al ser mayor el espesor de la pared del depósito, no se podrá asimilarlo a 
una membrana y las tensiones tendrán ahora también componente radial y no serán 
uniformes a lo largo del espesor de la pared 
 
Para este caso nos limitaremos a expresar las fórmulas de cálculo sin su demostración. 
 
Recipientes esféricos de pared gruesa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Debido a la presión en el interior de la esfera, un elemento de ésta estará sometido a las 
tensiones σ2 y σ3 indicadas, tensiones que ahora no serán uniformes a lo largo del 
espesor de la pared. Sus valores son: 
 
 
 
 σ2 
p 
L 
y 
e 
L 
2.rm 
LrpeLF my ..2...2.0 2 ==∑ σ
e
rp m.
2 =σ
σ2 
σ2 
σ2 
σ2 σ2 = tensión anular 
σ3 = tensión radial 
p = presión interior σ3 
Fig. 4.30 
Fig. 4.29 
(4.28) 
Tema 4: Tracción - Compresión 
20 
 
Tensión para una posición r cualquiera Tensión máxima 
 
 
 
 
 (se dará en los puntos de la superficie interior) 
 
 
 
 
 (se dará en los puntos de la superficie interior) 
 
 
 
 Recipientes cilíndricos de pared gruesa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensión para una posición r cualquiera Tensión máxima 
 
 
 
 
 (uniforme en todos los puntos de la pared) 
 
 
 
 
 
 (se dará en los puntos de la superficie interior) 
 
 
 
 
 
 (se dará en los puntos de la superficie interior) 
 
 
 
).(.2
).2.(.
333
333
2
ie
ei
rrr
rrrp
−
+=σ
).(
).(.
333
333
3
ie
ei
rrr
rrrp
−
−−=σ
).(2
).2.(
33
33
2
ie
ie
MAX rr
rrp
−
+=σ
pMAX −=3σ
σ1 
σ1 
σ2 
σ2 
σ1 = tensión longitudinal 
σ2 = tensión anular 
σ3 = tensión radial 
p = presión interior 
 
σ3 
Fig. 4.31 
).(
).(.
222
222
2
ie
ei
rrr
rrrp
−
+
=σ
22
22
2
).(
ie
ie
MAX
rr
rrp
−
+
=σ
).(
).(.
222
222
3
ie
ei
rrr
rrrp
−
−−
=σ pMAX −=3σ
22
2
1
.
ie
i
rr
rp
−
=σ
22
2
1
.
ie
i
MAX rr
rp
−
=σ
(4.29) 
(4.30) 
(4.31) (4.32) 
Sección 4.6:Introducción al dimensionamiento a resistencia de elementos metálicos a tracción-
compresión 
 
 21 
4.6.-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE 
ELEMENTOS METÁLICOS SOLICITADOS A TRACCIÓN-COMPRESI ÓN 
(Normativa DB-SE-A) 
 
El propósito de esta asignatura tal y como indicamos en el tema de Introducción, es la 
de dar unos conocimientos base para poder calcular las tensiones y deformaciones que 
se producen en el interior de los cuerpos al someterlos a cargas externas. Todo ello con 
el propósito de posteriormente poder diseñar y dimensionar los diversos elementos 
correspondientes a las Estructuras metálicas, de hormigón o de otros materiales, lo que 
corresponderá a otras asignaturas. 
 
No obstante y con el objetivo de poder dar una aplicación directa a los conocimientos 
que se van adquiriendo en esta asignatura, se indicarán los aspectos más generales, de 
forma simplificada y sin entrar en muchos detalles y casuísticas, del dimensionamiento 
a resistencia de elementos metálicos sometidas a tracción-compresión, según lo 
indicado en la Normativa española: CTE-DB-SE-A. (Para más detalles de este 
dimensionamiento ver la citada Normativa). 
 
Para el dimensionamiento a resistencia de elementos metálicos habrá que hacer varias 
comprobaciones: unas relativas a las secciones de las piezas y otras relativas a las 
propias barras. 
 
RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A TRACCIÓN-COMPRESIÓN 
 
En la sección 3.2 se indicaron los criterios a utilizar para los dimensionamientos elástico 
y plásticos. En esta sección los aplicaremos al caso de la Tracción-Compresión 
 
1.-Criterio elástico de dimensionamiento: 
 
Este criterio no se podrá aplicar al caso de la Tracción-Compresión, dado que en este 
tipo de solicitaciones, al tener todos los puntos de la secciónla misma tensión, todos 
llegarán a la vez a alcanzar la tensión del límite elástico fy. 
 
2.-Criterio plástico de dimensionamiento: 
 
Consideremos una sección en la que todos sus puntos hayan alcanzado la tensión del 
límite elástico (ver fig. 4.32) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: Se ha tomado la tensión del límite elástico, ya minorada: fyd (sección 3.6. 
ecuación 3.15) 
A 
G 
Npl,d = A.fyd 
x 
y 
z 
 
σx= fyd 
 σx= fyd 
σx= fyd 
 
 
Fig. 4.32 
σx = fyd = cte 
Tema 4: Tracción - Compresión 
22 
 
Se denomina resistencia plástica de una sección a tracción o compresión: (Npl,d) al 
valor: 
 
 
 
 
Así pues para la comprobación a resistencia de una sección trabajando a tracción, se 
aplicará la fórmula: 
 
 
 
siendo: 
 
N* = N.γ (ver sección 3.6, ecuación 3.17). El valor de N se obtendrá del diagrama de 
esfuerzos 
 
Npl,d = A.fyd la resistencia plástica de la sección para el cálculo 
 
 
3.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: 
 
Si aplicásemos el criterio de dimensionamiento de Von-Mises (sección 3.7), llegaríamos 
al mismo resultado. 
 
En efecto, la ecuación (3.26) de Von Mises es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTENCIA DE LAS BARRAS A TRACCIÓN-COMPRESIÓN 
 
La resistencia de las barras a tracción o compresión serán las mismas que las de sus 
secciones, es decir la resistencia plástica de su sección: Npl,d. 
 
No obstante si la barra estuviese trabajando a compresión, habría que estudiar además 
su posible inestabilidad o “pandeo”, lo que estudiaremos en el tema nº 10 de esta 
asignatura. 
 
yddpl fANN .,
* =≤
*2 *2 * * *2. 3.x y x y xy ydfσ σ σ σ τ+ − + ≤
*
* * * *
*
*
: 0 0 y sustituyendo
o lo que es lo mismo .
la misma expresion delcriterio plásticodedimensionamiento
x y z
yd yd
N
siendo
A
N
f N A f
A
σ σ σ τ= = = =
≤ → ≤
(4.33) 
(4.34) 
Npl,d = A.fyd 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 5 : FLEXIÓN: TENSIONES 
G x 
z 
y 
n 
n 
σMAX (COMPRESIÓN) 
σMAX (TRACCIÓN) 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
2 
 
5.1.- INTRODUCCIÓN 
 
Una barra está solicitada a FLEXIÓN PURA cuando en sus secciones rectas 
transversales actúan únicamente los momentos flectores: Mz y/o My. (Fig. 5.1.a) 
 
En el caso de que a la vez que los momentos flectores Mz y/o My actúen también las 
fuerzas cortantes Vy y/o Vz, se dice que está solicitada a FLEXIÓN SIMPLE.(Fig. 
5.1.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si sólo actuase uno de los dos momentos flectores: Mz o My se denomina: FLEXIÓN 
SIMÉTRICA (Fig. 5.1.c) 
 
Si el vector momento tiene las dos componentes: Mz y My se denomina: FLEXIÓN 
ASIMÉTRICA (Fig. 5.1.d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLEXIÓN PURA 
My 
Mz x 
y 
z 
G 
Fig.5.1.a 
FLEXIÓN SIMPLE 
G Mz 
My 
Vz 
z 
x 
y 
Vy 
Fig.5.1.b 
Mz x 
y 
z 
G 
FLEXIÓN SIMÉTRICA 
Fig.5.1.c 
FLEXIÓN ASIMÉTRICA 
My 
Mz x 
y 
z 
G 
Fig.5.1.d 
Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Diagramas y relaciones entre ambos 
 3 
 
 
5.2.-FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES. DIAGRA MAS Y 
RELACIONES ENTRE AMBOS 
 
 
Ejes de referencia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sección con normal exterior positiva: n > 0 
Sección con normal exterior negativa: n < 0 
 
 
Convenio de signos para las fuerzas cortantes Vy , Vz 
 
En una sección con normal exterior positiva (n > 0), las fuerzas cortantes Vy y Vz son 
positivas, cuando llevan el mismo sentido de los semiejes positivos OY, OZ 
respectivamente. Serán negativas en caso contrario. 
 
En el caso de una sección con normal exterior negativa (n < 0) será al revés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vy > 0 Vz > 0 
O 
y 
z 
x x n > 0 n < 0 
Fig.5.2 
x n > 0 n < 0 
y 
z 
O 
Vy 
Vy 
Vz 
Vz 
Fig.5.3 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
4 
 
Convenio de signos para los momentos flectores Mz , My 
 
Caso del momento flector Mz: 
 
En una sección con normal exterior positiva (n > 0), el momento flector Mz será 
positivo, cuando lleve el sentido contrario al del semieje OZ positivo . Será negativo en 
caso contrario. 
 
En el caso de una sección con normal exterior negativa (n < 0) será al revés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mz > 0 
x 
y 
- 
 Mz < 0 : la viga flexa (se dobla) hacia la parte negativa del eje y 
x 
y 
Mz > 0 : la viga flexa (se dobla) hacia la parte positiva del eje y 
+ 
Fig.5.5.a 
x n > 0 n < 0 
y 
z 
O 
Mz 
Mz Fig.5.4 
Fig.5.5.b 
 Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Diagramas y relaciones entre ellos 
 5 
 
Caso del momento flector My: 
 
En una sección con normal exterior positiva (n > 0), el momento flector My será 
positivo, cuando lleve el mismo sentido al del semieje OY positivo . Será negativo en 
caso contrario. 
 
En el caso de una sección con normal exterior negativa (n < 0) será al revés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
+ 
 My > 0 : la viga flexa (se dobla) hacia la parte positiva del eje z 
Fig.5.7.a 
x 
z 
y 
- 
 My < 0 : la viga flexa (se dobla) hacia la parte negativa del eje z 
x n > 0 n < 0 
y 
z 
O 
My 
My Fig.5.6 
Fig.5.7.b 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
6 
Observación: El Mz es el único, que en las secciones n>o, se toma positivo si su sentido 
es el contrario al semieje positivo correspondiente. 
Diagramas de Fuerzas Cortantes y de Momentos Flectores 
 
Éstos diagramas representarán las Fuerzas Cortantes y los Momentos Flectores en cada 
una de las secciones de una viga, (al igual que en la sección 4.2 se estudiaron los 
Diagramas de Fuerzas Normales) y gracias a ellos se podrán conocer los esfuerzos 
máximos y las secciones donde éstos se darán. 
 
Se desarrollarán los Diagramas de Fuerzas Cortantes y de Momentos Flectores a través 
del siguiente ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En una sección x cualquiera la Resultante y el Momento resultante de las fuerzas 
exteriores serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con lo cual, la Resultante y el Momento resultante de las fuerzas interiores serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
y 
z 
x 
F 
P 
x 
L 
Fig.5.8 
O 
y 
z 
x 
F 
P 
x 
n>0 
F 
F.x 
P.x 
P 
Rext, Mext Fig.5.9.a 
O 
y 
z 
x 
F 
P 
x 
n>0 
F 
F.x 
P.x 
P 
Rint, Mint Fig.5.9.b 
 Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores: Diagramas y relaciones entre ellos 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
y 
z 
x 
F 
P 
x 
L 
Fig.5.10 
O 
y 
z 
x 
F 
P 
x 
n>0 
F 
F.x 
P.x 
P 
Rint, Mint 
x 
x 
x 
x 
Vy 
Vz 
My 
Mz 
P.L 
P 
F 
- 
- 
- 
 
 
- 
F.L 
Teniendoen cuenta elsignode las FuerzasCortantes y Momentos Flectores:
0
(cte)
(cte)
.
0 0
.
.
0 0
.
y
z
y
y
y
z
z
z
x L
V F
V P
M P x
x M
x L M P L
M F x
x M
x L M F L
≤ ≤
= −
= −
= −
= → =
= → = −
= −
= → =
= → = −
Tema 5: Flexión: Tensiones 
8 
Relaciones entre Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores 
 
Las Fuerzas Cortantes y los Momentos Flectores no son independientes sino que están 
relacionados entre sí. 
 
Antes de ver dicha relación conviene dejar claro que, en rigor, no existen fuerzas 
concentradas en un punto, pues según se vio en 1.1, por el Principio de Saint Venant, se 
podrán considerar concentradas las fuerzas que se transmitan a la barra a través de una 
superficie pequeña en comparación con la superficie de ésta.Se considera una rebanada de una viga formada por dos secciones muy próximas, 
separadas dx y sobre la que actúa una carga distribuida q(x). En ambas caras de la 
rebanada se sitúan las correspondientes Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores (todos 
con sentidos positivos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio de los esfuerzos que actúan sobre la 
rebanada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“La Fuerza Cortante es la derivada del Momento Flector” 
R 
q(x) Kg/m 
M+dM 
V+dV 
M 
V 
dx 
n>0 n<0 G 
Fig.5.11 
0 . . .
2
simplificando ydespreciandoinfinitésimosde 2º orden frentea losde1º:
.
G
dx
M M V dx M dM q dx
V dx dM
= + = + +
= →
∑
dM
V
dx
= )1.5(
 Sección 5.2: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores. Diagramas y relaciones entre ellos 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
“la carga q(x) es la derivada de la Fuerza Cortante o la segunda derivada del Momento 
Flector” 
 
 
Observación: La expresión del Momento Flector es siempre de un grado superior a la de 
la Fuerza Cortante 
 
 
 
 
 
0 . simplificando : 0 .F V q dx V dV q dx dV= = + + = +∑
2
2
dV d M
q
dx dx
− = =
V 
M 
x 
x 
V=0 
V=C1 
V=C1.x+C2 
M=C1.x+C2 
V=C1.x
2+C2.x+C3 
M=C1.x
2+C2.x+C3 
M=C1.x
3+C2.x
2+C3.x+C4 
M=C1 
V=0 
M=Mmax 
( )
1
1 1 1 1 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 3
max min
0 0 ( )
. .
. . . . . .
0 ( 1 ) 0 ( 1 ) o
dM
V V M C cte
dx
dM
V C V C dM C dx M C x C
dx
dM
V C x C V C x C dM C x C dx M C x C x C
dx
dM
V en punto V en punto M
dx
= → = = → =
= → = = → = → = +
= + → = = + → = + → = + +
= → = = →
)2.5(
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
10 
 
 
5.3.-FLEXIÓN PURA 
 
 
5.3.1.-TENSIONES NORMALES: CASO GENERAL 
 
Una viga está sometida a FLEXIÓN PURA cuando en sus secciones rectas 
transversales actúan únicamente los Momentos Flectores M z y/o M y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones tensiones – solicitaciones vistas en la sección 1.6 serían: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pero al igual que ocurría en la Tracción-Compresión éstas ecuaciones, por si solas, no 
permiten calcular las tensiones originadas por los Momentos Flectores Mz y/o My. 
Habrá que recurrir nuevamente a hipótesis simplificativas que han sido comprobadas 
experimentalmente. 
 
 
Hipótesis de Bernouilli – Navier: “ En la Flexión Pura cada sección transversal de la 
viga gira alrededor de un eje, contenido en la sección, denominado Eje Neutro, 
permaneciendo las secciones planas y normales a las fibras deformadas”. 
 
 
Admitiremos también que la flexión se produce en régimen elástico y por tanto dentro 
de los límites de validez de la Ley de Hooke, por lo que las tensiones que se originan 
han de ser proporcionales a las deformaciones producidas. 
 
Mz 
My 
O x 
z 
y 
G 
Fig.5.12 
( )
0 . 0 . 0 .
0 . . . . . . .
x y xy z xzA A A
xz xy y x z xA A A
N dA V dA V dA
T y z dA M z dA M y dA
σ τ τ
τ τ σ σ
= = = = = =
= = − = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
)3.5(
 Sección 5.3.1: Flexión Pura. Tensiones normales: Caso general 
 11 
Al flexionar la viga, las secciones transversales giran y hacen que las fibras 
longitudinales, inicialmente rectas, dejen de serlo y se curven, alargándose o 
acortándose según sea su posición en el interior de la viga. 
 
Existen fibras longitudinales que ni se alargan ni se acortan, a esas fibras se las 
denomina FIBRAS NEUTRAS. 
 
A la superficie donde se encuentran las fibras neutras se la denomina SUPERFICIE 
NEUTRA. Las fibras que estén por encima o por debajo de la Superficie Neutra 
alargarán o acortarán según hacia donde flexione la viga. (En el caso del dibujo 
acortarán las fibras que están por encima de la Superficie Neutra y alargarán las que 
estén por debajo) 
 
A las fibras transversales de la Superficie Neutra se las denomina: LINEAS NEUTRAS 
o EJES NEUTROS. Alrededor de ellos giran las secciones transversales 
 
En las siguientes figuras se representan estos términos para su mejor identificación: 
 
 
 
 
 
 
Fibras que se acortan 
Fig.5.13 
Superficie Neutra 
Ejes Neutros o 
Líneas neutras 
Fibras Neutras 
Eje Neutro o 
Línea Neutra 
Fibras que se alargan 
Fig.5.14 
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
12 
 
Así pues como resultado de la flexión el paralelepípedo elemental abcd se transforma 
en el a1b1c1d1 y como según la Hipótesis de Bernouilli-Navier: “……las secciones 
transversales de la viga giran alrededor de un eje, contenido en la sección, denominado 
Eje Neutro, permaneciendo planas y normales a las fibras deformadas”, se deducirá 
que: a1b1 será perpendicular a a1c1. Con lo cual se podrá afirmar: “Las deformaciones 
angulares de los diferentes paralelepípedos son nulas, es decir: γ = 0” 
 
 
Por la ley de Hooke: 
 
“En la Flexión Pura son nulas las tensiones cortantes” 
 
Para calcular las tensiones normales σx, se analizará con más detalle la deformación de 
la rebanada dx de la figura anterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se estudiará el alargamiento que ha sufrido la fibra ab que se encuentra a una distancia 
dn de la superficie neutra. La fibra ab de longitud dx al flexionar se ha convertido en la 
fibra a1b1. 
 
La fibra neutra mn de longitud dx al flexionar se ha convertido en la fibra m1n1 de la 
misma longitud (la fibra neutra ni alarga ni acorta). Si se traza por n1 una paralela a 
m1a1 se obtiene n1b2, siendo entonces: a1b2 =dx. El alargamiento de la fibra ab al 
flexionar habrá sido: b2b1. A continuación se buscará una expresión para obtener dicho 
alargamiento: 
De la semejanza de triángulos (Oa1b1) y (n1b2b1), tienen 
dx 
m n 
a b 
c d 
m1 n1 a1 b1 c1 d1 
Fig.5.15 
→== 0
G
τγ 0=τ
dx 
m n 
a b 
c d 
n1 m1 a1 b1 c1 d1 
r 
dn 
dx 
b2 
dn 
O 
Supongamos que la superficie 
neutra es la que pasa por la 
fibra mn. (m1n1 una vez 
flexionada) 
O: Centro de curvatura de la 
fibra neutra m1n1 
r: radio de curvatura de la 
fibra neutra m1n1 
dx
bb
ba
bb
x
12
21
12 ==ε
)4.5(
 Sección 5.3.1: Flexión Pura. Tensiones normales: Caso general 
 13 
sus lados paralelos , se podrá expresar: 
 
 
 
 
Sustituyendo en la expresión de εx: 
 
“ las deformaciones longitudinales de las fibras son proporcionales a su distancia a 
la superficie neutra” 
 
y por la ley de Hooke: 
 
 
“ las tensiones normales σσσσx son proporcionales a su distancia a la superficie 
neutra” 
 
Utilizando ahora la primera ecuación de las expresiones (5.3) resultará: 
 
 
Si se quisiera obtener ahora la distancia del centro de gravedad de la sección a la 
superficie neutra, la fórmula a emplear sería: 
 
 
→ 
 
 
“ la distancia del centro de gravedad G de una sección a la superficie neutra es 
cero, el centro de gravedad está pues en la superficie neutra”, o lo que es lo mismo 
“el eje neutro o línea neutra de una sección pasa por el centro de gravedad G de la 
misma” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r
d
dx
bb n=12
r
d
dx
bb n
x == 12ε
)5.5(..
r
d
EE
E
n
xx
x
x ==→= εσ
σε
. 0 . . 0 (alser E=cte, r=cte) . 0
. 0
n
x nA A A
nA
d E
dA E dA d dA
r r
d dA
σ = → = → = →
→ =
∫ ∫ ∫
∫
. 0
( ) (y por lo obtenido antes) 0
nA
n
A A
d dA
d G
dA dA
= = = =∫
∫ ∫
0)( =Gdn )6.5(
Eje Neutro o 
Línea Neutra 
G 
Fig.5.16 
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
14 
 
Se buscará a continuación una forma cómoda para medir dn, Para ello, la siguiente 
figura (5.17), representa una sección transversal cualquiera de una viga y se expresará 
dn en función de las coordenadas del punto donde se quiera hallar la tensión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La distancia dn de un punto P(y,z) cualquiera a la línea neutra será: 
 
 
 
Introduciendo este valor en la ecuación (5.5) que da la tensión normal en un punto 
cualquiera quedará: 
 
 
 
 
 
Desarrollando ahora dos nuevas ecuaciones de las expresiones (5.3):y resolviendo este sistema de ecuaciones por la regla de Cramer: 
 
 
 
 
1 2
2
1 2 1 2
1 2
2
1 2 1 2
. . (ysegún 5.6) ( . . ). .
. . . . . . .
. . ( 5.6) ( . . ). .
. . . . . . .
z xA A
z zyA A
y xA A
zy yA A
M y dA C y C z y dA
C y dA C z y dA C I C I
M z dA y según C y C z z dA
C y z dA C z dA C I C I
σ
σ
= = = +
= + = +
= = = +
= + = +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
G 
z 
y 
P 
α 
n 
n 
y 
z 
dn 
Línea neutra o Eje neutro 
Fig.5.17 
zCyCsenzy
r
E
r
d
E nx ..).cos..(. 21 +=+== αασ
αα senzydn .cos. +=
)7.5(
 Sección 5.3.1: Flexión Pura. Tensiones normales: Caso general 
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo finalmente el valor obtenido para las dos constantes C1 y C2 en la ecuación 
(5.7), quedará como expresión final general del cálculo de la tensión normal en un 
punto cualquiera de coordenadas (y,z) la siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las componentes del estado de tensiones en un punto P del interior de una viga 
sometida a Flexión Pura serán pues: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)8.5(
21 .
..
zyyz
zyyyz
yzy
zyz
yy
zyz
III
IMIM
II
II
IM
IM
C
−
−
==
22 .
..
zyyz
zyzzy
yzy
zyz
yzy
zz
III
IMIM
II
II
MI
MI
C
−
−
==
2.
)...()...(
zyyz
zyzzyzyyyz
x III
zIMIMyIMIM
−
−+−
=σ
00
00
0
.
)...()...(
2
==
==
=
−
−+−
=
zxz
yzy
xy
zyyz
zyzzyzyyyz
x
III
zIMIMyIMIM
τσ
τσ
τσ
)9.5(
P 
σx σx x 
z 
y Fig.5.18 
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
16 
 
CÁLCULO DE LA LÍNEA NEUTRA (EJE NEUTRO) 
 
 
Las fibras que pertenecen a la Superficie Neutra, por definición, ni se alargan ni se 
acortan, con lo cual se cumplirá: 
 
 
 
 
Así pues la ecuación de la línea neutra la podemos obtener como lugar geométrico de 
los puntos de una sección que tienen tensión normal cero, es decir: 
 
 
 
 
 
o lo que es lo mismo: 
 
 
 
 
 Ecuación de la línea neutra o Eje neutro 
 
 
También puede expresarse, sabiendo que ha de pasar por el centro de gravedad G de la 
sección, en virtud de (5.6), por su ángulo de inclinación α con respecto al eje z. 
 
 
 
 
 
 
 Ángulo de inclinación de la línea neutra respecto al eje Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 y por la ley de Hooke : . 0x x x Eε σ ε= = =
0
.
)...()...(
2
=
−
−+−
=
zyyz
zyzzyzyyyz
x
III
zIMIMyIMIM
σ
0)...()...( =−+− zIMIMyIMIM zyzzyzyyyz )10.5(
)11.5(
. .
(despejandoesta expresion de5.10)
. .
y z z zy
z y y zy
M I M Iy
tag
z M I M I
α
−
= = = −
−
G 
z 
y 
α 
n 
n 
Fig.5.19 
Sección transversal de la viga 
 Tema 5.3.2: Tensiones normales: Casos particulares 
 
 17 
 
5.3.2.-TENSIONES NORMALES: CASOS PARTICULARES 
 
 
Caso Particular 1º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” 
 
En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual las ecuaciones 5.8 y 5.11 serán: 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y 
además uno de los Momentos Flectores es cero” 
 
 
Si My = 0 : 
 
 
 
 
 
 
La distribución de tensiones normales σx para este caso será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
y
z
z
x I
zM
I
yM .. +=σ )12.5(
yz
zy
IM
IM
tag
.
.
−=α )13.5(
z
z
x I
yM .
=σ )14.5(
0 0º
eleje neutroeseleje z
tagα α= → =
)15.5(
G x 
z 
y 
n 
n 
σMAX (COMPRESIÓN) 
σMAX (TRACCIÓN) 
Fig.5.20 
max
.z MAX
X
z
M y
I
σ = )16.5(
Tema 5 : Flexión: tensiones 
 
18 
 
 
 
Si Mz = 0 : 
 
 
 
 
 
 
 
La distribución de tensiones normales σx para este caso será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
y
x I
zM .
=σ )17.5(
90º
eleje neutroeseleje y
tagα α= ∞ → =
)18.5(
G x 
z 
y 
n 
n 
σMAX (COMPRESIÓN) 
σMAX (TRACCIÓN) 
Fig.5.21 
max
.y MAX
X
y
M z
I
σ = )19.5(
 Tema 5.3.2: Tensiones normales: Casos particulares 
 
 19 
 
Observaciones: 
 
 Convenio de signos para Mz y My: 
 
Con el convenio de signos adoptado en la sección 5.2 para los Momentos flectores Mz y 
My se observa lo siguiente: 
 
Mz > 0 → “las fibras que se alargan son las que están por debajo de la superficie 
neutra, por tanto se producirá TRACCIÖN en los puntos de la sección de la parte 
inferior del eje z, es decir en los puntos de la parte positiva del eje y” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
My > 0 → “ las fibras que se alargan son las que están en la parte positiva del eje z” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n > 0 
Mz 
Mz 
x 
z 
y 
G 
y 
z n n G 
Tracción 
Compresión 
n 
n n 
n 
Superficie neutra 
Fig.5.22 
x 
n > 0 
My 
My 
z 
y 
n 
n 
n 
n 
Superficie neutra 
G 
Compresión 
n 
y 
z 
n 
Tracción 
Fig.5.23 
Tema 5 : Flexión: tensiones 
 
20 
 
5.3.3.-LÍNEA ELÁSTICA. RADIO DE CURVATURA 
 
Se denomina LÍNEA ELÁSTICA al eje x de la viga una vez deformado debido a la 
flexión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El radio de curvatura de la línea elástica se podrá obtener de la siguiente manera: 
 
La ecuación 5.5 que daba la tensión en un punto P cualquiera: 
 
 
y para el 2º caso particular visto en 5.3.2: ( Izy = 0 My = 0 ) → el eje neutro es el eje z 
 
Entonces : dn = y, con lo cual la fórmula de la tensión será: 
 
La fórmula final (5.14), para el cálculo de la tensión en éste caso particular era: 
 
Igualando ambas expresiones de la tensión: 
 
 
 
 
Siendo: E.Iz = Módulo de Rigidez a la flexión alrededor del eje z. 
 
así si: 
1
. flexa poco,es muy rígida a la flexiónzE I rr
↑ → ↓ → ↑ ⇒ 
 
x 
x 
Línea elástica 
Fig.5.24 
G 
z 
y 
P 
α 
n 
n 
y 
z 
dn 
Fig.5.25 
r
d
E nx .=σ
G 
z 
y 
P 
n n 
dn = y 
r
y
Ex .=σ
z
z
x I
yM .
=σ
z
z
IE
M
r .
1 =→=
z
z
I
yM
r
yE .. )20.5(
 Sección 5.3.3: Línea elástica. Radio de curvatura 
 
 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el otro caso particular visto en 5.3.2: ( Izy = 0, Mz = 0 ) → el eje neutro es el eje 
y, entonces dn = z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con lo cual la ecuación (5.5) para la tensión sería: 
 
 
La ecuación final (5.17), para el cálculo de la tensión en éste caso particular era: 
 
 
 
 
Igualando ambas expresiones de la tensión: 
 
 
 
 
 
 
Siendo: E.Iy = Módulo de Rigidez a la flexión alrededor del eje y. 
 
 
 
G 
z 
y 
P 
n 
n 
dn = z 
Fig.5.26 
r
z
Ex .=σ
y
y
x I
zM .
=σ
→=
y
y
I
zM
r
zE ..
y
y
IE
M
r .
1 = )21.5(
E.Iz (pequeño) 
 ⇓ 
Flexiona mucho 
 ⇓ 
poco rígida a la flexión 
E.Iz (grande) 
 ⇓ 
Flexiona poco 
 ⇓ 
muy rígida a la flexión 
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
22 
 
 
5.4.-FLEXIÓN SIMPLE 
 
Una viga está solicitada a FLEXIÓN SIMPLE cuando en sus secciones transversales actúan 
conjuntamente los Momentos Flectores: M z y/o M y y las Fuerzas Cortantes: Vy y/o Vz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones Tensiones – Solicitaciones vistas en 1.7 serían: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.1-TENSIONES NORMALES 
 
En estas ecuaciones (5.22), se observa que en las relaciones que interviene la tensión normal 
σx, son las mismas que las expresadas en las (5.3) para la Flexión Pura. Sin embargo la 
aparición ahora de las tensiones cortantes: τxy y τxz , que eran cero en la Flexión Pura, va a 
producir deformaciones angulares γ, que habrá que añadir a las deformaciones propias de la 
Flexión Pura. 
 
Si las tensiones cortantes no se distribuyeran uniformemente en la sección, lo mismo ocurriría 
con las deformaciones angulares, lo que significará que en la FLEXIÓN SIMPLE las 
secciones planas se alabean, es decir, no permanecerán planas y no se cumplirá por tanto la 
Hipótesis de Bernouilli- Navier 
Vz 
Vy 
Mz 
My 
x 
y 
z 
O G 
Fig.5.27 
( )
0 . . .
0 . . . . . . .
x y xy z xzA A A
xz xy y x z xA A A
N dA V dA V dA
T y z dA M z dA M y dA
σ τ τ
τ τ σ σ
= = = =
= = − = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
)22.5(Fibras que se acortan 
Fibras que se alargan 
Fig.5.28 
 Sección 5.4.1: Flexión simple: tensiones normales 
 23
 
 
 
Sin embargo se comprueba, que este alabeo de las secciones apenas influye en el valor de las 
tensiones normales σx, con lo cual se aplicará para éstas, en el caso de FLEXIÓN SIMPLE , 
las mismas ecuaciones obtenidas en la FLEXIÓN PURA, es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 1º: 
 
 “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” 
 
En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual las ecuaciones 5.7 y 5.10 serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 2º: 
 
“Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además uno de los Momentos 
Flectores es cero” 
 
Si My = 0 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
.
)...()...(
2
=
=
−
−+−
=
z
y
zyyz
zyzzyzyyyz
x III
zIMIMyIMIM
σ
σ
σ
y
y
z
z
x I
zM
I
yM .. +=σ )12.5(
yz
zy
IM
IM
tag
.
.
−=α )13.5(
z
z
x I
yM .
=σ )14.5( zejeelesneutroejeel
tag º00 =→= αα
)15.5(
(5.7) 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
24 
 
 
5.4.2-TENSIONES CORTANTES EN SECCIONES DE GRAN ESPESOR 
 
Para el cálculo de las tensiones cortantes se tendrá en cuenta la forma de la sección de la viga. 
Así en este apartado se comenzará con el caso de vigas con secciones de gran espesor: 
circulares, rectangulares, etc….. 
 
En este tipo de secciones se hará el cálculo por separado de las tensiones cortantes: τxy y τxz. 
 
Cálculo de la tensión cortante ττττxy: 
 
Tomemos una rebanada dx de una viga de sección de gran espesor sometida a Flexión Simple 
(Fig.29.a). En ambos extremos de la misma se sitúan los Momentos Flectores y Fuerzas 
Cortantes correspondientes. Se trata de calcular las τxy en los puntos de una línea cualquiera 
ab que se encuentran a una distancia y del eje z. Para ello se supondrá que τxy = cte a lo largo 
de todos los puntos de la dicha línea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seccionando el elemento diferencial por el plano abcd y estableciendo el equilibrio de fuerzas 
del trozo inferior resultante, se tendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vz + dVz 
Vy + dVy 
Mz + dMz 
My + dMy 
x 
y 
z 
O G 
n>0 
My 
Mz 
Vy 
Vz 
n<0 
τxy 
y 
a 
b c 
d 
dx Fig.5.29.a 
a 
b c 
d σx σx +dσx 
t(y) 
τyx 
dA dA 
A 
Fig.29.b 
dx 
( )
, ,
y para queexista equilibriodefuerzasen direccion deleje x sobresuperficieabcd
0 . . . ( ). yoperando :
z y x z z y y x x
yx
x x x x yxA A
M M M dM M dM d
F d dA dA t y dx
σ σ σ
τ
σ σ σ τ
→ + + → +
→
= → + = +∑ ∫ ∫
Sección 5.4.2: Tensiones cortantes en secciones de gran espesor 
 25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y como por lo visto en el tema 1º : τyx = τxy se obtendrá finalmente: 
 
 
 
 
 
 siendo: 
 
 
 
 
 
 
 Observación: en la sección de n>0 se cumple: 
 
. . ( ). . . ( ) (1)
Calculemos a partir de la expresión de obtenidaen (5.7) :
x
x yx yxA A
x
x
d
d dA t y dx dA t y
dx
d
dx
σσ τ τ
σ σ
= → =∫ ∫
( ) ( )
2 2
2 2
( . . ). ( . . ). .( . . ) .( . . )
. .
. . . . . . .( . . ) .( . . )
. .
ysustituyendoesta expr
z y y zy y z z zy z y zy y z zy
x
z y zy z y zy
yz
y zy z zy
y y zy z z zyx
z y zy z y zy
M I M I y M I M I z M I y I z M I z I y
I I I I I I
dMdM
I y I z I z I y V I y I z V I z I yd dx dx
dx I I I I I I
σ
σ
− + − − + −
= =
− −
− + − − + −
= =
− −
( ) ( )
2
2
esión en (1):
. . . . . .
. ( ) .
.
. . . . . . . . . .
. ( )
.
y y zy z z zy
yx A
z y zy
y y zy z z zyA A A A
yx
z y zy
V I y I z V I z I y
t y dA
I I I
V I y dA I z dA V I z dA I y dA
t y
I I I
τ
τ
− + −
=
−
   − + −
   =
−
∫
∫ ∫ ∫ ∫
2
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( )
( ). .
y y z zy y z z y zy z
yx
z y zy
V I Q y I Q y V I Q y I Q y
t y I I I
τ
   − + −   =
 − 
2
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( )
( ). .
y y z zy y z z y zy z
xy
z y zy
V I Q y I Q y V I Q y I Q y
t y I I I
τ
   − + −   =
 − 
)23.5(
∫∫ ==
A
y
A
z dAzyQdAyyQ .)(.)(
y 
y 
z 
t(y) 
G 
a b 
Fig.5.30 
τxy>0 A 
los momentosestáticosdelárea rayada A
respectode losejes ze y respectivamente
0 "su sentido es entranteen elárea rayada"
0 "su sentidoessalientedelárea rayada"
xy
xy
τ
τ
> →
< →
 Sección 4.5.2: Tensiones cortantes en secciones de gran espesor 
 
 
26
 Cálculo de la tensión cortante ττττxz: 
 
Se trata de calcular ahora las τxz en los puntos de una línea cualquiera ef que se encuentran a 
una distancia z del eje y. Para ello se supondrá que τxz = cte a lo largo de todos los puntos de 
la dicha línea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seccionando el elemento diferencial por el plano efgh y estableciendo el equilibrio de fuerzas 
del trozo posterior resultante, se tendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dx 
t(z) 
dA dA σx σx + dσx τzx 
e h 
g f 
A 
Fig.5.31.b 
( )
, ,
y para queexista equilibriodefuerzasen direccion deleje x sobresuperficieefgh
0 . . . ( ). yoperando:
z y x z z y y x x
zx
x x x x zxA A
M M M dM M dM d
F d dA dA t z dx
σ σ σ
τ
σ σ σ τ
→ + + → +
→
= → + = +∑ ∫ ∫
. . ( ). . . ( )
ysiguiendoun procesosimilar alanterior,seobtendrá:
x
x zx zxA A
d
d dA b z dx dA t z
dx
σσ τ τ= → =∫ ∫
2
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( )
( ). .
y y z zy y z z y zy z
xz
z y zy
V I Q z I Q z V I Q z I Q z
t z I I I
τ
   − + −   =
 − 
)24.5(
Vz + dVz 
Vy + dVy 
Mz + dMz 
My + dMy 
x 
y 
z 
O G 
n>0 
My 
Mz 
Vy 
Vz 
n<0 
τxz 
z 
e 
f 
h 
g 
dx Fig.5.31.a 
 Sección 5.4.2: Tensiones cortantes en secciones de gran espesor 
 27 
 
 
 
siendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 Observación: en la sección de n>0 se cumple: 
 
 
 
 
 
CASOS PARTICULARES: 
 
 
Caso Particular 1º: 
 
 “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” 
 
En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual las ecuaciones 5.23 y 5.24 serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 2º: 
 
 “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además una de las Fuerzas 
Cortantes es cero” 
 
 
 
-si Vz = 0 → 
 
 
 
 
 
- si Vy = 0 → 
 
 
 
 
A 
z 
y 
z 
G 
e 
t(z) 
f 
Fig.5.32 
τxz>0 ∫∫ ==
A
y
A
z dAzzQdAyzQ .)(.)(
los momentosestáticosdelárea rayada A
respectode losejes ze y respectivamente
. ( ) . ( )
( ). ( ).
y z z y
xz
z y
V Q z V Q z
t z I t z I
τ = +
. ( ) . ( )
( ). ( ).
y z z y
xy
z y
V Q y V Q y
t y I t y I
τ = +
. ( )
( ).
y z
xy
z
V Q y
t y I
τ =
. ( )
( ).
y z
xz
z
V Q z
t z I
τ =
. ( )
( ).
z y
xy
y
V Q y
t y I
τ =
. ( )
( ).
z y
xz
y
V Q z
t z I
τ =
(5.25) 
(5.26) 
(5.27) 
0 "su sentidoesentranteen elárea rayada"
0 "su sentidoessalientedelárea rayada"
xz
xz
τ
τ
> →
< →
Tema 5: Flexión: Tensiones 
28 
 
5.4.3-TENSIONES CORTANTES EN SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO 
ESPESOR 
 
Las barras que se utilizan en las estructuras metálicas suelen tener secciones de pequeño 
espesor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se consideranincluidas en este grupo todas las secciones en las que se cumpla: 
 
 
 
El cálculo de las tensiones cortantes en este tipo de secciones, presenta algunas diferencias 
con respecto al de las secciones macizas visto anteriormente. 
 
Cálculo de la tensión cortante ττττxs: 
 
Tomemos una rebanada dx de una viga de sección abierta de pequeño espesor sometida a 
Flexión Simple. En ambos extremos de la misma se sitúan los Momentos Flectores y Fuerzas 
Cortantes correspondientes. Se trata de calcular las τxs en los puntos de una línea cualquiera 
ab, perpendicular a la línea media, que se encuentran a una distancia s de uno de los extremos 
abiertos de la sección. Para ello se supondrá que τxs = cte a lo largo de todos los puntos de 
dicha línea y sus direcciones son perpendiculares a la misma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h h 
b b 
tw 
tw 
tf tf 
Fig.5.33 
d d 
10. 10.w fh t b t≥ ≥
Vy 
Vz 
My 
Mz 
y 
x 
z 
G 
s 
Vy+dVy 
Vz+dVz 
My+dMy 
Mz+dMz 
n>0 
n<0 
dx 
a 
b c τxs 
Fig.5.34.a 
 Sección 5.4.3: Tensiones cortantes en secciones abiertas de pequeño espesor 
 29 
 
 
 
Seccionando el elemento diferencial por el plano abcd y estableciendo el equilibrio de fuerzas 
en dirección del eje x, del trozo inferior resultante, se tendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y siguiendo a partir de ahora un desarrollo similar al realizado en el cálculo de las tensiones 
cortantes en secciones de gran espesor, se obtendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 siendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observación: en la sección de n>0 se cumple: 
 
 
 
 
 
 
 
s 
dx 
a 
b c 
d 
σx 
σx+dσx 
τsx 
t(s) 
dA 
Fig.5.34.b 
( )0 . . . ( ). yoperando:x x x x sxA AF d dA dA t s dxσ σ σ τ= → + = +∑ ∫ ∫
. . ( ). . . ( )xx sx sxA A
d
d dA t s dx dA t s
dx
σσ τ τ= → =∫ ∫
2
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( )
( ). .
y y z zy y z z y zy z
xs
z y zy
V I Q s I Q s V I Q s I Q s
t s I I I
τ
   − + −   =
 − 
(5.28) 
a 
b 
s 
y 
z G 
A 
Fig.5.34.c 
τxs>0 
∫∫ ==
A
y
A
z dAzsQdAysQ .)(.)(
los momentosestáticosdelárea rayada A
respectode losejes ze y respectivamente
0 "su sentidoesentranteen elárea rayada"
0 "su sentidoessalientedelárea rayada"
xs
xs
τ
τ
> →
< →
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
30 
 
 
CASOS PARTICULARES: 
 
 
Caso Particular 1º: 
 
 “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” 
 
En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual la ecuación 5.28 será: 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 2º: 
 
“Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además una de las Fuerzas 
Cortantes es cero” 
 
 
 
-si Vz = 0 → 
 
 
 
 
 
- si Vy = 0 → 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. ( ) . ( )
( ). ( ).
y z z y
xs
z y
V Q s V Q s
t s I t s I
τ = + (5.29) 
. ( )
( ).
y z
xs
z
V Q s
t s I
τ =
. ( )
( ).
z y
xs
y
V Q s
t s I
τ =
(5.30) 
(5.31) 
 Sección 5.4.4: Tensiones cortantes en secciones cerradas de pequeño espesor 
 31 
5.4.4-TENSIONES CORTANTES EN SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO 
ESPESOR 
 
Cálculo de la tensión cortante ττττxs: 
 
Tomemos una rebanada dx de una viga de sección cerrada de pequeño espesor sometida a 
Flexión Simple. En ambos extremos de la misma se sitúan los Momentos Flectores y Fuerzas 
Cortantes correspondientes. Se trata de calcular las τxs en los puntos de una línea cualquiera 
ab, perpendicular a la línea media, que se encuentran a una distancia s de una línea aobo, 
también perpendicular a la línea media, que se tomará como referencia. Para ello se supondrá 
que τxs = cte a lo largo de todos los puntos de la línea ab, de espesor t(s), siendo sus 
direcciones perpendiculares a la misma y que igualmente ocurrirá con las tensiones τxso = cte 
en los puntos de la línea de referencia aob, de espesor t(so) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seccionando el elemento diferencial por el plano abcd y por el aobocodo, y estableciendo el 
equilibrio de fuerzas en dirección del eje x, del trozo resultante, se tendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y sustituyendo el valor de dA
dx
d
A
x .∫
σ
 obtenido en la sección 5.4.3: 
 
My 
Vz 
Mz 
Vy+dVy 
Vz+dVz 
My+dMy 
Mz+dMz 
x G n>0 
n<0 
s τxso 
τxs 
y 
z 
a 
b 
a0 
b0 
Fig.5.35.a 
Vy dx 
a 
a0 
b 
b0 
s dx 
σx 
σx+dσx 
τsx 
τsox 
t(s) 
c 
d 
co 
do 
t(so) 
dA 
Fig.5.35.b 
( )0 . . ( ). . . ( ).x x x sox o x sxA AF d dA t s dx dA t s dxσ σ τ σ τ= → + + = +∑ ∫ ∫
.. . ( ). . ( ).x sox o sxA d dA t s dx t s dxσ τ τ+ = →∫ )(.)(... sesedAdx
d
sxosoxA
x ττσ =+∫
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
32
 
 
 
 
Observación: en esta expresión se observa que para poder calcular τsx se deberá antes conocer 
τsox. Ésto no ocurría en las secciones abiertas de pequeño espesor, pues en ellas tan sólo era 
necesario dar un corte para aislar el elemento diferencial y estudiar sobre él, el equilibrio de 
fuerzas, con lo cual se obtenía una ecuación con una sola incógnita: τsx, y se la podía calcular 
directamente. 
 
Cálculo de una tensión de referencia: τsox 
 
El cálculo de una tensión de referencia τsox se obtiene a partir de la siguiente propiedad: “ la 
suma de las deformaciones angulares γxs a lo largo de toda la línea media de una sección 
cerrada de pequeño espesor es cero” 
 
 
 
 
 
y sustituyendo τxs =τsx por su valor obtenido de la ecuación (5.32): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0
. 0 y por la leydeHooke : . 0
s s
xs
xs ds dsG
τγ = → =∫ ∫
2
0 0
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( ). ( )
. . 0
( ). ( ). .( . )
como : cte, ( ) cte y eliminando G :
s s
y y z zy y z z y zy zsox o
y z zy
sox o
V I Q s I Q s V I Q s I Q st s
ds ds
t s G t s G I I I
t s
τ
τ
   − + −   + =
−
= =
∫ ∫
2
0 0
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( )
. ( ). . 0
( ) ( ).( . )
y despejando finalmente :
s s
y y z zy y z z y zy z
sox o
y z zy
sox
V I Q s I Q s V I Q s I Q sds
t s ds
t s t s I I I
τ
τ
   − + −   + =
−∫ ∫
0 0 0 0
2
0
0
( ) ( )( ) ( )
. . . . . . . . . .
( ) ( ) ( ) ( )
( ).( . )
( )
s s s s
y yz z
y y zy z z zy
z y zy
sox xsos
Q s Q sQ s Q s
V I ds I ds V I ds I ds
t s t s t s t s
t s I I I
ds
t s
τ τ
   
− + −   
   −
−
= =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
(5.33) 
2
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( )
. ( ) . ( ) (5.32)
.
y y z zy y z z y zy z
sx sox o
z y zy
V I Q s I Q s V I Q s I Q s
t s t s
I I I
τ τ
   − + −   = +
−
 Sección 5.4.4: Tensiones cortantes en secciones cerradas de pequeño espesor 
 33 
 
 
Una vez obtenida de esta forma τsox, sustituyendo su valor en la ecuación(5.33) se obtendría 
el valor de la tensión que se quería calcular: τxs = τsx 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASOS PARTICULARES: 
 
 
Caso Particular 1º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección” 
 
En éste caso se deberá cumplir: Izy = 0, con lo cual las ecuaciones 5.33 y 5.34 serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 2º: “Los ejes y,z son los Ejes Principales de inercia de la sección y además 
una de las Fuerzas Cortantes es cero” 
 
Por ejemplo: caso de Vz = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Particular 3º: 
0
2
. . ( ) . ( ) . . ( ) . ( ). ( )
( ) ( ).( . )
y y z zy y z z y zy zxso
xs
z y zy
V I Q s I Q s V I Q s I Q st s
t s t s I I I
ττ
   − + −   = +
−
(5.34) 
0 0
0 0
0
( )( )
. . . .
( ) ( )
( ). ( ).
( )
s s
yz
y z
z y
xso s
Q sQ s
V ds V ds
t s t s
t s I t s I
ds
t s
τ
+
= −
∫ ∫
∫
(5.37) 
0
. ( ) . ( ). ( )
( ) ( ). ( ).
y z z yxso
xs
z y
V Q s V Q st s
t s t s I t s I
ττ = + + (5.36) 
(5.35) 
0
0
0
( )
. .
( )
( ).
( )
s
z
y
z
xso s
Q s
V ds
t s
t s I
ds
t s
τ = −
∫
∫
0
. ( ). ( )
( ) ( ).
y zxso
xs
z
V Q st s
t s t s I
ττ = + (5.38) 
 Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
34
 
 “Si el eje y es de simetría y sólo hay Vy” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso las ecuaciones anteriores se simplifican, pues se demuestra que en los puntos de 
corte de la sección con el eje y la tensión cortante es cero. 
 
 
Así pues tomando dichos puntos como referencia, en ellos será: 
 
con lo cual la tensión cortante en cualquier otros puntos será: 
 
 
 
 
 
siendo Qz(s) el momento estático del área rayada respecto del eje z 
 
 
Fórmulas análogas se obtendrían si el eje z fuese de simetría y sólo hubiese Vz 
 
Y finalmente si ambos ejes: y, z, fuesen de simetría y hubiese Vy y Vz, las fórmulas se 
obtendrían por el Principio de Superposición de los Efectos, estudiando cada caso por 
separado y sumando los valores obtenidos en ambos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
τxso =0 
. ( )
( ).
y z
xs
z
V Q s
t s I
τ = (5.40) 
Vy 
y 
z 
τxs 
τxso = 0 
τxso = 0 
Fig.5.36 
(5.39) 
 Sección 5.4.5: Centro de fuerzas cortantes 
 35 
5.4.5-CENTRO DE FUERZAS CORTANTES 
 
Sea una viga con sección abierta de pequeño espesor y sea F la Resultante de las fuerzas 
exteriores aplicada en el punto G de la sección indicada en la Fig. (5.37). La fuerza cortante 
en dicha sección será pues: Vy = F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La distribución de tensiones cortantes τxs en las alas y en el alma de la sección, aplicando la 
ecuación (5.30) será la indicada en la Fig. (5.38.a): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La suma de las tensiones cortantes en el alma τxs = τxy dará lugar a una resultante que será Vy, 
y las de las alas: τxs = τxz, darán lugar a unas resultantes Vz. (Fig.5.38.b). 
 
Llevando la acción de estas resultantes de las fuerzas interiores: Vy y Vz, al centro de 
gravedad G de la sección, darán lugar a una Resultante: Vy (la suma de las Vz será cero, al 
ser iguales, de la misma dirección, pero de sentidos contrarios), y un Momento Resultante: 
M x = Vz.h + Vy.c que produce una Torsión en la sección (Fig. 5.38.c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
G 
Vext = F 
Vy = Rint = F 
x 
Fig.5.37 
z 
y 
G 
Vy 
Vz 
Fig.5.38.b. 
h 
c 
Vz 
z 
y 
G 
Vy 
Mx = Vz.h + Vy.c 
Fig.5.38.c 
z 
y 
G 
τxs = τxz 
τxs = τxz 
τxs = τxy 
Vy 
Fig.5.38.a 
⇒ 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
36
Este efecto inesperado de la Torsión que producen las tensiones cortantes y al que tan 
sensibles son este tipo de secciones abiertas y de pequeño espesor (tienen muy poca rigidez a 
la torsión), se podrá evitar si se aplican las fuerzas exteriores, en lugar de en el centro de 
gravedad G de la sección, en un punto C al que llamaremos “Centro de Fuerzas Cortantes”. 
 
Calculemos a continuación la posición del Centro de Cortantes ( C ), para la sección dada. 
Para ello se situarán las fuerzas exteriores que actúen sobre la viga, de modo que la Resultante 
de las mismas pase por un punto C sobre el eje z y a una distancia d del centro de gravedad G 
de la sección. (Fig.5.39.a). Para ver el efecto que dicha Resultante provoca en G, la 
trasladamos a dicho punto, dando lugar a una fuerza: F y un momento: F.d. (Fig. 5.39.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pero al estar la Resultante de las fuerzas exteriores F, aplicada ahora en el punto G, (Fig. 
5.39.b) , F, esta fuerza sólo, por lo visto anteriormente, provocará unas fuerzas internas que 
daban lugar a la fuerza y al momento indicados (Figs.5.40.a y b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si situamos el punto C a una distancia d del punto G, tal que se consiga que el momento 
torsor exterior: Mx, sea igual y de sentido contrario al provocado por las fuerzas internas: Mx , 
se habrá conseguido anular éstas, es decir se habrá anulado el efecto de la Torsión en la 
sección 
 
 ⇒ 
 
 
con ello queda localizada la posición del punto C (Centro de fuerzas cortantes), para este tipo 
de sección 
 
z 
y 
G C 
d 
Vext = F 
Fig.5.39.a 
⇒ z 
y 
G C 
d 
Fig.5.39.b
b 
Vext = F 
Mx = F.d 
z 
y 
G 
Vext = F 
Vy = Rint = F 
x 
Fig.5.40.a 
z 
y 
G 
Ry 
Mx = Vz.h + Vy.c 
Fig.5.40.b 
⇒ 
F.d = Vz.h + Vy.c 
. .z yV h V cd
F
+
= (5.41) 
 Sección 5.4.5: Centro de fuerzas cortantes 
 37 
Observaciones: 
 
Para otros tipos de secciones, los Centros de Cortantes serán: 
 
a) Secciones abiertas de pequeño espesor con dos ejes de simetría 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Secciones abiertas de pequeño espesor con sólo un eje de simetría 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Secciones abiertas de pequeño espesor sin ejes de simetría 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
C ≡ G 
Fig.5.43 
z 
y 
C ≡ G 
Fig.5.4
1 
z 
y 
G 
C 
Fig.5.42.b 
z 
y 
G C 
d 
Fig.5.42.a 
z 
y 
C 
G 
Fig.5.42.c 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
38
5.5-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS 
METÁLICAS SOLICITADAS A FLEXIÓN ( Normativa DB-SE-A ) 
 
5.5.1.-RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A FLEXIÓN PURA: MOMENTOS 
FLECTORES 
 
1.-Criterio elástico de dimensionamiento: 
 
Según vimos en la sección 3.7: “La resistencia elástica de una sección se obtendrá cuando en 
un punto de la misma se alcance la tensión del límite elástico fy.” 
 
Caso de una sección solicitada por un momento flector Mz: 
 
Al momento flector Mz que produce la tensión del límite elástico fyd en los puntos más 
alejados de la línea neutra, se le denomina: Mzel,d y representa la resistencia elástica de una 
sección a la flexión Mz.. Calculemos su valor: 
 
La distribución de tensiones normales σx para este caso será, (ver fig.5.44): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues para la comprobación a resistencia elástica de una sección trabajandoa Flexión Pura: 
Mz, se aplicará la fórmula: 
 
 
 
Mz
* (carga mayorada) = Mz.γ : 
G x 
z 
y 
n 
n 
σMAX (COMPRESIÓN) = fyd 
σMAX (TRACCIÓN) = fyd 
Fig.5.44 
Mz = Mzel,d 
, , ,
max
.zel d MAX zel d zel d
X yd
zz zel
MAX
M y M M
f
II W
y
σ = = = = →
*
, .z zel d zel ydM M W f≤ =
, .zel d zel ydM W f= (5.42) 
, z
z
max
siendo:
:"resistencia elástica de la sección a la flexión M "
:"módulo resistente elástico a la flexión M "
zel d
z
zel
M
IW y=
(5.43) 
 Sección 5.5: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas solicitadas a flexión 
 39 
Mz: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos 
γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) 
 
Caso de una sección solicitada por un momento flector My: 
 
De forma similar al caso anterior llegaríamos a los siguientes resultados: 
 
La distribución de tensiones normales σx para este caso será ahora (ver fij.5.45): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues para la comprobación a resistencia elástica de una sección trabajando a Flexión Pura: 
My, se aplicará la fórmula: 
 
 
 
My
* (carga mayorada) = My.γ 
My: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos 
γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) 
 
Observación: Los módulos resistentes elásticos Wzel, Wyel, para el caso de series de perfiles 
normalizados se pueden obtener en las tablas correspondientes a los mismos. En caso de 
perfiles no normalizados se obtendrán a partir de sus expresiones respectivas.. 
 
Caso de los Momentos Flectores: Mz y My actuando simultáneamente: 
 
En este caso la normativa propone la siguiente fórmula de cálculo: 
 
 
G x 
z 
y 
n 
n 
σMAX (COMPRESIÓN) = fyd 
σMAX (TRACCIÓN) = fyd 
My = Myel,d 
Fig.5.45 
*
, .y yel d yel ydM M W f≤ =
**
, ,
1yz
zel d yel d
MM
M M
+ ≤
, , ,
max
.yel d MAX yel d yel d
X yd
yy yel
MAX
M z M M
f
II W
z
σ = = = = →
, .yel d yel ydM W f= (5.44) 
, y
y
max
siendo:
:"resistencia elástica de la sección a la flexión M "
:"módulo resistente elástico a la flexión M "
yel d
y
yel
M
I
W z=
(5.45) 
(5.46) 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
40
2.-Criterio plástico de dimensionamiento: 
 
Según vimos en la sección 3.7: “La resistencia plástica de una sección se obtendrá cuando en 
todos los puntos de la misma se alcance la tensión del límite elástico fy.” 
 
Caso de una sección solicitada por un momento flector Mz: 
 
Al momento flector Mz que produce la tensión del límite elástico fyd en todos puntos de la 
sección, se le denomina: Mzpl,d y representa la resistencia plástica de una sección a la flexión 
Mz. Calculemos su valor: 
 
La distribución de tensiones normales σx para este caso será, (ver fig.5.46): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener la resistencia plástica Mzpl,d de la sección se procederá del siguiente modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues para la comprobación a resistencia plástica de una sección trabajando a Flexión 
Pura: Mz, se aplicará la fórmula: 
 
 
 
Mz
* (carga mayorada) = Mz.γ : 
Mz: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos 
γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) 
 
 
G x 
z 
y 
n 
n 
σ(COMPRESIÓN) = fyd 
σ (TRACCIÓN) = fyd 
Mz = Mzpl,d 
Fig.5.46 
,
/ 2
0 . . (como = = cte) . .
.2. . .
G zpl d yd ydA A
yd zpl ydA
M M dA y f f y dA
f y dA W f
σ σ= → = = = =
= =
∑ ∫ ∫
∫
*
, .z zpl d zpl ydM M W f≤ =
, .zpl d zpl ydM W f= (5.47) 
, z
z/ 2
siendo:
:"resistencia plástica de la sección a la flexión M"
2. . :"módulo resistente plástico a la flexión M "
zpl d
zpl A
M
W y dA= ∫
(5.48) 
 Sección 5.5: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas solicitadas a flexión 
 41 
Caso de una sección solicitada por un momento flector My: 
 
De forma similar al caso anterior llegaríamos a los siguientes resultados: 
 
La distribución de tensiones normales σx para este caso será, (ver fig.5.47): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener la resistencia plástica Mypl,d de la sección se procederá del siguiente modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues para la comprobación a resistencia plástica de una sección trabajando a Flexión 
Pura: My, se aplicará la fórmula: 
 
 
 
My
* (carga mayorada) = My.γ : 
My: momento flector que solicita a la sección, que se obtiene de los diagramas de esfuerzos 
γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) 
 
 
Caso de los Momentos Flectores: Mz y My actuando simultáneamente: 
 
En este caso la normativa propone la siguiente fórmula de cálculo: 
 
 
 
 
G x 
z 
y 
n 
n 
σMAX (COMPRESIÓN) = fyd 
σMAX (TRACCIÓN) = fyd 
My = Mypl,d 
Fig.5.47 
*
, .y ypl d ypl ydM M W f≤ =
**
, ,
1yz
zpl d ypl d
MM
M M
+ ≤
,
/ 2
0 . . (como = = cte) . .
.2. . .
G ypl d yd ydA A
yd ypl ydA
M M dA z f f z dA
f z dA W f
σ σ= → = = = =
= =
∑ ∫ ∫
∫
, .ypl d ypl ydM W f= (5.49) 
(5.50) 
(5.51) 
, y
y/ 2
siendo:
:"resistencia plástica de la sección a la flexión M"
2. . : "módulo resistente plástico a la flexión M "
ypl d
ypl A
M
W z dA= ∫
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
42
Observación: Los módulos resistentes plásticos Wzpl, Wypl, al igual que los elásticos, se 
obtendrán: En el caso de series de perfiles normalizados, en las tablas correspondientes a los 
mismos y en el caso de perfiles no normalizados, a partir de las expresiones respectivas 
obtenidas para los mismos. 
 
Ejemplo 1: Sección rectangular 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Sección circular 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 3: IPE-300 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
b 
h G 
3 3
2 2
max max
2
( / 2) ( / 2)/ 2
2
( / 2) ( / 2)/ 2
. .
. .12 12
6 6
2 2
. .
2. . 2. . 2. .
4 2 4
. .
2. . 2. . 2. .
4 2 4
yz
zel yel
zpl G A AA
ypl G A AA
b h h b
II b h h b
W W
h by z
h b h b h
W y dA y A
b b h h b
W z dA z A
= = = = = =
= = = =
= = = =
∫
∫
3
3
3
3
(tablas) 557,1 mm
(tablas) 80,5 mm
(tablas) 628,4 mm
(tablas) 125,2 mm
zel
yel
zpl
ypl
W
W
W
W
= =
= =
= =
= =
z 
y 
R 
4
3
max
2
3
( / 2) ( / 2)/ 2
.
.4
4
(porsimetría)
4. . 4
2. . 2. . 2. . .
3. 2 3
(porsimetria)
z
zel
yel zel
zpl G A AA
ypl zpl
R
I R
W
y R
W W
R R
W y dA y A R
W W
π
π
π
π
= = =
= =
= = = =
= =
∫
 Sección 5.5: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas solicitadas a flexión 
 43 
3.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: 
 
Si aplicásemos el criterio de dimensionamiento de Von-Mises (sección 3.7), llegaríamos al 
mismo resultado que con el criterio elástico de dimensionamiento. 
 
En efecto, la fórmula de Von Mises es: 
 
Caso del Momento Flector: Mz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso del Momento Flector: My: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso de los Momentos Flectores: Mz y My actuando simultáneamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: La Normativa indica las clases de seccionesa las que aconseja aplicar el cálculo 
elástico o el plástico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*2 *23.co ydfσ σ τ= + ≤
* * *
* *max
max
*
*
.
siendo : 0 ysustituyendo
/
.
z z z
z z zel
z
co yd z zel yd
zel
M y M M
I I y W
M
f M W f
W
σ τ
σ
= = = =
= ≤ → ≤
* * *
max* *
max
*
*
.
siendo : 0 ysustituyendo
/
.
y y y
y y yel
y
co yd y yel yd
yel
M z M M
I I z W
M
f M W f
W
σ τ
σ
= = = =
= ≤ → ≤
* * ** * *
max* *max
max max
* * ** * *
, ,
..
siendo : 0
/ /
ysustituyendo
1 1
. .
y y yz z z
z y z y zel yel
y y yz z z
co yd
zel yel zel yd yel yd zel d yel d
M z M MM y M M
I I I y I z W W
M M MM M M
f
W W W f W f M M
σ τ
σ
= + = + = + =
= + ≤ → + ≤ → + ≤
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
44
5.5.2.-RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A CORTADURA 
 
Para el cálculo debido a las Fuerzas Cortantes, la normativa propone un cálculo plástico de las 
mismas suponiendo unas distribuciones de tensiones cortantes uniformes. 
 
1.-Criterio plástico de dimensionamiento: 
 
El estudio se hará indistintamente para las cortaduras: Vy o Vz y la denominaremos en 
general: V 
 
A la fuerza cortante V que producen la tensión cortante del límite elástico τyd en todos puntos 
de la sección, se le denomina: Vpl,d y representa la resistencia plástica de una sección a la 
cortadura V. Calculemos su valor: 
 
Según vimos en la sección 3.7, en el criterio de dimensionamiento de Von Mises, la tensión 
cortante en el límite elástico tenía el siguiente valor : 
 
 
 
 
Si suponemos, como dijimos antes, una distribución uniforme de las tensiones cortantes a lo 
largo de la sección, tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener la resistencia plástica de la sección a esfuerzos cortantes, se procederá del 
siguiente modo: 
 
 
 
(ver ecuación 3.27)
3
yd
yd
f
τ =
Vpl,d 
τ = τyd = fyd/√3 = 
cte 
Fig.5.48 
, yd0 . (como cte) . (y por la ecuación 3.27)
.
3
v v
pl d ydA A
yd
v
F V dA dA
f
A
τ τ τ τ= → = = = = = = =
=
∑ ∫ ∫
 Sección 5.5: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas solicitadas a flexión 
 45 
 
Quedará pues: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Secciones macizas de gran espesor: rectangulares, circulares,……. 
 
Av = A (área de la sección) 
 
• Perfiles abiertos de pequeño espesor: IPE, HEB, UPN,………. 
 
Con cortadura Vy: Av = Área del alma del perfil 
 
Con cortadura Vz: Av = Área de las alas del perfil 
 
• Perfiles cerrados de pequeño espesor circulares: 
 
Av = A.2/π 
 
• Perfiles cerrados de pequeño espesor rectangulares: 
 
Con cortadura Vy: Av = Área de las almas de los perfiles 
 
Con cortadura Vz: Av = Área de las alas de los perfiles 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, .
3
yd
pl d v
f
V A= (5.52) 
,
siendo:
:"resistencia plástica de la sección a la cortadura V"
:"área de la sección a considerar, según el tipo de la misma":
pl d
v
V
A
h 
b 
tw 
tf 
d 
Vy → Av ≈ h.tw 
 
Vz → Av ≈ A-.d.tw 
 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
46
Así pues para comprobar la resistencia plástica de una sección a cortadura: 
 
 
 
 
 
 
V* (carga mayorada) = fuerza cortante que solicita a la sección, que se obtiene de los 
diagramas de esfuerzos 
γ : coeficiente de seguridad para las cargas, (ver tabla 3.2) 
 
 
2.-Criterio de Von Mises de dimensionamiento: 
 
Si aplicásemos el criterio de dimensionamiento de Von-Mises (sección 3.7), sólo para las 
Fuerzas Cortantes, llegaríamos al mismo resultado que con el criterio plástico de 
dimensionamiento visto anteriormente. 
 
En efecto, la fórmula de Von Mises es: 
 
*
* *
*
*
: 0 (sup )
: 3. .
3
v
yd
yd v
v
V
siendo oniendo distribuciónuniforme
A
fV
y sustituyendo f V A
A
σ τ= = =
≤ → ≤
 
 
 
 
5.5.3.-RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A FLEXIÓN SIMPL E: MOMENTOS 
FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES 
 
Se estudiarán los dimensionamientos vistos para los Momentos Flectores y para las Fuerzas 
Cortantes separadamente y si se cumple que: 
 
 
 
 
 
Esto ocurrirá en la mayoría de los casos y en el caso de que no se cumpliese habría que hacer 
una nueva comprobación combinando el Momento flector con la Fuerza Cortante (ver 
Normativa DB-SE-A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
*
, .
3
yd
pl d v
f
V V A≤ =
*2 *23.co ydfσ σ τ= + ≤
(5.53) 
*
,
1 1
. . . nohabrá quehacer mascomprobaciones
2 2 3
yd
pl d v
f
V V A≤ = →
 Sección 5.5: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas solicitadas a flexión 
 47 
5.5.4.-RESISTENCIA DE LAS BARRAS METÁLICAS A FLEXIÓ N 
 
Al considerar ahora la barra en su conjunto, se tendrán que hacer nuevas comprobaciones: 
 
1.- Comprobación del Pandeo Lateral debido a la flexión: al tener la viga zonas comprimidas, 
si éstas no presentan una rigidez suficiente, la viga, si no está suficientemente rigidizada 
lateralmente, podrá flexar lateralmente al mismo tiempo que torsionarse. Esto puede ocurrir 
en vigas metálicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.-Comprobación de la rigidez del alma de una barra bajo cargas concentradas 
 
3.-Abolladura del alma por cortante 
 
Ëstas comprobaciones son objeto de estudio en otras asignaturas. (Ver la Normativa española 
sobre Estructuras de acero en la edificación: DB-SE-A) 
 
Para otros materiales existen las Normativas específicas: caso del Hormigón y madera 
 
 
 
 
 
⇒ 
Fig.5.49.a 
Fig.5.49.b 
Tema 5: Flexión: Tensiones 
 
 
48
 
OBSERVACIONES: 
 
Para efectuar el dimensionamiento completo de una viga que trabaje a Flexión habrá que 
realizar, además del dimensionamiento a resistencia que se acaba de ver, la comprobación a 
rigidez: limitación de la flecha máxima. (Se verá en el capítulo siguiente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ymax 
Fig.5.50 
Tema 6: Flexión: Deformaciones 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 6: FLEXIÓN: DEFORMACIONES 
x 
y 
+ 
Tema 6: Flexión: Deformaciones 
2 
 
6.1.- INTRODUCCIÓN 
 
Las deformaciones hay que limitarlas al igual que las tensiones, bien por razones de 
seguridad, de mantenimiento o simplemente de estética. 
Así, en numerosos casos, los elementos estructurales se dimensionarán aparte de a 
Resistencia, limitando sus tensiones máximas, (tal y como hemos visto en el tema 
anterior), a RIGIDEZ, haciendo que las deformaciones máximas no sobrepases unos 
determinados valores admisibles. 
En diferentes normativas se fijan los valores admisibles de las deformaciones para 
diferentes elementos estructurales. 
Con el estudio de las deformaciones de una viga a Flexión, calcularemos los GIROS (θz 
, θy ) que sufren las secciones transversales alrededor del eje neutro y las FLECHAS o 
DESPLAZAMIENTOS (y, z) de sus centros de gravedad. 
 
 Flexión en plano xy Flexión en plano xz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los métodos que desarrollaremos para el cálculo de las deformaciones son los 
siguientes: 
• Método de la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica 
• Método de la Ecuación Universal de la Línea Elástica 
• Método de los Teoremas de Mohr 
• Método energéticodel Teorema de Castigliano 
• Método energético de los Trabajos Virtuales 
 
Observación: Los dos métodos energéticos los estudiaremos más adelante, en el tema 
9º, dado que son métodos de cálculo más generales y tienen su aplicación en el estudio 
de las deformaciones, no sólo a Flexión, sino también en los casos de Tracción, 
Compresión, Torsión, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
y 
z 
x 
θz 
z 
z 
y 
x 
θy 
Fig.6.1 
Sección 6.2: Método de la Ecuación Diferencial de la Elástica 
 3 
 
6.2.-MÉTODO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA ELÁSTI CA 
 
Consideremos la viga de la figura sometida a Flexión Simple (Ry, Mz) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según vimos en la sección 5.3.3. se denomina línea elástica: “al eje x de la viga (el que 
pasa por los centros de gravedad de todas las secciones transversales), una vez 
deformado”. 
Tratemos ahora de calcular su ecuación: y = y(x) 
 
Vimos también en dicha sección, que para el caso de Flexión Pura (sólo momentos 
flectores), el radio de curvatura de la línea elástica venía dado por la ecuación (5.20): 
 
1
.
z
z
M
r E I
= 
pues bien, para el caso de la Flexión Simple (momentos flectores y fuerzas cortantes), 
podremos utilizar la misma fórmula del radio de curvatura, pues la influencia que 
ejercen las fuerzas cortantes es pequeña y la podremos despreciar en la mayoría de los 
casos. 
 
Por otra parte sabemos por Matemáticas que el radio de curvatura de una curva se puede 
obtener de la expresión: 
 
2
2
3/ 22
1
(6.1)
1
d y
dx
r dy
dx
=
  +  
   
 
igualando las expresiones del radio de curvatura: 
 
2/32
2
2
1













+
dx
dy
dx
yd
= (6.2)
.
z
z
M
E I
 
expresión obtenida que representa la “ecuación diferencial de la línea elástica” 
 
La integración de esta ecuación diferencial, no lineal, presenta grandes dificultades y 
dado que en la mayoría de los casos las deformaciones que se van a presentar, son 
pequeñas, podremos hacer las siguientes simplificaciones: 
 
 
 
 y = y(x) Línea elástica 
 x y 
 x 
 Fig.6.2 
Tema 6: Flexión: Deformaciones 
4 
 
(para pequeñas deformaciones) Giros de las seccionesz z
dy
tag
dx
ϑ ϑ= ≅ → 
 
si las deformaciones son pequeñas: θz es pequeño → tag θz es pequeño → dy/dx es 
pequeño → 11
2
≅




+
dx
dy
 y haciendo esta aproximación en la ecuación (6.2) quedará: 
2
2
(6.3) o bien: (6.4)
. . .
z z z z
z z z
M M d Md y d dy
dx E I dx dx E I dx E I
ϑ = = → = 
 
 
 
Observación: con el sistema de ejes coordenados adoptado en el tema 5.2 para las vigas 
a flexión, resultará que: 
 
00
00
2
2
2
2
>→<
<→>
dx
yd
Msi
dx
yd
Msi
z
z
 
 
En efecto, supongamos: Mz >0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 1 2 1
2
2
0 y además según se ve en la fig.6.4 : 0
con lo cual se cumplirá : 0 o lo que es lo mismo : 0
si x x dx d
d d y
dx dx
ϑ ϑ ϑ
ϑ
> → > < → <
< <
 
y lo mismo se comprobaría para el caso: Mz<0. 
 
 y = y(x) 
 y 
 x 
 tangente 
 θz 
 θz 
 Fig.6.3 
 y 
 x 
 tag1 
 θ1 
 x1 
 x2 
 tag2 
 θ2 
 Fig.6.4 
Sección 6.2: Método de la Ecuación Diferencial de la Elástica 
 5 
En virtud de ello en las ecuaciones (6.3) y (6.4) deberemos introducir un signo (-) 
quedando finalmente como Ecuación diferencial de la línea elástica : 
 
 
(6.5) o bien: (6.6) 
 
 
 
OBSERVACIONES: 
 
1.- Integrando una vez la Ecuación diferencial de la línea elástica obtendremos los Giros 
θz (ver ecuación 6.6). Si integramos dos veces dicha ecuación obtendremos las Flechas 
y de los centros de gravedad de cada sección (ver ecuación 6.5) o lo que es lo mismo la 
Ecuación de la línea elástica: y = y(x) 
 
2.- La ecuación de la línea elástica: y = y(x), es una función continua (ver figura 6.5.a). 
Si fuera discontinua (ver figura 6.5.b), es que se habría roto 
 
 
 
3.- La ecuación de los giros: θz = θz (x), es también una función continua. Sería 
discontinua sólo si la elástica presentase un punto anguloso (ver fig.6.5.c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En un punto anguloso se ha de verificar: ∞=
r
1
 ,entonces la ecuación (5.20), antes 
mencionada, quedará: ∞==
z
z
IE
M
r .
1
 y para que esto se cumpla ∞=→ zM . Pero 
éste valor nunca se va a dar. 
 
4.- La ecuación diferencial de la elástica 
2
2
dx
yd
 será discontinua en los puntos en que 
Mz sea discontinuo. 
z
z
IE
M
dx
yd
.2
2
−= 
z
zz
IE
M
dx
d
.
−=
ϑ
 
Fig.6.5.a Fig.6.5.b 
tag θ1 tag 1 
 θ2 
 θ1 
punto anguloso 
tag 2 
Fig.6.5.c 
Tema 6: Flexión: Deformaciones 
6 
5.- Si en una sección de una viga es Mz = 0, la elástica presentará un punto de inflexión 
en dicho punto 
 
 
 
 
 
6.- Si la viga hubiese estado sometida a flexión simple en el plano xz: Rz, My, las 
ecuaciones diferenciales (6.5) y (6.6) de la elástica serían: 
 
 
(6.7) (6.8) 
 
 
 
7.- Si la viga estuviese sometida a flexión en ambos planos: xy y xz habría que calcular 
por separado los giros y flechas relativos a ambos planos con las ecuaciones: (6.5), 
(6.6), (6.7), y (6.8) . A continuación se compondrían vectorialmente los giros: θz, θy y 
las flechas: y, z 
 
giro total: 22 yzyz ϑϑϑϑϑϑ +=+=
rrr
 
flecha total: 22 zyzy +=+= δδ rr
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
0 0 puntos de inflexión de la elástica ( )
.
z
z
Md y d y
y y x
dx E I dx
= − = → = → =
y
y
IE
M
dx
zd
.2
2
−= 
y
yy
IE
M
dx
d
.
−=
ϑ
 
y 
x 
z 
y 
z 
 δ 
Elástica en plano xy debida a la flexión Mz 
Elástica en plano xx debida a la flexión My 
Fig.6.6 
Sección 6.3: Método de los Teoremas de Mohr 
7 
6.3.-MÉTODO DE LOS TEOREMAS DE MOHR 
 
Primer Teorema de Mohr: 
 
El primer teorema de Mohr nos permite calcular el ángulo θAB que forman entre sí dos 
secciones A y B de una viga flexionada. Éste ángulo será el mismo que el que forman 
las tangentes a la elástica en los puntos A y B 
 
 
La ecuación diferencial de la elástica es, según ecuación 6.6: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (6.15) 
 
 
A 
B 
x 
θAB 
tag en A 
θAB 
θB 
θA 
tag en B 
x dx 
A B 
Mz 
y 
x 
Mz 
Fig.6.9 
.
. .
e integrando esta ecuación entre los puntos A y B :
. .
( ) ( ) o bien :
. .
z z z
z
z z
B B B
z z
z z z
z zA A A
d M M dx
d
dx E I E I
M dx M dx
d B A
E I E I
ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ
= − → = −
= − → − = −∫ ∫ ∫
∫=−=
B
A z
z
zzz IE
dxM
BAAB
.
.
)()()( ϑϑϑ
Tema 6: Flexión-Deformaciones 
8 
 
Caso particular: 
 
En el caso de que el módulo de rigidez de la viga sea constante: E.Iz = cte, la ecuación 
6.15. se podrá expresar también de la siguiente manera: 
 
 
 
(6.16) 
 
 
 
ecuación que nos dice: “el ángulo θz (AB) que forman entre sí dos secciones de la viga 
flexionada, es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y 
B: )( ABMS , dividido por el módulo de rigidez de la viga: E.Iz” 
 
Observaciones: 
 
1º.- En las expresiones del primer teorema de Mohr se consideran positivos los ángulos 
θz que vayan en sentido horario, siempre que la sección A esté situada a la izquierda de 
la sección B. 
 
2º.- En el caso de una viga en la que conozcamos una sección que no gire (por ejemplo 
casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa, 
el giro de cualquier otra sección de la misma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
.
( ) ( ) ( ) ( . cte)
. . .
AB
B
zB M
z A
z z z z
z z zA
M dx
M dx S
AB A B E I
E I E I E I
ϑ ϑ ϑ= − = = = = =
∫
∫
A 
B 
θB 
θA=0 
Fig.6.10 
(como 0)AB A B A Bϑ ϑ ϑ ϑ ϑ= − = = = −
Sección 6.3: Método de los Teoremas de Mohr 
 
 9 
 
Segundo Teorema de Mohr:El segundo teorema de Mohr nos da la distancia en vertical, δBA, que hay desde un 
punto B de la elástica a la tangente en otro punto A de la elástica. 
 
 
Para calcular δBA haremos lo siguiente: por dos puntos C y D de la elástica, muy 
próximos, situados a una distancia: x y x+dx respectivamente, trazamos las tangentes, 
las cuales interceptan al segmento BB´= δBA en el segmento diferencial B1B2, cuya 
longitud será: 
 
 
 
 
 
 
sumando las longitudes de los segmentos diferenciales B1B2 al mover los puntos C y D 
desde A hasta B, tendremos la longitud total δBA que queremos calcular. Así: 
 
 
 
 
y si finalmente se sustituye el valor absoluto de dθ obtenido en el primer teorema de 
Mohr: 
 
∫
−=
B
A z
Bz
BA IE
dxxxM
.
)..(δ
A 
B 
x 
tag en A 
δBA 
θ 
x 
A B 
Mz 
y 
x 
xA 
xB 
B´ 
B1 
B2 
C D 
tag en C 
tag en D 
dθ 
dx 
B0 
x dx 
xB - x 
Mz 
Fig.6.11 
(6.17) 
1 2 1 0 2 0
1 2
( ). ( ). ( )
y para el caso de pequeñas deformaciones
( ). ( ).( ) ( ).
B B
B B B
B B B B B B x x tag x x tag d
B B x x x x d x x d
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ ϑ ϑ
= − = − − − −
≅ − − − − = −
ϑδ dxxBB
B
A
BBA ).(´ −== ∫
Tema 6: Flexión: Deformaciones 
10 
Caso particular: 
 
En el caso de que el módulo de rigidez de la viga sea constante: E.Iz = cte, la ecuación 
6.17. se podrá expresar también de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
ecuación que nos dice: “la distancia en vertical: δBA que hay desde un punto B de la 
elástica a la tangente en otro punto A de la misma, es igual al momento estático 
respecto del primer punto B del área del diagrama de momentos flectores comprendida 
entre ambos puntos: ABMBQ , dividido por el módulo de rigidez a flexión de la viga: E.Iz” 
 
Observaciones: 
 
1º.- En las expresiones del segundo teorema de Mohr, cuando δBA>0, indicará que el 
punto B está situado por encima de la tangente en A, independientemente, en este caso, 
del orden en que estén situados los puntos A y B. 
 
2º.- En el caso de una viga en la que conozcamos una sección que no gire (por ejemplo 
casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa, 
la flecha en un punto cualquiera de la misma. 
 
 
3º.- Si la flexión de la viga fuera debida a un momento flector My y por tanto la elástica 
estuviera en el plano xz las expresiones de los teoremas de Mohr: (6.15), (6.16), (6.17) 
y (6.18), serían las mismas, sin más que cambiar: 
 
 Mz → My E.Iz → E.Iy 
 
y los giros y flechas obtenidos serían: 
 
 θz → θy y → z 
 
4º.- Si la flexión de la viga fuese debida a Mz y My conjuntamente se procedería de 
forma análoga a lo indicado para los otros dos métodos expuestos. 
.( ).
.( ).
( . cte)
. . .
AB
B
z BB M
z B A B
BA z
z z zA
M x x dx
M x x dx Q
E I
E I E I E I
δ
−
−= = = = =
∫
∫
A 
B 
tag en A 
x 
y 
δBA = yB 
Fig.6.12 
(6.18) 
Tema 7: Flexión: Hiperestaticidad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 7: FLEXIÓN: HIPERESTATICIDAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
Tema 7: Flexión: Hiperestaticidad 
7.1.- INTRODUCCIÓN 
 
Según vimos en la sección 4.4 una viga o una estructura se dice que es hiperestática 
cuando: 
 
2 
 
 
número de ecuaciones de equilibrio < número de incógnitas de las reacciones 
 
Éstos casos suelen presentarse cuando la viga o la estructura tiene apoyos (ligaduras) de 
más 
Se denomina “grado de hiperestaticidad” :a la diferencia entre el número de incógnitas 
de las reacciones y el número de ecuaciones de equilibrio de la estática. 
 
También vimos que para resolver la hiperestaticidad era necesario añadir “ecuaciones 
de deformación”, tantas como sea el grado de hiperestaticidad, de tal forma que: 
 
 
 
nº ecuaciones de equilibrio+ nº ecuaciones de deformación=nº incónitas 
El método de resolución será el transformar la viga hiperestática en una viga isostática 
equivalente, liberándola de sus ligaduras de más y sustituyendo sus acciones por fuerzas 
o momentos de magnitudes tales que la viga isostática conserve las coacciones que las 
ligaduras ejercían sobre la viga hiperestática. 
 
En este tema estudiaremos las vigas hiperestáticas de un solo tramo y las de dos o mas 
tramos (vigas continuas), trabajando a flexión. 
 
7.2.-VIGAS DE UN SOLO TRAMO 
 
Hagamos su estudio a través del siguiente ejemplo: 
 
 nº ecuaciones equilibrio:2 
 
 
 
 
 
 nº incógnitas de las reacciones: 3 
 
s una viga hiperestática de primer grado. Tiene una ligadura de más, pues podríamos 
 RA, MA, RB 
 
E
suprimir en ella el apoyo B o bien sustituir el empotramiento en A por un apoyo 
articulado fijo, según se muestra a continuación: 
 
 
 
 
 
 
 
)2
2
..
)1.
LL
L
ABA
BA
(.0 LqMRM =+=∑
(0 qRRF =+=∑
MA q 
A B
RA RB 
L Fig.7.1 
q 
L 
 
A B 
L
q
A B
Fig.7.2 
Sección 7.2: Vigas de un solo tramo 
 3
i suprimimos el apoyo B, la viga isostática que resulta, para que fuera equivalente a la 
 
 
 
esolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (1), (2) de equilibrio y la ecuación 
i hubiésemos optado por suprimir el empotramiento en A por un apoyo articulado fijo, 
 
 
 
esolviendo el sistema formado por las ecuaciones: (1), (2) de equilibrio y la ecuación 
.3.-VIGAS CONTINUAS
S
dada, deberíamos incluir la fuerza RB e imponer la condición (ecuación de 
deformación): 
 
L 
q
 
 
 
 
 
 
 
R
(3) de deformación obtendríamos las reacciones en los apoyos: RA, MA, RB
 
S
la viga isostática que resulta, para que fuera equivalente a la dada, deberíamos incluir el 
momento MA e imponer la condición (ecuación de deformación): 
 
 
 
 
 
 
 
R
(3) de deformación obtendríamos las reacciones en los apoyos: RA, MA, RB
 
 
7 
as vigas continuas son vigas que tienen más de dos apoyos. Normalmente se utilizan 
 
un solo tramo a continuación una de otra: 
 
 
L
cuando los vanos a cubrir son grandes. 
 
 
 
 
 
No obstante, para cubrir esos vanos grandes, se podría optar por colocar varias vigas de 
 
 
 
 
 
RBRA 
MA 
A B
Fig.7.3 
0=By
L 
q 
R
(3) 
BRA 
A B
MA 
Fig.7.4 
Fig.7.5 
Fig.7.6 
0=Aϑ (3) 
Tema 7: Flexión: Hiperestaticidad 
4 
entajas de las vigas continuas frente a las varias vigas de un solo tramoV 
as vigas continuas dan momentos flectores y flechas de menor magnitud que las de un 
.a y b., abajo 
 
ientes que presentan las vigas continuas frente a las de un 
olo tramo, es que aquellas son sensibles a los desplazamientos (asientos) que puedan 
ulo de las vigas continuas
L
solo tramo. Ésto se puede apreciar en el ejemplo de las figuras 7.7
representadas, lo que lleva consigo vigas de menor sección transversal y por tanto, más 
económicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por el contrario, los inconven
s
sufrir los apoyos, lo que proporcionaría nuevos momentos flectores y por consiguiente 
más tensiones inducidas. 
 
Procedimiento para el cálc 
as vigas continuas son vigas hiperestáticas y por tanto podremos resolverlas según el 
a isostática equivalente 
quilibrio: 3 
L
procedimiento general, visto en 7.1, a través de la vig
Ejemplo: 
Esta viga tendrá: 
 
nº ecuaciones de e
 
 Mz Mz 
 y y 
R1 R2 R3 Rm-1 Rm 
H1 1 2 3 m-1 m
Fig.7.8 
)000( === ∑∑ ∑ zyx MFF
Fig.7.7.a Fig.7.7.b 
nº incógnitas de las reacciones:m+1 (H1, R1, R2, R3, ……Rm-1, Rm) 
 
Es una viga hiperestática de grado m-2. 
 
Sección 7.3: Vigas continuas 
 5
Sección 7.3: Vigas continuas 
 5
tilizando para su cálculo el procedimiento descrito en 7.1, la “viga isostática 
equivalente”, sería: 
 
y las m-2 ecuaciones de deformación que habrá que añadir a ésta viga isostática para 
que sea equivalente a la dada serán: 
 
Ahora ya con el sistema formado por las 3 ecuaciones de equilibrio y las m-2 
ecuaciones de deformación indicadas, podremos resolver las m+1 incógnitas de las 
reacciones. 
No obstante para el cálculo de las vigas continuas existe otro procedimiento específico 
para ellas, que se denomina: “Ecuación de los tres momentos” 
 
ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS
U
 
Este método toma como incógnitas hiperestáticas los momentos flectores: M2, M3, Mm-1 
que actuan en las secciones transversales correspondientes a los m-2 apoyos 
intermedios. 
 
Método de cálculo: se sustituye la viga continua por m-1 vigas isostáticas equivalentes, 
simplemente apoyadas, en cuyos extremos se sitúan las ligaduras internas con los 
tramos contiguos de los que las hemos liberado, es decir, las resultantes y los momentos 
resultantes de las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3, Fm-1, 
Mm-1
 
los Momentos Flectores: M2, M3,….Mm-1, se obtienen planteando las siguientes 
ecuaciones de deformación: 
),1()1,2(.,),........4,3()3,2(),3,2()2,1( 13322 mmmm mm −=−−== − ϑϑϑϑϑϑ 
 
M2 M3 M3 Mm-1M2 
H1 
R2 R2 
F2 F2 F3 F3 
R3 R3 
Fm-1
Rm-1 Rm R1 
1 22 3 3 m-1 m
Fig.7.10 
R1 R2 R3 Rm-1 Rm 
H1 1 2 3 m-1 m
Fig.7.9 
R1 R2 R3 Rm-1 Rm 
H1 1 2 3 m-1 m
0;......0;0 132 === −myyy
Tema 7: Flexión: Hiperestaticidad 
6 
Desarrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deformación y para ello 
tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos 
n y n+1 de la viga continua: 
 
la ecuación de deformación a plantear será: 
 
y para el cálculo de estos giros aplicamos el Principio de Superposición: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
la ecuación de deformación anterior será: 
 
 
Calculemos a continuación cada uno de estos valores: 
 
 
 
 
Rn-1 Rn Rn Rn+1
Fn-1 Fn Fn Fn+1
Ln Ln+1
Mn-1 Mn Mn Mn+1
n-1 n n n+1
Fig.7.11 
Ln Ln+1
n-1 n n n+1
θ1n 
Ln Ln+1
Mn-1 Mn+1
n-1 n n n+1
Ln Ln+1
Mn 
n-1 n n n+1
Mn θ3nθ3n
θ1n 
θ2nθ2n
)1,(),1( +=− nnnn nn ϑϑ (7.1) 
Fig.7.12.a Fig.7.12.b 
1 2 3 1 2 3( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) ( , 1) ( , 1) ( , 1)n n n n n nn n n n n n n n n n n nϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ− − + − + − = + − + − + (7.2) 
Sección 7.3: Vigas continuas 
 
• Cálculo de: :)1,(),1( +− nnynn nn ϑϑ
11
θ
 7
 
 
 
 
 
 
 
Por el método de los Teoremas de Mohr: 
 
 
 
 
Por el método de los Teoremas de Mohr: 
 
 
 
• Cálculo de: 
 
 
 
θ2n θ2n
n-1 n n n+1
δn-1,n δn+1,n
tag en n tag en n
Mz Mz
Ln Ln+1
Mn-1 Mn+1
Mn-1 Mn+1
Fig.7.14.a Fig.7 .b.14 
:)1,(),1( 22 +− nnynn nn ϑϑ
1
n 
θ1nn n
n+1
δn
n-1
-1,n δn+1,n
tag en n tag en n
Mz Mz
Ln Ln+1
Fig.7.13.a Fig.7.13.b 
(7.3) 
(7.4) 
1, 1,
1 1
1
1, )
. .
. .
n n n n
z
Q Qn
, 1 , 1
1 11 1
1, 1( , 1). ( , 1).
n n n n
z n z
M M
n n
n n n n n
z n
1 1
1, ( 1, ). (.
n n
n n n n nn n L n
M M
E I L E I
Q Qn n L n n
E I
δ ϑ ϑ
+ +
+ +
+ += = + → + = L E I
− −
+
=δ ϑ ϑ− = = − → −
− −
1, 1
2 21 1
1,
1
2 21 1 1
1, 1
1 1. . . .2 3 ( 1, ). ( 1, )
. . 6. .
.( , 1). ( , 1)
. . 6. .
n nM n n n
n n n
n n n n n
n n n
n n n n n
z z z
M L LQ M Ln n L n n
E I E I E I
M Ln n L n n
E I E I E I
δ ϑ ϑ
δ ϑ ϑ
− −
− −
−
+
+ + +
+ +
−
= = = − → − =
= = = + → + =
(7.5) 
(7.6) 
, 1 1 1
1 1. . .
2 3n n
z z z
M n n nM L LQ + + +−
Tema 7: Flexión: Hiperestaticidad 
8 
• Cálculo de: 
 
 
evando finalmente todos los valores obtenidos a la ecuación (7.2): 
 
 
 multiplicando todos los término r: ( . y ordenando, quedará finalmente la 
enominada ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS: 
 
 
oyos sucesivos de la viga continua 
 
θ3n θ3n
n-1 n n n+1
 
 
 
 
ll
 
 
 
 
y s po 6.E Iz) 
d
 
 
 
 
stá ecuación se irá aplicando cada tres apE
 
 
 
 
 
 
 
δn-1,n δn+1,n
tag en n tag en n
Mz z
Ln Ln+1
Mn Mn
M
Mn 
Mn
Fig.7.15.a Fig.7.15.b 
:)1,(),1( 33 +− nnynn nn ϑϑ
⎥
⎥
⎦
⎤⎡
=++
+
+
+++−
+−
1
1
1111
1,,1
6.).
n
M
n
n
M
nnnnn L
QQ
LMLLM
nnnn
1,
3 31
1,
. . .
2 3 ( 1, ). ( 1, )
n nM n n n
n
n n n
M L LQ Mn n L n nδ ϑ ϑ
−
−
−
−
= = = − → − =
, 1 1 1
3 31 1
1, 1
1 2
.
. . 3. .
1 2. . . .2 3 ( , 1). ( , 1)
. 3. .
n n
n n
z z z
M n n n
n n n
n n n
z z z
L
E I E I E I
M L LQ M Ln n L n n
E I E I
ϑ ϑ
+ + +
+ +
+ +
−
= = = + → + =
(7.7) 
(7.8) 
n n
.E In n
δ
⎢
⎢
⎣
+−1. n
L
+.(.2 nn LM
z
nn
z
nn
zn
M
n
z
nn
z
nn
n
M
n
IE
LM
IE
LM
I
Q
IE
LM
IE
LM
EL
Q nnnn
..3
.
..6
.
...3
.
..6
.
.
111111
1,,1
+++
+
+−− −−=++
+−
(7.9) 
−
zI. L E.1
Sección 7.3: Vigas continuas 
9
ASO DE ASIENTOS EN LOS APOYOSC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ln Ln+1hn-1 hn 
hn+1
n-1 n n+1
n
n+1
n-1
separando ambas vigas: 
 
Fig.7.16 
Ln+1
hn hn+1
n n+1
n
n+1
θ4n 
θ4n 
Fig.7.17.b 
 
 
Ln hn-1 hn n-1
n
n-1
n
θ n 4 θ
4 
 
 
 
 
 
 
planteando de nuevo la ecuación (7.1): )1,(),1( +=− nnnn nn ϑϑ y añadiendo este 
nuevo término, quedará: 
 
)1+ ,(),1( 432142 +−=−+− ntranntram nnnnn ϑϑϑϑϑ
 
y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de ellos: 
 
 
 
y multiplicando po z ordenando, la Ecuación de lo ntos quedará 
hora, teniendo en cuenta el descenso de los apoyos: 
 
 
3+ nϑ
1 + nn ϑ − ϑ nmoo
r (6.E.I ) y s tres mome
a
n 
Fig.7.17.a 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=+++
+
+−
+
+−
+++−
+−
1
11
1
11
1111 66)(2
1,,1
n
nn
n
nn
z
n
M
n
n
M
n
nnnnnnn L
hh
L
hhEI
L
Q
L
QLMLLMLM
nnnn
1
111
1
111
..3
.
..6
.
....3
.
..6
.
..
1,
+
+++
+
+−− −−−=
−
+++−
+
n
nn
z
n
z
nn
zn
M
n
n
nn
z
nn
z
nn
zn L
hh
IE
LM
IE
LM
IEL
Q
L
hh
IE
LM
IE
LM
IEL
Q nn 1+ +n1
,1
−
−M
n
nn
4 4 4 41 1
1
n n n n
n n n n
n n
h h htag
L L
ϑ ϑ ϑ ϑ− +
+
− −
≅ = = = (7.10) 
(7.11) 
(7.12) 
htag
Tema 8: Torsión 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 8: TORSIÓN 
T 
x 
G 
1 2 
2 ́
G 
Tema 8: Torsión 
2 
8.1.-INTRODUCCIÓN 
 
Una sección de un elemento estructural está solicitada a Torsión cuando el Momento 
resultante de las fuerzas interiores tiene la componente Mx = T 
 
En este tema se estudiarán elementos estructurales en los que todas sus secciones estén 
solicitadas a Torsión 
 
Diagramas de Momentos Torsores 
 
Al igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la Tracción-Compresión y de 
la Flexión, los diagramas de Momentos Torsores indicarán el Momento Torsor 
correspondiente a cada sección del elemento estructural. 
 
Se desarrollará uno de estos diagramas a través de un ejemplo: 
 
 
 
G 
z 
y 
x T 
T>0 → si su sentido es el de la normal saliente de la sección 
T<0 → si su sentido es contrario al de la normal saliente en la sección 
Criterios de signos para los Momentos Torsores 
x n 
T x n T 
x n T x n T 
Fig..8.1.a 
Fig..8.1.b 
Sección 8.1: Introducción 
 3 
 
 
Tipos de Torsión que se podrán dar: 
 
A.-Torsión uniforme: Se dice que una barra trabaja a TORSIÓN UNIFORME cuando 
se cumplan las dos condiciones siguientes: el único esfuerzo presente es un Momento 
Torsor, que es constante a lo largo de ella y además los extremos de la barra pueden 
alabear libremente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la torsión uniforme, dado que el alabeo que se pueda producir es el mismo en todas 
las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero (σx = 0) , y sólo 
dará lugar a tensiones cortantes: τ 
 
 
 
Tramo L1 
M1 Mext = M1 
T = M1 
n 
M int = M1 
Tramo L2 
M3 Mext = M3 M int= M3 
T= - M3 
n 
M1 M2 M3 
L1 L2 
T 
x 
M1 
M3 
+ 
- 
M M 
L 
T 
x 
M 
+ 
Fig..8.3 
Fig..8.2 
Tema 8: Torsión 
4 
B.-Torsión no uniforme: Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan 
algunas de las dos condiciones anteriores, como sería el caso de los dos ejemplos 
siguientes: 
 
 
En la torsión no uniforme, el alabeo posible de las diferentes secciones no será el 
mismo, por lo que se producirán tensiones normales: σx y tensiones cortantes: τ. 
 
En la siguiente figura se muestra el efecto del alabeo de una barra IPE laminada 
sometida a torsión no uniforme (caso del ejemplo 2). Se observa cómo debido al alabeo, 
las alas de la viga se flexionan y por tanto aparecerán en ellas tensiones normales σx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
T 
x 
M = cte 
+ 
La sección de la izquierda está 
empotrada y no podrá alabear 
libremente 
Ejemplo 1 
Fig..8.4 
M1 M2 M3 
T 
x 
M1 
M3 
+ 
- 
El Momento Torsor no es 
constante a lo largo de la barra 
Ejemplo 2 
Fig..8.5 
Fig..8.6 
Sección 8.1: Introducción 
 5
Observaciones: 
 
1. Para medir la susceptibilidad al alabeo por torsión de una determinada sección 
se utiliza el denominado “módulo de alabeo”: Ia y para medir la susceptibilidad 
la torsión se utiliza el “módulo de torsión”: It . Ambos valores se pueden 
calcular u obtener de Tablas 
 
2. Las piezas sometidas a Torsión no uniforme en las que el módulo de alabeo (Ia) 
sea nulo o de pequeño valor con respecto al módulo de torsión (It), se admite 
aplicar el cálculo como si fuera Torsión uniforme. 
 
Éstos casos se darán en los siguientes tipos de secciones: 
 
 
secciones macizas de gran espesor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
secciones cerradas de pequeño espesor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en 
un punto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 8: Torsión 
6 
Secciones más adecuadas para trabajar a torsión 
 
En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya 
principal función es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de 
flexión o axiles, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas: ejes, etc.) 
y el de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no 
muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o 
las correas en fachadas laterales). 
 
Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas 
de gran espesor o cerradas de pequeño espesor: 
 
 
• SECCIONES DE GRAN ESPESOR (MACIZAS) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR no son apropiadas para este 
tipo de solicitación y deben tratar de evitarse su utilización o bien emplear disposiciones 
constructivas adecuadas para evitar que la torsión se presente en ellas. Por ello su 
cálculo no es frecuente y es estudiado con más profundidad en asignaturas de 
Estructuras Metálicas 
 
 
 
 
 
Circulares Circulares huecas Rectangulares 
Circulares Rectangulares 
Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca 
 7
8.2.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA: 
CIRCULAR Y CIRCULAR HUECA 
 
 
A.- CÁLCULO DE TENSIONES 
 
Considérese una pieza de sección circular y sea T el momento torsor en una de sus 
secciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones Tensiones – Solicitaciones vistas en 1.7 serían para este caso: 
 
 
 
 
 
 
 
Pero al igual que ocurría en la Tracción-Compresión y en la Flexión, éstas ecuaciones, 
por si solas, no permiten calcular el valor de las tensiones originadas por el Momento 
Torsor T. y habrá que recurrir nuevamente a hipótesis simplificativas que han sido 
comprobadas experimentalmente. Para este caso será: 
 
Hipótesis de Coulomb: “ Las secciones transversales circulares de la pieza permanecen 
planas durante la Torsión, girando como un todo rígido alrededor del eje x normal a la 
sección” 
 
 
 
T 
x 
y 
z 
Fig..8.7 
( )
0 . 0 . 0 .
. . . 0 . . 0 . .
x y xy z xzA A A
xz xy y x z xA A A
N dA V dA V dA
T y z dA M z dA M y dA
σ τ τ
τ τ σ σ
= = = = = =
= − = = = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
)1.8(
Tema 8: Torsión 
8 
Como consecuencia de dicha hipótesis se deduce que los radios de las secciones 
transversales giran, permaneciendo rectos, mientras que las generatrices de la superficie 
lateral (línea 1-2), se transforma en hélices (curva 1-2´) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se demostrará a continuación que en la Torsión de piezas de sección circular no se 
producen tensiones normales, es decir que: σx = 0 
 
• Se supone en primer lugar que existen tensiones normales σx . Si fuese así, éstas 
deberían presentar una distribución no constante, pues si fuese constante, es 
decir: σx = cte, en virtud de la primera de las relaciones de la ecuación (8.1), se 
tendría: 
 
 
Osea que tendría que ser: σx ≠ cte 
 
• Si σx ≠ cte, por la ley de Hooke: 
 
con lo cual se tendría que las deformaciones lineales εx serían diferentes para los 
distintos puntos de una sección y ésta por tanto se alabearía, contradiciendo la 
Hipótesis de Coulomb 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: ⇒ (8.2) 
 
O lo que es lo mismo: “La torsión en secciones circulares sólo produce tensiones 
cortantes τ “ 
 
 
 
 
 
 
T 
x 
G 
1 2 
2 ́
G 
Fig..8.8 
. ( cte) . . 0 Nosecumpliría dicha relaciónx x x x
A A
dA si dA Aσ σ σ σ= = = = ≠ ⇒∫ ∫
cte
E
x
x ≠=
σε
1 
2 
3 
4 
5 
1 
2 
3 
4 
5 
σx = 0 
 Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca 
 
 9 
Cálculo de las tensiones cortantes 
 
Se considera una rebanada de la pieza de longitud dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mientras que la sección izquierda gira, alrededor del eje x, un ángulo ϕ (ángulo de giro 
a torsión), la sección de la derecha habrá girado, en el mismo sentido, un ángulo ϕ + dϕ. 
lo que supone un giro relativo a torsión de ésta sección con respecto a la anterior de 
valor dϕ. 
 
Se toma sobre dicha rebanada un prisma como el indicado en la siguiente figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como consecuencia del giro de torsión relativo, dϕ, entre las dos secciones laterales de 
dicha rebanada, el prisma se deformará, de tal forma que la cara lateral derecha girará 
un ángulo dϕ con respecto a la cara lateral izquierda, dando lugar a la siguiente figura, 
(que se ampliará para poder observarse mejor dicha deformación). La cara abcd del 
prisma se transformará en la ab1c1d, sufriendo una deformación angular γ 
 
 
 
ϕ ϕ +dϕ 
dx 
1 2 
1´ 
2´ 
G G x 
Fig..8.9 
dx 
a 
G x 
b 
c d 
Fig..8.10 
dx 
a 
G 
x 
b 
c d 
b1 
c1 
γγγγ r 
dϕ a 
d 
b 
c 
b1 
c1 
τ 
τ 
τ 
τ 
γ 
Fig..8.11 
Tema 8: Torsión 
10 
La deformación angular γ se podrá obtener por: 
 
 
 
 
 
 
 
La deformación angular γ es el resultado de la acción de las tensiones cortantes que 
actúan sobre las caras laterales del prisma. El valor de éstas se podrá obtener a partir de 
la Ley de Hooke: 
 
 
 
 
Ecuación que indica que: “en una sección circular, las tensiones cortantes τ 
producidas por el Momento Torsor T, son proporcionales a la distancia r al centro de 
la misma y perpendiculares al vector de posición r ”. Así pues, la distribución de 
tensiones cortantes en una sección circular será la que se indica en las siguientes figuras 
 
 
 
 
siendo: 
 
“ la tensión cortante máxima:τmax, se dará en los puntos del borde de la sección 
 circular” 
 
La cuarta ecuación de la relación tensiones-solicitaciones, ecuaciones (8.1) era: 
 
 
 
 
y sustituyendo el valor de τ dado en (8.5) : 
 
 “ángulo de torsión unitario” (8.6) 
 
 
siendo: G.Io = Módulo de rigidez a la torsión 
(equivalente al módulo de rigidez a la flexión: E.Iz, visto en el tema 5º) 
1 . . (8.3)
denominando "ángulo de torsión unitario" (8.4)
bb r d
tag r
ab dx
d
dx
ϕγ γ ϑ
ϕθ
≅ = = =
=
)5.8(..)3.8(. GrsegúnG
G
ϑγττγ ===→=
G τ 
τ 
τ 
τ 
a b 
c d 
r 
r 
G 
τmax 
τmax 
τmax 
τmax 
z 
y 
R 
ϑτϑτ ..)(.. max RGRrcuandoyrG ====
( . . ) ( ) . .xz xy
A A
T y z dA ver figura r dAτ τ τ= − = =∫ ∫
τxz 
τxy τ 
r 
dr 
dA 
O≡G 
y 
z 
Fig..8.13 
2. . . . . . . . . de donde :o
A A
T G r r dA G r dA G Iϑ ϑ ϑ= = =∫ ∫
. o
T
G I
ϑ =
Fig..8.12 
 Sección 8.2: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza: circular y circular hueca 
 11 
Sustituyendo finalmente el valor obtenido en (8.6), para el cálculo del ángulo de torsión 
unitario, en la ecuación (8.5): 
 
 
 
 
 
 
expresión final para el cálculo de la tensión cortante debida a la torsión, en el caso de 
barras de sección circular. 
 
 
Por lo visto antes: 
 
 
 
siendo : Wo = Io / R Módulo resistente a la torsión 
 
(equivalente al módulo de resistente a la flexión: Wz = Iz / ymax, visto en el tema 5º) 
 
 
 
Observación: Éstas fórmulas serán también aplicables a las barras macizas de sección 
circular hueca 
 
 
 SECCIÓN CIRCULAR SECCIÓN CIRCULAR HUECA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
. . . .
. o o
T T r
G r G r
G I I
τ ϑ= = = (8.7) 
max
.
( )
oo o
T R T T
r R
II W
R
τ τ= = = = = (8.8) 
G 
τmax 
τmax 
τmax 
τmax 
z 
y 
R Ri 
G 
τmax 
τmax 
τmax 
τmax 
z 
y 
Re 
)(
2
.
max
4
Rr
R
I o
==
=
ττ
π
)(
2
.
2
.
max
44
e
ie
o
Rr
RR
I
==
−=
ττ
ππ
Fig..8.14.a Fig..8.14.b 
Tema 8: Torsión 
12 
B.- CÁLCULO DE DEFORMACIONES 
 
Las deformaciones que se provocan en una barra sometida a Torsión son los GIROS a 
TORSION: ϕϕϕϕ, que se producen, al girar sus secciones transversales alrededor del eje 
geométrico OX de la misma. El valor de éstos giros será: 
 
El ángulo de torsión unitario según la ecuación (8.6) era: 
 
 
 
 
 
 
 
Giro relativo entre dos secciones A y B de la 
barra 
 
 
 
Caso particular: Si G.Io = cte, la ecuación (8.9) se podrá expresar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresión que nos dice: “ el giro relativo debido a la torsión entre dos secciones A y B, 
es igual al área del diagrama de momentos torsores entre las dos secciones, dividido 
por el módulo de rigidez a la torsión: G.Io” 
 
 
Signos: ϕBA > 0 ⇒ B gira en sentido antihorario respecto a A (siempre que las 
secciones consideradas A y B, la sección A esté a la izquierda de la B) 
 
 
Observación final: Según lo indicado en 8.1, las fórmulas obtenidas para las tensiones 
y las deformaciones serán válidas tanto para el caso de Torsión Uniforme como para el 
de Torsión no Uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
.
. .
e integrando esta ecuación entre dos seccionesA y B de la barra:
o o
d T T
d dx
dx G I G I
ϕϑ ϕ= = → =
.
.
B
BA B A
oA
T dx
G I
ϕ ϕ ϕ= − = ∫ (8.9) 
.
. .
AB
B
T
A
BA B A
o o
T dx
S
G I G I
ϕ ϕ ϕ= − = =
∫
(8.10) 
Sección 8.3: Tensiones y deformaciones en piezas de sección maciza no circulares 
 13 
 
8.3.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIÓN MACIZA 
NO CIRCULARES 
 
La hipótesis de Coulomb: “……las secciones transversales permanecen planas durante 
la torsión…”, válida para las secciones circulares, no es válida sin embargo para otro 
tipo de secciones y por tanto en éstas otras, las secciones se alabearán. 
 
 
 
 
No obstante, en este tipo de secciones, el módulo de alabeo Ia es pequeño comparado 
con el módulo de torsión It y entonces, según lo indicado en 8.1, se podrá estudiarlas 
como si estuvieran sometidas a Torsión Uniforme, aunque se estuviera en el caso de 
Torsión no Uniforme. Así pues, en este tipo de secciones sometidas a Torsión, sólo 
aparecerán tensiones cortantes τ. 
 
La determinación exacta de tensiones y deformaciones en una pieza de sección 
cualquiera sometida a Torsión, se debe a Saint-Venant y forma parte de la Teoría de la 
Elasticidad. Aquí se expondrán a continuación los resultados que se obtienen al aplicar 
dicha teoría al caso se piezas de sección rectangular. 
 
CASO DE SECCIÓN RECTANGULAR: 
 
 
 
 
 
se da en el punto medio del lado mayor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los valores de µ y de β dependen de la relación h/b: 
 
h/b 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10 ∞ 
µ 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 
 
T T T T 
τmax h 
b 
max 2. .
T
b h
τ
µ
=
3. . .
T
G hb
ϑ
β
=
(8.11) 
(8.12) 
Fig..8.15 
Fig..8.16 
Tema 8: Torsión 
14 
8.4.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIONES 
ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR 
 
Ya se indicó en 8.1 que este tipo de secciones no son apropiadas para el trabajo a 
Torsión y para los casos en que la torsión aparezca como efecto secundario, para evitar 
la excesiva deformación o rotura a la que pueda dar lugar, deberán emplearse 
disposiciones constructivas adecuadas para evitar el efecto de dichas consecuencias. 
 
En este tipo de secciones sólo se va a estudiar el caso de la Torsión Uniforme. 
 
Observación: Según se dijo anteriormente los casos de secciones abiertas de pequeño 
espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto, como sería el cado de las 
secciones en L o en simple T, aunque estén sometidas a Torsión no uniforme, su cálculo 
se hará como si fuera Torsión uniforme 
 
CASO DE TORSIÓN UNIFORME: 
 
Para conocer la distribución de tensiones cortantes τ a lo largo de la sección se utiliza el 
denominado “Método de analogía de la membrana”, propuesto por Prandtl y que dice: 
“las tensiones cortantes no dependen de la curvatura del contorno de la sección, siendo 
prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese recto”. De acuerdo con ello: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En virtud de ello, y en el caso de espesor constante t = cte, se podrán aplicar las mismas 
fórmulas (8.11) y (8.12) vistas anteriormente para el caso de sección rectangular: 
 
 
 
 
Y en este caso, como h >> b, es decir, sm >> t, los coeficientes µ y β valdrán (ver tabla 
en 8.3): µ = 0,333 = 1/3 β = 0,333 = 1/3 
 
Así pues las formulas quedarán: 
 
 
 
 
 
sm 
sm 
t 
t 
equivalente 
Fig..8.17 
max 2 2. . . . m
T T
b h t s
τ
µ µ
= =
33 ...... tsG
M
bhG
M
m
xx
ββ
ϑ ==
max
21. .
3 m
T
t s
τ =
31. . .
3 m
T
G s t
ϑ =(8.13) (8.14) 
Sección 8.4: Tensiones y deformaciones en piezas de sección abierta de pequeño espesor 
 15 
La teoría de Prandtl también dice: “…las tensiones cortantes máximas se dan en los 
bordes del contorno, llevando en ambos lados sentidos opuestos y se admite que su 
variación es lineal a lo largo del espesor” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos particulares: 
 
1. En el caso de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , las 
ecuaciones anteriores se generalizarán de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. En el caso de que el espesor t de lasección no sea constante: t ≠ cte , pero que 
ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, las 
ecuaciones anteriores serían ahora: 
 
 
 
 
 
 
La tensión cortante máxima para cualquier espesor t se obtendrá: 
sm 
sm 
t 
t 
equivalente 
τmax 
τmax τmax 
τmax 
τmax 
τmax τmax 
τmax 
Fig..8.18 
sm 
tmax 
τmax(t) 
τmax(tmax) 
t 
Fig..8.19 
3
0
1
. . .
3
ms
m
T
G t ds
ϑ =
∫
(8.15) max
2
0
1
. .
3
ms
m
T
t ds
τ =
∫
(8.16) 
s1 
s2 
s3 
t1 = tmax 
t2 
t3 
τmax(tmax) 
τmax(t3) 
(8.17) 
(8.18) 
max
.
( )
t
T t
t
I
τ = (8.19) 
max
21. .
3 i i
T
t s
τ =
∑
31. . .
3 i i
T
G t s
ϑ =
∑
Fig..8.20 
Tema 8: Torsión 
16 
 
8.5.-TENSIONES Y DEFORMACIONES EN PIEZAS DE SECCIONES 
CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR 
 
En este tipo de secciones, según lo que se indicó en la sección 8.1, el cálculo que 
haremos será válido tanto para la torsión uniforme como para la torsión no uniforme, 
por lo tanto las tensiones normales serán cero (σ = 0) y sólo habrá tensiones cortantes 
(τ). 
 
A.- CÁLCULO DE TENSIONES 
 
Se considera una rebanada de una pieza de longitud dx sometida a un Momento Torsor 
T. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se sabe que las tensiones cortantes en los puntos del contorno: a1a2 , han de ser 
tangentes al mismo y dado el pequeño espesor (t) de la sección, se admite que están 
distribuidas uniformemente a lo largo del mismo. 
 
Estableciendo el equilibrio de fuerzas del elemento bcde, que se representa a 
continuación ampliado: 
 
 
 
0
. . . . . .
. (flujo cortante)=cte
x
b b c c b b c c
F
t dx t dx t t
t
τ τ τ τ
τ
=
= → =
⇒
∑
 
 
“el flujo cortante: ττττ.t es constante a lo 
largo de la sección transversal” 
 
 
Como consecuencia de ello, las tensiones cortantes (τ), serán mayores donde el espesor 
(t) sea menor, (al revés de lo que ocurre en las secciones abiertas de pequeño espesor). 
 
 
 
 
 
 
 
 
dx 
t 
c d 
e b 
a1 
a2 τ 
T 
b 
c 
d 
e 
dx tb 
τc τc 
τb τb 
tc 
b 
c 
e 
dx tb 
τc 
τb 
tc 
cbcb
ccbb
ttsi
tt
ττ
ττ
<→>
= ..
Fig..8.21 
Fig..8.22
2 
Fig..8.23
2 
Sección 8.4: Tensiones y deformaciones en piezas de sección abierta de pequeño espesor 
 17 
Tomando ahora momentos respecto del centro de gravedad G de la sección, de todas las 
fuerzas que actúan en la misma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y despejando τ: 
 
 
siendo: Am = “área encerrada por la línea media de la sección transversal” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La tensión cortante máxima, por lo visto antes, se dará donde el espesor sea mínimo, 
resultando siendo su valor: 
 
 
 
B.- CÁLCULO DE DEFORMACIONES 
 
Para el cálculo de deformaciones se partirá de la ecuación obtenida en 3.3, aplicándola a 
la rebanada de la pieza anteriormente descrita de longitud dx.: 
 
 
siendo: 
 
“energía almacenada en la rebanada durante la deformación provocada por Mx” 
T 
dAm r 
Sm 
dSm 
t 
τ 
dF 
z 
y 
. .
longitud línea media
m
m
dF ds t
s
τ=
=
. . . . ( . ) . . . . . 2. . .2.
m m m
m m m m
s s s
T dF r ds t r como t cte t r ds t dA t Aτ τ τ τ τ= = = = = = =∫ ∫ ∫ ∫
2. . m
T
t A
τ = (8.20) 
Am 
dUdTe =
1
. .
2e x
dT T dϕ=
2 2 2 2
2
1 1 1
. .( ). . . . . . . ( cte)
2. 2. 2.
. . .
2.
m
m
xy xz m
V V V s
m
s
dU u dV dV dV ds t dx dx
G G G
dx
t ds
G
τ τ τ τ
τ
= = + = = = = =
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫
“trabajo que realiza el momento torsor T” 
max
min2. . m
T
t A
τ = (8.21) 
Fig..8.24
2 
Fig..8.25
2 
Tema 8: Torsión 
18 
igualando ambas expresiones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos particulares: 
 
1. Si t = cte ⇒ 
 
 
 
2. Si el espesor t de la sección no es constante: t ≠ cte , pero ésta estuviese 
formada por varios elementos de espesor constante: 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACIÓN FINAL: CUADRO RESUMEN 
 
Con el objeto de unificar las fórmulas que se han obtenido para los diferentes tipos de 
secciones, se podrá adoptar un formato general, único para todas ellas, que sería el 
siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los valores de It y de Wt para cada una de las secciones se obtendrán comparando las 
fórmulas obtenidas para cada una de las secciones estudiadas con las dadas como 
formato general. Así tendremos: 
2 2
2 2
2 2
22 2
2
1 1 1 .
. . . . . . . . . . .
2 2.
.
(y como . cte) .
.
. . (como ) . y despejando :
2. . 4. .
m m m
m
m m
x
x m m m
s s s
m
s
m m
m ms s
ddx t
T d t ds T t ds ds
G dx G G t
dst
t
G t
ds dsTt T
T
G t t A G A t
ϕ τϕ τ τ
ττ
τϑ τ ϑ
= = = =
= =
= = = =
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
2
.
4. .
m
m
m s
dsT
G A t
ϑ = ∫ (8.22) 
2
.
4. .
m
m
sT
G A t
θ =(8.23) 
(8.25) 
. t
T
G I
ϑ =
(8.27) 
max
t
T
W
τ =
(8.28) 
siendo: It = momento de inercia torsor equivalente 
siendo: Wt = módulo resistente a la torsión equivalente 
max 2. . m
T
t A
τ = (8.24) 
max
min2. . m
T
t A
τ = 2 .4. .
i
m i
sT
G A t
θ = ∑ (8.26) 
Sección 8.5: Tensiones y deformaciones en piezas de sección cerrada de pequeño espesor 
 19 
a) sección circular : comparando las fórmulas específicas obtenidas para la sección 
circular: 
 
 
 
 
 con las generales de formato único: 
 
 
 
 
 
resultará: 
 
 
 
b) sección rectangular : comparando las fórmulas específicas obtenidas para la sección 
rectangular: 
 
 
 
 
con las generales de formato único: 
 
 
 
 
resultará: 
 
 
c) secciónes abiertas de pequeño espesor: compararando las fórmulas específicas 
obtenidas para las secciones abiertas de pequeño espesor t = cte: 
 
 
 
 
 
con las generales de formato único: 
 
 
 
 
resultará: 
 
 
Observación: La Normativa española NBE-EA-95 corrige estos valores afectándolos de 
un coeficiente α de la siguiente forma: 
 
 
 
(8.6) (8.7) 
. o
T
G I
ϑ = max
o
T
W
τ =
max
t
T
W
τ =
. t
T
G I
ϑ =
2
.
2
. 34 R
R
I
WW
R
II ootot
ππ =====
max 2. .
T
b h
τ
µ
=
3. . .
T
G hb
ϑ
β
= (8.11) (8.12) 
. t
T
G I
ϑ = max
t
T
W
τ =
hbWbhI tt ....
23 µβ ==
max
21. .
3 m
T
t s
τ =
31. . .
3 m
T
G s t
ϑ = (8.13) (8.14) 
. t
T
G I
ϑ = max
t
T
W
τ =
23 ..
3
1
..
3
1
tsWtsI mtmt ==
(8.27) (8.28) 
(8.29) 
(8.28) (8.27) 
(8.30) 
(8.28) (8.27) 
23 ..
3
1
...
3
1
. tsWtsI mtmt αα == (8.32) 
(8.31) 
Tema 8: Torsión 
20 
siendo el valor de α: 
 
α SECCIÓN 
1 
 
1,1 
 
1,3 
 
 
Y para el caso estudiado de que el espesor t de la sección no sea constante: t ≠ cte , pero 
que ésta estuviese formada por varios elementos de espesor constante, comparando de 
nuevo las ecuaciones obtenidas para este caso específico con las fórmulas generales 
únicas, y ya incluyendo el valor α corrector que incluye la normativa española NBE-
AE-95, sería: 
 
 
 
 
 
d) secciónes cerradas de pequeño espesor: compararando las fórmulas específicas 
obtenidas para las secciones cerradas de pequeño espesor t = cte 
 
 
 
 
 
con las generales de formato único: 
 
 
 
 
 
resultará 
 
 
 
Si el espesor t de la sección no es constante: t ≠ cte , pero ésta estuviese formada por 
varios elementos de espesor constante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑∑ == 23 ..3
1
...
3
1
. iitiit tsWtsI αα
(8.24) (8.23) 
. t
T
G I
ϑ = max
t
T
W
τ =
AmtW
t
s
A
I t
i
i
m
t ..2
.4
min
2
==
∑
mt
m
m
t AtWs
tA
I ..2
..4
min
2
==
(8.33) 
max 2. . m
T
t A
τ =
2
.
4. .
m
m
sT
G A t
θ =
(8.28) (8.27) 
(8.34) 
(8.35) 
Sección 8.5: Tensiones y deformaciones en piezas de sección cerrada de pequeño espesor 
 21 
Ejemplos 
 
1.-SECCIÓN CIRCULAR DE PEQUEÑO ESPESOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.-SECCIÓN RECTANGULAR DE PEQUEÑO ESPESOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Am 
rm 
t = cte 
Fig..8.26
2 
tr
r
tr
s
tA
I
rtAtW
rs
rA
m
m
m
m
m
t
mmt
mm
mm
...2
..2
.)..(4..4
...2..2
..2
.
3
222
2
min
2
π
π
π
π
π
π
===
==
=
=
Am 
bm 
hm 
t1 
t212
222
1min
.2.2
..4..4
...2..2
.2.2
.
t
h
t
b
hb
t
s
tA
I
hbtAtW
hbs
hbA
mm
mm
i
i
m
t
mmmt
mmm
mmm
+
==
==
+=
=
∑
Fig..8.27
2 
Tema 8: Torsión 
22 
5.5-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS 
METÁLICAS SOLICITADAS A TORSIÓN (Normativa DB-SE-A) 
 
RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A TORSIÓN 
 
El esfuerzo torsor T de cualquier sección puede dividirse en dos componentes: 
 
 
 
siendo: 
 
Tt : componente correspondiente a la torsión uniforme 
Tw : componente correspondiente a la torsión de alabeo 
 
• En las piezas de secciones macizas de gran espesor o en las cerradas de pequeño 
espesor puede despreciarse la componente Tw, con lo cual: T = Tt 
 
• En las piezas de secciones abiertas de pequeño espesor puede despreciarse la 
componente de torsión uniforme Tt, con lo cual: T = Tw 
 
 
La comprobación a resistencia puede realizarse de acuerdo a la expresión de Von 
Misses 
 
Observación: En esta asignatura tal y como dijimos anteriormente, tan sólo 
dimensionaremos, en el caso de la Torsión, con secciones macizas de gran espesor o 
cerradas de pequeño espesor 
 
Criterio de dimensionamiento de Von Misses: 
 
 
 
 
Se calcularán las tensiones cortantes debidas a Tt y las tensiones normales y cortantes 
debidas a Tw. Con los valores obtenidos de todas estas tensiones se introducirán en la 
fórmula de Von Misses. 
t wT T T= +
*2 *23.co ydfσ σ τ= + ≤
(8.36) 
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 9: SOLICITACIONES COMBINADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 z
 
 1
 
T N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
L
Mz
My
Vy 
Vz
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
 
9.1.-INTRODUCCIÓN 
 
En los temas precedentes se ha estudiado el cálculo de las tensiones y deformaciones 
producidas por las siguientes solicitaciones actuando de forma aislada: 
 
TRACCIÓN-COMPRESIÓN: 
 
• Tensiones normales: σx (N) 
• Deformaciones: alargamientos o acortamientos: ∆L 
 
FLEXIÓN SIMPLE: 
 
• Tensiones normales: σx (Mz, My) 
• Tensiones cortantes: τ (Vy, Vz) 
• Deformaciones: Giros: θz, θy 
• Deformaciones: Flechas: y, z 
 
TORSIÓN: 
 
• Tensiones cortantes: τ (T) 
• Deformaciones: Giros: θx 
 
 
En este tema se estudiarán las tensiones y deformaciones que se producirán cuando 
actúen a la vez varias de éstas solicitaciones: Tracción + Flexión, Flexión + Torsión, 
etc.. 
 
Cálculo de las Tensiones: 
 
Se obtendrán aplicando el Principio de Superposición: 
 
 ( ) ( , )
( , ) ( )
x x x z y
y z
N M M
V V T
σ σ σ
τ τ τ
= +
= +
r r r 
 
 
(la suma de las tensiones cortantes:τ, será vectorial, pues pueden llevar distintas 
direcciones) 
 
Cálculo de las Deformaciones: 
 
Se pueden obtener a partir del Principio de Superposición, igual que con las tensiones, 
o a través de los teoremas energéticos que se verán a continuación: 
 
• Teorema de CASTIGLIANO 
2 
• Teorema de los TRABAJOS VIRTUALES 
 
 
 
 
Sección 9.2.1: Energía de deformación 
 
9.2.-TEOREMAS ENERGÉTICOS 
 
9.2.1.- ENERGÍA DE DEFORMACIÓN 
 
La energía de deformación de un elemento estructural se podrá obtener a partir de las 
expresiones dadas en 3.4: 
 
• Energía de deformación por unidad de volumen: 
 
 
(9.1) 
 
[ ] ).(
.2
1....(.2.
.2
1 222
)
222
zxyzxyxzzyyxzyx GE
u τττσσσσσσνσσσ +++++−++=
 
• Energía de deformación: 
 
 (9.2) ∫=
V
dVuU .
 
 
Se calculará a continuación la Energía de deformación: U, para el caso de elementos 
estructurales sometidos a una sola solicitación: 
 
 
A. TRACCIÓN-COMPRESIÓN: N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes del estado de tensiones: 
z
0 0
0
x y z
N
A
σ σ σ= = =
0 0xy yz zxτ τ τ= = =
N N
x
L y y llevando estos valores a 
): 
Fig.9.1 
 las expresiones (9.1) y (9.2
2
21 1. .
2. 2.x
Nu
E E A
σ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
0
.1 1. . . . .
2. 2 .
L
V L
N dxNU u dV A dx
E A E A
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫
 (9.3) 
 3
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
 
B. FLEXIÓN SIMPLE: 
 
B1.-Momento Flector: Mz (caso particular: Ejes z, y →Ejes principales de 
inercia: Izy = 0) 
 Componentes del estado de tensiones: 
z 
000
00
.
===
===
zxyzxy
zy
z
z
x I
yM
τττ
σσσ 
 
Mz x
 
 
L y y llevando estos valores a 
 las expresiones (9.1) y (9.2): Fig.9.2 
 
2
2 ..
.2
1.
.2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
z
z
x I
yM
EE
u σ
 
 
 
 
 
∫∫∫∫∫ ==⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
L
z
z
AL z
z
z
z
VV IE
dxM
dAy
IE
dxM
dV
I
yM
E
dVuU
0
2
2
2
22
.
.
.
2
1..
.
.
.
2
1..
.
.
.2
1. (9.4) 
 
 
 
 
B2.-Momento Flector: My (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de 
inercia: Izy = 0) 
 Componentes del estado de tensiones: 
z 
 
000
00
.
===
===
zxyzxy
zy
y
y
x I
zM
τττ
σσσ 
 x
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y por un procedimiento análogo al anterior, 
llevando estos valores a las expresiones 
 (9.1) y (9.2) se llegaría a la siguiente 
expresión:: 
∫=
L
y
y
IE
dxM
U
0
2
.
.
.
2
1 (9.5) 
My
yL
Fig.9.3 
Sección 9.2.1: Energía de deformación 
B3.-Fuerza Cortante: Vy (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de 
inercia: Izy = 0) 
 
• Caso de secciones macizas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes del estado de tensiones: 
z
0 0 0
. ( ) . ( )
0
( ). ( ).
x y z
y z y z
xy yz zx
z z
V Q y V Q z
t y I t z I
σ σ σ
ττ τ
= = =
= = =x
 5
siendo: 
 
Observaciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vy
y
y llevando estos valores a 
 las expresiones (9.1) y (9.2): L
Fig.9.4 
2 2
2 2 . ( ) . ( )1 1.( ) .
2. 2. ( ). ( ).
y z y z
xy zx
z z
V Q y V Q z
u
G G t y I t z I
τ τ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟= + = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠
⎞
⎟
⎠
2 2 2 2
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
. ( ) . ( )1 . . . .
2. 2. . ( ). 2. . ( ).
. .( ) ( ). . . .
2. . ( ) 2. . ( )
y z y z
z zV V V
y yz z
z zL A L A
V Q y V Q z
U u dV dV dV
G G t y I G t z I
V dx V dxQ y Q zdA dA multiplicando y dividiendo por A
G I t y G I t z
= = + =
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ =
2 22 2
2 2 2 2
2 22 2
´ ´́
2 2 2 2
0 0
. .( ) ( ). . . . . .
2. . ( ) 2. . ( )
. .( ) ( )1 1. . . . . . . .(
2 . ( ) ( ) 2 .
y yz z
z zL A L A
L L
y yz z
y y
z zA A
V dx V dxQ y Q zA AdA dA
G I A t y G I A t z
V dx V dxQ y Q zA AdA dA
G A I t y I t z G A
)β β
= + =
⎡ ⎤
= + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ +
2
0
.1 . .
2 .
L
y
y
V dx
U
G A
β= ∫ (9.6) 
2 2
´ ´´ ´ ´´
2 2 2 2
( ). ( ).. .
( ) ( )
z z
y y y y y
z zA A
Q y dA Q z dAA A
I t y I t z
β β β β β= + = =∫ ∫
9
100
9
10:sec
5
60
5
6:tansec
´´´
´´´
=→==
=→==
yyy
yyy
circularescionesen
gularesreccionesen
βββ
βββ
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
6 
• Caso de secciones abiertas de pequeño espesor 
 
 y por un procedimiento análogo al anterior: 
 
 
 
 Observaciones
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
siendo:
 
 : 
alma
y A
AIcionesen =β:sec 
 
B4.-Fuerza Cortante: Vz (caso particular: Ejes z, y → Ejes principales de 
• Caso de secciones macizas: 
 
 por un procedimiento similar al caso de Vy: 
iendo: 
bservaciones
inercia: Izy = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
y
 
 
 
 
 
 
 
s 
 
 
O : 
 
Componentes del estado de tensiones: 
≠=≠ zxyzxy
zyx
τττ
000 === σσσ
000
2 2 2.( ) .
2. 2. ( ).
y z
xy zx xs xs
z
u siendo
G G t
τ τ τ τ= + = =
. ( )1 1 V Q s
s I
2.1
.
L V dx
0
. .
2
y
yU G A
β= ∫
2 ( ).Q s dAA
2 2. ( )
z
y
z AI t s
β = ∫
Vz 
y
z
x
 
 
 
 
 
LFig.9.5 
0 0 0
. ( ) . ( )
0
( ). ( ).
x y z
z y z y
xy yz zx
y y
V Q y V Q z
t y I t z I
σ σ σ
τ τ τ
= = =
= = =
2.1 L V dx
0
. .
2 .
z
zU G A
β= ∫
(9.7) 
2 2
´ ´´ ´ ´´
2 2 2 2
( ). ( ).
. .
( ) ( )
y y
z z z z y
y zA A
Q y dA Q z dAA A
I t y I t z
β β β β β= + = =∫ ∫
9
10
9
100:sec
55
0:tansec
´´´
´´´
=→==
=→==
zzz
zzz
circularescionesen
gularesreccionesen
βββ
βββ 66
(9.8) 
Sección 9.2.1: Energía de deformación 
 7
• Caso de secciones abiertas de pequeño espesor 
 
 y por un procedimiento análogo al anterior: 
 
 
 
 
. TORSIÓN: T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
siendo:
 
C 
• Casode secciones macizas circulares 
 
 
 
• Caso de secciones macizas no circulares o secciones de pequeño espesor
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
to → 
 
Componentes del estado de tensiones: 
≠=≠ zxyzxy
zyx
τττ
000 === σσσ
000
2 2 2.( ) .
2. 2. ( ).
z y
xy zx xs xs
y
u siendo
G G t
τ τ τ τ= + = =
. ( )1 1 V Q s
s I
2.1
.
L V dx
0
. .
2
z
zU G A
β= ∫
2 ( ).Q s dAA
2 2. ( )
y
z
y AI t s
β = ∫
TT
x
y
z
L Fig.9.6 
Componentes del estado de tensiones: 
000 =
"": eequivalenttorsorinerciademomentoIInsustituciólahaciendo
 
 
 
 
000 ≠=≠
==
zxyzxy
zyx
ττ
σ σσ
τ
2
2 2 21 1 1 ..( ) . .
2. 2. 2.xy zx o
T ru
G G G I
τ τ τ
⎛ ⎞
= + = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
0
.1 .
2 .
L
o
T dxU
G I∫
2 2 2. .T r T dx
→= 22 2. . . .2. . 2. .o oV V L A
U u dV dV r dA
G I G I
= = =∫ ∫ ∫ ∫
(9.9) 
2.1 L T dx
0
.
2 . t
U
G I
= ∫
(9.10) 
(9.11) 
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
D. CASO GENERAL: TRACCIÓN-COMPRESIÓN (N) + FLEXIÓN (Mz, 
My, Vy, Vz) + TORSIÓN (T): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
Vz
T N
8 
Aplicando el Principio de Superposición, la energía de deformación total será la suma 
de las energías de deformación obtenidas para cada una de las solicitaciones actuando 
por separado, así será: 
 
 
 
y sustituyendo los valores obtenidos para cada uno de dichos términos: 
 
 
 
 
Observaciones: 
 
Todos los términos de la expresión (9.12) no tienen el mismo orden de magnitud. Así 
por ejemplo generalmente: 
 
 
 
con lo cual, en la mayoría de los casos, se suelen despreciar los términos debidos a las 
fuerzas cortantes: 
 
 
Igualmente, en la mayoría de los casos, se cumple que: 
 
salvo en los casos de Tracción-Compresión con pequeña excentricidad 
 
 
 
 
 
x
y
L
Mz 
My
Vy
Fig.9.7 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z yU U N U V U V U T U M U M= + + + + + z
2 22 2 2
0 0 0 0 0 0
. .. . .1 1 1 1 1 1. . . .
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 .
L L L L L L
y yz z
y z
t y
V dx M dxN dx V dx T dx M dxU
E A G A G A G I E I E I
β β= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2.
z
(9.12) 
( ), ( ) ( ), ( ), ( )y z yU V U V U T U M U M<<< z
( ), ( )y zU V U V
( ) ( ), ( )y zU N U M U M<<
Sección 9.2.2: Teorema de Castigliano 
9.2.2.- TEOREMA DE CASTIGLIANO 
 
Sea un cuerpo elástico, apoyado de tal forma que le sea imposible moverse y sobre él se 
aplican gradualmente las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn. 
 
Se supone que se cumplen las condiciones vistas en 3.3, por las que se podrá considerar 
que el trabajo que realizan las fuerzas externas se transforma todo en energía de 
deformación (campos conservativos) 
 
Los desplazamientos que sufren los puntos de aplicación de dichas fuerzas: ∆i ( i→i2 ), 
se descomponen en dos componentes, los desplazamientos δi (i→i1) que van en la 
misma dirección que los vectores fuerza Fi, y los desplazamientos (i1→i2) en 
direcciones perpendiculares a las anteriores. 
 
Esta descomposición se hace así para que en el cálculo del trabajo que realizan las 
fuerzas exteriores tan sólo haya que tener en cuenta las componentes δi, que van en la 
misma dirección que las fuerzas aplicadas, pues las otras componentes, al ser 
perpendiculares a las direcciones de las fuerzas aplicadas, no realizan trabajo. 
 
 
 9
 F2F1
 
 δ1 δ2 Fi δii i1 
∆i i2 
 δn
 
 Fn
Fig.9.8.a 
 
La energía de deformación del cuerpo será función de las fuerzas aplicadas sobre él: 
 
),..............,,( 21 ni FFFFUU = 
 
Si se diera un incremento infinitesimal a una cualquiera de las fuerzas aplicadas, por 
ejemplo la Fi, la energía de deformación sería: 
 
 
 F2F1 
 
. (9.13)i
i
UU dF
F
∂
+
∂
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fi dFi 
Fn
Fig.9.8.b 
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
Si se considerase ahora un segundo estado de cargas, en el que se invierta el orden de 
aplicación de las fuerzas externas, así, se aplica en primer lugar dFi y a continuación las 
restantes fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn. La energía de deformación sería ahora: 
 
 
10 
 
eorema de Castigliano
 F2F1 
 
 
 
1 . . . (9.14)
2 i i i i
dF d U dFδ δ+ +
 
 
 
 
 
 
 
En efecto: 
• al aplicar primero dFi, se realizará un trabajo de valor: 
 
• al aplicar a continuación el resto de las fuerzas: F1, F2, …., Fi, …., Fn, se 
 realizará un trabajo: U+dFi.δi 
 
en donde el término: dFi.δi es el trabajo indirecto que realiza dFi, que ya estaba 
aplicado, al aplicar ahora el resto de las fuerzas y desplazarse su punto de 
aplicación δi. 
 
Y como según se sabe, en el caso de campos conservativos: “el trabajo que realizan las 
fuerzas externas es igual a la energía de deformación y su valor depende solamente de 
los valores iniciales y finales de dichas fuerzas y no de su orden de aplicación”. Como 
consecuencia de ello serán iguales los dos valores obtenidos de la energía de 
deformación para los dos estados de cargas considerados, ecuaciones: (9.13) y (9.14). 
Así pues se verificará: 
 
 
 
 
y despreciando infinitésimos de 2º orden frente a los de 1º: 
 
 
 
T : “ el desplaz
exterior que actúa sobre un cuerpo, 
derivada parcial de la energía de defor
 
 
 
 
 
Fi dFi 
Fn 
Fig.9.8.c 
ii ddF δ..2
1
=
∂
∂
i
i
dF
F
U . iiii dFUddF δδ ...2
1
+++U
i
i F
U
∂
∂
=δ→=
∂
∂
iii
i
dFdF
F
U δ.. )
(9.15
 
amiento del punto de aplicación de una fuerza 
medido en dirección de la misma, es igual a la 
mación respecto de dicha fuerza” 
Sección 9.2.2: Teorema de Castigliano 
 11
bservacionesO : 
1. En el caso de que fuera un momento, en lugar de una fuerza, la carga que 
 
 
2. La energía de deformación U, es la dada en (9.12) 
 
3. El Teorema de Castigliano determina los desplazamientos de los puntos de 
 
. Si se quisiera calcular el desplazamiento δi de un punto donde no actuase 
 
 
 
actuase sobre el cuerpo, el giro producido se podría obtener de igual forma a 
través del Teorema de Castigliano. Siguiendo un proceso análogo al anterior, la 
relación sería en este caso: 
 
 
i
i
U
∂M
∂
=ϑ (9.16)
 
 
2 22 2 2 2. .. . . .1 1 1 1 1 1L L L L L L
z
V dx M dxN dx V dx T dx M dx
0 0 0 0 0 0
. . . .
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 .
y yz z
y z
t y
U
E A G A G A G I E I E I
β β= + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
aplicación de las fuerzas exteriores, en dirección de las mismas, así como los 
giros de las secciones de aplicación de los momentos exteriores. 
Fi 
Fi 
δi δi 
θi
Mi
Fig.9.9.a 
 
4
ninguna fuerza exterior, el Teorema de Castigliano se aplicaría de la siguiente 
forma: se supondría que hubiese una fuerza Fi actuando en dicho punto, a 
continuación se aplicaría el Teorema de Castigliano y finalmente se haría que 
dicha fuerza fuese nula (Fi = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 F1 
F2 F2 Fi 
δi δi 
⇒ 
Fig.9.9.b 
0=⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝ ∂
= i
i
i FparaF
δ
⎞⎛ ∂U
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
12 
.2.3.- TEOREMA DE LOS TRABAJOS VIRTUALES9 
ste Teorema dice: “ la condición necesaria y suficiente para que un cuerpo o sistema 
iendo: 
 
siendo: Fi cargas exteriores aplicadas 
poyos 
ecciones Fi
direcciones Ri
 
Teniendo en cuenta que las fuerzas internas de una rebanada de un cuerpo, de longitud 
e calculará a continuación el trabajo virtual de las fuerzas internas para dos tipos de 
RACCIÓN-COMPRESIÓN (N) 
 
 
 
bservación
 
E
material esté en equilibrio es que la suma de los trabajos de todas las fuerzas que 
actúan sobre él, tanto exteriores como interiores, para cualquier conjunto de 
desplazamientos que sean compatibles con los enlaces del cuerpo, sea nulo” 
 
 
s
 
 
 
 →
 Ri → reacciones externas en los a
 δ´i → desplazamientos virtuales en las dir
 ∆´i → desplazamientos virtuales de los apoyos en las 
 
 
 
 
dx, son iguales y opuestas a las fuerzas externas que actúan sobre ella, el trabajo virtualque realizarán las fuerzas internas, durante la deformación virtual, será igual y de signo 
opuesto al que realizan las fuerzas externas. 
 
S
solicitaciones concretas: 
 
T
 
 
 
 
 
O : el signo menos es 
s 
nto irán 
en sentidos contrarios y el trabajo será negativo. 
0 (9.17)Τ + Τ =
exterioresfuerzaslasdevirtualtrabajo´ →Τ
´ ´
e i
erioresfuerzaslasdevirtualtrabajoi
e
int´ →Τ
debido a que las fuerzas interiore
siempre se oponen a los 
desplazamientos, por lo ta
 
 
:´de Τ ´´´ .. RF ∆+=Τ ∑∑ δeCálculo iiiie
:´deCálculo Τi
Fe Fe NN
ε´x.dx 
dx
desplazamiento virtual
Fig.9.10.a 
´ ´
( int )
.( . )
e
i x
N f erza erna F
dxε
u
N
= −
Τ = −
(9.18)
Sección 9.2.3: Teorema de los Trabajos Virtuales 
FLEXIÓN (Mz) 
 
 giro virtual
 
 13
 
as expresiones de las deformaciones virtuales: ε´x, γ´xy, γ´xz, dϕ´x, dθ´y, dθ´z en 
 
 sustituyéndolas en la expresión 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Repitiendo estos resultados para los restantes tipos de solicitaciones: Vy, Vz, T, My, se 
tendrá como fórmula para el caso general que actuasen todos ellos: 
 
L
función de las correspondientes solicitaciones son: 
 
 
 
 
 
y
del T´i se tendrá: 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo finalmente los valores obtenidos de T´e y T´i en la ecuación (9.17), 
quedará finalmente: 
 
(9.20) 
 
 
 
 
 
 
dθ´z 
).(
)int(
´´
zzii
ez
dM
MernomomentoM
ϑ−=Τ
−==
Me Me 
Mz Mz 
dx Fig.9.10.b 
´ ´ ´ ´ ´ ´
0 0 0 0 0 0
.( . ) .( . ) .( . ) .( ) .( ) .( )
L L L L L L
i x y xy z xz x y y zN dx V dx V dx T d M d M d
´
zε γ γ ϕ ϑΤ = − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ϑ
´´ ´
´ ´ ´
´´ ´
´ ´ ´
. .
. . .
.. .
. . .
y z
x xy y xz z
y z
x y z
t y z
VN V
E A G A G A
M dxT dx M dxd d d
G I E I E I
ε γ β γ β
ϕ ϑ ϑ
= = =
= = =
´ ´´ ´ ´
´
0 0 0 0 0
´
0
. .. . .. . . . . . .
. . . . .
. . (9.19)
.
L L L L L
y y y yz z
i y z
t y
L
z z
z
V V M MN N V V T Tdx dx dx dx dx
E A G A G A G I E I
M M dx
E I
β βΤ = − − − − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
´´ ´ ´
´ ´
0 0 0 0
´ ´
0 0
.. . .. . . . . . . .
. . . .
. .. .
. .
L L L L
y y z z
i i i i y z
t
L L
y y z z
y z
V VN N V V T TF R dx dx dx dx
E A G A G A G I
M M M Mdx dx
E I E I
δ β β+ ∆ = + + + +
+ +
∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
14 
bservacionesO : 
1. N, Vy, Vz, T, My, Mz → solicitaciones reales 
s (las correspondientes a 
 
2. El Teorema de los Trabajos Virtuales es más general que el Teorema de 
 
3. Para aplicar el Teorema de los Trabajos Virtuales es conveniente hacerlo a 
 
 
ÉTODO DE LA CARGA UNITARIA
 
N´, V´y, V´z, T´, M´y, M´z → solicitaciones virtuale
 los desplazamientos virtuales) 
Castigliano y puede aplicarse también al caso de que hubiese asientos en los 
apoyos 
través del llamado “Método de la Carga Unitaria”, que se expondrá a 
continuación a través de un ejemplo: 
M 
n la viga de la figura, se desea calcular la flecha en su punto medio C 
e considera la viga sometida a dos sistemas de cargas: 
 Estado de carga 1
 
E
 
 
q kg/m 
L 
L/2 A B
C
 
 
 
 
 
 
 
S
 
 
 Estado de carga 2 
 viga sometida a las cargas reales la viga sometida a una carga unitaria 
 
 
la
 aplicada en el punto medio C y en 
 dirección de su desplazamiento 
 
q kg/m 
R´A 
C
yC 
deformación real 
R´B 
R´A = R´B = q.L/2 Kg 
1 kg 
RA 
C
yC 
deformación virtual = 
deformación real estado 
de carga 1 
RB 
RA = RB = 1/2 Kg 
 
 
Sección 9.2.3: Teorema de los Trabajos Virtuales 
 15
plicando el Teorema de los Trabajos Virtuales, (ecuación (9.17)), a la viga del 
e desprecia el trabajo interno debido a las fuerzas cortantes Vy, por ser de pequeño 
endo: 
 sustituyendo todos estos valores: 
A
estado de carga 2, a la cual se le ha dado una deformación virtual que sea la misma 
que la deformación real que tendrá la viga con el estado de carga 1, se tendrá: 
 
´ ´ ´L L L 
 
´ ´
0 0 0
. . .. . . . . .
. . .
y y z z z z
i i i i y
z z
V V M M M MF R dx dx dx
G A E I E I
δ β+ ∆ = + ≅∑ ∑ ∫ ∫ ∫
 
 
(s
valor con respecto al producido por los momentos flectores Mz, (ver 2.9.1 apartado 
D)) 
 
si
2
...
2
.)
2
.(1.
2
12/
2
...
2
..
2
12/0
0
2
,1
´
´
´´
xxqxLqMLxxMLxL
xxqxLqMxMLx
yKgRRRKgF
zz
zz
iCiBAii
−=−−=−−
−==−−
=∆==== δ1 
 
 
 
 
 
 
y
 
z
L L
L
C IE
dxxxqxLqLxxdxxxqxLqx
y
.
.
2
...
2
..)
2
.(1.
2
1.
2
...
2
...
2
1
0.1
2/
0 2/
∫ ∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=+ 
 
 operando: 
 
 
 
z
C IE
y
..384
=
Lq..5 4y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
16 
.3.- FLEXIÓN Y TRACCIÓN-COMPRESIÓN COMBINADAS9 
Sea el caso de un elemento estructural sometido, a las vez, a las solicitaciones: N, Vy, 
álculo de Tensiones:
 
Vz, My, Mz
 
 
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
 
 
C 
e calcularán aplicando el Principio de Superposición: 
RACCIÓN-COMPRESIÓN: (N) → σx (ver sección 4.2) 
LEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz) → τ (ver secciones: 5.4.2, 5.4.3 y 5.4.4) 
álculo del Eje
 
S
 
T
 
F
 (My, Mz) → σ (ver sección: 5.4.1) 
 
 
 
 
 
C Neutro: 
 
La ecuación del eje neutro, será: 
bservación: El eje neutro ya no pasará por G y el punto de max será el más alejado del 
z
L
Mz 
My
N
Vy
Vz
G
Fig.9.11 
( ) ( , )
( , )
x x x y z
y z
N M M
V V
σ σ σ
τ τ
= +
=
0 ( ) ( , ) 0x x x x y zN M Mσ σ σ σ= → = + =
 
O σ
mismo. 
 
 
n 
n 
z 
y 
G
σmax
Fig.9.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sección 9.3: Flexión y Tracción-Compresión combinadas 
 17
Cálculo de Deformaciones:
 
 
 
Se podrán calcular aplicando igualmente el Principio de Superposición, empleando para 
ello las fórmulas obtenidas para el cálculo de las deformaciones en los capítulos 
correspondientes: 
 
TRACCIÓN-COMPRESIÓN: (N) → ∆L (ver sección: 4.3) 
 
FLEXIÓN SIMPLE: (Vy, Vz, My, Mz) → Giros:θy, θz, Flechas: y, z (ver secciones: 
6.2, 6.3, 6.4) 
 
o bien a través del Teorema de Castigliano o el de los Trabajos Virtuales: 
 
A- Por el Teorema de Castigliano: 
 
 
 
 y despreciando los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará: 
 
 
 
 
 
 
B- Por el teorema de los Trabajos Virtuales: 
 
despreciando igualmente los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, 
quedará: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z y zU U N U V U V U M U M= + + + +
0 0 0
. . .
. . .
. . .
y z
y zL L L
i i i
i
i y z
M MNN M M
F F FU dx dx dx
F E A E I E I
δ
∂ ∂∂
∂ ∂ ∂∂
= = + +
∂ ∫ ∫ ∫
´´ ´
´ ´
0 0 0
.. .. . . . .
. . .
L L L
y y z z
i i i i
y z
M MN N M MF R dx dx dx
E A E I E I
δ + ∆ = + +∑ ∑ ∫ ∫ ∫
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
18 
 
9.3.1- CASO PARTICULAR: TRACCIÓN-COMPRESIÓN EXCÉNTRICA
 
La Tracción-Compresión excéntrica es un caso particular de la Flexión + Tracción-
Compresión combinadas visto en el apartado anterior. 
 
Caso particular 1º:
 
Barra sometida a Tracción-Compresión excéntrica, actuando sobre uno de los ejes 
principales de inercia de la sección transversal (Izy = 0): 
 
 los ejes y, z son ejes principales de inercia → Izy = 0 
 
Cálculo de las tensiones: 
 
TRACCIÓN (N): 
 
 
 
 
 
 
 
FLEXIÓN (Mz): 
 
 
 
Aplicando el Principio de Superposición , la tensión total será: 
 
 
 
 
F F 
G 
e x 
y 
z 
L 
x 
z 
y 
G 
a 
b 
N = F 
Mz = F.e 
F 
F 
F.e 
x 
Fig.9.13 
x
N F
A A
σ = = G 
a 
b 
x 
zz
z
x I
yeF
I
yM ...
==σ G 
a 
b 
x 
. .( ) ( )x x x z
z
F F e yN M
A I
σ σ σ= + = +
G 
a 
b 
x 
yn 
n 
G 
a 
b 
x 
yn 
n 
G 
a 
b 
x 
yn 
n 
( ) ( )a a zsi N Mσ σ> ( ) ( )a a zsi N Mσ σ= ( ) ( )a a zsi N Mσ σ<
Sección 9.3.1: Caso particular: Tracción-Compresión excéntrica 
 19
álculo del eje neutro:Cendo 
2. .F e y( ) ( ) 0
.
n z z
x x x z n
z
I iFN M y
A I A e e
σ σ σ= + = + = → = − = −
2 ""si inerciaderadio
A
Ii z=z 
bservaciones: 
utro depende de la excentricidad “e” con la que se aplique 
enta) 
esto al punt de aplicación de la carga (ello es 
 
 
 
 
 
 
 
Cas
 
O
• La posición del eje neutro no depende del valor de la carga F aplicada 
• La posición del eje ne
la carga F y ocurrirá que: 
si: e ↑ (aumenta) ⇒ yn ↓ (disminuye) y viceversa: 
si: e ↓ (disminuye) ⇒ yn ↑ (aum
• El eje neutro estará del lado opu o 
debido al signo menos de la fórmula obtenida) 
nn
G
F
z 
 
 
 
 
o particular 2º:
 
céntrica, actuando fuera de los ejes 
álculo de las tensiones: 
Barra sometida a Tracción-Compresión ex
principales de inercia de la sección transversal (Izy = 0): 
e 
yn 
FF 
G 
ey 
x 
y 
z 
L 
y
x 
x 
z 
y 
G 
N = F Mz = F.e
 
C 
RACCIÓN (N): 
LEXIÓN (Mz, My): 
 
T
 
 
 
F
 
 
y 
ez 
My = F.ez 
F
F
F.ey
Fig.9.14 
x
N F
A A
σ = =
y
z
z
y
y
y
z
z
x I
zeF
I
yeF
I
zM
I
yM ......
+=+=σ
F.ez
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
20 
plicando el Principio de Superposición , la tensión total será: 
o:
A
 
 
 
 
 
Cálculo del eje neutr 
 
 
 
 
Para dibujar el eje neutro se hallarán sus puntos de intersección con los ejes 
coordenados 
 
 
 
 
 
bservaciones: 
• La posición del eje neutro no depende del licada, pero sí 
depende de la excentricidad con la que actúe dicha carga. 
• Si la carga F se aplica en el punto 1, de excentricidad ey1, el eje neutro será el 
por lo v = - i2z / ey1. 
Si la carga F se aplica en el punto 2, de excentricidad ez2, el eje neutro será el 
n2n2, siendo por lo visto anteriormente: zn2= - i2y / ez2. 
Si la carga F se aplica en un punto cualquiera de la recta r, que une los puntos 1 
1 y F2, aplicadas en los 
puntos 1 y 2 respectivamente y según el Principio de Superposición, su efecto 
irán, actuando por separado, las cargas 
componentes F pasará necesariamente por el 
1 1 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
valor de la carga F ap
n1n1, siendo isto anteriormente: yn1
y 2, se podrá descomponer en sus dos componentes: F
será la suma de los efectos que produc
1 y F2. Según ello la línea neutra 
punto 3, intersección de los ejes neutros n n y n n
 
 
2 2
z yi
. . . .( ) ( , ) 0 ( )n z nx x x z y
z y
F e y F e zFN M M dividiendo por F
A I I
. .1 0 ( min )
. .. .1 0 1 0
y n z n
z y
y n y nz n z n
z y
e y e z dividiendo el deno ador por A
A I I
e y e ye z e z
A I I iA A A
σ σ σ= + = + + =
+ + =
+ + = + + =→
G 
F 
z 
y
n ey 
yn
ez
n 
zn 
z
y
n
y
z
n
e
i
z
e
iy
n
n
y
2
2
0 −=→=
−=→z 0=
(9.22) 
. . . .F e y( ) ( , ) y zx x x z y
z y
F e zFN M M
A I I
σ σ σ= + = + + (9.21) 
G 
y 
e
F 
z
y1
e
1
n2
yn1
z2
n
z 2 
(F1) 
(F2)
n1 
n2
3
n2
1 
r
F
F1 F2
1 2
Sección 9.3.1: Caso particular: Tracción-Compresión excéntrica 
NÚCLEO CENTRAL: 
 
cación de la carga F, el eje neutro podrá 
o Núcleo Central: 
 carga F para que el eje 
 
 
 
 
rimer caso
Dependiendo de la posición del punto de apli
cortar o no a la sección transversal. En función de ello se define com
“la zona de la sección transversal donde podrá aplicarse la
neutro no corte a la sección”
 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P : F se aplica dentro del Núcleo Central ⇒ El eje neutro no corta a la 
cción ⇒ Todos los puntos de la sección trabajan a Tracción (σx >0) o a Compresión 
x <0) 
egundo caso
se
(σ
 
S : F se aplica fuera del Núcleo Central ⇒ El eje neutro corta a la sección 
 Hay parte de la sección que trabaja a Tracción (σx >0) y otra parte a Compresión (σx 
0). 
uación el Núcleo Central para dos casos frecuentes de secciones 
⇒
<
 
Se calculará a contin
ansversales: tr
 
A.-SECCIÓN CIRCULAR 
 
Se situa el eje neutro n-n tangente al círculo, es decir haciendo: yn = R. Para e ello 
ocurra, la excentricidad ey, con la que habrá que aplicar la carga será: 
 
 por simetría de la figura se podrá concluir diciendo que: “el Núcleo Central de una 
cción circular es un círculo, con el mismo centro y con radio R/4” 
qu
 
 
Y
se
 
 
 
G 
F 
z n 
n 
G
F 
z 
y
n 
n 
Núcleo Central Núcleo Central 
Fig.9.15.a y Fig.9.15.b 
G 
F 
z
y 
ey 
yn = R 
n n 2
2 2
(
4
.:
4
z
n
z
z
y
n n
iy ve
I
i
9.22)r
ye
4.R
RRAde donde e
y y R
π
= −
π
= − = − = − =
−
Fig.9.16.a 
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
 
 
G 
22 
 
 
 
 
 
 
G 
R/4 
 
 
B.-SECCIÓN RECTANGULAR 
 
Se sitúa el eje neutro n1-n1 en el borde superior del rectángulo, es decir haciendo
yn = -h/2. Para que ello ocurra, la excentricidad ey1, con la que habrá que
será: 
 
 
R 
núcleo 
Fig.9.16.b central 
: 
 aplicar la carga 
hac d
zn = b r
será
 
Si se tr
la carg
el p nt 2, sin cortar al interior del 
des del rectángulo resultará 
ue: “el Núcleo Central de una sección rectangular es un rombo, con el mismo centro y 
e semidiagonal / b/6” 
 
3 n1 n1 
n2 
 
 
 
 
Se sitúa ahora el eje neutro n2-n2 en el borde izquierdo del rectángulo, es decir 
ien o: 
/2. Para que ello ocurra, la excentricidad e , con la que hab - z2 á que aplicar la carga 
: 
 
 
 
 
 
aza ahora la recta r que pasa por los puntos 1 y 2 y por lo visto anteriormente: “si 
a externa F se aplica sobre la recta r, entre dichos puntos, el eje neutro pasará por 
o 3 de intersección de los ejes neutros: nu 1-n1 y n2-n
rectángulo. Repitiendo este 
q
procedimiento a los otros bor
d es h 6 y
 
 
 
 
 
b 
h z 
y 
r 1 
2 
n2 
zn = b/2 
yn = h/2 
ey1
ez2
Fig.9.17.a 
2
1
3
( 9.22)
.
:
/ 2 6
z
n
y
z
z
y
n n
i ver
e
b h
I
i hAe donde e
y y h
= −y
12
.b h
2
1d = − = − = − =−
62/
.:)19.9( 2
2 b
hb
zz
edondedever
e nn
z
z
=
−
−=−=−=→
12
.
22
b
A
I
ii yyy
3
b
h
zn −=
Sección 9.4: Flexión y Torsión combinadas 
 
 
 
 
 23
.4- FLEXIÓN Y TORSIÓN COMBINADAS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9
 
Sea el caso de un elemento estructural sometido, a las vez, a las solicitaciones: N, Vy, 
Vz, T, My, Mz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de Tensiones: 
Se calcularán aplicando el Pr
 
 
TORSIÓN: (T) → er seccion : 8.2, 8.3, 8.4 y 8.5) 
 
FLEXIÓN SIMPLE: y, Vz) → τ (ver secciones: 5.4.2, 5.4.3 y 5.4.4) 
 (My, M
 
bservación
incipio de Superposición: 
τ (v es
(V
z) → σ (ver sección: 5.4.1) 
 
 
 
O : en la mayoría de los casos τ (Vy, Vz) << τ (T) y se suelen despreciar, 
niendo en cuenta sólo entonces: τ (T) te
b 
h z 
y 
h/6 
b/6 
núcleo 
central
Fig.9.17.b 
z
Vz
x
y
Mz 
My
T
Vy 
G
Fig.9.18 
( , )
( , ) ( )
x x y z
y zV V T
M Mσ σ=
τ τ τ= +r r r
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
24 
álculo de Deformaciones:C 
e podrán c ición, empleando para 
llo las fórmulas obtenidas para e álculo de las deformaciones en los capítulos 
orrespondientes: 
ORSIÓN: (T) → θx ,ϕx (ver secciones: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5) 
LEXIÓN SIM y, Vz, My, Mz) → G Flechas: y, z (ver secciones: 
.2, 6.3, 6.4) 
stigliano o el de los Trabajos Virtuales: 
 
 
bidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, quedará: 
 
 
B.-Por el teo
 
despreciando igualmente los términos debidos a las fuerzas cortantes Vy y Vz, 
edará:
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y z y zU V U V U T U M U M= + + + +
 
S alcular aplicando igualmente el Principio de Superpos
e l c
c
 
T
 
iros:θy, θz, F PLE: (V
6
 
o bien a través del Teorema de Ca
 
A.-Por el Teorema de Castigliano: 
 
U
 y despreciando los términos de
 
 
 
 0 0 0
. . .
.
.
y z
y zL L
i i
i
t y z
M MTT M M
F FU dx dx dx
G I E I E I
δ
∂ ∂∂
∂ ∂∂
= = + +∫ ∫. .
L
iF∂∫ . .iF∂
rema de los Trabajos Virtuales: 
qu 
 
´ ´
´ ´
L L L
yM M M M´. .T T
0 0 0
. . . . .
. . .
z z
i i i i
t y z
.yF R dx dx dx
G I E I E I
δ + ∆ = + +∑ ∑ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muSección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muy esbeltas 
 
 25
9.5-FLEXIÓN Y COMPRESIÓN COMBINADAS EN PIEZAS MUYESBELTAS
 
 
 
9.5.1-INTRODUCCIÓN
 
En el caso de das a flexión-compresión combinadas, habrá 
que tener en consideración nuevas precisiones a lo ya visto anteriormente, en base a los 
siguientes hechos: 
 
 
 
En la fig.10.29.a., se representa una viga sometida a la carga F de compresión y a la 
carga lateral P que produce flexión. Se indica así mismo la elástica y0 y el diagrama de 
momentos flectores Mz0 debidos a la carga P. Tanto la elástica como el diagrama de 
momentos flectores los podremos obtener con los conocimientos estudiados hasta ahora. 
 
En la fig.10.29.b., se representa de nuevo la misma viga con las mismas cargas, pero se 
ha tenido en cuenta que la elástica producida por la carga de flexión P se ha visto 
amplificada por la carga de compresión F, dando lugar a la elástica y. Así mismo 
ocurrirá con el diagrama de momentos flectores. 
 
Así pues ocurrirá: 
 
y0 , Mz0 → elástica y momento flector debidos sólo a la carga lateral P (Tema 9) 
 
y, Mz → elástica y momento flector debidos a la carga lateral P y amplificados 
 debido a la carga de compresión F (Tema 10) 
 
Observación: La amplificación de la flexión debido a la carga de compresión, es un 
efecto que habrá que tener muy en cuenta sobre todo en el caso de piezas muy esbeltas y 
sometidas a cargas grandes, pues es en estos casos donde dicha amplificación toma una 
importante relevancia. En el resto de los casos: piezas no muy esbeltas o piezas muy 
esbeltas pero con cargas no muy grandes, que son la mayoría de los casos que se nos 
darán en la práctica, no será necesario su consideración. 
 
 
F 
P 
y0
Mz0 
x 
Mz0
P 
F 
Mz
y
y0
Mz0
Mz
 Fig. 10.29.a Fig. 10.29.b 
x 
 piezas muy esbeltas solicita
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
26 
9.5.2-ESTUDIO DE LA FLEXIÓN-COMPRESIÓN EN PIEZAS MUY 
ESBELTAS SOMETIDAS A GRANDES CARGAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de la elástica amplificada
 
La ecuación diferencial de la línea elástica será: 
 
 
sustituyendo: 
 
 
 
 
haciendo: 
 
 
 
La solución de la ecuación diferencial será de la forma: 
 
 
 
en donde yp, es la solución particular y será una expresión de la misma forma que Mz0
 
Ejemplo: Resolvamos la ecuación diferencial para el siguiente caso concreto 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
F 
x 
y 
x 
y 
 Fig. 10.30 
lateralesasclaasólodebidoflectormomentoM
yFMMsiendo
IE
M
dx
yd
z
zz
z
z
arg:
.:
.
0
0
2
2
+=−=
elásticaladeldiferenciaecuación
IE
My
IE
F
dx
yd
IE
yFM
dx
yd
z
z
zz
z
.
.
..
. 0
2
20
2
2
−=+→
+
−=
elásticaladeldiferenciaecuación
IE
Myk
dx
yd
IE
Fk
z
z
z
z
z .
.
.
0
2
2
2
2 −=+→= (10.36) 
(10.35) 
pzz yxkCxksenCy ++= .cos... 21 (10.37) 
q 
F 
x 
y 
 Fig. 10.31 
L 
RA= q.L/2 RB= q.L/2 
ymax
y = y(x)
Sección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muy esbeltas 
 
 27
 
 
 
 
 
álculo de las const
54
2
321
0
54
2
3
2
0
...cos...
)(..
2
..
2
.
CxCxCxkCxksenCyelásticaladeecuación
MquegradomismodelCxCxCyxqxLq
zz
zpz
++++=
++=→−=M
C antes C3, C4, C5 : 
 
 
Cálculo de las constantes C1, C2 : poniendo ecuaciones de contorno de la elástica: 
 
 
 
 
 
 
nte todas las constantes calculadas en la ecuación de la elástica 
0.38. quedará: 
 
 
 
 
jemplo de la fig.10.31) 
álculo de la fle
 
 
y sustituyendo finalme
1
 
 ”ecuación de la línea elástica amplificada” (para el e
 
 
C cha máxima
 
La flecha máxima, para el ejemplo que se está analizando, se dará en x = L/2 y valdrá: 
:serála
2
1 2 3 4 5
1 2 3 4
2
2 2
1 2 32
. . .cos . . .
vando estos valores a la ecuación
. .cos . . . . 2. .
diferencialde la elástica (10.36) quedará:
. . . . .cos . 2.
z z
z z z z
z z z
C sen k x C k x C x C x C
y C k k x C k sen k x C x C
x
y C k sen k x C k k x C
⎫
= + + + + ⎪y
lle
z
⎪
= − + + →⎬
⎪
⎪
= − − + ⎪⎭
(10.38) 
d ⎪
d
d
dx
2 2 2 2
1 2 3 1 3 4 5
2
2 2 2 2 2
. . . . .cos . 2 .( . cos . . . )
1 .. . . y operando :
. mi
z z z z z zk sen k x C k k x k C sen k x C x C x C
q L qx x
q q L
+ + + + + =
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎛ ⎞
C− − .C 2. .zk x C+
= −
3 4 3 5. ). ( . ). (2. . ) . . e igualando tér2. . 2. .z z z z z
C x k C x C k C x x
E I E I
+ + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. 2 2zE I ⎝ ⎠
⎛ ⎞
(k
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 4 52 2 4
nos :
.
.2. . .2. . .z z z z z z
q L qC C C
k E I k E I k I
− −
= = =
q
.E
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=⇒=→=
=⇒=→=
Lse
Lk
I
qCyL
IEk
qCy
z
z
z
zz
.
.cos1.
.
0
..
00
41
42x
x
Ekz . kn
⎥
⎦
⎤⎡
−
− )..cos1 2
2
xxkLkq (10.39) ⎢
⎣
−−+= .(
2
1.cos..
.
.
..4
Lxkxksen
LksenIEk
y zzz
z
z
zz
( )
2 2 2
max 4
2
4
max 4
. . cos . 1 .
2 . . . 2 2 2 2 4
24. sec 1. 5. . 2haciendo : . "flecha máxima amplificada "
2 384. . 3.
z
z z
z z z
z
z
kL L L Lsen k k
k E I sen k L
uuk L q Lu y
E I u
⎤⎛ ⎞
+ − − −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
− −
= → =
1 cos .( ) . zk LL qy y x
⎡ −
= = =
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
28 
bservaciones:
 
O
 
1.- La carga F de compresión a amplificado la elástica producida por la carga lateral q 
 
En efecto: En el ejemplo visto anteriormente, si la viga sólo hubiese estado sometida a 
 
 
 
resión F (ver fig.10.33), el valor 
obt
 
 
 
 
 
 
 
omentos flectores amplificados
la carga lateral q, (ver fig 10,32), el valor de la flecha máxima que se obtendría sería: 
 
 q 
 
 
En el caso de considerar también la carga de comp
enido para la flecha máxima ha sido: 
 
C
 
omparando ambos valores se puede poner: 
 
 
 
 
 
 
M
 
Conocida ya la elástica amplificada, el momento flector amplificado se podrá obtener 
or dos procedimientos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
q 
F 
 Fig. 10.33 
ymax
y 
y0 
 Fig. 10.32 
y0max
y0 
zIE
Lqy
..384
..5 40
max =
(valor obtenido de Tablas) 
4
2
4
max .3
2
1sec.24
.
..384
..5
u
uu
IE
Lqy
z
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
2
2
2 4
24. sec 1
"coeficiente de amplificación de la flecha máxima2
siendo:
producida por la carga Fde compresión"3.
u
uu
k
u
⎛ ⎞
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠=
0 0
max max 2 max4
24. sec 1
2
. .
3.
u
y y k y
u
− −⎜ ⎟
⎝ ⎠= =
2
2
2
2
0
..
.
)
.)
dx
ydIEM
IE
M
dx
yd
yFMM
zz
z
z
zz
−=→−=
+= (10.40) 
(10.41) 
1
2
Sección 9.5: Flexión y compresión combinadas en piezas muy esbeltas 
 
 29
 
0.39 y quedará: 
 
 
 
Cálculo del momento flector máximo
 
Así para el ejemplo que nos ocupa, la elástica amplificada viene dada por la ecuación
1
0
 
El momento flector máximo, para el ejemplo que se está analizando, se dará en x = L/2 
y valdrá: 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones:
 
1.- La carga F de compresión a amplificado el momento flector producido por la carga 
teral q la
 
En efecto: En el ejemplo visto anteriormente, si la viga sólo hubiese estado sometida a 
la carga lateral q, (ver fig 10.34), el valor del momento flector máximo que se obtendría 
sería: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 2
4
1 cos .. . . . . . . cos . 1 .( . )
2 2 . . . 2
z z
z z
z z
k L kq L q qx x F sen k x k x L x x
k E I sen k L
2
.
y operando
1 cos .. . . cos . 1 " mento flector amplificad
.
z z z
z
z z z
z z
F y
k LqM sen k x k x
sen k L
= + =M M
⎡ ⎤−⎛ ⎞= − + + − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠
mo o"
k
⎣ ⎦
⎡ ⎤−
= + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
(10.42) 
max 2
2
2
1 cos( ) . . . cos . 1
2 . 2 2
"momen. . 2.(1 cos )haciendo : .
amplificado"2 8 .cos
z
z z z z
z z
z
L q L LM M x sen k k
k sen k L
k L q L uu M
u u
⎡ ⎤−
= = = + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
−
=
.k L
to flector máximo
maxz→ =
q 
 Fig. 10.34 
Mz
L 
x 8
. 20 Lq=maxM z
or obtenido de Tablas) 
M0max (val
0 Mz0
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
En el caso de considerar también la carga de compresión F (ver fig.10.35), el valor 
obtenido para el momento flector máximo ha sido: 
 
 
 q 
 
 
 
 
 
Mzmax 
 
Mz 
 M Fig. 10.35 
30 
 
 
 
álculo de las tensiones amplificadas
 
 
 
 
comparando ambos valores se puede poner: 
z
L 
x 
F 
M0z
uu
uLqM z cos.
)cos1.(2.
8
.
2
2
max
−
=
0
max max 3 max2
3 2
2.(1 cos ). .
.cos
"coeficiente de amplificación del momento flector2.(1 cos )sie :
máximo, debido a la carga Fde compresión".cos
o
z z z
uM M k M
u u
uk
−
= =
−
=
 
 
 
 
ndo
u uC 
plificadas las tensiones que él produce, 
sí para el ejemplo que se está estudiando sería: 
s el mismo coeficiente que el de amplificación de los momentos flectores) 
 
Al amplificarse el momento flector se verán am
a
0 0
3 0
3 3
3
. ( . ). .
. .
"coeficientedeamplificación de s debidas a la flexión2.(1 cos )ndo:
producido por la car ompresión".cos
z y z y z y
f
z
M v k M v M vF F F k k
A I
uk
u u
σ σ= +
−
=
( ) ( )total z
z z
N M
A I A I
σ σ σ= + = + = + = +
las tensione
ga Fdec
sie 2
 
(e
 
 
 
 
 
 
 
Sección 9.6: Introducción al dimensionamiento a resistencia de vigas metálicas sometidas a solicitaciones 
combinadas 
 
9.6-INTRODUCCIÓN AL DIMENSIONAMIENTO A RESISTENCIA DE VIGAS 
METÁLICAS SOMETIDAS A SOLICITACIONES COMBINADAS .(Normativa 
DB-SE-A) 
 
A.- RESISTENCIA DE LAS SECCIONES 
 
1.-Caso de Flexión y Axil: N, Mz, My
 
Criterio elástico de dimensionamiento 
 
Las fórmulas a aplicar serán: 
 
 
 
Criterio plástico de dimensionamiento 
 
Las fórmulas a aplicar serán: 
 
 
Observación: 
En los casos en que no existiesen algunas de las solicitaciones: N, M
a utilizar serían las mismas, sin más que hacer cero la solicitación que
 
 
2.-Caso de Flexión, Axil y Cortante: N, Mz, My, Vy, Vz
***
, , ,
1yz
pl d zel d yel d
MMN
N M M
+ + ≤
***
, , ,
1yz
pl d pl d pl d
MMN
N M M
+ + ≤
) 
 
El estudio se hará indistintamente para las cortaduras: Vy o Vz y la de
general: V 
Siempre que: * ,
1 1. . .
2 2 3
yd
pl d v
f
V V A no habrá que hacer mas c≤ = →
tan sólo las correspondientes al caso 1º (sin cortantes) 
 
Los valores a considerar para el área Av de la sección son los siguient
 
• Secciones macizas de gran espesor: rectangulares, circulares,…
 
Con cortadura V
 
Av = A (área de la sección) 
 
…• Perfiles abiertos de pequeño espesor: IPE, HEB, UPN,……
y: Av = Área del alma del perfil 
 
Con cortadura Vz: Av = Área de las alas del perfil 
 
• Perfiles cerrados de pequeño espesor circulares: 
Av = A.2/ 
 
π
 
 
 
(9.23
z
 
) 
n
o
e
.
(9.24
, My, las fórmulas 
no actúe 
ominaremos en 
mprobaciones 
s: 
…. 
 
31
Tema 9: Solicitaciones Combinadas 
32 
e no se cumpliese lo anterior, es decir: 
uerza Cortante (ver Normativa DB-SE-A) 
 
En el caso de qu
 
 
 
 
habría que hacer una nueva comprobación combinando el Momento flector con la 
*
,
1 1. . . ydpl d v
f
V V A> =
2 2 3
F
 
3.-Otros casos de combinaciones 
Su estudio es objeto de otras asignatu
 
 
 
.- RESISTENCIA DE LAS BARRAS
ras específicas. (Ver normativa) 
B 
nes son objeto de otras asignaturas específicas. 
 
Al considerar ahora la barra en su conjunto se tendrán que hacer nuevas 
comprobaciones, pero estas comprobacio
(Ver normativas) 
 
 
 
 
 
 
Tema 10: Pandeo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 10 : PANDEO 
 
 
 
 
 
 
x 
 Ncr 
 
 
 (2) (1) 2
2
. . z
cr
E IN
L
π
= 
L y 
 
 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
Tema 10: Pandeo 
10.1.- INTRODUCCIÓN
 
Los diferentes elementos que conforman una estructura pueden “fallar” por diferentes 
motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos. 
 
Muchos de estos tipos de “fallos” se podrán evitar, dimensionando dichos elementos de 
tal forma, que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan 
dentro de los límites admisibles y así se efectuarán los dimensionamientos a Resistencia 
y a Rigidez, estudiados en los temas precedentes. 
 
Pero existen otros tipos de “fallos”, como es el “fallo por inestabilidad o pandeo”, que 
puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a 
compresión. En estos casos, en el elemento puede aparecer una flexión lateral que puede 
llegar a ser grande y hacer “fallar” al elemento 
 
 
 
2 
 N N 
 
 
 
 
Flexión lateral (PANDEO) 
 
 
La aparición de dicha flexión lateral, su rápido crecimiento y la pérdida total de 
estabilidad del elemento y el consiguiente colapso de la estructura, constituyen el 
estudio del Pandeo. 
 
Ejemplos de elementos estructurales donde puede aparecer el Pandeo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.
Pandeo en las barras de las 
2.- 
STUDIO TEÓRICO DEL PANDEO DE 
Estructuras Articuladas 
E
PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN 
as piezas sometidas a compresión pueden agruparse en dos grupos: 
• PIEZAS SIMPLES 
• PIEZAS COMPUESTAS 
Pandeo en los pilares de los 
edificios 
 
L
 
Sección 10.2: Estudio teórico del Pandeo de piezas sometidas a compresión 
 
 3
a) Un solo perfil 
 
 o chapas unidas mediante tornillos o soldadura 
 
 
 
mplir: 
 
 
 s: distancia entre ejes de uniones 
 a: diámetro de los agujeros 
 e: mínimo espesor de las piezas a unir 
 
lir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e: mí s a unir 
c) Perfiles unidos con forros discontinuos de chapa o presillas 
 
 
 
1.-Las PIEZAS SIMPLES pueden estar constituidas por: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Varios perfiles
 
 
 
 
• Si el enlace se hace por medio de tornillos, se deberá cu
 
 
 
 
 
• Si el enlace se hace con soldadura discontinua, se deberá cump
esas .15.8 ≤≤
300.15s mmse 
 
 
 
 s: distancia entre ejes de soldaduras 
nimo espesor de las pieza
≤≤
s 
 
 
 
 
s 
Tema 10: Pandeo 
4 
 
 
 i: radio de giro mínimo de los perfiles a unir 
.-Las PIEZAS COMPUESTAS, lo serán, cuando no se cumplan alguno de los 
upuestos anteriores. 
 En este caso se deberá cumplir: 
 
 
 
 
2
s
 
Observación: 
 
En este Tema se hará el estudio del Pandeo para los casos de PIEZAS SIMPLES. (El 
andeo en Piezas Compuestas se estudia en otras asignaturas, tales como: “Estructuras 
etálicas”) 
ÍTICA DE EULER
P
M
 
10.2.1.- CARGA CR
 
El estudio teórico del Pandeo, que es debido a Euler, se planteó como un estudio de 
quilibrio. 
osición (1), su equilibrio podrá ser: ESTABLE, INESTABLE o 
DIFERENTE 
1) 
(2) 
is .15
e
 
Así, si se tiene una pieza sometida a una fuerza N de compresión y se encuentra en 
equilibrio, p
≤
IN
(1) (2) 
Equilibrio 
ESTABLE 
Equilibrio 
INESTABLE 
Equilibrio 
INDIFERENTE 
(1) (1) (2) (2) 
Fig. 10.1 
N N N
Equilibrio Estable: si al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, vuelve a la pos.(1) 
Equilibrio Inestable: si al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, se aleja de la pos.(
Equilibrio Indiferente: al separarla un poco, a la pos. (2) y soltar, se queda en la pos.
Sección 10.2.1: Carga crítica de Euler 
El que una pieza dada adopte uno u otro tipo de equilibrio, va a depender del valor de la 
carga F de compresión a la que se le someta. 
 
Se denomina: CARGA CRÍTICA (Ncr): “al valor de la carga N de compresión que 
hace que se alcance el EQUILIBRIO INDIFERENTE ” 
 
Así pues se tendrá: 
 
• si N = Ncr → Equilibrio Indiferente 
• si N < Ncr → Equilibrio Estable 
• si N > Ncr → Equilibrio Inestable 
 
Naturalmente se deberá hacer trabajar a las piezas con N < Ncr, para que se encuentren 
siempre en equilibrios estables. 
 
Cálculo del valor de la Carga Crítica de Euler: Ncr 
 
Fue Euler el que calculó dicho valor. 
 
Considérese una pieza (columna), recta, con sus extremos articulados y sometida a una 
carga de compresión centrada, de valor la carga crítica Ncr. 
 
Por lo visto anteriormente, la columna se encontrará en la 
posición (1) en equilibrio INDIFERENTE y por tanto, si 
la separamos un poco a la posición (2), permanecerá en 
dicha posición. 
x 
Ncr
 
Si N = Ncr → Equilibrio Indiferente. 
(2) (1) 
La ecuación diferencial de la Elástica en la posición (2) 
será, (ver 6.2): 
L y 
 Fig. 10.2 x 
 5
 
 
2
2 : ..
z
z cr
z
Md y siendo M N y
dx E I
= − =y 
2 2
2 2
2
2 2
2
1 2
. . . . 0
.
: (10.1) . 0
.
: . . .cos .
cr
z z cr
z
cr
z z
z
z z
Nd y d yE I M N y y ecuación diferencial línea elástica
dx dx E I
N d yhaciendo k k y
E I dx
la solución general de esta ecuación diferencial es de la forma y C senk x C kx
Cálculo de
= − = − → + =
= → + =
= +
1 2
2
1 1
2 2
2
2
tan :
0 0 0
0 . . 0 0 0 ( .1)
. 0 . . ( 1, 2,3,.....)
. . (10.2) exp (10.1) (10.2) :
z
z z
z z
las cons tes C y C
x y C
x L y C senk L C y elástica rectilínea pos
senk L k L n n
n nk k igualandolas resiones y
L L
π
π π
= → = ⇒ =
= → = ⇒ = → = ⇒ =
→ = ⇒ = =
= → =
Tema 10: Pandeo 
6 
 
 
 
El menor de estos valores se obtendrá para n = 1 y será: 
 
Observaciones: 
 
1.-Si el pequeño desplazamiento que se da a la columna para llevarla a la posición (2)
hiciera en el plano XZ, la expresión de la carga crítica FC sería: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En c os planos pandeará finalmente la colum
onclusión
 se 
 
 
 
 
 
 
 
22 2
2
2 2
. .. .
.
cr z
cr
z
N E In N n
E I L L
ππ
= → =
2
2crN L
π
=
. . (10.3)zE I
L z 
Nc
 
 
 
¿ ual de los d na? 
 
C : “ Una columna pandeará en el plano que presente menor rigidez a la 
exión, es decir, en el plano respecto del cual el módulo de rigidez a la flexión sea 
ínimo:
ues la e esión de la carga crítica de Euler será: 
jem : 
Los ejes Y, Z son ejes principales de ine a (ejes de simetría). 
Respecto de ellos se obtendrán: Imax, Imin
 
 
 
 
 
alrededor del eje Z” 
 
fl
m E.Imin “ 
 
Así p xpr
 
E plo
rci
 
 
“la columna pandeará (flexará) en el plano XY, osea 
 
 
L 
x 
y 
y 
Ncr
(2) 
x 
2
2
. . z
cr
E I
L
π
=
(1) 
N
x 
y 
r
(1) (2) 
x 
2
2
. . y
cr
E I
N
L
π
=
z 
Fig. 10.3 
2
2
. . y
cr
E I
N
L
π
=
2
min
2
. . (10.4)cr
E IN
L
π
=
x 
Ncr
y 
z 
Ncr Fig. 10.4 
z
zy
I
bhIhbI ..
12
1..
12
3
=
==
1 3
yz IIIhbsi min⇒<→<
zIEIE .. min =y 
Sección 10.2.1: Carga crítica de Euler 
 7
fórmula 10.4, qu
 
 
 
 
a) “ El valor de la carga crítica N terial del que esté fabricada la 
columna: Eacero, E
 
b) “ Para un material dado, el valor de N no depende de la calidad del mismo, esto 
es de su sistenci
 
Ejemplo: material
2.-De la e da la carga crítica, se obtienen las siguientes conclusiones: 
2
cr depende del ma
hormigón, Ealuminio,…………….” 
cr
a” ( en la fórmula de N re cr no interviene la fy ni la fu ) 
 1: acero tipo 1: E = 2,1.105 N/mm2; fy = 275 N/mm2
 material 2: acero tipo 2: E = 2,1.105 N/mm2; fy = 350 N/mm2
 
Conclusión: Los dos
nte al Pandeo 
c) “ La carga ente proporcional al módulo de rigidez a la 
flexión: E. joraremos la resistencia al Pandeo, utilizando 
columnas que opongan gran resistencia a la flexión, es decir, que tengan 
 
d) “ La carga crítica Ncr es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de 
 fallo por 
Pandeo. 
 
Ecu
 aceros tendrán la misma carga crítica Ncr, es decir, se 
comportarán igual fre
 
 crítica Ncr es directam
I “. Así pues, me
módulos de rigidez a la flexión grandes 
la columna: L2 “. Así pues cuanto mayor sea la longitud de la columna, más 
posibilidades de que se alcance la carga crítica y se produzca el
ación de la línea elástica:
 
Ant
elás + C2.cos kz.x 
 
 
 
Observ
eriormente se vió que la solución de la integración de la ecuación diferencial de la 
tica era de la forma: y = C1.sen kz.x 
 
min
2
. .
cr
E IN
L
π
=
elásticasustity
den
 
 
 
líneaecuaciónx
L
nsenCydouyen
L
nksiendoxsenkCyConde zz
...:
.)2.10(:..0:
1
12
π
π
=
===→=
aciones: El valor de C resulta indeterminado, ello es debido a haber tomado 
alor del radio de curvatura: 
1
como v
 
 
Si se dan valores a n = 1, 2, 3,….., se obtienen las elásticas correspondientes a los 
diferentes estados de equilibrios indiferentes: 
 
 
2
3
2
2
2
1:
⎥⎦
⎤⎡
= dx
yd
r
exactovalorsuder
dxr 2
21
≅ lugaenyd 
 
1 ⎥
⎢
⎢
⎣
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
dx
dy
 
 
Tema 10: Pandeo 
8 
• 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e tom
onsiga rim quilibrio indiferente, o sea para el valor n = 1 
 
 
2
min
1 2
. .1 . . : cr
E ISi n y C sen x siendo N
L L
ππ
= → = =
 
 
 
 
• 
 
 
 
 
 
 
 
S ará para el cálculo el menor de los valores de Ncr, es decir, la carga Ncr que 
c el p er e
 
 
 
 
x 
111max 2
.
2
..)
2
(
2
0:
CsenCL
L
senCLxyy
Lx
dx
dyserámáximaflecha
=====
=→=
ππ
la
L ymax
y 
Ncr
(1) (2) 
 Fig. 10.5 
L/2
2
2 min
2
. .2. . : 2 .cr
E Ien x siendo N
L L
ππ
=12 .Si n y C s= → =
 Fig. 10.6 
L/4
y 
(1) 
L 
L/2
ymax
Ncr
(2) 
ymax
3L/4
111max
11max
2
3.
4
3..)
4
(
2
.
4
.(
CsenCL
1
.23
.2.)
4
4
.3,
4
0:
L
senCLxyy
CsenCL
L
senCLxyy
la
−=====
=====
ππ
ππ
LxLx
dx
dyserámáximaflecha ==→=
2
2 min
2
. .2 .cr
E IN
L
π
=
Esta será la forma que tome la elástica cuando 
se consiga el equilibrio indiferente bajo la carga 
Esta será la forma que tome la elástica cuando 
se consiga el equilibrio indiferente bajo la carga 
2
min
2
. .
cr
E IN
L
π
=
x 
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
 9
0.2.2.- INFLUENCIA DE LOS ENLACES. LONGITUD DE PANDEO1
 
El valor obtenido para la carga crítica FC
rticulada en sus extremos. 
 
 
 
 
Con otros tipos de apoyos y siguiendo un proceso similar al seguido en 10.2.1, se 
obtendrán los valores de FC correspondientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con el objeto de poder utilizar una sola fórmula que englobe a los cuatro casos, se 
utilizará la siguiente: 
 
 
 
 
 
siendo: 
 
 
Los valores de β y por consiguiente de Lk para cada uno de los cuatro tipos de apoyos 
vistos, se obtendrán comparando la fórmula general 10.5 para la carga crítica, con las 
obtenidas en cada uno de ellos. Los valores están indicados en las figuras 
correspondientes 
 
, corresponde al caso de una columna 
a
 
 
 
 
 
 
 L 
Ncr
 Fig. 10.7 
2
min
2
. .
cr
E IN
L
π
=
L 
Ncr
 Fig. 10.8 
L 
Ncr
 Fig. 10.9 
Ncr
L 
 Fig. 10.10 
2
min
2
. .
cr
k
E IN
L
π
=
2
min
2
4. . .
cr
E IN
L
π
=
2
min
2
. .
4.cr
E IN
L
π
=
2
min
2
2. . .
cr
E IN
L
π
=
(10.5) 
. " "kL L longitud de pandeoβ= (10.6) 
1 kL Lβ = =
2 2.kL Lβ = =
1 0,7 0,7
2 k
L Lβ = ≅ = 0,5 0,5kL Lβ = =
 
 
 
 
Tema 10: Pandeo 
10 
 
 
 
 
Concepto físico de la longitud de pandeo:
 
La longitud de pandeo de una barra es: “la longitud que debería tener una barra, 
articulada en ambos extremos, equivalente a la dada (mismo material y sección ), para 
que tuviese la misma carga crítica Ncr, que la barra dada “ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Longitud de pandeo de barras canónicas: Lk
Condiciones 
de extremo biarticulada biempotrada
empotrada 
articulada 
empotrada 
libre 
biempotrada 
desplazable 
Lk 1,0.L 0,5.L 0,7.L 2,0.L 1,0.L 
L ymax
y 
Ncr
x 
 Fig. 10.11 
Lk = L 
L 
Ncr
 Fig.10.12 
Lk = 2L 
Ncr
ymax
Ncr
L 
 Fig. 10.13 
Ncr
Lk = 0,5L ymax
L 
Ncr
 Fig.10.14 
Lk = 0,7.L ymax
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
 11
0.2.3.- TENSIÓN CRÍTICA DE EULER. CONCEPTO DE ESBELTEZ
 
1
 
Se denomina TENSIÓN CRÍTICA de Euler: “a la tensión de compresión de una 
olumna c actúa la carga crítica Ncr “ 
yendo F
o gráficamen es 
ión crítica de Euler en función de la esbeltez, se obtiene el siguiente diagrama: 
el análisis del diagram a m ue disminuimos la esbeltez λ de la 
olumna (λ2 < λ1 ) la tensión crítica σC aumenta (σcr2 > σcr1 ), es decir aumenta la 
e s cargas sin que se p oduzca el Pandeo. 
onclusión
c uando sobre ella 
 
cr
cr
N
A
σ = (10.7) 
 
 
Sustitu C por su valor dado en 10.5, quedará: 
 
 2 min
min
2 2
. .Eπ 
 
 
 
 
siendo: 
 
 
 
Representand te, en unos ej coordenados, la ecuación 10.8 que da la 
tens
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D a se deduce que edida q
c
capacidad d
 
 la columna para resistir ma r
C : Para mejorar el comportamiento de una columna, de longitud dada, frente 
 
al Pandeo, será preciso disminuir su esbeltez λ. ¿Cómo?. Si la longitud L nos vieneimpuesta, en función de la ecuación 10.9 que da la esbeltez, habrá que aumentar el radio 
de inercia mínimo imin. 
 
 
 
2 2 2 2 2
min
22 2
min
. . . . . .
.
cr
cr
k k k k
I
N E I E i E EA
A L A L L L
i
π π π πσ
λ
= = = = =
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= (10.8) 
min
" "k esbeltez deuna columna
i
λ = L (10.9) 
σcr
λ
σcr1
σcr2
λ
2
2
. " "E curva de Eulerπ
λ
=
λ2 1
crσ
Fig.10.15
min
min
si i
i
kLλ λ= ↑ ⇒ ↓
Tema 10: Pandeo 
12 
El aumento de imin si omento de 
i ea alej ra
s
 
 
 columnas de sección hueca son mejores, a 
o área 
 
n modificar el área A, se consigue aumentando el m
ando el material todo l el nercia Imin, os
ección 
o posible d centro de g vedad de la 
 
 
 
Esta es la razón, por ejemplo, por la que las
fectos de pandeo, que las macizas del mism
↑⇒↑= minmin
min
min iIsiA
I
i
G G 
e
 
 
 
sección 1 sección 2 
 
 
 
 
 
 
A1, Imin1 A2 = A1, Imin2
Fig.10.16
1sec2sec
121212min1min2min
ciónlaquepandeoalrcomportarásenla
FFiII cccc
⇒
>→>→<>→> σσλλ
ció
1mini → 2
mejo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
 13
0.2.4.- LÍMITES DE APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER1
 
El diagrama de la fig.10.15, que representa la curva de la tensión crítica de Euler, sólo 
 límite elástico). 
llo es deb ula para la obtención de la carga crítica 
cr, se utiliza la ecuación diferencial de la elástica y ésta sólo es aplicable para los casos 
n que E = cte o lo que es lo mismo cuando σ ≤ f ( sección 3.5. diagrama tensiones-
n la Fig. 10.18 odos de fallo 
 
va a ser válida hasta un cierto punto P, que corresponde a una esbeltez λlim, que es la 
esbeltez para la cual: σcr (tensión crítica) = fy (tensión del
 
 σcr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E ido a que en la deducción de la fórm
N
e y
deformaciones). Además, al alcanzarse la tensión del límite elástico, el fallo se 
produciría por haberse alcanzado la resistencia a la compresión de la sección. 
 
E se representa la curva de pandeo de Euler y los m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
λλlim
2
2
. " "cr
E curva de Eulerπσ =
fy 
λ
Fig.10.17
P 
 
Fallo por haber rebasado 
el límite elástico 
de Euler 
Fallo por 
pandeo 
Curva de pandeo 
σ 
fy P
λlim λ 
Figura 10.18 
Tema 10: Pandeo 
14 
sí pues tendremos que para poder utilizar la curva de Euler se habrá de verificar: 
• para esbe
os valores de λli para los aceros más utilizados en la construcción son: 
Acero fy (N/mm2) λlim
A
 
 
2 2. .
cr y
E Ef π πσ ≤ 2 y
y
f
f
λ
λ
→ ≤ → ≥ ⇒
2 .
lim
y
E
f
π
lteces: λ ≥ λlim → SI se podrá aplicar la curva de Euler 
 
• para esbelteces: λ ≤ λlim → NO se podrá aplicar la curva de Euler 
 
L m
 
S235 235 93,9 
S275 275 86,8 
S355 355 76,4 
 
 
La curva de pande presada en la fig.1 e ser redibujada de forma 
dimensional, dividie nsión crítica de E ite elástico: (σ / fy ) y la 
sbeltez entre la esbeltez límite ente curva de Pandeo 
dimensional 
a ventaja de este gráfico es que puede aplicarse a barras de diferentes esbelteces y 
sistencias 
o ex
ndo la te
0.18 pued
uler entre el líma
: (λ / λlim), dando lugar a la sigui
λ = (10.10) 
λ/λ
P
1
1 
λ/λlim
Figura 10.19 
σ/fσ/fy
P
1
1 
e
a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L
re
 
 
 
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
 15
IEZAS DE 10.3.- PANDEO REAL: ESTUDIO PRÁCTICO DEL PANDEO EN P
ACERO SOMETIDAS A COMPRESIÓN 
 
10.3.1.- INTRODUCCIÓN
 
El comportamiento real de los pilares difiere del estudio teórico e ideal que acabamos 
e hacer. El ue no se han 
nido en cuenta en el studio teórico, tales como: 
• Falta de rectitud inicial del eje del pilar 
• Cargas axiales no aplicadas exactamente en el centro de gravedad de la sección 
transversal del pilar 
• Tensiones residuales producidas en la fabricación del pilar, bien por el proceso 
de laminación o por las soldaduras 
• Otras 
sí estudios experimentales de pilares re resultados que se 
uestran en la siguiente figura: 
o
ispersiones en el intervalo de esb medias que en el intervalo de esbelteces 
levadas. En la zona de esbelte representa a la mayoría de los pilares), el 
fecto de las imperfecciones es significativo y debe de ser tenido en cuenta. La mayor 
ducción en el valor teór e produce en la región de la esbeltez límite λli
a curva límite inferior se ha obtenido de ístico de los resultados de los 
nsayos y representa el límite seguro para la carga. 
d lo es debido a las diversas imperfecciones del pandeo “real” q
te e
 
 
A ales proporcionan los 
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.20 
Punto de 
inflexión 
Esbeltez media Esbeltez elevada 
σ 
λlim
P 
fy 
λ
C mparado con las curvas teóricas, el comportamiento real muestra mayores 
d elteces 
e ces medias (que
e
re ico s m. 
L un análisis estad
e
Tema 10: Pandeo 
16 
ue la 
correspondiente al punto de inflexión de la curva límite inferior, mostrada en la 
mar 
pues la carga crítica de Euler: Ncr 
 
on los pilares de esbelteces medias aquellos cuyo comportamiento, tal y como se 
obs a llos donde se 
bserva que más influye la presencia de las imperfecciones, las cuales dan lugar a 
tension o teórico, lo 
ue explica que las cargas últimas que serán capaces de resistir los pilares en el pandeo 
Son la falt titud del ej la presencia de tensiones residuales, las 
imperfecciones que presentan un efecto más significativo comportamiento de este 
tipo de pilar
 
jemplo de tensiones adicionales debidas al efecto de las tensiones residuales debidas a 
Un pilar puede ser considerado de esbeltez elevada si su esbeltez es mayor q
fig.10.20. Para la carga última en dichos pilares, de esbeltez elevada, se puede to
S
erv en la fig.10.20, se desvía más de la teoría de Euler. Es pues en e
o
es adicionales que se añadirán a las obtenidas en el comportamient
q
real sean inferiores a las obtenidas en el pandeo teórico. 
 
a de rec e del pilar y
 en el
es. 
E
la laminación en caliente en la fabricación del pilar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,3.fy 
compresión 
Figura 10.21 
σ = N/A σResidual σmax< fy σmax= fy 
+ = o 
0,2.fy 
tracción 
0,2.fy 
compresión 
Ejemplo de tensiones residuales 
debidas a laminación en caliente 
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
Ejemplo de tensiones adicionales debidas a la falta de rectitud del eje del pilar: 
 
Esta imperfección es debida a los defectos inherentes al propio material, tales como la 
aterial, las imperfecciones geométricas de las piezas, etc…. 
la 
a 
e curvará más (Fig.10.22.c) 
 
 
 
 
 
 
e los obtenidos en cada una de ellas. 
falta de homogeneidad del m
 
La forma de introducir estas imperfecciones es a través de dar una curvatura inicial a 
barra (Fig.10.22.b). Al aplicar ahora sobre ella la carga N de compresión, hará trabajar 
la barra a FLEXIÖN-COMPRESIÖN, con lo cual s
 
 17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Naturalmente si se dan varias imperfecciones a la vez, los efectos finales serán la suma 
d
 
 
 
 
 
 
 
y 
→ → f0
y 
 Fig. 10.22.b 
x 
f
y 
x 
 Fig. 10.22.c 
Nx
Fig. 10.22.a 
o 
σ = N/A 
+ = 
σ = (N.f).y/Iz σmax< fy σmax= fy 
Fig.10.23 
Tema 10: Pandeo 
Así pues en el pandeo real tendremos que, en general, a las tensiones producidas por la 
carga de compresión, les tendremos que sumar las debidas a las tensiones residuales y 
las debidas a la flexión, dada la falta de rectitud del eje del pilar, con lo cual la tensión 
total final máxima será: 
 
18 
 
 
 
onclusión
 
 
La tensión máxima se dará en la sección x = L/2 y valdrá: 
 
 
L 
y 
 Fig. 10.24 
N
x 
 
 
max
.
residuales residuales
N N f
W
σ+ + =
1
( . ). .residuales
A W A W
A f kσσ σ σ+ + =
zMNσ σ= + + =
f 
 
 σσ .1max k=L/2
 
 
 
 
 
 
C
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(10.11) 
1
Nsiendo: "coeficiente de amplificación de la tensión de compresión σ = "
A
k =
N
PANDEO TEÓRICO: Euler
sólo COMPRESIÓN 
max ( )
NN
A
N cteσ= = =
A
σ σ= = =
f
N
PANDEO REAL
 Fig. 10.25 
SIÓN +FLEXIÓN+T.residuales 
max
1
( ) ( )
.
z residuales
z
residuales
N M
MN k
A W
σ σ σ σ
σ σ
= + + =
+ + =
COMPRE
 
 
 
 
 
 
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
 19
ON LA 10.3.2.- INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE CÁLCULO A PANDEO C
NUEVA NORMATIVA ESPAÑOLA: DB-SE-A (2007)
 
 
Comprobación a Pandeo de piezas sometidas a compresión centrada por el Método 
de la nueva Normativa española: DB-SE-A: Caso de barras rectas de sección 
constante y axil constante 
 
La ecuación 10.11 nos da la tensión máxima en el pandeo real, en el que se tiene en 
cuenta, tal y como indicamos anteriormente, las tensiones debidas a la compresión junto 
on la ensiones que producen las imperfecciones del pilar (falta de rectitud del eje y 
s tensiones residuales). 
a fórmula propuesta por la Normativa para la comprobación a pandeo es: 
 
 
 
 
 
 
 
sí ula final para la comprobación a pandeo de una barra de sección 
onstante sometida a una compresión centrada constante será: 
o
el coeficiente de amplificación de tensiones k1, se pueden obtener a partir de las curvas 
e pandeo, como vere s a continuación 
bservaciones
c s t
la
 
L
 
*
* * *
max 1
1
1. . . . .yd yd ydk k f N A f A fA k
σ σ χ= = ≤ → → ≤1.
N * ≤ N
 
,
1
enominando : "resistencia última de la barra a pandeo" . .
1 "coeficiente de reducción por pandeo"
k
b Rd ydN A fd
A pues la fórm
c
 
 
 
 
L s valores del coeficiente de reducción por pandeo χ, que como se ve, es el inverso 
d
d mo
 
O : 
.-Al coeficiente χ<1, se le denomina “coeficiente de reducción por pandeo” por lo 
guiente: 
imos que la resistencia última e una sección a compresión era (ver 
cuación 4.33): 
 
a sección trabajando a compresión se aplicaba la 
rmula dada en la ecuación (4.34) 
omo en el caso del pandeo y tal como hemos visto, además de las tensiones debidas a 
 compresión, había que añadir las debidas a la flexión y las tensiones residuales, la 
sistencia última de la sección, será inferior a la de solamente debida a la compresión. 
1
si
 
V , plástica, d
e
 
 
y la comprobación a resistencia de un
 = 
χ
χ
= =
=
(10.12) 
yddpl fANN .,
* =≤
Npl,d = A.fyd 
*
dN ≤ =, . .b Rd yN A fχ (10.13) 
 
fó
 
 
 
C
la
re
Tema 10: Pandeo 
20 
, 
s, 
0.3.3.- CURVAS EUROPEAS DE PANDEO
2.- Para los casos de barras de sección variable, de esfuerzos de compresión variables
de barras de sección compuesta o de elementos triangulados o de pilares de edificio
ver la Normativa indicada. Su estudio es objeto de otras asignaturas específicas. 
 
1
 
Las curvas de pandeo ECCS están basadas en los resultados de más de 1000 ensayos 
os de piezas: I, H, T, [, ∟, ⊥ , [ ], Ο, con diferentes valores de esbeltetipsobre varios z 
(entre 55 y 160). Se han tenido en cuenta una imperfección geométrica de falta de 
rectitud del eje del pilar, tom
como los efectos de tensiones residuales re
 
Las curvas de pandeo ECCS: a 
utilizar unas u otras va a d ilar 
considerado, de la dirección en la que pueda
proceso de fabricación utilizado en el pilar (laminación en caliente, soldado o 
conformado en frío). Ver la tabla siguiente 10.2 
 
 
 
 
 
stas nos proporcionan el valo χ, 
n función de la curva de pandeo apropiada al caso y de la esbeltez reducida 
ando un eje semisinusoidal de magnitud f = L/1000, así 
lativas a cada tipo de sección transversal. 
o, a, b, c y d, se muestran en la siguiente tabla 10.1 y el
epender de la forma de la sección transversal del p
 ocurrir el pandeo (eje y o eje z) y del 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
É curvas r para el coeficiente de reducción por pandeo 
abla 10.1 Curvas de pandeo 
2
2
.
"esbeltez reducida" (10.14)
. .siendo: (carga crítica de Euler)
y
cr
cr
k
A f
N
E IN
L
λ
π
=
=
λ : e
 
 
 
 
 
 
 
 
Sección 10.3: Estudio práctico del pandeo: Piezas sometidas a compresión 
 
 Tabla 10.2 Curva de pandeo en función de la sección transversal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 10: Pandeo 
22 
os datos de la tabla 10.3 que se indica a continuación, que dan también los valores del 
en de la tabla 10.1 (curvas de pandeo), 
0.3.4.- PANDEO EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN-COMPRESIÓN
 
 
 
L
coeficiente χ de reducción del pandeo, se obtien
pero son más operativas a la hora de tomar datos de las mismas. 
 
 
 
 
 
Tabla 10.3 Valores del coeficiente de pandeo χ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
a Comprobación a Pandeo debido a la Flexión–Compresión se estudiará en asignaturas 
specíficas. (Ver normativa DB-SE-A) 
 
L
e