Fisica Racso - Fundamentos y Aplicaciones I

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Física
Fundamentos y Aplicaciones I
dirigidíj^óig
Dr. Féí¡
Colección RACSO
FÍSICA
Fundamentos y Aplicaciones
Edición - 2016
Autor:
Dr. Félix Aucallanchi Velásquez
Colaboradores:
Mg. Carlos Gonzalos Castro
Mg. E. Rubén Fabián Ruiz
Mg. Martín Casado Márquez 
Lie. César Ramos Ancajima 
Prof. Orlando Ramírez Urbano
RACSO
EDITORES
«A"■' ja
Primera Edición en español
Copyright © 2016 por RACSO EDITORES E.I.R.L.
Printed in Perú - Impreso en Perú
La realización de esta obra se preparó con la colaboración de los siguientes especialistas:
Mg. Carlos Gonzales Castro
Mg. E. Rubén Fabián Ruiz
Mg. Martín Casado Márquez
Lie. César Ramos Ancajima
Prof. Orlando Ramírez Urbano
Especialistas en el Área de Física.
La realización gráfica del libro de Física Fundamentos y Aplicaciones ha sido efectuada por las 
siguientes especialistas:
Diagramadoras
Marcelina Reyes Antonio
Sandrita Harline Tarrillo Dávila
Diseño de Carátula
Sandra García Fernández
Supervisión General
Marcelina Reyes Antonio
Supervisión de la Edición 
Adolfo Chahuayo Tito
Hecho el depósito legal en la Dirección de Derechos de Autor de INDECOPI, Biblioteca Nacional 
del Perú y amparado en las siguientes normas legales vigentes: Ley N° 28289, Ley de lucha 
Contra la Piratería; Código Penal (Artículos 217; 218 y 221) y el artículo 3ro del Derecho Legis­
lativo 822.
El libro Física Fundamentos y Aplicaciones, para estudiantes del nivel básico o superior es una 
obra colectiva que ha sido concebida, formulada y diseñada por el departamento de Ediciones 
de RACSO EDITORES, bajo la dirección del Dr. Félix B. Aucallanchi V.
FÍSICA
Fundamentos y Aplicaciones
Primera Edición
SERIE DE LIBROS Y 
COMPENDIOS 
CIENTÍFICOS
COLECCIÓN 
RACSO
DEDICATORIA
CGC
DEDICATORIA
A mi madre, por toda su dedicación, 
a mi esposa, Pilar y a mis hijos 
Matthew y Ethan.
Para Vale, la prolongación viva de 
mi modesto paso por la vida.
FAV
La presente obra Física Fundamentos y Aplicaciones, es la nueva iniciativa académica que nos 
trae el Dr. Félix Aucallanchi Velásquez, profesional de las ciencias físicas y matemáticas de vasta 
experiencia, quien liderando a un grupo de docentes colaboradores ponen al servicio de la ju­
ventud peruana, porque no decirlo también latinoamericana, parte de su experiencia y bagaje 
profesional con la noble misión de facilitar la construcción de las bases de los conocimientos en 
Física para la juventud deseosa de abrirse paso en las carreras profesionales de ingeniería.
El estudio de la física se traslada a tiempos inmemoriales en las diversas culturas de la humani­
dad, actividad inherente al ser humano que le ha servido para explicar los diversos fenómenos 
naturales de la materia y energía. Es a partir del siglo XX, con los aportes de los científicos de 
la edad moderna como Albert Einstein entre otros, y con la contribución no menos importan­
te del desarrollo de las tecnologías informáticas, y el descubrimiento de nuevos materiales, 
que la Física, como ciencia, se ve potenciada y da un salto significativo en el desarrollo del 
conocimiento humano. En la actualidad la proliferación de herramientas de las TIC y demás 
redes globales, han facilitado que estos conocimientos se esparzan rápidamente por el mundo. 
Nuestro país no es ajeno a la globalización de los conocimientos en general y por ende a los 
conocimientos de la ciencia física, pero si bien la información abunda por diversos medios, la 
realidad de la enseñanza escolar en nuestro país nos muestra que existe una brecha entre esa 
información y el entendimiento de los principios básicos que rigen las ciencias físicas, es ahí 
donde, desde mi punto de vista como director de escuela, considero a la presente obra como 
un gran aporte para ayudar a los estudiantes que se inician en la vida universitaria, a conocer 
y dominar dichos principios, los mismos que servirán como base para las posteriores experien­
cias curriculares de sus carreras, ayudando de esta manera al logro de los objetivos académicos 
y profesionales de cada estudiante, así como también a la realización de ese noble sueño de 
cada docente, que es verse superado por sus discípulos, creando el círculo virtuoso que lleve a 
nuestro país a un sitial de liderazgo en la región.
A través de conversaciones sostenidas con el autor de esta obra, he podido verificar y doy fe 
del espíritu inquieto, dinámico e innovador de nuestro amigo el Dr. Félix Aucallanchi Velásquez 
quien como docente de Física, Estática y Termodinámica en el Nivel Superior de la Educación 
en escuelas de ingeniería (UPC, USIL, UNI, UCV, UPN) cuenta con los suficientes pergaminos y 
motivación que lo han animado a producir un libro que pueda acompañar al futuro ingeniero 
durante su paso por la facultad. Conocedor de las principales debilidades del proceso y gracias 
a las varias décadas de enseñanza en el nivel universitario y preuniversitario ha podido iden­
tificar los pequeños vicios y vacíos de un estudiante de la Pre que luego sigue una carrera de 
ingeniería. Es por esta razón que este libro guarda una inmensa relación entre lo que aprende 
un estudiante en la escuela y lo que debe aprender en el pregrado de la universidad.
MBA, Ing. Dixon Groky Añazco Escobar 
Director Escuela Profesional Ingeniería Industrial, 
Universidad Cesar Vallejo, Filial Lima.
Auguro éxitos a esta nueva obra y se da por descontado que este primer volumen contribuirá 
a mejorar la condición de aprendizaje de la mayoría de estudiantes que encuentran en la Físi­
ca su primer curso de carrera y su primer gran obstáculo en la misma. Felicito a los docentes 
colaboradores de esta obra quienes en palabras propias del autor reconoce en ellos el apoyo 
en la lectura, en la crítica reflexiva y en las sugerencias proporcionadas para la elaboración de 
este material, en particular al Mg. y amigo Carlos Gonzales Castro de la Escuela de Ingeniería 
Industrial de la UCV. Asimismo, a Orlando Ramírez Urbano, preparador de Olímpicos de Física, 
por sus precisiones en la validación de muchos resultados, a Martín Casado Márquez, docente 
de la escuela de Ingeniería Mecánica de la UNI, por la aclaración de muchos ejercicios de Diná­
mica del Cuerpo Rígido, y a César Ramos Ancajima por su paciente lectura.
Entre los temas que se incluyen en este primer tomo se pueden apreciar los referidos a: Uni­
dades, Mediciones y Cifras Significativas. En esta unidad se pretende atacar las formalidades 
de la notación científica, las cifras significativas, la aproximación, la estimación y el cálculo 
del error. Estos son temas que pocas veces se han tratado en un texto pre y universitario. 
También se presenta el tema de Vectores en 2D y 3D, que incluyen las operaciones básicas de 
multiplicación de vectores. La unidad referida a Cinemática de una Partícula se presenta en 
ID y 2D, desde las ecuaciones algebraicas a las ecuaciones vectoriales, desde las operaciones 
aritméticas hasta la formalidad de las derivadas e integrales. Este último aspecto ha permitido 
deducir todas las ecuaciones físicas. Luego de analizar y aplicar las Leyes de Newton en la di­
námica de la partícula a través de las unidades correspondientes a Dinámica, Estática, Energía 
y Momento Lineal, vale resaltar los tópicos de las unidades conformadas por: Momento de 
inercia. Segunda Ley de Newton para Sólidos, Energía Mecánica del Cuerpo Rígido y Momento 
Angular. Finalmente se presenta la unidad referida a Oscilaciones en donde la novedad son las 
Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas.
ÍNDICE
Pag. 9
Pág. 67
Pág. 127
Pág. 249
Pág. 319
Pág. 407
Pág. 505
MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALES
Cap. 3.1. Cinemática de una Partícula en ID
Cap. 3.2. Movimiento Rectilíneo Uniforme
Cap. 3.3. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
Cap. 3.4. Caída Libre Vertical
MOVIMIENTOS BIDIMENSIONALES
Cap. 4.1. Movimiento Bidimensional y Movimiento Relativo
Cap. 4.2. Movimiento de Proyectiles
MEDICIONES Y DIMENSIONES
Cap. 1.1. Unidades, Mediciones y Errores
Cap. 1.2. Análisis Dimensional
ANÁLISIS VECTORIALCap. 2.1. Vectores en 2D
Cap. 2.2. Vectores en 3D
CINEMÁTICA CIRCULAR
Cap. 5.1. Movimiento de Rotación
Cap. 5.2. Movimiento Circunferencial
Cap. 5.3. Transmisión de Movimientos
DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA
Cap. 6.1. Fuerza y Movimiento
Cap. 6.2. Aplicaciones de la Segunda Ley de Newton
Cap. 6.3. Gravitación Universal
EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA
Cap. 7.1. Primera Condición de Equilibrio
Cap. 7.2. Rozamiento
s¡
El
Elá
Pág.587
Pág. 669
Pág. 771
Pág. 837
Pág. 959
Pág. 1027BIBLIOGRAFÍA
EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
Cap. 8.1. Segunda Condición de Equilibrio
Cap. 8.2. Centro de Gravedad
DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Cap. 10.1. Cantidad de Movimiento
Cap. 10.2. Colisiones
DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO
Cap. 11.1. Momento de Inercia
Cap. 11.2. Segunda Ley de Newton en Sólidos
Cap. 11.3. Trabajo y Energía en Sólidos
Cap. 11.4. Momento Angular
ELASTICIDAD Y OSCILACIONES
Cap. 12.1. Movimiento Armónico Simple
Cap. 12.2. Péndulo Simple - Movimiento Amortiguado - Resonancia
ENERGÍA
Cap. 9.1. Trabajo, Energía Cinética y Potencia
Cap. 9.2. Energía Mecánica
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Unidad 1
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• ,'''■ 4.7William Thomson (Lord Kelvin), 1824-1907, Físico y matemático.
■
«Cuando podemos medir y expresar en números aquello de que hablamos, 
sabemos algo acerca del mismo; y cuando no podemos medirlo, cuando no 
;■ podemos expresarlo en números, nuestro conocimiento es insuficiente y poco 
;satisfactorio. Pudiera ser el comienzo de nuestro conocimiento, pero apenas 
■ :f’.§ habremos dado el primer paso dentro de la ciencia».
[ '---------- •'•• ---------- :—-
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;s<ís'«
p = A(UX)
10 Física Fundamentos y Aplicaciones
1.1.5. Prefijos del SI
Son un conjunto de símbolos que representan a una potencia de 10 que se anteponen a las 
unidades de medida.
Se utilizan los prefijos del SI para denotar números grandes o pequeños.
Unidades, Mediciones 
y Errores
a su correspondiente
<4RACSO
0 EDITORES
1.1.4. Notación Científica
Se llama notación científica a la forma de expresar números grandes o pequeños mediante 
el producto de un número, de valor absoluto menor que 10, y una potencia de 10.
A(UX) = N10n (UX); 1 < | N | < 10 a n e Z
Si «.A» es un número grande o pequeño, el exponente «n» es positivo o negativo respecti­
vamente.
Ejemplos:
i) Carga del electrón: le = 0,00000000000000000016 C = 1,6 • 10’19 C
ii) Masa de la Tierra: M = 5972000000000000000000000 kg = 5,972-lO24 kg
1.1.1. Cantidades Físicas
Las cantidades físicas, o magnitudes físicas, son atributos de la materia (cualidad, calidad o 
condición) que se puede identificar en dos o más objetos distintos y por cuya razón también 
se puede cuantificar mediante comparaciones.
Un atributo de la materia es una cantidad física, si ella permite explicar un fenómeno físico. 
La comparación de un mismo atributo en dos objetos diferentes se llama medición.
1.1.2. Unidad Física
La unidad física es el atributo que posee el objeto que se ha elegido arbitrariamente para 
compararlo con otros.
1.1.3. Magnitud de una Cantidad Física
Se llama magnitud de una cantidad física, o simplemente magnitud, 
medida, definida por un número y una unidad física.
Sea «p» la magnitud de la cantidad física «X», definida por el número «A» y la unidad física 
UX, entonces se escribe:
Símbolo Multiplicador Símbolo Multiplicador
exa
m
Sea el número ab,dcnipc/r que debemos redondear hasta el orden de las milésimas (»i).
p < 5 p = 5 p > 5
ab,dcni«m» es par:
ab,dcni ab,dc(m+l)
«ni» es impar: ab,dc(ni+T)
1.1.7. Cifras Significativas (CS)
11Unid. 1 — Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
1.1.6 Redondeo de cifras
Llamamos redondeo al proceso matemático mediante el cual se reduce la cantidad de cifras 
decimales de un número decimal dado hasta un orden determinado.
1.1.7b. Reglas para reconocer CS
1) Son CS todos los dígitos cuyo valor se conoce con seguridad, exceptuando los ceros cuan­
do se utilizan para situar a la coma decimal.
2) Los ceros son CS sólo si están comprendidos entre dos cifras significativas.
3) En los números menores que uno (1), los ceros son CS si están ubicados a la derecha de 
la última CS.
Ejemplo.- 0,0120: 3CS
Prefijos para 
Múltiplos 
yota 
zeta
Y 
Z 
E 
P 
T 
G 
M 
k
Prefijos para 
Submúltiplos 
yocto 
zepto 
atto 
femto 
pico 
nano 
micro 
mili
peta 
tera 
giga 
mega 
kilo
P. 
n
y. 
z
a
f
1024 
1021 
1018 
1015
1012 
109 
106 
103
10’24 
ñF 
10'18 
10-15 
10'12 
10'9 
10'6 
10’3
1.1.7a. Definición
Se llaman cifras significativas a cada uno de los dígitos que conforman una medida que han 
sido obtenidas en un proceso de medición.
Sea «I» un instrumento de medida cuya menor graduación es del orden de los centésimos 
(c) de unidad UX. Sea A(UX) = ab.dcni (UX) una medida obtenida con ese instrumento, 
entonces ésta presenta cinco cifras significativas donde ab,dc se ha obtenido de la lectura 
directa y la cifra «ni» es una cifra dudosa que expresa una estimación de parte de quien lee 
el instrumento y toma la medida. Generalmente se elige ni = 0.
1.1.8. Operaciones con CS
Si: fl(n) = b(s), entonces: m(n)
a) Error absoluto (ea)
ea=Kr-Vm|
b) Error relativo (cr)
Física Fundamentos y Aplicaciones12
a) En Adición y Sustracción
Se efectúan las operaciones con todas las cifras dadas y las cifras decimales del resultado se 
redondean al menor número de decimales de los términos.
b) En las demás operaciones
Se efectúan las operaciones con todas las cifras dadas y las cifras del resultado se redondean 
al menor número de cifras significativas que poseen los términos.
p
Debe considerarse que las CS del valor «p» obtenido debe ser igual a las CS del valor ori­
ginal «m».
Vr
1.1.10. Errores de Medición
Sean y VT los valores medido y real de una cantidad física dada. Se definen:
&RACSO 
W BD1TOBBS
; er =
4) En los números mayores que uno (1) con coma decimal todos los ceros son CS.
Ejemplo.- 410,0: 4CS
5) En los números mayores que uno (1) sin coma decimal los ceros posteriores a la última 
CS pueden o no considerarse como CS. Para evitar la ambigüedad se debe utilizar notación 
científica.
6) Sean los centesimos de unidad (u) la menor graduación de un instrumento. Sea C = a,dc0 u 
una medida obtenida con este instrumento, entonces esta medida tiene cuatro CS: tres son 
seguras (a, d y c) y una es dudosa (0). Esta aproximación se denota como:
C = («,dc0 + 0,005) u
Según esta notación se asume que el error cometido en la medición es equivalente a la mitad 
de la mínima graduación: es = 0,005 u.
Obsérvese que la medida y el error tienen el mismo orden decimal (milésimos). Por otro 
lado el error debe tener 1CS en la condiciones dadas.
1.1.9. Conversión de unidades
Es el procedimiento según el cual una medida dada m(u), donde ni y u son el valor numé­
rico y la unidad física respectivamente, se expresa en otra unidad s, conociéndose la equi­
valencia entre u y s.
£r=%
c) Error relativo porcentual (er%)
er% = •100
c) Cálculo grosero del error
d) Cálculo fino del error
Donde:
1S,
es = Sensibilidad del instrumento o mitad de la mínima escala.
N(N-l)
x = Xi ± es
13Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
8
'N-l
1.1.11. Error en mediciones sucesivas
xN las magnitudes obtenidas de «N» mediciones realizadas con el mismo
e) Cuando sólo se dispone de una medición (N = 1, xl)/ entonces el error absoluto se define 
como:
Sean xv x2, .. 
instrumento.
a) Valor medio (x)
N 
'N-l
ÁX = ±slSm+eS
Ax = ^
Z5, 
Ax = —- n
Sm = Error estándar de la media
Desviación estándar
VN° de mediciones -1
Ax = ±es
+ es
N
N(N-l)
Xr+x2+... + xN 
N
b) Cálculo del error en mediciones sucesivas
Error absoluto = ± {Valor real - Valor medio}
Ax = ±(x -x) x = x ± Ax
N
Z(í-^i)2J
Valor medio
ErA% = Erx% + Ery%A = x + y AA = Ax + Ay
B=í-y erB% “ Erx% + Ery%B = x - y AB = Ax + Ay
ACC = xy ErC%= £„% + Ery%C = xy
AD £rD% - + Ery%
E = (í)nE = x" AE crE% =|n|E„%
F = kxnym ErF% = I " I Erx% + I I Ery%
Observaciones:
i)
Ü)
14 Física Fundamentos y Aplicaciones
1.1.12. Propagación de Errores
Sean x, y las medidas experimentales de dos magnitudes físicas diferentes, tales que:
x = x ± Ax; y = y ± Ay
Donde los valores medios presentan una barra sobre la variable y los errores están repre­
sentados por A.
Las mediciones indirectas obtenidas mediante operaciones matemáticas con estas dos me­
didas, deben calcularse según las siguientes reglas:
Medición 
indirecta (MI)
Error absoluto 
de la MI
Error relativo 
porcentual de la MI
D = ^ 
y
x y J
D = -=- 
y l * y J
* y}
ar-íl
(x±Ax)n
F = k(x)n(y)m
^(RACSO
BDITORBS
A = x+y
A = A + AA;B = B±AB;C = C + AC;D = D±AD;E = E + AE;F = F±AF 
x = x±ent% = x±^100
y = y±Ery% = y±^-100
üi) Según estas reglas se cumple que:
= (í)n±|n|erx% = (x)n±|n|^100
X
.2• Área:
• Masa:
• Volumen:
1 min = 60 s• Tiempo:
1 h = 60 min
1 día = 24 h = 86400 s
1 año = 365 días = 31536000 s
15Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
1 kg = 1000 g
1 tonelada (t) = 103 kg
1 Ib = 0,4536 kg = 453,6 g
1 kg = 2,204 Ib
1 pulg = 2,54 cm
1 pie = 12 pulg
1 m = 100 cm
1 km = 103 m
1.1.13. Equivalencias notables
• Longitud:
1 litro (L) = 1000 cm3
1 m3 = 106 cm3 = 103L
1 km3 = 109 m3
1 pulg3 = 16,39 cm3
1 pie3 = 1728 pulg3
1 m2 = 104 cm'
1 km2 = 106 m2
1 pulg2 = 6,45 cm2
1 pie2 = 144 pulg2
CONVERSIÓN DE UNIDADES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
C) 19,82
3
Rpta. Da = 24,75 cm
A) 149,1 y 218 B) 144,6 y 219 C) 147,8 y 220
D) 159,1 y 212 E) 152,4 y 217
42 galones = 42 ■
1 barril = 1 Jxarfíí •II. Así también tenemos:
Rpta. D
Física Fundamentos y Aplicaciones16
'i-.'wnr
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 01.- Un contenedor de helado (conocido comercialmente como 
cooler), de cuatro galones, está hecho en forma de un cubo. ¿Cuál será la 
longitud (en cm) de una arista? Considere: 1 galón = 3,788 litros.
A) 19,56
D) 24,75
B) 21,42
E) 22,76
M etí i csi an es
«159,1 litros
Primero, establecemos una relación entre las diferentes unidades de volumen que nos brinda 
el problema:
1 galón = 3,788 litros ; 1 litro = 1000 cm3 ;
I. Planteamos las siguientes conversiones:
Prob. 02.- En un tonel de vino caben 42 galones.
I. ¿Cuántos litros contiene el tonel o barrica?
II. ¿Cuántas botellas de 750 cm3 se pueden llenar con una barrica?
1 botella = 750 cm3
3,788 litros
1 £ah5n
159,llitrQs, 1000-em3- 1 botella
1 Jiarflí llatrq. 750 cm—
1 barril « 212 botellas
^áRACSO
«P EDITORES
V = 15152 cm3
Como el resultado final se pide en cm, lo que haremos es expresar el dato en cm3. Para ello 
convertimos del siguiente modo:
1 ga^ J-Z'
Luego, si «a» es una arista del cubo (cooler), entonces se debe cumplir que:
V=a3 -» a3 =15152 cm3
km II. h = horaI.
C) 5/12A) 5/3 B) 4/9 D) 2/3 E) 1/9
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
in •
Rpta. BFinalmente, se tiene que: kg
D) 2310 E) 2410B) 2140 C) 2270A) 2135
Datos: 1 Ib
1 Ib = lita. -
Rpta. C1 Ib
Prob. 05.- ¿Cuántos gigasegundos hay en un siglo?
D) 3,262 E) 3,154C) 3,062B) 3,416A) 3,454
365 días; 1 dia = 86400 s
17Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 04.- En gemología un quilate es una unidad de masa de perlas y piedras preciosas igual a 200 mg. 
Una libra de masa es igual a 0,454 kg. ¿Cuántos diamantes de 1 quilate se necesitan para hacer una libra de 
masa?
0,454 kg; 1 quilate = 200 mg
Debe recordarse que: 1 g = 1000 mg y 1 kg = 1000 g
Como se requiere una respuesta en diamantes, a partir de 1 Ib, haremos la siguiente con­
versión:
Nuestra estrategia consistirá en expresar «m en km» y «min y s, en h», respectivamente:
1^. lh-J3 60 jírínT J
a 9
Prob. 03.- Dado el sistema de ecuaciones físicas, de incógnitas «a» y «F»:
9kg-8^=0,05hF;
a = 3240 km/h2
20 m = 36 121 + a (| min) 
¿Cuál es el valor de F/a en kg?
Tenemos en cuenta las siguientes equivalencias:
1 Gs = 109 s; 1 siglo = 100 años; 1 año =
72 ^ = 36 ktn+oí-l.h) 
h h \90 /
F = 1440 kg ■ km/h2
F 1440 kg • km/h2
a 3240 km/h2
0,454 1000% 1000 1'qÍTrkite i diamante
l^h. 1J*Í 200 l'qhikile^
= 2270 diamantes
I. 20 M.AkHL.3^00/ = 36 ka+o
X 103 X 1 h h
II. 9 kg • 8 km/h = 0,05 h • F
km
h
Rpta. E
A) 16,5 B) 18,8 E) 18,3C) 16,9 D) 17,5
-> X = 1095,0 SX =
Rpta. Ex = 18,3 min
B) 2.08-106 E) 2,72-106C) 2,21-106 D) 2.98-106
h = 146,6 m
Finalmente:
.3 Rpta. A
18 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 06.- Un reloj se retrasa 3,0 s por día. ¿En cuántos minutos estará incorrecto al final de un año (365 
días)?
Prob. 07.- La base de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre 
= 43560 pie2), y tiene una altura de 481 pies. Si el volumen «V» de una 
pirámide está dada por la expresión:
En primer lugar debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias:
1 acre = 43560 pie2; 1 pie = 12 pulg; 1 pulg = 2,54 cm; 1 m = 100 cm
.’. V»2,57106 m*
V= 2570987,1 m3
V = ÍBh
Donde «B» es el área de la base y «h» es la altura, determine el volumen 
de esta pirámide en metros cúbicos.
A) 2,57 -106
B = 52609,13 m2
^RACSO
W EDITORES
La conversión consistirá en convertir un siglo en gigasegundos, así:
1 siglo = 1 siglo ■100 afiss.. 365jfíáí 86400X . AGa = 31536 Gs
1 ^iglo laftq, 1/ka 109 X
1 siglo « 3,154 Gs
1 m2 
(loo 'cm.)2
Considerando que el retraso «x» (en segundos), al cabo de un año (365 días), estará en pro­
porción directa con el retraso ocurrido por día, planteamos que:
x 3,0 s 3,0 s -365 días
1 año 1 día X 1 día
Convirtiendo a minutos: x = 1095,0 X•
Expresando «B» y «h» en metros cuadrados y metros, respectivamente, se tiene: 
 i) 7^13^-43560y ..(l2^)2 .(2-54 W
1 >efe 1 ’jHq2 1 jwrfg ~
¡i) A = 481^12>^ lmx
lyfe l^td^ 100 yrfn.
V = |(52609,13 m2)(146,6 m) 
3
■ ¿
C) 32,48
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
Rpta. B
D) 0,1235 E) 0,0995
500e = 2,00 jurig"- Rpta. Be = 0,1016 mm
19Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A) 31,45
D) 31,96
Además de las equivalencias propuestas requerimos tener en cuenta que:
1 yd = 0,9144 m y 1 día = 86400 s
B) 26,76
E) 32,75
Prob. 09.- Un paquete con medio millar de papel copia tiene 2,00 pulg de espesor. ¿Cuál es el espesor de 
una sola hoja de papel? Dar la respuesta en mm.
A) 0,1020 B) 0,1016 C) 0,1210
Prob. 10.- Una criatura se mueve a una rapidez de 5 espacios por 
quincena.SH espacio = 220 yardas y 1 quincena = 14 días; determine 
la rapidez de la criatura en m/s. (La criatura es la de la imagen).
A)8,9W" B)8,02-10’3 0)8,1-10^
D) 8,3-10" E) 8,11-10"
1 m2 
(100 ™)2
f-..
Reconocemos que las dimensiones de una pared son: a = 8 pies y b = 12 pies
Teniendo en cuenta que: 1 pie = 12 pulg; 1 pulg = 2,54 cm; 100 cm = 1 m, y que sólo se deben 
pintar tres paredes, que suponemos idénticas, el área total a pintar, en pies cuadrados, está 
dado por:
At = 3a - b —> At = 3(8 pies)(12 pies) —> AT = 288 pies2
A continuación efectuamos convenientemente las siguientes conversiones:
Ar = 288X(-12^)2(2’54^)2-
1 1 jurtg
Prob. 08.- Un pintor está recubriendo las paredes de un cuarto de 8 pies 
de altura y 12 pies de cada lado. ¿Cual es la superficie en metros cuadrados 
que debe recubrir? En la habitación hay un gran ventanal para dar buena 
iluminación durante el día.
Sea «e» el espesor de un hoja, entonces en medio millar el grosor estaría dado por 500e. Si 
este grosor equivale a 2,00 pulg, entonces igualamos y convertimos pulg a mm:
2,54 cm, 10 mm
1 pníg 1 cm.
At = 26,76 m2
u = 5 m/s
Rpta. D
C) 6,67-10-8 D) 6,67 -10
,3
Rpta. CG = 6,67 10 G = 6,6710’
K
E) 8-1023m2
Luego:
D = 200-109 nhn.
Rpta. E8,0810*
E) 5,96 1 024D) 7,12 -10”
Física Fundamentos y Aplicaciones20
resolución]
RESOLUCIÓN
Prob, 13.- Del hecho de que la densidad de la Tierra es de 5,5 g/cm3 y su radio promedio es de 6,37-106 m, 
calcule la masa de la Tierra. Dar la respuesta en kg.
A) 8,18-10’° B) 5,96 10” C) 8,18 10,z
cm3/s2gm2
^s+erdíoí 220 
quincena 1 jis+atfíí
Prob. 11.- La constante de gravitación universal «G», tiene un valor de 6,67-10“” m3-s”2-kg”1. ¿Cuál es su 
valor en cm3-s'2-g~’?
A) 6,67-10’’2 B) 6,67-10‘9 E) 6,67 -10-10
«SRACSO
EDITORES
En este caso requerimos recordar que: 1 m3 = 106 cm3 y 1 kg = 1000 g
Luego, la conversión de «G» al antiguo sistema cegesimal (cm, g, s), lo realizamos así:
Jttf 106 cm3 1X 
s2 X 103 S
m2 = 80802-1019
Prob. 12.- Determine el valor de «K» en la siguiente expresión: K =
Donde: A = 2 • 104 Gm; B = 4000 ■ 108 Mm; C = 20 • 109 km; D = 200 ■ 109 mm 
A)1.88-10,sm B) 2,88 10,s m2 C) 3.88-1015 m3 D) 1,88-1015m2
De este modo la rapidez de la criatura, en m/s, la obtenemos así:
0,9144 m 1 quincena l^fa< _qqik 
1X ’ 14ctfa^ ‘86400 s ’ 10
v « 8,3 10-4 m/s
Nuestra estrategia consistirá en expresar todas las magnitudes dadas en metros. Para ello 
requerimos recordar que:
1 Gm = 109 m; 1 Mm = 106 m; 1 km = 103 m; 1 mm = 10"3 m
A = 2-104 pní= 2-1013 m B = 4000 ■ 106 IVhrv = 400 -10I3m
i ptií ilWm.
C = 200-10” Jnfí' -ü^-7 = 21013m D = 200-109 ntm. ■ 10 3 m = 2108 m
1 Jem 1 mm.
Sustituyendo estos valores en la expresión dada, se tiene:
K ; Í2-1013 +400■ lo13/■ (2-1013)(2-108)
(2-1013)(4-1015)
I23 m2
,3
P
M=p-VP
kg Rpta. E
C) 15-102
NR 1500
Rpta. B
ESTIMACIONES
I* ,
21Unid. 7 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Sea G = 2000, el número de bolitas de gel. Entonces si «7?» es el número de bolitas rojas y 
«NR» la cantidad de bolitas que no son rojas, por condición del problema, se debe cumplir 
que:
V
B) 1.5-103
E) 0.15 -105
m3
(l,083-10:
Prob. 14.- En la imagen se muestra un frasco que contiene 2 mil bolitas de gel 
para maceteros de adorno y de diferentes colores. Se sabe que el 25% de ellas 
son de color rojo. Exprese, en notación científica, el número de bolitas del frasco 
que no son rojas.
A) 1,5-10*
D) 1.5-104
Prob. 15.- Estime el número de veces que el corazón de un humano late 
en una vida promedio de 70 años.
A)2,8-109 B)2,5-109
C)2,1-109 D)2,3-109
E) 2,6 -109
5500 kg/m3
Para este caso necesitamos recordar que: 1 kg = 103 g y 1 m3 = 106 cm 
De este modo la densidad (p) de la Tierra queda como: 
106 1 kg __
1 m3 103 X
Por otro lado, el volumen de una esfera está dado por:
p = 5,5-^,-
■’>. $ ■
V = -|kR3
NR = y^G = ^ 2000
Y en notación científica resulta: NR =
Luego, el volumen de la Tierra con radio R = 6,37 • 106 m es:
V = |tt(6,37 ■ 106 m)3 = 1,083 1021 
Finalmente, la masa «M» de la Tierra la obtenemos de la ecuación que define a la densidad:
-> M = |5500 -^%
l
:. Af»5,96 1024
l2lX/) = 5956,5 1021 kg
75
100
l,5103
t = 2207520000 s
Ai = 0,8 s/latidoAi ~
Rpta. A
B) 3,2 -105 E)4,2-105C) 3,4-105 D) 3,9-105
Nt = NlN2-N3 -> Nt =
Rpta. D-> Nt = 386718,75
E) 2.78 -1015C) 2,11 -10’5 D) 2,51 1O1S
Física Fundamentos y Aplicaciones22
[resolución
RESOLUCIÓN
Prob, 16.- Estime el número de pelotitas de ping-pong que podrían caber en un cuarto de tamaño promedio 
(sin aplastadas).
A)3,1-105
Prob. 17.- Una nube normal contiene gotas de agua con radio 0,5 mm. ¿Cuántas gotitas se necesitan para 
que la lluvia forme un charco de agua de 1 cm en su distrito? Suponga que el área de su distrito es como el de 
Los Olivos, en Lima, Perú.
A) 2.92-10'5 B)2,47-1015
^4 RACSO 
fP EDITORES
En primer lugar calculamos la duración de la vida promedio, de una persona, en segundos: 
t = 70 jUWÍ §6 400 s
Los ejercicios de Estimaciones exigen disponer de un apropiado conocimiento de las cosas de 
nuestro entorno, es decir, debemos tener cierto nivel cultural de las cosas básicas aprendidas 
en las aulas de la escuela. En nuestro caso se requiere saber que la frecuencia cardiaca de 
una persona adulta, promedio entre niñez y vejez, en estado de reposo es de 60 a 100 latidos 
por minuto. Como estamos haciendo estimaciones, elegiremos el promedio, es decir asumire­
mos que la frecuencia es de 80 latidos por minuto, que es la cantidad promedio de latidos que 
debe contar un médico cuando nos toma el pulso en un minuto. Así, el tiempo entre latidos 
normales del corazón lo obtenemos de:
80 s
100 latidos
Si «A7» es el número de latidos espaciados 0,8 s, entonces podemos suponer que el tiempo «í» 
empleado para ello está dado por: 7V(O,8 s). Luego igualando se tiene:
N(0,8s) = 2207520000 s -> N = 2759400000
2,8-109 latidos
Empezaremos decidiendo qué habitación puede tener el lector, es decir Ud. y suponiendo que 
es aún estudiante y solo, lo que recomiendan los arquitectos para habitaciones individuales 
es que su área (piso) sea de 9 m2 (14 m2 para matrimonios, que no es el caso). Asimismo los 
actuales departamentos se construyen de 9 pies a 10 pies de altura. Elegiremos el de 9 pies, 
que es el más común, equivalente a 2,75 m, aproximadamente. Si suponemos que el piso 
es un cuadrado sus dimensiones serían 3 m x 3 m. Finalmente, si dispones de una pelota 
de tenis y una regla graduada, o visitas la web, las pelotas de tenis, o ping pong, tienen un 
diámetro estándar de 4 cm = 0,04 m. Luego, el total de pelotas que caben en esta habitación 
viene dado por el producto del número de pelotas que caben en cada dimensión del cuarto:
3 m A f 3 m A í 2,75 m 
0,04 m J^0,04 m J^0,04 m J
A7t«3,9 105
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□o
V = 6,55 ■ 10'
Rpta. ETV «2,78-10
E) 3.12-1015
m'
V=iAt .. (*)
B) 3400A) 3300
D) 3600C)3500
E) 3700
23Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 19.- Alrededor de cuántos ladrillos se requieren para construir 
una pared de altura hasta el hombro y de 100 pies de largo?
Prob. 18.- Aproximadamente, ¿cuántas gotas de lluvia caen sobre un lote de 1 acre durante una precipitación 
fluvial? Suponga que el terreno es de una región alto andina.
A)2-1016 B) 10’5 C)1,24-1012 D)2,53-1013
Del problema anterior reconocemos que el volumen de 1 gota promedio es:
V = 6,55 - 10“n m3
Por otro lado debemos considerar que la intensidad promedio de lluvia (i) se puede calcular 
sabiendo el volumen «V» de agua, el área «A» afectada y el tiempo «t» de duración de la mis­
ma, así:
En primer lugar determinaremos el volumen V’ de una gota de lluvia, que supondremos 
esférica de diámetro D = 0,5 mm = 5 • 10-’ m, para lo cual aplicamos:
m)3
N = — 
V'
m3
= 2,786 1015
• V
l = A~t
Donde: i = 10 mm/h = 10“2 m/h (Valor promedio en la zona alto andina por año)
A = 1 acre = 4047 m2 ; i = 2 h (Valor promedio de duración de lluvia por día)
V = NV; tal que: N - N° de gotas
Reemplazando en (»): NV’ = iAt -> 77(6,55 10’ m3) = (10‘2 m/h)(4047 m2)(2 h)
•. N» l,241012 Rpta. C
V=Ah = NV
V' = 17tñ3=ÍD3 = í(5-10' 
3 6 o
La altura de lluvia es: h = 1 cm = 10"2 m
Teniendo en cuenta que el área del distrito de Los Olivos es A = 18,25 km2 = 1,825 • 107 m2 y 
que «N» es el número de gotas de lluvia, el volumen «V» del agua de lluvia viene dado por:
(1,825107 m2 )(10~2 m)
6,5510-11m3
15
H
—> N2 = 23 ladrillosN2 ■ h + (N2 -Y)e = H
Rpta. A
C) 3,8 105
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□o
Rpta. C
Física Fundamentos y Aplicaciones24
[resolución
RKOLUGÓN
B)1.2-105
E) 4,1 -105
Vtot 
vtot
se deberá cumplir que:
Prob. 20.- Una planta grande de energía quema la carga de carbón de trenes que 
lo abastecen a razón de 100 vagones por día. Si el carbón deja 10% de cenizas, 
estime el volumen de cenizas generado cada año por la planta de energía. Dar la 
respuesta en m3.
A) 3,1-105
D) 2.4-105
Vc = 1050 m3
l---------- i-Lg
L/lí c=:i - tLx._______ r~—~ir~—,r~ -! • ♦ 'r. .. t"
Si suponemos que la altura promedio de una persona es 1,70 m y que, en promedio, la cabeza 
mide 20 cm de alto, entonces la altura del piso al hombro será: H— 1,50 m = 59 pulg. Se debe 
saber que las medidas de los ladrillos estándar son l = 8 pulg (largo) por h = 2 1/4 pulg (alto). 
En la instalación los albañiles separan los ladrillos, en promedio, por una distancia conocida 
e = 3/8 pulg reservada para la mezcla (mortero). Si son los ladrillos a lolargo de la pared, 
entonces en esa dimensión hay (2Vj — 1) morteros.
Luego, en el largo «L» de la pared, se deberá 
cumplir que (1 pie = 12 pulg):
+ (Nj - l)e = L
-> N1(8) + (N1-l)(|j = 1200
—> Nj = 143 ladrillos
Sea N2 los ladrillos hasta el hombro de la persona, entonces
N2(21) + (N2-1)(|) = 59
Finalmente el número total de ladrillos en una pared vendrá dado por:
Nt = N}-N2 = 143-23 = 3289
<4RACSO 
fP EDITORES
Un vagón dedicado al transporte de mineral tiene variadas formas, sin embargo las podemos 
modelar como paralelepípedos rectos, de 10 m x 3,5 m x 3 m, cuyo volumen resulta ser:
Vv = 10 m • 3,5 m ■ 3 m = 105 m3
Luego el volumen total de carbón resulta ser: Vt = 100 Vv = 10500 m3
Por condición, el volumen de cenizas de carbón, por día, es:
Ve=^Vt=^(10500m3) -»
Finalmente el volumen total de cenizas en un año, o 365 días, estará dado por: 
= 365VC = 365(1050 m3) -» Vm = 383 250 m3 
»3,8105m3
B)1.9-105 C) 1.7-105 D) 1,2- 10s E)1,6 10s
zr
i 22 cm = 0,22 m
■N2
Determinamos el número de libros:
i) A lo largo: —> N} ~ 454 LZ
L ■Hii) A lo ancho: -> N2»412
C) 9,5-1O7 ■ D)9,1-107 E) 2,3 -107
Rpta. C
E) 500D) 480
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□o
25Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 22.- ¿Cuántas revoluciones hace el segundero de un reloj en tres años? Suponga que no hay año 
bisiesto en el intervalo.
A)8,8-107 B)8,2-107
Prob. 23.- Una carretera de dos carriles, en un túnel de los Alpes, tiene 3 millas de longitud. ¿Cuántos auto­
móviles pueden circular por el túnel en 1 h?
A) 960 B) 310 C) 384
Prob. 21.- Estime el número de libros que serian necesarios para cubrir con una sola capa un campo de 
fútbol.
A)1.5-105
I
A
i1 a _ ,
T-t ZH-
h-----
W,= 187048
Rpta. B
Las dimensiones oficiales de un
Reconocemos que el segundero da una vuelta al cabo de 1 segundo. También debemos reco­
nocer que el número de vueltas «N» en 3 años es proporcional al número de vueltas dadas en 
un segundo, en consecuencia se cumple la siguiente proporción:
N 1 vuelta ) 1 vue^ta 3 365 jfíús^ 86 400 X
3 años 1 s 1X 1 1 >fia
-> N = 94608000
Empezamos reconociendo que la capacidad del túnel no depende del tiempo de circulación, o 
rapidez de los vehículos, si no principalmente de su longitud L = 4 800 m (1 milla ~ 1600 m).
IX
N m 9,5‘107 vueltas
campo de fútbol presentan los siguiente rangos:
Largo: 100 m-110 m Ancho: 64 - 75 m
Elegiremos un dimensionado común y promedio: L = 100 m y A = 70 m
Por otro lado, las dimensiones de este libro son:
N = L = lOOm
1 l 0,22 m
xt A 70 m
2 a 0,17 m
Luego, el total de libros viene dado por: Nl = N1-N2 = 454 • 412
.-. Nt « 1,9-105
a = 17 cm = 0,17 m
d 1
N = 384 vehículos
Rpta. C
□ ooDaoaaoDooaaDanaaDDonDnaoDaDC3DC30C3CJC)nnoaaacjDOocjc3ac,aDaa
Masa: g = 1,67 10' Núcleo
Diámetro: cm = 3 • 10'
Volumen:
Rpta. D
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
N
M = N-m (0,44 Ib)
Física Fundamentos y Aplicaciones26
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
2-4800 m
25 m
W;
Prob. 25.- Una cadena de comida rápida, vendedora de hamburguesas, anuncia que se han consumido más 
de 50 mil millones de hamburguesas. Estime cuántas libras de carne para hamburguesas se han usado para la 
cadena de restaurantes y cuántas cabezas de ganado fueron requeridas para suministrar la carne.
A) 2,2-1010y 2.6-107 B) 3,1 ■ 1010y 4,5-107 C) 3,4• 1010y 3,1 • 107
D) 2,5 -1010 y 2,9 • 107 E) 3,5 ■ 1O'° y 2,8 • 107
Prob. 24.- El protón, que es el núcleo del átomo de hidrógeno, se puede imaginar como una esfera cuyo 
diámetro es 3-10-13 cm, con una masa de 1,67• 10-24 g. Estime la densidad del protón en unidades SI.
A)1,7-1018 B)1,4-1016 C)1.8-1017 D)1,2-1017 E)1,5-1016
m3
El número de hamburguesas es:
a) Si consideramos que la masa de carne que se utiliza para preparar una hamburguesa es 
m = 200 g = 0,44 Ib; entonces la masa total «M» (en libras) de carne empleada estará dada 
por:
síflJE...... - - — •
h------------------------------------------L-------------------------------------H
Si suponemos que la velocidad de recorrido es en promedio del orden de u =100 km/h y que la 
separación reglamentaria a esa velocidad, incluida la longitud del automóvil, es en promedio 
d = 25 m; el número total de vehículos, entre los dos carriles del túnel, viene dado por:
m 
m)3 = -hlO"45
50000 mili = 5 • 1O10
M=5-1O10-
Ar = ~ d
V = i|O3=í(310"15^, - „
Luego, la densidad del núcleo viene dada por:
‘ E^- = l,18 1017kg/m3 
m3
m_ 1,67-10
P"v‘|k.io-45
2
Observación.- En la naturaleza el platino, iridio y osmio, entre otros son los que poseen 
las mayores densidades y son del orden de 22000 kg/m3 (2,2- 104 kg/m3), de manera que la 
densidad del núcleo del hidrógeno es 5,5 • 1012 veces más grande.
'q Electrón
RACSO
•P EDITORES
p» 1.21017 kg/m3
M=2,2 - 1010lb
Transformando las unidades, de los datos, al S.I: 
m = 1,67 ■ 10’24 g = 1,67 • 10’27 kg 
D = 310"13
= 25581395
Rpta. A
C) 3,8-1022
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
Rl =
\3
micrometeoritos
10‘ microm.
Rpta. Baños
27Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
Prob. 26.- Si un micrometeorito (roca esférica de diámetro 10-6 m) 
golpea un metro cuadrado de la luna, por cada segundo, ¿cuántos 
años le llevaría cubrir toda la luna, a una profundidad de 1 m? En la 
imagen se muestra un pequeño meteorito sobre la superficie lunar y 
que se sugiere modelar como una esfera.
A) 3,1-1022 B) 3.4 -1022
D)4,1-1022 E) 4,5-1022
m2
1 año 
9.46-108 s
N = 1018
Nmu=M
Nt = 3,2-1031
.-. 7t=3,4 1022
m2 • 1 m)
Empezaremos recordando que el radio de la tierra es del orden de los 6400 km y que el de la 
luna es 1/4 de ella; es decir, el radio de la luna es:
6 400 km = 1600 km = l,6-106 m
4
Así el área de la superficie lunar será: ASL =4tlRl2 =4(l,6-106 m) = 3,2 1013
Nuestra estrategia consistirá en determinar el tiempo que demora en llenarse una caja en 
forma de cubo y ubicada en la superficie lunar. Si D = 1 pm es el diámetro de un meteorito, 
entonces en un cubo de arista L =1 m caben (.LID) en cada dimensión, luego el total «TV» es:
b) En promedio, la masa de una res está en el orden de 650 kg = 1433 Ib. En el proceso de 
sacrificio sólo se emplea el 60% de esta masa. Luego la masa útil por cabeza de ganado es:
mu =^(1433 Ib) -860 Ib
Si «2V» es el número de cabezas de ganado, se debe cumplir que:
N = M_ = 2,21Q10lb 
mu 860 Ib 
2,6107
1 m 
10"6 m
Por condición del problema en 1 m2, como la del fondo del cubo, cae 1 meteorito en 1 s, en­
tonces podemos suponer que el cubo es llenado, en capas de 1 m2, por N = 1018 meteoritos en 
1018 s; esto en razón de que el número de meteoritos coincide con el tiempo en segundos. Aho­
ra debemos reconocer que el volumen cubierto por estos cuerpos, en toda la superficie lunar, 
debe ser V = ASL • L, entonces el número total NT de éstos debe verificar la proporción:
^Z=1018 microm. . 1013
y 1 m3 1 m3
Finalmente el tiempo total en segundos viene dado por este número de segundos, que con­
vertiremos a años:
Tt = 3,21031 s-
A) 170 B) 175 C) 180
D) 185 E) 165
H = 167,64 cmH = 5 pies 6 pulg = 5 pies- + 6 pulg-
Rpta. B
E) 2,5-108A) 3,0 108 B) 2,9-10® D) 2,7-108C) 2,8-108
T =constante
Rpta. D
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
C) 4,67-103 m/s; CS = 3B) 3,589 s; CS = 4A)2,3cm; CS = 2
E) 0,0410 mm; CS = 2D) 0,0032 m; CS = 2
Física Fundamentos y Aplicaciones28
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 27.- Una esquiadora de 5 pies 6 pulgadas de altura usa esquís 
que son 5 cm más largos que su altura. Si los esquís se fabrican con 
intervalos de longitud de 5 cm (de 150 cm, 155 cm, etc.), ¿estime de qué 
longitud debe comprar sus esquís?
Recordando que 1 pie = 30,48 cm y 1 pulg = 2,54 cm; expresamos la altura «77» de la esquia­
dora en centímetros:
Prob. 28.- Las ondas de radio son ondas electromagnéticas y viajan a una rapidez de aproximadamente 
3-10® m/s, en el vacío. Si la distancia del sol a la estrella más cercana, el Alfa Centauri, es de4 -10'6m, estime 
eltiempo (en s) que le tocarla a un pulso electromagnético hacer un recorrido de ida y vuelta desde la tierra al 
Alfa Centauri.
Prob. 29.- El número de cifras significativas (CS) en los siguientes números aparece al lado derecho. Iden­
tifique el incorrecto.
Teniendo en cuenta que el recorrido total es: s = 2(4 • 1018 m) = 8 ■ 1016 m, entonces el tiempo 
empleado «T» se obtendrá de la proporción existente entre el tiempo y el recorrido de las 
ondas electromagnéticas bajo el supuesto de que su rapidez se mantiene constante:
tiempo T Is . m ls-8-1016
-------- —— = constante —> — =-------;— —> 7 =---------z—
recorrido s 3.1o8 m 3-10 m
1 s
3-108m
T»2,7-108s
— = 266666667 s
RACSO
EDITORES
30,48 cm , c , 2,54 cm—--- :-----+ 6 pulg • -j------ ;---1 pie 1 pulg
Luego, la longitud «L» de los esquíes debe medir al menos: L = H + 5 cm = 172,64 cm 
En consecuencia debe elegir la medida redondeando «L» hacia arriba:
L{ = 175 cm
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
3,589
CS = 4
En consecuencia la alternativa incorrecta es la E. Rpta. E
Prob. 30.- En las siguientes operaciones aritméticas se ha indicado a la derecha el resultado de cada una.
II. (3,2)(3,563) = 11,4 III. = 40,0 m/sI. 756,00 + 37,29 + 0,8 + 2,573 = 796,663
Identificar los resultados correctos.
B) Sólo II C) Sólo III D) I y IIA) Sólo I E) Ninguno
4 es
Redondeando a 2 CS: = 11
2CS
III. Correcto:
Rpta. C
Prob. 31.- Calcule la longitud (en cm) de la circunferencia de un círculo de radio 3,5 cm.
D) 21,9 E)7jcC) 20,9A) 22 B) 21,99
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
L = 2ttR = 2tt(3,5) = 21,99114858 cm
Rpta. A
29Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3CS
= 40,0 m/s
2,3
CS=2
0,0410
CS=3
0,00 32
CS=2
En principio debemos reconocer que el dato: R - 3,5 cm, tiene 2 CS; en consecuencia el resul­
tado debe tener también 2 CS. Veamos:
' 5520 N 
3,45 kg/m
4 es
' 5520N
3,45 kg/m
3 CS
I. Incorrecto.- Las CS de una adición está definida por el menor número de cifras decimales 
(CD) de sus términos, en nuestro caso: 0,8. Luego de efectuar la operación, el resultado se 
redondea a 1 CD:
756,00 + 37,29 + 0,8 + 2,573 = 796,663 « 796,7 (1 CD)
II. Incorrecto.- El número de CS de una multiplicación, división, potenciación o radicación; 
viene dado por el menor número de CS de uno de los términos de la operación.
(3,2)(3,563) = 11,4016
2CS
Nuestra estrategia consistirá en aplicar las reglas correspondientes para la identificación de 
cifras significativas (CS) la que anotaremos debajo de cada número dado:
4,67 103
CS=3
L = 22 cm (con 2 CS)
E) 2-10’2C) 2,2-10'A) 22 B) 21,6 D) 21,58
Los datos son:
m = 0,00535 kg = 5,35 ■ 10’3 kg (3 CS); r 0,3 m (1 CS); v = 1,1 m/s (2 CS)
Rpta. E
I.
II.
A) 0,4 y 0,414 B) 0,4 y 0,41 C) 0,4 y 0,4 D) 0,400 y 0,414 E) 0,2 y 0,207
I. El recorrido es s, = 0,4 milla, este valor presenta 1 CS y concuerda con la distancia d,:
dj = 0,4 milla
d2 = 0,4 milla (1 CS)
Rpta. C
Física Fundamentos y Aplicaciones30
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 32.- La fuerza «F» que obra sobre una masa «m» que se mueve a una velocidad «v» por una trayecto­
ria circular de radio «r» tiene como magnitud F = mv2/r. Se mide la masa y el resultado es 0,00535 kg. El radio 
es 0,3 m y la velocidad es 1,1 m/s. Calcule la magnitud de la fuerza (en kg • m/s2) tenga cuidado con el número 
de cifras significativas.
Reconocemos que el dato de menor número de CS es el radio (1 CS), entonces el resultado 
que obtengamos deberá expresarse con solo 1 CS:
Prob. 33.- Un estudiante desea hacer una medición de la distancia del trayecto de su dormitorio hasta el 
edificio de Física de su universidad. Para ello tiene el odómetro de su automóvil, que mide con una exactitud 
de décima de milla.
El resultado concuerda con el obtenido en el caso (I) y la coincidencia se debe a que el aparato 
tiene un registro mínimo de una décima de milla (0,1 milla).
Hace un recorrido recto y el odómetro marca 0,4 millas, ¿qué puede decir acerca de la distancia (en millas) 
que hay, y en especial, con cuántas cifras significativas?
Un día, sin tener nada qué hacer, hace 100 viajes redondos completos, y su odómetro marca 41,4 millas. 
Ahora, ¿cuál diría que es la distancia (en millas)? ¿Concuerda este resultado con el de la parte (I)?
F = m= (5,35-10'3 kg)(l,lm/s)2 
r 0,3 m
i CS
2 10"2kg 
s
= 0,0215783333 kg™
RACSO
WEDITORES
II. Ahora el recorrido es s2 = 41,4 millas, luego la distancia d2 estará dada por:
c/2 = i^ = w = °'414müla
17,5 mm
E)5937
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(□□(□□□□□□□□□□□□□□□□□a
,3 (con 3 CS) Rpta. D
Prob. 35.- Tenemos la serie infinita:
C) 2 D) 3 E)5
Inspeccionando la sucesión se tiene:
Rpta. A
ERRORES DE MEDICIÓN Y PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES
Prob. 36.- ¿Qué error relativo, en %, se comete al dar a n el valor 3,14? ¿Es aceptable?
A) 1,59; sí B) 0,05; sí C) 0,92; no E) 5,8; síD)1,92;no
31Unid. 1 - Cap. 1.1 — Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
+ 1,66667 10
6 CS
Reconocemos el N° de CS que posee cada dimensión de la tabla e identificamos que el mínimo 
es 3 CS. Luego el volumen viene dado por:
Prob. 34.- Calcule el volumen (en cm3) de la tabla 
rectangular mostrada. Recuerde la regla que se re­
fiere a las cifras significativas.
A) 5937,33 B) 5,93-103
C) 6,0-103 D) 5,44-103
sfé)
El símbolo n! representa el producto 1 -2-3-...-n. Por definición 0! = 1. Si x = 0,1; ¿cuántos términos de la serie 
bastan para obtener un resultado correcto con seis cifras significativas?
A)4 B) 1
cm)(29,4
3CS
V = (l,75
3 CS
cm)(115,4cm)
4 CS
i) Primero calculamos el error absoluto (sa). Para ello asumimos como valor real (VR) de k:
VR = 3,14159
.-. V=5,94 103 cm'
0,1; = 0,005;
V= 5937,33 cm3
^- = 0,1; ^2F = 0-005; ^- = 1.66667-10
Se reconoce que bastan 4 términos para observar números con 6 CS:
n = 0
.*. er% = 0,05%
E) 8-10-6, mejorA) -0,4%, peor B) 0,04%, peor C) 0,4%, mejor D) 0,04%, mejor
□□□□oaaaaoooaooooaoDaoDDDDoaaaaooooooaDDaoooooooaaaDooo
71 = 3,141592654
ej% =
e2% = •100
B) 1,94; síA) 1,85; sí C) 1,85; no D) 1,94; no E) 1,78; sí
Física Fundamentos y Aplicaciones32
RESOLUCIÓN
Prob. 38.- ¿Cuál es el error relativo, en %, que se comete al dar a «g» (aceleración de la gravedad) el valor 
de 10 m/s2, en lugar de 9,81 m/s2? ¿Es aceptable ese error?
3,141592654-3,14159292
3,141592654
e2% = 0,000008% = 8 • 10‘6%
Por comparación, esta última aproximación es mejor porque produce un menor error.
Rpta. D
|100
RACSO 
■P EDITORES
| 100
■100 = 1
y = 3,142857143
Luego, el error porcentual, para esta aproximación, viene dado por:
71
Prob. 37.- Una buena aproximación a n es 
es mejor, o peor, la aproximación ?
„ 355
113
71
22i) Considerando 10 cifras significativas para los números 7t y — , se tiene:
3,141592654-3,142857143
3,141592654
ii) Haciendo la aproximación con: te ~ error relativo resulta ser:
n = -y. ¿Qué error porcentual tiene este resultado? ¿En cuánto
Y como valor medido (VM) de n: VM = 3,14
Luego, aplicando la ecuación que define a sa, se tiene:
®a= IVkí-VrI = 13,14-3,141591 = |-0,001591 -> ea = 0,00159
ii) A continuación calculamos el error relativo porcentual aplicando la ecuación que lo define:
£^=%100=witl100
Como 0,05% < 2%, concluimos que al asumir ti = 3,14 sí se comete un error aceptable.
Rpta. B
Observación.- Nótese que el valor real del error absoluto es -0,00159, y en tal caso se dice 
que se ha cometido un error por defecto.
/. Eji% = 0,04%
er% = 1,94%
I.
II.
D) T,H E) Todas son igualmente precisas.A)T,B B) Q.H C)Q,B
■100 A Erq = 0,5%
■100 £„ = 0,05%Ib. Tendero: erT ~
lia. Bebé: ■100 = 3,33%ErB% =
Ilb. Hombre: •100 = 2,63%
Rpta. D
33Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 39.- ¿Qué medida es más precisa?
La de un químico (Q) que mide la masa de una muestra de 0,2 g con una balanza que registra en miligra­
mos o la de un tendero (T) que mide la masa de una bolsa de cereales de 2 kg utilizandouna balanza que 
registra en gramos.
La edad de un niño (B) de 30 meses o la de un hombre (H) de 38 años.
1 mg
200 mg
1 g 
2 000 g
erQ =
Sean VR = 9,81 m/s2 y VM = 10 m/s2 el valor real y medido, respectivamente, entonces el error 
absoluto sa, está dado por:
ea = I — Vr I = 110-9,811 m/s2 = I 0,191 m/s2 —> ea = 0,19 m/s2
Luego el error relativo sr correspondiente viene dado por:
e % = ^- • 100 = 0,19 m/s, 100 
VR 9,81 m/s2
Como 1,94% < 2%, entonces el error que se comete al asumir g= 10 m/s2, sí es aceptable.
Rpta. B 
Observación.- Obsérvese que el valor real del error absoluto es 0,19 m/s2, y en tal caso se 
dice que se ha cometido un error por exceso.
I. Calculemos los errores relativos porcentuales que cada persona comete en sus mediciones, 
para ello asumiremos que el error absoluto ea que se comete está definido por la mínima 
graduación del instrumento.
la. Químico: erO% = 100 =■ 100
' VR 0,2 g
e-% = %100 = M10°
Luego, la medición más precisa es la del tendero (T).
II. Procediendo con el mismo criterio para las edades del bebé y del hombre, se tiene:
1 mes 
30 meses
e %= laño 
rH 38 años
Luego, la edad del hombre (H) está dada con mayor precisión.
Prob. 40.- ¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar n para que el error sea menor de 0,1 %?
A) 5 B) 4 C)3 E)6D)2
0,1; luego aplicando la ecuación que la define, se
0,1 0,001(3,14159...)ea
Rpta. C
A) 4 B) 3 C)2 D)1 E)0
aDoanonDoaaaaaaoaaDoooaaaDDaanDDaaanaaaaooaaDDaooDaaDDO
Siguiendo el mismo procedimiento del problema anterior, se tiene:
0,0001^3 ea< 0,0001(1,732...)E«
Luego, debemos tomar >/3 con cuatro cifras decimales.
Rpta. A
Prob. 42.- Se pide escribir correctamente el siguiente grupo de mediciones de errores:
A) 0,1203 V B) 0,237 A C) 0,078 s D) 0,00453 m
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
Física Fundamentos y Aplicaciones34
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Se sabe que el error porcentual es er% 
tiene:
Prob. 41.- ¿Con cuántas cifras decimales debemos tomar V3 para que el error cometido sea menor del 
0,01%?
fíRACSO
EDITORES
-^■100 < 0,01 
v3
e <0,0001732...
4
-■' 4ta CD
E <0,003141...
X
3ra CD
Este último resultado nos indica que el error absoluto ha de afectar a la tercera cifra deci­
mal, en consecuencia se debe tomar a ti con tres cifras decimales.
El criterio para escribir correctamente el error de una medición es: «No debe tener más de 
una cifra significativa, excepto que esa cifra sea 1 ó 2, seguida de una cifra menor que 5, en 
cuyo caso se expresará con dos cifras significativas, luego de redondear si fuera necesario».
A) 0,1403 V « 0,14 V
Porque la Ira cifra significativa es 1 y la cifra que le sigue (4) es menor que 5.
B) 0,237 A « 0,24 A
Porque la Ira cifra significativa es 2 y la cifra que le sigue (3) es menor que 5. En este caso y 
antes de suprimir el resto de cifras observamos que era conveniente redondear.
^-■100<0,l
71
x = x ± Ax
(2,8 + 0,06) mA) (2,8 ± 0,055) m
D) 3% E) 2,5%B) 4% C) 10%
Rpta. EPero por dato: Erd°/o
35Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B) (13,448 ± 0,0361) g
C) (37 ± 0,58) s
D) (3,289371 ± 0,0078) kg
E) (872 ■ 10”6 ± 0,12 ■ 10-4) N
Prob. 44.- Si se desea calcular el área de un círculo con una exactitud del 5%, ¿con qué exactitud se debe 
medir el diámetro del círculo?
(13,448 ± 0,04) g
(37 + 0,6) s
(3,289371 + 0,008) kg
(8,72 • 10“‘±0,12 -lO-’) N
:. (2,80 ± 0,06) m
(13,45 ± 0,04) g
Prob. 43.- Dado el siguiente grupo de mediciones, se pide expresarlas correctamente.
A) (2,8 ± 0,055) m B) (13,448 ±0,0361) g C) (37 ± 0,58) s
D) (3,289371 ±0,0078) kg E) (872-10-6 + 0,12-10^*) N
(d ± c„i%)2 
2erd% = 5%
.-. (37,0 + 0,6) s
.-. (3,289 ± 0,008) kg
.-. (8,72 + 0,12)- 10“* N
d2 ± 2erd% 
2,5%
C) 0,078 s« 0,08 s
En este caso la Ira cifra significativa corresponde a los centésimos (7) pero antes fue nece­
sario redondear.
D) 0,00453 m ~ 0,004 m
En este caso la Ira cifra significativa corresponde a los milésimos (4). Según reglas del re­
dondeo, 4 es un número par y la cifra que le sigue es 5, en consecuencia la cifra 4 se conserva 
sin cambio y se eliminan todas las demás cifras.
D2 D2
A) -% n
Si «D» es la medida del diámetro, ésta se debe expresar en la forma:
D = d ± £rd%; donde erd% - incertidumbre o exactitud del diámetro en % 
Como el área «A» del círculo es función de D2 (A - nD2/4), entonces la propagación del error 
nos conduce a:
El criterio para escribir correctamente el valor de la medida es: «El orden decimal de la 
última cifra significativa de la medida y de la última cifra significativa del error, deben 
coincidir».
Para lograr esta coincidencia se sugiere empezar por escribir correctamente el error (Ax) y 
a continuación redondear el valor medio (x) si fuera necesario. Así el valor de la medida (x) 
es: 
E) 101 y 2,5%A) 100 y 2% B) 99 y 1% C) 101 y 2% D)100y1%
Se sabe que el lado del cuadrado mide: L = 10 cm ± 1%
A = L2 = (10 cm ± 1%)2
Rpta. A
Prob. 46.- Si el radio de una esfera se incrementara en 5%, ¿en qué porcentaje se incrementaría el volumen?
A) 125 B) 15 C) 5/3 D) 10 E) 20
(r ± e%)n = r" ± ns%; donde n = 3
Luego: R3 = r3 ± 3c% e’% = 3e% = 3(5%)
Rpta. BEl volumen de la esfera se incrementará en un 15%.
B) 30,5 y 1,2%A) 198 y 0,18% C) 196,00 y 0,72% E) 201 y 10%D) 29,40 y 0,36%
Recordemos que la magnitud de toda medida «x» presenta la siguiente forma:
ii) x = x ± e% ; siendo:
Física Fundamentos y Aplicaciones36
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Luego el área del cuadrado viene dado por:
-> A = (10 cm)2 ± 2(1%)
Sean «R» el radio de la esfera y «r» su valor medio con error porcentual «c%», entonces:
R = r ± e%
Prob. 45.- Si Ud. mide los lados de un cuadrado y son de diez centímetros con una exactitud de ±1%, ¿cuál 
es el área del cuadrado (en cm2) y cuál es la incertidumbre porcentual?
Teniendo en cuenta que el volumen de una esfera depende del cubo de su radio, la propaga­
ción del error al calcular su volumen vendrá dada por la expresión:
Rn
Prob. 47.- Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular y resulta: (15,30 + 0,05) cm y 
(12,80 ± 0,05) cm, respectivamente, calcule el área (en cm2) de la placa y la incertidumbre porcentual corres­
pondiente a dicha área.
i) x = x ± Ax ; x - valor medido
e% = ^100
Es una técnica difundida entre los matemáticos hacer cálculos de las variaciones a partir de 
la definición del error de medición. De este modo, si el incremento porcentual del radio es del 
orden del 5%, lo podemos tratar como un error de medida de su longitud, es decir: £% = 5%.
A = 100 cm2 ± 2%
4^4RACSO
WEDITORES
s’% = 15%
1= 15,30 cm±0,33%
a = 12,80 cm ± 0,39%
Luego el área viene dado por:
Rpta. C
C) 0,0856 y 43% D) 0,09 y 40% E) 0,11 y 42%
V=aLh
V= (a ± ea%)(L + eL%)(/i ± ch%) V= a ■ L ■ h + (ea + eL + eh)%
Luego:
V = 0,085625 m3±42,8%•100
1.25 0,5
V = 0,09 m3 ± 42,80% Rpta. B
37Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
0,028
0,137
A = (15,30)(12,80)±(0,33 + 0,39)% = 195,84 ±0,72%
3 CS 3 CS
En (i) se muestra la medida (x) expresada en base a su valor medio (r)ysu error o incerti­
dumbre absoluta (Ax), mientras que en (ii) se muestra el valor medio (x) y la incertidumbre 
relativa en su forma porcentual (e%) y el modo de determinarla. En adelante recuerde que 
x representa el promedio de las medidas realizadas.
En nuestro problema expresaremos las medidas indicando sus incertidumbres en la forma 
porcentual, pues así la requerimos para la propagación de errores según las alternativas 
dadas:
Prob. 48.- Una caja rectangular tiene las siguientes medidas: ancho a = (1,25 ±0,03) m, largo L = (0,5 ± 0,1) m 
y alto h = (0,137 ± 0,028) m. ¿Cuál es el volumen (en m3) con el número apropiado de cifras significativas y 
cuál su incertidumbre porcentual?
A) 0,086 y 42,8% B) 0,09 y 42,80%
Prob. 49.- Se mide el radio de una esfera sólida y da por resultado (6,50 ± 0,20) cm; y la medida de su masa 
es de (1,85 ± 0,02) kg. Determine la densidad de la esfera en kg/m3 y su incertidumbreporcentual.
A) 1,61-103y 9,38% B) 1,61-103y 10% C) 1,6-103y 10,38%
D) 1.72-103 y 10,38% E) 1.6-103 y 9,88%
El volumen viene dado por:
Transformando los errores de medición (Ax) a incertidumbres porcentuales (Ax/x- 100), se 
tiene:
A = 196,00 cm2 ± 0,72%
0,5±£4-100 
U,5
1 = 15,30 ±0,05 = 15,30 + -^^- 100
15,30
a = 12,80 ±0,05 = 12,80±-~■ 10012, oO
A =■ l-a = (l ±ez%)(á±ea%) —> A = Z a±(ez+ ea)%
A = (15,30 cm ± 0,33%)(12,80 cm ± 0,39%)
0,137 100V = fl,25±^^-1001,25
V = (1,25) (0,5) (0,137) ± f + £4
'—v—•'—v—•' ' ^1,25 U,5
3 CS 1 CS 3 CS
Y expresando el volumen con una cifra significativa:
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□o
m±3,l%
,6,510
V
m= 1,85 kg ± 1,08% ->
±(1,08 + 9,3)%P =
Rpta. C
C) (6,12 ± 0,02)-104
•.. (1)
i) Calculamos: A A
■ ■ ■ (2)
38 Física Fundamentos y Aplicaciones
[resolución
RESOLUCIÓN
Prob. 50.- Un estudiante dispone de una regla graduada en milímetros para medir las dimensiones de una 
hoja A4 obteniendo como medidas 210 y 297 para cada lado. A continuación hace sus cálculos para el área de 
esta hoja. ¿Cuál es el resultado que obtuvo (en mm2)?
A) (6,21 ±0,04)-104 B) (6,24 ±0,03)-104
D) (6,76 ± 0,06) • 104 E) (6,24 ± 0,05) • 104
m)3 ±3(3,1%)]V = |nR3 = | ±(6,5 ■ 10'2 m ± 3,1%)3 = | rt[(i
Teniendo en consideración que la parte porcentual no cambia en el resto de las operaciones, 
se obtiene:
m = m±Em%
62370 mm2
El instrumento de medida que se está utilizando para medir longitudes posee una mínima 
graduación que es el milímetro (1 mm), entonces en las mediciones realizadas se estaría co­
metiendo un error de instrumentación del orden de ±(1 mm/2) = ±0,5 mm. De este modo las 
medidas que el estudiante encontró deben expresarse así:
b = (210 ± 0,5) mm a h = (297 ± 0,5) mm
i3 ± 10,38%
fí = 6,5-10’2
RACSO
«P EDITORES
(210 mm)(297 mm) 
—> A = 6,24 • 104 mm2 
Obsérvese que los factores y el resultado tienen 3 CS.
1150,4 10”6m3± 9,3% -> V = V±ev%
Asimismo la masa se puede expresar como: m — (1,85 ± 0,02) kg
m = l,85 kg±^2-100 
1,00
Finalmente la densidad la obtenemos de la división:
p = ^ = ^±(em+ev)% -+ p= 1,85 kg 
V V 1150,4-10-6 m3
-> p = 1608,1 kg/m3 ± 10,38% .-. p = 1,6 103 kg/rrf
Expresemos el dato del radio en metros y su incertidumbre en la forma porcentual:
R = 6,50 cm±0,20cm = 6,5010~2m±^2-100
*------ - 6,50
2CS
Luego, al calcular el volumen de la esfera, y teniendo en cuenta la resolución del problema 
anterior, se obtiene:
V = 4n«3 = 47i(6,5 1O-
Buscamos una medida del área, de la forma: A = A ± AA
A = bh
AA =ii) Calculamos: AA =
2 ... (3)
Rpta. B
C) (4,25 ± 0,05) -106
F=F± AF • • ■ (1)
- ■ ■ (2)
(7,65106 N)ii) AF = F AF =
Rpta. D
C) (1,4 ± 0,4)-103
39Unid. 1 - Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B) (1,2 ± 0,2)-103 
E) (1,6 ± 0,6)-103
Prob. 51.- Un ingeniero hidráulico ha determinado que la presión sobre el fondo de una represa es 
(4,25 ± 0,06) ■ 106 Pa. Se quiere determinar la fuerza (en N) que experimenta una loza de área (1,80 ± 0,05) m2 
ubicada en el fondo de esa represa.
A) (3,83 ± 0,16) ■ 106 B) (1,08 ± 0,30) -106
D) (7,65 + 0,32) ■ 106 E) (9,15 ± 0,45) ■ 106
2 mm
Prob. 52.- Un resorte presenta una deformación, medida en el laboratorio, de (0,28 ± 0,01) m. Si la constante 
elástica del resorte es (3,2 ± 0,1) • 104 N/m, se pide determinar la energía potencial (en J) almacenada en ese 
resorte.
A) (1,3 ±0,1) -103
D) (1,5 ±0,5)-103
Debemos saber que: F = p • A
DondeF,pyA son la fuerza, la presión y el área, respectivamente. Lo que nosotros buscamos
es: __
En primer lugar reconozcamos que: x= (0,28 ± 0,01) m y k = (3,2 ± 0,1) • 104 N/m, son la defor­
mación y constante elástica del resorte, respectivamente. Asimismo debemos recordar que la 
energía potencial que almacena un resorte deformado, viene dada por:
EP = |fe.v2
'mm2
,2
Ap ! AA 
P A
0,5 mm , 0,5 mm ) fi „ . -n4 
210 mm 297 mm)' ’-
253,6 mm2 -> AA = 0,03 • 104
Reemplazando (2) y (3) en (1): A = (6,24 ± 0,03) • 104 mrrf
Para ello procedemos así:
i) F = p A -> F = (4,25 ■ 106 Pa)(l,80 m2) -> F = 7,65 106N 
. ( 0,06 106 Pa + 0,05 m2 > 
[4,25 106 Pa 1,80 m2 
AF = 0,32 • 106 N ...(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1), se tiene: F = (7,65 ± 0,32) • 106 N
Ab
b
AA
. . . (2)
AEP = 128,8 Jii) AEP
Rpta. A
E) (43,3 ±1,9)A) (56,4 ±0,1) B) (81,4 ±0,9) C) (37,6 ±1,8) D) (41,3 ±0,1)
. . • (2)
. . . (3)ii) AV = ■V AV = ■43,3
Rpta. E
CÁLCULO DE ERRORES MEDIANTE DIFERENCIALES
E) 3,36 ±0,05A) 3,72 ±0,03 B) 3,36 ± 0,06 C) 3,71 ±0,05 D) 3,68 ±0,03
a = 3,36 m/s2
Física Fundamentos y Aplicaciones40
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 53.- Un depósito acu ifero tiene la forma de un cono recto cuya base es un círculo de radio (3,12 ± 0,05) m. 
Si la altura del cono mide (4,25 ± 0,05) m, se pide determinar el volumen (en m3) de ese depósito.
Prob. 54.- Se sabe que: a = F/m, donde a; F y m representan a la aceleración, fuerza y masa respectivamen­
te. En el laboratorio se tomó un cuerpo de (3,75 ± 0,03) kg y se le aplicó una fuerza de 12,6 N, valor escrito con 
todas sus cifras correctas. ¿Cuál es el valor correcto de la aceleración adquirida, en m/s2?
2 0,05 0,05
3,12 4,25
V= (43,3 ± 1,9) m3
AEP = f 44 + 2 444 Y1254,4 ^3,2 0,28 J
AEP = 0,1103J ...(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1): EP = (1,3 ± 0,1)- 103 J
V = 43,3 m3
= + YeP
V k x )
RACSO 
W EDITORES
Lo que buscamos es una medida de EP, de la forma: EP = EP ± AEP . . . (1)
i) EP = |(fe)(±)2 -> EP = i(3,2104 N/m)(0,28 m)2 -> EP = 1254,4J
-> EP=l,3 103J
i) V = |(R)2(h)
2 AR t A/i A 
R h )
Reemplazando (2) y (3) en (1):
—> AV = 1,90 m3
Nuestros datos son: R = (3,12 ± 0,05) m y h = (4,25 ± 0,05) m
También reconocemos que el volumen «V» de un cono recto, viene dado por: V = ^R~h
Y lo que deseamos determinar es la medida de «V», expresada en la forma:
V=V±AV ...(1)
v = í(3,12m)2(4,25 m)
i) El valor medio de la aceleración (a ) lo obtenemos de los valores medios de «F» y «m»:
5=1 ^6 N
m 3,75 kg
Obsérvese que se ha tomado el valor medio de la masa del dato: (3,75 ± 0,03) kg
ln(a) -..(*)
■a&a = - - - (**)
Aa = 0,05 m/s2Aa =
Finalmente: a = a ± Aa Rpta. E
A) 70,4 ± 0,3 B) 69,2 ± 0,6 C) 71,7 ±0,5 D) 70,4 ±0,2 E) 72,3 ±0,6
□□□□□□□□ooaoaaanodanDDDDaaaaaaaDaoDaoaaaanaoaaaaaaaaaaa
,3V = abc
i) ln(V) = ln(a • 6 • c)
AV = ■V ...(*)
■ ■ ■ (*•)0,01 m
Sustituyendo (**) y los datos en (*), se obtiene:
AV =
.3 Rpta. C
41Unid. 1 — Cap. 1.1 — Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
Prob. 55.- Las dimensiones de un salón, medidas con la aproximación del centímetro, son: 5,45 m; 4,05 m y 
3,25 m. Calcular el volumen de dicha sala con todas sus cifras exactas, en m3.
ii) El error absoluto de la aceleración Aa la obtenemos aplicando logaritmos neperianos a la 
ecuación de la aceleración:
Aa 
a
ln(a)=ln(^)
A continuación diferenciamos la ecuación (*):
Ab | Ac 
b c
AF | Am
F m
AV=0,5 m'
Sean las dimensiones dadas: a = 5,45 m; b =4,05 m y c =3,25 m (Todos los datos tienen 
3CS)
Entonces el volumen «V» del salón viene dado por:
V = (5,45)(4,05)(3,25) m'
V = (71,7 ±0,5) m‘
¡i) dV = da 4. db + de iü) AV _ Aa + Ab + Ac
V a b c V a b c
Teniendo en cuenta que la última cifra de las medidas es del orden de las centésimas, asu­
mimos que:
0,01 m [ 0,01 m [ 0,01 m
5,45 m 4,05 m 3,25 m
Finalmente la medida del volumen se expresa como:
V= 71,7 m3 
7^
Y siguiendo el proceso del problema anterior, tomamos logaritmos neperianos, diferencia­
mos y el resultado lo expresamos en términos de los errores absolutos.
ln( V) = ln(á) + ln(b) + ln(c )
•71,7 m3
Aa = Ab = Ac
ln(F) - ln(m)
da dF dm 
a F m
Aproximando los diferenciales por errores absolutos, se obtiene:
Aa AF + Am 
o F ni
Teniendo en cuenta las últimas cifras decimales del valor medio de la fuerza F = 12,6 N, 
podemos asumir que: AF = 0,1 N y del dato de la masa: Am = 0,03 kg. Luego, en (**):
0,1 N 0,03 kg ) 212,6 N 3,75 kg J 3’36m/s
i a = (3,36 ± 0,05) m/s2
A) 4 B) 3 C) 2 D)1 E)0
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□DO
S = L2 ->
Luego:
Rpta. AC) (9,35 ± 0,05) -10-3
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□oaaoooDDODDQonoo
De la ecuación dada: ■■■(*)
Donde:
42 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B) (9,35 ± 0,06) -10‘3
E) (9,47 ± 0,06)-10’3
Prob. 56.- El valor del área de un cuadrado es 6,486 m2, con todas sus cifras exactas. ¿Con cuántas cifras 
decimales debe darse la medida de su lado?
El exponente negativo final de la potencia de 10, nos indica que el lado «L» del cuadrado debe 
tener, a lo más, 4 cifras decimales.
Prob. 57.- El teorema del impulso y la cantidad de movimiento establece que: F-At = mAv, donde F, At, 
m y Av representan la fuerza, el tiempo, la masa y el cambio de velocidad, respectivamente. Una fuerza de 
8,25 N actúa durante un breve intervalo de tiempo sobre un cuerpo cuya masa es de 18,3 g y, prescindiendo 
de todo rozamiento, lo lanza desde el reposo a una velocidad de 4,25 m/s. Si todos estos valores están escritos 
con todas sus cifras correctas, ¿cuál es en segundos, y escrito correctamente, el valor del intervalo en que ha 
estado aplicada la fuerza sobre el cuerpo?
A) (9,43 ± 0,07) -10-3
D) (9,43 ± 0,08)-10~3
AL
2,5467627 m 2 6,486 m:
Expresando el error correctamente, es decir, con una sola cifra significativa, se tendrá:
<4RACSO 
WEDITORES
m = 18,3 g = 1,83 • 10’2 kg; Au = (4,25 - 0) m/s = 4,25 m/s; F = 8,25 N, con 3 CS cada uno.
ÁÍ = m_Au 
X*
m2 =2,5467627 m
Sea «L» el lado del cuadrado que limita una superficie de área «S», verificándose que:
L — >[S — 5/6,486
Como primera aproximación «L» está acotada con 8 CS. Tomando logaritmos neperianos, 
diferenciando y expresando los resultados en términos de los errores absolutos, se tiene:
i) ln(L) = ln(x/s) = ln(S1/2) = |ln(S) ii) = l iii)^ = | ^
2 L, 2 O x-, 2 o
Reconociendo que el valor medio del área (S) es exacto hasta los milésimos, asumimos que: 
AS = 0,001 m2
_1 0,001 m2
m 2 a aqr
AL = 2 • 10 4 m
AL= 1,96 -10“4 m
At =
ln(rn) + ln(Au) - ln(F)
A(Aí) = 8 • 10’ s
Ai = 9,43 ■ 10-3 s ± 8 ■ 10' Rpta. DFinalmente: ss
E) 6,350 ±0,002D) 6,350 ±0,0014C) 6,35 ±0,02B) 6,35 ± 0,01A) 6,35 ± 0,05
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
R = 6,35 N
...(*)
AR = 0,0137 NLuego, en (»), se tiene:
Rpta. BFinalmente:
43Unid. 1 — Cap. 1.1 - Unidades, Mediciones y Errores
RESOLUCIÓN
Prob. 58.- Si F, y F2 son dos fuerzas aplicadas en un mismo punto y en direcciones perpendiculares, enton­
ces su resultante «R», viene dada por: 
Luego, de la ecuación dada, se tiene:
A continuación calculamos AR, del siguiente modo:
AF 
F
R = 7Fi2 + F2
Se tienen dos fuerzas de 5,45 y 3,26 N, expresadas con todas sus cifras correctas. ¿Cuál es el valor de su 
resultante, en N, con todas sus cifras correctas?
ln(R) = ln (7^ + ^) = | ln (F2 + F2)
ln(Aí) = ln[^] =
Y en términos de errores absolutos, se tiene:
d(Au) dF
Av F
Reconocemos que: FÁ = 5,45 N y F2 — 3,26 N, tienen 3 CS cada uno.
R = Jf2 + F2 = 75,452 +3,262
c¿(A¿) _ dm
At m
A(A¿)
9.43 10-3
A(At) Am + A(Au) 
Ai ni Au
Luego, al sustituir los datos en (*), se obtiene: 
(1.8310-2 kg)(4,25m/s) 
8,25 N
Ai = (9,43 ± 0,08)- 10-3
dR _ 1 + ¿F,dF,+XF2dF,
R 2 F2 + F22 / F1+F2
Y expresando este resultado en términos de los errores absolutos, se obtiene:
AR = F,AF, + F2AF2 
R F~ + F2
Donde, en atención a la última cifra decimal de las fuerzas, podemos asumir que:
AF, = AF, = 0,01 N
AR 5,45(0,011 + 3,26(0,01)
6,35 N 5,452+3,262
R = (6,35 ± 0,0137) N h (6,35 ± 0,01) N
0,1 g 0,01 m/s 0,01 N 
s 18,3 g 4,25 m/s 8,25 N
Ai= 9,43 10-3s
3 CS
A continuación calculamos el error absoluto de esta medida haciendo:
A) 1,37 ±0,06 B) 1,35 ±0,02 C) 1,36 ±0,05 D) 1,34 ±0,08 E) 1,33 ±0,09
v = v + Au
i 21 3 4 5 6
33,6 34,1 33,335,2 34,1 32,8U¡
8¡ 0,3 0,2 1,3 0,6 0,2 1,1
Luego: (Los datos tienen 3 CS)
v =33,93 cm/s = 33,9 cm/s (3 CS)
Obsérvese que la desviación estándar de cada medida está definida por: 8j = I - v I
Av = 0,616 cm/s ~ 0,6 cm/s (1 CS)
Por otro lado: Fc = 1,37 N (3 CS)
ln(m) + 2 ln(u) - ln(7?)
0,0555 N« 0,06 N
Finalmente el valor medido de la fuerza es: Fc = (1,37 ± 0,06) N Rpta. A
Física Fundamentos y Aplicaciones44
RESOLUCIÓN
mv2
R
Prob. 59.- ¿Cuál es el valor medio en newtons, escrito correctamente, de la fuerza centrípeta Fc = mvM 
cuando se trata de un cuerpo de masa m = 4,25 kg, que se mueve uniformemente sobre una circunferencia de 
35,7 cm de radio «R» (ambos valores expresados con todas sus cifras correctas), si la velocidad «v» que lleva, 
medida varias veces, ha conducido a los valores de: 33,6; 34,1; 35,2; 33,3; 34,1; 32,8 cm/s?
Recordemos que el valor medido «u» de una cantidad física, obtenida de un proceso de suce­
sivas mediciones, se expresa como:
Donde v y Au son el valor medio y la incertidumbre, respectivamente. Para ello ordenamos 
los datos del siguiente modo:
dR 
R
0,1 cm
35,7 cm1,37 N
ln(Fc) = ln[^] =
Y en términos de errores absolutos, se tiene:
F = Zvi = 33,6 + 34,1 + 35,2 + 33,3 + 34,1 + 33,28 
n 6
De este modo el cálculo grosero del error absoluto medio estará dado por:
Au = IS. = o,3 + 0,2 + 1,3 + 0,6 + 0,2 + 1,1 
n 6
<4RACSO
W EDITORES
Am 2Au AR
Fc m v R
dF,. _ dm ] 2dv 
Fc m v
F _ (4,25 kg)(33,910~2m/s)2 
c 35,710“2m
Enseguida calculamos el error absoluto AFC, para lo cual procedemos como en los problemas 
anteriores:
 0,01 kg t 2(0,6 cm/s) t
4,25 kg 33,9 cm/s +
Análisis Dimensional
1.1. Sistema Absoluto 1.2. Sistema Técnico
Sub-sistema LSub-sistema L M T F T
CGS gfCGS g s cm scm
kg MKS kgfMKS sm m s
FPS IbfIbFPS pie pies s
1.3. Sistema Internacional de Unidades (SI)
Símbolo Unidad Básica SímboloMagnitud Fundamental
LLongitud metro m
kgkilogramoMMasa
T tiempoTiempo s
kelvin KTemperatura termodinámica 0
AIIntensidad de corriente eléctrica ampere
cdcandelaJIntensidad luminosa
molmolNCantidad de sustancia
SímboloUnidad Básica
radradián
estereorradián sr
[r] = LaMbTc0d Nejfis
Siendo: a, b, c,..., g = números reales
45Unid. 1 — Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
Unidad de (x) = ma.kgb.sc.kd.Ae.cdf. mols.radh.sr‘
1.4. Fórmula Dimensional (FD)
Magnitud Auxiliar
Ángulo sólido
Ángulo diedro
F.D.F.D. Magnitud Derivada
L2 TPeriodo
L3 TVolumen Frecuencia
0'Velocidad lineal LT Coeficiente de dilatación
L2MT"2©'Aceleración lineal LT Capacidad calorífica
L2T"2©"’Velocidad angular T‘ Capacidad calorífica específica
L2T’2Aceleración angular T Calor latente específico
TIFuerza LMT Carga eléctrica
LMT"3!"1L2MT"2Torque Intensidad de campo eléctrico
L2MT"3r’L2MT"2Trabajo o energía Potencial eléctrico
L2M"1T412L2MT"3Potencia Capacidad eléctrica
L2MT"3r2Cantidad de movimiento LMT' Resistencia eléctrica
L1Impulso LMT' Carga magnética
MT"2!"1Densidad absoluta L"3M Inducción magnética
L2MT"2r’Peso específico L"2MT Flujo magnético
L"2JPresión L’W Iluminación
Física Fundamentos y Aplicaciones46
1.7. Teorema Fundamental del Análisis Dimensional - TFAD
Si la magnitud física «p» depende de las magnitudes físicas a, b y c, entonces se deberá ve­
rificar la siguiente relación:
Magnitud Derivada 
Área
Las expresiones numéricas como los números reales, funciones: trigonométricas, logarítmi­
cas y exponenciales, por ser adimensionales, se les representa por la unidad (1).
1.5. Fórmulas Dimensionales más usadas
1.6. Principio de Homogeneidad Dimensional - PHD (Principio de Fourier)
Si [A] + [B] = [D] - [E] es una ecuación dimensionalmente correcta, entonces se verifica que 
las fórmulas dimensionales de todos sus términos son idénticas:
[A] = [B] = [D] = [E]
RACSO 
WEDITORES
p = kaKb^
Siendo «k» la constante numérica de proporcionalidad, y los valores de los exponentes x, 
\j, z son tales que al efectuar las operaciones con las dimensiones de a, b y c, satisfacen el 
PHD.
E) m/s2
Rpta. B
II. III.I.
E) m; m; s
= LT’
M L
= T Las unidades deII.
III. L m
Rpta. C
47Unid. 1 — Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 01Suponga que la distancia recorrida «s» de una partícula está relacionada con el tiempo «t» de 
acuerdo con la expresión s = ct2. ¿Cuáles sonlas unidades de «c»?
A) m/s B) m/s3 C) s3/m2 D) s2/m
i _ —<l'V " «k. «i
Prob. 02.- En las siguientes expresiones, «x» está en metros, «t» en segundos , «v» en metros por segundo 
y la aceleración «a» en metros por segundo cuadrado. Determinar las unidades del Sistema Internacional de 
cada combinación:
x
A) ms2; m; s
m/s2
■X2
C) m/s2; s; m
4
B) m/s2; m; s
En casos como éstos es preferible empezar la resolución con el análisis de las dimensiones de 
cada una de las expresiones dadas:
j L2] (lt-1)2 ... l2t~2
v[o] VLT'2
[j][a][«]2=Lr
1
Las unidades de ^al2 corresponden a la longitud:
5-'
D) m/s; s; m
Prob. 03.- Cada una de las siguientes preguntas se hicieron aun estudiante en un examen. Hacer un análisis 
dimensional de cada ecuación y determinar qué ecuación puede o no ser correcta.
I. imv2 =^mv^ + s/mgh II. v = v0 + at2 III. ma = v2
L 
2
Las unidades de — corresponden al de la aceleración o sea:
Reemplazando las dimensiones del recorrido «s» y el tiempo «í» en la ecuación dada, se tiene:
[S] = [c][í3] -> L=[c]T3 -> [c]=LT-
De donde las unidades de «c» son: m*s“3
corresponden al tiempo: s
t = tiempoh = alturaDonde: m = masa a; g = aceleraciones
E) No; sí; noA) Sí; si; sí C) Sí; no; sí D) Si; sí; no
= LT‘
No es correcta, porque no satisface el PHD.
M ■ LT"2 = L2T'2
C) 1; -1; constante numérica
1 • (LT-2)1” ■ L(LT'1)"[u]n =
n = m + 1
-n = -2ni
Rpta. A
Física Fundamentos y Aplicaciones48
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 04.- En la ecuación vn = kamx, ¿qué valores de «n» y «m» hacen correcta dimensionalmente la ecua­
ción?, ¿qué se puede concluir sobre «k» a partir del análisis dimensional?
A) 2; 1; constante numérica B) 1; 1; constante física
D) 1; 1; constante física E) 1; 2; constante numérica
[m]' [a] = [u]2
No es correcta, pues los miembros de la ecuación no tienen las mismas dimensiones.
Rpta. B
v; v0 = rapideces
B) No; no; no
+ L
?
a) Para determinar los valores de «n» y «m», reemplazamos las dimensiones de cada cantidad 
física, en la ecuación física dada:
= Lm+1T-2m
III. m • a = v2
L 2
^RACSO
WEDITORES
...(a)
• • • (P)
Resolviendo (a) y (P) obtenemos: n = 2 a m = 1
II. Para los valores de «m» y «n» calculados podemos decir que «k», sólo es un número adi­
mensional, sin poder afirmar qué valor representa. Para poder conocer el valor de «fe» el 
problema debe proporcionar datos numéricos para «u», «a» y «x».
En primer lugar reemplazaremos las dimensiones de cada cantidad física en cada ecuación 
física dada para luego comparar las dimensiones de los términos:
-> [!][«] ■ [u]2 = [|] ■ [m] ■ [V, ]2 + V[m][^][A]
1 1
M - L2T’2 = M • L2T"2 + (M • LT’2 • L)1/2 -> M ■ L2T
m • v2 = 77
2
'~2 = M ■ L2T“2 + M^LT1
?
No es correcta, porque el último término de la ecuación es diferente de los otros dos con lo cual 
no se cumple el Principio de Homogeneidad Dimensional (PHD).
II. v = v0 + at2 M = [u0] + [a] • [í]2 -> LT"1 = LT-1 + LT-2 ■ T2 -» LT'
I. Aplicando el P.H.D a la ecuación física dada, tenemos:
Unidad:
función trigonométrica es la unidad, se
/. [0,] = L Unidad: metro
[C^LT Unidad: metro/segundo
Rpta. A
D) 2; -2; 2C) -1; 1; 1 E) 1; -1; 2
49Unid. 1 - Cap. 1.2 — Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 06.- Determinar los valores enteros distintos de cero de «b», «c» y <>d» tales que: aVtd sea adimen­
sional. Dar la respuesta en ese orden.
[x] = [C1] + [C2t]
W = [C1] = [C2t]
L=[C1] = [C2]T
metro
x— C, • cos(C2 • í)
Por condición del problema la expresión: ab • vc • tá es adimensional por lo tanto su fórmula 
dimensional es 1. Luego escribimos la siguiente ecuación dimensional:
[ab • uc • Zd] = 1
Donde ahora reemplazamos las respectivas dimensiones de a: o y t:
(LT"2)b(LT'1)c(T)d = 1 -> Lb+C ■ T~2b~c*d = L° - T°
[x] = [C1][cos(C2í)] 
1
Y recordando que el argumento de una función trigonométrica es adimensional, se tiene: 
[C2 ■ ¿] = 1 [C2] = T-1 —> Unidad: segundo-1
III. De igual modo, la función exponencial debe ser adimensional, por lo que:
M = [Cj[e-C2t] 
1 
Asimismo, el argumento de la función exponencial es adimensional, luego:
[C2 ‘ í] = 1 .'. [C2] = T"1 —> Unidad: segundo-1
[C1]=L
(CJ = LT-1 —> Unidad: metro/segundo
II. Teniendo en cuenta que la dimensión de una 
tiene:
Prob. 05.- En las ecuaciones, la distancia «x» está en metros, el tiempo «t» en segundos y la velocidad «v» 
en metros por segundo. En cada caso, ¿cuáles son las unidades SI de las constantes C1 y C2?
I. x = C,+C2t II. x sC^cosCy III. v = C1e"c2t
A) m, ms"1; m, s-1; ms-1, s-1 B) m, s"1; m-1, s; ms-1, s-1 C) m, ms"1; m"1, s"1; ms, s-1
D) m-1, s"1; m, s-1; ms, s E) m, ms-1: m, s; ms-1, s-1
. . . (P)ii) -2b - c + d O... (a)
d = bd = 2b + c d = b + b + c
1
j^l . rpO _ j^m . rp-2m + n
n = 2
E)T
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
[X t] = i -> WM Rpta. D1
Física Fundamentos y Aplicaciones50
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Aplicando el P.H.D planteamos: i) b + c = 0
Según el enunciado: {6, c, d} cz Z* 
De (a): b = -c De (p):
Analizando las alternativas, el único grupo de valores que satisface esta condición es B.
Rpta. B
Rpta. E
Nota.- Reconocemos que mediante este análisis, no se puede obtener el valor de «k», en cuyo 
caso se requiere conocer los valores para s, a y t.
0
Por lo tanto la expresión «ab • uc ■ £d» es adimensional para todo b, c y d tal que cumpla:
fe = -c = d # 0
Prob. 07.- El desplazamiento de un objeto en movimiento con aceleración uniforme es alguna función del 
tiempo y la aceleración. Suponga que escribimos este desplazamiento como: s = kamtn donde «k» es una 
constante sin dimensiones. Determine los valores de «m» y «n» que satisfacen esta ecuación.
A)-1;2 B)1;1 C) 2; 1 D)1;-1 E)1;2
Prob. 08.- La ley de desintegración radiactiva es N(t) = Noe"x’, en donde No es el número de núcleos radio­
activos en el instante t - 0; N(t) es el número de núcleos que permanece sin desintegrarse en el tiempo «t» y 
«X» es la llamada constante de desintegración. ¿Qué dimensiones tiene «X»?
A) L/T2 B) LT’1 C) T2 D) T1
[X] = T-1
•Sftl RACSO
W EDITORES
[s]=^[a]m[í]n 
1
Aplicando el P.H.D planteamos: m = 1
Finalmente: -2m + n = 0
Analizando el argumento de la función exponencial, es decir, el exponente, reconocemos que 
éste debe ser una constante numérica. Luego, se tiene que:
N(í) = No e-X t —> -X • t = Constante numérica
En primer lugar escribimos las dimensiones de: [s] = L ; [a] = LT"2 ; [í] = T a [7e]
Para determinar los valores de «m» y «n», reemplazamos estas dimensiones en la ecuación 
dimensional de la ecuación física dada:
-> L = (LT"2)m(T)n
E) MLT3©-3
□□□□□□□□□□□□□□□□□□(□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
Rpta. A
C)L"1MT2 E) L2MT’D) LMT’
.-. [/i] = L2MT-‘[€]= Rpta. E
C) L2MT’ D) LMT-’ E)L2A)L
[G] = L3M"‘T‘2[F] =
51Unid. 1 — Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Primero reemplazamos las dimensiones de cada una de las cantidades físicas conocidas y 
luego despejamos «/i».
Prob. 10.- Una longitud «t» en física atómica está definida por la fórmula t = h/mec, en la cual me es la masa 
de un electrón, «c» es la rapidez de la luz y «h» es una constante, llamada constante de Planck. ¿Cuáles son 
las dimensiones de «h»?
A) LM~’T2 B) L-'M-'T2
«[c]
Prob. 09.- La energía radiante «E» que emite un cuerpo de área «A» que se encuentra a una temperatura 
termodinámica «T» en un tiempo At, viene dada por: E = coA’T’At donde «e» es una constante adimensional. 
¿Cuál es la expresión dimensional de «a»?
A) MT^e-4 B) Mr4©”3 C) M2r30"* D) MW3
Prob. 11.- ¿Cuáles son las dimensiones de h2/m3G, donde «h» es la llamada constante de Planck, «m» es 
una masa y «G» es la constante de gravitación universal. Las dimensiones de las constantes que intervienen 
en esta fórmula se pueden encontrar a partir de las siguientes relaciones:
a. E = hf, siendo: E = Energía de un fotón; f = frecuencia
b. F =Gm|lP2 , siendo: F = fuerza; m,, m2 = masas; d = distancia
d2
B) L2M
Reemplazamos las dimensiones de cada una de las cantidades físicas presentes en la ecua­
ción dimensional,según el siguiente listado de fórmulas dimensionales:
[E] = Energía = L2MT-2 [A] = Área — L2 [T] = Temperatura = 0
[A¿] = Tiempo = T [e] = constante adimensional = 1
-> [E] = [e][ct][A][T4][Aí] -> L<MT"2 = 1 ■ [o] ■■ 04 • T
[a] = MT8®-1
i) Determinamos las dimensiones de la constante de Planck (/i):
[E] = [&)[/] -> L2MT-2 = [A] -T’1 -» [/i] = L2MT‘
ii) Determinamos las dimensiones de la constante de la gravitación «G»:
[GHmJfmJ 2 rP1 M-M----- ------------- » LmT -[G]-^-
MLT’
Rpta. A= L
E) L"3; LMT-3A) L2; LMT C) L"3; L2MT' D) L; L3MT
Rpta. CFinalmente:
E) L-’M~1T2I2B) L^M^T3!2 D) L'M^T2!
[E] = [Eo] = LMT-3r‘
.2
Rpta. B
Física Fundamentos y Aplicaciones52
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
T~’ 
LMT-3!"1
A) L2M-’T-2r2
Si [p] = L-'MT-2: 
i) [p] = [^] = [B] 
ü)[Q] = [Ay] = [B] -»
Prob. 12.- Si las siguientes expresiones son dimensionalmente homogéneas: p 
|Blmine las dimensiones de -y» y . Considere p = presión; A = trabajo.
B) L; LMT
) [Aj =L-2M-2T4!2
Finalmente reemplazamos las dimensiones de «7i» y «G» en la expresión dada: 
r h2 i [/¡i2 (l2mt-‘)2 . r a2 i
Lm3-GJ [ni]3[G] M’-LV-T'2 " Lm3-GJ
-> [B] = [p] -
lJJ [A]
^ = [A]
[j]
^ + B;Q = Ay + B, deter-
^4 RACSO 
W EDITORES
Prob. 13.- La ecuación E = Eosen(ax + pt) es dimensionalmente correcta, donde: E = intensidad de campo 
eléctrico: E = - , siendo «F» la fuerza y «q» la carga eléctrica, «x» es posición y «t» tiempo. Determine:
tei]
C) L-’M’2T2I2
[y] = L-
i) Determinamos las dimensiones de P, aplicando el P.H.D al argumento del seno:
[a-x+pí] = l -> [ax] = [pí] = l -> [p]=T-1
ii) Determinamos las dimensiones de la intensidad del campo eléctrico (E):
[E]=H = L^ÍZÍ [E]=LMT-3-r1
[q] IT
iii) Determinamos las dimensiones de «Eo»:
[E) = [E0][sen(ax + pí)]
1 
(Cantidad adimensional)
Finalmente reemplazamos estos resultados en la ecuación dada:m
y [A] = L2MT 2, aplicamos el P.H.D a la ecuación física dada:
[B] = L’1MT"2
- m-l;'
l2 ■ M
•. |21=l2 m t-2
[y]
Prob. 14.- La expresión para la emisividad «e» de un cuerpo negro es:
D) L2M2r1; J/s E)L2MT“';J-s
[/i] = . . . (a)
-> [Zi] = L2MT"’[A] = . . . (Constante de Planck)
Rpta. E
D) L2; LT* E) L; L-T2
[-a • r] = 1 [a] ■ [r] = 1 [a] ■ L = 1
lMt-2 =[F] =
[A]=L4 T"2 Rpta. B
53Unid. 1 - Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
De la expresión dada, sólo analizaremos el argumento de la función exponencial y éste debe­
rá tener como dimensión la unidad (1).
a) Para determinar las dimensiones de la constante «a», analizaremos el argumento de la 
función exponencial, teniéndose en cuenta que éste debe ser adimensional:
-> [a] = L-‘
Energía
Frecuencia
l2mt~2
T"1
Finalmente, para conocer las unidades de «h», nos fijamos en la expresión «a» y reemplaza­
mos las unidades de la energía (joules) y frecuencia (hertz = s-1), obteniéndose:
4 = J-s 
s 1
[H]-1
C) L2; L3?’3
hp >
(ehu/kT-1) J
Donde «c» es la velocidad de la luz, «v» es frecuencia y kT tiene dimensiones de energía. Determine la expre­
sión dimensional de «h» y su unidad en el sistema internacional.
A) L2MT’2; J B) LM2T’; J/s C) L2MT‘2; Js
b) En 2do lugar reemplazamos las dimensiones en cada término de la ecuación dimensional 
que se obtiene de la ecuación física dada. De allí despejamos nuestra incógnita «A»:
[A]-[m] ■ [e]~ar ^-2 _[A] -M
[r3] L3
2u
hv/kT -<e —1
Prob. 15.- Una fuerza «F» que obra sobre una partícula de masa «m» a lo largo de una distancia «r» a partir 
Amp-arde cierto origen está dada por: f = , en |a cua| «a» y «a» son constantes.
r
La constante e = 2,78... es la constante de Euler. ¿Cuáles son las dimensiones de la constante «a» y las de la 
constante «A», respectivamente?
A) L; L2T B)L“,;L4r2
C)3 E)5D) 4
• [E] = [Número] = 1[Tiempo]
[Temperatura] = 0• [T]
Rpta. Dy=4
E) kpHD3
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
i) y- I
ii) x=2
z - 5
Rpta. C
Física Fundamentos y Aplicaciones54
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Aplicamos el Teorema Fundamental del Análisis Dimensional (TFAJD) para establecer una 
ecuación física, o fórmula empírica, que relacione las cantidades físicas mencionadas:
iii) -3y + z = 2
Así entonces obtenemos la siguiente fórmula: t = k p-H2 D5
Prob. 16.- La energía radiada por un cuerpo a temperatura «T» es expresada mediante H = EoATr, donde: 
«E» es un número, a = 5,67-KT8 W/m2K4, A = área de la superficie del cuerpo, T = la temperatura absoluta, 
H = energía por unidad de tiempo. Determine «y».
A) 1 B) 2
Prob. 17.- La magnitud del torque (r) de un acoplamiento hidráulico varía con las revoluciones por minuto 
(H) del eje de entrada, la densidad (p) del fluido hidráulico y de diámetro (D) del acoplamiento. Si «k» es una 
constante adimensional, determine una fórmula para el torque (t).
A) kpHD3 B) kpH2D3 C) kpH2D5 D) kpW
ii) Reemplazamos cada una de estas dimensiones en la ecuación física dada:
[H]= [E][a][A][T]7 -> L2MT"3 = MT-30-4 ■ L2 • 0r -» l=0"4+r 
1
^4RACSO 
tP EDITORES
T = k • Hx • py • Dz
Reemplazamos las dimensiones de cada término de la ecuación física planteada:
[x]= [fe][H]x[p]y[D]z -> L2MT"2 = (T'1 )x(L“3M)y(L)z -> L2MT'2 = L~3y+’MyT
T -----T
Aplicando el PHD, se tiene:
MT"3©’
i) Establecemos las dimensiones de H, E, o, A y T, a partir de los datos:
. [H] = ^nergiaj = = l2MT~3
[Tiempo] T
• [a] = [5,67-10’8]
1
• [A] = [Área] = L2
watts _ 1
metro2 ■ kelvin4 J
[a] = 4íll =
K - o4
C) m/RA) m-v-R
z = -l
1, se tiene: Rpta. D
D) V? E) «v» no depende de «6>
[u] = [fe]-Vlu = k.
Rpta. D
55Unid. 1 — Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
E
F
Prob. 19.- En los animales acuáticos, la energía «E» disponible para su movimiento es proporcional a la 
masa «m» del animal, y la fricción «F» con su piel es proporcional al área «A» superficial de la misma. Todos 
estos animales tienen la misma densidad «p», muy semejante a la del agua. Si la velocidad máxima «v» que 
puede alcanzar uno de estos animales varía en proporción directa a 7E/F , establezca de qué forma «v» está 
relacionada con la longitud «ó» del animal?
A) í2 B) f' C) í
L2
Con lo cual hemos determinado que la velocidad máxima «u» que pueden alcanzar los ani­
males acuáticos es directamente proporcionalmente a V? , siendo «6> una longitud caracte­
rística de estos.
Aplicamos el TFAD, según el cual la fuerza (F) estará relacionada con la masa (zn), la rapi­
dez (o) y el radio (2?) mediante la siguiente fórmula empírica:
F=kmxuyRz
Asumiendo que la constante es k =
iii) y + z = 1
E, mu2 F=^r
Prob. 18.- Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve según un circulo. La fuerza «F» ejercida 
por la cuerda depende de la masa «m» del objeto, de su rapidez «v», y del radio «R» del circulo. ¿Qué combi­
nación de éstas variables ofrece las dimensiones correctas de la fuerza?
B) HtY C) m/R D) E)
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□oaoaooaaaaaaaaaoaoaaaaono □□□□□□
Analizando las dimensiones de la ecuación propuesta, se tiene:
[F]= [/í] [m]sMy[ñ]z -> LMT"2 = Mx ■ (LT~')y(L)z -> L1M1T*2 = I7+*M* • T~y
T T t------ 1---- 1
Aplicando el PHD, obtenemos: 
i) x = 1 ii) y = 2
Para determinar la forma en que la rapidez «v» depende de «6> aplicamos el TFAD según el 
cual, y de acuerdo con la condición del problema, se debe cumplir que:
Luego, si suponemos que «Je» es una constante física, reemplazamos las dimensiones de las 
cantidades físicas conocidas:
E) 6vr|R2D) ókv^R3C) 67rvr)R
252n- k — 6 ti
□ □□□□DoaDooaaaoDDoooDODDtDDoaoDoaaoDDDoaDDDoaoaaDOOoaaoo
Física Fundamentos y Aplicaciones56
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Reemplazando este valor en (»»), la expresión para determinar la fuerza resistiva es:
F = 67t<jT|/? Rpta. C
• [/?] = [Constante Numérica]
• [t|] = [Viscosidad] = L-’MT'
Prob. 20.- La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende de su radio «R», de su 
velocidad «v» y la viscosidad «rp> entre éste y el medio. Experimentalmente se ha logrado establecer que si 
R = 2 pm; v = 7-10-7 m/sy r¡ = 3-10' 3 kg-m-ls“’, la fuerza resistiva es 252tt1 O"’6 N. Luego, la expresión para 
calcular la fuerza resistivaes:
A)vr|R3 BjSn^riR
Prob. 21.- La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad onda-partícula establece 
que cualquier masa o partícula que se mueve a cierta velocidad tiene asociada una onda electromagnética 
cuya longitud de onda (/.) depende de la constante de Planck (h) y de su cantidad de movimiento (p), tal que: 
A. = h* • py. ¿Cuáles son los valores de ><x» e «y» que logran homogenizar la fórmula empírica dada?
A) LM’1T2 B)L-,M''T2 C)L-1MT2 D) LMT’2 E) L2MT-1
L1M-2T"2 = LI~y+IM!T’ 
tT -t T
= 1
Elaborando la ecuación dimensional de la ecuación empírica dada, tendremos:
[X] = [A]x[p]y -> L = (L2MT-I)’‘(LMT-1)y
Ahora, completaremos términos en el primer miembro de la igualdad de manera que ésta no 
se altere, pero que aparezcan en ambos miembros las mismas magnitudes, de modo que la 
solución final consista sólo en comparar los exponentes de cada magnitud. Veamos:
L1-M°T° = L2x+y-Mx+yT(x+y) ...(*)
i) Aplicando el TFAD establecemos la siguiente fórmula empírica:
F=kv*xyy Rz ...(*)
r3 - 210-6
RACSO 
EDITORES
ii) Teniendo en cuenta que:
• [F] = [Fuerza] = LMT-2
• [u] = [Velocidad] = LT"1
• [R] = [Radio] = L
Reemplazamos estas dimensiones en (*):
[F]= [fe][u]x[T]]y[R]z -> LMT"2 = (LT"1)x(L"1MT"1)y(L)z 
1
Aplicando el PHD, se tiene: j=l;x=l;z=l -> F=kvv\R ...(♦*)
iii) Sin embargo necesitamos conocer el valor numérico de la constante «Je» para lo cual reem­
plazamos los datos experimentales conocidos:
^-3-10
De «L»: 1
Rpta. B
Prob. 22.- En la siguiente fórmula empírica:
Rpta. Eii) (©) = (0)
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□o
L3T-‘i) Caudal:
ii) Peso específico:
57Unid. 1 - Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
[P] 
'lt"‘
Obteniendo la ecuación dimensional de la expresión original, se tiene que:
2g(p,-R)
Y
LMT 
1?
2x +y
De «M»: 0 = x + y —> x = 1 a y = -1
Finalmente, la fórmula tendría la siguiente forma: X = hxp
E) L2; M3; LM“'T"3
;Mria
De acuerdo con los datos reconocemos lo siguiente:
E) L‘3M; L"a2MT"1'2
D) L2; T2; LMT"3
p
Observación.-Al analizar los exponente de «T», vemos que los resultados verifican la homo­
geneidad dimensional de la ecuación (♦).
-•- [p] = L-5'2;= L"3M
m_
(lt-1)1'2
(co)Aplicando el PHD tendremos que:
i) (Y) = (9) ••• [a] = L"3M
[g]
(LT-1)1'2
L"3M = [a] +
(9) (y)
F = ía + -Odv2L 
l )
Se sabe que: F = fuerza de rozamiento, d = diámetro de la tubería, v = velocidad lineal, L = longitud, a. = coefi­
ciente experimental dimensional. Determinar las dimensiones del coeficiente «p».
A) L3M; Ls/2MT,/2 B) L"3; L"“rl/2 C) L"2M; L"’/2MT"2 D) L"3; MT",/2
Prob. 23.- La ecuación que permite calcular el caudal (Q) del escape de agua por un orificio es la siguiente:
0= CA 
rPW
Siendo las unidades de Q = m3/s, C = coeficiente de descarga, A = área del tubo, g = aceleración de la grave­
dad, p, = presión en el tubo, y = peso específico. Considerando dimensionalmente correcta a la ecuación dada, 
¿Cuáles son las dimensiones de B, C y R?
A) L2; 1; L"' MT"2 B) L2; 1; LT"2 C) L; L2; LM
LMT'2 =J[a] +
= L“2MT"2
l3t-1 = ... (9)
1-V
[B] = L2a) En (a): b) En (p):= 1
Rpta. A
PQ
E) Falta información
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□anaaaDDDnooaaDOD00000
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ODDDüaDanaoaoDüaaDOOODDD
[g][E] = [q][u][B] .. (*)
= LMT'3!' y [o] = LT'
58 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 25.- Sabiendo que la ecuación: F = qE + qvB es dimensionalmente correcta, determinar la fórmula 
dimensional de «B», siendo E = intensidad de campo eléctrico y v = velocidad lineal.
A) LMT’3F’ B) L2MT’2F' C) LT"3!"1 D) MT’2F' E) LM‘2T'3r'
Ya que conocemos las dimensiones de R, v y a, aplicaremos directamente el PHD en el nume­
rador de la expresión original para poder determinar las dimensiones de «E».
Veamos: [R][u] = [a][E] -> L2MT‘2 ■ LT’1 = LT’2[E] [E] = L2MT'' Rpta. B
Observación.- Aunque el resto de los términos no son conocidos en su totalidad ello no es 
obstáculo para determinar nuestra incógnita principal.
LMT'
TI
i5-* RACSO
W EDITORES
Luego, elaborando la ecuación dimensional correspondiente tendremos: 
P
l(l)LT~2 (l-1MT~2 - [R])
L“2MT"2
Teniendo en cuenta que: [E] = =
[B]J
(a)
A continuación determinamos las dimensiones de «B» y «R» aplicando el PHD:
iT2
[B]
Sustituyendo estos resultados en (0) y reduciendo términos tendremos:
L3T-1 = [C]I¿
■Ji
[R] = L-'MTT2
[C]L2
\2
lt~2l~‘mt~2 
L“2MT’2
Aplicando el PHD sólo al segundo miembro de la relación dada, tendremos lo siguiente:
[B] = ^
[u]
.-. [C] = 1
Prob. 24.- Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, ¿cuál es la fórmula dimensional de «E»?
[Rv-aE f4 
IE(F + Q)J
Siendo: P = peso; R = trabajo; v = velocidad y a = aceleración.
A) L2MT-3 B) L2MT“' C) MT’2 D) LMT'
MT*2!’1[B] = Rpta. D
Siendo:
A) L3T'
Aplicando el PHD diremos que:
T“2[fe]3 = L2T’2[fe] [fe] = La) (y) (P) .. (*)
[A] = L2T'2(L) .-. (Aj = l3,t2b)(a) = (P) -> Rpta. A
D) [6] = L5!^3?-4 E) [v]x = l2t2A)x = 1 B)y = O C) x = 1 +y
,LMT‘ + [8]LMT‘ = ÍLMT
59Unid. 1 — Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 26.- Determinar la fórmula dimensional de «A» en la siguiente ecuación dimensionalmente correcta:
A = Bk-Ck3
Trabajando en el Sistema Internacional y considerando que:
Tendremos, de la ecuación original, que:
{lmt'2(l2mt-1)x 1}
[B] =
eos 0 = cos^~j =
E) L3MT‘3
Nuestro problema consiste en determinar las dimensiones o exponentes desconocidos, es 
decir, los valores de «x» e «y», y además la fórmula dimensional de (5).
Primero escribimos la ecuación dimensional de la ecuación dada, y a partir de ella obtendre­
mos las dimensiones de «fe» y las de «A». Veamos:
[A] = [B][fe] - [C][k]3 -+ [A] =L2T-2[/e]-T-2[feJ3
- . '---------- V—' ' V------------- •
(«) (P) (Y)
Prob. 27.- ¿Bajo qué condiciones la ecuación propuesta es dimensionalmente correcta?
(Wpx eos 0) + 6mg = (Wpvy)
Siendo: W = peso, m = masa, g = aceleración, v = velocidad, 9 = rad, p = 4,44 m2-kg/s. 
Indique la opción excluida.
eos 60°= i
v1lW2> ■ l2mt-1-(lt“1) }
B = calor especifico y C = aceleración angular.
B) L2MT-’ C) L2T D) MLT’2
Nuestro problema se reduce a reemplazar estas fórmulas dimensionales en (*):
LMT~3I~l 
LT-1
Observación.- La relación original: F = qE + qvB, corresponde a la fórmula de Lorentz 
para la fuerza (F) que experimenta una carga (q) móvil con velocidad (u) cuando viaja en el 
interior de un campo doble: Eléctrico (E) y magnético (B). Así, la fórmula dimensional obte­
nida corresponde al campo magnético, llamado también inducción magnética.
De «M»:
De «L»:
De «T»; ... (3)
Rpta. E
a-wsec 30°- Pt = 7r2mx-vy ± dzy*"-
B) 8 0)4 D) O E)9
z = 0 ; iv = 1 ; r- 4
R=x+y+z+m+r=l+2+0+l+4 Rpta. BFinalmente: R = 8
Física Fundamentos y Aplicaciones60
RESOLUCIÓN
[8]LMT~2 = L6M4T“6
[8] = L^’TT4
A partir de estos resultados concluimos que la alternativa excluida es: E.
. . . (1)
• • - (2)
x = 1 ; y = 2 
L2M'T’2
x = 1 a y = 0
ii) Aplicando el PHD entre los términos (P) y (y):
Prob. 28.- Determinar el valor de R = x + y + w + r + z, si la ecuación es dimensionalmente correcta.
_bL
V2
Siendo: P = potencia, t = tiempo, m = masa, v = velocidad, d = densidad, y = peso específico, b = distancia 
recorrida, a = cantidad física desconocida.
A) 7
•Mz+w
2(1 + 2x) = 2(3 + y) 
2(-2 - x) = 2(-3 - y) 
Resolviendo obtenemos:
RACSO
0 EDITORES
Efectuando operaciones y agrupando términos nos queda: 
1?('<2x)M2(‘*’‘)T2(~2~’° + [8]LMT~2 = L2(3*y) M4 T2(~3~y), 
(a) (P) (7)
i) Determinamos «x» e «y» comparando, convenientemente, los exponentes: 
2(1 + x) = 4
Considerando que los valores de los exponentes numéricos r, s, y, z, tu no dependen del sis­
tema de unidades en que quede expresada la relación dada, escribimos su correspondiente 
ecuación dimensional:
[tx] 11 - L2MT~3 T = l -Mx(LT~1)y +(l’3M)Z • (l-2MT‘2 )" ■ y-
A continuación aplicamos el PHD entre cada par de términos: 
Entre (C) y (B): LyMxT’y = L2MT"2 - 
Entre (D) y (B): L"3z’2w+r Mz+w T’2w
De donde, al compararlos exponentes, se obtienen las siguientes ecuaciones:
i) z + iv = 1
ii) -3z - 2iu + r = 2
iii) -2w = -2 
Y resolviendo:
Q
D) M“T5A) L2M3/4T'
a = 2
•T' Rpta. C[Q] =
E) L4M2; T
□ □□□□□□□□□□□(□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(□□□□□□(□□□□□□□□□□o
número real, y por con-
T-‘[y] = 1
61Unid. 1 - Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
E) L M^T2B) M3/4T3
L“MT^ = L2MT-2
[A] L2T~2 = L2MT"2
[B] L2 = L2MT"2 
L2MT’3[C] = L2MT-2
/mt~2 
fr^2
m2?1 p5/2 . rp-
Prob. 30.- Si la ecuación fisica: mv2 sen(coy -<]>) = ir-es dimensionalmente correcta, determinar las 
y
dimensiones de «x» e «y», siendo m = masa, v = velocidad y co = velocidad angular.
AJLM-'tr1 B) LM-2; LT'1 C)L3;T2 D)L3M'2;T2
-> [A] = M
-» [B] = MT
-> [C] = T
Haciendo una inspección de los términos dados y de la composición de la expresión que defi­
ne a nuestra incógnita principal «Q», concluimos que debemos calcular el valor de «a» y las 
dimensiones de A, B y C. Por tales razones debemos elaborar la ecuación dimensional de la 
primera relación dada:
L2MT-2 = m(LT~‘ )g + [A] LT~2-L- [B]L2 + L2MT~3 ■ [C]
(1) (2) (3) (4)
Comparando todos los términos numerados con el primer miembro, tendremos:
De (1):
De (2):
De (3):
De (4):
Finalmente reemplazamos lo obtenido en la ecuación dimensional de la ecuación que define 
a «Q», estableciéndose que:
[Q] = M-
M2 ■ M1/2
T
En primer lugar determinaremos las dimensiones de «y» a partir del análisis de la ecuación 
trigonométrica: sen(ory — ó), en donde reconocemos que lo que está dentro del paréntesis es 
el argumento de la función trigonométrica, que por definición es un 
siguiente es una cantidad adimensional. De este modo tenemos:
[coy-Ó] = l -> [coy] = [ól = 1 -> [<o][y] = l -4
[y] = T ... (*)
Prob. 29.- Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta: W = mv° + Agh - Bx“c 60° + .‘J’C 
Donde: W = trabajo, m = masa, v = velocidad, g = aceleración de la gravedad, h = altura, x = distancia, 
fj>= potencia, determinar la fórmula dimensional de «Q», si:
Aa ^B 
Vc“
C) m5/2t-2
[zn][u]2 [sen(cut -$)] =
Rpta. E
E) L3MTC) L3M^T2 D) L3M_,TB) L^W’T2
□□□□□□□□□□□□□DQaaaanaDoaoDDaaDnQDDaaaQQDODQDaDDDDaoaoo0
[x] = M-'T • • • (1)
L’3MLT = [y]
... (2)
Física Fundamentos y Aplicaciones62
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
[N] = L“‘M~1T2 Rpta. B 
tales que permite eliminar a las cantidades
••• [x] =
-> [y] = L-2MT-1
A continuación determinamos las dimensiones de «x» a partir de la ecuación dimensional 
correspondiente de la relación original, y reemplazando lo obtenido en (*). Veamos:
[y]2 T2
l4m2
De acuerdo con las reglas que permiten derivar las cantidades físicas, se sabe que los expo­
nentes de las cantidades físicas sólo pueden ser números reales, así entonces deducimos que 
en la expresión original, el exponente UNA debe ser un número, lo que nos permite calificar­
lo como una cantidad adimensional. Luego, tendremos:
[UNA] = 1 -> (L2MT"2)[N](L2) = 1
Observación.- Las dimensiones de «N» son 
físicas que lo acompañan en el exponente.
^4 RACSO 
EDITORES
Prob. 31En un experimento de Física se comprobó que la relación: pF = (FAV)una es dimensionalmente 
correcta, siendo: p = presión, F = fuerza, A = área, V = volumen y U = energía. ¿Cuáles son las dimensiones 
de »N»?
A) L2M-’T2
i) Determinemos las dimensiones de «x», analizando para ello la función logarítmica: 
log , del cual reconocemos que el argumento (lo que está dentro del paréntesis), es sin lu­
gar a dudas un número real, y por ende una cantidad adimensional. De este modo tendremos:
M = 1 - ^1 = 1
ii) Encontramos las dimensiones de «y», resolviendo para ello la ecuación dimensional de la 
relación original.
[d][u]-
Prob. 32.- Determinar las dimensiones de «E», si: E = , sabiendo asimismo que la expresión:
y 
dv log(™j = y tan[
es dimensionalmente correcta, siendo: d = densidad, m = masa, v = velocidad y t = tiempo.
A) L3M"’T B) L'3M’'T3 C) L2M_,T2 D) LM-3T E) L3M‘'T-'
[z] = M[y]1 ...(*)
l2m-’t2 Rpta. C
D) kRVD E) kRVD
•Mz-T"y
-3 = -y
Pot Rpta. DResolviendo: x = 5; y = 3; z=1
.3/2 .1/2.1/2
B) k|
= Lx+y • T-2y
Completando el primer miembro:
63Unid. 1 — Cap. 1.2 — Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Siendo: k = número; R = radio de la hélice; <o = velocidad angular; D = densidad del aire. Determinar la expre­
sión final de la fórmula empírica.
A) kR2<D4D'2 8) kR VD"1
Prob. 33.- La potencia (fP) que requiere la hélice mayor de un helicóptero viene dada por la fórmula: 
fP=kRxcoxDz
-> T’
L°-T-1 = Lx+y-T'2y
z0) .(S) / V'E| <’)
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□¡□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
Por condición del problema: /= f(Z, g). Luego la fórmula empírica sería:
...(*)
Donde: k = constante numérica de proporcionalidad; x e y = exponentes numéricos.
Calculamos los exponentes aplicando el PHD:
[/] = 1Lx-(LT-2)v
C) kR3cüD“3
[E] =
Sustituyendo cada cantidad física derivada por sus correspondientes fórmulas dimensiona­
les, tendremos que la ecuación dimensional tendrá la siguiente forma:
[Pot] = [fc][7?]x[<ü]y[.D]z -> L2MT"3 = 1 • Lx(T"‘)y ■ (L“3M)z -> L2 ■ M1 ■ T’3 = Lx’3z
Igualando los términos semejantes tendremos:
• De «L»: 2 = x-3z • De «M»: l=z • De «T»:
kRsa>3D
Prob. 34.- La frecuencia de oscilación (f) en s"’ de un péndulo simple depende de su longitud -I» y de la 
aceleración de la gravedad (g) de la localidad. Determinar una fórmula empírica para la frecuencia. 
.I/2 - xf/2
9 I 
I3
E_.[*][■?] m-1tl~2m2t~1
” W2 (l-2mt-‘)2
iii) Determinamos las dimensiones de «z» analizando el argumento de la función trigonomé­
trica tangente, el cual como se sabe es una cantidad adimensional, veamos:
0+ar=1 [0]=[2r]=
Y de (2) en (») obtenemos: [z] = L'2M2T’‘ ... (3)
Finalmente, determinamos la fórmula dimensional de «E» utilizando los resultados de (1), 
(2) y (3):
De donde:
Resolviendo: x =
Resolviendo:
Rpta. ALuego, en la fórmula empírica: T = kR
E) P = SOOd'Vr2B) p = eood’Vr2 C) P = 900dv5t2 D) P = 300dv5t’3
De acuerdo al problema:
De acuerdo con el TFAD:
x= 1 ; y = 5 ; z = 2De donde: ...(*)
Física Fundamentos y Aplicaciones64
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
£ 
l
[ R 
GM
Prob. 36.- Jesús, una eficiente enfermera, ha observado que la potencia (P) con que aplica una inyección 
depende de la densidad (d) del liquido encerrado, de la velocidad (v) del émbolo al expulsar el liquido y del 
tiempo de aplicación de la inyección (t). Marión, un ingeniero de la PUCP, le ha conseguido una fórmula con los 
datos que ella le ha proporcionado. Si d = 0,8 g/cm3, v = 5 cm/s y t = 2 s, entonces P = 0,9 watts. ¿Cuál será 
la fórmula descubierta?
A) P = 600dv5t2
gjk RACSO
W EDITORES
Nota.- En el capítulo de Oscilaciones se encontrará que dicha fórmula es: 
decir: k = .
2n
| O f = k
Prob. 35.- El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R), de la 
masa de la estrella (M) y de la constante «G». Sabiendo que «G» es la constante de Gravitación Universal, 
determinar una fórmula empírica para el periodo. Asumir una constante numérica «k» en las soluciones.
A) kR3'2M’,'2G’1'2 B) kR^M^G-1'2 C) kR^M’^G"1'2 D) kR5/2M','zG‘''2 E) kR7/2M1/2G3'2
Rpta. E
7 2rt V l
x + y = 0 a -2y = -l
.1 A V = 1 
2 2
Por lo tanto, en (*): f=krmg112
P = í(d - u t)
P = fedxuytz (fórmula empírica)
Y según el PHD, tendremos:
L2MT~3=1(mL'3)‘ (LT'1)y Tz -> L2M!T~3 = L<“3,+y> MxT(_y+z>
P = kdv5t2
y = -\; z =
T=kR3,2M-1,2G-'12
Según el problema: T = f(R, M, G) —> T = k ■ R*MyGz (Fórmula empírica) 
Siendo: [R] = L; [M] = M ; [T] = T ; [G] = L3M-1T-2 (Prob. 11) ; k = constante numérica 
Luego, según el PHD: [T] = 1 • LxMy • (L3M-1T“2)Z -» T = Lx+3zMy’zT‘2z 
Completando el primer miembro: L^0!11 = Lx+3zMy-zT“2z 
Comparando los exponentes: 3» + 3z = 0 ; j - z = 0 ; -2z = 1
x = -; y = -i; z = -i 2 y 2 ’ 2
Rpta. C
A) L^MT6 E) L5MT'
L2MT'2 = [fc1]LT'
Finalmente: [E] = Rpta. D
: 9 + 17-12 = 14
□□oooaaaaooaaaaooaaaaooooDaoaooaaooaaDDoaaaoaDaaaoooDao
65Unid. 1 - Cap. 1.2 - Análisis Dimensional
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Cálculo de «fe», según los datos numéricos:Homogenizando unidades, tenemos:
Finalmente, en (♦) obtendremos:
L-12MT1Z[E] =
= *14
Sean x, y, z los exponentes de las magnitudes fundamentales A, M y T respectivamente, de 
la magnitud derivada «G» en su fórmula dimensional expresada en el nuevo sistema. Luego, 
según la definición de fórmula dimensional, tendremos:
[G] = AxMyTz
B) L",0MT10 D) L’,2MT12
0,9IV = (A)(0,8 g/cm3)(5 cm/s)s(2 s)2
k = 900
P = 900di/í2
Prob. 38.- Si se tomaran como magnitudes fundamentales la aceleración (A), la masa (M) y el tiempo (T), 
¿cuál sería la fórmula dimensional de la constante de gravitación universal (G)?
A)A3M“2;T2 B)A3M~2T4 C)A4M-2T4 D) A3M^T4 E) A^T4
Prob. 37.- Si la siguiente expresión contiene «n» términos y es dimensionalmente correcta: 
k v2 k
W = k,v, + + -LL. Siendo: W = energía, v¡ = velocidad, n! = factorial de n, k¡ = constante física. Deter-
¿.ó. I
minar la fórmula dimensional de « E», si E = k9 • .k12
C) L'9MT9
Elaborando la ecuación dimensional de la ecuación dada tendremos:
[/r2](LT-1 )2 [fe3](LT-')3 
1 1
-> L2MT'2 = [feJLT-1 + [A2]L2T“2 + [*3]L3T-3 + [feJL4T-4 + ...
Por el PHD tendremos: [AJ = LMT’1 ; [fe2] = L°MT° ; [fe3] = L^MT’1 = L’(-3-2)M1T(3-2>;
[fe4] = L’2MT2 = L~(4-2)M1T<4"2)... [fen] = L-(n-2)MT"-2 ...(•) Forma general de «fo>
Luego: [fe9] = L"7MT-’ ; [fe17] = L’15MT15 ; [fe12] = L-10MT10 
[fe9M*17] 
[*i2J
Observación.- Podemos rescatar del resultado y de (♦) lo siguiente:
[E] = L’12MT"12 = l-(14-2)MT’(14_2)
Es decir, si: n = 14, entonces [E] = fe14, donde el subíndice de fe14 está dado por la suma alge­
braica de los subíndices fe9, fe17 y fe12 según el siguiente arreglo:
• 9 + 17-12 = 14 -> \ fel7
*12 *12
Rpta. D
E) 4.19-10'2 gA)2,57-10,4g B) 1,09-10" g C) 2,57-1013g D) 1.09-1013 g
Finalmente se tiene:
Rpta. Dg
Física Fundamentos y Aplicaciones66
RESOLUCIÓN
Prob. 39.- Se forma un sistema cuyas unidades son:
a. Velucio (Velocidad de la luz = 300000 km/s).
b. Gravio (Aceleración igual a la gravedad).
c. Trevio (Trabajo necesario para elevar una masa de 1 kg hasta una altura de 1 m).
Determinar la equivalencia entre la unidad de masa del sistema dado y la unidad de masa del sistema CGS 
absoluto.
; W = L2MT~2
Nuestro siguiente paso será determinar la ecuación dimensional de la masa «m» en el nuevo 
sistema:
Para determinar los valores de x, y, z sustituiremos cada magnitud participante por su co­
rrespondiente fórmula dimensional en el S.I. Asimismo recordemos que:
[G]=L3M-’T-2 L3M''T~2 = Ax ■ My ■ Tz -> L3M-1T~2 = (LT"2)XMyTz
Si elegimos a V, G y W como las dimensiones fundamentales del velucio, gravio y trevio, res­
pectivamente, entonces en virtud a las equivalencias anteriores podemos reconocer que ellos 
tienen dimensiones de velocidad, aceleración y trabajo respectivamente. En consecuencia se 
puede reconocer una relación entre las magnitudes fundamentales del nuevo sistema y las 
del S.I las cuales anotamos así:
[G] =
^LRACSO
W EDITORES
Nuestro primer paso será establecer la equivalencia existente entre las unidades del nuevo 
sistema dado y las unidades CGS absolutas utilizando 3CS:
[velucio] = 300 000 km/s = 3,00 • 1010 cm/s ; [gravio] = g — 9,81 • 102 cm/s2
[trevio] = Fd = mgd = (103 g)(9,81 ■ 102 cm/s2)(102 cm) -> [trevio] = 9,81 • 107 g • cm2/s2
x = -2 ; y = 0; z = 1
—> Unidad (ni) = [velucio]-2 • [trevio]
g • cm/s2)
y
[m] = VxGyWz
-> L^M1-T°= Lx+y+2z-Mz T-x-2y-2z
M = (LT-1 )X • (LT-2)y • (L2MT-2 )Z
/. Unidad (m) = 1,09 • 1013
Resolviendo las ecuaciones exponenciales se obtiene:
De este modo queda establecido que: [zn] = V-2G°W1
T, .. , , . Unidad (W) (9,81 107
Unidad (zn) =-------------—= ---------------
[Unidad (V)] (3>00. iq10 Cm/s)‘
V = LT-1 ; G = LT
x = 3; y = -1; z = 4
■;■■■ \v
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•Un matemático puede decir lo que quiera, pero un físico debe estar, 
al menos parcialmente, en su sano juicio*.
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“ -■■’< Josiah Willard Gibbs, 1839 - 1903, fue un físico estadounidense
., ,> que contribuyó en la teoría del cálculo vectorial. ^ :"'J:' '^’¡
Vectores en 2D
VIvl
e
RR
2.1.3. Vector Unitario (w)
a) Definición: |ñ| = l
b) Vectores unitarios cartesianos:
b) V = Vx+Vy=Vxi+Vyj
Física Fundamentos y Aplicaciones68
j = vector unitario en el eje «y». 
|T|=lTl=l
2.1.1 Cantidades Físicas según su Naturaleza
a) Escalar.- Es aquella cantidad física que queda definida por un número y, si es el caso, por 
una unidad física.
b) Vector.- Es la cantidad física que queda definida por su magnitud y una dirección.
2.1.4. Componentes Rectangulares de un Vector
Sean Vx y Vy las componentes rectangulares del vector V , tal que: 
a) Vx = Vxi AVy =Vyj
ñ = ^, 
Ivl
i = vector unitario en el eje «x».
2.1.2. Notación y Representación Gráfica de un Vector
a) Notación.- El vector «V» se denota como: V o V .
b) Representación Gráfica.- Si la unidad de longitud representa a la unidad de la cantidad 
vectorial, entonces la longitud del segmento orientado que lo representa coincide con su 
magnitud. La dirección del vector, denotado por «0», viene definida por el ángulo trigono­
métrico medido positivamente en sentido antihorario desde una recta de deferencia (RR) 
horizontal hasta el vector dado.
Donde: | V | = V, se llama módulo o magnitud del vector. Debe 
tenerse en cuenta que el módulo de un vector tiene un valor 
no negativo.
ga RACSO
WBD1TO1BS
(Módulo de V )
y
(Dirección de V )d) 0 = tan :\v V7
e
XVx
yf(+)
i\lvl vy
x
2.1.6. Adición de Vectores
a2) Método del triángulo
\r\ = ^A2 + B2+2AB eos 0 R = A + B
Á
= A + B
= A-B
a3) Método de polígono
R = 0R = a +b +c +d
69Unid. 2 — Cap. 2.1 - Vectores en 2D
Donde Vx y Vy tienen un signo según la dirección hacia donde 
se orienten los vectores. Respecto de «0», se sugiere elaborar un 
esquema para visualizar la verdadera magnitud de la dirección.
a) Métodos Gráficos
al) Método del paralelogramo
c) lv| = ^V2 + V2
VXJ
i) Si 9 = 0o: |R|míx
ii) Si 0 = 90°: IrI = 7a2 + B2
iii) Si 0 = 180°: IrLíh
2.1.5 Descomposición Rectangular de un Vector
Sea |v| el módulo del vector V y 0R el ángulo agudo que 
forma éste con el eje «x».
a) Vx=±|v|cos0R
b) Vy=+|v|sen0R
c) V = VXT + Vyj
Debe tenerse en cuenta que los signos de las componentes: Vx, Vy, están definidas según la 
dirección de los vectores sobre cada eje.
(~~) i 8R1 
Vx
De este modo: 0R = tan’
\d\ = s/a2 + B2-2AB eos 0
B
P = kV
A = kB
Física Fundamentos y Aplicaciones70
2.1.7. Sustración de Vectores 
a) Método gráfico
|p| = |k||v|
P TT V, k > 0
P TI V, k < 0
D = A-B = (Axi+Ayj)-(Bxi+Byj)
D = DJ + Dyy
2.1.10. Producto Escalar (o Producto Punto)
a) Sean: A = Ax i + Ay j y B = Bx i + By j . Se define el producto escalar de A por B , denotado 
como A • B , a la operación cuyo resultado es un escalar, tal que:
Á.B = IÁ|IbIcosO
A
b) Método analítico
Si: A = Axí + Ayj;B = Bxi+Byj
Luego: D = (AX-Bx)i+(Ay-By) j 
2.1.8. Multiplicación de un Vector por un Escalar 
Sean V y k un vector y un escalar respectivamente, entonces, la multiplicación del vector V 
por el escalar «k», es otro vector P, tal que:
RACSO 
W EDITORES
Obsérvese que T? significa codirigidos (igual dirección) y T-L significa contrariamente diri­
gidos (direcciones opuestas).
2.1.9. Criterio de Colinealidad
Sean A y B dos vectores. Se afirma que A y B son colineales si ambos comparten una 
misma recta de acción o se encuentran en rectas paralelas, y existe un escalar «k», tal que:
k>0,ÁTTB
k<0, AÍ4-B
D = A-B
b) Método Analítico
Si: Á = AxT + AyJ; B = BXI + By~j
Luego: Rx = SVX = Ax + Bx a Ry = EVy = Ay + By
R = V+RyI a Ir|=^rx+r^
B
■*{
-Hiv) 0 = cos'
i) AxB =
yii) IAxBl = | Al-|B|-sen 0 Á
B
x
71Unid. 2 — Cap. 2.1 - Vectores en 2D
2.1.11. Producto Vectorial (o Producto Aspa)
a) Sean A = Ax i + Ay j y B = Bx i + By j .Se define el producto vectorial de A por B , denota­
do como A X B, a la operación cuyo resultado es un vector, tal que A x B es perpendicular al 
plano formado por A y B y cuya dirección viene dada por la regla de la mano derecha.
z
ÁxB,
1 IaIcosB 
" 151
BX bY k=(AxBy-AyBx)k 
x y
Donde k es el vector unitario en «z».
b) Propiedades:
¡) Ti=TT=i
¡o T-y=yi=o
üi) A B=AxBx+AyBy 
ab y 
IaIIbIJ
MÉTODOS GRÁFICOS EN 2D
m
C) 3VÍ3 P
37” 37”
m
n = 6m = 5
P
ñ m = 5 a n = 6
A
|í|=4|A|x = 4A
Rpta. D
C
A
Física Fundamentos y Aplicaciones72
RESOLUCIÓN
Prob. 01Para los cuatro vectores m, n , C y p , calcule | x |, si: 
x = 2m + 2í + 2p + 2ñ siendo: m = 5y n = 6.
A) VÍ3
D) 4>/l3
De la figura, podemos observar que los pares de vectores (ni , n) y ((, p ) tienen la misma 
resultante A. Luego, aplicando el método de «cola a punta», o del triángulo, tendremos:
Prob. 02.- En la figura, ABCDEF es un polígono regular y AD es un diámetro 
de la circunferencia. Calcule el vector resultante.
A) 3ÁD
C) 4.5ÁD
E) 6ÁD
B) 2VÍ3
E) 5VÍ3
B) 4AD
D) 5ÁD
A
Nuestro problema se reduce a determinar | x |. Luego, de la expresión dada, se tiene: 
x = 2m + 2Í + 2p + 2ñ —> x = 2(/ñ + ñ) + 2(7 + p)
-RACSO 
EDITORES
A A
Finalmente, en el triángulo formado por los vectores rñ , ñ y A, aplicamos la Ley de Cosenos 
para conocer | A |. Veamos:
|A|2
ni + n = t + p = A
62 + 52 - 2 • 6 ■ 5 ■ eos 37° -> I A I = <13
.’. | x | = 4 JÍ3
R = SV R = AB + BC + CD + AC + AF + AE + ED + AD + FE R = 4AD + FE
AD
R = 4,5AD
A) 48 eos 9 C) 24B) 36 sen 0
E) 18 sen2 9D) 42
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
H
AÉAE
R = 4AE I RI = 4 IAÉI = 4■6 era
Rpta. C
73Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 03.- Desde el borde «A» de una circunferencia de 3 cm de radio, 
y definido por el ángulo 0, se trazan 7 vectores tal como se indica en el 
gráfico adjunto. Determinar (en cm) el módulo de la resultante de este 
grupo de vectores.
Agrupando convenientemente, se tiene:
R = (ÁB + AF) + (AC + AG) + (AD + ÁH) + AE 
AÉ
De la figura observamos que hay 9 vectores en total y de las alternativas reconocemos que 
el vector resultante debe ser expresado en función del vector AD. Por tal razón nuestra es­
trategia de reducción consistirá en agrupar convenientemente los vectores consecutivos que 
tienen como resultante el vector AD . Veamos:
Anotamos los extremos de todos los vectores siguiendo la secuencia alfabética. De este modo 
podemos reconocer que existen pares de vectores ubicados, cada uno, a ambos lados del 
vector AE que resultan ser ortogonales entre sí. Para comprobarlo basta con observar que el 
ángulo inscrito, que cada par de éstos forma, subtiende un arco de 180°.
| R | = 24 cm
AD AD AD
Además notamos que: AD TT FE y por ser un hexágono regular se cumple que: FE = —
2
Rpta. C
Por lo anterior podemos afirmar que la resultante 
de cada par de vectores ortogonales coincide con 
AE (AE = 2R = 6 cm) siendo éste la diagonal de 
todos los rectángulos formados. Veamos:
R = EV = ÁB+AC+ AD + ÁE + ÁF+ÁG+AH
p
A)100 N; 100 N 8)150 N;120N C)150 N; 90 N
D)100N;150N E) 120 N;100N
^3°\
P?
Rpta. E
A) 5 B) 6 C)7 D) 8 E)9
Rpta. DR = 8
D) 19 y 22 E)24 y 27
Física Fundamentos y Aplicaciones74
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 04.- ¿Cuáles son los módulos de los vectores componentes de la 
fuerza -P» de 100 N a lo largo de las rectas continua (1) y punteada (2), que 
se muestran en la figura?
Elaboramos un paralelogramo en donde queden indicados el vector «P» 
y sus respectivas componentes «P]» y «P2» según las direcciones dadas. 
Luego elegimos el triángulo superior para señalar en él los ángulos así 
como el valor de sus lados.
Prob. 06.- Dos vectores «A» y «B» originan una resultante mínima de valor 3. Determinar sus módulos, si 
cuando forman un ángulo de 60°, la resultante es 39.
A) 18 y 15 B) 21 y 18 C) 21 y 24
(D
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□OEGO
\P1
537', 
100 N / 
I
I
I
100 sen 74° 
sen 53°
| P2| = 100 N
,74°
¿53°
«120 N;
R = ^102 +62 + 2-10-6 (-|j
Prob. 05.- Dos vectores «A» y «B» tienen una resultante máxima de 16 y una mínima de 4. ¿Cuál será el 
módulo de la resultante de dichos vectores cuando éstos formen 127° entre si?
P2
(2)/
4
\53°
RACSO
EDITORES
Sabiendo que la resultante máxima y mínima de dos vectores viene dado por la suma y dife­
rencia de sus módulos, respectivamente, planteamos:
Rmáx = A + B=16 ...(1)
... (2)
máx
Rmín = A - B = 4
Resolviendo (1) y (2) se obtiene: A = 10 a B = 6
Ahora, cuando los vectores formen el ángulo 0 = 127°, su resultante vendrá dada por la 
relación:
R = ^136 + 120(-|)
Considerando que el factor de escala es igual a la unidad, podemos apli­
car la Ley de Senos para determinar los módulos de las componentes de 
«P». En tal caso nos fijamos en el triángulo sombreado y se tiene que:
100 _ IP,I _ IP2I 
sen 53° sen 74° sen 53°
Despejando convenientemente, se obtiene: | Pj | =
1521 ... (2)
B2 + 3B - 504 0
Al resolver la ecuación se encuentra que:
D) 53° E) 143°
P 4fe H
A = 35 = 5k k = l
R = 21 = 3fe
R = 3*B = 28 A 5k
a 990° +a
B = 4kO9 = 143° Rpta. E
Sean: A
Donde: A
75Unid. 2 — Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Para el segundo caso aplicamos la ecuación que define la magnitud de la resultante de dos 
vectores:
Prob. 07.- La resultante de dos vectores mide 21 y es perpendicular a uno de ellos. Si el otro mide 35, ¿qué 
ángulo forman entre sí los vectores componentes?
A)90° B)127° C)37°
R2 = A2 + B2 + 2AB eos 60° = 392
Donde, luego de efectuar operaciones tendremos: A2 + B2 + AB
De (1) despejamos «A», tal que: A = B + 3
Y reemplazamos esto en (2), en donde luego de efectuar operaciones se obtiene una ecuación 
de segundo grado en «B»:
(B + 3)2 + B2 + (B + 3)B = 1521
B = -24 (imposible) a B = 21 (verdadero)
B = 21 y A = 24 Rpta. C
B = 4k = 4(7)
a = 53° -> 9
Para el primer caso tendremos una resultante mínima, que viene dada por:
A- B = 3 ...(1)
Luego:
Así reconocemos que:
Prob. 08.- Se tienen dos vectores compuestos (2P + Q) y (3P - Q), que forman entre sí un ángulo de 53°, 
siendo sus módulos respectivos iguales a 15 y 7 unidades. ¿Cuál es el módulo del vector «P»?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Sean R = 21; R1B y A = 35, con los cuales construimos el esquema adjunto, en donde se 
verifica que el !\OHP es pitagórico, pues sus lados se corresponden con los números 3k, 4k 
y 5k.
En efecto:
k = 2
2P + Q y B = 3P-Q
15 , B = 7 A 9 = 53° (ángulo entre A y B)
Si procedemos a sumar estos vectores vemos que se elimina Q, y queda: A + B - 5P
5P = Va2 + B2 + 2AB eos 53°Aplicando la fórmula de la resultante:
Rpta. C
Á-2B
C) 16 D) 8
53° 
E)4
Siendo: P = 5 y Q 6
10
15A + B | = 8 Rpta. D
B)
D) Q
Eligiendo
Física Fundamentos y Aplicaciones76
RESOLUCIÓN
[resolución
3A + 5B
□□□□□□□□□□OQanaQooaDaannnQDnannaDaaaananDoanonoo°DDDaDD
Prob. 09.- Sabiendo que | A-2B| = 5 y |3A + 5B| = 6, calcular |5A + B|.
A) 11 B) 15
ico
+
ii
i«v\
Haciendo una inspección apropiada entre ellos, se \ 
puede deducir que: \
2P + Q = 5A + B -> R = 2P + Q
Luego, aplicando la fórmula de la resultante, según
el paralelogramo adjunto, tendremos:
R =-V102 +62 + 2-10-6-eos 127°
RACSO 
W EDITORES
un vector unitario u en la dirección de «P» hacia «Q», tendremos que:
PM = PM ü = 2ü (cm) y MQ = MQ • ü = 3Ü (cm)
De acuerdo con los datos se puede establecer lo siguiente:
P = A-2B; Q = 3A + 5B y 0 = 127° (ángulo entre P y Q)
Prob. 10.- Sabiendo que PM = 2 cm y MQ = 3 cm, determinar una 
expresión vectorial para x en términos de á y b.
M 3á + b DX 2á + 3b 2a-bA) “ B) ~5~ C) -y-
3a + 2b
5
E) a±b
\>127° 
V-i---
i Q = 3A + 5B ¡
H-------6------- i
5P = ^152 + 72 + 2 15-7-|
P = 4
Luego, en base al esquema vectorial mostrado, aplicamos el método del triángulo en:
a+PM=í Oa + 2u = x ■ ■ • (1)i) AOPM:
b=r+MQb = x + 3u • • ■ (2)ii) AOMQ:
ba. x
MP
x =
Observación.- La solución general de este problema es:
Prob. 11Determinar x en función de a y b .
C)A) B)
D) E)
Observamos que:
PQ = a, PR = t> y RO = _? ■ • • (1)
PH = 2r y OP = r>/5
• ■ • (2)
RO=RM-OMDeltsOMR: . . . (4)RO + OM = RM
Reemplazando (2) y (3) en (4):
Rpta. AYde(l):
77Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
Q
Rpta. D
5a-9b
12
3a + 7b 
5
3a-5b 
8
5a+ b
6
4a+3b
7
Sumando 3(1) + 2(2) miembro a miembro, se obtiene:
(3a + 6ñ) + 2b = 3x + (2x + 6ü)
3a + 2b 
5
Y además, en todo triángulo rectángulo como 
el SxOHP:
- MQ a + PM b
X PM+MQ
RO = i(5PQ-9PR)ro = |(pq-pr)-|pq
Como el kJPQR es pitagórico de lados 3r, 4r y 5r, vemos que:
OM = ÑQ = |PQ
RM =|RQ = |(RQ-PR) ...(3)
- 5a -9b
12
A) B)
C) D)
E)
punto medio del lado RQ. Además, por la
Q
a
x
kG2kP
í=GM+MNDel AGMN:
. . . (1) b
R
RQ = a - bPero, del APQM: . . . (2)
Rpta. BFinalmente, reemplazamos (2) en (1):
A) B) C)
D)
...(•)
Delfc^POQ: |xl = Lcos0 •.. (1)
Física Fundamentos y Aplicaciones78
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 13.- Determinar una expresión vectorial para x en función de los vectores 
A y B, sabiendo que PQRS es un cuadrado.
1
4 + 1
Efectuando las construcciones geométricas necesarias concluimos lo siguiente: 
x = a + b
2(A + 3B)
5
2(Á-B)
3
2(A + 2B)
5
2(Á-3B)
7
MN = (1-|).RQ
Prob. 12.- Para el grupo de vectores mostrado, determinar el vector «x» en función 
de a y b, sabiendo además que «G» es baricentro del APQR y RN = 4NQ.
4á + b o, 7a-2bB)^5~
6a-2b 5a-3b
13 ' 11
13á + 5b
18
NQ_1
RN 4
Trazando la mediana PM, notamos que «M» es 
proporción dada:
^rq=1rq 
N------------
I5RQ
M------------
2RQ
e)A^B
MN = ^RQ
-> Í = ÍPM + ARQ
PM = l(ñ + b)
RACSO 
W EDITORES
NQ 1 NQ=1
RN + NQ 4 + 1 RQ 5
Estas observaciones se han colocado en el esquema 
adjunto, en donde puede apreciarse que:
í = + (75-2b) 
lo
... (2)
De (1) en (2):
bA COS 0 =sen 0
Rpta. B
Á
C)
D)
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
R T P
C• . - (1)i) US = B sen 0 = a sen 0
2U
(a - a eos 0)cot 0 • • • (2)VS = (A - B eos 0)cot 0
B0Á
Q
Fig.(1)R = PT = UV = US - VS . . ■ (3)
79Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
L 
sen a
.□.?AS
V
Finalmente la magnitud máxima de la resultante viene 
dada por:
A) a tan 0
a(1 + sen 0) 
eos 0
B) a cot 0
E) a tan(|)
ler método.- Los vectores Ay C poseen direcciones definidas y, en consecuencia, si se trata 
de obtener una resultante R máxima, pues hacemos centro en «Q» (extremo de A), y con radio 
«a» trazamos un arco de circunferencia. En esta situación el vector C debe ubicarse sobre la 
recta tangente a este arco, en cuya condición adopta la posición más alejada respecto de «Q» 
y ello permite que su extremo (T) se ubique, también, lo más alejado del origen de A (P), tal 
como se aprecia en la Fig. (1).
De la Fig. (1), se reconoce que: ZPQS = 0. Luego:
Prob. 14.- Sabiendo que: |A] = |B| = a y que la dirección de C está 
definida por «0», tal que 45° < 0 < 90°, se pide determinar la magnitud 
máxima de la resultante si ésta se ubica en una recta horizontal.
a(1+cos 0)
sen 0
Ixl 
sen 20
ii) VS = TV cot 0 = PU • cot 0 = (PQ - UQ)cot 0
En el APOS (isósceles) aplicamos la ley de senos:
L • eos 0 _ L
2 sen 0 - eos 0 eos 0
tan 0 =
-A A COS 0 = -
V5 V5
A continuación determinamos | á I y I b | en base 
alÉxPHO:
• | a I = | x I • sen 0 = L- eos 0 sen 0 = ~L a = ^A
5 5
• | b | = | x | • eos 0 = L eos 0- eos 0 = ~L b=^B
5 o
Finalmente, reemplazamos estos resultados en (♦) y obtenemos:
S = |(A + 2B)
5
Sustituyendo (1) y (2) en (3):
R = aR = a[sen 0 - (1 - eos 9)cot 0] —»
R = o R = a(csc 0 - cot 0)
C
a
a
Á
Fig.(2)
Reemplazando en (♦) y efectuando, obtenemos:
Rpta. E
c
C) 3A - 5C
□□□ooDaDDDaDaDaaQaaQaDaaaaüQDDaDDaQDDDDanaaaaaQoaaaaao0
... (1)
ÁÁ • • • (2)Donde:
Física Fundamentos y Aplicaciones80
RESOLUCIÓN
A)9A + 7C
D) -5Á + 4C
3
5
b = baua + bcuc
- Á - C
“a = a y “c = C
R = a sen 0 - (a - a eos 0)cot 0
sen2 0-
a - a eos a ■
R =
• eos 0 + eos2 0 
sen 0
R = «tan(|)
R
Sean A, B y C los módulos de los tres vectores dados. Si des­
componemos el vector B sobre las direcciones de A y C, sus 
vectores componentes son BA = BAüA y Bc = Bcuc respec­
tivamente, obtenidos a partir del paralelogramo mostrado, 
de tal forma que:
X eos a = X sen a • cot 0
► cot a = cot 0 a = 0
íl-cos 01 ?
\ sen 0 /
2do método.- Sea «a» el ángulo que definen las direcciones de A 
y B (Fig. 2). Haciendo el cálculo de los segmentos que definen 
la magnitud de «R», se tendrá que:
R = a sen a - (a - a eos a)cot 0 ...(*)
Bc\
0 “a Ba
1 — eos 0 1 
sen 0 /
R = a tan
^4 RACSO
W EDITORES
O
Prob. 15.- Sabiendo que el radio del arco de circunferencia mostrado 
mide 20 unidades, determinar una expresión vectorial para 7B en términos 
de los vectores Á y C. Datos:
senot = ^ y senp
B) 3V2Á + 5C
E) 9Á+7V2C
Es justo reconocer que esta expresión es R = /(a). Esto significa 
que el máximo de «R» depende de un valor particular de «a», 
que la determinamos derivando e igualando a cero:
4^ = -T“(a sen a)--^-(a-a eos a) cot 0 
da da da
—> = a eos a - (0 + a sen a) • cot 0 = 0
da
□_____ bJA
a sen a \
acosa -/S B \
4a
p
a
• ■ • (3)
7B = 3^2 A + 5C Rpta. B
B = B = mA + nC
B
x.
A
CA 6
x =
81Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
Prob. 16.- Sabiendo que AL pasa por el centro de la circunferencia inscrita 
en el triángulo ABC, que AB = 4 cm y AC = 6 cm, determinar el módulo de la 
componente del vector x sobre la dirección AB.
A) 3,2 cm B) 2,8 cm C) 2,1 cm
D)2,4cm E)1,8cm
C
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
3A ■ AB + 2/; - AC
3/e + 2A
B 
sen[7t-(a + p)]
£ = 2 
q 3
Bc =
Sea BL = p y LC = q. Reconociendo que el centro de la circunferencia inscrita es el incentro 
del triángulo ABC, deducimos que AL es bisectriz del ángulo BAC.
Luego, aplicando el Teorema de la Bisectriz, relativa
al ángulo BAC, tendremos:
AB AC _4 = 6
BL LC p q
ba
_ 3%/2-o “~B
|B
B = C, se tiene:
[ p = 2k
1 q = 3fe
Si asumimos que sobre los lados AB y AC se trazan los 
vectores AB y AC, entonces aplicando la propiedad 
referida a la expresión de un vector en términos de 
otros dos, tendremos:
- q-AB + p-AC
q + p ÍAC 
•VAC
BA BC B
3 V2 7^2
5 2 10
Reemplazando (2) y (3) en (1) y teniendo en cuenta que A
T> _ 3a/2 -pT A > 5 r/ C
Nota.- Reemplazando la ecuación (2) en (1) se demuestra que siempre existen dos escalares 
m y n para expresar un vector B en función de otros dos A y C conocidos y no colineales:
Zk 
A
Obsérvese que znA es la componente de B sobre la dirección de A mientras que nC es la com­
ponente de B sobre la dirección de C.
x=|AB+ 
5
XAB
b = baA + bc£ A A c C
Teniendo en cuenta los valores de «sen a» y «sen p», podemos establecer que:
sen[n - (a + p)] = sen(a + p) = sen a • eos P + sen p • eos a =
A continuación determinamos los módulos BA y Bc aplicando la Ley de los Senos en el trián­
gulo sombreado, en donde:
BA _ BC
sen p sen a
*ab=|aB
Rpta. D
D) 2,4 E)0,8
2n
á c
'i.
2b/3A
Análogamente:
AC = AD + DC
De esta última relación podemos reconocer a los escalares: y n
Rpta. CFinalmente nos piden:
15
Física Fundamentos y Aplicaciones82
RESOLUCIÓN
= ±
15
n
3n
AD = #b
= nía + nb
RACSO 
W EDITOIES
-> lxABl = |lAB| = |-4cm 
l*ABl = 2,4cm
Finalmente, de la última expresión, reconocemos que la componente de x sobre AB está 
dada por:
Prob. 17.- En un AAMB se traza ML y AC, donde «L» y «C» pertenecen a AB y MB respectivamente, y 
son tales que: AL = LB y MC = 2CB. Si AC y ML se intersectan en »N», determinar (m + n) si se cumple que: 
x =ma + nb,siendo: x = NC, a=AM y b = AB.
A) 1,2 B)1,8 C) 0,4
DC= 3 -> DC = ^
DB = —
"l + n = il + iM
Elaboramos la Fig. 1 para anotar los datos y reconocer las relaciones entre ellos:
M
N
AL ■ BM • CN = AN • BL • CM \ - ■ x = y \-2pi
n
D b/3 B
Fig. 1 Fig. 2
Para establecer la relación entre x e y, en la Fig. 1, aplicamos el Teorema de Menelao en el 
AABC, sombreado, donde ML es la secanteque intersecta a aquel en L, N y M, cumpliéndose: 
y=|x A ÁÑ = |í
La Fig. 2 es una réplica de la Fig. 1 en donde se ha trazado CD || AM, de este modo los trián­
gulos ABM y DBC son semejantes, cumpliéndose que:
PC = BC PC
AM BM a
DB = | a urs = - -» AJU = =O 
O O O
Con los datos obtenidos aplicamos el método de cola a punta en el AADC:
m + n = 0,4
VECTORES CARTESIANOS EN 2D
y a
,c
b
x
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□(□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□[□□□□□a
-2i
2j 4iC X
■x
2j
mismo eje, se plantea que:
Rpta. D6
E)C) 2A-3B = OA) A-2B = 0 B) 3A + 2B = 0
5 = -7,5* ->
Resolviendo para j se tiene: -4 = 6k
Rpta. B3A + 2B = 03A -2B
83Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Sustituyendo datos, se tiene:
Resolviendo para i se tiene:
i
En base a la nota expuesta en la resolución del Prob. 05, podemos establecer que: 
a - mb + pe ...(*)
En base al esquema adjunto se puede reconocer que:
5 = li+3j ; b =4i+2j ; c=-2i+2j
Reemplazando en (*) se tiene:
li + 3j =ni(4i+2j) + p(-2i+2j)
Efectuando y agrupando, se obtiene:
li + 3j = (4m-2p)i + (2m + 2p)j
Igualando los componentes de un
4m-2p = 1 1
2m + 2p = 3 j
S; 3j 
y
7
77“
De acuerdo con las alternativas, buscamos una ecuación entre A y B de la forma:
A - /eB = 0 —> A = /eB ; k e. R
5i - 4 j = fe(-7,5i + 6 j) -> 5i - 4 j = (-7,5/e)i + (6/e) j
M
fe = ‘3
De acuerdo con estos resultados hemos demostrado que A y B son vectores colineales, tal que: 
a=-|b
Prob. 19.- Si A = 5 i - 4 j y B = -7,5 i + 6 j , identificar una ecuación que relacione A con B.
D)-Á + |b = Ó E)|Á-B = O 
□oaDaaaaDaaooooDaoDDDaaoaoooooooooooooooaaaaoaaDaDaaaoa
a=—b+—c3 6
Prob. 18.- Dados los vectores a , b y c ; se pide determinar una 
expresión para el vector a en términos de b y c.
A) a=-|b+5c B) a=-|b+-|c
C) a=3b + 2c D) a=~b + ^c
E) á = -2b + 5c
m = í: p = 5 p 6
E) 12¡ +9j ;+11C) -2i +9j ;-17
IA | = 75
IB | =5
| C | = 785
Rpta. A
Prob. 21Tres vectores A, B y C tienen los siguientes componentes «x» e «y».
CBA
+2+6 -3
-3 +4 +5
C) 11 D) 7,8 E) 14
Rpta. DIR I =7,8
Física Fundamentos y Aplicaciones84
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Dado que se conocen las componentes rectangulares de los vectores A, B y C; los expresare­
mos según los vectores unitarios cartesianos:
La magnitud de A + B + C es:
A) 3,3 B) 5,0
A = 6i -3j ;
R=A+B+C
Componente «x»
Componente «y»
RACSO
W? EDITORES
Prob. 20.-Se tienen dos vectores: A = -2i + j y B = 4i +3j
a. Determine un tercer vector C tal que: 3A + 2B-C = 0
b. Calcular TÍ7|cI-(i7|Á|+IbI)
A)2T + 9f;-5 B)3T + 67;+6 C)-27 + 9};-17 D) 47 + 7};-9
B = -3i+4j ; C = 2i+5j
R = (67-3j) + (-3i+4j) + (27 + 5j) -> R = 5i+6j
Finalmente determinamos la magnitud de R aplicando la fórmula que la define:
IRI = 7ó2 + 62
a) De la ecuación dada despejamos nuestra incógnita C:
3A + 2B-C = Ó -> C = 3Á + 2B
Luego reemplazamos los datos: C = 3(-2i + j) + 2(4i +3 j) C = 2i+9j
b) |Ál = V(-2)2+l2
|B| = 742 + 32
ICI = V22 + 92
Finalmente: 717 | C I - (17 | A I + IB l) = 717 ■ 785 - (1775 + 5) = -5
Prob. 22.- Dado el siguiente sistema de vectores, determine el
módulo del vector V, si: V = M - N + P - Q.
A) 3V2 B) 6>/2
c) 2V2 D) Jí
B
B 4
B = 6
Luego:
Asimismo:
l v 1 = Ve2+62 .-. | V I = 6V2 Rpta. BFinalmente: V = A + B
A) B) C)
X
85Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
Elaboramos un esquema en el que trazamos los opuestos de N y Q en lugar de ellos; así la 
expresión que nos piden queda del siguiente modo:
V = M + (-Ñ) + P + (-Q) -> V = [m + (-Ñ)] + [p + (-Q)]
Á
_A 
O
5 i + 3^3 j 
2-/Í3
son consecutivos y de igual forma P y (-Q).
Prob. 23.- En la siguiente figura se muestra un triángulo equilátero ABC 
de 8 cm de lado. Determine el vector unitario en la dirección del vector R, 
si se cumple que: BD = BC/4.
5T + 2V3T B) 5T-3V3J
3VÍ3 2Vl3
D)5T + 3>/37 E) 5T-3V3T
Observamos que los vectores M y (-N) 
M + (-Ñ) = A = +6? 
P + (-Q) = B = +6i
e>4
0 A=6
BD = 2 cm
xUR = 5
E) (1;1)D) (-2; 0)
I Al = 5
B = (0; 15) - (4; -3)
Rpta. C
C) 15; arctan(|); (9i+12j)
...(*)
Física Fundamentos y Aplicaciones86
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 24.- Un vector «A» tiene una componente <<x» positiva de 4 unidades y una componente «y» negativa 
de 3 unidades. ¿Qué segundo vector «B» al sumarse a «A» producirá un vector resultante cuya magnitud sea 
el triple de «A» y esté dirigido en la dirección «y» positiva?
A) (-6; 8) B)(6;8) C) (-4; 18)
R = (5; 3>/3)
Finalmente, por definición de vector unitario, se 
tiene:
A + B = R
IRI=3|Á|
R = (0; 15)
(0; 15)
B = (-4; 18)
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□oaoDnDooonoaQaaaanaaDaDQOEiQEiDnaaaQO
IA | = 7(4) + (-3)2 ->
...(*)
I R| = 3(5) = 15
(5; 3>/3) 
r/52 +(3>/3)2
(0;Q)
A
5i +3>/3 j 
2V13
•fe RACSO 
EDITORES
Según los datos se sabe que: A = (4; -3)
Asimismo se tiene que:
Según condición del problema:
Pero también se debe cumplir que:
Reemplazando en (*), se tiene: (4; -3) + B
Prob. 25.- Tres vectores están dados por: Á = -5 i ; B = 9 j y C = (-4 i + 3 j).
a. Calcule el módulo y dirección del vector resultante de estos vectores.
b. ¿Qué vector, sumado a estos tres, haría que el vector resultante fuera cero?
A) 10; arctan(-|); (121 +9j)
D) 12; arctan(|); (12?-9j)
B) 12; are; (-9 • -12j)
E) 15; arctan(-|); (9 i -12 j)
nR=X-R IRI
Nuestro primer objetivo es determinar las coordenadas del punto «D», para lo cual trazamos 
la altura DH y determinamos las medidas de los lados según los triángulos notables.
BD = lBC = i(8 cm) 
4 4
Luego el vector R viene dado por las coordenadas 
del punto «D»:
B
/\2
/ D (5; 3^3)
X-6
ri
H
a) Siendo: A = -5i;B = 9j yC = -4i+3j,la resultante viene dada por:
R = A + B + C -> R = -5i+9j+(-4i+3j) -> R = -9Í + 12j
60%
3 C
Rpta. C
0 = are tan
A+B+C+D=Ob) Sea D el vector que hace posible que:
-9i+12j+D = 0Y de (♦) se tiene que: Rpta. E
• . .(1)
B = 10A = 5
A = 4i+3jReemplazando en (1): Rpta. A
Á
A) C)B)
x
D) E)
87Unid. 2 — Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
—1— 
-3
|R| = V(-9)2+(12)2 =15
M
Rx J
Expresando los vectores B y C en función de los vectores unitarios cartesianos (i; j), se tiene:
• B = -3? + 5j • C = 2i-7j
y
5
4 i + j 
VÍ7
5¡ +4j
V4Í
21 + ji +2j 
V5
31 +2j
V¡3
are tan(+)
Luego el módulo de R es:
9 = are tan; -+ i =
Prob. 26.- El vector resultante de los vectores A y B es R = 10 i +11 j . Si los vectores unitarios de A y B son 
a = 0,8 i +0,6 j y b = 0,6¡ +0,8 j , respectivamente, determine el vector A.
A)4Í + 3T B)8T + 6T C)3T+4j D)6T + 87 E)12T+16Í
R
D = 9Í-12j
Sean «A» y «B» los módulos de A y B. Luego, de la definición de vector unitario, se tiene 
que:
Prob. 27.- Determine el vector unitario del vector A, sabiendo que la 
resultante del conjunto de vectores mostrados es nula.
Asimismo la dirección de R es:
A = Aüa = A(0,8i+0,6 j) y B = Büb = B(0,6i + 0,8 j) 
Asimismo se sabe que: R = A + B —> R = 10i+llj ..-(2) 
Reemplazando (1) en (2): A(0,8i + 0,6 j) +B(0,6i +0,8j) = lOi +11 j
Efectuando y agrupando: (0,8A + 0,6B)i +(0,6A + 0,8B)j =10i + llj 
Igualando las componentes de un mismo eje se tiene que: 
0,8A + 0,6B = 10 1 
0,6A + 0,8B = ll J
A = Aüa = 5(0,8 i + 0,6 j)
Rpta. BUA =
P
30':
B)200 N C)210 N D)260 N E)280 N
Py = -(260 N)j
P = 600N
F = 200N
A)-100 N;-300 N B) 200 N; -400 N C) 200 N; -300 N
D)200 N; 600 N E)-200 N;-600 N
Física Fundamentos y Aplicaciones88
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 28.- En la figura, el cuerpo que está sobre el plano inclinado de 30°, 
está bajo el efecto de una fuerza «P» inclinada 30° respecto de la horizontal. 
Si «P» se descompone en componentes paralela y perpendicular al plano y 
el valor de la componente paralela es 150 N, calcule la magnitud de la com­
ponente perpendicular de «P».
A)180 N
RACSO
W EDITORES
,^30°
Trasladamos al segmento dirigido que representa al vector 
«P» sobre su recta de acción hasta que su origen se ubique 
en el origen de coordenadas. A continuación indicamos el 
ángulo de 60° que forma «P» con el eje «x» dado. De esta 
forma podemos descomponer rectangularmente a «P»ob­
servándose que:
Generalmente el triángulo rectángulo que se muestra para indicar la pendiente del plano 
inclinado debe emplearse para determinar, en base a sus lados anotados, los valores de las 
R.T seno y coseno, por tal razón:
eos a -
5
Prob. 29.- El cuerpo mostrado en la figura está sujeto a las fuerzas verti­
cal y horizontal que se observan. Determinar las componentes de la fuerza 
resultante de esas dos fuerzas según los ejes «x» e «y» orientados en 
forma paralela y perpendicular, respectivamente, al plano inclinado.
sen a = ~ ;
5
P, = 150
Luego: Py = Px ■ tan 60°= 150 V3 .-. Pv«260 N Rpta. D
Nota.- Obsérvese que la expresión vectorial cartesiana de las componentes rectangulares son:
Px = +(150 N)i
Por condición del problema la resultante de A, B y C es nula, entonces se plantea que: 
Á+B+C=0 -> A + (-3i+5j) + (2i-7j) = 0 -> A = i+2j
Finalmente, aplicando la ecuación que define al vector unitario, tendremos: 
üA=X= IigL .-. üA=i±í 
IAI 712+22 V5
i
3
•. Rx = -200 N
Rpta. E
F = 600N60°
B) 424, 2 N C) 289,4 N D) 612,5 N E) 521,8 N
aa’ ± bb’
F■eos 45° F, = 600 • (0,707)
B)120N;300 N
D) 50N;100N
Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
En base a los ángulos indicados se logra determinar 
que el vector «F» forma 45° con el eje aa’. Luego, al 
descomponer el vector «F» en base a los ejes indicados, 
se tiene que sus componentes rectangulares son Fi y 
F2, tal que:
A) 100 N; 50V2 N 
C) 200 N; 50V2 N 
E) 50 N; 40^5 N
F2 = 600 • (0,707)
Rpta. B
Prob. 30.- Descomponga la fuerza F en dos compo­
nentes, una actuando paralelamente al eje ■■aa» y otra 
actuando perpendicularmente a dicho eje. F es coplanar 
con el eje «aa» y la línea de trazos vertical. Dar como 
respuesta la componente de mayor módulo.
A) 314,5 N
F2 = F ■ sen 45°
F2 = 424,2 N
F>
F, = 424,2 N
Prob. 31.- En la figura, la componente «x» de «P» es 20^5 N. 
Determine «P» y su componente en el eje «y».
F = 200 N
Luego de desplazar cada vector «P» y «F» sobre su recta de 
acción hasta hacerlos concurrentes, los descomponemos 
rectangularmente indicando los módulos de sus compo­
nentes según como se muestra en la figura.
a) Componente de la resultante sobre el eje «x»:
Rx = ZVX —> Rx = -600 sen a + 200 eos a
-> R =-600 ^ + 200-4
x 5 5
b) Componente de la resultante sobre el eje «y»:
Ry = ZVy —> Ry = -600 eos a - 200 sen a
-> R =-600-4-200-4
y 5 5
Ry = -600 N
5. 
/ya.
4 
P = 600 N i
Xa.
X-
Y
sen(a + P) = sen a • eos P + sen p • eos a
De lo cual se deduce:
cos(a + P) =
2oVÍ = PyPx = Py • tan(a + p)
Rpta. EAsimismo: Px = P sen(a + p)
tí a
Pared
E)177 N; 177 N
ya) En el eje «x»;
A
|S]=125>/2 N x
INIb) En el eje «y»; N
|N| = 125>/2 N
Rpta. E
Física Fundamentos y Aplicaciones90
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A) 100 N; 50x/2 N
C) 150 N; 50V2 N
B)120 N; 177 N
D)100N; 50V2N
J5
Aplicando las fórmulas conocidas para las componentes 
rectangulares y teniendo en cuenta los valores de las 
R.T anteriores, se obtiene:
Prob. 32.- En dirección de una barra inclinada respecto al horizonte 
un ángulo a = 45°, actúa la fuerza Q = 250 N. ¿Qué fuerza «S» surge 
en este caso en la dirección del tirante horizontal y qué fuerza «N» 
actúa sobre la pared en dirección vertical?
S p
RACSO 
ttfP EDITORES
Se está pidiendo el módulo de las componentes rectangulares de la fuerza «Q» tales que los 
ejes «x» e «y» se hayan trazado sobre la horizontal y vertical respectivamente. Luego, si tras­
ladamos el segmento dirigido que representa a Q, se tiene:
/Tirante
= I QI sen 45°
|N| = 250-^
45°/
Q-
tan(a + p) = i
■i
.-. Py=4oV5N
20V5=P-|z
V5
El ángulo que forma «P» con el eje «y» es (a + P), tal que:
sen(a + p) = -?= -| + | '4 = 4 
y/5 5 5 V5 V5
ISI = |Q| -eos 45°
ISI = 250-^ ->
P = 50 N
| S | = | N | « 177 N
6(£
60°
A)50 N; 257 N
x
B)40 N ; 247 N
X*
C) 30 N; 230 N
y,D) 20 N ; 223 N
200 NE) 40 N ; 227,5 N y
y
,60° x
60°
10°
60’
Teniendo en cuenta que sen 110° = sen 80°, se obtiene:
bj = 40 N ; b2 = 227,5 N Rpta. E
24 '
25 kN
91Unid. 2 — Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A) 50,00 kN ; 82,00 kN
B) 85,71 kN ; 89,29 kN 
0) 48,00 kN; 76,00 kN
D) 24,00 kN ; 98,12 kN
E) 6,72 kN ; 76,12 kN
// /-20°
'200 N
20°
200
sen 60°
Analizando los ángulos alrededor del origen de los ejes «x» 
y «y’», se identifican los ángulos que forma el vector fuerza 
dado con el eje y’. Luego al trazar las componentes bj y 
b2 sobre los ejes x e y’ resolvemos el triángulo sombreado 
cuyos ángulos interiores son 10°, 60° y 110°, para lo cual 
aplicamos la ley de los senos:
b, 
sen 10° sen 110°
Prob. 34.- Determine la magnitud de F y de la fuerza resultante que actúa a lo largo del eje AB de la pluma, 
que forma 16° con respecto a la horizontal. Considere tan 16° = .
b2
Según el enunciado del ejercicio, la fuerza F es una componente rectangular de la fuerza 
resultante en la dirección AB, entonces:
Prob. 33.- Sobre una ménsula actúa una fuerza de 200 N tal como 
se muestra en el esquema. Se pide determinar las componentes de 
esta fuerza que actúan a lo largo de los ejes «x» y «y1». Considere: 
sen 10° = 0,173 a sen 80° = 0,985.
g
/ 
y
y|
De la figura:
F x
25 kNTambién: R•sen 16°25
BR = 89,29 kN
500 N F
0; 30°/
A) 38,6°; 159 N B) 18,6°; 318 N
D) 10,6° ; 170 NC) 20,6° ; 159 N
E) 48,6° ; 318 N
... (1)
sen(30° + 0) = 0,75 = sen 48,6°
0= 18,6°
Rpta. BReemplazando en (1): F = 318 N
500 N
30°.
x
A) 728 N B)640 N
0
C)972 N D) 1032 N
E) 1150 N 650 N
Física Fundamentos y Aplicaciones92
RESOLUCIÓN
F 
sen 0
500
1_
2
500
1
2
25 
F
16°
S
500 N'V]30j/f
Elaboramos la descomposición vectorial según los datos del problema.
Fijando nuestra atención en el triángulo sombreado y aplicando la ley 
de senos, se tiene:
500
sen 30°
750 
sen(30° + 0)
-> (30° + 0) = 48,6°
F 
sen(18,6°)
Prob. 35.- Al extremo de un pitón se aplican dos fuerzas para sacar 
el poste. Determine el ángulo «0» y la magnitud de la fuerza «F» de 
tal manera que la fuerza resultante actuando sobre el poste esté 
dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 750 N. 
Considerar: sen 48,6° = 0,75 y sen 18,6° = 0,318.
Prob. 36.- La ménsula soporta dos fuerzas. El ángulo «0» es tal que 
la linea de acción de la fuerza resultante quede a lo largo del eje «x». 
¿Cuál es el módulo de la resultante?
RACSO 
WBDITO1BS
750 
sen(150° - 0)
sen(30"+e)
25 = R¿
Rpta. B
tan 16°= ^7 _>
F 24
-> F = 85,71 kN
500 Nun
Rx
Aplicando la ley de senos en el triángulo sombreado:
650 N
sen(30°De (•):
R« 1032 N Rpta. DFinalmente:
A) 2,7 kN; 3,57 kN B)2,1 kN; 4,15kN
D) 2,5 kN ; 3,61 kNC)3,3kN; 4,28 kN
E) 2,1 kN ; 3,57 kN
-Y-v
FL - sen 20°
Fúteos 20° x
F2 • sen 15°
F, = 0,757 F,15° ■ • ■ («)
Fj ■ eos 20° + F, • eos 15° = FK F10,94 + F2 0.97 = 6 . . . (P)También:
Rpta. ADe (a) y (P), obtenemos:
93Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
R 
0,794
Sea «R» el módulo de la resultante, luego elaborando 
esquema de los vectores según los datos, tendremos:
Por dato del problema, la fuerza resultante 
Fr está dirigida a lo largo del eje «x», entonces 
las componentes verticales deben anularse.
650
2
500 
sen 0
Sean F, y F2 las magnitudes de las fuerzas en 
los cables AC y AB respectivamente, entonces 
determinamos las componentes rectangula­
res de Fj y F2. 20° _J15°
30°, 
“ej
650 
sen 30°
R 
sen(150° - 0)
sen(3O“ + 0)
F2•eos 15°
F¡ ■ sen 20° = F2 • sen
Prob. 37.- La aeronave de retropropulsión está sujeta a las fuerzas remolcadoras desarrolladas en los cables 
AB y AC. Si se requiere que la fuerza resultante, FR, de estos dos cables esté dirigida a lo largo del eje ><x», 
determine los módulos de las dos fuerzas en los cables de tal manera que 0 = 15° y FR = 6 kN.
'*'<30°
500 Ñ'
F! = 2,7 kN y F2 = 3,57 kN
9) = 12+^- = 0,794
26
eos 0 = 1|sen 0 =
EFy = 0
A)729 N; 641 N
B)658 N; 729 N
C) 641 N ; 465 N
D)729 N ; 729 N
E)659N; 466 N
□□□□□□□□□□□oDonoaaDnaanaaacannaoannaoaanaaQDODOQ°aGaaaD
/
F, ■ sen 30° = F2 - sen 45°
F, = V2 ■ F2 . . . (a)
También:
Fj>/3 + F2 V2 = 1800 . . . (P)
Rpta. EDe (a) y (p) obtenemos con 3CS: Fj = 659 N y F2 = 466 N
B
135°
B) 3A)1
A
82”D) 5C)4
E)7 C
Física Fundamentos y Aplicaciones94
RESOLUCIÓN
Luego, determinaremos las componentes rectangulares 
de Fj y F2; teniendo en cuenta que la fuerza resultante 
tendrá la dirección del eje «x’» siempre que las compo­
nentes en la dirección del eje «y’» deban eliminarse.
Prob. 38.- Si 0 = 30° y (J) = 45°, determine los módulos de F, y F2 de tal 
manera que la fuerza resultante FR tenga una magnitud de 900 N y esté 
dirigida a lo largo del eje <«x’» positivo.
Prob. 39.- Para el sistema vectorial mostrado, se sabe que A = 2>/2 , B = 6 
y C = 5. ¿Cuál es el módulo de la resultante?
Fj sen 30o- F2-sen 45° = 0
f2-4 -*
Fj • eos 30° + F2 - eos 45° = FR = 900
-» Fl^ + F2^- = 900
Ubicaremos las fuerzas Fj y F2 en un plano cartesiano 
conformado por los ejes «x’>> y «y’», determinando así los 
ángulos de referencia. Además el dato 4» = 45°, nos indica 
que F2 no sigue la dirección del eje «x».
' / ^7
RACSO 
EDITORES
F>1 =
Fj • sen 30°X(<45°
/
2
3
2^"'
Rx.= -3 + 2 = -l
Ry. 6-4-2=0 4
Rpta. A
Observación.- La resultante se ubica paralelamente al semieje negativo de «x’».
C)(7; 4)B) (4; 6)A) (5; 4)
E) (8; 5)D)(6; 3)
Sea Q(x; y), entonces al elaborar un esquema con los puntos dados se deduce que:
PM = M-P = (1; 4)-(-2; 2)i)
PM = 3i +2j • ■ ■ (1)
PQ = Q-P = (x; y)-(-2; 2)ü)
P
PQ = (x + 2)i+(y-2)j ■ ■ ■ (2)
PQ = 2PM . . . (3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3):
De donde, al igualar los componentes correspondientes, se obtiene:
a) x + 2 = 6 x=4
Rpta. BQ(4;6)b) y - 2 — 4 y = 6
95Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Por condición del problema se debe cumplir que:
(x + 2)i+(y-2)j =2(3T + 2ñ = 6i+4j '
Prob. 40.- El centro de gravedad de una varilla uniforme y homogénea está situado en el punto M( 1; 4) y uno 
de sus extremos en el punto P(-2; 2). Determinar las coordenadas del otro extremo «Q» de la varilla.
\
\d45°
53°~? \ - .,nI
I
I
XQ X v
M
Del esquema original podemos comprobar que el ángulo 
comprendido entre B y C mide 143° (la suma de los ángulos 
debe dar 360°). Enseguida, vemos que es conveniente trazar 
un eje girado «y’» en la dirección de B. De este modo los 
vectores pueden ser descompuestos rectangularmente con 
facilidad según como se muestra. Luego:
B = 6
|R| =1
E)(-4; 2)A) (-3; 3) B)(-2;-2) C) (-3; 1) D)(1;-3)
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
y
C(-l; 3)
i) AD = D - A = (.x; y)-(3;-5) AD = (x-3)i+(y+ 5) j D(x; y)
ii) BC = C-B = (-l;3)-(5;-3) -> BC = -6i+6j
A(3; -5)
Rpta. CD(-3; 1)
E) (3; 0), (0; 3)A) (4; 0), (0; 7) B) (5; -3), (1;-5) C) (2;1),(1;-4) D)(1; 0), (2; 3)
y
A
i) MD = BM D-M=M-B D 2M-B
-> (xD; 7d) = 2(1; 1) - (1; 7) = (2; 2) - (1; 7)
(*d; 7d) = (i; -5) D(l;-5)
ii) MC = AM C-M=M-A C 2M-A
-> (xc; 7c) = 2(1; 1) - (-3; 5) = (2; 2) - (-3; 5)
Rpta. E(*c; 7c) = (5; -3) C(5;-3)
B) 12 C) 15 D) 13 E) 14A) 9
Física Fundamentos y Aplicaciones96
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
X
B(5; -3)
Y por tratarse de un paralelogramo debe cumplirse que:
ÁD = BC -> (x-3)i+(7 + 5)j = -6i+6j
Sea D(x; y), entonces al elaborar un bosquejo del par alelo gramo 
dado, se podrá plantear que:
Prob. 42.- Dados dos vértices adyacentes de un paralelogramo: A(-3; 5), B(1; 7) y el punto de intersección de 
sus diagonales: M(1; 1), determinar los otros dos vértices.
Sean C(.xc; yc~) y D(.xd; yD) los otros dos vértices del paralelogramo 
dado. Luego, haciendo un esquema y recordando que las diagonales 
de un paralelogramo se intersectan en su punto medio, se tendrá:
Prob. 43.- Los vértices de un triángulo son: A(1; 4), B(3; -9) y C(-5; 2). Determinar la longitud de la mediana 
trazada desde el punto “B».
Prob. 41.- Dados tres vértices de un paralelogramo: A(3; -5); B(5; -3) y C(-1; 3). Determinar el cuarto vértice 
«D», opuesto a «B».
<4 RACSO
W EDITORES
Resolviendo encontramos: x = -3 a y = 1
2M = A + CM-C=A-M
(x;y) = (-2; 3)(x; y) =
BM = -5i +12j
Rpta. D| BM | = 13
E)(1; 1), (3; 3)D) (0; 2), (3; 0)C) (2; 2), (0; 3)B)(3;1),(1;3)A) (2; -1), (3; 1)
y B(4; 3)AB = 3i+6ji) AB = B - A = (4; 3)-(l;-3)
D
x
C
A C(2; -1)Resolviendo: -1
A(l; -3)
Rpta. AD(3; 1)
97Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Elaboramos un esquema en donde anotamos los elementos conocidos 
y la mediana BM.
Prob. 44.- El segmento limitado por los puntos A(1; -3) y B(4; 3) ha sido dividido en tres partes ¡guales. De­
terminar las coordenadas de los puntos de división.
i) Sea M(.v; y), entonces, por ser punto medio de CA, se debe cumplir 
que:
CM = MA
(-4; 6)
2
Sean C(xc; yc) y D(xd; yD) los puntos que trisecan a AB . Luego, elaboramos un esquema y 
reconocemos que:
xc = 2
m = A±c
iii) db = |ab
Observación.- Las coordenadas del punto medio «M» de un segmento AC viene dado por la 
semisuma de las coordenadas de los extremos «A» y «C»:
m = A±c
-> C-A = |(3i+6j)
-> (xc-l)T + (yc + 3)j) = li + 2j
ü) AC = ÍAB
3
B-D=|(3i+6j)
(4-.vD)i+(3-yD)j=lT + 2j
ii) La mediana que buscamos es BM, luego: BM = M - B = (-2; 3) - (3; -9) 
I BM I = Vb2 +122
(x;y)=(1;4)+2(-5;2)
Resolviendo: xD = 3 a j'D = 1
B| (H)
y c
M
. . . (1)
B<24¡
. .. (2)
(2) y despejando se tiene: G = ...(*) A
Rpta. E
A(1; 1), B(0; -3) y C(2; -1)
A) 112,5° B) 110,2° E) 105,4°D) 103,7°
y
A(l; 1)
xI CA | = V5
6 C(2; -1)ICB | = 2V2
|AB| = VÍ7
B(0; -3)Luego «0» se opone al lado AB.
Física Fundamentos y Aplicaciones98
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 45.- Los vértices de un triángulo son: A(2; -5), B(1; -2) y C(4; 7). Determinar las coordenadas del bari­
centro del triángulo ABC.
Sean jM) y G(xg; yG) el punto medio de BC y el baricentro del
triángulo ABC, respectivamente. Haciendo un bosquejo se tiene:
i) Utilizando la observación del Prob. 43, las coordenadas del 
punto medio «M», de BC, viene dado por:
Elaboramos un esquema para identificar al ángulo obtuso «0» 
en virtud a que debe tener un lado opuesto correspondiente al 
mayor de los lados:
i) CA = -lT + 2j
ii) CB = -2Í-2j
iii) ÁB = -li-4j
C) 108,4°
RACSO 
W EDITORES
Prob. 46.- Determinar la medida del ángulo obtuso del triángulo cuyos vértices son:
Sustituyendo (1) en A + B + C
3
o) M1 (3 3/
r/
I?—í
E) (P)D> (o;|)A)(|;°)
2
ii) Recordando que el baricentro «G» divide a la mediana en dos 
segmentos proporcionales a 1 y 2, se plantea que:
ÁG = |AM -> G-A = j(M-A)
, n (2;-5) + (l;-2) + (4; 7)-> G------------------
Observación.- En la relación (♦), queda demostrado que las coordenadas del baricentro «G» 
de un triángulo ABC, viene dada por el promedio de las coordenadas de sus vértices.
Sustituyendo datos y despejando se tiene:
Rpta. C
D) -36kC) 36 k E) 24 kA) 48 k
Se tiene:
i) r = AB = B-A = (3; 4)-(-2; 1) r =5i + 3j
F = 6i-6jii) F = BC = C-B = (9; -2)-(3; 4)
-48k Rpta. B
99Unid. 2 - Cap. 2.1 - Vectores en 2D
RESOLUCIÓN
Luego, aplicando la ecuación reducida del producto 
vectorial con vectores en 2D, se tiene:
Prob. 47.- Se tienen los siguientes puntos: A(-2; 1), B(3; 4) y C(9; -2). Si r = AB y F = BC , se pide deter­
minar t , si t = 7xF.
B) -48k
= 5 3 k = (-30-18)k
16 -61
e« 108,4°
f = rxF
Reconociendo que «C» es el vértice del ángulo obtuso «0», en base a los segmentos dirigidos 
CA y CB , aplicamos la ecuación del producto escalar:
CA-CB = I CA | • | CB | • eos 0 ...(♦)
coSM-1T+2jH-2'-2ñ
V52V2
cose = .2^
Vectores en 3D
el eje «z».
/«
Vz
i)
y
100 Física Fundamentos y Aplicaciones
2.2.2 Vector Posición en 3D
Sea «P» un punto en el espacio euclidiano (recto), ubicado por las coordenadas (x; y; z). El 
vector posición r que permite localizar al punto «P», se define como:
RACSO
W EDITORES
2.2.1. Componentes Rectangulares en 3D
a) Definición
Sean Vx, Vy y V2 los componentes del vector V, tal que: 
i) V = Vx+Vy+Vz = Vxí + VyI + Vzk 
ü) lvl = Jvx2+v2+v2
Donde k es el vector unitario en
-V 
XPa
VxX
b) Ángulos Directores
Sean a, p y y los ángulos que forma el vector V con los ejes x, y, z respectivamente. A estos 
ángulos se les llamaángulos directores.
c) Cosenos Directores
Son los cosenos de cada ángulo director definidos como:
V V V
eos a = -^-, eos P = eos Y = -^-
Donde Vx, Vy y Vz son los componentes rectangulares de V , cuyo módulo es V.
d) Vector Unitario en 3D
- v _ Vj+VJ+V2k V V v
" = v “ =-----v-----=#1+f ,+#k
ii) ii = cos a i + cos p j + cos yk
iii) |n| = -^cos2 a+cos2p + cos2 y
-> eos2 a + eos2 p + eos2 y = 1
z
Pfc y; z)
yO, yz
&
zA(xA;yA;zA)
AB
B(xB;yB;2B)
O y
X
101Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
x 
x
c) Sustracción
i) Á-B = A + (-B)
ii) Á-B = (Ax -BX)T + (Ay - By)J + (Az -Bz)k
d) Multiplicación de un Vector por un Escalar
i) 111A = mi(Ax i + Ay j + Azk)
ii) ni A = >>iAx i +wAy j + mAzk
2.2.4. Operaciones con Vectores en 3D
Sean A = Axi + Ay j + Axk, B = Bx i + By j + Bzk , dos vectores y sea «»i» un escalar.
a) Adición
A + B = (AX
2.2.3. Segmento Dirigido entre Dos Puntos
Sean A(xa; yA; zA) y B(xb; yB; zB) dos puntos en el espacio, entonces el segmento dirigido de 
«A» hacia «B», denotado como AB , se define como:
i) AB = {coordenadas de B) - {coordenadas de A)
ii) AB = (xb-xa)í +(yB-yA)y+(zB-zA)*<
iii) I AB I = 7(xB - xA )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2
Donde IABI corresponde a la distancia entre los 
puntos «A» y «B».
i) r=OP
ii) r=(x;y;z)
iii) r = xi +yj + zk
iv) | r | = -ix2+y2+z2
Donde OP se llama segmento dirigido, de origen «O» 
(origen de coordenadas) y extremo «P».
+ Bx)i+(Ay + By)j+(Az + Bz)k
b) Opuesto de un Vector
-A es el opuesto del vector A y se define como:
-A = -(Axi +Ayj +Azk) = -Axi -Ayj -Azk
Á
Biii) i • i = j•j =k-k = l
vi) mA • B — (mA)»B = A*(mB) = (A • B)m
BeÁ
IÁI
Área = | AI • IBI •sen 0
4
iv) AxB = -BxA k
v) ix j =k; jxk= i ; kx i = j
vi) j x i = -k ; k x j -i ; ixk = -j
J
kT- j +y
y
ix) (A + B)xC = AxC + BxC
Cx(A + B) = CxA + CxB
Física Fundamentos y Aplicaciones102
B2
Ax \ ?
«x
AxB
Mano derecha
e) Multiplicación Escalar (o Producto Punto)
i) A-B =IÁ|-IbI cos 0
ü) Á.B = B«Á
iv) i . j = j . i = 0; j • k = k • j = 0; i • k = k • i = 0
v) Á • B = AXBX + AyBy + A2B2
4^1 RACSO 
UEDITOME!
o____ n
--------- H
I IaIcosO 
i*----------- iBl
f) Multiplicación Vectorial (o Producto Aspa)
El producto vectorial de A por B es un vector denotado por AxB, tal que:
i) Módulo: lÁxBl =lÁl|B¡sen 0
ii) Dirección: AxB es perpendicular al plano 
formado por Á y B y su dirección viene dada 
por la regla de la mano derecha.
üi) ÁxB = 0 AH B
Obsérvese que el módulo de AxB coincide con 
el área del paralelogramo formado por A y B .
By
Ay
By
¡lAlsenB
n______
IBI--------
viii)AxB=Ax A,
Bx B,
Á x B = (AyBz - AzBy)T - (AxB2 - A2Bx )] + (AxBy - AyBx )k
vii) ixi = 0; jx j = 0; kxk = 0
i i k 
Az
h—
COMPONENTES DE UN VECTOR EN 3D
E) 68,0 kN
Ordenando los vectores fuerza:
Rpta. B
A partir de los vectores dados obtenemos:
Rpta. D
103Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A continuación obtenemos la magnitud de este vector:
|3Ü + 2V| = 27,5
Prob. 03.- Un ingeniero determina que el punto de unión en la figura estará 
sujeto a una fuerza F = 20 i + Fy j - 60k (kN). Si el punto de unión deberá 
soportar de manera segura una fuerza con magnitudes de 65 kN en cualquier 
dirección, ¿cuál es el intervalo aceptable de valores para Fy?
A)[-13;13]kN B)[-14;15>kN C)(-12;12)kN
D)<-13;13>kN E) [-15; 15] kN
Prob. 01.- Un objeto está sometido a dos fuerzas F, = 20 i +30 j -24k (kN) y F2 = -60 i +20 j +40k (kN). 
¿Cuál es la magnitud de la fuerza total que actúa sobre el objeto?
A) 58,0 kN B) 60,0 kN C) 62,0 kN D) 65,0 kN
Prob. 02.- Se tienen dos vectores U = 3 i — 2 j + 6k yV = 4i+12j-3k. Determine: 
a. Las magnitudes de «U» y «V». b. La magnitud del vector «3U + 2V-.
A) 34,2 B)11,6 C)41,8 D) 27,5 E) 37,4
-> 3Ü = 9i-6j+18k
-> 2V = 8i+24j-6k
R = 17i+18j+12k
3U = 3(3i-2j+6k)
2V = 2(4i+12j-3k)
Efectuando la suma de vectores obtenemos: R = 3U + 2V —>
IrI = 7172 + 182 + 122
^ = 20,01 +30,0j+24,0k (kN)
F2 = -60,0? + 20,Oj + 40,Ok (kN)
Fr = (20,0 - 60,0)7 + (30,0 + 20,0) j + (-24,0 + 40,0)k
FR = -40,01+50,Oj +16,Ok (kN)
Aplicando la ecuación que define a la magnitud (o módulo) de un vector, se tiene: 
|FK| = 7(-40.°)2 + (50.0)2 +(16,0)2 .'. |FR| = 60,0kN 1
F2 < 225
□ □□□□□□□□oaaoooDDoaaDDoaaDDDaaoaDDODDanaoaaoooooo00001-10
C/x = -l
Rpta. C
y
130’
X
T 120°
z
C) -110Í -132 j + 118k (kN)
Física Fundamentos y Aplicaciones104
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Sea If I < 65 kN el módulo de la fuerza dada, entonces, por definición de módulo de un vector 
en 3D, se debe cumplir que:
RACSO
U bditokbs
B) -96,5 i +116 j -108k (kN) 
E) -116T + 108T-96,5k (kN)
Prob. 05.- Los motores de un avión ejercen 
una fuerza de empuje total «T» con magnitud de 
200 kN. El ángulo entre «T» y el eje «x» es de 
120°, y el ángulo entre «T» y el eje «y» es 130°. 
La componente «z» de «T» es positiva.
a. ¿Cuál es el ángulo entre «T» y el eje «z»?
b. Exprese «T» en términos de sus componentes.
A) -100T-129j + 116k (kN)
D) -129T-100j + 118k (kN)
JFZ+Fy+FZ s 65 kN
Sustituyendo datos y despejando, se tiene: 2O2 + Fy2 + (-60)2 < 652
Luego de extraer raíz cuadrada, se obtiene: -15 < Fy < +15
Fy e [-15; 15] kN Rpta. E
Nota.- La componente Fy puede estar orientada hacia «+y» o «-y», pero su módulo no debe 
exceder los 15 kN.
Prob. 04.- Un vector U = Uxi +Uy j +Uzk . Su magnitud I ul = V69 . Sus componentes están relacionadas 
con las ecuaciones Uy = -2UX y Uz = 4Uy. Determine las componentes.
A) (1; 2; 8) B) (-1; -2; -8) C) (-1; 2; 8) D) (-1; 2; -8) E) (1; -2; -8)
De los datos se puede deducir que: Uy = -2UX a Uz = 4Uy = 4(-2C7x) = -8t7x 
Luego, aplicando la definición de módulo de un vector en 3D, se cumplirá que:
U2K+U2+U2=U2 -> ¡72+(-217x)2+(-817x)2=172 -> 69¡72=172 
-> 69L7x=>/692 -> U2=l -> C7X =+1
En consecuencia las componentes del vector U pueden ser:
i) Us = +1; Uy = -2; L72 = -8
ii) U* = -1; Uy = +2; U2 = +8
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
Y = 54,5°
b) Teniendo en cuenta que:
54,5°k)
y
f0 Fa
x
E) 218 N z
+y
= FB eos 60°
FA
Luego: 40° +x 5
+z(a) (b)
FBí
105Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
60^
30%
;<4 pío0 
50°"^-
Prob. 06.- Las magnitudes de los dos vectores de fuerza son | FA| = 140 N 
y | Fb| = 100 N. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas FA + FB.
A) 204 N
C)213 N
Nuestra estrategia consistirá en des­
componer rectangularmente en 3D a 
cada vector por separado.
De (a):
B) 206 N
D) 215 N
= +38,3 N
F^ +x
FBy = +FB sen 60°
FBy = +86,6 N
FBx = -FB sen 40°
FBx = -Fb ■ eos 60° • sen 40°
-> FBx = -32,1N
FBz = +FB eos 40° —> FBl = +Fb ■ eos 60° ■ eos 40° 
De este modo: FB = -32,1 i + 86,6 j +38,3k (N)
¿54*°°5Ó°^~
F¡T
De acuerdo con el enunciado podemos reconocer los siguientes datos:
a = 120°; p = 130° y ] T | = 200 kN 
a) Asimismo debemos reconocer que la componente Tz es positiva, en consecuencia el ángulo 
«Y» de T con el eje «z» debe ser: y < 90°. Luego, aplicando la ecuación que relaciona a los cose­
nos directores de un vector, se tendrá que:
eos2 a + eos2 p + eos2 y = 1 —> eos2 120° + eos2 130° + eos2 y = 1 
—> y = eos-1 (-J1-[eos2 120° + cos2 130°]) -> 
T = | T | (eos a i + eos p j + eos Yk) 
T = 200(cos 120°T + eos 130° j +cos 
r = -100l-129j+116k Rpta. A
Nota.-En concordancia con las cifras significativas de los datos, los valores de las componen­
tes se han expresado con 3 cifras significativas.
De (b):
Luego:
F=FA+FB
Rpta. C
Z
100N
Y
a 0C) 40i + 29j +87k
yo
X
Rpta. C
B) 0; 1;0A)1;0;0
á = 2i -2j-Ik
Física Fundamentos y Aplicaciones106
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 07.- Los cosenos directores de la fuerza de 100 N, mostrada en la 
figura, son eos a = 0,40; eos p = 0,29 y eos y = 0,87. Determinar la expresión 
vectorial de esta fuerza.
A) 20i +29j -27k
D) 12T + 16j + 25k
Vemos que siendo «M» punto medio de OP, sus coordenadas serán la mitad de las coordena­
das correspondientes a «P», esto es: M = (3; -3; 2), de donde:
5 = QM = (Mx-Qx)i+(My-Qy)j+(Mz-Qz)k
B) 30i -19 j -72k
E) 40T-19T-72k
.-. Fx = 401N 
.-. Fy = 29 j N 
.-. Fz = 87k N
RACSO
W EDITORES
Fa,
Faz
De este modo:
• Fx = F -cos a - i
• Fy = F eos P ■ j
• Fz = Fcosyk
Finalmente: F = Fx + Fy + Fz
Primero determinaremos los vectores componentes de «F» a lo largo de los ejes x, y, z; para 
lo cual aplicamos las siguientes expresiones:
-> Fx = 100(0,40)7
-> Fy = 100(0,29)j
-» Fz= 100(0,87)k
.-. F = 40i+29j+87k N
Prob. 08.- Calcular los cosenos directores del vector a , que va desde (1; -1; 3) al punto medio del segmento 
comprendido entre el origen y el punto (6; -6; 4).
C)--0 D)- E)—'33 '333 ' 3' 3’ 3
FA = FA eos 40° a FAy = +FA sen 40° -> FAy = +90,0 N
= Fa sen 50° —> F^ = FA ■ eos 40° • sen 50° —> FAx = 82,2 N
= Fa eos 50° -> FAz = Fa • eos 40° • eos 50° -» FAi = 68,9 N 
Fa =82,2? + 90,0 j + 86,9k (N)
A continuación calculamos la suma de FA y FB :
-> R = 50,1 i +176,6 j +107,2k
Cuya magnitud resulta ser: |RI = -\/50,l2 +176,62 +107.22
|FA+F8| = 213N
z
Luego, su módulo será:
>rQ(l;-l;3)
''¿/O y
Rpta. E x
F2 = 700N
I y60°
45°C) 21,79oA) 27,12° B) 13,45°
Zx
D) 18,49° E) 23,18° < F, = 300 N
COS
120°- are eos
120°k
P2 = eos’Finalmente:
Rpta. C
107Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
Zl
PV’
. | F2 I = 700 N
(W
P2 « 21,79°
a = ^22+(-2)2+(-l)2 =3
Y sus cosenos directores serán:
Prob. 09.- Sobre el tubo indicado actúan dos fuerzas. Se 
pide determinar la dirección de F2 de modo que la fuerza 
resultante R actúe a lo largo del eje positivo ><y« y tenga un 
módulo de 800 N. Dar como respuesta «p2».
4 i 6zZ
En base a la propiedad de los cosenos directores para F] podemos calcularY1: 
eos2 45° + eos2 60° + eos2 y1 = 1 —> eos = +—
(4) = 60° v Yi=arccos(-1) =
De acuerdo con la figura del problema es necesario que Y1 sea un ángulo obtuso, luego:
Y1 = 120°
Ahora determinamos la expresión vectorial cartesiana del vector F,:
F, = Fj eos oiji +Fj eos Pj j + F, eos Y1k
-> F, = 300 COS 45° i +300 COS 60° j +300 COS
-> F, = 212,17 + 150 j-150k
Si la resultante «R» se encuentra en el eje de ordenadas «y» entonces R = 800 j . Luego: 
R = F, + F2 -> 800j =212,17+ 150 j-150k + F2 
-> F2=-212,2i+650j + 150k(N)
„„e R F2y 650 N 13eos p2= —
6
cosa = ^ = |; 
cos P = 4 = 'I ’ 
COS1, = 7T = -|
z
(-3; 4; 2)
F = 100N
O
y*
P(-3; 4; 2)
OP = -3i+4j+2k
I OP I = >/(-3)2+(4)2+(2)2
|0P 1 = 729 =5,4y
—» eos a » -0,55
Rpta. B
VECTOR UNITARIO EN 3D
Física Fundamentos y Aplicaciones108
RESOLUCIÓN
Prob. 11En la figura, determine el vector unitario del vector F, sabiendo que tiene la dirección de la diagonal 
AD en el paralelepípedo mostrado.
eos P « 0,74
Prob. 10.- Descomponer la fuerza F de 100 N en componentes según las direcciones de los ejes «x», “y» 
y «z», mostradas en la figura. ¿Cuáles son los cosenos directores de esta fuerza? Dar como respuesta la 
expresión vectorial de F.
A) -60l-34j-20k
B) -55? +747 + 37k
C) 60T-647 - 40k
D) -45T + 54j + 17k
E) -55?-347 + 20k
1ro. Determinaremos el módulo del segmento dir igido OP que une el origen «O» de coorde- 
nadas y el extremo «P» de la fuerza «F».
RACSO
O BDITOXBS
2do. Para determinar los cosenos directores correspondientes a la dirección de «F», aplica- 
mos las siguientes relaciones referidas a OP ya que F TT OP :
OP 3 OPV 4
• C0S“= OP =M 'osa = 0,55 .cosp = _^ = _
OP, 2
• cosy = -ñp=T7 “* cosy=0,37UJr 0,4
3ro. Por lo tanto la magnitud de las componentes de «F», según las direcciones de los ejes 
«x», «y» y «z», son:
• Fx = F • eos a -» Fx = 100(-0,55) = -55 N
• Fy = F ■ eos P -> Fy = 100(0,74) = 74 N
• Fx = F ■ eos y -> Fx = 100(0,37) = 37 N
F = -55? + 74j+37k N
z
A) B)
■
3aC) D)
y2aE)
Ax.
z F
D = (0; 2a; 3a)
3a
y2a
UF “ UAD "
Rpta. D
z
Á3cm
ycm
\B
cm
x
|V7
y
X
109Unid. 2 — Cap. 2.2 — Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
1ro. Determinaremos las coordenadas de dos puntos por 
donde pasan los vectores A y B.
(0; 0;0)
Prob. 12.- En la figura se muestran los vectores A y B. Determine la 
magnitud del vector Á + B (en cm), si | Á | = 20 cm y | B | = 40 cm .
A) 33,2
B) 39,3
C) 49,4
D) 53,8
E) 60,1
z
(0;0;3)
VJ(3;V7;3) 
l/\ 717
A^/7;0) 
b\
i/á 
zA = (a; 0; 0)
2do. Aplicando la definición de vector unitario, para esta­
blecer las direcciones de Ay B, se tiene:
(3;>/7; 3)
i +2j -3k
VÍ5
i +2j +2k 
VÍ4
-i +2j +3k 
VÍ4
-i +2j +3k
714
i -2j -k 
7Í5
“F =
- A
A IAI
= = |(3;V7;3) 
32 5
Primero obtendremos, a partir de la figura, las coordenadas 
de los puntos Ay D, luego restando dichas coordenadas de­
terminamos el vector AD que es colineal con F y finalmente 
aplicando la definición determinamos su vector unitario.
—> AD = D-A = (0; 2a; 3a)-(a; 0; 0)
-> AD = (-a; 2a; 3a) = -ai +2aj +3ak
AD -ai + 2a j + 3ak
I AD i 7(-a)2 +(2a)2 +(3a)2
_ _-Xi+2Xj+3Xk
UF=
B
R = (36i; 12>/7 j; -12k)
Rpta. C
E) 2a j +4ak
• H = (0; a; 0)
Rpta. D
Física Fundamentos y Aplicaciones110
RESOLUCIÓN
En segundo lugar, expresaremos cada vector A, B, 
C y D como la diferencia de sus coordenadas de lle­
gada y partida respectivamente.
• A = F - E = (0; 0; a) - (a; 0; 0) = (-a; 0; a)
C) 2a i + 4ak
D) 4ak
Prob. 13.- Calcular la resultante de los vectores mostrados en 
el cubo de arista «a».
A) -4ak
B) 2aT+aj
• B = G - E = (a; a; a) - (a; 0; 0) = (0; a; a)
• C = G - H = (o; a; a) - (0; a; 0) = (a; 0; a)
□ □□□□□□□□□□□□oaaaanaQDaDDaDaQnanaDQQaQaoDOODaQoaoo013000
B IBI
R = IA | + | B | üg
□
R = (-a; 0; a) + (0; a; a) + (a; 0; a) + (0; -a; a)
R = (0; 0; 4a) R = 4ak
(3;V7;-3)
>/32+(>/7)2+(-3)2
3ro. Expresamos la resultante R = A + B de la siguiente forma:
-> R = 20Í(3;^;3) + 40-|(3;>/7;-3) 
5 o
-> |R| = V(36)2+(12T7)2+(-12)2
.-. |R| = 49,4 cm
En primer lugar determinaremos las coordenadas de los vértices del cubo de donde parten o 
terminan los vectores A, B, C y D según como se muestra en la figura adjunta:
• E = (a; 0; 0) • F = (0; 0; a) • G = (a; a; a)
• D = F - H = (0; 0; a) - (0; a; 0) = (0; -a; a)
En tercer lugar, para determinar la resultante R = A + B + C + D sumamos las cuatro coor­
denadas calculadas:
RACSO 
EDITORES
8A) B)
D)
y
E)
N(O;a;a)
(0; 0; a) - (a; a; a) = (-a; -a; 0)
y
a. 
M(a; a; 0)x
Finalmente, aplicamos:
-2i-3j-k Rpta. E
A) 0,6i +0,1 j + 0,8k B) -0,8i +0,1 j
D) -0,8 i +0,6 iC) 0,8 ¡ -0,6 j +0,1k
E) -0,1 i +0,6 j +0,8k
. . . (1)
111Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Del esquema dado y en virtud al método del triángulo, se deduce que: 
Á+B=QP
Luego, nos piden el vector unitario de:
É = [(A + B)-2(A-B)] = 3B-Á
-> E = 3(-a; -a; 0)-(-a; 0; a) = -2ai -3aj -ak
z
a. 
En primer lugar, identificamos las coordenadas de los 
puntos de origen y de llegada de los vectores A y B.
—> A = N - M = (0; a; a) - (a; a; 0) = (-a; 0; a)
-> B=D-C
Á : 
~7a
21 + j -3k
VÍ4
£1
,-'a
-3i - j-k
•37-3~j~-3k
V27
Prob. 15.- En la figura mostrada «P» y «Q» son puntos 
medios, determine el vector unitario de la resultante de los 
vectores Á, B y C.
'I jD(0;0;a)
ZKI C(a; a;g)!
0-ZiZ 
V3
-2T-3j-k
VÍ4
Prob. 14.- Dados los vectores A y B, determine el vector unitario de la operación: 
[(Á + B)-2(Á-B)]
a> 
xZ
- 3B-A -2g i - 3o j - ak
E I 3B - A | 7(-2a)2+(3a)2+(-a)2
12O.
+y
De (l)y (2):
16
+x
IRI 10
üK =-0,8 i +0,6j Rpta. D
12
y
X,
Z
C, p
,B12
y• *! =
3
... (3)
Física Fundamentos y Aplicaciones112
RESOLUCIÓN
Prob. 16.- Determinar el vector F, si F = T + P, sabiendo además 
que T = 50 N y P = 52 N.
A) 12k (N)
B) -24? +18] + 48 k (N)
C) 12T-24j + 36k (N)
D) 20T + 15j + 10k (N)
E) 3T + 4j + 12k (N)
RACSO
W EDITORES
I ZU1
D
R = -8i+6j
la dirección R lo obtendremos aplicando la ecuación que
Ubicándonos en el semieje «+z» visualizamos el esquema mostrado, logrando establecer 
que: 
Aplicando la definición de vector unitario se tiene que:
T = T-fi3 ...(1)
P = PÜ2 ...(2)
Del gráfico adjunto deducimos los vectores unitarios üj y ü2.
AB . Á5 + DB_ 3i-4j
I ÁB| |ÁB| >/32 +42
-> Ü>='F+F
C = -16i+12j ...(*)
Asimismo, por semejanza de triángulos, se deduce que:
C = 2PQ = 2(-QP)
C = -2QP ...(2)
C = -2(A + B) -> A + B = -|
De este análisisconcluimos que la resultante R es:
R=A+B+C -> R = | 
C 
'2
De (») se deduce que: R = jj(-16i+12j)
Finalmente el vector unitario üR en 
lo define: 
- R _-8i+6j
“R IRI 10
S^T-F+1F . . . (4)
T = -40i + 30j (N)Reemplazando (3) en (1):
P = 16i-12j + 48k (N)P = 52lY de (4) en (2):
Rpta. B
Z á
b 3
y
4x.
z
-4j
■ a
3k
• 60a =
3k y
4j Rx.• bii)
b = 30^2 i-30>/2 jb = ■ 60
• ■ -O)■ 60c = • c
Rpta. C
113Unid. 2 — Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
Prob. 17.- Si a = b = c = 60, determinar la resultante del 
conjunto de vectores mostrado.
A) 4T + 4j + 3k
B) 9? + 3k
C) -61 + 67
D) 9T + 3T
E) 61-6?
b = 42i — 42j
QR 
.IQRI.
... (2)
c = [ 4j~3r
L^42+32 .
5,
•Q
... (1)
JPQI.
c = 48j -36k
/4i
,c
üb /
i ü/
• ü2=^g-
IBCI
Aplicando la definición de vector unitario, se tiene:
RP 5 í RP 1 
IRPI LlRPlJ
T-4i+3k .
[v/42+32 J
-> á = -48i+36k
- b PQ vu, = = —>
Ibl IPQI
' 4i-4j '
Asumiendo que = 1,4 :
ul)i-lc=^=M ->
I CI IQRI
Finalmente, sumando (1), (2) y (3), obtenemos: R = a + b + c
R = -6? + 6 j
BD + DA + AC . 4i-3j+12k
IBCI V42+32+122
T = 5°(-|i+|j)
(íbi-¿j+i3k)
Finalmente: F = T + P F =-24?+ 18 j + 48k (N)
PRODUCTO ESCALAR
II. (A + B) es perpendicular a (A-B).
E) FFVD) VFVC)VFF
A • B * 0
Az= 14
Rpta. EFFV
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□DO00001-1000
A • B = 672 Rpta. D
Física Fundamentos y Aplicaciones114
RESOLUCIÓN]
RESOLUCIÓN
ni = 4 
p = 2
Prob. 19.- Calcular el producto A ■ B, si el vector A es paralelo a 5 i + 3j y el vector B es paralelo a 
6 i +18 j . Además se sabe que la suma de los vectores Á + B = 32 i + 48 j .
A) 240 B) 332 C) 432 D) 672 E) 960
RACSO 
EDITORES
Prob. 18.- Dado los vectores A = 2 i +3 j - k yB = 3i-3j+3k; ¿cuáles de las siguientes proposiciones 
son verdaderas?
I. A es perpendicular a B.
III. A - A = ] Á |2 = A2 = 14
A) VW B) WF
Y según condición se debe cumplir que:
-> m(5i + 3 j) + p(6i +18 j) = 32 i + 48 j 
Efectuando operaciones: (5m + 6p)i + (3m + 18p)j = 32i+48j 
Comparando las componentes de un mismo eje, se plantea que:
5ni + 6p = 32 
3m + 18p = 48
Luego, en (*), se tiene: A = 20i+12j a B = 12i+36j
Finalmente calculamos: A • B = (20 • 12) + (12 • 36)
I. Falso.- Si A ± B, se debe cumplir que: A • B = 0
Luego: (2i +3j -Ik)• (3i - 3j +3k) = 6- 9- 3 =-6
II. Falso.- Si (Á + B) ± (A - B), entonces: (A + B) • (A - B) = 0
Efectuando se tiene: A2 - B2 = 0 -> A2 = B2
De los datos se tiene que: 22 + 32 + (-1)2 = 32 + (-3)2 + 32 -> 14 = 27, lo cual es falso.
III. Verdadero.- Del paso anterior se observó que: A2 = 22 + 32 + (-1)2 —>
Aplicando el criterio de la colinealidad entre dos vectores podemos establecer que:
Á = m(5i+3j) a B = p(6i+18j) ...(*)
A + B = 32i+48j
IFI = 3
P
s2r2
Rpta. E
D) 9,6 E) 10,38C) 6,38
Sb
SR = IS I - eos 0
Rpta. BReemplazando datos, se tiene:
D) 28 i 4-3 j E) -i-3jC) 7¡ -3jB) 28 i -3j
De los datos reconocemos que si:
Si asumimos que:
115Unid. 2 - Cap. 2.2 — Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 21El producto escalar del vector S de módulo 5 y el vector R de modulo 8 es 32. Determine la com­
ponente del vector S en R.
A) 3 B) 4
B = 4i +9j
A = axi+ayj
Prob. 20.- Se tienen dos vectores: r = rx i + ry j y s = sx i + sy j , formando un ángulo de 60°. Si además se 
sabe que: s = 1 y 7 • s = 1,5 ; determine el valor de: p = rx + sx + ry + sy.
A) 1/2 B) 2 C) 7/2 D)4 E) 10
Se sabe que: | S I = 5 , |R|=8yS-R = 32
Supongamos que «0» es el ángulo que definen las direcciones 
de S y R, tal como se muestra en el esquema:
Si SR es la componente de S en la dirección de R, se cumple 
que:
c 32
sr = ^R
IR I
Sr = 4
4 A by = 9
„ | SI -1RI ■ eos e
Sr =----- |¥l-----
Reconociendo que: | s I = 1; 0 = 60° a r • s = 1,5 ; determinaremos I r | aplicando la ecuación 
que define el producto escalar de dos vectores:
r-s = I r I ■ I s I ■ eos 60° -> 1,5 = I r I • 1 ■
Enseguida calculamos «p», agrupando sus términos del siguiente modo:
= ('x +ry) + (Sx +Sy) -> p = r2 + S2 = (3)2 + (l)2
p = 10
Prob. 22.- El producto escalar de los vectores C y (A + B) es -18. Si B = 4 i +9j y C = 4 i - 5 j , determinar 
el vector «A», si ay =-iby.
A) 77 + 3j
Por dato:
• • • (1)
■ ■ ■ (2)
• • • (3)
Rpta. EFinalmente:
E)A) B) C) D)
A • B = 8x + 8 . . . (1)A • B = (2)(.x) + (3)(2x) + (2)(4) = 2.x + 6.x + 8
A-B = 0 . . . (2)
Rpta. E
A) 9/2 B) -17/2 C) -19/2 E) 15/7D) 13/3
(a + b + c)2 = (-c)2
Física Fundamentos y Aplicaciones116
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Aplicando la definición del producto escalar en términos de sus componentes rectangulares, 
se tiene:
Prob.24.-Setiensnlosvectores a,by c .talesque: a + b + 2c = 0 .Se pide calcular: u = a-b + b-c + c-a; 
si además: |a| = 1,|b| = 4y |c| = 2.
2 = m
■4¡ -6j +4k 
2-JÍ7
-i -2j +4k 
x/2i
Prob. 23.-Si los vectores A = 2 i +3j +2k y B = x¡ + 2xj +4k 
unitario de B.
2T + 3j + 2k
VÍ6
-i +2j +4k -2¡ -4j +4k
VIÍ ’ 2^10
son perpendiculares, determine el vector
=B =
giRACSO 
WEDITORES
ay = -3=-j(9)
üb=-§-
B IB1
av=-|by
Luego se tiene que:
Pero por condición del problema se tiene que A ± B, luego:
Igualando (1) y (2): 8x+8 = 0 -> x = -l
Enseguida: B = xT + 2.xj+4k -> B = -li-2j+4k a i B I = 7(-l)2 + (-2)2 + 42 = VH 
Finalmente el vector unitario de B lo obtenemos aplicando la ecuación que lo define:
-í - 2 j + 4k
V2Í
Teniendo en cuenta que todo vector m verifica: m m = m2
Entonces de la condición dada, se tiene: a + b + 2c = 0
—> a + b + c = -c —>
A + B = (ax+4)i+6j
Asimismo se sabe que: C = 4 i - 5 j
Y según condición del problema: C • (A + B) = -18
Reemplazando (1) y (2) en (3), y según la definición del producto escalar en términos de sus 
componentes rectangulares, se tiene:
4(ax + 4) + (6)(-5) =-18 -> ax = -l
Á = -li-3j
Rpta. B
Prob. 25.- Sean a y b vectores unitarios. Si: | a + b | = J3 , se pide calcular: M = (3a -4b) • (2a + 5b).
D) +6,5A)-10,5 E) -9,5B) +11 C) -12
■ ■ • (1)Reemplazando datos se obtiene:
... (2)
Reemplazando los datos y (1) en (2), se obtiene:
Rpta. A
A)1 B) 2
O
Siendo:
■ ■ ■ (2)
OA = (4; 3; 12) = 4i+3j+12kAsimismo:
117Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 26.- Calcular la menor distancia que existe entre el punto «P» y la recta que pasa por el origen de 
coordenadas y el punto «A», sabiendo que sus coordenadas son (2; 2; 1) y (4; 3; 12) respectivamente.
C) >/2 D) -J3 E) V5
... (1)
IOPI = V22 +22 +12
Luego, del esquema se plantea que:
dm = Vi OPI2 -1 OH |2
OP = (2; 2;l) = 2i+2j+lk ->
Ahora efectuamos el cálculo de la expresión dada:
M = 6a2+15á • b - 8a • b - 20b2 ->
A partir de los datos: | a I = | b I = 1 y | a + b I = >/3 , procedemos asi:
I a-+b |2 = (V3)2 -> (a + b)-(a + b) = 3 -> a2+b2+2a-b = 3 
l2+l2+2ab = 3 -> áb = |
M = (3a-4b)-(2á + 5b) 
M = 6a2-20b2+7a • b
M = 6(l)2-20(l)2+7[i]
M = -10,5
IOPI = 3
I OA | = V42 + 32 +122 -+ |OA|=13
Desarrollando los productos escalares, se tiene:
a*á + b*b + C’C + 2á«b + 2á«c + 2b«c = (-c) • (-c) 
-> a2+b2+/X + 2(á b + á c+b-c) = ;X —> a2 + b2 + 2u = 0
u
-» 2u = -(a2 + b2) = -(l2 + 42)
Se tiene que P(2; 2; 1) y A(4; 3; 12). Ahora calcularemos la distancia 
mínima de «P» a la recta OA, denotada como dm, trazando una per­
pendicular PH desde aquel hasta dicha recta.
Donde:
Rpta. EFinalmente, de (2) y (3) en (1), se tiene:
PRODUCTO VECTORIAL
E) 38,7
| AxB | = ^272 +192 + 202
Rpta. A|AxB|=38,6
Ax 8 = B x A
C) FFV
□□□□□□□□□□□□□□□□ooaDDaaDaaoQaaanüaQDnnoDODaaaaaoanoDOoa
Física Fundamentos y Aplicaciones118
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Primer método.- Aplicando la ecuación que define la magnitud del producto vectorial, ten­
dremos:
-5 =-27i-19j-20k 
3
Prob. 27.- Los vectores A = 3 i +1 j -5k y B = 2 i — 6 j + 3k forman entre sí un ángulo de 111,24°. ¿Cuál 
es la magnitud de su producto vectorial?
A) 38,6 B) 29,5 C)61,4 D) 41,3
es paralelo al vector A.
E) FFF
í
i
1 i k
AxB = 3 1
2 -6
4^1 RACSO 
EDITORES
I. Verdadero.- Si A / B, se cumple que: A x B * 0 -> | A x B | * 0
Luego, por definición de producto escalar se cumple que:
A-(AxB) = | A I • I AxB |• eos 0 A • (A x B) # 0
' y -----------V •
,0 *0
Prob. 28.- Dados los vectores no colineales A y B, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes 
proposiciones:
I. Á-(BxÁ)#0 II.
A) VW B) FVV
III. Ax(BxA) 
D)VFF
IA | = 732 +12 +52 =735 a |B| = V22 + 62+32 =7 a 6= 111,24°
-+ IÁxB | = | A |-1BI ■ sen 0 = 735-7 sen 111,24° |ÁxB| = 38,6
Segundo método.- Aplicando el determinante que define al producto vectorial, con vectores 
en 3D, se tiene:
Luego, de la definición del producto escalar, calcularemos I OH I:
I OA | • | OP | • eos 6 = OA. OP
|OP I • eos 0 = 1OHI -> IOAI -|OH| = OA-OP
-> 13|OH| = (4i+3j+12k)-(2i + 2j+lk)
-+ 13 • IÓHI = 8 + 6 + 12 -> |OH| = 2 ...(3)
dm=732-22 .-. rfm=V5
BxA
Á
B
A x (B x A)
Rpta. D
z
+
y,Á
P
-6j
5k
-5k
-41 y
AxB =
x
Rpta. CFinalmente:
y
X
119Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
A) 0,47 + 0,37 + 0,5k 
C) 0,2Í + 0,277 + 0,48 k
E) 0,247 + 0,287 +0,32k
B) 0,32 i +0,32 j +0,64k 
D) 0,187 + 0,167 + 0,24k
■ 6
/Q
z
8i/
II. Falso.- El producto vectorial no es conmutativo.
III. Falso.- Por definición de producto vectorial se cumple que:
(BxÁ)±Aa(BxA)±B
Análogamente se cumple que: A x (B x A) 1A
Es decir: Ax(BxA)/A
VFF
Prob. 30.- Dados los vectores A y B de módulos iguales a 10 u, determine 
el vector S, si: S = A x B - (Á • B)A.
A) 3687 + 3007 +16 k B) 4687 - 3657 - 20 k
C) 5687 + 4007 - 30k D) 6687 + 5767 + 2k
E) 7687 + 5767 - 28k
Prob. 29.- En la figura mostrada, «P» y «Q» son puntos medios, 
determine: A x B + A • B
5
\b'
_X¿e
s; 
xz 
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
-> AxB =-15i — 20 j -36k
A • B = (-32) + (-18) + (-25) -+ A-B = -75
4A^ = 0,2T + 0,27j + 0,48k
A-B
/\Á
3j
De los datos, y según el método de cola a punta, se deduce que: 
A = 8i-5k + 3j -> A = 8i+3j-5k
B = -4i+5k-6j -> B = -4i-6j+5k
i) Calculamos A x B.- Por definición, se tiene:
i 7 k 
8 3-5 
-4 -6 5
-> A x B = T(15 - 30) - 7(40 - 20) + k(-48 +12)
ü) Calculamos A • B.- Por definición, se tiene:
AxB_-15i-20j-36k 
Á-B ’75
□ □□□□□□□□□□□□ODDaoDDDDaaDDDnanaaDDDaooDClaaoo00000000000
Av = A sen 37°8
B = -6i-8j-8-6
AxB
Rpta. ES = 768 i + 576 j -28k
E) 8( i + j-k)A) j+k
C = (i +3 j + 3k)x(5i) ...(*)C
C = 15j—15k Rpta. CC = 5(ixi) + 15(jxi) + 15(kxi)
correspondientes vectores unitarios a , b, c ; indique la
B x A = -CIII. Si: Ax B = C
E) VFFB) FFF C) FFV D) FVVA)WV
Física Fundamentos y Aplicaciones120
[resolución
resolución
[ RESOLUCIÓN
-> A • B = -96
S = (-28k)-(-96)-(8i+6j)
B) + 3(A-B) 
2
B)2("j+k) C) 15(T-k) D)2j + k
|x(5i)
i) Ax =A eos 37°=io(|) =
ii) Bx =-B eos 53°=-10(|) =
A x B = -28k
Prob. 31Calcular el vector C, si: C =
Del esquema dado y de las fórmulas de descomposición rectangular, se tiene:
= io(|) = 6 -> A = 8i+6j
By =-B sen 53°=-lo(|) =
I 8 6 I— = |-6 .8|k=(-64 + 36>k '
Enseguida calculamos A • B: A • B = (-48) + (-48)
x(A + B), A = 2i + j+k y B=3¡-j-k.
Sean A, B y C los módulos de los vectores A, B y C, respectivamente. Si, a su vez, a , b y c 
son sus respectivos vectores unitarios, se cumple que:
A = Aa, B = Bb y C = Ce
RACSO
EDITORES
De los datos podemos establecer que: A + B = 5i a A-B = -i+2j+2k
Sustituyendo estas expresiones en la relación que define a C, se tiene:
_[(5i) + 3(-T + 2j+2k) 
L 2
Teniendo en cuenta que: i x i = 0, jxi=-kAkxi = j,al efectuar la multiplicación en (*), 
se obtiene:
Finalmente calculamos: S = A x B - (A • B)A
Ahora determinamos AxB:
Prob. 32.- Si se tienen los vectores A, B, C y sus 
veracidad (V) o la falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. á-b = b«c II. Si:ÁxB = C axb = c
Luego:
AB(áxb) = Cc axb
C = AB sen aNota.- Recuérdese que: IC|
B x A = -CIII. Verdadero.- Si:
Ya que el producto vectorial no es conmutativo.
Rpta. CFFV
Prob. 33.- Dados los vectores A, B, C y D, calcular: A x B + (A • C)D.
D) 24j—36k
E) 12 j + 18k
A partir del esquema dado se puede reconocer que:
. . . (1)
AxB = +12j . . . (2)
A-C = 9
(A • C)D = 9(-4 j+4k) - • - (3)Luego:
Rpta. C
121Unid. 2 — Cap. 2.2 — Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
A) 48j-48 k
B) 48J +36k
C) -247 +36 k
(Aa)x(Bb) = Cc
= |Ax Bl
I. Falso.-Si: a-b = b-c —> 1 • 1 eos a = 1 • 1 eos p —> eos a = eos P ...(♦)
Donde ay P son los ángulos formados por las direcciones de A y B, y B y C, respectivamente. 
Luego (♦) sólo es verdadera, si a = P, la cual no es condición del problema.
AxB = C
Reemplazando (2) y (3) en (1), se tiene: P = 12j -36j +36k
.-. P = -24j+36k
ü) A-C = (-3i)-(4j -3i) = -12(i-j) + 9(i -i) '—„—< '—v'
0 1
(A-C)D = -36j+36k
II. Falso.- Si: A x B = C
A = -3i, B = +4k, C = 4j—3i, D = -4j+4k
Se pide: P = Á x B + (A • C)D
Y calculando por partes, se tiene:
i) AxB = (-3i)x(+4k) = -12(Txk)
-I
A) 32i + 48j +24k B) 18 i -25 j
D) 12i —10 j +15kC) 30 i +15k
E) 16 i — 24 j +12k
c
p
A
• BA = 3i -2j = 3i -2 j + Ok
Luego:
-> BCxBA = 8i+12 j + 6k • ■ ■ (1)
I BCxBA | = V82+122+62 = 2-jsl • ■ • (2)
Por definición de vector unitario: ... (3)
Asimismo: P=|PI■ü
Reemplazando (1), (2) y (3) en (4):
P = 8>/61-Sustituyendo datos:
P = 32i + 48 j + 24k Rpta. A
Física Fundamentos y Aplicaciones122
RESOLUCIÓN
ÍB 
i
4
0
| BC x BA
La solución consiste en encontrar un vector unitario que 
salga normalmente del plano ABC, y en la dirección del 
vector «P». Esto se conseguirá en base al vector que se 
obtenga de multiplicar vectorialmente BCxBA (Obsér­
vese el orden de los factores), los cuales generan un vector 
perpendicular al plano que los contiene y que, por la regla 
de la mano derecha, tiene la misma dirección que P.
Prob. 34.- Un vector «P» tiene una dirección perpendicular a la región 
triangular ABC, y posee un módulo de 8^61. Determinar una expresión 
vectorial cartesiana para P.
... (4)
p„|P| BCxBA
IBCxBAI
8i+12j+6k
2yf6Í
■Si RACSO
W EDITORES
BCxBA
IBCxBAI
Pero del gráfico original:
• BC ~-2 j + 4k - Oi — 2 j +4k
rl° -2I + k
|3 -2|
T i k
BCxBA = 0 -2
3 -2
C) V3 E) 0,515A) 0,124 D) 0,937
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□o
p«--—■
ü
0=
-> | BAxBC I = 3VilBÁxBC =-6i + 3 j+18kLuego:
... (2)Entonces: u =
BP= i+2j—kBP = (2; 3; 1; 0) ■ ■ ■ (3)Además:
dm= (i+2j-lk)-Finalmente, de (2) y (3) en (1):
'41
Rpta. D
E) 0,665D) 0,531A) 0,897 B) 0,919 C) 0,929
123Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
Prob. 36.- Calcular la mínima distancia que existe entre dos rectas L, y L2, si se sabe que los puntos 
A(-2; 0; 3) y B(4; 1; -2) están contenidos en la recta L, y los puntos C(0; 1; -2) y D(-1; 1; 1) están contenidos 
en la recta L2.
-2
1
2 
-4
zz____ _
b—
H
(-2i + j + 6k) I |-2 +2 —61
Vil ~
BH = BP• ñ = | BP|■ |ñj • eos 0 = I BPI cosO
1
-2i +j+6k 
Vil
i j k
BAxBC= -5 
1
Hagamos un boceto de los puntos dados, e indiquemos en él lo que buscamos: 
dm = distancia mínima a dm = BH
Sea ü el vector unitario en la dirección de BAxBC .
Pero del producto escalar entre BP y ü encontramos
BH.
Prob. 35.- Calcular la mínima distancia existente entre el punto P(2; 3; -1) y el plano que contiene a los puntos 
A, B y C, siendo sus coordenadas (-4; 3; -2), (1; 1; 0) y (2; -3; 1) respectivamente.
B) A
-> dm = |BP.Ü| ...(1)
Siendo «ü» el vector unitario perpendicular al plano que forman los vectores BA y BC , el 
que a su vez se calcula aplicando la definición de producto vectorial:
• BA = (-4;3;-2)-(l;l;0) = -5i+2j-2k • BC = (2;-3; 1)-(1; 1; 0) = i-4j+k
dm w 0,937
- ; BAxBC
IBAxBCI
D
CLa
±i
dm = distancia mínima entre Lq y L2
AH
AH = | AD | • eos 0 = AD • u ?!Siendo: A
...(*)
I ABxDC | = -JÍ79Luego:
Seguidamente:
Rpta. A
el vector A = 3x2¡ +2xj -(x + 5)k es perpendicular al vector
D)(1;2} E){-5; 2}
Física Fundamentos y Aplicaciones124
RESOLUCIÓN
-3i+13j-lk 
VÍ79
Representamos a las rectas Lj y L2 conte­
niendo a los puntos dados de donde ten­
dremos que la distancia mínima entre las 
rectas la encontramos así:
ABxDC= 6
1
«0,897
• AB = (4;l;-2)-(-2;0;3) = 6i+lj-5k
• DC = (0;l;-2)-(-l;l;l) = li+0j-3k
. AD = (-l;l;l)-(-2;0;3) = li+lj-2k
Prob. 37.- ¿Para qué valores de «x» 
B = 2Í+l]+ 4k?
A) {-2; 0} B){-3;2}
— _-3i+13j—Ik
VÍ79
RACSO
W editores
d J-3 + 13 + 2I 
-JÍ79
i i í
1 -5 = -3i+13j-lk
0 -3
-> dm = IAD-ü|
Observamos que al proyectar el vector CD sobre el plano que contiene al vector AB, se 
comprueba que el vector unitario « ü », que es perpendicular al plano que contiene a L), será 
también perpendicular a los vectores AB y CD . Luego, tal como hiciéramos en los proble- 
mas anteriores, tenemos:
ABxDC
IABxDCI
Finalmente, en (♦): dm = (li + lj -2k)-
Sustituyendo los datos: (3x2i + 2xj — (x + 5)k)•(2i +1j + 4k) = 0
6X2- 2x- 20 = 0
(x- 2)(3x + 5) = 0
i)x—2 = 0 x1 = 2
Rpta. C
C) 3i -1j +2k
... (1)
V = |V|-ü . . . (2)
Sustituyendo el dato y (1) en (2), se obtiene:
Rpta. DV = 4i — 4j—2k
125Unid. 2 - Cap. 2.2 - Vectores en 3D
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A) 2¡ -4j +4k
D) 4T-4j-2k
(3x2)(2) + (2x)(l) + [-(x + 5)](4) = 0
-> 6.x2 + 2x-4(x+ 5) = 0
Aplicando la definición de producto escalar, diremos que:
ÁJ.B o Á-B = 0
2i -2j-Ik 
a/22 +22 +12
C’S = {-f;2)
v=6(F-F+F)
ü = ^-
IV |
ii) A continuación, si u es también el vector unitario del vector V que buscamos y cuyo mó­
dulo es | V| =6, entonces también se debe cumplir que:
ii) 3x+5 = 0
IAxBI
Primero determinamos un vector unitario perpendicular al plano que forman A y B, lo cual 
se obtiene aplicando la ecuación que lo define:
i j k
4 3 2
3 2 2
IAxBI
Prob. 38.- Determinar un vector que sea perpendicular a los vectores A = 4 i + 3 j + 2k yB=3i+2j+2k, 
tal que su módulo sea igual a 6.
B) lT-2j + 3k
E) 2T-2j-2k
*2 =
Prob. 39.- Calcular el área del paralelogramo cuyas diagonales son: A = 5 i + 4 j + 7k y B = i + k.
B)6 E)3A) 7 C)5 D)4
Elaboramos un esquema en el que se visualice la disposición de los vectores:
A
. . . (1)
. . . (2)S = 4m
Luego, de (1) y (2) se concluye que: ...(*)
Donde:
I AxB | = Vd2 + 22 +42 =6AxB =
Reemplazando en (*): S = i(6) Rpta. E
2
Física Fundamentos y Aplicaciones126
RESOLUCIÓN
El área del paralelogramo que definen los vectores 
por:
5
1
B 
2 ’
l^x^ =2m
I 2 2
T j k
4 7 = 4i +2j -4k
0 1
y según la figura, está dado
-> jlAxBI = 4m
S = ||AxB| 
z
Pero el área «S» del paralelogramo mayor dado equivale a:
S = 3
^RACSO
0 EDITORES
Unidad 3
"■> ■ t
■ ----7-------------------- ■-------- ¡--- —-------------T------ rr-7----- i *•>: .‘j ...'.-’jij ’í
... S< ¿¿iíír.i '-Ji’i*»,;.:
Galileo Galilei, Pisa, 1542-1642, astrónomo, 
filósofo, matemático y físico.
'V • • 're:«En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento, y son muchos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo, 
yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él, 
que hasta ahora han pasado inadvertidos».
ií'--’.-’r-: ■
= , >. . ■ s - ‘ ó i ’/
Cinemática de una Partícula en ID
; SI: [r>] = m/sRapidez
Física Fundamentos y Aplicaciones128
3.1.2. Trayectoria
Es la línea que describe el móvil.
I
3.1.4. Distancia Recorrida o Recorrido (s)
Es la longitud de la trayectoria, cuya magnitud nunca es negativa.
i) s = longitud de la trayectoria; SI: [s] = m
ii) s = | Ax I «-> el movimiento es sin retorno
Téngase en cuenta que | Ax I es el módulo del vector desplazamiento y representa la distan­
cia entre el punto de partida y el punto de llegada.
3.1.5. Rapidez (ü)
En cinemática definimos la rapidez de una partícula móvil como la razón entre la distancia 
que recorre y el tiempo que emplea para hacerlo.
Distancia recorrida . SI; . , = m/s
Tiempo
La rapidez también se puede expresar en km/h, cm/s, pie/s; etc.
Es necesario reconocer que la rapidez es una cantidad física escalar cuya magnitud nunca 
es negativa.
3.1.3. Desplazamiento (Ax)
Es el vector que nos indica de dónde hacia dónde cambia su posición un móvil.
Si el móvil experimenta un movimiento en una dimensión sobre el eje «x», siendo x0 y xf las 
coordenadas de su posición inicial y final, respectivamente, el desplazamiento, denotado 
como Ax , viene dado por:
•) Ax = x(-x0 = (x(-x0)i, SI: [Ax] = m
ii) Ax = Ax i
RACSO
O EDITORES
3.1.1. Posición o Vector Posición
Si una partícula móvil se traslada sobre una recta «x», entonces su posición x viene dada 
por el segmento dirigido trazado desde el origen «O» hasta el punto P(x) donde se ubica.
x = xi , SI: [x] = m
i
íf-'o
(Ecuación escalar)
129Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
3.1.6. Velocidad (v )
La velocidad de un móvil puntual es una cantidad física vectorial cuya magnitud nos da la 
rapidez con que se traslada el móvil y su dirección nos indica hacia dónde se dirige.
Velocidad = Rapidez + Dirección
b) Rapidez Instantánea (v)
Sea s = f(t) una función que da el recorrido de un móvil puntual en términos del tiempo. Se 
define la rapidez instantánea como:
a) Velocidad Media (vm)
Sean x0 y xf las posiciones inicial y final de un móvil que se mueve sobre el eje «x», ocupa­
dos en los instantes to y tf, respectivamente. La velocidad media del móvil entre esos puntos 
viene dada por:
i) v= lím (v ) = lím anü At->o\Atl
di
ii) v = 4^- (Ecuación escalar) 
di
Debe reconocerse que el módulo de la velocidad instantánea es la conocida rapidez 
instantánea.
"p = 7
a) Rapidez Media o Rapidez Promedio (vP)
Sean A y B las posiciones inicial y final de un móvil puntual que recorre un trayecto de 
longitud «s», entre esos puntos, y empleando un tiempo «t». La rapidez media del móvil, 
entre A y B, está definida como:
w i -j j Desplazamientoi) Velocidad media =----- 7—-------------Tiempo
’ m At tf-to • •
iü)um=^
’ m tf-to
Debe reconocerse que un movimiento unidimensional en donde no existe retomo, las mag­
nitudes de la rapidez media y velocidad media son iguales.
b) Velocidad Instantánea (v)
Sea x = f(t) una función que da la posición de un móvil puntual en términos del tiempo. La 
velocidad instantánea, en un punto e instante dados, se define como:
dx/dxVr
dt X dt I
X
- xf
xt
Ax Ax
X1
.q
*o Ai
O fo ti
i) Aceleración media =
i
'f-'o
ii¡) "m (Ecuación escalar)
(Ecuación escalar)
física Fundamentos y Aplicaciones130
i
A
A-’aí o
i) <1 = lím («„,)= lim
ai-, o 1 ai->oV Af /
Debe reconocerse que, en un punto de la trayectoria rectilínea, las direcciones de la velo­
cidad y la aceleración coinciden si el movimiento es acelerado (aumenta la rapidez) y son 
opuestos si el movimiento es desacelerado (disminuye la rapidez).
ii)fl = ^
4=51 RACSO
W EDITORES
°m=^=tan 9m
ii) vA = Pendiente de la recta tangente en «A» -» vA = tan 0A (Velocidad instantánea)
3.1.7. Aceleración (a)
En una cantidad física vectorial que mide los cambios producidos en la velocidad a través 
del tiempo.
¡i) ’ m A/ tf-/o ■
't-'o
b) Aceleración Instantánea (ñ)
Sea v = /(/) una función que da la velocidad de un móvil puntual en términos del tiempo.
La aceleración instantánea, en un punto e instante dados, se define como:
dt
Cambio de velocidad . q. r •. _ , 2
Intervalo de tiempo ' * '
a) Aceleración Media (flm)
Sean z?o y las velocidades en los instantes to y tf, inicial y final, respectivamente, de un 
móvil que se traslada sobre el eje «x». La aceleración media en ese intervalo de tiempo se 
define como:
c) Gráfico Posición-Tiempo (x-t)
Es el gráfico elaborado en un plano cartesiano donde la abscisa es el tiempo (f) y la ordena­
da es la posición (x). El gráfico x =f(t) es una línea recta o curva en ese plano. En este gráfico 
se observa que:
i) = Pendiente de la recta AB —>
ff
<£.A
ttfO i»O
vdt
dv = adt —» v
En este caso: a=f(x)
131Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
li
= í adt —> v-v 
Jo
fV dv 
Jvo
=ü0+Jt‘o«dí= í‘ adt J'o
= í vdtJ'o= jt ydí “* x~xo
••• x = xo + J¿
En este caso: v =f(t). Cuando to = 0; «t» representa el tiempo transcurrido.
b) Velocidad - Tiempo
^=fl
dt
En este caso: a = /(t)
fX
| dx
J*o
v-^ = a 
dx
c) Aceleración - Posición
dt
3.1.8. Ecuaciones Cinemáticas Generales 
a) Posición - Tiempo
4^ = v —> dx = vdt
dt
dt dx
| vdv
Jvo (f'2-vo)=£*o
a = — = tan a m At m
ii) aA = Pendiente de la recta en «A» -» aA = tan aA (Aceleración instantánea)
iii) Desplazamiento = Área bajo la curva;distancia recorrida = [ Área |
_> dx ,dv=a 
dt dx
= ÍX adx
Jxo
Zadx
c) Gráfico Velocidad-Tiempo (v-t)
Es el gráfico elaborado en un plano cartesiano donde la abscisa es el tiempo (f) y la orde­
nada es la velocidad (v). El gráfico v = /(f) es una linea recta o curva en ese plano. En este 
gráfico se observa que:
i) <im = pendiente de la recta AB
x
----- B
Av
..h
vdv = adx —>
^7 V Af !
Prob. 39.- Calcular el área del paralelogramo cuyas diagonales son: A = 5 i + 4 j + 7k y B = i + k.
E)3A) 7 B)6 C) 5 D)4
m
m
m
m
B
y
... (i)
... (2)Pero el área «S» del paralelogramo mayor dado equivale a: S = 4m
•••(*)Luego, de (1) y (2) se concluye que:
Donde:
I AxB I = V42 + 22 + 42 =6AxB =
Reemplazando en (*): S = 77(6) Rpta. ES = 3
2
Física Fundamentos y Aplicaciones126
RESOLUCIÓN
El área del paralelogramo que definen los vectores 
por:
5
1
A
2
Elaboramos un esquema en el que se visualice la disposición de los vectores:
Á
B
2 ’
RACSO
W EDITORES
|^x^l = 2m
I 2 21
i j k
4 7 =4i +2j -4k
0 1
y según la figura, está dado
S = ||AxB|
i|AxB| = 4m 
2
ó.
X'.
£
:-,í. '
O
< .'. •
Galileo Galilei, Pisa, 1542-1642, astrónomo, 
filósofo, matemático y físico.
Un idad 3
>/<■• 7. ...
V;.
«En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento, y son 
muchos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo, 
yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él, 
que hasta ahora han pasado inadvertidos». IÉ
c.-t-;.. A ■ < ?
'-.v-
Cinemática de una Partícula en ID
; SI: [?'] = m/sRapidez
Física Fundamentos y Aplicaciones128
3.1.1. Posición o Vector Posición
Si una partícula móvil se traslada sobre una recta «x», entonces su posición x viene dada 
por el segmento dirigido trazado desde el origen «O» hasta el punto P(x) donde se ubica.
x = xi , SI: [x] = m
3.1.3. Desplazamiento (Ax)
Es el vector que nos indica de dónde hacia dónde cambia su posición un móvil.
Si el móvil experimenta un movimiento en una dimensión sobre el eje «x», siendo x0 y x(las 
coordenadas de su posición inicial y final, respectivamente, el desplazamiento, denotado 
como Ax , viene dado por:
i) Ax = xf-xo =(xf-x0)i, SI: [Ax] = m
ii) Ax = Axi
RACSO
EDI TOMES
3.1.4. Distancia Recorrida o Recorrido (s)
Es la longitud de la trayectoria, cuya magnitud nunca es negativa.
i) s = longitud de la trayectoria; SI: [s] = m
ii) s = | Ax | <-> el movimiento es sin retorno
Téngase en cuenta que I Axl es el módulo del vector desplazamiento y representa la distan­
cia entre el punto de partida y el punto de llegada.
3.1.5. Rapidez (v)
En cinemática definimos la rapidez de una partícula móvil como la razón entre la distancias 
que recorre y el tiempo que emplea para hacerlo.
Distancia recorrida
Tiempo
La rapidez también se puede expresar en km/h, cm/s, pie/s; etc.
Es necesario reconocer que la rapidez es una cantidad física escalar cuya magnitud nunca 
es negativa.
3.1.2. Trayectoria
Es la línea que describe el móvil.
VP
i) Velocidad media
üi) fm = (Ecuación escalar)
(Ecuación escalar)
129Unid. 3 - Cap. 3.1 — Cinemática de una Partícula en ID
s 
t
3.1.6. Velocidad (v)
La velocidad de un móvil puntual es una cantidad física vectorial cuya magnitud nos da la 
rapidez con que se traslada el móvil y su dirección nos indica hacia dónde se dirige.
Velocidad = Rapidez + Dirección
lím 
At->0
a) Velocidad Media (vm)
Sean xo y x¡ las posiciones inicial y final de un móvil que se mueve sobre el eje «x», ocupa­
dos en los instantes fo y tf, respectivamente. La velocidad media del móvil entre esos puntos 
viene dada por:
a) Rapidez Media o Rapidez Promedio (uP)
Sean A y B las posiciones inicial y final de un móvil puntual que recorre un trayecto de 
longitud «s», entre esos puntos, y empleando un tiempo «f». La rapidez media del móvil, 
entre A y B, está definida como:
b) Velocidad Instantánea (v)
Sea x = /(t) una función que da la posición de un móvil puntual en términos del tiempo. La 
velocidad instantánea, en un punto e instante dados, se define como:
\ At) di
b) Rapidez Instantánea (u)
Sea s = /(f) una función que da el recorrido de un móvil puntual en términos del tiempo. Se 
define la rapidez instantánea como:
i) 5 = Alúno(5m)
dt
ii) u = f
Debe reconocerse que el módulo de la velocidad instantánea es la conocida rapidez 
instantánea.
ii) v™ = ^=------ -’ m Ai tf-to
Xf-Xp
íf-'o
Debe reconocerse que un movimiento unidimensional en donde no existe retorno, las mag­
nitudes de la rapidez media y velocidad media son iguales.
Desplazamiento 
Tiempo
Ax_xf-*„ .fXf-x^-r
Ijf-íp JAt
X
z=/(t)xt
*í
¿X
*1
*o
O O to t,
«A
i) Aceleración media =
i
íf-'o
üi) % (Ecuación escalar)
(Ecuación escalar)
Física Fundamentos y Aplicaciones130
i
a) Aceleración Media (flm)
Sean vo y vf las velocidades en los instantes to y tf, inicial y final, respectivamente, de un 
móvil que se traslada sobre el eje «x». La aceleración media en ese intervalo de tiempo se 
define como:
&
c) Gráfico Posición-Tiempo (x-t)
Es el gráfico elaborado en un plano cartesiano donde la abscisa es el tiempo (t) y la ordena­
da es la posición (x). El gráfico x = /(t) es una línea recta o curva en ese plano. En este gráfico 
se observa que:
i) = Pendiente de la recta AB
i) á = lím («m)= lim = ' ai-»o\A11 dt
Debe reconocerse que, en un punto de la trayectoria rectilínea, las direcciones de la velo­
cidad y la aceleración coinciden si el movimiento es acelerado (aumenta la rapidez) y son 
opuestos si el movimiento es desacelerado (disminuye la rapidez).
ii) « =
RACSCt 
0 B D I T 0 » B II
Cambio de velocidad . s]. [fl] = m/s2 
Intervalo de tiempo
V ~ = tan m At m
ii) vA = Pendiente de la recta tangente en «A» —> vA = tan 0A (Velocidad instantánea)
3.1.7. Aceleración (a)
En una cantidad física vectorial que mide los cambios producidos en la velocidad a través, 
del tiempo.
¡n á -v<~vo Jvf~vo
’ m Al tf-lo
<f-'o
b) Aceleración Instantánea (a)
Sea v = f(t) una función que da la velocidad de un móvil puntual en términos del tiempo. 
La aceleración instantánea, en un punto e instante dados, se define como:
í' „ dt
D=/(t)
”f
A
tO t.O
3.1.8. Ecuaciones Cinemáticas Generales
a —> dv = adt -» v =
En este caso: a = f(x)
131Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
c) Gráfico Velocidad-Tiempo (v-t)
Es el gráfico elaborado en un plano cartesiano donde la abscisa es el tiempo (f) y la orde­
nada es la velocidad (y). El gráfico v =f(t) es una línea recta o curva en ese plano. En este 
gráfico se observa que:
i) am = pendiente de la recta AB
a) Posición - Tiempo 
dx 
~dt~
í dv 
Jvo
Aü
ii) aA = Pendiente de la recta en «A» -> aA = tan aA (Aceleración instantánea)
iii) Desplazamiento = Área bajo la curva; distancia recorrida = | Área |
v0 + j%dt:f‘ adt
J‘o
r: 
vdv =
í vdt 
Jto
ÍX dx 
J»o
Z. Ao
v-^- = a 
dx
y dx . dv _a 
dt dx
rx adx —>
Jxo
ladx
tan am
c) Aceleración - Posición
dv n = a dt
Cadt —> v-v 
Jo
= I/dí X~Xo
X = Xo+Jt' vdt
En este caso: v=f(f). Cuando to = 0; «f» representa el tiempo transcurrido.
b) Velocidad - Tiempo
dv
dt
En este caso: a =f(t)
x
----- B
Aü
ib
dv . dx a 
dt dx
—» vdv = adx —> [
Jvo
p2 = !'o+2J,
v —> dx = vdt —>
ECUACIONES ESCALARES
r
Ax
Ax = +2 m
Rpta. A
Física Fundamentos y Aplicaciones132
RESOLUCIÓN
Prob. 01Un elefante bebé corre 3 m hacia adelante, otra vez 2 m hacia adelante, 8 m hacia atrás, 4 m hacia 
adelante, 5 m hacia atrás y finalmente 6 m hacia adelante de su rebaño. Calcular:
a. El desplazamiento final del elefante bebé.
b. La diferencia entre los módulos del desplazamiento máximo y desplazamiento mínimo.
A) 2 m hacia adelante; 6 m B) 2 m hacia atrás; 10 m C) 28 m hacia atrás; 3 m
D) 13 m hacia adelante; 4 m E) 15 m hacia adelante; 1 m
Elegimos el signo (+) para identificar la dirección «hacia adelante». De este modo los despla­
zamientos del elefante bebé son:
Ax = AXj + Ax2 + Ax3 + Ax4 + Ax5 + Ax6
Ax = +3 m + 2 m - 8 m + 4 m - 5 m + 6 m
Hacia adelante
^LRACSO
W EDITORES
............................. ....... ■Axy = +3 m ; tsx2 = +2 m ; Ax3 = -8 m ; Ax4 = +4 m ; Ax5 = -5 m ; Ax6 = +6 m
•máx
D= l^máx
+4
ZD
+6
Prob. 02.- Un helicóptero médico recorre 78 km hacia el sur desde su base para recoger a un paciente, 
empleando 1 h 20 min. El helicóptero es conducido después de 93 km en dirección norte hasta un hospital, 
empleando esta vez 1 h 40 min. Determinar:
a. ¿Cuál es la velocidad media? b. ¿Cuál es la rapidez promedio de todo el viaje?
b) Identificamos a los desplazamientos de módulos máximo y mínimo respectivamente:
I Axmáx I = I -8 m | = 8 m ; I Axm¡n | = | +2 m | = 2 m
I - I Axm¡n | = 8 m - 2 m .’. D = 6 m
-8
-5 r
Hacia atrás
(4
a) De este modo el desplazamiento final viene dado por la suma de los vectores de desplaza­
miento que, expresada en términos algebraicos, queda como:
C) 15 km/h hacia el norte; 57 km/hA) 57 km/h hacia el sur; 5 km/h B) 5 km/h hacia el sur; 5 km/h
D) 5 km/h hacia el norte; 57 km/h E) 20 km/h hacia el sur; 5 km/h
-78 km
+93 km
+93 km
1:20 + 1:40 = 3 h
Rpta. D
B) 36 km; 36 km/h hacia el oeste C) 72 km; 36 km/h hacia el esteA) 18 km; 72 km/h hacia el oeste
E) 36 km; 72 km/h hacia el esteD) 18 km; 18 km/h hacia el oeste
133Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
H--------------
Paciente
—I------ 1------------
Base Hospital
Elegimos la dirección positiva hacia el norte, asimismo reconocemos que la base es la posi­
ción inicial y el hospital es la posición final. De este modo los desplazamientos son como se 
muestra en el siguiente esquema:
Eligiendo hacia el este la dirección positiva, elaboramos un esquema para mostrar los des­
plazamientos y recorridos, donde la casa y el colegio son las posiciones inicial y final respec­
tivamente:
Hacia el norte 
(+)
Hacia el sur 
(-)
up = 57 km/h
Prob. 03.- Un estudiante sale de su casa rumbo a la escuela y conduce con una rapidez promedio de 40 km/h. 
Después de 24 min se da cuenta que olvidó la tarea y regresa a casa por ella a la misma rapidez promedio. 
Tarda 12 min en encontrar el trabajo, luego de lo cual reinicia el viaje a la escuela ubicada a 40 km en dirección 
este a la misma rapidez que antes. Calcular:
a. ¿Cuál es el recorrido para el viaje completo?
b. ¿Cuál es la velocidad media para el viaje completo?
De donde reconocemos que:
i) Desplazamientos: Axj = -78 km ; Ar2
ii) Recorridos: s, = 78 km ; s2 = 93 km
Además se sabe que el tiempo total transcurrido, en horas, es: A¿
vm = +15 km/h
a) La velocidad media «um» la calculamos aplicando la ecuación que la define:
 Ax Ax1 + Ax2 (-78 km)+ (+93 km)
Um - A? Ai ”* " 3 h
b) La rapidez promedio «vp» la determinamos aplicando la ecuación que la define:
s si+s2 v _ 78 km + 93 km
P - Ai " át p~ 3 h
Ax,
ColegioCasa
"VAíb = 12 min
Donde:
Sj = s2 = 16 kmS1=S2
-16 km
Pero por dato se sabe que:
1 h«3
s = 72 km
Rpta. C
E) 55 km/hA) 48 km/h B) 56,25 km/h C) 5 km/h D) 95 km/h
Física Fundamentos y Aplicaciones134
[resolución
up
^2
Prob. 04.- Un viaje de 9 h se efectúa con una rapidez promedio de 50 km/h. Si la primera mitad de la distancia 
se cubre a una rapidez promedio de 45 km/h, ¿cuál es la rapidez promedio para la segunda mitad del viaje?
= (40^'
En base a estos resultados se deduce que:
Hacia el este 
(+)
Hacia el oeste 
(-)
RACSO
«P EDITORES
S = Up • Aí
AXg
Áí3
Ya que los recorridos están referidos a la mitad del recorrido total (s), asumiremos que 
s = 2k. Además, como el cálculo de la rapidez promedio, en general, no está condicionado a 
la forma de la trayectoria, para simplificar el análisis, asumiremos una trayectoria rectilí­
nea. Según este criterio elaboramos el siguiente esquema en donde visualizamos los datos y 
condiciones:
40 km a Aí3
up = 40 km/h a Aíb = h
En el viaje de ida y vuelta se cumple que los tiempos son iguales, luego:
Aíj = Aí2 = 24 min = h
Asimismo, en ese movimiento, los recorridos (s) también son iguales y se calculan aplicando 
la ecuación de la rapidez promedio:
tKs-)
Axj = +16 km ; Ax2
Ax3 = +40 km
 s3 40 km 
up 40 km/h
a) El recorrido total viene dado por: s = + s2 + s3 = (16 + 16 + 40) km
b) La velocidad media, para el viaje completo, viene dada por:
= Ax = A*i +Ax2+Av3 = (+16 km)+ (-16 km)+ (+40 km)
% Ai Ai, + A(b + A/2 + Aí3 2h + lh + 2h + lh
5 5 5
= +36 km/h
M.Atj
T V2
k k
Donde:
Luego, teniendo en cuenta que:
U2
Reemplazando datos: v2 = 56,25 km/h Rpta. BU2 =
E) 62,5 km/hA) 15 km/h C) 67,5 km/h D) 41 km/hB) 88 km/h
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
t2 — 2 h«i
v2 = ?
S2«1
De donde se puede establecer que:
Rpta. Cll2
B) +10 m/s D) -8 m/s E)0C) +5 m/sA) -10 m/s
135Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
A 
h-
vi
5----- -i-
C
-H
Prob. 05.- Se realizó un viaje de 3 h a una rapidez promedio de 75 km/h. En la primera hora la rapidez pro­
medio fue de 90 km/h. ¿Cuál fue la rapidez promedio para el resto del viaje?
2ui~üp
Prob. 06.- La posición de una partícula a lo largo del eje «x» está dada por x = 3t3 — 71, donde «x» está en 
metros y «t» en segundos. ¿Cuál es la velocidad media de la partícula durante el intervalo desde t = 2,0 s a 
t = 5,0 s?
4- 
A
I-
B
i
Uj = 90 km/h •
B 
-H*-
up = rapidez promedio de todo el viaje = 50 km/h 
üj = rapidez promedio del primer tramo AB = 45 km/h 
u2 = rapidez promedio del segundo tramo BC = ?
Se sabe que la rapidez promedio de todo el recorrido es up = 75 km/h y el tiempo total em­
pleado es t = 3 h. Si suponemos que el recorrido total es «s», y que el trayecto es rectilíneo, 
elaboramos el siguiente esquema:
= lh
Aíj + A¿2 = Ai
U1 V2 Up
45 50
2-45-50
S = Sy + S2
Y de la ecuación de la rapidez media: vpt = v1-+ v2-12 
Reemplazando los datos se tiene: 75 • 3 = 90 1 + v2 • 2 
67,5 km/h
□□□□□QDDnoaanaoDanDQnnaDDDODDQDQanDaQDDnanaDüDüüOO00000
De los datos reconocemos que la posición «x» del móvil es una función del tiempo.
Luego podemos escribir así: x(t) = 3t3 -7t
También reconocemos que los extremos del intervalo de tiempo dado, son:
10 m
x¡ = 40 m
Rpta. B
D) 8 km/h; 8 km/h hacia el oeste E) 8 km/h; 264 km/h hacia el este
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
Si elegimos la dirección positiva (+) hacia el este (E), las velocidades son:
O vt
Después
Al u I = 136 km/h -128 km/h
Au = (+136) - (-128) +136+ 128Au = v¡- o,
Rpta. EAu = +264 km/h
Física Fundamentos y Aplicaciones136
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
i) ti = 2 s, luego: x¡ = x(2) = 3(2)3 - 7(2)
ii) tf = 5 s, luego: xf = x(5) = 3(5)2 - 7(5)
De este modo podemos aplicar la ecuación que define a la velocidad media para 
se desplaza sobre el eje «x».
Prob. 07.- Cuando un bateador golpea la pelota de béisbol su velocidad cambia de 128 km/h en dirección 
oeste a 136 km/h en dirección este. Determinar:
u¡ = -128 km/h a rapidez inicial = 1^1 = 128 km/h
= +136 km/h a rapidez final = I ¡7f I = 136 km/h
__E
(+)
O_ 
(-)
Hacia el este 
(+)
Hacia el oeste 
(-)
un móvil que
a) El cambio en la rapidez, Al v |, viene dado por:
Al ü I = lüf I - lü, | —> Al v I = 136 km/h —128 km/h A|ñ|=8km/h
b) El cambio en la velocidad, Au, expresada en forma algebraica, viene dada por:
um = +10 m/s
«i O 
----
Antes
ági RACSO
W EDITOME!
_ Ax _^f__
m Ai íf-tj
Reemplazando los datos y resultados obtenidos, se tiene: 40 m-10 mUm 5 s - 2 s
a. ¿Cuál es el cambio en la rapidez? b. ¿Cuál es el cambio en la velocidad?
A) 8 km/h; 8 km/h hacia el este B) 264 km/h; 8 km/h hacia el este C) 264 km/h; 8 km/h hacia el oeste
1 Vf
+x BA
Reemplazando datos, se tiene: am Rpta. B
(m)x
11
A) 7,4 m/s
4B) 6,7 m/s
0C) 5,1 m/s
-2D) 3,2 m/s
E) 2,9 m/s -6
7
___4 ...
6
t
4
6
Rpta. EvP = 2,9 m/s
137Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
0-
’-2‘7
Prob. 08.- El módulo de la velocidad de un automóvil disminuye de 23 a 18 m/s en un intervalo de tiempo de 
2,5 s. Si «+x» es la dirección opuesta a la del viaje, determinar la componente «x» de la aceleración media.
A) -2 m/s2 B) +2 m/s2 C) -4 m/s2 D) +4 m/s2 E) -5 m/s2Prob. 09.- Un móvil se desplaza sobre el eje «x» de modo que su 
posición viene dada por el gráfico «x vs t» mostrado. Se pide calcular 
la rapidez promedio entre t = 0 s y t = 10 s.
x
11
/ ■ \7/ ;
'2 4 6\j/s 10
Sea la dirección del viaje hacia la derecha, entonces, según condición del problema, la direc­
ción «+x» es hacia la izquierda. De este modo las velocidades son: u¡ = -23 m/s y ur= -18 m/s, 
tal como se deduce del siguiente esquema:
Enseguida aplicamos la ecuación física 
que define a la aceleración media en un 
movimiento rectilíneo:
Au ; . Vf-Uj
Ai
. (-18 m/s)-(-23 m/s)
2,5 s
°m Ai
Aí = 2,5s
 29 m 
p“ 10 s
am = +2 m/s2
Haciendo el seguimiento del cambio de posición «x» del 
móvil, reconocemos que éste pasa por el origen x = 0, 
hasta en tres oportunidades: í=2s;í = 6syí = 8s.
Como el movimiento es rectilíneo, se verifica que en los 
tramos en donde el movimiento es en una misma direc­
ción se cumple que el módulo del desplazamiento (I Ax|) 
es igual al recorrido (s) correspondiente. Luego, el reco­
rrido total (sT) viene dado por:
sT = 4 m + 3(6 m) + 7 m —> sT = 29 m
Finalmente, la rapidez promedio (uP) entre = 0 s y 
t{ = 10 s, lo calculamos a partir de la ecuación física que 
la defíne: St =_s,_ 
p Ai t{ -i.
O t(s)
h
3
Oh = 4 m/s
-6
Ax = +14 mAx = Ax, + Ax2 =
Luego la velocidad media es:
Finalmente, la rapidez media está dada por:
Rpta. E
(m)X
A) -3 m/s; 4 s
B) +5,2 m/s; 2 s
C) -3,3 m/s; 4 s
2D) +4,2 m/s; 2 s
E) -4,2 m/s; 4 s 0 t(s)
Física Fundamentos y Aplicaciones138
RESOLUCIÓN
12
10
8
6
4
Prob. 11La gráfica de posición contra el tiempo para una partícula que se 
mueve a lo largo del eje ->x» es como se muestra en la figura. Determina la 
velocidad instantánea en t = 2 s y el instante «t» en que la velocidad es cero.
s = + s2 = I A*! | + | A.x2 I
Sea «h.» el valor de la velocidad constante a partir 
de t = 8 s. Luego, aplicando una proporción en los 
triángulos rectángulos semejantes en los que se in­
dica el ángulo común «a», se tiene:
h _ 6
2 3
Recordando que en un gráfico velocidad-tiempo, el 
área bajo la curva coincide con el desplazamiento, 
el desplazamiento total Ax, lo obtendremos así:
Área del 1 í. 
triángulo] [
Prob. 10.- Un móvil se desplaza a lo largo del eje «x» de modo que su velocidad vx viene dada por la gráfica, 
mostrada. Para el intervalo de t = 0 s hasta t = 15 s, se pide calcular 
i. La velocidad media.
O-
123456 I
(m)
\ 3i /6 8
RACSO
EDITORES
C) +^m/s;^m/s
15 5
^=6(_6) + (9 + 7)(4)
B) +^| m/s; m/s
17 5
E) m/s ;^m/s 
loo -o
□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□¡□□□□□□□□□□□□□□O
Área del 
trapecio
u =^ = ±i±”=+llm/s 
m Ai 15 s 15
Asimismo el recorrido total (s), en un movimiento rectilíneo de dirección constante, viene 
dado por:
II. La rapidez promedio.
A) +-^ m/s; 3 m/s E
15
D) m/s; | m/s I
15 ó
s = | -18 m | + | +32 m |
 s _ 50 m
m Ai 15 s
► s = 50 m 
t>m = y m/s
¡h 
Ah 
I-1 a/6 8 
6! J
15 t
Luego: uP = tan 0
(m)x
Donde: tan 0 — -tan a
” 12
6 = tanO°
tan a = 3,3 m/s ■ ■ ■ (2)
Reemplazando (2) en (1): vP = -3,3 m/s
0 2 í (s)
Esto ocurre en: Rpta. Ct - 4 s
(m/s)vx
A) 1,5 m/s2 B) 1,0 m/s2
C) 2,0 m/s2 D) 2,5 m/s2
E) 3,0 m/s2 0 1 2 3 4 5 t(s)
(m/s)v
4
3
P, Au =» 2 m/s
2
9
1
0 t(s)
Rpta. B
139Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
4
I-------- -1
Ai = 3,75 s
Prob. 12.- En base a la gráfica de la componente vx de la velocidad 
frente al tiempo, estimar la aceleración ax en el instante t = 1 s.
Inspeccionando la gráfica dada, reconocemos que la recta tangente en «P», o t = 2 s, tiene una 
pendiente (tan 0) que define a la velocidad instantánea (t>P), en ese instante.
4
3
2
1
I 
d
s 
lO 
oí
II 
5
ax = 1 m/s2
uP = -tan a . . . (1)
En el gráfico de al lado, se muestra la sección que 
nos interesa, en donde, por estimaciones, deducimos 
que:
a 2 m/s a = tan 0 = —----
x 2 s
Para determinar la aceleración instantánea, a partir del grá­
fico velocidad-tiempo, debemos trazar una recta tangente a la 
curva, en nuestro caso en «P», o en t = 1 s. En la figura adjunta 
se muestra la sección que corresponde a los alrededores del ins­
tante que nos interesa.
Considerando idénticas las longitudes de los segmentos verti­
cales, por encima de 1 y por debajo de 4, podemos aproximar los 
lados del triángulo rectángulo formado. Luego la aceleración ax 
en el instante t = 1 s vendrá dado por la pendiente (tan 0) de la 
recta en el punto «D»:
Ai = 2 s ¡
1 2
tana = ^ = ^AS 
Ai 3, ¿5 s
Enseguida reconocemos que en «Q» la recta tangente 
es paralela al eje del tiempo «i», luego:
Uq = tan 0o = 0
(m/s)v
5
O
(m/s)v
5
4
... (2)
Reemplazando (2) en (1): Rpta. C
I.
II. 17 t (sil¡2
A)VW B) FVV C) FFV D) FFF E) FVF
Física Fundamentos y Aplicaciones140
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
0
-3
= Pendiente 
de la recta
Prob. 13.- La velocidad de una liebre que corre en linea recta para escapar 
de un depredador alado viene dada por la figura mostrada. Calcular la acele­
ración que experimenta en t = 8 s. La curva es una semicircunferencia.
A) 2 m/s2 B) 3/5 m/s2 C) 3/4 m/s2
D) 1/8 m/s2 E) 4/5 m/s2
O
^4 RACSO 
EDITO1B1Í
v (m/s)
6
t(sj
ie\5 ji
5^8 í[b)
Op 
o
La semicircunferencia tiene un radio R = 5 unidades. Luego, al indicar el punto «P» de la 
curva donde t = 8 s, se observa que la ordenada es v = 1 m/s. Estos valores son los que se 
deducen a partir de la indicación de valores en el triángulo rectángulo pitagórico que se ha 
sombreado, en la figura adjunta.
La aceleración instantánea «a» en t = 8 s, viene dada 
por la pendiente de la recta tangente a la curva en «P», 
es decir:
Prob. 14.- En la figura se muestra la velocidad de una partícula, 
que se desplaza sobre el eje «x», en función del tiempo. Evalúa la 
veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
La longitud recorrida por la partícula entre t = 0syt = 7ses3m.
La velocidad media entre t = 0syt = 7ses y-i m/s
III. La aceleración media entre t = 1 s y t = 4 s es -3 i m/s2.
aP = tan 0 ... (1)
Pero del triángulo rectángulo sombreado:
tan 0 = 4 4
ap = 4 m/s2 4
I. Falso.- La longitud recorrida, o recorrido (s), en un movimiento rectilíneo de dirección 
constante coincide con el módulo del desplazamiento, |Ax|, correspondiente. En nuestro 
caso, los desplazamientos Axj y Ax2 vienen dados por las áreas bajo la curva, luego:
s = I Axj | +1 Ax2 I -> s = | (+6)(2) m | + | (-3)(5) m | s = 27 m
II. Falso.- Aplicando la ecuación que define a la velocidad media, se tiene:
= (+6)(2) m + (-3)(5) m =_3m/g
m Ai Ai m 7 s m 1
Y escribiendo en forma vectorial, se tiene:
an>
Rpta. CFFV
A) a B) a
t
155 10 20 t(s)C)a D) a
t
1,6
0 2010 155 t(s) Rpta. D
141Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
-2
-4
-6
-8
8 
6
4
2
a (m/s2)
Prob. 15.- En la figura se muestra la gráfica velocidad-tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje 
«x». Identifica la gráfica que corresponde a la aceleración-tiempo de este movimiento.
v(m/s)
am =-3i m/s2
a) Entre t = 0 s y t = 5 s.- La gráfica de la velocidad es una línea recta de pendiente nula. 
Luego, la velocidad es constante y la aceleración es nula en ese intervalo.
b) Entre t = 5 s y t = 15 s.- La gráfica de la velocidad es una linea recta de pendiente:
AE = 16.m/s=+16m/s2
Ai 10 s
Luego, en ese intervalo, la aceleración es constante e igual a +1,6 m/s2.
c) Entre t = 15 s y i = 20 s.- La gráfica de la velocidad es una recta de pendiente nula. Luego 
la velocidad es constante y la aceleración es nula.
Finalmente, la gráfica «a vs í» que muestra el comportamiento descrito, es así:
am = -3 m/s2
Um “/S
III. Verdadero.- Para ¿¡ = 1 s, se tiene: = +6 m/s
Para íf = 4 s, se tiene: L»f = -3 m/s
Y aplicando la ecuación que define a la aceleración media, se obtiene:
- Av uf ~u¡ (-3 m/s) - (+6 m/s)
a™ Ai íf - t-x ~* °ra 4 s -1 s
(m/s)v
50
40
30
20
D) 3; 1
10
40Ol
a) Para la 2da velocidad: v (m/s)
45
'A tal velocidad
37
Í-Í-+-
°m2 ~
= 2,5 m/s2
14 b
b) Para la 4ta velocidad:
l(s)2716480Rpta. E
X
t0 t.
E)vA) v B) V C)v D)v
ttt t t
Física Fundamentos y Aplicaciones142
RESOLUCIÓN
Prob. 17.- A partir de la gráfica que proporciona la posición «x» de un móvil, 
con movimiento rectilíneo, en función del tiempo, se pide identificar la gráfica que 
mejor representa a la "velocidad vs tiempo», de este movimiento. Las curvas son 
parábolas.
-t¡
24 m/s-14 m/s 
8 s-4 s
45 m/s-37 m/s
27 s-16 s
Nuestro problema se reduce a hacer estimaciones, lo mas finas posibles, de los instantes y 
velocidades que corresponden al inicio y final de los cambios de velocidad pedidas. Veamos:
Om2
10 20 30 40 t(s)
„ _ A,;
l _xz--''''5ta velocidad 
Zz4ta velocidad
RA&O
O ED1TOKIS
Prob. 16.- Un automóvil de alto rendimiento puede acelerar 
aproximadamente como se ve en la gráfica velocidad-tiempo 
de la figura. Los saltos de curva representan los cambios de 
velocidades. Calcule la aceleración media del automóvil en la 
segunda y en la cuarta velocidad. Dar las respuestas en m/s2.
A)2;| B)4;|
D O
C) 2;|
= Am/s2Om4
4
/ 3ra velocidad
/ 2da velocidad ¡ i
? i. i- i--i
1ra velocidad
“m2
E)2,5;l
24|7¡ i I
2da velocidad
To «o
oo «o«oRpta. D
V
0 t
A) a D) aC)aB) a
t ttt t
+a
0 «o t-a
De este análisis concluimos que la gráfica correcta es la E.
143Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 18.- Conocida la gráfica que da la velocidad en función del tiempo de 
una partícula que se mueve sobre el eje «x», se pide identificar el gráfico que 
describe mejor a la «aceleración vs tiempo», de ese movimiento.
to
E)a
Parábola
a) Para t < to, las pendientes de la curva son 
positivas y van reduciendo su valor hasta 
hacerse cero (0) en í0. Esto significa que 
la velocidad está orientada en la dirección 
positiva del eje «x» pero va reduciendo su 
módulo. Se trata de un movimiento desace­
lerado.
a) Para í < to la pendiente de la curva «u vs í» es constante y positiva, esto significa que la 
aceleración también es constante y positiva. De este análisis se deduce que la gráfica «a vs í» 
es una recta paralela al eje del tiempo y ubicada en lado positivo de «a».
b) Para t = to la pendiente de la curva no está definida, pues para un instante anterior o
posterior a to la pendiente es positiva y nula, respectivamente. Lo que ocurre en los alrede­
dores de t0 es que se deja de acelerar para lo cual la aceleración de reduce rápidamente y lo 
correcto sería observar una «ligera» curvatura en el lugar donde se unen la línea recta y la 
parábola. a
c) Para t > t0 la curva es una parábola, es decir, es una cuadrática, 
cuya pendiente es negativa y lineal, es decir, se va haciendo más 
negativa a medida que avanza el tiempo.
b) Para t > t0, las pendientes de la 
curva son positivas y van aumen­
tando de valor. Esto significa que 
la velocidad es positiva y su módulo 
va en aumento. Es un movimiento 
acelerado.
Ax (m)At (s)vm O"7®)Tramo
24i1ro
32doi) AXj = u* •
4? 53ro
ecua-
%
Rpta. C
8,00
4,00-----
a. El desplazamiento entre t = 0,00 s y t = 22,0 s.
b. La distancia recorrida entre t = 0,00 s y t = 22,0 s. 0 12,0 14,0,
c. La velocidad media entre t = 0,00 s y t = 22,0 s. ■4,00
d. La rapidez media entre t = 0,00 s y t = 22,0 s.
6,00
Física Fundamentos y Aplicaciones144
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
a) Tratándose de un movimiento en 
ID, podemos afirmar que, en un gráfico 
«velocidad-tiempo», el desplazamiento 
viene dado por el área comprendida 
entre la curva dada y el eje del tiempo. 
Para ello identificamos dos trapecios y 
un triángulo como se muestran a con­
tinuación:
vx(m/s)
12,0
T 
12,0 
L.
2,00 4,00 6,00 8,00 \ 12,014,
/, t(s)
Z 18,0 20,0 22,0
Prob. 20.- Un drone policial, que parte de la posi­
ción x = -20,0 m, persigue a un grupo de barristas 
que siguen la dirección «x» y cuya velocidad «vx» 
varia con el tiempo «t» según como se muestra en la 
gráfica. Se pide determinar:
-12?
2,00
7t 
6,00 
.1
(8i-12i+20i) m 
“ (2 + 3 + 5) s
üm=+l,6im/s
RACSO 
W BDITOKBS
4^
\^/6,00•10,0—1
Prob. 19.- Durante los 2 primeros segundos de su movimiento una partícula desarrolla una velocidad media 
de 4 i m/s, en los 3 siguientes segundos su desplazamiento es de -12 i m y en los últimos 5 segundos siguien­
tes su velocidad es 4 m/s. Calcular la velocidad media (en m/s) para todo el movimiento de la partícula.
A) 0,8? B) -0,8? C) 1,6? D) -1,6? E) 4?
-8,00
Organizando la información en un cuadro de 
doble entrada, en el que se ha tenido en cuenta 
que; Ax = ümAi, se tiene:
Ax, = (4i)(2) = 8? m
ii) Ax3 = ü3 • Aí3 —> Ax3 = (4 i )(5) = 20 i m
A continuación calculamos la velocidad media (üm) para todo el trayecto, aplicando la 
ción física que la define.
- _ A.x-A^+A-Yg+A.^ 
m Ai At} + Aí2 + Aí3
Luego: AXj = +96,0 m
Ax2 = -18,0 m iAx2 ~ -18,0 m
Ax3 = 24,0 m iAx3 = +24,0 m
s
vp
a. La aceleración media entre t = 3,00 s y t = 15,0 s.
t(s)b. La aceleración media entre t = 9,00 s y t = 21,0 s.
c. La aceleración en el instante t = 6,00 s.
d. La aceleración en el instante t = 12,0 s.
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□QQOooaaaanDDnaaaQDonDQQQanooo
ur
145Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
X-
3,00 6,00
~T~T
a) Podemos reconocer que las velocidades, para los instantes propuestos, vienen dados direc­
tamente del gráfico:
vx(m/s)
36,0-------
30,0-------
24,0--------
18,0-------
12,0 — / 
6,00 - 
0,00 <■ 
-6,00 -
-12,0 
-18,0 -
vQ - 12,0 m/s:
= -18,0 m/s
» 6,27 m/s
Prob. 21.- En un determinado momento de un partido 
de fútbol la pelota se mueve a lo largo del eje <>x» de tal 
forma que su velocidad varía con el tiempo según como 
muestra en el gráfico adjunto. Se pide determinar:
Axi = (
í0 = 3,00 s 
íf = 15,0 s
Ax2
A.x3 = (■
6,OO + lO,Oj(+i2,o)
_ (6,00)(-6,00) 
2
2,00 + 6,00 j(+6 00)
De este modo el desplazamiento Ax realizado entre í = 0,00 s y t = 22,0 s, viene dado por:
Ax = (96,0 m i ) + (-18,0 mi ) + (24,0 m i ) —> Ax=102mi
AXj = 96,0 m i
Ax = Axx + Ax2 + Ax3
b) En un movimiento rectilíneo realizado sin cambiar la dirección del movimiento, es decir, sin 
retorno, la distancia recorrida «s» viene dada por el módulo del desplazamiento Ax . Luego, 
analizando los recorridos por tramos, tendremos:
s = s1+s2 + s3 -> s = |a^| + |a?2|+|ax3|
-> s = |96,oT| + |-18,oT| + |24,oT| s = 138m
c) La velocidad media, para el intervalo de tiempo dado, la obtendremos aplicando la ecua­
ción que la define y el resultado obtenido en (a):
-- - _ 77 - 102 m i
m Ai m 22,0 s
d) La rapidez media, para el intervalo de tiempo dado, la obtendremos aplicando la ecuación 
que la define y el resultado obtenido en (b):
_ 138 m
p 22,0 sÜP=Í
~ 4,64 m/s i
^ml°ml
b) Procediendo como en el ítem anterior, tenemos que: 9,00 s
Luego: °m2
a
i 36,0 m/s Pi 0,
54,0 m/s
a
?Í5?012,09,00.
Luego: a(6,00) = tan a =
Fig. 2
a(12,0) = -18,0 m/s2o(12,0) = tan p = -tan 0 o(12,0) = -
CINEMÁTICA CON LÍMITES Y DERIVADAS
A) 328 cm/s B) 17 cm/s E) 242 cm/sC) 200 cm/s D) 195 cm/s
!
I
... (1)
Física Fundamentos y Aplicaciones146
RESOLUCIÓN
uo = 36,0 m/s;
Uf = 0,00 m/s
ler método.- Reconocemos que la posición «x» del móvil es una función del tiempo «í»: 
x(í) = 5í3 + 21
Prob. 22.- Una partícula se mueve a lo largo del eje «x» de acuerdo con la ecuación: x = 5t3 + 2t, donde «x» 
está en centímetros y «t» en segundos. Se pide calcular la velocidad instantánea en t = 4 s.
ío
= 21,0 s
36,0 m/s 
9,00 s
a(6,00) = 4,00 m/s2
54,0 m/s 
3,00 s
a (12,0) = -18,0 m/s2 i
= -2,50 m/s2 (-18,0) - (12,0) m/s 
(15,0-3,00) s
aml = -2,50 m/s2 i
(0,00-36,0) m/s
(21,0-9,00) s
c) La aceleración en el instante 
t = 6,00 s viene dada por la pen­
diente de la recta tangente a la 
curva «v-vs-t» en ese punto (Fig. 1). 
En este caso la pendiente la obte­
nemos en base a la tangente trigo­
nométrica del ángulo que forma la 
recta con el eje del tiempo. 0,00 6,00 9,00
I*------ 9,00 s------- H
Fig. 1
am2
a (6,00) = 4,00 m/s2 i
d) Aplicando la misma estrategia del ítem anterior y utilizando la Fig. 2, la aceleración en 
el instante t = 12,0 s vienedada por la pendiente de la recta tangente a la curva «v-vs-t» en 
ese punto. Luego:
am2 = -3>00 m/s2
= -3,00 m/s2 T
RACSO 
w editores
m2 ‘f-‘o
I e'
J"‘3,b08
Luego, la aceleración media, para este intervalo de tiempo la determinamos aplicando la 
ecuación que la define:
íf-ío
... (2)V =
íf = x(íf) = x(t + Ai)t
Ai
!■ ■ ■ (3) v
O Xi = x(t)
... (4) Ax
Sustituyendo (1) en (4):
Desarrollando y simplificando:
u(4) = 242 cm/s4 s es:
242 cm/s Rpta. E
B) E)
tf = ¿o + At
Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID 147
RESOLUCIÓN
v - lím
At->0
v = /(O = 41
v = 15t2 + 2
v- lím
At —> 0
v = 15t2 + 2
Xf-Xj
Reemplazando (3) en (2): 
r r v = lim - 
At-»oL
x(i +Ai)-x(i) 
Ai
De este modo, la velocidad instantánea «o», se determinará aplicando la ecuación física que 
la define, es decir:
lím
At—>0' '
Si hacemos: t¡ = t a íf = t + Ai; entonces: x¡ = x(t¡) = x(í)
Entonces se cumple que:
Ax = Xf - x¡ = x(í + Ai) - x(í)
u = lím 
At—>0
u = lim (15C2 + 15ZAt + 5At2 +2) 
At—>0
u = 15i2 + 15i(0) + 5(0)2 + 2 ->
Luego la velocidad instantánea para t = 4 s es: u(4) = 15(4)2 + 2
2do método.-Aplicando la definición de derivada, tenemos:
(77) = ^ u = -^(5t3+2t) = -^(5t3) + -£(2t)
\ Ai / at at at at
-» u = 5^p + 2^Ü = 5.3t2 + 21 -> 
at at
Y evaluando para i = 4 s, volvemos a obtener: u(4) =
ler método.- Reconocemos que la velocidad es una función del tiempo:
Si asumimos que: í0 = i a Aí = if-í0
Es decir: if = i + Ai
Luego las velocidades inicial (u0) y final (uf) vienen dadas por:
«o - /(t) -> ■, Vt = f{t + M)
___ i____I
Xf = x(í + Ai)
| [5(t + At)3 + 2(t + At)] - [5t3 + 2t] | 
í 15t2X + 15tAt/+5AtX+2/rf' 1 
l X j
V{ =y/t + &t
Im/s3
Prob. 23.- Una partícula se mueve con una velocidad variable en el tiempo v = Vt , donde «v» y «t» se 
expresan en m/s y s, respectivamente. ¿Cuál será la aceleración en el instante t = 9 s?
A) m/s2 B) m/s2 C) ~ m/s2 D) | m/s2
... (1)
At3-... . . . (2)
At
8
2do método.-Aplicando derivadas, se tiene: a =
Rpta. D
Elaboramos una tabulación para anotar valores de «x» para cada valor de «l» dado:
= 10,0 m/si«) =
um2 =9.°° m/slb) %2 =
Física Fundamentos y Aplicaciones148
ILUaÓN
- ■
i
I
i
a. De t, = 2,00 s a t2 = 3,00 s 
d. De t, = 2,00 s a t2 = 2,01 s 
en?
a = lim I
At—>0
m/s2
2,00
15,00
2,01
15,0802
2,10
15,82
2,50
19,50
3,00 
25,00
5(3.00)-5(2.00) 
(3,00-2,00) s
5(2,50)-5(2,00)
(2,50-2,00) s
t (s) 
x (m)
• At3 —... —X*'2
r^-lr^Ai+Xt-^-At2-...)
8 16 /
/ Atí 
A Ai
Prob. 24.- El movimiento de una partícula está determinado por la siguiente ecuación de posición: 
x =(7,00 + 2,00t2)m7
Determine la velocidad media en el intervalo:
“ = 4=2V9
A continuación determinamos la aceleración instantánea aplicando la ecuación física que la 
define:
-fei RACSO 
BDITOXES
>.1/2,1 .-1/2
b. De t, = 2,00 s a t¡> = 2,50 s c. De t, = 2,00 s a t2 = 2,10 s
e. ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 2,00 s?
1 ,1/2-1
2l
.At_lt-3'2.At2 + it~5'2
A = ]ím í Ü_Z—o _ o=lím| 
' At-*Ok ) At—>0
Recordando la expansión de Newton para exponente fraccionario, se tiene:
2+i -5/2
" 8 16
r1'2 o = 4
2Vt
Evaluando para t = 9 s, se tiene:
o = |r1/2
- (25,00-15,00) mi 
°ml “ 1,00 s
(19,50-15,00) mi 
Um2 - 0,50 s
■' “4
-1/2 
2"
Reemplazando (2) en (1), se tiene:
.. -+ 0=4.
241
a = i m/s2
O
a = lím — 
At—>0\
a = lím 
At->0'2
um3 = 8’20 ™/sÍC) Um3
¡7(2,00) = 8,00 m/s i
2,00 s,
E) 6 m/s; 6 m/s2
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
149Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
Rpta. A
Observación.- La aceleración resulta ser constante, luego es igual en todo instante.
dt
v = 2 + Gt
¡7 = 4,00íi
 7(2,10) —7(2,00) - = (15,82-15,00) mi
(2,10-2,00) s U|"3 0,10 s
7(2,01)-7(2,00) - (15,0802-15,00) mi
(2,01-2,00) s L’"’4 0,01 s
e) Para el cálculo de la velocidad instantánea aplicaremos su definición a partir de la deriva­
da de la posición x respecto del tiempo «í»:
ü = -> ü = 4-(7.00 + 2,00í2)i -
dt dt
Evaluando para t = 2,00 s, se tiene: ¡7(2,00) = 4,00(2,00) i
Obsérvese que los valores de la velocidad media, entre t = 2,00 s y t = 3,00 s, cuando t 
muestran una tendencia hacia ¡7 = 8,00 m/s i.
a = 0 + 6.^> 
dt
d) %4
a) Cálculo de la velocidad instantánea (o).- Teniendo en cuenta que la posición «x» del móvil 
es una función del tiempo «í», x = /(£), la velocidad instantánea «u» la determinamos derivan­
do, respecto del tiempo, así:
u = ^ = ^-(2r + 3í2) 
dt dt
Prob. 26.- Un auto está detenido ante un semáforo. Después de encenderse la luz verde la distancia del auto 
respecto del semáforo viene dada por: x(t) = bt2 — ct3, donde b = 2,40 m/s2 y c = 0,120 m/s3. Calcule:
a. La velocidad instantánea en t = 5,00 s y t =10,0 s.
b. ¿Cuánto tiempo después de arrancar vuelve a estar detenido el auto?
d(2) , d(6t) 
dt dt
a = 6 m/s2
Prob. 25.- Una partícula se mueve a lo largo del eje «x» de acuerdo con la ecuación x = 2t + 312, donde «x» 
está en m y «t» en s. Calcular la velocidad y la aceleración instantánea en t = 3 s.
A) 20 m/s; 6 m/s2 B) 18 m/s; 6 m/s2 C) 20 m/s; 3 m/s2 D) 18 m/s; 0 m/s2
v . d(2t) , d(3/2) u_2rf(O , 3d(¿2) 
dt dt dt dt
-> u = 21 + 3-2í -> u = 2 + 6¿ ...(♦)
Reconociendo que la velocidad obtenida es una función del tiempo, u(í), determinamos la 
velocidad en el instante t = 3 s, haciendo la siguiente evaluación:
u(3) = 2 + 6(3) /. u(3) = 20 m/s
b) Cálculo de la aceleración instantánea (a).- Para determinar la aceleración «a», derivamos 
la función u(¿) respecto del tiempo:
 dv d(2 + 6í) 
a dt dt
Um4 = 8’02 m/s *
d(¿2)
dt
¡7(í) = (4,80í - 0,360í2) i
¡7(10,0) = 12,0 m/s i
b. La gráfica x-t.
¡7(0 = (20,0-10,00 i
t = 2,00 s
x(m)
u = 0
uní
O 5,002,00
Física Fundamenlos y Aplicaciones150
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
20,0-10,Oí = 0
b) Para obtener la gráfica «x vs t», reconocemos 
que la ecuación dada para x(0 es cuadrática que 
corresponde a una parábola:
x(í) = 25,0 + 20,Oí - 5,00í2
-> x(í) =-5,00(í2 — 4,00í — 5,00)
-> x(í) = -5,00[(í2 - 4.00Í + 4,00) - 9,00]
-» x(í) = -5,00[(í - 2,00)2 - 9,00]
x(í) = -5,00(í - 2,00)2 + 45,0
i i
x = 0 
t(e)
a. La posición en el instante en que la velocidad se anula.
c. La distancia recorrida hasta que llega el origen de abscisas.
a) Se sabe que: x(0 = (2,40í2 -0,120í3) m i
Luego, para determinar la velocidad instantánea para todo tiempo aplicamos la ecuación 
que la define:
Esta última expresión nos indica que la parábola se abre hacia abajo y su vértice se encuen­
tra en í = 2,00 s y x = 45,0.
Prob. 27.- Una partícula ha sido lanzada de tal modo que su posición, respecto del dispositivo de lanza­
miento, viene dado por x(t) = (25,0 + 20,Ot- 5,00t2) mT, donde «t» es el tiempo (en s) desde el lanzamiento. 
Determinar:
a) Determinamos la ecuación de la velocidad instantánea para todo el tiempo aplicando la 
ecuación que la define:
ñ(0 = = + 20,Oí -5,00t2) i
at at
Luego hacemos: ü(í) = 0 i
ü(0 = T7 -» ü(0 = ^(2,40í2-0,120?) i 
at at
Evaluando para los instantes «t» dados, se tiene:
al) Para t = 5,00 s: <7(5,00) = 15,0 m/s i a2) Para t = 10,00 s:
45'
*1
. 25
b) Para determinar los instantes en que el auto se detiene, hacemos:
¡7(0 = (4,80t - 0,360í2)T = 0i -» ¡(4,80-0,3600 = 0
Resolviendo: t1 = 0 s v t2 — 13,3 s
s = s, «2
B) 3,66 0)1,75 D) 3,50 E) 7,00
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(□□□□□□□□□□□□□□a
x(m)
4,23
O
O
0,785 s
Rpta. BUp
151Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
Prob. 28.- Una pelota de tenis sometida a una prueba de viento se mueve según la ecuación 
x(t) = (2,00t3 — 10,0t2 + 12,0t) m i. Se pide determinar (en m/s) la rapidez media de la pelota entre t = 0,00 s 
y t = 3,00 s.
AJO
= 3,66 m/s
Resolviendo: /, = 0,785 s v t2 = 2,55 s
Y las posiciones que corresponden a 
estos instantes son:
— v = 0A ,.
0,785 2? ! /3 t(s)
-1,26--------------- -Mr «
V-u = 0
Aplicando la misma estrategia del problema anterior, determinaremos la distancia recorrida 
«s» en base al análisis del gráfico «x vs t» del movimiento. Los instantes en losque la veloci­
dad se anula, y el movimiento cambia de dirección, los determinamos a partir de la ecuación 
de la velocidad instantánea:
¡7(/) = ^ 
dt
ü(/) =-y-(2,00/3 —10,0/2 + 12,0í) T 
dt
-> ü(í) = (6,00í2 - 20, Oí +12,0) i
c) Para determinar la distancia recorrida «s», analizamos el gráfico obtenido, donde: 
s = |Ax1| + |Ax2| —> s = |45,0-25,0| m + |0-45,0| m 
s = 65,0 m
Prob. 29.- Un carro de demostraciones se mueve sobre una guía rectilínea y su velocidad viene dada por.
v = t2-8t + 18
Donde «v» está en cm/s y «t» en segundos. Se pide calcular la aceleración y la velocidad en el instante en que 
la velocidad adquiere su mínimo valor. Dar como respuesta ambos valores y en ese orden.
A) 0 m/s2; 0 m/s B) -2 m/s2; +2 m/s C) +1 m/s2; -2 m/s D) 0 m/s2; +2 m/s E) -1 m/s2; -2 m/s
Luego: u(í) = 0 i
-> 6,00í2 — 20,0/+ 12,0 =
.v(0,785) = 4,23 m i a £(2,55) =-1,26 m i
Analizando el recorrido «s» entre los instantes t = 0 s y t = 3,00 s, reconocemos que: 
s = 2|4,23 —(-1,26)| m —> s = 10,98 m
Finalmente la rapidez media en este intervalo viene dada por:
 s 10,98 m 
Up ~ / - 3,00 s
(cm/s)v
v
18
v.
O
Rpta. D
según los valores de «í» dados:
aml = -10,0 m/s2 ia> “mi
am2 = '9'00 m/s2 *
Física Fundamentos y Aplicaciones152
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Luego el vértice está en:
t — 4 = 0 —> t = 4 s a u = 2 cm/s
La gráfica de esta parábola es como se muestra en 
la figura adjunta.
Enseguida reconocemos que la mínima velocidad se 
presenta en 1 = 4 sy es:
2,00
1,00
2,01 
0,9198
2,10 
0,180
2,50 
-3,50
3,00 
-9,00
t (s) 
o (m/s)
fia RACSO
W BD1T0KES
Elaboramos una tabulación para anotar los valores de «u»
’mín 2
Prob. 30.- La velocidad de cierto carro de tejer está modelada según la ecuación v(t) = (9,00 - 2,00t2) m/s i, 
donde «t» es el tiempo en segundos. Determine la aceleración media del carro en el intervalo comprendido.
a. Entre t = 2,00 s y t = 3,00 s b. Entre t = 2,00 s y t = 2,50 s
c. Entret = 2,00s y t = 2,10s d. Entret = 2,00 s y t= 2,01 s
e. ¿Cuál es la aceleración instantánea en t = 2,00 s?
a = 21 - 8
¡Xs' a = pendiente - 0
4
Reconozcamos que la relación dada para la velocidad 
es una cuadrática del tiempo, por lo que se trataría 
de una parábola cuyo vértice lo determinamos así:
t2 — 8í + 18 -> u = (í2-8í+ 16)+ 2
-> v = (t 4)2 + 2
n dv
dt
 ü(3,00)-ü(2,00) [(-9,00)-(1,00)] m/s i 
(3,00-2,00) s 1,00 s
ü(2,50)-ü(2,00) [(-3,50)-(1,00)] m/sT 
b) °™2 (2.50-2,00) s 0,500 s
v = +2 m/s
Además, para determinar la aceleración instantánea aplicamos la ecuación física que la 
define:
a = lím ]
At—>0' '
Derivando la relación dada para «u», se tiene:
q = A(¡2-8í + 18) o = A((2)+d (.8¿) + A(i8) -> 
dt dt dt dt
Evaluando para t = 4 s, se tiene: a(4) = 2(4) — 8 a(4) = 0 m/s2
am3 =-8.2 m/s2 i
b. La aceleración instantánea para todo el tiempo.
ü(t) = (10, Oí -3,00) m/si
a(í) = 10,0 m/s2 i5(t) =
ü(í) = (4,00í3 -6,00í2 + 4,00í) m/si
a(í) = (12,0/2-12,0/+ 4,00) m/s2 i
Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID 153
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Determine:
a. La posición, velocidad y aceleración en los instantes t = 2,00 s y t = 3,00 s.
b. El desplazamiento, velocidad media y aceleración media en el intervalo de tiempo entre t = 2,00 s y t = 3,00 s.
5 =-4,00/i
a(2,00) =-8,00 m/s2 Y
Prob. 32.- Una partícula se mueve a lo largo del eje «x» de acuerdo con la ecuación de posición: 
x(t) = (1,00t4 - 2,0013 + 4, OOt + 6,00) m Y
a) Determinamos la velocidad instantánea u(í) aplicando la ecuación que la define como la 
derivada de la posición x(í) respecto del tiempo:
E(í) = ^ -» U(¿) — ™ (5,00í2 - 3,00/-12,0) Y -> 
at at
b) Determinamos la aceleración instantánea á(t) aplicando la ecuación que la define como 
la derivada de la velocidad ü(¿) respecto del tiempo:
5(0 = ^ -> ü(í) = ^(10,0í-3,00)Y
Obsérvese que la aceleración es independiente del tiempo, es decir, la aceleración del objeto 
es constante a lo largo del tiempo.
Prob. 31.- La posición de un objeto en función del tiempo viene dada por x(t)=(5,00t2 — 3,00t —12,0) m i. 
Determine:
a. La velocidad instantánea para todo el tiempo.
c> %3
a) Aplicando las ecuaciones que definen a la velocidad y aceleración instantáneas, se tiene: 
al) fi(í) = ^L = A(l,00í4 -2,00í3 + 4,00/+ 6,00) Y 
at at
a2) 5(í) = = ^-(4,00t3-6,00t2 + 4,00í)
at at
 u(2,10) —ü(2,00) (0,180-1,00) m/si
(2,10-2,00) s 0,100 s
- _¡7(2,01)-ü(2,00) (0,9198-1,00) m/sY sn9 ,2 +
d) “ “(2,01-2,00) s “------------ OlY------------ “* = ’8’02 m/s 1
e) Para determinar la aceleración en el instante t = 2,00 s, aplicamos su definición a partir 
de la derivada de la velocidad v respecto del tiempo «í»:
a = 4r -> 5 =-+7(9,00 - 2,00í2)T -> 
al at
Evaluando para t = 2,00 s, se tiene: ct(2,00) = -4,00(2,00) i
Obsérvese que los valores de la aceleración media, entre t = 2,00 s y t = 3,00 s, cuando 
t -> 2,00 s, muestran una tendencia hacia a = -8,00 m/s2 i.
a (m/s)
Ax = 31,0 m i
Determine:
□□□□□□oaoDDDananQaQDODaDcannanDDaannnQDDaDnaaDOo DaDDDOD
v (m/s)l
3 t(s)
-12
Física Fundamentos y Aplicaciones154
RESOLUCIÓN
a. La gráfica velocidad y aceleración en función del tiempo.
b. ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento es acelerado?
* (m)
ü (m/s)
t = 2,00 s 
14,00 m i 
16,0 m/s i 
28,0 m/s2 i
t = 3,00 s 
45,00 m í 
66,0 m/s i 
76,0 m/s2 i
RACSO
O EDITORES
b) El movimiento es rectilíneo y ace­
lerado cuando los signos de la velo­
cidad y aceleración sean idénticos. 
Analizando los signos según los grá­
ficos elaborados concluimos que en el 
intervalo t e <0; 1) se cumple que:
u < 0 a a < 0
El movimiento es acelerado en ese intervalo.
Y a partir de las ecuaciones que definen la posición (x), velocidad (u) y aceleración (a)para 
todo instante, efectuamos una tabulación de valores para los instantes de tiempo «i» dados:
ü = #(l,00í3 -3,00t2 -9,00t + 5,00) 
at
a=4(3.00i2-6,00í-9,00) -> S(í) = (6,00í-6,00) m/s2 i
am = 50 m/s2 i
b) Aplicando las ecuaciones que definen al desplazamiento, velocidad media y aceleración 
media, y los datos de la tabla del ítem anterior, se tendrá:
bl) Ax = x(3,00)-x(2,00) —> Ax = (45,0 —14,0) m i
b2)vm=f - %=31,0m/si
, AU - ü(3,00)-ü(2,00) (66,0-16,0) m/si
' ~ Ai °m" (3,00-2,00) s " 1,00 s
Prob. 33.- Una partícula se desplaza a lo largo del eje «x» de acuerdo a la siguiente ley de movimiento: 
x(t) = (1,0013 - 3,0012 - 9,OOt + 5,00) m T
Determinamos las ecuaciones que definen a la velocidad y aceleración instantáneas para 
todo el tiempo, para lo cual aplicamos las ecuaciones en términos de las derivadas:
al) ü = 4- -> ü = 4(1.00t3-3,00f2-9,00t + 5,00) -> v(í) = (3,00í2-6,00/-9,00) m/si 
at at
A continuación elaboramos la gráfica
de cada una de estas ecuaciones:
C) -VÍ5 m/sB) ;0 m/sA) -5 m/s E) +1 m/s
x2 + 2¿2 = 32 -> 1
X
u(l) = Pendiente
4^2.
O 1 t
(Velocidad instantánea)x- u = -2t
Evaluando para t — 1: • • • (2)
Rpta. DReemplazando (1) en (2):
E) +6,5 m/s2; 0
155Unid. 3 — Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
i) En primer lugar elaboremos la gráfica que corresponde a x = /(£), en cuyo caso transforma­
remos la expresión dada, así:
r
u(1)=-2áí)
p(l) = --^=
V30
... V,30 iu(l) = ——- m/s 
lo
Prob. 34.- Un automóvil a escala impulsado por electricidad parte desde el reposo y se mueve en línea recta 
durante 4 s. La relación entre el tiempo y la posición se aproxima mediante: x2 + 2t* = 32, donde «x» está en 
centímetros y «t» en segundos. Determina la velocidad en el instante t = 1 s.
D) m/s
+4
42
2x^ + 4t = 0
V
X2 
(4^)2
A
X
Prob. 35.- La velocidad de una partícula que se mueve sobre el eje «x» está dada por la relación: 
v = -t2 + 8t -10
Donde «t» está en segundos y «v» en m/s. Se pide calcular:
a. La aceleración media entre t = 0 y el instante en que la velocidad es máxima.
b. La aceleración en el instante en que la velocidad es máxima.
A) +4 m/s2; 0 B) +6,5 m/s2; +24 m/s2 C) 0; -2 m/s2 D) +5 m/s2; +5 m/s2
Que corresponde a una elipse, cuyos semiejes son:
Abscisa: a = 4 a ordenada: b = 4>/2
Obsérvese que la línea continua estátrazada sobre el 
eje del tiempo «í» ya que de otro modo «x» no sería una 
función de «í». Además los valores negativos de «í» se 
deberán entender como anteriores al instante: t = 0 de 
referencia. Asimismo se cumple que:
x = +^32-2t2 -> x(l) = 732-2(l)2
-> x(l) = V3Óm ...(1)
ii) Efectuando una derivación implícita a la ecuación 
dada, se tiene:
A(X2) + A(2É2) = A(32) 
CLt Ctt dt
2¿ = 1
32 32
V
6
!(s)
a =
Rpta. A■2t + 8 a(4) = -2(4) + 8a
CINEMÁTICA CON INTEGRALES
□ □□□□□□□□□□□□□□□□ODODOOOüaODOnODDDaOODODODODaOODOODODOO
...(*)
Física Fundamentos y Aplicaciones156
RESOLUCIÓN
[resolución
Para determinar la velocidad en función del tiempo aplicamos la ecuación que la define como 
la integral de la aceleración:
Pendiente 
nula
0
/
RACSO 
EDITORES
= -10 m/s 
uf= +6 m/s
a = 0 m/s2
o=^(-z2>+^(8z)+^(-10) 
at al at'------- '
0
Para determinar el instante «I» en que la velocidad es máxima analizaremos la expresión 
dada para la velocidad:
u = /(t) = -í2 + 8t - 10
—> ,-u = t2 — 8t +16 - 6 —>
Prob. 36.- La aceleración de un cohete en función del tiempo viene dada por a(t) = (0,7501) m/s2 i. Si la 
posición y velocidad para t0 = 0 s es x0 = 100 m i y v0 = 0 m/s T respectivamente. Determine:
a. La ecuación de la velocidad para todo el tiempo. b. La ecuación de la posición para todo el tiempo.
—> -v = í2 — 8t + 10
-v = (t - 4)2 - 6
v = -(í - 4)2 + 6 ... (*)
Haciendo t — 4 = 0, deducimos que el vértice de la parábola 
está en l = 4 s y u = 6 m/s, es decir, el vértice está en (4; 6). 
Por otro lado, como el signo menos (—) antecede al término 
cuadrático, en (♦), deducimos que la parábola es abierta hacia 
abajo, tal como se muestra en la figura adjunta. De ella se 
observa que la velocidad es máxima en t = 4 s.
a) Para la aceleración media entre t = 0 s y i = 4 s, calculamos las velocidades instantáneas 
en esos instantes:
am = +4 m/s2
v(í) = uo + a(í) ■ dt
Donde: l0 = 0 s; u0 = 0 m/s y a(t) = 0,750í.
üj = u(0) -> u¡ = -(O)2 + 8(0) - 10 -> 
uf = u(4) —> uf = -(4)2 + 8(4) - 10 —>
Luego la aceleración media viene dada por:
 Au uf ~uj (+6 m/s) - (-10 m/s)
m Ai tf-t^ *“* °m" 4s-0s
b) Para determinar la aceleración instantánea, en t = 4 s, aplicamos la ecuación que la define 
en términos de la derivada de la velocidad:
^ = ^(-i2+81-10) 
al at
o
■. ■ (••)
... (a)
■ ■ • («)
157Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
Prob. 37.- La aceleración de una partícula en función del tiempo viene dada por a(t)=(24,Ot2 —6,00t) m/s2 i. 
Además se sabe que la posición del móvil cuando t = 1,00 s es x = 12,0 m i y su velocidad en t = 3,00 s es 
v = -3,00 m/s i. Determine:
a. La velocidad de la partícula en t = 5,00 s.
b. La posición de la partícula en t = 5,00 s.
u(t) = (0,375í2) m/s
í3l'
3|• o
x(í) = (100 + 0,125í3) m
u(í) = 0 + í 0,750í-d¿ 
Jo
u(í)=Oi™(í2_o2) 
ñ(t) = (0,375t2) m/sI
función de tiempo aplicamos la ecuación que la define
u(í) = 0,750j tdt
a) Para determinar la velocidad en un instante «¿» determinado, aplicamos:
u(í) = uo+f a(t) dí ...(*)
Donde: to = 3,00 s; v0 = -3,00 m/s y a(í) = 24,Oí2 — 6,00í.
Sustituyendo en (♦), se obtiene: u(t) = -3,00 + [ (24, Oí2 - 6,00t)dt
J3.00
-> u(t) = -3,00 + (8,00£3 - 3,00r) 11 -> u(í) = (8.00Z3 - 3,00í2 + 132) m/s
13,00
Evaluando para t = 5,00 s: <7(5) = 1057 m/s i /. ü(5) = (1,06 103 m/s) i
b) Para determinar la posición para en un instante «í» determinado, aplicamos:
x(t) = x0 + £ u(í) ■ dt
Donde: t0 = 1,00 s; x0 = 12,0 m y u(¿) = 8,00¿3 — 3,00¿2 + 132.
Sustituyendo en (♦), se obtiene:
-> u(Z) = 0,750 d _>
b) Para determinar la posición en
como la integral de la velocidad:
*(0 = *o+£ u(t) dt
Donde: t0 = 0 s; x„ = 100 m y u(í) = 0.375Z2.
Sustituyendo en (**), se obtiene: x(Z) = 100 + j (0,375í2)dí
-> x(í) = 100 + 0,375j‘í2dí -> x(í) = 100+ 0,375 ■
-+ x(í) = 100 + ^|^(í3-03)
x(t) = (100 + 0,125t3) m i
x(5) = (-l,07 103 m) i
10
t(s)¡20O
a = /(í) -»
Donde:
... (*•)b) La ecuación de la velocidad u(t) se obtiene de:
Sustituyendo en (*»):
. ..(♦••)
x(t) = 12,0 + A x(t)
Física Fundamentos y Aplicaciones158
RESOLUCIÓN
Prob. 39.- Una partícula se mueve a lo largo del eje «x» de modo que su aceleración depende de la posición 
según la ecuación a = (-2x) mis2 i. Si en t = 0 s, x =15,0 mT y v0 = 20,0 m/sT ¡determinar:
a. La ecuación de la velocidad en función de la posición. b. La posición de la partícula para t=2 s.
m i
a (m/s2)
25,3 + 81 -1t3 j
.f-jí RACSO
EDITORES
m = Pendiente de la recta
c) La ecuación de la posición x(í) la obtenemos de: 
Donde: to = 2,00 s; x0 = 12,0 m y u(t) = 8 - t2.
Luego, sustituyendo en (***), se obtiene: x(í) = 12,0 +
x(t) = (:
' ó / 12.00 '
Prob. 38.- La figura muestra la gráfica «aceleración vs tiempo-, y además 
se sabe que la posición del móvil cuando t = 2,00 s es x =12,0 m i , y su 
velocidad en ese instante es v = 2,00 m/s i. Determine:
a. La ecuación de la aceleración en función del tiempo.
b. La ecuación de la velocidad en función del tiempo.
c. La ecuación de la posición en función del tiempo. -30-j-------- '
u(t) = 2,00 + (-1z +10)|‘oo
Sustituyendo en (♦*), se obtiene: x(í) = 12,0 +^^(8, OO? -3,00? +132)dí 
-> x(0 = 12,O + (2,OOí4-1,OOí3 + 132í)|*oo -> x(í) = (2,00? - 1,00? + 132í + 145) m
Evaluando para t = 5,00 s: x(5) = (-1070 m) i
a) La ecuación que mejor describe a la aceleración dada es la de la recta, de este modo se 
tiene:
a = mt + b ...(♦)
m = (.30)-(10)=.2m/s3 
20-0
b = Intercepto con el eje de ordenadas -> fe = 10 m/s2
Sustituyendo en (*): a(1) = (-21 + 10) m/s2 —» a(t) = (-21 + 10) m/s2 i
u(1) = u„ +£ a(t) dt
Donde: 1o = 2,00 s; u0 = 2,00 m/s y a(t) = -21 + 10.
u(1) = 2,00+[t (-2l + 10)dt 
Js.oo
—> u(t) = (8 - t2) m/s ñ(í) = (8 -12) m/s i
XW=X°+Í2.00U(Odí
Luego: vdv = adx
...(*)
■ • • (•*)
.. ■(*♦*)dt
= 4Üsensen
sensen
159Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en ID
RESOLUCIÓN
sen (72t + 0,815) mi
v = 7850-2x2
Donde: í0
Luego, al sustituir en
tárjl
f 'l-0,815 = 4Ít
1.5717 J
í vdv
Jvo
= V2 J dt
dva = V~¡— dx
Prob. 40.- La velocidad de una partícula viene dada por v(t) = (8,00 - 2,OOt) m/s i . Si la posición en t = 0 s 
es x0 =10,0 m i, se pide determinar:
a. La gráfica de la velocidad vs tiempo entre t = 0 s y t = 3,00 s.
b. El área bajo la curva entre t = 0 s y t = 3,00 s.
c. La ecuación de la posición para todo el tiempo.
d. El desplazamiento entre t = 0 s y t = 3,00 s.
•X
I adx
'xo
v2 = 400 - 2(x2) |‘6 0
_____ dx_____
7(5 W-x2
dx dv
O — ------T~dt dx
-+ rJj[o
-> -^= = sen (721 + 0,815) 
5717
Observación.- La ecuación de la posición revela que se trata de un Movimiento Armó­
nico Simple de amplitud 5>/17 m y frecuencia angular C0-V2 rad/s y constante de fase 
4> = 0,815 rad.
Dado que la aceleración dada en función de la posición (x), entonces conviene hacer un cam­
bio en la ecuación que define a la aceleración:
-* V2 = v2 + 2 í a(x)dx 
Jxo
Donde: x0 = 15,0 m; vo = 20,0 m/s y cr(x) = -2x.
Luego, al sustituir en (*), se obtiene: v2 = 20,02 + 2^ ^(-2x)dx
v(x) = 42 - 7425 —x2 ...(*)
b) Para determinar la ecuación de la posición (x) para todo tiempo aplicamos:
_> <^ = dí 
dt v
Sustituyendo (*) en (**) e integrando, se obtiene:
[ dx f
J 42 4425-x2 j
0 s y x0 = 15,0 m.
(*♦♦) e integrar, según fórmula, se obtiene:
f—^=1 = 5/21+0,815
(.5717 J
x = 5717
oaooDoaaaDDaDaoDDODnooaaaooooacaDnaooaDooooaoDOo0000000
v(t) = 8,00-2,00;
2
t(s)o:
A
...(*)
Luego, al sustituir en (*), se tiene:
AS = 15,0 mi
20 t(s)0
-12
□ □□□□□□□□ooaooDODDaDDnoaanaaaaaDaDODDaDOOtJC)ociDaDaDaDDDa
u = mt + b
ni = PendienteDonde:
b = Intercepto
l,50í—12,0
5(í) = 1,50 m/s2 i
Física Fundamentos y Aplicaciones160
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
3 4
Prob. 41Se sabe que la velocidad de una partícula que se mueve a lo largo 
del eje «x», viene dada por el gráfico «velocidad vs tiempo» mostrado. Si se 
sabe que la posición del móvil en t = 0 s es x = 5,00 m i , se pide determinar:
a. La ecuación de la velocidad en función del tiempo.
b. La ecuación de la aceleración en función del tiempo.c. La ecuación de la posición en función del tiempo.
v (m/s)
8<
v(m/s)
18
RACSO
W EDITORES
en el
A = 15,0 m
x(í) = xo + £ v(t)dt
a) Dado que la velocidad «u» está dada por una ecuación 
que depende linealmente del tiempo «í», deducimos que 
su gráfica debe estar dada por una recta de pendiente 
-2,00 m/s2, es decir, la gráfica «v vs t» es una recta incli­
nada hacia abajo.
b) Area entre t = 0 s t = 3,00 s bajo la curva, corresponde 
al área de un trapecio:
18-(-12) . ,2ni = —n - - L50 m/s 20-0
b - -12,0 m/s
Luego: u(t) = l,50í-12,0 ü(í) = (1,501-12,0) m/s T 
b) La ecuación de la aceleración la obtenemos de:
á(t) = ^ ñ(í) = ^-(l,50í-12,0)I 
al al
■M3
c) La ecuación de la posición «x» viene dada por:
Donde: t0 = 0 s; x0 = 10,0 m y v(í) = 8,00 — 2,00í
x(í) = 10,0 + ít(8,00-2,00í)d¿
Jo
-> x(í) = 10,0 + (8,00t-l,00t2)|‘ x(í) = (10,0+ 8,00í —1,00¿2) mí
d) Determinamos el desplazamiento Ax en el intervalo dado según:
Ax = x(3,00)-x(0) —> Ax = 25,0 m i-10,0 mi
Nota.- Obsérvese que: Ax = A
La ecuación de la velocidad u = f(t), la obtenemos a partir de la ecuación de la recta 
gráfico dado:
...(*)
b. El desplazamiento en cada intervalo.
S(i) = s
Ax Ax =
A? =
161Unid. 3 - Cap. 3.1 - Cinemática de una Partícula en 1D
RESOLUCIÓN
Determine:
a. La aceleración en cada intervalo.
c. El desplazamiento total.
Óbsérvese que la aceleración es independiente del tiempo, es decir, se trata de una acelera­
ción constante.
Prob. 42.- La velocidad de una partícula que se mueve sobre el eje «x», viene dada por:
(0,600t) m/s i; 0 s < t < 5,00 s 
v(t) = • (3,00 — 0,250tz) m/sT; 5,00s<t<8,00s
-13,0 m/s i; 8,00s<t< 12,0 s
x(t) = xo+í 
Jto
—> x(2)-xo=J^ v(2) dt
(0,300t2)|' ; 0 s<í<5,00 s
(3,00í-0,0833í3)|' ; 5,00 s < t < 8,00 s
(-13,0í)|‘ ; 8,00 s < ¿ < 12,0 s
Evaluando para cada par de valores en cada intervalo, se obtiene:
AXj = x(5,00)-x(0) = (7,50 m)i 
Ax2 = x(8,00)-x(5,00) = (-23,3 m)i 
Ax3 = x(12,0) - x(8,00) = (-260 m) i
= f v(t)dt
Jto
a) La aceleración la obtenemos derivando la función v(t) respecto del tiempo y según su 
composición por intervalos:
(0,600) m/s2 i; Os<2<5,OOs 
(-5,00¿) m/s2 i; 5,00 s < t < 8,00 
0 m/s2 i; 8,00 s < t < 12,0 s
b) El desplazamiento en cada intervalo de tiempo lo determinaremos a partir de la ecuación 
que define a la posición de la partícula la misma que obtendremos aplicando:
x(t) = x0+Ju(í)di
c) Obtendremos la ecuación de la posición aplicando:
Donde: 20 = 0 s, x0 = 5,00 m y u(t) = 1,502 —12,0.
Luego, al sustituir en (♦), se obtiene: x(2) = 5,OO + j (1,502-12,0)d2
-> x(í) = 5,00 + (0,750t2-12,Oí)L .'. x(t) = (5,00-12,Oí + 0,750í2) mi
ó(í) = ^ 
dt
Se pide calcular:
a. El desplazamiento en el intervalo 0 s < t < 60 s.
distancia adicional de
c) El desplazamiento total lo obtenemos aplicando la siguiente suma vectorial:
Física Fundamentos y Aplicaciones162
RESOLUCIÓN
a) En este intervalo la velocidad permanece constante y en consecuencia el desplazamiento 
del crucero viene dado por:
= (7,50-23,3-260) mi
= (-276 m)T
RACSO 
bditokes
Ax2 = 2,88-10<(-¿ + i)
—> AX2 = 480 m Ax2 = (480 m) i
Esto significa que en un tiempo muy prolongado, después de los primeros 60 s, el crucero 
se mueve, reduciendo su velocidad hasta anularse por completo, una (*—---------------
480 m en dirección al muelle.
= Ax'j + Ax2 + Ax3
= A_r1 + Ax2
b. El desplazamiento en el intervalo 60,0 s < t < oo.
c. El desplazamiento total.
□□□□□□□□□ODaoaaaaoaDaaoDaoDOOoaDODaDDOOOODaoaoo°aDDDDOa
^tot
^tot
Prob. 43.- Un crucero tiene una velocidad constante v = 8,00 m/s i durante los primeros 60,0 s. A continua­
ción, apaga sus motores y se acerca al muelle. Su velocidad es entonces una función del tiempo dada por.
v(t) = 8,oo(^j m/sT
Ax2 = u(t) dt Ax> = 28800 í“ l 2dt2 Jeo.or 8,oo '60.0
c) El desplazamiento total lo podemos determinar como la resultante de todos los vectores
Ax2 = 2,881O4(-r1)|".o
b) Para determinar el desplazamiento en el siguiente intervalo de tiempo, con una velocidad 
que varía con el inverso de í2, aplicamos:
Axtot =(480 + 480) mi
= (960 m) i
Ax^ü-AÍ -+ ^=(8,00X60-0)1 -> Ax!=(480m)i
Esto significa que el crucero, desde su posición inicial, se ha acercado 480 m hacia, supone­
mos, el muelle de la costa.
Movimiento Rectilíneo Uniforme
objeto puntual que en todo momento mantiene
3.2.5. Ecuaciones del MRU
vdt x = xo + vt (Posición)
(Posición)
163Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
3.2.1. Velocidad Constante
Es aquella velocidad cuya magnitud (rapidez) no cambia a través del tiempo y su dirección 
es siempre la misma a lo largo de una línea recta.
a) Ecuaciones escalares
i) s = v • t (Recorrido)
ii) x = x0 + vt
iii) x = (xo + vt) i
se verifica que la velocidad media y la 
iguales a la magnitud de la velocidad
3.2.3. Movimiento Rectilíneo Uniforme
Es el tipo de movimiento realizado por un 
una velocidad constante.
3.2.4. Características del MRU
i) La aceleración es nula: a =0, en consecuencia la velocidad es constante.
ii) El móvil experimenta desplazamientos iguales en tiempo iguales. El móvil recorre dis­
tancias iguales en tiempos iguales.
iii) Entre dos puntos cualesquiera, de la trayectoria, 
rapidez media tienen igual magnitud y ambos son 
instantánea.
b) Ecuaciones vectoriales
i) Ax = v ■ t (Desplazamiento)
ii) x =
3.2.2. Movimiento Uniforme
Es aquel que experimenta un objeto y en el que su rapidez no cambia a través del tiempo 
independientemente de la trayectoria que describe.
3.2.6. Gráficos del MRU
a) Posición - Tiempo
x v
0 f 0
3.2.7. Casos Especiales del MRU
i) Tiempo de encuentro
>e =
ii) Tiempo de alcance
; vA >
Física Fundamentos y Aplicaciones164
i) v = Pendiente de la recta
ii) v = tan 0
(Incluye signo)
(Sin signo)
b) Velocidad - Tiempo
v
RACSO
«. BDITOXES
d
VA~VB
d
VA+VB
i) Área = Ax
ii) | Área | = s
PA PB
aQ o B
H------------ d------------- H
Donde «d» es la separación inicial de los móviles «A» y «B» que se mueven en una misma 
recta.
Va vb
aQ Qb
h------------ d------------- H
!
—
ECUACIONES ESCALARES DEL MRU
A) 2 E)6B) 3 C)4 D) 5
'iYí (u-1)
í, + í2 = 7 h u-1
Rpta. CResolviendo:
D
A Q
a
B) 25 s
C
E) 30 s
165Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Para determinar el punto «H» de la diagonal AC en la que la hormiga se encuentra a la dis­
tancia mínima de la diagonal PQ, elaboramos una gráfica en la que este segmento se vea de 
punta, es decir, en una posición en la que P y Q se confundan en un solo punto. Desde «M», 
punto medio de PQ, intersección de CJABCD con PQ, trazamos una perpendicular MH a la 
diagonal AB, definiéndose así el punto «H» como el más próximo a la diagonal PQ.
Prob. 01Un peatón recorre 23 km en 7 h. Los ocho primeros kilómetros con una rapidez superior en 1 km/h 
a la rapidez del resto del recorrido. Calcule la rapidez constante con la que recorrió el primer tramo (en km/h).
£Prob. 02.- Una hormiga parte del vértice «A» y se dirige por la diagonal 
AC de un cubo de arista a = 5^3 m. Si se mueve con rapidez constante 
de 20 cm/s, ¿al cabo de qué tiempo, de haber partido de «A», la hormiga 
se encontrará a la menor distancia de la diagonal PQ?
C) 10x/3 sA)15s
D) 10>/2 s bl^í--------------------
v = 4 km/h
De acuerdo con la condición del problema se debe cumplir que:
i + ^ = 7h - 8+_15^ = 7
Uj l>2 u u -1
Sea «o» la rapidez constante, en km/h, en el primer tramo, entonces «u - 1», en km/h, es la 
rapidez, que suponemos constante, en el segundo tramo. Para simplificar el análisis elabora­
mos un esquema en el que hemos supuesto que la trayectoria es rectilínea:
¿i t2
aV2
De los datos se sabe que:
s = 5 m
Rpta. Bt = 25 s
A) 1 s
+z B(0; 60; 40)
V2
40
dd=|AB|
+y6020,d = V^B - xk>2 + (ó'b - ^a)2 + (ZB - za)Z
7i(20; 0; 0)
d = 7(0 - 20)2 + (60 - O)2 + (40 - O)2
+x
Rpta. E«e = te = 5 s
Física Fundamentos y Aplicaciones166
RESOLUCIÓN
Y aplicando la ecuación del MRU para la hormiga, 
se tiene:
A continuación determinamos la longitud «d» de 
AB, para lo cual aplicamos laecuación que define la 
distancia entre dos puntos del espacio, a partir de 
sus coordenadas rectangulares:
í = ¿ = 
v
Del esquema reconocemos que: ksA.HM ~ fcsAJBC 
_ gy/2 
ay/3
Prob. 03.- Dos móviles viajan en trayectorias rectilíneas y con velocidades constantes. Si parten en el mismo 
instante, uno del punto A - (20; 0; 0) m hacia el punto B = (0; 60; 40) m con rapidez de VÍ4 m/s y el otro va de 
■■B» hacia «A» con rapidez de 3VÍ4 m/s, determine el tiempo necesario para que ambos se encuentren.
B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
5 m
20 cm/s
d _ (20V14) m
U1 + U2 (V14 + 3VÍ4) m/s
B4RACS0
W EDITORES
d = 20V14 m
AH BC
AM AC
s = -%= 
V3
Si se sabe que las rapideces constantes son: Uj = V14 m/s y v2 = 3>/14 m/s, entonces el tiempo 
de encuentro te, se determina aplicando la ecuación física que la define:
Elaboramos un esquema para visualizar los datos y la trayectoria rectilínea AB en el espacio 
euclideano definido por los ejes cartesianos x, y, z.
-> s
ají 
2
a = 5V3 m , luego:
5>/3 
s = —7=- m 
V3
l - 500 cm
20 cm/s
B) 10t -120
C) D) 10t- 180
O t(s)
X
CA
6060Luego, por condición del problema, se debe cumplir que:
0i
... (1)I v2l 3|iql
a,
Pero del esquema mostrado, se tiene que: O t
i) u¡ = tan 0, tan 0, = -tan a
■ ■ - (2)
• . . (3)ii) u2 = tan 02 tan 02 = u2 =
¿g — 18 s
Finalmente la ecuación del movimiento de retorno, dado por el tramo BC, está dada por:
x = xQ + u2Aí
= 10 m/s Ai = í - 18u2 =
Rpta. Dx= lOt- 180x = 0+ 10(í- 18)
167Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
= A
(B
60 
24-18
60 
24-ÍB
1
24 -ÍB
\02) h
Íb 24
¿B (24 — tB)
ui
CB
Prob. 04.- Un móvil efectúa movimiento rectilíneo a lo largo del 
eje «x» cuyo gráfico «x vs t» se muestra. Si en el tramo de retorno 
la rapidez es el triple que en el otro, determine la ecuación de movi­
miento correspondiente al tramo BC.
A) —120
E) -100
De acuerdo con el gráfico dado podemos reconocer que el 
tramo de ida es el mostrado por AB, con velocidad y el 
de retorno es el tramo BC, donde la velocidad es v2- Sea 
«íB» el tiempo transcurrido en la ida, entonces el tiempo 
de regreso es (24 - íB) s.
tana = —
60
24-íB
Reemplazando (2) y (3) en (1), y teniendo en cuenta que ¿B < 24, se tiene:
\ C
M
24
yt-180
x(m)
60 A
I 60 I 3| 601
I 24 “ÉB | | I
Donde: xo = 0
vista superior
i 60m
h75 mA) 20 s C) 15 sB) 25 s
RíoD)16s E) 10 S
V
A
e
75 mA’s = 125 m
Rpta. Bt = 25 s
*
VM
1,25 s(
Física Fundamentos y Aplicaciones168
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
/c 
ffil 
A) 28
C) 21
E) 40
B) 32
D) 26
Prob. 05.- Un joven que se encuentra en «A» desea llevar agua 
del río a la posición «B». Determine el menor tiempo empleado por 
el joven si mantiene una rapidez constante de 5 m/s. (Desprecie el 
tiempo que emplea en recoger el agua).
Prob. 06.- Un camión de 2 m de ancho, se desplaza con una 
rapidez constante de 20 m/s. ¿Cuál debe ser (en m/s) la menor 
rapidez constante de la moto de 2 m de longitud para poder cruzar 
la avenida sin colisionar con el camión?
B r
u
Kz 
eyp
;80m
RACSO 
W EDITORES
A 
♦
20 m¡ 
___ n
Tí
36 m ;
1L...
h25m
Calculamos el tiempo que emplea el frente del camión «C» en recorrer los 25 m: 
t sc 25 m 
uc 20 m/s
20 m¡
20 m: /
Di 
;20m 
_d c
A continuación aplicamos la ecuación del tiempo en el MRU:
¿ s 125 m 
v 5 m/s
Elaboramos un esquema en el que «P» es el punto de la orilla del río en donde el joven recoge 
el agua. Suponiendo que el tiempo de recojo es despreciable, entonces el tiempo de recorrido 
total es el que se emplea para recorrer los tramos AP y PB. „
D
En el esquema se muestra que el punto A’ es el 
simétrico de «A» respecto de la recta HD, luego 
se cumple que los triángulos rectángulos AHP y
A’HP son congruentes, dado que A’B intersecta a
HD en «P» definiendo los ángulos «0».
Por esta razón AP = A’P, luego la distancia total 
recorrida (s) viene dada por la longitud de A’B. 
Entonces, al aplicar el teorema de Pitágoras en el 
fcsA’BC, se cumple que: 
 
s = a/?52 +1002
Rpta. B32 m/sVM
D) 1700m E)50mC) 3400 m
Luego:
3400 + 100
-IRpta. B xx =1750 m
10 m/s
15 m/s
Sonido (eco)
vc=10
Sonido (ida)
C
169Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Primero calcularemos el tiempo 
«í» empleado por el sonido para 
ser escuchado por el ciclista (C) 
el cual recorrió: sc — vc l= 10(. 
Para ello elaboramos el siguiente 
esquema (en el SI):
B) 60
D) 90
Prob. 07.- Un automóvil se acerca perpendicularmente hacia una tapia a una velocidad constante de 10 m/s. 
Si en determinado instante el chofer del automóvil hace sonar la bocina, y al cabo de 10 s escucha el eco, cal­
cular a qué distancia se encontraba el móvil cuando el chofer hizo sonar la bocina (considerar que la velocidad 
del sonido es 340 m/s).
A)840m B) 1750m
I— 10í —*1 h-------------------680--------------------H
h------------40-------------H
Haciendo un gráfico del suceso, observamos que el recorrido total, ss, del sonido como un 
móvil «puntual» está dado por: ss = x + (x— sa) = 2x — sa, siendo «sa» la distancia recorrida por 
el automóvil durante los 10 s que transcurrieron desde que se tocó la bocina en «A» hasta que 
se escuchó el eco en «B». Luego:
sa = = 10 • 10 = 100 m
—> ss = vst = 340 • 10
2x— sa = 3400
-> 2x
i
I
H---- 40 m----- +-------------- 680 m---------------H
Prob. 08.- En el instante mostrado el conductor del auto toca la bocina, ¿a qué distancia del auto el ci­
clista escucha el eco que proviene de la pared? Considere que ambos móviles experimentan MRU y que 
^sonido = m/s.
A) 62
C) 58
E) 72
t=10s 
h--------- sa---------- h
En este mismo tiempo se debe cumplir que la parte posterior del motociclista (M) y la parte 
lateral izquierda del frente del camión (C) logren coincidir para garantizar que el primero 
cruce sin ser atropellado por el segundo. Esto ocurrirá si, al menos, el tiempo empleado por el 
motociclista es igual al empleado por el camión para hacer su recorrido hasta el cruce. Luego, 
para calcular la menor rapidez uM del motociclista, aplicamos:
_SM 2 m + 36 m + 2 m
M~~t L251
»c
x = 40 + 5í
Rpta. Bx = 60 m
A) 50 B)60
C) 70 D) 80
E) 10
-H60
6O-x = 5í
Rpta. E120 = 12/ t
C) 320 D) 350 E) 330
Física Fundamentos y Aplicaciones170
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 09.- Los móviles «1» y »2» parten simultáneamente desde «A» y «B», tal como se muestra en la figura. 
¿Al cabo de qué tiempo (en s) «1» estará de «B» a la misma distancia que «2» estará de «A»?
Prob. 10.- Un cazador dispara una bala con una velocidad de 170 m/s y escucha que llega al blanco en 3 s. 
¿A qué distancia (en m) del cazador se encuentra el blanco? Considere que la trayectoria de la bala es rectilí­
nea y la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s.
A)340 B) 300
Si «x» es la distancia del cazador al blanco, el tiempo que emplea la bala, desde que salió del 
fusil, está dado por el tiempo de ida, como bala, más el tiempo de retorno, como sonido.
s2 = u2t —>
10 s
- x-------
«A =15
7 m/s 5 m/s
:(í)
h------------ 60 m —----------- H
se verifica la condición del problema:Elaboramos un esquema (en el SI) del momento en que
Obsérvese que, por su mayor rapidez, «1» llega a 
«B» antes que «2» llegue a «A». Luego, cuando «1» 
se aleja de «B» recién se presenta la equidistancia 
propuesta en el problema. Si suponemos que ha 
transcurrido el tiempo «í» para ambos móviles se 
tiene que los recorridos están dados por:
• s1 = v1t -> 60 + x = 7í
Sumando miembro a miembro, se tiene:
gi RACSO 
tP BDITOKBS
El recorrido del sonido viene dado por: ssonido = 2 ■ 680 + (40 - 10í)
-> 340í = 1400 - lOt -» t = 4 s
Ahora calculamos los recorridos del ciclista (C) 
y del automóvil (A) para determinar la distan­
cia «x» entre ellos cuando el ciclista escucha 
el eco, para lo cual elaboramos el siguiente 
esquema, donde las distancias recorridas por 
«A» y «C» son lOí y 15t, respectivamente.
Aquí se cumple que: 1 Oí + x = 40 + 15í —>
Reemplazando el valor obtenido en el paso anterior para «í», se tiene:
x = 40 + 5(4)
u2= 5 ^ = 7
H— x —H 
h-
h-------------------X------------------ H
Z-^UA=15 /T\(c) (c) (a)—- (a)
H— lOí —H 15¿
i*----------- 40------------ H
Reemplazando datos: Rpta. Ax = 340 m
A) 2,1 m B)1,6m
C) 2,4 m D) 3,5 m
E)1,3m
O
AAP A’P
«sonido = A’P + PB = A'B
A’B A’B = 320t
B’ 10 C
37o)2 = (320í)2
Rpta. EResolviendo, se obtiene: :. s = 1,3 mt = 0,065 s
D) 24 E) 52B) 50 C) 10
171Unid. 3 — Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
Prob. 11.- Un automóvil se aleja de una pared tal como se muestra. Si en el instante mostrado el conductor 
toca el claxon, ¿qué distancia recorre el vehículo hasta que el conductor escucha el eco? Considere que la 
velocidad del sonido es 320 m/s y va = 20 m/s.
Prob. 12.- Un hombre viaja con MRU, y debe llegar a su destino a las 7 pm. Si viajara a 40 km/h llegaría 1 h 
después, y si viajara a 60 km/h llegaría 1 h antes. ¿Qué rapidez (en km/h) debió llevar para llegar a su destino 
a la hora fijada?
A) 48
Luego, escribiendo la condición del problema y aplicando la ecuación del tiempo para el 
MRU, se tiene:
¿bala ¿sonido — 3 S
co
o8
S
\ü*
\s = 20í=
Aplicando el teorema de Pitágoras en el 
triángulo rectángulo A’B’B, se tiene:
(A’B’)2 + (B’B)2 = (A’B)2
Y del esquema: (20/ • eos 37o)2 + (10 + 20/ • sen
Pero ocurre que:
Luego:
s = vat = 20¿ 
y del sonido por: sBon,do = AP + PB
El sonido al llegar a la pared mostrada «elegirá» el camino más corto para llegar otra vez 
hasta el conductor. Este recorrido se puede determinar si aplicamos el mismo criterio que se 
aplicó para el Prob. 5, para lo cual proponemos el siguiente esquema:
Obsérvese que el recorrido del automóvil viene 
dado por:
10
Í 10 + 20/ sen 37° '
A/í. W....
H
— + — = 3 , donde: = 170 m/s y us = 340 m/s 
us
s , x _q
170 340
□□□□□□□□□□□□□□□□□ODQoooaDooaaaaaoaonoaQQaaaaaDapaD000001
t
•.. (1)
(t + 1)s = 40(í + 1)
(í-1)s = v2t2
/■
v2 = 60
s = 240 km
Finalmente, reemplazamos en (1): Rpta. Av = 48 km/hu =
E) 120
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
la máxima distancia. Luego:
«i—* íj ¿2 ~ 5
Rpta. B
172 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
... (2)
b) Pero si viajara a razón de v2 = 60 km/h lle­
garía a las 6 pm, es decir, empleando una hora 
menos; vale decir, que el tiempo empleado 
será (í - 1) horas.
Prob. 13.- Una persona dispone de 5 h para dar un paseo. ¿Hasta qué distancia (en km) podrá hacerse con­
ducir por un automóvil que va a 54 km/h, sabiendo que ha de regresar a pie a la velocidad de 6 km/h?
A) 30 B) 27 C)60 D) 75
 ”* = 4U ¡8pm
h s------------------- —4
h----------------- X-----------------H
= 40
240 km
5 h
¡6pm
h----------------------- s------------------------i
^áRACSO
fp bditoH»
= tiempo de idaSea «x»
-> —+ —= 5
”1 v2
- á+í=5
x = 27 km
t2 = tiempo de regreso
Por condición del problema: ¿total = 5 h
En este problema, por los datos que nos dan, notamos que no conocemos la distancia (s) que 
recorre el hombre ni el tiempo «í» que emplea para llegar a su destino a la hora fijada (7 Pm)- 
Sin embargo, sabemos que si ambos se conocieran y/o calcularan, la velocidad «u» con que 
debe viajar se obtendría así:
-> s = 60(í - 1) ...(3)
Igualando (2) y (3) encontramos: t = 5 h 
Y en (2):
. ;7pm
h--------------------s------------------- -4
v = — 
t
a) Si viajara a razón de Uj = 40 km/h, llegaría 
a las 8 pm, es decir, empleando (í + 1) horas.
-> 8=17^
Ü1
í2=-
V2
A) 11 am B) 2 pm C) 4 pm D) 6 pm E) 8 pm
»A
Para «A»: sA = uA(í - ÍA) . . . (1)
Para «B»: sB = uB(í - tB) ■ • ■ (2)
Para «C»: ... (3)sc sc
va
... (4)Sc - SB = ^ = SB - «A
Rpta. Et = 20 h o T = 8 pmt
A) 9 s D) 30 s E) 75 sB) 18 s C) 36 s
. . . (1)ui
Donde:
Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 15.- Un muchacho que camina sobre una escalera detenida se demora en llegar arriba 90 s. Cuando 
está abajo sobre la escalera en movimiento se demora en llegar arriba 60 s. ¿Qué tiempo demorará en llegar 
arriba si camina sobre la escalera en movimiento?
Presentamos a continuación cada uno de los sucesos en donde 
haremos lo posible por obtener una relación matemática para 
las velocidades del muchacho (u,) y de la escalera (u2).
1ro. El muchacho sube sobre la escalera detenida.
~T—'i °B 
o
Prob. 14.- Se tiene 3 móviles A, B y C. El móvil «A» parte a las 8:00, «B» a las 9:00 y «C» a las 10:00, con 
velocidades de 40; 45 y 51 km/h respectivamente. Si van en la misma dirección, ¿a qué hora «B» equidistará 
de «A» y «C»?
= L
= 90 s y L = longitud de la escalera
Efectuando operaciones y despejando «t» tendremos:
_ ua¿a ~ 2ubzb + uc/c 
uA-2uB + uc
Supongamos que «t» es la hora en que se produce la equidistancia entre los móviles de tra­
yectoria rectilínea. Entonces, para cada uno habrá transcurrido un tiempo (t — to), siendo to 
la hora de salida. Así tendremos:
Luego de graficar los recorridos, según el esquema, adjunto donde suponemos que «A» 
detrás de «B», y éste detrás de «C», se plantea que:
sa + sc = 2sb
i X -— X «i
i "a i °B ! vc
..... O O.....C)
I---------------- SB----------------H I
1
Reemplazando (1), (2) y (3) en (4): uA(í - tA) + uc(t - tc) = 2uB(t - tB)
2do. Moviéndose la escalera mecánica y él parado sobre ella.
■ ■ • (2)u2
Donde: í2 = 60 s
• • • (3)(3 (3 -
Finalmente, reemplazamos (1) y (2) en (3):
Rpta. CReemplazando datos: íg — 36 s
A) 70 B) 60 C) 120 E) 50D) 100
U3
• ■ • (1)U3Í«I
S3S2
SlEn el AAOC: d2 Sj2 + s32 - 2S)S3 eos 0 ... (a)
s22 + s2 - 2s2s3 eos 0En el ABOC: d2 ... (P)
Física Fundamentos y Aplicaciones174
RESOLUCIÓN
Ahora, aplicaremos la ley de cosenos para encontrar 
una expresión para d3.
Sean Sj, s2 y s3 los recorridos de los tres móviles luego 
de transcurrido un tiempo «¿». Entonces:
Construimos un gráfico con los datos del problema, en donde «d» es la distancia del móvil «3» 
a los móviles «1» y «2» indistintamente.
3ro. Moviéndose el muchacho y la escalera simultáneamente, 
en este caso la velocidad u3 del muchacho es (vj + v2).
Prob. 16.- Dos móviles siguen trayectorias que se cortan formando un ángulo de 106°. Si desde la intersec­
ción de las trayectorias se desplazan con velocidades constantes de 40 m/s y 80 m/s, calcular la rapidez (en 
m/s) de un tercer móvil que parte del mismo punto y se desplaza por la bisectriz de este ángulo, para que en 
cualquier instante equidiste de los otros dos.
= Á
i2
= A
U3
JC
-4
Â
L 
u,+u2
RACS0
W BDITO1ES
b¥
«2
1----- „
= v^t ; s2 = u2í ; s3 =
Í3=zTT
\0/\7$0
o
_ t, t2
3 «1+Í2
Agrupando los términos que contienen a s3 en el primer miembro:
Simplificando y despejando s3: ■ ■ • (2)
Reemplazando (1) en (2) se obtiene:
Sustituyendo datos: u, = 40 m/s ; v2
Rpta. Du3 = 100 m/s
PA) 2,0 B) 2,5
C) 1,5 D) 3,0
E) 3,5
Rayo de luz
s.
3svSs
10 cm 9
O
Y de la ecuación del recorrido para el MRU:
u5 = 3uvus -1 = 3uv-1
Rpta. CReemplazando valores: vs = 1,5 cm/s
175Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
30 cm
Zona oscura
Por existir semejanza entre los triángulos 
sombreados, se cumple que:
s4
Ir-
Prob. 17.- La vela de la figura se consume uniformemente a razón de 0,5 cm/s, y está delante de una pared 
«P» que posee una rendija que se encuentra a la misma altura inicial de la vela. ¿Con qué rapidez (en cm/s) 
se desplazará el haz luminoso que incide sobre la pared «Q»?
Ss 30 cm 
sv 10 cm
q|
”1
k-10 cm—h--------------30 cm--------------H
80 m/s y 0 = -^(106°) = 53° , tendremos:
2(s2 — Si)$3 eos 0 = s22 — «i2
Sean uv = 0,5 cm/s la rapidez constante con que la llama de la vela desciende verticalmente 
y us la rapidez con que sube verticalmente el haz de luz sobre la pared. También sv y ss son 
los recorridos de la llama de la vela y de la sombra, respectivamente.
íI i •cl
z
v - U1+U2
3 2 eos e
Igualando (a) con (P): s¡2 + s32 - 2s,s3 eos 9 = s22 + s32 - 2s2s3 eos 0
s, + s2
83 2 eos 9
A)3;1 B) 2; 3
C) 1; 4 D) 1; 1/4
E) 2; 1
Ah1<
Ax<
W.2... (1)
Aj' = Ah2 - (Ah¡ - Ah2) = 2Ah2 — Ah¡ ■ ■ • (2)
(2)
A/íj
En (1): Ax = h ■ AiAx
En (2):Aj>
Para la sombra izquierda (1): = h\Usl
^‘2
Reemplazando datos:
Para la sombra derecha (2): Us2 Ai Ai
Reemplazando datos:
Física Fundamentos y Aplicaciones176
RESOLUCIÓN
Prob. 18.- Dos velas de igual altura «h» se encuentran separadas por una distancia «a». ¿Con qué rapidez 
(en cm/s) se mueve la sombra de las velas a lo largo de las paredes, si una de ellas se apaga en un tiempo t, 
y la otra en t2? Considerar: t, = 40 s, t2 = 60 s, h = 30 cm.
= fA 
Ui
2 1
«1 «2
_ Aj* __ h- At ( ¿2
ij -Í2
Sí
2¿! - ¿2 
«1/z
^2
- í2
S1w^_
Ay = hAt( — - — | 
l/2 h )
= 2Í A'1aí_ÍA'|aí 
• I/* J l/i)
Ai ; A/l,
Ax = Ah} + (A/í j - A/i2) = 2A/ij - A/i2
A/i2
us2 -3o(
°sl -30(’
I| |1)| y j1*1 l
k—— a —4*-— a —4*— a —H
Rpta. D
Elaboramos un esquema que muestre los reco­
rridos Ax y Ay de los extremos de las sombras 
en el tiempo A¿:
2-60-40\
40-60 /
n i i
2-40-601
40-60 )
h 
>s2
^IRACSO 
EDITOKBS
Aplicando la ecuación del recorrido en un MRU, 
tenemos:
/-
M(1)
b— a —4<— a —4*— a —H
usl = 1 cm/s
_ Ax _ h. • A¿ f ~
S1 Ai Ai
US2 = | cm/s
sr = Sombra de 1; s2 = Sombra de 2
us2 “ h\
16 m/s
D)143°
E) 90°
C B162s0 = CE = vot = 16t
P
Hombre: SH 42 60
400
a
A
4 sen P • ■ • (1)sen a
Luego, del ExABC: sen P = — ... (2)
Finalmente, de (2) en (1): a, = 37° v a2 = 143°
37°5a¿ 143°
Rpta. B
A)100m D) 60 mB) 960 m C) 80 m E) 32 m
177Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
4¿ 
sen p
16¿
sen a
Prob. 20.- Un tren demora 8 s en pasar frente a un alumno, y luego recorre íntegramente un túnel de 160 m 
de longitud en 48 s con velocidad constante. ¿Cuál es la longitud del tren?
CE 
sen a
Carretera
E
AE 
sen P
A) 37° B) 30°
C)81°
Prob. 19.- Un ómnibus va por la carretera a razón de 16 m/s. Un hombre se encuentra a 60 m de la carretera, 
y en cierto instante a 400 m del ómnibus. ¿En qué dirección, indicada por «a», debe correr el hombre a razón 
de 4 m/s para llegar a encontrarse justamente con el ómnibus, o antes que éste pase frente a él? Identificar la 
respuesta excluida.
Según el gráfico adjunto, aplicamos la ley de los 
senos en el AACE:
_ V =
= AE = = 4í
Sean u0 = 16 m y uH = 4 m/s las rapideces del ómnibus y hombre respectivamente. Conside­
remos que el hombre se encuentra con el ómnibus justamente en el borde de la carretera y en 
el punto «E». Si para ambos transcurre el mismo tiempo «í», entonces, la distancia recorrida 
por cada uno será:
Ómnibus:
El resultado nos indica que si 37° < a < 143°, el hombre llega siempre a la carretera antes que 
el ómnibus. Si a = 37° o 143°, entonces el hombre y el ómnibus llegan simultáneamente al 
mismo punto de la carretera, y si a ~ 81,4°, el camino es el más corto y el tiempo es mínimo.
R AB 60SenP=AC = 4ÓÓ
sen a = ->
5
3
20
t2 = 48 s
Túnel
L v&
Luego: 160 + L = u-48 . . . (2)s2 = v' t2
Reemplazando (1) en (2), y resolviendo, encontramos que: v — 4 m/s
Rpta. EFinalmente, en (1): L = 32 m
A) 10 m E) 22 mB) 12 m
Pared
12 m
vC,
x
~ = 40 8 mx
Rpta. B8 + L = 20 • 1 L 12 ms = vi
Física Fundamentos y Aplicaciones178
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
O 
-■"7\ojo
Prob. 21Un observador que mira con un solo ojo se encuentra a 30 cm frente a una ventana de 20 cm de 
ancho, y a 12 m de él pasa un camión con una velocidad constante de 20 m/s. Si el observador lo vio durante 
1 s, ¿cuál es la longitud del camión?
Observemos que existe una semejanza de 
triángulos: ACOD ~ AAOB
C)6m D)15m
ZZfn
T4
Resolveremos este problema del mismo 
modo que el anterior, lo cual supone calcu­
lar primero la distancia visible «x». Luego, 
determinaremos la velocidad del mismo, a 
partir del recorrido del camión mientras fue 
visto.
RACSO 
W BDJTOEES
Luego, las bases y las alturas de dichos trian- 
gulos guardan proporcionalidad entre sí: 
CD 12 m > x_
AB 0,3 m 0,2 m
Seguidamente diremos que si el camión fue observado durante un tiempo t = 1 s, eso significa 
que entrar y salir de la zona de visión le tomó dicho tiempo, y además le permitió recorrer 
la distancia s = x + L, siendo «L» la longitud del camión. Aplicando la ecuación del recorrido 
en un MRU, tenemos:
Para que el tren termine de pasar frente 
al alumno, aquel tendrá que recorrer una 
distancia Sj = L (longitud del tren) en el 
tiempo tj = 8 s. Luego, de la ecuación del 
recorrido para un MRU tendremos:
0,3 m
L
 Si = u¿i —> L = u • 8 ... (1)
Ahora, para que el tren termine de salir del túnel de 160 m de longitud, deberá recorrer una 
distancia s2 = (160 + L) m en el tiempo señalado: t2 = 48 s.
A/0,2 m\B 
/VentanaX
Zona de X 
visión
XZ
______________________________________ Le-a—1
77/////////////////^^^
h---------160 m----------*b------------- L---------- --
A) 100 B) 106 C) 108 D) 136 E) 180
11Primero: t f 1Y u2
Segundo:
Podemos igualar ambas relaciones, y así obtener:
. . . (1)
í2 = 4h t,= 1 h
rPrimero: u2
Segundo:
Dividiendo estas dos expresiones obtenemos: • ■ . (2)
(36 + x)2 = 4.V2Luego, de (1) y (2) se tiene:
x = 36 km
d = 108 km Rpta. C
179Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
Prob. 22.- Dos coches partieron al mismo tiempo, uno de «A” en dirección a «B» y el otro de «B» en dirección 
a «A». Cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir de este momento 
(en que se encontraron) el primero tardó una hora en llegar a «B», y el segundo 4 h en llegar a «A». Determinar 
(en km) la distancia entre «A» y «B».
36 + x
4
4x
36 + x
36 + x 
x
36 + x
X L>2
Antes del encuentro, los dos coches con velocidades Uj y o2 recorren distancias de (36 + x) y 
«x» respectivamente, en el mismo tiempo. Luego, los tiempos «t» empleados por cada uno se 
obtienen aplicando la ecuación del tiempo en el MRU:
si ~ 36 + x
Ui i?!
36 + x x
Ui o2
Después del encuentro, ambos móviles recorren la misma distancia que recorrió el otro en 
dirección contraria, y empleando tiempos que se indican en el gráfico adjunto. Luego, la 
expresión de las velocidades de cada uno serán:
V2 V2
s'
'////^////////////^/////// ̂
b-------- 36 + x--------------- +-------x-------- H
Antes del cruce
(36 + x) + x = (36 + 36) + 36
! ----- O* !
.z z^z<zzz.'zw g zzz /z
b-------------- 36 + x--------------+-------x-------- H
Después del cruce
"+-f
ui _ 4x 
o2 36 + x
Finalmente, la distancia entre «A» y «B» será: d
Jr 5cm
A) 150 B) 180
C)210 D) 200
E) 240
v = 200 m/s
1A)L B) 1.5L
C) D) 1.8L
E) 2L
Aía
V
SA
Física Fundamentos y Aplicaciones180
RESOLUCIÓN
RSOLUaÓN
sA = vAZa 
sc = 1>AZC
OA:
OC:
1
<a!
A
B O
L---------+---------L
□ □□□□□□□□□□□□□□aaoDaoaaDaaQDaaaaaaaDaaaDDaaoDDDOüC!DOOOD
Fin
A
RACSO
O EDITOLES
en la fotografía:
Elaboramos un esquema para indicar los re­
corridos «s» y los tiempos empleados Ai:
Donde «u» representa la rapidez del sonido y 
«i» el instante en que se produjo la explosión. 
A continuación calculamos los recorridos 
aplicando la ecuación que la define cuando 
la rapidez es constante:
AB + sB = uA¿a
BC — Sg — vt^tQ
Prob. 24.- Con un cronómetro y tres micrófonos, situados en una recta en los puntos A, B y C, se registró en 
los instantes tA - 6:03; tB = 6:02 y tc = 6:01; el sonido de cierta explosión que ocurrió en el punto «O» contenido 
en AC. Determine la distancia AO, si AB = BC = L. El momento de la puesta en marcha del cronómetro no 
corresponde al momento de la explosión.
“-1 cm-í
: AZP
¿B______ ¿ ¿C
B O C
F— SB —*F— SC —H 
--------------- H
L = u(Aía - Aíg)
L = u(Aíc + Aíg)
IL c 
—H
Rpta. D
L + uAig = l>Aía 
L — uAíg = vAíc
IL
De acuerdo con los datos y el gráfico original podemos deducir que
1 cm <> 10 m
Asimismo, analizando la silueta del avión en la fotografía, y según esta proporción, com­
probamos que su largo mide 3 cm, reconociéndose también, en esta imagen, que durante el 
tiempo de exposición t = 0,1 s, en que ésta fue tomada, el avión se desplazó 2 cm <> 20 m. 
Luego, la velocidad del avión se obtendrá aplicando la ecuación que la define en el MRU.
,, s 20 m
t 0,1 s
Prob. 23.- En la figura se da una fotografía «borrosa» de un aviónreactor en vuelo. La longitud del avión es 
30 m y la de la sección de la nariz 10 m. Si el tiempo de exposición del obturador de la cámara fotográfica es 
0,1 s, haciendo uso de esta «fotografía», calcular la rapidez del avión (en m/s). La línea de trazos muestra la 
forma del avión.
Igualando se tiene: X(AÍC + AíB) = /(Aía - A¿b) ->
t
E)
- . • (1)
s = (u - u) • t • • • (2)
Reemplazando (1) en (2), se tiene: s
Rpta. Ds
A) B) C)
181Unid. 3 - Cap. 3.2 — Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
U 
=1 
¿E 
—H
\v + ul
V + ll
Aí 
AiB= —
D)
(v + u)
(V + U). 
(v-u)
Prob. 26.- Un submarino que va sumergiéndose uniformemente emite impulsos sonoros con intervalos de 
tiempo To = 3 s. Los impulsos reflejados del fondo se perciben con intervalos de tiempo T = 2 s. La velocidad 
del sonido en el agua es vs. ¿Con qué velocidad «v» va sumergiéndose el submarino?
B) — C) D) —2 '3 '4 '3 ' 5
Prob. 25.- Unos deportistas corren formando una columna de longitud «L» con la misma velocidad «v». Al 
encuentro de la columna corre el entrenador a la velocidad «u» (u < v). Cada uno de los deportistas, al encon­
trarse con el entrenador, da la vuelta y corre hacia atrás con la misma rapidez «v». ¿Qué longitud tendrá la 
columna cuando todos los deportistas den la vuelta?
A) B) ^L C) “~~L
AfB = 1 s
P 
=1 
_“_¿E 
1------------------------L------------------------H
2do. La longitud de la nueva columna, cuando todos hayan dado la vuelta, estará definida 
por la distancia «s» que se haya alejado el primero «P» de la columna respecto del entrenador. 
Sabiendo que la velocidad del primero respecto del entrenador viene dado por (y — lí), enton­
ces su recorrido «s», en el tiempo «í», en que todos dieron la vuelta, viene dado por:
(v-u) P 
- --------[=
'A
2
1ro. Calculemos el tiempo «t» después del cual todos han dado la vuelta, el cual coincide con 
el tiempo que emplea el último «U» de la columna para encontrarse con el entrenador «E». 
Aplicando la ecuación que define el tiempo de encuentro, se tiene:
__ v_
Uf=I
. A, _ (¿A-O-Cc-O-¿A-¿c _ 6:03-6:01
-> 2 “2 2
Esto significa que: tB — t = 1 —> 6:02 —í=l —> í = 6:01
A su vez este resultado nos revela que el punto «O» de la explosión coincide con «C» (O = C), 
ya que allí el reloj indicó tc = 6:01 cuando ésta se produjo. De este modo concluimos que:
AO = 2AB = 2L Rpta. E
LS = V't
Onda (eco)
. . . (2)
Rpta. A
Carretera, 
A
B) 45° C) 60° E) 53°
PE: Sp = v • t
AE: sB = 2v-1
Carretera
Rpta. Ea «53°Pero:
Física Fundamentos y Aplicaciones182
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
ut 
2ut
.at­
onda
Sp
SB
a) Primero calculemos la distancia «L» que existe entre dos ondas 
sucesivas, la cual se mantiene igual luego de producirse la reflexión 
en el fondo marino. Al respecto, «L» es la distancia que se aleja una 
onda sonora con rapidez vs de la siguiente onda emitida al cabo del 
tiempo Tq = 3 s. Luego, aplicando la ecuación que define el recorrido 
en el MRU, se tiene:
Prob. 27.- Por una carretera recta se mueve un autobús y Ud. puede 
correr con una velocidad dos veces menor que la del autobús. Si Ud. ve 
el autobús en el punto «A», ¿desde qué zona definida por el ángulo «a», 
y en las proximidades de la carretera, Ud. tendrá tiempo para tomar el 
autobús?
1
2
1
2
a/2
Áx/2
A^-l
Autobús
I------
aJ2 .
2v '
------ SB
A) 30° D) 90°
±1111
^|RACSO
BD1TOXBS
2 2
Sea «P» el lugar en el que un pasajero visualiza al autobús en «A». Sean «u» y «2u» los módu­
los de sus velocidades respectivas. Entonces, si «£» es el tiempo que emplean en los recorridos 
PE y AE, respectivamente, se debe cumplir que:
•“ te)" -"tel­ óte)-
• T
Sp
___
E
---------H
tan =
L=vsT0 ...(1)
b) De acuerdo con los datos, los tripulantes y el submarino perciben 
el eco al cabo de T = 2 s, esto significa que el encuentro del subma­
rino con la siguiente onda se produce al cabo de un tiempo igual a 
2 s. Luego, aplicando la ecuación que define el tiempo de encuentro, 
se tiene:
T ü + ys
Donde «u» es la rapidez del submarino «S». Finalmente reemplazamos (1) en (2) y los datos:
T = t?s'^° > 2 = 3
V + Us V + L>s
Como piden «a», calculamos tan 
en el fcsAEP:
p 
(PasajeroVL-
B) 53°
D) 30°
E) 16°
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
Barco: Sj = ; Uj = 70 km/h
Torpedo: s2 = v2t; o2 = 150 km/h
15 5
Rpta. E
ECUACIONES VECTORIALES DEL MRU
I.
II.
E) II y VD) I y IIIA) Ninguna B) Todas C) II, III y V
183Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
Prob. 28.- Un torpedo es lanzado desde el punto «A» en el instante en que el barco enemigo se encuentra 
en el punto «B» y navega con velocidad v, = 70 km/h dirigida formando el ángulo p = 37° con la línea AB. La 
velocidad del torpedo es v2 = 150 km/h. ¿Bajo qué ángulo «a» hay que lanzarlo para que dé en el blanco?
A) 45°
A continuación relacionaremos ambos recorridos 
con los ángulos «co> y «P» aplicando la ley de los 
senos en el AAEB:
C)37°
La velocidad de la partícula es v =-4,00 m/s i .
III. En un intervalo At = 3,00 s la partícula se desplaza Ax = 12,0 m i .
IV. La ecuación del movimiento es x = (-2,00 + 4, OOt) m i .
V. La posición de la partícula en t = 6,00 s es x = 20,0 m i .
a « 16°
Prob. 29.- Una partícula se mueve uniformemente a lo largo del eje «x». En el instante t = 0 s pasa por la 
posición x = -2,00 m i y en t = 2,00 s se ubica en x = 6,00 m i. Identifique las proposiciones falsas:
La posición inicial de la partícula es x(0) = -2,00 m i .
sen a = — ■ sen P 
u2
S1 _ S2 
sen a sen p
Asumiendo que el torpedo, en el agua, y el barco viajan con MRU, elaboramos un esquema 
para indicar el punto común «E» de las trayectorias en donde se produce el impacto. Si consi­
deramos que el tiempo empleado por ambos móviles es «t», entonces los recorridos son:
sena = ¿
sen a = 77^7 • sen 37°
150
sen a sen p
v =
Ax = (x2-x,)i
Rpta. ELas proposiciones falsas son: II y V.
C) -25,0 m i y -3,00 m i
E) -40,0 m i y -9,00 m i
+X
.-. x0 = -33,0 m i
Física Fundamentos y Aplicaciones184
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
b. La posición en t = 20,0 s.
B) -33,0 mT y-1,00 mi
______ [C
x, = -17,0 Xj
m i
t1 = 10,0s í2 = 20,0s
¡ í3 = 25,08
-------
x3 = 7,00
x=-17,0m¡ yent = 25,0ses x=+7,00mi.
^IRACSO
O EDITOLES
Prob. 30.- En el instante t = 10,0 s la posición de un móvil es 
Si el móvil experimenta MRU, determinar:
a. La posición inicial.
A) -15,0 mi y-5,00 mi
D) -10,0 m i y -3,00 m i
t„=OB
i V
ÍA Q
¿2=2,00.8
*2 = 6,00 x(m)
«1 = 0.8
Xj = -2,00 0
I. Verdadero.- En efecto, si suponemos que el registro del movimiento se inicia en l Os, 
entonces, y por dato, se tiene que:
xo = x(0) = -2,00 m i
II. Falso.- Por tratarse de un MRU, la velocidad v 
es constante y se puede determinar aplicando:
- *2-*l _ [(6,00)-(-2,00)] mT
V"í2-¿1 V (2,00-0) s 
—> v = 4,00 m/s i
III. Verdadero.- Aplicando la ecuación de la velocidad media, se tendrá:
Ax = ü Aí —> Ax = (4,00 m/si)(3,00 s) —> Ax = 12,0mi
IV. Verdadero.- Sabiendo que la ecuación general del MRU es:
x = xo+vt x = (-2,00 + 4,00í)
V. Falso.- Aplicando la ecuación del movimiento y evaluando para t = 6,00 s, se obtiene:
x = [-2,00 + 4,00(6,00)] mi -> x = 22,0mi
a) Por definición, la posición inicial del móvil es la que posee en t = 0 s, luego, en base al es- 
quema mostrado podemos aplicar la ecuación que define a la velocidad media en los tramos 
AB y BC, teniendo en cuenta que, por tratarse de un MRU, la velocidad es constante:
- A*ab _ A*bd
aíab aíbd
*i~*° .*3~*1
«I-to t3~tl
Sustituyendo datos:
(-17,0 mi)-xo [7,00-(-17,0)] mT
• (10,0-0) s “ (25,0-10,0) s
í
E) -80 iD) -60 i
Rpta. B
C) 140 i
x(m)
100■'•A = xoA + UAZ
0 
100 1“) XB - -V„B + M *A
185Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 32.- La figura muestra el instante t = 0 s en que dos móviles se mueven a lo largo del eje «x» con 
velocidades constantes. Determine la posición (en m) del móvil «A» cuando ambos nuevamente se encuentran 
separados 100 m.
A) 1007 B) -120?
D) -140? E) 120T
Prob. 31.- Dos móviles (1) y(2) se desplazan en el eje »x». Sus posiciones varían con el tiempo de acuerdo 
a las ecuaciones x, = (120 + v,t) m y x2 = (10t) m. Si parten simultáneamente y se encuentran a los 2,4 s; 
determine la velocidad del móvil (1) en m/s.
A) -20T B) -40l C) -50T
... (3)
= 10
De acuerdo con el esquema original se pueden reconocer los siguientes datos: 
xoA = 0 m ; uA = 7 m/s ; xoB = 100 m ; uB = -3 m/s
Luego las ecuaciones de cada MRU, son:
i)
IxA - xB| = 100 m
I 7E — (100 — 3í) I = 100 -> ir-101
b) Aplicando el mismo procedimiento y reconociendo la sucesión de las posiciones según el 
paso gradual del tiempo, la posición del móvil en t2 = 20,0 s está dada por x2 • Luego, anali­
zando los tramos BC y BD, se tiene:
¡j _ Axbc _ ^bd ( x2 ~xt _ x3 ~X1 
“£BC ^BD £2 “ É1 l3~ £1
x2 = -1,00 m
x2 -(-17,0 m i) [7,00-(-17,0)] m i 
(20,0-10,0) s (25,0-10,0)s
Rpta. B
v B
*B
h—
Se sabe que las ecuaciones corresponden a dos MRU, tales que:
Xj = (120 + m ; x2 = (100 m y t = 2,4 s (tiempo de encuentro)
El encuentro de los móviles se produce cuando: x} = X2 120 + v¡t = lOí 
-> 120 + u/2,4) = 10(2,4)
Uj = -40 m/s v üj = -40 i m/s
A "A .0-4,
XA X
3 m/s
100
xA = 0 + 11
xA = lt ...(1)
Xg — 100 — 3í
xB = 100 - 3t ... (2)
Por condición del problema se debe cumplir que:
Reemplazando (1) y (2) en (3):
e^8 
o
Resolviendo, se tiene:
t = 0 s
t = 20 s
Rpta. C
x(m)
A
BA) 100 B) 95
t(s)63C) 90 D) 85
E) 80 -20
□□□□□□□□□□□□□aaaaooDOOQnaaoooaoanDaDaaonoDQDaaooaaooo00
uA = +10 m/si) XoA
ii) xoB = 20 m; xfB = 0 m;
t
d
Rpta. EY para t = 9 s, se tiene: d = 80 m
x(m)
t(s)'64
A) 4,5 y 6,5 B) 6,5 y 8,5
D) 10,5 y 10,5C) 8 y 8
E) 11,5 y 10,5 -30
Física Fundamentos y Aplicaciones186
RESOLUCIÓN
16
12
a) í- 10 = -10 ->
b) t - 10 = +10 -> 
Sustituyendo en (1):
20 k 
10k
RACSO 
» BD1T0XES
Prob. 33.- La figura mostrada representa el movimiento de 
dos autos. Determine la distancia (en m) que los separa en el 
instante t = 9 s.
Prob. 34.- En la figura se muestra la gráfica de la posición versus 
el tiempo para dos móviles «A» y «8» con movimiento rectilíneo 
uniforme. Determine el tiempo (en s) que tardan en encontrarse y 
la distancia recorrida (en m) por el móvil «A», hasta dicho instante, 
respectivamente
(Instante inicial)
(Instante final)
xA = 7(20) = 140 m ■
d = lx-A-.xBl = |(-20 + 10í)-(20- 
d = |^(9)-4o|
= 1^-40^
xA = +140 i m
B/ 
7^
VB -m/s
Del gráfico original se pueden deducir las velocidades de cada móvil: 
on [10-(-20)] m-20m;xCA=10m: oA=^- = L—
_ AxB (0-20) m 
Ub Aíb (6-0) s
Luego, las ecuaciones de cada MRU son:
i) XA = xoA + vAl -> xA =-20 + 10Í ii) xB = xoB + UBÍ -+ XB=20-y
Finalmente piden determinar la distancia entre «A» y «B», la cual viene dada por:
A
xoA = 12 m
12
O 6 tXA
-20 + 51
30 m
,n-3012 + í = -20 + 5íXA = *B
t = 8 s
|(+1 m/s) (8 s) IsA
Rpta. CsA
ÍE = ?
XB
xF = 1,00 m i Rpta. A
187Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
-4- 
4
Del esquema adjunto se pueden deducir los siguientes 
datos:
b. ¿En qué posición se encuentran?
C) 1,00 s; 10,0 mi
,P
6s
SA = I UA ■ « I -> SA 
= 8 m
+x
Vp = 4,00 m/s i
-5,00 
Femando
= 12+ lí
= ?
a) De acuerdo con los datos extraídos de las ecuaciones del movimiento de cada persona, a las 
que consideraremos como partículas, elaboramos el siguiente esquema:
Si xF y xM son las posiciones de Fernando 
y Maritza respectivamente, el encuentro 
ocurrirá cuando:
Finalmente, reconociendo que el movimiento de «A» es rectilíneo y siempre en la misma 
dirección, se cumple que:
= I^aI
B
Prob. 35.- Femando se mueve según la ecuación x(t) =(-5,00 + 4,00t) m i y Maritza según la ecuación 
x(t) = (15,0 - 6,00t) m i . Se pide determinar:
a. ¿Al cabo de qué tiempo se encuentran?
A) 2,00 s; 1,00 m i B) 3,00 s; 2,00 m i
D) 2,00 s; 5,00 mT E) 3,00 s; 3,00 mi
<d<d4m
4s :
uM = -6,00 m/s i
15,0 
Maritza
Luego, las ecuaciones de cada MRU son:
O XA = *OA + »At ~> 
Ü) -1;B = -toB + M -»
Cuando los móviles se encuentran, se cumple que:
•VF = XM —> -5,00 + 4,00/E = 15,0 - 6,00íe
ÍE = 2,00 s
b) Para determinar la posición ,rE de encuentro bastará con evaluar cualquiera de las ecua­
ciones con t = 2,00 s:
xE =[-5,00 + 4,00(2,00)] mi
; u. = tan a = =+1 m/s
A 4 s
xoB = -30 m ; = tan P = = +5 m/s
C) (15,0-3,OOt) m i; 1,00 m i
B) (r, + r2)(v,+ v2) = 1 C)
E) N.A.
Física Fundamentos y Aplicaciones188
RESOLUCIÓN
A) (25,0 - 4,00t) m i; 2,00 m i
D) (25,0-5,OOt) mT; 5,00 mT
Elaboramos un esquema con los datos del problema:
Bus
RACSO
W EDITORES
W ■
130 x (m)
vT
25,0
y xo =130 mi
y x0 = 25,0 m i
Prob, 36,- En un paseo por África, un arriesgado turista se aleja 25,0 m del bus para tomar unas fotos. A 
130 m del turista (en la misma línea bus-turista), un hambriento león lo ha divisado e inicia su persecución a 
90 km/h, mientras que el asustado turista regresa a toda prisa al bus a 18,0 km/h. Admitiendo que las rapideces 
de ambos fueran constantes desde el principio, determine:
a. La ecuación de movimiento del turista si el bus se encuentra en x = 0 m i .
b. La posición del león cuando el turista está por ingresar al bus.
B) (30,0-9,OOt) mT; 0 mT
E) (25,0-9,OOt) mT; 0 mT
Prob. 37.- Las partículas 1 y 2 desarrollan velocidades constantes v, y v2. Sus vectores posición inicial son 
iguales a q y 72. ¿Con qué relación, entre estos cuatro vectores, las partículas chocarán inevitablemente?
D)
|r,+ r2| (v, + v2)
O
a) Para el turista: xT = x0 + vTt (MRU)
Donde: üT = -18,0 km/h i —> üT=-5,00m/si
Luego: xT = (25,0-5, OOt) m i
Cuando el turista llegue al bus: xT = 0 mi
Luego: 0 m i = (25,0-5,OOt) m i —» t = 5,00 s
b) Para el león: xL = x0 + vLt (MRU)
Donde: üL =-90,0 km/h i —> üL =-25,0 m/s i
Luego: xL = (130- 25,Oí) m i
Evaluando esta ecuación para t = 5,00 s, se tiene que: xL =[130-25,0(5,00)] m i
xL=5,00mT Rpta.D
... (1)
4
rx + ¿i — r2 + c¿2 • ■ • (2) ,B
De (1) en (2): r1 + u1t = r2+u2í
z
r2-> r1-r2=(v2~v1)t
'í como «í» es un número real positivo, se cumplirá que: ?!
y-> iir=üv o
x
Rpta. C
189Unid. 3 - Cap. 3.2 - Movimiento Rectilíneo Uniforme
RESOLUCIÓN
«1
A?
¿2
«2
, n~r2 Vj-Vi
•• Iq-rJ I^-ÜJ
Sean «A» y «B» las posiciones iniciales de los móviles con velocidades y v2 respectiva­
mente. Sea «E» el punto común de las trayectorias rectilíneas de ambos móviles. Si «í» es 
el tiempo, también común, para realizar los desplazamientos AE = c¿1 y BE = c¿2, éstos se 
determinarán aplicando la ecuación del desplazamiento en el MRU:
dj = ü1 ■ í y d2 = ü2 • t
Del esquema se observa que los vectores se relacionan así:
i) v = vQ + at
t
190 Física Fundamentos y Aplicaciones
Movimiento Rectilíneo
Uniformemente Variado
^4 RACSO
BD1TOKBS
x = xo+v<,t + ±at2 v ísx = vot + ±at2
3.1.1. Aceleración Constante
Es aquel tipo de aceleración cuya magnitud y dirección no cambian a través del tiempo.
La aceleración es un tipo especial de vector conocido como vector libre, es decir, su direc­
ción puede estar ubicada sobre una recta dada o sobre cualquier otra paralela a ella. De este 
modo, cuando afirmamos que la aceleración tiene dirección constante, queremos decir que 
su dirección puede estar ubicada sobre una misma recta en todo momento o puede estar 
sobre rectas paralelas en diferente instantes.
3.3.2. Definición de MRUV
Un móvil puntual experimenta MRUV, si se mueve a lo largo de una línea recta afectado de 
una aceleración constante.
adx = v2 + 2aJ dx 
= xo + ^o + at)dt
-> ü2=u2+2aAx
3.3.3. Características del MRUV
i) La aceleración es constante, en consecuencia, el móvil experimenta cambios de velocidad 
iguales en intervalos de tiempo iguales.
ii) La rapidez aumenta o disminuye de magnitud, si la aceleración actúa en la misma direc­
ción o en dirección opuesta a la velocidad, respectivamente.
iii) Si el móvil parte del reposo, las distancias recorridas en tiempos, iguales son proporcio­
nales a los números naturales impares: 1; 3; 5;..., etc., llamados los Números de Galileo.
3.3.4. Ecuaciones del MRUV
Si vo y v son las velocidades inicial y final respectivamentey además xo y x son las posi­
ciones en los instantes to = 0 y = t, respectivamente, de un móvil que experimenta MRVU 
con aceleración a , se cumple que:
a) Ecuaciones Escalares
Ü = yo+J/'
ii) v2 = v2o+2\*
XO
iii) x = x0 + j vdt
1.)
ii) v = vo + at
ni)í = ío + V + |st2
3.3.5. Gráficos del MRUV
•V_ Parábolaa) Posición - Tiempo
x Pi)
ii) v = tan 0 (Velocidad instantánea) 0
v
t0
(Recorrido)
a
c) Aceleración - Tiempo
a
Az>
i.0 At
d) Cuadrados de Velocidad - Posición
i) tan P
ii) tan p = 2a
x0
móvil con MRUV en el n-esimo segundo, viene dado
191Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
9
b) Velocidad - Tiempo
i) a = Pendiente de la recta =
i) Línea recta paralela al eje del tiempo
ii) Área = Cambio de velocidad
iii) Área = a • At = At?
v 
o2
2 2v -vo
X
3.2.6. Caso Especial del MRUV 
El desplazamiento realizado por un 
por:
x = |«t2
b) Ecuaciones Vectoriales
v = (vo + at)i ii) &x = vot + ^at2
í = (xo+i>„t + |at2)i
ii) a = tan a
iii) Área = Ax (Desplazamiento)
iv) | Área | = s
Av
At
n
ECUACIONES ESCALARES
D) 0,6 m/s2C) 1,5 m/s2
*2
V*
+x
Donde:
. . . (1)Ax = 2a
Además: ...(*)uB = 2a
ii) Trayecto BC: s = 39,62a
50 mAx + s
Rpta. A2a + 39,62a = 50
A)8s B) 4 s C) 10 S D)12s E)6s
44 m
Física Fundamentos y Aplicaciones192
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
«aC
~A
Reconocemos los siguientes datos: velocidad inicial: v0 = 16 m/s;
aceleración constante: a = 2,5 m/s2; desplazamiento: Ax= 18 + 26
C 
1
Elaboramos un esquema para anotarnos datos: 
ti
¡ Ax
■ (MRUV)
Prob. 02.- Un automóvil está 18 m tras de la entrada de un restaurante y viaja a una velocidad de 16 m/s 
cuando el conductor frena. La velocidad del automóvil disminuye con una aceleración constante de módulo 
2,5 m/s2. ¿Cuánto tiempo pasará desde que el conductor frenó hasta que el automóvil sobrepase la entrada 
del restaurante en 26 m?
RACSO
W BDITOKIS
uA = 0; t, 
i) Trayecto AB:
a I »b
-----
+----- ---------- s----
(MRU)
50 m-----------
E) 0,9 m/s2
Prob. 01.- En 1997 el récord mundial masculino de natación, 50 m estilo libre, fue establecido por Tom Jager 
de los Estados Unidos, quien cubrió los 50 m en 21,81 s. Si suponemos que Jager partió del reposo con una 
aceleración constante «a» y alcanzó su velocidad máxima en 2 s, que mantuvo constante hasta el final, ¿cuál 
fue la aceleración «a» de Jager?
A) 1,2 m/s2 B) 1,4 m/s2
21,81-2 = 19,81 s
Ax = lO(2)2
«B = °(2)
. . . (2)
. . . (3)
a « 1,2 m/s2
2s; í2
Ajc = }^íí+Iatl2 
uB=K + ail 
s = vBt2 = (2a)(19,81) —> 
Finalmente se debe cumplir que:
Reemplazando (1) y (2) en (3):
t=1
vo
44 = (16)t+|(-2,5)l2 -» 5t2- 64í + 176
A) 2012 m E) 2013 mB) 1921 m C) 1584m D) 1440 m
Donde:
i) Trayecto AB: -> 802 = O2 + 2(4)Ax, —> Ax, = 800 m
O2 = 802 + 2(-5)A.t2
Rpta. D
193Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
Aplicando la ecuación del despla­
zamiento para el MRUV, se tiene:
Prob. 03.- Suponer que se diseña una pista de despegue para el uso de un avión particular. En el despegue 
el módulo de la velocidad de un aeroplano aumenta con una aceleración constante de 4 m/s2 hasta que el 
aeroplano está suspendido en el aire cuando alcanza los 80 m/s. Si se solicita al piloto interrumpir el despegue, 
el módulo de la velocidad del avión disminuirá con una aceleración constante de 5 m/s2. Determinar la longitud 
de la pista que es necesaria para permitir al piloto interrumpir el despegue justo en el momento en que podría 
comenzar a volar y ser capaz de frenar sin salirse del pavimento.
En base al esquema, el trayecto de 
estudio es desde «A» hasta «C» en 
donde la dirección positiva se ha 
elegido hacia la derecha.
= 0
Elaboramos un esquema para indicar las cantidades físicas relevantes que explican lo ocu­
rrido y en el que hemos elegido la dirección positiva «+x» hacia la derecha:
“i “2
Ax2 = 640 m
............... L -
! Entrada
Ax
s = 1440 m
uo 1 vb “2 vc
I------------- 7-------------- H---------- 7-----------H
Ax:
u0 = 0; 04 = +4 m/s; B = punto de interrupción del despegue;
uB = 80 m/s; a2 = -5 m/s2 y vc = 0.
Para determinar la longitud «s» de la pista, nuestra estrategia consistirá en aplicar las ecua­
ciones del cuadrado de la velocidad del MRUV, en cada trayecto:
ub = u„ + 2a, Ax,
ii) Trayecto BC: u| = u| + 2a2Áx2
Finalmente: s = AXj + Ax2 = 800 + 640
AX = üOí+|a<2 -» ....
Resolviendo obtenemos: t1 = 4 s (Sí) v t2 = 8,8 s (No)
De estos resultados, el 2do valor es físicamente imposible porque ello implicaría que el auto­
móvil, además de detenerse, retrocedió hasta volver a pasar por «C», por 2da vez.
Rpta. B
B) 6,25 m/s; 49% C) 8,10 m/s; 35%
D) 6,25 m/s; 71% E) 4,76 m/s; 59,5%
t
>. = V
V
s + Ax = 4 m ■ ■ ■ (1)
s = 0,5 u
. . . (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1): u2 + 7u-56 = 0= 4
b) La fracción pedida está dada poi
Rpta. E
194 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
i) Trayecto AB:
ii) Trayecto BC:
s = ut = u(0,5)
ÜC = 4 + 2aAx
... (2)
0 = v2 + 2(-7)Ax -í
Para indicar las principales cantidades físicas 
ramos un esquema del movimiento en 
derecha:
que permiten explicar el fenómeno elabo- 
donde la dirección positiva ha sido elegida hacia la
Prob. 04.- Un automóvil tiene una desaceleración máxima de unos 7 m/s2 y el tiempo de reacción típico para 
aplicar los frenos es de 0,50 s. Un cartel indica la velocidad límite en zona escolar la cual se ha calculado de 
modo que todos los coches puedan detenerse en una distancia de frenado de 4 m.
a. ¿Qué velocidad máxima puede alcanzar en esa zona un automóvil típico?
b. ¿Qué fracción de los 4 m corresponde al tiempo de reacción?
A) 4,76 m/s; 71%
T
h-------------- 8--------------- 4--------------------------------------------- H
Ax
Donde: A, B y C representan los lugares donde el conductor observa el cartel, inicia el fre­
nado y detiene el vehículo, respectivamente. Según estas características deducimos que las 
trayectorias AB y BC corresponden a un MRU y un MRUV respectivamente.
Además: v = velocidad máxima desconocida ; t = 0,5 s ; a = -7 m/s2 ; uc = 0
a) De acuerdo con la condición del problema, y según el esquema, se debe cumplir que:
RACSO
BD1TO1BJ
0,5o+14
/= 0,595 « 59,5%
s 0,5(4,76) m
4 m 4 m
Resolviendo: Uj = 4,76 m/s (Sí) v u2 =-11,76 m/s (No)
Obsérvese que hemos descartado la opción de una velocidad con magnitud negativa ya que 
ello implicaría que el recorrido «s» en el trayecto AB, según la ecuación (2) daría un valor 
negativo.
A) 20 V2 m/s C) 10V2 m/sB) 20 m/s
D) 575 m/s E) 875 m/s
A®2
Donde: uA = 0; vB
Ug = 2aAx1i) Trayecto AB: . . . (1)
ii) Trayecto AT: ... (2)
Dividiendo (2) z (1), se tiene:
Rpta. AReemplazando los datos:
D) 2(í + a) E) 3(í + a)C) í + a
195Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
Prob. 06.- Una partícula tiene movimiento rectilíneo con una aceleración «a» en (m/s2) observándose que en 
un segundo recorre «C- (en metros). Determine la longitud (en metros) que recorrerá en el segundo posterior.
= 20 m/s ; AXj = +90 m ; Ax, = +180 m
Ax2
Prob. 05.- Un tren de 90 m de longitud comienza a ace­
lerar uniformemente partiendo del reposo. Su parte delan­
tera tiene una rapidez de 20 m/s cuando pasa al lado de 
un trabajador ferroviario que está de pie a 180 m del lugar 
donde comenzó a moverse el frente del tren. ¿Cuál será la 
rapidez del último vagón al pasar al lado del trabajador?
Nuestra estrategia consistirá en analizar el movimiento del extremo posterior del tren. Así, 
al inicio el extremo posterior se encuentra en reposo y en «A», mientras que la parte delan­
tera se encuentra en «B». Cuando la parte delantera pasa al lado del trabajador en «T», el 
extremo posterior pasa por «B» con una rapidez de 20 m/s. De esta forma el movimiento se 
reduce a analizar una partícula, que representa al extremo posterior, del tren para cuyo caso 
elaboramos el siguiente esquema:
Aplicando la ecuación de los cuadrados de la velocidad del MRUV, se tiene:
uB=>^ + 2aAxi
H-------90 m —----- 8
»•* vo = 20m/s
— 20V2m/sf UT f _ 180<20 J 90
d\ 31 + aB) —A) 2/¿a
«A
O
7/77/7',,7-
7////////////^
\2
U<p J
UB J
= 2aAx2
uT = ?
- zzzzz ^zzzzzzRzzzzz "^zzzzzz^zz
H !
UT = UA + 2aAx2
+x
Aplicamos la ecuación:
i) Trayecto AB: • • ■ (1)
ii) Trayecto AC: . . . (2)C + k
Eliminando uo de (1) y (2), se tiene:
Rpta. C
D) 10 E) 12
□ooDQDDDannüooonaoaacDoaoDDDQQQnoaaaooaQoaDOOOoooDDQDOQ
a «D».
D
*
ai) t
1t
7//77'/7///7//77^777 +;
• • ■ (1) Ax,
196 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Sean «P» y «D» la parte posterior del automóvil y la parte delantera del camión respectiva­
mente, entonces nuestro problema se reduce a calcular el tiempo que le toma a «P» alcanzar
Analizando los desplazamientos 
de cada móvil, se tiene:
Elaboramos un esquema para anotar los datos del MRUV:
ls 1 s
En (II) se sabe que:
uo = 10 m/s; a = 2 m/s2 
y uD = 36 km/h = 10 m/s
Prob. 07.- Un automóvil de 3 m de longitud viaja en la dirección +x a una velocidad de +10 m/s a 113 m detrás 
de un camión de 9 m de longitud que viaja a una velocidad de +36 km/h. Si para adelantar al camión el auto 
acelera a razón de +2 m/s2, determine el tiempo en segundos que requiere para sobrepasarlo por completo.
A) 5>/5 B) 7^2 C) 8^3
RACSO
W BDITOBB»
2u0 + 2a
y^////////////////7/7^ 
h---------t------------ +■--------- k = ?----------- H
Ar = uoí + -^at
€ = u0(l) + |a(l)2 -♦
f + fe = Uo(2) + |a(2)2 ->
(ü + k')-2( = 2a-2^
k = t + a
I í »D
0 77'77777777777777777 7^777777^ 
^///////////^
h-----------125 m - *1------------
!AxP
i) «P» tiene MRUV, luego:
-> Axp = 10t + i(2)t2
0)
P 
|^TF|_________ ,
3 m 113 m 9 m
t-^-2
ii) «D» tiene MRU, luego: AxD = uD • t ■ ■ .(2)
Del esquema simplificado del movimiento, (II), se puede reconocer que:
Reemplazando (1) y (2) en (3): Rpta. A125
E)
+x
t Au,
AxjAXj = ?
d -Hh-
O
... (1)
• • ■ (2)
De (1) y (2):
Rpta. DFinalmente: AXj + Ax2 = d
197Unid. 3 - Cap. 3.3 — Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
d
3
Prob, 08.- Dos móviles «A» y «B» parten simultáneamente en una carretera rectilínea horizontal separados 
inicialmente por una distancia «d» con la misma aceleración «a» hacia la izquierda y con velocidades iniciales 
v0 hacia la izquierda y 5v0 hacia la derecha, respectivamente. Si los dos tienen la misma rapidez cuando se 
encuentran, ¿qué distancia ha recorrido el móvil «B» hasta el encuentro? Expresar la respuesta en términos 
de «d».
t
V I "o I~~(a) 0
Q R
Axd= 10¿
... (3)
t = 5^5 s
i) Trayecto PR.- Calculamos «u» aplicando la ecuación que define la aceleración media: 
u - 5v0 uQ - v 
aPQ = aQR =------------ = '
Elaboramos un esquema para visualizar las características de ambos movimientos:
Dado que «A» y «B» desarrollan MRUV 
con la misma aceleración y que en el 
cruce «Q» ambos presentan la misma 
rapidez, «u», deducimos que el movi­
miento que tiene «B» desde «Q» hasta 
«R», es idéntico al que realiza el móvil 
«A» desde «R» hasta «Q», pero con ve­
locidades de dirección opuesta. Luego 
nuestro problema se reduce a anali­
zar el movimiento de uno de ellos, en 
nuestro caso al móvil «B», desde «P» 
hasta «R» y comparar sus desplaza­
mientos Ar2 y Axp con «d».
C) ^d 
o
B)|d
u = 3u0
A)|d
□
D) |d
Ax.=|d
t t
ii) En PQ.- Aplicamos la ecuación de los cuadrados de la velocidad:
v2 = u2 + 2(-a)Ax -» 3(u0)2 = (5u0)2 + 2(-a)Avj -> 2aAv,=16u2
iii) En QR.- Aplicamos: (u0)2 = (3u0)2 + 2(-a)A.x1 -» 2aAx¡ = 8u2
Ax,Ax>= ’̂
ÍAv2 + Av2=d
ArP - Axd = 125 
(10í + í2) - 10í =
0-^
4-x
I-----------------------Z------------ rí-
A) 12 m E)2mB) 16 m C) 8 m D) 24 m
□ noooDcnoooooooonaDoaoooaaaaoDnaooooonDoooooouuc>DDDDDD01
1 S3s
Ax4
... (1)
. .. (2)Ax =
. . . (3)
Rpta. B= 16 m
E) 14t0B) 10mo D)13erA) 9no C)12do
... (1)Axn. = 3Ax5.
Física Fundamentos y Aplicaciones198
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 10.- ¿Durante qué segundo un móvil que parte del reposo y que tiene MRUV recorrerá el triple déla 
distancia recorrida durante el quinto segundo?
Resolveremos este interesante ejercicio empleando la ecuación, que nos da el desplazamien­
to de un móvil en el n-ésimo segundo, sabiendo que parte del reposo (u0 = 0) y marcha con 
MRUV. Asi pues, en nuestro ejercicio tenemos la siguiente condición:
Prob. 09.- Un auto se desplaza a razón de 108 km/h. A continuación aplica los frenos y retarda su movimientci 
uniformemente a razón de 4 m/s2. ¿Qué distancia logra recorrer en el 4to segundo de su movimiento?
Ax¡ '' AxJ¡
RACSO
W BDITO1BS
2do método.- Recordando la relación que nos 
se tiene:
Ax3 = 72 m
Ax4 = 88 m
Ax4o = 88-72 /. Ax4- = 16 m
da la distancia recorrida en el n-ésimo segundo,
—> Ax3
Tramo AC.- Aplicamos la misma ecuación:
uoí + |at2 -> Ax4 = 30-4 + |(-4)-42
Luego, del mismo gráfico diremos que: Ax4. = Ax4 - Ax3 
Reemplazando (1) y (2) en (3):
Axn. = u0 + |a(2n-l)
Ax4<, = 30 + -^(-4)(2-4-1) Ax4o
Del gráfico:
Ax3 = Desplazamiento durante los 3 primeros segundos.
Ay4 = Desplazamiento durante los 4 primeros segundos.
Ax4. = Desplazamiento durante el cuarto segundo.
Tramo AB.- Aplicaremos la ecuación del desplazamiento del MRUV:
Ax = uo-i + |at2 -> Ax3 = 30-3 + |(-4) ■ 32 ->
ler método.- Analizaremos el problema según los 
datos dados, aprovechando el gráfico adjunto.
uo = 108 km/h = 30 m/s ; a = -4 m/s2
(Movimiento desacelerado)
Donde: n = 4
5° 8 n° s
1 8
. . . (2) Ax.
n = 14
A) 12 B) 9 D) 15 E)17C)7
1 8 1 8
Para el tramo AB: . . . (1)
Para el tramo BC: • ■ ■ (2) 26 m
n = 7
Rpta. A
A) 2 m D)5mC)3m E) 7 mB) 1 m
199Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
2n + l 
2n-l
Prob. 11.- Un móvil parte del reposo, y recorre en 2 s consecutivos de su movimiento las distancias de 26 m 
y 30 m. Si su movimiento es uniformemente acelerado, ¿en qué segundo de su movimiento recorre 46 m?
Siendo «n» el orden del segundo que deseamos 
encontrar.
Prob. 12.- Un móvil que se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado recorre 35 m en 
«t» segundos de su movimiento, y en los siguientes «t» segundos 25 m. Si todo el movimiento dura 4t segun­
dos, ¿qué distancia recorrió en los últimos «t» segundos antes de detenerse?
30
26
Axk.
Ax6.
a = 4 m/s2Y en (1):
(*) Este fenómeno se produce durante el 7o y 8° segundo del movimiento. Luego, para deter­
minar el segundo de orden «k» en que el móvil recorre los 46 m indicados en el enunciado del 
problema aplicaremos la misma ecuación:
= |a(2fe-l) -» 46 = |-4(2*-l)
26 = |a(2n-l)
30 = |a[2(n + l)-l]
Dividiendo (2) (1) tenemos:
/? = 12
Evaluando para el quinto segundo: 
Ax5. = — a(2 -5 — 1) —> Ax5o = a
Así, reemplazando (2) en (1): ^a(2n-l) = 3 
Entonces, este fenómeno en particular sucedió en el décimo cuarto segundo del movimiento.
Rpta. E
Designemos por «a» a la aceleración de este movimiento, y por «n.» el orden del segundo en el 
cual la distancia recorrida fue 26 m.
Luego, (n + 1) sería el orden del segundo inmediato en el cual el móvil recorre 30 m. Así pues, 
aplicando la ecuación simplificada del n-ésimo segundo, tendremos:
Axn. = ia(2n -1) . .. (uo = 0)
uo = 0 ¡ ’ I
a. i n"s I (n + 1)° 8 I
h-—------ H*- — 4
30 m
v0 = 0 ¡
O— j 18________ _
AXp Axn.
■
15 m25 m
Rpta. DAx = 5 m
A)18s B) 12 S E) 19 sC)10s D) 15 s
□□□QoaoonoODooDODoaooaooaoaooooaoooaanODOOoooaoooUDOOOU
Para el primero: áx1 = v}-t ■ - ■ (D
Para el segundo: Ax.> = u2't ... (2)
Para el tercero: ■ • • (3)
... (4)De la figura: Ax2 = Ax, + 2m ! uo = 0 3 3
■ ■ ■ (5)Ax3 = Ax, + m
m = Ax3 - Ax,De (5):
Física Fundamentos y Aplicaciones200
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Axa
Luego, la distancia recorrida en el último intervalo de tiempo «t» será 5 m.
Prob. 13.- Tres móviles parten de un mismo punto en la misma dirección; los dos primeros con velocidades 
constantes de 50 m/s y 80 m/s respectivamente, y el tercero parte del reposo con una aceleración de 13 m/s. 
¿Al cabo de qué tiempo los otros dos móviles se encontrarán equidistantes del tercero?
Ax3 = ^o£2
3 2
1^,/- 1 V\
'O4
zz<zz^z.z.zzzzzzzz?-zlzzzz4zz'zzz^0^z^í'+x
! Ax,
2 J./*. i i2^4^
*0—-5^........... i.......
ir-M
Analicemos los valores numéricos de los desplazamientos; éstos deberán satisfacer la propor­
cionalidad de los números de Galileo, y en este caso, por tratarse de dos intervalos consecuti­
vos iguales «t», dichos valores numéricos deberán ser dos números impares consecutivos.
Además no debemos dejar de reconocer que el movimiento es uniformemente desacelerado; 
por ello los números de Galileo deberán ser decrecientes.
Ahora, fijémonos atentamente en dichos valores y completemos la sucesión hasta llegar al 
último desplazamiento (de igual intervalo «í»), el cual deberá ser proporcional al número 1.
t t t t
!uf=0
^kRACSO
O BDITOXBÍ
Elaboramos el gráfico adjunto, en donde indi­
camos a los tres móviles y sus posiciones según 
la condición del problema.
u---------------------------------------------------«u------------------------------------ 4>-------------------- 4*-—H
35 m 25 m 15 m ¡Sin,
5(7) W)!
Ax
En (4): Ax2 = Ax, + 2Ax3 - 2Axx • í
2
Simplificando y reemplazando datos: u, + v2 = al
Rpta. Ct — 10 s
A)190;90 D) 160; 120 E) 150; 130B) 180; 100 C)200;80
tt uf = Ovc = O
Axj
■ ■ ■ (1) d
Para el móvil «1»: . . . (2)
Para el móvil «2»: • . . (3)
. . . (Fórmula para este fenómeno)Luego, reemplazando (2) y (3) en (1): d
t = 8 s
Rpta. D
D) 20 E) 13,5A) 16 B) 17,5 C) 2,5
201Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
u2
-■ 2
Según el gráfico adjunto, observamos que 
la distancia original es «d». Asimismo, 
cada móvil recorre los tramos Ax¡ y Ax2 
empleando el mismo tiempo, tal que:
Prob. 14.- Dos automóviles se acercan el uno hacia el otro a 40 m/s y 30 m/s respectivamente. Cuando se 
encuentran separados 280 m, los dos conductores se dan cuenta de la situación y aplican los frenos, llegando 
al reposo al mismo tiempo precisamente antes de chocar. Si la desaceleración es constante para los dos auto­
móviles, calcular la distancia recorrida (en m) por cada uno durante la frenada.
Prob. 15.- Un móvil parte de un punto con una velocidad v, = 20 m/s. Cuando posee la mitad de dicha velo­
cidad pasa por su lado otro móvil en sentido opuesto, el cual llega al punto de partida del primero luego de 2 s. 
Calcular la rapidez (en m/s) del segundo móvil en el momento del cruce, si los dos poseen aceleraciones del 
mismo módulo; 10 m/s2.
«O—
7/Z7//'^ZZZ/Z'7/77/7.Z.7 ̂
¡------7-------------- ■+
-M*
u, ■ í
íul+u2 Yl 2 J
Reemplazando valores en la fórmula deducida obtenemos:
u. • t
u2 • t = 2 —ai2 -Uj
Ax2
d = AXj + A.r2
Por tratarse de movimientos uniformemente variados, pero con aceleraciones no necesaria­
mente iguales, aplicaremos la ecuación de la velocidad media, y nuestra estrategia consis­
tirá en suponer que el móvil «2» se mueve de «B» hacia «C», por cuya razón: = +40 m/s y 
u2 = +30 m/s.
a
Finalmente, llevamos este resultado a (2) y (3): A*, = 160 m; Ax2 = 120 m
t = 2 8
Ax = ...(*)
Si a = +10, en (♦):
Rpta. B15 = vi2 = +17,5 m/s
E) 54 m
V
A
Ax2
d
202 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 16.- Un automóvil viaja a razón de 72 km/h. De pronto el conductor ve delante de él la luz roja de un 
semáforo, y aplica los frenos, retardando uniformemente su movimiento a razón de 5 m/s2, deteniéndose justo 
al lado del semáforo. ¿A qué distancia del semáforo se encontraba el automóvil cuando se encendió la luz roja? 
(Nota: El tiempo de reacción media para un conductor es 7/10 s).
A) 35 m B)40m C)14m D) 60 m
RACSO 
BDITOKES
a = 10 m/s2
se encuentra movién-
4to. El conductor emplea 7/10 s para 
reaccionar, lo que significa que el auto­
móvil continúa avanzando con velocidad 
constante durante dicho tiempo.
En la figura este desplazamiento es des­
de «A» hasta «B», e indicado por Ax}.
Explicaré lo que va sucediendo durante este fenómeno:
1ro. El automóvil se desplaza a razón de 72 km/h = 20 m/s.
2do. Se enciende la luz roja cuando el automóvil se encuentra a «d» metros del semáforo.
3ro. La luz roja viaja «casi» instantáneamente hasta los ojos del conductor, encontrándolo 
(prácticamente) a «d» metros del semáforo. , w
7/10 s Lu2g
a i|Br=®
^.%^zzzz<ziz +x
I Ax, ■'
Bn
.. — *0^5^ 
^^^^^^Zzzz/zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz^^'g^^ 
i I------------------------- ----------- H
Ac2 = 15 m
ui2 = -2,5 m/s (Absurdo)
Este valor no puede aceptarse porque ello supondría que el móvil «2» 
dose en du-ección contraria al que menciona el propio problema.
Sia = -10, en (*): 15 = ui2-2 + |(-10)-22
Analicemos primero al móvil que va de ida. Observamos, de los datos, que este móvil tiene 
movimiento desacelerado, dado que su velocidad disminuye de 20 m/s a 10 m/s.
Luego: l»q = u2 + 2aAx . . . a (-) uii
-> 102 = 202 + 2(-10)Ax -> Ax = 15 m
Analicemos ahora al móvil que va de regreso, 
y llamemos ui2 a su velocidad cuando se cruzó 
con el móvil «1» en el punto «B». Lo que no 
podemos asegurar es si su movimiento es ace­
lerado o desacelerado. Aplicaremos para ello 
la ecuación del desplazamiento.
u • t + ~oí 
0 2
15 = ui2-2 + |10-22 ->
Tramo AB: . . . (MRU)Ax Axj = 14 mvt
Rpta. Ed = 54 m
*2ai
A) 15; 30 B) 5; 80 D) 10; 30 E) 5; 15C) 10; 20
t
Móvil «1»: . - . (1) t
Móvil «2»: - - • (2)
. • • (3)
ÁX2
-d + ±a2t2De (1) y (2) en (3): b
AX!
Despejando «¿»: t ~ 10 st =
Móvil «1»: i?! = 80 m/suoi + = 0 + 8 • 10
Rpta. DAu = 30 m/sy2 = uo2 + a2¿ = 0 + 5 • 10 u2
a¡, = 6 m/s2
20 m
A) 4 s B) 6 s C)8s
203Unid. 3 - Clip. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
Tramo BC: u2 = u2 +2aAx
Finalmente: d = &x} + A.v2
Prob. 17.- Dos móviles parten del reposo con aceleraciones constantes 
a, = 8 m/s2 y a2 = 5 m/s2. ¿Al cabo de qué tiempo el móvil «1» alcanzará 
al móvil «2-, y qué diferencia de velocidades (en m/s) presentan en ese 
instante?
Prob. 18.- Dos móviles se encuentran inicialmente en reposo, y 
separados por una distancia de 20 m. Si ambos parten en la misma 
dirección, según se indica en la figura, ¿al cabo de qué tiempo como 
mínimo ambos móviles se encontrarán distanciados 4 m?
:ZZXZZZZZZZZ'ZZZZ,;ZZ'Z
H---- - 150 m------ rt
□
a, = 8 m/s2
£L_
= 50 m/s
E) 2^6 s
Ax2
D) V6 s
= 40 m
U1
h-d=150m—b
2d
al ~a2
Esto significa que luego de 10 s de iniciado cada uno de los movimientos, el móvil «1» alcanza 
al móvil «2». Hasta el final de este intervalo los móviles poseerán las siguientes velocidades:
5to. En «B» el automóvil inicia su movimiento desacelerado con uo = 20 m/s y a = -5 m/s2 has­
ta detenerse por completo en «C» (al lado del semáforo), esto debido a que el conductor aplica 
los frenos desde «B». En la figura, el desplazamiento efectuado es Axj.
- ^=20¿
O2 = 202 + 2(-5)Ax2
En el gráfico adjunto anotamos los datos del problema, en el que consideramos a «E» como el 
lugar donde se produce el encuentro.
tei=^ait2 . ..(uol = 0)
A-r2 = |°2í2 • • .(uO2 = 0)
Del gráfico vemos que: Axj = d + Av2
Móvil «2»:
^□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ounoDaaaaaaDaaQnnnQDDaonaaaDODOODOD
Móvil «1»: ... (1)
Móvil «2»: • • ■ (2)
Del gráñco: As, + 4 m = Ax2 + 20 m • ■ ■ (3)
(3), y resolviendo: i • 8í2 + 4 =
2
Rpta At = 4 s
C)3s D) 4 s E) 5 s
QOOC)ODODODODODaDnDODODnDaODaaaDOC)DOanODDDDQOOODDDOOOODD
Encuentro(u„ = 0) uo = 0
• ■ ■ (1)
10 + x= 124 • ■ • (2)
204 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
^4 RACSO 
BD1T0KBS
a = 4 m/s2
Indiquemos por «E» el punto de encuentro entre el ciclista y el automóvil.
Para el automóvil (MRUV):
Prob. 19.- Un auto se encuentra a 10 m de distancia de un ciclista que se mueve con MRU, y hacia el auto, 
que a su vez parte alejándose con aceleración constante de 4 m/s2. ¿Al cabo de qué tiempo ambos móviles se 
cruzan por segunda vez? (Velocidad del ciclista = 12 m/s).
A) 1 s B) 2 s
-> Ax = i-4(2
-> = 2t2
1>„= 12 m/s
h------ 10 m-------4------------—--------- H
A-'vl =|ai<2 •■■(v„i = 0)
Ax2=|°2i2 • ■ ■ (uo2 = 0)
Reemplazando (1) y (2) en
Ax = -^at2
Puesto que el móvil «1» se desplaza con mayor aceleración que el móvil «2», entonces, duran­
te el desarrollo de los movimientos se presentan dos instantes enque los móviles se encuen- 
tran a 4 m de distancia: La primera, antes que el móvil «1» pase al móvil «2», y la segunda 
cuando ya lo haya pasado. Así pues, el tiempo mínimo solicitado se presentará en la primera 
de estas circunstancias. Elaboramos un esquema del primer momento: 
,____________
v01:=o ^o2=o • 
"" l_ *23
Para el ciclista (MRU): s = vt
|-6/2+20
(t- l)(í-5) 1 s ; í2 = 5 sO -> íj
Rpta. Et - 5 s
A) 1 m E) 5 mB) 2 m C) 3 m D) 4 m
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□a
• Para el hombre (MRU): s = ut uh = 6 m/s
. . . (1)20 + &x = 6í
• Para el ómnibus (MRUV):
... (2)
t 12±>/36 Número complejot
• Ómnibus: 6 = 0+ It 6 stu{= vo + at
Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado 205
RESOLUCIÓN
De (1) en (2), y reconociendo la ecuación de 2do grado obtenida, tendremos: 
t2 - 6¿ + 5 = 0
Analizando ambas respuestas diremos que luego de 1 s el ciclista logra pasar al automóvil, 
y en ese instante posee una velocidad de 4 m/s. Seguidamente, diremos que luego de 5 s el 
auto ha logrado alcanzar al ciclista por segunda vez, y esta vez presenta una velocidad de 
20 m/s.
Prob. 20.- Un pasajero se encuentra a 20 m de un ómnibus detenido. Cuando el pasajero corre hacia el 
ómnibus a razón de 6 m/s, aquel parte alejándose con aceleración constante de 1 m/s2. ¿En cuánto tiempo el 
pasajero logra alcanzar al ómnibus? Si no lo alcanza, ¿hasta qué distancia como mínimo logró acercarse al 
ómnibus?
at2 ... (uo = 0) ->
Cálculo del tiempo de alcance.- Supongamos que el pasajero logra dar alcance al ómnibus en 
el punto «E». Entonces tendríamos lo que mostramos a continuación:
uo = 0
a = 1 m/s2
I*-------- 20 m---------H-I
Ax = i-lí2 
2
. 12±7(-12)2-41-40
21 2
Luego, como el tiempo sólo acepta valores reales, nuestra suposición planteada es errada; 
esto significa que el hombre nunca alcanza al ómnibus. Sin embargo, notaremos que mien­
tras el ómnibus tenga una velocidad menor que la del hombre, éste se le irá acercando paula­
tinamente hasta encontrarse a una distancia mínima dmín. Esto ocurrirá cuando la velocidad 
del ómnibus haya aumentado hasta el valor de la velocidad del hombre, hecho que se presen­
tará al cabo de 6 s. Luego de ese instante el ómnibus seguirá aumentando su velocidad y su 
alejamiento del hombre aumentará continuamente.
Ax = x'2
Luego, de (2) en (1): 20 + -^í2=6í
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenida: ¿2 — 12¿ + 40 = 0
Hasta este tiempo el hombre y el ómnibus se habrán desplazado «s» y Ax. Veamos.
• Hombre: s = ut = 6 • 6 s = 36 m 20 mr
• Omnibus:
Ax = 18 m
Graficando estos resultados obtendremos dm¡n: = 20+18
Rpta. B= 2 m
A) 12; 220 E) 16; 180B) 18; 180 C) 9; 200 D) 18; 210
uf = vo + at = 0 + 2 • 6 ¿2^ = 68
vt = 12 m/s . . . (Punto «B»)
s
• Automóvil: Ax = 36 m
• Camión:
Física Fundamentos y Aplicaciones206
RESOLUCIÓN
Prob. 21Un auto está esperando que cambie la luz roja de un semáforo. Cuando la luz cambia a verde, el 
auto acelera uniformemente durante 6 s a razón de 2 m/s2, después de lo cual se mueve con velocidad cons­
tante. En el instante que el auto comienza a moverse, un camión se mueve en la misma dirección con velocidad 
constante de 10 m/s y lo pasa. ¿En qué tiempo (en s) y a qué distancia (en m) se encontrarán nuevamente el 
auto y el camión?
BlA;
H— 36 m
c:
al2 .. . (u0 = 0)
[[ Auto estacionado
^////^///////////////^
Además, en este tiempo logra recorrer una 
distancia de 36 m. En cambio, el camión logró 
avanzar 60 m desde que pasó por «A». Haga­
mos los cálculos:
RACSO
BDITO1BS
sc = vct ... (MRU) —> sc = 10 6 -» sc = 60 m
De este análisis deducimos que el automóvil no logró alcanzar al camión durante su movi­
miento acelerado. Supongamos que el lugar donde el automóvil alcanza al camión es el punto 
«C». Así pues, observaremos que cada móvil habrá recorrido la misma distancia: (36 + x) m 
en el mismo tiempo: + í2)- Veamos los detalles:
En los gráficos adjuntos mostramos lo que ocurre en este suceso.
Analicemos lo que acontece en los primeros 
6 segundos. En primer lugar, en este tiempo, 
el auto logra aumentar su velocidad de 0 m/s 
hasta 12 m/s.
a = 2raJs2 U^12m/8
C^mín
36 + dm¡n
— 18 m------ H
J , , — , __ !—
h------------------ 36 m------------------ H*—*1
Omfn
Ax = i-2-62 ->
2
Ax = ^at2
Ax = |-l-62
2
Ax = l
... (1)BC:
. . . (2)
:. tT = 18 sÍT — ¿i + Í£
Rpta. BD = 36 + x
A) 7 s E) 21 sD) 17 sB) 11 s C) 13 s
207Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
■2^
MRU
Sean «A» y «C» el automóvil y el camión respectivamente. Elaboramos un esquema en el que 
se muestran las posiciones inicial y final de estos móviles así como sus respectivos desplaza­
mientos, al cabo del tiempo «t» que nos piden calcular:
Prob. 22.- Un auto y un camión se mueven a 72 km/h por una autopista. Cuando el auto está 5 m detrás 
del camión, comienza a acelerar hasta colocarse a 55 m delante de él. ¿Cuál será el tiempo mínimo de la 
operación, si la máxima aceleración del auto es 2,5 m/s2, si además se sabe que su máxima velocidad es de 
90 km/h?
sa ~ x~ 12iz
Camión.- Desde el punto «A» se desplaza con MRU, por ello, la distancia recorrida hasta «C» 
se calculará a partir- de:
AC:
i) El camión realiza durante todo el tiempo «í» un MRU, con velocidad constante:
= 72 km/h = 20 m/suc
Luego, el desplazamiento ¿xxc que experimenta en ese tiempo está dado por:
Axc = uc ■ í —> A.vc = 20/ ... (1)
ii) El desplazamiento Axa del automóvil se compone de otros dos, así:
&xA = Atj + Ax2 ... (a)
MRUV
Up vc vc vs
(A) (C) (C) (Á)
I I---------------------2---------------H
I Axa
sc ~ uct ~> 36 + x = 10(6 + í2)
Resolviendo (1) y (2) tendremos: t2 = 12 s y x = 144 m
Finalmente, las respuestas para el tiempo total ¿T y la distancia «D» respecto de «A», en que 
el auto y el camión se vuelven a encontrar, serán:
D = 180 m
Automóvil.- Desde el punto «B» inicia un MRU con uA = 12 m/s. Luego, la distancia recorrida 
hasta «C» será calculada así:
A.V1 . . . (P)
velocidad constante us = 25 m/s, viene dado
Rpta. Ct = 13 s
E)UyD
□ □□□□□□□□□□OOODOOODOOODDaOCiaODDOODDOODDaOOOOaDQaOOOOOOO
208 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
Prob. 23.- Tres autos A, B y C se encuentran sobre una línea recta, estando «B» a igual distancia de «A» y 
«C». Si el auto «A» se mueve hacia el norte con velocidad constante «v», y el auto «C» parte del reposo hacia 
el sur con aceleración constante «a», ¿de qué modo debe moverse el auto «B» paralelamente a «A» para que 
en todo instante los tres se encuentren en una misma recta? U = uniforme, A = acelerado, D = desacelerado.
A)U B)A C)D D)UyA
Al tratarse de trayectorias paralelas, los móviles mantendrán siempre la misma separación 
lateral, que en este caso viene dado por «m».
Como condición del problema, «A» posee MRU hacia el norte. Entonces, para un tiempo «í» 
dado se habrá desplazado:
dA = ul
En ese mismo tiempo el móvil «C» habrá salido desde el reposo hacia el sur, y con MRUV de 
aceleración «a», y que en el mismo tiempo que «A» se habrá desplazado:
c 2
RACSO 
O EDITORES
j • 2 —> Axj = 45 m
Si «í» es el tiempo que emplea el automóvil en sacar 55 m de ventaja al camión, entonces el 
tiempo que duró la segunda etapa de su movimiento, que fue MRU, es t2, tal que:
t2 = t — ty — t — 2 s
Luego el desplazamiento Av2 en ese tiempo, con 
por:
El desplazamiento AXj es el desplazamiento que realiza el automóvil durante su movimiento 
acelerado donde la velocidad inicial es uP = 20 m/s y la velocidad final es us = 90 km/h = 25 m/s, 
con una aceleración constante a — 2,5 m/s2. El tiempo empleado en este proceso está dado 
por:
Aya = 5 + Arc + 55 ... (3)
Reemplazando (1) y (2) en (3), se tiene: 45 + 25 (¿ - 2) = 60 + 20¿
^=(“±25
Vj = u0 + at —> 25 = 20 + 2,5 • t1 —> t1 = 2 s
En esta primera etapa de su movimiento, el automóvil realiza un desplazamiento Axp que 
viene dado por:
Ax, = us • t2 —> Av2 = 25 (í - 2) ... (0)
Reemplazando (p) y (0) en (a): Axa = 45 + 25 (t - 2) ... (2)
Finalmente, del esquema mostradoreconocemos que la condición del problema se verifica 
cuando:
N
m
-> dB B CA
muoB s
Y: Rpta. C(Movimiento desacelerado)aB
A) 3 E) 10C)7 D) 9B) 5
...(*)
x (cm)
En (*):
a
x (cm)
En (•): . . . (2)
Rpta. B
209Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
Prob. 24.- Un carrito de demostraciones se movía a lo largo de una regla con aceleración constante. Cuando 
el cronómetro marcaba t, = 7 s, el carrito se encontraba en el punto x, = 70 cm; cuando t2 = 9 s, x2 = 80 cm; y 
en el momento t3 = 15 s, x3 = 230 cm. ¿Qué aceleración (en cm/s2) poseía el carrito?
M
2
= f
dA
<Z0'zz-0o x0- :
Haciendo un gráfico aproximado para ubicar a los 
móviles «A» y «C», observamos que sobre la recta 
que los une se ha de ubicar el móvil «B», que para el 
gráfico construido se deberá desplazar hacia el nor­
te, y habrá recorrido la distancia en el tiempo «í» 
considerado. Seguidamente, utilizando el teorema 
de Thales de los puntos medios, diremos que:
r-078
V 
-t-Q
t-
dc
1.
;-07s ;-<Z)15s
E
Ia
Resolveremos este problema aplicando principalmente la ecuación general que define la po­
sición «x» de un móvil que se desplaza con MRUV:
x = xo + uo - Q+| a<¿ - Q2
a) Entre t0 = 7 s y t = 9 s.- De los datos dados ubica­
mos al móvil en el eje «x», y al graficarlo notamos 
que la velocidad inicial u0 es la misma que en el 
intervalo anterior.
80 = 70 + uo(9-7) + |a(9-7)2
-> u0 + a = 5 ... (1)
b) Entre t = 7 s y t = 15 s.- Señalamos en el gráfico ad­
junto los datos de posición, velocidad y aceleración.
230 = 70 + u0(15-7) + |a(15-7)2 -> i
Resolviendo (1) y (2) encontramos la aceleración:
,= 70 cm x = 230 cm
u0 + 4o = 20
a = 5 cm/s2
r-0"
aÜU///^ 
o xo= 70 cm x = 80 cm
= |(dA-dc) 
dB=i(uí-laí2)
GRÁFICOS DEL MRUV
x (m)
40
t(s)
-2
A) 0,5 B) 1,5 C) 2,5 D) 5,5 E) 7,5.
A partir del gráfico «posición vs tiempo», podemos identificar los siguientes datos:
0 84t
...(*)0 -2 0x
Evaluando la Ecuación General del MRUV, se tienen las siguientes ecuaciones:
i) ... (1)xo = 0
ii) ... (2)
0 • ■ • (3)oo + 4a
,/s2Resolviendo se obtiene:
Reemplazando en (*), se obtiene:
Rpta. CY para Z = 10 s, la posición «x» es:
to
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□oaaaanDDDaDaaaaoDDnnaoaaüüODOOOOQ
210 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 25.- En el gráfico se muestra la posición «x» en función del 
tiempo «t»> de una partícula que se mueve en el eje «x» con MRUV. 
Calcula la posición de la partícula cuando t = 10 s.
Nuestra estrategia consistirá en elaborar una gráfica «posición-tiempo», en donde la parábo­
la del MRUV del convoy, se vea «tocada» por la recta del MRU del sonido.
Si «P» es el punto de contacto, entonces la pendiente de la parábola en ese punto, igual a la 
velocidad «u» del convoy, por condición del problema debe ser mayor o igual que la pendiente 
de la recta, que a su vez es igual a la velocidad del sonido «us».
RACSO 
W EDITORES
* = *o+lV
x = +2,5 m/s2
0 = xo+uo(0) + la(0)2
-2 = 0 + uo(4) + la(4)2
iii) 0 = 0 + uo(8) + |a(8)2
E) ' 2t0
2u0 + 4a = -1
x = -10 + l(10)2 
O
|aZ2
u0 = -1 m/s a a = +-^- mz
0+(-l)z+|[l)z2
Prob. 26.- Un convoy militar deja una bomba programada para explotar al cabo del tiempo «t0». Si el convoy 
militar parte con MRUV, se pide calcular la mínima aceleración del camión para que el sonido que emite la 
explosión sea escuchado por los militares. Considere vs = velocidad de sonido.
A) 73^. B) 72^ C) £
1q o
i) Para la recta se cumple que: x
• - . (1)
Xp
v = at
Donde: ... (2)at vs t
Además: ... (3)
0
...(*)t
Rpta. C
x(m)
B) 4 i
t(s)0E) 9i
a) La velocidad «o» en el instante «í0» viene dada por:
i) • • • (1) xp
ii) u = Pendiente de la recta tangente en t = t0:
... (2)u = tan 6
0De (1) y (2): ...(*) Ai
■ ■ • (••)
• • ■ (•••)Del gráfico se observa que:
211Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
A) 2i
D) 87
Trabajando con los valores mínimos, reemplazamos 
(2) y (3) en (1):
Sonido
(MRU)
Convoy. 
(MRUV)
i'
«o
H-
«o
-H
Ax — 7^^ + —a t
Prob, 27.- Una partícula parte del reposo y se mueve en la dirección 
«+x» con aceleración constante de 2 m/s2 y cuya gráfica «x-t» es la que 
se muestra en la figura. ¿Qué velocidad, en m/s, desarrolla en el instante 
«t0» si el área de la región sombreada es 2 ms?
C) 67
at = ------
«-‘o
Reemplazando (*) en (2) y despejando, se tiene que:
tan9 = ^ 
Ai
xp
tan 6 = —
Ai
2¡„
tan 9 = ato
“(2í„) u8
“mi" = 21^
b) La posición «Xp» del móvil en el instante «í0» está dada por: 
xp = xo+uoz + |“i2 “♦ xp=0 + 0 + |-at2
v = aí0t> = u¡ + at = 0 + at0
a¿2t0
I 
t
M 11
Ax = iaí2
xP=|aío
V = -^- 
8 Z «o
ii) En el punto «P» de la parábola se cumple que:
v{ = + at
De donde: Ai
S = |Q'°De este modo el área del triángulo es:
!
í„ = 2s
Rpta. B
/Parábola
C) 64
t
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ODOODQOaOüOOOQ
Luego: t = 4 s
= u0 + at = 0 + 8 ■ 4
Rpta. EVf = 32 cm/s
(m)x
A25
14 B
B) +0,7 C) -2,1A)-1,2
t(s)0 5E)+0,9D) +1,4
Física Fundamentos y Aplicaciones212
RESOLUCIÓN
B) 16
E) 32
Por la forma, posición y orientación que presenta la parábola podemos decir que en t - 0 s, 
x = 0 m; uo = 0 m/s (pendiente cero).
Como se sabe, el área bajo la tangente en todo instante debe estar dado por la ecuación de­
ducida en el problema anterior:
¿o=8
v = 4 i (m/s)
RACSO
WEDITORES
s=1(1 oí° )(!'<>)
&
— at0
At = ^- 
tan 9
Prob. 28.- Dado el gráfico «x vs t» para una partícula que se des­
plaza rectilíneamente con aceleración constante a = 8 cm/s2, ¿cuál 
es la velocidad (en cm/s) en el instante «t» en que el área sombreada 
sea 64 cms?
A) 4
D) 8
Prob. 29.- La gráfica registra las posiciones >>x» de dos móviles «A» y «B» en 
función del tiempo «t». Si la rapidez de «A» es 1 m/s, determine la velocidad 
media de «B» (en m/s) entre los instantes en que ambos móviles ocuparon la 
misma posición.
At=^ 
Oío
S = — Xp • Ai
c) De acuerdo con la condición del problema, referida al área «S», se tiene:
2 = |(2)ÍO3 - '3
Sustituyendo en (1): v = 2(2) = 4 m/s
A = |aí3 
O
Pero, por dato: A = 64 cm s y a■ = 8 cm/s2
64 = i-8í3
8
Así, la velocidad en dicho instante deberá estar dada por:
. . • (2)
íf = 7 s0 t¡ = 2 s14 + t
Rpta. D
v(m/s)
2 
A) 6 B)7 C) 8
0 4 6 t(s)2D) 9 E) 10
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
.. ■ (1)Axj + Ax2 = 0 —> Ax, = -Ax2 v (m/s)
2 
2 60
i) Ar, ■ • ■ (2)Ax3 = 8 m
-(i-6)
213Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 30.- Un móvil se mueve a lo largo del eje «x», y la figura 
muestra su velocidad (v) en función del tiempo (t). Determine el ins­
tante (en s) en que el móvil vuelve a su posición inicial, esto es, la que 
corresponde a t = 0.
= +1,4 mis
■m*
Sean Axj y AX2 los desplazamientos que realiza el móvil desde t = 0 s, entonces, si la condición 
es que regrese al punto de partida, se debe cumplir que:
 Ax (21 — 14) m 
Um “ A? - if-íj (7-2) s
(í-6)
J455 H t(s)
Vt i-(t-6)
Nuestra estrategia consistirá en determinar los interceptes entre ambas gráficas, para lo 
cual determinamos las ecuaciones que definen a cada movimiento.
i) Para «A».- Por tratarse de un MRU con vA = +1 m/s y xoA = 14 m, se tendrá:
x = xoA+uAí x=14+l-í ...(1)
ii) Para «B».- Asumiendo que la curva es una parábola de la forma x = -t2 cuyo vértice ha sido 
desplazado hasta (5; 25), entonces la ecuación viene dada por:
x-25 = -(¿ —5)2 -> x=25 —(í-5)2
Resolviendo (1) y (2) determinamos los instantes «í» en que los móviles ocupan las mismas 
posiciones, lo que se consigue igualando las ecuaciones:
25 - (i - 5)2 -> t2 - 9¿ + 14
Sustituyendo estos valores en (2): x¡ = 14 m a xf = 21 m
Finalmente, la velocidad media de «B» entre ambos instantes la determinamos aplicando la 
ecuación que la define:
Es decir, un desplazamiento es el opuesto 
del otro. En el gráfico ello tiene lugar con las 
áreas bajo la curva ubicadas antes y después 
de t = 6 s.
Axí \ 
45° 
------ 4~^
. . ■ (3)
(t - 6)2 = 16Reemplazando (2) y (3) en (1):Rpta. E
v(m/s)
8
0 4
v
tan P = m2 =tan a = ni. v
a v8 t.i) v - 8 = t ■ tan a •. . (1)
ii) u = (t — 4) ■ tan P . . . (2) P
t0
3 4
Rpta. C16£ — 160 = 9í t « 22,8 s
A
B
7 T
C) 14A) 18
0 t(s)7E) 24D) 20
Física Fundamentos y Aplicaciones214
RESOLUCIÓN
14
Prob. 31La gráfica muestra la dependencia de la velocidad en función 
del tiempo de dos partículas «P» y «Q». Determine el instante de tiempo 
(en s) en el que las partículas adquieren la misma velocidad sabiendo que 
las pendientes m, y m2 son 3/4 y 4/3 respectivamente.
A) 38,5 B) 35,4
C) 22,8 D) 18,6
E) 9,5
Prob. 32.- En la figura se muestra las gráficas «v vs t» de los 
movimientos rectilíneos de dos móviles «A» y «B». ¿Con qué 
velocidad inicial (en m/s) partió «B», si cuando sus velocidades 
se igualaron por segunda vez sus desplazamientos también se 
igualaron? Considerar rr = 22/7.
B) 15
v (m/s) 
v0
Ú
4 t
h— t— 4 —H
Sea «t» el instante de tiempo en el que las velocidades 
de ambos móviles se igualan a «u». Luego, sabiendo las 
pendientes, se deduce que:
= 3
4
= (t-6)(t-6)
2
RACSO 
tP EDITORES
t(s)
Aplicando la ecuación que define a la tangente trigono­
métrica en el esquema mostrado, se tiene:
ii) Ax2
• u-8
4-1
t = 10 s
= .(£z6¿
2 2
u-8=t| 
4
u = (t-4)4
ó
Reemplazando (2) en (1): (í - 4)~ - 8 = t
V (m/s)v (m/s)
A
Rpta. A18 m/s
v (m/s)
10 -
A)-0,50 B) +1,00 C) +1,50
0 10 t(s)D)-0,75 E) -2,00
v (m/s) e
La
0 = 143°Luego: 37°a
í(s)0
Por lo tanto: a = tan 0
Rpta. D
A)1 B) 2
C) 3 D) 4 4
E)5 0 5 x(m)
215Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 33.- Un móvil posee una velocidad variable, según 
muestra la gráfica. Determinar la aceleración (en m/s2) en el 
instante t= 16 s.
Prob. 34.- Un móvil con MRUV tiene el comportamiento mostrado en la 
gráfica. ¿Cuál es la aceleración (en m/s2) del móvil si en x = 0, v0 = 2 m/s?
Luego, nuestro problema se reduce a calcular 
las áreas bajo cada curva hasta dicho instante 
e igualarlas, dado que ellas representan los des­
plazamientos producidos, y que, por condición 
del problema, también son iguales.
Haciendo la construcción correspondiente observa­
mos que la pendiente de la recta tangente a la curva 
en P(í = 16 s) será la aceleración instantánea.
v^rn^s2)
44 -
Vo
1.o t(s)14
10/“¡
Notamos que el instante en que las velocidades de «A» y «B» se igualan por segunda vez está 
dado por el segundo punto de intersección de sus gráficas «v vs t» contadas de izquierda a 
derecha; esto sucede en t = 14 s.
a = -0,75 m/s2
Reemplazando n ~ — , y resolviendo:
|(u0+7)14 = ln.72+714
10 16
H—6—4
— A2 —> 14 0
sena = A = |
10 5
22
7
Rpta. D
1
5 t(s)4O 31C) 5 D) -2 E)-3A) 6 B)7
Rpta. Bt>f - u0 = área
A) 69 B) 61 C) 84
D) 72 E) 80 20 t(s)O 64
12
112At>
4O = 3v-u u = 20 m/s
4 í (8)
Rpta. C
Física Fundamentos y Aplicaciones216
[ RESOLUCIÓN
[resolución
RESOLUCIÓN
1
2
Prob. 35.- Una partícula se mueve a lo largo de una línea 
recta con una aceleración en función del tiempo, según se 
muestra en la figura. Si para t = 0 s, v = 4 m/s, calcular la 
velocidad (en m/s) de la partícula cuando t = 4 s.
Prob. 36.- Se tiene el gráfico «aceleración vs tiempo» de 
un móvil que se desplaza sobre una recta. Si para t = 0 s la 
velocidad es «v», y para t = 4 s la velocidad es 3v, determinar 
su velocidad (en m/s) para t = 6 s.
Luego, la velocidad en t = 4 s es:
b) Desde 4 s hasta 6 s: Área = Au
24 = u(6) - 60
I
8 
0
a (m/s)2
RACSO 
W EDITORES
l»(4) = 3u = 60 m/s
-> 12 ■ 2 = u(6) - u(4)
u(6) = 84 m/s
a = 4 m/s2
Recordando la solución del problema anterior, calcula­
remos el área bajo la curva, para así calcular finalmente 
la velocidad en t = 6 s.
a) Desde 0 s hasta 4 s: Área = Au
-» |(8 + 12)4 = u(4)-u(0)
Del gráfico podemos reconocer que: xo = 0 ; = 4 a x{ = 5 ; uf = 44
Luego, en base a la ecuación de los cuadrados de la velocidad del MRUV, se plantea que:
Uf =Vq + 2aAx —> vf = u2 + 2a(x{ — x0)
Reemplazando datos, se tiene: 44 = 4 + 2a(5 - 0)
a (m/s)2
12
a (m/s)2
Recordando que el área bajo la curva en el plano «aceleración vs tiempo» da el cambio expe­
rimentado por la velocidad: Au = área. Entonces si u0 = u(0) = 4 m/s, .se tiene:
u(4)-u(0) = |(2 + 4)l u(4) = 7 m/s
ECUACIONES VECTORIALES
D) -1,00 i; 12,0 E) -2,00 i; 6,00
(16,0 - 8,00) m/s i 8,00 m/s i - uo vo = 2,00 m/s i
Rpta. C
C) -6,00 i; 30,0 i; 200
□□□□□□□□□□□□□□□□ODDDOOOQOüOOOOOOODOOaOOODDaDDDnDaDDDDna
217Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B) -4,00 i; 35,0 i; 150
E) -5,00?; 40,0?; 150
«0 = °
: ü0=?
A
i ü3 = 26i 
ÍÍZ 
D
(16,0-8,00) m/s i (26,0-16,00) m/s i 
(7,00-3,00) s “ Z3-7,00s
í3 = 12,0 s
Prob. 38.- Una partícula experimenta un MRUV a lo largo del eje «x». En un instante dado su velocidad es 
+20,0 m/s i y 12,0 s después se convierte en -40,0 m/s i . Se pide determinar:
a. La aceleración del movimiento (en m/s2).
b. El desplazamiento hasta el instante en que la partícula se detiene (en m).
c. La distancia recorrida (en m) durante los primeros doce segundos.
A) -3,00?; 30,0?; 100
D) -5,00?; 40,0T; 200
Prob. 37.- Un automóvil se desplaza sobre la recta «x» con MRUV. Se sabe que en t, = 3,00 s, su velocidad 
es v, = 8,00 m/s i , y en t2 = 7,00 s es v2 = 16,0 m/s i. Determinar:
a. La velocidad inicial (en m/s).
b. El instante t3 (en s) en que la velocidad es v3 = 26,0 m/s i .
A) 3,00?; 6,00 B)2,507;4,00 C)2,00T;12,0
Í3 = 3
I üi = 8i cr~
B
t2=7 í3=?
• ü2 = 16i
c
a) Si ü0 = +20,0 m/s i, deducimos que la partícula se mueve, desde el inicio, hacia «+x». Por 
otro lado, si luego de Ai = 12,0 s, la velocidad es v¡ = -40,0 m/s i, eso significa que la direc- 
ción del movimiento es ahora hacia «-x», es decir la velocidad redujo su magnitud hasta 
anularse.
a) Elaboramos un esquema para anotar los datos y visualizar la relación entre ellos:
Por tratarse de un MRUV la aceleración 
a del automóvil se mantiene constante.
Luego, aplicando la ecuación que define 
a la aceleración media en los tramos AB 
y BC, se tiene:
a - i72~i7i = ~U°___________________ _____________
l2-t¡ (7,00-3,00) s (3,00-0) s
b) Para determinar el instante ¿3 aplicamos la misma estrategia del ítem anterior en los 
tramos BC y CD:
^3-^2 
¿2 “ ¿1 ¿3 “ ¿2
T7
Reconociendo los datos:
Ait
x(m)
Ax
Física Fundamentos y Aplicaciones218
RESOLUCIÓN
Prob. 39.- Un móvil con MRUV parte de la posición +12,0 m i con una velocidad +8,00 m/s i. Si al pasar 
por la posición +20,0 m i su velocidad es +24,0 m/sT, se pide:
a. El tiempo transcurrido (en s) entre las dos posiciones dadas.
b. La ecuación del movimiento, si el móvil parte del reposo.
A) 0,571; x =(11,0 + 16,Ot2) mT B) 0,642; x =(12,0 + 8,00t2) mT
C) 0,741; x =(10,0 + 12,Ot2) mT D) 0,494; x =(13,0 + 12,Ot2) mT
E) 0,571; x =(12,0 + 16,Ot2) mT
x, = +12,0 mi; = +8,00 m/s i ;
x2 = +20,0 mi y ü2 = +24,0 m/si .
Elaboramos un esquema y aplicamos la 
2da ecuación del MRUV para determinar 
la aceleración a:
üf = ü0 + a ■ Ai
-40,0 m/sT = +20,0 m/sT + a(12,0 s) 
a = -5,00 m/s2 T
uo = 0 
aQ
5=0□ 
B
& 
B 
-I
— ------------ v---------------- '
a JjL a XX ~~ bQ — C(^
Xi = 12,0 *2 = 20,0
i---- J
Este aspecto del movimiento permite predecir que la aceleración a es hacia «-x» y que en 
algún punto del trayecto la velocidad es nula.
Considerando el trayecto A-B-C, aplicamos la
Ira ecuación del MRUV en su forma vectorial:
J1A
A Ax, 
a
Ax2
^LRACSO
WBDITO1BÍ
Sry - |+40,0 m i 1+1-160 mil
Rpta. D
O___
C 
H---------
b) Analizamos el tramo AB aplicando la 2da ecuación del MRUV:
v2 = v2+2abx -> O2 = (20,0)2 + 2(-5,00)Ar1 -> AXj = +40,0 m
/. Axj = +40,0 m i
c) A partir del esquema reconocemos que los recorridos son: Sj = | AVj | y s2 = | Ar21
Analizando el tramo BC: v2 = u2 + 2aAx2 —> (40,0)2 = O2 + 2(-5,00)Ax2
—> Ax2 = -160m Ax2=-160mi
Finalmente el recorrido total viene dado por: sT = Sj + s2
sT — 200 m
ü2 = ui + 2aAx
At = 0,571 s
X] -x0 + _%í + ^at2 x0 = +11,0 m
x = (11,0 + 16,Ot2) m i Rpta. A
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ocianüo=18,0i ü = 0
AxAx
219Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
Xj = 12,0 m i 
x2 = 0,0 m i 
Ax = (0,0-12,0) mi
Ai
el tramo AB, calcularemos el tiempo «í» entre
O c 
x3 = :i2,0 
H-----
a = +32,0 m/s2
12,0 = xo+1(32,0)(0,25)2
—> xQ = +11,0 m i 
Finalmente la ecuación del movimiento es:
«2 = 3.00 I
A
Prob. 40.- Una partícula se está moviendo a lo largo del eje »x» de acuerdo con la ley: x =(18,0t—6,00tz) m i. 
Se pide determinar:
a. El desplazamiento (en m) entre t, = 1,00 s y t2 = 3,00 s.
b. ¿En qué instante «t» (en s) las posiciones t, y final equidistan del origen de coordenadas?
A) -10,0T;1,24 B)-11,0T; 5,69 C)-12,0?; 3,56 D) -13,0?; 5,69 E) -12,0?; 5,36
24,02 = 8,002 + 2a(20,0 - 12,0)
+ a = +32,0 m/s2 i
a) Para determinar el tiempo Ai aplicamos la 4ta ecuación del MRUV:
+ v2 Ax (8,00 + 20,0) m/s i 8,00 m i
2 “ A? 2~—
b) Aplicando la Ira ecuación del MRUV en 
esos puntos:
ü1=ü0+ñí -> 8,00 m/s i = Ó+ (32,0 m/s2 i)í -> t = 0,250 s
A continuación determinamos xo aplicando la ecuación general del MRUV, en el tramo 
AB:
a = -6,00 i , ^)U = 0
B +x (m)
a) Evaluando la ecuación dada:
al) Para i, = 1,00 s: x¡ = (18,0-1,00-6,00-1,002) mi -) 
a2) Para t2 = 3,00 s: x2 = (18,0 ■ 3,00-6,00 • 3,002) m i - 
Luego, el desplazamiento viene dado por: Ax = x2 -Xj
Ax = -12,0 m i
- «1 = 1.00 - = ó
— Q----Q
Xj = 12,0 | +x (m)
b) Sean «B» y «C» los puntos que equidistan del origen de coordenadas, luego:
t2 - 3t - 2 = 0
Rpta. CResolviendo: -0,561 s (No) t2= 3,56 s (Si)
t(s) 1,00 8,004,00
+6,00 i +20,0 i-12,0 ix (m)
E) 4,00 i; 24,0 iD) 3,00 i; 20,0 i
□□aaanDOQoooüonaQQaDQQQOonDDDDaQaaDaanaaDaoaüDOOoaaüOO0
al) Para t = 1,00 s: •. . (1)
a2) Para t = 4,00 s: . .. (2)
a3) Para t = 8,00 s: . . . (3)
v2 = v2 + 2aAx v2 = (-16,0)2 + 2(4,00)(60,0 - 20,0) v = 24,0 m/s
.*. v - 24,0 m/s i Rpta. E
220 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
Prob. 41Una partícula se mueve con MRUV a lo largo del eje «x» de modo que su posición x par determi­
nados instantes «t» se conocen según el siguiente cuadro:
*3 = '«l
Aplicando la ecuación dada para el movimiento, se tendrá:
-12,0 = 18,0t —6,00t2 -> 6,00í2 — 18, Oí- 12,0 = 0
■fiá RACSO
W EDITORES
í = xo+üot+|at2
+6,00i=xo+üo(l) + la(l)2
-12,0i=xo+üo(4) + 15(4)2
+20,0i=xo+üo(8) + lñ(8)2
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:
xQ = +20,0 m i ; ü0 = -16,0 m/s i ; a = +4,00 m/s2 i
b) Considerando los valores obtenidos en el ítem anterior, determinaremos la velocidad final 
en la posición indicada (x = 60,0 mi) aplicando la ecuación de los cuadrados de la velocidad 
de MRUV:
= -12,0m
a) Nuestra estrategia consistirá en aplicar la ecuación general de la posición en un MRUV y 
evaluarla según los datos del cuadro:
Determinar:
a. La aceleración (en m/s2) del movimiento.
b. La velocidad (en m/s) en la posición x =60,0 m i .
A) 4,00T;12,0T B) 3,00T;18,0T C) 5,00?; 16,0?
o
al =
a3
Ü(/) =
x = 34,0 miEn i = 4,00 s:
x = 58,0 miEn / = 6,00
O
í(t)=
x(í) =
221Unid. 3 - Cap. 3.3 - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado
RESOLUCIÓN
v(m/s)
12,0 •
12,0 m/s 
4,00 s
12,0 m/s 
(12,0-6,00) s
Prob. 42.- Un objeto experimenta MRUV sobre el eje «x». 
Se sabe que el móvil parte de la posición +10,0 mi y que 
su velocidad, respecto del tiempo, es como se muestra en el 
gráfico v-t:
Determinar: A.
4,00 6,00 12,0 t(s)
x = [10,0+|(3,00)(4,00)2^ mi 
-> x = [34,0+ 12,0(6,00-4,00)] mi
m i; 0 scí <4,00 s
Reconociendo que las líneas inclinadas corresponden a MRUV y la línea horizontal al MRU, 
determinamos la aceleración en cada intervalo:
Entre t = 0 s y t = 4,00 s:
Entre t = 4,00 s y t = 6,00 s:
Entre t = 6,00 s y t = 12,0 s:
De este modo la ecuación de la velocidad v la podemos escribir como una función definida 
por intervalos:
a. La ecuación de la velocidad para todo el tiempo.
b. La ecuación de la posición para todo el tiempo.
—> a3 = -2,00 m/s2
aY = 3,00 m/s2
+ axt = (+3,00í) m/s i; 0 s < / < 4,00 s
+ 12,0 m/s i; 4,00 s < t < 6,00 s
üo+ó2í = (12,0-2,00/) m/sT; 6,00 s</< 12,0 s
b) Para determinar la ecuación de la posición x para todo el tiempo, requerimos saber la 
posición (xo) al inicio del cada intervalo de tiempo, que a su vez corresponde a la posición 
final del intervalo inmediato anterior.
Í = xo+^í + iat2 -+
s: x = x0+ü(t-t0)
Finalmente la ecuación de la posición, viene dada por:
ío+5XÍ+|“(í-‘o)2=[10,0+|(3.00)(i-0)2]
ío+¡7(/-/o) = [34,0 + 12,0(/-4,00)] mT; 4,00 s </< 6,00 s
x0 + v0(t-t0) + ^a(.t-t0')2 = ^58,0 + 12,0(/-6,00) + l(-2)(/-6,00)2]; 6,00 s</<12,0 s
Efectuando operaciones en cada intervalo, se obtiene:
(10,0 + l,50/2) mi; 0 s</<4,00 s
(-14,0 + 12,0/) mi; 4,00 s</< 6,00 s
(-50,0 + 24,0/ — /2) mi; 6,00 s</< 12,0 s
04 = Pendiente —> 
a2 = 0 m/s2
Pendiente —> <*$=-
3.4
Caída Libre Vertical
trayectoria rectilínea y
forma ascendente (hacia arriba) o descendente
cuerpo verticalmente hacia arriba el movimiento es acelerado o desacelerado
*1
*CB*BC*BC “ ¡CB
B
*BA^AB
Física Fundamentos y Aplicaciones222
3.4.4. Características de la CLV
i) Al lanzar un
si baja o sube, respectivamente.
ii) Entre dos puntos de la trayectoria, el tiempo de subida 
y de bajada son iguales.
jab ~ (BA
iv) Si un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba se 
cumple que llega a su altura máxima (l!máx) cuando su 
velocidad se anula: v3 - 0 .
RACSO
0 EDITORES
3.4.3. Caída Libre Vertical (CLV)
Es el movimiento de caída libre de 
vertical.
El movimiento de CLV puede realizarse en 
(hacia abajo).
un cuerpo que describe una
-co--
B; P
I ¡
■
iii) Cuando el cuerpo pasa por un punto de su trayectoria 
al subir y al bajar, presenta la misma rapidez.
^I = |v5| a|ü2| = |ü4|
3.4.2. Movimiento de Caída Libre
Es el movimiento que experimenta un cuerpo en el vacío y cuya velocidad cambia debido a 
que está afectado por la aceleración de la gravedad del lugar.
3.4.1. Aceleración de la Gravedad (g)
Es la aceleración que experimentan todos los cuerpos debido a la atracción gravitatoria 
que ejerce un planeta sobre éstos independientemente de su tamaño, forma o cantidad de 
materia que posean.
En la superficie de la tierra la aceleración de la gravedad está dirigida hacia abajo y su mag­
nitud es g = 9,81 m/s2, y si el eje «+y» está hacia arriba, entonces g = -9,81 m/s2 j.
3.4.5. Ecuaciones de la CLV
+y
&
Ay t
y
iv) Ay = t
x0
+y
Jg=-gj£
Ay t
y
>y X
X'f = g~a
a
g
-5
(c)(b)(a)
223Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
ü)Ay = voyt+jgt2 =
1 
2
b) Ecuaciones Vectoriales
*) 5y=i'oy + ^t = (l’oy-gí)j
a) Ecuaciones Escalares
’) vy = voy-gt
“) üy=voy-2#Ay
iii) Ay = voyt-igt2 V •
¡u) y=yo+^yf+
5I
p°y+py
= (voyl 
igf2=(yo+I’o;
v) Si: y0 = 0, y =/imáx, vy = 0 
v2 2v
f vuelo = 2ísub = 2íbaj =
-Ly-yo
V°|
y = yo+t,oyí-|^2
f 1 rrf' 
f-2^
3.4.6. Gravedad Efectiva
Sean a y g la aceleración de una cabina y de la gravedad local, medidos desde el sistema 
de referencia de la Tierra. La aceleración en el interior de la cabina se llama gravedad efec­
tiva, denotada gef, y se define como:
2)í
/-^2)j
¿T-yo
o
ECUACIONES ESCALARES
B) 6 s; 30 m/s
C) 3 s; 40 m/s
D) 3 s; 50 m/s
E) 4 s; 50 m/s
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□DcaDnanooocciooo000000
la cámara como una partícula y elegimos la dirección positiva «+y» hacia
i) Aplicamos:
Ay
t = 3 s v t -5 s
75
+y
Rpta. Cuf = 40 m/s
78,4 m
B) 9,43 sA) 2,5 s C)6s
E) 4,0 sD) 5,16 s
Física Fundamentos y Aplicaciones224
RESOLUCIÓN
Ó
Prob, 01Una paracaidista con una cámara, descienden ambos con una rapidez de 10 m/s. De pronto suelta 
esa cámara a una altitud de 75 m. ¿Cuánto tarda la cámara en llegar al suelo?, ¿cuál es la rapidez de la cámara 
justo antes de chocar contra el suelo? (g = 10 m/s2).
A) 4 s; 20 m/s
De estos resultados concluimos que sólo una es físicamente posible, 
la cámara emplea t = 3 s en llegar al suelo.
ii) Para calcular la velocidad ur con que la cámara llega al suelo, 
aplicamos:
RACSO 
fPEDITORES
Prob. 02.- Un halcón peregrino vuela en picada para atrapar un pichón.El halcón 
arranca hacia abajo desde el reposo y baja con aceleración de caída libre. Si el 
pichón está a 78,5 m directamente abajo de la posición inicial del halcón, ¿cuánto 
tarda el halcón en alcanzar al pichón? Suponga que éste permanece en reposo en 
todo momento.
75 = 10/ + |(10)í2
Representamos a 
abajo, tal que:
^9Ay = 75 m ; u0 = 10 m/s
Ay = ooe + |^2
-> i2 + 2t - 15 = 0
of=uo + gt -> ut= 10+10(3)
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
H = ?
78,5 m
+yRpta. E
0) cruz; 0,65 s E) cara; 0,80 s
+0,6125 I
X
"o = V2An o
-0,6375
-> -0,6375-0 = 3,51-5í2 í2-0,71-0,1275 = 0
N = 8,5 vueltas (8 vueltas y media)■ 0,85/
Rpta. BLlega al piso mostrando la cruz.
225Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 03.- Una moneda es lanzada al aire dando vueltas a un ritmo de 
10 vueltas por segundo. La moneda se lanzó con la cara hacia arriba a una 
altura de 63,75 cm por encima de la superficie sobre la que cae y su máxima 
altura sobre la superficie de caída fue 1,25 m. ¿Cómo caerá la moneda, cara 
o cruz? ¿qué tiempo empleó en llegar al piso? (g = 10 m/s2)
A) cara; 0,5 s B) cruz; 0,85 s C) cara; 0,45 s
to en
B
! |s
+y
—<3 5 = 0-
t
Representamos al halcón como una partícula y elegimos la dirección 
positiva «+y» hacia abajo, reconociéndose entonces que:
uo - 0 m/s ; Ay = 78,5 m
Hacemos un esquema del movimiento en donde elegimos la dirección positiva «+y» hacia 
arriba y como origen de coordenadas el punto «O» de lanzamiento.
i) Se reconoce que la altura máxima, respecto de «O», es 
hm = 0,6125 m. Luego, aplicando la Ecuación de la Altura 
Máxima determinamos la velocidad vo de lanzamiento:
h- = vtg
— Q«»
ÓJ J
-> uQ = 72-10-0,6125 —> vo = 3,5 m/s
ii) Aplicando la ecuación del desplazamiento vertical, con 
y0 = 0; yf = -0,6375 m, se tiene:
Ad' = Uoí-|^2
t *
i ¡ 
¡ 0,6375 mí
-> t = 0,85 s (Sí) v í = -0,15s (No)
iii) Sea «N» el número de vueltas que dio la moneda, cuyo valor viene dado por:
N 10 vueltas
Z
Luego aplicamos: Ay = y/í + ^gt2
-> 78,5 = |(9,81)í2
t = 4,0 s
+y
4,05
a) En el descenso, hasta el suelo, reconocemos que:
3,20
-> v¡ =-2(10)(-4,05)Aplicamos:
o
Aplicamos:
Rpta. Eam
1
C) 18750 m; 111,2 s
Física Fundamentos y Aplicaciones226
RESOLUCIÓN
Elegimos la dirección «+y» hacia arriba, tal como se plantea, 
y elaboramos un esquema del movimiento.
Prob. 05.- Un cohete se lanza verticalmente con una aceleración de 20 m/s2. 
Al cabo de 25 s el combustible se agota y el cohete continúa como una partícula 
libre hasta que alcanza el suelo. Calcular:
a. El punto más alto alcanzado por el cohete.
b. El tiempo total que el cohete está en el aire.
Considerar: g = 10m/s2.
A) 6250 m; 111,2 s
D) 18750 m; 136,2 s
B) 17620 m; 111,2 s
E) 6250 m; 136,2 s
Prob. 04.- Una pelota de baloncesto se deja caer desde una altura de 3 m y rebota en el suelo hasta una 
altura de 2 m. Considerando que g = 10 m/s2 y que «+y» es hacia arriba, se pide:
a. ¿Cuál es la velocidad de la pelota justo antes de alcanzar el suelo?
b. ¿Cuál es su velocidad justo antes de dejar el suelo?
c. Estimar la magnitud y la dirección de su aceleración media durante el impacto, si este duró
A) -5 m/s; +5 m/s; +100 m/s2 B) -6,15 m/s; +5,45 m/s; +141,5 m/s2
C) -6,10 m/s; +7,20 m/s; +132,0 m/s2 D) -4 m/s; +9 m/s; +9,8 m/s2
E) -9 m/s; +4 m/s; +130 m/s2
<pu = 0
*
y Á
Ó|
7/////A^/A7//W////
V = 0 •o
!
I*
RACSO
EDITORES
: |y2
b) En el ascenso se tiene que:
u0 = v2 ; Uf = 0 m/s ; yo = 0 m ; yf = 3,2 m ; Ay = (3,2 - 0) m = 3,2 m
,2_.,2 o. a., 0 = u2-2(10)(3,2)
—> | u2 | = 4 m/s o2 = +4 m/s
c) Para calcular la aceleración media durante el rebote, aplicamos la ecuación que la define: 
J+4)-(-9)
A¿ 0,1
¡
\. '
yo = 4,05 m; y¡ = 0 m; Ay = (0 - 4,05) m = -4,05 m; u0 = 0 m/s
Uf =/f-2gAy
—> | Uj I = 9 m/s v1 = -9 m/s 
El signo menos es para indicar que es hacia abajo.
Í3S-
am = +130 m/s2
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□onDDQDonaoaoDüaDa
+y
Cye
v„ = uA = 0 m/s ;
í+2O¿i
>B._
yB = 6250 m
¿i-
UB
0
Aplicamos: yc = 18750 m
y0 = yB = 6250 m ; y{ = yD = 0 m ; Ay = (0 - 6250) m = -6250 m ; v0 = uB = 500 m/s
i2 - 100Í- 1250 = 0-6250 = 500í - 5t2 ->Aplicamos:
t2 = -11,2 s (No)
Finalmente concluimos que el tiempo total está dado por: tT = i, + t2
Rpta. DtT = 25 + 111,2
A) 0,16 s B) 0,20 s C) 0,25 s
D) 0,45 s E) 0,80 s
227Unid. 3 - Cap. 3.4 — Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
Prob. 06.- Una forma de medir sus reflejos es agarrar una regla de 30 cm que 
otra persona sujeta verticalmente por un extremo y con el cero hacia abajo, tal 
como se muestra en la imagen. Ponga su pulgar y otro dedo alrededor de la 
regla y al nivel del cero, sin tocarlo; tan pronto como la otra persona la suelte, 
tómela entre sus dedos para evitar que caiga. Suponga que en esta prueba la 
persona sujetó la regla en la marca de 12,5 cm. ¿Cuál es el intervalo de tiempo 
transcurrido entre la detección visual del movimiento y la sujeción de la regla con 
los dedos? (Considere g = 10 m/s2)
í
k
Y para calcular la velocidad en «B», uB, aplicamos:
v{ = + a¿j —> uB = 20(25) —> uB = 500 m/s
b) Trayecto BC.- Es una C.L.V donde:
= 136,2 s
i j/?
Aplicamos: Ajj = u. Y
¿B-O I
Jo = yB = 6250 m ; v0 = uB = 500 m/s ; i»f = vc = 0 m/s 
uf=u^-2gÁy -> O2 = 5002 - 2(10)(yc - 6250) .
c) Trayecto BC + CD.- Se trata de una CLV, en donde:
- -Cí ¡r
Elaboramos un esquema para visualizar el movimiento del 
cohete, el cual representamos como una partícula, y en donde 
elegimos la dirección «+y» hacia arriba.
a) Trayecto AB.- Es un MRUV en donde:
a = 20 m/s2 ; = 25 s ; yo = yA = 0
_(Vc
| t 
ue|Í
tí Q
' r
I
í¿-
Ay = uot-|^2
—> t2 = 111,2 s (Sí)
al i I
uAl I
A Ó ¿D
=j(20)(25)2
uo
Aplicando:
Rpta. At w 0,16 s +y
E) 8 m; 0,6 sD) 7,5 m; 0,5 s
0.
x
Ay t = 0,7 st
v
u = 10 m/s y t = 0,7 s
Para calcular su desplazamiento, aplicamos: Ax
+yAx = ut = 10(0,7) Rpta. C
B)3,10m C)3,15m D) 3,08 m E) 3,23 mA) 3,21 m
Física Fundamentos y Aplicaciones228
'resolución
RESOLUCIÓN
B
Prob. 08.- Algunos caeliferos como el saltamontes pueden proyectarse vertical­
mente por sí mismos con una aceleración de unos 400 g (un orden de magnitud 
superior al que un ser humano puede resistir). Los caeliferos saltan «desdoblando» 
sus patas que tienen una longitud aproximada de d = 0,8 cm. ¿A qué altura pueden 
saltar? Suponer la aceleración constante mientras está en contacto con el suelo y 
despreciar la resistencia del aire, (g = 10 m/s2)
P
V«o-
«• i lg
RACSO 
BDITOKBÍ
Prob. 07.- Un cómico que está sentado en la rama de un árbol desea cortar la rama sobre la que está sentado 
y caer verticalmente sobre un caballo que galopa bajo el árbol. La rapidez constante del caballo es 10 m/s y si 
el hombre está inicialmente 2,45 m arriba sobre el nivel del lomo del animal, se pide:
a. ¿Cuál debe ser la distancia horizontal entre el lomo y la rama cuando el hombre haga el movimiento?
b. ¿Cuánto tiempo está en el aire? (Considerar: g = 10 m/s2).
A) 8 m; 0,5 s B) 6 m; 0,6 s C) 7 m; 0,7 s
XlV“ = 2!
2,45 m
------0,125m
í
í
Nuestro problema se reduce a calcular el tiempo «í» 
que emplea la marca «0» de la regla para desplazarse 
12,5 cm = 0,125 m, hacia abajo, respecto de los dedos 
de la persona que suponemos en reposo.
Luego reconocemos que: vo = 0 , Ay = 0,125 m
-> 0,125 = |(10)t2
Ax = 7 m
0___
a) Para el hombre tenemos una CLV. Si elegimos la dirección positiva «+y» hacia abajo, te­
nemos: Ay = 2,45 m ; uo = 0 pp 
Para calcular el tiempo «í» de caída, aplicamos: rJ
í=0-7s d
b) Para el caballo tenemos MRU, donde:
4^
0,008 m ; yA = 0
gAplicamos:
Ao
82 - 2(10)Ay2 -> Ay2 = 3,2 m
Rpta. A
A) 3 E) 3,4D)5,3B)4 C) 3,8
AO
t = 1,8 s
16,2m
16,2 — h B’
0,2 s
C;16,2 m
+y
Rpta. Eh = 3,4 m
229Unid. 3 - Cap. 3.4 — Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 09.- Los pelicanos repliegan sus alas y caen libremente hacia abajo cuando se zambullen para pescar. 
Suponga que un pelícano inicia su zambullida desde una altura de 16,2 m y que no puede cambiar su trayec­
toria una veziniciada. Si a un pez le toma 0,20 s maniobrar para escapar, ¿a qué altura mínima debe notar al 
pelicano para poder escapar? Suponga que el pez está en la superficie del agua, (g = 10 m/s2)
u2 =2(400 10)(0,008)
uB = 8 m/s
b) En el trayecto BC el insecto experimenta una CLV, en donde:
’T 
h=1 
1
Bj-L----
■i Ia
a) El trayecto AB muestra el lanzamiento del insecto, en 
hasta «B» acelerando hacia arriba con MRUV, tal que:
u0 ~ UB = 8 m/s ; uf = uc = 0 m/s
Aplicamos: - 2#Ay2
Finalmente la altura que alcanzan estos insectos está dada por: h = + Ay2
—> h = 0,008 + 3,2 h « 3,21 m
0 =
el que éste estira sus patas de «A»
+y 
yc-
En el esquema elaborado, designamos con «h» la altura del pelícano, respecto del agua, desde 
el cual el pez tiene 0,2 s para huir. Esto significa que el pelícano debe recorrer BC en el tiem­
po de 0,2 s. Nuestra estrategia consistirá en analizar por etapas la CLV del pelícano.
i) Trayecto AC.- En este recorrido se verifica que:
uo = uA = 0 m/s » = 16,2 m ; ÍAC = t
Luego, aplicando la ecuación del desplazamiento, se tiene:
Ayi=^ + |¿í2 -» 16,2 = 5í2
ii) Trayecto AB.- En este recorrido se cumple que:
u0 = t)A = 0 m/s ; Ay2 = 16,2 - h ; iAB = í - 0,2 s = 1,6 s
Y aplicando la ecuación del desplazamiento, se tiene:
Ay2 = + -> 16,2 -h = 5(1,6)2
-r-
0,8 cm
I
C vc= 0
11 
-bÍI?-.
vA = v0 = 0 m/s ; a = 400 g ; yB = 0,8 cm 
u2 = /f + 2aAy,
E) 10 sD) 967,5 m
□oaDnaDDDQoaDDnaoQaaDQaaaaaanDQanaaaooDDaaaDOüOOoaQOQOO
o|
X
tiÁ>1Aplicamos:
Ay, =^(10>(8)2.2Y de:
(2Ay2
uc
Vf = v2 + 2a&yY de: '2
(3
D;
1500
+y
Rpta. E967,5 = 5 ■ t3 t3 — 193,5 s
Física Fundamentos y Aplicaciones230
RESOLUCIÓN
uB = 10(8)
vB = 80 mis
A.
i
°t
Ay = %í,+| :̂
RACSO 
tp EDITOIBS
En base al esquema mostrado, donde se ha elegido la dirección «+y» hacia abajo, analizamos 
por tramos.
i) Trayecto AB.- Es una CLV, donde:
yo = ua = o í ¿i = 8 s
yf = x+gí
Prob. 10.- Un profesor de física hace una demostración de su nuevo «paracaídas antigravítatorio» lanzán­
dose de un helicóptero a 1500 m de altura con velocidad inicial cero. Durante 8 s cae libremente. Después 
conecta el «paracaídas» y cae con una aceleración constante hacia arriba de 15 m/s2 hasta que su velocidad 
hacia abajo es de 5 m/s, en cuyo momento ajusta sus controles para mantener esta velocidad y así alcanzar 
el suelo. Considerar g = 10 m/s2
a. ¿Cuál es su velocidad al cabo de los primeros 8 s?
b. ¿Durante cuánto tiempo mantiene la aceleración constante hacia arriba de 15 m/s2?
c. ¿Qué distancia recorre durante su aceleración hacia arriba en la parte (b)?
d. ¿Qué tiempo le tomó descender con movimiento uniforme?
Indicar la respuesta que no corresponde a lo solicitado.
A) 193,5 s B) 212,5 m C) 80 m/s
Ay3
-
UbI i
C!
Ay1 = 320 m
ii) Trayecto BC.- Es un MRUV, donde:
vo = uB = 80 m/s ; a = -15 m/s2 ; uf = uc = 5 m/s
Apliquemos: vf=v0 +at —> 5 = 80 + (-15)í2
í2 = 5 S
-> 52 = 802 + 2(-15)Ay.
Ay2 = 212,5 m
iii) Trayecto CD.- Es un MRU, donde:
Ay3 = 1500 - (Ay2 + Ay^ = 1500 - (320 + 212,5)
Ay3 = 967,5 m
Finalmente para calcular í3, aplicamos: Ay3 = uc • t3
B) 75 C) 90 D) 180 E) 15
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ooaQDnaac3cc2"aaaaaoaaaaaon
+y
4xP 400 m
900 m
-» lOOt - 5í2 + 40t = 900
-> Ay2 = 100(18) - 5(18)2
Rpta. D
A) 4 s D) 29 s E) 18 sB) 19 s C) 23 s
231Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
-B---- i-........
íj = 10 s
ii) Del objeto diremos que su movimiento en AB es una 
CLV, tal que:
Así el primer encuentro es a los 10 s y el 2do encuentro a los 18 s. Para el 2do caso el objeto 
se desplaza:
Prob. 12.- Después de soltarse de un helicóptero, un paracaidista cae 80 m en forma libre, y abre en ese 
instante el paracaídas, lo cual le produce un retardo en su velocidad de 2 m/s2, llegando al suelo con una velo­
cidad de 2 m/s. ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire? (g = 10 m/s2)
Prob. 11Un paracaidista desciende verticalmente con una rapidez constante de 40 m/s. Cuando se encuen­
tra a 900 m del suelo, desde tierra se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con rapidez inicial v0. Si uno de 
los cruces ocurre a 500 m de altura, calcular la altura (en m) donde ocurre el otro cruce, (g = 10 m/s2)
A) 80
Ay! + (-AyP) = 900 m
Finalmente analizamos el encuentro de los dos móviles, para lo cual reconocemos que los 
desplazamientos verifican la siguiente relación:
Nuestra estrategia consistirá en calcular el tiempo t} del encuentro que se produce a la altu­
ra de 500 m respecto del suelo. Asimismo, con este valor determinaremos la velocidad u0 de 
lanzamiento del objeto. Veamos:
i) Del paracaidista diremos que su movimiento en AB 
es MRU, tal que:
AyP = -400 m ; u = -40 m/s
Luego, de: AyP = u • tr —> -400 = -40 •
A>2 = U„¡2
! 500 m
i c ib I
/. Áy2 = ISO m
-> voí-|gí2+[-(-40t)] = 900
5í2-140í +900 = 0 -> í2 - 28 t + 180 = 0 -> t, = 10 s v t2 = 18 s
Ayj = +500 m ; t1 = 10 s
Luego, de: A^ = - ígt2
-> 500 = uo(10) - 5(10)2 —> vo = 100 m/s
□□□□□□DanDDaQaQQnaonnaaaDnaoDnDDaaQnaaanDDDnaaoDDDOOOQD
o uo=0Según el gráfico elaborado podemos establecer que:
...(*)¿aire - ¿1 + ¿2
ti
tj = 4 s
V
v = 40 m/s
Rpta. CFinalmente, en (*): 23 s
E) 3,2 m y 0,01 sA) 1,6 m y 0,08 s B) 1,2my0,05s C) 1,8 m y 0,03 s D) 2,4 m y 0,09 s
Y
"o
Ay
+y
Rpta. A0 = 40 + (-500)íuf=u0 + at 0,08 st
Física Fundamentos y Aplicaciones232
[ RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
ii) Tramo inferior (MRUV).- Calculamos t2 aplicando:
... (a = -2 m/s2)
Prob. 13.- Se conocen varios casos en los que no se abrieron los paracaídas, pero los paracaidistas sobrevi­
vieron por haber aterrizado en maleza o nieve, o en una pendiente muy indinada. Es posible sobrevivir a una 
caída cuando la desaceleración en el choque, es de unos 500 m/s2, que equivalen aproximadamente a 50 g. 
¿Cuál es la distancia recorrida dentro de un banco de nieve, cuando una persona que cae en él se detiene con 
una desaceleración constante cuya magnitud es 50 g? Si la velocidad con la cual el paracaidista llega a la nieve 
es de unos 40 m/s, ¿cuánto tiempo pasa mientras desacelera el paracaidista? (g = 10 m/s2)
Asimismo, el tiempo del recorrido lo determinamos apli­
cando la ecuación de la velocidad final.
y/////////////////////-
.1—B
*1
1“
+x r 
80 m
A
K n
E 
V 
E
... pj
y
Elaboramos un esquema en el que «+y» es hacia abajo, «A» 
y «B» son las posiciones inicial y final dentro de la nieve:
vA = 40 m/s ; v{ = uB = 0 m/s ; a = -50 g = -500 m/s2
Luego, suponiendo que la aceleración es constante dentro 
de la nieve, el movimiento es MRUV, por lo que aplicare­
mos la ecuación de los cuadrados de la velocidad:
u2 = u2 + 2aAy -> O2 = 402 + 2(-500)Ay
&y - 1,6 m
RACSO
W BDITO1BS
¿aire =
i) Tramo superior (CLV).- Calculamos aplicando:
Ay = uot + |st2 -» 80 = 0 + |10t12 -> 
Calculamos «u» aplicando: u2 = u2 + 2g&y
-» v2 = O2 + 2 • 10 • 80
Uf = u0 + at
2 = 40 - 2í2 —> t2 = 19 s
E)4,5
+xO
= 5t2Luego: Ay, • • . (1)
A>1t
... (2) Ay2
215 m
+y
Rpta. C
O| A?
3b
• • ■ (1)
y
Luego: Ay2 = uoí, • • • (2) 1 8
y + 100
233Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 15.- Calcular la rapidez (en m/s) con la que debe lanzarse una piedra verticalmente hacia abajo para 
que se desplace 100 m durante el cuarto segundo de su movimiento, (g = 10 m/s2)
A) 25 B) 35 C)45 D) 55 E) 65
Ay2 = y + 100 m ; t2 = 4 s 
-> y + 100 = u„(4) + 5(4)2
Prob. 14.- Se deja caer un globo lleno de agua desde lo alto de una torre a 215 m del piso. Un arquero diestro 
en la base de la torre ve el globo y dispara una flecha directo hacia arriba, contra el globo, 5 s después de 
haberse iniciado la caída de éste. La velocidad inicial de la flecha es 40 m/s. ¿Al cabo de cuántos segundos de 
iniciar su caída la flecha revienta al globo? (g = 10 m/s2).
A) 8,5 B) 5,4 C) 6 D) 9,6
ri-
Flecha i ÍU°F
i *8 
...,
4o s | 1OO m 
.(...¿..I
+y
Globor^Upc
E*
Eligiendo la dirección positiva «+y» hacia abajo, nuestra estrategia 
consistirá en determinar los desplazamientos (Ay) en cada trayecto.
i) Trayecto AB.- Aquí se tiene que: = 3 s ; Ay^ = y- 0 = y
Luego: Ay¡ = uot] + -» y = u0(3) + 5(3)2
ii) Trayecto AC.- Aquí se tiene que: 
1 .2 
2^2
Resolviendo (1) y (2) se tiene: y = 240 m a vo = 65 m/s
Rpta. E
Elaboramos un esquema del movimiento en el que se ha elegido hacia abajo la dirección 
positiva «+y» tal que:
i) Para el globo: uoG = 0 m/s ; tiempo transcurrido = t
= +^&t2
ii) Para la flecha: uoF = -40 m/s ; tiempo transcurrido = t - 5
Luego: Ay2 = uoF(t -5) + ±g(l -5)2
-> by2 = -40(í - 5) + 5(t - 5)2
Según el esquema los desplazamientos se relacionan así:
Ayj + (-Ay2) = 215 m ... (3)
Reemplazando (1) y (2) en (3): 5t2 - [-40(í - 5) + 5(í - 5)2 ] = 215
-» 90/- 325 = 215 t = 6s
hacia arriba, luego desde «A» (azotea)
+y
100
0Luego:
% =üo
E) 2 s; 2D)3s;2
□ □□□□□□□□□□□ooDDaaoaDQoaQaDoaDQaaaaaQaanaDDQDOCinoDDQDaa
Luego:
tA = 1 s (Sí) tA = -4 s (No)
Física Fundamentos y Aplicaciones234
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 17.- Dos amigas están en la azotea de un edificio de 20 m de altura. Anita lanza una pelota (A) direc­
tamente hacia arriba a 15 m/s. Al mismo tiempo, Laurita lanza otra (B) directamente hacia abajo, con la misma 
rapidez. ¿Cuánto tiempo (en s) pasa entre las llegadas de las pelotas al nivel de la calle y cuál es el valor de la 
comparación vA/vB al chocar con el piso? (g = 10 m/s2)
A)4s;2 B) 2s; 1 C)3s;1
«o
Aj, 
w-zzr-zwr
B
C0vc
vm =40-110(8 + 2)
Rpta. B
Prob. 16.- Del borde de la azotea de un edificio de 100 m de altura en t = 0 se lanza un proyectil verticalmente 
hacia arriba y demora 10 s en llegar a la superficie de la base del edificio. Determine la velocidad media (en 
m/s) del proyectil entre el instante t = 2 s y t = 8 s . Asuma g = -10 j m/s2.
A) -20j B) -10T C) OT D) 10? E) 20?
I t = 10 s 
IX-
RACSO
W EDITORES
_¿sy_y2-y1
m~Al- Ai
Si g = -10 j , entonces la dirección positiva «+y» es 
hasta el suelo (D), se tiene:
yo = 100 m ; y{ = 0 m ; Ay=yt-y0 = -100 m ; t = 10 s
Calculamos uo, aplicando la ecuación del desplazamiento:
A>’ = uot-|^2 -> -100 = uo(10) - 5(10)2
—> u0 = 40 m/s
Ahora determinamos el desplazamiento Ay entre los instantes
= 2 s (B) y t2 = 8 s (C), para lo cual aplicamos:
ó' = ó’o + uoí-|áí2
%------------ ------------
v.X-Wk+íj) 
u”=---------X---------
Luego, reemplazando datos en esta fórmula general, se tiene:
vm — -10 m/s v vm = -10 j (m/s)
Elegimos hacia arriba la dirección «+y», reconociéndose que: uoA = -15 m/s ; uoB = +15 m/s 
i) Analizando la CLV de «A», se tiene que: &yA = -20 m
^A=‘'oA«A-|^A -20 =-15tA-5íA -> tA+3tA-4 = 0
+y
o
+x
-20
E) 45 j
+y
1,252?
. . . (1) 0,5 T
5 m/s y t2 - 1.5Tuf= uc H -
. . . (2)
H
Asimismo:
0
. . . (3)
Rpta. B
235Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
Prob. 18.- ¿Con qué velocidad (en m/s) debe lanzarse un cuerpo desde tierra, en el instante t0 = 0, para que 
en el instante t = T se encuentre a una altura «H», y en el instante t = 1,5T se encuentra a una altura 1,25H 
moviéndose hacia arriba con una velocidad de 5 m/s? (Considerar g = 10 m/s2)
A) 15j B) 20f C) 25j D) 30I
ur = uo - Sti
5 = — 1O(1,5T)
Ai = tB - tA = 4 s — 1 s Ai = 3 s
Se puede apreciar que los móviles tienen trayectorias vertica­
les que se inician y terminan en los mismos puntos y parten 
con rapideces idénticas. Si además están afectados de una 
misma aceleración constante, concluiremos que llegan al piso 
con las mismas velocidades.
w
“oA ¡
T1' 
0,25 H
fe
^=1 
UB
Eligiendo hacia arriba la dirección positiva «+y», nuestra estra­
tegia consistirá en analizar cada trayecto por separado.
i) Trayecto AB.- Se tiene que: AyT = H y t} = T
Luego: = v0 ■ t,-^gtf -> H=u0T-5T2
ii) Trayecto AC.- Se tiene que: 
Luego:
ii) Analizando la CLV de «B», se tiene que: AyB = -20 m
Luego: AyB = uoBtB ~* -20 = 15¿g—5¿g
-> í|-3íg-4 = 0 —> íB = 4 s (Sí) v ¿B = -ls (No)
A continuación el tiempo Ai que pasa entre las llegadas la 
determinamos así:
ur = uo -
7-
i i I*
üoB
T i
Xa
7///////////W^^
T _vo~5 
' 15
52 = u2 - 20(1,251?)
2
-> 25 = u2-25// -> ^=25-!
Reemplazando (2) y (3) en (1), efectuando y despejando se obtiene:
-25u0+100 = 0 -> uo = 5m/s(No) v u0 = 20 m/s (Sí)
De estos resultados vemos que uo = 5 m/s es un valor físicamente inaceptable dado que al 
reemplazar en (3) tendríamos H = 0, lo cual contradice nuestra hipótesis: H * 0.
üo=20j(m/s)
|vA I^B
Rpta. C
W///////M
o
Donde: uoA = uoB - 10 m/s y d = 200 m
Luego, reemplazando estos datos, se tiene:
Z =
O
+y
Rpta. CII = 400 m
A) 2,67 m B) 1,31 m E) 1,98 mC) 2,15 m D) 3,13 m
v<> = vA
236 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
y
ó
Prob. 19.- Las partículas «A» y «B» se lanzan simultáneamente 
como se nuestra en la figura. Calcula «H» (en m), tal que las partí­
culas se encuentren justamente al llegar al piso, (g = 10 m/s2)
A) 200
C) 400
E) 600
Esto significa que «A» y «B» se encontrarán en el piso 
al cabo de 10 s. A continuación calculamos la magnitud 
de «íf»; para lo cual elegimos «+y» hacia abajo. Luego, 
aplicando la ecuación del desplazamiento para la CLV 
de la partícula «B», se tiene:
B) 300
D) 500
Prob. 20.- Una persona sujeta con un cinturón de seguridad sobre el hombro tiene grandes probabilidades 
de sobrevivir aun choque automovilístico si la desaceleración no es mayor que 30 g (1,00 g = 9,81 m/s2). Su­
poniendo una desaceleración uniforme con ese valor, calcule la distancia que se comprimiría la parte delantera 
del automóvil con un choque a 100 km/h.
Elegimos la dirección positiva «+x» hacia la derecha y fijándonos en el desplazamiento A.t 
que hace el eje de las ruedas delanteras, idéntico a la deformación delantera, reconocemos 
los datos con tres cifras significativas (3CS):
100 km/h = 27,8 m/s; uf = uB = 0 m/s; a = -30g = -30(9,81 m/s2) = 294 m/s2
T
200 m
"F
200 m
H
1
H
í L 
üaA^ y
y200 m 
(10 + 10) m/s
con aceleración
10 m/s
1a
En primer lugar calculamos el tiempo «í» de encuentro de las dos partículas 
«5», aplicando la ecuación:
200 + H = 10(10) + 5(10)2
+x v
' i
RACSO
EDITORES
t = 10 s
d
VoA+y„B
a>’ = voBí + |^2
B<j>10m/s
Antes
-> O2 = 27,82 + 2(-294)Ax
Rpta. B.’. Ax w 1,31 m
Después
A) 100 m E) 120 mD)11OmB) 90 m C) 80 m
□□□□□□□□□□□□□□□□ODDOODDOOOOaOODDOOaOOOODODDQOnOQaOaDOaQ
+y
i
t, = tb = 4s
Observador
=
H = ?
uf = 40 m/s 60 m/s
0
402 = 602 - 2 • 1077u¡ = uo~ 2s^y
Rpta. A
237Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
Prob. 21.- Un observador que mira a través de una rendija muy angosta ve pasar un cuerpo verticalmente 
hacia arriba, y 8 s después lo ve pasar hacia abajo. Si dicho cuerpo fue impulsado desde el piso con una velo­
cidad de 60 m/s, ¿a qué altura del piso se encuentran los ojos del observador? (g = 10 m/s2).
Suponemos que el movimiento es rectilíneo y la acelera­
ción, en el recorrido, es constante, entonces aplicamos la 
ecuación de los cuadrados de la velocidad del MRUV:
Nota.- Es frecuente expresar las aceleraciones de los 
movimientos «bruscos» de partida o de llegada, como el 
de las naves espaciales o de los automóviles que chocan, 
respectivamente, en términos de «gv> (aceleración de la 
gravedad).
Y ahora, del movimiento ascendente que va desde el 
piso hasta la rendija, aplicamos la ecuación de los 
cuadrados de la velocidad:
Luego, del movimiento superior de subida y bajada, 
respecto de la rendija, comprobamos que:
¿vuelo “ ® s
feJ a
k
-
*Áx
Y del lanzamiento hacia arriba que se inicia y ter­
mina en la rendija con velocidad inicial uf, se tiene:
2u, 2u,T = — -> 8 = —í-
g 10
üo
...
Con los datos del problema construimos el gráfico 
adjunto, en donde elegimos la dirección positiva 
«+y» hacia arriba e indicamos con «H» la altura que 
buscamos.
o2 = o2 + 2a Ax
v =0
H = 100 m
«■ t
B) 72,5 E) 100A) 125 C) 80,0 D) 95,0
hm = 125 m
Rpta. B125 = uoB(2) - 5(2)2 uoB
A) 98,0 m B) 49,0 m E) 57,2 mC) 58,2 m D)61,2m
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ODDDnnnaooDODnaoonoooDODDDOOaD
Tramo AC: ■••(«„ = 0)
■ ■ • (1)
(t-1)
Tramo AB: ...(vo = 0)
,-b$
iH
■ • ■ (2)
UsHI2
Igualando (1) y (2): gt¿ = g(t-iy
Resolviendo encontramos:En (1): -> 77=57,1768...
Rpta. EAproximando con 3CS:
Física Fundamentos y Aplicaciones238
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 22.- Una piedra «A» es lanzada hacia arriba con una rapidez de 50 m/s. Tres segundos más tarde 
otra piedra «B» también es lanzada hacia arriba, dando alcance al primero cuando ésta se ubica en su altura 
máxima. Calcular la rapidez (en m/s) con que fue lanzada la piedra «B». (g = 10 m/s2)
Prob. 23.- Una piedra es soltada en un lugar cerca a la superficie terrestre. Si en el último segundo de su 
movimiento recorre la mitad de su altura de caída, ¿cuál es el valor de dicha altura?
= 72,5 m/s
RACSO 
BDITOKBS
í = (2 + V2) s
77 = |-9,81(2 + V2)2
H « 57,2 m
Calculemos el tiempo de subida de «A» y su altura máxima aplicando:
i) I = -> í = ^2 i = 5 S ii) h = £----->
s g 10 s ' m 2g m 2(10)
Como «B» partió 3 s después que «A», entonces para alcanzarlo en el punto de máxima altu­
ra, tardará: í = 5- 3 = 2s. En ese tiempo su desplazamiento debió ser: Ay = 125 m. Luego:
Ay = vOBí-|^2 ->
L1LL
Elegimos hacia abajo la dirección positiva «+y» y el origen de coordenadas en el punto «A», 
donde se inicia la caída de la piedra. Nuestra estrategia consistirá en analizar el movimiento 
por tramos, y aplicar la ecuación del desplazamiento en cada caso. Veamos:
-» H = \gt2
- T = ^(t'1)2
-> 77 = g(í-l)2
1 rr/2 
2^
E) 600 m/sD) 500 m/sB) 620 m/s C) 550 m/s
’ É2h ij
a) Cálculo de t1.- Para la CLV de la bomba aplicamos:
. .. (v„ = 0)
• . . (1)
■ • . (2)
■ •. (3)¿ — íj + ¿2
-> h2 - 90000/1+ 1296000000 = 0Luego, de (1) y (2) en (3):
Resolviendo:
Rpta. E= 600 m/s
m
E) V3LC) V2L D)A)2L B)L d
239Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
+y
Prob. 25.- ¿Cuál deberá ser el valor de «H» para que el cuerpo «m» recorra 
el plano inclinado liso en el menor tiempo posible, si se sabe que parte del 
reposo en «0”?
h
300
L
2
Prob. 24.- Un piloto suelta una bomba desde un helicóptero estático en el aire, y después de 120 s escucha 
la detonación. Si la velocidad del sonido la suponemos igual a 300 m/s, calcular la velocidad de la bomba al 
tocar tierra. Considerar que g = 10 m/s2.
A) 580 m/s
= 72000 m (No verifica los tiempos)
120 = JS +
Finalmente, calculamos la velocidad con que la bomba llega al piso a partir de la ecuación:
<Tf2=/+2gAy ->
El suceso tiene dos partes bien definidas: La primera es 
una CLV por parte de la bomba, despreciando el roza­
miento con el aire en este caso. La segunda se produce 
inmediatamente después de la explosión de la bomba, la 
cual es experimentada por el sonido, al que consideramos 
como una partícula móvil que viaja desde el suelo hasta 
los oídos del piloto, y con MRU de velocidad v = 300 m/s.
uf =72-10-18 000
gt2
H
< 1a_____
b) Cálculo de t2.- Para el MRU del sonido aplicamos:
í=- -> í2=-V z V
Pero, por condición del problema, el tiempo total «¿» que transcurre desde que se suelta la 
bomba hasta que el piloto escucha la explosión es t = 120 s, entonces:
h = 18000 m (Sí) ; h
Luego, del MRUV generado, tendremos que:
v„=0
. . . (oo = 0)
• • . (1)Ax O1
Según el gráfico: ■ ■ ■ (2)
a
Y: • ■ ■ (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
...(*)t =
Completando cuadrados en la expresión subradical tendremos:
. .. («)
Rpta. BH = L
Nota.- El tiempo mínimo lo obtenemos reemplazando H-L en (»):
Esfera
A) 74° B) 60° C) 45°
D) 53°
240 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
Prob. 26 - Una esterilla se deja caer de la parte superior de un cilindro 
hueco indinado un ángulo a en el preciso instante que éste arranca 
con una aceleración a = 7,5 m/s2. Calcular el ángulo «a» para que la 
bola no toque el cilindro hasta impactar en la base, (g = 10 m/s2)
RACSO 
EDITORES
¿mín ¿mín
E)37°
Según el esquema el bloque inicia su movimiento desde el reposo y baja aceleradamente con 
ax = g sen a (según la descomposición vectorial de la aceleración de la gravedad «£», y debido 
a que no existe fricción).
f2(L2+H2) 
gH
Ax = laxt2 n
! H
H 
y¡L2 + H2
= -~g sen a i2
2(¿2+¿2)
V gL
-__ 4--
L B
•Jl2 + h2 =|g
— = ^ =
, 2(L-H)2 +4LH
\ gH
Ax = OA = -Jl2+H2
t2 
■Jl2 + h2
2(L2 + H2-2LH) + 4LH
N —
De (♦♦), para que «t» sea mínimo, se debe cumplir que: L - H = 0
... (1)
a
• • ■ (2)
í'ox = 0 Ax
Luego, dividiendo (1) -s- (2): ...(*)
• • • (*•)
Finalmente de (*) y (*») se tiene: Rpta. Dtan a =
A) 1 s; subía E) 2 s; subíaD) 1 s; bajabaB) 2 s; bajaba C) 3 s; subía
+y g
B
A
AyPDe la lámpara: . . . (1) H
^yp = uol~2at2Del piso: ... (2)
Piso
Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical 241
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Techo
VT
Piso
Prob. 27.- Un ascensor de 3 m de altura se mueve verticalmente hacia arriba con aceleración retardalriz de 
4 m/s2. Cuando su velocidad era de 3 m/s una lámpara se desprende del techo interior. ¿Al cabo de qué tiempo 
chocará contra el piso del ascensor? Indicar además si para un observador ubicado en la Tierra la lámpara 
estaba subiendo o bajando, o se encontraba en reposo en el momento del impacto, (g = 10 m/s2)
/Posición
Inicial/
Posición
Final
I Á
IPiso 
11
l Po
A
a¡
*1
Ar a
/\a
I------
Elegimos hacia arriba la dirección «+y» y como origen de coordenadas el punto «A». El punto 
«A» es el lugar en que la lámpara (L) se desprende del techo del ascensor. Suponemos que el 
encuentro entre la lámpara y el piso (P) del ascensor se produce en el punto «B» ubicado por 
encima de «A».
Ay— = tan a 
Ar
10 =4
7,5 3
4aí2 -*
a = 53°
Debemos reconocer que la esferilla experimenta una CLV y desciende Ay sin tocar el cilindro 
durante su caída hasta que llega a la base. Además se observa que mientras la bolilla cae, el 
cilindro parte del reposo y avanza una distancia horizontal Ar con MRUV.
ATL = uol-|gí2
i) De la CLV de la esferilla, se tiene:
+ |gí2 -> Ay = |gt2
ii) Del MRUV horizontal del cilindro:
Ax = -^ai2
1 _,2 
Ay t ; 2g 
Ax 1 „.22 ai
Pero según las dimensiones del cilindro:
Observamos desde tierra que la lámpara posee un movi­
miento de CLV con velocidad inicial vo hacia arriba propor­
cionada por el ascensor en el momento del desprendimiento. 
En cambio, el piso del ascensor posee una velocidad uo hacia 
arriba y un MRUV con aceleración «-a». Luego:
Ar =
Ay=
... (3)
Reemplazando (1) y (2) en (3): t =
uo = 0«vuelo = 0.6 S
f
|^i
■ t2 Rpta. DLuego: t = lsAy t =
D) -7 m/s2
i) El globo posee un MRUV, por lo que:
0
... (1)A7C = u0(
a7mA^G
-» Ajm = -15í + 5t2 . . . (2)
tv = 0 +yAj'G = AyM
■ • • (3)
Física Fundamentos y Aplicaciones242
RESOLUCIÓN
Prob. 28.- Un globo aerostático se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad de 20 m/s. En un 
instante dado el piloto lanza una manzana con una velocidad de 35 m/s hacia arriba (respecto a su mano). 
¿Qué aceleración deberá imprimir el piloto al globo, desde el lanzamiento de la manzana, para detenerlo justo 
cuando vuelva a pasar frente a él? Considerar: g = 10 m/s2.
A) -3 m/s2 B) -4 m/s2 C) -5 m/s2
' 2H 
g-a
A
RACSO 
EDITORES
0 = 35f + í2(5-|) «(5-f) = 35
E)-8 m/s2
2H 
g-a 
produjo cuando la lámpara subía o bajaba,
Elegimos hacia abajo la dirección «+y». Luego la velocidad 
inicial de la manzana es vo = (-35 + 20) m/s = -15 m/s (ha­
cia arriba), y sea «a» la aceleración del globo dirigida hacia 
arriba porque el movimiento del globo es desacelerado.
Pero, del gráfico: AyP - AyL = H
^(.g-a)r=H
Finalmente, para determinar si el encuentro se 
calculamos el tiempo de vuelo de ésta respecto de tierra:
t = ^2. -4 t =2¿3
‘"vuelo g *" vuelo jq
Como t > £^10, la lámpara se encontraba bajando.
20 m/sj £
°í
2
2do método.- Utilicemos ahora un sistema de referencia ubicado 
dentro del ascensor. Un observador colocado allí afirmará que la 
lámpara tenía uo = 0, y cayó libremente con una aceleración de la 
gravedad dada por: ge{ = g - a (gravedad efectiva).
t= 
Vef
t=lS
AJ.Q - 20í+ iat2
ii) La manzana experimenta una CLV, luego:
A3’M =°ot+|^2
Para que se produzca el encuentro se debe cumplir que:
20t + |at2 =-15t + 5t2
í'”'.
I 1 i
I i « ¡15|m/s '
«r
Y reemplazando en (3): Rpta. B
!80 m
B) 4 s; 3 s C)4s;5s D) 5 s;5 s
Ay
Bola «A»: ía = 4s
•tA = 4sBola «B»: íb = 2s
¿b = 2 s
Bola «A»: üfA = 40 m/s
Bola «B»:
2s
20 m/s
Rpta. A
243Unid. 3 - Cap. 3.4 — Caída Libre Vertical
«SOLUCIÓN
Prob. 29.- Sobre una placa elástica caen libremente dos bolas metá­
licas, tal como se muestra en la figura. La bola «B» cae «T» segundos 
después que «A» (T > 0). Al pasar cierto tiempo «después» de «T», las 
velocidades de las bolas coinciden (en todo). Si g = 10 m/s2, determinar:
a. El lapso «T».
b. El intervalo de tiempo At durante el cual las velocidades de dichas 
bolas cumplen con la condición antes dicha.
A) 4 s; 4 s
B
O
A
Q
-OA 
lí
Uf=U0-gt
De aquí se deduce que cuando «A» rebota, el cuerpo «B» inicia 
su caída. Entonces, «A» fue soltado 4 s antes que «B».
:. T=4s
pOm
140 m/s
•• ^aire
v0 + at -»
(-¥)H)=35
120 m/s
4 -
Pero, para el globo:
lp-
E)3s;10s
v , 20—> t =-----
a
a = -4 m/s2
Elegimos hacia abajo la dirección «+y» y analizamos los movimientos de CLV hasta que las 
bolas tocan el suelo.
i) Cálculo de los tiempos de caída con:
80 = |-10t2 ->
2O = l-ior2 ->
ii) Cálculo de las velocidades con que chocan y rebotan 
elásticamente con la superficie aplicando:
uf = j2gáy
Uja = ^J2góy^ —> UfA = V2 • 10 ■ 80 >
ufB = j2gáyB —► ufB = -72 -10 • 20 —> 0,3 = 20 m/s
Debemos reconocer que «A» y «B» tienen velocidades iguales si se mueven en la misma di­
rección. Desde que «B» inicia su rebote a razón de 20 m/s, «A» también debe subir a razón de 
20 m/s. Esto ocurre cuando el cuerpo «A» ha rebotado un tiempo «í» antes:
20 = 40 — lOt -> t = 2 s
= At = 4 s
Las velocidades serán iguales mientras «B» suba y baje.
_ _ 2 -20
alre g 10
0 = 20 + at
I500 m
A) 8,5 B) 10,2 C) 9,1 D) 12,3 E) 14,4
o □ o □ □ a o o a o □ □□ □ □ o □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ o o □ □ o □ o o o o o □ □ □ □ o □ ooododo
10 sAy Ay,
Ay2 = 405 m
Ay gota
95 m
Ayobj
Rpta. C
Física Fundamentos y Aplicaciones244
RESOLUCIÓN
Prob. 30.- En el pozo de la figura caen gotas de agua a razón de 1 gota/s. 
Un objeto asciende a velocidad constante de 10 m/s, y es alcanzado por 
una gota cuando está a una profundidad h = 500 m. ¿Cuánto subirá (en 
m) el objeto, aproximadamente, hasta ser alcanzado por la siguiente gota? 
Considerar: g = 10 m/s2.
Prob. 31.- En el instante en que se deja caer una canica se lanza otra hacia arriba con una rapidez «v», ubi­
cada en la misma vertical y 24 m más abajo. Si cuando están separadas 12 m, por segunda vez, presentan la 
misma rapidez, se pide calcular el recorrido (en m) que realizó la canica que se soltó hasta ese instante.
A)9m B)10m C)12m D)6m E)3m
ó
ó
k
>7)] = 95
^4RACSO 
BDITOKBS
+y
ijiiT2dagotafc-9-0m}B-T
+ (-Afobjeto) = 95
(907+572) + 107=95
Resolviendo esta ecuación obtenemos: T= 0,91 s (Sí)
Finalmente, el objeto habrá subido aproximadamente: hobjeto =
-> /lobjeto= |(-10)(0,91)| .-. ^objeto = M m
-> (u<).7+±g72) + [-(-
T2 + 207- 19 = 0
7=-20,91 s (No) 
iizri
Elegimos hacia abajo la dirección «+y» y analizamos la CLV de la Ira y 2da gota.
i) Cálculo del tiempo que demora la primera gota en alcanzar al objeto, para lo cual aplicamos.
= \gt2 -> Ay,=|gí? -> 500 = |-10í]2 ■
Luego, la segunda gota lleva moviéndose 9 s y habrá descendido:
Ay2= + 10-92
Esto significa que desde el momento que la primera gota 
choca con el objeto, éste dista 500 m — 405 m = 95 m de 
la segunda gota. Con este dato elaboramos el esquema 
adjunto.
Calculemos la velocidad «u2» de la 2da gota, en ese ins­
tante, aplicando la ecuación de la velocidad final.
v{= 0 + 109 -» u2 = 90 m/s
Para la circunstancia planteada en el problema y se­
gún el esquema elaborado, esta velocidad viene a ser la 
velocidad inicial (u0 = 90 m/s) del siguiente tramo. Así 
entonces, de acuerdo a la figura, podemos plantear la 
siguiente relación:
gota
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□O
«01
... (1) '2f
Ayi+y
■ ■■(2)
L
ü) Del esquema:
Ay2
ó-
• • • (4)
Sustituyendo (3) en (4): ... (a)
• ■ . (9)t =
Finalmente reemplazamos (0) en (1):
Rpta. A■■■ Ay,
C) 3,20; -19,8 j; -4,95 j
245Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
(a^i-
ECUACIONES VECTORIALES
Prob. 32.- Un objeto se suelta desde una posición y = 50,0 m j. Determine lo siguiente:
a. El tiempo (en s) en el que se encuentra en la posición y = 0 m j .
b. Su velocidad (en m/s) para la posición y = 0 m j .
a. Su aceleración (en m/s2) para la posición y = 0 m j .
A) 3,00,-29,47; -9,81T B) 3,19;-31,37;-9,8lJ
D) 3,00;-29,47;-4,957 E) 3,19;-32,57;-9,817
2 V g
AJ'1=|¿
|«!
i LÍ2 i
¡Ó1
«ir|
«a = -v|
u = V3^
Sea «1» la canica que se suelta y «2» la que se lanza hacia arriba tal como se muestra en el 
gráfico elaborado. Elegimos «+y» hacia abajo y en tal caso los datos son:
L = 24 m; uol = 0; uo2 = -u; I un I = I |
Elaboramos un esquema en donde las trayectorias las trazamos en forma paralela para vi­
sualizar los datos y condición del problema:
i) Aplicando la ecuación de los desplazamientos:
A>! =|gí2
b.y2=(.u)t+jgt2
¿) + (-Ay2) = L
-+ Ay,-Ay2=^L ...(3)
iii) Aplicando la ecuación de los cuadrados de la velocidad:
Ufi = 2gAyL A Uf2 = (-u)2 + 2gAy2
2g(Ayt - Ay2) = u2
3L
2y/3gL
= 9 m
un = 2gAyL / 
-> 2^Ayj = u2 + 2gAy2 - 
2g^L = u2 -> 
Restando (1) - (2): Ayj - Ay2 = ut
De (3) y (a) en (P): ^L = vt
• ■ ■ (P)
. 3L t = 
2v
2
—> -50,0 m j
Rpta. Ba = g = -9,81 m/s2 j
□□□□□□ODDDODQDDDaDaaaaDaDaaaaaaaaaaDoaoaDDDODOQODoaDDOO
246 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 34.- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba desde la posición y0 = 10,0 m j .Si en ia posición 
y, = 80,0 m j el objeto alcanza su altura máxima, ¿cuál es su velocidad media (en m/s) durante todo el ascenso?
A) 24,17 B) -15,6} C) 19,87 D) -39,67 E) 39,67
4
c) Dado que la aceleración en la CLV 
Jf =0mj , se cumplirá que:
Prob. 33.- Un joven lanza un lapicero con una velocidad v = +v0 j desde la posición y = 1,50 m j y luego 
de 2,00 s se encuentra en la posición y = 41,50 m j . Determine <■ v0» en m/s.
A) 31,57 B) -31,57 C) -28,87 0) 28,87 E) 40, J
Identificamos los siguientes datos: yo = +50,0 m j ; üoy = 0 m/s j ; y¡ = 0 m j 
a) Aplicando la ecuación vectorial de la posición, se tiene:
V, = V +Ü í + -ffi2 -> ó'f j = (d'o +
9.81Í2) j
ó’r =>o+Uoyí+|^
-» Oj =(50,0 + >f-|
Resolviendo: t = 3,19 s
b) A partir de los datos se tiene que el desplazamiento viene dado por:
Ay = Jf-jo -> Ay = 0j-50,0j -> Ay = -50,0mj
Luego, aplicando la ecuación vectorial de la velocidad media en la CLV, se tiene:
s) " i7fx = -31’3,n/sj
es constante, cuando el objeto pase por la posición
RACSO
BDITOKBS
Reconocemos los siguientes datos: yQ = 1,50 m j; y{ = 41,50 m j; t = 2,00 s (datos con 3CS) 
Luego, aplicando la ecuación de la posición, se tiene: y{ = yo + üoyí + ±gt2
áí2)t -» 41,50 j = [1,50 + uoy (2,00)-l(9,81)(2,00)2]
üoy = 29,8 m/s j Rpta. D
^2)i 
0 = 50,0-^i-í2
-» í =(>’„ +
Despejando: uoy = 29,8 m/s
Reconocemos los siguientes datos: y0 = 10,0 m j ; yf = 80,0 m j ; ufy = 0 j ;
Luego, el desplazamiento resulta ser: Ay = yf-y0 -> Ay = (80,0-0) m j = 80,0 m j
Rpta. C
uoy = 12,12 m/s
Rpta. A
yA = (80,0 — 4,91t2) m j y para otra esfera
C) 3,50; 1,44 j; 19,2 j; 39,2 j
247Unid. 3 - Cap. 3.4 - Caída Libre Vertical
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B) 4,00; 2,15 j; -39,2 j; -21,5 j 
E) 4,05; 8,10j; 19,2j;-19,2j
Podemos reconocer que ambas esferas están afectadas de la misma aceleración a = -9,81 m/s2 j, 
en consecuencia podemos afirmar que ambas experimentan una CLV.
Prob. 35.- Una esfera pequeña que asciende libremente se encuentra en la posición y0 = 10,0 m j y luego 
de 4,00 s, se encuentra en y = -20,0 m j. ¿Cuál es (en m/s) su velocidad en y ?
A) -27,17 B) 12,17 C) -12,17 D) 27,17 E) 39,27
^2)j
Prob. 36.- La ecuación del movimiento para una esfera «A» es 
«B» es y0 = (20,Ot- 4,9112) m j . Determine lo siguiente:
a. El instante (en s) en que se encuentran.
b. La posición de «A» (en m) en el momento del encuentro.
c. La velocidad (en m/s) de las esferas en el encuentro.
A) 4,00; 1,447;-39,27;-19,270) 3,50; 1,447; 60,17;-40,27
Asimismo podemos determinar la magnitud de la velocidad de lanzamiento u0, que como 
sabemos es hacia arriba, luego: üoy = uoy j . Entonces, aplicando la ecuación de los cuadrados 
de la velocidad, se tendrá:
= uly~2S^y -» O2 = v2y - 2(9,81)(80,0) -» voy = 39,6 m/s -> üoy = 39,6 m/s j 
Finalmente, dado que la CLV es un MRUV, la velocidad media viene dada por:
"* % = (39,2 + °)m/sj =19.8 m/s j
Los datos son: y0 = 10,0 m j ; yf = -20,0 m j ; t = 4,00 s (datos con 3CS)
Luego determinamos la velocidad inicial üoy en la posición yQ, para lo cual aplicamos la 
ecuación de la posición:
=5!o+Üoyí+|^2 -> 3,fJ=(ó'o+üoyí"|
-> -20,0 j = [10,0 + uoy(4,00)-l(9,81)(4,00)2] j ->
ñoy =12,1 m/s j
Finalmente aplicamos la ecuación de la velocidad en la CLV:
¡'fy=Doy+£* -» üfy = [12,1 — (9,81)(4,00)] j üfy =-27,1 m/sj
't
üfA =[0-9,81(4,00)] j
[20,0-9,81(4,00)] j
Rpta. A
248 Física Fundamentos y Aplicaciones ^RACSO
*BDITOIII
a) El instante «í» en el que ambas esferas se encuentran es el que hace que las posiciones de 
ellas se igualan. Luego:
yA=>B -» (80,0 —4,91Í2) j = (20,Oí - 4,91í2) j
► 80,0- í = 20, Oí - ^rOlí2 í = 4,00 s
b) La posición de «A» en el momento del encuentro, se determina de su respectiva ecuación 
de posición evaluada para í = 4,00 s:
yA =[80,0-4,91(4,00)2] j 5¡A=l,44mj
c) La velocidad de las esferas las determinamos evaluando la ecuación de la velocidad en 
una CLV:
Para «B»: V[B=voy+gt
Para «A»; v£A=uoy+gí -> vu=(vBy-gt)j -> 
= -39,2 m/s j
=-19,2 m/sj
V
.A
■j.
Á'
í- , ' < '
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HTíyíi^'
4' / 11 •"'■ * '•
El plano cartesiano se atribuye a René Descartes, 1596 -1650, filósofo, 
matemático y científico francés. Sin esta herramienta no se hubiera 
podido describir lo que ocurre en dos o tres dimensiones.
■ .>A.- ;
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Z-==j\ ° >
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«Daría todo lo que sé por la mitad de lo que ignoro».
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^Unidad 4 ■
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El plano cartesiano se atribuye a René Descartes, 1596 -1650, filósofo, Í:
'■'I '4 matemático y científico francés. Sin esta herramienta no se hubiera > •
•podido describir lo que ocurre en dos o tres dimensiones.
partícula móvil. El despla-
y| yf
P(x;y)y
rr
x x
V.
250 Física Fundamentos y Aplicaciones
Movimiento Bidimensional y
Movimiento Relativo
X
el que cada
Fig. 4.1.1
En general el movimiento en 2D se dice que es
Posición 
inicial
?a/
Trayectoria
V- Posición 
rB final
; _ Ar _ rB-rA 
m Aí íB-'a
zfji RACSO
W BDITOXBS
4.1.1. Posición en 2D
Sea P(x; y) las coordenadas del punto «P» en donde se ubica una partícula móvil en un ins­
tante dado. Se define el vector posición de «P» (r), como el vector trazado desde el origen 
de coordenadas hasta «P» y cuyas componentes rectangulares son las coordenadas de este 
punto. (Fig. 4.1.1)
i) r = OP
ii) r =xi +yj v r =(x; y)
4.1.2. Desplazamiento en 2D
Sean A(za; yA) y B(xb; yB) las posiciones inicial y final de una ] 
zamiento, denotado como Ar o d, de esta partícula se define según el segmento dirigido 
trazado desde la posición inicial (A) hasta la posición final (B). (Fig. 4.1.2)
i) Ar=AB
ii) AF = Fb-7a
iii) Ar = (xB -xA)T + (yB -yA)j
Fig. 4.1.2 1
un movimiento compuesto en 
movimiento componente es paralelo a cada eje coordenado.
4.1.3. Velocidad en 2D
a) Velocidad Media (ñm)
"X Móvil 
Ar k
b) Velocidad instantánea (v) y
B
Ar
B'
0
4.1.4 Aceleración en 2D
-dT¡=^i+ayÍ
0
Velocidad inicial: Üo = uoxi+I'oyj''o^ox^'oy) "*
a =ax¡ +ayjAceleración constante: a=(ax;ay)
251Unid. 4 - Cap. 4.1 - Movimiento Bidimensionaly Movimiento Relativo
x
Fig. 4.1.3
Trayectoria
A
Obsérvese que la velocidad instantánea, o 
simplemente la velocidad, de la partícula 
móvil en un punto de la trayectoria es tan­
gente a la misma. (Fig. 4.1.3)
4.1.5. Movimiento Bidimensional con Aceleración Constante
Sean conocidas las condiciones iniciales (f = 0):
Posición inicial: 7o = (x0;yo) -> 7o=xoi+yoj
a) Aceleración media
- Aü_pb-^a 
m At tB-tA
b) Aceleración instantánea ■
Obsérvese que la aceleración instantánea, o sim­
plemente aceleración, de la partícula móvil en un 
punto de la trayectoria se orienta hacia el interior 
de la curva. (Fig. 4.1.4) Fig- 4.1.4
Cuando la medida del ángulo (0) entre los vectores velocidad y aceleración es agudo u 
obtuso, el movimiento en esos puntos es acelerado (punto «A») o desacelerado (punto «B»), 
respectivamente. Si 0 = 90° en un punto de la trayectoria se verifica que la aceleración en 
ese punto no modifica la magnitud de la velocidad pero sí su dirección.
Recta tangente
°A a la curva en «A»
i) V = lím (p ) = lím (—) 
At->o ai—>o\ Af /
i) a = lím (« ) = lím í—) 
At->o' m At->0\At/
v-vo=átdv = adt
• ••(*)
b) Posición
• • • (**)dr = vdt
■ ■ ■ (•’•)
ii)
2fly‘
VA3=VA~VB
VAB+VB=VA
252 Física Fundamentos y Aplicaciones
A la relación (♦*♦) la llamaremos Ecuación General del Movimiento Bidimensional con 
Aceleración Constante (EGMBAC).
4.1.6. Velocidad Relativa
Sean ñA y ñB las velocidades de dos partículas medidas, respecto de un marco de referen­
cia «O» fijo (tierra), la velocidad de «A» respecto de «B», denotado como fA/B, se define 
según:
i) 5a/b=í;a-5b
“) Sa/b+iJb=Sa
Obsérvese que la ecuación (ii) se puede interpretar como una simplificación entre B y ñB. En 
base a esta interpretación se puede establecer que:
pa/b +^b/c +^c =OA
» y =
a) Velocidad
^ = fl 
dt
RACSO 
BD1TOXBS
’oy + «y»
dv = í adt 
JO
J_ d r = jt> ■ dt
De(*)en(**): r - ro = (vo + at)dt -> r = ro + vot + |ñt2
i) U; y)=(*0; yo)+(pox; )f+1(«x; fly )f2
A' = Jo+l'oxí + |flxf2
y = yo + z'oy,+|flyf2
J-
.•. v = vo + at
i) (t’xí fy) = («o«; Uoy) + («XÍ «y)(
“) «x = t’ox + «x'
MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL
100m
x
210 m
y
d.e,
<*2
537
Y respecto de la dirección se tiene: tan 0 = +1
Rpta. D0 = 225°
E)12mA)5m D) 10 mB)7m C) 8 m
□□□DDoaooaooaaDoaaaoDaDoaaaoaaaaaaooaoaaoooDDOoaaaoaaao
253Unid. 4 - Cap. 4.1 - Movimiento Bidimensionaly Movimiento Relativo
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Prob. 02.- Un perro que anda en busca de un hueso camina 4 m hacia el sur, después 10 m a un ángulo de 
37° al noreste, finalmente 9 m al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro. Dar como 
respuesta la distancia entre el punto de partida del perro y el punto en donde encontró el hueso.
y
Inicio
Fin
200 m\
537
• d2=-210j
37°]) -> d3 = -120T —90]
53°j) -> d4 =-120i+160j
37°> 
>150 m
<>
^3r
Prob. 01.- Una persona va por un camino siguiendo la trayectoria que se 
muestra en la figura. El recorrido total consta de cuatro trayectorias rectas. ¿Qué 
desplazamiento resultante de la persona se mide desde el punto de salida hasta 
el final del camino? Dar la respuesta en notación polar.
A) (140 m; 215°) B) (150 m;-60°)
C) (100 m; -90°) D) (140>/2 m; 225°)
E) (120 m;-135°)
Escribiendo cada desplazamiento en notación vectorial, tendremos:
• ¿,=100?
• d3 = 150(-cos 37°i -sen
• d4 = 200(-cos 53°i +sen
A continuación aplicamos la suma de vectores:
d = d1+d2+d3 + d4 —> d = -140 i -140 j (m)
d = 7(-140)2+(-140)2 d = 140>/2m
d, tan 0 = — —>
dx
Elaborando una gráfica de los desplazamientos visualizamos el vector desplazamiento total 
d mostrado, donde «P» y «C» son los puntos de partida y llegada del perro respectivamente.
"" 1 ■ ” " _________
N
C 9 m
37°j) = 6i+8j (m) B
d 10 m
P
EO 37>4 m
Ad = PA + AB + BC d — -3i +4 j (m)
S
d = 5 m Rpta. A
D)468 m E) 562 m
oooDDODDnnaoDDooDDDDDDoooooooooanDoaaoaaoDaaDDODDO00000
147 m
d = 432i +180j (m)
d.d = ^4322 +1802Y su módulo es:
7//ZZ7//+
Rpta. D
B)520;N 30° 0 C) 625;N16°O E) 610;N16°OD)710;N60°0
□ oooooDCDaoDDDDoocjoaocDoocDooDaaooooooDaoaDaaDOOooooDDoaao
Elaborando un esquema, en donde «A» y «B» son los lagos y «P» es la base, se establece que:
d = PA+AB ...(*)
254 Física Fundamentos y Aplicaciones
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Según se aprecia en la figura, el desplaza­
miento «d» viene dado por:
Y ahora