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COMIPEMS 2020
TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO
COMIPEMS
Docentes que elaboraron:
Ma. Rosalba Patricia Moran
Perla Ortiz Romo
Yudith Aglae Dorantes villa
Juan José Serrano Barrientos
Adán Gómez Espinosa
José Alberto Cruz Barrios
Este taller está centrado en el estudiante para fortalecer el uso del pensamiento lógico
matemático, mediante una serie de pasos, etapas, acciones para el logro de resultados
previstos y la vinculación cotidiana de los estudiantes, que se lleva a cabo mediante el análisis,
la planeación, la modelación y con la finalidad de presentar posibles soluciones.
Uno de los aprendizajes esperados es aprovechar momentos de aprendizaje fuera del aula,
consolidando el aprendizaje en el aula y llevando en práctica los conocimientos adquiridos
para el fortalecimiento del aprendizaje.
Se publicará por cada sesión durante el periodo de contingencia sanitaria
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL
MEDIO SUPERIOR
Sesión correspondiente al 14 de marzo de 2020
Tema 2: Álgebra
Contenido: 2.1 Significado y uso de las literales.
Sesión: 10 de 22 Número de horas: 0.5 Número de semana: 10 Fecha: 14/03/2020
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender el uso de las literales como una representación general
de una cierta magnitud.
Algebra: Es el lenguaje mediante símbolos y términos técnicos para elaborar fórmulas de cálculos que se
aplican en todas las ciencias.
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto. El uso de
literales se da en ecuaciones, en polinomios, en límites, en integrales y en derivadas especialmente que
cualquier letra tiene significado distinto.
Expresiones algebraicas: Son todas aquellas expresiones que representan situaciones generales abstractas
que utilizan por lo regular números, letras y signos.
Es importante no olvidar lo que representa cada una de las partes de una expresión algebraica.
Si se tienen dos variables diferentes, no se pueden
sumar, restar, multiplicar o dividir, solo que se transforme a un valor numérico o la misma variable.
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual
factor literal, es decir, aquellos términos que tienen las mismas letras y exponentes.
Ejemplos:
3x y -7x son términos semejantes
89b2 y 34b2 son términos semejantes
5c y 7c2 son términos no semejantes
-7m y 8d son términos no semejantes
http://algebrar1.blogspot.com/p/usos-y-significados-de-la-laterales.html
https://www.tes.com/lessons/luXkN-c9SqG85g/algebra-terminos-semejantes
Referencias: Guías IPN, UNAM, COMIPEMS
Tema 2: Álgebra
Contenido: 2.2 Expresión común de problemas algebraicos de adición y sustracción.
Sesión: 10 de 22 Número de horas: 0.5 Número de semana: 10 Fecha: 14/03/2020
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender las operaciones de adición y sustracción de las
expresiones algebraicas.
Las operaciones con expresiones algebraicas se utilizan las mismas reglas que en los números enteros.
Reducción de términos semejantes: Es una operación que se realiza en una expresión algebraica con el fin
de convertir en un solo término dos o más cantidades semejantes.
Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: Se suman los coeficientes colocando al
término el mismo signo.
Ejemplo:
2a + 8a = 10a
-3b -5b = -8b
4a2b + 2a2b = 6a2b
Reducción de dos o más términos semejantes de diferente signo: Se restan los coeficientes colocando el
signo del número de mayor valor.
Ejemplo:
3a – 2a = a
5b2 – 8b2 = -3b2
-5x + 8x -7x +9x = sumamos primero los términos del mismo signo y después los restamos, es decir:
-5x – 7x = -12x
Sumamos 8x + 9x = 17x
Ahora estos dos términos los restamos por tener signos diferentes y queda el signo del número mayor:
-12x + 17 x = 5x resultado final
Recordemos que cuando tenemos un signo y paréntesis debemos de aplicar la ley de los signos para quitar
el paréntesis y solamente nos quede la parte algebraica el signo y parte algebraica, es decir:
Ejemplo:
5x – (-3y) + 9y + (- 8x)+ 3 – (y) =
Aplicamos ley de signos para quitar los paréntesis
5x + 3y + 9y – 8 x + 3 -y
Agrupamos términos semejantes
5x – 8 x = - 3x
3y + 9y – y = 11y
3 no hay más números se queda solo el numero 3
Respuesta final es -3x + 11y + 3
Ejercicios:
Simplificar las siguientes expresiones
algebraicas sumando y restando los términos
semejantes.
A) 5a + (-3a) +4b – 2b + 3c =
B) -2a2 + 4b2 -3b2 + a - b2 + a2 =
C) 5a2 b – (- 4a2 b) =
D) 6a2 – 5b + 2c – (3a2 + 2b – 4c) =
5b -4x + 6 - 3b – 6x +7b – 9x -14 + 8x =
Tema 2: Álgebra
Contenido: 2.3 Resolución de problemas con expresiones algebraicas.
Sesión: 10 de 22 Número de horas: 1 Número de semana:10 Fecha: 14/03/2020
Objetivo: El alumno debe ser capaz de resolver problemas con expresiones algebraicas.
Para poder resolver los problemas con expresiones algebraicas podemos seguir los
siguientes pasos:
1. Comprende el problema: Lee el enunciado, hasta entender. ¿En qué consiste? ¿Qué
conoces? ¿Qué se te pide? ¿Cuáles son las condiciones…?
2. Elabora un plan de solución: Se refiere a plantear una expresión algebraica con los datos
que se obtienen del problema.
3. Solución del problema: Juntar términos semejantes realizando las operaciones
correspondientes (suma o resta) para que la final se realice el despeje de la incógnita y
encontrar el valor de la variable.
Ejemplos:
Problema1
Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 219.
Problema 2
Vicente se gasta 20 euros en un pantalón y una camisa. No sabe el precio de cada prenda,
pero sí sabe que la camisa vale dos quintas partes de lo que vale el pantalón. ¿Cuánto vale
el pantalón?
Ejercicios
Problema 1
Tenemos tres peceras y 56 peces. Los tamaños de las peceras son pequeño, mediano y
grande, siendo la pequeña la mitad de la mediana y la grande el doble. Como no tenemos
ninguna preferencia en cuanto al reparto de los peces, decidimos que en cada una de ellas
haya una cantidad de peces proporcional al tamaño de cada pecera. ¿Cuántos peces
pondremos en cada pecera?
Problema 2
Encontrar tres números consecutivos que sumen 36.
Problema 3
Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47. ¿Qué
edad tiene cada uno de ellos?
Problema 4
Si hemos recorrido 21 km, que son las tres séptimas partes del trayecto, ¿cuántos
kilómetros quedan por recorrer?
Problema 5
En una empresa de pinturas hay diferentes envases, los cuales el 1° envase equivale a la
cuarta parte del total de la suma de todos los envases, el 2° es igual a la mitad del 1°, el 3°
es igual a las dos terceras partes del 1°, el 4° es el triple del 2°, y el 5° es igual a la mitad
del 3°. Si la suma total de los envases es de 24 litros, ¿cuál es la capacidad de cada envase?
Referencias:
https://soymatematicas.com/resolver-problemas-de-matematicas/
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemas-ecuaciones.html
https://soymatematicas.com/resolver-problemas-de-matematicas/
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-problemas-ecuaciones.html
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TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO
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Docentes que elaboraron:
Ma. Rosalba Patricia Moran
Perla Ortiz Romo
Yudith Aglae Dorantes villa
Juan José Serrano Barrientos
Adán Gómez Espinosa
José Alberto Cruz Barrios
Sesión correspondiente al 21 de Marzo de 2020.
Tema 2: Álgebra - Ecuaciones de primer grado.
Contenido: 2.4 Resolución de ecuaciones de primer grado.
Sesión: 11 de 22 Número de horas:1 Número de semana: 11 Fecha: 21/03/2020
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender el concepto de una igualdad en la que
hay que hallar el valor de la incógnita que hace verdadera una ecuación.
Definición: Una ecuación es una igualdad en la que hay o existen una o más cantidades desconocidas
llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
En una ecuación las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto;
U, V, W, X, Y, Z.
Elementos de una ecuación:
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL
MEDIO SUPERIOR
Los elementos principales de una ecuación son los siguientes:
a) Miembro derecho
b) Igualdad
c) Miembro izquierdo
d) Términos de una ecuación
e) Incógnita
Una ecuación está formada por dos miembros, se llama primer miembro de una ecuación
a toda la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad y a toda la expresión que
está a la derecha se le llama segundo miembro.
Los términos de una ecuación son cada una de las cantidades que están conectadas con
otros términos por el signo ¨+¨ o ¨-¨, existen ecuaciones donde un término representa a
uno de los miembros de la ecuación.
La incógnita es un valor tal que al sustituirlo en la ecuación se verifica la igualdad y en este
caso decimos que es una raíz o solución de dicha ecuación.
En general, una ecuación es una proposición que afirma cuando dos objetos son iguales. Si
la proposición sólo involucra números, podemos identificar a la ecuación como numérica y
si se involucran expresiones algebraicas, diremos que la ecuación es algebraica.
Una ecuación de primer grado o lineal con una variable es de la forma:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
En la siguiente ecuación se muestran los nombres de cada uno de los elementos que conforman una
ecuación:
Grado de una ecuación: El grado de una ecuación es el mayor exponente que tenga uno de los términos
de la ecuación.
Ejemplo: Decir que grado es la ecuación y su incógnita:
Ecuación: Grado de la ecuación: Incógnitas:
5𝑋 = 3𝑋 + 2𝐴 Primer grado X
𝑋2 + 3𝑋 − 2 = 2
𝑋 + 𝑌 = 5
𝑌 + 𝑋3 = 9𝑋 Tercer grado X,Y
𝑋3 − 2𝑋2 + 3𝑋 − 5 = 2
Axioma fundamental de las ecuaciones: Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los
resultados serán iguales.
1. Si a cada miembro de una ecuación se suma o resta una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad
se conserva.
2. Si a cada miembro de una ecuación se multiplica por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad
se conserva.
3. Si a cada miembro de una ecuación se divide por una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad se
conserva.
4. Si a cada miembro de una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad
se conserva.
Regla para resolver una ecuación entera de primer grado con una incógnita:
1) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
2) Se reducen términos semejantes en cada miembro.
3) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita
4) Se obtiene el valor de la incógnita..
Ejemplos:
Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación: 𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟑
a) Se pasan las incógnitas al miembro 1 y las
Constantes al miembro 2: 𝟑𝒙 + 𝒙 = 𝟑 + 𝟓
b) Simplificar términos semejantes: 𝟒𝒙 = 𝟖
c) Despejar la incógnita: 𝒙 =
𝟖
𝟒
d) Obtener el valor de la Incógnita: 𝒙 = 𝟐
Regla para resolver una ecuación de primer grado con signos de agrupación:
1) Se efectúan las operaciones indicadas para eliminar signos de agrupación o paréntesis aplicando la
ley de los signos tanto para la multiplicación como para la división.
2) Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan
la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.
3) Se reducen términos semejantes en cada miembro.
4) Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita
5) Se obtiene el valor de la incógnita.
Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación aplicando la regla anterior:
𝟑𝒙 − (𝟐𝒙 − 𝟏) = −𝟔𝒙 − (𝟑 − 𝟓𝒙)
1) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = −𝟔𝒙 − 𝟑 + 𝟓𝒙
2) 3𝑥 − 2𝑥 + 6𝑥 − 5𝑥 = −3 − 1
3) 𝟐𝒙 = 𝟒
4) 𝒙 =
𝟒
𝟐
5) 𝒙 = 𝟐
Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones según la reglas estudiadas anteriormente:
1) 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟓
2) −𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝒙 − 𝟏𝟓
3) 𝟖𝒙 + 𝟗 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟑 − 𝟓𝒙
4) 𝒙 − (𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟖 − (𝟑𝒙 + 𝟑)
5) 𝟐(𝒙 − 𝟐) + 𝟏 = −𝟑(𝟐𝒙 − 𝟑) + 𝟏𝟎𝒙
Visitar las siguientes ligas para complementar los conocimientos de una ecuación lineal.
https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8
https://www.youtube.com/watch?v=LxLISyKykM4
https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8
https://www.youtube.com/watch?v=LxLISyKykM4
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de primer grado.
Contenido: 2.5 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado.
Sesión: 11 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 11 Fecha: 21/03/2020
Objetivo:
Procedimiento general para la resolución de problemas de ecuaciones de primer grado:
El procedimiento para resolver problemas de ecuaciones de primer grado es el siguiente:
1. Identificar las incógnita del problema: Debemos saber qué es lo que nos está
preguntando el problema
2. Asignar la variable x a la incógnita del problema.
3. Plantear la ecuación de primer grado traduciendo el enunciado a lenguaje
algebraico
4. Resolver la ecuación de primer grado
5. Interpretar la solución: Una vez teniendo la solución de la ecuación (que no es la
solución del problema), debemos interpretarla para darle un sentido, obteniendo así
la solución del problema.
Problemas:
1) Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a
100.
Si x es el número que buscamos, su doble es 2X y su triple es 3x. La suma de los dos
últimos debe ser 100:
Resolvemos la ecuación:
El número buscado es 20.
2) Si Ana es 12 años menor que Eva y dentro de 7 años la edad de Eva es el doble que
la edad de Ana, ¿qué edad tiene Eva?
Supongamos que x es la edad de Ana. Como Eva tiene 12 años más que Ana, su edad
es x+12.
Dentro de 7 años, Ana tendrá la edad actual más 7, es decir, tendrá x+7. Del mismo modo,
Eva tendrá (x+12)+7=x+19. Además, el doble de la edad de Ana será 2⋅(x+7).
Debemos resolver la ecuación
Resolvemos la ecuación:
Por tanto, la edad actual de Ana es 5 y la de Eva es 17. Dentro de 7 años, Ana tendrá 12 y
Eva tendrá 24 (el doble que Ana).
3) El número de mesas en un salón de clase es el doble del número de sillas más 6 si en
el salón hay 36 muebles entre mesas y sillas. ¿Cuántas mesas y sillas hay?
Ecuación:
2x+6+x = 36
Resolución:
2x+6+x = 36
3x + 6 = 36
3 x = 36 - 6
X = 30 / 3
X= 10
Solución:
Mesas: 2x+6 = 26
Sillas: x = 10
La suma de mesas y sillas es de 36.
Hay 10 sillas y 26 mesas.
4) Al preguntar a una abuela por sus nietos dice: “si al quíntuple de años que tiene se le
quita el doble de los años que tenía hace dos y se le resta 6, tendrás la edad actual
de mi nieto el menor”.
Planteamiento: edad nieto actualmente: x
hace dos años: x - 2
Ecuación: “si al quíntuple de años que tiene se le quita el doble de los años que tenía hace
dos años menos 6, tendrás la edad actual de mi nieto”
5x – 2(x-2) -6 = x
Resolución:
5x – 2(x-2) -6= x5x -2x +4 -6= x
3x - x = 6-4
2x = 2
X = 2/ 2
X = 1
Solución: Edad actual 1 año
5) Encontrar dos números positivos y consecutivos de modo que su la suma de sus
dobles sea igual al triple del mayor de los dos números.
Supongamos que x es el menor de los números. Entonces, su consecutivo es el número que
le sigue, es decir, es x+1.
El doble del número menor es 2⋅x y el doble de mayor es 2⋅(x+1)
Por tanto, la suma de los dobles es:
Queremos que esta suma sea igual al triple del mayor de los dos números y como x+1 es el
mayor de los números, la suma debe ser igual a 3⋅(x+1)
La ecuación que tenemos es
Resolvemos la ecuación:
Por tanto, los números buscados son x=1x=1 y x+1=2x+1=2.
En efecto, los números 1 y 2 son positivos, consecutivos y la suma de sus dobles es 2+4 = 6,
que es el triple del mayor.
6) El padre de Andrés tiene 30 años más que él y su madre tiene 5 años menos que su
padre. Averiguar la edad de actual de Andrés sabiendo que la suma de las edades de
sus padres es 7 veces la edad de Andrés.
Si Andrés tiene x años, su padre tiene x+30. Como la madre tiene 5 años menos que su
padre, tiene x+30−5=x+25.
La suma de las edades de los padres es 7 veces la de Andrés:
Resolvemos la ecuación:
La edad de Andrés es 11 años y las edades de su padre y de su madre son 41 y 36,
respectivamente.
7) Si el doble de un número más 28 es igual 82, ¿qué número es?
La incógnita x es el número que buscamos.
Como el doble se obtiene multiplicando por 2, el doble de x es 2x.
El resultado de sumar 28 al doble x es 82, lo que algebraicamente se escribe como
2x+28=82
Resolvemos la ecuación:
2x=82−28
2x=54
x=54
2
x=27
Por tanto, el número buscado es 27.
8) En el colegio de Miguel hay un total de 1230 estudiantes (alumnos y alumnas). Si el
número de alumnas supera en 150 al número de alumnos, ¿cuántas alumnas hay en
total?
La incógnita x del problema es el número total de alumnas.
Como hay 150 alumnas más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas
menos 150. Es decir, x−150.
El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de alumnos:
x+(x−150)=1230
Resolvemos la ecuación:
x+x−150=1230
2x−150=1230
2x=1230+150
2x=1380
2x=1380/2
x=690
Por tanto, el número de alumnas es 690.
9) Si el resultado de restar el doble de x al quíntuple de x es 33, ¿qué número es x?
Solución:
El quíntuple de x es 5x.
El doble de x es 2x.
La ecuación queda:
5x−2x=33
3x=33
x=33/3
x=11
El número x es 11.
10) Se tiene el mismo número de cajas de manzanas que de limones. Si en una caja
de manzanas caben 13 unidades y en una de limones caben 17, ¿cuántas cajas se
tiene si hay un total de 180 frutas?
La incógnita x es el número de cajas de manzanas, que también es el número de cajas de
limones. Entonces, el número total de cajas (de ambas frutas) es x+x, es decir, 2x.
Como en una caja de manzanas caben 13 unidades, el número total de manzanas es 13x.
Como en una caja de limones caben 17 unidades, el número total de limones es 17x.
El total de manzanas y de limones es 180:
13x+17x=180
Resolvemos:
30x=180
x=180/30
x=6
Hemos calculado el número de cajas de manzanas, pero ya hemos dicho al comienzo que
el número total de cajas es 2x
2x=2⋅6=12
Por lo tanto hay un total de 12 cajas.
11) Si la suma de un número x con su consecutivo es 27, ¿qué número es x?
Es importante saber que el consecutivo de un número se calcula sumando 1.
Por ejemplo, el consecutivo de 2 es 3 (2+1 = 3) y el consecutivo de 100 es 101 (100+1 =
101).
Por tanto, el consecutivo de x es x+1.
La suma de x y de x+1 es igual a 27:
x+(x+1)=27
Resolvemos:
x+x+1=27
2x+1=27
2x=27−1
2x=26
x=26/2
x=13
Por tanto, el número x del enunciado es 13.
12) Si la suma de dos números consecutivos es -13, ¿qué números son?
La incógnita x es uno de los números que buscamos. Como el otro es su consecutivo, es x+1.
La suma de los números es -13:
Entonces, x+(x+1)=−13
2x+1=−13
2x=−13−1
2x=−14
x=−14/2
x=−7
Calculamos el otro número, que es x+1:
x+1=−7+1=−6
Por tanto, los números consecutivos que suman -13 son -6 y -7.
13) La suma de un número par y el siguiente par que le sigue es igual a 66, ¿qué
números son?
Tener en cuenta que los números naturales (0, 1, 2, 3, 4..) están ordenados y el siguiente
de un número par siempre es uno impar y viceversa.
Por tanto, el número par que le sigue a otro par se calcula sumando 2. Por ejemplo, 2+2 =
4, 4+2 = 6, 6+2 = 8...
El si x es el primer número par (el pequeño), el par que le sigue es x+2.
La suma de los dos números es 66:
x+(x+2)=66
Resolvemos:
2x+2=66
2x=66−2
2x=64
x=642
x=32
Uno de los pares es 32. El otro es x+2:
x+2=32+2=34
Los dos pares consecutivos que suman 66 son 32 y 34.
14) Si Manuel es 3 años mayor que Andrea y la suma de sus edades es 35, ¿qué
edades tienen?
Llamamos x a la edad de Andrea.
Como Manuel es 3 años mayor que Andrea, su edad es x+3.
La suma de las edades es 35:
x+(x+3)=35
2x+3=35
2x=35−3
2x=32
x=32/2
x=16
Andrea tiene 16 años y Manuel tiene 19.
15) Si el perímetro de un cuadrado es 24cm, ¿cuánto miden sus lados?
Recuerda que el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.Como un cuadrado tiene 4 lados que miden lo mismo, llamamos x a la longitud de uno de
ellos.
El perímetro es la suma de los 4 lados:
x+x+x+x=24
4x=24
x=24/4
x=6
Los lados del cuadrado miden 6cm (cada uno).
16) Calcular un número x de modo que sumar 5 al doble de x tiene el mismo
resultado que restar 1 al triple de x.
El doble de x es 2x. Le sumamos 5, entonces: 2x+5
El triple de x es 3x. Le restamos 1: 3x−1.
Los dos números anteriores tienen que ser iguales:
2x+5 = 3x−1
Resolvemos la ecuación:
5=3x−1−2x
5=x−1
5+1=x
6=x
El número x del problema es 6.
17) La resta de las edades de dos hermanos es 5 y la suma es 49. ¿Qué edades
tienen?
Si la resta de las edades es 5 es porque uno de ellos tiene 5 años más que el otro. Así, si la
edad de uno es x y la del otro es x+5.
Comprobamos que la resta de las edades es 5: x+5−x=5
También sabemos que sus edades suman 49:
La ecuación queda y se resuelve:
x+(x+5)=49
2x+5=49
2x=49−5
2x=44
x=44/2
x=22
La edad de uno es 22 y la del otro es 27.
18) Calcular tres números consecutivos que sumen 24.
El primer número es x.
El consecutivo de x es x+1.
El consecutivo de x+1 también se calcula sumando 1:
x+1+1=x+2
La suma de los tres números es 24:
x+(x+1)+(x+2)=24
Resolvemos la ecuación:
3x+3=24
3x=24−3
3x=21
x=21/3
x=7
Los números son 7, 8 y 9.
19) Entre Andrés y Carla tienen un total de 42 lápices. ¿Cuántos lápices tiene
Andrés si Carla tiene 6 veces más?
La incógnita x es el número de lápices que tiene Andrés.
Como Carla tiene 6 veces más que Andrés, tiene 6x.
En total hay 42 lápices:
x+6x=42
Resolviendo:
x+6x=42
7x=42
x=42/7
x=6
Por tanto, Andrés tiene 6 lápices.
20) La suma de un número x con su mitad y con su tercera parte es igual a 22. ¿Qué
número es x?
La mitad del número x es
X
2
La tercera parte de x es
X
3
La suma de x y de las dos fracciones es 22:
x+ x+ x=22
2 3
Común denominador (mcm) =6 y solo trabajando con la primera parte de la ecuación,
tenemos:
x+ x+ x= 6x +3x + 2x = 11x
2 3 6 6
11x = 22
6
11x=132
x=132/11
x=12
El número x del problema es 12.
21) La mitad de un número x más la tercera parte del consecutivo de x es igual 2.
Calcular x
La mitad del número x es x
2
El consecutivo de x es x+1, así que su tercera parte es x+1
3
La suma de ambas fracciones es 2:
x + x+1 = 2
2 3
Obteniendo y aplicando el mcm
x + x+1 = 3x + 2x +2 = 5x + 2
2 3 6 6
5x + 2 = 2
6
5x + 2 = 2(6)
5x + 2 = 12
5x = 12 – 2
5x = 10
x = 10/5
x = 2
El número x del problema es 2.
22) Antonio ha recorrido la quinta parte de un camino recto. Si le quedan por recorrer
520 metros, ¿cuál es la longitud del camino?
Antonio ha recorrido la quinta parte de x, es decir, ha recorrido x/5
.
Como ha recorrido la fracción 1/5 de x, le quedan por recorrer las otras cuatro quintas
partes de x. Es decir, le queda por recorrer
4x
5
Como esta fracción sabemos que es igual a 520m, tenemos la ecuación
4x=520
5
Resolviendo:
4x=520
5 520
x= __520_ = 1___ = 520 (5) = 2600 = 650
4 4 1(4) 4
5 5
Por tanto, la longitud del camino es 650 metros.
Retroalimentación:
Resolver los reactivos de la guía del IPN, UNAM y de los 500 reactivos que se publicaron en la
página del cecyt5.ipn.mx correspondiente a lo que se ha trabajado hasta el momento.
Favor de estudiar tus libros de matemáticas de Secundaria.
Continuaremos en la próxima sesión del 28 de marzo de 2020. ¡ADELANTE!
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TALLER DE APOYO PARA EL FORTALECIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS CURSO
COMIPEMS
Docentes que elaboraron:
Ma. Rosalba Patricia Moran
Perla Ortiz Romo
Yudith Aglae Dorantes villa
Juan José Serrano Barrientos
Adán Gómez Espinosa
José Alberto Cruz Barrios
Sesión correspondiente al 28 de Marzo de 2020.
Tema 2: Álgebra - Ecuaciones de primer grado.
Contenido: 2.6 Resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sesión: 12 de 22 Número de horas: 2 Número de semana: 12 Fecha: 28/03/2020
Objetivo: El alumno debe ser capaz de comprender los tres métodos para resolver las ecuaciones
lineales: sustitución, reducción e igualación.
DEFINICIONES
Método de Sustitución: Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y
reemplazar este valor en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de primer grado con
una incógnita.
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CURSO SABATINO DE PREPARACIÓN PARA EL INGRESO AL NIVEL
MEDIO SUPERIOR
y = 7 – 2x
x + 3(7 – 2x) = 11
x + 21 – 6x = 11
-5x = 11 - 21
x = 2
Método de reducción: Consiste en sumar las dos ecuaciones del sistema, resulte una
ecuación con una sola incógnita. Se multiplica los dos miembros de una ecuación y en
algunos casos los de las ecuaciones por números convenientes para que en las dos
ecuaciones los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos y,
Método de igualación: Hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones
e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer
grado.
Pasos para resolver el método de sustitución:
1. Despejar una incógnita en una de las dos ecuaciones.
2. Se sustituye en la otra ecuación la incógnita despejada.
3. Resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado y se obtiene el valor de
una de las incógnitas.
4. Se sustituye el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener
el valor de la incógnita.
5. Por último se comprueba con los resultados sustituyendo los valores de “x” e
“y”, en las dos ecuaciones para ver si se cumple.
Ejemplo:
Pasos para resolver el método de reducción:
Reduciendo las “x”
Para eliminar la “x”, se necesitaba tener el mismo número de “x” en las dos ecuaciones
y deben estar cambiadas de signo. Para conseguirlo como en la 1a ecuación tenemos
una “x’ y en la 2a “3x”debemos multiplicar la 1a ecuación por -3 para conseguir el mismo
número y que estén cambiadas de signo.
2x + y = 7
x + 3y = 11
y = 7 – 2(2)
y = 7 – 4
y = 3
x =
-10
-5-3x – 6y = -27
3x – y = 20
x = 9 – 2y
x = 9 – 2(1)
x = 9 – 2
Multiplicamos la
2ª ecuación por 2
y =
-7
-7
Ejemplo:
Suma o resta
Calculamos el valor de la “x” sustituyendo el valor de “y” en cualquiera de las dos
ecuaciones.
Se sustituye en la 1ª ecuación el valor obtenido y = 1
Reduciendo las “y”
En la 1ª tenemos “2y”, en la segunda una “y”, están cambiadas de signo. Si
multiplicamos la 2ª por “2”, ya hemos conseguido tener el mismo número.
1ª x + 2y = 9
2ª 3x - y = 20
1ª (-3)
2ª
1ª x + 2y = 9
2ª 3x - y = 20
-7y = -7
y = 1
x + 2y = 9
x = 7
1ª x + 2y = 9
2ª 3x - y = 20
1ª
2ª • (2)
x – 2y = 9
6x – 2y = 40
7x = 49
x = 7
2
y =
2
y =
8 + 2y
3
x = 6 - y
3
8 + 2y
= 6 - y
8 + 2y = 3(6) – 3y
8 + 2y = 18 – 3y
2y + 3y = 18 – 8
5y = 10
y =
10
5
Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo la “x” en cualquiera de las dos
ecuaciones.
Pasos para resolver el método de igualación
1. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Igualamos las dos expresiones.
3. Resolvemos la ecuación resultante y obtenemos el valor de una de las incógnitas
4. Sustituimos el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones
despejadas al principio para obtener el valor de la otra incógnita.
7 + 2y = 9
2y = 9 – 7
2y = 2
y = 9 – 2
y = 1
1ª 3x – 2y = 8
2ª x + y = 6
y = 2
Suma o resta
EJERCICIOS
Resuelve por sustitución:
Resuelve por reducción:
Resuelve por igualación:
R = x = 4, y = 2
R = x = 4, y = -3 R = x = 25, y = 35
R = x = 4, y = -3
R = x = 2, y = 3 R = x = 1, y = 2
R = x = 1, y = 2
R = x = 1, y = 2 R = x = 2, y = 0
HOJA DE PROCEDIMIENTO Y DESARROLLO
SUSTITUCIÓN
REDUCCIÓN
REDUCCIÓN
IGUALACIÓN
Si crees que ya estás listo para la siguiente clase…. Adelante, en
caso contrario vuelve a leer, analizar y resolver los ejercicios.
Recuerda que tu meta es quedarte en tu opción deseada, el éxito no llega por arte de magia,
tienes que hacer acciones para que se cumpla.
Y una de ellas es prepararte con responsabilidad, estudiando, analizado, comprendiendo y
realizando ejercicios.
ADELANTE, ¡TU PUEDES!
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Sesión correspondiente al 04 de abril de 2020
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de primer grado.
Contenido: 2.7 Resolución de problemas con sistemas de dos ecuaciones lineales con
dos incógnitas.
Sesión: 13 de 22 Número de horas: 2 Número de semana: 13 Fecha: 04/04/2020
Objetivo: Identificar y resolver problemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas aplicando
estrategias y escogiendo el método conveniente para resolverlo o bien lo puede realizar mentalmente
y/o analíticamente.
En este tipo de ecuaciones aparecen dos variables o incógnitas. Para resolver este tipo de ecuaciones se
despeja una de las variables para expresarlo en términos de la otra, así el conjunto de soluciones puede
ser infinito.
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Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas
que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que
satisfacen dichas ecuaciones, por lo anterior existen diversos métodos para su resolución.
El razonamiento es una facultad del ser humano (aunque no es exclusiva de nosotros) que
le permite resolver un problema. Para ello recurre a una serie de procesos mentales que
le permiten llegar a una idea, una vez que desarrolla esa idea puede encontrar la solución
del problema. Cuando realizamos este proceso decimos que usamos la razón.
Por ejemplo, supongamos que nos hacen este tipo de preguntas: El número de mi casa es
el doble que el de la de mi amigo Beto que vive en el mismo lado. Las casas con números
pares están del lado izquierdo de la cerca y las casas que tienen números impares del lado
derecho. ¿De qué lado está mi casa?
A primer estancia parecería incluso una pregunta sin sentido, pero si hacemos un pequeño
de procesos matemáticos podríamos llegar a lo siguiente:
Se dice que el número de su casa es el doble que la de su amigo, podemos imaginar un
número comenzando por el 1 para la casa de su amigo, así el doble sería 2. Luego, si fuera
el 2 la casa de su amigo, el doble sería 4. Si la casa de su amigo fuera el número 3, el doble
sería 6. Podríamos continuar así y llegaríamos a la siguiente conclusión. Si todos los
números aunque sean impares, el doble es un número par, entonces la casa debe estar en
donde están los números pares, puesto que son vecinos. Así que la respuesta correcta es
que la casa está del lado izquierdo de la acerca.
Los problemas que se presentarán por lo general no tiene un única forma de resolverlos
y/o plantearlos, para encontrar la solución de algunos podrás utilizar un esquema o dibujo,
para otros una fórmula matemática, para otros leyendo el problema se te ocurrirá la
solución y muchas veces lo encontrarás por ensayo y error.
También existen diversas técnicas para resolver problemas. A continuación te planteamos
un esquema que puede serte útil a la hora de abordar un problema.
1) Entiende el problema. El problema debe ser leído, releído y analizando
cuidadosamente, hasta entender completamente ¿Qué es lo que se te está
pidiendo?
2) Elabora un plan. Haz un dibujo o diagrama, busca un patrón, elabora una tabla de
datos, piensa o recuerda un problema similar más sencillo.
3) Realiza tu plan, es decir, resuelve el problema.
4) Revisa y comprueba. comprueba tu respuesta para ver que es razonable.
Ejemplo 1: La diferencia de dos números es 14 y ¼ de su suma es 13. Hallar los números.
Datos:
Sea:
X= el número mayor
Y= el número menor
Operaciones:
De acuerdo con las
condiciones del problema,
tenemos el siguiente sistema:
{
𝑋 − 𝑌 = 14 … (1)
𝑋+𝑌
4
… (2)
Quitando denominadores y
sumando:
𝐴 = 𝜋𝑟2
{
𝑥 − 𝑦 = 14
𝑥 + 𝑦 = 52
𝑋 − 𝑌 = 14
𝑋 + 𝑌 = 52
2𝑋 = 66
𝑋 = 33
Sustituyendo 𝑋 = 33 en (1)
33 − 𝑌 = 14
𝑌 = 19
Resultados:
Por lo tanto los números
buscados son 33 19.
Ejercicios, FAVOR DE REALIZARLOS EN TU LIBRETA DE TRABAJO.
1) Se tienen $1950.00 en 27 billetes de $50 y $100.00 ¿Cuántos billetes son de cada denominación?
2) En una función de teatro escolar se vendieron 205 boletos, unos a $7.00 y otros a $9.00. ¿Cuántos
vendieron de cada precio si el total de la venta fue de $1,565.00?
3) 5 trajes y 3 sombreros cuestan $4,180.00 y 8 trajes y $9 sombreros cuestan $6,940.00. Encontrar
el precio de un traje y de un sombrero.
4) La diferencia entre dos números es 16. El triple del mayor es siete veces el menor. Encuentra esos
números.
Favor de continuar estudiando y analizando tus apuntes, cuando la contingencia termine, te
presentas preparado para hacer todas las preguntas que lleves anotadas en tu libreta de
trabajo, recuerda tu meta, ¡Quedarte en tu escuela de preferencia!
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Sesión correspondiente al 18 de abril de 2020.
Tema 2: Álgebra
Contenido: 2.8 Productos notables y factorización.
Sesión: 14 de 22 Número de horas: 2 Número de semana: Fecha: 18/04/2020
Objetivo: Uno de los objetivos es identificar un producto notable (un binomio al
cuadrado, un binomio al cubo, un binomio conjugado, etc.), y seguir cada una de las
reglas correspondientes para su pronta resolución sin necesidad de realizar un
producto.
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Productos Notables
Los productos notables, como su nombre lo indica, son el producto de dos
polinomios en los que claramente se nota cuáles son los factores de la
multiplicación. Una simple inspección nos permite identificarlos. Los más conocidos
son tres:
1) Binomio al cuadrado.
Son de la forma y por lo mismo, se pueden ver como el área de un cuadrado
cuyo lado es :
Por lo cual:
El cuadrado de la suma, es igual al cuadrado del primer término, más dos veces el
primero por el segundo, más el segundo al cuadrado.
Ejercicio 1.
Calcula el área del cuadrado de las dos formas diferentes:
Ejercicio 2.
El resultado de es:
a)
b)
c)
d)
e)
2) Binomios conjugados.
Son de la forma su característica principal es que tienen los mismos
términos, pero uno de ellos tiene signo contrario, de ahí el nombre de conjugados,
al realizar el producto se obtiene una diferencia de cuadrados, esto es:
Geométricamente se puede interpretar que el área de un
rectángulo cuyos lados son y es igual a la resta de dos cuadrados cuyos
lados son a y b respectivamente.
Observar que al efectuar el producto (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
También obtenemos
Ejercicio:
Al desarrollar se obtiene:
a)
b)
c)
d)
e)
3) Binomios con término común.
Son de la forma en este caso, sólo un elemento se repite en ambos
paréntesis y al realizar el producto se obtiene que:
El desarrollo es:
El producto de dos binomios con término común es igual al cuadrado del término
común más la suma de los términos no comunes por el común más el producto de
los no comunes.
Ejercicio:
¿Cómo se vería geométricamente este producto?
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
Otro producto notable es el cuadrado de la diferencia de dos cantidades, es decir,
supongamos que a y b son dos que primero se van a restar y el resultado se va a
elevar al cuadrado. Donde:
Por lo tanto:
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejercicio:
¿Cómo se vería geométricamente este producto?
Factorización
Como ya habíamos visto en aritmética, la multiplicación es la operación que consiste
en multiplicar dos números llamados factores. Factorizar significa expresar un
número o expresión algebraica como el producto de varios factores. Algunas
factorizaciones muy frecuentes son las siguientes:
1) Factorización de un monomio.
Factorizar un monomio consiste en expresarlo como el producto de dos o más
monomios.
Ejemplo:
10𝑎𝑏 = (2𝑎)(5𝑏)
2) Factorización de polinomios
No todo polinomio puede ser expresado como el producto de dos o más factores
distintos de 1, pues hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas
mismas y por 1, y que por lo tanto, no son el producto de otras expresiones
algebraicas.
Así
Por lo tanto, existen diferentes formas de factorizar un polinomio:
a) Polinomios, que tiene un monomio por factor común.
Uno de los factores comunes más usados es el producto del máximo común divisor
de los términos del polinomio, multiplicado por las variables comunes elevadas al
menor exponente en que aparecen.
Ejemplo.
Factorizar:
Solución:
Sabemos que:
• El m.c.d. (9,18) = 9
• Las variables comunes elevadas al menor exponente son: a y 𝑥2
• El factor común: 9𝑥2𝑎
Por lo tanto la factorización queda así:
9𝑎3𝑥2 − 18𝑎𝑥3 = 9𝑥2𝑎(𝑎2 − 2𝑥)
b) Factorización de un Trinomio cuadrado Perfecto
Un Trinomio Cuadrado Perfecto es el producto de un binomio al cuadrado, para
encontrar su factorización debes identificar el producto notable.
Ejemplo.
c) Factorización de una Diferencia de Cuadrados.
Siempre que te encuentres una diferencia de cuadrados, es decir un polinomio de
la forma , recuerda que se puede factorizar como un binomio
conjugado:
Ejemplo.
d) Factorización de Trinomios de la
Forma: 𝒙𝟐 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Un trinomio de la forma , se obtiene de desarrollar el producto de dos
binomios en los que la variable , es un término común. Para factorizar este tipo de
polinomios se busca una pareja de números cuyo producto sea “c” y cuya suma sea
“b”.
Por ejemplo, para factorizar
:
Se buscan dos números que al multiplicarlos nos de 8 y al sumarlos nos de 6. En este
caso, los números que cumplen esto son 2 y 4.
Pues 2 𝑥 4 = 8 𝑦 2 + 4 = 6
Por lo tanto:
Los números también se pueden encontrar usando la formula general de segundo
grado que se verá más a continuación.
Ejercicio. Factorizar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Conclusiones:
Hemos abreviado de la mejor manera lo que es el Algebra y algunos temas como lo son las
expresiones algebraicas, términos semejantes, las ecuaciones de primer grado con una y con
dos incógnitas, productos notables, factorización, entre otros temas; Nos ayuda a reconocer
diferente métodos y procesos de resolución, aprendimos a resolver las ecuaciones de primer
grado con métodos analíticos y gráficos así como también, nos ayuda a reconocer la
importancia de los recursos tecnológicos de aprendizaje de las matemáticas.
Retroalimentación:
Resolver los ejercicios de matemáticas de la guía del IPN y de la UNAM
Resolver los reactivos que se publicaron en la página del cecyt5.ipn.mx de la liga 500 reactivos.
Pronto buscaremos una estrategia para resolver dudas usando medios de comunicación,
favor de esta pendiente en la página y correos electrónicos.
Sesión correspondiente al 25 de abril de 2020.
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de segundo grado.
Contenido: 2.9 Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Sesión: 15 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 15 Fecha: 25/04/2020
Objetivo: Que los alumnos identifiquen de forma clara una ecuación cuadrática y pueda
determinar que método puede utilizar para su solución.
Aprendizajes esperados: Resolver una ecuación de segundo grado por medio de la
factorización.
Ecuación de la forma: ax2 + bx = 0, x2 + bx + c =0, formula general.
Solución de las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0:
Si se analiza esta forma se puede observar que los términos tienen un factor común, que es
x, por lo tanto, se puede resolver por factorización.
Ej. Resolver la ecuación.
8x2 – 32x = 0
Se factoriza el 1° miembro y se iguala cada factor a 0:
X= 0 x (8x - 23) = 0
8x – 32 = 0
X = 32/8
X= 4
Po último. Se comprueba los resultados, en la ecuación origina.
8x2 – 32x = 0
X1= 0 8(0) – 32(0) = 0
X2= 4 8(4)2 32(4) = 0
8(16) – 128 = 0
128 – 128 = 0
Ecuaciones de la forma x2 + bx+ c = 0:
Se puede aplicar la factorización para resolver ecuaciones completas, si este en su3°
termino es el producto de dos números y el 2° la suma o diferencia de éstos mismos.
Ej. Resolver la ecuación. X2 + 9x + 18 = 0
Se determina por medio de localizar dos números (6 y 3), si el 2° y 3° término cumple con
las condiciones antes mencionadas.
18 = (6) (3)
9 = 6 + 3
Por lo que cada número se coloca entre paréntesis con su respectiva x y se iguala
a 0.
(x + 6 ) ( x + 3 ) = 0
Se iguala a 0 cada factor y se resuelven las ecuaciones.
X + 6 = 0
X1 = -6
X + 3 = 0
X2 = -3
Por último, se comprueban los resultados en la ecuación original.
X1 = - 6
(-6)2 + 9(-6) + 18 = 0
36 – 54 + 18 =0
54 – 54 = 0
X2= -3
(-3) 2 +9(-3) + 18 = 0
9 – 27 + 18 = 0
27 – 27 = 0
La fórmula general es:
𝑋 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
a = Coeficiente cuadrático
b = Coeficiente lineal
c = Coeficiente independiente
Ejemplo 2x2 – 7x + 3 = 0
Procedemos a obtener los valores de las variables para sustituir en la formula general.
a = 2 b = - 7 c = 3
𝑋 =
−(−7) ± √(−7)2 − 4(2)(3)
2(2)
X1 = (7 + 5 ) / 4 = 3
X2 = (7-5) / 3 = 1/2
Ejercicios
A) 5x2 + 3x = 0
B) 3x2 – 12x = 0
C) 3x2 + 26x = 0
D) 6x2 + 12x= 0
E) 2x2 – 32= 0
Conclusión: El alumno resuelve las ecuaciones de segundo grado identificando que método
de factorización a utilizar.
Referencia:
https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2014/05/13/ecuaciones-incompletas-de-la-
forma-ax²bx-0/
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+
bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3o
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
AhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655
#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
Tema 2: Álgebra – Ecuaciones de segundo grado.
Contenido: 2.10 Solución de ecuaciones de segundo grado por el método gráfico.
Sesión: 15 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 15 Fecha: 25/04/2020
Objetivo: Que el alumno resuelva ecuaciones cuadráticas por el método gráfico
Aprendizajes esperados: Que el alumno identifique una ecuación cuadrática para
graficarla.
Cuando encontramos los valores de “x” de una ecuación cuadrática “parábola” son
muy importantes estos datos, porque nos define en donde la gráfica va a intersectar
el eje “x”.
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
https://www.google.com.mx/search?q=ecuaciones+de+segundo+grado+forma+ax2+%2B+bx+%3D+0+ejercicios+resueltos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwji86nU7s3oAhVVYs0KHfdrAa0Q_AUoAXoECAwQAw&cshid=1585972203426380&biw=1366&bih=655#imgrc=QL1L3wgN30zdIM&imgdii=Ab_mdNbY0aXhtM
Ejemplo: x2 – 4x + 1 = 0 graficamos y = x2 – 4x + 1
Ejemplo: 2x2 = 0 Graficamos Y = 2x2
Ejemplo = -x2 + 3 graficamos Y = -x2 + 3
Ejercicios
A) Y = 3x2 – x +1
B) Y = -x2 + x - 3
C) Y = x2 + 5
D) Y = 2x2 + 3
E) Y = -5x2
Conclusión: Que el alumno pude identificar una ecuación cuadrática y realiza la
gráfica correspondiente.
Referencias
https://www.ck12.org/book/ck-12-álgebra-i-en-español/section/10.2/
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/ecuaciones-de-segundo-
grado/representacion-grafica-de-las-ecuaciones-de-segundo-grado-l10886
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/ecuaciones-de-segundo-grado/representacion-grafica-de-las-ecuaciones-de-segundo-grado-l10886
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/ecuaciones-de-segundo-grado/representacion-grafica-de-las-ecuaciones-de-segundo-grado-l10886
Sesión correspondiente al 02 de Mayo de 2020.
Tema 3: Triángulos y trigonometría.
Contenido: 3.1 Rectas y ángulos.
Sesión: 16 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 16 Fecha: 02/05/2020
Objetivo: Identificar los conceptos básicos de trigonometría y geometría plana así
como sus aplicaciones en un triángulo cualquiera.
Aprendizajes esperados:
Distinguir conceptos básicos como punto, recta, semirrecta, segmento de recta, línea
curva. Interpretar los elementos y las características de los ángulos.
Justificará que la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo e 180°.
Establecerá las relaciones de igualdad de ángulos que se forman al cortar dos rectas
paralelas y una transversal y buscar argumentos que justifiquen dichas relaciones.
Definición:
La trigonometría es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las
relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Conceptos básicos:
El punto: Es una figura geométrica adimensional, es decir, no tiene longitud, área,
volumen, ni otro ángulo dimensional. El punto describe una posición en el espacio y
está determinado respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.
La línea: Es una sucesión continua de puntos interminables e infinitos.
La línea recta: Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sólo dimensión
y está compuesta de infinitos segmentos.
La línea curva: Es una línea continua de una dimensión que varía de dirección
paulatinamente.
Semirrecta: Es una línea que tiene un principio pero no tiene fin.
Segmento: Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados
puntos extremos o finales.
Ángulo: Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado
vértice. El ángulo se designa por una letra mayúscula situada en el vértice, a veces se
usa una letra griega dentro del ángulo o bien, tres letras señalando la letra central el
vértice de dicho ángulo. Un ángulo se denota de la siguiente manera: ∡.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
A) Clasificación de acuerdo a la abertura de sus ángulos.
Los ángulos se pueden clasifican de acuerdo a su abertura, reciben nombres
específicos que los ubican en algún rango sin necesidad de realizar su medición o de
asignarles una medida específica que permita su localización en las siguientes figuras
geométricas.
B) Clasificación de ángulos de acuerdo a su posición:
Los ángulos de acuerdo a su posición con respecto a otros ángulos los clasificaremos
en parejas de tal manera que facilite la medición.
Ejemplo 1 de ángulos opuestos por el vértice: Encontrar el valor de 𝑋 e Y:
Solución: Como son ángulos opuestos por el vértice, tenemos lo siguiente:
Como ∡𝐴 = 110° entonces el ángulo ∡𝑋 = 110° por ser ángulo opuesto por el
vértice.
Y como el ∡𝐵 = 70° entonces el ángulo ∡𝑌 = 70° por ser ángulo opuesto por el
vértice.
Por lo tanto:
C) Clasificaciónde ángulos según su suma:
Según la suma de sus medidas, dos ángulos pueden ser complementarios o
suplementarios.
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Ejemplo 1: Cuál es el complemento de 80°?
Solución:
𝑋 + 80° = 90°
Al despejar 𝑋 tenemos:
𝑋 = 90° − 80°
𝑋 = 10°
Por lo tanto el complemento de 80° es un ángulo de 10°.
Ejemplo 2: De la siguiente figura determinar los siguientes ángulos complementarios.
a) ∡𝐾𝑂𝐿 =
b) ∡𝐿𝑂𝑀 =
Solución:
La suma de los ángulos deben sumar 90° por ser complementarios, por lo que:
4𝑋 + 2𝑋 = 90°
6𝑋 = 90°
𝑋 =
90°
6
𝑋 = 15°
Por lo tanto:
a) ∡𝐾𝑂𝐿 = 2(15°) = 30°
b) ∡𝐿𝑂𝑀 = 4(15°) = 60°
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Ejemplo 1: Cuál es el suplemento de 40°?
Solución:
𝑋 + 40° = 180°
Al despejar 𝑋 tenemos:
𝑋 = 180° − 40°
𝑋 = 120°
Por lo tanto el suplementario de 40° es un ángulo de 120°.
Ejemplo 2: De la siguiente figura calcular el valor de los siguientes ángulos
suplementarios.
a) ∡𝐴𝑂𝐵 =
b) ∡𝐵𝑂𝐶 =
c) ∡𝐶𝑂𝐷 =
La suma de los tres ángulos deben sumar 180° por ser suplementarios, por lo que:
𝑋 − 1 + 𝑋 + 1 + 𝑋 − 1 = 180°
3𝑋 − 1 = 180°
3𝑋 = 180° + 1
3𝑋 = 181°
𝑋 =
181°
3
𝑋 = 60.33°
Por lo tanto:
a) ∡𝐴𝑂𝐵 = 𝑋 − 1 = 60.33° − 1 = 59.33°
b) ∡𝐵𝑂𝐶 = 𝑋 + 1 = 60.33° + 1 = 61.33°
c) ∡𝐶𝑂𝐷 = 𝑥 − 1 = 60.33° − 1 = 59.33°
PARALELISMO
Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienen
ningún punto en común.
El paralelismo se denota o expresa con el signo: ‖, ⫽.
Así: 𝐿1 ⃡ ‖ 𝐿2 ⃡ .
Una recta que corta a dos o más paralelas la llamaremos transversal o secante.
Así: �⃡� , es la transversal y �⃡� ‖ �⃡�.
Rectas paralelas cortadas por una secante
• Ángulos internos: ∡𝐸, ∡𝐹 𝑦 ∡𝐺, ∡𝐻. Son aquellos ángulos que quedan
determinados por la recta transversal y entre las rectas paralelas.
• Ángulos externos: ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶, ∡𝐷, Son aquellos ángulos que quedan
determinados fuera de las rectas paralelas.
• Ángulos alternos internos: ∡𝐸 𝑦 ∡𝐻; ∡𝐹 𝑦 ∡𝐺, como son ángulos no
adyacentes ubicados en lados opuestos a la transversal y que además son iguales
en medida, es decir, ∡𝐸 = ∡𝐻; ∡𝐹 = ∡𝐺.
• Ángulos alternos externos: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐷; ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶, como son ángulos no
adyacentes ubicados en lados opuestos a la transversal y que además son iguales
en medida, es decir, ∡𝐴 = ∡𝐷; ∡𝐵 = ∡𝐶.
• Ángulos conjugados internos: ∡𝐸 𝑦 ∡𝐺: ∡𝐹𝑦 ∡𝐻, se ubican en la misma
transversal y que además son suplementarios, ∡𝐸 + ∡𝐺 = 180°; ∡𝐹 + ∡𝐻 =
180°.
• Ángulos conjugados externos: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐸; ∡𝐵 𝑦 ∡𝐷, se ubican en el mismo lado
transversal y mismo lado de las rectas paralelas y que además son
suplementarios, es decir; ∡𝐴 + ∡𝐸 = 180°; ∡𝐵 + ∡𝐷 = 180°.
• Ángulos correspondientes: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐺; ∡𝐵 𝑦 ∡𝐻, ∡𝐸𝑦 ∡𝐶; ∡𝐹 𝑦 ∡𝐷 están
situados en el mismo lado de la transversal o secante, uno interno y otro externo
y que además son iguales en medida, es decir; ∡𝐴 = ∡𝐺; ∡𝐵 = ∡𝐻,
∡𝐸 = ∡𝐶; ∡𝐹 = ∡𝐷.
• Ángulos opuestos por el vértice: ∡𝐴 𝑦 ∡𝐹; ∡𝐸 𝑦 ∡𝐵, ∡𝐺𝑦 ∡𝐷; ∡𝐶 𝑦 ∡𝐻,
como son opuestos por el vértice entonces, ∡𝐴 = ∡𝐹; ∡𝐸 = ∡𝐵,
∡𝐺 = ∡𝐷; ∡𝐶 = ∡𝐻.
Ejemplo 1: Encontrar la medida de los siguientes ángulos
Solución:
Como son ángulos alternos externos, entonces son iguales, es decir:
2𝑋 + 10 = 𝑋 + 20
2𝑋 − 𝑋 = 20 − 10
𝑋 = 10
Por lo tanto cada ángulo mide:
2𝑋 + 10 = 2(10) + 10 = 20 + 10 = 30°
𝑋 + 20 = 10 + 20 = 30°
Ejemplo 2: Encontrar las medidas de los siguientes ángulos:
Solución:
Como son ángulos correspondientes, entonces son iguales, es decir:
4𝑌 = 2𝑌 + 60
4𝑋 − 2𝑌 = 60
2𝑌 = 60
𝑌 =
60
2
𝑌 = 30
Por lo tanto, al sustituir el valor de Y, cada ángulo mide:
4𝑌 = 4(30) = 120°
2𝑌 + 60 = 2(30) + 60 = 60 + 60 = 120°
TRIÁGULOS Y GENERARLIDADES
Triángulo es la porción del plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.
Elementos básicos de un triángulo:
Vértices: Son los puntos que unen los lados (aristas) del triángulo; A, B, C.
Lados: Son los segmentos de recta del triángulo; a, b, c.
Ángulos interiores: Son los ángulos que forman los lados del triángulo: 𝜶, 𝜷, 𝜸.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
1. De acuerdo a la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en tres tipos:
2. De acuerdo a la abertura de sus ángulos internos, los triángulos se clasifican en
tres tipos:
CONCEPTOS GENERALES DE LOS TRIÁNGULOS
A. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180°.
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°
B. La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo suman 360°.
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 360°
C. Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no
adyacentes a él.
𝛼 + 𝛽 = 𝑋
Ejemplos: Encontrar la medida de los ángulos.
Solución:
Para encontrar el valor de los ángulos se suman los tres ángulos y se igualan a 180°
por ser ángulos interiores de un triángulo.
2𝑌 + 3𝑌 + 4𝑌 = 180°
9𝑌 = 180°
𝑌 =
180°
9
𝑌 = 20°
Por lo tanto cada ángulo mide:
2𝑌 = 2(20) = 40°
3𝑌 = 3(20) = 60°
4𝑌 = 4(20) = 80°
Por lo que al sumar los tres ángulos nos tiene que dar 180°.
40° + 60° + 80° = 180°
Ejercicios:
1) Encontrar el valor Encontrar el valor de “X” y sus ángulos opuestos por el vértice.
2) Observa la siguiente figura y contesta lo que se te pide delante de cada
pregunta.
a) ¿Cómo son los ángulos 1 y 4?
b) ¿Cómo son los ángulos 1 y 3?
c) ¿Cómo son los ángulos 2 y 4?
d) ¿Cómo son los ángulos 2 y 3?
3) Encontrar el valor de cada ángulo:
a) ∡𝐴𝑂𝐵 =
b) ∡𝐵𝑂𝐶 =
c) ∡𝐶𝑂𝐷 =
4) De la siguiente figura calcular
a) ∡𝐾𝑂𝐿 =
b) ∡𝐿𝑂𝑀 =
c) 𝑀𝑂𝑁 =
d) ∡𝑁𝑂𝑃 =
5) Encontrar el valor del ángulo “X”.
6) Encontrar el valor de los ángulos que faltan.
Conclusión: Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos para la comprensión y análisis
de situaciones reales o formales, formula y resuelve problemas matemáticos,
aplicando diferentes enfoques.
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58
https://www.youtube.com/watch?v=RIIx0r3V7Yw
Tema 3: Triángulos y trigonometría.
Contenido: 3.2 Semejanza de triángulos.
Sesión: 16 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 16 Fecha: 02/05/2020
Objetivo: Reconocer y construir triángulos semejantes utilizando cualquier criterio
estudiado.
Aprendizajes esperados:
Caracteriza a las relaciones trigonométricas según sus disposiciones y sus
propiedades.
Interpreta y construye relaciones trigonométricas en el triángulo.
Significa los criterios de congruencia de triángulos constructivamente mediante
distintos medios.
Interpreta visual y numéricamente al Teorema de Tales en diversos contextos y
situaciones cotidianas.
CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Definición: Un triángulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene todos sus
lados y ángulo respectivamente iguales a los lados y ángulos del otro.
La congruenciase denota de la siguiente forma: ≅.
Criterios de congruencia:
1. Lado – ángulo – lado (LAL): Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son
iguales a los correspondientes de otro triángulo. El símbolo que se utiliza es la
siguiente: ≅.
https://www.youtube.com/watch?v=2OPoYzg_E58
https://www.youtube.com/watch?v=RIIx0r3V7Yw
𝑆𝑖 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ , ∡𝐶 = ∡𝐶´ 𝑦 𝐶𝐵̅̅ ̅̅̅ = 𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ , Entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´
2. Ángulo – lado – ángulo (ALA): Dos ángulos y el ángulo común a ambos son
iguales a los correspondientes de otro triángulo.
𝑆𝑖 ∡𝐴 = ∡𝐴´, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑦 ∡𝐵 = ∡𝐵´ Entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´
3. Lado – lado – lado (LLL): Tres lados son iguales a los correspondientes de otro
triángulo.
𝑆𝑖 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅̅̅̅ = 𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅ Entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y
sus lados proporcionales.
El símbolo que se utiliza es la siguiente:~.
Criterios de semejanza
1. Primer criterio (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
iguale y sus lados proporcionales.
Si el ∡𝐴 = ∡𝐴´ 𝑦 ∡𝐵 = ∡𝐵´ Entonces ∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´ además
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
2. Segundo criterio (LAL): Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos
lados proporcionales y un ángulo igual.
Si el ∡ ∝= ∡ ∝ ´ Y
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
Entonces ∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´.
3. Tercer criterio (LLL): Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres
lados proporcionales.
Si
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
Entonces ∆𝐴𝐵𝐶~𝐴´𝐵´𝐶´.
Ejemplo1: De la siguiente figura determinar el valor de 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ .
Solución:
El triángulo ∆𝐾𝑀𝐿~𝐾𝑁𝑍 si sus ángulos ∡𝑍 = ∡𝐿 ; ∡𝑁 = ∡𝑀 Usando el primer
criterio de semejanza
𝐿𝐾̅̅ ̅̅
𝑍𝐾̅̅ ̅̅
=
𝑀𝐿̅̅ ̅̅
𝑁𝑍´̅̅ ̅̅ ̅
Sustituyendo los valores, tenemos:
44
4
=
𝑀𝐿̅̅ ̅̅
5
despejando 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ , tenemos:
𝑀𝐿̅̅ ̅̅ =
5(44)
4
𝑀𝐿̅̅ ̅̅ =
220
4
𝑀𝐿̅̅ ̅̅ = 55
Por lo tanto 𝑀𝐿̅̅ ̅̅ vale 50.
Ejemplo 2. Calcular la altura del globo aerostático tomando en cuenta que el
triángulo entre el carro y el árbol es semejante al del globo y al del carro.
Solución: Tomando en cuenta que los triángulos formados son semejantes, podemos
observar que la base del triángulo pequeño es proporcional a la base del triángulo
grande y de la misma forma nos podemos percatar de que la altura del triángulo
pequeño es proporcional a la altura del triángulo grande.
Entonces
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴´𝐵̅̅ ̅̅ ̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
Sustituyendo los valores nos queda:
62
2
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
1
despejando 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ nos queda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
1(62)
2
=
62
2
= 31
Por lo tanto, la altura del globo aerostático es de 31m.
THEOREMA DE THALES
Dado un triángulo 𝐴𝐵𝐶, si se traza un segmento paralelo, 𝐵´𝐶´ , a uno de los lados
del triángulo se obtiene otro triángulo 𝐴𝐵´𝐶´, cuyos lados son proporcionales a los
del triángulo 𝐴𝐵𝐶.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐵´̅̅ ̅̅ ̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐶´̅̅ ̅̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
Ejemplo 1: Sabiendo que el segmento DE es paralelo a la base del triángulo, cuánto
mide “a” y cuanto mide “b”.
Solución: Para el valor de a hacemos lo siguiente:
𝑎 = 20𝑚 − 5𝑚 = 15𝑚
Por lo tanto “a” mide 15m.
Para “b” hacemos lo siguiente:
Aplicando el Teorema de Thales de Mileto, nos queda:
𝑎
𝑏
=
6
7
Como 𝑎 = 9 Entonces:
9
𝑏
=
6
7
6𝑏 = 9(7)
6𝑏 = 63
𝑏 =
63
6
𝑏 = 10.5
Por lo tanto ”b” mide 10.5m.
Ejercicios:
1. Determinar si las figuras siguientes son o no semejantes.
Calcular el perímetro del ∆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑦 ∆𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´ y decir en qué razón se
encuentran.
2. Un joven debe medir el ancho del rio que pasa cerca de su propiedad, pero no
puede llegar al otro lado. Sabiendo que:
a) El segmento de recta CD mide 2m.
b) El segmento de recta CE mide 3m.
c) El segmento de recta EB mide 18m.
¿Cuánto mide el segmento de recta AB que es aproximadamente, el ancho del río?
Conclusión: En el tema de semejanza de triángulos se realiza con la intensión de
facilitar el proceso de enseñanza – aprendizaje del alumno, con diferentes
actividades auxiliares para que el alumno identifique y comprenda los criterios de
congruencia y semejanza de triángulos y así el alumno pueda hacer una aplicación
útil en la vida cotidiana.
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4
https://www.youtube.com/watch?v=4MxChkgm370
https://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58
https://www.guao.org/sites/default/files/Teorema%20de%20Thales.pdf
Sesión correspondiente al 09 de Mayo de 2020.
Tema 3: Triángulos y Trigonometría.
Contenido: 3.3 Teorema de Pitágoras.
Sesión: 17 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 17 Fecha: 09/05/2020
Objetivo: Analizar y aplicar el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.
https://www.youtube.com/watch?v=U4MTmLvvKQ4
https://www.youtube.com/watch?v=4MxChkgm370
https://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58
https://www.guao.org/sites/default/files/Teorema%20de%20Thales.pdf
Aprendizajes esperados: Analice, distinga y aplique el Teorema de Pitágoras en la
resolución de problemas.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Este teorema se empezó a aplicar en Babilonia y en la India, pero fue en la escuela
pitagórica donde hicieron la demostración formal del mismo y de su converso.
Pitágoras contribuyó al avance de las matemáticas, la filosofía y la geometría.
Este teorema permite que se relacionen los tres lados de un triángulo rectángulo por
lo que si se conocen las dimensiones de dos lados se puede encontrar la medida del
otro. Y por el contrario si tres lados cumplen con este teorema podemos decir que el
triángulo que los contiene es rectángulo.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (un ángulo que mide 90°).
A los lados que forman el ángulo recto se les denomina CATETOS y al lado más grande
que es el que queda frente al ángulo de 90° HIPOTENUSA.
HIPOTENUSA
CATETO
90°
CATETO
Ejercicio: en los siguientes triángulos indica cuáles son los catetos y la hipotenusa
(coloca un h si es la hipotenusa y una a, a los catetos).
Respuesta:
a
h a a a
h
a h h
a a
a
Para demostrar el Teorema, trazamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan
3cm y 4cm respectivamente y la hipotenusa 5cm.
Trazamos los cuadrados en cada uno de los lados del rectángulo y obtenemos sus
áreas.
Recordemos que el área de un cuadrado se obtiene multiplicando ladopor lado
Si sumamos las áreas de los catetos nos da el área de la hipotenida a2 + b2 = c2
9 + 16 = 25
Si restamos el área de un cateto a la hipotenuda nos da el área del otro c2 – a2 = b2
25 – 9 = 16
c2 – b2 = a2
25 -16 = 9
Resuelve los siguientes ejercicios:
c
10cm
12 cm
12
10 x 10 = 100
12 x 12 = 144
Como falta hipotenusa se suman
100 + 144 = 244 que es el área del cuadrado de la hipotenusa
Para obtener el valor de la hipotenusa se obtiene la raíz cuadrada del área del
cuadrado de la misma.
244 = 15.62 cm
15.62
10 cm
12cm
Ejercicio 2:
15 26
x
15 x 15 = 225
26 x 26 = 676
676 – 225 = 451
Raíz de 451 = 21.23
Como falta cateto se restan
X = 21.23
Ejercicio 3:
18
38
Y
18 x 18 = 324
38 x 38 = 1444
Como falta cateto se restan
1444 – 324 = 1120
Raíz de 1120 = 33.46
Y = 33.46
Ejercicio 4:
8 cm
12 cm
12 x 12 = 144
8 x 8 = 64
Como falta hipotenusa se suman
144 + 64 = 208
Y para sacar la medida del lado teniendo el área del cuadrado se saca raíz cuadrada
144 + 64 = 14.42 cm
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1.- Un árbol mide 28m de alto y proyecta una sombra de 14m a una hora determinada
del día. Se quiere colocar un cable de lo alto del árbol al punto final de su sombra
¿Cuánto medirá el cable?
14 m
El cable representa la hipotenusa del triángulo que se forma por lo que se aplica el
Teorema de Pitágoras
c2 = a2 + b2
c2 = 282 + 142
c2 = 784 + 196
c2 = 980
c = 980
c = 31.30
Por lo que el cable deberá medir 31.30 m.
2.- Desde una torre de 96m de alto se coloca un cable de 185 m. con luces hasta el
pie de un poste. ¿A qué distancia del poste se encuentra la torre?
c2 – b2 = a2
X
185 x 185 = 34,225
96 x 96 = 9,216
Como falta cateto se restan
34,225 – 9,216 = 25,009
Se obtiene la raíz de 25,009
25,009 = 158.14 m.
28
185cm
a2 + b2 = c2
3.- Una escalera de 25 m. se recarga en una pared a una altura determinada, la
distancia que hay de la pared al pie de la escalera es de 4 m. ¿A qué altura de la pared
se recargó la escalera?
c2 – a2 = b2
X 25
4
25 x 25= 625
4 x 4 = 16
Falta cateto entonces se restan las áreas
625 – 16 = 609
Obtenemos la raíz cuadrada de 609 para conocer el lado del cuadrado del cateto
Raíz de 609 = 24.6 m
4.- Un papalote se encuentra se encuentra a una distancia de 6m. de Carla (a nivel
del suelo), Y ha soltado 8 m. de hilo. ¿A qué altura se encuentra dicho papalote?
b2 = c2 – a2
8 x 8 = 64
6 x 6 = 36
Como falta cateto se restan las áreas obtenidas
64 – 36 = 28
Se obtiene la raíz de 28 que es 5.2 m
El papalote se encuentra a 5.2 m de altura
5.- ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de 6 cm de lado?
6
La fórmula del área de un triángulo es b x h
2
Tenemos la medida del lado, pero no la de la altura la cual la obtenemos mediante
el teorema de Pitágoras.
El triángulo rectángulo que queda representado con la altura mide de base 3 y de
apotema 6.
6 x 6 = 36
3 x 3 = 9
Como falta un cateto se restan los valores obtenidos
36 – 9 = 27
Sacamos la raíz de 27 que es 5.1 cm
Como ese valor es la altura, al sustituir en la fórmula del área queda:
b x h = 6 x 5.1 = 15.3 cm2
2 2
6.- ¿Cuánto miden los lados de un cuadrado cuya diagonal mide d= 298 cm?
d = L2 + L2
298 = 2L2
Sustituimos los valores
298/2 = L2
Despejar L que es el valor desconocido
169 = L2
Raíz de 169 = 13
Por lo que la diagonal vale 13cm
7.- En un hospital se tiene que construir una rampa como la que se muestra en la
figura. ¿Qué medida va a tener dicha rampa?
Como tenemos el área del triángulo rectángulo que queda determinado, podemos
obtener la altura despejándola de la fórmula del área.
A = b h sustituyendo valores 9 = (6)a
2 2
Despejando (9)(2) = 6a
18 = 6a
18/6 = a
3 = a
Entonces ya tenemos el valor de la altura a que es 3.
Para obtener el valor de la rampa (la hipotenusa), aplicamos el teorema de Pitágoras
c2 = a2 + b2
c2 = 32 + 62
c2 = 9 + 36
c2 = 45
c = raíz de 45
c = 6.7 m
Por lo tanto, la rampa va a medir 6.7 m.
8.- Calcula el perímetro del siguiente rombo
8cm
20
20 cm
Se observa que se forma un triángulo rectángulo con medidas de catetos 10cm y 4cm
respectivamente para poder encontrar el valor de la hipotenusa que es el lado del
rombo para poder obtener su perímetro.
c2 = a2 + b2
c2 = 102 + 42
c2 = 100 + 16
c2 = 116
y se obtiene la raíz de 116
c = 10.77
El lado del rombo mide 10.77
Para obtener su perímetro es
4L = 4(10.77) = 43.08
Perímetro = 43.08 cm
Conclusión: El teorema de Pitágoras para poder aplicarse tiene que ser en un
triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto son los catetos y el lado
mayor y que queda enfrente del ángulo recto es la hipotenusa.
Si falta hipotenusa se suman los cuadrados de los catetos y se obtienen la raíz
Si falta un cateto se resta el cuadrado del cateto al cuadrado de la hipotenusa y se
saca la raíz de la diferencia encontrada.Tema 3: Triángulos y Trigonometría.
Contenido: 3.4 Razones trigonométricas.
Sesión: 17 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 17 Fecha: 09/05/2020
Objetivos: Conozca, identifique y aplique las razones trigonométricas en la
resolución de problemas.
Aprendizajes esperados: Resuelve problemas aplicando razones trigonométricas
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
El término Razones Trigonométricas se refiere a las relaciones que se pueden
establecer, entre los lados de un triángulo rectángulo.
En la física, la astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, las razones
trigonométricas son de gran importancia, así como en la representación de
fenómenos periódicos y muchas otras aplicaciones.
Las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo son:
Seno = cateto opuesto / hipotenusa
Coseno = cateto adyacente / hipotenusa
Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente
Y sus funciones recíprocas son:
Cotangente = cateto adyacente / cateto opuesto
Secante = hipotenusa / cateto adyacente
Cosecante = hipotenusa / cateto opuesto
Las razones trigonométricas se aplican para los ángulos agudos de triángulos
rectángulos en donde debemos ubicar en primer lugar cuál es el cateto opuesto,
cateto adyacente y la hipotenusa.
Cateto opuesto.- como su nombre lo indica es el cateto que se encuentra opuesto al
ángulo agudo al que nos estamos refiriendo (cateto que se encuentra frente al
ángulo).
Cateto adyacente.- es el cateto que forma al ángulo referido junto con la hipotenusa.
Hipotenusa.- es el lado mayor y se encuentra al frente del ángulo recto.
En la figura tenemos que: cateto opuesto = b
cateto adyacente = c
hipotenusa = a
De tal forma, las razones trigonométricas que siguiendo las fórmulas son:
Seno = co = b cot = ca = c
h a co b
cos = ca = c sec = h = a
h a ca c
tan = co = b csc = h = a
ca c co b
EJERCICIO: En los siguientes triángulos ubica al CO, CA e H para establecer las razones
trigonométricas del ángulo indicado.
A) Con respecto al ángulo M
N
Q M
B) Con respecto al ángulo S
S
R
T
Ya sabiendo ubicar los catetos y la hipotenusa así como obtener las razones
trigonométricas, para obtener el valor del ángulo se realizan los cocientes de la razón
y el resultado lo buscas en las tablas de la razón indicada o en la calculadora.
Ejemplo 1.- Encuentra el valor del ángulo N del siguiente triángulo:
N
12 13
Q 5 R
Como tenemos los valores de todos los lados del triángulo, podemos utilizar
cualquier razón trigonométrica.
Sen N = CO = 5 = .3846 en la calculadora aplicamos el inv. seno y nos da 22.61°
h 13
que convirtiendo a grados y minutos:
1° = 60 min
.61 x
Realizando la regla de tres
0.61 𝑋 60
1
= 36 min.
Por lo que el ángulo N = 22° 36
Ejemplo 2.- Obtén el valor del ángulo R del siguiente triángulo
Q
14
S
10
R
Como sólo tenemos dos valores, tenemos que ver qué razón se puede aplicar.
10 es el CA del ángulo R y 14 es el CO por lo que la razón a aplicar es tangente.
Tan R = CO = 14 = 1.4 = 54.46
CA 10
Obteniendo grados y minutos
1° = 60’ resolviendo la regla de tres 60 x .46 = 27.6’
.46 X 1
Por lo tanto, el ángulo R = 54° 27’
Ejemplo 3.- Si tenemos un ángulo agudo y uno de sus lados.
B Sabiendo que:
Sen 45°=.7071
a = ¿ c = ¿ Cos 45°=.7071
Tan 45°=1
C b= 9 cm A
El ángulo A = 45°
No podemos utilizar la función seno porque no conocemos dos valores
Sen 45° = CO/h = a/c, como no conocemos ninguno de los dos valores no la podemos
usar.
Cos 45° = CA/h
Cos 45° = 9/c el coseno de 45° = .7071
.7071 = 9/c, despejando c
c= 9/.7071 = 12.7 cm.
NOTA IMPORTANTE: EN EL EXAMEN DE COMIPEMS NO PUEDES LLEVAR
CALCULADORA POR LO QUE TODOS LOS DATOS QUE NECESITES TE LOS VA A DAR EL
MISMO EJERCICIO.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1.- Selecciona las razones trigonométricas que resuelven el triángulo rectángulo
B
a= ¿ c =? 1. Tan 30°
2. Sen 30°
C b =9 A 3. Cos 30°
Sabiendo que A= 30° 4. Sec 30°
A) 1,2,4 B) 1,3,4 C) 2,1,4 D) 2,3,1
Respuesta:
Sen 30° = a/c como no conocemos a ni c no podemos resolverla
Cos 30° = b/c, Cos 30° =9/c por lo que despejamos c y obtenemos resultado.
Tan 30° = a/b, Tan 30° = a/9 por lo que despejamos a y obtenemos resultado.
Sec 30° = h/CA, Sec 30° = c/9 despejamos y encontramos resultado.
De tal manera que las razones trigonométricas que sí podemos usar son la 1,3,4 que
están en el inciso B.
2.- ¿Cuál es la altura del árbol según el siguiente dibujo?
Solución:
El dato que necesitamos es el cateto opuesto y tenemos el cateto adyacente y el
ángulo de 68°, por lo que la razón que podemos aplicar es la tangente.
Tan 68° = CO/CA
Sustituyendo valores
Tan 68° = x / 12
2.47 = x/ 12 por lo que despejando x
X= (2.47)(12) = 29.6 m.
Por lo que la altura del árbol es 29.6 m.
3.- Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la
parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30°.
Calcular el precio del cable si cada metro cuesta $25. A
Ocupamos la función seno porque Sen = CO/h Cable AB
Sen 30° = 20/ h donde la hipotenusa es el cable AB 20m
Tenemos que sen 30° = .5 B=30°
.5 = 20/h
Despejamos h
h= 20/.5
h= 40
Y como el cable debe medir 40m y el metro cuesta $25.00 tenemos que:
(40)(25)= 1000
Por lo tanto, para comprar el cable AB se necesitan $1000.00
4.- Las ciudades A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo:
Calcular la distancia entre las ciudades A y C y entre las ciudades B y C sila ciudad B
se encuentra a 80km de la ciudad A y la carretera que una A con B forma un ángulo
de 40° con la carretera que une A con C.
A=40°
b=? 80
C a=? B
Para encontrar a podemos usar la razón seno
Sen 40° = CO/h
.6427 = a/80
Despejando a
a = (.6427)(80)
a = 51.41
Po lo que la distancia de la ciudad C a la ciudad B es de 51.41 km.
Para obtener la distancia b podemos aplicar la razón coseno
Cos 40° = CA/h
.7660 = b/80
Despejando b
b= (.7660)(80)
b= 61.28
La ciudad A se encuentra 61.28 km de la ciudad C.
5.- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos
del sol forman un ángulo de 50º con el suelo.
A= 50°
13m
La razón tangente es la que nos conviene ocupar para encontrar la altura de la torre.
Tan 50° = CO/CA
1.191 = x/13
Despejando x
X= 1.191(13)
X= 15.48m
La torre tiene una altura de 15.48 m.
6.- Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su
base dista 2 m de la pared?
B
4
C 2 A
El ángulo A es la medida que necesitamos
Cos A = CA/h
Cos A = 2 / 4
Cos A = .5
Buscamos el inv. Cos = 60°
La inclinación que tiene la escalera es de 60°
Conclusión:
Las razones trigonométricas nos sirven para encontrar en algunas ocasiones lados o
en otras, ángulos de un triángulo rectángulo según los datos que se tengan.
Las funciones trigonométricas más utilizadas son:
Seno
Coseno
Tangente
Sesión correspondiente al 16 de Mayo de 2020.
Tema 4: Geometría.
Contenido: 4.1 Figuras planas.
Sesión: 18 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 18 Fecha: 16/05/2020
Objetivo: Identificar los diferentes tipos de polígonos y resolver los métodos de
cálculo de su superficie. Diferenciar atributos y propiedades de objetos
unidimensional y bidimensional
Aprendizaje esperado: Fortalecer en el alumno la habilidad de comprender las
relaciones entre líneas, puntos y ángulos de los polígonos regulares, irregulares,
como también el círculo, los métodos para el dibujo de estas figuras.
FIGURAS PLANAS
Las figuras planas son las que están limitadas por líneas rectas o curvas y todos sus
puntos están contenidos en un solo plano. Consta de dos dimensiones ancho y largo.
Estudia las relaciones que existe entre líneas, puntos y ángulos de los polígonos:
regulares, irregulares, así como también el círculo.
Un polígono regular es aquel que tiene todos los lados con una misma longitud y que
también tiene todos los ángulos interiores de la misma medida.
Mientras que un polígono irregular es aquel en el cual sus lados no son de igual
longitud y que sus vértices no están contenidos dentro de una circunferencia.
CLASIFICACIÓN DE FIGURAS PLANAS
Las figuras geométricas planas son aquellas regiones cerradas por líneas no alineadas
en un plano de dos dimensiones.
Estas figuras geométricas planas se clasifican principalmente en dos tipos
dependiendo de si sus líneas son curvas o rectas.
Este tipo de figuras se dividen en polígonos (unión de líneas rectas) y cónicas (unión
de líneas curvas)
Polígonos: Dependiendo del número de lados que tenga el polígono podemos
clasificarlos de diferente forma.
Triángulo: Se llama triángulo a la porción del plano limitado por 3 rectas.
Dependiendo del tipo de triángulos podemos dividirlos en equiláteros (tres lados
iguales), isósceles (dos lados iguales) y escaleno (ningún lado igual).
Cuadriláteros: Los cuadriláteros son polígonos formados por cuatro lados. Se
clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos: Los paralelogramos son figuras cuyos lados opuestos son iguales y
paralelos dos a dos.
Entre ellos se encuentran el cuadrado. El rectángulo, el rombo y el romboide.
Cuadrado: Figura que tiene los cuatro lados iguales.
Rectángulo: Figura cuyos lados paralelos son iguales.
Rombo: Figura con cuatro lados iguales y los ángulos contiguos desiguales.
Romboide: Figuras cuyos lados paralelos son iguales.
Tiene los ángulos contiguos.
Trapecio: Figura que sólo tiene paralelismo en dos lados opuestos.
Trapezoide: Figura que no tiene paralelismo alguno.
Pentágono: Polígono de cinco lados.
Hexágono: Polígono de seis lados.
Heptágono: Polígono de siete lados.
Octágono: Polígono de ocho lados.
Eneágono: Polígono de nueve lados.
Decágono: Polígono de diez lados.
Cónicas: Las cónicas son líneas curvas planas como el círculo.
Círculo: Un círculo es una superficie plana limitada por una circunferencia en la que
desde el centro de éste los límites de la circunferencia se encuentran en la misma
distancia.
Óvalo: Es un círculo aplastado que se asemeja a una forma ovoide o elíptica.
CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos en el alumno basado en el desarrollo de este tema “figuras
planas”, nos ayudarán a reconocer de mejor manera e identificar las diferentes
figuras, que son formas básicas en el área de las matemáticas, identificando las
clasificaciones del triángulo junto con propiedades que nos ayudarán a resolver en
futuras sesiones o problemas que se pueden presentar.
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=NNCvHedbz84
Tema 4: Geometría.
Contenido: 4.2 Cálculo de perímetros.
Sesión: 18 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 18 Fecha: 16/05/2020
Objetivo: Conocer y resolver problemas de diversas figuras.
Aplicar correctamente la fórmula para calcular perímetro.
https://www.youtube.com/watch?v=NNCvHedbz84
Reconocer los distintos tipos de cuadriláteros, sea cual sea la posición en la que se
encuentren, y sus características.
ACTIVIDADES
Actividad 1.- Qué es el perímetro, cuadrilátero y polígono.
Actividad 2.- Tipos de cuadriláteros.
Actividad 3.- Fórmulas para el perímetro de diferentes figuras planas
1.- QUÉ ES EL PERÍMETRO
Es la suma de todos los lados de una figura, es decir, cada lado de una figura tiene un
número y ese número representa cuanto mide el lado.
El perímetro en realidad es un contorno de una figura llamado línea, que cada figura está
formado por líneas y una línea tiene un número y si sumamos todas las líneas nos dará un
resultado y obtenemos el perímetro de una figura.
Qué es un cuadrilátero, es un polígono que tiene cuatro lados.
Los cuadriláteros tienen distintas formas, pero, como puede comprobarse en la escena
superior, todos ellos tienen: cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y dos
diagonales.
Además, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
Qué es un polígono, es una porción finita de plano limitada por líneas rectas.
Según el número de vértices o lados, los polígonos reciben una denominación diferente:
triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, etc.
En la escena aparecen los polígonos más elementales: triángulo (tres lados), cuadrilátero
(cuatro lados), pentágono (cinco lados) y hexágono (seis lados). Para seleccionar cada uno
indica en n el número de lados correspondiente.
Tanto en esta escena como en la adyacente, se pueden mover los vértices, trasladar el
polígono arrastrando el punto verde y girar la figura pulsando los botones de control.
2.- TIPOS DE CUADRILÁTEROS
Existen dos tipos de cuadriláteros: convexos y cóncavos:
Los cuadriláteros convexos son aquellos
cuadriláteros tales que, si se toman dos puntos
interiores A y B cualesquiera del mismo, todos los
puntos del segmento AB que determinan están
dentro del cuadrilátero.
Los cuadriláteros cóncavos o no convexos son
aquellos cuadriláteros en los que se pueden
encontrardos puntos interiores A y B del mismo, tales
que algunos de los puntos del segmento AB que
determinan están fuera del cuadrilátero.
3. - PERÍMETRO DE LOS CUADRILÁTEROS
Perímetro del cuadrado
P = 4a
Nota:
Perímetro del rectángulo
P = 2(a + b)
Nota:
Esta fórmula también es válida para
el rombo, porque tiene los cuatro
lados iguales.
a, b = longitudes de los lados.
Perímetro del triángulo equilátero
P = a + b + c
Perímetro del triángulo isósceles
P = 2(a) + b
Perímetro del triángulo escaleno
P = a + b + c
Perímetro del círculo
P = 2 π r
P = π d
Nota:
r = radio del círculo.
d = diámetro del círculo.
π = 3.141592
Perímetro del paralelogramo
P = 2(a + b)
Nota:
a, b = longitudes del lados.
Perímetro del rombo
P = 4a
Nota:
a = longitud del lado.
Perímetro del trapecio
P = a + b + c + d
Perímetro de un polígono regular
l l
Nota:
a, b = longitudes de las bases del
trapecio.
c, d = longitudes de los lados laterales
del trapecio.
P = n•l
Nota:
N = Números de lados
Ejercicios:
1. Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.
2. ¿Cuál es el perímetro si un terreno para construirse, tiene forma de rectángulo con 60 m
de alto y 40 m de ancho?
3. Obtener el perímetro de un triángulo equilátero cuya base mide 10 cm, su lado 43.17 cm
y su altura 42 cm
4. Calcula el perímetro de un pentágono de 8 m de lado.
HOJA DE RESPUESTAS
1. - Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.
R = P = 4a
4(3m) =
12 m
2.- ¿Cuál es el perímetro si un terreno para construirse, tiene forma de rectángulo con 60
m de alto y 40 m de ancho?
R = P = 2(a + b)
60 + 40 + 60 +40 =
200 m
3.- Obtener el perímetro de un triángulo equilátero cuya base mide 10 cm, su lado 43.17 cm
y su altura 42 cm
R = P = a + b + c
10 + 42 + 43.17 =
95.17 cm
4. Calcula el perímetro de un pentágono de 8 m de lado.
R = P = n•l
5(8) =
40 m
Conclusión:
La geometría nos proporciona una serie de teoremas los cuales permiten y facilitan la labor
en muchas áreas de la vida, como por ejemplo: la arquitectura.
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos tales que satisfacen una propiedad y que
solo estos puntos satisfacen dicha propiedad. Como la circunferencia, parábola, elipse e
hipérbola.
Cuando construimos un triángulo cualquiera, nos encontramos con que existe una relación
entre los lados. Es fácil verlo cuando cruzamos una plaza y vamos muy apurados: Cuál es el
camino más rápido? Como es más corto el camino de la diagonal, entonces elegimos ese
camino.
Referencias:
Perímetros y Áreas de cuadriláteros. (2012). Recuperado 31 de marzo de 2020, de
google.com website: https://sites.google.com/site/49figurasycuerposruiz/perimetros-y-
areas-de-cuadrilateros
Perímetro de cuadriláteros. (2018). Recuperado 31 de marzo de 2020, de edu.xunta.es
website:
https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1445431624/con
tido/ud5/5_rea_y_permetro_de_polgonos_regulares.html
Sesión correspondiente al 23 de Mayo de 2020.
Tema 4: Geometría.
Contenido: 4.3 Cálculo de áreas.
Sesión: 19 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 19 Fecha: 23/05/2020
Objetivo: El alumno deberá ser capaz de comprender y sacar el área de figuras
geométricas planas y de forma diferenciada del perímetro.
Definiciones
Área: Es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de una
superficie.
Figura Geométrica: Una figura geométrica es la representación visual y funcional de
un conjunto no vacío y cerrado de puntos en un plano geométrico. Es decir, figuras
que delimitan superficies planas a través de un conjunto de líneas (lados) que unen
sus puntos de un modo específico.
El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa.
El área de una figura geométrica, es todo el espacio que queda encerrado entre los
límites de esa figura.
Para calcular el área de algunas figuras se utilizan ciertas formulas, a continuación,
te proporciono algunas:
Ejemplos:
Triángulo
El triángulo es un polígono con tres lados
1. Se quiere saber el área de un triángulo cuya base mide 10cm, su lado 43.17 cm y
su altura 42 cm.
2. Un triángulo de 180 cm2 de superficie mide 30 cm de altura. Calcula la base.
Sabemos que el área la sacamos con la siguiente formula
despejaremos la variable b (base) de la formula,
2 x A = b x h (2 x A) / h = b , nuestra formula queda de la siguiente forma..
2 x A
b = ------------
h
b = 2 x (180) / 30 b = 12 cm
Cuadrado
El cuadrado es un paralelogramo que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
1. Se tiene una mesa cuadrada, cada lado mide 1.20, ¿cuál sería su área?
A Área : ¿?
b Base : 10 cm
h Altura : 42 cm
2. Calcular el lado de un cuadrado de 225 cm2 de superficie.
Despejamos la variable l (altura) de fórmula,
l = A l = 225 l = 15 cm
Rectángulo
Rectángulo es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos), pero los
lados adyacentes no son iguales.
1. Si la tapa de una caja de zapatos mide 38 cm de largo por 21 cm de ancho, ¿Cuál
es el área de esta?
2. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular
de m de largo y m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse m².
Rombo
A Área : ¿?
l Lado : 1.20 cm
A Área : ¿?
b Base : 38 cm
h Altura : 21 cm
A Área : ¿?
b Base : 32 m
h Altura : 30 m
A = 32 x 30 = 960 m2
960 / 4 = 240 árboles
El rombo es cuadrilátero que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos
iguales.
1. Las diagonales de un rombo son 8,3 dm. y 6,5 dm. Calcula su área expresándola
en cm2.
2. Calcula la diagonal menor de un rombo, que tiene una superficie 25cm2 y la
diagonal mayor es de 10 cm.
Romboide
El romboide es un cuadrilátero paralelogramo
1. La base de un paralelogramo mide 8cm y su altura mide 3cm. Halla el área de la
región del paralelogramo.
D
d
A Área : ¿?
D Diagonal : 8.3 dm
d Diagonal : 6.5 dm
A = (8.3 x 6.5)/ 2 = 26.975 dm2
A = 2.6975 cm2
A Área : 25cm2
D Diagonal : 10cm2
d Diagonal : ¿?
(2 x A) = D x d (2 x A) / D =d
d = (2 x 25) / 10 = 50 / 10 = 5 cm
d= 5cm
a
b
A Área: ¿?
b Base : 8cm
a altura : 3cm
A = 8 x 3
A = 24cm2
Trapecio
El Trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos.
1. Un trapecio cuyas bases miden 12cm y 15cm y de altura 6cm ¿Cuál es su área?
Circulo
Se denomina circulo a la región del plano limitada por una circunferencia
1. Un círculo cuyo diámetro mide 6cm, ¿Cuál será su área?
b
h
B
El área de un trapecio es igual al producto de la
semisuma de las bases(B + b) /2 por la altura.
A Área : ¿?
B Base : 15cm
b Base : 12cm
h Altura : 6cm
A = (15 + 12)/2 x 6
A = 27/2 x 6
A= 13.5 x 6 A= 81cm2
R
Sector Circular
Se denomina sector circular a la región del plano limitada por un arco de
circunferencia y dos radios de la misma
Es decir, el área de un sector circular es igual a (pi) multiplicado por el radio (R) al
cuadrado dividido por 360, que son los grados de una circunferencia, multiplicada
por la amplitud del ángulo (nº).
1. Calcula el área de un sector circular de 16 cm de radio y 40º de amplitud.
A Área: ¿?
R Radio: 3cm
Pi: 3.1416
El diámetro del círculo es de 6cm,
sacaremos el Radio.
R = 6/2 = 3cm
A = 3.1416 x (3)2
A = 3.1416 x 9
A = 28.2744cm2
A = (3.1416 x 256) / 360o x 40 A = 89.36cm2
Corona Circular
Se denomina corona a la región del plano limitada por dos circunferencias
concéntricas.
1. Calcula el área de una corona circular de 6 cm. de radio mayor y 4 cm. de radio
menor.
A Área: ¿?
R Radio: 16cm
Pi: 3.1416
nº Amplitud del ángulo: 40º
El área es igual a (pi) multiplicado por el radio de la
circunferencia exterior al cuadrado (R2) menos el
cuadrado del radio de la circunferencia interior (r2).
A Área: ¿?
R Radio (exterior): 6cm
r Radio (interior) : 4cm
Pi: 3.1416
A = 3.1416 x (36 – 16) A = 3.1416 x 20 A = 62.832cm2
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=uRLbVWAilP0
https://www.youtube.com/watch?v=TZDgCnfDrIE
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problemas-de-areas-de-
poligonos.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problemas-de-areas.html
https://matematicasn.blogspot.com/2015/12/areas-y-perimetros-ejercicios-resueltos.html
Tema 4: Geometría.
Contenido: 4.4 Cálculo de volúmenes.
Sesión: 19 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 19 Fecha: 23/05/2020
Objetivo: El alumno deberá ser capaz de comprender y sacar el volumen de
Poliedros.
Definiciones
Volumen:
Es el espacio que ocupa la materia.
Poliedro:
Es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.
El volumen se expresa en metros cúbicos (m3) o sus unidades derivadas como el
centímetro cúbico (cm3).
Para calcular el volumen de figuras tipo poliedro se utilizan ciertas formulas, a
continuación, se proporcionan algunas:
https://www.youtube.com/watch?v=uRLbVWAilP0
https://www.youtube.com/watch?v=TZDgCnfDrIE
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problemas-de-areas-de-poligonos.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problemas-de-areas-de-poligonos.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/problemas-de-areas.html
https://matematicasn.blogspot.com/2015/12/areas-y-perimetros-ejercicios-resueltos.html
Solo existen 5 poliedros regulares que son:
Tetraedro Octaedro Cubo
(4 triángulos equiláteros) (8 triángulos equiláteros) (6 cuadrados)
Dodecaedro Icosaedro
(12 pentágonos regulares) (20 triángulos equiláteros)
Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:
Prismas
Son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus caras
laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como
lados tenga la base.
Los prismas se clasifican en:
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales
y las bases es recto, en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo.
b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son
polígonos regulares, en caso contrario se dice que el prisma es irregular.
c) Por el número de lados de sus bases:
Triangulares, si sus bases son triángulos
Cuadrangulares, si sus bases son cuadriláteros
Pentagonales,…etc.
Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene
por bases dos paralelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos.
Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como
son el cubo (todas sus caras son cuadrados), ortoedro (todas sus caras son
rectángulos), romboedro (todas sus caras son rombos) y romboidedro (todas sus
caras son romboides).
Nota 1: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es
irregular y por tanto no es necesario decirlo.
Nota 2: La mejor forma de nombrarlos es: prisma recto de base pentagonal irregular,
prisma oblicuo de base cuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma
recto de base rectangular.
Pirámides
Son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las caras
laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Las pirámides se clasifican en:
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide
con el centro de su base o lo que es lo mismo, cuando las caras laterales no
son triángulos escalenos. En caso contrario tendremos una pirámide oblicua.
b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es
un polígono regular. En caso contrario será irregular.
c) Por el número de lados de su base :
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal,....etc.
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se
llama tronco de pirámide.
Veamos algunos ejemplos de pirámides:
Pirámide hexagonal regular Pirámide cuadrangular Tronco de pirámide
(base cuadrada) oblicua
Nota: la mejor forma de nombrarlos es pirámide recta de base hexagonal regular,
pirámide oblicua de base cuadrada.
Prisma Regular
Es un cuerpo geométrico limitado por 2 polígonos regulares, llamados bases, y
por tantos rectángulos como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de la base.
Ejemplo:
Prisma hexagonal
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico,
utilizando las siguientes formulas:
(Es decir, el área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por
la altura (h) del prisma).
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área de los polígonos de las 2
bases)
Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura
(h) del prisma.
1. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal sabiendo
que su altura mide 9 cm.; el lado de la base son 2cm y la apotema de la base 1.5
cm.
2LA = Perimetro poligono base×altura = 5×2 ×9 = 90 cm
2T L LA = A +Areas bases = A +2 (P apotema) = 90+10 1,5 = 105 cm
3V = area base × altura = 5×1,5 ×9 = 67,5 cm
Pirámide
ÁREA LATERAL: AL =P x h
ÁREA TOTAL: AT =AL + 2. Ab
VOLUMEN: V = Ab . h
La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular,
llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo:
Pirámide cuadrangular).
Podemos hallar el área lateral ,área total y volumen de este cuerpo geométrico,
utilizando las siguientes formulas:
Área Latera:
El área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la altura
de una cara lateral (a) de la pirámide y dividido entre 2.
Área Total:
AT = AL + Ab
El área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de la base.
Volumen
V = Ab . h/3
El volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) de
la pirámide y dividido entre 3.
Cilindro
AL = (P x a)/2
El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno
a uno de sus lados.
Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico,
utilizando las siguientes formulas:
Área Lateral:
A = 2 x x r x h
El área lateral es igual a 2 multiplicado por (pi), el resultado multiplicado por el
radio de la base (r) y multiplicado por la generatriz (h) del cilindro.
Área Total:
AT = AL + 2 x Ab =2rh+2(r2)
El área total es igual al área lateral más las áreas de los dos círculos de las bases.
Volumen:
V = ( . r2) . h
El volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del
cilindro.
1. Calcula el área lateral, área total y volumen de un cilindro de 3.5 cm de radio y 9.6
cm de altura.
2LA =Longitud circunferencia×altura= 2 R . 2 3,5 9,6 211,12 cma
22 2
T L LA =A +areas bases =A +2 πR =211,12+2(π 3,5 )=288,08 cm
22 3V = area base×altura = πR ×a = π 3,5 9,6 = 369,45 cm
Cono
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar
en torno a uno de sus catetos.
Podemos hallar el área lateral, área total y volumen de este cuerpo geométrico,
utilizando las siguientes formulas:
Área Lateral:
AL = x r x g
El área lateral es igual a (pi) multiplicado por el radio (r) de la base y multiplicado
por la generatriz (g) del cono.
Área Total:
AT = AL + Ab = r (r+g)
El área total es igual al área lateral más el área del círculo de la base.
Volumen:
A = 1/3 (. r2).h
El volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la altura (h) del
cono y dividido entre 3.
1. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono de 8 dm. de radio de la base
y de 1 m de altura.
Necesitamos conocer el valor de la generatriz g, para su cálculo hacemos uso del
teorema de Pitágoras:
2 22 2g = +h = 8 + 10 = 164 = 12,81 dmr
LA = longitud circunferencia×generatriz= 2πr g =
2 22 π 8 12,81 = 643,71 dm 6,44 m
2 2 2T L bA = A +A = 2πrg + πr = 643,72+ π×8 = 844,77 dm
2 2 3
1 1 1
V= area base×altura = πr ×h= π×8 ×10 = 670,21 dm
3 3 3
Esfera
La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia
alrededor de su diámetro.
Podemos hallar el área y el volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las
siguientes formulas:
Área:
A = 4. . r2
El área es igual a 4 multiplicado por (pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado
del radio de la esfera.
Volumen:
V = 4/3. . r3
El volumen es igual a 4 multiplicado por (pi), el resultado se multiplica por el cubo
del radio de la esfera (R) y lo que resulta se divide entre 3.
1. Sabiendo que la superficie de una esfera es de 3600 cm2, calcula su radio.
2 V 3600V = 4πR R = = = 16,93 cm
4.π 4.π
NOTA: Si la figura geométrica no es recta, sino que es oblicua, las fórmulas siguen
siendo válidas siempre y cuando se tenga claro cuál es la altura de la figura que se
está estudiando y no se confunde con alguna de las medidas de las áreas laterales.
Lógicamente también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas
más importantes, para poder calcular la base de la figura geométrica.
Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deberíamos calcular
el volumen de la pirámide o cono mayor, menos el menor.
Ejercicios:
1. El área de un rectángulo es de 180 cm2. Calcula la base sabiendo que la altura
mide 15 cm.
2. El área de un trapecio es 25 cm2 y sus bases son 4 y 6 cm. respectivamente.
Calcula su altura
3. Calcula la longitud de la circunferencia y la superficie del círculo
correspondiente sabiendo que su radio mide 8 cm.
4. Calcula el área lateral, área total y el volumen de un prisma octogonal de
5cm. de lado; 6cm. de apotema de la base y 9 cm. de altura.
5. Sabiendo que la arista de un cubo es de 12 dm. Calcula el área total y el
volumen
6. Calcula la superficie y el volumen de una esfera de 28dm. de radio
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=I9b6FUXwnBE
https://www.youtube.com/watch?v=U4YjjwVjxkY
https://www.youtube.com/watch?v=N4EO1uJlPXE
Sesión correspondiente al 30 de Mayo de 2020.
Tema 5: Manejo de la información estadística.
Contenido: 5.1 Análisis de la información estadística: Índices.
Sesión: 20 de 22 Número de horas:
0.5
Número de semana:
20
Fecha: 30/05/2020
Objetivo: El principal objetivo de la estadística es hacer inferencias acerca de una
población, con base en la información contenida en una muestra.
Definición:
Una tabla de datos es un ordenamiento de información en forma de filas y columnas, que
permiten tener un orden de dicha información, además de permitir observar relaciones y
tendencias de la misma. Algunas tablas son una forma de organizar gran cantidad de
información de manera que resulte fácil de consultar para el usuario. Un ejemplo es el
siguiente:
Se elabora un examen en un grupo de clases. Luego de calificar los exámenes, se tiene que
los alumnos tuvieron las siguientes calificaciones: Laura 8.7, Pancho 6.5, Luis 7.7, José 6.4,
Sofía 8.5, Fernanda 9.5, Estefanía 8.7, Fernando 6.9, Ignacio 7.7, Dante 10, Rodrigo 7.8,
Pepito 5.1, Fidel 6.7, Mónica 5.2, Edith 6.7, Felipe 7.9, Alejandro 6.5, Emilio 7.4, Julio 6.7,
María 9.5, Perla 8.7.
Un primer tratamiento es colocar los datos dentro de una tabla, como se muestra (para este
ejemplo solo se utilizan algunos datos).
Nombre Calificación
Laura 8.7
https://www.youtube.com/watch?v=I9b6FUXwnBE
https://www.youtube.com/watch?v=U4YjjwVjxkY
https://www.youtube.com/watch?v=N4EO1uJlPXE
Pancho 6.5
Luis 7.7
José 6.4
Sofía 8.5
Fernanda 9.5
Estefanía 8.7
Fernando 6.9
Ignacio 7.7
Dante 10
Rodrigo 7.8
Pepito 5.1
Fidel 6.7
Mónica 5.2
Edith 6.7
Perla 8.7
¿Qué más podrías observar de los datos dentro de la tabla?
Al hacer este tipo de tratamiento, podemos llegar a conclusiones como:
Este tipo de información no la dice tal cual los datos que se tienen, pero con esto, podemos
tener una idea de otro tipo de información con los mismos datos. Un ejemplo de una
afirmación que se podría decir con lo anterior es:
En el grupo hay más problemas en el aprendizaje con los hombres que con las mujeres.
Este tipo de afirmaciones se respaldan mejor cuando el número de datos es aún mayor, es
decir, aquí sólo estamos hablando de 21 personas, cuando el número de participantes es
mucho mayor, los resultados son más precisos.
Otra forma de poder ver este tipo de información es por medio de una gráfica. Una gráfica
es una imagen que representa ciertos datos. Existen muchos tipos de gráficas y cada una de
ellas se utiliza dependiendocómo se desea mostrar la información, por el gusto, por la
conveniencia o simplemente porque es la mejor manera.
Tomemos otro ejemplo: tres equipos de futbol tuvieron durante todo el torneo los
siguientes resultados:
La letra P Corresponde a un partido, en este caso P1 es el primer partido y así
sucesivamente.
Una vez más esta información podría no significar mucho, pero si graficamos los datos
tendríamos lo siguiente:
Este tipo de afirmaciones se respaldan mejor cuando el número de datos es aún mayor, es
decir, aquí sólo estamos hablando de 21 personas, cuando el número de participantes es
mucho mayor, los resultados son más precisos.
Otra forma de poder ver este tipo de información es por medio de una gráfica. Una gráfica
es una imagen que representa ciertos datos. Existen muchos tipos de gráficas y cada una de
ellas se utiliza dependiendo cómo se desea mostrar la información, por el gusto, por la
conveniencia o simplemente porque es la mejor manera.
Tomemos otro ejemplo: tres equipos de futbol tuvieron durante todo el torneo los
siguientes resultados:
La letra P Corresponde a un partido, en este caso P1 es el primer partido y así
sucesivamente.
Una vez más esta información podría no significar mucho, pero si graficamos los datos
tendríamos lo siguiente:
Hacer uso de una gráfica, permite tener una visión general de la información además de
proporcionar elementos que muestren tendencias y otros datos que puedan ayudarnos a
Elaborar hipótesis y conclusiones. Con esta imagen, podemos llegar a conclusiones como:
par
puercos comenzaron mal porque no metían goles, pero subieron y se mantuvieron
Estas afirmaciones son válidas porque los respaldan los datos obtenidos, aquí no se tuvo
que ordenar la información porque ya existe un orden, además se tuvo que relacionar el
número de goles con el número del partido.
Una gráfica siempre debe llevar dos o más datos que se puedan relacionar para poder
graficarlos. Recordemos que toda gráfica requiere de un valor en y uno en para poder
construirla.
El uso de este tipo de recursos, son muy útiles para el manejo de la información, además
de que ofrecen una visión más amplia y proporcionan información que no necesariamente
se puede observar a primera instancia.
Medidas descriptivas
El estudio de una variable estadística comienza con la obtención de datos, ya sea
sondeando la población o tomando una muestra. El siguiente paso en el proceso es la
ordenación de datos elaborando la tabla correspondiente. Trabajar con una tabla es
GOLES
Equipo P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
Los
ardidos 3 3 2 2 2 1 1 0
Malditos 2 1 2 2 2 1 2 2
Puercos 0 0 0 1 2 3 3 3
complejo y tedioso por lo que es más conveniente la introducción de nuevos parámetros
que nos permitan resumir la información que contienen esas tablas.
El objetivo que se persigue es la síntesis de la información que nos aportan los datos con la
menor pérdida posible. Vamos a agrupar los parámetros en tres grupos dependiendo de su
función.
• Medidas de centralización: Con ellas pretendemos condensar los distintos valores de la
variable en uno sólo que los resuma.
• Medidas de posición: Una vez ordenados los datos de menor a mayor será necesario
identificar la posición de los valores.
• Medidas de dispersión: Las medidas de centralización nos condensan los datos en uno
sólo pero no nos aportan información ninguna sobre la concentración o dispersión de
los datos.
Uso de porcentajes como índices o indicadores
Cálculo de media, mediana y moda
Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento,
que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %, se
utiliza para agrupar cierto tipo de información y representarla a manera de que
proporcionen una visión general de la misma. Un ejemplo sería el siguiente:
De 500 alumnos de secundaria:
• 375 son mujeres y 125 hombres
• 145 tienen entre 12 años, 200 tienen 13 años y 155 tienen 14 años.
• 450 tienen pareja y 50 no tienen.
Mostrando la misma información con porcentajes quedaría de la siguiente forma:
• 75 % son mujeres y 25 % hombres
• 29 % tiene 12 años, 40% 13 años y 31% 14 años 90 % tiene pareja y 10% no.
Sin necesidad de conocer el número exacto de personas, podemos hacer las siguientes
afirmaciones: El número de mujeres es tres veces más grandes que el de hombres, o, por
cada hombre hay 3 mujeres. El mayor número de alumnos tiene 13 años. Casi todos tienen
pareja, de mujeres es tres veces más grandes que el de hombres, o, por cada hombre hay 3
mujeres. El mayor número de alumnos tiene 13 años. Casi todos tienen pareja.
Cuando se tiene este tipo de información, es una forma más amplia y general de ver los
datos y llegar a conclusiones de este tipo.
Dentro de la estadística existen 3 tipos de cálculos simples que permiten llegar a obtener
información que de otra forma no se podría tener, además de llegar a conclusiones y
afirmaciones respaldadas.
Vamos a ver un ejemplo con una tabla de datos y luego se explicará lo que es cada uno de
los conceptos.
Retomemos el ejemplo de las calificaciones en un grupo, sólo que en esta ocasión
olvidaremos los nombres y nos limitaremos a contar el número de alumnos y sus
calificaciones. Los datos se muestran en la siguiente tabla:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
8 6 8 7 9 5 7 4 6 7 9 10 8 5 4
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
4 5 6 7 6 7 9 10 4 6 7 7 7 6 9
En esta tabla, los números de arriba son solamente el conteo de alumnos, es decir que
hay 30 alumnos que se contaron. Los números que se encuentran abajo son las
calificaciones obtenidas de los alumnos.
Con los datos anteriores tenemos que:
La media es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número
total de datos, un promedio. En este caso hacemos la suma de todos los valores;
8+6+8+7+9+5+6+4+6+7+9+10 +8… hasta el último número que es +9. El resultado de la
suma es 203. Luego dividimos ese número entre el número de muestras que en este
caso son 30 y quedaría así:
203 = 6.76
30
• La mediana es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos
están ordenados de menor a mayor. Para este ejemplo los datos ya ordenados
quedan como se muestran.
4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 10 10
6 6 6 7 7 7
7
7 7 7
En este caso hay 2 números que se quedan en el centro, cuando esto sucede, se suman y se
saca un promedio, es decir, 7+7=14, luego se divide entre 2 y en total tenemos 14/2=7. Por
lo tanto, la mediana de todos los valores es 7.
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia, si ponemos los números en una tabla
tendríamos lo siguiente:
Calificación Número de
veces que
aparece
4 4
5 3
6 6
7 9
8 3
9 4
10 2
De tal manera que la media de los valores es de 6.76, es decir, que el promedio general de todo el
grupo es de 6.76.
Observando la tabla, tenemos que la calificación que
más se repite es 7 con 9 veces, por lo tanto, la moda de
todos los valores es 7.
Con estas herramientas, se puede llegar a
interpretaciones que se utilizan para hacer
afirmaciones, hipótesis o llegar a conclusiones. Es
importante tomar en cuenta que entre mayor sea el
número de muestras, más preciso y confiable son las
conclusiones que se hagan.
Tema 5: Manejo de la información estadística.
Contenido: 5.2 Tablas de frecuencias absolutas y relativas.
Sesión: 20 de 22 Número de horas:
0.5Número de semana:
20
Fecha: 30/05/2020
Objetivo: El objetivo de la elaboración de una tabla de distribución o tabla de frecuencias es
obtener el número de datos que aparecen con mayor frecuencia y de esos datos construir una
tabla de los datos estadísticos con sus correspondientes frecuencias.
Tablas de frecuencias con datos no agrupados
Usamos este tipo de tablas cuando tenemos variables cualitativas, o variables
cuantitativas con pocos valores.
Esta tabla está compuesta por las siguientes columnas:
Valores de la variable: son los diferentes valores que toma la variable en el estudio.
Frecuencia absoluta: es la cantidad de veces que aparece el valor en el estudio. La
sumatoria de las frecuencias absolutas es igual al número de datos.
Frecuencia acumulada: es el acumulado o suma de las frecuencias absolutas, indica
cuantos datos se van contando hasta ese momento o cuántos datos se van reportando.
https://matemovil.com/variables-estadisticas-ejemplos-y-ejercicios/
https://matemovil.com/variables-estadisticas-ejemplos-y-ejercicios/
Frecuencia relativa: es la fracción o proporción de elementos que pertenecen a una clase
o categoría. Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número de datos del
estudio.
Frecuencia relativa acumulada: es la proporción de datos respecto al total que se han
reportado hasta ese momento. Es la suma de las frecuencias relativas, y se puede calcular
también dividiendo la frecuencia acumulada entre el número de datos del estudio.
Ejemplo 1:
Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los siguientes
resultados:
Negro Azul amarillo rojo azul
Azul Rojo negro amarillo rojo
Rojo amarillo amarillo azul rojo
Negro Azul rojo negro amarillo
Con los resultados obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
Solución:
En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la
frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa, y
finalmente la frecuencia relativa acumulada.
Donde la Frecuencia absoluta son el numero veces que aparece un color.
Por ejemplo, azul aparece 5 veces.
La frecuencia acumulada es la frecuencia absoluta anterior + la frecuencia absoluta que
sigue.
Por ejemplo, La frecuencia acumulada en amarillo= 9 + 5 = 14
La frecuencia relativa es igual a la frecuencia acumulada entre el total.
Por ejemplo, en el color azul = Fa/20= 4/20= 0.20
Y La frecuencia relativa acumulada es igual a la suma de la frecuencia actual más la anterior.
Por ejemplo, en el color amarillo = 0.45+0.25 = 0.70
Ejemplo 2:
En una tienda de autos, se registra la cantidad de autos Toyota vendidos en cada día del
mes de Setiembre.
0; 1; 2; 1; 2; 0; 3; 2; 4; 0; 4; 2; 1; 0; 3; 0; 0; 3; 4; 2; 0; 1; 1; 3; 0; 1; 2; 1; 2; 3
Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
Solución:
En la primera columna, colocamos los valores de nuestra variable, en la segunda la
frecuencia absoluta, luego la frecuencia acumulada, seguida por la frecuencia relativa, y
finalmente la frecuencia relativa acumulada.
Ejercicios Propuestos:
1. Elaborar una tabla de frecuencias a partir de las temperaturas máximas registradas
en el mes de agosto en la ciudad de Bogotá: Temperaturas: 17 18 15 16 19 20 16 18
17 18 19 17 15 16 19 16 20 18 17 16 20 15 19 18 20 18 16 17 15 19 19 Elabore una
tabla de frecuencias, agregando la frecuencia porcentual y la frecuencia porcentual
acumulada.
2. Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los
siguientes resultados: negro azul amarillo rojo azul azul rojo negro amarillo rojo rojo
amarillo amarillo azul rojo negro azul rojo negro amarillo Con los resultados
obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
3. En una tienda de autos, se registra la cantidad de autos Toyota vendidos en cada día
del mes de Setiembre. 0; 1; 2; 1; 2; 0; 3; 2; 4; 0; 4; 2; 1; 0; 3; 0; 0; 3; 4; 2; 0; 1; 1; 3; 0;
1; 2; 1; 2; 3 Con los datos obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
4. Se le pidió a un grupo de personas que marque la imagen de su bebida preferida, y
los resultados fueron:
Con los resultados obtenidos, elaborar una tabla de frecuencias.
5. Se recogen las hojas caídas de un árbol, y se registran sus longitudes
en centímetros. Elaborar una tabla de frecuencias.
1 2 1 3 20 5 2 6 2 3 6 3 6 4 7 3 5 6 6
6 8 8 9 10 12 11 10 12 13 15 17 16 18 18 20
Referencias:
https://matemovil.com/tablas-de-frecuencias-ejercicios-resueltos/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicio
s-de-frecuencias.html
Tema 5: Manejo de la información estadística.
Contenido: 5.3 Gráficas de barras y circulares.
https://matemovil.com/tablas-de-frecuencias-ejercicios-resueltos/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-de-frecuencias.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-de-frecuencias.html
Sesión: 20 de 22 Número de horas: 0.5 Número de semana: 20 Fecha: 30/05/2020
Objetivo: El alumno debe ser capaz de realizar graficas de barras y circulares, con base en
información obtenida de tablas de frecuencias relativas y absolutas
Aprendizajes esperados: Representar gráficamente los datos obtenidos en una tabla de
frecuencias absolutas y relativas por medio de graficas de barras y circulares.
GRÁFICAS DE BARRAS Y CIRCULARES
Veamos cómo construir de forma fácil un diagrama o gráfico de barras y un gráfico circular.
Una gráfica de barras, es un gráfico usado para representar datos cualitativos o datos
cuantitativos discretos, tomando en cuenta la frecuencia absoluta, relativa o porcentual.
Los valores de la variable se colocan en el eje horizontal (x); mientras que en el eje vertical
(y), se coloca la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa o la frecuencia porcentual. La
altura de cada barra, es proporcional a la frecuencia. También es llamado gráfico de barras
o diagrama de columnas.
Un gráfico circular, es un gráfico que se utiliza para representar frecuencias, porcentajes y
proporciones. Se suele usar con variables cualitativas, ya que con variables cuantitativas
puede generar confusiones.
También es llamado, gráfica de pastel, gráfica de sectores, de pay o gráfica de 360°.
El ángulo central de cada sector, es proporcional a la frecuencia. Se calcula de la siguiente
manera, teniendo en cuenta la frecuencia a graficar:
fórmula-ángulo-central-gráfico-de-pastel-torta-circular-
Veamos cómo elaborar estos gráficos.
Ejemplo 1
Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los
resultados de la siguiente tabla de frecuencias:
Color
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
Negro 4 0.2 20%
Azul 5 0.25 25%
Amarillo 5 0.25 25%
Rojo 6 0.3 30%
Total 20 1 100%
Elaborar una gráfica de barras y otra de circunferencia a partir de dichos datos.
Solución:
Dado que el problema no indica cuál frecuencia utilizar, absoluta, relativa o porcentual,
realizaremos los 3 gráficos.
Veamos primero el diagrama de barras con frecuencia absoluta.
Trazamos dos rectas perpendiculares, colocamos un cero en el punto donde se intersectan,
ese punto es llamado origen.
En el eje horizontal (x), colocamos los valores de la variable, es decir, los colores preferidos:
negro, azul, amarillo y rojo. En el eje vertical (y), colocaremos la frecuencia absoluta, una
escala que permita identificar a cuantas personas les gusta cada color.
Ahora trazamos cada una de las barrar sobre el color correspondiente y a la escala que
indica la tabla de frecuencias,la parte superior de la barra del color negro debe de estar a
la altura de la unidad 4 personas, la parte superior de la barra azul debe de estar en la unidad
5 personas, la parte superior de la barra amarillo debe d corresponde a la unidad de 5
personas y la barra de color rojo debe de corresponder a la unidad 6 personas.
0
1
2
3
4
5
6
7
Negro Azul Amarillo Rojo
Pe
rs
o
n
as
Color
Frecuencia absoluta
Ahora veamos el diagrama de barras con frecuencia relativa.
Finalmente, viene el diagrama de barras con frecuencia porcentual.
Ahora con estos mismos datos de la tabla de frecuencias, realizaremos la gráfica circular
con las frecuencias porcentuales
Color
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
Negro 4 0.2 20%
0
1
2
3
4
5
6
7
Negro Azul Amarillo Rojo
Pe
rs
o
n
as
Color
Frecuencia relativa
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Negro Azul Amarillo Rojo
Frecuencia porcentual
Azul 5 0.25 25%
Amarillo 5 0.25 25%
Rojo 6 0.3 30%
Total 20 1 100%
Para dibujar la gráfica circular, debemos calcular el ángulo de cada uno de los sectores
De los cálculos obtenidos, podemos hacer otra tabla con la frecuencia porcentual y ángulos
en grados
Color
Frecuencia
porcentual
Ángulos
en grados
Negro 20% 72°
Azul 25% 90°
Amarillo 25% 90°
Rojo 30% 108°
Total 100% 360°
Trazamos una circunferencia que representa el 100% o la totalidad de los datos obtenidos
y un radio en ella.
Usando el transportador, medimos cada uno de los ángulos centrales y dibujamos el grafico,
trazamos el primer ángulo a 72° a partir de la línea del radio
Enseguida sobre esa línea, medimos ahora 90° y trazamos otra línea.
Sobre la otra línea que trazamos, medimos otros 90° y trazamos otra línea.
Y para finalizar medimos 108°, ya no es necesario trazar otra línea porque la línea que
usamos de base está allí
Rellenamos los sectores o rebanadas de la circunferencia que construimos, de los colores
preferidos por las personas encuestadas
Para que nuestra grafica luzca más colocamos los porcentajes en los sectores o rebanadas
correspondientes a su color
y así se completó la gráfica.
Ejemplo 2
Se hizo una encuesta acerca del tipo de programas televisivos preferidos por algunos niños;
estos datos se representan en la siguiente tabla:
Programa
televisivo
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
Caricaturas 13 0.20 20%
Concursos 10 0.15 15%
Deportes 7 0.11 11%
Aventuras 8 0.12 12%
Telenovelas 10 0.15 15%
Documentales 4 0.06 6%
Series 13 0.20 20%
Total 65 1.00 100%
Representan gráficamente los datos que se observan en la tabla:
Solución:
Trazamos los dos ejes (x) y (y), indicamos en el origen colocando un cero donde se
intersectan las dos líneas
Para continuar con la gráfica de barras, en el eje horizontal (x), colocamos los valores de la
variable, es decir, los programas televisivos: caricaturas, concursos, deportes, aventuras,
telenovelas, documentales y series. En el eje vertical (y), colocaremos los valores de la
frecuencia absoluta, que son la cantidad de niños que ven los programas televisivos.
A continuación, trazamos las barras perpendiculares al eje (x), definiendo las partes
superiores a la escala correspondiente según la cantidad de niños que ven los programas
televisivos.
Rellenamos las barrar con colores llamativos para que impacten más a las personas que les
interés nuestros datos
De esta forma graficamos la frecuencia absoluta
A continuación, procedemos a construir la gráfica circular, de pastel o de sectores
Usaremos los mismos datos, pero en este caso solo nos interesa la frecuencia porcentual.
0
2
4
6
8
10
12
14
N
iñ
o
s
Series
Frecuancia absoluta
0
2
4
6
8
10
12
14
N
iñ
o
s
Series televisivas
Frecuancia absoluta
Programa
televisivos
Frecuencia
porcentual
Caricaturas 20%
Concursos 15%
Deportes 11%
Aventuras 12%
Telenovelas 15%
Documentales 6%
Series 20%
Total 100%
Para dibujar la gráfica circular, debemos calcular el ángulo de cada uno de los sectores
Para facilitar la construcción dela grafica colocamos los valores de los ángulos en la tabla
Ahora iniciamos la gráfica circular o de pastel.
Trazamos una circunferencia que representa el 100% o la totalidad de los datos obtenidos
y un radio en ella.
Usando el transportador, medimos cada uno de los ángulos centrales y dibujamos el grafico,
trazamos el primer ángulo a 72° a partir de la línea del radio
Programa
televisivo
Frecuencia
porcentual
Ángulos en
grados
Caricaturas 20% 72°
Concursos 15% 56°
Deportes 11% 39°
Aventuras 12% 44°
Telenovelas 15% 55°
Documentales 6% 22°
Series 20% 72°
Total 100% 360°
De la misma forma trazamos cada una de las líneas de acuerdo a los ángulos que nos
muestra la tabla
Otra línea a los 128°
Otra más a 167°
Así continuamos hasta trazar todas las líneas para formar los sectores o rebanadas.
Rellenamos los sectores con colores llamativos
Por ultimo colocamos el nombre de la serie televisiva y el porcentaje que corresponde a
cada una
Conclusión:
FRECUENCIA PORCENTUAL
Caricaturas
20%
Concursos
16%
Deportes
11%Aventuras
12%
Telenovelas
15%
Documentales
6%
Series
20%
FRECUENCIA PORCENTUAL
Cuando observamos una tabla de frecuencias, normalmente los datos de observan de una
forma aburrida y tediosa, para evitar esto es conveniente presentar los datos de una forma
agradable e interesante, por eso la importancia de realizar una gráfica, se puede apreciar
de mejor manera los datos, además de ser una excelente herramienta para el resumen de
datos, el análisis y la toma de decisiones.
Referencias:
Si tienes alguna duda puedes consultar los videos que se encuentra en estos links:
https://www.youtube.com/watch?time_continue=35&v=L2F2VkzsZwU&feature=emb_log
o
https://www.youtube.com/watch?v=RBgtRte7r5w
Tema 5: Manejo de la información estadística.
Contenido: 5.4 Medidas de tendencia central.
Sesión: 20 de 22 Número de horas: 0.5 Número de semana: 20 Fecha: 30/05/2020
Objetivo: El alumno será capaz de calcular las medidas de tendencia central como:
media, mediana y moda.
Aprendizajes esperados: Resolver problemas referentes a la estadística por medio
del cálculo de medidas de tendencia central
MEDIADAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media Aritmética
La media aritmética es la medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores
de una variable por la frecuencia total.
En otras palabras, la media aritmética corresponde a la suma de un conjunto de datos
divididos por el número total de datos y se representa por ( .
La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros más extendidos, se
le llama también promedio o simplemente media
Las principales propiedades de la media aritmética son:
Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todas sus partes
Su valor es único para una serie de datos dados
Se usa con frecuencia para comparar poblaciones
Se interpreta cono punto de equilibrio o centro de masas del conjunto de datos
https://www.youtube.com/watch?time_continue=35&v=L2F2VkzsZwU&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?time_continue=35&v=L2F2VkzsZwU&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?v=RBgtRte7r5w
Su representación matemática es la siguiente:
=
𝑥1+𝑥2+⋯…+𝑥𝑛
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
Ejemplo 1
En matemáticas, un alumno llamado Pedro, tiene las siguientes calificaciones:
No. Periodo Calificación
1 Primer bimestre 4
2 Segundo bimestre 7
3 Tercer bimestre 7
4 Cuarto bimestre 2
5 Quinto bimestre 5
6 Sexto bimestre 3
Calcular la media aritmética de Pedro de sus calificaciones dematemáticas
Solución:
En la tabla podemos observar que el total de datos son 6.
Por lo tanto, n = 6
Ahora realizamos el cálculo sumando totas las calificaciones y las dividimos
entre el número total de datos.
Usamos la fórmula de la definición
=
𝑥1+𝑥2+⋯…+𝑥𝑛
𝑛
Sustituimos los valores
4+7+7+2+5+3
6
=
28
6
= 4.6
Obtenemos del calculo que la media aritmética o promedio es 4.6
El promedio de las calificaciones de matemáticas de Pedro es de 4.6
Ejemplo 2
El clavadista Fernando Platas, en una de sus competencias internacionales obtuvo en
sus 5 primeros saltos de la plataforma de 10 metros, las siguientes calificaciones.
No. de salto Calificación
1 7.9
2 9.2
3 9.9
4 9.9
5 9.1
Calcula la media aritmética o promedio de su calificación
Solución:
En la tabla podemos observar que el total de datos son 5.
Por lo tanto, n = 5
Ahora realizamos el cálculo sumando totas las calificaciones y las dividimos
entre el número total de datos.
Usamos la fórmula de la definición
=
𝑥1+𝑥2+⋯…+𝑥𝑛
𝑛
Sustituimos los valores
7.9+9.2+9.9+9.9+9.1
5
=
46
5
= 9.2
Obtenemos del calculo que la media aritmética o promedio es 4.6
El promedio de las calificaciones del clavadista Fernando Platas, en una de sus
competencias internacionales en sus 5 primeros saltos de la plataforma de 10
metros es 9.2
Mediana
En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor que ocupa el lugar central de
todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
Se le denota (Me).
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas
Si la serie de variables tiene un número par de puntuaciones, la mediana es la Media
aritmética entre las dos puntuaciones centrales.
Ejemplo 1
Si utilizamos los datos del ejemplo 1 de la media aritmética, podemos observar la
tabla siguiente:
No. Periodo Calificación
1 Primer bimestre 4
2 Segundo bimestre 7
3 Tercer bimestre 7
4 Cuarto bimestre 2
5 Quinto bimestre 5
6 Sexto bimestre 3
Calcula la Mediana de las calificaciones de Pedro
Solución:
Lo primero que debemos de hacer es ordenar los datos de menor a mayor
Calificaciones
2, 3, 4, 5, 7, 7
Si la serie de datos fuera impar, la mediana seria la calificación central.
Pero como la cantidad de datos es par, la mediana es la media aritmética o
promedio de las dos calificaciones centrales, en este caso es la media de las
calificaciones 4 y 5
2, 3, 4, 5, 7, 7
Realizamos el calculo
= (4+5) / 2 = 4.5
En este caso la mediana es 4.5, por lo que podemos interpretar que:
El 50% de las calificaciones de Pedro son menor o igual 4.5
Ejemplo 2
El profesor de educación física les pide a sus alumnos que hagan el mayor número
de abdominales que puedan en 10 minutos, obteniéndose los siguientes datos:
No. Alumno Abdominales
1 Pedro 20
2 Juan 17
3 Arturo 17
4 Roberto 12
5 Francisco 15
6 Rolando 13
7 Sergio 25
8 Ernesto 21
9 Carlos 21
Calcula la Mediana de la serie de datos
Solución:
Lo primero que debemos de hacer, es ordenar los datos de menor a mayor.
12, 13, 15, 17, 17, 20, 21, 21, 25
Como la serie de números es impar, la mediana corresponde al número que se
encuentra en el centro de la serie
12, 13, 15, 17, 17, 20, 21, 21, 25
En este caso la mediana corresponde al número 17
Por lo anterior podemos interpretar que el 50% de los alumnos realizan 17
abdominales o menos y que el 50% de alumnos realizan almeno 17
abdominales o más.
Ejemplo 3
La estatura de los jugadores de un equipo de futbol son las siguientes:
1.82m, 1.78m, 1.74m, 1.76m, 1.76m, 1.81m, 1.77m, 1.65m, 1.74m, 1.69m, 1.65m
¿cuál es la mediana de las estaturas?
Solución:
Lo primero que debemos de hacer, es ordenar los datos de menor a mayor.
1.65, 1.65, 1.69, 1.74, 1.74, 1.76, 1.76, 1.77, 1.78, 1.81, 1.82
Como la serie de números es impar, la mediana corresponde al número que se
encuentra en el centro de la serie.
1.65, 1.65, 1.69, 1.74, 1.74, 1.76, 1.76, 1.77, 1.78, 1.81, 1.82
1.65, 1.69, 1.74, 1.74, 1.76, 1.76, 1.77, 1.78, 1.81,
1.69, 1.74, 1.74, 1.76, 1.76, 1.77, 1.78
1.74, 1.74, 1.76, 1.76, 1.77
1.74, 1.76, 1.76
1.76
En este caso la mediana corresponde al número 1.76 m
Por lo anterior podemos interpretar que el 50% de los alumnos tienen 1.76
metros de altura o menos y que el otro 50% de alumnos tienen almeno 1.76
metros o más de altura.
Moda
La Moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta, en otras palabras, es el
valor que más se repite en una serie de datos.
Se represente por (Mo).
La moda de puede hallar para variables cualitativas y cuantitativas
Si en un grupo de datos hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa
frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene
varias modas.
Ejemplo 1
Nuevamente tomemos para nuestro ejemplo las calificaciones de Pedro
No. Periodo Calificación
1 Primer bimestre 4
2 Segundo bimestre 7
3 Tercer bimestre 7
4 Cuarto bimestre 2
5 Quinto bimestre 5
6 Sexto bimestre 3
Hallar la moda de la distribución de calificaciones
Solución:
Debemos de realizar un conteo de las calificaciones, para identificar la
frecuencia de cada una de ellas
No. Calificación Frecuencia
absoluta
1 4 1
2 7 2
3 2 1
4 5 1
5 3 1
Observando la tabla podemos identificar que la calificación de 7 se repite en 2
ocasiones.
También podemos escribir en forma de línea las calificaciones y analizar cual
se repite más veces, subrayando los números cada vez que se repiten.
4 7 7 2 5 3
Por lo anterior definimos que 7 es la moda
Mo = 7
La forma de interpretar nuestro cálculo es: diciendo que el 7 es la calificación
que tiene más frecuencia por lo que es la que más se repite
Ejemplo 2
También podemos usar la tabla que construimos para analizar la cantidad de
abdominales que hacen los alumnos en la clase de educación física
No. Alumno Abdominales
1 Pedro 20
2 Juan 17
3 Arturo 17
4 Roberto 12
5 Francisco 15
6 Rolando 13
7 Sergio 25
8 Ernesto 21
9 Carlos 21
Encontrar la moda de la cantidad de abdominales que hacen los alumnos en la clase
de educación física
Solución:
Colocamos los datos en forma de línea.
20, 17, 17, 12, 15, 13, 25, 21, 21
Hacemos el conteo de cuantos números se repiten, subrayando las veces que
se repite cada número.
20 17 17 12 15 13 25 21 21
Podemos identificar que existen dos números que tienen una frecuencia de
dos, por lo que tenemos una distribución bimodal, 17 y 21.
Mo = 17, 21
Interpretamos nuestro cálculo: diciendo que el 17 y 21 son las cantidades de
abdominales que tiene más frecuencia, por lo que es las que más se repiten
Conclusión:
El cálculo de las medidas de tendencia central, como lo son la Media aritmética,
Mediana y Moda, nos sirven para interpretar los datos estadísticos, para poder
resolver problemas estadísticos e incluso predecir eventos
Referencias:
Si tiene alguna duda puedes consultar el video que se encuentra en este link:
https://www.youtube.com/watch?v=JwsfkIy6B_o
Sesión correspondiente al 06 de Junio de 2020.
Tema 6: Probabilidad.
Contenido: 6.1 Nociones de probabilidad y muestreo.
Sesión: 21 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 20 Fecha: 06/06/2020
Objetivo: Obtener conclusiones basados en datos experimentales e información, ya
que la realidad analizada es susceptible de diversas interpretaciones.
Aprendizaje esperado: Identifica y organiza información pertinente sobre tipos
estadísticos, población y muestra.
PROBABILIDAD
https://www.youtube.com/watch?v=JwsfkIy6B_o
Es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso(son los
posibles resultados de una acción que depende del azar)
La probabilidad, interviene en los juegos de azar, deportes, demanda que tendrá un
producto nuevo, eficacia de un suero, estimar el costo de la producción, etc. Y se usa
en áreas como: matemáticas, física, administración, economía, contaduría y filosofía.
En probabilidad: se requiere el uso de modelos matemáticos (para representar el
comportamiento de ciertos fenómenos).
Existen dos tipos de fenómenos importantes
1. Experimento determinista:
Es el proceso cuyo resultado se puede predecir con exactitud (es decir, siempre
determinan el mismo resultado)
Ejemplo:
a) Si se somete agua a una temperatura menor que 0°C sabemos que pasa de
estado líquido a sólido.
b) Al lanzar una moneda al aire, esta misma caerá al suelo (por efecto de la
gravedad).
2. Experimento aleatorio:
También conocido con el nombre de estocástica (es decir, el sistema que
funciona, sobre todo por el azar). Es el proceso mediante el cual el resultado
no se puede predecir con exactitud, aunque se realice bajo las mismas
situaciones.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio (estos
resultados posibles son conocidos también como puntos muestrales) bajo estas
consideraciones diremos que un EVENTO: es un subconjunto del espacio muestral
Ejemplo:
a) Al lanzar un dado de obtiene un número impar en este caso el espacio muestral
se conforma de los siguientes resultados
1, 2, 3, 4, 5, 6
Y el evento se conforma de los números impares del espacio muestral 1, 3, 5
Probabilidad clásica
Se define como el cociente del número de casos favorables de un evento “M” entre
el número de casos totales (espacio muestral)
Así
𝑃(𝑀)
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑀
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
La probabilidad: de que suceda un evento, se expresa de la siguiente forma:
a) Fracción común
b) Fracción decimal
c) Tanto porciento
Y cabe mencionar que la probabilidad de un evento está definido entre 0 y 1
Problemas
1) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado caiga un número par.
2) Una caja contiene 3 crayones rojos, 5 verdes y 4 azules. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar un crayón de color rojo?
3) Ana tiene 6 prendedores blancos, 5 naranjas, 6 rosas y 8 amarillos si toman un
prendedor al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tomen un prendedor
naranja?
4) Se tiene 3 urnas con 5 canicas de los siguientes colores: blanco, rojo, verde,
azul y café. Si todas contienen una de cada color. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar una azul?
5) Se lanza 2 veces un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos
resultados sea mayor o igual que 8?
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=WeeEE8o1aqM
https://www.youtube.com/watch?v=2XWejSaiwNE
Tema 6: Probabilidad.
Contenido: 6.2 Técnicas de conteo.
Sesión: 21 de 22 Número de horas: 1 Número de semana: 20 Fecha: 06/06/2020
Objetivo: Estudiar los diversos métodos de técnicas de conteo ya que se usan para
eventos difíciles de cuantificar además caracterizar situaciones de probabilidad
utilizando las combinaciones y permutaciones.
Aprendizaje esperado: Usa técnicas de conteo o agrupación en la determinación de
probabilidades.
TÉCNICAS DE CONTEO
Son estrategias matemáticas usadas en probabilidad que permiten determinar el
número total de resultados que pueden haber a partir de hacer combinaciones
dentro de un conjunto o conjuntos de objetos (espacio muestral).
Ejemplo:
Si tiene 4 sillas: 1 amarilla, 1 roja, 1 azul y 1 verde. ¿Cuántas combinaciones de tres
de ellas se pueden hacer ordenadas una a lado de la otra?
NOTA: Se podría resolver este problema haciendo manualmente (pensando en
muchas combinaciones) pero requiere mucha paciencia y tiempo.
https://www.youtube.com/watch?v=WeeEE8o1aqM
https://www.youtube.com/watch?v=2XWejSaiwNE
Principio multiplicativo
Si un evento lo llamamos 𝑁1 puede ocurrir de varias formas, otro evento como 𝑁2
puede ocurrir más veces y 𝑁3 puede ocurrir muchas veces más. Este principio se
utiliza cuando la acción es secuencial, es decir, esta conformado por eventos que
ocurren en forma ordenada.
Así 𝑁1 ∗ 𝑁2 ∗ 𝑁3…
Ejemplo:
En un restaurante el menú consiste en un platillo principal con (4) variantes, un
segundo con (3) variantes y un postre con (5) variantes. ¿Cuantas combinaciones
ofrece este menú?
Solución:
4 x 5 x 3 = 60
Diagrama de árbol
Es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual
consta de una serie de pasos donde casa uno de estos tiene un número infinito de
maneras de ser llevando a cabo.
Ejemplo:
Al lanzar una moneda dos veces ¿Qué probabilidad hay de obtener águila en la
primera tirada y sol en la segunda tirada?
Solución:
Espacio muestral: Águila – águila; águila – sol; sol – águila; sol – sol = 4
Evento: águila – sol = 1
Lo ilustramos con el diagrama de árbol
• Aplicando la probabilidad
• Así (
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟐
) = (
𝟏
𝟒
) = 𝟎. 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓%
Permutación
Cuando el orden en que se disponen los elementos son importantes del número total
de resultados posibles.
Fórmula:
n𝑃𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
Ejemplo:
Si se tiene 5 candidatos (n = 5), a tres cargos (r = 3) de una empresa, los cuales son
para presidente, gerente y tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos
tres cargos?
Solución:
5𝑃3 =
5!
(5−3)!
=
5!
2!
=
5∗4∗3∗2∗1
2∗1
= 60
Combinaciones
A diferencia de lo que sucedió con las permutaciones el orden de los elementos no
es importante. Formula:
n𝐶𝑟 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!
Ejemplo:
Un grupo de 7 personas (n =7) quieren hacer la limpieza en el barrio y se prepara
para formar grupos de 3 miembros cada uno (r=3). ¿Cuántos son posibles?
Solución:
7𝐶3 =
7!
(7−3)!3!
=
7!
(4!)3!
=
7∗6∗5∗4∗3∗2∗1
(4∗3∗2∗1)(3∗2∗1)
=
210
6
= 35
Conclusión
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las
diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un
rango estadístico.
Referencias:
https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM
https://www.youtube.com/watch?v=ynxsVxVZ9Vw
https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM
https://www.youtube.com/watch?v=ynxsVxVZ9VwMás contenidos de este tema
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