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Resumen –– Se propone una modificación a la Representación
Entera del Juego del Caos, publicada recientemente por Yin,
nosotros no modificamos la construcción gráfica de Jeffrey,
mostrando como codificar las secuencias genómicas, con tres
números enteros: la longitud N de la secuencia, y las
coordenadas enteras del punto asociado al último nucleótido de
la secuencia (INX,INY), se demuestra que expresando estas
últimas en binario, se obtienen las coordenadas de todos los
puntos asociados con todos los nucleótidos de la secuencia
genómica, y como a partir de esta secuencia de puntos se
encuentra la secuencia genómica. Debido a que N es muy
grande, la secuencia se separa en p partes iguales de longitud
M, y una de longitud q, donde N=pM+q; codificando toda la
secuencia con 3+2(p+1) enteros, que corresponden a los valores
de M,p,q y 2(p+1) enteros, siendo estos últimos las coordenadas
de los p+1 puntos finales de las sub-secuencias consideradas.
Finalmente se describe el proceso de decodificación para
obtener la secuencia genómica.
Palabras Clave Juego del Caos, secuencia genómica,
codificación, decodificación.
Abstract ––We propose a variation of the Integer Chaos Game
Representation recently suggested by Yin, we don´t change the
Jeffrey´s graphical construction, and show how encoding
genomic sequences with 3 integers: N the sequence length, and
the integer coordinates (INX,INY) of the point assigned to the
last nucleotide of the sequence, we show that writing these
coordinates in a binary base can be obtained the coordinates of
all the points associated to all the nucleotides which conform
the genomic sequence, from there following a simple process
we obtain the complete genomic sequence. However as N is a
very large number, we segmented the extended genomic
sequence (enlarged with the zero nucleotide) in p+1 blocks, p of
them conformed by M nucleotides and one block for q<M
nucleotides, thus N+1=pM+q; codifying each block we find that
the complete genomic sequence can be codified by 3+2(p+1)
numbers: M,p,q and the p+1 the coordinates of final nucleotide
of each blocks, finally we describe the decoding processes for
obtain the complete genomic sequence.
Keywords –– Chaos Game Representation, genomic sequence,
coding and decoding.
I. INTRODUCCIÓN
Una secuencia de DNA consiste de cuatro tipos de
nucleótidos: Adenina (A), Guanina (G), Timina (T) y
Citosina (C). El análisis matemático de una secuencia
genómica (SG), requiere de la conversión de una secuencia
simbólica a una secuencia numérica, de forma que los
patrones y caracteres intrínsecos de la secuencia puedan ser
caracterizados para llevar a cabo un procesamiento digital
de señales, por lo que una representación efectiva debe
capturar todas las propiedades biológicas significativas del
genoma sin introducir ningún efecto espurio.
En 1990, Jeffrey[1,2] propuso una representación numérica
y gráfica de una secuencia de DNA inspirado en la
representación del Juego del Caos de Barnsley (JCB) [3],
que permite generar fractales utilizando un sistema de
funciones iteradas.
La representación gráfica de una secuencia genómica
usando el Juego del Caos de Jeffrey (JCJ), es generada en un
cuadrado unitario, donde se colocan en sus cuatro vértices
los símbolos de los nucleótidos A,C,G y T, la representación
gráfica del JCJ se construye al asociar a cada nucleótido de
la secuencia del ADN, un punto dentro del cuadrado usando
las siguientes reglas: al primer nucleótido de la secuencia
genómica se le asocial el punto medio entre el centro del
cuadrado y el vértice correspondiente al primer nucleótido
de la secuencia, los puntos subsecuentes son generados por
los puntos medios entre el punto anterior y el vértice que
corresponde al nucleótido que esta siendo graficado.
Las características importantes del JCJ son que las
coordenadas de cualquier punto de la secuencia, contiene la
información histórica de toda la secuencia precedente y
muestra visualmente todas las frecuencias subsecuentes de
la secuencia de DNA. El JCJ preserva todas las propiedades
estadísticas de una secuencia dada de DNA, por lo que
permite una investigación tanto local como global de los
patrones en las secuencias de DNA revelando estructuras
fractales ocultas dentro de las secuencias genómicas.
El JCJ fue desarrollada para visualizar las frecuencias de
distintos k-meros, dando como resultado una imagen
bidimensional única para una secuencia genómica dada.
Como el JCJ tiene la propiedad de diferenciar entre
secuencias genómicas pertenecientes a diferentes especies,
ha sido propuesta como la huella digital del genoma[4,6].
Sin embargo, la representación numérica de esta huella es
una lista de valores de la misma longitud que las secuencias
de DNA, que no se puede utilizar para almacenar,
Codificación y Decodificación de Secuencias Genómicas.
J.L. del Río-Correa1, Y.A. Álvarez -Ballesteros2, G. Durán-Meza3
1,2,3 Departamento de Física, UAM-Iztapalapa, México D.F., México.
Teléfono (55) 5804-4624 Fax (55) 5804-4610 E-mail: jlrc@xanum.uam.mx
comprimir o encríptar y comparar las secuencias de DNA.
Recientemente Changchuan Yin[5] propuso una
Representación Entera del Juego del Caos (REJC), que
permite una codificación de las secuencias genómicas con
tres números enteros. En la REJC se modifica el algoritmo
de Jeffrey de manera que las coordenadas de cada punto de
la secuencia son dadas por números enteros positivos y
negativos, de forma que la nube de puntos asociados con la
secuencia genómica ocupa todo el plano, por lo que no esta
acotada, lo anterior hace que se pierda la representación
gráfica de las secuencias genómicas. que ha mostrado ser
una herramienta fundamental para el análisis de las
secuencias de DNA.
En este trabajo presentamos una Representación Entera
alternativa que no modifica sustancialmente el JCJ, que
permite pasar fácilmente a la representación habitual de
Jeffrey. El proceso de codificación consiste en segmentar la
SG en p+1 partes, p de ellos con el mismo número M de
nucleótidos, y el último con q=NmodM nucleótidos, la
codificación consiste en dar las coordenadas enteras de los
puntos finales de cada segmento, N la longitud total de la
secuencia y el valor seleccionado de M, por lo que la
secuencia se codifica con 3+2(p+1) enteros.
II. METODOLOGÍA
EL JUEGO DEL CAOS DE BARNSLEY.
Una forma simple de generar un conjunto fractal propuesta
por Barnsley, es considerar el siguiente juego de azar:
Dibuje un triángulo equilátero, identifique el primer vértice
por los números 1,2; el segundo con los números 3,4 y el
tercero con 5,6. Y proceda con los siguientes pasos:
1.- Seleccione un punto inicial arbitrario P0 dentro del
triángulo.
2.-Lance un dado (no cargado), usando el resultado del
lanzamiento seleccione PV, uno de los tres vértices del
triángulo.
3.-Dibuje P1 el punto medio entre P0 y PV .
4.-Para dibujar el siguiente punto, repita el paso 2,
considerando a P1 como el punto inicial.
5.- Repitiendo sistemáticamente los pasos anteriores dibuje
un número grande de puntos.
En principio uno esperaría que el resultado del juego del
caos fuera una nube de puntos completamente aleatoria
dentro del triángulo, sin embargo sorprendentemente la
figura generada es un fractal conocido como el triángulo de
Sierpinski, siendo la razón de esto, que la regla 3
corresponde a la aplicación de tres reglas de iteración de la
forma:
(1)
donde es el vector de posición del n-ésimo punto, y
del vértice k; la ecuación (1) corresponde a tres
transformacionescontractivas con puntos fijos en los
vértices del triángulo, estos tres puntos fijos tienen la misma
intensidad de atracción, ya que su selección es igualmente
probable, la configuración de “equilibrio resultante”,
técnicamente llamada la distribución estacionaria del
proceso estocástico generado por el Sistema de Funciones
Iteradas, es el triángulo de Sierpinski.
Dos aspectos relevantes del Juego del Caos de Barnsley son:
a) Las transformaciones aplicadas son contractivas,
b) Se selecciona al azar cada transformación.
Cuando se implementa el juego del caos utilizando cuatro
transformaciones contractivas cuyos vértices sean los de un
cuadrado el resultado es un conjunto de puntos que llena
homogéneamente el cuadrado, por lo que la distribución
estacionaria es homogénea.
Por otra parte, Barnsley encontró que utilizando dados
cargados, se obtenían diferentes patrones en el cuadrado, lo
que se logra matemáticamente al considerar un sistema de
funciones iteradas con diferente probabilidad asociada a
cada función, de manera que se obtienen fractales que
reflejan el proceso estocástico utilizado, y el juego del caos
abre la posibilidad de encontrar patrones que correspondan a
distintos procesos estocásticos, usando distribuciones de
variables independientes ó bien utilizando procesos de
Markov, para los detalles de lo anterior véanse los capítulos
X y XI del la referencia [2].
Representación de Jeffrey del Juego de Caos.
En el Juego del Caos de Jeffrey, desaparece la componente
estocástica del juego, ya que en lugar de seleccionar un
proceso estocástico para determinar el vértice a escoger, se
utiliza una serie determinista que se obtiene de una
secuencia genómica, que es una serie muy grande de
símbolos asociados a una secuencia de DNA, obteniéndose
una representación gráfica ó retrato de la Secuencia
Genómica. En el sentido probabilístico, esto puede
entenderse como que cada secuencia genómica es la
realización de un proceso estocástico diferente.
Una secuencia de DNA es una lista de cientos de miles o de
millones de caracteres del siguiente tipo:
R
Vk
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL JUEGO DEL
CAOS DE JEFFREY
.
Se construye un cuadrado unitario Q asociando a cada uno
de sus vértices con una de las cuatro bases que constituyen
el alfabeto de la secuencia genómica, así denotando a las
bases por las letras A,C,G y T, los vértices de Q son:
A 0,0( );C 0,1( );G 1,1( );T 1,0( ); (2)
Para obtener la representación gráfica de una secuencia
genética (SG), se sigue el siguiente proceso iterativo:
a) Se selecciona un punto semilla X0 dentro del cuadrado,
que en general puede ser arbitrario pero que por simplicidad
geométrica Jeffrey selecciona X0 como el punto medio de Q,
b) Al primer término de la SG se le asocia el punto X1, que
es el punto medio de la línea que une X0 con el vértice del
cuadrado cuya esquina coincide con el término de la
secuencia genómica.
c) Al segundo término de la SG se le asocia el punto X2, que
es el punto medio de la línea que une el punto X1 con el
vértice de Q cuya esquina coincide con el término de la
secuencia.
d) Repitiendo este proceso para toda la secuencia de DNA
se generan tantos puntos como tenga la secuencia dada de
DNA.
Para ejemplificar el Juego del Caos de Jeffrey,
tomaremos la secuencia genómica GATCCA, y
mostraremos cómo graficar estos seis puntos de la
secuencia.
Como el primer símbolo corresponde a la Guanina,
dibujamos la línea que va del centro del cuadrado al vértice
marcado con la letra G, y colocamos un punto rojo en el
punto medio del segmento P0G, que denotamos por P1, para
encontrar el segundo punto, vemos que el segundo símbolo
de la secuencia es A, por lo que trazamos el segmento P1A y
tomando su punto medio se encuentra el punto P2.
Figura 1. Gráfica correspondiente a la secuencia GATCCA
El siguiente símbolo en la secuencia es T, por lo que
trazamos el segmento P2T y tomando su punto medio se
determina P3. Para encontrar el siguiente punto , usamos que
el cuarto símbolo es C, trazamos el segmento P3C y
encontramos su punto medio que es P4. Repitiendo el
proceso para C y A, encontramos P5 y P6. (Ver Fig.1).
Figura 2. Gráfica del cromosoma 21 del Homo Sapiens
Como se puede ver, el proceso es relativamente simple
cuando se lleva a cabo con una secuencia pequeña, sin
embargo una secuencia genética consta cientos de miles o
millones de puntos, por lo que la gráfica se tiene que hacer
usando una computadora y además dado que es finito el
tamaño de un pixel gráfico, no existe una relación biunívoca
entre los puntos de la secuencia y los pixeles gráficos que
conforman la figura que se obtenga, sin embargo esta pálida
foto de la secuencia genómica es diferente para cada
secuencia, mostrando claramente una estructura multifractal
como puede verse en la representación gráfica del
cromosoma 21 del Homo Sapiens, mostrada en la Fig.2.
III. RESULTADOS
ESTUDIO ANÁLITICO DEL JUEGO DEL CAOS DE
JEFFREY
Para calcular lar coordenadas de los puntos generados por la
secuencia genómica al usar el JCJ, es conveniente utilizar la
representación binaria. Como todos los puntos caen dentro
del cuadrado unitario, sus coordenadas (X,Y) son de la
forma:
X =
b
j
2 jJ=1
N
å = 0.b1b2...bN ;Y =
B
j
2 jJ=1
N
å = 0.B1B2...BN ; (3)
Las coordenadas del centro del cuadrado y de los vértices
asociados a cada nucleótido son las siguientes:
P
0
A C G T
X 0.1 0 0 1 1
Y 0.1 0 1 1 0
(4)
Figura 3. Cuadrado unitario, y sub-cuadrados de primer y segundo orden.
Las coordenadas del primer punto dependen de cuál sea
el primer nucleótido V1 de la SG, siendo dadas por la
relación:
X̂
V
1
= 1
2
X
0
1
+V
1X( ) = .01+ V1 X2 = .V1X1;
Ŷ
V
1
= 1
2
Y
0
1
+V
1Y( ) = .01+ V1Y2 = .V1Y1;
(5)
Las 4 coordenadas posibles para el primer punto, por (4) y
(5), corresponden a los puntos medios de los sub-cuadrados
de primer orden, QA,QC,QG y QT :
X̂
A
= X̂
C
= 1
2
X
0
= .01; X̂
G
= X̂
T
= 1
2
X
0
+ 1
2
= .11;
Ŷ
A
= Ŷ
T
= 1
2
Y
0
= .01; Ŷ
C
= Ŷ
G
= 1
2
Y
0
+ 1
2
= .11;
(6)
Las 16 coordenadas posibles del segundo punto están dadas
por las relaciones:
(7)
que son las coordenadas de los puntos medios de los sub-
cuadrados de segundo orden:
(8)
las 4R coordenadas posibles para el R-ésimo nucleótido de la
SG son:
X̂
V
1
V
2
...V
R
= 1
2
X̂
V
1
V
2
...V
R-1
+ X
V
R
( ) = 0.VRXVR-1X ...V2 XV1X1
Ŷ
V
1
V
2
...V
R
= 1
2
Ŷ
V
1
V
2
...V
R-1
+ Y
V
R
( ) = 0.VRYVR-1Y...V2YV1Y1
(9)
que son las coordenadas de los centros de los sub-cuadrados
de R-ésimo orden. Este resultado permite construir un
algoritmo simple para encontrar las coordenadas que
corresponden a cualquier miembro de la secuencia
genómica; iniciando la secuencia con el punto medio P0,
colocando debajo de cada símbolo del nucleótido las
coordenadas correspondientes a su vértice; agregando el
punto decimal después del símbolo del que se desea conocer
su coordenada, y finalmente leyendo de derecha a izquierda
se obtienen las coordenadas del punto deseado, como se
muestra en (10).
P
0
V
1
V
2
... V
R
1 V
1X
V
2 X
... V
RX
1 V
1Y
V
2Y
... V
RY
;P
VR
=
0.V
RX
... V
2 X
V
1X
1
0.V
RX
V
2 X
V
1X
1
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
(10)
re-escribiendo (10) en la forma:
X
R
=
V
jX
2R+1- jj=0
R
å =
1
2R+1
I
RX
; I
RX
= V
jX
2 j
j=0
R
å ;V0 X = 1;
Y
R
=
V
jY
2R+1- jj=0
R
å =
1
2R+1
I
RY
; I
RY
= V
jY
2 j ;
j=0
R
å V0Y = 1; (11)
expresamos las coordenadas de PR en términos de la terna
de enteros (R,IRX,IRY)
La ecuación (10) implica que si dos secuencias genómicas
compuestas por R nucleótidos difierenen cualquiera de
ellos, las coordenadas de PR son diferentes, como esto es
válido para toda R, dada una SG existe una sola Secuencia
de Puntos (SP) asociada con ella, caracterizada por una terna
de números enteros.
Observamos de (10) que conociendo las coordenadas de PR,
se encuentran todas las coordenadas de los puntos
anteriores, ya que moviendo el punto decimal K lugares a la
derecha y despreciando la parte entera se encuentran las
coordenadas del punto P(R-K), de manera que:
X
R-K
Y
R-K
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
2K X
R
mod1
2K Y
R
mod1
æ
è
ç
ö
ø
÷ ; (12)
en tanto que la terna que caracteriza a la SP de R-K
elementos: (R-K,I(R-K)X, I(R-K)Y) es:
I
R-K( )X
= Int
1
2K
I
RX
æ
èç
ö
ø÷
; I
R-K( )Y
= Int
1
2K
I
RY
æ
èç
ö
ø÷
; (13)
Así, podemos obtener a partir de PR todos los puntos que lo
preceden. De manera que dado PR conocemos toda la SP
asociada a la SG.
De (11), vemos que conociendo la terna de enteros, el
primero nos da la longitud de la secuencia genómica, los dos
restantes al expresarlos en binario permiten encontrar la
secuencia genómica correspondiente; ya que expresando los
enteros (IRX,IRY) en base dos con R+1 cifras significativas,
se obtiene el conjunto {VjX.VjY), y utilizando (4) podemos
encontrar la secuencia genómica. Por lo que hay una
relación biunívoca entre las SP y las SG.
Para ilustrar lo anterior encontraremos la terna que
caracteriza la secuencia genómica TACGGTACT.
Esta SG tiene R=9 elementos, para codificarla, empezamos
por agregar el punto V0, con coordenadas (1,1), y a
continuación los nucleótidos de la SG dada; colocamos
debajo de cada nucleótido las coordenadas de su vértice en
X̂
V
1
V
2
=
1
2
V̂
1X
+ V
2X( ) =
1
2
X̂
V
1
+ X
V
2
( ) = .0V1X1+
V
2X
2
= 0.V
2X
V
1X
1
Ŷ
V
1
V
2
=
1
2
V̂
1Y
+ V
2Y( ) =
1
2
Ŷ
V
1
+ Y
V
2
( ) = .0V1Y1+
V
2Y
2
= .V
2Y
V
1Y
1
Q
AA
,Q
AC
,Q
AG
,Q
AT
; Q
CA
,Q
CC
,Q
CG
,Q
CT
;
Q
GA
,Q
GC
,Q
GG
,Q
GT
; Q
TA
,Q
TC
,Q
TG
,Q
TT
;
el JCJ dadas por (4), encontrando las coordenadas en binario
del punto asociado al último nucleótido de la secuencia.
Usando (11) se encuentran los enteros correspondientes a la
abscisa y ordenada del último término de la SG, que se
expresan en una base 10.
Haciendo lo anterior tenemos:
SG V
0
TAC GGTA CT
X 1100 1110 01
Y 1001 1100 10
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
I
9 X
= 20 + 21 + 24 + 25 + 26 + 29 = 627
I
9Y
= 20 + 23 + 24 + 25 + 28 = 313
(14)
Así, la secuencia TACGGTACT es codificada por la terna
(9,627,313)
Procederemos ahora a mostrar el proceso de decodificación,
dada la terna (9,627,313), queremos encontrar la SG.
El primer número indica que la SG esta compuesta por 9
nucleótidos, para encontrarlos se construye una matriz de 3
renglones y (R+1) columnas; en los dos primeros renglones
expresamos en binario con 10 cifras significativas los
enteros 627 y 319, en el tercer renglón usando (4) se
identifican los R símbolos de los nucleótidos, la última
columna contiene las coordenadas asociadas a V0,
finalmente se encuentra la SG leyendo el tercer renglón de
derecha a izquierda,
I
9 X
627 = 1001 1100 11
I
9Y
313 = 0100 1110 01
SG ¬ TCAT GGCA TV
0
¬
(15)
Usando (11), podemos encontrar las coordenadas del último
punto de la secuencia,
X
9
=
627
210
=
1
210
x 1001110011( ) = 0.1001110011
Y
9
=
313
210
=
1
210
x 1001110001( ) = 0.1001110001
(16)
usando este resultado junto con (13) se encuentra las
coordenadas de cualquier punto anterior al noveno, por
ejemplo si se desea encontrar las coordenadas del quinto
punto, tenemos que 9-4=5, de forma que K=4, por lo que:
X
5
= 24 X
9
mod1= 1001.110011( )mod1= 0.110011
Y
5
= 24Y
9
mod1= 1001.110001( )mod1= 0.110001
(17)
Seleccionando R igual a N, donde N es el número de
nucleótidos que conforman la SG, en principio podemos
obtener la terna (N,INX,INY) que contienen la información
completa de toda la secuencia genómica.
IV. DISCUSIÓN
Sin embargo, debido a que N es muy grande su
implementación presenta dos problemas, el primero de ellos
es el análisis gráfico, debido a que las coordenadas de los
puntos son cada vez números más pequeños en cuanto
aumenta el número de nucleótidos de la secuencia, por lo
que no es factible graficarlo exactamente, ni tampoco
calcularlos numéricamente, ya que después de cierto rango
de valores, que dependiendo del número más pequeño que
pueda manejar la computadora, solamente se están
agregando ceros, de manera que aunque en principio
podemos conocer las coordenadas del último nucleótido de
la secuencia, no podemos calcularlo en la práctica, el
segundo problema consiste en compactar la información de
la secuencia genómica, ya que por cada nucleótido se
requieren dos bits, de forma que el almacenamiento de las
coordenadas del último nucleótido requiere de 2N+1 bits de
memoria, por lo que tenemos que diseñar algún mecanismo
que nos permita tener toda la información contenida dentro
de la secuencia genómica.
Para ello, procedemos a dividir la SG, con el “nucleótido
cero” V0 incluido. Consideremos p grupos de M nucleótidos
y uno adicional de q<M nucleótidos:
GRUPO a = 0; a = 1;...
V
0
V
1
...V
M-1( ) VMVM+1...V2 M-1( )...
a = p-1; a = p;
V
p-1( )M
V
p-1( )M+1
...V
pM-1( ) VpMVpM+1...VpM+q( )
(18)
de manera que pM+q=N+1. Cada grupo genómico se
caracteriza por una terna, por lo que toda la SG se
caracteriza con los 3 enteros y p+1 pares de coordenadas
enteras:
(19)
Las coordenadas de los pares se encuentran utilizando que
la siguiente suma de N+1 elementos, con Vj(0,1), se puede
expresar como:
(20)
Como los elementos Vj solo pueden ser cero ó uno, el rango
de valores para los enteros es el siguiente
(21)
Para ejemplificar el proceso antes descrito, consideremos la
codificación de una secuencia con 30 nucleótidos.
Seleccionando M=8, formamos p=3 grupos de 8 y 1 de q=7
nucleótidos:
SG V
0
ACT GGTA TTGT ACTC
X 1001 1110 1111 0010
Y 1010 1100 0010 0101
SG CTAA CCCT AGGT TGC
X 0100 0001 0111 110
Y 1000 1110 0110 011
(22)
Usando (20) obtenemos:
N
0 X
= 20 + 23 + 24 + 25 + 26 = 121 N
1X
= 20 + 21 + 22 + 23 + 26 = 79
N
0Y
= 20 + 22 + 24 + 25 = 53 N
1Y
= 22 + 25 + 27 = 164
N
2 X
= 21 + 27 = 130 N
3X
= 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62
N
2Y
= 20 + 24 + 25 + 26 = 113 N
3Y
= 21 + 22 + 25 + 26 = 102
(23)
por lo que la secuencia genómica:
ACTGGTATTGTACTCCTAACCCTAGGTTGC
esta caracterizada pot los enteros (8,3,7) y los pares
(121,53),(79,164), (130,113), (62,102).
Supongamos ahora que se quiere obtener la secuencia
genómica codificada por:
[8,3,7; (121,53),(79,164), (130,113), (62,102)]
La SG esta constituida por 31 nucleótidos incluyendo V0 ;
1) Separada en 3 grupos de 8 nucleótidos y uno más
de 7 nucleótidos,
2) el proceso de decodificación se hace de manera
similar al mostrado en (23).
3) Al expresar en binario las coordenadas de los
primeros 3 grupos, se requieren 8 cifras
significativas; y en el último grupo se consideran 7
cifras significativas.
4) en el primer par de coordenadas esta incluido V0;
Decodificación de los grupos
121 = 0111100 1 79 = 01001111
53 = 0011010 1 164 = 10100100
ATGGTCAV
0
CTCATGTT
130 = 10000010 62 = 0111110
113 = 01110001 102 = 1100110
TCCCAATC CGTTGGA
(24)
La SG se encuentra leyendo cada grupo de derecha a
izquierda y tomando la unión ordenada de ellos:
ATGGTCAV
0
CTCATGTT TCCCAATC CGTTGGA
SG : V
0
ACTGGTA TTGTACTC CTAACCCT AGGTTGC
(25)
V. CONCLUSIONES
El proceso de codificación que se propone para una
secuencia genómica de R nucleótidos, consiste en agregar al
inicio de la secuencia el “nucleótido cero” de coordenadas(1,1), sustituir cada nucleótido por las coordenadas
habituales del Juego del Caos de Jeffrey dadas por (27), con
lo que se obtienen dos números binarios con N+1 cifras
significativas, cuando se coloca el punto decimal al
principio de la secuencia se obtienen las coordenadas del
último nucleótido de la secuencia en la Representación
Gráfica del Juego de Caos de Jeffrey, pero cuando se coloca
el punto decimal después del último dígito, se obtiene un par
de enteros binarios, similares a los propuestos por Yin,
expresando estos números en una base adecuada, (p.e. base
10), se encuentran dos enteros impares, (NX,NY) y toda la
secuencia queda codificada por su longitud R y un par de
enteros impares positivos.
Por otra parte hemos propuesto segmentar la secuencia
genómica extendida, en p+1 segmentos, p de ellos de
longitud M, uno de longitud q<M, y codificar cada uno de
los segmentos, siguiendo un proceso similar al antes
descrito, por lo que la secuencia completa se codifica con
los enteros: M, p, q y
N
a X
,N
aY( );a = 0, p( ),v.gr.:
(26)
para la decodificación se toma en cuenta que los tres
primeros enteros M, p, q, nos indican:
1.- El número de nucleótidos que conforman la secuencia
genómica extendida (incorporando V0) esta dado por
N+1=Mp+q;
2.- La SG esta segmentada en p grupos de M y uno de q
nucleótidos.
3.-Las p+1 coordenadas enteras, dan la codificación de cada
uno de los grupos.
La decodificación se hace expresando las coordenadas de
cada grupo en binario, con las siguientes características:
1.- Con M cifras significativas para los primeros p pares.
2.-Con q cifras para el último par;
3.-Se identifican los nucleótidos de cada grupo utilizando el
siguiente código:
A C G T
X 0 0 1 1
Y 0 1 1 0
(27)
4.- Para el primer par se debe tener en cuenta que el primer
término NO corresponde con el nucleótido G, sino con el
“nucleótido Cero” V0,
5.-Para cada grupo se lee la secuencia de nucleótidos de
derecha a izquierda.
6.-La SG se encuentra uniendo ordenadamente las
secuencias de todos los grupos,
Cuando se tiene una sola secuencia genómica de N
elementos, solamente se requieren tres enteros (N,INX,INY),
siendo su proceso de decodificación idéntico al anterior.
REFERENCIAS
[1] Jeffrey H. J., Chaos game representation of gene structure. Nucleic
Acids Res. 18:2163–2170, 1990.
[2] Jeffrey,H.J. (1992), Chaos Game visualization of sequences, Comput.
& Graphics, 16, 25-33.
[3] M.F. Barnsley, Fractals everywhere, Second Edition, AP Professional
[4] Deschavanne P. J., Giron A., Vilain J., Fagot G., Fertil B: Genomic
signature: characterization and classification of species assessed by
chaos game representation of sequences. Mol. Biol. Evol. 16:1391-
1399, 1999.
[5] Changchuan Yin. Encoding and Decoding DNA Sequences by
Integer Chaos Game Representation. Journal of Computational
Biology Volume 26, Number 0, 2019.
[6] Almeida, J.S, Analysis of genomic sequences by chaos game
representation. Bioinformatics 17: 429-437, et al. 2001.