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Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 1 EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL 1. RMC es una empresa pequeña que produce diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materia primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza para el hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base de disolvente de mezclan tres materia primas, según apara ce en la siguiente tabla. NECESIDADES DE MATERIA PRIMA POR TONALADA Producto Materia Prima 1 2 3 Aditivo para combustible 2/5 0 3/5 Base disolvente 1/2 1/5 3/10 Utiliza ½ toneladas de materia prima 1 en cada tonelada de base de disolvente. La producción de RMC está limitada por la disponibilidad de las tres materia primas. Para el período de producción actual, RMC tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materia primas Materia Prima Cantidades disponibles para la producción Materia prima 1 20 toneladas Materia Prima 2 5 toneladas Materia prima 3 21 toneladas Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para producción actual resulta inútil y debe descartarse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a precios que resultarán en una contribución a la utilidad de 40 dólares por tonelada de aditivo para combustible producida y de 30 dólares por cada tonelada de base disolvente producido. La administración de RMC, después de una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. El problema de RMC es determinar cuántas tonelada de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total de la utilidad. Si Ud. Estuviera a cargo de la programación de la producción para RMC. ¿qupe decisión tomaría? Esto es, ¿Cuántas tonaladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 2 de base disolvente produciría usted para el período actual de producción? Escriba sus decisiones abajo y encuentre sus resultados.1 Solución: Diseño del modelo matemático: Definición de variables X1 = número de toneladas de aditivo para combustible X2 = número de toneladas de base disolvente Función objetivo: Maximizar la contribución a la utilidad, Z = 40 X1 + 30 X2 Restricciones Toneladas de materia prima 1 2/5X1 + 1/2X2 ≤ 20 Toneladas de materia prima 2 1/5X2 ≤ 5 Toneladas de materia prima 3 3/5X1 + 3/10X2 ≤ 21 No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Entrada de datos para Solver Salida de resultados 1 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 220. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 3 Informe del problema: Orden de producción: 25 toneladas de aditivo 20 toneladas de base disolvente con: 20 toneladas de materia prima 1, 4 toneladas de materia prima 2, y 21 toneladas de materia prima 3 2. Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia de inversión se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo, a Innis se le ha autorizado invertir hasta 1’200.00 dólares en fondos de inversión: un fondo de acciones y un fondo del mercado de dinero. Cada unidad del fondo de acciones cuesta 50 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta 100 dólares, con una tasa de rendimiento anual de 4%. El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la inversión de por lo menos 60.000 dólares. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo del Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo del 8, y cada unidad adquirida en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice de riesgo más elevado con el fondo de acciones indica, simplemente que se trata de un a inversión más riesgosa. El cliente de Innis también ha especificado que se inviertan por lo menos 3.000 dólares en el fondo de mercado de dinero. ¿Cuántas de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esa cartera?2 Solución: Diseño del modelo matemático: Definición de variables X1 = número de unidades adquiridas en el fondo de acciones X2 = número de unidades adquiridas en el fondo del mercado de dinero Función objetivo: Minimizar el riesgo, Z = 8 X1 + 3 X2 Restricciones Fondos disponibles 50X1 + 100X2 ≤ 1’200.000 Ingreso anual 5 X1 + 4X2 ≥ 60.000 Unidades en fondo 100X2 ≥ 3.000 2 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 242. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 4 No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Entrada de datos para Solver Datos de salida del Solver Informe de asesoría: Innis Investments aconseja al cliente que adquiera 400 unidades a 50 dólares cada una en Acciones y 10.000 unidades a 100 dólares cada en el mercado de dinero para obtener una ganancia de 62.000 dólares al año. 3. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la utilidad por bolsa. Tiempo de producción Utilidad por Corte y Costura Terminado Inspección Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 5 Producto teñido y empaque Bolsa Estándar 7/10 1/2 1 1/10 $10 Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9 El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo determinado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) Si la empresa desea maximizar la contribución total a la utilidad,¿Cuántas bolsas de cada modelo deberá fabricar? b) ¿Qué contribución a la utilidad puede obtener PAR de estas cantidades de producción? c) ¿Cuántas horas de producción se programarán para cada operación? d) ¿Cuál es el tiempo de holgura de cada operación?3 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo Función Objetivo Z max = 10X1 + 9X2 Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 35 Horas de Inspección y Empaque No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución gráfica: 3 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 264. Problema 15. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 6 Entrada de datos Solver: Solución Solver: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 7 a) Debe fabricar 539,98 bolsas de golf estándar y 252,01 bolsas de golf de Lujo. b) Contribución total = $ 7.667,942 c) Se programarán 620 horas de Corte y Teñido, 480.02 horas de Costura, 708 horas de Terminado y 117 horas de Inspección y Empaque. d) Los tiempos de holgura son de 119.98 para Costura y 18 horas para Inspección y Empaque. Las operaciones de Corte y Teñido, y Terminado no tienen holgura. 4. PAR es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyo distribuidor lo convenció de que existe un mercado tanto para la bolsa de golf de precio medio, conocida como modelo estándar, como para una bolsa de golf de precio elevado, conocida como modelo Deluxe. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que si PAR puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, el distribuidor está de acuerdo en adquirir todas las bolsas que PAR pueda fabricar en los siguientes tres meses. Un análisis cuidadoso de los requerimientos de fabricación dieron como resultado la tabla siguiente, que muestra las necesidades de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación por parte del departamento de contabilidad de la contribución a la unidad por bolsa. Producto Tiempo de producción Utilidad por Bolsa Corte y teñido Costura Terminado Inspección y empaque Estándar 7/10 1/2 1 1/10 $10 Deluxe 1 5/6 2/3 1/4 $9 El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. Resuelva el problema descrito y luego responda a las siguientes preguntas: a) El departamento de contabilidad revisa su estimación de contribución a la utilidad para la bolsa Deluxe a 18 dólares por bolsa. b) Aparece disponible una nueva materia prima de bajo costo para la bolsa estándar, y la contribución a la unidad por la bolsa estándar puede incrementarse a 20 dólares por bolsa. (suponga que la contribución a la utilidad por la bolsa Deluxe es el valor original de 9 dólares) c) Se puede obtener nuevo equipo de costura que incrementará la capacidad de operación de costura a 750 horas.(suponga que 10X1 + 9X2 es la función objetivo apropiada) Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 8 Si cada una de estas situaciones se encuentra por separado, ¿Cuál sería la solución óptima y la contribución total a la utilidad?4 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de bolsas de golf estandar X2 = Cantidad de unidades de bolsas de golf de lujo Función Objetivo Z max = 10X1 + 9X2 Restricciones 0.7X1 + 1.0X2 ≤ 630 Horas de Corte y teñido 0.5X1 + 0.8334X2 ≤ 600 Horas de Costura 1.0X1 + 0.6667X2 ≤ 708 Horas de Terminado 0.1X1 + 0.25X2 ≤ 135 Horas de Inspección y Empaque No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 4 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 265. Problema 16. 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200 0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 490 525 560 595 630 665 700 X2 X1 : 0.7000 X1 + 1.0000 X2 = 630.0000 : 0.5000 X1 + 0.8334 X2 = 600.0000 : 1.0000 X1 + 0.6667 X2 = 708.0000 : 0.1000 X1 + 0.2500 X2 = 135.0000 Payoff: 10.0000 X1 + 9.0000 X2 = 7667.9417 Optimal Decisions(X1,X2): (539.9842, 252.0110) : 0.7000X1 + 1.0000X2 <= 630.0000 : 0.5000X1 + 0.8334X2 <= 600.0000 : 1.0000X1 + 0.6667X2 <= 708.0000 : 0.1000X1 + 0.2500X2 <= 135.0000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 9 Entrada de datos Solver: Solución Solver: a) b) Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 10 c) La solución óptima es la alternativa b) donde se incrementa la contribución a la utilidad de las bolsas estándar a $20 y su contribución total es de $ 14.160 fabricando sólo bolsas de golf estándar. 5. Kelson Sporting Equipment fabrica dos modelos de guantes de béisbol: uno normal y una manopla de catcher. La empresa tiene disponibles 900 horas de tiempo de producción en su departamento y corte y costura, 300 horas disponibles en el departamento de terminado y 100 horas disponibles en el departamento de empaque y embarque. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad de cada uno de losa productos es: Modelo Tiempo de producción(horas) Utilidad por Guante Corte y costura Terminado Empaque y embarque Normal 1 1/2 1/8 $5 Catcher 3/2 1/3 1/4 $8 Suponga que la empresa está interesada en maximizar la contribución total de la utilidad. a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b) Encuentre la solución óptima. ¿Cuántos guantes de cada modelo deberá fabricar Kelson? Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 11 c) ¿Cuál es la contribución total a la utilidad que puede ganar Nelson con las cantidades de producción arriba citadas? d) ¿Cuántas horas de producción serían programadas en cada departamento? e) ¿Cuál es el tiempo libre de cada departamento?5 Solución: a) Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de guantes de Béisbol normal X2 = Cantidad de guantes de Béisbol tipo Manopla Función Objetivo Z max = 5X1 + 8X2 RestriccionesX1 + 1.5X2 ≤ 900 horas de Corte y Costura 0.5X1 + 0.3334X2 ≤ 300 horas de Terminado 0.125X1 + 0.25X2 ≤ 100 horas de Empaque y Embarque No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 5 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 266. Problema 22. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 12 Datos de entrada de Solver: Salida del Solver: 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 960 1020 1080 1140 1200 0 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 490 525 560 595 630 665 700 X2 X1 : 1.0 X1 + 1.5 X2 = 900.0 : 0.5 X1 + 0.3 X2 = 300.0 : 0.1 X1 + 0.3 X2 = 100.0 Payoff: 5.0 X1 + 8.0 X2 = 3699.9 Optimal Decisions(X1,X2): (500.0, 150.0) : 1.0X1 + 1.5X2 <= 900.0 : 0.5X1 + 0.3X2 <= 300.0 : 0.1X1 + 0.3X2 <= 100.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 13 6. George Johnson heredó recientemente una gran suma de dinero; desea utilizar parte de este dinero para establecer un fideicomiso para sus dos hijos. El fideicomiso tiene dos opciones de inversión: (1) un fondo de bonos y (2) un fondo de acciones. Los rendimientos proyectados durante la vida de las inversiones son 6% para el fondo de bonos y 10% para el de acciones. Independientemente de la porción de la herencia que finalmente decida comprometer al fideicomiso, desea invertir por lo menos 30% de dicha cantidad en el fondo de bonos. Además, desea seleccionar una combinación que le permita obtener un rendimiento total de por lo menos 7.5%. a) Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para determinar el porcentaje que debe asignarse a cada una de las posibles alternativas de inversión. b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver6 Solución: Definición de variables X1 = cantidad de dinero invertido en fondo de bonos X2 = cantidad de dinero invertido en fondo de acciones Función Objetivo Zmax = 1X1 + 1X2 Restricciones X1 ≥ 30% (100) inversión en fondo de bonos 6% X1 + 10% X2 ≥ 7.5% (100) rendimiento total X1 + X2 ≤ 100 relación entre inversiones No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Datos entrada Solver 6 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 266. Problema 23. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 14 Resultados del Solver: Solución gráfica: 7. El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cual es la mejor forma de asignar un prosupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 15 periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el auditorio? a) Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición total del auditorio. b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica y por solver7 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos X2 = Cantidad de dólares asignados a radio Función Objetivo Zmax= 50X1 + 80X2 Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicos X2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radio X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 7 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 266. Problema 24. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 16 8. Invesment Advisors es una empresa de corretaje que administra carteras de valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes: Acción Precio por Acción Rendimiento anual estimado por acción Índice de riego U.S. OIL $25 $3 0.50 Hub Properties $50 $5 0.25 El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que U.S. OIL es la inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000 acciones para los valores U.S. OIL más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cada uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar en rendimiento anual total?8 Solución: 8 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 267. Problema 25. 0 33 66 99 132 165 198 231 264 297 330 363 396 429 462 495 528 561 594 627 660 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 X2 X1 : 0.75 X1 - 0.25 X2 = 0.00 : -0.25 X1 + 0.75 X2 = 0.00 : 1.00 X1 - 2.00 X2 = 0.00 : 1.00 X1 + 2.00 X2 = 1000.00 Payoff: 50.00 X1 + 80.00 X2 = 46000.00 Optimal Decisions(X1,X2): (600.00, 200.00) : 0.75X1 - 0.25X2 >= 0.00 : -0.25X1 + 0.75X2 >= 0.00 : 1.00X1 - 2.00X2 >= 0.00 : 1.00X1 + 2.00X2 <= 1000.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 17 Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de acciones en U.S.Oil X2 = Cantidad de acciones en Hub Properties Función Objetivo Z max = 3X1 + 5X2 Restricciones 0.50X1 + 0.25X2 ≤ 700 por riesgo X1 ≤ 1000 inversión en U.S. OIL 25X1 + 50X2 = 80.000 inversiónen acciones No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solucion GLP Datos de entrada SOLVER 0 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 980 0 79 158 237 316 395 474 553 632 711 790 869 948 1027 1106 1185 1264 1343 1422 1501 1580 X2 X1 : 0.50 X1 + 0.25 X2 = 700.00 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 1000.00 : 25.00 X1 + 50.00 X2 = 80000.00 Payoff: 3.00 X1 + 5.00 X2 = 8400.00 Optimal Decisions(X1,X2): (800.00, 1200.00) : 0.50X1 + 0.25X2 <= 700.00 : 1.00X1 + 0.00X2 <= 1000.00 : 25.00X1 + 50.00X2 <= 80000.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 18 PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS Acciones U.S.Oil HUB Cantidad 1 1 max Contrib. Utilidad 3 5 8 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Riesgo 0,5 0,25 0,75 ≤ 700 699,25 En U.S.Oil 1 1 ≤ 1000 999 Inversión 25 50 75 ≤ 80000 79925 Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO INVESTMENT ADVISORS Acciones U.S.Oil HUB Cantidad 800 1200 max Contrib. Utilidad 3 5 8400 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Riesgo 0,5 0,25 700 ≤ 700 -7,4E-10 En U.S.Oil 1 800 ≤ 1000 200 Inversión 25 50 80000 ≤ 80000 -7,3E-08 9. Tom’s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México. Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’s determinar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad. b. Haga una gráfica de la región factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar las coordenadas de cada punto extremo. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 19 d. Encuentre la solución óptima9 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods X2 = Cantidad de tarros de salsa México City Función Objetivo Z max = (1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 + (1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2 Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2 Z max = 1X1 + 1.25X2 Restricciones 5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución con GLP 9 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 267. Problema 26. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 20 Datos entrada SOLVER Planificación para Tom’s SALSA Western Foods México City Cantidad de tarros 1 1 Max Utilidad 1 1.25 2.25 Restricciones Utilizado Límite No utiliz tomates enteros 5 7 12 ≤ 4480 4468 salsa de tomate 3 1 4 ≤ 2080 2076 pasta de tomate 2 2 4 ≤ 1600 1596 Salida de datos SOLVER Planificación para Tom’s SALSA Western Foods México City Cantidad de tarros 560 240 Max Utilidad 1 1.25 860 1 50 99 148 197 246 295 344 393 442 491 540 589 638 687 736 785 834 883 932 981 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 X2 X1 : 5.00 X1 + 7.00 X2 = 4480.00 : 3.00 X1 + 1.00 X2 = 2080.00 : 2.00 X1 + 2.00 X2 = 1600.00 Payoff: 1.00 X1 + 1.25 X2 = 860.00 Optimal Decisions(X1,X2): (560.00, 240.00) : 5.00X1 + 7.00X2 <= 4480.00 : 3.00X1 + 1.00X2 <= 2080.00 : 2.00X1 + 2.00X2 <= 1600.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 21 Restricciones Utilizado Límite No utiliz tomates enteros 5 7 4480 ≤ 4480 -6.2E-09 salsa de tomate 3 1 1920 ≤ 2080 160 pasta de tomate 2 2 1600 ≤ 1600 -3.7E-09 10. El editor de producción de Rayburn Publishing Company tiene 1.800 páginas de manuscrito que debe ser revisadas. Debido al poco tiempo involucrado, sólo hay dos revisores disponibles Erhan Mergen y Sue Smith. Erhan tiene diez días disponibles y Sue doce días. Erhan puede procesar 100 páginas de manuscrito por día, y Sue 150 páginas diarias. Rayburn Publishing Company ha desarrollado un índice para medir la calidad general de un revisor en una escala de 1 (peor) a 10 (mejor). La calidad de Erhan es 9 y la de Sue es 6, además, Erhan cobra 3 dólares por página de manuscrito revisado, Sue cobra 2 dólares por página. Se ha asignado un presupuesto de $4.800 para la revisión, ¿cuántas páginas deben ser asignadas a cada revisor para completar el proyecto con la calidad más elevada posible?10 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = cantidad de páginas revisadas por Erhan X2 = cantidad de páginas revisadas por Sue Función Objetivo Z max = 9X1 + 6X2 Restricciones 3X1 + 2X2 ≤ 4.800 presupuesto X1 + X2 = 1.800 número de páginas X1/100 ≤ 10 días disponibles de Erhan X2/150 ≤ 12 días disponibles de Sue No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 10 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 267. Problema 27. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 22 Datos de entrada SOLVER Páginas revisadas Ehran Sue Cantidad 1 1 Max Calidad 9 6 15 Restricciones Utilizado Limite No utiliz Presupuesto 3 2 5 ≤ 4800 4795 Horas Ehran 1 1 ≤ 1000 999 Horas Sue 1 1 ≤ 1800 1799 Núm. Páginas 1 1 2 ≤ 1800 1798 Salida SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO RAYBURN Páginas revisadas Ehran Sue Cantidad 1000 800 Max Calidad 9 6 13800 Restricciones Utilizado Limite No utiliz Presupuesto 3 2 4600 ≤ 4800 200 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720780 840 900 960 1020108011401200 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 X2 X1 : 3.0 X1 + 2.0 X2 = 4800.0 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1000.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 1800.0 Payoff: 9.0 X1 + 6.0 X2 = 13800.0 Optimal Decisions(X1,X2): (1000.0, 800.0) : 3.0X1 + 2.0X2 <= 4800.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 1000.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 1800.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 23 Horas Ehran 1 1000 ≤ 1000 -1,1E-10 Horas Sue 1 800 ≤ 1800 1000 Núm. Páginas 1 1 1800 ≤ 1800 -4,2E-09 11. Car Phones vende dos modelos de teléfono para automóvil: X y Y Los registros muestran que se utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada modelo de teléfono X vendido, y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono de modelo Y. Están disponibles un total de 600 horas de venta para el siguiente período de cuatro semanas. Además, las políticas de planeación de la administración exigen metas mínimas de ventas de 25 unidades, tanto para el X como para el Y. a. Muestre la región factible b. Si la empresa obtiene una contribución a la utilidad de 40 dólares por cada modelo X vendido y una contribución a la utilidad de 50 dólares por cada modelo Y vendido. ¿Cuál es la meta óptima de ventas para la empresa durante el período de 4 semanas? c. Desarrolle una restricción y muestre la región factible si la administración agrega la restricción que Car Phones debe vender por lo menos tantos teléfonos Y como teléfonos X. d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si al problema se le agrega la restricción del inciso (c)?11 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Número de unidades de teléfonos modelo X X2 = Número de unidades de teléfonos modelo Y Función Objetivo Zmax = 40X1 + 50X2 Restricciones 3X1 + 5X2 ≤ 600 horas de venta disponibles X1 ≥ 25 meta mínima de venta X2 ≥ 25 meta mínima de venta No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 11 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 268. Problema 28. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 24 Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION DE CAR PHONES Teléfono Modelo X Modelo Y Cantidad 1 1 Max Utilidad 40 50 90 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Horas disp. 3 5 8 ≤ 600 592 Venta min X 1 1 ≥ 25 -24 Venta min Y 1 1 ≥ 25 -24 Datos de Salida SOLVER PLANIFICACION DE CAR PHONES Teléfono Modelo X Modelo Y Cantidad 158,3333 25 Max Utilidad 40 50 7583,333 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Horas disp. 3 5 600 ≤ 600 -1,4E-09 Venta min X 1 158,3333 ≥ 25 133,3333 Venta min Y 1 25 ≥ 25 2,64E-12 2 2 X2 X1 : 3.0 X1 + 5.0 X2 = 600.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 25.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 25.0 Payoff: 40.0 X1 + 50.0 X2 = 7583.3 Optimal Decisions(X1,X2): (158.3, 25.0) : 3.0X1 + 5.0X2 <= 600.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 25.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 25.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 25 12. Greentree Kennels proporciona alojamiento por una noche para mascotas. Una característica particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas, incluyendo una excelente alimentación. La comida para perros de la perrera se elabora mezclado dos alimentos de marca para perros a fin de obtener lo que la perrera identifica como una “dieta para perros bien balanceada”. Los datos para las dos comidas con las siguientes: Comida Costo/onza Proteínas % Grasa % Bark Bits 0.06 30 15 Canine Chow 0.05 20 30 Si Greentree desea asegurarse de que los perros reciban por lo menos 5 onzas de proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día, ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo de los alimentos para perros?12 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de comida Bark Bits X2 = Cantidad de onzas de comida Canine Chow Función Objetivo Zmin = 0.06X1 + 0.05X2 Restricciones 0.3X1 + 0.2X2 ≥ 5 contenido de proteínas 0.15 X1 + 0.3 X2 ≥ 3 contenido de grasas No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 12 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 269. Problema 34. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 26 Entrada de datos SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels Comida Bark Bits Canine Chow Cantidad 1 1 Min Calidad 0,06 0,05 0,11 Restricciones Utilizado Limite No utiliz Proteinas 0,3 0,2 0,5 ≥ 5 4,5 Grasas 0,15 0,3 0,45 ≥ 3 2,55 Salida de datos SOLVER PLANIFICACIÓN TRABAJO Greentree Kennels Comida Bark Bits Canine Chow Cantidad 15 2,5 Min Calidad 0,06 0,05 1,025 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 X2 X1 : 0.30 X1 + 0.20 X2 = 5.00 : 0.15 X1 + 0.30 X2 = 3.00 Payoff: 0.06 X1 + 0.05 X2 = 1.02 Optimal Decisions(X1,X2): (15.00, 2.50) : 0.30X1 + 0.20X2 >= 5.00 : 0.15X1 + 0.30X2 >= 3.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 27 Restricciones Utilizado Limite No utiliz Proteinas 0,3 0,2 5 ≥ 5 -3,3E- 12 Grasas 0,15 0,3 3 ≥ 3 -2,2E- 12 13. La New England Cheese Company produce dos quesos crema mezclando quesos chedar tanto suave como extrafuerte. Los quesos crema se empacan en recipientes de 12 onzas, que después se venden a distribuidores en todo el noroeste. La mezcla Regular contiene 80% de chedar suave y 20% de extrafuerte y la mezcla Zesty contiene 60% de chedar suave y 40% de extrafuerte. Este año, una cooperativa lechera local ha ofrecido entregar hasta 8.100 libras de queso chedar a $1.20 por libra y hasta 3.000 libras de queso chedar extrafuerte a $1.40 por libra. El costo de mezclar y empacar estos quesos crema, excluyendo el costo del queso mismo, es de $0.20 por recipiente. Si cada recipiente de Regular se vente a $1.95 y cada recipiente Zesty se vende a $2.20. ¿Cuántos recipientes deberá producir New England Cheese de Regular y Zesty?13 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Regular X2 = Cantidad (en miles) de recipientes de queso Zesty Función Objetivo Zmax = (1.95 – 0.20 - 0.80*0.75*1.20 – 0.60*0.75*1.40)X1 + (2.20 – 2.0 – 0.20*0.75*1.20 – 0.40*0.75*1.40)X2 Zmax = 0.40X1 + 1.40X2 Restricciones 0.80*0.75X1 + 0.60*0.75X2 ≤ 8,1 queso chedar suave 0.20*0.75X1 + 0.40*0.75X2 ≤ 3,0 queso chedar extrafuerte No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP13 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 269. Problema 35. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 28 Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO en New England Cheese Company Recipientes queso Regular Zesty Cantidad en miles 1 1 max Utilidad 0,4 1,4 1,8 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Queso Ch. suave 0,8 0,6 1,4 ≤ 10,8 9,4 Tiempo prod. min 0,2 0,4 0,6 ≤ 4 3,4 Datos de salida SOLVER Recipientes queso Regular Zesty Cantidad en miles 0 10 max Utilidad 0,4 1,4 14 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Queso Ch. suave 0,8 0,6 6 ≤ 10,8 4,8 Tiempo prod. min 0,2 0,4 4 ≤ 4 -5,5E-12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X2 X1 : 0.8 X1 + 0.6 X2 = 10.8: 0.2 X1 + 0.4 X2 = 4.0 Payoff: 0.4 X1 + 1.4 X2 = 14.0 Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 10.0) : 0.8X1 + 0.6X2 <= 10.8 : 0.2X1 + 0.4X2 <= 4.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 29 14. Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo de cereal. Cereal Fibra dietética (gramos) Grasas (gramos) Proteínas (gramos) A 2 2 4 B 1.5 3 3 Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8 gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del nuevo producto al menor costo posible. a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas. ¿Cuál sería el costo del paquete?14 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de cereal A X2 = Cantidad de onzas de cereal B Función Objetivo Zmin = 0.02X1 + 0.025X2 Restricciones 2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas X1 + X2 = 1 onzas 14 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 269. Problema 36. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 30 No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP Datos entrada SOLVER Planificacion de Healthtech Foods Cereal A B Cantidad en onzas 1 1 min Costo 0,02 0,025 0,045 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz fibra dietética 2 1,5 3,5 ≥ 1,7 1,8 por grasas 2 3 5 ≤ 2,8 -2,2 por proteinas 4 3 7 ≤ 3,6 -3,4 Datos salida SOLVER Planificacion de Healthtech Foods Cereal A B Cantidad en onzas 0,85 0 min 0 1 0 1 X2 X1 : 2.000 X1 + 1.500 X2 = 1.700 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 2.800 : 4.000 X1 + 3.000 X2 = 3.600 Payoff: 0.020 X1 + 0.025 X2 = 0.017 Optimal Decisions(X1,X2): (0.850, 0.000) : 2.000X1 + 1.500X2 >= 1.700 : 2.000X1 + 3.000X2 <= 2.800 : 4.000X1 + 3.000X2 <= 3.600 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 31 Costo 0,02 0,025 0,017 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz fibra dietética 2 1,5 1,7 ≥ 1,7 9,12E- 13 por grasas 2 3 1,7 ≤ 2,8 1,1 por proteinas 4 3 3,4 ≤ 3,6 0,2 15. MD Chemical produce dos productos que se venden como materia prima para empresas fabricantes de jabones para baño, detergentes para lavandería y otros productos de jabón. Apoyándose en un análisis de los niveles actuales de inventarios y de la demanda potencial para el mes siguiente, la administración de MD ha especificado que la producción total de los productos 1 y 2 combinados debe ser de por lo menos 350 galones. Además debe cumplir con un pedido de un cliente de importancia de 125 galones del producto 1. El tiempo de procesado del producto 1 requiere dos horas por galón, y del producto 2 requiere de una hora; para el mes siguiente, hay disponibilidades de 600 horas de proceso. Los costos de producción son 2 dólares por galón del producto 1 y 3 dólares del producto 2. a. Determine las cantidades de producción que satisfagan los requisitos especificados al costo mínimo. b. ¿Cuál es el costo total del producto? c. Identifique la cantidad de cualquier producción excedente.15 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de galones del producto 1 X2 = Cantidad de galones de producto 2 Función Objetivo Zmin = 2X1 + 3X2 Restricciones X1 + X2 ≥ 350 galones producidos X1 ≥ 125 pedido de un cliente 2X1 + 1X2 ≤600 horas de proceso No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 15 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 270. Problema 37. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 32 Datos entrada SOLVER Planificacion de 55. M&D Chemical Producto 1 2 Cantidad galones 1 1 min Costo 2 3 5 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Galones producidos 1 1 2 ≥ 350 -348 Pedido cliente 1 1 ≥ 125 124 Horas proceso 2 1 3 ≤ 600 597 Datos salida SOLVER Planificacion de M&D Chemical Producto 1 2 Cantidad galones 250 100 min Costo 2 3 800 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 0 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264 286 308 330 352 374 396 418 440 X2 X1 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 350.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 125.0 : 2.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0 Payoff: 2.0 X1 + 3.0 X2 = 800.0 Optimal Decisions(X1,X2): (250.0, 100.0) : 1.0X1 + 1.0X2 >= 350.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 125.0 : 2.0X1 + 1.0X2 <= 600.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 33 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Galones producidos 1 1 350 ≥ 3508,11E-10 Pedido cliente 1 250 ≥ 125 -125 Horas proceso 2 1 600 ≤ 600 -2,9E-10 16. Photo Chemicals produce dos tipos de fluido para revelado fotográfico. Ambos productos le cuestan a la empresa un dólar por galón producirlos. Con base e una análisis de niveles actuales de inventario y en las órdenes en mano para el mes siguiente, la administración de Photo Chemicals ha decidido que durante las siguientes dos semanas se produzcan por los menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. También ha dicho la administración que en el transcurso de las siguientes dos semanas debe utilizarse el inventario existente de una materia prima muy perecedera necesaria en la producción de ambos fluidos. El inventario actual de esta materia prima muy perecedera es de 80 libras. Aunque de ser necesario se puede ordenar más de esta materia prima, cualquier parte del inventario actual no utilizada se echará a perder dentro de las siguientes dos semanas; de ahí el requerimiento de la administración de que por lo menos se utilicen las 80 libras en las siguientes dos semanas. Además, el producto 1 requiere de una libra de esta materia prima perecedera por galón, y el producto 2 requiere 2 libras de la materia prima por galón. Dado que el objetivo de la administración es mantener los costos de producción al mínimo nivel posible, están buscando un plan de producción de costo mínimo que utilice la totalidad de las 80 libras de la materia prima perecedera y que obtenga por lo menos 30 galones del producto 1 y por lo menos 20 galones del producto 2. ¿Cuál es la solución de costo mínimo?16 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de galones de fluido tipo 1 X2 = Cantidad de galones de fluido tipo 2 Función Objetivo Zmin = X1 + X2 Restricciones X1 ≥ 30 producción mínima de producto 1 X2 ≥ 20 producción mínima de producto 2 X1 + 2X2 ≥ 80 libras de materia prima No negatividad Xi ≥0; i=1,2 16 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 270. Problema 38. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 34 Solucion GLP 17. Bryant’s Pizza es un productor de pizzas congeladas. La empresa tiene una utilidad de un dólar por cada pizza normal que produzca y de 1.5 dólares por cada pizza de lujo. Cada pizza incluye una combinación de pasta de harina y de mezcla de relleno. Actualmente la empresa tiene 150 libras de mezcla de pasta y de 50 libras de mezcla de relleno. Cada pizza normal utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 4 onzas de mezcla de pasta de relleno. Cada pizza de lujo utiliza una libra de mezcla de pasta de harina y 8 onzas de mezcal de relleno. Con base en la demanda del pasado, Bryant puede vender por lo menos 50 pizzas normales y por lo menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas normales y de lujo deberá fabricar la empresa para maximizar la utilidad? a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b. Escriba este programa lineal en su forma estándar. c. Encuentre la solución óptima. d. ¿Cuáles son los valores e interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente? e. ¿Qué restricciones están asociadas con recursos limitantes?17 Solución: Formulación del modelo: 17 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 270. Problema 39. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 X2 X1 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 30.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0 : 1.0 X1 + 2.0 X2 = 80.0 Payoff: 1.0 X1 + 1.0 X2 = 60.0 Optimal Decisions(X1,X2): (40.0, 20.0) : 1.0X1 + 0.0X2 >= 30.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 20.0 : 1.0X1 + 2.0X2 <= 80.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 35 Definición de variables X1 = Cantidad de Pizzas Normales X2 = Cantidad de Pizzas De Lujo Función Objetivo Zmax = 1X1 + 1.5X2 Restricciones X1 + X2 ≤ 150 pasta de harina 0.25X1 + 0.5X2 ≤ 50 pasta de relleno X1 ≥ 50 venta de pizzas Normales X2 ≥ 25 venta de pizzas De Lujo No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA Pizzas Normal Lujo Cantidad 1 1 max 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 X2 X1 : 1.00 X1 + 1.00 X2 = 150.00 : 0.25 X1 + 0.50 X2 = 50.00 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 50.00 : 0.00 X1 + 1.00 X2 = 25.00 Payoff: 1.00 X1 + 1.50 X2 = 175.00 Optimal Decisions(X1,X2): (100.00, 50.00) : 1.00X1 + 1.00X2 <= 150.00 : 0.25X1 + 0.50X2 <= 50.00 : 1.00X1 + 0.00X2 >= 50.00 : 0.00X1 + 1.00X2 >= 25.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 36 Utilidad 1 1,5 2,5 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Pasta harina 1 1 2 ≤ 150 148 Relleno 0,25 0,5 0,75 ≤ 50 49,25 Pizzas Normales 1 1 ≥ 50 -49 Pizzas Lujo 1 1 ≥ 25 -24 Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO BRYANT'S PIZZA Pizzas Normal Lujo Cantidad 100 50 max Utilidad 1 1,5 175 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Pasta harina 1 1 150 ≤ 150 -3,4E-10 Relleno 0,25 0,5 50 ≤ 50 -6E-11 Pizzas Normales 1 100 ≥ 50 50 Pizzas Lujo 1 50 ≥ 25 25 18. English Motors, Ltd. (EML), ha desarrollado un nuevo vehículo deportivo de utilería, con tracción en la cuatro llantas. Como parte de la campaña de mercadotecnia, EML ha desarrollado una presentación de ventas en video cinta que se enviará tanto a propietarios de vehículos de tracción en las cuatro ruedas EML actuales, como a propietarios de vehículos utilitarios deportivos de cuatro ruedas ofrecidos por los competidores EML se refiere a estos dos mercados objetivo como mercado de clientes actual y mercado de clientes nuevo. Los individuos que reciban el nuevo video promocional también recibirán un cupón para un recorrido de prueba del nuevo modelo EML, durante un fin de semana. Un factor clave en el éxito de esta nueva promoción es la tasa de respuesta, es decir el porcentaje de individuos que reciban la nueva promoción y hagan el recorrido de prueba del nuevo modelo, EML estima que la tasa de respuesta para el mercado de clientes actual es de 25% y para el mercado de cliente nuevo es de 20%. La tasa de ventas es el porcentaje de individuos que reciba la nueva promoción, haga el recorrido de prueba y efectúe la compra. Los estudios de investigación de mercado indican que la tasa de ventas el de 12% para el mercado de clientes actual y de 20% para el mercado de clientes nuevo. El costo de cada promoción, excluyendo los costos de recorrido de prueba, es de 5 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes actual y de 4 dólares por cada promoción enviada al mercado de clientes nuevo. La administración también ha decidido que se deberá enviar la nueva promoción a un mínimo d 30.000 clientes actuales y a un mínimo de 10.000 clientes nuevos. Además, el número de clientes actuales que haga el recorrido de prueba del Investigación Operativa IProgramación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 37 nuevo vehículo debe ser de por lo menos el doble del número de clientes nuevos que hagan recorrido de prueba del nuevo vehículo. Si el presupuesto de mercadotecnia, incluyendo los costos del recorrido de prueba, es de 1’200.000 dólares, ¿Cuántas promociones deberán ser enviadas a cada grupo de clientes para maximizar las ventas totales?18 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de promociones enviadas a clientes actuales X2 = Cantidad de promociones enviadas a clientes nuevos Función Objetivo Zmax = 0.12*5X1 + 0.20*4X2 Restricciones X1 ≥ 30.000 clientes actuales X2 ≥ 10.000 clientes nuevos 0.25X1 ≥ 2*0.20X2 relación entre clientes que responden a la promoción 5X1 + 4X2 ≤1’200.000 presupuesto No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2 Solución GLP 18 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 274. Problema 61. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 38 Datos de entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD. Promociones Clientes Actuales Clientes Nuevos Cantidad en miles 1 1 max Ventas 0,6 0,8 1,4 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Clientes actuales 1 1 ≥ 30 29 Clientes nuevos 1 1 ≥ 10 9 Relacion clientes 0,25 -0,4 -0,15 ≥ 0 -0,15 Presupuesto 5 4 9 ≤ 1200 -1191 Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO ENGLISH MOTOR LTD. Promociones Clientes Actuales Clientes Nuevos Cantidad en miles 160 100 max Ventas 0,6 0,8 176 0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273 X2 X1 : 1.00 X1 + 0.00 X2 = 30.00 : 0.00 X1 + 1.00 X2 = 10.00 : 0.25 X1 - 0.40 X2 = 0.00 : 5.00 X1 + 4.00 X2 = 1200.00 Payoff: 0.60 X1 + 0.80 X2 = 176.00 Optimal Decisions(X1,X2): (160.00, 100.00) : 1.00X1 + 0.00X2 >= 30.00 : 0.00X1 + 1.00X2 >= 10.00 : 0.25X1 - 0.40X2 >= 0.00 : 5.00X1 + 4.00X2 <= 1200.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 39 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Clientes actuales 1 160 ≥ 30 -130 Clientes nuevos 1 100 ≥ 10 -90 Relacion clientes 0,25 -0,4 -1,1E-11 ≥ 0 -1,1E-11 Presupuesto 5 4 1200 ≤ 1200 2,78E-09 19. Creative Sports Designs (CSD) fabrica raquetas de tamaño estándar y extragrande. Las raquetas de la empresa son extremadamente ligeras, debido a uso de una aleación de magnesio y grafito inventada por el fundador de la empresa. Cada raqueta de tamaño estándar utiliza 0,125 kilos de aleación y cada raqueta extragrande utiliza 0,4 kilos; para el siguiente período de producción de dos semanas sólo hay disponibles 80 kilos de aleación. Cada raqueta de tamaño estándar ocupa 10 minutos de tiempo de fabricación y cada raqueta de tamaño extragrande ocupa 12 minutos. Las contribuciones a la utilidad son de 10 dólares por cada raqueta estándar y de 15 dólares por cada raqueta extragrande y están disponibles 40 horas de tiempo de producción por semana. La administración ha especificado que por lo menos 20% de la producción total debe ser de raqueta de tamaño estándar. ¿Cuántas raquetas de cada tipo deberá fabricar CSD en las dos semanas siguientes, a fin de maximizar la contribución a la utilidad? Suponga que, debido a la naturaleza única de sus productos, CSD puede vender tantas raquetas como pueda producir.19 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de raquetas estandar X2 = cantidad de unidades de raquetas extra grande Función Objetivo Zmax = 10X1 + 15X2 Restricciones 0.125X1 + 0.4X2 ≤ 80 kilos de aleación 10X1 + 12X2 ≤ 40*60 minutos de tiempo de producción X1 ≥ 0.20(X1 + X2) No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución GLP 19 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 274. Problema 62. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 40 Datos entrada SOLVER PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs Raquetas Estandar Extra G Cantidad 1 1 max Contrib. Utilidad 10 15 25 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Kilos aleación 0,125 0,4 0,525 ≤ 80 79,475 Tiempo prod. min 10 12 22 ≤ 2400 2378 20% prod estand 0,8 -0,2 0,6 ≥ 0 0,6 Datos salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO 59. Creative Sports Designs Raquetas Estandar Extra G Cantidad 41,37931 165,5172 max Contrib. Utilidad 10 15 2896,552 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Kilos aleación 0,125 0,4 71,37931 ≤ 80 8,62069 Tiempo prod. min 10 12 2400 ≤ 2400 3,03E-10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 X2 X1 : 0.125 X1 + 0.400 X2 = 80.000 : 10.000 X1 + 12.000 X2 = 2400.000 : 0.800 X1 - 0.200 X2 = 0.000 Payoff: 10.000 X1 + 15.000 X2 = 2896.551 Optimal Decisions(X1,X2): (41.379, 165.517) : 0.125X1 + 0.400X2 <= 80.000 : 10.000X1 + 12.000X2 <= 2400.000 : 0.800X1 - 0.200X2 >= 0.000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 41 20% prod estand 0,8 -0,2 9,03E-11 ≥ 0 9,03E-11 20. La administración de High Tech Service (HTS) desea desarrollar un modelo que le ayude a asignar el tiempo de sus técnicos entre llamada de servicio por contrato a clientes tanto normales como nuevos. En el período de planeación de dos semanas hay disponible un máximo de 80 horas de tiempo de técnico. A fin de satisfacer los requisitos de flujo de caja, deben generarse por lo menos 800 dólares de ingresos (por técnico) durante el período de dos semanas. El tiempo de técnico para los clientes normales genera 25 dólares por hora, pero para clientes nuevos sólo genera un promedio de 8 dólares la hora, porque en muchos casos el contacto con el cliente no llega a generar servicios facturables. Para asegurarse de que se mantienen contactos nuevos, el tiempo de técnico utilizado en contactos con clientes nuevos debe ser por lo menos 60% del tiempo utilizado en contactos con clientes normales. Para los requerimientos de ingresos y políticas enunciadas, HTS desearía determinar cómo asignar el tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos, a fin de maximizar el número total de clientes en contacto durante el período de dos semanas. Los técnicos requieren un promedio de 50 minutos por cada contacto de cliente normal y de una hora por cada contacto con cliente nuevo. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a HTS asignar el tiempo de los técnicos entre clientes normales y nuevos. b. Haga una gráfica de la región factible c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los valores de X1 y X2 en cada punto extremo de la región factible.d. Encuentre la solución óptima20 REFERENCIA: Página 274 Problema 63. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Numero de horas de técnico asignado a clientes normales X2 = Numero de horas de técnico asignado a clientes nuevos Función Objetivo Zmax = 60X1/50+ 60X2/60 número de clientes Restricciones X1 + X2 ≤ 80 horas disponibles de técnico X2 ≥ 0.6X1 relación de tiempo de técnico 25X1 + 8X2 ≥ 800 ingresos en dólares No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2 20 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 274. Problema 63. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 42 Solución GLP Entrada de datos SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service Horas de trabajo Clientes normales Clientes nuevos Cantidad horas 1 1 max Número clientes 1.2 1 2.2 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Horas disponibles 1 1 2 ≤ 80 78 Relación tiempo -0.6 1 0.4 ≥ 0 -0.4 Ingresos 25 8 33 ≥ 800 -767 Datos de salida SOLVER PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service Horas de trabajo Clientes normales Clientes nuevos Cantidad horas 50 30 max Número clientes 1.2 1 90 0 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 0 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273 X2 X1 : 1.00 X1 + 1.00 X2 = 80.00 : -0.60 X1 + 1.00 X2 = 0.00 : 25.00 X1 + 8.00 X2 = 800.00 Payoff: 1.20 X1 + 1.00 X2 = 90.00 Optimal Decisions(X1,X2): (50.00, 30.00) : 1.00X1 + 1.00X2 <= 80.00 : -0.60X1 + 1.00X2 >= 0.00 : 25.00X1 + 8.00X2 >= 800.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 43 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Horas disponibles 1 1 80 ≤ 80 -1.8E-10 Relación tiempo -0.6 1 -2.2E-11 ≥ 0 2.18E-11 Ingresos 25 8 1490 ≥ 800 690 21. Jackson Hole Manufacturing es un pequeño fabricante de productos de plástico que se utilizan en las industrias automotrices y de computación. Tiene un importante contrato con una empresa de computadoras que implica la producción de cajas de plástico para las impresoras portátiles de dicha empresa. Las cajas de impresora se producen en dos máquinas de moldeo por inyección. La máquina M100 tiene una capacidad de producción de 20 cajas de impresora por hora y la máquina M200 tiene una capacidad de 40 cajas por hora. Ambas máquina utilizan la misma materia prima química para producir las cajas de impresora.; la M100 utiliza 40 libras de materia prima por hora, y la M200 utiliza 50 por hora. La empresa de computadoras le ha pedido a Jackson Hole que produzca tantas cajas durante la semana que sigue como sea posible, y la ha dicho que le pagará 18 dólares por cada caja que pueda entregar. Sin embargo, la siguiente semana es un período normal de vacaciones programadas para la mayor parte de los empleados de producción de Jackson Hole. Durante este tiempo, se efectúa el mantenimiento anual de todo el equipo de la planta. Debido al tiempo parado para mantenimiento, la M100 no estará disponible durante más de 15 horas y la M200 durante más de 10 horas. Sin embargo, en razón del elevado costo de preparación involucrado en ambas máquinas, la administración requiere que, si el programa de producción en cualquiera de estas máquinas, la máquina deberá operar por lo menos durante 5 horas. El proveedor de la materia química utilizada en el proceso de producción le ha informado a Jackson Hole que tendrá disponible un máximo de 1.000 libras de la materia prima para la producción de la siguiente semana. El costo de la materia prima es de 6 dólares por libra. Además del costo de la materia prima, Jackson Hole estima que el costo horario de operación de la M100 y la M200 son de 50 y 75 dólares, respectivamente. a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para maximizar la contribución de la utilidad. b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.21 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Numero de horas de trabajo de maquina M100 X2 = Numero de horas de trabajo de maquina M200 Función Objetivo Zmax = (20X1*18 – 40X1*6 – 50X1) + (40X2*18 – 50X2*6 – 75X2) 21 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 275. Problema 64. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 44 Zmax = (360 – 240 – 50)X1 + (720 – 300 – 75)X2 Zmax = 70X1 + 345X2 Restricciones X1 ≤ 15 horas máximas de trabajo M100 X2 ≤ 10 horas máximas de trabajo de M200 X1 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M100 X2 ≥ 5 horas mínimas de trabajo de M200 40X1 + 50X2 ≤ 1000 libras de materia prima disponibles No negatividad Xi ≥ 0; i=1,2 Solución GLP Datos entrada SOLVER 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 X2 X1 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 15.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 5.0 : 0.0 X1 + 2.0 X2 = 5.0 : 40.0 X1 + 50.0 X2 = 1000.0 Payoff: 70.0 X1 + 345.0 X2 = 4325.0 Optimal Decisions(X1,X2): (12.5, 10.0) : 1.0X1 + 0.0X2 <= 15.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 5.0 : 0.0X1 + 2.0X2 >= 5.0 : 40.0X1 + 50.0X2 <= 1000.0 PLANIFICACION TRABAJO High Tech Service Horas de trabajo Maquina M100 Maquina M200 Cantidad horas 1 1 max Contrib. utilidad 70 345 415 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Horas max M100 1 0 1 ≤ 15 14 Horas max M200 0 1 1 ≤ 10 9 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 45 Datos de salida SOLVER Horas de trabajo Maquina M100 Maquina M200 Cantidad horas 12.5 10 max Contrib. utilidad 70 345 4325 Restricciones Utilizado Límite No Utiliz Horas max M100 1 0 12.5 ≤ 15 2.5 Horas max M200 0 1 10 ≤ 10 -9.9E-13 Horas min M100 1 0 12.5 ≥ 5 7.5 Horas min M200 0 1 10 ≥ 5 5 Libras disponibles 40 50 1000 ≤ 1000 -1.5E-09 22. Electronic Comunications fabrica radios portátiles que pueden utilizarse en comunicaciones de dos vías. El nuevo producto de la empresa que tiene un rango de hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Los canales de distribución para el nuevo radio son: 1. distribuidores de equipo marino, 2. distribuidores de equipo de oficina, 3. cadenas nacionales de tiendas al menudeo, 4. pedidos por correo. Debido a diferentes costos de distribución y promocionales, la reditualidad del producto variará según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requerido también variarán de acuerdo con los canales de distribución. La tabla siguiente resume la distribución de la utilidad,el costo de publicidad y los datos de esfuerzo de ventas personales correspondientes al problema de Electronic Comunications. La empresa a formulado un presupuesto de publicidad de 5.000 dólares, y está disponible un máximo de 1800 horas de la fuerza de ventas para asignar al esfuerzo de ventas. Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al menudeo requiere que por lo menos de distribuyan 150 unidades a través de este canal de distribución. Datos de Utilidades, costos y esfuerzo del personal de ventas para Electronic Canal de distribución Utilidades por unidad vendida Costo de publicidad por unidad vendida Esfuerzo del personal de ventas por unidad vendida Distrib. Marinos $90 $10 2 horas Horas min M100 1 0 1 ≥ 5 -4 Horas min M200 0 1 1 ≥ 5 -4 Libras disponibles 40 50 90 ≤ 1000 910 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 46 Distrib. de oficinas $84 $8 3 horas Tiendas nacionales $70 $9 3 horas Pedidos por correo $60 $15 Ninguna Electronic Comunications ahora se enfrenta al problema de establecer un estrategia de distribución para los radios, que maximice la reditualidad general de la producción de nuevos radios. Debe tomarse decisiones en relación con cuantas unidades deben asignarse a cada uno de los cuatro canales de distribución, así como asignar el presupuesto de publicidad y el esfuerzo de la fuerza de ventas a cada uno de los canales de distribución.22 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipo marino X2 = Numero de radios asignados a distribuidores de equipos de oficina X3 = Numero de radios asignados a cadenas nacionales de tiendas X4 = Numero de radios asignados a pedidos por correo Función Objetivo Zmax = 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4 Restricciones 10X1 + 8X2 + 9X3 + 15X4 ≤ 5.000 por presupuesto 2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1.800 horas de esfuerzo en ventas X3 ≥ 150 unidades mínimas para cadenas nacionales No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos de entrada SOLVER ELECTRONIC COMUNICATION Radios asignados a Distribuidores Cadenas nacionales de tiendas pedidos por correo Equipo Marino Equipos de Oficina Número de Radios 1 1 1 1 Max Utlidades 90 84 70 60 304 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Presupuesto 10 8 9 15 42 ≤ 5000 4958.00 Esfuerzo laboral 2 3 3 8 ≤ 1800 1792.00 Contrato cadena nacion 1 1 ≥ 150 -149.00 22 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 298. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 47 Datos de salida SOLVER ELECTRONIC COMUNICATION Radios asignados a Distribuidores Cadenas nacionales de tiendas pedidos por correo Equipo Marino Equipos de Oficina Número de Radios 10.71429 442.85714 150 0 Max Utlidades 90 84 70 60 48664.29 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Presupuesto 10 8 9 15 5000 ≤ 5000 0.00 Esfuerzo laboral 2 3 3 1800 ≤ 1800 0.00 Contrato cadena nacion 1 150 ≥ 150 0.00 23. National Insurance Associates mantiene una cartera de inversiones en acciones, bonos y otras alternativas de inversión. Actualmente hay fondos disponibles por 200.000 dólares y deben ser tomados en consideración para nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de valores que National está considerando así como los datos financieros relevantes correspondientes son los que siguen: Acción Datos financieros A B C D Precio por acción ($) 100 50 80 40 Tasa anual de rendimiento 0.12 0.08 0.06 0.10 Medida de riego por dólar 0.10 0.07 0.05 0.08 La medida de riesgo indica la incertidumbre relativa asociada con la acción, en función de su capacidad de alcanzar su rendimiento anual proyectado; valores más elevados indican mayor riesgo. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. La administración general de National ha estipulado las siguientes vías de acción para las inversiones: 1. La tasa de rendimiento anual de la cartera debe ser por lo menos 9% 2. Ninguno de los valores puede representar más del 50% de la inversión total en dólares. a. Utilice la programación lineal para desarrollar una cartera de inversiones que minimice el riesgo. b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión, ¿Cuál sería la cartera de inversiones? Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 48 c. ¿Cuál es la diferencia en dólares entre las carteras de inversiones de los incisos (a) y (b)? ¿Por qué preferiría la empresa la solución desarrollada en el inciso (a)23 REFERENCIA: Página 316 Problema 16. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Anderson Sweeney Willams. Editorial Thomson. Solución a): Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de acciones asignados a opción A X2 = Cantidad de acciones asignados a opción B X3 = Cantidad de acciones asignados a opción C X4 = Cantidad de acciones asignados a opción D Función Objetivo Zmin = 10X1 + 3.5X2 + 4.0X3 + 3.2X4 Restricciones 100X1 + 50X2 + 80X3 + 40X4 ≤ 200.000 dólares disponibles 12X1 + 4.0X2 + 4.8X3 + 4.0X4 ≥ 0.09*200.000 rendimiento 100X1 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X1 50X2 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X2 80X3 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X3 40X4 ≤ 0.5*200.000 inversión máxima de X4 No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos entrada SOLVER National Insurance Associates Accionea asignadas a Acciones A B C D Cantidad 1 1 1 1 Min Riesgo 10 3.5 4 3.2 20.7 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Dólares disponibles 100 50 80 40 270 ≤ 200000 199730.00 Rendimiento annual 12 4 4.8 4 24.8 ≥ 18000 -17975.20 Invesión máx en A 100 100 ≤ 100000 99900.00 Invesión máx en B 50 50 ≤ 100000 99950.00 Invesión máx en C 80 80 ≤ 100000 99920.00 Invesión máx en D 40 40 ≤ 100000 99960.00 23 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 316. Problema 16. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 49 Resultados del SOLVER National Insurance Associates Accionea asignadas a Acciones A B C D Cantidad 333.3333 0 833.333333 2500 Min Riesgo 10 3.5 4 3.2 14666.67 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Dólares disponibles 100 50 80 40 200000 ≤ 200000 0.00 Rendimiento annual 12 4 4.8 4 18000 ≥ 18000 0.00 Invesión máx en A 100 33333.33 ≤ 100000 66666.67 Invesión máx en B 50 0 ≤ 100000 100000.00 Invesión máx en C 80 66666.67 ≤ 100000 33333.33 Invesión máx en D 40 100000 ≤ 100000 0.00 24. La administración de Carson Stapler Manufacturing Company pronostica para el trimestre que viene una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold. Esta engrapadorase ensambla a partir de tres componentes principales: la base, el cartucho de grapa y la manija. Hasta ahora Carson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo volumen máximo de venta y la empresa quizá no tenga suficiente capacidad de producción para la fabricación de todos los componentes. La administración está pensando contratar una empresa maquiladora local para producir por lo menos una parte de los componentes. Los requisitos de tiempos de producción por unidad son como sigue: Tiempo de producción (horas) Tiempo disponible (horas) Departamento Base Cartucho Manija A 0.03 0.02 0.05 400 B 0.04 0.02 0.04 400 C 0.02 0.03 0.01 400 Note que cada componente fabricado por Carson ocupa tiempo de producción en cada uno de los tres departamentos. Después de tomar en consideración los gastos generales, las materias primas y los costos de mano de obra de la empresa, el departamento de contabilidad ha llegado al costo unitario, en dólares, de manufactura de cada componente. Estos datos junto con las cotizaciones de la empresa maquiladora de los precios de compra, en dólares, son como sigue: Componente Costo de manufactura Costo de adquisición Base 0.75 0.95 Cartucho 0.40 0.55 Manija 1.10 1.40 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 50 a. Determine cuál sería la decisión de fabricar o comprar para Carson, que haga que pueda cumplirse la demanda de 5000 unidades a un costo total mínimo. De cada componente, ¿Cuántas unidades deberán ser fabricadas y cuantas deberán ser adquiridas? b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de fabricación? Si pudiera considerarse tiempo extraordinario a un costo adicional de $3 la hora, ¿Qué departamento o departamentos deberían ser motivo de tiempo extra? Explique. c. Suponga que en el departamento A se pueden programar hasta 80 horas de tiempo extra. ¿Qué recomendaría usted?24 Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X11 = Numero de bases para grapadoras producidas X12 = Numero de cartuchos para grapadoras producidos X13 = Numero de manijas producidas para grapadoras producidas X21 = Numero de bases para grapadoras adquiridas X22 = Numero de cartuchos para grapadoras adquiridos X23 = Numero de manijas para grapadoras adquiridas Función Objetivo Zmin = 0.75X11 + 0.40X12 + 1.10X13 + 0.95X21 + 0.55X22 + 1.40X23 Restricciones 0.03X11 + 0.02X12 + 0.05X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. A 0.04X11 + 0.02X12 + 0.04X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. B 0.02X11 + 0.03X12 + 0.01X13 ≤ 400 horas disponibles Dep. C X11 + X21 = 5.000 cantidad de bases X12 + X22 = 5.000 cantidad de cartuchos X13 + X23 = 5.000 cantidad de manijas No negatividad Xij ≥0; i=1,2; j=1,3 Datos de entrada SOLVER Carson Stapler Manufacturing Company Unidades de Producidas Adquiridas Grapas Cartuchos Manijas Grapas Cartuchos Manijas Cantidad 1 1 1 1 1 1 Min Costos 0.75 0.4 1.1 0.95 0.55 1.4 5.15 24 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 316. Problema 17. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 51 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Horas Departamento A 0.03 0.02 0.05 0.1 ≤ 400 399.90 Horas Departamento B 0.04 0.02 0.04 0.1 ≤ 400 399.90 Horas Departamento C 0.02 0.03 0.01 0.06 ≤ 400 399.94 Cantidad de bases 1 1 2 = 5000 4998.00 Cantidad de cartuchos 1 1 2 = 5000 4998.00 Cantidad de manijas 1 1 2 = 5000 4998.00 Datos de salida de SOLVER Carson Stapler Manufacturing Company Unidades de Producidas Adquiridas Grapas Cartuchos Manijas Grapas Cartuchos Manijas Cantidad 3750 5000 3750 1250 0 1250 Min Costos 0.75 0.4 1.1 0.95 0.55 1.4 11875 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Horas Departamento A 0.03 0.02 0.05 400 ≤ 400 0.00 Horas Departamento B 0.04 0.02 0.04 400 ≤ 400 0.00 Horas Departamento C 0.02 0.03 0.01 262.5 ≤ 400 137.50 Cantidad de bases 1 1 5000 = 5000 0.00 Cantidad de cartuchos 1 1 5000 = 5000 0.00 Cantidad de manijas 1 1 5000 = 5000 0.00 25. Golf Shafts (GSI) produce palos de grafito para varios fabricantes de palos de golf. Dos instalaciones de fabricación de GSI, una localizada en San Diego y otra en Tampa, tienen capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde modelos normales, principalmente utilizados por golfistas promedio, hasta modelos extrarígidos, utilizados principalmente por golfistas con bajo handicap y profesionales. GSI acaba de recibir un contrato para la producción de 200.000 palos normales y 75.000 rígidos. Dado que ambas plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con órdenes anteriores, ningún de las plantas tiene capacidad suficiente, por si misma, para llenar el nuevo pedido. La planta de San diego puede producir hasta un total de 120.000 palos, y la de Tampa, hasta un total de 180.000 palos de golf. Debido a diferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos, como se muestra a continuación: Costo de San Diego Costo de Tampa Palo normal $ 5.25 $ 4.95 Palo rígido $ 5.45 $ 5.70 a. Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en que GSI deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el costo total de producción. b. Utilice cualquier código de programación lineal para resolver el modelo desarrollado en el inciso (a) c. Suponga que algunas de las órdenes anteriores de la planta de Tampa podrían ser reprogramadas para liberar la capacidad adicional para esta nueva orden. ¿Merecería esto la pena? Explique. d. Suponga que el costo de producir un palo de golf rígido en Tampa fue incorrectamente calculado, y que el costo correcto es de 5.30 dólares por palo. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 52 ¿Qué efecto, si es que hubiera alguno, tendría lo anterior sobre la solución óptima desarrollada en el inciso (b)? ¿Qué efecto tendría lo anterior sobre el costo total de producción?25 Solución a): Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Numero de unid. de palos de golf normales fabricados en San Diego X2 = Numero de unid. de palos de golf extrarígidos fabricados en San Diego X3 = Numero de palos de golf normales fabricados en Tampa X4 = Numero de palos de golf extrarígidos fabricados en Tampa Función Objetivo Zmin = 5.25X1 + 5.45X2 + 4.95X3 + 5.70X4 Restricciones X1 + X3 = 200.000 palos de golf normales X2 + X4 = 75.000 palos de golf extrarígidos X1 + X2 ≤ 120.000 palos fabricados en San Diego X3 + X4 ≤ 180.000 palos fabricados en Tampa No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos de entrada SOLVER Golf Shafts (GSI) Palos de Golf San Diego Tampa Normales Extrarígid Normales Extrarígid Cantidad 1 1 1 1 Min Costos 5.25 5.25 4.95 5.7 21.15 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Palos normales 1 1 2 ≥ 200000 199998.00 Palos extrarígidos 1 1 2 ≥ 75000 74998.00 Fabric. San Diego 1 1 2 ≤ 120000119998.00 Fabric. Tampa 1 1 2 ≤ 180000 179998.00 Datos de salida SOLVER 25 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 317. Problema 18. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 53 26. La Pfeiffer Company administra aproximadamente 15 millones de dólares para sus clientes. Para cada Cliente, Pfeiffer escoge una mezcla de tres tipos de inversiones: un fondo de valores de crecimiento, un fondo de ingresos y un fondo de mercado de dinero. Cada cliente tiene objetivos de inversión distintos y diferentes tolerancias de riesgo. Para dar gusto a estas diferencias, Pfeiffer establece límites en cada cartera para los porcentajes que pueden ser invertidos en estos tres fondos y a cada cliente le asigna un índice de riesgo. Así como este sistema funciona para Dennos Hartmann, uno de los clientes de Pfeiffer Con base en una evaluación de la tolerancia al riesgo de Hartmann, Pfeiffer le ha asignado a la cartera de Hartmann un índice de 0.05. Además, para mantener cierta diversidad, la fracción de la cartera de Hartmann invertida en fondos de crecimiento y de ingresos debe ser por lo menos de 10% cada una y por lo menos 20% deberá estar invertido en fondos de mercado de dinero. Las evaluaciones de riego para los fondos de crecimiento, de ingresos y de mercado de dinero son respectivamente 0.10, 0.05 y 0.01. El índice de riesgo de cada una se calcula como el promedio ponderado de la valuaciones de riesgo de los tres fondos, donde los coeficientes de ponderación son iguales a la fracción de la cartera invertida en cada uno de los tres fondos. Hartmann le ha dado 300.000 dólares a Pfeiffer para su administración. Pfeiffer está pronosticando actualmente un rendimiento del 20% en el fondo de crecimiento, 10% en el fondo de ingresos y 6% en el fondo de mercad de dinero. a. Desarrolle un modelo de programación lineal para seleccionar la mejor mezcla de inversiones para el cartera Hartmann. b. Resuelva el modelo desarrollado en el inciso (a) c. ¿Cuánto pueden variar los rendimientos de los tres fondos, antes que Pfeiffer tenga que modificar la composición de la cartera de Hartmann? d. Si Hartmann fuera mas tolerante al riesgo. ¿qué aumento de rendimiento podría esperar? Por ejemplo, ¿Qué pasaría si su índice de riesgo de cartera aumentaría al 0.06? Golf Shafts (GSI) Palos de Golf San Diego Tampa Normales Extrarígid Normales Extrarígid Cantidad 20000 75000 180000 0 Min Costos 5.25 5.25 4.95 5.7 1E+06 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Palos normales 1 1 2E+05 ≥ 200000 0.00 Palos extrarígidos 1 1 75000 ≥ 75000 0.00 Fabric. San Diego 1 1 95000 ≤ 120000 25000.00 Fabric. Tampa 1 1 2E+05 ≤ 180000 0.00 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 54 e. Si Pfeiffer revisa hacia abajo su estimación de rendimiento para el fondo de crecimiento hasta 0.10, ¿Cómo recomendaría usted que se modificara la cartera de Hartmann? f. ¿Qué información debe mantener Pfeiffer sobre cada cliente para utilizar este sistema para la administración de las carteras de los clientes? g. En base semanaria Pfeiffer revisa las estimaciones de rendimiento de cada uno de los tres fondos. Suponga que Pfeiffer tiene 50 clientes. Describe la forma en que Pfeiffer podría ser modificaciones semanales en cada cartera de cliente, y asignar los fondos totales administrados entre los tres fondos de inversión.26 Solución a): Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a valores de crecimiento X2 = Cantidad de dólares asignados a ingresos X3 = Cantidad de dólares asignados a mercado de dinero Función Objetivo Zmax = 0.20X1 + 0.10X2 + 0.06X3 Restricciones X1 ≥ 0.10*300.000 para valores de crecimiento X2 ≥ 0.10*300.000 para ingresos X3 ≥ 0.20*300.000 para mercado de dinero X1 + X2 +X3 ≤ 300.000 cartera 0.10X1 + 0.05X2 + 0.01X3 ≤ 0.05*300.000 riesgo de cartera No negatividad Xi ≥ 0; i=1,3 Datos de entrada SOLVER La Pfeiffer Company Asignados a Crecimiento Ingresos Mercado Cantidad de dólares 1 1 1 Max Rendimiento 0.2 0.1 0.06 0.36 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Crecimiento 1 1 ≥ 30000 -29999.00 Ingresos 1 1 ≥ 30000 -29999.00 Mercado de dinero 1 1 ≥ 60000 -59999.00 Riesgo 0.1 0.05 0.01 0.16 ≤ 15000 14999.84 Cartera 1 1 1 3 ≤ 300000 299997.00 26 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 317. Problema 19 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 55 La Pfeiffer Company Asignados a Crecimiento Ingresos Mercado Cantidad de dólares 120000 30000 150000 Max Rendimiento 0.2 0.1 0.06 36000 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Crecimiento 1 1E+05 ≥ 30000 90000.00 Ingresos 1 30000 ≥ 30000 0.00 Mercado de dinero 1 2E+05 ≥ 60000 90000.00 Riesgo 0.1 0.05 0.01 15000 ≤ 15000 0.00 Cartera 1 1 1 3E+05 ≤ 300000 0.00 27. La Jolla Beverage Products está pensando en producir un refresco de vino, que sería mezcla de un vino blanco, de un vino rosado y de jugo de fruta. A fin de llenar las especificaciones de sabor, el refresco de vino debe estar hecho con por lo menos 50% de vino blanco, un mínimo de un 20% y no más de un 30% de rosado, y 20% de jugo de fruta. La Jolla adquiere el vino de los viñedos o lugares cercanos y el jugo de frutas de una planta procesadora en San Francisco. Para el período actual de producción, pueden adquirirse 10.000 galones de vino blanco y 8.000 galones de vino rosado, no hay límite en la cantidad de jugo de fruta que se puede pedir. El costo de los vinos es de un dólar por galón para el vino blanco y de 1.50 dólares por galón para el vino rosado; el jugo de fruta se puede adquirir a 0.50 por galón. La Jolla Beverage Products puede vender todo el refresco que pueda producir a 2.50 dólares por galón. a. ¿En esta situación, es el costo de vino y el costo de frutas un costo hundido, o uno relevante? Explique. b. Formule un programa lineal para determinar el número de galones que La Jolla Beverage Products deberá adquirir de cada ingrediente y la contribución a la utilidad total que obtendrán de esta mezcla. c. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino blanco, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada galón adicional, y cuantos galones adicionales desearía adquirir? d. Si La Jolla Beverage Products pudiera obtener cantidades adicionales de vino rosado, ¿debería hacerlo? De hacerlo, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar por cada galón adicional, y cuanto galones adicionales desearía adquirir? e. Interprete el precio dual para la restricción que corresponde al requisito de que el refresco de vino debe contener por lo menos 50% de vino blanco.¿Cual sería su consejo a la administración respecto a este precio dual? f. Interprete el precio dual de la restricción que correspóndela requisito de que al refresco de vino debe contener exactamente el 20% de jugo de frutas.¿Cual es su consejo a la administración respecto a este preciodual?27 27 Anderson Sweeney Willams. Métodos Cuantitativos para los Negocios. 7ma Edición. Editorial Thomson. Página 317. Problema 18. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 56 Solución b): Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de galones de vino blanco X2 = Cantidad de galones de vino rosado X3 = Cantidad de galones de jugo de frutas Función Objetivo Zmax = 2.5*(X1+X2+X3) – 1X1 – 1.5X2 -0.5X3 Restricciones X1 ≤ 10.000 cantidad máxima de vino blanco X2 ≤ 8.000 cantidad máxima de vino rosado X1 ≥ 0.5(X1 +X2 + X3) dosificación máxima de vino blanco X2 ≥ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación mínima de vino rosado X2 ≤ 0.3(X1 +X2 +X3) dosificación máxima de vino rosado X3 ≤ 0.2(X1 +X2 +X3) dosificación de jugo de frutas No negatividad Xi ≥ 0; i=1,3 Datos de entrada SOLVER La Pfeiffer Company Galones de Vino Blanco V. Rosado Frutas Cantidad 1 1 1 Max Utilidad 1.5 1 2 4.5 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Vino blanco 1 1 ≤ 10000 9999.00 Vino rosado 1 1 ≤ 8000 7999.00 Min. vino blanco 0.5 -1 -1 -1.5 ≥ 0 -1.50 Min. vino rosado -0.2 0.8 -0.2 0.4 ≥ 0 -0.40 Max. vino rosado -0.3 0.7 -0.3 0.1 ≤ 0 -0.10 Max. frutas -0.2 -0.2 0.8 0.4 ≤ 0 -0.40 Datos de salida SOLVER La Pfeiffer Company Galones de Vino Blanco V. Rosado Frutas Cantidad 10000 3000 2000 Max Utilidad 1.5 1 2 22000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 57 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Vino blanco 1 10000 ≤ 10000 0.00 Vino rosado 1 3000 ≤ 8000 5000.00 Min. vino blanco 0.5 -1 -1 1E-08 ≥ 0 0.00 Min. vino rosado -0.2 0.8 -0.2 6E-09 ≥ 0 0.00 Max. vino rosado -0.3 0.7 -0.3 -1500 ≤ 0 1500.00 Max. frutas -0.2 -0.2 0.8 -1000 ≤ 0 1000.00 28. El gerente de programación del Canal 10 desea determinar la mejor forma de asignar el tiempo para la difusión de las noticias vespertinas de las 11:00 a las 11:30. Específicamente le gustaría determinar el número de minutos de tiempo de difusión dedicado a noticias locales, noticias nacionales, el clima y los deportes. A lo largo de los 30 minutos de difusión, se reservan 10 minutos para nubilidad. La política de difusión indica que por lo menos 15% del tiempo disponible deberá dedicarse a cobertura de noticias locales el tiempo dedicado a noticias locales y nacionales deberá ser por lo menos 50% del tiempo total de difusión; el tiempo dedicado al segmento del clima deberá ser inferior o igual al tiempo que se dedique al segmento de deportes; el tiempo dedicado al segmento de deportes no deberá ser superior al tiempo total dedicado a noticias locales y nacionales; y por lo menos, 20% del tiempo deberá dedicarse al segmento del clima. Los costos de producción por minuto son de 300 dólares para noticias locales, 200 dólares para noticias nacionales, 100 dólares para el clima y 100 dólares para deportes. Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = número de minutos para noticias locales X2 = número de minutos para noticias nacionales X3 = número de minutos sobre clima X4 = número de minutos sobre deportes Función Objetivo Z min = 300X1 + 200X2 + 100X3 + 100X4 Restricciones X1 ≥ 15%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales X1 + X2 ≥ 50%(X1 + X2 + X3 + X4) tiempo noticias locales y nacionales X3 ≤ X4 tiempo de noticias del clima X4 ≤ (X1 + X2) tiempo para deportes X3 ≥ 20%(X1 + X2 + X3 +X4) tiempo para clima X1 +X2 + X3 + X4 = 20 tiempo disponible en minutos No negatividad Xi ≥ 0; i=1,4 Datos de entrada SOLVER PROGRAMACIÓN CANAL 10 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 58 MINUTOS en Noticias Locales Nacionales Clima Deportes Cantidad 1 1 1 1 Min Costos 300 200 100 100 700 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Noticias Locales 0,85 -0,15 -0,15 -0,15 0,4 ≥ 0 -0,40 Not. Locales y Nac 0,5 0,5 -0,5 -0,5 0 ≥ 0 0,00 Noticias Clima 1 -1 0 ≤ 0 0,00 Noticias Deportes 1 1 -1 1 ≥ 0 -1,00 Noticias Clima -0,2 -0,2 0,8 -0,2 0,2 ≥ 0 -0,20 Tiempo disponible 1 1 1 1 4 ≤ 20 16,00 Datos de salida SOLVER PROGRAMACIÓN CANAL 10 MINUTOS en Noticias Locales Nacionales Clima Deportes Cantidad 3 7 5 5 Min Costos 300 200 100 100 3300 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Noticias Locales 0,85 -0,15 -0,15 -0,15 -2E-12 ≥ 0 0,00 Not. Locales y Nac 0,5 0,5 -0,5 -0,5 9E-12 ≥ 0 0,00 Noticias Clima 1 -1 0 ≤ 0 0,00 Noticias Deportes 1 1 -1 5 ≥ 0 -5,00 Noticias Clima -0,2 -0,2 0,8 -0,2 1 ≥ 0 -1,00 Tiempo disponible 1 1 1 1 20 ≤ 20 0,00 29. Gulf Coast Electronics está listo para asignar contratos para la impresión de su informe anual. Durante los últimos años, un informe anual a cuatro colores ha sido impreso por Johnson Printing y Likeside Litho. Una nueva empresa, Benson Printing, ha inquirido sobre la posibilidad de efectuar una parte de la impresión. El nivel de calidad y servicio de Likeside Litho ha sido extremadamente elevado; de hecho sólo el 0,05% de sus informes tuvieron que ser descartados por problemas de calidad. Johnson Printing también ha tenido un nivel histórico elevado de calidad, produciendo un promedio de sólo 1% de informes no aceptables. Dado que la Gulf Coast Electronics no ha tenido experiencia con Benson Printing, ha estimado su tasa de defectos en 10%. A Gulf Coast Electronics le gustaría determinar cuantos informes deberán ser impresos por cada una de estas empresas, para obtener 75.000 informes de calidad aceptables. Para asegurarse de que Benson Printing recibirá una parte del contrato de la administración ha especificado que el número de informes asignados a Benson Printing deberá ser, por lo menos 10% del volumen que se asigne a Johnson Printing. Además el volumen total asignado a Benson Printing, Johnson Printing y Likeside Lithono deberá exceder 30.000, 50.000 y 50.000 ejemplares respectivamente. Debido a la larga relación desarrollada con Likeside Litho, la administración también ha indicado que a Likeside Litho se le deberá Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 59 asignar por lo menos 30.000 informes. El costo por ejemplar es de 2.45 dólares para Benson Printing, 2.50 dólares para Johnson Printing, y 2.75 dólares para Likeside Litho. a. Formule y resuelva un programa lineal para determinar cuántos ejemplares deberán asignarse a cada empresa impresora, para maximizar el costo total de obtener 75.000 informes de calidad aceptable. b. Suponga que el nivel de calidad de Benson Printing resulta mucho mejor a lo estimado. ¿Qué efecto, si es que existe alguno, tendría? c. Suponga que la administración está dispuesta a reconsiderar su requisito de que a Likeside Litho se le den por lo menos 30.000 informes.¿Que efecto, si es que hay alguno, tendría esto? Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = cantidad de ejemplares asignados a Litho X2 = cantidad de ejemplares asignados a JohnsonX3 = cantidad de ejemplares asignados a Benson Función Objetivo Zmax = 2.75X1 + 2.5X2 +2.45X3 Restricciones 99.5%X1 + 99%X2 + 90%X3 ≤ 75.000 ejemplares de buena calidad X3 ≥ 10%X2 asignación mínima Benson X3 ≤ 30.000 asignación max a Benson X2 ≤ 50.000 asignación max a Johnson X1 ≤ 50.000 asignación max a Litho X1 ≥ 30.000 asignación min a Litho No negatividad Xi ≥0; i=1,3 Datos entrada SOLVER PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics Ejemplares Litho Johnson Benson Cantidad 1 1 1 Max Costos 2,75 2,5 2,45 7,7 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 60 Ejemplares de calidad 0,995 0,99 0,9 2,885 ≤ 75000 74997,12 Johnson y Benson -0,1 1 0,9 ≥ 0 -0,90 Ejemplares Benson 1 1 ≤ 30000 - 29999,00 Ejemplares Johnson 1 1 ≤ 50000 49999,00 Ejemplares Litho 1 1 ≤ 50000 49999,00 Ejemplares Litho 1 1 ≥ 30000 -29999 Datos salida SOLVER PROGRAMACIÓN Gulf Coast Electronics Ejemplares Litho Johnson Benson Cantidad 50000 0 28055,6 Max Costos 2,75 2,5 2,45 206236 RESTRICCIONES USO DE RECUROS Utilizado LIMITE No utiliz Ejemplares de calidad 0,995 0,99 0,9 75000 ≤ 75000 0,00 Johnson y Benson -0,1 1 28055,6 ≥ 0 - 28055,56 Ejemplares Benson 1 28055,6 ≤ 30000 -1944,44 Ejemplares Johnson 1 0 ≤ 50000 50000,00 Ejemplares Litho 1 50000 ≤ 50000 0,00 Ejemplares Litho 1 50000 ≥ 30000 20000 30. Como una ilustración de la asignación de recursos que usa la programación lineal, considere el problema siguiente acerca de la planificación de producción en una tienda. La producción debe fijarse para dos tipos de máquinas, la maquina 1 y la máquina 2. Ciento veinte horas de tiempo enlatables pueden fijarse para máquina1, y 80 horas para máquina 2. La producción durante el periodo de planificación se limita a dos productos. A y B, cada unidad del producto A requiere 2 horas de tiempo del proceso en cada máquina. Cada unidad de producto que B requiere de 3 horas en la máquina 1 y de 1.5 horas en la máquina 2. El margen de la contribución es $4.00 por cada unidad de producto A y $5.00 por cada unidad de producto B. Ambos tipos de productos pueden comercializarse prontamente; por consiguiente, la producción debe fijarse con el objetivo de aumentar al máximo la ganancia.28 La formulación: Dado, X1 = número de unidades del producto A para producción X2 = número de unidades del producto B para producción Maximizar la contribución en la ganancia, Z = 4X1 + 5X2 28 Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 61 Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≤ 120 (recurso máquina 1) 2X1 + 1.5X2 ≤ 80 (recurso máquina 2) X1 ≥ 0 (no negatividad) X2 ≥ 0 (no negatividad) Datos de entrada para Solver Datos de salida del Solver Solución: opción b) Solución a) b) c) d) e) Z max 213.33 213.33 313.33 213.33 213.33 X1 20 20 25 15 20 X2 25 26.667 26.667 25 16.667 31. Para ilustrar un problema de la programación lineal en que el costo se minimiza, considere el problema que enfrenta el fabricante de metales. La empresa produce una aleación que es hecho de acero y metal de trozos. El costo por la tonelada de acero es $50 y el costo por la tonelada de trozo es de $20. Los requisitos tecnológicos para la aleación son (1) un mínimo de una tonelada de acero se Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 62 requiere para cada dos toneladas de trozo; (2) una hora de tiempo de procesamiento se requiere por cada tonelada de acero, y se requieren cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo; (3) el acero y el trozo se combinan linealmente para hacer la aleación. La pérdida en proceso del acero es 10 por ciento y la pérdida en proceso del trozo es 20 por ciento. Aunque la producción puede exceder la demanda, un mínimo de 40 toneladas de la aleación debe fabricarse. Para mantener el funcionamiento de la planta eficazmente, un mínimo de 80 horas de tiempo de procesamiento debe usarse. El suministro tanto de los trozos como del acero es adecuado para la producción de la aleación. El objetivo del fabricante es producir la aleación a un costo mínimo.29 La formulación matemática al problema de programación lineal puede plantearse de la siguiente manera Dado, X1 = número de toneladas de acero para producción de aleación X2 = número de toneladas de trozo para producción de aleación Minimizar el costo Z = 50X1 + 20X2 Análisis: (1) un mínimo de una tonelada de acero se requiere por cada dos toneladas de trozo ; ; X2 – 2X1 ≥ 0 ; 2X1 – X2 ≥ 0 (2) se necesitan una hora de procesamiento por cada tonelada de acero y cuatro horas de tiempo de procesamiento por cada tonelada de trozo y un mínimo de 80 horas 1X1 + 4X2 ≥ 80 (3) La pérdida en proceso es del 10% de acero y el 20% de trozo, demanda mínima d 40 toneladas de aleación rendimiento del acero (1-10%)X1 rendimiento del trozo (1-20%)X2 (1-10%)X1 + (1-20%)X2 ≥ 40 0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40 Sujeto a: 2X1 – X2 ≥ 0 (1) 1X1 + 4X2 ≥ 80 (2) 0.90X1 + 0.80X2 ≥ 40 (3) X1 ≥ 0 (no negatividad) 29 Sets, Matrices, and Linear Programming. Robert L. Childress 2 1 2 1 X X 12 2XX Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 63 X2 ≥ 0 (no negatividad) Datos de entrada para Solver Datos de salida del Solver Solución: opción a) Solución a) b) c) d) e) Z max 1.440 1.440 144 1.440 1.044 X1 16 32 16 15 32 X2 32 16 26.667 25 16.667 32. La Kenmore Corporation, un fabricante progresista de mecanismos civiles y militares, fabrica actualmente una línea de armas para civiles, con una producción actual diaria de 30 unidades del modelo Z-1200 y de 120 unidades del modelo Z- 1500. El vicepresidente de manufactura quiere saber si podría aumentarse las ganancias cambiando la mezcla de productos entre los dos modelos. Se compiló la Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 64 siguiente información sobre las horas requeridas para la fabricación de cada modelo y las capacidades de los departamentos de la fábrica.30 Departamentos Horas-Hombre requeridas Capacidad Departamental (horas diarias) Modelo Z- 1200 Modelo Z- 1500 Dep. 1 Dep. 2 Dep. 5 Dep. 4 2 0 2 1 1/5 0 3 2 1 1/2 300 540 440 300 Contribución por unidad $ 50 $ 40 Formulación del problema: X1 = Cantidad de unidades del modelo Z-1200 X2 = Cantidad de unidades del modelo Z-1500 Función Objetivo: Maximizar Z = 50 X1 + 40 X2 Restricciones: 2 X1 + 0 X2 ≤ 300 por Dep. 1 0 X1 + 3 X2 ≤ 540 por Dep. 2 2 X1 + 2 X2 ≤ 440 por Dep. 5 1.2 X1 + 1.5 X2 ≤ 300 por Dep. 4 Nonegatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2 Solución gráfica por computador (usando el GLP) 30 Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 273 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 65 Solución con SOLVER: Datos de entrada Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 66 Datos de salida: Producción Actual: Z = 50(30) + 40(120) = $ 6.300 Producción Nueva: Z = 50(150) + 40(70) = $ 10.300 Aumenta las ganancias en: 10.300 – 6.300 = $ 4.000 Respuestas múltiples: respuesta correcta d) a) aumenta las ganancias en $ 3.000 b) aumenta las ganancias en $ 6.300 c) aumenta las ganancias en $ 10.300 d) aumenta las ganancias en $ 4.000 e) no aumenta las ganancias Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 67 33. Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Toneladas de materia prima por tonelada de Disponibilidad máxima diaria en toneladas Pintura para exteriores Pintura para interiores Materia prima, M1 Materia prima, M2 6 1 4 2 24 6 Utilidad por tonelada (1000 dólares) $ 5 $ 4 Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (la mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad diaria total.31 Formulación del problema: Definición de variables: X1 = Número de toneladas de Pintura para Exteriores X2 = Número de toneladas de Pintura para Interiores Función objetivo: Maximizar Z = 5.000 X1 + 4.000 X2 Restricciones 6 X1 + 4 X2 ≤ 24 por disp. Materia prima M1 1 X1 + 2 X2 ≤ 6 por disp. Materia prima M2 0 X1 + 1 X2 ≤ 2 máximo diario de pint. Int. -1X1 + 1 X2 ≤ 1 demanda diaria No negatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2 31 Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 11 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 68 Solución gráfica por computador (usando el GLP) Solución con SOLVER: Datos de entrada Datos de salida: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 69 Solución: Producir diariamente 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores, para producir una ganancia máxima de $ 21.000,00 Solución múltiple: respuesta correcta c) Rubro Respuestas a b c d e Pint. Ext (ton) 1.5 3.0 3.0 1.5 3.5 Pint. Int (ton) 3.0 1.5 1.5 1.5 2.0 Ganan. max.($) 21.000 20.000 21.000 20.000 21.000 34. Ozark Farms utiliza diariamente 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones: Libra por libra de alimento para ganado Costo (/libra) Proteínas Fibra Maíz Semilla de Soya 0.09 0.60 0.02 0.06 0.30 0.90 Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan que por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.32 Formulación del problema: Definición de variables: X1 = Cantidad de libras de Maíz X2 = Cantidad de libras de Semilla de Soya 32 Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 18 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 70 Función Objetivo: Minimizar Z = 0.30 X1 + 0.90 X2 Restricciones: 0.09 X1 + 0.60 X2 ≥ 0.30*(X1 + X2) por proteínas 0.02 X1 + 0.06 X2 ≤ 0.05*(X1 + X2) por fibra X1 + X2 ≥ 800 producción No negatividad: X i ≥ 0; i = 1, 2 Solución gráfica por computador (usando el GLP) Solución con SOLVER: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 71 Datos de entrada Datos de Salida: Solución: 470.59 libras de maíz, 329.41 libras de semilla de soya costo mínimo del alimento: 437.65 por día. Solución múltiple: respuesta correcta b) a) $ 457.65 por día b) $ 437.65 por día c) $ 417.65 por día d) $ 517.65 por día e) $ 537.65 por día 35. Jack es un estudiante emprendedor de primer año de la UTE. Comprende que “sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Jack un muchacho aburrido”. Como resultado de esto, Jack quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Jack comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 72 ¿Cómo debe distribuir Jack su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo como en el juego?33 Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de horas de juego X2 = número de horas de trabajo Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + X2 Restricciones: X1 + X2 = 10 disponibilidad de tiempo X2 ≥ X1 X1 – X2 ≤ 0 trabajar por lo menos tanto como juega X1 ≤ 4 límite de juego No negatividad Xi ≥ 0; i= 1, 2 Solución GLP Datos de Entrada Solver 33 Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 18 X2 X1 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 10.0: 1.0 X1 - 1.0 X2 = 0.0: 1.0 X1 + 0.0 X2 = 4.0Payoff: 2.0 X1 + 1.0 X2 = 14.0 Optimal Decisions(X1,X2): ( 4.0, 6.0) : 1.0X1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0X1 - 1.0X2 <= 0.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 4.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 73 Datos de Salida Solver Juega cuatro horas y trabaja 6 horas. Solución múltiple:respuesta correcta d) Rubro Respuestas a b c d e Juega 1.5 3.0 3.0 4.0 6.0 Trabaja 3.0 6.0 6.0 6.0 2.0 Satisfacción max 14.0 20.0 14.0 14.0 21.000 36. John debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 John puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo salario por hora. De manera que John quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, John calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores des estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, él supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 74 número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?34 Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de horas de trabajo en la tienda 1 X2 = número de horas de trabajo en la tienda 2 Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 6X2 Restricciones: X1 ≥ 5 X1 ≤ 12 X2 ≥ 6 X2 ≤ 10 X1 + X2 ≥ 20 No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 Solución GLP 34 Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X2 x1 : 1.0 x1 + 0.0 X2 = 5.0 : 1.0 x1 + 0.0 X2 = 12.0 : 0.0 x1 + 1.0 X2 = 6.0 : 0.0 x1 + 1.0 X2 = 10.0 : 1.0 x1 + 1.0 X2 = 20.0 Payoff: 8.0 x1 + 6.0 X2 = 140.0 Optimal Decisions(x1,X2): (10.0, 10.0) : 1.0x1 + 0.0X2 >= 5.0 : 1.0x1 + 0.0X2 <= 12.0 : 0.0x1 + 1.0X2 >= 6.0 : 0.0x1 + 1.0X2 <= 10.0 : 1.0x1 + 1.0X2 >= 20.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 75 Datos de entrada Solver Datos de salida Solver Solución: John debe trabajar 10 horas a la semana en la tienda 1 y 10 horas en la tienda 2 Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Respuestas a b c d e Tienda 1 11 10 10 10 10 Tienda 2 11 10 6.0 10 10 Estrés min 14.0 20.0 14.0 140 21.000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 76 37. La Dumont Company, fabricante de equipo de pruebas, tiene tres departamentos principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S- 2000. Las capacidades mensuales son las siguientes: Requerimientos unitarios de tiempo (horas) Departamentos Modelo S-1000 Modelo S- 2000 Horas disponibles en el presente mes De Estructura principal 4 2 1600 De Alambrado eléctrico 2.5 1 1200 De Ensamble 4.5 1.5 1600 La contribución del modelo S-1000 es de $ 40 000 por unidad, y la del modelo S- 2000 es de $ 10 000 por unidad. Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de cada uno de sus productos, debido a las condiciones favorables de mercado. Determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución más alta posible para el presente mes y el tiempo sobrante en los tres departamentos.35 Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de unidades del modelo S-1000 X2 = número de unidades del modelo S-2000 Función objetivo: Maximizar Z = 40.000X1 + 10.000X2 Restricciones 4X1 + 2X2 ≤ 1600 Dep. de Estructuras 2.5X1 + 1X2 ≤ 1200 Dep. alambrado eléctrico 4.5X1 + 1.5X2 ≤ 1600 Dep. ensamblaje No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 Solución GLP 35 Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 273 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 77 Datos entrada para Solver Datos salida del Solver 221 229 237 245 253 261 269 277 285 293 301 309 317 325 333 341 349 357 365 373 381 389 397 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 X2 X1 : 4.0 X1 + 2.0 X2 = 1600.0 : 2.5 X1 + 1.0 X2 = 1200.0 : 4.5 X1 + 1.5 X2 = 1600.0 Payoff: 40.0 X1 + 10.0 X2 = 14222.2 Optimal Decisions(X1,X2): (355.6, 0.0) : 4.0X1 + 2.0X2 <= 1600.0 : 2.5X1 + 1.0X2 <= 1200.0 : 4.5X1 + 1.5X2 <= 1600.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 78 Fabricar 355,5 unidades del Modelo S-1000 solamente para producir un beneficio de $14 222,20 Si la restricción es fabricar componentes completos, fabricar 355 unidades del modelo S-1000 y 1 unidad del modelo S-2000 para producir un beneficio de $ 14 210,00 Solución múltiple: respuesta correcta b) Rubro Respuestas a b c d e Modelo S-1000 255.5 355.5 355.5 350 350 Modelo S-2000 0.0 0.0 10.0 6.0 10.0 Contribución max 14.210 14.222,2 14.222,2 14.220 14.222,2 38. La Cincinnati Chemical Company debe producir 10 000 libras de una mezcla especial para un cliente. La mezcla se compone de los ingredientes: X1, X2 y X3. X1 cuesta $8/libra, X2 $ 10/libra y X3 $ 11/libra. No pueden usarse mas de 3 000 libras de X1 y por lo menos deberían usarse 1 500 libras de X2. Además se requieren por lo menos 2 000 libras de X3. a) Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear. A fin de reducir la mínimo el costo total de las 10 000 libras. b) Calcúlese el costo total más bajo posible. c) ¿Hay libras sobrantes en el problema? 36 (Ref: Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Thierauf. Limusa. Pag 274) Formulación del problema Definición de variables X1 = número de libras del ingrediente X1 36 Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 274 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 79 X2 = número de libras del ingrediente X2 X3 = número de libras del ingrediente X3 Función objetivo: Minimizar Z = 8X1 + 10X2 + 11X3 Restricciones: X1 + X2 + X3 = 10.000 cantidad de producción X1 ≤ 3.000 cantidad de X1 X2 ≥1.500 cantidad de X2 X3 ≥ 2.000 cantidad de X3 No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3 Datos entrada para Solver Datos de salida del Solver Solución: a) X1= 3000 libras X2= 5000 libras X3= 2000 libras b) Costo más bajo = $ 96 000,00 c) Debo utilizar 3500 libras más de X2 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página:80 Solución múltiple: respuesta correcta d) Rubro Respuestas a b c d e Ingrediente X1 3.000 2.500 3.000 4.000 3.000 Ingrediente X2 5.000 6.000 6.000 4.000 5.000 Ingrediente X3 2.000 1.500 1.000 2.000 2.000 Costo min 96.000 69.000 69.000 96.000 69.000 ¿Hay sobrantes? No Si No Si No 39. La Gray Manufacturing Company ha seguido constantemente una política de fabricación de aquellos productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado producir los requerimientos mínimos semanales de venta, que son los siguientes para los productos K, L, M y N: Producto K 25 unidades Producto L 30 unidades Producto M 30 unidades Producto N 25 unidades Los requerimientos de producción y el tiempo disponible para la semana siguiente son: Departamento Tiempo requerido por producto (horas) Tiempo disponible la semana prox. (horas) K L M N Departamento1 0.25 0.20 0.15 0.25 400 Departamento 2 0.30 0.40 0.50 0.30 1000 Departamento 3 0.25 0.30 0.25 0.30 500 Departamento 4 0.25 0.25 0.25 0.25 500 Contribución por unidad $ 10.50 $ 9.00 $ 8.00 $ 10.0 Actualmente, la mezcla semanal de producción (considerando los requerimientos mínimos de venta), es de: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 81 Producto K 1 533 unidades Producto L 30 unidades Producto M 30 unidades Producto N 25 unidades ¿Son la mezcla actual de productos y la contribución, para la empresa, óptimas? En caso contrario ¿Cuál es la contribución actual? ¿Cuáles deben ser las óptimas?37 Formulación del problema: Definición de variables X1 = Número de unidades del producto K X2 = Número de unidades del producto L X3 = Número de unidades del producto M X4 = Número de unidades del producto N Función objetivo: Maximizar Z = 10.5X1 + 9.0X2 + 8.0X3 + 10.0X4 Restricciones 0.25X1 + 0.20X2 + 0.15X3 + 0.25X4 ≤ 400 Disp. Dep. 1 0.30X1 + 0.40X2 + 0.50X3 + 0.30X4 ≤ 1000 Disp. Dep. 2 0.25X1 + 0.30X2 + 0.25X3 + 0.30X4 ≤ 500 Disp. Dep. 3 0.25X1 + 0.25X2 + 0.25X3 +0.25X4 ≤ 500 Disp. Dep. 4 X1 ≥ 25 Venta mínima de K X2 ≥ 30 Venta mínima de L X3 ≥ 30 Venta mínima de M X4 ≥ 25 Venta mínima de N No negatividad Xi ≥ 0; i = 1,4 Datos de entrada para el Solver 37 Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 275 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 82 Datos de salida del Solver Solución múltiple: respuesta correcta b) Rubro Respuestas a b c d e ¿Mezcla óptima? Si No Si No Si Contribución act 18.433,2 16.856,5 16.556.0 16.856.5 16.500.0 Contribución opt. 16.856,5 18.433,25 14.055.0 18.500.0 14.500.0 Producto K 976.5 976.5 906.5 950 976 Producto L 30 30 25 30 30 Producto M 957.5 957.5 975.6 956.0 950.0 Producto N 25 25 30 25 35 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 83 40. La LaCross Manufacturing Company esta considerando la fabricación de una línea de productos, compuesta de cuatro productos. Cada producto puede fabricarse con dos métodos diferentes y completamente distintos, uno de los cuales consta de dos procesos y el otro de tres. Se fabricarán basándose en el segundo turno. El precio de venta de estos productos y sus costos variables, así como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con el grupo de investigaciones de mercadotecnia, son los siguientes:38 Producto 1 2 3 4 Precio de venta al mayoreo (40% de descuento) $ 100 $ 150 $ 125 $ 140 Costos variables – Método A $ 80 $ 135 $ 120 $ 135 Costos variables – Método B $ 110 $ 150 $ 100 $ 110 Cantidad que puede venderse 1000 3000 4000 6000 La sección de manufactura de la empresa ha determinado que los tiempos de manufactura para cada proceso son los siguientes: Producto 1 2 3 4 Método A Departamento 20 3.0 3.6 2.0 3.5 Departamento 21 9.0 10.0 8.0 9.0 Departamento 22 1.0 1.0 0.5 0.5 Método B Departamento 31 4.0 4.0 2.0 4.0 Departamento 32 5.0 8.0 4.0 3.0 Las horas disponibles al mes: Departamento 20 15 000 Departamento 21 50 000 Departamento 22 8 000 38 Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 275 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 84 Departamento 31 10 000 Departamento 32 10 000 Formulación del problema: Definición de variables X11 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método A X21 = Número de unidades del producto 2 elaborados con el método A X31 = Número de unidades del producto 3 elaborados con el método A X41 = Número de unidades del producto 4 elaborados con el método A X12 = Número de unidades del producto 1 elaborados con el método B X22 = Número de unidades del producto 2 elaborados con el método B X32 = Número de unidades del producto 3 elaborados con el método B X42 = Número de unidades del producto 4 elaborados con el método B Función Objetivo: Maximizar Z = (100-80)X11 + (150-135)X21 + (125-120)X31 + (140-135)X41 + (100-110)X12 + (150-150)X22 + (125-100)X32 + (140-110)X24 Restricciones X11 + X12 ≤ 1000 Venta producto 1 X21 + X22 ≤ 3000 Venta producto 2 X31 + X32 ≤ 4000 Venta producto 3 X41 + X42 ≤ 6000 Venta producto 4 3.0X11 + 3.6 X21 + 2.0X31 + 3.5X41 ≤ 15.000 Horas Dep. 20 9.0X11 + 10.0X21 + 8.0X31 + 9.0X41 ≤ 50.000 Horas Dep. 21 1.0X11 + 1.0X21 + 0.5X31 + 0.5X41 ≤ 8.000 Horas Dep. 22 4.0X12 + 4.0X22 + 2.0X32 + 4.0X42 ≤ 10.000 Horas Dep. 31 5.0X12 + 8.0X22 + 4.0X32 + 3.0X42 ≤ 10.000 Horas Dep. 32 No negatividad Xij ≤0; i= 1,4; j = 1,2 Datos de entrada para el solver Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 85 Datos de salida del Solver Solución: P1= 1 000 unidades (Método A) P2= 3 000 unidades (Método A) P3= 600 unidades (Método A) P3= 1 000 unidades (Método B) P4= 2 000 unidades (Método B) Contribución, $ 153 000,00 41. Una fábrica elabora dos productos, A, B. Cada uno de ellos debe ser procesado en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene una capacidad disponible de 24 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 86 horas y la otra de 16 horas. Cada unidad del producto A requiere de dos horas en ambas máquinas. Cada unidad del producto B necesita de tres horas en la primera máquina y de una hora en la segunda. La utilidad incremental es de $6 por unidad del producto A y de $7 por unidad del producto B, y la fábrica puede vender tantasunidades de cada producto como pueda fabricar. El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades. El problema está en determinar cuántas unidades del producto A y del producto B podrían producirse dentro de los límites disponibles por la capacidad de las máquinas.39 Resumen: Máquinas Productos Capacidad de las máquinas A B 1 2 horas 3 horas 24 horas 2 2 horas 1 hora 16 horas Utilidad en $ 6 7 Formulación del problema Definición de variables X1 = número de unidades del producto A X2 = número de unidades del producto B Función objetivo: Maximizar Z = 6X1 + 7X2 Restricciones 2X1 + 3X2 ≤24 capacidad de máquina 1 2X1 + 1X2 ≤ 16 capacidad de máquina 2 No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución con GLP 39 Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw- Hill. Pag. 43 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 87 Datos de entrada para Solver Datos salida del Solver 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 X2 X1 : 2 X1 + 3 X2 = 24 : 2 X1 + 1 X2 = 16 Payoff: 6 X1 + 7 X2 = 64 Optimal Decisions(X1,X2): ( 6, 4) : 2X1 + 3X2 <= 24 : 2X1 + 1X2 <= 16 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 88 Solución: X1 = 6 X2 = 4 Z = 64 42. Al mezclar diferentes hidrocarburos, se obtiene gasolina de diferentes grados, que es el resultado directo de las operaciones de refinería. En una operación real de refinación, se realizan varias mezclas de hidrocarburos, que dan muchas clases de gasolina como producto final (por ejemplo, gasolina de distintos grados para avión y para carro), con características importantes para los distintos grados de la composición de la gasolina (por ejemplo, octanaje, presión del vapor, contenido de azufre y contenido de oxidante). En este ejemplo simplificado, se supone que una refinería dispone sólo de dos tipos de gasolina, cuyas características se presentan en la siguiente tabla: Características de las mezclas de gasolina Estos tipos de gasolina pueden ser combinados para producir dos productos finales, gasolina para avión y gasolina para carro. Las cualidades que requieren estos productos finales aparecen en la siguiente tabla: Características de la gasolina como producto final Productos finales Octanaje mínimo Presión Máxima de vapor Ventas máximas Precio De venta (por barril) Gasolina avión 102 6 20 000 barriles $45.10 Gasolina carro 96 8 cualquiera $32.40 Cuando la gasolina se combina, la mezcla resultante tiene un octanaje y una presión de vapor proporcional al volumen de cada tipo de gasolina que se mezcló. Por ejemplo, si se mezclan 1 000 barriles de gasolina tipo 1 con 1 000 barriles gasolina tipo 2, la gasolina resultante tendrá un octanaje de 99: 99 000.2 94000.1104000.1 xx Y una presión de vapor de 7: 7 000.2 9000.15000.1 xx Mezclas disponibles Octanaje Presión de vapor Cantidad Disponible Gasolina tipo 1 104 5 30 000 barriles Gasolina tipo 2 94 9 70 000 barriles Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 89 La empresa desea maximizar los ingresos por la venta de gasolina como producto final.40 Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de barriles de gasolina Tipo 1, utilizada para gasolina de avión X2 = número de barriles de gasolina Tipo 1, utilizada para gasolina de carro X3 = número de barriles de gasolina Tipo 2, utilizada para gasolina de avión X4 = número de barriles de gasolina Tipo 2, utilizada para gasolina de carro Función objetivo: Maximizar Z = 45.10 (X1 + X3) + 32.40 (X2 + X4) Z = 45.10 X1 + 32.40X2 + 45.10X3 + 32.40X4 Restricciones 102 94104 31 31 XX XX 2X1 – 8X3 ≥ 0 oct. para avión 96 94104 42 42 XX XX 8X2 – 2X4 ≥ 0 oct. para carro 6 95 31 31 XX XX -1X1 + 3X3 ≤0 pres. para avión 8 95 42 42 XX XX -3X2 + X4 ≤ 0 pres. para carro X1 + X2 ≤ 30.000 disponibilidad de gas Tipo 1 X3 + X4 ≤ 70.000 disponibilidad gas Tipo 2 X1 + x3 ≤ 20.000 venta gasolina para avión No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver 40 Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw- Hill. Pag. 46 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 90 Datos de salida del Solver Solución: Z = 3´355.454.5 X1 = 7.272,72 X2 = 22.727,27 X3 = 1.818,18 X4 = 68.181,82 43. Una fábrica produce cuatro artículos: A, B, C y D. Cada cantidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y $10 de inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y $5 de inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere de dos y media horas de maquinado, dos y media horas de montaje y $2 de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, ninguna de montaje y $12 de inventario en proceso. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 91 La fábrica dispone de 120 000 horas de tiempo de maquinado y 160 000 horas de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40, cada unidad del producto B genera una utilidad de $24, cada unidad de producto C genera una utilidad de $36 y cada unidad del producto D genera una utilidad de $23. No pueden venderse más de 20 000 unidades del producto A, 16 000 unidades del producto C, y pueden venderse la cantidad que se quiera de los productos B y D. Sin embargo, deben producir y vender por lo menos 10 000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato. Sobre estas condiciones, formular un problema de programación lineal. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.41 Resumen: Proceso Producto Disponible (horas) A B C D Maquinado 2 hr 1 hr 2,5 hr 5 hr 120.000 Montaje 1 hr 3 hr 2,5 hr 0 hr 160.000 Inventario $10 $5 $2 $12 1’000.000 Utilidad $40 $24 $36 $23 Formulación del problema: Definición de variables: X1 = Número de unidades del producto A X2 = Número de unidades del producto B X3 = Número de unidades del producto C X4 = Número de unidades del producto D Función objetivo: Maximizar Z = 40X1 + 24X2 + 36X3 + 23X4 Restricciones: 2X1 + X2 + 2.5X3 + 5X4 ≤ 120.000 disponibilidad de maquinado X1 + 3X2 + 2.5X3 + 0X4 ≤ 160.000 disponibilidad de montaje 10X1 + 5X2 + 2X3 + 12X4 ≤ 1’000.000 disponibilidadde inventario X1 ≤ 20.000 limite de venta producto A X3 ≤ 16.000 límite de venta del producto C X4 ≥ 10.000 contrato del producto D No negatividad: Xi ≥0 ; i = 1, 4 41 Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw- Hill. Pag. 57 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 92 Datos de entrada Solver Datos de salida del Solver Solución: Z = 1’830.000 X1 = 10.000 X2 = 50.000 X3 = 0 X4 = 10.000 44. La U-Save Loan Company está planeando sus operaciones para el próximo año. La empresa hace cinco tipos de préstamos, que se indican a continuación, con un retorno anual (en porcentaje) para ella. Tipo de préstamo Retorno anual Préstamos quirografarios 15 Préstamos para muebles 12 Préstamos para automóviles 9 Hipotecas de bienes raíces en segundo grado 10 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 93 Hipotecas de bienes raíces en primer grado 7 Los requerimientos legales y la política de la empresa establecen los siguientes límites en las cantidades de los distintos tipos de préstamos. Los préstamos quirografarios no pueden exceder del 10% del total de Tipo de préstamos. La cantidad de préstamos quirografarios y para muebles no puede exceder de 20% del total de tipo de préstamos. Las hipotecas en primer grado deben ser por lo menos de 40% del total de hipotecas y, por lo menos, 20% de la cantidad total de tipo de préstamos. Las hipotecas en segundo grado no pueden exceder de 25% de la cantidad total de tipo de préstamos. La empresa debe maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones indicadas. La empresa puede prestar un máximo de $1,5 millones.42 Formulación del Problema: Definición de variables X1 = Monto en dólares para Préstamos Quirografarios X2 = Monto en dólares para Préstamos para Muebles X3 = Monto en dólares para préstamos para Automóviles X4 = Monto en dólares para Hipotecas de bienes raíces en segundo grado X5 = Monto en dólares para Hipotecas de bienes raíces en primer grado Función objetivo: Maximizar Z = 0.15X1 + 0.12X2 + 0.09X3 + 0.10X4 + 0.07X5 Restricciones X1 ≤ 0.10 (X1 +X2 +X3 + X4 + X5) límite en monto de pres. quirograf. 0.90X1 – 0.10X2 – 0.10X3 – 0.10X4 – 0.10X5 ≤ 0 X1 + X2 ≤ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en monto para prest. 0.80X1 + 0.80X2 – 0.20X3 – 0.20X4 – 0.20X5 ≤ 0 quiro. + muebles X5 ≥ 0.40 (X4 + X5) límite de monto en hipotecas - 0.40X4 + 0.60X5 ≥ 0 X5 ≥ 0.20 (X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite monto del total de prest. - 0.20X1 – 0.20X2 – 0.20X3 – 0.20X4 + 0.80X5 ≥ 0 X4 ≤ 0.25(X1 + X2 + X3 + X4 + X5) límite en hipotecas de 2do grado - 0.25X1 – 0.25X2 – 0.25X3 + 0.75X4 – 0.25X5 ≤ 0 X1 + X2 + X3+ X4 + X5 ≤ 1’500.000 monto disponible 42 Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw- Hill. Pag. 58 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 94 No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 5 Datos de entrada para el Solver Datos de salida del Solver 45. Una fábrica venden dos tipos de productos diferentes, A y B. La información sobre el precio de venta y el costo incremental es la siguiente: Producto A Producto B Precio de venta $60 $40 Costo incremental $30 $10 Utilidad incremental $30 $30 Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad de 30 000 horas de mano de obra, se requiere de tres horas para elaborar una unidad de A y una hora para producir una unidad de B. El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que la cantidad máxima de las unidades de A que puede venderse es de 8 000; la cantidad máxima de B es de 12 000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 95 unidades. De acuerdo con estas limitaciones, los productos pueden venderse en cualquier combinación. Formular esta situación como un problema de programación lineal.43 Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades del producto A X2 = Número de unidades del producto B Función objetivo: Maximizar Z = 30X1 + 30X2 Restricciones 3X1 + 1X2 ≤ 30.000 por mano de obra X1 ≤ 8.000 venta de A X2 ≤ 12.000 venta de B No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP Datos entrada Solver 43 Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw- Hill. Pag. 58 30 428 826 1224 1622 2020 2418 2816 3214 3612 4010 4408 4806 5204 5602 6000 6398 6796 7194 7592 7990 95 690 1285 1880 2475 3070 3665 4260 4855 5450 6045 6640 7235 7830 8425 9020 9615 10210 10805 11400 11995 X2 X1 : 3.0 X1 + 1.0 X2 = 30000.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 8000.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 12000.0 Payoff: 30.0 X1 + 30.0 X2 = 540000.0 Optimal Decisions(X1,X2): (6000.0, 12000.0) : 3.0X1 + 1.0X2 <= 30000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 8000.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 12000.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 96 Datos salida Solver 46. Recientemente, la empresa EMBUTIDOS experimentó drásticos cambios en los precios de la materia prima; por los que el gerente ordenó a un analista reexaminar las proporciones de las mezclas de los ingredientes para la producción de salchichas. La producción de salchichas implica cumplir con dos requisitos esenciales para el producto. El porcentaje de proteínas, por peso, debe ser al menos 15%, y el porcentaje de grasa, por peso, no puede exceder de 30% (el peso restante es relleno). La empresa tiene cuatro materia primas disponibles para la mezcla, con las siguientes características: Ingrediente Porcentaje de Proteínas Porcentaje de Grasa Costo por Libra A 40 10 $1.80 B 20 15 $0.75 C 10 35 $0.40 D 5 40 $0.15 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 97 Formular el problema de programación lineal que le ayude a la empresa a determinar el problema de mezcla más apropiado44 Formulación del problema: Definición de variables X1 = Cantidad en libras del ingrediente A X2 = Cantidad en libras del ingrediente B X3 = Cantidad en libras del ingrediente C X4 = Cantidad en libras del ingrediente D Función objetivo Minimizar Z = 1.80X1 + 0.75X2 + 0.40X3 + 0.15X4 Restricciones 0.40X1 + 0.20X2 + 0.10X3 + 0.05X4 ≥ 0.15 proteínas 0.10X1 + 0.15X2 + 0.35X3 + 0.40X4 ≤ 0.30 grasas X1 + X2 + X3 + X4 = 1 total libra de mezcla No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver Datosde salida del Solver 44 Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGraw- Hill. Pag. 58 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 98 47. Un fabricante de muebles produce dos tipos de escritorios: estándar y ejecutivo. Estos escritorios se venden a un mayorista de mobiliario de oficina; y para todo fin práctico existe un mercado ilimitado para cualquier mezcla de ellos; al menos dentro de la capacidad de producción del fabricante. Cada escritorio debe pasar por cuatro operaciones básicas: corte de madera, ensamble de las piezas, pre- acabado y acabado final. Cada unidad producida del escritorio del escritorio estándar requiere de 48 min de tiempo de corte, 2 horas de ensamble, 40 min de pre-acabado y 5 horas y 20 min de tiempo de acabado final. Cada unidad de escritorio ejecutivo requiere de 72 min de corte, 3 horas de ensamble, 2 horas de pre-acabado y 4 horas de tiempo de acabado final. La capacidad diaria para cada operación equivale a 16 horas de corte, 30 horas de ensamble, 16 horas de pre-acabado y 64 horas de acabado final. El beneficio por unidad producida es de $40 para el escritorio estándar y de $50 para el escritorio ejecutivo. ¿Qué mezcla de productos es óptima?45 Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades de escritorios estándar X2 = Número de unidades de escritorios ejecutivos Función objetivo: Maximizar Z = 40X1 + 50X2 Restricciones 0.8X1 + 1.2X2 ≤ 16 horas de corte 2.0X1 + 3.0X2 ≤ 30 horas de ensamblaje 0.6667X1 + 2.0X2 ≤ 16 horas de pre-acabado 5.3334X1 + 4.0X2 ≤ 64 horas acabado final No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP 45 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag.59 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 99 Datos entrada Solver Datos salida Solver 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X2 X1 : 0.800 X1 + 1.200 X2 = 16.000 : 2.000 X1 + 3.000 X2 = 30.000 : 0.667 X1 + 2.000 X2 = 16.000 : 5.333 X1 + 4.000 X2 = 64.000 Payoff: 40.000 X1 + 50.000 X2 = 559.998 Optimal Decisions(X1,X2): (9.000, 4.000) : 0.800X1 + 1.200X2 <= 16.000 : 2.000X1 + 3.000X2 <= 30.000 : 0.667X1 + 2.000X2 <= 16.000 : 5.333X1 + 4.000X2 <= 64.000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 100 48. Un fabricante de alimento para pollos desea determinar la mezcla de menor costo para una fórmula de altas proteínas que contiene 90 gr. de nutriente A, 48 gr. de nutriente B, 20 gr. de nutriente C y 1.5 gr. de vitamina X por cada kg. de alimento. Puede mezclar la fórmula empleando dos ingredientes y otro de relleno. El ingrediente 1 contiene 100 gr. de nutriente A, 80 gr. de nutriente B, 40 gr. de nutriente C y 10 gr. de vitamina X; y cuesta $0.40 por Kg. El ingrediente 2 contiene 200 gr. de A, 150 gr. de B, 20 gr. de C, nada de vitamina X y cuesta $0.60 por kg.46 Formulación del problema: Definición de variables X1 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 1 X2 = Cantidad de Kg. de ingrediente Tipo 2 Función objetivo: Minimizar Z = 0.40X1 + 0.60X2 Restricciones 100X1 + 200X2 = 90 Nutriente A 80X1 + 150X2 = 48 Nutriente B 40X1 + 20X2 = 20 Nutriente C 10X1 + 0X2 = 1.5 Vitamina X No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Son ecuaciones redundantes, para su solución se asume que cumplirán al menos los pedidos de los ingredientes, sus resultados serán analizados por un dietista para no incurrir en daños a los pollos, entonces: Restricciones 100X1 + 200X2 ≥ 90 Nutriente A 80X1 + 150X2 ≥ 48 Nutriente B 40X1 + 20X2 ≥ 20 Nutriente C 10X1 + 0X2 ≥ 1.5 Vitamina X 46 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 101 Datos entrada Solver Datos salida Solver En la solución gráfica puede notarse las ecuaciones redundantes: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 102 49. Una compañía produce tres tipos de productos químicos refinados: A, B y C. Es necesario producir diariamente al menos 4 ton de A, 2 ton de B y 1 ton de C. Los productos de entrada son los compuestos X y Y. Cada tonelada de X proporciona 0.25 ton de A, 0.25 ton de B y 0,0834 ton de C. Cada tonelada de Y rinde 0.5 ton de A, 0.10 ton de B y 0.0834 ton de C. La tonelada de compuesto X cuesta $250 y el compuesto Y $400. El costo de procesamiento es de $250 por ton de X y $200 por ton de Y. Las cantidades producidas que excedan los requerimientos diarios no tienen valor, ya que el producto sufre cambios químicos si no se utiliza de inmediato. El problema consiste en determinar la mezcla con costo mínimo de entrada.47 Formulación del problema Definición de variables X1 = Toneladas de compuesto X X2 = Toneladas de compuesto Y Función objetivo: Minimizar Z = 500X1 + 600X2 Restricciones 0.25X1 + 0.5X2 ≥ 4 toneladas de A 0.25X1 + 0.10X2 ≥ 2 toneladas de B 47 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 103 0.0834X1 + 0.0834X2 ≥ 1 toneladas de C No negatividad Xi ≥0; i = 1, 2 Solución GLP Datos de entrada Solver Datos de salida Solver 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 X2 X1 : 0.2500 X1 + 0.5000 X2 = 4.0000 : 0.2500 X1 + 0.1000 X2 = 2.0000 : 0.0834 X1 + 0.0834 X2 = 1.0000 Payoff: 500.0000 X1 + 600.0000 X2 = 6396.1630 Optimal Decisions(X1,X2): (7.9808, 4.0096) : 0.2500X1 + 0.5000X2 >= 4.0000 : 0.2500X1 + 0.1000X2 >= 2.0000 : 0.0834X1 + 0.0834X2 >= 1.0000 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 104 50. La Palysafe Insurane Company of Knockville, ME, dispone de fondos ociosos por un total de $20 millones, disponible para inversiones a corto y largo plazo. Las especificaciones gubernamentales requieren que no más del 80% de todas las inversiones sean a largo plazo; no más del 40% de inviertan a corto plazo; y que la razón entre las inversiones a largo y corto plazo no sean mayor de 3 a 1. Actualmente, las inversiones a largo plazo rinden el 15% anual; mientras que la tasa anual para las inversionesa corto plazo es del 10%. Plantéese este problema como programa lineal con el objetivo de maximizar el beneficio ponderado.48 Formulación del Problema Definición de variables X1 = Cantidad en millones de dólares para inversión a corto plazo X2 = Cantidad en millones de dólares para inversión a largo plazo Función objetivo: Maximizar Z = 0.10X1 + 0.15X2 Restricciones X1 + X2 ≤ 20 fondos para inversión X2 ≤ 0.80(X1 + X2) 0.80X1 – 0.20X2 ≥ 0 inversiones a largo plazo X2 ≤ 0.40(X1 + X2) 0.40X1 - 0.60X2 ≥ 0 inversiones a corto plazo X2/X1 ≤ 3/1 3X1 – X2 ≥ 0 relación entre inversiones No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP 48 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 90 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 105 Datos entrada para Solver Datos de salida de Solver 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X2 X1 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 20.0 : 0.8 X1 - 0.2 X2 = 0.0 : 0.4 X1 - 0.6 X2 = 0.0 : 3.0 X1 - 1.0 X2 = 0.0 Payoff: 0.1 X1 + 0.1 X2 = 2.4 Optimal Decisions(X1,X2): (12.0, 8.0) : 1.0X1 + 1.0X2 <= 20.0 : 0.8X1 - 0.2X2 >= 0.0 : 0.4X1 - 0.6X2 >= 0.0 : 3.0X1 - 1.0X2 >= 0.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 106 51. Un fabricante de botes de fibra de vidrio produce cuatro modelos diferentes que deben pasar por tres operaciones diferentes: moldeado, ensamblado y acabado. La tabla dada contiene toda la información necesaria. Modelo Moldeado (h/unid) Ensamble (h/unid) Acabado (h/unid) Compuesto de moldeado (gal/unid) Beneficio ($/unid) 1 2.8 5 10 200 160 2 2.1 3 7.5 200 124 3 4 6 12 280 212 4 3 4 3 220 170 Capac./ semana 48 h 96 h 160 h 4800 gal Los pronósticos de venta indican que, en promedio, no deben producirse por semana más de 8 unidades del modelo 4. Excepto por esta restricción, la demanda será suficiente para absorber cualquier cantidad producida. El objetivo es maximizar los beneficios.49 Formulación del Problema Definición de variables X1 = Número de unidades del modelo 1 X2 = Número de unidades del modelo 2 X3 = Número de unidades del modelo 3 X4 = Número de unidades del modelo 4 Función objetivo: Maximizar Z = 160X1 + 124X2 +212X3 + 170 X4 Restricciones 2.8X1 + 2.1X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 48 horas de moldeado 5X1 + 3X2 + 6X3 + 4X4 ≤ 96 horas de ensamble 10X1 + 7.5X2 + 12X3 + 3X4 ≤ 160 horas de acabado 200X1 + 200X2 + 280X3 + 220X4 ≤ 4800 galones para moldeado 49 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 91 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 107 X4 ≤ 8 No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver Datos de salida del Solver 52. En una compañía se fabrican tres productos A, B y C. Los tres productos comparten en sus procesos de producción cuatro máquinas X, Y, S y T. El producto A utiliza tres operaciones en las máquinas X, S y T. El producto B utiliza sólo dos operaciones en las máquinas X y S o en las máquinas Y y T. El producto C puede fabricarse utilizando las maquinas X y S o en las máquinas Y, S y T. El tiempo necesario en minutos por unidad producida, para cada posibilidad de producción en cada máquina, y el costo variable de producción por minuto para cada máquina se condensan en la siguiente tabla. Tiempo (en min/unidad de máquina) Producto Proceso X Y S T Código A 1 10 6 3 A B 1 8 10 B1 2 6 9 B2 C 1 8 16 C1 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 108 2 10 3 8 C2 Costo var /min ($) 0.40 0.50 0.24 0.30 Cada máquina tiene una capacidad diaria de producción de 480 minutos. La demandas mínimas de los tres productos son 36 para A, 45 para B y 10 para C. El objetivo consiste en determinar el esquema de producción que minimice el costo total variable de producción.50 Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de unidades del producto A, con el proceso 1 X2 = número de unidades del producto B, con el proceso 1 X3 = número de unidades del producto B, con el proceso 2 X4 = número de unidades del producto C, con el proceso 1 X5 = número de unidades del producto C, con el proceso 2 Función objetivo: Minimizar Z = 0.40(10X1 + 8X2 + 8X4) + 0.50(6X3 + 10X5) + 0.24(6X1 +10X2 + 16X4 + 3X5) + 0.30(3X1 + 9X3 + 8X5) Minimizar Z = 6.34X1 + 5.6X2 + 5.7X3 + 7.04X4 + 8.12X5 Restricciones 10X1 + 8X2 + 8X4 ≤ 480 capacidad maquina X 6X3 + 10X5 ≤ 480 capacidad maquina Y 6X1 +10X2 + 16X4 + 3X5 ≤ 480 capacidad maquina S 3X1 + 9X3 + 8X5 ≤ 480 capacidad maquina T X1 ≥ 36 demanda del producto A X2 + X3 ≥ 45 demanda del producto B X4 + X5 ≥ 10 demanda del producto C No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver 50 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 92 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 109 Datos de salida del Solver 53. Usted está organizando una fiesta y dispone de de las siguientes cantidades de licor: 48 onz líquidas de whisky, 72 onz líquidas de vodka, 64 onz líquidas de vermouth blanco, 72 onz de vermouth rojo, 24 onz líquidas de brandy y 18 onz líquidas de licor de café. Usted piensa preparar las siguientes bebidas: Chauncies, Rusos Negros, Italianos Dulces, Cócteles Molotov (Martinis Rusos) y Whisky en las rocas. Un Chauncy consiste en 2/3 de whisky y 1/3 de vermouth rojo. Un Ruso Negro consiste de ¾ de vodka y ¼ de licor de café. Un Italiano Dulce consiste de ¼ de brandy, ½ de vermouth rojo y ¼ vermouth blanco. Los Cócteles Molotov son una mezcla de 2/3 de vodka y 1/3 de vermouth blanco. Por último el Whisky en las rocas consiste sólo de whisky. Cada trago contiene 4 onz líquidas. Su objetivo es mezclar los ingredientes, en forma tal, que pueda prepararse el mayor número de posible de tragos. Sin embargo, Usted considera que es necesario preparar cuando menos el doble de Cócteles Molotov que de Rusos Negros, para proporcionar una selección equilibrada. Plantéese como un problema de programación lineal.51 Resumen: 51 Hans G. Daellenbach. Introducción a Técnicas de Investigación de Operaciones. CECSA. Pag. 94 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 110 Licores Mezclas (tragos de 4 onzas) Cantidad Disponible (onz) chauncies Rusos negros Italianos dulces Cócteles molotov Whisky enrocas Whisky 2/3*4 1*4 48 Vodka ¾*4 2/3*4 72 Verm.B. ¼*4 1/3*4 64 Verm.R. 1/3*4 2/4*4 72 Brandy ¼*4 24 Lic. Café ¼*4 18 Formulación del problema: Definición de variables: X1 = Número de tragos de Chauncies X2 = Número de tragos de Rusos Negros X3 = Número de tragos de Italianos Dulces X4 = Número de tragos de Cócteles Molotov X5 = Número de tragos de Whisky en las Rocas Función objetivo: Maximizar Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 Restricciones: 2/3*4 X1 + 4X5 ≤ 48 2X1 + 3X5 ≤ 36 por contenido de whisky ¾*4X2 + 2/3*4X4 ≤ 72 9X2 + 8X4 ≤ 216 por contenido de Vodka ¼*4X3 + 1/3*4X4≤ 64 3X3 + 4X4≤ 192 por contenido de Vermouth Blanco 1/3*4X1 + 2/4*4X3 ≤ 72 4X1 + 6X3 ≤ 216 por contenido de vermouth Rojo ¼*4X3 ≤ 24 X3 ≤ 24 por contenido de Brandy ¼*4X2 ≤ 18 X2 ≤ 18 por contenido de Licor de Café 2X2 ≥ X4 2X2 – X4 ≤ 0 relación de Cócteles Molotov/Rusos Negros No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 5 Solución: Datos de entrada para Solver Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 111 Datos de salida del Solver 54. ProTrac,Inc. Produce dos líneas de máquina pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de excavación, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo de la silvicultura, está destinada a la industria maderera. Tanto la máquina más grande de la línea de excavación (la E-9), como la mayor de toda la línea del equipo de silvicultura (la F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de Mercadotecnia de ProTrac ha considerado que durante ese período será posible vender todas las E-9 y F-9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción para el mes próximo. Es decir, ¿cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de ProTrac desea maximizar la contribución del mes entrante a la ganancia ( es decir, el margen de contribución, definido como los ingresos menos los costos variables) La toma de decisiones requiere la consideración de los siguientes factores importantes: a. El margen de contribución unitaria de ProTrac es de $ 5.000 por cada E-9 vendida y de $ 4.000 por cada F-9 b. Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como en el departamento B. Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 112 c. Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos departamentos tiene tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 requiere 15 horas horas en el departamento a y 10 en el B. d. Para que la administración cumpla con el acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas el la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser más allá del 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. e. Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política operativa: que deberá construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas. f. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinación) para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo menos esa cantidad.52 Resumen de datos: HORAS Maq. E-9 Maq. F-9 Total disponible Dep. A 10 15 150 Dep. B 20 10 160 Hora de prueba 30 10 135 (150-10%) Producir cuando menos 1 F-9 por cada 3 E-9: Formulación del modelo 1. Definición de variables (variables de decisión) E-9 = número de unidades de maquinas tipo E-9 F-9 = número de unidades de máquinas tipo F-9 2. Función objetivo Maximizar Z = 5000 E-9 + 4000 F-9 3. Restricciones (ecuaciones de restricción) 10(E-9) + 15(F-9) ≤ 150 20(E-9) + 10(F-9) ≤ 160 30(E-9) + 10(F-9) ≥ 135 1(E-9) - 3(F-9) ≤ 0 1(E-9) + 1(F-9) ≥ 5 1(E-9) ≥ 0 1(F-9) ≥ 0 52 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 69 )9(3)9(1 FE Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 113 Solución gráfica: Solución matemática (analítica) Datos iniciales antes de aplicas SOLVER: Definiciones de datos para SOLVER y resolver: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 114 Resultados del modelo: Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 115 55. La empresa Crawler Tread, desea mezclar minerales de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de Protrac: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio del análisis se ha demostrado que , para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos aquí como A, B, C. En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos cinco libras del elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la siguiente tabla: Composiciones obtenidas de cada mina Elemento básico MINA (libras por tonelada de cada elemento) 1 2 3 4 A 10 3 8 2 B 90 150 75 175 C 45 25 20 37 Costo/tonelada de mineral $ 800 $ 400 $ 600 $ 500 El objetivo del administrador es descubrir una mezcla factible de costo mínimo.53 Formulación del problema: 1. Definición de variables T1 = fracción de toneladas de la mina 1 T2 = fracción de toneladas de la mina 2 T3 = fracción de toneladas de la mina 3 T4 = fracción de toneladas de la mina 4 2. Función objetivo Minimizar Z = 800 T1 + 400 T2 + 600 T3 + 500 T4 3. Restricciones 10 T1 + 3 T2 + 8 T3 + 2 T4 ≥ 5 (elemento A) 90 T1 + 150 T2 + 75 T3 + 175 T4 ≥ 100 (elemento B) 45 T1 + 25 T2 + 20 T3 + 37 T4 ≥ 30 (elemento A) T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (balance) T1, T2, T3, T4 ≥ 0 (no negatividad) 53 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 97 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul RivadeneiraPágina: 116 Solución: para hoja de cálculo Datos originales: Resultados : Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 117 56. Una compañía (ASTRO Y COSMOS) fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 aparatos de TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada modelo Cosmo. En la actualidad puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada modelo Cosmo. Actualmente se puede asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Si la compañía sabe que puede vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de fabricar. ¿cuál deberá ser el plan de producción por cada día (es decir, la producción diaria) para cada modelo?54 Formulación del problema: Definición de variables X1 = número de unidades de TV Astro X2 = número de unidades de TV Cosmo Función objetivo: Maximizar Z = 20X1 + 10X2 Restricciones X1 + 2X2 ≤ 120 capacidad Dep. A X1 + X2 ≤ 90 capacidad Dep. B X1 ≤ 70 capacidad de línea Astro X2 ≤ 50 capacidad de línea Cosmo No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 2 Solución GLP 54 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 100 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 118 Datos de entrada para solver Datos de salida del Solver 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 X2 X1 : 1.0 X1 + 2.0 X2 = 120.0 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 90.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 70.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 50.0 Payoff: 20.0 X1 + 10.0 X2 = 1600.0 Optimal Decisions(X1,X2): (70.0, 20.0) : 1.0X1 + 2.0X2 <= 120.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 90.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 70.0 : 0.0X1 + 1.0X2 <= 50.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 119 57. De los muchos productos que fabrica la Arco Manufacturing Company, sólo los productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos: cepillado, fresado, taladrado y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto en horas y contribución son los siguientes: Departamento Producto Cepillado Fresado Taladrado Ensamble Contr./Unidad C 0.5 2.0 0.5 3.0 $ 8 D 1.0 1.0 0.5 1.0 $ 9 E 1.0 1.0 1.0 2.0 $ 7 F 0.5 1.0 1.0 3.0 $ 6 Las capacidades disponibles en este mes para los productos C, D, E y F, así como los requerimientos mínimos de venta, son: Departamento Capacidad(horas) Producto Req. Mínimos Venta Cepillado 1800 C 100 unidades Fresado 2800 D 600 unidades Taladrado 3000 E 500 unidades Ensamble 6000 F 400 unidades Determínese la cantidad de los productos C, D, E y F, que tendrá que fabricar este mes para maximizar la contribución.55 Formulación del problema Definición de variables X1 = Número de unidades del producto C X2 = Número de unidades del producto D X3 = Número de unidades del producto E X4 = Número de unidades del producto F 55 Thierauf. Toma de Decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag. 274 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 120 Función objetivo: Maximizar Z = 8X1 + 9X2 + 7X3 +6X4 Restricciones 0.5X1 + 1.0X2 + 1.0X3 + 0.5X4 ≤ 1.800 capacidad Cepillado 2.0X1 + 1.0X2 + 1.0X3 + 1.0X4 ≤ 2.800 capacidad Fresado 0.5X1 + 0.5X2 + 1.0X3 + 1.0X4 ≤ 3.000 capacidad Taladrado 3.0X1 + 1.0X2 + 2.0X3 + 3.0X4 ≤ 6.000 capacidad Ensamble X1 ≥ 100 venta de C X2 ≥ 600 venta de D X3 ≥ 500 venta de E X4 ≥ 400 venta de F No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para el Solver Datos de salida del Solver Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 121 58. Planificación financiera. Willie Hanes es el presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $ 100.000. A ese cliente le agradaría restringir una cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule UD. un PL para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de maximizar el rendimiento anual.56 ACCIONES PRECIO POR ACCION($) RENDIMIENTO ANUAL ESTIMADO POR ACCION ($) INVERSION MAXIMA POSIBLE ($) Gofer Crude 60 7 60.000 Can Oil 25 3 25.000 Sloth Petroleum 20 3 30.000 Formulación del problema: Definición de variables X1 = Número de acciones de Gofer Crude X2 = Número de acciones de Can Oil X3 = Número de acciones de Sloth Petroleum Función objetivo: Maximizar Z = 7X1 + 3X2 + 3X3 Restricciones 60X1 ≤ 60.000 inversión máxima de Gofer Crude 25X2 ≤ 25.000 inversión máxima de Can Oil 20X3 ≤ 30.000 inversión máxima de Sloth Petroleum 60X1 + 25X2 + 25X3 ≤ 100.000 inversión total No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 3 Datos de entrada para Solver 56 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 115 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 122 Datos de salida del Solver 59. Planificación de Cartera. Una compañía de inversiones tiene actualmente $ 10 millones disponibles para inversión. La meta que se ha trazado consiste en maximizar la retribución esperada durante el siguiente año. Sus cuatro posibilidades de inversión se presentan resumidas en la siguiente tabla. Además, la compañía ha especificado que cuando menos 30% de los fondos tendrán que colocarse en acciones ordinarias y bonos de la tesorería y que no más del 40% del dinero deberá invertirse en fondos del mercado y títulos municipales. Se invertirá la totalidad de los $ 10 millones actualmente a la mano. Formule un modelo de PL que indique a la empresa cuánto dinero debe invertir en cada instrumento.57 POSIBILIDAD DE INVERSION RETRIBUCION ESPERADA (%) INVERSIONMAXIMA (MILLONES DE $) Bonos de Tesorería 8 5 Acciones Ordinarias 6 7 Mercado de Dinero 12 2 Títulos Municipales 9 4 57 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 117 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 123 Formulación del problema Definición de variables X1 = cantidad en dólares en Bonos de Tesorería X2 = cantidad en dólares en Acciones Ordinarias X3 = cantidad en dólares en Mercado de Dinero X4 = cantidad en dólares en Títulos Municipales Función objetivo: Maximizar Z = 0.08X1 + 0.06X2 + 0.12X3 + 0.09X4 Restricciones X1 + X2 ≥ 0.30(X1 + X2 + X3 + X4) 0.70X1 + 0.70X2 – 0.30X3 – 0.30X4 ≥ 0 30% de inversión X3 + X4 ≤ 0.40(X1 + X2 + X3 + X4) -0.40X1 – 0.40X2 + 0.60X3 +0.60X4 ≤ 0 40% de inversión X1 ≤ 5’000.000 inversión en Bonos de Tesorería X2 ≤ 7’000.000 inversión en Acciones Ordinarias X3 ≤ 2’000.000 inversión en Mercado de Dinero X4 ≤ 4’000.000 inversión en Títulos Municipales X1 + X2 + X3 + X4 ≤ 10’000.000 inversión total No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para el Solver Datos de salida del Solver Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 124 60. Wood Walter es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En este taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Word podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además, el modelo C puede venderse sin pintar. Word emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule UD. un modelo de programación lineal que ayude a Word a determinar la mezcla de productos que le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes.58 Modelo Corte (hrs) Montaje (hrs) Pintura (hrs) Ganancia por mesa ($) A 3 4 5 25 B 1 2 5 20 C 4 5 4 50 C sin pintar 4 5 0 30 Capacidad 150 200 300 Solución al problema Definición de variables X1 = Cantidad de mesas Modelo A X2 = Cantidad de mesas Modelo B X3 = Cantidad de mesas Modelo C X4 = Cantidad de mesa Modelo C sin pintar Función objetivo: Maximizar Z = 25X1 + 20X2 + 50X3 + 30X4 Restricciones 3X1 + X2 + 4X3 + 4X4 ≤ 150 horas en Corte 4X1 + 2X2 + 5X3 + 5X4 ≤ 200 horas en Montaje 5X1 + 5X2 + 4X3 + 0X4 ≤ 300 horas en Pintura 58 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 114 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 125 No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos de entrada para Solver Datos de salida del Solver 61. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc, ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de grasas.¿qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento de los perros a fin de minimizar los costos de Douglas? (Nota: 16 onzas = 1 libra)59 PRODUCTO EN GRANO COSTO POR LIBRA($) PROTEINAS (%) CARBOHIDRATOS (%) GRASAS (%) A 0.45 62 5 3 B 0.38 55 10 2 C 0.27 36 20 1 Solución del problema 59 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 115 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 126 Definición de variables X1 = Cantidad en libras de producto A X2 = Cantidad en libras del producto B X3 = Cantidad en libras del producto C Función objetivo: Minimizar Z = 0.45X1 + 0.38X2 + 0.27X3 Restricciones 0.62X1 + 0.55X2 + 0.36X3 ≥ 0.5 por proteínas 0.05X1 + 0.10X2 + 0.20X3 ≥ 0.0625 por carbohidratos 0.03X1 + 0.02X2 + 0.01X3 ≤ 0.03125 por grasas No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 3 Datos de entrada para Solver Datos de salida del Solver 62. McNaughton, Inc. Produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la más suave). Esta salsa de hacen mezclando dos ingrediente, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo de programación Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 127 lineal cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.60 SALSA INGREDIENTE PRECIO DE VENTA POR LITRO A B Spicy Diablo Cuando menos 25% Cuando menos 50% 3.35 Red Baron Cuando mucho 75% * 2.85 Costo por litro 1.60 2.59 * no existe un porcentaje máximo o mínimo explícito Solución del problema Definición de variables X1 = Cantidad de litros de ingrediente A para Salsa Spicy Diablo X2 = Cantidad de litros de ingrediente A para Salsa Red Baron X3 = Cantidad de litros de ingrediente B para Salsa Spicy Diablo X4 = Cantidad de litros de ingrediente B para Salsa Red Baron Función objetivo: Maximizar Z = 3.35(X1 + X3) + 2.85(X2 + X4) – 1.6(X1 + X2) – 2.59(X3 + X4) Z = 1.75X1 + 0.76X2 + 1.25X3 + 0.26X4 Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X3) 0.75X1 – 0.25X3 ≥ 0 contenido de A en la salsa Spicy X2 ≤ 0.75(X2 + X4) 0.25X2 – 0.75X4 ≤ 0 contenido de A en la salsa Red X3 ≥ 0.50(X1 + X3) -0.50X1 + 0.50X3 ≥ 0 contenido de B en la salsa Spicy X1 + X2 ≤ 40 máxima compra de litros de A X3 + X4 ≤ 30 máxima compra de litros de B No negatividad Xi ≥0 ; i = 1, 4 Datos para entrada del Solver 60 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 115 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 128 Salida del Solver 63. La Corey Ander’s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utiliza para producción de condimentos. Corey emplea los tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de cúrcuma y pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente se puede vender un máximo de1700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70; HB03, $0.55. Además, Corey ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de Corey como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos.61 INGREDIENTES (ONZ/BOTELLA) DEMANDA (BOTELLAS) PRECIO VENTA /BOTELLA HB01 HB02 HB03 Cúrcuma 4 2 1 1700 3.25 Pimentón 3 2 3 ilimitada 2.75 Disponibilidad 61 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 115 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 129 (onzas) 8000 9000 7000 Solución del problema Definición de variables X1 = Cantidad de botellas de Cúrcuma X2 = Cantidad de botellas de Pimentón Función objetivo Maximizar Z = 3.25X1 + 2.75X2 + 0.60(8000 – 4X1 – 3X2) + 0.70(9000 – 2X1 – 2X2) + 0.55(7000 – X1 – 3X2) Z = 14.950 – 5.45X1 – 6.95X2 Restricciones 4X1 + 3X2 ≤ 8000 por onzas de HB01 2X1 + 2X2 ≤ 9000 por onzas de HB02 1X1 + 3X2 ≤ 7000 por onzas de HB03 X1 ≤ 1.700 botellas de Cúrcuma X2 ≥ 600 contrato para Pimentón No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 Solución GLP Datos de entrada para el Solver 0 90180270360450540630720810900990108011701260135014401530162017101800 101 181 261 341 421 501 581 661 741 821 901 981 1061 1141 1221 1301 1381 1461 1541 1621 1701 X2 X1 : 4.0 X1 + 3.0 X2 = 8000.0 : 2.0 X1 + 2.0 X2 = 9000.0 : 1.0 X1 + 3.0 X2 = 7000.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 1700.0 : 0.0 X1 + 1.0 X2 = 600.0 Payoff: 1.1 X1 + 2.1 X2 = 1260.0 Optimal Decisions(X1,X2): ( 0.0, 600.0) : 4.0X1 + 3.0X2 <= 8000.0 : 2.0X1 + 2.0X2 <= 9000.0 : 1.0X1 + 3.0X2 <= 7000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 <= 1700.0 : 0.0X1 + 1.0X2 >= 600.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 130 Salida del Solver 64. Guy Chung, superintendente de los edificios y del terreno circundante de la Universidad Gótica, ha planeado aplicar fertilizante al césped del área cuadrangular a principios de la primavera. Ese prado necesita por lo menos las cantidades de nitrógeno, fósforo y potasio que figuran en la siguiente tabla: MINERAL PESO MINIMO(LIBRAS) Nitrógeno 10 Fósforo 7 Potasio 5 Hay tres tipos de fertilizante comercial disponibles; los análisis y precios por 1000 libras se enlistan en la siguiente tabla. Guy puede comprar cualquier cantidad de cualquiera de los fertilizantes que quiera y combinarlos antes de aplicarlos al césped. Formule un modelo de PL que determine la cantidad de Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 131 cada fertilizante que debe comprar para satisfacer los requerimientos con un costo mínimo.62 Fertilizante Contenido de nitrógeno (lib) Contenido de fósforo (lib) Contenido de potasio (lib) Precio ($) I 25 10 5 10 II 10 5 10 8 III 5 10 5 7 Solución del problema Definición de variables X1 = Miles de libras de Fertilizante I X2 = Miles de libras de Fertilizante II X3 = Miles de libras de Fertilizante III Función objetivo: Minimizar Z = 10X1 + 8X2 + 7X3 Restricciones 25X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 10 contenido de nitrógeno 10X1 + 5X2 + 10X3 ≥ 7 contenido de fósforo 5X1 + 10X2 + 5X3 ≥ 5 contenido de potasio No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3 Datos de entrada para el Solver Datos de salida del Solver 62 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 116 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 132 65. La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de mineral. Dichas minas está localizadas en distintas partes del país y, en consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la calidad de su mineral. Después de ser molido el mineral se clasifica en tres clases dependiendo de la calidad: alta. Media y baja. Ebel ha sido contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matriz 12 toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24 toneladas de calidad baja. A Ebel le cuesta $ 20.000 diarios operar la primera mina y $ 16.000 la segunda. Sin embargo en un día de operación la primera mina produce 6 tonelada de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4 toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días a la semana tendrá que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la manera más económica posible? (En este caso resulta aceptable programar la operación de las minas en fracciones de día)63 Solución del problema Definición de variables X1 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la Mina 1 X2 = Número de días a la semana (fracción de semana) de trabajo de la Mina 2 Función objetivo: Minimizar Z = 20X1 + 16X2 miles de dólares Restricciones 6X1 + 2X2 ≥ 12 mineral de alta calidad 2X1 + 2X2 ≥ 8 mineral de calidad mediana 4X1 + 12X2 ≥ 24 mineral de baja calidad X1 + X2 = 5 máximo tiempo 1 semana (5 días) No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 63 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 116 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 133 Solución GLP Datos de entrada para Solver PRODUCCION DE MINERALES EN EBEL MINING COMPANY Producción en Mina 1 Mina 2 Días de la semana 1 1 MIN Costo diario de operación 20000 16000 36000 RESTRICCIONES USO DE RECURSOS UTILIZADO LIMITE NO UTILIZADO Producción mineral alta c. 6 2 8 ≥ 12 -4 Producción mineral mediana c. 2 2 4 ≥ 8 -4 Producción mineral baja c. 4 12 16 ≥ 24 -8 Tiempo máximo una semana 1 1 2 ≤ 5 3 Datos de salida del Solver Producción en Mina 1 Mina 2 Días de la semana 1 3 MIN Costo diario de operación 20000 16000 68000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 X2 X1 : 6.0 X1 + 2.0 X2 = 12.0 : 2.0 X1 + 2.0 X2 = 8.0 : 4.0 X1 + 12.0 X2 = 24.0 : 1.0 X1 + 1.0 X2 = 5.0 Payoff: 20.0 X1 + 16.0 X2 = 68.0 Optimal Decisions(X1,X2): ( 1.0, 3.0) : 6.0X1 + 2.0X2 >= 12.0 : 2.0X1 + 2.0X2 >= 8.0 : 4.0X1 + 12.0X2 >= 24.0 : 1.0X1 + 1.0X2 <= 5.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 134RESTRICCIONES UTILIZADO LIMITE NO UTILIZADO Producción mineral alta c. 6 2 12 ≥ 12 9,32E-12 Producción mineral mediana c. 2 2 8 ≥ 8 9,32E-12 Producción mineral baja c. 4 12 40 ≥ 24 16 Tiempo máximo una semana 1 1 4 ≤ 5 1 66. La Sally Solar Car CO., tiene una planta que fabrica automóviles sedán, deportivos y camionetas. Los precios de venta, costos variables y costos fijos correspondientes a la manufactura de estos vehículos se presentan en la siguiente tabla: MODELO CONTRIBUCION A LAS GANANCIAS ($) VARIABLE DE PRODUCCION TIEMPO(HRS) COSTOS FIJOS ($) Sedan 6.000 12 2.000.000 Camioneta 8.000 15 3.000.000 Deportivo 11.000 24 7.000.000 Rally ha recibido recientemente pedidos por un total de 100 automóviles sedan, 200 camionetas y 300 automóviles deportivos. Deberá atender todos estos pedidos. Ella desea planear la producción de manera que pueda alcanzar el punto de equilibrio con la mayor rapidez posible, es decir, quiere asegurarse que el margen total de contribución sea igual al total de costos fijos y que los costos variables de producción sean mínimos. Formule este problema como un modelo de programación lineal y resuélvalo.64 Solución del problema: Definición de variables X1 = cantidad de automóviles Sedan X2 = cantidad de Camionetas X3 = Cantidad de automóviles Deportivos Función objetivo: Tiempo Mínimo Z = 12X1 + 15X2 + 24X3 Restricciones 6X1 - 2000 ≥ 0 producción de automóviles sedan 8X2 – 3000 ≥ 0 producción de camionetas 11X3 – 7000 ≥ 0 producción de automóviles deportivos x1 ≥ 100 cantidad de automóviles sedan x2 ≥ 200 cantidad de camionetas X3 ≥ 300 cantidad de automóviles deportivos No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 3 64 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 116 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 135 Entrada de datos para Solver Salida del Solver 67. Reese Eichler, fabricante de equipo complementario para filtración del aire, produce dos tipos de unidades, el Umidaire y el Depollinator. Los datos referentes a los precios de venta y a los costos aparecen en la siguiente tabla. La compañía Resse ha sido contratada para suministrar 500 Umidaire y desea calcular las cantidades del punto de equilibrio de ambos tipos de unidad. Formule el modelo de PL para minimizar los costos y resuélvalo.65 Producto Precio de venta por unidad ($) Costos variables por unidad ($) Costos fijos ($) Umidaire 450 240 150.000 Depollinator 700 360 240.000 Definición de variables X1 = Cantidad de unidades de Umidaire X2 = Cantidad de unidades de Depollinator Función objetivo: Minimizar Z = 240X1 + 360X2 Restricciones 450X1 – 240X1 – 150000 ≥ 0 ; 210X1 ≥ 150000 65 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 117 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 136 700X2 – 360X2 – 240000 ≥ 0 ; 340X2 ≥ 240000 X1 ≥ 500 No negatividad Xi ≥ 0; i = 1, 2 Solución GLP Punto de equilibrio x1 > 500 y x2 > 705.9 Datos de entrada Solver Salida Solver 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 X2 X1 : 210.0 X1 + 0.0 X2 = 150000.0 : 0.0 X1 + 340.0 X2 = 240000.0 : 1.0 X1 + 0.0 X2 = 500.0 Payoff: 240.0 X1 + 360.0 X2 = 425546.2 Optimal Decisions(X1,X2): (714.3, 705.9) : 210.0X1 + 0.0X2 >= 150000.0 : 0.0X1 + 340.0X2 >= 240000.0 : 1.0X1 + 0.0X2 >= 500.0 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 137 68. Una compañía opera cuatro granjas, cuyos grados de productividad son comparables. Cada una de las granjas tiene cierta cantidad de hectáreas útiles y de horas de trabajo para plantar y cuidar la cosecha. Los datos correspondientes a la próxima temporada aparecen en la siguiente tabla. GRANJA HECTAREAS UTILES HORAS DE TRABAJO DISPONIBLES POR MES 1 500 1700 2 900 3000 3 300 900 4 700 2200 La organización está considerando la opción de plantar tres cultivos distintos. Las diferencias principales entre estos cultivos son las ganancias esperadas por hectárea y la cantidad de mano de obra que cada uno requiere, como se indica en la siguiente tabla. CULTIVO HECTAREAS MAXIMAS HORAS MENSUALES DE TRABAJO POR HECTAREA GANACIAS ESPERADAS POR HECTAREA ($) A 700 2 500 B 800 4 200 C 300 3 300 Además, el total de las hectáreas que pueden ser dedicadas a cualquier cultivo en particular están limitadas por los requerimientos asociados por concepto de equipo de ciega. Con la finalidad de mantener una carga de trabajo más o menos uniforme entre las distintas granjas, la política de la administración recomienda que el porcentaje de hectáreas plantadas deberá ser igual para todas las granjas. Sin embargo, en cualquiera de esas fincas puede crecer cualquier combinación de cultivos, siempre y cuando se satisfagan todas las restricciones (incluido el requerimiento de la carga de trabajo sea uniforme). La administración desea saber cuantas hectáreas de cada cultivo tendrá que Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 138 plantar en sus respectivas granjas, A fin de maximizar las ganancias esperadas.66 Definición de variables X11 = Cantidad de Ha del Cultivo A en la Granja 1 X12 = Cantidad de Ha del Cultivo A en la Granja 2 X13 = Cantidad de Ha del Cultivo A en la Granja 3 X14 = Cantidad de Ha del Cultivo A en la Granja 4 X21 = Cantidad de Ha del Cultivo B en la Granja 1 X22 = Cantidad de Ha del Cultivo B en la Granja 2 X23 = Cantidad de Ha del Cultivo B en la Granja 3 X24 = Cantidad de Ha del Cultivo B en la Granja 4 X31 = Cantidad de Ha del Cultivo C en la Granja 1 X32 = Cantidad de Ha del Cultivo C en la Granja 2 X33 = Cantidad de Ha del Cultivo C en la Granja 3 X34 = Cantidad de Ha del Cultivo C en la Granja 4 Función objetivo: Maximizar Z = 500X11 + 500X12 + 500X13 + 500X14 + 200X21 + 200X22 + 200X23 + 200X24 + 300X31 + 300X32 + 300X33 + 300X34 Restricciones X11 + X21 + X31 ≤ 500 Ha de cultivo en Granja 1 X12 + X22 + X32 ≤ 900 Ha de cultivo en Granja 2 X13 + X23 + X33 ≤ 300 Ha de cultivo en Granja 3 X14 + X24 + X34 ≤ 700 Ha de cultivo en Granja 4 2X11 + 4X21 + 3X31 ≤ 1700 Horas de trabajo en Granja 1 2X12 + 4X22 + 3X32 ≤ 3000 Horas de trabajo en Granja 2 2X13 + 4X23 + 3X33 ≤ 900 Horas de trabajo en Granja 3 2X14 + 4X24 + 3X34 ≤ 2200 Horas de trabajo en Granja 4 X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 700 Ha de cultivo A X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 800 Ha de cultivo B X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 300 Ha de cultivo C Cumplimiento de distribución uniforme 900(X11 + X21 + X31) – 500(X12 + X22 + X32) = 0 Distr. G1 y G2 500(X13 + X23 + X33) – 300(X11 + X21 + X31) = 0 Distr. G1 y G3 700(X11 + X21 + X31) – 500(X14 + X24 + X34) = 0 Distr. G1 y G4 No negatividad Xij ≥ 0; i = 1, 3; j = 1, 4 i = Cultivo; j = Granja Entrada de datos para Solver 66 Eppen. Investigación de opresionesen la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 117 342414332313322212312111 700300900500 XXXXXXXXXXXX Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 139 Salida Solver 69. La administración de un viñedo desea combinar cuatro cosechas distintas para producir tres tipos distintos de vinos en forma combinada. Las existencias de las cosechas y los precios de venta de los vinos combinados se muestran en la siguiente tabla, junto con ciertas restricciones sobre los porcentajes incluidos en la composición de las tres mezclas. En particular, las cosechas 2 y 3 en conjunto deberán constituir cuando menos 75% de la mezcla de A y cuando menos 35% de la mezcla C. Además, la mezcla A deberá contener cuando menos el 8% de la cosecha 4, mientras que la mezcla B deberá contener por lo menos 10% de la cosecha 2 y a lo sumo 35% de la cosecha 4. Se podrá vender cualquier cantidad Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 140 que se elabore de las mezclas A, B y C. Formule un modelo PL que aproveche de mejor forma las cosechas disponibles y resuélvalo.67 Mezcla Cosecha Precio de venta/galón 1 2 3 4 A * cuando menos 75% 2 Y 3 en cualquier proporción cuando menos 8% 80 B * cuando menos 10% * cuando mucho 35% 50 C * Cuando menos 35% 2 y 3 en cualquier proporción * 35 Existencias (galones) 130 200 150 350 * indica que no existe restricción alguna Definición de variables X11 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 1 para mezcla A X12 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 1 para mezcla B X13 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 1 para mezcla C X21 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 2 para mezcla A X22 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 2 para mezcla B X23 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 2 para mezcla C X31 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 3 para mezcla A X32 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 3 para mezcla B X33 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 3 para mezcla C X41 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 4 para mezcla A X42 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 4 para mezcla B X43 = Cantidad de galones de vino de la cosecha 4 para mezcla C Función Objetivo Maximizar Z= 80X11 + 80X21 + 80X31 + 80X41 + 50X12 + 50X22 + 50X32 + 50X42 + 35X13 + 35X23 + 35X33 + 35X43 Restricciones X21 + X31 ≥ 0.75(X11 + X21 + X31 + X41) por lo menos 75% de 2 y 3 en A X41 ≥ 0.08(X11 + X21 + X31 + X41) cuando menos el 8% en A X22 ≥ 0.10(X12 + X22 + X32 + X42) cuando menos el 10% en B X42 ≤ 0.35(X12 + X22 + X32 + X42) cuando mucho el 35% en B X23 + X33 ≥ 0.35(X13 + X23 + X33 + X43) por lo menos 35% de 2 y 3 en C X11 + X12 + X13 ≤ 130 máximo de galones de cosecha 1 X21 + X22 + X23 ≤ 200 máximo de galones de cosecha 2 X31 + X32 + X33 ≤ 150 máximo de galones de cosecha 3 X41 + X42 + X43 ≤ 350 máximo de galones de cosecha 4 No negatividad Xij ≥ 0; i = 1, 4; j = 1, 3 67 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 118 Investigación Operativa I Programación Lineal Oswaldo Paul Rivadeneira Página: 141 i = Cosecha; j = Mezcla Datos de entrada para Solver Salida del Solver
