03-Nov TP10 - Teoria de Colas

Vista previa del material en texto

Formulas de líneas de espera
λ= numero promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo
L = numero promedio de clientes presentes en el sistema
Lq = numero promedio de clientes en la cola
Ls = numero promedio de clientes en servicio
W= tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema
Wq= tiempo promedio que un cliente pasa en la cola
Ws= tiempo promedio que un cliente pasa en servicio
Para cualquier sistema de colas en el cual existe una distribución de Estado Estable
Se cumplen las siguientes relaciones:
Formulas de Little:
L = λW
Lq= λWq
Ls= λWs
NOTACION DE KENDALL-LEE
Cada sistema de colas se representa con seis características
(a / b / c) : (d / e / f)
a = Tiempo de llegadas
b = Tiempo de servicio
c = Numero de servidores o canales
d = Disciplina de servicio
e = Capacidad que puede atender
f = Tamaño población
Ws(t)= Prob. De que un cliente permanezca
Mas de t tiempo en el sistema.
Modelo: M/ M / 1
Sistema: Aeropuerto
Servidor: Pista de aterrizaje
Clientes: Aviones
a) µ= 1
3
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
= 20 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
a) λ = 1
5
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
= 12 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
ρ= λµ =
12
20
= 0,6 < 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
c) W(t) = 𝑒−𝑡 𝑊
W= 1µ−λ = 0,125
W(t) = 𝑒−10 0,125
W(t) = 0,082 => 8,2 % 
La probabilidad que un avión que llega este en tierra en menos de 10 min es de 8,2%
d) P3= ρ3 (1- ρ) 
P3= (0,6)3 . (1-0,6) = 0,0864 => 8,64%
e) L = ρ
1−ρ
= 0,6
1−0,6
= 1,5 ⇒ 2 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
f)Lq= 
ρ2
1−ρ
= 0,6
2
1−0,6
= 0,9 => 1 avión.
g) ρ= λµ =
12
20
= 0,6 ⇒ 60%
h) El sistema tiene 2 aviones en el aire y 1 que esta siendo atendido, por lo que no requiere 
Otro servidor. El sistema es estable.
Modelo: M/ M / 1
λ= 10 clientes/hora
µ= 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
ρ= λµ =
10
15
= 0,66 < 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
a) P0 = 1 – ρ = 1 – 0,66 = 34%
La probabilidad de que el cajero se encuentre vacío es del 34%
b)Lq= ρ
2
1−ρ = 1,33 clientes => 1 cliente.
c)W = Wq + 1µ = 12 minutos
d) µ= 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
= 15 clientes por hora.
Modelo: M / M / 2
λ= 80 clientes /hr
µ= 1/1,2 cliente / min. = 50 clientes/hr
ρ= λS. µ =
80
2 ∗ 50
= 0,8 < 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
a) L = Lq + ρ
L = 2,84 + 1,6 = 4,44 clientes
b) W = 
𝐿
λ
= 4,44
80
= 0,055 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Otra forma: W= Wq + 1
µ
= 𝐿𝑞
λ
+ 1
µ
= 2,84
80
+ 1
50
= 0,055 horas => 3,3min
c) P0 = 
1
9
horas => 6,6 min
Modelo: M / M / 1 : FIFO / 10 / infinito (a / b / c) : (d / e / f)
a = Tiempo de llegadas
b = Tiempo de servicio
c = Numero de servidores o canales
d = Disciplina de servicio
e = Capacidad que puede atender
f = Tamaño población
Modelo: M / M / 1 : FIFO / 10 / infinito 
Servidor: 1 Medico
Capacidad : 10 turnos
λ=20 clientes / hr
µ= 1
12
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/min => 5 cli/hr.
*Como el sistema es de capacidad de cola limitada, hay que calcular los λ efectivos.
λefectivo= λ – λperdido
λperdido= λ. P10
λperdido= 20 . 0,75 = 15 clientes/hr
λefectivo= 20 – 15 = 5 clientes/hr
El medico atenderá 5 clientes por hora.
P10= 
1−ρ ρ𝑛
1−ρ𝑐
+1 = 
−3 .410
1 −411
= 0,75
λefectivoλ 
λperdido
ρ=λµ = 
20
5 = 4 > 1 
Modelo: M / M / 1 : FIFO / 10 / infinito 
b) W = 𝐿
λ(1 −𝑃𝑐)
L =ρ[1− 𝑐+1 ρ
2+𝑐 ρ 𝑐
+1
1−ρ (1−ρ𝑐
+1) = 9,66
W= 9,66
20 (1−0,75)
= 1,9 horas
En promedio el cliente pasara 1,9 hs en sala de espera.
Preguntas