Electromagnetismo para Ingenieros - J Nunez

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Electromagnetismo
para
Ingenieros
Dr. Josué A. Núñez
Profesor Titular
Cátedra FÍSICA II
Facultad de Ingeniería
UNJu
2
Índice general
I Campos Estáticos y Campos dependientes del tiempo 7
1. Electrostática 15
1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.0.1. Concepto de distribución de carga. . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.0.2. El campo eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.0.1. Aplicaciones de la Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Potencial Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. Corriente eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1. El modelo de Drude y Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1. Energía de interacción entre cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2. Densidad de energía de Interacción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.1. Análisis de los primeros términos
del desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.2. Propiedades del desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9. Energía almacenada por el
campo en un medio material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.10. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.1. Coe�cientes de potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.2. Coe�cientes de capacidad e inducción. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11.3. Condensadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.12. Ejercicios para resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2. Magnetostática 53
2.1. Fenómenos magnéticos
en régimen estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
4 Índice general
2.3. Ecuaciones diferenciales
de la magnetostática
Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1. Cálculo de la ∇ ·B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.2. Cálculo del ∇×B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4. Potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.1. Potencial vector e inducción magnética
de una espira circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5. Campo magnético de una distribución
localizada de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6. Fuerza y par sobre una distribución
localizada de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.1. Energía potencial de un momento magnético permanente
(o dipolo) en un campo magnético externo. . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7. Magnetismos en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.8. Condiciones de contorno para B y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.9. Ejercicios para resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3. Campos dependientes del tiempo 75
3.1. Comentarios iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Energía de un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1. Auto-inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2. Inductancia mutua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.3. Fórmula de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.4. Transitorios en circuitos RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.6. Ley de conservación.
Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7. Ejercicios para resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
II Algunas aplicaciones de la teoría electromagnética de cam-
pos 99
4. Ondas Planas 103
4.1. Propagación de Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.1. Propiedades de E y H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.1.1. Campo H: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1.1.2. Campo E: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2. Solución de la ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3. Ondas planas armónicas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4. Efectos en la propagación
de la onda con la frecuencia ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5. Relación entre |H| y |E| con la frecuencia ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6. Ondas planas armónicas en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7. Flujo de energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Índice general 5
5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas 119
5.1. Estado de polarización de
una onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2. Re�exión y Refracción en super�cies planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.1. Propiedades geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2. Relación entre los campos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2.1. El campo E0 es normal al plano de incidencia. . . . . . . . 124
5.2.3. El campo E0 está en el plano de incidencia. . . . . . . . . . . . . . 126
5.3. Medios Dieléctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6. Interferencia y Difracción 135
6.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2. Superposición de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3. Interferencia producida por
dos fuentes idénticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.4. Interferencia producida por
N fuentes sincrónicas idénticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5. Diagrama de Interferencia producido por
cuatro fuentes idénticas en un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6. Diagrama de interferencia de
M grupos de N fuentes idénticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7. Difracción. 149
7.0.1. Principio de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.0.1.1. Principio de Huygens: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.0.1.2. Principio de Huygens-Fresnel: . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.0.1.3. Suma grá�ca de las amplitudes de las ondas secundarias . 151
7.1. Difracción de Fresnel y Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.1. Difracción de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.1.2. Difracción de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2.1. Difracción mediante un ori�cio redondo de una pantalla
opaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.2.2. Difracción mediante una rendija rectangular. . . . . . . . . 156
6 Índice general
Parte I
Campos Estáticos y Campos
dependientes del tiempo
7
Introducción
Comentarios GeneralesEstimados estudiantes. Antes de comenzar el curso deseo compartir con ustedes el sen-
tido que tendrán los encuentros que nos reunirán de aquí en más. Es importante, al menos
para mí, que logremos aproximarnos al sentido de esta apasionante e intrigante disciplina
de la ciencia. Espero que podamos, utilizando como mediador al electromagnetismo, reali-
zar un análisis crítico no sólo de la ciencia sino también de la asignación de �verdad� que
se le con�ere.
He escrito esta introducción repetidas veces y todas ellas fueron descartadas.
Encontrar la manera adecuada para comunicar cuál es la pretensión del curso
no fue fácil hasta que un profesor de �losofía puso en mis manos el muy claro
libro La �losofía y el barro de la historia 1. Realmente les recomiendo
su lectura porque es un texto capaz de cambiar nuestro enfoque de cómo ver
y analizar las cosas y en particular reformular lo que creemos y aceptamos
como la realidad. No resultó extraño encontrar lo que quería decir en este
libro; ya que José Pablo Feinmann posee la envidiable habilidad de vincular
con un hilo sin nudos el pensamiento de los �lósofos a través del tiempo
contextualizado en el momento histórico correcto, pero también mirando
desde su propio tiempo histórico.
Es común encontrar en los textos de estudio de física la idea de que ésta explica fenómenos
que acontecen en la realidad física, dando por supuesto que entendemos y comprendemos
que sabemos de qué se está hablando. La cuestión es si el signi�cado cotidiano de los dos
conceptos anteriores resultan su�cientes para saber de qué se está hablando y aun más en
qué términos lo hace la física. Resulta entonces casi una obviedad que nos preguntemos
acerca de: ¿qué es eso de fenómeno? y ¿qué es eso de realidad física?.
Tanto la idea de fenómeno como de realidad están íntimamente relacionadas. De hecho,
la palabra fenómeno -del griego phainómenon derivado del verbo phaino2- denota lo que
aparece o lo aparente. Etimológicamente signi�ca tanto lo que aparece y se hace presente
a la percepción como lo que es mera apariencia. Es interesante notar que esto no signi�ca
necesariamente asignarle existencia como cosa en sí. Kant (siglo XVIII), utiliza para dife-
renciar el objeto tal como lo conocemos del noúmenon3, la cosa en sí misma y fue el �lósofo
1La �losofía y el barro de la historia. José Pablo Feinmann. Editorial Planeta.
2Estos comentarios pueden encontrarse en Diccionario de �losofía. Copyright © 1996. Empresa Editorial
Herder S.A., Barcelona. Todos los derechos reservados. ISBN 84-254-1991-3. Autores: Jordi Cortés Morató
y Antoni Martínez Riu.
3noúmenon: término procedente del griego "noumena", que signi�ca etimológicamente "lo pensado",
"lo inteligible".
9
10
Johann Heinrich Lambert, quien introduce el término fenomenología y a los fenómenos, co-
mo aspectos ilusorios de la experiencia humana. Para Kant, el fenómeno no es una ilusión
o un engaño de los sentidos, sino todo cuanto podemos conocer por la experiencia y, en
algún sentido, construcción (trascendental) del sujeto humano mediante las formas a priori
de la sensibilidad, y cuya comprensión logra la mente con determinados conceptos también
a priori, ejemplo podrían ser el de sustancia y el de causalidad. Posteriormente, fenómeno
pasó a signi�car, de un modo más general, cualquier hecho o suceso que pudiera conver-
tirse en objeto de una descripción cientí�ca. Así, en las ciencias empíricas, fenómeno es el
hecho que se toma como objeto de estudio; mientras que en la fenomenología de Husserl,
fenómeno es el dato de conciencia cuya esencia se describe.
La física se va desarrollando, como toda construcción humana, siguiendo los vaivenes
culturales de la humanidad y este hecho en sí es para nada impresionante, pues es parte del
juego evolutivo del homo sapiens como especie. De ahí, cuando al concepto de fenómeno
antes mencionado y con él, de todos los hechos o sucesos plausibles de ser descriptos por
la ciencia, sólo se considerará aquellos que se circunscriben al universo tangible (que se
puede tocar, oír o ver). La tangibilidad de algo dependerá de nuestra percepción ya que
nuestra realidad se construye, básicamente, a través de los sentidos. Los sentidos, a los
que hago referencia, son parte del bagaje instrumental biológico que nos dan información
del medio que nos circunda. Esta información como tal solamente se percibe y la idea de
percepción nos remite a un plano estrictamente psicológico. La palabra «percibir» viene del
latín perceptio, acción de recoger, conocimiento; de percipere apoderarse de algo, percibir;
la perceptio del latín es traducción del griego de katálepsis. Tener conciencia de una
sensación es un el proceso por el que el sujeto transforma las diversas impresiones sensoriales
en un objeto conocido. La percepción es fundamental para aprehender la realidad, pues la
realidad sólo se entiende como totalidad. Si se percibe una pintura no se desglosa en colores,
contrastes, etc. se percibe la totalidad en conjunto. Desglosar en partes es una acción a
posteriori. Sensación y percepción forman parte del proceso del conocimiento sensible y
ninguno es meramente activo o pasivo en este proceso, ambos son receptoras y efectoras.
Los factores que in�uyen en la percepción no son meramente las impresiones sensoriales,
sino que dependen de elementos que pertenecen sujeto consciente y de hecho hacen al
objeto. Recuerdos, experiencias y conceptos previos, modo de aprendizaje, etc., hacen al
reconocimiento del objeto. La perspectiva y expectativas del sujeto ante las cosas in�uyen
en la conformación del objeto.
El punto de arranque de la psicología moderna lo constituyen las investigaciones sobre
la percepción, llevadas a cabo sobre todo por los estudios de la psicología de la forma. Surge
como respuesta directa al asociacionismo, o el empirismo que se sostiene en la asociación
de ideas o de sensaciones4. Esta interpretación de la percepción como una asociación de
impresiones sensibles y de algún modo deterministas, se contrapone la psicología inspirada
en la �losofía trascendental de Kant, pues interpreta el conocimiento sensible como una
elaboración de la materia del conocimiento mediante formas sensibles a priori. Hoy po-
dríamos pensar psicologías surgidas directamente de la fenomenología de Husserl y en la
psicología de la comprensión de Dilthey. pues estos pensadores marcan la necesidad de la
Para Kant, el noúmeno es el objeto tal como es "en sí" mismo, independientemente de nuestro modo de
conocerlo, al que denomina "la cosa en sí". Kant lo opone al fenómeno, al objeto tal como es para nosotros;
es decir, tal como lo conocemos en función de las formas a priori de la sensibilidad y del entendimiento.
4Se sostiene por las ideas de los empiristas británicos, Hume y J. Stuart Mill, y difundida masivamente
en psicología por el conductismo
11
idea de totalidad y de sujeto activo para comprender los fenómenos mentales.
Tras ellas -abonado el terreno, además, por las sugerencias de Ernst Mach sobre la exis-
tencia de sensaciones espaciales y temporales, como �guras geométricas y melodías, por
ejemplo, independientes de los elementos que las componen-, la psicología de la Gestalt,
por obra de Wertheimer, Köhler y Ko�ka, principalmente, introduce el concepto de «orga-
nización», que media entre estímulo y respuesta, propia del conductismo. Inspirándose en
la fenomenología, los psicólogos de la Gestalt hablan de objetos de la experiencia y no de
estímulos independientes y sumados; la unidad de experiencia -de percepción- es un objeto,
no una impresión sensorial. La organización de la que hablan los psicólogos de la Gestalt se
re�ere a la forma o con�guración con que se perciben los estímulos sensoriales. Estas formas
y con�guraciones o están en la naturaleza o son a priori. La respuesta de estos psicólogos
fue que hay formas tanto en la naturaleza como en la mente humana. La indagación de
cuáles son estas formas ha contituido el programa de investigación empírica de la psicología
de la forma.
Tradicionalmente,el problema que la percepción plantea a la �losofía se re�ere a la
relación existente entre nuestras experiencias internas y el mundo exterior. A ello funda-
mentalmente responden tres teorías: realismo directo, realismo indirecto y fenomenismo (el
idealismo es un caso especial de este último). El realismo perceptivo sostiene que los objetos
percibidos poseen una existencia independiente de nuestra sensación y que conservan sus
propiedades aun cuando no sean percibidos y, a modo de ejemplo, es interesante la conocida
discusión entre Einstein y Tagore que a continuación se transcribe:
Diálogo entre Rabindranath Tagore y Albert Einstein, Calcuta, India. 1931
"Diálogo entre Rabindranath Tagore y el profesor Albert Einstein", en la tarde del 14 de julio de 1930, en
la residencia del profesor Einstein en Kaputh, Berlín.
Einstein: ¿Cree usted en lo divino aislado del mundo?
Tagore: Aislado no. La in�nita personalidad del Hombre incluye el Universo. No puede haber nada que
no sea clasi�cado por la personalidad humana, lo cual prueba que la verdad del Universo es una verdad
humana. He elegido un hecho cientí�co para explicarlo. La materia está compuesta de protones y electrones,
con espacios entre sí, pero la materia parece sólida sin los enlaces interespaciales que uni�can a los elec-
trones y protones individuales. De igual modo, la humanidad está compuesta de individuos conectados por
la relación humana, que con�ere su unidad al mundo del hombre. Todo el universo está unido a nosotros,
en tanto que individuos, de modo similar. Es un universo humano. He seguido la trayectoria de esta idea
en arte, en literatura y en la conciencia religiosa humana.
Einstein: Existen dos concepciones distintas sobre la naturaleza del Universo: El mundo como unidad de-
pendiente de la humanidad, y El mundo como realidad independiente del factor humano.
Tagore: Cuando nuestro universo está en armonía con el hombre eterno, lo conocemos como verdad, lo
aprehendemos como belleza.
Einstein: Esta es una concepción del universo puramente humana.
Tagore: No puede haber otra. Este mundo es un mundo humano, y la visión cientí�ca es también la del
hombre cientí�co. Por lo tanto, el mundo separado de nosotros no existe; es un mundo relativo que depende,
para su realidad, de nuestra conciencia. Hay cierta medida de razón y de gozo que le con�ere certidumbre,
la medida del Hombre Eterno cuyas experiencias están contenidas en nuestras experiencias.
Einstein: Esto es una concepción de entidad humana.
Tagore: Sí, una entidad eterna. Tenemos que aprehenderla a través de nuestras emociones y acciones.
Aprehendimos al Hombre Eterno que no tiene limitaciones individuales mediadas por nuestras limitacio-
nes. La ciencia se ocupa de lo que no está restringido al individuo; es el mundo humano impersonal de
verdades. La religión concibe esas verdades y las vincula a nuestras necesidades más íntimas, nuestra
12
conciencia individual de la verdad cobra signi�cación universal. La religión aplica valores a la verdad, y
sabemos, conocemos la bondad de la verdad merced a nuestra armonía con ella.
Einstein: Entonces, la Verdad, o la Belleza, ¿no son independientes del hombre?
Tagore: No.
Einstein: Si no existiera el hombre, el Apolo de Belvedere ya no sería bello.
Tagore: No.
Einstein: Estoy de acuerdo con esta concepción de la Belleza, pero no con la de la Verdad.
Tagore: ¿Por qué no? La verdad se concibe a través del hombre.
Einstein: No puedo demostrar que mi concepción es correcta, pero es mi religión.
Tagore: La belleza es el ideal de la perfecta armonía que existe en el Ser Universal; y la Verdad, la com-
prensión perfecta de la mente universal. Nosotros, en tanto que individuos, no accedemos a ella sino a
través de nuestros propios errores y desatinos, a través de nuestras experiencias acumuladas, a través de
nuestra conciencia iluminada; ¿cómo si no, conoceríamos la Verdad?
Einstein: No puedo de mostrar que la verdad cientí�ca deba concebirse como verdad válida independien-
temente de la humanidad, pero lo creo �rmemente. Creo, por ejemplo, que el teorema de Pitágoras en
geometría a�rma algo que es aproximadamente verdad, independientemente de la existencia del hombre.
De cualquier modo, si existe una realidad independiente del hombre, también hay una verdad relativa a esta
realidad; y, del mismo modo, la negación de aquella engendra la negación de la existencia de ésta.
Tagore: La verdad, que es una con el Ser Universal, debe ser esencialmente humana, si no aquello que los
individuos conciban como verdad no puede llamarse verdad, al menos en el caso de la verdad denominada
cientí�ca y a la que sólo puede accederse mediante un proceso de lógica, es decir, por medio de un órgano
re�exivo que es exclusivamente humano. Según la �losofía hindú, existe Brahma, la Verdad absoluta, que
no puede concebirse por la mente individual aislada, ni descrita en palabras, y sólo es concebible mediante
la absoluta integración del individuo en su in�nitud. Pero es una verdad que no puede asumir la ciencia. La
naturaleza de la verdad que estamos discutiendo es una apariencia - es decir, lo que aparece como Verdad
a la mente humana y que, por tanto, es humano, se llama maya o ilusión.
Einstein: Luego, según su concepción, que es la concepción hindú, no es la ilusión del individuo, sino de
toda la humanidad...
Tagore: En ciencia, aplicamos la disciplina para ir eliminando las limitaciones personales de nuestras
mentes individuales y, de este modo acceder a la comprensión de la Verdad que es la mente del Hombre
Universal.
Einstein: El problema se plantea en si la Verdad es independiente de nuestra conciencia.
Tagore: Lo que llamamos verdad radica en la armonía racional entre los aspectos subjetivos y objetivos de
la realidad, ambos pertenecientes al hombre supra-personal.
Einstein: Incluso en nuestra vida cotidiana, nos vemos impelidos a atribuir una realidad independiente del
hombre a los objetos que utilizamos. Lo hacemos para relacionar las experiencias de nuestros sentidos de
un modo razonable. Aunque, por ejemplo, no haya nadie en esta casa, la mesa sigue estando en su sitio.
Tagore: Sí, permanece fuera de la mente individual, pero no de la mente universal. La mesa que percibo es
perceptible por el mismo tipo de conciencia que poseo.
Einstein: Nuestro punto de vista natural respecto a la existencia de la verdad al margen del factor humano,
no puede explicarse ni demostrarse, pero es una creencia que todos tenemos, incluso los seres primitivos.
Atribuimos a la Verdad una objetividad sobrehumana, nos es indispensable esta realidad que es indepen-
diente de nuestra existencia, de nuestras experiencias y de nuestra mente, aunque no podamos decir qué
signi�ca.
Tagore: La ciencia ha demostrado que la mesa, en tanto que objeto sólido, es una apariencia y que, por
lo tanto, lo que la mente humana percibe en forma de mesa no existiría si no existiera esta mente. Al
mismo tiempo, hay que admitir que el hecho de que la realidad física última de la mesa no sea más que
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una multitud de centros individuales de fuerza eléctricas en movimiento es potestad también de la mente
humana. En la aprehensión de la verdad existe un eterno con�icto entre la mente universal humana y la
misma mente circunscrita al individuo. El perpetuo proceso de reconciliación lo llevan a cabo la ciencia, la
�losofía y la ética. En cualquier caso, si hubiera alguna verdad totalmente desvinculada de la humanidad,
para nosotros sería totalmente inexistente. No es difícil imaginar una mente en la que la secuencia de las
cosas no sucede en el espacio, sino sólo en el tiempo, como la secuencia de las notas musicales. Para tal
mente la concepción de la realidad es semejante a la realidad musical en la que la geometría pitagórica
carece de sentido. Está la realidad del papel, in�nitamente distinta a la realidad de la literatura. Para el
tipo de mente identi�cada a la polilla, que devora este papel, la literatura no existepara nada; sin embargo,
para la mente humana, la literatura tiene mucho mayor valor que el papel en sí. De igual manera, si hubiera
alguna verdad sin relación sensorial o racional con la mente humana, seguiría siendo inexistente mientras
sigamos siendo seres humanos.
Einstein: ¡Entonces, yo soy más religioso que usted!
Tagore: Mi religión es la reconciliación del Hombre Supra-personal, el espíritu humano Universal y mi pro-
pio ser individual. Ha sido el tema de mis conferencias en Hibbert bajo el título de 'La religión del hombre'.
Publicado por primera vez en el diario "Modern Review" de Calcuta en 1931
Se llama directo a este realismo cuando entre el objeto percibido y el sujeto que percibe
no existe ningún intermediario, e indirecto si tal intermediario existe. El realismo indirecto
sostiene que, aunque los objetos percibidos existen realmente, no son percibidos directa-
mente, sino que son captados a través de un intermediario, que puede ser la idea, los sense
data, el percepto, etc.
El fenomeismo, o fenomenismo, que es una teoría perceptiva no realista, no admite
la existencia de un mundo físico real e independiente de la percepción; fuera de la propia
experiencia no existe nada más, y ésta es percibida directamente sin intervención de ningún
medio distinto. Para el idealismo los objetos físicos no son sino un conjunto de ideas; puede
negar simplemente la existencia de los objetos físicos o puede reducir los objetos físicos a
experiencia (Berkeley): en este caso, se confunde con el fenomenalismo.
Durante la primera mitad del siglo XX, las posturas de algunos �lósofos tendían a
defender el realismo indirecto; pero a partir de la segunda mitad, se tiende al realismo
directo.
Cualquier teoría de la percepción ha de relacionar ésta con el proceso general del cono-
cimiento de la realidad, entendiendo por tal la «reconstrucción (interna) adecuada y una
identi�cación de los objetos externos en el sujeto cognoscente». En este proceso, se pue-
den distinguir las etapas sucesivas de: sensación, percepción, experiencia o conocimiento
cotidiano precientí�co y conocimiento teórico, o ciencia.
El poder de la ciencia es inagotable, atractivo y con prensa. Ser cientí�co hoy es tener
autoridad validada, autoridad exagerada y de gran soberbia. Lo que la ciencia expresa es
verdad incuestionable fundada en la validez conferida al propio conocimiento cientí�co, en
tanto autoridad. Por lo que tal autoridad debiéramos tomarla con más precaución.
Llegamos hasta este momento gracias a todos aquellos que supieron respetar su propio
futuro y no sólo por la ciencia.
14
Capítulo 1
Electrostática
Vamos a tratar de dar algunas razones que expliquen fenómenos en los que intervienen
distribuciones de cargas que no dependen del tiempo.
La electrostática se ha desarrollado históricamente como una ciencia de fenómenos ma-
croscópicos. Idealizaciones, tales como cargas puntuales o campo eléctrico, deben entenderse
como abstracciones matemáticas que permiten la descripción de ciertos observables en la
naturaleza. Estos fenómenos están íntimamente relacionados con una propiedad fundamen-
tal de del universo llamada carga eléctrica.
Sólo se han determinados dos clases de cargas, una positiva y otra negativa. La carga
eléctrica como propiedad intrínseca de la materia es una constante y la menor carga negativa
observable es la asociada al electrón; en tanto que la menor carga positiva y de igual valor
absoluto que la negativa se asocia con el protón.
1.1. Ley de Coulomb
Toda la electrostática se construye a partir de un enunciado cualitativo y cuantitativo
conocido como Ley de Coulomb. Coulomb logra describir la fuerza de interacción entre
dos cuerpos cargados en reposo uno respecto del otro. Los cuerpos son en realidad cargas
puntuales y este hecho nos sitúa dentro de un universo que aún no tiene materia.
Sea F12 la fuerza que se ejerce sobre la carga puntual q1, situada en el punto x1 por la
presencia de otra carga q2 localizada en el punto x2 tal como muestra la �gura 1.1.1, luego
tal fuerza entre las cargas queda representada por
F12 = k q1 q2
x12
|x12|3
(1.1.1)
donde x12 = x1 − x2 y k una constante que depende del sistema de unidades.
Es interesante notar que la fuerza F12 dada en (1.1.1) tiene las características siguientes:
1. Es directamente proporcional al producto de las cargas.
2. Es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado que separa las cargas.
3. Su dirección es la dirección de la recta que une ambas cargas.
4. Es atractiva si las cargas tienen signos opuestos y repulsiva si los signos de las cargas
son iguales.
15
16 Capítulo 1. Electrostática
La experiencia muestra que la fuerza aplicada sobre una tercer carga se corresponde con
la suma vectorial de las fuerzas ejercida sobre ésta; debido a la carga 1 y a la carga 2
respectivamente, independientemente de cuál sea la fuerza eléctrica entre las cargas 1 y 2,
ver �gura 1.1.2, esto es la interacción se mani�esta como de dos cuerpos tal como describe
la Ley de Coulomb (1.1.1).
Figura 1.1.1: Dos cargas en interacción
Figura 1.1.2: Fuerza total.
El concepto de que la interacción eléctrica involucra sólo dos cuerpos se traduce en
el conocido principio de superposición; es decir, si tenemos N cargas {qi}i=1,··· ,N en las
posiciones {xi}i=1,··· ,N la fuerza F ejercida sobre una carga arbitraria q en la posición x
está determinada por
F(x) =
1
4π�0
N∑
i=1
q qi
|x− xi|3
(x− xi) . (1.1.2)
Reescribamos (1.1.2) como
F(x) =
q
4π�0
N∑
i=1
qi
|x− xi|3
(x− xi)
F(x) = qE(x) (1.1.3)
vemos que en este caso particular, podríamos decir que la fuerza aplicada sobre una carga
arbitraria q es proporcional a una magnitud vectorial E, como muestra la ecuación (1.1.3).
Si hacemos uso del hecho de que una fuerza aplicada sobre un cuerpo modi�ca su estado
dinámico, resulta que
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb.
17

m
d2x
dt2
=
q
4π�0
(
q1
|x− x1|3
(x− x1) + ....+
qN
|x− xN |3
(x− xN )
)
m1
d2x1
dt2
=
q1
4π�0
(
q
|x1 − x|3
(x1 − x) + ....+
qN
|x− xN |3
(x− xN )
)
......... ... ................................................................
mN
d2xN
dt2
=
qN
4π�0
(
q
|xN − x|3
(xN − x) + ....+
qN−1
|x− xN−1|3
(x− xN−1)
) (1.1.4)
¿Será posible asegurar en todos los casos lo anteriormente dicho?
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb.
1.2.0.1. Concepto de distribución de carga.
Si en las ecuaciones (1.1.2) o (1.1.3) en número de cargas puntuales es tan grande
como se quiera pero todas éstas con�nadas en una región �nita del espacio, es claro que
éstas siguen siendo válidas; sin embargo son poco prácticas, pues podemos a�rmar que en
cualquier caso realista N es del orden de 1023.
El mundo moderno nos provee de un sinfín de situaciones análogas. Común es a todos la
idea de densidad y ¿quién no lidió alguna vez con ese concepto?, pero ¿se entiende realmente
el concepto como tal? o simplemente deberíamos preguntarnos ¿cómo se distribuyen las
cosas en el espacio? o ¿deberíamos asumir sin cuestionar la idea cotidiana que el concepto
proporciona por su uso y costumbre?
Sea V un volumen �nito con una carga total distribuida Q. Si subdividimos V en N
volúmenes ∆Vi tal que cada uno de éstos tengan una carga ∆qi, podemos de�nir luego las
condiciones siguientes
N∑
i=1
∆Vi = V (1.2.1)
N∑
i=1
∆qi = Q (1.2.2)
Si de�nimos ρi =
∆qi
∆Vi
, luego resulta
Q =
N∑
i=1
ρi∆Vi
=
N∑
i=1
(
∆qi
∆Vi
)
∆Vi (1.2.3)
Ahora bien, si N →∞ entonces por las condiciones (1.2.1) y (1.2.2) resulta
ˆ
V
dV = V
ˆ
V
dq = Q
18 Capítulo 1. Electrostática
por lo que (1.2.3) se reescribe como
Q =
ˆ
V
dq
dV
dV =
ˆ
V
ρ dV (1.2.4)
donde ρ representa la densidad de carga distribuida por unidad de volumen, i.e.
ρ =
dq
dV
(1.2.5)
Retomemos la ecuación (1.1.2) pero admitiendo que
∑N
i=1 qi = Q está distribuida en un
volumen �nito V . Denotando como ∆qi a qi la reescribimos entonces como
F(x) =
q
4π�0
N∑
i=1
∆qi
|x− xi|3
(x− xi)
si N tiende a in�nito, por las consideraciones anteriormente expuestasse obtiene
F(x) =
q
4π�0
ˆ
v
dq(x′)
|x− x′|3
(x− x′)
que por (1.2.5) resulta
F(x) =
q
4π�0
ˆ
v
ρ(x′)
|x− x′|3
(x− x′) dx′3 (1.2.6)
donde denotamos por comodidad de visualización para la distinción de variables dV ≡ dx′3.
1.2.0.2. El campo eléctrico.
La idea de campo eléctrico es algo que está muy arraigado en la vida cotidiana, pero
lo que tal vez lo que no esté tanto es la real sutileza que el mismo concepto posee. La
incorporación del concepto campo al lenguaje cotidiano sitúa al campo en el mismo plano
de realidad que a la fuerza. No debemos olvidar que cuando se realiza un experimento físico,
lo único que somos capaces de medir son interacciones traducidas en términos de fuerza.
Por ejemplo: saber cuánto pesa algo implica utilizar un dinamómetro, y lo que medimos es
la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre el objeto; pero de ninguna manera podemos
medir en forma directa el campo gravitatorio.
Conceptualmente el campo se introduce como medio para poder independizarse, bási-
camente, de la fuente que es la responsable de la interacción. Esto es, como concepto posee
una sutileza muy grande y es necesario dar una de�nición razonable al mismo. Un campo
no es más que una abstracción vinculada con alguna magnitud que asigna a todo punto del
espacio una propiedad física especí�ca que luego se traduce en términos de una interacción
medible. Ahora bien, si F es la fuerza eléctrica observada sobre una carga q en la posición
x podríamos pensar que existe un E tal que
F = qE
E es un campo vectorial que tiene asociado la propiedad de la interacción eléctrica.
De�nición. Llamaremos campo eléctrico E creado por una carga arbitraria Q a
1.2. Generalización de la
Ley de Coulomb.
19
E = ĺım
q→0
F
q
. (1.2.7)
De la ecuación (1.1.1) podemos encontrar trivialmente cuál es el campo eléctrico debido
a una carga qi en la posición xi. Aplicando la de�nición anterior resulta
Ei(x) = ĺım
q→0
Fi
q
= k qi
(x− xi)
|x− xi|3
(1.2.8)
La evidencia experimental respecto de la validez del principio de superposición lineal
para las fuerzas se traduce en el caso del campo eléctrico en un punto x creado por un
conjunto de cargas {qi}i=1,··· ,n situadas en los puntos {xi}i=1,··· ,n, como
E(x) = k
n∑
i=1
qi
(x− xi)
|x− xi|3
=
n∑
i=1
Ei(x) . (1.2.9)
De aquí en más, utilizaremos el sistema MKSA para elegir el valor de la constante de
manera que k =
1
4π�0
.
Supongamos ahora que en vez de un conjunto de cargas puntuales lo que se dispone
es de una distribución de cargas ρ(x), donde ρ(x) = ĺım
∆V→0
∆q
∆V
, entonces el campo debe
construirse como
E(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
(x− x′)
|x− x′|3
d3x′. (1.2.10)
donde d3x′ = dx′dy′dz′.
Ejemplo. Supongamos que Φ(x) =
1
4π�0
q
|x− x′|
y que disponemos de un conjunto de
cargas {qi}i=1,··· ,n localizadas en los puntos {xi}i=1,··· ,n. Para representar la distribución ρ(x)
de carga haremos uso de la distribución δ(x), conocida como delta de Dirac 1. Entonces, la
1En una dimensión la distribución delta se expresa como δ(x−a). Esta distribución posee las propiedades
siguientes:
δ(x− a) = 0 para x 6= a, y
ˆ
δ(x− a) dx = 1
si el recinto de integración incluye al punto a, y cero en caso contrario.
La distribución delta puede considerarse como un caso límite de:
δ(x) = ĺım
σ→o
e−
x2
2σ2
√
2πσ
.
La teoría de distribuciones debida a L. Schwartz es una introducción rigurosa a las distribuciones y su
aplicación
De las de�niciones dadas se tiene que si f(x) es una función arbitraria,
ˆ
f(x) δ(x− a) dx = f(a) y
20 Capítulo 1. Electrostática
distribución de carga se expresa en términos de la distribución δ como
ρ(x) =
n∑
i=1
qi δ(x− xi) (1.2.11)
Reemplazando (1.2.11) en (1.2.10) e integrando obtenemos
E(x) =
1
4π�0
n∑
i=1
qi
(x− xi)
|x− xi|3
, (1.2.12)
resultado idéntico al obtenido en (1.2.9).
1.3. Ley de Gauss
Si observamos la ecuación (1.2.10), es fácil inferir que tal vez no sea una forma adecuada
para calcular un campo eléctrico. Es posible transformar tal ecuación a otra forma integral
que eventualmente es más amigable, y que de hecho permite expresar el campo como una
ecuación diferencial, esta representación es conocida como Ley de Gauss.
Consideremos una carga puntual Q y una super�cie cerrada S, ver �gura 1.3.1. Sea r
la distancia de la carga a un punto de la super�cie, n un vector unitario exterior a S y da
un elemento de área. Si el campo eléctrico E creado por la carga Q forma un ángulo θ con
la normal, entonces tenemos que
dS = n da
E =
1
4π�0
Q
r
r3
ˆ
f(x) δ′(x− a) dx = −f ′(a),
donde el símbolo �prima� implica derivar respecto del argumento.
Si la distribución δ tiene como argumento a una función f(x), la δ se puede escribir como
δ(f(x)) =
1∣∣∣ dfdx ∣∣∣δ(x− x0)
donde x0 satisface f(x0) = 0.
Para casos de más de una dimensión la distribución se construye como el producto de las deltas para
cada grado de libertad, esto es:
δ(x−X) = δ(x1 −X1)δ(x2 −X2)δ(x3 −X3)
en este caso resulta que
ˆ
∆V
δ(x−X) d3x =
{
1 si ∆V contiene a x = X
0 si ∆V no contiene a x =X
.
Un conjunto discreto de cargas puede ser representado como
ρ(x) =
n∑
i=1
qi δ(x− xi).
1.3. Ley de Gauss 21
Figura 1.3.1: Ley de Gauss
luego resulta
E·dS = E · n da = 1
4π�0
Q
r cos θ
r3
da =
1
4π�0
Q
cos θ
r2
da (1.3.1)
ahora bien, la cantidad
dΩ =
cos θ
r2
da
es el ángulo sólido, de manera que 1.3.1 se reescribe como
E · n da = 1
4π�0
QdΩ, (1.3.2)
integrando por sobre toda la super�cie tenemosˆ
S
E · n da = 1
4π�0
Q
ˆ
Ω
dΩ
resultando luego ˆ
S
E · n da = Q
�0
(1.3.3)
Si la carga Q es interior a la super�cie cerrada S. En caso de que ésta sea exterior a S
tenemos ˆ
S
E · n da = 0, (1.3.4)
tal como muestra la �gura 1.3.2.
Figura 1.3.2: Con�guraciones posible
Las ecuaciones (1.3.3) y (1.3.4) son conocidas como Ley de Gauss para cargas puntuales.
Si poseemos una distribución de cargas ρ(x), la generalización de la ecuación (2.2.8) se
escribe como ˆ
S
E · n da = 1
�0
ˆ
V
ρ(x) d3x (1.3.5)
22 Capítulo 1. Electrostática
donde V es el volumen encerrado por la super�cie S.
Supongamos que ρ(x) viene expresada por la ecuación (1.2.11), luego de (1.3.5) resulta
ˆ
S
E · n da = 1
�0
n∑
i=1
qi (1.3.6)
que no es más que la Ley de Gauss para un conjunto discreto de cargas.
La ecuación (1.3.5) es una de las ecuaciones fundamentales de la electrostática y es
interesante ver que:
depende del inverso del cuadrado de la distancia entre las cargas,
depende de la naturaleza central de las fuerzas y
depende de la superposición lineal de las fuerzas debida a cada carga.
La descripción realizada en los párrafos anteriores no son más que una formulación integral
de una de las leyes de la electrostática. Buscaremos ahora una forma diferencial de la misma
y que tendrá exclusivamente un carácter local.
Teorema. (Teorema de la Divergencia) Dado un campo vectorial A(x) ∈ R3, un volumen
V limitado por la super�cie S, se cumple
˛
S
A · n da =
ˆ
V
∇ ·A d3x (1.3.7)
donde n es un vector unitario dirigido hacia afuera de S.
Si aplicamos el teorema anterior a la ecuación (1.3.5) vemos que
˛
S
E · n da =
ˆ
V
∇ · E d3x = 1
�0
ˆ
V
ρ(x) d3x
o reordenando adecuadamente podemos escribir
ˆ
V
(
∇ · E− ρ
�0
)
d3x = 0 (1.3.8)
donde V es el volumen contenido por S. Para que la integral dada por (1.3.8) sea nula para
todo V , se debe cumplir que
∇ · E = ρ
�0
. (1.3.9)
La ecuación diferencial anterior puede utilizarse para resolver problemas en electrostá-
tica, pero debemos aclarar que no es la manera más adecuada de hacerlo. Siempre es más
sencillo utilizar funciones escalares que vectoriales.
1.4. Potencial Escalar 23
1.3.0.1. Aplicaciones de la Ley de Gauss
Vimos anteriormente que la Ley de Gauss permite conocer la cantidad de carga neta
dentro de una super�cie cerrada S suponiendo conocido el campo eléctrico. Veremos ahora
que es posible resolver el problema inverso en algunos casos particulares; es decir, calcular
el campo eléctrico conociendo la densidad de carga ρ haciendo uso de (1.3.5).
La super�cie cerradaS es en principio arbitraria, si expresamos con Σ a la super�cie en
donde el campo eléctrico es el mismo en cualquier punto de ésta, luego de (1.3.5) obtenemos
|E|
ˆ
Σ
(u · n) ds = 1
�0
ˆ
v
ρ d3x (1.3.10)
La ecuación anterior la reescribiremos de�niendo con
A (Σ) =
ˆ
Σ
(u · n) ds (1.3.11)
por lo que (1.3.10) el campo eléctrico es
|E| = 1
�0
´
v
ρ d3x
A (Σ)
(1.3.12)
donde con A (Σ) representamos al área se Σ.
Supongamos una carga puntual Q ubicada en el origen del sistema de referencia. El
campo E sabemos que es radial; es decir, el problema posee simetría esférica. Si elegimos
como super�cie Σ a la super�cie de una esfera de radio R luego
A (Σ) = 4π R2
por lo que (1.3.12) se obtiene
|E| = Q
4π�0R2
que corresponde al campo generado por una carga puntual.
Podemos observar que el teorema de Gauss permite inferir el campo si se conoce la
densidad de carga, pero en situaciones de simetría muy especial; estas simetrías se las
conoce como simetría fuerte.
1.4. Potencial Escalar
Las propiedades de un campo vectorial quedan bien de�nidas si conocemos su divergen-
cia y su rotor en todo el espacio. En el caso del campo eléctrico conocemos su divergencia,
ecuación (1.3.9). Busquemos ahora su rotor y para ello tomemos la ecuación (1.3.5) dada
por
E(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
(x− x′)
|x− x′|3
d3x′
y escribamos a
x− x′
|x− x′|3
= −∇
(
1
|x− x′|
)
,
24 Capítulo 1. Electrostática
como el operador ∇ actúa sobre la variable x solamente resulta
E(x) = −∇
[
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
|x− x′|
d3x′
]
. (1.4.1)
La expresión entre corchetes en la ecuación anterior es una función escalar que llama-
remos Φ(x), entonces
Φ(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
|x− x′|
d3x′ (1.4.2)
Reemplazando (1.4.2) en (1.4.1) resulta que el campo eléctrico puede expresarse como
E(x) = −∇Φ(x). (1.4.3)
Del cálculo vectorial puede demostrase que el rotor de un campo, que es derivado como
el gradiente de un campo escalar, es nulo; esto es
∇× E = −∇× (∇Φ) = 0 (1.4.4)
por lo que resulta que el campo eléctrico es de tipo irrotacional. Este hecho surge porque la
fuerza ejercida entre cargas es de naturaleza central, es decir depende exclusivamente de la
distancia entre ellas pero no del hecho que sea inversamente proporcional con el cuadrado
de ésta.
La ecuación (1.4.3) de�ne el campo eléctrico a partir de una función escalar. Esta función
es la que toma el nombre de potencial escalar y está de�nido por la ecuación (1.4.2). El
potencial escalar admite una interpretación física clara y es completamente equivalente al
caso gravitatorio. Consideremos el trabajo efectuado sobre una carga q al moverla de un
punto A a otro B dentro de un campo eléctrico arbitrario E. Por de�nición, la fuerza que
el campo induce sobre la carga es
F = qE
Debemos mover la carga q a velocidad v constante con la condición de que v � c, es decir
que la trasladaremos sin cambios en la energía cinética de la carga y casi-estáticamente. Si
Fq es la fuerza ejercida sobre esta carga se cumple que
Fq + F = 0
de donde resulta
Fq = −F = −qE
y el trabajo realizado para moverla de A a B siguiendo un camino arbitrario Γ es
W =
ˆ
Γ
Fq · dl = −q
ˆ
Γ
E · dl, (1.4.5)
Reemplazando (1.4.3) en (1.4.5) obtenemos
W = q
ˆ
Γ
∇Φ · dl = q
ˆ B
A
dΦ = q [ΦB − ΦA] (1.4.6)
Ecuación que nos permite interpretar a la función escalar Φ(x) como la función potencial
eléctrico. Ahora bien, de las ecuaciones (1.4.5) y (1.4.6) obtenemos
ˆ B
A
E · dl = [ΦB − ΦA] (1.4.7)
1.4. Potencial Escalar 25
que nos dice que la integral de línea del campo eléctrico entre dos punto arbitrarios es
independiente del camino, y como consecuencia de esta propiedad encontramos que si el
camino de integración es cerrado es:
˛
C
E · dl = 0. (1.4.8)
Si recurrimos al Teorema de Stoke que asegura
Teorema. Sea A(x) un campo vectorial, S una super�cie abierta orientable y C la curva
cerrada que limita a S, ˛
C
A · dl =
ˆ
S
(∇×A) · n da (1.4.9)
donde dl es el elemento de longitud de C, n la normal a S y el camino de integración se
realiza en sentido antihorario. Ver �gura 1.4.1
Figura 1.4.1:
la ecuación (1.4.8) puede escribirse como
˛
C
E · dl =
ˆ
S
(∇× E) · n da = 0
de donde se obtiene nuevamente la propiedad dada por (1.4.4).
Podemos obtener otra ecuación para el potencial calculando la divergencia a la expresión
del campo eléctrico dada por (1.4.3), esto es
∇ · E =−∇ · (∇Φ)
y usando la ecuación (1.3.9) resulta la conocida Ecuación de Poisson
∇2Φ = − ρ
�0
, (1.4.10)
que en regiones del espacio donde la densidad de carga es nula la ecuación (1.4.10) se reduce
a
∇2Φ = 0 (1.4.11)
conocida como Ecuación de Laplace.
26 Capítulo 1. Electrostática
1.5. Corriente eléctrica.
Sabemos que en un campo eléctrico, actuando en una región donde hay cargas eléctricas
libres, las cargas se moverán hacia regiones donde el potencial disminuya. Supongamos que
en la posición del punto P observamos las cargas que pasan por el punto; no importa si lo
hacen vía un conductor o éstas con�guran un haz de partículas cargadas moviéndose en el
espacio. El observador detecta que una carga 4q pasa por P en el tiempo 4t. de manera
que es posible de�nir entonces la corriente promedio 〈I〉 como
〈I〉 = ∆q
∆t
Si la corriente es debida al movimiento de protones2, solamente contando cuántos pasan
por P, podríamos medir la corriente promedio. Es decir, si N es el número de protones
que pasaron en el intervalo ∆t, entonces 4q = Ne y la corriente promedio 〈I〉 = N e/∆t.
La dirección de la corriente se asume como la del �ujo de las cargas positivas. Si las
cargas en movimiento fueran electrones3, la dirección 〈I〉 sería opuesta a la dirección de
su movimiento. ¿Cómo se entiende esto?, supongamos que la región alrededor del punto
P fuera originalmente neutra; es decir, la carga neta es nula entonces, si cierto número
de cargas negativas estuvieran saliendo de la región, ésta adquiriría un exceso de cargas
positivas, lo que es enteramente equivalente al ingreso de cargas positivas en la región.
Una corriente eléctrica no es mas que cargas eléctricas en movimiento que se describe
con el vector densidad de corriente J, su dirección y sentido es el del movimiento de las
cargas positivas, y su módulo viene dado por la cantidad de carga que atraviesa por unidad
de área y unidad de tiempo.
Supongamos entonces que tenemos un cierto volumen V , limitado por una super�cie S,
en el que sale una cierta cantidad de carga, descripta por J (ver �gura 1.5.1).
Figura 1.5.1:
La cantidad de carga que emerge de V en la unidad de tiempo es:
F =
ˆ
S
J(x) · n ds
esta cantidad debe ser igual a la disminución de carga en el volumen V por unidad de
tiempo, esto es
F = −dq
dt
2El protón es una partícula constituyente del nucleo atómico con carga positiva e.
3El electrón es parte elemental en la constitución del átomo y posee carga −e.
1.5. Corriente eléctrica. 27
luego, igualando ambas expresiones se tieneˆ
S
J(x) · n ds = −dq
dt
(1.5.1)
Si q =
ˆ
V
ρ(r, t) d3x, podemos escribir entonces
dq
dt
=
ˆ
V
∂ρ
∂t
d3x de donde resulta que la
ecuación (1.5.1) queda ˆ
S
J(x) · n ds = −
ˆ
V
∂ρ
∂t
d3x
y teniendo en cuenta el Teorema de la Divergenciaˆ
V
∇ · J(x) d3x = −
ˆ
V
∂ρ
∂t
d3x
se obtiene el conocido Teorema de Conservación de la Carga
∇ · J + ∂ρ
∂t
= 0 (1.5.2)
Si la densidad de carga ρ es constante, resulta entonces
∇ · J = 0 (1.5.3)
y esta condición es que la determina el comportamiento estático de los campos.
1.5.1. El modelo de Drude y Ley de Ohm
El modelo de Drude o de Lorentz-Drude para conducción eléctrica fue desarrollado
hacia el 1900 por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de electrones en
materiales. Este modelo, estrictamente clásico, explica la conductividad de los materiales
basándose en la aplicación de la teoría cinética a los electrones en un sólido y proporciona
un resultado razonable, aún cuando estos (modelo y resultado), han sido ampliamente
superados por el modelo cuántico fundado en la teoría de bandas de conducción.
Un conductor, desde una visión microscópica,puede entenderse como una red cristalina
en la que existen tanto electrones ligados como electrones libres. Se supone que el material
contiene iones positivos inmóviles y un "gas de electrones" clásicos, que no interactúan entre
sí, de densidad n, donde el movimiento de cada uno se encuentra amortiguado por una fuerza
de fricción producto de las colisiones de los electrones con los iones, caracterizada por un
tiempo de relajamiento τ . Los electrones ligados están sometidos a una fuerza elástica que
los hace oscilar alrededor de los iones de carga positiva, mientras que los electrones libres
son los responsables de la conductividad.
El modelo de Drude supone que un portador promedio de carga eléctrica está sujeto a
la acción de una "fuerza de resistencia" γ. En presencia de un campo eléctrico externo E
se satisface la siguiente ecuación diferencial
m
d
dt
〈v〉 = qE− γ〈v〉 (1.5.4)
donde 〈v〉 es la velocidad promedio, m es la masa efectiva y q la carga eléctrica del portador
de carga. La solución de la ecuación diferencial (1.5.4) es
〈v〉 = 〈v0〉 e−
γ
m
t +
q
γ
E (1.5.5)
28 Capítulo 1. Electrostática
De�niendo el tiempo libre medio entre choques de los electrones con los iones positivos �jos
como τ =
m
γ
y a µ =
q
γ
como la movilidad eléctrica, reescribimos la (1.5.5) como
〈v〉 = 〈v0〉 e−
t
τ + µE (1.5.6)
Para tiempos su�cientemente grandes, es decir cuando
t
τ
� 1, la velocidad media es
〈v〉 = µE (1.5.7)
Si tenemos en cuenta la densidad de portadores por unidad de volumen n, la densidad de
corriente eléctrica J es entonces
J = nq 〈v〉 = nτq
2
m
E (1.5.8)
La relación dada por la ecuación anterior permite, al menos desde el modelo propuesto,
asegurar que
J = σE (1.5.9)
Ahora bien, es claro que si en una región del espacio hay una corriente; ésta necesariamente
ocurre por la existencia de un campo eléctrico o por la existencia de una diferencia de
potencial dada por
ˆ b
a
E · dl = φb − φa
Reemplazando el campo por su relación con la densidad de corriente encontramos que
φb − φa =
ˆ b
a
J
σ
· dl
=
ˆ b
a
J · n
σ
dl
reacomodando la expresión anterior como
φb − φa =
ˆ
J
Aσ
· ds dl
Si de�nimos como V = φb − φa y con R a
R =
ˆ
dl
Aσ
=
l
Aσ
como la resistencia del material al paso de la corriente, obtenemos que la diferencia de
potencial y la corriente se vinculan con
V = I R (1.5.10)
Esta relación, conocida como la Ley de Ohm, fue obtenida experimentalmente por el físico
alemán Georg Simon Ohm. La unidad de medida es el Ohm en su honor y se designa con
la letra Ω y 1Ω =
1V
1A
.
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía
29
Ejercicio. Calcular la resistencia equivalente de los arreglos a) y b) mostrados en la �gura
(1.5.2).
Figura 1.5.2:
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía
1.6.1. Energía de interacción entre cargas
Supongamos que disponemos de un conjunto de n cargas {qi}i=1··· ,n in�nitamente ale-
jadas entre sí. Nuestro problema radica en evaluar cuánta energía se necesita para cambiar
ese estado a otro caracterizado por las posiciones {xi}i=1,··· ,n. Moveremos las cargas una a
una hasta la posición correspondiente cuasiestáticamente; es decir, el tiempo transcurrido
para ubicar cada carga desde su posición inicial hasta la posición �nal es in�nito. La primer
carga se mueve en presencia de un campo eléctrico nulo hasta la posición x1; la segunda
la movemos hasta la posición x2 pero ésta lo hace en presencia del campo producido por
la primer carga; la tercer carga se nueve a la posición x3 en el campo producido por las
dos anteriores, etc. Repetimos el proceso anterior hasta llegar a la n-esima carga que ubi-
caremos en la posición xn. La carga n-esima se mueve entonces en presencia del campo
producido por las n-1 restantes. Construyamos ahora el esquema descripto.
Supongamos que es qi la carga puntual que se trae desde el in�nito al punto xi. Esta
carga se trae a una región del espacio donde existe un campo eléctrico localizado producido
por las i−1 cargas ya existentes. Este campo, que supondremos descripto por un potencial
escalar Φ(x), posee la propiedad
ĺım
x→∞
Φ(x) = 0.
El trabajo que se realiza sobre la carga viene dado por la ecuación (1.4.6), es decir
Wi = qiΦ(xi). (1.6.1)
Si consideramos que el potencial Φ es el producido por (i−1) cargas {qj}j=1,··· ,i−1 localizadas
en los puntos {xj}j=1,··· ,i−1, es decir
Φ(xi) =
1
4π�0
i−1∑
j=1
qj
|xi − xj|
, (1.6.2)
resulta, de acuerdo con la ecuación (1.6.1) la energía potencial de la carga qi es
Wi =
qi
4π�0
i−1∑
j=1
qj
|xi − xj|
. (1.6.3)
30 Capítulo 1. Electrostática
Ahora bien, como la energía potencial es un escalar, la energía potencial debido al trabajo
realizado por las fuerzas involucradas en el proceso es W =
∑
iWi, de donde resulta
W =
1
4π�0
n∑
i=1
∑
j<i
qiqj
|xi − xj|
, (1.6.4)
donde por razones de simetría la suma en j se extiende hasta valores menores que i,
expresión que puede reescribirse como
W =
1
4π�0
1
2
n∑
i=1
∑
i 6=j
qiqj
|xi − xj|
. (1.6.5)
Si en vez de cargas puntuales, disponemos de distribuciones de carga, la ecuación anterior
se escribe como
W =
1
4π�0
1
2
ˆ ˆ
ρ(x) ρ(x′)
|x− x′|
d3x d3x′, (1.6.6)
pero si tenemos en cuenta (1.4.2) resulta
W =
1
2
ˆ
ρ(x) Φ(x) d3x. (1.6.7)
La ecuación de Poisson nos permite representar la densidad de carga como
ρ(x) = −�0∇2Φ(x),
luego reemplazándola en (1.6.7) encontramos
W = −�0
2
ˆ
∇2Φ(x) Φ(x) d3x. (1.6.8)
Del cálculo vectorial tenemos que
∇ · (A∇A) = |∇A|2 + A∇2A . (1.6.9)
Usando (1.6.9) en 1.6.8 resulta
W = −�0
2
ˆ
Φ(x)∇Φ(x) d3x+ �0
2
ˆ
|∇Φ(x)|2 d3x (1.6.10)
y usando el teorema de la divergencia obtenemos
W = −�0
2
ˆ
Φ(x)∇Φ(x) · n ds+ �0
2
ˆ
|∇Φ(x)|2 d3x
Analicemos el comportamiento del término que contiene la integral de super�cie. Sabemos
que Φ ∝ 1/r y que ∇Φ ∝ 1/r2 luego Φ∇Φ ∝ 1/r3, por otro lado ds ∝ r2 entonces la
integral de super�cie tiende a 0 cuando S →∞. Como consecuencia de esta propiedad, la
energía potencial resulta
W =
�0
2
ˆ
|∇Φ(x)|2 d3x
que por (1.4.3) podemos escribir como
W =
�0
2
ˆ
|E(x)|2 d3x, (1.6.11)
con la integración realizándose a todo el espacio.
1.6. Energía de Interacción y
Densidad de Energía
31
1.6.2. Densidad de energía de Interacción.
De�niremos la Densidad de Energía por unidad de volumen w como
w =
dW
d3x
=
�0
2
|E(x)|2 . (1.6.12)
Si observamos la ecuación (1.6.12) y su integral de volumen (1.6.11) vemos que éstas
no pueden ser nunca negativas; pero si tenemos en cuenta la ecuación (1.6.5), la energía
potencial puede ser negativa dependiendo sin son cargas de signos opuestos o no. Pareciera
existir una contradicción en lo expuesto hasta el momento; la razón radica en el hecho de
que tanto (1.6.11) como (1.6.12) contienen términos de energía propia que contribuyen a la
densidad de energía, mientras que tales términos no aparecen en la suma doble de (1.6.5).
Resolvamos la siguiente situación. Sea el sistema de cargas de la �gura 1.6.1.
q
q
x
x
x
O
1
2
2
1
P
Figura 1.6.1:
El campo en el punto P esta dado por
E(x) =
1
4π�0
(
q1
x− x1
|x− x1|3
+ q2
x− x2
|x− x2|3
)
y la densidad de energía w por
w =
1
4π�0
(
q21
8π |x− x1|4
+
q22
8π |x− x2|4
+
q1q2(x− x1)(x− x2)
4π |x− x1|3 |x− x2|3
)
(1.6.13)
Claramente se observa en la ecuación (1.6.13) que los dos primeros términos del segundo
miembro son contribuciones auto-energéticas a la densidad.
Debemos probar ahora que el tercer término es el que provee la energía potencial de
interacción. Para ello integraremos sobre todo el espacio
Wint =
q1q2
16π2�0
ˆ
(x− x1)(x− x2)
|x− x1|3 |x− x2|3
d3x. (1.6.14)
De�niendo
ρ =
x− x1
|x1 − x2|
d3ρ =
d3x
|x1 − x2|3
32 Capítulo 1. Electrostática
y haciendo
x− x2 = (x− x1) + (x1 − x2) = ρ |x1 − x2|+ (x1 − x2)
y tomando n =
x1 − x2
|x1 − x2|
, resulta
(x− x1)(x− x2)
|x− x1|3 |x− x2|3
d3x =
ρ · (ρ+ n)
|ρ|3 |x1 − x2| |ρ+ n|3
d3ρ
que reemplazada en la ecuación (1.6.14) encontramos
Wint =
q1q2
4π�0 |x1 − x2|
1
4π
ˆ
ρ · (ρ+ n)
|ρ|3 |ρ+ n|3
d3ρ. (1.6.15)
Como
ρ · (ρ+ n)
|ρ+ n|3
= −∇
(
1
|ρ+n|
)
y
ρ
|ρ|3
= −∇
(
1
|ρ|
)
, podemos escribir la ecuación an-
terior como
Wint =
q1q2
4π�0 |x1 − x2|
1
4π
ˆ
∇
(
1
|ρ+ n|
)
· ∇
(
1
|ρ|
)
d3ρ,
que integrándola nos da el resultado
Wint =
1
4π�0
q1q2
|x1 − x2|
que corresponde con el valor que esperábamos.
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial
En la sección presente daremos una descripción del potencial eléctrico tratando de
poner de mani�esto qué tipo de contribución esta presente en el punto de observación. Una
imagen análoga a lo que deseamos desarrollar es la imagen en la pantalla de un televisor.
A la distancia de observación normal tenemos la visión completa de la misma, es decir
una representación en una gama de colores dada. Si la distancia es ahora más pequeña,
observaremos solamente algún color de la gama presente; pero, si es aún menor la distancia,
veremos tres puntos (azul, rojo y verde) con intensidades tales que la composición de los
mismo conforman el color observado.
El potencial eléctrico, debido a una distribución arbitraria de cargas, posee esta carac-
terística; ya que las contribuciones presentes en el punto de observación dependen de la
distancia. El potencial debido a una distribución de cargas ρ(x) que ocupa el volumen V
es
Φ(x) =
1
4π�0
ˆ
V ′
ρ(x′)
|x− x′|
d3x´ (1.7.1)
En el integrando de la expresión anterior tenemos el factor
1
|x− x′|
que reescribiremos
como
1
|x− x′|
=
1
|x|
1√
1 +
|x′|2 − 2x · x′
|x|2
(1.7.2)
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial 33
Ahora bien, si la distancia al punto de observación x es mucho mayor que el tamaño medio
de la distribución de carga, es decir que se veri�ca la condición
|x′|
|x|
� 1 la ecuación (1.7.2)
representada como una serie4, tendrá como términos representativos a
1
|x− x′|
=
1
|x|
+
x · x′
|x|3
+
3(x · x′)2 − |x′|2|x|2
2 |x|5
+
1
|x|
O
(
|x′|3
|x|3
)
(1.7.3)
Insertando (1.7.3) en (1.7.1) resulta
Φ(x) =
1
4π�0|x|
ˆ
V
ρ(x) d3x´ +
x
4π�0|x|3
·
ˆ
V
ρ(x)x´d3x´ +
1
8π�0|x|5
ˆ
v
ρ(x) (3(x · x′)2 − |x′|2|x|2) d3x´ + · · ·
= Φ1(x) + Φ2(x) + Φ3(x) + · · · (1.7.4)
1.7.1. Análisis de los primeros términos
del desarrollo multipolar
El primer término de (1.7.4)
Φ1(x) =
1
4π�0|x|
ˆ
V
ρ(x′) d3x´ =
1
4π�0
Q
|x|
(1.7.5)
representa el potencial creado por una carga puntual y es el término dominante del potencial
siempre que Q 6= 0 y consecuentemente el campo eléctrico resulta
E1(x) =
Q
4π�0
x
|x|³
(1.7.6)
El segundo término es
Φ2(x) =
x
4π�0|x|3
·
ˆ
V
ρ(x′)x´d3x´ (1.7.7)
donde la integral p =
´
V
ρ(x)x´d3x´ es conocida como vector momento dipolar de la
distribución de carga ρ(x). Corresponde a la contribución dipolar el potencial
Φ2(x) =
1
4π�0
p · x
|x|3
(1.7.8)
y la contribución correspondiente al campo eléctrico es
E2(x) = −∇Φ2 = −
1
4π�0
∇
(
p · x
|x|3
)
(1.7.9)
Como
∇
(
p · x
|x|3
)
=
|x|3∇ (p · x)− 3 (p · x) |x|x
|x|3
=
p− 3 (p · n)n
|x|3
4Si x < 1 =⇒ (1 + x)α = 1 + αx+ α(α−1)2 x
2 + · · · = Σ∞n=0
(
α
n
)
xn
34 Capítulo 1. Electrostática
donde n =
x
|x|
, encontramos que reemplazando lo anterior en (1.7.9), el campo eléctrico
creado por un dipolo está dado por, ver Figura (1.7.1)
Figura 1.7.1: Grá�co de las super�cies equipotenciales y campo eléctrico creado por un
dipolo.
E2(x) =
1
4π�0
3 (p · n)n− p
|x|3
. (1.7.10)
El tercer término de (1.7.4), llamado contribución cuadrupolar al potencial, es
Φ3(x) =
1
8π�0|x|5
ˆ
v
ρ(x′) (3(x · x′)2 − |x′|2|x|2) d3x´ (1.7.11)
Para escribir el término cuadrupolar de una forma más compacta, reescribiremos el
factor (3(x·x′)2−|x′|2|x|2) de una manera más cómoda. Para esto, cambiaremos la notación
identi�cando
x → x1
y → x2
z → x3
realizando un poco de álgebra vemos que
3(x · x′)2 − |x′|2|x|2 = 3
(
3∑
i=1
xix
′
i
)2
−
3∑
i=1
x2i |x′|2
= 3
3∑
i=1
3∑
j=1
xix
′
ixjx
′
j −
3∑
i=1
3∑
j=1
xixjδij|x′|2
=
3∑
i=1
3∑
j=1
xi
(
3x′ix
′
j − δij|x′|2
)
xj (1.7.12)
Insertando (1.7.12) en (1.7.11) podemos escribir el tercer término del potencial como
Φ3(x) =
1
8π�0|x|5
3∑
i=1
3∑
j=1
xiQij xj (1.7.13)
1.7. Desarrollo Multipolar del Potencial 35
donde los coe�cientes
Qij =
ˆ
v
ρ(x′)
(
3x′ix
′
j − δij|x′|2
)
d3x´ con i, j = 1, 2, 3 (1.7.14)
son componentes de un tensor de segundo orden5, llamado tensor momento cuadrupolar
de la distribución de carga ρ(x). Este tensor de segundo orden tiene 9 componentes, es
simétrico, y con la propiedad de tener traza nula, es decir:
TrazaQ =
3∑
i=1
Qi,i = 0 (1.7.15)
vemos entonces que de las 9 componentes de (1.7.14) solamente importan 5. Las compo-
nentes que importan son:
Q11 =
´
v
ρ(x′) (2x′2 − y′2 − z′2) d3x´
Q22 =
´
v
ρ(x′) (2 y′2 − x′2 − z′2) d3x´
Q12 = 3
´
v
ρ(x′) x′ y′ d3x´
Q13 = 3
´
v
ρ(x′) x′ z′ d3x´
Q23 = 3
´
v
ρ(x′) y′ z′ d3x´
(1.7.16)
Ejemplo. Sea la distribución de cargas puntuales de la Figura (1.7.2), las cargas exteriores
son negativas con valor −Q cada una, en tanto que la localizada en el origen posee el valor
+2Q.
1. Escribir la distribución que representa la con�guración de cargas de la �gura.
2. Calcular las tres primeras componentes del desarrollo multipolar del potencial eléctri-
co.
Figura 1.7.2:
Solución:
5Decimos que Q es un tensor de rango k si sus componente se transforman como ......
36 Capítulo 1. Electrostática
1. Según la �gura dos cargas negativas de igual valor se ubican sobre el eje x en las
posiciones (±a, 0, 0) y una tercera de valor igual a las suma de las anteriores con signo
opuesto, luego la densidad
ρ(x) = Q (2δ(x)− δ(x− a)− δ(x+ a))δ(y)δ(z)
2. Debemos calcular las componentes Φ1, Φ2 y Φ3 del desarrollo del potencial, es decir
evaluar las contribuciones mono-polar, dipolar y cuadrupolar de la distribución de carga
ρ(x), es decir evaluar las cantidades
QTotal =
ˆ
V
ρ(x) d³x
p =
ˆ
V
ρ(x)x d³x
Qij =
ˆ
v
ρ(x)
(
3xixj − δij|x|2
)
d3x con i, j = 1, 2, 3
las dos primeras son nulas en tanto que la tercera, de la nueve componentes, sólo tres son
distintas de cero
Q11 = −4Qa²
Q22 = 2Qa²
Q33 = −Q11 −Q22 = 2Qa²
luego resulta que las contribuciones al desarrollo multipolar son
Φ1(x) = 0
Φ2(x) = 0
Φ3(x) =
2Qa²(y² + z²− 2x²)
8π�0|x|5
Calcular, a modo de ejercicio, el campo eléctrico asociado a Φ3(x). La Figura (1.7.3) muestra
esquemáticamente super�cies equipotenciales y líneas de campo del cuadrupolo lineal.
Figura 1.7.3: Potencial y campo de un cuadrupolo lineal
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales.
37
1.7.2. Propiedades del desarrollo multipolar
La carga total del cuerpo se calcula usando Q =
´
v
ρ(x)d3x y es simple ver que no
depende del origen del sistema de coordenadas, pero no ocurre lo mismo con el momento
dipolar.
Sabemos por (1.7.7) que el momento dipolar está dado por el vector
p =
ˆ
V
ρ(x)x d3x (1.7.17)
y este vector está referido a un sistema de coordenadas que designaremos con O. Si referimos
p a otro sistema de coordenadas Ol, es decir cambiamos x según xl = x − l, la ecuación
(1.7.17) resulta
p =
ˆ
V
ρ(xl) (xl + l) d
3xl = pl +Q l (1.7.18)
ecuación que muestra que el momento dipolar de la distribución de cargas no es invariante
frente a traslaciones espaciales a menos que Q = 0. Solamente cuando Q = 0 resulta p = pl
y se dice entonces que el momento dipolar con�gura un dipolo, esto es si
ρ(x) = −q δ(x) + q δ(x− l)
vemos que
p =
ˆ
V
ρ(x)x d3x = q l
De�nición. Decimos que la densidad de carga ρ con�gura un dipolo eléctrico siˆ
V
ρ(x)x dx3 = q l y
ˆ
V
ρ(x) d3x = 0
El concepto de dipolo es fundamental al momento de introducir un modelo de medio
material en la teoría. En la sección que sigue trataremos este problema.
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales.
Es interesante preguntarse cómo se modi�caría la teoría anterior respecto de campo
eléctrico si la extendiéramos a un universo constituido de materia. Pretender un modelo
que abarque lo general está fuera del alcance del presente texto; pero, sí podríamos construir
una teoría que parta de suposiciones simples extraídas de otras área de la física y la química.
Para ello, debemos generar un modelo de materia ytomar en consideración lo siguiente:
La materia esta constituida por átomos.
Los átomos son eléctricamente neutros, es decir en ellos hay tantas cargas positivas
como negativas.
La materia posee estructura.
Las cargas pueden estar localizadas en la estructura pero también algunas poseen la
capacidad de movilizarse en ella. La cargas con capacidad de moverse las llamaremos
cargas libres.
38 Capítulo 1. Electrostática
Por razones de simplicidad, nuestro modelo será unidimensional, es decir un cierto número
átomos idénticos estarán ubicados sobre una línea recta y separados a distancia l cada uno
de ellos, ver �gura 1.8.1.
l
Figura 1.8.1:
Cuando aplicamos sobre esta línea de partículas un campo externo E las cargas en cada
partícula se separan de su posición de equilibrio, las negativas se dirigen hacia las fuentes
del campo y las positivas en sentido opuesto, como muestra la �gura 1.8.2.
+ −+ − + − + − + − + − + − + −
E
P
Figura 1.8.2:
En la representación de la �gura señalamos el campo externo E y otro campo que
suponemos generado por la presencia de dipolos eléctricos debido al campo externo. Estos
dipolos pueden asimilarse con una distribución de carga de origen dipolar que denotaremos
con ρp. En acuerdo con la Ley de Gauss, ecuación (1.3.9), escribimos
∇ · E = 1
�0
ρtotal (1.8.1)
pero teniendo en cuenta que ρtotal = ρlibres + ρp. El campo P siempre se opone al campo
eléctrico externo E; luego, si la fuente del campo de polarización es ρp resulta
∇ ·P = −ρp (1.8.2)
Reemplazando (1.8.2) en (1.8.1) y reordenando los términos involucrados se obtiene
∇ · (�0E + P) = ρlibres (1.8.3)
El campo P es, en principio, desconocido pues ρp es un dato al que no se puede acceder.
Cuando planteamos nuestro modelo de materia introdujimos la idea de que existen me-
canismos de polarización en el material y asumimos que la polarización del material debe
relacionarse con la existencia de un campo externo que induce la formación de dipolos,
o bien orienta a dipolos ya existentes en la dirección de este campo. La ecuación (1.8.4)
constituye una ley fenomenológica que propone una relación entre P y E que denominare-
mos relación constitutiva del material que expresaremos con P = P (E). Esta relación en
1.8. El campo eléctrico en
medios materiales.
39
algunos materiales puede ser muy complicada pero en muchos otros es simplemente una
relación de proporcionalidad, esto es
P = �0χeE (1.8.4)
Si el material es homogéneo, isótropo y lineal la relación (1.8.4) se ajusta razonablemente a
la observación experimental. Las tres consideraciones anteriores implican que el material:
Es homogéneo cuando la susceptibilidad no depende de la posición; es decir, que tanto
las propiedades microscópicas y termodinámicas (temperatura, composición, etc.) son
las mismas en cualquier punto del material. En de�nitiva, la homogeneidad en las
propiedades termodinámicas implican homogeneidad en las propiedades eléctricas.
Es isótropo cuando P y E son co-lineales. Un �uido normal se comporta de manera
isótropa pues sus moléculas tienen libertad para orientarse. En cambio en un sólido
es posible encontrar comportamientos anisótropos. En tales casos la susceptibilidad
tiene carácter tensorial, de manera que su aplicación al vector E genera un vector de
orientación diferente.
Es lineal cuando la susceptibilidad resulta independiente de la intensidad del campo
eléctrico. En general, la linealidad es válida para campos moderados. Sin embargo, hay
materiales que, incluso para campos pequeños, no admiten una relación lineal; tanto
es así que no es factible establecer una ley matemática para su comportamiento, pues
P en cada punto depende de la historia del material. Es decir, de los valores previos
del campo eléctrico en ese punto. Estos materiales se los conoce como ferroeléctricos.6
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores y la relación fenomenológica (1.8.4) la
ecuación (1.8.3) se reescribe como
∇ ·D = ρlibres (1.8.5)
El nuevo campo introducido, conocido como campo de desplazamiento es
D = �0 (1 + χe)E
De�niendo la constante dieléctrica como
� = �0 (1 + χe) (1.8.6)
reescribimos al campo de desplazamiento �nalmente como
D = �E (1.8.7)
Si nos detenemos a pensar un poco en lo anterior, en realidad, no hemos avanzado mucho
en nuestro propósito; pues, la llamada constante dieléctrica � representaría nuestro desco-
nocimiento respecto del medio. Este desconocimiento se reconvierte en cuanto tal constante
6Para completar esta clasi�cación debemos mencionar los electretes que presentan una polarización
permanente en ausencia de un campo externo aplicado. Existen otros materiales con propiedades aún más
complejas, cuya polarización depende también del valor del campo magnético existente. Actualmente se
siguen descubriendo materiales con nuevas e interesantes propiedades desde el punto de vista electromag-
nético (materiales ópticamente activos, cristales nemáticos, etc.), lo cual hace que sea esta un área en
continuo desarrollo.
40 Capítulo 1. Electrostática
puede ser medida experimentalmente; es decir, se transforma en una constante física que
cuanti�ca la propiedad eléctrica del medio que introdujimos en la teoría. La constante � es
realmente constante dentro de un cierto rango de intensidad del campo eléctrico como se
mencionó anteriormente. En general, esto no ocurre y el campo de desplazamiento debiera
estar representado por
Di =
3∑
k=1
�ikEk con i = 1, 2, 3 (1.8.8)
en donde � es un tensor de segundo rango que muestra la no isotropía de un medio particular.
La relación �r = �/�0 llamada constante dieléctrica relativa, es determinada experimen-
talmente. A continuación se dan algunos valores para esta constante
Material �r
Aire 1.0
Vidrio 4-10
Cuarzo 4.3
Polietileno 2.3
Papel 2-4
Madera 2.5-8.0
Porcelana 5.7
Caucho 2.3-4.0
Alcohol etílico 28.4
Cloruro de Sodio 6.1
Agua destilada 80
Agua de mar 72
En un medio lineal con constante dieléctrica � conociendo solamente uno del los tres
campos E, D o P, los demás se calculan con relaciones simples, por ejemplo si es E el
campo conocido resulta P = (�− �0)E y D = �E.
1.9. Energía almacenada por el
campo en un medio material.
La ecuación (1.6.12) de la sección 1.6.2 asigna a w el carácter de densidad volumétrica
de energía eléctrica asociada con un sistema que es fuente de un campo E y la energía
total en el sistema está dada por (1.6.11); entonces, se puede interpretar como el trabajo
necesario para traer las cargas desde el in�nito, partiendo del reposo, hasta su posición
�nal. Esta energía es en principio totalmente recuperable (el sistema la puede ceder), si no
estamos en presencia de medios materiales.
En presencia de medios factibles de ser polarizables nos encontramos que el mecanismo
de carga del sistema, esto es trayendo carga desde el in�nito, aparecen interacciones de
origen y distintos tipos, pudiendo incluir la transformación de parte del trabajo realizado,
en el transporte de las cargas, en calor que se disipa al medio.
Para poder de�nir la energía electrostática en presencia de materia, calcularemos el tra-
bajo elemental δW que se debe realizar para modi�car la distribución de carga libre, ρlibres
del sistema. Notemos que sólo podemos modi�car las cargas libres y no las de polarización.
1.10. Condiciones de borde 41
Como mostramos en su momento, el potencial electrostático φ(r) es el trabajo necesario
para traer una carga desde el in�nito hasta la posición r , luego podemos escribir:
δW =
ˆ
δρlibres (r)φ (r) d
3x (1.9.1)
Usando la ley de Gauss (1.8.5), la variación de densidad de carga libre puede expresarse:
δρlibres = δ (∇ ·D) = ∇ · (δD) (1.9.2)
con lo que la variación del trabajo (1.9.1) resulta
δW =
ˆ
φ∇ · (δD) d3x
=
ˆ
∇ · (φ δD) d3x−
ˆ
∇φ · δD d3x (1.9.3)
donde hemos usado la propiedad ∇ · (fA) = f∇ ·A +∇f ·A.
El teorema de la divergencia nos permite asegurar que la integral
´
∇ · (φ δD) d3x =´
φδD · ds y como el volumen de integración es todo el espacio resulta que tiende a cero
cuando r tiende a in�nito;pues, el integrando se comporta como 1/r por lo que (1.9.3)
resulta
δW =
ˆ
E · δD d3x
Calculando el incremento total del trabajo como la suma de los trabajos elementales ante-
riores haciendo
W =
ˆ (ˆ
γ
E · δD
)
d3x (1.9.4)
donde con γ representamos los diferentes caminos realizados por las componentes del campo
D. Si el trabajo realizado es independiente del camino, depende sólo del estado inicial y el
estado �nal, por lo que podemos establecer que este trabajo puede considerarse almacenado
en el sistema en forma de energía.
Si el medio dieléctrico es lineal e isótropo tenemos
E · δD = 1
2
δ (E ·D)
por lo que, usando (1.9.4), podemos escribir
W =
1
2
ˆ
E ·D d3x (1.9.5)
Esta expresión sigue siendo válida aún en casos en donde el medio sea anisótropo pero
lineal.
1.10. Condiciones de borde
Supongamos dos medios dieléctricos con constantes �1 y �2. En el medio 1 hay un campo
que denotaremos con D1 en tanto que en medio 2 el campo sera D2 respectivamente como
muestra la �gura (1.10.1).En este sistema se veri�can las propiedades
∇ ·D = ρlibres
∇×D = 0
42 Capítulo 1. Electrostática
o expresadas en su forma integral
´
SD · ds = Qlibresu
CD · dl = 0
(1.10.1)
Figura 1.10.1:
Consideremos la primera de las ecuaciones de (1.10.1) y descompongamos la super�cie
S como la suma de S1 + Slateral + S2, donde con S1 y S2 = S1 denotamos a las tapas, con
Slateral a la pared del cilindro que tiene volumen V y que depende de la altura del mismo
∆h; podemos escribir
ˆ
S
D · ds =
ˆ
S1
D1 · n ds+
ˆ
Slateral
D · ds +
ˆ
S2
D2 · n ds =
ˆ
V
ρlibresd
3x
haciendo tender ∆h −→ 0 la integral sobre Slaterales nula obteniendoˆ
S1
D1 · n ds+
ˆ
S1
D2 · n ds =
ˆ
S1
σlibresds
que reescribiéndola adecuadamente resulta
(D2 −D1) ṅ = σlibres
o más sencillamente y acotando que σ es la densidad super�cial de cargas libres en la
interfaz de separación de los medios como
Dn 2 −Dn 1 = σ (1.10.2)
Operando análogamente con la segunda ecuación de (1.10.1) se encuentra que
(D1 −D2)× t = 0
o como
Dt 1 = Dt 2 (1.10.3)
Una consecuencia de las condiciones dadas por (1.10.2) y (1.10.3) es la desviación del
campo eléctrico. Consideremos el caso en donde σ = 0 en la super�cie de separación. De la
ecuación (1.10.2) resulta
�1E1 cos θ1 = �2E2 cos θ2
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
43
y de (1.10.3) tenemos
E1 sin θ1 = E2 sin θ2
de las que se obtiene la relación
tan θ1 =
�1
�2
tan θ2 (1.10.4)
Ejercicio. Calcular la densidad super�cial de carga de polarización total en la interfaz
anterior y analice el resultado.
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
1.11.1. Coe�cientes de potencial.
En un sistema de N conductores con cargas {Qi}i=1,··· ,N y potenciales {φi}i=1,··· ,N , se
relacionan las cargas con los potenciales de forma lineal, es decir
φi =
N∑
j=1
pijQj con i = 1, · · · , N (1.11.1)
Si bien esta ecuación se deriva para el vacío, es válida también en medios materiales si es
lineal y no hay acumulación de cargas externas. Los coe�cientes pij son conocidos como
coe�cientes de potencial.
Teniendo en cuenta la ecuación (1.6.1), la energía electrostática del sistema es
W =
1
2
N∑
i=1
N∑
j=1
pijQiQj (1.11.2)
y se pueden establecer tres enunciados generales con relación a los coe�cientes involucrados:
1. son simétricos; es decir, pij = pji,
2. son cantidades positivas y
3. pii = pij para todo valor de j.
Analicemos el ítem 1, la ecuación (1.11.2) muestra que W es una función W (Q1, ..., QN)
por lo tanto
dW =
(
∂W
∂Q1
)
dQ1 + · · ·+
(
∂W
∂QN
)
dQN
si variamos solamente Ql tendremos
dW =
(
∂W
∂Ql
)
dQl =
1
2
N∑
j=1
(plj + pjl)QjdQl (1.11.3)
Ahora bien, por (1.6.1) sabemos que
dW = φldQl
44 Capítulo 1. Electrostática
y que por (1.11.1) podemos reescribir
dW =
N∑
j=1
pijQjdQl (1.11.4)
La ecuación (1.11.3) debe ser igual a la (1.11.4) para todos los valores posibles de Qj, luego
podemos asegurar que
plj =
1
2
(plj + pjl)
o que
plj = pjl (1.11.5)
Para justi�car los dos ítems faltantes asumiremos que los potenciales se miden respecto
de una región donde éste sea cero. Supongamos que de los N conductores del sistema solo
el conductor i está cargado positivamente con carga Qi en tanto que el resto no lo está. El
del campo eléctrico tiene como fuente la carga sobre el conductor i-esimo, luego es posible
seguir el campo hasta la región de potencial cero aun cuando el campo utilice a los otros
conductores como medio, luego solamente esto es posible si φi > 0 y pij > 0. Análogamente,
a menos que el conductor j-esimo esté cubierto por alguno de los otros, las líneas de campo
que lleguen al conductor j pueden seguirse hasta el conductor i-esimo y seguirlas hasta la
región de potencial nulo. Por lo tanto podemos decir que
pii > pij > 0
Para concluir consideremos el caso en que uno de los conductores está completamente
cubierto por otro, sea este conductor el j-esimo el que está completamente cubierto dentro
del conductor i-esimo. El campo dentro del conductor i es nulo luego, los potenciales de
ambos conductores son iguales, entonces debe cumplirse que pij = pii. Del análisis realizado
no queda más que concluir que
pii = pij > 0 (1.11.6)
1.11.2. Coe�cientes de capacidad e inducción.
El sistema planteado por (1.11.1) puede invertirse, es decir vincular las cargas con los
potenciales de los conductores. A este sistema lo escribiremos como
Qi =
N∑
j=1
cijφj con i = 1, · · · , N (1.11.7)
las cantidades cii son llamadas coe�cientes de capacidad y cij (i 6= j) coe�cientes de induc-
ción. Las propiedades de los coe�cientes c se pueden deducir de las de p:
son simétricos, es decir cij = cji
los coe�cientes cii > 0
los coe�cientes de inducción satisfacen la condición cij 5 0 si i 6= j.
recurriendo a (1.11.7) la energía electrostática del sistema de conductores puede expresarse
como
W =
1
2
N∑
i=1
N∑
j=1
φicijφj (1.11.8)
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
45
1.11.3. Condensadores.
Dos conductores que puedan almacenar cargas iguales pero de distintos signos: ±Q,
independientemente de que el resto de los conductores del sistema puedan estarlo o no,
con�rman un dispositivo llamado capacitor, ver �gura 1.11.1.
Figura 1.11.1:
De la ecuación (1.11.1) podemos escribir{
φ1 = p11Q− p12Q+ φx
φ2 = p12Q− p22Q+ φx
(1.11.9)
en donde +Q y −Q representan las cargas sobre el conductor 1 y 2 respectivamente y φx
es el potencial común del resto de los conductores del sistema. Restando la dos ecuaciones
anteriores se obtiene
∆φ = φ1 − φ2 = (p11 + p22 − 2p12)Q (1.11.10)
vemos entonces que la diferencia de potencial entre los dos conductores es directamente
proporcional al valor de la cara Q.
La ecuación (1.11.10) la reescribiremos como
Q = C ∆φ (1.11.11)
donde la constante C se denomina capacidad del condensador y es dada por
C =
1
p11 + p22 − 2p12
La capacidad es entonces la densidad de carga almacenada por unidad de diferencia de
potencial y la unidad es el farads 1F =
C
V
.
Teniendo en cuenta la ecuación (1.6.7), podemos evaluar para un condensador si tenemos
en cuenta que ρ (x) = Q (δ(x− x1)− δ(x− x2)), para este sistema
W =
1
2
Q∆φ =
1
2
C (∆φ)2 =
1
2
Q2
C
(1.11.12)
Si los dos conductores con�guran geometrías sencillas, la capacidad del dispositivo pue-
de, en general, ser calculada.
Ejemplo. Condensador esférico
46 Capítulo 1. Electrostática
Un condensador esférico está formado por dos super�cies conductoras esféricas, concén-
tricas de radios R1 y R2, cargadas con cargas iguales y opuestas +Q y �Q, respectivamente.
Situamos una super�cie esférica concéntrica de radio r, para poder aplicar la ley de Gauss
y así calcular el campo eléctrico tal como muestra la �gura 1.11.2
Figura 1.11.2: Condensador esférico
Como el condensador posee simetría esférica, el campo eléctrico tiene dirección radial
y su módulo es constante en todos los puntos de una super�cie esférica S de radio r; por
lo tanto, el �ujo del campo eléctrico E, a través de dicha super�cie, está dado por
ˆ
S
E · ds = |E| 4πr2
Determinando lacarga q encerrada por S, para distintos valores del radio r y aplicando la
Ley de Gauss cuando:
r < R1, la super�cie esférica S no contiene ninguna carga luego q = 0 y E = 0.
R1 < r < R2, la super�cie esférica S contiene una carga q = +Q entonces
|E| = 1
4π�0
Q
r2
r > R2, la super�cie esférica S, contiene una carga q = +Q−Q = 0 y E = 0.
por lo que el potencial eléctrico es
φ(r) =

0 si r < R1
1
4π�0
Q
r
siR1 < r < R2
0 si r < R2
La diferencia de potencial entre las dos esferas está dada por
∆φ = φ(R1)− φ(R2) =
Q
4π�0
(
1
R1
− 1
R2
)
de manera que, por la ecuación (1.11.11) se obtiene que la capacidad del dispositivo:
C = 4π�0
R1R2
R2 −R1
1.11. Energía de un sistema
de conductores cargados.
47
Ejercicio. Calcular la capacidad equivalente de los arreglos a) y b) de la �gura 1.11.3
Figura 1.11.3:
48 Capítulo 1. Electrostática
1.12. Ejercicios para resolver
Problema 1.12.1. Dos partículas alfa, que consideraremos cargas puntuales �jas, están
separadas 10−11 m. Calcular la fuerza electrostática con que se repelen y la gravitatoria con
la que se atraen, y compararlas. Datos: G = 6,67 10−11SI; K = 9 109SI; e = 1,60 10−19C;
mα = 6,68 10
27kg.
Problema 1.12.2. Dos cargas A y B, separadas 3 cm, se atraen con una fuerza de 40µN .
Calcular la fuerza entre A y B si las cargas se separan 9 cm.
Problema 1.12.3. Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual
q1 = 12 10
−9C en un punto P ubicado a 10 cm. del mismo como indica la �gura 1.12.1.
Figura 1.12.1:
Problema 1.12.4. Dos cargas puntuales q1 = 12 10−9C y q2 = −12 10−9C están separadas
10 cm. como muestra la �gura 1.12.2. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos
ab, bc y ac.
Figura 1.12.2:
Problema 1.12.5. Sobre una circunferencia de radio a se tiene un arco de 90º situado
sobre el primer cuadrante y con una distribución lineal de carga  λ como se muestra en la
�gura 1.12.3. Calcular el campo creado en el centro de la circunferencia.
1.12. Ejercicios para resolver 49
Figura 1.12.3:
Problema 1.12.6. Calcular la diferencia de potencial entre O y P de una distribución de
cargas formada por q en (1, 0) y −q en (0, 1). Explicar el resultado obtenido.
Figura 1.12.4:
Problema 1.12.7. Cuatro cargas puntuales están en la esquina de un cuadrado de lado
a, como en la �gura 1.12.5.
Figura 1.12.5:
a) Determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico en la posición de la carga
2q.
b) Calcular el potencial eléctrico en el centro del cuadrado.
Problema 1.12.8. Dos cargas puntuales −2Q y Q se hallan sobre el eje x. Ver �gura
1.12.6
a) Calcular el campo eléctrico en el punto P .
b) Encontrar la distancia de separación entre las cargas para la cual la componente y del
campo vale cero.
50 Capítulo 1. Electrostática
Figura 1.12.6:
Problema 1.12.9. Calcular el potencial eléctrico debido a la distribución de cargas mos-
trada en la �gura 1.12.7. Evaluar el potencial en el punto (0, 2a).
Figura 1.12.7:
Problema 1.12.10. Una varilla de longitud L tiene una carga positiva por unidad de
longitud y una carga total Q. Determinar el campo eléctrico y el potencial en el punto P
a lo largo del eje de la varilla, a una distancia b de un extremo.
Figura 1.12.8:
Problema 1.12.11. Determinar el campo eléctrico generado por un dipolo, en un punto
lo su�cientemente alejado del mismo.
Problema 1.12.12. Una corteza esférica delgada de radio R tiene una carga total Q
distribuida uniformemente sobre su super�cie. Determinar el campo eléctrico para puntos
a) r ≥ R; es decir, fuera del cascarón
b) r < R; es decir, dentro del cascarón
Problema 1.12.13. Sobre una capa semiesférica de radio R, tenemos una distribución de
carga uniforme σ = 1C/m2. Calcular el campo en el centro de la esfera coincidente con la
carga.
1.12. Ejercicios para resolver 51
Problema 1.12.14. Dada la siguiente distribución de carga: ρ = ρ0 para r < R0 ;
ρ = −A/r2 para r ≥ R0
a) Calcular las distribuciones de potencial y campo en función de r (A) = 10 C/m , R0 =
3 cm ; ρ0 = 2 104C/m3
b) Suponiendo la carga existente a partir de una distancia r = R, calcular el valor de R
para que la relación entre el campo calculado en a) y b) sea Eb = 0, 9Ea a una distancia
r = 10 cm del centro de la distribución.
Problema 1.12.15. Calcular el potencial y el campo eléctrico en la región del espacio
comprendido entre dos láminas planas paralelas cargadas a potenciales V1 y V2. Supóngase
que hay una distribución de carga uniforme entre las dos placas.
Problema 1.12.16. Calcular la contribución al campo eléctrico debida a la componente
Φ3(x) de la expansión multipolar del potencial dada por (1.7.13).
Problema 1.12.17. Mostrar que si en vez de tener una distribución de carga nos referimos
a una distribución de masa el momento dipolar de la distribución es nulo.
Problema 1.12.18. Mostrar que si la carga total distribuida en un cuerpo es Q = 0 y el
momento dipolar correspondiente es p = 0 entonces la componte cuadrupolar del potencial
eléctrico es independiente del origen de coordenadas.
Problema 1.12.19. Construir la densidad de carga de la con�guración de la Figura 1.12.9
y calcule las tres primeras componentes del desarrollo multipolar del potencial.
Figura 1.12.9:
52 Capítulo 1. Electrostática
Capítulo 2
Magnetostática
2.1. Fenómenos magnéticos
en régimen estacionario.
Desde un punto de vista histórico, los fenómenos magnéticos han sido conocidos y estu-
diados durante mucho tiempo como fenómenos eléctricos. En contraste con la electrostática,
los primeros contactos del hombre con los materiales magnéticos no llevaron de un modo
directo a dar con las leyes fundamentales de estos campos. Las razones son varia, pero todas
ellas surgen de la diferencia radical existente entre la magnetostática y la electrostática: no
existen cargas magnéticas libres.
El hecho de la no existencia de carga magnéticas libres implica que los fenómenos
de origen magnéticos son muy diferentes de los de naturaleza eléctrica. El imán fue el
objeto utilizado en los estudios relacionados con los fenómenos magnéticos y es lo que hoy
conocemos como dipolo magnético.
En presencia de materiales magnéticos un dipolo tiende a alinearse en una cierta direc-
ción. Tal dirección es, por de�nición, la del vector densidad de �ujo magnético o inducción
magnética B y no se llegó a conclusiones cuantitativas de los fenómenos magnéticos hasta
que se hubo establecido la conexión existente entre corrientes eléctricas y campos magné-
ticos.
2.2. Ley de Biot y Savart
Jean-Baptiste Biot1 y Félix Savart2 (1820) y más tarde Ampere (1820-25) encontraron
las leyes experimentales básicas que relacionan el campo de inducción B con las corrientes
1Jean-Baptiste Biot (nació en París el 21 de abril de 1774, murió un 3 de febrero de 1862 en la misma
ciudad) fue un físico, astrónomo y matemático francés. Abordó campos cientí�cos muy variados: en elec-
tromagnetismo formuló la Ley de Biot-Savart; estudió la polarización de la luz; estableció el conocimiento
cientí�co de los meteoritos; y realizó uno de los primeros vuelos en globo aerostático. También descubrió
las propiedades ópticas del mineral que lleva su nombre, la mica biotita.
2Félix Savart fue un físico, médico y profesor francés. Nació el 30 de junio de 1791 en Mézières (Francia)
y falleció el 16 de marzo de 1841 en París. En París conoció a Jean Baptiste Biot (1774-1862), con quien
discutió acerca de la acústica de los instrumentos musicales, y a quien presentó su violín trapezoidal.
Junto con Biot estudió el campo magnético creado por una corriente eléctrica, enunciando la Ley de Biot-
Savart (aprox. en 1820). Juntos publicaron una Note sur le magnétisme de la pile de Volta (nota sobre el
magnetismo de la pila de Volta) en los Annales de Chemie et de Physique (1820).
53
54 Capítulo 2. Magnetostática
Figura 2.2.1:
Figura 2.2.2:
(ver �gura 2.2.1) que permitieron establecer la ley de interacción ejercida entre corrientes.
Esta expresa lo siguiente
dB = k I
dL× x
|x|3
(2.2.1)
Notemos que (2.2.1) es una leyinversamente proporcional al cuadrado de la distancia,
tal como ocurriría en la ley de Coulomb de la electrostática, no obstante el carácter vectorial
del campo es muy distinto.
Podría pensarse a la ecuación (2.2.1) como el equivalente magnético del campo eléctrico
de una carga puntual identi�cando a I dL como una carga análoga a q pero, estrictamente
hablando, tal identi�cación es incorrecta. La ecuación (2.2.1) sólo tiene sentido como un
elemento de una suma realizada sobre un conjunto continuo y tal suma representa la induc-
ción magnética de un circuito eléctrico cerrado. Es obvio que la ecuación de continuidad
(??) no se satisface para un elemento de corriente aislado I dL, la corriente saldría de la
nada y se esfumaría después de recorrer la longitud dL. La constante k depende del sistema
de unidades elegido. Aquí la tomaremos como k =
µ0
4π
= 10
−7
, siendo µ0 la permeabilidad
del vacío, en el sistema MKSA.
Por integración, podemos superponer linealmente las contribuciones elementales para
determinar la densidad de �ujo magnético; debido a diferentes con�guraciones de hilos que
conducen corriente. Por ejemplo, el campo de inducción magnética B generado por un
conductor rectilíneo muy largo por el que circula una corriente I, teniendo en cuenta que
(ver �gura (2.2.2))
2.2. Ley de Biot y Savart 55
|dl× x| = dl r sin θ = Rdl y |x|3 =
(
l2 +R2
)3/2
es
|B| = µ0
4π
I R
ˆ ∞
−∞
dl
(l2 +R2)3/2
=
µ0I
2π R
(2.2.2)
El vector B está dirigido en dirección perpendicular al plano que contiene a r y R y las
líneas de inducción magnética son circunferencias concéntricas alrededor del hilo conductor.
La relación dada por (2.2.2) es el resultado de una ley obtenida experimentalmente por Biot
y Savart y que hoy se conoce como Ley de Biot y Savart honrando así su trabajo.
Experimentalmente, André-Marie Ampère3 encontró que la fuerza que ejercida sobre
un elemento de corriente Idl en presencia de un campo de inducción magnético B se puede
expresar como
dF = I (dl×B) (2.2.3)
esta relación vincular entre una corriente arbitraria I y el campo de inducción B le permitió
calcular la fuerza de interacción entre dos espiras asumiendo como válido los resultados
obtenidos por Biot y Savart.
Supongamos que tenemos dos espiras C1 y C2 con corrientes I1 e I2 respectivamente
(ver �gura 2.2.3)
Ahora bien, por la ecuación (2.2.3) la fuerza sobre la espira C1 con corriente I1 si el
campo de inducción externo B se debe a la corriente I2 de la espira C2 es
F12 =
ffi
C1
I1(dl1 ×B2)
3André-Marie Ampère:(Lyon, 1775-Marsella, 1836) Físico francés. Fundador de la actual disciplina
de la física conocida como electromagnetismo, ya en su más pronta juventud destacó como prodigio; a los
doce años estaba familiarizado, de forma autodidacta, con todas las matemáticas conocidas en su tiempo.
En 1801 ejerció como profesor de física y química en Bourg-en-Bresse, y posteriormente en París, en la
École Centrale. Impresionado por su talento, Napoleón lo promocionó al cargo de inspector general del
nuevo sistema universitario francés, puesto que desempeñó hasta el �nal de sus días.
El talento de Ampère no residió tanto en su capacidad como experimentador metódico como en sus
brillantes momentos de inspiración: en 1820, el físico danés Hans Christian Oersted experimentó las des-
viaciones en la orientación que sufre una aguja imantada cercana a un conductor de corriente eléctrica,
hecho que de modo inmediato sugirió la interacción entre electricidad y magnetismo; en sólo una semana,
Ampère fue capaz de elaborar una amplia base teórica para explicar este nuevo fenómeno.
Esta línea de trabajo le llevó a formular una ley empírica del electromagnetismo, conocida como ley de
Ampère (1825), que describe matemáticamente la fuerza magnética existente entre dos corrientes eléctricas.
Algunas de sus investigaciones más importantes quedaron recogidas en su Colección de observaciones sobre
electrodinámica (1822) y su Teoría de los fenómenos electromagnéticos (1826).
Su desarrollo matemático de la teoría electromagnética no sólo sirvió para explicar hechos conocidos
con anterioridad, sino también para predecir nuevos fenómenos todavía no descritos en aquella época. No
sólo teorizó sobre los efectos macroscópicos del electromagnetismo, sino que además intentó construir un
modelo microscópico que explicara toda la fenomenología electromagnética, basándose en la teoría de que
el magnetismo es debido al movimiento de cargas en la materia (adelantándose mucho a la posterior teoría
electrónica de la materia). Además, fue el primer cientí�co que sugirió cómo medir la corriente: mediante
la determinación de la desviación sufrida por un imán al paso de una corriente eléctrica (anticipándose de
este modo al galvanómetro).
Su vida, in�uenciada por la ejecución de su padre en la guillotina el año 1793 y por la muerte de su
primera esposa en 1803, estuvo teñida de constantes altibajos, con momentos de entusiasmo y períodos de
desasosiego. En su honor, la unidad de intensidad de corriente en el Sistema Internacional de Unidades
lleva su nombre.
Ref: http://www.biogra�asyvidas.com/biogra�a/a/ampere.htm
56 Capítulo 2. Magnetostática
Figura 2.2.3:
pero, por (2.2.1) resulta que
B2 =
µ0
4π
I2
ffi
C2
dl2 × x12
|x12|3
de donde la fuerza de interacción entre las espiras es
F12 =
µ0
4π
I1I2
ffi
C1
ffi
C2
dl1 × (dl2 × x12)
|x12|3
(2.2.4)
Si bien la ecuación anterior resuelve el problema planteado por Ampère, buscaremos
una forma más simétrica para (2.2.4) respecto de dl1 y dl2 de manera que podamos ver que
se satisface la tercera ley de Newton. Usando la identidad vectorial
A× (B×C) = (C ·A)B− (B ·A)C (2.2.5)
tenemos
dl1 × (dl2 × x12) = (x12 · dl1)dl2 − (dl1 · dl2)x12
por lo tanto (2.2.4) se reescribe como
F12 =
µ0
4π
I1I2
(ffi
C1
ffi
C2
(x12 · dl1)dl2
|x12|3
−
ffi
C1
ffi
C2
(dl1 · dl2)x12
|x12|3
)
Recordando que el diferencial exacto de una función f(r) es df = dr · ∇f y que
fl
C df = 0,
la primera integral de la ecuación anterior es nula ya que
d
(
1
|x12|
)
= −(x12 · dl1)
|x12|3
= dl1 · ∇
(
1
|x12|
)
reescribiendo la primera integral de F12 vemos queffi
C1
ffi
C2
(x12 · dl1)dl2
|x12|3
=
ffi
C2
[fi
C1
d
(
1
|x12|
)]
dl2 = 0
por lo tanto resulta que
F12 = −
µ0
4π
I1I2
ffi
C1
ffi
C2
(dl1 · dl2)x12
|x12|3
(2.2.6)
ecuación esta que pone de mani�esto simetría en las variables de integración en concordan-
cia con la tercera ley de Newton.
Si una corriente con densidad J (r) se halla en un campo externo B, la ley de fuerza
implica que
dF = J(x)×B(x) d³x
2.3. Ecuaciones diferenciales
de la magnetostática
Ley de Ampère
57
pues d3x = ds dl con s ‖ J y ds ⊥ J, luego la fuerza total sobre la distribución de corriente
es
F =
ˆ
J(x)×B(x) d3x (2.2.7)
y análogamente el torque que actúa es
N =
ˆ
x× (J(x)×B(x)) d3x (2.2.8)
2.3. Ecuaciones diferenciales
de la magnetostática
Ley de Ampère
La ecuación (2.2.1) puede ser escrita en forma más general reemplazando I dl −→ J d3x
e integrando a todo el volumen donde existan corrientes, luego
B =
µ0
4π
ˆ
V
J(x′)× (x− x
′)
|x− x′|3
d3x′ (2.3.1)
haciendo uso de la relación vectorial ∇×(φA)=∇φ×A+φ∇×A e identi�cando A→ J y
φ→ 1
|x− x′|
resulta que
∇× J(x
′)
|x− x′|
= ∇
(
1
|x− x′|
)
× J(x′) + ∇× J(x
′)
|x− x′|
= J(x′)× x− x
′
|x− x′|3
pues ∇× J(x′) = 0. Sustituyendo el resultado anterior en (2.3.1) se obtiene para el campo
de inducción B
B =
µ0
4π
∇×
(ˆ
V
J(x′)
|x− x′|
)
d3x′ (2.3.2)
De�niendo el potencial vector magnético4 A como
A =
µ0
4π
ˆ
V
J(x′)
|x− x′|
d3x′ (2.3.3)
vemos que el campo B se vincula con este según
B = ∇×A (2.3.4)
2.3.1. Cálculo de la ∇ ·B
Para evaluar la divergencia del campo magnético utilizaremos la ecuación (2.3.4), esto
es
∇ ·B = ∇ · (∇×A)
4El potencial vector A no es de naturaleza física como el potencial eléctrico Φ y recibe este nombre sólo
por la semejanza formal con éste.
58 Capítulo 2. Magnetostática
Figura 2.3.1:
de lo que resulta
∇ ·B = 0 (2.3.5)
esta es la primera ecuación de la magnetostática ysu signi�cado físico es que muestra la
inexistencias de distribuciones de cargas magnéticas como responsables de ser las fuentes
del campo B.
Ejercicio: Sea A un campo vectorial arbitrario, demostrar que:
∇ · (∇×A) = 0
2.3.2. Cálculo del ∇×B
Supongamos que por un conductor que ocupa un volumen V circula una corriente
estacionaria J(x′) (ver �gura 2.3.1) . Denotaremos con x′ al vector de posición de los
puntos del conductor. De acuerdo con la ley de Biot y Savart dada por (2.3.1), el campo
de inducción magnético generado por la corriente del conductor en el punto P expresado
con el vector x es
B =
µ0
4π
ˆ
V
J(x′)× (x− x
′)
|x− x′|3
d3x′
Calculemos el rotor de este campo, para ello hacemos
∇×B = µ0
4π
∇×
ˆ
V
J(x′)× (x− x
′)
|x− x′|3
d3x′ =
µ0
4π
ˆ
V
∇×
(
J(x′)× (x− x
′)
|x− x′|3
)
d3x′ (2.3.6)
pues el operador ∇ actuá sobre las variables de campo, variables sin primar. Recordando
que
∇× (A×B) = (B · ∇)A− (A · ∇)B + A (∇ ·B)−B (∇ ·A)
y asimilando A→ J y B→ x− x
′
|x− x′|3
resulta
∇×
[
J(x′)×
(
x− x′
|x− x′|3
)]
=
[(
x− x′
|x− x′|3
)
· ∇
]
J(x′)−
(
J(x′) · ∇
)( x− x′
|x− x′|3
)
+J(x′)
[
∇ ·
(
x− x′
|x− x′|3
)]
−
(
x− x′
|x− x′|3
)(
∇ · J(x′)
)
2.3. Ecuaciones diferenciales
de la magnetostática
Ley de Ampère
59
donde tanto el primer término como el cuarto son nulos; ya que el operador deriva sobre
las variables de campo, resultando entonces
∇×
[
J(x′)×
(
x− x′
|x− x′|3
)]
= − (J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
+J(x′)
[
∇ ·
(
x− x′
|x− x′|3
)]
(2.3.7)
Veamos como podemos reescribir el último término de la ecuación anterior, esto es
J(x′)
[
∇ ·
(
x− x′
|x− x′|3
)]
= −J(x′)∇ · ∇
(
1
|x− x′|
)
= −J(x′)∇2
(
1
|x− x′|
)
(2.3.8)
Ejemplo. Mostrar que ∇2
(
1
|x− x′|
)
= −4πδ(x− x′).
Demostración:
Si la densidad de carga es ρ(x− x′) = q δ(x− x′), el potencial eléctrico está dado por
Φ(x) =
1
4π�0
q
|x− x′|
sustituyendo ρ y Φ en la ecuación de Poisson (2.3.15) obtenemos
q
4π�0
∇2
(
1
|x− x′|
)
= − q
�0
δ(x− x′)
de donde se ve que
∇2
(
1
|x− x′|
)
= −4πδ(x− x′) (2.3.9)
Reemplazando (2.3.9) en (2.3.8), (2.3.8) en (2.3.7) y ésta en (2.3.6) resulta
∇×B = µ0
4π
ˆ
V
[
− (J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
+ 4π J(x′) δ(x− x′)
]
d3x (2.3.10)
de donde se obtiene
∇×B = −µ0
4π
ˆ
V
(J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′ + µ0 J(x) (2.3.11)
Debemos ahora evaluar el primer término de (2.3.11); para calcularlo tomaremos tomaremos
cada una de las componentes por separado, por ejemplo la componente x del vector (x− x′)
ˆ
V
(J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′ =
(ˆ
V
(J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′
)
x
pero ∇
(
x− x′
|x− x′|3
)
= −∇′
(
x− x′
x− x′|3
)
entonces
ˆ
V
(J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′ = −
ˆ
V
J(x′) · ∇′
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′ (2.3.12)
60 Capítulo 2. Magnetostática
Figura 2.3.2:
teniendo en cuenta la relación vectorial ∇ · (f A) = ∇f ·A + f ∇ ·A identi�cando f →
x− x′
|x− x′|3
y A→ J, la ecuación (2.3.12) se reescribe como
ˆ
V
(J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′ = −
ˆ
V
∇′ ·
(
x− x′
|x− x′|3
J(x′)
)
d3x′ (2.3.13)
pues, se ha asumido que la corriente es estacionaria. El Teorema de la divergencia, ecuación
(2.3.4), permite escribir a (2.3.13) como
ˆ
V
(J(x′) · ∇)
(
x− x′
|x− x′|3
)
d3x′ = −
ˆ
S
(
x− x′
|x− x′|3
)
J(x′) · n ds (2.3.14)
integral que es trivialmente nula ya que J ⊥ n luego la ecuación (2.3.11) resulta
∇×B = µ0 J(x) (2.3.15)
Esta es la segunda ecuación de la magnetostática. Busquemos una representación integral
para la relación anterior integrando la (2.3.15) sobre una super�cie S limitada por una
curva cerrada C como se muestra en la �gura es
ˆ
S
∇×B ds = µ0
ˆ
S
J · ds
el segundo miembro es µ0I en tanto que el primer miembro por el teorema de Stoke (??)
es
´
C B · dl luego obtenemos que ‰
C
B · dl = µ0 I (2.3.16)
conocida como la Ley Circuital de Ampère o simplemente Ley de Ampère.
2.4. Potencial vector
Las ecuaciones diferenciales fundamentales de la magnetostática son
∇×B = µ0J
∇ ·B = 0 (2.4.1)
Se nos presenta el gran problema de resolverlas. Si en la región de interés fuese nula la
densidad de corriente, tendríamos entonces que ∇×B = 0 y tal condición, como sabemos
2.4. Potencial vector 61
por el análisis vectorial, permitirá expresar el vector B como el gradiente de un potencial
escalar ΦM , de manera que B = −∇ΦM . En tal caso, (2.4.1) se reduce a la ecuación de
Laplace para ΦM y todas las técnicas utilizadas para tratar problemas de electrostática
podrían aplicarse aquí.
Un método general de abordar el problema es aprovechar la segunda ecuación de (2.4.1).
Si ∇ ·B = 0 en cualquier punto, B es el rotor de un campo vectorial A llamado potencial
vector, es decir
B = ∇×A (2.4.2)
La ecuación (2.3.3) para A puede generalizarse como
A(x) =
µ0
4π
ˆ
V
J(x′)
|x− x′|
d3x′ +∇Ψ(x) (2.4.3)
La presencia adicional del gradiente de una función escalar arbitraria demuestra que,
para una inducción magnética dada B, el potencial vector puede transformarse libremente
de acuerdo con
A −→ A +∇Ψ (2.4.4)
Esta transformación se conoce con el nombre de transformación de contraste (Gauge). Re-
sulta posible realizar tales transformaciones con A, porque la ecuación (2.4.2) especi�ca
solamente el rotor de A. La libertad que proporcionan estas transformaciones permiten
hacer que A tenga la forma funcional más conveniente para resolver el problema que desee-
mos.
Sustituyendo (2.4.2) en la primera ecuación de (2.4.1) tenemos
∇× (∇×A) = µ0J
∇ (∇ ·A)−∇2A = µ0J
(2.4.5)
Si aprovechamos ahora la libertad que nos da (2.4.4) podemos elegir Ψ de manera que
∇ ·A = 0, luego la segunda ecuación de (2.4.5) muestra que cada componente rectangular
del potencial vector satisface la ecuación de Poisson
∇2A = −µ0J (2.4.6)
Por lo ya expuesto en electrostática, está claro que la solución para A en un espacio
ilimitado es (2.4.3) con Ψ = cte, es
A(x) =
µ0
4π
ˆ
V
J(x′)
|x− x′|
d3x′ (2.4.7)
La condición Ψ = cte puede entenderse de la siguiente forma. Nuestra elección del contraste
∇ ·A = 0 se reduce a ∇2Ψ = 0, pues el primer término de (2.4.3) tiene divergencia nula
debido a que ∇ · J = 0. Si ∇2Ψ = 0 en todo el espacio, debe ser Ψ al menos una constante
si admitimos que no existen fuentes en el in�nito.
2.4.1. Potencial vector e inducción magnética
de una espira circular
Como ejemplo del cálculo de campos magnéticos, a partir de distribuciones de corrientes
dadas, consideremos el problema de una espira circular de radio a, situada en el plano xy,
62 Capítulo 2. Magnetostática
Figura 2.4.1:
con centro en el origen y por la que pasa una corriente I como muestra la �gura 2.4.1 . Por
simple observación, vemos que la densidad de corriente sólo tiene una componente y es en
la dirección de ϕ de manera que
|J| = Jφ = I
δ(cos θ′)
a
δ(r′ − a) (2.4.8)
y el vector densidad de corriente es en la base cartesiana
J = −Jφ sinφ′e1 + jφ cosφ′e2 (2.4.9)
Como el problema presenta simetría cilíndrica, podemos escoger el punto de observación
P en el plano xz (φ = 0) a efectos del cálculo. Al ser la integración acimutal de (2.4.7)
simétrica alrededor de φ′ = 0, la componente x de la corriente no contribuirá. Esto deja
únicamente la componente y que es Aϕ, por lo tanto
Aφ(r, θ) =
µ0I
4π a
ˆ
δ(cos θ′)δ(r′ − a)
|x− x′|
r′2 dr′ dΩ (2.4.10)
donde |x− x′| = [r2 + r′2 − 2 r r′ cos γ]1/2. El cos γ está dado por5
cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos (φ− φ′)
5Sabemos por el teorema de adición de los armónicos esféricos que
Pl(cos γ) =
4π
2l + 1
l∑
m=−l
Y ∗lm(θ
′, φ′)Ylm(θ, φ)
donde Pl (cos γ) e Ylm (θ, φ) son los polinomios de Legendre y armónicos esféricos respectivamente.
P1(cos γ) = cos γ consecuentemente de la ecuación anterior se deduce que
cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos (φ− φ′)
2.4. Potencial vector 63
de donde resulta
|x− x′| =
{
r2 + r′2 − 2 r r′ [cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos (φ− φ′)]
}1/2
Integrando 2.4.10 sobre las funciones δ y recordando que elegimos φ = 0 se obtiene
Aφ(r, θ) =
µ0I a
2
4πa
ˆ
cosφ′
[a2 + r2 − 2 a r sin θ cosφ′]1/2
dφ′ (2.4.11)resultado que mediante las formas integrales elípticas completas K y E podemos reescribir
la ecuación anterior como
Aφ(r, θ) =
µ0I a
π
√
a2 + r2 + 2 a r sin θ
[
(2− k2) K(k)− 2E(k)
k2
]
(2.4.12)
donde el argumento de las integrales elípticas es
k2 =
4 a r sin θ
a2 + r2 + 2 a r sin θ
Las componentes de inducción magnética son
Br =
1
r sin θ
∂
∂θ
(sin θ Aφ)
Bθ = −
1
r
∂
∂r
(r Aφ)
Bφ = 0
(2.4.13)
que pueden expresarse también en término de integrales elípticas. Si el argumento k2 es
pequeño, lo que ocurre cuando r � a o r � a o θ � 1 el corchete de 2.4.12 se reduce a
πk2
16
. Entonces el potencial vector es en estas situaciones
Aφ (r, θ) =
µ0 I a
2
4π
r sin θ
(a2 + r2 + 2 a r sin θ)
3/2
(2.4.14)
Los campos correspondientes calculados de 2.4.13 son
Br ∼=
µ0 I a
2
4
(2a2 + 2r2 + a r sin θ)
(a2 + r2 + 2 a r sin θ)
5/2
cos θ

Br ∼=
µ0 I a
2
4
(2a2 + 2r2 + a r sin θ)
(a2 + r2 + 2 a r sin θ)
5/2
cos θ
Bθ ∼= −
µ0 I a
2
4
(2a2 + r2 + a r sin θ)
(a2 + r2 + 2 a r sin θ)
5/2
sin θ
(2.4.15)
estas expresiones pueden particularizarse fácilmente en tres zonas: cerca del eje (θ � 1),
cerca de la espira (r � a) y lejos de la espira (r � a).
64 Capítulo 2. Magnetostática
A
Figura 2.5.1:
En el último caso, y a modo de ejemplo, las componentes del campo son

Br =
µ0
2π
Iπa2
cos θ
r3
Bθ = −
µ0
4π
Iπa2
sin θ
r3
(2.4.16)
Comparando el campo (2.4.16) con el campo generado por dipolos eléctricos, vemos que
los campos magnéticos a distancias muy grandes de la espira de corriente presentan un
comportamiento completamente análogo y esta analogía con la electrostática nos permite
de�nir el momento dipolar magnético de la espira como
m = πIa2 (2.4.17)
Este es un caso particular de un resultado más general, pues distribuciones localizadas de
corriente generan comportamientos dipolares a distancias grandes.
2.5. Campo magnético de una distribución
localizada de corriente
A modo de ejemplo, calculemos el campo B generado por una distribución localizada
de corriente. Para esto, consideremos una distribución cualquiera de corriente situada en
una región pequeña del espacio6 7 como se muestra en la �gura 2.5.1. Partiendo de (2.3.3),
desarrollemos en serie de Taylor el denominador como potencias de x′, medidas respecto
6El término «pequeño» es relativo a la escala de longitudes
7Un tratamiento completo de este problema, en analogía con el desarrollo multipolar electrostático,
puede hacerse utilizando los armónicos esféricos vectoriales. Estos aparecen en el estudio de la radiación
multipolar. Aquí nos contentamos con la aproximación de menor orden.
2.5. Campo magnético de una distribución
localizada de corriente
65
de un origen elegido dentro del dominio donde se halla la distribución de corriente
1
|x− x′|
=
1
|x|
+
3∑
i=1
∂
∂x′i
(
1
|x− x′|
)
x′=0
x′i + · · ·
=
1
|x|
−
3∑
i=1
∂
∂xi
(
1
|x|
)
x′i + · · · (2.5.1)
que reemplazada en la expresión (5.2.15) se obtiene
A (x) =
µ0
4π

1
|x|
ˆ
V
J(x′) d3x︸ ︷︷ ︸
I1
+
1
|x|3
ˆ
(x · x′) J(x′) d3x′︸ ︷︷ ︸
I2
+ · · ·
 (2.5.2)
Calcularemos cada uno de los términos de (2.5.2). Evaluemos la integral
I1 =
ˆ
V
J(x′) d3x′ (2.5.3)
busquemos una representación más cómoda para la corriente,
J =
3∑
α=1
Jαeα (2.5.4)
para esto, consideremos sólo una de las componentes, por ejemplo Jα y calculemos
∇ · (xαJ) = ∇xα · J + xα∇ · J (2.5.5)
teniendo en cuenta que la corriente es estacionaria se cumple que ∇·J = 0 y que ∇xα ·J =
eα · J resulta entonces
∇ · (xαJ) = Jα (2.5.6)
por lo que la ecuación (2.5.4) es
J = ∇ · (xJ) (2.5.7)
Insertando este resultado en (2.5.3) obtenemos
I1 =
ˆ
V
∇ · (x′ J) d3x′
o recurriendo al teorema de la divergencia escribimos
I1 =
ˆ
V
J d3x′ =
ˆ
S
(x′ J) · ds =
3∑
α=1
(ˆ
S
x′αJ · n ds
)
eα = 0
pues las corrientes están localizadas, vemos entonces que I1 = 0. A la integral I2 la reescri-
bimos por (2.5.7) como
I2 =
ˆ
V
(x · x′)∇′ · (Jx′) d3x′ (2.5.8)
66 Capítulo 2. Magnetostática
ahora bien, el integrando puede ser escrito como
(x · x′)∇′ · (Jx′) = ∇′ · [(x · x′)Jx′]− (x · J)x′
por lo que la ecuación (2.5.8) resulta
I2 =
ˆ
V
∇′ · [(x · x′)Jx′] d3x′ −
ˆ
V
(x · J)x′d3x′
= −
ˆ
V
(x · J)x′d3x′ (2.5.9)
donde la primera de las integrales del segundo miembro es nula, por ser la corriente locali-
zada. Recordando que (ver (2.2.5))
x× (x′ × J) = (x · J)x′ − (x · x′)J
la Integral I2 es ahoraˆ
V
(x · x′) J(x′) d3x′ = −
ˆ
V
[x× (x′ × J) + (x · x′)J] d3x′
de donde concluimos que
I2 = −x×
[
1
2
ˆ
v
(x′ × J (x′)) d3x′
]
(2.5.10)
De�niendo como momento dipolar magnético de la distribución de corriente J a
m =
1
2
ˆ
v
(x′ × J (x′)) d3x′ (2.5.11)
y teniendo en cuenta que I1 = 0 e I2 es dada por (2.5.10), el potencial vector (2.5.2) resulta
A(x) =
µ0
4π
m× x
|x|3
+ · · · (2.5.12)
y es común de�nir la densidad de momento dipolar magnético por unidad de volumen, o
magnetización a
M =
1
2
(x× J) (2.5.13)
Retomando la ecuación (2.5.12), este término de la expansión es el de menor orden
diferente de cero cuando la corriente es estacionaria. El campo de inducción magnética está
dado por la ecuación (2.3.4) resultando para el campo
B(x) =
µ0
4π
[
3n(n ·m)−m
|x|3
]
(2.5.14)
donde n es el vector unitario en la dirección de x. Observando la ecuación (2.5.14) ve-
mos que la inducción magnética tiene la misma forma que el campo eléctrico creado por
un dipolo eléctrico y, en vista de este resultado, podemos decir que lejos de una distribu-
ción cualquiera, pero localizada, de corrientes, la inducción magnética es la de un dipolo
magnético de momento dipolar dado por (2.5.11).
2.5. Campo magnético de una distribución
localizada de corriente
67
Figura 2.5.2:
Ejemplo. Si la corriente localizada circula por una espira plana de forma arbitraria, como
muestra la �gura 2.5.2 , el momento magnético (2.5.11) puede expresarse de forma más
sencilla. Reescribamos el diferencial de volumen como
d3x = ds · dl
luego, vemos que la ecuación (2.5.11) resulta
m =
1
2
ˆ
V
x× J ds · dl
ahora bien, como dS = n ds y dl = u dl la anterior es
m =
1
2
ˆ
V
x× J (n · u) dsdl (2.5.15)
recordando la expansión del doble producto vectorial (2.2.5) podemos escribir
(n · u)J = n× (J× u) + (n · J)u
que insertada en (2.5.15) resulta
m =
1
2
ˆ
V
x× [n× (J× u)] dsdl + 1
2
ˆ
V
[x× (n · J)u] dsdl
el primer término de m es nulo pues J ‖ u y teniendo en cuenta que dl = u dl se obtiene
m =
1
2
ˆ
C
x×
[ˆ
S
(n · J) ds
]
dl
=
1
2
ˆ
C
x×
[ˆ
S
J · ds
]
dl
de manera que �nalmente obtenemos
m =
I
2
ˆ
C
x× dl (2.5.16)
luego es trivial ver que
|m| = I · (área cubierta por la espira) (2.5.17)
ya que ds =
1
2
|x× dl|.
68 Capítulo 2. Magnetostática
Ejemplo. Si tenemos N partículas cargadas qi de masas Mi y velocidades son vi, la den-
sidad de corriente generada es
J =
N∑
i=1
qiviδ (x− xi) (2.5.18)
donde xi es la posición de la partícula i. Reemplazando (2.5.18) en (2.5.9) se obtiene
m =
1
2
N∑
i=1
qi
ˆ
V
(x× vi) δ(x− xi)d3x
que integrando resulta
m =
1
2
N∑
i=1
qi (xi × vi)
Por de�nición de momento angular (xi × vi) =
Li
Mi
. Luego, si todas las partículas tienen
la misma relación carga-masa
qi
Mi
=
e
M
resulta entonces
m =
N∑
i=1
qi
Mi
Li
=
e
M
L (2.5.19)
ya que el momento angular total L =
N∑
i=1
Li.
2.6. Fuerza y par sobre una distribución
localizada de corriente
Si colocamos una distribución localizada de corriente en un campo de inducción mag-
nética B externo, la distribución estará sometida a fuerzas y pares de fuerzas de acuerdo
con las leyes de Ampère. Las expresiones generales de la fuerza y el par están dadas por
las ecuaciones (2.2.7) y (2.2.8). Si el campo externo varía suavemente en la región recorrida
por las corrientes, podemos desarrollar en serie de Taylor el campo B con el �n de hallar los
términos dominantes de la fuerza y el par. Eligiendo un origen adecuado podemos expresar
cada componente de B
Bi(x) = Bi(0) + x · ∇Bi(0) + · · · (2.6.1)
Reemplazando (2.6.1)en (2.2.7) resulta
F =
ˆ
V
{J(x)×B(0) + J(x)× (x · ∇)B(0)} d3x
donde el primer término no contribuye; pues, para corrientes estacionarias
´
J(x)d3x = 0,
en consecuencia se obtiene
F =
ˆ
V
[J(x)× (x · ∇)B(0)] d3x
2.7. Magnetismos en medios materiales 69
Figura 2.6.1:
Trabajando con esta expresión y usando la de�nición de m, puede obtenerse
F = ∇ (m ·B(0)) (2.6.2)
Análogamente para el par, ecuación (2.2.8), resulta
N = m×B(0) (2.6.3)
2.6.1. Energía potencial de un momento magnético permanente
(o dipolo) en un campo magnético externo.
La energía potencial de un dipolo magnético en un campo externo puede obtenerse
a partir de (2.6.2). Consideramos la fuerza como el gradiente negativo de una energía
potencial U ; es decir, F = −∇U tenemos
−∇U = ∇ (m ·B(0))
o bien
∇ (U + m ·B(0)) = 0
de donde, de la expresión anterior, se desprende que
U = −m ·B (2.6.4)
Este resultado, para la energía de un dipolo nos dice que éste tiende a orientarse para-
lelamente al campo en la posición de energía potencial mínima.
Conviene aclarar que (2.6.4) no es la energía total del momento magnético en el campo
externo. Para llevar el dipolo m a su posición �nal en el campo, hay que efectuar trabajo
para mantener constante la corriente J productora del momento m, incluso aunque sea
estacionario el estado �nal, hay un período de transición inicial en el que los campos son
dependientes del tiempo. Esta situación está fuera del análisis actual; pues, se deben usar
las leyes de inducción de Faraday.
2.7. Magnetismos en medios materiales
Los átomos en la materia poseen electrones que dan lugar a corrientes atómicas efectivas
con densidades de corrientes que �uctúan muy rápidamente. Sólo su promedio en un volu-
men macroscópico V resulta conocido y pertinente. Los electrones atómicos, además, poseen
70 Capítulo 2. Magnetostática
momentos magnéticos intrínsecos y estos no pueden ser expresados en función de una den-
sidad de corriente clásica; pues, son partículas estrictamente cuánticas y estos momentos
dan lugar a campos dipolares que varían apreciablemente a la escala de las dimensiones ató-
micas. La ecuación microscópica ∇ ·B = 0 sigue valiendo y así, podemos seguir utilizando
el concepto de potencial vector, A (x), cuyo rotor nos da B. El gran número de moléculas
o átomos por unidad de volumen, da lugar a una imanación macroscópica o densidad de
momento magnético M (x). Además de la imanación de volumen, supondremos que existe
una densidad de corriente macroscópica J (x) debida al �ujo de cargas libres en el medio.
Así, el potencial vector es
A (x) =
µ0
4π
ˆ
V
{
J(x′)
|x− x′|
+
M(x′)× (x− x′)
|x− x′|3
}
d3x′ (2.7.1)
donde el segundo término de la integral se justi�ca por (2.5.12) y podemos escribirlo
ˆ
V
M(x′)× (x− x′)
|x− x′|3
d3x′ =
ˆ
V
M(x′)×∇′
(
1
|x− x′|
)
d3x′ (2.7.2)
teniendo en cuenta que ∇× (φA) = ∇φ×A + φ∇×A resulta
M (x′)×∇′
(
1
|x− x′|
)
=
∇′ ×M (x′)
|x− x′|
− ∇′ ×
(
M (x′)
|x− x′|
)
con lo que podemos reescribir (2.7.2) como
ˆ
V
M(x′)× (x− x′)
|x− x′|3
d3x′ =
ˆ
V
∇′ ×M (x′)
|x− x′|
d3x′ −
ˆ
V
∇′ ×
(
M (x′)
|x− x′|
)
d3x′ (2.7.3)
Resolvamos la segunda integral, pero primero veamos como representarla más adecuada-
mente y, para ello, recurrimos al Teorema de la Divergencia (1.3.7). Supongamos los campos
vectoriales A y C siendo este ultimo constante; evaluemos ahora
ˆ
V
∇ · (B×C) dv =
ˆ
S
(B×C) · n ds (2.7.4)
pero
∇ · (B×C) = C · (∇×B)−B · (∇×C) = C · (∇×B) (2.7.5)
y
n · (B×C) = C · (n×B) = B · (C× n) (2.7.6)
entonces utilizando (2.7.5) y (2.7.6) la ecuación (2.7.4) resulta
ˆ
V
C · (∇×B) dv =
ˆ
S
C · (n×B) ds
de donde surge, teniendo en cuenta que C = cte, que
ˆ
V
(∇×B) dv = −
ˆ
S
(B× n) ds (2.7.7)
2.7. Magnetismos en medios materiales 71
Ahora bien si asumimos que B =
M (x′)
|x− x′|
la segunda integral de (2.7.3) resulta
ˆ
V
∇′ ×
(
M (x′)
|x− x′|
)
d3x′ = −
ˆ
S
M(x′)
|x− x′|
× n ds = 0
pues el integrando se comporta como 1/s y cuando s −→ ∞ la integral tiende a cero,
resultando entonces ˆ
V
M(x′)× (x− x′)
|x− x′|3
d3x′ =
ˆ
V
∇′ ×M (x′)
|x− x′|
d3x′ (2.7.8)
que reemplazado en la ecuación (2.7.1) se obtiene
A (x) =
µ0
4π
ˆ
V
J(x′) +∇′ ×M(x′)
|x− x′|
d3x′ (2.7.9)
El numerador del integrando representa la corriente total en el medio, es decir
JT = J + Jm (2.7.10)
donde hemos asumido que la magnetización del medio está dada por
Jm = ∇×M
que cumple el papel de una corriente en la evaluación del potencial vector A. Ahora bien,
sabemos que ∇×B = µ0JT entonces por (2.7.10)
∇×B = µ0J + µ0∇×M (2.7.11)
De�nimos un nuevo campo, que llamamos campo magnético, como
H =
1
µ0
B−M (2.7.12)
que rede�ne las ecuaciones para la magnetostática en{
∇×H = J
∇ ·B = 0 (2.7.13)
La introducción de H es completamente análoga a la de D en el campo electrostático.
Las ecuaciones (2.7.13) se corresponden con{
∇ ·D = ρ
∇× E = 0 (2.7.14)
Damos por supuesto que los campos fundamentales son E y B pues estos satisfacen
las ecuaciones homogéneas (2.7.13) y (2.7.14). Los campos D y H se introducen por con-
veniencia para considerar las contribuciones medias a ρ y J de las cargas y las corrientes
atómicas.
Para completar la descripción de la magnetostática macroscópica debe existir una rela-
ción entre H y B. Para sustancias isótropas, diamagnéticas y paramagnéticas se cumple la
relación
B = µH (2.7.15)
donde µ es una constante característica del medio llamada permeabilidad magnética. Para
sustancias ferromagnéticas la relación entre B y H deja de ser lineal.
72 Capítulo 2. Magnetostática
Figura 2.8.1:
2.8. Condiciones de contorno para B y H
Tomemos dos medios caracterizados por permeabilidades magnéticas µ1 y µ2, ver �gura
2.8.1 .
Usando el Teorema de la Divergencia sabemos que
ˆ
V
∇ ·B dv =
ˆ
S
B · n ds = 0
ya que ∇ ·B = 0. Si observamos la �gura (a) de 2.8.1 resulta
ˆ
S
B · n ds = B2n −B1n = 0
luego
B1 · n = B2 · n (2.8.1)
Recordando que ∇×H = J y haciendo uso del teorema de Stoke tenemos
˛
C
H · dl =
ˆ
S
J · ds
donde el camino de integración C es el indicado en la �gura 2.8.1 (b), luego de un pequeño
cálculo similar al realizado para el campo eléctrico se obtiene
(H1 −H2)× n = Js (2.8.2)
donde Js es la densidad de corriente en super�cie de separación de los medios.
2.9. Ejercicios para resolver 73
2.9. Ejercicios para resolver
Ejercicio 2.9.1. Un electrón se acelera por la acción de una diferencia de potencial de 100V
y, posteriormente, penetra en una región en la que existe un campo magnético uniforme
de 2T , perpendicular a la trayectoria del electrón. Calcular la velocidad del electrón a la
entrada del campo magnético. Hallar el radio de la trayectoria que recorre el electrón en el
interior del campo magnético y el periodo del movimiento.
Ejercicio 2.9.2. En una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme
B se lanza una partícula cargada con velocidad v = vi, observándose que no se desvía de
su trayectoria. Cuál será la trayectoria al lanzar la partícula con una velocidad v′ = vj?
Representar dicha trayectoria en los casos de que la carga sea positiva y negativa.
Ejercicio 2.9.3. Dos isotopos de un elemento químico, cargados con una sola carga posi-
tiva y con masas de 19.91 10−27kg y 21.59 10−27kg, respectivamente, se aceleran hasta una
velocidad de 6.7 105m/s. Seguidamente, entran en una región en la que existe un campo
magnético uniforme de 0.85T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determinar la
relación entre los radios de las trayectorias que describen las partículas y la separación de
los puntos de incidencia de los isotopos cuando han recorrido una semicircunferencia.
Ejercicio 2.9.4. Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de
10000V , antes de penetrar en un campo magnético de 1T . Si los iones describen una
trayectoria circular de 5 cm de radio, determinar su relación carga-masa.
Ejercicio 2.9.5. Un dispositivo para comprobar la acción de un campo magnético sobre
un conductor por el que pasa una corriente eléctrica es la balanza denominada Cotton yque se muestra en la �gura 2.9.1. Inicialmente la balanza se equilibra con el circuito abierto.
Al cerrar el circuito se observa que hay que añadir una masa de 12 g en el platillo de las
pesas para equilibrar la balanza cuando la varilla, que tiene una longitud de 10 cm, es
recorrida por una intensidad de la corriente eléctrica de 2A. Calcular el módulo del campo
magnético.
Figura 2.9.1:
Ejercicio 2.9.6. Una varilla, de 200 g y 40 cm de longitud, es recorrida por una intensidad
de 2A. Si la varilla está apoyada en una super�cie horizontal y el coe�ciente de rozamiento
es 0,3, calcular el módulo y la dirección del campo magnético para que comience a deslizarse.
Ejercicio 2.9.7. Un alambre de 9 cm de longitud transporta una intensidad de la corriente
eléctrica de 1A según la dirección del eje X. Si el conductor se encuentra inmerso en un
campo magnético de 0.02T de intensidad situado en el plano XY y formando un ángulo
de 30o con el eje X, qué fuerza actúa sobre el cable?
74 Capítulo 2. Magnetostática
Ejercicio 2.9.8. La espira rectangular de la �gura adjunta puede girar alrededor del eje
Y y transporta una corriente de 10A en el sentido indicado en el dibujo. La espira está en
una región del espacio donde existe un campo magnético de módulo 0.2T y de dirección y
sentido el de la parte positiva del eje X. Calcular la fuerza que actúa sobre cada uno de los
lados de la espira y el momento necesario para mantener al espira en la posición indicada.
Figura 2.9.2:
Ejercicio 2.9.9. Por una espira cuadrada de 2 cm de lado pasa una intensidad de la
corriente eléctrica de 1.6A. El plano que contiene la espira está inmerso en un campo
magnético de 0.6T que forma un ángulo de 30o con el citado plano. Cuál es el módulo del
momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira?
Ejercicio 2.9.10. Dos conductores rectos y paralelos están separados por una distancia
de 10 cm y están recorridos en el mismo sentido por sendas intensidades de la corriente
eléctrica de 10A y 20A. A qué distancia de los conductores se anula el campo magnético?
Ejercicio 2.9.11. Dos conductores rectilíneos, paralelos y muy largos, están separados por
una distancia de 12 cm. Por los conductores pasan corrientes eléctricas en el mismo sentido
y de intensidades I1 = 12A e I2 = 18A. Calcular el campo magnético en los dos puntos
situados sobre una recta perpendicular a los conductores y que está a 6 cm del conductor
I1 .
Ejercicio 2.9.12. Dos alambres conductores paralelos y lo su�cientemente largos, están
separados por una distancia de 0.3m y están recorridos por sendas corrientes con inten-
sidades de sentidos contrarios de 160A. Determinar la fuerza con la que interaccionan los
alambres por cada metro de longitud y justi�car si es atractiva o repulsiva mediante los
diagramas oportunos.
Capítulo 3
Campos dependientes del tiempo
3.1. Comentarios iniciales
En capítulos anteriores hemos encontrado que tanto los fenómenos electrostáticos como
los magnetostáticos pueden entenderse y explicarse con las ecuaciones siguientes
∇ · E =
ρ
�0
∇ ·B = 0
∇× E = 0 ∇×B = µ0J
en los cuales se cumple la condición ∇ · J = 0 que de�ne el régimen estacionario para la
corriente eléctrica.
La ecuación de conservación de la carga (??) contempla el caso en donde la corriente se
genera por variaciones de carga en regiones diferentes del espacio. Tal situación se conoce
como estado no estacionario de corriente y las ecuaciones anteriores no tienen necesaria-
mente que ser válidas en tal condición.
Nos plantearemos en el presente capítulo cómo introducir en la teoría el problema
dinámico que sugiere la ecuación de conservación de la carga para ver cómo se modi�carían
las ecuaciones de los campos estático arriba explicitadas.
3.2. Ley de inducción de Faraday
Las observaciones de Oersted, que vinculaban las corrientes con el campo de inducción
B, concluyeron con los experimentos de Biot y Savart y con la de�nición formal del campo de
inducción magnética. Ésto, indujo a muchos investigadores de ese momento a preguntarse
por la posibilidad del problema inverso; es decir: ¿es posible que un campo B induzca
una corriente eléctrica en un circuito?. Quien resuelve el problema planteado fue Michael
Faraday1 que diseña y construye una bobina de alambre conductor alrededor de un núcleo
cilíndrico de madera conectando esta a un galvanómetro G representada por C1 (ver la
�gura 3.2.2).
1Michael Faraday, FRS, fue un físico y químico británico que estudió el electromagnetismo y la elec-
troquímica. Sus principales descubrimientos incluyen la inducción electromagnética, el diamagnetismo y la
electrólisis. Wikipedia Fecha de nacimiento: 22 de septiembre de 1791, Newington Butts, Londres, Reino
Unido Fecha de la muerte: 25 de agosto de 1867, Hampton Court, Molesey, Reino Unido Cónyuge: Sarah
Barnard (m. 1821�1867)
75
76 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
Figura 3.2.1:
Superpuso una segunda bobina C2 sobre la bobina anterior conectando ésta a una batería
F donde con el interruptor Z cierra o abre el circuito. Faraday observó que:
Al cerrar el contacto Z de la batería circula una corriente eléctrica a lo largo de la
bobina C1 y, consistentemente con los resultados de Oersted y Ampère, se producía
un campo magnético a su alrededor. El campo magnético atravesaba la bobina C2
pero no producía ningún efecto eléctrico; pues, de hacerlo debería detectarse en el
galvanómetro G.
Al interrumpir la corriente abriendo el contacto Z de la batería, en ese preciso momen-
to y durante un corto período de tiempo, el galvanómetro G conectado a C2 registraba
la presencia de una corriente.
La primera observación demostraba que en presencia de un campo magnético B constante
creado por C1 implicaba ausencia de corrientes en la bobina C2, pero la segunda mostraba
que se establecía una corriente en C2. El experimento le mostró a Faraday que solamente
variando el �ujo magnético sobre la segunda bobina se inducían corrientes eléctricas.
Todas las observaciones extraídas de la experiencia quedaron condensadas en la llamada
Ley de inducción de Faraday expresadas con
E = −k
dF
dt
(3.2.1)
donde E se conoce como fuerza electromotriz y F es el �ujo de B. La fuerza electromotriz
inducida en el circuito es proporcional a la velocidad con que cambia el �ujo magnético a
través del mismo y el signo negativo, conocido como la ley de Lenz2, indica que la corriente
inducida (y el �ujo magnético debido a ella) es de tal sentido que se opone a la variación del
2Heinrich Friedrich Emil Lenz: (Dorpat, 1804 - Roma, 1865) Físico ruso. Profesor y rector de la Uni-
versidad de San Petersburgo, estudió el efecto Peltier, la conductividad de los metales y la variación de
la resistencia eléctrica con la temperatura. Enunció una ley que permite conocer la dirección y el sentido
de la corriente inducida en un circuito eléctrico. Estudió física y química en la Universidad de Dorpat y,
muy joven aún, tomo parte como geofísico en una expedición alrededor del mundo, durante la cual efectuó
mediciones sobre el nivel de sal, la temperatura y la presión de mares y océanos. A�ncado luego en San
Petersburgo, ejerció la docencia en la Universidad y en la Academia de Ciencias de esta ciudad, de la que
llegaría a ser decano y rector.
Lenz estudió la conductividad eléctrica y descubrió el efecto conocido como efecto Joule con independen-
cia de las experiencias y conclusiones a que a este respecto llegó el cientí�co que le dio nombre. La ley de
Lenz, enunciada en 1833, fue la gran aportación de Heinrich Lenz a los estudios electromagnéticos; esta ley
permite determinar el sentido de la corriente inducida por una variación del �ujo abarcado por un circuito.
3.2. Ley de inducción de Faraday 77
�ujo que la originó. La constante de proporcional k depende de la elección de las unidades
para las magnitudes eléctricas y magnéticas y no se trata, como podría suponerse, de una
constante empírica independiente a determinar experimentalmente. Como veremos, una vez
elegidas las unidades y dimensiones en la leyde Ampere, el valor y las dimensiones de k se
deducen de la hipótesis de la invariancia de la ley de Faraday frente a las transformaciones de
Galileo. Esto implica que los fenómenos físicos son idénticos al ser visto por dos observadores
que se mueven el uno con respecto del otro con una velocidad v constante, siempre que las
coordenadas espaciales y temporales estén relacionadas por la transformación de Galileo:{
x = x′ + v t
t′ = t
y consideremos en particular las observaciones de Faraday. Es de esperar, y así se veri�ca
experimentalmente, que se induzca la misma corriente en un circuito secundario, tanto si él
se mueve mientras el circuito primario a través del cual está pasando la corriente permanece
estacionario, como si se mantiene �jo mientras se mueve el circuito primario, de modo que
el movimiento relativo sea el mismo. Sea un circuito arbitrario C y S la super�cie abierta
que contiene al circuito y con contorno C, llamaremos n al vector unitario normal a la
super�cie (ver �gura 3.2.2)
Figura 3.2.2:
y en las proximidades del circuito existe un campo de inducción magnético B. El �ujo
magnético a través del circuito es
F =
ˆ
S
B · n ds (3.2.2)
y la fuerza electromotriz a lo largo del circuito se de�ne como
E =
˛
C
E′ · dl (3.2.3)
Para generar una corriente eléctrica es preciso realizar un trabajo mecánico o bien, de algún modo,
desarrollar una energía. Por lo tanto, de acuerdo con el principio de la conservación de la energía, la
corriente generada constituirá una resistencia que hay que vencer. La ley de Lenz expresa esto diciendo que
el sentido de la corriente inducida es tal que tiende a oponerse a la causa que la provoca. Así, al acercar
un imán a una espira, la corriente inducida que aparece en ésta tiene un sentido de circulación tal que crea
un campo magnético que repele el imán. Por otro lado, al separar el imán, la corriente inducida será ahora
opuesta a la anterior y atraerá el imán.
78 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
donde E′ es el campo eléctrico en el elemento dl del circuito C. Reemplazando (3.2.2) y
(3.2.3) en (3.2.1) resulta ˛
C
E′ · dl = −k
d
dt
ˆ
S
B · n ds (3.2.4)
La ecuación (3.2.4) muestra que la fuerza electromotriz inducida es proporcional a la
derivada total del �ujo respecto del tiempo. Podemos variar el �ujo, variando el campo
magnético externo, la posición del circuito, cambiando la forma del circuito y moviendo
el circuito y en la ecuación (3.2.4) tenemos una generalización de gran alcance de la ley
de Faraday. Podemos imaginar el circuito C como una trayectoria geométrica cerrada en
el espacio sin que tenga necesariamente que coincidir con un circuito eléctrico. De este
modo, la ecuación (3.2.4) puede pensarse como una relación entre los campos mismos. Es
importante señalar que el campo eléctrico, E′, es el campo eléctrico en dl visto en el sistema
de coordenadas, o medio, en el que dl está en reposo, puesto que es tal campo el que hace
que circule corriente si realmente existiera el circuito.
Si el circuito C se está moviendo con velocidad v en una cierta dirección, en la derivada
total de (3.2.4) debemos tener en cuenta este movimiento. El �ujo a través del circuito
puede variar a causa de a) que el �ujo cambie en cada punto al transcurrir el tiempo; b)
que la traslación del circuito haga cambiar la posición del contorno.
Calculemos entonces la derivada total respecto del tiempo de una función arbitraria
f(x, t), resultado que conduce a
d
dt
f(x, t) =
(
∂
∂t
+ v · ∇
)
f(x, t) (3.2.5)
que permite de�nir el operador
d
dt
=
∂
∂t
+ v · ∇ (3.2.6)
Reemplazando en (3.2.4)
d
dt
por el operador (3.2.6) obtenemos
˛
C
E′ · dl = −k
ˆ
S
∂B
∂t
· n ds− k
ˆ
S
(v · ∇)B · n ds (3.2.7)
Usando la relación vectorial ∇ (a× b) = (b · ∇) a + a (∇ · b) − (a · ∇)b − b (∇ · a) la
segunda integral de la ecuación anterior puede reescribirse como
ˆ
S
(v · ∇)B · n ds =
ˆ
S
{∇ × (B× v) + (B · ∇)v + v (∇ ·B)−B∇ · v} · n ds
como v es constante todas sus derivadas son nulas y recordando que ∇ · B = 0 resulta
entonces que ˆ
S
(v · ∇)B · n ds =
ˆ
S
∇× (B× v) · n ds
Usando el teorema de Stokes puede ponerse como
ˆ
S
(v · ∇)B · n ds =
˛
C
(B× v) · dl (3.2.8)
3.2. Ley de inducción de Faraday 79
Reemplazando (3.2.8) en (3.2.7) obtenemos
˛
C
E′ · dl = −k
ˆ
S
∂B
∂t
· n ds− k
˛
C
(B× v) · dl
o reacomodando la anterior tenemos˛
C
[E′ + k (B× v)] · dl = −k
ˆ
S
∂B
∂t
· n ds (3.2.9)
Este es un enunciado equivalente a la ley de Faraday para un circuito C en movimiento,
no obstante es posible interpretarlo de otro modo imaginando que el circuito C y la super-
�cie S se hallan en un instante dado en una posición determinada del espacio, vistos desde
el sistema de laboratorio. Al aplicar la ley de Faraday (3.2.1) a tal circuito �jo obtenemos
˛
C
E · dl = −k
ˆ
S
∂B
∂t
· n ds (3.2.10)
siendo E el campo eléctrico medido en el sistema de laboratorio. La hipótesis de invariancia
galileana implica que los primeros miembros de (3.2.9) y (3.2.10) sean los mismos; entonces,
el campo eléctrico E′ en el sistema de coordenadas que se mueve con el circuito es
E′ = E + k (v ×B) (3.2.11)
Para determinar k basta que analicemos el signi�cado de E′. Una partícula cargada en
reposo en el circuito móvil estará sometida a una fuerza qE′ que vista desde el laboratorio
esta carga equivale a una corriente J = qvδ (x− x′). Según la ley de fuerzas magnéticas
F =
ˆ
J×B d3x
resulta entonces que F = q v ×B. Ésta expresión estará de acuerdo con (3.2.11) sólo si se
admite que k = 1 por lo tanto la ecuación (3.2.11) es
E′ = E + v ×B (3.2.12)
y debemos aclarar que la expresión anterior es una aproximación válida únicamente para
velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Pero, la ley de Faraday es
válida para velocidades próximas a la velocidad de la luz.
Expresemos la ley de Faraday en forma diferencial, haciendo uso del teorema de Stokes,
supuesto que el circuito se mantiene �jo respecto del sistema de referencia elegido (E y B
referidos al mismo sistema). Transformando la integral de línea tenemos
ˆ
S
(∇× E) · n ds = −
ˆ
S
∂B
∂t
· n ds
ecuación que nos lleva a concluir que
∇× E +
∂B
∂t
= 0 (3.2.13)
Esta es la ley de Faraday en forma diferencial que constituye la generalización para campos
variables con el tiempo de la relación ∇× E para los campos electrostáticos.
80 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
Ejemplo. Frenado de una espira cuadrada .
Una espira cuadrada de lado a = 10 cm, hecha de un hilo de cobre de sección A = 1 mm2
penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo
B0 = 30 mT. La espira se mueve inicialmente con velocidad v0 = 0,5 m/s tangente a uno
de sus lados y perpendicular al campo magnético. En t = 0 la espira entra en el campo.
a) Calcular la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una dis-
tancia x y se está moviendo con velocidad v.
b) Hallar la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
c) Si la velocidad de la espira se mantiene constante, hallar: la potencia disipada en la
espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
d) Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determinar la evolución
en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.
Cálculo de la corriente
Como en otros problemas, obtenemos la corriente hallando la fuerza electromotriz por apli-
cación de la ley de Faraday y posteriormente calculamos la corriente aplicando la ley de
ohm para un circuito. Suponemos un sentido de recorrido tal que la normal a la super�cie
apoyada en la curva va en el mismo sentido que el campo magnético. En esta super�cie el
�ujo magnético es
Fm =
ˆ
S
B · dS = B0ax
ya que aunque la espira es cuadrada, sólo el rectángulo de base a y altura x se encuentra
dentro del campo magnético. La fuerza electromotriz en la espira es
E = −dFm
dt
= −B0a
dx
dt
= −B0av
y la corriente que circula por ella
I =
E
R
= −B0av
R
Vemos que, si la espira está entrando en el campomagnético, el sentido de la corriente
es el contrario del que habíamos supuesto. Esto está de acuerdo con la ley de Lenz, pues
la corriente inducida debe producir un �ujo negativo para reducir el aumento del �ujo
magnético.
Cálculo de la fuerza
Al circular una corriente por la espira y encontrarse ésta en el seno de un campo magnético,
aparece una fuerza sobre la espira, dada por la fuerza de Lorentz para una corriente
F = I
˛
dr×B
En este caso el campo magnético ejerce fuerza sobre tres de los lados, por estar el cuarto
en el exterior. Asimismo, las fuerzas sobre los lados superior e inferior se cancelan, por ser
iguales y opuestas. Queda la fuerza sobre la barra frontal, para la cual tenemos
F = I
ˆ
dr×B = I
ˆ a
0
(dyuy)× (B0uz) = IaB0ux
Sustituyendo el valor de la corriente
F = −a
2B20v
R
ux = −
a2B20
R
v
3.2. Ley de inducción de Faraday 81
Resulta una fuerza opuesta a la velocidad y proporcional a ella. Esta fuerza tiende a frenar
la espira, funcionando como una fuerza de rozamiento viscoso.
Potencia disipada
Al circular una corriente por la espira y ser esta resistiva, se produce calor por efecto Joule,
según la ley
P = I2R =
B20a
2v2
R
De acuerdo con la ley de conservación de la energía, esta potencia disipada debe provenir
de algún sitio, sea de la energía almacenada en el sistema, sea de algún aporte externo de
energía.
El origen mecánico de esta energía está en la fuerza de frenado ejercida por el campo
magnético, la cual desarrolla una potencia
Pm = Fm · v = IB0av = −
B20a
2v2
R
Por tanto, el campo magnético extrae del sistema exactamente la misma energía por unidad
de tiempo que se está disipando. Funciona así como intermediario, convirtiendo energía
mecánica en calor (esto es, frenando el sistema).
Si la velocidad de la espira permanece constante, es porque existe un agente externo que
empuja la espira, venciendo la fuerza magnética.
0 = ma = Fm + FextPext
= Fext · v =
B20a
2v2
R
Vemos entonces que si hay un agente empujando la espira, dicho agente realiza un trabajo
por unidad de tiempo igual a la potencia disipada en forma de calor.
Frenado magnético
Si no hay ningún agente externo empujando la espira, ésta se ve frenada por el campo
magnético. Aplicando la segunda ley de Newton
ma = m
dv
dt
= −B
2
0a
2
R
v
La solución de esta ecuación diferencial es una exponencial decreciente
v = v0e
−t/τ
con un tiempo típico de frenado
τ =
mR
a2B20
La posición de la espira la obtenemos integrando una vez más
dx
dt
= v = v0e
−t/τx = v0τ
(
1− e−t/τ
)
Este resultado implica que aunque la espira nunca llega a detenerse del todo, la profundidad
de penetración sí alcanza un límite igual av0τ .
Si calculamos la energía total disipada durante el proceso de frenado,
Wd =
ˆ ∞
0
Pd dt =
ˆ ∞
0
B20a
2v20
R
e−2t/τdt =
B20a
2v20
R
τ
2
82 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
y, sustituyendo el valor del tiempo característico de frenado
Wd =
B20a
2v20
R
τ
2
=
1
2
mv20
que no es otra cantidad que la energía cinética inicial. El campo magnético frena la espira
y, a falta de un agente externo, la energía disipada procede de la energía mecánica inicial,
que en este caso era toda cinética.
El tiempo característico de frenado es, para una espira cuadrada de un material de densidad
de masa τ
m = ρmA(4a) R =
4a
σA
τ =
mR
a2B20
=
16ρm
σB20
esto es, siempre que se trate de un conductor �liforme, es independiente de las dimensiones
de la espira (y, por supuesto, de su velocidad inicial).
Para el caso de un hilo de cobre en un campo de 30mT con ρm = 8960
kg
s
, σ = 5,96× 107 S
m
y τ = 2,7 s, donde intervienen las dimensiones de la espira, es cuando queremos averiguar
si ésta llega a detenerse. Para los datos del problema, la profundidad de penetración es
xmax = v0τ = 1,33 m que es mucho mayor que las dimensiones de la espira. Esto quiere
decir que lo que ocurre realmente es que la espira se va frenando hasta el momento en que
penetra del todo. En ese momento se detiene la fuerza electromotriz y el efecto de frenado,
por lo que la espira continua moviéndose con velocidad constante (hasta que salga por el
otro lado del campo, momento en que vuelve a frenarse).
3.3. Energía de un campo magnético
Al tratar los campos magnéticos estacionarios eludimos la cuestión de calcular la energía
y la densidad de energía del campo. La razón para esto es que para crear una con�gura-
ción de corrientes estacionarias con sus campos magnéticos asociados hay que considerar
un período inicial transitorio durante el cual llevamos las corrientes y los campos desde
cero hasta los valores �nales. Para tales campos variables con el tiempo hay fuerzas elec-
tromotrices inducidas que determinan que los generadores, que establecen las corrientes,
realicen trabajo. Como la energía en el campo es por de�nición el trabajo total efectuado
para crearlo, es necesario considerar también estas contribuciones.
Supongamos que tenemos un único circuito por el que pasa una corriente constante I.
Cualquier variación de �ujo provoca una fuerza electromotriz E inducida en el circuito y las
fuentes de corriente (generadores) deben realizar trabajo para que la intensidad se mantenga
constante. La potencia suministrada por los generadores para mantener la intensidad de la
corriente es
dW
dt
= −IE = −
dF
dt
(3.3.1)
en la que el signo negativo procede de la ley de Lenz. Esta potencia es adicional a la
correspondiente a las pérdidas óhmicas en el circuito que no han de ser incluidas en el
cálculo de la energía magnética. Así pues, si δF es la variación de �ujo a través de un
circuito por el que circula una corriente I, el trabajo realizado por los generadores es
δW = IδF
Consideremos a continuación el problema del trabajo necesario para establecer una dis-
tribución arbitraria de campos y corrientes estacionarios. Podemos imaginar que el proceso
3.3. Energía de un campo magnético 83
de formación tiene lugar como un proceso cuasi-estático, de modo que con cualquier grado
de exactitud deseado sea válida la ecuación ∇·J = 0. En estas condiciones descomponemos
nuestra distribución de corriente en una red de corrientes elementales cerradas, y cada una
de ellas es un tubo elemental de corriente de área transversal 4σ que sigue un camino
cerrado C, que constituye el contorno de una super�cie S cuya normal es n, tal como se
muestra en la �gura 3.3.1
Figura 3.3.1:
.
El trabajo incremental realizado contra la fem inducida puede expresarse en función del
cambio en la inducción magnética que atraviesa la espira
∆ (δW ) = J ∆σ
ˆ
S
n · δB ds
El símbolo 4 se re�ere al hecho de que estamos considerando solamente un circuito ele-
mental. Recordando que B = ∇× A resulta
∆ (δW ) = J ∆σ
ˆ
S
(∇× δA) · n ds
y aplicando el teorema de Stokes queda
∆ (δW ) = J ∆σ
˛
C
δA · dl
Pero, por de�nición, J∆σdl = J d3x pues es J ‖ dl se ve claramente que la suma extendida
a todas las espiras elementales no es más que la integral de volumen. Por lo tanto, el
trabajo incremental total que efectúan las fuentes externas para provocar un cambio δA
en el potencial vector es
δW =
ˆ
δA · J d3x (3.3.2)
Por (2.7.13) vemos que ∇×H = J que reemplazando en (3.3.2) obtenemos
δW =
ˆ
δA · (∇×H) d3x (3.3.3)
Usando ∇ · (a× b) = b · (∇× a)− b · (∇× b) la integral (3.3.3) resulta que
δW =
ˆ
[H · (∇× δA) +∇ · (H× δA)] d3x (3.3.4)
84 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
La segunda integral puede transformarse en una integral de super�cie y si la distribución
está localizada, al tender a in�nito la super�cie esta tiende a cero. Así, (3.3.4) volviendo a
ponerla en términos de B es
δW =
ˆ
H · δB d3x
que en esta forma la expresión anterior es aplicable a todos los medios magnéticos, inclui-
dos las sustancias ferromagnéticas. Si suponemos ahora que el medio es paramagnético o
diamagnético, de manera tal que sea posible admitir que exista un vínculo lineal entre B y
H, entonces
H · δB =
1
2
δ (H ·B)
y si llevamos los campos desde cero hasta sus valores �nales, la energía magnética total es
W =
1
2
ˆ
H ·Bd3x (3.3.5)
o bien
w =
1
2
H ·B (3.3.6)
como densidad volumétrica de energía magnética.
3.4. Inductancia
3.4.1. Auto-inducción
Si consideramos ahora el caso en el que tenemos un solo circuito por el que circula una
corriente I, un cálculo similar al del apartado anterior nos muestra que el �ujo magnético,
F , que atraviesa este circuito es igualmente proporcional a la intensidad que lo recorre
F ∝ I
Cuando el �ujo magnético que atraviesa un circuito se debe únicamente a la corriente
que circula por el propio circuito, este �ujo se conoce como auto-�ujo y el parámetro
de proporcionalidad entre el auto-�ujo y la intensidad se conoce como auto-inducción y se
denota como L (las unidades de esta inductancia son obviamente henrios). En consecuencia
podemos escribir
F = L I (3.4.1)
Ejemplo. Cálculo de la auto-inducción de un solenoide cilíndrico de N = 100 vueltas,
longitud l = 1cm y r = 1mm. Ver �gura 3.4.1
3.4. Inductancia 85
Figura 3.4.1:
El campo magnético en el interior del solenoide es aproximadamente
B = µ0n I u
donde n = N/l es la densidad lineal de espiras y u es el vector unitario en la dirección
de el eje del solenoide. Dado que el diferencial de super�cie de las espiras viene dado por
dS = dS u, el �ujo que atraviesa las N espiras del solenoide es
F = N
ˆ
S
B·dS = N
ˆ
S
B dS = NB
ˆ
S
dS = µ0
N2
l
I S
luego la auto-inducción L es
L = µ0
N2
l
S
y sustituyendo los datos propuestos del problema tenemos que
L ≈ 3, 95µH
Si disponemos de dos circuitos, como muestra la �gura 3.4.2, en donde circulan corrientes
tanto por el circuito 1 como por el circuito 2 ,
Figura 3.4.2:
el �ujo total Ftot que atraviesa la super�cie del circuito 2 puede expresarse como
Ftot = F21 + F22
= Fext + Faut (3.4.2)
donde Fext es el �ujo que atraviesa el circuito 2 debido a los agentes externos. En este
caso, el campo generado por la corriente I del circuito 1 y Faut es el auto-�ujo del circuito
86 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
2. Dadas las relaciones de proporcionalidad entre los �ujos y las intensidades vistas en las
expresiones (3.4.9) y (3.4.1), el �ujo total puede escribirse como
Ftot = M I + L i (3.4.3)
Según la ley de Faraday y teniendo en cuenta 3.4.2, la fem inducida en el circuito 2 vendrá
dada por
E = − d
dt
(Fext + Faut) (3.4.4)
y si los circuitos son rígidos, es decir no se deforman, la fem es
E = −MdI
dt
− Ldi
dt
(3.4.5)
El cálculo de la fem inducida en el circuito 2 según (3.4.5) no es trivial dado que esta
fem depende de las variaciones temporales de i, pero esta misma corriente depende a su
vez del valor de la propia fem que se induce. Afortunadamente, existen muchas situaciones
prácticas en las que las variaciones temporales del auto-�ujo son mucho menores que las
correspondientes al �ujo externo, por lo que la fem inducida en el circuito puede obtenerse
muy aproximadamente como
E = − d
dt
Fext
no obstante, existen otras situaciones donde el auto-�ujo no puede despreciarse. Un caso
particularmente importante se encuentra cuando cuando las variaciones del �ujo externo
son nulas (por ejemplo cuando I = 0). En este caso la fem inducida debe calcularse como
E = − d
dt
Faut
3.4.2. Inductancia mutua.
Una consecuencia directa de la Ley de Faraday se vincula directamente con el propio
fenómeno que la propia ley describe.
Si calculamos el �ujo magnético, F12, que atraviesa la super�cie del circuito 2 como
se muestra en �gura 3.4.3, debido al campo magnético B1 generado por la corriente I1
encontramos que
F21 � I1
es decir que el �ujo sobre la espira 2 es proporcional a la corriente que circula por la espira
1.
Figura 3.4.3:
3.4. Inductancia 87
Analicemos la Ley de Biot-Savart midiendo el campo B en un punto P arbitrario, esto
es
B (P) = k I
ˆ
dL× x
|x|3
(3.4.6)
vemos que el campo puede ser escrito como
B (P) = B (P) I (3.4.7)
la función B (P) depende solamente de la geometría, pues de la ecuación 3.4.6 surge que
B (P) = k
ˆ
dL× x
|x|3
El �ujo magnético generado sobre el circuito 2 debido a la corriente I1 es
F21 =
ˆ
S2
B1 · ds
que por (3.4.7) resulta
F21 = I1
ˆ
S2
B1 · ds (3.4.8)
Usualmente al termino geométrico de (3.4.8) se lo llama coe�ciente de inductancia mutua
y se lo designa con M por lo que la ecuación anterior podemos expresarla como
F21 = M I1 (3.4.9)
La unidad para la inductancia en el sistema MKS es el henrio,
1H = 1
T m2
A
Ejercicio. Mostrar que el �ujo magnético en la espira 1 debido a la corriente I2 en el otro
circuito es
F12 = M I2
Ejemplo. Flujo magnético que atraviesa una espira rectangular debido al campo de un
conductor recto e in�nito recorrido por una corriente de intensidad I .
Figura 3.4.4:
88 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
En el plano z = 0 donde se sitúa la espira rectangular, el valor del campo magnético
creado por el hilo recto e in�nito está dado por
B (x) =
µ0I
2πx
k
En el presente caso, el diferencial de super�cie puede expresarse como dS = dxdy k , por
lo que el diferencial de �ujo magnético, dF , a través de esta super�cie es
dF = B · dS = B dS = µ0I
2πx
dxdy
El cálculo del �ujo total requiere la integración de la expresión anterior en la super�cie de
la espira rectangular, de modo que
F =
ˆ b
0
[ˆ a+c
a
µ0I
2πx
dx
]
dy
=
µ0I
2π
b ln
a+ c
a
luego, teniendo en cuenta (3.4.9) la inductancia mutua en el presente caso es
M =
µ0
2π
b ln
a+ c
a
Supongamos ahora que tenemos n circuitos que indicaremos con los índices 1, 2, · · · , n.
El �ujo que atraviesa el circuito i se expresa como
Fi =
n∑
j=1
Fij (3.4.10)
donde llamamos Fij al �ujo que pasa por el circuito i debido al campo creado por el circuito
j. La fem que se induce en el i-ésimo circuito es entonces
Ei = −
dFi
dt
= −
n∑
j=1
dFij
dt
(3.4.11)
Si los cambios en los �ujos se deben solamente a variaciones de corrientes; es decir, los
circuitos no se deforman y además no se mueven uno respecto de otro, podemos escribir
entonces
dFij
dt
=
dFij
dIj
dIj
dt
(3.4.12)
Los coe�cientes
dFij
dIj
son constantes y no dependen de la corriente siempre que el me-
dio magnético sea lineal. Estos coe�cientes se conocen como inductancia mutua entre los
circuitos i y j y se escriben
Mij =
dFij
dIj
(3.4.13)
Ejercicio. Sean dos bobinados, uno dentro de otro y de forma toroidal, con N1 y N2 vueltas
cada uno. Calcular la inductancia mutua entre ambos bobinados.
3.4. Inductancia 89
3.4.3. Fórmula de Neumann
Para dos circuitos rígidos y con velocidad relativa nula entre ellos la inductancia mutua
es
M21 =
F21
I1
(3.4.14)
Recurriendo a la ley de Biot y Savart el �ujo puede calcularse como
F21 =
µ0
4π
I1
ˆ
S2
[˛
C1
dl1 × (x2 − x1)
|x2 − x1|3
]
· ds2 (3.4.15)
ecuación que se reescribe como
M12 =
F21
I1
=
µ0
4π
ˆ
S2
∇2 ×
[˛
C1
dl1
|x2 − x1|
]
· ds2 (3.4.16)
que por el Teorema de Stokes se transforma en
M12 =
µ0
4π
˛
C1
˛
C2
dl1 · dl2
|x2 − x1|
(3.4.17)
La ecuación (3.4.17) se llama fórmula de Neumann para la inductancia mutua.
3.4.4. Transitorios en circuitos RL
Supongamos tener un circuito donde el único �ujo que lo atraviesa el auto-�ujo. El
circuito consiste de una de fem Eb que mediante un conmutador alimenta una resistencia
R como muestra la �gura (3.4.5).
Figura 3.4.5:
Como el circuito es un arreglo en serie de los dispositivos, las tensiones se suman y esta
suma debe ser igual a la tensión de la fem total; es decir, la fem EB más la fem inducida
por el propio circuito Eind debida a las variaciones temporales del auto-�ujo
EB + Eind = I R (3.4.18)
ahora bien Eind = −L
dI
dt
, luego la ecuación anterior se reescribe como
EB = L
dI
dt
+ I R o
dI
dt
+ I
R
L
=
EB
L
(3.4.19)
90 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
La ecuación (3.4.19) es representada por el circuito de la �gura 3.4.6, que puede interpre-
tarse como el circuito equivalente a (3.4.5).
Figura 3.4.6:
Para resolver esta ecuación propondremos una solución de la forma
I(t) = i(t) + α (3.4.20)
Si la constante α =
EB
R
, la ecuación (3.4.19) se escribe como una ecuación homogénea en
la variable idi
dt
+ i
R
L
= 0
cuya solución es
i(t) = i0e
−R
L
t
luego I (t), dada en (3.4.20), es
I (t) = i0e
−R
L
t +
EB
R
(3.4.21)
El valor de i0 depende de las condiciones iniciales del sistema; es decir, debemos dar el
valor de I (t = 0). Se presentan dos opciones:
1. circuito abierto, para t = 0 es I (0) = 0, luego
I (t) =
EB
R
(
1− e−
R
L
t
)
(3.4.22)
2. circuito cerrado, para t = 0 es I (0) =
EB
R
, luego
I (t) =
EB
R
e−
R
L
t (3.4.23)
La �gura (3.4.7) muestra el comportamiento de la corriente en los casos anteriores.
Figura 3.4.7:
Es cerrado en el primer grá�co y abierto en el segundo.
Ejercicio. Analice el comportamiento de la corriente como función de L.
3.5. Ecuaciones de Maxwell 91
3.5. Ecuaciones de Maxwell
Todo lo que hemos visto hasta el momento en electricidad y magnetismo puede resumirse
en estas cuatro ecuaciones:
Ley de Coulomb ∇ ·D = ρ
Ley de Ampère ∇×H = J
Ley de Faraday ∇× E +
∂B
∂t
= 0
Ausencia de cargas magnética libres ∇ ·B = 0

(3.5.1)
Estas ecuaciones están escritas en el sistemaMKSA racionalizado. Recordemos que todas,
salvo la ley de Faraday, se dedujeron a partir de observaciones estáticas o estacionarias.
Desde un punto de vista lógico no existe, a priori, razón alguna para esperar que éstas sean
válidas para campos dependientes del tiempo. De hecho, tal como están formuladas, las
ecuaciones (3.5.1) son incompatibles.
Maxwell3 descubrió dicha incompatibilidad y las modi�có para obtener un conjunto de
ecuaciones que implicaba fenómenos físicos nuevos. Por este brillante hecho, el conjunto de
ecuaciones modi�cadas se conocen como las ecuaciones de Maxwell. La ecuación incompa-
tible es la ley de Ampère. Se dedujo para los fenómenos debidos a corrientes estacionarias
en los cuales ∇ · J = 0, cosa fácilmente veri�cable tomando la divergencia de la segunda
ecuación de (3.5.1). Pero, para régimen no estacionario ∇ · J = 0 no es válida; pues, la
ecuación de continuidad
∇ · J +
∂ρ
∂t
= 0 (3.5.2)
es la que debe veri�carse. Lo que Maxwell advierte es que la ecuación (3.5.2) podía reescri-
birse en otra con divergencia nula usando la primera ecuación de (3.5.1), la ley de Coulomb,
de manera que la ecuación de continuidad resulta
∇ ·
(
J +
∂D
∂t
)
= 0 (3.5.3)
3James Clerk Maxwell (Edimburgo, Reino Unido; 13 de junio de 1831-Cambridge, Inglaterra; 5 de
noviembre de 1879) fue un físico escocés conocido principalmente por haber desarrollado la teoría electro-
magnética clásica, sintetizando todas las anteriores observaciones, experimentos y leyes sobre electricidad,
magnetismo y aun sobre óptica, en una teoría consistente.1 Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la
electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifestaciones del mismo fenómeno: el campo electromag-
nético. Desde ese momento, todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieron
en casos simpli�cados de las ecuaciones de Maxwell. Su trabajo sobre electromagnetismo ha sido llamado
la «segunda gran uni�cación en física»,2 después de la primera llevada a cabo por Isaac Newton. Además
se le conoce por la estadística de Maxwell-Boltzmann en la teoría cinética de gases.
Maxwell fue una de las mentes matemáticas más preclaras de su tiempo, y muchos físicos lo consi-
deran el cientí�co del siglo XIX que más in�uencia tuvo sobre la física del siglo XX habiendo hecho
contribuciones fundamentales en la comprensión de la naturaleza. Muchos consideran que sus contribu-
ciones a la ciencia son de la misma magnitud que las de Isaac Newton y Albert Einstein.3 En 1931, con
motivo de la conmemoración del centenario de su nacimiento, Albert Einstein describió el trabajo de Max-
well como «el más profundo y provechoso que la física ha experimentado desde los tiempos de Newton».
https://es.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell#Breve_biograf.C3.ADa_cient.C3.AD�ca
92 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
y reemplazando la corriente en la Ley de Ampère por otra de�nida con la transformación
J −→ J +
∂D
∂t
(3.5.4)
Así la ley de Ampère se reconvierte en:
∇×H = J +
∂D
∂t
(3.5.5)
que para fenómenos estacionarios es aún la misma ley veri�cada experimentalmente pero
que ahora, para campos variables con el tiempo, es matemáticamente compatible con la
ecuación de continuidad. Maxwell llamó corriente de desplazamiento al término
∂D
∂t
.
El conjunto formado por las cuatro ecuaciones siguientes
∇ ·D = ρ ∇×H = J +
∂D
∂t
∇ ·B = 0 ∇× E +
∂B
∂t
= 0
(3.5.6)
son conocidas como ecuaciones de Maxwell y constituyen la base explicativa de todos los
fenómenos electromagnéticos clásicos.
3.6. Ley de conservación.
Teorema de Poynting
Resulta importante establecer la forma de las leyes de conservación de la energía y
el impulso para el campo electromagnético. Empezaremos por considerar la conservación
de la energía que recibe el nombre de teorema de Poynting. Para una carga única q el
trabajo efectuado en la unidad de tiempo por campos electromagnéticos externos E y B
es qv · E donde v es la velocidad de la carga. Por ser la fuerza magnética perpendicular a
la velocidad, el campo magnético no realiza trabajo. Si tenemos una distribución continua
de cargas y corrientes, el trabajo total que se ejerce por unidad de tiempo en un volumen
�nito V es
W =
ˆ
V
J · E d3x (3.6.1)
esta potencia representa conversión de energía electromagnética en mecánica o térmica a
lo que deberá corresponder un decrecimiento de la energía del campo electromagnético en
el interior del volumen V . Para enunciar de forma explícita la anteriormente expresado en
términos de una ley de conservación utilizamos las ecuaciones de Maxwell para expresar
(3.6.1) en forma más adecuada. De la Ley de Ampère J = ∇ × H −
∂D
∂t
que inserta en
(3.6.1) obtenemos
ˆ
V
J · E d3x =
ˆ
V
[
E · (∇×H)− E ·
∂D
∂t
]
d3x (3.6.2)
3.6. Ley de conservación.
Teorema de Poynting
93
teniendo en cuenta que ∇ · (E×H) = H · (∇× E) − E · (∇×H) la ecuación anterior
podemos escribirla como
ˆ
V
J · E d3x =
ˆ
V
[
H · (∇× E)−∇ · (E×H)− E ·
∂D
∂t
]
d3x (3.6.3)
y recurriendo a la ley de Faraday, ∇× E +
∂B
∂t
= 0, resulta
ˆ
V
J · E d3x = −
ˆ
V
[
∇ · (E×H) + E ·
∂D
∂t
+ H ·
∂B
∂t
]
d3x (3.6.4)
Para seguir adelante haremos dos suposiciones:
1. El medio es lineal en sus propiedades eléctricas y magnéticas.
2. La suma de
1
2
´
E ·Dd3x y
1
2
´
B ·Hd3x representa la energía electromagnética to-
tal, incluso para campos que varían con el tiempo. La densidad de energía total se
representa por U .
El punto 1 nos permite interpretar las dos derivadas temporales involucradas en (3.6.4)
como las derivadas temporales de las densidades de energía electrostática y magnética, en
tanto el ítem 2 de�ne a la densidad de energía electromagnética total con
U =
1
2
(E ·D + B ·H) (3.6.5)
entonces (3.6.4) puede escribirse como
−
ˆ
V
J · E d3x =
ˆ
V
[
∇ · (E×H) +
∂U
∂t
]
d3x (3.6.6)
Por ser el volumen V arbitrario tenemos que la siguiente ecuación diferencial de continuidad,
o ley de conservación
∇ · S +
∂U
∂t
= −J · E (3.6.7)
El vector S representa el �ujo de energía y se llama vector de Poynting y está dado por
S = E×H (3.6.8)
y sus dimensiones son
[
energı́a
área · tiempo
]
.
El signi�cado físico de (3.6.6) y (3.6.7) es el siguiente: en la unidad de tiempo, la va-
riación de energía electromagnética contenida en cierto volumen, más el �ujo energético
saliente a través de las super�cies límite es igual al trabajo cambiado de signo realizado
por los campos sobre las fuentes interiores a dicho volumen. Este no es más que el enun-
ciado del principio de conservación de la energía y si se presentan efectos disipativos, tales
como histéresis en los materiales ferromagnéticos (3.6.7), deja de ser válida a menos que se
agreguen términos que tengan en cuenta tales pérdidas de potencia.
94 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
Hasta ahora, se ha considerado la energía asociada a los campos electromagnéticos. El
trabajo J · E efectuado por los campos por unidad de tiempo y por unidadde volumen,
es en realidad una conversión de energía electromagnética en mecánica o calórica. Puesto
que en último término la materia se compone de partículas cargadas, consideraremos es-
tas variaciones como aumento de la energía de las estas partículas por unidad de tiempo
y volumen. Así, podemos interpretar el teorema de Poynting como si estableciéramos la
conservación de la energía en el sistema combinado de partículas y campos. Si designamos
la energía total de las partículas interiores al volumen V mediante Emec y suponemos que
ninguna partícula sale del mismo, tenemos
dEmec
dt
=
ˆ
V
J · E d3x (3.6.9)
El teorema de Poynting asegura que la energía debe conservarse en el sistema combinado,
entonces
dE
dt
=
d
dt
(Emec + Ecampo) = −
ˆ
S
S · n ds (3.6.10)
donde la energía total del campo en el volumenV es
Ecampo =
ˆ
V
U d3x (3.6.11)
En (3.6.10) hemos hecho uso del teorema de la divergencia para expresar el �ujo de S a tra-
vés de la super�cie que encierra al volumen V . Análogamente, consideremos la conservación
del impulso. La fuerza electromagnética total sobre una partícula es
F = q (E + v ×B) (3.6.12)
en tanto la fuerza sobre todas ellas es
F =
∑
i
qi (E + vi ×B) (3.6.13)
que reescrita en términos de un continuo es
F =
ˆ
V
(ρE + J×B) d3x (3.6.14)
Si Pmec es impulsos de todas las partículas existentes en el volumen V podemos escribir
dPmec
dt
=
ˆ
V
(ρE + J×B) d3x (3.6.15)
Podemos eliminar ρ y J sustituyendo por ρ = �0∇ · E y J =
1
µ0
(∇×B) − �0
∂E
∂t
en la
ecuación (3.6.15), el integrando resulta
ρE + J×B = �0E∇ · E + �0B×
∂E
∂t
−
1
µ0
B× (∇×B)
ahora bien, haciendo uso de
∂ (E×B)
∂t
= −B×
∂E
∂t
+ E×
∂B
∂t
y
∂B
∂t
= −∇× E
3.6. Ley de conservación.
Teorema de Poynting
95
y sumando B (∇ ·B) al segundo miembro obtenemos:
ρE + J×B = �0 [E (∇ · E)− E× (∇× E)]
+
1
µ0
[B (∇ ·B)−B× (∇×B)]
− �0
∂ (E×B)
∂t
que sustituida en la ecuación (3.6.15) nos queda
dPmec
dt
+ �0
d
dt
ˆ
V
(E×B) d3x = �0
ˆ
V
[E (∇ · E)− E× (∇× E)] d3x
+
1
µ0
ˆ
V
[B (∇ ·B)−B× (∇×B)] d3x (3.6.16)
Podemos identi�car la integral de volumen del primer miembro como el impulso electro-
magnético Pcampo en el volumen V :
Pcampo = �0
ˆ
V
(E×B) d3x (3.6.17)
y observemos que el integrando �0 (E×B) = �0µ0 (E×H) =
1
c2
S en donde c es la velocidad
de la luz en el vacío. Para completar la identi�cación como impulso electromagnético a
la integral de volumen (3.6.17) y establecer que (3.6.16) es la ley de conservación del
impulso, debemos transformar la integral de volumen del segundo miembro en una integral
de super�cie de la componente normal de algo que pueda interpretarse como el �ujo de
impulso. Si llamamos {xα}α=1,··· ,3 a las coordenadas cartesianas, puede mostrarse que la
componente α de la primera integral de (3.6.16) es
[E (∇ · E)− E× (∇× E)]α =
3∑
β=1
∂
∂xβ
(
EαEβ −
1
2
E · E δαβ
)
(3.6.18)
y análogamente el integrando de la segunda es
[B (∇ ·B)−B× (∇×B)]α =
3∑
β=1
∂
∂xβ
(
BαBβ −
1
2
B ·B δαβ
)
(3.6.19)
Si de�nimos el tensor de esfuerzos de Maxwell Tαβ
Tαβ = �0EαEβ +
1
µ0
BαBβ −
1
2
(
�0E · E +
1
µ0
B ·B
)
δαβ (3.6.20)
la ecuación (3.6.16) puede escribirse en componentes como
d
dt
(Pmec + Pcampo)α =
3∑
β=1
ˆ
V
∂Tαβ
∂xβ
d3x (3.6.21)
96 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
ecuación que escribimos, aplicando el teorema de la divergencia, como
d
dt
(Pmec + Pcampo)α =
3∑
β=1
ˆ
S
Tαβdsβ (3.6.22)
Evidentemente, si (3.6.22) representa el enunciado de la conservación del impulso,∑
β Tαβdsβ es la componente α del �ujo de impulso a través de la super�cie S hacia el
interior del volumen V . En otros términos, es la fuerza transmitida a través de la super�cie
S que actúa sobre el sistema combinado de partículas y campos existentes en V .
3.7. Ejercicios para resolver 97
3.7. Ejercicios para resolver
Ejercicio 3.7.1. Un segmento conductor metálico de longitud l se mueve en un campo
magnético B con velocidad v. Demostrar que los extremos del segmento conductor se
encuentran a una diferencia de potencial ∆φ = B · l× v.
Ejercicio 3.7.2. Una varilla de longitud l gira alrededor de un eje que pasa por uno de
los extremos con velocidad angular ω. El plano de rotación de la varilla es perpendicular a
un campo magnético B uniforme. Cuál es la fem inducida entre los extremos de la varilla?
Ejercicio 3.7.3. Se construye un sistema con dos hilos metálicos doblados en forma de L
como muestra la �gura 3.7.1. Ambos hilos son de un material de conductividad σ y sección
S. Uno de los conductores (1) es �jo, mientras que el segundo (2) puede deslizarse mante-
niendo el contacto con el primero y su orientación, de forma que entre ambos conductores
de�nen un rectángulo de base a y altura b, siendo x = 0, y = 0 la esquina del conductor
�jo. El conductor móvil se desplaza con velocidad constante, de forma que{
a = x0 + vxt
b = y0 + vyt
Todo el sistema está sometido a un campo magnético no uniforme B = C xy uz, perpendi-
cular al plano de los conductores.
1. Calcular la corriente que circula por el sistema en cada instante. Despreciar el efecto de
la auto-inducción.
2. Hallar la fuerza que se ejerce sobre el conductor móvil
Figura 3.7.1:
Ejercicio 3.7.4. Se tienen dos rieles paralelos, perfectamente conductores, de longitud
2L separados una distancia a, tal como se indica en la �gura. Los extremos de los rieles
están conectados por sendas resistencias R1 y R2. Sobre ellos se desliza una barra también
perfectamente conductora de longitud b. La barra se desplaza con velocidad constante v =
v uz. En el espacio entre los rieles hay aplicado un campo magnético uniforme perpendicular
al plano de los mismos como muestra la �gura 3.7.2.
1. Calcular la corriente que circula por la barra.
2. Calcular la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnético.
3. Hallar la potencia disipada por efecto Joule.
Figura 3.7.2:
98 Capítulo 3. Campos dependientes del tiempo
Ejercicio 3.7.5. Tres barras de longitud a con resistencias R1, R2 y R3 se encuentran
conectadas por rieles perfectamente conductores (ver �gura 3.7.3). La barra 1 y la 3 están
en reposo, separadas una distancia b, pero la 2 se mueve hacia la derecha con velocidad
v0, siendo su distancia a la primera barra una cantidad x(t). Todo el sistema se encuentra
sumergido en un campo magnético uniforme B0 perpendicular al circuito.
1. Calcular la corriente que circula por cada barra, así como el voltaje entre los extremos
de cada una de ellas.
2. Calcular la potencia disipada en el circuito por efecto Joule.
3. Hallar la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la barra central. Qué potencia
desarrolla esta fuerza?
4. Considerar el caso en el que la resistencia 1 es un amperímetro (R1 → 0) y la 3 un
voltímetro (R3 →∞). Qué corriente marca el amperímetro y qué voltaje el voltímetro?
Figura 3.7.3:
Ejercicio 3.7.6. El generador de Faraday unipolar consiste en un disco metálico que gira
en un campo uniforme perpendicular al plano del disco. Demostrar que la diferencia de
potencial generada entre el centro del disco y su borde está dada por V = νF , donde F
es el �ujo magnético que atraviesa el disco y ν la frecuencia de rotación de giro.
Parte II
Algunas aplicaciones de la teoría
electromagnética de campos
99
Introducción
Comentarios generales
Preguntarse por la luz y su naturaleza es tan antiguo como el hombre mismo. Los
primeros registros que nos han llegado, a modo de ideas, explicando la naturaleza de la luz
provienen de la antigua Grecia.
Encontrar un �losofo pre-socratico como Empédocles no debiera llamar nuestra aten-
ción. Empédocles es el padre de la teoría de las cuatro raíces; consideraba que Afrodita
había hecho el ojo humano a partir de los cuatro elementos y había encendido el fuego que
hacía posible la visión. Más allá de su postura como �lósofo Empédocles consideraba la
existencia de una interacción entre rayos que salían de los ojos y los rayos procedentes de
fuentes luminosas como el sol.
Dentro de la antigua Grecia quizás fue Euclides el que más avanzó en el estudiode
la luz y de la óptica. Euclides, en su tratado Óptica, realiza un estudio matemático de
la luz, elaborando postulados importantes, relativos a la naturaleza de la luz y a�rmando
que la luz viaja en línea recta y es quien describe las leyes de la re�exión y las analiza
desde el punto de vista matemático. Herón de Alejandría formuló el principio de que la luz
recorre el camino más corto entre dos puntos y Claudio Ptolomeo realizó un estudio de las
propiedades de la luz que está recogido en su tratado Óptica.
Pareciera que debieron transcurrir 1.000 años para que el tema ocupara la atención
de pensadores nuevamente. Fue Ab	u 'Al	� al-H. asan ibn al-H. asan ibn al-Haytham (Alhazen)
muslim y cientí�co árabe que entre los siglos X y XI de nuestra era desarrolló un importante
trabajo en óptica y aporte en otras disciplinas como astronomía, matemáticas, etc. Alhazen
fue uno de los primeros pensadores en a�rmar que la vista es consecuencia de la incidencia
de la luz en el ojo y no debida a un rayo que sale del ojo hacia los objetos visionados.
Consideraba la luz como �ujos de pequeñas partículas que se re�ejaban sobre los objetos y
viajaban en línea recta hasta el ojo postulando que la luz viaja a una gran velocidad pero
no in�nita y a�rma que la refracción de la luz está causada por la diferencia en la velocidad
de propagación de la luz entre los distintos medios.
Después de 600 años de silencio vuelve a haber avances signi�cativos en el conocimiento
de la luz y, durante ese período de tiempo, se desarrolla la óptica y quizás lo más destacable
sea el trabajo de Roger Bacon relativo a la óptica, que se basa en las obras de Ptolomeo y
Alhazen desarrollado en la cuarta, quinta y sexta parte de su obra Opus Maius.
A comienzos del siglo XVII Johannes Kepler hace un considerable trabajo matemático
en relación con la óptica, derivando la primera teoría matemática relativa a la cámara
oscura. Kepler, elaboró hipótesis relativas al funcionamiento del ojo humano y determinó
la relación entre la intensidad observada de una fuente luminosa y la distancia a dicha
fuente. El trabajo de Kepler fue la base en la construcción del telescopio por parte de
Galileo.
101
102
Tras Kepler, Thomas Harriot, René Descartes, Pierre de Fermat, Willebrord Snell van
Royen, Bonaventura Cavalieri y James Gregory (descubridor de la difracción), entre otros,
hicieron aportes notables a la óptica y al estudio de la luz.
En el último tercio del siglo XVII el holandés Christian Huygens y el inglés Robert
Hooke desarrollan la primera teoría ondulatoria para justi�car la naturaleza de la luz ba-
sándose en las ideas de René Descartes. Isaac Newton publica en 1672 su teoría del color
postulando en su teoría la naturaleza corpuscular de la luz, proporcionando evidencias ex-
perimentales de que la luz está formada por corpúsculos que viajan en línea recta. La teoría
corpuscular de Newton fue duramente criticada por Hooke y Huygens generando un debate
que se mantendría durante los doscientos siguientes años. Ocurre durante este siglo XVII
la primera determinación de la velocidad de la luz realizada por el danés Ole Rømer en
1676 observando los satélites de Júpiter.
Leonhard Euler publica, en 1747, su trabajo sobre óptica donde pone en tela de juicio la
teoría de Newton. Es Euler quien de�ende la teoría ondulatoria con el argumento basado en
la di�cultad que se tenía en explicar la difracción a través de la teoría corpuscular. La teoría
ondulatoria de Euler recibe un gran apoyo con los experimentos de interferencia de Thomas
Young en 1797, y a comienzos del siglo XIX Augustin , con una serie de experiencias y
publicaciones, consolida la teoría ondulatoria de la luz.
El siglo XIX con cientí�cos como Étienne-Louis Malus, Joseph von Fraunhofer, Ro-
bert Bunsen, Gustav Kirchho� o Hippolyte Fizeau (determinó la velocidad de la luz como
300.000 Km/s en 1849 sin usar mediciones astronómicas) realizaron contribuciones real-
mente importantes en la compresión de la luz.
En 1845 Michael Faraday encuentra que los campos magnéticos y campos eléctricos
asociados en medios materiales in�uyen en la propagación luz. El efecto que lleva su nombre
muestra la rotación del plano de polarización de la luz por un campo magnético y es el
primer acercamiento que vincula la materia y la luz.
James Maxwell fue quien sintetiza todas la observaciones relacionada con campos eléctri-
co y magnéticos en cuatro ecuaciones. Puede formular entonces un sistema auto consistente
para los campos con ecuaciones que representan ondas propagándose terminando así con
la teoría corpuscular de Newton al a�rmar que la luz es una onda.
En la primera parte del presente texto hemos desarrollado con cierto cuidado y deta-
lle lo que constituye una de las construcciones teóricas más bellas de la física moderna y
en lo que resta del texto, nos abocaremos a mostrar como es posible construir explicacio-
nes a fenómenos físicos observados si se los contextualizan dentro del marco de la teoría
anteriormente expuesta.
Capítulo 4
Ondas Planas
Por lo que hemos visto, toda solución de las ecuaciones de Maxwell que sea �nita, con-
tinua y univaluada en todos los puntos de un dominio homogéneo e isótropo, representa un
campo electromagnético posible. Ahora bien, aparte de los campos estacionarios (indepen-
dientes del tiempo) ya estudiados, la solución más simple de las ecuaciones de campo de
Maxwell es aquella cuyas condiciones dependen del tiempo y de una coordenada espacial.
En el presente capítulo, vamos a estudiar las propiedades de las ondas planas en un
medio in�nito, isótropo y homogéneo sin preocuparnos de la naturaleza de las cargas y
corrientes necesarias para establecerlos.
4.1. Propagación de Ondas Planas
Tal como ya se ha mencionado, supondremos que nuestro medio es in�nito, isótropo,
homogéneo y que además las propiedades eléctricas y magnéticas están completamente
caracterizadas por la terna (�, µ, σ) y que las relaciones
D = εE , B = µH , J = σ E (4.1.1)
son válidas dentro de un cierto rango de valores. Si la conductividad σ es distinta de cero
cualquier distribución inicial de cargas libres en el medio debe anularse espontáneamente,
luego asumiremos que ρ = 0 tanto en medios dieléctricos como en conductores. Con estas
consideraciones, las ecuaciones de Maxwell se transforman en
∇ · E = 0
∇ ·H = 0
(4.1.2)

∇× E + µ ∂H
∂t
= 0
∇×H− � ∂E
∂t
− σE = 0
(4.1.3)
Buscaremos soluciones para este sistema de ecuaciones que dependan del tiempo y de
una sola coordenada espacial. Esta dirección no tiene porque coincidir necesariamente con
alguno de los ejes coordenados del sistema de referencia.
Supongamos que el campo es función de una coordenada ξ, medida a lo largo de una
dirección de�nida por el vector unitario n = (nx, ny, nz). Las componentes del vector n son
103
104 Capítulo 4. Ondas Planas
los cosenos directores del nuevo eje de coordenadas ξ. La suposición anterior implica que,
para todo tiempo t, los campos E y H son constantes en los planos perpendiculares a n.
Estos planos están de�nidos por (ver �gura 4.1.1)
y
z
x
ξ
ζ
η
n
r
Figura 4.1.1:
ξ = r · n = cte
Ya que los campos son de la forma
E = E(ξ, t) , H = H(ξ, t) (4.1.4)
las derivadas parciales con respecto a x, y y z pueden expresarse como

∂
∂x
=
∂ξ
∂x
∂
∂ξ
= nx
∂
∂ξ
∂
∂y
=
∂ξ
∂y
∂
∂ξ
= ny
∂
∂ξ
∂
∂z
=
∂ξ
∂z
∂
∂ξ
= nz
∂
∂ξ
(4.1.5)
o vectorialmente, usando (4.1.5) resulta
∇ = ∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k = n
∂
∂ξ
(4.1.6)
4.1. Propagación de Ondas Planas 105
Utilizando la ecuación (4.1.6) podemos expresar el ∇× E y ∇ · E de la siguiente forma
∇× E = n ∂
∂ξ
×E = n× ∂E
∂ξ
=
∂
∂ξ
(n× E)
∇ · E = n ∂
∂ξ
·E = n · ∂E
∂ξ
=
∂
∂ξ
(n · E)
y equivalentemente para los vectores ∇×H y ∇ ·H
∇×H = n ∂
∂ξ
×H = n× ∂H
∂ξ
=
∂
∂ξ
(n×H)
∇ ·H = n ∂
∂ξ
·H = n · ∂H
∂ξ
=
∂
∂ξ
(n ·H)
Las ecuaciones de Maxwell (4.1.2-4.1.3) se reescriben así
n · ∂E
∂ξ
= 0 (4.1.7)
n · ∂H
∂ξ
= 0 (4.1.8)
n× ∂E
∂ξ
+ µ
∂H
∂t
= 0 (4.1.9)
n× ∂H
∂ξ
− �∂E
∂t
− σE =0 (4.1.10)
Si observamos las ecuaciones (4.1.7 - 4.1.8 - 4.1.9) y (4.1.10) vemos que representan
un sistema de ecuaciones diferenciales lineales a derivadas parciales, tanto en E como en
H, y nuestro objetivo entonces será buscar nuevas ecuaciones tal que en éstas los campos
eléctricos y magnéticos estén separados; es decir, en ecuaciones distintas.
Si diferenciemos la ecuación (4.1.9) respecto a ξ y luego la multiplicamos vectorialmente
por n, resulta
n×
(
n× ∂
2E
∂ξ2
)
+ µn× ∂
2H
∂ξ∂t
= 0
y recordando que
A× (B×C) = (C ·A)B− (B ·A)C
obtenemos
n ·
(
n · ∂
2E
∂ξ2
)
− (n · n) ∂
2E
∂ξ2
+ µ
∂
∂t
(
n× ∂H
∂ξ
)
= 0 (4.1.11)
106 Capítulo 4. Ondas Planas
el primer término de (4.1.11) es cero por (4.1.7), pues éste se puede escribir como n �
∂
∂ξ
(
n �
∂E
∂ξ
)
= 0, en consecuencia (4.1.11) es
−∂
2E
∂ξ2
+ µ
∂
∂t
(
n× ∂H
∂ξ
)
= 0
que por (4.1.10) se reescribe como
∂2E
∂ξ2
− µ�∂
2E
∂t2
− µσ∂E
∂t
= 0 (4.1.12)
para el campo E y trabajando de manera análoga para el campo H se obtiene
∂2H
∂ξ2
− µ�∂
2H
∂t2
− µσ∂H
∂t
= 0 . (4.1.13)
4.1.1. Propiedades de E y H.
4.1.1.1. Campo H:
Multiplicando la ecuación (4.1.9) por n, tenemos
n ·
(
n× ∂E
∂ξ
)
+ µn · ∂H
∂t
= 0
que por (4.1.7) resulta
n · ∂H
∂t
= 0 .
De (4.1.9) sabemos que n · ∂H
∂ξ
= 0 y teniendo en cuenta que el diferencial exacto de H es
dH =
∂H
∂t
dt+
∂H
∂ξ
dξ
resulta entonces que
n · dH = 0 (4.1.14)
Es decir, el campo H no tiene componente en la dirección de ξ, esto es, H ⊥ n.
4.1.1.2. Campo E:
Qué ocurre con el campo E? Multiplicando escalarmente por n la ecuación (4.1.10)
obtenemos
n ·
(
�
∂E
∂t
+ σE
)
= 0 (4.1.15)
Si a la ecuación (4.1.15) la multiplicamos por dt y le sumamos (4.1.7) resulta
n ·
(
�
∂E
∂t
dt+ σE dt+
∂E
∂ξ
dξ
)
= 0 (4.1.16)
4.2. Solución de la ecuación de onda 107
y teniendo en cuenta que el diferencial exacto de E es
dE =
∂E
∂t
dt+
∂E
∂ξ
dξ
podemos escribir la ecuación (4.1.16) como
n ·
(
dE +
σ
�
E dt
)
= 0.
Como consecuencia vemos que la componente del campo eléctrico en la dirección de ξ
satisface la ecuación
dEξ
dt
+
σ
�
Eξ = 0 (4.1.17)
con solución dada por
Eξ = E0ξ e
−σ� t (4.1.18)
Si la conductividad σ → ∞ entonces Eξ → 0; es decir, un campo estático no puede ser
mantenido en el interior de un conductor, pero en un dieléctrico perfecto (σ = 0) sí.
Independientemente de las propiedades del medio podemos a�rmar que el campo E y el
campo H están contenidos en un plano perpendicular a ξ.
4.2. Solución de la ecuación de onda
Ahora, resolveremos la ecuación (4.1.12) para E = (Eη, Eζ) y (4.1.13) para H =
(Hη, Hζ). Cada componente de los campos satisfacen la ecuación
∂2f
∂ξ2
− µ�∂
2f
∂t2
− µσ∂f
∂t
= 0 (4.2.1)
es decir tanto Eη, Eζ , Hη y Hζ responden a la solución que encontremos para f .
Para cualquiera de las componentes de E o H propondremos como solución de la ecua-
ción (4.2.1) a
f(ξ, t) = f1(ξ) f2(t) (4.2.2)
Si reemplazamos (4.2.2) en (4.2.1) obtenemos
1
f1
d2f1
dξ2
=
µ�
f2
d2f2
dt2
+
µσ
f2
df2
dt
en donde vemos que las funciones f1 y f2 están separadas. La única opción para poder
satisfacer la ecuación anterior es que
1
f1
d2f1
dξ2
=
µ�
f2
d2f2
dt
+
µσ
f2
df2
dt
= −k2 (4.2.3)
con −k2 constante arbitraria llamada constante de separación.
La ecuación (4.2.3) la reescribimos como
d2f1
dξ2
+ k2f1 = 0 (4.2.4)
d2f2
dt2
+
σ
�
df2
dt
+
k2
µ�
f2 = 0 (4.2.5)
108 Capítulo 4. Ondas Planas
Tanto la ecuación (4.2.4) como la (4.2.5) son ecuaciones diferenciales que describen
osciladores armónicos, pero la segunda escribe una dinámica con amortiguación.
La solución de la ecuación (4.2.4) es de la forma
f1(ξ) = A e
i k ξ +B e−i k ξ (4.2.6)
mientras que para la (4.2.5) asumiremos que la solución es
f2(t) = C e
−p t . (4.2.7)
Si reemplazamos (4.2.7) en (4.2.5) obtenemos una relación que vincula las constantes k y p
p2 − σ
�
p+
k2
µ�
= 0 (4.2.8)
que determinará las características particulares de la solución de la ecuación de onda pues,
especi�cando el valor de cualquiera de las constantes, la otra queda unívocamente de�nida.
Con (4.2.6) y (4.2.7) podemos hallar una solución particular de la forma
f(ξ, t) = a ei k ξ−p t + b e−i k ξ−p t
luego resulta que el campo eléctrico es
E = E1 e
i k ξ−p t + E2 e
−i k ξ−p t (4.2.9)
y el magnético viene dado por
H = H1 e
i k ξ−p t + H2 e
−i k ξ−p t (4.2.10)
Calculando para E y para H las derivadas siguientes
∂E
∂ξ
= i kE1 e
i k ξ−p t − i kE2 e−i k ξ−p t
∂H
∂t
= −pH
e insertándola en (4.1.9), luego de un poco de álgebra y agrupando por las exponenciales
se obtienen las relaciones
H1 =
i k
p µ
n× E1 (4.2.11)
H2 = −
i k
p µ
n× E2 (4.2.12)
y si multiplicamos (4.2.11) y (4.2.12) por E1 y E2 respectivamente, y teniendo en cuenta
que E1 · (n× Ei) = 0, obtenemos
E1 ·H1 = 0 , E2 ·H2 = 0 ∴ E ·H = 0
luego podemos a�rmar que el campo magnético y el campo eléctrico son perpendiculares a
la dirección n y perpendiculares entre sí.
4.3. Ondas planas armónicas en el tiempo 109
4.3. Ondas planas armónicas en el tiempo
Si suponemos que p es imaginario puro, la solución será armónica en el tiempo. Usando
la ecuación (4.2.8) tendremos
p = i ω =⇒ k2 = µ�ω2 + i µσω (4.3.1)
luego si el medio es conductor (σ 6= 0) k2 es complejo, en consecuencia k también lo es. El
signo de la raíz lo elegiremos de tal forma que la parte imaginaria sea siempre positiva
k = α + i β (4.3.2)
Las ecuaciones (4.2.9), (4.2.10), (4.2.11) y (4.2.12) nos muestran que sólo es su�ciente
calcular el campo E. Las amplitudes de E son también cantidades complejas y las escribi-
remos como {
E1ζ = a1 eiθ1 , E2ζ = a2 eiθ2
E1η = b1 eiψ1 , E2η = b2 eiψ2
(4.3.3)
donde las constantes a1, a2, b1, b2, θ1, θ2, ψ1 y ψ2 son reales.
Las componentes de E resultan entonces ser{
Eζ = a1 e−βξ+i(αξ−ωt+θ1) + a2 eβξ−i(αξ+ωt−θ2)
Eη = b1 e−βξ+i(αξ−ωt+ψ1) + b2 eβξ−i(αξ+ωt−θψ2)
(4.3.4)
y como E es solución de (4.1.12), resulta que tanto la parte real como la imaginaria de (4.3.4)
también lo son. Tomaremos a la parte real de (4.3.4) como representación del campo E:{
Eζ = a1 e−βξ cos(αξ − ωt+ θ1) + a2 eβξ cos(αξ + ωt− θ2)
Eη = b1 e−βξ cos(αξ − ωt+ ψ1) + b2 eβξ cos(αξ + ωt− ψ2)
(4.3.5)
Las componentes del campo H podemos encontrarlas vía las ecuaciones (4.2.11) y
(4.2.12) utilizando (4.3.1) y (4.3.2); esto es, conociendo
i k
pµ
es

i k
pµ
=
α + iβ
µω
=
√
α2 + β2
µω
eiγ
γ = arctan
β
α
(4.3.6)
las componentes H1,2, H1,2 ζ y H1,2 η quedan unívocamente determinadas. Así, luego de un
poco de álgebra, se obtiene para el campo magnético que
Hζ = −b1
√
α2+β2
µω
e−βξ cos(αξ − ωt+ θ1 − γ) + b2
√
α2+β2
µω
eβξ cos(αξ + ωt− θ2 − γ)
Hη = a1
√
α2+β2
µω
e−βξ cos(αξ − ωt+ ψ1 − γ) + a2
√
α2+β2
µω
eβξ cos(αξ + ωt− ψ2 − γ)
(4.3.7)
Las soluciones (4.3.5) y (4.3.7) corresponden a ondas planas que se propagan a lo largo del
eje ξ en ambos sentidos (negativo y positivo).
110 Capítulo 4. Ondas Planas
Consideremos el caso donde se cumple que a2 = b1 = b2 = 0 y que el medio no es
conductor, es decir σ = 0, implica que β = 0. Luego, los campos son
Eζ = a1 cos(αξ − ωt+ θ1) , Hη = a1
α
µω
cos(αξ − ωt+ ψ1) (4.3.8)
ecuaciones que representan soluciones periódicas tanto en el espacio como en el tiempo.
En el eje de tiempo el período es T =
2π
ω
, luego la frecuencia es ν =
ω
2π
, en tanto que
espacialmente la longitud de onda es λ =
2π
α
, mientras el número de onda es de�nido por
κ =
α
2π
. El argumento Φ = αξ − ωt + θ1 se denomina fase y el ángulo θ1, ángulo que se
determina por condiciones iniciales, ángulo de fase. En cada instante t los campos E y H
son constantes sobre cada plano ξ = cte. Como es el plano el que se desplaza, y en este
plano los campos son constantes, los campos son invariantes frente a cambios en t luego
Φ = ωt− αξ − θ1 = cte ∴ dΦ = ωdt− αdξ = 0 (4.3.9)
luego podemos a�rmar que los planos de fase constante se desplazan con una velocidad
constante
v =
dξ
dt
=
ω
α
(4.3.10)
llamada velocidad de fase.
La velocidad de fase representa la velocidad con que se desplaza unafase y no tiene
porque coincidir con la velocidad con que la energía se propaga. La velocidad v puede
exceder la velocidad de la luz sin violar los postulados de la relatividad. En un medio no
conductor (σ = 0) por (4.3.1) y (4.3.2) se tiene que α =
√
µ�ω entonces la velocidad de
fase resulta
v =
1
√
µ�
(4.3.11)
y en óptica se de�ne un número adimensional llamado índice de refracción como
n =
c
v
= c
√
µ� (4.3.12)
Este resultado fue encontrado por Maxwell y se constituyó como el gran argumento para
asegurar que la luz es un fenómeno electromagnético.
A una frecuencia particular ν la longitud de onda queda unívocamente determinada por
las propiedades del medio; esto es,
λ =
v
ν
=
c
nν
=
λ0
n
(4.3.13)
donde λ0 corresponde a la longitud de onda a la frecuencia ν pero en el medio vacío. Si el
medio es no ionizado el índice de refracción n > 1.
Retomando la solución dada en (4.3.8), vemos entonces que el campo eléctrico y mag-
nético se relacionan de manera tal que E × H yace en la dirección de propagación de la
onda. El vector H se propaga en igual dirección y con igual velocidad que E y si el medio
es no conductor (σ = 0) está en fase con éste. Sus amplitudes di�eren en un factor
α
µω
=
1
µv
=
√
�
µ
(4.3.14)
4.4. Efectos en la propagación
de la onda con la frecuencia ω.
111
Qué ocurre si levantamos la restricción de σ = 0 y analizamos los efectos de un medio con
conductividad �nita? En principio los vectores E y H se atenúan exponencialmente en la
dirección de propagación. Si es σ 6= 0 no solamente se atenúan las amplitudes de la onda
sino que también modi�ca su velocidad. De (4.3.1) y (4.3.2) podemos determinar los valores
de α y β en términos de �, µ y σ resolviendo el sistema
{
α2 − β2 = µ�ω2
αβ =
µσω
2
(4.3.15)
Resolviendo este sistemas obtenemos para α y β
α = ω
√
µ�
2
√
1 +
σ2
�2ω2
+ 1
β = ω
√
µ�
2
√
1 +
σ2
�2ω2
− 1
(4.3.16)
Los planos de fase constante se propagan ahora con la velocidad
v =
c√
kekm
2
√
1 +
σ2
�2ω2
+ 1
(4.3.17)
donde ke =
�
�0
y km =
µ
µ0
. Vemos entonces que la velocidad se incrementa con la frecuencia
siempre que ke, km y σ no dependen de ésta. La atenuación de las amplitudes queda
determinada por el factor β que vemos que crece con la frecuencia y al factor complejo k
de�nido por (4.3.2) lo denominaremos constante de propagación de la onda.
4.4. Efectos en la propagación
de la onda con la frecuencia ω.
Si examinamos las ecuaciones (4.3.16), α y β dependen básicamente de la cantidad
σ2
�2ω2
. Ahora bien, por hipótesis la densidad de corriente total en cualquier punto del medio
es
J = σE + �
∂E
∂t
= (σ − iω�)E (4.4.1)
de donde se ve que la relación entre las densidades de corriente de conducción y desplaza-
miento es precisamente el cociente
σ
�ω
y analizaremos dos casos límites
112 Capítulo 4. Ondas Planas
Caso I:
σ2
�2ω2
� 1.
La corriente de desplazamiento es mucho mayor que la de conducción. Esta situación puede
darse si la conductividad es muy pequeña o si la frecuencia es muy grande cuando el medio en
donde se propaga la onda es conductor.
Recordando que (1 + x)n ≈ 1 + nx si x� 1, las ecuaciones (4.3.16) se reescriben como
α = ω
√
µ�
(
1 +
1
8
σ2
�2ω2
)
≈ ω√µ� (4.4.2)
β =
σ
2
√
µ
�
(4.4.3)
vemos entonces que el factor de atenuación es independiente de la frecuencia ya que solo depende
de las constantes que caracterizan al medio.
Caso II:
σ2
�2ω2
� 1 .
La corriente de conducción predomina siempre por sobre la corriente de desplazamiento. Este
caso, corresponde a los metales en general y sólo cuando la frecuencia es del orden de 1017 Hz;
es decir, en la región de los fenómenos atómicos, las corrientes de conducción y desplazamientos
son del mismo orden.
Operando de manera similar al Caso I se puede obtener para α y β:
α = β =
√
ωσµ
2
(4.4.4)
Un incremento en ω, µ o σ contribuyen de igual manera en el factor de atenuación. La velocidad
de fase solo crece con la frecuencia pero se reduce con el crecimiento de σ o µ.
4.5. Relación entre |H| y |E| con la frecuencia ω.
De las ecuaciones (4.2.11-4.2.12) y (4.3.6) encontramos que
|H| =
√
α2 + β2
µω
|E| (4.5.1)
reemplazando α y β por los resultados dados en (4.3.16) obtenemos
|H|
|E|
=
√
α2 + β2
µω
=
√
�
µ
(
1 +
σ2
�2ω2
)1/4
(4.5.2)
Si el medio es poco conductor (σ � 1) la relación entre los campos es razonablemente
aproximada por
|H|
|E|
=
√
�
µ
(
1 +
σ2
4 �2ω2
)
(4.5.3)
en tanto si el medio es un buen conductor
|H|
|E|
=
√
σ
µω
. (4.5.4)
Si el medio es un dieléctrico perfecto (σ = 0) β = 0 y el desfasaje entre E y H es nulo.
Pero, si el medio es conductor, el campo magnético se desfasa respecto del campo eléctrico
en un ángulo
tan γ =
β
α
=

√
1 + σ
2
�2ω2
− 1√
1 + σ
2
�2ω2
+ 1
1/2 (4.5.5)
4.6. Ondas planas armónicas en el espacio. 113
De esta ecuación se desprende que, si
σ2
�2ω2
� 1 tan γ → 1, el campo magnético de una onda
plana penetrando en un medio conductor se desfasa en un ángulo que tiende a
π
4
respecto
al campo eléctrico.
4.6. Ondas planas armónicas en el espacio.
La suposición de que p en la ecuación (4.2.7) es imaginario puro nos condujo a valores
de k complejos y a encontrar que los campos electromagnéticos de la onda son funciones
armónicas del tiempo. Un campo, que en cualquier punto ξ es una función periódica de
t, puede resolverse utilizando el análisis de Fourier; es decir, descomponerse como una
superposición de componentes armónicas propagándose en la dirección de ξ. Una variación
temporal en cualquier otro punto �jo ξ puede calcularse recombinando las componentes en
el punto considerado. Ahora bien, si en vez de considerar variaciones temporales del campo,
suponemos tener una distribución de los campos respecto de ξ en un instante particular de
tiempo t, podemos preguntarnos por el valor de los campos en un instante posterior y, el
análisis debe realizarse entonces considerando a ξ como variable.
Suponiendo que la variable de separación k2 es real, resulta entonces que p es una
cantidad compleja dada por
p =
σ
2�
± i
√
k2
µ�
− σ
2
4�2
(4.6.1)
si designamos con q =
√
k2
µ�
− σ
2
4�2
el campo E dado en (4.2.9) toma la forma
E = E1e
− σ
2�
t+i(k ξ−q t) + E2e
− σ
2�
t−i(k ξ+q t) (4.6.2)
En función del valor de q podemos distinguir dos situaciones diferentes
1. Si
σ2
4�2
<
k2
µ�
la cantidad q es real y el campo puede verse como una onda plana que
se propaga en dirección del eje ξ con una velocidad de fase
v =
dξ
dt
= ± q
k
(4.6.3)
con una amplitud de oscilación que decrece exponencialmente con el tiempo. La velo-
cidad del decaimiento de la amplitud está determinada por la constante de relajación
τ =
�
σ
.
2. Si
σ2
4�2
>
k2
µ�
la cantidad q es imaginaria pura y no hay propagación en término de
ondas. El campo es periódico espacialmente pero decreciente en el tiempo. Esto es,
no existe desplazamiento espacial como onda y decimos entonces que ha degenerado
en un proceso conocido como difusión.
114 Capítulo 4. Ondas Planas
4.7. Flujo de energía.
Reescribamos nuevamente la ecuación (3.6.7) pero llamamos Q al término J ·E; es decir,
∇ · S + ∂U
∂t
+Q = 0 (4.7.1)
donde U no es más que la densidad de energía electromagnética (3.6.5) y Q la potencia
disipada por unidad de volumen por actividad termo-química.
Si los campos fueran estacionarios U no depende del tiempo, luego la ecuación (4.7.1)
queda
∇ · S +Q = 0 (4.7.2)
Ahora bien, la cantidad Q puede ser mayor o menor que cero dependiendo de si la fuerza
electromotriz es mayor o menor que la energía que se disipa como calor. Es decir, la energía
�uye hacia o desde el elemento de volumen considerado, dependiendo si éste se comporta
como una fuente o sumidero de energía.
En la mayor parte de las aplicaciones práctica de la teoría electromagnética, las fuentes
y campos son funciones periódicas del tiempo y si consideramos los efectos en valor medio
se cumple que
∂ < U >
∂t
=
〈
∂U
∂t
〉
= 0. Luego si los campos en juegos son periódicos
tendremos
〈∇ · S〉+ 〈Q〉 = 0 o
ˆ
S
〈S〉 · n ds+
ˆ
V〈Q〉 d3x = 0 (4.7.3)
Si en el interior del volumen V no hay fuentes, la energía que se disipa en calor en V es
igual al valor medio del �ujo entrante a través de la super�cie S.
Observación. Representaremos las cantidades periódicas en el tiempo como funciones com-
plejas espacialmente multiplicada por e−iωt
A = (α + iβ) e−iωt = (α + iβ) (cosωt− i sinωt) (4.7.4)
donde α y β son funciones reales de (x, y, z). El conjugado de A es
à = (α− iβ) eiωt = (α− iβ) (cosωt+ sinωt) (4.7.5)
y tanto la parte real como la imaginaria de A son expresadas por{
< (A) = α cosωt+ β sinωt =
√
α2 + β2 sin (ωt+ φ)
= (A) = β cosωt− α sinωt =
√
α2 + β2 cos (ωt+ φ)
(4.7.6)
donde tanφ = β/α. De (4.7.4) y (4.7.5) se tiene que
α2 + β2 = A Ã
y (4.7.6) pueden escribirse como 
< (A) = A+ Ã
2
= (A) = A− Ã
2i
(4.7.7)
4.7. Flujo de energía. 115
Si tenemos dos complejos A1 y A2 con igual fase, el producto de sus partes reales es
< (A1)< (A2) =
1
4
(
A1A2 + Ã1Ã2 + A1Ã2 + Ã1A2
)
(4.7.8)
y el valor medio de A está dado por
〈A〉 = 1
τ
ˆ τ
0
A(t) dt
donde τ es el período de la función entonces si A(t) = a eiωt, función de período τ =
2π
ω
,
vemos que su valor medio es
〈A(t)〉 = 2π
ω
ˆ 2π
ω
0
a eiωtdt = 0
Calculando el valor medio de (4.7.8) se obtiene
〈<(A1)<(A2)〉 =
α1α2 + β1β2
2
de donde resulta que
〈<(A1)<(A2)〉 =
1
2
<
(
A1 Ã2
)
(4.7.9)
Teniendo en cuenta los resultados mostrados anteriormente, la intensidad media del
�ujo energético en campos electromagnéticos armónicos es
〈S〉 = 〈< (E)×< (H)〉 = 1
2
<
(
E× H̃
)
(4.7.10)
si expresamos con
S∗ =
1
2
E× H̃ (4.7.11)
al vector que se denomina vector de Poynting complejo, que nos permite reescribir (4.7.11)
como
〈S〉 = < (S∗) (4.7.12)
Supongamos ahora un medio caracterizado por las constantes (�, µ, σ) y ademas los campos
(E,H) dependen del tiempo con e−iωt, luego las ecuaciones de Maxwell en regiones donde
no existan fuerzas electromotrices E son{
∇× E = iµωH
∇×H = (σ − iω�)E (4.7.13)
conjugando la segunda ecuación de (4.7.13) y multiplicándola escalarmente por E tenemos
E ·
(
∇× H̃
)
= (σ + iω�)E · Ẽ (4.7.14)
en tanto que a la primera la multiplicamos por H̃, resulta que
H̃ · (∇× E) = iµωH̃ ·H (4.7.15)
116 Capítulo 4. Ondas Planas
Restando ahora a (4.7.15) la ecuación (4.7.14) se tiene
H̃ · (∇× E)− E ·
(
∇× H̃
)
= −σE · Ẽ + iω
(
µH · H̃− �E · Ẽ
)
y teniendo en cuenta que
∇ ·
(
E× H̃
)
= H̃ · (∇× E)− E ·
(
∇× H̃
)
y que
∇ ·
(
E× H̃
)
= 2∇ · S∗
se tiene
∇ · S∗ = −σ
2
E · Ẽ + iω
(µ
2
H · H̃− �
2
E · Ẽ
)
(4.7.16)
que por la de�nición de Q y de (4.7.9) �nalmente se obtiene
∇ · S∗ = −〈Q〉+ 2iω (〈Ω〉 − 〈U〉) (4.7.17)
donde Ω y U denotan las densidades de energía magnética y eléctrica respectivamente.
Aplicando el teorema de la divergencia a la ecuación anterior resulta
ˆ
S
S∗ · n ds = −Qtérmica + 2iω (Ωmagnética − Ueléctrica) (4.7.18)
donde Qtérmica =
´
V
〈Q〉 d3x y (Ωmagnética − Ueléctrica) =
´
V
(〈Ω〉 − 〈U〉) d3x respectiva-
mente1.
Consideremos una onda plana que se propaga en la dirección del eje z caracterizada con
los campos
Ex = a e
−βz+i(αz−ωt+θ)
H̃y = a
√
α² + β²
µω
e−βz−i(αz−ωt+θ+γ)
(4.7.19)
El vector de Poynting complejo (4.7.11) es
S∗z =
1
2
Ex H̃y =
a2
√
α² + β²
2µω
e−2βz−iγ
La parte real representa la energía promedio por unidad de área y tiempo que pasa por un
elemento de área del plano xy; es decir,
〈Sz〉 =
a2
√
α² + β²
2µω
e−2βz cos γ
como tan γ =
β
α
entonces es cos γ =
α√
α2 + β2
, de manera que la ecuación anterior resulta
〈Sz〉 =
α
2µω
e−2βz a2 (4.7.20)
1
{
<
{´
S S
∗ · n ds
}
= energía total disipada
=
{´
S S
∗ · n ds
}
= 2ω × diferencia del valor medio total de las energías magnética y eléctrica
4.7. Flujo de energía. 117
En acuerdo con el teorema de Poynting, la divergencia del valor medio de S mide la energía
transformada por unidad de tiempo y volumen en calor, luego
∇ · 〈S〉 = ∂ 〈Sz〉
∂z
= −αβ
µω
a2 e−2βz (4.7.21)
La segunda ecuación de (4.3.15) no muestra que αβ =
ωµσ
2
; por lo tanto, la expresión
anterior es
∇ · 〈S〉 = −σ
2
a2 e−2βz
y por la primera ecuación de (4.7.19) vemos que |E|2 = a2 e−2βz por lo que �nalmente
resulta
∇ · 〈S〉 = −σ
2
|E|2 = −Q
2
(4.7.22)
que efectivamente muestra lo aseverado y como conclusión relevante del teorema se muestra
que una onda electromagnética transporta energía entre puntos del espacio y lo hace en la
dirección de propagación de la misma.
118 Capítulo 4. Ondas Planas
Capítulo 5
Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
5.1. Estado de polarización de
una onda electromagnética
Consideremos una onda propagándose en dirección positiva ξ en un medio homogéneo
e isótropo. Sabemos además que un medio electromagnético está siempre caracterizado
por la terna (�, µ, σ) y que si la propiedad σ es �nita el medio es conductor. Si el medio
es conductor la cantidad σ interviene como un factor común de atenuación en todas las
componentes de la onda de manera que no interviene en el estado de polarización de ésta.
Omitiremos entonces este factor en el análisis que sigue.
Supondremos que tanto las amplitudes como las constantes de fase de los campos rec-
tangulares de E están ya correctamente especi�cadas, y nos preguntamos sobre cuál es
el lugar geométrico de |E| =
√
E2ζ + E
2
η (ver �gura 5.1.1) en el pano r · ζ = cte. Las
componentes del campo podemos escribirlas como
Eξ = a cos(Φ + θ)
Eη = b cos(Φ + ψ)
Eζ = 0
(5.1.1)
donde Φ = α ζ − ω t.
ηZ
Y
X
Ε
η
ξ
Ε
Ε
ζ
ξ
Figura 5.1.1: Plano de las proyecciones del campo E según dos direcciones ortogonales a la
dirección de propagación ζ.
119
120
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
Las ecuaciones (5.1.1) pueden ser reescritas como
Eξ
a
= cos(Φ + θ)
Eη
b
= cos(Φ + θ + δ)
Eζ = 0
(5.1.2)
o bien como 
Eξ
a
= cos(Φ + θ)
Eη
b
= cos(Φ + θ) cos(δ)− sin(Φ + θ) sin(δ)
Eζ = 0
(5.1.3)
Elevando al cuadrado las dos primeras ecuaciones de (5.1.3) y sumándolas, se obtiene(
Eξ
a
)2
− 2Eξ
a
Eη
b
cos(δ) +
(
Eη
b
)2
= sin2(δ). (5.1.4)
Ahora bien, para analizar el comportamiento de esta forma cuadrática debemos conocer
cuál es el valor que toma su discriminante
4 cos2(δ)
a2b2
− 4
a2b2
= − 4
a2b2
sin2(δ) ≤ 0. (5.1.5)
La ecuación (5.1.5) está indicando entonces que el lugar geométrico que cumplen los puntos
que satisfacen las ecuaciones (5.1.1) es una elipse en el plano ξη. En este caso, diremos que
la onda se encuentra polarizada elípticamente.
En general los ejes principales de la elipse está rotados con respecto a los ejes (ξ, η) en
un ángulo ψ que satisface la ecuación
tan 2ψ =
2 a b cos δ
a2b2
. (5.1.6)
Cuando δ = π/2 o múltiplo impar de π/2 la ecuación (5.1.4) resulta(
Eξ
a
)2
+
(
Eη
b
)2
= 1
y si a = b la elipse es una circunferencia, diremos entonces que la onda está polarizada
circularmente.
Si ahora es δ = 0 o múltiplo par de π, la ecuación (5.1.4) es
Eξ
a
± Eη
b
= 0,
la (5.1.4) degenera en rectas, luego estaremos frente a un caso donde diremos que la onda
está polarizada linealmente como muestra la �gura (5.1.2)
5.2. Re�exión y Refracción en super�cies planas. 121
Figura 5.1.2: Estados de polarización
.
En el caso de la polarización circular debemos distinguir dos posibilidades según sea el
sentido de rotación del vector E alrededor de la dirección de propagación ζ. Diremos que
el estado de polarización es circular derecha si el sentido de rotación es el de las agujas del
reloj, lo será izquierda si lo hace en sentido antihorario.
5.2. Re�exión y Refracción en super�cies planas.
Supongamos que tenemos dos medios homogéneos e isótropos caracterizados por las
ternas {�i, µi, σi}i=1,2 que tienen como contorno común a la super�cie S, ver �gura 5.2.1.
El vector n es unitario, normal S y dirigido del medio 1 al medio 2. Sea O el origen de un
sistema de coordenadas arbitrario ubicado sobre la super�cie de separación de los medios,
entonces si r representa el vector posición de un punto cualquiera del medio 1 o del medio
2, la super�cie S quedasimplemente especi�cada por la ecuación
r · n = 0 . (5.2.1)
122
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
S
n
n
n
2
1
n
02 1
0
θ
2
θ
θ
1
Plano de incidencia
Figura 5.2.1: Detalle de los vectores que caracterizan a las ondas en los medios 1 y 2.
Supongamos ahora que una onda plana que viaja en el medio 2 incide sobre la super�cie
S. Esta onda, representada por su expresión compleja, podemos describirla por
Ei = E0 e
i(k2n0·r−ω t)
Hi =
k2
ω µ2
n0 ∧ Ei
(5.2.2)
donde E0 es la amplitud compleja de la onda incidente y n0 el vector unitario que �ja la
dirección de propagación. El plano de�nido por los vectores n0 y n se lo llamará plano de
incidencia.
La situación que se nos plantea es la siguiente:
1. Una onda propagándose por el medio 2 hacia otro medio, el 1, con propiedades dis-
tintas al medio 2.
2. En la super�cie se separación entre ambos medios, el campo incidente debe satisfacer
condiciones de continuidad.
Las condiciones de continuidad quedan determinadas por las condiciones de contorno en
S; esto es, para satisfacerlas es necesario postular un campo re�ejado que se propagará
por el medio 2 y otro trasmitido que lo hará en el medio 1. Físicamente este hecho puede
justi�carse por la excitación producida por el campo oscilatorio incidente en las cargas
libres y ligadas en las vecindades de la super�cie de separación S. Esta excitación es la
responsable de producir ondas secundarias que se propagarán tanto en el medio 2 como en
el 1. Ahora, supongamos que las ondas re�ejadas y transmitida son también ondas planas,
que representamos por
Et = E1 e
i(k1n1·r−ω t)
Ht =
k1
ω µ1
n1 ∧ Et
(5.2.3)
a la que se transmite, y por
Er = E2 e
i(k2n2·r−ω t)
Hr =
k2
ω µ2
n2 ∧ Er
(5.2.4)
a la que se re�eja. Los vectores n1 y n2 están en las direcciones de propagación de las ondas
transmitidas y re�ejadas respectivamente, en tanto que E1 y E2 sus amplitudes complejas
aun no determinadas.
5.2. Re�exión y Refracción en super�cies planas. 123
5.2.1. Propiedades geométricas.
Sabemos por hipótesis que las amplitudes E1, E2 yE0 no dependen de las coordenadas
y que además debe conservarse la continuidad de la componente tangencial de los campos
sobre S. Luego resulta necesario que los argumentos de las exponenciales en las ecuaciones
(5.2.2), (5.2.3) y (5.2.4) sean iguales sobre la super�cie n · r = 0. Así resulta que sobre S
debe satisfacerse que {
k2 n0 · r = k2 n2 · r
k2 n0 · r = k1 n1 · r
. (5.2.5)
Si escribimos el doble producto vectorial 1
n ∧ (n ∧ r) = (n · r)n− (n · n) r
vemos que sobre la super�cie S se satisface que
r = −n ∧ (n ∧ r) (5.2.6)
que reemplazada en (5.2.5) resulta{
k2 n0 · n ∧ (n ∧ r) = k2 n2 · n ∧ (n ∧ r)
k2 n0 · n ∧ (n ∧ r) = k1 n1 · n ∧ (n ∧ r)
. (5.2.7)
La ecuación anterior presenta un producto entre vectores que puede expresarse como 2
n0 · n ∧ (n ∧ r) = (n0 ∧ n) · (n ∧ r)
n1 · n ∧ (n ∧ r) = (n1 ∧ n) · (n ∧ r)
n2 · n ∧ (n ∧ r) = (n2 ∧ n) · (n ∧ r)
que insertada en la ecuación (5.2.7) obtenemos
(n0 ∧ n− n2 ∧ n) · (n ∧ r) = 0
(k2n0 ∧ n− k1n1 ∧ n) · (n ∧ r) = 0
. (5.2.8)
Estas ecuaciones nos permite asegurar que n0, n1, n2 y n son vectores coplanares y que
los planos de fase constante de la onda re�ejada y transmitida son normales al plano de
incidencia.
Sobre la super�cie de separación de los medios S se satisface (5.2.1), de lo que resulta
usando la primera de (5.2.8)
n0 ∧ n = n2 ∧ n .
Calculando el módulo obtenemos
sin (π − θ0) = sin (θ2) ,
1Sean los vectores a, b y c ∈ R3 entonces se satisface que
a ∧ b ∧ c = (a · c)b− (a · b) c .
Demostrarlo
2Sean a, b, c y d vectores pertenecientes a R3, entonces se satisface
a · (b ∧ (c ∧ d)) = (a ∧ b) · (c ∧ d) .
Demostrarlo.
124
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
por lo que resulta
sin (θ0) = sin (θ2) , (5.2.9)
o sea que el ángulo de incidencia θ0 es igual al ángulo de re�exión θ2.
La segunda ecuación de (5.2.8) nos permite obtener
k2 sin (θ0) = k1 sin (θ1) (5.2.10)
ó
sin (θ0)
sin (θ1)
=
k1
k2
Las ecuaciones (5.2.9) y (5.2.10) se conocen como las Leyes de Snell de re�exión y refracción.
5.2.2. Relación entre los campos.
Calcularemos ahora las amplitudes E1 y E2 de las ondas transmitidas y re�ejadas.
Lograremos lo que buscamos aplicando nuevamente la conservación de las componentes
tangenciales de los campos sobre la super�cie de separación S. Este hecho se expresa de la
siguiente manera
n ∧ (E0 + E2) = n ∧ E1
n ∧ (H0 + H2) = n ∧H1
. (5.2.11)
Insertando los valores de H dados en (5.2.2), (5.2.3) y (5.2.4) en la segunda ecuación de
(5.2.11) se obtiene
n ∧ (n0 ∧ E0 + n2 ∧ E2)
k2
µ2
= n ∧ (n1 ∧ E1)
k1
µ1
. (5.2.12)
Por hipótesis, la orientación del vector E0 es arbitraria pero siempre es posible descom-
poner este vector en dos componentes: una normal al plano de incidencia o sea tangencial
a S; y otra que yace sobre el plano de incidencia. Por lo tanto, sin perder generalidad, en
nuestro estudio analizaremos cada componente de E0 separadamente.
5.2.2.1. El campo E0 es normal al plano de incidencia.
La situación que se plantea está descripta en la �gura 5.2.2. Como los medios son
homogéneos e isótropos los vectores E0, E1 y E2 son paralelos, de manera que se satisfacen
las condiciones n · E0 = n · E1 = n · E2 = 0; es decir, son normales al plano de incidencia.
Ahora bien, de la Figura 5.2.2 vemos que
n · n0 = cos (π − θ0) = − cos (θ0)
n · n1 = cos (π − θ1) = − cos (θ1)
n · n2 = cos (θ2)
. (5.2.13)
5.2. Re�exión y Refracción en super�cies planas. 125
2
1
Plano de Incidencia
E
H
E
H
H
S
θ
θ
θ
0
0
1
1
2
1
2
0 E
2
n
n
n
1
2
0
n
Figura 5.2.2: Caso E0 normal al Plano de Incidencia.
Por razones de simple comodidad reescribamos el sistema que debemos resolver
n ∧ (E0 + E2) = n ∧ E1
n ∧ (n0 ∧ E0 + n2 ∧ E2)
k2
µ2
= n ∧ (n1 ∧ E1)
k1
µ1
. (5.2.14)
Si multiplicamos vectorialmente la primera ecuación del sistema (5.2.14) por n, resulta
n ∧ n ∧ (E0 + E2) = n ∧ n ∧ E1
y usando la propiedad del doble producto vectorial obtenemos
[n · (E0 + E2)]n− (n · n) (E0 + E2) = (n · E1)n− (n · n)E1
y por las relaciones de perpendicularidad entre n y los campos encontramos
E0 + E2 = E1. (5.2.15)
Si usamos el procedimiento anterior con la segunda ecuación del sistema (5.2.14), con un
poco de trabajo algebraico, obtenemos
[n0 (n · E0)− E0 (n · n0) + n2 (n · E2)− E2 (n · n2)]
k2
µ2
= [n1 (n · E1)− E1 (n · n1)]
k1
µ1
y usando las ecuaciones (5.2.13) resulta
cos (θ0)E0 − cos (θ2)E2 =
k1µ2
k2µ1
cos (θ1)E1. (5.2.16)
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (5.2.15) y (5.2.16) respecto de los
campos E1 y E2 se encuentra
E1 =
µ1k2(cos θ2 + cos θ0)
µ1k2 cos θ2 + µ2k1 cos θ1
E0
E2 =
µ1k2 cos θ0 − µ2k1 cos θ1
µ1k2 cos θ2 + µ2k1 cos θ1
E0
(5.2.17)
126
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
Las relaciones encontradas en (5.2.17) no son lo que parecen. Si cualquiera de los medios
fuera conductor, θ1 es un ángulo complejo. Más aún este ángulo puede ser complejo aunque
los medios fueran dieléctricos.
Veamos por qué es esto. De las leyes de Snell (5.2.9) y (5.2.10) podemos escribir
cos θ0 = cos θ2 , k1 cos θ1 =
√
k12 − k22 sin2 θ0
que reemplazados en ((5.2.17)) resulta
E1 =
2µ1k2 cos θ0
µ1k2 cos θ0 + µ2
√
k12 − k22 sin2 θ0
E0
E2 =
µ1k2 cos θ0 − µ2
√
k12 − k22 sin2 θ0
µ1k2 cos θ0 + µ2
√
k12 − k22 sin2 θ0
E0
. (5.2.18)
Ahora bien, valores complejos para el campo E0 implica necesariamente amplitudes com-
plejas para E1 y E2, lo que trae como consecuencia que las ondas transmitidas y re�ejadas
di�eran en fase respecto de la onda incidente.
5.2.3. El campo E0 está en el plano de incidencia.
En este caso, cuando el campo eléctrico yace sobre el plano de incidencia, los vectores
magnéticos son necesariamente normales a éste y paralelos a la super�cie interfase S. Este
hecho se pone de mani�esto asegurando que
n ·H0 = n ·H1 = n ·H2 = 0. (5.2.19)
De las ecuaciones (5.2.2), (5.2.3 y (5.2.4) tenemos que
H0 =
k2
ωµ2
n0 ∧ E0
ecuación que puede ser reescritacomo
ωµ2
k2
n0 ∧H0 = n0 ∧ n0 ∧ E0
o usando la descomposición del doble producto vectorial como
E0 = −
ωµ2
k2
n0 ∧H0 . (5.2.20)
Utilizando el mismo argumento podemos obtener
E1 = −
ωµ1
k1
n1 ∧H1
E2 = −
ωµ2
k2
n2 ∧H2
. (5.2.21)
Procediendo de la misma manera que para el caso descripto en la subsección 5.2.2.1,
podemos escribir el sistema
H0 + H2 = H1
cos (θ0) H0 − cos (θ2) H2 =
µ1k2
µ2k1
cos (θ1) H1
. (5.2.22)
5.3. Medios Dieléctricos. 127
Resolviendo (5.2.22) respecto de H1 y H2 resulta
H1 =
2µ2k
2
1 cos θ0
µ2k21 cos θ0 + µ1k2
√
k12 − k22 sin2 θ0
H0
H2 =
µ2k
2
1 cos θ0 − µ1k2
√
k12 − k22 sin2 θ0
µ2k21 cos θ0 + µ1k2
√
k12 − k22 sin2 θ0
H0
. (5.2.23)
Si el ángulo de incidencia es normal, esto es θ0 = 0, las amplitudes de las ondas transmitidas
y re�ejadas son
E1 =
2µ1k2
µ1k2 + µ2k1
E0
E2 =
µ1k2 − µ2k1
µ1k2 + µ2k1
E0
(5.2.24)
para los campos eléctricos, en tanto que
H1 =
2µ2k1
µ2k1 + µ1k2
H0
H2 =
µ2k1 − µ1k2
µ2k1 + µ1k2
H0
(5.2.25)
para los campos magnéticos. Las ecuaciones (5.2.24) y (5.2.25) son formalmente idénticas,
es decir ambos casos no son distinguibles.
5.3. Medios Dieléctricos.
Estudiaremos el comportamiento de los campos en el caso de materiales dieléctricos. En
primer lugar tomaremos el caso en donde las dos conductividades σ1 y σ2 son cero. Los me-
dios, bajo estas circunstancia son perfectamente transparentes. Como las permeabilidades
magnéticas di�eren muy poco de µ0, la ley de Snell puede escribirse como
k2
k1
=
sin θ1
sin θ2
=
√
�2
�1
=
v1
v2
= n12 (5.3.1)
donde v1 y v2 son las velocidades de fase y n12 el índice de refracción relativo de los dos
medios.
La ecuación (5.3.1) sugiere la existencia de tres casos:
1. Si �1 > �2 =⇒ n12 < 1; luego, a todo ángulo de incidencia θ0 le corresponde un ángulo
de refracción θ1 real.
2. Si �1 < �2 =⇒ n12 > 1; luego, a todo ángulo de incidencia θ0 le corresponde un ángulo
de refracción θ1 real solamente en el rango para el cual n12 sin θ1 ≤ 1.
3. Si n12 sin θ1 > 1 ocurre el fenómeno de re�exión total .
128
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
Trataremos los casos indicados en los ítem 1 y 2, dejando 3 para más adelante. Analicemos
las leyes de Fresnel (5.2.18) y (5.2.23) para ángulos comprendidos entre 0 y π/2.
Cuando el campo E0 es normal al plano de incidencia podemos encontrar de la ecuación
(??), (5.2.9) y (5.3.1) que
E1 =
2 sin θ1 cos θ0
sin θ1 cos θ0 + cos θ1 sin θ0
E0
ó
E1 =
2 sin θ1 cos θ0
sin (θ1 + θ0)
E0 , (5.3.2)
y para el campo E2
E2 =
2 sin (θ1 − θ0)
sin (θ1 + θ0)
E0 . (5.3.3)
Si el campo E0 está sobre el plano de incidencia, usando las ecuaciones (5.2.23), (5.2.9)
y (5.3.1) se puede obtener
n1 ∧ E1 =
2 cos θ0 sin θ1
sin (θ0 + θ1) cos (θ0 − θ1)
n0 ∧ E0
n2 ∧ E2 =
tan (θ0 − θ1)
tan (θ0 + θ1)
n0 ∧ E0
. (5.3.4)
Los coe�cientes que multiplican el campo E0 en las ecuaciones (5.3.2), (5.3.3) y (5.3.4)
son reales, de manera que las ondas transmitidas y re�ejadas estarán en fase o desfasadas
en π respecto de la onda incidente. La fase de la onda transmitida en general estará en
fase respecto de la onda incidente, en cambio la onda re�ejada depende de la magnitudes
relativas de las fases θ1 y θ0.
Si �1 > �2 resulta que θ1 < θ0 luego, el campo E2 se opone en dirección respecto
del campo E0 en (5.3.3), di�riendo en una fase π. Igualmente ocurre, bajo las mismas
condiciones, con la ecuación (5.3.4); en ésta, la tan(θ0 − θ1) > 0 pero tan(θ0 + θ1) < 0 en
el denominador si θ0 + θ1 > π/2.
Analicemos que ocurre con el �ujo de energía. Sabemos que el �ujo de energía está dado
por el vector de Poynting. Como las ondas están representadas como complejos la energía
estará representada por la parte real del vector. Tenemos entonces
Si =
1
2
Ei ∧H∗i
para la onda incidente, mientras que
St =
1
2
Et ∧H∗t
Sr =
1
2
Er ∧H∗r
y en donde ∗ signi�ca complejo conjugado. Reemplazando las expresiones de los campos
5.3. Medios Dieléctricos. 129
encontrados podemos escribir
Si =
1
2
√
�2
µ0
|E0|2 n0
St =
1
2
√
�2
µ0
|E1|2 n1
Sr =
1
2
√
�2
µ0
|E2|2 n2
(5.3.5)
Ahora bien, el �ujo de energía sobre la interfase no está dado por las diferentes componentes
de S a ambos lados de la super�cie, sino por sus componentes normales. Luego resulta que
n · Si =
1
2
√
�2
µ0
|E0|2 cos θ0
n · St =
1
2
√
�2
µ0
|E1|2 cos θ1
n · Sr =
1
2
√
�2
µ0
|E2|2 cos θ2
(5.3.6)
Como debe conservarse la energía, el �ujo de energía incidente más el re�ejado debe ser
igual al �ujo de energía transmitido, por lo tanto debe satisfacer que
√
�2 |E0|2 cos θ0 =
√
�2 |E2|2 cos θ2 +
√
�1 |E1|2 cos θ1 . (5.3.7)
Es muy simple veri�car que esta ecuación satisface las ecuaciones de Fresnel .
Vamos a de�nir dos coe�cientes, que llamaremos R para cuanti�car la re�exión y T
para hacer lo propio con la transmisión de energía. Lo haremos de la siguiente forma
R =
n · Sr
n · Si
y T =
n · St
n · Si
como θ0 = θ2, de las anteriores expresiones obtenemos
R =
|E2|2
|E0|2
T =
√
�1
�2
cos θ1
cos θ0
|E1|2
|E0|2
de manera que R + T = 1 . (5.3.8)
En el caso en que E0 sea normal al plano de incidencia, los coe�cientes dados por (5.3.8)
son
R⊥ =
sin2(θ1 − θ0)
sin2(θ1 + θ0)
y T⊥ =
sin 2θ0 sin 2θ1
sin2(θ1 + θ0)
(5.3.9)
respectivamente. Si el campo E0 pertenece al plano de incidencia estos coe�cientes están
dados por
R‖ =
tan2(θ0 − θ1)
tan2(θ0 + θ1)
y T‖ =
sin 2θ0 sin 2θ1
sin2(θ0 + θ1) cos2(θ0 − θ1)
. (5.3.10)
130
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
Si el ángulo de incidencia θ0 = 0 también es θ1 = 0, y en esta situación resulta R⊥ = R‖ y
T⊥ = T‖. Los coe�ciente de�nidos por las ecuaciones (5.3.9) y (5.3.10) toman los valores

R =
√
�2 −
√
�1√
�2 +
√
�1
=
(
n12 − 1
n12 + 1
)2
T =
4
√
�1�2(√
�2 +
√
�1
)2 = 4n12(n12 + 1)2
. (5.3.11)
Podemos preguntarnos en qué caso puede ocurrir que R = 0. Si observamos el denomi-
nador de la primera ecuación en (5.3.10), vemos que si θ0 +θ1 → π/2, entonces R‖ → 0. Las
ondas re�ejadas y transmitidas resultan ser normales entre sí y como sin θ1 = sin(π/2−θ0) =
cos θ0, la ley de Snell resulta ser
tan θ0 = n21. (5.3.12)
El ángulo θ0 que satisface la ecuación (5.3.12) se conoce como ángulo de polarización; pues,
si una onda incide sobre la super�cie interfase con este ángulo solamente se re�ejará la
componente de E perpendicular al plano de incidencia.
Analizaremos ahora el caso dado por el item 3; es decir, la situación en donde �2 > �1 o
n12 sin θ0 > 1. Todas la expresiones ya obtenidas siguen siendo válidas pero sólo lo serán si
el ángulo θ1 es complejo. ¿Qué es lo que físicamente signi�ca?, un ángulo complejo implica
simplemente un corrimiento de fase y la aparición de un factor de atenuación.
Supongamos entonces que sin θ1 > 1. De la Ley de Snell (5.2.10) tenemos que
sin θ1 =
√
�2
�1
sin θ0
luego resulta
cos θ1 =
√
1− �2
�1
sin2 θ0
ó
cos θ1 =
i
√
�1
√
�2 sin
2 θ0 − �1 = in12
√
sin2 θ0 − n212 (5.3.13)
el signo de la raíz se determina pidiendo que el campo nunca diverja. Sin perder generalidad
supondremos que la super�cie de separación de los medios S coincide con el plano x = 0,
ver �gura 5.3.1. Los puntos del medio que corresponden al medio 1 tendrán valores x < 0,
luego la fase de la onda transmitida será
5.3. Medios Dieléctricos. 131
z
x
1
2
θ
1
n
1
x=0
Figura 5.3.1:
k1n1 · r = ω
√
�1µ0 (−x cos θ1 + z sin θ1)
o utilizando (5.3.13)
k1n1 · r = ω
√
�2µ0
(
−ix
√
sin2 θ0 − n12 + z sin θ1
)
de manera que la intensidad de la onda transmitida tiene la forma dada por
Et = E1 e
β1x+i(αz−ωt) si x < 0 (5.3.14)
donde α = ω
√
�2µ0 sin θ0, ω
√
�2µ0 =
ω
v2
=
2π
λ2
y β1 = ω
√
�2µ0
√
sin2 θ0 − n221.
El campo de�nido por la ecuación (5.3.14) decae exponencialmente cuando x → −∞,
hecho que no hace más que con�rmar que el signo elegido en (5.3.13) es el correcto.
Para encontrar las amplitudes de las ondas re�ejadas y transmitidas, utilizaremos las
fórmulas de Fresnel eliminando de éstas la dependencia con θ1. Los campos resultan ser
entonces E1⊥ =
2 cos θ0
cos θ0 + i
√
sin2 θ0 − n221
E0⊥
E2⊥ =
cos θ0 − i
√
sin2 θ0 − n221
cos θ0 + i
√
sin2 θ0 − n221
E0⊥
n1 ∧ E1‖ =
2n21 cos θ0
n221 cos θ0 + i
√
sin2 θ0 − n221
n0 ∧ E0‖
n2 ∧ E2‖ =
n221 cos θ0 − i
√
sin2 θ0 − n221
n221 cos θ0 + i
√
sin2 θ0 − n221
n0 ∧ E0‖
. (5.3.15)
En las ecuaciones (5.3.15) los coe�cientes que multiplican E0 son complejos, de manera que
tendremos que las ondas transmitidas y re�ejadas no estarán en fase con la onda incidente.
Si calculamos el coe�ciente de re�exión usando la primer ecuación de (5.3.8); es decir,
132
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
R =
E2E
∗
2
|E0|2
y teniendo en cuenta los campos encontrados en (5.3.15) se obtiene que
R⊥ = R‖ = 1 y T⊥ = T‖ = 0 (5.3.16)
que como consecuencia trae aparejado la no existencia de un �ujo medio de energía hacia
el medio de menor índice de refracción. El campo en el medio 1 no es cero; esto es, en
cada instante existe una componente normal de �ujo de energía a través de la interfase,
pero su valor medio temporal es cero. La otra componente, la paralela a la interfase, no se
anula en valor medio en el medio 1. Esta última componente no se atenúa en la dirección
de propagación, pero decae muy rápidamente a medida que se incrementa la distancia a la
interfase S debido al factor eβ1x.
Para concluir con el tema examinemos, con algún detalle, las fases relativas de las ondas
re�ejadas. En las ecuaciones (5.3.15) podemos escribir
E2⊥ = e
iδ⊥E0⊥
E2‖ = e
iδ‖E0‖
. (5.3.17)
Si escribimos
eiδ =
a− i b
a+ i b
con un poco de álgebra se puede obtener
tan
δ
2
=
b
a
,
de manera que se obtiene fácilmente
tan
δ⊥
2
=
√
sin2 θ0 − n221
cos θ0
tan
δ‖
2
=
√
sin2 θ0 − n221
n221 cos θ0
. (5.3.18)
Supongamos una onda que incide sobre la interfase S y está polarizada linealmente, pero
en una dirección que no es ni paralela ni perpendicular al plano de incidencia. Podemos
descomponer esta onda en dos componentes y encontraremos que la onda re�ejada está
formada por la superposición de dos oscilaciones armónicas a ángulo recto y di�riendo en
una fase dada por la cantidad δ = δ‖−δ⊥. La onda re�ejada estará polarizada elípticamente,
pues por (5.3.18) la diferencia de fase es en general distinta de cero; esto es,
tan
δ
2
=
tan
δ‖
2
− tan δ⊥
2
1 + tan
δ‖
2
tan
δ⊥
2
=
cos θ0
√
sin2 θ0 − n221
sin2 θ0
. (5.3.19)
Ahora bien, si
sin2 θ0 = n
2
21
θ0 = π/2
entonces resulta que δ = 0, y obtenemos en este caso polarización lineal.
5.3. Medios Dieléctricos. 133
Entre este valor de θ0 y π/2 se obtiene un máximo cuyo valor es
sin2 θ0 =
2n221
1 + n221
(5.3.20)
reemplazando (5.3.20) en (5.3.19) obtenemos
tan
δ
2
=
1− n221
2n21
. (5.3.21)
Si la onda incidente está polarizada linealmente en una dirección a 45◦ con la normal
al plano de incidencia, la onda re�ejada estará polarizada circularmente.
134
Capítulo 5. Polarización, Re�exión y Refracción
en super�cies planas
Capítulo 6
Interferencia y Difracción
6.1. Introducción.
Tal como se ha discutido en su oportunidad, uno de los grandes logros en el contexto
de teorías auto-consistentes deviene con la formulación del electromagnetismo de Max-
well. Desde la teoría puede entenderse, por primera vez, el gran problema contenido en la
naturaleza de la luz y como se transporta la energía de un punto a otro.
De hecho, el poder construir desde sus ecuaciones un ecuación del tipo
∇2Ψ− 1
c2
∂2Ψ
∂2t
= f(x, t) , (6.1.1)
da cuenta de la existencia de campos que se propagan a velocidad c satisfaciendo una
ecuación de ondas. También sabemos que en regiones del espacio donde no existan cargas
ni corrientes f(x, t) = 0 debe satisfacerse
∇2Ψ− 1
c2
∂2Ψ
∂2t
= 0 , (6.1.2)
de manera que cualquier función del tipo g(x±c t) es solución de ésta. Una solución posible
de la ecuación (6.1.2) es del tipo
Ψ(x, t) = Ψ0e
i(k·x±ωt+α) (6.1.3)
conocida como onda plana y por ser la ecuación de onda del tipo lineal también será solución
la superposición
Ψ(x.t) =
∑
n
Ψ0ne
i(kn·x±ω t+αn). (6.1.4)
Tanto la ecuación (6.1.1) como la (6.1.2) son reales, de manera que sus soluciones deben
ser reales, es decir las soluciones que estamos buscando son siempre de la forma
Φ(x, t) = Re(Ψ(x, t)). (6.1.5)
La ecuación (6.1.3) corresponde a soluciones donde x está muy lejos de la fuente, pero
en general la amplitud de la onda decae como
1
|x|
, es decir, el frente de onda es esférico.
Una de las características de los movimientos ondulatorios es el fenómeno de inter-
ferencia y difracción . Este efecto ocurre cuando dos ondas coinciden en el tiempo y el
espacio.
135
136 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
Nos proponemos analizar este fenómeno dentro del contexto de la ondas electromagné-
ticas pero debe quedar bien en claro que tiene carácter general y común a cualquier clase
de fenómeno ondulatorio.
6.2. Superposición de ondas.
Hemos señalado en la introducción que la ecuación (6.1.5) corresponde a una solución
de la ecuación de onda (6.1.2). Esto es:
Φ(x, t) = Φ0(|x|) cos(k · x± ωt) (6.2.1)
ó
Φ(x, t) = Φ0(|x|) sin(k · x± ωt) . (6.2.2)
Sabemos que un número complejo arbitrario {zn}n=1,...,N ∈ Z se representa como
zn = an + i bn (6.2.3)
donde i satisface la propiedad i2 = −1. Si construimos una representación en coordenadas
cartesianas de (6.2.3) y asociamos a cada número coordenadas polares (ver �gura 6.2.1)
resulta {
an = |zn| cos(φn)
bn = |zn| sin(φn)
, (6.2.4)
con |zn|2 = znz∗n = a2n + bn2 y tan(φn) =
bn
an
. Luego la ecuación (6.2.3) se reescribe como
zn = |zn| (cos(φn) + i sin(φn)) (6.2.5)
o de manera más compacta, conocida como representación de Euler
zn = |zn| eiφn . (6.2.6)
an
bn
zn
|z |n
Re{z}
Im{z}
n
φ
Figura 6.2.1: Representación polar de un número complejo.
6.3. Interferencia producida por
dos fuentes idénticas
137
Supongamos ahora, y sin perder generalidad, que la fase φn la representamos como:
φn = αn + δ
luego zn dado por (6.2.6) es
zn = Anei δ (6.2.7)
con la amplitud An = |zn| ei αn compleja.
Calculemos ahora la suma de N números complejos de la forma dada por (6.2.7), esto
es
z =
N∑
n=1
zn =
N∑
n=1
Anei δ = A ei δ (6.2.8)
con
A =
N∑
n=1
An ei αn ∈ Z. (6.2.9)
Ahora bien, sabemos por (6.2.6) que podemos representar a z como:
z = |A| ei (φ+δ) (6.2.10)
si
|A|2 =
∑N
n=1An
(∑N
m=1Am
)∗
=
∑N
n=1
∑N
m=1 |zn||zm| ei(αn−αm)
(6.2.11)
ecuación que puede escribirse sin di�cultad como
|A| =
√√√√ N∑
n=1
(
|zn|2 + 2
N∑
m>n
|zn||zm| cos(αn − αm)
)
. (6.2.12)
La fase φ se calcula teniendo en cuenta la parte real e imaginaria de (6.2.9), esto es
φ = arctan
(
Im[A]
Re[A]
)
= arctan
(∑N
n=1 |zn| sin(αn)∑N
n=1 |zn| cos(αn)
)
. (6.2.13)
Utilizando las ecuaciones (6.2.12) y (6.2.13) la ecuación (6.2.10) resulta
z =
√√√√ N∑
n=1
(
|zn|2 + 2
N∑
m>n
|zn||zm| cos(αn − αm)
)
e
i(arctan
(∑N
n=1 |zn| sin(αn)∑N
n=1 |zn| cos(αn)
)
+ δ)
.
(6.2.14)
Para lo que sigue se utilizará solamente la ecuación (6.2.12).
6.3. Interferencia producida por
dos fuentes idénticas
Consideremos dos fuentes puntuales idénticas (S1, S2) y separadas una distancia a como
muestra la �gura 6.3.1. Ambas fuentes oscilan con la misma frecuencia ω, es decir poseen
138 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
la misma longitud de onda λ, y amplitudes E01 y E02 respectivamente. Representaremos
cada una de estas ondas (que supondremos esféricas) en el punto P por
E1 =
E01
r1
cos(k r1 − ωt)
E2 =
E02
r2
cos(k r2 − ωt)
(6.3.1)
donde r1 y r2 representan las distancias desde S1 a P y desde S2 a P .
X
O
2a
S1 r
1
r
r
2
θ P
Z
Y
S
2
Figura 6.3.1: Dos fuentes idénticas.
Reescribimos, por simple comodidad, las ecuaciones (6.3.1) en la representación de Euler
como
Ē1 = Ē01e
−iωt
Ē2 = Ē02e
−iωt (6.3.2)
con
Ē01 =
E01
r1
ei kr1 y E02 =
E02
r2
ei kr2 , (6.3.3)
entonces, el campo en el punto P está dado por
Ē = Ē1 + Ē2 =
(
Ē01 + Ē02
)
e−iωt, (6.3.4)
por lo que la intensidad del campo en P es
I = ĒĒ∗ =
∣∣Ē∣∣2 .
Identi�cando de la ecuación (6.3.3) |z1| = E01r1 , |z2| =
E02
r2, α1 = k r1 y α2 = k r2, de la
ecuación (6.2.12) y teniendo en cuenta que N = 2 obtenemos:
I =
E01
2
r12
+
E02
r22
+ 2
E01E02
r1r2
cos (k(r1 − r2)) . (6.3.5)
La ecuación anterior nos permite determinar cuando la intensidad del campo en P es
máxima o mínima analizando solamente el argumento del coseno, es decir
cos (k(r1 − r2)) =
 +1 máximo de intensidad si (r1 − r2) = nλ−1 mı́nimo de intensidad si (r1 − r2) = 2n+ 1
2
λ
con n = 1, 2, .... (6.3.6)
6.3. Interferencia producida por
dos fuentes idénticas
139
Re�ramos la (6.3.6) a un sistema de coordenadas O (ver �gura 6.3.1). En este sistema
las fuentes y el punto de observación tienen coordenadas
S1 = (−a, 0, 0) , S2 = (a, 0, 0) , P = (x, y, z)
de manera que tanto el vector r1 como el r2 tienen como módulo las expresiones
r1 =
√
(x+ a)2 + y2 + z2
r2 =
√
(x− a)2 + y2 + z2
que por comodidad expresaremos en coordenadas polares como
r1 =
√
r2 + 2 a r cos (θ) + a2
r2 =
√
r2 − 2 a r cos (θ) + a2
. (6.3.7)
Insertando (6.3.7) en (6.3.5) y suponiendo que E01 = E02 = E0 obtenemos
I = I0
{
1
r2 + 2 a r cos (θ) + a2
+
1
r2 − 2 a r cos (θ) + a2
+
1√
r2 + 2 a r cos (θ) + a2
√
r2 − 2 a r cos (θ) + a2
cos
(
2π
λ
(√
r2 + 2 a r cos (θ) + a2 −
√
r2 − 2 a r cos (θ) + a2
))} (6.3.8)
La ecuación (6.3.8) representa el diagrama de interferencia de las dos fuentes puntuales S1 y
S2 en el punto P . Es necesario aclarar que (6.3.8) es válida si la distancia de observación es
mucho mayor que la longitud de onda de las fuentes (λ� r). Esto garantiza que los campos
son puramente radiativos, es decir estos caen como
1
r
. Si además suponemos que a � r
y de�nimos la cantidad adimensional � =
a
r
� 1 podemos aproximar la ecuación (6.3.8) a
una situación más acorde con el hecho experimental. Para ello usaremos la aproximaciones
de Taylor
1
1 + x
w 1− x si x� 1, (6.3.9)
1√
1 + x
w 1− x
2
si x� 1, (6.3.10)
√
1 + x w 1 +
x
2
si x� 1. (6.3.11)
Utilizando las fórmulas (6.3.9-6.3.11) resulta que
1
r2 + 2 a r cos (θ) + a2
+
1
r2 − 2 a r cos (θ) + a2
w
2
r2
(6.3.12)
1√
r2 + 2 a r cos (θ) + a2
√
r2 − 2 a r cos (θ) + a2
w
1
r2
(6.3.13)
√
r2 + 2 a r cos (θ) + a2 −
√
r2 − 2 a r cos (θ) + a2 w 2 � r cos(θ) (6.3.14)
Insertando (6.3.12, 6.3.13 y 6.3.14) en (6.3.8) obtenemos a primer orden en �
I =
2I0
r2
(
1 + cos
(
4π�r cos(θ)
λ
))
. (6.3.15)
140 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
Figura 6.3.2: Diagrama de interferencia de dos fuentes idénticas separadas por una distancia
b.
Teniendo en cuenta que � = a/r y llamando b = 2a la ecuación (6.3.15) resulta
I =
2I0
r2
(
1 + cos
(
2πb cos(θ)
λ
))
. (6.3.16)
Por trigonometría elemental sabemos que cos2(β) =
1 + cos(2β)
2
, luego la ecuación anterior
puede reescribirse como
I =
4I0
r2
cos2
(
πb cos(θ)
λ
)
(6.3.17)
que corresponde al diagrama de distribución de intensidades producida por dos fuentes
idénticas separadas una distancia b. Llevando nuestro problema a coordenadas cartesianas
obtenemos
I =
4I0
x2 + y2 + z2
cos2
(
πb x
λ
√
x2 + y2 + z2
)
. (6.3.18)
La �gura 6.3.2 muestra el diagrama de interferencia generado por la ecuación (6.3.18).
La franjas brillantes corresponden a mínimos y la negras a máximos.
Problema 1: Realizar el cálculo mostrado suponiendo que:
E1 = E0 e
i(k r1−ct)
E2 = E0 e
i(k r2−ct)
y comparar con (6.3.18).
6.4. Interferencia producida por
N fuentes sincrónicas idénticas.
Sean ahora N fuentes idénticas sincrónicas separadas por una distancia a entre si, ver
�gura 6.4.1. Tal como en el caso de las dos fuentes la ubicación de las mismas y del punto
de observación tienen coordenadas dadas por
S1 = (0, 0, 0), S2 = (a, 0, 0), . . . , SN = ((n− 1)a, 0, 0) y P = (x, y, z)
respectivamente. La distancia desde la fuente n− esima a P es entonces
rn =
√
(x− (n− 1)a)2 + y2 + z2, (6.4.1)
6.4. Interferencia producida por
N fuentes sincrónicas idénticas.
141
X
Y
Z
O
S
S
S
S
1
2
3
N
Pθ
r
r
1
2
3
N
r
r
a
=r
Figura 6.4.1: N fuentes sincrónicas idénticas separadas por una distancia a.
y llamando r2 = x2 + y2 + z2 resulta
rn =
√
r2 + 2(n− 1)ax+ ((n− 1)a)2. (6.4.2)
Siguiendo el procedimiento realizado para las dos fuentes, es decir utilizando la ecuación
(6.2.12) e identi�cando |zn| =
E0n
rn
y αn =
2π
λ
rn resulta:
I =
N∑
n=1
[
E20n
r2n
+ 2
N∑
m>n
E0nE0m
rn rm
cos
(
2π
λ
(rn − rm)
)]
. (6.4.3)
Insertando (6.4.2) en (6.4.3) podemos escribir
I =
∑N
n=1
[
E20n
r2 + 2(n− 1)ax+ ((n− 1)a)2
+2
∑N
m>n
En0E0m√
r2 + 2(n− 1)ax+ ((n− 1)a)2
√
r2 + 2(m− 1)ax+ ((m− 1)a)2
cos
(
2π
λ
(√
r2 + 2(n− 1)ax+ ((n− 1)a)2 −
√
r2 + 2(m− 1)ax+ ((m− 1)a)2
))]
.
(6.4.4)
Llamando � = a/r y utilizando las aproximaciones dadas en (6.3.9-6.3.11), la ecuación
(6.4.4) resulta:
I =
I0
r2
{
N + 2
N−1∑
n=1
N∑
m=n+1
cos
(
2π
λr
(n−m) a x
)}
. (6.4.5)
Problema 2: Demostrar que la ecuación ( 6.4.5) puede ser escrita como:
I =
I0
r2
{
N + 2
N−1∑
n=1
(N − n) cos
(
2π
λr
n a x
)}
(6.4.6)
y
I =
I0
r2
sin
(
Nπax
λr
)
sin
(πax
λr
)

2
. (6.4.7)
Problema 3: Encontrar para el caso de las N fuentes idénticas la distribución de máxi-
mos y mínimos.
142 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
Figura 6.4.2: Diagramas de interferencia para el caso de N-fuentes puntuales idénticas y
sincrónicas. Los ejemplos considerados son N = 2, 3, 4, 5 respectivamente.
Tanto la ecuación (6.4.5) como las que le siguen pueden ser escritas en las coordenadas
originales como
I =
I0
x2 + y2 + z2
{
N + 2
N∑
n=1
N∑
m>n
cos
(
2π
λ
√
x2 + y2 + z2
(n−m) a x
)}
y equivalentemente para (6.4.6) y (6.4.7).
En la �gura 6.4.2 se muestran los diagramas de interferencia para los casos N =
2, 4, 6 y 10.
6.5. Diagrama de Interferencia producido por
cuatro fuentes idénticas en un plano.
Calcularemos el patrón de interferencia de cuatro fuentes puntuales idénticas ubicadas
en los vértices de un cuadrado de lado
√
2a, como muestra la �gura 6.5.1.
Figura 6.5.1: Arreglo de cuatro fuentes puntuales sobre un plano.
Las coordenadas de las fuentes y el punto de observación son:
S1 = (−a, 0, 0), S2 = (0,−a, 0), S3 = (a, 0, 0), S4 = (0, a, 0) y P = (x, y, z),
6.5. Diagrama de Interferencia producido por
cuatro fuentes idénticas en un plano.
143
con estos datos podemos calcular las distancias desde las fuentes a P , esto es
r1 =
√
(x+ a)2 + y2 + z2
r2 =
√
x2 + (y + a)2 + z2
r3 =
√
(x− a)2 + y2 + z2
r4 =
√
x2 + (y − a)2 + z2.
(6.5.1)
De la ecuación (6.2.12) resulta entonces que la distribución de intensidades es
I = I0
{
1
(x+ a)2 + y2 + z2
+
1
x2 + (y + a)2 + z2
+
1
(x− a)2 + y2 + z2
+
1
x2 + (y − a)2 + z2
+2
cos
(
2π
λ
(√
(x+ a)2 + y2 + z2 −
√
x2 + (y + a)2 + z2
))
√
(x+ a)2 + y2 + z2
√
x2 + (y + a)2 + z2
+
cos
(
2π
λ
(√
(x+ a)2 + y2 + z2 −
√
(x− a)2 + y2 + z2
))
√
(x+ a)2 + y2 + z2
√
(x− a)2 + y2 + z2
+
cos
(
2π
λ
(√
(x+ a)2 + y2 + z2 −
√
x2 + (y − a)2 + z2
))
√
(x+ a)2 + y2 + z2
√
x2 + (y − a)2 + z2
+
cos
(
2π
λ
(√
x2 + (y + a)2 + z2 −
√
(x− a)2 + y2 + z2
))
√
x2 + (y + a)2 + z2
√
(x− a)2 + y2 + z2
+
cos
(
2π
λ
(√
x2 + (y + a)2 + z2 −
√
x2 + (y − a)2 + z2
))
√
x2 + (y + a)2 + z2
√
x2 + (y − a)2 + z2
+
cos
(
2π
λ
(√
(x− a)2 + y2 + z2 −
√
x2 + (y − a)2 + z2
))
√
(x− a)2 + y2 + z2
√
x2 + (y − a)2 + z2


(6.5.2)
Figura 6.5.2: Diagrama de interferencia de cuatro fuentes idénticas ubicadas en los vértices
de un cuadrado.
144 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
Si llamamos r (r =
√
x2 + y2 + z2) a la distancia de O a P , la ecuación anterior resulta
I = I0
{
1
r2 + 2ax+ a2
+
1
r2 + 2ay + a2
+
1
r2 − 2ax+ a2
+
1
r2 − 2ay + a2
+
2
cos
(
2π
λ
(
r2 + 2ax+ a2 −
√
r2 + 2ay + a2
))
√
r2 + 2ax+ a2
√
r2 + 2ay + a2
+
cos
(
2π
λ
(
r2 + 2ax+ a2 −
√
r2 − 2ax+ a2
))
√
r2 + 2ax+ a2
√
r2 − 2ax+ a2
+
cos
(
2π
λ
(√
(r2 + 2ax+ a2 −
√
r2 − 2ay + a2
))
√
r2 + 2ax+ a2
√
r2 − 2ay + a2
+
cos
(
2π
λ
(√
r2 + 2ay + a2 −
√
r2 − 2ax+ a2
))
√
r2 + 2ay + a2
√
r2 − 2ax+ a2
+
cos
(
2π
λ
(√
r2 + 2ay + a2 −
√
r2 − 2ay + a2))
√
r2 + 2ay + a2
√
r2 − 2ay + a2
+
cos
(
2π
λ
(√
r2 − 2ax+ a2 −
√
r2 − 2ay + a2
))
√
r2 − 2ax+ a2
√
r2 − 2ay + a2


(6.5.3)
Asumiendo que � =
a
r
�1 y usando las aproximaciones dadas en (6.3.9 a 6.3.11), luego
de un poco de álgebra se puede encontrar que la ecuación (6.5.3) se reduce a
I =
4I0
x2 + y2 + z2
(
cos
(
2πax
λ
√
x2 + y2 + z2
)
+ cos
(
2πay
λ
√
x2 + y2 + z2
))2
(6.5.4)
que expresada en coordenadas esféricas resulta
I =
4I0
r2
(
cos
(
2πa cosφ sin θ
λ
)
+ cos
(
2πa sinφ sin θ
λ
))2
. (6.5.5)
La �gura 6.5.2 muestra el patrón de interferencia de las cuatro fuentes según la ecuación
(6.5.4). En la �gura se colocó una pantalla sobre un plano paralelo al plano xy a una
distancia z que satisfaga la condición �� 1.
Problema 3: A partir la ecuación (6.5.3) encontrar la ecuación (6.5.4).
Problema 4: Encontrar la distribución de máximos y mínimos analizando la (6.5.4).
Hacer un diagrama de los mismos.1
1Ayuda: calcular los puntos extremos usando
∂I
∂x
= 0 ,
∂I
∂y
= 0
6.6. Diagrama de interferencia de
M grupos de N fuentes idénticas.
145
6.6. Diagrama de interferencia de
M grupos de N fuentes idénticas.
La �gura 6.6.1 muestra M arreglos de N fuentes idénticas cada uno. Los grupos están
separados una distancia b entre si y las fuentes separadas una distancia a. El problema
que nos planteamos es el de conocer cual es el patrón de interferencia producido por la
con�guración descripta.
s
s
s
s
s
s
s
s
11
12
13
1N
21
22
23
2N
sM1
r
1N
2N
r P
X
Y
Z
r=r
11
a
bO
Figura 6.6.1: Arreglo de N fuentes idénticas en M grupos.
Para resolver el problema planteado debemos ubicar las coordenadas de cada fuente
respecto del origen elegido O. Cada fuente está caracterizada por la terna
Sij = [((N − 1) i+ j) a+ i b, 0, 0] con
{
i = 0, · · · , N − 1
j = 0, · · · ,M
donde el índice i + 1 señala el grupo, mientras que el índice j + 1 la fuente. Por ejemplo
si N = 5, S00 = (0, 0, 0) da las coordenadas de la fuente 1 que pertenece al grupo 1, en
tanto que S34 = (17 a + 3 b, 0, 0) corresponde a las coordenadas de una fuente ubicada
en la posición 4 (fuente 5) dentro del grupo 4. Las coordenadas del punto de observación
P = (x, y, z). Usando la misma nomenclatura de índices, las distancias desde las fuentes al
punto P están dadas por
rij =
√
(x− γij)2 + y2 + z2 = r
√
1− 2 Γij
x
r
+ Γ2ij (6.6.1)
donde γij = ((N − 1) i+ j) a+ i b y Γij =
γij
r
.
Si se satisface que � =
a
r
� 1 y β = b
r
� 1, esto es, que el arreglo de las fuentes está muy
lejos del punto de observación, también debe satisfacerse que Γij = ((N −1) i+ j) �+ i β �
1 ∀ i, j y haciendo uso de las relaciones de Taylor (6.3.10) y (6.3.11) podemos aproximar
rij por
rij = r (1− Γij
x
r
) (6.6.2)
La ecuación (6.2.11) está vinculada al patrón de interferencia. Identi�cando |zij| = E0
y αij = κrij (κ =
2π
λ
, número de onda) podemos escribir
I = E20
M∑
i=0
N−1∑
j=0
M∑
k=0
N−1∑
l=0
eiκ(rij−rkl)
146 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
ecuación de la que tomaremos su parte real, o sea
I = E20
M∑
i=0
N−1∑
j=0
M∑
k=0
N−1∑
l=0
cosκ(rij − rkl) . (6.6.3)
Insertando en (6.6.3) las aproximaciones dadas en (6.6.2), encontramos
I = E20
M∑
i=0
N−1∑
j=0
M∑
k=0
N−1∑
l=0
cos (κ (((N − 1)(k − i) + (l − j)) �+ (k − i)β)x) . (6.6.4)
Si observamos la ecuación anterior vemos que en el argumento del cos los índices de suma
intervienen como diferencias. Este hecho nos permite reasignar esta diferencias como índices
únicos. Identi�quemos con u = (k− i) y con v = (l− j). Con esta reasignación la ecuación
(6.6.4) se reescribe como
I = E20
M∑
u=−M
N−1∑
v=−(N−1)
M∑
k=0
N−1∑
l=k+1
cos (κ (((N − 1)u+ v) �+ uβ)x) .
Ecuación que puede expresarse como
I = I0
M∑
u=−M
N−1∑
v=−(N−1)
(M + 1− |u|)(N − |v|) cos (κ (((N − 1)u+ v) �+ uβ)x) . (6.6.5)
Aun es posible reducir la forma de la ecuación (6.6.5). Observando el argumento del
coseno en la ecuación, resulta que si llamamos θv = κv�x = vθ y φu = κ((N −1)�+β)ux =
uφ podemos escribir
I = I0
M∑
u=−M
N−1∑
v=−(N−1)
(M + 1− |u|)(N − |v|) cos (uφ+ vθ)
expandiendo la función trigonométrica resulta
I = I0
M∑
u=−M
N−1∑
v=−(N−1)
(M + 1− |u|)(N − |v|) [cos(uφ) cos(vθ)− sin(uφ) sin(vθ)] . (6.6.6)
Como el coseno es función par, mientras que el seno es impar, de la suma total solamente
subsiste la parte par. Llamando
S1 =
M∑
u=1
(M + 1− u) cos(uφ)
y
S2 =
N−1∑
v=1
(N − v) cos(vθ)
la ecuación (6.6.6) resulta
I = I0 {(M + 1)N + 2NS1 + 2(M + 1)S2 + 4S1S2}
6.6. Diagrama de interferencia de
M grupos de N fuentes idénticas.
147
o equivalentemente
I = I0 ((M + 1) + 2S1) (N + 2S2)
haciendo uso de las ecuaciones (6.4.6) y (6.4.7) la ecuación anterior se reduce a
I = I0
sin
(
(M + 1)
((N − 1)�+ β)
2
κx
)
sin
(
((N − 1)�+ β)
2
κx
)

2 sin
(
N
κ�x
2
)
sin
(κ�x
2
)
2 (6.6.7)
o reemplazando κ, � y β por sus valores originales
I = I0
sin
(
π(M + 1)
((N − 1)a+ b)
λr
x
)
sin
(
π
((N − 1)a+ b)
λr
x
)

2 sin
(
πN
ax
λr
)
sin
(
π
ax
λr
)
2 . (6.6.8)
148 Capítulo 6. Interferencia y Difracción
Capítulo 7
Difracción.
Llamamos difracción al conjunto de fenómenos debidos a la naturaleza ondulatoria de
la luz y que se mani�esta cuando la luz se propaga en un medio heterogéneo. Estrictamente
hablando es la propiedad de la luz de circundar un objeto pequeño interpuesto en su paso.
7.0.1. Principio de Huygens-Fresnel
7.0.1.1. Principio de Huygens:
La posición del frente de una onda que se propaga se puede representar en cualquier
momento por la envolvente de todas las ondas secundarias (elementales). Las fuentes de
las ondas secundarias son los puntos hasta los cuales llegó el frente de onda primaria el
instante anterior. En este caso se considera que las ondas secundarias se radian solamente
�hacia adelante�, es decir, en las direcciones que forman ángulos agudos con la de la normal
exterior al frente de la onda primaria. El principio de Huygens permite explicar las leyes
de re�exión y refracción de la luz, pero no es su�ciente para explicar los fenómenos para la
difracción.
7.0.1.2. Principio de Huygens-Fresnel:
Sea S la fuente de luz y σ, cualquier super�cie cerrada que comprenda a S en su inte-
rior.En cualquier punto fuera de la super�cie σ, la onda de luz excitada por la fuente S,
se puede representar como el resultado de la superposición de las ondas secundarias cohe-
rentes �radiadas� por fuentes elementales imaginarias distribuidas ininterrumpidamente a
lo largo de la super�cie auxiliar σ. En otras palabras, fuera de la super�cie σ, la onda real
de propagación (onda primaria) se puede sustituir por un sistema de ondas secundarias
�cticias que inter�eren al superponerse.
La amplitud, la fase inicial y el diagrama de las direcciones de radiación de las ondas
secundarias �excitadas� por los sectores elementales dσ de la super�cie auxiliar, dependen
de la característica de la onda primaria (original), es decir, de su amplitud, fase y dirección
de propagación en los puntos dσ. Generalmente, la super�cie auxiliar σ se considera que
coincide con la posición de una de las super�cies de la onda primaria en un momento
determinado de tiempo, de manera que las fases iniciales de todas las ondas secundarias
sean iguales. En este caso, la amplitud de la onda secundaria elemental �excitada� por
el elemento de la super�cie de onda de área dσ, es proporcional a la expresión T
A
r
dσ,
donde A es la amplitud de la onda primaria en los puntos del elemento dσ; r, la distancia
149
150 Capítulo 7. Difracción.
Figura 7.0.1:
desde dσ hasta el punto considerado M del campo fuera de la super�cie σ, y T , la función
desconocida del ángulo α entre las direcciones de la normal exterior al elemento dσ de
la super�cie de onda y del radio vector r trazado desde dσ hasta el punto M. Según la
hipótesis de Fresnel, la función T es máxima para α = 0 y disminuye lentamente con el
aumento de α, reduciéndose a cero cuando α > π/2 1.
Para obtener el valor verdadero de la fase de onda en el puntoM, hay que considerar
que en los puntos de la super�cie σ, las ondas secundarias van adelantadas en fase, con
respecto a la primaria, en la magnitud
π
2
.
Si entre las fuentes de ondas luminosas y el punto de su observación hay un pantalla
opaca con agujeros, se consideran iguales a cero las amplitudes de las ondas secundarias en
la super�cie de la pantalla, mientras que en los agujeros se consideran como si no hubiese
pantalla. Con ello se supone que el material de la pantalla no desempeña ninguna función.
Esta simpli�cación es admisible, si las dimensiones del agujero son grandes en comparación
con la longitud de onda λ. La amplitud de la onda que ha atravesado la pantalla, se
determina calculando en el punto de observación las interferencias de las ondas secundarias
de las fuentes secundarias situadas en los agujeros de la pantalla.
En una serie de problemas de difracción con simetría axial, el cálculo de la interferencia
de las ondas secundarias se puede simpli�car mucho mediante un método geométrico muy
e�ciente, que consiste en dividir el frente de onda en espacios anulares denominados zonas
anulares o de Fresnel. La división en zonas se hace de manera que la diferencia óptica de
marcha desde los límites análogos (interiores o exteriores) de cada par de zonas vecinas
hasta el punto considerado T sea igual a π/2. Las ondas secundarias procedentes de puntos
análogos de dos zonas vecinas llegan al puntoT en fases opuestas y se debilitan mutuamente
al superponerse.
En la �gura 7.0.1 se indica la construcción de las zonas de Fresnel para el caso de una
onda esférica excitada por la fuente S. El sector 101 de la super�cie de onda se denomina
primera zona o zona central de Fresnel; el sector 21, segunda zona, y así sucesivamente.
Como R y L � λ, las super�cies de las primeras i zonas de Fresnel, si el número i no es
muy grande, son iguales a
σ1 = σ2 = ... = σi =
πRLλ
R + L
1En realidad, como demostró Kirchho�, la función ϕ ∼ (1 + cos α), es decir, se reduce a cero cuando
α = π. No obstante, en los problemas de difracción, el ángulo α generalmente es pequeño y esta precisión
no es esencial.
151
Figura 7.0.2:
En el caso de un frente de onda plano,
σ1 = ... = σi = πLλ
7.0.1.3. Suma grá�ca de las amplitudes de las ondas secundarias
La amplitud de onda en el punto de observación se puede calcular según el método
grá�co de los diagramas vectoriales de la suma de oscilaciones coherentes de la misma
dirección, causadas en este punto por todas las fuentes elementales de las ondas secundarias.
Dentro de los límites de cada zona de Fresnel, el ángulo α entre la normal exterior al
frente de onda y la dirección hacia el punto de observación, lo mismo que la distancia r hasta
el punto de observación, varían muy poco. Por eso, el diagrama vectorial correspondiente a
una zona tiene una forma de casi media circunferencia. La amplitud resultante de las ondas
secundarias de todos los sectores elementales de la zona es igual al diámetro de esta media
circunferencia.
La amplitud resultante Ai de las ondas secundarias de la zona i es directamente pro-
porcional al área de esta zona. Si las super�cies de estas zonas son iguales (�gura 7.0.1),
la amplitud Ai disminuye con el aumento del número i de la zona debido al aumento del
ángulo α y de la distancia r, teniendo entonces que A1 > A2 > A3 > . . .. En este ca-
so, el diagrama vectorial para el sistema de zonas tiene la forma de una espiral girando
lentamente hacia el centro como muestra la �gura 7.0.2.
Si la onda esférica o plana se propaga por un medio homogéneo, es decir, sin obstáculos,
de manera que el frente de onda esté completamente abierto, la amplitud en el punto T
(ver �gura 7.0.1) se determina mediante el segmento OK0 de la �gura 7.0.2 . Este segmento
es igual a la mitad de la amplitud OK1, que corresponde a la acción de la zona central de
Fresnel solamente. El radio de la zona central es desprecia en comparación con la distancia
ST = R + L. Por eso se puede considerar que en un medio homogéneo, la luz de la fuente
S se propaga hacia el punto T a lo largo del rayo ST , es decir, en línea recta.
La amplitud y la intensidad de la luz en el punto T se puede aumentar considerable-
mente, si mediante un dispositivo especial, denominado placa zonal, se eliminan las zonas
anulares pares dejando intactas las impares (o viceversa). Si el número total de las zonas
de Fresnel que caben en la placa zonal, es igual a 2k, la amplitud A de la onda luminosa en
el punto de observación T será A = A1 +A3 + . . .+A2k−1. Si k no es muy grande, A ≈ kA1,
152 Capítulo 7. Difracción.
Figura 7.0.3:
es decir, es 2k veces mayor que en el caso de propagación sin obstáculos de la luz desde la
fuente hasta el punto T .
Para calcular la difracción de la luz en el borde rectilíneo de una pantalla plana o en una
rendija rectilínea, el método de las zonas de Fresnel no es cómodo, ya que en estas zonas
resultarán tapadas parcialmente por la pantalla. En estos casos, el frente de la onda plana
incidente se divide e franjas de igual anchura paralelas al borde rectilíneo de la pantalla
o de la rendija. El cálculo de la difracción se puede hacer mediante la espiral de Cornu
(�gura 7.0.3) , cuya ecuación en forma paramétrica es
X =
ˆ υ
0
cos
π
2
ξ2dξ y Y =
ˆ υ
0
sen
π
2
ξ2dξ
donde el parámetro υ =
√
2
λL
(x− x0). Aquí λ es la longitud de onda; L, la distancia desde
el plano de la pantalla hasta el punto T 2; x0 la coordenada del punto de observación T ; x
la coordenada de los puntos del frente de onda, y el eje Ox pasa por el plano de la pantalla
perpendicularmente a su borde. La espiral de Cornu consta de dos ramas simétricas respecto
al origen de coordenadas (υ = 0) y que cuando υ −→ ±∞, se arrollan asintóticamente a
los polos F+ (0, 5; 0, 5) y F− (−0, 5; −0, 5) respectivamente.
La amplitud A de oscilaciones en el punto T excitadas por la zona del frente de onda,
que está limitada por las rectas x = x1 y x = x2, es igual a A0 ·B1B2/F−F+, donde A0 es la
amplitud de oscilación en el punto T , estando completamente abierto el frente de onda, y
B1B2, la longitud del segmento que une dos puntos de la espiral de Cornu, correspondientes
a los valores υ1 =
√
2
λL
(x1 − x0) y υ2 =
√
2
λL
(x2 − x0). En el límite , cuando x1 −→ −∞
y x2 −→∞ (frente de onda completamente abierto), B1B2 = F−F+ =
√
2.
Si los valores de x1 y x2 son �jos, las magnitudes υ1 y υ2 dependen de x0, es decir, de
la posición del punto T en el plano de observación de las franjas de difracción. Por eso,
los segmentos B1B2 correspondientes a distintos x0, caracterizan los valores de la amplitud
relativa A/A0 en diferentes puntos de las franjas de difracción.
El esquema de la onda resultante puede calcularse considerando cada punto del frente
de la onda original como una fuente puntual de acuerdo con el principio de Huygens y
2(se supone que la onda incide normalmente al plano de la pantalla)
7.1. Difracción de Fresnel y Fraunhofer 153
calculando el diagrama de interferencia que resulta de considerar todas las fuentes.
7.1. Difracción de Fresnel y Fraunhofer
Consideremos un objeto opaco con una ranura, un frente de ondas procedente de una
fuente puntual o de una fuente de luz coherente (laser) y una pantalla. Podemos considerar
en el arreglo descripto dos situaciones límite diferentes de lo que se observará:
Si la pantalla es cercana a la ranura, la imagen observada corresponde a la Difracción
de Campo Cercano o Difracción de Fresnel.
Si la pantalla esta alejada de la ranura, la imagen en la pantalla corresponde a la
Difracción de Campo Lejano o Difracción de Fraunhofer.
Estos dos casos particulares son manifestaciones de un mismo proceso, la interferencia.
Analizaremos el proceso de campo lejano por que permite un tratamiento matemático más
simple.
7.1.1. Difracción de Fraunhofer
Consideremos la difracción de Fraunhofer con una rendija única de anchura a. Supon-
dremos que se divide en N intervalos la rendija de anchura a y que existe un foco puntual
de ondas en el punto medio decada intervalo. Si la distancia entre dos fuentes adyacentes
es l y a es la anchura de la abertura tenemos que l =
a
N
.
Como la pantalla está muy alejada, los rayos procedentes de las fuentes puntuales que
llegan a un punto P de la misma son aproximadamente paralelos. La diferencia de los
trayectos entre dos fuentes cualesquiera adyacentes es entonces l sin θ y la diferencia de
fases es
δ =
2π
λ
l sin θ (7.1.1)
Si A es la amplitud de una sola fuente, la amplitud en el punto máximo central en donde
θ = 0 y todas las ondas están en fase, es Amax = NA . El valor de la intensidad en otro
punto cualquiera en un cierto ángulo θ se obtiene sumando las ondas armónicas resultando
I = I0
(
sinφ
φ
)2
(7.1.2)
donde I0 es la intensidad del punto central que es máxima y φ es la semidiferencia de fase
entre la primera y última onda y vale
φ =
π
λ
a sin θ (7.1.3)
Ejercicio 7.1.1. Los extremos de I(θ) se presentan para
dI
dθ
= 0. Mostrar que:
los mínimos de intensidad se presentan cuando
φ = kπ con k ∈ Z
154 Capítulo 7. Difracción.
los valores máximos de intensidad se presentan para
φ = (±1,4303...π,±2,4590...π,±3,4707...π, .....)
Cuando se tienen dos o más rendijas, el diagrama de intensidad obtenido en una pantalla
lejana es una combinación del diagrama de difracción de una sola rendija y el diagrama de
interferencia de varias rendijas. La intensidad obtenida para este caso es
I = I0
(
sinφ
φ
)2
cos2 χ (7.1.4)
donde I0 es la intensidad del punto central que es máxima y φ es la semidiferencia de fase
entre la primera (parte superior) y última onda (parte inferior) de una misma rendija de
anchura a y vale
φ =
π
λ
a sin θ (7.1.5)
es la semidiferencia de fase entre los rayos que proceden de los centros de las dos rendijas,
que se relaciona con la separación d de las rendijas por
χ =
π
λ
d sin θ (7.1.6)
Si ahora analizamos la expresión completa, esta puede considerarse como un término de
interferencia, modulado por uno de difracción.
Ejercicio 7.1.2. Obtener la distribución de los máximos y mínimos de (7.1.4).
En los párrafos anteriores vimos que el problema de la difracción surge cuando la dis-
tribución de fuentes no es discreta como es el caso de una o de dos rendijas.
Veremos que problema de difracción de N rendijas puede entenderse como el paso a
límite de la situación descripta en (6.6). En el caso de poseer distribuciones simple de
fuentes, es posible aproximarse al continuo haciendo el límite adecuado. Este límite de�ne,
en general, una densidad (caso particular la densidad de materia). De�namos para ello
p = ĺım
N→∞
ĺım
a→0
N a (7.1.7)
y apliquemos este paso a límite a la ecuación (6.4.7), luego
I = ĺım
N→∞
ĺım
a→0
I0
r2
sin
(
Nπax
λr
)
sin
(πax
λr
)

2
esta expresión puede reescribirse como
I = ĺım
N→∞
ĺım
I0→0
N2 I0
r2
sin
(πpx
λr
)
πpx
λr
2
por lo que obtenemos
I =
I0
r2
sin
(πpx
λr
)
πpx
λr
2 (7.1.8)
7.1. Difracción de Fresnel y Fraunhofer 155
siempre que esté de�nido I0 = ĺımN→∞ ĺımI0→0 N2 I0. La ecuación (7.1.8) corresponde al
diagrama de difracción producido por una rendija de longitud p.
Si ahora tomamos la ecuación (6.6.8) y realizamos el mismos límite se obtiene
I = M2I0
sin
(
π(M + 1)
(p+ b)
λr
x
)
sin
(
π
(p+ b)
λr
x
)

2 sin
(
π
px
λr
)
π
px
λr
2 . (7.1.9)
La ecuación (7.1.9) representa el diagrama de difracción de un arreglo de M rendijas de
longitud p separadas por una distancia b.
Si M � 1y asumimos que p+ b = a, la ecuación (7.1.9) se reescribe como
I = M2I0
sin
(
πM
a
λr
x
)
sin
(
π
a
λr
x
)
2 sin
(
π
px
λr
)
π
px
λr
2 . (7.1.10)
que se corresponde con la descripción del fenómeno buscado.
Ejercicio 7.1.3. Describa y analice, usando la ecuación (7.1.10), una red de difracción. De
ejemplos de su uso tecnológico.
TEMAS EN PREPARACIÓN. NO PRESTAR ATENCIÓN.
7.1.2. Difracción de Fresnel
Se llama difracción de Fresnel a los efectos de difracción en los cuales no se puede
despreciar la curvatura de las super�cies de onda de la incidente y de la difractada (o
solamente de la difractada). La difracción de Fresnel tiene lugar cuando la fuente de luz
y la pantalla para observar las franjas de difracción (o solamente la pantalla), se hallan a
distancias �nitas del obstáculo causante de la difracción. En la pantalla de difracción de
Fresnel se obtiene una imagen difractada obstáculo. Generalmente el cálculo analítico de
estos efectos es difícil. En los casos más sencillos, que se analizan más abajo, el aspecto de
las franjas de difracción se puede determinar bien aplicando el método de las zonas anulares
de Fresnel, bien mediante la espiral de Cornu.
7.1.2.1. Difracción mediante un ori�cio redondo de una pantalla opaca
(ver �gura 7.1.1 )
Las franjas de difracción en el plano PQ paralelo a la pantalla, tienen el aspecto de
anillos concéntricos de difracción claros y oscuros alternativamente. Los centro de los anillos
están en el punto O de intersección de la recta trazada desde la fuente S a través del centro
del agujero, con el plano PQ. Si para el punto O el número de zonas de Fresnel que caben
en el ori�cio es impar (2k + 1), la amplitud en el punto O será mayor que si no hay pantalla
A ≈
1
2
(A1 + A2k+1)
donde A1 y A2k+1 son las amplitudes correspondientes a las zonas de Fresnel número 1 y
2k + 1. Si el número de zonas es par 2k, la amplitud en el punto O es menor que si no hay
pantalla, entonces
156 Capítulo 7. Difracción.
Figura 7.1.1:
A ≈
1
2
(A1 + A2k)
El aspecto de la difracción en el plano PQ de estos dos casos límites se representa en la
�gura buscar imagen V.5.5.
Difracción por medio de una pequeña pantalla redonda (�g. fresnel-2). La intensidad
de la luz en el punto O situado enfrente del centro de la pantalla, es igual a la cuarta
parte de la intensidad de la onda de la primera zona abierta. Si la pantalla no es grande(
d ∼
√
2Lλ
)
, la intensidad de la luz en el punto O se considera igual que se no hubiera
pantalla. El aspecto de la difracción en el plano PQ viene representado en la �gura V.5.6,b.
Difracción producida por el borde recto de una paralela plana (�g. V.5.7,a). El cálculo
de la difracción se puede hacer mediante la espiral de Cornu. La amplitud en el punto T0
situado enfrente del borde de la pantalla (B1B2 = OF+ = 0, 5F−F+), es dos veces menor
que si no hubiera pantalla. La intensidad de la luz será, por consiguiente, cuatro veces
menor. La distribución de las intensidades en un plano de observación paralelo al de la
pantalla, se da en la �g. V.5.7,b.
7.1.2.2. Difracción mediante una rendija rectangular.
El aspecto de la difracción depende de la magnitud del parámetro de onda p =
√
λL/a,
donde a es la anchura de la rendija; L, la distancia desde el plano de la rendija hasta el de
observación, paralelo al primero, y λ, la longitud de onda.
Si p� 1 (rendija �ancha�), la amplitud de la onda en el punto de observación situado
enfrente del centro de la rendija, viene determinada por la distancia F−F+entre los polos
7.1. Difracción de Fresnel y Fraunhofer 157
de la espiral de Cornu: A = A0; es decir, es la misma que si no hubiera pantalla. La
distribución de las intensidades en el plano de observación se da en la �gura V.5.8,b. Cerca
de los puntos T1 y T2, situados enfrente de los bordes de la rendija, esta distribución es
parecida a la distribución de intensidades cerca del punto T0 cuando la difracción se efectúa
en el borde de un pantalla semiin�nita (�g. V.5.7,b).
Si p ∼ 1, las oscilaciones de la intensidad abarcan toda la región T1T2 correspondiente a
la representación de la rendija en la óptica geométrica, y se observan también en la región
de la sombra geométrica (a diferencia del decremento monótono de intensidad junto a los
bordes de la sombra cuando p � 1). Según sea la magnitud p, en medio del cuadro de
difracción, puede haber un máximo o un mínimo de intensidad.
Si p � 1, el aspecto de la difracción es el mismo que en la difracción de Fraunhofer
en la misma rendija (�g. 5.10). Enfrente de la parte centralde la rendija está el máximo
principal de intensidad, que será tanto más �borroso� cuanto más estrecha sea la rendija
(Fig. V.5.11).
6. Difracción producida por una pantalla rectangular larga (�g. V.5.9,a). La amplitud
relativa A/A0 en un punto cualquiera T del plano de observación paralelo a la pantalla, se
puede calcular mediante la espiral de Cornu:
A
A0
|a1 − a2|
F−F+
. Aquí, a1 y a2 son los vectores
trazados hasta los polos de la espiral de Cornu F+ y F− desde los puntos de la espiral
correspondientes a los valores v1 y v2 del parámetro v para los bordes de la pantalla.
Si el parámetro de onda p =
√
λL
a
� 1 (siendo a la anchura de la pantalla), cerca de los
límites de la sombra geométrica de la pantalla, tendremos que bien a1 ≈ 0, bien a2 ≈ 0. Por
eso, tras la pantalla se forma una región de sombra, en cuyos límites se observan franjas
de difracción (Fig. V.5.9.,b), parecidas a las que tienen lugar en el borde de la pantalla
semiin�nita (p. 4.).
Si p� 1, detrás de la pantalla se observa un sistema de franjas oscuras y claras alter-
nativamente, con la particularidad de que enfrente del centro de la pantalla siempre hay
una franja clara.
7. Si la forma de los bordes de las pantallas y de sus ori�cios se diferencia de la forma
geométrica perfecta, no se cumplen las regularidades de difracción de los puntos 2. - 6.. el
grado de divergencia de estas regularidades viene determinado por la magnitud 4/
√
Lλ,
donde 4 es la longitud de la base y altura de los salientes (irregularidades) en los bordes
de la pantalla; L, la distancia de la pantalla al punto de observación, y λ, la longitud de
onda:
a)
4
√
Lλ
� 1, prácticamente no se altera la difracción;
b)
4
√
Lλ
∼ 1, el cuadro de difracción se va borrando y puede desaparecer;
c)
4
√
Lλ
� 1, las franjas o anillos de difracción reproducen la con�guración de los
salientes y entradas de los bordes extremos de las pantallas o de sus ori�cios.
	I Campos Estáticos y Campos dependientes del tiempo
	1 Electrostática
	1.1 Ley de Coulomb
	1.2 Generalización de la Ley de Coulomb.
	1.2.0.1 Concepto de distribución de carga.
	1.2.0.2 El campo eléctrico. 
	1.3 Ley de Gauss
	1.3.0.1 Aplicaciones de la Ley de Gauss 
	1.4 Potencial Escalar
	1.5 Corriente eléctrica.
	1.5.1 El modelo de Drude y Ley de Ohm
	1.6 Energía de Interacción y Densidad de Energía
	1.6.1 Energía de interacción entre cargas
	1.6.2 Densidad de energía de Interacción.
	1.7 Desarrollo Multipolar del Potencial
	1.7.1 Análisis de los primeros términos del desarrollo multipolar
	1.7.2 Propiedades del desarrollo multipolar
	1.8 El campo eléctrico en medios materiales.
	1.9 Energía almacenada por el campo en un medio material.
	1.10 Condiciones de borde
	1.11 Energía de un sistema de conductores cargados.
	1.11.1 Coeficientes de potencial.
	1.11.2 Coeficientes de capacidad e inducción.
	1.11.3 Condensadores.
	1.12 Ejercicios para resolver
	2 Magnetostática
	2.1 Fenómenos magnéticos en régimen estacionario.
	2.2 Ley de Biot y Savart
	2.3 Ecuaciones diferenciales de la magnetostática Ley de Ampère
	2.3.1 Cálculo de la B
	2.3.2 Cálculo del B
	2.4 Potencial vector
	2.4.1 Potencial vector e inducción magnética de una espira circular
	2.5 Campo magnético de una distribución localizada de corriente
	2.6 Fuerza y par sobre una distribución localizada de corriente
	2.6.1 Energía potencial de un momento magnético permanente (o dipolo) en un campo magnético externo.
	2.7 Magnetismos en medios materiales
	2.8 Condiciones de contorno para B y H
	2.9 Ejercicios para resolver
	3 Campos dependientes del tiempo
	3.1 Comentarios iniciales
	3.2 Ley de inducción de Faraday
	3.3 Energía de un campo magnético
	3.4 Inductancia
	3.4.1 Auto-inducción
	3.4.2 Inductancia mutua.
	3.4.3 Fórmula de Neumann
	3.4.4 Transitorios en circuitos RL
	3.5 Ecuaciones de Maxwell
	3.6 Ley de conservación. Teorema de Poynting
	3.7 Ejercicios para resolver
	II Algunas aplicaciones de la teoría electromagnética de campos
	4 Ondas Planas
	4.1 Propagación de Ondas Planas
	4.1.1 Propiedades de E y H.
	4.1.1.1 Campo H:
	4.1.1.2 Campo E:
	4.2 Solución de la ecuación de onda
	4.3 Ondas planas armónicas en el tiempo
	4.4 Efectos en la propagación de la onda con la frecuencia .
	4.5 Relación entre |H| y |E| con la frecuencia .
	4.6 Ondas planas armónicas en el espacio.
	4.7 Flujo de energía.
	5 Polarización, Reflexión y Refracción en superficies planas
	5.1 Estado de polarización de una onda electromagnética
	5.2 Reflexión y Refracción en superficies planas.
	5.2.1 Propiedades geométricas.
	5.2.2 Relación entre los campos.
	5.2.2.1 El campo E0 es normal al plano de incidencia.
	5.2.3 El campo E0 está en el plano de incidencia.
	5.3 Medios Dieléctricos.
	6 Interferencia y Difracción
	6.1 Introducción.
	6.2 Superposición de ondas.
	6.3 Interferencia producida por dos fuentes idénticas
	6.4 Interferencia producida por N fuentes sincrónicas idénticas.
	6.5 Diagrama de Interferencia producido por cuatro fuentes idénticas en un plano.
	6.6 Diagrama de interferencia de M grupos de N fuentes idénticas.
	7 Difracción.
	7.0.1 Principio de Huygens-Fresnel
	7.0.1.1 Principio de Huygens:
	7.0.1.2 Principio de Huygens-Fresnel: 
	7.0.1.3 Suma gráfica de las amplitudes de las ondas secundarias
	7.1 Difracción de Fresnel y Fraunhofer 
	7.1.1 Difracción de Fraunhofer 
	7.1.2 Difracción de Fresnel
	7.1.2.1 Difracción mediante un orificio redondo de una pantalla opaca 
	7.1.2.2 Difracción mediante una rendija rectangular.