AMARUN_EspaciosLebesgueLorenzt_Vol1

Name: AMARUN EspaciosLebesgueLorenzt Vol1
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UNSA

BRAULIO ANDRE CAMARGO GARCIA
en 9/4/2025
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Colección de Matemáticas Universitarias 1
Espacios de Lebesgue y de Lorentz
Volumen 1: Teoŕıa de la Medida y Teoŕıa de la Integración
Diego Chamorro
Imagen de portada: tejidos t́ıpicos ecuatorianos ©AMARUN
Colección de Matemáticas Universitarias, 1
Espacios de Lebesgue y de Lorentz
Volumen 1: Teoŕıa de la Medida y Teoŕıa de la Integración
Diego Chamorro
© Asociación AMARUN, Paŕıs, 2017
Depósito legal: Bibliothèque Nationale de France
Impreso en Francia
Fecha de la versión: enero 2017
ISBN 978-2-9559834-0-9
La Asociación AMARUN tiene por objetivo desarrollar las ciencias exactas en améri-
ca del sur, principalmente en páıses de la región andina (Bolivia, Colombia, Ecuador,
Perú). Entre las diversas actividades de AMARUN se encuentra la organización de
escuelas de verano en matemáticas, la producción de material pedagógico (leccio-
nes, hojas de ejercicios) y la edición de una revista de divulgación. Para mayores
informaciones sobre los proyectos y actividades, consultar www.amarun.org
Índice general
Prefacio V
1. Espacios métricos, normados y de Banach 1
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Ĺımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Propiedades uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Compacidad en los espacios métricos . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet . . . . . . . 19
1.3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2. Semi-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3. Espacios definidos por familias de semi-normas . . . . . 22
1.4. Espacios normados y espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2. Tres ejemplos clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.4. Equicontinuidad y teorema de Ascoli-Arzelá . . . . . . . 39
1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2. Teoŕıa de la medida 49
2.1. Álgebras y funciones aditivas de conjuntos . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2. Definiciones y ejemplos elementales . . . . . . . . . . . . 51
2.2. σ-álgebras y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1. σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2. Medidas sobre σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.3. Clases monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.2. Teoremas de prolongación de medidas . . . . . . . . . . 84
2.3.3. Completación de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.4. Medidas Borelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4.1. Rápida descripción de los conjuntos Borelianos . . . . . 96
2.4.2. Regularidad de las medidas Borelianas . . . . . . . . . . 98
2.4.3. Construcción y propiedades de la medida de Lebesgue . 104
2.4.4. Conjuntos no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
i
ii Índice general
3. Teoŕıa de la integración 121
3.1. Las limitaciones de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . 122
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.2. Propiedades válidas en µ-casi todas partes . . . . . . . . 134
3.2.3. Construcción de la integral de Lebesgue . . . . . . . . . 137
3.2.4. Espacio de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . 147
3.2.5. Integración en un subconjunto . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración . . . . . . . . . 157
3.3.1. Convergencia monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3.2. Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.3.3. Convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3.4. Integrales dependientes de un parámetro . . . . . . . . . 163
3.3.5. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.4. Integración en los espacios producto . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.4.1. σ-álgebras producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4.2. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.4.3. Teoremas de Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.4.4. Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.5. Relaciones entre la integral de Riemann y de Lebesgue . . . . . 192
3.5.1. Cuando la integral de Riemann y de Lebesgue coinciden 193
3.5.2. Teoremas fundamentales del cálculo integral . . . . . . . 195
3.5.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4. Espacios de Lebesgue 205
4.1. Espacio de funciones esencialmente acotadas . . . . . . . . . . . 206
4.1.1. Supremo Esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.1.2. Los espacios L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.1.3. Los espacios L∞, normabilidad y convergencia . . . . . 211
4.2. Espacios de funciones de potencia p-eme integrables . . . . . . 215
4.2.1. Espacios Lp definiciones, ejemplos y propiedades . . . . 216
4.2.2. Espacios Lp normabilidad, convergencia y completitud . 222
4.2.3. Desigualdades de Hölder y aplicaciones . . . . . . . . . 228
4.2.4. Los espacios de Lebesgue Lp (0 < p < 1) y L . . . . . . 242
4.3. Propiedades adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.3.1. Comparación de modos de convergencia . . . . . . . . . 249
4.3.2. Desigualdad de Jensen y aplicaciones . . . . . . . . . . . 254
4.3.3. Convexidad y continuidad de la norma . . . . . . . . . . 258
4.4. Espacios de funciones localmente integrables . . . . . . . . . . . 259
4.4.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 259
4.4.2. Estructura de los espacios locales . . . . . . . . . . . . . 261
4.4.3. Relaciones de inclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.5. Densidad y separabilidad de los espacios de Lebesgue . . . . . . 263
4.5.1. Definiciones y propiedades generales . . . . . . . . . . . 264
4.5.2. Densidad en los espacios Lp con 1 ≤ p < +∞ . . . . . . 268
4.5.3. Densidad en los espacios L∞ . . . . . . . . . . . . . . . 273
Índice general iii
4.6. Espacios de Lebesgue discretos - espacios de sucesiones . . . . . 276
4.6.1. Espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4.6.2. Propiedades de inclusión de los espacios ℓp . . . . . . . 280
4.6.3. Densidad y de separabilidad en los espacios ℓp . . . . . 282
4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Bibliograf́ıa 291
Índice alfabético 293
Prefacio
Mi objetivo inicial al empezar a redactar estas ĺıneas era el de proporcionar
un resúmen, relativamente completo, sobre las diferentes propiedades, carac-
teŕısticas y caracterizaciones de los espacios de Lebesgue. El hecho de escoger
los espacios de Lebesgue no es totalmente fortuito pues estos espacios fun-
cionales poseen a mi parecer un perfecto equilibrio entre varios factores: son
sencillos de definir, sus propiedades son interesantes y no triviales, permiten
la construcción de muchos otros espacios funcionales y sus aplicaciones dentro
de las diferentes ramas de las matemáticas son extremadamente numerosas.
Considero además que para estudiar los espacios de Lebesgue senecesita ha-
ber asimilado algunas bases de las matemáticas y, desde este punto de vista,
especialmente por las aplicaciones posteriores, este tema constituye un puente
privilegiado entre matemáticas elementales y matemáticas avanzadas. Otra de
las razones por la cual me concentré en estos espacios es la particularidad que,
para definirlos y para estudiarlos, no se necesita presentar aspectos relativos a
la regularidad y diferenciabilidad de las funciones. En efecto, para tratar de for-
ma seria la regularidad de las funciones seŕıa necesario hacer una introducción
sobre la teoŕıa de distribuciones y ello no sólo supondŕıa un importante desv́ıo,
sino que además, desde el inicio, esta teoŕıa teńıa su lugar en otro “resúmen”
especialmente dedicado a este tema.
Pero estas páginas no sólo están dedicadas a los espacios de Lebesgue. Una
vez que se han construido y desarrollado las herramientas necesarias para la
presentación de estos espacios de funciones, es posible estudiar los espacios de
Lorentz que constituyen una generalización y un refinamiento muy útil de los
espacios de Lebesgue y, para convencer al lector de la utilidad de estos espa-
cios de Lorentz, presentaré unas aplicaciones clásicas en donde estos espacios
reemplazan los espacios de Lebesgue.
¿Cómo un texto que inicialmente deb́ıa ser un “resumen” terminó siendo un
libro de más de x × 100 páginas1? Lo interesante de esta pregunta es que su
respuesta explicará, al menos parcialmente, la articulación y la división entre
los diferentes caṕıtulos de este libro.
Veamos muy rápidamente cómo se dieron las diferentes etapas y cómo se
fueron añadiendo los caṕıtulos. Para empezar, las normas ‖ · ‖Lp que permiten
definir estos espacios nos proporcionan informaciones muy precisas sobre las
funciones y es necesario para ello utilizar la integral de Lebesgue. Era por lo
tanto muy natural empezar este programa hablando un poco sobre la cons-
trucción de esta integral, o al menos recordar sus propiedades más elementales.
Pero dado que la noción de integral se basa en la noción de medida, me fue en-
tonces necesario alargar la introducción, añadiendo un caṕıtulo más, en donde
1en donde x debe reemplazarse por 2,3 o hasta 4.
v
vi Prefacio
se trata de medidas y σ-álgebras y en donde se explica cómo construir medidas
a partir de funciones aditivas de conjuntos. Pero esto no es todo. Si deseaba
decir algo sobre el dual de los espacios de Lebesgue, era indispensable exponer
algunas propiedades de topoloǵıa, de espacios métricos y normados, de espacios
de Banach y de formas lineales. Añádase a esto un caṕıtulo sobre el producto
de convolución y otro reservado a las aplicaciones...de tal manera que nos aleja-
mos cada vez más y más de la estructura inicial, especialmente porque deseaba
obtener, en la medida de lo posible, un texto auto-contenido sin demasiadas
referencias a libros ya existentes.
Finalmente este “resumen” se dividirá en tres volúmenes y esta división tie-
ne por principal origen un curso realizado en el verano 2009 en la Escuela
Politécnica Nacional2 en Quito, Ecuador. Como se trataban de pocas horas de
clase, era totalmente imposible tocar todos estos temas y era necesario escoger
los más importantes, es decir los cuatro primeros caṕıtulos que constituyen la
base más elemental de la teoŕıa de la medida y de la integración. Esta es la
primera excusa. La segunda, mucho más importante, es que los caṕıtulos res-
tantes aún no estaban totalmente terminados. De manera que si los alumnos
deseaban tener unas notas de curso depuradas era indispensable realizar esta
división.
Indiquemos que una primera versión de este libro ha sido publicada en el
año 2009, con una reimpresión en el año 2012, en el número 4 de la colección
Cuadernos de Matemática de la Escuela Politécnica Nacional, Quito, Ecuador.
En esta segunda versión se han corregido algunos errores y ha se añadido un
par de ejemplos.
Diego Chamorro
Paŕıs, enero 2017
∗
Antes de terminar, es necesario explicar un poco el marco en el que se encuentra
la redacción de este libro. La asociación Amarun tiene por objetivo desarrollar
las ciencias exactas en el Ecuador y dentro de sus proyectos pedagógicos consta
la redacción de textos académicos. Para mayor claridad hemos dividido nuestra
labor en tres diferentes niveles. El primer nivel corresponde a temas básicos de
ciencias y es equivalente a los dos o tres primeros años de estudios universitarios.
El segundo nivel trata temas de un nivel intermedio, correspondiente a un tercer
o cuarto año de universidad y el tercer nivel se focaliza en temas cient́ıficos
más avanzados y especializados. Este libro, el primero de la serie, presenta
temas de análisis intermedio, pues consideramos que la teoŕıa de la medida y la
teoŕıa de la integración de Lebesgue forman parte del bagaje mı́nimo de todo
matemático. Esperamos que este material sirva, tanto a los estudiantes como
a los jóvenes investigadores o profesores, como un manual en dónde buscar de
forma rápida las informaciones necesarias sobre los temas presentados.
2Las notas del curso, resúmenes, ejercicios y desarrollos están disponibles aqúı:
www.amarun.org.
http://www.amarun.net/index.php?option=com_content&view=article&catid=69&id=104&Itemid=54
Prefacio vii
Advertencia.
1) Este libro está destinado a estudiantes universitarios de la carrera de
matemáticas que ya tienen al menos dos o tres años de estudios cursados.
Es decir que están familiarizados con las nociones de topoloǵıa, distancia
y espacios métricos, el cálculo “ε-δ” para los ĺımites y continuidad, cálculo
diferencial e integral, la integral de Riemann, álgebra lineal y estructuras
algebraicas.
2) Este libro expone temas totalmente clásicos: ninguno de los teoremas,
proposiciones, lemas o resultados es original. Existe una extensa literatu-
ra, recopilada en la bibliograf́ıa, y el autor de estas ĺıneas se ha basado
libremente en ella.
3) El primer caṕıtulo presenta las nociones de base necesarias y tiene por
objetivo el de fijar las notaciones. Sin duda la mayor parte de este material
es conocido del público al cual está destinado el folleto, me he permitido
entonces en esta primera versión ser conciso y árido en la exposición de
este caṕıtulo.
4) El lector encontrará en las pruebas o demostraciones comentarios del tipo
“esta verificación es sencilla” o “es fácil ver que”, esto debe entenderse
como “no es muy dif́ıcil comprender que” o “puede parecer complicado a
primera vista, pero en realidad no lo es”.
5) El objetivo de este libro es el de servir de texto de base para el estudio de
la teoŕıa de la medida y de la integración. Sin embargo, un texto escrito
nunca podrá suplantar a un curso vivo en el cual se tienen interacciones
entre el alumno y el profesor. Para remediar parcialmente este problema
rogamos al lector dirigir sus dudas, comentarios y preguntas al autor por
email:
diego.chamorro@univ-evry.fr
6) Este texto tiene un carácter teórico, es decir que me he concentrado en
la demostración de los teoremas y la exposición de las propiedades más
importantes de los objetos estudiados. Sin embargo y por razones de es-
pacio, no he podido incluir en estas primeras versiones todos los ejemplos
detallados y todos los cálculos que seŕıa deseable presentar. A pesar de
esto he tratado de dar después de cada nueva definición ejemplos simples
de los objetos definidos.
7) Este libro pretende ser auto-contenido, entendiéndose por esto que los
resultados más importantes están demostrados completamente en el texto
basándose en pocos conceptos anteriores.
8) Este texto no es exhaustivo y hay muchos temas que no son tratados aqúı.
Sin embargo tampoco es un texto minimalista: si algún curso se basa en
estas ĺıneas, el profesor tendrá necesariamente que escoger los temas que
presenta en clase y los temas que omite o deja en ejercicio.
viii Prefacio
9) Cada caṕıtulo contiene al final una pequeñalista de ejercicios que permi-
ten verificar la asimilación de las nociones expuestas.
10) El autor se considera el único responsable por los errores y las faltas
de este texto. Rogamos al lector enviar sus comentarios, sugerencias y
correcciones a la dirección de email mencionada.
1 Espacios métricos, normados y
de Banach
En este primer caṕıtulo exponemos las nociones necesarias que nos permi-
tirán estudiar con toda comodidad los espacios de Lebesgue y de Lorentz desde
el punto de vista de sus propiedades topológicas y métricas. Presentaremos aqúı
únicamente las nociones utilizadas en los cuatro primeros caṕıtulos que consti-
tuyen el Volumen 1, no es por lo tanto una exposición exhaustiva. El resto de
propiedades relativas a los espacios de Banach y a los espacios de aplicaciones
lineales, como por ejemplo las topoloǵıas débiles y la noción de dualidad, serán
expuestas en el Volumen 2.
En las secciones que siguen detallamos las diferentes estructuras con las cua-
les se pueden dotar estos espacios de funciones. La noción más general es la de
espacio métrico en el sentido que fundamentalmente todos los espacios funcio-
nales que trataremos en este libro estarán dotados de una estructura métrica
que será debidamente explicitada. La utilidad de estos espacios está dada por
el hecho que un espacio métrico nos proporciona un marco suficientemente
adecuado para tratar aspectos de convergencia uniforme y de completitud. Sin
embargo, para estudiar otro tipo de resultados esenciales es necesario conjugar
esta estructura con la estructura de espacio vectorial e introducir los espacios
de Fréchet, los espacios normados y los espacios de Banach. Estos últimos espa-
cios son los que nos proporcionan el mayor número de propiedades y es por eso
que buscaremos, siempre y cuando sea posible, dotar los espacios considerados
con este tipo de estructura. En efecto, tendremos la oportunidad de ver en los
caṕıtulos siguientes que los casos más importantes en las aplicaciones están
dados cuando los espacios de Lebesgue y de Lorentz son espacios de Banach.
Recordamos en las ĺıneas a continuación las definiciones y propiedades ele-
mentales de los espacios métricos y de los espacios compactos que serán tratados
en las Secciones 1.1 y 1.2 respectivamente. Aqúı tendremos la oportunidad de
exponer algunos resultados en el marco de los espacios topológicos localmente
compactos cuya utilidad e importancia será puesta en valor en los Caṕıtulos 2
y 4. Terminaremos este caṕıtulo introductorio con una pequeña presentación
de los espacios localmente convexos y los espacios de Fréchet en la Sección 1.3
y de los espacios normados y de los espacios de Banach en la Sección 1.4.
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos
Una gran parte del material presentado a continuación es sin duda bien co-
nocido del lector y es por eso que nuestra exposición será relativamente rápida.
Por comodidad hemos dividido nuestra presentación en tres partes. La primera
trata sobre las definiciones elementales de topoloǵıa y de los espacios métricos,
la segunda estudia los ĺımites y la continuidad mientras que la tercera parte
1
2 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
presenta las propiedades uniformes que son esenciales para el desarrollo de los
próximos caṕıtulos.
1.1.1. Definiciones
Si X es un conjunto, notaremos P(X) el conjunto de partes de X . El Car-
dinal de un conjunto X , que notaremos1 Card(X), es el número de elemen-
tos de X . Escribimos Card(∅) = 0 y si se tiene Card(X) = N entonces
Card(P(X)) = 2N . Diremos que un conjunto X es numerable si existe una
biyección de X sobre una parte de N. Recuérdese además que en P(X) se
dispone de una relación de orden determinada por la inclusión. Si A y B per-
tenecen a P(X), notamos Ac = X \ A el complementario de A y escribimos
A \ B = A ∩ Bc. La diferencia simétrica de dos conjuntos A,B está definida
por A∆B = (A \B) ∪ (B \A).
Pasemos a la definición de espacio topológico.
Definición 1.1.1 (Espacio topológico) Una familia T de partes de un con-
junto X define una topoloǵıa sobre X si las tres condiciones son verificadas:
1) El conjunto vaćıo ∅ aśı como el conjunto X pertenecen a T ,
2) La intersección finita de elementos de T pertenece a T ,
3) La reunión cualquiera de elementos de T pertenece a T .
Los elementos de T son llamados conjuntos abiertos, sus complementarios son
llamados cerrados y el espacio (X, T ) es llamado espacio topológico.
Observemos que se tiene trivialmente dos topoloǵıas sobre un mismo conjunto
X : la topoloǵıa gruesa determinada por T = {∅, X} y la topoloǵıa discreta
dada por T = P(X). Más generalmente, si un conjunto X está dotado de dos
topoloǵıas T1 y T2 diremos que T2 es más fina que T1 si todo abierto de T1 es
un abierto de T2 y lo notaremos T1 ⊂ T2. Cuando no hay ambigüedad sobre
la topoloǵıa utilizada diremos simplemente que X es un espacio topológico sin
explicitar la familia T .
Fijemos ahora un poco de terminoloǵıa. Una topoloǵıa es separada si para
todos dos puntos distintos x1 y x2 existen dos abiertos U y V tales que x1 ∈ U ,
x2 ∈ V y U ∩ V = ∅. Hablaremos entonces de espacio topológico separado o
espacio de Hausdorff.
Para un punto x ∈ X , llamaremos una vecindad de x a un conjunto que
contiene un abierto que a su vez contiene x. Un punto x ∈ X es un punto
de acumulación de un subconjunto A de X si cada vecindad de x contiene al
menos un punto y ∈ A diferente de x. En particular un subconjunto A de X
es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación.
1La notación #(X) también es usual en la literatura.
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 3
Si A es un subconjunto de X , la reunión de todos los abiertos contenidos en
A se llama el interior de A y es notado
◦
A y se tiene que x ∈
◦
A si y solo si A es
una vecindad de x. La intersección de todos los cerrados que contienen a A es
llamada la adherencia o cerradura de A y es notado A. Es evidente ver que A
es cerrado y que A ⊆ A; aśı mismo tampoco es dif́ıcil ver que A = A si y solo
si A es cerrado.
Diremos además que un subconjunto A de X es denso en X si A = X ; es
equivalente decir que todo abierto no vaćıo de X tiene una intersección con A.
Un espacio X es separable si admite un subconjunto denso numerable2.
Si (X, T ) es un espacio topológico y si B es una colección de abiertos de
(X, T ); diremos que B es una base del espacio topológico (X, T ) si todo abierto
de (X, T ) es la unión de elementos de B. Se dice entonces que la base B genera
la topoloǵıa T .
Finalmente, si f : (X, T ) −→ (Y,S) es una función definida sobre un espacio
topológico (X, T ) a valores en otro espacio topológico (Y,S), entonces diremos
que f es continua en el punto x ∈ X si y solo si la imagen rećıproca de toda
vecindad del punto f(x) es una vecindad del punto x. Esta es la definición más
general de continuidad para las funciones y pronto veremos otros marcos de
trabajo en donde se dispone de otras herramientas para caracterizar la conti-
nuidad.
No nos demoraremos aqúı en exponer todas las propiedades de los espacios
topológicos generales, puesto que las topoloǵıas que utilizaremos para describir
los espacios funcionales estarán por lo general determinadas por estructuras
más ricas, como la de los espacios métricos o la de los espacios normados cuyas
definiciones recordaremos a continuación.
Definición 1.1.2 (Espacio métrico) Un espacio métrico (E, dE) está dado
por un conjunto E dotado de una aplicación dE : E × E −→ [0,+∞[, llamada
distancia o métrica, que verifica los siguientes puntos:
(D.1) Simetŕıa: para todo x, y ∈ E, dE(x, y) = dE(y, x),
(D.2) Separabilidad: dE(x, y) = 0 si y solo si x = y,
(D.3) Desigualdad triangular: para todo x, y, z ∈ E:
dE(x, y) ≤ dE(x, z) + dE(z, y).
Un ejemplo sencillo de espacio métrico está dado por el espacio eucĺıdeo n-
2El lector debe tener cuidado en no confundir las nociones distintas de espacio separadoy
de espacio separable.
4 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
dimensional dotado de su métrica usual3 (Rn, dn) en donde
dn(x, y) =
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
)1/2
,
con x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn). En el caso unidimensional de (R, d1)
notaremos d1(x, y) = |x− y|.
Demos un segundo ejemplo. Consideremos el espacio de sucesiones infinitas
formadas por ceros y unos notado Ω = {0, 1}N∗. Un elemento ω ∈ Ω es entonces
una sucesión de la forma ω = (ω1, ω2, · · · ) en donde ωj es igual a 0 ó 1 para
todo j. Sobre este espacio definimos una distancia de la siguiente forma:
dΩ(ω, ω
′) =
+∞∑
j=1
2−j|ωj − ω′j |. (1.1)
La verificación que esta fórmula define una distancia es sencilla y dejada al
lector.
Si (E, dE) es un espacio métrico, para todo subconjunto no vaćıo A de E la
distancia del punto x al conjunto A está definida por
dE(x,A) = ı́nf
a∈A
dE(x, a). (1.2)
Definiremos el diámetro de un subconjunto U ⊂ E de la siguiente forma:
diam(U) = sup{dE(x, y); x, y ∈ U}.
Un conjunto es entonces acotado en el sentido métrico si su diámetro es finito.
Si (E, dE) es un espacio métrico y si A es un subconjunto de E; el conjunto
A dotado de la restricción a A × A de la función dE es a su vez un espacio
métrico. La aplicación dA : A×A −→ [0,+∞[ es la métrica inducida por dE y
hablaremos del subespacio A de E en vez de subconjunto.
Llamaremos una bola abierta de centro x ∈ E y de radio r > 0 el conjunto
definido por
B(x, r) = {y ∈ E : dE(x, y) < r}. (1.3)
Las bolas cerradas están en cambio determinadas por
B(x, r) = {y ∈ E : dE(x, y) ≤ r}.
Diremos que un subconjunto A de E es un abierto si para todo x ∈ A, existe
una bola abierta centrada en x y contenida en A; un subconjunto de E es ce-
rrado si su complementario es abierto. Diremos también que un punto x0 ∈ E
es un punto de acumulación de A, si para todo ε > 0 existe al menos un punto
y 6= x0 de A tal que dE(x0, y) < ε.
3Llamada también distancia eucĺıdea.
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 5
Notemos además que la familia compuesta por los conjuntos abiertos defini-
dos por medio de la distancia dE es estable para la reunión (finita o infinita) y
para la intersección finita; simétricamente la familia de conjuntos cerrados es
estable por intersección (finita o infinita) y por reunión finita.
Dicho de otra manera, el espacio métrico (E, dE) está naturalmente dotado
de una topoloǵıa determinada por las bolas abiertas del tipo (1.3). Obsérvese
en particular que una topoloǵıa que se deduce de una estructura métrica es
siempre separada.
1.1.2. Ĺımites y continuidad
Describimos ahora las nociones de ĺımite y continuidad en el marco de los
espacios métricos.
Definición 1.1.3 (Convergencia de una sucesión) Sea (E, dE) un espa-
cio métrico, diremos que una sucesión de elementos (xn)n∈N de E converge
hacia un elemento x ∈ E si:
(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N) : ∀n ≥ Nε =⇒ dE(x, xn) ≤ ε.
Sean ahora (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos, sea f una aplicación de E
en F y sea A un subconjunto de E. Sean x0 ∈ A y y0 ∈ F , diremos que el ĺımite
de f(x) cuando x ∈ A tiende o converge hacia x0 es igual a y0 y lo notaremos
ĺım
x→x0
x∈A
f(x) = y0,
si para cada vecindadW de y0, existe una vecindad V de x0 tal que f(V ∩A) ⊂
W . Nótese que si el ĺımite existe, es entonces único puesto que la topoloǵıa in-
ducida por una distancia es separada.
Obsérvese también que un subconjunto A de E es cerrado si y solo si para
toda sucesión de elementos de A que converge en E, el ĺımite pertenece a A.
Definición 1.1.4 (Continuidad de una aplicación) Diremos que una apli-
cación f : (E, dE) −→ (F, dF ) es continua en el punto x0 si
ĺım
x→x0
x∈E
f(x) = f(x0).
Es equivalente decir que la imagen rećıproca de toda vecindad de f(x0) es una
vecindad de x0. En términos de ε y δ esta definición se escribe:
(∀ε > 0)(∃δε,x > 0)(∀x ∈ E) : dE(x, x0) ≤ δ =⇒ dF (f(x), f(x0)) ≤ ε. (1.4)
Diremos que f es continua sobre E, o simplemente continua, si es continua en
cada uno de los puntos de E.
Proposición 1.1.1 Una aplicación f de (E, dE) en (F, dF ) es continua si y
solo si, para toda sucesión convergente (xn)n∈N de elementos de E se tiene
f
(
ĺım
n→+∞
xn
)
= ĺım
n→+∞
f(xn).
6 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
La verificación de este hecho no es muy complicada y es dejada al lector.
La siguiente definición nos dice cómo determinar una distancia sobre el pro-
ducto cartesiano de dos espacios métricos.
Definición 1.1.5 Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos. Su producto
cartesiano E × F está dotado de la distancia
dE×F ((x1, y1), (x2, y2)) =
(
dE(x1, x2)
2 + dF (y1, y2)
2
)1/2
. (1.5)
La proposición a continuación nos explicita algunos resultados relativos a la
continuidad de la aplicación distancia.
Proposición 1.1.2 Sea (E, dE) un espacio métrico. Entonces:
1) para todo punto z ∈ E, la aplicación definida por x 7−→ dE(x, z) es
continua de E en [0,+∞[,
2) para todo subconjunto no vaćıo A de E, la aplicación x 7−→ dE(x,A) es
continua de E en [0,+∞[,
3) la aplicación (x, y) 7−→ dE(x, y) es continua de E × E en [0,+∞[.
Prueba. La verificación de estos puntos es una aplicación directa de la de-
sigualdad triangular. Empecemos por el primer punto y fijemos z un punto de
E. Dado que se tiene
|dE(x, z)− dE(x0, z)| ≤ dE(x, x0), (1.6)
es suficiente considerar δ = ε en la caracterización dada por la fórmula (1.4)
para obtener la continuidad de esta aplicación.
Los dos puntos restantes se deducen de manera muy similar. En efecto sea
A un subconjunto no vaćıo de E y sean x, x0 ∈ E. Se tiene entonces
dE(x,A) = ı́nf
a∈A
dE(x, a) ≤ ı́nf
a∈A
(dE(x, x0)+d(x0, a)) ≤ dE(x, x0)+ ı́nf
a∈A
dE(x0, a),
es decir dE(x,A)−dE(x0, A) ≤ dE(x, x0). Simétricamente se obtiene dE(x0, A)−
dE(x,A) ≤ dE(x, x0) lo que nos da
|dE(x,A) − dE(x0, A)| ≤ dE(x, x0), (1.7)
y esta estimación implica la continuidad de la aplicación x 7−→ dE(x,A).
Dotamos el espacio E×E de la topoloǵıa producto inducida por la distancia
(1.5). Observando que se tiene para todo (x, y) ∈ E ×E y (x0, y0) ∈ E ×E las
dos estimaciones
dE(x, y)− dE(x0, y0) ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0) y
dE(x0, y0)− dE(x, y) ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0),
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 7
se obtiene
|dE(x, y) − dE(x0, y0)| ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0)
≤
√
2
(
dE(x, x0)
2 + dE(y, y0)
2
)1/2
, (1.8)
lo que demuestra la continuidad de la aplicación (x, y) 7−→ dE(x, y). �
La siguiente noción es de gran importancia en lo que sigue pues concierne a
la convergencia puntual o punto por punto y será frecuentemente comparada a
la Definición 1.1.9.
Definición 1.1.6 (Convergencia simple) Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espa-
cios métricos, sea (fn)n∈N una sucesión de aplicaciones de E en F y sea A
un subconjunto de E. Diremos que la sucesión (fn)n∈N converge simplemente
sobre A hacia f si
(∀x ∈ A) (∀ε > 0) (∃Nε,x ∈ N) : n ≥ Nε,x =⇒ dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. (1.9)
Esta noción de convergencia es un criterio poco exigente y por consecuente, en
caso de convergencia, la definición de convergencia simple es a menudo verifi-
cada.
Consideremos por ejemplo la sucesión de funciones reales (fn)n∈N definidas
sobre [0, π] y determinada por fn(x) = sin
n(x). El lector observará sin difi-
cultad que esta sucesión converge simplemente hacia la función f(x) = 0 si
x ∈ [0, π] \ {π/2} y f(π/2) = 1 para la distancia usual sobre R.
Lastimosamente, algunas propiedades (la continuidad en el caso del ejemplo
anterior) no se mantienen al pasar al ĺımite en el sentido de la convergencia
simple. Es por ello que es interesante exponer las propiedades de la sección a
continuación.
1.1.3. Propiedades uniformes
La estructura de espacio métrico nos permite disponer de ciertas propiedades
agradables, caracterizadas por el adjetivo uniforme, que reagrupamos en esta
sección.
Definición 1.1.7 (Continuidad uniforme) Sean (E, dE) y (F, dF ) dos es-
pacios métricos y sea f una aplicación de E en F . Decimos quef es unifor-
memente continua si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ E) : dE(x, y) ≤ δ =⇒ dF (f(x), f(y)) ≤ ε.
Esta noción de continuidad uniforme es más restrictiva que la continuidad sim-
ple. En efecto, la función f :]0, 1] −→ R, x 7−→ 1/x es continua pero no es
uniformemente continua.
Demos una caracterización equivalente de la continuidad uniforme:
8 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Proposición 1.1.3 Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos y sea f una
aplicación de E en F . Entonces las proposiciones siguientes son equivalentes
1) f es uniformemente continua,
2) para todas dos sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,
dE(xn, yn) −→ 0 =⇒ dF (f(xn), f(yn)) −→ 0,
3) para todas dos sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,
dE(xn, yn) −→ 0 =⇒ dF (f(xϕ(n)), f(yϕ(n))) −→ 0,
en donde (xϕ(n)) y (yϕ(n)) son dos subsucesiones.
La demostración de este resultado queda como ejercicio.
Un caso importante de aplicaciones uniformemente continuas está dado por
las aplicaciones lipschitzianas que están determinadas por la definición:
Definición 1.1.8 (Aplicación k-lipschitziana, contractante) Sean (E, dE)
y (F, dF ) dos espacios métricos y sea f una aplicación de E en F . Si para todo
x, y ∈ E existe una constante k > 0 tal que
dF (f(x), f(y)) ≤ k dE(x, y),
entonces diremos que la aplicación f es k-lipschitziana.
En particular si 0 < k < 1 diremos que f es contractante.
Recuérdese que toda aplicación k-lipschitziana es uniformemente continua y
por lo tanto continua, pero que no se tienen las implicaciones rećıprocas (ver
el Ejercicio 1.1).
En paralelo a la Proposición 1.1.2, la aplicación distancia dE definida sobre
E × E, aśı como las aplicaciones x 7−→ dE(x, x0) y x 7−→ dE(x,A) definidas
sobre E para x0 ∈ E y A ⊂ E son uniformemente continuas. La verificación
sigue los mismos argumentos utilizados anteriormente; en particular las expre-
siones (1.6), (1.7) y (1.8) muestran que estas aplicaciones son lipschitzianas.
Pasemos ahora a la definición de convergencia uniforme.
Definición 1.1.9 (Convergencia uniforme) Sean (E, dE) y (F, dF ) dos es-
pacios métricos, sea (fn)n∈N una sucesión de aplicaciones de E en F y sea A
un subconjunto de E. Diremos que la sucesión (fn)n∈N converge uniformemente
hacia f sobre A si
(∀ε > 0) (∃Nε ∈ N) : n ≥ Nε =⇒ (∀x ∈ A) dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. (1.10)
La expresión anterior es equivalente a
(∀ε > 0) (∃Nε ∈ N) : n ≥ Nε =⇒ sup
x∈A
dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. (1.11)
1.1. Espacios topológicos y espacios métricos 9
Observación 1.1 Nótese que la diferencia fundamental entre la convergencia
simple y la convergencia uniforme está dada por el hecho que el parámetro Nε
depende en el caso de la convergencia uniforme solamente de ε y no del punto
x ∈ E.
Esta definición de convergencia, propia de los espacios métricos, es más fuerte
que la noción de convergencia simple presentada en la sección anterior. Más
precisamente, la convergencia uniforme implica trivialmente la convergencia
simple pero no se tiene la implicación rećıproca. Para ilustrarlo consideramos
el ejemplo siguiente.
Sea la sucesión de funciones (fn)n∈N definida por
fn : R −→ R (1.12)
x 7−→ fn(x) =
1
1 + (x− n)2 .
Para todo x ∈ R vemos que la sucesión (fn)n∈N tiende hacia cero si n → +∞,
de manera que esta sucesión de funciones converge simplemente hacia la función
cero para la distancia usual de R. Sin embargo, para todo entero natural n se
tiene que fn(n) = 1, de modo que
sup
x∈R
|fn(x) − 0| ≥ 1,
lo que contradice la Definición 1.1.9 - (1.11). Concluimos que esta sucesión de
funciones no converge uniformemente hacia la función cero.
La principal propiedad de la convergencia uniforme está dada por el impor-
tante resultado siguiente:
Teorema 1.1.1 Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios métricos y sea (fn)n∈N
una sucesión de funciones de E en F que convergen uniformemente hacia una
función f . Si todas las funciones fn son continuas en el punto x0 ∈ E, entonces
f es continua en x0.
Demostración. Sea ε > 0. La sucesión de funciones (fn)n∈N converge unifor-
memente hacia f , entonces existe un entero n ∈ N tal que para todo x ∈ E se
tiene dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. Dado que fn es continua en x0 se tiene que
(∃δ > 0)(∀x ∈ E) : dE(x, x0) ≤ δ =⇒ dF (fn(x), fn(x0)) ≤ ε.
Se deduce de esto que, para todo x ∈ E tal que dE(x, x0) ≤ δ, se tiene
dF (f(x), f(x0)) ≤ dF (f(x), fn(x))+dF (fn(x), fn(x0))+dF (fn(x0), f(x0)) ≤ 3ε.
�
Observación 1.2 Si las funciones fn son continuas sobre todo E, entonces la
función ĺımite f también es continua sobre todo E: la convergencia uniforme
conserva la continuidad lo que hace que esta noción sea absolutamente esencial
en el análisis.
10 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Recordemos ahora dos definiciones que son de gran importancia para los próxi-
mos caṕıtulos. En particular el criterio a continuación nos permite decir si una
sucesión converge, sin conocer necesariamente el ĺımite:
Definición 1.1.10 (Sucesión de Cauchy) 4 Sea (E, dE) un espacio métri-
co. Diremos que una sucesión (xn)n∈N es de Cauchy si
(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n,m > N) : dE(xn, xm) ≤ ε.
Equivalentemente, una sucesión de Cauchy verifica
ĺım
n,m→+∞
dE(xn, xm) = 0.
Nótese que toda sucesión convergente es de Cauchy. En efecto, si (xn)n∈N es
una sucesión que converge hacia x entonces, por la desigualdad triangular, se
tiene
dE(xn, xm) ≤ dE(xn, x) + dE(x, xm),
lo que permite concluir. La rećıproca es falsa como se observa considerando el
ejemplo siguiente: sea E =]0,+∞[ dotado con la distancia eucĺıdea, la sucesión
xn = 1/n es de Cauchy pero no converge en E puesto que 0 /∈ E.
En el estudio de los espacios funcionales el hecho de que toda sucesión de
Cauchy sea convergente es una propiedad muy agradable y amerita la impor-
tante definición a continuación.
Definición 1.1.11 (Espacio métrico completo) Diremos que un espacio
métrico (E, dE) es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.
No todo espacio métrico es completo como se puede ver considerando el con-
junto de los racionales Q dotado de la distancia usual d(x, y) = |x − y|. El
resultado siguiente explicita las relaciones existentes entre conjuntos cerrados
y conjuntos completos.
Proposición 1.1.4 Sea (E, dE) un espacio métrico y A ⊂ E un subconjunto.
1) Si E es completo y si A es cerrado en E, entonces el subespacio A es
completo.
2) Si el subespacio A es completo, entonces A es cerrado en E.
Prueba. Sea (xn)n∈N una sucesión de Cauchy en A, es por lo tanto una su-
cesión de Cauchy en E y converge hacia un elemento x ∈ E por hipótesis de
completitud de E. Dado que el conjunto A es cerrado, el punto x por ser ĺımite
de elementos de A, pertenece al subconjunto A. Hemos pues demostrado que
toda sucesión de Cauchy en el subespacio A converge hacia un elemento de A.
Para el segundo punto debemos ver que si (xn)n∈N es una sucesión de elemen-
tos de A convergente en E, su ĺımite x pertenece a A. La sucesión convergente
(xn)n∈N es de Cauchy en E y por lo tanto es de Cauchy en A. Puesto que este
4Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático francés.
1.2. Compacidad 11
subespacio es completo, esta sucesión debe converger hacia un elemento de A,
que no es más que x por la unicidad del ĺımite. �
Para terminar esta sección, damos una definición que nos permite comparar
dos distancias.
Definición 1.1.12 (Distancias uniformemente equivalentes) Sea E un
conjunto y sean d1 y d2 dos distancias definidas sobre E. Decimos que d1 y
d2 son uniformemente equivalentes si
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ E) : d1(x, y) ≤ δ =⇒ d2(x, y) ≤ ε.
y si se tiene la propiedad análoga reemplazando d1 por d2.
El lector verificará que todas las nociones y propiedades definidas en esta sec-
ción son invariantes al pasar de una distancia d1 a otra distancia d2 uniforme-
mente equivalente. Ver el Ejercicio 1.3 para más detalles.
Observación 1.3 Además de la fórmula (1.5), existen otras formas de definir
distancias sobre el espacio producto E × F , por ejemplosi escribimos
dE×F ((x1, y1), (x2, y2)) = dE(x1, x2) + dF (y1, y2)
dE×F ((x1, y1), (x2, y2)) = máx (dE(x1, x2); dF (y1, y2)) ,
obtenemos también distancias sobre E × F . El lector notará que todas estas
métricas son uniformemente equivalentes.
1.2. Compacidad
La compacidad es una de las caracteŕısticas topológicas más importantes y
un conjunto compacto posee una multitud de propiedades que hacen su estudio
particularmente atractivo en muchas aplicaciones. En esta sección recordamos
las nociones de base que no sólo nos permitirán estudiar criterios de compaci-
dad en los espacios de Lebesgue y de Lorentz sino también algunos aspectos
importantes en la teoŕıa de la medida. Descompondremos nuestra exposición
en tres partes: la primera presenta las principales caracteŕısticas de los espacios
compactos generales y en la segunda parte exponemos algunas propiedades de
la compacidad en los espacios métricos. Finalmente, terminaremos esta sección
con una breve descripción de los espacios localmente compactos cuya utilidad
será apreciada cuando estudiemos las medidas borelianas en el caṕıtulo siguien-
te.
1.2.1. Espacios compactos
Recordamos algunas definiciones elementales que son sin duda bien conocidas
del lector.
Definición 1.2.1 (Recubrimiento) Sea X un espacio topológico separado y
sea (Ui)i∈I una colección de conjuntos. Decimos que (Ui)i∈I es un recubri-
miento de X si se tiene la inclusión X ⊂ ⋃i∈I Ui. Si los conjuntos (Ui)i∈I son
abiertos, hablaremos entonces de recubrimiento abierto.
12 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
A partir de esta noción de recubrimiento tenemos la definición de espacio com-
pacto.
Definición 1.2.2 (Espacio compacto) Un espacio topológico separado es com-
pacto si de cada recubrimiento abierto de X se puede extraer un subrecubrimien-
to finito. Diremos además que un subconjunto A de un espacio topológico X
es compacto si, de igual manera, de cada recubrimiento abierto de A se puede
extraer un subrecubrimiento finito.
La siguiente noción es muy útil en algunas aplicaciones.
Definición 1.2.3 (Compacidad relativa) Sea X un espacio topológico se-
parado y A un subconjunto de X. Diremos que A es relativamente compacto en
X si su cerradura A es compacta.
Es importante observar que pasando al complementario en la Definición 1.2.2
obtenemos una caracterización análoga de la compacidad en términos de con-
juntos cerrados: un subconjunto de un espacio topológico es compacto si de toda
familia de cerrados de intersección vaćıa se puede extraer una subfamilia finita
de intersección vaćıa. El lector puede ver otras caracterizaciones equivalentes
en el Ejercicio 1.4 en donde se demuestra la
Proposición 1.2.1 Sea X un espacio topológico separado compacto y sea
(An)n∈N una sucesión decreciente de cerrados no vaćıos de X. Entonces se
tiene ⋂
n∈N
An 6= ∅.
De forma equivalente, si (Bn)n∈N es una sucesión decreciente de cerrados de
intersección vaćıa, entonces los conjuntos Bn son todos vaćıos a partir de un
cierto ı́ndice n suficientemente grande.
El caso más sencillo de compacto se tiene cuando A es una parte finita de X ,
por el contrario la recta real R no es un espacio compacto: en efecto los interva-
los de la forma ]k − 1, k+ 1[ para todo k ∈ Z forman un recubrimiento abierto
de R del cual no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito.
Demos otro ejemplo de espacio compacto: si A es el conjunto definido por
A = {xn} ∪ {l} en donde la sucesión (xn)n∈N tiende hacia l se tiene entonces
que A es compacto. Sea en efecto (Ui)i∈I un recubrimiento abierto de A y sean
i0 tal que l ∈ Ui0 y n0 tal que xn ∈ Ui0 para n > n0. Sea además J un subcon-
junto de I finito tal que los puntos x1, ..., xn0 pertenezcan a la unión
⋃
i∈J Ui.
Tenemos entonces A ⊂ ⋃i∈L Ui en donde L = J ∪ {i0}. Lo que muestra que
este espacio es compacto.
Este último ejemplo es una motivación suficiente para estudiar las relaciones
existentes entre conjuntos cerrados y conjuntos compactos. Más precisamente
tenemos el resultado a continuación:
Proposición 1.2.2 Sea A un subconjunto de un espacio topológico separado
compacto X. Entonces A es cerrado si y solo si A es compacto.
1.2. Compacidad 13
Prueba. Supongamos que A es cerrado. Sea (Ui)i∈I un recubrimiento abierto
de X . Como A es cerrado se tiene que (Ui ∪ Ac)i∈I sigue siendo un recubri-
miento abierto de X ; existe por lo tanto un conjunto finito J ⊂ I tal que
X ⊂ ⋃i∈J Ui ∪ Ac de donde se deduce que A ⊂
⋃
i∈J Ui , es decir que A es
compacto.
Ahora suponemos que A es compacto y vamos a verificar que Ac es abierto.
Para ello sea y ∈ Ac un punto, entonces para todo x ∈ A existen dos abiertos
disjuntos5 Ux y Vx tales que x ∈ Ux y y ∈ Vx. Como A es compacto, exis-
te una parte finita de puntos J tal que A ⊂ ⋃x∈J Ux; se tiene entonces que
W =
⋂
x∈J Vx es un abierto puesto que es una intersección finita de abiertos y
además se tiene que W ⊂ Ac. Concluimos que para todo punto y ∈ Ac existe
una vecindad abierta W tal que y ∈ W ⊂ Ac. Es decir que Ac es abierto y por
lo tanto A es cerrado. �
Nótese que en la segunda parte de esta demostración no hemos utilizado nin-
guna propiedad del espacio X y esto nos permite obtener el siguiente corolario.
Corolario 1.2.1 Sea A un subconjunto de un espacio topológico separado. Si
A es compacto, entonces A es cerrado.
El siguiente teorema clásico nos indica que el producto cartesiano de conjuntos
compactos es un conjunto compacto. Si el producto es finito, la verificación
no causa mayor dificultad, por el contrario, si el producto es numerable la
demostración es un poco más delicada.
Teorema 1.2.1 (Tychonov) 6 Sea I un conjunto numerable y sea (Xi)i∈I
una colección de espacios compactos. Entonces el espacio producto
∏
i∈I Xi es
compacto.
El lector puede ver una demostración de este resultado en [5].
Para terminar esta pequeña introducción observamos que los conjuntos com-
pactos poseen las siguientes propiedades de estabilidad:
Proposición 1.2.3 Sea X un espacio topológico separado y sea (Ai)i∈I una fa-
milia de subconjuntos compactos de X. Entonces toda intersección A =
⋂
i∈I Ai
de compactos es compacta, además toda unión finita de subconjuntos compactos
es compacta.
Prueba. Sea A =
⋂
i∈I Ai la intersección de todos los compactos Ai y fijemos
un ı́ndice i0 ∈ I. Dado que todo conjunto compacto es cerrado, podemos con-
siderar esta intersección como una intersección de conjuntos cerrados y por lo
tanto se obtiene que A es un conjunto cerrado. Como se tiene que A está conte-
nido en el conjunto compacto Ai0 , entonces por la Proposición 1.2.2 podemos
decir que es un conjunto compacto.
5Esto es posible pues X es un espacio topológico separado.
6Andrëı Nikolaevitch Tychonov (1906-1993), matemático ruso.
14 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Mostremos ahora que toda unión finita de subconjuntos compactos es compac-
ta. Sean A1 y A2 dos subconjuntos compactos de X y sea (Ui)i∈I un recubri-
miento abierto de A1 ∪ A2. Se tiene en particular que (Ui)i∈I es un recubri-
miento abierto de A1 y de A2 tomados por separado y por lo tanto existen dos
conjuntos finitos de ı́ndices J1 y J2 tales que A1 ⊂
⋃
i∈J1
Ui y A2 ⊂
⋃
i∈J2
Ui.
A partir de estas inclusiones se deduce que A1 ∪ A2 ⊂
⋃
i∈J1∪J2
Ui lo que
implica que A1 ∪A2 es compacto. Finalmente, por recurrencia finita se obtiene
el resultado deseado. �
Vamos a ver ahora que los espacios topológicos compactos verifican una pro-
piedad de separación más fuerte que la propiedad de Hausdorff. Para ello es
necesario la siguiente definición.
Definición 1.2.4 (Espacio Normal) Un espacio topológico es normal si es
un espacio separado y si cada par de conjuntos cerrados disjuntos pueden ser
separados por un par de conjuntos disjuntos abiertos.
Proposición 1.2.4 Sea X un espacio topológico separado y sean K,L dos
subconjuntos compactos disjuntos de X. Existe entonces dos abiertos disjuntos
U y V de X tales que K ⊂ U y L ⊂ V.
Prueba. Podemos suponer que K y L son dos conjuntos no vaćıos y empece-
mos con el caso donde K contiene solo un punto x. Puesto que el espacio X es
separado, existe para todo y ∈ L un par de abiertos disjuntos Uy y Vy tales que
x ∈ Uy y y ∈ Vy. Dado que L es compacto, existe una familia finita y1, ..., yn
tal que los conjuntos Vy1 , ..., Vyn forman un recubrimiento de L. Definimos en-
tonces U =
⋂n
i=1 Uyi y V =
⋃n
i=1 Vyi y obtenemos los conjuntos deseados.
Pasemos ahora al caso cuando K tiene más de un elemento. Hemos verificado
que para todo x ∈ K existen dos conjuntos abiertos disjuntos Ux y Vx tales que
x ∈ Ux y L ⊂ Vx. Dado que K es compacto, existe una familia finita x1, ..., xk
tal que los abiertos asociados Ux1 , ..., Uxk forma un recubrimiento de K. Es-
to nos permite terminar la prueba si definimos U =
⋃k
i=1 Uxi y V =
⋂k
i=1 Vxi . �
Una consecuencia de esta proposición es el resultado siguiente:
Proposición 1.2.5 Todo espacio topológico separado compacto es normal.
Prueba. Obsérvese primero que todo subconjunto cerrado de un conjunto com-
pacto es compacto. Luego, aplicando la Proposición 1.2.4 se deduce fácilmente
el resultado. �
La principal aplicación del concepto de normalidad se encuentra en el resul-
tado a continuación:
Teorema 1.2.2 (Lema de Urysohn) 7 Sea X un espacio topológico normal
y sean U , V dos subconjuntos cerrados disjuntos de X. Existe entonces una
7Pavel Samouilovitch Urysohn (1898-1924), matemático ruso.
1.2. Compacidad 15
función continua
f : X −→ [0, 1],
tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ X, f(x) = 0 para todo punto x ∈ U y
f(x) = 1 para todo x ∈ V .
El lector puede ver una demostración de este resultado en [25].
1.2.2. Compacidad en los espacios métricos
En el caso de los espacios métricos tenemos la posibilidad de caracterizar los
conjuntos compactos por medio de sucesiones con la definición siguiente.
Definición 1.2.5 (Bolzano-Weierstrass) 8 Un espacio métrico (E, dE) es
secuencialmente compacto si de toda sucesión de elementos de E se puede
extraer una subsucesión convergente.
Es importante notar que esta última definición de compacidad en términos de
sucesiones sólo es válida en el marco de los espacios métricos y es equivalente
a la noción expuesta en la Definición 1.2.2. Más particularmente tenemos el
resultado siguiente.
Teorema 1.2.3 Sea (E, dE) un espacio métrico. Las dos propiedades siguien-
tes son equivalentes:
1) E es compacto,
2) E es secuencialmente compacto.
Demostración. Empecemos por la implicación 1) =⇒ 2). Sea E compacto, sea
(xn)n∈N una sucesión de E y para todo k ∈ N notamos Ak = {xn ∈ E : n ≥ k}.
No es dif́ıcil darse cuenta que la sucesión (Ak)k∈N es una sucesión decreciente
de cerrados no vaćıos, y que por lo tanto se tiene
⋂
k∈NAk 6= ∅.
Escojamos ahora un punto x ∈ ⋂k∈N Ak y contruyamos una subsucesión
(xϕ(n))n∈N de la manera siguiente:
i) fijamos x0 ∈ A0,
ii) si xϕ(n) está definido, tomamos xϕ(n+1) ∈ An+1 tal que dE(xϕ(n+1), x) <
1
2n+1 , esto es posible pues x ∈ An+1.
Esta subsucesión (xϕ(n))n∈N es entonces una subsucesión convergente de la su-
cesión (xn)n∈N.
Pasemos ahora a la verificación 2) =⇒ 1).
Llevaremos a cabo esta demostración utilizando un par de lemas y la siguiente
noción:
8Bernard Bolzano (1781-1848), matemático tcheco; Karl Weierstrass (1815-1897), matemáti-
co alemán.
16 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Definición 1.2.6 (Precompacidad) Un espacio métrico (E, dE) es precom-
pacto si para todo ε > 0 existe un recubrimiento finito de E por medio de bolas
abiertas de radio ε.
Lema 1.2.1 Todo espacio métrico secuencialmente compacto es precompacto.
Prueba. Razonemos por el absurdo y supongamos que existe un ε > 0 tal que
no existe un subrecubrimiento finito de E formado por bolas de radio ε.
Sea x0 ∈ E, entonces B(x0, ε) 6= E, además existe un punto x1 ∈ E tal que
dE(x0, x1) ≥ ε de donde se tiene B(x0, ε) ∪ B(x1, ε) 6= E. Repetimos este
proceso y obtenemos x0, ..., xn puntos tales que para todo i < j ≤ n se tiene
dE(xi, xj) ≥ ε.
Además se tiene
⋃
0≤i≤nB(xi, ε) 6= E y existe un punto xn+1 ∈ E tal que
para todo 0 ≤ i ≤ n se tenga dE(xi, xn+1) ≥ ε. Constrúımos aśı una sucesión
(xn)n∈N de E tal que dE(xi, xj) ≥ ε si i 6= j. Por lo tanto la sucesión (xn)n∈N
no posee ninguna subsucesión convergente de donde se obtiene la contradicción
deseada. �
El segundo lema necesario para la demostración del Teorema 1.2.3 es el si-
guiente.
Lema 1.2.2 Sea (E, dE) un espacio métrico secuencialmente compacto y sea
(Ui)i∈I un recubrimiento abierto de E. Entonces
(∃α > 0)(∀x ∈ E)(∃i ∈ I) : B(x, α) ⊂ Ui.
Prueba. Razonamos otra vez por el absurdo y suponemos que para todo n ≥ 1
existe un punto xn ∈ E tal que para todo i ∈ I se tiene B(xn, 1n ) 6⊂ Ui. Sea
(xn)n∈N una sucesión de elementos de E, por hipótesis existe una subsucesión
(xϕ(n))n∈N que converge hacia un punto x ∈ E. Existe además i ∈ I tal que
x ∈ Ui, y como Ui es abierto, existe r > 0 tal que B(x, 2r) ⊂ Ui. Dado que la
subsucesión (xϕ(n))n∈N converge hacia x entonces existe N ∈ N tal que para
todo n ≥ N se tenga
dE(x, xϕ(n)) < r y ϕ(n) >
1
r
.
Por lo tanto, para todo n ≥ N y para todo y ∈ B(xϕ(n), 1ϕ(n)) se tiene
dE(x, y) ≤ dE(x, xϕ(n)) + dE(xϕ(n), y) < r + r = 2r.
Entonces la bola B(xϕ(n),
1
ϕ(n) ) está contenida en Ui de donde se obtiene la
contradicción. �
Volvamos a la demostración del Teorema 1.2.3.
Sea (E, dE) un espacio métrico secuencialmente compacto y sea (Ui)i∈I un
recubrimiento abierto de E. Por el Lema 1.2.2 sabemos que existe un real α > 0
tal que para todo x ∈ E, existe un ı́ndice i ∈ I tal que B(x, α) ⊂ Ui.
Ahora, por el Lema 1.2.1 podemos recubrir E por medio de una familia
finita de bolas de radio α, es decir que existen x0, ..., xn puntos de E tales que
1.2. Compacidad 17
E ⊂ ⋃ni=0B(xi, α). Pero como para todo j con 1 ≤ j ≤ n existe ij ∈ I tal que
B(xj , α) ⊂ Uij se concluye que E ⊂
⋃n
j=0 Uij , por lo tanto E es compacto. �
Corolario 1.2.2 Todo espacio métrico compacto es separable.
Prueba. Sea (E, dE) un espacio métrico compacto. Para todo n ∈ N la unión
⋃
x∈E B
(
x, 11+n
)
es un recubrimiento abierto de E del cual se puede ex-
traer un subrecubrimiento finito
⋃Nn
k=1 B
(
xk,n,
1
1+n
)
. El conjunto {xk,n : k ∈
{0, ..., Nn}, n ∈ N} es entonces un conjunto denso numerable de E. �
Cuando X = R disponemos de la caracterización siguiente para los conjuntos
compactos. Generalizaremos este resultado con el Teorema 1.4.2.
Teorema 1.2.4 (Heine) 9 Sea A un subconjunto de R. Las proposiciones si-
guientes son equivalentes:
1) A es compacto si y solo si A es cerrado y acotado,
2) A es relativamente compacto si y solo si A es acotado.
Demostración. Supongamos que A es compacto. Por el corolario 1.2.1 A es
cerrado y solo debemos verificar que A es acotado. Puesto que A ⊂ ∪x∈A]x −
1, x+ 1[ existe un subconjunto finito B de A tal que A ⊂ ∪x∈B]x− 1, x+ 1[ y
esto implica que A es acotado.
Si suponemos ahora que A es cerrado y acotado vemos que existe un intervalo
I = [a, b] con −∞ < a < b < +∞ tal que A ⊂ I. No es dif́ıcil ver que I es
compacto y dado que A es cerrado, entonces por la Proposición 1.2.2 tenemos
que A es compacto.
Para el segundo punto empezamos suponiendo que A es relativamente com-
pacto, es decir que A es compacto y por las ĺıneas precedentes A es acotado,
puesto que A ⊂ A se tiene que A es acotado.
Si A es acotado se tiene que A es cerrado y acotado, por lo tanto A es relati-
vamente compacto. �
Veamos una aplicación de este teorema con un par de resultados en donde
estudiamos las diferentes propiedades que poseen las funciones definidas sobre
un espacio compacto. Estos resultados serán muy utilizados en la construcción
de medidas y en la demostración de teoremas importantes explicitados en los
caṕıtulos siguientes.
Proposición 1.2.6 Sea X un espacio compacto, sea Y un espacio topológico
y sea f : X −→ Y una función continua. Entonces f(X) es un compacto de Y .
Prueba. Sea(Ui)i∈I un recubrimiento abierto de f(X). Puesto que f es conti-
nua se tiene que (f−1(Ui))i∈I es un recubrimiento abierto de X ; pero dado que
X es compacto, existe un subconjunto finito J ⊂ I tal que X ⊂ ⋃i∈J f−1(Ui)
y por lo tanto f(X) ⊂ ⋃i∈J Ui; es decir que f(X) es compacto. �
9Eduard Heine (1821-1881), matemático alemán.
18 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Teorema 1.2.5 Sea X un espacio compacto y sea f : X −→ R una función
continua. Entonces la función f es acotada y sus cotas son alcanzadas.
Demostración. Sabemos por la proposición anterior que f(X) es un compac-
to de R, es decir que es cerrado y acotado lo que muestra que la función f es
acotada. Sean ahora m = ı́nf
x∈X
f(x) y M = sup
x∈X
f(x). Por definición m y M son
puntos de adherencia del conjunto f(X), pero al ser este conjunto cerrado se
tiene m,M ∈ f(X) lo que termina la demostración. �
Este teorema tiene como aplicación el teorema de Rolle, ver el Ejercicio 1.5.
Volvamos por un instante a la noción de normalidad que en el caso de los
espacio métricos toma la siguiente formulación:
Proposición 1.2.7 Sean F,G dos conjuntos cerrados disjuntos de un espacio
métrico compacto (E, dE). Entonces F y G están positivamente separados:
dE(F,G) = ı́nf
x∈F,y∈G
d(x, y) > 0.
Más generalmente, se tiene esta propiedad si (E, dE) es un espacio métrico
cualquiera y F es cerrado y G es compacto.
Prueba. Tenemos que dE(F,G) = ı́nf
x∈G
ϕ(x) en donde la aplicación ϕ(x) =
dE(x, F ) es continua y positiva sobre el compacto G. Por el Teorema 1.2.5 esta
función posee un mı́nimo m > 0 y entonces dE(F,G) = m > 0. �
Terminamos esta sección con un resultado de continuidad uniforme de las
funciones definidas sobre espacios métricos compactos.
Proposición 1.2.8 Sean (E, dE) un espacio métrico compacto y (F, dF ) un
espacio métrico. Entonces toda aplicación continua f : E −→ F es uniforme-
mente continua.
Prueba. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N dos sucesiones definidas sobre E tales que
dE(xn, yn) −→
n→+∞
0. Dado que el espacio métrico E es compacto, existe una
subsucesión (xnk )k∈N que converge hacia un punto x y por lo tanto ynk −→ x
si k → +∞. Puesto que f es una función continua, se obtiene que
dF (f(xnk), f(ynk)) −→ dF (f(x), f(y)) = 0.
Para terminar la demostración basta utilizar la Proposición 1.1.3. �
1.2.3. Espacios localmente compactos
La noción de compacidad proporciona como hemos visto una gran canti-
dad de resultados muy importantes en topoloǵıa pero es un concepto bastante
restrictivo. Los espacios topológicos más utilizados no son necesariamente com-
pactos de manera que los resultados anteriores no son directamente aplicables y
esto hace que la noción de compacidad local sea interesante. Limitaremos nues-
tra exposición a dos resultados que serán utilizados en los caṕıtulos siguientes.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 19
Definición 1.2.7 (Espacio localmente compacto) Un espacio topológico se-
parado es localmente compacto si cada uno de sus puntos posee una vecindad
compacta.
La recta real es un espacio localmente compacto pues para todo punto x ∈ R el
intervalo [x−1, x+1] es una vecindad compacta. Evidentemente todo conjunto
compacto es localmente compacto pero no se tiene la rećıproca, por ejemplo el
espacio eucĺıdeo Rn es localmente compacto pero no es un espacio compacto.
Otro ejemplo de espacio localmente compacto está dado por el conjunto Z
dotado de la topoloǵıa discreta. He aqúı el primer enunciado:
Proposición 1.2.9 Sea X un espacio topológico separado localmente compac-
to, sea x ∈ X y sea U una vecindad abierta de x. Entonces x posee una vecindad
abierta cuya cerradura es compacta que está contenida en la vecindad U .
Prueba. Puesto que X es localmente compacto, existe una vecindad abierta de
x que notaremosW cuya cerradura es compacta. Reemplazando W por W ∩U
nos aseguramos que W está contenido en U y podemos suponer sin pérdida de
generalidad que W ⊂ U . Debemos verificar ahora que la cerradura de W no
se extiende afuera de U . Para ello utilizamos la Proposición 1.2.4 para escojer
dos conjuntos abiertos disjuntos V1 y V2 que separan los conjuntos compactos
{x} y W \W respectivamente. La cerradura de V1 ∩W es entonces compacta
y está contenida en W y por lo tanto está contenida en U . Se deduce de esto
que V1 ∩W es la vecindad abierta de x que se buscaba. �
Proposición 1.2.10 Sean X un espacio separado localmente compacto, K un
subconjunto compacto de X y U un subconjunto abierto de X que contiene K.
Entonces existe un conjunto abierto V de X cuya cerradura es compacta y tal
que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U .
Prueba. La proposición anterior implica que cada punto de K posee una ve-
cindad cuya cerradura es compacta y que está contenida en U y, puesto que
K es compacto, se tiene que una colección finita de tales vecindades recubre
K. Notamos entonces V la unión de los conjuntos de esta colección finita y aśı
obtenemos el conjunto V buscado. �
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de
Fréchet
La gran mayoŕıa de espacios funcionales, como ciertos espacios de Lebesgue
y de Lorentz o los espacios de funciones generalizadas también llamados espa-
cios de distribuciones o los espacios de Banach que estudiaremos en la Sección
1.4 de este caṕıtulo, son espacios vectoriales topológicos localmente convexos.
Dado que todos estos espacios comparten esta misma estructura, es impor-
tante precisar aqúı algunos resultados y propiedades relativas a los espacios
vectoriales localmente convexos. Recordamos entonces en el primer párrafo a
continuación algunas definiciones generales, mientras que en las Secciones 1.3.2
y 1.3.3 detallamos la estructura de este tipo de espacios.
20 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
1.3.1. Preliminares
Antes de estudiar las nociones de semi-norma y de espacios definidos por una
familia de semi-normas, presentamos aqúı la estructura de base que está dada
por la noción de espacio vectorial topológico.
Definición 1.3.1 (E.v.) Un conjunto E es un espacio vectorial sobre un cuer-
po K si se tienen las siguientes condiciones:
1) E es un grupo conmutativo notado aditivamente (E,+),
2) Se dispone de una multiplicación escalar tal que para todo elemento de
x ∈ E y para todo elemento α ∈ K se le asocia un elemento de E notado
αx. Esta multiplicación escalar verifica:
a) (∀α ∈ K), (∀x, y ∈ E): α(x+ y) = αx+ αy,
b) (∀α, β ∈ K), (∀x ∈ E): (α+ β)x = αx + βx,
c) (∀α, β ∈ K), (∀x ∈ E): (αβ)x = α(βx),
d) (∀x ∈ E): 1x = x en donde 1 es el elemento neutro del cuerpo K.
En todo este libro consideraremos únicamente espacios vectoriales sobre el cuer-
po de los reales R o sobre el cuerpo de los números complejos C, cada uno de
ellos dotado de su estructura topológica usual.
Notación: Escribiremos K para designar R o C cuando las diferencias en-
tre estos dos conjuntos sean irrelevantes para nosotros. El lector está invitado
a verificar que en estos casos se puede intercambiar estos dos conjuntos sin
ningún problema. Reservaremos las letras griegas para designar los elementos
del cuerpo K mientras que las letras latinas representarán los elementos del
espacio E.
El elemento cero de E, es decir el elemento unidad para el grupo abeliano
(E,+), y el número cero serán notados por el mismo śımbolo 0, lo que no causa
mayor inconveniente puesto que 0x = (α − α)x = αx − αx = 0. De la misma
forma, el elemento inverso de un vector x será notado −x.
Los elementos x1, ..., xn de E son linealmente independientes si la ecuación
n∑
i=1
αixi = 0 implica αi = 0 para todo i = 1, ..., n. Estos elementos serán lineal-
mente dependientes si esta ecuación es verificada con al menos un coeficiente
αi diferente de cero.
Un subconjunto A de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial si
para todo x, y ∈ A y para todo α, β ∈ K se tiene αx + βy ∈ A. El conjunto A
es entonces un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo de escalares que E.
La compatibilidad entre la estructurade espacio vectorial y la estructura de
espacio topológico está dada por la siguiente definición.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 21
Definición 1.3.2 (E.v.t.) Un espacio vectorial topólogico (E, T ) es un espa-
cio vectorial y al mismo tiempo un espacio topológico tal que las dos aplicaciones
ϕ1 : E × E −→ E y ϕ2 : K× E −→ E
(x, y) 7−→ x+ y (α, x) 7−→ αx,
son continuas. Decimos entonces que las estructuras de espacio vectorial y de
espacio topológico son compatibles.
El espacio vectorial eucĺıdeo Rn dotado de su topoloǵıa usual es un ejemplo
de espacio vectorial topológico. Sin embargo, observamos que la estructura de
e.v.t. depende de la topoloǵıa escogida. En efecto, si E 6= {0} es un e.v., la
topoloǵıa gruesa es una topoloǵıa de espacio vectorial topológico mientras que
la topoloǵıa discreta no lo es: en este caso, si x 6= 0 la aplicación ϕ2 : α 7−→ αx
de K en E no es continua pues {0} es una vecindad del vector 0 ∈ E pero
ϕ−12 (0) = {0} no es una vecindad de 0 en K.
Una consecuencia inmediata de esta definición es que la aplicación traslación
definida para un vector τ ∈ E por
ψτ : x ∈ E 7−→ τ + x ∈ E,
es un homeomorfismo de E sobre E. Se deduce en particular que el conjunto
de abiertos y el conjunto de cerrados en un espacio vectorial topológico son
invariantes por traslación.
1.3.2. Semi-normas
La noción de semi-norma y de espacio semi-normado aparecerán muy rápida-
mente al presentar los espacios de Lebesgue en el Caṕıtulo 4. Como el adjetivo
semi parece indicarlo, las propiedades y estructuras que se obtienen en este
caso no son suficientemente satisfactorias para nuestras necesidades como lo
veremos posteriormente. Es por eso que de ser posible - lo cual no siempre lo
es y esto justifica ampliamente la presentación de este concepto - se tratará de
fortalecer esta noción por medio de argumentos técnicos que explicitaremos a
su debido tiempo.
Definición 1.3.3 (semi-norma) Sea E un K-espacio vectorial y notemos x
un elemento de E. Una semi-norma es una función p : E −→ [0,+∞[ que
verifica las propiedades:
(SN.1) Propiedad homogénea: p(αx) = |α|p(x) para todo α ∈ K,
(SN.2) Desigualdad triangular: p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ E.
La dupla (E, p) se denomina espacio semi-normado.
De esta definición se deducen inmediatamente las dos propiedades siguientes:
Proposición 1.3.1 Una semi-norma p verifica:
1) p(0) = 0,
2) |p(x)− p(y)| ≤ p(x+ y), en particular p(x) ≥ 0.
22 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Prueba. Tenemos fácilmente p(0x) = 0 p(x) = 0 lo que demuestra el primer
punto. Para el segundo punto, por la desigualdad triangular se tiene p(x) ≤
p(x + y) + p(y) y p(y) ≤ p(x + y) + p(x) lo que nos permite concluir; puesto
que se tiene simultáneamente
p(x)− p(y) ≤ p(x+ y) y p(y)− p(x) ≤ p(x+ y),
lo que nos da |p(x)− p(y)| ≤ p(x+ y). �
Es muy importante observar que para una semi-norma no se tiene la rećıproca
del primer punto de la Proposición 1.3.1 como lo muestra el ejemplo a conti-
nuación. Consideremos pues el espacio C∞([0, 1]) formado por las funciones
reales infinitamente derivables. La linealidad de este espacio está dada por las
operaciones usuales sobre funciones, es decir:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), α ∈ R. (1.13)
Definimos una semi-norma sobre este espacio escribiendo, para algún k ≥ 1:
pk(f) = sup
x∈[0,1]
∣
∣
∣f (k)(x)
∣
∣
∣ , (1.14)
en donde f (k)(x) = d
k
dxk
f(x). La verificación de las propiedades (SN.1) y (SN.2)
son sencillas y dejadas al lector. Para mostrar que no se tiene la rećıproca de la
primera propiedad observemos que para todos los polinomios de grado inferior
o igual a k − 1 se tiene pk(f) = 0. Esto implica en particular que una semi-
norma no separa los puntos (en este caso no podemos distinguir dos polinomios
de grado mayor que k) y éste es su principal inconveniente.
Notemos que un espacio semi-normado (E, p) puede ser dotado de una topo-
loǵıa no separada considerando como conjuntos abiertos las semi-bolasBr,p(x) =
{y ∈ E : p(x− y) < r}, no nos demoraremos en este aspecto pues lo que desea-
mos es construir una topoloǵıa separada. Esto será realizado en las ĺıneas a
continuación.
1.3.3. Espacios definidos por familias de semi-normas
En esta sección vamos a considerar una familia de semi-normas que nos
permitirán dotar en ciertos casos de una estructura métrica a los espacios lo-
calmente convexos (Definición 1.3.5). Veremos posteriormente cómo utilizar
todo este formalismo en el marco de los espacios funcionales en los caṕıtulos
siguientes, mientras tanto es necesario definir algunos conceptos importantes.
Definición 1.3.4 Sea (E, p) un espacio semi-normado. Diremos que un sub-
conjunto A de E es
1) convexo, si para todo x, y ∈ A y 0 < α < 1 se tiene αx + (1− α)y ∈ A,
2) equilibrado, si para todo x ∈ A y |α| ≤ 1 se tiene αx ∈ A,
3) absorbente, si para todo x ∈ E existe un α > 0 tal que α−1x ∈ A.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 23
Un ejemplo de conjunto convexo, equilibrado y absorbente está dado por la
semi-bola
Br,p(0) = {x ∈ E : p(x) < r}. (1.15)
En efecto, los puntos 2) y 3) se deducen de la homogeneidad de la semi-norma
p, mientras que el primer punto se deduce fácilmente combinando la desigual-
dad triangular junto con la homogeneidad.
En virtud de la definición de conjunto convexo, no es dif́ıcil percatarse que la
intersección de una familia cualquiera de conjuntos convexos es convexa. Esta
particularidad es una caracteŕıstica muy útil de los conjuntos convexos como
lo veremos muy pronto.
Definición 1.3.5 (E.t.l.c.) Un espacio vectorial topológico (E, T ) es llamado
un espacio vectorial topológico localmente convexo, o más sencillamente un
espacio localmente convexo, si cada uno de sus conjuntos abiertos que contiene
el vector 0 contiene un abierto convexo, equilibrado y absorbente.
En análisis funcional, los espacios localmente convexos son sin duda los ejem-
plos más importantes de espacios vectoriales y tendremos la oportunidad de
presentar muchos ejemplos10 de este tipo de espacios en las ĺıneas a continua-
ción.
Es importante notar que en muchos casos no es posible caracterizar un es-
pacio funcional con una condición caracterizada por una sola semi-norma y es
indispensable considerar una familia infinita de tales semi-normas. Por ejemplo,
no es posible presentar toda la riqueza del espacio C∞([0, 1]) solamente con la
fórmula (1.14) y es interesante ver qué topoloǵıa puede hacer que este espacio
tenga una estructura de espacio localmente convexo.
A partir de una familia de semi-normas vamos a presentar cómo dotar un
espacio vectorial E de una topoloǵıa que hace de este espacio un espacio vecto-
rial topológico localmente convexo. Puesto que estamos interesados en obtener
una topoloǵıa separada necesitaremos el siguiente axioma de separación.
Definición 1.3.6 (Axioma de separación) Sea (pi)i∈I una familia de semi-
normas definidas sobre un K-espacio vectorial E. Diremos que esta familia sa-
tisface el axioma de separación si para todo x 6= 0, existe una semi-norma pij
de la familia (pi)i∈I tal que pij (x) 6= 0.
Empecemos ahora la descripción de esta topoloǵıa. Sean pues E un espacio
vectorial y (pi)i∈I una familia de semi-normas que verifica el axioma de sepa-
ración. Fijemos un sistema finito de semi-normas pi1 , ..., pin y un sistema de n
números positivos ε1, ..., εn. Definimos el conjunto
U = {x ∈ E : pik(x) < εk, k = 1, ..., n}. (1.16)
10El lector podrá verificar sin problema que el espacio eucĺıdeo dotado de su métrica usual
es un espacio vectorial localmente convexo.
24 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Este conjunto U es convexo, equilibrado y absorbente. Definimos este conjunto
como una vecindad del vector 0 de E y definimos una vecindad de cualquier
vector x de E por traslación:
Ox = x+ U = {y ∈ E : y = x+ u, u ∈ U}. (1.17)
Nótese que tanto el conjunto U como el conjunto Ox dependendel sistema de
semi-normas escogido y de los reales fijados.
Diremos que un subconjunto V de E es abierto si para cada punto x de V
existe un sistema finito de semi-normas pi1 , ..., pin y un sistema de n números
positivos ε1, ..., εn tales que Ox ⊂ V .
Proposición 1.3.2 La familia de tales subconjuntos V notada TV define una
topoloǵıa separada sobre el espacio vectorial E.
Prueba. Mostramos primero que el conjunto V0 = {x ∈ E : pi(x) < r} es
abierto. Para ello consideremos un punto x0 ∈ V0 tal que pi(x0) = α < r.
Tenemos entonces que la vecindad de x0 determinada por x0+U con U = {x ∈
E : pi(x) < 2
−1(r − α)} está contenida en V0. Por lo tanto, para todo punto
x0 ∈ E existe un abierto x0+V0 que contiene x0. Es entonces evidente que por
la definición de conjuntos abiertos que la unión de abiertos y la intersección
finita de abiertos es también abierta lo que determina una topoloǵıa sobre E.
Nos queda por demostrar que esta topoloǵıa es separada. Por la definición
(1.17) de vecindad de un punto general, es suficiente estudiar el caso x1 = 0 y
x2 6= 0. Puesto que la familia de semi-normas verifica el axioma de separación,
escogemos una semi-norma pij tal que pij (x2) = α > 0. Entonces, el conjunto
V1 = {x ∈ E : pij (x) < α/2} es abierto y además x1 = 0 ∈ V1. Definimos
V2 = x2 + V1 y debemos verificar que estos dos conjuntos abiertos no tienen
intersección común. Supongamos que existe un punto y ∈ V1 ∩ V2. Si y ∈ V2
entonces y = x2+z para algún z ∈ V1. Tenemos por lo tanto pij (y) ≥ pij (x2)−
pij (z) ≥ α − 2−1α = α/2. Esto contradice la desigualdad pij (y) < α/2 que se
deduce del hecho y ∈ V1, lo que termina la demostración. �
Proposición 1.3.3 Dotado de la topoloǵıa descrita anteriormente, el espacio
(E, TV ) es un espacio vectorial topológico separado y cada semi-norma pi es
una función continua sobre E.
Prueba. Empecemos por la aplicación ϕ1 : (x, y) 7−→ x + y y estudiemos su
continuidad en el punto (x0, y0). Sea i0 ∈ I un ı́ndice y sea V = {z ∈ E :
pi0(z− (x0 + y0)) < r} una vecindad del punto ϕ1(x0, y0) = x0 + y0. Definimos
U = {x ∈ E : pi0(x − x0) < r/2} y W = {y ∈ E : pi0(y − y0) < r/2} dos
vecindades de x0 y y0 respectivamente, entonces para todo x ∈ U y todo y ∈ W
tenemos que ϕ1(x, y) = x+ y ∈ V . En efecto,
pi0((x+ y)− (x0 + y0)) ≤ pi0(x− x0) + pi0(y − y0) < r/2 + r/2 = r;
de donde se deduce la continuidad de la aplicación ϕ1.
Estudiemos ahora la aplicación ϕ2 : (α, x) 7−→ αx en el punto (α0, x0). Simi-
larmente, sea i0 ∈ I un ı́ndice y consideremos V = {z ∈ E : pi0(z −α0x0) < r}
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 25
una vecindad del punto ϕ2(α0, x0) = α0x0. Sean U = {α ∈ K : |α− α0| < ε} y
W = {x ∈ E : pi0(x− x0) < δ} dos vecindades de α0 y x0 respectivamente. Si
fijamos δ < r2|α0| y ε <
r
2(pi0 (x0)+δ)
, tenemos para todo α ∈ U y todo x ∈ W
que ϕ2(α, x) = αx ∈ V . En efecto:
pi0(αx − α0x0) ≤ |α− α0|pi0(x) + |α0|pi0(x− x0)
< εpi0(x) + |α0|δ <
r pi0(x)
2(pi0(x0) + δ)
+
r
2
< r,
puesto que pi0(x − x0) < δ implica pi0(x) < pi0(x0) + δ. Deducimos entonces
que la aplicación ϕ2 : (α, x) 7−→ αx es continua.
Finalmente, la continuidad de las semi-normas pi en el punto x0 está dada
por la estimación |pi(x)− pi(x0)| ≤ pi(x− x0) puesto que las vecindades están
justamente definidas por estas semi-normas. �
Se tiene entonces por estas dos proposiciones que el espacio (E, TV ) es un
espacio vectorial topológico localmente convexo separado.
Como vemos, una vez que se dispone de una familia de semi-normas defini-
das sobre un espacio E que verifican el axioma de separación, obtenemos una
topoloǵıa cuyos abiertos son caracterizados por semi-bolas de la forma (1.16) y
(1.17) y podemos ahora caracterizar la continuidad de las funciones utilizando
estas semi-normas.
Definición 1.3.7 Sean (E, (pi)i∈I) y (F, (qj)j∈J ) dos espacios localmente con-
vexos dotados de familias de semi-normas que verifican el axioma de separa-
ción. Si f : E −→ F es una función, diremos que f es continua en el punto
x ∈ E si
(∀qj , j ∈ J)(∀ε > 0)(∃pi, i ∈ I)(∃α > 0)
(∀y ∈ E) pi(y − x) ≤ α =⇒ qj(f(y)− f(x)) ≤ ε.
Demos una definición adicional cuya utilidad aparecerá con el Teorema 1.3.1 y
vamos a ver cómo obtener semi-normas de una manera muy natural.
Definición 1.3.8 (Funcional de Minkowski) 11 Sea E un K-espacio vec-
torial topológico localmente convexo. A todo conjunto B convexo, equilibrado y
absorbente que contiene el elemento cero se le asocia la funcional de Minkowski
pB(x) = ı́nf
λ>0
{λ−1x ∈ B}. (1.18)
Proposición 1.3.4 La funcional de Minkowski es una semi-norma sobre el
espacio E. Además, si notamos B la familia de todos los conjuntos convexos,
equilibrados y absorbentes que contiene el elemento cero y si consideramos la
familia de semi-normas (pB)B∈B entonces la topoloǵıa determinada por esta
familia de semi-normas es separada.
11Hermann Minkowski (1864-1909), matemático alemán.
26 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Prueba. Mostremos que para todo x, y ∈ E se tiene pB(x+y) ≤ pB(x)+pB(y).
Por definición de pB se tiene que
x
pB(x)+ε
, ypB(y)+ε ∈ B para todo ε > 0, luego,
por la convexidad de la semi-bola (1.15), podemos escribir
pB(x) + ε
pB(x) + pB(y) + 2ε
× x
pB(x) + ε
+
pB(y) + ε
pB(x) + pB(y) + 2ε
× y
pB(y) + ε
∈ B,
es decir
x+ y
pB(x) + pB(y) + 2ε
∈ B.
Se tiene entonces la estimación pB(x + y) = ı́nf
λ>0
{λ−1(x + y) ∈ B} ≤ pB(x) +
pB(y) + 2ε para todo ε > 0 lo que implica la subaditividad de la funcional
pB. Sea ahora α ∈ K, dado que la semi-bola B es equilibrada y absorbente se
verifica sin problema la igualdad pB(αx) = |α|pB(x). Conclúımos entonces que
la funcional de Minkowski es una semi-norma sobre E.
Para ver que la topoloǵıa es separada fijemos x 6= 0, existe entonces una
base (ei)i∈I de E tal que para algún i0 se tenga ei0 = x. Definimos entonces el
conjunto A = {y ∈ E : y =∑i∈I |αi|ei} con |αi| < 1. Se verifica sin problema
que este conjunto es convexo, equilibrado y absorbente y por lo tanto A ∈ B
pero x /∈ A. �
Con las Proposiciones 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4 hemos demostrado el teorema a
continuación:
Teorema 1.3.1 Un espacio vectorial E dotado de una topoloǵıa determinada
por una familia de semi-normas (pi)i∈I que satisface el axioma de separación
es un espacio localmente convexo separado en donde cada semi-norma pi es
continua. Rećıprocamente, un espacio vectorial topológico localmente convexo
es un espacio vectorial topológico separado cuya topoloǵıa está determinada por
la familia de semi-normas definidas por la funcional de Minkowski (1.18) de
los conjuntos abiertos, convexos, equilibrados y absorbentes de E.
El hecho de disponer de una estructura de espacio topológico separado a partir
de una familia de semi-normas que satisfacen el axioma de separación es de por
śı un hecho interesante; pero no es suficiente para nuestros fines.
Para dotar estos espacios de una métrica necesitaremos una restricción adi-
cional sobre la familia de semi-normas (pi)i∈I explicitada por la proposición
siguiente.
Proposición 1.3.5 Sea (E, (pi)i∈I) un espacio vectorial topológico localmente
convexo separado. Las dos propiedades siguientes son equivalentes:
1) El espacio E es metrizable,
2) La topoloǵıa de E puede ser definida por una familia numerable de semi-
normas.
Rogamos al lector ver una demostración de este hecho en [5] o [35].
Esta propiedad nos proporciona de forma natural la siguiente definición.
1.3. Espacios localmente convexos y espacios de Fréchet 27
Definición 1.3.9 (E.l.c.m.) Un espacio vectorial localmente convexo metri-
zable es un espacio vectorial localmente convexo E dotado de una familia nu-
merable de semi-normas (pk)k∈N que satisfacen el axioma de separación. Si
además este espacio está dotado de una distancia d, diremos que esta distancia
es invariante por traslación si para todo x, y, z ∈ E se tiene
d(x+ z, y + z) = d(x, y). (1.19)
Nótese que esta condición es equivalente a d(x− y, 0) = d(x, y).
Esta definición no nos indicacómo construir una distancia pero el resultado a
continuación y su demostración nos explicitan la distancia con la cual se puede
dotar estos espacios.
Teorema 1.3.2 Sea (E, (pk)k∈N) un espacio vectorial topológico localmente
convexo metrizable. Existe entonces una distancia definida sobre E invarian-
te por translación que determina la misma estructura topológica y tal que sus
bolas sean convexas. Esta distancia está definida por
d(x, y) = sup
k∈N
dk(x, y), (1.20)
en donde12 dk(x, y) = ı́nf
{
pk(x− y); 2−k
}
.
Demostración. Los dos primeros primeros axiomas (D.1) y (D.2) de distan-
cia no son dif́ıciles de verificar y quedan al cargo del lector. La desigualdad
triangular se deduce de las consideraciones siguientes:
ı́nf
{
pk(x− y); 2−k
}
≤ ı́nf
{
pk(x − z) + pk(y − z); 2−k
}
≤ ı́nf
{
pk(x − z); 2−k
}
+ ı́nf
{
pk(y − z); 2−k
}
,
es decir
d(x, y) = sup
k∈N
dk(x, y) ≤ sup
k∈N
dk(x, z) + sup
k∈N
dk(y, z) = d(x, z) + d(y, z).
Obtenemos pues que la fórmula (1.20) determina una distancia sobre el espa-
cio topológico localmente convexo metrizable (E, (pk)k∈N). Pasemos ahora al
estudio de las propiedades de esta distancia. La invariancia por traslación está
trivialmente dada por la identidad
dk(x+ z, y + z) = ı́nf
{
pk(x− y); 2−k
}
= dk(x, y),
válida para todo x, y, z ∈ E y todo k ∈ N. Por esta invariancia por traslación,
es suficiente estudiar la convexidad de las bolas centradas en el origen. Sea
pues la bola Bk,r = {x ∈ E : dk(x, 0) < r} y verifiquemos que es un conjunto
convexo. Para ello observamos que, para todo k ≥ 0, si r ≥ 2−k tenemos que
Bk,r = E y, si r ≤ 2−k, entonces la bola Bk,r está formada por los puntos x ∈ E
tales que pk(x) < r; de forma que en cualquiera de estos dos casos el conjunto
12El lector observará que la sucesión αk = 2
−k puede ser reemplazada por cualquier otra
sucesión (αk)k∈N tal que αk −→
k→+∞
0.
28 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Bk,r es convexo. Para terminar, notamos que la bola métrica B(0, r) = {x ∈
E : d(x, 0) < r} es igual a la intersección ⋂k∈N Bk,r y por ser intersección de
conjuntos convexos es convexa.
Debemos ahora mostrar que la topoloǵıa determinada por las bolas abiertas
asociadas a la distancia d definida anteriormente es la misma que la topoloǵıa
dada por la familia de semi-normas (pk)k∈N.
Sea B(0, r) con r > 0 una bola métrica, entonces el conjunto I = {k ∈ N :
r ≤ 2−k} es finito de forma que B(0, r) = ⋂k∈I Bk,r es una vecindad abierta
del origen. Si ahora j ∈ N es tal que r < 2−j, entonces para todo x ∈ B(0, r)
se tiene que pj(x) < r es decir que x pertenece a la semi-bola Bpj (0, r).
Lo que termina la demostración pues la topoloǵıa determinada por la familia
de semi-normas coincide con la topoloǵıa definida por la distancia (1.20). �
Existen evidentemente otras formas de construir distancias a partir de una
familia de semi-normas: el principal interés de la fórmula (1.20) está dado por el
hecho que sus bolas son convexas lo cual es una propiedad muy agradable. No-
temos que existen distancias, definidas a partir de una familia de semi-normas,
cuyas bolas no son necesariamente convexas. Ver por ejemplo el Ejercicio 1.8.
Una vez que tenemos a nuestra disposición una distancia, todas las definicio-
nes y propiedades de la Sección 1.1 tienen sentido en el marco de los espacios
localmente convexos metrizables.
Sin embargo, a pesar de todas las propiedades expuestas, la distancia (1.20)
presenta un inconveniente: no verifica la importante propiedad de homogenei-
dad siguiente
d(αx, αy) = |α|d(f, g), (1.21)
y a veces es mucho más conveniente caracterizar algunas nociones en términos
de semi-normas. Tenemos aśı la proposición siguiente:
Proposición 1.3.6 Sea (E, (pk)k∈N) un espacio localmente convexo metrizable
dotado con la distancia
d(x, y) = sup
k∈N
{
ı́nf
(
pk(x− y), 2−k
)}
.
1) Una sucesión (xn)n∈N converge hacia x en el sentido de esta distancia si
y solo si para todo k ∈ N se tiene ĺım
n→+∞
pk(xn − x) = 0.
2) Una sucesión (xn)n∈N de elementos de E es de Cauchy para esta distancia
si y solo si para todo k ∈ N: ĺım
n,m→+∞
pk(xn − xm) = 0.
Prueba. La verificación no es complicada y es dejada al lector (ver el Ejer-
cicio 1.7). �
Los espacios localmente convexos metrizables, dotados de una distancia de
tipo (1.20) y que son completos para esta distancia, juegan un rol determinante
en el análisis funcional y reciben el nombre siguiente:
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 29
Definición 1.3.10 (Espacio de Fréchet) 13 Un espacio de Fréchet es un
espacio localmente convexo metrizable completo para la estructura de espacio
métrico.
Los espacios de Fréchet que estudiaremos en los próximos caṕıtulos son espacios
funcionales que están generalmente definidos como un conjunto de funciones
que verifican algunas propiedades importantes caracterizadas por una familia
de semi-normas. Demos un ejemplo.
Sea otra vez el espacio C∞([0, 1]) definido en la página 22 y consideremos la
familia de semi-normas (pk)k∈N determinada por
pk(f) = sup
x∈[0,1]
∣
∣
∣f (k)(x)
∣
∣
∣ .
Tenemos entonces que el espacio (C∞([0, 1]), (pk)k∈N) es un espacio de Fréchet.
En efecto, si (fn)n∈N es una sucesión de Cauchy, tenemos que ĺım
m,n→+∞
pk(fm−
fn) = 0 para todo k lo que implica
sup
x∈[0,1]
∣
∣
∣f (k)m (x)− f (k)n (x)
∣
∣
∣ = 0.
La sucesión (f
(k)
n )n∈N es entonces una sucesión de Cauchy para la convergencia
uniforme y tiende uniformemente hacia un ĺımite f (k).
Dado que fn converge uniformemente hacia f y puesto que las derivadas
f
(k)
n son continuas y convergen uniformemente hacia funciones f (k), entonces
la función f es de clase C1([0, 1]) y las derivadas del ĺımite son el ĺımite de las
derivadas. Repitiendo este proceso a las derivadas sucesivas de f obtenemos que
la convergencia uniforme de las funciones f
(k)
n hacia f (k) expresa precisamente
que pk(fn − f) −→
n→+∞
0 para todo k ∈ N.
Estudiaremos más propiedades de los espacios de Fréchet en el Volumen 2.
Resumimos los principales resultados de esta sección diciendo que cuando un
espacio es caracterizado por una infinidad de condiciones, reflejada por una
familia numerable de semi-normas, obtenemos un espacio de Fréchet. Si por el
contrario una sola condición es suficiente se tiene un espacio de Banach que
será definido y estudiado en la sección siguiente.
1.4. Espacios normados y espacios de Banach
El estudio de los espacios de Banach es indispensable para comprender co-
rrectamente las importantes propiedades de los espacios funcionales y de los
espacios de aplicaciones lineales definidas sobre ellos. Después de dar las defi-
niciones necesarias y algunos ejemplos esenciales, expondremos en los párrafos
siguientes algunas caraceŕısticas -elementales pero importantes- de los espacios
13Maurice Fréchet (1878-1973), matemático francés.
30 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
que disponen de la estructura de espacio normado y de espacio de Banach.
El material expuesto a continuación no es más que una pequeña introducción
que nos permitirá estudiar con comodidad los cuatro primeros caṕıtulos. Hemos
reservado por motivos pedagógicos los teoremas más importantes de la teoŕıa de
los espacios de Banach al Volumen 2 en donde serán inmediatamente aplicados
al estudio de los espacios funcionales.
1.4.1. Definiciones
Dos conceptos son presentados: la noción de norma y de espacio normado
asociado y la noción de espacio de Banach que permite caracterizar de forma
precisa la convergencia de las sucesiones.
Definición 1.4.1 (norma) Sea E un K-espacio vectorial topológico y note-
mos x un elemento de E. Una norma es una función ‖ · ‖E : E −→ [0,+∞[
que verifica las propiedades:
(N.1) Separabilidad: ‖x‖E = 0 ⇐⇒ x = 0,
(N.2) Homogeneidad: ‖αx‖E = |α|‖x‖E para todo α ∈ K,
(N.3) Desigualdad triangular: ‖x+ y‖E ≤ ‖x‖E + ‖y‖E para todo x, y ∈ E.
Notaremos a los espacios vectoriales normados (E, ‖ · ‖E).
Observación 1.4 Todo espacio normadoes un espacio localmente convexo
metrizable. Además, un espacio localmente convexo metrizable caracterizado
por una sola semi-norma es un espacio normado. En efecto, las propiedades de
semi-normas nos proporcionan las condiciones (N.2) y (N.3) mientras que el
axioma de separación aplicado a la única semi-norma nos da la condición de
separabilidad (N.1).
Gracias a esta observación, disponemos de todas las propiedades de los espacios
localmente convexos metrizables explicitadas anteriormente para este tipo de
espacios. En particular notamos que todos los espacios normados están natu-
ralmente dotados de una estructura de espacio métrico definida por la siguiente
distancia invariante por traslación:
d(x, y) = ‖x− y‖E. (1.22)
Decimos entonces que esta distancia está inducida por la norma ‖ · ‖E . Verifi-
quemos rápidamente sus propiedades elementales. La invariancia por traslación
se verifica fácilmente pues se tiene para todo x, y, z ∈ E
d(x+ z, y + z) = ‖x+ z − y − z‖E = ‖x− y‖E = d(x, y).
La simetŕıa de esta distancia es evidente puesto que d(x, y) = ‖x− y‖E = ‖y−
x‖E = d(y, x), la separabilidad está dada por (N.1) mientras que la desigualdad
triangular se deduce escribiendo
d(x, y) = ‖x−y‖E = ‖x−z+z−y‖E ≤ ‖x−z‖E+‖z−y‖E = d(x, z)+d(y, z).
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 31
Obsérvese además que se tiene la propiedad de homogeneidad válida para todo
α ∈ K y todo x, y ∈ E:
d(αx, αy) = |α|d(x, y).
Notamos también que la topoloǵıa de espacio normado está totalmente deter-
minada por las bolas abiertas definidas por la expresión
B(x, r) = {y ∈ E : ‖x− y‖E < r}. (1.23)
Diremos aśı mismo que una tal topoloǵıa está inducida por la norma ‖ · ‖E .
Paralelamente a la Definición 1.1.5 tenemos
Definición 1.4.2 Sean (E, ‖ · ‖E) y (F, ‖ · ‖F ) dos espacios normados. El es-
pacio producto E × F dotado de la aplicación
‖(x, y)‖E×F =
(
‖x‖2E + ‖y‖2F
)1/2
, (1.24)
es un espacio vectorial normado.
La estructura de espacio vectorial es evidentemente compatible con la topoloǵıa
inducida por la norma en el sentido siguiente.
Proposición 1.4.1 Sea (E, ‖ ·‖E) un espacio vectorial normado. Entonces las
aplicaciones
ϕ1 : E × E −→ E y ϕ2 : K× E −→ E
(x, y) 7−→ x+ y (α, x) 7−→ αx,
son continuas aśı como la aplicación x 7−→ ‖x‖E.
Prueba. La demostración de estos hechos no es más que la reescritura de
la Proposición 1.3.3 con una sola semi-norma. Sin embargo, para la mayor
comodidad del lector, vamos a verificar que la primera aplicación ϕ1 es continua
utilizando las notaciones expuestas en esta sección. Empecemos dotando el
espacio producto E × E con la norma
‖(x, y)‖E×E =
(
‖x‖2E + ‖y‖2E
)1/2
.
Tenemos entonces la mayoración
‖ϕ1(x, y)− ϕ1(x0, y0)‖E = ‖(x+ y)− (x0 + y0)‖E
≤
√
2
(
‖x− x0‖2E + ‖y − y0‖2E
)1/2
,
lo que muestra que esta aplicación es lipschitziana y por lo tanto continua. �
Tendremos la oportunidad de estudiar en los caṕıtulos posteriores muchos
ejemplos de espacios normados, nos limitamos aqúı a los cuatro ejemplos si-
guientes, que son ejemplos totalmente clásicos.
(i) El cuerpo de los números reales R estará siempre dotado de su norma
eucĺıdea usual notada | · | aśı como de la topoloǵıa inducida por esta
norma.
32 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
(ii) En Rn podemos definir varias normas de la siguiente manera:
‖x‖1 =
n∑
i=1
|xi|, ‖x‖p =
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
(1 < p < +∞),
‖x‖∞ = máx
1≤i≤n
|xi|.
(1.25)
(iii) Similarmente, el cuerpo de los números complejos estará dotado de su
norma usual determinada por
| · | : C −→ [0,+∞[ (1.26)
x = a+ ib 7−→ |x| =
√
a2 + b2.
(iv) Si (E, dE) es un espacio métrico, definimos B(E,R) como el conjunto
de todas las funciones acotadas definidas sobre E a valores en R. Es un
espacio vectorial con las operaciones usuales sobre las funciones dadas en
(1.13) y podemos dotarlo de una estructura de espacio vectorial normado
con la norma
‖f‖∞ = sup
x∈E
|f(x)|. (1.27)
En efecto, empezamos por la homogeneidad de esta expresión que no
causa mayor dificultad pues
‖αf‖∞ = sup
x∈E
|αf(x)| = |α|sup
x∈E
|f(x)| = |α|‖f‖∞.
Luego vemos sin problema que ‖f‖ = 0 implica f(x) = 0 para todo
x ∈ E de donde se deduce la propiedad de separabilidad y finalmente la
desigualdad triangular se obtiene escribiendo
‖f + g‖∞ = sup
x∈E
|(f + g)(x)| ≤ sup
x∈E
(|f(x)| + |g(x)|)
≤ sup
x∈E
|f(x)|+ sup
x∈E
|g(x)| = ‖f‖∞ + ‖g‖∞.
Pasemos al estudio de la convergencia en los espacios normados retomando al-
gunas definiciones.
Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio normado y (xn)n∈N una sucesión de elementos de
E. Diremos que la sucesión (xn)n∈N converge en el sentido de la norma ‖ · ‖E
hacia un punto x ∈ E si
(∀ε > 0)(∃N ∈ N) ∀n ≥ N =⇒ ‖xn − x‖E ≤ ε,
lo que notaremos
ĺım
n→+∞
‖xn − x‖E = 0. (1.28)
Escribiremos entonces ĺım
n→+∞
xn = x y diremos que la sucesión (xn)n∈N conver-
ge fuertemente hacia x. El adjetivo fuerte está introducido para diferenciar la
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 33
convergencia débil que será estudiada posteriormente.
Diremos además que una sucesión (xn)n∈N es de Cauchy en el sentido de la
norma ‖ · ‖E si
(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n,m ≥ N) : ‖xn − xm‖E ≤ ε.
Finalmente, diremos que una sucesión (xn)n∈N es acotada si
sup
n∈N
‖xn‖E < +∞.
El siguiente resultado nos indica algunas relaciones entre los conceptos que
acabamos de definir.
Proposición 1.4.2 Sea (E, ‖·‖E) un espacio normado. Entonces toda sucesión
convergente es de Cauchy y toda sucesión de Cauchy es acotada. Además, si
(xn)n∈N es una sucesión de Cauchy que admite una subsucesión convergente
hacia un punto x, entonces (xn)n∈N converge hacia x.
Prueba. Sea (xn)n∈N una sucesión que converge hacia un punto x ∈ E. Por la
desigualdad triangular tenemos la estimación
‖xn − xm‖E ≤ ‖xn − x‖E + ‖xm − x‖E ,
lo que implica que toda sucesión convergente es de Cauchy.
Sea ahora (xn)n∈N una sucesión de Cauchy; existen entonces dos enteros
n,m ≥ N tales que ‖xn − xm‖E ≤ 1. Luego, por la desigualdad triangular se
obtiene para todo m ≥ N que ‖xm‖E ≤ 1 + ‖xN‖E . Es decir:
sup
j∈N
‖xj‖E ≤ máx{‖x0‖E, ..., ‖xN−1‖E , ‖xN‖E + 1}.
Finalmente, sea (xϕ(n))n∈N una subsucesión de (xn)n∈N. Puesto que se tiene
‖xn − x‖E ≤ ‖xϕ(n) − x‖E + ‖xϕ(n) − xn‖E,
como xϕ(n) converge hacia x y (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy, se obtiene
la convergencia de la sucesión (xn)n∈N hacia x lo que termina la demostración.
�
El siguiente resultado nos indica bajo qué condiciones un espacio vectorial
puede ser dotado de una norma y será muy utilizado cuando deseemos com-
probar que un espacio no es normable.
Teorema 1.4.1 (Condición de normabilidad) Un espacio vectorial topológi-
co es normable si y solo si su origen admite una vecindad convexa acotada.
Rogamos al lector ver su demostración en [26].
Finalmente, el resultado a continuación nos proporciona una caracterización
de los espacios normados localmente compactos y corresponde a una generali-
zación del Teorema 1.2.4.
34 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Teorema 1.4.2 (F. Riesz) 14 Sea E un espacio vectorial normado. Las pro-
piedades siguientes son equivalentes.
1) E es de dimensión finita,
2) E es localmente compacto,
3) B = {x ∈ E : ‖x‖E ≤ 1} es un conjunto compacto,
4) B = {x ∈ E : ‖x‖E < 1} es un conjunto precompacto.
En particular, si dimE = +∞, ningún punto de E posee una vecindad com-
pacta. Rogamos al lector ver la demostración de este importante teorema en el
Volumen 2.
Con esto hemos terminado nuestra presentación de los espacios vectoriales
normados. Presentamos ahora una de las definiciones más importantes de este
caṕıtulo.
Definición 1.4.3 (Espacio de Banach) 15 Un espacio vectorial normado
(E, ‖ · ‖E) es un espacio de Banach si es completo para la distancia inducida
por la norma ‖ · ‖E.
Salvo mención expĺıcita de lo contrario, cada espacio de Banach estará dotado
de la topoloǵıa inducida por la norma ‖ · ‖E .
Por esta definición vemos que todo espacio de Banach es un espacio de Fréchetaunque no se tiene necesariamente la rećıproca. Además no todos los espacios
vectoriales normados son completos y para ilustrarlo tenemos aqúı el ejemplo
siguiente: sea C0([0, 1],R) el conjunto de las funciones continuas a valores reales
definidas sobre el intervalo [0, 1] que dotamos con la norma
‖f‖ =
∫ 1
0
|f(x)|dx.
Verificar que la anterior cantidad define una norma es un ejercicio simple y es
dejado al lector. Se tiene entonces que (C0([0, 1]), ‖ · ‖) es un espacio normado.
Sin embargo, este espacio no es completo. Para verificar este hecho considera-
mos la sucesión:
fn(x) =



1 si x ≤ 12 ,
1
2n+ 1− nx si 12 < x ≤ 12 + 1n ,
0 si x > 12 +
1
n .
No es dif́ıcil darse cuenta que esta sucesión es de Cauchy pero que no converge
hacia una función continua.
Observemos sin embargo que todos los ejemplos dados en la página 31 son
espacios de Banach puesto que son espacios completos para las normas exhi-
bidas. Si bien los tres primeros espacios son ejemplos clásicos, el último está
tratado en el párrafo a continuación.
14Frigyes Riesz (1880-1956), matemático húngaro.
15Stefan Banach (1892-1945), matemático polaco.
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 35
1.4.2. Tres ejemplos clásicos
Exponemos aqúı tres espacios de Banach que serán de constante uso en todo
este libro y que tienen la particularidad de estar dotados con la misma norma.
En todo este párrafo, E representa un espacio métrico.
A) Espacio de funciones acotadas B(E,R)
Ya hemos visto en la página 32 que este espacio dotado de la norma ‖f‖∞ =
sup
x∈E
|f(x)| es un espacio normado de manera que sólo debemos verificar que este
espacio es completo. Sea pues (fn)n∈N una sucesión de Cauchy de funciones del
espacio B(E,R), entonces
(∀ε > 0)(∃N ∈ N : ∀p, q ≥ N) =⇒ sup
x∈E
|fp(x) − fq(x)| < ε.
Si fijamos un punto x0 ∈ E tenemos |fp(x0)− fq(x0)| ≤ sup
x∈E
|fp(x)− fq(x)| < ε
lo que implica que la sucesión (fn(x0))n∈N es una sucesión de Cauchy en R y
por lo tanto converge hacia un elemento de R que notaremos f(x0).
Hemos entonces definido una aplicación f : E −→ R y debemos verificar que
esta función es acotada. Sea ε > 0, existe un N tal que para todo p, q ≥ N
se tenga |fp(x) − fq(x)| < ε para todo x ∈ E. Para un x0 fijo podemos hacer
tender q → +∞ en esta estimación y con la continuidad de la aplicación | · |
obtenemos la desigualdad |fp(x0) − f(x0)| < ε. Puesto que la función fp es
acotada, el conjunto fp(E) está contenido en una bola de centro y y de radio
ρ. La estimación
|y − f(x0)| ≤ |y − f(x0)|+ |fp(x0)− f(x0)|,
muestra entonces que el conjunto f(E) está contenido en una bola de centro y
y de radio ρ+ ε de donde se deduce que la función f es acotada y por lo tanto
pertenece al conjunto B(E,R). Solo nos queda por demostrar que la sucesión
(fn)n∈N tiende hacia f para n −→ +∞. Para ε > 0 y para un entero p fijado
de la misma forma que anteriormente se tiene |fn(x) − f(x)| < ε para todo
x ∈ E y para todo n ≥ p lo que muestra que ‖fn − f‖∞ < ε y se obtiene la
convergencia en el sentido de la norma ‖ · ‖∞. Concluimos por lo tanto que el
espacio es B(E,R) un espacio de Banach.
B) Espacio de funciones continuas y acotadas C0a(E,R)
Este espacio es un subconjunto del anterior y si lo dotamos con la norma
‖f‖∞ = sup
x∈E
|f(x)| obtenemos un espacio de Banach. La demostración sigue
básicamente las mismas ĺıneas expuestas en el párrafo anterior. Obtenemos en
particular que toda sucesión de Cauchy de funciones de C0a(E,R) converge hacia
una función acotada, de manera que solo nos queda por verificar que la función
ĺımite es continua lo que se obtiene puesto que la convergencia en norma ‖ · ‖∞
es la convergencia uniforme.
36 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
C) Espacio de funciones continuas definidas sobre un compacto
C0(K,R)
Aqúı suponemos que K es un subconjunto compacto de un espacio métrico
E. Este ejemplo no es más que un caso muy particular del anterior. La su-
tilidad se encuentra en que no exigimos de forma expĺıcita que las funciones
sean acotadas. Sin embargo, al estar estas funciones (que son todas continuas)
definidas sobre un conjunto compacto K obtenemos por el Teorema 1.2.5 que
son acotadas.
Observación 1.5 Dado que la convergencia en la norma ‖ · ‖∞ corresponde
exactamente con la noción de convergencia uniforme se suele denominar esta
norma y la topoloǵıa asociada como la norma (y topoloǵıa) de la convergencia
uniforme.
Observación 1.6 Todas las propiedades presentadas aqúı de estos tres espa-
cios se conservan si en vez de considerar como espacio de llegada el conjunto R
se toma el conjunto C.
1.4.3. Propiedades básicas
Un espacio de Banach debe ser considerado con una cierta cantidad de pro-
piedades agradables. En esta sección expondremos las caracteŕısticas más ele-
mentales reservando al Volumen 2 las propiedades de las aplicaciones lineales
definidas sobre espacios de Banach. Más precisamente estudiaremos las nocio-
nes de series convergentes y de series normalmente convergentes que permiten
dar un criterio de completitud para los espacios de Banach.
Definición 1.4.4 (Convergencia, convergencia normal) Sea (E, ‖·‖E) un
espacio vectorial normado y sea (xn)n∈N una sucesión en E. Para todo k ∈ N
construimos la serie o suma parcial de la sucesión escribiendo Sk =
k∑
n=0
xn.
1. Diremos que la serie de término general xn converge hacia S ∈ E, en el
sentido de la norma ‖ · ‖E, si la sucesión (Sk)k∈N converge hacia S ∈ E:
ĺım
k→+∞
‖S − Sk‖E = 0.
En este caso el vector S es la suma de la serie y escribimos S =
+∞∑
n=0
xn.
2. Diremos además que una serie de término general xn es normalmente
convergente o absolutamente convergente si
+∞∑
n=0
‖xn‖E < +∞.
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 37
Observación 1.7 La noción de serie en un espacio vectorial normado se rela-
ciona con la noción de sucesión en el sentido siguiente: una sucesión (xn)n∈N es
convergente de ĺımite x si y solo si la serie x0+(x1−x0)+ ...+(xn−xn−1)+ ...
es convergente de suma x.
Como nos lo indica el teorema a continuación, la noción de convergencia normal
permite caracterizar la completitud de los espacios normados.
Teorema 1.4.3 Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio vectorial normado. Entonces:
1) si E es un espacio de Banach, toda serie normalmente convergente es
convergente y se tiene
∥
∥
∥
∥
∥
+∞∑
n=0
xn
∥
∥
∥
∥
∥
E
≤
+∞∑
n=0
‖xn‖E. (1.29)
2) rećıprocamente, si E es tal que toda serie normalmente convergente es
convergente, entonces es un espacio de Banach.
Demostración. Veamos el primer punto. Dado que la serie de término general
xn converge normalmente, la sucesión de números reales αk =
k∑
n=0
‖xn‖E es de
Cauchy en R. Es decir que para todo ε > 0 existe un entero N0 ∈ N tal que
(∀p, q ≥ N0) =⇒ |αp − αq| ≤ ε.
Podemos suponer sin pérdida de generalidad que q > p. Se deduce entonces de
esta estimación anterior que ‖xp+1‖E + · · ·+ ‖xq‖E ≤ ε para todo q > p ≥ N0
y esto implica que la sucesión Sk =
k∑
n=0
xn es de Cauchy en E puesto que se
tiene la mayoración
‖Sp − Sq‖E =
∥
∥
∥
∥
∥
q
∑
n=p+1
xn
∥
∥
∥
∥
∥
E
≤
q
∑
n=p+1
‖xn‖E ≤ ε.
Observando que el espacio E es completo se concluye sin problema que la
sucesión (Sk)k∈N es convergente. La desigualdad (1.29) se deduce del hecho
que para todo k ∈ N se tiene
∥
∥
∥
∥
∥
k∑
n=0
xn
∥
∥
∥
∥
∥
E
≤
k∑
n=0
‖xn‖E .
Para el segundo punto debemos verificar que toda sucesión de Cauchy es
convergente. Fijamos pues (xn)n∈N una sucesión de Cauchy en E. Entonces
para todo entero k existe un nk ∈ N tal que
(p, q ≥ nk) =⇒ ‖xp − xq‖E ≤
1
2k
.
38 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Podemos suponer que la sucesión nk es creciente y esto nos permite considerar
la serie
xn0 + (xn1 − xn0) + (xn2 − xn1) + · · · (1.30)
Observamos que la suma de las normas
‖xn0‖E + ‖xn1 − xn0‖E + ‖xn2 − xn1‖E + · · ·
es mayorada por la serie convergente ‖xn0‖E +
+∞∑
k=0
2−k y por lo tanto esta
suma converge. Entonces, por hipótesis,la serie definida por (1.30) converge.
Sin embargo, puesto que
SN = xn0 +
N∑
k=0
(xnk+1 − xnk) = xnN+1
obtenemos que la sucesión (xnk )k∈N es convergente. Hemos mostrado que la
sucesión de Cauchy (xn)n∈N admite una subsucesión convergente (xnk)k∈N y
es por lo tanto convergente. Esto implica que el espacio E es completo. �
Nos interesamos ahora en el comportamiento de una serie si modificamos el
orden de sus términos. Esto significa que si tenemos una serie x0+x1+...+xn+...
y si consideramos una biyección ϕ : n 7−→ ϕ(x) de N en N, entonces queremos
estudiar la convergencia de la nueva serie xϕ(0) + xϕ(1) + ...+ xϕ(n) + ....
Proposición 1.4.3 Sea E un espacio de Banach y sea (xn)n∈N una sucesión
de elementos de E. Si la serie
+∞∑
n=0
xn converge en E y si la serie de las nor-
mas
+∞∑
n=0
‖xn‖E converge, entonces una modificación de los términos de la serie
inicial no altera la convergencia de la serie ni su suma.
Prueba. Sea S la suma de la serie. Tenemos que para todo ε > 0 existe m ∈ N
tal que
∑
n>m
‖xn‖E ≤ ε/2. Existe además un entero m0 tal que el conjunto de
enteros {ϕ(0), ϕ(1), ..., ϕ(m0)} contiene el conjunto {0, 1, ...,m}, por lo tanto
la suma parcial xϕ(0) + xϕ(1) + ...xϕ(m0) es igual a la suma x0 + x1 + ...+ xm
a la cual añadimos un número finito de términos cuyos ı́ndices son todos > m.
En particular la suma de estos términos residuales tiene una norma mayorada
por ε/2. Entonces, para todo n0 > m0 tenemos
∥
∥
∥
∥
∥
n0∑
n=0
xϕ(n) −
m∑
n=0
xn
∥
∥
∥
∥
∥
E
≤ ε
2
.
Como además tenemos
∥
∥
∥
∥
∥
m∑
n=0
xn − S
∥
∥
∥
∥
∥
E
=
∥
∥
∥
∥
∥
∑
n>m
xn
∥
∥
∥
∥
∥
E
≤
∑
n>m
‖xn‖E ≤
ε
2
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 39
podemos afirmar que para todo n0 > m0
∥
∥
∥
∥
∥
n0∑
n=0
xϕ(n) − S
∥
∥
∥
∥
∥
E
≤ ε;
lo que muestra que la serie modificada es convergente y de misma suma S. �
Terminamos esta seción observando que de la misma forma que se pueden
comparar distancias, podemos comparar dos normas lo cual tiene algunas con-
secuencias agradables. En efecto, si dos normas determinan una misma estruc-
tura, podremos escoger la que presenta una mayor comodidad de utilización.
Definición 1.4.5 (Normas equivalentes) Dos normas ‖·‖1 y ‖·‖2 definidas
sobre E son equivalentes si existe una constante C > 0 tal que
C−1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ C‖x‖1, (1.31)
para todo x ∈ E.
Notación: Si ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 son dos normas definidas sobre un mismo espacio
E, escribiremos ‖ · ‖1 ≃ ‖ · ‖2 para designar su equivalencia.
El lector no ignora que sobre un espacio vectorial de dimensión finita, todas
las normas son equivalentes16. Por ejemplo todas las normas definidas en (1.25)
son equivalentes pero esto deja de ser válido si la dimensión es infinita como lo
muestra el Ejercicio 1.9.
Obsérvese finalmente que todas las propiedades anunciadas anteriormente
(convergencia, completitud, convergencia normal, etc.) son invariantes si se
reemplaza la norma inicial por otra equivalente.
1.4.4. Equicontinuidad y teorema de Ascoli-Arzelá
En esta última sección estamos interesados en estudiar las partes compactas
del espacio C0(K,K) formado por las funciones continuas definidas sobre un es-
pacio métrico compacto K a valores en K. Dado que este espacio es un espacio
de Banach de dimensión infinita, sabemos por el Teorema de Riesz 1.4.2 que las
partes cerradas y acotadas no son suficientes para identificar los subconjuntos
compactos.
Para llevar a cabo esta identificación, será necesario introducir algunos con-
ceptos con las Definiciones 1.4.6 y 1.4.7 que serán directamente utilizados en
el teorema de Ascoli-Arzelá que caracteriza las partes relativamente compactas
del espacio C0(K,K).
Demos dos definiciones importantes.
16Teorema de Riesz - 1918, ver una demostración en Volumen 2.
40 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Definición 1.4.6 (Equicontinuidad) Sea (fn)n∈N una familia de funciones
definidas sobre un espacio métrico compacto (K, d) a valores en K. Esta familia
es equicontinua si
(∀ε > 0)(∀x ∈ K)(∃δ > 0)(∀n ∈ N)(∀y ∈ K) :
d(x, y) ≤ δ =⇒ |fn(x) − fn(y)| ≤ ε.
Definición 1.4.7 (Compacidad puntual) Sea (K, d) un espacio métrico com-
pacto, decimos que una parte A de C0(K,K) es puntualmente compacta (relati-
vamente puntualmente compacta) si para todo x ∈ K, el conjunto {f(x), f ∈ A}
es compacto (relativamente compacto) en K.
Podemos ahora enunciar el siguiente teorema que nos proporciona condiciones
necesarias y suficientes para caracterizar los conjuntos relativamente compactos
del espacio C0(K,K).
Teorema 1.4.4 (Ascoli-Arzelá) 17 Sean (K, d) un espacio métrico compacto
y C0(K,K) el espacio de Banach formado de funciones continuas dotado de la
norma ‖f‖∞ = sup
x∈K
|f(x)|. Una parte A de C0(K,K) es relativamente compacta
si y solo si es equicontinua y puntualmente relativamente compacta.
Observación 1.8 Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: una
familia de funciones continuas es relativamente compacta si y solo si podemos
controlar uniformemente sus valores y sus oscilaciones.
Demostración. Empecemos suponiendo que la parte A es relativamente com-
pacta y mostremos que es equicontinua y puntualmente relativamente compac-
ta.
Sea f ∈ A, como f es continua y definida sobre un compacto entonces su
imagen es compacta. Como esto es válido para toda función f ∈ A, se obtiene
entonces que A es puntualmente relativamente compacta.
Verifiquemos que esta parte es equicontinua. Sea pues ε > 0 un real, como A
es un conjunto compacto podemos encontrar una familia (fi)1≤i≤k de elemen-
tos de A tal que A ⊂ ⋃ki=1B(fi, ε/3).
Sea f un elemento de A. Buscamos un real δ independiente de f ∈ A tal que
para todo x, y ∈ E que verifican dE(x, y) ≤ δ se tenga |f(x) − f(y)| ≤ ε. Por
la desigualdad triangular se tiene, para todo 1 ≤ i ≤ k:
|f(x) − f(y)| ≤ |f(x)− fi(x)|+ |fi(x)− fi(y)|+ |fi(y)− f(x)|.
Como f es un elemento de A y que A puede ser recubierto por bolas de radio
ε/3 y de centro fi, podemos encontrar j ∈ {1, ..., k} tal que f ∈ B(fj , ε).
Utilizamos entonces la desigualdad anterior en el caso i = j para mostrar que
|f(x)− f(y)| ≤ ε
3
+ |fj(x)− fj(y)|+
ε
3
.
17Giuilo Ascoli (1843-1896) y Cesare Arzelá (1847-1912), matemáticos italianos.
1.4. Espacios normados y espacios de Banach 41
Las aplicaciones (fi)1≤i≤k son uniformemente continuas sobre E puesto que son
continuas sobre un compacto (por la Proposición 1.2.8), entonces, para todo
x, y ∈ E podemos encontrar un real δi tal que
dE(x, y) ≤ δi =⇒ |fi(x) − fi(y)| ≤ ε/3.
Definimos ahora δ = ı́nf1≤i≤k δi de forma que si dE(x, y) ≤ δ se tiene |fi(x)−
fi(y)| ≤ ε/3. Esta desigualdad sigue siendo válida si i = j lo que nos demuestra
que
|f(x)− f(y)| ≤ ε.
Hemos por lo tanto demostrado que la familia A es equicontinua.
Supongamos ahora que la familia A es equicontinua, puntualmente relati-
vamente compacta y demostremos que A es compacto. Es decir que de toda
sucesión (fn)n∈N de A se puede extraer una subsucesión que converge unifor-
memente sobre K hacia una función f ∈ C0(K,K).
Como el espacio (K, d) es un espacio métrico compacto, por el corolario 1.2.2
es separable y existe un conjunto D = (xk)k∈N denso en K. Para todo k ∈ N, la
sucesión (fn(xk))n∈N está en un compacto Ak de K, de modo que la sucesión de
las restricciones
(
fn|D
)
n∈N
puede ser vista como una sucesión del espacio com-
pacto metrizable
∏
k∈NAk. Podemos entonces extraer una subsucesión (fnl)l∈N
que converge puntualmente sobre D por el teorema de Tychonov.
Estudiemos ahora la convergencia de esta subsucesión en un punto arbitrario
de x ∈ K. Por hipótesis la adherencia en K de {f(x), f ∈ A} es compacta, es
decir cerrada y acotada y por lo tanto completa. Entonces, para que esta sub-
sucesión (fnl)l∈N tenga un ĺımite f(x) ∈ K, basta verificar que esta subsucesión
es de Cauchy. Sea para ello ε > 0 un real. Como la parte A es equicontinua,
sabemos que para δ > 0 suficientemente pequeño se tiene
(∀x, y ∈ K)(∀l ∈ N) d(x, y) ≤ δ =⇒ |fnl(x) − fnl(y)| ≤ ε/3.
Comoel conjunto D es denso en K, tomamos xk ∈ D tal que d(x, xk) ≤ δ.
Como la sucesión (fnl(xk))l∈N converge enK, es de Cauchy y se puede encontrar
un entero Nε,k tal que
(∀l, p ≥ Nε,k) : |fnl(xk)− fnp(xk)| ≤ ε.
Hacemos ahora la mayoración siguiente:
|fnl(x)− fnp(x)| ≤ |fnl(x)− fnp(xk)|+ |fnl(xk)− fnp(xk)|+ |fnp(xk)− fnp(x)|
≤ ε
3
+
ε
3
+
ε
3
,
es decir, para todo l, p ≥ Nε,k se tiene que |fnl(x) − fnp(x)| ≤ ε. Obtenemos
entonces que la subsucesión (fnl(x))l∈N converge en K para todo x ∈ K y no-
tamos f(x) su ĺımite.
42 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
Solo nos queda por ver que la convergencia de fnl hacia f es uniforme con
respecto a x ∈ K. Entonces, para un ε > 0 fijado y utilizando las notaciones
anteriores, sabemos que existe un entero M tal que K ⊂ ⋃Mk=0B(xk, δ) pues
K es un espacio métrico compacto. Tomamos entonces Mε = máx
k∈{0,...,M}
Nε,k y
obtenemos
(∀l, p ≥Mε)(∀x ∈ K) : |fnl(x) − fnp(x)| ≤ ε.
Al pasar al ĺımite p→ +∞ obtenemos
(∀l ≥ Nε) : ‖fnl − f‖∞ ≤ ε,
es decir que la subsucesión (fnl)l∈N converge uniformemente hacia f ∈ C0(K,K)
lo que termina la demostración. �
Vamos a terminar este caṕıtulo con un ejemplo de aplicación del teorema
que acabamos de demostrar. Sabemos por el teorema de Riesz 1.4.2 que la
bola unidad del espacio C0([0, 1],R) no es compacta pues es un espacio de
dimensión infinita. Esta bola es sin embargo un conjunto cerrado y acotado
pero no es un conjunto equi-continuo. Más precisamente, vamos a ver en las
ĺıneas a continuación que la sucesión de funciones fn(x) = x
n sobre [0, 1] no es
equicontinua en el punto x = 1. En efecto, en el caso de serlo tendŕıamos que:
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀n ∈ N)(∀y ∈ [0, 1]) : |1− y| ≤ δ =⇒ |1− yn| ≤ ε.
Sea ε = e−12e (e = exp(1)) y sea N ∈ N tal que 1/N ≤ δ. Entonces para todo
n ≥ N , el punto z = 1− 1/n verifica 0 ≤ 1− z ≤ δ y debeŕıamos tener
(∀n ≤ N) 0 ≤ 1− (1 − 1/n)n ≤ e− 1
2e
,
pero en el ĺımite, cuando n→ +∞, lo que obtenemos es la desigualdad
e− 1
e
≤ e− 1
2e
,
lo que es contradictorio. Conclúımos que esta sucesión de funciones no es equi-
continua.
1.5. Ejercicios
Ejercicio 1.1 El objetivo de este ejercicio es el de mostrar que la condición de
Lipschitz implica la continuidad uniforme que a su vez implica la continuidad
simple, pero que no se tienen las rećıprocas.
1. Verificar que la condición de Lipschitz implica la continuidad uniforme
que a su vez implica la continuidad simple.
2. Mostrar que la función f : R −→ R determinada por f(x) = x2 es
continua sobre R pero no es uniformemente continua.
1.5. Ejercicios 43
3. Mostrar que la función f : [0,+∞[−→ R determinada por f(x) = √x es
uniformemente continua pero no es lipschitziana.
Ejercicio 1.2 (Continuidad de las proyecciones canónicas) Aplicamos aqúı
los resultados del ejercicio anterior a un tipo muy especial de funciones. Con-
sideremos los espacios normados (Rn, ‖ · ‖1) y (R, | · |). Definimos las funciones
proyecciones canónicas πi para todo i = 1, ..., n por
πi : R
n −→ R
x = (x1, ..., xn) 7−→ πi(x1, ..., xn) = xi.
Mostrar que estas funciones son continuas. ¿Son funciones Lipschitzianas?
Ejercicio 1.3 La equivalencia uniforme entre dos distancias es una propiedad
muy fuerte. Existe una variante más débil que estudiamos en este ejercicio.
Sea E un espacio métrico dotado de dos distancias d1 y d2. Decimos que d1
y d2 son topológicamente equivalentes si la aplicación identidad IdE es un
homeomorfismo de (E, d1) sobre (E, d2).
1. Sea E =]0, 1[ y d1(x, y) = |x− y| una distancia sobre E. Definimos
d2 : E × E −→ [0,+∞[
(x, y) 7−→ d2(x, y) =
∣
∣
∣
∣
1
x
− 1
y
∣
∣
∣
∣
.
a) Mostrar que se tiene la desigualdad d1(x, y) ≤ d2(x, y).
b) Utilizando la pregunta anterior, muestre que IdE es una biyección
lipschitziana de (E, d2) en (E, d1).
c) Sea F = [1,+∞[ un espacio métrico dotado de la distancia d(x, y) =
|x− y|. Mostrar que las aplicaciones
f : E −→ F y g : F −→ E
x 7−→ f(x) = 1x t 7−→ g(t) = 1t ,
son biyecciones.
d) Mostrar que la aplicación f es una biyección continua de (E, d1)
sobre (F, d).
e) Mostrar que para todos los elementos x, y ∈ F se tiene la identidad
d2(g(x), g(y)) = d(x, y) y mostrar que g es una biyección continua
de (F, d) sobre (E, d2).
f) Calcule g◦f y concluya que IdE es una biyección continua de (E, d1)
sobre (E, d2). Es decir que d1 y d2 son topológicamente equivalentes.
2. Sea (un)n≥1 una sucesión de puntos de E tal que un = 1/n.
a) Mostrar que d1(un, un+1) =
1
n(n+1) .
b) Calcular d2(un, un+1).
44 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
c) Sea ε > 0 un real. Nótese que para todo ε existe un entero N tal
que, para todo n ≥ N se tenga 1n(n+1) < ε.
Muestre que para todo n ≥ N se tiene d1(un, un+1) < ε y que
d2(un, un+1) = 1.
d) ¿Es la aplicación IdE : (E, d1) −→ (E, d2) una aplicación unifor-
memente continua?
e) ¿Qué puede decir sobre las distancias d1 y d2? ¿Son uniformemente
equivalentes?
Ejercicio 1.4 El interés de este ejercicio está en dar caracterizaciones equi-
valentes del concepto de compacidad.
Sea (Ai)i∈I una familia de subconjuntos cerrados de un espacio topológico
X. Decimos que una familia posee la propiedad de la intersección finita si para
todo subconjunto finito J de I se tiene
⋂
i∈J Ai 6= ∅.
1. Mostrar que si X es compacto, entonces toda familia de cerrados con la
propiedad de la intersección finita tiene una intersección no vaćıa.
2. Sea (An)n∈N una sucesión decreciente no vaćıa de cerrados de un espacio
compacto X. Mostrar entonces que se tiene
⋂
n∈NAn 6= ∅. Esta última
propiedad es muy útil en la práctica.
3. Si (Bn)n∈N es una sucesión decreciente de cerrados de intersección vaćıa,
mostrar que los conjuntos Bn son todos vaćıos a partir de un ı́ndice n
suficientemente grande.
Ejercicio 1.5 (Teorema de Rolle) 18 En este ejercicio estudiamos una apli-
cación del Teorema 1.2.5. Sean −∞ < a < b < +∞ dos números reales y sea
f : [a, b] −→ R una función continua sobre [a, b] y derivable sobre ]a, b[. Si
f(a) = f(b) mostrar que existe un punto c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.
Ejercicio 1.6 (Teorema de Dini) Sea X un espacio compacto y (fn)n∈N
una sucesión de funciones continuas definidas sobre X a valores en R. Su-
ponemos que esta sucesión es creciente y que la sucesión converge simplemente
hacia f . Mostrar que (fn)n∈N converge uniformemente hacia f .
Este resultado es interesante porque, en el marco de un conjunto compac-
to, las hipótesis de crecimiento y de convergencia simple de una sucesión de
funciones implican la convergencia uniforme.
Ejercicio 1.7 Demostrar la Proposición 1.3.6. Verificar para ello que
ĺım
n→+∞
d(xn, x) = ĺım
n→+∞
sup
k∈N
{
ı́nf
(
pk(xn − x), 2−k
)}
= 0
⇐⇒ (∀k ∈ N) ĺım
n→+∞
pk(xn − x) = 0.
18Michel Rolle (1652-1719), matemático francés.
1.5. Ejercicios 45
Ejercicio 1.8 Consideremos el espacio C0(R,R) de funciones continuas a va-
lores reales. Definimos sobre este espacio una familia de aplicaciones (pn)n≥1
de la siguiente forma:
pn(f) = sup
|x|≤n
|f(x)|.
1. Verificar que para todo n ≥ 1 las aplicaciones pn son semi-normas.
2. A partir de esta familia (pn)n≥1 construimos la función:
d(f, g) =
+∞∑
n=1
2−n
pn(f − g)
1 + pn(f − g)
. (1.32)
Mostrar que esta función determina una distancia sobre el espacio C0(R,R)
invariante por traslación.
3. Mostrar que si se reemplaza la sucesión (2−n)n≥1 en (1.32) por otra su-
cesión (αn)n≥1 tal que
∑
n≥1
αn < +∞ entonces se obtiene una nueva dis-
tancia que es equivalente a (1.32).
4. Mostrar que el espacio C0(R,R) dotado de la distancia (1.32) es un es-
pacio de Fréchet.
5. Mostrar que para todo ε ∈]0, 1/2[, existen dos funciones f, g ∈ C0(R,R)
tales que f, g ∈ B(0, ε) pero tales que h = (f + g)/2 /∈ B(0, ε).
Indicación: considerar f(x) = αmáx(0; 1−|x|) y g(x) = βmáx(0; 1−|x−
2|).
Ejercicio 1.9 En este ejercicio mostramos que en un espacio de dimensión
infinita, existen normas que no son equivalentes entre śı.
Definimos C0([a, b],R) como el conjunto de funciones continuassobre el in-
tervalo [a, b] a valores en R. Definimos las tres aplicaciones siguientes
‖ · ‖1 : C0([a, b];R) −→ [0,+∞[
f 7−→ ‖f‖1 =
∫ b
a
|f(x)|dx.
‖ · ||2 : C0([a, b];R) −→ [0,+∞[
f 7−→ ‖f‖2 =
(∫ b
a
|f(x)|2dx
) 1
2
.
‖ · ‖∞ : C0([a, b];R) −→ [0,+∞[
f 7−→ ‖f‖∞ = sup
x∈[a,b]
|f(x)|.
46 Caṕıtulo 1. Espacios métricos, normados y de Banach
1. Verificar que en la definición de la aplicación ‖ · ‖∞ se puede reemplazar
el supremo por el máximo.
2. Mostrar que las aplicaciones ‖ · ‖i para i = 1, 2,∞ son normas sobre el
conjunto C0([a, b]).
3. Demostrar las desigualdades siguientes para toda función f ∈ C0([a, b])
‖f‖1 ≤
√
b− a‖f‖2 y ‖f‖2 ≤
√
b− a‖f‖∞.
4. Considere la sucesión de funciones definidas por fn(x) =
(
x−a
b−a
)n
.
a) Muestre que para todo n ∈ N se tiene fn ∈ C0([a, b]).
b) Verifique que ‖fn‖1 = b−an+1 .
c) Verifique que ‖fn‖2 =
√
b−a
2n+1 .
d) Verifique que ‖fn‖∞ = 1 para todo n.
e) Muestre que ‖fn‖2 −→
n→+∞
0 pero que no se tiene ‖fn‖∞ −→
n→+∞
0.
5. Definimos una sucesión de funciones escribiendo gn(x) = n
3
4 fn(x) para
todo entero n. Muestre que
‖gn‖1 −→
n→+∞
0 y ‖gn‖2 ≈ n
1
4
√
b− a
2
.
6. Concluya que ninguna de las normas anteriores son equivalentes entre śı.
Ejercicio 1.10 (Espacios ultramétricos) En todo este ejercicio fijamos p
un número primo. Para todo entero relativo no nulo x ∈ Z definimos la valua-
ción p-ádica de x por
γ(x) = máx
r∈N
{r : pr|x},
en donde hemos notado pr|x para decir que pr divide a x.
Para todo número racional x = a/b ∈ Q definimos la valuación p-ádica de x
escribiendo γ(x) = γ(a)−γ(b). Utilizaremos además la convención γ(0) = +∞.
1. Mostrar que la valuación p-ádica verifica los puntos siguientes:
a) γ(x) = +∞ ⇐⇒ x = 0;
b) γ(xy) = γ(x) + γ(y);
c) γ(x+ y) ≥ mı́n{γ(x), γ(y)} con igualdad si γ(x) 6= γ(y).
1.5. Ejercicios 47
2. Para todo x ∈ Q definimos la aplicación | · |p : Q −→ [0,+∞[ por
|x|p =
{
p−γ si x 6= 0
p−∞ = 0 si x = 0.
Mostrar que esta aplicación es una norma sobre Q, es decir que verifica
las tres propiedades siguientes:
a) |x|p ≥ 0 y |x|p = 0 ⇐⇒ x = 0,
b) |xy|p = |x|p|y|p,
c) |x+ y|p ≤ |x|p + |y|p.
3. Mostrar que se tienen las estimaciones |x+y|p ≤ máx{|x|p, |y|p} ≤ |x|p+
|y|p. ¿Bajo qué condición se tiene la igualdad?
4. Definimos a partir de la norma |·|p una distancia con la fórmula d(x, y) =
|x− y|p. Verifique que se tiene la desigualdad
d(x, y) ≤ máx{d(x, z), d(y, z)}. (1.33)
5. ¿Es esta desigualdad más fuerte o más débil que la desigualdad triangular
usual? ¿Qué se puede decir de todo triángulo en este tipo de espacios
métricos?
Los espacios métricos que verifican la desigualdad (1.33) son llamados espa-
cios ultramétricos.
2 Teoŕıa de la medida
Aśı como la topoloǵıa nos permite hablar de ĺımites y de continuidad utili-
zando el lenguaje de la teoŕıa de conjuntos, la teoŕıa de la medida nos permitirá
definir los conjuntos medibles y las funciones medibles utilizando este mismo
lenguaje. Más precisamente, el objetivo que nos proponemos aqúı es el de cons-
truir, gracias a este formalismo, un criterio que determine qué conjuntos o qué
funciones son medibles y qué valor numérico asignar a estas medidas.
Nuestra exposición se divide en dos etapas: en este caṕıtulo estudiaremos
cómo medir los conjuntos mientras que en el Caṕıtulo 3 nos concentraremos
en cómo medir las funciones. Expondremos pues en las ĺıneas siguientes cómo
asignar un “peso” o “medida” a los conjuntos basándonos en observaciones
naturales y que corresponden, en el caso de R a la noción de longitud, de área
para R2 y de volumen1 para R3. Por ejemplo, si nos concentramos en la noción
de longitud, la longitud del conjunto vaćıo ∅ debe ser igual a cero y, si [a, b] y
[c, d] son dos intervalos disjuntos (con −∞ < a < b < c < d < +∞) de longitud
respectiva α y β, es muy natural exigir que la “medida” o longitud de la unión
[a, b] ∪ [c, d] sea igual a la suma α + β. Veremos que estas condiciones son el
punto de partida para la construcción de funciones aditivas de conjuntos y de
medidas generales.
La presentación de la teoŕıa de la medida que vamos a exponer en este caṕıtu-
lo es clásica y la construcción de medidas se realizará en tres etapas distintas
que corresponden a las Secciones 2.1, 2.2 y 2.3. La primera parte consiste en
presentar las nociones de base restringiéndose a operaciones finitas, es decir
a los conceptos de álgebras de partes de conjuntos y de funciones aditivas
de conjuntos. La segunda parte nos muestra cómo generalizar estas nociones
anteriores considerando operaciones numerables y ésta particularidad será re-
presentada por la letra griega sigma “σ-”: hablaremos entonces de σ-álgebras,
σ-aditividad, σ-finitud, etc. Finalmente, la tercera parte presenta un teorema
para la construcción de medidas generales. Terminaremos el caṕıtulo con la
Sección 2.4 en donde exponemos la construcción de la medida de Lebesgue
sobre Rn y algunas de sus propiedades.
Observemos para finalizar esta pequeña introducción que algunos detalles de
la teoŕıa de la medida serán expuestos en los caṕıtulos siguientes para mayor
claridad de la exposición. Aśı por ejemplo las medidas definidas sobre espacios
productos serán estudiadas en el Caṕıtulo 3, mientras que el teorema de Radon-
Nikodym será demostrado en el Volumen 2.
1En dimensiones superiores, por abuso de lenguaje seguiremos hablando de volumen.
49
50 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
2.1. Álgebras y funciones aditivas de conjuntos
Exponemos aqúı las ideas que servirán de base para los desarrollos posteriores
concentrándonos en particular en dos objetos llamados álgebra de partes y
función aditiva de conjuntos. La principal particularidad de estas nociones es
que están restringidas a las operaciones finitas lo cual hace su estudio sencillo
y además, como tendremos la oportunidad de ver en las secciones siguientes,
las principales caracteŕısticas de estos conceptos se preservan al generalizarlas
a las operaciones numerables.
Empecemos fijando unas notaciones y recordando algunas nociones con el
párrafo siguiente. En el segundo párrafo enunciamos las definiciones más im-
portantes aśı como algunos ejemplos que servirán de hilo conductor a medida
que desarrollemos nuestra exposición.
2.1.1. Preliminares
Si f es una aplicación de X en Y , recordemos que la imagen directa f(A) de
un conjunto A ∈ P(X) es el conjunto de puntos y ∈ Y de la forma y = f(x)
con x ∈ A, es decir
f(A) = {y ∈ Y : y = f(x); x ∈ A}.
La imagen rećıproca de B ∈ P(Y ) es el conjunto definido por
f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.
La imagen rećıproca será muy utilizada en las ĺıneas que siguen puesto que
respeta las siguientes operaciones de conjuntos, ya sean estas finitas o infinitas:
f−1
(
⋃
i∈I
Bi
)
=
⋃
i∈I
f−1(Bi), f
−1
(
⋂
i∈I
Bi
)
=
⋂
i∈I
f−1(Bi),
f−1(Bc) = (f−1(B))c.
(2.1)
Nótese que por el contrario la imagen directa no verifica en toda generalidad
las identidades anteriores a excepción de la primera que concierne la reunión
de conjuntos (ver el Ejercicio 2.1).
Definición 2.1.1 (Función indicatriz) 2 Sea X un conjunto. Para todo sub-
conjunto A de X definimos su función indicatriz como:
1A : X −→ {0, 1}
x 7−→ 1A(x) =
{
1 si x ∈ A,
0 si x /∈ A.
(2.2)
Una de las particularidades de esta función es que se tiene la fórmula siguiente:
1A∩B(x) = 1A(x)1B(x),
2También llamada función caracteŕıstica y notada χA.
2.1. Álgebras y funciones aditivas de conjuntos 51
Esto nos induce a considerar la intersección de conjuntos como un producto.
En el Ejercicio 2.2 veremos algunas aplicaciones de esta fórmula.
Introduzcamos ahora una notación muy cómoda. El conjunto de los números
reales aumentado de los śımbolos +∞ y −∞ será notado R o a veces [−∞,+∞]
y se lo denomina la recta real completada.
Las reglas de cálculo sobre R son las reglas usuales sobre los números reales
con las convenciones:
para todo x ∈ R se tiene (+∞) + x = +∞ y (−∞) + x = −∞,para todo x ∈]0,+∞[ entonces (+∞)× x = +∞ y (−∞)× x = −∞,
para todo x ∈]−∞, 0[ entonces (+∞)× x = −∞ y (−∞)× x = +∞,
(+∞)× 0 = 0 y (−∞)× 0 = 0,
si x, y, z ∈ R, entonces x+ z = y + z =⇒ x = y si z 6= +∞ y z 6= −∞,
(+∞) + (+∞) = +∞ y (−∞) + (−∞) = −∞,
(+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
Nótese que la operación (+∞) + (−∞) no está definida y es por lo tanto inde-
terminada.
Los conjuntos R+ = [0,+∞] y R− = [−∞, 0] suelen ser muy útiles. La impor-
tancia del conjunto R+ está ilustrada por el hecho que toda sucesión creciente
es convergente. En efecto, sea (xn)n∈N una sucesión creciente de números reales
de R+, si esta sucesión es mayorada por un número real positivo, sabemos que
converge hacia un elemento de [0,+∞[; en el caso contrario, sabemos que tiende
hacia +∞. En consecuencia, la suma de una serie
+∞∑
n=0
xn con xn ∈ R+ es siem-
pre convergente en R+ puesto que es el ĺımite de la sucesión creciente obtenida
a partir de las sumas parciales SN =
N∑
n=0
xn. Esta suma es finita si y solo si la
serie converge en el sentido usual.
Fijemos una última notación. En la recta real R notaremos3 por (a, b), con
a ≤ b, los intervalos abiertos, cerrados, semi-abiertos o semi-cerrados, infinitos
o no (es decir ]a, b[, [a, b], [a, b[, [a,+∞[ o ]−∞, b]) cuando la naturaleza de sus
extremos sea irrelevante para nosotros.
2.1.2. Definiciones y ejemplos elementales
En este párrafo comenzamos la descripción de las nociones necesarias para
construir medidas en toda generalidad. Tenemos pues una primera definición.
3Atención: en la literatura anglosajona se nota (a, b) el intervalo abierto ]a, b[.
52 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Definición 2.1.2 (Álgebra de partes) Un subconjunto A ⊂ P(X) es una
álgebra de partes si:
1) El conjunto vaćıo ∅ y el conjunto X pertenencen a A.
2) A es estable al pasar al complementario: si A ∈ A entonces Ac ∈ A.
3) A es estable por reunión finita y por lo tanto por intersección finita: si A
y B pertenencen a A, entonces A ∪B y A ∩B pertenencen a A.
Nótese que una álgebra es automáticamente estable por diferencia y por dife-
rencia simétrica. En efecto, si A,B ∈ A es suficiente darse cuenta que A \B =
A ∩Bc para obtener la estabilidad por diferencia y diferencia simétrica. En el
Ejercicio 2.2 explicamos brevemente la terminoloǵıa de álgebra utilizada en la
Definición 2.1.2 comparándola con otras estructuras matemáticas.
Expongamos un ejemplo muy sencillo. Consideremos el conjuntoX = {0, 1, 2, 3}
sobre el cual definimos A1 = {∅, {0, 1}, {2, 3}, X}, A2 = {∅, {0}, {1, 2, 3}, X} y
A3 = P(X), el lector no tendrá ninguna dificultad en verificar que estos tres
conjuntos son álgebras de partes sobre X .
Observamos con esto que, de igual forma que en topoloǵıa, un mismo con-
junto puede estar dotado de varias álgebras de partes y que se dispone de una
relación de orden dada por la inclusión entre las diferentes álgebras definidas
sobre un mismo conjunto. Tenemos aśı, en el ejemplo anterior, que A1,A2 ⊂ A3
pero que A1 6⊂ A2 y A2 6⊂ A1.
Demos ahora algunos ejemplos que serán utilizados a lo largo de todo este
caṕıtulo.
(i) El álgebra más grande, en el sentido de la inclusión, definida sobre un
conjunto X es P(X), mientras que la más pequeña contiene solo dos ele-
mentos: ∅ y X . Notemos que estos dos extremos suelen ser poco útiles en
la práctica. Expondremos en los ejemplos siguientes cómo definir álgebras
más adaptadas a nuestras necesidades.
(ii) Si X es un conjunto cualquiera, diremos que π es una partición de X
si es una familia (Ai)i∈I de partes no vaćıas, dos a dos disjuntas que
recubren X . Dada una partición π sobre X , es posible definir una álgebra
A considerando los conjuntos A tales que existe J ⊂ I con A = ⋃i∈J Ai.
Por ejemplo, dado un conjuntoX y un subconjunto A podemos considerar
la partición π = {A,X\A} y obtener el álgebraA = {∅, A,X\A,X}. Si la
partición es finita y posee N elementos, el álgebra A tiene 2N elementos.
(iii) Consideremos ahora la recta real R. Diremos que un conjunto I pertenece
al álgebra A si I se puede escribir como una reunión finita de intervalos
de la forma (a, b) con a, b ∈ R. Vemos sin ninguna dificultad que A es
efectivamente una álgebra puesto que se tiene R =]−∞,+∞[ y ∅ =]a, a[
y que el complementario de un intervalo (a, b) se escribe como unión
finita de intervalos. No es dif́ıcil darse cuenta que todo elemento I de esta
álgebra se puede escribir como reunión finita de intervalos disjuntos.
2.1. Álgebras y funciones aditivas de conjuntos 53
Diremos que dos intervalos son separados si su unión no es un intervalo.
Esta condición exige que los intervalos sean disjuntos y además prohibe
el caso (a, b] y ]b, c) aśı como el caso (a, b[ y [b, c). Se puede ver que
todo elemento del álgebra descrita anteriormente se puede expresar de
forma única como la unión finita de intervalos dos a dos separados (ver
el Ejercicio 2.4).
(iv) Decimos que una familia C es estable por intersección si la intersección
de dos elementos A y B de C pertenece a C. Sea X un conjunto y C una
familia de partes de X estable por intersección que contiene a X y tal que
el complementario de todo elemento de C es una unión finita de elementos
de C. Podemos entonces considerar el álgebra A formada por todas las
uniones finitas de elementos de C.
(v) Sea (Xk)1≤k≤n una familia finita de conjuntos y dotamos a cada Xk
de una álgebra de partes Ak. Consideramos el espacio producto X =∏n
k=1Xk y estudiamos la familia F formada por los adoquines definidos
por P =
∏n
k=1 Ak en donde cada Ak es un elemento de Ak. La familia F
es entonces estable por intersección y reunión finita y el complementario
de un adoqúın puede escribirse como la unión finita de adoquines: F es
por lo tanto una álgebra.
(vi) El ejemplo más importante de adoquines es sin duda el definido sobre Rn
como el producto cartesiano de intervalos (ak, bk):
A =
n∏
k=1
(ak, bk). (2.3)
Un subconjunto Γ de Rn será adoquinable si es una reunión finita de
adoquines. Nótese que todo conjunto adoquinable se puede expresar co-
mo la reunión finita disjunta de adoquines. Los conjuntos adoquinables
constituyen una álgebra de partes (ver el Ejercicio 2.5).
(vii) Consideremos para terminar el conjunto Ω = {0, 1}N∗ y recordemos que
un elemento de Ω es una sucesión infinita ω = (ω1, ω2, ...) en donde ωi
es igual a 0 ó 1 para todo i. Este conjunto tiene una interpretación pro-
babiĺıstica importante. Podemos por ejemplo relacionar un punto ω a un
juego de “cara o sello” infinito: al lanzar i veces una moneda diremos que
ωi vale 0 si es cara y 1 si es sello y entonces el conjunto Ω describe todas
las posibilidades de este juego.
Para cada entero n ≥ 1 consideramos las sucesiones finitas
α = {α1, ..., αn} ∈ {0, 1}n (de longitud n) y definimos Sα = {ω ∈ Ω :
ω1 = α1, ..., ωn = αn} como el conjunto de sucesiones infinitas que co-
mienzan por α. El lector puede notar sin mayor dificultad que los con-
juntos Sα forman una partición de Ω y por lo tanto podemos definir el
álgebra Fn asociada a esta partición según el ejemplo (ii) anterior. No
es dif́ıcil ver que la sucesión Fn es creciente y que se tiene Fn ⊂ Fn+1.
Además la unión
⋃
n≥1 Fn es también una álgebra sobre Ω.
54 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
La principal utilidad de una álgebra de partes es el hecho de servir de dominio
de definición de las funciones aditivas de conjuntos. Estas funciones constituyen
una primera etapa en la construcción de medidas de conjuntos.
Definición 2.1.3 (Función aditiva de conjuntos) Sean X un conjunto y
A una álgebra sobre X. Una función positiva aditiva de conjuntos sobre (X,A)
es una aplicación
m : A −→ R+,
que verifica las dos propiedades siguientes
1) m(∅) = 0;
2) para todo A y B en A se tiene la implicación
A ∩B = ∅ =⇒ m(A ∪B) = m(A) +m(B).
Diremos además que m es finita si m(X) < +∞, este número se llama entonces
la masa total de m.
Un primer ejemplo elemental de función aditiva de conjuntosestá dado por la
función cardinal, definida en la página 2, sobre un conjunto X que posee un
número finito de elementos dotado del álgebra A = P(X). Invitamos al lector
a verificar esta aseveración, esto constituye un ejercicio simple pero muy ins-
tructivo.
Presentemos tres ejemplos más de funciones aditivas de conjuntos asociadas
a las álgebras dadas en los puntos (iii), (vi) y (vii) respectivamente.
(a) Consideremos el álgebra A definida por la reunión finita de intervalos.
Dado que todo elemento I ∈ A se escribe como reunión finita de inter-
valos disjuntos I =
⋃n
i=1(ai, bi); definimos la función ℓ que asocia a cada
elemento I su longitud por
ℓ(I) =
n∑
i=1
bi − ai. (2.4)
Nótese que se tiene ℓ(∅) = 0, además si uno de los extremos de los inter-
valos (ai, bi) es infinito, entonces ℓ(I) = +∞.
Mostremos que esta expresión no depende de la descomposición adoptada.
En efecto, si el conjunto I =
⋃p
k=1Nk =
⋃q
l=1Ml se escribe de dos
maneras distintas como unión de intervalos disjuntos, podemos escribir
entonces I =
⋃
kl Okl en donde los intervalos Okl = Nk∩Ml son disjuntos.
A partir de esta observación no es dif́ıcil verificar que si un intervalo I es
reunión finita de intervalos disjuntos (ai, bi), entonces la longitud de I es
la suma de las longitudes de estos intervalos. Obtenemos aśı una función
aditiva de conjuntos.
Veamos dos ejemplos:
• si I = [0, 1], o si I =]0, 1[, se tiene ℓ(I) = 1, en particular la longitud
de los intervalos es independiente de la naturaleza de sus extremos.
2.1. Álgebras y funciones aditivas de conjuntos 55
• si a ∈ R y si I = [a, a] entonces ℓ(I) = 0; es decir que todo punto
tiene una longitud nula. Más generalmente si I es una reunión finita
de puntos entonces ℓ(I) = 0.
(b) Estudiamos aqúı el álgebra A formada por los adoquines de Rn y conside-
ramos el análogo n-dimensional de la función anterior. Si A =
∏n
k=1(ak, bk)
es un adoqúın de Rn diremos que su volumen, que notaremos vol(A), es
nulo si uno de los intervalos es de la forma [aj , aj ] (hablamos entonces
de un adoqúın plano). En el caso contrario, su volumen está dado por el
producto
vol(A) =
n∏
k=1
(bk − ak). (2.5)
El lector observará que, si n = 2, esta fórmula corresponde bien al área
de un rectángulo y, si n = 3, corresponde al volumen de un paraleleṕıpedo.
Si Γ es un conjunto adoquinable, podemos expresarlo como la unión finita
de adoquines disjuntos Γ =
⋃N
j=1 Aj y definimos entonces
vol(Γ) =
N∑
j=1
vol(Aj). (2.6)
El lector verificará sin mayor dificultad que esta función satisface las con-
diciones de la Definición 2.1.3 y es por lo tanto una función aditiva de
conjuntos (las etapas son muy similares a las explicitadas en la parte (a),
ver más detalles en el Ejercicio 2.6).
Demos un ejemplo. Si consideramos en el plano R2 el conjunto adoquina-
ble Γ del gráfico a continuación y queremos calcular su área por medio de
la fórmula (2.6), podemos expresarlo como la unión finita de adoquines
A1,...,A8 cuya área se evalúa fácilmente con la expresión (2.5).
Γ
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
Figura 2.1: Un conjunto adoquinable
(c) Tomemos por último el espacio Ω = {0, 1}N∗ al cual dotamos del álgebra
A = ⋃n≥1 Fn. Para todo A ∈ A se tiene que A ∈ Fn para algún n y
es por lo tanto la unión de un cierto número de conjuntos de tipo Sα
que podemos suponer igual a k. Definimos entonces la aplicación P de la
siguiente manera:
P(A) = k2−n. (2.7)
56 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Obsérvese que el entero n no es único puesto que el conjunto A pertenece
también a Fm si m ≥ n y hay que verificar que la forma de calcular
P(A) no depende del entero n escogido. En efecto, cuando se pasa de n
a n + 1, para cada α de longitud n, existen dos sucesiones de longitud
n+1 que comienzan por α: (α, 0) y (α, 1). Dado que el conjunto Sα es la
unión disjunta de los conjuntos S(α,0) y S(α,1) se tiene que P(Sα) = 2
−n
mientras que P(S(α,0)) y P(S(α,1)) valen exactamente la mitad, lo que
muestra que el cálculo de P(A) no depende del n escogido.
Verifiquemos ahora que esta aplicación P es una función aditiva de con-
juntos. Vemos sin dificultad que P(∅) = 0 y que P(Ω) = 1, lo que muestra
que la masa total de Ω es igual a 1. Además, si A y B son disjuntos
y pertenecen a A, entonces pertenecen a un mismo Fn, para algún n,
y basta contar el número de Sα contenidos en A ∪ B para obtener que
P(A ∪B) = P(A) + P(B).
Calculemos a manera de ejemplo la cantidad P(A) en donde A = {ω ∈
Ω : ω1 = 0}. Puesto que todas las sucesiones ω comienzan por 0 o por 1,
se tiene que A ∈ F1 y que P(A) = 1/2.
La manera de asignar la longitud y el volumen para estos conjuntos sencillos
(al menos para los dos primeros) es bastante natural y sigue muy de cerca la
intuición geométrica que podemos hacernos de una “medida”. Veremos a lo
largo de este caṕıtulo cómo generalizar estas ideas a otros conjuntos más com-
plicados introduciendo las herramientas adecuadas.
Para terminar, exponemos tres consecuencias simples, pero importantes, de
la aditividad.
Proposición 2.1.1 Sea X un conjunto, sea A una álgebra sobre X y sea m :
A −→ R+ una función aditiva de conjuntos. Tenemos entonces las propiedades:
1) si A y B pertenecen a A con A ⊂ B, tenemos la mayoración
m(A) ≤ m(B) (crecimiento),
2) si A1, ..., An son elementos de A dos a dos disjuntos entonces se tiene la
igualdad
m
(
n⋃
i=1
Ai
)
=
n∑
i=1
m(Ai) (aditividad fina),
3) para todo A y B pertenecientes a A se tiene
m(A ∪B) +m(A ∩B) = m(A) +m(B) (aditividad fuerte).
Prueba. La verificación es muy sencilla. Para el primer punto basta observar
que dado que se tiene la inclusión A ⊂ B se puede escribir B = A ∪ B \ A,
2.2. σ-álgebras y medidas 57
lo que nos da la identidad m(B) = m(A)+m(B\A) y por lo tanto m(A) ≤ m(B).
El segundo punto se obtiene razonando por recurrencia a partir de la Defini-
ción 2.1.3, mientras que el último punto se basa en las observaciones siguientes:
m(A ∪B) +m(A ∩B) = (m(A \B) +m(B \A) +m(A ∩B)) +m(A ∩B)
= m(A) +m(B).
�
2.2. σ-álgebras y medidas
Para poder sacar todo el provecho y utilidad de los dos objetos que hemos
definido en la sección anterior es necesario realizar una etapa adicional. Esta
etapa consiste en generalizar, como hab́ıamos anunciado en la introducción de
este caṕıtulo, las nociones de álgebra y de función aditiva de conjuntos a las
operaciones numerables. Veremos en estas ĺıneas cómo trabajar en este nue-
vo marco y expondremos la generalización de estas nociones, sus diferentes
caracteŕısticas y algunos ejemplos importantes en las Secciones 2.2.1 y 2.2.2
respectivamente. En la Sección 2.2.3 estudiaremos las clases monótonas cuyas
propiedades son de gran importancia y utilidad.
Antes de continuar, nos detenemos un momento estudiando algunas conside-
raciones relativas a los conjuntos numerables. Hemos presentado ya el concepto
de conjunto numerable en la página 2 del Caṕıtulo 1. Esta noción es esencial
porque vamos a construir objetos que son justamente estables al considerar
operaciones numerables y es por lo tanto necesario precisar algunos aspectos
de este tipo de conjuntos. En particular necesitaremos el siguiente teorema.
Teorema 2.2.1 Sea (A1, ..., Ak) una familia finita de conjuntos numerables.
Entonces el producto cartesiano A1 × · · · ×Ak es numerable. Se tiene además
que si (An)n∈N es una familia numerable de conjuntos numerables, entonces la
unión también es numerable.
Demostración. Para demostrar la primera aserción, es suficiente construir
una inyección del conjunto N× · · · × N
︸ ︷︷ ︸
k veces
en N. Para ello podemos considerar la
aplicación
(n1, ..., nk) 7−→ 2n13n25n3 · · · pnk ,
en donde p es el k-ésimo número primo.
Para el segundo punto observamos que el conjunto numerable N × N es la
unión disjunta de los conjuntos N×{n}. Si los conjuntos An son numerables, se
puede encontrar una inyección de An en N× {n} y construir aśı una inyección
de
⋃
n∈NAn en N× N; concluyendo aśı la demostracióndel teorema. �
Exponemos algunos ejemplos importantes de conjuntos numerables que se
pueden construir utilizando el resultado precedente:
58 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
(i) El conjunto Q de los números racionales es numerable pues la aplicación
que asocia a todo número racional de la forma p/q (expresado en una
fracción irreductible) la pareja (p, q) es una inyección de Q en Z× N.
(ii) Aśı mismo, el conjunto Qn formado por los puntos de Rn cuyas coorde-
nadas con racionales es numerable.
(iii) El conjunto N es evidentemente numerable mientras que el intervalo [0, 1]
o el conjunto {0, 1}N∗ no lo son; decimos entonces que estos conjuntos
tienen la potencia (o el cardinal) del continuo.
2.2.1. σ-álgebras
Pasemos ahora a la generalización de la noción de álgebra con la definición
siguiente.
Definición 2.2.1 (σ-álgebra, conjunto medible) Una σ-álgebra (o tribu)
A sobre un conjunto dado X es una álgebra definida sobre X estable por
reunión numerable y por intersección numerable. Más precisamente, un sub-
conjunto A ⊂ P(X) es una σ-álgebra si se tienen las condiciones:
1) los conjuntos ∅ y X pertenecen a A ,
2) si A ∈ A , entonces Ac ∈ A ,
3) para toda familia numerable (An)n∈N de elementos de A tenemos
+∞⋃
n=0
An ∈ A y
+∞⋂
n=0
An ∈ A .
Un conjunto X dotado de una σ-álgebra A será llamado espacio medible y será
notado (X,A ). Los elementos de la σ-álgebra A serán denominados conjuntos
A -medibles.
Observación 2.1 Por esta definición, los elementos de una σ-álgebra son jus-
tamente los candidatos naturales de conjuntos medibles a los cuales se les asig-
nará un “peso” o “medida” en la siguiente sección.
Notemos que existe una relación de orden natural entre las σ-álgebras definida
por la inclusión. En efecto, sean A y B dos σ-álgebras, diremos pues que A
está contenida en B y lo notaremos A ⊂ B si todo elemento A ∈ A pertene-
ce a B. En particular la σ-álgebra más grande está dada por P(X) y la más
pequeña por {∅, X}.
Nótese además que toda σ-álgebra es trivialmente una álgebra pero que no
se tiene la rećıproca; observamos sin embargo que toda álgebra que posee un
número finito de elementos es una σ-álgebra.
Dos de los ejemplos de álgebras dados en la página 52, P(X) y {∅, X}, son
trivialmente σ-álgebras. Pero, a la luz de la caracterización que acabamos de
2.2. σ-álgebras y medidas 59
fijar de los conjuntos medibles, estos extremos no son muy utilizables: en efec-
to, si por un lado tendŕıamos que todo conjunto es medible, por otro lado solo
disponemos de dos conjuntos medibles.
La Proposición 2.2.4 y el Teorema 2.2.2 a continuación nos indicarán cómo
obtener σ-álgebras más útiles e interesantes. Veamos un primer resultado.
Lema 2.2.1 Si A es una σ-álgebra sobre un conjunto X y si Y es un subcon-
junto A -medible de X entonces el conjunto A|Y = A ∩Y = {B = A∩Y : A ∈
A } es una σ-álgebra sobre el conjunto Y .
Prueba. No es dif́ıcil ver que ∅ ∈ A|Y y que el conjunto A|Y es estable al
pasar al complementario. En efecto, si B ∈ A|Y entonces B = A ∩ Y y como
Bc = Y \ B = Y ∩ Ac y que Ac ∈ A se deduce que Bc ∈ A|Y . Finalmente si
(Bn)n∈N es una familia de elementos de A|Y se tiene
+∞⋃
n=0
Bn =
+∞⋃
n=0
(An ∩ Y ) =
(
+∞⋃
n=0
An
)
∩ Y ∈ A|Y
y
+∞⋂
n=0
Bn =
+∞⋂
n=0
(An ∩ Y ) =
(
+∞⋂
n=0
An
)
∩ Y ∈,A|Y ,
lo que termina la prueba. �
Antes de pasar a la exposición de otros resultados concernientes a las σ-álge-
bras, presentamos en la Observación 2.2 algunos hechos generales de la teoŕıa
de conjuntos que son de uso constante.
Recordemos que una sucesión de conjuntos (An)n∈N es creciente si se tiene
An ⊂ An+1 para todo n y es decreciente si la inclusión An ⊃ An+1 es válida
para todo n.
Observación 2.2 En la teoŕıa de la medida, es a veces necesario represen-
tar la unión o la intersección de una sucesión (An)n∈N de elementos de una
σ-álgebra A por medio de una reunión o intersección de elementos dos a dos
disjuntos de A , o de una sucesión creciente o decreciente de elementos de A .
Para alcanzar estos objetivos procedemos de la manera siguiente:
1. para encontrar una sucesión de elementos de A , dos a dos disjuntos, de
misma unión que la sucesión (An)n∈N escribimos
B0 = A0, B1 = A1 \A0, ... , Bn = An \ (A0 ∪A1 ∪ ... ∪An−1), ...
obtenemos entonces una nueva sucesión (Bn)n∈N de elementos de A con
las caracteŕısticas buscadas.
2. para encontrar una sucesión creciente de elementos de A de misma unión
que la sucesión (An)n∈N fijamos
C0 = A0, C1 = A0 ∪A1, ... , Cn = (A0 ∪ A1 ∪ ... ∪ An), ...
60 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
entonces la sucesión (Cn)n∈N de elementos de A es creciente de misma
unión que (An)n∈N.
3. finalmente, para encontrar una sucesión decreciente de elementos de A
de misma intersección que la sucesión (An)n∈N definimos
D0 = A0, D1 = A0 ∩ A1, ... , Dn = (A0 ∩ A1 ∩ ... ∩ An), ...
y obtenemos la sucesión (Dn)n∈N deseada.
Pasemos ahora a nuestro primer resultado que nos da un criterio útil para
verificar bajo qué condiciones una álgebra es una σ-álgebra.
Lema 2.2.2 Sea X un conjunto y sea A una álgebra sobre X. Entonces A es
una σ-álgebra si una de las dos condiciones es verificada:
1) A es estable por reunión de sucesiones crecientes de conjuntos.
2) A es estable por intersección de sucesiones decrecientes de conjuntos.
Prueba. Supongamos que se tiene la condición 1). Puesto queA es una álgebra,
es suficiente verificar que es estable por reunión numerable; en efecto, por paso
al complementario se deducen los otros puntos de la Definición 2.2.1. Sea pues
(Ak)k∈N una sucesión de conjuntos de A y para cada j ∈ N definimos Bj =
⋃j
k=0 Ak de manera que la sucesión de conjuntos (Bj)0≤j≤n es creciente y
dado que A es una álgebra cada Bj pertenece a A. Por la condición 1) tenemos
entonces que
⋃+∞
j=0 Bj pertenece a A, pero como se tiene
⋃+∞
k=0 Ak =
⋃+∞
j=0 Bj,
se deduce que la unión numerable de los conjuntos (Ak)k∈N pertenece al álgebra
A y es por lo tanto una σ-álgebra.
Para terminar la demostración, vamos a verificar que 2) =⇒ 1). En efecto,
si se tiene 2) y si (Ak)k∈N es una sucesión decreciente de conjuntos de A en-
tonces
⋂+∞
k=0 Ak ∈ A. Dado que A es una álgebra, se tiene
⋃+∞
k=0 A
c
k ∈ A. Como
la sucesión (Ack)k∈N es creciente, se obtiene que A es estable por reunión de
sucesiones crecientes de conjuntos. Hemos verificado la implicación 2) =⇒ 1)
lo que termina la prueba. �
El comportamiento de las σ-álgebras con respecto a las aplicaciones está
explicado en los dos resultados a continuación. Empecemos notando que la
imagen directa de una σ-álgebra no es por lo general una σ-álgebra. Rogamos
al lector ver un contra ejemplo en el Ejercicio 2.7. Disponemos en cambio de
las proposiciones siguientes que ilustran la utilidad de las imagenes rećıprocas.
Proposición 2.2.1 Sean X,Y dos conjuntos y sea f : X −→ Y una aplica-
ción. La imagen rećıproca de una σ-álgebra B definida sobre Y determina una
σ-álgebra A definida sobre X.
Prueba. La colección A ⊂ P(X) está determinada por A = {A = f−1(B) :
B ∈ B} y debemos comprobar que (X,A ) es un espacio medible. Esta veri-
ficación se deduce inmediatamente de las propiedades de la imagen rećıproca
explicitadas en (2.1): usando estas fórmulas no es dif́ıcil ver que ∅, X ∈ A y
que la unión o la intersección numerable de elementos de A es aún un elemento
de A . �
2.2. σ-álgebras y medidas 61
Proposición 2.2.2 Sea f una aplicación de X en Y y sea A una σ-álgebra
definida sobre X. El conjunto de las partes B de Y tales que f−1(B) ∈ A es
una σ-álgebra sobre Y llamada la σ-álgebra inducida de A por la aplicación
f .
Prueba. Para ver que el conjunto B = {B ∈ P(Y ) : f−1(B) ∈ A } es una
σ-álgebra es suficiente demostrar que es estable por complementación y por
unión numerable. La demostración se basa enteramente en las fórmulas (2.1).
Sea B un elemento de B, se tiene entonces que f−1(B) ∈ A y (f−1(B))c ∈ A
por hipótesis. Dado que se tienela identidad (f−1(B))c = f−1(Bc) se deduce la
estabilidad por complementación. Se procede de forma similar para comprobar
la estabilidad por unión numerable. Si (Bn)n∈N es una familia numerable de
elementos de B, utilizando la identidad
⋃
n∈N f
−1(Bn) = f
−1
(⋃
n∈NBn
)
, se
obtiene que
⋃
n∈NBn pertenece a B; lo que concluye la demostración. �
El siguiente resultado caracteriza la cardinalidad de las σ-álgebras cuando el
conjunto de base utilizado es infinito. Más precisamente tenemos:
Proposición 2.2.3 Toda σ-álgebra infinita A definida sobre un conjunto in-
finito X es no numerable.
Este hecho tiene consecuencias importantes; por ejemplo, si tenemos una σ-álge-
bra infinita definida sobre la recta real R, su cardinalidad nos impide estudiarla
por medio de una recurrencia usual sobre los enteros.
Prueba. Procedemos suponiendo lo contrario, es decir consideramos una σ-
álgebra infinita A numerable. Para todo x ∈ X definimos Ax = {A ∈ A : x ∈
A} y Ax =
⋂
A∈Ax
A. Nótese que Ax es un elemento de A puesto que hemos
supuesto que la σ-álgebra A es numerable.
Es posible entonces obtener una partición de X definiendo F = (Ax)x∈X , en
efecto, se puede ver que si y ∈ Ax entonces Ax = Ay. El conjunto F es evi-
dentemente infinito, de no serlo todo elemento de la σ-álgebra A seŕıa unión
disjunta de elementos de F y A seŕıa finita. Tenemos pues que F es al menos
numerable pero vemos que P(F ), cuyo cardinal es no numerable, se inyecta
fácilmente en A de modo que el cardinal de A es no numerable. �
La proposición anterior nos muestra que la noción de σ-álgebra puede ser un
poco delicada de manipular y quisiéramos fijar, de una manera un poco más
intuitiva, el tipo de conjuntos que consideramos medibles. Aśı por ejemplo, en
el caso de la recta real R nos gustaŕıa tener que al menos todos los intervalos
de la forma (a, b), con a, b ∈ R, son conjuntos medibles.
Dicho de otra manera, quisiéramos estar seguros que en la σ-álgebra sobre la
cual queremos trabajar, no nos estamos olvidando ningún conjunto importante.
Este objetivo es posible por medio de la Proposición 2.2.4 y del Teorema 2.2.2
que exponemos a continuación.
62 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Proposición 2.2.4 Sea (Ai)i∈I una familia de σ-álgebras definidas sobre un
conjunto X. Entonces su intersección definida por
⋂
i∈I
Ai = {A ∈ P(X) : A ∈ Ai, para todo i ∈ I}
es una σ-álgebra.
Prueba. La verificación no causa ninguna dificultad. Vemos sin problema que
los dos conjuntos X y ∅ pertenecen a ⋂
i∈I
Ai; además, si A ∈ Ai para todo i ∈ I
se tiene por definición que Ac ∈ ⋂
i∈I
Ai lo que hace que esta intersección sea
estable al paso del complementario. De manera similar se obtiene la propiedad
de estabilidad por intersección y reunión numerables. �
Observación 2.3 La reunión de una familia de σ-álgebras no es en general
una σ-álgebra.
Es suficiente considerar X un conjunto, A,B ⊂ X dos subconjuntos y definir
las dos σ-álgebras siguientes A1 = {∅, A,Ac, X} y A2 = {∅, B,Bc, X} para ver
que A1 ∪ A2 no es una σ-álgebra.
A partir de esta proposición anterior, tenemos el teorema a continuación:
Teorema 2.2.2 (σ-álgebra engendrada) Sea K ⊂ P(X) un conjunto cual-
quiera de partes de X. La intersección de todas las σ-álgebras que contienen K
es una σ-álgebra que se denomina la σ-álgebra engendrada por K, que notare-
mos σ(K), y es la más pequeña σ-álgebra que contiene K.
Si además se tiene para J un conjunto de partes de X las inclusiones K ⊂
J ⊂ σ(K), entonces se tiene σ(J ) = σ(K).
Antes de pasar a la demostración, demos un ejemplo muy simple de σ-álgebra
engendrada: sea X un conjunto no vaćıo y A un subconjunto de X , si conside-
ramos K = {A} entonces obtenemos σ(K) = {∅, A,Ac, X}.
Demostración. Sea C la colección de todas las σ-álgebras sobre X que con-
tienen K. Este conjunto no es vaćıo pues contiene P(X). Ahora, gracias a la
Proposición 2.2.4, la intersección de todas las σ-álgebras de C es una σ-álgebra
que contiene K y está contenida en todas las σ-álgebras que contienen K, σ(K)
es por lo tanto la más pequeña σ-álgebra que contiene K.
Ahora mostremos la implicación K ⊂ J ⊂ σ(K) =⇒ σ(J ) = σ(K). Por
un lado tenemos la inclusión σ(J ) ⊂ σ(K) dado que σ(J ) es la más pequeña
σ-álgebra que contiene J . Por otro lado σ(K) es la más pequeña σ-álgebra que
contiene K y se tiene entonces las inclusiones K ⊂ J ⊂ σ(K) ⊂ σ(J ) de donde
se deduce la igualdad deseada. �
Este teorema nos proporciona una gran libertad para la obtención de σ-álge-
bras. En particular, siguiendo las notaciones del Teorema 2.2.2, tenemos que
la σ-álgebra σ(K) contiene por construcción el conjunto K que es justamente
2.2. σ-álgebras y medidas 63
la familia de conjuntos que deseamos que sean medibles, de manera que hemos
logrado nuestro objetivo.
Sin embargo, a pesar de que la definición de σ-álgebra engendrada es sen-
cilla, no es constructiva y por lo general la σ-álgebra σ(K) contiene muchos
conjuntos, no solamente los que consideramos interesantes, sino también sus
complementarios, sus intersecciones y uniones numerables, lo que hace que la
descripción de σ(K) pueda ser delicada como tendremos la oportunidad de ver-
lo posteriormente.
Antes de dar la definición de σ-álgebra Boreliana, exponemos un resulta-
do en donde mostramos cómo interactúan las σ-álgebras engendradas con las
imagenes rećıprocas.
Proposición 2.2.5 Sea f una aplicación de X en Y y sea K un conjunto de
partes de Y . La imagen rećıproca por f de la σ-álgebra σ(K) engendrada por
K es la σ-álgebra engendrada por la imagen rećıproca de K. Es decir:
f−1(σ(K)) = σ(f−1(K)). (2.8)
Prueba. Vamos a demostrar que se tiene la doble inclusión de conjuntos
f−1(σ(K)) ⊃ σ(f−1(K)) y f−1(σ(K)) ⊂ σ(f−1(K)).
La primera inclusión no es dif́ıcil puesto que por la Proposición 2.2.1 se tiene que
f−1(σ(K)) es una σ-álgebra sobreX que contiene f−1(K). Dado que σ(f−1(K))
es la más pequeña de las σ-álgebras que contiene f−1(K) se obtiene entonces
la inclusión deseada f−1(σ(K)) ⊃ σ(f−1(K)).
Para obtener la inclusión en el otro sentido, notamos C la σ-álgebra sobre
Y inducida por f de σ(f−1(K)); es decir el conjunto de partes C de Y que
verifican f−1(C) ∈ σ(f−1(K)). Se tiene que C contiene K y en particular σ(K)
y por lo tanto obtenemos
f−1(σ(K)) ⊂ f−1(C ) ⊂ σ(f−1(K)).
Lo que concluye la demostración. �
El lector puede estar tentado, basándose en las definiciones de álgebra 2.1.2
y de σ-álgebra 2.2.1 sobre un conjunto X y en las diferentes manipulaciones
que hemos presentado hasta ahora, en hacer un paralelismo entre estos con-
ceptos y la noción de topoloǵıa T sobre X . Existe sin embargo una diferencia
esencial entre estos objetos: mientras que en el primer caso exigimos que el
complementario de un conjunto pertenezca a la σ-álgebra, el complementario
de un abierto no es por lo general un abierto.
Puesto que para estudiar, entre muchas otras cosas, las nociones de ĺımite y
de continuidad de las aplicaciones es indispensable disponer de una estructura
topológica, es muy importante combinar las caracteŕısticas de las σ-álgebras
con los abiertos de un conjunto X . Esta combinación de estructuras se realiza
con la definición a continuación que constituye el ejemplo más importante de
σ-álgebra engendrada.
64 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Definición 2.2.2 (σ-álgebra Boreliana) 4 Sea X un espacio topológico. La
σ-álgebra engendrada por los abiertos de X se llama la σ-álgebra Boreliana
de X y será notada Bor(X). Llamaremos un conjunto boreliano (o una parte
boreliana, o más simplemente un boreliano) de un espacio topológico X todo
elemento de la σ-álgebra Boreliana Bor(X).
Observación 2.4 Dado que toda σ-álgebra es estable por paso al comple-
mentario, se tiene que la σ-álgebra Boreliana de un conjunto X también es
engendrada por los cerrados de X .
Vamos a indicar dos ejemplos. En el caso de los borelianos de Rn se tiene la
siguiente caracterización:Proposición 2.2.6 Los conjuntos adoquinables definidos por la fórmula (2.3)
engendran la σ-álgebra Boreliana Bor(Rn).
Prueba. Vamos a ver que todo abierto puede expresarse como reunión numera-
ble de adoquines: esto implica entonces que la unión o la intersección numerable
de abiertos puede expresarse por medio de una familia numerable de conjun-
tos adoquinables y obtendŕıamos aśı que esta familia engendra la σ-álgebra
Boreliana Bor(Rn).
Sea pues U un abierto de Rn y x un punto cualquiera de U . Por definición
de conjunto abierto, existe un real r > 0 tal que la bola abierta de centro x y
de radio r esté contenida en U .
Fijemos ahora un punto y cuyas coordenadas sean racionales tal que dn(x−
y) < r/3 y fijemos un real ρ ∈]r/3, 2r/3[. Vemos entonces que la bola cerrada
de centro y y de radio ρ contiene el punto x y hemos demostrado que todo
abierto es reunión numerable de bolas cerradas.
Basta ahora repetir el mismo razonamiento utilizando los adoquines determi-
nados por extremidades racionales centrados en los mismos puntos para obtener
el resultado deseado. �
En la Sección 2.4.1 haremos una descripción más detallada de los conjuntos
Borelianos de Rn. Nos limitamos aqúı a una exposición muy sencilla con unos
pocos ejemplos de este tipo de conjuntos.
(i) El conjunto de los números naturales N y el conjunto de los enteros rela-
tivos Z son conjuntos borelianos de Bor(R) puesto que se escriben como
una reunión numerable de cerrados.
(ii) El conjunto de los números racionales Q aśı como el conjunto Qn son
conjuntos borelianos. En efecto, por el Teorema 2.2.1 estos conjuntos
también pueden expresarse como una reunión numerable de cerrados.
(iii) Los complementarios de estos conjuntos anteriores son igualmente bore-
lianos. En particular el conjunto de los números irracionales I = R \Q es
un conjunto boreliano.
(iv) Más generalmente podemos decir que casi todo subconjunto de Rn in-
teresante en análisis es un conjunto boreliano.
4Emile Borel (1871-1956) matemático francés.
2.2. σ-álgebras y medidas 65
(v) En el caso de la recta real completada R, todo abierto de esta recta es
la unión numerable de intervalos abiertos de tipo ]a, b[ con a, b ∈ R o
de intervalos de tipo ]b,+∞] o [−∞, a[. Es posible entonces adaptar sin
problema la demostración de la proposición anterior para mostrar que la
colección de este tipo de intervalos generan la σ-álgebra Bor(R).
Veamos otro ejemplo de σ-álgebra boreliana considerando el conjunto Ω =
{0, 1}N∗. Recordemos que es un espacio métrico dotado de la distancia definida
por la fórmula
dΩ(ω, ω
′) =
+∞∑
j=1
2−j|ωj − ω′j |,
de tal manera que las bolas cerradas están determinadas por B(ω, r) = {ω′ ∈
Ω : dΩ(ω, ω
′) ≤ r} y la σ-álgebra de los borelianos Bor({0, 1}N∗) es entonces
engendrada por este tipo de conjuntos.
El lector observará que los conjuntos Sα definidos en la página 53 pueden
ser identificados con estas bolas cerradas y las diferentes operaciones que se
pueden efectuar sobre ellas; por ejemplo B(0, 1/16) = {ω ∈ Ω : ω1 = 0, ω2 =
0, ω3 = 0} = Sα con α = {0, 0, 0}, de forma que B(0, 1/16) ⊂ F3.
Observamos que el álgebra
⋃
n≥1 Fn definida en el ejemplo (vii) no es una
σ-álgebra y que la σ-álgebra boreliana es mucho más grande: en efecto, para
ω ∈ Ω, el conjunto de un elemento {ω} no pertenece a ningún Fn, en cambio
si definimos las sucesiones αk = (ω1, ..., ωk), el conjunto {ω} es la intersección
de los conjuntos Sαk y pertenece por lo tanto a Bor(Ω).
2.2.2. Medidas sobre σ-álgebras
En esta sección generalizamos a las σ-álgebras la noción de función aditiva de
conjuntos presentada anteriormente. A partir de esta definición no solamente
obtendremos un criterio para determinar qué tipo de conjuntos son medibles y
cual es su tamaño, sino también consideraremos la estructura de base para la
construcción de la integral de Lebesgue que está dada por los espacios medidos.
Definición 2.2.3 (Medida, espacio medido) Sea (X,A ) un espacio medi-
ble. Una medida sobre (X,A ) es una función µ : A −→ R+ que verifica las
propiedades a continuación
1) µ(∅) = 0,
2) para toda sucesión de elementos disjuntos (An)n∈N de A :
µ
(
⋃
n∈N
An
)
=
∑
n∈N
µ(An). (2.9)
Esta propiedad se llama la σ-aditividad de µ.
66 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
La tripla (X,A , µ) se denomina espacio medido y para todo elemento A de A ,
denominaremos la cantidad µ(A) la µ-medida de A.
La masa total de una medida µ es la cantidad µ(X) y si se tiene la estimación
µ(X) < +∞ diremos que la medida µ es de masa total finita o más simplemente
que la medida es finita.
La siguiente definición es una variante de la anterior.
Definición 2.2.4 (Medida de probabilidad) Sea (X,A , µ) un espacio me-
dido. Si µ(X) = 1, diremos que (X,A , µ) es un espacio probabilizado y que la
medida µ es una medida de probabilidad. En este caso los elementos A de A
se llaman eventos y µ(A) es la probabilidad del evento A.
Definición 2.2.5 (Conjunto de medida nula) Si A es un conjunto de una
σ-álgebra A tal que µ(A) = 0 diremos que es un conjunto de µ-medida nula o
de probabilidad nula según sea el caso.
Es evidente que toda medida es una función aditiva de conjuntos y posee por
lo tanto las propiedades de crecimiento y de aditividad fuerte explicitadas en la
Proposición 2.1.1. Estudiaremos en las ĺıneas que siguen muchas otras propie-
dades, pero por el momento presentemos algunos ejemplos clásicos de medidas.
(i) Medida gruesa. Sea (X,A ) un espacio medible, la medida gruesa es la
que asigna a cada conjunto no vaćıo de A el valor +∞. Esta medida no
tiene otra ventaja que la de servir para la construcción eventual de contra
ejemplos simples.
(ii) Medida de Dirac5 en un punto a de X . Es la medida definida sobre
una σ-álgebra A por
δa : A −→ R+
A 7−→ δa(A) =
{
1 si a ∈ A,
0 si a /∈ A.
Se tiene sin problema que δa(∅) = 0, además si (An)n∈N es una familia
de conjuntos disjuntos, entonces
δa
(
⋃
n∈N
An
)
=
∑
n∈N
δa(An).
En efecto, si el punto a no pertenece a ninguno de estos conjuntos, los
dos lados de esta fórmula son nulos. En el caso contrario, existe un n0 tal
que a ∈ An0 , pero como estos conjuntos son dos a dos disjuntos entonces
para todo n 6= n0 se tiene δa(An) = 0; de donde se deduce la identidad
deseada.
5Llamada también Masa de Dirac. (Paul Dirac (1902-1984) matemático y f́ısico inglés).
2.2. σ-álgebras y medidas 67
(iii) Medida de conteo. Es la medida determinada por
µ : P(X) −→ R+
A 7−→ µ(A) =
{
µ(A) = Card(A) si Card(A) < +∞,
µ(A) = +∞ si no.
La verificación de las propiedades de medida expuestas en la Definición
2.2.3 no causan ninguna dificultad para esta aplicación. Esta medida es
la medida natural sobre los conjuntos N y Z.
(iv) Medida Discreta. Sea ϕ una función definida sobre X a valores reales
positivos. La función µ : A −→ R+ definida por µ(A) =
∑
a∈A ϕ(a) es
una medida. Este ejemplo es una generalización del anterior. En efecto,
si ϕ es idénticamente igual a 1, se obtiene la medida de conteo.
(v) Medida de Lebesgue6. Es la medida de referencia en el espacio eucĺıdeo
Rn y será notada por la letra λ si n = 1 y λn si n > 1. Corresponde a la
generalización a las operaciones numerables de las funciones aditivas de
conjuntos definidas en (2.4) y (2.5).
Haremos un estudio detallado de la medida de Lebesgue en la Sección
2.4.3. Nos limitaremos en estas ĺıneas en presentar algunas propiedades
elementales.
Más particularmente nos focalizamos aqúı en algunos conjuntos que son
de medida de Lebesgue nula. Dado que la longitud de un punto es nula y
que el conjunto de los números racionalesQ es reunión numerable disjunta
de puntos, entonces por la propiedad de σ-aditividad (2.9), el conjunto
Q es de medida de Lebesgue nula. Este razonamiento sirve para mostrar
que los conjuntos N, Z son de medida de Lebesgue nula. De la misma
forma, en el caso n-dimensional se tiene que Zn, Qn son conjuntos de
medida de Lebesgue (n-dimensional) nula. Veremos una generalizaciónde este resultado con la Proposición 2.4.8.
Mostraremos posteriormente que es la única medida definida sobre la σ-
álgebra de los Borelianos de Rn por las dos propiedades siguientes: es
invariante por traslación y la medida del cubo unidad es igual a 1 (ver el
Teorema 2.4.5).
La existencia de esta medida y su construcción no son triviales y detalla-
remos sus propiedades en la Sección 2.4.
(vi) Medida de Haar7. Es una generalización de la medida de Lebesgue a los
grupos topológicos localmente compactos. Estudiaremos en detalle estas
medidas en el Volumen 2.
Demos para terminar con las definiciones iniciales, dos caracteŕısticas suple-
mentarias de las medidas de gran importancia.
Definición 2.2.6 (Medida σ-finita, Conjunto σ-finito) Sea (X,A , µ) un
espacio medido.
6Henri Lebesgue (1875-1941), matemático francés.
7Alfred Haar (1885-1933), matemático húngaro.
68 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
1) Una medida de conjuntos µ : A −→ R+ es σ-finita si existe una sucesión
numerable (An)n∈N de elementos de la σ-álgebra A tales que
X =
⋃
n∈N
An,
y tales que, para todo n ∈ N, se tiene µ(An) < +∞.
2) Un conjunto A ∈ A es σ-finito con respecto a la medida µ si es la unión
numerable de conjuntos de A de µ-medida finita.
Tenemos por ejemplo que la medida gruesa definida en la página anterior no es
una medida σ-finita, mientras que la medida de Dirac definida sobre P(X) en
donde X es un conjunto finito lo es. La importancia de la σ-finitud será puesta
en valor en los teoremas explicitados a continuación.
Observación 2.5 Cuando µ es σ-finita, podemos suponer, según lo que más
nos convenga, que la sucesión (An)n∈N anterior es creciente o que todos los
conjuntos An son disjuntos, basta para ello proceder como en la Observación
2.2.
Definición 2.2.7 (Medida atómica) Sea (X,A , µ) un espacio medido. De-
cimos que A ∈ A es un átomo para la medida µ si µ(A) > 0 y si todo sub-
conjunto B de A o tiene la misma medida que A o es de medida nula. Una
medida que admite átomos será llamada una medida atómica. Diremos que
una medida es no-atómica si para todo A ∈ A de medida positiva y para todo
β tal que 0 < β < µ(A), existe un subconjunto B de A tal que µ(B) = β.
Esta terminoloǵıa es muy intuitiva puesto que un átomo es un conjunto que no
admite ningún subconjunto de medida positiva distinta. Por ejemplo la medida
de conteo sobre N es una medida atómica y todo conjunto de la forma {n} es
un átomo. Vemos por el contrario que la medida de Lebesgue sobre Rn es una
medida no-atómica.
Se puede ver que una medida no-atómica que admite al menos un valor po-
sitivo tiene en realidad una infinidad de valores distintos (cf. Ejercicio 2.15).
Dicho de otra manera, una medida no-atómica toma valores continuamente.
Veremos la utilidad de las medidas no-atómicas en el Volumen 2.
De la misma manera que sobre un subconjunto de un espacio métrico se
puede definir una distancia inducida, es posible considerar la medida inducida
y la restricción de una medida a un subconjunto de la forma siguiente:
Proposición 2.2.7 (Medida inducida, restricción de medidas) Sea (X,A , µ)
un espacio medido. Si Y ⊂ X es un subconjunto A -medible de X y si conside-
ramos A|Y = A ∩ Y podemos definir una aplicación
µ|Y : A|Y −→ R+
A 7−→ µ|Y (A) = µ(A ∩ Y ).
2.2. σ-álgebras y medidas 69
Entonces la tripla (Y,A|Y , µ|Y ) es un espacio medido y la medida µ|Y se deno-
mina la medida inducida de µ sobre el conjunto Y .
Además, si A y B son dos σ-álgebras tales que A ⊂ B y si µ : B −→ R+
es una medida, entonces la restricción µ|A a la σ-álgebra A determina una
medida y la tripla (X,A , µ|A ) es un espacio medido.
Prueba. Sabemos por el Lema 2.2.1 que el conjunto A|Y es una σ-álgebra.
Verifiquemos pues que µ|Y es una medida. Se observa sin problema que µ|Y (∅) =
0. Además si (An)n∈N es una sucesión de conjuntos disjuntos de A se tiene
µ|Y
(
⋃
n∈N
An
)
= µ
(
Y ∩
⋃
n∈N
An
)
= µ
(
⋃
n∈N
Y ∩An
)
=
∑
n∈N
µ(Y ∩ An) =
∑
n∈N
µ|Y (A),
lo que implica la σ-aditividad de µ|Y .
La segunda parte de esta proposición no causa mayor dificultad puesto que
todo elemento A ∈ A es un elemento de B y que µ es una medida sobre B, se
deducen entonces las propiedades que hacen de µ|A una medida sobre A . �
Pasamos ahora al estudio de las principales propiedades verificadas por las
medidas. Los primeros lemas a continuación explicitan algunas relaciones y
estimaciones que son muy útiles en la práctica. Exponemos después con el
Teorema 2.2.3 el comportamiento de las medidas en relación con los ĺımites
de sucesiones de conjuntos. Para terminar, consideramos un ejemplo de gran
importancia (llamado el conjunto triádico de Cantor) en donde algunos de estos
resultados serán inmediatamente aplicados.
Lema 2.2.3 Sea (X,A , µ) un espacio medido y A,B dos subconjuntos de X
que pertenecen a A tales que A ⊂ B. Entonces µ(A) ≤ µ(B) y si además se
tiene µ(A) < +∞ disponemos de la identidad µ(B \A) = µ(B)− µ(A).
Prueba. La desigualdad µ(A) ≤ µ(B) es evidente pues A ⊂ B y dejada la
lector. Dado que (B \ A) ∪ A = B se obtiene por la σ-aditividad de µ que
µ(B \A) + µ(A) = µ(B); se concluye utilizando el hecho que µ(A) < +∞. �
Veamos una aplicación interesante de este lema. Si (X,A , µ) un espacio me-
dido y si B ∈ A es de medida nula, entonces todo subconjunto A ∈ A de
B es de medida nula, lo que puede ser útil para calcular la medida de algu-
nos conjuntos. Ilustrémoslo con un ejemplo y consideremos el espacio medido
(R,Bor(R), λ). Fijamos los conjuntos A = Q ∩ [0, 1] y B = [0, 1]. El lector
verificará sin problema que estos dos conjuntos son borelianos y que λ(B) = 1.
Dado que A ⊂ Q se tiene que λ(A) = 0 y por lo tanto
λ(B) = λ(B \A) + λ(A) = λ(B \A) = 1.
Concluimos que λ([0, 1]) = λ([0, 1] \Q) = λ([0, 1] ∩ I), es decir que el conjunto
de los números irracionales I contenidos en el intervalo [0, 1] tiene la misma
medida de Lebesgue que el intervalo [0, 1].
70 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Lema 2.2.4 Sea (X,A , µ) un espacio medido y (An)n∈N una sucesión de ele-
mentos de A . Se tiene entonces la estimación
µ
(
+∞⋃
n=0
An
)
≤
+∞∑
n=0
µ(An). (2.10)
Esta propiedad se llama la subaditividad numerable o σ-subaditividad de µ.
Prueba. Sea (Bk)k∈N una sucesión de subconjuntos de X construidos a partir
de la sucesión (Ak)k∈N de la siguiente forma
B0 = A0 y Bk = Ak \
k−1⋃
j=0
Aj para k ≥ 1.
Se puede ver entonces que cada Bk pertenece a A y que es un subconjunto de
Ak de manera que satisface µ(Bk) ≤ µ(Ak). Dado que los conjuntos Bk son
disjuntos y verifican
⋃
k∈N Bk =
⋃
k∈N Ak (ver Observación 2.2) se obtiene
µ
(
⋃
k∈N
Ak
)
=
∑
k∈N
µ(Bk) ≤
∑
k∈N
µ(Ak).
�
Este resultado muestra que la σ-aditividad implica la subaditividad nume-
rable de la medida µ.
Corolario 2.2.1 Sea (X,A , µ) un espacio medido. La reunión de una familia
numerable de conjuntos A -medibles de medida nula es de medida nula.
Prueba. La demostración es una consecuencia directa de la estimación (2.10);
de manera que los detalles quedan al cargo del lector. �
Recordemos ahora las nociones de ĺımites inferiores y superiores de una su-
cesión de conjuntos.
Definición 2.2.8 Sea (An)n∈N una sucesión de conjuntos. Definimos el ĺımite
inferior y superior por
ĺım ı́nf
n→+∞
An =
+∞⋃
n=0
+∞⋂
k=n
Ak y ĺım sup
n→+∞
An =
+∞⋂
n=0
+∞⋃
k=n
Ak.
Si se tiene la igualdad ĺım sup
n→+∞
An = ĺım ı́nf
n→+∞
An escribiremos simplemente ĺım
n→+∞
An.
A partir de estas definiciones es claro que si todos los conjuntos An pertenecen
a una σ-álgebra A , entonces ĺım ı́nf An y ĺım supAn pertenecen a A . Demos un
ejemplo sobre R considerando intervalos de la formaAn = [(−1)n−2, (−1)n+2],
tenemos entonces ĺım ı́nf
n→+∞
An = [−1, 1] y ĺım sup
n→+∞
An = [−3, 3].
El comportamiento de una medida con los ĺımites está explicitado por el
resultado a continuación.
2.2. σ-álgebras y medidas 71
Teorema 2.2.3 (Continuidad de las medidas) Sea µ una medida definida
sobre una σ-álgebra A departes de X. Entonces se tienen los puntos siguientes:
1) Si A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ · · · es una sucesión creciente de elementos de A
entonces
µ
(
ĺım
n→+∞
An
)
= ĺım
n→+∞
µ(An).
2) Si B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · es una sucesión decreciente de elementos de A
y µ(B0) < +∞ entonces
µ
(
ĺım
n→+∞
Bn
)
= ĺım
n→+∞
µ(Bn).
3) Para toda sucesión (Cn)n∈N de elementos de A se tiene
µ
(
ĺım ı́nf
n→+∞
Cn
)
≤ ĺım ı́nf
n→+∞
µ(Cn).
Demostración. Veamos el primer punto. Como (An)n∈N es una sucesión cre-
ciente tenemos la identidad ĺım
n→+∞
An =
⋃
n∈N
An. Podemos entonces expresar
esta unión
⋃
n∈N
An como una unión disjunta de conjuntos escribiendo
A0 ∪
+∞⋃
n=1
(An \An−1),
luego, por la σ-aditividad de la medida obtenemos
µ( ĺım
n→+∞
An) = µ
(
+∞⋃
n=0
An
)
= µ(A0) +
+∞∑
n=1
µ(An \An−1)
= ĺım
k→+∞
(
µ(A0) +
k∑
n=1
µ(An \An−1)
)
= ĺım
k→+∞
(
µ
(
A0 ∪
k⋃
n=1
(An \An−1
))
= ĺım
k→+∞
µ(Ak).
Lo que demuestra el primer punto.
El segundo punto es similar: sea ahora A0 = ∅ y si definimos An = B0 \ Bn
obtenemos una sucesión de conjuntos (An)n∈N creciente como en la primera
parte. Dado que
ĺım
n→+∞
Bn =
⋂
n∈N
Bn = B0 \
⋃
n∈N
An,
tenemos
µ
(
ĺım
n→+∞
Bn
)
= µ
(
+∞⋂
n=0
Bn
)
= µ
(
B0 \
⋃
n∈N
An
)
,
72 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
y puesto que µ(B0) < +∞ podemos escribir
µ
(
B0 \
⋃
n∈N
An
)
= µ(B0)− µ
(
⋃
n∈N
An
)
= ĺım
n→+∞
(µ(B0)− µ(An))
= ĺım
n→+∞
µ(B0 \An) = ĺım
n→+∞
µ(Bn),
lo que nos da el segundo punto.
Obsérvese que la conclusión de esta propiedad puede ser falsa si la medida
de los conjuntos Bn es infinita. En efecto, sean X = N, µ la medida de conteo
sobre N y Bn = {k ∈ N : k ≥ n} el conjunto de enteros mayores o iguales
a n; entonces se tiene por un lado que µ(Bn) = +∞ para todo n de mane-
ra que ĺım
n→+∞
µ(Bn) = +∞. Sin embargo, por otro lado, no es dif́ıcil ver que
ĺım
n→+∞
Bn =
⋂
n∈NBn = ∅, de forma que µ( ĺımn→+∞Bn) = 0.
Para la última parte definimos En =
⋂+∞
k=n Ck, entonces la sucesión (En)n∈N
es una sucesión creciente de conjuntos en A tal que
+∞⋃
n=0
En = ĺım ı́nf
n→+∞
Cn.
Podemos usar el primer punto para obtener
µ
(
ĺım ı́nf
n→+∞
Cn
)
= µ
(
+∞⋃
n=0
En
)
= ĺım
n→+∞
µ(En) ≤ ĺım ı́nf
n→+∞
µ(Cn).
Lo que termina la demostración. �
Expongamos un teorema muy importante en teoŕıa de probabilidades que
hace intervenir el ĺımite superior de una sucesión de conjuntos.
Teorema 2.2.4 (Borel-Cantelli) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea
(An)n∈N una sucesión numerable de A . Entonces se tiene la siguiente impli-
cación:
+∞∑
n=0
µ(An) < +∞ =⇒ µ(ĺım sup
n∈N
An) = 0. (2.11)
Demostración. Por definición de ĺımite superior tenemos
ĺım sup
n→+∞
An =
+∞⋂
n=0
+∞⋃
k=n
Ak.
Como toda medida µ es creciente, tenemos para todo p las estimaciones
µ(ĺım sup
n→+∞
An) ≤ µ


+∞⋃
k=p
Ak

 ≤
+∞∑
k=p
µ(Ak) −→ 0,
si p→ +∞; lo que termina la demostración. �
2.2. σ-álgebras y medidas 73
Conjunto triádico de Cantor
Presentamos aqúı un ejemplo clásico de conjunto, llamado el conjunto triádi-
co de Cantor8 y que notaremos K, que posee propiedades muy especiales cuan-
do se lo estudia desde el punto de vista de la teoŕıa de la medida. Este conjunto
juega un rol preponderante y es a menudo el origen de muchos otros ejemplos
importantes como veremos un poco más tarde.
Para su construcción procedemos por recurrencia de la siguiente forma. No-
temos K0 el intervalo [0, 1] y lo dividimos en tres partes [0, 1/3], ]1/3, 2/3[ y
[2/3, 1]. Construimos el conjunto K1 sustrayendo del conjunto K0 el intervalo
intermedio ]1/3, 2/3[, de manera que K1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].
El conjunto Kn se construye similarmente al retirar el segundo tercio (abier-
to) de cada uno de los intervalos que constituyen el conjunto Kn−1. El conjunto
de Cantor K es entonces el conjunto resultante, es decir K =
⋂
n∈NKn.
A pesar de que este conjunto es de construcción sencilla, el conjunto de
Cantor tiene una multitud de propiedades interesantes de orden topológico y
anaĺıtico.
0 1
0 1/3 2/3 1
0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .. .. .. .. .. .. .. .
K0
K1
K2
K
Figura 2.2: El conjunto triádico de Cantor
El conjunto K es evidentemente acotado y cerrado por construcción, es por
lo tanto un conjunto compacto. Vemos además que K no contiene puntos in-
teriores. En efecto, si existe un abierto contenido en K, entonces debeŕıa estar
contenido en cada uno de los conjuntos intermediarios Kn y tendŕıa por lo tan-
to una longitud maximal (1/3)n y esta última cantidad tiende a cero cuando
n → +∞. Es además un conjunto totalmente discontinuo, en el sentido que
todos sus puntos están separados los unos de los otros.
Nos interesamos ahora en determinar el tamaño del conjunto de Cantor K.
Vamos a ver que esta tarea es delicada y depende en realidad del punto de vista
adoptado. El siguiente resultado aporta importantes elementos de respuesta.
Proposición 2.2.8 El conjunto triádico de Cantor K tiene la cardinalidad del
continuo y es de medida de Lebesgue nula.
8Georg Cantor (1845-1918), matemático alemán.
74 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Esta proposición nos indica que el conjunto K es “grande” en el sentido de la
cardinalidad pero que es muy “pequeño” en el sentido de la longitud. Tenemos
pues por un lado que para la medida de Lebesgue, todo conjunto compuesto
por unión numerable de puntos es de medida nula; pero por otro lado, también
existen conjuntos de medida nula formados por una reunión no numerable de
puntos como el conjunto triádico de Cantor. Esto muestra que la distinción
entre conjuntos numerables y no numerables es más sutil cuando se los observa
desde el punto de vista de la teoŕıa de la medida.
Prueba. Para estudiar la cardinalidad del conjunto K, observamos que la apli-
cación que asigna a cada sucesión (zn)n∈N con zn = 0, 1 el número
∑
n
2zn/3
n
es una biyección9 del conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos sobre
el conjunto K. Pero sabemos que el conjunto {0, 1}N∗ tiene la potencia del
continuo lo que demuestra que el conjunto triádico de Cantor K tiene la car-
dinalidad del continuo.
Para ver que el conjunto K es de medida de Lebesgue nula notamos que,
para todo n ∈ N, el conjunto K está contenido en los conjuntos de tipo Kn
que son uniones de intervalos y entonces λ(K) ≤ λ(Kn) = (2/3)n. Luego, si
hacemos n → +∞, por una aplicación directa del Teorema de continuidad de
las medidas 2.2.3 obtenemos que λ(K) = 0. �
Observación 2.6 Esta demostración es interesante pues, aunque no hayamos
constrúıdo de manera formal la medida de Lebesgue, gracias al teorema de con-
tinuidad de las medidas, podemos “medir” objetos complicados aproximándolos
por conjuntos más sencillos.
2.2.3. Clases monótonas
En los casos más importantes en la práctica es imposible obtener un proceso
constructivo para describir la σ-álgebra engendrada por una colección de con-
juntos. En esta sección vamos a presentar otro tipo de colecciones de conjuntos
que nos permiten estudiar, desde un punto de vista diferente, la estructura de
las σ-álgebras engendradas y que facilita en muchos casos las verificaciones.
Obtendremos más precisamente dos resultados de gran importancia. El pri-
mero de ellos, dado por el Teorema 2.2.5, estipula que la σ-álgebra engendrada
por una colección de conjuntos K coincide, bajo ciertas hipótesis, con la clase
monótona engendrada por K. Es decir que podemos escojer a nuestra conve-
niencia cualquiera de estos dos puntos de vista: σ-álgebra engendrada / clase
monótona engendrada.
El segundo resultado, enunciado en el Teorema 2.2.6, nos proporciona en
cambio un criterio muy útil para determinar la igualdad de medidas definidas
sobre una misma σ-álgebra comparándolas de una manera muy especial que
9Ver la demostración de este hecho en [11].
2.2. σ-álgebras y medidas 75
será explicitada en las ĺıneas a continuación.
Necesitaremos las dos definiciones siguientespara llevar a cabo los detalles
de las demostraciones:
Definición 2.2.9 (Clase monótona - π-sistema) Sea X un conjunto.
1) Una colección M de subconjuntos de X es una clase monótona o clase
de Dynkin sobre X si satisface las tres propiedades siguientes:
a) X ∈ M,
b) M es estable por diferencia propia: si A,B ∈ M y si A ⊂ B, en-
tonces B \A ∈ M,
c) si (An)n∈N es una sucesión creciente de conjuntos de M entonces⋃
n∈N
An ∈ M.
2) Una colección de subconjuntos de X es un π-sistema sobre X si es estable
por construcción de intersecciones finitas.
Notemos que si X es un conjunto y A es una σ-álgebra sobre X entonces A
es una clase monótona puesto que las tres condiciones anteriores se verifican
sin ninguna dificultad. Obtenemos aśı una gran cantidad de ejemplos de clases
monótonas sin mucho esfuerzo.
Demos ahora un ejemplo sencillo de π-sistema. El lector verificará sin pro-
blema que si X = {a, b, c}, entonces P(X) es un π-sistema; por el contrario el
conjunto Θ = {{b}; {a, b}; {a, c};X} no es un π-sistema pues {a} /∈ Θ.
La proposición que sigue nos muestra cómo construir un tipo de clases
monótonas que serán de gran utilidad en los desarrollos posteriores.
Proposición 2.2.9 Sea (X,A ) un espacio medido y sean µ y ν son dos me-
didas finitas definidas sobre A tales que µ(X) = ν(X); entonces la colección
M formada por todos los conjuntos A que pertenecen a A y que verifican
µ(A) = ν(A) es una clase monótona.
Prueba. Tenemos que M = {A ∈ A : µ(A) = ν(A)}. Por hipótesis se tiene
que X ∈ M lo que verifica el primer punto de la Definición 2.2.9. Sean ahora
A,B ∈ M tales que A ⊂ B. Dado que el conjunto B se puede escribir como la
unión disjunta B = A ∪ (B \A) tenemos
µ(B) = µ(A) + µ(B \A)
ν(B) = ν(A) + ν(B \A),
dado que las medidas son finitas, se deduce sin dificultad que µ(B\A) = ν(B\A)
y que el conjunto M es estable por diferencia propia. Hemos entonces verificado
el segundo punto de la definición anterior.
76 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
El último punto se demuestra utilizando el Teorema 2.2.3: si (An)n∈N es una
sucesión creciente de conjuntos de M entonces µ
(
⋃
n∈N
An
)
= ĺım
n→+∞
µ(An) =
ĺım
n→+∞
ν(An) = ν
(
⋃
n∈N
An
)
y se concluye que
⋃
n∈NAn ∈ M. �
Observación 2.7 La colección M definida en la proposición anterior es una
clase monótona pero no es necesariamente una σ-álgebra (ver el Ejercicio 2.16).
Sin embargo, y a pesar de esta observación, el hecho de que las coleccionesM
introducidas por la Proposición 2.2.9 formen clases monótonas justifica amplia-
mente su presentación por las importantes aplicaciones que vamos a exponer.
Obsérvese finalmente que la intersección de una familia no vaćıa de clases
monótonas sobre un conjunto X es también una clase monótona sobre X . La
comprobación de este hecho es sencilla, de manera que los detalles quedan al
cargo del lector. Por lo tanto, de la misma manera que hab́ıamos presentado
las σ-álgebras engendradas con la Proposición 2.2.4 y con el Teorema 2.2.2,
tenemos la
Definición 2.2.10 (Clase monótona engendrada) Si K es una colección
arbitraria de conjuntos de X, la intersección de todas las clases monótonas
sobre X que contienen K es la más pequeña clase monótona que contiene K y
es llamada la clase monótona engendrada por K y la notaremos M(K).
El siguiente teorema es de gran utilidad como lo veremos posteriormente.
Teorema 2.2.5 Sea X un conjunto y sea K un π-sistema sobre X. Entonces
la σ-álgebra engendrada por K coincide con la clase monótona engendrada por
K: es decir σ(K) = M(K).
Demostración. Vamos a verificar que se tienen las dos inclusiones M(K) ⊂
σ(K) y σ(K) ⊂ M(K).
Empecemos por la primera: puesto que toda σ-álgebra es un clase monóto-
na, la σ-álgebra σ(K) es una clase monótona que contiene K y por lo tanto
obtenemos la inclusión M(K) ⊂ σ(K).
Para verificar la inclusión rećıproca, empezamos mostrando que M(K) es
estable por construcción de intersecciones finitas. Sea pues una familia M1(K)
de subconjuntos de X definida por
M1(K) = {A ∈ M(K) : A ∩ C ∈ M(K), para todo C ∈ K}.
El hecho que K ⊂ M(K) implica que X ∈ M1(K). Dado que las identidades
(A \B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩C) y (∪nAn) ∩ C = ∪n(An ∩C),
válidas para todo A,B,An, C ∈ M1(K) implican que M1(K) es estable por
diferencia propia y por construcción de uniones crecientes de conjuntos. Tene-
mos aśı que M1(K) es una clase monótona.
2.2. σ-álgebras y medidas 77
Puesto que K es estable por construcción de intersecciones finitas y está con-
tenido en M(K), se tiene que también está incluido en M1(K). Es decir que
M1(K) es una clase monótona que contiene K y por lo tanto debe contener
M(K). Y dado que M1(K) era una subfamilia de M(K) por definición, ob-
tenemos la identidad M(K) = M1(K). Definimos ahora la colección M2(K)
por
M2(K) = {B ∈ M(K) : A ∩B ∈ M(K), para todo A ∈ M(K)}.
El hecho que M(K) = M1(K) implica que K ⊂ M2(K). Repitiendo los argu-
mentos aplicados aM1(K) podemos concluir queM2(K) es una clase monótona
y que M(K) = M2(K).
Tenemos entonces que M(K) es estable por construcción de intersecciones
finitas. Los dos primeros puntos de la Definición 2.2.9 implican que X ∈ M(K)
y que M(K) es estable por complementación. Puesto que acabamos de probar
que M(K) es estable por construcción de intersecciones finitas hemos verifi-
cado que M(K) es una álgebra. Sin embargo, puesto que M(K) es una clase
monótona, es estable por construcción de reuniones crecientes de sucesiones de
conjuntos y entonces, aplicando el Lema 2.2.2, tenemos que es una σ-álgebra.
Ahora, como M(K) es una σ-álgebra que contiene K, debe contener σ(K) lo
que termina nuestra demostración. �
Es importante observar que este teorema no nos indica cómo construir una
σ-álgebra engendrada a partir de una colección de conjuntos K que es estable
por construcción de intersecciones finitas o π-sistemas. Lo que śı nos dice, es
que en lugar de estudiar la σ-álgebra engendrada por K, es suficiente de estu-
diar la clase monótona engendrada por K; lo cual en muchas aplicaciones es
relativamente fácil de hacer.
Veamos ahora dos corolarios de este teorema.
Corolario 2.2.2 Sea (X,A ) un espacio medible y sea K un π-sistema sobre
X tal que A = σ(K). Si µ y ν son dos medidas finitas definidas sobre A tales
que µ(X) = ν(X) y que verifican µ(C) = ν(C) para todo C ∈ K, entonces
µ = ν.
Prueba. Consideremos la colección D = {A ∈ A : µ(A) = ν(A)}, vemos sin
problema por la Proposición 2.2.9 que esta colección es una clase monótona.
Puesto que K es un π-sistema y está incluido en D, se tiene por el teorema
anterior que A = σ(K) ⊂ D. Entonces, por definición del conjunto D, se tiene
µ(A) = ν(A) para todo A ∈ A lo que termina la demostración. �
El corolario a continuación es una extensión del anterior a las medidas σ-
finitas.
Corolario 2.2.3 Sea (X,A ) un espacio medible y sea K un π-sistema sobre
X tal que A = σ(K). Si µ y ν son dos medidas definidas sobre A que coinciden
sobre K y si existe una sucesión creciente (Cn)n∈N de conjuntos pertenecientes
78 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
a K de medida finita con respecto a µ y ν que satisfacen ⋃n∈N Cn = X; entonces
tenemos la identidad µ = ν.
Prueba. Escojamos una sucesión creciente (Cn)n∈N de conjuntos que perte-
necen a K, que tienen medida finita con respecto a µ y ν y que verifican
⋃
n∈N Cn = X . Para cada entero n ∈ N definimos dos medidas finitas µn y
νn sobre A escribiendo µn(A) = µ(A ∩Cn) y νn(A) = ν(A ∩Cn). Dado que µ
y ν coinciden sobre K, el corolario anterior implica que para cada n tenemos
la identidad µn = νn. Además, puesto que se tiene
ĺım
n→+∞
µn(A) = ĺım
n→+∞
µ(A ∩ Cn) = µ(A),
para todo A ∈ A , obtenemos las identidades
µ(A) = ĺım
n→+∞
µn(A) = ĺım
n→+∞
νn(A) = ν(A),
de donde deducimos que las medidas µ y ν deben ser iguales. �
Este resultado nos proporciona un criterio muy cómodo para estudiar la uni-
cidad de medidas σ-finitas que será sistemáticamente utilizado. La utilidad de
este criterioilustra la importancia de las clases monótonas y de los π-sistemas.
Parafraseamos lo obtenido en estos dos corolarios con el siguiente teorema:
Teorema 2.2.6 (unicidad de medidas) Sea X un conjunto y sea K un con-
junto de partes de X estable por intersecciones finitas. Sean µ y ν dos medidas
definidas sobre una σ-álgebra A definida sobre X que contiene K. Si suponemos
que
1) µ(A) = ν(A) para todo A ∈ K,
2) existe una sucesión creciente (An)n∈N de elementos de K tal que⋃
n∈NAn = X y tal que, para todo n se tenga µ(An) = ν(An) < +∞,
entonces, las medidas µ y ν coinciden sobre la σ-álgebra engendrada por K:
para todo A ∈ σ(K) se tiene µ(A) = ν(A).
Vamos a exponer ahora un ejemplo de utilización de este resultado. SeaX = R y
consideremos K como la colección de subconjuntos de X que se pueden escribir
como una reunión finita de intervalos (recordemos que esta colección es una
álgebra de partes, ver el ejemplo (iii) página 52). Vemos sin dificultad que
K es estable por intersección finita y, por la Proposición 2.2.6, que se tiene
σ(K) = Bor(R). Si asumimos la existencia de una medida µ definida sobre
Bor(R) que asigna a cada intervalo su longitud en el sentido de la fórmula
(2.4), entonces el teorema de unicidad de medidas nos asegura que esta medida
es única. En efecto, si suponemos que existe otra medida ν definida sobre
Bor(R) que asigna a cada intervalo su longitud, tenemos el primer punto del
enunciado anterior. Además, dado que los intervalos de tipo ] − 1 + k, 1 + k[
con k ∈ Z son de longitud finita y recubren R, obtenemos el segundo punto:
podemos entonces aplicar sin problemas el Teorema 2.2.6 para poder obtener
la unicidad de una tal medida.
2.3. Medidas exteriores 79
2.3. Medidas exteriores
En esta sección presentamos una técnica estándar de construcción de medi-
das y la aplicaremos a la construcción de la medida de Lebesgue al final de este
caṕıtulo. La idea principal que vamos a desarrollar en las ĺıneas a continuación
es la siguiente: sobre una familia K de conjuntos interesantes, los intervalos
abiertos de R por ejemplo, definimos una función aditiva de conjuntos m. En
el caso de este ejemplo particular, la función ℓ que asigna a cada intervalo su
longitud dada en (2.4) es la función que nos interesa. Deseamos entonces pro-
longar esta función aditiva m a la σ-álgebra σ(K) engendrada por esta familia
de conjuntos para obtener una verdadera medida µ (es decir prolongar ℓ a los
Borelianos de R y obtener la medida de Lebesgue λ). Este proceso es totalmente
esencial en teoŕıa de la medida y esta prolongación se realizará en varias etapas.
La primera etapa corresponde al Teorema 2.3.3 que nos permite prolongar
la función aditiva de conjuntos m a una aplicación cuyo dominio de defini-
ción es P(X); pero no obtendremos una medida sino una medida exterior, que
notaremos µ∗ (o λ∗ en el caso de P(R)) y cuya descripción daremos en la Sec-
ción 2.3.1. La segunda etapa está dada por un resultado fundamental que es el
Teorema 2.3.1 y que nos asegura que existe un subconjunto Mµ∗ de P(X) en
donde toda medida exterior µ∗, restringida a este conjunto en el sentido de la
definición dada en la Proposición 2.2.7, es una medida. Dicho de otra manera
veremos que Mµ∗ es una σ-álgebra y que (X,Mµ∗ , µ∗) es un espacio medido
con propiedades muy interesantes. En el caso de R, la σ-álgebra (R,Mλ∗ , λ∗) se
llama la σ-álgebra de Lebesgue. Finalmente, la última etapa consiste en ver si
la σ-álgebra Mµ∗ coincide con la σ-álgebra σ(K) engendrada por la familia de
conjuntos K utilizada inicialmente. Indiquemos desde ya que por lo general no
se tiene esta propiedad. En el caso particular de los Borelianos y de la σ-álgebra
de Lebesgue, mostraremos posteriormente que existen conjuntos medibles que
no son Borelianos y que por lo tanto no se puede identificar en toda genera-
lidad la σ-álgebra engendrada con la σ-álgebra que se obtiene por prolongación.
Vamos a exponer en las ĺıneas que siguen todos los detalles necesarios para
realizar estas etapas. En la Sección 2.3.1 definimos los principales objetos que
necesitaremos aśı como algunas de sus propiedades básicas. Desarrollamos el
proceso de prolongación en la Sección 2.3.2 y terminamos nuestra exposición
con la Sección 2.3.3 en donde estudiamos la completitud de las medidas en el
sentido de la Definición 2.3.3 a continuación.
2.3.1. Definiciones y propiedades
Necesitaremos básicamente cuatro nociones para poder atacar con como-
didad las etapas mencionadas anteriormente. Además del concepto de medida
exterior µ∗, daremos la definición de conjunto despreciable y de espacio medido
completo para terminar con la noción de conjunto µ∗-medible.
Definición 2.3.1 (Medida exterior) Sea X un conjunto. Una aplicación µ∗ :
P(X) −→ R+ es una medida exterior si verifica los tres puntos siguientes:
80 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
1) µ∗(∅) = 0,
2) Para todo A,B ⊂ P(X) se tiene la implicación
A ⊂ B =⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B), (crecimiento)
3) Para toda sucesión (An)n∈N ∈ P(X) tenemos la estimación
µ∗
(
⋃
n∈N
An
)
≤
∑
n∈N
µ∗(An). (σ-subaditividad)
Mostremos un par de ejemplos sencillos de medidas exteriores. Si X es un
conjunto arbitrario definimos µ∗ : P(X) −→ R+ por µ∗(A) = 0 si A = ∅ y
µ∗(A) = 1 sino. Entonces µ∗ es una medida exterior, pero no es una medida
(ver Ejercicio 2.11). El segundo ejemplo es muy similar. Si definimos una apli-
cación ν∗ : P(X) −→ R+ tal que ν∗(A) = 0 si A es numerable y ν∗(A) = 1
sino, obtenemos también que ν∗ es una medida exterior.
Se observa también, sin mayor problema, que toda medida definida sobre el
álgebra P(X) es una medida exterior, sin embargo, como hemos visto con los
ejemplos anteriores, no se tiene la rećıproca y en general una medida exterior
no es ni siquiera una función aditiva de conjuntos.
Dado que trabajamos con el conjunto de partes de X , es necesario dar un
refinamiento de la noción de conjunto de µ-medida nula.
Definición 2.3.2 (Conjuntos µ-despreciables) En un espacio medido
(X,A , µ), una parte D de X es µ-despreciable si está contenida en un conjunto
A ∈ A de µ-medida nula. Es decir si
D ⊂ A ∈ A y µ(A) = 0.
Notaremos Dµ el conjunto de las partes µ-despreciables.
Evidentemente, se tiene que todo conjunto contenido en un conjunto µ-
despreciable es también µ-despreciable y que la reunión numerable de conjuntos
µ-despreciables es igualmente µ-despreciable por la σ-subaditividad de la me-
dida.
Obsérvese sin embargo que un conjunto µ-despreciable no pertenece necesa-
riamente a la σ-álgebra A . Esta es la diferencia fundamental con los conjuntos
de µ-medida nula y este comentario nos conduce a enunciar la siguiente defini-
ción.
Definición 2.3.3 (Espacio medido completo, medida completa)
Diremos que un espacio medido (X,A , µ) es completo si todo conjunto µ-
despreciable es A -medible. Por un abuso de lenguaje hablaremos también de
σ-álgebras completas o de medidas completas.
2.3. Medidas exteriores 81
Veremos que no todas las medidas definidas sobre las σ-álgebras de la sección
anterior son completas en el sentido de la definición precedente. En particular
mostraremos en la Sección 2.4 que la medida de Lebesgue λ definida sobre la
σ-álgebra de los borelianos no es completa.
Desde este punto de vista, la importancia de las medidas exteriores está
dada por el hecho que siempre existe al menos una σ-álgebra en donde la
medida exterior se comporta como una medida completa. Este resultado está
demostrado con el Teorema 2.3.1 pero antes de pasar a las verificaciones es
necesario una penúltima definición.
Definición 2.3.4 (Conjunto µ∗-medible) Sea µ∗ : P(X) −→ R+ una me-
dida exterior; una parte A de P(X) es µ∗-medible si para todo E ∈ P(X) se
tiene
µ∗(E) = µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A). (2.12)
Observamos sin problema que los conjuntos ∅ y X son trivialmente µ∗-medibles
y es posible ver los conjuntos E como conjuntos de “test” a partir de los cuales
determinaremos si un conjunto es o no µ∗-medible.
Hay que notarademás que por la definición misma de medida exterior se
tiene siempre
µ∗(E) ≤ µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A),
de manera que podemos restringir nuestra definición de conjunto µ∗-medibles
a la desigualdad
µ∗(E) ≥ µ∗(E ∩A) + µ∗(E \A). (2.13)
Nótese que si µ(E) = +∞ entonces la condición precedente está trivialmente
verificada, debemos pues simplemente estudiar si se tiene (2.13) para cada E
tal que µ∗(E) < +∞.
Definición 2.3.5 Sea X un conjunto y µ∗ una medida exterior definida sobre
P(X). El conjunto formado por las partes µ∗-medibles será notado Mµ∗ .
Este conjunto posee muchas propiedades interesantes, en particular contiene
todos los conjuntos de medida exterior nula como nos indica el resultado si-
guiente.
Lema 2.3.1 Sea X un conjunto y sea µ∗ una medida exterior sobre P(X).
Entonces todo subconjunto A de X tal que µ∗(A) = 0 o tal que µ∗(Ac) = 0
pertenece a Mµ∗ .
Prueba. Supongamos que A verifica µ∗(A) = 0 o µ∗(Ac) = 0, debemos de-
mostrar que para todo subconjunto E de X se tiene
µ∗(E) ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \A) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac).
Se tienen por las propiedades de medida exterior las estimaciones
µ∗(E ∩ A) ≤ µ∗(A) y µ∗(E ∩Ac) ≤ µ∗(Ac).
82 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Sin embargo, por las hipótesis hechas sobre A, al menos uno de los dos términos
de las fórmulas anteriores es nulo, mientras que el otro es menor que µ∗(E)
puesto que se tiene
µ∗(E ∩ A) ≤ µ∗(E) y µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(E),
y por lo tanto se obtiene la estimación deseada. �
El teorema a continuación representa una de las más importantes carac-
teŕısticas de las medidas exteriores y es fundamental para la construcción de
medidas generales.
Teorema 2.3.1 Sea X un conjunto y µ∗ una medida exterior sobre X. En-
tonces
1) el conjunto Mµ∗ de partes µ
∗-medibles es una σ-álgebra,
2) la restricción de µ∗ a Mµ∗ es una medida completa: es decir que la tripla
(X,Mµ∗ , µ
∗) es un espacio medido completo.
Demostración. Empecemos por el primer punto. Vemos inmediatamente por
la definición de conjunto µ∗-medible que ∅, X ∈ Mµ∗ de manera que el conjunto
Mµ∗ no es vaćıo. Verifiquemos pues que si A es µ
∗-medible entonces Ac lo es
también. Esto se deduce de las siguientes fórmulas válidas para todo E ∈ P(X):
µ∗(E) = µ∗(E \A) + µ∗(E ∩ A) = µ∗(E ∩ (X \A)) + µ∗(E \ (X \A))
= µ∗(E ∩ Ac) + µ∗(E \Ac).
Se tiene entonces que Mµ∗ es estable al pasar al complementario.
Para mostrar que Mµ∗ es estable por unión numerable fijemos un conjunto
E y una sucesión de conjuntos (An)n∈N ∈ Mµ∗ . Aplicando iterativamente la
identidad (2.12) a la sucesión (An)n∈N obtenemos
µ∗(E) = µ∗(E ∩ A0) + µ∗(E \A0)
= µ∗(E ∩ A0) + µ∗ ((E \A0) ∩ A1)
+µ∗(((E \A0) \A1) ∩ A2) + µ∗(((E \A0) \A1) \A2),
es decir:
µ∗(E) =
k∑
n=0
µ∗



E \
n−1⋃
j=0
Aj

 ∩ An

+ µ∗

E \
k⋃
j=0
Aj

 .
Por la propiedad de crecimiento de µ∗ tenemos la desigualdad
µ∗(E) ≥
k∑
n=0
µ∗



E \
n−1⋃
j=0
Aj

 ∩ An

+ µ∗

E \
+∞⋃
j=0
Aj

 ,
que es válida para todo k. Por lo tanto podemos deducir la estimación siguiente:
µ∗(E) ≥
+∞∑
n=0
µ∗



E \
n−1⋃
j=0
Aj

 ∩ An

 + µ∗

E \
+∞⋃
j=0
Aj

 . (2.14)
2.3. Medidas exteriores 83
Utilizando la σ-subaditividad de la medida exterior tenemos
µ∗(E) ≥ µ∗


+∞⋃
n=0

E \
n−1⋃
j=0
Aj

 ∩An

+ µ∗

E \
+∞⋃
j=0
Aj

 ,
pero, dado que se tiene la identidad
+∞⋃
n=0



E \
n−1⋃
j=0
Aj

 ∩An

 = E ∩
+∞⋃
n=0
An,
obtenemos
µ∗(E) ≥ µ∗
(
E ∩
+∞⋃
n=0
An
)
+ µ∗
(
E \
+∞⋃
n=0
An
)
,
de manera que
⋃+∞
n=0An ∈ Mµ∗ y se concluye que Mµ∗ es una σ-álgebra.
Pasemos al segundo punto y verifiquemos que la restricción de µ∗ a Mµ∗
es una medida. Para ello debemos comprobar la σ-aditividad de la aplicación
µ∗ : Mµ∗ −→ R+. Sea pues (An)n∈N una sucesión de conjuntos disjuntos de
Mµ∗ . Si fijamos E =
⋃+∞
n=0An en la fórmula (2.14) obtenemos la estimación
µ∗
(
+∞⋃
n=0
An
)
≥
+∞∑
n=0
µ∗(An) + µ
∗(∅),
lo que, combinando con la σ-subaditividad de la medida exterior nos da la
identidad
µ∗
(
+∞⋃
n=0
An
)
=
+∞∑
n=0
µ∗(An),
para toda sucesión de conjuntos disjuntos de Mµ∗ . Concluimos entonces que la
restricción µ∗ a Mµ∗ es una medida.
Pasemos finalmente al estudio de la completitud del espacio medido
(X,Mµ∗ , µ
∗). Para ello debemos verificar que todo conjunto µ∗-despreciable
pertenece a Mµ∗ . Sea pues D un conjunto µ
∗-despreciable, por lo tanto existe
un conjunto A que contiene D de µ∗-medida nula. Por la propiedad de creci-
miento de las medidas exteriores tenemos µ∗(D) = 0 y basta aplicar el Lema
2.3.1 para observar que D pertenece a Mµ∗ . �
Este teorema es esencial. En efecto, no solo se obtiene a partir de una medida
exterior µ∗ una medida sobre la σ-álgebra Mµ∗ , sino que además se tiene que
esta medida es completa. Sin embargo, este resultado no nos dice cómo construir
medidas exteriores interesantes y es éste aspecto que vamos a desarrollar a
continuación.
84 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
2.3.2. Teoremas de prolongación de medidas
En esta sección estudiamos cómo prolongar las funciones que nos permitieron
asignar un peso a los conjuntos de las álgebras de partes para obtener verdade-
ras medidas. Descomponemos este proceso de prolongación en tres partes para
mayor claridad de nuestra exposición.
La primera parte está dada por el Teorema 2.3.2 que nos permite asociar
medidas exteriores a funciones de conjuntos muy generales definidas sobre una
cierta familia de conjuntos. En particular, para determinar la medida exterior
de un conjunto, consideraremos el ı́nfimo de todos sus recubrimientos por medio
de esta familia de conjuntos lo que justifica la terminoloǵıa de medida exterior.
Es la segunda parte que trata la prolongación de funciones aditivas de con-
juntos propiamente dicha. En el Teorema 2.3.3 a continuación asociaremos a las
funciones aditivas de conjuntos, definidas sobre álgebras de partes, una medida
exterior µ∗ y verificaremos que el conjunto de funciones µ∗-medibles contiene
la σ-álgebra engendrada por esta álgebra de partes. Estudiaremos igualmente
algunas variantes de este mecanismo de prolongación.
Teorema 2.3.2 (Medida exterior asociada a una aplicación) Sea K ⊂
P(X) un conjunto de partes de X tal que ∅, X ∈ K y sea µ : K −→ R+ una
aplicación tal que µ(∅) = 0. Definimos para todo A ∈ P(X)
µ∗(A) = ı́nf
RA
+∞∑
n=0
µ(An), (2.15)
en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables (An)n∈N
de A por medio de conjuntos An pertenecientes a K.
Entonces µ∗ : P(X) −→ R+ es una medida exterior llamada la medida
exterior asociada a la aplicación µ.
Antes de pasar a la demostración, es necesario hacer algunas observaciones
sobre los objetos que intervienen en este enunciado. Observemos para comenzar
que el conjunto K no posee ninguna propiedad particular, solo debe contener ∅
y X . Notemos además que RA no es vaćıo: se puede construir un recubrimiento
de A fijando An = X para todo n. Finalmente, la función µ es muy sencilla
y no verifica ninguna propiedad especial, simplemente exigimos que µ(∅) = 0.
Juntando estas observaciones, tenemos que la función µ∗ está bien definida
para todo A ∈ P(X) y toma sus valores en R+.
Demostración. Debemos simplemente verificar que esta función satisface las
tres propiedades de una medida exterior. Vemos en primer lugar que si tomamos
An = ∅ para todo n se obtiene µ∗(∅) = 0.
En segundo lugar, si tenemos A ⊂ B, entonces todo recubrimiento (Bn)n∈N
de B es un recubrimiento de A es decir que RB ⊆ RA, lo que implica
µ∗(A) = ı́nf
RA
+∞∑
n=0
µ(Bn) ≤ ı́nf
RB
+∞∑
n=0
µ(Bn) = µ
∗(B),
2.3. Medidas exteriores 85
de donde se deduce el crecimiento de la función µ∗.
Finalmente, nos queda por verificar la σ-subaditividad de µ∗. Para ello con-
sideremos (An)n∈N una sucesión de partes de X de reunión A, ε > 0 un real y
(εn)n∈N una sucesión de reales positivos tales que
∑
n∈N
εn < ε.
Por la definición de cota inferior, existen conjuntos An,p ∈ K con n, p ∈ N tales
queAn ⊂
+∞⋃
p=0
An,p y
+∞∑
p=0
µ(An,p) ≤ µ∗(An) + εn.
Como esta última estimación es válida para todo n obtenemos
∑
n,p∈N
µ(An,p) ≤
+∞∑
n=0
µ∗(An) +
+∞∑
n=0
εn ≤
+∞∑
n=0
µ∗(An) + ε.
Dado que (An,p)n,p∈N es un recubrimiento numerable de A por medio de con-
juntos pertenecientes a K, entonces se tiene por la fórmula (2.15) la estimación
µ∗(A) ≤
∑
n,p∈N
µ(An,p) ≤
+∞∑
n=0
µ∗(An) + ε,
de donde se deduce la σ-subaditividad de µ∗ haciendo tender ε hacia cero. �
Medida exterior de Hausdorff
Vamos a ilustrar el proceder del teorema anterior con un ejemplo impor-
tante de medida llamada la medida de Hausdorff 10. El conjunto de base que
utilizaremos es el espacio eucĺıdeo n-dimensional Rn dotado de su distancia
natural d(x, y) =
(
n∑
i=1
|xi − yi|2
)1/2
. Antes de pasar a los detalles de la cons-
trucción de esta medida es necesario dar una definición preliminar: si A es un
subconjunto de Rn y si (Ui)i∈N es una sucesión de conjuntos convexos tales que
A ⊂ ⋃i∈N Ui en dónde 0 < diam(Ui) ≤ δ, diremos entonces que (Ui)i∈N es un
δ-recubrimiento de A.
Si A es un subconjunto de Rn y si s es un real positivo, definimos para δ > 0,
la aplicación:
Hsδ(A) = ı́nf
Rδ,A
+∞∑
i=0
diam(Ui)
s, (2.16)
en donde el ı́nfimo considera todos los δ-recubrimientos de A notados Rδ,A.
10Felix Hausdorff (1868-1942), matemático alemán.
86 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Se puede verificar sin mucha dificultad que esta aplicación es una medida
exterior: basta utilizar el Teorema 2.3.2. Notemos que esta aplicación es una
función decreciente del parámetro δ: en efecto, sean δ1 ≤ δ2 dos reales positivos,
entonces se tiene la inclusión Rδ1,A ⊂ Rδ2,A de donde se deduce que
Hsδ2(A) ≤ Hsδ1(A).
Definición 2.3.6 (Medida exterior s-dimensional de Hausdorff) Para ob-
tener la medida exterior s-dimensional de Hausdorff de un subconjunto A de
Rn hacemos tender δ −→ 0 de manera que
Hs(A) = ĺım
δ→0
Hsδ(A) = sup
δ>0
Hsδ(A). (2.17)
Observemos que el ĺımite anterior siempre existe, pero puede ser infinito, pues-
to que Hsδ crece si δ decrece.
Verifiquemos ahora que esta cantidad es efectivamente una medida exterior.
Como diam(∅) = 0 se tiene que Hs(∅) = 0. Además si A,B son dos elemen-
tos de P(X) tales que A ⊂ B entonces Rδ,B ⊂ Rδ,A, por lo tanto tenemos
Hsδ(A) ≤ Hsδ(B) y en el ĺımite se tiene Hs(A) ≤ Hs(B) lo que muestra que Hs
es creciente.
Mostremos ahora que es numerablemente subaditiva. Para ello consideremos
una sucesión numerable (An)n∈N de conjuntos de X . Debemos pues comprobar
la estimación
Hs
(
⋃
n∈N
An
)
≤
∑
n∈N
Hs(An).
Vemos que si existe un entero n tal que Hs(An) = +∞ esta estimación es
trivial, lo que nos permite suponer, sin pérdida de generalidad, que para to-
do n se tiene Hs(An) < +∞ y por lo tanto que Hsδ(An) < +∞ para todo δ > 0.
Fijemos ahora dos parámetros reales δ > 0 y η > 0. Para todo n existe una
familia numerable (Bn,k)k∈N de abiertos de diámetro inferior a δ que forma un
recubrimiento numerable de An y tal que
∑
k∈N
diam(Bn,k)
s ≤ Hsδ(An) +
η
2n
.
Tenemos entonces que la familia (Bn,k)n,k∈N es una familia numerable de abier-
tos de diámetro inferior a δ que es un recubrimiento de la unión de los conjuntos
An. Obtenemos entonces:
Hsδ(A) ≤
+∞∑
n=0
+∞∑
k=0
diam(Bn,k)
s ≤
+∞∑
n=0
Hsδ(An) + η.
Dado que el parámetro η era arbitrario se tiene finalmente
Hsδ(A) ≤
+∞∑
n=0
Hsδ(An),
2.3. Medidas exteriores 87
y, pasando al ĺımite superior sobre δ se obtiene
Hs(A) ≤
+∞∑
n=0
Hs(An).
Concluimos entonces que Hs es una medida exterior.
Por el Teorema 2.3.1 la restricción de Hs a la σ-álgebra formada por los
conjuntos Hs-medibles es una medida que será llamada la medida de Hausdorff
s-dimensional. Hemos entonces construido una medida asociada a la aplicación
diam, que asocia a todo conjunto su diámetro, siguiendo los pasos del teorema
anterior.
Demos unos ejemplos de cálculo de medida de Hausdorff.
(i) Empecemos considerando un caso simple: fijemos s = 0 y calculemos
H0(A) en donde A = {x}. Por la fórmula (2.16) tenemos
H0δ(A) = ı́nf
Rδ,A
+∞∑
i=0
diam(Ui)
0 = ı́nf
Rδ,A
{
+∞∑
i=0
}
.
Vemos que esta fórmula no hace más que contar el número de conjuntos Ui
que pertenecen a los diferentesRδ,A recubrimientos de A. Observando que
diam(A) = 0, haciendo tender δ hacia cero y notando que el más pequeño
recubrimiento de A está dado por el mismo conjunto A, se deduce que
H0(A) = 1.
Por σ-aditividad, tenemos entonces que para todo conjunto A ⊂ Rn nu-
merable la medida H0(A) representa el cardinal del conjunto A. Puesto
que esta identidad se mantiene en el caso de los conjuntos no numerables
concluimos que H0 no es más que la medida de conteo.
(ii) Consideremos ahora s > 0 y veamos ahora Hs(A) con A = {x}. Tenemos
ahora, para todo δ > 0 y todo recubrimiento numerable (Ui)i∈N de A
Hsδ(A) = ı́nf
Rδ,A
+∞∑
i=0
diam(Ui)
s = 0,
de manera que, para todo s > 0 se tiene Hs(A) = 0 .
(iii) Veremos un poco más tarde que si n = 1 y si s = 1 entonces la medida de
Hausdorff H1 sobre la recta real R coincide con la medida de Lebesgue.
Veamos sin embargo un pequeño ejemplo. Si A =]0, 1[, no es dif́ıcil ver
que para todo δ > 0 se tiene H1δ(A) = 1, de manera que al pasar al ĺımite
se obtiene H1(A) = 1, lo que corresponde con la longitud del intervalo
]0, 1[.
El lector puede encontrar más detalles y propiedades de esta medida en el Ejer-
cicio 2.19.
88 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Con los Teoremas 2.3.1 y 2.3.2, vemos que es relativamente sencillo cons-
truir medidas exteriores y obtener espacios medidos completos. Sin embargo,
estos resultados no nos proporcionan ninguna información sobre el tamaño de
la σ-álgebra Mµ∗ . Como hab́ıamos dicho en la introducción de esta sección,
nuestro objetivo es construir una medida que esté definida sobre una σ-álgebra
suficientemente rica. En este caso es bastante natural exigir por ejemplo que
Mµ∗ contenga la σ-álgebra engendrada por una cierta colección de conjuntos
considerados interesantes.
El resultado a continuación replantea la problemática del Teorema 2.3.2 a
partir de una función aditiva de conjuntos m : A −→ R+. Este punto es tal
vez el más importante en el proceso de construcción de medidas a partir de
los objetos que hab́ıamos definido en la primera sección de este caṕıtulo. Para
lograrlo necesitaremos en particular algunas hipótesis sobre la función aditiva
de conjuntos de manera que la medida obtenida coincida sobre el álgebra de
partes A con la función m. El enunciado es el siguiente:
Teorema 2.3.3 (de prolongación de Carathéodory) 11 Sea A una álge-
bra de partes sobre X y sea m : A −→ R+ una función aditiva de conjuntos.
Bajo las condiciones
(a) para toda sucesión decreciente (An)n∈N de elementos de A se tiene la
implicación:
(
m(A0) < +∞ y
⋂
n∈N
An = ∅
)
=⇒ m(An) −→
n→+∞
0.
A la cual se añade la condición siguiente en el caso en que m(X) = +∞:
(b) X se puede expresar como la unión de una sucesión creciente de conjuntos
(Xn)n∈N ∈ A con m(Xn) < +∞ y tal que
(A ∈ A y m(A) = +∞) =⇒ m(A ∩Xn) −→
n→+∞
+∞.
Entonces, bajo estas hipótesis tenemos que:
1) la medida exterior µ∗ asociada a la función aditiva m, en el sentido del
Teorema 2.3.2, es decir
µ∗(A) = ı́nf
RA
+∞∑
n=0
m(An), (2.18)
(en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables
(An)n∈N de A por medio de conjuntos An pertenecientes a A), prolon-
ga la aplicación m en el sentido que para todo conjunto A ∈ A se tiene
µ∗(A) = m(A).
2) la σ-álgebra Mµ∗ de los conjuntos µ
∗-medibles contiene el álgebra A y
por lo tanto contiene la σ-álgebra σ(A) engendrada por A.
11Constantin Carathéodory (1873-1950), matemático griego.
2.3. Medidas exteriores 89
3) si ν es una medida definida sobre σ(A) tal que para todo A ∈ A se tenga
ν(A) = m(A); entonces se tiene la identidad µ∗ = ν sobre σ(A).
Dicho de otra manera, este teorema nos asegura que a partir de una función
aditiva de conjuntos m, definida sobre una álgebra de partes A, es posible ob-tener una medida completa µ∗ definida sobre la σ-álgebra Mµ∗ que contiene
σ(A) y se tiene además que esta prolongación es única.
Antes de comenzar con la demostración, damos otra formulación de las
hipótesis de este teorema.
Lema 2.3.2 Las dos condiciones (a) y (b) precedentes implican la siguiente
condición: si (An)n∈N es una sucesión de conjuntos disjuntos de A tal que⋃
n∈NAn ∈ A, entonces
m
(
⋃
n∈N
An
)
=
∑
n∈N
m(An). (2.19)
Prueba. Sea (An)n∈N una sucesión de conjuntos disjuntos de A tal que⋃
n∈NAn ∈ A. Si A =
⋃
n∈NAn es tal que m(A) < +∞, definimos Bn =
A \⋃nj=0 Aj de manera que estos conjuntos son decrecientes y pertenecen a A.
Tenemos entonces la identidad
m(A) =
n∑
j=0
m(Aj) +m(Bn).
Hacemos tender n → +∞ y utilizamos la condición (a), que nos asegura
m(Bn) −→
n→+∞
0, de donde se deduce el resultado deseado.
Cuando m(A) = +∞, utilizamos la sucesión de conjuntos (Xn)n∈N de la
condición (b) y sabemos en particular que se tiene m(A ∩ Xn) −→ +∞. Sin
embargo, dado que se tiene m(A ∩Xn) < +∞ y que se tiene la unión disjunta
A ∩Xn =
⋃
i∈NAi ∩Xn, podemos aplicar la primera parte de la demostración
de este lema para obtener
m(A ∩Xn) =
+∞∑
i=0
m(Ai ∩Xn) ≤
+∞∑
i=0
m(Ai),
lo que implica que la parte derecha de esta expresión es infinita lo que termina
la demostración. �
Demostración del Teorema 2.3.3. Mostremos primero que la medida
exterior µ∗ asociada a m prolonga efectivamente m.
Sea pues A un elemento del álgebra A. Si fijamos una sucesión A0 = A y
An = ∅ para todo n ≥ 1 obtenemos un recubrimiento de A y por la fórmula
(2.18) deducimos la estimación µ∗(A) ≤ m(A).
Para obtener la estimación rećıproca, vamos a utilizar el Lema 2.3.2 que se
deduce de las hipótesis hechas sobre la función aditiva de conjuntos m. Sea
A ∈ A, dado que todo recubrimiento (que podemos suponer disjunto) (An)n∈N
90 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
de A con An ∈ A, puede ser reemplazado por (Bn)n∈N con Bn = A ∩ An, te-
nemos que
∑
n∈N
m(Bn) ≤
∑
n∈N
m(An). Aplicamos entonces la fórmula (2.19) para
obtener m(A) =
∑
n∈Nm(Bn) ≤ µ∗(A).
Obtenemos aśı la identidad µ∗(A) = m(A) para todo elemento A del álgebra
de partes A.
Verifiquemos ahora que la σ-álgebra Mµ∗ de los conjuntos µ
∗-medibles con-
tiene el álgebra A. Más precisamente, vamos a demostrar que todo conjunto
A ∈ A es µ∗-medible, para ello fijamos E ∈ P(X) un conjunto cualquiera y
A ∈ A. Sea (Bn)n∈N una sucesión de elementos de A que recubre E. No es
dif́ıcil ver que los conjuntos Bn ∩ A recubren E ∩ A y que Bn ∩ Ac recubren
E ∩ Ac. Tenemos entonces, por definición de la medida exterior asociada, la
desigualdad
µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩Ac) ≤
∑
n∈N
m(Bn ∩A) +
∑
n∈N
m(Bn ∩Ac) =
∑
n∈N
m(Bn).
Tomando el ı́nfimo sobre todos los recubrimientos (Bn)n∈N obtenemos la esti-
mación
µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(E).
Como la estimación rećıproca es evidente por la subaditividad de las medidas
exteriores podemos entonces concluir que A es un conjunto µ∗-medible. Aśı se
tiene que la σ-álgebra Mµ∗ contiene el álgebra A y por lo tanto contiene la
σ-álgebra engendrada σ(A).
Finalmente demostremos la unicidad de la prolongación. Esta verificación
no es dif́ıcil: en efecto, con las hipótesis realizadas sobre la función aditiva
de conjuntos m, y con el hecho que para todo A ∈ A se tiene ν(A) = m(A) =
µ∗(A), tenemos todos los ingredientes necesarios para la aplicación del Teorema
de unicidad de las medidas 2.2.6, lo que nos permite concluir que µ∗ = ν sobre
σ(A). Es decir que existe una única medida definida sobre σ(A) que coincide
con la función aditiva de conjuntos m sobre A. �
Observación 2.8 Gracias a este teorema obtenemos dos resultados que con-
viene distinguir fijando un poco de terminoloǵıa.
1. A partir de una álgebra de partes A y de una función aditiva de conjuntos
m definida sobre ella obtenemos una prolongación de estas estructuras al
espacio medido (X,Mµ∗ , µ
∗).
2. Dado que la σ-álgebra Mµ∗ contiene la σ-álgebra engendrada σ(A), obte-
nemos adicionalmente una extensión del álgebra A y de la función aditiva
m al espacio medido (X, σ(A), µ∗|σ(A) ).
Nótese que al pasar de la prolongación a la extensión podemos perder al-
gunas propiedades importantes. En particular, el espacio medido prolongado
2.3. Medidas exteriores 91
(X,Mµ∗ , µ
∗) es siempre completo por el Teorema 2.3.1, mientras que no dispo-
nemos en general de ningún resultado similar para el espacio medido extendido
(X, σ(A), µ∗|σ(A) ).
El corolario siguiente nos muestra que, si aplicamos el teorema de prolonga-
ción de Carathéodory 2.3.3 a una medida definida sobre una σ-álgebra, pode-
mos simplificar sensiblemente la expresión (2.18) que determinaba la medida
exterior asociada.
Corolario 2.3.1 Sea (X,A , µ) un espacio medido. Entonces la medida exte-
rior asociada a µ está determinada por la fórmula
µ∗(A) = ı́nf{µ(B) : A ⊂ B,B ∈ A }. (2.20)
Prueba. Sea A un elemento de P(X) y sea B ∈ A tal que A ⊂ B. Construimos
un recubrimiento numerable de A escribiendoA0 = B yAn = ∅ para todo n ≥ 1
de manera que se tiene µ∗(A) ≤ µ(B) y esto muestra que
µ∗(A) ≤ ı́nf{µ(B) : A ⊂ B,B ∈ A }.
Rećıprocamente, sea ε > 0 un real; existe entonces una sucesión (Bn)n∈N ∈ A
tal que A ⊂ ⋃n∈NBn y tal que
∑
n∈N
µ(Bn) ≤ µ∗(A) + ε.
Escribimos ahora B =
⋃
n∈NBn ∈ A y obtenemos, por la σ-subaditividad de
la medida µ (ver Lema 2.2.4), que µ(B) ≤ µ∗(A) + ε. Puesto que el parámetro
ε era arbitrario obtenemos la desigualdad deseada que nos permite concluir. �
Veamos otro resultado importante:
Corolario 2.3.2 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea µ∗ la medida exterior
asociada a µ. Entonces para todo conjunto A ∈ P(X), existe un conjunto B ∈
A tal que A ⊂ B y tal que µ∗(A) = µ(B).
Prueba. Sea (εn)n∈N una sucesión de reales positivos tal que εn −→
n→+∞
0.
Existe por lo tanto, por definición de la medida exterior µ∗, un conjunto Bn ∈
A tal que A ⊂ Bn y µ(Bn) ≤ µ∗(A) + εn.
Definimos entonces B =
⋂
n∈NBn ∈ A de manera que se tiene A ⊂ B. Por
definición de µ∗ y por la propiedad de crecimiento de la medida µ, obtenemos:
µ∗(A) ≤ µ(B) ≤ µ(Bn) ≤ µ∗(A) + εn,
lo que permite concluir al pasar al ĺımite en la sucesión εn. �
Terminamos esta sección con un breve recuento de los resultados obtenidos.
El punto de partida es una función aditiva de conjuntos m definida sobre una
álgebra de partes A de un conjunto X . El Teorema 2.3.2 nos permite entonces
asociar a esta función una medida exterior µ∗ definida sobre P(X). Ahora, si
consideramos los conjuntos µ∗-medibles, obtenemos gracias el Teorema 2.3.1,
92 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
un espacio medido completo (X,Mµ∗ , µ
∗). Finalmente, por el Teorema de Ca-
rathéodory 2.3.3, sabemos que la medida exterior µ∗ prolonga la función aditiva
de conjuntos m y es posible considerar la extensión de esta función aditiva de
conjuntos m puesto que la σ-álgebra σ(A) está contenida en Mµ∗ .
Esta concatenación de resultados, que visualizamos con el esquema a con-
tinuación, nos permite extender las funciones aditivas de conjuntos definidas
sobre álgebras de partes a las σ-álgebra engendradas por estas álgebras de
partes.
�
�
�
�
�
�
�✒
❍❍❍❍❥
❅
❅
❅❅❘
✲
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✶
X,A,m
(X,P(X), µ∗)
(X,Mµ∗ , µ
∗)
(X, σ(A), µ∗|σ(A) )
Extensión
Prol
onga
ción
Figura 2.3: Prolongación y extensión de funciones aditivas de conjuntos
2.3.3. Completación de medidas
En las ĺıneas a continuación vamos a presentar dos resultados que nos per-
mitirán completar las medidas sin pasar necesariamente por la construcción
de medidas exteriores. En un primer tiempo, con el Teorema 2.3.4, exponemos
cómo construir esta completación de medidas mientras que en el Teorema 2.3.5
estudiamos las relaciones entre éste método y la completación de medidas rea-
lizada por medio de las medidas exteriores.
Como el lector tendrá la oportunidad de apreciar, este proceso de completa-
ción de una medida es relativamente más intuitivo y directo pero tiene como
punto departida un espacio medido y no, como en la sección anterior, una
álgebra de partes y una función aditiva de conjuntos.
El primer enunciado es el siguiente:
Teorema 2.3.4 (completación) Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea Dµ
el conjunto de partes µ-despreciables de X. Entonces
1) el conjunto A determinado por
A = {A ∪D en donde A ∈ A , D ∈ Dµ}, (2.21)
es una σ-álgebra sobre X.
2.3. Medidas exteriores 93
2) existe una única medida µ : A −→ R+ que coincide con µ sobre A y
que hace del espacio (X,A , µ) un espacio medido completo. Esta medida
está definida de la siguiente manera: dado que para todo A′ ∈ A tenemos
A′ = A ∪D con A ∈ A y D ∈ Dµ, determinamos entonces
µ(A′) = µ(A). (2.22)
La σ-álgebra A es llamada la σ-álgebra completada de A para la medida
µ y la medida µ es la medida completada de la medida µ.
3) el espacio medido (X,A , µ) la más pequeña extensión completa de µ.
Demostración. Verifiquemos el primer punto. Dado que el conjunto vaćıo es
despreciable, no es muy dif́ıcil ver que A contiene A y por lo tanto X ∈ A .
Es evidente que A es estable por unión numerable puesto que los conjuntos
A y Dµ lo son, de manera que sólo debemos verificar que A es estable por
complementación.
Sea pues A′ = A ∪ D con A ∈ A y D ∈ Dµ, entonces existe un conjunto
B ∈ A tal que D ⊂ B y µ(B) = 0. Tenemos por lo tanto que
A′c = X \ (A ∪D) = (X \A ∪B) ∪ C,
en donde X \A∪B ∈ A y C = (B \D) \A ∈ Dµ lo que muestra que si A ∈ A
entonces Ac ∈ A . De donde obtenemos que A es una σ-álgebra sobre X .
Pasemos al segundo punto. Veamos primero que esta aplicación está bien
definida: si A′ = A1 ∪ D1 = A2 ∪ D2 con Ai ∈ A y Di ∈ Dµ debemos tener
µ(A1) = µ(A2) = µ(A
′). En efecto, dado que existen dos conjuntos Bi ∈ A
tales que µ(Bi) = 0 y Di ⊂ Bi se tiene que
A1 ⊂ A2 ∪D2 ⊂ A2 ∪B2,
y por lo tanto se obtiene µ(A1) ≤ µ(A2 ∪B2) = µ(A2). Razonando de manera
similar se deduce que µ(A2) ≤ µ(A1) lo que implica la igualdad de estas dos
cantidades.
Veamos ahora que la aplicación µ es en verdad una medida: se tiene sin
problema que µ(∅) = 0 y, por las ĺıneas precedentes, que si A′ ⊂ B′ con
A′, B′ ∈ A entonces µ(A′) ≤ µ(B′). Finalmente si (A′n)n∈N es una sucesión
disjunta de conjuntos de A tenemos
µ
(
⋃
n∈N
A′n
)
= µ
(
⋃
n∈N
An ∪
⋃
n∈N
Dn
)
= µ
(
⋃
n∈N
An
)
=
∑
n∈N
µ(An) =
∑
n∈N
µ(A′n).
Obtenemos pues que µ es una medida definida sobre la σ-álgebra A .
Comprobemos la unicidad de la medida µ. Sea pues ν otra medida definida
sobre A que coincide con µ sobre A . Puesto que todo A′ ∈ A se expresa de
94 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
la forma A′ = A ∪D ⊂ A ∪ B con D ∈ Dµ y µ(B) = 0, tenemos entonces las
estimaciones ν(A′) ≤ ν(A ∪B) = µ(A ∪B) = µ(A). Dado que se tiene además
la inclusión A ⊂ A ∪ D = A′ obtenemos µ(A) = ν(A) ≤ ν(A ∪ D) = ν(A′)
de donde se deduce que ν(A′) = µ(A) para todo A′ ∈ A y se obtiene de esta
forma la unicidad de la medida definida por la fórmula (2.22).
Mostremos que esta medida es completa. Para ello consideramosE = A∪D ∈
A un conjunto de µ-medida nula y F una parte de E. Puesto que µ(A) = 0,
por lo tanto E es µ-despreciable lo que implica que F también lo es, tenemos
entonces que F ∈ Dµ ⊂ A y que el espacio medido (X,A , µ) es completo.
Verifiquemos para terminar que este prolongamiento es el más pequeño.
Consideremos (X, Â , µ̂) otro espacio medido completo que contiene el espa-
cio (X,A , µ) tal que µ̂ coincide con µ sobre A . Tenemos necesariamente que
Dµ ⊂ Â , además como A ⊂ Â se obtiene A ⊂ Â . Finalmente, por la unicidad
que acabamos de establecer se tiene que µ̂|
A
= µ lo que termina la demostra-
ción. �
Hemos visto que a partir de un espacio medido (X,A , µ) podemos construir
un espacio medido completo utilizando la medida exterior µ∗ asociada a la
medida µ. Pero por completación de la medida inicial obtenemos otro espacio
medido completo y es muy natural preguntarse aqúı qué relaciones existen en-
tre estos espacios y bajo qué condiciones se tiene la identidad entre los espacios
medidos (X,Mµ∗ , µ
∗) y (X,A , µ).
La situación que tenemos ahora, después de estos resultados, puede ser ilus-
trada con el gráfico a continuación:
✑
✑
✑✸
◗
◗
◗s
✻
❄
(X,A , µ)
(X,Mµ∗ , µ
∗)
(X,A , µ)
Figura 2.4: Prolongación y completación de medidas
Observemos que estos espacios no son por lo general iguales, en efecto por
el teorema anterior se tiene la inclusión A ⊂ M
µ∗
(puesto que A es la más
pequeña σ-álgebra completa que contiene A ) y esta inclusión puede ser estricta
como nos lo muestra el siguiente ejemplo.
Sea X un conjunto no numerable y definimos una σ-álgebra A considerando
las partes de X que son numerables o cuyos complementarios son numerables.
Consideramos la aplicación µ : A −→ R+ como la restricción a A de la me-
dida de conteo. Vemos que esta medida es completa y que toda parte de X es
µ∗-medible, de modo que A 6= Mµ∗ .
2.3. Medidas exteriores 95
El resultado a continuación nos da una condición necesaria para tener esta
identidad.
Teorema 2.3.5 Sea (X,A ) un espacio medible y sea µ : A −→ R+ una
medida σ-finita. Entonces el espacio medido (X,Mµ∗ , µ
∗) es la completación del
espacio medido (X,A , µ). Es decir que se tiene la identidad entre (X,Mµ∗ , µ
∗)
y (X,A , µ).
Demostración. Debemos demostrar que se tiene la identidad A = Mµ∗ . Te-
nemos por el teorema anterior la inclusión A ⊂ Mµ∗ , de manera que solo
debemos verificar que todo conjunto µ∗-medible A pertenece a la σ-álgebra A .
Vamos a suponer primero que la cantidad µ∗(A) es finita. Sabemos por Co-
rolario 2.3.2 que existe un conjunto B ∈ A tal que A ⊂ B y µ∗(A) = µ(B).
Como la restricción de µ∗ a A es una medida que coincide con µ y como µ∗(A)
es finito se deduce que µ∗(B \A) = 0. Utilicemos otra vez el mismo resultado:
existe un conjunto C ∈ A tal que B \A ⊂ C y µ∗(C) = µ(B \A) = 0.
Tenemos entonces A = (B \C) ∪ (A ∩C) en donde B \C ∈ A y A ∩C ⊂ C
con C ∈ A un conjunto de medida nula, lo que muestra que A se escribe como
la unión de un elemento A y de un elemento de Dµ y por lo tanto pertenece a A .
En el caso general, el espacio X puede escribirse como la unión de una su-
cesión creciente de conjuntos An ∈ A de medida finita. Tenemos entonces
que todo elemento de Mµ∗ se escribe como A =
⋃+∞
n=0(A ∩ An) en donde
(A∩An) ∈ Mµ∗ y µ∗(A∩An) ≤ µ∗(An) = µ(An) < +∞. Dado que los conjun-
tos A∩An pertenecen a A por la primera parte, podemos concluir sin ningún
problema y obtenemos de esta forma la identidad entre estos dos espacios me-
didos completos. �
Concluimos esta sección con un gráfico que completa la figura 2.3:
�
�
�
�
�✒
❍❍❥
❅❅❘
✲
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✶
X,A,m
(X,P(X), µ∗)
(X,Mµ∗ , µ
∗) (X,A , µ)
(X, σ(A), µ∗|σ(A))
✁
✁
✁✕
✲✛
Completación
Prol
onga
ción
Extensión
Figura 2.5: Prolongación, extensión y completación de medidas
96 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
2.4. Medidas Borelianas
En todas las secciones anteriores hemos expuesto cómo construir aplicaciones
que miden conjuntos y sus diferentes propiedades sin exigir ninguna propiedad
especial sobre el conjunto de baseX utilizado. En esta sección vamos a pedir que
el conjunto sobre el cual definiremos las medidas esté dotado de una topoloǵıa
de espacio separado para trabajar sobre la σ-álgebra de los Borelianos.
Como hab́ıamos comentado en el primer caṕıtulo, los casos más interesantes
para nuestro estudio no son los espacios topológicos más generales sino los que
poseen cierto tipo de propiedades adicionales, como los espacios topológicos
separados localmente compactos y es en este contexto que enunciaremos los
principales teoremas de esta sección.
Hemos organizado nuestra presentación en cuatro párrafos. En el primero
estudiamos un poco más en detalle los conjuntos borelianos de Rn, en el se-
gundo presentamos las principales propiedades de las medidas borelianas, en el
tercero construimos la medida de Lebesgue sobre Rn y conclúımos exponien-
do conjuntos que no son Lebesgue-medibles ilustrando aśı algunosfenómenos
anunciados brevemente en las seciones anteriores.
2.4.1. Rápida descripción de los conjuntos Borelianos
Veamos un poco más en detalle los conjuntos que pertenecen a la σ-álgebra
boreliana Bor(Rn). Fijemos para ello algunas notaciones que nos servirán para
dar una breve descripción de estos conjuntos muy especiales.
Definición 2.4.1 Notaremos G la familia formada por todos los subconjuntos
abiertos de Rn y F el conjunto de todos los cerrados de Rn. Definimos Gδ como
la colección de todas las intersecciones numerables de sucesiones de conjuntos
de G y simétricamente notamos Fσ la colección de todas las uniones nume-
rables de sucesiones de conjuntos de F . Un conjunto que pertenece a Gδ será
denominado un Gδ-conjunto o conjunto de tipo Gδ y de la misma forma un
conjunto que pertenece a Fσ será notado Fσ-conjunto o conjunto de tipo Fσ.
Esta definición se generaliza a todo espacio topológico X.
Por ejemplo, en el caso de R, la familia de los intervalos abiertos es un subcon-
junto de G. Notemos que las letras “G” y “F” utilizadas en las definiciones ante-
riores provienen del alemán Gebiet que significa región y del francés fermé que
significa cerrado. Las letras σ y δ provienen en cambio de las palabras alemanas
Summe y Durchschnitt que significan suma y promedio respectivamente.
La proposición siguiente nos permite caracterizar los conjuntos abiertos y los
conjuntos cerrados de Rn en función de las familias Gδ y Fσ.
Proposición 2.4.1 Todo subconjunto cerrado de Rn es un Gδ-conjunto y cada
conjunto abierto de Rn es un Fσ-conjunto .
Prueba. Supongamos que F es un conjunto cerrado de Rn. A partir de la
distancia eucĺıdea de Rn definimos los conjuntos
Un = {x ∈ Rn : d(x, y) < 1/n, con y ∈ F}.
2.4. Medidas Borelianas 97
Es claro que cada Un es abierto y que F ⊂
⋂
n≥1 Un. La inclusión rećıproca se
obtiene por el hecho que F es cerrado y notando que cada punto en
⋂
n≥1 Un
es el ĺımite de una sucesión de puntos de F . Por lo tanto todo conjunto cerrado
de Rn es un Gδ. Si U es un abierto entonces su complementario U
c es cerrado
y es por lo tanto un conjunto Gδ. Existe entonces una sucesión (Un)n≥1 de
conjuntos abiertos tales que U c =
⋂
n≥1 Un. Los conjuntos U
c
n son cerrados y
entonces U =
⋃
n≥1 U
c
n lo que significa que U es un Fσ. �
Observamos ahora que se tiene las identidades G = Gσ y F = Fδ y que es
posible iterar las operaciones representadas por los śımbolos σ y δ para obtener,
a partir de la colección G, las clases Gδ, Gδσ, Gδσδ ,... De la misma manera, a
partir de la colección F , se obtienen las clases Fσ, Fσδ, Fσδσ,...
Todos estos conjuntos son borelianos y las clases que acaban por σ son es-
table por unión numerable e intersección finita; estas propiedades se invierten
para las clases que se acaban por δ. Es posible seguir este razonamiento por
recurrencia, pero la unión de estas clases es estrictamente más pequeña que
la σ-álgebra boreliana. Hay entonces que proceder a lo que se llama una re-
currencia transfinita si se desea describir de esta manera todos los conjuntos
borelianos. Por suerte, en la práctica, no es necesario llevar a cabo este proceso.
Demos un ejemplo. Sea fn(x) una sucesión de funciones reales continuas
sobre [0, 1]; tenemos que el conjunto
A =
{
x ∈ [0, 1] : fn(x) −→
n→+∞
0
}
,
es un conjunto de tipo Fσδ. En efecto, tenemos que el conjunto AN,k = {x ∈
[0, 1] : |fn(x)| ≤ 1/k; n ≥ N} es cerrado pues las funciones son continuas.
Si consideramos luego las uniones de estos conjuntos y la notamos Ak, no es
muy dif́ıcil ver que A es la intersección de estos conjuntos Ak, de manera que
A resulta de la unión y de la intersección de cerrados y por lo tanto es un
conjunto de tipo Fσδ. Veamos ahora una variante de este ejemplo.
Proposición 2.4.2 Si f : X −→ R es una función continua y si c es un real,
entonces los tres conjuntos siguientes
{x ∈ X : f(x) ≥ c} {x ∈ X : f(x) = c} {x ∈ X : f(x) ≤ c},
son cerrados de tipo Gδ.
Prueba. Como se tienen las identidades
{x : f(x) ≥ c} = {x : −f(x) ≤ −c} y
{x : f(x) = c} = {x : f(x) ≥ c} ∩ {x : f(x) ≤ c},
es suficiente estudiar el conjunto {x ∈ X : f(x) ≤ c}. El hecho que este conjunto
es cerrado, y que para todo n ∈ N∗ el conjunto {x ∈ X : f(x) < c + 1/n} es
abierto, se deduce de la continuidad de f . Finalmente, puesto que se tiene la
identidad
{x ∈ X : f(x) ≤ c} =
⋂
n≥1
{x ∈ X : f(x) < c+ 1/n},
98 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
se concluye que este conjunto es de tipo Gδ. �
Observación 2.9 Estos resultados no nos dicen nada sobre qué tan grande es
el conjunto de los borelianos de R en términos de cardinalidad. Sin embargo,
es posible demostrar que la σ-álgebra Bor(R) tiene la potencia del continuo,
ver por ejemplo el libro [30].
El siguiente teorema es una generalización de la Proposición 2.4.1 a los espacios
topológicos localmente compactos de base numerable.
Teorema 2.4.1 Sea X un espacio topológico separado localmente compacto de
base numerable. Entonces cada abierto de X es un conjunto de la forma Fσ y es
la unión numerable de una sucesión de conjuntos compactos. Simétricamente,
todo subconjunto cerrado de X es un conjunto de la forma Gδ.
Demostración. Sea B una base numerable de la topoloǵıa de X y sea U un
conjunto abierto de X . Notamos BU la colección de conjuntos B de B tales que
B es compacto y contenido en U . Si tomamos la colección de todos los abiertos
contenidos en U , tenemos por la Proposición 1.2.9 que para todo punto x ∈ U
existe una vecindad V tal que V ⊂ U , lo que implica que U es la unión de
las cerraduras de los conjuntos de BU . Obtenemos entonces que U es la unión
numerable de conjuntos cerrados.
Supongamos ahora que C es un conjunto cerrado de X , su complementario
es abierto y es entonces reunión de una sucesión (Dn)n∈N de cerrados. Por lo
tanto, C es la intersección de los conjuntos abiertos Dcn. Lo que termina la
demostración. �
Con esto hemos terminado nuestra breve exposición sobre los conjuntos Bo-
relianos, en la ĺıneas que siguen estudiamos las propiedades de las medidas
definidas sobre este tipo muy especial de conjuntos.
2.4.2. Regularidad de las medidas Borelianas
Vamos a estudiar aqúı algunas propiedades de las medidas definidas sobre los
conjuntos borelianos que son de gran importancia en las aplicaciones posterio-
res. En particular la noción de regularidad de una medida nos permitirá hacer
muchas aproximaciones y cálculos que nos seŕıan imposible si no dispondŕıamos
de este concepto. En efecto, veremos en los caṕıtulos siguientes algunas aplica-
ciones importantes: por ejemplo en el Caṕıtulo 4 esta noción permite obtener
resultados de densidad entre espacios funcionales. Veremos también que una
gran variedad de funcionales lineales pueden ser representados de una forma
muy útil utilizando medidas regulares (ver por ejemplo el Teorema de repre-
sentación de Riesz en el Volumen 2).
Definición 2.4.2 (Espacio σ-compacto) Diremos que un espacio topológico
X separado localmente compacto es σ-compacto si es la unión de una colección
numerable de conjuntos compactos (Kn)n∈N.
2.4. Medidas Borelianas 99
Por ejemplo, la recta real R es un espacio σ-compacto pues la colección de
compactos
Ak = {[k − 1, k + 1] : k ∈ Z},
recubre R y es de cardinal numerable.
El siguiente resultado nos da una condición para que un espacio topológico
sea σ-compacto.
Lema 2.4.1 Todo espacio topológico separado localmente compacto con una
base numerable es σ-compacto.
Prueba. Este lema es una consecuencia directa del Teorema 2.4.1 pues todo
espacio topológico es un abierto. En efecto, dado que X es abierto es posible
expresarlo como la unión de una sucesión numerable de conjuntos compactos.�
Demos ahora la definición más importante de esta sección.
Definición 2.4.3 (Medida Boreliana, medida regular) Sea X un espa-
cio topológico separado.
1) Una medida Boreliana sobre X es una medida cuyo dominio de defini-
ción es la σ-álgebra de los borelianos Bor(X).
2) SeaA una σ-álgebra sobre X tal que Bor(X) ⊂ A . Una medida µ defi-
nida sobre A es regular si verifica las condiciones siguientes:
(i) Cada subconjunto compacto K de X es de medida finita: µ(K) <
+∞.
(ii) Cada conjunto A ∈ A verifica:
µ(A) = ı́nf{µ(U); A ⊂ U con U abierto},
(iii) Cada subconjunto abierto U verifica:
µ(U) = sup{µ(K); K ⊂ U con K compacto}.
Una medida boreliana regular sobre X es entonces una medida regular cuyo
dominio es el conjunto de los borelianos de X.
Obsérvese que, como el espacio topológico X es separado, los compactos son
cerrados (cf. Corolario 1.2.1) y por lo tanto son conjuntos borelianos. Verifi-
caremos posteriormente que la medida de Lebesgue λ es una medida regular.
Por el contrario, el lector puede ver sin mayor problema que la medida grue-
sa definida página 66 no es una medida regular pues no es finita sobre todo
compacto.
Observación 2.10 Una medida que satisface únicamente la segunda condición
es llamada regular exteriormente, mientras que si verifica la tercera condición
diremos que es una medida regular interiormente.
100 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Los dos resultados que siguen nos muestran el comportamiento de la regularidad
con respecto a las medidas exteriores y a la completación de medidas.
Proposición 2.4.3 Sean X un espacio topológico separado, A ⊃ Bor(X),
µ : A −→ R+ una medida regular y sea µ∗ la medida exterior asociada a µ.
Entonces se tiene para todo A ∈ P(X) la fórmula
µ∗(A) = ı́nf {µ(U); A ⊂ U con U abierto} .
Prueba. Sea ε > 0 un real y A ∈ P(X). Existe por definición de medida
exterior µ∗ una familia de conjuntos An ∈ A tales que
A ⊂
+∞⋃
n=0
An y
+∞∑
n=0
µ(An) ≤ µ∗(A) + ε.
Sea ahora (εn)n∈N una sucesión de reales positivos tales que
+∞∑
n=0
εn < ε. Por
la regularidad exterior de la medida µ existen abiertos Un ⊃ An tales que
µ(Un) ≤ µ(An) + εn. Dado que el abierto U =
⋃
n∈N Un contiene A, se tiene
que
µ(U) ≤
+∞∑
n=0
µ(Un) ≤
+∞∑
n=0
(µ(An) + εn) ≤ µ∗(A) + ε,
de donde se deduce el resultado deseado. �
Proposición 2.4.4 Sea µ : A −→ R+ una medida regular y σ-finita. Entonces
la medida completada µ es regular.
Prueba. Como todo compacto pertenece a Bor(X) ⊂ A , y que µ coincide con
µ sobre A , se obtiene sin problema que µ es finita sobre los compactos. Por un
razonamiento similar se deduce el punto (iii) de la Definición 2.4.3. La única
propiedad que hay que verificar es el punto (ii), pero dado que en este caso se
tiene la identidad (X,A , µ) = (X,Mµ∗ , µ
∗); esta propiedad de µ se deduce de
la proposición anterior. �
Una de las principales caracteŕısticas de las medidas regulares es la posibili-
dad de aproximar la medida de un conjunto medible utilizando los conjuntos
usuales en topoloǵıa (es decir los conjuntos abiertos, cerrados y compactos)
realizando un error mı́nimo desde el punto de vista de la teoŕıa de la medida y
esto permite relacionar la noción de espacio medido a la de espacio topológico.
Más precisamente, tenemos el teorema:
Teorema 2.4.2 (Aproximación de medidas regulares) Sea X un espa-
cio topológico localmente compacto separado de base numerable (σ-compacto).
Sea (X,A , µ) un espacio medido con Bor(X) ⊂ A . Si la medida µ es finita
sobre los compactos (es entonces σ-finita), entonces la noción de regularidad es
equivalente a los dos puntos a continuación
1) para todo A ∈ A y para todo ε > 0, existe un abierto U tal que A ⊂ U y
µ(U \A) ≤ ε. (2.23)
2.4. Medidas Borelianas 101
2) para todo A ∈ A y para todo ε > 0, existe un cerrado C tal que C ⊂ A y
µ(A \ C) ≤ ε. (2.24)
Demostración. Vamos a demostrar las implicaciones siguientes:
regularidad de la medida =⇒ (2.23) ⇐⇒ (2.24)=⇒ regularidad de la medida.
Para la primera implicación, suponemos que la medida µ es regular. Dado que
la medida es σ-finita, existe una sucesión de conjuntos (An)n∈N A -medibles
que recubren X de µ-medida finita. Sean A ∈ A un conjunto, ε y (εn)n∈N
reales positivos tales que
+∞∑
n=0
εn < ε. Puesto que la medida es regular, existen
abiertos Un ⊃ A ∩ An tales que µ(Un) ≤ µ(A ∩ An) + εn. Como µ(A ∩ An)
es finito, se tiene que µ(Un \ (A ∩ An)) ≤ εn. Tenemos además que el abierto
U =
⋃+∞
n=0 Un contiene A y que
µ(U \A) ≤
+∞∑
n=0
µ(Un \ (A ∩ An)) ≤ ε,
lo que muestra la fórmula (2.23).
Veamos ahora que (2.23) ⇐⇒ (2.24). Como A ∈ A , se tiene también que
Ac ∈ A y, aplicando el razonamiento anterior, obtenemos que para todo ε > 0,
existe un conjunto abierto V que contiene Ac tal que µ(V \Ac) ≤ ε. Dado que
V \ Ac = A \ C, en donde C es un cerrado contenido en A, se tiene que la
expresión (2.23) es equivalente a µ(A \ C) ≤ ε.
Verifiquemos para terminar que (2.24) implica la regularidad de la medida.
Tenemos por hipótesis que la medida es finita sobre los compactos, de manera
que solo hay que verificar los puntos (ii) y (iii) de la Definición 2.4.3.
Como (2.24) es equivalente a (2.23), no es dif́ıcil ver que se tiene la regularidad
exterior: en efecto si µ(U \A) ≤ ε se obtiene que µ(U) = µ(U ∩A)+µ(U \A) ≤
µ(A) + ε lo que implica (ii).
Para la regularidad interior, vamos a mostrar más generalmente que se tiene
(iii) para todo elemento de A (que contiene todos los abiertos pues contiene
la σ-álgebra boreliana). Sea A ∈ A y ε > 0. Tenemos entonces por (2.24) que
existe un cerrado C ⊂ A tal que
µ(A) ≤ µ(C) + ε/2. (2.25)
Este cerrado puede escribirse C =
⋃+∞
n=0Kn en donde (Kn)n∈N es una sucesión
creciente de compactos, de manera que podemos aplicar el Teorema 2.2.3 de
continuidad de las medidas para obtener
µ(C) = ĺım
n→+∞
µ(Kn).
Si µ(A) = +∞ entonces µ(C) = +∞ y ĺım
n→+∞
µ(Kn) = +∞ lo que muestra
(iii) en este caso. Si µ(A) < +∞ entonces µ(C) < +∞ y existe un entero n tal
que
µ(C) ≤ µ(Kn) + ε/2.
102 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Por lo tanto se obtiene, juntando esta estimación y la desigualdad (2.25), la
fórmula µ(A) ≤ µ(Kn) + ε, de donde se deduce el resultado deseado. �
Una aplicación directa de este teorema es el siguiente corolario.
Corolario 2.4.1 Sea X un espacio topológico separado a base numerable, sea
A una σ-álgebra sobre X que contiene los borelianos y sea µ una medida regular
sobre A . Si A ∈ A y si el conjunto A es σ-finito con respecto a µ entonces se
tiene
µ(A) = sup{µ(K); K ⊂ A con K compacto}.
Corolario 2.4.2 Bajo las mismas hipótesis que las del Teorema 2.4.2 (es decir
X es un espacio σ-compacto, Bor(X) ⊂ A y la medida µ es finita sobre los
compactos) si la medida µ es regular y si Y ∈ A entonces la medida inducida
µ|Y es una medida regular.
Prueba. Por hipótesis tenemos el primer punto de la Definición 2.4.3. El co-
rolario anterior implica la propiedad (iii), de manera que solo debemos preo-
cuparnos por la regularidad exterior. Sea pues A ∈ A|Y , entonces
µ|Y (A) = µ(A) = ı́nf
A⊂U
µ(U) ≥ ı́nf
A⊂U
µ(U ∩ Y ).
Dado que A ⊂ U ∩ Y se tiene ı́nf
A⊂U
µ(U ∩ Y ) ≥ µ(A) de donde se obtiene que
µ|Y (A) = ı́nf
A⊂U
µ(U ∩ Y ). Cuando U recorre todos los abiertos de X que con-
tienen a A, U ∩ Y recorre todos los abiertos de Y que contienen a A lo que
permite obtener el resultado deseado. �
Antes de terminar esta sección, vamos a dar con el Teorema 2.4.3 un criterio
simple que nos permite caracterizar las medidas regulares. Necesitaremos la
proposición a continuación.
Proposición 2.4.5 Sea X un espacio topológico separado tal que cada con-
junto abierto es de tipo Fσ y sea ν una medida boreliana finita definida sobre
X. Entonces cada subconjunto boreliano A de X verifica
1) ν(A) = ı́nf{ν(U); A ⊂ U con U abierto},
2) ν(A) = sup{ν(C); C ⊂ A con C cerrado}.
Prueba. Notemos K la colección de subconjuntos borelianos de X que verifican
1) y 2). Para la demostración de esta proposición vamos a mostrar que K es
una σ-álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos de X y por lo tanto
contiene todos los borelianos (es decir Bor(X) ⊂ K).
Veamos primero que K contiene todos los conjuntos abiertos. Si V es un abier-
to deX , se tiene entonces sin dificultad el punto 1). Para el segundo punto, dado
que por hipótesis todoabierto es un conjunto de tipo Fσ, existe entonces una
sucesión de conjuntos cerrados (Cn)n∈N de X tales que V =
⋃
n∈N Cn. Puesto
que podemos suponer que la sucesión (Cn)n es creciente, podemos aplicar el
Teorema 2.2.3 de continuidad de las medidas para obtener ν(V ) = ĺım
n→+∞
ν(Cn)
2.4. Medidas Borelianas 103
de manera que V satisface ν(V ) = sup{ν(C); C ⊂ V con C cerrado}, de donde
se deduce que K contiene todos los conjuntos abiertos de X .
Verifiquemos ahora que K es una σ-álgebra. Empecemos notanto que con-
tiene X puesto que X es abierto. Veamos luego que K es estable al pasar al
complementario. Como ν es de masa total finita y por el Teorema 2.4.2, dado
que todo conjunto de K verifica los puntos 1) y 2), obtenemos para todo A ∈ K
la existencia de los conjuntos U y C que verifican (2.23) y (2.24). Puesto que U c
y Cc son respectivamente conjuntos cerrados y abiertos se tiene U c ⊂ Ac ⊂ Cc
y ν(Cc \U c) ≤ ε: es decir que Ac cumple con las condiciones 1) y 2). Se deduce
que Ac ∈ K y que K es estable al pasar al complementario.
Estudiemos finalmente la estabilidad con respecto a las operaciones nume-
rables. Sea (An)n∈N una sucesión de conjuntos de K y sea ε > 0 un real. Para
cada n ∈ N fijamos un conjunto cerrado Cn y un conjunto abierto Un tales que
Cn ⊂ An ⊂ Un y
ν(Un \ Cn) ≤
ε
2n+1
.
Si notamos U =
⋃
n∈N Un y C =
⋃
n∈N Cn entonces obtenemos C ⊂
⋃
n∈NAn ⊂
U y
ν(U \ C) = ν
(
⋃
n∈N
(Un \ Cn)
)
≤
∑
n∈N
ν(Un \ Cn) ≤ ε. (2.26)
Tenemos que el conjunto U es abierto, pero puede suceder que el conjunto C
no sea cerrado. Sin embargo, dado que para todo k el conjunto
⋃k
n=0 Cn es
cerrado y dado que
ν(U \ C) = ĺım
k→+∞
ν
(
U \
k⋃
n=0
Cn
)
,
obtenemos de la expresión (2.26) que existe un entero k tal que
ν
(
U \
k⋃
n=0
Cn
)
≤ ε.
Por lo tanto U y
⋃k
n=0 Cn son los conjuntos necesarios para mostrar que⋃
n∈NAn ∈ K, de donde se obtiene la estabilidad por unión numerable. Hemos
pues mostrado que K es una σ-álgebra sobreX que contiene los conjuntos abier-
tos. Dado que Bor(X) es la más pequeña σ-álgebra que contiene los conjuntos
abiertos hemos verificado que Bor(X) ⊂ K lo que termina la demostración. �
Teorema 2.4.3 (condición de regularidad, espacio medido regular) Sea
X un espacio topológico localmente compacto separado de base numerable, sea
A ⊃ Bor(X) una σ-álgebra y sea µ : A −→ R+ una medida finita sobre los
compactos de X. Entonces µ es una medida regular y en este caso diremos que
el espacio medido (X,A , µ) es un espacio medido regular.
Demostración. Tenemos por hipótesis el primer punto de la Definición 2.4.3.
Vamos a estudiar primero la regularidad interior de µ. Sea U un subconjunto
abierto de X , tenemos entonces por el Teorema 2.4.1 que U es la unión de
104 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
una sucesión (Kn)n∈N de conjuntos compactos, por lo tanto, el teorema de
continuidad de las medidas 2.2.3 implica la identidad
µ(U) = ĺım
k→+∞
µ
(
k⋃
n=0
Kn
)
,
de donde se deduce la regularidad interior. Pasemos al estudio de la regularidad
exterior de la medida µ. Para poder aplicar la proposición anterior es necesario
reemplazar la medida µ por una sucesión adecuada de medidas finitas: como X
es un espacio σ-finito, existe (Un)n∈N una sucesión de conjuntos abiertos tales
que X =
⋃
n∈N Un y tales que se tenga µ(Un) < +∞ para todo n. Definimos
entonces una familia de medidas borelianas escribiendo µn(A) = µ(A∩Un). Las
medidas µn son finitas de manera que, aplicando la Proposición 2.4.5, tenemos
que cada una de estas medidas es regular exteriormente. Por lo tanto, si A es
un conjunto boreliano y si ε es un real positivo, entonces para todo n existe un
abierto Vn que contiene A tal que µn(Vn) ≤ µn(A) + ε/2n+1. Es decir:
µn(Vn \A) = µ((Vn \A) ∩ Un) ≤ ε/2n+1.
No es por lo tanto dif́ıcil darse cuenta que el conjunto V definido por V =
⋃
n∈N(Un ∩ Vn) es abierto, contiene A y verifica
µ(V \A) ≤
∑
n∈N
µ((Un ∩ Vn) \A) ≤ ε.
Por lo tanto µ(V ) ≤ µ(A) + ε lo que implica la regularidad exterior de la me-
dida µ. �
Hemos terminado con este resultado la descripción de las principales pro-
piedades de las medidas regulares y de las medidas en general. En las dos
secciones que siguen aplicaremos todo el material explicitado anteriormente a
la construcción de la medida de Lebesgue sobre Rn y a la verificación de sus
caracteŕısticas más importantes.
2.4.3. Construcción y propiedades de la medida de Lebesgue
Vamos a construir en las ĺıneas a continuación la medida de Lebesgue n-
dimensional y una vez esta construcción realizada, expondremos sus principa-
les caracteŕısticas. Para ello utilizaremos la función aditiva de conjuntos vol,
determinada por la fórmula (2.6) y definida sobre el álgebra de partes formada
por los conjuntos adoquinables, y prolongaremos esta función a la σ-álgebra
engendrada, que por la Proposición 2.2.6, no es más que la σ-álgebra Borelia-
na de Rn. Aplicaremos para lograr nuestro objetivo el formalismo hasta ahora
desarrollado en las páginas precedentes, pero antes de verificar las hipótesis del
teorema de Carathéodory 2.3.3 vamos a necesitar el pequeño lema a continua-
ción:
Lema 2.4.2 Sea Γ un subconjunto adoquinable de Rn de volumen finito (vol(Γ) <
+∞) y sea ε > 0 un real. Existe entonces un conjunto compacto K contenido
en Γ tal que vol(Γ \K) ≤ ε.
2.4. Medidas Borelianas 105
Prueba. Sabemos que todo conjunto adoquinable puede expresarse como la
unión disjunta de adoquines Γ =
⋃N
i=1 Ai. Dado que todo adoqúın es de la forma
A =
∏n
j=1(aj , bj) y que los intervalos (aj , bj) son acotados, no es dif́ıcil escojer
A′ =
∏n
j=1[cj , dj ] con aj < cj < dj < bj de forma que vol(A \A′) ≤ ε/N y tal
que A′ ⊂ A. Al definir K = ⋃Ni=1A′i obtenemos el conjunto compacto buscado
pues
vol(Γ \K) = vol
(
N⋃
i=1
Ai \A′i
)
=
N∑
i=1
vol(Ai \A′i) ≤ ε,
lo que termina la demostración. �
Teorema 2.4.4 (Construcción de la medida de Lebesgue) Sea A el álge-
bra de partes de Rn formada por los conjuntos adoquinables y sea la aplicación
vol : A −→ R+ la función aditiva de conjuntos que asocia a cada adoqúın su
volumen. Entonces
1) existe una única medida exterior λ∗n asociada a la función vol : A −→ R+
por medio de la fórmula
λ∗n(A) = ı́nf
RA
+∞∑
n=0
vol(Γn), (2.27)
en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables (Γn)n∈N
de A por medio de conjuntos adoquinables, que prolonga la aplicación vol
y que coincide con ella sobre A.
2) la σ-álgebra L (Rn) de conjuntos λ∗n-medibles se denomina la σ-álgebra
de Lebesgue y contiene la σ-álgebra de los Borelianos: Bor(Rn) ⊂ L (Rn).
La aplicación λ∗n : L (R
n) −→ R+ se denomina la medida exterior n-dimensional
de Lebesgue.
Demostración. Como anunciado este resultado es una aplicación directa del
teorema de Carathéodory y debemos por lo tanto verificar las hipótesis necesa-
rias. Para mayor comodidad del lector las volvemos a exponer a continuación.
(a) Para toda sucesión decreciente (Γn)n∈N de elementos de A se tiene la
implicación:
(
vol(Γ0) < +∞ y
⋂
n∈N
Γn = ∅
)
=⇒ vol(Γn) −→
n→+∞
0.
(b) El conjunto Rn puede expresarse como la unión de una sucesión creciente
(Xn)n∈N ∈ A con vol(Xn) < +∞ y tal que
(Γ ∈ A y vol(Γ) = +∞) =⇒ vol(Γ ∩Xn) −→
n→+∞
+∞.
Empecemos por la primera condición. Vamos a razonar por el absurdo y supo-
nemos que existe una sucesión decreciente de conjuntos adoquinables (Γn)n∈N
de volumen finito tal que
⋂
n∈N Γn = ∅ y tal que
ı́nf
n∈N
vol(Γn) = α > 0. (2.28)
106 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Sea (αn)n∈N una sucesión de reales estŕıctamente positivos tales que
∑
n
αn < α/2
(por ejemplo αn < α/2
n+2). Por el lema anterior, podemos encontrar conjuntos
adoquinables compactos Kn ⊂ Γn tales que vol(Γn \ Kn) ≤ αn. Si definimos
ahora los conjuntos Nn =
⋂n
j=0Kj tenemos Γn \Nn ⊂
⋃n
j=0(Γj \Kj) pues un
elemento de Γn \Nn está afuera de uno de los Kn y pertenece a Γn; luego, por
subaditividad finita obtenemos
vol(Γn \Nn) ≤ vol


n⋃
j=0
Γj \Kj

 ≤
n∑
j=0vol(Γj \Kj) ≤
n∑
j=0
αj < α/2.
La sucesión de compactos Nn es decreciente y de intersección vaćıa, es decir
que a partir de un cierto rango, los conjuntos Nn son vaćıos (ver Proposición
1.2.1). Entonces a partir de este rango tenemos vol(Γn) = vol(Γn \Nn) < α/2
lo que contradice (2.28). Con esto hemos verificado la primera condición.
La segunda condición es más sencilla de verificar. Podemos escribir Rn =
⋃
n∈NXn en donde Xn es el cubo centrado en el origen y de lado 2n. Si un con-
junto adoquinable Γ es de medida infinita, contiene un adoqúın A de volumen
infinito y por lo tanto se tiene la estimación
vol(Γ ∩Xn) ≥ vol(A ∩Xn) −→ +∞.
Con estas dos hipótesis verificadas, aplicamos directamente el teorema de Ca-
rathéodory y obtenemos la existencia y la unicidad de la medida de Lebesgue
λ∗n definida sobre la σ-álgebra L (R
n) que coincide con la función aditiva de
conjuntos vol que asocia a todo adoqúın su volumen. �
Observación 2.11 Dado que todo intervalo separado I es convexo en R y
que se tiene la igualdad ℓ(I) = diam(I), se puede ver sin mayor complicación
por la fórmula (2.27) que la medida de Lebesgue λ∗ coincide con la medida
de Hausdorff 1-dimensional H1. También existe una relación entre las medidas
de Hausdorff y la medida de Lebesgue en dimensiones superiores, rogamos al
lector ver los detalles en el Ejercicio 2.20.
Pasamos ahora al estudio de las propiedades de la medida exterior de Lebesgue.
Empezaremos verificando la σ-finitud de esta medida, que es una propiedad
relativamente simple, pero de gran importancia por las numerosas implicaciones
que hemos explicitado precedentemente. Veremos luego otras de sus principales
particularidades, como su regularidad y algunas propiedades de invariancia.
Lema 2.4.3 La medida exterior de Lebesgue λ∗n : L (R
n) −→ R+ es σ-finita.
Prueba. En el caso n = 1 definimos el intervalo Im = [m,m + 1[ en donde
m ∈ Z. Vemos entonces que λ∗(Im) = 1 para todo m y que R =
⋃
m∈Z Im lo
que implica la σ-finitud de la medida λ∗.
Si n > 1, consideramos m = (m1, ...,mn) un vector de Z
n y construimos un
subconjunto de Rn de la siguiente forma:
Am =
n∏
j=1
[mj ,mj + 1[. (2.29)
2.4. Medidas Borelianas 107
No es dif́ıcil ver que λ∗n(Am) = 1 y que R
n =
⋃
m∈Zn Am. Por lo tanto obtene-
mos que Rn puede expresarse como la unión numerable de conjuntos de medida
finita, lo que termina la demostración. �
Proposición 2.4.6 La medida exterior de Lebesgue λ∗n : L (R
n) −→ R+ es
regular.
Prueba. Basta aplicar el Teorema 2.4.3. Tenemos en efecto que Rn es un es-
pacio topológico localmente compacto de base numerable, que L (Rn) contiene
la σ-álgebra de los Borelianos y que la medida exterior de Lebesgue λ∗n es fini-
ta sobre los compactos (que en este caso son cerrados y acotados). Dado que
tenemos todas las hipótesis del Teorema 2.4.3, podemos concluir que la medida
exterior de Lebesgue es regular. �
Recordemos que el Teorema 2.4.4 nos da dos espacios medidos distintos y
la restricción de λ∗n a la σ-álgebra Bor(Rn), notada λn, será denominada me-
dida de Lebesgue. Si bien se tiene que λ∗n coincide con λn sobre los borelianos
Bor(Rn) (ver Observación 2.8), es necesario distinguir estos dos espacios medi-
dos. El resultado a continuación permite aclarar las relaciones existentes entre
(Rn,L (Rn), λ∗n) y (R
n,Bor(Rn), λn).
Proposición 2.4.7 Tenemos la identidad
(
Rn,Bor(Rn), λn
)
= (Rn,L (Rn), λ∗n)
es decir que la completación de la σ-álgebra Boreliana de Rn con respecto a la
medida de Lebesgue λn es la σ-álgebra de Lebesgue.
Prueba. La verificación de este hecho no es muy dif́ıcil una vez que se tiene a
disposición el Teorema 2.3.5. En efecto, la única hipótesis que hay que verificar
para poder aplicar este resultado es la σ-finitud de la medida λn lo cual es
evidente por el Lema 2.4.3. �
Proposición 2.4.8 Todo subconjunto numerable de R es un conjunto boreliano
de medida nula.
Prueba. Para demostrarlo fijamos a un número real y entonces se tiene
{a} = {x : x = a} =
+∞⋂
k=1
{
x : a ≤ x < a+ 1
k
}
,
y por lo tanto, por el teorema de continuidad de las medidas tenemos λ∗({a}) =
ĺım
k→+∞
λ∗
(
[a, a+ 1k [
)
= ĺım
k→+∞
1
k = 0. Obtenemos entonces que cada conjunto
formado por un solo punto es un conjunto Boreliano de medida nula. Puesto
que los borelianos forman una σ-álgebra y que la medida λ∗ es σ-aditiva se
deduce el resultado buscado. �
Corolario 2.4.3 La medida de Lebesgue λ∗n : L (R
n) −→ R+ no es atómica.
Prueba. En el caso n = 1, esta propiedad de la medida λ∗ se deduce de la
Proposición 2.4.8 pues tenemos para todo punto a ∈ R la identidad λ∗({a}) = 0.
108 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Para el caso n > 1 es necesario una pequeña modificación: sea a = (a1, ..., an) ∈
Rn, definimos el conjunto
Ak =
{
x ∈ Rn : aj ≤ xj < aj +
1
k
; j = 1, ..., n
}
,
y tenemos entonces {a} = ⋂+∞k=1Ak, por la continuidad de la medida obtenemos
λ∗n({a}) = ĺım
k→+∞
λ∗n(Ak) = 0 lo que termina la demostración. �
Vamos a estudiar aqúı una colección muy especial de adoquines y cuyas apli-
caciones se encuentran en varias ramas del análisis matemático. En lo que nos
concierne, utilizaremos esta familia de conjuntos para verificar algunas propie-
dades de la medida de Lebesgue explicitadas en los resultados a continuación.
Veamos pues la definición de estos conjuntos:
Definición 2.4.4 (Cubos diádicos) Empecemos definiendo los intervalos diádi-
cos por la fórmula [m2−k, (m+1)2−k[, en donde m, k ∈ Z. Un cubo diádico es
entonces el producto cartesiano de intervalos diádicos, es decir es un subcon-
junto de Rn de la forma
Q =
n∏
j=1
[mj2
−k, (mj + 1)2
−k[, (2.30)
en donde m1, ...,mn, k ∈ Z.
Nótese que hemos impuesto que los intervalos diádicos sean cerrados en la iz-
quierda y abiertos a la derecha de manera que dos intervalos diádicos de misma
longitud son siempre disjuntos. Si Q es un cubo diádico de Rn, notaremos |Q|
su medida de Lebesgue y ℓ(Q) la longitud de sus lados.
Figura 2.6: Cubos diádicos en el plano R2
Expliquemos rápidamente el rol de los parámetros que intervienen en la de-
finición de los cubos diádicos. Los enteros relativos m1, ...,mn sirven para po-
sicionar los cubos mientras que el ı́ndice k representa el tamaño, o la escala
para ser más precisos, de estos cubos. La propiedad fundamental de los cubos
diádicos, y que justifica plenamente su introducción, es la siguiente:
2.4. Medidas Borelianas 109
todos los intervalos diádicos que tienen la misma longitud de lado son o
disjuntos o coinciden.
dos intervalos diádicos son o disjuntos o el uno está contenido en el otro.
dos cubos diádicos son o disjuntos o contenidos el uno en el otro.
Lema 2.4.4 Para todo cubo diádico Q de Rn se tiene la identidad |Q| = ℓ(Q)n.
Prueba. La verificación es inmediata pues, como todo cubo Q es un adoqúın,
tenemos por definición la identidad siguiente (ver la fórmula (2.5)):
|Q| = vol(Q) =
n∏
j=1
(
(mj + 1)2
−k −mj2−k
)
.
Dado que ℓ
(
[mj2
−k, (mj + 1)2
−k[
)
=
(
(mj + 1)2
−k −mj2−k
)
y que la longi-
tud de cada uno de los lados de un cubo es la misma, se obtiene |Q| = ℓn(Q). �
Una primera aplicación de los cubos diádicos está dada por el lema siguiente:
Lema 2.4.5 Todo conjunto abierto de Rn es la unión disjunta numerable de
cubos diádicos de la forma (2.30).
Prueba. Hemos visto en la Proposición 2.2.6 que todo abierto puede expresar-
se como una unión numerable de adoquines. Basta repetir esta demostración
utilizando como extremidades de los lados los números diádicos y dado que dos
cubos diádicos son o disjuntos o contenidos el uno en el otro obtenemos una
unión numerable disjunta. �
Figura 2.7: Aproximación de abiertos por medio de cubos diádicos
Recordemos ahora que el espacio eucĺıdeo Rn es un espacio vectorial topológi-
co (Definición 1.3.2); podemos entonces considerar la aplicación traslación (que
es en este caso un homeomorfismo) de conjuntos y estudiar su acción sobre los
subconjuntos de Rn: para todo vector τ∈ Rn y todo subconjunto A de Rn
definimos τ +A el conjunto determinado por
τ +A = {y ∈ Rn : y = τ + a, a ∈ A},
110 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
y decimos que el conjunto τ +A es la traslación de A por τ .
La medida de Lebesgue posee propiedades interesantes con respecto a la
traslación como lo indica el resultado siguiente.
Proposición 2.4.9 El espacio medido (Rn,Bor(Rn), λn) es invariante por tras-
lación en el sentido siguiente: para todo vector τ ∈ Rn y para todo conjunto
A ∈ Bor(Rn), τ +A es un conjunto medible y se tiene
λn(τ +A) = λn(A). (2.31)
Además B es un subconjunto Lebesgue-medible de Rn si y solo si τ + B es
Lebesgue-medible.
Prueba. Veamos primero que la σ-álgebra de los borelianos Bor(Rn) es inva-
riante por traslación. Este punto no es muy complicado pues la traslación de
todo abierto es un conjunto abierto y se obtiene por lo tanto que Bor(Rn) es
invariante por traslación.
Para verificar la identidad (2.31), empecemos considerando conjuntos senci-
llos como los cubos diádicos. Entonces, para todo vector τ = (τ1, ..., τn) ∈ Rn y
para todo cubo diádico Q tenemos τ+Q =
∏n
j=1[mj2
−k+τj , (mj+1)2
−k+τj [,
es decir
λn(τ +Q) = vol


n∏
j=1
[mj2
−k + τj , (mj + 1)2
−k + τj [


=
n∏
j=1
ℓ([mj2
−k + τj , (mj + 1)2
−k + τj [)
=
n∏
j=1
ℓ([mj2
−k, (mj + 1)2
−k[) = λn(Q).
Dado que todo abierto U se expresa como la unión disjunta de cubos diádicos
por el Lema 2.4.5, obtenemos sin mayor dificultad que λn(τ + U) = λn(U).
Finalmente, como los abiertos engendran los borelianos, se deduce la expresión
(2.31) para todo A ∈ Bor(Rn).
A partir de estas observaciones se deduce el segundo punto notando que las
operaciones de intersección y de traslación conmutan la una con la otra. �
Observación 2.12 Es muy importante notar aqúı que la imagen directa de
un conjunto boreliano por medio de una función continua no es necesariamente
un boreliano. Este es un error célebre de H. Lebesgue a partir del cual surgieron
los espacios anaĺıticos, cuyo estudio no consta en el programa de este folleto.
Estudiemos otra propiedad importante de la medida de Lebesgue. Para todo
α > 0, a partir de A ∈ Bor(Rn) definimos el conjunto
αA = {x ∈ Rn : x = αy = (αy1, ..., αyn) ; y ∈ A}.
El resultado a continuación nos indica la relación existente entre la medida de
estos dos conjuntos.
2.4. Medidas Borelianas 111
Proposición 2.4.10 La medida de Lebesgue λn es homogénea de grado n. Es
decir, para todo α > 0 y para todo A ∈ Bor(Rn) tenemos
λn(αA) = α
nλn(A). (2.32)
Prueba. La demostración no es dif́ıcil, verifiquemoslo para un cubo diádico :
λn(αQ) = |αQ| = ℓn(αQ) = (α2−k)n = αn|Q|.
En el caso general, utilizando la aproximación de los abiertos por medio de
cubos diádicos obtenemos lo siguiente: sea A ⊂ Rn un abierto, entonces A =
⋃
j∈NQj en donde (Qj)j∈N es una colección de cubos diádicos disjuntos y por
lo tanto
λn(αA) = λn


⋃
j∈N
αQj

 =
∑
j∈N
λnαQj) = α
n
∑
j∈N
λn(Qj) = α
nλn(A),
lo que termina la prueba. �
Terminamos esta sección con el siguiente teorema que nos proporciona una
caracterización de la medida de Lebesgue sobre (Rn,Bor(Rn)).
Teorema 2.4.5 Sea µ una medida no nula definida sobre el espacio medible
(Rn,Bor(Rn)). Si suponemos que esta medida es invariante por traslación y
que es finita para todo subconjunto acotado boreliano de Rn; entonces existe
una constante positiva c > 0 tal que la identidad
µ(A) = cλn(A),
es válida para todo boreliano A.
Demostración. Sea Q1 = {(x1, ..., xn) : 0 ≤ xi < 1} el cubo unidad de Rn
y notemos µ(Q1) = c < +∞. Definamos una medida ν sobre Bor(Rn) por
ν(A) = 1cµ(A) para todo A ∈ Bor(Rn). Se tiene entonces que la medida ν
es invariante por traslación y asigna al conjunto Q1 su volumen, es decir su
medida de Lebesgue que es igual a 1.
Si D es un cubo diádico cuyos lados tienen longitud 2−k, entonces no es
dif́ıcil ver que Q1 es la unión de 2
nk traslaciones de D y por lo tanto podemos
escribir
2nkν(D) = ν(Q1) = λn(Q1) = 2
nkλn(D),
por lo tanto ν y λn coinciden en los cubos diádicos lo que implica, por el
Teorema 2.2.6, la igualdad entre las medidas ν y λn; es decir que se tiene
µ = cλn. �
2.4.4. Conjuntos no medibles
Vamos a terminar este caṕıtulo mostrando por medio del teorema a continua-
ción que existen subconjuntos de la recta real que no son Lebesgue-medibles,
esto implica en particular que existen subconjuntos de R que no son Borelianos
puesto que se tiene la inclusión Bor(R) ⊂ L (R) (esta inclusión es estricta pero
112 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
posponemos su demostración al caṕıtulo siguiente con el Teorema 3.2.2).
Es importante notar que la existencia de conjuntos que no son medibles en el
sentido de Lebesgue depende de los axiomas de base utilizados en matemáticas:
si no se admite el axioma de elección en su versión no numerable, la existencia
de tales conjuntos es indecidible y este resultado de lógica matemática fue
demostrado por Solovay en 1966. Dicho de otra manera, si queremos exhibir un
conjunto que no es Lebesgue medible, es necesario utilizar el axioma de elección
como lo haremos a continuación.
Teorema 2.4.6 Existe un subconjunto de R que no es Lebesgue medible.
Demostración. Empecemos definiendo una relación sobre R de la siguiente
forma: notaremos x ∼ y si y solo si x − y es racional. Verifiquémoslo rápida-
mente: se tiene para todo real x ∼ x, que x ∼ y implica y ∼ x y que se tiene
(x ∼ y), (y ∼ z) =⇒ x ∼ z, lo que implica la transitividad. Observamos además
que cada clase de equivalencia bajo la relación ∼ es de la forma Q + x para
algún x de manera que el conjunto de clases de equivalencias es denso en R.
Puesto que estas clases de equivalencia son disjuntas y que cada una de
ellas intersecta el intervalo ]0, 1[; podemos utilizar el axioma de elección para
construir un subconjunto E de ]0, 1[ que contiene exactamente un elemento de
cada una de estas clases (Obsérvese que el conjunto de clases de equivalencia es
no numerable). Vamos a demostrar que este conjunto no es Lebesgue-medible.
Sea pues (rn)n∈N una enumeración de los números racionales en el intervalo
]− 1, 1[ y para cada n definimos En = E + rn. Verificaremos que los conjuntos
En son disjuntos, que su reunión está inclúıda en el intervalo ] − 1, 2[ y que
contiene el intervalo ]0, 1[.
Para el primer punto procedemos por el absurdo observando que si Em∩En 6=
∅, entonces existen al menos dos elementos α, β de E tales que α+rm = β+rn;
se deduce de esto que α ∼ β y por lo tanto se tiene α = β y Em = En lo cual
es una contradicción, de manera que estos conjuntos son disjuntos.
La segunda aserción se deduce de la inclusión E ⊂]0, 1[ y del hecho que cada
término de la sucesión (rn)n∈N pertenece a ]− 1, 1[.
Finalmente, para el último punto, fijemos un punto x ∈]0, 1[ cualquiera y sea
e un elemento de E tal que x ∼ e. Entonces, por definición, el punto x − e es
un racional y pertenece a ]− 1, 1[, es por lo tanto de la forma rn para algún n.
Se obtiene entonces que x ∈ En y por lo tanto pertenece a la unión
⋃
n∈N En.
Tenemos entonces las inclusiones
]0, 1[⊂
⋃
n∈N
En ⊂]− 1, 2[. (2.33)
Para terminar la demostración, vamos a proceder por el absurdo suponiendo
que el conjunto E es Lebesgue-medible. Entonces, para cada n el conjunto En es
medible por construcción pues es una traslación de E , y como estos conjuntos
son disjuntos, tenemos la identidad:
λ
(
⋃
n∈N
En
)
=
∑
n∈N
λ(En),
2.4. Medidas Borelianas 113
además, por la invariancia por traslación de la medida λ se tiene λ(En) = λ(E )
para todo n.
Por lo tanto, si λ(E ) = 0 entonces λ
(⋃
n∈N En
)
= 0 lo que contradice la pri-
mera inclusión de (2.33); mientras que si λ(E ) 6= 0 se tiene λ
(⋃
n∈N En
)
= +∞
lo que contradice la segunda inclusión de (2.33). Obtenemos aśı una contradic-
ción lo que termina la demostración. �
Observación 2.13 Es muy importante notar aqúı que estos resultados impli-
can la imposibilidad de prolongar la medida de Lebesgue a la clasede todos
los subconjuntos de la recta real de manera que la función obtenida sea una
medida invariante por traslación.
Resumen
Vamos a exponer en esta sección, a manera de una proyección acelerada, las
diferentes etapas expuestas en este caṕıtulo para la construcción de medidas.
El punto de partida está dado por las nociones de álgebras de partes A y de
funciones aditivas de conjuntos m que poseen las propiedades más esenciales
de la medidas generales, pero por definición están limitadas a las operaciones
finitas lo cual es muy reductor. En este marco es relativamente sencillo visua-
lizar las particularidades básicas de la teoŕıa de la medida; sin embargo, para
obtener los resultados más importantes, el paso decisivo está dado por el paso
a las operaciones numerables.
La generalización de estos dos conceptos se realiza por medio de las σ-álge-
bras engendradas σ(A) y de las medidas µ definidas sobre ellas. Obtenemos
aśı una aplicación µ : A −→ R+ que verifica las propiedades de las funciones
aditivas de conjuntos extendidas a las operaciones numerables.
Sin embargo, a pesar de que el paso de una álgebra de partes A a una σ-
álgebra A puede comprenderse con relativa facilidad gracias a la noción de
σ-álgebra engendrada σ(A), la generalización de la aplicación m a una medida
µ es mucho más delicada y requiere un cierto número de conceptos importantes,
como las medidas exteriores µ∗, los conjuntos µ∗-medibles y la σ-álgebra Mµ∗ .
En este punto, es el teorema de Carathéodory que relaciona la medida exte-
rior µ∗ asociada a la función aditiva de conjuntos m y que nos permite afirmar
que estas dos funciones coinciden sobre el álgebra de partes A mientras que la
unicidad de esta prolongación se obtiene utilizando las clases monótonas.
Finalmente, si dotamos al conjunto de base X de una estructura topológica,
el hecho de trabajar con la σ-álgebra engendrada por los abiertos de X permite
considerar ciertas particularidades de gran importancia: si la medida es regular
podemos aproximar la medida de un conjunto cualquiera por medio de los
conjuntos usuales en topoloǵıa, es decir los abiertos, cerrados y compactos.
114 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
2.5. Ejercicios
Ejercicio 2.1 En este ejercicio estudiamos las propiedades de las imagenes
rećıprocas y directas. Demostrar las identidades expuestas en (2.1) y encontrar
contra ejemplos en el caso de las imagenes directas.
Ejercicio 2.2 Vamos a explicar aqúı la terminoloǵıa utilizada para las álgebras
de partes. Sea A una álgebra de partes definida sobre un conjunto X.
1. Mostrar que la operación de diferencia simétrica ∆ entre dos conjuntos
es conmutativa, asociativa, posee un elemento neutro y que todo conjunto
admite un elemento inverso. ¿Con estas propiedades, qué se puede decir
de (A,∆) desde el punto de las estructuras algebraicas?
2. ¿Qué sucede si esta vez consideramos (A,∩)?
3. Mostrar que la operación ∩ es distributiva con respecto a ∆, es decir que
se tiene la identidad
A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩C).
4. ¿Qué podemos decir de la tripla (A,∆,∩)?
Ejercicio 2.3 Sea X un conjunto. Mostrar que toda álgebra de partes finita A
sobre X es el álgebra asociada a una partición finita de X.
Ejercicio 2.4 Sea A el álgebra sobre la recta real determinada por la reunión
finita de intervalos (ver el ejemplo (iii) página 52). Mostrar que cada elemento
de esta álgebra se escribe de manera única como reunión finita de intervalos
dos a dos separados.
Ejercicio 2.5 Sea A el álgebra de partes sobre Rn determinada por la reunión
finita de conjuntos adoquinables (ver el ejemplo (vi) página 53).
1. Mostrar que el complementario de un adoqúın es la unión finita de ado-
quines disjuntos. ¿Cúantos adoquines se necesita si n = 2, n = 3?
2. Sean A y B dos adoquines. Notamos Ac =
⋃
iAi y B
c =
⋃
j Bj las
descomposiciones precedentes. Mostrar que A∪B es la unión disjunta de
los adoquines A ∩B, Ai ∩B y A ∩Bj.
3. Razonando por recurrencia concluir que los conjuntos adoquinables cons-
tituyen una álgebra de partes.
Ejercicio 2.6 Sea A el álgebra sobre Rn determinada por la reunión finita de
adoquines. Mostrar que la aplicación vol definida por la fórmula (2.6) es una
función aditiva de conjuntos.
Ejercicio 2.7 Encontrar un ejemplo que ilustre la aserción siguiente: “la ima-
gen directa de una σ-álgebra no es una σ-álgebra”.
2.5. Ejercicios 115
Ejercicio 2.8 Sea X un conjunto y sean A,B dos subconjuntos de X. Fijamos
K = {A,B}, calcule la σ-álgebra engendrada σ(K).
Ejercicio 2.9 Sean X un conjunto, K un subconjunto de P(X) y C un sub-
conjunto de X. ¿Se tiene la siguiente identidad σ(K) ∩ C = σ(K ∩ C)? ¿Qué
sucede si en vez de considerar la intersección en la fórmula anterior se toma
en cuenta la reunión?
Ejercicio 2.10 Mostrar que si A es una álgebra de partes y si para toda su-
cesión (An)n∈N de conjuntos disjuntos de A tal que
⋃
n∈NAn pertenece a A,
entonces A es una σ-álgebra.
Ejercicio 2.11 Sea X un conjunto y sea A una σ-álgebra definida sobre X.
Sea µ : A −→ [0,+∞] una función definida por µ(A) = 1 si A 6= ∅ y µ(A) = 0
si A = ∅. ¿La función µ es una medida?
Ejercicio 2.12 Sea (X,A , µ) un espacio medido. Mostrar que si A,B,C per-
tenecen a una σ-álgebra de partes A entonces
µ(A∪B∪C) = µ(A)+µ(B)+µ(C)−µ(A∩B)−µ(A∩C)−µ(B∩C)+µ(A∩B∩C).
Deducir una fórmula general para la medida de la unión de n conjuntos.
Ejercicio 2.13 Sea (X,A ,P) un espacio probabilizado de medida P y sea (An)n∈N
es una sucesión de elementos de A tal que An ↓ ∅ (es decir que la sucesión es
decreciente y tiende hacia ∅). Mostrar entonces que P(An) ↓ 0.
Ejercicio 2.14 Sea (X,A , µ) un espacio medido y notemos
K = {A ∈ A : µ(A) < +∞}. Para todo A,B ∈ K definimos
d(A,B) = µ(A∆B).
Mostrar que la aplicación d : K × K −→ R determina una distancia.
Ejercicio 2.15 Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que la medida µ sea no-
atómica y tal que existe un conjunto A ∈ A de medida postiva (es decir
µ(A) > 0). Mostrar que se puede construir una sucesión decreciente de conjun-
tos medibles (An)n∈N tales que
A = A0 ⊃ A1 ⊃ ...
y tales que µ(A0) > µ(A1) > ... > 0.
Ejercicio 2.16 Sea el espacio medible (N,P(N)) sobre el cual consideramos la
medida cardinal µ y la medida gruesa ν.
1. Determinar el conjunto D = {A ∈ P(N) : µ(A) = ν(A)}.
2. ¿Es el conjunto D una σ-álgebra?
116 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
Consideremos ahora X = {1, 2, 3, 4} y A = P(X) con µ = Card. Definimos
una aplicación ν por
ν(A) = 0 si A = ∅, {1}, {2}, {1, 2},
ν(A) = 2 si A = {3}, {4}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4},
ν(A) = 4 si A = {3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, X
Verificar que ν es una medida sobre (X,A ). Determinar el conjunto D = {A ∈
P(X) : µ(A) = ν(A)}, ¿es el conjunto D una σ-álgebra?
Ejercicio 2.17 El objetivo de este ejercicio es el de estudiar las medidas ex-
teriores asociadas a funciones de conjuntos y sus σ-álgebras respectivas.
1. Sea X un conjunto cualquiera y sea K = {∅, X}. Definimos una aplicación
µ sobre K de la siguiente manera:
µ : K −→ R+
∅ 7−→ µ(∅) = 0
X 7−→ µ(X) = 1.
Calcular la medida exterior µ∗ asociada a esta aplicación y determinar
la colección de conjuntos µ∗-medibles. ¿Qué σ-álgebra se obtiene?
2. Sea ν∗ : P(N) −→ [0,+∞[ una aplicación determinada por ν∗(∅) = 0,
ν∗(N) = 2 y ν∗(A) = 1 para todo A 6= {∅,N}. Mostrar que ν∗ es una
medida exterior y determinar la σ-álgebra Mν∗. Si definimos la sucesión
de conjuntos An = {k ∈ N : k ≤ n},
¿se tiene la relación ν∗( ĺım
n→+∞
An) = ĺım
n→+∞
ν∗(An)?
3. Sea χ una aplicación determinada por:
χ : P(N) −→ R+
A 7−→ χ(A) = Card(A)
Card(A) + 1
si Card(A) < +∞,
A 7−→ χ(A) = 1 si Card(A) = +∞.
Mostrar que χ es una aplicación creciente de conjuntos.
¿Se tiene χ( ĺım
n→+∞
An) = ĺım
n→+∞
χ(An) para toda sucesión creciente de
conjuntos (An)n∈N? ¿Y para toda sucesión decreciente de conjuntos? Mos-
trar que χ es una medida exterior y determinar la colección Mχ.
Ejercicio 2.18 (Medidas exteriores métricas)Sea (X, d) un espacio métri-
co. Una medida exterior µ definida sobre X es una medida exterior métrica si
se tiene la identidad
µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B),
siempre y cuando los conjuntos A y B son positivamente separados en el sen-
tido siguiente
d(A,B) = ı́nf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0.
2.5. Ejercicios 117
Mostrar que si µ es una medida exterior métrica entonces la colección de con-
juntos µ-medibles contiene los conjuntos borelianos. Para ello seguir las si-
guientes etapas:
1. Sea E ∈ P(X) tal que µ(E) < +∞ y sea C un conjunto cerrado. Con-
siderando los conjuntos Cn = {x ∈ X : d(x,C) ≥ 1/n} mostrar que
µ(E) ≥ µ(E ∩ Cn) + µ(E ∩ C).
2. Definimos Ak = {x ∈ X : 1/(k + 1) ≤ d(x,C) < 1/k}. Verificar que se
tienen las inclusiones
E ∩Cn ⊂ E \ C ⊂ (E ∩ Cn) ∪
⋃
k≥n
(E ∩ Ak).
3. Mostrar que
∑
k≥1
µ(E ∩ Ak) ≤ 2µ(E) y deducir
ĺım
n→+∞
∑
k≥n
µ(E ∩ Ak) = 0.
4. Mostrar utilizando los dos puntos anteriores que se tiene
ĺım
n→+∞
µ(E ∩ Cn) = µ(E \ C).
5. Obtener la estimación µ(E) ≥ µ(E \ C) + µ(E ∩ C) y concluir que una
medida exterior métrica contiene los conjuntos borelianos.
Ejercicio 2.19 (Dimensión de Hausdorff) En este ejercicio consideramos
el espacio eucĺıdeo Rn dotado de su métrica usual. Recordemos que si A ⊂ Rn
y si s, δ > 0 tenemos las definiciones siguientes:
Hsδ(A) = ı́nf
Rδ,A
+∞∑
i=0
diam(Ui)
s y Hs(A) = ĺım
δ→0
Hsδ(A).
(ver los detalles en las fórmulas (2.16) y (2.17)).
1. Demuestre que la medida Hs es una medida exterior métrica en el sentido
de la definición dada en el ejercicio anterior.
2. Sea A un subconjunto de Rn y δ > 0 un real, si s < t, muestre que se
tiene la estimación
Hsδ(A) ≥ δs−tHtδ(A). (2.34)
3. Mostrar utilizando la estimación anterior que si para todo conjunto A
existe un valor notado dim(A) tal que 0 < Hdim(A)(A) < +∞, entonces
se tiene
Hs(A) =



+∞ si 0 ≤ s < dim(A),
0 si dim(A) < s < +∞.
A la cantidad dim(A) se le denomina la dimensión de Hausdorff del con-
junto A.
118 Caṕıtulo 2. Teoŕıa de la medida
4. Mostrar que la dimensión de Hausdorff del conjunto triádico de Cantor
K verifica dim(K) ≤ log 2/ log 3 (Calcular por ejemplo Hdim(K)3−j (K) y
hacer j → +∞).
Ejercicio 2.20 (Relaciones entre Hausdorff y Lebesgue) Una clase de Vi-
tali para un conjunto A es una familia de conjuntos V tal que, para todo x ∈ A
y para todo δ > 0, existe U ∈ V con x ∈ U tal que 0 < diam(U) ≤ δ. Admiti-
mos el hecho siguiente:
[Teorema de recubrimiento de Vitali] Sea A ⊂ Rn un conjunto Hs-
medible y sea V una clase de Vitali de A formada por conjuntos cerrados.
Entonces podemos escoger una sucesión (finita o numerable) (Ui)i∈I de V tal
que: o se tiene
∑
i∈I
diam(Ui)
s = +∞ o se tiene Hs(A \⋃i∈I Ui) = 0.
Definimos la constante
cn =
π
n
2
2nΓ(n2 + 1)
,
en dónde Γ es la función Gamma clásica: Γ(x) =
∫ +∞
0
tx−1e−tdt (nótese que
c1 = 1 y que c2 =
π
4 ).
Vamos a verificar que si A ⊂ Rn, entonces se tiene la identidad
λn(A) = cnHn(A).
1. Mostrar que sobre R las medidas λ y H1 coinciden.
2. Verificar que para todo δ > 0 y todo ε > 0, se puede recubrir un conjunto
A por una colección de conjuntos cerrados (Ui)i∈N tales que
∑
i∈N
diam(Ui)
n ≤ Hnδ (A) + ε.
3. Suponiendo que para todo conjunto cerrado y convexo C ⊂ Rn se tiene
la mayoración λn(C) ≤ cndiam(C)n (en particular se tiene la igualdad
para las bolas cerradas). Mostrar que se tiene
λn(A) ≤
∑
i∈N
λn(Ui) ≤ cnHnδ (A) + cnε,
y deducir que λn(A) ≤ cnHn(A).
4. Verificar que es suficiente estudiar los conjuntos A tales que
Hs(A) < +∞.
5. Para la estimación rećıproca, sea (Qi)i∈N una colección de cubos que re-
cubren A tal que
∑
i∈N
vol(Qi) ≤ λn(A) + ε.
Mostrar que para todo i ∈ N, las bolas cerradas contenidas en Qi de radio
máximo δ forman una clase de Vitali de Qi.
2.5. Ejercicios 119
6. Utilizando el teorema de Vitali, mostrar que existe una familia de bolas
disjuntas (Bij)j∈N de Qi de diámetro maximal δ tales que
Hn(Qi \
⋃
j∈N
Bij) = 0.
7. Mostrar que se tiene la estimación
Hnδ (A) ≤
+∞∑
i=0
+∞∑
j=0
Hnδ (Bij).
8. Mostrar que
+∞∑
i=0
+∞∑
j=0
Hnδ (Bij) ≤ c−1n
+∞∑
i=0
vol(Qi) ≤ c−1n (λn(A) + ε),
Concluir que cnHn(A) ≤ λn(A).
3 Teoŕıa de la integración
Los espacios de funciones de Lebesgue y de Lorentz que vamos a estudiar
en este libro están definidos a partir de la noción de integral de Lebesgue y es
por ello que es indispensable presentar de manera clara y detallada las etapas
necesarias para la construcción de tal integral. Hemos estudiado en el caṕıtulo
anterior cómo asignar una medida a los conjuntos y hemos expuesto sus princi-
pales propiedades. Vamos ahora a sacar provecho de estos resultados pasando
al estudio de la medibilidad de las funciones de donde se obtendrá el concepto
de integral en el sentido de Lebesgue.
Este caṕıtulo se articula en torno a las tres grandes Secciones 3.2, 3.3 y 3.4
en donde exponemos la teoŕıa de la integración, los principales teoremas de
la teoŕıa de la integración y la integración en los espacios producto respecti-
vamente. Reservaremos sin embargo la primera sección a un breve recuento
de la integral de Riemann en donde mostraremos algunas de sus deficiencias.
Nuestro objetivo con este primer párrafo es que, a la luz de este pequeño estu-
dio, el lector pueda apreciar mejor las importantes propiedades de la integral
de Lebesgue que hacen que éste sea el marco natural para la definición de los
espacios funcionales que serán introducidos en los caṕıtulos siguientes.
El objetivo de la Sección 3.2 es construir paso a paso la integral de Lebesgue
y exponer sus principales propiedades. Empezaremos definiendo las funciones
medibles y presentando sus propiedades en donde constarán los resultados esen-
ciales de paso al ĺımite. Seguiremos con la definición de la integral de funciones
simples y positivas para finalmente obtener el caso general por un argumento
de paso al ĺımite. La Sección 3.3 está en cambio reservada a la demostración
de los resultados más poderosos de la teoŕıa de la integración como son los
teoremas de convergencia dominada de Lebesgue, el lema de Fatou, aśı como
los diferentes modos de convergencia de funciones. Terminaremos esta sección
con el estudio en el párrafo 3.3.4 de la continuidad y la derivabilidad bajo el
signo integral.
La teoŕıa de la integración en los espacios producto será presentada en la
Sección 3.4 en donde expondremos los teoremas de Fubini y de Tonelli aśı
como algunos ejemplos de aplicación de estos importantes resultados. En esta
sección volveremos a estudiar algunos aspectos de la teoŕıa de la medida para
construir medidas producto adaptadas a nuestras necesidades.
Finalmente, terminaremos este caṕıtulo con la Sección 3.5 en donde estudia-
mos más en detalle las relaciones entre la integral de Riemann y la integral de
Lebesgue.
121
122 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
3.1. Las limitaciones de la integral de Riemann
Vamos a describir en esta sección, de forma muy rápida y sucinta, algunas
caracteŕısticas generales de la integral de Riemann. Mostraremos en particular
dos aspectos que muestran las deficiencias de la integral de Riemann y que jus-
tifican la necesidad de construir un concepto de integral distinto. Podremos ver
entonces que el éxito de la integral de Lebesgue se debe al hecho que proporcio-
na un marco suficientemente general, es decir aplicable en diversas situaciones,
en el cual se disponen de resultados muy poderosos cuyas hipótesis son fáciles
de verificar.
El marco clásico más sencillo1 para definir la integral de Riemann es el de las
funciones escalonadas sobre un intervalo [a, b] de la recta real R. Recordemos su
definición: diremos que una función ϕ : [a, b] −→ R es escalonada si existe una
subdivisión P = {x0, ..., xn} con a = x0 < x1 < ... < xn = b tal que, para todo
i ∈ {1, ..., n}, ϕ es constante (digamos igual a ci) sobre ]xi−1, xi[. Hablaremos
de δ-subdivisión si la distancia entre cada unos de los puntos {x0, ..., xn} es
constante e igual a δ.La integral de este tipo de función está entonces dada
por la expresión:
∫ b
a
ϕ(x)dx =
n∑
i=1
ci(xi − xi−1). (3.1)
Veamos un ejemplo muy simple de función escalonada con el dibujo siguiente.
ϕ
x0 · · · x10
c1
c2
c3
c4
Figura 3.1: Una función escalonada
Tenemos por la expresión (3.1) que la integral de esta función ϕ es igual a:
∫ b=x10
a=x0
ϕ(x)dx = c1(x1 − x0) + c2(x2 − x1) + c1(x3 − x2) (3.2)
+c3(x4 − x3) + c2(x5 − x4) + c1(x6 − x5)
+c3(x7 − x6) + c4(x8 − x7) + c2(x9 − x8) + c1(x10 − x9),
lo que corresponde geométricamente a recubrir el área bajo la curva de ϕ por
medio de rectángulos, de base (xi − xi−1) y de altura las cantidades ci, para
1En la Sección 3.5 retomaremos un poco más en detalle el estudio de la integral de Riemann.
3.1. Las limitaciones de la integral de Riemann 123
finalmente sumar el área de cada uno de estos rectángulos.
Más generalmente, una función f : [a, b] −→ R será integrable en el sentido
de Riemann o Riemann-integrable si, para todo ε > 0, existen dos funciones
escalonadas ϕ y ψ tales que:
ϕ(x) < f(x) < ψ(x) para todo x ∈ [a, b] y
∫ b
a
(ψ − ϕ)(x)dx < ε. (3.3)
Esta fórmula, conocida como el criterio de Darboux 2, significa que una función
es Riemann-integrable si puede ser aproximada inferiormente y superiormente
por funciones escalonadas.
El gráfico a continuación ilustra esta situación.
✲
✻
a = x0 δ b = xn
f
ψ1
ϕ1
✲
✻
a = x0 δ
2
b = xn
f
ψ2
ϕ2
Figura 3.2: Aproximación de una función f por medio de funciones escalonadas
utilizando una δ-subdivisión y una δ/2 subdivisión.
Esta definición de integral puede parecer muy general pues autoriza, por
ejemplo, que una función sea discontinua en una cantidad numerable de pun-
tos. Sin embargo es muy fácil construir ejemplos relativamente naturales de
funciones acotadas que no son Riemann-integrables.
Veamos justamente un ejemplo. Si el conjunto A es un intervalo sencillo de
la forma [α, β] con a < α < β < b, obtenemos entonces la siguiente expresión
∫ b
a
1A(x)dx = β − α.
Sin embargo si el conjunto A es apenas más complicado, digamos de la forma
Q o su restricción a un segmento, por ejemplo Q∩ [0, 1]; no se puede encontrar
ningunas dos funciones escalonadas tal que se tenga (3.3): la función 1Q∩[0,1]
no es entonces una función Riemann-integrable. Esta es una primera limitación
2Gaston Darboux (1842 - 1917), matemático francés.
124 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
pues no todas las funciones naturales, como las funciones indicatrices de con-
juntos, son Riemann-integrables.
Una segunda limitación proviene del hecho que la integral de Riemann tiene
un mal comportamiento con respecto a los ĺımites. En efecto, para poder inter-
cambiar los signos “ĺım” y “
∫
” es necesario que la sucesión (fn)n∈N converja
uniformemente hacia f . Como hab́ıamos visto en el primer caṕıtulo, esta no-
ción de convergencia uniforme es una condición muy fuerte de carácter métrico
y es por lo tanto deseable poder relajar esta hipótesis.
Más detalladamente tenemos los dos puntos siguientes:
1) Si (fn)n∈N es una sucesión de funciones Riemann-integrables, el ĺımi-
te f = ĺım
n→+∞
fn no es necesariamente Riemann-integrable. Demos un
ejemplo: sea (rn) una enumeración de los racionales, entonces la función
indicatriz del conjunto Rn = {r1, r2, ..., rn} es Riemann-integrable y se
tiene
∫ b
a
1Rn(x)dx = 0 para todo n y para todo intervalo cerrado [a, b].
Sin embargo, en el ĺımite se tiene ĺım
n→+∞
1Rn(x) = 1Q(x) y esta función
no es Riemann-integrable.
2) Si suponemos además que el ĺımite de esta sucesión de funciones es
Riemann-integrable, tampoco se tiene siempre la identidad
ĺım
n→+∞
∫ 1
0
fn(t)dt =
∫ 1
0
ĺım
n→+∞
fn(t)dt. (3.4)
Ilustremoslo con un ejemplo. Sea (an)n∈N una sucesión de números reales,
definimos sobre [0, 1] una sucesión de funciones (fn)n∈N a valores reales
escribiendo:
fn(x) =



2nanx si 0 ≤ x ≤ 1/2n,
2an(1 − nx) si 1/2n < x ≤ 1/n,
0 si 1/n < x ≤ 1.
(3.5)
Esta sucesión (fn)n∈N converge simplemente hacia 0 para toda sucesión
(an)n∈N y converge uniformemente si y solo si la sucesión (an)n∈N con-
verge hacia 0. Además, tenemos que
∫ 1
0
fn(x)dx = an/2n,
y la sucesión de las integrales de las funciones fn converge hacia 0 si y
solo si la sucesión (an/n) tiende hacia 0, que es una condicion más débil
que la anterior. Más expĺıcitamente, si fijamos an = n, vemos que la parte
izquierda de (3.4) es igual a 1/2 mientras que la parte derecha es nula.
A la luz de estos ejemplos el objetivo que nos proponemos en las secciones
siguientes es doble. El primer punto consiste en construir una noción de integral
más general que el concepto de integral de Riemann (en el sentido que se pueda
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 125
considerar un mayor número de funciones) y que éstas dos integrales coincidan
sobre el espacio de funciones continuas. Esto será explicado en la Sección 3.5.
El segundo objetivo es obtener una serie de resultados y de teoremas que hacen
que la noción de integral que desarrollaremos sea más robusta y más eficiente
que la noción de Riemann haciendo un énfasis especial en el comportamiento
con respecto a los ĺımites.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue
El objetivo de esta sección es la construcción de la integral de Lebesgue y
para ello procedemos por algunas etapas. Empezaremos definiendo las funcio-
nes medibles y describiendo sus principales propiedades en el párrafo 3.2.1 a
continuación. Veremos en particular que la noción de medibilidad de una fun-
ción f solo depende de las σ-álgebras definidas en su dominio de definición y
en su conjunto de valores (usualmente K) y no de la medida utilizada. Dicho
de otra manera, para caracterizar la noción de medibilidad de las funciones,
será suficiente trabajar con una estructura de espacio medible.
En la Sección 3.2.2 siguiente exponemos una propiedad relacionada con los
conjuntos de medida nula que es de gran importancia en la construcción de la
integral de Lebesgue: se trata de estudiar las propiedades que son válidas en
casi todas partes. Daremos en particular una definición precisa de las nociones
de convergencia y de igualdad en este sentido muy especial.
En la Sección 3.2.3 construiremos la integral de Lebesgue pasando por algu-
nas etapas clásicas; es decir considerando primero funciones simples y definien-
do su integral para luego obtener el caso general por un argumento de paso al
ĺımite. En la Sección 3.2.4 presentamos el espacio de funciones integrables aśı
como sus propiedades más elementales y cerraremos nuestra exposición con la
Sección 3.2.5 en donde estudiamos la integración en subconjuntos.
3.2.1. Funciones medibles
El conjunto de funciones medibles que definimos en las ĺıneas siguientes son
los candidatos naturales de funciones integrables y es por lo tanto importante
estudiar sus principales caracteŕısticas pues éstas se repercutirán en las propie-
dades de la integral. Es interesante observar una vez más que en los resultados
de esta sección solo necesitaremos la noción de espacio medible, es decir que el
concepto de medibilidad de las funciones depende únicamente de la estructura
de σ-álgebra con la cual dotamos los espacios de salida y de llegada.
Luego de presentar las propiedades y ejemplos básicos de este tipo de funcio-
nes, verificaremos que todas las operaciones usuales sobre las funciones medibles
dan como resultado una función medible. Obtendremos en particular un cri-
terio de medibilidad bastante útil y veremos que estas funciones son estables
bajo operaciones numerables lo cual tiene consecuencias muy agradables. Ter-
minaremos finalmente esta sección con una aplicación de estos resultados para
obtener un ejemplo de subconjunto de la recta real que es Lebesgue-medible,
pero que no es Boreliano.
126 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Empezamos con la caracterización de las funciones medibles que es lasi-
guiente:
Definición 3.2.1 (Función medible - Espacio de funciones medibles)
Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles.
Decimos que una función f de X en Y es (A ,B)-medible (o simplemente
medible si no hay ambigüedad) si para todo B ∈ B, tenemos f−1(B) ∈ A .
El conjunto de funciones (A ,B)-medibles será notado por M(X,A , Y,B).
Cuando el conjunto de llegada esté claramente definido aśı como su σ-álge-
bra notaremos M(X,A , Y ) o más simplemente M(X,A ) para designar este
espacio de funciones.
Demos un ejemplo muy sencillo de función medible. Si consideramos los
conjuntos X = {a, b, c} y Y = {α, β, γ} dotados de las σ-álgebras A =
{∅, {a}, {b, c}, X} y B = P(Y ) respectivamente, es fácil ver que la función
definida por
f : X −→ Y, f(a) = f(b) = f(c) = α,
es una función (A ,B)-medible.
Por el contrario, la función g : X −→ Y determinada por g(a) = α, g(b) = β
y g(c) = γ no es (A ,B)-medible puesto que no verifica la condición de la De-
finición 3.2.1: en efecto g−1({γ}) = {c} pero {c} /∈ A . Sin embargo, si en vez
de considerar la σ-álgebra A utilizamos la σ-álgebra C = P(X), no es dif́ıcil
comprobar que esta función g es (C ,B)-medible lo que ilustra claramente la
dependencia de la noción de medibilidad de las funciones con respecto a las
σ-álgebras utilizadas.
Es importante observar que, aśı como en el caso de los conjuntos medibles
definidos en el caṕıtulo anterior, si consideramos las σ-álgebras P(X) y P(Y )
tenemos que toda función definida sobreX a valores en Y es medible, lo cual no
es necesariamente deseable. Es por lo tanto indispensable definir con cuidado
las σ-álgebras con las cuales deseamos trabajar para obtener un criterio de
medibilidad de funciones que sea suficientemente estable bajo las operaciones
usuales entre funciones. En este sentido tenemos la definición:
Definición 3.2.2 (Funciones Borelianas) Si X,Y son dos espacios topológi-
cos dotados de sus σ-álgebras borelianas, las funciones (Bor(X),Bor(Y ))-medibles
serán llamadas funciones Borelianas. Por lo general, el espacio de llegada Y
será uno de los espacios topológicos R, C, R+ o R.
Un primer ejemplo de función boreliana está dado por las funciones indicatrices
1A de las partes A de X que son Bor(X)-medibles.
Esta concepción de funciones medibles es más general y posee más propieda-
des de estabilidad que la noción de función Riemann-integrable como tendremos
la oportunidad de verlo con los resultados explicitados en esta sección. Sin em-
bargo, es posible ver desde ya que la función f(x) = 1Q∩[0,1](x) definida sobre
la recta real, dotada de su σ-álgebra boreliana, es (Bor([0, 1]),Bor(R))-medible
pues el conjunto Q ∩ [0, 1] es un conjunto boreliano. En la teoŕıa de Riemann
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 127
esta función es totalmente patológica y esto muestra que estamos en capacidad
de estudiar un mayor número de funciones.
Detallemos ahora, con las proposiciones siguientes, las principales propieda-
des de las funciones medibles. Los resultados a continuación tienen por voca-
ción de mostrar que el conjunto de funciones medibles poseen caracteŕısticas
interesantes de robustez y de flexibilidad, heredadas de la estructura de las
σ-álgebras, que se proyectarán en las propiedades de la integral de Lebesgue.
Proposición 3.2.1 Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles y K un con-
junto de partes de Y que engendra la σ-álgebra B. Entonces, una aplicación
f : X −→ Y es (A ,B)-medible si y solo si la imagen rećıproca de todo elemento
de K es un elemento de A . Simbólicamente lo notaremos f−1(K) ⊂ A .
Prueba. Evidentemente, si f es (A ,B)-medible, se tiene f−1(B) ∈ A para
todo B ∈ K. La implicación rećıproca se basa en la Proposición 2.2.5. En efecto
por la fórmula (2.8) tenemos
f−1(B) = f−1(σ(K)) = σ(f−1(K)),
de donde se deduce la proposición puesto que por hipótesis tenemos que la
imagen rećıproca de todo elemento de K es un elemento de A . �
Esta proposición nos proporciona un criterio muy útil para la verificación de
la medibilidad de las funciones: es evidentemente mucho más cómodo y fácil de
estudiar la definición de medibilidad sobre un generador de una σ-álgebra que
sobre todos los conjuntos de esta σ-álgebra.
Corolario 3.2.1 Toda aplicación continua de un espacio topológico X en otro
espacio topológico Y , dotados de sus σ-álgebras borelianas respectivas, es bore-
liana.
Prueba. Basta aplicar la Proposición 3.2.1 en el caso en donde A y B son
las σ-álgebras borelianas de X y Y respectivamente y K es el conjunto de los
abiertos de Y . �
Este corolario es un primer paso para el estudio de la integral de funciones
continuas: si todas estas funciones son medibles, son entonces candidatas para
ser funciones integrables.
El resultado siguiente es particularmente útil pues nos permitirá, gracias a
la composición de funciones medibles, construir nuevas aplicaciones medibles:
Proposición 3.2.2 Sean (X,A ), (Y,B) y (Z,C ) tres espacios medibles y sean
f : X −→ Y y g : Y −→ Z dos aplicaciones (A ,B)- y (B,C )-medibles
respectivamente. Entonces la aplicación g ◦ f : X −→ Z es (A ,C )-medible.
Prueba. La verificación es sencilla. Basta para ello considerar un elemento C
de la σ-álgebra C y ver que g−1(C) pertenece a B por hipótesis. Por lo tanto
128 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
se tiene (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)) ∈ A , de donde se deduce la (A ,C )-
medibilidad de g ◦ f . �
El resultado a continuación (que no es más que una ligera modificación de
la Proposición 3.2.1) nos proporciona un criterio simple para verificar cuando
una función a valores en R, Rn, C o R+ es medible.
Proposición 3.2.3 (Criterio de medibilidad) Sea (X,A ) un espacio me-
dible.
1) La aplicación f : X −→ R o R+ es (A ,Bor(R))-medible o (A ,Bor(R+))-
medible si y solo si, para todo real (o hasta para todo racional) α, el
conjunto {x ∈ X : f(x) > α} es A -medible.
La condición > puede ser reemplazada por cualquiera de los śımbolos ≤,
≥ o <.
2) Una función f : X −→ Rn es (A ,Bor(Rn))-medible si y solo si cada una
de sus componentes es (A ,Bor(R))-medible.
3) En particular, una función f : X −→ C será medible si y solo si sus
partes reales e imaginarias son medibles.
Prueba. La primera parte de la proposición se deduce de la Proposición 3.2.1 y
del hecho que los intervalos ]α,+∞[ o ]−∞, α[ generan los borelianos de R o R+.
Para establecer la segunda parte, si f es (A ,Bor(Rn))-medible entonces las
funciones componentes definidas por fi = πi ◦ f con i = 1, ..., n en donde
πi son las proyecciones canónicas, son (A ,Bor(R))-medibles por composición
(recuérdese que las proyecciones canónicas πi : R
n −→ R son aplicaciones con-
tinuas3 y por lo tanto (Bor(Rn),Bor(R))-medibles).
Si inversamente las funciones fi son (A ,Bor(R))-medibles, entonces el con-
junto
{x ∈ X : f(x) ∈ I1 × · · · × In} = {f1(x) ∈ I1} ∩ · · · ∩ {fn(x) ∈ In},
es A -medible para todos los intervalos abiertos Ii. Dado que el conjunto de ado-
quines abiertos del tipo I1 × · · · × In generan la σ-álgebra de los borelianos de
Rn tenemos por la Proposición 3.2.1 que la función f es (A ,Bor(Rn))-medible.
Finalmente, observamos que C es homeomorfo a R2 y que por lo tanto este
punto es un caso particular del anterior. Basta entonces considerar las funcio-
nes ℜe(f) = π1 ◦f y ℑm(f) = π2 ◦f y aplicar el mismo razonamiento utilizado
en las ĺıneas precedentes. �
Hacemos una pequeña digresión observando que esta proposición se apli-
ca naturalmente a las funciones semi-continuas inferiormente cuya definición
recordamos a continuación.
3Ver el Ejercicio 1.2.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 129
Definición 3.2.3 (Funciones semi-continuas inferiormente) Una función
f definida sobre un espacio topológico X a valores en R+ es semi-continua in-
feriormente si los conjuntos de la forma {x ∈ X : f(x) > α} son abiertos, o de
manera equivalente si los conjuntos {x ∈ X : f(x) ≤ α} son cerrados para todo
α ∈ R.
Paralelamentey de forma totalmente simétrica, una función será semi-continua
superiormente si los conjuntos de la forma {x ∈ X : f(x) < α} son abiertos
para todo α ∈ R.
Notemos que la función indicatriz de todo abierto es semi-continua inferior-
mente mientras que la función indicatriz de todo cerrado es semi-continua su-
periormente. Además si (fn)n∈N es una sucesión de funciones semi-continuas
inferiormente tales que f(x) = supn∈N fn(x) entonces la función f es semi-
continua inferiormente.
Corolario 3.2.2 Toda función semi-continua definida sobre un espacio to-
pológico X a valores en R es boreliana.
Prueba. La verificación se facilita si utilizamos el criterio de medibilidad
expuesto en la Proposición 3.2.3. En efecto, por definición de función semi-
continua inferiormente, el conjunto {x ∈ X : f(x) > α} es abierto y por lo
tanto Bor(X)-medible de manera que la función es boreliana. �
Veremos posteriormente la utilidad de este tipo de funciones.
Observemos ahora que el criterio de medibilidad admite la siguiente modifi-
cación.
Proposición 3.2.4 Sean (X,A ) un espacio medible, A un subconjunto de X
que pertenece a A y f, g dos funciones definidas sobre A a valores en R+ que
son (A ,Bor(R+))-medibles. Entonces los conjuntos
{x ∈ A : f(x) < g(x)}, {x ∈ A : f(x) ≤ g(x)} y {x ∈ A : f(x) = g(x)},
pertenecen a A .
Prueba. Obsérvese que la desigualdad f(x) < g(x) implica la existencia de un
número racional r tal que f(x) < r < g(x). Luego,
{x ∈ A : f(x) < g(x)} =
⋃
r∈Q
({x ∈ A : f(x) < r} ∩ {x ∈ A : r < g(x)}) ,
entonces el conjunto {x ∈ A : f(x) < g(x)} es la unión numerable de conjuntos
que pertenecen a A y por lo tanto pertenece a A . Similarmente se obtiene
que el conjunto {x ∈ A : f(x) > g(x)} pertenece a A . Dado que se tiene la
identidad
{x ∈ A : f(x) ≤ g(x)} = A \ {x ∈ A : f(x) > g(x)},
130 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
se obtiene sin problema que el conjunto {x ∈ A : f(x) ≤ g(x)} pertenece a A .
Finalmente la identidad
{x ∈ A : f(x) = g(x)} = {x ∈ A : f(x) ≤ g(x)} \ {x ∈ A : f(x) < g(x)},
nos permite concluir que {x ∈ A : f(x) = g(x)} pertenece a A . �
La proposición que sigue nos muestra que todas las operaciones naturales
que se pueden efectuar sobre las funciones medibles nos conducen siempre a
una función medible.
Proposición 3.2.5 Sea (X,A ) un espacio medible y sean f, g : X −→ K dos
aplicaciones medibles. Entonces
1) las funciones suma f + g y producto fg son medibles,
2) si f no se anula, la función 1/f es medible,
3) si f y g son a valores reales, las funciones máx(f, g) y mı́n(f, g) son
medibles,
4) para todo p > 0 la función |f |p es medible.
Prueba. Para el primer punto podemos restringirnos sin pérdida de genera-
lidad al caso K = R. Tenemos entonces que f + g es la composición de la
aplicación x 7−→ (f(x), g(x)) de X en R2, que es medible, y de la aplicación
(y1, y2) 7−→ y1 + y2 que es continua y por lo tanto medible. Para la aplicación
producto fg se procede similarmente.
El segundo punto se verifica observando que la función 1/f resulta de la
composición de f y de 1/z que es continua de K \ {0} en K. Si f se anula, el
enunciado no tiene sentido pero es importante darse cuenta que la función g
definida por g(x) = 1/f(x) si f(x) 6= 0 y g(x) = a si f(x) = 0, en donde a es
un elemento cualquiera de K (cero por ejemplo), es medible.
El tercer punto es evidente y es dejado al lector en ejercicio. El último punto
se deduce fácilmente puesto que |f |p es la aplicación compuesta de f , que es
medible, y de z 7−→ |z|p que es continua de K en K y por lo tanto medible. �
Corolario 3.2.3 El espacio de funiones medibles M(X,A ,K,Bor(K)) es un
K-espacio vectorial.
Por la proposición anterior vemos que la suma de funciones medibles f y g es
una función medible y se tiene sin problema que, para todo λ ∈ K, el producto
λf es también una función medible.
Corolario 3.2.4 Sea (X,A ) un espacio medible. Si f : X −→ [0,+∞] es una
función medible entonces las funciones determinadas por
f+(x) = máx(f(x), 0) y f−(x) = máx(−f(x), 0), (3.6)
son medibles.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 131
Este hecho se deduce del hecho que la función f+ resulta de la composición
de f con la aplicación x 7−→ x+. Estas funciones nos servirán para definir la
integral de funciones generales como lo veremos un poco más tarde.
Las últimas propiedades de las funciones medibles que presentamos con el
siguiente teorema son las que muestran su comportamiento con respecto a
los ĺımites. Estos puntos son fundamentales pues son los que nos permitirán
construir una noción de integral que cumpla con los objetivos que nos hemos
planteado.
Teorema 3.2.1 (Estabilidad numerable de las funciones medibles) Sea
(X,A ) un espacio medible y sea (fn)n∈N una sucesión de funciones medibles
definidas sobre X a valores en K. Entonces
1) Las funciones ı́nf
n∈N
fn y sup
n∈N
fn son funciones medibles.
2) Las funciones ĺım ı́nf
n→+∞
fn y ĺım sup
n→+∞
fn son medibles.
3) La función f = ĺım
n→+∞
fn (cuyo dominio de definición es {x ∈ X :
ĺım sup
n→+∞
fn = ĺım ı́nf
n→+∞
fn}) es una función medible.
4) La suma numerable de una serie de funciones medibles que converge en
cada punto define una función medible.
Demostración. Por la Proposición 3.2.3, basta considerar el caso real en cada
uno de estos puntos.
Para el primer punto, solo hay que estudiar la medibilidad de sup
n∈N
fn pues
se tiene la relación sup
n∈N
fn(x) = − ı́nf
n∈N
(−fn(x)). Tenemos entonces, para todo
t ∈ R la identidad
{x ∈ X : sup
n∈N
fn(x) > t} =
⋃
n∈N
{x ∈ X : fn(x) > t},
de donde se deduce que {x ∈ X : sup
n∈N
fn(x) > t} ∈ A . En efecto, los conjuntos
{x ∈ X : fn(x) > t} son A -medibles por el criterio de medibilidad y su unión
pertenece a la σ-álgebra A , por lo tanto podemos decir que la función sup
n∈N
fn
es medible.
Estudiemos el segundo punto. Dado que por definición tenemos
ĺım ı́nf
n→+∞
fn(x) = sup
n∈N
ı́nf
k≥n
fk(x) (3.7)
ĺım sup
n→+∞
fn(x) = ı́nf
n∈N
sup
k≥n
fk(x),
la medibilidad de estas funciones se deduce del punto anterior.
132 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Para el tercer punto, notaremos X0 el dominio de definición de ĺım
n→+∞
fn; de
manera que por la Proposición 3.2.4 tenemos X0 ∈ A . Dado que se tiene
{x ∈ X0 : ĺım
n→+∞
fn(x) ≤ t} = X0 ∩ {x ∈ X : ĺım sup
n→+∞
fn(x) ≤ t},
se obtiene la medibilidad de f(x) = ĺım
n→+∞
fn(x).
Para demostrar el último punto escribimos Sn(x) =
n∑
k=0
fk(x), como se tiene
la identidad
∑
n∈N
fn(x) = ĺım
n→+∞
Sn(x), se obtiene el resultado deseado utilizan-
do la Proposición 3.2.5 y el tercer punto del Teorema 3.2.1 que acabamos de
demostrar en las ĺıneas precedentes. �
Observación 3.1 Este teorema de estabilidad numerable de las funciones me-
dibles es fundamental en lo que sigue pues nos permitirá realizar operaciones
de paso al ĺımite con toda serenidad.
Hemos terminado nuestra exposición de las diferentes propiedades de las funcio-
nes medibles. Antes de continuar con nuestra presentación, vamos a estudiar en
el párrafo siguiente una aplicación muy concreta de los conceptos explicitados
hasta aqúı.
Un conjunto Lebesgue-medible pero no Boreliano
Como prometido en la Sección 2.4.4, exhibimos en las ĺıneas a continuación
un ejemplo que ilustra que la σ-álgebra de los Borelianos de la recta real no es
completa. El enunciado preciso es el siguiente:
Teorema 3.2.2 Existe un subconjunto de la recta real que es Lebesgue-medible
pero que no es boreliano.
Para la verificación de este hecho utilizaremos una función muy especial llama-
da la función singular de Lebesgue4. Definimos esta función f : [0, 1] −→ [0, 1]
iterativamente.
Aśı, en una primera etapa, empezamos fijando f(0) = 0, f(x) = 1/2 para
todo x ∈]1/3, 2/3[ y f(1) = 1 y juntamos por rectas estos puntos. Luego, a
partir de la función anterior, fijamos f(x) = 1/4 sobre ]1/9, 2/9[ y f(x) = 3/4
sobre ]7/9, 8/9[ y seguimos juntando los extremos por rectas.
Continuando de estaforma, f(x) toma los valores 1/2n, 3/2n, ... en los varios
intervalos [0, 1] \ Kn−1 en donde Kn−1 son los conjuntos que se obtienen en
la construcción del conjunto triádico de Cantor K. Se obtiene entonces que
4Llamada también función de Cantor o escalera del Diablo. Estas denominaciones pue-
den causar cierta confusión, pues, como bien dice J.M. Bony en [3], se tiende a atribuir
erróneamente esta función a uno de estos dos autores.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 133
la función f definida sobre [0, 1] \ K es creciente y tiene sus valores en [0, 1].
Extendemos entonces a todo el intervalo [0, 1] fijando f(0) = 0 y escribiendo
f(x) = sup{f(t) : t ∈ [0, 1] \K, t < x} si x ∈ K y x 6= 0.
✲
✻
0
11/3 2/3
1
1/2
✲
✻
0 1
9
2
9
1/3 2/3 7
9
8
9 1
1
3/4
1/2
1/4
Figura 3.3: Función de Lebesgue, las dos primeras etapas
Es fácil ver que la función aśı obtenida es creciente, continua y que se tiene
f(0) = 0 y f(1) = 1.
Vamos a construir una nueva función utilizando la función singular de Le-
besgue. Por el teorema del valor intermedio, para todo y ∈ [0, 1] existe al
menos un x ∈ [0, 1] tal que f(x) = y de manera que podemos definir la función
g : [0, 1] −→ [0, 1] de la siguiente forma:
g(y) = ı́nf{x ∈ [0, 1] : f(x) = y}.
134 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
La continuidad de f implica entonces que se tiene f(g(y)) = y para todo
y ∈ [0, 1] y por lo tanto g es una función inyectiva. El hecho que f sea creciente
hace de g una función creciente y una función borel-medible.
Con todas estas notaciones podemos concentrarnos ahora en la demostración
del Teorema 3.2.2.
Prueba. Sea g la función constrúıda en las ĺıneas precedentes. Sabemos por
el Teorema 2.4.6 que existe un subconjunto E del intervalo [0, 1] que no es
Lebesgue medible. Definimos entonces B = g(E ) de manera que B es un sub-
conjunto del conjunto triádico de Cantor y es por lo tanto un conjunto Lebesgue
medible de medida nula, puesto que la σ-álgebra de Lebesgue es completa.
Si B es un conjunto Boreliano, entonces g−1(B) seŕıa un conjunto Boreliano,
pero por la inyectividad de la función g se tiene que g−1(B) = E que no es
un conjunto Lebesgue medible y en particular no es un conjunto Boreliano. Se
deduce por lo tanto que el conjunto Lebesgue medible B no es un conjunto
Boreliano. �
Nótese que hemos demostrado un enunciado un poco más preciso que el
expuesto en el Teorema 3.2.2: hemos mostrado que el conjunto triádico de
Cantor posee un subconjunto que no es un conjunto boreliano, de donde se
deduce que el espacio medido (R,Bor(R), λ) no es un espacio medido completo.
Observación 3.2 La imagen continua de un conjunto Boreliano no es necesa-
riamente un conjunto Boreliano.
3.2.2. Propiedades válidas en µ-casi todas partes
Esta sección está dedicada al estudio de las propiedades que sigen siendo
válidas si se omite o se modifica su dominio de definición por un conjunto de
medida nula. Esta particularidad tiene consecuencias muy importantes como
lo veremos en éste y el siguiente caṕıtulo.
Definición 3.2.4 (Propiedades válidas µ-c.t.p.) Sea (X,A , µ) un espacio
medido. Decimos que una propiedad P (x) que depende de un punto x ∈ X es
válida µ-casi en todas partes (que abreviaremos µ-c.t.p. o simplemente c.t.p.
si no hay ambigüedad sobre la medida utilizada) si el conjunto de los x ∈ X en
donde ésta propiedad no está verificada es un conjunto de µ-medida nula o si
es un conjunto µ-despreciable.
Por ejemplo, para una función f definida sobre un espacio medido (X,A , µ) a
valores reales, escribiremos f(x) = 0 µ-c.t.p. si el conjunto {x ∈ X : f(x) 6= 0}
es µ-despreciable; es decir si µ({x ∈ X : f(x) 6= 0}) = 0.
Observación 3.3 Esta noción depende evidentemente de la medida µ con-
siderada, en efecto si en la recta real consideramos un conjunto formado por
un solo punto, la medida de conteo y la medida de Lebesgue nos darán dos
resultados diferentes.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 135
Un caso particular muy importante de propiedad válida en µ-casi todas partes
es el de la igualdad de funciones.
Definición 3.2.5 (Funciones iguales µ-c.t.p.) Si (X,A , µ) es un espacio
medido y si f, g : X −→ K son dos funciones, diremos que f y g son iguales
µ-casi todas partes y lo notaremos “f = g µ-c.t.p.” si el conjunto de puntos en
donde difieren es de µ-medida nula o µ-despreciable, es decir si
µ({x ∈ X : f(x) 6= g(x)}) = 0.
Ilustremos este concepto de igualdad con un ejemplo: la función indicatriz
1I∩[0,1] es igual λ-casi en todas partes a la función 1[0,1] en donde λ es la medida
de Lebesgue de la recta real. Por el contrario, la función indicatriz 1Q∩[0,1] es
nula λ-casi en todas partes.
La proposición a continuación es de gran importancia pues nos permite con-
siderar clases de equivalencia para las funciones que difieren solamente sobre
un conjunto despreciable. Empecemos fijando una notación: designaremos por
F (X,K) el conjunto formado por todas las funciones definidas sobre el espacio
medido (X,A , µ) a valores en K.
Proposición 3.2.6 Sean f, g : X −→ K. La relación determinada por f = g
µ-c.t.p. y notada fRµg es una relación de equivalencia sobre las funciones
de F (X,K). Además esta relación de equivalencia Rµ es compatible con la
estructura vectorial de K en el sentido siguiente:
1) si f = g µ-c.t.p. entonces αf = αg µ-c.t.p. para todo α ∈ K;
2) si f = g µ-c.t.p. y ψ = ϕ µ-c.t.p. entonces f + ψ = g + ϕ µ-c.t.p.
Prueba. Verifiquemos que la relación Rµ es efectivamente una relación de
equivalencia:
Dado que para toda función f ∈ F (X,K) se tiene fRµf , puesto que
{x ∈ X : f(x) 6= f(x)} = ∅, se tiene que Rµ es reflexiva.
La simetŕıa de Rµ es inmediata, si fRµg se tiene gRµf por definición.
La transitividad de Rµ (es decir fRµg y gRµh =⇒ fRµh) se deduce de
la inclusión
{x ∈ X : f(x) 6= h(x)} ⊂ {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}∪{x ∈ X : g(x) 6= h(x)},
y del hecho que la unión de conjuntos despreciables es despreciable.
El primer punto de la compatibilidad con la estructura vectorial se deduce de
la identidad {x ∈ X : αf(x) 6= αg(x)} = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}. El segundo
punto se basa en cambio en la inclusión
{x ∈ X : f(x) + ψ(x) 6= g(x) + ϕ(x)} ⊂ {x ∈ X : f(x) 6= g(x)}
∪{x ∈ X : ψ(x) 6= ϕ(x)}.
�
136 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Definición 3.2.6 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ F (X,K). La
clase de equivalencia de f con respecto a Rµ es el conjunto determinado por
{g ∈ F (X,K) : fRµg}.
Un representante de esta clase de equivalencia será notado [f ].
Proposición 3.2.7 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea F (X,K) el conjun-
to de todas las funciones definidas sobre X a valores en K. El espacio cociente
F (X,K)/Rµ es un K-espacio vectorial.
Prueba. Por la proposición anterior, no es dif́ıcil ver que la función nula µ-
c.t.p. [0] pertenece al espacio F (X,K)/Rµ. Además si [f ], [g] pertenecen a
F (X,K)/Rµ, se tiene
α[f ] + β[g] = [αf + βg],
para todo α, β ∈ K, lo que termina la demostración. �
Veremos al definir los espacios de Lebesgue en el caṕıtulo siguiente la utili-
dad de esta proposición. Observemos ahora que cuando la medida utilizada es
completa, tenemos el resultado a continuación:
Proposición 3.2.8 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, g dos funciones
definidas sobre X a valores en K iguales µ-en casi todas partes. Si la medida
µ es completa y si f es medible entonces g es medible.
Prueba. Sea t un número real y sea A un conjunto de A tal que µ(A) = 0 y
tal que f y g coinciden en cada punto que no pertenece a A. Tenemos entonces
{x ∈ X : g(x) ≤ t} = ({x ∈ X : f(x) ≤ t} ∩ Ac) ∪ ({x ∈ X : g(x) ≤ t} ∩ A) .
La completitud de la medida µ implica que el conjunto {x ∈ X : g(x) ≤ t} ∩A
pertenece a A lo que implica que el conjunto {x ∈ X : g(x) ≤ t} pertenece
a A . Dado que hab́ıamos fijado t arbitrario se deduce la medibilidad de la
función g. �
Terminamos esta sección con una primera noción de convergencia en donde
interviene el concepto de medida.
Definición 3.2.7 (Convergenciaµ-c.t.p.) Si (fn)n∈N es una sucesión de
funciones definidas sobre un espacio medido (X,A , µ) a valores en K y si f es
una función definida sobre (X,A , µ), entonces diremos que (fn)n∈N converge
en µ-c.t.p. si el conjunto de puntos en donde la relación f(x) = ĺım
n→+∞
fn(x)
falla es µ-despreciable. Notaremos este tipo de convergencia de esta manera:
“fn −→ f µ-c.t.p.”.
Observación 3.4 Es importante notar que la noción de convergencia en µ-
c.t.p. es muy diferente de la noción de convergencia simple y de la convergencia
uniforme.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 137
Para verlo podemos tomar por ejemplo la sucesión de funciones expuesta en el
punto 1) de la página 124: sea (rn) una enumeración de los racionales del inter-
valo [0, 1] y sea la sucesión (1Rn)n≥1 en donde Rn = {r1, r2, ..., rn}. Entonces
en el ĺımite se tiene ĺım
n→+∞
1Rn(x) = 1Q∩[0,1](x) en el sentido de la convergen-
cia simple; pero esta sucesión converge λ-casi en todas partes hacia la función
idénticamente nula sobre [0, 1]. Este mismo ejemplo sirve para ver que la con-
vergencia en µ-c.t.p. no implica la convergencia uniforme.
Presentamos finalmente un resultado en donde la noción de completitud de
una medida juega un rol importante.
Proposición 3.2.9 Sea (X,A , µ) un espacio medido, sean f una función y
(fn)n∈N una sucesión de funciones definidas sobre X a valores en [0,+∞] tales
que fn converja µ-c.t.p. hacia f . Si la medida µ es completa y si cada función
fn es A -medible entonces f es A -medible.
Prueba. Por el Teorema 3.2.1 la función ĺım ı́nf
n→+∞
fn es medible y dado que f y
ĺım ı́nf
n→+∞
fn coinciden en µ-casi todas partes, la Proposición 3.2.8 anterior implica
que f es una función medible. �
Veamos cómo construir la función f a partir de una sucesión (fn)n∈N que
verifica las hipótesis de la proposición anterior. Para ello definimos
f(x) =
{
ĺım
n→+∞
fn(x) si este ĺımite existe,
0 sino.
Si denotamos por N el conjunto en donde este ĺımite no existe, se puede escoger
cualquier valor constante como valor de f sobre N sin modificar el resultado
de la Proposición 3.2.9. Este procedimiento será muy útil en todo lo que sigue.
3.2.3. Construcción de la integral de Lebesgue
Tenemos ahora todos los ingredientes necesarios para definir la integral de
Lebesgue: es decir el concepto de funciones medibles, buenas propiedades de
estabilidad con respecto a las medidas y un manejo adecuado de los conjuntos
de medida nula. Como anunciado, esta construcción se realizará en algunas
etapas. La primera consiste en construir la integral para las funciones simples
positivas, que definimos a continuación, y que reemplazan en cierto sentido las
funciones escalonadas de la integral de Riemann. La segunda etapa se obtiene
por medio de los resultados de paso al ĺımite, lo que nos permite generalizar
la noción intuitiva de integral de funciones simples a las funciones medibles
positivas. En cada una de estas diferentes etapas, verificaremos las propiedades
elementales de la integral como la aditividad, el crecimiento y la homogeneidad
y veremos los teoremas generales de paso al ĺımite. Obsérvese que nos restrin-
gimos en esta sección, de forma voluntaria, a la construcción de las funciones
definidas sobre un conjunto X , dotado de una estructura de espacio medido
(X,A , µ), a valores en R+ (ver la Definición 3.2.11). El caso cuando las funcio-
nes toman sus valores en R o C será tratado en la Sección 3.2.4 y expondremos
138 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
el caso de las funciones a valores en Rn en la Sección 3.4.
Presentamos ahora los dos espacios de funciones que constituyen los ladrillos
de base de la construcción de la integral de Lebesgue.
Definición 3.2.8 (Función simple - Espacio de funciones simples) Sea
(X,A , µ) un espacio medido de medida σ-finita. Decimos que una aplicación
f definida sobre X a valores en K es una función simple si toma un número
finito de valores α0, ..., αn ∈ K, si los conjuntos imagenes rećıprocas f−1(αk)
con 0 ≤ k ≤ n pertenecen a A .
Las funciones simples son entonces combinaciones lineales finitas de fun-
ciones indicatrices de conjuntos medibles y se las puede escribir de la forma
siguiente:
f(x) =
n∑
k=0
αk1Ak(x), (3.8)
con αk ∈ K y Ak una colección de conjuntos disjuntos de A .
Notaremos S(X,A , µ,K) el conjunto de funciones simples definidas sobre X
a valores en K.
Por esta definición es posible ver que toda función escalonada es una función
simple, pero que no se tiene la rećıproca (ver simplemente el ejemplo anterior
f(x) = 1Q∩[0,1](x)).
Este espacio de funciones posee algunas propiedades agradables con respecto
a las operaciones naturales sobre funciones a valores en K. Más precisamente
tenemos el enunciado a continuación:
Proposición 3.2.10 El conjunto S(X,A , µ,K) posee una estructura de K-
espacio vectorial.
Prueba. Sean f(x) =
n∑
i=0
αi1Ai(x) y g(x) =
m∑
j=0
βj1Bj (x) dos funciones sim-
ples. Ver que la suma o el producto de estas funciones es una función simple
no causa ninguna dificultad pues se tiene
(f+g)(x) =
n∑
i=0
m∑
j=0
(αi+βj)1Ai∩Bj (x) y (fg)(x) =
n∑
i=0
m∑
j=0
(αiβj)1Ai∩Bj (x).
Verificar que para todo λ ∈ K y toda función f ∈ S(X,A , µ,K) se tiene
λf ∈ S(X,A , µ,K) es sencillo: puesto que λαk = βk ∈ K, basta escribir
λf(x) = λ
n∑
k=0
αk1Ak(x) =
n∑
k=0
λαk1Ak(x) =
n∑
k=0
βk1Ak(x) ∈ S(X,A , µ,K),
para obtener el resultado deseado. �
Un caso especial muy útil de las funciones simples para la construcción de la
integral de Lebesgue es el que presentamos en la definición a continuación.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 139
Definición 3.2.9 (Espacio de funciones simples positivas) Sea (X,A , µ)
un espacio medido. Notaremos S+(X,A , µ) el conjunto de funciones simples
positivas definidas sobre X a valores en R+. Es decir tales que los números αk
que intervienen en la Definición 3.2.8 son reales tales que αk > 0 para todo
0 ≤ k ≤ n.
Este espacio es evidentemente un subconjunto del espacio de las funciones sim-
ples y contiene, en el caso X = R y A = Bor(R), las funciones escalonadas
positivas.
Lema 3.2.1 (Descomposición canónica de funciones simples) Para to-
da función f ∈ S+(X,A , µ) existe una única familia finita (α̃k, Ak)0≤k≤n con
α̃k ∈ R+ y Ak ∈ A tal que 0 < α̃0 < ... < α̃n, Ak 6= ∅ para todo k, en donde
los conjuntos Ak son dos a dos disjuntos de manera que se tiene
f(x) =
n∑
k=0
α̃k1Ak(x).
Prueba. Sea f(x) =
∑m
k=0 αk1Ck(x) una función simple positiva. Notamos
α̃k los coeficientes αk reordenados de forma creciente sin repeticiones: es decir
0 < α̃0 < ... < α̃n con n < m si hay coeficientes αk repetidos y n = m si todos
los coeficientes αk son todos distintos. Definimos entonces los conjuntos
Ak = {x ∈ X : f(x) = α̃k}, para todo k = 0, ..., n.
No es dif́ıcil percatarse que estos conjuntos son no vaćıos, pertenecen a la σ-
álgebra A y son dos a dos disjuntos. Definimos finalmente la función f(x) =
∑n
k=0 α̃k1Ak(x) de manera que obtenemos todas las propiedades del lema. �
Esta descomposición nos lleva naturalmente a definir la integral de las fun-
ciones simples positivas de la siguiente manera:
Definición 3.2.10 (Integral de funciones simples positivas)
Sea f ∈ S+(X,A , µ) una función simple positiva. La integral de f con respecto
a la medida µ es el número real definido por
∫
X
f(x)dµ(x) =
n∑
k=0
αk µ(f
−1(αk)) =
n∑
k=0
αkµ({f = αk}). (3.9)
Si el conjunto {x ∈ X : f(x) = 0} es de medida infinita, utilizaremos la
convención 0 × +∞ = 0, de modo que todos los términos de la suma (3.9)
tienen sentido. Nótese que esta suma es igual a un número positivo ó +∞ y
diremos entonces que una función simple positiva f es integrable si su integral
es finita; es decir si y solo si el conjunto {x ∈ X : f(x) 6= 0} es de medida finita.
Si bien la descomposición canónica de las funciones simples nos sirvió de
motivación para la definición de la integral, es imperativo verificar que el valorde
∫
X
f(x)dµ(x) no depende de la descomposición adoptada. Tenemos pues la
proposición siguiente:
140 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Proposición 3.2.11 La integral de las funciones simples definida por la fórmu-
la (3.9) no depende de la descomposición adoptada para expresar las funciones
simples.
Prueba. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ S+(X,A , µ) tal que
f(x) =
n∑
i=0
αi1Ci(x) y f(x) =
m∑
j=0
βj1Dj (x).
Podemos suponer que las familias (Ci)0≤i≤n y (Dj)0≤j≤m son dos a dos dis-
juntas, es decir Cl ∩ Cp = ∅ y Dl ∩ Dp = ∅ si l 6= p. Definimos ahora pa-
ra todo i = 1, ..., n y j = 1, ...,m los conjuntos Aij = Ci ∩ Dj . Dado que
{x : f(x) > 0} = ⋃ni=0 Ci =
⋃m
j=0Dj , podemos escribir Ci =
⋃n
j=0 Aij y
Dj =
⋃m
j Aij y tenemos entonces
n∑
i=0
αiµ(Ci) =
n∑
i=0
m∑
j=0
αiµ(Aij) y
m∑
j=0
βjµ(Dj) =
m∑
j=0
n∑
i=0
βjµ(Aij).
Observando que αi = βj cuando Aij 6= ∅, se obtiene la independencia del
cálculo de la integral con respecto a la descomposición adoptada para describir
las funciones simples. �
Observación 3.5 La variable x que aparece en la parte izquierda de la fórmula
(3.9) es una variable muda; es decir que puede ser reemplazada por cualquier
otra letra que verifica las mismas condiciones. Aśı mismo la letra d que aparece
en esta fórmula no tiene una significación especial y solo sirve para indicar cuál
es la función y cuál es la medida.
Calculemos a modo de ejemplo la integral de una función simple utilizando la
función de la figura 3.4. Suponemos para fines pedagógicos que la función ϕ
está definida sobre R, dotado de la σ-álgebra Boreliana, a valores en [0,+∞[.
ϕ
α1
α2
α3
α4
Figura 3.4: Una función simple positiva
Definimos entonces los conjuntos Ai = {x ∈ R : ϕ(x) = αi}, para i = 1, ..., 4
de manera que ϕ(x) =
∑4
i=1 αi1Ai(x). Luego, por la fórmula (3.9), tenemos
∫
R
ϕ(x)dλ(x) = α1λ(A1) + α2λ(A2) + α3λ(A3) + α4λ(A4). (3.10)
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 141
El lector podrá darse cuenta, comparando esta fórmula anterior con la expre-
sión (3.2), que la forma de calcular una integral según se sigue a Riemann o
a Lebesgue es totalmente distinta, pero que el resultado es evidentemente el
mismo en este caso.
Observación 3.6 Nótese en particular que la fórmula (3.9) aplicada a la fun-
ción f(x) = 1A(x) definida sobre X con A ∈ A nos permite escribir, utilizando
un abuso de lenguaje, las relaciones siguientes:
∫
X
1Adµ =
∫
X∩A
dµ =
∫
A
dµ = µ(A).
Veremos en la Sección 3.2.5 una verificación formal de estas notaciones.
Veamos ahora algunas propiedades elementales que se deducen de la definición
de integral de las funciones simples.
Proposición 3.2.12 Sean f, g dos funciones de S+(X,A , µ). Tenemos las
propiedades siguientes
1) Homogeneidad: si λ ∈ K, entonces
∫
X
(λf)(x)dµ(x) = λ
∫
X
f(x)dµ(x).
2) Aditividad:
∫
X
(f + g)(x)dµ(x) =
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
g(x)dµ(x).
3) Crecimiento o monotońıa: si f ≤ g µ-c.t.p se tiene entonces
∫
X
f(x)dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x).
Prueba. Sean pues f(x) =
n∑
i=0
αi1Ai(x) y g(x) =
m∑
j=0
βj1Bj (x) dos funciones
simples. Podemos suponer sin pérdida de generalidad, por la Proposición 3.2.11
y por el Lema 3.2.1, que los conjuntos Ai son dos a dos disjuntos y que se tiene⋃
iAi =
⋃
j Bj .
El primer punto se deduce entonces de los cálculos siguientes:
∫
X
(λf)(x)dµ(x) =
n∑
i=0
λαiµ(Ai) = λ
n∑
i=0
αiµ(Ai) = λ
∫
X
f(x)dµ(x).
142 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Para el segundo punto escribimos
∫
X
(f + g)(x)dµ(x) =
n∑
i=0
m∑
j=0
(αi + βj)µ(Ai ∩Bj)
=
n∑
i=0
m∑
j=0
αiµ(Ai ∩Bj) +
n∑
i=0
m∑
j=0
βjµ(Ai ∩Bj)
=
n∑
i=0
αiµ(Ai) +
m∑
j=0
βjµ(Bj) =
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
g(x)dµ(x).
El último punto se verifica observando que si f ≤ g entonces g − f es una
función de S+(X,A , µ) y por lo tanto se tiene por las ĺıneas anteriores que
∫
X
g(x)dµ =
∫
X
(f + (g − f))(x)dµ(x)
=
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
(g − f)(x)dµ(x) ≥
∫
X
f(x)dµ(x).
�
El siguiente teorema es el primero que nos presenta, en el marco restringido de
las funciones simples positivas, la posibilidad de intercambiar los signos “ĺım”
y “
∫
”. Veremos en las ĺıneas a continuación cómo ir adaptando este resultado
en el caso de funciones más generales.
Teorema 3.2.3 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f ∈ S+(X,A , µ) y
(fn)n∈N una sucesión creciente de funciones de S+(X,A , µ) tales que para todo
x ∈ X se tenga f(x) = ĺım
n→+∞
fn(x). Entonces se tiene
∫
X
f(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
Demostración. Dado que la sucesión es creciente, se tiene por la Proposición
3.2.12 la siguiente sucesión de estimaciones
∫
X
f0(x)dµ(x) ≤
∫
X
f1(x)dµ(x) ≤ ... ≤
∫
X
f(x)dµ(x),
lo que implica que ĺım
n→+∞
∫
X
fndµ existe y verifica
ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x) ≤
∫
X
f(x)dµ(x). (3.11)
Debemos pues ahora verificar la desigualdad opuesta. Para ello fijamos un real
ε ∈]0, 1[, dado que f se escribe de la forma f(x) =
m∑
i=0
αi1Ai(x) podemos
definir, para cada n y cada i el conjunto
An,i = {x ∈ Ai : fn(x) ≥ (1− ε)αi},
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 143
de manera que cada An,i es un conjunto A -medible. Se tiene además que la
sucesión (An,i)n∈N es una sucesión creciente y satisface Ai =
⋃
n∈NAn,i.
Si definimos ahora la función gn(x) =
m∑
i=0
(1− ε)αi1An,i(x) entonces gn per-
tenece a S+(X,A , µ) y verifica gn ≤ fn. Obtenemos por lo tanto que
ĺım
n→+∞
∫
X
gn(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
m∑
i=0
(1− ε)αiµ(An,i),
y por el teorema de continuidad de las medidas podemos escribir
m∑
i=0
(1− ε)αi ĺım
n→+∞
µ(An,i) =
m∑
i=0
(1 − ε)αiµ(Ai) = (1− ε)
∫
X
f(x)dµ(x).
Se obtiene entonces, por la propiedad de crecimiento de la integral, la desigual-
dad siguiente
ĺım
n→+∞
∫
X
gn(x)dµ(x) = (1 − ε)
∫
X
f(x)dµ(x) ≤ ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
Como el real ε era arbitrario, se deduce de estas fórmulas la estimación
∫
X
f(x)dµ(x) ≤ ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.12)
Finalmente, juntando las estimaciones (3.11) y (3.12) terminamos la demostra-
ción del teorema. �
El teorema a continuación explicita la relación de las funciones simples posi-
tivas con las funciones medibles (positivas). Este resultado será de gran utilidad
pues es el que nos permitirá generalizar la noción de integral dada en la Defi-
nición 3.2.10 a las funciones medibles.
Teorema 3.2.4 (Aproximación por funciones simples crecientes)
Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea A un subconjunto de X que pertenece a
A . Si f : A −→ [0,+∞] es una función medible, entonces existe una sucesión
creciente (fn)n≥1 de funciones simples positivas tales que f(x) = ĺım
n→+∞
fn(x)
para todo x ∈ A.
Demostración. Para cada n y para cada k = 1, 2, ..., n2n definimos los con-
juntos
An,k = {x ∈ A : (k − 1)/2n ≤ f(x) < k/2n}.
Observemos que la medibilidad de la función f implica que cada uno de estos
conjuntos An,k pertenece a la σ-álgebra A .
Definimos entonces una sucesión (fn)n≥1 de funciones definidas sobre A exi-
giendo que fn tome el valor (k − 1)/2n en cada punto de An,k para todo
k = 1, ..., n2n y que tome el valor n en cada punto de A \⋃k≥1 An,k.
144 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Estas funciones son por construcción funciones simples positivas, medibles
que además son crecientes (fn ≤ fn+1 para todo x ∈ A) y verifican f =
ĺım
n→+∞
fn. �
En la figura 3.5 ilustramos esta aproximación por medio de funciones simples
positivas.
✲
✻
f
1/2n ϕn
A
✲
✻
f
ϕn+11/2(n+1)
A
Figura 3.5: Aproximación por funciones simples
Observación 3.7 Notemos que el refinamiento de la aproximación por medio
de funciones simples se opera en el eje de las ordenadas contrariamente a la
aproximación por medio de funciones escalonadas en donde las subdivisiones
están en el eje de las abscisas.
Pasemos sin tardar más a la definición de la integral de las funciones medibles
positivas. Combinando el Teorema 3.2.1 y el teorema de aproximación 3.2.4
podemos enunciar la siguiente definición deintegral para estas funciones:
Definición 3.2.11 (Integral de funciones medibles positivas)
Sea (X,A , µ) un espacio medido. Sea f una aplicación A -medible definida
sobre X a valores en R+, es decir f ∈ M(X,A ,R+,Bor(R+)). Su integral es
el elemento de R+ notado
∫
X
f(x)dµ(x) y definido por
∫
X
f(x)dµ(x) = sup
{∫
X
ϕ(x)dµ(x) : ϕ ∈ S+(X,A , µ), ϕ ≤ f
}
. (3.13)
Nótese que para las funciones f ∈ S+(X,A , µ) esta definición coincide con la
Definición 3.2.10.
Esta definición que acabamos de enunciar es la base de la construcción de la
integral de Lebesgue: en efecto, como veremos un poco más tarde, el concepto
general de integral de una función cualquiera se obtiene a partir de esta fórmula
por medio de manipulaciones elementales.
La proposición a continuación es una generalización del Teorema 3.2.3 a la
integral de las funciones medibles positivas que acabamos de definir.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 145
Proposición 3.2.13 Sean (X,A , µ) un espacio medido, f : X −→ [0,+∞]
una función A -medible y (fn)n∈N una sucesión creciente de funciones de
S+(X,A , µ) tales que f(x) = ĺım
n→+∞
fn(x) para todo x ∈ X. Entonces
∫
X
f(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
Prueba. La existencia del ĺımite y la estimación
ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x) ≤
∫
X
f(x)dµ(x),
siguen los mismo pasos explicados en el Teorema 3.2.3 de manera que dejamos
los detalles al lector.
Nos concentramos entonces en la estimación siguiente:
∫
X
f(x)dµ(x) ≤ ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.14)
Puesto que, por definición de la integral de las funciones medibles positivas,
tenemos que
∫
X
fdµ es el supremo de los elementos de [0,+∞] de la forma
∫
X
ϕ(x)dµ(x) en donde las funciones ϕ pertenecen a S+(X,A , µ) y verifican
ϕ ≤ f , entonces, para verificar (3.14), es necesario verificar que para una fun-
ción ϕ cualquiera de S+(X,A , µ) que satisface ϕ ≤ f también verifica
∫
X
ϕ(x)dµ(x) ≤ ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
Sea pues ψ ∈ S+(X,A , µ) una función cualquiera que verifica ψ ≤ f . Dado
que la sucesión mı́n(ψ, fn) es creciente, pertenece a S+(X,A , µ) y verifica
ĺım
n→+∞
mı́n(ψ, fn) = ψ, entonces por el Teorema 3.2.3 se tiene
∫
X
ψ(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
mı́n(ψ, fn)(x)dµ(x).
Sin embargo, puesto que
∫
X
mı́n(ψ, fn)(x)dµ(x) ≤
∫
X
fn(x)dµ(x) por la pro-
piedad de crecimiento de la integral de funciones simples, se obtiene la desigual-
dad ∫
X
ψ(x)dµ(x) ≤ ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
Como esta estimación es válida para todas las funciones ψ se deduce la de-
sigualdad (3.14), de donde se obtiene el resultado deseado. �
Explicitemos algunas propiedades elementales que son la contraparte de la
Proposición 3.2.12 para las funciones medibles positivas.
Proposición 3.2.14 Sea (X,A , µ) un espacio medido. Sean f y g dos funcio-
nes medibles definidas sobre un conjunto X a valores sobre [0,+∞].
146 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
1) Homogeneidad: si λ ∈ K, entonces
∫
X
(λf)(x)dµ(x) = λ
∫
X
f(x)dµ(x).
2) Aditividad:
∫
X
(f + g)(x)dµ(x) =
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
g(x)dµ(x).
3) Crecimiento o monotońıa: si f ≤ g µ-c.t.p se tiene entonces
∫
X
f(x)dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x).
Prueba. Podemos escoger dos sucesiones crecientes (fn)n∈N y (gn)n∈N de fun-
ciones simples positivas tales que f = ĺım
n→+∞
fn y g = ĺım
n→+∞
gn, esto es total-
mente ĺıcito gracias al Teorema 3.2.4. No es dif́ıcil convencerse que las sucesiones
(λfn)n∈N y (fn+gn)n∈N son sucesiones crecientes que verifican λf = ĺım
n→+∞
λfn
y f + g = ĺım
n→+∞
fn + gn de manera que podemos usar la Proposición 3.2.13
junto con la propiedad de homogeneidad y de aditividad de las funciones de
S+(X,A , µ) para obtener
∫
X
λf(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
λfn(x)dµ(x)
= ĺım
n→+∞
λ
∫
X
fn(x)dµ(x) = λ
∫
X
fn(x)dµ(x).
∫
X
(f + g)(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
(fn + gn)(x)dµ(x)
= ĺım
n→+∞
(∫
X
fn(x)dµ(x) +
∫
X
gn(x)dµ(x)
)
=
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
g(x)dµ(x).
Finalmente, para el crecimiento notamos que si f ≤ g entonces la clase de
funciones ϕ ∈ S+(X,A , µ) que satisfacen ϕ ≤ f está incluida en la clase de
funciones ψ ∈ S+(X,A , µ) que verifican ψ ≤ g; de donde se deduce que
∫
X
f(x)dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x).
�
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 147
3.2.4. Espacio de funciones integrables
Una vez que hemos presentado estos resultados básicos para las funciones
medibles positivas, pasamos ahora al caso cuando f es a valores reales y com-
plejos tal como lo hab́ıamos anunciado anteriormente. En el caso real utiliza-
remos para ello las funciones f+ = máx(f, 0) y f− = máx(−f, 0) definidas en
(3.6) mientras que en el caso complejo utilizaremos en cambio las partes reales
e imaginarias.
Observando entonces que tenemos en todo punto las identidades
f(x) = f+(x) − f−(x) y f(x) = Re(f)(x) + iIm(f)(x),
podemos dar la definición a continuación.
Definición 3.2.12 (Espacio de funciones integrables) Sea (X,A , µ) un
espacio medido. Sea f : X −→ [−∞,+∞] una función medible.
1) Diremos que f es µ-integrable (o µ-sumable5) si las dos cantidades
∫
X
f+(x)dµ(x) y
∫
X
f−(x)dµ(x) (3.15)
son finitas. La integral de esta función está entonces definida por
∫
X
f(x) dµ(x) =
∫
X
f+(x)dµ(x) −
∫
X
f−(x)dµ(x). (3.16)
2) En el caso de que f sea a valores complejos, diremos que f es µ-integrable
si las cantidades
∫
X
ℜe (f)(x)dµ(x) y
∫
X
ℑm (f)(x)dµ(x)
son finitas. Definimos su integral como el número complejo
∫
X
f(x) dµ(x) =
∫
X
ℜe (f)(x)dµ(x) + i
∫
X
ℑm (f)(x)dµ(x). (3.17)
Finalmente, el conjunto de funciones integrables será notado I(X,A , µ,K).
Notación: En el caso en que el conjunto X sea igual al conjunto de los
números naturales N, dotado de su σ-álgebra natural y de la medida de conteo,
y si tenemos una función f : N −→ K (hablaremos en este caso de sucesión),
utilizaremos la notación habitual
∑
n∈N
f(n) en vez de escribir
∫
N
f(n)dµ(n).
Hablaremos entonces de sucesiones sumables y notaremos el conjunto de suce-
siones sumables de la siguiente forma I(N,P(N), Card,K) o más simplemente
I(N,P(N)) si el contexto es claro. Evidentemente, estas notaciones se mantie-
nen si X = Z.
5Utilizaremos estos dos términos como sinónimos.
148 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Observación 3.8 Para las funciones medibles positivas que no son µ-integrables
hemos atribuido el śımbolo +∞ a su integral. Esta es una notación cómoda y
útil, pero que no vuelve estas funciones sumables. En particular, para una fun-
ción f a valores reales o complejos, no existe por lo general una extensión de
esta notación puesto que no se puede dar un sentido a la expresión ∞−∞6 y es
por eso que es necesario verificar primero la sumabilidad de f antes de hablar
de su integral. En el caso especial en que una sola de las dos cantidades de la
fórmula (3.15) sea finita, diremos que la integral definida por (3.16) existe y es
infinita.
Por ejemplo, la función f(x) = x3 definida sobre R no es λ-integrable. Si bien la
función g(x) = log(x) definida sobre ]0,+∞[ tampoco es λ-integrable, se tiene
que f− es sumable y que f+ no lo es: diremos entonces que su integral existe
y es infinita.
Exponemos un lema que será necesario posteriormente.
Lema 3.2.2 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f1, f2, g1, g2 funciones
reales positivas integrables definidas sobre X tales que f1 − f2 = g1 − g2. En-
tonces se tiene
∫
X
f1(x)dµ(x) −
∫
X
f2(x)dµ(x) =
∫
X
g1(x)dµ(x) −
∫
X
g2(x)dµ(x).
Prueba. Si las funciones satisfacen la identidad f1 − f2 = g1 − g2, se tiene
también que f1 + g2 = g1 + f2 y por lo tanto se obtiene la identidad
∫
X
f1(x)dµ(x) +
∫
X
g2(x)dµ(x) =
∫
X
g1(x)dµ(x) +
∫
X
f2(x)dµ(x),
dado que todas las integrales anteriores son finitas se deduce el resultado desea-
do. �
En la proposición siguiente, generalizamos las propiedades de homogeneidad,
aditividad y crecimiento a las funciones integrables en el sentido de la Definición
3.2.12.
Proposición 3.2.15 Sea (X,A , µ) un espacio medido, λ ∈ K y f,g dos fun-
ciones de I(X,A , µ,K). Se tienen los puntos siguientes:
1) λf es integrable y la integral es homogénea
∫
X
λf(x)dµ(x) = λ
∫
X
f(x)dµ(x), (3.18)
2) f + g es integrable y la integral es lineal
∫
X
(f + g)(x)dµ(x) =
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
g(x)dµ(x), (3.19)
6Recuérdese que esta expresión es indeterminada, ver página 51.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 149
3) si f ≤ g entonces la integral es creciente
∫
X
f(x)dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x).
Prueba. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que las aplicaciones y
el escalar α son a valores reales. En efecto por la fórmula (3.17), una vez que
se tiene el resultado deseado sobre los reales se deduce fácilmente el resultado
análogo sobre los complejos.
Empecemos por el primer punto. La integrabilidad de λf y la relación (3.18)
son evidentes si λ = 0. Suponemos pues que λ > 0 y vemos que (λf)+ = λf+
y (λf)− = λf−. Entonces las funciones (λf)+ y (λf)− son integrables y por lo
tanto λf es integrable. Tenemos ahora, aplicando la Proposición 3.2.14 a estas
funciones, las identidades
∫
X
λf(x)dµ(x) =
∫
X
(λf)+(x)dµ(x) −
∫
X
(λf)−(x)dµ(x)
= λ
∫
X
f+(x)dµ(x) − λ
∫
X
f−(x)dµ(x) = λ
∫
X
f(x)dµ(x),
lo que demuestra la identidad (3.18) en este caso. Si λ < 0, entonces (λf)+ =
−λf− y (λf)− = −λf+, de manera que se puede adaptar el razonamiento ante-
rior para mostrar que λf es integrable y que
∫
X
λf(x)dµ(x) = λ
∫
X
f(x)dµ(x)
lo que termina la prueba del primer punto.
Consideremos ahora la suma de f y g. Observando que se tienen las desigual-
dades
(f + g)+ ≤ f+ + g+ y (f + g)− ≤ f− + g−,
podemos aplicar la Proposición 3.2.14 para obtener
∫
X
(f + g)+(x)dµ(x) ≤
∫
X
f+(x)dµ(x) +
∫
X
g+(x)dµ(x) < +∞
∫
X
(f + g)−(x)dµ(x) ≤
∫
X
f−(x)dµ(x) +
∫
X
g−(x)dµ(x) < +∞.
Deducimos entonces que f + g es integrable. Dado que f + g es igual a (f +
g)+ − (f + g)− y a f+ + g+ − (f− + g−) obtenemos por el Lema 3.2.2 las
identidades siguientes
∫
X
(f + g)(x)dµ(x) =
∫
X
(f+ + g+)(x)dµ(x) −
∫
X
(f− + g−)(x)dµ(x),
es decir ∫
X
(f + g)(x)dµ(x) =
∫
X
f(x)dµ(x) +
∫
X
g(x)dµ(x),
lo que prueba el segundo punto.
150 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Finalmente, para el tercer punto notamos que si f ≤ g, entonces la función
g − f es positiva y por lo tanto se tiene
0 ≤
∫
X
(g − f)(x)dµ(x) =
∫
X
g(x)dµ(x) −
∫
X
f(x)dµ(x),
es decir ∫
X
f(x)dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x),
lo que concluye la demostración. �
Corolario 3.2.5 El espacio de funciones integrables I(X,A , µ,K) es un es-
pacio vectorial.
Observación 3.9 Es importante notar que si f, g ∈ I(X,A , µ,K), se puede
tener el caso que el producto fg no pertenezca al espacio I(X,A , µ,K), es decir
que el espacio I(X,A , µ,K) no es estable por esta operación. Para convencerse
de ello basta fijar f(x) = g(x) con f : [0, 1] −→ R y f(x) = x−1/2.
Todos los resultados expuestos en esta Sección 3.2.4 se mantienen si se exigen
que las diferentes propiedades de crecimiento o de igualdad pedidas en las
hipótesis lo sean en µ-casi todas partes. En este sentido tenemos la proposición
siguiente:
Proposición 3.2.16 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, g : X −→
[−∞,+∞] dos funciones (A ,Bor(R))-medibles iguales en µ-casi todas partes.
Si una de estas funciones es sumable entonces la otra también lo es y se tiene
la identidad ∫
X
f(x)dµ(x) =
∫
X
g(x)dµ(x).
Este resultado se extiende al caso cuando f, g son a valores en K.
Prueba. Consideremos primero el caso en donde f y g son funciones positivas
y definamos el conjunto N = {x ∈ X : f(x) 6= g(x)} y la función h por
h(x) =
{
+∞ si x ∈ N ,
0 si x /∈ N .
Tenemos entonces, aplicando la Proposición 3.2.13 a la sucesión hn(x) = n1N (x)
(que tiende de forma creciente hacia h), que
∫
X
h(x)dµ(x) = 0.
Gracias a este hecho, por la estimación f ≤ g + h y por la Proposición 3.2.15
obtenemos la desigualdad
∫
X
f(x)dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x) +
∫
X
h(x)dµ(x) =
∫
X
g(x)dµ(x).
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 151
Utilizando un argumento totalmente similar tenemos la estimación
∫
X
g(x)dµ(x) ≤
∫
X
f(x)dµ(x),
de donde se deduce la identidad deseada.
El caso cuando f y g no son necesariamente positivas puede obtenerse de las
ĺıneas precedentes utilizando para ello las descomposiciones f(x) = f+(x) −
f−(x) y g(x) = g+(x)− g−(x). Cuando las funciones f, g son a valores en K se
procede de forma similar utilizando la definición (3.2.12) y dejamos los detalles
a cargo del lector en el Ejercicio 3.4. �
Observación 3.10 En particular, si se modifica una función sobre un conjunto
de medida nula, el valor de su integral permanece el mismo.
La siguiente proposición nos permite obtener una estimación que es de cons-
tante uso que siempre cabe tener en mente.
Proposición 3.2.17 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f una función
(A ,Bor(K))-medible definida sobre X a valores en K. Entonces f es integrable
si y solo si |f | es integrable y entonces se tiene la estimación
∣
∣
∣
∣
∫
X
f(x) dµ(x)
∣
∣
∣
∣
≤
∫
X
|f(x)|dµ(x). (3.20)
Prueba. Recuérdese que en el caso real por definición una función f es inte-
grable si y solo si las aplicaciones f+ y f− lo son. Dado que |f | = f+ + f−
se obtiene por la Proposición 3.2.14 la integrabilidad de |f |. La estimación
buscada se deduce entonces de los cálculos siguientes
∣
∣
∣
∣
∫
X
f dµ
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∫
X
f+ dµ−
∫
X
f− dµ
∣
∣
∣
∣
≤
∫
X
f+dµ+
∫
X
f−dµ =
∫
X
|f |dµ.
�
Corolario 3.2.6 Si el conjunto X es de µ-medida finita, entonces toda función
f : X −→ K que es (A ,Bor(K))-medible y acotada es integrable y se tiene la
estimación siguiente:
∣
∣
∣
∣
∫
X
f(x)dµ(x)
∣
∣
∣
∣
≤ µ(X)sup
x∈X
|f(x)|.
Prueba. Utilizando la proposición anterior escribimos
∣
∣
∣
∣
∫
X
f(x) dµ(x)
∣
∣
∣
∣
≤
∫
X
|f(x)|dµ(x),
Utilizamos entonces el hecho que f(x) ≤ sup
x∈X
|f(x)| para todo x ∈ X y aplica-
mos la propiedad de crecimiento de la integral. �
152 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Observación 3.11 Es importante notar que existen funciones que no son me-
dibles, y por lo tanto que no son sumables, pero cuyo valor absoluto es una
función sumable. Es por ello que la hipótesis de medibilidad es importante en
la Proposición 3.2.17.
Veamos un ejemplo de esta situación. Consideremos el espacio medido (R,L (R), λ)
y consideremos el conjunto no Lebesgue-medible E ⊂]0, 1[ contruido en la
demostración del Teorema 2.4.6 página 112. Si definimos f(x) = 1E (x) −
1]0,1[\E (x) podemos ver que esta función no es L (R)-medible, y sin embar-
go se tiene que |f(x)| = 1]0,1[(x) es una función sumable.
3.2.5. Integración en un subconjunto
Hasta ahora hemos presentado la integral sobre todo el conjunto X , pero en
much́ısimas ocasiones es necesario integrar solamente sobre un subconjunto de
X . Vamos a ver que hay dos puntos de vista equivalentes.
En lo que sigue consideraremos (X,A , µ) un espacio medido, Y un conjunto
A -medible y f una aplicación definida sobre Y a valores en K.
El primer punto de vista consiste en tomar en cuenta la medida inducida
por µ sobre el conjunto Y (ver la Proposición 2.2.7) y estudiar la integral
con respecto al espacio medido (Y,A|Y , µ|Y ): si la función f es A|Y -medible
podemos definir la integral sobre Y de la siguiente forma
∫
Y
f(x)dµ(x) =
∫
Y
f(x)dµ|Y (x);
de manera que disponemos de todas las propiedades de la integral explicitadas
anteriormente.
Vamos ahora a ver que este tipo de integral siempre puede expresarse como
una integral sobre todo el conjunto X y esto corresponde al segundo punto de
vista posible. Para ello introducimos la función fY definida sobre X , igual a f
sobre Y y a 0 en X \ Y , y tenemos en este caso el resultado a continuación.
Proposición 3.2.18 Sea (X,A , µ) un espacio medido, sea Y un conjunto A -
medible. Entonces la función f pertenece al espacio I(Y,A|Y , µ|Y ,K) si y solo
si la función fY pertenece a I(X,A, µ,K) y se tiene
∫
Y
f(x)dµ|Y (x) =
∫
X
fY (x)dµ(x).
Prueba. Verifiquemos primeroque la función f es A|Y -medible si y solo si la
función fY es A -medible: sea A un abierto de K, tenemos por un lado que
f−1(A) = f−1Y (A) ∩ Y y, por otro lado, que f−1Y (A) = f−1(A) si 0 /∈ A y
f−1Y (A) = f
−1(A) ∪ (X \ Y ) si 0 ∈ A.
Pasemos ahora a la igualdad entre las integrales. Sea f(x) = 1A(x) en donde
A ⊂ Y es un conjunto A -medible. Tenemos entonces fY (x) = 1A(x) de donde
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 153
se deduce la identidad
∫
Y
f(x)dµ|Y (x) = µ|Y (A) = µ(A) =
∫
X
1A(x)dµ(x) =
∫
X
fY (x)dµ(x).
Por linealidad de la integral se obtiene este resultado para toda función simple
positiva. Repetimos aqúı las mismas etapas utilizadas en la construcción de la
integral para mostrar este resultado para las funciones positivas, para las fun-
ciones reales utilizando f+ y f− y para las funciones complejas considerando
Re(f) y Im(f) sucesivamente. �
Exponemos ahora un resultado muy utilizado en la práctica. Pero antes fi-
jemos una notación. Si f : X −→ K es una función y si Y ⊂ X , notaremos
f|Y (x) = f(x)1Y (x) la restricción de f sobre Y .
Corolario 3.2.7 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean A,B ∈ A dos con-
juntos disjuntos y sea f : A ∪B −→ K una función. Entonces
1) f es A|A∪B -medible si y solo si f|A y f|B son A|A y A|B -medibles respec-
tivamente.
2) f es integrable sobre A ∪B si y solo si f es integrable sobre A y sobre B
y se tiene la identidad
∫
A∪B
f(x)dµ(x) =
∫
A
f(x)dµ(x) +
∫
B
f(x)dµ(x).
Prueba. Dado que se tienen las expresiones f|A = f|A∪B1A y f|B = f|A∪B1B
obtenemos la identidad f|A∪B = f|A + f|B de donde se deduce sin mayor difi-
cultad el resultado deseado. �
La siguiente proposición y sus corolarios serán muy útiles cuando deseemos
realizar estimaciones que hacen intervenir la integral y la medida del conjunto
sobre el cual se integra.
Proposición 3.2.19 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f una función A -
medible definida sobre X a valores en [0,+∞]. Si t es un número real positivo y
si definimos At = {x ∈ X : f(x) ≥ t} entonces se tienen las dos desigualdades
siguientes:
µ(At) ≤
1
t
∫
At
f(x)dµ(x) ≤ 1
t
∫
X
f(x)dµ(x). (3.21)
Prueba. Sea t > 0 un real. Puesto que X = At ∪ Act tenemos
1
t
∫
X
f(x)dµ(x) =
1
t
∫
At
f(x)dµ(x) +
1
t
∫
Act
f(x)dµ(x) ≥ 1
t
∫
At
f(x)dµ(x),
lo que demuestra la segunda estimación. Para la primera, tenemos directamente
que
1
t
∫
At
f(x)dµ(x) ≥ 1
t
∫
At
t dµ(x) = µ(At).
�
154 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Corolario 3.2.8 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ I(X,A , µ,K);
entonces el conjunto {x ∈ X : f(x) 6= 0} es σ-finito con respecto a la medida
µ.
Prueba. La Proposición 3.2.19 aplicada a la función |f | implica que los con-
juntos An determinados por
An =
{
x ∈ X ; |f(x)| ≥ 1
n
}
con n ≥ 1,
son de µ-medida finita. Observemos que el conjunto {x ∈ X : f(x) 6= 0} es
igual a la unión de estos conjuntos An. Tenemos aśı que {x ∈ X : f(x) 6= 0} es
σ-finito con respecto a la medida µ. �
Corolario 3.2.9 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ I(X,A , µ,K).
Entonces:
1) tenemos que |f(x)| < +∞ µ-casi en todas partes.
2) si además se tiene
∫
X
|f(x)|dµ(x) = 0;
entonces la función f es µ-c.t.p. idénticamente nula.
Prueba. La Proposición 3.2.19 aplicada a la función |f | implica la estimación
µ ({x ∈ X : |f(x)| ≥ n}) ≤ 1
n
∫
X
|f(x)|dµ(x),
válida para todo entero n ≥ 1. Entonces tenemos
µ ({x ∈ X : |f(x)| = +∞}) ≤ µ ({x ∈ X : |f(x)| ≥ n}) ≤ 1
n
∫
X
|f(x)|dµ(x).
Por lo tanto, haciendo n→ +∞, podemos concluir que
µ ({x ∈ X : |f(x)| = +∞}) = 0 y hemos demostrado el primer punto.
El segundo punto se demuestra de forma similar. En efecto, por la Proposición
3.2.19 obtenemos, para todo entero n ≥ 1:
µ
({
x ∈ X : |f(x)| ≥ 1
n
})
≤ n
∫
X
|f(x)|dµ(x) = 0.
Dado que
{x ∈ X : f(x) 6= 0} =
⋃
n≥1
{
x ∈ X : |f(x)| ≥ 1
n
}
,
la subaditividad numerable de la medida µ implica que µ({x ∈ X : f(x) 6=
0}) = 0 y por lo tanto se tiene que la función f es µ-c.t.p. idénticamente nula. �
Exponemos ahora una propiedad importante en donde vemos cómo vaŕıa la
integral en función de la medida del conjunto sobre el cual se integra.
3.2. Teoŕıa de la integración de Lebesgue 155
Proposición 3.2.20 (Continuidad absoluta de la integral) Sea (X,A , µ)
un espacio medido y sea f : X −→ [0,+∞] una función integrable. Entonces la
cantidad
∫
Y
fdµ tiende hacia cero si la medida de Y tiende hacia cero:
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀Y ∈ A ) : µ(Y ) ≤ δ =⇒
∫
Y
f(x)dµ(x) ≤ ε.
Prueba. Por la definición de integral existe una función simple positiva ϕ tal
que 0 ≤ ϕ ≤ f y
∫
X
(f − ϕ)(x)dµ(x) ≤ ε. Podemos entonces escribir:
∫
Y
f(x)dµ(x) =
∫
Y
(f − ϕ)(x)dµ(x) +
∫
Y
ϕ(x)dµ(x) ≤ ε+
∫
Y
ϕ(x)dµ(x).
Esto nos permite concentrar nuestra atención a las funciones simples; entonces
como ϕ(x) =
∑n
k=0 αk1Ak(x) tenemos
∫
Y
ϕ(x)dµ(x) =
n∑
k=0
αkµ(Ak ∩ Y ) ≤
(
n∑
k=0
αk
)
µ(Y ),
y esta estimación nos permite obtener el resultado deseado. �
Notación espećıfica de la integral de Lebesgue y dos propiedades
importantes
En el caso en que X = R, A = Bor(R) y µ = λ, escribiremos de ahora en
adelante dx en vez de dλ(x) para designar la integración con respecto a esta
medida y si X = Rn, notaremos también dx en vez de dλn(x).
Cuando a < b escribiremos
∫ b
a
f(x)dx en vez de
∫
(a,b)
f(x)dx, nótese que es
inútil precisar la naturaleza del intervalo dado que los puntos son de medida
nula. En el caso cuando b < a escribiremos
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx = −
∫
(b,a)
f(x)dx.
Vamos a utilizar ahora las proposiciones 2.4.9 y 2.4.10 del caṕıtulo anterior
para presentar dos propiedades especialmente importantes de la integral con
respecto a la medida de Lebesgue. Indiquemos desde ya que estas propiedades
no son exclusivas a la medida de Lebesgue, el caso general será estudiado en el
Volumen 2.
La primera propiedad está relacionada con la aplicación traslación que defi-
nimos de la siguiente forma para toda función f : Rn −→ K y para todo vector
τ ∈ Rn:
fτ (x) = f(τ + x). (3.22)
Tenemos entonces el resultado a continuación:
156 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Proposición 3.2.21 Para toda función integrable perteneciente al espacio
I(Rn,Bor(Rn), λn,K) y para todo vector τ ∈ Rn tenemos la identidad:
∫
Rn
fτ (x)dx =
∫
Rn
f(x)dx. (3.23)
Prueba. Empecemos considerando una función simple expresada en su des-
composición canónica f(x) =
n∑
k=0
αk1Ak(x). Tenemos entonces que
fτ (x) =
n∑
k=0
αk1Ak(τ + x) y por lo tanto
∫
Rn
fτ (x)dx =
n∑
k=0
αk
∫
Rn
1Ak(τ + x)dx
=
n∑
k=0
αkµ(Ak − τ) =
n∑
k=0
αkµ(Ak) =
∫
Rn
f(x)dx,
pues para todo boreliano A y todo vector τ ∈ Rn se tiene por la Proposición
2.4.9 la identidad µ(τ +A) = µ(A). Siguiendo el proceso de construcción de la
integral, podemos generalizar sin problema este resultado a todas las funciones
integrables. �
La segunda propiedad explicita las relaciones entre la dilatación y la integral
con respecto a la medida de Lebesgue. Definimos la dilatación por un factor
α > 0 de una función f : Rn −→ K por la fórmula
δα[f ](x) = f(αx) = f(αx1, ..., αxn). (3.24)
El resultado es el siguiente.
Proposición 3.2.22 Para toda función f : Rn −→ K del espacio
I(Rn,Bor(Rn), λn,K) y para todo α > 0 se tiene la identidad
∫
Rn
δα[f ](x)dx = α
−n
∫
Rn
f(x)dx. (3.25)
Prueba. Empecemos otra vez considerando una función simple
f(x) =
n∑
k=0
βk1Ak(x). Tenemos entonces δα[f ](x) =
n∑
k=0
βk1Ak(αx) de manera
que
∫
Rn
δα[f ](x)dx =
n∑
k=0
βkµ(α
−1Ak) = α
−n
n∑
k=0
βkµ(Ak) = α
−n
∫
Rn
f(x)dx
pues para todo boreliano A y todo α > 0 se tiene por la Proposición 2.4.10
la identidad µ(αA) = αnµ(A). La generalización a las funciones integrables es
inmediata. �
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 157
Con esto hemos terminado nuestra presentación de la integral de Lebesgue y
de las propiedades más elementales de los espacios de funciones medibles y de
funciones integrables. El lectornotará que, de todos los resultados expuestos,
se deduce una gran estabilidad y una flexibilidad de la integral de Lebesgue que
hacen de este objeto una herramienta importante. Sin embargo, es en la sección
siguiente en donde estudiamos los teoremas que muestran toda la utilidad de
la integral de Lebesgue.
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la
integración
Los resultados a continuación son fundamentales en las aplicaciones y jus-
tifican por su utilidad e importancia indiscutible el desarrollo de las secciones
anteriores. Las tres primeras partes 3.3.1-3.3.3 están reservadas a los teoremas
de convergencia que nos permiten intercambiar, bajo hipótesis menos restricti-
vas que en el caso de la integral de Riemann, los śımbolos de integral y de ĺımite.
En el párrafo 3.3.4 consideramos las integrales dependientes de un parámetro
y terminaremos esta sección con el párrafo 3.3.5 en donde expondremos dife-
rentes modos de convergencia que hacen intervenir las nociones de medida y
de integral. En todo lo que sigue, y salvo mención expresa de lo contrario, con-
sideraremos funciones medibles definidas sobre un espacio medido (X,A , µ) a
valores sobre K, R o R+ dotados de sus σ-álgebras naturales.
3.3.1. Convergencia monótona
El primer teorema importante que tratamos en esta sección corresponde a
una generalización de un resultado ya utilizado en el Teorema 3.2.3 y en la Pro-
posición 3.2.13. Más precisamente, vamos a demostrar que, bajo las hipótesis
de convergencia de una sucesión en µ-c.t.p. y de monotońıa, se pueden inter-
cambiar los signos ĺımite e integral.
Teorema 3.3.1 (Convergencia monótona de Beppo Levi) 7 Sea (X,A , µ)
un espacio medido y sean f una función A -medible y (fn)n∈N una sucesión cre-
ciente de funciones A -medibles, ambas definidas sobre X a valores en R+, tales
que f(x) = ĺım
n→+∞
fn(x) µ-c.t.p. Entonces se tiene la identidad
∫
X
f(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.26)
Demostración. Empecemos suponiendo que la convergencia de la sucesión
(fn)n∈N se tiene en todo punto de X , veremos luego como deshacernos de esta
hipótesis suplementaria. Por la monotońıa o crecimiento de la integral, tenemos
las siguientes desigualdades
∫
X
f0(x)dµ(x) ≤
∫
X
f1(x)dµ(x) ≤ · · · ≤
∫
X
f(x)dµ(x);
7Beppo Levi (1875-1961), matemático italiano, vivió a partir de 1939 en Argentina.
158 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
por lo tanto la sucesión
(∫
X fndµ
)
n∈N
converge (eventualmente hacia +∞) y
su ĺımite satisface
ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x) ≤
∫
X
f(x)dµ(x). (3.27)
De manera que solo debemos verificar la estimación rećıproca para demostrar
(3.26). Para ello consideramos para cada n una sucesión creciente (gn,k)k∈N de
funciones simples tales que fn = ĺım
k→+∞
gn,k y definimos una función hn : X −→
R+ por hn = máx(g1,n, g2,n, ..., gn,n) de manera que la sucesión (hn)n∈N es una
sucesión creciente de funciones simples positivas, A -medibles que satisfacen
hn ≤ fn y f = ĺım
n→+∞
hn. Por estas observaciones, por la Proposición 3.2.13 y
por la monoticidad de la integral se deduce que
∫
X
f(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
hn(x)dµ(x) ≤ ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.28)
Juntando (3.27) y (3.28) se obtiene el resultado deseado.
Consideremos, para terminar la demostración, que solo se tiene la convergen-
cia µ-c.t.p.; es decir que existe un conjunto N que pertenece a A , de µ-medida
nula, en donde no se tiene esta convergencia. Vemos entonces que la función
f1N c satisface las hipótesis hechas en la primera parte de la demostración de
modo que se obtiene sin problemas que
∫
X
f(x)1N c(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)1N c(x)dµ(x).
Dado que la función fn1N c coincide con fn µ-c.t.p. y que f1N c coincide con
f µ-c.t.p., entonces podemos concluir en virtud de la Proposición 3.2.16 que se
tiene la identidad siguiente en µ-c.t.p.
∫
X
f(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
�
Este teorema está en el centro de muchos otros resultados como nos lo mues-
tra el corolario a continuación que estudia la relación entre los śımbolos “
∫
”
y “
∑
”.
Corolario 3.3.1 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea una serie S =
∑
n∈N
fn
cuyos términos fn son funciones A -medibles definidas sobre (X,A , µ) a valores
en R+. Entonces la suma es medible y se tiene la identidad
∫
X
∑
n∈N
fn(x)dµ(x) =
∑
n∈N
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.29)
Prueba. Es suficiente aplicar el teorema de convergencia monótona a la suce-
sión de sumas parciales (Sn)n∈N definida por Sn =
n∑
k=0
fk. �
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 159
Mostremos ahora una aplicación de este corolario para la construcción de me-
didas. La verdadera importancia de esta definición será presentada y analizada
en el Volumen 2.
Definición 3.3.1 (Medida inducida por una función) Sea (X,A , µ) un
espacio medido y sea f : X −→ [0,+∞] una función A -medible. Definimos
una nueva medida sobre el espacio medible (X,A ) de la siguiente manera
ν(A) =
∫
A
f(x)dµ(x). (3.30)
El lector verificará sin problema que se tiene ν(∅) = 0 y que el resultado anterior
aplicado a la serie
∑
n∈N
f1An implica que, si (An)n∈N es una sucesión de con-
juntos disjuntos de A , entonces se obtiene la identidad ν(
⋃
nAn) =
∑
n
ν(An).
De estos dos puntos se deduce que ν es una medida sobre (X,A ). Obsérvese
en particular que la medida ν es de masa total finita si y solo si la función f
es µ-integrable.
Demos un ejemplo sencillo. Utilizando el marco que acabamos de explicitar
en las ĺıneas precedentes consideramos f(x) = 1Y (x) en donde el conjunto Y
pertenece a la σ-álgebra A . Obtenemos entonces gracias a la fórmula (3.30)
una nueva medida ν escribiendo
ν(A) =
∫
A
1Y (x)dµ(x) = µ(Y ∩A) ∀A ∈ A .
El lector observará que, por la Proposición 2.2.7, la medida ν aśı obtenida no es
más que la medida inducida por µ sobre el conjunto Y . Veremos otros ejemplos
de construcción de medidas por medio de la fórmula (3.30) en el Ejercicio 3.6.
Si g : X −→ [0,+∞] es una función A -medible podemos definir su integral
con respecto a esta nueva medida ν de la siguiente manera:
∫
X
g(x)dν(x) =
∫
X
g(x)f(x)dµ(x).
Este procedimiento que consiste en construir nuevas medidas y en considerar
las integrales asociadas será utilizado en muchas ocasiones (ver por ejemplo
la demostración de las desigualdades de Hölder y de Minkowski utilizando la
desigualdad de Jensen en el Caṕıtulo 4).
3.3.2. Lema de Fatou
Este teorema es de gran utilidad cuando se trata de demostrar que una
función es integrable o cuando se necesita dar una acotación al valor de la
integral.
Teorema 3.3.2 (Lema de Fatou) 8 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea
(fn)n∈N una sucesión de funciones A -medibles definidas sobre X a valores en
8Pierre Fatou (1878-1929), matemático francés.
160 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
R+. Entonces se tiene la desigualdad:
∫
X
ĺım ı́nf
n→+∞
fn(x)dµ(x) ≤ ĺım ı́nf
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.31)
Demostración. Para cada n ∈ N definimos una nueva función gn : X −→ R+
de la siguiente forma gn = ı́nfk≥n fk de manera que cada función gn es A -
medible y se tiene, para todo x ∈ X las relaciones
g0 ≤ g1 ≤ ... y ĺım ı́nf
n→+∞
fn = ĺım
n→+∞
gn.
Puesto que tenemos la mayoración gn ≤ fn para todo n ∈ N, al aplicar el
teorema de convergencia monótona de Beppo Levi obtenemos
∫
X
ĺım ı́nf
n→+∞
fn(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
gn(x)dµ(x) ≤ ĺım ı́nf
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x).
Lo que termina la demostración. �
Es importante observar que la desigualdad (3.31) puede ser estricta como
lo muestra el ejemplo siguiente: sobre la recta real R, dotada de la medida de
Lebesgue, definimos la sucesión de funciones fn(x) = n
2
1[0,1/n](x). Vemos sin
problema que esta sucesión converge simplemente hacia la función idéntica-
mente nula mientras que el cálculo
∫
R
n21[0,1/n](x)dx = n,
muestra que ĺım
n→+∞
∫
R
fn(x)dx = +∞.
3.3.3. Convergencia dominada
El teorema de convergencia dominada de Lebesgue9 es sin duda el más co-
nocidode los teoremas que hacen intervenir el ĺımite de funciones y su relación
con la integral. La razón de este éxito es muy sencilla puesto que este resulta-
do nos proporciona, bajo hipótesis muy simples de verificar, un criterio para
intercambiar los signos “ĺım” y “
∫
” y muestra claramente la superioridad de
la integral de Lebesgue con respecto a la integral de Riemann.
Teorema 3.3.3 (Convergencia dominada de Lebesgue -T.C.D.L.)
Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f una función y (fn)n∈N una sucesión
de funciones, ambas A -medibles definidas sobre X a valores en R o C. Hacemos
las siguientes hipótesis:
1) para µ-casi todo x ∈ X se tiene ĺım
n→+∞
fn(x) = f(x),
2) existe una función integrable g : X −→ R o C tal que se tenga, para todo
n, la estimación |fn(x)| ≤ g(x) µ-casi en todas partes en X.
9Henri Lebesgue (1875-1941), matemático francés.
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 161
Entonces f es una función integrable y
ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x) =
∫
X
f(x)dµ(x). (3.32)
Demostración. Observemos primero que la integrabilidad de la función ĺımite
f se deduce sin problema de la integrabilidad de la función g. En efecto, por
las dos hipótesis podemos escribir
∣
∣
∣
∣
∫
X
f(x)dµ(x)
∣
∣
∣
∣
≤
∫
X
|f(x)|dµ(x) ≤
∫
X
g(x)dµ(x) < +∞.
Vamos ahora a mostrar la identidad (3.32) considerando únicamente el caso
real y suponiendo que las dos hipótesis se verifican para todo punto de X y que
se tiene adicionalmente g(x) < +∞ para todo x ∈ X . Tenemos entonces que
la sucesión (g + fn)n∈N es una sucesión de funciones positivas tales que
(g + f)(x) = ĺım
n→+∞
(g + fn)(x),
para todo x ∈ X . Podemos entonces aplicar el Lema de Fatou (Teorema 3.3.2)
para obtener la estimación
∫
X
(g + f)(x)dµ(x) ≤ ĺım ı́nf
n→+∞
∫
X
(g + fn)(x)dµ(x),
de donde se obtiene, por la aditividad de la integral, la desigualdad
∫
X
f(x)dµ(x) ≤ ĺım ı́nf
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x). (3.33)
Un argumento similar aplicado a la sucesión (g − fn)n∈N muestra que
∫
X
(g − f)(x)dµ(x) ≤ ĺım ı́nf
n→+∞
∫
X
(g − fn)(x)dµ(x),
es decir
ĺım sup
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x) ≤
∫
X
f(x)dµ(x). (3.34)
Gracias a las estimaciones (3.33) y (3.34) se obtiene la identidad deseada:
ĺım
n→+∞
∫
X
fn(x)dµ(x) =
∫
X
f(x)dµ(x).
Pasemos finalmente al caso cuando las hipótesis se verifican en µ-casi todas
partes. Obsérvese que por el Corolario 3.2.9, si se tiene
∫
X
g(x)dµ(x) < +∞,
entonces se obtiene la estimación g(x) < +∞ µ-casi todas partes. Es posible
entonces repetir el argumento utilizado en la demostración del Teorema 3.3.1
considerando los conjuntos N y N c según si se tiene o no la convergencia. �
Demos unos ejemplos de aplicación de este teorema.
162 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
(i) Consideremos el ĺımite siguiente:
ĺım
n→+∞
(∫ 1
0
nxe−nxdx
)
.
Calculando directamente la integral10 se puede ver sin mayor dificultad
que el ĺımite anterior tiende a cero; pero también se puede aplicar el
teorema de convergencia dominada de Lebesgue a las funciones fn(x) =
nxe−nx1[0,1](x). Tenemos pues fn(x) −→
n→+∞
0 para todo x y además
se tienen las estimaciones 0 ≤ fn(x) ≤ 1[0,1](x) de modo que podemos
aplicar el Teorema 3.3.3 para escribir
ĺım
n→+∞
(∫ 1
0
nxe−nxdx
)
=
∫ 1
0
ĺım
n→+∞
nxe−nxdx = 0.
(ii) Ahora estudiemos el ĺımite a continuación:
ĺım
n→+∞
(∫ 1
0
nx2e−nx
2
dx
)
.
El lector notará que en este caso ya no es posible realizar un cálculo direc-
to de la integral, de manera que es necesario pasar por el teorema de con-
vergencia dominada. Dado que las funciones fn(x) = nx
2e−nx
2
1[0,1](x)
tienden a cero si n → +∞ y que se tienen las estimaciones 0 ≤ fn(x) ≤
1[0,1](x), podemos afirmar que el ĺımite de la expresión anterior tiende a
cero si n→ +∞.
(iii) Volvamos al ejemplo (3.5) presentado al inicio de este caṕıtulo.
fn(x) =



2nanx si 0 ≤ x ≤ 1/2n,
2an(1 − nx) si 1/2n < x ≤ 1/n,
0 si 1/n < x ≤ 1.
Si la sucesión (an)n∈N es acotada tenemos por el teorema de convergencia
dominada de Lebesgue
ĺım
n→+∞
∫ 1
0
fn(x)dx =
∫ 1
0
ĺım
n→+∞
fn(x)dx = 0.
Sin embargo, como hab́ıamos observado en la página 124, si fijamos an =
n, vemos que la parte izquierda de esta expresión es igual a 1/2 mientras
que la parte derecha es nula.
Este ejemplo muestra que la sola hipótesis de convergencia simple no es
suficiente, aún en el marco de la integral de Lebesgue, para intercambiar
los signos de ĺımite y de integral e ilustra la necesidad de la condición de
acotación (o dominación) exigida por el Teorema 3.3.3.
Veremos a lo largo de éste y de los siguientes caṕıtulos cómo aplicar este resul-
tado para la resolución de diferentes problemas. Una primera muestra de ello
se encuentra en la sección a continuación.
10¡Hacerlo! Es un ejercicio interesante.
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 163
3.3.4. Integrales dependientes de un parámetro
Vamos a exponer en este párrafo dos aplicaciones muy útiles de los teoremas
anteriores. La primera consiste en la continuidad de la integral con respecto a
un parámetro, mientras que la segunda aplicación estudia la derivabilidad bajo
el signo integral. Además de dar la demostración de estos teoremas daremos
algunos ejemplos de utilización.
Empecemos con un pequeña observación. Cuando una función depende de
más de un parámetro se requiere muy a menudo mayor precisión en la repre-
sentación de la integral. Las tres notaciones siguientes son usuales
∫
X
f(x, t)dµx,
∫
X
f(x, t)µ(dx),
∫
X
f(x, t)dµ(x),
para designar la función ϕ de t que se obtiene al integrar la función x 7−→ f(x, t).
En este libro utilizaremos la última notación.
Teorema 3.3.4 (Continuidad con respecto a un parámetro) Sea (X,A , µ)
un espacio medido y sea (E, d) un espacio métrico. Sea f : X × E −→ K una
función que verifica las tres condiciones siguientes:
1) para todo t ∈ E la función x 7−→ f(x, t) es medible,
2) para µ-casi todo x ∈ X la función t 7−→ f(x, t) es continua en el punto
t0,
3) en µ-casi todas partes existe una función µ-integrable g : X −→ K tal que
para todo t ∈ E se tiene la estimación
|f(x, t)| ≤ g(x),
Entonces, la función definida por
ϕ : E −→ K
t 7−→ ϕ(t) =
∫
X
f(x, t)dµ(x), (3.35)
es continua en el punto t0.
Demostración. Para verificar la continuidad de la función ϕ en el punto t0,
debemos probar que si (tn)n∈N es una sucesión de puntos de E que converge
hacia t0, entonces ϕ(tn) tiende hacia ϕ(t0).
Para ello utilizaremos dos funciones auxiliares determinadas por las fórmu-
las ψ(x) = f(x, t0) y ψn(x) = f(x, tn). Por la tercera hipótesis tenemos que
|ψn(x)| ≤ g(x) µ-casi todas partes para todo entero n. Por la segunda hipótesis
tenemos que ψn(x) converge hacia ψ(x) para µ-casi todo x y como las funciones
ψn son medibles (por la primera hipótesis), verificamos todas las condiciones
para poder aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, lo que
nos permite afirmar la identidad siguiente:
ϕ(t0) =
∫
X
ψ(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
ψn(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
ϕ(tn),
164 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
lo que termina la demostración. �
Veamos algunos ejemplos de aplicación de este teorema.
(i) Sea (hn)n∈N una sucesión de funciones continuas y acotadas reales tales
que
∑
n∈N
sup
x∈R
|hn(x)| < +∞.
Podemos afirmar, utilizando el Teorema 3.3.4, que la serie
∑
n∈N
hn(x) es
una función continua.
En efecto, si fijamosX = N dotado de la medida de conteo, E = R dotado
de su distancia usual y si definimos f : N×R −→ R con f(n, x) = hn(x),
tenemos
1) para todo x ∈ R, la función n 7−→ f(n, x) es medible,
2) para todo n ∈ N, la función x 7−→ f(n, x) es continua,
3) se tiene la mayoración |f(n, x)| ≤ g(n) en donde g(n) = sup
x∈R
|hn(x)|.
Entonces, la función ϕ(x) =
∑
n∈N hn(x) es continua.
Observación 3.12 Este resultado no debe sorprender al lector pues es
un hecho que ya hemos tratado anteriormente. En efecto, el espacio de
funciones continuas y acotadas (C0a(R,R),‖ · ‖∞) con ‖f‖∞ = sup
x∈R
|f(x)|,
es un espacio de Banach (ver página 35) y por el Teorema 1.4.3 tenemos
que toda serie normalmente convergente es convergente. Esto implica que
la suma resultante de este ejemplo es una función continua.
(ii) Una de las principales aplicaciones de este teorema es la posibilidad de
estudiar la continuidad de funciones definidas por medio de integrales.
Veamos un ejemplo considerando la función
ϕ :]0, 1[ −→ R (3.36)
t 7−→ ϕ(t) =
∫ +∞
0
xt−1
1 + x
dx.
Notamos f(x, t) la función definida sobre [0,+∞[×]0, 1[ determinada por
f(x, t) = x
t−1
1+x . No es dif́ıcil verificar que
1) la función x 7−→ f(x, t) es medible para todo t ∈]0, 1[ por ser el
cociente de dos funciones medibles,
2) la función t 7−→ f(x, t) es evidentemente continua para todo x ∈
[0,+∞[,
3) para la hipótesis de dominación escribimos para mayor comodidad
f(x, t) = e
(t−1) ln(x)
1+x . Observamos que la función f(x, ·) es creciente11
11Calcular la derivada de f(x, ·) con respecto a t y constatar que su signo está determinado
por ln(x).
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 165
si x ≥ 1 y decreciente si x < 1; esto nos lleva a considerar a, b dos
parámetros reales tales que 0 < a < t < b < 1 y a definir una función
g : [0,+∞[−→ R de la siguiente forma:
g(x) =



xa−1
1+x si 0 < x < 1,
xb−1
1+x si 1 ≤ x.
Tenemos entonces la estimación |f(x, t)| ≤ g(x) válida para todo
x ∈ [0,+∞[ y además se tiene que
∫ +∞
0
g(x)dx < +∞.
Dado que hemos verificado las hipótesis del Teorema 3.3.4, podemos con-
cluir que la función ϕ definida en (3.36) es continua.
(iii) Sea f : R −→ C una función tal que
∫ +∞
−∞
|f(x)|dx < +∞. Definimos su
Transformada de Fourier , notada F (f) o f̂ , por la siguiente fórmula:
F (f)(ξ) = f̂(ξ) =
∫ +∞
−∞
f(x)e−iξxdx. (3.37)
Verifiquemos las hipótesis de aplicación del Teorema 3.3.4:
1) la función x 7−→ f(x)e−iξx es medible para todo ξ por ser el producto
de dos funciones medibles,
2) la función ξ 7−→ f(x)e−iξx es evidentemente continua para todo x,
3) la hipótesis de dominación se obtiene observando que
∣
∣f(x)e−iξx
∣
∣ ≤ |f(x)|.
Aplicando entonces el teorema de continuidad de la integral con respecto
a un parámetro concluimos que la función f̂ : R −→ C es continua.
(iv) Este teorema también permite obtener un método de regularización de
funciones que será estudiado en detalle en el Volumen 2. Sea ϕ una función
continua y acotada y sea ψ una función integrable, ambas definidas sobre
R a valores en R. Tenemos entonces que la función
g(y) =
∫ +∞
−∞
ϕ(y − x)ψ(x)dx, (3.38)
es continua. En efecto, si definimos f(x, y) = ϕ(y − x):
1) la función x 7−→ f(x, y) es medible para todo y,
2) la función y 7−→ f(x, y) es continua para todo x,
3) la hipótesis de dominación está dada por la estimación
|f(x, y)| ≤ ‖ϕ‖∞|ψ(x)|.
Se obtiene por lo tanto el resultado deseado, es decir la continuidad de la
función determinada por (3.38).
166 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Corolario 3.3.2 (Continuidad respecto a la cota superior) Sea f una fun-
ción integrable definida sobre la recta real R a valores en R y sea α ∈ R un
real. Entonces la función definida por
ϕ : t 7−→
∫ t
α
f(x)dx, (3.39)
es continua para todo t > α.
Prueba. Basta aplicar el Teorema 3.3.4 a la función g(x, t) = f(x)1[α,t](x).
En efecto, esta función g es continua en el punto t0 para todo x 6= t0 y puesto
que se tiene la mayoración |g(x, t)| ≤ |f(x)| podemos aplicar sin problema el
resultado precedente y terminar la demostración. �
Mostremos un ejemplo muy simple considerando la función f(x) = 1[0,1](x)
y α = 0. Tenemos entonces que la función
ϕ : t 7−→
∫ t
0
1[0,1](x)dx = t, (3.40)
es continua sobre [0, 1].
Hemos estudiado con el teorema anterior la continuidad de las funciones
definidas por medio de integrales y es natural desear ir un poco más lejos y
preguntarse bajo qué condiciones se tiene la derivabilidad de este tipo de fun-
ciones. El resultado a continuación nos proporciona condiciones para “derivar
bajo el signo integral”.
Teorema 3.3.5 (Derivación bajo el signo integral) Sea (X,A , µ) un es-
pacio medido y sea I un intervalo abierto de R. Sea f : X × I −→ K una
función y suponemos que existe N un conjunto de µ-medida nula tales que
1) para todo t ∈ I la función x 7−→ f(x, t) es integrable,
2) la derivada parcial ∂f∂t (x, t) existe en todo punto x ∈ X0 × I en donde
notamos X0 = X \ N .
3) existe una función integrable g : X0 −→ K tal que para todo x ∈ X0 se
tiene ∣
∣
∣
∣
∂f
∂t
(x, t)
∣
∣
∣
∣
≤ |g(x)| en µ-casi todas partes.
Entonces, la función definida por
ψ : I −→ K
t 7−→
∫
X
f(x, t)dµ(x),
es derivable y se tiene
d
dt
ψ(t) =
∫
X
∂f
∂t
(x, t)dµ(x). (3.41)
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 167
Observación 3.13 Si reemplazamos la función f por una función igual a f
sobre X0 e igual a 0 sobre N ; la integral (3.41) no cambia, lo que nos permite
estudiar el caso en donde la existencia de la derivada parcial y la hipótesis de
mayoración se tienen sobre todo X .
Demostración. Vamos a utilizar el teorema de convergencia dominada de
Lebesgue para mostrar este resultado. Sea pues t0 un punto de I y sea (an)n∈N
una sucesión de reales no nulos, lo suficientemente pequeños para que t0 + an
esté en I, y tales que an −→
n→+∞
0.
Definimos la función
ϕn(x) =
f(x, t0 + an)− f(x, t0)
an
,
de manera que ĺım
n→+∞
ϕn(x) =
∂f
∂t (x, t0). Por la fórmula de los crecimientos
finitos, obtenemos
|ϕn(x)| ≤ sup
0≤θ≤1
∣
∣
∣
∣
∂f
∂t
(x, t0 + θan)
∣
∣
∣
∣
≤ |g(x)|.
Aplicamos entonces el teorema de convergencia dominada de Lebesgue y
obtenemos que la función ϕ : x 7−→ ∂f∂t (x, t0) es integrable y que
∫
X
∂f
∂t
(x, t0)dµ(x) = ĺım
n→+∞
∫
X
ϕn(x)dµ(x) = ĺım
n→+∞
ψ(t0 + an)− ψ(t0)
an
.
Dado que la sucesión (an)n∈N es arbitraria, tenemos que la función ψ es deri-
vable en el punto t0 y por lo tanto se obtiene la fórmula (3.41) para la derivada
de ψ. �
Observación 3.14 En el enunciado del teorema anterior, es posible reempla-
zar el intervalo I por un abierto Ω del plano complejo (en este caso notaremos
z ∈ Ω en vez de t ∈ I) y reemplazar la condición 2) por la condición siguiente:
2-bis) para µ-casi todo x ∈ X la función z 7−→ f(x, z) es holomorfa en Ω.
Entonces la función z 7−→
∫
X
f(x, z)dµ(x) es holomorfa en Ω y su derivada
está determinada por la fórmula (3.41).
Presentamos ahora algunos ejemplos de aplicación de este resultado. En el
primer ejemplo ilustramos la importancia de las hipótesis del teorema de deri-
vación bajo el signo integral mientras que en el resto de ejemplos mostramos
cómo realizar algunos cálculos en situaciones diversas.
(i) Consideramos la función f(x, t) = 1[0,t[(x) definida sobre R a valores
reales. Vemos que la derivada parcial ∂f∂t (x, t0) existe para casi todo x
(x 6= t0) y es nula, pero las hipótesis del Teorema 3.3.5 exigen más: hay
que encontrar un conjunto N de medida nula tal que para todo x /∈ N
la derivada parcial existe para todo t. En este caso esto es imposible y
168 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
si derivamos sin precaución obtenemos un resultado falso. Si por un lado
tenemos ∫ t
0
∂f
∂t
(x, t)dx = 0,
por (3.40) tenemos ddtϕ(t) = 1: esto muestra a posteriori que no se puede
aplicar el teorema de derivación bajo el signo integral.
(ii) El segundo ejemplo que tratamos aqúı corresponde a la función del item
(ii) de la página 164:
f(x, t) =
xt−1
1 + x
=
e(t−1) ln(x)
1 + x
.
Deseamos aplicar el teorema de derivación bajo el signo integral y para
ello verificaremos las hipótesis necesarias. Ya vimos que esta función es
continua y que es integrable para todo t ∈]0, 1[, lo que nos proporciona
la primera hipótesis. Dado que se tiene para todo x ∈ [0,+∞[ la identi-
dad ∂∂tf(x, t) = ln(x)f(x, t) tenemos la segunda hipótesis. Finalmente si
definimos, para 0 < a < t < b < 1, la función
g(x) =



∣
∣
∣ln(x)x
a−1
1+x
∣
∣
∣ si 0 < x < 1,∣
∣
∣ln(x)x
b−1
1+x
∣
∣
∣ si 1 ≤ x,
obtenemos la tercera hipótesis pues
∫ +∞
0
g(x)dx < +∞. Todo esto nos
permite concluir que se tiene la identidad
d
dt
ϕ(t) =
∫ +∞
0
ln(x)
xt−1
1 + x
dx.
(iii) Estudiamos ahora la derivabilidad de la Transformada de Fourier definida
por (3.37). Sea f : R −→ C una función como en el punto (iii) de la página
165, es decir
∫ +∞
−∞
|f(x)|dx < +∞. Suponemos además que la función
x 7−→ −ixf(x) es integrable. Entonces la Transformada de Fourier de f
es una función continua cuya derivada está dada por la fórmula
d
dξ
f̂(ξ) =
∫ +∞
−∞
−ixf(x)e−iξxdx.
3.3.5. Modos de convergencia: en promedio, en µ-medida y
µ-casi uniformemente
En esta sección vamos a presentar tres nociones de convergencia de sucesio-
nes de funciones definidas a partir de los conceptos de medida y de integral.
Explicaremos algunas de sus particularidades y estudiaremos en detalle las di-
versas relaciones existentes entre éstos modos de convergencia y los modos de
convergencia expuestos anteriormente, es decir la convergencia uniforme y la
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 169
convergencia en µ-casi todas partes. Es importante notar que se distinguen dos
casos en estas relaciones en función de la medida del conjunto de baseX sobre el
cual están definidas las funciones: en efecto, si µ(X) < +∞ veremos que se dis-
ponen de ciertas implicaciones interesantes que son falsas en el caso general en
donde no hacemos ninguna hipótesis particular sobre la medida del conjuntoX .
Antes de pasar al estudio de estos modos de convergencia es necesario una
pequeña observación. En el Caṕıtulo 1 hemos presentado algunas definiciones
elementales, todas expuestas desde un punto de vista métrico, y en particular
dimos la definición de convergencia uniforme de una sucesión de funciones
sobre un espacio métrico a valores en otro espacio métrico. Esta definición se
mantiene si relajamos la estructura del espacio de definición de las funciones y
éste es precisamente el caso que nos interesa ahora: sea entonces X un espacio
topológico y sea fn : X −→ K una sucesión de funciones. Diremos que la
sucesión (fn)n∈N converge uniformemente hacia la función f : X −→ K si
(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N) : n ≥ Nε =⇒ sup
x∈X
|fn(x)− f(x)| ≤ ε.
En otras palabras, para poder hablar de convergencia uniforme necesitamos
que el espacio de llegada sea un espacio métrico, lo cual no es necesario cuan-
do trabajamos con la convergencia simple en donde la noción de vecindad es
suficiente (ver Caṕıtulo 1).
Hecha esta aclaración, en todo lo que sigue consideraremos funciones defi-
nidas sobre un espacio topológico X , dotado de una σ-álgebra12 A y de una
medida µ, a valores en K.
Caso general
El primer modo de convergencia que exponemos es el de la convergencia
en promedio que hace intervenir el concepto de integral y el de espacio de
funciones de módulo integrable cuya definición damos a continuación. No nos
atardaremos en el estudio de todas las caracteŕısticas de este espacio puesto
que éstas serán retomadas minuciosamente en el caṕıtulo siguiente en un marco
más general.
Definición 3.3.2 (Espacio de funciones de módulo integrable) Notamos
L(X,A , µ,K) el conjunto de funciones definidas sobre X a valores en K cuyo
módulo es una función integrable. Es decir:
L(X,A , µ,K) =
{
f : X −→ K,
∫
X
|f(x)|dµ(x) < +∞
}
.
Para mostrar que una función es de módulo integrable, basta mostrar su
medibilidad y verificar que es mayorada en módulo por una función de integral
finita. Esta observación nos proporciona un número considerable de ejemplos
de funciones de módulo integrable; por ejemplo toda función indicatriz de un
conjunto de medida finita lo es.
12Nótese que no exigimos que la σ-álgebra A sea la σ-álgebra Boreliana Bor(X) de X.
170 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
Proposición 3.3.1 El espacio L(X,A , µ,K) es un K-espacio vectorial.
Prueba. La verificación es inmediata: basta utilizar la Proposición 3.2.15 para
convencerse que el espacio L(X,A , µ,K) es un K-espacio vectorial. �
Como anunciado, es en este espacio que podemos definir el concepto de con-
vergencia en promedio de la siguiente forma:
Definición 3.3.3 (Convergencia en promedio) Si (fn)n∈N es una sucesión
de funciones y si f es una función, ambas pertenecientes al espacio L(X,A , µ,K),
diremos que la sucesión (fn)n∈N converge hacia la función f en promedio si se
tiene
ĺım
n→+∞
∫
X
|fn(x)− f(x)|dµ(x) = 0. (3.42)
Demos un ejemplo de convergencia en promedio. Consideremos el espacio medi-
do (R,Bor(R), λ) y la sucesión de funciones determinadas por fn(x) = 1n1[0,1](x)
para todo n ≥ 1. No es muy dif́ıcil percatarse que esta sucesión tiende hacia la
función cero en promedio pues se tiene
∫
R
|1/n1[0,1](x)− 0|dx = 1/n −→
n→+∞
0.
Es instructivo comparar este tipo de convergencia con los tipos de conver-
gencia presentados en las secciones anteriores. Más precisamente tenemos el
resultado a continuación:
Proposición 3.3.2 La convergencia en promedio no implica ni la convergencia
uniforme ni la convergencia µ-c.t.p., rećıprocamente estas nociones de conver-
gencia no implican la convergencia en promedio.
Prueba. Para la verificación de estas aserciones es suficiente mostrar ejemplos
en donde estas implicaciones fallan.
1) La convergencia en promedio no implica la convergencia uniforme:
Sea X = R y sea (fn)n≥1 = 1[1,1+1/n[(x). Esta sucesión converge en pro-
medio hacia la función cero pues
∫
R
1[1,1+1/n[(x)dx = 1/n −→
n→+∞
0 pero
no converge uniformemente.
2) La convergencia en promedio no implica la convergencia µ-c.t.p.:
Sea X = [0, 1]. Notemos que para todo n ∈ N∗ existen dos enteros positi-
vos j, k únicamente determinados, tales que n = 2k+j y 0 ≤ j < 2k y para
tales enteros definimos fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k](x). Tenemos aśı que f1 =
1[0,1], f2 = 1[0,1/2], f3 = 1[1/2,1]. Vemos entonces que
∫
X
|fn(x)|dx = 2−k
de manera que podemos decir que fn −→
n→+∞
0 en promedio. Sin embargo,
no existe un solo punto de X tal que ĺım
n→+∞
fn(x) = 0 y por lo tanto no
se tiene que esta sucesión de funciones converge λ-c.t.p. hacia cero.
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 171
3) La convergencia uniforme no implica la convergencia en promedio:
Sea X = R y sea fn(x) = n
−1
1[0,n] para n ≥ 1. Se verifica sin problema
que esta sucesión converge uniformemente hacia cero, sin embargo se tiene
que
∫
R
n−11[0,n](x)dx = 1 para todo n ≥ 1.
4) La convergencia µ-c.t.p. no implica la convergencia en promedio:
sea X = [0, 1] y sea (fn)n≥1 = n1]0,1/n](x). Entonces ĺım
n→+∞
fn(x) =
0 λ-c.t.p. pero esta sucesión no converge hacia cero en promedio pues∫
X
fn(x)dx = 1 para todo n ≥ 1.
�
Veremos en el siguiente caṕıtulo, en el marco de los espacios de Lebesgue,
las diferentes aplicaciones de esta noción de convergencia. Por ahora, vamos a
presentar y estudiar el segundo tipo de convergencia anunciado que es de gran
utilidad en probabilidades y cuya definición damos enseguida.
Definición 3.3.4 (Convergencia en µ-medida) Sean f , fn, n = 1, 2, ...
funciones medibles definidas sobre un espacio medido (X,A , µ). Diremos que
la sucesión (fn)n∈N converge en µ-medida hacia f si para todo ε > 0 existe un
Nε ∈ N tal que
n > Nε =⇒ µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε}) ≤ ε. (3.43)
Demos un par de ejemplos que serán utilizados posteriormente:
(i) Sea X = [0, 1] y sea fn(x) = 1/n1[0,1](x), vemos entonces que esta suce-
sión tiende hacia cero en medida: en efecto, para todo ε > 0 basta fijar
Nε de manera que ε > 1/Nε para obtener la implicación (3.43).
(ii) En el mismo marco, y de manera muy similar, si definimos fn(x) =
n1[0,1/n[(x) entonces podemos ver que esta sucesión tiende hacia cero
en medida.
Proposición 3.3.3 La anterior Definición 3.3.4 es equivalente a la siguiente
reformulación:
(∀ε > 0) ĺım
n→+∞
µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε}) = 0. (3.44)
Prueba. Tenemos de forma simple que la fórmula (3.44) implica (3.43). Paraver la implicación inversa, fijemos ε > 0 y 0 < δ < ε y apliquemos (3.44) al
parámetro δ. Existe por lo tanto un entero Nε tal que, para todo n > Nε se
tenga
µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > δ}) < δ.
Dado que se tiene la desigualdad
µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε}) ≤ µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > δ}),
172 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
podemos concluir que µ({x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε}) < δ para todo n > Nε.
Es decir, haciendo n→ +∞ obtenemos
ĺım sup
n→+∞
µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε}) < δ.
Puesto que la expresión anterior es válida para todo 0 < δ < ε, obtenemos
(3.44) haciendo δ → 0. Lo que nos permite terminar la demostración. �
Comparamos en el resultado siguiente la convergencia en µ-medida con los
otros tipos de convergencia presentados.
Teorema 3.3.6 Sean (fn)n∈N una sucesión de funciones y f una función,
todas ellas pertenecientes al espacio L(X,A , µ,K).
1) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia en µ-
medida.
2) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en µ-casi todas
partes.
3) La convergencia uniforme implica la convergencia en µ-medida.
4) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia uniforme.
5) La convergencia en promedio implica la convergencia en µ-medida.
6) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en promedio.
Demostración. En la construcción de los contra ejemplos fijamos X = R
dotado de su estructura de espacio medido natural y utilizaremos algunas de
las funciones ya presentadas anteriormente.
1) Sea fn(x) = 1[n,n+1[(x), entonces vemos que fn −→ 0 en µ-casi todas
partes pero fn no converge en µ-medida pues µ{x ∈ X : |fn(x)| > ε} = 1
para todo ε > 0.
2) Utilizamos aqúı las funciones definidas en la parte 2) página 170: fn(x) =
1[j2−k,(j+1)2−k[(x). Entonces se tiene
µ({x ∈ R : |fn(x)| > ε}) = 2−k −→ 0
pero fn no converge hacia 0 en µ-casi todas partes.
3) La estimación sup
x∈X
|fn(x) − f(x)| < ε implica la desigualdad µ({x ∈ X :
|fn(x) − f(x)| > ε}) < ε de donde se deduce el resultado deseado.
4) Consideremos la sucesión de funciones reales fn(x) = 1[0,1/n[. Sabemos
que esta sucesión no converge uniformemente mientras que se tiene µ({x ∈
R : |fn(x)| > 1/n}) = 1/n, cantidad que tiende hacia 0 si n −→ +∞.
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 173
5) Tenemos la estimación
µ({x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε}) ≤
1
ε
∫
X
|fn(x)− f(x)|dµ(x),
de donde se deduce que la convergencia en promedio implica la conver-
gencia µ-medida.
6) Consideremos el ejemplo (ii) de la página 171: la sucesión de funciones
fn(x) = n1[0,1/n[(x) definidas sobre [0, 1] convergen hacia 0 en medida
pero no convergen en promedio lo que muestra que estas nociones de
convergencia son diferentes. �
Pasemos ahora al último modo de convergencia que presentamos en este caṕıtu-
lo.
Definición 3.3.5 (Convergencia µ-casi uniforme) Sea (X,A , µ) un espa-
cio medido y sean f, fn : X −→ K funciones medibles. Decimos que la sucesión
de funciones (fn)n∈N tiende hacia la función f µ-casi uniformemente si para
todo ε > 0 existe un conjunto Aε ∈ A tal que µ(X \ Aε) < ε y ĺım
n→+∞
fn = f
uniformemente sobre Aε.
En la demostración del resultado a continuación presentamos algunos ejem-
plos de sucesiones de funciones que convergen µ-casi uniformemente.
Teorema 3.3.7 De la misma manera que en el Teorema 3.3.6 - y bajo las
mismas hipótesis, reagrupamos aqúı las relaciones entre estos modos de con-
vergencia:
1) La convergencia uniforme implica la convergencia µ-casi uniforme.
2) La convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia uniforme.
3) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia µ-casi
uniforme.
4) La convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-casi todas
partes.
5) la convergencia en µ-medida no implica la convergencia µ-casi uniforme.
6) la convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-medida.
7) la convergencia en promedio no implica la convergencia µ-casi uniforme.
8) la convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia en promedio.
Demostración.
1) Este punto es inmediato por la definición de convergencia µ-casi uniforme
de manera que los detalles quedan al cargo del lector.
2) Sea X = [0,+∞[ y sea la sucesión fn(x) = 1[0,1/n[(x). Fijando ε =
1/n y Aε =]1/n,+∞[ no es dif́ıcil ver que esta sucesión converge µ-casi
uniformemente hacia 0, pero que no converge uniformemente.
174 Caṕıtulo 3. Teoŕıa de la integración
3) El punto 1), página 172, de la demostración del Teorema 3.3.6 se aplica
también en este caso. En efecto, la función fn(x) = 1[n,n+1[(x) converge
hacia cero en µ-casi todas partes, pero si fijamos ε = 1/2 tenemos que
para todo conjunto medible A se tiene por un lado que µ(X \ A) ≥ 1/2
o por otro lado que sup
x∈A
|fn(x) − f(x)| ≥ 1/2: es decir que no se tiene la
convergencia µ-uniforme.
4) Este hecho se deduce sin problema de la definición de convergencia µ-casi
uniforme.
5) El punto 2), página 170 se aplica igualmente en este caso. Sabemos que la
sucesión de funciones fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k[(x) converge en µ-medida
hacia cero, pero esta sucesión no converge µ-casi uniformemente hacia
cero pues no existe, para todo ε > 0, un conjunto Aε tal que µ(X \Aε) <
ε y tal que sobre este conjunto se tenga la convergencia uniforme: la
construcción de la sucesión impide que ste sea el caso.
6) Sea (fn)n∈N una sucesión de funciones definidas sobre (X,A , µ) que con-
verge µ-casi uniformemente hacia f . Podemos ver entonces que el conjun-
to {x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε} está contenido por definición en X \ Aε
y que se tiene µ(X \ Aε) < ε de donde se deduce la convergencia en
µ-medida.
7) Para encontrar un contra ejemplo, utilizamos otra vez las funciones fn(x) =
1[j2−k,(j+1)2−k[(x). Vemos entonces que
∫ 1
0
fn(x)dx = 2
−k −→ 0 pero es-
ta sucesión no converge µ-casi uniformemente.
8) Utilizamos aqúı las funciones fn(x) = n1[0,1/n[(x). Esta funciones tienden
hacia cero µ-casi uniformemente (ver el segundo punto de esta demostra-
ción) pero no en promedio.
�
Con los resultados anteriores vemos que estas nociones de convergencia son
realmente distintas las unas de las otras, lo que implica que cada una de ellas
tiene su importancia y utilidad.
A menudo es interesante estudiar el modo de convergencia de subsucesiones.
El teorema a continuación nos proporciona un resultado en este sentido.
Teorema 3.3.8 Sea (X,A , µ) un espacio medido y sean f, fn : X −→ K
funciones medibles. Si la sucesión de funciones (fn)n∈N converge hacia f en
µ-medida, entonces existe una subsucesión de (fn)n∈N que converge µ-casi uni-
formemente y en µ-casi todas partes.
Demostración. Dado que la convergencia µ-casi uniforme implica la conver-
gencia en µ-casi todas partes, nos concentramos en este primer modo de conver-
gencia. Sea pues (fn)n∈N una sucesión que converge hacia f en µ-medida. Existe
entonces una sucesión estŕıctamente creciente de enteros positivos (nk)k∈N tales
que, para todo n ≥ k se tenga
µ({x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > 2−k}) < 2−k. (3.45)
3.3. Teoremas clásicos de la teoŕıa de la integración 175
Sea ahora ε > 0 un real cualquiera y sea p un entero tal que 21−p < ε. Definimos
el conjunto
Ap =
+∞⋃
k=p
{
x ∈ X : |fnk(x) − f(x)| > 2−k
}
,
que representa los puntos tales que fnk se encuentra a una cierta distancia
de f . Entonces tenemos que µ(Ap) ≤
+∞∑
k=p
2−k = 21−p < ε por la estimación
(3.45) y por la subaditividad de la medida µ y además, sobre X \ Ap se tiene
|fnk(x) − f(x)| < 2−k ≤ 2−p < ε para todo k ≥ p, es decir que se tiene
la convergencia uniforme en este conjunto. Se deduce pues que ĺım
n→+∞
fn = f
µ-casi uniformemente. �
Caso en donde µ(X) < +∞
Hasta aqúı hemos estudiado las diversas interrelaciones existentes entre las
diferentes nociones de convergencia de funciones en el caso de espacios medidos
generales. En el caso de los espacios medidos de masa total finita es posible decir
un poco más al respecto. Si bien los resultados positivos se mantienen,
AMARUN_EspaciosLebesgueLorenzt_Vol1

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