Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (33)

Vista previa del material en texto

3 GEOMETRÍA
38. En R3, dados los puntos A = (2, 0, 1), B = (1, 1, 2), C = (4, 3, 1) y Q = (9,−5, 10), calcula:
a) La proyección ortogonal de Q sobre el plano que contiene a A, B y C.
b) El área del triángulo de vértices A, B y C.
Solución: El plano que pasa por A, B y C es el que pasa por A = (2, 0, 1) con vectores directores−−→
AB = (−1, 1, 1) y −→AC = (2, 3, 0), cuya ecuación impĺıcita es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−1 2 x− 2
1 3 y
1 0 z − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3(x− 2) + 2y − 5(z − 1) o 3x− 2y + 5z = 11
Su vector normal es ~v = (3,−2, 5) y por tanto la ecuación paramétrica de la recta perpendicular a
ese plano que pasa por Q es
(x, y, z) = (9,−5, 10) + λ(3,−2, 5) = (9 + 3λ , −5− 2λ , 10 + 5λ)
La proyección ortogonal de Q sobre el plano es la intersección de esa reca con el plano anterior, que
se obtiene para el valor de λ que satisface la ecuación del plano, lo que nos lleva a
11 = 3(9 + 3λ)− 2(−5− 2λ) + 5(10 + 5λ) = (27 + 10 + 50) + (9 + 4 + 25)λ = 87 + 38λ
de donde 38λ = 76 y por tanto λ = −2, de modo que la proyección ortogonal es Q′ = Q − 2~v =
(3,−1, 0).
El área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo que determinan
−−→
AB y
−→
AC, que a su vez
es el módulo de su producto vectorial. Este vale (−1, 1, 1) × (2, 3, 0) = (−3, 2,−5) y su módulo es√
9 + 4 + 25 =
√
38, por lo que el área del triángulo es
√
38/2.
o
39. En R3 se considera el plano π de ecuaciones paramétricas



x = 4 + 2α
y = 2 + α+ β
z = 8 + 5α+ 2β
.
Calcula unas ecuaciones impĺıcitas para π, la proyección ortogonal del punto Q = (8, 11, 3) sobre π
y la distancia d(Q, π).
Solución: En vista de las paramétricas, el plano π pasa por el punto P = (4, 2, 8) y su dirección
viene marcada por los vectores ~v = (2, 1, 5) y ~w = (0, 1, 2), por lo que su ecuación impĺıcita es
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 x
1 1 y
5 2 z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 4
1 1 2
5 2 8
∣
∣
∣
∣
∣
∣
o sea 3x+ 4y − 2z = 4
Para la proyección ortogonal hay que considerar la recta ℓ que pasa por Q y es perpendicular a
π, por lo que su vector director será el vector normal ~n = (3, 4,−2) y por tanto sus ecuaciones
paramétricas serán (x, y, z) = (8 + 3α , 11 + 4α , 3− 2β).
La proyección ortogonal Q′ es entonces el punto en el que se cortan π y ℓ. Para calcularlo podemos
sustituir las ecuaciones paramétricas de ℓ en la impĺıcita de π para obtener
4 = 3(8 + 3α) + 4(11 + 4α)− 2(3− 2β) = (9 + 16 + 4)α+ (24 + 44− 6) = 29α+ 62
de donde 29α = −58 y por tanto α = −2, de modo que la proyección ortogonal es Q′ = (2, 3, 7).
La distancia es ‖
−−→
QQ′‖ = ‖(−6,−8, 4)‖ = 2‖(−3,−4, 2)‖ = 2
√
9 + 16 + 4 = 2
√
29.
o
Matemáticas de 1 , problemas 97 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
40. En el espacio R3 se consideran el punto Q = (13,−1, 9) y el plano π que pasa por A = (5, 10, 2),
B = (7, 17, 3) y C = (7, 13, 1). Calcula una ecuación impĺıcita de π, la proyección ortogonal de Q
sobre π y la distancia d(Q, π).
Solución: El plano π pasa por A y contiene los vectores
−−→
AB = (2, 7, 1) y
−→
AC = (2, 3,−1), por lo
que su ecuación impĺıcita es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 2 x− 5
7 3 y − 10
1 −1 z − 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −10x+ 4y − 8z + 26
o, simplificando, 5x− 2y + 4z = 13; no está de más comprobar que A, B y C la satisfacen.
La proyección ortogonal de Q sobre π es la intersección de π con la recta ℓ que es perpendicular a
π (y por tanto tiene por vector director a ~n = (5,−2, 4)) y pasa por Q. Las paramétricas de ℓ son
pues Q+ λ~n = (13 + 5λ,−1− 2λ, 9 + 4λ), y al sustituirlas en la impĺıcita de π se tiene
13 = 5(13 + 5λ)− 2(−1− 2λ) + 4(9 + 4λ) = 45λ+ 103
o sea 45λ = −90 y por tanto λ = −2, por lo que la proyección ortogonal es Q′ = (3, 3, 1); no está
de más comprobar que efectivamente
−−→
QQ′ = (−10, 4,−8) es ortogonal al plano, o sea proporcional
a ~n.
La distancia pedida es d(Q, π) = d(Q,Q′) = ‖
−−→
QQ′‖ = 2‖(−5, 2,−4)‖ = 2
√
45 = 6
√
5.
o
41. En el espacio R3 se consideran el punto Q = (6,−5, 14) y el plano π que pasa por A = (4, 9, 8),
B = (6, 15, 12) y C = (5, 7, 6). Calcula una ecuación impĺıcita de π, la proyección ortogonal de Q
sobre π y la distancia d(Q, π).
Solución: El plano π pasa por A y contiene los vectores
−−→
AB = (2, 6, 4) y
−→
AC = (1,−2,−2), por
lo que su ecuación impĺıcita es
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 1 x− 4
6 −2 y − 9
4 −2 z − 8
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −4x+ 8y − 10z + 24
o, simplificando, 2x− 4y + 5z = 12; no está de más comprobar que A, B y C la satisfacen.
La proyección ortogonal de Q sobre π es la intersección de π con la recta ℓ que es perpendicular a
π (y por tanto tiene por vector director a ~n = (2,−4, 5)) y pasa por Q. Las paramétricas de ℓ son
pues Q+ λ~n = (6 + 2λ,−5− 4λ, 14 + 5λ), y al sustituirlas en la impĺıcita de π se tiene
12 = 2(6 + 2λ)− 4(−5− 4λ) + 5(14 + 5λ) = 45λ+ 102
o sea 45λ = −90 y por tanto λ = −2, por lo que la proyección ortogonal es Q′ = (2, 3, 4); no está
de más comprobar que efectivamente
−−→
QQ′ = (−4, 8,−10) es ortogonal al plano, o sea proporcional
a ~n.
La distancia pedida es d(Q, π) = d(Q,Q′) = ‖
−−→
QQ′‖ = 2‖(−2, 4,−5)‖ = 2
√
45 = 6
√
5.
o
Matemáticas de 1 , problemas 98 Alberto del Valle Robles
3 GEOMETRÍA
42. En R3 se considera el plano π de ecuaciones paramétricas



x = 4 + 2α
y = 6 + 3α+ 2β
z = 4 + 3α+ β
.
Calcula unas ecuaciones impĺıcitas para π, la proyección ortogonal del punto Q = (8, 11,−5) sobre
π y la distancia d(Q, π).
Solución: En vista de las paramétricas, el plano π pasa por el punto P = (4, 6, 4) y su dirección
viene marcada por los vectores ~v = (2, 3, 3) y ~w = (0, 2, 1), por lo que su ecuación impĺıcita es
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 x
3 2 y
3 1 z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 0 4
3 2 6
3 1 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
o sea 3x+ 2y − 4z = 8
Para la proyección ortogonal hay que considerar la recta ℓ que pasa por Q y es perpendicular a
π, por lo que su vector director será el vector normal ~n = (3, 2,−4) y por tanto sus ecuaciones
paramétricas serán (x, y, z) = (8 + 3α , 11 + 2α , −5− 4β).
La proyección ortogonal Q′ es entonces el punto en el que se cortan π y ℓ. Para calcularlo podemos
sustituir las ecuaciones paramétricas de ℓ en la impĺıcita de π para obtener
8 = 3(8 + 3α) + 2(11 + 2α)− 4(−5− 4β) = (9 + 4 + 16)α+ (24 + 22 + 20) = 29α+ 66
de donde 29α = −58 y por tanto α = −2, de modo que la proyección ortogonal es Q′ = (2, 7, 3).
La distancia es ‖
−−→
QQ′‖ = ‖(−6,−4, 8)‖ = 2‖(−3,−2, 4)‖ = 2
√
9 + 4 + 16 = 2
√
29.
o
43. En R3 se consideran el plano π que pasa por A = (1, 2,−2), B = (−1, 2, 1) y C = (1, 0, 4) y el punto
Q = (2, 7, 6), y se pide:
a) Calcula la ecuación impĺıcita de π y comprueba que A, B y C la satisfacen.
b) Calcula la proyección ortogonal de Q sobre π y la distancia d(Q, π).
Solución: (a) El plano π tiene vectores directores por ejemplo
−−→
AB = (−2, 0, 3) y −→AC = (0,−2, 6),
que podemos sustituir por su múltiplo más cómodo (0,−1, 3). Su ecuación es entonces
0 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2 0 x− 1
0 −1 y − 2
3 3 z + 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3(x−1)+6(y−2)+2(z+2) = 3x+6y+2z−11 3x+6y+2z = 11
La comprobación de que A, B y C satisfacen esta ecuación es elemental.
(b) La recta perpendicular a π por Q tiene pues vector director ~v = (3, 6, 2) y ecuaciones paramétri-
cas
(x, y, z) = Q+ λ~v = (2 + 3λ, 7 + 6λ, 6 + 2λ)
La proyección ortogonal Q′ que se pide es la intersección de esta recta con π, que se produce cuando
0 = 3(2 + 3λ) + 6(7 + 6λ) + 2(6 + 2λ)− 11 = (9 + 36 + 4)λ+ (6 + 42 + 12− 11) = 49λ+ 49
o sea cuando λ = −1 y es por tanto Q′ = (2− 3, 7− 6, 6− 2) = (−1, 1, 4).
La distancia d(Q, π) es entonces d(Q,Q′) = ‖
−−→
QQ′‖ = ‖(−3,−6,−2)‖ =
√
9 + 36 + 4 =
√
49 = 7.
o
Matemáticas de 1 , problemas 99 Alberto del Valle Robles