Matem1 Problemas Resueltos Algebra (Junio 2023) (48)

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7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
46. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
1− e−3x2
1− cos(x) .
Si empleas equivalencias o la regla de l’Hôpital, indica por qué puedes hacerlo.
Solución: Se puede usar la equivalencia 1− cos(x) ≈ 12 x2, porque 1− cos(x) aparece “dividiendo
a todo” en la expresión. Entonces sale por l’Hôpital en un solo paso.
Incluso sin usar equivalencias sale de forma estándar aplicando la regla de l’Hôpital un par de veces
(puede hacerse porque van saliendo indeterminaciones del tipo 0/0):
ĺım
x→0
1− e−3x2
1− cos(x) =
(
=
1− 1
1− 1
)
= ĺım
x→0
6xe−3x
2
sen(x)
(
=
0
0
)
= 6 ĺım
x→0
e−3x
2 − 6x2e−3x2
cos(x)
= 6
1− 0
1
= 6
o
47. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
2x− sen(2x)
x cosh(x)− x .
Solución: Aplicando varias veces la regla de l’Hôpital:
ĺım
x→0
2x− sen(2x)
x cosh(x)− x =
(
0
0
)
= ĺım
x→0
2− 2 cos(2x)
cosh(x) + x senh(x)− 1 =
(
0
0
)
=
ĺım
x→0
4 sen(2x)
2 senh(x) + x cosh(x)
=
(
0
0
)
= ĺım
x→0
8 cos(2x)
3 cosh(x) + x senh(x)
=
8
3
o
48. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
2x cosh(x)− sen(2x)
x2 sen(x)
.
Solución: Como el sen(x) de abajo divide a toda la expresión, podemos empezar usando la
equivalencia sen(x) ∼ x, y después basta con aplicar reiteradamente la regla de l’Hôpital:
ĺım
x→0
2x cosh(x)− sen(2x)
x2 sen(x)
= ĺım
x→0
2x cosh(x)− sen(2x)
x3
=
(
0
0
)
=
= ĺım
x→0
2 cosh(x) + 2x senh(x)− 2 cos(2x)
3x2
=
(
0
0
)
=
= ĺım
x→0
2 senh(x) + 2 senh(x) + 2x cosh(x) + 4 sen(2x)
6x
=
(
0
0
)
=
= ĺım
x→0
4 cosh(x) + 2 cosh(x) + 2x senh(x) + 8 cos(2x)
6
=
4 + 2 + 0 + 8
6
=
7
3
o
Matemáticas de 1 , problemas 142 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
49. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
4x cos(x)− senh(4x)
x2 sen(x)
.
Si empleas equivalencias o la regla de l’Hôpital, indica por qué puedes hacerlo.
Solución: Como el sen(x) de abajo divide a toda la expresión, podemos empezar usando la
equivalencia sen(x) ∼ x, y después basta con aplicar reiteradamente la regla de l’Hôpital:
ĺım
x→0
4x cos(x)− senh(4x)
x2 sen(x)
= ĺım
x→0
4x cos(x)− senh(4x)
x3
=
(
0
0
)
=
= ĺım
x→0
4 cos(x)− 4x sen(x)− 4 cosh(4x)
3x2
=
4
3
ĺım
x→0
cos(x)− x sen(x)− cosh(4x)
x2
=
(
4
3
1− 1
0
)
=
=
4
3
ĺım
x→0
− sen(x)− sen(x)− x cos(x)− 4 senh(4x)
2x
=
(
0
0
)
=
=
4
3
ĺım
x→0
−2 cos(x)− cos(x) + x sen(x)− 16 cosh(4x)
2
=
2
3
(−3− 16) = −38
3
o
50. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
ln(1 + 2x)− 2x
1 + 3x
x2
.
Solución: En principio es una indeterminación del tipo 0/0, y podemos aplicar la regla de l’Hôpital:
ĺım
x→0
ln(1 + 2x)− 2x
1 + 3x
x2
= ĺım
x→0
2
1 + 2x
− 2 + 6x− 6x
(1 + 3x)2
2x
= ĺım
x→0
1
1 + 2x
− 1
(1 + 3x)2
x
=
ahora basta con operar adecuadamente:
ĺım
x→0
(1 + 3x)2 − (1 + 2x)
x(1 + 2x)(1 + 3x)2
= ĺım
x→0
4x+ 9x2
x(1 + 2x)(1 + 3x)2
= ĺım
x→0
4 + 9x
(1 + 2x)(1 + 3x)2
= 4
o
51. Calcula el siguiente ĺımite: ĺım
x→0
x sen(2x)− x2
2 + x2 − 2 cosh(x)
Solución: Aplicando varias veces la regla de l’Hôpital se tiene:
ĺım
x→0
x sen(2x)− x2
2 + x2 − 2 cosh(x) =
(
0− 0
2 + 0− 2 =
0
0
)
= ĺım
x→0
sen(2x) + 2x cos(2x)− 2x
2x− 2 senh(x) =
(
0 + 0− 0
0− 0 =
0
0
)
=
= ĺım
x→0
2 cos(2x) + 2 cos(2x)− 4x sen(2x)− 2
2− 2 cosh(x) =
2 + 2− 0− 2
2− 2 =
2
0
= ∞
o
Matemáticas de 1 , problemas 143 Alberto del Valle Robles
7 UNA VARIABLE: LÍMITES Y DERIVABILIDAD
52. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
1− cos(x)
x(e2x − 1) .
Solución: Si escribimos la diferencia de cuadrados e2x− 1 como (ex− 1)(ex+1), basta con aplicar
directamente dos equivalencias para obtener
ĺım
x→0
1− cos(x)
x(e2x − 1) = ĺımx→0
1− cos(x)
x(ex − 1)(ex + 1) = ĺımx→0
1
2 x
2
x2(ex + 1)
=
1
2
ĺım
x→0
1
ex + 1
=
1
2
1
1 + 1
=
1
4
Alternativamente, se puede usar directamente una equivalencia y aplicar luego la regla de l’Hôpital:
ĺım
x→0
1− cos(x)
x(e2x − 1) = ĺımx→0
1
2 x
2
x(e2x + 1)
=
1
2
ĺım
x→0
x
e2x − 1 =
(
0
0
)
=
1
2
ĺım
x→0
1
2e2x
=
1
2
· 1
2
=
1
4
también sale sin equivalencias, aplicando l’Hôpital dos veces:
ĺım
x→0
1− cos(x)
x(e2x − 1) =
(
1− 1
0
)
= ĺım
x→0
sen(x)
e2x − 1 + 2xe2x =
(
0
1− 1
)
= ĺım
x→0
cos(x)
2e2x + 2e2x + 4xe2x
=
1
4
o
53. Halla el valor del ĺımite ĺım
x→0
1− cosx2
x2 senx2
.
Solución: Las funciones sen(t) y t son equivalentes cuando t → 0, y por tanto lo son sen(x2) y x2
cuando x → 0. Aplicando primero esta equivalencia, después la regla de l’Hôpital (lo cual es posible
porque se obtiene una indeterminación del tipo 0/0) y por último otra vez la misma equivalencia
se obtiene
ĺım
x→0
1− cosx2
x2 senx2
= ĺım
x→0
1− cosx2
x4
= ĺım
x→0
2x senx2
4x3
= ĺım
x→0
2x3
4x3
=
1
2
Si no se usan las equivalencias el resultado se obtiene aplicando reiteradamente la regla de l’Hôpital:
ĺım
x→0
1− cosx2
x2 senx2
= ĺım
x→0
2x senx2
2x senx2 + 2x3 cosx2
= ĺım
x→0
senx2
senx2 + x2 cosx2
=
ĺım
x→0
2x cosx2
2x cosx2 + 2x cosx2 − 2x3 senx2 = ĺımx→0
cosx2
2 cosx2 − x2 senx2 =
1
2
o
54. Calcula el valor del ĺımite ĺım
x→0
x cos(x)− x
3x− senh(3x) .
Solución: Sale directamente aplicando l’Hôpital tres veces, pues en todos los casos hay indeter-
minaciones del tipo 0/0:
ĺım
x→0
x cos(x)− x
3x− senh(3x) =
(
0− 0
0− 0
)
= ĺım
x→0
cos(x)− x sen(x)− 1
3− 3 cosh(3x) =
(
1− 0− 1
3− 3
)
=
Matemáticas de 1 , problemas 144 Alberto del Valle Robles