Errores

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El hombre comienza a adentrarse en el mundo de las mediciones casi en el mismo momento en el 
que desarrolla su uso de razón, aunque no se de cuenta que lo está haciendo, debido a que es en éste 
mismo instante donde comienza realizar comparaciones; compara lo que tiene con lo que tiene otros 
niños, compara sus características físicas con las de otros, etc. Y es que con el hecho de comparar se 
puede decir que esta midiendo, porque el lenguaje de la medida es el lenguaje de la comparación. 
¿Quien puede hablar de que nunca a hecho una comparación? si es que en las cosas mas simples lo 
hacemos; pensemos en dos personas que van caminando, una de estas comienza a adelantarse, esta 
persona le dice a la otra que camina muy lento y la otra persona le responde es que su paso es mas 
largo que el mío, esta persona acaba de hacer una comparación y a si el ser humano compara 
muchas cosas mas; como la calidad de diferentes objetos, su estado, su durabilidad, el precio, las 
dimensiones y otras mas. Se concluye por lo tanto que el hombre que realiza una comparación está 
midiendo, aunque no implique la presencia de valores numéricos precisos. 
Conociendo que el proceso de medida toma como base la comparación, es de gran importancia dar 
mas claridad a dicho concepto y esto lo haremos a través de conocer que tipo de comparaciones 
existen y sus características. 
 
����&RPSDUDFLRQHV�FXDOLWDWLYDV��
Como se dijo antes, cuando comparamos dos objetos en forma general, lo que en realidad estamos 
haciendo es tomar una cualidad que se encuentra presente en los dos y que además nos da una base 
de comparación para confrontarlas. Como por ejemplo el brillo de dos laminas de metal o el peso 
de dos ladrillos, etc. Por tanto una forma de realizar una comparación cualitativa, seria tomar el 
grado de dicha propiedad en cual quiera de los dos objetos y usarla como patrón o unidad de medida 
para compararla con el otro. 
Como ejemplo podríamos comparar la intensidad de color de los dos ladrillos que vemos en la 
grafica. Tomando como patrón o base de comparación el ladrillo A, podríamos decir lo siguiente: 
 
a) El ladrillo B es mas oscuro que al A 
b) El ladrillo B no tiene un color tan claro como el 
ladrillo A 
 
����&RPSDUDFLRQHV�FXDQWLWDWLYDV��
Cuando deseamos medir una propiedad física de un objeto lo primero que debemos hacer es 
observar e identificar dicha propiedad, saber que vamos a medir, ya que esto trae implicaciones al 
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Planimetría________________________________________________________________ 
$%6��***���,'0�38
momento de escoger una unidad de medida y también el con que se va a medir el grado de 
semejanza y de diferencia del objeto con el patrón; es en éste momento donde entran a jugar ideas 
como las, de cantidad, de posición, de cambio y de dirección. 
El punto de origen y la dirección del cambio son ideas importantes que usamos al comparar y al 
medir. Una conciencia de variación o cambio en una propiedad física implica también una 
conciencia del estado original desde el cual a cambiado dicha propiedad. Incluyen también la 
conciencia del cambio en una dirección como opuesta al cambio en otra dirección. (Tomado del 
libro Medida de la Nacional Council of Teachers of Mathematics) 
Analizando los ejemplos anteriores podemos ver la importancia o necesidad de tener un punto de 
origen o punto de referencia desde el cual medir, para tener mayor claridad miremos el siguiente 
caso. 
Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura, 
tomando una baldosa como unidad, y contando el número de baldosas medimos la superficie de la 
habitación, 30 baldosas. En la figura inferior, la medida de la misma superficie da una cantidad 
diferente 15 baldosas. 
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La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido 
a que se han empleado distintas unidades de medida. 
Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para 
una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas. 
����&RQFHSWR�GH�PHGLGD��
Por medición entendemos el proceso sistemático o técnica por la cual asignamos un número a una 
propiedad física de un objeto o conjunto de objetos para representar esas cantidades, con 
propósitos de comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón� Hl resultado de 
la medida se expresa con un número y una unidad, dependiendo esta última del patrón que se haya 
escogido. 
En planimetría se trabaja con medidas de ángulos verticales y/o horizontales y distancias verticales 
y horizontales. El primer paso en el proceso de la ejecución de dichas medidas, es como ya se había 
dado a entender con anterioridad, la definición de las unidades con que se desea trabajar, el segundo 
es la selección del método o procedimiento por el cual se efectuaran tales medidas, el tercero es la 
construcción de un modelo matemático que simplifica la realidad física de los componentes de la 
medida. Como resultado de los dos primeros pasos se obtienen observaciones o lecturas que se 
procesan de acuerdo al modelo para obtener los valores requeridos. Los datos obtenidos deben ser 
los necesarios y solidarios con el modelo para que éste sea aplicable. 
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Capitulo 2: Medida y Errores
Universidad del Quindío_____________________________________________________39
Un ejemplo sencillo de esto se presenta cuando se desea conocer el área de una figura 
trigonométrica como el triángulo; en este caso una persona podría medir todos los lados del 
triangulo y aplicar el modelo matemático del semiperímetro para determinar el área, no le sería 
posible emplear un modelo como el del seno del ángulo por que la información que posee no es 
pertinente (no funciona para el modelo). 
������3URSLHGDGHV��GH�XQD�PHGLGD�
En el campo de las matemáticas solo podemos llamar medición al proceso que cumpla las 
siguientes propiedades. 
¾ La medida del conjunto debe ser igual a la suma de las medidas de todas sus partes. Por 
ejemplo si tuviésemos que medir la distancia entre dos puntos y para ello contáramos solo 
con una cinta de 10m lo que nos llevaría a medir por tramos para luego sumarlos y obtener 
el resultado, este debería ser igual, a si lo hiciéramos con una cinta que cubriera toda la 
distancia 
¾ La medida de nada debe ser cero 
¾ La medida de una parte de algo no debe ser mayor que la medida del todo. Por ejemplo la 
medida de medio ángulo es menor que la medida de todo el ángulo. A esta propiedad la 
llamamos “monotonía” teniendo en cuenta las propiedades anteriores, se puede decir que la 
propiedad tres es lo mismo que decir que las medidas expresadas por números no negativos 
¾ Al repetir una medida debemos obtener los mismos resultados, En cualquier trabajo de 
medición, si la medida se hace de cierto modo bajo determinadas condiciones físicas, la 
teoría dice que el resultado debe cumplir con esta propiedad. Claro que en la realidad no se 
cumple llevándonos a pensar en la incertidumbre de las medidas cosa que estudiaremos mas 
adelante. 
������)RUPDV�GH�PHGLU�
Son una gran cantidad de cosas o de propiedades físicas las que el hombre puede medir, pero todas 
estas no permiten ser medidas de la misma forma debido a las condiciones de medida y a la 
precisión que se requiere. Las formas o procesos de medida se clasifican de la siguiente manera: 
¾ Contar 
¾ Medición directa 
¾ Medición indirecta 
��������&RQWDU�
Esta forma de medir se basa en los números cardinales que nos permiten decir la cantidad de 
elementos presentes en un conjunto, así por ejemplo se podría expresar el número de mesas que 
hay en un restaurante luego de contarlas. También se pueden conocer otras cosas a través de contar 
como conocer las dimensiones de un cuadrado como el que vemos en el dibujo solo conociendo 
las dimensiones de uno de los rectángulosinternos y contando cuantas veces este se repite dentro de 
dicho cuadro 
1 Tomado del libro Medida de la Nacional Council of Teachers of Mathematics 
Planimetría________________________________________________________________ 
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Dimensiones de un cuadro interno 2 cm de largo por 1.2 cm, para 
determinar las dimensiones contaríamos que por un lado tiene tres 
rectángulos y estos tiene por ese lado una dimensión de 2 cm por lo 
tanto el cuadro tiene 6 cm de lado 
 
��������0HGLFLyQ�GLUHFWD�
Esta forma de medida consiste en realizar una comparación directa entre una unidad que se asume 
como patrón de medida y lo que se piensa medir, por ejemplo si queremos conocer la estatura de 
una persona, ésta persona se coloca al lado de una cinta métrica que se encuentra en posición 
vertical y se realiza la comparación. 
 
Este proceso es una medida relativa porque los números de la magnitud dependen de la unidad 
seleccionada y esta selección es un tanto arbitraria. 
 
��������0HGLFLyQ�LQGLUHFWD��
Es aquella medida en la cual no es posible efectuar en forma sencilla la medición directa, esto se 
presenta en algunas situaciones como por ejemplo cuando se desea medir la altura a la cual vuela 
un avión o la altura de un edificio bastante elevado, por lo tanto para llegar al resultado es necesario 
la aplicación de un modelo matemático y instrumentos ingeniosos que faciliten la obtención de otra 
informaciones que después de ser procesadas con el modelo, dando el resultado esperado. Otra 
situación donde se aplica la medición indirecta es cuando se quieren medir las propiedades de 
algunos objetos que no son obtenibles por medición directa: temperatura, velocidad, peso, densidad, 
etc. En dichas situaciones se hace la medida con instrumentos en los cuales el resultado se logra por 
la lectura en una pantalla o la posición de una aguja índice la cual nos permiten registrar la cantidad 
de dichas fuerzas físicas sobre una escala numérica. 
�����'LVWULEXFLyQ�QRUPDO��
 
Atendiendo a las necesidades de las profesiones en las cuales se trabaja 
con medidas u observaciones, de determinar el comportamiento de estas y 
las precisión con que se obtienen los resultados de medidas, se estable que 
los datos que son producto de lecturas o medidas, como las que se efectúan 
en topografía, tienen la característica de ser variables aleatorias continuas, 
ya que pueden tomar cualquier valor fraccionario en un rango determinado 
de valores, desde que sean posibles y probables dentro de dicho rango, en el cual existen un 
numero infinito de posibilidades; claro está que no se pueden señalar todos los valores posibles con 
su probabilidad, pudiendo solo tomar los valores que permita la precisión con que se están 
realizando las observaciones. Un ejemplo que nos permite entender con mayor facilidad este 
concepto, es el siguiente: 
Pensemos en un dado de juegos de azar; este tiene los números del uno al seis, si le preguntamos a 
una persona que elija un número para ver si al lanzar el dado, el numero escogido cae, y esta 
persona nos contesta que piensa que caerá el número siete, lo primero que podemos pensar es que 
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Capitulo 2: Medida y Errores
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no es posible que éste caiga; por la sencilla razón de que se encuentra fuera del rango del dado, no 
cumpliendo así con las características para considerarse como un valor acertado para el intervalo o 
rango que se esta manejando. 
Al lazar un dado en repetidas ocasiones los valores obtenidos siempre serán números diferentes, 
pero que están presentes en el dado, esto es debido a cambios en las condiciones de cada 
lanzamiento, que no pueden ser controladas; de forma similar se presentan cuando realizamos 
mediciones con distintos instrumentos y distintos medidores, en las cuales se encuentran resultados 
distintos; a estos cambios es a lo que denominamos errores aleatorios. 
 
El comportamiento de estos resultados se ha logrado caracterizar estableciendo ciertas leyes de 
distribución, llamadas distribuciones normales.
La distribución normal es una distribución de probabilidad continua que agrupa los datos 
igualmente alrededor de la media o valor más probable, esta se representa por la grafica de una 
función, que es una curva en forma de campana denominada, curva de probabilidad, campana de 
Gauss o curva de error, ésta curva nos ilustra en forma sencilla la manera en que se presentan los 
resultados de las observaciones o en otras palabras la dispersión de dichos datos (área bajo la curva 
de la grafica que tiene como limite en las abscisas los puntos de inflexión), en ella podemos 
encontrar como abscisas los valores del error y como ordenadas la frecuencia de ocurrencia de los 
errores. 
Una grafica de distribución normal nos proporciona la siguiente información: 
 9 La forma simétrica en se encuentran distribuidos los valores respecto a un valor 
central o más probable. 
9 La forma en que se propagan o dispersan los valores obtenidos. 
9 Se puede inferir la precisión de los resultados de la medidas (una curva alta y 
estrecha representa una buena precisión, una curva baja y ancha nos indica una pobre 
precisión). 
 
Veamos los gráficos que ilustran el tercer punto.
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En este grafico podemos observar 
varias distribuciones, que tienen 
el mismo valor central pero 
diferente dispersión. 
 
La curva de color morado nos 
muestra una distribución para una 
serie de medidas con una muy 
buena precisión y una curva de 
color magenta, baja y ancha que 
nos indica que tienen una pobre 
precisión. 
 
Las distribuciones de color 
violeta y verde son funciones de 
dispersión intermedia por tanto 
no son de precisión intermedia. 
 
NOTA: Las curvas de distribución que observamos anteriormente tiene la característica de tener un 
mismo valor central, pero presentan dispersiones diferentes, que nos pueden indicar como están los 
resultados de las medidas efectuadas (ver concepto de desviación normal). 
 
Por lo tanto para complementar se puede decir que un conjunto de observaciones se encuentran 
normalmente distribuidas cuando cumplen con las siguientes condiciones: 
 
• En el intervalo de ± (este valor es la abscisa del punto de inflexión) se encuentran 
concentrados el 68.26% de los datos, esto quiere decir que si tomamos el valor mas probable 
y le sumamos o le restamos la desviación estándar se crea un intervalo en el que se deben 
encontrar el 68.26% de los datos que se obtuvieron en el proceso de medición. 
 
• En el intervalo de ± se encuentran concentrados el 95.4% de los datos, significa que si 
se toman 
 
• En el intervalo ± 3 se deben concentrar el 99.7% de los datos o resultado de la 
observaciones realizadas. 
Se puede decir que la probabilidad de que un resultado se desvié de la media en más de tres veces la 
desviación estándar (siendo esta el alejamiento que existe entre el valor medio y los límites de los 
intervalos descritos anteriormente) es de casi 1 entre 400, y en más de cuatro veces, del alrededor de 
1 entre 10000. Así, cuando el resultado se desvía en una cantidad grande de la media es posible 
que se halla operado en circunstancias poco usuales y que el resultado no pertenezca a la misma 
distribución normal. En este caso es razonable rechazar la observación dudosa, practica usual si la 
desviación de la media es mayor que tres veces la desviación estándar. 
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Capitulo 2: Medida y Errores
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����3UHFLVLyQ�\�H[DFWLWXG��
En la mayoría de las ocasiones las personas creen que 
precisión y exactitud son sinónimos, técnicamente en la 
realidad esto no es cierto, estos dos términos expresan cosas 
muy diferentes cuando estamos hablando en un lenguaje como 
en elde topografía, donde ya dejan de ser sinónimos para 
convertirse en conceptos que nos permitan calificar la calida 
de las medidas. 
������3UHFLVLyQ�
La precisión la podemos definir como el grado de refinamiento 
y uniformidad de los resultados cuando se realiza una medida. 
Esta nos da una indicación de la dispersión de los valores en 
una cantidad medida, varios valores agrupados entre si 
constituyen un conjunto de medidas mas preciso, que otro con 
valores mas dispersos. En otras palabras la precisión está 
relacionada con la calidad de los procesos de medida. 
 La precisión se encuentra muy relacionada con la mínima 
división de la escala del instrumento de medida y con el estado del instrumento mismo. Para 
entender mejor lo que es la precisión analicemos el siguiente ejemplo: 
En la (ILJ��� se muestran los impactos de los disparos de un tirador, que a pesar de no atinarle al 
blanco, muestra una uniformidad en sus resultados ya que estos se agrupan alrededor de un centro 
de gravedad, todos han quedado en la misma zona repartidos en tal forma que hay la misma 
cantidad a izquierda y a derecha, arriba y abajo, que además existe mayor cantidad de impactos 
cerca al centro y menos hacia los extremos (periferia). De lo anteriormente dicho se puede inferir 
que la precisión nos da una idea de la calidad del manejo de un instrumento para la obtención de un 
resultado. 
������([DFWLWXG�
De la exactitud podemos decir que es el grado de acercamiento a la verdad o sea que es la cercanía 
entre el valor medido (Vm) de una magnitud y el valor verdadero (Vv) de esta. Por lo tanto la 
exactitud de una medida se refiere a la cercanía entre Vm y Vv, una diferencia pequeña significa 
gran exactitud y viceversa. El verdadero valor de una cantidad rara vez se conoce por lo tanto la 
diferencia o error y la exactitud son también desconocidos. 
Debido a que la exactitud como ya dijimos es indeterminada en la practica necesitamos de otros 
conceptos que nos permitan determinar la calidad de una medida, es decidir entre varias cual es la 
mejor. La precisión nos permite hacer este juicio. 
Para comprender mejor lo que es exactitud recordemos el ejemplo anterior: �ILJ���� 
En éste se ve que el centro de gravedad de de los impactos está desplazado del centro de la diana, 
abajo y a la derecha, lo que equivale a la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero; la 
discrepancia que existe en el ejemplo se debe a unos errores que se denominan sistemáticos. 
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Planimetría________________________________________________________________ 
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De los ejemplos anteriores (9HU�ILJ����D����E����F����se puede concluir que una medida es mas precisa 
en cuanto menores son los errores accidentales, y más exacta cuando más reducidos son los errores 
sistemáticos y además que: 
1. Los errores positivos y negativos de la misma magnitud, tienen aproximadamente la misma 
frecuencia, de manera que su suma tiende a cero. 
2. Los pequeños errores son mas frecuentes que los grandes. 
3. Los grandes errores como (impactos del grafico �F) son escasos. 
����,QFHUWLGXPEUH�GH�ODV�PHGLGDV��
Todas las ciencias experimentales se fundamentan en la experiencia, y ésta a su vez en la 
determinación cuantitativa de las magnitudes pertinentes. En definitiva, todas las ciencias precisan 
de la medida, ya sea directa o indirecta de magnitudes físicas. 
Las medidas nunca permiten obtener el “verdadero valor” de la magnitud que se mide. Esto es 
debido a multitud de razones. Las más evidentes son las imperfecciones, inevitables en un cierto 
grado, de los aparatos y de nuestros sentidos. El “verdadero valor” de una magnitud no es accesible 
en la realidad y por ello resulta más adecuado hablar en algunas de un valor teórico (Vt) o de 
estimaciones, medidas o aproximaciones del valor de una magnitud. Independientemente de estas 
consideraciones, en el ámbito de la topografía se sabe que no tiene sentido hablar del YHUGDGHUR�YDORU�GH�XQD�PDJQLWXG, sino sólo de la SUREDELOLGDG de obtener uno u otro valor en una determinada 
medida. 
)LJXUD����D�� )LJXUD����E��
)LJXUD����F��
Capitulo 2: Medida y Errores
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La consecuencia de las consideraciones anteriores, es que toda medida es incierta o está dotada de 
un cierto grado de incertidumbre. Es esencial estimar ésta incertidumbre, primero porque el 
conocimiento de la incertidumbre aumenta la información que proporciona la medida, y segundo, 
porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia que dicta el conocimiento 
de la confianza que nos merecen. 
Cuando se exprese el resultado de una medida es pues necesario especificar WUHV elementos: número, 
unidad e incertidumbre. La ausencia de alguna de ellas elimina o limita la información que 
proporciona. 
 
����(UURUHV��
El significado de la palabra “error” no es muy preciso, puesto que con frecuencia autores diferentes 
lo emplean con sentidos diferentes. En un sentido amplio puede considerarse el error como una 
estimación o cuantificación de la incertidumbre de una medida o sea de la diferencia entre un Vm y 
un Vv o Vt. Cuanto más incierta sea una medida, tanto mayor será el error que posee la misma. 
6XHOHQ�GLVWLQJXLUVH�GRV�WLSRV�GH�HUURUHV��HUURUHV�VLVWHPiWLFRV�\�DFFLGHQWDOHV.
������(UURUHV�VLVWHPiWLFRV�
Es una discrepancia que surge al momento de medir por el empleo de un método inadecuado, un 
instrumento defectuoso (falta de calibración) o bien por usarlo en condiciones (ambientales) para 
las que no estaba diseñado, éste no tiene que ver con la calidad del trabajo. Es aquel que, en iguales 
condiciones, afectan el resultado con la misma magnitud y con el mismo signo (positivo o 
negativo). Por ejemplo, emplear una regla metálica a una temperatura muy alta, puede introducir un 
error sistemático si la dilatación del material hace que su longitud sea mayor que la estándar. En 
este caso, todas las medidas pecarán (sistemáticamente) por defecto. Medir una magnitud con un 
instrumento graduado a una escala, suponiendo por equivocación que está graduado en otra, 
introduce también un error sistemático en la medida que en este caso se debe a fallas de observador. 
Los errores sistemáticos deben ser eliminados, en lo posible, ya sea teniéndolos en cuenta en el 
momento de realizar los caculos o empleando métodos de medición apropiados y instrumentos que 
se encuentren calibrados o empleándolos para las condiciones que fueron fabricados 
127$��Una medida tiene mayor cercanía al resultado real, cuando en el proceso de medición no se 
presentan errores sistemáticos. Realmente en algunas ocasiones los errores sistemáticos se toman 
como equivocaciones que se consideran como evitables. Estos no tienen que ver con la calidad del 
trabajo 
(MHPSORV��
) Error de calibración del instrumento de medida. 
) Posición incorrecta de la aguja (Error de índice). 
) Colocar el índice donde no corresponde. 
) Mala calibración de aparatos electrónicos (Distanciómetro). 
) Errores de construcción del instrumento (excentricidad de círculos graduados). 
2 Tomado de las notas de clase. Errores. Profesor Gilberto Gómez Gómez. 
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) Condiciones ambientales inadecuadas (humedad, temperatura, luminosidad, etc.). 
) Técnicas imperfectas (procedimientos no adecuados, como asumir siempre que el hilo 
medio del retículo va a ser siempre igual ala altura instrumental. 
) Modelo matemático incorrecto (se aplica la formula no adecuada). 
) Teorías incorrectas. 
������(UURUHV�DFFLGHQWDOHV��
Estos son los que llamaremos simplemente errores en el sentido técnico de la palabra. Son 
incertidumbres debidas a numerosas causas incontrolables e imprevisibles que hacen que los 
resultados obtenidos no cumplan con la cuarta propiedad de las medidas. 
Los errores accidentales, parecen frutodel azar, y por ello reciben el nombre de aleatorios. Pueden 
ser debidos a la acumulación de muchas irregularidades sistemáticas o bien pueden provenir de 
variaciones incontrolables a un nivel muy pequeño de las condiciones de observación. Esto quiere 
decir que estos errores son provocados por irregularidades de la atmósfera al medir, fallas pequeñas 
de nuestros sentidos, o por problemas inevitables en la construcción de los instrumentos. Aunque la 
presencia de los errores accidentales no pueda evitarse, estos se pueden considerar como 
compensables. 
127$��En una medida cuando los errores aleatorios son pocos es por que ésta presenta la medida 
presenta una buena precisión. 
(MHPSORV� 
) Errores de apreciación (lectura en las escalas). 
) Errores por cambio de temperatura en el sitio de trabajo. 
) Errores inducidos por el viento. 
) Asentamiento del trípode (terrenos blandos). 
) Falta de definición (al dar línea con la plomada). 
) Errores de manipulación de la cinta. 
�
����&DXVDV�GH�HUURUHV��
Existen tres causas debido a las cuales se presentan los errores al efectuar mediciones, y se 
clasifican de la siguiente manera: 
 ¾ (UURUHV�1DWXUDOHV� Son causados por variaciones del viento, la temperatura, la humedad, 
la presión atmosférica, la refracción atmosférica, la gravedad y la declinación magnética. 
Un ejemplo es una cinta de acero cuya longitud varía con los cambios de temperatura. 
 ¾ (UURUHV�,QVWUXPHQWDOHV� Estos se deben a imperfecciones en la construcción o ajuste de 
los instrumentos y del movimiento de sus partes individuales. Por ejemplo, las graduaciones 
sobre una escala pueden no estar perfectamente espaciadas o la escala puede estar torcida. 
Capitulo 2: Medida y Errores
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El resultado de muchos errores instrumentales pueden reducirse, e incluso eliminarse, 
adoptando procedimientos adecuados o aplicando correcciones calculadas. 
 
¾ (UURUHV�3HUVRQDOHV� Estos tienen su origen principalmente en las limitaciones propias de 
los sentidos humanos, tales como la vista, el oído y el tacto. Por ejemplo, existe un error 
pequeño en el valor medido de un ángulo horizontal cuando el hilo vertical de la retícula del 
anteojo de un teodolito no queda perfectamente alineado sobre el objetivo. 
����(UURU�UHDO��
Por motivos ya expuestos, y por su propia naturaleza, no es posible determinar exactamente un 
error. En el mejor de los casos, puede llegarse a una estimación de ese error. Se llama error real (Er) 
a la diferencia entre el valor medido (Vm) y el valor verdadero (Vv) de la respectiva magnitud: 
9Y9P(D −=
En la práctica puede tomarse como valor verdadero al hallado a través de un cálculo estadístico de 
un gran número de mediciones, que se adopta como valor convencional (Vc). 
9YF9P(DF −=
De las fórmulas anteriores se desprende que el error absoluto será positivo cuando se mida en 
exceso y negativo cuando se lo haga en defecto. El valor del error absoluto no nos da una idea clara 
de la bondad de la medición efectuada. Por ejemplo, es muy distinto cometer un error de 10cm al 
medir 13200m, que al medir 220m. 
Esto implica que la magnitud medida se encuentra en un intervalo con una determinada 
probabilidad 
)(XQLGDG[[9P δ±=
( )[[[[ δδ +− ,
Con una medida logramos acotar el intervalo de valores en los que se encuentra la magnitud que 
pretendemos medir, pero siempre con una determinada probabilidad. Es evidente que el error 
expresado por es una magnitud de la misma clase que la medida y se expresa por tanto con la 
misma unidad. También es claro que en las medidas de calidad normal el error debe ser mucho 
menor que el valor nominal, [. Por definición es siempre positivo; éste es el que llamamos error 
absoluto.�
�����(UURU�UHODWLYR��
Tiene también interés el error relativo, que se define como la razón entre el número de unidades en 
el (error absoluto) y el número de unidades en la medida |x|. 
[
[(U δ=
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$%6��***���,'0�48
Ejemplo: 
 
Se realizo una medida de 14.5 cm, esto nos manifiesta que la precisión de la medida es de 0.1 cm. 
Por tal motivo el máximo error posible será ½ de 0.1cm entonces el error relativo es igual: 
 
003.0
5.14
05.0 == FP
FP(U
En medidas de una cierta calidad, el error relativo debe ser mucho menor que la unidad. 
Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto por ciento del valor 
medido: 
( ) %100% ×= [
[(U δ
�����&LIUDV�VLJQLILFDWLYDV��
Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o 
aportan alguna información. Las que no lo son aparecen como resultado de los cálculos y no tienen 
significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. 
Cuando nos referimos a trabajos de topografía o de otras profesiones donde tengan gran 
importancias el acotamiento de estos es de gran relevancia esta frase: Son cifras significativas 
aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error permisible por la 
precisión. 
Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5.392,3412 m con un 
error de 0,6 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras 
del número que ocupan una posición PHQRU que las décimas no aportan ninguna información. En 
efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es 
de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de 
las décimas, unidades, decenas, etc, pero QR las centésimas, milésimas y diezmilésimas. 
Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto 
que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que 
contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no 
significativas de un número. 
Una última forma de expresar el error de un número consiste en afirmar que todas sus cifras son 
significativas. Esto significa que el error es del orden de media unidad de la última cifra que se 
muestra. Por ejemplo, si el resultado de una medida de longitud es de 5.432,8 m, y afirmamos que 
todas las cifras son significativas, quiere decirse que el error es del orden de 0,5 m, puesto que la 
última cifra mostrada es del orden de las décimas de metro.
¿Cómo pueden determinarse las cifras significativas a partir del número que expresa el error?. Hay 
que tener siempre presente que todo error es una estimación y está por tanto sujeto a su vez a una 
incertidumbre, generalmente grande. Por esto no tiene sentido especificarlo con excesiva precisión. 
Salvo casos excepcionales, se expresará con XQD�VROD�FLIUD�VLJQLILFDWLYD.
127$: La tendencia a la máxima precisión cuando no es necesaria es también un equivoco porque 
lleva a la perdida de tiempo y dinero. 
Capitulo 2: Medida y Errores
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�����(VWLPDFLyQ�GHO�HUURU�GH�XQD�PHGLGD�GLUHFWD��
Cuando realizamos una medida y al repetirla obtenemos el mismo valor, esto no es necesariamente 
un indicio de que la medida esta bien efectuada. Obtener exactamente el mismo valor al repetir la 
medida es un indicio de que el instrumento es muy "fiel", pero tanta fidelidad lo que pone de 
manifiesto es una falta de "sensibilidad" en el instrumento de medida. 
La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, es 
importante que el observador sea experimentado y así pueda estimar con buena aproximación cuál 
es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de 
reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los 
casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar de dondeproviene un error que su 
propio valor. 
Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite estimar en gran medida errores 
aleatorios. 
�����9DORU��PiV�SUREDEOH�
�
Como se hablo cuando se trato el tema del error real, para poder determinar este, es necesario 
encontrar un valor que remplace el valor verdadero y con tal fin se emplea el valor más probable 
que se calcula con la media aritmética de los resultados de las mediciones 
 
Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de 
minimizar los errores aleatorios, los resultados obtenidos son [�� [�� ���� [Q se adopta como mejor 
estimación del valor verdadero, el valor medio , que viene dado por 
 
= Valor más probable o media × 
 = Número de observaciones 
 = el valor de cada observación 
 
El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el 
número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con 
otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es 
suficiente con diez, e incluso podrían bastar cuatro ó cinco. 
 
Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la 
magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al 
mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una 
sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, 
por lo que VRODPHQWH�VHUi�QHFHVDULR�HQ�HVWH�FDVR�KDFHU�XQD�VROD�PHGLGD.
�����'LVSHUVLyQ�\�HUURU��'HVYLDFLyQ�HVWiQGDU�
De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas 
aleatorias. Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los 
valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar 
que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor. 
Planimetría________________________________________________________________ 
$%6��***���,'0�50
Se toma como la mejor y la más apropiada estimación del error, la desviación media, es decir, el 
valor medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Sin embargo, como los datos 
difieren tanto por defecto como por exceso del valor medio, tal desviación se aproximaría a cero. 
Para evitarlo suele tomarse, no el valor medio de las desviaciones, sino el valor medio de las 
desviaciones al cuadrado. De esta forma todos los sumandos son positivos. Para que la unidad de 
este número sea homogénea con la de los datos, se extrae la raíz cuadrada. El valor resultante se 
conoce como HUURU�PHGLR�FXDGUiWLFR definido por 
 = error medio cuadrático 
 = Valor más probable o media 
 = Número de observaciones 
 = el valor de cada observación 
 
/D�LGHQWLILFDFLyQ�GHO�HUURU�GH�XQ�YDORU�H[SHULPHQWDO�FRQ�HO�HUURU�FXDGUiWLFR�REWHQLGR�GH�Q PHGLGDV�GLUHFWDV�FRQVHFXWLYDV��VRODPHQWH�HV�YiOLGR�HQ�HO�FDVR�GH�TXH� HO� HUURU� FXDGUiWLFR� VHD� PD\RU� TXH� HO� HUURU� LQVWUXPHQWDO�� HV� GHFLU�� TXH�DTXpO�TXH�YLHQH�GHILQLGR�SRU�OD�UHVROXFLyQ�GHO�DSDUDWR�GH�PHGLGD���Tomado del 
Artículo Teoría de Errores. (Departamento de Física Aplicada, E.U.I.T.I y T.) 
Universidad del País Vasco.�
Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las Q medidas ha sido 
el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el 
error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar 
diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida. 
Adoptando un criterio pesimista, podría decirse que el error es la semidiferencia entre el valor 
máximo y el mínimo. 
Cuando el número de datos es pequeño, suele preferirse el cálculo de la desviación normal por la 
ecuación: 
La primera suele llamarse desviación estándar de población, y la segunda desviación estándar 
muestral. Uno de los motivos de preferir la segunda, es que cuando medimos una sola vez, el 
resultado de la ecuación es 0/0=6 , es decir un número indefinido. Efectivamente, midiendo una 
magnitud una sola vez, no tenemos información alguna sobre su error, y por lo tanto éste debe 
permanecer indefinido. Sin embargo la segunda expresión conduciría a un error nulo. 
( ) )(Y9DULDQ]D[['RQGH L =−
Capitulo 2: Medida y Errores
Universidad del Quindío_____________________________________________________51
Las dos expresiones se emplean, aunque en la práctica, y si el número de medidas es grande, la 
diferencia entre emplear una u otra es muy pequeña. La más empleada es la segunda. 
��������$SOLFDFLRQHV�GH�OD�GHVYLDFLyQ�HVWiQGDU�HQ�WRSRJUDItD�
 
Las aplicaciones del concepto de desviación estándar en topografía son muchísimas y como 
sabemos los trabajos topográficos son basados en las medidas de distancias y ángulos, las cuales 
implican errores de tipo aleatorio por tal motivo se han desarrollado formas de tratarlo empleando 
dicho concepto, ahora bien en topografía podemos hablar de observaciones de igual valor de certeza 
u observaciones de diferente valor de certeza, siendo así no podemos tratarlos de igual forma, 
vemos como se aplica el error medio cuadrático para el tratamiento de las observaciones. 
 ���������2EVHUYDFLRQHV�GH�LJXDO�YDORU�GH�FHUWH]D��
�(UURU�GH�OD�VHULH�
�
En topografía se realizan diferentes tipos de medidas y como se ha dicho en párrafos anteriores 
ninguna está libre de error, como por ejemplo las distancias de una poligonal que como ideal 
debíamos expresarlas con su magnitud y error respectivamente; si queremos el error total 
aplicamos el concepto de error que es la suma de todos los errores de una serie de datos obtenidos, 
este concepto puede ser expresado en forma matemática de la siguiente forma: 
22
2
2
1 QVXPD [[[( �++=
En el caso en que se puedan considerar que todos los datos de la serie poseen un mismo error o ,
esto quiere decir que las medidas son homogéneas y es posible expresarlas matemáticamente de la 
siguiente forma: 
Q((VXPD =
Veamos el ejemplo más común que es el de una poligonal de la cual conocemos sus cinco ángulos 
y que determinamos que para cada medida se hace presente un error de 1’, se podría decir que el 
error de la suma es igual a: 
’2.25’1 ==VXPD(
(UURU�GH�OD�PHGLD�
 
Como se ha hablado en partes anteriores para determinar el valor mas probable de una serie de 
medidas u observaciones repetidas se emplea la media aritmética, debiéndose tener en cuenta que 
esta media también tiene errores, ya que al realizar la sumatoria de las medidas, para luego 
dividirla en el número de observaciones. Se tiene en cada una de ellas un error, se puede decir que 
el error de la media es igual a tomar el error de suma de los datos y dividirla en el número de 
repeticiones hechas. 
 
Luego reemplazando en error de la suma por su equivalencia en el error de la serie, se puede 
expresar matemáticamente de la siguiente forma: 
 
Q
(PF[(PF =
Planimetría________________________________________________________________ 
$%6��***���,'0�52
La importancia del error de la media radica en que nos permite estimar la calidad del error medio 
cuadrático de los resultados obtenidos de las medidas. 
 ��������2EVHUYDFLRQHV�GH�GLIHUHQWH�YDORU�GH�FHUWH]D�
�
Anteriormente tratamos las observaciones que presentaban la característica de tener un mismo valor 
de certeza; pero existe una gran cantidad de operaciones realizadas por los topografos que no 
cumplen esta condición por lo tanto para estimar o determinar elementos como el valor mas 
probable y error medio cuadrático se deben integrar a los conceptos anteriormente visto la idea del 
peso de las observaciones. 
 3HVR�GH�ODV�PHGLGDV�
 
Podemos definir como peso de una observación, el valor numérico que se le asignaa los resultados 
de una cantidad de medidas para indicar la precisión o calidad con que fueron obtenidas cada una de 
ellas, esto nos indica que para este caso las medidas son heterogéneas. 
 
El peso se expresa con un número positivo inversamente proporcional a un factor que nos permite 
inferir la precisión de las observaciones, siguiendo con ésta idea se puede afirmar que el mejor 
factor empleado es el error medio cuadrático. 
 
Donde µ es un valor teórico de la magnitud real desconocida, por tal motivo el peso de una o varias 
mediciones heterogéneas se expresa así: 
2(PFZ3
µ==
Donde C es igual a un número entero constante, de unidades iguales al error medio cuadrático, si las 
magnitudes son del mismo genero; en un caso contrario no poseen unidades. En la mayoría de las 
ocasiones este valor es reemplazado por 1. 
2
1
(PFZ3 == 0HGLD�SRQGHUDGD�
 
Como ya se ha hablado, en caso de las medidas heterogéneas de cualquier magnitud es menester 
también determinar el valor mas probable de un conjunto de medidas, pero dicho valor depende en 
este momento del peso que posea cada una de estas, ya que al hacerse presente el concepto de peso 
este causa el valor mas probable se encuentre mas cercano en un rango determinado a la medida 
que presente mayor peso. 
 
Ya que es necesario tener en cuenta los pesos de las observaciones para calcular la media esta 
queda expresada matemáticamente así: 
Q
S[S[S[[ QQ�++= 2211
(UURU�GH�OD�PHGLD�SRQGHUDGD�
 
Al igual que en las observaciones de igual valor de certeza existe un error y la forma de 
determinarlo, en las observaciones o en las medidas heterogéneas también se puede determinar este 
valor empleando la siguiente formula, en la cual también se tiene en cuenta los pesos. 
 
( )
( )∑
∑
−
=
1
2
Q3
3Y(PS