Vista previa del material en texto
Trabajos Prácticos Física I Unidad XII: Movimiento Oscilatorio 1. Enunciados 1. Soluciones 13.1. Una cuerda de piano produce una nota la medio vibrando primordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un la una octava más arriba, que tiene el doble de la frecuencia de la cuerda de piano. Identificar y preparar: Las variables objetivo son el periodo T y la frecuencia angular ω. Se da la frecuencia f, por lo que se pueden calcular usando las ecuaciones (13.1) y (13.2) Ejecutar: Es menor por un factor de dos Evaluar: La frecuencia angular es directamente proporcional a la frecuencia, mientras que el periodo es inversamente proporcional a la frecuencia. 13.3. La punta de un diapasón efectúa 440 vibraciones completas en 0,500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento. Identificar: El periodo T es el tiempo para una vibración T = 2 /ω. Preparar: La unidad de la frecuencia angular es el rad/s. Ejecutar: T = 0,50 s /440 = 1,14x10-3 s; y la frecuencia angular ω = 2 / T = 5,53x103 rad/s Evaluar: Hay 880 vibraciones en un segundo, o sea f = 880 Hz. 13.6. En un laboratorio de física, se conecta un deslizador de riel de aire de 0.200 kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo transcurrido entre la primera vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por este punto es de 2.60 s. Determine la constante de fuerza del resorte. Identificar: Aplicar ecuación (13.12). Preparar: El periodo será el doble del intervalo entre los tiempos en que el deslizador se encuentre en la posición de equilibrio. Ejecutar: Evaluar: 13.9. Un oscilador armónico tiene una masa de 0,500 kg unida a un resorte ideal con constante de fuerza de 140 N/m. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia y c) la frecuencia angular de las oscilaciones. Identificar: Aplicar ecuaciones (13.11) y (13.12). Preparar: f =1 /T Ejecutar: Evaluar: Se puede verificar que 1kg/(N/m) = 1s2 13.15. Peso de los astronautas. Este procedimiento se utiliza realmente para “pesar” a los astronautas en el espacio. Se une una silla de 42,5 kg a un resorte y se le deja oscilar cuando está vacía, la silla tarda 1,30 s en efectuar una vibración completa. En cambio, con un astronauta sentado en ella, sin tocar el piso con sus pies, la silla tarda 2,54 s en completar un ciclo. ¿Cuál debe ser la masa del astronauta? Identificar: Aplicar la ecuación. Usar la información de la silla vacía para calcular k. Preparar: Cuando m = 42,5 kg, T = 1,30 s. Ejecutar: Con la silla vacía Con la persona en la silla Evaluar: Para un mismo resorte, cuando la masa aumenta, lo hace el periodo. 13.24. Una porrista ondea su pompón en MAS con amplitud de 18,0 cm y frecuencia de 0,850 Hz. Calcule a) la magnitud máxima de la aceleración y de la velocidad; b) la aceleración y rapidez cuando la coordenada del pompón es x = 519,0 cm; c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la posición de equilibrio a un punto situado a 12,0 cm de distancia. d) ¿Cuáles de las cantidades pedidas en los incisos a), b) y c) pueden obtenerse empleando el enfoque de energía de la sección 13.3 y cuáles no? Explique su respuesta. Identificar y preparar: ax está relacionado con x por la ecuación (13.4) y vx está relacionado con x por la ecuación (13.21). ax es máximo cuando x = ± A, y vx es máximo cuando x = 0. t está relacionado con x por la ecuación (13.13). Ejecutar: |x| es máximo cuando es igual a A v es máximo cuando x = 0 Si = /2, y x = 0 en t = 0 Usando la identidad Se calcula el tiempo en que x = 0,120 m. Evaluar: Al objeto le toma un cuarto de periodo ir desde x = 0 hasta x = A = 0,180 m, por lo que el tiempo calculado debe ser menos de un cuarto de periodo. Nótese que ax y vx calculados en la parte (b) son menores en magnitud que los máximos calculados en la parte (b). (d) La ecuación de la conservación de la energía relaciona v con x y F = ma relaciona a con x. Por ello la aceleración y la velocidad pueden ser halladas usando métodos de energía, pero no así el tiempo. Especificando x determina unívocamente ax pero solo determina la rapidez de vx, por lo que puede estar moviéndose en el sentido positivo o negativo según el eje x. 13.27. Usted observa un objeto que se mueve en MAS. Cuando dicho objeto está desplazado 0,600 m a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2,20 m/s a la derecha y una aceleración de 8,40 m/s2 a la izquierda. ¿A qué distancia de este punto se desplazará el objeto, antes de detenerse momentáneamente para iniciar su movimiento a la izquierda? Identificar y preparar: La conservación de la energía afirma Y la segunda ley de Newton. Ejecutar: El objeto se habrá desplazado 0,840 m – 0,600 m = 0,240 m hasta detenerse en la máxima amplitud. Evaluar: La aceleración es variable, por lo que no se pueden utilizar las ecuaciones cinemáticas para aceleración constante 13.31. Un deslizador de 175 g sobre una pista de aire horizontal sin fricción está unido a un resorte ideal fijo, cuya constante de fuerza es de 155 N/m. En el momento en que usted mide el deslizador, éste se mueve a 0.815 m/s y está a 3.00 cm de su posición de equilibrio. Utilice la conservación de la energía para calcular a) la amplitud del movimiento y b) la rapidez máxima del deslizador. c) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones? Identificar: Inicialmente parte de la energía es cinética y parte es potencial en el resorte comprimido. Cuando x = ± A toda la energía es potencial y cuando el deslizador se encuentra con rapidez máxima es solo energía cinética. La energía total del sistema se mantiene constante durante el movimiento. Preparar: Inicialmente vx = ± 0,815 m/s; y x = ± 0,0300 m. Ejecutar: (a) Inicialmente la energía del sistema es Evaluar: La amplitud y la rapidez máxima dependen de la energía total del sistema pero la frecuencia angular es independiente del total de la energía en el sistema y solo depende de la constante elástica del resorte y de la masa del objeto. 13.33. Una esfera de 1,50 kg y otra de 2,00 kg se pegan entre sí colocando la más ligera debajo de la más pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 N/m, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15,0 cm. El pegamento que une las esferas es débil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas están en la posición más baja de su movimiento. a) ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto más bajo, que en algún otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones después de que la esfera inferior se despega. Identificar: La posición de equilibrio, donde la fuerza de atracción gravitatoria se equilibra con la fuerza ascendente del resorte, cambia según sea la masa del objeto. Preparar: En la posición de equilibrio el resorte está estirado una distancia d. La amplitud es la máxima distancia que alcanza el objeto desde la posición de equilibrio. Ejecutar: (a) La fuerza del pegamento en la esfera de abajo es la fuerza ascendente que acelera la esfera hacia arriba. La aceleración hacia arriba de ambas esferas es mayor cuando tienen el mayor desplazamiento vertical hacia abajo, por ello es cuando la fuerza sobre el pegamento será mayor. (b) La distancia d1 a la que el resorte se encuentra estirado con ambas esferas está dada por, Por lo que d1 = 20,8 cm. En el punto inferior el resorte se encuentra estirado d = 20,8 cm + 15,0 cm = 38,5 cm Luego de que la esfera de 1,50 kg se desprende, la distancia d2 a la que el resrte está en equilibrio es de 11,9 cm, y está dada por La nueva amplitud es 38,5 cm – 11,5 cm= 23,9 cm. La nueva frecuencia es Evaluar: La energía potencial del resorte no cambia cuando se desprende la esfera inferior. 13.41. Se tira de un péndulo simple de 0,240 m de longitud para moverlo 3,50° a un lado y luego se suelta. a) ¿Cuánto tarda la lenteja del péndulo en alcanzar su rapidez máxima? b) ¿Cuánto tarda si el ángulo es de 1,75° en vez de 3,50°? Identificar: El tiempo para una oscilación completa es Preparar: El desplazamiento máximo a cada lado de la posición vertical es un cuarto de una oscilación completa. Ejecutar: (a) Para la precisión dada, la aproximación de ángulos pequeños (menor a 0,1 rad o 6°) es válida. La mayor rapidez se da en el punto inferior del arco descripto, que ocurre a un cuarto del periodo. (b) Lo mismo que en el punto (a), 0,25 s. El periodo es independiente de la amplitud. Evaluar: Para pequeñas amplitudes de la oscilación, el periodo depende de L y de g. 13.45. Una manzana pesa 1,00 N. Si la colgamos del extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 1,50 N/m y masa despreciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ángulo pequeño, la frecuencia de este péndulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ángulo es pequeño, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte.) ¿Qué longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)? Identificar y preparar: La frecuencia del rebote está dada por la ecuación (13.11) y la frecuencia del péndulo por la ecuación (13.33). Use la relación entre estas dos frecuencias que se especifican en el problema, para calcula la longitud L del punto de equilibrio del resorte, cuando la manzana cuelga en reposo en su extremo. Ejecutar: En el MAS vertical El movimiento pendular con desplazamiento pequeño El problema especifica que fp = ½ fb Evaluar: Este es la longitud estirada del resorte, cuando la manzana cuelga de él. (Note que una oscilación de ángulos pequeños significa que la rapidez v es lenta cuando pasa por su punto inferior, por lo que la aceleración radial arad es pequeña y la componente del peso (mg) perpendicular al resorte es pequeña. Por ello la cantidad que el resorte se estira es muy pequeña cuando la manzana se balancea). Identificar: Use la segunda ley de Newton para calcular cuánto se estira el resorte cuando la manzana pende de él, desde la posición sin estiramiento. Preparar: El diagrama de cuerpo libre de la manzana colgando del extremo del resorte se ve en la figura 13.15. Ejecutar: La longitud sin estirar del resorte en 2,67 m – 0,67 m = 2,00 m Evaluar: El resorte se acorta a su longitud sin estirar cuando se retira la manzana.
