Análisis de fluidos

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Fundamentos de Análisis de Fluidos
Alejandro Noé Morales Duarte
Marzo 2018
ii
Índice general
1. Introducción 1
1.0.1. Fluidos en la ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.0.2. Fluidos tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.3. Evolución histórica del estudio de los �uidos . . . . . . 2
2. Estática de Fluidos 5
2.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Presión y densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Variación de la presión de un �uido en reposo . . . . . . . . . 8
2.3.1. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2. Teorema de Pitágoras usando la idea de la presión . . . 10
2.3.3. Prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.4. Variación de la presión en la atmósfera . . . . . . . . . 14
2.3.5. Manómetros y densímetros en U . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.6. Aplicaciones elementales del principio de Pascal . . . . 16
2.4. Barómetro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Dinámica de Fluidos 31
3.1. Generalidades sobre el �ujo de �uidos . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1. Unidades de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. La conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Conservación de la energía, ecuación de Bernoulli . . . . . . . 38
3.3.1. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2. Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3. Tubo de Venturi en U . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iii
iv ÍNDICE GENERAL
3.3.4. Aplicaciones del efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Cantidades adimensionales 47
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Proposición de relaciones funcionales . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.1. Teorema de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Flujo viscoso en tuberías 67
5.1. El número de Reynolds y los regímenes de �ujo . . . . . . . . 67
5.1.1. Caída de presión debido a la turbulencia . . . . . . . . 69
5.1.2. Flujo completamente desarrollado . . . . . . . . . . . . 69
5.2. Pérdida de carga y el coe�ciente de fricción . . . . . . . . . . . 71
5.3. Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6. Flujo en Canales Abiertos 93
6.1. Generalidades sobre el �ujo en canales abiertos . . . . . . . . . 93
6.1.1. Flujo uniforme; fórmula de Chézy . . . . . . . . . . . . 96
6.2. Geometría del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.1. Canal Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.2. Canal semicircular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7. Flujo de �uidos compresibles 105
7.1. La velocidad del sonido y el número de Mach . . . . . . . . . . 106
7.2. Propiedades termodinámicas básicas . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3. Gases Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1. Ecuación de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.2. Calores especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3.3. Entalpía de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.4. Procesos adiabáticos de un gas ideal . . . . . . . . . . 109
7.3.5. Procesos isentrópicos de un gas ideal . . . . . . . . . . 110
7.4. Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4.1. Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.2. Flujo isentrópico estacionario . . . . . . . . . . . . . . 116
A. Diagrama de Moody 123
B. Tablas de densidades y pesos especí�cos 125
B.1. Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
ÍNDICE GENERAL v
C. Unidades de fuerza equivalencias 127
vi ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Introducción
La mecánica de �uidos es la rama de las ciencias físicas que estudia có-
mo se comportan los �uidos en reposo y en movimiento. Existen un gran
número de aplicaciones, desde el estudio de la vorticidad de un tornado, el
diseño de las alas de aviones ultrasónicos, para predecir el comportamiento de
las partículas subatómicas en un acelerador de partículas, en la descripción
del movimiento de los �uidos que pasan a través de objetos con diferentes
geometrías, en el modelado y predicción de los movimientos de las galaxias
y de las diferentes formas de energía que �uyen a través del universo.
En ingeniería el conocimiento del comportamiento dinámico y estático
de los �uidos es necesario para el diseño de barcos, coches, aviones, motores
de propulsión, diseño de líneas de tuberías, sistemas de aire acondicionado,
bombas hidráulicas, corazones arti�ciales, presas y sistemas de irrigación.
También es esencial para la predicción del clima, corrientes oceánicas, los
niveles de contaminación y el efecto invernadero. Existen también aplica-
ciones cotidianas como:
1.0.1. Fluidos en la ciencia
Los �uidos estan presentes prácticamente en todas las áreas de la ciencia
y en una gran cantidad de aplicaciones tecnológicas
1. Hidráulica: La transportación de agua en casas, pueblos y ciudades.
2. Oceanografía: En el estudio de las corrientes marinas.
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
3. Geofísica: En el estudio del movimiento de la lava expulsada en las
erupciones.
4. Ciencias Atmosféricas: Estudio del movimiento de las masas de aire
que afectan el clima de la tierra.
5. Astrofísica: Estudio del desarrollo y evolución del universo.
6. Biología: En el estudio del movimiento de los diferentes �uidos cor-
porales de los seres vivos, el aire en la respiración, el �ujo sanguíneo,
�uidos linfáticos, movimiento de células en medios acuosos.
1.0.2. Fluidos tecnología
Algunos ejemplos de �uidos en los diversos campos de desarrollo tec-
nológico son:
1. En las máquinas de combustión interna los �ujos de aceites, refrige-
rantes, gases de combustión y desecho.
2. Diseño de motores jet (compresión de aire) y sistemas de propulsión
espacial.
3. Turbinas de viento, vapor y agua para la generación de energía eléctrica.
4. Sistemas de ventilación y enfriamiento.
1.0.3. Evolución histórica del estudio de los �uidos
El estudio de los �uidos recibió su mayor impulso en el tiempo de Newton.
Algunos de los logros más signi�cativos de esa época fueron.
1. Mecánica, el concepto de fuerza, Isaac Newton.
2. Conceptos de presión, forma integral del momentum lineal, Daniel
Bernoulli.
3. Hidrostática, Blaise Pascal, Johann Bernoulli.
4. Ecuaciones de la hidráulica para �uidos ideales, Johann Bernoulli.
5. Los conceptos de energía y momentum lineal, Gottfried Leininiz.
3
6. Hidrodinámica teórica, la teoría de los cuerpos deformables, el concep-
to de esfuerzo y las ecuaciones de movimiento de los �uidos ideales,
Leonhard Euler.
7. La función de �ujo y energía potencial, Joseph-Louis Lagrange
8. Teoría del potencial y el concepto de vorticidad, Augustin-Louis Cauchy
9. Hidrodinámica experimental, Jean le Rond d�Alembert.
En los siglos XIX y XX las contribuciones matemáticas fueron la parte
central que permitieron construir una teoría manejable para las diferentes
situaciones teóricas y prácticas del estudio de los �uidos, entre las más desta-
cadas están:
1. Método de Variable compleja para �ujos bidimensionales, Gustav Kirch-
ho¤ y Herman Helmholtz.
2. Potencial de un �ujo tridimensional y viscosidad , Simeon-Denis Pois-
son.
3. Método de singularidades, dinámica de gases y teoría ondulatoria, William
J. Rankine y Lord Kelvin.
4. Estudio de �ujos viscosos, Claude L.M.H. Navier, y George G. Stokes.
5. Estudio del �ujo en tuberías, G.G. Stokes y Jean L.M. Poiseuille.
6. Estabilidad y Turbulencia, G.G. Stokes y Osborne Reynolds.
7. Concepto de capa límite, Rankine.
8. Teoría de la capa límite, Prandtl.
4CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Capítulo 2
Estática de Fluidos
En esta primera parte nos dedicaremos a estudiar �uidos en re-
poso respecto a un sistema de referencia local y básicamente re-
stringiremos nuestro estudio a �uidos en los cuales la densidad
no depende del tiempo, es decir, la densidad es a lo más función
de la posición pero no del tiempo (� = � (~r)) :
2.1. Fluidos
Actualmente se aceptan como su�cientes dos clasi�caciones de la materia
que la agrupan en dos grandes conjuntos:
La materia condensada que incluye a los sólidos + líquidos y entre sus
propiedades fundamentales se encuentran:
(a) que su densidad es relativamente constante y (b) que son también prác-
ticamente incompresibles.
En los �uidos se incluyen líquidos + gases, con la propiedad funda-
mental de que estos pueden ��uir�; que para nosotros signi�ca que
son capaces de tomar la forma de los recipientes que los contienen,
propiedad que claramente los sólidos no comparten.
En la actualidad aceptamos básicamente 3 estados de la materia sólido,
líquido y gaseoso y en algunos casos se acepta un posible cuarto estado, el
llamado plasma, donde la materia bajo estudio se encuentra en un estado
5
6 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
su
bl
im
ac
ió
n
d ep os ici ón
congelación
fusión
vaporización
condensación
ionización
recombinación
sólido
líquido
gas
plasma
Figura 2.1: Nombres de los diferentes cambios de fase.
gaseoso ionizado, en el cual existen la misma cantidad de cargas positivas
y negativas y ninguna de sus moléculas se encuentra en un estado eléctrica-
mente neutro.
Además reconocemos que la materia puede encontrarse en cualquiera de
estos estados y que mediante procesos termodinámicos podemos hacerla pasar
de un estado a otro.
Los nombres de los diferentes procesos de cambio de fase se ilustran en la
�gura (2.1)
En nuestro caso será su�ciente considerar únicamente los estados sólido
líquido y gaseoso y supondremos además, que durante cualquier estudio de
los mismos no existen cambios de estado.
Podemos diferenciar los diferentes estados a nivel microscópico a partir
de un modelo molecular, para esto es su�ciente considerar las siguientes dos
características para distinguir entre los diferentes estados
(a) las distancias intermoleculares y (b) los esfuerzos que son capaces de
soportar.
Las pruebas físicas a las que somete a los diferentes �uidos para su carac-
terización son básicamente de 3 tipos:
2.2. PRESIÓN Y DENSIDAD 7
1. Compresión
2. Tensión
3. Esfuerzos de corte
Por su parte los sólidos pueden soportar y transmitir dichos esfuerzos, de-
bido a la existencia de fuerzas su�cientemente fuertes entre sus moléculas por
lo que las distancias relativas entre sus moléculas permanecen prácticamente
constantes.
En el caso de los líquidos las distancias intermoleculares son mucho más
grandes que en los sólidos y las fuerzas entre moléculas son relativamente,
débiles lo que provoca que tengan muy poca resistencia a los esfuerzos de
corte.
Ante los esfuerzos de compresión, la mayoría de los líquidos se comportan
de manera muy parecida a los sólidos, es decir, son prácticamente incompre-
sibles. Los gases por su parte, debido a que las distancias intermoleculares
son mucho mayores que en los casos de sólidos y líquidos, su resistencia a los
esfuerzos de corte y compresión son muy pequeñas, es decir, son compresibles
y los podemos expandir o comprimir al mover un pistón sobre el recipiente
que los contiene. De igual manera su resistencia a los esfuerzos de corte es
prácticamente nula.
2.2. Presión y densidad
La descripción del estado de los �uidos y su movimiento se describe me-
diante las variables básicas de presión, densidad y viscosidad, en lugar de las
tradicionales fuerza y masa. Esto debido a que en los �uidos en movimiento, la
masa no se encuentra localizada como en el caso de los sólidos, así que resulta
mucho más cómodo para la descripción del estado de reposo o movimiento del
�uido sus características invariantes en una cierta región del espacio, como
son: su presión, densidad, viscocidad y su temperatura.
F ! P; F = PA;
M ! �; M = �V;
de esta manera las cantidades relevantes o de conjunto son PA y �V:
8 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.2.1. Presión
El concepto de presión surgió de manera natural al estudiar el efecto de
una fuerza sobre el área de un sólido o un �uido. En el concepto de presión,
sólo es importante la componente de la fuerza que es perpendicular a la
super�cie del �uido en cuestión, y llamamos presión al escalar que resulta
de dividir la magnitud de la fuerza normal por unidad de área
P � F?
A
:
Actualmente las unidades que se usan para hablar de la presión de un
�uido son diversas:
1. Pascales Pascal = Pa � N=m2:
2. Atmósferas 1atm = 1:01325� 105Pa:
3. Libras/pulgada cuadrada 14:7psi = 1atm:
4. Bares bar ' 1atm:
5. Milímetros de mercurio 760mm = 1atm:
6. Torricellis 1Torr = 1mm de mercurio
Debemos tener presente que la presión es una cantidad que no tiene
propiedades direccionales, por ejemplo, cualquier cuerpo inmerso en un �uido
experimenta una presión sobre él en todas direcciones y no en una sola en
particular.
2.3. Variación de la presión de un �uido en
reposo
2.3.1. Principio de Pascal
El principio de Pascal resume gran cantidad de observaciones empíricas
en torno a las formas de transmisión de la presión en un �uido incompresible.
El enunciado que propuso Blaise Pascal (1623-1662) para este principio de la
transmisión íntegra de la presión en un �uido es como sigue:
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 9
La presión ejercida sobre un �uido incompresible y en equilibrio
dentro de un recipiente de paredes indeformables se transmite con
igual intensidad en todas las direcciones y en todos los puntos del
�uido.
Podemos determinar la relación existente entre la presión y la profun-
didad h para un objeto sumergido en un líquido incompresible de densidad
constante solo usando las ideas de Newton, esto es, a partir del análisis de
fuerzas que experimenta el cuerpo sumergido, el cual suponemos que se en-
cuentra estático.
Teorema de Pascal
La presión que experimenta cualquier cuerpo sumergido a una profundidad
h en un �uido incompresible con�nado, está dada por
P = Po + �gh;
donde � representa la densidad del líquido, g la aceleración de la gravedad y
Po la presión en la super�cie del �uido.
Demostración
P
P
1
2
P0
Cilindro completamente
sumergido en �uido de
densidad constante �:
En este caso cada una de las caras del cilindro sumergido se encuentan a
presiones diferentes, debido a la cantidad de masa del �uido que se encuentra
10 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
sobre cada una de ellas, es decir, se cumple la desigualdad
P2 > P1:
Ahora si suponemos que el cilindro se encuentran estático, podemos usar esta
condición de equilibrio para escribir la ecuación
F2 � F1 = mg;
o en forma equivalente
P2A� P1A = �V g;
= �Ahg =)
P2 � P1 = �gh: (2.1)
Si una de las caras del cilindro se encuentra en la super�cie entonces P1 = Po
(presión exterior) y entonces la ecuación (2.1) se escribe en la forma usual
P = Po + �gh: (2.2)
Esta ecuación nos permite describir la presión que experimenta cualquier
objeto sumergido una profundidad h en un �uido con�nado y estático.
2.3.2. Teorema de Pitágoras usando la idea de la pre-
sión
Es posible mostrar el teorema de Pitágoras basados en el principio de
Pascal, es decir, en que a una cierta profundidad dada, la presión es constante
para todos los puntos situados a esa profundidad, si añadimos a esto que si
un cuerpo no gira entonces la torca resultante es nula
�
~�R = ~0
�
y esto nos
permitirá probar el teorema de Pitágoras a partir de conceptos mecánicos.
Demostración
Consideremos un prisma triangular (con uno de sus ángulos recto) sumergi-
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 11
do a una profundidad h (ver �gura 2.3.2).
Dado que el triángulo no gira, la suma de las torcas respecto a cualquier
punto �jo O debe de ser nula. Las fuerzas ~F2 y ~F3 producentorcas en la
misma dirección, mientras que ~F1 produce una torca en sentido contrario,
por lo que debe cumplirse
~� o1 = ~� o2 + ~� o3; =)
F1
c
2
=
b
2
F2 + F3r sin �;
=
b
2
F2 + F3r
a
2r
;
c
2
PA1 =
b
2
PA2 +
a
2
PA3;
sin pérdida de generalidad podemos elegir el espesor del prisma triangular
como la unidad por lo que las áreas resultan A = 1 �L; lo que �nalmente nos
permite escribir
c
2
c =
b
2
b+
a
2
a; =)
c2 = b2 + a2: c:q:d:
Blaise Pascal ideó un dispositivo de manera que pudiera observarse que
la presión de un líquido es independiente de la forma de los recipientes que
lo contienen, y pudo concluir que la presión es la misma a una misma altura
12 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
dentro del líquido, idependientemente de la forma del recipiente. El disposi-
tivo que construyó de vasos comunicantes1 se muestran en la siguiente �gura.
~ ~~~ ~~
~ ~~
~ ~~
~ ~~
~ ~~~ ~~
~
~
~~ ~~
~ ~~~ ~~
~ ~~~ ~~
~ ~~~ ~~
~~ ~ ~~
~
~
~
~~
~~ ~
Vasos comunicantes.
Esta idea de que la presión en un �uido en reposo es independiente de
la forma o sección transversal del recipiente y sólo depende de la distancia
vertical, fue explicada de una manera muy clara por el matemático holandés
Simon Stevin (1548-1620) en 1586 a�rmando que «la presión en un �uido
estático es la misma, para todos los puntos que se encuentran en un mismo
plano horizontal y están interconectados por el mismo �uido, independiente-
mente de la geometría» .
2.3.3. Prensa hidráulica
Un problema que aún tiene importantes aplicaciones prácticas y que está
basado enteramente en el principio de Pascal es el de la prensa hidráulica(ver
�gura 2.2). El problema esencialmente consiste en levantar o mover grandes
pesos cuando sólo se dispone de fuerzas menores que el peso que se desea
mover.
El uso del principio de Pascal permite diseñar la prensa hidráulica, un dis-
positivo que funciona con un líquido incompresible y con diferentes diámetros
en los lugares donde se aplica la fuerza, usando el el principio de Pascal sabe-
mos que para un líquido en equilibrio la presión se trasmite íntegramente,
es decir, la presión de entrada debe ser igual a la presión de salida (entrada
1Este dispositivo ilustran el principio de Pascal: En cualquier punto, a la misma altura
de la super�cie dentro del �uido en reposo, se encuentran a la misma presión independi-
entemente de la forma de los recipientes.
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 13
A
A
F
e
sF
s
e
Figura 2.2: Prensa hidráulica
$ p; salida $ g) por lo que
Pp = Pg;
Fp
Ap
=
Fg
Ag
; =)
Fg =
Ag
Ap
Fp;
de esta manera será posible mover el objeto con peso Fg siempre que Ag=Ap >
1, para que nos permita multiplicar la pequeña fuerza disponible Fp por esta
cantidad.
Podemos escribir un resultado general relacionado con las prensas hidráuli-
cas. Si aplicamos una fuerza F1 en uno de los extremos de la prensa y el
pistón se desplaza una distancia h1, el trabajo realizado por esta fuerza sera
W1 = F1h1; esta misma cantidad de trabajo se podrá recuperar en el otro lado
de la prensa debido a que el �uido es incompresible, así que debe cumplirse
Fphp = Fghg =)
hg =
Fp
Fg
hp;
de esta manera tendremos una relación para las distancias a las que podemos
mover los diferentes objetos. Observemos, como regla mnemotécnica que las
realciones de fuerza y desplazamiento son inversas, es decir:
Fsalida =
Asalida
Aentrada
Fentrada y hsalida =
Fentrada
Fsalida
hentrada;
entendiendo como entrada la sección de área más pequeña.
Las prensas hidráulicas se utilizan comúnmente para la forja, remacha-
do, piezas de fundición, troquelado, punzonado, embutición, conformado de
metales y en los sistemas de frenos hidráulicos.
14 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.3.4. Variación de la presión en la atmósfera
La variación de la presión en la atmósfera terrestre es debida fundamen-
talmente a dos factores:
Al cambio de densidad del aire y
a la cantidad de gas atmosférico que se encuentra por encima de cada
región en la que se desea determinar la presión.
De esta manera tendremos que a nivel del mar la presión será mayor que
a grandes altitudes, donde la columna de gas atmosférico es cada vez menor
conforme más se asciende, hasta llegar al espacio exterior donde la presión
es prácticamente nula.
El modelo más simple que se puede suponer para la presión es que esta
diminuye con la altura, es decir, si partimos de la expresión
dP
dh
= ��g; (2.3)
que resulta de suponer válida también en este caso la relación P = Po +
�gh =) �P = �g�h:
Para determinar la expresión para la presión en función de la altura,
supondremos que la densidad del gas atmosférico es directamente propor-
cional a la presión, esto es a mayor presión mayor densidad:
� =
�o
Po
P; (2.4)
donde los valores con subíndice cero representan los valores de presión y
densidad a nivel del mar.
Sustituyendo la densidad la ecuación (2.4) en (2.3) obtenemos
dP
P
= �g �o
Po
dh =)
lnP = �g �o
Po
h+ lnPo =)
P = Poe
�g �o
Po
h;
= Poe
�a h; a � g �o
Po
;
de esta manera nuestro modelo predice un comportamiento exponencial para
la presión atmosférica.
Aquí podemos hacer varias preguntas:
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 15
¿Cuál es la presión en la cima del Popocatéptel (5426 m)?
¿Cuál es la presión en la cima del Pico de Orizaba (5747 m)?
¿Cuál es la presión en la cima del Everest (8848 m)?
¿Cuál es la presión en la parte más alta de la atmósfera terrestre (�
11 km)?
La densidad del aire a nivel del mar es �o = 1:18 Kg=m
3 de esta manera
la constante
a = g
�o
Po
;
tiene el valor de
g
�o
Po
= 10� 1:18
105
=)
a = 1:18� 10�4m�1;
y la expresión para la presión a cualquier altura es
P u Poe�1;2�10
�4h;
donde h se encuentra medida desde la super�cie de la tierra.
2.3.5. Manómetros y densímetros en U
Ejemplo.
1 Un tubo en U, en el cual ambos extremos están abiertos a la atmósfera,
contiene cierta cantidad de agua. En el otro lado se vierte aceite hasta que
llega a una distancia de 12.3 mm sobre el nivel �nal del agua. Del otro lado
el nivel se a elevado hasta una altura de a = 67:5 mm desde su nivel original.
Determine la densidad del aceite, ver �gura (2.3).
Solución
Las respuestas en hidrostática usualmente están determinadas por todos
los puntos que se encuentran a la misma presión, en este caso en particular,
los puntos P son los relevantes para determinar la densidad del aceite.
Pues para esos puntos se cumple:
16 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
• •
a
a
d
nivel inicial
del aguaPP
Figura 2.3: Tubo en U usado como densímetro para medir la densidad de
aceites. Los puntos P se encuentran sometidos a la misma presión.
ghaceite�aceite + Po = ghagua�agua + Po =)
haceite�acdeite = hagua�agua =)
�aceite =
hagua
haceite
�agua =)
�aceite =
2a
2a+ d
�agua;
=
135
135 + 12:3
�
1� 103 kg
m3
�
;
= 916:5
Kg
m3
:
2.3.6. Aplicaciones elementales del principio de Pascal
2. Halle el aumento de presión en el �uido de una jeringa cuando una
enfermera aplica una fuerza de 42.3 N al émbolo de la jeringa de 1.12 cm de
diámetro.
Solución
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 17
�P =
F
A
;
=
4(42;3 N)
�(1:12 cm� 1m
100cm
)2
;
= 4:3atm:
3. Se produce vacío en una caja que tiene una tapa de 12 in2 de área, si
la presión atmosférica exterior es de 15 lb/in2 y se require una fuerza de 108
lb para abrirla. ¿Cuál es la presión dentro de la caja?
Solución
P = Po +
F
A
;
= 15
lb
in2
+
108 lb
12 in2
;
= 24
lb
in2
:
3. En 1654 Otto Von Guericke, dió una demostración en la cual 2 tiros de
caballos de 8 caballos cada uno, no pudieron separar 2 semiesferas de latón
al vacío.
(i) Muestre que la fuerza necesaria para separar las semiesferas es F =
�R2�P; donde R es el radio exterior de las semiesferas y �P es la diferencia
de presiones dentro y fuera de las semiesferas.
(ii) Haciendo R = 0:305m y Pint = 0:1atm ¿qué fuerza se requiere para
separar las semiesferas?
Solución
(i) Suponemos que la presión atmosférica es igual en todos los puntos de
las super�ciede cada semiesfera, por lo tanto la fuerza resultante sobre la
18 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
semiesfera está dada por
~F =
Z
d~F ;
=
Z
�Pd ~A;
= �P
Z
êrh�h�d�d�;
= �P
Z �
0
Z �
0
(sin � cos� i+ sin � sin� j+ cos � k)R2 sin �d�d�;
= �PR2
�Z �
0
sin2 �d�
��Z �
0
sin� d�
�
j;
= 2 �P R2
��
2
�
j;
= �R2�P j;
~F = Ac�{rculo �P j:
observemos que las integrales en las componentes x y z son nulas y que la
integral en � sólo es en el intervalo [0; �] para determinar la fuerza sobre la
mitad de la esfera (pues si se hace sobre toda la esfera la fuerza es nula).
(ii)
F = �R2�P;
= � (0;305)2
�
0;9atm� 10
5Pa
1 atm
�
;
= 26302 N:
Este número puede compararse con la potencia de un auto de 8 cilindros de
340 hp. En este caso la fuerza necesaria para llevar el auto a una velocidad
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 19
de 100 km/h, está dada por
Pot = Fv;
F =
Pot
100
;
=
1
100 km
h
�
340hp� 746 W
1 hp
�
;
= 2536:4
h
km
W;
= 2536:3
h
km
� 3600s
1h
� 1km
103m
N m
s
;
= 9130:7 N
apenas usa la mitad de la fuerza necesaria para separar los hemisferios.
4. Encontrar la presión total en lb/in2 y Pa a 660 pies de profundidad
(200 m) por debajo de la super�cie del océano si �o = 1:03�a
Solución
P = Po + �ogh;
= 1atm+
�
1:03� 103 kg
m3
��
10
m
s2
��
660 pie� 1m
3:3 pie
�
;
= 1atm+ 2:06� 106 Pa� 1atm
105Pa
;
= 21:6 atm:
Observación: Aquí vale la pena notar que suponiendo la densidad del mar
constante, cada 100 m de descenso equivalen aproximadamente a un aumento
de presión de 10 atm, de esta manera a 500 m de profundidad se tendrían
aproximadamente 52 atm de presión.
5. Estimar la diferencia de presión hidrostática en la presión sanguínea de
una persona de 1.80 m entre su cerebro y su pie, suponiendo que la densidad
de la sangre es �s=�w = 1;06; (donde �w representa la densidad del agua
�w = 10
3kg=m3).
Solución
Si consideramos la cabeza como referencia para medir las h0s entonces
20 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
basta calcular la presión hasta los pies
P = Po + �gh;
�P = �gh;
=
�
1:06� 103 kg
m3
��
10
m
s2
�
(1:8 m) ;
= 19080Pa� 1 atm
105Pa
= 0:19atm
6. Los pulmones humanos pueden funcionar contra una diferencia de pre-
sión menor que un vigésimo de presión atmosférica normal (�P < Po=20) :
Si un buzo utiliza snorkel para respirar ¿a qué profundidad respecto al nivel
del mar puede nadar?
Solución
La máxima profundidad que podría alcanzar es aquella para la cual
Pint = Pext;
= Po + �gh =)
h =
�P
�g
=
Po
20�g
;
=
1atm
20
�
1:03� 103 kg
m3
� �
10m
s2
� ;
=
105Pa m
2:06� 105Pa;
= 0:485m:
Es decir, la profundidad promedio a la que podemos bucear repirando por
el snorkel es de menos de medio metro. Así que prácticamente el snorkel es
útil sólo para mantenerse observando en el agua desde la super�cie.
7. Un tubo en U contiene mercurio. Cuando en su rama derecha se vierten
13.6 cm de agua, ¿a qué altura se eleva el mercurio en el brazo izquierdo a
partir de su nivel inicial?.
Solución
La �gura (2.3) es útil para la situación que considera este ejercicio. Referi-
do a esa �gura la pregunta consiste en determinar el valor de a: La ecuación
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 21
para este ejercicio donde las presiones son iguales cumple la ecuación
�agha = �mghm;
(13:6) �ag = �mg (2a) =)
a =
1
2
�a
�m
(13:6) ;
= 0:5 cm:
donde hemos usado que la densidad del mercurio es �m = 13:6� 103Kg=m3
y la densidad del agua es �a = 1� 103Kg=m3:
8. La profundidad del agua en el lado vertical de una presa es H: Si w
representa el ancho de la presa ver �gura.
w
H
h O
•
yz
Presa pluvial
a) Determinar la fuerza horizontal resultante y la presión manométrica2 de
la presa debida al agua (Pmano � P � Patm)
b) La torca neta debida a la presión manométrica del agua respecto al punto
O.
Solución
(a) Necesitamos determinar la fuerza resultante que experimenta la presa
debido al agua:
2Se llama presión manométrica a la diferencia entre la presión absoluta o real y la
presión a atmosférica.
22 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
F =
Z
dF;
=
Z
d (PA) ;
=
Z
(AdP + PdA) ;
ahora, dado que la presión manométrica es P = �gh; entonces
dP = �gdh;
y
dA = wdh;
de aquí que la fuerza resultante es
F = w�g
Z H
0
(H + h) dh;
= w�g
�
H2 +
H2
2
�
;
=
3
2
�gwH2;
y la presión manométrica está dada por
Pm =
F
A
;
Pm =
3
2
�gH:
(b) Torca resultante
~� =
Z
d~� ;
=
Z
d~r � ~F ;
= �
Z
~F � d~r;
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 23
donde ~F = Foj y d~r = dx i+ dy j; de aquí que el producto vectorial resulta
~F � d~r = Foj� (dx i+ dy j) ;
= �Fo dx k =)
~� = �kw�g3
2
H2
Z w
0
dx;
= �3
2
�gw2H2k;
~� = �3
2
�gA2 k;
donde A es el área de la presa en contacto con el agua. Esta torca es básica-
mente la responsable de la destrucción de las presas.
9. Tres líquidos inmiscibles se vierten en un recipiente cilíndrico de 20 cm
de diámetro. Las cantidades y densidades de los líquidos son :
0:5`; 2:6
g
cm3
;
1
4
`; 1
g
cm3
; 0:4`; 0:89
g
cm3
¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre el fondo del recipiente (ignore la
contribución de la atmósfera)?
Solución
P =
X
i
�ighi;
dado que cada volumen es cilíndrico entonces Vi = Ahi; por lo que podemos
escribir
P =
g
A
X
i
�iVi;
=
g
�r2
�
2:6
2
+
1
4
+ (0:4)(0:89)
�
;
=
1: 906(10)
(3:14)(20)2
;
= 1: 517 5� 10�2Pa;
de aquí que la fuerza sobre el fondo es
F = PA;
= 19:06 N:
24 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
10. Una masa de �uido gira con una velocidad angular constante !
en torno a un eje vertical central del recipiente cilíndrico. Mostrar que la
variación de la presión en la dirección radial queda determinada por la fuerza
centrífuga por unidad de volumen, es decir,
dP
dr
=
Fcentrifuga
V ol
= �!2r:
Demostración
De
P =
F
A
;
donde A representa el área lateral del recipiente cilíndrico que tiene contacto
con el �uido, de aquí que
dP =
1
A
dF;
=
1
A
!2rdm;
=
1
A
!2r�Adr;
dP
dr
= �!2r: (2.5)
b) Si P = Pc en el eje de rotación (r = 0) ; demostrar que la presión P en
cualquier punto en la dirección radial está dada por
P = Pc +
1
2
�!2r2:
La demostración es prácticamente trivial, basta con integrar la ecuación
(2.5) para obtener el resultado.
11. (a) Demuestre que la densidad � del agua a una profundidad y en el
océano se relaciona con la densidad super�cial �o según la relación
� � �o
�
1 +
�ogy
�
�
;
donde � representa el módulo de elasticidad (� = 2;2 GPa = 2200 atm es el
módulo volumétrico del agua). Despréciense las variaciones de la temperatu-
ra. (b) ¿En qué fracción excederá la densidad a una profundidad de 4200m a
la densidad de la super�cie?
2.3. VARIACIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO EN REPOSO 25
Solución
El módulo de elasticidad a temperatura constante está de�nido por
� = �V dP
dV
;
en términos de la densidad esta ecuación es
� = �m
�
dP
d
�
m
�
� ;
= �m
�
dP
�m
�2
d�
;
= �
dP
d�
;
dado que estamos suponiendo que la densidad NO es constante no podemos
usar P = �gh, pues esto sólo será válido en un elemento in�nitesimal de
volúmen donde podamos suponer que � = cte:, por lo tanto tendremos
�
�
d� = d (�gy) ;
= �gdy )Z �
�o
�
g�2
d� =
Z y
0
dy;
�
g
�
1
�o
� 1
�
�
= y ,
�� �o
��o
=
g
�
y;
�
�
1� �ogy
�
�
= �o;
� = �o
�
1� �ogy
�
��1
;
si hacemos un desarrollo en serie de Taylor (suponemos que �ogy
�
<< 1;lo cual
es posible pues �og
�
� 104
109
� 10�5) tendremos
� � �o
�
1 +
�ogy
�
�
c:q:d:
26 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.4. Barómetro de mercurio
El barómetro de mercurio se muestra en la �gura (2.4) fué inventado por
Evangelista Torricelli y lo usó para medir la presión atmosférica a diferentes
alturas sobre el nivel del mar.
Para determinar la presión que ejerce la atmósfera sobre la super�cie del
mercurio, basta con medir con un metro la altura h, pues para la columna
de mercurio tenemos que se cumple
P = P2 + �gh;
ahora dado que P2 = 0 entonces la presión atmosférica es
P = �gh:
A nivel del mar P = 1atm lo que implicaque
h =
P
�g
;
=
1:013� 105Pa
13:6� 103Kg
m3
�
9:8m
s2
� ;
= 0;760m;
= 760 mm de Hg:
Si repetimos este mismo cálculo para una columna de agua tenemos
h =
P
�g
;
=
1:013� 105Pa
1� 103Kg
m3
�
9:8m
s2
� ;
= 10:337 m;
este resultado fué ampliamente usado para sacar agua de las minas. Para
usarlo se usaba una máquina que produjera un vacío en la parte superior de
la tubería (para tener P2 ' 0)y de esta manera se aprovechaba que la presión
atmosférica hacía el trabajo de expulsar el agua a alturas menores o iguales
a 10.337 m.
2.5. EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 27
h
h
h
1
2
P
1
2
P
= 0
=P
Figura 2.4: Barómetro de mercurio. El mercurio que se encuentra en el re-
cipiente está en equilibrio bajo la acción de la presión atmosférica y del peso
del mercurio contenido en la columna vertical.
2.5. El principio de Arquímedes
Principio de Arquímedes
Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un �uido en reposo (gas o
líquido), recibe un empuje hacia arriba igual al peso del �uido desplazado .
También puede enunciarse como:
El peso de un objeto total o parcialmente sumergido en un �uido
disminuye por una cantidad igual al peso del �uido desplazado.
Ejemplo: Objetos parcialmente sumergidos
1. Consideremos el caso de un objeto parcialmente sumergido �gura (2.5),
suponemos que el cuerpo está en equilibrio, por lo que debe cumplirse
Fg = FE ;
donde Fe representa el empuje ejercido por el �uido, que permite que el objeto
�ote. Por la tanto tendremos que
mg = FE ;
= �`Ah1g;
28 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
h2
h1
h
Figura 2.5: Objeto parcialmente sumergido
donde hemos usado el principio de Arquímedes, por lo tanto tendremos
�sA (h1 + h2) g = �`Ah1g =)
�s =
h1
h1 + h2
�`; (2.6)
esta es la condición de �otación, pues si el objeto a de �otar entonces h2 6= 0;
por lo que
h2
h1 + h2
< 1 =)
�s < �`;
i.e., si un objeto a de �otar en un líquido de densidad �`; debe cumplirse
�s
�`
< 1:
Si deseamos conocer ¿cuánto del objeto queda sumergido? necesitamos la
ecuación (2.6), por ejemplo; para el hielo sumergido en agua, tenemos
�h
�a
=
916:8Kg
m3
1000Kg
m3
;
= 0:9168;
podemos escribir la ecuación (2.6) de una manera más conveniente
�`
�s
= 1 +
h2
h1
;
2.5. EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 29
en nuestro caso queda
�a
�h
= 1 +
hflot
hsum
=)
hflot
hsum
=
�a
�h
� 1;
hflot
hsum
=
1000
916:8
� 1;
hflot = 0:0907 hsum
Usualmente esta respuesta se da en términos de porcentaje, por lo que se
contesta que para el caso de hielo sumergido en agua el t 90% del hielo se
encuentra sumergido en el agua o que solamente el 9:07% está a la vista.
EJERCICIOS:
Resnick Cap. 17 10,12,16,17,18,20,31,38,40,41
30 CAPÍTULO 2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
Capítulo 3
Dinámica de Fluidos
La descripción de los �uidos en movimiento que haremos aquí está
basada en el método generado por Leonhard Euler, en el cual se
especi�can la densidad y la velocidad del �uido en cada punto
del espacio, es decir, se considera que el �uido en movimiento le
con�ere ciertas propiedades al espacio por donde se mueve y es la
dinámica de estas la que se estudia para describir el movimiento
del �uido.
3.1. Generalidades sobre el �ujo de �uidos
Existe una nomenclatura estándard para describir el estado de movimien-
to de los �uidos:
Fluidos estacionarios y no estacionarios. Si las propiedades de
cada punto del espacio por donde se mueve el �uido permanecen las
mismas al transcurrir el tiempo el �uido se dice estacionario.
Flujo laminar y turbulento. Cuando las líneas de �ujo del �uido
son aproximadamente paralelas se dice que el �ujo es laminar, esto
usualmente ocurre para �uidos que se mueven a bajas velocidades. En
caso contrario se dice que el �ujo es turbulento.
Flujo viscoso y no viscoso. En el caso de los �uidos la viscosidad
es el análogo a la fricción en el movimiento de los sólidos. Cuando el
�uido �uye sin disipar energía se dice que no es viscoso.
31
32 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
Frontera laminar móvil
Frontera laminar fija
Gradiente
Velocidad V
Fluido estacionario
Esfuerzo de Cizalla T
Frontera laminar móvil
Frontera laminar fija
Gradiente
Velocidad V
Fluido estacionario
Esfuerzo de Cizalla T
Figura 3.1: Movimiento de un �uido cuando una de las placas que mantiene
contacto con él se mueve mientras la otra permanece �ja.
Un �ujo se dice Newtoniano si cumple la ecuación
� = �
dv
d`
;
donde:
� = viscosidad absoluta o dinámica, � = viscosidad cinemática � �
�
� = esfuerzo o torque de cizallamiento representa el cociente de la fuerza
tangencial aplicada al �uido entre el área de contacto (FT=A):
v = velocidad del �uido, cuyo �ujo se supone homogéneo
` = la distancia del centro a las paredes del tubo, o distancia lateral o
perpendicular al �ujo del �uido.
De esta manera la ecuación de Newton establece que la tensión tangencial
de rozamiento en cierta dirección es directamente proporcional al gradiente
de la velocidad en esa dirección multiplicada por una constante que tiene
que ver con la naturaleza molecular del �uido, y cuyo promedio macroscópico
se estima por la viscosidad absoluta �:
3.1.1. Unidades de la viscosidad
Viscosidad dinámica [�] o absoluta
Esta cantidad representa la resistencia de un �uido a las deformaciones
tangenciales sus unidades son
[�] = [P ][T ] = Pa � s;
3.1. GENERALIDADES SOBRE EL FLUJO DE FLUIDOS 33
unidades más usadas son el Poise= 0:1 Pa�s; o el centipoise = 1�10�3Pa�s:
En la siguiente tabla se muestran los valores de la viscosidad � para algunos
�uidos comunes a temperatura ambiente de 21oC
MATERIAL VISCOSIDAD EN CENTIPOISES (cps)
Aire 10�2
Metanol 5 X 10�1
Agua 1
Leche 3
Glicol 15
Etileno 25
Vino 25
SAE 10 aceite motor 85-140
SAE 20 aceite motor 140-420
SAE 30 aceite motor 420-650
SAE 40 aceite motor 650-900
Miel 104
Chocolate derretido 2.5 X 104
Salsa de Tomate 5 X 104
Mostaza 7 X 104
Crema 105
Polímeros fundidos 2 X 106
Compuestos de Caucho 5 X 106
Viscosidad cinemática
La viscosidad cinemática se de�ne a partir de la viscosidad absoluta por
� � �
�
;
y sus unidades en el sistema internacional son
[�] =
�
�
�
�
=
L2
T
=
m2
s
:
34 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
3.2. La conservación de la masa
3.2.1. Ecuación de continuidad
Las ecuaciones de continuidad son ecuaciones que se presentan frecuente-
mente en física y usualmente establecen que cierta cantidad física se conserva,
es decir, que sólo pasa de un lugar a otro sin pérdidas ni ganancias. Ejemplos
de ecuaciones de continuidad son:
La ecuación de conservación de la carga que en su forma más general
se expresa como
@�
@t
= �r � ~J;
esta ecuación establece que la variación en la densidad de la carga
eléctrica sólo se debe a lo que �uye hacia o desde la región de interés.
La ecuación de conservación de la probabilidad en mecánica cuántica
a�rma que @�
@t
= �r � ~J; donde � = � y ~J = i
2m
( �r � r �) ; es
decir,
@
@t
( � ) = �r � i
2m
( �r � r �) :
En los �uidos se tiene una ecuación similar para la conservación de la
masa, que establece que la masa de �uido que �uye de un punto a otro
debe ser la misma sin pérdida ni ganancia de masa durante el paso
entre los puntos. La ecuación que representa esta a�rmación es
@�
@t
= �r � (�~u) ;
donde � representa la densidad y ~u la velocidad del �uido.
Nosotros usaremos una versión mucho más simple de esta ecuación. Si
partimos del hecho de que la cantidad de masa de un líquido que pasa
por un punto debe ser la misma en un punto vecino (ver �gura (3.2))
entonces tendremos
dm1 = dm2;
�dV1 = �dV2;
�1A1dx1 = �2A2dx2;
�1A1v1dt = �2A2v2dt; � = cte: =)
A1v1 = A2v2:
3.2. LA CONSERVACIÓN DE LA MASA 35
v1 v2A A1 2
dV
Figura 3.2: Representación del movimiento de un líquido incompresible en
una tubería que cambia de diámetro.
De esta manera la ecuación de continuidad (conservación de la masa),
para describir el movimientos de líquidos en tuberías o canales está
descrito por la ecuación más simple Q = Av = cte: la cual recibe el
nombre de gasto o caudal.
Ejemplos:
1). Un tubo de 34.5cm de diámetro llevaagua que se desplaza a 2.62 m/s
¿Cuánto tardará en descargar 1600 m3 de agua?
Solución
Q = Av;
= �r2v;
= 0:244
m3
s
:
Ahora sabemos que mediante esta tubería se entregan 0.244 m3 cada segundo,
es decir
0:244m3 ! 1seg
1600m3 ! x
de aquí tenemos
x =
1600
0:244
;
= 6557:4s� 1h
3600s
;
= 1:82h:
36 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
2). Una manguera de jardín con un diámetro interno de 3=4 in está conec-
tada a una regadera rotativa para jardín compuesta de un solo tubo de
24 hoyos de 0:05 in de diámetro. Si el agua en la manguera tiene una
rapidez de 3.5 ft=s ¿con qué rapidez sale de los hoyos?.
Solución
Usando la conservación de la masa tenemos
Qo =
24X
i=1
Qi;
=
X
Aivi;
= 24Afvf =)
vf =
Qo
24Af
;
=
Ao
Af
vo
24
=
(0:75)2 (3:5)
24 (5� 10�2)2
;
= 32:813
ft
s
:
3). En la �gura (3.3) se muestra la con�uencia de 2 corrientes que forman
un río. Una corriente mide 8.2 m de ancho y 3.4 m de profundidad y su
rapidez es de 2.3 m/s La otra mide 6.8 m de ancho y 3.2 de profundidad
y �uye a una velocidad de 2.6 m/s. El ancho del río es de 10.7 m y la
rapidez de la corriente es de 2.9 m/s, ¿cuál es su profundidad?
Solución
La conservación de la masa nos permite escribir
Q1 +Q2 = Q;
`1h1v1 + `2h2v2 = `hv =)
h =
`1h1v1 + `2h2v2
`v
;
= 3:889m:
3.2. LA CONSERVACIÓN DE LA MASA 37
v1v2
v
Figura 3.3: Con�uencia de 2 corrientes �uviales.
Aquí lo importante es notar que a partir de datos accesibles como el ancho
del río y la velocidad de su caudal podemos determinar cantidades como su
profundidad y debe tenerse en cuenta que este es solo un resultado aproxima-
do, pues estamos suponiendo que los caudales de los ríos son perfectamente
rectangulares, lo cual es sólo una aproximación
¿Existe alguna manera simple de medir los caudales Q1 y Q2?; Al parecer,
es inevitable hacer las 3 mediciones de anchura, velocidad y profundidad.
4). Un río de 21 m de ancho y 4.3 m de profundidad drena un terreno
de 8500 km2; donde la precipitación pluvial promedio es de 48 cm/año. Una
cuarta parte de la precipitación vuelve a la atmósfera por evaporación, pero
el resto llega �nalmente al río.
¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente del río?
Solución
Lo primero que hay que estimar, es la cantidad de agua que llega al
río. Dado que la única fuente de agua del río es el agua de lluvia debemos
determinar la cantidad total de agua que recibe el terreno
Qo =
n�umero de m3
unidad de tiempo
:
38 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
El número de metros cúbicos de agua que recibe el terreno por año está
dado por
V = Ah;
=
�
8500 km2
� �
0:48� 10�3km
�
;
= 4:08 km3:
sabemos que sólo 3=4 partes de este volumen van al río, por lo que el gasto
es
Q =
3
4
V
a~no
;
= 3:06 km3=a~no;
= Av =)
v =
3:06km
3
a~no
A
;
=
3:06km
3
a~no
(21) (4:3)� 10�6km2 ;
= 33887
km
a~no
� 10
3m
1 km
� a~no
365d
� d
24hr
� 1hr
3600s
;
= 1:07
m
s
:
Observación
Las ideas de este problema se pueden usar también para determinar el
diámetro de las tuberías de drenaje de una población, a partir del conocimien-
to de la precipitación anual, la cantidad estimada que se evapora a la atmós-
fera y la velocidad que se requiere para el desagüe del drenaje, habría que
añadir además la cantidad promedio de líquidos que vierte la población al
drenaje y que es extraida de pozos.
3.3. Conservación de la energía, ecuación de
Bernoulli
Si consideramos el movimiento de �uidos con las siguientes características:
Estacionario
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI39
Incompresible
no viscoso
e irrotacional
entonces podemos suponer la conservación de la energía mecánica. En el
caso de los �uidos, la conservación de la energía mecánica toma la forma
P +
1
2
�v2 + �gh = cte:;
como mostraremos a continuación. Esta cantidad la denotaremos por B rep-
resenta el valor de la energía por unidad de volumen (en la forma de Bernoulli)
para cualquier punto en el trayecto del �uido.se cumple
B � P + 1
2
�v2 + �gh:
así que la constancia de esta cantidad la podemos escribir simplemente como
B1 = B2;
para puntos 1 y 2 arbitrarios a lo largo de la línea de movimiento del �uido.
Para mostrar el teorema es su�ciente que consideremos que una agente
externo (bomba de agua, desnivel, etc) provoca el movimiento de un �uido a
lo largo de un tubo con 2 de sus secciones transversales a diferentes alturas
como se muestra en la �gura (3.4) y usar el teorema de la conservación de la
energía mecánica.
Dado que las 4 condiciones que imponemos al �uido son para garantizar
que no existe disipación de energía por fricción, entonces el trabajo hecho por
el agente externo para mover el �uido a lo largo del tubo entre los puntos 1
y 2 debe cumplir
Wext = �K +�U;
F1�`1 � F2�`2 =
1
2
�V
�
v22 � v21
�
+ �gV (h2 � h1) ;
P1A1�`1 � P2A2�`2 =
1
2
�V
�
v22 � v21
�
+ �gV (h2 � h1) ;
P1 � P2 =
1
2
�
�
v22 � v21
�
+ �g (h2 � h1) ;
40 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
A
A
1
2
h
h1
2
v
v
1
2
Figura 3.4: Sección de un tubo por el cual se mueve un líquido incompresible,
no viscoso, irrotacioal y estacionario.
donde hemos usado que el �uido es incompresible por lo que los volumenes
de entrada y salida son los mismos. Finalmente podemos concentrar toda la
información de cada uno de los estados del �uido en los diferentes lados de
la ecuación
P1 +
1
2
�v21 + �gh1 = P2 +
1
2
�v22 + �gh2;
B1 = B2: H
3.3.1. Observaciones
1. Presión estática. Para un �uido estático se cumple v1 = v2 = 0, y de
B1 = B2 tendremos
P1 + �gh1 = P2 + �gh2 =)
P1 = P2 + �g (h2 � h1) ;
que es nuestra antigua relación para la presión hidrostática.
2. Presión dinámica. Si el �uido �uye horizontalmente h1 = h2 = 0 en-
tonces de B1 = B2 tendremos
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22;
�P =
1
2
��v2:
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI41
3. Si entre los puntos 1 y 2 existe fricción en la tubería, o se conecta una
bomba, la ecuación B1 � B2 = 0 tiene que modi�carse, de la misma
manera que cuando se estudia el trabajo mecánico, es decir debemos
añadir a los agente externos en el lado derecho de la ecuación
B1 � B2 = wb + wf ;
donde wb es el trabajo por unidad de volumen realizado por las bombas
y wf el trabajo en contra del movimiento realizado por las fuerzas de
fricción del tubo, más adelante mostraremos que:
wf = ��ghf ;
donde hf represental la pérdida de carga y está dada por
hf =
32�lv
�gd2
;
donde � representa la viscosidad del �uído que se mueve en el canal
o tubería, l la longitud que se estudia, v la velocidad del �uído en la
tubería y d el diámetro de la tubería.
Ejemplos
1). Con una manguera uniforme de 9.7 mm de radio se bombea agua cons-
tantemente de un sótano inundado a 5.3 m/s. La manguera atraviesa
una ventana a 2.9 m arriba del nivel del agua. ¿Cuál es la potencia de
la bomba?
Solución
La ecuación de Bernoulli es la ecuación de la conservación de la energía,
por lo que sabemos que la cantidad B = P+1
2
�v2 + �gh es constante a lo
largo del trayecto del líquido por la manguera, es decir que debe cumplirse
que B1 = B2 para los puntos de extracción y entrega del �uido. Para un
punto en el sótano se cumple
P1 = Patm +
1
2
�v2 + �gh;
42 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
h
A
A1 2v
v
1
2
2v 1v>
Figura 3.5: Tubo de Venturi con los medidores de diferencia de presión hacia
arriba.
y la potencia de la bomba está dada por
P = Fv;
= PAv;
=
�
Patm +
1
2
�v2 + �gh
�
Av;
= 201:18W � 1hp
746
;
= 0:26hp ' 1
4
hp:
3.3.2. Tubo de Venturi
2). Tubo de Venturi (Giovanni Batista Venturi 1746-1822).
El tubo de Venturi es un dispositivo de medición de la presión, cuyo
principio de funcionamiento descansa en el hecho de que la presión de un
�uido en un tubo disminuye al aumentar su velocidad cuando pasa por una
sección de menor diámetro.
Existen varias versiones del tubo de Venturi, aquí sólo mostraremos 2 en
las �guras (3.5 y 3.6)Nuestro interés es medir la velocidad v1(o v) del �uido
en la parte ancha y lo que se hace es añadir la parte angosta para disminuir
la presión y que nos permite hacer funcionarel líquido en el tubo en forma
de U en la �gura (3.6) o simplemente medir el desnivel entre entre los tubos
abiertos de la �gura (3.5).
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI43
P
P
1
2
A
A
h
h
h
v v1 2
1
2
1
2
r
o
Figura 3.6: Tubo de Venturi en U.
La solución en ambos casos es prácticamente la misma, aplicamos la
ecuación de Daniel Bernoulli a los puntos de interés en el caso (3.5) y tenemos
B1 = B2;
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22;
2
�P
�
+ v21 = v
2
2; (3.1)
usando la conservación de la masa tenemos
Q1 = Q2;
A1v1 = A2v2 =)
v2 =
A1
A2
v1; (3.2)
sustituyendo la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1), tenemos
2
�P
�
+ v21 =
�
A1
A2
�2
v21;
v21
�
1� A
2
1
A22
�
= 2
�P
�
v1 = A2
s
2gh
A21 � A22
:
44 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
3.3.3. Tubo de Venturi en U
Para el tubo en U debemos tomar en cuenta que el líquido que nos sirve
de indicador en el tubo es más denso y no es miscible con el líquido al cual
se le quiere medir la velocidad de �ujo o la presión.
Primero determinaremos la diferencia de presiones en ambas secciones del
tubo a una misma altura, en este caso la ecuación de Bernoulli implica
P1 +
1
2
� v21 = P2 +
1
2
� v22; =)
P1 � P2 =
1
2
�
�
v22 � v21
�
: (3.3)
Esta misma diferencia de presiones también la podemos determinar en el
tubo en U en función de la densidad del líquido de medida. Para esto usamos
los datos de la �gura (3.6), dado que los puntos O y r se encuentran a la
misma altura, la presión para ellos es la misma y cumplen:
P1 + �gh1 = P2 + �gh2 + �
0gh =)
P1 � P2 = �g (h2 � h1) + �0gh;
= (�0 � �) gh;
igualando con nuestra ecuación (3.3) y usando la ecuación de la conservación
de la masa (A1v1 = A2v2) podemos escribir:
1
2
�
�
v22 � v21
�
= gh (�0 � �) ;�
A1
A2
�2
v21 � v21 =
2gh
�
(�0 � �) =)
v1 = A2
s
2gh
A21 � A22
s
�0
�
� 1:
3.3.4. Aplicaciones del efecto Venturi
Motores, carburadores
Medidor de la velocidad de �uidos en tuberías
Capilares del sistema circulatorio
3.3. CONSERVACIÓNDE LAENERGÍA, ECUACIÓNDEBERNOULLI45
h
Figura 3.7: Descarga de un líquido por un ori�cio de un depósito a una altura
h medida desde la parte superior.
Atomizadores
Teorema de Torricelli
El teorema de Torrichelli es una aplicación del principio de Bernoulli
y estudia el �ujo de un líquido contenido en un recipiente a través de un
pequeño ori�cio por la acción de la gravedad, a partir del teorema se puede
calcular el caudal de salida.
En la �gura (3.7) se muestra la descarga de un líquido por un ori�cio a
una distancia h por debajo del nivel de agua.
1. a) Mostrar que la rapidez de salida del agua es
v =
p
2gh;
b). Si el ori�cio estuviese curvado hacia arriba hasta dónde subiría el
chorro de agua.
46 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE FLUIDOS
Capítulo 4
Cantidades adimensionales
4.1. Introducción
De�nition 1 Las cantidades que requieren de unidades para tener un sig-
ni�cado, son llamadas cantidades dimensionales. Números como 4; �; e;
p
2
se dice que son cantidades adimensionales.
En la mayoría de las situaciones es útil identi�car 3 dimensiones funda-
mentales:
Longitud L
Masa M
Tiempo T
Usualmente las dimensiones de todas las otras cantidades necesarias para
la descripción de un proceso pueden ser expresadas como combinaciones de
estas. En algunos casos es necesario añadir la temperatura �;y la carga q.
Denotaremos la dimensión de una cantidad A por [A]; por ejemplo
[ �Area] = [A] = L2;
[Aceleraci�on] = [a] = LT�2;
[V elocidad] = [v] = LT�1;
[Fuerza] = [F ] =MLT�2;
[Energ�{a] = [E ] =ML2T�2:
47
48 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Para determinar las unidades de las constantes fundamentales G; h; �o; "o
podemos usar que
[G] =
[F ]L2
M2
;
=
MLT�2L2
M2
;
= M�1L3T�2;
en forma análoga la constante de Planck está dada por:
[h] =
[E]
[�]
=
ML2T�2
T�1
;
= ML2T�1;
la permitividad eléctrica
["o] =
[F ]L2
q2
;
=
MLT�2L2
q2
;
= ML3T�2q�2;
la permitividad magnética
[�o] =
[B]
[ni]
;
=
[F ]
[qv][ni]
;
=
MLT�2
qLT�1L�1qT�1
;
= MLq�2:
El método del análisis dimensional en hidráulica se utiliza para reducir el
número de variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico,
y también se usa para proponer relaciones funcionales entre las diferentes
variables relevantes del problema.
4.1. INTRODUCCIÓN 49
Usualmente si para describir un fenómeno físico se requiere de n variables
dimensionales, podemo reducir este número a k variables adimensionales,
mediante el método de análsis dimensional, y esto usualmente nos permite
determinar el número de variables independientes n � k que representa el
número de grados de libertad del sistema. En mecánica de �uidos las 4 di-
mensiones básicas son masa, longitud, tiempo y temperatura fM;L; t; �g; y
en ocasiones también se usa el sistema el sistema de unidades ft; �; F; Lg;
donde se reemplaza la masa por la fuerza.
Ejemplos
Existen varias cantidades adimensionales que son importantes en mecáni-
ca de �uidos y que pueden construirse a partir del cociente de fuerzas
#i �
Ma
Fi
(4.1)
donde Fi representa la fuerza de interés en cada caso. Los números de Euler,
Reynolds y Froude están construidos de esta manera y en lo que sigue
mostraremos el uso de la ecuación (4.1)
1. La relación entre las fuerzas de inercia y la presión (Número de Euler
E =�v2
p
)
Del cociente entre fuerzas
Ma
pA
=
�L3 L
t2
pL2
;
=
�L
2
t2
p
;
=
�v2
p
;
E = �v
2
p
:
2. La relación entre fuerzas de inercia y viscosas (Número de Reynolds
50 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Re =
�vd
�
)
Ma
� zA
=
Ma
�
�
dv
dy
�
A
;
=
�d2v2
� v
L
d2
;
=
�vd
�
;
Re =
�vd
�
:
3. La relación entre fuerzas de inercia y gravitarorias (Número de Froude
Fr =
vp
`g
)
Ma
Mg
=
�`2v2
�`3g
;
=
v2
`g
;
la raíz cuadrada de este número se llama número de Froude.
En general solo se estudian los efectos de las fuerzas dominantes. En la
mayoría de los problemas prácticos de �ujo de �uidos las fuerzas dominantes
son:
i) La gravedad
ii) viscosidad
iii) Elasticidad
aunque no necesariamente en forma simultánea.
Debe además notarse que resulta obvio que los números de Euler, Reynolds
y Froude son adimensionales, pues están construidos a partir del cociente de
fuerzas.
4. Expresar cada una de las siguientes magnitudes:
a) en función del conjunto fF;L; T; �; g;
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 51
b) en función del conjunto fM;L; T; �g
Magnitud Símbolo F L t � M L t �
Área A L2 L2
Volumen V L3 L3
Velocidad v LT�1 LT�1
Aceleración a LT�2 LT�2
Velocidad Angular ! T�1 T�1
Fuerza F F MLT�2
Masa M FL�1T 2 M
Peso especí�co 
 FL�3 ML�2T�2
Densidad � FT 2L�4 ML�3
Presión P FL�2 ML�1T�2
Viscosidad absoluta � FTL�2 ML�1T�1
Viscosidad cinemática � L2T�1 L2T�1
Potencia P FLT�1 MLT�3
Caudal Q L3T�1 L3T�1
Esfuerzo cortante � FL�2 ML�1T�2
4.2. Proposición de relaciones funcionales
Si no se puede deducir a partir de primeros principios una relación fun-
cional f (x1; x2; ::::xn) = 0; entre las diferentes cantidades que determinan el
comportamiento del sistema, se puede recurrir al análisis dimensional para
proponer una relación que satisfaga los requisitos de homogeneidad dimen-
sional y en el que todas las variables que se consideran importantes han sido
tomadas en cuenta.
Un requisito adicional de utilidad es determinar los grupos de cantidades
dimensionalmente independientes, es decir aquellos con los cuales no es posi-
ble formar un grupo adimensional entre ellas, pero si debe ser posible con-
struirlo si se añade una variable más (principio de homogeneidad dimensional
PHD).
4.2.1. Teorema de Buckingham
Estas consideraciones quedan resumidas en el teorema Pi de Buckingham,
el término � proviene del hecho de que solo se consideran productos de
52 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
variables, y los parámetros adimensionales que resultan de la aplicación del
teorema se denominan �1;�2; ::::.El método que surge del teorema permite
determinar estos parámetros.
Enunciaremos sin demostración el teorema� de Buckingham en 2 partes[1],la primera de ellas nos permite determinar los grados de libertad reales del
sistema y su relación con las dimensiones de estas cantidades.
Parte 1 Si un proceso físico que relaciona n variables dimensionales me-
diante relaciones que satisfacen el principio de homogeneidad dimen-
sional, se puede describir mediante una relación entre sólo k variables
adimensionales, entonces las n�k = j variables representan el número
de grados de libertad que no pueden formar un grupo adimensional en-
tre ellas, y es siempre menor o igual que el número de dimensiones que
describen estas variables.
La segunda parte del teorema aporta un método para hallar las cantidades
adimensionales:
Parte 2 Determinar j, se seleccionan los conjuntos de j variables (el mayor
posible) con las cuales no se puede construir un parámetro adimensional
entre ellas. Así, cada parámetro adimensional �` estará formado por un
producto de potencias de estas j variables con una variable adicional a
la que se le asigna un exponente conveniente no nulo. Todos los grupos
adimensionales así formados son independientes.
Observaciones:
Podemos describir el teorema de una manera heurística de la siguiente
manera:
Las cantidades relevantes para el uso del teorema son:
Si:
1. D representa el conjunto de variables dimensionales disponibles, y
2. A representa el conjunto de variables adimensionales que se pueden
formar a partir e las n variables disponibles,
3. Ndim representa el número de dimensiones relevantes en el problema
fL;M; T; q; �; ::g
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 53
4. Gd representa todos los conjuntos de variables (con el mayor número)
con las que NO se puede formar grupo adimensional.
Los números relevantes son # de elementos de los conjuntos D;A;Gd
(n; k; j) y el número de dimensiones relevantes del problema Ndim
que deben cumplir la desigualdad:
j = n� k � Ndim;
de aquí que para toda fyg � Gd solo existen k = n�j relaciones adimension-
ales posibles. El teorema trata el problema de determinar completamente A;
a partir de D, Gd y Ndim .
Como ilustración general consideraremos el procedimiento a seguir si
disponemos de 5 variables fv1; v2; : : : ; v5g y 3 dimensiones relevantes fM;L; Tg;
nos interesa determinar una relación entre ellas usando el análisis dimension-
al, es decir queremos determinar la función f tal que podamos expresar
v1 = f (v2; v3; v4; v5) :
Dado que sólo existen 3 dimensiones relevantes, sabemos que el número
máximo de cantidades con las cuales no es posible formar grupo adimensional
es: j � 3:
Ahora, según el teorema de Buckingham sólo es posible hallar a lo más 2
grupos adimensionales distintos k = n � j = 5 � 3 = 2. Para determinarlos
elegimos el mayor conjunto de variables fv2; v3; v4g con las que no podemos
formar grupo adimensional entre ellas.
El teorema de Buckingham a�rma que los dos grupos adimensionales
estarán formados por estas 3 variables más una variable adicional distinta
para cada uno, es decir, v1 o v5 respectivamente
�1 = v
a
2v
b
3v
c
4(v1)
d =M oLoT o; y
�2 = v
a
2v
b
3v
c
4(v5)
d =M oLoT o:
Debemos tener en cuenta que el mayor conjunto no adimensional f�1; �2; : : : ; �jg;
tiene la propiedad de que cualquier subconjunto de él es a su vez no adimen-
sional.
Ejemplos
1). (Caída libre) Obtener mediante análsis dimensional, una expresión
para la distancia recorrida en un tiempo t por un cuerpo que cae libremente,
54 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
suponiendo que la distancia depende del peso del cuerpo, de la aceleración
de la gravedad y del tiempo.
Solución
En este caso tenemos 4 variables fs; t; g;mg y 3 dimensiones relevantes
fM;L; Tg. Con las cantidades fs; t; gg se puede construir un grupo adimen-
sional, pero no con fs;m; gg ni conft;m; gg; ni con fs;m; gg por lo que j = 3
y k = 4 � 3 = 1; esto es, sólo se puede formar 1 grupo adimensional con
las 4 cantidades. Si escogemos fs;m; gg como nuestro grupo con el que no
podemos formar grupo adimensional, entonces
�1 = s
ambgctd =M oLoT o;
= LaM b
�
LT�2
�c
T d =M oLoT o;
esto implica las ecuaciones
a+ c = 0;
b = 0;
�2c+ d = 0;
de aquí obtenemos
a = �c;
d = 2c;
eligiendo c = 1
�1 = s
�1gt2 =)
s =
1
�1
gt2;
el coe�ciente adimensional�1 se determina por lo general experimentalmente,
en nuestro caso sabemos que �1 = 2:
2) (Péndulo simple) Determinar una expresión para el periódo de un
péndulo simple usando análisis dimensional.
Solución
Para describir el movimiento de un péndulo simple las variables relevantes
son f`;m; g; �g ; y las únicas dimensiones para este problema son fL;M; Tg
por lo que el número de elementos del conjunto con el cual no es posible
formar grupo adimensional es j = 2 � 3 (j � Ndim) y los conjuntos adimen-
sionales posibles son k = n� j = 3� 2 = 1:
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 55
La relación posible para el periódo estará dada por
T = C (�o) `
�m�g
;
= C (�o)L
�M�L
T�2
;
de donde resultan las ecuaciones
�+ 
 = 0;
� = 0;
�2
 = 1;
cuya solución es � = 1=2; 
 = �1=2; � = 0, de donde tendremos
T = C (�o) `
1=2g�1=2;
T = C (�o)
s
`
g
;
la constante C (�o) sólo se puede determinar a través del experimento.
3). El número de Reynolds es una función de la densidad, la viscosidad
y la velocidad del �uido, así como una longitud característica (que puede ser
la longitud de la tubería o su diámetro). Establecer la expresión del número
de Reynolds mediante análisis dimensional.
Solución
En este caso las variables relevantes son f�; �; v; dg; y las dimensiones
relevantes son fM;L; Tg: Ahora debemos determinar j , para esto elegimos
j igual al número de dimensiones diferentes que apararecen en el problema,
esto es, j = 3 y elegimos todos los grupos de 3 que no puedan formar grupo
adimensional.
Las unidades de las cantidades de las que disponemos son
Cantidad Símbolo MLT
Densidad � ML�3
viscosidad � M(LT )�1
Velocidad v LT�1
Longitud ` L
De la tabla observamos que podemos construir grupos de a 3 que no
formen grupos adimensionales si añadimos � o � pero no ambas, es decir ten-
dremos los grupos f�; v; Lg; y f�; v; Lg y también el grupo f�; �; `g (en este
56 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
último no es posible cancelar el tiempo) por lo tanto j = 3 (mayor número
de variables con las cuales no es posible formar grupo adimensional), de aquí
que k = 4� 3 = 1, esto es, sólo existe una posible relación adimensional con
estas 4 cantidades, que es precisamente el número de Reynolds, en efecto, si
elegimos f�; v; Lg como nuestro grupo no adimensional tendremos
�1 = �
avb`c�m = (MLT )o;
= Ma(LT )�aLbT�bLcMmL�3m = (MLT )o;
esto nos da el sistema de ecuaciones
a+m = 0;
�a+ b+ c� 3m = 0;
�a� b = 0;
de aquí obtenemos
a = �m;
b = m;
c = m;
tomando m = 1 nos resulta
�1 = �
�1v`�;
Re =
�v`
�
Una manera diferente de usar el análisis dimensional para determinar
relaciones funcionales se ilustra en los siguientes ejemplos:
4). Para el caso de un líquido ideal, expresar el caudal Q a través de un
ori�cio en función de la densidad del líquido, el diámetro del ori�cio y la
diferencia de presiones, Q = Q (�; d; P ) :
Solución
En este caso queremos determinar Q = Q (�; P; d) y tenemos 3 unidades
fM;L; Tg proponemos la existencia de una constante K sin unidades de
manera que se cumpla
Q = K�aP bdc;
L3T�1 = MaL�3aM bL�bT�2bLc;
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 57
esto nos proporciona las siguientes ecuaciones
�3a� b+ c = 3;
�2b = �1
a+ b = 0;
el sistema tiene solución única
a = �1
2
;
b =
1
2
;
c = 2;
de aquí que
Q = K��
1
2P�
1
2d2;
= Kd2
s
P
�
: (4.2)
Usando el teorema � deberíamos escribir las variables fQ; �; P; dg; y si
queremos un grupo adimensional con ellas debemos escribir
�1 = Q
a�bP cdm = (MLT )o ;
de donde tenemos las ecuaciones
(L3aT�a)
�
M bL�3b
� �
M cL�cT�2c
�
Lm = (MLT )o ;
el sistema de ecuaciones lineales del problema son
3a� 3b� c+m = 0;
�a� 2c = 0;
b+ c = 0;
3 ecuaciones y 4 incógnitas implican que el sistema tiene in�nidad de solu-
ciones
a = �2c;
b = �c;
m = 4c;
58 CAPÍTULO 4. CANTIDADESADIMENSIONALES
eligiendo c = 1
4
obtenemos
a = �1
2
;
b = �1
4
;
m = 1;
de aquí que
�1 = Q
� 1
2��
1
4P
1
4d1;
despejando el caudal de esta ecuación obtenemos
Q =
�
�1
d��
1
4P
1
4
��2
;
=
d2
�21
s
P
�
;
la cual es equivalente a la relación que obtuvimos antes en (4.2).
5). Determinar la presión dinámica ejercida sobre un cuerpo totalmente
sumergido en la corriente de un �uido incompresible al suponer que la presión
es función de la densidad y la velocidad.
Solución
Si suponemos que PD = PD (�; v) ; proponemos entonces una relación de
la forma
PD = K�
avb; =)
ML�1T�2 = K
�
MaL�3a
� �
LbT�b
�
;
de aquí obtenemos las ecuaciones
a = 1;
b = 2;
y la relación buscada sería
PD = K�v
2:
6). Suponiendo que la potencia comunicada por una bomba es función del
peso especí�co del �uido, del caudal y de la altura comunicada a la corriente,
establecer una ecuación por análisis dimensional.
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 59
Solución
La hipótesis consiste en que es posible determinar una ecuación para
la potencia de la bomba si suponemos que P = P (
;Q; h) ; entonces pro-
ponemos
P = K 
ahbQc;�
MaT�2aL�2a
�
Lb
�
L3cT�c
�
= ML2T�3;
de aquí obtenemos las ecuaciones
a = 1;
�2a+ b+ 3c = 2;
�2a� c = �3; =)
c = 1 y
b = 1;
por lo tanto tenemos
P =KQ
h;
esta expresión tiene valor práctico para estimar la potencia de las bombas
que se requieren para desalojar líquido.
Por ejemplo si se desea saber la potencia necesaria de una bomba pra
subir agua a 8 m de altura para llenar un tinaco de 103 ` en 15 minutos,
entonces tendremos que
Q =
1m3
15m��n
� 1m��n
60seg
;
= 1:11� 10�3m3=seg:

a = 9800
N
m3
;
h = 8m =)
P = k
�
1:11� 10�3
�
(9800) 8;
= k (87W ) ;
el valor experimental de k es del orden 4;38 por lo que la potencia necesaria
sería de
P = 87 (4:38) ;
= 381:06W � 1hp
746W
;
= 0:51 hp:
60 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
7). Se dispara un proyectil con un ángulo � y una velocidad inicial vo:
a) Encontrar el alcance R en el plano horizontal suponiendo que este es
función de la velocidad inicial, el ángulo y la aceleración de la gravedad.
b) Repetir el análisis añadiendo una descomposición vectorial.
Solución
(a) Si R = R (vo; g; �) entonces
R = kvaog
b�c; =)
a = 2;
b = �1
c = 0;
R = k
v2o
g
;
la cual es claramente una relación incorrecta, pues da el mismo resultado
para cualquier ángulo de disparo.
(b) Para obtener un resultado correcto debemos considerar el hecho de
que la velocidad inicial es un vector y proponer que el alcance es función de
las componentes de la velocidad, es decir, Rx = Rx (vox; voy; g) esta es una
forma explícita de considerar el ángulo de disparo, esto es
Rx = kv
a
oxv
b
oyg
c;
L = kLa+b+cT�a�b�2c =)
a+ b+ c = 1;
�a� b� 2c = 0;
c = �1;
a+ b = 2;
a = 1 = b; =)
Rx = k
voxvoy
g
;
= k
v2o sin (2�)
2g
;
que es la relación conocida para el alcance en el tiro parabólico con k = 1:
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 61
8). Desarrollar una expresión que dé la pérdida de carga (pérdida de
presión por fricción) en una tubería horizontal, para un �ujo turbulento in-
compresible.
Solución
Para un �uido cualquiera, la pérdida de carga hidráulica, o pérdida de pre-
sión, viene dada por el cociente de la caída de presión entre el peso especí�co
y es una medida útil de la resistencia al �ujo del �uido a través de la tubería.
La resistencia al �ujo es función del diámetro de la tubería (�), la viscosi-
dad y la densidad del �uido, la longitud de la tubería (`), la velocidad del
�uido y de la rugosidad realtiva de la tubería ("r � "=d), es decir
�P = �P (�; `;v;�; �;"r)
= K �a�b�c` ve
�"
d
�f
:
A partir de datos experimentales se observa que el exponente de ` es
la unidad y el valor de "r se expresa usualmente como el cociente entre el
tamaño de las protuberancias super�ciales " entre el diámetro de la tubería
d resultando "r = "=d es adimensional. Ahora podemos escribir en el sistema
fF;L; Tg
FL�2 = La
�
F bL�2bT b
� �
F cL�4cT 2c
�
LT�e
�
Lf
Lf
�
; =)
1 = b+ c;
�2 = a� 2b� 4c+ 1 + e;
0 = b+ 2c� e;
tenemos 4 variables y 3 ecuaciones independientes por lo que tendremos 1
parámetro libre, así que podemos determinar a; b y c,en términos de e
a = e� 3;
b = 2� e;
c = e� 1;
de donde
�P = K de�2�2�e�e�1` ve"r;
dividiendo esta expresión por 
 en el LHS y por su equivalente �g en el RHS,
62 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
tenemos
�P
=
K �e�3�2�e�e�1` ve"r
�g
;
= 2
K �e�3d�2�e�e�2`ve�2v2"r
2g�
;
= 2K
v2`
2�g
"r
�e�2ve�2�e�2
�e�2
;
= 2K "r(Re)
e�2 `
�
�
v2
2g
�
;
para e = 3; tenemos:
hf = k
0(Re)
`
�
�
v2
2g
�
; o
hf = f
�
`
�
��
v2
2g
�
;
y es llamada la fórmula de Darcy, donde hemos de�nido el factor de fricción
de Darcy-Weisbach por f � 2K "r(Re):
9) La potencia P requerida para accionar una bomba centrífuga es función
del caudal Q, del diámetro del rotor D de la velocidad de giro 
 y de la
densidad y la viscosidad del �uido (�; �); es decir
P = P (Q;D;
; �; �) :
Reescriba esto como una relación adimensional. Hint. use f
; �;Dg como
variables independientes.
Solución:
Una vez hallados los mayores conjunto de cantidades con las cuales no es
posible formar grupo adimensional, podemos seguir el siguiente procedimien-
to:
1. Tenemos n = 6 variables incluida la potencia P
2. El Ndim del sistema fF; T; L; �g es 4 y las dimensiones de cada variable
son
P Q D 
 � �
FLT�1 L3T�1 L T�1 FL�4T 2 FTL�2
3. Ahora determinamos el número de grados de libertad j � 3 (número
de dimensiones diferentes). Ahora comprobemos que el conjunto f
; �;Dg
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONES FUNCIONALES 63
NO forma un grupo adimensional. Para esto es su�ciente considerar
a�bDc = (TFL)o ; =)�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c = (TFL)o ;
�a+ 2b = 0;
b = 0 =) a = 0;
�4b+ c = 0; =) c = 0:
Por lo tanto no es posible formar un grupo adimensional con ellas y aho-
ra por el teorema de Buckingham sabemos que al añadir una variable más
podemos construir un grupo adimensional. En este caso tenemos 3 posibil-
idades por lo que podemos formar 3 cantidades adimensionales independi-
entes.
i) Añadiendo a nuestro conjunto f
; �;Dg la potencia tendremos
�1 = 
a�bDcP =(FLT )o ;
obtenemos
�1 =
�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c FLT�1 =)
el sistema de ecuaciones para las constantes a; b y c es
b+ 1 = 0;
�4b+ c+ 1 = 0;
�a+ 2b� 1 = 0;
de donde obtenemos a = �3; b = �1; c = �5 por lo que la primera
relación adimensional que podemos formar es
�1 =
P
3�D5
;
este número usualmente se denomina el coe�ciente de potencia de la
bomba CP .
ii) Si ahora añadimos a nuestro conjunto f
; �;Dg el caudal Q para obtener
el segundo grupo adimensional
�2 = 
a�bDcQ = (FLT )o ;
=
�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c L3T�1;
64 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
del sistema de ecuaciones correspondientes resulta a = �1; b = 0; c =
�3: Este segundo grupo adimensional se denomina coe�ciente de �ujo
de la bomba y se denota por CQ:
�2 = CQ =
Q
D3
:
iii) Finalmente combinando f
; �;Dg con la viscosidad � tenemos
a�bDc� = (FLT )o ;�
T�1
�a �
FL�4T 2
�b
(L)c FTL�2 = (FLT )o ;
resolviendo el sistema de ecuaciones a = �1; b = �1; c = �2;
�3 =
�
�d2
:
iv) Ahora la relación original de 6 variables se a reducido así a una relación
entre 3 grupos adimensionales, es decir
P
3�D5
= f
�
Q
D3
;
�
�d2
�
;
CP = f
�
CQ;
�
�d2
�
:
10). La elevación capilar h de un líquido en un tubo varía con el diámetro
d del tubo, la gravedad g; la densidad del �uido �; y la tensión super�cial �
y el ángulo de contacto �:
Determinar la expresión adimensional de esta relación
Solución
(i). Tenemos 6 variables posibles fh; d; g; �; �; �g cuyas dimensiones en el
sistema fF; T; L; �g son
h d g � � �
L L LT�2 FT 2L�4 FL�1 �
(ii). En este caso los grupos dimensionalmente independientes más grandes
contienen 3 variables, así que j = 3: Existen varios grupos dimensionalmente
independientes de 3 variables (p.ej. fh; g; �g; f�; g; dg), por lo que esperamos
a lo más k = 6� 3 grupos adimensionales.
4.2. PROPOSICIÓN DE RELACIONESFUNCIONALES 65
(iii). Seleccionamos alguno de los grupos de 3 variables dimensionalmente
independientes f�; g; dg y añadimos de aquí en adelante de manera secuencial
una a una las variables restantes para obtener todos los grupos adimension-
ales, en nuestro caso sólo podemos añadir h y �, pues � ya es adimensional,
es decir
�1 = �
agbdch;
�2 = �
agbdc�;
llevando a cabo las operaciones obtenemos
�1 = �
ogod�1h;
=
h
d
;
y
�2 = �
�1g�1d�2�;
=
�
�gd2
;
por lo que la relación adimensional completa para este problema es
h
d
= f
�
�
�gd2
; �
�
;
esto es lo más que nos puede proporcionar el análisis dimensional. Pero dado
que teóricamente se sabe que h es directamente proporcional a � entonces
podemos escribir
h
d
=
�
�gd2
f (�) =)
f (�) =
h�gd2
�
;
que es la expresión que obtenemos para el ángulo de contacto en un tubo
capilar.
66 CAPÍTULO 4. CANTIDADES ADIMENSIONALES
Capítulo 5
Flujo viscoso en tuberías
La descripción del movimiento de diferentes tipos de �uidos a lo largo
de tuberías con diferentes geometrías, velocidades y viscosidades, es un pro-
blema práctico que se a resuelto esencialmente a través de la experiencia
cotidiana en el transporte de �uidos en tuberías y canales a lo largo de la
historia humana.
La mayor parte de las expresiones matemáticas que se usan para la elec-
ción de tuberías y para determinar la caída de presión, bombas etc. son
expresiones empíricas desarrolladas en su mayor parte en los siglos XIX y
XX que han resultado útiles para la solución de estos problemas.
El estudio para familiarizarnos con estas expresiones y los metodos rela-
cionados con ellas es el interés central de esta parte.
5.1. El número de Reynolds y los regímenes
de �ujo
El número de Reynolds
Re =
�vd
�
;
actualmente se a convertido en el instrumento stándard para caracterizar el
comportamiento de los �ujos como laminar o turbulento, creando a partir de
él toda una clasi�cación del movimiento de los �uidos.
Usualmente cuando el �uido considerado es agua o el aire, se a encontrado
experimentalmente que para �nes prácticos, si los valores del número de
67
68 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
Reynolds cumplen
Re < 2000;
el �ujo será laminar, independientemente del �uido en movimiento.
Ejemplo:
1. El número de Reynolds de transición (laminar a turbulento) para el
�ujo en un a tubería circular es Re;critico � 2300: Para el �ujo a través de una
tubería de 5 cm de diámetro, ¿a qué velocidad se producirá la transición si
el �uido es (a) aire y (b) agua, ambos a 20�C:
Solución
Observación: En la mayoría de las fórmulas para el �ujo en conductos se
considera la velocidad media del �uido la dada por la ecuación v = Q=A; y
no la velocidad en el centro o cualquier otro punto del conducto.
(a) Si la transición se produce para Re � 2300 entonces para el aire
tendremos
�vd
�aire
= 2300 =
�
1:205 kg
m3
�
v (0:05 m)
1:80� 10�5 kg
m�s
=)
vtrans � 0:7
m
s
� 2 :52Km
h
(b) Agua
�vd
�agua
= 2300 =
103Kg
m3
(0:05m)
10�3 kg
m�s
v =)
v � 0:046m
s
� 0:1656Km
h
;
donde hemos usado la siguiente tabla de viscosidades de �uidos a 20�C y
1 atm de presión:
Fluido �
�
kg
m3
�
�
�
kg
m�s
�
Gasolina 680 2:92� 10�4
Mercurio 13:6� 103 1:56� 10�3
Aceite SAE 10W 870 1:04� 10�1
Aceite SAE 10W30 876 1:7� 10�1
Agua 1� 103 1� 10�3
Agua de mar 1025 1:07� 10�3
Aire 1:185 1:8� 10�5
O2 1:43 2� 10�5
N 2 1:25 1:76� 10�5
5.1. EL NÚMERO DE REYNOLDS Y LOS REGÍMENES DE FLUJO 69
Observemos de los resultados obtenidos en este caso para el aire y para
el agua, las velocidades son bajas, por lo que usualmente en la mayoría de
los casos de aplicación industrial los �ujos de agua y aire serán normalmente
turbulentos.
5.1.1. Caída de presión debido a la turbulencia
Dado que el movimiento turbulento es mucho más frecuente que el laminar
y que esta turbulencia tiene efectos muy notables en la caída de presión al
moverse el �uido por una tubería, el alemán GHL Hagen en 1839 midió la
caída de presión hidráulica en un �ujo de agua en tubos largos de latón y
determinó la siguiente ley empírica
�P = k
LQ
d4
+ Ee;
donde k es una constante que depende del �uido y Ee una constante que
toma en cuenta los efectos de entrada del �uido en la tubería. Hagen observó
que esta ley dejaba de ser válida cuando Q rebasaba cierto límite (el cual
ahora sabemos que corresponde al número de Reynolds crítico).
En 1883 Osborne Reynolds mostró que la ley de Hagen dejaba de ser
válida cuando el valor del parámetro Re = �vd=� rebasaba cierto valor, y fué
a partir de los datos de Hagen que se encontró Re;critico � 2300 para el aire
y para el agua.
5.1.2. Flujo completamente desarrollado
Cuando un �uido entra a una tubería ya sea por cambio de diámetro
en las redes de distribución o través del tubo de una bomba, el régimen del
�uido en la entrada del tubo es turbulento, pero al �uir dentro de él existe una
distancia característica en la cual el �ujo del �uido es prácticamente laminar.
A esta distancia se le llama distancia de entrada, y se denota por Le; cuando
el �uido pasa esta distancia diremos que está completamente desarrollado.
Mediante análisis dimensional se puede establecer una relación para Le;
es decir, si suponemos que
Le = Le (�; �; v; d) ;
70 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
tendremos que
Le
d
= g
�
�vd
�
�
;
= g (Re) ;
para el �ujo laminar (0 < Re < 2� 103), la relación empírica aceptada es
Le
d
= 0:06Re, (5.1)
observemos que para el experimento de Hagen, si consideramos como laminar
Re = 2300 tendremos
Le = (0:06) (2300) d;
= 138d;
es la máxima posible.
Para �ujo turbulento la fórmula empírica stándard es
Le
d
= 4:4R
1
6
e (5.2)
Ejemplo
Un tubo de 0.5 pulgadas de diámetro y 60 ft de largo lleva 5 galones/minuto
de agua a 20�C:¿Qué fracción del tubo corresponde a la longitud de entrada?
Solución
Para determinar la longitud Le debemos primero saber a qué régimen
corresponden nuestros datos, para lo cual debemos calcular primero el número
de Reynolds
Re =
�vd
�
;
=
103 kg
m3
�
5 gal
m��n
� 3:787l
1gal
� 1m3
103l
� 1m��n
60s
� 4
�
�
1
2
in� 2:54�10�2m
1in
�
�
10�3 kg
m�s
;
= 31638;
ahora sabemos que el �ujo es turbulentol pues Re > 104; por lo que debemos
usar la ecuación (5.2)
Le
d
= (4:4) (31638)
1
6
= 24:74
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 71
y la fracción pedida es
Le
L
=
(24:74) (0;012 7)
60� 1
3;3
;
= 1: 728� 10�2:
Lo usual es presentar este resultado en forma de porcentaje, es decir que
el 1;72% de la longitud total es lo que le toma al �ujo del �uido para estar
completamente desarrollado. Dado que esta es una fracción muy pequeña de
la longitud total, normalmente se considera en estos casos que el �ujo está
completamente desarrollado desde un principio.
5.2. Pérdida de carga y el coe�ciente de fric-
ción
Si deseamos conocer la pérdida presión entre 2 puntos de un tubo debida
a la fricción del �uido con el tubo y a la diferencia de alturas, debemos aplicar
la ecuación de Bernoulli de manera que
Bf = Bi +Hf ;
donde Hf representa el trabajo por unidad de volumen que realiza la fricción
debido a las irregularidades del tubo. A partir de esta ecuación podemos
determinar una expresión para Hf
Hf = Bf � Bi;
=
�
Pf +
1
2
�v2f + �ghf
�
�
�
Pi +
1
2
�v2i + �ghi
�
;
Hf
�g
=
�
Pf
�g
+ hf
�
�
�
Pi
�g
+ hi
�
;
=
Pf � Pi
�g
+ (hf � hi) ;
=
�P
+�h;
e esta cantidad se le da el nombre de �head loss�o pérdida de carga es el peso
por unidad de volumen por peso especí�co, wf=
 (donde 
 = �g representa
72 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
el peso especí�co), esto es, hf =
Wf
V �g
+ h; por lo que nuestra ecuación resulta
hf =
�P
+�h; (5.3)
hf = LAMf � LAMi; (5.4)
donde LAM es el acrónimo de línea de altura motriz y está de�nida por
LAMa � Pa�g +ha: Mediante estas nuevas variables (LAM ) se pretende deter-
minar la pérdida de presión por unidad de masa debida a la fricción con el
tubo y a las diferencias de alturas de las tuberías. En mecánica de �uidos e
hidráulica a resultado conveniente pensar a laenergía como �carga�esto es,
como la cantidad de energía por unidad de volumen y de peso del �uido.
La ecuación (5.4) normalmente se interpreta diciendo que la pérdida de
carga es igual a la suma de las variaciones de la presión y la altura, esto se
abrevia usando un término técnico la línea de altura motriz , de esta manera
la ecuación (5.4) se lee diciendo que la pérdida de presión se mide a través
de la variación en la LAM (hf = �� LAM) .
Actualmente el estudio de �ujo en tuberías, el factor de fricción denotado
por «f» es el coe�ciente en la fórmula de Darcy-Weisbach
hf = f
L
d
v2
2g
: (5.5)
El factor f es una cantidad adimensional y a velocidades ordinarias es
una función de solo otras dos cantidades adimensionales; la rugosidad rela-
tiva "r � "=D (siendo " una longitud lineal representativa de la rugosidad
absoluta), y el número de Reynolds Re = vd=�; donde � representa la vis-
cosidad cinémática.
El cálculo del factor de fricción y la in�uencia de los parámetros (número
de Reynods Re y rugosidad relativa "r) dependen del régimen de �ujo, así
tenemos que:
a). Para régimen laminar, el factor de fricción f que se usa es
f =
64
Re
; (5.6)
en el régimen laminar, el coe�ciente de fricción es independiente de la
rugosidad relativa y depende únicamente del número de Reynolds.
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 73
b) Para régimen turbulento (Re > 2300) el factor de fricción se calcula en
función del tipo de régimen como sigue:
(i) Para régimen turbulento liso (105 < Re < 106), se utiliza la 1a Ecuación
de Karmann-Prandtl :
fturbulento liso =
1p
ftl
= �2 ln
�
2:51
Re
p
f
�
: (5.7)
(ii) Para régimen turbulento intermedio (tuberías de plástico) se utiliza
la Ecuación de Colebrook simpli�cada:
1p
fti
= �1:8 ln
�
6:9
Re
+
�
"1:11r
3:7
��
;
(iii) Para régimen turbulento rugoso (tuberías de cemento) se utiliza la
2a Ecuación de Karmann-Prandtl :
1p
ftr
= �2 ln
� "r
3:7
�
: (5.8)
Así que una vez conocido el coe�ciente de fricción de puede calcular la
pérdida de carga en una tubería debido a la fricción mediante la ecuación de
Darcy-Weisbach
hf = f
L
d
v2
2g
: (5.9)
La elección de la expresión a usar para calcular la pérdida de presión hf
depende en cada caso particular de los datos de los cuales se dispone, ilus-
traremos las 2 situaciones básicas que se presentan en los siguientes ejemplos,
en un tipo de ellos basta con la ecuación (5.4) para obtener hf y en otros ca-
sos debemos determinar el factor de fricción usando el �diagrama de Moody�
que explicaremos más adelante. En lo que sigue mostraremos la fórmula de
Darcy-Weisbach para �uidos estacionarios laminares.
Theorem 2 Para un �uido Newtoniano, que �uye en una tubería en modo
laminar y en estado estacionario se cumplen:
(a) Velocidad promedio en el tubo está dada por
�v =
vc
2
;
74 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
donde vc es la velocidad en el centro del tubo
vc =
�P
�`
D2
16
.
(b) La pérdida de carga está dada por la fórmula de Darcy-Weisbach
hf = f
`
d
v2
2g
; donde v = �v
Proof. En el �ujo estacionario del �uido existen 2 fuerzas involucradas,
A �P; � . Dado que el �ujo es estacionario debemos tener que
P ~F = ~0;
por lo que
A�P = ��A`;
�r2�P = ��dv
dr
2�r`)
dv = �r�Pdr
2�`
;
v = vo ��P
r2
4�`
;
�nalmente tenemos que la velocidad del �uido para diferentes radios medidos
a partir del centro está dada por:
v (r) = vo �
�P r2
4�`
:
Podemos determinar vo teniendo en cuenta que la velocidad del �uido en
contacto con las paredes del tubo cumple: v(D=2) = 0)
0 = vo �
�P
�`
D2
16
)
v (r) =
�P
�`
D2
16
�
1� 4r2
	
;
= vc
�
1� 4 r
2
D2
�
;
donde la velocidad en el centro del tubo está dada por (v (0) = vc)
vc =
�P
16
D2
�`
:
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 75
Para determinar la velocidad promedio partimos de la conservación de la
masa
�v =
Q
A
;
=
1
A
Z
v (r) dA;
=
8�
�D2
vc
Z D=2
0
�
1� 4 r
2
D2
�
rdr;
=
8vc
D2
�
r2
2
� r
4
D2
�D=2
0
;
=
8vc
D2
�
D2
8
� D
2
16
�
;
2�v = vc l:q:d:
Usando esta velocidad promedio, podemos ahora determinar la pérdida de
carga
hf =
�P
;
=
32v�`
�gD2
;
si deseamos ver explícitamente el número de Reynolds recordamos que
Re =
�vd
�
,
�` =
�vd`
Re
)
hf =
32v
d2
�vd`
�gRe
;
hf =
64
Re
`
d
v2
2g
;
hf = f
`
d
v2
2g
; f =
64
Re
; l:q:d:
Ejemplos (Pérdida de presión por fricción)
76 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
1. Se usa una bomba para enviar líquido verticalmente a través de un tubo
de sección circular con un diámetro interno de d = 0:02m: Suponga que el
tubo, cuya altura es de l = 6m; está abierto al �nal en la parte opuesta de la
bomba; suponga también que el �ujo es laminar y que el líquido incompresible
es aceite con una viscosidad � = 1;04� 10�4N � s=m2
�
� = 876Kg
m3
�
; también
es conocido el caudal de entrada Qe = 10�4m3=s:
Calcule el trabajo especí�co de la bomba (we � WM ) que es necesario
para enviar al líquido a la parte superior del tubo considerando que existen
pérdidas por fricción. La presión externa en la entrada de la bomba y al �nal
de la misma es la atmosférica.
Solución.
Observemos que si de�nimos el trabajo especí�co, como el trabajo por
unidad de masa entonces tendremos
we �
W
M
;
=
W
�V
=)
�we =
W
V
= wb;
donde wb = W=V es el trabajo por unidad de volúmen de la bomba y es la
forma usual en la que aparece el trabajo en la ecuación de Bernoulli.
En la �gura (5.1) destacamos 3 puntos en los cuales aplicaremos la ley de
Bernoulli
En los puntos 0 y 1 se cumple B0 +Wb=V = B1
B1 = B0 + �we;
P1 +
1
2
�v21 = Po +
1
2
�v2o + �we; (5.10)
a partir de la conservación de la masa podemos tenemos Q = voA = v1A )
vo = v1, sustituyendo en la ecuación (5.10) resulta pues para estos puntos
debe cumplirse
P1 = P0 + �we ()
además de la conservación de la masa sabemos el valor de la velocidad v1 =
Q=A = 4Q= (�d2) :
Ahora en los puntos 1 y 2 se cumple
P2 +
1
2
�v22 + �g` = B1 � �ghf ;
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 77
0
1
2
Figura 5.1: Representación de una bomba con un segmento de un tubo ver-
tical de longitud `:
nuevamente por la conservación de la masa tenemos que v2 = v1; observemos
que P2 = Po; por lo que esta última ecuación se simpli�ca a
P0 + �g` = P1 � �ghf ;
P0 + �g` = P0 + �we � �ghf ;
�we = �g`+ �ghf ;
ahora podemos usar la ecuación de la fórmula de Darcy (5.9) junto con la
ecuación (5.6) para �ujo laminar y resulta
hf =
64
Re
`
d
v21
2g
=)
we = g`+
64
Re
`
d
v21
2
;
donde podemos sustituir todos los datos de los que disponemos.
2. Un �ujo de aceite con una densidad de � = 900 kg=m3 y una viscosidad
cinemática de � = 2 � 10�4m2=s circula hacia arriba por un tubo inclinado
con un diámetro d = 6 cm; como se muestra en la �gura (5.2). La presión
y la altura en los puntos 1 y 2 son conocidas a partir de los datos y de la
78 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
1
2
40°
10
m
Figura 5.2: Tubo inclinado para el transporte de aceite.
geometría del problema (P1 = 3;5� 105Pa y P2 = 2;5� 105Pa): Suponiendo
un �ujo laminar estacionario:
a) Veri�que que en estas condiciones, el �ujo es hacia arriba
b) Calcule hf entre los puntos 1 y 2
c) Calcule Q
d) v
e) Re ¿es laminar el �ujo?
De�nition 3
Solución
(a) Para determinar la dirección del �ujo es necesario determinar las LAM
(la línea de altura motriz o ILH inclinación de línea hidráulica). El cálculo
de las ILH�s en los puntos 1 y 2 da como resultado
ILH1 =
P1
�g
+ h1;
= 39:65m;
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 79
ILH2 =
P2
�g
+ h2;
=
P2
�g
+ 10 sin (40�) ;
= 34:7m;
como la línea de altura motriz es más baja en el punto 2, el �ujo es de 1! 2:
(b) Ahora, usando la ecuación (5.4) tenemos que
hf = ILH1 � ILH2;
= 4:95m;
la cual representa una pérdida muy elevada, de aproximadamente el 50%.
(c) Para determinar el caudal
hf =
64
Re
L
d
v2
2g
�d2=4
�d2=4
;
=
128
Re
LvQ
�d3g
;
=
128�
�d
LQ
�d3g
;
=
128�L
�g�d4
Q =)
Q =
�g�d4
128�L
;
= 7:6� 10�3m
3
s
(d) La velocidad del�ujo está dada por
v =
Q
A
;
=
4Q
�d4
;
= 2:7
m
s
:
80 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
1 ft
1 ft
1
2
Figura 5.3: Depósito de descarga a través de un tubo de 4�10�3 ft de
diámetro.
(e)
Re =
�vd
�
;
=
dv
�
;
= 810;
por lo tanto se encuentra en régimen laminar.
3. Un líquido de peso especí�co 
 = �g = 58 lb=ft3�uye por gravedad
desde un depósito de 1 ft a través de un capilar de 1 ft de longitud con un
caudal de 0.15 ft3=h; como se muestra en la �gura (5.3) el diámetro del capilar
es de 4� 10�3ft: Los puntos 1 y 2 están a presión atmosférica, despreciando
los efectos de entrada determine la viscosidad del líquido.
Solución
La información de la que disponemos es de 2 tipos básicamente, dinámica
y geométrica y a partir de esta debemos determinar el valor de la viscosidad.
Este tipo de información se encuentra concentrada en la ecuación de Darcy-
Weisbach para �ujo laminar.
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 81
Para determinar la pérdida de presión necesitamos la ecuación de Bernoul-
li y la conservación de la masa pues tenemos una condición dinámica del
problema. Para los puntos 1 y 2 podemos escribir
B2
�g
=
B1
�g
� hf ;
P2
�g
+
1
2
v22
g
+ h2 =
P1
�g
+
1
2
v21
g
+ h1 � hf ;
dado que v1 = 0 y v2 = Q=A2 = 3:32 ft obtenemos que la pérdida de presión
está dada por
hf = h1 � h2 �
1
2
v22
g
;
= 1;66 ft:
A partir de la ecuación de Darcy-Weisbach para �ujo laminar podemos de-
terminar �
hf =
64
Re
Lf
d
v2
2g
;
=
32�
�dv
v2
g
;
=
32�
v
d
; =)
� =

dhf
32v
;
= 1:45� 10�5 slug
ft � s �
14:6 kg
1 slug
� 3:3ft
1m
;
= 6: 986 1� 10�4 kg
m � s:
Por el orden de magnitud de � se puede comparar a este �uido con la gasolina
o algún derivado ligero del petróleo. Podemos veri�car si realmente el �ujo
es laminar usando este valor en la expresión para el número de Reynolds
Re =
�vd
�
;
=
�
1:81 slug
ft3
� �
3:32ft
s
�
(4� 10�3ft)
1;45� 10�5 slug
ft�s
;
= 1657
82 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
por lo que el �ujo se puede considerar laminar.
4. Un sifón de 50 mm de diámetro descarga aceite (peso especí�co de

 = 8:20 N=m3) desde un depósito como se muestra en la �gura. La pérdida
de carga entre el punto 1 y el punto 2 es de hf12 = 1:5m y desde el punto 2
al 3 de hf23 = 2:40m: Determinar el caudal de descarga de aceite a través del
sifón y la presión del aceite en el punto 2.
1
2
3
2m
5m
Solución
Para determinar el caudal de descarga en el punto 3 sólo es necesario
conocer la velocidad de salida del aceite en ese punto, para esto podemos
usar la ecuación de Bernoulli tomando en cuenta que existen pérdidas de
energía por fricción con el tubo de descarga (observemos la aditividad de las
pérdidas de carga, esto es, (hf13 = hf12 + hf23);
B3
=
B1
� hf ;
P3
+
v23
2g
+ h3 =
P1
+
v21
2g
+ h1 � hf13 ;
por las condiciones del problema P1 = P3 = Patm; v1 = 0 (pues el �uido está
en reposo) y si tomamos como referencia para medir las alturas el punto 3,
tendremos h1 = 5m y h3 = 0: Usando esta información podemos escribir
nuevamente la ecuación de Bernoulli
v23
2g
= 5� 3:9;
v3 =
p
2(1;1)(9:8);
= 4;64
m
s
;
5.2. PÉRDIDA DE CARGA Y EL COEFICIENTE DE FRICCIÓN 83
de aquí que el caudal de salida es de Q = Av = (4;64) � (0;05)
2
4
= 9;1�10�3m3
s
.
La determinación de la presión en el punto 2 la hacemos de la misma
manera, esto es, aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2
B2
=
B1
� hf ;
P2
+
v22
2g
+ h2 =
P1
+
v21
2g
+ h1 � hf2 ;
P2
+
v23
2g
+ 2 =
P1
� 1:5;
P2 = P1 � 
�
3:5 +
v23
2g
�
;
= 1:01325� 105 � 8:2
 
3:5 +
(13:208)2
2 (9:8)
!
P2 = 1:012� 105Pa:
5. (hf como carga mecánicas)
A través de una turbina circulan 0:214m3=s de agua, y las presiones en
A y B son; 147:5 kPa y �34:5 kPa respectivamente. Determinar la potencia
comunicada por la corriente de agua a la turbina si los diámetros de las
tuberías son �A = 300mm y �B = 600mm:
A
B
Turbina
1m
A
B
Solución
Para el cálculo de la potencia debemos recordar que cada uno de los
terminos en la ecuación de Benoulli representan
Energ�{a
unidad de vol
;
84 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
de aquí que la potencia (energía/tiempo) está dada por P =Q
h; en efecto,
sabemos que la pérdida de carga está dada por
hb =
�P
;
por lo tanto el trabajo por unidad de volumen hecho por el agua sobre la
bomba está dado por:

hb =
Wb
V
;
de aquí que la potencia comunicada a la bomba resulta
P = Wb
t
;
=
V
t

hb;
= Q
hb:
Primero aplicamos la ecuación de Bernoulli a los puntos A y B (el plano
de referencia en B) la turbina es una carga para el agua A! B, por lo cual
debemos escribir
BB = BA � 
hturbina;
hturbina =
PA
+
v2300
2g
+ hA �
�
PB
+
v2600
2g
�
; (5.11)
las velocidades las podemos determinar a partir de la conservación de la masa
Q = AAvA = ABvB;
vA =
4Q
��2a
;
= 3:03
m
s
;
vB =
4Q
��2B
;
= 0:758
m
s
:
El peso especí�co del agua es 
 = 9:8 � 103 N
m3
(a 20�C) : Sustituimos en la
ecuación (5.11)
147:5� 103
9:8� 103 +
3:032
2 (9:8)
+ 1� hturbina =
�34:5� 103
9:8� 103 +
0:7582
2 (9:8)
;
hturbina = 20:01m:
5.3. DIAGRAMA DE MOODY 85
De aquí que la potencia en nuestro caso es:
P = Q
hturbina;
=
�
9:8� 103
�
(0:214) (20:01);
= 41:2 kW:
5.3. Diagrama de Moody
El diagrama de Moody nos permite determinar los factores de fricción
para el �ujo de los �uidos en tuberías. El objetivo inicial de Moody al cons-
truir su diagrama fué el de proporcionar a los ingenieros que hacían aplica-
ciones en hidráulica, medios simples de estimar el factor de fricción necesario
para calcular la pérdida de presión en tubos nuevos y limpios y en conductos
cerrados en los cuales se transportan �uidos en estado estacionario.
En el estudio del �ujo sobre tuberías, el factor de fricción denotado por
f es el coe�ciente en la fórmula de Darcy (5.9)
hf = f
L
d
v2
2g
:
El factor f es una cantidad adimensional, y a velocidades ordinarias es
una función de sólo otras dos cantidades adimensionales:
i) La rugosidad relativa "r = "=d;
ii) El número de Reynolds
El diagrama de Moody (ver la �gura (??))nos permite determinar los
valores numéricos de f como función de f = f
�
"
d
; Re
�
:
La rugosidad relativa es un número que se obtiene por experimentación y
los resultados para los conductos comerciales más comunes se presentan en
86 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
la siguiente tabla (ver [1])
Material Condición " (ft) Incertidumbre%
Acero Inoxidable 7� 10�6 �50
Comercial nuevo 1:5� 10�4 �30
Estriado 1�10�2 �70
Hierro Fundido nuevo 8:5� 10�4 �50
Forjado nuevo 1:5� 10�4 �20
Galvanizado 5� 10�4 �40
Fundido asfáltico 4� 10�4 �50
Latón Laminado 7� 10�6 �50
Plástico Tubo laminado 5� 10�6 �60
Hormigón Rugoso 7� 10�3 �50
Mostraremos con algunos ejemplos el uso del diagrama de Moody.
Ejemplo
1. Calcule la pérdida de carga y la caída de presión (�P = 
hf ) en un
tubo horizontal de 6 in (0:5ft) de diámetro y de 200 ft de longitud de hierro
fundido asfáltico, por el que circula agua a una velocidad de 6 ft/s.
Solución
En este ejemplo interesa calcular la caída de presión debida a la elección
que se ha hecho del tubo para transportar el agua a 200 ft de distancia. Para
determinar el factor de fricción f debemos comocer el número de Reynolds
y la rugosidad relativa.
En la tabla de Moody en la parte superior Moody introdujo los valores
de los productos vd para el aire y el agua, pero en nuestro caso podemos
determinarlos a partir de los datos del problema
Re =
�vd
�
;
=
�
103 kg
m3
� �
6ft
s
� 1m
3;3 ft
��
0:5ft� 1m
3;3ft
�
1� 10�3 kg
m s
;
= 275482
este número nos indica que el �ujo es turbulento
5.3. DIAGRAMA DE MOODY 87
De la tabla de rugosidades determinamos
"r =
"
d
;
=
0:0004 ft
0:5 ft
;
= 8� 10�4:
Usando el diagrama de Moody leemos el factor de fricción f = 0:02, por
lo que hf resulta
hf = f
L
d
v2
2g
;
= 4;5 ft
y la caída de presión
�P = 
hf ;
= �ghf = 280
lb
ft2
;
= 280
lb
ft2
� 1kg
2:2lb
� (3:3ft)
2
1m2
;
= 1386
kg
m2
:
2. Un �ujo de aceite con densidadde � = 900 kg=m3 y una viscosidad
cinemática de 10�5m2=s; circula con un caudal de 0.2 m3=s a través de un
tubo de hierro fundido de 200 mm de diámetro y 500 m de longitud. Deter-
mine (a) la pérdida de carga y (b) la caída de presión si el tubo tiene una
pendiente 10� en el sentido del �ujo.
Solución
La velocidad media del �uido está dada por
v =
Q
A
;
=
0:2m
3
s
� (0:1m)2
;
= 6:4
m
s
:
88 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
Por lo tanto el número de Reynolds es
Re =
vd
�
;
= 128� 103:
Para el hierro fundido " = 0:26mm; por lo que "=d = 0:0013; y del
diagrama de Moody tenemos f � 0:0225; por lo que la pérdidad de carga es
hf = f
L
d
v2
2g
;
= 117m:
Para tubos inclinados tenemos
hf =
�P
�g
+�h;
= lam1 � lam2;
�P = 
 (hf ��h) ;
= 
 (hf � L sin 10�) ;
= 2:65� 105Pa;
= 2:65 atm:
3. Determinar la pérdida de carga en un tramo de tubería nueva de hie-
rro fundido (" = 8:5� 10�4ft) de 30 cm de diámetro interior y 1000 m de
longitud, cuando:
(a) �uye agua a 15�C a una velocidad de 1:5m=s y
(b) cuando circula un aceite con viscosidad � = 1:13� 10�6 m2=s y a la
misma velocidad.
Solución
(a) Primero debemos determinar el número de Reynolds para saber en
que régimen se encuentra (laminar o turbulento)
Re =
vd
�
;
=
�
1:5m
s
�
(0:3m)�
1:13� 10�6m2
s
� ;
= 3:98� 105;
5.3. DIAGRAMA DE MOODY 89
por lo tanto se encuentra en régimen turbulento. El coe�ciente de rugosidad
relativa es
"r =
"
d
;
=
�
8:5� 10�4ft� 1m
3:3ft
�
0:3m
;
= 0:00085
usando el diagrama de Moody para estos números tenemos que el factor de
fricción está dado por f = 0:022; de aquí que la pérdida de carga la podemos
determinar usando la fórmula de Darcy-Weisbach
hf = f
L
d
v2
2g
;
= (0:022)
103m
0:3m
1:52m
2
s2
2
�
9:8m
s2
� ;
= 8:4184 m:
4. Se va a regar un jardín con una manguera de 100ft, y 5/8 in de
diámetro y una rugosidad de 0.011 in. ¿Cuál será el caudal si la presión
manométrica en la entrada es de 60 lbf/in2?1 Si la manguera no llega a todo
el jardín ¿Cuál es la máxima distancia a la que puede llegar el agua? (suponga
�ujo laminar)
Solución
El problema consiste en determinar la velocidad de salida del agua. Si
suponemos que no hay diferencias de altura signi�cativas entre la llave de
suministro de agua podemos usar la ecuación de Bernoulli para determinar
la pérdida de carga por la fricción interna en la manguera
Pe
+
v2e
2g
+ he =
Ps
+
v2s
2g
+ hs � hf ;
como el diámetro de la manguera no cambia ve = vs y dado que la diferencia
de alturas no es signi�cativa entonces
hf =
Ps � Pe
;
11lbf = (1lb)
�
9:8m=s2
�
t 4:44N
90 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
ahora usando la ecuación de Darcy tenemos
Ps � Pe
= f
L
d
v2
2g
=)
=
64
Re
L
d
v2
2g
;
=
64�
�vd
L
d
v2
2g
;
=
64�
�
L
d2
v
2g
;
v = 2d2
(Ps � Pe)
64�L
= 2 (0:015)2
105 � 0:43� 105
64 (10�3) (30:3)
;
v = 13:227
m
s
:
Observación:
Dado que el �ujo es laminar podemos también suponer que Re = 2300; y
calcular la velocidad como
v2 =
Ps � Pe
�
(2300) d
32 L
;
=
s
2;3 (1� 0:43)� 108
32 (103) (30:3)
;
= 11:628 m=s;
que es aproximadamente igual al resultado anterior. Debemos tener presente
que este debería ser el caso y que coincidieran sería realmente sorprendente,
pues las fronteras entre turbulencia y laminar sólo están aproximadamente
de�nidas. Una ventaja de esta segunda manera de calcular la velocidad es
eliminar la ambigüedad en la interpretación de la distancia en la expresión del
número de Reynolds (�vd=�) ; que en nuestro primer cálculo interpretamos
como arbitrariamente como diámetro y no como la longitud de la manguera.
Ahora, la máxima distancia a la que puede llegar el agua, corresponde a
5.3. DIAGRAMA DE MOODY 91
un ángulo de salida de 45� que es el alcance en un tiro parábólico
R =
v2o
g
sin (2�) ;
=
v2o
g
;
=
(13:227m
s
)2
9:8m
s2
;
;
= 17:85m
de aquí que la distancia máxima que podemos alcanzar en el jardín es de: 17:
85m+ 100ft� 1m=3:3ft = 48:15m:
5. Un aceite de densidad relativa2 �r = 0:75
�
�r = �=�agua
�
; es bombeado
desde un depósito por encima de una colina a través de una tubería de 60:
96cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más elevado de la
línea de 17:55 N/cm2: La parte superior de la tubería está a 76.25 m sobre
la supe�cie libre del depósito y el caudal de aceite bombeado es de 624 l/s.
Si la pérdida de carga desde el depósito hasta la cima es de 4.79 m ¿Qué
potencia debe suministrar la bomba al líquido?3
Solución
2Si 
 = �g; el dato usual en ingeniería es la densidad relativa �r = �=�agua; entonces el
peso especí�co se puede escribir como 
 = �r�aguag; dado que �agua = 1gr=cm
3; 
 = �rg:
31hp = 746W
92 CAPÍTULO 5. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS
Capítulo 6
Flujo en Canales Abiertos
6.1. Generalidades sobre el �ujo en canales
abiertos
Se llama �ujo en un canal abierto a un �ujo con una super�cie libre en
contacto con la atmósfera. El �ujo de canales abiertos tiene lugar cuando
los líquidos �uyen por la acción de la gravedad y solo están parcialmente
envueltos por un contorno sólido.
El problema general que se desea resolver sobre el �ujo en canales con-
siste en determinar el caudal y la profundidad del �ujo resultante a partir
del conocimiento de la geometría del canal y la rugosidad de su pared. El
número de Reynolds en canales abiertos usualmente es grande por lo que el
�ujo normalmente es turbulento y no estacionario. Aquí sólo consideraremos
los casos más simples de �ujo estacionario en canales rectos con geometrías
simples.
El �ujo en canales a diferencia del �ujo en tuberías usualmente presenta
un conjunto de velocidades diferentes en el �ujo como se muestra en la si-
guiente, �gura, donde la región en cada línea contínua representa una región
93
94 CAPÍTULO 6. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
de velocidad aproximadamente constante.
B
1
2 3
4
v vv
v
p
A
En nuestro caso consideraremos normalmente que el �ujo volumétrico
es estacionario y constante a lo largo del canal, Q = Av = cte: donde v
representa la velocidad media y A es el área de la sección transversal del
canal por donde circula el líquido.
Existe una simpli�cación más debido a que la presión externa es la at-
mosférica, la ecuación de Bernoulli para el �ujo en el canal está dada por
v1
2g
+ h1 =
v2
2g
+ h2 � hfc: (6.1)
En el caso del �ujo en canales la pérdida de carga se considera que es
aproximadamente igual a
hfc = f
L
Dh
v2med
2g
;
donde el diámetro hidráulico está dado por Dh = 4Rh = 4Ap ; donde A rep-
resenta el área de la sección transversal por la cual circula el �uido y P el
périmetro del área del canal que tiene contacto con el líquido (perímetro
mojado) y Rh es llamado el radio hidráulico.
El perímetro mojado, ver �gura (6.1) será p = 2a+ b, el área A = ab y el
diámetro hidráulico Dh = 4ab= (2a+ b)
Dado que en general la forma de los canales es bastante irregular se acos-
6.1. GENERALIDADES SOBRE EL FLUJO EN CANALES ABIERTOS95
tumbra usar la aproximación del radio hidráulico
Rh =
1
4
Dh
=
A
P
:
Una primera clasi�cación empírica del �ujo en canales se hace de�niendo
el tipo de �ujo en el canal según la variación del calado (distancia vertical
del punto más bajo del canal a la super�cie libre). El caso más simple y más
estudiado es el de movimiento uniforme (U) donde el calado permanece con-
stante y claramente corresponde a un régimen estacionario. Si las condiciones
del canal cambian; profundidad, inclinación, obstrucciones, entonces se dice
que el régimen es variado.
1. Flujo uniforme (U) el calado y la pendiente son constantes.
2. Movimiento Variado (MV)
(a)Movimiento gradualmente variado (GV) si la aproximación unidimen-
sional es todavía válida.
(b) Movimiento rápidamente variado (RV) multidimensional.
GV
U
RV
GV
RV
96 CAPÍTULO 6. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Una clasi�cación más formal del �ujo en canales se basa en el uso del
número adimensional de Froude (Fr)
Fr =
velocidad de corriente
velocidad de onda super�cial
=
v
p
yg
;
donde y representa el calado. En base a este número se establecenlas sigu-
ientes convenciones empíricas:
Fr < 1; decimos que el régimen de movimiento es lento.
Fr = 1; régimen crítico
Fr > 1; régimen rápido
6.1.1. Flujo uniforme; fórmula de Chézy
El �ujo uniforme permanente es el tipo de �ujo fundamental que se consi-
dera en la hidráulica de canales abiertos, y normalmente se presenta en
canales largos con pendiente constante. En estos casos la profundidad del �u-
jo no cambia durante el intervalo de tiempo bajo consideración, la situación
es como se muestra en la siguiente �gura.
En estas condiciones el calado y y la velocidad vo son constantes y el
ángulo de inclinación so = sin � también. El ángulo � recibe en algunos casos
el nombre de ángulo de solera para el �ujo de bajada.
6.1. GENERALIDADES SOBRE EL FLUJO EN CANALES ABIERTOS97
A partir de la ecuación de Bernoulli para el �ujo en canales ecuación (3.4)
obtenemos una expresión para hfc
vo
2g
+ h1 =
vo
2g
+ h2 � hfc:
hfc = h1 � h2 = soL;
donde L representa la longitud del canal bajo estudio.
Nos interesa determinar la velocidad vo con la que se mueve el �uido al ba-
jar por el canal. Si consideramos que el �ujo está completamente desarrollado
podemos usar la fórmula de Darcy-Weisbach para el caso de canales
hfc = f
L
Dh
v2o
2g
;
usamos Dh = 4Rh = 4A=P para canales no circulares, sustituyendo esta
pérdida de carga en la ecuación de Bernoulli tenemos
f
L
4Rh
v2o
2g
= soL;
vo =
r
8g
f
Rhso;
=
r
8g
f
(Rhso)
1
2 :
Normalmente la cantidad
p
8g=f es constante para un canal de rugosidad
y forma dadas y normalmente se sustituye por una constante C de manera
que sólo quedan en la fórmula para la velocidad los factores de diseño e
inclinación del canal, esto es:
vo = C
p
Rhso =)
Q = AC
p
Rhso:
estas son las llamadas fórmulas de Chézy (Antoine Chézy 1769).
La constante C recibe el nombre de la coe�ciente de Chézy y normalmente
toma valores en el intervalo C 2 [30m1=2=s; 90m1=2=s]; donde toma el valor
de C = 30m1=2=s para canales pequeños y rugosos hasta C = 90m1=2=s para
grandes canales lisos.
Ejemplos
98 CAPÍTULO 6. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
1. Considere un canal recto de sección rectangular de 6 ft de anchura y 3
ft de altura y con una pendiente de 2�. El coe�ciente de fricción del canal es
de f = 0:022 Determine el caudal del movimiento uniforme en pies cúbicos
por segundo.
Solución
En este caso pordemos determinar el coe�ciente de Chézy, pues tenemos
el dato del coe�ciente de fricción
C =
r
8g
f
;
=
s
8 (32)
0;022
= 107:87
ft1=2
s
:
Por otra parte el radio hidráulico Rh = A=p
Rh =
A
p
;
=
18 ft2
12 ft
;
=
3
2
ft:
De aquí que el caudal del �ujo en movimiento uniforme es
Q =
�
18 ft2
��
107:87
ft1=2
s
�r
3
2
ft sin (2�);
Q = 444:38
ft3
s
:
Existe otro método para determinar el caudal y la velocidad del �uido y
es debido a Robert Manning (1889), en el cual se sustituye el parámetro de
Chézy por una versión aproximada debida a Manning, quién notó que podía
aproximar el parámetro de Chézy mediante una potencia del radio hidráulico
de manera que para movimiento uniforme el caudal estaría determinado por
Q =
�
n
AR2=3s1=2o ; (6.2)
6.2. GEOMETRÍA DEL CANAL 99
donde
� = 1 en SI
� = 1:418 unidades inglesas:
Debemos observar que el trabajo de Manning no representa una mejo-
ra sustancial al trabajo hecho por Chézy 150 años antes, pues simplemente
cambió el problema de medir f por el de medir n; además de que su aproxi-
mación es totalmente empírica y carece de argumentos teóricos para justi�car
el cambio.
Para que su trabajo fuese útil necesitó aportar una tabla de valores para
los coe�ciente de fricción n. A continuación mostramos algunos de estos val-
ores para los materiales más usuales actualmente y un ejemplo para ilustrar
el uso de la fórmula de Manning.
La siguiente tabla contiene los valores del factor n de Manning para los
materiales más usados cotidianamente en la construcción de canales:
Material del canal o tubería n
Asbesto cemento 0;01
Concreto liso 0:012
Concreto áspero 0:016
Acero galvanizado 0:014
Fierro fundido 0:013
Acero soldado sin revestimientos 0:014
Acero soldado con revestimiento 0:011
Plástico PVC 0:009
2. Considere un canal rectangular de paredes de concreto aspero sobre
una pendiente igual a so = 0:006. ¿Cuál es la anchura óptima para un caudal
de 100 ft3=s?
Solución.
Usar fórmula de Manning para el caudal en unidades inglesas.
6.2. Geometría del canal
6.2.1. Canal Trapezoidal
Aquí sólo consideraremos canales de sección transversal y ángulo de in-
clinación constantes, estos canales reciben el nombre de canales prismáticos.
100 CAPÍTULO 6. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
El trapecio es la forma mas común para canales con bancas en tierra y
sin recubrimiento, debido a que proveen las pendientes necesarias para la
estabilidad del �ujo.
ycot
w
b
y
El rectángulo y el triángulo son casos especiales del trapecio. Las difer-
entes geometrías se usan dependiendo de la dimensión de los canales (longitud
y volumen de �uido a transportar) y de los materiales disponibles para su
construcción.
Canales con lados verticales, de sección rectangular, por lo general se
utilizan para canales construidos con materiales estables, como mampostería,
roca, metal o madera. En cambio canales con la sección transversal triangular
solo se utilizan normalmente para pequeñas cunetas o a lo largo de carreteras
y trabajos de laboratorio.
El círculo es la sección más común para alcantarillas de tamaño pequeño y
mediano. Los elementos geométricos de una sección de canal son propiedades
que estarán de�nidas por completo por la geometría de la sección y la pro-
fundidad del �ujo del canal.
Estos elementos son muy importantes para el estudio de los �ujos en
canales abiertos y las expresiones mas características son las siguientes para
el caso del trapecio mostrado en la �gura:
Área
A = by + y2 cot �;
las variables importantes de un canal trapezoidal son fA; y; �g por lo
cual escribimos la base del canal en términos de estas variables
b =
A
y
� y cot �;
6.2. GEOMETRÍA DEL CANAL 101
Hacemos lo mismo para el perímetro mojado
p = 2w + b;
p = 2y
�
1 + cot2 �
�1=2
+ b;
p = 2y csc � +
A
y
� y cot �;
y para el radio hidráulico
Rh =
A
P
;
=
by + y2 cot �
2y csc � + b
:
Si deseamos minimizar el perímetro mojado debemos calcular dP=dy = 0;
d
dy
�
2y csc � +
A
y
� y cot �
�
= 0 =)
A = y2 (2 csc � � cot �) ;
y de esta manera el perímetro mojado mínimo está dado por
P = 2y (2 csc � � cot �) ;
y el correspondiente radio hidráulico
Rh =
y
2
;
por lo tanto el perímetro mojado mínimo se obtiene cuando el radio hidráulico
corresponde a la mitad del calado, y garantizar un perímetro mojado mínimo
signi�ca reducir al mínimo los efectos de fricción con las paredes del canal.
Como conclusión podemos a�rmar que la mejor sección transversal hidráuli-
ca para un canal abierto es la que tiene el menor perímetro mojado para una
sección transversal dada.
El cálculo anterior debe repetirse para las diferentes geometrías, triangu-
lares, circulares, rectangulares etc.
102 CAPÍTULO 6. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
6.2.2. Canal semicircular
Para el caso de un canal semicircular consideraremos que el �ujo ocupa
sólo una parte del canal como se muestra en la siguiente �gura:
R
Como en le caso anterior nos interesa calcular fA;P;RH ; DH ; Qg: Para
determinar el área usaremos que el área de una porción del círculo de radio
R y ángulo � está dada por A = 1
2
�R2:
Esto resulta de la integral
A =
Z �
0
Z R
0
�d�d�;
=
R2
2
�;
qur corresponde al área que se muesta en la siguiente �gura
q
R
Podemos determinar el área transversal por donde circula el �uido usando
trigonometría. Para esto es su�ciente considerar la siguiente �gura
R Rq
de donde podemos observar que el área del �uido más el área del triángulo
6.2. GEOMETRÍA DEL CANAL 103
cumplen
AT + Af =
1
2
R2� =)
Af =
1
2
R2� � At;
=
1
2
�
R2� �R22 sin �
2
cos
�
2
�
;
Af =
R2
2
(� � sin �) :
El perímetro mojado P = R�; por lo que el radio hidráulido esta dado
por
RH=
R (� � sin �)
2�
;
y el diámetro hidráulico en este caso está dado por
DH =
2R (� � sin �)
�
;
el cual es útil para determinar el coe�ciente de fricción f mediante la fórmula
de Darcy, observemos además que el calado en este caso está dado por
y = R
�
1� cos �
2
�
:
Finalmente
Q = CA
p
RH sin�;
= C
R2
2
(� � sin �)
r
R (� � sin �)
2�
sin�;
Q = CR
�
R (� � sin �)
2
�3=2r
sin�
�
c:q:d:
104 CAPÍTULO 6. FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Capítulo 7
Flujo de �uidos compresibles
Los gases tienes la capacidad de cambiar su volumen y su densi-
dad, esto es, la compresibilidad de un gas es mucho mayor que la
de un líquido.
En un gas, la experiencia ha mostrado que a pesar de tener una
gran compresibilidad, si su velocidad es pequeña comparada con
la velocidad del sonido en ese mismo gas, entonces puede conside-
rarse como incompresible.
Sin embargo cuando se estudian cambios a altas velocidades del
�ujo de gas en una tubería, o cuando el gas es arrastrado por el
movimiento de algún objeto a altas velocidades del gas en calma,
o el �ujo que acompaña la combustión, en todos estos casos los
cambios de densidad deben ser tomados en cuenta.
El estudio que haremos aquí estará limitado a gases ideales, isen-
trópicos, con capacidades calorí�cas constantes y con movimiento
unidimensional. En estos casos mostraremos que es posible obten-
er una descripción matemática del �ujo y sus consecuencias bási-
cas. Mediante estas ecuaciones podremos construir predicciones
sobre el comportamiento del �ujo libre y en toberas de geometría
variable.
105
106 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
7.1. La velocidad del sonido y el número de
Mach
En el caso de �uidos incompresibles sabemos que el número de Reynolds es
el parámetro dominante para caracterizar el �ujo del �uido como turbulento
o estacionario, de manera similar en el caso de �ujos compresibles, el número
de Mach es el parámetro conveniente que nos permite caracterizar los �ujos
de gases como compresibles o incompresibles.
El número de MachMa; es llamado así en honor del físico Austriaco Ernst
Mach (1838-1916), y está de�nido como el cociente de la velocidad actual del
�uido (o de un objeto en el �uido) entre la velocidad del sonido en ese mismo
�uido
Ma � vf
vs
;
si el número de Mach es tal queMa << 1, el �ujo se considera incompresible
y es su�ciente la dinámica de �uidos para describir y predecir su compor-
tamiento.
Debemos tener en cuenta que el número de Mach depende de la velocidad
del sonido en el medio en cuestión, por lo que el número de Mach de un avión
volando a velocidad constante tendría valores diferentes en distintos lugares
dependiendo de las propiedades termodinámicas del aire, por ejemplo, de la
temperatura del aire en cada lugar.
Los regímenes del �ujo frecuentemente están descritos en términos del
�ujo del número de Mach. El �ujo es llamado sónico cuando Ma = 1; sub-
sónico cuando Ma < 1; hipersónico cuando Ma >> 1 y transónico cuando
Ma � 1
7.2. Propiedades termodinámicas básicas
Existe un conjunto mínimo de cantidades y resultados básicos de gases
ideales que serán necesarios para el estudio del �ujo de �uidos. Las cantidades
relevantes básicamente están descritas por el siguiente conjunto
Varbas = fe; s; h; 
; Rg; T; P; �g ;
donde:
e representa la energía interna especí�ca (e � U=m)
7.3. GASES IDEALES 107
s representa la entropía
h la entalpía especí�ca h = H=m ( donde h = e+ pV )

 = cp=cv índice isentrópico
T; P; � representan la temperatura absoluta, la presión y la densidad
del gas en cuestión.
Rg representa la constante del gas particular que estemos considerando
Rg � R=Mgas
7.3. Gases Ideales
7.3.1. Ecuación de estado
Dado que estaremos mucho más interesados en las propiedades especí�cas
de las cantidades termodinámicas (es decir, la cantidad de interés por unidad
de masa X=m) comenzaremos por el volumen especí�co ve, de
� =
m
V
;
�
V
m
= 1;
�ve = 1:
La ecuación del gas ideal pV = nRT la escribiremos como (donde R
representa la constante universal de los gases)
p = �RgT;
donde hemos hecho los siguientes cambios:
pV = nRT;
p = �
n
m
RT;
= �
m
Mg
R
m
T;
p = �RgT c:q:d:
108 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
y hemos de�nido la constante del gas Rg por el cociente de la constante de
los gases entre el peso molecular (o masa molar) del gas
Rg =
R
Mg
7.3.2. Calores especí�cos
Primero recordaremos que la diferencia de calores especí�cos para un gas
ideal cumple:
Cp � Cv = nR;
o en forma equivalente
cp � cv =
n
m
R;
cp � cv = Rg: (7.1)
Esto puede mostrarse a partir de la primera ley, de la de�nición de ca-
pacidad calorí�ca a X constante: CX � (dQ=dT )X ; y del hecho experimental
para un gas ideal dU = CV dT (o de = cV dT )
De la primera ley tenemos
dQ = dU + pdV;
= CV dT + nRdT � V dp;�
dQ
dT
�
p
= CV + nR;
Cp � Cv = nR c:q:d:
Si llamamos 
 = cp=cv el índice isentrópico podemos escribir la ecuación
(7.1) de otras maneras que más adelante resultaran de utilidad:

 � 1 = Rg
cv
;
cv =
Rg

 � 1 ;
en forma análoga se puede mostrar que
cp =

 � 1Rg:
7.3. GASES IDEALES 109
7.3.3. Entalpía de un gas ideal
Para un gas ideal se cumple dh = cpdT; en efecto:
Sabemos que H = U + pV de aquí que
dH = dU + d (pV ) ;
= CvdT + nRdT;
= (Cv + nR) dT;
= CpdT;
dh = cpdT:
7.3.4. Procesos adiabáticos de un gas ideal
Mostraremos ahora que en el caso de procesos adiabáticos se cumple la
ecuación pV 
 = cte: Sabemos que para un proceso adiabático dQ = 0; por lo
que de la primera ley y de la ecuación de los gases ideales tenemos
dU = �pdV;
CvdT = �pdV ()
dT = �pdV
Cv
;
d (pV )
nR = �
pdV
Cv
;
dV
V
�
1
nR +
1
Cv
�
= � 1
nR
dp
p
;
Cp
Cv
dV
V
= �dp
p
()
ln (V 
) = ln p�1 + ln C;
ln (pV 
) = ln C ()
pV 
 = cte:
1. Para todos los gases fcp; cv; 
g varían con la temperatura, pero como
esta variación es usualmente moderada supondremos en nuestro caso
que son constantes. Como usualmente trabajaremos con aire, daremos
110 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
los valores asociados:
Mg 28:97 g=mol
Ra 287 m
2
s2 K
cp

�1Ra 1005
m2
s2 K
cv
1

�1Ra 718
m2
s2 K
7.3.5. Procesos isentrópicos de un gas ideal
Cuando una cierta cantidad de calor es suministrada a una sustancia a
través del contacto con una fuente a una temperatura absoluta T , el cambio
en la entropía dS está de�nido por
dS =
dQ
T
:
Es claro que cualquier sustancia aumentará su entropía al ser calentada
y la disminuirá al enfriarse. En el caso de un gas ideal podemos mostrar que
el cambio en la entropía está dado por
s2 � s1 = cp ln
T2
T1
�Rg ln
p2
p1
;
= cv ln
T2
T1
�Rg ln
�2
�1
:
Demostración.
De la de�nición de la entropía y de la primera ley tenemos:
TdS = dQ;
= dU + pdV;
= CvdT + d (pV )� V dp;
de aquí la entropía está dada por
dS = Cp
dT
T
� V
T
dP;
= Cpd (lnT )�
nR
P
dP;
ds = cpd (lnT )�Rg d (lnP ) ;
s2 � s1 = cp ln
T2
T2
�Rg ln
p2
p1
: c:q:d: (7.2)
7.3. GASES IDEALES 111
Si en esta última ecuación usamos la ecuación del gas ideal en la forma
p = �RgT y Rg = cp � cv tenemos
s2 � s1 = cp ln
T2
T1
� (cp � cv) ln
�2T2
�1T1
;
= cp ln
T2
T1
+ (cv � cp)
�
ln
�2
�1
+ ln
T2
T1
�
;
s2 � s1 = cv ln
T2
T1
�Rg ln
�2
�1
c:q:d: (7.3)
En el caso de procesos isentrópicos ds = 0; y las ecuaciones (7.2 y 7.3) nos
proporcionan relaciones entre presión y temperatura y presión y densidad, es
decir:
p2
p1
=
�
T2
T1
� 

�1
=
�
�2
�1
�
: (7.4)
En efecto:
Para un proceso isentrópico la ecuación (7.2) resulta
cp ln
T2
T2
= Rg ln
p2
p1
;
= (cp � cv) ln
p2
p1
;

 � 1 ln
T2
T2
= ln
p2
p1
()
p2
p1
=
�
T2
T1
� 

�1
;
la otra se muestra de manera análoga.
Ejemplo 1
Un gas de argón (RA = 208m2=s2K; 
A = 1:67) �uye a través de un tubo
de manera que sus condiciones iniciales son p1 = 1:7 MPa; �1 = 18 kg=m
3
y sus condición �nal es p2 = 248 kPa y T2 = 400 K: Estime
(a) la temperatura inicial,
(b) la densidad �nal,
(c) el cambio en la entalpía,
(d) el cambio en la entropía del gas
Solución
112 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
(a)Suponiendo que se trata de un gas ideal
T1 =
p1
�1Rg
;
=
1:7� 106
(18) (208)
;
= 454:06 K
(b)
�2 =
p2
RgT2
;
=
248� 103
(208) (400)
;
= 2:98 kg=m3
(c)
�h = cp�T;
=

 � 1Rg �T;
=
1:67
0:67
(208) (�54:06) ;
= �28027 J=kg
(d)
�s = s2 � s1 = cp ln
T2
T1
�Rg ln
p2
p1
;
= 518:44 ln
�
400
454:06
�
� (208) ln 248� 10
3
1:7� 106 ;
= 334:67
m2
s2K
La entropía se ha incrementado. Si no existió transferencia de calor es-
to indica que se llevó a cabo un proceso irreversible. Este ejemplo describe
correctamente el comportamiento real del argón cuando se mueve subsónica-
mente a través de un tubo con efectos friccionales importantes.
7.4. VELOCIDAD DEL SONIDO 113
7.4. Velocidad del sonido
Cualquier perturbación dentro un gas que produzca cambios de presión,
se propagará en todas direcciones como ondas longitudinales de compresión
que nosotros percibimos como sonido. La velocidad de propagación de la
onda es llamada la velocidad del sonido en ese gas, o velocidad sónica y es
considerada una propiedad termodinámica del gas.
Podemos determinar la velocidad de propagación del sonido vs como fun-
ción de las propiedades termodinámicas usuales del mismo, para un gas que
se encuentra en reposo y en el cual hemos inducido un cambio de presión en
algún punto del mismo, es decir, mostraremos que la velocidad del sonido
para un gas que se encuentre en reposo está dada por:
vs =
s
@p
@�
=
p

RgT :
Demostración
La idea central de la demostración se basa en la determinación de la
ecuación de onda para la presión p = p (x; t) ; en un gas a partir de:
La conservación de la masa
La segunda ley de Newton
Para esto nos basamos en el modelo simple de un gas con�nado en un
cilindro en el cual introducimos una variación en la presión mediante un
pistón de área A:
Ondas de Presión en una columna de gas
El razonamiento que se sigue para deducir la fórmula de la velocidad de
propagación del sonido en un gas, es muy semejante al de las ondas en una
barra elástica. El sonido es una onda elástica que se propaga en un gas debido
a las diferencias de presión.
114 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
Onda Longitudinal
Enrarecimiento
Compresión
Debido a la enorme compresibildad de los gases, cualquier �uctuación en
la presión implica naturalmente una �uctuación en la densidad del mismo.
Con el �n de simpli�car la descripción matemática del problema, consi-
deraremos que el gas se encuentra con�nado en un recipiente cilíndrico y a
una presión po y densidad �o en condiciones de equilibrio.
7.4.1. Conservación de la masa
Al variar la presión en una de las tapas, se produce una variación en la
densidad del gas (aumento de la densidad) que se propaga a lo largo del
mismo, un elemento de volumen en condiciones de deformación contiene una
cantidad de masa dada por
�oAdx = �A(dx� d�)
�o = �
�
1� @�
@x
�
; (7.5)
donde hemos usado el principio de conservación de la masa.
La ecuación (7.5) nos permite calcular la densidad en estado de deforma-
ción
� =
�o�
1� @�
@x
�
= �o
�
1� @�
@x
��1
; (7.6)
como en general las deformaciones por unidad de longitud son pequeñas
(@�=@x << 1) podemos aproximar (7.6) mediante una expansión en serie de
Taylor por
�
1� @�
@x
��1
= 1 + @�
@x
lo que nos permite escribir la densidad en
estado deformado por
� = �o
�
1 +
@�
@x
�
: (7.7)
7.4. VELOCIDAD DEL SONIDO 115
Para describir las variaciones de presión a lo largo de la columna de gas
usamos p = p (�), a primer orden podemos escribir (pues consideramos que
las variaciones de densidad en el gas son pequeñas), es decir,
p = po + (�� �o)
@p
@�
j�=�o
= po + (�� �o)
K
�o
; (7.8)
donde la cantidad K � �o
�
@p
@�
�
�o
; es llamada módulo de elasticidad de
volumen y es el recíproco del módulo de compresibilidad isotérmica k =
� 1
V
�
@V
@p
�
�
.
El símbolo
�
@p
@�
�
�o
, representa la variación de la presión cuando �o es
constante. La ecuación (7.8) representa el equivalente a la ley de Hooke co-
rrespondiente al caso de �uidos.
Usando (7.8 y 7.7) podemos escribir la ecuación de campo para la presión
p = po + �o
�
1 +
@�
@x
� 1
�
K
�o
p = po +K
@�
@x
)
@p
@x
= K
@2�
@x2
: (7.9)
Segunda ley de Newton La ecuación de onda correspondiente a la de-
formación (�) producida por las variaciones de presión la determinamos �-
nalmente a partir de las condiciones dinámicas. Las fuerzas que provocan la
deformación están dadas por F = ma) dF = a dm = A dp por lo que
@2�
@t2
(�oAdx) = Adp)
�o
@2�
@t2
=
@p
@x
;
sustituyendo la ecuación (7.9) obtenemos la ecuación de onda para la propa-
gación de la presión
@2�
@x2
=
�o
K
@2�
@t2
(7.10)
116 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
de donde podemos leer directamente la velocidad de propagación de la onda
de presión en una columna de gas
vs =
s
K
�o
; o bien (7.11)
vs =
s
@p
@�
: (7.12)
Aún debemos tener en cuenta que la evaluación de esta derivada requiere
que usemos las condiciones particulares del proceso termodinámico que nos
interesa y es en el cual se lleva a cabo el proceso de transmisión de la onda
acústica a lo largo del gas ideal, y este proceso es S = cte: (isentrópico).
Con estas hipótesis y usando las ecuaciones de un gas ideal en un proceso
isentrópico tenemos:
p2
p1
=
�
T2
T1
� 

�1
=
�
�2
�1
�
()
T

�1 = c�
 =)
p = �Rg c�

�1;�
@p
@�
�
s
= 
Rgc�

�1;�
@p
@�
�
s
= 
RgT;
así �nalmente la velocidad del sonido en un gas ideal en estado estacionario,
está determinada por la expresión
vs =
s
@p
@�
=
p

RgT c:q:d:
7.4.2. Flujo isentrópico estacionario
Podemos escribir las relaciones
p2
p1
=
�
T2
T1
� 

�1
=
�
�2
�1
�
; (7.13)
7.4. VELOCIDAD DEL SONIDO 117
en términos del número de Mach, lo que nos permitirá decidir rápidamente
si el �ujo del gas en cuestión podemos considerarlo como incompresible o
compresible.
En lo que sigue mostraremos que
po
p
=
�
To
T
� 

�1
=
�
1 +
1
2
(
 � 1) M 2a
� 

�1
; y
�o
�
=
�
To
T
� 1

�1
=
�
1 +
1
2
(
 � 1) M 2a
� 1

�1
;
las cantidades po y �o representan los valores de la presión y la densidad
cuando el �ujo alcanza el reposo, de esta manera se obseva rápidamente que
cuando el valor del número de Mach es despreciable (vf << vsf ) el �uido
puede considerarse incompresible (�o = �) :
Una demostración de estas relaciones puede obtenerse a partir de la
ecuación de Bernoulli en términos de la entalpía del sistema. Para esto
recordemos que
TdS = dQ = dU + pdV;
y dado que la entalpía está de�nida por H = U + PV tenemos
dH = dU + pdV + V dp;
dU = dH � (pdV + V dp) )
TdS = dH � V dp;
Tds = dh� dp
�
;
así para un proceso isentrópico tenemos
dh =
dp
�
:
Si consideramos el �ujo de un gas a lo largo de una tubería, podemos
ignorar las diferencias de altura ya que el peso del gas no es signi�cativo, en
este caso la ecuación de Bernoulli queda como:
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22 = cte:
P
�
+
1
2
v2 = cte:
118 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
Podemos estimar el valor de la constante cuando el �uido alcanza el reposo
adiabáticamente, y llamaremos a este valor ho; por lo que
h+
1
2
v2 = ho: (7.14)
Ahora para un gas perfecto la entalpía está dada por h = cpT por lo que la
ecuación (7.14) resulta
cpT +
1
2
v2 = cpTo;
adimensionando esta ecuación tenemos
1 +
v2
2cpT
=
To
T
; (7.15)
dado que
cpT =
cp
cp � cv
RgT;
=

RgT

 � 1 ;
=
v2s

 � 1 ;
entonces podemos escribir la ecuación (7.15) como
To
T
= 1 +
v2
2v2s
(
 � 1) ;
To
T
= 1 +
1
2
(
 � 1) M2a =)
T =
To
1 + 1
2
(
 � 1) M2a
=)
T � =
2T0

 + 1
:
Aquí T � representa la temperatura crítica, es decir, la temperatura cuando
Ma = 1: En la siguiente grá�ca mostramos el aumento de la temperatura en
el aire (
 = 1:4) cuando el número de Mach Ma 2 [0; 2]: Los aumentos en la
7.4. VELOCIDAD DEL SONIDO 119
presión y la densidad tienen comportamientos similares.
Finalmente de las ecuaciones (7.13) tenemos:
po
p
=
�
To
T
� 

�1
;
po
p
=
�
1 +
1
2
(
 � 1) M 2a
� 

�1
; y
�o
�
=
�
To
T
� 1

�1
�o
�
=
�
1 +
12
(
 � 1) M 2a
� 1

�1
c:q:d:
y podemos determinar el número de Mach en las diferentes situaciones de
densidad, presión y temperatura en un proceso isentrópico por:
M2a =
8>>>><>>>>:
2

�1
�
To
T
� 1
�
2

�1
��
po
p
� 
�1

 � 1
�
2

�1
��
�o
�
�
�1
� 1
� (7.16)
Ejemplo
Aire �uye adiabáticamente a través de un ducto recto en cual se hacen
mediciones en 2 puntos. En el punto 1 la velocidad es de 240 m/s, con una
temperatura T1 = 320 K y una presión p1 = 170 kPa: (a) Calcule en el
punto 1 fTo; po; �o;Mag; (b) fVm�ax; V �(velocidad crítica)g . Y en el punto 2
120 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
medimos V2 = 290 m=s; p2 = 135 kPa; (c)¿Cuál es la presión de reposo (o
de estancamiento) p02?
Solución
Lo primero que debemos tener presente es que el �ujo es adiabático,
no isentrópico, por lo que las fórmulas que acabamos de deducir sólo son
aplicables a estados de equilibrio, es decir para determinar los valores de
estancamiento o cuando se alcanza el reposo fTo; po; �og:
A partir de la ecuación de la energía de Bernoulli tenemos:
T01 = T1 +
v21
2cp
;
= 349 K;
a partir de esto podemos determinar el número de Mach y por lo tanto el
resto de las cantidades que caracterizan el �ujo del �uido:
Ma =
s
2

 � 1
�
T01
T
� 1
�
;
= 0:67 =)
p01 = p1
�
1 +
1
2
(
 � 1) M 2a
� 

�1
;
= 230 kPa;
�01 = �
�
1 +
1
2
(
 � 1) M 2a
� 1

�1
;
=
p01
RgT01
;
= 2:29 kg=m3:
(b) Velocidades máxima (Vm�ax) y velocidad crítica (V �) : Estas velocidades
están relacionadas con la temperatura de estancamiento, de la ecuación de
Bernoulli sabemos
v2
2cp
= To � T;
así que la velocidad será máxima en el punto de estancamiento v2 = 2cpTo =)
vm�ax =
p
2cpTo;
= 837 m=s;
7.4. VELOCIDAD DEL SONIDO 121
y la velocidad crítica se alcanza cuando la velocidad de �ujo del aire es
aproximadamente igual a la velocidad del sonido en el gas, por lo que
v� =
p

RgT �;
=
r
2

 + 1
RgT0
= 342 m=s:
En el segundo punto, la temperatura es desconocida, pero dado que el �ujo es
adiabático la temperatura de estancamiento debe ser constante T02 = T01 =
349 K; por lo que
T2 = T02 �
v22
2cp
;
= 307 K
(c) Para determinar la presión de estancamiento en el punto 2 consideramos
que el proceso es isentrópico y por lo tanto
p02 = p2
�
T02
T2
� 

�1
;
= 211 kPa:
En este ejemplo hemos determinado las propiedades termodinámicas del
gas en diferentes puntos de estancamiento (o reposo) y las velocidades máx-
ima y crítica. Podemos hacernos la pregunta si es su�ciente con estas canti-
dades para predecir el comportamiento dinámico del gas.
En lo que sigue estudiaremos el movimiento del gas en ductos con geometría
variable, mediante toberas y difusores, es decir, trataremos de cuanti�car los
efectos de la geometría de los tubos en el �ujo del gas que �uye a través de
ellos, consideraremos sólo el caso de la aproximación unidimensional y en-
contraremos resultados sorprendentes para �ujos subsónicos y supersónicos.
Entenderemos por tobera el elemento físico cuya función es transformar
la entalpía de un �uido en energía cinética de un modo e�ciente y llamaremos
difusor al elemento cuya función es transformar la energía cinética en presión
(o entalpía) [[5]].
La caracterización como tobera o difusor dependen de la velocidad del
�ujo, así para �ujo subsónico la tobera es un elemento convergente, para
122 CAPÍTULO 7. FLUJO DE FLUIDOS COMPRESIBLES
garantizar el aumento en la velocidad del �ujo. En el caso de �ujo supersónico
deberá ser un elemento divergente.
El caso del difusor es similar, para el �ujo subsónico deseamos aumentar
la presión, por lo que debemos aumentar el área, es decir la sección será
divergente y contraria en el caso supersónico. Así que no basta la geometría
del elemento para caracterizarlo como tobera o difusor, se requiere conocer
el número Ma del �uido.
Apéndice A
Diagrama de Moody
Existe más de una versión del diagrama de Moody para determinar el
factor de fricción, nosotros mostramos aquí la más usual.
123
124 APÉNDICE A. DIAGRAMA DE MOODY
Apéndice B
Tablas de densidades y pesos
especí�cos
B.1. Líquidos
Líquido Densidad � Peso especí�co 
gr/cm3 N/m3
Agua destilada 1.00 9.8
Agua de mar 1.02 10.06
Gasolina 0.68 6.66
Alcohol etílico 0.78 7.64
Acetona 0.79 7.74
Petróleo 0.80 7.84
Leche 1.03 10.1
Cloroformo 1.47 14.48
Sangre 1.48-1.60 14.5-15.68
125
126APÉNDICE B. TABLAS DE DENSIDADES Y PESOS ESPECÍFICOS
B.2. Gases
Gas Densidad � Peso especí�co 
kg
m3
N
m3
Hidrógeno 0.089 0.872
Helio 0.178 1.744
Metano 0.717 7.027
Nitrógeno 1.25 12.25
Aire 1.293 12.671
Oxígeno 1.429 14.004
Dióxido de Carbono 1.6 15.68
Argón 1.784 17.483
Propano 1.83 17.934
Butano 2.6 25.48
Apéndice C
Unidades de fuerza
equivalencias
Newton Kilogramo fuerza libra fuerza
1N 1kg m
s2
0.101kp 0.224lbf
1kp 9.8N 1 2.204
1lbf 4.44N 0.453kp 1
127
128 APÉNDICE C. UNIDADES DE FUERZA EQUIVALENCIAS
Bibliografía
[1] Frank M. White Mecánica de Fluidos. Mc Graw Hill (2003)
[2] Ranald V. Giles, Jack B. Evett, Cheng Liu. Shaum Mecánica de los Flu-
idos e Hidráulica. Mc. Graw Hill (2003)
[3] http://mecanica�uidos7mo.blogspot.mx/2008/04/�ujo-en-canales-
abiertos.html
[4] Ven Te Chow. Hidráulica de Canales Abiertos Mc. Graw Hill (1994).
[5] C. Gerardelli (2007) https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/2/ME33A/1/
129