Cap2_Límite y Continuidad

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Limite y continuidad 
 97
Capítulo 2 
 
 
LÍMITE 
 
 
 
I. LÍMITE FINITO 
 
 
Introducción: Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo ),( ba , salvo 
quizá en ),(
0
bax ∈ . Vamos a estudiar ahora cómo se comporta )(xf cuando x se acerca a 
0
x , independientemente de lo que valga f en 
0
x . 
 
 
Definición: Sea f una función definida en todos los puntos del intervalo ),( ba , salvo quizá 
en ),(
0
bax ∈ . Decimos que )(xf tiene límite L cuando x se acerca a 
0
x (notándolo 
Lxflim
xx
=
→
)(
0
 ) ⇔ εδεδδδε <−⇒<−<=>∃>∀ Lxfxx )(0/))((00
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Probemos el siguiente límite por definición: 523
1
=+
→
xlim
x
 
Dado 0>ε buscamos 0>δ tal que si δ<−1x , entonces: 
ε<−=−=−+ 13335)23( xxx 
Por lo tanto, tomando 
3
ε
δ ≤ resulta que si δ<−< 10 x , entonces 
ε
ε
δ =≤<−=−=−+=−
3
3313335)23()( xxxLxf 
como queríamos demostrar. 
 
Limite y continuidad 
 98
Observemos que si 10.0=ε entonces 3̂0.0=δ y si 01.0=ε entonces 3̂00.0=δ . 
Ejemplo 2: Utilizando la definición, probar el siguiente límite: 42
2
=
→
xlim
x
 
Dado 0>ε buscamos 0>δ tal que si δ<− 2x , entonces: 
ε<+−=+−=− 22)2()2(42 xxxxx 
Aquí no se puede proceder como en el ejercicio anterior, ya que si despejamos nos quedaría 
2
2
+
<−
x
x
ε
 , con lo cual δ dependería de ε y de la variable x y eso no debe ocurrir. 
Luego, vamos a acotar: sea 1'=δ , entonces 
5233112112'2 <+<⇒<<⇒<−<−⇒<−⇒<− xxxxx δ 
Por lo tanto: 
55
25222
ε
δ
ε
ε ≤∴<−⇒<−<+− xxxx 
Pero no hay que olvidar que tomamos un valor particular de δ ( 'δ =1), por lo tanto: 
 






=
5
,1
ε
δ min 
Ahora probamos nuestra afirmación: sea δ >0 tal que δ<−< 20 x , entonces 
ε
ε
δ =≤<−<+−=−=−
5
5552224)(
2 xxxxLxf 
como queríamos demostrar. 
Observemos que si 10.0=ε entonces { } 2.02.0,1 == minδ 
 
 
 
Propiedades del límite 
 
1) Unicidad del límite: Sea f definida en todo ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ . 
Si 
1
)(
0
Lxflim
xx
=
→
 y 
2
)(
0
Lxflim
xx
=
→
 entonces 
21
LL = . 
 
2) Sea IRk∈ . Si Lxflim
xx
=
→
)(
0
 entonces se verifica: 
a) kxfxxkL <∧<−<>∃⇒< )(0/0
0
δδ . 
b) kxfxxkL >∧<−<>∃⇒> )(0/0
0
δδ . 
 
3) Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ y 
tales que: 
i) Lxhlimxglim
xxxx
==
→→
)()(
00
 
ii) 
0
),()()()( xxbaxxhxfxg ≠∈∀≤≤ 
Entonces Lxflim
xx
=
→
)(
0
. 
 
 
4) Sean f y g dos funciones definidas en ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ y tales que: 
 
Limite y continuidad 
 99
i) Lxglim
xx
=
→
)(
0
 
ii) δδ <−<∀=>∃
0
0:)()(/0 xxxxgxf 
Entonces Lxflim
xx
=
→
)(
0
. 
 
5) Si kxf =)( con k constante, entonces kklim
xx
=
→
0
. 
 
6) Sean f y g dos funciones definidas en ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ y tales que: 
1
)(
0
Lxflim
xx
=
→
 y 
2
)(
0
Lxglim
xx
=
→
. Entonces: 
a) 
21
)()(
0
LLxgxflim
xx
±=±
→
 
b) 
21
)()(
0
LLxgxflim
xx
⋅=⋅
→
 
c) 
2
1
2
)(
)(
0
0 L
L
xg
xf
limL
xx
=⇒≠
→
 
d) ⇒> 0
1
L i)
1
ln)(ln
0
Lxflim
xx
=
→
 
 ii) [ ] 2
0
1
)(
)(
Lxg
xx
Lxflim =
→
 
 
 
Ejemplo 3: Calculemos un límite utilizando álgebra de límites: 
[ ] ( ) =−+=−+=−+
→→→→→
)3ln(2)3ln(2)3ln(2 2
2
3
2
2
2
3
2
23
2
xlimxlimxlimxlimxxlim
xxxxx
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−+=−+=
→→→→→
3ln23ln2
2
2
2
3
2
2
2
3
2 xxxxx
limxlimxlimxlimxlim 
81ln28)32ln(22 23 =+=−+= 
 
 
Observación: En general, para determinar analíticamente el valor de un límite, si Dfx ∈
0
 y 
la función está definida por una única expresión algebraica, )()(
0
0
xfxflim
xx
=
→
. 
La justificación de este procedimiento se verá más adelante con la noción de continuidad. 
 
 
Ejemplo 4: Calcular el siguiente límite: 
3
)1(31
2)1(5)1(
31
25
22
1
−=
−−
−−+−
=
−
−+
−→ x
xx
lim
x
 
 
 
*Sugerimos resolver los problemas 1, 2. 3 y 4 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 100
COCIENTE DE INFINITÉSIMOS 
 
 
Definición: f es un infinitésimo para 0)(lim
0
0
=⇔=
→
xfxx
xx
 
 
 
Observación: A veces, en la resolución de ciertos límites, no podemos hacer el reemplazo 
directo pues llegamos a una expresión donde numerador y denominador tienden a cero 
(cociente de infinitésimos). 
En este caso se dice que el límite presenta una indeterminación del tipo 
0
0
 y es uno de los 
siete tipos de indeterminación que analizaremos. 
Es importante que quede claro que si se presenta una indeterminación, esto no quiere decir 
que el límite no exista, sino que ésta se debe “salvar”. 
 
 
Veremos ahora formas algebraicas de salvar indeterminaciones del tipo 
0
0
 y poder así calcular 
esos límites. 
 
 
1) Cociente de polinomios: Para salvar la indeterminación del tipo 
0
0
 en este caso, 
factorizamos ambos polinomios y simplificamos, calculando el límite del cociente de los 
polinomios que se obtienen de la división de )(xP y )(xQ por )(
0
xx − . Es decir: 
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
0)()(
00000
0
0
xN
xM
lim
xNxx
xMxx
lim
xQ
xP
limxQlimxPlim
xxxxxxxxxx →→→→→
=
−
−
=⇒== 
 
 
Ejemplo 5: Calculemos el siguiente límite: 
6
8
2
34
2 −+
−−
→ xx
xx
lim
x
 
Como encontramos una indeterminación del tipo 
0
0
, factorizamos ambos polinomios 
utilizando Ruffini. 
 
 1 -1 0 0 -8 Recordar: polinomio completo y ordenado 
2 2 2 4 8 
 1 1 2 4 0 
 
Entonces, )42()2(8 2334 +++−=−− xxxxxx 
 
 1 1 -6 Recordar: Por ser una función cuadrática podríamos factorizarla 
2 2 6 de la siguiente forma )()()(
21
xxxxaxf −−= , siendo 
1
x y 
2
x 
 1 3 0 sus raíces, las cuales se obtenían a través de la expresión: 
Limite y continuidad 
 101
 
a
acbb
x
2
4
2
2,1
−±−
= 
 
Entonces, )3()2(62 +−=−+ xxxx 
Concluimos que: 
4
3
42
)3()2(
)42()2(
6
8
23
2
23
2
2
34
2
=
+
+++
=
+−
+++−
=
−+
−−
→→→ x
xxx
lim
xx
xxxx
lim
xx
xx
lim
xxx
 
 
 
Observación: En el ejemplo anterior es lícito simplificar )2( −x ya que x tiende a 2 pero 
2≠x . La simplificación no altera el valor del límite a pesar de cambiar la función, ya que es 
válida la propiedad 4) del límite. 
 
 
Ejemplo 6: Calculemos el siguiente límite: 
61022
254
23
23
1 −−−
+++
−→ xxx
xxx
lim
x
 
Como queda una indeterminación del tipo 
0
0
, factorizamos ambos polinomios utilizando 
Ruffini. 
 
 1 4 5 2 2 -2 -10 -6 
-1 -1 -3 -2 -1 -2 4 6 
 1 3 2 0 2 -4 -6 0 
 
Luego, 
642
23
)642()1(
)23()1(
61022
254
2
2
1
2
2
1
23
23
1 −−
++
=
−−+
+++
=
−−−
+++
−→−→−→ xx
xx
lim
xxx
xxx
lim
xxx
xxx
lim
xxx
 
Al llegar a este punto observamos que nuevamente obtenemos una indeterminación del tipo 
0
0
. Volvemos a factorizar: 
 
8
1
62
2
)3)(1(2
)2)(1(
642
23
11
2
2
1
−=
−
+
=
−+
++
=
−−
++
−→−→−→ x
x
lim
xx
xx
lim
xx
xx
lim
xxx
 
 
 
Ejemplo 7: Calcular el siguiente límite: 
2
5
2
53
)2(
)53(
2
53
3
0
3
0
2
24
0
−=
−
+−
=
−
+−
=
−
+−
→→→ x
xx
lim
xx
xxx
lim
xx
xxx
lim
xxx
 
 
 
 
2) 1
sen
0
=
→ x
x
lim
x
 
La generalización de este resultado es: “Si 0)(
0
=
→
xflim
xx
, entonces 1
)(
)(sen
0
=
→ xf
xf
lim
xx
” que 
es muy útil para resolver límites con esa estructura. 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 102
Ejemplo 8: 
3
7
3
7
7
7sen
3
7sen
00
==
→→ x
x
lim
x
x
lim
xx
 
Ejemplo 9: 
3
2
3
2
3
3sen
2
2sen
3
3
3sen
2
2
2sen
3sen
2sen
0
0
0
00
===
→
→
→
→→ x
x
lim
x
x
lim
x
x
lim
x
x
x
x
x
x
lim
x
x
lim
x
x
x
xx
 
Esto se debe a que 1
2
2sen
0
=
→ x
x
lim
x
 y 1
3
3sen
0
=
→ x
x
lim
x
. 
 
 
Ejemplo 10: 1
cos
1sencos
sen
tg
0000
===
→→→→ x
lim
x
x
lim
x
x
x
lim
x
x
lim
xxxx
 
 
 
Ejemplo 11: 
2
)2sen(
2 −
−
→ x
x
lim
x
 
Estamos ante una indeterminación del tipo 
00
. Realizamos un cambio de variable: 2−= xt . 
Observemos que cuando x tiende a 2, t tiende a cero, luego: 
 1
sen
2
)2sen(
02
==
−
−
→→ t
t
lim
x
x
lim
tx
 
 
 
 
3) Cociente con expresiones irracionales: Para salvar la indeterminación del tipo 
0
0
 en este 
caso se multiplica y divide por el conjugado de las expresiones irracionales. 
 
 
Ejemplo 12: =
+−
−
=
+
+
−
−
=
−
−
→→→ )3()3(
)3()(
)3(
)3(
)3(
)3(
3
3 22
333 xx
x
lim
x
x
x
x
lim
x
x
lim
xxx
 
32
1
3
1
)3()3(
3
33
=
+
=
+−
−
=
→→ x
lim
xx
x
lim
xx
 
 
 
Ejemplo 13: =
−++
−++
−
−−+
=
−
−−+
→→ 121
121
2
121
2
121
22 xx
xx
x
xx
lim
x
xx
lim
xx
 
 
2
22
2
lim
)121(2
)12()1(
lim
→→
=
−++−
−−+
=
xx
xxx
xx
=
−++−
−−+
)121(2
)12(1
xxx
xx
 
 
22 )121(2
121
→→
=
−++−
+−+
=
xx
lim
xxx
xx
lim =
−++−
+−
)121(2
2
xxx
x
 
 
22 2
2
)121(2
2
→→
=
−
−
−++−
+−
=
xx
lim
x
x
xxx
x
lim =
−++−
−+−
)121()2(
2)2(
2
xxx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 103
 
22 )121()2(
2)2(
→→
=
−++−
−−−
=
xx
lim
xxx
xx
lim 0
32
0
121
2
==
−++
−−
xx
x
 
 
 
*Sugerimos resolver el problema 5 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
LÍMITES LATERALES 
 
 
Definición 1: Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto ),(
0
ax . 
Decimos que f tiene límite L+ cuando x se acerca a 
0
x por derecha (notándolo 
+
→
=
+
Lxflim
xx
)(
0
) εδεδδδε <−⇒<−<=>∃>∀⇔ +Lxfxx )(0/))((00
0
. 
 
 
Definición 2: Sea f una función definida en todos los puntos de un intervalo abierto ),(
0
xa . 
Decimos que f tiene límite L- cuando x se acerca a 
0
x por izquierda (notándolo 
−
→
=
−
Lxflim
xx
)(
0
) εδεδδδε <−⇒<−<=>∃>∀⇔ −Lxfxx )(0/))((00
0
. 
 
 
Teorema: Las siguientes afirmaciones son equivalentes. 
a) Lxflim
xx
=
→
)(
0
 
b) Lxflimxflim
xxxx
==
+−
→→
)()(
00
 
 
 
Observación: La importancia del teorema anterior radica en que si los límites laterales son 
distintos, entonces no existe el límite de la función. 
 
 
Ejemplo 14: 11 2
1
2
1
=∧=
−+
→→
xlimxlim
xx
. Por lo tanto, 12
1
=
→
xlim
x
. 
 
 
Ejemplo 15: Hallar el siguiente límite: xlim
x 0→
 
Como 



<−
≥
=
0
0
xx
xx
x , para poder calcular este límite necesariamente tenemos que 
utilizar límites laterales, ya que la función módulo está definida por expresiones diferentes 
según nos acerquemos a 0 por derecha o por izquierda. 
0
0
0
0
00
00 =⇒




==
=−=
→
→→
→→
++
−−
xlim
xlimxlim
xlimxlim
x
xx
xx 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 104
Ejemplo 16: Calcular el )(
2
xflim
x→
 siendo 



>
≤−
=
− 2
28
)(
2
2
xe
xx
xf
x
 
Como f está definida por tramos, debemos utilizar límites laterales. 
)(
1)(
48)(
22
22
2
22
xflim
elimxflim
xlimxflim
x
x
xx
xx
→
−
→→
→→ ∃/⇒




==
−=−=
++
−−
 
 
 
 
* Sugerimos resolver el problema 6 y 7 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
II. GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE 
 
 
 
LÍMITE INFINITO 
 
 
Definición 1: Sea f definida en ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ . Decimos que: 
MxfxxMxflim
xx
>⇒<−<>∃>∀⇔+∞=
→
)(0/00)(
0
0
δδ . 
 
 
Definición 2: Sea f definida en ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ . Decimos que: 
MxfxxMxflim
xx
−<⇒<−<>∃>∀⇔−∞=
→
)(0/00)(
0
0
δδ . 
 
 
Definición 3: Sea f definida en ),( ba , salvo quizá en ),(
0
bax ∈ . Decimos que: 
MxfxxMxflim
xx
>⇒<−<>∃>∀⇔∞=
→
)(0/00)(
0
0
δδ . 
 
 
Ejemplo 17: Demostrar, usando la definición, que ∞=
→ x
lim
x
1
0
. 
Sea M arbitrario, queremos probar que M
x
>
1
, o sea, 
M
x
1
< . Por lo tanto, tomando 
δ
M
1
≤ resulta que: M
M
xx
xfx =≥>==⇒<<
1
1111
)(0
δ
δ como queríamos 
demostrar. 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 105
Observaciones: 
1) Es importante que quede claro que la división por cero no está definida, pero que si en 
un cociente el denominador tiende a cero y el numerador a un número distinto de cero, 
entonces el cociente tiende a infinito. 
2) ∞=⇒






+∞=
−∞=
→
→
→
+
−
x
lim
x
lim
x
lim
x
x
x 1
1
1
0
0
0
 
 
 
 
LÍMITE EN EL INFINITO 
 
 
Definición 1: Sea f definida en todos los puntos de un intervalo ),( +∞a . Decimos que: 
 εε <−⇒>>∃>∀⇔=
∞→
LxfKxKLxflim
x
)(/00)( . 
 
 
Ejemplo 18: Demostrar utilizando la definición, que 0
1
2
=
∞→ x
lim
x
 
Sea 0>ε arbitrario, queremos probar que: ε<=
22
11
xx
, es decir, 
ε
12
>x ; entonces, 
ε
1
>x . 
Por lo tanto, tomando 
ε
1
≥K , resulta que: 
ε
ε
=






≤<=⇒>
2222
1
1111
Kxx
Kx 
como queríamos demostrar. 
 
 
Definición 2: MxfKxKMxflim
x
>⇒>>∃>∀⇔∞=
∞→
)(/00)( . 
 
 
Ejemplo 19: Demostrar, utilizando la definición, que +∞=
+∞→
xlim
x
ln . 
Sea M > 0 arbitrario, queremos ver que ln x > M , o sea, Mex > (todo sin módulo pues x tiende 
a + ∞). 
Por lo tanto, tomando K= eM resulta que: x > K ⇒ f (x) = ln x > ln K = ln eM= M ln e = M 
como queríamos demostrar. 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 106
Recordar: 
1) Si 0>α : 0
1
=∧+∞=
+∞→+∞→
α
α
x
limxlim
xx
 
 
2) Si a > 1: 0=∧+∞=
−∞→+∞→
x
x
x
x
alimalim 
 Si 10 << a : +∞=∧=
−∞→+∞→
x
x
x
x
alimalim 0 
Por lo tanto: 
 Si 1>a : +∞=∧=
+−
→→
x
x
x
x
alimalim
1
0
1
0
0 
 Si 10 << a : 0
1
0
1
0
=∧+∞=
+−
→→
x
x
x
x
alimalim 
 
 
 
COCIENTE DE INFINITOS 
 
 
Observación: El cociente de infinitos es otra de las indeterminaciones que estudiaremos. 
Como en el caso de cociente de infinitésimos, la idea es tratar de salvar la indeterminación (a 
través de operaciones algebraicas que no modifiquen el valor de la expresión) y llegar a un 
resultado. 
 
 
1) Cociente de polinomios: Para salvar la indeterminación del tipo 
∞
∞
 en este caso, se divide 
numerador y denominador por x elevado al mayor exponente de la expresión dada. 
 
 
Ejemplo 20: Calcular los siguientes límites: 
a) +∞=
+
=
+
=
+ +∞→+∞→+∞→
33
2
3
3
2
3
11
2
1
2
1
2
xx
lim
x
x
x
x
lim
x
x
lim
xxx
 
b) 0
52
1
31
52
3
42
43
24
=
−+
+
=
−+
+
+∞→+∞→
xx
xx
lim
xx
x
lim
xx
 
c) 
+∞→+∞→
=
−++
+−
xx
lim
xxx
xx
lim
523
27
23
3 7
1 2
3
1 2 5
7
3
2 3
2 3
− +
+ + −
=
x x
x x x
 
 
 
Regla práctica: Sea 
0
1
1
)( axaxaxP
n
n
n
n
+++=
−
−
K y 
0
1
1
)( bxbxbxQ m
m
m
m
+++=
−
−
K . 
 
 
 
Fedeee
Resaltado
Fedeee
Resaltado
Limite y continuidad 
 107
Entonces: L
xQ
xP
lim
x
=
+∞→ )(
)(
 donde 








==
<=
>∞=
grQgrPsi
b
a
L
grQgrPsiL
grQgrPsiL
m
n
0 
 
 
 
2) Cociente con expresiones irracionales: También se divide numerador y denominador por 
x elevado al mayor exponente de la expresión dada, recordando que: 
a
x
a
x
n
m m n
n
=
.
 
 
 
Ejemplo 21: 1
413
1
5
12
43
1
5
2
43
52
3
65
3
3
6
4
4
32
42
=
++−
+−
=
+
+−
+
−
=
++−
+−
+∞→+∞→+∞→
xxx
x
lim
x
x
x
x
xx
lim
xxx
xxx
lim
xxx
 
 
 
Ejemplo 22: Calculemos el siguiente límite 
x
xx
lim
x −
++
∞→ 2
13
2
 
Como x tiende a ∞, entonces dividimos numerador y denominador por 2xx = . 
L
x
x
x
xx
x
lim
x
x
x
xx
lim
xx
=
−
++
=
−
++
∞→∞→ 2
1
1
3
2
13
2
2
2
2
 
• Si +∞→x , entonces xx = . Luego, 
4
1
2
1
13
2
−=
−
++
=
+∞→
x
x
limL
x
 
• Si −∞→x , entonces xx −= . Luego, 
2
1
2
1
13
2
1
1
3
22
−=
+−
++−
=
−
−
−
++
−
=
−∞→−∞→
x
x
lim
x
x
x
xx
x
limL
xx
 
 
 
*Sugerimos resolver el problema 8, 9, 10, 11 y 12 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
Fedeee
Resaltado
Fedeee
Resaltado
Fedeee
Resaltado
Limite y continuidad 
 108
NOTA IMPORTANTE: xlimxlim
xx
cossen
∞→∞→
∃/∧∃/ 
 
Por lo tanto, un teorema interesante es el siguiente: 
 
Teorema: Sean f y g dos funciones tales que: 0)(
0
=
→
xflim
xx
 ( es decir, f es un infinitésimo 
para 
0
xx = ) y kxg ≤)(con IRk∈ ( g es una función acotada). 
Entonces, 0)()(
0
=
→
xgxflim
xx
. 
 
 
Este teorema (que comúnmente se conoce como “cero por acotada”) da un método de 
resolución de ciertos límites. 
 
 
Ejemplo 23: 0sen
1sen
==
∞→∞→
x
x
lim
x
x
lim
xx
, pues 0
1
=
∞→ x
lim
x
 y 1sen ≤x . 
 
 
Ejemplo 24: 0
1
cos
2
0
=





→ x
xlim
x
, pues 02
0
=
→
xlim
x
 y la función coseno es una función acotada. 
 
 
*Sugerimos resolver el problema 13 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
OTRAS INDETERMINACIONES 
 
 
Observación: Mencionamos al principio de este capítulo que hay siete indeterminaciones. 
Hasta ahora sólo vimos dos: cociente de infinitésimos 





0
0
 y cociente de infinitos 





∞
∞
. 
 
 
A continuación estudiaremos dos más y los restantes se verán más adelante en el capítulo de 
aplicaciones de la derivada. 
 
 
 
1) Suma de infinitos de distinto signo ( )∞−∞ Veamos algunos ejemplos de esta 
indeterminación. 
 
Limite y continuidad 
 109
Ejemplo 25: Calcular los siguientes límites: 
 a) ( )
+∞→+∞→
=−+
xx
limxxxlim 3
2 ( ) ( )
( )
=
++
++
−+
xxx
xxx
xxx
3
3
3
2
2
2
 
+∞→+∞→
=
++
−+
=
xx
lim
xxx
xxx
lim
3
)3(
2
222
+∞→
=
++
−+
x
lim
xxx
xxx
3
3
2
22
3
3
2
x
x x x+ +
= 
+∞→+∞→
=
++
=
xx
lim
x
xxx
lim
3
3
2 +∞→
=
+
+
x
lim
x
xx
1
3
3
2
2
3
1
3
1
3
2
+ +
=
x
 
 b) 
1
2
1 1
1
1
1
→→
=



−
−
− xx
lim
xx
lim
1
2
1
11
→
=
−
−+
x
lim
x
x x
x
2
1−
= ∞ 
 
 
 
2) El número e: Otras indeterminaciones que pueden presentarse son las de las funciones 
potenciales- exponenciales. En este capítulo sólo veremos la que aparece cuando 
queremos calcular )()(
0
xg
xx
xflim
→
 (eventualmente 
0
x puede ser infinito) con 1)(
0
=
→
xflim
xx
 
y ∞=
→
)(
0
xglim
xx
, la cual se conoce como indeterminación ∞1 . 
 
 
Observemos que cualquier potencia del número 1 da por resultado 1. La indeterminación se 
presenta cuando la base de una función potencial - exponencial tiende a 1 y el exponente 
tiende a infinito. 
 
 
Veamos ahora dos resultados de suma importancia cuya demostración excede los alcances de 
este texto. 
( ) exlime
x
lim x
x
x
x
=+∧=





+
→∞→
1
0
1
1
1 
 
Este concepto puede generalizarse de la siguiente manera: “Si ∞=
→
)(
0
xflim
xx
, entonces 
e
xf
lim
xf
xx
=





+
→
)(
)(
1
1
0
” 
 
Análogamente: “Si 0)(
0
=
→
xflim
xx
, entonces ( ) exflim xf
xx
=+
→
)(
1
)(1
0
” 
 
 
Ejemplo 26: Calcular los límites dados a continuación, verificando previamente que existe 
una indeterminación. 
Limite y continuidad 
 110
a) 14
2.
7
7
2.
7
7
2
7
1
1
7
1
1
7
1 e
x
lim
x
lim
x
lim
x
x
lim
x
x
x
xx
x
x
x
x
=
























+=
























+=





+
∞→
∞→∞→∞→
 
b) 3
253
32
5353
32
5332
53
1
1
53
1
1
53
1
1 e
x
lim
x
lim
x
lim
x
x
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=














+
+=














+
+=





+
+
+
+
+
∞→
+
+
+
∞→
−
∞→
∞→
 
c) 7
47
4
4
1
0
7
4
4
1
0
7
1
0
0
)41()41()41( exlimxlimxlim
x
x
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=





+=





+=+
→
→→→
 
 
 
Ejemplo 27: Calcular el siguiente límite 
13
52
12
−
∞→






−
+
x
x x
x
lim 
Aquí vemos que el límite de la base da 1 (por ser cociente de polinomios de igual grado) y el 
exponente tiende a infinito. Por lo tanto, estamos frente a una indeterminación del tipo ∞1 . 
Procedemos de la siguiente manera: 
 
=
−
−−+
+=−
−
+
+=
−
+
52
)52(12
11
52
12
1
52
12
x
xx
x
x
x
x
6
52
1
1
52
6
1
−
+=
−
+
xx
 
Luego, reemplazando obtenemos: 
 
∞→
−
∞→
=





−
+
x
x
x
lim
x
x
lim
13
52
12 9
52
)13(6
6
5252
)13(6
6
52
6
52
1
1
6
52
1
1 e
x
lim
x
x
x
lim
x
x
x
x
x
x
=


























−
+=


























−
+
−
−
−
∞→
−
−
−
∞→
 
 
 
 
*Sugerimos resolver los problemas 14, 15 y 16 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
Limite y continuidad 
 111
III. ASÍNTOTAS 
 
 
1) Asíntota vertical: La recta de ecuación 
0
xx = es una asíntota vertical al gráfico de 
)(xf ∞=⇔
+
→
)(
0
xflim
xx
 y/o ∞=
−
→
)(
0
xflim
xx
 
 
Ejemplo 28: Analizar la existencia de asíntotas verticales en las siguientes funciones: 
a) 
3
1
)(
+
=
x
xf 
Hallamos primero el dominio de la función: { }3−−= IRDf . 
Luego, analizamos la existencia de asíntota en 3
0
−=x . 
3
3
1
3
−=⇒∞=
+−→
x
x
lim
x
 es asíntota vertical. 
b) xexf =)( 
Como IRDf = , entonces la función no tiene asíntotas verticales. 
c) 
4
2
)(
2
−
+
=
x
x
xf 
Como el dominio de la función es { }2,2−−= IRDf , analizaremos la existencia de asíntota 
vertical en los dos valores que excluimos del dominio. 
i) 2
4
2
2
2
=⇒∞=
−
+
→
x
x
x
lim
x
 es asíntota vertical. 
 
 ii) 
2
2
2 4
2
−→−→
=
−
+
xx
lim
x
x
lim
2)2)(2(
2
−→
=
−+
+
x
lim
xx
x
4
1
2
1
−=
−x
. Por lo tanto, no hay asíntota 
vertical en 2−=x . 
 
 
Ejemplo 29: Analizar la existencia de asíntotas verticales en las siguientes funciones: 
a) 




≥
<
−=
2
2
2
1
)(
xx
x
xxf 
Observemos que el IRDf = y 2
2
=
+
→
xlim
x
. 
Como −∞=
−
−
→ 2
1
2 x
lim
x
, concluimos que 2=x es una asíntota vertical. 
b) xexf
1
)( = 
El dominio de la función es { }0−= IRDf . 
00
1
0
1
0
=⇒=∧+∞=
−+
→→
xelimelim x
x
x
x
 es una asíntota vertical. 
 
Limite y continuidad 
 112
2) Asíntota horizontal: La recta de ecuación Ly = es asíntota horizontal al gráfico de )(xf 
Lxflim
x
=⇔
+∞→
)( o Lxflim
x
=
−∞→
)( . 
 
 
Ejemplo 30: Analizar la existencia de asíntotas horizontales en las siguientes funciones. 
a) 
x
xf
1
)( = 
Como 0
1
=
∞→ x
lim
x
, entonces 0=y es asíntota horizontal. 
b) 
25
13
)(
2
2
+−
+
=
xx
x
xf 
Como 
5
3
25
13
2
2
=
+−
+
∞→ xx
x
lim
x
, entonces 
5
3
=y es asíntota horizontal. 
c) 3)( xxf = 
Como ∞=
∞→
3
xlim
x
, entonces esta función no presenta asíntotas horizontales. 
 
 
Ejemplo 31: Analizar la existencia de asíntotas horizontales en las siguientes funciones. 
a) xexf =)( 
En este ejemplo vamos a discriminar los límites para el cálculo de asíntota horizontal. 
Observemos que 0=
−∞→
x
x
elim pero +∞=
+∞→
x
x
elim . 
Por lo tanto, concluimos que 0=y es una asíntota horizontal a izquierda. 
b) 







−≥





−<−
1
2
1
13
1
x
x
x
x
 
Observemos que: 
• 0
2
1
)( =





=
+∞→+∞→
x
xx
limxflim 
• 33
1
)( −=−=
−∞→−∞→ x
limxflim
xx
 
Concluimos que tenemos dos asíntotas horizontales: 0=y a derecha e 3−=y a izquierda. 
 
 
 
3) Asíntota oblicua: La recta de ecuación bmxy += es una asíntota oblicua al gráfico de 
)(xf [ ] 0)()( =+−⇔
+∞→
bmxxflim
x
 o [ ] 0)()( =+−
−∞→
bmxxflim
x
 
 
 
Limite y continuidad 
 113
Determinemos cómo se calculan los valores de m y b. 
[ ] 0
)(
)()( =



−−=+−
+∞→+∞→ x
b
m
x
xf
xlimbmxxflim
xx
 
Puesto que x tiende a ∞+ debe cumplirse que: 
0
)(
=



−−
+∞→ x
b
m
x
xf
lim
x
 
Como b es constante, se verifica que 0=
+∞→ x
b
lim
x
. 
Luego: 
m
x
xf
limm
x
xf
lim
xx
=⇒=



−
+∞→+∞→
)(
0
)(
 
Conociendo el valor de m, lo reemplazamos en la expresión [ ] 0)()( =+−
+∞→
bmxxflim
x
 
Luego: ))(( mxxflimb
x
−=
+∞→
. 
 
Por lo tanto, para calcular la pendiente y la ordenada al origen de la asíntota oblicua, basta con 
calcular los siguientes límites: 
x
xf
limm
x
)(
+∞→
= y ))(( mxxflimb
x
−=
+∞→
 
 
El análisis se completacon el cálculo de estos límites para −∞→x . 
 
 
Ejemplo 32: Analizar la existencia de asíntota oblicua en la función 
5
23
)(
2
+
+
=
x
xx
xf 
∞→∞→∞→
=
+
+
==
xxx
lim
x
x
xx
lim
x
xf
limm 5
23
)(
2
=
+
+
=
+
+
∞→ xx
xx
limx
x
xx
x
1
5
23
:
5
23
22
3
5
23
2
2
=
+
+
∞→ xx
xx
lim
x
 
∞→∞→∞→
=−
+
+
=−=
xxx
limx
x
xx
limmxxflimb 3
5
23
))((
2
13
5
13
5
)5(323
2
−=
+
−
=
+
+−+
∞→ x
x
lim
x
xxxx
x
 
Luego, 133 −= xy es asíntota oblicua. 
 
 
 
*Sugerimos resolver los problemas 17 y 18 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 114
CONTINUIDAD 
 
 
Definición: Decimos que f es continua en ⇔
0
x se verifica: 
i) )(
0
xf∃ 
ii) )(
0
xflim
xx→
∃ y es finito. 
iii) )()(
0
0
xfxflim
xx
=
→
 
 
 
Propiedades 
 
1) Sean f y g continuas en 
0
x , entonces se verifica: 
a) gf ± es continua en 
0
x . 
b) gf . es continua en 
0
x . 
c) 
g
f
 es continua en 
0
x si 0)(
0
≠xg . 
 
2) Si DfIg ⊂ y g es continua en 
0
x y f es continua en )(
0
xg , entonces gf o es 
continua en 
0
x . 
 
 
 
FUNCIONES DISCONTINUAS 
 
 
Definición: Una función se dice discontinua en 
0
x si no verifica una o más de las 
condiciones de la definición de continuidad. 
 
 
Clasificación: 
 
1) Discontinuidad evitable: Se presenta cuando existe el límite finito L de la función en 
0
x 
pero, o bien, no está definida f en 
0
x , o bien, )(
0
xf no coincide con el límite L. 
 
2) Discontinuidad esencial: Se presenta cuando la función no tiene límite finito en 
0
x
,
 o bien, 
no existe el límite en 
0
x . 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 115
Ejemplo 33: Analizar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. 
En caso de ser discontinuas, clasificar. 
 
a) xxxf 3)( 2 += en 1
0
−=x 
i) 2)1( −=−f 
ii) 232
1
−=+
−→
xxlim
x
 
iii) )1()(
1
−=
−→
fxflim
x
 
Por lo tanto, f es continua en 1
0
−=x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
2
4
)(
2
−
−
=
x
x
xf en 2
0
=x 
i) )2(f∃/ 
ii) =
−
+−
=
−
−
→→ 2
)2()2(
2
4
2
2
2 x
xx
lim
x
x
lim
xx
 
42
2
=+=
→
xlim
x
 
Por lo tanto presenta una discontinuidad 
evitable en 2
0
=x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f (x) = 
x
1
 en x0 = 0 
i) )0(f∃/ 
ii) ∞=
→ xx
1
lim
0
 
Por lo tanto, f presenta una discontinuidad 
esencial en 0
0
=x . 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 116
 
Observación: Claramente en el ejemplo b) podríamos redefinir la función de la siguiente 
manera: 





=
≠
−
−
=
24
2
2
4
)(
2
x
x
x
x
xg 
 
Esta nueva función es continua en todo valor real; por eso la discontinuidad se denomina 
“evitable”. 
 
 
 
 
Continuidad en un intervalo cerrado 
 
 
Definición: Una función f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, , si y sólo si: 
i) f es continua ),( bax∈∀ . 
ii) )()( afxflim
ax
=
+
→
 y )()( bfxflim
bx
=
−
→
 
 
 
 
Ejemplo 34: Analizar la continuidad de las siguientes funciones. 
a) 



>
≤−
=
0
05
)(
2
xe
xx
xf
x
 
Como las funciones polinómicas y exponenciales son siempre continuas, el único punto de 
análisis es x0 = 0. 
i) 5)0( −=f 
ii) )(
1)(
55)(
0
00
2
00
xflim
elimxflim
xlimxflim
x
x
xx
xx
→
→→
→→ ∃/⇒




==
−=−=
++
−−
 
Por lo tanto, f es continua para todo valor de x real, salvo para x0 = 0, donde se presenta una 
discontinuidad esencial. 
 
b) 








>





≤<−+
−≤
+
=
−
1
5
1
1232
2
1
1
)(
2
x
xx
x
x
xf
x
 
Los puntos a analizar son 2
0
−=x y 1
1
=x . 
• 2
0
−=x 
i) 1)2( −=−f 
Limite y continuidad 
 117
ii) 1)(
132)(
1
1
1
)(
2
22
22 −=⇒





−=+=
−=
+
=
−→
−→−→
−→−→
++
−−
xflim
xlimxflim
x
limxflim
x
xx
xx 
Por lo tanto, f es continua en 2
0
−=x . 
• 1
1
=x 
i) 5)1( =f 
ii) )(lim
5
1
5
1
lim)(lim
532lim)(lim
1
2
11
11
xf
xf
xxf
x
x
xx
xx
→
−
→→
→→
∃/⇒





=





=
=+=
++
−−
 
Por lo tanto, f presenta una discontinuidad esencial en 1
1
=x . 
 
c)





=
≠
−
−
=
13
1
1
1
)(
x
x
x
x
xf 
i) 3)1( =f 
ii) =
+−
−
=
+
+
−
−
=
−
−
→→→ )1()1(
1)(
1
1
1
1
1
1 2
111 xx
x
lim
x
x
x
x
lim
x
x
lim
xxx
 
 
2
1
1
1
)1()1(
1
11
=
+
=
+−
−
=
→→ x
lim
xx
x
lim
xx
 
iii) )1()(
1
fxflim
x
≠
→
 
Luego, f presenta una discontinuidad evitable en x0 = 1. 
 
 
 
*Sugerimos resolver los problemas 19 y 20 de la guía de trabajos prácticos. 
 
 
 
Funciones continuas en un intervalo cerrado 
 
 
Teorema 1: Sea f una función continua en [ ]ba, , entonces f es acotada en [ ]ba, 
 
 
Teorema 2: Sea f una función continua en [ ]ba, , entonces f alcanza un máximo y un mínimo 
absoluto en [ ]ba, . 
 
 
Teorema de Bolzano: Sea una función continua en [ ]ba, tal que 0)( >af y 0)( <bf (o 
bien, 0)( <af y 0)( >bf ), entonces existe ( )bac ,∈ tal que 0)( =cf . 
 
 
Limite y continuidad 
 118
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corolario del teorema de Bolzano: Sea f continua en [ ]ba, y sean x0 y x1, dos ceros 
consecutivos de f en el intervalo [ ]ba, , entonces ( )
10
,0)( xxxxf ∈∀> , o bien, 
( )
10
,0)( xxxxf ∈∀< . 
 
 
Observación: El corolario anterior se podría generalizar diciendo: “Si una función f es 
continua en el intervalo ),( ba tal que ),(0)( baxxf ∈∀≠ , entonces f tiene signo 
constante.” 
Estos teoremas serán de suma utilidad cuando veamos estudio de funciones. 
 
 
Teorema del valor medio: Sea f una función continua en [ ]ba, tal que )()( bfaf < (o bien, 
)()( afbf < ). Si k∈IR es un valor comprendido entre )(af y )(bf , entonces existe 
( )bac ,∈ tal que kcf =)( . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite y continuidad 
 119
Generalización del teorema del valor medio: Sea f una función continua en [ ]ba, y sea 
IRk ∈ un valor comprendido entre el mínimo y el máximo de la función f en el intervalo 
[ ]ba, , entonces existe [ ]bac ,∈ tal que kcf =)( . 
 
 
 
Observación: Este resultado lo utilizaremos para demostrar el teorema del valor medio para 
integrales. 
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
Funciones económicas discontinuas 
 
Un gran número de funciones que se presentan en los problemas de Administración y 
Economía, son funciones que presentan discontinuidades finitas. Por ejemplo, la función de 
costo suele tener discontinuidades, ya que los costos unitarios disminuyen (o aumentan) en el 
caso de cantidades específicas. 
Debe notarse que hay funciones que aún siendo discontinuas, pueden presentarse con 
frecuencia como continuas. Esto es aplicable, por ejemplo, a las funciones de demanda y 
oferta de bienes vendidos por unidades, como autos, paquetes de cigarrillos, computadoras, 
sillas, productos enlatados, etcétera. 
Representar como continuas funciones que por naturaleza son discontinuas, hace posible 
utilizar herramientas matemáticas que de otro modo nos sería imposible aplicar. 
 
 
Ejemplo 35: Un comerciante mayorista vende resmas de hojas para impresora A4 en lotes 
puestos en cajas, de acuerdo con la siguiente lista de precios: 
• $30 por caja con la compra de 10 cajas o menos. 
• $27.50 por caja con la compra de más de 10 cajas, pero no más de 20. 
• $25 por caja con la compra de más de 20 cajas, pero no más de 30. 
• $22.50 por caja con la compra de más de 30 cajas. 
Sea p el precio y x la cantidad de cajas, la función de precio se puede representar 
algebraicamente como: 







>
≤<
≤<
≤≤
=
3050.22
302025
201050.27
10030
xx
xx
xx
xx
p 
 
Su representación gráfica es: 
 
Limite y continuidad 
 120
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capitalización continua 
 
La operación por la cual un cierto valor inicial que denominamos capital, se transforma en un 
valor final que denominamosmonto, recibe el nombre de capitalización. La transformación 
del capital en monto se consigue por la acción de dos factores: tiempo y tasa de interés. 
 
En el capítulo de funciones vimos que si una suma de dinero es invertida y el interés capitaliza 
por intervalos definidos, el capital final se obtiene a través de la siguiente fórmula: 
nk
n
k
i
CC 





+= 1
0
 
donde =
0
C capital inicial (capital en el momento cero) 
 =
n
C capital final o monto 
 =i tasa de interés unitaria, llamado el tanto por uno (interés que gana un capital de 
$ 1 en un período) 
 =n cantidad de períodos. 
 =nk número de subperíodos o períodos de capitalización. 
 
Si consideramos al interés como función del tiempo, esto da origen a distintos montos. 
Veamos qué ocurre cuando una suma de dinero se capitaliza con una frecuencia cada vez 
mayor, calculando el monto en cada caso. 
 
Dado un capital inicial de $100 colocado al 12% anual por el término de un año, los montos 
para distintos períodos de capitalización son: 
• Capitalización anual ( 1=k ): 112
1
12.0
1100
11
=





+=
⋅
C 
• Capitalización semestral ( 2=k ): 36.112
2
12.0
1100
12
=





+=
⋅
C 
• Capitalización cuatrimestral ( 3=k ): 4864.112
3
12.0
1100
13
=





+=
⋅
C 
• Capitalización trimestral ( 4=k ): 55.112
4
12.0
1100
14
=





+=
⋅
C 
 
Limite y continuidad 
 121
• Capitalización bimestral ( 6=k ): 6162.112
6
12.0
1100
16
=





+=
⋅
C 
• Capitalización mensual ( 12=k ): 6825.112
12
12.0
1100
112
=





+=
⋅
C 
 
Los resultados anteriores permiten concluir que, a medida que aumenta la frecuencia de las 
capitalizaciones, se obtienen montos mayores. 
¿Qué ocurriría si los intereses se capitalizaran en cada infinitésimo de tiempo? 
En dicha situación diremos que estamos frente a un caso de capitalización continua y el 
monto que se obtendría puede calcularse mediante el siguiente límite: 
 ni
nk
k
i
i
k
k
nk
k
n
eC
i
k
limC
k
i
ClimC
000
1
11 =
























+=





+=
∞→∞→
 
Luego, 
ni
n
eCC
0
= . 
 
Observemos que como el monto aumenta al aumentar la frecuencia de las capitalizaciones, 
n
C representa el mayor monto que puede obtenerse para una tasa nominal i. 
 
 
Ejemplo 36: 
a) Calcular el monto que produce un capital de $ 20000 colocado durante 5 años al 6% 
nominal anual: 
i) con capitalización mensual. 
 20000
0
=C 
 06.0=i 
 5=n 
 26977
12
06.0
1200001
512
0
=





+=





+=
nk
n
k
i
CC 
ii) con capitalización continua. 
 18.2699720000 506.0
0
=== eeCC
ni
n
 
b) El interés obtenido al cabo de 4 años fue de $1000 con un capital inicial de $ 5000 y un 
régimen de capitalización continua. Averiguar la tasa de interés nominal anual. 
 
5000
0
=C 
60001000
0
=⇒=−=
nn
CCCI 
4=n 
ieeeCC
iini
n
4
5
6
ln
5
6
50006000
44
0
=





⇒=⇒=⇒= 
04558.0
5
6
ln
4
1
=





=⇒ i 
 
Limite y continuidad 
 122
Por lo tanto, la tasa es del 4,56 % anual. 
 
 
 
*Sugerimos resolver el problema 21 de la guía de trabajos prácticos.