MISCELANEA DE ALGEBRA

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MISCELÁNEA DE ÁLGEBRA
 
01. Determine “a” de tal manera que la suma 
de los cuadrados de las raíces de la ecuación: 
x2 – (a – 1)x + a – 2 = 3 sea mínima. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 7 
 
02. Se define la ecuación de segundo grado en 
x: 
2x2 – 5x + 4 = 0, siendo sus raíces r y s, 
determine el valor de E = r6 + s6 
 
A) 
3
3
9
4
 B) 
3
3
12
4
 C) 
3 3
3
9 12
4
−
 
D) 96 E) 126 
 
03. Si a y b son las raíces de la ecuación x2 – 10x 
+ 1 = 0, determine el valor de 
E = 4 4a b+ 
 
A) 3 3 2+ B) 2 3 3+ 
C) 2 3 1+ D) 3 2+ 
E) 2 3 2+ 
 
04. Determine la suma de los cuadrados de las 
raíces de la ecuación: (2k + 2)x2 + (4 
– 4k)x + k – 2 = 0; sabiendo que las raíces son 
recíprocas. 
 
A) 5 B) 
82
9
 C) 10 
D) 13 E) 15 
 
05. Determine todos los valores de m de manera 
que las raíces de la ecuación: x2 – 2mx + m2 
– 1 = 0 tenga una raíz menor que 2 y otra 
mayor que 2. 
 
A) –1; 2 B) 0; 3 C) 1; 3 
D) 3; 10 E) [3;  
 
06. Determine la recta tangente a la parábola y 
= 2x2, si la recta es y = mx – 8. 
 
A) y = 8x + 8 B) y = 8x – 8 
C) y = 6x – 8 D) y = 6x + 8 
E) y = 6x 
 
07. En relación al conjunto: 
A = {x  R / 4x4 – 9x3 – 26x2 – 9x + 4 = 0}, 
indicar cuál(es) de los siguientes enunciados 
son (es) correctos: 
 I.  (A) = 3 
 II. A – {– 1; – 2; – 3} = {4; 1/4} 
 III. A  Z = {1/2} 
 
 A) I y II B) I y III C) I, II y III 
 D) solo I E) solo III 
 
08. Si A = {x1, x2, x3} es el conjunto formado por 
las raíces reales de la ecuación. 
2x5 – 7x4 + 6x3 – 6x2 + 7x – 2 = 0, halle x1x2x3. 
 
A) – 1 B) – 
1
2
 C) 
1
2
 
D) 1 E) 0 
 
09. Determine la menor raíz de: 
6x6 – 13x5 – 6x4 + 26x3 – 6x2 – 13x + 6 = 0 
 
A) – 
3
2
 B) –1 C) – 
2
3
 
D) 
2
3
 E) 1 
 
10. Dada la ecuación recíproca 
x4 + x3 – x2 + x + 1 = 0, determine la parte 
imaginaria de una de sus raíces. 
 
A) 2 2 13+ B) 
2 2 3
4
+
 
C) 
2 2 13
2
+
 D) 
1 13
2
+
 
 
 
E) 
1 13
4
+
 
 
11. En qué intervalo debe variar m para que la 
ecuación 2x2 + (2m + 3)x + 8 = 0 tenga 
exactamente una raíz en el intervalo 3; 8. 
 
A) − −
35
10;
6
 B) −
35
10;
6
 C) 2; 7 
D) 1; 9 E) 
 
12. Determinar el valor de k de tal manera que 
la ecuación en x 
2kx2 – 4kx + 5k = 3x2 + x – 8. El producto de 
sus raíces igual a dos veces su suma. 
 
 A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
13. Sea la ecuación cuadrática 
 x2 + ax + b = 0 con conjunto solución {x1 ; x2}. 
Si 3 3
1 2
x x 35+ = y 2 2
1 2
x x 13+ = . Calcule: 
4 3
2
S aS
S
+
, siendo S2, S3 y S4 la suma de los 
cuadrados, cubos y cuartas potencias de las 
raíces de la ecuación respectivamente. 
 
A) 
a
b
 B) 
b
a
 C) ab 
D) – b E) – 
a
b
 
 
14. Si x > – 1 calcule la suma de las soluciones 
reales de la ecuación: 
 
 
2x 8x 7
x 7
x 1 x 1
+
+ + =
+ +
 
 
 A) 1 B) 3 C) 8 
 D) 9 E) 10 
 
15. Al resolver la ecuación 3x3 + 
2x2 – 27x – 18 = 0, sabiendo que una de sus 
raíces es el negativo de la otra; determine la 
raíz entera negativa. 
A) – 8 B) – 7 C) – 6 
D) – 4 E) – 3 
 
16. Calcule el valor de a en la ecuación: 
6 5ax (a 1)x 2bx b 0;a 0; b 0,− − + − =   
si se sabe que la suma de las raíces es 
también la suma de sus recíprocas. 
A) – 2 B) – 1 C) 
1
3
 
D) 
4
3
 E) 2 
 
17. Si x1, x2 y x3 son las raíces de la ecuación P(x) 
= x3 + 2x – 1 = 0, halle el resto de la división: 
1 2 3
2
1 1 1
P(x) P
x x x
x 1
 
− + + 
 
 
+
 
A) 2x + 6 B) x + 12 C) 2x + 12 
D) x – 12 E) x – 6 
 
18. Si el conjunto solución de la ecuación: 
5x x 1 0+ + = es {a; b; c; d; e}, calcule a5 + 
b5 + c5 + d5 + e5. 
A) – 5 B) – 4 C) – 3 
D) – 2 E) – 1 
 
19. Si ; ,  son las raíces de la ecuación 2x3 + 
3x2 – x – 1 = 0, determine la ecuación cuyas 
raíces sean 2 + 3; 2 + 3; 2 + 3 
A) 16x3 + 84x2 + 142x + 77 = 0 
B) 16x3 + 84x2 + 142x – 77 = 0 
C) 16x3 + 48x2 + 124x + 77 = 0 
D) 16x3 – 48x2 + 214x + 77 = 0 
E) x3 – 6x2 + 7x + 2 = 0 
 
20. En la ecuación x3 – 9x2 + px – 24 = 0, sus 
raíces son mayores que 
3
2
, y una de ellas es 
el doble de la otra raíz. Como respuesta dé 
el valor de p. 
A) 22 B) 24 C) 26 
D) 28 E) 30 
 
 
 
21. Si las raíces de la ecuación x3 – x – 1 = 0 son 
,  y , determine el valor de 
1 1 1
1 1 1
+  +  + 
+ +
−  − − 
 
 
A) – 7 B) – 6 C) – 5 
D) – 4 E) – 3 
 
22. Si la ecuación x4 + 39x – 22 = 0 tiene dos 
raíces que suman 3, determine la suma de 
las inversas de las otras dos raíces. 
A) 
3
2
 B) 
3
4
 C) 
3
5
 
D) 
3
7
 E) 
3
8
 
23. El valor 3 33 3 3 3+ + − es una de las 
raíces del polinomio de grado mínimo y de 
coeficientes enteros 
3p 2p pP(x) x nx mx q= − + + , entonces: 
m + n + p + q es igual a: 
A) – 249 B) – 339 C) – 345 
D) – 354 E) – 360 
 
24. Si 
5
6 1−
 es una raíz de la ecuación 
3 2x (2a 1)x (b 3)x 4 0+ − + − + = con 
a y b  Q, calcule el valor (a + 2)b. 
A) –
11
50
 B) – 
9
50
 C) –
11
25
 
D) 
11
25
 E) 
11
50
 
25. Determine un polinomio de la forma 
 n n 12 n 1 2 n 1P(x) x a x ... a , a ,...a
−
+ +
= + + +  
con n el menor entero positivo, tal que 
3( 2 3)+ sea una de sus raíces. Dar como 
respuesta la suma de los coeficientes de 
P(x). 
A) – 54 B) – 44 C) – 34 
D) – 24 E) – 14 
 
26. Determine el rango de la función 
  f(x) x 1 7 x, x 1,7= − + −  . 
 
 A) 3,3 6 
 
 B) 2 3,2 6 
 
 
 C) 3,2 6 
 
 D) 3, 6 
 
 
 E) 6, 2 3 
 
 
 
27. Si f(g(x)) = 2x2 – 3 , f(x – 2) = 2x – 5, halle g(3). 
 
A) – 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 8 
 
28. Determine el producto de los elementos del 
conjunto: {x / f(x) = 72} donde 
2
x 1 6x
f
x 1 (x 1)
+ 
= 
− − 
. 
 
A) – 49 B) – 40 C) 0 
D) 40 E) 49 
 
29. Sea la función f: A → [1; 3], 
x 1
f(x)
x 2
−
=
+
 
halle el dominio A, si su rango es 1; 3]. 
 
A) 
3
,
2

− − 

 B) 
7
,
2

− − 

 
C) – , – 1] D) – , 0 
E) – , 1] 
 
30. Determine el rango de la función f, 
 2f(x) x 2( x 1) 7= − + + . 
 
 A) R B) [6;  C) [– 4;4] 
 D) [4;  E) [– 8; 3 
 
31. Determine el rango de 
2
2
2x
f(x)
3x 1
=
+
 
 
A) 0; 1 B) – , 0 C) 
1
; 1
2
 
 
 
D) 
1
0;
3



 E) 
2
0;
3



 
 
32. Halle el dominio de la función: 
 
x 1 2
F(x)
x 2 3
− −
=
− −
 
 
 A) [2; 5] 
 B) 11; +  
 C) R – {11} 
 D) [2;5]  11; +  
 E) {2; 5}  11; +  
 
33. Determinar el rango de 
b
f(x) x , b 0, x 0
x
= +   
 
A) b,   B) [b,  
C) 2 b , 

 D) 2 b, 
E) b +1,  
 
34. Determine el dominio de la función 
 
x 2 3 x
f(x)
x 2 1 x
− −
= +
+ +
 
 
 A) [2; 3] B) 1; 4 C) –2;3] 
 D) 0; E) – 1; 4 
 
35. Si f es una función definida por 
2
x
f(x) x R
x 2
= 
+
, hallar el rango de f. 
 
A) – 1;1 B) [0; 2 ] 
C) 
2 2
;
4 4
 
− 
  
 D) 2; 0 −
 
 
E) 
1 1
;
2 2
− 
 
36. Determine la suma de los elementos del 
rango de la función f2 –2g si 
  f (1,4),(4,5),(2,3),(3,2)= 
  g (0,2),(1,2),(2, 1),(3,0),(5,2)= − 
 A) 25 B) 26 C) 27 
 D) 28 E) 29 
 
37. Sean las funciones f: R → R, f(x) = x2 y g: R 
→ R, g(x) = 2x. Halle el rango de la función 
g – f. 
 
A) R B)[1,  C) [–1,  
D) – , 4] E) – , 1] 
 
38. Sea f y g dos funciones, definidas por 
2x 1, x 1
f(x)
x 1, x 1
 − 
= 
+ 
 
g = {(0;3), (1; 4), (2; 3)} 
 
Determine la suma de elementos del rango 
de 
2f f.g
f
−
. 
 
A) – 6 B) – 2 C) – 1 
D) 0 E) 2 
 
39. f y g son dos funciones definidas por: 
f = {(0,1), (1, – 1), (2, 2), (3, 7)} 
g = {(– 2, 1), (1, 0), (2, 5), (4, 7)} 
 
Indique el valor de verdad de las siguientes 
afirmaciones: 
 
I. La función 5f tiene como dominio al 
conjunto {0, 5, 10, 15}. 
II. La suma de los elementos del rango de f2 + g 
es 10. 
III.  
f
.g (2,2)
g
 
= 
 
 
 
A) FFV B) FFF C) FVV 
D) VFF E) VVV 
 
40. Sean 
 ( )f x; x1= − x 1;  
 
 
 
 g (2; 5);(0;1);( 4;6),(8; 3),( 7,10)= − − − − 
 
hallar f g; presente la suma de los 
cuadrados de los elementos del rango de 
fog. 
 
A) 9 B) 12 C) 14 
D) 18 E) 20 
 
41. Sean las funciones 
  f (0;0),(1;1),(2;3),(3;5),(4;2)= 
  g (6;5),(2;0),(3;6),(5;1),(4;8)= 
Determine la suma de los elementos del 
rango de fog 
 
 A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
42. Sea f(x) = x2 + 2 y g(x) = x + a; determine el 
valor de “a” de modo que: 
(fog)(3) = (g f) (a – 1) 
 
A) – 
9
7
 B) – 
8
7
 C) 
1
3
 
D) 
5
7
 E) 
8
7
 
 
43. Determine una función afín, tal que 
( )
1 4 x
F o F
x x
− 
= 
 
 
 
A) 
1
F(x) 2x
2
= + B) F(x) 1 2x= − 
C) F(x) 1 4x= + D) 
1
F(x) 4x
2
= − 
E) F(x) = 1 – x 
 
44. Sean las funciones: 
 2f(x) x 2x 3 x 3; 2= − +  −  
 g(x) 5 3x x 1; 4= −  
 Hallar el rango de fog 
 
 A) [0; 16 B) [1; 8 C) [0; 18 
 D) [2; 18 E) [3; 18 
 
45. Determine el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
I. Si a < 0, entonces 
a
f(x)
x 1
=
−
 es 
inyectiva. 
II. Sea g: A → – b; b, b > 0 con 
23x 1
g(x)
2x 1
+
=
+
, entonces g es 
suryectiva. 
III. f(x) x 1= − es inyectiva. 
 
A) VVF B) VFF C) VFV 
D) FFV E) FFF 
 
46. Si f: [–1;2] → B, f(x) = x2 + 1, f es suryectiva, 
determine B = [a, b] dar como respuesta (a + 
b). 
 
A) 2 B) 4 C) 6 
D) 8 E) 10 
 
47. Si la función f f : 1; 2 m; m n− → +  
definida por f(x) = – x2 + 4x – 9, es biyectiva, 
halle n – m. 
 
A) 7 B) 8 C) 16 
D) 17 E) 23 
 
48. Si la función 
    2f : 1,3 13,3 , f(x) ax b→ − = + con 
a < 0 es biyectiva. Determine el valor de a + 
b. 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 11 E) 13 
 
49. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. Si f(x) = x3 + 1; x  R, entonces f es 
inyectiva. 
 
 
II. Si f(x) = x6 ; x  R, entonces f es biyectiva. 
Si f : R → R. 
III. Si f(x) = x + x ; x  R, entonces f es 
inyectiva. 
IV. Si f(x) = 3x; x  R, entonces f es biyectiva. 
Si f: R → R 
 
A) VFFV B) VVFV C) VVVV 
D) FFFV E) FFFF 
 
50. Si la función f / f: [2; 5] → [1; 4] es afin 
biyectiva y decreciente, determine f(3). 
 
A) – 6 B) – 3 C) 3 
D) 6 E) 9 
 
51. Si f es una función definida por 
f(x) = x + 4 x ; x  [0; 1], entonces la 
función inversa de f es: 
 
A) ( )  f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = − + +  
B) ( )  f x x 4 x 4; x 0; 5 = − +  
C) ( )  f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = + − +  
D) ( )  f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = + + +  
E) ( )  f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = − − +  
 
52. Acerca de la función f(x) 1 1 x= − − se 
tiene las proposiciones: 
 
I. f es una función par. 
II. El dominio de la función es [–1; 1]. 
III. Es una función acotada. 
Entonces, son correctas 
 
A) solo I B) solo II C) solo III 
D) I y II E) I, II y III 
 
53. Sean f y g funciones biyectivas tales que: 
2x x 3
f (x) , g(x)
x 3 x 3
 += =
− −
; si (go f) 
(u) = 3, halle (fo g) (u + 2). 
 
A) 
3
2
 B) 
5
2
 C) 
7
2
 
D) 
9
2
 E) 
11
2
 
 
54. Sea P(x) = 486 x5 + 3x – 32, indique el valor 
de verdad de: 
I. P(x) es creciente en R. 
II. P(x) = 0 tiene una raíz en 
1 2
;
3 3
. 
III. P(x) = 0 tiene 2 raíces reales. 
 
A) VVV B) VVF C) FVV 
D) FVF E) FFF 
 
55. Resuelva en x el sistema : 
2x 3y 12
x y 2
2x y 6
x 0
y 0
+ 
− 
+ 


 
Indicando el número de soluciones 
 A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
56. Si a, b, c  satisfacen: 
 
a 2b 8
b 2c 11
c 2a 8
a b c 10
+ 
+ 
+ 
+ + 
 
 Calcule : a2 + b2 + c2 
 A) 26 B) 27 C) 28 
 D) 29 E) 30 
 
57. Determine el valor de E = x2 + y2 + z2 si el 
siguiente sistema tiene soluciones enteras: 
 
2x y z 6
x y z 0
3 y z 5
x 0
+ − 
 − + − 

 + 


 
 
 A) 8 B) 10 C) 11 
 D) 14 E) 16 
 
 
 
58. Halle el valor máximo y el valor mínimo de la 
función objetivo C = 3x + 2y + 5 en 
la región de la figura. Dar como respuesta la 
suma de tales valores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 24 B) 28 C) 32 
 D) 36 E) 39 
 
59. Si la función objetivo z = ax + 3y, a > 0, toma 
un valor máximo de 39 en la región 
admisible mostrada, el valor de a es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A) 1 B) 2 C) 3 
 D) 4 E) 5 
 
60. Trace la región S definida por las 
restricciones dadas y marque sus vértices. 
Halle el valor máximo de C = 3x + y 
en S. 
 ( )
3x 4y 12
3x 2y 24
S 3x y 15
x 0
y 0
−  −
 + 

− 
 
 
 
 A) 9 B) 12 C) 15 
 D) 18 E) 21 
 
61. Trace la región S definida por las 
restricciones dadas y marque sus vértices. 
Halle el valor mínimo de C en S. C = 3x + 6y 
 ( )
2x 3y 12
2x 5y 16
S
x 0
y 0
+ 
 + 




 
 A) 12 B) 16 C) 19 
 D) 21 E) 23 
 
62. Un fabricante de raquetas de tenis obtiene 
una utilidad de $15 por cada raqueta de 
tamaño extra y $8 por una estándar. Para 
satisfacer la demanda de los distribuidores, 
la producción diaria del modelo extra debe 
ser entre 10 y 30 , y entre 30 y 80 del modelo 
estándar. A fin de conservar la máxima 
calidad, el total de raquetas producidas no 
debe ser mayor de 80 diarias ¿Cuántas de 
cada tipo deben fabricarse cada día para 
llevar al máximo la utilidad? Dar como 
respuesta el número óptimo de raquetas 
estándar. 
A) 28 B) 30 C) 38 
D) 46 E) 50 
 
63. La compañía FARMACOM fabrica dos 
productos para el colesterol; tricol y licol. 
Cada caja de tricol da una ganancia de $40; 
mientras que cada caja de licol da una 
ganancia de $50. La compañía debe fabricar 
al menos una caja de tricol por hora para 
satisfacer la demanda, pero no mas de 4, a 
causa de problemas de producción. 
Asimismo, el número de cajas de licol 
producidos no puede exceder los 5 por hora. 
Además el número de cajas de tricol 
producidos no puede exceder del número 
de cajas de licol. Si la compañía trabaja 18 
horas al día. ¿Cuántos de cada uno debe 
fabricar la compañía para obtener la máxima 
ganancia diaria? Indique dicha ganancia. 
A) $3410 B) $4100 C) $7380 
D) $9230 E) $8320 
 
64. Se va a organizar una planta de taller de 
automóviles donde van a trabajar 
y 
x 
(6; 2) 
(3; 5) 
(2; 0) (5; 0) 
(0; 4) 
(0; 2) 
y 
x 
(5; 2) 
(7; 0) 
(0; 4) 
(10; 3) 
 
 
electricistas y mecánicos. Por necesidades 
de mercado, es necesario que haya mayor o 
igual número de mecánicos que de 
electricistas y que el número de mecánicos 
no supere al doble que el de electricistas. En 
total hay disponibles 30 electricistas y 20 
mecánicos. El beneficio de la empresa por 
jornada es de 250 euros por electricista y 
200 euros por mecánico. ¿Cuántos 
trabajadores de cada clase deben elegirse 
para obtener el máximo beneficio y cuál es 
este? 
A) 10; 20 y 5000 euros 
B) 20; 20 y 9000 euros 
C) 20; 30 y 3500 euros 
D) 20; 30 y 9000 euros 
 
 
65. (Problema de la dieta) En granjas modelo se 
usa diariamente un mínimo de 800 libras (lb) 
de un alimento especial, que es una mezcla 
de maíz y soya, con las composiciones 
siguientes: 
 
 lb por lb de 
alimento 
 
Alimento Proteinas Fibras Costo($/lb) 
Maíz 0.09 0.02 0.30 
Soya 0.60 0.06 0.90 
Las necesidades dietéticas del alimento 
especial son un mínimo de 30% de 
proteínas y un máximo de 5% de fibras. 
Halle el costo mínimo diario 
 
 A) $437.64 B) $400.14 C) $500.52 
 D) $600 E) $700