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MATEMÁTICAS PARA LOS NEGOCIOS 2 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA SEMANA 10 LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante aplica la segunda derivada para determinar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo así como el criterio de la segunda derivada para determinar el tipo de extremo relativo. CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN El criterio de la Primera derivada nos da una idea de la grafica de una función pero; aún sabiendo que es creciente o decreciente en un intervalo, no explica la curvatura o concavidad. La segunda derivada termina por explicar como es la gráfica de una función porque nos da la curvatura o concavidad. 𝑨 𝑨 𝑩 𝑩 Sabemos que entre A y B la función es creciente, pero ¿cómo es la curva? CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN El criterio de la Segunda derivada nos da el intervalo donde la grafica es curva hacia arriba (Cóncava) o hacia abajo (Convexa) y el punto donde la curva cambia de concavidad conocida como el punto de inflexión. 𝑩 Cóncava Convexa Punto de Inflexión 𝑩 𝑩 Punto de Inflexión conocido como Mínimo Punto de Inflexión conocido como Máximo EJERCICIO EXPLICATIVO 1 Halle los intervalos de concavidad y puntos de inflexión de la 𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 2𝑥3 − 6 Paso 1: Se encuentra 𝑓′′ 𝑥 𝑓´ 𝑥 = 4𝑥3 + 6𝑥2 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥 2 + 12𝑥 Paso 2: Se iguala a cero 𝑓′′ 𝑥 y se resuelve la ecuación 𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 + 12𝑥 = 0 12𝑥 𝑥 + 1 = 0 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = −1 También son puntos críticos EJERCICIO EXPLICATIVO 1 Paso 3: se ubican en la recta real los puntos críticos −𝟏 𝟎 −∞ +∞ < −∞,−𝟏 > < −𝟏, 𝟎 > < 𝟎,+∞ > Los puntos críticos dividen a la recta en intervalos EJERCICIO EXPLICATIVO 2 Paso 4: Se analiza la segunda derivada en cada intervalo. < −∞,−𝟏 > < −𝟏, 𝟎 > < 𝟎,+∞ > Se recomienda poner 𝑓′′(𝑥) factorizada Elija un numero del intervalo y reemplace en la derivada − − +− ++ = − = + = + Cóncava arriba Cóncava abajo El punto donde cambia la curvatura se llama Punto de inflexión El proceso del criterio de la segunda derivada es idéntico al proceso del criterio de la primera derivada −𝟏 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 + 12𝑥 12𝑥 𝑥 + 1 = 0 Cóncava arriba Punto de inflexión 𝟎 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS Cuando aplica el criterio de la primera derivada y encuentra los puntos críticos, por ejemplo sea “c” un punto crítico. Halle la segunda derivada y evalúe en el punto crítico 𝒇′′ 𝒄 1. Si 𝒇´´ 𝒄 > 𝟎, entonces "c" es un mínimo. 2. Si 𝒇´´ 𝒄 < 𝟎, entonces “c”es un máximo Si 𝒇´´ 𝒄 = 𝟎, no sabemos y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada para determinar si 𝒄 es máximo o mínimo. EJERCICIO EXPLICATIVO 3 Encuentre los máximos y mínimos de: 𝑓 𝑥 = 18𝑥 − 2𝑥3 3 Sol. 𝑓´ 𝑥 = 18 − 2𝑥2 = 2 9 − 𝑥2 = 2(3 + 𝑥)(3 − 𝑥) 𝑓´´ 𝑥 = −4𝑥 𝑓´´ 3 = −4 3 = −12 < 0 ∴ 3 es un máximo Absoluto Valores críticos: 𝑥 = ± 3 𝑓´´ −3 = −4 −3 = 12 > 0 ∴ -3 es un mínimo Absoluto Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos: EJERCICIO EXPLICATIVO 3 Halle los máximos y mínimos de: 6𝑥4 − 8𝑥3 + 10 Sol. 𝑓´ 𝑥 = 24𝑥3 − 24𝑥2 = 24𝑥2 𝑥 − 1 𝑓´´ 𝑥 = 72𝑥2 − 48𝑥 𝑓´´ 0 = 72 0 2 − 48 0 = 0 ∴ No sabemos si es máximo o mínimo, debemos recurrir al criterio de la primera derivada 3 Valores críticos: 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1 De multiplicidad 2 Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos: EJERCICIO EXPLICATIVO 3 𝑓´´ 1 = 72 1 2 − 48 1 = 54 > 0 ∴ 1 es un mínimo Son 3 puntos críticos y no podemos determinar si es relativo o absoluto Debemos aplicar el criterio de la primera derivada si queremos resolver el ejercicio EJERCICIO EXPLICATICO 4 Hallar los puntos de inflexión y concavidad de la siguiente función: 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 4𝑥3 + 1 Solución: 1º Hallamos la primera y segunda derivada: 𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3 − 12𝑥2 𝑓 ′′ 𝑥 = 36𝑥2 − 24𝑥 2º Resolvemos 𝑓′′ 𝑥 = 0 36𝑥2 − 24𝑥 = 0 12𝑥(3𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 0 𝑥 = 2 3 También son puntos críticos 3º En orden coloca los puntos críticos en la recta real. 0 2 3−∞ +∞ < −∞,𝟎 > < 𝟎, 𝟐 𝟑 > < 𝟐 𝟑 ,+∞ > 4º Se analiza la segunda derivada en cada intervalo. < −∞,𝟎 > < 𝟎, 𝟐 𝟑 > < 𝟐 𝟑 , +∞ > Elija un numero del intervalo y reemplace en la derivada − − ++ = − = + = + Cóncava arriba Cóncava abajo El punto donde cambia la curvatura se llama Punto de inflexión Cóncava arriba Punto de inflexión 𝟎 𝑓′′ 𝑥 = 36𝑥2 − 24𝑥 12𝑥(3𝑥 − 2) = 0 + − 𝟐 𝟑 Se recomienda poner 𝑓′′(𝑥) factorizada EJERCICIO EXPLICATICO 4 EJERCICIO RETO Encuentre Máximos y Mínimos si existen; intervalos de crecimiento y decrecimiento; intervalos de concavidad y puntos de inflexión. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑥2 ¡Ahora todos a practicar!
