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IRWIN
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MECÁNICA DE SÓLIDOS
CONCEPTOS Y APLICACIONES
William B. Bickford
ÍNDICE GENERAL
U.C.V - B /R ' ¡n?crA
•R* Y 1 ^ ¿ U F C L 4
Lista de símbolos
1 INTRODUCCIÓN 2
1.1 Aplicaciones de la mecánica de sólidos 3
1.2 Áreas de aplicación 5
1.2.1 Vehículos aeroespaciales 5
1.2.2 Motor de combustión interna y chasis
de automóvil 6
1.2.3 Análisis estructural general 8
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de
sólidos 10
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de
sólidos 14
1.5 Conclusión 20
2 EQUILIBRIO Y ESFUERZO 22
2.1 Introducción 23
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 24
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 32
2.3.1 Definición formal y notación del
esfuerzo 32
2.3.2 Esfuerzos medios 38
2.4 Transformaciones de esfuerzos 51
2.5 Esfuerzos principales 59
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 68
2.7 Conclusión 76
86
3.4
3.5
M
3.7
3 DEFORMACION Y DEFORMACIÓN
UNITARIA 80
3.1 Introducción 81
3.2 Desplazamientos 81
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos
relativos 86
3.3.1 Deformación unitaria longitudinal
3.3.2 Deformación unitaria cortante 94
Relaciones generales entre deformaciones
unitarias y desplazamientos 100
Transformación de la deformación unitaria
105
Deformaciones unitarias principales 112
Círculo de Mohr para estados de deformación
unitaria bidimensionales 119
Medición de la deformación unitaria; galgas
extensiométricas 124
3.9 Conclusión 127
4 COMPORTAMIENTO Y PROPIEDADES DE
LOS MATERIALES 130
4.1 Introducción 131
4.2 Ensayo de tensión 136
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 139
4.3.1 Idealizaciones del comportamiento de
un material 145
4.4 Comportamientos dúctil y frágil 151
xvi índice general
4.5
4.6
Efectos térmicos 159
Comportamiento elástico lineal; ley de
Hooke 163
Materiales compuestos
6.5.1
4.6.1 173
4.7
M
4.9
Comportamiento dependiente del tiempo 178
Fatiga 180
Teorías de falla; criterios de falla 183
4.10 Esfuerzos de trabajo y coeficiente de
seguridad 198
4.11 Conclusión 204
5 DEFORMACIONES AXIALES 206
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Introducción 207
Equilibrio, deformación y comportamiento del
material 208
Soluciones clásicas 213
Problemas estáticamente indeterminados 230
5.4.1 Formulaciones de flexibilidad 232
5.4.2 Formulaciones de rigidez 240
Excepciones de la teoría 245
5.5.1 Concentraciones de esfuerzos 246
Carga 253
Comportamiento inelástico 255
Carga dinámica 263
Conclusión 267
5.5.2
5.5.3
6 DEFORMACIONES POR TORSION 274
6.1 Introducción 275
6.2 Equilibrio, deformación y comportamiento del
material 278
6.3 Soluciones clásicas 289
6.3.1 Transmisión de potencia mediante
árboles 307
6.4 Problemas estáticamente indeterminados 312
6.4.1 Formulaciones de flexibilidad 312
6.4.2 Formulaciones de rigidez 326
6.4.3 Visión global del problema de la
deformación por torsión 329
6.5 Excepciones de la teoría 330
6.5.2
Concentraciones de esfuerzos 331
Comportamiento inelástico 337
6.7
Torsión de secciones rectangulares y secciones
abiertas de pared delgada 347
Conclusión 356
7 DEFORMACIONES POR FLEXION:
CONSIDERACIONES DE RESISTENCIA
360
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Introducción 361
Cargas y ecuaciones de equilibrio 364
Diagramas de fuerza cortante y de momento
de flexión 370
7.3.1 Uso de secciones y diagramas de
cuerpo libre 371
7.3.2 Integración de las ecuaciones de
equilibrio 377
Deformación y relaciones entre deformaciones
unitarias y desplazamientos 392
Comportamiento del material: relaciones entre
esfuerzo y deformación unitaria 396
Combinación: ecuaciones que rigen en el
problema de la deformación por flexión 399
Esfuerzos de flexión en vigas 404
Esfuerzos cortantes transversales en vigas 425
7.8.1 Flujo de cortante en secciones
simétricas de pared delgada 436
Carga asimétrica y flexión de secciones
asimétricas 456
7.101 Centro de cortante 466
7.11 Excepciones de la teoría 473
7.11.1 Concentraciones de esfuerzos 473
7.1L2] Comportamiento no lineal e inelástico
de vigas 479
7.12 Conclusión 489
8 DEFORMACIONES POR FLEXION;
CONSIDERACIONES DE RIGIDEZ 496
8.1 Deflexiones transversales de vigas 497
8.1.1 Condiciones de frontera 498
7.9
índice general xvii
8 . 2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
[8Í9l
"sTo
Deflexiones usando la integración de
£ /v" = M 502
Deflexiones usando la integración de
El dAv/dxA = — V V ( . T ) 5 1 2 "
Desarrollo y uso de las funciones de
singularidad 515
Deflexiones usando superposición 527
Método de integración del área de momentos
para el cálculo de deflexiones 538
Problemas estáticamente indeterminados 548
8.7.1 Uso de la superposición 549
8.7.2 Integración de EIv" = M 559
Deformación por cortante en vigas 566
Carga dinámica 570
Conclusión y perspectiva de conjunto del
problema de la flexión 575
de desplazamiento; primer teorema de
Castigliano 677
10.4 Métodos de la energía complementaria y de la
flexibilidad 690
10.4.1 Energías complementarias para
elementos con cargas axial, de torsión
y de flexión 694
Análisis de estructuras usando
formulaciones basadas en la variable
de fuerza; primer teorema de Engesser
703
Métodos de la carga virtual 723
Estructuras estáticamente
indeterminadas; principio del trabajo
mínimo 732
10.5 Conclusión 744
10.4.2
10.4.3
10.4.4
9 CARGAS COMBINADAS 582
9.1 Introducción 583
9.2 Cargas axial y de flexión combinadas 585
9.3 Carga axial, de flexión y de torsión combinadas
613
9.4 Recipientes a presión de pared delgada 626
9.5 Límites en las aplicaciones de las cargas
combinadas 644
9.6 Conclusión 646
10 MÉTODOS ENERGÉTICOS 650
10.1 Introducción 651
10.2 Trabajo, energía y energía potencial
estacionaria 653
10.3 Métodos de la energía de deformación y de la
rigidez 666
10.3.1 Energías de deformación para
elementos con carga axial, de torsión y
de flexión 671
10.3.2 Análisis de estructuras usando
formulaciones basados en la variable
11 ESTABILIDAD 748
11.1 Introducción 749
11.2 Estabilidad de sistemas discretos 753
11.3 Columnas con extremos articulados; carga de
pandeo de Euler 763
11.4 Otras condiciones de apoyo y de frontera 773
11.5 Columnas imperfectas 785
11.6 Conclusión 794
APÉNDICES
A Propiedades de superficies planas 797
B Propiedades mecánicas de materiales de
ingeniería seleccionados 811
C Propiedades de perfiles estructurales de acero 813
D Fórmulas para el cálculo de deflexiones en
vigas 825
E Respuestas a problemas seleccionados 829
índice de materias 845
LISTA DE SÍMBOLOS
A área, punto
a, b, c dimensiones, distancias, constantes
C centroide, constante de integración, fuerza de compresión
c distancia del eje neutro a la superficie exterior de una viga
D desplazamiento (traslación o rotación), diámetro
d diámetro, dimensión, distancia
E módulo de elasticidad o módulo de Young
Es módulo de elasticidad secante
E, módulo de elasticidad tangente
e excentricidad, dimensión, distancia, cambio volumétrico
unitario (dilatación, deformación unitaria volumétrica)
F fuerza, flexibilidad
G módulo de elasticidad por cortante o módulo de corte
8 aceleración de la gravedad
H distancia, fuerza, reacción, caballos de potencia
h altura, dimensión
I momento de inercia (o segundo momento) de una superficie
plana
h, ly, h momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,yz
IXX producto de inercia con respecto a los ejes x y y
h momento polar de inercia
11,12 momentos principales de inercia
J constante de torsión
K factor de concentración de esfuerzos
k constante de resorte, rigidez
L longitud, distancia, longitud de un claro
Le longitud efectiva de una columna
In logaritmo natural
M momento de flexión, par, masa
Mp momento plástico en una viga
My momento de fluencia en una viga
m momento por unidad de longitud, masa por unidad de longitud
N fuerza axial
XX Lista de símbolos
n coeficiente de seguridad, número, relación,entero,
revoluciones por minuto (rpm;
O origen de coordenadas
P fuerza, carga concentrada, fuerza axial, potencia
fu]„, carga admisible (o carga de trabajo)
Per carga crítica de una columna
Pu carga última
Px carga de fluencia
p presión (fuerza por unidad de área)
Q fuerza, carga concentrada, momento estático (o momento de
primer orden) de una superficie plana
q valor de una carga distribuida (fuerza por unidad de longitud),
flujo de cortante
R reacción, radio, fuerza
r radio, distancia, radio de giro (r = \/l/~Á)
S módulo de sección de la sección transversal de una viga, centro
de cortante, rigidez, fuerza
s distancia, longitud a lo largo de una curva
T par de torsión, temperatura, esfuerzo de tensión
T„ par de torsión último
Ty par de torsión de fluencia
r espesor, valor de un par de torsión distribuido (par de torsión
por unidad de longitud)
U energía de deformación
uq densidad de energía de deformación (energía de deformación
por unidad de volumen)
U* energía complementaria
u d e n s i d a d de energía complementaria (energía complementaria
por unidad de volumen)
V fuerza cortante, volumen
v deflexión de una viga, velocidad
v',v", etc. dv/dx, d2v/dx2, etc.
W peso, trabajo
w carga por unidad de longitud (fuerza por unidad de longitud)
X redundante estática
x, y, z coordenadas rectangulares, distancias
x,y,z coordenadas del centroide
a ángulo, coeficiente de dilatación térmica, relación
adimensional, constante de resorte, rigidez
/3 ángulo, relación adimensional, constante de resorte, rigidez
y deformación unitaria cortante, peso específico (peso por
unidad de volumen)
XX Lista de símbolos
7xv. Tve 7zx deformaciones unitarias cortantes en los planos xy, yz, y zx
•ye deformación unitaria cortante para ejes inclinados
yX[ Vl deformación unitaria cortante en el plano xj y\
8, A deflexión, desplazamiento, alargamiento
e deformación unitaria normal
£-v> £y,ez deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y, y z
se deformación unitaria normal para ejes inclinados
e „ , eyx deformaciones unitarias normales en las direcciones x\ y yi
e\ ,e2, deformaciones unitarias normales principales
sy deformación unitaria de fluencia
0 ángulo, ángulo de torsión por unidad de longitud, ángulo de
rotación del eje de una viga
Bp ángulo medido respecto a un plano principal o respecto a un
eje principal
K curvatura (A: = 1 / p)
p radio, radío de curvatura, distancia radial en coordenadas
polares, densidad (masa por unidad de volumen, masa
específica)
v coeficiente de Poisson
cr esfuerzo normal
ax, crv, cr. esfuerzos normales en planos perpendiculares a los ejes x, y,
yz
o-g esfuerzo normal en un plano inclinado
crX|, crV] esfuerzos normales en planos perpendiculares a los ejes girados
xiyi
<Ti, o-2, í73 esfuerzos principales
cradm esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo)
crcr esfuerzo crítico de una columna (<7cr = PCI/A)
cr¡p límite proporcional
a r esfuerzo residual
í7„ esfuerzo último
<Ty esfuerzo de fluencia
t esfuerzo cortante
T.xy, ryz, r- t esfuerzos cortantes en planos perpendiculares a los ejes x, y, y
z y paralelos a los ejes y, j, y x
rg esfuerzo cortante en un plano inclinado
r J ] Vl cortante en un plano perpendicular al eje rotado x\ y paralelo
al eje yi
r a d m esfuerzo admisible (o esfuerzo de trabajo) cortante
r„ esfuerzo cortante último
Tv esfuerzo cortante de fluencia
<p ángulo, ángulo de torsión
t¡j relación adimensional
ü) velocidad angular, frecuencia angular (w = l i r f )
Lista de símbolos
Alfabeto Griego
A a Alfa N V Nu
B P Beta i Xi
r y G a m a O 0 Omicrón
A s Delta n 77 Pi
E e Epsilon P P Ro
Z i Zeta 2 a Sigma
H V Eta T T Tao
0 e Teta Y V Ypsilon
I L Iota $ <f> Fi
K K Kapa X X Chi
A A Lambda^P Psi
M P- Mu 0 OJ O m e g a
MECÁNICA DE SÓLIDOS
CONCEPTOS Y APLICACIONES
r
CAPÍTULO 1 Introducción
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
1.1 Aplicaciones de la mecánica de sólidos
1.2 Áreas de aplicación
1.2.1 Vehículos aeroespaciales
1.2.2 Motor de combustión interna y chasis de un automóvil
1.2.3 Análisis estructural general
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de sólidos
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos
1.5 Conclusión
^ 2
1.1 APLICACIONES DE LA MECÁNICA DE SÓLIDOS
Durante los últimos milenios se ha tenido un registro continuo de los logros
de la especie humana en la construcción de una gran variedad de estruc-
turas, máquinas, monumentos, etc., muchos de los cuales tuvieron gran
éxito no sólo en la época en que fueron construidos, sino que han pasado
la prueba del tiempo y existen en la actualidad. Las pirámides, los templos
griegos, el Coliseo romano, la gran cantidad de castillos en toda la faz del
planeta, han durado cientos y miles de años, algunos de ellos sirviendo a los
propósitos originales para los que fueron construidos. Durante esos mi-
lenios, la humanidad ha construido también otras estructuras, tales como
catapultas, barcos, puentes, que funcionaron con éxito durante un periodo
de tiempo más breve.
Antes de la mitad del siglo XVII, las estructuras se construyeron prin-
cipalmente con base en la experiencia. En cada generación, los "ingenie-
ros" tuvieron que pasar por largos aprendizajes de manos de técnicos con
más experiencia para dominar los gajes de su oficio, lo que implicaba, tal
vez, tantos fracasos como éxitos. No existe una clara evidencia de que
esos ingenieros de antaño hubieran desarrollado o tenido capacidad para
sustentar sus experimentos con cualquier tipo de "cálculos". Es un he-
cho interesante comprobar que los ingenieros del pasado lejano fueron
empleados principalmente para ayudar a sus jefes en sus guerras.
Algunos éxitos más recientes incluyen estructuras como la torre Eiffel
en París, la torre Sears en Chicago (el edificio más alto del mundo), el avión
comercial Boeing 747 y varios de los transbordadores espaciales. En una
escala menor, el automóvil, el taladro eléctrico, la bicicleta y muchos otros
artículos de uso diario son estructuras que realizan funciones de manera
rutinaria en el mundo real. Los relativamente pocos fracasos de estructuras
en el mundo moderno atestiguan el éxito de los ingenieros, cuyo trabajo
es una parte integral del diseño y construcción de máquinas y estructuras
de uso diario.
33
33 Capítulo 1 Introducción
Galileo Galilei (1564-1642)
Físico, astrónomo y matemático italiano;
efectuó experimentos para obtener la
resistencia de barras y vigas; fundó la
ciencia de la dinámica. (Fuente: Deutsches
Museum, Munich.)
Un acercamiento más o menos científico a la mecánica de sólidos o
resistencia de materiales, como se le llama a menudo, comenzó con Leo-
nardo da Vinci (1452-1519). Él fue el primero en aplicar los principios
de la estática para determinar las fuerzas internas en elementos estruc-
turales, y el primero en efectuar experimentos sobre la resistencia de los
materiales ingenieriles. El experimentó con alambres de hierro y con vi-
gas. Como resultado de sus ensayos en vigas concluyó que la resistencia de
una viga apoyada en ambos extremos varía inversamente con la longitud y
directamente con el ancho.
Si bien Galileo (1564-1642) es más conocido por la construcción, al-
rededor de 1609, de un telescopio y por sus posteriores contribuciones a
la astronomía, él también realizó los primeros intentos de aplicar lógica-
mente el análisis de esfuerzos. Sus resultados, publicados en Dos nuevas
ciencias en 1638, representan el principio de la ciencia de la resistencia
de materiales. Sus experimentos consistieron en simples ensayos de ten-
sión, de los que concluyó que la resistencia de una barra es proporcional
al área de su sección transversal e independiente de su longitud. También
efectuó experimentos sobre la flexión y concluyó, de manera incorrecta,
que los esfuerzos necesarios para contrarrestar la flexión se distribuyen de
modo uniforme sobre la sección transversal de la pieza. El famoso dibujo
asociadocon sus investigaciones sobre la flexión aparece en la cubierta de
Figura 1.1 Ilustración del ensayo de flexión de Galileo
1.2 Áreas de aplicación 28
este texto y también en la figura 1.1. En el caso de la viga en voladizo
observó que, para mantener una resistencia constante, las dimensiones de
la sección transversal deberían incrementarse en una proporción mayor
que la de su longitud.
Muchas otras personas, demasiadas para mencionarlas, contribuyeron
al desarrollo de la mecánica de sólidos o resistencia de materiales. Si
desea consultar relatos muy detallados e interesantes de la historia de la
resistencia de materiales, remítase a los libros A History ofElasticity and
Strength of Materials de I. Todhunter y K. Pearson, e History of Strength of
Materials de Stephen P Timoshenko.
1.2 ÁREAS DE APLICACIÓN
Las áreas de aplicación de la mecánica de sólidos son ilimitadas. Los au-
tomóviles, barcos, naves aéreas y espaciales, edificios y otras estructuras,
máquinas de todos los tamaños y formas, que efectúan una gran varie-
dad de funciones, requieren analizarse para ver si son "suficientemente
resistentes" y "suficientemente rígidos". Cualquier sistema mecánico que
debe funcionar en presencia de fuerzas, cambios de temperatura, etc., se
diseña en general para satisfacer requisitos de resistencia y flexibilidad de
acuerdo con los principios de la mecánica de sólidos. Usaremos el tér-
mino estructura para indicar cualquier sistema mecánico cuyo diseño esté
influido por la aplicación adecuada de los principios de la mecánica de
sólidos. A continuación se presentan diversas áreas de aplicación de la
mecánica de sólidos.
1.2.1 Vehículos aeroespaciales
Existen muchas aplicaciones de la mecánica de sólidos en el área de los
vehículos aeroespaciales. Entre éstos se encuentran los aeroplanos, los sa-
télites, los cohetes y los transbordadores. Los principales datos por consi-
derar para vehículos son:
1. Peso.
2. Fuerzas aerodinámicas (o sea, sustentación y arrastre).
3. Fuerzas de propulsión.
4. Fuerzas dinámicas o de aceleración debidas a maniobras.
5. Fuerzas de aterrizaje.
6. Cargas debidas a efectos aerodinámicos y al calentamiento solar.
Cualquier vehículo aeroespacial debe realizar sin interrupción su función
bajo la acción de cualquier combinación de estas acciones. A continuación
33
33 Capítulo 1 Introducción
se presentan dos ejemplos de las consideraciones típicas que se deben tener
en cuenta en los vehículos aeroespaciales.
Movimiento
Sustentación
Peso
Resultantes de
las fuerzas y
momentos
• internos
Arrastre
Figura 1.2 Ala típica de una aeronave
Ejemplo 1.1 Ala de una aeronave Las fuerzas que actúan sobre el ala de
cualquier aeronave son de naturaleza similar, ya sea que se trate del ala de una
pequeña avioneta comercial, de un avión comercial grande, de un caza supersónico
o de un transbordador espacial. Consideremos el ala de una aeronave típica como
la indicada en la figura 1.2.
Son de interés las fuerzas internas que deben estar presentes en una zona
característica a lo largo del ala para que ésta, o cualquiera de sus partes, se
encuentre en equilibrio. En esencia, lo que queremos determinar es si el ala
se comportará adecuadamente en las condiciones externas imperantes; o sea, ¿se
ha construido el ala con la resistencia y la rigidez suficientes?
Ejemplo 1.2 Avión caza aterrizando en un portaaviones Durante el aterrizaje
de un avión caza sobre la cubierta de un portaaviones, como se muestra en la
figura 1.3, aparecen fuerzas importantes. Pueden presentarse grandes fuerzas
verticales de desaceleración entre la cubierta y las ruedas del avión, además de
la fuerza horizontal en el cable que "agarra" al avión. El diseño estructural del
aparato debe ser tal que las fuerzas internas que éste es capaz de resistir, sean
suficientemente altas para que soporte muchos de estos aterrizajes.
Aceleraciones
Fuerzas 4 ^
de cubierta Fuerzas 4
de cubierta I
Fuerza
de "agarre"
Figura 1.3 Fuerzas debidas al aterrizaje de un
avión caza
1.2.2 Motor de combustión interna y chasis de un
automóvil
Muchos componentes de un motor de combustión interna y de un chasis
están sometidos a elevados niveles de fuerza y a cambios de temperatura.
Los datos por considerar para componentes típicos son:
1.2 Áreas de aplicación 28
28
1. Posibles temperaturas altas y gradientes de temperatura.
2. Presiones en la cámara de combustión.
3. Grandes cargas por aceleraciones traslacionales y angulares.
4. Fuerzas importantes de contacto entre engranajes.
5. Cargas provenientes de caminos accidentados.
Con un mantenimiento adecuado, se puede esperar que un motor moderno
de combustión interna y su chasis operen a lo largo de varios miles de
kilómetros sin fallas de consideración.
Ejemplo 1.3 Biela En la figura 1.4 se mues t ra una biela de un motor de
combust ión interna. La biela debe ser capaz de transmitir fuerzas ent re el émbolo
y el cigüeñal mientras está somet ida a considerables aceleraciones y fuerzas de
contacto en las zonas en que se conecta a los citados elementos .
Extremo del émbolo
Fuerzas
de contacto
Aceleración
Extremo del cigüeñal
Figura 1.4 Biela de un motor
de combustión interna
Ejemplo 1.4 Engranajes de una transmisión Duran t e el func ionamien to de
un automóvil la potencia generada por el motor se t ransmite a las ruedas traseras
por med io del t ren impulsor. La transmisión, que es par te del tren impulsor,
func iona mediante un sistema de engranajes . E n la figura 1.5a se mues t ra un
con jun to típico de engranajes . El par de torsión transmit ido a través del t ren
impulsor da como resul tado fuerzas en t re los dientes de los engranajes , como se
indica en la figura 1.5b. Los dientes de los engranajes deben ser suficientemente
fuer tes para transmitir esas fuerzas.
(b) Fuerza entre los dientes
(a) Sistema de engranajes (Cortesía de Boston Gear.) de engranajes
Figura 1.5 Disposición típica de engranajes
33
33 Capítulo 1 Introducción
1.2.3 Análisis estructural general
Los principios de la mecánica de sólidos son fundamentales para un diseño
y construcción correctos de cualquier estructura. A continuación se pre-
senta una amplia gama de estructuras de diversos tamaños, con las fuerzas
que actúan sobre ellas.
Ejemplo 1.5 Edificio de múltiples niveles Entre las diversas cargas que se
deben considerar en el diseño estructural de edificios de múltiples niveles están
las siguientes:
1. Peso de la estructura y su contenido.
2. Cargas de viento.
3. Movimientos de] suelo debido a sismos.
4. Cargas estructurales producidas por calentamiento solar.
Para resistir estas cargas, un rascacielos se debe diseñar de modo que sea
suficientemente fuerte y rígido. En la figura 1.6a se muestra un esquema de un
rascacielos típico, como el World Trade Center de Chicago.
(a) (b) DCL
(Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.6 Rascacielos típico
En la figura se indican las cargas de viento y de peso propio. El edificio debe
ser suficientemente fuerte para resistir las fuerzas y los momentos internos en
cualquier nivel debido a las cargas de viento y peso propio que actúan por encima
de ese nivel, como se indica er. la figura 1.6b. El edificio debe tener también la
suficiente rigidez para que los ocupantes de los pisos superiores no experimenten
1.2 Áreas de aplicación 28 28
un movimiento excesivo causado por la acción del viento. Las cargas de origen
térmico que resul tan del ca len tamien to solar también p u e d e n ser importantes .
Ejemplo 1.6 Buque de contenedores en un mar agitado U n buque de con-
tenedores con un peso de varios cientos de miles de toneladas es o t ro e jemplo
de es t ructura . En la figura 1.7 se mues t ra un buque de con tenedores en un mar
agitado. Si bien la presión en el casco varía de mane ra un i fo rme con la p ro fun-
didad en un mar en calma, la distribución de presiones sobre el casco en un m a r
agi tado seríam u c h o m e n o s uni forme. Deb ido a la masa ex t remadamente g rande
del buque de con tenedores , se p resen tan t ambién considerables cargas de inercia
ocasionadas p o r los movimientos de cabeceo, balanceo y desl izamiento. El buque
de con tenedores debe ser suf ic ientemente fue r t e para resistir las presiones hidráu-
licas necesar ias pa ra equilibrar su peso, las fuerzas de inercia y las distr ibuciones
no un i fo rmes de pres ión asociadas con el ma r agitado. También pueden ser de
importancia las cargas térmicas que resultan de la exposición al calor solar.
Figura 1.7 Buque de contenedores en un
mar agitado
Ejemplo 1.7 Alambre conductor de un microprocesador Por lo que respecta
a los t amaños , en la figura 1.8 se mues t ra un a lambre conductor muy delgado
de o ro que f o r m a pa r t e de u n p e q u e ñ o dispositivo electrónico. El a lambre, tal
vez con d i áme t ro de unas cuantas diezmilésimas de pulgada, conecta un chip de
mic rocompu tador con su en torno . El a lambre podr ía fo rmar par te de un instru-
m e n t o m o n t a d o en un vehículo aeroespacial que suele exper imentar aceleracio-
nes muy grandes como resul tado de vibraciones. Por ello, el a lambre debe ser
suf ic ientemente fue r t e pa ra resistir las fuerzas provocadas por las grandes acele-
raciones. Además , las corr ientes que pasan por el a lambre duran te la operación
del i n s t rumen to p u e d e n ocasionar cargas térmicas cíclicas; éstas también deben
considerarse .
Figura 1.8 Alambre conductor delgado de
oro en un dispositivo electrónico.
La primera unidad central de procesamiento
de un solo chip de 32 bits en el mundo,
encapsulada sobre un sustrato disipador de
calor; alimenta el computador de escritorio
HP 9000. (Fotografía por cortesía de
Hewlett-Packard Company.)
Las frases "suficientemente fuerte" y "suficientemente rígido", usa-
das en los ejemplos anteriores, son términos cuyos significados precisos
se examinarán en muchas ocasiones a lo largo del texto. Es común pre-
guntar si la resistencia de una estructura o sistema es adecuada en vez de
preguntar si es "suficientemente fuerte", aunque ambas frases tienen el
mismo significado. "Flexibilidad" es un término usado a menudo en con-
traposición con la idea de rigidez. Si las deformaciones de una estructura
33 Capítulo 1 Introducción
son muy grandes, se dice que la estructura es muy flexible o, de manera
alternativa, que no es suficientemente rígida. "Flexibilidad" y "rigidez"
son términos recíprocos, esto es, cuanto más grande es la flexibilidad, me-
nor es la rigidez. Por lo general, los requisitos de resistencia, más que los
de flexibilidad, son quienes rigen el diseño de una estructura; si ésta es
suficientemente fuerte para resistir las cargas a las que está sometida, su
rigidez suele ser adecuada. El ingeniero que diseñe una estructura debe
garantizar que tanto la resistencia como la rigidez sean las adecuadas para
satisfacer todos los requisitos.
1.3 LOS DOS PROBLEMAS BÁSICOS DE LA
MECÁNICA DE SÓLIDOS
De una cuidadosa consideración de los ejemplos anteriores se concluye
que son dos los problemas básicos que se deben abordar para calcular si el
diseño de determinada estructura es el adecuado. Uno de los problemas es
determinar la resistencia de la estructura; el otro es determinar su rigidez.
El problema de la resistencia se puede plantear de manera aproxi-
mada como sigue: dadas las cargas externas, determine las reacciones y las
correspondientes fuerzas internas presentes en la estructura. Luego deter-
mine si la resistencia de la estructura es adecuada para soportar las fuerzas
internas que resultan de las cargas. (Ésta es la parte "suficientemente
fuerte" de un problema de mecánica de sólidos.)
El problema de la rigidez tiene que ver sobre todo con las deforma-
ciones de la estructura. En general, por rigidez se entiende la resistencia a
la deformación. Para evitar deformaciones excesivas, es decir, demasiada
flexibilidad de la estructura, debemos determinar las deformaciones resul-
tantes de las cargas externas. (Ésta es la parte "suficientemente rígida" del
problema.)
En algunos casos es posible resolver primero el problema de la re-
sistencia y luego, usando los resultados obtenidos, proceder con una eva-
luación por separado de la rigidez. Esta situación corresponde al caso
estáticamente determinado que suele analizarse en los cursos de estática.
En el caso estáticamente indeterminado, los problemas de resistencia y
rigidez se deben considerar a la vez para determinar si la estructura es
suficientemente fuerte y rígida.
En capítulos posteriores veremos que para resolver ambos problemas
debemos tener información acerca de las propiedades de los materiales
de que está hecha la estructura. Por lo general, las propiedades del
material caen en una de estas dos categorías: las propiedades asociadas con
características de resistencia y las asociadas con características de rigidez.
En el capítulo 4 analizaremos con detalle las propiedades de los materiales.
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de sólidos 11
Como ejemplo de una consideración de resistencia, una estructura
compuesta de acero puede ser adecuada para resistir todas las cargas a
que esté sometida, mientras que una estructura de exactamente el mismo
tamaño y forma compuesta de madera, caucho o concreto u hormigón
puede no tener una resistencia adecuada. Las propiedades de resistencia
del material antes mencionadas se usan para evaluar la resistencia de una
estructura.
En forma similar, la rigidez de estructuras del mismo tamaño y forma
es diferente cuando éstas se componen de diferentes materiales, como
acero, madera, hule o concreto u hormigón. Las propiedades de rigidez
antes mencionadas se usan para evaluar la rigidez de la estructura.
Es pues necesario conocer las propiedades del material para contestar
preguntas sobre resistencia o rigidez. En los siguientes dos ejemplos se
analizan aspectos de resistencia y rigidez en estructuras sencillas.
Ejemplo 1.8 Consideremos el problema de un peso W, que es una carga externa,
colgado de u n a bar ra a tensión de peso por un idad de longitud w, como se indica
en la figura 1.9a. U n d iagrama de cuerpo libre de la bar ra a tensión mos t r ado en la
figura 1.9b indica que, p o r equilibrio, la reacción en el apoyo es igual a W + wL, el
peso total . El d iagrama de cuerpo libre de la figura 1.9c indica que en una posición
in termedia la fuerza interna T(x) = W + wx es de nuevo igual al peso por deba jo
de la seccióft cons iderada . D e p e n d i e n d o del d iámet ro de la bar ra a tensión y de
la magni tud del peso W + wL, es posible que la bar ra se rompa; es decir, quizá no
sea suf ic ien temente fuer te . Específ icamente, si el peso es muy g rande y la bar ra
está hecha de u n mater ia l re la t ivamente débil, como el caucho, la falla ( ro tura)
es muy p robab le a menos que el á rea de caucho de la bar ra sea muy grande . Por
el contrar io, si la bar ra a tensión está hecha de a lambre de acero, un d iámet ro
W
(a)
T =W + wL
1
wL
I r w
(b) DCL
T{x) = W + wx
W
(c) DCL
(Diagrama de cuerpo libre) (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.9 Peso W colgando de una barra a
tensión
33
33 Capítulo 1 Introducción
pequeño podría ser suficiente para soportar un peso W razonablemente grande.
Las propiedades del material se examinarían para determinar si la fuerza interna
T = W + wx es o no excesiva. Está claro entonces que la resistencia de la estructura
depende del material usado. Una medida de la rigidez de esta estructura se podría
obtener calculando el alargamiento total de la barra bajo la acción de los pesos W y
wL. Esto implicaría conocer propiedades relacionadas con la rigidez del material
empleado.
(a)
Figura 1.10
a la base y al
C
(b) DCL
(Diagrama de cuerpo libre)
Peso W unido mediante barras
techo
Ejemplo 1.9 En el ejemplo 1.8, el problema de equilibrio se resolvió fácilmenteal encontrar las fuerzas internas de manera que la resistencia de la estructura
se pudiera tratar en forma directa. Compare este problema con el siguiente, de
naturaleza similar. Dos barras, supuestas rectas y de sección transversal circular
para simplificar, se usan para soportar un peso W (una carga externa) como se
indica en la figura 1.10a.
En la figura 1.10b se muestra un diagrama de cuerpo libre de una parte de
la estructura en la que se muestran las fuerzas internas en ambas barras. Está
claro que el peso W, que es una carga externa, debe ser soportado por la fuerza de
tensión T en la parte superior de la estructura y por la fuerza de compresión C en
la parte inferior. T y C son fuerzas internas. La ecuación de equilibrio relacionada
con el requisito de que la fuerza resultante en la dirección vertical debe ser nula
obliga a que W = T + C, esto es, una ecuación y dos incógnitas (C y T). Así, para
este problema las fuerzas internas no se pueden determinar únicamente utilizando
la estática: la estructura se encuentra estáticamente indeterminada. No es posible
evaluar la resistencia de la estructura si no se conocen las fuerzas internas T y C.
Se necesitan ecuaciones que incluyan las deformaciones y las propiedades
de rigidez de la estructura para formular una ecuación adicional que nos permita
determinar las dos incógnitas, T y C. En otras palabras, es necesario complementar
la ecuación de equilibrio W = T + C con una ecuación que resulte de considerar
las deformaciones y el comportamiento del material de la estructura. Después de
resolver las ecuaciones para la fuerza y el deplazamiento incógnitos, es posible
evaluar tanto la resistencia como la rigidez de la estructura.
Estos dos ejemplos son típicos del carácter de los problemas de me-
cánica de sólidos en general. A lo largo del texto se le harán algunas pre-
guntas sobre la resistencia de una estructura y sobre la rigidez. Observe
que para una estructura estáticamente determinada, es posible resolver el
problema de la resistencia sin considerar la rigidez; una vez que el pro-
blema de la resistencia se ha resuelto, el problema de la rigidez se puede
solucionar usando los resultados del problema de la resistencia. Sin em-
bargo, para una estructura estáticamente indeterminada, la formulación
del problema debe incluir tanto las fuerzas internas como las relaciones
fuerza-desplazamiento. Una vez determinadas las fuerzas internas y las
deformaciones, es posible evaluar tanto la resistencia como la rigidez de la
estructura. Estas ideas se muestran en el diagrama de flujo de la figura 1.11.
1.3 Los dos problemas básicos de la mecánica de sólidos 36
Figura 1.11 Diagrama de flujo para la solución de problemas de estructuras
estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas
El procedimiento es como sigue: se escriben las ecuaciones de equi-
librio que relacionan las cargas externas con las reacciones y las fuerzas
internas. Si el número de fuerzas internas y reacciones es igual al número
de ecuaciones de equilibrio independientes, se dice que la estructura se
halla estáticamente determinada. En este caso se resuelven las ecuaciones
y se obtienen las reacciones y las fuerzas internas. Las fuerzas internas se
usan, junto con las propiedades de resistencia del material, para calcular la
resistencia de la estructura. La rigidez se puede entonces evaluar con base
en un análisis adicional independiente que tome en cuenta las propiedades
de rigidez del material.
En una estructura estáticamente indeterminada, el número de fuerzas
y reacciones excede al número de ecuaciones de equilibrio independien-
tes. Las ecuaciones adicionales deben suministrarse teniendo en cuenta
los desplazamientos y el comportamiento del material de la estructura.
Después de que las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones adicionales
de desplazamiento se han resuelto, es posible evaluar la resistencia y la
rigidez de la estructura. En cada caso, el resultado final es que se dis-
pone de información suficiente para responder preguntas relativas a los
dos problemas básicos.
33
33 Capítulo 1 Introducción
1.4 LAS TRES IDEAS BASICAS DE LA MECANICA DE SÓLIDOS
Sir Isaac Newton (1642-1727)
Matemático inglés que formuló las leyes de
la gravitación y del movimiento, así como los
fundamentos del cálculo diferencial. (Fuente:
Deutsches Museum, Munich.)
Recuerde de la mecánica básica, que hay en esencia dos componentes
para plantear y resolver un problema de estática o dinámica; éstos son
la cinética y la cinemática. Básicamente, la cinética tiene que ver con
la segunda ley de Newton, escrita usualmente como F = ma, o, en el
caso de un problema de estática, F = 0; es decir, no se tienen fuerzas
no equilibradas. La cinemática es la descripción de la geometría del
movimiento independientemente de sus causas o sus efectos. Recuerde
también que, en la mayor parte de la estática o de la dinámica, un cuerpo
se supone como partícula o como un cuerpo rígido.
La suposición de que un cuerpo es una partícula resulta una idealiza-
ción apropiada cuando el cuerpo se comporta como si fuese esencialmente
una masa puntual. El único movimiento que una partícula puede efectuar
es el de traslación; cualquier análisis de giro o deformación no tiene
sentido cuando se trata de una partícula. Para un problema de dinámica
de partículas, se construye un diagrama de cuerpo libre del cuerpo en
consideración y luego se usa para formular el lado F de la ecuación F = /na,
donde a es la aceleración del centro de masa. La ecuación F = ma se llama,
con frecuencia, ecuación de movimiento. En caso de que se conozca F,
se puede integrar a = F/m para determinar el movimiento del centro de
masa. Por otra parte, si se conoce a, entonces F se puede determinar con
facilidad. Para el caso especial e importante en que a es igual a cero, se
tendrá un problema de estática, con la ecuación F = 0 llamada entonces
ecuación de equilibrio.
La suposición de que un cuerpo de geometría finita es rígido cons-
tituye también una idealización caracterizada por el requisito de que dos
puntos cualesquiera en el cuerpo deben permanecer equidistantes inde-
pendientemente de cual sea el movimiento del cuerpo. Como se indica en
la figura 1.12, un cuerpo rígido se puede trasladar y hacer girar.
(a) Traslación (b) Giro
Figura 1.12 Movimientos de cuerpo rígido
(c) Traslación y giro
En un problema de dinámica de cuerpo rígido es necesario satisfacer
dos ecuaciones: F = ma, que describe el movimiento a del centro de masa
del cuerpo, y M = dH/dt, que describe el movimiento angular del cuerpo
respecto a su centro de masa. M es el momento de las fuerzas que actúan
sobre su cuerpo y H es su momento angular. Si a, la aceleración del centro
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos 1 5
de masa, y todos los términos del movimiento angular que contribuyen a
dH/dt son nulos, se tendrá nuevamente un problema de estática con las
dos ecuaciones de equilibrio F = 0 y M = 0. (Observe que para formular
un problema de dinámica de un cuerpo, sólo necesitamos conocer su masa
y sus momentos de inercia másicos. Una vez hecha la suposición de que el
cuerpo es rígido, la naturaleza del material o materiales de que está hecho
el cuerpo es irrelevante.)
Ningún cuerpo es verdaderamente rígido. Cualquier cuerpo real se
deforma, esto es, cambia su tamaño, su forma o ambos cuando se somete
a acciones mecánicas o térmicas. En la figura 1.13 se muestran ejemplos
de cambios de tamaño y forma. En la figura 1.13a aparece un globo cuyo
tamaño crece al aumentar la presión interna. En la figura 1.13b se muestra
una viga que cambia de forma bajo la acción de una carga transversal.
Cuando resulta apropiado considerar un cuerpo como deformable,
resulta obvio que es necesario relajar la suposición de que el cuerpo es
rígido. La relajación de esta suposición tiene dos consecuencias impor-
tantes. Primero, la cinemática de cuerpo rígido, que consistesólo en la
descripción de traslaciones y rotaciones, debe ser reemplazada por una
cinemática que sea capaz de describir los cambios de tamaño y de forma
asociados con la deformación del cuerpo. Segundo, dados dos cuerpos del
mismo tamaño y forma iniciales, constituidos por materiales diferentes y
sometidos a exactamente el mismo conjunto de acciones mecánicas y tér-
micas, las características cualitativas y cuantitativas de la deformación de
los dos cuerpos dependerá de sus materiales constitutivos. La relajación
de la suposición de que los cuerpos son rígidos tiene como resultado una
bifurcación con dos puntos por considerar:
1. La necesidad de un tipo de cinemática que sea capaz de describir las F i9 u r a 1-1 3 Deformaciones que implican
deformaciones del cuerpo. c a m b i o s d e t a m a ñ o * d e f o r m a
2. La necesidad de tener información sobre el comportamiento del mate-
rial del cuerpo.
El estudio de la mecánica de los cuerpos deformables se puede considerar
como una extensión del estudio de la estática y de la dinámica en el
sentido de que se requiere que el cuerpo se comporte de acuerdo con las
leyes del movimiento de Newton. Sin embargo, es necesario generalizar
la cinemática e incluir el comportamiento del material para describir
en forma completa la respuesta de un cuerpo deformable ante acciones
mecánicas y térmicas.
Con estas consideraciones en mente, esbozamos de la siguiente ma-
nera las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos:
1. Equilibrio. En el análisis de cualquier problema físico hay uno o más
principios físicos que sabemos verdaderos. Para la estática de los cuerpos
deformables, este principio físico básico se deriva de la segunda ley de
33
33 Capítulo 1 Introducción
Figura 1.14 Deformación de un perchero
Newton y establece que deben satisfacerse las ecuaciones de equilibrio
= = Usaremos estas ecuaciones, que contienen fuerzas y
momentos, para analizar el equilibrio global de un cuerpo deformable, así
como la manera en que las fuerzas y momentos se transmiten al interior
del cuerpo. En ocasiones usaremos una ecuación de movimiento en vez
de una ecuación de equilibrio como el principio físico básico que debe
satisfacerse. En todo caso, la primera idea básica implica la satisfacción
de las leyes de Newton. Los diagramas de cuerpo libre son indispensables
al considerar el equilibrio.
2. Descripción de la deformación. En contraste con un cuerpo rígido,
un cuerpo deformable es capaz de responder a acciones externas, como
fuerzas, cambios de temperatura y aceleraciones, por medio de cambios de
tamaño y forma. Por ejemplo, una banda de caucho se deforma alargán-
dose bajo la acción de una fuerza de tensión,* o sea, cambia su longitud.
En forma similar, una goma de borrar se puede deformar o flexionar a
partir de su forma original, que es aproximadamente rectangular, a una
forma curva final. En la mecánica de sólidos, la cinemática es el estudio
de los cambios geométricos que resultan de la deformación del cuerpo,
independientemente de las causas que los produzcan.
3. Comportamiento del material. El objetivo del estudio del comporta-
miento de los materiales es describir, tanto cualitativa como cuantitativa-
mente, las relaciones entre las deformaciones de un sólido y las fuerzas,
los cambios de temperatura y las aceleraciones que las causan. Como se
estableció en la sección 1.3, abordaremos aquellos aspectos del compor-
tamiento del material que tienen que ver con la resistencia y la rigidez.
Es un hecho bien conocido que ambos aspectos del comportamiento del
material, el cualitativo y el cuantitativo, se deben determinar en forma
experimental.
Otra consideración surge al pasar de la mecánica de los cuerpos rígi-
dos a la mecánica de los cuerpos deformables, con respecto a la diferencia
entre la configuración inicial o no deformada y la final o deformada del
cuerpo. En un problema de estática, donde el cuerpo se supone rígido, no
hay cambios en su tamaño o forma debido a cargas; las configuraciones
inicial y deformada son las mismas. Esto no es así para un cuerpo defor-
mable. La configuración de equilibrio de un cuerpo será necesariamente
la configuración deformada que resulta después de que se han aplicado las
cargas. Si las deformaciones son suficientemente grandes para cambiar en
forma significativa la configuración inicial, las ecuaciones de equilibrio de-
berán tomar en cuenta las deformaciones, que son parte de las incógnitas
del problema. El análisis de cuerpos sometidos a grandes deformaciones
es muy complejo y en general no se verá en este texto. La mayor parte de
'También conocida como tracción. (N. del R, T.)
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos 17
Como ilustración, tomemos un trozo de alambre de perchero; lo
colocamos en el borde de una mesa, como se indica en la figura 1.14a,
y le aplicamos una fuerza como se muestra en la figura 1.14b. Sabemos
que una fuerza relativamente pequeña puede producir una considerable
deflexión vertical en el alambre. Las configuraciones inicial y deformada
son sustancialmente diferentes. En particular, la posición de la carga ha
cambiado en forma apreciable, de manera que las ecuaciones de equilibrio
escritas para la configuración inicial no tendrán validez en la configuración
deformada.
Esbozaremos varios casos muy sencillos de cuerpos deformables e
indicaremos cómo se usan las tres ideas básicas para formular y obtener
las fuerzas internas y las deformaciones.
Ejemplo 1.10 Consideremos el problema de un resorte sometido a una fuerza
F como se muestra en la figura 1.15a.
F p ~ F
-vOfiD; ' —
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre) (c) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.15 Resorte cargado
Equilibrio Se supone que la fuerza externa F se aplica gradualmente de manera
que el problema se pueda analizar como un problema de equilibrio. En la fi-
gura 1.15b se muestra un diagrama de cuerpo libre del resorte completo. Determi-
namos la fuerza de reacción R proporcionada por el apoyo escribiendo la ecuación
de equilibrio para el resorte completo; ésta es
y Fx = F-R = 0,
que indica que la fuerza de reacción R es igual en magnitud a la fuerza aplicada F.
(Observe que éste es un ejemplo de un sistema estáticamente determinado ya que
todas las reacciones se pueden determinar planteando y resolviendo ecuaciones
de equilibrio.) Para determinar la fuerza interna en alguna sección a lo largo del
resorte, es necesario dibujar un diagrama de cuerpo libre de una parte del resorte
donde quede liberada la fuerza interna buscada, como se indica en la figura 1.15c.
Llamando P a la fuerza interna desconocida y escribiendo la ecuación de equilibrio
para el diagrama de cuerpo libre de la figura 1.15c, se obtiene
Fx = F - P = 0,
de donde se concluye que la fuerza interna P es también igual en magnitud a la
carga externa F. Si todo lo que se busca son las fuerzas internas, el problema está
resuelto. Las deformaciones y el comportamiento del material no participan en el
problema.
33
33 Capítulo 1 Introducción
Figura 1.16 Relación entre fuerza y
deflexión de un resorte
Deformaciones y comportamiento del material Si deseamos determinar el alarga-
miento del resorte, necesitamos información adicional sobre el comportamiento
de éste. Para un resorte, la información sobre la deformación y el comportamiento
del material está contenida en la relación "fuerza-deflexión" del resorte. La
"fuerza" en esta relación es el valor constante de la fuerza interna transmitida por el
resorte, mientras que la "deflexión" se refiere al alargamiento de éste. La relación
fuerza-deflexión, la cual se determina en forma experimental, tiene la forma típica
mostrada en la figura 1.16, donde / es la fuerza interna y S es el alargamiento. Se
muestran diferentes posibilidades del comportamiento básico del resorte.
Como se ve en la figura, la curva que refleja el comportamiento tiene una
porción aproximadamente lineal cerca delorigen, donde / = 0 y S = 0. Por esto,
un resorte cuyo comportamiento se puede considerar lineal recibe el nombre de
resorte lineal, y entonces la correspondiente relación fuerza-deflexión se expresa
como
/ = kS, (1.1)
donde k se denomina constante del resorte y representa la pendiente de la porción
lineal de la curva, como se indica en la figura 1.16.
La ecuación (1.1) se puede usar para determinar el alargamiento S del resorte,
de acuerdo con
5 = f / k ,
completándose así el problema de determinar las fuerzas internas y las deformacio-
nes. Para este caso idealizado, sólo el alargamiento total del resorte se determina
a partir de la formulación; los desplazamientos en otras secciones a lo largo del
resorte no se determinan específicamente. En los capítulos 5 a 8 se presentan las
formulaciones requeridas para obtener información detallada de este tipo.
Ejemplo 1.11 Consideremos el problema de dos resortes lineales cargados como
se muestra en la figura 1.17.
U m h
k \ ki
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 1.17 Dos resortes en serie
Ecuaciones de equilibrio La carga F se aplica gradualmente. En la figura 1.17b
se muestra un diagrama de cuerpo libre en el cual se exponen las fuerzas internas
en los dos resortes. El equilibrio requiere que
Y^ F = - / ! + F - h = 0
o bien
f i + f i = F (a)
1.4 Las tres ideas básicas de la mecánica de sólidos 42
El problema se encuentra estáticamente indeterminado, ya que sólo se tiene una
ecuación para determinar las dos fuerzas internas, f\ y f2. El problema de
determinar las fuerzas internas en los resortes no se puede resolver sin información
adicional.
Deformación y comportamiento del material Las ecuaciones adicionales para de-
terminar /i y f2 son proporcionadas pOr los enunciados relativos al comporta-
miento fuerza-desplazamiento de los resortes. En primer lugar, el enunciado sobre
la deformación se infiere sencillamente de la observación de que el alargamiento
del resorte 1 debe ser igual al acortamiento del resorte 2. Llamemos 8 a este valor.
En segundo lugar, si se supone que ambos resortes son lineales con constantes
de resorte ki y k2 respectivamente, entonces las relaciones fuerza-desplazamiento
para los resortes son
/i = M y fz — k2S (b)
Sustituyendo estas dos relaciones en la ecuación (a) se obtiene
(/ti + k2)S = F
o bien
5 = F/(k, + k2).
Las dos fuerzas internas se determinan a partir de las ecuaciones (b):
h=hF/{h +k2)
o bien (c)
h = k2F/(ki + k2).
Observe que la fuerza F se reparte entre los dos resortes según
/ 1 / / 2 = k\/k2.
Este resultado demuestra una de las propiedades fundamentales de las estructuras
lineales: cuando dos estructuras lineales se combinan (como en la Fig. 1.17) para
resistir una carga, las estructuras suministran fuerzas cuyos valores relativos son
proporcionales a sus rigideces; o sea, la más rígida de las dos estructuras absorbe
una mayor porción de la fuerza.
Vemos entonces que para resolver este problema estáticamente indetermi-
nado deben plantearse ecuaciones simultáneas que contengan tanto las fuerzas
internas f\ y f2 como la deformación 8. Este requisito de considerar simultánea-
mente el equilibrio, la deformación y el comportamiento del material en la for-
mulación y solución de un problema estáticamente indeterminado se presentará
muchas veces a lo largo del texto.
33 Capítulo 1 Introducción
1.5 CONCLUSIÓN
Los propósitos de este capítulo introductorio han sido tres. El primero
fue presentar al estudiante los aspectos de conjunto de la mecánica de
sólidos, sus diversas aplicaciones y la idea de que en el proceso de diseñar
una estructura, un ingeniero responsable debe considerar los efectos de
muchos tipos de entornos a los que puede exponerse la estructura. Las
condiciones mecánicas y térmicas con frecuencia dan lugar a las cargas
primarias, pero otros entornos como el eléctrico, el magnético y el químico
también pueden ser importantes y no deben ignorarse.
El segundo propósito fue identificar las dos preguntas básicas de inte-
rés en el análisis y diseño de una estructura: ¿(a) es la estructura suficiente-
mente fuerte y (b) es la estructura suficientemente rígida? Por lo general,
estas preguntas se formulan dentro del contexto de los posibles modos de
falla (rotura): "suficientemente fuerte" puede significar que la estructura
es capaz de proporcionar las fuerzas internas necesarias sin fracturarse;
"suficientemente rígida" puede significar que las deformaciones no son
excesivas y que la estructura no se pandea.
El tercer propósito fue animar al estudiante a pensaren la formulación
de problemas de mecánica de sólidos en términos de las tres ideas básicas:
1. Ecuaciones de equilibrio o ecuaciones de movimiento.
2. Geometría de !a deformación.
3. Comportamiento y propiedades del material.
Para responder preguntas sobre resistencia y rigidez, la formulación de
cualquier problema de mecánica de cuerpos deformabies delse incluir, ya
sea en forma explícita o implícita, cada una de esas ideas básicas. Siempre
que sea apropiado y posible, se indicará en el texto la aplicación de las tres
ideas básicas para plantear y solucionar problemas. Además, siempre que
el estudiante esté planteando y resolviendo un problema, deberá tener en
mente estas tres ideas básicas y verificar que se hayan considerado.
En la figura 1 .18 se presenta un cuadro de relaciones entre las tres ideas
básicas, el cual puede ser de utilidad para lograr un mejor entendimiento
de ellas.
La figura indica con claridad que la idea básica del comportamiento
del material proporciona un puente entre las variables de fuerza determina-
das en el estudio del equilibrio y las variables de desplazamiento descritas
en el análisis de la deformación. Sin este puente, sería imposible deter-
minar los desplazamientos en términos de las cargas externas que suelen
considerarse como datos del sistema.
Finalmente, recordemos que por problema de mecánica de sólidos
queremos decir que, en general, se desea determinar tanto las fuerzas
internas como las deformaciones que resultan de cualquier condición de
1.5 Conclusión
Figura 1.18 Relación entre las ideas básicas de la mecánica de sólidos
carga. El planteamiento y la solución de un problema estáticamente in-
determinado implica la consideración simultánea de las fuerzas internas y
las deformaciones, mientras que para un problema estáticamente determi-
nado, las fuerzas internas se pueden determinar en forma independiente,
para luego hacer un análisis por separado a fin de determinar las deforma-
ciones.
La formulación de un problema en mecánica de sólidos conduce a
una ecuación o conjunto de ecuaciones que se resuelven para determinar
las variables de fuerza y desplazamiento. Como en cualquier área de
la física, las ecuaciones deben ser dimensionalmente homogéneas, es
decir, las dimensiones de cada término de una ecuación deben ser las
mismas. El estudiante debería verificar regularmente las dimensiones de
las ecuaciones, para no olvidar las dimensiones de las cantidades en las
ecuaciones y también para garantizar la homogeneidad dimensional. En
los ejemplos y problemas de este texto se usarán tanto el sistema SI de
unidades, en el que la masa se mide en kilogramos, la fuerza en newtons,
la longitud en metros y el t iempo en segundos, así como también e! sistema
de unidades común en Estados Unidos, en el que la masa se mide en slugs,
la fuerza en libras, la longitud en pies y el tiempo en segundos.
CAPÍTULO 2 Equilibrio y esfuerzo
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
2.1 Introducción
2.2 Resultantes de las fuerzas internas
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas
2.3.1 Definición formal y notación del esfuerzo
2.3.2 Esfuerzos medios
2.4 Transformaciones de esfuerzos
2.5 Esfuerzos principales
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano
2.7 Conclusión
2.1 INTRODUCCIÓN
El equilibrio es el concepto básico contenido en las leyes de Newton para
elestudio de la mecánica de cuerpos deformabies. La segunda ley, que
establece que ^ F = 0yX)M = 0 para un cuerpo en equilibrio, y la tercera
ley que establece que la acción es igual a la reacción, forman la base para
nuestro estudio de las fuerzas externas e internas. En un problema de
mecánica de sólidos, los datos sobre fuerzas se refieren principalmente a
fuerzas externas de dos tipos básicos: fuerzas de acción a distancia, como la
gravedad, que están distribuidas sobre todo el cuerpo; y fuerzas aplicadas
a la superficie del cuerpo por medio del contacto directo con otro cuerpo.
En la figura 2.1a se muestra como ejemplo un cuerpo en reposo sobre una
superficie horizontal. El correspondiente diagrama de cuerpo libre de la
figura 2.1b muestra las fuerzas de contacto y las gravitatorias distribuidas
(fiierzas de acción a distancia) que dan como resultado el peso del cuerpo.
Estas fuerzas externas suelen producir deformaciones en el cuerpo, las
cuales son resistidas por las fuerzas internas. La distribución y la intensidad
de las fuerzas internas dan origen al concepto de esfuerzo (tensión), una
cantidad que debemos comprender para responder a las preguntas sobre
la resistencia del cuerpo.
El propósito de este capítulo es relacionar las fuerzas externas con
las fuerzas internas y luego empezar a relacionar las fuerzas internas
con los esfuerzos que se definirán a continuación. El resultado final es
que los esfuerzos quedan relacionados con las fuerzas externas. En este
capítulo y a lo largo del texto, el estudiante debe recordar continuamente
que el equilibrio es el concepto subyacente en las relaciones entre las
resultantes de las fuerzas externas e internas y también entre las resultantes
de las fuerzas internas y los esfuerzos.
Al igual que en la estática, la herramienta básica para todos los
análisis y problemas de este capítulo es el diagrama de cuerpo libre (DCL).
El diagrama de cuerpo libre se usa para desarrollar las ecuaciones de
Fuerzas
gravitatorias
distribuidas
Fuerzas de
contacto
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.1 Fuerzas gravitatorias
distribuidas y de contacto
23
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
equilibrio, o de movimiento si procede, de un cuerpo finito y de cualquier
parte de él. El diagrama de cuerpo libre se usa en la definición del esfuerzo
y en el análisis de las propiedades de éste. El diagrama de cuerpo libre
es una herramienta indispensable para el estudio de todos los aspectos
relacionados con el equilibrio.
2.2 RESULTANTES DE LAS FUERZAS INTERNAS
(a)
F
M )f Vv(normal)
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.2 Fuerza y momento
internos resultantes para un
problema tridimensional
En cualquier situación en que un cuerpo real se utiliza como una estructura,
se transmitirán fuerzas a través del cuerpo de acuerdo con los principios
de la transmisión de fuerzas analizados en estática. En la mecánica de los
cuerpos deformables estamos interesados en la distribución de las fuerzas
internas asociada con la transmisión de una fuerza, con el fin de determinar
si la resistencia del cuerpo es suficiente para soportar esas distribuciones
de fuerza interna. Como ejemplo, sólo tenemos que tomar un trozo de
tiza y "doblarla" hasta que se quiebre para ver que la resistencia del trozo
de tiza es insuficiente para transmitir las fuerzas internas asociadas con
el momento aplicado. La determinación de la distribución de las fuerzas
internas en un cuerpo es un paso muy importante para la formulación y
solución de los problemas de la mecánica de sólidos.
Por definición, las fuerzas internas son fuerzas invisibles que actúan en
el interior del cuerpo. Estas fuerzas aparecen en conexión con la capacidad
del cuerpo para resistir cambios de tamaño o forma, y sólo pueden "verse"
haciendo pasar un plano o planos imaginarios a través del cuerpo en el
lugar en que actúan la fuerza y el momento internos resultantes, cuyos
valores se buscan. Este procedimiento recibe el nombre de seccionado.
Si el cuerpo entero se halla en equilibrio bajo la acción de las fuerzas
externas, incluyendo las reacciones, cualquier parte del cuerpo obtenida
por seccionado del cuerpo debe estar también en equilibrio. Este requisito
de equilibrio para la parte considerada nos permite determinar la fuerza y
el momento resultantes que actúan sobre la superficie interna expuesta por
la sección. La fuerza y el momento así obtenidos se denominan resultantes
de las fuerzas internas. Observe que las resultantes de las fuerzas internas
se pueden determinar sólo dibujando un diagrama de cuerpo libre de la
parte considerada y exigiendo que se satisfaga el equilibrio. La distribución
precisa de las fuerzas asociadas con esas resultantes de las fuerzas internas
no se pueden conocer sin información adicional.
Para ilustrar específicamente el concepto, consideremos un cuerpo
sobre el que actúan fuerzas y momentos, como se muestra en la figura
2.2a.
Se supone que el cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de
las fuerzas externas F1 ; F 2 . . . , y las reacciones. Seccionamos el cuerpo
como se indica en la figura 2.2a y construimos un diagrama de cuerpo libre
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 25
de la parte del cuerpo que se encuentra a un lado de la sección, dibujando
las resultantes de las fuerzas internas F y M como se indica en la figura 2.2b.
Después de construir el diagrama de cuerpo libre, podemos escribir
las ecuaciones de equilibrio ^ F = 0 y ^ M = 0 para la parte seccionada
del cuerpo, a fin de determinar la fuerza y el momento interno F y M.
La importancia de dibujar correctamente el diagrama apropiado
de cuerpo libre debe resaltarse. Es el paso más importante en
la formulación y solución de un problema en la Mecánica de los
cuerpos deformabies.
Como ayuda en la ilustración de este paso, definimos un sistema
cartesiano de referencia local cuyo eje x es normal a la sección, como
se muestra en la figura 2.2b. Los ejes y y z están en el plano de la sección, y
junto con el eje x forman un sistema coordenado dextrógiro. En general, las
fuerzas internas transmitidas son estáticamente equivalentes a una fuerza
F y a un momento M que se determinan resolviendo las ecuaciones de
equilibrio, esto es: J2 F = 0 y Y, M = 0.
Observe que, de acuerdo con la tercera ley de Newton, si se hubiese
considerado la parte del cuerpo situada al otro lado de la sección en
la figura 2.2a, la fuerza y el momento internos habrían sido —F y —M
respectivamente. Observe también que si el origen del sistema coordenado
se hubiese situado en otro lugar de la cara expuesta, el momento resultante
M con respecto al nuevo origen habría sido en general diferente, mientras
que la fuerza resultante F habría permanecido idéntica.
Para una estructura que se supone bidimensional, como la mostrada
en la figura 2.3a, es suficiente dar por hecho que la fuerza interna consiste
en las dos componentes Fx y Fy en el plano, junto con un momento M
respecto al eje z.
Figura 2.3 Resultantes de las fuerzas internas para un problema bidimensional
Para el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 2.3b, las
ecuaciones de equilibrio necesarias son J2 Fx = 0, J2 Fy — 0 y ^ = 0,
que sirven para determinar la fuerza y el momento internos Fx, Fy y M
respectivamente.
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Para determinar las fuerzas internas desconocidas usando la técnica de
seccionado del cuerpo, es importante tener presente cuáles de las fuerzas
son exteriores y cuáles son internas. A continuación se presentan varios
ejemplos que ilustran esta idea.
Ejemplo 2.1 Consideremos el problema de una barra curva cargada con las
fuerzas externas colineales F, como se muestra en la figura 2.4a. En la figura 2.4b
se muestra un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda de la sección central
de la barra.
h
.L
t
(a)
Figura 2.4 Barra curva a tensión
(b) DCL (diagramade cuerpo libre)
El diagrama de cuerpo libre de la figura 2.4b muestra las tres posibles resul-
tantes de las fuerzas internas Fx, Fy y M y la fuerza externa F. Las ecuaciones de
equilibrio son
J2 Fx = -F + Fx = 0
YJFy = Fy = 0
M + hF = 0
de donde Fx = F, Fy = 0 y M — —Fh.
Ejemplo 2.2 Consideremos la barra uniforme con carga w0 uniformemente
distribuida y apoyada como se muestra en la figura 2.5a. En la figura 2.5b se
indica un diagrama de cuerpo libre de la barra.
Se deja al estudiante verificar, dibujando un diagrama de cuerpo libre de toda
la barra, que cada una de las reacciones es igual a w0L/2. Las ecuaciones de
equilibrio necesarias son
5 > = F, = O
=
~
w ° x + Fy = 0
y : M = M - + Oo*)^
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 27
de donde Fy = — wo(L/2 — x) y M = wgxfL — x)/2. Sobre el diagrama de cuerpo
libre de la figura 2.5b, la reacción w0L/2 y la carga distribuida total w0x son fuerzas
externas en tanto que Fx, Fy y M son fuerzas internas. Observe en la figura 2.5b
que la carga distribuida wo se puede reemplazar por su resultante wox, que actúa
en jc/2. Esto se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.6.
El estudiante debería verificar que de las tres ecuaciones de equilibrio se
obtiene de nuevo Fy — - wu(L/2 — x) y M = wox(L — x)/2. Observe con cuidado
que la sustitución de la carga distribuida por su resultante en el diagrama de cuerpo
libre de una sección de la barra es legítimo sólo después de haber escogido la sección
y de haber determinado la cantidad y posición de la carga implicada.
w0 w0
M
L H
2
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.5 Barra sometida a una carga distribuida
t
w0L
M
DCL (diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.6 Sustitución de
la carga distribuida por su
resultante
Ejemplo 2.3 Consideremos la barra uniforme con sección transversal A, densi-
dad p y longitud L, sobre la que actúa sólo su propio peso W = pAgL, como se
indica en la figura 2.7a.
w = pAg
i "
wL
wL
P(x)
( a ) (b) (c)
Figura 2.7 Barra colgada bajo la acción de su propio peso
A diferencia del ejemplo anterior, aquí la carga distribuida actúa en la
dirección del eje de la barra y no en la dirección perpendicular a su eje. La
intensidad de la carga distribuida se obtiene dividiendo el peso total W — wL =
pAgL entre la longitud L, lo que proporciona W/L = w = pAg, cuyas dimensiones
son F/L.
28 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Del diagrama de cuerpo libre de la barra entera, indicado en la figura 2.7b,
se ve que la única ecuación de equilibrio es
Fx = wL - R = 0
en donde R — wL = W, que es el peso de la barra. Para determinar la fuerza
interna P(x) en una posición x, medida desde la parte superior de la barra, se
dibuja un diagrama de cuerpo libre de la sección que queda arriba de x, como
se muestra en la figura 2.7c. La ecuación de equilibrio correspondiente es
^ F x = -wL + wx + P(x) = 0
que proporciona P(x) = w(L — x) para la fuerza interna transmitida. Observe que
cuando x = 0, P(0) = wL — R, igual que el valor obtenido antes, y que cuando
x = L, P(L) = 0, que significa que en la parte inferior de la barra no se transmite
ninguna fuerza. El estudiante deberá verificar este resultado considerando un
diagrama de cuerpo libre de la poición por debajo de la sección considerada.
PROBLEMAS
t
I
P. 2.1
2 P, 3 Pi P¡
P. 2.2
2.1-2.4 En cada uno de los siguientes problemas sea P(x) la fuerza axial interna
resultante, definida positiva cuando la barra está a tensión. Escoja la sección o
secciones y luego dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar
P(x) en cualquier posición a lo largo de la longitud de la barra; o sea, dibuje P(x')
como función de x. En los problemas 2.3 y 2.4, qa representa una carga uniforme
por unidad de longitud.
2.5 Una barra uniforme gira con velocidad angular constante co alrededor de
un eje que pasa por uno de sus extremos, como se indica en la figura. Dibuje un
diagrama de cuerpo libre para la porción indicada y use la segunda ley de Newton
para determinar la fuerza interna P(x). Recuerde que la fuerza requerida para
mantener el movimiento circular de tal cuerpo está dada por F = mra)2, donde r
es la distancia del eje al centro de masa del cuerpo de masa m.
N
<70
•fadüti!. â 'Wftm!'!!., iinmm-» •-.I-
I
P. 2.3
9o
L
i
P. 2.4
DCL de
•I esta sección
Ps. 2.5 y 2.6
12.61 Repita el problema 2.5 usando el principio de d'Alembert para determinar la
carga q{x) equivalente y luego integre dP/dx + q = 0 para determinar P{x).
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 29
Ps. 2.7 y 2.8
2.7 Una barra de sección transversal variable cuelga bajo su propio peso como
se muestra en la figura. El área varía linealmente con la posición a lo largo de la
barra, como se indica. Determine P(x) considerando que y es el peso específico
del material.
2.8 Repita el problema 2.7 considerando que la barra tiene una forma cónica con
radio r0 en su parte superior y rg/4 en su parte inferior.
2.9 Una zapata de concreto u hormigón tiene la forma piramidal mostrada. Está
cargada con una fuerza P = 1000 kN además de la carga debida a su propio peso.
Determine P(x) si: yConcreto = 25.4 kN/mJ, 5 = 4 m, 6 = l m y / / = 3 m .
2.10 Repita el problema 2.9 con P = 300 klb, yconcreto = 150 lbf/pie3, B =
15 pies, b = 4 pies y H = 10 pies.
12.111 Un cohete de 9 m de largo y 5000 kg de masa se modela como una barra
uniforme, según se indica. Si el empuje (suponiendo que se aplica en uno de sus
extremos) proporcionado por los motores del cohete produce una aceleración de
cuerpo rígido de 15 g, determine P(x).
Ps. 2.9 y 2.10
Empuje •
Ps. 2.11 y 2.12
|2.121 Repita el problema 2.11 considerando que la masa del cohete es de
300 lbf s2/pie y que su longitud es de 30 pies.
2.13 Considere el problema de una barra de longitud L sometida, en una porción
de su longitud e, a una carga distribuida constante qo, como se muestra. Dibuje
la fuerza resultante axial interna como función de x para varios valores de e/L.
Permita que la distancia s se reduzca y al mismo tiempo que qo crezca en forma tal
que el producto qoeF, esto es, una fuerza con una valor fijo. Esto muestra cómo
una carga concentrada se puede considerar como un caso límite de una carga
distribuida. Observe que cuando e tiende a cero, la intensidad de la carga qo debe
tender a infinito.
2.14-2.16 En cada uno de los problemas siguientes escoja las secciones y dibuje
los diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar P(x) en cualquier sección
a lo largo de la longitud de la barra; o sea, dibuje P(x) como función de x.
h — j
P. 2.13
Á
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
= - j )
P. 2.14
P. 2.17
i
6 fuerzas, cada una igual a p/6
^̂ ^̂ ^̂^ ^̂ ^̂ ^̂ ^
I
í W s ? o ( f )
6 @ |
P. 2.15 P. 2.16
2.17 Considere una barra de longitud L sometida, en una parte de su longitud,
por el par de torsión f0 distribuido uniformemente, como se muestra en la figura.
Dibuje el par de torsión interno resultante en función de je para varios valores
de e/L. Permita que la distancia e disminuya y que ío crezca al mismo tiempo de
manera que el producto toe — 7o, o sea, que resulte un par de torsión con un valor
fijo. Esto muestra cómo un "par de torsión concentrado" se puede considerar como
un caso límite de una carga de torsión (solicitación) uniformemente distribuida.
Observe que cuando s tiende a cero, la intensidad de la carga tn debe tender a
infinito.
2.18-2.20 En cada uno de los siguientes problemas sea T(x) el par de torsión
interno resultante, definido como positivo de acuerdo con la regla de la mano
derecha. Escoja las secciones y dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios
para determinar T(x) en cualquier sección a lo largo de la barra; luego dibuje T(x)
en función de x.
P. 2.18 P. 2.19 P. 2.20
2.21-2.25 En cada uno de los siguientes problemas, sean V(x) y M(x) la fuerza
interna y el momento interno respectivamente.Tome la dirección positiva de V y
M como se indica.
s
¡
2.2 Resultantes de las fuerzas internas 54
Usando las figuras P. 2.21 a P. 2.25 escoja la sección o secciones y dibuje los
diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar V(x) y M(x) en cualquier
posición a lo largo de la btirra; por tanto, dibuje V(x) en función de x y también
M(x) en función de x.
w0
i i i u }
I B E B i i i S E X l S E ^
P. 2.21 P. 2.22
P. 2.23
W0L
M0 c¿
P. 2.24
I "o
t m i l i
P. 2.25
2.26-2.29 En cada uno de los siguientes problemas considere que la estructura
es bidimensional, es decir, que se encuentra en un plano. Tome las resultantes
de las fuerzas internas como una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento.
Dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios para determinar las resultantes de
las fuerzas internas en cada una de las secciones indicadas. La notación [w] = FjL
indica que w, el peso por unidad de longitud, es la carga. En los problemas
2.26 y 2.27, las secciones A A y BB se hallan justo a la izquierda y justo arriba,
respectivamente, de las posiciones de las cargas o a la mitad de las barras, o en ambas
posiciones: En los problemas 2.28 y 2.29, las secciones AA y BB se encuentran a la
mitad de los segmentos y justo a un lado de las juntas, respectivamente.
2.30-2.32 En cada uno de los siguientes problemas considere que la estructura es
tridimensional, con la posibilidad de que se presente una fuerza axial y dos fuerzas
cortantes en la sección analizada, así como la posibilidad de que existan las tres
componentes de momento. Dibuje los diagramas de cuerpo libre necesarios para
determinar las resultantes de las fuerzas internas en cada una de las secciones
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
M = £
\
T
-JL\
-
P. 2.27
lA
m.
P. 2.28 P. 2.29
indicadas. La notación [w] = F/L indica que w, el peso por un idad de longitud,
es la carga.
P. 2.30 P. 2.31
2.3 ESFUERZO; DISTRIBUCIÓN DE LAS FUERZAS INTERNAS
El esfuerzo (tensión) es una cantidad que se define y que es indispensable
para formular y resolver problemas de la mecánica de los cuerpos deforma-
bles. El estudiante ya está familiarizado con varias situaciones físicas que
implican el concepto de esfuerzo, pero el cual no ha sido denominado de
esta forma. La presión, en sus muchas formas, es un ejemplo de lo que se
definirá como esfuerzo normal, mientras que una distribución de fuerzas
tangenciales asociadas con la fricción tiene algunas de las características
de lo que se definirá como esfuerzo cortante.
2.3.1 Definición formal y notación del esfuerzo
Para evaluar adecuadamente la resistencia de una estructura, es necesario
considerar al esfuerzo de una manera más general que simplemente como
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 33
una presión normal. En esta sección comenzaremos a desarrollar las
propiedades del esfuerzo que se necesitan para una evaluación más amplia
de la resistencia.
El esfuerzo (tensión) se define en un punto sobre una superficie. El
punto puede estar localizado sobre la superficie exterior o frontera (con-
torno) de un cuerpo deformable, como se indica en la figura 2.8a, o sobre
una superficie interna imaginaria resultante del proceso de seccionado,
como se indica en la figura 2.8b.
En el primer caso la superficie es definida por la normal n al plano
tangente en P, mientras que en el segundo caso la dirección de la normal
n es perpendicular al plano de la sección. En ambos casos la normal sirve
para definir la orientación de la superficie en el punto considerado. A
continuación definiremos formalmente el esfuerzo e investigaremos varias
de sus características.
Consideremos un cuerpo sometido, de manera general, a la acción de
fuerzas de cuerpo B y a las fuerzas de contacto F¡, como se indica en la
figura 2.9a.
(a) (b)
Figura 2.9 Cuerpo bajo la acción de fuerzas de masa y de superficie
Seccionemos el cuerpo a través de un plano, como se indica en la
figura 2.9b, que ponga de manifiesto las distribuciones de las fuerzas
internas que son estáticamente equivalentes a la fuerza y el momento
resultantes F y M. Consideremos un punto P sobre la superficie y un
área infinitesimal A A, como se muestra en la figura 2.10.
Asociada con el área infinitesimal A A hay en general una fuerza A F„
normal al plano y una fuerza AF, paralela al plano. El esfuerzo normal en
P sobre el plano cuya normal es n se define mediante el límite
(a)
(b)
Figura 2.8 Superficies
para la definición del
esfuerzo
lím ~=an(P)
AA—>0 A A " v '
(2.1)
J
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Figura 2.11 Esfuerzos
representados como
flechas
Figura 2.12 Sistema de coordenadas
cartesiano rectangular dextrógiro
Figura 2.10 Punto y plano para la definición de
esfuerzo
y tiene por dimensiones F/L2. Observe que crn{P) puede ser tanto negativa
comp positiva. Una crn ( P ) negativa indica un esfuerzo de compresión y una
cr„(P) positiva indica un esfuerzo de tensión.
El esfuerzo cortante* en P sobre el plano cuya normal es n se define
por el límite
(2 -2 )
y tiene también las dimensiones F/L1. En general no hay restricción para
la dirección del cortante en el punto P considerado; así, en el punto P es
posible que la fuerza AF, y, en consecuencia, el esfuerzo cortante r„(P)
tengan cualquier dirección en el plano de la sección. Observe también
que para el plano asociado con una sección dada a través del cuerpo, el
esfuerzo normal y el esfuerzo cortante serán en general diferentes en cada
punto P del plano.
Es común representar los esfuerzos por medio de flechas sobre un
croquis, como se indica en la figura 2.11. Sin embargo, recuerde que
lo que se está representando es, en realidad, una fuerza A F asociada
con el esfuerzo que actúa sobre el área A A en consideración, y que las
componentes de esfuerzo se deben multiplicar por un área apropiada antes
de incluirse en las ecuaciones de equilibrio como fuerzas del diagrama de
cuerpo libre.
Uno de los primeros pasos al formular un problema de mecánica de
sólidos es definir un sistema de ejes coordenados para describir posiciones,
desplazamientos y fuerzas. Los esfuerzos también se deben referir a
un sistema de coordenadas, a menudo un sistema cartesiano rectangular
dextrógiro como el mostrado en la figura 2.12a.
La notación para los esfuerzos referidos a ese sistema de referencia se
define como sigue. Considere primero una sección a través de un cuerpo
que sea paralela al plano yz, indicado en la figura 2.12b. Para un elemento
diferencial AA en un punto P sobre el plano imaginario, hay una fuerza
*Suele denominarse también tensión tangencial, de cizalladura o de corte. (N. del R. T.)
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 35
elemental AF que representamos como
AF = iA FX + j AFy + kA FZ
como se indica en la figura 2.12b. Las componentes de esfuerzo positivas
sobre esta cara se definen de acuerdo con
A FX
dx = lím —— AA—O AA
(2.3a)
Txy = hm —f AA—o AA
(2.3b)
txz = hm —— 2 AA-*0 AA
(2.3c)
Observe con cuidado que cuando la normal tiene la dirección x posi- F i g u r a 2 1 3 C o m p o n e n t e s d e e s f u e r z 0
tiva, los esfuerzos cortantes positivos rxy y txz tienen las direcciones yyz positivas
positivas, respectivamente.
La tercera ley de Newton apticada a «fuentes se í a l i entonces que
' c u a n d o la fcdttraü a Va cara t íeae Ja dirección * negaíiva,rlos esfuerzos
'. ;CórtatÉtea positivos rxy y tieaeít las direcciones y y t negativas,
Este procedimiento se puede repetir para planos cuyas normales
tienen las direcciones y y z . Para un estado de esfuerzo referido a un
sistema coordenado xyz, las componentes de esfuerzo positivas se indican
en la figura 2.13.
Cada esfuerzo en el conjunto de esfuerzos
O-x Txy Txz
Tyx O-y Tyz /
Tzx Tzy &Z
suele llamarse componente de esfuerzo. El conjunto de nueve esfuerzos
se llama tensor esfuerzo. El llamado carácter tensorial del esfuerzo se
reflejaen la manera en que éste se comporta bajo una transformación de
coordenadas; esto se verá más adelante en el capítulo. Tomando momentos
respecto a los ejes z, y, y x, respectivamente, se puede demostrar que
tx>. = ryx, txz = tzx y ryz = riy, de manera que sólo hay seis componentes
de esfuerzo independientes. La igualdad de esas componentes de esfuerzo
cortante implica la simetría del tensor esfuerzo. El significado práctico de
este resultado es que, en cualquier punto, los esfuerzos cortantes sobre dos
planos perpendiculares cualesquiera deben ser numéricamente iguales,
como se muestra en la figura 2.14.
Figura 2.14 Igualdad
de los esfuerzos
cortantes en un punto
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
p-esfuerzo
normal
Figura 2.15
cuerpo
Al aproximarse a la esquina P, el valor de la distribución del esfuerzo
cortante t\ debe ser igual al valor de la distribución del esfuerzo cortante
T2. En particular, si n o T2 fuera nulo en P, se infiere que ambos deberán
anularse en P.
Un aspecto importante del esfuerzo en un problema de mecánica
de sólidos tiene que ver con las fuerzas y los esfuerzos aplicados en la
frontera de un cuerpo. En relación con esto, consideremos la figura 2.15,
que representa la superficie de un cuerpo sobre el que actúan, en algunas
regiones, una distribución de esfuerzos normales p y una distribución de
esfuerzos cortantes s, como se muestra en la figura.
Si consideramos las componentes de esfuerzo en los puntos P\, P2 y
P-¡, está claro que
Esfuerzos en la frontera de un
en el punto P\
en el punto P2
en el punto P3
<r(Pi) = p(P,), T{P\) = 0
(r(P2) = 0, T(P2) = s(P2)
a(P3) = 0 , r ( P 3 ) = 0
En general, si no hay fuerzas de superficie o de contacto aplicadas en una
parte de la superficie de un cuerpo, se dice que esa parte de la superficie
está libre de esfuerzo; o sea, los esfuerzos normal y cortante desaparecen
en esa parte de la superficie. En el presente texto usaremos esta idea
principalmente para concluir que no puede haber una fuerza o un momento
resultante asociado con una superficie o una región de una superficie que
esté libre de esfuerzos.
Ejemplo 2.4 Considere una barra rectangular cargada con una pres ión un i fo rme
como se mues t ra en la figura 2.16.
Figura 2.16 Caras libres de esfuerzo en una barra uniformemente cargada
La barra está somet ida a esfuerzos cor tantes r ^ 0 apl icados en los extremos,
como se muest ra . En la cara superior, cr = — p y r = 0. E n las caras f rontal ,
t rasera e inferior, <x = r = 0, por lo que se t ra ta de caras libres de esfuerzo; de
esto concluimos que ni fuerzas ni m o m e n t o s se t ransmiten a través de esas caras.
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 37
E n muchas de las aplicaciones t ra tadas en este texto será impor tante reconocer
cuándo u n a cara es ta libre de esfuerzo.
En resumen, haremos las observaciones siguientes sobre las caracte-
rísticas esenciales del esfuerzo.
1. El esfuerzo se define en un punto sobre un plano tangente en la frontera
de un cuerpo, o en un punto sobre un plano imaginario en el interior de
un cuerpo.
2. Las dimensiones físicas del esfuerzo son FL~2, o fuerza por unidad
de área. Las unidades comunes del esfuerzo son libras fuerza por pul-
gada cuadrada (lbf/pulg2) o miles de libras fuerza por pulgada cuadrada
(klb/pulg2), newtons por metro cuadrado (N/m2) o pascales (Pa), y un mi-
llón de newtons por metro cuadrado (MPa).
3. La dirección del esfuerzo no está restringida; el esfuerzo normai puede
ser negativo o positivo y el esfuerzo cortante puede actuar en cualquier
dirección dentro del plano sobre el cual se define dicho esfuerzo.
4. El esfuerzo satisface la tercera ley de Newton. Sobre un plano interior
obtenido por seccionado, una componente de esfuerzo es o bien negativa
o bien positiva en ambos lados de la sección, con la dirección del esfuerzo
cortante opuesta en los dos lados de la sección (véase la Fig. 2.17). Esta
propiedad se deriva directamente del hecho de que las fuerzas usadas para
definir el esfuerzo satisfacen la tercera ley de Newton.
PROBLEMAS
2.33-2.36 D e t e r m i n e los valores de todas las componen tes de esfuerzo en cada
uno d e los b loques mostrados .
Figura 2.17 Propiedades del esfuerzo
según la tercera ley
4 klb/pulg2 50 MPa
80 MPa
P. 2.33 P. 2.34
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
25 klb/pulg
. ^ 20 k lb/o i i l s 2 '
30 klb/pulg- \ ! / 20 klb/pulg2
P. 2.35
2.37-2.40 Determine los valores de todas las componentes de esfuerzo en cada
uno de los bloques mostrados.
22 klb/pulg2
27 klb/piil;;-'
18 kl
27 klb/pul 22 klb/pulg
P. 2.38
72 MPa 180 MPa
47 MPa 142 MPa
P. 2.39 P. 2.40
2.3.2 Esfuerzos medios
Muchas estructuras se diseñan de manera que los componentes individua-
les transmiten ya sea fuerzas de tensión, de compresión o cortantes. Los
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 39
esfuerzos constituyen una medida de la distribución de la fuerza de tensión
o de compresión sobre la sección transversal, y están relacionados con
las fuerzas internas transmitidas a través de la sección. Una estimación
razonable de la capacidad de carga de un elemento estructural se puede
obtener calculando lo que se llama esfuerzo de tracción medio, esfuerzo de
compresión medio o esfuerzo cortante medio en la barra. Consideremos
el problema de una barra recta circular sobre la que actúa una fuerza axial
F, como se muestra en la figura 2.18a.
Definimos el esfuerzo normal medio, crmed, que actúa en una sección
típica como la mostrada en la figura 2.18b, como
Cerned
F
A
o bien, en forma equivalente, como F = crme¿ - A. El valor de <7-med se
determina dividiendo F, que es el valor de la fuerza interna transmitida,
entre el área A. La dimensión del esfuerzo normal medio es de fuerza
por unidad de área, esto es, [cr] = F/L2. El esfuerzo normal medio es
positivo o negativo, dependiendo de si la fuerza transmitida es de tensión
0 de compresión, respectivamente.
Para una barra de sección transversal cualquiera determinaremos, en
el capítulo 5, que la línea de acción de la fuerza transmitida debe pasar
por el centroide (centro de gravedad) de la sección transversal, a fin de
evaluar con precisión los esfuerzos con base en la ecuación a = P/A.
Si la fuerza no pasa por el centroide se tendrán efectos de flexión y los
esfuerzos no se pueden calcular entonces utilizando cr = P/A. Veremos
también con detalle en el capítulo 5 que a = P/A no es válida en la
vecindad de cambios bruscos del área transversal que pueden resultar de
agujeros, ranuras, etcétera.
En el sistema de unidades SI, la fuerza se mide en newtons (N) y el
área en metros cuadrados (m2). Entonces, 1 N/m 2 = 1 pascal o 1 Pa,
1 kN/m2 = 1 kPa, y 106 N/m 2 = 1 MPa. En el sistema inglés, la fuerza se
nade comúnmente en libras fuerza (lbf) y el área en pulgadas cuadradas
(pulg2). Entonces, 1000 lbf/pulg2 = 1 klb/pulg2. En ocasiones se utilizan
también las unidades de longitud en pies. Con 1 lbf = 4.448 N y 1 m =
3936 pulg, la conversión entre esfuerzos en los dos sistemas de unidades
i dada por
1 lbf/pulg2 = 4.448 N/(0.0254 m)2 = 6.891 x 103 Pa
o bien
(a)
°"med • A = F
Figura 2.18 Esfuerzo medio en una
barra sometida a una fuerza axial
1 klb/pulg2 = 6.891 MPa
Ejemplo 2.5 E n la figura 2.19a se mues t ra una es t ructura simple f o r m a d a por
d o s ba r ras rectas , cada una con á rea transversal de 1 pulg2 .
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
H
H
Figura 2.19 Estructura simple
En la figura 2.19b se muestra un diagrama de cuerpo libre de una parte de la
estructura cercana al punto B. Las ecuaciones de equilibrio son
^FX = C - T ^ = O
y
Fy = f - 10 000 lbf = 0
de donde T = 20 000 lbf y C = 17 320 lbf. T es la fuerza de tensión conocida que
es transmitida por la barra BC, de modo que podemos calcular el esfuerzo normal
medio (crmed)sc en la barra BC como
(o-.nedK = - f - = 20 000 lbf/1.0 pulg2= 20.0 klb/pulg2
ABC
En forma similar, el esfuerzo normal medio (crmed)/tfl en la barra AB es
(OMED)AB = = -17.320 lbf/1.0 pulg2 = -17.32 klb/pulg2
ABC
donde el signo negativo indica que se trata de un esfuerzo de compresión.
El uso del valor del esfuerzo normal medio para la barra BC supone que el
esfuerzo es constante sobre la sección considerada, como se indica en la figura 2.20a;
esto representa una posible distribución de esfuerzo cuya resultante es T.
Figura 2.20 Posibles distribuciones de esfuerzo en la barra BC
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 41
Cualquier otra distribución de esfuerzo normal que tenga la misma resultante,
como la distribución mostrada en la figura 2.20b, tendría un máximo que es mayor
que el valor medio. Por tanto, el esfuerzo normal medio proporciona un límite
inferior para el esfuerzo normal máximo real. Sin embargo, los valores del esfuerzo
normal medio calculados con a = F/A se usan comúnmente como una medida del
esfuerzo normal en una barra que transmita una fuerza de tensión o de compresión
aplicada en el centroide de su sección transversal.
Ejemplo 2.6 En la figura 2.21a se muestra un recipiente a presión cilindrico de
pared delgada con tapas semiesféricas de radio R. Determine el esfuerzo normal
medio en las paredes, en la zona central de la parte cilindrica del recipiente cuando
la presión interior es igual a p.
Solución Seccionando el recipiente a presión como se muestra en la figura 2.21a,
se obtieneel diagrama de cuerpo librede la figura 2.21b. Sobre el gas o fluido que se
ve actúa la presión uniforme que produce la fuerza centrada p • A = p • TTR2.
La fuerza interna en las paredes del recipiente debe equilibrar esta resultante de
la presión. El área sobre la que actúa la fuerza interna es A « lirRt, de manera
que el esfuerzo normal medio en el cilindro está dado por
Fx = -pirR2 + amti2wRt = 0
o bien
n- - 2 * &med- 2 ¡
esfuerzo que actúa sobre un plano normal al eje del cilindro. Cualesquier esfuerzos
cortantes que pudieran existir en la pared deben tener una resultante nula.
pvR2
Figura 2.21 Esfuerzos en
la pared en un recipiente
cilindrico a presión
Ejemplo 2.7 La resistencia en cortante de una junta pegada se determina a
menudo mediante un ensayo similar al mostrado en la figura 2.22a. Determine el
esfuerzo cortante medio en el pegamento.
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Solución Como puede verse en el diagrama de cuerpo libre de la parte inferior
del dispositivo de ensayo en la figura 2.22b, la fuerza total que debe transmitir el
pegamento es igual a la fuerza aplicada P. Observe que en el diagrama sólo se
muestran las fuerzas horizontales que actúan sobre el cuerpo libre. El esfuerzo
cortante medio en el pegamento se calcula fácilmente con la expresión
_P _ P rmed - A - {b L )
Figura 2.23 Conexión de cortante
simple
Ejemplo 2.8 Una de las aplicaciones más importantes del concepto de esfuerzo
medio es en el análisis de estructuras cuyos elementos individuales están conectados
entre sí por medio de pasadores. En la figura 2.23 se muestra uno de los tipos más
sencillos de esas conexiones.
Esta conexión se llama de cortante simple. "Cortante simple" significa que
la carga total se transmite por cortante en cierta sección del pasador. Al analizar
la manera en que las fuerzas se transmiten realmente a través de la conexión, se
presentan varios esfuerzos medios de interés. Consideremos el diagrama de cuerpo
libre del elemento B, como se indica en la figura 2.24a.
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 66
Como se ve en la figura, el esfuerzo normal medio está dado por <rme¿ =
I/área = T/(h • i), en puntos alejados del agujero. Por equilibrio, la fuerza
•emítante que actúa sobre la superficie interior del agujero, causada por el contacto
« • • el pasador, debe tener una resultante igual a T. Suponemos que la fuerza de
«•tacto sobre la superficie del agujero está asociada principalmente con presiones
: contacto, como se muestra en la figura 2.24b. La distribución real no se puede
•ocer sin un análisis detallado de esfuerzos del contacto entre el pasador y el
atiento. Como medida del esfuerzo de contacto calculamos un esfuerzo normal
sdio llamado esfuerzo de aplastamiento, que se define como
¿^aplastamiento : (t d)
t • d es el área proyectada como se indica en la figura 2.24c. Observe
un esfuerzo de aplastamiento es siempre de compresión. El esfuerzo de
ión máximo real entre el pasador y el agujero puede exceder al esfuerzo
aplastamiento en una cantidad considerable, dependiendo por ejemplo del
•juste entre el diámetro del agujero y el diámetro del pasador. Sin embargo,
me que el pasador o remache queda bien ajustado en el agujero y que el
de aplastamiento, calculado como se indicó arriba, se usa comúnmente
una medida del esfuerzo de compresión entre el pasador y el agujero.
Otro esfuerzo medio importante es el esfuerzo normal medio que actúa sobre
pMecáón mostrada en la figura 2.25, que es el área reducida asociada con la sección
és del agujero en el elemento 5 .
^med (h-d)t Omáx
(a) (b)
Figura 2.25 Esfuerzo normal medio y distribución real de esfuerzo
en el área reducida asociada con la sección a través del agujero.
Con el área reducida dada por A = (h — d)t, el esfuerzo normal medio es
= T/{h — d)t, que es claramente mayor que el esfuerzo normal medio en una
alejada del agujero. Como se indica en la figura 2.25b, el esfuerzo normal
que actúa sobre la sección que pasa por el agujero puede ser igual a varias
el valor medio debido al cambio brusco del area sobre la que actúa T. Esta
ión se analizará con mayor detalle en la sección relativa a concentraciones
dfc esfuerzos del capítulo 5.
Consideremos también el diagrama de cuerpo libre de la parte del pasador
está en contacto con el elemento B, como se muestra en la figura 2.26.
La resultante de la presión entre el pasador y el agujero, así como la resultante
Wt fas fuerzas internas, deben ser iguales a la carga T. La resultante de las fuerzas
T, Fuerza de
aplastamiento
resultante
Figura 2.26 Esfuerzo cortante medio
para el equilibrio de una parte del
pasador
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
internas tiene su origen en los esfuerzos cortantes que actúan sobre la cara que se
muestra del pasador. El esfuerzo cortante medio se calcula como
Tmed
Este esfuerzo cortante medio sirve para fijar un límite inferior al esfuerzo cortante
máximo real en la cara del pasador.
Figura 2.27 Conexión de cortante doble
Ejemplo 2.9 En la figura 2.27 se muestra otro método de conexión usando un
pasador. Determine los esfuerzos de aplastamiento, el esfuerzo cortante medio en
el pasador y el esfuerzo normal medio en una sección a través del pasador para
todas las barras. Considere que todas las barras tienen las dimensiones h y t y que
el diámetro de los agujeros es d.
Solución Esta manera de usar un pasador para transmitir la fuerza T se llama
comúnmente de cortante doble. Los diagramas de cuerpo libre del pasador y de
cada uno de los elementos se muestran en la figura 2.28.
Jad A =
T, Aplastamiento
JadA = T
T l
—, Aplastamiento
(c)
Figura 2.28 Diagramas de cuerpo libre para el cortante doble
Con referencia a los diagramas de cuerpo libre de la figura 2.28, los esfuerzos
de aplastamiento medios sobre la superficie de los agujeros en los elementos A y
B se pueden calcular como se hizo para el cortante simple, esto es,
^aplas tamiento —
T/2
(d-t)
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 68
el esfuerzo normal medio en las secciones a través de los agujeros en los
ratos A y B dado por
T/2
V m e d = ((h-d)t)
referencia a la figura 2.28b, el esfuerzo de aplastamiento medio en el agujero
demento C es
- T ^aplas tamiento — ^ ^
i el esfuerzo normal medio en una sección a través del agujero en el miembro
Cupial a
- T °"med ~ ((h - d)t)
Consideremos ahora el diagrama de cuerpo libredel pasador mostrado en
S i%nra 2.28c. Para determinar el esfuerzo cortante medio en el pasador, se
eran diferentes secciones del pasador correspondientes a las superficies de
(•elementos A y B como se indica en la figura 2.29.
T. Aplastamiento^-^ _
—, Aplastamiento
—, Cortante
2
' T
—, Aplastamiento
Figura 2.29 Diagramas de cuerpo libre de partes del pasador
Los diagramas de cuerpo libre indican con claridad que el pasador adquiere la
de la carga en cada sección. Por esta razón, se dice que el pasador trabaja en
doble. El esfuerzo cortante medio que actúa en cada una de las superficies
mostradas del pasador es
_ (T/2) 'med —
^pasador
Consideremos otra vez el diagrama de cuerpo libre de una parte del pasador
i cortante doble, suponiendo una presión de aplastamiento uniforme como se
i en la figura 2.30a.
Consideremos también una vista lateral del diagrama de cuerpo libre de una
c del pasador como se muestra en la figura 2.30b. Observe que el diagrama de
«•upo libre no puede ser correcto: una ecuación de momentos respecto a un eje
46 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
7 Cortante
T
— , Cortante
P2
(a) DCL
(b) DCL
(c) DCL
Figura 2.30 Diagrama de cuerpo libre de una parte de un pasador en cortante doble
perpendicular al plano del papel no se puede satisfacer. ¡Se viola el equilibrio! En la
figura 2.30c aparece una distribución razonable de presiones sobre el pasador, que
podría estar en equilibrio. Se pide al estudiante que analice esta posible solución
en los problemas al final de la sección. Calculado como en este ejemplo, el esfuerzo
de aplastamiento medio es sólo una aproximación a los esfuerzos reales que actúan
entre el pasador y la superficie del agujero.
En resumen, es razonable usar un esfuerzo normal medio o un es-
fuerzo cortante medio en aquellos casos en que la carga es simple, como
las cargas axiales de tensión y de compresión aplicadas en los elementos
rectos del ejemplo 2.5, como en la junta pegada del ejemplo 2.7 o como en
los pasadores de los ejemplos 2.8 y 2.9, los cuales transmiten una fuerza
cortante. Otros casos en que es también razonable usar esfuerzos medios
normal o cortante quedarán más claros después de estudiar los capítulos 5
2.41 Una mujer que pesa 115 lbf camina con tacones altos sobre el suelo, como
se muestra en la figura. Un análisis dinámico indica que un instante después de
que su tacón hace contacto con el piso, la fuerza de contacto es aproximadamente
igual a 1.8 veces su peso. Calcule la presión normal media entre el tacón y el piso,
suponiendo un área de contacto cuadrada.
al 8.
PROBLEMAS
< í» j"
I
P. 2.41 P. 2.42
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 47
El escritorio y su contenido pesan 240 lbf. Suponiendo que el área de
cada una de las patas y el piso sea un círculo con diámetro de 0.2 pulg,
I t f k d esfuerzo normal medio entre el piso y una pata.
| | Ea ta estructura mostrada, determine (a) los esfuerzos normales medios
Kb tas secciones reducidas en A y en C, (b) los esfuerzos de aplastamiento en A
• C ^ y (c) los esfuerzos cortantes en los pasadores que trabajan a cortante doble
lAytmC. Considere que todos los elementos son cuadrados con las siguientes
b = 2.0 pulg, todos los diámetros de los pasadores = 0.5 pulg y
r . P = 20 klb.
Repita el problema 2.43 con P = 80 kN, b = 45 mm, a = 36°; los diámetros
ires son ahora de 15 milímetros.
Jp La barra con sección transversal variable está cargada con fuerzas axiales
| M K muestra en la ñgura. Determine la fuerza interna en cada parte de la
pMjtBnje P(x) en función de x. Determine y dibuje el esfuerzo normal medio
^tmaóa de x. Considere: di = 2.0 pulg, d2 = 1.5 pulg, d-¡ = 2.75 pulg,
i*: 12 Hb, P2 = 15 klb y P3 = 20 klb.
W
•
r
I
r
r~
Ps. 2.45 y 2.46
Repita el problema 2.45 con di = 60 mm, d2 = 40 mm, ds = 55 mm,
» kN, Pz = 70 kNy P3 = 60 kN.
p Determine (a) el esfuerzo cortante medio en el pasador cuyo diámetro es
(ilS h , actuando en cortante simple y (b) los esfuerzos de aplastamiento en el
o í el elemento ABC. Todos los elementos tienen 25 mm de espesor en la
del pasador.
La disposición mostrada está diseñada para ensayar la resistencia de juntas
Si las dos piezas se separan cuando P = 1200 lbf, ¿cuál es la resistencia
del pegamento? Considere b = 4 pulg y el espesor de la junta
i = 4 pulgadas.
Repita el problema 2.48 con P = 6 kN, b •
pegada.
90 mm y 80 mm para el espesor
Ps. 2.43 y 2.44
3 kN
0.2 m 2 kN
P. 2.47
Junta pegada
P
Ps. 2.48 y 2.49
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
2.50 Una zapata de concreto descansa sobre la tierra como se muestra. Deter-
mine la presión media de apoyo entre la tierra y la zapata. Considere que el peso
específico del concreto es de 150 lbf/pie3, B = 40 pies, b = 10 pies y h = 30 pies.
2.51 En la zapata de concreto u hormigón del problema 2.50 determine el esfuerzo
promedio normal en función de x.
2.52 Dos placas están conectadas por una hilera de remaches como se muestra
en la figura. Despreciando la fricción y suponiendo que cada remache soporta
la misma fuerza, determine (a) el esfuerzo de aplastamiento máximo en la junta,
(b) el esfuerzo cortante medio en los remaches y (c) el esfuerzo de tensión medio
máximo en la placa. Considere que el diámetro de los remaches es de 0.5 pulg y
que P = 3 klb.
" 7 "
0.5 pulg
1.5 pulg
/ 3.0 pulg
-221
O ^ o
P. 2.52
2.53 Se desea conformar arandelas punzonando agujeros en placas circulares
como se muestra en la figura. Desarrolle una relación entre la fuerza P de
punzonado y el esfuerzo cortante en la placa circular.
2.3 Esfuerzo; distribución de las fuerzas internas 72
Ua elemento a tensión se forma pegando dos cubreplacas de 1.5 x 3.5 pul-
Si el esfuerzo cortante admisible del pegamento es de 200 lbf /pulg2, ¿cuál
r b longitud L de las cubreplacas para transmitir una carga de 6000 lbf?
r
0.5 p u l g — |
P. 2.54
t
1.5 pulg
Dos tubos circulares se conectan por medio de un pasador como se muestra
h fgara. Determine el esfuerzo cortante medio en el pasador y los esfuerzos
abastamiento en los tubos. Considere P = 1 0 kN, D = 90 mm, el espesor en
tobos igual a 8 mm y el diámetro del pasador igual a 10 milímetros.
Repita el problema 2.55 si se aplica un par de torsión T de 150N • m en vez
b a r g a axial P.
Dos tramos de tubo PVC se conectan pegándolos como se muestra en
Determine el esfuerzo cortante medio en el pegamento. Considere:
3 Hb pulg2, D = 3.0 pulg, L = 4.0 pulg y t = 0.1 pulgadas.
Repita el problema 2.57 si se aplica un par de torsión T de 6 klb • pulg en
le U fuerza axial P. Determine también el esfuerzo cortante medio en el tubo
~ pequeño.
La unión mostrada funciona insertando las dos clavijas de 0.3 pulg de
en los agujeros y aplicando una fuerza P. Si el par de torsión por
debe ser de 6 pulg • klb, ¿cuál será el esfuerzo cortante medio en una
i clavijas? Considere d = 4 pulgadas.
P. 2.59
El aspa de una podadora rotatoria de césped está conectada al árbol giratorio
Motor por medio de una chaveta de cortante, como se ve en la figura. Si el
de torsión transmitido es T, ¿cuál es el esfuerzo cortante medio en la chaveta?
re que la sección transversal de la chaveta es cuadrada de lado b.
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
2.611 Considere el diagrama de cuerpo libre de la chaveta del problema 2.60 como
se indica en la figura. Calcule los valores de las presiones de aplastamiento sobre
la chaveta suponiendo las distribuciones mostradas. Determine las magnitudes de
las presiones de aplastamiento y el esfuerzo cortante en la chaveta en función del
par de torsión T.
12.621 Una barra uniforme con una sección transversal de área A y densidad igual
a p gira alrededor de su centro con una velocidad angular a» como se muestra en
la figura. Determine el esfuerzo normal medio en función de la posición x.
x
12.631 Repita el problema 2.62 para la barra no uniforme de sección transversal
circularvariable que se muestra.
12.64] El diagrama de cuerpo libre de un pasador en cortante simple es como
se muestra en la figura: en lugar de una presión uniforme actuando sobre el
área proyectada de un lado del pasador, se ha supuesto que las presiones varían
linealmente sobre el área proyectada en ambos lados del pasador. Determine los
valores de p\ y p2 para que el pasador esté en equilibrio. ¿Cuál es la razón de p\
a la presión de aplastamiento media determinada de manera usual?
12.651 Considere el área idealizada de contacto entre el tacón y el piso del problema
2.41, de manera que el área sea circular y que la distribución de presiones reales
sea parabólica como se muestra en la figura. ¿Cuál es la presión máxima po en
función de la presión media pme¿l
2.4 Transformaciones de esfuerzos- 51
a2 - r2
P. 2.65
B adomóvil mostrado de 3500 lbm y tracción en su eje trasero acelera
del reposo a razón de (l/3)g. Calcule los esfuerzos normal y cortante
catre las llantas traseras y la carretera.
TRANSFORMACIONES DE ESFUERZOS
caerpo sometido a fuerzas como se indica en la figura 2.31, consi-
dos secciones planas diferentes que contengan al punto P y para
s las normales sean n y n', respectivamente, como se muestra
nas2.31a y 2.31c. Seancrx, rxyy r^los esfuerzos sobre el plano cuya
es a , y <7y, TX>Y> y TX<7> los esfuerzos sobre el plano cuya normal es
o s e indica en las figuras 2.31b y 2.31d, respectivamente.
C a n a punto P común a ambos planos, los dos conjuntos de esfuerzos
¡•ca general diferentes. El carácter de esta diferencia constituye la idea
| f de lo que se llama transformación de esfuerzos. Para entender
MÉonnación de esfuerzos debemos preguntarnos cómo dependen los
paos de La orientación del plano que pasa por el punto P. Usaremos
• septo de equilibrio para desarrollar las relaciones entre los esfuerzos
'TT ** "* en planos diferentes que pasan por el punto. Antes de analizar
•Mema de la transformación de esfuerzos en general, veremos varios
qAos específicos.
1.75 pies
P. 2.66
d
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
(a) Sección plana con normal n (b)
Figura 2.31 Planos diferentes por un punto P
(c) Sección plana con normal n' (d)
K " T
1 y "l
! * 1 1 M
(a)
fo <*o
C D
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
<ro
C D
(c) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.32 Esfuerzos en diferentes
planos de una barra en tensión pura
Ejemplo 2.10 Considere una barra sobre la que actúa una fuerza de tensión
como se indica en la figura 2.32a. Determine los esfuerzos medios en una sección
inclinada un ángulo 0.
Solución La figura 2.32b muestra un segmento de la barra sobre cuyas caras
actúa el esfuerzo medio cr0 = P/A. Las caras ABy CD están libres de esfuerzos. La
figura 2.32c muestra un elemento triangular, una de cuyas caras es vertical y sobre
ella actúa el esfuerzo normal ero; otra de sus caras está inclinada como se muestra,
con la normal a esta cara inclinada formando un ángulo 0 con la horizontal. CD es
de nuevo una cara libre de esfuerzos. Reconociendo que los esfuerzos cryr deben
ser tales que el elemento triangular se encuentre en equilibrio, una suma de las
fuerzas en las direcciones horizontal y vertical proporciona
FH = -<7-0 • A + (o- • Ae) eos 9 - (T • Ae) sen 9 = 0
y
Fh = + (<r • Ai) sen 9 - (r • Ae) eos 0 = 0
donde Ae = A/ eos 0 es el área de la cara AD. Observe que cada una de las
fuerzas o~oA, a As y rAe representa el esfuerzo medio multiplicado por el área
correspondiente. Estas dos ecuaciones se pueden resolver para obtener el esfuerzo
normal medio ero eos2 0 y el esfuerzo cortante medio r = -<x0 eos 0 sen 0; se ve que
el esfuerzo cortante medio en realidad actúa en la dirección opuesta a la supuesta
en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.32c. El esfuerzo cortante máximo se
presenta a 0 = 45° y tiene el valor r = —tro/2.
El punto importante es que sobre planos que no sean perpendiculares a la
dirección de la carga externa P, los esfuerzos que deben existir por equilibrio
consisten tanto en esfuerzos normales como en esfuerzos cortantes; o sea, los
esfuerzos sobre un plano en un punto dependen de la orientación del plano que
pase por el punto, aun cuando las cargas externas y las resultantes de las fuerzas
internas no cambien.
2.4 Transformaciones de esfuerzos- 53
2.11 Consideremos ahora el problema de un elemento cuadrado sobre
actúan esfuerzos cortantes, como se ve en la figura 2.33a. Determine el
normal medio y el esfuerzo cortante medio sobre las diagonales.
°2 T2
T„ T0 7-0
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre) (c) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
2 ^ 3 Elemento cuadrado a cortante puro
Los diagramas de cuerpo libre para secciones a lo largo de cada
se muestran en la figura 2.33b y 2.33c. Si A es el área de una de las caras
; que actúa el esfuerzo cortante to, la suma de fuerzas en las direcciones
üentes a cr\ y r\ en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.33b da:
F^ = (T\\Í2A - toA/V2 - tqA/VI = 0
Fn = T\\Í2A - TUA/\/2 + t 0 A / \ / 2 = 0
tr¡ = r0 y ti = 0. Para el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.33c, las
ecuaciones son
y ^ F<r2 = O-2V2A + T0A/V2 + T0A/V2 = 0
Fn = T2V2.A - t0A/V2 + TüA¡\Í2 = 0
donde <T2 = —TQ y TI = 0 . Entonces, sobre un elemento orientado a 45°
los esfuerzos mostrados en la figura 2.34, o sea, un esfuerzo de tensión de
! To en una dirección y un esfuerzo de compresión igual a ro en la dirección
Jar. Este ejemplo muestra una vez más que los esfuerzos en un punto
un plano dado dependen de la orientación de dicho plano.
Figura 2.34 Elemento a 45° para cortante
puro
El estado de esfuerzo en un punto P consiste generalmente en las seis
nentes de esfuerzo. Sin embargo, hay muchas aplicaciones en las
la geometría del cuerpo y la manera como éste está cargado son tales
el estado de esfuerzo es esencialmente bidimensional. Tal estado se
a menudo con una placa plana delgada cargada en su plano, como
w en la fig.2.35. La dirección z es normal al plano de la placa.
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Carga en
el plano
Cargas en
el plano (7, = Q
rzv = 0
Figura 2.35 Placa cargada en su plano; esfuerzo plano
Si las superficies z = constante de la placa están libres de esfuerzo
y la frontera de la placa está cargada por fuerzas independientes de la
coordenada z en el plano de la placa como se indica, se dice que la placa se
encuentra en un estado de esfuerzo plano. La hipótesis básica del estado
de esfuerzo plano es que las componentes de esfuerzo crz, ryz y rxz, que son
nulas en las dos superficies libres de la placa, son también nulas en
cualquier otra parte de ésta. Las únicas componentes no nulas del esfuerzo
son crx, o~y y rxy = ryx.
Consideremos el estado de esfuerzo en un punto P en el interior de
una placa, como se indica en la figura 2.36.
W
A
(a) (b) DCL (Diagrama de cuerpo libre) (c) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 2.36 Estados de esfuerzo plano en elementos con orientaciones diferentes
En la figura 2.36b se muestra un diagrama de cuerpo libre de un
elemento cuadrado infinitesimal en la proximidad de un punto P en la
placa. Los lados del elemento son paralelos a los ejes del sistema de
referencia de ejes xy en P y el espesor del elemento en la dirección
z se toma igual a t. Se considera que el elemento es suficientemente
pequeño, de modo que el valor del esfuerzo no varía a lo largo de las
dimensiones del elemento. Como se muestra, los esfuerzos que actúan
sobre las caras de los elementos son crx, ay y rxy = ryx. Consideremos
2.4 Transformaciones de esfuerzos- 55
los esfuerzos o y , o y y TX<}.> = TYX>, que actúan sobre otro
cuadrado infinitesimal con orientación diferente en P, como
i en la figura 2.36c. Los lados de este elemento son paralelos a
: dei sistema de referencia de ejes x'y' con origen en P. Para esta
: de esfuerzo plano, una transformación de esfuerzos relaciona las
de esfuerzo de los dos elementos con distintaorientación.
¡ en los dos ejemplos previos, una transformación de esfuerzos
;nte una consideración de equilibrio.
Consideremos ahora el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.37.
; con cuidado que la orientación de la cara inclinada está definida
I» normal a la cara. El ángulo 8 es el ángulo que tendría que girar el
* pora coincidir con la dirección del eje x'.
S« / es el espesor del elemento, las ecuaciones de equilibrio son
<?x
Figura 2.37 Diagrama de cuerpo libre para
deducir la transformación de esfuerzo plano
^ Fx> = o y tds — &xtdy e o s 8 — rxyt dy s e n 8
- rxyt dx e o s 8 - (Tyt dx s e n 0 = 0
Tx>ytds — crxt dy s e n 8 — Txyt dy e o s 8
+ t x y t dx s e n 9 — a-yt dx e o s 0 = 0
dy = ds eos 0 y dx = ds sen 0, estas dos ecuaciones de equilibrio
. calcularse para crx> y TX>Y>, obteniéndose
o y = ax eos2 d + £rv sen2 9 + 2rxy sen 9 eos 9 (2.4)
TZ'y' = -(ex ~ o">') eos 9 sen 9 + tx>.(cos2 9 - sen2 9) (2.5)
do TT 12 a 9, la componente de esfuerzo o y se puede expresar como
o y = (TY eos2 9 + crx sen2 9 — 2rxy sen 9 eos 9 (2.6)
ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6) son las ecuaciones de transformación
el esfuerzo plano. Dados los esfuerzos o y a y y iyv sobre dos planos
ndiculares que pasan por un punto P, se pueden determinar, usando
ecuaciones, los esfuerzos sobre cualquier otro plano que también
por P.
Usando las fórmulas del ángulo doble, cos 20 = (1 + cos20)/2,
9 = (1 — eos 20)/2 y 2 sen 9 eos 9 — sen 28, las ecuaciones de trans-
ación (2.4), (2.5) y (2.6) se pueden expresar como
crx + o\. cr. o-„
eos 28 - rxy sen 28 (2.7)
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
(Xy' = * a y - a * a y eos 28 - rxy sen 28 (2.8)
Tx,y, = - a* (Ty sen 28 + rxy eos 28 (2.9)
Estas formulaciones con ángulo doble para las ecuaciones de transforma-
ción serán muy útiles posteriormente.
Usando cualquiera de las formas de las ecuaciones de transformación
de esfuerzos, podemos observar que se cumplen las siguientes relaciones:
para 8 = 0 oy = o-x y 7y y — ~ry
para 8 = 77-/2 a y = cry y Tyy =
para 8 = 7r oy = <Tx y Tx'y = rxy
para 8 = 7>tt/2 o y = ay y Tyy = Txy
El estudiante deberá verificar que haciendo rxy = to, a x = a y = Oy0 = 45°
se obtienen los resultados del ejemplo 2.11.
Sumando las ecuaciones 2.7 y 2.8 se obtiene
o y + oy = a x + a y (2.10)
es decir, la suma de las componentes de esfuerzo normal sobre dos planos
perpendiculares cualesquiera en un punto, es una constante. Esta suma
se llama primer invariante de esfuerzo. Desde un punto de vista práctico,
este invariante se puede usar en casos en que crx y cry sean conocidos, o y se
haya calculado y se desee el valor de o y . Usando el primer invariante de
esfuerzo, oy se puede obtener con facilidad a partir de la ecuación (2.10)
como
cry = crx + ay - ax<
Se deja como ejercicio al estudiante demostrar, en los problemas, que-
existe también un segundo invariante de esfuerzo para el caso de esfuerzo
plano, dado por
(Tx<ry - (rxy)2 = o y o y - ( í y y ) 2 (2.11)
Ejemplo 2.12 Consideremos el problema de un elemento de madera cargado a
tensión como se muestra en la figura 2.38.
Este ejemplo sólo tiene por objeto ilustrar el uso de las ecuaciones de transfor-
mación; está claro que no sería adecuado alinear el grano de la madera de esta ma-
nera. Se puede intuir que la falla del elemento debe ocurrir a lo largo del grano, por
lo que interesaría conocer los niveles de esfuerzo sobre caras paralelas a éste. Con
referencia a la figura 2.38b, <rx = 2500 lbf/(3.5 pulg)(1.5 pulg) = 476 lbf/pulg2,
2.4 Transformaciones de esfuerzos- 57
3.5 pulg
2.5 klb
1.5 pulg
(a) (b)
2 3 8 Elemento de madera a tensión
=• y TI, = 0. Así mismo, 0 = 60° para la cara en que actúan <TxI y 7yy. Usando
;nes (2.4) y (2.5) se obtiene entonces
' = [476(0.5)2 + 0(0.866)2 + 2(0)(0.5)(0.866)] lbf/pulg2 = 119 lbf/pulg2
119 lb/pulg
357 lb/pulg :
206 lb/pulg'
357 lb/pulg
119 lb/pulg'
(c)
= [(0 - 476)(0.5)(0.866) + 0(0.52 - 0.8662)] lbf/pulg2 = -206 lbf/pulg2
ente, para el esfuerzo normal medio y el esfuerzo cortante medio
d plano. El signo negativo de rx>yi indica que el esfuerzo cortante actúa
hacia abajo en el plano, como se ve en la figura 2.38c. Usando la idea
:r invariante, el esfuerzo normal medio ay sobre un plano perpendicular
357 lbf/pulg2. En la figura 2.38c se muestran los esfuerzos sobre un elemento
con sus lados paralelos al grano. Muy probablemente estos valores se
para evaluar o predecir la falla del elemento.
Este ejemplo ilustra uno de los principales usos de las transformaciones de
: la determinación de los planos en el cuerpo en que se presenta el peor
de esfuerzo y por consiguiente donde es más probable que ocurra la falla,
estado de esfuerzo depende de las características del material de que
hecho el cuerpo; esto se estudiará en el capítulo 4.
LEMAS
1 Para cada una de las siguientes figuras trace un diagrama de cuerpo
y escriba las ecuaciones de equilibrio para determinar los esfuerzos normal y
sobre las caras inclinadas que se indican.
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
8 klb/pulg2
klb/pulg2 x X
N B I -
14 kib/
V
klb/pulg2
^ | 40 MPa
M56M 38 MPa
BMHHHHHm 1» klb/p
— l ^ B f —
T m ^ a m 130 ub
25 klb/pulg2
18 klb/pulg2
klb/pulg2
R
Ps. 2.67 y 2.82 Ps. 2.68 y 2.83 Ps. 2.69 y 2.84
130 MPa
118 MPa
Ps. 2.70 y 2.85
25 klb/pulg2
40 klb/pulg2
Ps. 2.71 y 2.86
90 MPa
V1
T 77 MPa
Ps. 2.72 y 2.87
600 lb/pulg2 350 kPa
Ps. 2.73 y 2.88
VE
T
Ps. 2.74 y 2.89
500 kPa
250 lb/pulg2
600 kPa 300 lb/pulg2
" Í B M Ü ^ l l 500*11
' t
lb/pulg2
Ps. 2.75 y 2.90
2.5 Esfuerzos principales 59
550 kPa
800 kPa
400 kPa
2.7 klb/pulg :
400 kPa
8 klb/pulg
600 kPa
Ps. 2.76 y 2.91 Ps. 2.77 y 2.92 Ps. 2.78 y 2.93
800 kPa
550 kPa
600 kPa
14 klb/pulg'
140 MPa
22 klb/pulg
180 MPa
Ps. 2.79 y 2.94 Ps. 2.80 y 2.95 Ps. 2.81 y 2.96
££2-2.96 Repita los problemas 2.67 a 2.81 usando las ecuaciones de transforma-
ción de esfuerzos.
2.97 Use las ecuaciones de transformación de esfuerzos para demostrar que
oyoy — (r<v)2 = CRXAY — (TXy)2 Esta combinación de esfuerzos se conoce como
segundo invariante de esfuerzos para el estado de esfuerzo plano.
2.5 ESFUERZOS PRINCIPALES
Las estructuras reales están compuestas de materiales reales. Cualquier
material real falla al someterse a un esfuerzo suficientemente grande.
Muchas teorías de falla que se estudiarán en el capítulo 4 se basan en
evidencia experimental que indica que los materiales fallan cuando el
esfuerzo normal o cortante en un punto alcanza un valor crítico. Resulta
entonces necesario poder determinar los esfuerzos normal y cortante
máximos dentro de un cuerpo para compararlos con los valores críticos
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
asociados con las teorías de falla. Los esfuerzos normales máximo y
mínimo en un punto se llaman esfuerzos principales. En esta sección
desarrollaremos los medios para determinar los esfuerzos principales y el
esfuerzo cortante máximo para una condición de esfuerzo plano.
Para el caso del esfuerzo plano analizado en la sección anterior,
desarrollamos las ecuaciones de transformación de esfuerzos
<Tr + <TV <Tr — CT L >ti -L ,t y- + * 0 y eos 26 + Txy sen 29 (2.12)
ov - erv 'y •x'y' — ~ i ixy sen 29 + rxy eos 29 (2.13)
Dados ax, (Ty y rxy en un punto P, oy y Tx>y< son funciones de d. De
acuerdo con el análisis anterior, es deseable poder determinar los valores
máximos (o mínimos) de esos esfuerzos y los planos sobre los que actúan.
El máximo (o mínimo) posible de o y ' se obtiene igualando a cero su
derivada respecto a 9, esto es,
0 = = -(< tx - (Ty) sen 20 + 2 r ^ c o s 2 9 d9
de donde
eos 29
con las dos soluciones distintas
sen 29 „„ 2rxy „ .. = tan 29 = (2.14)
1 , 2tvv
9X = - t a n - 1
^ - i 2T,
0 2 = tan 1 í
2 V <Tx-
- <?i + ir ¡2
+7T
O", y
Los dos planos definidos por 8\ y 02 se conocen como planos principa-
les. Observe que los dosplanos principales son perpendiculares. Observe
también que haciendo v / = 0 resulta
sen 26 _ 2rxy
eos 28 ax - (Ty
que es precisamente la ecuación (2.14), obtenida en la búsqueda de los
esfuerzos normales máximo y mínimo.
2.5 Esfuerzos principales 84
De hecho, ésta es una definición alternativa de los planos principa-
les, o sea, aquellos planos en los que el esfuerzo cortante es nulo.
Sustituyendo las soluciones de la ecuación (2.14) en la ecuación (2.12),
los valores de los esfuerzos normales en esos dos planos son
que se denominan esfuerzos principales. Se sugiere al lector verificar que
el esfuerzo cortante sea nulo sobre ambos planos principales. Los valo-
res máximo (o mínimo) posibles del esfuerzo cortante en P se obtienen
haciendo
cIT > '
*y = 0 = ~(crx - ay) eos 28 - 2rxy sen 28
u8
de donde
tan 2 8 = - { ( T x ~ ( T y ) (2.16)
¿>Txy
Observe que los miembros derechos de las ecuaciones (2.14) y (2.16)
son inversos y opuestos entre sí, lo cual indica que los valores 28 de las
soluciones de las dos ecuaciones están separados por 90°. De esto se infiere
que el ángulo entre las direcciones de los esfuerzos principales y el esfuerzo
cortante máximo es de 45°. Los valores de los esfuerzos cortantes máximos
correspondientes se pueden determinar sustituyendo las soluciones para 8
de las ecuaciones (2.16) en la ecuación (2.13) y son
7"máx,mín — i
Por tanto, los dos planos en que se presentan los esfuerzos cortantes
máximos están entonces separados también por 90° y son planos que
bisecan los planos principales. A diferencia de los planos principales, en
los que no existe esfuerzo cortante, los planos en los que actúa el esfuerzo
cortante máximo no están libres de esfuerzo normal. Sustituyendo los
valores 8 para los planos de esfuerzo cortante máximo en la ecuación (2.12),
se puede demostrar que el esfuerzo normal en ambos planos asociados con
el esfuerzo cortante máximo es
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
Toda esta información se muestra en forma muy clara en la figura
2.39. Las direcciones de los planos principales y los esfuerzos principales
correspondientes se muestran en la figura 2.39b, mientras que los esfuerzos
cortantes máximos y los planos en que actúan se muestran en la figura 2.39c.
CTy
(c) Planos de esfuerzo
cortante máximo
Figura 2.39 Valores y posiciones de los esfuerzos principales, planos principales y esfuerzos
cortantes máximos
Observe que si el elemento sobre el que actúan los esfuerzos princi-
pales se representa con un cuadrado, la orientación de los planos en los
que actúan los esfuerzos cortantes máximos se puede obtener dibujando
la diagonal o diagonales del elemento de esfuerzos principales, como se
observa en las figuras 2.39b y 2.39c.
Ejemplo 2.13 En la figura 2.40a se indica el elemento que representa el estado
de esfuerzo para tensión pura, dado por crx = S y cry — rxy = 0. Sustituyendo en
la ecuación (2.14) para los planos principales se obtiene
t a n 2 * = ( l ^ = 0
de donde Q\ = 0 y 82 = ir¡2, valores que corresponden a los planos originales.
Este resultado se pudo haber anticipado ya que no existe esfuerzo cortante en las
caras del elemento original. De cualquier manera, los esfuerzos principales son
cr\ = S y cr2 = 0. Usando la ecuación (2.16), los esfuerzos cortantes máximos se
presentan cuando
de donde 20 = -77-/2. Entonces 0 es igual a {~n¡\) y el esfuerzo cortante máximo
está dado por la ecuación (2.17) como
7"máx — S ¡2
2.5 Esfuerzos principales 86
Cmín = 0
2 4 0 Información sobre los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos
: pura
i normal en esos dos planos es (S + 0)/2 = 5/2. En la figura 2.40b se
los elementos que contienen toda esta información.
2.14 En la figura 2.41a se indica el elemento que representa el estado
i para cortante puro, dado por Txy = 5 y crx = ay = 0. Sustituyendo en
:cn (2.14) para los planos principales se obtiene
2 S
t a n 2 < ? = ( 0 3 0 ) = ° °
28 = TT/2 con 6\ = TT/A y 6I = 3TT/A. Usando la ecuación (2.15), los
principales son
(7U = (0 + 0)/2 ±
0 + 0
+ S2 = ±5
i en planos a 45°, como se muestra en la figura 2.41b. Los esfuerzos cortantes
: actúan sobre planos para los cuales
tan 20 = 2 0 ( S - 0 )
donde 20 = 0 y 26 = ir, con 0 = 0 y 0 = ir¡2. Las direcciones originales
entan los planos sobre los que actúan los esfuerzos cortantes máximos.
En la figura 2.41b se muestran los elementos que contienen toda esta infor-
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
(a) (b)
Figura 2.41 Información sobre los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos
en cortante puro
Ejemplo 2.15 En la figura 2.42a se muestran los esfuerzos que actúan en un punto
P de un elemento en esfuerzo plano. Determine los esfuerzos y planos principales
y el esfuerzo cortante máximo. Dibuje los elementos sobre los que actúan.
klb/pulg2
9 klb/pulg2
I 8.4 kll
— 3
klb/pulg
1-85 klb/pulg
9.473 klb/pulg2 V V ^
¡ \ V
U¡5 klb/pulg2
i 5.773 klb/pulg1 1 -85 k l b /P u ' g 2
7.623 klb/pulg2
t
15.39°
(a)
Figura 2.42 Estado de esfuerzo plano
(b)
Solución Sustituyendo en la ecuación (2.14) para las posiciones de los esfuerzos
principales se obtiene
-3900
t a n 2 g = 2 4 7 0 0 - ( - 8 4 0 0 ) — 0 5 9 5 4
de donde 20] = -30.77° o 6\ = -15.39°. 02 se puede tomar igual a (-105.39°)
o a 74.61°. Sustituyendo los valores de 6\ y 6j en la ecuación (2.12) resulta
ai = 5773 lbf/pulg2 y cr2 = -9473 lbf/pulg2. El valor del esfuerzo cortante
máximo, dado por la ecuación (2.17), es rmáx = 7623 lbf/pulg2 y se presenta en
los planos que bisecan los planos principales. En la figura 2.42b aparecer, las
direcciones de los planos principales y los esfuerzos principales correspondientes,
junto con los esfuerzos cortantes máximos y los planos sobre los que actúan.
2.5 Esfuerzos principales 88
Todos los resultados de esta sección relativos a esfuerzos principales
y esfuerzo cortante máximo se basan en el supuesto de que se trata de
• • estado de esfuerzo plano, el cual, como se indicó en la figura 2.35, se
caracteriza por CRZ = TZX — RZY — 0. Como un plano principal es un plano
<r\
^ T = 1 . 7 , 1 / 2
(a)
0-3=0
Figura 2.43 Esfuerzos cortantes máximos
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
en el que no existe esfuerzo cortante, se infiere que la cara z es un plano
principal. Consideremos entonces el elemento en que actúan los esfuerzos
principales a \ y o-2, mostrado en la figura 2.43.
Este mismo elemento se muestra en la figura 2.43b visto a lo largo
de cada uno de los ejes principales. El valor del esfuerzo cortante so-
bre el plano bisector a 45° se muestra en cada caso. Si cr\ y cr2 tie-
nen el mismo signo, tanto \a-i\/2 como |cr2|/2 serán mayores que el es-
fuerzo cortante | cr\ - ct2 | /2 en el plano, de donde se concluye que el es-
fuerzo cortante máximo en el punto no es el esfuerzo cortante \o-\ - CT-2|/2
en el plano. El esfuerzo cortante máximo resulta ser
ra b s = m á x d ^ l / 2 , |CT2|/2, \ai - cr2 |/2)
y se le llamará esfuerzo cortante máximo absoluto. El estudiante debe
recordar que tiene que seleccionar el mayor de esos tres valores cuando
determine el esfuerzo cortante máximo absoluto en un punto de un cuerpo
en estado de esfuerzo plano.
Ejemplo 2.16 Para el estado de esfuerzo dado por crx = 10 klb/pulg2, rry =
6 klb/pulg2 y rxy = 4 klb/pulg2, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto.
Solución Los esfuerzos principales están dados por
o-j.2 = j (10 + 6)/2 ± y + j + 4 2 1 klb/pulg2 = (8 ± 4.47) klb/pulg2
= 12.47 klb/pulg2 y 3.53 klb/pulg2
El esfuerzo cortante máximo en el plano es de 4.47 klb/pulg2 y los esfuerzos cortan-
tes sobre los otros dos planos a 45° son T = 12.47/2 klb/pulg2 = 6.24 klb/pulg2 y
T = 3.53/2 klb/pulg2 = 1.77 klb/pulg2, por lo que
rabs = 6.24 klb/pulg2
que no coincide con el valor máximo en el plano.
PROBLEMAS
2.98-2.112 En cada uno de los siguientes problemas, determine los esfuerzos
principalesy muéstrelos sobre elementos apropiadamente orientados. Deter-
mine el esfuerzo cortante máximo en el plano, el esfuerzo normal correspondiente
y el elemento apropiadamente orientado sobre el cual actúan. Determine también
el esfuerzo cortante máximo absoluto.
2.5 Esfuerzos principales 67
X
8 klb/pulg2
6 klb/pulg2
I 4 klb 4 klb/pulg
X
• t '
T
2^8 y 2.113
-56 MPa
T 38 MPa
Ps. 2.99 y 2.114
X 2.5 klb/pulg2 18 klb/pulg2
- 1 30 klb/pulg
2
Ps. 2.100 y 2.115
25 klb/pulg2
130 MPa
118 MPa
2.101 y 2.116
40 klb/pulg2
Ps. 2.102 y 2.117
X 90 MPa
77 MPa
T
Ps. 2.103 y 2.118
X 600 lb/pulg2 450 lb/pulg2
H
X
900 lb/pulg2
T
350 kPá | 250 lb/pulg2
600 kPa 300 lb/pulg2
500 kPa | ' j« 500 kPa 1 | ^
T
500 lb/pulg2
T
l y 2.119 Ps. 2.105 y 2.120 Ps. 2.106 y 2.121
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
550 kPa
2.7 klb/pulg'
•800 kPa
400 kPa
3 klb/pulg2 400 kPa
•1.8 klb/pulg2
600 kPa
Ps. 2.107 y 2.122 Ps. 2.108 y 2.123 Ps. 2.109 y 2.124
800 kPa
H
T
14 klb/pulg'
1 - 550 kPa
18 klb/pulg2
600 kPa
140 MPa
180 MPa
22 klb/pulg2
Ps. 2.110 y 2.125 Ps. 2.111 y 2.126 Ps. 2.112 y 2.127
Ot to M o h r (1835-1918)
Ingeniero civil alemán que desarrolló el
círculo de esfuerzo llamado círculo de Mohr.
2.6 CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO
En la última sección usamos las ecuaciones de transformación de esfuer-
zos para determinar esfuerzos principales, planos principales y el esfuerzo
cortante máximo para estados de esfuerzo plano. Los cálculos fueron
directos pero algo tediosos. En esta sección presentaremos un método
gráfico llamado el círculo de Mohr en honor del ingeniero alemán Otto
Mohr (1835-1918), quien fue el primero en usarlo para estudiar casos
de esfuerzo plano. El círculo se basa en las ecuaciones de transforma-
ción de esfuerzos y proporciona una solución gráfica al problema de de-
terminar esfuerzos principales, planos principales y esfuerzos cortantes
máximos. No presentaremos una derivación completa de todas las propie-
dades del círculo, sino que más bien describiremos la manera de usarlo y
mostraremos su aplicación a los estados de esfuerzo plano.
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 69
Recuerde que las ecuaciones de transformación de esfuerzos expre-
en función de un ángulo doble son
<Jr + 0"v (Ir — a +
O", - cr,
- — - eos 26 + rxy sen 26
Tjcy = — - — - sen 26 + rxy eos 26
(2.22)
(2.23)
Elevando al cuadrado y sumando estas dos ecuaciones se obtiene
(<TX + (Ty)
+ T*2'/ = ( c , - Vy?¡4 + r
Esta ecuación se puede interpretar como la ecuación de un círculo en el
plano oy , o y c u y o centro C tiene las coordenadas
C : [(ax + o-y)/2,0]
y cuyo radio R está dado por
2
y 4 xy
como se indica en la figura 2.44. Este círculo se llama círculo de Mohr. La
construcción del círculo de Mohr se lleva a cabo por medio de los siguientes
pasos:
1. Dibuje el elemento con los esfuerzos o y a y y rxy que se muestran.
Nombre con cuidado las caras de alguna manera específica, como por
ejemplo las caras 1 y 2 de la figura 2.45.
2. Trace los ejes coordenados del círculo llamándolos o-y T, como en la
figura 2.46.
3. Dibuje y nombre los puntos (a x , —rxy), correspondiente a la cara 1, y
(oy -Txy), correspondiente a la cara 2, como se indica en la figura 2.46.
Se debe poner atención a los signos; es decir, una componente negativa
de esfuerzo debe trazarse como tal. El esfuerzo cortante rxy es positivo
cuando está dirigido como se muestra, para la cara 1, en la figura 2.45 y se
traza como negativo en el círculo de Mohr.
Cuando los ejes a y r se orientan como en la figura 2.46, es necesario
trazar rxy como una cantidad negativa en el círculo de Mohr para que
la rotación 26 del diámetro del círculo sea en la misma dirección que la
rotación 6 del elemento en esfuerzo plano.
4. Dibuje el diámetro del círculo de Mohr entre los puntos 1 y 2 y use un
compás para construir el círculo, como se muestra en la figura 2.46. Con
esto se termina la construcción del círculo.
T
Figura 2.44 Círculo de Mohr para esfuerzo
plano
Txy
\ b
Figura 2.45 Designación de las caras del
elemento
T
Figura 2.46 Dibujo e identificación de
puntos sobre el círculo de Mohr
X
T
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
La clave para entender y usar el círculo de Mohr es recordar que hay
una correspondencia absoluta entre las caras del elemento y los puntos
del círculo de Mohr. Por esta razón es aconsejable numerar las caras del
elemento y los correspondientes puntos sobre el círculo.
Propiedades del círculo de Mohr (Consulte la Fig. 2.47.) Observe
primero que los puntos sobre el círculo de Mohr correspondientes a los
esfuerzos principales se designan como Pl y P2. Los puntos correspon-
dientes a los valores del esfuerzo cortante máximo en el plano se designan
como TI y T2. Los ángulos correspondientes a los planos principales y
los planos en que actúan los esfuerzos cortantes máximos en el plano se
muestran como 26i y 2(f>\, respectivamente.
T
1. Cada punto del círculo de Mohr representa el estado de esfuerzo sobre
la cara correspondiente del elemento. Ejemplo de esto son los puntos 1
y 2 que se usaron para dibujar el círculo
2. La rotación del diámetro del círculo de Mohr en un ángulo 26 corres-
ponde a una rotación de un ángulo 6, en el mismo sentido, de la normal
correspondiente a la cara en el elemento.
3. Los valores de los esfuerzos principales están dados por las coordena-
das de los puntos P l y P2 sobre el eje <r.
4. Los valores de los esfuerzos cortantes máximos en el plano están dados
por las coordenadas de los puntos TI y T2 en las partes superior e inferior
del círculo.
5. Las posiciones de los planos principales en -el elemento se localizan
girando las normales a las caras 1 y 2 en el elemento los ángulos 6\ y
0i + ir¡2, que corresponden a la rotación del diámetro del círculo de Mohr
a través de los ángulos 26\ y 20\ + v.
6. Las posiciones de los planos sobre los que actúan los esfuerzos cor-
tantes máximos en el elemento se localizan haciendo girar las normales a
las caras 1 y 2 los ángulos <j>\ y <f>\ + 77-/2, que corresponden a la rotación
del diámetro del círculo de Mohr a través de los ángulos 2<f>i y 2<f>\ + ir.
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 71
Las direcciones sobre el elemento se determinan recordando que, como
se muestra en la figura 2.48, un esfuerzo cortante positivo (negativo) en el
círculo de Mohr actúa en la dirección negativa (positiva) sobre el elemento
girado a través del ángulo cf>\.
Figura 2.48 Direcciones de los esfuerzos cortantes
Como se muestra, el esfuerzo cortante correspondiente al punto 3
sobre el círculo de Mohr es positivo y señala en la dirección y' negativa del
sistema coordenado asociado con la cara 3. De manera similar, el esfuerzo
cortante correspondiente al punto 4 sobre el círculo de Mohr es negativo
y señala en la dirección y' positiva del sistema coordenado asociado con la
cara 4.
El círculo de Mohr se puede usar en lugar de las ecuaciones de trans-
formación. Una vez construido el círculo, los esfuerzos sobre cualquier
cara se pueden determinar siguiendo las reglas indicadas antes. Como se
señaló en la sección previa, el esfuerzo cortante máximo absoluto en el
punto está dado por
donde <T\ y <x2 son los esfuerzos principales.
Ejemplo 2 .17 Para el es tado de esfuerzo rep resen tado p o r el e lemento de
la figura 2.49a, use el círculo de M o h r para de te rminar los esfuerzos y planos
principales, el es fuerzo cor tan te máximo en el p lano y los planos sobre los que
actúa. D e t e r m i n e t ambién el e s fue rzo cor tan te máximo absoluto.
S o l u c i ó n Los valores de las componen tes de esfuerzo mos t radas en la fi-
gura 2.49a son cr, = 10 k lb /pulg 2 , cry = 4 k lb /pu lg 2 y rxy = - 2 k lb /pulg 2 . El
pun to 1 con coordenadas (a, r ) = (10, —(—2)) k lb /pulg 2 y el pun to 2 con co-
o rdenadas (cr, T) = (4, —2) k lb /pu lg 2 están t razados sobreel círculo de M o h r
T1 X
rabs = máxOo"! - ct2|/2, lo"!|/2, \o-2\/l)
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
r( klb/pulg2)
14 klb/pulg2
( T ) 110 klb/pulg2
— i L l
n o r
- p 2 klb/pulg^ ( 4 , - 2 ) : @
Q : ( 1 0 , 2)
o-( klb/pulg )
(a) (b)
Figura 2.49 Elemento y círculo de Mohr
como se muestra en la figura 2.49b. El centro del círculo tiene las coordenadas
{cr r) = ((10 + 4)/2,0) klb/pulg2 = (7,0) klb/pulg2 y el radio está dado por R =
v/[(10 - 4)/2]2 + 22 klb/pulg2 = 3.61 klb/pulg2. El ángulo 29, está dado por
tan 2d\ = 2/3, de donde 20¡ = 33.69° o bien 0\ = 16.85°. Se infiere de la figura
que 2<£i = 90° - 2(9¡ = 56.31°, o bien 4>\ = 28.15°. Los valores de los esfuerzos
principales que corresponden a los puntos P\ y P2 son
ffmáx = (7.00 + 3.61) klb/pulg2 = 10.61 klb/pulg2
<W = (7.00 - 3.61) klb/pulg2 = 3.39 klb/pulg2
7.0 klb/pulg2
10.61 klb/pulg
<rmin = 3.39 klb/pulg2
L .
16.85° ^ 28.15°
o m i x = 10.61 klb/pulg2
3.39 klb/pulg2
(a) (b)
Figura 2.50 Planos principales, esfuerzos principales y esfuerzo
cortante máximo
El esfuerzo cortante máximo en el plano es numéricamente igual al radio
del círculo de Mohr, o sea, rmáx = 3.61 klb/pulg2. Sobre el círculo de Mohr, el
diámetro se hace girar en sentido horario 33.70°, del punto 1 al punto P1. Entonces,
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 73
mm el elemento, la normal a la cara 1 se hace girar en sentido horario un ángulo
de 33.7072 = 16.85° para llegar al plano en que actúa amia . Esto se indica en la
2.50a. En esta figura se indica también el esfuerzo principal <rmin actuando
sobre un plano perpendicular.
Para pasar del punto 1 al 7*2 en el círculo de Mohr, se hace girar el diámetro
= 56.31° en sentido antihorario. Entonces, sobre el elemento, se hace girar la
•onnal a la cara 1 en sentido antihorario un ángulo 4>\ = 56.31°/2 = 28.15° para
legar a la cara sobre la que actúa el esfuerzo cortante máximo en el plano. El es-
facrzo normal sobre la cara correspondiente a T2 es de 7.0 klb/pulg2. Estos esfuer-
aos se muestran en la figura 2.50b. Observe que las diagonales del elemento sobre
d cual actúan los esfuerzos principales definen la orientación del elemento so-
bre el cual actúa el esfuerzo cortante máximo en el plano. En este ejemplo el
esfuerzo cortante máximo absoluto es rabs = 10.61/2 klb/pulg2 = 5.81 klb/pulg2.
^emplo 2.18 Para el estado de esfuerzo mostrado en la figura 2.51a, use el
círculo de Mohr para determinar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante
aiáximo y los planos sobre los que actúan. Determine también el esfuerzo cor-
lante máximo absoluto.
Solución Como se muestra en la figura 2.51a, o-, = 30 MPa, <ry = -40 MPa
y -rv = —10 MPa. El punto 1 con coordenadas (a, t) = [30, -(—10)] MPa y
el punto 2 con coordenadas (a, r) = (-40, -10) MPa están trazados sobre el
círculo de Mohr como se muestra en la figura 2.51b. El centro del círculo tiene las
coordenadas (cr, r) = [(30 - 40)/2,0] MPa = ( -5 , 0) MPa. El radio está dado
por R = \J{[30 - (—40)]/2}2 + (—10)2 MPa = 36.4 MPa. El ángulo 2(9, está
dado por tan 2B\ = 10/35, de donde 20, = 15.95° o (9, = 7.97°. En la figura se ve
que 2<f>-[ = 90° - 20i = 74.05° o bien <f>\ = 37.03°. Los valores de los esfuerzos
principales corresponden a los puntos Pl y P2 y son
íTrnáx = ( - 5 + 36.4) klb/pulg2 = 31.4 MPa
y
crmín = ( - 5 - 36.4) klb/pulg2 = -41.4 MPa
Figura 2.51 Círculo de Mohr para un elemento en esfuerzo plano
101
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
El esfuerzo cor tante máximo en el p lano es n u m é r i c a m e n t e igual al radio del
círculo de Mohr , o sea, rmá„ = 36.4 MPa.
Sobre el círculo de Mohr , el d iámet ro se hace girar en sent ido hora r io
20i = 15.95° pa ra pasar del pun to 1 al pun to P l . Entonces , en el e lemento , la
normal a la cara 1 se hace girar en sent ido horar io un ángulo de 15.95°/2 = 7.97°,
hacia el p lano en que actúa crm4x = 31.4 MPa. Es to se indica en la figura 2.52. El
es fuerzo principal <7mín = —41.4 MPa actúa sobre un p lano perpendicu lar , como
también se muest ra .
5 MPa
Figura 2.52 Planos principales, esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo
Para pasar del pun to 1 al pun to T2 sobre el círculo de Mohr , el d iámet ro
2<t>\ = 74.05° se hace girar en sentido ant ihorar io . Entonces , en el e lemento , la
normal a la cara 1 se hace girar un ángulo 4>\ = 74.05°/2 = 37.03° en sent ido
ant ihorar io para llegar a la cara sobre la que actúa el es fuerzo cor tan te máximo. El
es fuerzo normal sobre la cara cor respondiente a T2 es de —5 MPa . Estos esfuerzos
se indican en la figura 2.52. Observe también que las diagonales del e lemento
cuadrado sobre el cual ac túan los es fuerzos principales, def inen la or ientación del
e lemento sobre el cual actúa el es fuerzo cor tan te máximo en el p lano. E n este
e jemplo el esfuerzo cor tante máximo absoluto es Tmáx = 36.4 MPa.
Una observación cuidadosa de los ejemplos 2.17 y 2.18 conduce a la
útil consideración que se expone a continuación. Tomemos un elemento
típico sobre el cual actúan los esfuerzos principales, como se muestra en
la figura 2.53a.
En la figura 2.53b se ilustran los diagramas de cuerpo libre de las
partes del elemento a un lado de cada una de las dos diagonales. Sumando
en forma visual las fuerzas en las direcciones de las diagonales, se pueden
2.6 Círculo de Mohr para esfuerzo plano 75
/
/
<T\ + CT2
2
(b)
fmm 2 5 3 Dibujo de los planos sobre los que actúan los esfuerzos cortantes máximos
tmdr fácilmente las direcciones del esfuerzo cortante en el plano, rmáx>
• o se muestra en la figura 2.53b. El elemento en que actúan rmáx y el
•respondiente esfuerzo normal medio, am£í¡ = (crx + a y ) / 2 — (<t\ +
| f 2 se muestran en la figura 2.53c. Así, una vez que los planos y
Bodones principales han sido determinados con el círculo de Mohr,
tas observaciones ofrecen un método para determinar con facilidad las
Bodones de los esfuerzos cortantes máximos en el plano sobre los planos
B", usando conceptos de equilibrio básicos.
••pío 2.19 Para el es tado de esfuerzo definido en el e jemplo anter ior y
• I r a d o en la figura 2.54a, use el círculo de Mohr para de te rminar los esfuerzos
hnc un plano a 30° con respecto al eje x, como se muest ra en la figura.
l a c i ó n Para de te rminar el es tado de esfuerzo sobre el p lano inclinado a 30°,
•orinal a la cara 1 se puede hacer girar en sentido horar io un ángulo de 30° para
l eae r la normal a la cara 4, que es la cara en consideración. Esto cor responde a
• rotación horar ia de 60° del d iámet ro del círculo de Mohr . El ángulo 8* que el
• n e t r o en t re los puntos 1 y 2 fo rma con el eje a está dado por
0* = t a n " 1 ( 2 /3 ) = 33.69°
101
Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
3.76 klb/pulg2
1.60 klb/pulg2
24 klb/pulg2
Figura 2.55 Estado de esfuerzo en un
elemento hecho girar 30°
r(klb/pulg2)
klb/pulg
2_ldb/pulg2
30°~
6 1 ^ 7 ) : (10, 2)
"'= 33.69°
(4, -2) ' .
60° cr(klb/pulg2)
(a) (b)
Figura 2.54 Uso del círculo de Mohr para la transformación de esfuerzos
de modo que el ángulo que el diámetro entre los puntos 3 y 4 forma con el eje <r
es de 26.31°. Las coordenadas del punto 4 son entonces
o- = (7.00 + 3.61 cos(26.31°)) klb/pulg2 = 10.24 klb/pulg2
r = -3.61 sen(26.31°) klb/pulg2 -1.60 klb/pulg2
El correspondiente estado de esfuerzo se indica en la figura 2.55. El esfuerzo
normal de 3.76 klb/pulg2 sobre la cara 3 se calcula usando el primer invariante de
esfuerzo.
Podemos también considerar que la cara 3 ha girado en sentido horario su
normal hacia la cara 2 a través de un ángulo de 30°. Esto corresponde a hacer girar
el diámetro del círculo de Mohr en sentido horario a través de un ángulo de 60°
desde el punto 2, lo que nos llevaría de nuevo al punto 3 sobre el círculo.
PROBLEMAS
P. 2.128
2.113-2.127 Resuelva los problemas 2.98 al 2.112 usando el círculo de Mohr.
2.128-2.133 En cada uno de los siguientes problemasuse el círculo de Mohr para
determinar los esfuerzos en el elemento orientado según la línea discontinua.
2.7 CONCLUSION
El equilibrio es un concepto indispensable en la mecánica de sólidos. La
formulación y solución de un problema de mecánica de sólidos sin satisfacer
el equilibrio, por lo menos en forma aproximada, sería como emprender
un viaje a ciegas en un río no explorado; esto no tendría ningún sentido
y podría ser muy peligroso. El estudiante debe recordar que el equilibrio
2.7 Conclusión 77
X MPa
H • 56 MPa
T 38 MPa
P. 2.129
I 25 klb/pulg2
y, 18 klb/pulg'
iimmBmm
30 klb/pul -
t —
I 30 k
P. 2.130
• ' ' íes*
t " ~ f f • 130 MPa
118 MPa
P. 2.131
, t
25 klb/pulg2
¡••llfl \ s
—
* t | H
i
40 klb/pulg2
P. 2.132
90 MPa X
77 MPa
P. 2.133
siempre tiene que considerarse ya sea en forma explícita o implícita, al
formular y resolver un problema de mecánica de sólidos.
Los datos de un cuerpo deformable consisten principalmente en fuer-
zas externas conocidas de dos tipos: de acción a distancia o fuerzas de
cuerpo, y fuerzas de contacto o de superficie. De acuerdo con los requisi-
tos de equilibrio, esas fuerzas externas se transmiten al interior del cuerpo,
dando lugar a las fuerzas internas. Tales fuerzas internas se relacionan a
su vez con los esfuerzos. Existen dos razones fundamentales para querer
determinar las resultantes de las fuerzas internas y por consiguiente los
esfuerzos. La primera es que en muchos casos el éxito de una estructura
se juzga en función de su resistencia; por ello, los esfuerzos no deben ex-
ceder los valores que el material es capaz de resistir. La segunda razón
es que la determinación de las resultantes de tales fuerzas internas y por
consiguiente de los esfuerzos, constituye el paso inicial del procedimiento
para evaluar la rigidez de la estructura.
101 Capítulo 2 Equilibrio y esfuerzo
En este capítulo hemos considerado varios ejemplos de esfuerzos
cuando la forma del cuerpo es rectangular y la carga es de tensión pura
o de cortante pura. En capítulos posteriores desarrollaremos teorías
elementales para cuerpos con formas y cargas más generales que nos
permitirán, otra vez, (a) determinar los esfuerzos en términos de las
resultantes de las fuerzas internas, con el fin de evaluar la resistencia de
la estructura, y (b) determinar las deformaciones con el fin de evaluar la
rigidez de la estructura.
í
CAPÍTULO 3 Deformación y deformación
unitaria
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
3.1 Introducción
3.2 Desplazamientos
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos
3.3.1 Deformación unitaria longitudinal
3.3.2 Deformación unitaria cortante
3.41 Relaciones generales entre deformaciones unitarias
y desplazamientos
3.5 [ Transformación de la deformación unitaria
3.61 Deformaciones unitarias principales
3.7] Círculo de Mohr para estados de deformación
unitaria bidimensionales
3.8 Medición de la deformación unitaria:
galgas extensométricas
3.9 Conclusión
80
ICCIÓN
se define en el diccionario Webster como "una rama de la
trata aspectos del movimiento sin considerar la fuerza ni
r. En la mecánica de sólidos estaremos interesados principalmente
en los que se supone que cualquier "movimiento" ocurre
. de manera que las aceleraciones y velocidades que se generen
:iarse;en esencia, estaremos tratando problemas deestática,
i que se aplica a la mecánica de sólidos trata de Jos cambios de
i de un cuerpo como resultado de sus deformaciones. En la
i de sólidos, a la cinemática se le denomina a menudo "geometría
ción".
r capítulo examinaremos Jos movimientos de cuerpo rígido, los
atos en general y las deformaciones. Los desplazamientos
> se refieren a la diferencia entre las posiciones final e inicial del
Una descripción de los desplazamientos conducirá naturalmente a
i de las deformaciones unitarias como medida de los cambios de
f j forma del cuerpo, que resultan de ciertos tipos de deformaciones
i entre puntos vecinos de un cuerpo.
DESPLAZAMIENTOS
• r\r adecuadamente las deformaciones, es esencial entender
- qué se quiere decir con desplazamiento. En general, los
r-ros son cambios de posición, que resultan de movimientos
- j. j o y deformaciones. Ilustraremos estas ideas con varios
7 - de analizar los desplazamientos en casos generales.
81
107
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
y)
Figura 3.1 Traslación de cuerpo rígido
(x*,/)
Ejemplo 3.1 Consideremos un cuerpo rígido bidimensional que se traslada sin
girar a una nueva posición, como se muestra en la figura 3.1. Éste es un ejemplo de
desplazamiento de cuerpo rígido; se conoce como traslación de cuerpo rígido. Las
componentes u y v del desplazamiento en las direcciones x y y respectivamente,
son los valores dados por u=xm—xyv = y*—y respectivamente. Se supone
que w, la componente del desplazamiento en la dirección perpendicular al plano
del papel, es idénticamente nula. Las componentes de desplazamiento u y v son
las mismas para cualquier punto del cuerpo. No hay cambio en el tamaño o forma
del cuerpo, o sea, no hay deformación.
En la figura 3.2 se muestra el mismo cuerpo, en el cual los desplazamientos son
resultado de un giro 8 alrededor de un eje. Las componentes del desplazamiento
u = x* — x y v = y* — y, en las direcciones x y y respectivamente, son distintas
para diferentes puntos del cuerpo. Este tipo de desplazamiento de cuerpo rígido
se denomina giro de cuerpo rígido. La orientación del cuerpo cambia, pero no hay
modificación en su tamaño o forma.
Estos dos desplazamientos de cuerpo rígido simplemente mueven el cuerpo
a una nueva posición. Cualquier desplazamiento de cuerpo rígido se puede
considerar como una combinación de una traslación y un giro de cuerpo rígido.
Los desplazamientos resultantes son tales que no hay cambio en la distancia entre
dos puntos cualesquiera del cuerpo.
Figura 3.2 Giro de cuerpo rígido
P Q
(a) No deformada
Q*
Ejemplo 3.2 Consideremos la barra en la figura 3.3, que aparece sin deformar
en la figura 3.3a y deformada en la figura 3.3b. Esta deformación se conoce como
deformación longitudinal de la barra. Los puntos P y Q se desplazan a los puntos
P* y Q*, como se indica.
Consideremos el desplazamiento del punto P, cuyas coordenadas en la po-
sición no deformada son (x\, y). La posición deformada de P se denota con P*,
cuyas nuevas coordenadas son (x*, y). De manera similar, la posición del punto
Q en la posición no deformada es (x%, y) y en la deformada es (x|, y). Para esta
deformaciónlongitudinal, el cambio de posición o desplazamiento de P ocurre sólo
en la dirección x y está dado por u(P) = x* — xi. El desplazamiento de Q está
dado por u(Q) = x\ — xj. Las otras dos componentes de desplazamiento en las
direcciones y y z son v = 0 y w = 0, respectivamente. En general, está claro que
u(P) ± U(Q); la componente del desplazamiento u depende de qué punto de la
barra se considere. Esto se expresa como u = u(x). El hecho de que u no dependa
de y es consecuencia de la manera en que se definió la deformación. Queda por
ver si un cuerpo real se deformaría de esta manera en respuesta a cargas externas.
El desplazamiento u = u{x) ocasiona deformaciones que cambian el tamaño y la
forma del cuerpo.
(b) Deformada
Figura 3.3 Configuraciones no deformada y
deformada
3.2 Desplazamientos 108
108
Ejemplo 3.3 Un bloque rectangular se deforma como se muestra en la figura 3.4.
Este tipo de deformación suele llamarse deformación por cortante.
Los puntos P: (x, y) y P*: (x*, y*) representan las posiciones no deformada
y deformada, respectivamente, de un punto cualquiera en el cuerpo. Para la
deformación mostrada, las componentes de desplazamiento son
u = x* — x = u(y) = A [ j-
v = y* — y = 0
w = 0
C: (0, h) D: (b, h)
a las direcciones x, y, y z respectivamente. Las representaciones u = u(y) =
Hy/h), v = w = 0, muestran que los valores de los desplazamientos u sólo
dependen de la coordenadaoriginal y: todos los puntos a una distancia dada
•ibre el eje x se desplazan la misma cantidad en la dirección x y no se desplazan
€ • absoluto en la dirección y. Estos desplazamientos indican una deformación
^ e ocasiona principalmente cambios en la forma del cuerpo. En particular, se
pKsenta un cambio en el ángulo entre las líneas originalmente paralelas a los ejes
* j y
B : (b, 0)
(a) No deformada
Figura 3.4
bloque
(b) Deformada
Deformación cortante de un
En un caso más general nos interesará caracterizar los desplazamien-
to en un cuerpo de forma irregular que se deforma en el plano xy, como
ae muestra en la figura 3.5.
v A'
(a) No deformada (b) Deformada
^qura 3 J Deformación general bidimensional
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
En la figura 3.5a se muestra la geometría no deformada; en la figura
3.5b se indican las geometrías no deformada y deformada. Los despla-
zamientos u en la dirección x, y v en la dirección y, están dados por las
diferencias entre las posiciones deformada y no deformada, de acuerdo
con
u(x, y) = x* — x
y
v(x, y) = y* — y
Para un cuerpo deformable que sufre una deformación longitudinal, la
distancia entre dos puntos puede cambiar, resultando en general un cambio
de tamaño del cuerpo. Para un cuerpo que sufre una deformación cortante,
el ángulo entre dos líneas puede cambiar, resultando en general un cambio
de forma. Estos dos tipos de deformaciones se ven en la deformación
ilustrada en la figura 3.5b. Son esos cambios en tamaño y forma los que
distinguen a un cuerpo deformado de un cuerpo rígido; esto se estudiará
en las siguientes secciones.
PROBLEMAS
3.1 U n bloque se hace girar un ángulo 0 como se mues t ra . D e t e r m i n e los despla-
zamientos u(x, y) y v(x, y) de un pun to P en té rminos del ángulo 6. Part icularice
esto al caso en que 0 sea pequeño .
(x,y)
P. 3.1
3.2 U n rectángulo se de fo rma de m a n e r a un i fo rme en o t ro rec tángulo como se
muest ra . Suponga que u = a + fix y v = y + Sy; de te rmine a, /?, y y S en función
de b, h, ByH.
No deformada
H
Deformada
P. 3.2
3.2 Desplazamientos 108
se deforma de manera uniforme en un rombo, como se mues-
tap desplazamiento de ningún punto en la dirección y. Suponga que
J|rv determine a y p en función de.b,hy U.
S o deformada Deformada
P. 3.3
i se deforma de manera que u, la componente x del desplazamiento
F. es proporcional a la coordenada x de P. Dado que el despla-
i d extremo x = L es igual a A, determine u como función de x en
los parámetros A y L.
Deformada
n
1
Ps. 3.4 y 3.5
ti problema 3.4 si el desplazamiento de un punto P situado a una
áesde el extremo izquierdo de la barra es proporcional al cuadrado de
107
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
j 3.61 Un rectángulo se deforma de manera uniforme en un cuadrilátero como se
muestra; es decir, las líneas verticales y horizontales permanecen rectas después de
la deformación. Suponga que« = a\+ (í\x+y\y+8\xy y v = a2 +fhx + y2y + fi2xy;
determine: «i, yi, a2, fh, y2 y ¿>2 en función de b, h, U y V.
13.7j Un rectángulo se deforma de manera uniforme en un cuadrilátero, como se
muestra; es decir, las líneas verticales y horizontales permanecen rectas después de
la de fo rmac ión . Suponga q u e u = «i +/3¡x + y¡y + 8ixy y v = a2+fhx + y2 y + ñ2xy\
determine: a\, ¡3\, y¡, S¡, a2, (h, y2 y S2 en términos de b, h, u,v,(Jy V.
3.3 DEFORMACIONES UNITARIAS;
DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS
Como veremos pronto, un cuerpo deformable es capaz de soportar varios
tipos de cargas debido a su capacidad para generar fuerzas internas cuando
cambia el tamaño o la forma, o ambos. Esas fuerzas internas están
asociadas con deformaciones longitudinales y cortantes del cuerpo.
A su vez, tales deformaciones se deben a desplazamientos relativos entre
puntos vecinos del cuerpo. Las medidas de esas deformaciones relativas
se denominan deformaciones unitarias y son el objetivo de esta sección.
Investigaremos primero las deformaciones unitarias longitudinales y cor-
tantes en casos en que las deformaciones son relativamente sencillas y
luego analizaremos el caso general.
3.3.1 Deformación unitaria longitudinal
Consideremos el problema común de estirar una banda de caucho como
se indica en la figura 3.6. Una medida total del alargamiento está dada
simplemente por el cambio en la longitud de la banda.
I
No deformada
K r-TT "'I ^
1
H L —
Deformada
Figura 3.6 Alargamiento de una banda de
caucho
Alargamiento = cambio de longitud de la banda de caucho = L* - L
Expresado en términos del desplazamiento A del extremo de la banda, se
tiene
Alargamiento = A
La deformación unitaria longitudinal media o la deformación unitaria
normal media en la barra sé calcula dividiendo el alargamiento entre la
longitud inicial para obtener
^med = A/L
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos 110
110
do el cambio de longitud por unidad de longitud inicial en un
infinitesimal de la barra, obtenemos la deformación unitaria
fepgitudinal en un punto. Tomemos entonces un pequeño segmento PQ
de la banda de caucho, como se muestra en la figura 3.7. i
Como resultado del alargamiento de la banda, los puntos P y Q pasan _
a los puntos P* y Q*. La deformación unitaria longitudinal en P se define fcj]
-Ax—
No deformada
como
ex(P) = lím
P* Q* — PQ
(3.1)
PQ-+0 PQ
donde PQy P*Q* denotan las longitudes de los segmentos de recta entre
yQy
¡que
u(P). u(Q)
o u u u c r\¿ y r \¿ u c i i u i a n M S l u n g i i u u c s u c I U S scguicin.UA u c i c c i a C I I L I C wm I (Deformada
PyQy entre P* y Q*, respectivamente. Con referencia a la figura 3.7 se ]
PQ = Ax
P*Q* = OQ* - OP* = [x + Ax + u(Q)] - [x + w(/>)]
o bien
P* Q* - PQ = u(Q) - u(P) = Au
: manera que
h L
Figura 3.7 Deformación unitaria en un
punto
/ m i- P*Q*~PQ r Au sx(P) = lim —— = lim —
(3.2)
La ecuación (3.2) se denomina relación entre deformación unitaria y
desplazamiento. Observe que así definida, sx(P) es adimensional ya que
*<a] = L y [*] = L. En problemas sencillos que implican deformaciones
ineales de barras rectas, suprimiremos con frecuencia los subíndices y
escribiremos sólo
zara la relación entre la deformación unitaria y el desplazamiento. En
j=era l , para una barra fija en su extremo izquierdo, un diagrama de
Di^plazamientos tiene la forma indicada en la figura 3.7.1. Como se ve,
¿ re formación unitaria longitudinal en un punto a lo largo del eje de la
i—a es simplemente la pendiente de la curva u = f(x).
88 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
La relación entre la deformación unitaria y el desplazamiento e = u'
se basa en la hipótesis de que s es pequeña. Si e no fuera pequeña, se
necesitaría una definición diferente para la deformación unitaria. Se
remite al estudiante a los problemas 3.26 a 3.29 si desea mayor información
sobre este tema. Las deformaciones unitarias longitudinales suelen ser
una medida del cambio en las longitudes de líneas de un cuerpo sometido
a una deformación y se usarán con frecuencia a lo largo del texto.
Ejemplo 3.4 Consideremos la barra deformable esbelta mostrada en la figura 3.8.
F
No deformada •
-Un
I
Deformada
U0x
(a)
(b)
Figura 3.8 Desplazamientos y deformaciones unitarias en una barra esbelta
El desplazamiento de un punto en la dirección del eje de la barra se considera
como una función lineal de la posición medida desde el extremo izquierdo de la
barra, o sea, u(x) = UQ(X/L), como se indica en la figura 3.8b. De acuerdo con el
resultado dado por la ecuación (3.2), la deformación unitaria longitudinal en un
punto de la barra es
ex = u = U0/L
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos
110
Este valor constante es igual a la deformación unitaria media en la barra, obtenida
dividiendo el alargamiento total entre la longitud; esto es,
_ u(L) - u(0) _ Uo
*med~ L ~ L
Este tipo particular de deformación sedenomina alargamiento uniforme.
El uso de la relación deformación unitaria-desplazamiento, s = u', es
apropiado en los casos en que las deformaciones unitarias se conocen o ya
se han determinado. La ecuación e = u' se puede integrar para determinar
los desplazamientos de acuerdo con
I edx = I u'dx = u(x) — u(xo)
J xa Jxo
Como ilustración consideremos el ejemplo 3.4, donde se conoce que la
deformación unitaria en la barra de longitud L tiene el valor uniforme
Uo/L. Usando la relación deformación unitaria-desplazamiento se obtiene , Uo e = u = — JLf
Integrando,
donde, al imponer u{0) = 0 se obtiene Ci = 0 y, por tanto, u(x) = UQX/L.
Uo u = —x + Ci L
Ejemplo 3.5 La deformación unitaria longitudinal en una barra uniforme que
cuelga sometida a la acción de su propio peso, como se muestra en la figura 3.9, está
dada por s = a(L — x), donde a es una constante que depende de las características
físicas del problema. Usando la relación deformación unitaria-desplazamiento se
obtiene
u = e = a(L — x)
Integrando,
u = J edx = —a (L - x)2 ^ + i
La constante de integración se evalúa considerando que en x = 0, el desplaza-
miento u es nulo; esto es,
• i r
Figura 3.9 Barra
colgada
0 = w(0) = - a L
2
+ CI
90 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
eí*) Ordenada de la curva s = pendiente
de la curva u (o sea, e = u )
o bien
Ci =
aL¿
Eliminando Ci, la expresión final del desplazamiento u es
2Lx - jt2
, , . (iLx-x2)
y b>u(x>= a 2 En la figura 3.10 se muestran las deformaciones unitarias y los desplazamientos.
Estas dos curvas están relacionadas entre sí por medio de una relación
diferencial, la relación deformación unitaria-desplazamiento e = «', que puede
ser muy útil en la construcción de la curva de la deformación unitaria cuando se
tiene la curva de desplazamientos o viceversa. El estudiante debería familiarizarse
con este tipo de perspectiva gráfica de la integración. Figura 3.10 Deformaciones unitarias y
desplazamientos en una barra colgada
Ejemplo 3.6 Considere la deformación de una barra prismática recta que ad-
quiere la forma de un arco circular que subtiende un ángulo 6, como se aprecia en
la figura 3.11.
Figura 3.11 Barra recta deformada como arco circular
Se admite que cualquier parte de la superficie media, dada por y = 0, no
cambia de longitud como resultado de la deformación, de modo que P*Q* =
PQ = L. El radio de curvatura de la superficie media es R, por lo que L = R6.
La deformación unitaria longitudinal media en un punto a una distancia y sobre la
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos
110
superficie media es
_ A" B* -AB
Bmeá ~ AB
_ (R + y)0-L
L
_ R0 + y0 — L
L
= y e = y
L R
La deformación unitaria media máxima se presenta en el punto más alejado de la
superficie media.
PROBLEMAS
3.8 La barra rígida AB gira un ángulo 0 como se indica en la figura. ¿Cuál es
la deformación unitaria longitudinal media correspondiente en el alambre BC1
Particularice esto al caso en el que 0 sea pequeño.
Deformada
No deformada
P. 3.8 P. 3.9
3.9 La cuerda cuelga en posición vertical como se muestra. Si el punto B se
mueve a la nueva posición indicada, determine el cambio en la deformación unitaria
longitudinal media. Particularice el resultado al caso en que Xy Y son pequeñas
en comparación con L.
3.10 Una banda de caucho de 6 pulg de longitud se coloca alrededor de un tubo
rígido de 3 pulg de diámetro. ¿Cuál es la deformación unitaria longitudinal media
en la banda?
3.11 El diámetro del aro mostrado se incrementa una cantidad Ad. Determine
el esfuerzo unitario circunferencial medio correspondiente en el aro.
3.12 Una barra delgada cuyo desplazamiento en A se encuentra impedido, se
deforma en la dirección de su eje de manera que el punto B se mueve 1.0 pulg
hacia la derecha. Determine las deformaciones unitarias longitudinales medias en
'os segmentos AB y BC.
I
P. 3.11
Holgura de 0.5 pulg
A B C\
I
-20 p u l g — 4 — 1 5 pulg—
P. 3.12
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
3.13 En la estructura articulada que se muestra en la figura, el punto B se desplaza
2 pulg hacia abajo. Determine las deformaciones unitarias longitudinales medias
en las barras AB y BC.
3.14[ El punto B se desplaza como se muestra. Determine las deformaciones
unitarias longitudinales medias en las barras AB y BC. Particularice esto al caso
en que uyv son pequeñas en comparación con L.
3.15 El punto D sobre la estructura articulada que se muestra se desplaza 6 mm
hacia la derecha y 4 mm hacia abajo. Determine las deformaciones unitarias
longitudinales medias en las barras AD y BD.
3.16 Una estructura articulada consiste en dos barras relativamente rígidas AB
y BC conectadas por un alambre DE como se muestra. Si el punto C se mueve
1.2 pulg hacia la derecha, ¿cuál es la deformación unitaria longitudinal media en
el alambre?
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos
110
La deformación unitaria longitudinal en la barra mostrada está dada por
¡ U 0 1 + 0.002(x/L)2. Si el desplazamiento es cero en x = 0, determine el
ato u(x) en la barra y posteriormente el alargamiento de ésta.
(Ja alambre se alarga de manera que su deformación unitaria longitudinal
t proporcional al cuadrado de la distancia a un extremo. Si la deformación
i longitudinal tiene el valor de 0.02 en el centro de la barra cuya longitud
i de 1 metro, determine la longitud final.
Ua gjobo de juguete de forma aproximadamente esférica tiene 6 pulg de
Se infla aún más de manera que su diámetro llega a ser de 9 pulgadas,
t d cambio en la deformación unitaria longitudinal media circunferencial
9?
Ua tubo de pared gruesa se deforma de manera que el diámetro exterior
i cantidad Ab y el diámetro interior aumenta una cantidad A a. Determine
ñones unitarias longitudinales medias radial y circunferencial.
Ps. 3.17 y 3.18
No deformada
+ Ab
Deformada
P. 3.20
Un rectángulo se deforma en otro rectángulo como se muestra. Determine
ñones unitarias longitudinales medias de (a) la recta AB, (b) la recta
7j(c) la recta AD. Considere que u/Les pequeña.
P. 3.21
D'
P. 3.22
Un rectángulo se deforma en otro rectángulo como se muestra. Determine
fea deformaciones unitarias longitudinales medias de (a) la recta ABV (b) la recta
J C y (c) la recta AD. Considere que v/L es pequeña.
JLD Un rectángulo se deforma en otro rectángulo como se muestra. Determine
te deformaciones unitarias longitudinales medias de (a) la recta AB, (b) la recta
SC, (c) la recta BC y (d) la recta AD. Considere que u/Ly v/L son pequeñas.
P. 3.23
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
3.24 Un rectángulo se de fo rma de manera un i forme en el para le logramo que se
muestra en la figura. De te rmine las deformaciones unitarias longitudinales medias
de (a) la recta A B, (b) la recta ACy(c) la recta AD. Considere que u/Le s pequeña .
3.25 U n rectángulo se de fo rma de manera un i forme en el rombo que se muestra .
Determine las deformaciones unitarias longitudinales medias de (a) la rec ta AB,
(.b) la recta AC, (c) la recta BC y (d ) la recta AD. Considere que u/L, U/L y v/L
son pequeñas.
¡ 3.261 La definición de la deformación unitaria usada en la sección 3.2.1, o sea
Ai* - Ai s = lím
As—.0 Ai
donde Ai y Ai* son las longitudes de un segmento antes y después de la defor-
mación, respectivamente, es la l lamada deformación unitaria en ingeniería. O t ra
definición para la deformación unitaria es
As—.o 2(Ai)2
Demues t re que esta definición se puede expresar en términos de la deformación
uni ta r ia en ingeniería como e = e(l + e/2), de mane ra que si e es pequeña , E ^ e.
Para tener alguna idea de qué significa "pequeña" , considere el p rob lema de una
barra de fo rmada de modo que u(x) = Uox/L, como en el e jemplo 3. Dibu je s ye
en función de Uo/L para comparar .
13.271 Un alambre originalmente recto de longitud L se de fo rma según una recta
de maneraque no hay desplazamiento en la dirección x como se mues t ra en la
figura. Calcule la deformación unitaria longitudinal en cualquier pun to a lo largo
del alambre.
13.281 Repita el problema 3.27 para el desplazamiento vertical dado por la parábola
indicada.
13.291 Repita el problema 3.27 para el desplazamiento vertical dado por la curva
senoidal indicada.
V(x)
P. 3.28 P. 3.29
3.3.2 Deformación unitaria cortante*
La deformación de un cuerpo por lo general implica cambios en el tamaño y
en la forma de éste. Los cambios de tamaño están asociados naturalmente
* Este tipo de deformación también recibe el nombre de deformación angular, tangencial
o de corte. (N. delR.T.)
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos 110
con los alargamientos del cuerpo. Los cambios en la forma resultan no
sólo de alargamientos sino también de cambios locales en los ángulos entre
líneas del cuerpo que, inicialmente, son perpendiculares.
i r
t i t
(a) No deformada (b) Deformada (c) Deformada
Figura 3.12 Variaciones angulares asociadas con una deformación cortante
En la figura 3.12a se muestra un cuadrado que se deforma por cortante
en un rombo. Las figuras 3.12b, 3.12c y 3.12d muestran, cada una, la
diferente orientación final del bloque deformado. La diferencia en las
tres orientaciones del bloque deformado es una rotación de cuerpo rígido.
Sin embargo, en cada uno de los bloques deformados la variación en el
ángulo entre los dos lados que eran inicialmente perpendiculares (los
lados que coincidían en un principio con los ejes x y y), es el ángulo yxy.
Esta disminución del ángulo es un ejemplo de una deformación unitaria
cortante.
Generalmente, una deformación unitaria cortante en un punto se de-
fine como la variación angular entre dos segmentos inicialmente perpen-
diculares, como resultado de una deformación.
Con referencia a la figura 3.13, la deformación unitaria cortante en P
para los segmentos PQ y PR, paralelos respectivamente a los ejes * y y, se
designa con yxy y se define como
yxy(P) = lím [ángulo QPR - ángulo Q*P*R*)
R —> P
yxy(P) = lím [TT/2 - ángulo Q*P*R*]
donde la deformación unitaria cortante es positiva cuando el ángulo se
reduce. Físicamente, se puede pensar en conectar dos alambres perpen-
diculares al cuerpo en el punto P, uno con la dirección de PQ y el otro
con la dirección de PR. La deformación unitaria cortante en P para las
direcciones PQ y PR es la variación angular entre los alambres como resul-
tado de la deformación. Las variaciones angulares se miden en radianes,
por lo que la deformación unitaria cortante es también adimensional. La
deformación unitaria cortante es una medida del cambio de forma de un
cuerpo, o de una porción de un cuerpo, en la proximidad de un punto P.
I i
Figura 3.13 Definición de deformación
unitaria cortante
96 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
Ejemplo 3.7 Un bloque sufre la deformación mostrada en la figura 3.14. Deter-
mine la deformación unitaria cortante en el punto P.
Figura 3.14 Deformación de un bloque
Solución La deformación unitaria cortante en P está dada por
y = ángulo QPR- ángulo Q*P*R*
= ff/2 - [tt/2 - ángulo R* PR - ángulo Q* Pq)
= arctan(0.3/8.15) + arctan(0.6/8.3)
= 0.0368 + 0.0723 = 0.1091
Como veremos después, ésta es una deformación unitaria cortante muy grande
para la mayoría de los casos reales.
Ejemplo 3.8 Un material tipo caucho se coloca entre dos placas rígidas, una
de las cuales se desplaza horizontalmente una cantidad U, como se muestra en la
figura 3.15. Determine la deformación unitaria cortante media en el material.
x
(a) No deformada (b) Deformada (el
Figura 3.15 Deformación cortante en un material tipo caucho
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos
110
Solución Observando la figura 3.15c se ve que el ángulo yxy está dado por
U tan yxy = -
de donde yxy = tan_1(t///i). Si U/h es pequeño, yxy = tan_1([///i) U/h.
PROBLEMAS
3-30 Una placa está sujeta a dos planchas de material tipo caucho y se desplaza
una cantidad A como se indica. Determine la deformación unitaria cortante media
en el caucho. Tome h = 20 mm y A = 3 mm.
—i t—-A
P. 3.30
3.31 Dos placas rígidas paralelas están separadas por un bloque de caucho como
se muestra. El bloque se deforma de manera que cada punto se mueve sólo en la
dirección horizontal de acuerdo con «(y) = U{y/h), como se muestra. Determine
la deformación unitaria cortante yxy en el punto x = L/2, y = h/2.
u(y) —
P. 3.31
u(y)
P. 3.32
332 Repita el problema 3.31 si la placa superior se mueve una distancia U y si
los lados del bloque se deforman según parábolas u(y) = U(y/h)2 y no en líneas
rectas. Suponga que no hay desplazamiento en la dirección y.
3.33 Se muestra una estructura a la que suele llamarse panel a cortante. Si
los puntos B y E se desplazan verticalmente una cantidad v como se muestra,
determine la deformación unitaria cortante media en cualquiera de los paneles.
Tome L = 3 pies y v = 1.6 pulgadas. P. 3.33
Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
3.34 Un bloque cuadrado se alarga de manera uniforme como se muestra. De-
termine las deformaciones unitarias cortantes en C considerando los ángulos AC
y BCE, suponiendo que no hay desplazamiento en la dirección vertical. Tome
u/a = 0.1.
3.35 Un bloque cuadrado se alarga de manera uniforme en la dirección x como
se indica. Determine las deformaciones unitarias cortante en C según los ángulos
ACB y BCE. Suponga que no hay desplazamiento en la dirección vertical j
considere u/a = 0.2.
3.36 Repita el problema 3.35 para la figura mostrada, con u/a = v/a = 0.1.
3.37 Determine la deformación unitaria cortante entre las direcciones perpendi-
culares s y t en el punto C debido a la deformación uniforme mostrada.
3.38 Repita el problema 3.37 para la deformación uniforme mostrada.
3 39 i Un resorte de torsión consiste en un árbol interno rígido A y un tubo exterior
rígido B entre los que se encuentra un material tipo caucho como se muestra. El
tubo exterior se hace girar un ángulo <¡> en relación con el tubo interior y durante
3.3 Deformaciones unitarias; desplazamientos relativos
110
D E D* E"
P. 3.38
este giro cada radio permanece recto como se indica en la figura. Determine la
deformación unitaria cortante en un punto del caucho que dista r del centro.
¡3.40| Un cilindro de pared delgada se deforma haciendo girar un extremo un
ángulo <j>, como se muestra. Una sección plana perpendicular al eje permanece
plana como resultado de la deformación. Los segmentos rectangulares sobre la
superficie se deforman según segmentos rómbicos como se indica. Derive una
expresión para la deformación unitaria cortante sobre la superficie del cilindro.
¡3.41] Una región anular se deforma como se muestra, de manera que el único
desplazamiento que aparece tiene lugar en la dirección z. Suponiendo que cada
superficie plana anular se deforma según una superficie cónica como se muestra,
determine la deformación unitaria cortante yrz en términos de r,a,b y A.
Superficie
Material
tipo caucho
P. 3.40
I <t> ,
P. 3.39
P. 3.41
107
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
3.4 RELACIONES GENERALES ENTRE DEFORMACIONES
UNITARIAS Y DESPLAZAMIENTOS
Los conceptos de deformaciones unitarias longitudinal y cortante se dit-
nieron e ilustraron en la sección anterior. El siguiente paso en el análisis-
de la cinemática es relacionar las deformaciones unitarias con los despla-
zamientos. Este paso es necesario para poder relacionar finalmente le»
esfuerzos con los desplazamientos. Desarrollaremos las relaciones entre
las deformaciones unitarias y los desplazamientos para un caso bidimen-
sional a fin de captar más fácilmente las ideas básicas. Las deformaciones
se supondrán de manera que la geometría de la configuración deformada
no sea muy diferente de la configuración no deformada.
Consideremos el cuerpo general bidimensional mostrado en la figura3.16. Se supone que la deformación consiste sólo en desplazamientos en
el plano xy, es decir, u = u(x, y), v = v(x, y) y w = 0. Los valores de
los desplazamientos se suponen pequeños comparados con el tamaño del
cuerpo. Así, la configuración deformada difiere sólo ligeramente de la
configuración no deformada. Fijémonos en una porción agrandada del
cuerpo en un entorno del punto P, como se indica en la figura 3.17.
(a) No deformado (b) Deformado
Figura 3.16 Deformación de un cuerpo bidimensional
Los desplazamientos en los puntos P, Q y R se expresan de manera
que se tenga en cuenta la posibilidad de la deformación, así como la de un
movimiento de cuerpo rígido. La deformación unitaria longitudinal en la
dirección x en P se define como
lím
Q->P
P*Q* - PQ
PQ
(3.4)
Con referencia a la figura 3.17, la longitud P*Q* se puede representar
como
P*Q* = 1 H JAjc
dx )
+
dv
Tx
A*
3.4 Relaciones generales entre deformaciones unitarias y desplazamientos 124
u(R) = u(P)+^Ay
No deformado
u(G) = v (P) + Mñ dx Ax
u(Q) = u(P) + d-$p Ax
3.17 Vista agrandada de un entorno del punto P
K, con base en la hipótesis de las pequeñas deformaciones, se puede
áMpiificar por medio del desarrollo binomial a
P*Q* 1 + — J AJC
dx )
yendo esta expresión en la ecuación (3.4) se obtiene
du
ex{P) dx
lo ex{P) es para indicar la deformación unitaria longitudinal en
direcciónx y suele escribirse en forma más concisa como sx, o
Sx =
du
dx
deformación unitaria longitudinal en otras direcciones en P es, en
: generales, diferente de la de la dirección x.
De manera completamente similar, la deformación unitaria lineal en
• b dirección y se define como
sy(P) = lím R-*P
P*R* - PR
PR
(3.5)
107
107 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
La longitud P*R* se puede expresar como
12
+ {fyAr
que, con base en la hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede sime
ficar por medio del desarrollo binomial a
P*R* 1 + * ^
Usando esta expresión en la ecuación (3.5) se tiene
dv
ey{P)
dy
que con frecuencia se escribe
dv
Ty
La deformación unitaria cortante en P para las direcciones * y y es el
decremento del ángulo recto QPR como resultado de la deformación y se
define como
Jxy(p) = lím [ángulo QPR - ángulo Q*P*R*}
R—P
(3.6)
El ángulo Q* P*R* está dado por
7T
ángulo Q*P*R* =
con los ángulos <f>\ y <f>2 dados por
dv
tan (f>[ dx
-Ax
du , . 1 +
y tan fc
du
Ty
Ay
dv . .
1 + ^ JAy
Para pequeñas deformaciones, estas expresiones se pueden reemplazar
por
dv du
<p\ - — y <t>2 = —
dx dy
Por tanto, la ecuación (3.6) para la deformación unitaria cortante se puede
expresar en términos de los desplazamientos como
3.4 Relaciones generales entre deformaciones unitarias y desplazamientos 124
dv/dx representa la variación angular asociada con la deformación del
eje x, mientras que du /dy representa la variación angular asociada con la
deformación del eje y.
El conjunto
du dv du dv
Bx = Tx By=Ty y Jxy = yyx = Ty* Tx
constituye las relaciones bidimensionales entre la deformación unitaria y
el desplazamiento referidas a las coordenadas xy.
En un caso general tridimensional en el que aparecen las componentes
de desplazamiento u, v y w en las direcciones x, y y z respectivamente,
hay seis deformaciones unitarias independientes, tres longitudinales y tres
cortantes, dadas por
du du dv
Ex = ~dx 7xy — yyx —
— + — dy dx
dv dv dw
=
Ty Jyz = 7ty =
— +
dz dy
dw dw du
Sz = ~dt
7zx = 7xz = — + — dx dz
donde u(x, y, z), v(x, y, z) y w(x, y, z) son los tres desplazamientos referi-
dos al sistema xyz. Las relaciones tridimensionales entre las deformaciones
unitarias y los desplazamientos también se basan en la hipótesis de que la
configuración deformada difiere sólo ligeramente de la configuración no
deformada.
Ejemplo 3.9 Un bloque se deforma como se indica en la figura 3.18. Los
desplazamientos son u = Uf¡(x/L), v = w = 0. Un plano, que es perpendicular al
eje x en el bloque no deformado, se traslada en la dirección x sin que ningún otro
punto del plano experimente otro desplazamiento. Esta deformación particular se
llama alargamiento uniforme (en la dirección x). Las deformaciones unitarias
se calculan fácilmente como du/dx = Uo/L, con todas las demás componentes de
deformación unitaria nulas.
Observe que el desplazamiento del extremo derecho de la barra es Uo, de
modo que la longitud final de la barra es L + Uo- La deformación unitaria
longitudinal media es igual a.
(̂ j)med —
(Uo + L) - L U0 Figura 3.18 Alargamiento uniforme
en la dirección A:
que muestra por qué esta deformación se denomina alargamiento uniforme.
104 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
Figura 3.19 Cortante uniforme en un
bloque
Ejemplo 3.10 Un bloque se deforma como se indica en la figura 3.19. La
deformación consiste en un desplazamiento en la dirección y dado por v =
Vo(z/h). Esta deformación particular se conoce como de cortante puro. Los
desplazamientos en las direcciones xy z son nulos. Para valores pequeños de Vb, la
deformación unitaria cortante se calcula como yn = dv/dz + dw/dy = Vn/h, con
todas las demás componentes de deformación unitaria nulas.
Varias de las teorías que desarrollaremos y usaremos en este texto sé
basan en la hipótesis de que las deformaciones son similares a las simples
deformaciones longitudinal y cortante. El estudiante debería estudiar esas
deformaciones básicas y familiarizarse con sus principales características.
PROBLEMAS
3.42 Un cuadrado se alarga de manera uniforme como se indica, sin desplaza-
mientos en la dirección vertical. Determine (a) las deformaciones unitarias longi-
tudinales medias ex, £\ y yxy en un punto del bloque, (b) la deformación unitaria
longitudinal media según ambas diagonales y (c) la deformación unitaria cortante
entre las diagonales en Q. Considere que e/L es pequeño.
f^H
| / ! / L
1 U L — L | e—i 1 L 1 e
P. 3.42 P. 3.43
3.43 El cuadrado se deforma en un rombo, como se muestra. No hay desplaza-
miento en la dirección y. Determine (a) las deformaciones unitarias longitudinales
medias ex, ey y yxy en un punto del bloque, (b) la deformación unitaria longitudi-
nal media según ambas diagonales y (c) la deformación unitaria cortante entre las
diagonales en Q. Considere que e/L es pequeño.
3.5 Transformación de la deformación unitaria 105
y
P. 3.44
C" D*
1
A* B*
P. 3.45
3.44 La placa rectangular mostrada se deforma con las componentes de desplaza-
miento xy y dadas por u = axy/bhyv = ax/b. Dibuje la configuración deformada
de la placa y determine las deformaciones unitarias ex, ey y yxy.
3.45 Un rectángulo se deforma en otro rectángulo como se muestra. Las defor-
maciones unitarias longitudinales medias para las rectas AB y CD es e\ y para las
rectas AC y BD es e2. Demuestre que la deformación unitaria longitudinal media
de la diagonal AD está dada por b\ eos2 6 + e2 sen2 0.
3j46 Un rectángulo se deforma de manera uniforme adquiriendo la apariencia de
nn rombo, como se muestra. La deformación unitaria longitudinal media para las
rectas AB y AC es ei y para las rectas AC y BD es s2. La deformación unitaria cor-
tante entre las rectas AByACesy. Demuestre que la deformación unitaria longitu-
dinal media de la recta AD está dada por sad = eos2 6 + e2 sen2 0 + y sen 0 eos 6.
3.47 Una placa cuadrada se deforma de manera uniforme como se muestra. No
hay desplazamiento de ningún punto en la dirección y y todas las líneas verticales
permanecen rectas, como se muestra. Determine ex, sy y yxy como funciones de x
y >• en cualquier punto en la placa, en términos de los parámetros ey L.
3.5 TRANSFORMACION DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA
Las transformaciones de las deformaciones unitarias forman parte del tema
general de la cinemática y como tal están relacionadas con la geometría de
las deformaciones. Hay varias razones específicas para estudiar las trans-
formaciones de las deformaciones unitarias.Una es que, como se indica
en la figura 3.20, no todos los que formulen un problema particular es-
cogerán el mismo sistema coordenado para representar desplazamientos,
106
Figura 3.20 Diferentes posibilidades de
elección del sistema coordenado
Figura 3.21 Transformación de la
deformación unitaria en dos dimensiones
Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
deformaciones unitarias y esfuerzos. Podría ser necesario relacionar l
variables anteriores referidas al sistema coordenado xyz con las correspo
dientes al sistema coordenado x'y'z'. Otra razón es que la comprensión
y el uso de las transformaciones de las deformaciones unitarias son parte
integral de ciertas técnicas de medición de deformaciones unitarias que se
estudiarán con posterioridad en este capítulo. Con estas ideas en mente,
desarrollemos las transformaciones necesarias entre las componentes de
las deformaciones unitarias en diferentes sistemas coordenados.
Consideremos un punto P de un cuerpo bidimensional, como se
muestra en la figura 3.21. Se puede pensar que el sistema x'y' se obtuvo
haciendo girar el sistema xy un ángulo 0 positivo alrededor del eje z- Esta
rotación es un ejemplo de transformación ortogonal, que debe resultar
familiar al estudiante de álgebra lineal.
Se supone que las deformaciones unitarias sx, sy y yxy son conocidas
en P. La idea de la transformación de las deformaciones unitarias nos
permite determinar los valores correspondientes ¿y, ¿y y yx>y>, medidos
respecto al sistema coordenado que se denota con primas, o sea, en el sis-
tema x'y', en función de las deformaciones unitarias conocidas sx,sy y yxy,
medidas respecto al sistema coordenado xy. Logramos esto usando las re-
laciones entre las deformaciones unitarias y los cambios correspondientes
en tamaño y forma asociados con los dos sistemas coordenados.
En la figura 3.22 se presenta un bloque infinitesimal que muestra los
efectos de las deformaciones unitarias positivas sx, sy y yxy.
Como se ve en la figura, las configuraciones no deformada y defor-
mada están superpuestas de manera que coinciden P y P* así como los ejes
x inicial y final. Esto ya tiene en cuenta los movimientos de cuerpo rígido
que trasladan P a P* y el giro del eje x deformado hacia la posición del eje
x no deformado. Los movimientos de cuerpo rígido no producen deforma-
ciones unitarias en un cuerpo no deformado ni alteran las deformaciones
unitarias en un cuerpo que ya ha sufrido deformaciones, de modo que
un análisis de las deformaciones unitarias usando la figura 3.22 producirá
conclusiones correctas respecto al estado de deformación unitaria en P.
La definición de la deformación unitaria en la dirección x es
Ax* - Ax
ex = lim A*—*o Ajc
de donde Ax* — Ax « sxAx. Particularizamos esto a los incrementos Ax\
y AX2 del bloque como
Ax* - AJCI « ex Ax\ y Ax\ — Ax2 « sxAx2
como se muestra en la figura 3.22a. De manera similar, el cambio en
la longitud del bloque en la dirección y es syAy. Como resultado del
movimiento de cuerpo rígido examinado anteriormente, la deformación
3.5 Transformación de la deformación unitaria 107
Figura 3.22 Deformaciones unitarias, alargamientos y cortantes en un punto
debida a la deformación unitaria cortante yxy es como se muestra. Esta
reducción en el ángulo yxy entre los ejes xy y produce el desplazamiento
yxyAy. Cada una de esas tres deformaciones contribuye a los cambios en
las longitudes de los segmentos localizados a lo largo de los ejes x' y y', así
como a la variación en el ángulo entre los ejes x' y y'.
Con referencia otra vez a la figura 3.22a, el cambio de longitud a
lo largo del eje x' está relacionado con las longitudes final e inicial del
segmento, A.s2 y As2, de acuerdo con
Así = Asi(l + ex>) = Asi + Asi¿y
o bien
Así — A^i = íyAs i
El alargamiento Asisy es también igual a la suma de las componentes de
los alargamientos debidos a las deformaciones unitarias ex, ey y yxy a lo
} Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
largo de la diagonal. Con referencia a la figura 3.22b, esto se escribe como
sx> A s j = sxAx\ e o s 0 + sxAx\ s e n 8 + yxyAy e o s 8
Dividiendo entre Asi y como A*i / As i = eos 8 y Ay/As\ = sen 8, se obtiene
sx> = sx eos2 8 + sy sen2 8 + yxy sen 8 eos 8
Con referencia a la figura 3.22c, un análisis similar de la deformación
unitaria en la dirección y' proporciona
S y , — ex sen2 8 + ey eos2 8 — yxy sen 8 eos 8
Con referencia a la figura 3.22a, el cambio en el ángulo entre los ejes y' y
x' está dado por
yxy = a - ¡3
De acuerdo con la figura 3.22c, el ángulo a y las contribuciones al movi-
miento según x' del punto R están relacionados por
a Asi ~ "A.s'2 = —ex Ax2 eos 8 + syAy sen 8 + yxyAy eos 8
Dividiendo entre A s2 y como Ax2/As2 = sen 0 y Ay2/As2 = eos 8, se
obtiene
a = —sx sen 8 eos 0 + ey sen 6 eos 8 + yxy eos2 8
De manera similar, de la figura 3.22b, el ángulo f3 y las contribuciones al
movimiento según y' del punto Q, están relacionados por
¡3As* « f3As\ = sxAx\ s e n 8 - ey Ay e o s 8 + yxyAy s e n 8
Dividiendo entre AÍI se obtiene
P = ex eos 8 sen 6 - sy sen 8 eos 0 + yxy sen2 8
La deformación unitaria cortante yx>y resulta entonces igual a
yx,y = a - ¡3 = -2(ex - fy) sen 0 eos 0 + y ^ c o s 2 0 - sen2 0)
Agrupándolas, las ecuaciones de transformación de las deformaciones
unitarias se pueden escribir como
Sx' = ex eos2 0 + Ey sen2 0 + yxy sen 0 eos 0 (3.7a)
ey = ex sen2 0 + sy eos2 8 - yxy sen 8 eos 8 (3.7b)
yx,y, = —2(sx - sy) sen 8eos 0 + yxv(cos2 8 - sen2 8) (3.7c)
3.5 Transformación de la deformación unitaria 109
Dadas las deformaciones unitarias ex, ey y yxy, referidas a los ejes xy,
las correspondientes deformaciones unitarias ex>, ey y yx>y>, referidas
al sistema x'y', se pueden calcular usando las transformaciones de las
deformaciones unitarias dadas por las ecuaciones (3.7).
Con base en el hecho de que las deformaciones unitarias verifican las
ecuaciones (3.7) de transformación el conjunto de deformaciones unitarias
~Yxy
2
Txy
2
ey
se denomina tensor de deformación unitaria bidimensional. Observe que
la forma de las ecuaciones de transformación es exactamente igual que la
correspondiente transformación de esfuerzos dada por las ecuaciones >>*
(2.4-2.6).
Como una sencilla verificación de nuestras deducciones, considere lo
siguiente. Tome 6 = 90°, que corresponde a un giro de 90° de los ejes, _ „
como se indica en la figura 3.23. 2
Las ecuaciones de transformación deben indicar que, con respecto al - \ y
sistema x'y', ex> = ey, ey = ex y que, como un decremento del ángulo
entre los ejes x' y y' corresponde a un incremento del ángulo entre los Figura 3.23 Ejes con una rotación de 90°
ejes x y y, yx>y = -yxy. Sustituyendo 0 = 90° en las ecuaciones de
transformación (3.7), se obtienen precisamente estos resultados. Observe
que si la ecuación (3.7a) se particulariza para 6 = 45°, el resultado es
_ (g* + ey + yxy)
de donde
yXy = 2exi — ex — ey
expresión que relaciona las deformaciones unitarias longitudinales en tres
diferentes direcciones en un punto con la deformación unitaria cortante
en el mismo punto. Esta relación es muy importante en la medición
experimental de la deformación unitaria, y se examinará con detalle en
una sección posterior.
Ejemplo 3.11 Consideremos una deformación de alargamiento uniforme como
la considerada en el ejemplo 3.9. Sean las dimensiones y deformación del bloque
como se muestra. Determine las deformaciones unitarias en el sistema coordenado
x'y' que se muestra en la figura 3.24b.
110 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
( ¿ ) pulg
(a) No deformado
1 .0 l ( j ) pulg
(b) Deformado
Figura 3.24 Deformaciones y deformacio-
nes unitarias para un alargamiento uniforme
Solución Observe primero que ningún aspecto esencial de esta deformación se
excluye al considerar una perspectiva a lo largo del eje z, como se muestra en la
figura 3.24a. Del ejemplo 3.9, ex = Uu/L = 0.01 pulg/pulgcon todas las demás
deformaciones unitarias nulas. Determinaremos las deformaciones unitarias en el
sistema x'y' usando primero el tratamiento fundamental de determinar los cambios
geométricos y luego usando las ecuaciones (3.7).
Determinaremos ex> aplicando principios básicos y definiciones: con refe-
rencia a la figura 3.24b, las longitudes de la diagonal AB antes y después de la
deformación son
LAB = V32 + 22 pulg = 3.6056 pulg
L\B = \/3.032 + 22 pulg = 3.6306 pulg
de manera que
ex, = (3.6306 - 3.6056) pulg/3.6056 pulg = 0.0069 pulg/pulg
Determinación de eyi: fijémonos en las longitudes sin deformar y deformada de la
recta CD. Como el alargamiento es uniforme, el desplazamiento del punto D se
obtiene de una manera proporcional, resultando
«D =
4/3 (0.003) pulg = 0.0133 pulg
Entonces,
Lco = \ 22 + 2.4037 pulg
+ 0.0133 = 2.4111 pulg
con
= 1 / 22 +
ey = (2.4111 - 2.4037) pulg/2.4037 pulg = 0.0031 pulg/pulg
Determinación de y ¿y: la deformación unitaria cortante para las direcciones
x'y' se determina evaluando los ángulos a través de los cuales giran esas direcciones.
Con referencia a la figura 3.25, el ángulo A a través del cual gira la recta CD
está dado por
2.4037 pulg x a = 0.0133 eos 6 = 0.0111 pulg
o bien
a = 0.0046 pulg/pulg
De manera similar, con referencia a la figura 3.25, fi está dado por la ecuación
3.6056 pulg x ¡3 = 0.03 sen d = 0.0166 pulg
3.5 Transformación de la deformación unitaria
0.03
D\ ¡D*
0 . 0 1 3 3 — 1 r"—
Figura 3.25 Cambios angulares
debidos a la deformación
¡3 = 0.0046 pulg/pulg
dos ángulos contribuyen a incrementar el ángulo entre los ejes x' y y', o sea,
yx,y, = (-0.0046 - 0.0046) pulg/pulg = -0.0092 pulg/pulg
Resolvamos ahora el problema usando las ecuaciones (3.7). El ángulo 6 entre
dos sistemas coordenados está dado por tan 6 = 2/3, de donde eos 6 = 0.8321
i0 = 0.5546. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (3.7) se obtiene
ex> = 0.01(0.8321)2 + 0 = 0.0069 pulg/pulg
e? = 0.01(0.5546)2 + 0 = 0.0031 pulg/pulg
yx.y, = —2(0.01)(0.8321)(0.5546) = -0.0092 pulg/pulg
: valores coinciden con los obtenidos anteriormente.
Observe que sumando las primeras dos ecuaciones (3.7) resulta
Gx' "i" Sy' ~ SX ~¥ Sy
CMD se denomina primer invariante de deformación unitaria. Tiene
l l «usina forma que la relación correspondiente entre los esfuerzos en
•• temas coordenados girados. En los problemas se pide al estudiante que
•Babee otro invariante de deformación unitaria.
PROBLEMAS
l a idea de los tres siguientes problemas es doble; primero, adquirir una mejor
•••prensión de las relaciones entre deformaciones y deformaciones unitarias
y «sondo, apreciar el hecho de que las deformaciones unitarias en un punto
defienden del sistema coordenado respecto al cual se expresan.
112 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
ev = e, > 0
P. 3.49
3.48 Para la deformación indicada, es decir, ex = ei > 0, sy = yxy = 0, use ra-
zonamientos geométricos a fin de determinar la deformación unitaria longitudinal
de los segmentos orientados a lo largo de las direcciones s y t y la deformación
unitaria cortante entre las direcciones sy t. Considere que e\ <C 1.
3.49 Repita el problema 3.48 para el caso: sy = ej > 0, ex = yxy = 0. Considere
que e2 < 1.
3.50 Repita el problema 3.48 para el caso: yxy = y > 0, ex = ey = 0. Considere
y « 1.
El estudiante debe observar que la superposición de los estados de deformación
unitaria en los tres problemas anteriores, que es válida para deformaciones unita-
rias pequeñas, conduce a las ecuaciones generales de transformación presentadas
en la sección 3.5.
3.51 Usando las ecuaciones (3.7) de transformación de las deformaciones uni-
tarias, demuestre que + ey = ex + ey. Este es el primer invariante de las
deformaciones unitarias en una situación bidimensional.
3.52 Usando las ecuaciones (3.7) para la transformación de la deformación unita-
ria, demuestre que ex> • ey> — Tx'y< = ex • ey — yíy/4. Éste es el segundo invariante
de las deformaciones unitarias en una situación bidimensional.
3.6 DEFORMACIONES UNITARIAS PRINCIPALES
yxy = 7 > 0
P. 3.50
Si la primera y la última de las ecuaciones de transformación de las defor-
maciones unitarias dadas por las ecuaciones (3.7) se reescriben usando las
fórmulas trigonométricas para ángulo doble, se obtiene
SX SY
ex> = eos 28+ ^ sen 28
y x'y' ^ sen 28 + ^ eos 29
Las ecuaciones de transformación de los esfuerzos dadas por las ecuaciones
(2.7) y (2.9) son
0-r + <Tv . ax - <T
CTr> =
ov - cr,
- — - eos 28 + rxy sen 28
Tx'y' = - — - sen 28 + rxy eos 28
Estas ecuaciones tienen esencialmente la misma forma que las ecuaciones
de transformación de las deformaciones unitarias con crx y cry reemplazadas
por sx y sy, y con rxy reemplazada por yxy/2. Por esto, todos los resultados
relativos a los esfuerzos principales, planos principales y esfuerzo cortante
3.6 Deformaciones unitarias principales 136
máximo, se pueden aplicar al correspondiente problema de deformaciones
unitarias principales, planos principales y deformación unitaria cortante
máxima si crx se reemplaza por ex, cry por ey y rxy por yxy/2.
Recordando los resultados de la sección 2.6 relativos a esfuerzos
principales, se infiere que las direcciones de los ejes para los cuales las
deformaciones unitarias son principales, esto es, los planos principales,
están dados por las raíces de
tan 26 = — ~ — (3.8)
sx sy
Las dos raíces dadas por 26\ y 262 difieren en 7r radianes, de modo que los
valores 61 y 82 difieren en 77-/2 radianes. Los valores correspondientes de
las deformaciones unitarias para estas direcciones están dados por
y se denominan deformaciones unitarias principales. La correspondiente
deformación unitaria cortante entre las dos direcciones principales es igual
acero.
Las direcciones de los ejes con respecto a los cuales la deformación
unitaria cortante es máxima están dadas por
tan 2 8 = (3.10)
"Yxy
Las dos raíces de esta ecuación, denotadas por 283 y 204, difieren de nuevo
en 7t radianes, de modo que las dos direcciones perpendiculares entre las
cuales la deformación unitaria cortante es máxima, forman 90° a partir de
las dos direcciones perpendiculares entre las cuales la deformación unitaria
cortante es mínima.
Observe también que los miembros a la derecha de las ecuaciones (3.8)
y (3.10) son inversos y opuestos entre sí, lo cual indica que las direcciones
de los planos principales y las direcciones para las cuales la deformación
unitaria cortante es máxima, están separadas 45°. Los valores de las
deformaciones unitarias cortantes máximas correspondientes se pueden
determinar sustituyendo las soluciones de la ecuación (3.8) en la ecuación
(3.9), lo que proporciona
^ ^ = ± \ / ( £ i T ( 3 - n )
El valor positivo se interpreta como un decremento del ángulo, mientras
que el valor negativo corresponde a un incremento de él. Como sucedía
114 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
/
Orientación del bloque
que experimenta deformaciones
unitarias principales, y = 0
Orientación del bloque que
experimenta deformaciones unitarias
cortantes máximas, con = e, = <% t x +
2
Figura 3.26 Relación ent re planos principales y planos de
deformación unitaria cortante máxima
Figura 3.27 Deformaciones en el punto t
*> e, y y-xy > o
Ex, Ey y yxy > 0
Figura 3.28 Bloque
sometido a deformaciones
unitarias longitudinales y
cortantes
con los esfuerzos, hay deformaciones unitarias longitudinales en aquella»
direcciones respecto a las cuales las deformaciones unitarias cortantes son
máxima o mínima. La deformación unitaria longitudinal en la direccióa
de estos dos ejes es
¿•i e = •-•X + EY
La figura 3.26 muestra las relaciones entre estos conjuntos de ejes.
Mostraremos otra forma de representar los resultados de las relacio-
nes entre la deformación unitaria y la deformación, que es de utilidad para
entender la deformación en el entorno de un punto. Consideremosun
cuadrado infinitesimal en el entorno de un punto P, como se muestra en
la figura 3.27. Las formas deformadas del bloque se muestran para cada
uno de los tres casos, ex > 0, ey > 0 y yxy > 0. En cada caso, un círculo
sobre el bloque se deforma según una elipse. Un círculo sobre el bloque
sometido simultáneamente a las tres deformaciones se deformará también
según una elipse, como se ve en la figura 3.28.
Las direcciones principales para las deformaciones unitarias corres-
ponden a las direcciones de los semiejes mayor y menor de la elipse. Estos
ejes corresponden a las direcciones perpendiculares en el bloque que no
experimenta deformación unitaria cortante como resultado del proceso
global de deformación. Este método de representar las deformaciones en
un punto se puede usar con eficacia para visualizar la localización de las di-
recciones principales y las direcciones correspondientes de la deformación
3.6 Deformaciones unitarias principales 136
136
unitaria cortante máxima. Esta manera de representar las deformaciones
en un punto se usará a menudo en el resto del capítulo.
Ejemplo 3.12 Un bloque se deforma por medio de un alargamiento uniforme,
como se muestra en la figura 3.29. Determine las deformaciones unitarias princi-
pales y la deformación unitaria cortante máxima, y dibuje las deformaciones de los
bloques correspondientes.
Solución De la ecuación (3.8) para las direcciones principales se obtiene
0 tan 26 = e — 0 = 0
por lo que 6\ = 0 y 62 = ir/2, que definen a los planos originales. Este resultado
podría haberse anticipado ya que, en este caso, no había deformación unitaria
cortante asociada a los ejes x y y. Las deformaciones unitarias principales son
t , = e y g2 = 0. Las deformaciones unitarias cortantes máximas se presentan
cuando
e — 0 tan 20 = 0
de donde 20 = ir¡2 y 6 = 1r/4; y m í ¡ x está dada por
Tmáx
i r
Los alargamientos de estas líneas son iguales a (e + 0)/2 = e/2. Todos estos
resultados se muestran en la figura 3.30.
Figura 3.29 Alargamiento
uniforme
Deformación
Deformación
' Tmáx
Figura 3.30 Deformación unitaria principal y deformación unitaria
cortante máxima para un alargamiento uniforme
116 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
Las dos figuras en la parte superior indican que un bloque orientado con sus
lados paralelos a los ejes xy se alarga en la dirección x sin ninguna deformación
unitaria en la dirección y y sin ninguna variación en el ángulo entre las direcciones x
y y, esto es, entre los planos principales. Las dos figuras en la parte inferior indican
que un bloque orientado a 45° respecto a los ejes x y y sufre una deformación
unitaria cortante yxy = e/2 y que los ejes s y t experimentan ambos deformaciones
unitarias de s = +e/2.
Ejemplo 3.13 En la figura 3.31 se muestra un bloque bidimensional deformado
por cortante puro (yxy = y, sx = ey = 0). Determine las deformaciones unitarias
principales y la deformación unitaria cortante máxima, y dibuje las deformaciones
| de los bloques correspondientes.
¡ I ~ |~7 y = y > o Solución De la ecuación (3.8) para los planos principales se obtiene
\ j jf tan 20 = x / ( 0 - 0 ) = 0
por lo que 20 = TT/2 y 0 = TT/A. De acuerdo con la ecuación (3.9), la deformación
Figura 3.31 Deformación unitaria principal para esta dirección es
por cortante puro
y para la dirección perpendicular es
1
2
Deformación
Deformación
Figura 3.32 Deformación unitaria principal y deformación
unitaria cortante máxima para cortante puro
3.6 Deformaciones unitarias principales 136
136
Una vez conocida si, ej se podría haber calculado usando el primer invariante de
deformación unitaria, sx + ey = e\ + e2. Las deformaciones unitarias cortantes
máximas se presentan cuando
tan 20 = -
y
o sea, cuando 6 = 0 y 6 = ir/2, ángulos que definen las direcciones originales.
Toda esta información se muestra en la figura 3.32.
Las dos figuras en la parte superior indican que existe cortante puro para los
ejes xy, o sea que no existe deformación unitaria longitudinal en ninguna de las
direcciones x o y. Las dos figuras de la parte inferior indican los planos principales,
para los cuales ss = —y/2 y e, = y/2, con y„ = 0.
Ejemplo 3.14 En un punto P de un sólido bidimensional, se tienen las deforma-
ciones unitarias mostradas en la figura 3.33. Determine las deformaciones unitarias
principales y la deformación unitaria cortante máxima, y dibuje las deformaciones
en los bloques correspondientes.
y
Figura 3.33 Deformación bidimensional
Solución Dibujando un croquis del bloque deformado, se obtiene una idea
aproximada de la posición de las direcciones principales. De la ecuación (3.8)
para las deformaciones unitarias principales se obtiene
tan 20 = -0.0040/0.0060 = -0.6667
por lo que 26 — -33.69° o 6] = —16.85°. La otra dirección principal forma 90° con
la dirección dada por 6\. Los valores de las deformaciones unitarias principales
son
ei = [-0.0006 + V'O.OOBO2 + (-0.0020)2] pulg/pulg = 0.0030 pulg/pulg
= [-0.0006 - 1^0.003O2 + (-0.0020)2] pulg/pulg = -0.0042 pulg/pulg
La posición de la deformación unitaria cortante máxima está dada por
tan 20 = 0.0060/0.0040
118 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
por lo que 20 = 56.3° o 0 = 28.15°. El valor de la deformación unitaria
máxima es
y ,W2 = v'O.OÍBO2 + (-0.0020)2 pulg/pulg = 0.0036 pulg/pulg
o bien
Vmix = 0.0072 pulg/pulg
y se presenta entre las direcciones que forman ángulos de 45° con las diré
principales. La correspondiente deformación unitaria longitudinal para esos
ejes está dada por sp = eq = -0.0006 pulg/pulg. En la figura 3.34 se muestra
esta información.
e,= - 0 . 0 0 4 2
Deformación
. j . J 6 . 8 5 °
T« = 0
e = 0 . 0 0 3 0
28.15° Deformación
- 0 . 0 0 0 6
v T m a x = 0 - 0 0 7 2
Figura 3.34 Posición de las direcciones principales
Las dos figuras de la parte superior indican las direcciones que sufren sólo
deformación unitaria longitudinal, mientras que las dos figuras de la parte inferior
indican las direcciones entre las cuales la deformación unitaria cortante es máxima
o mínima junto con la deformación unitaria longitudinal media correspondiente.
PROBLEMAS
En cada uno de los siguientes problemas, use los resultados de la sección 3.6
para determinar las deformaciones unitarias principales y la deformación unitaria
cortante máxima correspondiente. Dibuje primero el bloque deformado para
tener una idea aproximada de las orientaciones de las direcciones principales. En
cada problema use los resultados analíticos para dibujar los bloques, orientados
apropiadamente, que experimentan las deformaciones unitarias principales y las
deformaciones unitarias cortantes máximas.
3.53 = 0.000100, = 0.000060, yxy = 0.000080.
3.7 Círculo de Mohr para estados de deformación unitaria bidimensionales 119
3.54 sx = 0.000120, e> = -0.000060, Jxy = 0.000040.
3.55 Sx = -0.000100, Sy = -0.000060, Jxy = -0.000080.
3.56 Sx = -0.000080, Sy = -0.000060, yxy = 0.000060.
3.57 Sx = 0.000100, Sy = 0.000100, Jxy = 0.000100.
3.58 Sx = -0.000100, Sy = 0.000100, yxy = -0.000080.
i 3.71 CIRCULO DE MOHR PARA ESTADOS DE DEFORMACION
UNITARIA BIDIMENSIONALES
La construcción del círculo de Mohr para estados de esfuerzo bidimensio-
nales se basó en las ecuaciones de transformación del esfuerzo que tenían
un ángulo doble como parámetro básico. Como vimos la sección anterior,
las ecuaciones de transformación de las deformaciones unitarias, tienen
precisamente la misma forma que las del esfuerzo, con la importante di-
ferencia de que la deformación unitaria cortante está siempre dividida
entre 2 en las ecuaciones. Por tanto, el círculo de Mohr para un estado de
deformación unitaria bidimensional se debe construir de acuerdo con los
siguientes pasos. Nos remitiremos a la figura 3.35.
€y>0
7X > 0.
i .
e x > ( H
Figura 3.35 Bloque con direcciones nombradas
1. Esquematice el elemento mostrando los ejes y las deformaciones uni-tarias sx, ey y yxy. Asigne cuidadosamente un nombre a las direcciones,
cuno la 1 y la 2 en la figura.
2. Indique los ejes coordenados del círculo llamándolos eyy/2, como se
aiuestra.
143 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
3. nombre los puntos (ex, —yxy/2)y(sy, yxy/2), comosemu
La convención de signos debe mantenerse: una deformación ui
negativa se debe dibujar como tal.
4. Dibuje el diámetro del círculo de Mohr entre los puntos 1 y 2 y,
compás, trace el círculo. De esta manera la construcción queda com
Propiedades del círculo de Mohr para e s t a d o s de deformación
taria bidimensional (Haremos referencia a la figura 3.36). Obí
primero que los puntos sobre el círculo de Mohr que corresponden a
deformaciones unitarias cortantes máximas se designan como TI y
Referidos al diámetro que pasa por el punto 1, los ángulos correspond
tes a las deformaciones unitarias principales y a la deformación unit
cortante máxima son 26i y 2<f>i respectivamente.
1. Cada punto (e, -y/2) del círculo de Mohr representa el estado
deformación unitaria para un conjunto de direcciones en el elemento, s
la deformación unitaria longitudinal para las direcciones consideradas y
es la deformación unitaria cortante correspondiente entre las direccio
s y /, donde t es la dirección con giro de 90° en sentido antihorario desde
Los puntos 1 y 2 que se usaron para trazar el círculo son ejemplos de
anterior.
Figura 3.36 Propiedades del círculo de Mohr
2. El giro 26 del diámetro del círculo de Mohr corresponde a un giro d,
en el mismo sentido, de la correspondiente dirección en el elemento.
3. Los valores de las deformaciones unitarias principales están dados por
las coordenadas de los puntos sobre el eje s, nombrados P1 y P2.
4. Las posiciones de los planos principales en el elemento se determinan
con el círculo de Mohr haciendo girar las direcciones 1 y 2 en el elemento
los ángulos 6\ y 8\ + ir¡2, que corresponden a los ángulos 26\ y 26\ + 7r
sobre el círculo.
7
3.7 Círculo de Mohr para estados de deformación unitaria bidimensionales 121
5. Los valores de las deformaciones unitarias cortantes máximas se de-
terminan con las coordenadas de los puntos T\ y T2 en la parte superior e
inferior del círculo.
6. Las posiciones de las direcciones en las cuales las deformaciones
unitarias cortantes en el elemento son máximas, se determinan con el
círculo de Mohr girando las direcciones 1 y 2 en el elemento a través de los
ángulos (f>\ y <f>i +tt/2, que corresponden a los ángulos 2<f>\ y 2<f)\ +tt sobre el
círculo. La dirección correspondiente al punto Tí está dada por el ángulo
4>\, como se muestra en la figura 3.36. La deformación unitaria cortante
positiva asociada con esta dirección y la dirección T2, que se encuentra a
90° en sentido antihorario desde TI, está caracterizada por el hecho de que
el ángulo entre esas dos direcciones ha decrecido. La deformación unitaria
cortante mínima asociada con la dirección T2 y la dirección a 90° en sentido
antihorario respecto a la dirección T2 es negativa, o sea que el ángulo
entre esas dos direcciones se reduce. En forma alternativa, las diagonales
del elemento cuadrado correspondientes a las direcciones principales se
pueden usar para construir el elemento para el cual las deformaciones
unitarias cortantes son máxima (o mínima) como se esbozó en la sección
anterior; en otras palabras, las diagonales son las direcciones entre las
cuales la deformación unitaria cortante es máxima (o mínima).
El círculo de Mohr se puede usar en lugar de las ecuaciones de
transformación. Una vez que se ha construido el círculo de Mohr, las
deformaciones unitarias para cualquier dirección se pueden determinar
siguiendo las reglas anteriormente descritas.
Ejemplo 3.15 Para el estado de deformación unitaria representada por el bloque
en la figura 3.37a, use el círculo de Mohr para determinar (a) las deformaciones
^X 104
(b)
(a)
Figura 3.37 Bloque y círculo de Mohr
1 2 2 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
unitarias principales y sus direcciones, y (6) la deformación unitaria cortante
máxima y sus direcciones correspondientes.
Solución El punto lcon coordenadas^, -yxy¡2) = (10, - 2 ) x l 0 - 4 pulg/pulg
y el punto 2 con coordenadas (sx, ~yxy/2) = (—2,2) x 10~4 pulg/pulg están
localizados en el círculo de Mohr, como se muestra en la figura 3.37b. El
centro del círculo tiene las coordenadas (EX + Sy)/2, 0 = [(10 — 2)/2, 0] x
10 pulg/pulg y el radio está dado por ^[(10 + 2)/2]2 + 22 x 10~4 pulg/pulg =
6.32 x 10~4 pulg/pulg. El ángulo 2d\ está dado por tan 26\ = 2/6, por lo que
6] = 18.44°. De la figura se deduce que = 90° - 20, = 71.56° o fa = 35.78°.
Los valores de las deformaciones unitarias principales corresponden a los puntos
Pl y P2 en el círculo, y son
E, = (4.00 + 6.32) x 10~4 pulg/pulg = 10.32 x 10"4 pulg/pulg
E l = (4.00 - 6.32) x 10 pulg/pulg = -2.32 x 10~4 pulg/pulg
Observe que, como verificación, e\ + E2 = ex + ey = 8.0 x 10~4 pulg/pulg. La
deformación unitaria cortante máxima es numéricamente igual al doble del radio
del círculo de Mohr, o sea, ymáX = 12.64 x 10~4 pulg/pulg.
Sobre el círculo de Mohr el diámetro se hace girar en sentido antihorario
18.44° para pasar del punto 1 al punto Pl. Entonces, en el elemento, la direc-
ción 1 se hace girar en sentido antihorario un ángulo de 9.22° para obtener la
dirección asociada con e\. Esto se indica en la figura 3.38a. La deformación uni-
taria principal s2 se refiere a la dirección perpendicular, como se muestra. Estas
direcciones se indican en las figuras 3.38a y b.
9.22°
> > \ / 3S.78»
Deformación
(c)
Figura 3.38 Planos principales, deformaciones unitarias principales y deformación
unitaria cortante máxima
3.7 Círculo de Mohr para estados de deformación unitaria bidimensionales 123
Las dos direcciones para las cuales la deformación unitaria cortante es máxima
forman ángulos de 45° con las direcciones principales. Consultando la figura 3.37a,
se concluye que la orientación y la deformación de este elemento son como se
indica en las figuras 3.38c y d. Observe que las diagonales del elemento cua-
drado correspondiente a las direcciones de la deformación unitaria principal, de-
foen la orientación del elemento para el cual la deformación unitaria cortante es
máxima.
Ejemplo 3.16 Para el estado de deformación unitaria definido en el ejemplo 3.15
y mostrado en la figura 3.39a, use el círculo de Mohr para determinar las deforma-
ciones unitarias longitudinales y la deformación unitaria cortante correspondiente,
para un elemento asociado al sistema x'y' mostrado.
©
o
& x io4
ex= 10 X 1(T4
ey = -2X 1CT4
yxv= 4 x lo*4
© : ( - 2 , 2 )
e X 104
(a) (b)
Figura 3.39 Uso del círculo de Mohr para la transformación de la deformación unitaria
Para determinar el estado de deformación unitaria para las direcciones con
giro de 30° como se indica, la dirección 1 se puede hacer girar 30° en sentido
antihorario. Esto corresponde a una rotación de 60° en sentido antihorario del
diámetro del círculo de Mohr para llegar al punto q. Con 20i = 18.44° del ejemplo
3.15, las coordenadas del punto q están dadas por
e = (4.00 + 6.32 eos 41.56°) x 10"4 = 8.73 x 10~4
1 = 6.32 sen 41.56° x 10"4 = 4.19 x 10"4
2
o bien y = 8.38 x 10"4. La deformación unitaria longitudinal en la dirección
perpendicular se calcula usando el primer invariante de deformación unitaria como
e = (8.0 — 8.73) x 10~4 = —0.73 x 10~4. Las deformaciones correspondientes se
indican en la figura 3.40.
Podemos también considerar que el punto q se obtuvo haciendo girar la
dirección y un ángulo de 60° en sentido horario. Esto corresponde a hacer girar el
124 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
diámetro del círculo de Mohr 120° en sentido horario desde el punto 2 que conduce
igualmente al punto q en el círculo de Mohr.
Ps. 3.65 al 3.68
PROBLEMAS
En cada uno de los siguientes problemas use el círculo de Mohr para determinarlas deformaciones unitarias principales y la deformación unitaria cortante máxima
correspondiente.
3.59 £x = 0.000100, ey = 0.000060, Jxy = 0.000080.
3.60 ex = 0.000120, £y = -0.000060, 7xy = 0.000040.
3.61 Sx = -0.000100, Sy = -0.000060, yxy = -0.000080.
3.62 ex = -0.000080, Sy = -0.000060, yxy = 0.000060.
3.63 ex = 0.000100, Sy = 0.000100, yxy = 0.000100.
3.64 ex = -0.000100, Sy = 0.000100, y xy — -0.000080.
En cada uno de los siguientes problemas use el círculo de Mohr para determinar
las deformaciones unitarias longitudinal y cortante referidas a las direcciones syi
indicadas.
3.65 sx = 0.0010, Sy = -0.0006, yxy = 0.0005, 0 = 60°.
3.66 ex = -0.0010, Sy = -0.0006, yxy = -0.0005, 0 = -30°.
3.67 0.0005, Sy = 0.0010, yxy = 0.0008, 0 = 135°,
3.68 sx = -0.0010, Sy = -0.0006, 7xy = 0.0005, 0 = -45°.
3.8 MEDICION DE LA DEFORMACION UNITARIA:
GALGAS EXTENSOMÉTRICAS
En los casos en que la geometría de la estructura o la carga sobre ella
sea muy compleja, puede ser necesario efectuar experimentos durante
el proceso de diseño de la estructura o de partes de ella. Una técni:-
3.8 Medición de la deformación unitaria: galgas extensométricas 125
experimental común usa las llamadas galgas extensométricas para medir
directamente la deformación unitaria en un punto sobre la superfice de
la estructura. La información obtenida sobre la deformación unitaria
se puede entonces usar para determinar los esfuerzos correspondientes
usando los conceptos que se analizarán en el capítulo 4.
Las galgas extensométricas se construyen con alambres cortos muy
delgados, los cuales se pegan a la superficie de una estructura usualmente
por medio de un adhesivo de alta resistencia. Si la galga se pega en forma
apropiada a la estructura, experimentará esencialmente las mismas defor-
maciones unitarias longitudinales que la zona de la estructura a la que
está unido. Se supone, en forma implícita, que la presencia de la galga
no altera la deformación unitaria en el punto considerado. La propiedad
básica del alambre de la galga es que cuando se alarga o acorta, su resis-
tencia eléctrica cambia. Combinando la galga con dispositivos electrónicos
adecuadamente calibrados que detecten el cambio en la resistencia eléc-
trica, es posible interpretar el cambio en la resistencia del alambre, en
forma directa, como una deformación unitaria. Está claro que la deforma-
ción unitaria medida de esta manera representa una deformación unitaria
media sobre la longitud de la galga.
Debe tenerse cuidado al colocar las galgas extensométricas para obte-
ner suficiente información relativa al estado de deformación en el entorno
del punto de interés. Hay dos agrupamientos comunes de galgas exten-
sométricas en el entorno de un punto P, conocidos como rosetas. En las
figuras 3.41a y b se muestran una roseta de deformación a 45° y una roseta
de deformación a 60° respectivamente.
Para la roseta a 45°, 6b - 6a = 6C - 6b = 45°, mientras que para
la roseta a 60°, 6b - 6a = 6C — 6b = 60°. Para ambas rosetas las galgas
extensométricas se muestran orientados arbitrariamente con respecto a
un sistema coordenado xy en el punto considerado. La ecuación de
transformación de la deformación es
bx' = ex eos2 6 + ey sen2 6 + yxy sen 6 eos 6
se usa para cada una de las direcciones da,8b y 6C, y se obtiene
sa = ex eos2 6a + Ey sen2 0a + yxy sen 6a eos 6a
EB = EX eos2 0B + sy sen2 8b + yxy sen 6B eos 6B (3.12)
EC = EX eos2 6C + EY sen2 6C + yxy sen 6C eos 6C
Las deformaciones unitarias longitudinales sa, Eb y ec se obtienen del
experimento de modo que las incógnitas en las ecuaciones (3.12) son
los valores sx, sy y yxy. Una vez que se han despejado Ex, sy y yxy
en las ecuaciones (3.12), las deformaciones unitarias en cualquier otra
y
y
Figura 3.41 Rosetas de deformación
unitaria
149 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
dirección en el entorno de P se pueden determinar usando las ecuaciones
de transformación de las deformaciones unitarias.
Específicamente, si 6a = O°,0b = 45° y 0C = 90°, se obtiene la roseta
de deformación a 45°. La primera y la tercera ecuaciones proporcionan:
sx = ea y ey = sc respectivamente. Con 0b = 45°, la segunda ecuación es
(,ea +ec + yxy)
sb = ^
de donde
Jxy = 2eb - sa - ec
y se determinan así todas las deformaciones unitarias en P.
Orientando las galgas extensométricas a 0o, 60° y 120° (roseta a 60°),
las tres ecuaciones proporcionan
Sa = sx
Sx 3¿y O. ^ sb 4
sx 3ey V3
Sc ~ 4 y*y 4
de donde
Sx Sa —
2(eb + sc) - sa j
^ 3 ^ /
y
2 ( e c - e b ) \
quedando así determinadas todas las deformaciones unitarias en P.
Usando la información obtenida con cualquiera de las dos rosetas, se
pueden determinar las deformaciones unitarias principales en el entorno
del punto P.
PROBLEMAS
En cada uno de los siguientes problemas las deformaciones unitarias dadas se har
obtenido usando una roseta a 45°. El ángulo 8a orienta la primera galga exter-
sométrica de la roseta en relación con los ejes xy. Determine las deformación—
unitarias ex,ey y rxy.
3.69 ea = 0.0010, eb = -0.0020, sc = -0.0040, 8a = 15°.
3.70 ea = -0.0020, eb = 0.0030, ec = -0.0040, 6a = 40°.
4.11 Conclusión 127
3.71 sa = 0.0030, sb = -0.0020, sc = 0.0020, 0a = - 2 5 ° .
En cada uno de los siguientes problemas, las deformaciones unitarias dadas se
han obtenido usando una roseta a 60°. El ángulo d„ orienta la primera galga exten-
sométrica de la roseta en relación con los ejes xy. Determine las deformaciones
unitarias sx, sy y yxy.
3.72 sa = 0.0010, sb = -0.0020, sc = -0.0040, 6a = 18°.
3.73 sa = -0.0020, sb = 0.0030, sc = -0.0040, 6a = 35°.
3.74 sa = 0.0030, sh = -0.0020, sc = 0.0020, 0a = -20°.
En cada uno de los siguientes problemas, las deformaciones unitarias dadas
se obtuvieron usando una roseta a 45°. Determine (a) las deformaciones unitarias
principales y direcciones principales, y (£>) la deformación unitaria cortante máxima.
3.75 sa = 0.0030, sb = -0.0042, s<: = -0.0025.
3.76 sa = -0.0015, sb = 0.0025, sc = -0.0035.
3.77 = 0.0040, sb = -0.0030, sc = 0.0055.
En cada uno de los siguientes problemas, las deformaciones unitarias dadas
se obtuvieron usando una roseta a 60°. Determine (a) las deformaciones unitarias
principales y direcciones principales, y (¿>) la deformación unitaria cortante máxima.
3.78 sa = 0.0015, sb = -0.0045, sc = -0.0035.
3.79 sa = -0.0022, sb = 0.0033, ec = -0.0027.
3.80 ea = 0.0042, sb = -0.0018, sc = 0.0035.
3.9 CONCLUSION
En este capítulo hemos estudiado la cinemática o, de manera más descrip-
tiva, la geometría de la deformación. Por lo general, la deformación de un
cuerpo consta de alargamientos, deformaciones cortantes y movimientos
de cuerpo rígido. Los alargamientos dan como resultado cambios en el
tamaño de un cuerpo, mientras que las deformaciones cortantes generan
cambios en la orientación del mismo. En la figura 3.42 se muestra una
deformación general de un cuerpo de forma inicialmente rectangular.
Las figuras 3.42a y b indican la deformación. Las figuras 3.42c,
d y e muestran cómo la deformación se puede considerar como una
combinación de alargamientos, deformaciones cortantes y una rotación,
respectivamente.
Las deformaciones unitarias miden la deformación relativa entre pun-
tos diferentes de un cuerpo. Las deformaciones unitarias longitudinales
dadas por
AÍ* - As
As
/ C _ í u/ — ^ ( • ¡
- r '
Wj- ¡-r V C ) \
0 7 - -1
1 A- •v
t L.
C , , . - S í r
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128 Capítulo 3 Deformación y deformación unitaria
u(x)
(b) Deformación
Figura 3.43 Equilibrio y
deformación de una barra recta
axialmente cargada
Deformación
(a) No deformado (b) Deformado
(b) Deformado (c) Alargamientos (d) Deformaciones cortantes (e) Giro
Figura 3.42 Deformación como alargamientos, deformaciones cortantes y giro de cuerpo
rígido.
constituyen una medida de los cambios localesen el tamaño del cuerpo.
Las deformaciones unitarias cortantes dadas por
y = ángulo PQR - ángulo P* Q*R*
miden los cambios locales en la forma del cuerpo.
Estas descripciones de la deformación en términos de deformaciones
unitarias son indispensables para describir en forma completa el compor-
tamiento de un sólido deformable. Por descripción completa queremos
decir ser capaces de determinar tanto los esfuerzos en el cuerpo como las
deformaciones en el cuerpo, causadas por las cargas externas que actúan
sobre él. Con sólo la información a nuestra disposición, obtenida de nues-
tros análisis en los capítulos 2 y 3 sobre el equilibrio y la geometría de la
deformación, no es posible relacionar las deformaciones del cuerpo con
las fuerzas externas que actúan sobre él.
Como una ilustración muy sencilla, consideremos el problema de
una barra prismática recta sobre la que actúan fuerzas de tensión, como
se indica en la figura 3.43. Usando los resultados del capítulo 2 y con
referencia a la figura 3.43a, podemos calcular el esfuerzo medio de tensión
en cualquier punto de la barra como
<j
P
A A
Según lo visto en este capítulo, las deformaciones de la barra están rela-
cionadas con las deformaciones unitarias en toda la barra por medio de la
relación
s — u
4.11 Conclusión 129
Con P0 como dato básico del problema, quisiéramos también determinar
el alargamiento A en términos de la carga exterior P0. Para el problema
de la deformación axial, esto no es posible por ahora ya que a y P, que son
las variables de fuerza, están contenidas en la ecuación cr = P/A, mientras
que e y «', que son las variables de desplazamiento, están presentes sólo
en la relación e — u' entre la deformación unitaria y el desplazamiento.
Necesitamos una ecuación adicional que, en mecánica de sólidos, resulta
ser una relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria.
Las deformaciones unitarias constituyen una medida de los alarga-
mientos y deformaciones por cortantes en el entorno de un punto P. En
la figura 3.44a se indica el carácter de la deformación asociada con una
ex positiva. Nuestra intuición nos debería decir que los esfuerzos corres-
pondientes que actúan sobre el bloque y que están asociados con esas
deformaciones unitarias (deformaciones), tendrían que ser más o menos
como se indica en la figura 3.44b: podemos esperar que haya relaciones
entre los esfuerzos normales y las deformaciones unitarias longitudinales.
1 „— ^
E, > () ¡ — t rx > 0 <RX
i 1 1 X
(a) Deformación longitudinal (b) Esfuerzo normal
Figura 3.44 Relación entre esfuerzo y deformación unitaria
Jxy > 0 ¡
(c) Deformación cortante (d) Esfuerzo cortante
De manera completamente análoga, debería haber una correspon-
dencia entre la deformación cortante yxy > 0 mostrada en la figura 3.44c y
los correspondientes esfuerzos cortantes de la figura 3.44d. Estas ideas y las
relaciones generales entre esfuerzo y deformación unitaria se analizarán
con detalle en el capítulo 4.
CAPÍTULO 4 Comportamiento y propiedades
de los materiales
INDICE DEL CAPITULO
4.1 Introducción
4.2 Ensayo de tensión
4.3 Comportamientos elástico e inelástico
4.3.1 Idealizaciones del comportamiento de un material
4.4 Comportamientos dúctil y frágil
4.5 Efectos térmicos
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de Hooke
4.6.1 Materiales compuestos
4.7| Comportamiento dependiente del tiempo
4Í8~| Fatiga
4.9 Teorías de falla: criterios de falla
4.10 Esfuerzos de trabajo y coeficiente de seguridad
4.11 Conclusión
130
4.1 INTRODUCCIÓN
Los objetivos básicos de nuestro estudio de la mecánica de sólidos se pue-
den enunciar de manera aproximada como sigue: dadas las cargas aplica-
das a la estructura, ¿cuáles son (a) los esfuerzos y (b) las deformaciones que
resultan? El conocimiento de los esfuerzos se usa para evaluar las propie-
dades de resistencia, mientras que el conocimiento de las deformaciones
se utiliza para evaluar las propiedades de rigidez de la estructura.
Nuestros análisis en el capítulo 2 implicaron el uso de las ecuaciones
de equilibrio para determinar las resultantes de fuerza interna. Con
el uso de conceptos de equilibrio, las resultantes de fuerza interna se
usaron luego para calcular los esfuerzos en términos de las cargas, o sea,
para responder la parte (a) del párrafo anterior. Observamos que, en
sistemas estáticamente determinados, es posible obtener las resultantes
de fuerza interna usando sólo las ecuaciones de equilibrio, pero que en
sistemas estáticamente indeterminados se deben considerar además las
deformaciones.
El capítulo 3 se dedicó a la geometría de la deformación o, dicho de
manera diferente, a desarrollar las relaciones entre las deformaciones del
cuerpo y las cantidades que definimos como deformaciones unitarias longi-
tudinales y cortantes. Tal como se definieron, las deformaciones unitarias
longitudinales y cortantes son medidas de los cambios de tamaño y forma
del cuerpo. Los resultados fueron meramente geométricos, esto es, no se
mencionaron fuerzas asociadas con las deformaciones. Como se mencionó
en la conclusión del capítulo 3, parece razonable esperar que en los mate-
riales reales exista algún tipo de relación entre las deformaciones unitarias
longitudinales y los esfuerzos normales y también entre las deformaciones
unitarias cortantes y los esfuerzos cortantes.
En este punto del estudio de la mecánica de sólidos no hay en
general relaciones entre las variables cinéticas (fuerzas y esfuerzos) y
132 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
las variables cinemáticas (desplazamientos y deformaciones unitarias).
Si fuera posible, con las ideas del capítulo 2, determinar completa-
mente los esfuerzos en función de las cargas externas y responder así
a la cuestión de la resistencia, no podríamos, sin embargo, en este
momento relacionar las variables de fuerza con las variables de des-
plazamiento y expresar así las variables de desplazamiento en función
de las cargas exteriores. No es posible entonces resolver por com-
pleto el problema de la mecánica de sólidos con la sola determina-
ción de los esfuerzos y las deformaciones.
Desde un punto de vista analítico, resulta que el número total de in-
cógnitas, que consisten en (a) las fuerzas y los esfuerzos que aparecen en las
ecuaciones de equilibrio, y en (b) los desplazamientos y las deformaciones
unitarias que aparecen en las ecuaciones que describen las deformaciones,
siempre excede al número total de ecuaciones correspondientes disponi-
bles de equilibrio y deformación.
Ejemplo 4.1 Consideremos, como una sencilla ilustración, el problema de una
barra prismática recta sobre la que actúan fuerzas de tensión como se indica en la
figura 4.1. Con referencia a esta figura, se puede usar el concepto de equilibrio
para calcular el esfuerzo de tensión medio en la barra como
(a) Equilibrio
Po
i A
I
u(x)
Po
(b) Deformación
Figura 4.1 Equilibrio y
deformación de una bar ra recta
axialmente cargada
o-(x) =
P(x) Po
A
que relaciona el esfuerzo en la barra con la carga exterior Po. Con referencia a la
figura 4.1b, la deformación axial de la barra, dada por u(x), está relacionada con
la deformación unitaria a lo largo de toda la barra por la relación deformación
unitaria- desplazamiento
r e = u
Dado Po, se tienen tres incógnitas <r(x), u(x) y e, que están relacionadas entre
sí por sólo dos ecuaciones. Además, como se mencionó antes, las variables de
desplazamiento u ye- están interrelacionadas por medio de la relación deformación
unitaria-desplazamiento, pero no lo están en absoluto con las variables de fuerza cr
y P. Sin mayor información no hay manera de determinar el desplazamiento u en
la barra o, específicamente, el alargamiento A en función de la carga exterior Po.
El comportamiento y las propiedades del material son los medios me-
diante los cuales las variables de fuerza o esfuerzo se relacionan con las
variables de desplazamientoo de deformación unitaria. Dicho con mayor
precisión, al estudiar el comportamiento del material intentamos caracte-
rizar, cualitativa y cuantitativamente, las respuestas de diferentes sólidos a
4.1 Introducción 1 3 3
las acciones mecánicas y térmicas especificando la forma de las relaciones,
junto con las constantes físicas que intervienen en ellas, entre las variables
de fuerza y las de desplazamiento para un material específico. Al proponer
un modelo para el comportamiento del material de un sólido, se deben in-
cluir todos los factores que influyen en la respuesta del sólido en ciertas
condiciones.
Al estudiar los aspectos cualitativos del comportamiento del material,
nos interesa el carácter de la respuesta de éste. Así, tratamos de contestar
preguntas como: ¿depende la respuesta de la temperatura, y si es así, de
qué manera?, ¿recupera el cuerpo su forma y tamaño inicial al retirar las
cargas?, ¿influye en la respuesta la rapidez con que se aplica la carga?
Las respuestas a estas preguntas ayudan a decidir respecto a la FORMA
de las relaciones entre las variables de fuerza y las de desplazamiento. Estos
aspectos cualitativos en ocasiones se conocen como comportamiento de los
materiales.
Por otra parte, los aspectos cuantitativos del comportamiento del ma-
terial tienen que ver más con los valores de las constantes físicas o mate-
riales usadas en las ecuaciones que describen la respuesta, una vez que se
conoce la forma básica de las ecuaciones. A estos aspectos cuantitativos
se les llama a veces propiedades de los materiales.
Observe que los aspectos cualitativo y cuantitativo del compor-
tamiento del material se deben determinar experimentalmente.
Un punto de gran interés es el relativo a la obvias diferencias en el
comportamiento básico de distintos materiales. Dos cuerpos diferentes
responden en forma distinta, tanto cualitativa como cuantitativamente,
frente al mismo nivel de carga, a la misma velocidad de carga, a la misma
temperatura, etcétera. Un cuerpo dado puede manifestar diferente com-
portamiento frente a niveles variables de carga, velocidad de carga, tem-
peraturas, etcétera.
Ejemplo 4.2 Como una ilustración sencilla de diferentes tipos de comportamien-
tos de material, consideremos dos barras delgadas, geométricamente idénticas,
cargadas transversalmente como se muestra en la figura 4.2.
(a) Barra de acero (b) Barra de caucho
Figura 4.2 Dos barras geométricamente idénticas de materiales diferentes
cargadas con una fuerza transversal
1 3 4 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Suponga que una de las barras es de acero y la otra de caucho. Bajo
la acción de las fuerzas externas P iguales que se muestran, podemos esperar
que las respuestas de las dos barras sean en general diferentes, tanto cualitativa
como cuantitativamente. Desde el punto de vista cuantitativo, la barra de caucho
experimentará deformaciones mucho mayores que la barra de acero bajo la acción
de cargas P iguales.
Por otra parte, si cada barra se somete a una fuerza desigual que genere la
misma deflexión en el extremo libre, como se muestra en la figura 4.3, la barra
de caucho retornará a su forma recta original al retirar la carga, mientras que
la barra de acero tal vez no lo haga, esto indica una diferencia cualitativa en el
comportamiento.
(a) Barra de acero bajo carga (b) Barra de caucho bajo carga (c) Barra de acero sin la carga (d) Barra de caucho sin la carga
Figura 4.3 Deformaciones similares de barras de acero y de caucho con diferentes respuestas al retirar la carga
Ejemplo 4.3 Como ilustración adicional consideremos el material mástique, el
cual es un material tipo arcilloso que exhibe un comportamiento sensible a la
velocidad de aplicación de la carga. A temperatura ambiente, un trozo de mástique
excederá varias veces su longitud original si la carga de tensión se aplica con lentitud,
como se indica en la figura 4.4a. Este tipo de comportamiento se denomina, en
general, comportamiento dúctil.
Si la misma pieza de mástique a temperatura ambiente se carga en forma
repentina, como en la figura 4.4b, el mástique se fractura, o sea, se comporta en
forma frágil.
De manera similar, si con un trozo de mástique se forma una bola y ésta se
deja caer suavemente al suelo, rebotará igual que una bola de caucho ordinaria;
pero si se arroja con violencia contra una superficie dura, se romperá en muchas
partes pequeñas. Lo relevante en esto es que la respuesta de este material en
4.1 Introducción 135
Figura 4.4b Comportamiento del mástique en
respuesta a una carga aplicada con rapidez
particular puede depender, en gran medida, de la velocidad con que se apliquen
las cargas.
Estos ejemplos muestran diferencias cualitativas y cuantitativas en las
respuestas de diversos materiales frente a acciones mecánicas y térmicas.
Tales diferencias cualitativas y cuantitativas entre materiales son las que
abordaremos en este capítulo.
Los primeros pasos que deben darse al investigar el comportamiento
del material de un cuerpo particular son: determinar las condiciones en
que va a operar el cuerpo y luego determinar qué aspectos de esas condicio-
nes tendrán una influencia importante en el comportamiento del cuerpo.
Hay muchos factores potenciales que pueden influir en el comportamiento
de un cuerpo en particular, como la temperatura, la velocidad de carga y la
historia de carga. Una teoría específica en mecánica de sólidos se obtiene
combinando en forma sistemática los resultados de equilibrio, deforma-
ción y comportamiento del material. El éxito de la teoría depende en gran
parte de si la componente que representa al comportamiento del material
se ha considerado en forma correcta o no. La forma de la relación entre las
variables de fuerza y de desplazamiento debe modelarse correctamente y
las constantes físicas o materiales que aparecen en las relaciones que des-
criben el comportamiento del material deben determinarse correctamente
para que las predicciones basadas en la teoría correspondan, cualitativa y
cuantitativamente, a las observadas en la realidad.
En la primera parte de este capítulo consideraremos con detalle los
resultados de experimentos diseñados para determinar el comportamiento
en condiciones estáticas (o sea, cuando las cargas se aplican o varían muy
lentamente). Los resultados experimentales en muchos materiales comu-
nes de la ingeniería indican que, con un alto grado de aproximación, las
relaciones entre las variables de fuerza y desplazamiento se pueden mode-
lar como relaciones lineales para un intervalo restringido pero importante
desde el punto de vista práctico. Los materiales que se comportan en
forma lineal serán el centro de nuestros estudios en este texto.
136 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Alargamiento, A
(a)
/
(b)
Figura 4.5 Relación fuerza-
desplazamiento para un resorte
lineal
Ejemplo 4.4 Un ejemplo sencillo de un modelo de comportamiento lineal de
material es un resorte lineal como el mostrado en la figura 4.5a.
Si 8 es el alargamiento del resorte medido desde su posición de equilibrio
deformada y / es la fuerza transmitida, el comportamiento del material del re"
se representa con la relación
f = kS
que relaciona la fuerza / con el desplazamiento 8. Esta relación se muestra
la figura 4.5b. Se supone que cuando el resorte se carga desde su posición
deformar o cuando se descarga desde una configuración deformada, la reía
entre la fuerza / y el alargamiento 8 está dada por la relación lineal / = k8.
Examinado con un microscopio de gran aumento, cualquier cuerpo
ya sea acero, aluminio, caucho o madera, exhibirá cierta estructura,
haber muchas partículas o cristales, y aun huecos aparentes en una fotc
fía que use un poder relativamente bajo de ampliación. Es esencialm:
imposible tomar en cuenta esta compleja estructura al analizar los es
zos y las deformaciones en un cuerpo. Respecto a esto, hacemos
suposiciónque se conoce como hipótesis de continuidad. Esta hipót
supone que no hay huecos en ninguna parte del interior del cuerpo: toá*
porción del cuerpo, por pequeña que sea, está llena de material. Las p » -
piedades del material pueden variar de punto a punto pero en n i n g m
parte existe ausencia éste. Se supone que cualquier propiedad del cueip»
como la masa, la rigidez o la resistencia varía gradualmente en el interior
del cuerpo. Los huecos de tamaño finito que son a veces una parte rega-
lar de muchos componentes estructurales, no se consideran como espaci»
vacíos en el sentido mencionado antes.
4.2 ENSAYO DE TENSIÓN
Muchas aplicaciones de la mecánica de sólidos implican situaciones cu>
siestáticas: las cargas externas se suponen aplicadas lentamente y mantt
nidas a un nivel final constante. Él tiempo no se considera, de mane - ,
explícita, en la formulación o en la solución, o en ambos, del proble ~ .
4.2 Ensayo de tensión 137
E experimento o ensayo diseñado para medir el comportamiento unidi-
mensional básico de un material sometido a cargas cuasiestáticas se llama
ensayo de tensión uniaxial y será descrito a continuación.
El espécimen del ensayo se compone, por supuesto, de una muestra
del material considerado y a menudo se construye en forma de una barra
esbelta, uniforme, cilindrica y de sección transversal circular, como se
vuestra en la figura 4.6a. Se usa también con frecuencia una barra con
Kcción transversal rectangular como la mostrada en la figura 4.6b. Sobre
h porción de sección constante del espécimen se escoge una longitud
calibrada L, como se ve en la figura.
(a) (b)
Figura 4.6 Especímenes para el ensayo de
tensión uniaxial
Como se ve en la figura 4.7, el espécimen se coloca en una máquina de
ensayo que es capaz de aplicar con lentitud una carga de tensión uniaxial F.
Muchas máquinas de ensayo se accionan hidráulicamente con una celda
interna de carga calibrada con precisión que indica la fuerza que está siendo
transmitida por la máquina en cualquier momento del experimento. Sobre
d espécimen se colocan galgas extensométricas que miden el alargamiento
de la longitud calibrada y las contracciones laterales del diámetro d, como
se muestra en la figura 4.7.
Como resultado de la aplicación de la carga F, la longitud calibrada L
se incrementa una cantidad AL. Normalmente, el diámetro Ad se reduce.
Al crecer F en forma gradual, su valor, así como los valores de AL y Ad, se
miden y registran. Muchas máquinas de ensayo modernas hacen esto en
forma automática. Esta parte del experimento se denomina fase de carga.
Para cada valor de la carga F podemos calcular el esfuerzo normal
medio en la porción calibrada de la barra como
(cerned
F
A
Figura 4.7 Máquina de ensayo y galgas
extensométricas para medir cambios en las
dimensiones (Foto por cortesía de MTS
Systems Corp., Minneapolis, MN.)
138 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
"ÚLT -
OY- Fractura
OÚLT
(a)
J - Fractura
(b)
Figura 4.8 Curvas típicas experimentales
de esfuerzo-deformación unitaria
donde A es el área de la sección transversal original de la barra. La defor-
mación unitaria longitudinal promedio en la parte calibrada de la barra <
(^x)med
AL
L
Estos valores se dibujan para generar una curva de esfuerzo-deformaciéa
unitaria. En las figuras 4.8a y 4.8b se muestran dos resultados típicos.
La curva de la figura 4.8a es típica de un material dúctil y la de l
figura 4.8b lo es de un material frágil. Para un material dúctil existe o
fenómeno de fluencia en A, en la figura 4.8a, en donde el esfuerzo
manece esencialmente a un nivel constante mientras que la deformado
continúa aumentando como se indica. El esfuerzo al que ocurre este fe-
nómeno se denomina esfuerzo de fluencia, crY. El esfuerzo máximo en ¡
de la figura 4.8a se llama esfuerzo último o resistencia última, o-, ULT"
un material frágil típico como el que se indica en la figura 4.8b, se tien
una deformación relativamente pequeña antes de la fractura. El esfuer
al que ocurre la fractura se llama esfuerzo de fractura. En la sección
examinaremos con detalle los comportamientos frágil y dúctil.
Si el ensayo se termina antes de que ocurra la fractura y la cargi
se reduce gradualmente hasta cero, suele generarse una segunda curva.
Esta porción de la prueba se llama fase de descarga, y para diferente
materiales se obtiene una curva de descarga correspondiente, como se v
en la figura 4.9. La forma de esta curva de descarga depende del material j
de la historia de carga. Se indican varias posibilidades. Las figuras 4.9a y 1
muestran casos en que la deformación unitaria regresa al valor cero
retirarse la carga. La figura 4.9c muestra un caso en el cual se presen
una deformación permanente cuando se retira la carga. En la siguiente
sección analizaremos con detalle ambos tipos de comportamiento.
Carga
Descarga
Carga
j í f t Descarga
(a) (b) (c)
Figura 4.9 Curvas de carga y de descarga
Otra pregunta esencial al considerar el comportamiento y las propie-
dades de los cuerpos es si hay alguna diferencia en el comportamiento de
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 162
• o material al cargarlo en compresión o al cargarlo en tensión. Podrían
dtferir los aspectos cualitativo o cuantitativo del comportamiento o bien
ambos. Por fortuna, muchos materiales de la ingeniería tienen curvas de
«fuerzo-deformación unitaria como las mostradas en la figura 4.10a.
i Fractura
f a tensión
Fractura a . •' /
compresión
(a) (b)
Figura 4.10 Curvas de esfuerzo-deformación unitaria para tensión y compresión
En estos materiales existe una respuesta elástica lineal inicial en com-
presión que es cualitativa y cuantitativamente igual que en tensión. En este
texto supondremos que la forma de la curva de esfuerzo-deformación uni-
taria en la región lineal es la misma en tensión y en compresión. Sin em-
bargo, algunos valores como el esfuerzo de fluencia y el esfuerzo último
poeden ser diferentes en tensión y en compresión. Por ejemplo, el esfuerzo
fltimo para un material frágil puede depender en gran medida de si el es-
fera) es de tensión o de compresión. La curva de esfuerzo-deformación
unitaria mostrada en la figura 4.10b es típica para ciertos materiales frágiles
como el vidrio, el hierro colado y el concreto, materiales cuyas resistencias,
•edidas utilizando el esfuerzo último, son mucho mayores en compresión
que en tensión. Por ejemplo, el esfuerzo último de compresión del con-
creto suele variar entre 2 y 5 klb/pulg2, mientras que el esfuerzo último de
tensión es por lo general menor que el 10% de esos valores. Las relaciones
ée los esfuerzos últimos en tensión y compresión para el vidrio y el hierro
criado son similares.
4 3 COMPORTAMIENTOS ELÁSTICO E INELÁSTICO
Las curvas de las figuras 4.9a y b son ejemplos del comportamiento elástico:
cuando las cargas cesan, el material recupera su forma original. Una tira
de caucho es aparentemente elástica; parece retornar a su longitud original
al retirar una carga de tensión que actúe sobre ella. La figura 4.9c es típica
de un comportamiento inelástico, es decir, que queda una deformación
permanente al cesar la carga. Un material dado se puede comportar en
140 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
ULP
Figura 4.11 Curva de
estuerzo-deformación
unitaria para un material
inicialmente elástico lineal
forma elástica en cierto intervalo de valores de esfuerzos y deformaciones
unitarias y en forma inelástica en un intervalo mayor. En el ejemplo 4.6 se
describe este tipo de comportamiento.
Para muchos materiales comunes de la ingeniería hay una porcia»
de la curva de esfuerzo-deformación unitaria que es esencialmente lineal,
como se muestra en la figura 4.11. Para esos materiales el esfuerzo &&
correspondiente al punto último de la porción lineal de la curva se llama
límite proporcional; es el último punto para el cual el esfuerzo es directa-
mente proporcionala la deformación unitaria. Dentro de este intervalo^
la FORMA (aspectos cualitativos del comportamiento del material) de la
relación entre esfuerzo y deformación unitaria (o ecuación constitutiva)
del tipo
a = Es (4.1
donde E, llamado módulo de Young o módulo de elasticidad, es la constan"
física de proporcionalidad (aspectos cuantitativos del comportamiento
material). E tiene las dimensiones FL~2 y se expresa comúnmente
unidades de lbf/pulg2 o en newton/m2 = pascal (Pa). Como se muestra en1
figura 4.11, £ es la pendiente de la curva de esfuerzo-deformación unita
dentro del intervalo lineal elástico del material. En tanto el material:
esté sometido a esfuerzos superiores al límite proporcional, se clasi!
como linealmente elástico.
Observe que el experimento conocido como ensayo de tensión unia
no sólo ha proporcionado información cualitativa sobre el comportamier
del material (o sea, linealmente elástico con a = Es por debajo del lín
proporcional), sino que también ha brindado la necesaria informad '
cuantitativa sobre el valor de la constante de proporcionalidad E. Éste 1
uno de los objetivos que nos propusimos al investigar el comportamien
del material.
Recuerde que en el ensayo de tensión de una barra de sección tra
versal circular también se miden los cambios del diámetro. Si suponer
que la sección transversal permanece circular, la deformación unitaria ¡
en la dirección transversal, o sea la deformación unitaria que mide el
bio según el diámetro, está dada por
A d
sT =
En el intervalo elástico lineal, la razón negativa entre esta deformac'
unitaria transversal y la correspondiente deformación unitaria axial
llama coeficiente de Poisson y está dado por
v
deformación unitaria transversal _ eT
deformación unitaria axial sx
(4.:
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 162
162
El coeficiente de Poisson es positivo para todos los materiales conocidos,
lo cual indica que la dimensión transversal disminuye cuando el espécimen
está sujeto a tensión.
Otra importante constante elástica es el módulo cortante o módulo de
rigidez. Se determina a partir del experimento mostrado en la figura 4.12.
Un bloque se somete a un estado de cortante puro como se ve en la
figura 4.12a. Se incrementa gradualmente el valor del esfuerzo cortante y
se mide la deformación unitaria cortante y resultante. Muchos materiales
responden como se indica en la figura 4.12b, donde se ve que el esfuerzo
cortante r y la deformación unitaria cortante y están relacionados en forma
lineal, o sea
T = Gy (4.3)
donde G se llama módulo de cortante o módulo de rigidez. El módulo
de cortante G es la constante elástica que gobierna el comportamiento
a cortante y constituye el equivalente del módulo de elasticidad E del
comportamiento lineal. El módulo de cortante G también tiene las di-
mensiones FL~~2 y se expresa así mismo en unidades de lbf/pulg2 o
newton/m2 = pascal (Pa). Más adelante en el capítulo veremos que
para muchos materiales existe una relación entre E, G y v dada por
E = 2G(1 + v).
Otro valor de esfuerzo usado a menudo es el límite elástico, o-LE,
definido como el mayor esfuerzo que el material puede resistir sin que
se presente en él una deformación permanente al retirar la carga. En
principio, el límite elástico es claramente diferente del límite proporcional,
con un valor algo mayor que el de este límite. Sin embargo, es muy difícil
distinguir entre los dos valores con base en los datos de un ensayo real, por
lo que a menudo se supone que los valores de ambos límites son iguales.
Como se indica en la figura 4.13, ambos valores se toman iguales a un valor
cercano al límite proporcional.
(a)
Figura 4.12 Determinación
experimental del módulo
cortante
Figura 4.13 Límites elástico
y proporcional
Figura 4.14 Varios módulos para
materiales elásticos no lineales
142 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Para materiales elásticos no lineales, como los representados en la
figura 4.14, hay varias medidas de la rigidez local. Uno es el módulo
tangente ET, que es simplemente la pendiente de la tangente trazada a
la curva de esfuerzo-deformación unitaria en el punto considerado. El
módulo secante Es en el mismo punto P se obtiene trazando una línea
recta desde el origen al punto sobre la curva de esfuerzo-deformación
unitaria y midiendo la pendiente. Estos dos módulos se usan más allá
del límite proporcional en materiales que se comportan inicialmente en
forma elástica. Por debajo del límite proporcional, ambos coinciden con
el módulo de elasticidad E.
Ejemplo 4.5 Un espécimen con diámetro de 0.505 pulg se somete a una prueba
uniaxial con los resultados mostrados en la figura 4.15. Si el diámetro de la barra
en el límite proporcional fue de 0.5046 pulg, determine (a) el módulo de Young,
(b) el límite proporcional, (c) el punto de fluencia, (d) el coeficiente de Poisson,
(e) la resistencia última y ( / ) el módulo tangente en <r = 45 klb/pulg2.
Solución En la curva de esfuerzo-deformación unitaria se ve que el límite
proporcional <TLP es aproximadamente igual a 35 klb/pulg2. La deformación
unitaria correspondiente es e = 0.0025, de modo que E = 35(klb/pulg2)/0.0025 =
14 x 105 lbf/pulg2. En la curva se ve también que el punto de fluencia es
aproximadamente igual a 38 klb/pulg2 y el esfuerzo último igual a 50 klb/pulg2.
Si se traza una tangente en cr = 45 klb/pulg2, para el módulo tangente se calcula
un valor de 2.4 x 106 lbf/pulg2. Por definición, el coeficiente de Poisson está dado
por
0 .0050 0 . 0 1 0 0 0 . 0 1 5 0
e
Figura 4.15 Datos de la curva de esfuerzo-
deformación unitaria de un ensayo uniaxial de
tensión
v = e,r
Gax
(0.5046 - 0.505)/0.505
0.0025 0.32
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 162
162
PROBLEMAS
4.1 En el límite proporcional, la longitud calibrada de 6 pulgadas de una barra de
aluminio de 3/8 pulg de diámetro se ha alargado 0.012 pulg con una disminución en
el diámetro de hasta 0.37477 pulgadas. La carga correspondiente fue de 2210 lbf.
Determine (a) el módulo de Young, (b) el coeficiente de Poisson y (c) el límite
proporcional.
Una barra de un ensayo de tensión con un diámetro estándar de 0.505 pulg y
una longitud calibrada de 2 pulg se ensayó hasta la falla del material por fractura.
Se registraron las siguientes cargas y deformaciones.
rga (lbf) AL(pulg) Carga (lbf) AL (pulg)
0 0 9580 0.0420
1395 0.0014 10120 0.0588
2800 0.0028 10760 0.0840
4195 0.0042 10940 0.1176
5600 0.0056 10720 0.1428
7010 0.0070 10140 0.1680
8400 0.0084 9420 fractura
8620 0.0110
8635 0.0136
8660 0.0168
8680 0.0220
8880 0.0310
Determine lo siguiente:
, m. El módulo de Young o módulo de elasticidad.
It El límite proporcional aip y la resistencia última
e. El esfuerzo de fluencia.
El módulo tangente para un esfuerzo de 50.6 klb/pulg2.
c. El módulo secante para un esfuerzo de 50.6 klb/pulg2.
JL El esfuerzo de fractura.
jg. El esfuerzo de fractura verdadero si el diámetro de la barra en la fractura fue
de 0.464 pulgada.
fk ¿Gasificaría usted este material como frágil o dúctil?
€3 Una barra de 1/4 pulg x 2 pulg x 60 pulg se alarga 0.02 pulg bajo la acción de
W carga de tensión de 5000 lbf. Bajo esta carga, la dimensión de 2 pulg se reduce
ÍiL99981 pulgadas. Suponiendo que estas condiciones caen dentro del intervalo
'faeal de la curva de esfuerzo-deformación unitaria, determine (a) el módulo de
^ • n g , (b) el coeficiente de Poisson, (c) el límite proporcional y (d) la disminución
de la dimensión de 1/4 de pulgada.
; 44 Una barra de un ensayo de tensión con un diámetro estándar de 0.505 pulg y
• n longitud calibrada de 2 pulg se ensayó hasta la falla por fractura. Los datos de
f o r o y deformación registrados fueron los siguientes:
144 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Carga (lbf) AL(pulg)
0 0
1260 0.00043
2520 0.00087
3780 0.00130
5040 0.00174
6300 0.00217
7560 0.00261
8820 0.00341
9540 0.0044710280 0.00683
10860 fractura
P. 4.5
Determine lo siguiente:
a. El módulo de Young o módulo de elasticidad.
b. El límite proporcional aip y la resistencia última O"ÚLT-
c. La resistencia de fluencia para una deformación del 0.2% (véase la Sec. 4.4).
d. ¿Clasificaría usted este material como frágil o dúctil?
4.5 Para la barra cargada a tensión como se muestra, el incremento en la longi"
b es de 0.00185 pulg y la disminución en la longitud a es de 0.00028 pulgada. S
niendo que los esfuerzos correspondientes caen en el intervalo elástico, dete
el coeficiente de Poisson. Inicialmente a — 1 pulg y b = 2 pulgadas.
4.6 Sobre una barra de 0.505 pulg de diámetro actúa una carga de tensión
6400 lbf, en el intervalo elástico. Se observa que una sección de 2 pulg se al
0.016 pulg y que su diámetro disminuye a 0.5039 pulgada. ¿Cuáles son el m~
de elasticidad y el coeficiente de Poisson?
4.7 Una barra de acero de 25 mm x 100 mm x 1500 mm se alarga 1.05 mm bajo
acción de una carga de tensión de 350 kilonewtons. Bajo esta carga, la dimensión
100 mm se reduce a 99.98 milímetros. Suponiendo que estas condiciones se ha
dentro del intervalo lineal de la curva de esfuerzo-deformación unitaria, deter
(a) el módulo de Young, (b) el coeficiente de Poisson, (c) el límite proporcional
(d) la disminución en la dimensión de 25 milímetros.
4.8 Una barra de un ensayo de tensión con diámetro de 12.83 mm y una Ion
calibrada de 50 mm se ensayó hasta su falla por fractura. Los datos de carga y
deformación registrados fueron los siguientes:
Carga (kN) A£(mm) Carga (kN) AL(mm)
0 0 42.61 1.0668
6.20 0.0356 45.01 1.4935
12.45 0.0711 47.86 2.1336
18.66 0.1067 48.66 2.9870
24.91 0.1422 47.68 2.6271
31.18 0.1778 45.10 4.2672
37.36 0.2134 41.90 fractura
38.34 0.2794
38.41 0.3454
38.52 0.4267
38.61 0.5588
39.50 0.7874
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 162
162
Determine lo siguiente:
a. El módulo de Young o módulo de elasticidad.
b. El límite proporcional, CTLP.
c. La resistencia última, cr¿,LT.
d. El esfuerzo de fluencia.
e. El módulo tangente para a un esfuerzo de 349 MPa.
/ . El módulo secante para un esfuerzo de 349 MPa.
g. El esfuerzo de fractura.
h. El esfuerzo de fractura verdadero si el diámetro de la barra al producirse la
fractura era de 11.79 milímetros.
L ¿Clasificaría usted este material como frágil o dúctil?
4.9 Una barra de un ensayo de tensión con diámetro de 12.83 mm y una longitud
calibrada de 50 mm se ensayó hasta su falla por fractura. Los datos de carga y
deformación registrados fueron los siguientes:
Carga (kN) AL(mm) Carga (kN) AL(mm)
0 0 33.65 0.0663
5.60 0.0109 39.23 0.0866
11.21 0.0221 42.44 0.1135
16.81 0.0330 45.73 0.1735
22.41 0.0442 48.31 fractura
27.99 0.0551
Determine lo siguiente:
a. El módulo de Young o módulo de elasticidad.
b. El límite proporcional, CTLP-
c. La resistencia última, cr^j .
d. La resistencia de fluencia para una deformación del 0.2% (véase la Sec. 4.4)
e. ¿Clasificaría usted este material como frágil o dúctil?
4.3.1 Idealizaciones del comportamiento de un material
Las curvas de esfuerzo-deformación unitaria de la mayoría de los materia-
les son relativamente complicadas desde un punto de vista analítico. Para
una curva de esfuerzo-deformación unitaria típica de un acero, como la
mostrada en la figura 4.16, sería tedioso, en el mejor de los casos, repre-
sentar el esfuerzo a en función de la deformación unitaria s.
Las características esenciales de la respuesta, es decir, el comporta-
miento elástico lineal AB al que sigue la llamada fase de endurecimiento
por deformación BC, se puede representar en forma aproximada con los
dos tramos rectos mostrados en la figura 4.16. Éste es un ejemplo de una
curva de esfuerzo-deformación unitaria ideal que se usa con frecuencia en
el análisis cuando se sabe que los esfuerzos no corresponden al intervalo
Figura 4.16 Curvas de
esfuerzo-deformación unitaria y
de esfuerzo-deformación unitaria
ideal para un acero
146
a
Figura 4.18 Diagramas de
esfuerzo-deformación unitaria
elásticos no lineales
Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
elástico y, por tanto, el comportamiento plástico en la región BC tambié»
se debe modelar. Esta idealización particular se conoce como idealización
elástica con endurecimiento lineal. Otras idealizaciones son las idealiza-
ciones elástica-perfectamente plástica y rígida-perfectamente plástica, que
se indican en las figuras 4.17a y b respectivamente.
Figura 4.17 Idealizaciones de las curvas de esfuerzo-deformación unitaria:
(a) idealización elástica-perfectamente plástica y (b) idealización rígida
perfectamente plástica
En la figura 4.18 se muestra otra idealización que con frecuencia
es útil para representar formas generales de algunas curvas de esfuerzo-
deformación unitaria de materiales elásticos.
Se ha encontrado que las curvas correspondientes a una situación
general se pueden representar apropiadamente usando la ecuación cons-
titutiva de Ramberg-Osgood.1 Esta ecuación se puede expresar como
Los parámetros K, E y n se pueden ajustar para obtener una buena con-
cordancia entre la curva exponencial de esfuerzo-deformación unitaria y
la curva de Ramberg-Osgood para un material particular. Desde un punto
de vista práctico, resulta que para materiales que muestran inicialmente un
comportamiento elástico lineal (o sea, materiales para los cuales se tiene
una parte de la curva de esfuerzo-deformación unitaria dada por cr = Es
cerca del origen), los valores de K y ti son tales que el término no lineal
adquiere importancia sólo en puntos alejados del origen.
Idealizaciones como éstas se pueden usar en forma muy eficaz para
aproximar las relaciones esfuerzo-deformación unitaria (ecuaciones cons-
titutivas) de muchos cuerpos reales o para modelar una situación particular
del comportamiento de un cuerpo. Para aplicaciones, el estudiante puede
consultar las secciones sobre comportamiento no lineal en los capítulos 5,
6 y 7.
1W. A. Ramberg y W. R. Osgood, "Description of stress-strain curves by three parame-
ters", National Advisory Committee for Aeronautics, Technical Note #902 (julio de 1943).
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 147
Ejemplo 4.6 La barra rígida AB está sostenida por un alambre de 6 mm de diáme-
tro que se comporta de acuerdo con la curva de esfuerzo-deformación unitaria
mostrada en la figura 4.19. Determine el comportamiento carga-desplazamiento
de la barra y del alambre.
Solución Nos interesa (a) la carga P máxima admisible y el movimiento co-
rrespondiente del punto B para un comportamiento elástico del alambre, (b) el
movimiento de B si P se incrementa un 10% por encima del valor anterior y (c)
el desplazamiento residual en B cuando se retira la carga P. Consideraremos por
separado cada uno de los aspectos básicos anteriores y luego los combinaremos
para obtener la solución.
Apartado A Equilibrio: Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la barra AB
y tome momentos respecto a A como se muestra en la figura 4.20, de lo que se
obtiene el valor T = 2P/3 para la fuerza de tensión en el alambre.
-1.0 m-
HMa 0= -P(l m)
+ 7X1.5 m)
0.5 m
Figura 4.20 Diagrama de
cuerpo libre de la barra AB
El esfuerzo correspondiente es
de donde
P =
2 P 200 MPa = —
3A
200 MPa(3)(7r/4)(0.006 m)2
1.0 m-
0.5 m
(a)
220 MPa
200 MPa
0.001 0 .002
(b)
Figura 4.19 Barra rígida sostenida por un
alambre y curva de esfuerzo-deformación
unitaria para el alambre
= 8.482 kN
como la carga máxima admisible para un comportamiento elástico del alambre.
Observe que para este problema estáticamente determinado, la cuestión de la
resistencia se resolvió sin tener que considerar las deformaciones. Para la cuestión
de las deformaciones se deben considerar los otros dos aspectos básicos.
Deformación unitaria-desplazamiento: Para este sencillo problema, la defor-
mación unitaria en todo punto del alambre está dada por la deformación unitariamedia, esto es, por e = A/L, donde A es el alargamiento del alambre (desplaza-
miento del punto B).
Esfuerzo-deformación unitaria: Cuando el esfuerzo en el alambre es igual o
inferior al límite elástico de 200 MPa, la relación entre el esfuerzo y la deformación
unitaria es
cr = Ee
donde, según la figura 4.19b, el módulo de elasticidad está dado por
148 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Combinando los tres aspectos básicos resulta
EA
£r = X
de la cual
Ab = ~ = 0.002 m
E
como el alargamiento del alambre y, por tanto, el desplazamiento del punto B.
Apartado B Equilibrio: Cuando la carga P se incrementa un 10% (P - 9.3 kN),
el resultado del apartado A muestra que el esfuerzo también crece un 10% (a =
20 MPa).
Deformación unitaria-desplazamiento: la componente de deformación uni-
taria-desplazamiento continúa siendo dada por e = A/L.
Esfuerzo-deformación unitaria: En la figura 4.19b se ve que la ecuación para la
curva esfuerzo-deformación unitaria mas allá del límite elástico está determinada
por su pendiente y se puede expresar como
(cr-200) MPa 20 MPa
e - 0.001 0.002 - 0.001
Teniendo en cuenta que a = 220 MPa resulta
a ^ L ü ü . . . ^
o bien
e = 0.002
El movimiento vertical correspondiente de B es AB = eL = 0.002(2 m) = 0.004
metros.
Apartado C Equilibrio: Cuando la carga P se retira. T = 0 y cr = 0.
Deformación unitaria-desplazamiento: Usando la relación deformación uni-
taria-desplazamiento e — A/L se obtiene
P(kN) AB = eL = 0.0009(2.0 m) = 0.0018 m
J Esfuerzo-deformación unitaria: Cuando la carga P se retira, la descarga tiene
fm < j | lugar a lo largo de la línea CD paralela a la línea AB en la figura 4.19b. El valor
/ i l l J t m correspondiente de e — SF está dado por la ecuación de la línea CD como
MM "
Afl(m) de donde eF = 0.0009.
Figura 4.21 Curva de carga-deflexión La curva P función de Afl se muestra en la figura 4.21 para las tres situaciones
anteriores.
4.3 Comportamientos elástico e inelástico 172
PROBLEMAS
4.10 Las barras AB y BD son rígidas y la barra CE se comporta de acuerdo
con el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria que se muestra, esto es, la
descarga tiene lugar según una línea recta paralela a la parte , inicial lineal de
la curva de esfuerzo-deformación unitaria. Determine (a) el desplazamiento
vertical de D bajo la acción de la carga P, y (b) el desplazamiento permanente,
o residual, del punto D cuando se retira la carga. Establezca con cuidado en qué
medida los conceptos básicos de equilibrio, deformación unitaria-desplazamiento,
y relación esfuerzo-deformación unitaria contribuyen a la formulación y solución
del problema. Considere los siguientes valores: área de la barra CE = 600 mm2,
h = 4 m, tr0 = 150 MPa, E = 70 GPa, ifc = 10 GPa y P = 55 kilonewtons.
4.11 Repita el problema 4.10 con los siguientes datos: tro = 20 klb/pulg2,
E = 107 lbf/pulg2, k = 1.5 x 106 lbf/pulg2, P = 15 klb, h = 15 pies y área
de la barra CE = 0.9 pulg2.
4.12 Una barra uniforme cuelga bajo su propio peso como se indica. El material
tiene un peso específico y y se comporta según la relación (a-/ao)" = e, donde ero
y n son parámetros determinados con base en el ensayo uniaxial. Determine (a)
el esfuerzo en la barra en función de la posición, (b) el desplazamiento u(x) y (c) el
alargamiento de la barra. Establezca cuidadosamente en qué medida contribuyen
a la formulación y solución del problema los conceptos de equilibrio, deformación
unitaria-desplazamiento y comportamiento del material.
4.13 El comportamiento de un material determinado en un ensayo uniaxial es
como se muestra en la figura. La curva se aproxima mediante tres segmentos
rectos como se indica. Determine las expresiones analíticas que definen la relación
aproximada esfuerzo-deformación unitaria.
4.14 Una barra con 15 mm de radio y 2.6 m de longitud se fabrica con el material
descrito en el problema 4.13. Determine el alargamiento de la barra al estar
sometida a una carga de tensión de 56 kN. Establezca en qué medida contribuyen
a la formulación y solución del problema las nociones de equilibrio, deformación
unitaria-desplazamiento, y comportamiento del material.
4.15 Repita el problema 4.14 para una carga de 78 kilonewtons.
e
Ps. 4.10 y 4.11
173 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
o
Ps. 4.13 al 4.16
4.16 Repita el problema 4.14 para una carga de 92 kilonewtons.
4.17 Las dos barras cargadas que se muestran están hechas del material indicado
en la figura. Determine (a) el alargamiento total de la barra y (b) el alargamiento
residual o permanente cuando la carga cesa de actuar. Establezca en qué medida
contribuyen a la formulación y solución del problema los conceptos de equilibrio,
deformación unitaria-desplazamiento, y comportamiento del material. Considere:
Ai=2 pulg2, A2 = 1 pulg2, ¿i = 36 pulg, L2 = 26 pulg y P = 12 kilolibras.
40 klb/pulg2
20 klb/pulg2
15 klb/pulg2
0.
Ps. 4.17 al 4.19
4.18 Repita el problema 4.17 con P = 18 kilolibras.
4.19 Repita el problema 4.17 con P = 36 kilolibras.
4.20 Una estructura articulada está cargada como se muestra. El material se
comporta según la curva de esfuerzo-deformación unitaria indicada. Determine
el desplazamiento vertical del punto B. Establezca en qué medida el equilibrio, la
deformación unitaria-desplazamiento y el comportamiento del material participan
en la formulación y solución del problema. Considere: L = 3 pies, a = 30°,
P = 20 klb, E = 30 x 106 lbf/pulg2, k = 5 x 106 lbf/pulg2, a0 = 30 klb/pulg2 y
áreas de AS y BC = 1 pulg2.
4.21 Repita el problema 4.20 con P = 40 kilolibras.
4.22 Repita el problema 4.20 con L = 2 m, a = 45°, P = 90 kN, E = 200 GPa,
k = 30 GPa, cr0 = 200 MPa y áreas de AB y BC = 400 mm2.
Datos reales
M r
0015 0 .0045 0 .020
4.4 Comportamientos dúctil y frágil 151
4.23 Repita el problema 4.20 con L = 3 m, a = 60°, P = 150 kN, E = 200 GPa,
k = 30 GPa, ÍTO = 200 MPa y áreas de AB y BC = 400 mm2.
' 4.241 Una estructura articulada está cargada como se muestra. El material se
comporta según la curva de esfuerzo-deformación unitaria indicada. Determine el
desplazamiento vertical del punto B. Establezca en qué medida los conceptos de
equilibrio, deformación unitaria-desplazamiento y comportamiento del material
participan en la formulación y solución del problema. Considere: L = 5 pies,
a = 36.9°, tro = 3 x 105 klb/pulg2 y áreas de AB y BC = 0.2 pulg2. Tome
P = 1200 lbf, 2400 lbf, 4800 lbf y 9600 lbf, y haga una gráfica del desplazamiento
del punto B en función de P.
a
4.4 COMPORTAMIENTOS DÚCTIL Y FRÁGIL
En este momento es conveniente distinguir entre materiales que se com-
portan de manera frágil y materiales que se comportan de manera dúctil.
Un material que se comporta de manera dúctil experimenta, generalmente,
grandes deformaciones unitarias inelásticas antes de romperse. En la fi-
gura 4.22 se muestran las curvas de esfuerzo-deformación unitaria para
materiales típicos con comportamiento dúctil, como el acero o el aluminio
a temperatura ambiente.
Por ejemplo, un clip ordinario para papel a temperatura ambiente
está hecho de un acero muy dúctil, ya que puede sufrir deformaciones por
flexión permanentes muy grandes antes de romperse.
Por otra parte, un material que se comporta de manera frágil exhibe
muy poca deformación permanente antes de fracturarse. En la figura 4.23
se muestra una curva de esfuerzo-deformación unitaria para un material
típico con comportamiento frágil. Ejemplos de materiales con comporta-
miento frágil son la tiza, el acero a bajas temperaturas y el hierro colado.
No es correcto referirse a un material particular como frágil o dúctil.
Más bien, un material debe describirse con un comportamiento dúctil o
frágil en condiciones particulares. La temperatura y la velocidad de carga
son dos factores que pueden influir en que un material se comporte en
o
Figura 4.22 Curvas de esfuerzo-
deformación unitariapara el acero y el
aluminio
152 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
o
Figura 4.23 Curva de
esfuerzo-deformación
unitaria para un material
con comportamiento frágil
Estricción
H L
(a)
(b)
Figura 4.25 Reducción de área asociada
con la estricción. (b) Foto por cortesía de
MTS Systems Corp., Minneapolis, MN.
forma dúctil o frágil. El acero a temperatura ambiente se comporta
en forma dúctil, mientras que a bajas temperaturas se comporta en forma
frágil. En particular, una barra de acero que se ha sumergido en nitrógeno
líquido es tan frágil que se despedazará al ser golpeada con un martillo.
Por otra parte, el mástique es muy sensitivo a la velocidad de carga. Si una
pieza de mástique se alarga lentamente alcanzará varias veces su longitud
original, o sea, se comportará en forma dúctil; pero si se carga en forma
súbita a tensión o se forma con él una bola y se arroja contra una superficie
dura, se fracturará con poca deformación, es decir, se comportará en forma
frágil.
Comportamiento dúctil Como se indicó antes, el acero y el aluminio
son materiales que se comportan en forma dúctil en condiciones normales.
En la figura 4.24 aparece la curva de esfuerzo-deformación unitaria para
un acero típico a temperatura ambiente.
Figura 4.24 Curva de esfuerzo-deformación unitaria para
el acero
Se observa aquí claramente un intervalo de comportamiento elástico
lineal cercano al origen. Para muchos aceros el fenómeno llamado fluencia
ocurre a un esfuerzo usualmente algo mayor que los límites elástico y
proporcional. El esfuerzo a que esto ocurre se llama esfuerzo de fluencia,
designado por o-Y en la figura 4.24. Este esfuerzo de fluencia se denomina
a veces límite superior de fluencia. Tras alcanzar el límite superior de
fluencia, el esfuerzo disminuye un poco mientras que la deformación
unitaria continúa aumentando. El esfuerzo disminuye hasta que se alcanza
el límite inferior de fluencia, después del cual se presenta un incremento
general en el esfuerzo hasta que se alcanza el esfuerzo último, OJJLT-
Se presenta entonces una caída del esfuerzo hasta el punto en el que
la barra se fractura, esto es, se rompe en dos partes. La región del
experimento comprendida entre el esfuerzo último y la fractura suele
presentarse acompañada por un fenómeno llamado estricción, el cual se
muestra en la figura 4.25.
4.4 Comportamientos dúctil y frágil 1 5 3
La disminución indicada en el esfuerzo entre el esfuerzo último y la
factura se debe a que el área original se usa para evaluar <r. Si se tomara en
coenta el área real de la sección reducida, la curva de esfuerzo-deformación
• l i tar ía sería como la indicada por la línea discontinua de la figura 4.24.
B esfuerzo calculado usando el área real se llama esfuerzo verdadero y el
esfuerzo calculado con el área original se llama esfuerzo ingenieril.
La deformación que tiene lugar en el intervalo elástico de la curva de
csfuerzo-deformación unitaria se llama deformación elástica. Cualquier
deformación entre el intervalo elástico y la falla se llama deformación
plástica o deformación inelástica. Como se mencionó antes, para un
terial dúctil la deformación total antes de la falla consiste casi totalmente
i deformación plástica.
Si la descarga ocurre en algún punto dentro de la región plástica (punto
B), como se indica en la figura 4.26, la curva de descarga es esencialmente
paralela a la parte elástica recta de la curva de esfuerzo-deformación uni-
taria, como se muestra. La deformación plástica permanente corresponde
a la deformación unitaria plástica en el punto C. Si entonces el material se
TOelve a cargar desde C, la curva de carga recorre de nuevo la curva de des-
carga en forma lineal hasta que se alcanza un nuevo límite proporcional. El
nodulo de elasticidad E no ha cambiado, pero si los límites proporcional
y elástico. El material se puede ahora cargar a un esfuerzo mayor antes
de que se comporte de manera inelástica. Este fenómeno se llama endu-
recimiento por deformación. Es la base de varios procesos diseñados para
aumentar la resistencia de un material, o sea, para producir un material
que pueda cargarse a esfuerzos superiores y siga comportándose en forma
elástica.
Figura 4.26 Descarga en la región plástica
El aluminio común a temperatura ambiente se comporta en forma
dúctil, como se indica en la figura 4.27. Se presenta una región elástica
lineal inicial después de la cual ocurre una gran cantidad de deformación
plástica antes de la fractura. En el aluminio también se presenta el
fenómeno de estricción.
Deformación
elástica
Deformación
plástica
Figura 4.27 Curva de esfuerzo-deformación
unitaria para el aluminio común
1 5 4 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
(a)
n
(b)
Figura 4.28 Deformación
elástica e inelástica de un clip
para papel
Ejemplo 4.7 Tome un clip ordinario para papel que se ha enderezado como se
indica en la figura 4.28. Al aplicar una carga pequeña se produce una pequeña
deformación transversal en el clip como se indica en la figura 4.28a. Cuando se
retira la carga, el clip retorna a su configuración original (o sea, no se presenta
ninguna deformación permanente). Esto evidencia que los esfuerzos que resultan
de la carga aplicada son iguales o inferiores al límite elástico. Al aplicar una
carga más grande resulta una deflexión considerable, como se muestra en la figura
4.28b. Cuando esta carga se retira, se tiene una deformación permanente. El
material se comporta de manera inelástica porque los esfuerzos generados por
la carga más grande son superiores al límite elástico. La deformación más allá
del intervalo elástico se produce en forma dúctil, de manera que se presentan
grandes deformaciones unitarias más grandes que el valor de la deformación
unitaria correspondiente al límite elástico. Si el alambre se reemplaza por una
pieza esbelta de plástico duro, el plástico no sufrirá grandes deformaciones sino
que se fracturará de manera frágil.
Figura 4.29 Curva típica
de esfuerzo-deformación
unitaria para un material
de comportamiento frágil
Resistencia
a la fluencia
Deformación
unitaria
desplazada
(offset)
Figura 4.30 Definición de la resistencia a
la fluencia desplazada ( o f f s e t )
Las ideas prácticas contenidas en el ejemplo 4.7 son básicas para el
estudio de la mecánica de sólidos. En muchos casos se quiere que una
estructura resista su carga sin deformarse de manera permanente. Por
esto debemos poder determinar los esfuerzos causados por las cargas y
garantizar que no produzcan una deformación permanente.
Comportamiento frágil Un material que se comporta de manera frágil
no fluye como lo hace un material de comportamiento dúctil. Como se
muestra en la figura 4.29, hay una cantidad relativamente pequeña de
deformación plástica asociada con esfuerzos superiores al límite elástico
antes de que ocurra la fractura. El hierro colado y muchas cerámicas son
ejemplos de materiales que se comportan de manera frágil a temperatura
ambiente.
En conexión principalmente con el comportamiento frágil, hay otro
valor importante del esfuerzo llamado resistencia a la fluencia. Este valor
del esfuerzo se define seleccionando un valor arbitrario de la deformación
unitaria, llamado deformación unitaria desplazada (offset), comúnmente
en el intervalo entre 0.05 a 0.30%, y trazando una línea paralela a la porción
lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria, como se muestra en la
figura 4.30.
El valor del esfuerzo aYs en la intersección de esta línea paralela con
la curva de esfuerzo-deformación unitaria, es la resistencia a la fluencia.
El valor de 0.20% se escoge comúnmente para determinar la resistencia a
la fluencia. Al método descrito antes para determinar la resistencia a la
4.4 Comportamientos dúctil y frágil 178
fluencia se le llama método de la fluencia desplazada (offset). La resistencia
a la fluencia se usa también para el aluminio, enel cual no existe un esfuerzo
de fluencia bien definido.
Una de las principales diferencias entre el comportamiento dúctil y
el frágil es la capacidad de un material dúctil de sufrir deformaciones
relativamente grandes antes de romperse. Hay situaciones prácticas,
como en la resistencia a impactos de aviones y automóviles, en que esta
capacidad se puede aprovechar. La idea básica es convertir la energía
cinética en energía potencial o de deformación. Un automóvil o avión, al
estrellarse, posee una gran cantidad de energía cinética. Un pasajero en ese
vehículo experimenta grandes aceleraciones como resultado del choque.
Cualquier cosa que reduzca esas aceleraciones reduce la posibilidad de que
un pasajero resulte seriamente lesionado. Las grandes aceleraciones están
asociadas con cambios rápidos de la velocidad respecto al tiempo o a la
distancia. Al aumentar la distancia en que ocurre el cambio de velocidad,
disminuye la aceleración. Por último, esto se traduce en un deseo de tener
grandes deformaciones durante el periodo de deceleración en este tipo de
problemas.
Generalmente, el área bajo la curva de esfuerzo-deformación unitaria,
que es una energía por unidad de volumen, se llama densidad de la
energía de deformación unitaria. Designamos la densidad de la energía
de deformación unitaria con el símbolo Uo, definido como
La densidad de la energía de deformación unitaria tiene las dimensiones
FL~2 = FL/L3 (o sea, energía por unidad de volumen). Unidades
comunes son lbf/pulg2 = pulg-lbf/pulg3 o newton/m2 = joule/m3 .
La densidad de la energía de deformación unitaria asociada con la
porción lineal de la curva de esfuerzo-deformación unitaria se llama a veces
módulo de resiliencia. La densidad de la energía de deformación unitaria
dentro del intervalo de comportamiento elástico lineal de un sólido está
dada por
La densidad de la energía de deformación unitaria es generalmente una
función del punto considerado en el cuerpo. La energía total de deforma-
ción unitaria U en un cuerpo se obtiene por integración de la densidad de
la energía de deformación unitaria a lo largo del volumen, o sea
156 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
La energía de deformación unitaria que se puede recuperar al descar-
gar el cuerpo se llama energía elástica de deformación unitaria. La energía
de deformación unitaria tiene dimensiones de FL, igual que cualquier otro
tipo de energía. Algunas unidades comunes son pulg-lbf o newton-metro =
joules. En el capítulo 10 se analizan con detalle la energía de deformación
unitaria y su utilización para plantear y resolver problemas en mecánica
de sólidos.
La deformación de un sólido está relacionada con la deformación
unitaria experimentada durante la deformación. Cuanto más pueda de-
formarse un material antes de romperse, más energía puede absorber.
La densidad de la energía de deformación unitaria asociada con la curva
entera de esfuerzo-deformación unitaria se llama módulo de tenacidad o
simplemente tenacidad del material.
o
Figura 4.31 Diagramas de esfuerzo-
deformación unitaria para materiales dúctiles
y frágiles
La inspección de la figura 4.31 revela con claridad que la tenacidad de
un material dúctil es en general mucho mayor que la de un material frágil.
La tenacidad es una consideración importante en cualquier situación en la
que sea necesario absorber una gran cantidad de energía, particularmente
en grandes deformaciones plásticas.
Ejemplo 4.8 Una barra uniforme está cargada con una fuerza axial como se
indica en la figura 4.32. Determine la energía elástica en la barra.
P
A . •
•L
Figura 4.32 Barra cargada con una
fuerza axial
4.4 Comportamientos dúctil y frágil 157
Solución Suponiendo que el esfuerzo es inferior al límite proporcional, la ener-
gía de deformáción untaría es
U= Uo d Vol = /
JVo\ J\ol
Es1 dVol
El esfuerzo está dado por cr = P/A y la deformación unitaria por s = a/E = P/ AE,
de modo que la densidad de la energía de deformación unitaria es P2/2A2E y la
energía de deformación unitaria es
U -f JVo 2A2E dVol
Puesto que el integrando es constante, esta integral se reduce a
U =
P2L
2 AE
: es la energía elástica total de la barra.
Ejemplo 4.9 Se va a diseñar una estructura para absorber la energía cinética aso-
ciada con una masa m como se indica en la figura 4.33. Analice las relaciones entre
IK diferentes variables involucradas en el proceso si la barra se debe comportar
clásticamente durante el proceso.
Solución Supondremos que la estructura es una barra elástica uniforme como
K indica en la figura 4.33. Se supone que toda la energía cinética de la masa se
fcansforma en energía elástica de deformación o energía potencial de la barra. La
tansferencia de energía tendrá lugar sin que aparezca una deformación perma-
nente en la estructura. La ecuación que representa esta transferencia es
Figura 4.33 Modelo de un
dispositivo para absorber energía
E.C.masa — E.P.< (a)
-mv0 = / J Vol Es\p ¿Vol
donde ELP es la deformación unitaria longitudinal en el límite proporcional. (En
este punto planteamos la hipótesis de que la densidad de energía de deformación es
•niforme en toda la barra y que el acortamiento máximo de la estructura ocurre
en el instante en que la velocidad de la masa se reduce a cero. Esto ignora
esencialmente el hecho de que ondas de esfuerzos se propagan por la estructura
como resultado de la fuerza aplicada repentinamente en la barra.) La ecuación (a)
K puede expresar como
l-mv\ = E^-AL (b)
158 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Consideremos ahora que la deformación unitaria longitudinal media eLp es igual
a A/L, donde A es el acortamiento total de la barra. Despejando A de la ecuación
(b) se obtiene
donde k = AE/L se conoce como rigidez de la barra. Observe que k tiene las
dimensiones FL-1. Este resultado muestra con claridad que para obtener un A
grande y así reducir las aceleraciones de la masa, k debe ser pequeña. Esto se
puede lograr haciendo Ao E pequeña o haciendo L grande. Al hacer esto se debe
recordar que el esfuerzo, dado por Es, debe permanecer menor que CTLP. En
términos del acortamiento A, el esfuerzo está dado por
Visto así, el problema se convierte en un estudio paramétrico para obtener un
diseño con un A tan grande como sea posible y, al mismo tiempo, mantener cr igual
o por debajo de a ! P.
PROBLEMAS
4.25 Cada una de las barras mostradas está sometida a la misma carga P. Deter-
mine la energía absorbida por cada una en el intervalo elástico.
2 A
.5 A 2
2
T,
P. 4.26
2 A
I
2
P
P. 4.25
2.5 A
2 A
I
4@4 4
l .SA
4.26 Las dos barras mostradas deben absorber la misma cantidad de energía en
el intervalo elástico. Determine (a) la relación P\¡ P2 y (b) la relación entre los
esfuerzos máximos en las dos barras.
4.27 Con referencia a los datos del problema 4.4, determine (a) el módulo de
resiliencia y (b) el módulo de tenacidad.
4.28 Con referencia a los datos del problema 4.8, determine (a) el módulo de
resiliencia y (b) el módulo de tenacidad.
4.5 Efectos térmicos 159
¡42>| Las dos barras mostradas están compuestas de un material cuyo comporta-
miento ha sido aproximado por la curva de esfuerzo-deformación unitaria indicada.
S la energía absorbida por las dos barras debe ser la misma, determine el valor
écPv
§430[ Un elevador desciende con velocidad v = 3 m/s. Cuando la longitud
extendida del cable es L = 75 m, el elevador es detenido repentinamente por
d tambor al cual está unido el cable. Determine el esfuerzo de tensión máximo cr
en el cable. Determine también el porcentaje del esfuerzo de tensión máxima
debido al frenado repentino. El área A del cable de acero es de 700 mm2 y la
masa m del elevador es de 1600 kilogramos. Desprecie la masa del cable y suponga
que no hay pérdidas de energía. (Sugerencia: Formule primero el problema en
términos de cr, m, L, v, A, E y g antes de calcular los valores numéricos.)AJ5 EFECTOS TERMICOS
Es bien sabido que un sólido suele modificar su tamaño y su forma como
consecuencia de un cambio de temperatura. Los sólidos generalmente
se expanden al calentarse y se contraen al enfriarse. El experimento para
determinar la naturaleza de este efecto es el siguiente: se hacen dos marcas
en una barra inicialmente a temperatura uniforme, como se indica en la
figura 4.34.
La distancia l entre las marcas se denomina longitud calibrada. La
barra sin restricciones se somete a un cambio de temperatura AT y se mide
el cambio correspondiente Al de la longitud calibrada. Los resultados se
indican en la figura 4.35.
Los resultados de la figura 4.35 indican que la deformación unitaria
térmica s j es aproximadamente una función lineal de la temperatura en
la proximidad de la temperatura inicial T0. Este comportamiento de la
•P Q• T=Tn
• P* G** T> T, o
-/ + A1-
Figura 4.34
térmicos
Barra para ensayo de efectos
160 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
deformación unitaria térmica en función de la temperatura se representa
como
eT = a(T0)AT = a(T0)(T - T0)
donde a(T0) es la pendiente de la curva en T = To. El alargamiento
correspondiente de la longitud calibrada / está dado por
Al
sT = j
o bien
«(^o) Al = leT = a(T0)ATl
El símbolo at(To) se llama coeficiente de dilatación térmica. Algu-
nas unidades típicas asociadas con el coeficiente de dilatación térmica
son pulg/pulg/°F y m/m/°C. Para la mayoría de los materiales ingeníen-
les, la dependencia de a respecto a To es pequeña, y se supondrá en el
futuro que a es una constante igual a un valor medio de la pendiente de
Figura 4.35 Deformaciones unitarias la curva en la figura 4.35. Nos referiremos sencillamente al coeficiente
térmicas en función de la temperatura de dilatación térmica a y escribimos que
s j = a AT
y
Al = lsT = aATl
Cualesquiera que sean las deformaciones unitarias que resulten de los
efectos térmicos, se supondrán independientes de cualquier esfuerzo o de-
formación que exista durante el cambio de temperatura o que se imponga
durante o después de este cambio. Esto nos permite usar la superposición
y escribir que la deformación unitaria total que resulte de una combinación
de efectos mecánicos y térmicos se puede calcular superponiendo éstos de
acuerdo con
T̂OTAL = «MEC + «TERM
o bien
«TOTAL = ^MEC + a AT
Ésta es la relación esfuerzo-deformación unitaria por temperatura para un
cuerpo unidimensional. Si el cuerpo es elástico lineal, la relación esfuerzo-
deformación unitaria por temperatura para un cuerpo unidimensional se
puede expresar como
«TOTAL = b = — + a AT (4.4)
4.5 Efectos térmicos 161
donde E es el módulo de Young. Otra forma útil de esta relación es la
dada por
a = E ( e - a A T ) ( 4 . 5 )
Ejemplo 4.10 Una barra de longitud L, empotrada en un extremo y libre en el
otro como se indica en la figura 4.36a, está sometida a un cambio uniforme de
temperatura A T. Determine los esfuerzos y desplazamientos en la barra.
Solución No hay cargas de origen mecánico aplicadas de manera que el diagrama
de cuerpo libre de un trozo de la barra mostrada en la figura 4.36b indica que no
hay ninguna fuerza interna P transmitida y, por consiguiente, <r = P/A = 0. Según
la ecuación (4.4), la deformación unitaria está dada por
s = a A T
Suponiendo que a es una constante, el alargamiento de la barra se obtiene de
AL
e = T
A L = eL = aATL
para el alargamiento de la barra. La conclusión es que en esta estructura estática-
mente determinada existe deformación unitaria (s = a AT), ¡pero no esfuerzo!
P(*) j j
(a) (b )
Figura 4.36 Barra sometida a una variación
uniforme de temperatura
Ejemplo 4.11 La barra del ejemplo 4.10 está empotrada en ambos extremos (o
sea que está estáticamente indeterminada) para prevenir cualquier movimiento,
como se muestra en la figura 4.37. Se supone que la barra está inicialmente libre
de esfuerzos. Determine los esfuerzos y desplazamientos en la barra cuando la
temperatura crece de manera uniforme una cantidad AT.
Solución Usando la ecuación (4.4),
e = u = ^ + aAT
Al integrar se obtiene
u(x) = + ocATjx + C i
Con la condición de que los desplazamientos sean nulos en ambos extremos, resulta
u(0) = 0 = 0 + Ci
Figura 4.37 Barra con
movimientos en sus extremos
completamente restringidos
M(L) = 0 = - +aAT L + Ci
162 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
de donde Ci = 0 y o- = —EaAT. Entonces, para este problema u = 0, e = 0;
existe esfuerzo pero no deformación.
Los ejemplos 4.10 y 4.11 indican las diferencias en el comportamiento
de estructuras muy sencillas, estáticamente determinadas y estáticamente
indeterminadas respectivamente. Es muy importante recordar que en una
estructura estáticamente determinada que está sometida a un cambio uni-
forme de temperatura no se presentan esfuerzos térmicos. Sin embargo,
en general pueden presentarse esfuerzos térmicos cuando (a) una estruc-
tura estáticamente determinada se somete a un cambio no uniforme de
temperatura o (b) una estructura estáticamente indeterminada se somete
a cualquier cambio de temperatura.
PROBLEMAS
431 Un gran cilindro hueco de acero cuya pared tiene un espesor de 0.8 pulg se
usa en el procesamiento del cemento. La longitud del cilindro es de 18 pies y su
diámetro es de 15 pies. Determine la longitud y el diámetro si la temperatura del
cilindro se incrementa en 130°F. Tome a = 6.5 x 10~6 pulg/pulg °F.
432 Un puente de concreto u hormigón (E = 3.6 x 106 lbf/pulg2, a = 6 x
10~6 pulg/pulg °F) tiene 140 pies de largo y un área (perpendicular a su longitud)
de 120 pie2. Si el puente se construyó a una temperatura de 85°F, determine (a) el
alargamiento cuando la temperatura del concreto sea de 120°F, y (b) la fuerza de
compresión correspondiente si el puente estuviera totalmente restringido.
433 Una barra prismática de longitud L se coloca entre dos paredes rígidas
separadas una distancia de L + g, como se muestra. Determine el esfuerzo
desarrollado en la barra debido a un incremento AT en la temperatura. Considere
que el material es elástico lineal con un módulo de elasticidad E y con un coeficiente
a de dilatación térmica. Observe que si g = 0, su respuesta debe coincidir con la
deducida en el ejemplo 4.11.
«i, A', -, E-,
I i ^ u S L - J
^ - e s p a c i o libre, g h — a — > + • b »
0
P. 4.33 P. 4.34
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke 163
4L34 Las temperaturas en las barras de aluminio y acero mostradas se incrementan
tm una cantidad AT. Suponiendo que la barra AB es rígida y que inicialmente no
tay fuerza en ninguna de las barras, determine (a) el esfuerzo en cada barra y (b)
b rotación de la barra AB.
435 El dispositivo mostrado va a funcionar como un termómetro. A la tem-
peratura ambiente, el brazo BE se encuentra en posición vertical. Desarrolle la
relación entre las variables a, b, c, L, aac, aai y AT de manera que cada incremento
en la escala corresponda a un cambio de temperatura AT. Desprecie la dilatación
térmica del brazo vertical y de la aguja marcadora y suponga que c/L 1. Espe-
cíficamente, si b = 60 mm, a = 5 mm, c = 1 mm, AT = 1°F, ¿cuál debe ser la
longitud L? Considere aac = 6.5 x 10"6/°F y era, = 13 x 10~7°F-
436 Un anillo de acero con diámetro exterior de 3.000 pulg y diámetro inte-
rior de 2.93 pulg se va a calentar para que pueda deslizarse, con una holgura
diametral de 0.002 pulg, sobre una barra cilindrica rígida de 2.935 pulg de diáme-
tro. Determine (a) el incremento de temperatura requerido, y (b) el esfuerzo
en el anillo cuando la temperatura se reduzca a la temperatura ambiente. Tome
A = 6.5 x 10_ 6 /OF y E = 29 x 106 lbf/pulg2.
437 Un riel de acero de 40 pies de longitud tiene un área transversal de aproxi-
madamente 12 pulg2. Al estar expuesto al sol de mediodía, la temperatura del riel
puede alcanzar un valor de aproximadamente 125°F. ¿Qué alargamiento se produ-
cirá si los rielesse tienden inicialmente a 75°F? Si entre rieles sucesivos se deja una
holgura de 0.125 pulg, ¿qué fuerza interna se desarrollará entre ellos? (Suponga
que el riel permanecerá recto durante el incremento de temperatura.) Considere
o = 6.5 x 10"6/°F y E = 29 x 106 lbf/pulg2.
- - + - Í H - M - N - 4
Aluminio D\
Acero
P. 4.35
4.6 COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL: LEY DE HOOKE
Debido a la naturaleza simplificada de los modelos matemáticos de los
cuerpos, en los cuales el esfuerzo y la deformación unitaria están rela-
cionados linealmente, dedicaremos particular atención al planteamiento
y resolución de problemas de esta clase. Por fortuna, muchos materiales
de ingeniería se comportan de manera lineal en un intervalo práctico im-
portante del esfuerzo y deformación. En esta sección examinaremos la
relación entre esfuerzo, deformación unitaria y temperatura para mate-
riales sometidos a condiciones tales que el comportamiento del material
pueda considerarse como elástico lineal.
El aspecto crucial de la hipótesis de que un cuerpo se comporta de
manera elástica lineal es el siguiente: si en el ensayo de tensión uniaxial
aplicamos un esfuerzo cr\, la deformación unitaria resultante es e\ = cr\¡E.
Si aplicamos después otro esfuerzo <r2 (con una deformación unitaria
asociada e2 = cri/E) y es tal que a\ + o-2 no excede el límite proporcional
1 6 4 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Figura 4.38 Superposición de
esfuerzos y deformaciones unitarias
(a)
(b)
Figura 4.39 Experimento
pensado para evaluar
las relaciones esfuerzo-
deformación unitaria en un
punto
a L P , la deformación unitaria total es simplemente igual a la suma de las
deformaciones unitarias individuales, o sea
cri <r2 + «2
«TOTAL = e \ + £2 = — + — -
Esta superposición se indica en la figura 4.38.
De !a linealidad se infiere también que, dado <t\ = Ee\ y 0*2
las dos relaciones se pueden sumar o superponer de acuerdo con
Ee 2,
(T\ + <T\ = Ee 1 + Es2 = E(e\ + £2)
es decir, los esfuerzos que resultan de la superposición de dos deforma-
ciones unitarias, se pueden superponer siempre que el estado resultante
quede dentro del intervalo proporcional. Note que esto es simplemente
una reformulación de la superposición aplicada a esfuerzos.
Hasta ahora nos hemos centrado por completo en estados de esfuerzos
y deformaciones unitarias unidimensionales. Debido a la naturaleza de los
esfuerzos en la mayoría de las aplicaciones reales, es necesario extender
estas ideas a estados de esfuerzos más complicados.
Suponga que si la carga en una estructura no produce ninguna
componente de esfuerzo que exceda al límite proporcional de-
terminado por el ensayo de tensión uniaxial para el sólido uni-
dimensional, será válida entonces la aplicación del principio de
superposición. Esto significa que los efectos resultantes de la
aplicación simultánea de esfuerzos normales y cortantes se pue-
den superponer.
Necesitamos entonces diseñar un experimento para determinar la
forma de las relaciones esfuerzo-deformación unitaria (ecuaciones cons-
titutivas) para un cuerpo elástico lineal. Consideremos un cuerpo com-
puesto de un material elástico lineal como el mostrado en la figura 4.39.
Describiremos un experimento pensado, que ayuda mucho a visualizar y
entender la idea de las relaciones esfuerzo-deformación unitaria para un
estado de esfuerzo plano bidimensional. El caso correspondiente tridi-
mensional se puede analizar de manera similar.
Consideremos un punto P en el cuerpo y definamos un sistema de
coordenadas local xy como se muestra en la figura 4.39b. Imaginemos que
un bloque infinitesimal de material en el entorno de P y con lados paralelos
a los planos coordenados se extrae del cuerpo y se somete a la secuencia
de ensayos indicados en la figura 4.40.
Ensayo 1 Como se ve en la figura 4.40a, se aplica un esfuerzo normal
uniforme conocido a x al bloque y se miden las deformaciones unitarias
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke 1 6 5
(a) (b) (c) (d)
Figura 4.40 Secuencia de ensayos para determinar el comportamiento del material
de un cuerpo elástico bidimensional
correspondientes sx, ey y yxy. Los resultados del experimento nos permiten
expresar cada una de las deformaciones unitarias medidas en términos del
esfuerzo <rx como
sx = S\\ax
ey = 52i <Tx
Jxy = S31&X
Ensayo 2 Como se muestra en la figura 4.40b, se aplica un esfuerzo
normal uniforme conocido cry al bloque y se miden las deformaciones
unitarias resultantes ex, ey y yxy. Las tres deformaciones unitarias se
pueden entonces expresar en términos del esfuerzo <ry como
Sx = S\ iay
sy = S22<ry
Jxy = S320-y
Ensayo 3 Como se muestra en la figura 4.40c, se aplica un esfuerzo
cortante uniforme conocido rxy al bloque y se miden las deformaciones
unitarias resultantes ex, ey y yxy. Los resultados se pueden expresar como
Sx = S\3Txy
Sy = S23Txy
Jxy = $33Txy
Ensayo 4 Como se muestra en la figura 4.40d, se cambia la temperatura
del bloque en una cantidad AT y se miden las deformaciones unitarias
resultantes ex, sy y yxy. Los resultados del experimento nos permiten
166 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
expresar cada una de las deformaciones unitarias medidas en función del
cambio de temperatura A T como
sx = a\ A T
sy = a2 A T
yxy = a 3 A T
El hecho de que el material sea elásticamente lineal significa que la
aplicación del principio de superposición es válida; así, si aplicáramos
simultáneamente todos los esfuerzos y el cambio de temperatura, las
deformaciones unitarias serían la suma de las deformaciones unitarias para
cada esfuerzo y para el incremento de temperatura, aplicados por sepa-
rado. Esta superposición nos permite expresar las deformaciones unitarias
que resultan de la aplicación simultánea de los esfuerzos y del incremento
de temperatura como
Sx = Sii(rx + S12(ry + S13Txy + «iAr
Sy = S2\UX + S22(Ty + S23TXy + a2 l\T ( 4 . 6 )
Jxy = s^\ax + Si2a-y + SxTXy + a3AT
Los coeficientes S¡j se conocen como flexibilidades o coeficientes de com-
patibilidad y las a¡ se denominan coeficientes de dilatación térmica. De
la teoría de la elasticidad se sabe que los coeficientes S¡j son tales que
Si2 = S2¡, .S]3 = S31,...; o sea que, considerada como una matriz, S es si-
métrica. Como S es simétrica, hay seis constantes independientes S¡j para
el cuerpo elástico bidimensional. Los tres coeficientes a, se llaman coefi-
cientes generalizados de dilatación térmica. La forma de la ley de Hooke
dada por las ecuaciones (4.6) es suficientemente general para describir el
comportamiento de cualquier cuerpo elástico lineal bidimensional. Tal
material completamente general se denomina anisótropo u ortótropo.
En el caso más general los coeficientes S¡j y a, dependen de la tem-
peratura y de la posición del punto dentro del cuerpo; así, por ejemplo,
S,j =. S¡j(x, y, T). En muchos casos los valores de S,j y de a¡ son indepen-
dientes de la posición del punto considerado dentro del cuerpo. Tal
cuerpo se denomina homogéneo.
A la relación entre esfuerzo, deformación unitaria y temperatura dada
por las ecuaciones (4.6) se le llama ley de Hooke generalizada, en honor
de Robert Hooke, quien estudió la relación entre fuerza y deflexión en
resortes. En conexión con sus estudios, él anunció en 1676 el anagrama
ceiiinosssttuv, que descifrado establece que ut tensio sic vis, que es la
expresión en latín para "la fuerza varía de acuerdo con el alargamiento".
Muchos materiales se comportan de manera mucho más sencilla que
la representada por las ecuaciones (4.6). Estos materiales se denominan
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke
isótropos. Para entender qué significa esto, volvamos al experimento
pensado y extraigamos un bloque de material orientado según el sistema
x V , como se indica en la figura 4.41.
Si la secuencia de experimentos se efectúa ahora en el bloque x'y', los
resultados para un sólido generalanisótropo serán
Sx' — S'ncrx> + S'n<Ty> + S[3Txy> + a[ AT
Sy' = S2lcrx> + S'22oy + S'23Txy> + a'2AT (4.7)
Jxy' = S31(rx> + S'32o-y + S33Txy> + ot'3 AT
donde, en general, todos los S¡j serán diferentes de los correspondientes S¡j
obtenidos con el experimento sobre el bloque orientado según el sistema
coordenado xy. De manera similar, todas las a'¡ serán en general diferentes
de las correspondientes a¡.
Si, independientemente de la orientación del bloque escogida para
el experimento en P, la FORMA de las relaciones esfuerzo- deformación
unitaria así como los valores numéricos de todos los coeficientes son los
mismos, se dice que el material es isótropo. Se puede demostrar que para
el caso isótropo, las relaciones esfuerzo-deformación unitaria se reducen a
(4.8a)
(4.8¿>)
(4.8c)
donde E es el módulo de Young o módulo de elasticidad, G es el módulo
de cortante y v es el coeficiente de Poisson; todos ellos se definieron en la
sección 4.3. a representa el coeficiente único de dilatación térmica para
un sólido isótropo.
Note que para un material isótropo no hay acoplamiento entre efectos
normales y cortantes, o sea, la aplicación de esfuerzos normales produce
sólo deformaciones unitarias longitudinales pero no deformaciones uni-
tarias cortantes. De manera similar, la aplicación de esfuerzos cortantes
produce sólo deformaciones unitarias cortantes pero no deformaciones
unitarias longitudinales. Finalmente, un incremento de temperatura ge-
nera deformaciones unitarias longitudinales iguales y no distorsiones por
cortante. Enunciamos sin demostrarlo que para un cuerpo isótropo, las
direcciones principales para los esfuerzos coinciden con las direcciones
principales para las deformaciones unitarias.
De la forma de las relaciones esfuerzo-deformación unitaria isótropas
se deduce que hay tres constantes elásticas, E, G y v, que deben determi-
narse en forma experimental. Demostraremos a continuación que, en
cr, — vcrv
sx = + aAT
cry — v<rx , + aAT
Jxy =
' xy
167
(b )
Figura 4.41 Bloque con
diferentes orientaciones en P
168 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
r H A
°2 = "T0 N.
h
(1+10 ti - 'o T
Figura 4.42 Relaciones entre E, G y v para un sólido isótropo
realidad, sólo hay dos constantes elásticas independientes. Consideremos
un bloque de material isótropo sometido a un estado de cortante puro,
como se muestra en la figura 4.42.
Se muestran en la figura los círculos de Mohr para esfuerzo y defor-
mación unitaria. Los esfuerzos principales sobre planos a 45° son a-\ = tq
y £t2 = -to, respectivamente. Usando la ley de Hooke con todos los es-
fuerzos excepto rxy iguales a cero, se obtiene
cr\ — ver2 to(1 + v)
* = = E
y
<7*2 — V(T\ ~ To(l + v)
S2 = - l f - = E
para las deformaciones unitarias principales. Si nos fijamos en el círculo
de Mohr para deformaciones unitarias, vemos que el radio R está dado por
y si - si T 0 ( 1 + v)
2 ~ 2 _ E
Usando la relación de la ley de Hooke entre esfuerzo cortante y deforma-
ción unitaria cortante se obtiene y = to/G. Igualando las dos expresiones
de y resulta
y _ _ tq(1 + v)
2 2G ~ E
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke 169
de donde
J _ - 1 + y
2 G~ E
o bien
E = 2G(1 - v) (4.9)
que es la relación entre las constantes elásticas E, G y v. Esto indica
claramente que sólo hay dos constantes elásticas independientes. Un
experimento como el ensayo de tensión uniaxial en un cuerpo isótropo
determina E y v. La ecuación (4.9) se puede usar para calcular G de
acuerdo con G = E¡2(1 + v).
Para el caso tridimensional correspondiente, el cuerpo isótropo se
comporta de acuerdo con las relaciones esfuerzo-deformación unitaria
siguientes:
crx — v(av + cr7 ) , m ex = — 1-2 *¿ +aAT
+ aAT
+ a A T (4.10)
E
^y ~ V(a-Z + <rx)
E
+ <ry)
Txy Tyz T^x
yxy = q "Yyz = q Y "Yzx = q
Para el caso de esfuerzo plano, las tres componentes CRZ, RYZ y TXZ se supo-
nen nulas. La ecuación tridimensional de esfuerzo-deformación unitaria
se puede usar para comprobar que RYZ y TXZ son nulas, pero que ez, la com-
ponente de deformación unitaria en la dirección perpendicular al plano,
es diferente de cero y está dada por
_ v(<rx + & y)
n
lo cual muestra que si a x y a y son positivas en un punto de la placa, la
deformación unitaria en la dirección perpendicular a la placa es negativa,
lo cual implica que el espesor de ésta disminuye. De manera similar, si
tanto a-x como cry son negativos, la dimensión según z de la placa crecerá.
Este cambio en la dimensión según z debido al efecto Poisson debe tenerse
en cuenta al tratar con cuerpos elásticos isótropos.
Ejemplo 4.12 Un cubo de aluminio de 2 pulg de lado se coloca entre dos paredes
rígidas lisas y se somete al esfuerzo cry = —104 lbf/pulg2 y crx = 0, sobre las caras
170 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
klb/pulg2
l i l i
Figura 4.43 Cubo de
aluminio con una dimensión
fija
opuestas, como se muestra en la figura 4.43. Determine el esfuerzo en la dirección
z y los cambios en longitud de las dimensiones según xy y del cubo. Considere
v = 0.3 y E = 104 klb/pulg2.
Solución Los esfuerzos que actúan sobre en el bloque están dados por cry =
-104 klb/pulg2, crx = 0 y arz que aún no se conoce. Las deformaciones unitarias
ex y ey son desconocidas y la deformación unitaria en la dirección z es igual a
cero debido a la restricción que imponen las paredes. Con AT = 0, las relaciones
esfuerzo-deformación unitaria dadas por las ecuaciones (4.10) conducen a
_ 0 — v(cry + (Tz)
S x ~ E
(TY — V(TZ)
' e, = 0 =
E
crz — vcry)
Esto es, tres ecuaciones con incógnitas ex, ey y az. De la última de estas ecuaciones,
<rz = vcry = —3 klb/pulg2. Las deformaciones unitarias ex y ey son entonces
_ -v(*y + az) _ —0.3(—13 klb/pulg2) 4
E ~ 104 klb/pulg2 _ U
y
_ <TY - V(TZ _ - 1 0 klb/pulg2 - 0.3(—3 klb/pulg2)
^ ~ E ~ 104 klb/pulg2 = -9 .1 x 10"
Los cambios de la dimensión de 2 pulgadas en las direcciones según x-y son
Alx = 3.9 x 10~4(2 pulg) = 0.78 x 10"3 pulg y My = -9 .1 x 10_4(2 pulg) =
—1.82 x 10"3 pulg, respectivamente.
< ' . - ' y
Figura 4.44 Microestructura del acero
(Cortesía de J. R. Davis, ASM International,
Materials Park, OH.)
Si el estudiante ya ha seguido un curso sobre materiales, estará fami-
liarizado con los detalles de la microestructura de un metal común como
el acero o el aluminio. En la figura 4.44 se muestra una fotografía con gran
ampliación de la microestructura del acero.
La fotografía muestra con claridad la estructura granular y las fron-
teras de granos que resultan del procesamiento (fundido, laminado, en-
friado) del acero para llevarlo a su forma final. Si uno considera un trozo
suficientemente pequeño del material para el experimento descrito antes,
las propiedades mecánicas dependerán de la dirección: el material se com-
portará de modo anisótropo. Si en vez de esto uno considera un trozo de
tamaño finito, la naturaleza estadística de las orientaciones de los granos o
cristales a menudo es de tal forma que el material se comporta de manera
isótropa. Para muchos aceros y aluminios, éste es el caso; en este texto
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke
supondremos que los metales se comportan de manera isótropa a menos
que se tenga evidencia en contrario.
Como ejemplo de un caso donde la hipótesis de isotropía debe re-
examinarse, considérese el proceso de conformado del acero o del alumi-
nio por medio del laminado. Esto significa que el acero es obligado, en
forma continua, a pasar a través de una restricción como la indicada en la
figura 4.45 para producir un perfil deseado. Esto puede tener como con-
secuencia que el acero adquiera diferentes propiedades en las direcciones
paralela y perpendicular a la de laminación. Si estas diferencias son sufi-
cientemente grandes, la hipótesis de isotropía en un modelo puede condu-
cir a considerables errores, por lo que puede ser necesario usarun modelo
anisótropo apropiado.
PROBLEMAS
438 La placa rectangular de 1 pulg de espesor se carga con esfuerzos sobre sus
caras como se muestra. Determine (a) el cambio de la longitud de 1Ü0 pulg, (b)
el cambio de la longitud de 50 pulg, (c) el cambio del espesor de 1 pulg y (d) el
cambio del volumen. Demuestre que AV/V = sx + ey + ez. Suponga un estado de
esfuerzo plano, E = 107 lbf/pulg2, y v = 0.3.
20 klb/pulg2
I t t t t t H
—
1
50 pulg
1 »)0 p u l g —
—
I H U I I I
P. 4.38
439 Una barra de acero de 50 mm x 50 mm x 200 mm se carga con una carga
P a lo largo de la dirección de 200 mm. Si cada una de las dimensiones de 50 mm
disminuye hasta 49.985 mm, determine (a) la carga P, y (b) el incremento en la
dimensión de 200 mm. Tome v = 0.3 y E = 200 GPa.
4.40 Repita el problema 4.39 considerando la misma disminución en las dimen-
siones de 50 mm y considerando una caída de 10°C en la temperatura durante el
experimento. Tome a = 11.7 x 10~6 pulg/pulg°C.
4.41 Sobre un espécimen rectangular de aluminio de 0.5 pulg x 2 pulg con longitud
calibrada de 8 pulg se lleva a cabo un ensayo de tensión uniaxial. Cuando la carga
es de 20 000 lbf, la longitud calibrada ha crecido 0.016 pulgada. ¿Cuál es el valor
de El Si como resultado de una falla en el sistema de aire acondicionado la
temperatura del espécimen aumentó 20°F durante esta, ¿cuál es el valor de El
Considere a = 13 x 10~6 pulg/pulg°F.
171
Figura 4.45 Laminado de acero
Un lingote incandescente toma una nueva
forma al pasar por rodillos del molino
de una planta de la Bethlehem Steel
Corporation. De estas piezas semiacabadas
de acero se laminan productos
acabados de acero como perfiles
estructurales. La laminación no sólo le da
forma al acero sino que también mejora sus
propiedades mecánicas. (Foto por cortesía
de Bethlehem Steel.)
195 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
4.42 Un bloque de aluminio de 2 pulg x 2 pulg x 2 pulg está restringido contm
todo movimiento en las direcciones xy y. Se carga en la dirección z por medio de
un esfuerzo uniforme de tracción de 30 000 lbf/pulg2. Determine (a) ¿cuánto!
alarga el bloque en la dirección z y (b) cuáles son los valores de ax y crv ? Considere
E = 107 lbf/pulg2 y v = 0.3.
4.43 Un bloque de un material tipo caucho va a ensayarse a cortante
determinar su módulo cortante G. El bloque se fija a una mesa de ensayos y a
placa rígida como se muestra. Una carga P de 100 kN genera un desplazamie
horizontal de 1 mm. Calcule el valor del módulo de cortante G. Desarrolle tamt
una relación general entre G, h, w, b, P y S.
5 = 1 mm
P. 4.43
4.44 Con frecuencia se conecta un equipo electrónico al pórtico de una
por medio de un dispositivo que se puede idealizar como se muestra en la
El dispositivo consiste en un árbol rígido conectado a un tubo también
mediante un material tipo caucho. Las fuerzas se transmiten del equipo a '
principalmente por cortante en el caucho. Note que el esfuerzo cortante medio
el caucho es diferente en r = a que en r = b. Usando esos dos valores del es
cortante, determine un esfuerzo cortante medio a lo largo del espesor b—a.
suponiendo que la deformación es como la indicada (esto es, cónica), de
una expresión aproximada para el desplazamiento S. El módulo de cortante
material es igual a G. El resultado que se obtiene es aceptable siempre que b¡a •
4.45 Demuestre que si los esfuerzos se despejan de las ecuaciones (4.8), r
crx = [(«* + VEy) - (1 + v)ar]
(Ty = y — ^ \(ey + vex) - (1 + v)aT\
Tx, = Gyxy
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke 196
446 Demuestre que si ios esfuerzos se despejan de las ecuaciones (4.10), resulta
_ £[(1 — v)eI + v(ey + ez) - (1 + v)at]
[(1+ 0 (1 -21 ' ) ]
_ £ [(1 - v)ey + v{sz + ex) - (1 + v)af\
[(1 + ^ ( 1 - 2 ^ ) ]
_ £ [(1 - v)ez + v(sx + sy) - (1 + v)aT]
< 7 i ~ [(1 + 0 ( 1 - 20]
Txy = GyXy Ty. = Gyyz y Tzx = Gyzx
447 El estado de deformación unitaria plana se refiere a una situación en la
^ne no existe deformación según una dirección, usualmente escogida ésta como
fa dirección z. Se supone entonces que sz, ryz, y TZX son nulas. Demuestre que
fas relaciones isótropas de esfuerzo-deformación unitaria correspondientes para
deformación unitaria plana se pueden escribir como
, , = _ J S l ) + «(1 + OAT
= (ay - + a( 1 + OAr
- Zf> yxy - G
o en forma equivalente
£[(1 - Oex + vey - (1 + i>)aT]
a x = [(1 + 0 ( 1 - 20 ]
_ £ [(1 — v)sy + vsx) — (1 + par]
[(1 + 0 (1 - 20]
o-7 = v(fTx + o-y) - EaAT y rxy = Gyxy
4.6.11 Materiales c o m p u e s t o s
Una de las más comunes e importantes aplicaciones de los conocimientos
sobre los materiales elásticos lineales que no son isótropos, se realiza en
el campo de los materiales compuestos. Un material compuesto consiste
por lo menos en dos materiales diferentes que se combinan para producir
un mejor resultado. La mejora se deriva del hecho de que los materiales
compuestos son, en general, muy resistentes en comparación con su peso
(lo cual los hace muy útiles en la industria aeronáutica.) Un ejemplo
197 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
sencillo de un material compuesto usado ya en la prehistoria es el uso de
paja para reforzar un ladrillo de adobe.
Un material compuesto a base de fibras es un tipo común que se ha
idealizado a menudo, como se muestra en la figura 4.46. Las fibras suelen
consistir en un material de carbono o de grafito de muy alta resistencia
dentro de una matriz. Por lo general, la matriz es una resina epóxica de
bajo módulo y baja resistencia que sirve principalmente para mantener
la posición y orientación de las fibras. Un material enfibrado exhibe
propiedades de carácter anisótropo.
Presión, temperatura
Fibras
• Fibras
Matriz
Figura 4.46 Idealización de un material compuesto a
base de fibras
Figura 4.47 Construcción de un
material compuesto laminado
• Fibras
Figura 4.48 Definición de las
direcciones para la determinación
experimental de constantes elásticas
En particular, se podría sospechar que la aplicación sucesiva de esfuer-
zos de igual valor, ax, o-y y az, darían como resultado respuestas diferentes,
ex, sy y sz, para el material compuesto de la figura 4.46.
El uso principal de un material compuesto se da en la construcción
de materiales compuestos laminados. Como se indica en la figura 4.47,
los materiales compuestos laminados consisten en varias capas de un
compuesto enfibrado unidas entre sí en condiciones de alta presión y alta
temperatura para formar el laminado final. Las direcciones de las fibras en
las capas individuales se pueden componer según diferentes orientaciones
para producir los diversos resultados deseados.
Para formular expresiones analíticas para las propiedades de los la-
minados, se deben conocer las propiedades de cada una de las láminas.
Las fibras, a las que se les supone un comportamiento elástico lineal, pro-
porcionan casi toda la rigidez. De esta manera, el material compuesto se
comporta esencialmente como un material elástico lineal.
Con referencia a la figura 4.48, las constantes elásticas apropiadas para
una lámina se determinan con base en el siguiente conjunto de ensayos.
Ensayo 1 Con A-\ ̂ 0,A2 = T\2 = 0„se miden SI y S2 como se indica en la
figura 4.49. Luego se calcula E\ ~ (f\/e\ y v\2 = —s2¡s\. E\ se denomina
módulo de Young en la dirección de la fibra y v\2 se llama coeficiente de
Poisson mayor.
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke 175
( 1 + 6 , ) / , = ^ + - ^ ! / ,
712 = 0
0 + e2)l2 = ( l - ^ j l 2
(a) No deformada (b) Deformada
: f igura 4.49 Esfuerzo uniforme en la dirección de las ñbras
I Ensayo 2 Con <7-2 / 0, <xi = t u = 0, se miden e\ y e2 como se indica en la
£gura 4.50. Luego se calcula £2 = vi!8! y ^21 = — £ 2 se denomina
• ó d u l o de Young en la dirección transversal y se llama coeficiente de
Jbisson menor.
cr2
( l + e 2 ) / 2 = ( l +
(a) No deformada (b) Deformada
14.50 Esfuerzouniforme en la dirección transversal
3 Con t\2 / 0, <7i = cr2 = 0, se mide yn como se indica en la
14.51. Luego se calcula G n = Tn/yn-
Al superponer los resultados de los tres ensayos se obtienen las rela-
> esfuerzo-deformación unitaria siguientes:
Ex
«2 = -P12
vn
O"!
Ti 2
Tl2
(a) No deformada
: e, = 0
02
E2
(4.11)
(b) Deformada
Figura 4.51 Esfuerzo cortante
uniforme
1 7 6 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Según la teoría de la elasticidad, la igualdad v2\j E2 = i>\2/Ey debe
ser satisfecha por los coeficientes elásticos. Una buena verificación de
la validez de los ensayos es la precisión con que la igualdad anterior se
satisface. Se tienen entonces cuatro constantes elásticas independientes
para la lámina: E\, vn, E2 y G\2.
e2*0
7,2 = 0
Figura 4.52 Respuesta de una muestra orientada a lo largo de
las direcciones de las fibras
Observe que las ecuaciones esfuerzo-deformación unitaria dadas por
las ecuaciones (4.11) son válidas sólo para una muestra orientada con
respecto a las direcciones de las fibras, como se indica en la figura 4.52.
Un trozo formado por cortes paralelos a las direcciones de las fibras de
la lámina responderá a los esfuerzos normales y cortantes de la misma
manera que en los tres ensayos antes descritos.
Figura 4.53 Respuesta de una muestra oblicua a las direcciones
de la fibras
4.6 Comportamiento elástico lineal: ley de hooke 177
En contraste con esto, otra muestra cortada en una dirección arbi-
traria, como la que se indica en la figura 4.53, se alargará y además se
distorsionará en respuesta a un esfuerzo normal sobre una de sus caras.
Recuerde que un cuerpo isótropo es tal que ensayos efectuados sobre
muestras con diferente orientación en un punto, conducen a idénticas rela-
ciones esfuerzo-deformación unitaria. La respuesta de muestras orienta-
das de manera diferente de como se indicó anteriormente, demuestra con
claridad la naturaleza anisótropa de una lámina típica en la que esfuerzos
normales por lo general dan como resultado deformaciones unitarias tanto
longitudinales como cortantes, y esfuerzos cortantes también conducen a
deformaciones unitarias tanto longitudinales como cortantes.
PROBLEMAS
4.48 En la placa mostrada determine el cambio de longitud de (a) la dimensión
de 100 mm, (B) la dimensión de 120 mm, y (c) la diagonal AC. Considere
EL = 14.0 GPa, ET = 3.5 GPa, vLT = 0.36, vTL = 0.09 y GLT = 4.2 GPa.
| 7 MPa
I J ' 1
0.1 m — I N J = z i '
~ r J
—0.12 m ^
P. 4.48
4.49 En la placa mostrada determine el cambio de longitud de (a) la dimensión
de 10 pulg, (b) la dimensión de 12 pulg y (c) la diagonal AC. Considere E¡, =
44 x 106 lbf/pulg2, ET = 15 x 106 lbf/pulg2, vLT = 0.28, vTL = 0.095 y GLT
= 5 x 106 lbf/pulg2.
4.50 Se llevan a cabo algunos ensayos en la lámina mostrada.
Ensayo l: a¡. = 5 .0 M P a , crT = t l t = 0
A/;. = 0.0667 mm, AIT = -0.036 mm, Aángulo i r = 0
Ensayo 2: aT = 2 .0 M P a , cr¿ = TLT = 0
AIT = 0.06 mm, ALT = -0.024 mm, A ángulo i r = 0
Ensayo 3: ai = CTT = 0, TLT = 2.5 G P a
AIT = A/,, = 0, A ángulo, , = 0.0286°
Determine las constantes EL, Er, VLT, VTL y GU , y comente los resultados
. 2.8 MPa
: MPa
T J
10 p u l g ^ — J
I 1
| 8 klb/pulg2
* — - 6 klb/pulg2
10 klb/pulg2
— 1 2 pu lg -
P. 4.49
201 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
4.51 Se llevan a cabo algunos ensayos en la lámina mostrada.
Ensayo 1: <TL = 10 klb/pulg2, oy == TLT = 0
ML = 0.00227 pulg, A/r = -0.00040 pulg, A ángulo l r = 0
Ensayo 2: oy = 4 klb/pulg2,07. = = 0
A/r = 0.00225 pulg, ML = -0.00028 pulg, A ángulo = 0
Ensayo 3: O-L = en = 0, TLT = 5 klb/pulg2
A/r = ML = 0, A ángulo,. T = 0.0573°
Determine las constantes EL, ET, VLT, VTL y GLT, y comente los resultados.
471 COMPORTAMIENTO DEPENDIENTE DEL TIEMPO
El ejemplo del mástique de la sección 4.1 nos hace conscientes de mate-
riales para los cuales se deben incluir los efectos del tiempo al considerar
su comportamiento, a fin de que los resultados experimentales y teóricos
concuerden tanto cualitativa como cuantitativamente. En esta sección ana-
lizaremos varias situaciones diferentes donde la respuesta de un problema
estático, o cuasiestático, dependerá del tiempo.
En el caso de un problema estrictamente estático, se supone que los
cambios respecto al tiempo de los esfuerzos y las deformaciones unitarias
son iguales a cero, esto es
? = o y ? = o
dt dt
Con el fin de ver que éste nunca puede ser el caso para una estructura
inicialmente descargada, consideremos la barra que se muestra en la
figura 4.54a.
m
P(Q) = 0
P(0) = 0 y
dP
dt
para t > 0
•= 0 > = > / > = o
J f - = 0 para t > 0
(a) (b)
Figura 4.54 Cambios respecto al tiempo del esfuerzo y de la deformación unitaria
en una barra axialmente cargada
La barra está inicialmente descargada de modo que a = P/ A = 0. Si
dP/dt fuera también igual a cero en todo instante, entonces, como se indica
4.7 Comportamiento dependiente del tiempo 179
en la figura 4.54b, P debería ser siempre cero; es decir, nunca podemos
aplicar una carga y satisfacer la ecuación dP/dt = 0.
Por ejemplo, para un material elástico lineal, la teoría supone que
la carga P aumenta muy lentamente y que el esfuerzo (dado por P/A)
y la deformación unitaria crecen con gran lentitud de acuerdo con la
relación cr = Es. Así, los cambios respecto al tiempo del esfuerzo y de
la deformación unitaria deben ser pequeños para que la teoría estática sea
estrictamente válida. A esta situación la llamamos cuasiestática. Para una
barra cargada a tensión, como la de la figura 4.55a, una fuerza aplicada
como se indica en la figura 4.55b se podría calificar como cuasiestática.
Para que una carga se considere cuasiestática, debe aplicarse con
suficiente lentitud para evitar la generación de ondas de choque o de
esfuerzo importantes. Así, para un material de ingeniería común, el tiempo
de crecimiento ¿o mostrado en la figura 4.55b podría ser tan pequeño
como unas cuantas décimas de segundo y todavía se podría calificar como
cuasiestático. Con frecuencia estableceremos simplemente que una carga
se aplica sin preocuparnos en especificar con precisión el intervalo de
tiempo necesario para su aplicación. A menos que se indique otra cosa,
siempre se supondrá que la carga se aplica gradualmente y que no se
producirán ondas de choque o de esfuerzos.
Una de las situaciones más frecuentes en las que los desplazamientos
y los esfuerzos dependen del tiempo, se relaciona con lo que comúnmente
se denomina flujo plástico. El flujo plástico es un término general que se
refiere a una deformación creciente bajo carga constante. Algunos metales
a temperatura elevadas y muchos plásticos continúan alargándose bajo la
acción de esfuerzos que se mantienen constantes. Esta situación se indica
en la figura 4.56, en la cual una barra está cargada con una fuerza axial P.
I
m
P(0) = 0
(a)
i Tiempo de
i crecimiento
(b)
Figura 4.55 Carga P axial aplicada
lentamente
I Flujo plástico primario;
é decreciendo
Fractura
Flujo plástico secundario;
¿ constante
Figura 4.56 Comportamiento dependiente del tiempo, llamado flujo
plástico
La curva de la figura 4.55b indica que la carga P se ha aplicado en un
intervalo corto de tiempo ÍQ y se ha mantenido constante para todo t > ÍQ.
180 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
I
A impuesta
(a)
.0(0)
(b)
Figura 4.57 Curva de relajamiento típica
Se supone que el tiempo requerido T para que la muestra se fracture es
varios órdenes de magnitud superior que el tiempo to, de manera que
to es ignorado en la figura 4.56. Así, el valor inicial de la deformación
unitaria en la figura 4.56 se toma como la deformación unitaria asociada con
el valor constante final que produce la carga P, esto es, so = a/ E = Po/AE.
La curva de la figura 4.56 está dividida en tres regiones distintas. En
la primera región la velocidad de deformaciónunitaria decrece a partir del
valor correspondiente a la aplicación de la carga; se llama flujo plástico
primario. La segunda etapa está relacionada con una región en la cual
se tiene un cambio constante de la deformación unitaria; se llama flujo
plástico secundario. La tercera etapa, llamada flujo plástico terciario, está
relacionada con el principio del proceso de falla y generalmente termina
con la fractura de la barra. Los cambios de deformación unitaria para
materiales que exhiben flujo plástico son en gran medida función de la
magnitud del esfuerzo y de la temperatura. Cuanto mayor sea la magnitud
del esfuerzo o de la temperatura, mayor será la velocidad de deformación
unitaria. El flujo plástico es uno de los muchos fenómenos que se deben
considerar en todo análisis y diseño racional.
Un fenómeno muy relacionado con el flujo plástico es el relajamiento.
Consideremos una muestra sometida a un alargamiento A, como se indica
en la figura 4.57a. Para el ensayo de relajamiento, el alargamiento A
se mantiene constante y se vigila el esfuerzo correspondiente. En la
figura 4.57b se muestran algunos resultados comunes.
El valor inicial del esfuerzo en el ensayo de relajamiento se toma de
la misma manera que se tomó la deformación unitaria inicial en la prueba
de flujo plástico, esto es, como el valor asociado con el esfuerzo al final del
corto proceso de carga, <r0 = Es0 = EA/L. Como se indicó, el esfuerzo,
y por consiguiente la carga transmitida, se reduce gradualmente con el
tiempo y puede por último alcanzar un valor nulo.
4.8 FATIGA
Muchas fallas que ocurren en las estructuras están relacionadas con cargas
repetidas o cargas cíclicas. Algunos ejemplos de esto son los álabes de
una turbina, la región en la proximidad de un agujero para remache de un
componente estructural de una aeronave o de una nave espacial, y el
sistema de suspensión de un automóvil que debe circular sobre tramos
accidentados de un camino. Estas fallas suelen ocurrir después de varios
millones, o decenas o cientos de millones de ciclos y se denominan fallas
(roturas) por fatiga. Las fallas por fatiga se presentan tanto en materiales
dúctiles como en materiales frágiles.
4.8 Fatiga 181
o o
O, a
( a )
Figura 4.58 Naturaleza cíclica de un esfuerzo
Como resultado de una carga cíclica, la historia de una componente
particular de esfuerzo en un punto se idealiza a menudo como se indica en
la figura 4.58.
La figura 4.58a muestra una situación en la cual se tiene un esfuerzo
medio erm al cual se superpone un esfuerzo alternante cra. La figura 4.58b
muestra una situación en la que el esfuerzo medio es igual a cero.
La figura 4.59 es una fotografía de una falla por fatiga. Las superficies
burdas al frente son las superficies de fractura. Mediante la fotografía es
posible, con un buen aumento, determinar el punto de la superficie de
fractura en que se inició la grieta.
Aunque el mecanismo preciso de fatiga no se conoce suponemos que,
con base en la inspección de muchos componentes que han fallado en am-
bientes de carga cíclica, la falla ocurre de manera progresiva de acuerdo
con el proceso siguiente. Como resultado de los diferentes procesos a
que se somete el material de una estructura, o de un componente es-
tructural, cuando se le prepara para su uso específico, aparecen muchos
defectos microscópicos en él. Estos defectos suelen ser suficientemente
pequeños para pasar desapercibidos por las técnicas de detección de de-
fectos, como las que emplean rayos X. (Puede haber defectos mayores
detectables. Cuando hay evidencias de un defecto, la estructura o compo-
nente estructural se puede descartar o, si es posible, reprocesar para que
el defecto desaparezca.) Estos defectos microscópicos actúan como con-
centradores de esfuerzos o generadores de esfuerzos; esto es, los esfuerzos
en la proximidad de un defecto pueden alcanzar varias veces el valor que
se tendría si el defecto no existiera. La razón entre el esfuerzo máximo y
el esfuerzo medio se llama factor de concentración de esfuerzo. Bajo una
carga repetida o cíclica, de magnitud suficientemente alta, se desarrollaría
una pequeña grieta. Si la carga cíclica continúa, la pequeña grieta puede
volverse más grande y finalmente crecer hasta el tamaño del elemento,
dando como resultado una falla por fatiga.
Las fallas por fatiga dependen, en gran medida, del material específico
implicado. Se requieren datos experimentales para evaluar el efecto de la
carga cíclica en el diseño de una estructura o de un componente estructural.
Figura 4.59 Fotografía
de una superficie de
fractura asociada a una
falla por fatiga típica
205 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Los resultados experimentales se usan para construir una curva llamada
curva S-N, como se muestra en la figura 4.60, donde la magnitud del
esfuerzo alternante 5 se dibuja frente al número de ciclos N para la falla
del material.
Un número estadísticamente importante de ensayos se realiza en di-
ferentes niveles de esfuerzo alternante para producir la curva mostrada.
Como se indica, es normal que se tenga una gran dispersión en los datos.
Por esta razón es necesario efectuar un número razonablemente grande
de ensayos para identificar en forma correcta la curva S-N de un material
particular. Esta dispersión de los datos siempre se presenta independien-
temente del cuidado que se tenga en preparar las muestras a ensayar paia
garantizar que en un principio sean todas iguales, esto es, que todos los
experimentos sean idénticos.
La resistencia a la fatiga se refiere a la magnitud del esfuerzo re-
querido para producir la falla a un determinado número de ciclos. Dada
la mangitud del esfuerzo, se puede usar la curva S-N a fin de calcular el
número de ciclos para la falla o viceversa. Como se indicó en la figura 4.60,
hay un intervalo de esfuerzos para una N dada debido a la naturaleza del
experimento. Seleccionando la envolvente inferior de la curva S-N, se
tiene una manera conservadora de considerar los datos.
Para la mayoría de los materiales, la curva S-N se nivela para mag-
nitudes bajas de esfuerzo de manera que se puede trazar una asíntota
horizontal como se indica en la figura 4.60. Este límite inferior se llama
límite de fatiga y se denota con CTf. Si el esfuerzo alternante es menor que
este valor, se considera que el elemento tiene una vida infinita: el número
de ciclos que el elemento puede resistir bajo ese valor del esfuerzo es in-
finito. En los casos en que no se dispone de datos sobre fatiga, es usual
tomar el límite de fatiga como la mitad del valor del esfuerzo de fluencia
o como la mitad del valor del esfuerzo último.
En la figura 4.61 se muestran los resultados de ensayos de fatiga en
varios metales y aleaciones comunes.
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 183
60
'¿P
3 O.
40
4)
a i/j U 2 0
104 105 106 107 108 lO*
Ciclos
Figura 4.61 Datos de fatiga para metales comunes
Hay muchas aleaciones diferentes de aluminio y acero. Además, hay
numerosos tratamientos a los que se puede someter una estructura o un
componente estructural. De hecho, alguno de esos tratamientos se diseñan
para mejorar el comportamiento en fatiga. El punto más importante en
conexión con la fatiga es que siempre que una estructura o un componente
estructural pueda estar sometida a carga cíclica, debe considerarse la
posibilidad de una falla por fatiga. Se debe tener cuidado en usar los
datos de fatiga que correspondan exactamente al material considerado y
al tipo específico de su procesamiento.
4.9 TEORÍAS DE FALLA: CRITERIOS DE FALLA*
En el capítulo 1 presentamos los dos problemas básicos de la mecánica de
sólidos; el primero es evaluar si la resistencia de una estructura es adecuada
o no. En el presente capítulo hemos visto, al tratar el ensayo uniaxial
de tensión, que los materiales reales pueden fallar cuando se someten a
cargas que inducen esfuerzos muy grandes. En esta secciónabordaremos
los modos de falla asociados (a) con la fractura y (b) con deformaciones
excesivas de fluencia. En el caso del ensayo uniaxial de un espécimen
frágil, la falla se debe a la fractura, donde el esfuerzo axial medio en el
espécimen es el esfuerzo último o"últ- P a r a u n espécimen dúctil, la falla
ocurre al presentarse el fenómeno de fluencia, esto es, cuando el esfuerzo
axial medio es igual al esfuerzo de fluencia oy.
Cualquier estructura o componente estructural fallará si las cargas son
suficientemente grandes. Se podrían efectuar ensayos en cada estructura
para determinar la carga que produce su falla, pero esto sería muy costoso
y tardado. En vez de efectuar ensayos, es necesario disponer de algún
*Existe una distinción entre los denominados criterios de plastificación (inicio del
fenómeno de fluencia del material) y los criterios de falla, rotura o fractura (inicio de ia
fractura del material). (N. delR.T.)
184 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
método analítico racional como ayuda para tomar decisiones respecto a
la resistencia de una estructura. Antes de presentar las teorías que se
han desarrollado a este respecto, veremos los resultados de varios ensayos
estándar.
Ejemplo 4.13 Considere un elemento a tensión con un agujero central como se
indica en la figura 4.62a. El espécimen está hecho de un material dúctil que se pule
antes de la prueba. Cuando la carga se incrementa a cierto nivel, aparecen regiones
visibles llamadas bandas de Luder en las superficies anterior y posterior, como se
indica en la figura 4.62b. Estas bandas, que marcan las regiones en las que ocurre
la fluencia, forman un ángulo de aproximadamente 45° con el eje de la carga, como
se muestra. Es en estos planos a 45° en los que el esfuerzo cortante es máximo. Las
bandas de Luder pueden también aparecer cuando no hay agujero. Esto apoya la
idea de que en los materiales dúctiles, la falla ocurre cuando el esfuerzo cortante
máximo alcanza un valor crítico.
(a) ib)
Figura 4.62 Bandas de Luder en el ensayo
de tensión de un material dúctil
Ejemplo 4.14 Si un espécimen hecho de un material frágil se somete al ensayo
de tensión uniaxial, la falla o superficie de fractura tiene el aspecto mostrado en la
figura 4.63.
En vista de la relación entre la superficie de fractura y el esfuerzo normal
tfmed = P/A que actúa sobre la superfice de fractura, se podría esperar que la falla
estuviera relacionada con el hecho de que el esfuerzo normal hubiera excedido
algún valor crítico. Esta observación es básica para las teorías de falla de los
materiales frágiles.
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 185
Superficie de fractura
(a) (b)
Figura 4.63 Superficie de falla para el
ensayo uniaxial de tensión de un material
frágil
Ejemplo 4.15 Consideremos ahora un experimento sencillo que consiste en la
torsión de un trozo de tiza como se muestra en la figura 4.64a. La falla ocurre como
resultado de una fractura tipo frágil, indicada en la figura 4.64b.
Como veremos en el capítulo 6, el esfuerzo que resulta del par de torsión
es un esfuerzo cortante sobre planos perpendiculares al eje, como se indica en la
figura 4.65a. Un elemento de la superficie lateral del trozo de tiza está sometido a
los esfuerzos cortantes mostrados en la figura 4.65b.
1):(0, T)
(a) (b)
Figura 4.65 Esfuerzos cortante y normal por torsión
@ : ( 0 , - r )
(c)
(a)
45°
/ Superficie
/ / / de fractura
(b)
Figura 4.64 Superficie de falla para el
ensayo de torsión de una barra de tiza
Usando el círculo de Mohr para esfuerzos como en la figura 4.65c, se ve que
el esfuerzo de tensión máximo ocurre en planos a 45°, esto es, en los planos de
fractura. Los resultados de este experimento apoyan la idea de que los materiales
frágiles fallan cuando el esfuerzo normal máximo alcanza un valor crítico.
209 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Los resultados de estos ensayos parecen indicar que existe una cone-
xión entre la falla y la magnitud del esfuerzo. Si el espécimen se carga a
tensión, a compresión o a cortante (torsión), hay un valor de la carga y, por
consiguiente, del esfuerzo o esfuerzos por debajo de los cuales ocurre la
falla. La naturaleza precisa del mecanismo que interviene en una fractura
dúctil o frágil es, en realidad, una función muy complicada de la microes-
tructura del material (tamaño del grano, orientación del grano, etc.). Con
base en la hipótesis de que estamos considerando un material continuo,
como se mencionó en la sección 4.1, nos restringiremos a tomar decisiones
sobre el mecanismo de falla con base en cantidades observables o medibles
que son una parte de la teoría de la mecánica de sólidos. El esfuerzo es la
magnitud principal que se usa para correlacionar los datos experimentales
con las predicciones de las teorías de falla en la mecánica de sólidos.
Una cuidadosa consideración de todos los datos experimentales ha
conducido a varias teorías de falla usadas comúnmente. Estas teorías se
basan en la hipótesis de que la falla ocurre cuando el esfuerzo normal
o cortante máximo en una estructura, o en un componente estructural,
alcanza un valor crítico determinado con los resultados del ensayo de
tensión uniaxial.
Así como distinguimos entre comportamiento dúctil y frágil, es con-
veniente distinguir entre criterios de falla para materiales que fallan de
manera frágil y materiales que fallan de manera dúctil. Para los materiales
dúctiles introduciremos (a) el esfuerzo cortante máximo y (b) el criterio
de falla de Hencky-von Mises. Para los materiales frágiles introduciremos
(a) el esfuerzo normal máximo y (b) el criterio de falla de Coulomb-Mohr.
Cada uno de esos criterios de falla intenta predecir la falla en una estruc-
tura real con base en el conocimiento de los valores del esfuerzo normal
sobre superficies de falla en ensayos como el de tensión uniaxial y el de
torsión descritos antes.
Se debe aceptar que una estructura tiene cierta "inteligencia" ya que
si va a fallar, por ejemplo debido a que se ha alcanzado un valor crítico
crcr en el esfuerzo normal máximo, lo hará tan pronto como se alcance
este valor crítico en cualquier punto y sobre cualquier plano de la estructura.
En otras palabras, la estructura sabe, en cierto sentido, cuándo se alcanza
el valor crítico sin importar qué análisis se haya efectuado. Es entonces
esencial que el análisis sea capaz de indicar la posición y la magnitud de
los esfuerzos máximos y que esos valores sean los que se comparen con los
valores críticos escogidos para evaluar la falla.
Criterio de falla del es fuerzo cortante máximo Charles Coulomb
(1773) y Henri Tresca (1868) propusieron la teoría del esfuerzo cortante
máximo, la cual establece que para todo elemento fabricado del mismo
material, la falla por fluencia ocurre cuando el esfuerzo cortante máximo en
el material alcanza el valor del esfuerzo cortante de fluencia determinado
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 187
por un ensayo uniaxial de tensión (o compresión). Consideremos un
espécimen uniaxial como el indicado en la figura 4.66.
En el sistema coordenado que se muestra, los esfuerzos son oy = tro,
con todas las demás componentes de esfuerzo nulas. El círculo de Mohr
de esfuerzos (Fig. 4.66b) muestra claramente que para el ensayo uniaxial,
el esfuerzo cortante máximo de fluencia es
TY =
(Ty
(4.11)
que es el valor crítico por usarse en el criterio de falla por esfuerzo cor-
tante máximo. En la ecuación (4.11), TY indica el valor del esfuerzo cortante
máximo de fluencia.
La teoría del esfuerzo cortante máximo extiende este resultado al caso
general, que incluye un estado arbitrario de esfuerzo, estableciendo que
la falla ocurre cuando el esfuerzo cortante máximo sobre cualquier plano
y punto de la estructura alcanza el valor TY. Cuando los tres esfuerzos
principales o~i> a 2 > 0-3, se conocen en un punto, el esfuerzo cortante
máximo estádado por
0-1-0-3
y la falla ocurre cuando
TY
(Ti — <7-3 (Ty
2 = " T
Para un estado de esfuerzo plano con AZ = RYI = TXZ = 0, uno de
los esfuerzos principales, digamos 0-3, siempre es nulo. Llamaremos a los
otros dos esfuerzos principales, y cr2, esfuerzos principales en el plano.
Por claridad, veremos con detalle las tres diferentes combinaciones de
esfuerzos principales en el plano, esto es, (a) ai > cr2 > 0, 0-3 = 0; (b)
o2 < oí < 0, <7-3 = 0, y (c) ct\ > 0, <72 < 0, 0-3 = 0.
Caso a: ai > cr2 > 0, <7-3 = 0. Para este caso, el círculo de Mohr y
el elemento sobre el que actúan los esfuerzos principales se muestran en
la figura 4.67a y b, respectivamente. El esfuerzo cortante máximo en el
plano, dado por (ai - o-2)/2 y mostrado en la figura 4.67a, actúa sobre
el plano que biseca los planos principales. Sin embargo, para este caso,
((Ti — 0)/2 > (a-i — (t2)/2, de modo que el esfuerzo cortante máximo está
dado por
-T a b s - 2
y se presenta sobre el plano que biseca las direcciones principales 1 y 3 y
también sobre el plano sombreado que se indica en la figura 4.67b.
Caso b: a2 <cr\ < 0, ít-3 = 0. Para este caso, el círculo de Mohr y el elemento sobre el que actúan los esfuerzos principales se muestran en
(a)
0 - "Y
(b)
Figura 4.66 Espécimen para
ensayo uniaxial
211 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
tantes máximos
r m á x —
f l
<73 =
(a) (b)
Figura 4.67 Esfuerzos cortantes máximos para ar\ > <t2 > 0, «73 0
la figura 4.68a y b, respectivamente. El esfuerzo cortante máximo en el
plano, dado por (eri - ai)¡2 y mostrado en la figura 4.68a, actúa sobre
el plano que biseca los planos principales. Sin embargo, para este caso,
\(X2 — 0| /2 > (<ti — o"2)/2, de manera que el esfuerzo cortante máximo
absoluto está dado por
_ H âbs — 2
y se presenta sobre el plano que biseca las direcciones principales 2 y 3, y
también sobre el plano sombreado indicado en la figura 4.68b.
Caso c: a\ > 0, er2 < 0, 0-3 = 0. Para este caso, el círculo de Mohr y
el elemento sobre el que actúan los esfuerzos principales se muestran en
la figura 4.69a y b, respectivamente.
J\ ~ "2 T
Tmáx =
<T\ - <T-1
(a)
Figura 4.69 Esfuerzos cortantes máximos para <r\ > 0, <72 < 0, cr3 = 0
Para este caso, (o-\—ai)/2 > o-\/2y(a\ -ai)/2 > |cr2|/2, de manera
que el esfuerzo cortante máximo absoluto está dado por
Tabs
0"! - (X2
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 189
y se presenta sobre el plano que biseca las direcciones principales, como
se indica en la figura 4.69b.
Entonces, para un estado de esfuerzo plano en el que <7-3 = 0, los
resultados de los casos a, b y c se pueden resumir en los tres conjuntos
círculos de Mohr correspondientes mostrados en la figura 4.70a, b y c,
respectivamente.
a a
Figura 4.70 Círculos de Mohr para los casos a,byc
En cada caso se dibujan tres círculos. Uno se construye para el plano
relacionado con los esfuerzos principales (a-\, 0), otro para los esfuerzos
principales (<72,0) y otro más para los esfuerzos principales (a\ , er2). Para
cada caso, el esfuerzo cortante máximo absoluto en el punto considerado
es igual a la mitad del diámetro del mayor de los tres círculos. Para el caso
a, éste es el círculo relacionado con los esfuerzos principales (<r\, 0). Para
el caso b, el círculo de mayor diámetro es el círculo relacionado con los
esfuerzos principales (<r2,0) para el caso c es el círculo asociado con
los esfuerzos principales (cr\, cr2).
Finalmente, para el caso en que <7-3 = 0, el proceso para determinar el
esfuerzo cortante máximo es usar el círculo de Mohr para determinar
los esfuerzos principales <T\ y cr2 en el plano. El esfuerzo cortante máximo
en el punto está entonces dado por
De acuerdo con el criterio de falla del esfuerzo cortante máximo, la falla
ocurrirá si cualquiera de los valores anteriores excede el esfuerzo cortante
admisible dado por crY /2. Este conjunto de requisitos se presenta en forma
gráfica en el hexágono de esfuerzos cortantes máximos de la figura 4.71.
Entonces, siempre que los esfuerzos principales <t\ y cr2 en el plano, para
un estado de esfuerzo biaxial, caigan dentro de la región sombreada de
a
(a) (b) (O
190 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
(i, n (i, n
(-1, -1)
Figura 4.71 Hexágono de esfuerzo cortante máximo
la figura 4.71, el criterio del esfuerzo cortante máximo, T a b s < oy /2 , se
satisfará.
Ejemplo 4 .16 C o m o se indica en la figura 4.72.a, los es fuerzos en u n p u n t o P de un
cuerpo es tán dados por crx = cr, k lb /pu lg 2 , rrY — 2 k lb /pu lg 2 , r z y — 5 k lb /pu lg 2 ,
con <tz = t x z = ry z = 0. U n ensayo uniaxial del mismo mater ia l indica que la
fluencia se p resen ta cuando el es fuerzo normal es 16 klb/pulg2 . ¿Cuál es el valor
admisible de a x ?
r(klb/pulg2)
0:(2, 5)
R=V[(ox - 2)/2] 2 + 25
(klb/pulg2)
5)
(a) (b)
Figura 4.72 Estado de esfuerzo en un punto de un cuerpo
S o l u c i ó n El círculo de M o h r pa ra este e s t ado de e s fue rzo se mues t r a en la
figura 4.72b. El es fuerzo cor tan te máximo está d a d o por
cx — 2
7"máx — + 25 k lb /pu lg 2
de m a n e r a que la falla ocur re cuando
ax-2 + 25 k lb /pu lg 2 = 16 k l b / p u l g 2 / 2 = 8 k lb /pu lg 2
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 191
Despejando se obtiene crx = +14.49 klb/pulg2 y <rx = —10.49 klb/pulg2; enton-
ces, un esfuerzo de tensión de 14.49 klb/pulg2 o un esfuerzo de compresión de
10.49 klb/pulg2 producirá un estado de esfuerzo que conducirá a la falla según el
criterio del esfuerzo cortante máximo.
Criterio de falla de Hencky-von Mises La teoría de falla de Hencky-
von Mises a veces se denomina también teoría de la energía máxima de
distorsión. La idea en que se fundamenta esta teoría es la siguiente. Los
experimentos han demostrado que los materiales homogéneos pueden
resistir esfuerzos hidrostáticos muy grandes (a-x = <jy = a z — (r0, rxy =
TYZ = TXZ = 0) sin alcanzar el estado de fluencia. Esto sugiere que la falla
en un material sometido a un estado general de esfuerzo se puede asociar
con la diferencia entre el estado real de esfuerzo y un estado hidrostático
que tenga el valor a igual al valor medio de los esfuerzos principales en el
punto, esto es, cr = (cri + o-j + cr3)/3. El criterio de Hencky-von Mises
establece que la falla ocurrirá cuando la energía asociada con la diferencia
entre los estados real e hidrostático sea igual a la energía correspondiente
a la de un ensayo de tensión uniaxial en la fluencia. El criterio resultante es
idéntico al de la teoría del esfuerzo cortante octaédrico, que es mucho más
fácil de desarrollar y entender. Por esta razón examinaremos los resultados
de la teoría del esfuerzo cortante octaédrico.
La figura 4.73a indica el elemento asociado a un punto sobre el que
actúan los esfuerzos principales. La figura 4.73b indica cuatro de las ocho
direcciones que forman ángulos iguales con las direcciones principales.
Cada una de esas ocho direcciones es perpendicular a lo que se denomina
plano octaédrico.
Figura 4.73 Planos principales y planos octaédricos
215 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Usando las ecuaciones de transformación tridimensional de esfuer-
zos, se puede calcular el esfuerzo normal sobre cada uno de los planos
octaédricos como
cr\ + (72 + (73
^octaédrico = ^
o sea el valor medio de los esfuerzos principales en el punto. Se puede tam-
bién calcular el esfuerzo cortante sobre cada uno de los planos octaédricos
como
ôctaédrico = 2 \ j (^l ~ ^ i f + (^2 - (r3)2 + (cr3 - (r, )2
La teoría del esfuerzo cortante octaédrico establece que la falla ocurre
cuando el valor de este esfuerzo cortante octaédrico es igual al valor
del esfuerzo cortante octaédrico de fluencia en un ensayo uniaxial de
tensión. Para el ensayo uniaxial de tensión, <t\ = a Y (esfuerzo de fluencia),
<75 = <73 = 0, de modo que el esfuerzo cortante octaédrico en el ensayo
uniaxialde tensión está dado por
Wdr ico = \ \J(<7Y - O)2 + (0 - O)2 + (0 - (TY)2 = ~
Igualando los dos valores de roc, se obtiene
<rr = - <n)2 + ÍF2 - + (0-3 - (Ti)2 (4.12)
que es el criterio de falla por esfuerzo cortante octaédrico en función de los
esfuerzos principales. Para el caso en que uno de los esfuerzos principales,
digamos 0-3, sea cero, la ecuación (4.12) se reduce a
o-y = y cr2 - (ti<j2 + o-\
que se escribe a menudo como
(o-, /o>)2 - (O-i/oy)(<7-2/OY) + (<r2/crK)2 = 1
Ésta es la ecuación de la elipse mostrada en la figura 4.74.
Se supone que la falla debida a la iniciación de la fluencia tiene lugar si
el estado de esfuerzo dado por los esfuerzos principales «tj y 0-2 cae sobre o
fuera de la elipse. El criterio de Hencky-von Mises se acepta generalmente
como el mejor Criterio para juzgar la falla, caracterizada por el inicio de
la fluencia en materiales dúctiles. Las líneas discontinuas de la figura 4.74
indican los límites para el criterio de falla del esfuerzo cortante máximo.
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 193
o.
Oy
( - 1 , - D
Figura 4.74 Elipse de Hencky-von
Mises para esfuerzo plano
Ejemplo 4.17 Para un material con una fluencia a la tensión de 16 klb/pulg2 so-
metido a los esfuerzos crx = 10 klb/pulg2, o-y = —2 klb/pulg2, y riy = 8 klb/pulg2,
determine si se produce la falla usando el criterio de Hencky-von Mises.
Solución Los esfuerzos principales resultan ser
o bien o-\ = 14 klb/pulg2 y en = — 6 klb/pulg2. Sustituyendo estos valores en la
ecuación de la elipse se obtiene
de manera que la falla ocurre de acuerdo con el criterio de Hencky-von Mises.
Criterio de falla por es fuerzo normal máximo La teoría del esfuerzo
máximo o, como aveces se le llama, la teoría del esfuerzo principal máximo,
sc atribuye generalmente a William Rankine. Esta teoría predice que la
Calla en un material frágil se produce cuando el esfuerzo principal máximo
en el material alcance el valor del esfuerzo normal determinado
mediante un ensayo uniaxial de tensión. Para el caso de esfuerzo plano,
con <7-3 = 0 y los esfuerzos principales en el plano dados por o-\ y cr2, la
falla ocurrirá cuando los esfuerzos principales a\ y cr2 caigan sobre o fuera
de los límites del cuadrado unitario con ejes cr \ /a^L T y o-2 /a^L T , como se
indica en la figura 4.75. Esta teoría se presenta aquí debido sólo a su interés
histórico; las predicciones de falla de esta teoría no concuerdan bien con
los resultados experimentales.
klb/pulg2 = (4 ± 10) klb/pulg' 2
(14/16)2 - (14/16)(—6/16) + (-6/16)2 = 316/256 > 1
194 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
( M )
° Ú L T
( - 1 , - 1 ) '
Figura 4.75 Falla según la teoría del
esfuerzo normal máximo
Criterio de falla de Mohr-Coulomb Muchos materiales que se com-
portan de manera frágil exhiben resistencias últimas muy diferentes a ten-
sión y a compresión. Según sean determinadas por ensayos uniaxiales de
tensión o de compresión, respectivamente, denotamos estas resistencias
últimas con a U T y ove• Cuando los esfuerzos principales en el plano a\ y
<72 sean ambos positivos o ambos negativos, las regiones sin falla en fun-
ción de los esfuerzos principales cr\ y 02 son las indicadas por los cuadrados
sombreados en los cuadrantes I y III de la figura 4.76.
Figura 4.76 Regiones sin falla según el criterio
de Mohr-Coulomb
Cuando a \ y son de signo opuesto, la teoría y los resultados
experimentales concuerdan bien considerando que la falla ocurre cuando
los esfuerzos principales en el plano cr\ y <t-2 caen sobre o fuera de las líneas
BD y CE en los cuadrantes II y IV, respectivamente. En el cuadrante IV,
la ecuación de la línea BD es
Q-1 _ _t7'2_ _ J
V(JT C(JC
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 195
En el segundo cuadrante la ecuación de la línea que conecta los puntos C
y E está dada por
<72 _ Cl _
<TUT CR ve
La falla según el criterio de Mohr-Coulomb ocurre cuando el estado
de esfuerzo, expresado en función de los esfuerzos principales en el plano
y <72, cae sobre o fuera de los límites de la región sombreada de la
figura 4.76. Observemos de paso que el criterio de falla de Mohr-Coulomb
también se llama a veces teoría de la fricción interna.
Ejemplo 4.18 Los esfuerzos en un punto P sobre la superficie de una estructura
hecha de un material frágil son: crx = 12.5 klb/pulg2, cry = —8.7 klb/pulg2, y
rxy = 6.0 klb/pulg2. Si un ensayo de tensión uniaxial del mismo material indica
que la falla se produce a 20 klb/pulg2, y un ensayo uniaxial de compresión lo
indica para 40 klb/pulg2, ¿ocurrirá la falla de acuerdo con el criterio de Hencky-von
Mises?
r(klb/pulg2)
| 8 .7 klb/pulg2
"" 6.0 klb/pulg2
( 2 ) : ( - 8 . 7 , 6 )
12.5 klb/pulg2
C : (1.9, O)1
1 -o-(klb/pulg2)
(T): (12.5, -6.0)
(a) (b)
Figura 4.77 Círculo de Mohr para un estado de esfuerzo
Solución Como se indica en la figura 4.77, los esfuerzos principales obtenidos
con el círculo de Mohr son
(Tmáx,mín 1 2 - 5 - 8 - 7 ¿ t / í 1 2 - 5 : 8 - 7 ! + 62 klb/pulg2
o bien a\ = 14.08 klb/pulg2 y (r2 = -10.28 klb/pulg2. Usando la ecuación de la
teoría de Mohr-Coulomb en el cuarto cuadrante resulta
j r i ít¿_ _ 14.08 _ -10.28
(TIJT (Tve 20 40
de tal manera que la falla no se presentará.
= 0.961 < 1
196 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Por último, debe destacarse que estos criterios de falla sólo
aplicables a materiales isótropos: cada criterio predice la falla o r
el estado de esfuerzo en un punto alcanza un nivel crítico indepen "
de la orientación real del esfuerzo en el punto.
En resumen, el criterio de falla del esfuerzo cortante máximo y
de Hencky-von Mises se usan para materiales dúctiles; general'
se considera que el criterio de Hencky-von Mises predice resul
más consistentes con los experimentos. Para materiales frágiles, el
terio de Mohr-Coulomb suele mostrar una mejor concordancia con
experimentos.
PROBLEMAS
En cada uno de los siguientes estados de esfuerzo plano (cr3 = <r, = 0) recue
que el esfuerzo cortante máximo absoluto está dado por el mayor de los val
|cri — 051/2, ¡021/2, y \<t\ |/2, donde <Tt y er2 son los esfuerzos principales en el pl
4.52 Una muestra de acero se ensaya a cortante puro y se observa que el fenómi
de fluencia se produce cuando el esfuerzo cortante alcanza el valor de 12 klb/pulg1.
¿Para qué valor del esfuerzo esperaría usted la fluencia si la muestra del mismo
material estuviese sometida a un ensayo de tensión uniaxial? Use (a) el criterio
del esfuerzo cortante máximo y (b) el criterio de Hencky-von Mises.
4.53 Unos ensayos uniaxiales de tensión y de compresión en un material isótropo
frágil muestran resistencias de CTVT = 3 klb/pulg2 y cruc = 18 klb/pulg2. En un
punto de un elemento sometido a esfuerzo plano, las componentes de esfuerzo
son (tx = —3 klb/pulg2, <xv = O y rxy = 16 klb/pulg2. Determine si el estado de
esfuerzo satisface el criterio de Mohr-Coulomb.
4.54 Unos ensayos uniaxiales de tensión y compresión en un material isótropo
frágil muestran resistencias de CTUT = 5 klb/pulg2 y cruc = 25 klb/pulg2. En un
punto de un elemento sometido a esfuerzo plano, las componentes de esfuerzo son
ax = <7o klb/pulg2, a-y = 0, y TXy = 4 klb/pulg2. Determine el intervalo de valores
permisibles de cr0 para que se satisfaga el criterio de Mohr-Coulomb.
4.55 El estado de esfuerzo plano en un punto está dado por: crx = 64 MPa,
<TY = —32 MPa y TXY = 20 MPa. Suponiendo que el esfuerzo de fluencia a tensión
es de 200 MPa, determine si la fluencia ocurre de acuerdo con (a) el criterio del
esfuerzo cortante máximo o (b) el criterio de Hencky-von Mises.
4.56 Un acero cuyo esfuerzo de fluencia a tensión es de 400 MPa se somete a
un estado de esfuerzos plano con cry = —160 MPa, y rxy = 90 MPa. Usando el
criterio del esfuerzo cortante máximo, determine si la fluencia ocurre cuando (a)
(rx = 150 MPa, (b) ax = 180 MPa o (c) ax = 210 MPa.
4.57 Repita el problema 4.56 usandoel criterio de Hencky-von Mises.
4.58 Un componente estructural de un material cuyo esfuerzo de fluencia a
tensión es de 40 klb/pulg2 se somete a un estado de esfuerzo plano con ax =
32 klb/pulg2 y cry = 19 klb/pulg2. Usando el criterio del esfuerzo cortante
máximo, determine si la fluencia se presenta cuando (a) rxy = 8 klb/pulg2, (b)
TXY = 16 klb/pulg2 o (c) tXY = 24 klb/pulg2.
4.9 Teorías de falla: criterios de falla 197
4.59 Repita el problema 4.58 usando el criterio de Hencky-von Mises.
4.60 Un material dúctil con ay = 36 klb/pulg2 se somete al estado de esfuerzo
mostrado. Determine si la fluencia se presenta con base en (a) el criterio del
esfuerzo cortante máximo o (b) el criterio de Hencky-von Mises.
4.61 Repita el problema 4.60 para el estado de esfuerzo mostrado con ay =
240 MPa.
4.62 Un material dúctil con ay = 32 klb/pulg2 se somete al estado de esfuerzo
mostrado. Determine el intervalo admisible de az con base en (a) el criterio del
esfuerzo cortante máximo, y (b) el criterio de Hencky-von Mises.
4.63 Repita el problema 4.62 para el estado de esfuerzo mostrado con crY =
210 MPa.
4.64 Un material dúctil con ay = 36 klb/pulg2 se somete al estado de esfuerzo
mostrado. Determine el valor máximo admisible de rxy si no se debe presentar la
fluencia de acuerdo con el criterio del esfuerzo cortante máximo.
P. 4.64 P. 4.65
198 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
4.65 Repita el problema 4.64 con trr = 240 MPa.
4.66 Repita el problema 4.64 usando el criterio de Hencky-von Mises.
4.67 Repita el problema 4.65 usando el criterio de Hencky-von Mises.
4.10 ESFUERZOS DE TRABAJO Y
COEFICIENTE DE SEGURIDAD
Los capítulos 2,3 y 4 se han dedicado a las tres ideas básicas de la mecánica
de sólidos. En los capítulos 5 al 9 estas tres ideas básicas se combinarán a
fin de obtener modelos matemáticos para el análisis de diversos tipos de
estructuras. El modelo matemático, que pretende representar el entorno
y la estructura, es sólo una aproximación del entorno y la estructura reales.
Si pudiésemos crear y resolver un modelo matemático exacto, las predic-
ciones del modelo coincidirían con el comportamiento de la estructura
real correspondiente. En esta situación hipotética, la estructura sería tal
que cuando las cargas se aplicasen, los esfuerzos y las deformaciones en la
estructura real serían exactamente los predichos.
En algunos casos puede ser posible desarrollar un modelo matemático
que represente el problema físico original con gran exactitud: el entorno
y la estructura pueden ser muy sencillos de modo que surjan pocas dudas
acerca del modelo matemático. Sin embargo, es mucho más frecuente
que no sea posible anticipar las cargas con precisión ni que se conozcan
con detalle las propiedades y el comportamiento del material. De hecho,
existen demasiados factores acerca de los cuales nuestro conocimiento no
es profundo, lo que nos impide diseñar una estructura estrictamente basada
en el modelo matemático; o sea, hay una probabilidad muy grande de que
ocurra una falla de uno u otro tipo.
Para reducir esa probabilidad a un nivel aceptable, las cargas que una
estructura sea capaz de soportar realmente deben ser mayores que las
cargas que se impondrán a ella en la situación real. Como se mencionó
en la sección 1.3, la capacidad de una estructura para soportar cargas
se llama resistencia. Así, en términos de resistencia, el diseño de una
estructura debe ser tal que la resistencia última exceda, en alguna medida,
a la resistencia requerida admisible de la estructura para que esta cumpla
su función. La resistencia última se basa comúnmente en el esfuerzo de
fluencia o en el esfuerzo último. La razón de la resistencia última a la
resistencia admisible se llama coeficiente de seguridad y se denota con CS.
. . . resistencia última
coeficiente de seguridad = — : : —. . , , resistencia admisible
El coeficiente de seguridad debe ser obviamente mayor que la unidad.
Dependiendo de muchos detalles de la situación particular considerada,
4.10 Esfuerzos de trabajo y coeficiente de seguridad 199
el coeficiente de seguridad se escoge generalmente entre 1.0 y 5.0 a 10.0.
Observe que en una estructura que consista de múltiples componentes,
el coeficiente de seguridad puede ser en general diferente para cada
componente.
La resistencia de una estructura, o componente de una estructura, se
evalúa a menudo determinando los niveles de esfuerzo en la estructura. Es
costumbre representar el coeficiente de seguridad en términos de esfuerzos
en vez de usar el concepto menos específico de resistencia. Designamos
por esfuerzo último el máximo esfuerzo que un componente estructural
puede soportar. Definimos un esfuerzo de trabajo aw correspondiente
como
Esfuerzo último
= es
El esfuerzo de trabajo se llama también esfuerzo admisible o esfuerzo de
diseño.
Para materiales dúctiles, el esfuerzo último sería el esfuerzo de fluen-
cia aY determinado por el ensayo uniaxial de tensión. El esfuerzo de
trabajo sería entonces
a Y
a w = rs
junto con los criterios del esfuerzo cortante máximo o el de Hencky-von
Mises usados para evaluar la falla empleando aw en vez de aY. Para un
material frágil, el esfuerzo último sería el esfuerzo en la fractura, LT,
determinado mediante el ensayo uniaxial de tensión con el esfuerzo de
trabajo igual a
~ °ÚL.T
El criterio de Mohr-Coulomb se usa para evaluar la falla usando aw en
vez de a^¡LT.
Observe que también es posible expresar cargas últimas y de trabajo
sobre un componente en términos del coeficiente de seguridad como
p _ PÚLT
donde Pw y P^LT son las cargas de trabajo o admisible y última, respecti-
vamente.
Ejemplo 4.19 Para el criterio de falla del esfuerzo cortante máximo, el lugar de
falla con un coeficiente de seguridad CS estaría asociado con el hexágono indicado
en la figura 4.78.
La ecuación de la línea recta en el cuadrante II se puede expresar como
<T2 <T\ _ <7*2 (T\ 1
(ÍTY/CS) ~ (A-Y/CS) ~ ° VY~ VY~ ~CS
200 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Figura 4.78 Hexágono del criterio del esfuerzo
cortante máximo con un coeficiente de seguridad.
y la ecuación en el cuadrante IV como
(T I <T2 _ _1_
iTy cry CS
El hexágono correspondiente con CS = 1 está indicado por líneas discontinuas en
la figura 4.78, donde se ve que el uso del coeficiente de seguridad simplemente
reduce el tamaño del hexágono del esfuerzo cortante máximo.
Como ejemplo específico, considere un estado de esfuerzo plano con erx =
17 klb/pulg2, (TY = - 4 klb/pulg2, y RXY = 6 klb/pulg2. Suponga un material dúctil
con (TY = 40 klb/pulg2. Los esfuerzos principales son
klb/pulg2 = 18.6 klb/pulg2-5.6 klb/pulg2
El coeficiente de seguridad se determina con la ecuación
18.6 _ - 5 ^ _ 1
40 40 ~ F
de donde
CS = 1.65
(TI,2 =
1 7 - 4 17 + 4 + 36
Ejemplo 4.20 Para el criterio de falla de Hencky-von Mises, el lugar de falla
con un coeficiente de seguridad CS estaría asociado con la elipse indicada en la
figura 4.79.
4.10 Esfuerzos de trabajo y coeficiente de seguridad 201
(-1 , ( " y ) ( ° r ) (
a r ) + ( 0 ) ' ) (FS
Figura 4.79 Elipse de Hencky-von Mises con un coeficiente de seguridad
La ecuación de la elipse se p u e d e escribir como
cri
O-y/cs) [CTY/Cs) (o-y/cs) + ( O Y / C S ) 1
o bien
o-i \ I 0"i \ I 02 \ I 0i
Ty J \ctyJ\(TYJ \<ty ) (CS)2
La elipse cor respondien te con CS = 1 se indica con líneas discontinuas en la
figura 4.79, d o n d e se ve que el uso del coeficiente de seguridad reduce el t a m a ñ o
de la elipse sobre la cual se satisface el criterio de Hencky-von Mises.
C o m o e jemplo use el es tado de esfuerzo dado en el e jemplo 4.19, esto es: crx =
17 k lb /pulg 2 , ay = - 4 k lb /pulg 2 , Txy = 6 klb/pulg 2 , 0 , = 18.6 k lb /pulg 2 ,
02 = —5.6 k lb /pulg 2 , y <rY 40 k lb /pulg 2 . El coeficiente de seguridad CS se
de te rmina con la ecuación
18.6 \ 2 / 1 8 . 6 \ ( —5.6\ / —5.6
40 J \ 40 ) \ 40 )\ 40 ) (CS)2
de donde CS = 1.82
Ejemplo 4 .21 E n la figura 4.80 se mues t ra el lugar d e falla pa ra un mater ial
frágil según el criterio de Mohr -Cou lomb con el mismo coeficiente de seguridad
CS para crur y <Juc que consti tuyen la resistencia últ ima de tensión y de compresión,
respect ivamente .
Se indican también las ecuaciones de las líneas que limitan la región som-
breada en el segundo y el cuar to cuadrantes . Además, las líneas discontinuas en la
202 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
Figura 4.80 Criterio de falla de Mohr-Coulomb con un coeficiente de
seguridad
figura 4.80 señalan los límites del d iagrama cor respondiente pa ra CS = 1 y eviden-
cian la reducción en el t amaño de la región cor respondiente a las combinaciones
seguras de los esfuerzos principales en el plano.
Por e jemplo, supongamos que se t iene un mater ial frágil con ctut = 2B
klb/pulg2 y cruc = 40 k lb /pulg 2 somet ido al es tado de esfuerzo plano cr, =
14 klb /pulg 2 , (Ty = - 8 klb/pulg 2 , y rx y = 10 k lb /pulg 2 . Los esfuerzos p r i n c i p a l »
están dados por
k lb /pu lg 2 =17 .9 k l b / p u l g 2 - 1 1 . 9 k lb /pu lg 1
El coeficiente de seguridad se de te rmina con
17.9 _ - 1 1 . 9 _ J _
20 40 ~ CS
de donde CS = 0.84, lo que implica la falla ya que CS < 1.0.
(T 1.2 = + 102
Hay muchas situaciones por considerar que influyen en el valor del
coeficiente de seguridad que se usará. Entre éstas se encuentran: el o
los modos de falla que se prevén, el grado de confianza en el modelo
matemático usado en el diseño, y los muchos aspectos que intervienen en
el proceso de fabricación de una estructura o de sus componentes.
El modo de falla de un componente particular de la estructura puede
ser repentino (sin aviso previo) o gradual. Si falla un componente de una
estructura, puede ser posible que se presente una redistribución interna
de las cargas y que la estructura continúe funcionando. Por otra parte, la
4.10 Esfuerzos de trabajo y coeficiente de seguridad 203
falla de un solo componente puede tener como consecuencia la falla de
toda la estructura. En el primer caso, el coeficiente de seguridad podría
ser menor que en el segundo.
Existen muchas incógnitas en el modelo matemático. Los datos o
cargas pueden ser de naturaleza estática o dinámica. Las cargas dinámicas
a menudo se definen con menor precisión que las estáticas. La naturaleza
real de los materiales usados es tal que las propiedades de flexibilidad y
resistencia se deben considerar variables en alguna medida. En modelos
sencillos hay generalmente un mayor grado de aproximación en relación
con el proceso de convertir el modelo físico en el modelo matemático
que en el caso de modelos más complejos. Por otra parte, un modelo
matemático complejo puede requerir un análisis aproximado.
Para crear realmente la estructura o dispositivo en forma adecuada
para ensayos o uso práctico, los resultados del análisis y diseño se deben
trasladai; de la mesa de dibujo a la configuración real por medio de una se-
cuencia de procesos de fabricación y montaje. El proceso de fabricación o
montaje incluye generalmente muchos pasos, cada uno de los cuales puede
dar como resultado una ligera desviación de la estructura que fue presu-
puesta en el modelo matemático. Estas desviaciones pueden tener su ori-
gen en diversas fuentes, incluidas la mala interpretación de los planos, una
mano de obra deficiente, un error en la producción de componentes con
las tolerancias geométricas especificadas y un procesamiento incorrecto
de los materiales. Todas estas desviaciones introducen esencialmente un
mayor número de incógnitas en el proceso de análisis y diseño.
En el análisis final sucede a menudo que el coeficiente de seguridad es
escogido por un ingeniero experimentado, o por un grupo de ingenieros,
después de una considerable evaluación de toda la información disponible
acerca del modelo físico y matemático, así como de las experiencias previas
en el área. J S .
PROBLEMAS
4.68 U n a bar ra de acero estructural con d iámetro de 0.5 pulg transmite una carga
de tensión de 3200 lbf. Si <tk = 24 klb/pulg 2 , de te rmine el coeficiente de seguridad
con respecto a la falla por fluencia usando (a) el criterio del esfuerzo cor tante
máximo, y (b) el criterio de Hencky-von Mises.
4.69 La bar ra rígida mos t rada está sopor tada por un pasador y un rodillo en A y
B. Si los pasadores , con d iámetro de 0.75 pulg, están hechos de un acero con un
esfuerzo de fluencia a tensión de 30 klb/pulg2 , ¿cuál es la carga P admisible si el
coeficiente de seguridad con respecto a la fluencia en los pasadores debe ser igual
a 2.0? Tome a = 1 pie, b — 2 pies, y suponga que los pasadores t rabajan a cor tante
doble.
4.70 Se mues t ra una barra que une un cable a t ierra. La carga transmitida por
el cable es de 120 kilolibras. De te rmine la longitud mínima que la barra debe
P. 4.69
120 klb
d i á m e t r o
5 / X p u l g
P. 4.70
204 Capítulo 4 Comportamiento y propiedades de los materiales
120 lbf
P. 4.71
empotrarse en la base de concreto para que resulte un coeficiente de seguridad de
2.5 respecto al esfuerzo cortante último de 600 lbf/pulg2 entre la barra y el concreto.
4.71 Sobre la estructura articulada conectada por pasadores de cortante doble ea
A, B y C actúa una carga de 1200 lbf como se muestra. Los pasadores con diámeti»
de 5/8 pulg son capaces de resistir un esfuerzo cortante medio de 15 klb/pulg1
en cortante doble. ¿Cuál es el coeficiente de seguridad respecto a la falla por
cortante para el pasador en B? Use el criterio del esfuerzo cortante máximo.
Tome a = b = c = 2 pies.
4.72 Dos barras están conectadas por placas de empalme como se muestra ea
la figura. Los remaches, con diámetro de 0.5 pulg, entran en estado de fluen
cuando el esfuerzo cortante medio alcanza el valor de 18 klb/pulg2. El esfuer
de aplastamiento crítico entre los remaches y la placa es de 16 klb/pulg2 y d j
esfuerzo último en tensión para las placas es de 24 klb/pulg2. Usando el criterio
del esfuerzo cortante máximo, determine la carga máxima P que la junta puede
transmitir si el coeficiente de seguridad con respecto a todo tipo de falla es de 25.
Considere que el factor de concentración de esfuerzos para los esfuerzos de tenstóa
en los agujeros es de 2.5. ¿Cuál de los esfuerzos es crítico? Tome t = 0.5 pulg y
2 pulg para el ancho de cada placa. Desprecie la fricción entre las placas.
300 kN
P. 4.73
j ^ 0.9 m |
J
P. 4.74
P. 4.72
4.73 Una pieza corta de tubo hecha de un material cuyo esfuerzo de fluencia a la
tensión es de 280 MPa debe transmitir una carga de 1.5 MN con un coeficiente de
seguridad para una fluencia de 2.2. Si el espesor de la pared del tubo es de 15 mm,
¿cuál debe ser su diámetro exterior? Use el criterio de Hencky-von Mises.
4.74 Una junta T en una tubería de alta presión tiene una tapa circular conectada
por 6 pernos de 25 mm de diámetro de alta resistencia (cr¿,LT = 1400 MPa), como
se muestra en la figura. Si la presión en la tubería es de 5.0 MPa, determine el
coeficiente de seguridad con respecto a la fractura de los pernos usando el criterio
de Mohr-Coulomb.
4.11 CONCLUSIÓN
Los tres ingredientes básicos de la mecánica de sólidos son el equilibrio,
la deformación y el comportamiento del material. Una teoría válida
se basa en la apropiada combinación de esos tres ingredientes básicos
para una geometría y tipo de carga particulares. Es necesario considerar
el comportamiento del material para proporcionar un eslabón de unión
4.11 Conclusión 205
entre las variables de fuerza y de desplazamiento. La consideración del
comportamiento del material es necesaria para determinar la información
necesaria sobre la forma de la relación entre las variables de fuerza y de
desplazamiento (elástica, lineal, independiente del tiempo, etc.) y los
valores de las constantes del material (constantes elásticas, esfuerzos de
fluencia yúltimo, etc.). La investigación del comportamiento del material
indica que el comportamiento es local desde el punto de vista de que para
la mayoría de los materiales, suele haber un intervalo restringido de valores
para el esfuerzo y la deformación unitaria en que la relación es lineal.
La investigación del comportamiento del material proporciona la
conexión entre las variables de fuerza y de desplazamiento a partir de
consideraciones de equilibrio y de deformación, respectivamente. Los
experimentos o ensayos propiamente concebidos y ejecutados pueden
proporcionar tanto la información cualitativa necesaria para decidir sobre
la forma del modelo matemático como la información cuantitativa sobre los
valores de las constantes que aparecen en las relaciones constitutivas.
Otras constantes determinadas en experimentos efectuados en materiales
de ingeniería sirven como límites a las variables de fuerza y desplazamiento
v a d a s en las teorías de falla.
Las teorías que resultan de la combinación de los tres ingredientes
ifeicos son sólo una parte del proceso de diseño global. Las teorías sirven
para generar un modelo matemático que sirve como herramienta en la
fase de análisis del proceso. El proceso global de diseño implica también
l t evaluación de la falla y la protección contra ésta. Por lo general, la
falla se juzga con base en los llamados criterios de falla. Estos criterios
wt basan en una combinación de experiencia y resultados experimentales
y constituyen una parte indispensable del proceso de diseño. Además de
estas componentes más o menos racionales del proceso de diseño, con
frecuencia es necesario emplear coeficientes de seguridad para tomar en
menta las muchas incógnitas asociadas con el análisis, diseño y fabricación
de una estructura o de un componente estructural.
CAPÍTULO 5 Deformaciones axiales
ÍNDICE DEL CAPÍTULO
5.1 Introducción
5.2 Equilibrio, deformación y comportamiento del material
5.3 Soluciones clásicas
5.4 Problemas estáticamente indeterminados
5.4.1 Formulaciones de flexibilidad
5.4.2 Formulaciones de rigidez
5.5 Excepciones de la teoría
5.5.1 Concentraciones de esfuerzos
5.5.2| Carga
5.5.31 Comportamiento inelástico
5.6 Carga dinámica
5.7 Conclusión
206
5.1 INTRODUCCIÓN
El propósito principal de una estructura o parte de ella es, en muchos
casos prácticos, transmitir o ayudar a transmitir una única fuerza a lo largo
del eje de la estructura. Ejemplos de estos casos son: el puntal de una
avioneta, una estructura articulada sencilla y el cable de un elevador; todo
esto se muestra en la figura 5.1.
Puntal
(a) (b)
Figura 5.1 Ejemplos de e lementos que transmiten una fuerza axial
w
(c)
Los elementos implicados se llaman elementos axiales: las fuerzas
que ellos transmiten están dirigidas a lo largo del eje del elemento. Por
elemento axial queremos decir lo siguiente:
1. El elemento es recto y no está torcido: tiene la misma sección trans-
versal, por ejemplo circular o rectangular, en todos los puntos a lo largo
de su longitud.
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
2. El área de la sección transversal de la barra es constante o varía poco
a poco respecto a la distancia medida a lo largo de su longitud.
En la figura 5.2 se muestra un elemento típico que satisface esas condicio-
nes.
En este capítulo consideraremos en detalle los dos problemas funda-
mentales de la mecánica de sólidos, la resistencia y la rigidez, así como
^ H V ^ ^ ^ ^ ^ e ' desarrollo y combinación de las tres ideas básicas, el equilibrio, la de-
___ H F ^ f c t formación y el comportamiento del material, en la medida en que éstas
flM se relacionan con el problema de la deformación axial. Se tratarán ade-
n^'"1' I más consideraciones prácticas que se desprenden de algunas importantes
n / ^ ^ ^ excepciones de la teoría de la deformación axial.
Sección transversal idéntica Debe recordarse que las condiciones (restricciones) sobre la geome-
Figura 5.2 Geometría de un elemento tría de la barra son una parte necesaria de la teoría: si las condiciones
axial típico geométricas no se satisfacen, la teoría no se puede considerar válida.
5.2 EQUILIBRIO, DEFORMACIÓN Y COMPORTAMIENTO
DEL MATERIAL
Las ideas básicas por usar en el análisis de cualquier problema de mecánica
de sólidos son el equilibrio, la deformación y el comportamiento del mate-
rial. Las ecuaciones que resultan de cada una de esas tres consideraciones
se combinan posteriormente para establecer las ecuaciones que rigen en
la teoría.
Fuerzas de
superficie
Fuerzas de cuerpo
(a)
<7«
(b)
Figura 5.3 Fuerzas externas en un
elemento axial típico
Equilibrio Consideremos un elemento axial típico como el mostrado en
la figura 5.3. Tomaremos el eje x como eje de la barra.
Como se mencionó en la sección 2.2, cualesquier fuerzas externas
son fuerzas de cuerpo o bien fuerzas de superficie. Se supondrá que
las fuerzas de superficie actúan como esfuerzos cortantes paralelos a la
superficie lateral o como esfuerzos normales perpendiculares a las caras
en los extremos de la barra, como se indica en la figura 5.3a. Se supondrá
que las fuerzas de cuerpo actúan sólo en la dirección del eje de la barra.
Se supone, además, que el efecto de todas las fuerzas exteriores equivale
a una carga distribuida q(x), como se indica en la figura 5.3b. La línea de
acción de q(x) es, por supuesto, paralela al eje de la barra. Observe que
q(x) es una carga por unidad de longitud a lo largo de la barra y tiene las
dimensiones [q] = FL-1.
Cualquier carga externa debe ser tal que la línea de acción de la
fuerza interna P pase por el centroide de la sección transversal en
cualquier posición a lo largo de la longitud de la barra.
5.2 Equilibrio, deformación y comportamiento del material
La figura 5.4a muestra un elemento axial típico en equilibrio bajo la
acción de las fuerzas en los extremos, P\ y Pi, y la carga distribuida q{x).
Sobre la sección típica AA, marcada en la figura 5.4a, actuará la fuerza
interna P transmitida como se muestra en la figura 5.4b.
Suponiendo que P\ y q son conocidas, el diagrama de cuerpo libre
mostrado en la figura 5.4b se usa para establecer el equilibrio y determinar
P. Como se indica, la distribución del esfuerzo normal crx debe ser
estáticamente equivalente a la fuerza interna P de acuerdo con
L <rxdA Área
Si se supone crx uniforme (p. ej., crx = a), esta ecuación se puede expresar
como
P = ítA O (T = -a (5.1)
rí.
que es también el valor medio del esfuerzo normal sobre la cara expuesta.
Si crx no fuera uniforme, el valor máximo excedería el valor medio. En
la sección 5.5 se analizan varios casos de importancia técnica en los que
las distribuciones de esfuerzos normales en elementos axiales no son
uniformes, o sea, que el esfuerzo medio a = P/A no refleja con precisión
la distribución de los esfuerzos normales que actúan sobre una sección
transversal.
Una de las principales metas del estudio del equilibrio es determinar
la fuerza interna P en función de las cargas externas. A este respecto,
consideremos un diagrama de cuerpo libre de un segmento A* de la barra,
como se indica en la figura 5.5. La fuerza resultante P y la posible fuerza
resultante diferente P + AP se indican sobre las caras izquierda y derecha,
respectivamente. Note que se supone que el cambio en la fuerza interna
positiva P tiene lugar en la dirección positiva de la coordenada. La única
ecuación de equilibrio es
Fx = -P + q{x")Ax + P + AP = 0
donde q{x*) indica el valor de q en un punto x* del elemento diferencial,
tal que q(x*)Ax es numéricamente igual a la carga total causada por la
carga externa q(x) sobre el elemento. Cancelando términos semejantes,
dividiendo entre Ax y haciendo que Ax tienda a cero en la ecuación de
equlibrio, se obtiene
f + í W = 0
o bien
P' + q = 0 (5.2)
209
A
(b)
Figura 5.4 Fuerza interna y esfuerzos en
una sección interior
Figura 5.5 Diagrama de cuerpo libre de
un elementodiferencial de la barra
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
como ecuación de equilibrio para el problema axial. La ecuación (5.2)
relaciona la fuerza interna P con la carga exterior q{x), y junto con la
ecuación (5.1), o sea, P = aA, constituye la idea básica del equilibrio en
la teoría de la deformación axial.
Deformación Supondremos, como se indica en la figura 5.6, que la
deformación axial tiene lugar como una simple traslación de cualquier
sección transversal particular.
r No deformada
traslación: u(x)
Deformada
Figura 5.6 Deformación axial como traslación de
una sección transversal particular
En la sección 3.2 desarrollamos la relación deformación unitaria-
desplazamiento para este tipo de deformación como
du
dx
(5.3)
donde sx es la deformación unitaria longitudinal y u(x) es el desplaza-
miento axial.
Observe que las ecuaciones (5.1) y (5.2) relacionan las incógnitas P
y crx, y que la ecuación (5.3) relaciona las incógnitas ex y u. No sólo
hay tres ecuaciones para las cuatro incógnitas, P, crx, ex y u, sino que
las variables de fuerza P y ax están contenidas en las ecuaciones (5.1) y
(5.2), y las variables de desplazamiento están presentes sólo en la
ecuación (5.3), lo que hace imposible relacionar las variables de fuerza con
las variables de desplazamiento. Necesitamos considerar la idea básica del
comportamiento del material, que relaciona el esfuerzo con la deformación
unitaria, para soslayar la separación entre las variables de fuerza y de
desplazamiento.
Comportamiento del material Supondremos que la barra está com-
puesta por un material elástico que trabaja en el intervalo lineal, de ma-
nera que la relación entre el esfuerzo crx y la deformación unitaria ex está
dada por
5.2 Equilibrio, deformación y comportamiento del material 234
= (5.4)
donde el cambio de temperatura AT se supone conocido. Se tienen ahora
cuatro ecuaciones para obtener las cuatro variables. Estas ecuaciones se
pueden combinar a fin de establecer una teoría racional para el problema
de la deformación axial.
Combinación El primer paso es eliminar la deformación unitaria entre
las ecuaciones (5.3) y (5.4) para obtener
ax = E(u' — aT)
La ecuación (5.1) se usa entonces para escribir
/> = ACTX = AE(U' - aT) ( 5 . 5 )
La ecuación (5.5), que relaciona P, la fuerza transmitida, con el término
u' - aT, se denomina relación fuerza-desplazamiento. Dada P(x), la
ecuación (5.5) se integra para determinar el desplazamiento u(x). El
último paso para combinar las variables es sustituir la relación fuerza-
desplazamiento en la ecuación de equilibrio [Ec. (5.2)] para obtener
[AE(u' - aT)] ' + q = 0 (5.6)
como ecuación de equilibrio expresada en términos del desplazamiento
u(x).
Las dos constantes que resultan al integrar la ecuación (5.6) se deter-
minan a partir de dos condiciones de frontera, una en cada extremo de la
barra. Condiciones apropiadas en una frontera son
(a) el desplazamiento u en una frontera
o
(b) la fuerza P = AE(u' — aT) en una frontera.
En las secciones que siguen se dan varios ejemplos de la aplicación de las
condiciones de frontera.
El uso de la ecuación de equilibrio [AE(u' - aT)]' + q = 0 supone
que todas las condiciones relativas a la geometría de la barra, la carga y el
comportamiento del material se satisfacen. Si alguna de estas hipótesis no
se satisficiera, no cabría esperar que los resultados para los esfuerzos y los
desplazamientos, obtenidos al resolver la ecuación de equilibrio y verificar
las condiciones de frontera, concordaran bien con los valores reales del
correspondiente problema físico.
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
PROBLEMAS
5.1 U n a barra con sección transversal rectangular está fabricada con dos mate-
riales cuyos módulos son E\ y £ 2 como se muest ra en la figura. Suponiendo que
u = u(x), use los principios básicos de la estática para demost rar que pa ra que no
haya flexión a l rededor del eje z, la línea de acción de la carga P debe estar dada por
y = (A\E\y\ + A2Eiy2)/{A\E\ + A2E2), y los esfuerzos en las dos bar ras deben
ser <7-1 = PE\/{AiE\ + A2E2) y <75 = PE2¡{A\E\ + AiE2). Demues t r e también
que el a largamiento de la bar ra está dado por A = PL/(A\E\ + A2E2).
P. 5.1
P. 5.2
5.2 Dos barras, una de acero y ot ra de aluminio, están unidas como se muestra .
De te rmine la línea de acción de la carga axial P para que no exista flexión.
Si los esfuerzos admisibles en el acero y en el aluminio son de 20 klb/pulg2 y
14 klb/pulg2 , respectivamente, de te rmine (a) la carga axial P máxima admisible
y (b) el a largamiento de la barra. (Sugerencia: Consul te el Problema 5.1.)
5.3 U n a barra de sección transversal rectangular está fabr icada con un material
cuyo módulo de Young se puede expresar como E(y) -•••= E¡ + £->>', como se muest ra
en la figura. Suponiendo que u = u(x), use los principios básicos de la estática para
demost rar que a fin de que no haya flexión a l rededor del eje z, la línea de acción
de la carga P debe estar dada por y = h(E\/2 + hEi/3)/(Ei + hE2¡2), y que el
esfuerzo en la bar ra debe ser a = P(E\ + yE2)/[bh(Ei + hE2/2)]. Demues t r e
también que el a largamiento de la bar ra está dado por A = PL/[bh(Ei + hE2/2)],
donde L es la longitud de la barra.
E= E2
5.4 U n a barra con una constante elástica E variable como se mues t ra en la figura,
va a ser cargada sin que aparezca flexión. De te rmine (a) la posición de la línea
5.3 Soluciones clásicas
E = 60 GPa
E = 40 GPa
-200 mm —
P. 5.4
de acción de la carga P, (b) la carga máxima P si el esfuerzo no debe exceder de
120 MPa, y (c) el alargamiento de la barra. Tome b = 20 milímetros. (Sugerencia:
Véase el Problema 5.3)
5.5 Dé un argumento que demuestre que el resultado <rx — constante, con todos
los demás esfuerzos nulos, pero no puede ser cierto cuando se tiene un cambio
brusco en la sección transversal como se muestra en la figura. (Sugerencia: Dibuje
un diagrama de cuerpo libre en el cual se incluya una porción de la barra que
contenga el cambio brusco del área transversal.)
5.6 Repita el problema 5.5 para la figura mostrada.
D
I
a
P. 5.6
5.7 Integre la ecuación de equilibrio P' + q = 0 entre x = x\ y x = xi, e interprete
el resultado con base en un diagrama de cuerpo libre de la barra entre x = x\ y
x = XI.
5.8 Integre la ecuación de equilibrio P' + q = 0 entrex = Oy x = L, e interprete
el resultado con base en un diagrama de cuerpo libre de la barra entre x = 0 y
x = L.
5.9 Demuestre que si se supone que u, la componente axial de desplazamiento,
depende sólo de x y que los momentos alrededor de los ejes yyz son nulos, se puede
inferir que la línea de acción de P, que es la carga axial transmitida, debe pasar por
el centroide. (La característica principal de este problema es que el resultado no
tiene que suponerse sino que se puede inferir.)
5.3 SOLUCIONES CLÁSICAS
En esta sección aplicaremos la teoría de la deformación axial desarrollada
en la sección 5.2 a diversos problemas técnicos importantes. Como se dijo
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
en la introducción, éstos incluyen el puntal de una avioneta, una estructura
articulada sencilla y el cable de un elevador. Hay varias soluciones clásicas
relativas a las deformaciones axiales que son importantes por el hecho de
que muchos problemas se pueden modelar de manera que esas soluciones
clásicas se pueden usar como parte de la solución.
Figura 5.7 Barra sometida a una fuerza F
Ejemplo 5.1 Consideremos el p rob lema de una barra un i fo rme con AT = 0,
sobre la que actúa una sola carga F como se muest ra en la figura 5.7. De te rmine
la fuerza P(x) t ransmitida a lo largo de la bar ra y el desplazamiento u(x).
Solución El t ipo de apoyo a la izquierda de la figura indica que ahí no existe
desplazamiento, esto es, la condición de f ron te ra en x = 0 es «(0) = 0. E n el
extremo derecho, x = L, el desplazamiento no está impedido; así, la condiciónde
f ron te ra apropiada debe tener que ver con la fuerza, o sea,
AEu'(L) = P(L) = F
Para determinar la fuerza interna transmitida como función de la posición
a lo largo de la barra , d ibujamos un diagrama de cuerpo libre de un t r amo de la
barra, como se muest ra en la figura 5.8.
i DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 5.8 Diagrama de cuerpo libre
de un tramo de la barra
Por condiciones de equilibrio se requiere que
J2F* = ~p(x) + F = 0
o bien
P{x) = F = constante (a)
El esfuerzo medio se puede calcular como a = F/A y usarse en la evaluación de
la resistencia de la barra.
Para de terminar los desplazamientos se usa la relación fuerza-desplazamiento
AEu' = P. Con P(x) = F, resulta AEu = F, que integrada da
AEu = Fx + C
La constante C\ se evalúa haciendo x = 0 en ambos lados de la ecuación y usando
la condición de f ron te ra m(0) = 0, esto es,
AEu{ 0) = A £ ( 0 ) = F ( 0) + CI
5.3 Soluciones clásicas 215
de d o n d e C\ = 0 y
«M = Ü (*)
Los resul tados pa ra P{x), la fuerza transmitida, y para u(x), el desplazamiento,
están dados p o r las ecuaciones (a) y (b) respectivamente, como se muest ra en la
figura 5.9. N o t e que la pendien te de la curva u(x) versus (x) es proporcional a
la o r d e n a d a de la curva P{x) versus (x), o sea, u'(x) = P(x)/AE. Esto puede ser
muy útil al d ibujar la curva u(x) par t iendo de lá curva P(x).
Figura 5.9 Fuerza interna P y desplazamiento
u en una barra uniforme axialmente cargada
C o m o se indica en la figura, el desplazamiento en x = L es el a largamiento
total A dado p o r
A = — = F = - ( \
AE (AE/L) k (C)
d o n d e k = AE/L se l lama rigidez axial de la barra . D e hecho, las dimensiones
de k revelan que [k\ = FL~l. Es to significa que k = AE/L t iene las mismas
dimensiones que la constante ordinaria de resor te en la ecuación para un resorte
lineal, F = kx. Respec to a esto, la ecuación (c) se puede escribir como
F = ( ^ ) A = *A (d)
Éste es uno de los resul tados más útiles y básicos de la mecánica de sólidos; es decir,
una ba r ra lineal elástica de sección transversal constante que su f re una deformación
axial ba jo la acción de una sola fuerza axial F, se compor ta como un resor te lineal,
o sea, F = k A, con la cons tante del resor te dada por k = AE/L, como se mues t ra
en la figura 5.10.
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
Se puede también demostrar que para una constante de resorte conveniente-
mente definida, una barra elástica lineal de sección variable cargada por una sola
fuerza F se puede considerar como un resorte lineal. Respecto a esto, el estudiante
debe tratar de resolver los problemas propuestos al final de esta sección.
Una segunda aproximación a este problema es la siguiente: con q = AT = 0,
la ecuación de equilibrio y las condiciones de frontera se pueden escribir como
(AEu')' = P' = 0
«(0) = 0
AEu'(L) = F
Integrando la ecuación de equilibrio se obtiene
AEu' = P = Ci
Usamos la condición de frontera en x = L para evaluar Ci según
AEu'(L) = Ci = F
de donde Ci = F. La ecuación (a) se puede escribir entonces como
AEu' (x) = P = F (e)
estableciendo que P, la fuerza interna transmitida, es en todas partes igual a F,
la fuerza aplicada en el extremo de la barra. Observe que ésta es precisamente la
misma conclusión obtenida al dibujar un diagrama de cuerpo libre de una porción
de la barra en la primera aproximación a este problema. Observe también que
para este problema estáticamente determinado, después de una integración de la
ecuación de equilibrio o, de manera equivalente, después de dibujar el diagrama
de cuerpo libre apropiado, P(x) es conocida y se puede evaluar la resistencia
calculando a = P/A. La determinación de los desplazamientos usando la ecuación
(e) se lleva a cabo exactamente igual que en la primera aproximación.
Ejemplo 5.2 El alargamiento de una barra segmentada como la mostrada en
la figura 5.11a, sobre la que actúa una sola carga axial Po, se puede determinar
fácilmente usando los resultados del ejemplo (5.1).
5.3 Soluciones clásicas 217
l _ r ~ m i
^ - j & s d r
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
(d) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 5.11 Alargamiento de una barra segmentada
Con referencia a las figuras 5.1 Ib, c y d, se ve que la fuerza interna transmitida
por cada segmento de la barra es igual a la carga PQ. Usando los resultados del
ejemplo 5.1, el alargamiento correspondiente e¡ de cada segmento está dado por
POL¡
e¡ = T I F A¡E¡
y el alargamiento total de la barra por
i= 1
Las curvas P(x) y u(x) se muestran en la figura 5.12.
P(x)
Figura 5.12 Fuerza transmitida y desplazamiento
en una barra segmentada
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
Ejemplo 5.3 Consideremos el problema de tres barras uniformes de aluminio
cargadas mediante tres cargas axiales en los puntos en que las barras se conectan,
como se muestra en la figura 5.13.
5 klb ID klb
— A-. — A-.
-«-22 pulg —
(a)
— A-.
•
| ~ 2 0 p u l g ~ -«-22 pulg —
(a)
14 pulg
klb
P(x)
P{x) klb
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
P «
• 10 klb
klb
(c) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
5 klb 10 klh| I s k l b
(d) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 5.13 Carga de una barra segmentada
P(klb)
Figura 5.14 Fuerzas internas y desplazamientos en
una barra segmentada
Con referencia a los diagramas de cuerpo libre mostrados en las figuras 5.13b,
c y d, el equilibrio se usa para determinar que la fuerza interna en cada uno de
los segmentos es 8 klb, —2 klb, y 3 klb, respectivamente, como se muestra en la
5.3 Soluciones clásicas 219
figura5.14. ConAi = 3pulg2,A2 = lpulg2,yA3 = 2 pulg2, los valores respectivos
de u' = P/AE son 10"4, - 2 x 10"4, y 4 x 1(T4.
Los va)ores e\, y «3 mostrados en la figura 5.14 son los alargamientos
individuales de los tres segmentos calculados utilizando la fórmula e¡ = P¡/k¡,
esto es,
(3 k)(20 pulg)
(3 pulg2)(107 lbf/pulg2)
(~2k) (22pulg)
(1 pulg2)(107 lbf/pulg2)
e¡ = ^ 2 n „ ' , = 00020 puig
= \ , , , , = -0.0044 Puig
(8 k)(14 pulg) =
(2 pulg )(107 lbf/pulg2)
El alargamiento total de la barra es la suma de esos alargamientos; así, A = u(L) =
ei + e2 + e3 = 0.0032 pulgadas.
Ejemplo 5.4 Consideremos el problema de una barra uniforme que cuelga
sometida a su propio peso como se muestra en la figura 5.15a. Determine la fuerza
transmitida y su desplazamiento. La densidad del material es p y el correspondiente
peso específico es entonces pg.
Solución 1 Dibuje un diagrama de cuerpo libre de un tramo de la barra como
se muestra en la figura 5.15b; por equilibrio se requiere que
P(x) = Apg(L - x ) = AEu(x)
Observe que esta ecuación satisface la condición de frontera P(L) = 0 mostrada
en la figura 5.15a. Observe también que es posible evaluar la resistencia en este
momento calculando
p
o- = j = Pg{L ~ x)
El esfuerzo máximo ocurre en x = 0 y es crmáx = pgL.
Eliminando A en la ecuación (a) e integrando se obtiene
u(x) =
(pg/E)(L-x?
+ Ci
Satisfacer la condición de frontera k(0) = 0 implica que
(Pg/E)(L)2
de donde Ci = pgL2/2E y
0 =
u(x) =
+ Ci
Pg T X
LX~ 2
• * ••
A, E, p
L-x
(a)
P(x)
i ' w = pg • Vol = Apg(L - x)
(b)
(b) DCL (Diagrama de cuerpo libre)
Figura 5.15 Barra colgando sometida a su
propio peso
249
Capítulo 6 Deformaciones por torsión
Figura 5.16 Fuerza transmitida y desplazamiento
Según la ecuación (b) el alargamiento de la barra está dado por u(L) = pgL2/2E.
La fuerza transmitida (P = AEu') y el desplazamiento están trazados en la
figura 5.16. Observe que la pendiente de la curva de u en función de x es cero
en x = L, lo que implica que no se transmite carga (P = AEu') en ese punto.
A*
TT I I
ApgAx = qtíx
Figura 5.17 Diagrama de cuerpo libre de
un tramo de la barra
Solución 2 Para esta aproximación usaremos la ecuación de equilibrio (5.6)
como punto de partida. Para determinar la carga externa q{x) es conveniente
dibujar un diagrama de cuerpo libre