Recapitulación de la Física básica

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Factores de conversión
Masa 1 g � 10�3 kg
1 kg � 103 g
1 u � 1.66 � 10�24 g � 1.66 � 10�27 kg
1 tonelada métrica � 1000 kg
Longitud 1 nm � 10�9 m
1 cm � 10�2 m � 0.394 pulg
1 m � 10�3 km � 3.28 ft � 39.4 pulg
1 km � 103 m � 0.621 mi
1 pulg � 2.54 cm � 2.54 � 10�2 m
1 ft � 0.305 m � 30.5 cm
1 mi � 5280 ft � 1609 m � 1.609 km
Área 1 cm2 � 10�4 m2 � 0.1550 pulg2
� 1.08 � 10�3 ft2
1 m2 � 104 cm2 � 10.76 ft2 � 1550 pulg2
1 pulg2 � 6.94 � 10�3 ft 2 � 6.45 cm2
� 6.45 � 10�4 m2
1 ft2 � 144 pulg2 � 9.29 � 10�2 m2 � 929 cm2
Volumen 1 cm3 � 10�6 m3 � 3.53 � 10�5 ft 3
� 6.10 � 10�2 pulg3
1 m3 � 106 cm3 � 103 L � 35.3 ft 3
� 6.10 � 104 pulg3 � 264 gal
1 litro � 103 cm3 � 10�3 m3 � 1.056 ct
� 0.264 gal = 0.035 3 ft3
1 pulg3 � 5.79 � 10�4 ft 3 � 16.4 cm3
� 1.64 � 10�5 m3
1 ft3 � 1728 pulg3 � 7.48 gal � 0.0283 m3
� 28.3 L
1 ct � 2 pt � 946 cm3 � 0.946 L
1 gal � 4 ct � 231 pulg3 � 0.134 ft3 � 3.785 L
Tiempo 1 h � 60 min � 3600 s
1 día � 24 h � 1440 min � 8.64 � 104 s
1 año � 365 días � 8.76 � 103 h
� 5.26 � 105 min � 3.16 � 107 s
Ángulo 1 rad � 57.3°
1° � 0.0175 rad 60° � p�3 rad
15° � p�12 rad 90° � p�2 rad
30° � p�6 rad 180° � p rad
45° � p�4 rad 360° � 2p rad
1 rev�min � (p�30) rad�s � 0.1047 rad�s
Rapidez 1 m�s � 3.60 km�h � 3.28 ft�s
� 2.24 mi�h
1 km�h � 0.278 m�s � 0.621 mi�h
� 0.911 ft�s
1 ft�s � 0.682 mi�h � 0.305 m�s
� 1.10 km�h
1 mi�h � 1.467 ft�s � 1.609 km�h
� 0.447 m�s
60 mi�h � 88 ft�s
Fuerza 1 N � 0.225 lb
1 lb � 4.45 N
Peso equivalente de una masa de 1 kg en
la superficie terrestre � 2.2 lb � 9.8 N
Presión 1 Pa (N�m2 ) � 1.45 � 10�4 lb�pulg2
� 7.5 � 10�3 torr (mm Hg)
1 torr (mm Hg) � 133 Pa (N�m2 )
� 0.02 lb�pulg2
1 atm � 14.7 lb�pulg2 � 1.013 � 105 N�m2
� 30 pulg Hg � 76 cm Hg
1 lb�pulg2 � 6.90 � 103 Pa (N�m2 )
1 bar � 105 Pa
1 milibar � 102 Pa
Energía 1 J � 0.738 ft�lb � 0.239 cal
� 9.48 � 10�4 Btu � 6.24 � 1018 eV
1 kcal � 4186 J � 3.968 Btu
1 Btu � 1055 J � 778 ft�lb � 0.252 kcal
1 cal � 4.186 J � 3.97 � 10�3 Btu
� 3.09 ft�lb
1 ft�lb � 1.36 J � 1.29 � 10�3 Btu
1 eV � 1.60 � 10�19 J
1 kWh � 3.6 � 106 J
Potencia 1 W � 0.738 ft�lb�s � 1.34 � 10�3 hp
� 3.41 Btu�h
1 ft�lb�s � 1.36 W � 1.82 � 10�3 hp
1 hp � 550 ft�lb�s � 745.7 W
� 2545 Btu�h
Equivalentes 1 u � 1.66 � 10�27 kg 4 931.5 MeV
masa-energía 1 masa de electrón � 9.11 � 10�31 kg
� 5.49 � 10 �4 u 4 0.511 MeV
1 masa de protón � 1.672 62 � 10�27 kg
� 1.007 276 u 4 938.27 MeV
1 masa de neutrón � 1.674 93 � 10�27 kg
� 1.008 665 u 4 939.57 MeV
Temperatura T
F
� T
C
� 32
T
C
� (T
F
� 32)
T
K
� T
C
� 273
Fuerza cgs 1 dina � 10 �5 N � 2.25 � 10 �6 lb
Energía cgs 1 erg � 10�7 J � 7.38 � 10�6 ft�lb
5
9
9
5
contenido abreviado
viii
Prefacio XIX
Parte Uno: Mecánica
1 Medición y resolución de problemas 1
2 Cinemática: descripción del movimiento 32
3 Movimiento en dos dimensiones 67
4 Fuerza y movimiento 103
5 Trabajo y energía 140
6 Cantidad de movimiento lineal 
y choques 177
7 Movimiento circular y gravitacional 216
8 Movimiento rotacional y equilibrio 256
9 Sólidos y fluidos 297
Parte Dos: Termodinámica
10 Temperatura y teoría cinética 338
11 Calor 367
12 Termodínamica 397
Parte Tres: Oscilaciones y movimiento
ondulatorio
13 Vibraciones y ondas 433
14 Sonido 467
Parte Cuatro: Electricidad y
magnetismo
15 Cargas, fuerzas y campos eléctricos 505
16 Potencial eléctrico, energía 
y capacitancia 536
17 Corriente eléctrica y resistencia 568
18 Circuitos eléctricos básicos 591
19 Magnetismo 623
20 Inducción y ondas electromagnéticas 656
21 Circuitos de corriente alterna 686
Parte Cinco: Óptica
22 Reflexión y refracción de la luz 705
23 Espejos y lentes 729
24 Óptica física: la naturaleza ondulatoria 
de la luz 760
25 La visión y los instrumentos ópticos 792
Apéndices
I Repaso de matemáticas (con ejemplos) para
Física A-1
II Teoría cinética de los gases A-5
III Datos planetarios A-6
IV Lista alfabética de elementos químicos A-7
V Propiedades de isótopos seleccionados A-7
Respuestas a los ejercicios de refuerzo A-10
Respuestas a los ejercicios con número 
impar A-17
Índice I-1
Contenido
ix
Prefacio XIX
1 Medición y resolución 
de problemas 1
A fondo: 1.1 ¿Por qué estudiar física? 2
1.1 Por qué y cómo medimos 2
1.2 Unidades SI de longitud, masa y tiempo 3
A fondo: 1.2 ¿Qué es el tiempo? 6
1.3 Más acerca del sistema métrico 7
1.4 Análisis de unidades 10
1.5 Conversión de unidades 12
A fondo: 1.3 ¿Es importante la conversión 
de unidades? 16
1.6 Cifras significativas 17
1.7 Resolución de problemas 20
Repaso del capítulo 24 Ejercicios 25
4 FUERZA Y MOVIMIENTO 103
4.1 Los conceptos de fuerza y fuerza neta 104
4.2 Inercia y la primera ley de Newton 
del movimiento 105
4.3 Segunda ley de Newton del movimiento 106
A fondo: 4.1 Gravedades (g) de fuerza y efectos 
sobre el cuerpo humano 108
4.4 Tercera ley de Newton del movimiento 112
A fondo: 4.2 Navegando contra el viento: virada 115
4.5 Más acerca de las leyes de Newton: diagramas 
de cuerpo libre y equilibrio traslacional 116
APRENDER DIBUJANDO: Fuerzas sobre un objeto en un
plano inclinado y diagramas 
de cuerpo libre 116
4.6 Fricción 121
Repaso del capítulo 130 Ejercicios 131
5 TRABAJO Y ENERGÍA 140
5.1 Trabajo efectuado por una fuerza constante 141
APRENDER DIBUJANDO: Trabajo: área bajo la curva 
de F contra x 142
APRENDER DIBUJANDO: Cómo determinar el signo 
del trabajo 143
5.2 Trabajo efectuado por una fuerza variable 145
5.3 El teorema trabajo-energía: energía cinética 148
5.4 Energía potencial 152
5.5 Conservación de la energía 155
A fondo: 5.1 La potencia de la gente: el uso de la
energía del cuerpo 156
APRENDER DIBUJANDO: Intercambio de energía: una
pelota que cae 161
5.6 Potencia 164
A fondo: 5.2 Conversión de energía híbrida 164
Repaso del capítulo 168 Ejercicios 169
6 Cantidad de movimiento lineal
y choques 177
6.1 Cantidad de movimiento lineal 178
6.2 Impulso 182
2 CINEMÁTICA: DESCRIPCIÓN 
DEL MOVIMIENTO 32
2.1 Distancia y rapidez: cantidades escalares 33
2.2 Desplazamiento unidimensional y velocidad:
cantidades vectoriales 35
APRENDER DIBUJANDO: Coordenadas cartesianas 
y desplazamiento
unidimensional 35
2.3 Aceleración 40
APRENDER DIBUJANDO: Signos de la velocidad 
y la aceleración 42
2.4 Ecuaciones de cinemática 
(aceleración constante) 45
2.5 Caída libre 49
A fondo: 2.1 Galileo Galilei y la Torre Inclinada 
de Pisa 51
Repaso del capítulo 56 Ejercicios 57
3 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 67
3.1 Componentes del movimiento 68
3.2 Suma y resta de vectores 73
APRENDER DIBUJANDO: Diagrame y sume 80
3.3 Movimiento de proyectiles 81
3.4 Velocidad relativa 90
Repaso del capítulo 94 Ejercicios 95
x Contenido
6.3 Conservación de la cantidad de movimiento 
lineal 185
A fondo: 6.1 Las bolsas de aire del automóvil 
y las bolsas de aire en Marte 186
6.4 Choques elásticos e inelásticos 191
6.5 Centro de masa 198
6.6 Propulsión a chorro y cohetes 204
Repaso del capítulo 207 Ejercicios 207
7 MOVIMIENTO CIRCULAR 
Y GRAVITACIONAL 216
7.1 Medición angular 217
7.2 Rapidez y velocidad angulares 219
APRENDER DIBUJANDO: La aproximación de ángulo
pequeño 219
7.3 Movimiento circular uniforme y aceleración
centrípeta 223
A fondo: 7.1 La centrífuga: separación 
de componentes de la sangre 225
7.4 Aceleración angular 228
7.5 Ley de la gravitación de Newton 231
A fondo: 7.2 Exploración espacial: ayuda 
de la gravedad 238
7.6 Leyes de Kepler y satélites terrestres 238
A fondo: 7.3 “Ingravidez”: efectos sobre el cuerpo
humano 245
Repaso del capítulo 247 Ejercicios 248
8 MOVIMIENTO ROTACIONAL
Y EQUILIBRIO 256
8.1 Cuerpos rígidos, traslaciones y rotaciones 257
8.2 Momento de fuerza, equilibrio y estabilidad 259
8.3 Dinámica rotacional 270
A fondo: 8.1 Estabilidad en acción 271
8.4 Trabajo rotacional y energía cinética 277
8.5 Cantidad de movimiento angular 280
A fondo: 8.2 ¿Resbalar o rodar hasta parar? Frenos
antibloqueo 281
Repaso del capítulo 287 Ejercicios 288
9 SÓLIDOS Y FLUIDOS 297
9.1 Sólidos y módulos de elasticidad 298
9.2 Fluidos: presión y el principio de Pascal 302
A fondo:9.1 La osteoporosis y la densidad mineral
ósea (DMO) 304
A fondo: 9.2 Un efecto atmosférico: posible dolor 
de oído 311
A fondo: 9.3 Medición de la presión arterial 312
9.3 Flotabilidad y el principio de Arquímedes 313
9.4 Dinámica de fluidos y ecuación de Bernoulli 319
*9.5 Tensión superficial, viscosidad y ley 
de Poiseuille 324
A fondo: 9.4 Los pulmones y el primer aliento 
del bebé 325
Repaso del capítulo 329 Ejercicios 330
10 Temperatura y teoría cinética 338
10.1 Temperatura y calor 339
10.2 Las escalas de temperatura Celsius 
y Fahrenheit 340
A fondo: 10.1 Temperatura del cuerpo humano 343
10.3 Leyes de los gases, temperatura absoluta 
y la escala de temperatura Kelvin 343
A fondo: 10.2 Sangre caliente contra sangre fría 344
10.4 Expansión térmica 350
APRENDER DIBUJANDO: Expansión térmica de área 351
10.5 La teoría cinética de los gases 354
A fondo: 10.3 Difusión fisiológica en procesos 
vitales 357
*10.6 Teoría cinética, gases diatómicos 
y teorema de equipartición 357
Repaso del capítulo 360 Ejercicios 361
11 calor 367
11.1 Definición y unidades de calor 368
11.2 Calor específico y calorimetría 370
11.3 Cambios de fase y calor latente 374
APRENDER DIBUJANDO: De hielo frío a vapor 
caliente 377
11.4 Transferencia de calor 379
A fondo: 11.1 Regulación fisiológica de la temperatura 
corporal 380
A fondo: 11.2 Física, la industria de la construcción 
y la conservación de la energía 384
A fondo: 11.3 El efecto invernadero 388
Repaso del capítulo 390 Ejercicios 391
Contenido xi
12 Termodinámica 397
12.1 Sistemas, estados y procesos 
termodinámicos 398
12.2 Primera ley de la termodinámica 399
12.3 Procesos termodinámicos para un gas ideal 403
APRENDER DIBUJANDO: Apoyarse en isotermas 409
12.4 Segunda ley de la termodinámica 
y entropía 410
A fondo: 12.1 Vida, orden y la segunda ley 414
12.5 Máquinas de calor y bombas térmicas 414
APRENDER DIBUJANDO: Representación del trabajo 
en ciclos térmicos 415
A fondo: 12.2 La termodinámica y el cuerpo 
humano 420
12.6 Ciclo de Carnot y máquinas de calor 
ideales 422
Repaso del capítulo 425 Ejercicios 426
13 VIBRACIONES Y ONDAS 433
13.1 Movimiento armónico simple 434
APRENDER DIBUJANDO: Oscilación en un pozo parabólico
de potencia 437
13.2 Ecuaciones de movimiento 439
13.3 Movimiento ondulatorio 446
13.4 Propiedades de las ondas 449
A fondo: 13.1 Terremotos, ondas sísmicas 
y sismología 450
13.5 Ondas estacionarias y resonancia 454
A fondo: 13.2 Resonancias deseables 
e indeseables 458
Repaso del capítulo 459 Ejercicios 460
14.6 Instrumentos musicales y características 
del sonido 491
Repaso del capítulo 496 Ejercicios 498
15 Cargas, fuerzas y campos 
eléctricos 505
15.1 Carga eléctrica 506
15.2 Carga electrostática 508
15.3 Fuerza eléctrica 512
15.4 Campo eléctrico 517
APRENDER DIBUJANDO: Uso del principio de superpo-
sición para determinar 
la dirección del campo 
eléctrico 518
APRENDER DIBUJANDO: Trazado de líneas eléctricas 
de fuerza 521
A fondo: 15.1 Relámpagos y pararrayos 523
A fondo: 15.2 Campos eléctricos en las fuerzas 
policiacas y en la naturaleza: armas 
paralizantes y peces eléctricos 524
15.5 Conductores y campos eléctricos 526
*15.6 Ley de Gauss para campos eléctricos: 
un enfoque cualitativo 528
Repaso del capítulo 529 Ejercicios 530
16 POTENCIAL ELÉCTRICO, ENERGÍA
Y CAPACITANCIA 536
16.1 Energía potencial eléctrica y diferencia 
de potencial eléctrico 537
APRENDER DIBUJANDO: es independiente del punto
de referencia 538
16.2 Superficies equipotenciales y el campo 
eléctrico 543
APRENDER DIBUJANDO: Relación gráfica entre líneas 
de campo eléctrico y
equipotenciales 547
16.3 Capacitancia 549
A fondo: 16.1 Potencial eléctrico y transmisión 
de señales nerviosas 552
16.4 Dieléctricos 552
16.5 Condensadores en serie y en paralelo 557
Repaso del capítulo 561 Ejercicios 562
17 Corriente eléctrica y resistencia 568
17.1 Baterías y corriente directa 569
APRENDER DIBUJANDO: Dibujo de circuitos 571
17.2 Corriente y velocidad de deriva 571
17.3 Resistencia y ley de Ohm 573
A fondo: 17.1 La “biogeneración” de alto voltaje 575
A fondo: 17.2 Análisis de impedancia bioeléctrica 
(AIB) 578
17.4 Potencia eléctrica 580
Repaso del capítulo 585 Ejercicios 586
¢V
14 Sonido 467
14.1 Ondas sonoras 468
A fondo: 14.1 El ultrasonido en la medicina 470
14.2 La rapidez del sonido 471
14.3 Intensidad del sonido y nivel de intensidad 
del sonido 474
A fondo: 14.2 La fisiología y la física del oído 
y de la audición 475
14.4 Fenómenos acústicos 481
14.5 El efecto Doppler 484
A fondo: 14.3 Aplicaciones Doppler: 
células sanguíneas y gotas de lluvia 490
xii Contenido
19 Magnetismo 623
19.1 Imanes, polos magnéticos y dirección 
del campo magnético 624
19.2 Intensidad del campo magnético 
y fuerza magnética 626
19.3 Aplicaciones: partículas cargadas en campos
magnéticos 629
19.4 Fuerzas magnéticas sobre conductores 
con corriente eléctrica 632
19.5 Aplicaciones: conductores con corriente 
en campos magnéticos 635
19.6 Electromagnetismo: la fuente de los campos 
magnéticos 637
19.7 Materiales magnéticos 641
A fondo: 19.1 La fuerza magnética en la medicina 
del futuro 642
*19.8 Geomagnetismo: el campo magnético terrestre
644
A fondo: 19.2 El magnetismo en la naturaleza 645
Repaso del capítulo 647 Ejercicios 648
20 Inducción y ondas 
electromagnéticas 656
20.1 Fem inducida: ley de Faraday y ley de Lenz 657
20.2 Generadores eléctricos y contra fem 663
A fondo: 20.1 La inducción electromagnética en el 
trabajo: linternas y antiterrorismo 664
A fondo: 20.2 Inducción electromagnética en acción:
pasatiempos y transportación 666
20.3 Transformadores y transmisión de energía 668
20.4 Ondas electromagnéticas 672
Repaso del capítulo 679 Ejercicios 679
21 Circuitos de corriente 
alterna 686
21.1 Resistencia en un circuito de ca 687
21.2 Reactancia capacitiva 689
21.3 Reactancia inductiva 691
21.4 Impedancia: circuito RLC 693
21.5 Resonancia en circuitos 697
A fondo: 21.1 Circuitos osciladores: emisores 
de radiación electromagnética 699
Repaso del capítulo 700 Ejercicios 701
22 Reflexión y refracción 
de la luz 705
22.1 Frentes de onda y rayos 706
22.2 Reflexión 707
22.3 Refracción 708
APRENDER DIBUJANDO: Trazado de los rayos 
reflejados 708
A fondo: 22.1 Una noche oscura y lluviosa 709
A fondo: 22.2 Las lentes “perfectas” y el índice 
negativo de refracción 715
22.4 Reflexión interna total y fibras ópticas 717
A fondo: 22.3 Aplicaciones médicas de las fibras 
ópticas 720
22.5 Dispersión 721
A fondo: 22.4 El arco iris 722
Repaso del capítulo 723 Ejercicios 724
18 Circuitos eléctricos básicos 591
18.1 Combinaciones de resistencias en serie, 
en paralelo y en serie-paralelo 592
18.2 Circuitos de múltiples mallas 
y reglas de Kirchhoff 599
APRENDER DIBUJANDO: Diagramas de Kirchhoff: una
interpretación gráfica del teorema
de la malla de Kirchhoff 602
18.3 Circuitos RC 604
18.4 Amperímetros y voltímetros 607
A fondo: 18.1 Aplicaciones de los circuitos RC 
a la cardiología 608
18.5 Circuitos domésticos y seguridad eléctrica 611
A fondo: 18.2 Electricidad y seguridad personal 614
Repaso del capítulo 615 Ejercicios 616
Contenido xiii
23 Espejos y lentes 729
23.1 Espejos planos 730
23.2 Espejos esféricos 732
A fondo: 23.1 Todo se hace con espejos 733
APRENDER DIBUJANDO: Diagramas de rayos 
para un espejo (véase 
el ejemplo 23.2) 734
23.3 Lentes 740
APRENDER DIBUJANDO: Diagrama de rayos para lentes
(véase el ejemplo 23.5) 743
A fondo: 23.2 Lentes de Fresnel 748
23.4 La ecuación del fabricante de lentes 750
*23.5 Aberraciones de las lentes 752
Repaso del capítulo 753 Ejercicios 754
APRENDER DIBUJANDO: Tres polarizadores (véase el
Ejemplo integrado 24.6) 778
*24.5 Dispersión atmosférica de la luz 782
A fondo: 24.2 Las pantallas de cristal líquido 
y la luz polarizada 783
A fondo: 24.3 Biopsia óptica 785
Repaso del capítulo 785 Ejercicios 786
25 La visión y los instrumentos 
ópticos 792
25.1 El ojo humano 793
A fondo: 25.1 Corrección de la córnea y cirugía 797
25.2 Microscopios 79925.3 Telescopios 803
25.4 Difracción y resolución 807
A fondo: 25.2 Telescopios para radiación 
no visible 808
*25.5 Color 810
Repaso del capítulo 813 Ejercicios 814
APÉNDICE I Repaso de matemáticas (con ejemplos)
para Física A-1
APÉNDICE II Teoría cinética de los gases A-5
APÉNDICE III Datos planetarios A-6
APÉNDICE IV Lista alfabética de elementos químicos
(la tabla periódica aparece al 
final del libro) A-7
APÉNDICE V Propiedades de isótopos 
seleccionados A-7
Respuestas a los ejercicios de refuerzo R-10
Respuestas a los ejercicios con número 
impar R-17
Índice I-1
24 Óptica física: la naturaleza
ondulatoria de la luz 760
24.1 El experimento de Young de la doble 
rendija 761
24.2 Interferencia en películas delgadas 764
A fondo: 24.1 Lentes no reflectantes 768
24.3 Difracción 768
24.4 Polarización 775
• La tradición cuenta que en el siglo XII, el rey
Enrique I de Inglaterra decretó que la yarda
debería ser la distancia desde la punta de su
real nariz a su dedo pulgar teniendo el brazo
extendido. (Si el brazo del rey Enrique hu-
biera sido 3.37 pulgadas más largo, la yarda
y el metro tendrían la misma longitud.)
• La abreviatura para la libra, lb, proviene 
de la palabra latina libra, que era una unidad 
romana de peso aproximadamente igual a
una libra actual. La palabra equivalente en 
inglés pound viene del latín pondero, que
significa “pesar”. Libra también es un signo
del zodiaco y se simboliza con una balanza
(que se utiliza para pesar).
• Thomas Jefferson sugirió que la longitud de
un péndulo con un periodo de un segundo 
se utilizara como la medida estándar de lon-
gitud.
• ¿Es verdadero el antiguo refrán “Una pinta 
es una libra en todo el mundo”? Todo depen-
de de qué se esté hablando. El refrán es una
buena aproximación para el agua y otros 
líquidos similares. El agua pesa 8.3 libras 
por galón, de manera que la octava parte de
esa cantidad, o una pinta, pesa 1.04 libras.
• Pi (�), la razón entre la circunferencia de 
un círculo y su diámetro, es siempre el mis-
mo número sin importar el círculo del que 
se esté hablando. Pi es un número irracional;
esto es, no puede escribirse como la razón
entre dos números enteros y es un decimal
infinito, que no sigue un patrón de repetición.
Las computadoras han calculado � en mi-
les de millones de dígitos. De acuerdo con 
el Libro Guinness de los Récords (2004), �
se ha calculado en 1 241 100 000 000 luga-
res decimales.
Medición y resolución
de problemas
C
A
P
ÍT
U
L
O
HECHOS DE FÍSICA
1
1
¿Es primero y 10? Es necesario medir, como en muchas otras cuestionesde nuestra vida. Las mediciones de longitud nos dicen qué distanciahay entre dos ciudades, qué estatura tienes y, como en esta imagen, 
si se llegó o no al primero y 10. Las mediciones de tiempo nos dicen cuánto falta
para que termine la clase, cuándo inicia el semestre o el trimestre y qué edad 
tienes. Los fármacos que tomamos cuando estamos enfermos se dan en dosis 
medidas. Muchas vidas dependen de diversas mediciones realizadas por médi-
cos, técnicos especialistas y farmacéuticos para el diagnóstico y tratamiento de
enfermedades.
Las mediciones nos permiten calcular cantidades y resolver problemas. Las
unidades también intervienen en la resolución de problemas. Por ejemplo, al de-
terminar el volumen de una caja rectangular, si mide sus dimensiones en pulga-
das, el volumen tendría unidades de pulg3 (pulgadas cúbicas); si se mide en
centímetros, entonces serían cm3 (centímetros cúbicos). Las mediciones y la reso-
lución de problemas forman parte de nuestras vidas. Desempeñan un papel esen-
cialmente importante en nuestros intentos por describir y entender el mundo
físico, como veremos en este capítulo. Pero primero veamos por qué se debe es-
tudiar la física (A fondo 1.1).
1.1 Por qué y cómo
medimos 2
1.2 Unidades SI de longi-
tud, masa y tiempo 3
1.3 Más acerca del 
sistema métrico 7
1.4 Análisis de unidades 10
1.5 Conversión de 
unidades 12
1.6 Cifras significativas 17
1.7 Resolución de
problemas 20
2 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
1.1 Por qué y cómo medimos
OBJETIVOS: Distinguir entre unidades estándar y sistemas de unidades.
Imagine que alguien le está explicando cómo llegar a su casa. ¿Le serviría de algo que
le dijeran: “Tome la calle Olmo durante un rato y dé vuelta a la derecha en uno de los
semáforos. Luego siga de frente un buen tramo”? ¿O le agradaría tratar con un banco
que le enviara a fin de mes un estado de cuenta que indicara: “Todavía tiene algo de
dinero en su cuenta, pero no es mucho”?
Medir es importante para todos nosotros. Es una de las formas concretas en que
enfrentamos el mundo. Este concepto resulta crucial en física. La física se ocupa de des-
cribir y entender la naturaleza, y la medición es una de sus herramientas fundamentales.
Hay formas de describir el mundo físico que no implican medir. Por ejemplo, po-
dríamos hablar del color de una flor o un vestido. Sin embargo, la percepción del color
es subjetiva: puede variar de una persona a otra. De hecho, muchas personas pade-
cen daltonismo y no pueden distinguir ciertos colores. La luz que captamos también
puede describirse en términos de longitudes de onda y frecuencias. Diferentes longitu-
des de onda están asociadas con diferentes colores debido a la respuesta fisiológica de
nuestros ojos ante la luz. No obstante, a diferencia de las sensaciones o percepciones del
color, las longitudes de onda pueden medirse. Son las mismas para todos. En otras 
palabras, las mediciones son objetivas. La física intenta describir la naturaleza de forma 
objetiva usando mediciones.
1.1 ¿POR QUÉ ESTUDIAR FÍSICA?A FONDO
La pregunta ¿por qué estudiar física? viene a la mente de mu-
chos alumnos durante sus estudios universitarios. La verdad es
que probablemente existen tantas respuestas como estudiantes,
al igual que sucede con otras materias. Sin embargo, las pre-
guntas podrían agruparse en varias categorías generales, que
son las siguientes.
Tal vez usted no pretenda convertirse en un físico, pero
para los especialistas en esta materia la respuesta es obvia. La
introducción a la física provee los fundamentos de su carrera.
La meta fundamental de la física es comprender de dónde pro-
viene el universo, cómo ha evolucionado y cómo lo sigue ha-
ciendo, así como las reglas (o “leyes”) que rigen los fenómenos
que observamos. Estos estudiantes utilizarán su conocimiento
de la física de forma continua durante sus carreras. Como un
ejemplo de la investigación en física, considere la invención
del transistor, a finales de la década de 1940, que tuvo lugar en
un área especial de la investigación conocida como física del
estado sólido.
Quizás usted tampoco pretenda convertirse en un ingeniero
especialista en física aplicada. Para ellos, la física provee el funda-
mento de los principios de ingeniería utilizados para resolver
problemas tecnológicos (aplicados y prácticos). Algunos de es-
tos estudiantes tal vez no utilicen la física directamente en sus
carreras; pero una buena comprensión de la física es fundamen-
tal en la resolución de los problemas que implican los avances
tecnológicos. Por ejemplo, después de que los físicos inventa-
ron el transistor, los ingenieros desarrollaron diversos usos 
para éste. Décadas más tarde, los transistores evolucionaron
hasta convertirse en los modernos chips de computadora, que
en realidad son redes eléctricas que contienen millones de ele-
mentos diminutos de transistores.
Es más probable que usted quiera ser un especialista en tec-
nología o en ciencias biológicas (médico, terapeuta físico, médico
veterinario, especialista en tecnología industrial, etc.). En este
caso, la física le brindará un marco de comprensión de los prin-
cipios relacionados con su trabajo. Aunque las aplicaciones de
las leyes de la física tal vez no sean evidentes de forma inmedia-
ta, comprenderlas será una valiosa herramienta en su carrera. Si
usted se convierte en un profesional de la medicina, por ejem-
plo, se verá en la necesidad de evaluar resultadosde IRM (imáge-
nes de resonancia magnética), un procedimiento habitual en la
actualidad. ¿Le sorprendería saber que las IRM se basan en un
fenómeno físico llamado resonancia magnética nuclear, que des-
cubrieron los físicos y que aún se utiliza para medir las pro-
piedades nucleares y del estado sólido?
Si usted es un estudiante de una especialidad no técnica, el
requisito de física pretende darle una educación integral; esto
es, le ayudará a desarrollar la capacidad de evaluar la tecnolo-
gía en el contexto de las necesidades sociales. Por ejemplo, qui-
zá tenga que votar en relación con los beneficios fiscales para
una fuente de producción de energía, y en ese caso usted que-
rría evaluar las ventajas y las desventajas de ese proceso. O qui-
zás usted se sienta tentado a votar por un funcionario que tiene
un sólido punto de vista en torno al desecho del material nu-
clear. ¿Sus ideas son científicamente correctas? Para evaluarlas,
es indispensable tener conocimientos de física.
Como podrá darse cuenta, no hay una respuesta única a la
pregunta ¿por qué estudiar física? No obstante, sobresale un
asunto primordial: el conocimiento de las leyes de la física ofre-
ce un excelente marco para su carrera y le permitirá compren-
der el mundo que le rodea, o simplemente, le ayudará a ser un
ciudadano más consciente.
1.2 Unidades SI de longitud, masa y tiempo 3
Unidades estándar
Las mediciones se expresan en valores unitarios o unidades. Seguramente usted 
ya sabe que se emplea una gran variedad de unidades para expresar valores 
medidos. Algunas de las primeras unidades de medición, como el pie, se referían 
originalmente a partes del cuerpo humano. (Incluso en la actualidad el palmo se
utiliza para medir la alzada de los caballos. Un palmo equivale a 4 pulgadas.) Si 
una unidad logra aceptación oficial, decimos que es una unidad estándar. Tradi-
cionalmente, un organismo gubernamental o internacional establece las unidades
estándar.
Un grupo de unidades estándar y sus combinaciones se denomina sistema de 
unidades. Actualmente se utilizan dos sistemas principales de unidades: el sistema
métrico y el sistema inglés. Este último todavía se usa ampliamente en Estados Uni-
dos; aunque prácticamente ha desaparecido en el resto del mundo, donde se susti-
tuyó por el sistema métrico.
Podemos usar diferentes unidades del mismo sistema o unidades de sistemas 
distintos para describir la misma cosa. Por ejemplo, expresamos nuestra estatura en
pulgadas, pies, centímetros, metros o incluso millas (aunque esta unidad no sería muy
conveniente). Siempre es posible convertir de una unidad a otra, y hay ocasiones en
que son necesarias tales conversiones. No obstante, lo mejor, y sin duda lo más prác-
tico, es trabajar de forma consistente dentro del mismo sistema de unidades, como 
veremos más adelante.
1.2 Unidades SI de longitud, masa y tiempo
OBJETIVOS: a) Describir SI y b) especificar las referencias de las tres principa- 
les cantidades base en ese sistema.
La longitud, la masa y el tiempo son cantidades físicas fundamentales que describen
muchas cantidades y fenómenos. De hecho, los temas de la mecánica (el estudio del
movimiento y las fuerzas) que se cubren en la primera parte de este libro tan sólo
requieren estas cantidades físicas. El sistema de unidades que los científicos usan 
para representar éstas y otras cantidades se basa en el sistema métrico.
Históricamente, el sistema métrico fue consecuencia de propuestas para tener 
un sistema más uniforme de pesos y medidas hechas, que se dieron en Francia duran-
te los siglos XVII y XVIII. La versión moderna del sistema métrico se llama sistema inter-
nacional de unidades, que se abrevia oficialmente SI (del francés Système International
des Unités).
El SI incluye cantidades base y cantidades derivadas, que se describen con unidades
base y unidades derivadas, respectivamente. Las unidades base, como el metro y el 
kilogramo, se representan con estándares. Las cantidades que se pueden expresar 
en términos de combinaciones de unidades base se llaman unidades derivadas. 
(Pensemos en cómo solemos medir la longitud de un viaje en kilómetros; y el tiem-
po que toma el viaje, en horas. Para expresar la rapidez con que viajamos, usamos la 
unidad derivada de kilómetros por hora, que representa distancia recorrida por uni-
dad de tiempo, o longitud por tiempo.)
Uno de los refinamientos del SI fue la adopción de nuevas referencias estándar 
para algunas unidades base, como las de longitud y tiempo.
Longitud
La longitud es la cantidad base que usamos para medir distancias o dimensiones en 
el espacio. Por lo general decimos que longitud es la distancia entre dos puntos. Sin
embargo, esa distancia dependerá de cómo se recorra el espacio entre los puntos, 
que podría ser con una trayectoria recta o curva.
La unidad SI de longitud es el metro (m). El metro se definió originalmente como
1/10 000 000 de la distancia entre el Polo Norte y el ecuador a lo largo de un meridia-
4 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
 a)
1 m
1 m = distancia que la luz recorre en el
vacío en 1/299 792 458 s
LONGITUD: METRO
Ecuador
Barcelona
Dunquerque
París
Polo Norte
30°15°
330°
45°
60°
75°
10 000 000 m
0°
345°
0°
 b)
▲ FIGURA 1.1 El estándar de longitud del SI: el metro a) El metro se definió
originalmente como 1/10 000 000 de la distancia entre el Polo Norte y el ecuador 
a lo largo de un meridiano que pasa por París, del cual se midió una porción entre
Dunquerque y Barcelona. Se construyó una barra metálica (llamada metro de los archivos)
como estándar. b) El metro se define actualmente en términos de la velocidad de la luz.
* Note que este libro y la mayoría de los físicos han adoptado la práctica de escribir los números
grandes separando grupos de tres dígitos con un espacio fino: por ejemplo, 10 000 000 (no 10,000,000).
Esto se hace para evitar confusiones con la práctica europea de usar la coma como punto decimal. 
Por ejemplo, 3.141 en México se escribiría 3,141 en Europa. Los números decimales grandes, como
0.537 84, también podrían separarse, por consistencia. Suelen usarse espacios en números que tienen
más de cuatro dígitos antes o después del punto decimal.
no que pasaba por París (▲ figura 1.1a).* Se estudió una porción de este meridiano, 
entre Dunquerque, Francia y Barcelona, España, para establecer la longitud estándar, 
a la que se asignó el nombre metre, del vocablo griego metron, que significa “una 
medida”. (La ortografía española es metro.) Un metro mide 39.37 pulgadas, poco 
más de una yarda.
La longitud del metro se conservó en un principio en forma de un estándar 
físico: la distancia entre dos marcas en una barra de metal (hecha de una aleación de
platino-iridio) que se guardó en condiciones controladas y posteriormente se llamó
metro de los archivos. Sin embargo, no es conveniente tener un estándar de referen-
cia que cambia con las condiciones externas, como la temperatura. En 1983, el metro
se redefinió en términos de un estándar más exacto, una propiedad de la luz que 
no varía: la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un inter-
valo de 1/299 792 458 de segundo (figura 1.1b). En otras palabras, la luz viaja 
299 792 458 metros en un segundo, y la velocidad de la luz en el vacío se define como
c � 299 792 458 m/s (c es el símbolo común para la velocidad de la luz). Observe 
que el estándar de longitud hace referencia al tiempo, que se puede medir con gran
exactitud.
Masa
La masa es la cantidad base con que describimos cantidades de materia. Cuanto ma-
yor masa tiene un objeto, contendrá más materia. (Veremos más análisis de la masa 
en los capítulos 4 y 7.)
La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg), el cual se definió originalmente
en términos de un volumen específico de agua; aunque ahora se remite a un estándar
material específico: la masa de un cilindro prototipo de platino-iridio que se guarda 
en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, Francia (Nfigura 1.2). Esta-
dos Unidostiene un duplicado del cilindro prototipo. El duplicado sirve como referen-
cia para estándares secundarios que se emplean en la vida cotidiana y en el comercio.
Es posible que a final de cuentas el kilogramo se vaya a remitir a algo diferente de un
estándar material.
 a)
 b)
MASA: KILOGRAMO
0.10 m
0.10 m
0.10 m
agua
1.2 Unidades SI de longitud, masa y tiempo 5
Quizás usted haya notado que en general se usa la frase pesos y medidas en vez de
masas y medidas. En el SI, la masa es una cantidad base; pero en el sistema inglés se pre-
fiere usar el peso para describir cantidades de masa, por ejemplo, peso en libras en vez
de masa en kilogramos. El peso de un objeto es la atracción gravitacional que la Tierra
ejerce sobre el objeto. Por ejemplo, cuando nos pesamos en una báscula, nuestro peso
es una medida de la fuerza gravitacional descendente que la Tierra ejerce sobre noso-
tros. Podemos usar el peso como una medida de la masa porque, cerca de la superficie
terrestre, la masa y el peso son directamente proporcionales entre sí.
No obstante, tratar el peso como una cantidad base crea algunos problemas. Una
cantidad base debería tener el mismo valor en cualquier parte. Esto se cumple para la
masa: un objeto tiene la misma masa, o cantidad de materia, esté donde esté. Sin em-
bargo, no se cumple para el peso. Por ejemplo, el peso de un objeto en la Luna es menor
que su peso en la Tierra. Ello se debe a que la Luna tiene una masa menor que la de la
Tierra y, por ello, la atracción gravitacional que la Luna ejerce sobre un objeto (es decir,
el peso del objeto) es menor que la que ejerce la Tierra. Es decir, un objeto con cierta
cantidad de masa tiene un peso dado en la Tierra, aunque en la Luna la misma canti-
dad de masa pesaría cuando mucho cerca de una sexta parte. Asimismo, el peso de un
objeto varía según los diferentes planetas.
Por ahora, tengamos presente que en un lugar específico, como la superficie de la
tierra, el peso está relacionado con la masa, pero no son lo mismo. Puesto que el peso de un
objeto que tiene cierta masa varía dependiendo del lugar donde esté, resulta mucho
más útil tomar la masa como cantidad base, como en el SI. Las cantidades base debe-
rían mantenerse constantes independientemente de dónde se midan, en condiciones
normales o estándar. La distinción entre masa y peso se explicará más a fondo en un
capítulo posterior. Hasta entonces, nos ocuparemos básicamente de la masa.
Tiempo
El tiempo es un concepto difícil de definir. Una definición común es que el tiempo es
el flujo continuo de sucesos hacia adelante. Este enunciado no es tanto una definición
sino una observación de que nunca se ha sabido que el tiempo vaya hacia atrás, 
como sucedería cuando vemos una película en que el proyector funciona en reversa.
A veces se dice que el tiempo es una cuarta dimensión que acompaña a las tres di-
mensiones del espacio (x, y, z, t), de tal manera que si algo existe en el espacio, 
también existe en el tiempo. En cualquier caso, podemos usar sucesos para tomar 
mediciones del tiempo. Los sucesos son análogos a las marcas en un metro que se 
utilizan para medir longitudes. (Véase A fondo 1.2 sobre ¿qué es el tiempo?)
La unidad SI del tiempo es el segundo (s). Originalmente se usó el “reloj” so-
lar para definir el segundo. Un día solar es el intervalo de tiempo que transcurre 
entre dos cruces sucesivos de la misma línea de longitud (meridiano) efectuados por
el Sol. Se fijó un segundo como 1/86 400 de este día solar aparente (1 día � 24 h �
1440 min � 86 400 s). Sin embargo, el trayecto elíptico que sigue la Tierra en torno 
al Sol hace que varíe la duración de los días solares aparentes.
Para tener un estándar más preciso, se calculó un día solar promedio a partir de
la duración de los días solares aparentes durante un año solar. En 1956, el segundo 
se remitió a ese día solar medio. Sin embargo, el día solar medio no es exactamente 
el mismo en todos los periodos anuales, a causa de las variaciones menores en los 
movimientos terrestres y a la lenta disminución de su tasa de rotación originada por
la fricción de las mareas. Por ello, los científicos siguieron buscando algo mejor.
En 1967, un estándar atómico se adoptó una mejor referencia. El segundo se defi-
nió en términos de la frecuencia de radiación del átomo de cesio 133. Este “reloj ató-
mico” usaba un haz de átomos de cesio para mantener el estándar de tiempo, con una
variación de aproximadamente un segundo cada 300 años. En 1999 se adoptó otro 
reloj atómico de cesio 133, el reloj atómico de fuente que, como su nombre indica, se
basa en la frecuencia de radiación de una fuente de átomos de cesio, en vez de un 
haz (▼ figura 1.3). La variación de este reloj es de ¡menos de un segundo cada 20 mi-
llones de años!*
* Se está desarrollando un reloj aún más preciso: el reloj atómico totalmente óptico, así llama-
do porque utiliza tecnología láser y mide el intervalo de tiempo más corto jamás registrado, que es 
0.000 01. El nuevo reloj no utiliza átomos de cesio, sino un solo ion enfriado de mercurio líquido 
vinculado a un oscilador láser. La frecuencia del ion de mercurio es 100 000 veces más alta que la 
de los átomos de cesio, de ahí lo corto y preciso del intervalo de tiempo.
▲ FIGURA 1.2 El estándar de masa
del SI: el kilogramo a) El kilogramo
se definió originalmente en términos
de un volumen específico de agua,
un cubo de 0.10 m por lado, con 
lo que se asoció el estándar de 
masa con el estándar de longitud. 
b) Ahora el kilogramo estándar se
define con un cilindro metálico. 
El prototipo internacional del 
kilogramo se conserva en la Oficina
Francesa de Pesos y Medidas. 
Se le fabricó en la década de 1880
con una aleación de 90% platino 
y 10% iridio. Se han producido 
copias para usarse como prototipos
nacionales de 1 kg, uno de los 
cuales es el estándar de masa de 
Estados Unidos, que se guarda 
en el Instituto Nacional de 
Normas y Tecnología (NIST) 
en Gaitherburg, MD.
A FONDO
6 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
1 s = 9 192 631 770 oscilaciones Detector de
radiación a)
Una oscilación de frecuencia
 b)
Cesio 133
1.2 ¿Qué es el tiempo?
Durante siglos, la pregunta ¿qué es el tiempo? ha generado de-
bates, y las respuestas a menudo han tenido un carácter filo-
sófico. Pero la definición del tiempo todavía resulta evasiva 
en cierto grado. Si a usted se le pidiera definir el tiempo o 
explicarlo, ¿qué diría? Las definiciones generales parecen un
tanto vagas. Por lo común, decimos:
El tiempo es el flujo continuo y hacia delante de los su-
cesos.
Otras ideas en torno al tiempo incluyen las siguientes.
Platón, el filósofo griego observaba:
El Sol, la Luna y … los planetas fueron creados para de-
finir y preservar los números del tiempo.
San Agustín también ponderaba el tiempo:
¿Qué es el tiempo? Si nadie pregunta, lo sé; si quiero ex-
plicarlo a quien pregunta, no lo sé.
Marco Aurelio, el filósofo y emperador romano, escribió:
El tiempo es una especie de río de los hechos que suceden,
y su corriente es fuerte.
El Sombrerero Loco, el personaje de Alicia en el país de las mara-
villas, de Lewis Carroll, creía saber lo que era el tiempo:
Si tú conocieras el Tiempo tan bien como yo, no hablarías de
desperdiciarlo… Ahora, si tan sólo estuvieras en buenos tér-
minos con él, haría casi cualquier cosa que tú quisieras con
el reloj. Por ejemplo, supón que fueran las nueve de la ma-
ñana, la hora de comenzar las clases; sólo tendrías que susu-
rrar una indicación al Tiempo, y allá iría el reloj en un abrir 
y cerrar de ojos; a la una y media, la hora del almuerzo.
El flujo “hacia delante” del tiempo implica una dirección, y es-
to se describe en ocasiones como la flecha del tiempo. Los aconte-
cimientos no suceden como parece cuando un proyector de pe-
lículas se pone en marcha hacia atrás. Si se agrega leche fría al
café negro y caliente, se obtiene una mezcla de color café claro
que se puede beber; pero no es posible obtener leche fría y café
negro y caliente a partir de esa mismamezcla de color café. Así
es la flecha irreversible de un proceso físico (y del tiempo): nun-
ca se podría revertir el proceso para obtener un ingrediente frío
y otro caliente. Esta flecha del tiempo se describirá en el capítu-
lo 12 en términos de entropía, que indica cómo “fluirá” un pro-
ceso termodinámico.
La pregunta ¿qué es el tiempo? nos ayuda a comprender 
lo que significa una cantidad física fundamental, como la masa,
la longitud o el tiempo mismo. Básicamente, éstas son las pro-
piedades más simples de lo que pensaríamos para describir la
naturaleza. Así que la respuesta más segura es:
El tiempo es una cantidad física fundamental.
Esto, en cierto forma, enmascara nuestra ignorancia, y la física
continúa a partir de ahí, utilizando el tiempo para describir y
explicar lo que observamos.
Unidades base del SI
El SI tiene siete unidades base para siete cantidades base, las cuales se supone que 
son mutuamente independientes. Además del metro, el kilogramo y el segundo para
1. longitud, 2. masa y 3. tiempo, las unidades SI incluyen 4. corriente eléctrica (carga/
segundo) en amperes (A), 5. temperatura en kelvin (K), 6. cantidad de sustancia 
en moles (mol) y 7. intensidad luminosa en candelas (cd). Véase la tabla 1.1.
Se cree que las cantidades mencionadas constituyen el número mínimo de can-
tidades base necesarias para describir cabalmente todo lo que se observa o mide en 
la naturaleza.
▲ FIGURA 1.3 El estándar de tiempo en el SI: el segundo El segundo
se definió una vez en términos del día solar promedio. a) Ahora se define
con base en la frecuencia de la radiación asociada con una transición 
atómica. b) El “reloj” atómico de fuente que se muestra aquí, en el NIST,
es el estándar de tiempo para Estados Unidos. La variación de este 
reloj es de menos de un segundo cada 20 millones de años.
1.3 Más acerca del sistema métrico 7
Nombre de la unidad (abreviatura) Propiedad medida
metro (m) longitud
kilogramo (kg) masa
segundo (s) tiempo
ampere (A) corriente eléctrica
kelvin (K) temperatura
mol (mol) cantidad de sustancia
candela (cd) intensidad luminosa
TABLA 1.1
1.3 Más acerca del sistema métrico
OBJETIVOS: Aprender a usar a) prefijos métricos y b) unidades métricas no es-
tándares.
El sistema métrico que incluye las unidades estándar de longitud, masa y tiempo, aho-
ra incorporados en el SI, en otros tiempos se conocía como sistema mks (por metro-ki-
logramo-segundo). Otro sistema métrico que se ha usado para manejar cantidades
relativamente pequeñas es el sistema cgs (por centímetro-gramo-segundo). En Estados
Unidos, el sistema que se sigue usando generalmente es el sistema inglés de ingenie-
ría, en el cual las unidades estándar de longitud, masa y tiempo son pie, slug y segun-
do, respectivamente. Tal vez el lector no haya oído hablar del slug porque, como ya
dijimos, suele utilizarse la fuerza gravitacional (peso) en lugar de la masa —libras en
vez de slugs— para describir cantidades de materia. Por ello, el sistema inglés también
se conoce como sistema fps (por foot[pie]-pound[libra]-second[segundo]).
El sistema métrico predomina en todo el mundo y cada vez se está usando más en
Estados Unidos. Gracias a su sencillez matemática, es el sistema de unidades preferido 
en ciencia y tecnología. Usaremos unidades SI en casi todo este libro. Todas las cantidades
se pueden expresar en unidades SI. No obstante, algunas unidades de otros sistemas se
aceptan para usos limitados por cuestiones prácticas; por ejemplo, la unidad de tiempo
hora y la unidad de temperatura grado Celsius. En los primeros capítulos usaremos oca-
sionalmente unidades inglesas con fines comparativos, ya que en varios países esas uni-
dades se siguen usando en actividades cotidianas y en muchas aplicaciones prácticas.
El creciente uso del sistema métrico en todo el mundo implica que debemos fami-
liarizarnos con él. Una de sus mayores ventajas es que se trata de un sistema decimal, es
decir, de base 10. Esto implica que se obtienen unidades más grandes o más pequeñas
multiplicando o dividiendo, respectivamente, una unidad base por potencias de 10. En
la tabla 1.2 se presenta una lista de algunos múltiplos de unidades métricas y sus pre-
fijos correspondientes. 
Las siete unidades base del SI
Algunos múltiplos y prefijos de unidades métricas*
Múltiplo† Prefijo (y abreviatura) Múltiplo† Prefijo (y abreviatura)
TABLA 1.2
1012 tera- (T)
109 giga- (G)
106 mega- (M)
103 kilo- (k)
102 hecto- (h)
10 deca- (da)
10�1 deci- (d)
10�2 centi- (c)
10�3 mili- (m)
10�6 micro- (�)
10�9 nano- (n)
10�12 pico- (p)
10�15 femto- (f)
10�18 atto- (a)
*Por ejemplo, 1 gramo (g) multiplicado por 1000 (que es 103) es 1 kilogramo (kg); 1 gramo multiplicado por 1/1000 (que es 10�3) es 1 miligramo (mg).
†Los prefijos de uso más común están en negritas. Observe que las abreviaturas de los múltiplos 106 y mayores son mayúsculas, en tanto que las 
abreviaturas de los múltiplos más pequeños son minúsculas.
8 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
En mediciones decimales, los prefijos micro-, mili-, centi-, kilo- y mega- son los más
comúnmente usados; por ejemplo, microsegundo (�s), milímetro (mm), centímetro
(cm), kilogramo (kg) y megabyte (MB), como en la capacidad de almacenamiento de
un CD o un disco de computadora. La característica decimal del sistema métrico facili-
ta la conversión de medidas de un tamaño de unidad métrica a otro. En el sistema in-
glés se deben usar diferentes factores de conversión, como 16 para convertir libras a
onzas, y 12 para convertir pies en pulgadas. El sistema inglés se desarrolló histórica-
mente y de forma no muy científica. 
Un sistema base 10 que sí se usa generalmente en Estados Unidos es el moneta-
rio. Así como un metro se puede dividir en 10 decímetros, 100 centímetros o 1000 mi-
límetros, la “unidad base” dólar se puede dividir en 10 “decidólares” (monedas de
diez), 100 “centidólares” (centavos) o 1000 “milidólares” (décimas de centavo, que se
usan para calcular impuestos prediales y gravámenes a los bonos). Puesto que todos
los prefijos métricos son potencias de 10, no hay análogos métricos para las mone-
das de 5 y 25 centavos de dólar.
Los prefijos métricos oficiales ayudan a evitar confusiones. En Estados Unidos,
por ejemplo, billion es mil millones (109); en tanto que en el mundo hispanoparlante y
en Gran Bretaña, un billón es un millón de millones (1012). El uso de prefijos métricos
elimina confusiones, porque giga- indica 109 y tera- indica 1012. Quizá ya haya oído ha-
blar sobre nano-, un prefijo que indica 10�9, y la nanotecnología. 
En general, nanotecnología es cualquier tecnología que se practica a escala de na-
nómetros. Un nanómetro es una milmillonésima (10�9) de un metro, aproximadamente
la anchura de tres o cuatro átomos. Básicamente, la nanotecnología implica la fabrica-
ción o construcción de cosas átomo por átomo o molécula por molécula, así que el na-
nómetro es la escala adecuada. ¿Un átomo o una molécula a la vez? Esto parecería
inverosímil, pero no lo es (véase la >figura 1.4).
Son bien conocidas las propiedades químicas de los átomos y las moléculas. Por
ejemplo, al reordenar los átomos de la hulla podría producirse un diamante. (Somos
capaces de lograrlo sin la nanotecnología, usando calor y presión.) La nanotecnología
presenta la posibilidad de construir novedosos dispositivos o “máquinas” moleculares
con propiedades y capacidades extraordinarias; por ejemplo en medicina. Las nanoes-
tructuras podrían inyectarse al cuerpo e ir a un sitio específico, como un crecimiento
canceroso, y suministrar directamente ahí un fármaco, de manera que otros órganos
del cuerpo quedaran exentos de los efectos del medicamento. (Este proceso podría
considerarse nanoquimioterapia.)
Aunque sea un tanto difícil comprender o visualizar el nuevo concepto de nano-
tecnología, tenga en mente que un nanómetro es una milmillonésima parte de un 
metro. El diámetro de un cabello humano mide aproximadamente 200 000 nanóme-
tros, algo enorme en comparación con lasnuevas nanoaplicaciones. El futuro nos de-
para una emocionante nanoera.
Volumen
En el SI, la unidad estándar de volumen es el metro cúbico (m3): la unidad tridimen-
sional derivada de la unidad base, el metro. Dado que esta unidad es bastante grande,
a menudo resulta más conveniente usar la unidad no estándar de volumen (o capaci-
dad) de un cubo de 10 cm (centímetros) por lado. Este volumen lleva el nombre de 
litro y se abrevia con L. El volumen de un litro es 1000 cm3 (10 cm � 10 cm � 10 cm).
Puesto que 1 L � 1000 mL (mililitros), se sigue que 1 mL � 1 cm3. Véase la Nfi-
gura 1.5a. [El centímetro cúbico a veces se abrevia cc, sobre todo en química y bio-
logía. Asimismo, el milímetro a veces se abrevia como ml, pero se prefiere la L
mayúscula (mL) para que no haya confusión con el número uno.]
De la figura 1.2 recordemos que la unidad estándar de masa, el kilogramo, se de-
finió originalmente como la masa de un volumen cúbico de agua de 10 cm (0.10 m) 
de lado, es decir, la masa de un litro de agua.* Esto es, 1 L de agua tiene una masa de 1 kg
Nota: el litro a veces se abrevia
con una “ele” minúscula (l), pero 
se prefiere una “ele” mayúscula (L)
para que no se confunda con el
número uno. (¿No es 1 L más claro
que 1 l?)
▲ FIGURA 1.4 Hombre molecular
Esta figura se creó desplazando 
28 moléculas, una por una. 
Cada saliente es la imagen de una 
molécula de monóxido de carbono.
Las moléculas descansan en la 
superficie de un solo cristal de 
platino. El “hombre molecular” 
mide 5 nm de alto y 2.5 nm de 
ancho (de una mano a la otra). 
Se necesitarían más de 20 000 
figuras como ésta, unidas de la 
mano, para abarcar un solo cabello
humano. Las moléculas de la 
figura se acomodaron empleando
un microscopio especial a 
temperaturas muy bajas.
* Esto se especifica a 4°C. El volumen del agua cambia ligeramente con la temperatura (expansión
térmica, capítulo 10). Para nuestros propósitos, consideraremos que el volumen del agua permanece
constante bajo condiciones normales de temperatura.
Ilustración 1.2 Animaciones,
unidades y mediciones
 b) Masa
10 cm
10 cm 10 cm
Masa de
1 L de agua = 1 kg
Agua
 a) Volumen
10 cm
10 cm
10 cm
1000 cm3 = 1 L
Masa de
1 mL de agua = 1 g
1 cm3 = 1 mL = 1 cc
(1 cm3)
1.3 Más acerca del sistema métrico 9
* La sección de Respuestas a ejercicios de refuerzo que sigue a los apéndices contiene las 
respuestas y, en el caso de Ejercicios conceptuales, el razonamiento, de todos los Ejercicios de refuerzo 
de este libro.
(figura 1.5b). También, dado que 1 kg � 1000 g y 1 L � 1000 cm3, entonces 1 cm3
(o 1 mL) de agua tiene una masa de 1 g.
Ejemplo 1.1 ■ La tonelada métrica: otra unidad de masa
Como vimos, la unidad métrica de masa originalmente estaba relacionada con el están-
dar de longitud, pues un litro (1000 cm3) de agua tenía una masa de 1 kg. La unidad mé-
trica estándar de volumen es el metro cúbico (m3), y este volumen de agua se usó para
definir una unidad más grande de masa llamada tonelada métrica. ¿A cuántos kilogramos
equivale una tonelada métrica?
Razonamiento. Un metro cúbico es un volumen relativamente grande y contiene una
gran cantidad de agua (más de una yarda cúbica; ¿por qué?). La clave es averiguar cuán-
tos volúmenes cúbicos de 10 cm por lado (litros) hay en un metro cúbico. Por tanto, es-
peraremos un número grande.
Solución. Cada litro de agua tiene una masa de 1 kg, así que deberemos averiguar cuán-
tos litros hay en 1 m3. Puesto que un metro tiene 100 cm, un metro cúbico simplemente 
es un cubo con lados de 100 cm. Por lo tanto, un metro cúbico (1 m3) tiene un volumen
de 102 cm � 102 cm � 102 cm � 106 cm3. Puesto que 1 L � 103 cm3, deberá haber (106 cm3)/
(103 cm3/L) � 1000 L en 1 m3. Por lo tanto, 1 tonelada métrica equivale a 1000 kg.
Cabe señalar que todo el razonamiento se puede expresar de forma muy concisa con
un solo cálculo:
Ejercicio de refuerzo. ¿Cuál sería la longitud de los lados de un cubo que contenga una
kilotonelada métrica de agua? (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final
del libro.)*
Los estadounidenses podrían estar más familiarizados con el litro de lo que pen-
samos, ya que su uso se está extendiendo en ese país, como muestra la ▼ figura 1.6.
Aunque el sistema inglés cada vez se usa menos, podría ser útil tener una idea de
la relación entre las unidades métricas e inglesas. Los tamaños relativos de algunas
unidades se ilustran en la Nfigura 1.7. En breve trataremos la conversión matemática
de una unidad a otra.
1 m3
1 L
=
100 cm * 100 cm * 100 cm
10 cm * 10 cm * 10 cm
= 1000 o 1 m3 = 1000 L
▲ FIGURA 1.5 El litro y el kilogramo
Otras unidades métricas se derivan
del metro. a) Una unidad de volumen
(capacidad) es el volumen de un 
cubo de 10 cm (0.01 m) por lado, y
se llama litro (L). b) La masa de un
litro de agua se definió como 1 kg.
Observe que el cubo de decímetro
contiene 1000 cm3, o 1000 mL. 
Así, 1 cm3, o 1 mL, de agua tiene
una masa de 1 g.
> FIGURA 1.6 Dos, tres, uno y 
medio litro El litro ya es una 
unidad de volumen común en 
las bebidas gaseosas.
10 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
0
2.0
2.5
3.0
3.5
1.0
1.5
0.5
Libras
0
0.250
0.500
0.750
1.000
1.250
1.500
1.750
Kilogramos
1 cm = 0.394 pulg
1 pulg = 2.54 cm
1 m = 1.09 yd
1 yd = 0.914 m
1 km = 0.621 mi
1 mi = 1.61 km
1 kg pesa
2.2 lb en la
superficie
terrestre
1 qt = 0.947 L
1 L = 1.06 qt
Masa
Volumen
Longitud
1 cm
1 pulg
1 m
1 yd
1 km
1 mi
1 qt
1 kg 1 lb
Un objeto que pesa 1 lb
en la superficie terrestre
tiene una masa de
0.454 kg
1 L
Algunas unidades de cantidades comunes
Cantidad Unidad
masa kg
tiempo s
longitud m
área m2
volumen m3
velocidad (v)
aceleración (a o g)
m
s2
m
s
TABLA 1.3
▲ FIGURA 1.7 Comparación de algunas unidades SI e inglesas Las barras ilustran 
la magnitud relativa de cada par de unidades. (Nota: las escalas de comparación son 
diferentes en cada caso.)
1.4 Análisis de unidades
OBJETIVOS: Explicar las ventajas del análisis de unidades y aplicarlo.
Las cantidades fundamentales, o base, empleadas en las descripciones físicas se llaman
dimensiones. Por ejemplo, la longitud, la masa y el tiempo son dimensiones. Podríamos
medir la distancia entre dos puntos y expresarla en unidades de metros, centímetros o
pies; pero la cantidad tendría la dimensión de longitud en los tres casos.
Las dimensiones brindan un procedimiento mediante el cual es posible verificar la
consistencia de las ecuaciones. En la práctica, resulta conveniente utilizar unidades es-
pecíficas, como m, s y kg. (Véase la tabla 1.3.) Tales unidades pueden considerarse 
cantidades algebraicas y cancelarse. El empleo de unidades para verificar ecuaciones
se llama análisis unitario, y muestra la consistencia de las unidades y si una ecuación
es dimensionalmente correcta. 
Usted seguramente habrá usado ecuaciones y sabrá que una ecuación es una
igualdad matemática. Puesto que las cantidades físicas empleadas en las ecuaciones
tienen unidades, los dos miembros de una ecuación deben ser iguales no sólo en valor numé-
rico, sino también en unidades (dimensiones). Por ejemplo, supongamos que tenemos las
cantidades de longitud a � 3.0 m y b � 4.0 m. Si insertamos estos valores en la ecua-
1.4 Análisis de unidades 11
ción a � b � c, obtendremos 3.0 m � 4.0 m � 12.0 m2. Ambos lados de la ecuación son
numéricamente iguales (3 � 4 � 12) y tienen las mismas unidades: m � m � m2 (lon-
gitud)2. Si una ecuación es correcta según el análisis de unidades, deberá ser dimen-
sionalmente correcta. El ejemplo 1.2 ilustra el uso del análisis de unidades.
Ejemplo 1.2 ■ Comprobación de dimensiones: análisis de unidades
Un profesor anota dos ecuaciones en el pizarrón: a) v � vo � at y b) x � v�2a, donde x
es una distancia en metros (m); v y vo son velocidades en metros�segundo (m�s); a es 
aceleración en (metros�segundo)�segundo, o sea, metros�segundo2 (m�s2), y t es tiempo
en segundos (s). ¿Las ecuaciones son dimensionalmente correctas? Averígüelo median-
te el análisis de unidades.Razonamiento. Simplemente insertamos las unidades de las cantidades en cada ecuación,
cancelamos y verificamos las unidades en ambos miembros.
Solución.
a) La ecuación es
v � vo � at
Al insertar las unidades de las cantidades físicas tenemos (tabla 1.3)
Observe que las unidades se cancelan como los números en una fracción. Entonces, tenemos
La ecuación es dimensionalmente correcta, ya que las unidades de cada miembro son
metros por segundo. (La ecuación también es una relación correcta, como veremos en 
el capítulo 2.)
b) Por análisis de unidades, la ecuación
es
El metro (m) no pueden ser igual al segundo (s), así que, en este caso, la ecuación es di-
mensionalmente incorrecta (longitud � tiempo) y, por lo tanto, tampoco es físicamente
correcta.
Ejercicio de refuerzo. ¿La ecuación ax � v2 es dimensionalmente correcta? (Las respuestas
de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
El análisis de unidades nos dice si una ecuación es dimensionalmente correcta,
pero una ecuación con consistencia dimensional no necesariamente expresa correc-
tamente la verdadera relación entre las cantidades. Por ejemplo, en términos de uni-
dades,
x � at2
es
m � (m�s2)(s2) � m
La ecuación es dimensionalmente correcta (longitud = longitud) pero, como veremos
en el capítulo 2, no es físicamente correcta. La forma correcta de la ecuación —tanto en
lo dimensional como en lo físico— es (La fracción no tiene dimensiones; es
un número adimensional.) El análisis de unidades no nos indica si una ecuación es co-
rrecta, sino tan sólo si es dimensionalmente consistente o no.
1
2x =
1
2 at
2.
(dimensionalmente
incorrecta)
m =
am
s
b
¢m
s2
≤ = m s * s 2 m o m = s
x =
v
2a
(dimensionalmente
correcto)
m
s
=
m
s
+
m
s
m
s
=
m
s
+ am
s2
* sb o m
s
=
m
s
+ a m
s * s 
* s b
12 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
Unidades mixtas
El análisis de unidades también nos permite verificar si se están empleando unidades
mixtas. En general, al resolver problemas es recomendable usar siempre el mismo sis-
tema de unidades y la misma unidad para una dimensión dada a lo largo del ejercicio.
Por ejemplo, suponga que quiere comprar una alfombra que se ajuste a una área
rectangular y mide los lados como 4.0 yd � 3.0 m. El área de la alfombra entonces 
sería A � l � w � 4.0 yd � 3.0 m � 12 yd · m, que confundiría al dependiente de la
tienda de alfombras. Observe que esta ecuación es dimensionalmente correcta (longi-
tud)2 � (longitud)2; pero las unidades son inconsistentes o están mezcladas. Así, el
análisis de unidades señalará unidades mixtas. Note que es posible que una ecuación
sea dimensionalmente correcta, incluso si las unidades son mixtas.
Veamos unidades mixtas en una ecuación. Suponga que usamos centímetros como
unidad de x en la ecuación
v2 � vo2 � 2ax
y que las unidades de las demás cantidades son las del ejemplo 1.2. En términos de
unidades, esta ecuación daría
es decir,
que es dimensionalmente correcto, (longitud)2�(tiempo)2, en ambos lados de la ecua-
ción. Pero las unidades son mixtas (m y cm). Los términos del lado derecho no deben
sumarse sin convertir primero los centímetros a metros.
Cómo determinar las unidades de cantidades
Otro aspecto del análisis de unidades, que es muy importante en física, es la determi-
nación de las unidades de cantidades a partir de las ecuaciones que las definen. Por
ejemplo, la densidad (representada por la letra griega rho, �) se define con la ecuación
(densidad) (1.1)
donde m es masa y V es volumen. (La densidad es la masa de un objeto o sustancia por
unidad de volumen, e indica qué tan compacta es esa masa.) ¿Qué unidades tiene la
densidad? En el SI, la masa se mide en kilogramos; y el volumen, en metros cúbicos.
Por lo tanto, la ecuación definitoria
� � m�V (kg�m3)
da la unidad derivada para la densidad: kilogramos por metro cúbico (kg�m3) en el SI.
¿Qué unidades tiene �? La relación entre la circunferencia (c) y el diámetro (d) de
un círculo está dada por la ecuación c � �d, así que � � c�d. Si la longitud se mide 
en metros, entonces
Así pues, la constante � no tiene unidades, porque se cancelan. Es una constante adi-
mensional con muchos dígitos, como vimos en la sección Hechos de física al inicio de
este capítulo.
1.5 Conversión de unidades
OBJETIVOS: a) Explicar las relaciones del factor de conversión y b) aplicarlas 
para convertir unidades dentro de un sistema o de un sistema de 
unidades a otro.
Como las unidades de diferentes sistemas, o incluso diferentes unidades dentro del
mismo sistema, pueden expresar la misma cantidad, a veces es necesario convertir las
p =
c
d
 a m 
 m 
b
r =
m
V
m2
s2
=
m2
s2
+
m * cm
s2
am
s
b 2 = am
s
b 2 + ¢m * cm
s2
≤
1.5 Conversión de unidades 13
unidades de una cantidad a otra unidad. Por ejemplo, quizá tengamos que convertir
pies en yardas o pulgadas en centímetros. Usted ya sabe cómo efectuar muchas con-
versiones de unidades. Si una habitación mide 12 ft de largo, ¿qué longitud tiene en
yardas? La respuesta inmediata es 4 yd.
¿Cómo hizo esta conversión? Para ello es necesario conocer una relación entre las
unidades pie y yardas. El lector sabe que 3 ft � 1 yd. Esto se denomina enunciado de
equivalencia. Como vimos en la sección 1.4, los valores numéricos y las unidades deben
ser iguales en ambos lados de una ecuación. En los enunciados de equivalencia, sole-
mos utilizar un signo de igual para indicar que 1 yd y 3 ft representan la misma lon-
gitud, o una longitud equivalente. Los números son distintos porque están en diferentes
unidades de longitud.
Matemáticamente, si queremos cambiar de unidades, usamos factores de conver-
sión, que son enunciados de equivalencia expresados en forma de cocientes; por ejem-
plo, 1 yd�3 ft o 3 ft�1 yd. (Por conveniencia es común omitir el “1” en el denominador
de tales cocientes; por ejemplo, 3 ft�yd.) Para comprender la utilidad de tales co-
cientes, observe la expresión 1 yd � 3 ft en la forma:
Como se aprecia en estos ejemplos, el valor real de un factor de conversión es 1, y
podemos multiplicar cualquier cantidad por 1 sin que se alteren su valor ni su mag-
nitud. Por lo tanto, un factor de conversión simplemente nos permite expresar una cantidad 
en términos de otras unidades sin alterar su valor ni su magnitud física.
La forma en que convertimos 12 pies en yardas se expresa matemáticamente
como:
(las unidades de cancelan)
Si usamos el factor de conversión adecuado, las unidades se cancelarán, como indican
las rayas diagonales, de manera que el análisis de unidades es correcto, yd � yd.
Supongamos que nos piden convertir 12.0 pulgadas a centímetros. Tal vez en este
caso no conozcamos el factor de conversión; pero podríamos obtenerlo de una ta-
bla (como la que viene en los forros de este libro) que da las relaciones necesarias: 
1 pulg � 2.54 cm o 1 cm � 0.394 pulg. No importa cuál de estos enunciados de equi-
valencia utilicemos. La cuestión, una vez que hayamos expresado el enunciado de
equivalencia como factor de conversión, es si debemos multiplicar por ese factor o 
dividir entre él para efectuar la conversión. Al convertir unidades, hay que aprovechar el
análisis de unidades; es decir, hay que dejar que las unidades determinen la forma ade-
cuada del factor de conversión.
Observe que el enunciado de equivalencia 1 pulg � 2.54 cm puede dar pie a dos
formas del factor de conversión: 1 pulg�2.54 cm o 2.54 cm�1 pulg. Al convertir pulg 
a cm, la forma apropiada para multiplicar es 2.54 cm�pulg. Al convertir centímetros a
pulgada, debemos usar la forma 1 pulg�2.54 cm. (Se podrían usar las formas inversas
en cada caso; pero las cantidades tendrían que dividirse entre los factores de conver-
sión para que las unidades se cancelen correctamente.) En general, en todo este libro
usaremos la forma de los factores de conversión por la que se multiplica.
Unos cuantos enunciados de equivalencia de uso común no son dimensional ni 
físicamente correctos; por ejemplo, considere 1 kg � 2.2 lb, que se usa para determinarrápidamente el peso de un objeto que está cerca de la superficie de la Tierra, dada 
su masa. El kilogramo es una unidad de masa; y la libra, una unidad de peso. Esto 
implica que 1 kg equivale a 2.2 lb; es decir, una masa de 1 kg tiene un peso de 2.2 lb. 
Puesto que la masa y el peso son directamente proporcionales, podemos usar el fac-
tor de conversión dimensionalmente incorrecto 1 kg�2.2 lb (pero únicamente cerca de 
la superficie terrestre).
12 ft *
1 yd
3 ft 
= 4 yd
1 yd
3 ft
=
3 ft
3 ft
= 1 o 3 ft
1 yd
=
1 yd
1 yd
= 1
Nota: 1 kg de masa tiene un peso
equivalente de 2.2 lb cerca de la
superficie de la Tierra.
 a)
 b)
14 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
Ejemplo 1.3 ■ Conversión de unidades: uso de factores de conversión
a) Un jugador de baloncesto tiene 6.5 ft de estatura. ¿Qué estatura tiene en metros? 
b) ¿Cuántos segundos hay en un mes de 30 días? c) ¿Cuánto es 50 mi/h en metros por 
segundo? (Véase la tabla de factores de conversión en los forros de este libro.)
Razonamiento. Si usamos los factores de conversión correctos, el resto es sólo aritmética.
Solución.
a) De la tabla de conversión, tenemos que 1 ft � 0.305 m, así que
En la >Fig. 1.8 se muestra otra conversión pies-metros. ¿Es correcta?
b) El factor de conversión para días y segundos está disponible en la tabla (1 día � 86 400 s),
pero quizá no siempre tengamos una tabla a la mano. Podemos usar varios factores de
conversión bien conocidos para obtener el resultado:
Observe cómo el análisis de unidades se encarga de comprobar los factores de conversión.
El resto es simple aritmética.
c) En este caso, la tabla de conversión indica 1 mi � 1609 m y 1 h � 3600 s. (Esto último
se puede calcular fácilmente.) Usamos estos cocientes para cancelar las unidades que se
van a cambiar, y dejar así las unidades deseadas:
Ejercicio de refuerzo. a) Convierta 50 mi/h directamente a metros por segundo emplean-
do un solo factor de conversión y b) demuestre que este factor de conversión único se
puede deducir de los del inciso c). (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan 
al final del libro.)
Ejemplo 1.4 ■ Más conversiones: un sistema de capilares 
en verdad largo
Los capilares, los vasos sanguíneos más pequeños del cuerpo, conectan el sistema arte-
rial con el venoso y suministran oxígeno y nutrimentos a nuestros tejidos (▼ figura 1.9). 
Se calcula que si todos los capilares de un adulto se enderezaran y conectaran extremo
con extremo alcanzarían una longitud de unos 64 000 km. a) ¿Cuánto es esto en millas? 
b) Compare esta longitud con la circunferencia de la Tierra.
Razonamiento. a) Esta conversión es sencilla; basta con usar el factor de conversión
apropiado. b) ¿Cómo calculamos la circunferencia de un círculo o esfera? Hay una ecua-
50 mi 
1 h 
*
1609 m
1 mi 
*
1 h 
3600 s
= 22 m>s
30 
 días 
mes
*
24 h 
 día 
*
60 min 
 h 
*
60 s
 min 
=
2.6 * 106 s
mes
6.5 ft *
0.305 m
1 ft 
= 2.0 m
▲ FIGURA 1.8 Conversión de 
unidades Algunos letreros 
indican unidades tanto inglesas 
como métricas, como éstos que 
dan altitud y rapidez.
N FIGURA 1.9 Sistema de capilares
Los capilares conectan los sistemas
arterial y venoso del cuerpo. Son los
vasos sanguíneos más pequeños, 
sin embargo, su longitud total es 
impresionante.
1.5 Conversión de unidades 15
ción para hacerlo, pero necesitamos conocer el radio o el diámetro de la Tierra. (Si no 
recuerda uno de estos valores, vea la tabla de datos del sistema solar en los forros de 
este libro.)
Solución.
a) En la tabla de conversión vemos que 1 km � 0.621 mi, así que
(redondeo)
b) Una longitud de 40 000 mi es considerable. Para compararla con la circunferencia (c)
de la Tierra, recordemos que el radio de la Tierra mide aproximadamente 4000 mi, de 
manera que el diámetro (d) es 8000 mi. La circunferencia de un círculo está dada por 
c � �d, y 
(sin redondeo)
[Para que la comparación sea general, redondearemos � (� 3.14…) a 3. El símbolo �
significa “aproximadamente igual a“.]
Entonces,
Los capilares de nuestro cuerpo tienen una longitud total que daría 1.7 veces vuelta al
mundo. ¡Caramba!
Ejercicio de refuerzo. Si tomamos la distancia promedio entre la costa este y la oeste de
Estados Unidos como 4800 km, ¿cuántas veces cruzaría ese país la longitud total de los 
capilares de nuestro cuerpo? (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final 
del libro.)
Ejemplo 1.5 ■ Conversión de unidades de área: elegir el factor 
de conversión correcto
Un tablero de avisos tiene una área de 2.5 m2. Exprese esta área en centímetros cuadra-
dos (cm2).
Razonamiento. Este problema es una conversión de unidades de área, y sabemos que 
1 m � 100 cm. Por lo tanto, habría que elevar al cuadrado para obtener metros cuadra-
dos y centímetros cuadrados.
Solución. Un error común en esta clase de conversiones es usar factores incorrectos. 
Dado que 1 m = 100 cm, algunos suponen que 1 m2 � 100 cm2, lo cual es falso. El factor 
de conversión de área correcto puede obtenerse directamente del factor de conversión 
lineal correcto, 100 cm�1 m, o 102 cm�1 m, elevándolo al cuadrado el factor de conver-
sión lineal:
Entonces, 1 m2 � 104 cm2 (� 10 000 cm2), y podemos escribir lo siguiente:
Ejercicio de refuerzo. ¿Cuántos centímetros cúbicos hay en un metro cúbico? (Las respues-
tas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
A lo largo de este libro, presentaremos varios Ejemplos conceptuales. Éstos mues-
tran el razonamiento seguido para aplicar conceptos específicos, a menudo con pocas
matemáticas, o sin ellas.
2.5 m2 * ¢102 cm
1 m
≤ 2 = 2.5 m2 * 104 cm2
1 m2 
= 2.5 * 104 cm2
¢ 102 cm
1 m
≤ 2 = 104 cm2
1 m2
longitud de capilares
circunferencia de la Tierra
=
40 000 mi
24 000 mi
= 1.7
c = pd L 3 * 8000 mi L 24 000 mi
64 000 km *
0.621 mi
1 km 
= 40 000 mi
A FONDO
16 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
1.3 ¿Es importante la conversión de unidades?
La respuesta a esta pregunta es “¡Ya lo creo!” Veamos un par de
casos ilustrativos. En 1999, la sonda Mars Climate Orbiter hizo
un viaje al Planeta Rojo para investigar su atmósfera (figura 1).
La nave espacial se aproximó a Marte en septiembre, pero de
pronto se perdió el contacto entre la sonda y el personal en la
Tierra, y no se volvió a recibir señal de Mars. Las investigacio-
nes demostraron que la sonda se había aproximado a Marte a
una altitud mucho más baja de la planeada. En vez de pasar 
a 147 km (87 millas) por encima de la superficie marciana, los
datos recabados indicaron que Mars seguía una trayectoria que
la llevaría a tan sólo 57 km (35 millas) de la superficie. Como 
resultado, la nave espacial se quemó en la atmósfera de Marte 
o chocó contra la superficie.
¿Cómo pudo suceder esto? Las investigaciones indican
que el fracaso del Orbiter se debió primordialmente a un pro-
blema con la conversión de unidades. En Lockheed Martin As-
tronautics, donde se construyó la nave espacial, los ingenieros
calcularon la información de navegación en unidades inglesas.
Cuando los científicos del Laboratorio de Propulsión de la NA-
SA recibieron los datos, supusieron que la información estaba
en unidades métricas, como se pedía en las especificaciones de
la misión. No se hizo la conversión de unidades, y una nave es-
pacial de 125 millones de dólares se perdió en el Planeta Rojo,
lo que provocó la vergüenza de muchas personas.
Más cerca de la Tierra, en 1983, el vuelo 143 de Air Canada
seguía su trayecto de Montreal a Edmonton, Canadá, con 61
pasajeros a bordo del nuevo Boeing 767, el avión más avanza-
do del mundo para entonces. Casi a la mitad del vuelo, una luz
de advertencia se encendió para una de las bombas de com-
bustible, luego para otra, y finalmente para las cuatro bombas.
Los motores se detuvieron y entonces este avanzado avión se
volvió un planeador, cuando estaba a unas 100 millas del aero-
puerto más cercano, en Winnipeg. Sin los motores funcionan-
do, el avión del vuelo 143 se habría precipitado a 10 millas delaeropuerto, así que fue desviado a un viejo campo de aterriza-
je de la Real Fuerza Aérea Canadiense, en Gimli. El piloto ma-
niobró el avión sin potencia para el aterrizaje, deteniéndose a
corta distancia de una barrera. ¿Acaso el avión apodado “el
planeador de Gimli” tenía bombas de combustible en mal es-
tado? No, ¡se quedó sin combustible!
Este reciente desastre fue provocado por otro problema de
conversión. Las computadoras del combustible no funciona-
ban adecuadamente, así que los mecánicos utilizaron el anti-
guo procedimiento de medir el combustible en los tanques con
una varilla de medición. La longitud de la varilla que se moja
permite determinar el volumen de combustible por medio de
valores en las tablas de conversión. Air Canada, durante años,
había calculado la cantidad de combustible en libras; mientras
que el consumo de combustible del 767 se expresaba en kilo-
gramos. Y algo aún peor, el procedimiento de la varilla de me-
dición daba la cantidad de combustible a bordo en litros, y no
en libras o en kilogramos. El resultado fue que la aeronave se
cargó con 22 300 lb de combustible en vez de los 22 300 kg que
se requerían. Como 1 lb tiene una masa de 0.45 kg, el avión lle-
vaba menos de la mitad del combustible necesario.
Estos incidentes destacan la importancia de emplear las
unidades adecuadas, de efectuar correctamente las conversio-
nes de unidades y de trabajar consistentemente con un mismo
sistema de unidades. Varios ejercicios al final del capítulo lo de-
safiarán a desarrollar sus habilidades para realizar las conver-
siones de unidades de manera precisa.
FIGURA 1 Mars Climate Orbiter La concepción de un artista de Mars
cerca de la superficie del Planeta Rojo. La verdadera sonda se quemó
en la atmósfera marciana, o chocó contra la superficie. La causa se 
atribuyó a la confusión de unidades, y el resultado fue que se perdió
una nave espacial de 125 millones de dólares.
Ejemplo conceptual 1.6 ■ Comparación de rapidez usando 
conversión de unidades
Dos estudiantes difieren en lo que consideran la rapidez más alta, a) 1 km�h o b) 1 m�s.
¿Cuál elegiría usted? Plantee claramente el razonamiento que siguió para llegar a su respuesta,
antes de leer el párrafo siguiente. Es decir, ¿por qué escogió esa respuesta?
Razonamiento y respuesta. Para contestar esto, hay que comparar las cantidades en las
mismas unidades, lo cual implica conversión de unidades, tratando de encontrar las con-
versiones más sencillas. Al ver el prefijo kilo-, sabemos que 1 km es 1000 m. También, una
hora se puede expresar como 3600 s. Entonces, la razón numérica de km�h es menor 
que 1, y 1 km�h � 1 m�s, así que la respuesta es b). [1 km�h � 1000 m�3600 s � 0.3 m�s.]
Ejercicio de refuerzo. Un estadounidense y un europeo están comparando el rendimien-
to de la gasolina en sus respectivas camionetas. El estadounidense calcula que obtiene 
10 mi�gal, y el europeo, 10 km�L. ¿Qué vehículo rinde más? (Las respuestas de todos los
Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Algunos ejemplos de la importancia de la conversión de unidades se incluyen en
la sección A fondo 1.3.
1.6 Cifras significativas 17
▲ FIGURA 1.10 Cifras significativas
y no significativas Para la operación
de división 5.3�1.67, una calculadora
con punto decimal flotante da 
muchos dígitos. Una cantidad 
calculada no puede ser más exacta
que la cantidad menos exacta que
interviene en el cálculo, de manera
que este resultado debería redon-
dearse a dos cifras significativas, 
es decir, 3.2.
1.6 Cifras significativas
OBJETIVOS: a) Determinar el número de cifras significativas de un valor numérico,
y b) informar el número correcto de cifras significativas después de
realizar cálculos sencillos.
Cuando se nos pide resolver un problema, generalmente nos ofrecen datos numéri-
cos. Por lo regular, tales datos son números exactos o números medidos (cantidades). 
Los números exactos son números sin incertidumbre ni error. Esta categoría incluye
números como el “100” que se usa para calcular porcentajes, y el “2” de la ecuación 
r � d�2 que relaciona el radio con el diámetro de un círculo. Los números medidos
son números que se obtienen a través de procesos de medición, por lo que casi siem-
pre tienen cierto grado de incertidumbre o error.
Cuando efectuamos cálculos con números medidos, el error de medición se pro-
paga, o se arrastra, en las operaciones matemáticas. Entonces, surge la duda de cómo
informar el error en un resultado. Por ejemplo, supongamos que nos piden calcu-
lar el tiempo (t) con la fórmula x � vt y se nos dice que x � 5.3 m y v � 1.67 m�s. 
Entonces,
Si hacemos la división en calculadora, obtendremos un resultado como 3.173 652 695 se-
gundos (Nfigura 1.10). ¿Cuántas cifras, o dígitos, deberíamos informar en la respuesta?
El error de incertidumbre del resultado de una operación matemática podría 
calcularse usando métodos estadísticos. Un procedimiento más sencillo, y ampliamen-
te utilizado, para estimar la incertidumbre implica el uso de cifras significativas (cs) 
o dígitos significativos. El grado de exactitud de una cantidad medida depende de qué
tan finamente dividida esté la escala de medición del instrumento. Por ejemplo, 
podríamos medir la longitud de un objeto como 2.5 cm con un instrumento y 2.54 cm
con otro; el segundo instrumento brinda más cifras significativas y un mayor grado 
de exactitud.
Básicamente, las cifras significativas en cualquier medición son los dígitos que se conocen
con certeza, más un dígito que es incierto. Este conjunto de dígitos por lo regular se define
como todos los dígitos que se pueden leer directamente del instrumento con que se 
hizo la medición, más un dígito incierto que se obtiene estimando la fracción de la di-
visión más pequeña de la escala del instrumento.
Las cantidades 2.5 cm y 2.54 cm tienen dos y tres cifras significativas, respectiva-
mente, lo cual es bastante evidente. Sin embargo, podría haber cierta confusión si una
cantidad contiene uno o más ceros. Por ejemplo, ¿cuántas cifras significativas tiene 
la cantidad 0.0254 m? ¿Y 104.6 m? ¿2705.0 m? En tales casos, nos guiamos por estas 
reglas:
1. Los ceros al principio de un número no son significativos. Simplemente ubican 
el punto decimal. Por ejemplo,
0.0254 m tiene tres cifras significativas (2, 5, 4)
2. Los ceros dentro de un número son significativos. Por ejemplo,
104.6 m tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 4, 6)
3. Los ceros al final de un número, después del punto decimal, son significativos.
Por ejemplo,
2705.0 m tiene cinco cifras significativas (2, 7, 0, 5, 0)
4. En el caso de enteros sin punto decimal, que terminan con uno o más ceros (ceros
a la derecha) —por ejemplo, 500 kg— los ceros podrían ser significativos o no. 
En tales casos, no queda claro cuáles ceros sirven sólo para ubicar el punto deci-
mal y cuáles son realmente parte de la medición. Es decir, si el primer cero de la
izquierda (500 kg) es el dígito estimado en la medición, sólo se conocerán con
certeza dos dígitos, y sólo habrá dos cifras significativas. Asimismo, si el último
t =
x
v
=
5.3 m
1.67 m>s = ?
18 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
* Cabe señalar que estas reglas dan una exactitud aproximada, a diferencia de los resultados que
se obtienen con métodos estadísticos más avanzados.
cero es el dígito estimado (500 kg), habrá tres cifras significativas. Esta ambigüe-
dad podría eliminarse empleando notación científica (de potencias de 10):
5.0 � 102 kg tiene dos cifras significativas
5.00 � 102 kg tiene tres cifras significativas
Esta notación ayuda a expresar los resultados de los cálculos con el número co-
rrecto de cifras significativas, como veremos en breve. (El apéndice I incluye un
repaso de la notación científica.)
(Nota: para evitar confusiones cuando demos cantidades con ceros a la derecha en
los ejemplos y los ejercicios del texto, consideraremos que esos ceros son signifi-
cativos. Por ejemplo, supondremos que un tiempo de 20 s tiene dos cifras signi-
ficativas, aunque no loescribamos como 2.0 � 101 s.)
Es importante informar los resultados de operaciones matemáticas con el número
correcto de cifras significativas. Esto se logra siguiendo las reglas de 1) multiplicación
y división y 2) suma y resta. Para obtener el número correcto de cifras significativas,
los resultados se redondean. He aquí algunas reglas generales que usaremos para las
operaciones matemáticas y el redondeo.
Cifras significativas en cálculos
1. Al multiplicar y dividir cantidades, deje tantas cifras significativas en la respuesta
como haya en la cantidad con menos cifras significativas.
2. Al sumar o restar cantidades, deje el mismo número de posiciones decimales (re-
dondeadas) en la respuestas como haya en la cantidad con menos decimales.
Reglas para redondear*
1. Si el primer dígito a desechar es menor que 5, deje el dígito anterior como está.
2. Si el primer dígito a desechar es 5 o más, incremente en 1 el dígito anterior.
Las reglas para cifras significativas implican que el resultado de un cálculo no puede
ser más exacto que la cantidad menos exacta empleada. Es decir, no podemos au-
mentar la exactitud realizando operaciones matemáticas. Por lo tanto, el resultado
que debería informarse para la operación de división que vimos al principio de esta
sección es
(2 cs)
(2 cs)
(3 cs)
El resultado se redondea a dos cifras significativas. (Véase la figura 1.10.)
En los ejemplos que siguen se aplican estas reglas.
Ejemplo 1.7 ■ Uso de cifras significativas al multiplicar y dividir:
aplicaciones de redondeo
Se realizan las operaciones siguientes y los resultados se redondean al número correcto de
cifras significativas:
Multiplicación
2.4 m � 3.65 m � 8.76 m2 � 8.8 m2 (redondeado a dos cs)
(2 cs) (3 cs)
División
(4 cs)
(representado con tres cs; ¿por qué?)
(3 cs)
725.0 m
0.125 s
= 5800 m>s = 5.80 * 103 m>s
5.3 m
1.67 m>s = 3.2 s
1.6 Cifras significativas 19
Ejercicio de refuerzo. Realice las siguientes operaciones y exprese las respuestas en la 
notación de potencias de 10 estándar (un dígito a la izquierda del punto decimal) con el
número correcto de cifras significativas: a) (2.0 � 105 kg)(0.035 � 102 kg) y b) (148 � 10�6 m)�
(0.4906 � 10�6 m). (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Ejemplo 1.8 ■ Uso de cifras significativas al sumar y restar:
aplicación de las reglas
Se efectúan las siguientes operaciones encontrando el número que tiene menos decimales.
(Por conveniencia se han omitido las unidades.)
Suma
En los números a sumar, observe que 23.1 es el que menos decimales tiene (uno):
25.1
Resta
Se usa el mismo procedimiento de redondeo. Aquí, 157 tiene el menor número de decimales
(ninguno).
152
Ejercicio de refuerzo. Dados los números 23.15, 0.546 y 1.058, a) sume los primeros dos
números y b) reste el último número al primero. (Las respuestas de todos los Ejercicios de 
refuerzo se dan al final del libro.)
Supongamos que debemos efectuar operaciones mixtas: multiplicación y/o
división y suma y/o resta. ¿Qué hacemos en este caso? Simplemente seguimos las
reglas de orden de las operaciones algebraicas, tomando nota de las cifras significati-
vas sobre la marcha.
El número de dígitos que se informan en un resultado depende del número de
dígitos de los datos. En general, en los ejemplos de este libro se obedecerán las reglas
de redondeo, aunque habrá excepciones que darían pie a una diferencia, como se
explica en la siguiente Sugerencia para resolver problemas.
Sugerencia para resolver problemas: la respuesta “correcta”
Al resolver problemas, el lector naturalmente tratará de obtener la respuesta correcta y
quizá cotejará sus respuestas con las de la sección Respuestas a ejercicios impares al final
del libro. Habrá ocasiones en que su respuesta difiera ligeramente de la que se da, aun-
que haya resuelto el problema de forma correcta. Esto podría deberse a varias cosas.
Como ya dijimos, lo mejor es redondear únicamente el resultado final de un cálcu-
lo de varias partes; sin embargo, esta práctica no siempre es conveniente en cálculos
complejos. Hay casos en que los resultados de pasos intermedios son importantes en 
sí y deben redondearse al número adecuado de dígitos, como si fueran la respuesta 
final. Asimismo, los ejemplos de este libro a menudo se resuelven en pasos que mues-
tran las etapas de razonamiento de la solución. Los resultados que se obtienen cuan-
do se redondean los resultados de pasos intermedios tal vez difieran ligeramente,
de aquellos que se obtienen cuando sólo se redondea la respuesta final.
También podría haber diferencias de redondeo cuando se usan factores de con-
versión. Por ejemplo, al convertir 5.0 mi a kilómetros, podríamos usar una de las dos
formas del factor de conversión que se incluyen en los forros del libro:
(dos cifras significativas)
y
(dos cifras significativas)5.0 mi a 1 km
0.621 mi 
b = 18.051 km2 = 8.1 km
5.0 mi a1.609 km
1 mi 
b = 18.045 km2 = 8.0 km
 
 
 (redondeando) 
" 
157
-5.5
151.5
 
 
 (redondeando) 
" 
23.1
0.546
1.45
25.096
(continúa en la siguiente página)
Exploración 1.1 Seleccionar y arrastrar
a una posición
1. Lea detenidamente el problema
y analícelo.
2. Donde sea apropiado, dibuje
un diagrama.
3. Anote los datos que se dan
y lo que se pide. (Si es necesario
realice conversiones de unidades.) 
4. Determine qué principio(s)
son aplicables.
5. Realice los cálculos con los
datos disponibles.
6. Considere si el resultado
es razonable.
20 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
La diferencia se debe al redondeo de los factores de conversión. En realidad, 
1 km = 0.6214 mi, así que 1 mi � (1�0.6214) km � 1.609 269 km � 1.609 km. (Repita
tales conversiones empleando los factores no redondeados, y vea qué obtiene.) Para
evitar las diferencias de redondeo en las conversiones, por lo general utilizaremos 
la forma de multiplicación de los factores de conversión, como en la primera de 
las ecuaciones anteriores, a menos que haya un factor exacto conveniente, como 
1 min�60 s.
Quizá haya pequeñas diferencias en las respuestas cuando se emplean diferen-
tes métodos para resolver un problema, debido a diferencias de redondeo. Tenga
presente que, al resolver problemas (para lo cual se da un procedimiento general en
la sección 1.7), si su respuesta difiere de la del texto únicamente en el último dígito, lo más
probable es que la disparidad sea una diferencia de redondeo al utilizar un método de resolu-
ción alternativo.
1.7 Resolución de problemas
OBJETIVOS: a) Establecer un procedimiento general para resolver problemas y 
b) aplicarlo a problemas representativos.
Un aspecto destacado de la física es la resolución de problemas. En general, ello sig-
nifica aplicar principios y ecuaciones de física a los datos de una situación específica,
para encontrar el valor de una cantidad desconocida o deseada. No existe un método
universal para enfrentar un problema que automáticamente produzca una solución.
Aunque no hay una fórmula mágica para resolver problemas, si tenemos varias prác-
ticas consistentes que son muy útiles. Los pasos del siguiente procedimiento buscan
ofrecerle un marco general para aplicar a la resolución de la mayoría de los problemas
que se plantean en el texto. (Tal vez desee realizar modificaciones para ajustarlo a su
propio estilo.)
En general, seguiremos estos pasos al resolver los problemas de ejemplo a lo lar-
go del texto. Se darán más sugerencias útiles para resolver problemas donde sea con-
veniente.
Procedimiento general para resolver problemas
1. Lea detenidamente el problema y analícelo. ¿Qué es lo que se pide y qué es lo que dan?
2. Donde sea apropiado, dibuje un diagrama como ayuda para visualizar y analizar la situa-
ción física del problema. Este paso quizá no sea necesario en todos los casos, pero 
a menudo resulta útil.
3. Anote los datos que se dan y lo que se pide. Asegúrese que los datos estén expresados en el
mismo sistema de unidades (por lo general el SI). Si es necesario utilice el procedimien-to de conversión de unidades que vimos en este capítulo. Quizás algunos datos 
no se den de forma explícita. Por ejemplo, si un automóvil “parte del reposo”, su
rapidez inicial es cero (vo � 0). En algunos casos, se espera que el lector conozca
ciertas cantidades, como la aceleración debida a la gravedad, g, o que las busque
en tablas.
4. Determine qué principio(s) y ecuación(es) son aplicables a la situación y cómo podrían 
llevarlo de la información dada a lo que se pide. Tal vez sea necesario idear una estra-
tegia de varios pasos. Asimismo, intente simplificar las ecuaciones lo más posible
con manipulación algebraica. Cuanto menos cálculos realice, será menos proba-
ble que se equivoque: no inserte los números antes de tiempo.
5. Sustituya las cantidades dadas (los datos) en la(s) ecuación(es) y efectúe los cálculos. In-
forme el resultado en las unidades apropiadas y con el número correcto de cifras
significativas.
6. Considere si el resultado es razonable o no. ¿La respuesta tiene una magnitud adecua-
da? (Es decir, ¿está en el orden correcto?) Por ejemplo, si la masa calculada para
una persona resulta ser 4.60 � 102 kg, hay que dudar del resultado, pues 460 kg 
es un peso muy alto. >La figura 1.11 resume los principales pasos como un diagra-
ma de flujo.
▲ FIGURA 1.11 Diagrama de flujo
del procedimiento sugerido para
resolver problemas
h =1.30 m Ab
Ae
eje del cilindro
A = 2Ae + Ab
r = 50.0
 cm
1.7 Resolución de problemas 21
En general, hay tres tipos de ejemplos en este texto, como se indica en la tabla 1.4.
Los pasos anteriores serían aplicables a los primeros dos tipos, puesto que incluyen
cálculos. Los ejemplos conceptuales, en general, no siguen estos pasos, ya que son pre-
cisamente de naturaleza conceptual.
Al leer los ejemplos y los ejemplos integrados trabajados, usted deberá recono-
cer la aplicación general o el flujo de los pasos anteriores. Este formato se utilizará a lo
largo del texto. Tomemos un ejemplo y otro integrado a manera de ilustración. En es-
tos ejemplos se harán comentarios para destacar el enfoque de la resolución del pro-
blema y los pasos a seguir; esto no se hará en todos los ejemplos del libro, pero deberá
comprenderse. Como en realidad no se han expuesto aún principios físicos, utilizare-
mos problemas de matemáticas y trigonometría, que servirán como un buen repaso.
Ejemplo 1.9 ■ Encontrar el área de la superficie externa 
de un contenedor cilíndrico
Un contenedor cilíndrico cerrado, que se utiliza para almacenar material de un proceso
de fabricación, tiene un radio exterior de 50.0 cm y una altura de 1.30 m. ¿Cuál es el área
total de la superficie exterior del contenedor?
Razonamiento. (En este tipo de ejemplo, la sección Razonamiento generalmente combina
los pasos 1 y 2 de la resolución de problemas que se explicaron antes.)
Debería notarse inmediatamente que las medidas de longitud se dan en unidades
distintas, de manera que se requiere una conversión de unidades. Para visualizar y ana-
lizar el cilindro, resulta útil hacer un diagrama (Nfigura 1.12). Con esta información en
mente, se procede a encontrar la solución, utilizando la fórmula para el área de un cilin-
dro (las áreas combinadas de los extremos circulares y la parte lateral del cilindro).
Solución. Se anota la información que se tiene y lo que se necesita encontrar (paso 3 del
procedimiento):
Dados: Encuentre: A (el área de la superficie exterior del cilindro)
Primero, hay que ocuparse de las unidades. En este caso, usted debería ser capaz de es-
cribir de inmediato r � 50.0 cm � 0.500 m. Pero, con frecuencia, las conversiones no son
obvias, así que detengámonos en la conversión de unidades para ilustrar:
Hay ecuaciones generales para obtener el área (y volumen) de objetos con formas comu-
nes. El área de un cilindro se puede encontrar fácilmente (en el apéndice I); pero suponga-
mos que usted no cuenta con esa fuente. En ese caso, le será posible determinarla. 
Al observar la figura 1.12, note que el área de la superficie exterior de un cilindro consiste
en el área de dos extremos circulares y el área de un rectángulo (el cuerpo del cilindro ex-
tendido). Las ecuaciones para las áreas de estas formas comunes se recuerdan fácilmente.
Entonces, el área de los dos extremos sería
y el área del cuerpo del cilindro es
Así, el área total es
Los datos podrían colocarse en la ecuación; pero en ocasiones es conveniente simplificar
esta última para ahorrarse algunos pasos en el cálculo.
y el resultado parece razonable considerando las dimensiones del cilindro.
Ejercicio de refuerzo. Si el grosor de las paredes de la parte lateral y de los extremos del
cilindro es de 1.00 cm, ¿cuál es el volumen interior del cilindro? (Las respuestas a los Ejer-
cicios de refuerzo vienen al final del libro.)
 = p11.80 m22 = 5.65 m2 A = 2pr1r + h2 = 2p10.500 m210.500 m + 1.30 m2
A = 2Ae + Ab = 2pr2 + 2prh
(circunferencia del extremo circular 
 multiplicada por la altura)
Ab = 2pr * h
(dos veces el extremo del área circular;
 área del círculo = pr2)2Ae = 2 * pr
2
r = 50.0 cm a 1 m
100 cm
b = 0.500 m
 h = 1.30 m
 r = 50.0 cm
▲ FIGURA 1.12 Un paso útil en la
resolución del problema Hacer un
diagrama le ayudará a visualizar y
a comprender mejor la situación.
Véase el ejemplo 1.9.
Tipos de
ejemplosTABLA 1.4
Ejemplo: principalmente 
matemático por naturaleza
Secciones: Razonamiento
Solución
Ejemplo integrado: 
a) opción múltiple conceptual, 
b) refuerzo matemático
Secciones:a) Razonamiento 
conceptual
b) Razonamiento 
cuantitativo 
y Solución
Ejemplo conceptual: En general, 
sólo se necesita razonamiento 
para obtener la respuesta, aunque 
en ocasiones se requiere de 
matemáticas simples para 
justificar el razonamiento
Secciones: Razonamiento 
y Respuesta
triángulo
recto
triángulo
isósceles
4.0 m
4.0 m
3.0 m
3.0 m
r
u2
u1
22 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
▲ FIGURA 1.13 Proyecto para un
arriate de flores Dos tipos de
triángulos para un arriate de flores.
Véase el ejemplo 1.10.
Funciones trigonométricas básicas:
 tan u =
sen u
cos u
=
y
x
 a cateto opuesto
cateto adyacente
b
 sen u =
y
r
 a cateto opuesto
hipotenusa
b
 cos u =
x
r
 a cateto adyacente
hipotenusa
b
Ejemplo integrado 1.10 ■ Lados y ángulos
a) Una especialista en jardinería dispone de un terreno rectangular que mide 3.0 � 4.0 m.
Desea utilizar la mitad de esta área para hacer un arriate de flores. De los dos tipos de
triángulos que se ilustran en la >figura 1.13, ¿cuál debería utilizar para hacer esto? 1) El
triángulo recto, 2) el triángulo isósceles (con dos lados iguales), o 3) cualquiera de los dos.
b) Al diseñar el arriate, la jardinera decide utilizar el triángulo recto. Como quiere deli-
mitar los lados con hileras de piedras, necesita conocer la longitud total (L) de los lados
del triángulo. También le gustaría conocer los valores de los ángulos agudos del trián-
gulo. ¿Podría ayudarla para que no tenga que tomar las medidas?
a ) Razonamiento conceptual. El terreno rectangular tiene una área total de 3.0 � 4.0 m �
12 m2. Es evidente que el triángulo recto divide el terreno a la mitad (figura 1.13). Esto no
es tan obvio en el caso del triángulo isósceles. Pero al prestar mayor atención, se observa
que las zonas en blanco podrían arreglarse de tal manera que su área combinada resulte la
misma que el área sombreada que forma el triángulo isósceles. Así que el triángulo isósce-
les también divide el terreno a la mitad y la respuesta correcta es 3. [Esto se comprueba
matemáticamente calculando las áreas de los triángulos. ]
b ) Razonamiento cuantitativo y solución. Para determinar la longitud total de los lados,
necesitamos encontrar la longitud de la hipotenusa del triángulo. Esto se logra usando 
el teorema de Pitágoras, x2 � y2 � r2, y
(O de forma directa, tal vez usted haya notado que éste es un triángulo recto 3-4-5).
Entonces,
L � 3.0 m � 4.0 m � 5.0 m � 12 m
Los ángulos agudos del triángulo se encuentran empleando trigonometría. En relación
con los ángulos en la figura1.13,
y
De manera similar,
que suman 90	, tal como se esperaría con un ángulo recto (90	 � 90	 � 180	).
Ejercicio de refuerzo. Determine la longitud total de los lados y los ángulos interiores del
triángulo isósceles de la figura 1.13. (Las respuestas a todos los Ejercicios de refuerzo vienen al
final del libro.)
Estos ejemplos ilustran cómo se vinculan los pasos de la resolución de proble-
mas para encontrar el resultado. Usted verá este patrón en los ejemplos resueltos 
en el libro, aunque no se haga explícito. Intente desarrollar sus propias habilidades 
para resolver problemas de una forma similar.
Por último, tomemos un ejemplo que supone razonamiento conceptual y algunos
cálculos simples.
Ejemplo conceptual 1.11 ■ Ascenso en ángulo
Un piloto conduce su aeronave en dos tipos de ascenso en línea recta y con inclinación
pronunciada a diferentes ángulos. En el primer ascenso, el avión recorre 40.0 km a un án-
gulo de 15 grados con respecto a la horizontal. En el segundo ascenso inclinado, el avión
recorre 20.0 km a un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal. ¿Cómo se compa-
ran las distancias verticales de los dos ascensos? a) La de la primera inclinación es mayor,
b) la de la segunda inclinación es mayor, o c) ambas son iguales.
Razonamiento y respuesta. A primera vista, pareciera que las distancias verticales son
iguales. Después de todo, el ángulo de la primera trayectoria es la mitad del de la segun-
da. Y la hipotenusa (distancia) del primer ascenso es el doble de la del segundo, así que
¿no se compensan los dos efectos de tal forma que la respuesta c) sea la correcta? No. La
u2 = tan-1a 3.0 m4.0 m b = 37°
u1 = tan-1a 4.0 m3.0 m b = 53°
tan u1 =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
4.0 m
3.0 m
r = 3x2 + y2 = 413.0 m22 + 14.0 m22 = 325 m2 = 5.0 m
Área = 12 (altura * base).
1.7 Resolución de problemas 23
falla aquí radica en que la distancia vertical se basa en el seno del ángulo (haga un bos-
quejo), y el seno de un ángulo no es proporcional al ángulo. Verifique con su calculadora.
2 � sen 15	 � 0.518 y sen 30	 � 0.500. De manera que no se compensan. La mitad de la 
distancia al doble del ángulo da por resultado una menor distancia vertical, así que 
la respuesta correcta es a).
Ejercicio de refuerzo. En este ejemplo, ¿el segundo ascenso tendría que ser más o menos
pronunciado que 30 grados, para que las distancias de ascenso fueran iguales? ¿Cuál de-
bería ser el ángulo en este caso?
Aproximación y cálculos de orden de magnitud
A veces, al resolver algunos problemas, quizá no nos interese obtener una respuesta
exacta, sino tan sólo un estimado o una cifra ”aproximada”. Podemos hacer aproxima-
ciones redondeando las cantidades para facilitar los cálculos y tal vez no valernos de
la calculadora. Por ejemplo, suponga que desea tener una idea del área de un círculo
cuyo radio r � 9.5 cm. Si redondeamos 9.5 cm � 10 cm y � � 3 en vez de 3.14,
A � �r2 � 3(10 cm)2 � 300 cm2
(Es importante señalar que en los cálculos aproximados no nos fijamos en las cifras
significativas.) La respuesta no es exacta, pero es una buena aproximación. Calcule la
respuesta exacta para comprobarlo.
La notación de potencias de diez (científica) es muy conveniente para hacer
aproximaciones en lo que se conoce como cálculos de orden de magnitud. Orden 
de magnitud significa que expresamos una cantidad a la potencia de 10 más cercana
al valor real. Por ejemplo, en el cálculo anterior, aproximar 9.5 cm � 10 cm equivale
a expresar 9.5 como 101, y decimos que el radio es del orden de 10 cm. Expresar una
distancia de 75 km � 102 km indica que la distancia es del orden de 102 km. El radio
de la Tierra es 6.4 � 103 km � 104 km, es decir, del orden de 104 km. Una nanoestruc-
tura con 8.2 � 10�9 m de anchura es del orden de 10�8 m, o 10 nm. (¿Por qué el ex-
ponente �8?)
Desde luego, un cálculo de orden de magnitud sólo da un estimado, pero éste bas-
taría para captar o entender mejor una situación física. Por lo general, el resultado de
un cálculo de orden de magnitud tiene una precisión dentro de una potencia de 10, 
es decir, dentro de un orden de magnitud. De manera que el número que multiplica a la
potencia de 10 está entre 1 y 10. Por ejemplo, si nos dieran un resultado de tiempo de
105 s, esperaríamos que la respuesta exacta esté entre 1 � 105 s y 10 � 105 s.
Ejemplo 1.12 ■ Cálculo de orden de magnitud: extracción de sangre
Un técnico médico extrae 15 cc de sangre de la vena de un paciente. En el laboratorio, se
determina que este volumen de sangre tiene una masa de 16 g. Estime la densidad de la
sangre, en unidades estándar del SI.
Razonamiento. Los datos se dan en unidades cgs (centímetro-gramo-segundo), que re-
sultan prácticas para manejar cantidades enteras pequeñas en algunas situaciones. En
medicina y química es común usar la abreviatura cc para indicar cm3. La densidad (�) es
masa por unidad de volumen, donde � � m�V (sección 1.4).
Solución.
Dado: Encuentre: el estimado de �
(densidad)
Por lo tanto, tenemos
Este resultado es muy cercano a la densidad promedio de la sangre entera, 1.05 � 103 kg�m3.
Ejercicio de refuerzo. Un paciente recibe 750 cc de sangre entera. Estime la masa de la
sangre, en unidades estándar. (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final
del libro.)
r =
m
V
L
10-2 kg
10-5 m3
L 103 kg>m3
 V = 15 cm3 ¢ 1 m
102 cm 
≤ 3 = 1.5 * 10-5 m3 L 10-5 m3
 m = 16 g a 1 kg
1000 g 
b = 1.6 * 10-2 kg L 10-2 kg
24 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
Ejemplo 1.13 ■ ¿Cuántos glóbulos rojos hay en la sangre?
El volumen de sangre del cuerpo humano varía según la edad, el tamaño y el sexo del 
individuo. En promedio, el volumen es de unos 5 L. Un valor representativo para la con-
centración de glóbulos rojos (eritrocitos) es 5 000 000 por mm3. Estime el número de gló-
bulos rojos que hay en su cuerpo.
Razonamiento. La cuenta de glóbulos rojos en células�mm3 es una especie de “densidad”
de glóbulos rojos. Si la multiplicamos por el volumen total de sangre [(células�volumen)
� volumen total], obtendremos el número total de células. Sin embargo, tome en cuenta
que los volúmenes deben estar en las mismas unidades.
Solución.
Dado: Encuentre: el número aproximado de
glóbulos rojos en el cuerpo
Luego, cambiando a m3,
(Nota: el factor de conversión de L a m3 se obtuvo directamente de las tablas de conver-
sión, pero no se da un factor para convertir mm3 a m3, así que tan sólo empleamos una
conversión conocida y la elevamos al cubo.) Por lo tanto, tenemos,
Los glóbulos rojos (eritrocitos) son una de las células más abundantes presentes en el
cuerpo humano.
Ejercicio de refuerzo. El número promedio de glóbulos blancos (leucocitos) en la sangre
humana es de 5000 a 10 000 células por mm3. Estime cuántos glóbulos blancos tiene en su
cuerpo. (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
a células
volume
b1volumen total2 L ¢1016 células
 m3 
≤110-2 m3 2 = 1014 glóbulos rojos
células
volumen
L 107 
células
 mm3 
 ¢103 mm 
1 m
≤ 3 L 1016 células
m3
 células>volumen = 5 * 106 células
mm3
L 107 
células
mm3
 = 5 * 10-3 m3 L 10-2 m3
 = 5 L ¢10-3 m3
 L 
≤ V = 5 L
Repaso del capítulo
• Unidades SI de longitud, masa y tiempo. El metro (m), el ki-
logramo (kg) y el segundo (s), respectivamente.
MASA: KILOGRAMO
0.10 m
0.10 m
0.10 m
agua
1 m
1 m = distancia que la luz recorre en el
vacío en 1/299 792 458 s
LONGITUD: METRO
• Litro (L). Un volumen de 1000 mL o 1000 cm3. Un litro de agua
tiene una masa muy cercana a 1 kg.
1 qt = 0.947 L
1 L = 1.06 qt
Volumen
1 qt
1 L
1 s = 9 192 631 770 oscilaciones Detector de
radiación
Una oscilación de frecuencia
Cesio 133
Ejercicios 25
Ejercicios*
Los ejercicios designados OM son preguntas de opción múltiple; los PC son preguntas conceptuales, y los EI son
ejercicios integrados. A lo largo del texto, muchas secciones de ejercicios incluirán ejercicios “apareados”. Estos
pares de ejercicios, que se identifican con números subrayados, pretendenayudar al lector a resolver problemas 
y aprender. El primer ejercicio de cada pareja (el de número par) se resuelve en la Guía de estudio, que puede con-
sultarse si se necesita ayuda para resolverlo. El segundo ejercicio (de número impar) es similar, y su respuesta se 
da al final del libro.
* Tenga presente aquí y en todo el libro que su respuesta a un ejercicio
impar quizá difiera ligeramente de la dada al final del libro, a causa
del redondeo. Vea la Sugerencia para resolver problemas: La “respues-
ta correcta” en este capítulo.
1.3 Más acerca del sistema métrico
9. OM El prefijo giga- significa a) 10�9, b) 109, c) 10�6, d) 106.
10. OM El prefijo micro- significa a) 106, b) 10�6, c) 103
o d) 10�3.
11. OM Una nueva tecnología tiene que ver con el tamaño 
de objetos de qué prefijo métrico: a) nano-, b) micro-, 
c) mega-, d) giga-.
12. OM Un litro de agua tiene un volumen de a) 1 m3, b) 1 qt,
c) 1000 cm3, d) 104 mm3.
13. PC Si un compañero le dice que vio una mariquita de 
3 cm de largo en su jardín, ¿le creería? ¿Y si otro estu-
diante afirma haber pescado un salmón de 10 kg?
14. PC Explique por qué 1 mL es equivalente a 1 cm3.
15. PC Explique por qué una tonelada métrica es equivalen-
te a 1000 kg.
16. ● El sistema métrico es un sistema decimal (base 10) y el
sistema inglés es, en parte, un sistema duodecimal (base
12). Comente las consecuencias que tendría el uso de un
sistema monetario duodecimal. ¿Qué valores tendrían
las monedas en tal caso?
17. ● a) En el sistema inglés, 16 oz � 1 pt y 16 oz � 1 lb. ¿Hay
un error aquí? Explique. b) Un acertijo viejo: ¿Una libra de
plumas pesa más que una libra de oro? ¿Cómo es posible?
(Sugerencia: Busque ounce en un diccionario en inglés.)
1.2 Unidades SI de longitud, masa y tiempo
1. OM ¿Cuántas unidades base tiene el SI: a) 3, b) 5, c) 7 
o d) 9?
2. OM El único estándar del SI representado por un artefac-
to es a) el metro, b) el kilogramo, c) el segundo o d) la car-
ga eléctrica.
3. OM ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad base del
SI? a) masa, b) peso, c) longitud o d) tiempo?
4. OM ¿Cuál de las siguientes es la unidad base de masa
en el SI? a) libra, b) gramo, c) kilogramo o d) tonelada?
5. PC ¿Por qué no hay más unidades base en el SI?
6. PC ¿Por qué el peso no es una cantidad base?
7. PC ¿Con qué se reemplazó la definición original de se-
gundo y por qué? ¿El reemplazo se continúa usando?
8. PC Mencione dos diferencias importantes entre el SI y
el sistema inglés.
• Análisis de unidades. Sirve para determinar la consistencia
de una ecuación, es decir, si es dimensionalmente correcta. El
análisis de unidades ayuda a averiguar la unidad de una can-
tidad.
• Cifras (dígitos) significativas. Los dígitos que se conocen
con certeza, más uno que es incierto, en los valores medidos.
• Resolución de problemas. Los problemas deben enfrentarse
con un procedimiento consistente. Pueden realizarse cálculos
de orden de magnitud si sólo se desea un valor aproximado.
Procedimiento sugerido para resolver problemas:
1. Lea detenidamente el problema y analícelo.
2. Donde sea apropiado, dibuje un diagrama.
3. Anote los datos que se dan y lo que se pide. 
(Si es necesario realice conversiones de unidades.)
4. Determine qué principio(s) son aplicables.
5. Realice los cálculos con los datos disponibles.
6. Considere si el resultado es razonable.
• Densidad (�). La masa por unidad de volumen de un objeto
o sustancia, la cual es una medida de qué tan compacto es el
material que contiene:
(1.1)r =
m
V
 a masa
volumen
b
b1
b2
a
▲ FIGURA 1.14 Área de un trapezoide Véase el ejercicio 34.
26 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
18. ●● Un marino le dice que si su barco viaja a 25 nudos (mi-
llas náuticas por hora) se está moviendo con mayor rapi-
dez que un auto que viaja a 25 millas por hora. ¿Cómo es
posible?
1.4 Análisis de unidades*
19. OM Ambos lados de una ecuación son iguales en a) va-
lor numérico, b) unidades, c) dimensiones o d) todo lo
anterior.
20. OM El análisis de unidades de una ecuación no puede
decirnos si a) la ecuación es dimensionalmente correcta,
b) la ecuación es físicamente correcta, c) el valor numéri-
co es correcto o d) tanto b como c.
21. OM ¿Cuál de los siguientes incisos es verdadero para la 
cantidad a) Podría tener las mismas dimensiones pero 
unidades diferentes; b) podría tener las mismas unidades
pero dimensiones diferentes; o c) tanto a como b son ver-
daderas.
22. PC ¿El análisis de unidades puede decirnos si usamos la
ecuación correcta para resolver un problema? Explique.
23. PC La ecuación para encontrar el área de un círculo a par-
tir de dos fuentes está dada como A � �r2 y A � �d2�2.
¿El análisis de unidades puede decirnos cuál es la correcta?
Explique.
24. PC ¿Cómo podría el análisis de unidades ayudar a deter-
minar las unidades de una cantidad? 
25. ● Demuestre que la ecuación x � xo � vt es dimensional-
mente correcta, donde v es velocidad, x y xo son longitu-
des, y t es el tiempo.
26. ● Si x se refiere a distancia, vo y v a rapideces, a a acelera-
ción y t a tiempo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones es
dimensionalmente correcta? a) x � vot � at3, b) v2 � vo2 �
2at; c) x � at � vt2; o d) v2 � vo2 � 2ax.
27. ●● Use el análisis de unidades SI para demostrar que la
ecuación A � 4�r2, donde A es el área y r es el radio de
una esfera, es dimensionalmente correcta.
28. ●● Le dicen a usted que el volumen de una esfera está
dado por V � �d3�4, donde V es el volumen y d es el diá-
metro de la esfera. ¿Esta ecuación es dimensionalmente
correcta? (Use análisis de unidades SI para averiguarlo.)
29. ●● La ecuación correcta para el volumen de una esfera es
V � 4�r3�3, donde r es el radio de la esfera. ¿Es correcta
la ecuación del ejercicio 28? Si no, ¿cómo debería expre-
sarse en términos de d?
30. ●● La energía cinética (K) de un objeto de masa m que se
mueve con velocidad v está dada por En el SIK = 12 mv
2.
x
t
:
* Las unidades de velocidad y aceleración se dan en la tabla 1.3.
el nombre para la unidad de energía cinética es el joule
(J). ¿Cuáles son las unidades del joule en términos de las
unidades base del SI?
31. ●● La ecuación general de una parábola es y � ax2 �
bx � c, donde a, b y c son constantes. ¿Qué unidades tie-
ne cada constante si y y x están en metros?
32. ●● En términos de las unidades base del SI se sabe que 
las unidades para presión (p) son Como tarea para 
su clase de física un estudiante deriva una expresión para
la presión que ejerce el viento sobre una pared en térmi-
nos de la densidad del aire (�) y de la velocidad del viento
(v), y su resultado es p � �v2. Utilice el análisis de unida-
des SI para demostrar que el resultado del estudiante es
dimensionalmente consistente. ¿Esto prueba que su rela-
ción es físicamente correcta?
33. ●● La densidad se define como la masa de un objeto divi-
dida entre el volumen del objeto. Use análisis de unida-
des SI para determinar la unidad SI de densidad. (Véase
la sección 1.4 para las unidades de masa y volumen.)
34. ●● ¿Es dimensionalmente correcta la ecuación del área
de un trapezoide, donde a es la altura, y
b1 y b2 son las bases? (▼ figura 1.14.)
A = 12 a1b1 + b22,
kg
m # s2 .
35. ●● Utilizando análisis de unidades, un estudiante dice
que la ecuación es dimensionalmente correc-
ta. Otro lo niega. ¿Quién cree usted que tenga la razón 
y por qué?
36. ●●● La segunda ley del movimiento de Newton (capítu-
lo 4) se expresa con la ecuación F � ma, donde F repre-
senta fuerza, m es masa y a es aceleración. a) La unidad
SI de fuerza lleva el muy adecuado nombre de newton
(N). ¿A qué unidades equivale el newton en términos de
cantidades base? b) Una ecuación para la fuerza, relacio-
nada con el movimiento circular uniforme (capítulo 7)
es F � mv2�r, donde v es velocidad y r es el radio de la
trayectoria circular. ¿Esta ecuación da las mismas uni-
dades para el newton?
37. ●●● El momento angular (L) de una partícula de masa m
que se mueve a una velocidad constante v en un círculo
de radio r está dadapor L � mvr. a) ¿Cuáles son las uni-
dades del momento angular en términos de las unidades
base del SI? b) Las unidades de energía cinética en tér-
minos de las unidades base del SI son Utilizando
kg # m2
s2 .
v = 22ax
Ejercicios 27
el análisis de unidades SI, demuestre que la expresión
para la energía cinética de esta partícula, en términos de 
su momento angular, es dimensionalmente 
correcta. c) En la ecuación anterior, el término mr2 se de-
nomina momento de inercia de la partícula en el círculo.
¿Cuáles son las unidades del momento de inercia en tér-
minos de las unidades base del SI?
38. ●●● La famosa equivalencia masa-energía de Einstein 
se expresa con la ecuación E � mc2, donde E es energía, 
m es masa y c es la velocidad de la luz. a) ¿Qué unidades
base tiene la energía en el SI? b) Otra ecuación para la
energía es E � mgh, donde m es masa, g es la aceleración
debida a la gravedad y h es altura. ¿Esta ecuación da las
mismas unidades que en el inciso a)?
1.5 Conversión de unidades*
39. OM Una buena forma de garantizar la conversión correc-
ta de unidades es a) usar otro instrumento de medición,
b) siempre trabajar con el mismo sistema de unidades, 
c) usar análisis de unidades o d) decirle a alguien que 
verifique los cálculos.
40. OM Es común ver la igualdad 1 kg � 2.2 lb, lo cual signi-
fica que a) 1 kg equivale a 2.2 lb, b) es una ecuación ver-
dadera, c) 1 lb � 2.2 kg o d) nada de lo anterior.
41. OM Usted tiene una cantidad de agua y quiere expresar-
la en unidades de volumen que den el número más gran-
de. ¿Debería utilizar a) pulg3; b) mL; c) �L; o d) cm3?
42. PC ¿Los enunciados de una ecuación y de una equiva-
lencia son lo mismo? Explique.
43. PC ¿Hace alguna diferencia multiplicar por un factor de
conversión o dividir entre éste? Explique.
44. PC El análisis de unidades se aplica a la conversión de
unidades? Explique.
45. ● La figura 1.8 (arriba) muestra la altura de un lugar tanto
en pies como en metros. Si un poblado está 130 ft arriba
del nivel del mar, a qué altitud estará en metros?
46. EI ● a) Si queremos expresar una estatura con el número
más grande, usaremos 1) metros, 2) pies, 3) pulgadas o 
4) centímetros? ¿Por qué? b) Si una persona mide 6.00 ft
de estatura, ¿cuánto mide en centímetros?
47. ● Si los capilares de un adulto promedio se enderezaran
y extendieran extremo con extremo, cubrirían una longi-
tud de más de 40 000 mi (figura 1.9). Si su estatura es de
1.75 m, ¿a cuántas veces su estatura equivaldría la lon-
gitud de los capilares?
K =
L2
2mr2 ,
* Los factores de conversión se dan en los forros de este libro.
48. EI ● a) ¿En comparación con una botella de bebida ga-
seosa de dos litros, una de medio galón contiene 1) más,
2) la misma cantidad, o 3) menos bebida? b) Verifique su
respuesta en el inciso a.
49. ● a) Un campo de fútbol americano mide 300 ft de largo
y 160 ft de ancho. Dé sus dimensiones en metros. b) Un
balón mide entre 11.0 y 11.25 pulg de largo. ¿Qué longi-
tud tiene en centímetros?
50. ● Suponga que cuando Estados Unidos se vuelva to-
talmente métrico, las dimensiones de los campos de
fútbol americano se fijarán en 100 m por 54 m. ¿Qué 
sería más grande, el campo métrico o un campo actual
(véase el ejercicio 49a), y qué diferencia habría entre
sus áreas?
51. ●● Si la sangre fluye con una rapidez promedio de 0.35
m�s en el sistema circulatorio humano, ¿cuántas millas
viaja un glóbulo en 1.0 h?
52. ●● A bordo de un automóvil a reacción, el piloto de la
Real Fuerza Aérea Andy Green rompió por primera vez
la barrera del sonido sobre la tierra y alcanzó una rapidez
terrestre récord de más de más de 763 mi�h en el desierto
Black Rock (Nevada) el 15 de octubre de 1997 (▼ figura
1.15). a) Exprese esta velocidad en m�s. b) ¿Cuánto tarda-
ría el automóvil a reacción en recorrer un campo de fútbol
de 300 ft a esa velocidad?
▲ FIGURA 1.15 Recorrido récord Véase el ejercicio 52.
53. EI ●● a) ¿Qué representa la mayor velocidad: 1) 1 m�s, 
2) 1 km�h, 3) 1 ft�s, o 4) 1 mi�h? b) Exprese la velocidad
de 15.0 m�s en mi�h.
54. ●● En la ▼ figura 1.16 se muestra el velocímetro de un
automóvil, a) ¿Qué lecturas equivalentes en kilómetros
por hora irían en cada cuadro vacío? b) ¿Cuál sería la 
velocidad límite de 70 mi�h en kilómetros por hora?
28 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
VELOCIDAD
MÁXIMA
70mi/h
km/h
50
60
70
80
90
1000 mi/h
10
20
30
40
Mi
llas por hora
km/h 0
Kilóm
etros por hora
▲ FIGURA 1.17 Factores de conversión Véase el ejercicio 59.
300 cubitos
50.0
cubitcucuuuu os
30.0
cubitos
▲ FIGURA 1.16 Lecturas del velocímetro Véase el ejercicio 54.
55. ●● Un individuo pesa 170 lb. a) ¿Cuál es su masa en kilo-
gramos? b) Suponiendo que la densidad promedio del
cuerpo humano es más o menos la misma del agua (lo
cual es cierto), estime el volumen del cuerpo de este in-
dividuo tanto en metros cúbicos como en litros. Explique
porque la unidad más pequeña del litro es más adecuada
(conveniente) para describir este volumen.
56. ●● Si los componentes del sistema circulatorio humano
(arterias, venas y capilares) estuvieran completamente es-
tirados y unidos extremo con extremo, su longitud sería
del orden de 100 000 km. ¿La longitud del sistema circu-
latorio alcanzaría para rodear la circunferencia de la Luna?
Si es así, ¿cuántas veces?
57. ●● Los latidos del corazón humano, según su frecuencia
del pulso, normalmente son de aproximadamente 60 lati-
dos�min. Si el corazón bombea 75 mL de sangre en cada
latido, ¿cuál es el volumen de sangre que se bombea en
un día (en litros)?
58. ●● En el fútbol americano un receptor abierto común pue-
de correr las 40 yardas en aproximadamente 4.5 segundos,
partiendo del reposo. a) ¿Cuál es su velocidad promedio
en m�s? b) ¿Cuál es su velocidad promedio en mi�h?
59. ●● En la ▼ figura 1.17 se muestran las etiquetas de dos
productos comunes. Úselas para determinar a) cuántos
mililitros hay en 2 onzas líquidas (fl. oz.) y b) cuántas on-
zas hay en 100 g.
▲ FIGURA 1.18 Glóbulos rojos Véase el ejercicio 60.
▲ FIGURA 1.19 Noé y su arca Véase el ejercicio 64.
60. ●● La ▲ figura 1.18 muestra glóbulos rojos vistos con un
microscopio electrónico de barrido. Normalmente, las mu-
jeres tienen unos 4.5 millones de estas células en cada milí-
metro cúbico de sangre. Si la sangre fluye por el corazón a
razón de 250 mL�min, ¿cuántos glóbulos rojos pasarán por
el corazón de una mujer cada segundo?
61. ●●● Una estudiante midió 18 pulg de largo al nacer. Ahora,
a los 20 años, tiene una estatura de 5 ft 6 pulg. ¿Cuántos
centímetros ha crecido en promedio al año?
62. ●●● La densidad del mercurio metálico es de 13.6 g�cm3.
a) Exprese esta densidad en kg�m3. b) ¿Cuántos kilogra-
mos de mercurio se necesitarían para llenar un recipiente
de 0.250 L?
63. ●●● El Coliseo Romano solía inundarse con agua para
recrear antiguas batallas navales. Suponiendo que el piso
del Coliseo es de 250 m de diámetro y el agua tiene una
profundidad de 10 pies, a) ¿cuántos metros cúbicos de
agua se necesitaron? b) ¿Cuánta masa tendría esta agua
en kilogramos? c) ¿Cuánto pesaría el agua en libras?
64. ●●● En la Biblia, Noé debe construir un arca de 300 cubitos
de largo, 50.0 cubitos de ancho y 30.0 cubitos de altura (▼ fi-
gura 1.19). Los registros históricos indican que un cubito
mide media yarda. a) ¿Qué dimensiones tendría el arca en
metros? b) ¿Qué volumen tendría el arca en metros cúbicos?
Para aproximar, suponga que el arca será rectangular.
Ejercicios 29
1.6 Cifras significativas
65. OM ¿Qué tiene más cifras significativas: a) 103.07, b) 124.5,
c) 0.09916 o d) 5.408 � 105?
66. OM ¿Cuál de los siguientes números tiene cuatro ci-
fras significativas? a) 140.05, b) 276.02, c) 0.004 006 o 
d) 0.073 004?
67. OM En una operación de multiplicación y/o división con
los números 15 437, 201.08 y 408.0 � 105, ¿a cuántas cifras
significativas debe redondearse el resultado? a) 3, b) 4, 
c) 5 o d) cualquier cantidad.
68. PC ¿Cuál es el propósito de las cifras significativas?
69. PC ¿Se conocen exactamentetodas las cifras significati-
vas informadas por un valor medido?
70. PC ¿Cómo se determina el número de cifras significati-
vas para los resultados de cálculos que impliquen a) mul-
tiplicación, b) división, c) suma, d) resta?
71. ● Exprese la longitud 50 500 �m (micrómetros) en centí-
metros, decímetros y metros, con tres cifras significativas.
72. ● Utilizando un metro, un estudiante mide una longitud
y la informa como 0.8755 m. ¿Cuánto mide la división
más pequeña de la escala del metro?
73. ● Determine el número de cifras significativas en los 
siguientes números medidos: a) 1.007 m; b) 8.03 cm; 
c) 16.272 kg; d) 0.015 �s (microsegundos).
74. ● Exprese cada uno de los números del ejercicio 73 con
dos cifras significativas.
75. ● ¿Cuál de las siguientes cantidades tiene tres cifras sig-
nificativas: a) 305.0 cm, b) 0.0500 mm, c) 1.000 81 kg o 
d) 8.06 � 104 m2?
76. ●● La portada de su libro de física mide 0.274 m de largo
y 0.222 m de ancho. Calcule su área en m2.
77. ●● El congelador (nevera) del refrigerador de un restau-
rante mide 1.3 m de altura, 1.05 m de ancho y 67 cm de
profundidad. Determine su volumen en pies cúbicos.
78. EI ●● La superficie de una mesa rectangular mide 1.245 m
por 0.760 m. a) La división más pequeña en la escala del
instrumento de medición es 1) m, 2) cm, 3) mm. ¿Por qué?
b) ¿Cuál es el área de la superficie de la mesa?
79. EI ●● Las dimensiones exteriores de una lata cilíndrica
de gaseosa se informan como 12.559 cm para el diáme-
tro y 5.62 cm para la altura. a) ¿Cuántas cifras significati-
vas tendrá el área exterior total? 1) dos, 2) tres, 3) cuatro 
o 4) cinco. ¿Por qué? b) Calcule el área total exterior de 
la lata en cm3.
80. ●● Exprese los siguientes cálculos con el número adecua-
do de cifras significativas: a) 12.634 � 2.1; b) 13.5 � 2.143;
c) �(0.25 m)2; d) 2.37�3.5.
81. EI ●●● Al resolver un problema, un estudiante suma 
46.9 m y 5.72 m, y luego resta 38 m al resultado. a) ¿Cuán-
tas posiciones decimales tendrá la respuesta final? 1) cero,
2) una o 3) dos. ¿Por qué? b) Dé la respuesta final.
82. ●●● Resuelva este ejercicio por los dos procedimientos
que se indican, y comente y explique cualquier diferen-
cia en las respuestas. Efectúe los cálculos usando una 
calculadora. Calcule p � mv, donde v � x�t. Se da: 
x � 8.5 m, t � 2.7 s y m � 0.66 kg. a) Primero calcule v
y luego p. b) Calcule p � mx�t sin paso intermedio. 
c) ¿Son iguales los resultados? Si no, ¿por qué?
1.7 Resolución de problemas
83. OM Un paso importante para resolver problemas antes de
resolver matemáticamente una ecuación es a) verificar uni-
dades, b) verificar cifras significativas, c) consultarlo con
un amigo o d) comprobar que el resultado sea razonable.
84. OM Un último paso importante al resolver problemas, an-
tes de informar la respuesta es a) guardar los cálculos, 
b) leer otra vez el problema, c) ver si la respuesta es razo-
nable o d) cotejar los resultados con otro estudiante.
85. OM En lo cálculos de orden de magnitud, usted debería a)
poner mucha atención en las cifras significativas, b) trabajar
principalmente con el sistema inglés, c) obtener los resulta-
dos dentro de un factor de 100, d) expresar una cantidad a
la potencia de 10 más cercana al valor real.
86. PC ¿Cuántos pasos implica un buen procedimiento para re-
solver problemas como el que se sugiere en este capítulo?
87. PC ¿Cuáles son los pasos fundamentales en el procedi-
miento para resolver problemas?
88. PC Cuando usted hace cálculos de orden de magnitud, ¿de-
bería estar conciente de las cifras significativas? Explique.
89. PC Cuando usted hace cálculos de orden de magnitud, ¿qué
tan precisa esperaría que fuera la respuesta? Explique.
90. ● Un lote de construcción en una esquina tiene forma de
triángulo rectángulo. Si los dos lados perpendiculares
entre sí miden 37 m y 42.3 m, respectivamente, ¿cuánto
mide la hipotenusa?
91. ● El material sólido más ligero es el aerogel de sílice, cuya
densidad típica es de aproximadamente 0.10 g�cm3. La es-
tructura molecular del aerogel de sílice suele tener 95% de
espacio vacío. ¿Qué masa tiene 1 m3 de aerogel de sílice?
92. ●● Casi todos los alimentos envasados muestran informa-
ción nutrimental en la etiqueta. En la ▼ figura 1.20 se mues-
tra una etiqueta abreviada, relativa a la grasa. Cuando un
gramo de grasa se quema en el cuerpo, proporciona 9 ca-
lorías. (Una caloría alimentaria es en realidad una kilo-
caloría, como veremos en el capítulo 11.) a) ¿Qué porcenta-
je de las calorías de una porción proviene de grasas? b) Note
que nuestra respuesta no coincide con el porcentaje de gra-
sa total que se da en la figura 1.20. Ello se debe a que los
valores porcentuales diarios dados son porcentajes de las
cantidades máximas recomendadas de nutrimentos (en
1.0 m1.0 m
1.0 m
Tamaño de porción: 1 lata
Calorías: 310
Información nutrimental
Cantidad por porción
* Los valores porcentuales diarios se basan en
 una dieta de 2000 calorías.
Grasa total 18 g
Grasa saturada 7g
28%
35%
% Valor diario*
30 CAPÍTULO 1 Medición y resolución de problemas
1.28 cm
3.32 cm
3.56 cm
gramos) contenidas en una dieta de 2000 Calorías. ¿Qué
cantidad máxima de grasa total y de grasa saturada se 
recomienda para una dieta de 2000 Calorías?
de trasbordo que lleva pasajeros por el túnel viaja con una
rapidez promedio de 75 mi�h. ¿Cuántos minutos tarda en
promedio el tren en cruzar el Chunnel en un sentido?
99. ●● La sangre de un ser humano adulto contiene el pro-
medio de 7000�mm3 de glóbulos blancos (leucocitos) y
250 000�mm3 de plaquetas (trombocitos). Si una persona
tiene un volumen de sangre de 5.0 L, estime el número
total de glóbulos blancos y plaquetas en la sangre.
100. ●● Una área para césped de 10 ft por 20 ft se diseñó en
un patio interior para colocar “losetas” de concreto circu-
lares de 20 ft de diámetro, en un orden de manera que se
tocaran entre sí. El césped existente se ajustará a los espa-
cios libres. a) ¿Cuántas de esas losetas se requieren para
hacer el trabajo? b) Cuando se termine el proyecto, ¿qué
porcentaje del césped original se conservará?
101. ●● Experimentalmente, la fuerza que se siente en un auto-
móvil debido a su movimiento a través del aire (inmóvil)
varía aproximadamente como el cuadrado de la rapidez
del automóvil. (Esta fuerza a veces se denomina “resis-
tencia del aire”.) Suponga que la fuerza varía exactamen-
te como el cuadrado de la rapidez. Cerca de la ciudad a 
30 mi�h, las mediciones indican que cierto automóvil 
experimenta una fuerza de resistencia del aire de 100 lb.
¿Qué magnitud de fuerza esperaría usted que el auto-
móvil experimentara al viajar por la autopista a 65 mi�h?
102. ●● El número de cabellos en el cuero cabelludo normal es
125 000. Una persona saludable pierde cerca de 65 ca-
bellos al día. (El nuevo cabello de los folículos pilosos ex-
pulsa el cabello viejo.) a) ¿Cuántos cabellos se pierden en
un mes? b) La calvicie común (pérdida de cabello en la
parte superior de la cabeza) afecta a cerca de 35 millones
de hombres estadounidenses. Con un promedio de 15%
del cuero cabelludo calvo, ¿cuántos cabellos pierde en un
año uno de estos “calvos atractivos”.
103. ●●● El lago Michigan, con una anchura y longitud apro-
ximadas de 118 mi y 307 mi, respectivamente, y una pro-
fundidad media de 279 ft, es el segundo de los Grandes
Lagos en volumen. Estime su volumen de agua en m3.
104. IE ●●● En el Tour de Francia un competidor asciende por
dos colinas sucesivas de diferentes pendiente y longitud.
La primera tiene 2.00 km de longitud a un ángulo de 5	
por encima de la horizontal. Ésta es inmediatamente 
seguida por una de 3.00 km a 7	. a) ¿Cuál será el ángulo
general (neto) de principio a fin: 1) menor que 5	; 2) entre
5	 y 7	, o 3) mayor que 7	? b) Calcule el verdadero ángulo
general (neto) de ascenso experimentado por este com-
petidor de principio a fin, para corroborar su razona-
miento del inciso a).
▲ FIGURA 1.20 Hechos de nutrición Véase el ejercicio 92.
93. ●● Se mide el espesor del total de páginasnumeradas de
un libro de texto y da 3.75 cm. a) Si la última página del
libro lleva el número 860, ¿qué espesor promedio tiene
una página? b) Repita empleando cálculos de orden de
magnitud.
94. IE ●● Para ir a un estadio de fútbol desde su casa, usted
primero conduce 1000 m al norte, luego 500 m al oeste y,
por último, 1500 m al sur. a) Relativo a su casa, el estadio
está 1) al norte del oeste, 2) al sur del este, 3) al norte del
este o 4) al sur del oeste, b) ¿Qué distancia hay en línea
recta de su casa al estadio?
95. ●● Se usan dos cadenas de 1.0 m de longitud para soste-
ner una lámpara, como se muestra en la ▼figura 1.21. La
distancia entre las dos cadenas es de 1.0 m en el techo.
¿Qué distancia vertical hay entre la lámpara y el techo?
▲ FIGURA 1.21 Soporte de la lámpara Véase el ejercicio 95.
96. ●● El Palacio de las Pizzas de Tony vende una pizza me-
diana de 9.0 pulg (de diámetro) a $7.95 y una grande de
12 pulg a $13.50. ¿Qué pizza conviene más comprar?
97. ●● En la Nfigura 1.22, ¿qué región negra tiene mayor área,
el círculo central o el anillo exterior?
98. ●● El Túnel del Canal, o “Chunnel”, que cruza el Canal de
la Mancha entre Gran Bretaña y Francia tiene 31 mi de lon-
gitud. (En realidad, hay tres túneles individuales.) Un tren
▲ FIGURA 1.22 ¿Qué área negra es mayor? Véase el
ejercicio 97.
Ejercicios 31
Ribera
30° 40°
Isla
?
50 m
105. ●●● Un estudiante quiere determinar la distancia entre
una isla pequeña y la orilla de un lago (▲ figura 1.23). Pri-
mero traza una línea de 50 m paralela a la ribera. Luego
se coloca en cada extremo de la línea y mide el ángulo
entre la visual a la isla y la línea que trazó. Los ángulos
son de 30	 y 40	. ¿A qué distancia de la orilla está la isla?
Ejercicios adicionales
106. IE Un automóvil se conduce 13 millas al este y luego cier-
ta distancia al norte hasta llegar a una posición que está
25	 al norte del este de su posición inicial. a) La distancia
recorrida por el automóvil directamente al norte es 1) me-
nor que, 2) igual a o 3) mayor que 13 millas. ¿Por qué? 
b) ¿Qué distancia viaja el automóvil en dirección norte?
107. Un avión vuela 100 mi al sur, de la ciudad A a la ciudad
B; 200 mi al este, de la ciudad B a la ciudad C, y luego
300 mi al norte, de la ciudad C a la ciudad D. a) ¿Qué
distancia hay en línea recta de la ciudad A a la ciudad D?
b) ¿En qué dirección está la ciudad D en relación con la
ciudad A?
108. En un experimento de radiactividad, un ladrillo de plomo
sólido (con las mismas medidas que un ladrillo de piso
exterior de 2.00
 � 4.00
 � 8.00
, excepto en que tiene una
densidad que es 11.4 veces la del agua) se modifica para
sostener una pieza cilíndrica de plástico sólido. Para rea-
lizar el experimento, se le pide un operador que perfore
un agujero cilíndrico de 2.0 cm de diámetro en el centro
del ladrillo, paralelo al lado más largo de éste. a) ¿Cuál es
la masa del plomo (en kilogramos) que se removió del la-
drillo? b) ¿Qué porcentaje del plomo original quedó en el
ladrillo? c) Suponiendo que el agujero cilíndrico está
completamente cubierto por el plástico (cuya densidad
es dos veces superior a la del agua), determine la densi-
dad general (promedio) de la combinación ladrillo/plás-
tico después de que se termine el trabajo del taller.
109. Cierta noche un observador en la Tierra determina que el
ángulo entre la dirección a Marte y la dirección al Sol es
de 50	. En esa noche, suponiendo órbitas circulares, de-
termine la distancia a Marte desde la tierra utilizando el
radio conocido de las órbitas de ambos planetas.
110. Calcule el número de moléculas de agua en un vaso (8 oz
exactamente) de agua 1 (fluido) � 0.0296 L. [Sugerencia:
Quizás encuentre útil recordar que la masa de un áto-
mo de hidrógeno es aproximadamente 1.67 � 10�27 kg y
que la masa de un átomo de oxígeno es aproximada-
mente 16 veces ese valor.]
111. IE En las pruebas de tiempo de las 500 millas de Indianá-
polis, cada automóvil tiene la oportunidad de realizar
cuatro vueltas consecutivas, y su velocidad general o
promedio determina la posición de ese auto el día de 
la carrera. Cada vuelta cubre 2.5 mi (exactamente). Du-
rante un recorrido de práctica, llevando su automóvil
cuidadosa y gradualmente cada vez más rápido, un pi-
loto registra la siguiente velocidad promedio para cada
vuelta sucesiva: 160 mi�h, 180 mi�h, 200 mi�h y 220 mi�h.
a) Su velocidad promedio será 1) exactamente el pro-
medio de estas velocidades (190 mi�h), 2) mayor que 190
mi�h, o 3) menor que 190 mi�h. Explique. b) Para corro-
borar su razonamiento conceptual, calcule la velocidad
promedio del automóvil.
112. Un estudiante que hace un experimento de laboratorio
deja caer un pequeño cubo sólido dentro de un vaso ci-
líndrico con agua. El diámetro interior del vaso es 6.00
cm. El cubo se va al fondo y el nivel del agua en el vaso
sube 1.00 cm. Si la masa del cubo es 73.6 g, a) determine
la longitud de un lado del cubo, y b) calcule la densidad
del cubo. (Por conveniencia, haga el ejercicio usando uni-
dades del sistema cgs.)
▲ FIGURA 1.23 Medición con visuales Véase el ejercicio 105.
El siguiente problema de física Physlet puede usarse con este capítulo.
1.1
2.1 Distancia y rapidez:
cantidades escalares 33
2.2 Desplazamiento
unidimensional 
y velocidad: 
cantidades 
vectoriales 35
2.3 Aceleración 40
2.4 Ecuaciones 
de cinemática
(aceleración 
constante) 45
2.5 Caída libre 49
C
A
P
ÍT
U
L
O
 
El guepardo corre a todo galope. Es el más rápido de los animales terrestres y alcanza velocidades de hasta 113 km�h (70 mi�h). La sensación de movi-miento es tan marcada en esta imagen capitular, que casi podemos sentir 
el paso del aire. Sin embargo, tal sensación de movimiento es una ilusión. El mo-
vimiento se da en el tiempo, pero la foto tan sólo puede “congelar” un instante. 
Veremos que, sin la dimensión del tiempo, prácticamente es imposible describir 
el movimiento.
La descripción del movimiento implica representar un mundo dinámico.
Nada está perfectamente inmóvil. El lector podría sentarse, aparentemente en re-
poso, pero su sangre fluye, y el aire entra y sale de sus pulmones. El aire se com-
pone de moléculas de gas que se mueven con diferente rapidez y en diferentes
direcciones. Y, aunque experimente quietud, el lector, su silla, la construcción en
que está y el aire que respira están girando en el espacio junto con la Tierra, que
es parte de un sistema solar en una galaxia en movimiento espiral dentro de un
universo en expansión.
La rama de la física que se ocupa del estudio del movimiento, lo que lo pro-
duce y lo afecta se llama mecánica. Los orígenes de la mecánica y del interés hu-
mano en el movimiento se remontan a las civilizaciones más antiguas. El estudio
de los movimientos de los cuerpos celestes (la mecánica celestial) nació de la nece-
sidad de medir el tiempo y la ubicación. Varios científicos de la antigua Grecia,
entre quienes destacaba Aristóteles, propusieron teorías del movimiento que eran
descripciones útiles, aunque más tarde se demostró que eran incorrectas o que es-
taban incompletas. Galileo (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727) formularon
buena parte de los conceptos sobre el movimiento que tiene amplia aceptación.
La mecánica suele dividirse en dos partes: 1) cinemática y 2) dinámica. La
cinemática se ocupa de describir el movimiento de los objetos, sin considerar qué
lo causa. La dinámica analiza las causas del movimiento. Este capítulo cubre la
cinemática y reduce la descripción del movimiento a sus términos más simples
considerando el movimiento en línea recta. Aprenderemos a analizar los cam-
HECHOS DE FÍSICA
CINEMÁTICA: DESCRIPCIÓN
DEL MOVIMIENTO
32
2
• “Denme materia y movimiento, y construiré el
universo.” René Descartes (1640).
• Nada puede exceder la rapidez de la luz (en el
vacío), 3.0 � 108 m�s (186 000 mi�s).
• El avión a reacción y sin tripulación X-43A de
la NASA es capaz de volar con una rapidez 
de 7700 km�h (4800 mi�h), más rápido que
una bala disparada.
• La bala de un rifle de alto poderviaja con una
rapidez aproximada de 2900 km�h (1800 mi�h).
• Las señales eléctricas entre el cerebro huma-
no y los músculos viajan aproximadamente 
a 435 km�h (270 mi�h).
• Una persona en el ecuador viaja a una rapidez
de 1600 km�h (1000 mi�h) a causa de la ro-
tación de la Tierra.
• Rápido y lento (máxima rapidez aproximada):
– Guepardo, 113 km�h (70 mi�h).
– Caballo, 76 km�h (47 mi�h).
– Galgo, 63 km�h (39 mi�h).
– Conejo, 56 km�h (35 mi�h).
– Gato, 48 km�h (30 mi�h).
– Ser humano, 45 km�h (28 mi�h).
– Pollo, 14 km�h (9 mi�h).
– Caracol, 0.05 km�h (0.03 mi�h).
• Aristóteles pensaba que los objetos pesados
caían más rápido que los ligeros. Galileo es-
cribió: “Aristóteles afirma que una bola de
hierro de 100 lb que cae desde una altura 
de 100 codos alcanza el suelo antes de que
una bola de una libra haya caído desde una
altura de un codo. Yo afirmo que ambas lle-
gan al mismo tiempo.”
Universidad
estatalPodunk
Ciudad natal
48 km (30 mi)
97
km
(60 mi)
8
1
km
(5
0
mi
)
▲ FIGURA 2.1 Distancia: longitud
total del trayecto Al ir de su ciudad
natal a la universidad estatal, un
estudiante podría tomar la ruta más
corta y recorrer una distancia de 
81 km (50 mi). Otro estudiante sigue
una ruta más larga para visitar a un
amigo en Podunk antes de volver 
a la escuela. El viaje más largo tiene
dos segmentos, pero la distancia
recorrida es la longitud total, 
97 km � 48 km � 145 km (90 mi).
2.1 Distancia y rapidez: cantidades escalares 33
Nota: una cantidad escalar tiene
magnitud pero no dirección.
bios de movimiento: aceleración, disminución de la rapidez y parado. Al hacerlo, nos
ocuparemos de un caso especialmente interesante del movimiento acelerado: caída
libre bajo la influencia únicamente de la gravedad.
2.1 Distancia y rapidez: cantidades escalares
OBJETIVOS: a) Definir distancia y calcular rapidez, y b) explicar qué es una can-
tidad escalar.
Distancia
En nuestro entorno vemos muchos casos de movimiento. Pero ¿qué es movimiento?
Esta pregunta parece sencilla; sin embargo, el lector podría tener problemas para dar
una respuesta inmediata (y no se vale usar formas del verbo “mover” para describir el
movimiento). Después de reflexionarlo un poco, seguramente usted llegará a la con-
clusión de que el movimiento (o moverse) implica un cambio de posición. El movi-
miento puede describirse en parte especificando qué tan lejos viaja algo al cambiar de
posición; es decir, qué distancia recorre. Distancia es simplemente la longitud total del
trayecto recorrido al moverse de un lugar a otro. Por ejemplo, el lector podría viajar en
automóvil de su ciudad natal a la universidad y expresar la distancia recorrida en ki-
lómetros o millas. En general, la distancia entre dos puntos depende del camino segui-
do (N figura 2.1).
Igual que muchas otras cantidades en física, la distancia es una cantidad escalar,
que es una cantidad que sólo tiene magnitud, o tamaño. Es decir, un escalar sólo tie-
ne un valor numérico, como 160 km o 100 mi. (Cabe señalar que la magnitud incluye
unidades.) La distancia únicamente nos indica la magnitud: qué tan lejos, pero no qué
tan lejos en alguna dirección. Otros ejemplos de escalares son cantidades como 10 s
(tiempo), 3.0 kg (masa) y 20	C (temperatura). Algunos escalares tienen valores nega-
tivos, como �10	F.
Rapidez
Cuando algo se mueve, su posición cambia con el tiempo. Es decir, el objeto se mueve
cierta distancia en cierto tiempo. Por consiguiente, tanto la longitud como el tiempo
son cantidades importantes para describir el movimiento. Por ejemplo, imaginemos
un automóvil y un peatón que van por una calle y recorren la distancia (longitud) de
una cuadra. Es de esperar que el automóvil viaje con mayor rapidez, y cubra la mis-
ma distancia en menos tiempo, que la persona. Esta relación longitud-tiempo puede
expresarse utilizando la razón a la cual se recorre la distancia, es decir, la rapidez.
Rapidez media (s–) es la distancia d recorrida; es decir, la longitud real del cami-
no dividida entre el tiempo total �t que tomó recorrer esa distancia:
(2.1)
Unidad SI de rapidez: metros por segundo (m�s)
Un símbolo con una raya encima suele denotar un promedio. Se usa la letra griega �
para representar un cambio o diferencia en una cantidad; en este caso, la diferencia de
tiempo entre el inicio (t1) y el final (t2) de un viaje, o el tiempo transcurrido.
La unidad estándar de rapidez en el SI es metros por segundo (m�s, longi-
tud/tiempo), aunque en muchas aplicaciones cotidianas se usa kilómetros por hora
(km�h). La unidad inglesa estándar es pies por segundo (ft�s), pero con frecuencia
también se usa millas por hora (mi/h). A menudo el tiempo inicial que se toma es cero,
t1 � 0, como cuando de resetea un cronómetro, de manera que la ecuación queda 
s � d�t, donde se entiende que t es el tiempo total.
Puesto que la distancia es un escalar (igual que el tiempo), la rapidez también es
un escalar. La distancia no tiene que ser en línea recta. (Véase la figura 2.1.) Por ejem-
plo, usted seguramente habrá calculado la rapidez media de un viaje en automóvil
 s =
d
¢t
=
d
t2 - t1
 rapidez media =
distancia recorrida
tiempo total para recorrerla
▲ FIGURA 2.2 Rapidez instantánea
El velocímetro de un automóvil da 
la rapidez en un intervalo de tiempo
muy corto, así que su lectura se
aproxima a la rapidez instantánea.
34 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
▲ FIGURA 2.3 Vehículo Mars
Exploration La nave exploró varias
zonas de Marte, buscando las
respuestas sobre la existencia de
agua en ese planeta.
calculando la distancia a partir de las lecturas inicial y final del odómetro. Supon-
gamos que dichas lecturas fueron 17 455 km y 17 775 km, respectivamente, para un
viaje de cuatro horas. (Supondremos que el odómetro del automóvil marca kilóme-
tros.) La resta de las lecturas da una distancia total recorrida d de 320 km, así que la
rapidez media del viaje es d�t � 320 km�4.0 h � 80 km�h (o unas 50 mi�h).
La rapidez media da una descripción general del movimiento en un intervalo de
tiempo �t. En el caso del viaje en automóvil con una rapidez media de 80 km/h, la ra-
pidez del vehículo no fue siempre 80 km�h. Con las diversas paradas durante el viaje,
el automóvil se debe haber estado moviendo a menos de la rapidez promedio varias
veces. Por lo tanto, tuvo que haberse estado moviendo a más de la rapidez media otra
parte del tiempo. Una rapidez media no nos dice realmente con qué rapidez se estaba
moviendo el automóvil en un instante dado durante el viaje. De forma similar, la cali-
ficación media que un grupo obtiene en un examen no nos indica la calificación de un
estudiante en particular.
La rapidez instantánea es una cantidad que nos indica qué tan rápido se está mo-
viendo algo en un instante dado. El velocímetro de un automóvil da una rapidez instan-
tánea aproximada. Por ejemplo, el velocímetro de la > figura 2.2 indica una rapidez de
unas 44 mi�h, o 70 km�h. Si el automóvil viaja con rapidez constante (de manera que
la lectura del velocímetro no cambie), la rapidez media y la instantánea serán iguales.
(¿Está de acuerdo? Piense en la analogía de las calificaciones del examen anterior.
¿Qué sucede si todos los estudiantes obtienen la misma calificación?)
Ejemplo 2.1 ■ Movimiento lento: el vehículo Mars Exploration
En enero de 2004, el vehículo de exploración Mars Exploration tocó la superficie de Marte
e inició un desplazamiento para explorar el planeta (> figura 2.3). La rapidez promedio de
un vehículo de exploración sobre un suelo plano y duro es 5.0 cm/s. a) Suponiendo que el
vehículo recorrió continuamente el terreno a esa rapidez promedio, ¿cuánto tiempo le to-
maría recorrer 2.0 m en línea recta? b) Sin embargo, para garantizar un manejo seguro, el
vehículo se equipó con software para evadir obstáculos, el cual hace que se detenga y eva-
lúe su ubicación durante algunos segundos. De esta forma, el vehículo se desplaza a la ra-
pidez promedio durante 10 s, luego se detiene y evalúa el terreno durante 20 s antes de
seguir hacia adelantepor otros 10 s; después se repite el ciclo. Tomando en cuenta esta pro-
gramación, ¿cuál sería su rapidez promedio al recorrer los 2.0 m?
Razonamiento. a) Conociendo la rapidez promedio y la distancia, es posible calcular el
tiempo a partir de la ecuación para la rapidez promedio (ecuación 2.1). b) Aquí, para
calcular la rapidez promedio, debe utilizarse el tiempo total, incluidos los lapsos en que
se detiene el vehículo.
Solución. Se listan los datos con sus unidades: (los cm/s se convierten directamente a m/s).
Dados: Encuentre:
a) a) �t (tiempo para recorrer la distancia)
b) (rapidez promedio)
b) ciclos de 10 s de recorrido, altos de 20 s
a) A partir de la ecuación 2.1, tenemos
Reordenando,
b) Aquí necesitamos determinar el tiempo total para la distancia de 2.0 m. En cada inter-
valo de 10 s, se recorrería una distancia de 0.050 m/s � 10 s � 0.50 m. Así, el tiempo total
incluiría cuatro intervalos de 10 s para el recorrido real, y tres intervalos de 20 s para los
altos, dado �t � 4 � 10 s � 3 � 20 s � 100 s. Entonces
Ejercicio de refuerzo. Suponga que la programación del vehículo de exploración fuera
para recorridos de 5.0 s y altos de 10 s. ¿Cuánto tiempo le tomaría recorrer los 2.0 m en 
este caso? (Las respuestas a todos los Ejercicios de refuerzo aparecen al final del libro.)
s =
d
¢t
=
d
t2 - t1
=
2.0 m
100 s
= 0.020 m>s
¢t =
d
s
=
2.0 m
0.050 m>s = 40 s
s =
d
¢t
s d = 2.0 m
 s = 5.0 cm>s = 0.050 m>s
2.2 Desplazamiento unidimensional y velocidad: cantidades vectoriales 35
2.2 Desplazamiento unidimensional y velocidad:
cantidades vectoriales
OBJETIVOS: a) Definir desplazamiento y calcular velocidad, y b) explicar la dife-
rencia entre cantidades escalares y vectoriales.
Desplazamiento
En el movimiento en línea recta, o rectilíneo, conviene especificar la posición usando
el conocido sistema bidimensional de coordenadas cartesianas, con ejes x y y perpen-
diculares. Una trayectoria recta puede tener cualquier dirección, pero por convenien-
cia solemos orientar los ejes de coordenadas de manera que el movimiento siga uno
de ellos. (Véase el ladillo Aprender dibujando.)
Como ya vimos, la distancia es una cantidad escalar que sólo tiene magnitud (y
unidades). Sin embargo, al describir un movimiento podemos dar más información
si especificamos una dirección. Esta información es especialmente sencilla cuando el
cambio de posición es en línea recta. Definimos desplazamiento como la distancia
en línea recta entre dos puntos, junto con la dirección del punto de partida a la posi-
ción final. A diferencia de la distancia (un escalar), el desplazamiento puede tener
valores positivos o negativos, donde el signo indica la dirección a lo largo del eje de
coordenadas.
Por lo tanto, el desplazamiento es una cantidad vectorial. En otras palabras, un
vector tiene tanto magnitud como dirección. Por ejemplo, cuando describimos el
desplazamiento de un avión como 25 kilómetros al norte, estamos dando una des-
cripción vectorial (magnitud y dirección). Otras cantidades vectoriales son velocidad
y aceleración.
Podemos aplicar álgebra a los vectores; pero necesitamos saber cómo especifi-
car y manejar la parte de dirección del vector. Este proceso es relativamente sencillo
en una dimensión cuando se usan los signo � y � para indicar la dirección. Para
ilustrar esto al calcular desplazamientos, consideremos la situación que se muestra
en la ▼ figura 2.4, donde x1 y x2 indican posiciones inicial y final, respectivamente, en
el eje x, conforme un estudiante se mueve en línea recta de los casilleros al labora-
torio de física. Como puede verse en la figura 2.4a, la distancia escalar que él re-
corre es 8.0 m. Para especificar desplazamiento (un vector) entre x1 y x2, usamos 
la expresión
�x � x2 � xl (2.2)
APRENDER DIBUJANDO
Coordenadas cartesianas 
y desplazamiento 
unidimensional
x
12.0 (metros)11.010.09.08.07.06.05.04.03.02.01.0
8.0 m
a) Distancia (magnitud o valor numérico)
x
12.0 (metros)11.010.09.08.07.06.05.04.03.02.01.0
b) Desplazamiento (magnitud y dirección)
Δx = x2 − x1 = 9.0 m − 1.0 m = +8.0 m
LABORATORIO
DE FÍSICA
x2x1
x2x1
> FIGURA 2.4 Distancia (escalar) 
y desplazamiento (vector)
a) La distancia (camino en línea 
recta) entre el estudiante y el 
laboratorio de física es 8.0 m y es
una cantidad escalar. b) Para indicar
desplazamiento, x1 y x2 especifican
las posiciones inicial y final, 
respectivamente. El desplazamiento
es entonces �x � x2 � x1 � 9.0 m �
1.0 m � �8.0 m; es decir, 8.0 m 
en la dirección x positiva.
a) Sistema bidimensional de
coordenadas cartesianas. Un vector
de desplazamiento d ubica
un punto (x, y)
b) En movimiento unidimensional,
o rectilíneo, conviene orientar uno
de los ejes de coordenadas en la
dirección del movimiento
(origen)
36 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
Nota: � siempre significa final
menos inicial, así como un cambio
en un saldo bancario es el saldo
final menos el saldo inicial.
Nota: si el desplazamiento es en
una dirección, la distancia es la
magnitud del desplazamiento.
Nota: no confunda velocidad (un
vector) con rapidez (un escalar).
*Otra forma muy utilizada de esta ecuación es
que, después de reacomodar, queda así:
(2.3)
donde xo es la posición inicial, x es la posición final y �t � t con to � 0. En la sección 2.3 se explica
esta notación.
x = xo + vt,
v =
¢x
¢t
=
1x2 - x121t2 - t12 = 1x - xo21t - to2 = 1x - xo2t
donde � representa, una vez más, un cambio o diferencia en una cantidad. Entonces,
como en la figura 2.4b, tenemos
�x � x2 � x1 � �9.0 m � (�1.0 m) � �8.0 m
donde el signo � indica las posiciones en el eje. Así, el desplazamiento (magnitud y
dirección) del estudiante es 8.0 m en la dirección x positiva, como indica el resultado
positivo (�) de la figura 2.4b. (Al igual que en las matemáticas “normales”, suele omi-
tirse el signo más, pues se sobreentiende, así que este desplazamiento se puede es-
cribir como �x � 8.0 m en vez de �x � �8.0 m.)
En este libro, las cantidades vectoriales por lo regular se indican con negritas 
y una flecha arriba; por ejemplo, un vector de desplazamiento se indica con o y
uno de velocidad, con No obstante, cuando se trabaja en una sola dimensión esa
notación no es necesaria y se simplifica usando signos más y menos para indicar las
únicas dos direcciones posibles. Por lo regular el eje x se utiliza para los movimientos
horizontales, y un signo más (�) indica la dirección a la derecha, o en la “dirección x
positiva”, en tanto que un signo menos (�) indica la dirección a la izquierda, o la “di-
rección x negativa”.
Tenga presente que estos signos sólo “apuntan” en direcciones específicas. Un obje-
to que se mueve sobre el eje x negativo hacia el origen se estaría moviendo en la direc-
ción x positiva, aunque su valor sea negativa. ¿Y un objeto que se mueve sobre el eje
x positivo hacia el origen? Si usted contestó en la dirección x negativa, está en lo co-
rrecto. En los diagramas las flechas del vector indican las direcciones de las magnitu-
des asociadas.
Supongamos que la otra estudiante de la figura 2.4 camina del laboratorio de físi-
ca (la posición inicial es diferente, x1 � �9.0 m) al final de los casilleros (la posición 
final ahora es x2 � �1.0 m). Su desplazamiento sería
�x � x2 � x1 � �1.0 m � (�9.0 m) � �8.0 m
El signo menos indica que la dirección del desplazamiento fue en la dirección x nega-
tiva, o a la izquierda en la figura. En este caso, decimos que los desplazamientos de
ambos estudiantes son iguales (en magnitud) y opuestos (en dirección).
Velocidad
Como hemos visto, la rapidez, al igual que la distancia que implica, es una cantidad
escalar: sólo tiene magnitud. Otra cantidad que se usa para describir mejor el movi-
miento es la velocidad. En la conversación cotidiana, solemos usar los términos rapidez
y velocidad como sinónimos; sin embargo, en física tienen distinto significado. La ra-
pidez es un escalar y la velocidad es un vector: tiene magnitud y dirección. A diferen-
cia de la rapidez (pero igual que el desplazamiento),las velocidades unidimensionales
puede tener valores positivos y negativos, que indican direcciones.
La velocidad nos dice qué tan rápidamente se está moviendo algo y en qué direc-
ción se está moviendo. Así como podemos hablar de rapidez media e instantánea, te-
nemos velocidades media e instantánea que implican desplazamientos vectoriales. La
velocidad media es el desplazamiento dividido entre el tiempo total de recorrido. En
una dimensión, esto implica sólo movimiento a lo largo de un eje, que se considera 
el eje x. En este caso,
(2.3)*
Unidad SI de velocidad: metros por segundo (m�s)*
 v =
¢x
¢t
=
x2 - x1
t2 - t1
 velocidad media =
desplazamiento
tiempo total de recorrido
vS.
xS,d
S
2.2 Desplazamiento unidimensional y velocidad: cantidades vectoriales 37
En el caso de más de un desplazamiento (desplazamientos sucesivos), la veloci-
dad media es igual al desplazamiento total o neto, dividido entre el tiempo total. El
desplazamiento total se obtiene sumando algebraicamente los desplazamientos, según
los signos de dirección.
Quizá se pregunte si hay relación entre rapidez media y velocidad media. Un vis-
tazo a la figura 2.4 muestra que, si todo el movimiento es en la misma dirección, es
decir, si nunca se invierte la dirección, la distancia es igual a la magnitud del despla-
zamiento. De manera que la rapidez media es igual a la magnitud de la velocidad me-
dia. No obstante, hay que tener cuidado. Este conjunto de relaciones no se cumple si hay
inversión de dirección, como en el ejemplo 2.2.
Ejemplo 2.2 ■ Ida y vuelta: velocidades medias
Un deportista trota de un extremo al otro de una pista recta de 300 m en 2.50 min y, luego,
trota de regreso al punto de partida en 3.30 min. ¿Qué velocidad media tuvo el deportista
a) al trotar al final de la pista, b) al regresar al punto de partida y c) en el trote total?
Razonamiento. Las velocidades medias se calculan a partir de la ecuación de definición.
Cabe señalar que los tiempos dados son los �t asociados con los desplazamientos en
cuestión.
Solución. El problema nos dice que:
Dado: (tomando la dirección Encuentre: velocidades medias
inicial como positiva) a) el primer tramo,
(tomando la dirección de b) el tramo de regreso,
regreso como negativa) c) el tramo total
a) La velocidad media al trotar hasta el final de la pista se calcula con la ecuación 2.3:
b) De forma similar, para el trote de regreso, tenemos
c) Para el recorrido total, debemos considerar dos desplazamientos, de ida y de vuelta,
así que los sumamos para obtener el desplazamiento total, que luego dividimos entre el
tiempo total:
¡La velocidad media para el trote total es cero! ¿Ve el lector por qué? La definición de des-
plazamiento indica que la magnitud del desplazamiento es la distancia en línea recta en-
tre dos puntos. El desplazamiento desde un punto regresando hasta ese mismo punto es
cero; así que la velocidad media es cero. (Véase la N figura 2.5.)
Podríamos haber encontrado el desplazamiento total con sólo calcular �x �
xfinal � xinicial � 0 � 0 � 0, donde las posiciones inicial y final se toman como el origen,
pero lo hicimos en partes como ilustración.
Ejercicio de refuerzo. Calcule la rapidez media del deportista en cada caso del ejemplo, y
compárela con las velocidades medias respectivas. [¿La rapidez media en c) será cero?]
(Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Como muestra el ejemplo 2.2, la velocidad media sólo ofrece una descripción ge-
neral del movimiento. Una forma de estudiar más de cerca el movimiento es consi-
derando intervalos de tiempo más pequeños, es decir, haciendo que el tiempo de
observación (�t) sea cada vez más pequeño. Al igual que la rapidez, cuando �t se
v3 =
¢x1 + ¢x2
¢t1 + ¢t2
=
300 m + 1-300 m2
150 s + 198 s
= 0 m>s
v2 =
¢x2
¢t2
=
-300 m
198 s
= -1.52 m>s
v1 =
¢x1
¢t1
=
+300 m
150 s
= +2.00 m>s
 ¢t2 = 3.30 min 160 s>min2 = 198 s ¢t1 = 2.50 min 160 s>min2 = 150 s
 ¢x2 = -300 m
 ¢x1 = 300 m
Nota: en el caso de desplaza-
mientos tanto en la dirección �
como � (inversión de dirección), 
la distancia no es la magnitud 
del desplazamiento total.
▲ FIGURA 2.5 ¡De vuelta a home!
Pese a haber cubierto casi 110 m 
entre las bases, en el momento en
que el corredor se barre en la caja
de bateo (su posición original) para
llegar a home, su desplazamiento 
es cero, al menos si es un bateador
derecho. Por más rápidamente que
haya corrido las bases, su velocidad
media para todo el recorrido 
también es cero.
38 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
200
150
100
50
1.0 2.0 3.0 4.0
Tiempo (h)
Velocidad uniforme
P
os
ic
ió
n 
(k
m
)
x
t
Δt = t2 − t1 = 2.0 − 1.0 = 1.0 h
ΔxΔΔ = x2 − x1 = 100 − 50 = 50 km
Δx
Δt =
50 km
1.0 h= 50 km/hPendiente =
=Pendiente
0 1.0 h 2.0 h 3.0 h
50 km 100 km 150 km
Tiempo
Distancia
50 km/1.0 h = 50 km/h
100 km/2.0 h = 50 km/h
150 km/3.0 h = 50 km/h
50
100
150
1.0
2.0
3.0
ΔxΔΔ (km) Δt (h) ΔxΔΔ /xx Δ// t
v (= v)
0
t1
x1
x2
t2
a)
b)
N FIGURA 2.6 Movimiento 
rectilíneo uniforme: velocidad
constante En el movimiento 
rectilíneo uniforme, un objeto viaja
con velocidad constante, cubriendo
la misma distancia en intervalos 
de tiempo iguales, a) Aquí, un 
automóvil recorre 50 km cada hora.
b) Una gráfica de x contra t es una
línea recta, pues se cubren despla-
zamientos iguales en tiempos 
iguales. El valor numérico de la
pendiente de la línea es igual a 
la magnitud de la velocidad, y 
el signo de la pendiente da su 
dirección. (La velocidad media es
igual a la velocidad instantánea 
en este caso. ¿Por qué?)
aproxima a cero, obtenemos la velocidad instantánea, que describe qué tan rápida-
mente y en qué dirección se está moviendo algo en un momento específico.
La velocidad instantánea se define matemáticamente así:
(2.4)
Esta expresión se lee como “la velocidad instantánea es igual al límite de �x��t cuan-
do �t se aproxima a cero”. El intervalo de tiempo nunca llega a cero (¿por qué?); pero
se aproxima a cero. Técnicamente la velocidad instantánea aún es una velocidad media;
sin embargo, un �t tan pequeño es básicamente un promedio “en un instante de tiem-
po” y, por ello, la llamamos velocidad instantánea.
Movimiento uniforme se refiere a un movimiento con velocidad constante (mag-
nitud constante y dirección constante). Como ejemplo de una dimensión, el automóvil
de la ▼ figura 2.6 tiene una velocidad uniforme. Recorre la misma distancia y experi-
menta el mismo desplazamiento en intervalos de tiempo iguales (50 km en cada hora),
y no cambia la dirección de su movimiento.
Análisis gráfico
El análisis gráfico a menudo es útil para entender el movimiento y las cantidades re-
lacionadas con él. Por ejemplo, el movimiento del automóvil de la figura 2.6a podría
representarse en una gráfica de posición contra tiempo, o x contra t. Como se obser-
va en la figura 2.6b, se obtiene una línea recta para una velocidad uniforme, o cons-
tante, en una gráfica así.
v = lím
¢t:0 
¢x
¢t
Nota: la palabra uniforme significa
“constante”.
Ilustración 1.3 Obtención de datos
Ilustración 2.1 Posición y 
desplazamiento
Exploración 2.1 Compare posición
contra tiempo y velocidad contra 
gráficos de tiempo
2.2 Desplazamiento unidimensional y velocidad: cantidades vectoriales 39
P
os
ic
ió
n 
(k
m
)
Tiempo (h)
50
0
100
150
200
1.0 2.0 3.0 4.0
Pendiente = v = ΔxΔt = 
–50 km
1.0 h
= –50 km/h
x1
x2
x
t
Δx = x2 – x1 = 100 – 150 = –50 km
t1 t2
Δt = t2 – t1 = 2.0 – 1.0 = 1.0 h
–
> FIGURA 2.7 Gráfica de posición
contra tiempo para un objeto que
se mueve uniformemente en la 
dirección x negativa Una línea 
recta con pendiente negativa en 
una gráfica de x contra t indica 
movimiento uniforme en la 
dirección x negativa. Observe que 
la posición del objeto cambia de 
forma constante. En t � 4.0 h, 
el objeto está en x � 0. ¿Qué aspecto
tendría la gráfica si el movimiento
continuara durante t � 4.0 h?
Recordemos que en las gráficas cartesianas de y contra x la pendiente de una rec-
ta está dada por �y��x. Aquí,con una gráfica de x contra t, la pendiente de la línea,
�x��t, es igual a la velocidad media En movimiento uniforme, este valor
es igual a la velocidad instantánea. Es decir, (¿Por qué?) El valor numérico de
la pendiente es la magnitud de la velocidad, y el signo de la pendiente da la direc-
ción. Una pendiente positiva indica que x aumenta con el tiempo, de manera que el
movimiento es en la dirección x positiva. (El signo más suele omitirse, porque se so-
breentiende, y así lo haremos a lo largo de este texto.)
Suponga que una gráfica de posición contra tiempo para el movimiento de un au-
tomóvil es una línea recta con pendiente negativa, como en la ▲ figura 2.7. ¿Qué indica
esta pendiente? Como se aprecia en la figura, los valores de posición (x) disminuyen
con el tiempo a una tasa constante, lo cual indica que el automóvil viaja con movi-
miento uniforme, aunque en la dirección x negativa, lo cual se relaciona con el valor
negativo de la pendiente.
En la mayoría de los casos, el movimiento de un objeto no es uniforme, lo cual sig-
nifica que se cubren diferentes distancias en intervalos de tiempo iguales. Una gráfica
de x contra t para un movimiento así en una dimensión es una línea curva, como la de
la ▼ figura 2.8. La velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo dado es la
pendiente de una recta que pasa entre los dos puntos de la curva que corresponden a
los tiempos inicial y final del intervalo. En la figura, como la velocidad
media para todo el viaje es la pendiente de la línea recta que une los puntos inicial y
final de la curva.
v = ¢x>¢t,
v = v.
v = ¢x>¢t.
Tiempo
P
os
ic
ió
n
t1
t
Pe
nd
ien
te 
= 
v
x1
t2
x2
x
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Δt
Δx
Δx
Δt
> FIGURA 2.8 Gráfica de posición
contra tiempo para un objeto en
movimiento rectilíneo no uniforme
Si la velocidad no es uniforme, una
gráfica de x contra t es una curva.
La pendiente de la línea entre dos
puntos es la velocidad media entre
esos dos puntos, y la velocidad 
instantánea es la pendiente de 
una línea tangente a la curva en
cualquier punto. Se muestran cinco
líneas tangentes, con los intervalos
�x��t para la quinta. ¿Puede el 
lector describir el movimiento 
del objeto con palabras?
Exploración 2.2 Determine la gráfica
correcta
Ilustración 2.2 Velocidad promedio
40 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
La velocidad instantánea es igual a la pendiente de una línea recta tangente a la
curva en un momento específico. En la figura 2.8 se muestran cinco líneas tangen-
tes comunes. En (1), la pendiente es positiva y, por lo tanto, el movimiento es en la
dirección x positiva. En (2), la pendiente de una línea tangente horizontal es cero, así
que no hay movimiento. Es decir, el objeto se detuvo instantáneamente (v � 0). En
(3), la pendiente es negativa, de manera que el objeto se está moviendo en la direc-
ción x negativa. Entonces, el objeto se detuvo y cambió de dirección en el punto (2).
¿Qué está sucediendo en los puntos (4) y (5)?
Si dibujamos diversas líneas tangentes a lo largo de la curva, vemos que sus pen-
dientes varían, lo cual indica que la velocidad instantánea está cambiando con el
tiempo. Un objeto en movimiento no uniforme puede acelerarse, frenarse o cambiar
de dirección. La forma de describir un movimiento con velocidad cambiante es el te-
ma de la sección 2.3.
2.3 Aceleración
OBJETIVOS: a) Explicar la relación entre velocidad y aceleración, y b) realizar un 
análisis gráfico de la aceleración.
La descripción básica del movimiento implica la tasa de cambio de posición con el
tiempo, que llamamos velocidad. Podemos ir un poco más lejos y considerar cómo
cambia esa tasa de cambio. Supongamos que algo se está moviendo a velocidad cons-
tante y luego la velocidad cambia. Semejante cambio de velocidad se denomina acele-
ración. En un automóvil, llamamos acelerador al pedal de la gasolina. Cuando pisamos
el acelerador, el automóvil aumenta su velocidad; si levantamos el pie, el automóvil
baja la velocidad. En ambos casos, hay un cambio de velocidad con el tiempo. Defi-
nimos aceleración como la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo.
La aceleración media es análoga a la velocidad media, es decir, es el cambio de
velocidad dividido entre el tiempo que toma realizar ese cambio:
(2.5)
Unidad SI de aceleración: metros por segundo al cuadrado (m�s2).
Observe que sustituimos las variables inicial y final con una notación más común. vo
y to son la velocidad y el tiempo iniciales u originales, respectivamente, y v y t son la
velocidad y el tiempo generales en algún momento futuro, cuando queremos conocer
la velocidad v después de cierto tiempo específico t. (Ésta podría o no ser la velocidad
final de una situación dada.)
A partir de �v��t, las unidades SI de aceleración son metros por segundo (�v)
por segundo (�t), es decir, (m�s)�s o m�(s � s), que comúnmente se expresa como me-
tros por segundo al cuadrado (m�s2). En el sistema inglés, las unidades son pies por
segundo al cuadrado (ft�s2).
Como la velocidad es una cantidad vectorial, también lo es la aceleración, pues
ésta representa un cambio de velocidad. Puesto que la velocidad tiene tanto magni-
tud como dirección, un cambio de velocidad implicaría cambios en cualquiera de es-
tos factores, o en ambos. Por lo tanto, una aceleración podría deberse a un cambio de
rapidez (la magnitud), un cambio de dirección o un cambio en ambas, como se muestra
en la Nfigura 2.9.
 =
v2 - v1
t2 - t1
=
v - vo
t - to
 a =
¢v
¢t
 aceleración media =
cambio de velocidad
tiempo que toma el cambio
Nota: en unidades compuestas, 
la multiplicación se indica con 
un punto centrado.
Ilustración 2.3 Velocidad promedio y
velocidad instantánea
2.3 Aceleración 41
DesaceleraciónAceleración
v (30 km/h)
(disminuye la magnitud
de la velocidad )
(se incrementa la magnitud de la velocidad )
t = 2.0 s t = 4.0 s t = 6.0 s0
a) Cambio en la magnitud de la velocidad pero no en la dirección
v = 0v (40 km/h)
a a
v (20 km/h)
v 1
 (6
0 k
m/
h)
t =
 0
v2 (80 km/h)
v
1 (80 km
/h)
t = 0
t = 1.0 s
v
2 (40 km
/h)
t = 2.0 s
b) Cambio en la dirección de la velocidad
pero no en la magnitud c) Cambio en la magnitud y en la dirección de la velocidad
▲ FIGURA 2.9 Aceleración: la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo Puesto 
que la velocidad es una cantidad vectorial, con magnitud y dirección, puede haber una
aceleración cuando hay a) un cambio de magnitud, pero no de dirección, b) un cambio 
de dirección, pero no de magnitud, o c) un cambio tanto de magnitud como de dirección.
En el caso del movimiento rectilíneo, usaremos signos más y menos para indicar
las direcciones de velocidad y aceleración, como hicimos con el desplazamiento lineal.
La ecuación 2.5 suele simplificarse como:
(2.6)
donde se supone que to � 0. (vo podría no ser cero, así que por lo general no podemos
omitirla.)
La aceleración instantánea, análoga a la velocidad instantánea, es la aceleración
en un instante específico. Esta cantidad se expresa matemáticamente como:
(2.7)
Las condiciones del intervalo de tiempo cercano a cero son las que se describieron para
la velocidad instantánea.
a = lím
¢t:0 
¢v
¢t
a =
v - vo
t
42 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
Ejemplo 2.3 ■ Frenado: aceleración media
Un matrimonio viaja en una camioneta SUV a 90 km/h por una carretera recta. Ven un
accidente a lo lejos, así que el conductor disminuye su velocidad a 40 km/h en 5.0 s.
¿Qué aceleración media tuvo la camioneta?
Razonamiento. Para calcular la aceleración media, se necesitan las variables definidas en
la ecuación 2.6, y se han dado.
Solución. Del planteamiento del problema, tenemos los siguientes datos:
Dado: Encuentre: (aceleración media)
[Aquí, suponemos que las velocidades instantáneas tienen dirección positiva, y se efec-
túan de inmediato las conversiones a unidades estándar (metros por segundo), ya que 
el tiempo se dio en segundos. En general, siempre trabajamos con unidades estándar.]
Dadas las velocidades inicial y final y el intervalode tiempo, podemos calcular la
aceleración media con la ecuación 2.6:
El signo menos indica la dirección de la aceleración (del vector). En este caso, la direc-
ción es opuesta a la dirección del movimiento (v � 0), y el automóvil se frena. A veces
llamamos desaceleración a una aceleración negativa.
Ejercicio de refuerzo. ¿Una aceleración negativa necesariamente implica que el objeto en
movimiento está desacelerando, o que su rapidez está disminuyendo? Sugerencia: véase la
sección lateral “Aprender dibujando”. (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan
al final del libro.)
Aceleración constante
Aunque la aceleración puede variar con el tiempo, por lo general restringiremos
nuestro estudio del movimiento a aceleraciones constantes, para simplificar. (Una
aceleración constante importante es aquella debida a la gravedad cerca de la superfi-
cie terrestre, que estudiaremos en la siguiente sección.) Puesto que en el caso de una
aceleración constante el promedio es igual al valor constante podemos omi-
tir la raya sobre la aceleración en la ecuación 2.6. Así, para una aceleración constante,
la ecuación que relaciona velocidad, aceleración y tiempo suele escribirse como sigue
(reacomodando la ecuación 2.6):
(sólo aceleración constante) (2.8)
(Cabe señalar que el término at representa el cambio de velocidad, ya que at � v � vo � �v.)
Ejemplo 2.4 ■ Arranque rápido, frenado lento: movimiento 
con aceleración constante
Un automóvil para “arrancones” que parte del reposo acelera en línea recta con una tasa
constante de 5.5 m/s2 durante 6.0 s. a) ¿Qué velocidad tiene el vehículo al final de ese pe-
riodo? b) Si en ese momento el carro despliega un paracaídas que lo frena con una tasa
uniforme de 2.4 m/s2, ¿cuánto tardará en detenerse?
Razonamiento. El vehículo primero acelera y luego frena, por lo que debemos fijarnos bien
en los signos de dirección de las cantidades vectoriales. Elegimos un sistema de coordena-
das con la dirección positiva en la dirección de la velocidad inicial. (Diagrame la situación.)
Entonces podremos obtener las respuestas usando las ecuaciones adecuadas. Note que
hay dos fases diferentes para el movimiento y, por lo tanto, dos aceleraciones diferentes.
Vamos a distinguir tales fases con los subíndices 1 y 2.
v = vo + at
1a = a2,
a =
v - vo
t
=
11 m>s - (25 m>s)
5.0 s
= -2.8 m>s2
 t = 5.0 s
 = 11 m>s v = 140 km>h 2a
0.278 m>s
1 km>h b
 = 25 m>s a vo = 190 km>h 2a
0.278 m>s
1 km>h b
APRENDER DIBUJANDO
Signos de la velocidad 
y la aceleración
a positiva
v positiva
Resultado:
más rápido
en la
dirección +x
–x +x
a negativa
v positiva
Resultado:
más lento
en la
dirección +x
a positiva
v negativa
Resultado:
más lento
en la
dirección –x
a negativa
v negativa
Resultado:
más rápido
en la
dirección –x
–x +x
–x +x
–x +x
2.3 Aceleración 43
Solución. Tomando el movimiento inicial en la dirección positiva, tenemos estos datos:
Dado: a) Encuentre: a) (velocidad final para la primera 
fase de movimiento)
b) (tiempo para la segunda fase 
b) de movimiento)
Hemos presentado los datos en dos partes. Esto ayuda a no confundirse con los símbo-
los. Observe que la velocidad final v1 que se calculará en el inciso a será la velocidad ini-
cial vo en el inciso b.
a) Para obtener la velocidad final, v, usamos directamente la ecuación 2.8:
b) Aquí, queremos hallar el tiempo, así que despejamos t2 de la ecuación 2.6 y usamos 
vo � v1 � 33 m/s del inciso a para obtener, 
Observe que el tiempo es positivo, como tendría que ser.
Ejercicio de refuerzo. ¿Qué velocidad instantánea tiene el carro 10 segundos después de
desplegar el paracaídas? (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Es fácil representar gráficamente movimientos con aceleración constante graficando
la velocidad instantánea contra el tiempo. En este caso una gráfica de v contra t es una
recta cuya pendiente es igual a la aceleración, como se muestra en la ▼ figura 2.10. Note
que la ecuación 2.8 se puede escribir como v � at � vo que, como reconocerá el lector, tie-
ne la forma de la ecuación de una línea recta, y � mx � b (pendiente m e intersección b).
t2 =
v2 - vo
a2
=
0 - (33 m>s)
-2.4 m>s2 = 14 s
v1 = vo + a1 t1 = 0 + 15.5 m>s2216.0 s2 = 33 m>s
 a2 = -2.4 m>s2 1dirección opuesta de vo2 v2 = 0 1se detiene2
 vo = v1 3del inciso a24 t2 t1 = 6.0 s
 a1 = 5.5 m>s2 v1 vo = 0 1en reposo2
Pen
dien
te =
 +a
b) Movimiento en dirección positiva: frena
t0 0
Pendiente = –a
v
vo
V
el
oc
id
ad
V
el
oc
id
ad
v
vo
Tiempo t Tiempo
v = vo – at
–at
vo 
v = vo + at
at
vo 
a) Movimiento en dirección positiva: acelera
c) Movimiento en dirección negativa: acelera d) Cambio de dirección
–v –v
–vo
vo0
0
V
el
oc
id
ad
V
el
oc
id
ad
Tiempo
Tiempo
Pendiente = –a
Pendiente = –a–at
–at
–v = –vo –at
–v = vo – at2
–vo 
vo 
t
t1 t2
▼ FIGURA 2.10 Gráficas de velocidad contra tiempo para movimientos con aceleración constante La pendiente de una gráfica 
de v contra t es la aceleración. a) Una pendiente positiva indica un aumento de velocidad en la dirección positiva. Las flechas verticales
a la derecha indican cómo la aceleración añade velocidad a la velocidad inicial vo. b) Una pendiente negativa indica una disminución
de la velocidad inicial vo, es decir, una desaceleración. c) Aquí, una pendiente negativa indica una aceleración negativa, pero la velocidad
inicial es en la dirección negativa, �vo, así que la rapidez del objeto aumenta en esa dirección. d) La situación inicial aquí es similar 
a la del inciso b, pero termina pareciéndose a la de c. ¿Puede el lector explicar qué sucedió en el tiempo t1?
Ilustración 2.5 Movimiento en una
columna o en una rampa
44 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
En la figura 2.10a, el movimiento es en la dirección positiva, y la aceleración aumenta 
la velocidad después de un tiempo t, como indican las flechas verticales a la derecha de la
gráfica. Aquí, la pendiente es positiva (a � 0). En la figura 2.10b, la pendiente negativa 
(a � 0) indica una aceleración negativa que produce un frenado o desaceleración. Sin 
embargo, la figura 2.10c ilustra cómo una aceleración negativa puede aumentar la velo-
cidad (cuando el movimiento es en la dirección negativa). La situación en la figura 2.10d
es un poco más compleja. ¿Puede el lector explicar qué está sucediendo ahí?
Cuando un objeto se mueve con aceleración constante, su velocidad cambia en la
misma cantidad en cada unidad de tiempo. Por ejemplo, si la aceleración es de 10 m/s2
en la misma dirección que la velocidad inicial, la velocidad del objeto aumentará en 
10 m/s cada segundo. Supongamos que el objeto tiene una velocidad inicial vo de 
20 m/s en una dirección específica to � 0. Entonces, para t � 0, 1.0, 2.0, 3.0 y 4.0 s, las
velocidades son 20, 30, 40, 50 y 60 m/s, respectivamente.
La velocidad media podría calcularse de la forma acostumbrada (ecuación 2.3),
pero también podríamos reconocer de inmediato que la serie uniformemente crecien-
te de números 20, 30, 40, 50 y 60 tiene un valor medio de 40 (el valor que está en el
punto medio de la serie), y Note que el promedio de los valores inicial y
final también da el promedio de la serie; es decir, (20 � 60)/2 � 40. Sólo cuando la ve-
locidad cambia a una tasa uniforme debido a una aceleración constante, es el pro-
medio de las velocidades inicial y final:
(sólo aceleración constante) (2.9)
Ejemplo 2.5 ■ En el agua: uso de múltiples ecuaciones
En un lago una lancha de motor que parte del reposo acelera en línea recta con una tasa
constante de 3.0 m/s2 durante 8.0 s. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
Razonamiento. Sólo tenemos una ecuación para distancia (ecuación 2.3, ),
pero no podemos usarla directamente. Primero debemos calcular la velocidad media, así
que necesitaremos ecuaciones y pasos múltiples.
Solución. Después de leer el problema, resumir los datos e identificar lo que se pide (su-
poniendo que la lancha acelera en la dirección �x), tenemos:
Dado: Encuentre:x (distancia)
(Observe que todas las unidades son estándar.)
Al analizar el problema, podríamos razonar como sigue: para obtener x, tendre-
mos que usar la ecuación 2.3 como (Debemos usar la velocidad media 
porque la velocidad está cambiando, así que no es constante.) Como se nos dio el tiem-
po, ya sólo nos falta obtener Por la ecuación 2.9, y, con vo � 0 sólo 
necesitamos la velocidad final v para resolver el problema. La ecuación 2.8, v � vo � at,
nos permite calcular v a partir de los datos. Así pues, tenemos:
La velocidad de la lancha al término de 8.0 s es
La velocidad media en ese intervalo de tiempo es
Por último, la magnitud del desplazamiento, que en este caso es igual a la distancia re-
corrida, está dada por la ecuación 2.3 (teniendo la posición inicial de la lancha como el
origen, xo � 0):
Ejercicio de refuerzo. (Avance.) En la sección 2.4 deduciremos la siguiente ecuación:
Utilice los datos de este ejemplo para saber si esta ecuación da la distan-
cia recorrida. (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
x = vo t +
1
2 at
2.
x = vt = 112 m>s218.0 s2 = 96 m
v =
v + vo
2
=
24 m>s + 0
2
= 12 m>s
v = vo + at = 0 + 13.0 m>s2218.0 s2 = 24 m>s
v = 1v + vo2>2,v.
vx = xo + vt.
 t = 8.0 s
 a = 3.0 m>s2 vo = 0 xo = 0
x = xo + vt
v =
v + vo
2
v
v = 40 m>s.
Exploración 2.3 Una cortina tapa tu
visión de la pelota de golf
2.4 Ecuaciones de cinemática (aceleración constante) 45
2.4 Ecuaciones de cinemática (aceleración constante)
OBJETIVOS: a) Explicar las ecuaciones de cinemática para aceleración cons-
tante y b) aplicarlas a situaciones físicas.
Sólo necesitamos tres ecuaciones básicas para describir los movimientos en una di-
mensión con aceleración constante. En las secciones anteriores vimos que esas ecua-
ciones son:
(2.3)
(sólo aceleración constante) (2.9)
(sólo aceleración constante) (2.8)
(Cabe señalar que la primera ecuación, ecuación 2.3, es general y no está limitada a si-
tuaciones de aceleración constante, como las otras dos ecuaciones.)
Sin embargo, como vimos en el ejemplo 2.5, la descripción del movimiento en
algunos casos requiere aplicar varias de tales ecuaciones, lo cual quizá no sea evi-
dente al principio. Sería útil reducir el número de operaciones que deben efectuarse
para resolver problemas de cinemática, y podemos lograrlo combinando ecuaciones
algebraicamente.
Por ejemplo, suponga que queremos una expresión que dé la ubicación x en térmi-
nos del tiempo y la aceleración, y no en términos del tiempo ni de la velocidad media
(como en la ecuación 2.3). Podemos eliminar v de la ecuación 2.3 sustituyendo v de 
la ecuación 2.9 en la ecuación 2.3:
y
(sólo aceleración constante) (2.10)
Entonces, al sustituir v de la ecuación 2.8, obtenemos
Al simplificar,
(sólo aceleración constante) (2.11)
En esencia, realizamos esta serie de pasos en el ejemplo 2.5. La ecuación combinada
permite calcular directamente la distancia recorrida por la lancha de ese ejemplo:
Es mucho más fácil, ¿no?
Quizá deseamos una expresión que dé la velocidad en función de la posición x, no
del tiempo (como en la ecuación 2.8). Podemos eliminar t de la ecuación 2.8 usando la
ecuación 2.10 en la forma
Entonces, al multiplicar esta ecuación por la ecuación 2.8 en la forma (v � vo) � at
tenemos
y utilizando la relación para obtener
(sólo aceleración constante) (2.12)v2 = vo2 + 2a1x - xo2
v2 - vo2 = 1v + vo21v - vo2,1v + vo21v - vo2 = 2a1x - xo2
v + vo = 2 
1x - xo2
t
x - xo = ¢x = vo t +
1
2 at
2 = 0 + 12 13.0 m>s2218.0 s22 = 96 m
x = xo + vo t +
1
2 at
2
x = xo +
1
2 1vo + at + vo2t
x = xo +
1
2 1v + vo2t
x = xo + vt
 v = vo + at
 v =
v + vo
2
 x = xo + vt
Nota: �x � x � xo es desplaza-
miento, pero con xo � 0, como
suele ser, �x � x, y el valor de 
la posición x es el mismo que el
del desplazamiento. Esto nos 
ahorra tener que escribir siempre
�x � x � xo.
Exploración 2.4 Determine x(t) de un
Monster Truck
46 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
Sugerencia para resolver problemas
Los estudiantes de cursos de introducción a la física a veces se sienten abrumados por
las diversas ecuaciones de cinemática. No hay que olvidar que las ecuaciones y las ma-
temáticas son las herramientas de la física. Todo mecánico o carpintero sabe que las
herramientas facilitan el trabajo en la medida en que uno las conoce y sabe usarlas. 
Lo mismo sucede con las herramientas de la física.
Si resumimos las ecuaciones para movimiento rectilíneo con aceleración constante
tenemos:
(2.8)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Este conjunto de ecuaciones se utiliza para resolver la mayoría de los problemas de
cinemática. (Ocasionalmente, nos interesará una rapidez o una velocidad media
pero, como ya señalamos, en general los promedios no nos dicen mucho.)
Observe que todas las ecuaciones de la lista tienen cuatro o cinco variables. Es pre-
ciso conocer todas las variables de una ecuación, menos una, para calcular lo que nos
interesa. Por lo común elegimos una ecuación con la incógnita o la cantidad que se
busca. Pero, como señalamos, hay que conocer las otras variables de la ecuación. Si no
es así, entonces se habrá elegido la ecuación incorrecta y deberá utilizarse otra ecua-
ción para encontrar la variable. (Otra posibilidad es que no se hayan dado los datos su-
ficientes para resolver el problema, aunque ése no sería el caso en este libro de texto.)
Siempre hay que intentar entender y visualizar los problemas. Una lista de los da-
tos, como la que se describe en el procedimiento para resolver problemas sugerido en
el capítulo 1, nos ayudaría a decidir qué ecuación usar, pues nos indica las variables
conocidas y las incógnitas. Recuerde esta estrategia al resolver los demás ejemplos de
este capítulo. También es importante no pasar por alto datos implícitos, error que ilustra
el ejemplo 2.6.
Ejemplo conceptual 2.6 ■ ¡Algo está mal!
Un estudiante trabaja en un problema en el que interviene un objeto que acelera de ma-
nera constante; el estudiante quiere encontrar v. Se sabe que vo � 0 y t � 3.0 s, pero no
se conoce la aceleración a. Él examina las ecuaciones cinemáticas y decide, utilizando 
v � at y (con xo � vo � 0), que puede eliminarse la incógnita a. Con a � v/t
y a � 2x/t2 e igualando,
pero x no se conoce, así que decide emplear x � vt para eliminarla, y
Se simplifica,
¿Qué está incorrecto aquí?
Razonamiento y respuesta. Evidentemente, se cometió un error grave y tiene que ver con
el procedimiento de la resolución de problemas de la sección 1.7. El paso 4 dice: Determi-
ne qué principios y ecuaciones se aplican a esta situación. Puesto que sólo se utilizaron ecuacio-
nes, una de ellas no debe aplicarse a esta situación. Al hacer una revisión y analizar, esto
resulta ser x � vt, que se aplica sólo al movimiento no acelerado y, por lo tanto, no se apli-
ca a este problema.
Ejercicio de refuerzo. Si sólo se conocen vo y t, ¿hay alguna forma de encontrar v utilizando
las ecuaciones cinemáticas dadas? Explique su respuesta. (Las respuestas a todos los ejercicios
de refuerzo aparecen al final del libro.)
v = 2v o 1 = 2!
v>t = 2vt>t2
v>t = 2x>t2
x = 12 at
2
 v2 = vo2 + 2a1x - xo2 x = xo + vo t + 12 at2
 x = xo +
1
2 1v + vo2t v = vo + at
Ilustración 2.4 Aceleración constante
y medición
Exploración 2.5 Determine x(t) y v(t)
del Lamborghini
2.4 Ecuaciones de cinemática (aceleración constante) 47
Ejemplo 2.7 ■ Separación: ¿dónde están ahora?
Dos pilotos de carritos están separados por 10 m en una pista larga y recta, mirando en
direcciones opuestas. Ambos parten al mismo tiempo y aceleran con una tasa constante
de 2.0 m/s2. a) ¿Qué separación tendrán los carritos luego de 3.0 s?
Razonamiento. Sólo sabemos que los carritos tienen una separación inicial de 10 m, de
manera que podemos colocarlos en cualquier punto del eje x. Es conveniente colocar uno
en el origen para que una posición inicial (xo) sea cero. En la ▲ figura 2.11 se muestra un
diagrama de la situación.
Solución. El diagrama nos indica que tenemos los siguientesdatos:
Dado: Encuentre: la separación en t � 3.0 s
El desplazamiento que cada vehículo recorre está dada por la ecuación 2.11 [la única
ecuación de desplazamiento (�x) que incluye la aceleración (a)]: 
Pero espere: vo no está en la lista Dado. Quizá pasamos por alto algún dato implícito.
De inmediato nos damos cuenta de que vo � 0 para ambos vehículos, así que
y
Entonces, el vehículo A está 9 m a la izquierda del origen sobre el eje �x, mientras que el
vehículo B está en una posición de 19 m a la derecha sobre el eje �x. Por lo tanto, la se-
paración entre los dos carritos es de 28 m.
Ejercicio de refuerzo. ¿Sería diferente la separación si hubiéramos tomado la posición
inicial del vehículo B como el origen, en vez de la del vehículo A? (Las respuestas de todos
los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
 = 10 m + 0 + 12 (2.0 m>s2)(3.0 s)2 = 19 m xB = xoB + voB t +
1
2 aBt
2
 = 0 + 0 + 12 1-2.0 m>s2213.0 s22 = -9 m xA = xoA + voA t +
1
2 aA t
2
x = xo + vo t +
1
2 at
2.
 aB = 2.0 m>s2 xoB = 10 m
 t = 3.0 s
 aA = -2.0 m>s2 xoA = 0
Separación
inicial
= 10 m
Separación final = ?
x = 0 x = 10 m
A
A
B
B
+–
▲ FIGURA 2.11 ¡Allá van! Dos carritos aceleran en direcciones opuestas. ¿Qué separación
tienen en un momento posterior? Véase el ejemplo 2.7.
48 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
Ejemplo 2.8 ■ Frenado: distancia en que un vehículo para
La distancia de frenado de un vehículo es un factor importante para la seguridad en los
caminos. Esta distancia depende de la velocidad inicial (vo) y de la capacidad de frenado
que produce la desaceleración, a, que suponemos constante. (En este caso, el signo de la
aceleración es negativo, ya que es opuesto al de la velocidad, que suponemos positivo.
Así pues, el vehículo disminuye su velocidad hasta parar.) Exprese la distancia de frena-
do x en términos de estas cantidades.
Razonamiento. Una vez más, necesitamos una ecuación de cinemática, y una lista de lo
que se da y lo que se pide indica cuál es la apropiada. Se nos pide una distancia x, y no 
interviene el tiempo.
Solución. Estamos trabajando con variables, así que sólo podemos representar las canti-
dades en forma simbólica.
Dado: (dirección positiva x) Encuentre: distancia de frenado x
a ( dirección opuesta de vo) (en términos de las variables dadas)
(el automóvil se detiene)
(el origen es la posición inicial del automóvil)
Aquí también ayuda diagramar la situación, sobre todo porque intervienen cantidades
vectoriales (▲ figura 2.12). Dado que la ecuación 2.12 tiene las variables que queremos,
nos deberá permitir encontrar la distancia de frenado x. Si expresamos la aceleración
negativa explícitamente (�a) y suponemos xo � 0, tendremos
Puesto que el vehículo se para (v � 0), podemos despejar x:
Esta ecuación da x en términos de la rapidez inicial del vehículo y la aceleración de
frenado. Observemos que la distancia de frenado x es proporcional al cuadrado de la 
rapidez inicial. Por lo tanto, si la rapidez inicial es el doble, la distancia de frenado au-
mentará en un factor de 4 (con la misma desaceleración). Es decir, si la distancia de de-
saceleración es x1 con una rapidez inicial de v1, con un aumento del doble en la rapidez
inicial (v2 � 2v1) la distancia de frenado aumentará cuatro veces:
Podemos obtener el mismo resultado usando cocientes:
¿Será importante esta consideración para fijar límites de rapidez, digamos, en zonas
escolares? (También habría que considerar el tiempo de reacción del conductor. En la sec-
ción 2.5 se da un método para aproximar el tiempo de reacción de una persona.)
x2
x1
=
v2
2
v1
2 = ¢v2v1 ≤ 2 = 22 = 4
 x2 =
v2
2
2a
=
12v122
2a
= 4¢ v12
2a
≤ = 4x1
 x1 =
v1
2
2a
x =
vo
2
2a
v2 = vo2 - 2ax
 xo = 0
v = 0
6 0,
vo
a
Automóvil detenido
v = 0
x = ?
(Distancia de frenado)
+–
vo
xo = 0
▲ FIGURA 2.12 Distancia en que para un vehículo Dibujo para visualizar la situación del
ejemplo 2.8.
V
el
oc
id
ad
v
Tiempo
 a)
t
A
V
el
oc
id
ad
v
vo
Tiempo
 b)
t
A2
A1
▲ FIGURA 2.13 Gráficas de v
contra t, otra vez a) En la recta de
aceleración constante, el área bajo 
la curva es igual a x, la distancia 
recorrida. b) Aunque vo no sea cero,
la distancia está dada por el área
bajo la curva, que se dividió en dos
partes, las áreas Al y A2.
2.5 Caída libre 49
Ejercicio de refuerzo. Las pruebas han demostrado que el Chevy Blazer tiene una desace-
leración de frenado media de 7.5 m/s2; en tanto que la de un Toyota Célica es de 9.2 m/s2.
Suponga que dos de estos vehículos se están conduciendo por un camino recto y plano a
97 km/h (60 mi/h), con el Célica adelante del Blazer. Un gato se cruza en el camino fren-
te a ellos, y ambos conductores aplican los frenos al mismo tiempo y se detienen sin 
percance (sin arrollar ni golpear al gato). Suponiendo que ambos conductores tienen ace-
leración constante y el mismo tiempo de reacción, ¿a qué distancia mínima debe ir el Bla-
zer del Célica para que no choque con éste cuando los dos vehículos se detienen? (Las
respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Análisis gráfico de ecuaciones de cinemática
Como se mostró en la figura 2.10, las gráficas de v contra t dan una línea recta cuya
pendiente son los valores de la aceleración constante. Las gráficas de v contra t tienen
otro aspecto interesante. Consideremos la que se muestra en la Nfigura 2.13a, en espe-
cial el área sombrada bajo la curva. Suponga que calculamos el área del triángulo som-
breado donde, en general, 
En la gráfica de la figura 2.13a, la altura es v y la base es t, así que Por la 
ecuación v � vo � at, tenemos v � at, donde vo � 0 (la intersección). Por lo tanto,
Entonces, �x, el desplazamiento, es igual al área bajo una curva de v contra t.
Examinemos ahora la figura 2.13b. Aquí, vo tiene un valor distinto de cero en 
t � 0, o sea que el objeto ya se está moviendo. Consideremos las dos áreas sombrea-
das. Sabemos que el área del triángulo es y el área del rectángulo es (con 
xo � 0) A1 � vot. Si sumamos estas áreas para obtener el área total, tenemos
Es tan sólo la ecuación 2.11, que es igual al área bajo la curva de v contra t.
2.5 Caída libre
OBJETIVO: Usar las ecuaciones de cinemática para analizar la caída libre.
Uno de los casos más comunes de aceleración constante es la aceleración debida a la
gravedad cerca de la superficie terrestre. Cuando dejamos caer un objeto, su veloci-
dad inicial (en el momento en que se suelta) es cero. En un momento posterior, mien-
tras cae, tiene una velocidad distinta de cero. Hubo un cambio en la velocidad y, por
lo tanto, por definición hubo una aceleración. Esta aceleración debida a la gravedad
(g) cerca de la superficie terrestre tiene una magnitud aproximada de
(aceleración debida a la gravedad)
(o 980 cm/s2) y está dirigida hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). En unidades in-
glesas, el valor de g es de aproximadamente 32.2 ft/s2.
Los valores que damos aquí para g son aproximados porque la aceleración debida
a la gravedad varía un poco en los diferentes lugares, como resultado de diferencias en
la altura sobre el nivel del mar y en la densidad media regional de masa de la Tierra. En
este libro ignoraremos esas pequeñas variaciones, a menos que se indique lo contrario.
(La gravedad se estudia con mayor detalle en el capítulo 7.) La resistencia del aire es
otro factor que afecta (reduce) la aceleración de un objeto que cae; pero también la ig-
noraremos aquí por sencillez. (Consideraremos el efecto de fricción de la resistencia del
aire en el capítulo 4.)
Decimos que los objetos que se mueven únicamente bajo la influencia de la gravedad están
en caída libre. Las palabras “caída libre” nos hacen imaginar objetos que se dejan caer.
No obstante, el término se puede aplicar en general a cualquier movimiento vertical
bajo la influencia exclusiva de la gravedad. Los objetos que se sueltan desde el reposo
g = 9.80 m>s2
A1 + A2 = vo t +
1
2 at
2 = ¢x
A2 =
1
2 at
2,
A = 12 vt =
1
2 1at2t = 12 at2 = ¢xA = 12 vt.
A = 12 ab CÁrea = 12 1altitud21base2 D .
Exploración 2.8 Determine el área
bajo a(t) y v(t)
50 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
 a) b)
▼ FIGURA 2.14 Caída libre y resistencia del aire a) Cuando se dejan caer simultánea-
mente de la misma altura, una pluma cae más lentamente que una moneda, a causa de la
resistencia del aire. En cambio, cuando ambos objetos se dejan caer en un recipiente donde
se hizo un buen vacío parcial, en el que la resistencia del aire es insignificante, la pluma 
y la moneda caen juntas con la misma aceleración constante. b) Demostración real con
imagen de destello múltiple: una manzana y una pluma se sueltan simultáneamente 
a través de una escotilla en una cámara de vacío grande, y caen juntas… o casi. Puesto 
que el vacío es sólo parcial, todavía hay cierta resistencia del aire. (¿Qué piensa usted?)
o que se lanzan hacia arriba o hacia abajo están en caída libre una vez que se suel-
tan. Es decir, después de t � 0 (el momento del lanzamiento), sólo la gravedad in-
fluye en el movimiento. (Incluso cuando un objeto proyectado hacia arriba está
ascendiendo, está acelerando hacia abajo.) Por lo tanto, podemos usar el conjunto de
ecuaciones para movimiento en una dimensión con aceleración constante, para 
describir la caída libre.
La aceleración debida a la gravedad, g, tiene el mismo valor de todos los objetos
en caída libre, sin importar su masa ni su peso. Antes se pensaba que los cuerpos más
pesados caían más rápido que los más ligeros. Este concepto formó parte de la teoría
del movimiento de Aristóteles. Es fácil observar que una moneda cae más rápidamen-
te que una hoja de papel cuando se dejan caer simultáneamente desde la misma altu-
ra. Sin embargo, en este caso la resistencia del aire es muy importante. Si el papel se
arruga hasta formar una bolita compacta, dará más batalla a la moneda. Asimismo,
una pluma “flota” hacia abajo mucho más lentamente que una moneda que cae. No
obstante, en un vacío aproximado, donde la resistencia del aire es insignificante, la
pluma y la moneda caerán con la misma aceleración: la aceleración debida a la grave-
dad (▼ figura 2.14).
El astronauta David Scott realizó un experimento similar en la Luna en 1971, al de-
jar caer simultáneamente una pluma y un martillo desde la misma altura. No necesitó
una bomba de vacío: la Luna no tiene atmósfera y por consiguiente no hay resistencia
del aire. El martillo y la pluma llegaron a la superficie lunar juntos; pero ambos caye-
ron más lentamente que en la Tierra. La aceleración debida a la gravedad cerca de la
superficie lunar es aproximadamente la sexta parte de la que tenemos cerca de la su-
perficie terrestre (gM � g�6).
Las ideas que gozan actualmente de aceptación en cuanto al movimiento de
cuerpos que caen se deben en gran medida a Galileo, quien desafió la teoría de Aris-
tóteles e investigó experimentalmente el movimiento de tales objetos. Según la le-
yenda, Galileo estudió la aceleración de cuerpos que caen dejando caer objetos de
diferente peso desde lo alto de la Torre Inclinada de Pisa. (Véase la sección “A fon-
do” sobre Galileo.)
2.5 Caída libre 51
2.1 Galileo Galilei y la Torre Inclinada de Pisa
Galileo Galilei (▲ figura 1) nació en Pisa, Italia, en 1564 durante
el Renacimiento. En la actualidad se le conoce en todo el mun-
do por su nombre de pila y muchos lo consideran el padre de la
ciencia moderna y la física experimental, lo cual avala la magni-
tud de sus aportaciones científicas.
Una de las mayores contribuciones de Galileo a la ciencia
fue el establecimiento del método científico, es decir, la investiga-
ción por experimentación. En cambio, el enfoque de Aristóteles
se basaba en la deducción lógica. En el método científico, para
que una teoría sea válida, debe predecir o coincidir correctamen-
te con resultados experimentales. Si no es así, o no es válida o de-
be modificarse. Galileo señalaba: “Creo que en el estudio de
problemas naturales no debemos partir de la autoridad de lu-
gares de las Escrituras, sino de experimentos razonables y de 
demostraciones necesarias”.*
Tal vez la leyenda más popular y conocida acerca de Gali-
leo sea que realizó experimentos dejando caer objetos desde la
Torre Inclinada de Pisa (Nfigura 2). Se ha puesto en duda que
Galileo lo haya hecho realmente, pero de lo que no hay duda es
de que cuestionó la perspectiva de Aristóteles respecto al movi-
miento de cuerpos que caen. En 1638, Galileo escribió:
Aristóteles dice que una esfera de hierro de cien libras que
cae de una altura de cien codos llega al suelo antes 
que una esfera de una libra haya caído un solo cúbito. Yo
digo que llegan al mismo tiempo. Al realizar el experi-
mento, constatamos que la más grande rebasa a la más pe-
queña por el espesor de dos dedos; es decir, cuando la
mayor ha llegado al suelo, la otra está a dos grosores de
dedo del suelo; no creo que tras esos dos dedos podamos
ocultar los noventa y nueve cúbitos de Aristóteles.†
Éste y otros escritos revelan que Galileo conocía el efecto de la
resistencia del aire.
Los experimentos en la Torre de Pisa supuestamente se
efectuaron alrededor de 1590. En sus escritos de esa época, Ga-
lileo dice haber dejado caer objetos desde una torre alta, aun-
que nunca menciona específicamente la Torre de Pisa. Una
carta que otro científico escribió a Galileo en 1641 describe la
acción de dejar caer una bala de cañón y una de mosquete des-
de la Torre de Pisa. El primer relato que menciona un experi-
mento similar de Galileo lo escribió Vincenzo Viviani, su último
discípulo y primer biógrafo, doce años después de su muerte.
No se sabe si Galileo se lo contó a Viviani en sus años postreros
o si Viviani creó esta imagen de su antiguo maestro.
Lo importante es que Galileo reconoció (y probablemente
demostró experimentalmente) que los objetos en caída libre
caen con la misma aceleración, sea cual fuere su masa o peso.
(Véase la figura 2.14.) Galileo no explicó por qué todos los obje-
tos en caída libre tienen la misma aceleración; pero Newton sí
lo hizo, como veremos en un capítulo posterior.
A FONDO
†De Aristotle Galileo and the Tower of Pisa, por L. Cooper(Ithaca,
NY: Cornell University Press, 1935).
*De Growth of Biological Thought: Diversity, Evolution & Inheritance,
por F. Meyr (Cambridge, MA: Harvard University Press, 1982).
FIGURA 2 La Torre Inclinada de Pisa Construida como
campanario para una catedral cercana, se edificó sobre un
subsuelo inestable. Su construcción se inició en 1173, y comenzó
a tenderse hacia un lado y luego hacia el otro, antes de inclinarse
en su dirección actual. Hoy día, la torre diverge unos 5 m (16 ft)
de la vertical en su parte superior. Se cerró en 1990 y se hizo un
intento por estabilizarla y corregir la inclinación. Luego de cierta
mejoría en la torre se abrió nuevamente al público. 
FIGURA 1 Galileo Se dice que Galileo realizó
experimentos de caída libre dejando caer objetos 
desde la Torre Inclinada de Pisa.
52 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
Se acostumbra usar y para representar la dirección vertical y considerar positivo
hacia arriba (como en el eje y vertical de las coordenadas cartesianas). Como la acelera-
ción debida a la gravedad siempre es hacia abajo, está en la dirección y negativa. Esta
aceleración negativa, a � �g � �9.80 m�s2, se sustituye en las ecuaciones de movi-
miento; sin embargo, la relación a � �g se puede expresar explícitamente en las ecua-
ciones de movimiento rectilíneo, por conveniencia:
(2.8’)
(2.11’)
(2.12’)
La ecuación 2.10 también es válida, pero no contiene a g:
(2.10’)
Por lo regular se toma el origen (y � 0) del marco de referencia como la posición ini-
cial del objeto. El hecho de escribir explícitamente �g en las ecuaciones nos recuerda
su dirección.
Las ecuaciones se pueden escribir con a � g; por ejemplo, v � vo � gt, asociando el
signo menos directamente a g. En este caso, siempre sustituiremos �9.80 m�s2 por g.
No obstante, cualquier método funciona y la decisión es arbitraria. Quizásu profesor
prefiera uno u otro método.
Note que siempre debemos indicar explícitamente las direcciones de las cantida-
des vectoriales. La posición y y las velocidades v y vo podrían ser positivas (hacia arri-
ba) o negativas (hacia abajo); pero la aceleración debida a la gravedad siempre es hacia
abajo.
El empleo de estas ecuaciones y la convención del signo (con �g explícitamente
expresado en las ecuaciones) se ilustran en los ejemplos que siguen. (Esta convención
se usará durante todo el texto.)
Ejemplo 2.9 ■ Piedra lanzada hacia abajo: repaso de ecuaciones 
de cinemática
Un niño parado sobre un puente lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una ve-
locidad inicial de 14.7 m/s, hacia el río que pasa por abajo. Si la piedra choca contra el
agua 2.00 s después, ¿a qué altura está el puente sobre el agua?
Razonamiento. Es un problema de caída libre, pero hay que observar que la velocidad
inicial es hacia abajo, o negativa. Es importante expresar de manera explícita este hecho.
Dibuje un diagrama para que le ayude a analizar la situación, si lo considera necesario.
Solución. Como siempre, primero escribimos lo que nos dan y lo que nos piden:
Dado: (se toma hacia abajo Encuentre: y (altura del puente
como dirección negativa) sobre el agua)
Observe que g se toma como número positivo, porque en nuestra convención el signo
menos direccional ya se incluyó en las anteriores ecuaciones de movimiento.
¿Qué ecuación(es) dará(n) la solución con los datos proporcionados? Debería ser evi-
dente que la distancia que la piedra recorre en un tiempo t está dada directamente por la
ecuación 2.11’. Tomando yo � 0:
El signo menos indica que el desplazamiento es hacia abajo. Así pues, la altura del puen-
te es 49.0 m.
Ejercicio de refuerzo. ¿Cuánto más tardaría la piedra de este ejemplo en tocar el agua, si
el niño la hubiera dejado caer en vez de lanzarla? (Las respuestas de todos los Ejercicios de 
refuerzo se dan al final del libro.)
 = -29.4 m - 19.6 m = -49.0 m
 y = vo t -
1
2 gt
2 = 1-14.7 m>s212.00 s2 - 12 19.80 m>s2212.00 s22
 g 1= 9.80 m>s22 t = 2.00 s vo = -14.7 m>s
y = yo +
1
2 1v + vo2t
v2 = vo2 - 2g1y - yo2
(Ecuaciones de caída libre con
ay = -g expresada explícitamente)
y = yo + vo t -
1
2 gt
2
v = vo - gt
Ilustración 2.6 Caída libre
2.5 Caída libre 53
El tiempo de reacción es el tiempo que un individuo necesita para notar, pensar y ac-
tuar en respuesta a una situación; por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que se
observa por primera vez una obstrucción en el camino cuando se conduce un automó-
vil, y se responde a ella aplicando los frenos. El tiempo de reacción varía con la com-
plejidad de la situación (y con el individuo). En general, la mayoría del tiempo de
reacción de una persona se dedica a pensar, pero la práctica en el manejo de una situa-
ción dada puede reducir ese tiempo. El siguiente ejemplo explica un método para me-
dir el tiempo de reacción.
Ejemplo 2.10 ■ Medición del tiempo de reacción: caída libre
El tiempo de reacción de una persona puede medirse pidiendo a otra persona que deje
caer una regla (sin previo aviso), cuya base está a la altura del pulgar y el índice de la pri-
mera persona, y entre ellos, como se muestra en la Nfigura 2.15. La primera persona suje-
ta lo antes posible la regla que cae, y se toma nota de la longitud de la regla que queda
por debajo del dedo superior. Si la regla desciende 18.0 cm antes de ser atrapada, ¿qué
tiempo de reacción tiene la persona?
Razonamiento. Intervienen tanto la distancia como el tiempo. Esta observación indica la
ecuación de cinemática que debería usarse.
Solución. Observamos que sólo se da la distancia de caída. Sin embargo, sabemos algu-
nas cosas más, como vo y g, así que, tomando yo � 0:
Dado: Encuentre: t (tiempo de reacción)
(Observe que la distancia y se convirtió en metros. ¿Por qué?) Vemos que la ecuación per-
tinente es la 2.11’ (con vo � 0), que da
Despejando t,
Pruebe este experimento con un compañero y mida su tiempo de reacción. ¿Por qué
cree que debe ser otra persona la que deje caer la regla?
Ejercicio de refuerzo. Un truco popular consiste en usar un billete nuevo de dólar en vez
de la regla de la figura 2.15, y decir a la persona que puede quedarse con el billete si lo
puede atrapar. ¿Es buen negocio la propuesta? (La longitud de un billete de dólar es de
15.7 cm.) (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Ejemplo 2.11 ■ Caída libre hacia arriba y hacia abajo: 
uso de datos implícitos
Un trabajador que está parado en un andamio junto a una valla lanza una pelota verti-
calmente hacia arriba. La pelota tiene una velocidad inicial de 11.2 m/s cuando sale de
la mano del trabajador en la parte más alta de la valla (▼ figura 2.16). a) ¿Qué altura má-
xima alcanza la pelota sobre la valla? b) ¿Cuánto tarda en llegar a esa altura? c) ¿Dónde
estará la pelota en t � 2.00 s?
Razonamiento. En el inciso a), sólo hay que considerar la parte ascendente del movimiento.
Note que la pelota se detiene (velocidad instantánea cero) en la altura máxima, lo cual nos
permite determinar esa altura. b) Conociendo la altura máxima, podemos determinar el tiem-
po de ascenso. En c), la ecuación distancia-tiempo (ecuación 2.11’) es válida para cualquier
tiempo y da la posición (y) de la pelota relativa al punto de lanzamiento en t � 2.00 s.
t = A
2y
-g
= B
21-0.180 m2
-9.80 m>s2 = 0.192 s
y = - 12 gt
2
 g 1= 9.80 m>s22 vo = 0 y = -18.0 cm = -0.180 m
▲ FIGURA 2.15 Tiempo de 
reacción El tiempo de reacción 
de una persona puede medirse 
pidiéndole que sujete una regla
que se deja caer. Véase el ejemplo
2.10. 
(continúa en la siguiente página)
54 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
EWTON'S
yo = 0 
g v
v
g
gg
v = 0 
ymáx 
y = ymáx 
g
v
vo = 11.2 m/s
▲ FIGURA 2.16 Caída libre hacia arriba y hacia abajo Observe la longitud de los 
vectores de velocidad y aceleración en diferentes tiempos. (Las trayectorias ascendente 
y descendente de la pelota se desplazaron horizontalmente para tener una mejor 
ilustración.) Véase el ejemplo 2.11.
Solución. Parecería que lo único que se da en el problema general es la velocidad inicial
vo en el tiempo to. Sin embargo, se sobreentiende un par de datos más. Uno, desde luego,
es la aceleración g, y el otro es la velocidad en la altura máxima, donde la pelota se detie-
ne. Aquí, al cambiar de dirección, la velocidad de la pelota es momentáneamente cero, 
así que tenemos (tomando otra vez yo � 0):
Dado: Encuentre: a) ymáx (altura máxima por arriba del punto de
lanzamiento)
(en ymáx) b) ta (tiempo de ascenso)
[para el inciso c] c) y (en t � 2.00 s)
a) Nos referimos a la altura de la parte más alta de la valla (yo � 0). En esta parte del pro-
blema sólo nos ocupamos del movimiento ascendente: se lanza una pelota hacia arriba y
se detiene en su altura máxima ymáx. Con v � 0 a esta altura, podemos obtener ymáx direc-
tamente de la ecuación 2.12’:
Así que,
relativa al borde superior de la valla (yo � 0; véase la figura 2.16).
b) Sea ta el tiempo en que la pelota sube a su altura máxima. Éste es el tiempo que la pe-
lota tarda en alcanzar ymáx, donde v � 0. Puesto que conocemos vo y v, obtenemos el tiem-
po ta directamente de la ecuación 2.8’:
Entonces,
ta =
vo
g
=
11.2 m>s
9.80 m>s2 = 1.14 s
v = 0 = vo - gta
ymáx =
vo
2
2g
=
111.2 m>s22
219.80 m>s22 = 6.40 m
v2 = 0 = vo2 - 2gymax
 t = 2.00 s
 v = 0
 g 1= 9.80 m>s22 vo = 11.2 m>s
2.5 Caída libre 55
c) La altura de la pelota en t � 2.00 s está dada directamente por la ecuación 2.11’:
Observe que esta altura de 2.8 m se mide hacia arriba desde el punto de referencia (yo � 0).
La pelota alcanzó su altura máxima y empieza su descenso.
Considerada desde otro punto de referencia, la situación del inciso c se analiza como
si se dejara caer una pelota desde una altura de ymáx sobre la parte superior de la valla con
vo � 0, y preguntando qué distancia cae en un tiempo t � 2.00 s � ta 2.00 s � 1.14 s � 0.86 s.
La respuesta es (con yo � 0en la altura máxima):
Esta altura es la misma que la posición que obtuvimos antes, sólo que se mide con respec-
to a la altura máxima como punto de referencia; es decir,
arriba del punto de inicio.
Ejercicio de refuerzo. ¿A qué altura la pelota de este ejemplo tiene una rapidez de 5.00 m/s?
(Sugerencia: la pelota alcanza esta altura dos veces, una de subida y otra de bajada.) (Las
respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Veamos un par de hechos interesantes relacionados con el movimiento en caída
libre de un objeto lanzado hacia arriba en ausencia de resistencia del aire. Primero, si
el objeto regresa a su elevación de lanzamiento, entonces los tiempos de ascenso y
descenso son iguales. Asimismo, en la cúspide de la trayectoria, la velocidad del obje-
to es cero durante un instante, pero la aceleración se mantiene, incluso ahí, en el valor
constante de 9.8 m/s2 hacia abajo. Si la aceleración se volviera cero, el objeto perma-
necería ahí, ¡como si la gravedad habría dejado de actuar!
Por último, el objeto regresa a su punto de origen con la misma rapidez con la
que fue lanzado. (Las velocidades tienen la misma magnitud, pero tienen diferente
dirección.)
Sugerencia para resolver problemas
Al resolver problemas de proyección vertical en que intervienen movimientos ascen-
dentes y descendentes, a menudo se recomienda dividir el problema en dos partes y
considerarlas por separado. Como vimos en el ejemplo 2.11, en la parte ascendente
del movimiento la velocidad es cero en la altura máxima. Por lo general una cantidad
de cero simplifica los cálculos. Asimismo, la parte descendente del movimiento es
análoga a la de un objeto que se deja caer desde la altura máxima, donde la veloci-
dad inicial cero.
No obstante, como muestra el ejemplo 2.11, podemos usar directamente las ecua-
ciones adecuadas para cualquier posición o tiempo del movimiento. Por ejemplo, en
el inciso c notamos que la altura se obtuvo directamente para un tiempo después de
que la pelota había alcanzado la altura máxima. También podríamos haber calculado
directamente la velocidad de la pelota con la ecuación 2.8
, v � vo � gt.
También observe que la posición inicial siempre se tomó como yo � 0. Este su-
puesto generalmente es válido y se acepta por conveniencia cuando en la situación
sólo interviene un objeto (entonces, yo � 0 en to � 0). Esta convención puede ahorrar
mucho tiempo al plantear y resolver ecuaciones.
Lo mismo es válido con un solo objeto en movimiento horizontal: generalmente
podemos tomar xo � 0 en to � 0. Sin embargo, en este caso hay un par de excepciones:
primera, si el problema especifica que el objeto está situado inicialmente en una posi-
ción distinta de xo � 0; segunda, si en el problema intervienen dos objetos, como en el
ejemplo 2.7. En este caso, si consideramos que un objeto inicialmente está en el ori-
gen, la posición inicial del otro no será cero.
ymáx - 3.6 m = 6.4 m - 3.6 m = 2.8 m
y = vo t -
1
2 gt
2 = 0 - 12 19.80 m>s2210.86 s22 = -3.6 m
 = 111.2 m>s212.00 s2 - 12 19.80 m>s2212.00 s22 = 22.4 m - 19.6 m = 2.8 m y = vo t - 12 gt2
56 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
Ejemplo 2.12 ■ Caída libre en Marte
El Mars Polar Lander se lanzó en enero de 1999 y se perdió cerca de la superficie marciana
en diciembre de 1999. No se sabe qué pasó con esa nave espacial. (Véase la sección “A fon-
do” del capítulo 1 acerca de la importancia de la conversión de unidades.) Supongamos
que se dispararon los retro-cohetes y luego se apagaron, y que la nave se detuvo para des-
pués caer hasta la superficie desde una altura de 40 m. (Muy improbable, pero suponga-
mos que así fue.) Considerando que la nave está en caída libre, ¿con qué velocidad hizo
impacto con la superficie?
Razonamiento. Esto parece análogo a un problema sencillo de dejar caer un objeto desde
una altura. Y lo es, sólo que sucede en Marte. Ya vimos en esta sección que la aceleración
debida a la gravedad en la superficie de la Luna es la sexta parte de la que tenemos en la
Tierra. La aceleración debida a la gravedad también varía en otros planetas, así que nece-
sitamos conocer gMarte. Busque en el apéndice III. (Los apéndices contienen mucha infor-
mación útil, así que no hay que olvidarse de revisarlos.)
Solución.
Dado: Encuentre: v (magnitud, rapidez)
(del apéndice III)
Por lo que utilizamos la ecuación 2.12’:
Entonces,
Ésta es la velocidad, que sabemos que es hacia abajo, por lo que elegimos la raíz negativa
y v � �17 m/s. Ya que la rapidez es la magnitud de la velocidad, es 17 m/s.
Ejercicio de refuerzo. Desde la altura de 40 m, ¿cuánto tardó el descenso del Lander?
Calcúlelo empleando dos ecuaciones de cinemática distintas, y compare las respuestas.
(Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
v2 = 296 m2>s2 y v = 3296 m2>s2 = � 17 m>s
v2 = vo2 - 2gMarte y = 0 - 213.7 m>s221-40 m2
 = 3.7 m>s2 gMarte = 10.3792g = 10.379219.8 m>s22
 vo = 0
 y = -40 m 1yo = 0 otra vez2
Repaso del capítulo
• El movimiento implica un cambio de posición; se puede des-
cribir en términos de la distancia recorrida (un escalar) o del
desplazamiento (un vector).
• Una cantidad escalar sólo tiene magnitud (valor y unida-
des); una cantidad vectorial tiene magnitud y dirección.
• La rapidez media (un escalar) es la distancia recorrida divi-
dida entre el tiempo:
(2.1)
• La velocidad media (un vector) es el desplazamiento dividi-
do entre el tiempo total de recorrido:
(2.3) v =
¢x
¢t
=
x2 - x1
t2 - t1
 o x = xo + vt
velocidad media =
desplazamiento
tiempo total de recorrido
 s =
d
¢t
=
d
t2 - t1
 rapidez media =
distancia recorrida
tiempo total de recorrido
s
Exploración 2.7 Caída de dos pelotas;
una con caída retardada
Exploración 2.6 Lance una pelota 
de manera que casi toque el techo
x
12.0 (metros)11.010.09.08.07.06.05.04.03.02.01.0
8.0 m
x2x1
LABORATORIO
DE FÍSICA
• Un objeto en caída libre tiene una aceleración constante de
magnitud (aceleración debida a la gravedad)
cerca de la superficie de la Tierra.
• Si expresamos en las ecuaciones de cinemática para
aceleración constante en la dirección y tenemos lo siguiente:
(2.8’)
(2.10’)
(2.11’)
(2.12’) v2 = vo2 - 2g1y - yo2 y = yo + vo t - 12 gt2
 y = yo +
1
2 1v + vo2t v = vo - gt
a = -g
g = 9.80 m>s2
a positiva
v positiva
Resultado:
más rápido
en la
dirección +x
–x +x
a negativa
v positiva
Resultado:
más lento
en la
dirección +x
–x +x
Ejercicios 57
• La velocidad instantánea (un vector) describe con qué rapi-
dez y en qué dirección se está moviendo algo en un instante
dado.
• La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con el
tiempo, así que es una cantidad vectorial:
(2.5)
• Las ecuaciones de cinemática para aceleración constante:
(2.9)
(2.8)
(2.10)
(2.11)
(2.12) v2 = vo2 + 2a1x - xo2 x = xo + vo t + 12 at2
 x = xo +
1
2 1v + vo2t v = vo + at
 v =
v + vo
2
Pen
dien
te =
 +a
c) Movimiento en dirección negativa: acelera
–v
–vo
0
V
el
oc
id
ad
t0
V
el
oc
id
ad
v
vo
Tiempo
Tiempo
Pendiente = –a
–at
–v = –vo –at
–vo 
v = vo + at
at
vo 
a) Movimiento en dirección positiva: acelera
t
 a =
¢v
¢t
=
v2 - v1
t2 - t1
 aceleración media =
cambio de velocidad
tiempo que tarda el cambio
0 1.0 h 2.0 h 3.0 h
50 km 100 km 150 km
Tiempo
Distancía
Ejercicios
Los ejercicios designados OM son preguntas de opción múltiple; los PC son preguntas conceptuales; y los EI son ejer-
cicios integrados. A lo largo del texto, muchas secciones de ejercicios incluirán ejercicios “apareados”. Estos pares de
ejercicios, que se identifican con números subrayados, pretenden ayudar al lector a resolver problemas y aprender, 
El primer ejercicio de cada pareja (el de número par) se resuelve en la Guía de estudio, que puede consultarse si se 
necesita ayuda para resolverlo. El segundo ejercicio (de número impar) es similar, y su respuesta se da al final del libro.
2.1 Distancia y rapidez: cantidades escalares y
2.2 Desplazamiento unidimensional y velocidad:
cantidadesvectoriales
1. OM Una cantidad vectorial tiene a) sólo magnitud, b) só-
lo dirección o c) tanto dirección como magnitud.
2. OM ¿Qué se puede decir acerca de la distancia recorrida
en relación con la magnitud del desplazamiento? a) que
es mayor, b) que es igual, c) tanto a como b.
3. OM Una cantidad vectorial tiene a) sólo magnitud, b) só-
lo dirección o c) tanto dirección como magnitud.
58 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
A
B
27 m
21 m
▲ FIGURA 2.17 Rapidez contra velocidad Véase el ejercicio
21. (No está a escala, se ha desplazado al insecto por claridad.)
pero menor que 2R, o 3) mayor que 2R b) Si 
¿cuál es la magnitud del desplazamiento?
18. EI ●● Un automóvil de carreras da una vuelta a una 
pista circular de 500 m de radio en 50 s. a) La veloci-
dad media del auto es 1) cero, 2) 100 m/s, 3) 200 m/s 
o 4) ninguna de las anteriores. ¿Por qué? b) Calcule la 
rapidez media del auto?
19. EI ●● Un estudiante corre 30 m al este, 40 m al norte y 50 m
al oeste. a) La magnitud del desplazamiento neto del es-
tudiante es 1) entre 0 y 20 m, 2) entre 20 m y 40 m o 
3) entre 40 m y 60 m. b) Calcule el desplazamiento neto?
20. ●● Un estudiante lanza una pelota verticalmente hacia
arriba de modo que sube 7.1 m hasta su altura máxima.
Si la pelota se atrapa en la altura inicial 2.4 s después de
ser lanzada, a) ¿qué rapidez media tuvo?, b) ¿qué veloci-
dad media tuvo?
R = 50 m,4. OM ¿Qué se puede decir acerca de la rapidez promedio
en relación con la magnitud de la velocidad promedio? 
a) que es mayor, b) que es igual, c) tanto a como b.
5. PC ¿El desplazamiento de una persona en un viaje pue-
de ser cero, aunque la distancia recorrida en el viaje no
sea cero? ¿Es posible la situación inversa? Explique.
6. PC Le dicen que una persona caminó 750 m. ¿Qué puede
decir con certeza acerca de la posición final de la persona
relativa al punto de partida?
7. PC Si el desplazamiento de un objeto es 300 m hacia el
norte, ¿qué diría acerca de la distancia recorrida por ese
objeto?
8. PC La rapidez es la magnitud de la velocidad. ¿La rapidez
media es la magnitud de la velocidad media? Explique.
9. PC La velocidad promedio de una persona que trota en
una pista recta se calcula en ¿Es posible que la
velocidad instantánea de esta persona sea negativa en al-
gún momento durante el trayecto? Explique su respuesta.
10. ● ¿Qué magnitud tiene el desplazamiento de un automó-
vil que recorre media vuelta de una pista circular con 150 m
de radio? ¿Y cuando recorre una vuelta completa?
11. ● Un estudiante lanza una piedra verticalmente hacia arri-
ba desde su hombro, que está 1.65 m sobre el suelo. ¿Qué
desplazamiento tendrá la piedra cuando caiga al suelo?
12. ● En 1999, el corredor marroquí Hicham El Guerrouj co-
rrió la milla en 3 min, 43.13 s. ¿Qué rapidez media tuvo
durante la carrera?
13. ● Una anciana camina 0.30 km en 10 min, dando la vuel-
ta a un centro comercial. a) Calcule su rapidez media en
m/s. b) Si ella quiere aumentar su rapidez media en 20%
al dar una segunda vuelta, ¿en cuántos minutos deberá
caminarla?
14. ●● A un paciente de hospital se le deben suministrar 
500 cc de solución salina IV. Si la solución salina se sumi-
nistra a una tasa de 4.0 mL/min, ¿cuánto tiempo tardará
en acabarse el medio litro?
15. ●● La enfermera de un hospital camina 25 m para llegar
a la habitación de un paciente, que está al final del pasi-
llo, en 0.50 min. Habla con el paciente durante 4.0 min y
luego regresa a la estación de enfermeras con la misma
rapidez que a la ida. ¿Cuál fue la rapidez promedio de la
enfermera?
16. ●● En un viaje de campo traviesa, una pareja maneja 
500 mi en 10 h el primer día, 380 mi en 8.0 h en el segun-
do y 600 mi en 15 h en el tercero. ¿Cuál fue la rapidez
promedio para todo el viaje?
17. EI ●● Un automóvil recorre tres cuartas parte de una
vuelta en una pista circular de radio R. a) La magnitud
del desplazamiento es 1) menor que R, 2) mayor que R,
+5 km>h.
21. ●● Un insecto repta por el borde de una piscina rectan-
gular de 27 m de longitud y 21 m de anchura (▲figura
2.17). Tarda 30 min en reptar de la esquina A a la esquina
B. Calcule a) su rapidez media y b) la magnitud de su ve-
locidad media?
22. ●● Considere el movimiento sobre la superficie terrestre
durante un día entero. a) ¿Cuál es la velocidad promedio
de una persona situada en el ecuador de la Tierra? b)
¿Cuál es la rapidez promedio de una persona situada en
el ecuador de la Tierra? c) Compare estos dos resultados
en relación con una persona ubicada exactamente en el
Polo Norte de la Tierra.
23. ●● Un pateador de futbol americano de una preparatoria
hace un intento por anotar un gol de campo de 30.0 yardas
y golpea el travesaño, que está a una altura de 10.0 ft.
a)¿Cuál es el desplazamiento neto del balón desde el mo-
mento en que abandona el suelo hasta que golpea el trave-
saño? b) Suponiendo que el balón tardó 2.5 s en golpear el
travesaño, ¿cuál fue su velocidad promedio? c) Explique
por qué no es posible determinar su rapidez promedio a
partir de estos datos.
24. ●● En la Nfigura 2.18 se presenta una gráfica de posición
versus tiempo para un objeto en movimiento rectilíneo. a)
¿Cuáles son las velocidades promedio para los segmentos
Ejercicios 59
27. ●● El cabello corto crece a una tasa aproximada de
Un estudiante universitario se corta el cabe-
llo para dejarlo de un largo de 1.5 cm. Se cortará de nue-
vo el cabello cuando éste mida 3.5 cm. ¿Cuánto tiempo
transcurrirá hasta su siguiente visita al peluquero?
28. ●●● Un estudiante que regresa a casa en automóvil en Na-
vidad parte a las 8:00 A.M. para hacer el viaje de 675 km,
que efectúa casi en su totalidad en autopistas interes-
tatales no urbanas. Si quiere llegar a casa antes de las 
3:00 P.M., ¿qué rapidez media deberá mantener? ¿Tendrá
que exceder el límite de velocidad de 65 mi/h?
29. ●●● Un vuelo de una línea aérea regional consta de dos
etapas con una escala intermedia. El avión vuela 400 km
directamente hacia el norte, del aeropuerto A al aero-
puerto B. A partir de aquí, vuela 300 km directamente ha-
cia el este hasta su destino final en el aeropuerto C. a)
¿Cuál es el desplazamiento del avión desde su punto de
partida? b) Si el primer tramo del trayecto se recorre en
45 min y el segundo en 30 min, ¿cuál es la velocidad pro-
medio del viaje? c) ¿Cuál es la rapidez promedio del via-
je? d) ¿Por qué la rapidez promedio no es la misma que la
magnitud para la velocidad promedio?
30. ●●● Dos corredoras se aproximan entre sí, en una pista
recta con rapideces constantes de 4.50 m/s y 3.50 m/s,
respectivamente, cuando están separadas 100 m (▼fi-
gura 2.20). ¿Cuánto tardarán en encontrarse y en qué
posición lo harán si mantienen sus rapideces?
2.0 cm>mes.x
10.0
P
os
ic
ió
n 
(m
)
Tiempo (s)
0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
A B
C
D
E
F G
t
▲ FIGURA 2.18 Posición contra tiempo Véase el ejercicio 24.
AB, BC, CD, DE, EF, FG y BG? b) Indique si el movimiento
es uniforme o no uniforme en cada caso. c) ¿Cuál es la velo-
cidad instantánea en el punto D?
25. ●● Al demostrar un paso de baile, una persona se mueve
en una dimensión, como se muestra en la ▼figura 2.19.
Calcule a) la rapidez media y b) la velocidad media en ca-
da fase del movimiento. c) Calcule la velocidad instantá-
nea en 2.5 s, 4.5 s y 6.0 s? d) Calcule la 
velocidad media para el intervalo entre y
[Sugerencia: recuerde que el desplazamiento 
total es el desplazamiento entre el punto de partida y el
punto final.]
t = 9.0 s?
t = 4.5 s
t = 1.0 s,
x
P
os
ic
ió
n 
(m
)
Tiempo (s)
3.0
2.0
1.0
–1.0
–2.0
4.0
0 t
6.02.0 4.0 8.0 10.0
▲ FIGURA 2.19 Posición contra tiempo Véase el ejercicio 25.
100 m
4.50 m/s 3.50 m/s
▲ FIGURA 2.20 ¿Cuándo y dónde se encontrarán?
Véase el ejercicio 30.
2.3 Aceleración
31. OM La gráfica de posición contra tiempo para un objeto
que tiene aceleración constante es a) una línea horizontal,
b) una línea recta no horizontal ni vertical, c) una línea
vertical, d) una curva.
32. OMLa aceleración puede ser el resultado de a) un incre-
mento en la rapidez, b) una disminución en la rapidez, 
c) un cambio en la dirección, d) todas las anteriores.
33. OM Una aceleración negativa puede provocar a) un in-
cremento en la rapidez, b) una disminución en la rapi-
dez, c) a o b.
34. OM El pedal de la gasolina de un automóvil por lo co-
mún se conoce como acelerador. ¿Cuál de los siguiente
también podría llamarse acelerador? a) Los frenos; b) el
volante; c) la palanca de velocidades; d) los tres incisos
anteriores. Explique.
26. ●● Podemos determinar la rapidez de un automóvil mi-
diendo el tiempo que tarda en viajar entre dos mojones
de milla en una carretera. a) ¿Cuántos segundos deberá
tardar el automóvil en viajar entre dos mojones consecu-
tivos, si su rapidez media es de b) Calcule la ra-
pidez media si el carro tarda 65 s en viajar entre los
mojones de milla?
70 mi>h?
60 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
35. PC Un automóvil viaja con una rapidez constante de
en una pista circular. ¿El auto está acelerando?
Explique su respuesta.
36. PC ¿Un objeto que se mueve rápido siempre tiene una
aceleración mayor que uno que se mueve más lentamen-
te? Dé algunos ejemplos y explique.
37. PC Un compañero de clase afirma que la aceleración
negativa siempre significa que un objeto en movimien-
to está desacelerando. ¿Es verdadera esta afirmación?
Explique por qué.
38. PC Describa los movimientos de dos objetos cuya gráfica
de velocidad contra tiempo se presenta en la ▼figura 2.21.
60 mi>h 44. ●● Un paramédico conduce una ambulancia a una rapi-dez constante de por 10 cuadras de una calle
recta. A causa del intenso tráfico, el conductor frena has-
ta los en 6 s y recorre dos cuadras más. ¿Cuál
fue la aceleración promedio del vehículo?
45. ●● Con buenos neumáticos y frenos, un automóvil que
viaja a sobre el pavimento seco recorre 400 ft
desde que el conductor reacciona ante algo que ve y has-
ta que detiene el vehículo. Si esta acción se realiza de 
manera uniforme, ¿cuál es la aceleración del automóvil?
(Éstas son condiciones reales y 400 ft es aproximadamen-
te la longitud de una cuadra de la ciudad.) 
46. ●● Una persona arroja hacia arriba una pelota en línea
recta con una rapidez inicial de y, al regresar a su
mano, la golpea moviéndose hacia abajo con la misma
rapidez. Si todo el trayecto dura 2.0 s, determine a) la
aceleración promedio de la pelota y b) su velocidad pro-
medio.
47. ●● Después del aterrizaje, un avión de pasajeros rueda por
la pista en línea recta hasta detenerse a una velocidad pro-
medio de Si el avión tarda 7.00 s en llegar al
reposo, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración iniciales?
48. ●● Un tren que recorre una vía recta y a nivel tiene una
rapidez inicial de Se aplica una aceleración
uniforme de mientras el tren recorre 200 m. 
a) ¿Cuál es la rapidez del tren al final de esta distancia? 
b) ¿Cuánto tiempo le toma al tren recorrer los 200 m?
49. ●● Un disco (puck) de hockey que se desliza sobre hielo
choca de frente contra las vallas de la cancha, moviéndose
hacia la izquierda con una rapidez de Al invertir
su dirección, está en contacto con las vallas por 0.095 s,
antes de rebotar con una rapidez menor de Deter-
mine la aceleración promedio que experimentó el disco al
chocar contra las vallas. Las aceleraciones típicas de los
automóviles son de Comente su respuesta y diga
por qué es tan diferente de este último valor, especial-
mente cuando las rapideces del disco de hockey son simi-
lares a las de los automóviles.
50. ●● Calcule la aceleración para cada segmento de la
gráfica de la ▼figura 2.22. Describa el movimiento del obje-
to durante el intervalo total de tiempo.
5 m>s2.
11 m>s.35 m>s.
1.50 m>s235.0 km>h.
-35.0 km>h.
9.8 m>s
50 mi>h
30 km>h 75 km>h
v
V
el
oc
id
ad
 (m
/s
)
Tiempo (s)
t0
4.0 8.0 12.0 16.0
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
(4.0, 8.0) (10.0, 8.0)
▲ FIGURA 2.22 Velocidad contra tiempo
Véanse los ejercicios 50 y 75.
V
el
oc
id
ad
0
v
(b)
Tiempo
t
(a)
▲ FIGURA 2.21 Descripción de movimiento
Véase el ejercicio 38.
39. PC Un objeto que viaja a velocidad constante vo experi-
menta una aceleración constante en la misma dirección
durante un tiempo t. Luego experimenta una aceleración
de igual magnitud en la dirección opuesta a durante el
mismo tiempo t. ¿Qué velocidad final tendrá el objeto?
40. ● Un automóvil que viaja a por un camino
recto y plano acelera a en 6.00 s. Calcule la
magnitud de la aceleración media del automóvil?
41. ● Un auto deportivo puede acelerar de 0 a en 
3.9 s. Calcule la magnitud de su aceleración media 
en m/s2.
42. ● Si el automóvil del ejercicio 41 puede acelerar a
¿cuánto tardará en acelerar de 0 a 
43. EI ●● Un matrimonio viaja en automóvil a por
una carretera recta. Ven un accidente en la distancia, así
que el conductor aplica los frenos y en 5.0 s el vehículo
baja uniformemente su velocidad hasta parar. a) ¿La 
dirección del vector de aceleración es 1. en la misma di-
rección, 2. en la dirección opuesta o 3. a 90º del vector
de velocidad? ¿Por qué? b) ¿Cuánto debe cambiar la ve-
locidad cada segundo entre el inicio del frenado y el 
alto total?
40 km>h60 mi>h?7.2 m>s
2,
60 mi>h
65.0 km>h15.0 km>h
vo
Ejercicios 61
51. ●● La ▲figura 2.23 muestra una gráfica de velocidad 
contra tiempo para un objeto en movimiento rectilíneo.
a) Calcule la aceleración para cada fase del movimiento.
b) Describa el movimiento del objeto durante el último
segmento de tiempo.
52. ●● Un automóvil que viaja inicialmente hacia la derecha,
con una rapidez constante de durante 5.0 s, aplica
los frenos y reduce su rapidez a una tasa constante de
durante 3.0 s. Entonces continúa viajando hacia la
derecha a una rapidez constante pero menor sin volver a
frenar durante otros 6.0 s. a) Para facilitar los cálculos,
trace una gráfica de la velocidad del automóvil contra
tiempo, asegurándose de mostrar los tres intervalos. 
b) ¿Cuál es su velocidad después de los 3.0 s de frenado?
c) ¿Cuál fue su desplazamiento total durante los 14.0 s 
de su movimiento? d) ¿Cuál fue su rapidez promedio du-
rante los 14.0 s? 
53. ●●● Un tren normalmente viaja con rapidez uniforme 
de por un tramo largo de vía recta y plana. Cier-
to día, el tren debe hacer una parada de 2.0 min en una
estación sobre esta vía. Si el tren desacelera con una tasa
uniforme de y, después de la parada, acelera con
una tasa de ¿cuánto tiempo habrá perdido por
parar en la estación?
2.4 Ecuaciones de cinemática (aceleración
constante)
54. OM Para una aceleración rectilínea constante, la gráfica
de velocidad contra tiempo es a) una línea horizontal, 
b) una línea vertical, c) una línea recta no horizontal ni
vertical o d) una línea curva.
55. OM Para una aceleración rectilínea constante, la gráfica
de posición contra tiempo sería a) una línea horizontal, 
b) una línea vertical, c) una línea recta no horizontal ni
vertical o d) una curva.
0.50 m>s2,1.0 m>s2
72 km>h
5 m>s2 25 m>s
v
V
el
oc
id
ad
 (m
/s
)
Tiempo (s)
10.0
8.0
6.0
2.0
0
4.0
–2.0
– 4.0
– 6.0
– 8.0
–10.0
–12.0
t
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
▲ FIGURA 2.23 Velocidad contra tiempo Véanse los
ejercicios 51 y 79.
56. OM Un objeto acelera uniformemente desde el reposo
durante t segundos. La rapidez media del objeto en este
intervalo de tiempo es a) b) c) 2at, d)
57. PC Si la gráfica de la velocidad de un objeto versus tiem-
po es una línea horizontal, ¿qué podría decirse acerca de
la aceleración del objeto?
58. PC Al resolver una ecuación cinemática para x, que tiene
una aceleración negativa, ¿x es necesariamente negativa? 
59. PC ¿Cuántas variables deben conocerse para resolver
una ecuación cinemática?
60. PC Un compañero de clase afirma que la aceleración 
negativa siempre significa que un objeto en movimien-
to está desacelerando. ¿Es verdadera esta afirmación?
Explique su respuesta.
61. ● En un rally de autos deportivos, un automóvil que parte
del reposo acelera uniformemente con una tasa de 
a lo largo de una distancia recta de 100 m. El tiempo a su-
peraren este evento es 4.5 s. ¿Lo logra el conductor? ¿Qué
aceleración mínima se requiere para hacerlo?
62. ● Un automóvil acelera desde el reposo con tasa constan-
te de durante 5.0 s. a) ¿Qué rapidez tendrá al tér-
mino de ese lapso? b) ¿Qué distancia recorrerá en ese
tiempo?
63. ● Un automóvil que viaja a debe parar en un tra-
mo de 35 m de una carretera. a) ¿Qué magnitud mínima
debe tener su aceleración? b) ¿Cuánto tiempo tardará en
detenerse el auto con esa desaceleración?
64. ● Una lancha de motor que viaja por una pista recta
frena uniformemente de 60 a en una distancia
de 50 m. Calcule la aceleración de la lancha.
65. ●● El conductor de una camioneta que va a 
aplica los frenos y el vehículo desacelera uniformemente
a en una distancia de 20.0 m. a) ¿Qué rapidez
en km/h tiene la camioneta al término de esta distancia?
b) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?
66. ●● Un carro cohete experimental que parte del reposo al-
canza una rapidez de adespués de un recorri-
do recto de 400 m en una llanura plana. Suponiendo que
la aceleración fue constante, a) ¿qué tiempo tardó el
recorrido? b) ¿Qué magnitud tuvo la aceleración?
67. ●● Un carro cohete viaja con rapidez constante de 250
km/h por una llanura. El conductor imparte al ve-
hículo un empuje en reversa y el carro experimenta una
desaceleración continua y constante de 8.25 m/s2. ¿Cuán-
to tiempo transcurre hasta que el vehículo está a 175 m
del punto donde se aplicó el empuje en reversa? Describa
la situación en su respuesta.
68. ●● Dos automóviles idénticos que pueden acelerar a
compiten en una pista recta con arranque en
movimiento. El carro A tiene una rapidez inicial de
3.00 m>s2
560 km>h
6.50 m>s2 100 km>h
40 km>h
25 mi>h
2.0 m>s2
9.0 m>s2
2at2.12 at
2,12 at,
62 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
el B, de a) Calcule la separación de los
dos automóviles después de 10 s. b) ¿Qué automóvil se
mueve con mayor velocidad después de 10 s?
69. ●● De acuerdo con las leyes de Newton del movimiento
(que estudiaremos en el capítulo 4), una pendiente de 30°
que no ejerce fricción debería proveer una aceleración de
hacia la parte inferior. Un estudiante con un
cronómetro registra que un objeto, que parte del reposo,
se desliza 15.00 m hacia abajo por una suave pendiente
en exactamente 3.00 s. ¿En verdad la pendiente no ejerce
fricción? 
70. EI ●● Un objeto se mueve en la con una
rapidez de Al pasar por el origen, comienza a ex-
perimentar una aceleración constante de en la
a) ¿Qué sucederá después? 1) El objeto in-
vertirá su dirección de movimiento en el origen. 2) El obje-
to seguirá viajando en la . 3) El objeto viajará
en la y luego invertirá su dirección. ¿Por
qué? b) ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que el objeto
vuelva al origen? c) ¿Qué velocidad tiene el objeto al
volver al origen?
71. ●● Una bala de rifle cuya rapidez al salir del cañón es
se dispara directamente a un material denso 
especial que la detiene en 25 cm. Suponiendo que la desa-
celeración de la bala fue constante, ¿qué magnitud tuvo?
72. ●● El límite de velocidad en una zona escolar es 
(aproximadamente ). Un conductor que viaja a
esa velocidad ve que un niño cruza corriendo la calle 
13 m adelante de su automóvil. Aplica los frenos, y el 
automóvil desacelera con una tasa uniforme de 
Si el tiempo de reacción del conductor es 0.25 s, ¿el auto 
se detendrá antes de golpear al niño?
73. ●● Suponiendo un tiempo de reacción de 0.50 s para el
conductor del ejercicio 72, ¿el automóvil se detendrá an-
tes de golpear al niño?
74. ●● Una bala que viaja horizontalmente con una rapidez
de 350 m/s golpea una tabla perpendicular a la superfi-
cie, la atraviesa y sale por el otro lado con una rapidez de
Si la tabla tiene 4.00 cm de grosor, ¿cuánto tar-
dará la bala en atravesarla?
75. ●● a) Demuestre que el área bajo la curva de una gráfica
de velocidad contra tiempo, con aceleración constante, es
igual al desplazamiento. [Sugerencia: el área de un trián-
gulo es ab/2, o la mitad de la altura multiplicada por la
base.] b) Calcule la distancia recorrida en el movimiento
representado en la figura 2.22.
76. EI ●● Un objeto que está inicialmente en reposo experi-
menta una aceleración de en una superficie hori-
zontal. En estas condiciones, recorre 6.0 m. Designemos los
primeros 3.00 m como la fase 1 utilizando un subíndice 1
para esas cantidades, y los siguientes 3.00 m como la fase 2
empleando un subíndice 2. a) ¿Cómo deberían relacionarse
2.00 m>s2
210 m>s.
8.0 m>s2.
25 mi>h 40 km>h
330 m>s
dirección +x
dirección +x
dirección -x.
3.5 m>s240 m>s. dirección +x
4.90 m>s2
5.0 m>s.2.50 m>s; los tiempos para recorrer cada fase y la condición: 1)
2) , o 3) b) Ahora calcule los dos
tiempos de recorrido y compárelos cuantitativamente.
77. EI ●● Un automóvil inicialmente en reposo experimenta
pérdida de su freno de mano conforme desciende por una
colina recta con una aceleración constante de y
recorre un total de 100 m. Designemos la primera mitad de
la distancia como fase 1, utilizando un subíndice 1 para
tales cantidades; y la segunda mitad como fase 2, emplean-
do un subíndice 2. a) ¿Con qué condición deberían rela-
cionarse las rapideces del automóvil al final de cada fase?
1) 2) o 3) b) Ahora calcule los
dos valores de rapidez y compárelos cuantitativamente. 
78. ●● Un objeto inicialmente en reposo experimenta una
aceleración de durante 6.0 s y luego viaja a velo-
cidad constante por otros 8.0 s. ¿Cuál es la velocidad pro-
medio del objeto durante el intervalo de 14 s?
79. ●●● La figura 2.23 muestra una gráfica de velocidad
contra tiempo para un objeto en movimiento rectilíneo.
a) Calcule las velocidades instantáneas a y
b) Calcule el desplazamiento final del objeto.
c) Calcule la distancia total que el objeto recorre.
80. EI ●●● a) Un automóvil que viaja con rapidez v puede
frenar para hacer un alto de emergencia en una distancia
x. Suponiendo que las demás condiciones de manejo son
similares, si la rapidez del automóvil es el doble, la dis-
tancia de frenado será 1) 2) o 3) b) Un con-
ductor que viaja a en una zona escolar puede
frenar para hacer un alto de emergencia en 3.00 m. 
Calcule la distancia de frenado si el automóvil viajara 
a 
81. ●●● Un automóvil acelera horizontalmente desde el repo-
so en un camino horizontal con aceleración constante de
Por el camino, pasa por dos fotoceldas (“ojos
eléctricos”, designados como 1 el primero y como 2 el se-
gundo), que están separadas 20.0 m entre sí. El intervalo
de tiempo para recorrer esta distancia de 20.0 m, según las
fotoceldas, es 1.40 s. a) Calcule la rapidez del vehículo al
pasar por cada ojo eléctrico. b) ¿Qué distancia hay entre el
punto de partida y el primer ojo eléctrico? c) ¿Cuánto
tiempo le tomará al auto llegar al primer ojo eléctrico?
82. ●●● Un automóvil viaja por una carretera larga y recta
con una rapidez constante de cuando la con-
ductora ve un accidente 150 m más adelante. De inme-
diato, aplica el freno (ignore el tiempo de reacción). Entre
ella y el accidente hay dos superficies diferentes. Primero
hay 100 m de hielo (¡es el Oeste medio de E.U.!), donde
su desaceleración es apenas de A partir de ahí
se encuentra sobre concreto seco, donde su desacelera-
ción, ahora más normal, es de a) ¿Cuál era su
rapidez justo después de dejar la porción del camino cu-
bierta de hielo? b) ¿Cuánta distancia recorre en total para
detenerse? c) ¿Cuánto tiempo tarda en total para dete-
nerse?
7.00 m>s2.1.00 m>s
2.
75.0 mi>h
3.00 m>s2.
60.0 km>h?
40.0 km>h 4x.2x,12x,
t = 11.0 s.
t = 8.0 s
1.5 m>s2
v1 7
1
2 v2 ?v1 =
1
2 v2 ;v1 6
1
2 v2 ;
0.850 m>s2 ,
t1 7 t2 ?t1 = t2t1 6 t2 ;
Ejercicios 63
2.5 Caída libre
Sin considerar resistencia del aire en estos ejercicios.
83. OM Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba. ¿Cuál
de estas afirmaciones es cierta? a) Su velocidad cambia de
manera no uniforme; b) su altura máxima es independien-
te de la velocidad inicial; c) su tiempo de ascenso es un po-
co mayor que su tiempo de descenso; d) la rapidez al
volver a su punto de partidaes igual a su rapidez inicial? 
84. OM El movimiento de caída libre descrito en esta sección
es válido para a) un objeto que se deja caer desde el repo-
so, b) un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo, 
c) un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba o 
d) todos los casos anteriores.
85. OM Un objeto que se suelta en caída libre a) cae 9.8 m 
cada segundo, b) cae 9.8 m durante el primer segundo, 
c) tiene un incremento de velocidad de cada 
segundo o d) tiene un incremento de aceleración de
cada segundo.
86. OM Se lanza un objeto en línea recta hacia arriba. Cuan-
do alcanza su altura máxima: a) su velocidad es cero, 
b) su aceleración es cero, c) a y b.
87. OM Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arri-
ba, está acelerando en a) su trayecto hacia arriba, b) su
trayecto hacia abajo, c) a y b.
88. PC Cuando una pelota se lanza hacia arriba, ¿qué veloci-
dad y aceleración tiene en su punto más alto?
89. PC Imagine que está en el espacio lejos de cualquier pla-
neta, y lanza una pelota como lo haría en la Tierra. Des-
criba el movimiento de la pelota.
90. PC Usted deja caer una piedra desde la ventana de un
edificio. Después de un segundo, deja caer otra piedra.
¿Cómo varía con el tiempo la distancia que separa a las
dos piedras? 
91. PC ¿Cómo diferirá la caída libre que se experimenta en
la Luna de la que se experimenta en la Tierra?
92. ● Un estudiante deja caer una pelota desde la azotea 
de un edificio alto; la pelota tarda 2.8 s en llegar al suelo.
a) ¿Qué rapidez tenía la pelota justo antes de tocar el sue-
lo? b) ¿Qué altura tiene el edificio?
93. EI ● El tiempo que un objeto que se deja caer desde el acan-
tilado A tarda en chocar con el agua del lago que está abajo,
es el doble del tiempo que tarda en llegar al lago otro obje-
to que se deja caer desde el acantilado B. a) La altura del
acantilado A es 1) la mitad, 2) el doble o 3) cuatro veces la
del acantilado B. b) Si el objeto tarda 1.8 s en caer del acanti-
lado A al agua, ¿qué altura tienen los dos acantilados?
94. ● Para el movimiento de un objeto que se suelta en caída
libre, dibuje la forma general de las gráficas a) v contra t
y b) y contra t.
9.8 m>s2 9.8 m>s
95. ● Un truco muy conocido consiste en dejar caer un billete
de dólar (a lo largo) entre el pulgar y el índice de un com-
pañero, diciéndole que lo sujete lo más rápidamente
posible para quedarse con él. (La longitud del billete 
es de 15.7 cm, y el tiempo de reacción medio del ser 
humano es de unos 0.2 s. Véase la figura 2.15.) ¿Esta pro-
puesta es un buen negocio? Justifique su respuesta.
96. ● Un niño lanza una piedra hacia arriba con una rapidez
inicial de ¿Qué altura máxima alcanzará la pie-
dra antes de descender?
97. ● En el ejercicio 96 ¿qué altura máxima alcanzaría la pie-
dra si el niño y la piedra estuvieran en la superficie de la
Luna, donde la aceleración debida a la gravedad es sólo
98. ●● El techo de una aula está 3.75 m sobre el piso. Un es-
tudiante lanza una manzana verticalmente hacia arriba,
soltándola a 0.50 m sobre el piso. Calcule la rapidez ini-
cial máxima que puede darse a la manzana sin que toque
el techo?
99. ●● Las Torres Gemelas Petronas de Malasia y la Torre
Sears de Chicago tienen alturas de 452 y 443 m, respecti-
vamente. Si se dejaran caer objetos desde la punta de ca-
da una, ¿con qué diferencia de tiempo llegarían al suelo?
100. ●● Usted lanza una piedra verticalmente hacia arriba con
una rapidez inicial de desde la ventana de una ofi-
cina del tercer piso. Si la ventana está 12 m sobre el suelo,
calcule a) el tiempo que la piedra está en el aire y b) la rapi-
dez que tiene la piedra justo antes de tocar el suelo.
101. EI ●● Una pelota Superball se deja caer desde una altura
de 4.00 m. Suponiendo que la pelota rebota con el 95% de
su rapidez de impacto, a) ¿rebotaría a 1) menos de 95%,
2) 95.0% o 3) más de 95% de la altura inicial? b) ¿Qué al-
tura alcanzara la pelota?
102. ●● En un estadio de béisbol cubierto con un domo, el te-
cho está diseñado de manera que las bolas bateadas no se
estrellen contra él. Suponga que la máxima rapidez de
una bola que se lanza en un partido de las ligas mayores
es 95.0 mi/h y que el bat de madera la reduce a 80.0
mi/h. Suponga que la bola pierde contacto con el bat a
una altura de 1.00 m del campo del juego. a) Determine
la altura mínima que debe tener el techo, de manera que
las bolas que salen disparadas por el bat que las lanza en
línea recta hacia arriba no lo golpeen. b) En un juego real,
una bola bateada llega a menos de 10.0 m de esta altura
del techo. ¿Cuál era la rapidez de la bola al perder salir
diparada por el bat?
103. ●● Durante el experimento descrito en el libro acerca de
una pluma y un martillo que se dejan caer en la Luna,
ambos objetos se liberaron desde una altura de 1.30 m.
De acuerdo con el video del experimento, ambos tar-
daron 1.26 s en golpear la superficie lunar. a) ¿Cuál es 
el valor local de la aceleración de la gravedad en ese
lugar de la Luna? b) ¿Qué rapidez llevaban los dos ob-
jetos justo antes de golpear la superficie? 
6.0 m>s
1.67 m>s2 ?
15 m>s.
64 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
tiempo está la pelota en el aire desde el momento en que
se deja caer hasta el momento en que alcanza la altura
máxima de su primer rebote
109. ●●● Un cohete para recoger muestras de contaminantes
se lanza en línea recta hacia arriba con una aceleración
constante de , en los primeros 1000 m de vuelo.
En ese punto, los motores se apagan y el cohete descien-
de por sí solo en caída libre. Ignore la resistencia del aire.
a) ¿Cuál es la rapidez del cohete cuando los motores se apa-
gan? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza este cohete?
c) ¿Cuánto tiempo le toma alcanzar su altura máxima?
110. ●●● Un cohete de prueba que contiene una sonda, para
determinar la composición de la atmósfera superior, se
dispara verticalmente hacia arriba desde una posición ini-
cial a nivel del suelo. Durante el tiempo t que dura el com-
bustible, el cohete asciende con aceleración constante
hacia arriba de magnitud 2g. Suponga que la altura que al-
canza el cohete no es tan grande como para que la fuerza
gravitacional de la Tierra no deba considerarse constante.
a). ¿Qué altura y rapidez tiene el cohete cuando se agota 
el combustible? b) ¿Qué altura máxima alcanza el cohete?
c) Si calcule la altura máxima del cohete.
111. ●●● Un automóvil y una motocicleta parten del reposo
al mismo tiempo en una pista recta; pero la motocicleta
está 25.0 m atrás del automóvil (Nfigura 2.26). El au-
tomóvil acelera con una tasa uniforme de 3.70 m/s2, y la
motocicleta, a 4.40 m/s2. a) ¿Cuánto tardará la motoci-
cleta en alcanzar al automóvil? b) ¿Qué distancia habrá
recorrido cada vehículo durante ese tiempo? c) ¿Qué tan
adelante del auto estará la motocicleta 2.00 s después?
(Ambos vehículos siguen acelerando.)
t = 30.0 s,
12.0 m>s2
104. ●● En la ▼figura 2.24 un estudiante en una ventana del
segundo piso de una residencia ve que su profesora de
matemáticas camina por la acera junto al edificio. Deja
caer un globo lleno de agua desde 18.0 m sobre el sue-
lo cuando la profesora está a 1.00 m del punto que está
directamente abajo de la ventana. Si la estatura de la 
profesora es de 170 cm y camina con una rapidez de
¿la golpeará el globo? Si no, ¿qué tan cerca 
pasará de ella?
0.450 m>s,
1.35 m
▲ FIGURA 2.25 ¿De dónde vino?
Véase el ejercicio 107.
105. ●● Un fotógrafo en un helicóptero, que asciende vertical-
mente con una tasa constante de , deja caer acci-
dentalmente una cámara por la ventana cuando el
helicóptero está 60.0 m sobre el suelo. a) ¿Cuánto tardará la
cámara en llegar al suelo? b) ¿Con qué rapidez chocará?
106. EI ●● La aceleración debida a la gravedad en la Luna es la
sexta parte que en la Tierra. a) Si un objeto se dejara caer
desde la misma altura en la Luna y en la Tierra, el tiem-
po que tardaría en llegar a la superficie de la Luna sería 
1) 2) 6 o 3) 36 veces mayor que el que tardaría en la
Tierra. b) Para el caso de un proyectil conuna velocidad
inicial de 18.0 m/s hacia arriba, calcule la altura máxima 
y el tiempo total de vuelo en la Luna y en la Tierra?
107. ●●● Un objeto que se dejó caer tarda 0.210 s en pasar por
una ventana de 1.35 m de altura. ¿Desde qué altura arri-
ba del borde superior de la ventana se soltó el objeto?
(Véase la Nfigura 2.25.)
108. ●●● Una pelota de tenis se deja caer desde una altura de
10.0 m. Rebota en el piso y vuelve a subir a una altura 
de 4.00 m en su primer rebote. (Ignore el breve momento
en que la pelota está en contacto con el piso.) a) Determi-
ne la rapidez de la pelota justo antes de que golpea el
suelo en su trayectoria hacia abajo. b) Determine la rapi-
dez de la pelota al rebotar en el piso en su trayecto ascen-
dente hacia la altura de su primer rebote. c) ¿Por cuánto
16,
12.5 m>s
18.0 m
1.70 m
1.00 m
0.450 m/s
▲ FIGURA 2.24 Bañe a la profesora Véase el ejercicio 104. 
(Esta figura no está a escala.)
Ejercicios 65
Inicio
25.0 m
d
HD
HD
▲ FIGURA 2.26 Carrera empatada Véase el ejercicio 111.
(La figura no está a escala.)
▲ FIGURA 2.27 La más alta La torre Taipei 101 en Taiwán
es el edificio más alto del mundo. Con 101 pisos, tiene una
altura de 509 m (1671 ft). La torre se terminó en 2004.
el Hombre de Acero empieza a volar a una aceleración
constante para intentar rescatar en el aire a Luisa. Supo-
niendo que ella cayó desde una altura de 300 m y que Su-
perman puede acelerar en línea recta hacia arriba a
determine a) ¿qué distancia caerá Luisa por el
aire antes de que Superman la salve?, b) ¿cuánto tardará
Superman en alcanzarla y c) la rapidez de uno y otro en
el instante en que él la alcanza. Comente si esta rapidez
sería peligrosa para Luisa, quien, al ser una común mor-
tal, podría resultar lesionada al chocar con el indestructi-
ble Hombre de Acero, si las rapideces que llevan uno y
otro son muy altas.
116. En la década de 1960 hubo un concurso para encontrar 
el automóvil que fuera capaz de realizar las siguientes
dos maniobras (una justo después de la otra) en el me-
nor tiempo total: primero, acelerar desde el reposo hasta
( ), y luego frenar hasta detenerse por
completo. (Ignore la corrección del tiempo de reacción
que ocurre entre las fases de aceleración y de frenado, y
suponga que todas las aceleraciones son constantes.) Por
varios años, el ganador fue el “auto de James Bond”, el
Aston Martin. Un año ganó el concurso cuando tardó só-
lo ¡un total de 15.0 segundos en realizar las dos proezas!
Se sabe que su aceleración de frenado (desaceleración)
fue asombrosamente de 9.00 m/s2. a) Calcule el tiempo
que duró la fase de frenado. b) Calcule la distancia que
recorrió durante la fase de frenado. c) Calcule la acele-
ración del automóvil durante la fase de aceleración. 
d) Calcule la distancia que recorrió para alcanzar 100 mi>h.
45.0 m>s100 mi>h
15 m>s2,
Ejercicios adicionales
112. Dos atletas corren con la misma rapidez promedio. El co-
rredor A corta directamente hacia el norte siguiendo el
diámetro de una pista circular, mientras que el corredor
B recorre todo el semicírculo para encontrarse con su
compañero en el lado opuesto de la pista. Suponga que la
rapidez promedio común es de y que la pista
tiene un diámetro de 150 m. a) ¿El corredor A llega cuán-
tos segundos antes que el corredor B? b) ¿Cómo se com-
paran sus distancias de recorrido? c) ¿Cómo se comparan
sus desplazamientos? d) ¿Cómo se comparan sus veloci-
dades promedio?
113. Muchas carreteras con bajadas pronunciadas cuentan
con rampas de emergencia, diseñadas para que en el ca-
so de que un vehículo se quede sin frenos, el conductor
pueda ingresar en ellas (por lo general, están cubiertas
con grava suelta). La idea es que el vehículo llegue a la
rampa y se detenga (en la grava) sin necesidad del siste-
ma de frenos. En una región de Hawai, la longitud de la
rampa de emergencia es de 300 m y ésta permite una de-
saceleración (constante) de a) ¿Cuál es la rapi-
dez máxima que un vehículo que se sale de la carretera
puede llevar al tomar la rampa? b) ¿Cuánto tiempo le 
llevará a ese vehículo alcanzar el reposo? c) Suponga 
que otro vehículo, que va 10 mi/h (4.47 m/s) más rápi-
do que el valor máximo, toma la rampa de emergencia.
¿Con qué rapidez irá al salir del área de grava?
114. El edificio más alto del mundo es la Torre Taipei 101 en
Taipei, Taiwán, con 509 m (1667 ft) de altura y 101 pi-
sos (Nfigura 2.27). El mirador se encuentra en el piso
89, y los dos elevadores que llegan a ese lugar alcan-
zan una rapidez máxima de 1008 m/min cuando su-
ben y 610 m/min cuando bajan. Suponiendo que estos
valores máximos de rapidez se alcanzan en el punto
medio del trayecto y que las aceleraciones son cons-
tantes para cada tramo de éste, a) ¿cuáles son las acele-
raciones para el trayecto hacia arriba y para el trayecto
hacia abajo? b) ¿Cuánto tiempo más tarda el viaje de
bajada que el de subida?
115. A nivel del piso, Superman ve a Luisa Lane en problemas
cuando el villano, Lex Luthor, la deja caer casi desde el
último piso del edificio del Empire State. De inmediato,
2.50 m>s2.
2.70 m>s
66 CAPÍTULO 2 Cinemática: descripción del movimiento
117. Vamos a investigar un posible descenso vertical de una
nave sobre la superficie de Marte, que incluye dos eta-
pas: caída libre seguida por el despliegue de un paracaí-
das. Suponga que la sonda está cerca de la superficie, de
manera que la aceleración de la gravedad en Marte es
constante con un valor de Suponga que la na-
ve desciende, en un principio, verticalmente a a
una altura de 20 000 m de la superficie del planeta. Igno-
re la resistencia del aire durante la fase de caída libre. 
Suponga que primero cae libremente una distancia de
(El paracaídas no se abre sino hasta que la nave
está a 12 000 m de la superficie. Véase la Nfigura 2.28.) 
a) Determine la rapidez de la nave espacial al final de los
8 000 m de caída libre. b) A 12 000 m de la superficie, el
paracaídas se despliega y la nave inmediatamente empie-
za a disminuir su rapidez. Si la sonda es capaz de resistir
el choque contra la superficie hasta los 20.0 m/s, deter-
mine la desaceleración mínima constante necesaria du-
rante esta fase. c) ¿Cuál es el tiempo total que tarda en
llegar a la superficie desde la altura original de ? 20 000 m
8 000 m.
200 m>s3.00 m>s2. Caída libre en
8000 m
Frenado con el
paracaídas en los
últimos 12 000 m
Justo sobre la superficie de Marte
v1
v2
v3
▲ FIGURA 2.28 ¡Ahí va! Véase el ejercicio 117.
Los siguientes problemas de física Physlet se pueden utilizar con este capítulo.
1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.18
3.1 Componentes del
movimiento 68
3.2 Suma y resta 
de vectores 73
3.3 Movimiento de
proyectiles 81
3.4 Velocidad relativa 90
C
A
P
ÍT
U
L
O 3
• Origen de las palabras:
– cinemática: del griego kinema, que significa
“movimiento”.
– velocidad: del latín velocitas, que signifi-
ca “rapidez”.
– aceleración: del latín accelerare, que signi-
fica “apresurar”.
• Proyectiles:
– “Big Bertha”, una pieza de artillería que
utilizaron los alemanes durante la Primera
Guerra Mundial; su cañón medía 6.7 m
(22 ft) y era capaz de lanzar proyectiles de
820 kg (1800 lb) a 15 km (9.3 millas).
– El “Paris Gun”, otra pieza de artillería que
utilizaron los alemanes durante la Primera
Guerra Mundial, con un cañón de 34 m
(112 ft) de largo, era capaz de lanzar pro-
yectiles de 120 kg (264 lb) a 131 km (81
millas). Este obús se diseñó para bombar-
dear París, Francia, y sus proyectiles al-
canzaban una altura máxima de 40 km (25
millas) durante su trayectoria de 170 s.
– Para alcanzar la distancia máxima a nivel
de tierra, un proyectil, de manera ideal, de-
bería lanzarse con un ángulo de 45°. Con
la resistencia del aire, la rapidez del pro-
yectil se reduce, al igual que el alcance. El
ángulo de proyección para el alcance má-
ximo en este caso es menor de 45°, lo que
da un mayor componente horizontal de la
velocidad inicial, para ayudar a compensar
la resistencia del aire.
– El discoque se utiliza en las competencias
deportivas es aerodinámico y, al lanzarlo,
se le da cierta elevación. Por lo tanto, para
lograr el alcance máximo, se requiere un
mayor componente horizontal de veloci-
dad inicial; de esta manera, el disco reco-
rrerá una mayor distancia horizontalmente,
mientras se eleva verticalmente.
• Récords de lanzamiento de disco:
– Mujeres: 76.80 m (252 ft).
– Hombres: 74.08 m (243 ft).
– El disco que lanzan los hombres tiene una
masa de 2 kg (4.4 lb), en tanto que el de las
mujeres tiene una masa de 1 kg (2.2 lb).
HECHOS DE FÍSICA
MOVIMIENTO EN DOS
DIMENSIONES
67
¡Sí puede llegar desde aquí! Sólo es cuestión de saber qué camino tomar enel cruce. Pero, ¿alguna vez se ha preguntado el lector por qué tantos ca-minos se cruzan en ángulo recto? Hay un buen motivo. Puesto que vivi-
mos en la superficie terrestre, estamos acostumbrados a describir los lugares en
dos dimensiones, y una de las formas más sencillas de hacerlo es tomando co-
mo referencia dos ejes perpendiculares. Cuando queremos explicar a alguien cómo
llegar a cierto lugar en la ciudad, le decimos, por ejemplo: “Camina cuatro cua-
dras hacia el centro y luego tres a la derecha”. En el campo podríamos decir: 
“Camina cinco kilómetros al sur y luego uno al este”. En ambos casos, necesi-
tamos saber qué tan lejos ir en dos direcciones que están a 90	 una de la otra.
Podríamos utilizar el mismo enfoque para describir el movimiento, y éste no
tiene que ser en línea recta. Como veremos a continuación, también podemos usar
vectores, que presentamos en el capítulo 2, para describir movimiento en trayec-
torias curvas. El análisis de un movimiento curvilíneo nos permitirá estudiar 
el comportamiento de pelotas bateadas, planetas en órbita alrededor del Sol e 
incluso electrones en átomos. 
El movimiento curvilíneo puede analizarse empleando los componentes rec-
tangulares del movimiento. En esencia, descomponemos el movimiento curvo en
componentes rectangulares (x y y), y examinamos el movimiento en ambas di-
mensiones simultáneamente. Podemos aplicar a esos componentes las ecuaciones
de cinemática que examinamos en el capítulo 2. Por ejemplo, para un objeto que
se mueve en una trayectoria curva, las coordenadas x y y del movimiento en cual-
quier momento dan la posición del objeto en cualquier punto.
68 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
3.1 Componentes del movimiento
OBJETIVOS: a) Analizar el movimiento en términos de sus componentes, y b) apli- 
car las ecuaciones de cinemática a componentes de movimiento.
En el capítulo 1 consideramos que un objeto que se mueve en línea recta se mueve a lo
largo de uno de los ejes cartesianos (x o y). Sin embargo, ¿qué pasa si el movimiento no
se da a lo largo de un eje? Por ejemplo, consideremos la situación que se ilustra en la
▼ figura 3.1, donde tres pelotas se mueven de manera uniforme sobre una mesa. La pe-
lota que rueda en línea recta a lo largo de un costado de la tabla, designado como di-
rección x, se mueve en una dimensión. Es decir, su movimiento se puede describir con
x
y
vx vx vx vx
vy
vy
vy
vy
vx
vy v
 a)
 b)
x
y
x = vxt
y = vyt
(x, y)
d =
x2
 + y
2
√
vx
vy v
vx
vy v
vx
vy
�
�
sen
v
▼ FIGURA 3.1 Componentes del movimiento a) La velocidad (y el desplazamiento) 
de un movimiento rectilíneo uniforme —el de la pelota azul oscuro— podría tener 
componentes x y y (vx y vy, como indica el dibujo a lápiz) debido a la orientación que 
se eligió para los ejes de coordenadas. Observe que la velocidad y el desplazamiento 
de la pelota en la dirección x son exactamente los que tendría una pelota que rueda a 
lo largo del eje x con una velocidad uniforme vx. Se cumple una relación similar para 
el movimiento de la pelota en la dirección y. Puesto que el movimiento es uniforme, el 
cociente vy/vx (y por lo tanto �) es constante. b) Podemos calcular las coordenadas (x, y) 
de la posición de la pelota y la distancia d que ha recorrido desde el origen, para 
cualquier tiempo t.
3.1 Componentes del movimiento 69
una sola coordenada, x, como hicimos con el movimiento en el capítulo 2. De forma si-
milar, el movimiento de la pelota que se desplaza en la dirección y se puede describir
con una sola coordenada y. En cambio, necesitamos ambas coordenadas, x y y, para
describir el movimiento de la pelota que rueda diagonalmente por la mesa. Decimos
entonces que este movimiento se describe en dos dimensiones.
Podríamos observar que, si la pelota que se mueve en diagonal fuera el único ob-
jeto a considerar, se podría elegir el eje x en la dirección del movimiento de esa pelo-
ta, y así el movimiento quedaría reducido a una sola dimensión. Esta observación es
cierta, pero una vez que se fijan los ejes de coordenadas, los movimientos que no se
realicen sobre ellos se deberán describir con dos coordenadas (x, y), es decir, en dos
dimensiones. También hay que tener en cuenta que no todos los movimientos en un
plano (dos dimensiones) son en línea recta. Pensemos en la trayectoria de una pelota
que lanzamos a otro individuo. La trayectoria de semejante movimiento del proyectil
es curva. (Estudiaremos tal movimiento en la sección 3.3.) Por lo general, se requieren
ambas coordenadas.
Al considerar el movimiento de la pelota que se mueve diagonalmente por la
mesa en la figura 3.1a, podemos pensar que la pelota se mueve simultáneamente en las
direcciones x y y. Es decir, tiene una velocidad en la dirección x (vx) y una en la direc-
ción y (vy) al mismo tiempo. Los componentes de velocidad combinados describen el
movimiento real de la pelota. Si la pelota tiene una velocidad constante v en una direc-
ción que forma un ángulo � con el eje x, las velocidades en las direcciones x y y se ob-
tendrán descomponiendo el vector de velocidad en componentes de movimiento en
esas direcciones, como muestra el dibujo a lápiz de la figura 3.1a. Ahí vemos que los
componentes vx y vy tienen las magnitudes
(3.1a)
y
(3.1b)
respectivamente. (Observe que de manera que v es una combinación
de las velocidades en las direcciones x y y.)
El lector ya está familiarizado con el uso de componentes de longitud bidimen-
sionales para encontrar las coordenadas x y y en un sistema cartesiano. En el caso de
la pelota que rueda sobre la mesa, su posición (x, y), es decir, la distancia recorrida
desde el origen en cada una de las direcciones componentes en el tiempo t, está dada
por (ecuación 2.11 con a � 0)
(3.2a)
(3.2b)
respectivamente. (Aquí, xo y yo son las coordenadas de la pelota en a � 0, que po-
drían ser distintas de cero.) La distancia en línea recta desde el origen es entonces 
(figura 3.1b).
Cabe señalar que tan � � vy/vx, así que la dirección del movimiento relativa al 
eje x está dada por � � tan�1(vy/vx). (Véase el dibujo a mano de la figura 3.1a.) Tam-
bién, � � tan�1(y/x). ¿Por qué? 
En esta introducción a los componentes del movimiento, hemos colocado el 
vector de velocidad en el primer cuadrante (0 � � � 90	), donde ambos componentes,
x y y, son positivos. No obstante, como veremos con mayor detalle en la sección 
siguiente, los vectores pueden estar en cualquier cuadrante, y sus componentes pue-
den ser negativos. ¿Sabe usted en qué cuadrantes serían negativos los componen-
tes vx o vy?
d = 3x2 + y2
 y = yo + vy t
 x = xo + vx t
v = 3vx2 + vy2 ,
vy = v sen u
vx = v cos u
Ilustración 3.1 Descomposición 
de vectores
Magnitud de componentes de 
desplazamiento (en condiciones de 
velocidad constante y cero aceleración)
70 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
Ejemplo 3.1 ■ A rodar: uso de los componentes de movimiento
Si la pelota que se mueve en diagonal en la figura 3.1a tiene una velocidad constante de 
0.50 m/s en un ángulo de 37	 relativo al eje x, calcule qué distancia recorrerá en 3.0 s usan-
do los componentes x y y de su movimiento.
Razonamiento. Dadas la magnitud y la dirección (ángulo) de la velocidad de la pelota,
obtenemos los componentes x y y de la velocidad. Luego calculamos la distancia en 
cada dirección. Puesto que losejes x y y son perpendiculares, el teorema de Pitágoras
ofrece la distancia de la trayectoria rectilínea de la pelota, como se muestra en la figura
3.1b. (Tome nota del procedimiento: separar el movimiento en componentes, calcular 
lo necesario en cada dirección y recombinar si es necesario.)
Solución. Después de organizar los datos, tenemos
Dado: Encuentre: d (distancia recorrida)
La distancia recorrida por la pelota en términos de sus componentes x y y está dada por
Para obtener x y y con la ecuación 3.2, primero necesitamos calcular 
los componentes de velocidad vx y vy (ecuación 3.1):
Así pues, con xo � 0 y yo � 0, las distancias componentes son
y
y la distancia real de la trayectoria es
Ejercicio de refuerzo. Suponga que una pelota rueda diagonalmente por una mesa con la
misma rapidez que en este ejemplo, pero desde la esquina inferior derecha, que se toma
como origen del sistema de coordenadas, hacia la esquina superior izquierda, con un án-
gulo 37	 relativo al eje �x. Calcule los componentes de velocidad en este caso. (¿Cambiaría
la distancia?) (Las respuestas de todos los Ejercicios de refuerzo se dan al final del libro.)
Sugerencia para resolver problemas
Observe que, en este sencillo caso, la distancia también puede obtenerse directamen-
te d � vt � (0.50 m/s)(3.0 s) � 1.5 m. Sin embargo, hemos resuelto este ejemplo de
manera más general para ilustrar el uso de los componentes de movimiento. La 
solución directa sería evidente si las ecuaciones se combinaran algebraicamente 
antes de realizar los cálculos, como sigue:
y
de lo que se sigue que 
Antes de adoptar la primera estrategia de resolución que se le ocurra, piense un mo-
mento si habría una forma más fácil o directa de enfrentar el problema.
Ecuaciones de cinemática para componentes de movimiento
El ejemplo 3.1 se refirió a un movimiento bidimensional en un plano. Si la veloci-
dad es constante (componentes constantes vx y vy), el movimiento será en línea recta.
El movimiento también puede acelerarse. Para un movimiento en un plano con acele-
ración constante, cuyos componentes son ax y ay, las componentes de desplazamiento 
d = 3x2 + y2 = 41v cos u22 t2 + 1v sen u22 t2 = 4v2 t21cos2 u + sen2 u2 = vt
y = vy t = 1v sen u2t
x = vx t = 1v cos u2t
d = 3x2 + y2 = 411.2 m22 + 10.90 m22 = 1.5 m
y = vy t = 10.30 m>s213.0 s2 = 0.90 m
x = vx t = 10.40 m>s213.0 s2 = 1.2 m
 vy = v sen 37° = 10.50 m>s210.602 = 0.30 m>s vx = v cos 37° = 10.50 m>s210.802 = 0.40 m>s
d = 3x2 + y2 .
 t = 3.0 s
 u = 37°
 v = 0.50 m>s
3.1 Componentes del movimiento 71
Ecuaciones de cinemática para
componentes de desplazamiento 
y velocidad
y velocidad están dadas por las ecuaciones de cinemática del capítulo 2 para las di-
recciones x y y, respectivamente:
(3.3a)
(3.3b)
(sólo aceleración constante)
(3.3c)
(3.3d)
Si un objeto se mueve inicialmente con velocidad constante y de repente experimenta
una aceleración en la dirección de la velocidad o en la dirección opuesta, seguirá su ca-
mino rectilíneo acelerando o frenando, respectivamente.
No obstante, si la aceleración tiene un ángulo distinto de 0	 o 180	 respecto al vec-
tor de velocidad, el movimiento seguirá una trayectoria curva. Para que el movimien-
to de un objeto sea curvilíneo —es decir, que se desvíe de una trayectoria recta— se
necesita una aceleración. En una trayectoria curva, el cociente de los componentes de
velocidad varía con el tiempo. Es decir, la dirección del movimiento, � � tan�1(vy/vx),
varía con el tiempo, ya que uno de los componentes de velocidad, o ambos, lo hacen.
Considere una pelota que inicialmente se mueve sobre el eje x, como se ilustra en
la ▼ figura 3.2. Suponga que, a partir del tiempo to � 0, la pelota recibe una aceleración
 vy = vyo + ay t
 vx = vxo + ax t
 y = yo + vyo t +
1
2 ay t
2
 x = xo + vxo t +
1
2 ax t
2
x
y
vx
y = 0
= 0
vx
vy2 = ayt2 v2
vx
v1
vx
x2 = vxt2 x3 = vxt3x1 = vxt1
ayt
21
2
y3 =
ayt
21
2
y2 =
ayt
21
2
y1 =
ayvy = 0
vx
en to
vx
v3
to
vy1 = ayt1
vy3 = ayt3
�2
�1
�3
3
2
1
Movimiento
rectilíneo
Movimiento
curvilíneo
> FIGURA 3.2 Movimiento curvilíneo
Una aceleración no paralela a la 
velocidad instantánea produce una
trayectoria curva. Aquí se aplica
una aceleración ay en to � 0 a una
pelota que inicialmente se movía
con velocidad constante vx. 
El resultado es una trayectoria 
curva con los componentes de 
velocidad que se muestran. 
Observe cómo vy aumenta con 
el tiempo, en tanto que vx
permanece constante.
μ
Exploración 3.2 Empleo de Gauntlet
para controlar x, v y a
72 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
constante ay en la dirección y. La magnitud del componente x del desplazamiento de la
pelota está dada por x � vxt; donde el término de la ecuación 3.3a se elimina por
que no hay aceleración en la dirección x. Antes de to, el movimiento es en línea recta
sobre el eje x; pero en cualquier momento después de to, la coordenada y no es cero y
está dada por (ecuación 3.3b con yo � 0 y vyo � 0). El resultado es una trayec-
toria curva para la pelota.
Observemos que la longitud (magnitud) del componente de velocidad vy cambia
con el tiempo, en tanto que la del componente vx permanece constante. El vector de
velocidad total en cualquier momento es tangente a la trayectoria curva de la pelota.
Forma un ángulo � con el eje x positivo, dado por � � tan�1(vy/vx), que ahora cambia
con el tiempo, como vemos en la figura 3.2 y en el ejemplo 3.2.
Ejemplo 3.2 ■ Una trayectoria curva: componentes vectoriales
Supongamos que la pelota de la figura 3.2 tiene una velocidad inicial de 1.50 m/s sobre el eje
x y que, a partir de to � 0, recibe una aceleración de 2.80 m/s2 en la dirección y. a) ¿Dónde 
estará la pelota 3.00 s después de to? b) ¿Qué velocidad tiene la pelota en ese momento?
Razonamiento. Tenga en cuenta que los movimientos en las direcciones x y y se pue-
den analizar de forma independiente. Para a), simplemente calculamos las posiciones x
y y en el tiempo dado, tomando en cuenta la aceleración en la dirección y. Para b), obte-
nemos las velocidades componentes y las combinamos vectorialmente para determinar
a la velocidad total.
Solución. Remitiéndonos a la figura 3.2, tenemos lo siguiente:
Dado: Encuentre: a) (coordenadas de posición)
b) (velocidad, magnitud y dirección)
a) 3.00 s después de to las ecuaciones 3.3a y 3.3b nos dicen que la pelota recorrió las si-
guientes distancias desde el origen (xo � yo � 0) en las direcciones x y y, respectivamente:
Así pues, la posición de la pelota es (x, y) � (4.50 m, 12.6 m). Si hubiéramos calculado la
distancia ¿qué habríamos obtenido? (Note que esta cantidad no es la dis-
tancia real que la pelota recorrió en 3.00 s, sino más bien la magnitud del desplazamiento, es
decir, la distancia en línea recta, desde el origen hasta t � 3.00 s.)
b) El componente x de la velocidad está dado por la ecuación 3.3c:
(Este componente es constante, pues no hay aceleración en la dirección x.) Asimismo, el
componente y de la velocidad está dado por la ecuación 3.3d:
Por lo tanto, la magnitud de la velocidad es
y su dirección relativa al eje �x es
Ejercicio de refuerzo. Suponga que la pelota de este ejemplo también recibió una acele-
ración de 1.00 m/s2 en la dirección �x a partir de to. ¿En qué posición estaría la pelota 
3.00 s después de to en este caso?
u = tan-1¢vy
vx
≤ = tan-1a8.40 m>s
1.50 m>s b = 79.9°
v = 3vx2 + vy2 = 411.50 m>s22 + 18.40 m>s22 = 8.53 m>s
vy = vyo + ay t = 0 + 12.80 m>s2213.00 s2 = 8.40 m>s
vx = vxo + ax t = 1.50 m>s + 0 = 1.50 m>s
d = 3x2 + y2 ,
 y = vyo t +
1
2 ay t
2 = 0 + 12 12.80 m>s2213.00 s22 = 12.6 m x = vxo t + 12 ax t2 = 11.50 m>s213.00 s2 + 0 = 4.50 m
 t = 3.00 s
 ay = 2.80 m>s2 ax = 0
v vyo = 0
1x, y2 vxo = vx = 1.50 m>s
y = 12 ay t
2
1
2 ax t
2
Nota: no confunda la 
dirección de la velocidad con 
la dirección del desplazamiento
respecto al origen. La dirección 
de la velocidad siempre es 
tangente a la trayectoria.
Ilustración 3.3 La dirección 
de vectores de velocidad y 
aceleración
3.2 Suma y restade vectores 73
Sugerencia para resolver problemas
Al usar las ecuaciones de cinemática, es importante recordar que el movimiento 
en las direcciones x y y se puede analizar de forma independiente; el factor que las
vincula es el tiempo t. Es decir, obtenemos (x, y) y/o (vx, vy) en un tiempo t dado.
También hay que tener en cuenta que a menudo tomamos xo � 0 y yo � 0, lo que 
significa que ubicamos al objeto en el origen en to � 0. Si el objeto en realidad está 
en otro lugar en to � 0, será necesario usar los valores de xo y/o yo en las ecuaciones
adecuadas. (Véase ecuaciones 3.3a y b.)
3.2 Suma y resta de vectores
OBJETIVOS: a) Aprender la notación vectorial, b) ser capaz de sumar y restar
vectores gráfica y analíticamente, y c) usar vectores para describir
un movimiento en dos dimensiones.
Muchas cantidades físicas, incluidas aquellas que describen el movimiento, están aso-
ciadas a una dirección; es decir, son vectoriales. Ya trabajamos con algunas de esas can-
tidades relacionadas con el movimiento (desplazamiento, velocidad y aceleración), y
encontraremos más durante el curso. Una técnica muy importante para analizar mu-
chas situaciones físicas es la suma (y la resta) de vectores. Sumando o combinando tales
cantidades (suma vectorial) podemos obtener el efecto total o neto: la resultante, que 
es como se llama a la suma de vectores.
Ya sumamos algunos vectores. En el capítulo 2 sumamos desplazamientos en una
dimensión para obtener el desplazamiento neto. En este capítulo sumaremos compo-
nentes de vectores de movimiento, para calcular efectos netos. Recordemos que, en el
ejemplo 3.2, combinamos los componentes de velocidad vx y vy para obtener la velo-
cidad resultante.
En esta sección, examinaremos la suma y resta de vectores en general, junto con
una notación vectorial común. Como veremos, estas operaciones no son iguales a la
suma y resta de escalares o numéricas, que ya conocemos. Los vectores tienen tanto
magnitud como dirección, por lo que aplicamos reglas distintas.
En general, hay métodos geométricos (gráficos) y analíticos (computacionales) pa-
ra sumar vectores. Los métodos geométricos son útiles para visualizar los conceptos
de la suma vectorial, sobre todo con un dibujo rápido. Sin embargo, los métodos analí-
ticos se usan con mayor frecuencia porque son más rápidos y más precisos.
En la sección 3.1 nos enfocamos sobre todo en componentes de vectores. La no-
tación para las magnitudes de los componentes era, por ejemplo, vx y vy. Para repre-
sentar vectores se utilizará la notación y (un símbolo en negritas testado con 
una flecha).
Suma de vectores: métodos geométricos
Método del triángulo Para sumar dos vectores, digamos y (es decir, para obte-
ner ) con el método del triángulo, primero dibujamos en una hoja de papel 
milimétrico usando cierta escala (▼ figura 3.3a). Por ejemplo, si es un desplazamien-
to en metros, una escala conveniente sería 1 cm : 1 m, de modo que un vector de 1 cm
de longitud en el diagrama corresponda a 1 m de desplazamiento. Como se indica 
en la figura 3.3b, la dirección del vector se especifica con un ángulo �A relativo a 
un eje de coordenadas, por lo regular el eje x.
Luego, dibujamos con su cola en la punta de . (Por esto, el método también 
se conoce como método de punta a cola.) El vector que va desde la cola de hasta 
la punta de será entonces el vector suma o la resultante de los dos vectores:
Si los vectores se dibujaron a escala, se podrá obtener la magnitud de midiendo
su longitud y aplicando la conversión de escala. Con un enfoque gráfico así, la dirección
del ángulo �R se mide con un transportador. Si conocemos las magnitudes y direcciones
(ángulos �) de y de también podremos calcular analíticamente la magnitud y la 
dirección de utilizando métodos trigonométricos. En el caso del triángulo no rectán-
gulo de la figura 3.3b, utilizaríamos las leyes de los senos y cosenos. (Véase el apén-
R
S B
S
,A
S
R
S
R
S
= A
S
+ B
S
.
R
S
,B
S A
SA
S
B
S
A
S
A
S
A
S
A
S
+ B
S
A
S
B
S
B
S
A
S
Nota: en notación vectorial, los
vectores representan con símbolos
en negritas y con flecha arriba, 
como y , y sus magnitudes con
símbolos en cursivas, como A y B.
En la mayoría de las cifras, los 
vectores se representan con 
flechas (para dirección), cuya 
magnitud se indica a 
continuación.
B
S
A
S
Nota: un vector (flecha) se puede
desplazar en los métodos de suma
de vectores: siempre y cuando no
alteremos su longitud (magnitud) 
ni su dirección, no modificaremos
el vector.
74 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
x
y
 c)
Escala: 1 cm = 1 m
 b)
Escala: 1 cm = 1 m
xA
 R
y
R = A + B
 a)
Dibuje el primer vector (A)
desde el origen.
Dibuje el segundo vector (B)
desde la punta del primer vector.
Dibuje un vector desde la cola de A hasta la
punta de B. Ésta es la resultante (R).
B
R
�
�
�
R = A + B
�
R
B
A
B
A
R
dice I.) El método de punta a cola puede aplicarse a cualquier número de vectores. 
El vector que forma la cola del primer vector a la punta del segundo es la resultante 
o suma de vectores. Para más de dos vectores, se denomina método del polígono.
La resultante del triángulo rectángulo de vectores de la figura 3.3c sería mucho
más fácil de calcular, utilizando el teorema de Pitágoras para obtener la magnitud, y
una función trigonométrica inversa para obtener el ángulo de dirección. Observe que 
está constituido por los componentes x y y de y Tales componentes x y y son 
la base del método analítico de componentes que estudiaremos brevemente.
Resta de vectores La resta de vectores es un caso especial de la suma:
Es decir, para restar de sumamos un negativo a En el capítulo 2 vi-
mos que un signo menos simplemente significa que el sentido del vector es opuesto 
al de aquel que lleva el signo más (por ejemplo, �x y �x). Lo mismo es válido para 
los vectores con notación de negritas. El vector tiene la misma magnitud que el
vector pero está en sentido opuesto (Nfigura 3.4). El diagrama vectorial de la fi-
gura 3.4 muestra una representación gráfica de A
S
- B
S
.
B
S
,
-B
S
A
S
.B
S
A
S
,B
S
A
S
- B
S
= A
S
+ 1-BS2
B
S
.A
S
R
S
▲ FIGURA 3.3 Método del triángulo para suma de vectores a) Los vectores y se 
colocan punta a cola. El vector que se extiende desde la cola de hasta la punta de 
formando el tercer lado del triángulo, es la resultante o suma b) Cuando los
vectores se dibujan a escala, se puede obtener la magnitud de midiendo la longitud 
y aplicando la conversión de escala, y entonces el ángulo de dirección �R se mide con un
transportador. También pueden usarse métodos analíticos. En el caso de un triángulo no
rectángulo, como en el inciso b, se pueden usar las leyes de los senos y los cosenos para
determinar la magnitud de y de �R (apéndice I). c) Si el triángulo vectorial es rectángulo,
es fácil de obtener usando el teorema de Pitágoras, de manera que el ángulo de dirección
está dado por una función trigonométrica inversa.
R
S
R
S
R
S
R
S
R
S
= A
S
+ B
S
.
B
S
,A
S
B
S
A
S
Exploración 3.1 Suma de vectores 
de desplazamiento
3.2 Suma y resta de vectores 75
A
B
A
x
y
(A + B)
A – B
– B
▲ FIGURA 3.4 Resta de vectores
La resta de vectores es un caso
especial de la suma; es decir, 
donde 
tiene la misma magnitud que 
pero dirección opuesta. 
(Véase el dibujo.) Así, no 
es lo mismo que ni en
longitud ni en dirección. ¿Puede
usted demostrar geométricamente
que ?B
S
- A
S
= -1AS - BS2
B
S
- A
S
,
A
S
+ B
S
B
S
,
-B
S
A
S
- B
S
= A
S
+ 1-BS2,
 b) a)
x
y
C = A + B
x
y
C = Cx + Cy
Cx
Cy
Cx = C cos
Cy = C sen
C = �
 = tan –1 (Cy/Cx)
Cx 2 2�Cy
θ
θ
θ
� �
C C
B
B
A
> FIGURA 3.5 Componentes de
vectores a) Los vectores y 
sobre los ejes x y y, respectivamente,
se suman para dar b) Un vector 
puede descomponerse en com-
ponentes rectangulares y C
S
y.C
S
x
C
S
C
S
.
B
S
A
S
Componentes de vectores y método analítico de componentes
Probablemente el método analítico más utilizado para sumar varios vectores sea el
métodode componentes. En este libro lo usaremos de forma continua, por lo que es
indispensable entender bien sus fundamentos. Se recomienda estudiar bien esta sección.
Suma de componentes rectangulares de vectores Componentes rectangulares se refie-
re a componentes de vectores que forman un ángulo recto (90	) entre sí; por lo regular
se toman en las direcciones de las coordenadas rectangulares x y y. Ya presentamos 
la suma de tales componentes, al explicar los componentes de velocidad de un mo-
vimiento en la sección 3.1. Para el caso general, suponga que se suman y dos 
vectores perpendiculares, como en la ▼ figura 3.5a. El ángulo recto facilita la tarea. 
La magnitud de está dada por el teorema de Pitágoras:
(3.4a)
La orientación de relativa al eje x está dada por el ángulo
(3.4b)
Esta notación es como se expresa una resultante en forma de magnitud-ángulo.
Descomposición de un vector en componentes rectangulares; vectores unitarios
La descomposición de un vector en componentes rectangulares es en esencia el inver-
so de la suma de los componentes rectangulares del vector. Dado un vector la fi-
gura 3.5b ilustra cómo puede descomponerse en componentes vectoriales y en 
las direcciones x y y. Basta completar el triángulo de vectores con componentes x y y.
Como muestra el diagrama, las magnitudes, o longitudes vectoriales, de estos compo-
nentes están dadas por
(componentes de vectores)
(3.5a)
(3.5b)
respectivamente (lo cual es similar a vx � v cos � y vy � v sen � en el ejemplo 3.1).* El
ángulo de dirección de también puede expresarse en términos de los componentes,
dado que tan � � Cy/Cx, o
(3.6)
(dirección del vector a partir de las 
magnitudes de los componentes)
u = tan-1¢Cy
Cx
≤
C
S
 Cy = C sen u
 Cx = C cos u
C
S
yC
S
x
C
S
,
u = tan-1a B
A
b
C
S
C = 3A2 + B2
C
S
B
S
,A
S
* La figura 3.5b ilustra únicamente un vector en el primer cuadrante, pero las ecuaciones son váli-
das para todos los cuadrantes cuando los vectores se toman con referencia al eje x positivo o negativo.
Las direcciones de los componentes se indican con signos � y � como veremos a continuación.
Forma magnitud-ángulo de un
vector
76 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
†Es común usar el símbolo para denotar fuerza, una cantidad vectorial muy importante que 
estudiaremos en el capítulo 4. Aquí, usamos como vector general, aunque su uso hará que usted 
se familiarice con la notación que emplearemos en el siguiente capítulo, donde será indispensable 
saber sumar fuerzas.
F
S
F
S
Otra forma para expresar la magnitud y dirección de un vector incluye vectores
unitarios. Por ejemplo, como se muestra en la >figura 3.6, un vector se puede escri-
bir como La magnitud numérica se representa con A, y se llama vector uni-
tario. Es decir, su magnitud es 1, pero no tiene unidades, de modo que simplemente
indica la dirección del vector. Por ejemplo, una velocidad a lo largo del eje x se escri-
biría (es decir, una magnitud de 4.0 m/s en la dirección �x).
Observe cómo en la figura 3.6 se representaría mediante esta notación. 
Aunque a veces se coloca el signo menos antes de la magnitud numérica, esta canti-
dad es un número absoluto; el menos realmente se refiere al vector unitario:
* Es decir, el vector unitario tiene el sentido (opuesta a 
). Una velocidad de tiene una magnitud de 4.0 m/s en el sentido
�x; es decir, 
Podemos usar esta notación para expresar explícitamente los componentes rec-
tangulares de un vector. En el caso del desplazamiento de la pelota respecto al origen
del ejemplo 3.2, se escribiría donde y son vectores
unitarios en las direcciones x y y, respectivamente. En algunos casos, podría ser más
conveniente expresar un vector general en esta forma de componentes de vectores
unitarios:
(3.7)
Suma de vectores usando componentes
El método analítico de componentes para sumar vectores implica descomponer 
los vectores en componentes rectangulares y sumarlos en cada eje de manera inde-
pendiente.
Este método se ilustra gráficamente en la ▼ figura 3.7 con dos vectores y †
Las sumas de los componentes x y y de los vectores que se están sumando son entonces iguales
a los componentes correspondientes del vector resultante.
F
S
2 .F
S
1
C
S
= Cx xN + Cy yN
yNxNd
S
= 14.50 m2 xN + 112.6 m2 yN ,
vS = 14.0 m>s21-xN2.vS = 1-4.0 m>s2 xNaN -aN-A
S
= -AaN = A1-aN2.
-A
S
vS = 14.0 m>s2 xN
aNA
S
= AaN .
A
S
*A veces se usa un valor absoluto con esta notación, o para indicar clara-
mente que la magnitud de es una cantidad positiva.A
S
-A
S
= - ƒA ƒaN ,A
S
= ƒA ƒaN ,
 a)
x
y
 b)
x
y
F =
 F 1
 +
 F 2
F2
F1
Fx2
Fy1 Fx1
Fy2
Fy2
Fy1
Fx2
Fx1
Fy = Fy1 + Fy2F =
 F 1
 +
 F 2
Fx = Fx1 + Fx2
N FIGURA 3.7 Suma de 
componentes a) Al sumar 
vectores con el método de 
componentes, primero se 
descompone cada vector en sus 
componentes x y y. b) Las sumas 
de los componentes x y y de los 
vectores y son 
y respectivamente.F
S
y = F
S
y1 + F
S
y2 ,
F
S
x = F
S
x1 + F
S
x2F
S
2F
S
1
A = A â
A 
(magnitud)
A 
(vector)
â (vector 
 unitario)
A –A 
–â
–A = –A â = A(–â)
 a) b)
A
▲ FIGURA 3.6 Vectores unitarios
a) Un vector unitario tiene
magnitud 1, así que simplemente
indica la dirección de un vector.
Escrito junto con la magnitud A,
representa al vector y 
b) Para el vector el vector uni-
tario es y -A
S
= -AaN = A1-aN2.-aN , -AS , A
S
= AaN .A
S
,
aN
3.2 Suma y resta de vectores 77
El mismo principio es válido si tenemos que sumar tres (o más) vectores. Podría-
mos obtener la resultante aplicando el método gráfico de punta a cola. Sin embargo,
esta técnica implica dibujar los vectores a escala y usar un transportador para medir
ángulos, lo cual quizá se lleve mucho tiempo. De hecho, por lo general es más conve-
niente juntar todas las colas en el origen, como en la ▲ figura 3.8a. Tampoco es necesa-
rio dibujar los vectores a escala, ya que el dibujo aproximado es sólo una ayuda visual
para aplicar el método analítico.
En el método de componentes, descomponemos los vectores que se van a sumar
en sus componentes x y y, sumamos los componentes respectivos, y los recombina-
mos para obtener la resultante, que se muestra en la figura 3.8b. Si examinamos los
componentes x, veremos que su suma vectorial tiene la dirección �x. Asimismo, la
suma de los componentes y tiene la dirección �y. (Observemos que está en la di-
rección y y su componente x es cero, y que un vector en la dirección x tendría com-
ponente y cero.)
Si usamos la notación de los signos más y menos para indicar sentidos, escribire-
mos los componentes x y y de la resultante como: vx � vx1 � vx3 y vy � vy1 � vy3. 
Una vez calculados los valores numéricos de los componentes de los vectores y 
sustituidos en estas ecuaciones, tendremos los valores de vx � 0 y vy � 0, como se
muestra en la figura 3.8b.
Observemos también en la figura 3.8b que el ángulo direccional � de la resultante
se da respecto al eje x, lo mismo que los de los vectores individuales de la figura 3.8a.
Al sumar vectores por el método de componentes, usaremos como referencia el eje x más cerca-
no, es decir, el eje �x o el eje �x. Esta regla evita tener que manejar ángulos mayores
que 90	 (como sucede cuando medimos los ángulos de la forma acostumbrada, en
sentido contrario a las manecillas del reloj, respecto al eje �x) y que usar fórmulas 
de doble ángulo, como cos(� � 90	). Esta restricción simplifica significativamente los
cálculos. Podemos resumir los procedimientos recomendados para sumar analítica-
mente vectores con el método de componentes como sigue:
vS2
u
x 
y
vx
vy
(vx1 + vx3)
(resultante)
(vy1 + vy2 + vy3)=
=
5.0 m/s
x
y
45°
v2
30°
v3
4.5
 m
/s
9.0
 m/
s
vy1
vx1
vy3
vx3
v1
v
a) Método de componentes
 (descomposición en componentes)
b) Método de componentes
 (suma de componentes x y y mostrando las líneas
 punteadas desplazadas, para obtener la resultante) 
▲ FIGURA 3.8 Método de componentes para sumar vectores a) En el método analítico
de componentes, todos los vectores quese suman ( y ) se colocan primero con sus
colas en el origen para descomponerlos fácilmente en sus componentes rectangulares. 
b) Las sumas respectivas de todos los componentes x y todos los componentes y luego 
se suman para dar los componentes de la resultante vS.
vS3v
S
1 , v
S
2
78 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
a)
x
y
x
y
Ay
Ax
Bx
By
Ax = A cos
Ay = A sen
b)
 A
 B Bx
By
Ax
Ay
Bx = –B cos
By = –B sen
(los signos menos indican
componentes en los 
sentidos x y y negativas)
Cy
Cx
Cx = Ax + Bx
 = A cos + (–B cos
Cy = Ay + By
 
Sumar componentes
C = Cx2 + Cy2 
 = tan–1
Con Cx < 0 y Cy > 0,
la resultante C está
en el 2o. cuadrante
Cy
Cx
C = Cx x + Cy y
 B) 
 = A sen + (–B senA B)
�ˆ ˆ
θ θ
Aθ θ
A
A
B
B
�
�
�
�
� C�
�
 C�
B
A
C
Procedimientos para sumar vectores con el método 
de componentes
1. Descomponga los vectores que se van a sumar en sus componentes x y y. Use los
ángulos agudos (menores que 90º) entre los vectores y el eje x, e indique los sen-
tidos de los componentes con signos más y menos (▲ figura 3.9).
2. Sume vectorialmente todos los componentes x y todos los componentes y para ob-
tener los componentes x y y de la resultante, es decir, de la suma de los vectores.
3. Exprese el vector resultante con:
a) la forma de componentes de vectores unitarios; por ejemplo, ,
o bien,
b) la forma de magnitud-ángulo.
Para usar la segunda notación, obtenemos la magnitud de la resultante a partir de los
componentes x y y sumados, y empleando el teorema de Pitágoras:
Calculamos el ángulo de dirección (relativo al eje x) obteniendo la tangente inversa
(tan�1) del valor absoluto (es decir, el valor positivo, sin considerar cualesquier signos
menos) del cociente de las magnitudes de los componentes x y y:
Determinamos el cuadrante donde está la resultante. Esta información se obtiene de
los signos de los componentes sumados o de un dibujo de su suma con el método 
del triángulo. (Véase la figura 3.9.) El ángulo � es el ángulo entre la resultante y el 
eje x en ese cuadrante.
u = tan-1 ` Cy
Cx
`
C = 3Cx2 + Cy2
C
S
= Cx xN + Cy yN
Nota: el valor absoluto indica 
que se ignoran los signos menos
(por ejemplo, ��3� � 3). Esto se
hace para evitar valores negativos
y ángulos mayores que 90	.
▲ FIGURA 3.9 Suma de vectores por el método analítico de componentes
a) Descomponga los vectores en sus componentes x y y. b) Sume vectorialmente todos 
los componentes x y todos los componentes y para obtener los componentes x y y de la 
resultante, es decir, y Exprese la resultante en la forma de componentes, o bien, 
en la forma de magnitud-ángulo. Todos ángulos se dan respecto al eje �x o al eje �x, 
para que sean menores de 90	.
C
S
y.C
S
x
3.2 Suma y resta de vectores 79
Ejemplo 3.3 ■ Aplicación del método analítico de componentes:
separar y combinar componentes x y y
Apliquemos los pasos del método de componentes a la suma de los vectores de la figura
3.8b. Los vectores con unidades de metros por segundo representan velocidades.
Razonamiento. Siga los pasos del procedimiento y apréndaselos. Básicamente, descom-
ponemos los vectores en componentes y sumamos los componentes respectivos para ob-
tener los componentes de la resultante, que podrían expresarse en forma de componentes
o en forma de magnitud-ángulo.
Solución. Los componentes rectangulares de los vectores se muestran en la figura 3.8b.
La suma de esos componentes da,
donde
y
En forma tabular, los componentes son:
Componentes x Componentes y
Sumas:
Los sentidos de las componentes se indican con signos. (A veces se omite el signo � por
sobreentenderse.) En este caso, v2 no tiene componente x. En general, observe que para
el método analítico de componentes, los componentes x son funciones coseno y los com-
ponentes y son funciones seno, siempre que la referencia sea el eje x más cercano.
En forma de componentes, el vector resultante es 
En forma de magnitud-ángulo, la magnitud de la velocidad resultante es 
Puesto que el componente x es negativo y el componente y es positivo, la resultante está
en el segundo cuadrante, con un ángulo de
sobre el eje x negativo (véase la figura 3.8b).
Ejercicio de refuerzo. Suponga que en este ejemplo hay otro vector de velocidad
Calcule la resultante de los cuatro vectores en este caso?
Aunque sólo hemos hablado de movimiento en dos dimensiones (en un plano), 
es fácil extender el método de componentes a tres dimensiones. El vector de una 
velocidad en tres dimensiones tiene componentes x, y y z: y
su magnitud es v = 3vx2 + vy2 + vz2 .
vS = vx xN + vy yN + vz zN
vS4 = 1+4.6 m>s2 xN .
u = tan-1 ` vy
vx
` = tan-1a3.7 m>s
4.6 m>s b = 39°
v = 3vx2 + vy2 = 41-4.6 m>s22 + 13.7 m>s22 = 5.9 m>s
vS = 1-4.6 m>s2 xN + 13.7 m>s2 yN
 vy = +3.7 m>s vx = -4.6 m>s -v3 sen 30° = -4.5 m>svy3 -v3 cos 30° = -7.8 m>svx3
 = +5.0 m>svy2 = 0 m>svx2 +v1 sen 45° = +3.2 m>svy1 +v1 cos 45° = +3.2 m>svx1
 = 14.5 m>s210.7072 + 15.0 m>s2 - 19.0 m>s210.502 = 3.7 m>s vy = vy1 + vy2 + vy3 = v1 sen 45° + v2 - v3 sen 30°
 = 14.5 m>s210.7072 - 19.0 m>s210.8662 = -4.6 m>s vx = vx1 + vx2 + vx3 = v1 cos 45° + 0 - v3 cos 30°
vS = vx xN + vy yN = 1vx1 + vx2 + vx32 xN + 1vy1 + vy2 + vy32 yN
80 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
Ejemplo 3.4 ■ Encuentre el vector: súmelos
Tenemos dos vectores de desplazamiento: con magnitud de 8.0 m y dirección de 45	
por debajo del eje �x, y cuyas componentes x y y son �2.0 m y �4.0 m, respectivamen-
te. Encuentre un vector tal que sea igual a un vector con magnitud de
6.0 m en la dirección �y.
Razonamiento. Nuevamente, un dibujo ayuda a entender la situación y da una idea ge-
neral de los atributos de Sería como la de la sección Aprender dibujando. Observe que
en el inciso a tanto y tienen componentes �x, así que necesitaría un componente
�x para cancelarlos. (La resultante apunta sólo en la dirección �y.) y están en la 
dirección �y, pero la componente es mayor en la dirección —y, así que requeriría
un componente �y. Con esta información, vemos que estaría en el segundo cuadrante.
Un dibujo de polígono (como el del inciso b de Aprender dibujando) confirma tal ob-
servación.
Así pues, sabemos que tiene componentes en el segundo cuadrante y una magni-
tud relativamente grande (por las longitudes de los vectores en el diagrama de polígono).
Esta información nos da una idea de lo que estamos buscando y nos ayuda a decidir si
los resultados de la solución analítica son razonables.
Solución.
Dado: 8.0 m, 45° abajo del eje �x Encuentre: tal que 
(cuarto cuadrante)
Hagamos una tabla de componentes para entenderlos mejor:
Componentes x Componentes y
Para obtener los componentes de donde sumamos por separado los
componentes x y y:
es decir,
o
Entonces,
También podemos expresar el resultado en forma de magnitud-ángulo:
y
(arriba del eje �x, ¿por qué?)
Ejercicio de refuerzo. Suponga que apunta en el sentido opuesta 
Determine en este caso.C
S
3DS = 1-6.0 m2 yN 4.DSu = tan
-1 ` Cy
Cx
` = tan-1 ` 7.7 m-7.7 m ` = 45°
C = 3Cx2 + Cy2 = 41-7.7 m22 + 17.7 m22 = 11 m
C
S
= 1-7.7 m2 xN + 17.7 m2 yN
-5.7 m + 4.0 m + Cy = 6.0 m y Cy = +7.7 m
y: A
S
y + B
S
y + C
S
y = D
S
y
+5.7 m + 2.0 m + Cx = 0 y Cx = -7.7 m
x: A
S
x + B
S
x + C
S
x = D
S
x
A
S
+ B
S
+ C
S
= D
S
,C
S
,
 Dy = +6.0 m
 Cy = ? Dx = 0
 = +4.0 m By Cx = ?
 = -5.7 m Bx = +2.0 m
 Ay = -A sen 45° = -18.0 m210.7072 Ax = A cos 45° = 18.0 m210.7072 = +5.7 m
B
S
y = 14.0 m2 yNB
S
x = 12.0 m2 xN AS + BS + CS = DS = 1+6.0 m2 yN
C
S
A
S
:
C
S
C
S
C
S
A
S
y
D
S
B
S
yD
S
C
S
B
S
A
S
C
S
.
D
S
A
S
+ B
S
+ C
S
C
S
B
S
,
A
S
,
Exploración 3.3 Aceleración de una
pelota de golf que bordea el hoyo
D
B
A
B
A
B
+x-x
+y
-y
C ?
+x-x
+y
-y
45°
8.0 m
By = +4.0 m
Bx = +2.0 m
 a)
 b)
a) Se hace un diagrama de los
vectores y En un diagrama 
de vectores, las longitudes suelen
estar a escala (por ejemplo, 1 cm : 
1 metro) pero en los bosquejos
rápidos sus longitudes se
aproximan. b) Si desplazamosa la punta de y dibujamos 
podremos obtener el vector de 
la ecuación A
S
+ B
S
+ C
S
= D
S
.
C
S
D
S
,A
S
B
S
B
S
.A
S
APRENDER DIBUJANDO
Diagrame 
y sume
 a)
 b)
xo
 y1
xmáx
vyo = 0
vxo = vx
t = 0
y
x
v2
v3
v1
 xo
 xo
y2
y3
v
v
v
v
v
v
3.3 Movimiento de proyectiles 81
Nota: repase la sección 2.5, caída
libre en una dimensión.
> FIGURA 3.10 Proyección
horizontal a) Los componentes de
velocidad de un proyectil lanzado
horizontalmente muestran que el
proyectil viaja a la derecha mientras
cae, como lo indica el signo menos.
b) Una fotografía con múltiples
destellos muestra las trayectorias de
dos pelotas de golf. Una se proyectó
horizontalmente al mismo tiempo
que la otra se dejaba caer en línea
recta. Las líneas horizontales 
tienen una separación de 15 cm, 
y el intervalo entre destellos fue 
de Los movimientos vertica-
les de las pelotas son idénticos. 
¿Por qué? ¿Puede el lector describir
el movimiento horizontal de la
pelota que está en gris claro?
1
30 s.
3.3 Movimiento de proyectiles
OBJETIVOS: Analizar el movimiento de proyectiles para determinar a) posición,
b) tiempo de vuelo y c) alcance.
Un ejemplo muy conocido de movimiento curvilíneo bidimensional es el de los obje-
tos que se lanzan o proyectan con algún mecanismo. El movimiento de una piedra
lanzada al otro lado de un arroyo o el de una pelota de golf golpeada en el “tee” son
casos de movimiento de proyectiles. Una situación especial de movimiento de pro-
yectil en una dimensión es el lanzamiento de un objeto verticalmente hacia arriba (o
hacia abajo). Ya vimos este caso en el capítulo 2 en términos de caída libre (sin consi-
derar la resistencia del aire). También trataremos el movimiento de proyectiles como
caída libre, así que la única aceleración de un proyectil será la debida a la gravedad.
Podemos usar componentes vectoriales para analizar el movimiento de proyectiles.
Simplemente descomponemos el movimiento en sus componentes x y y, y los ma-
nejamos individualmente.
Proyecciones horizontales
Vale la pena analizar primero el movimiento de un objeto que se proyecta horizontal-
mente, paralelo a una superficie plana. Supongamos que lanzamos un objeto hori-
zontalmente con velocidad inicial vxo como en la ▼ figura 3.10. El movimiento de
proyectiles se analiza a partir del instante en que se sueltan (t � 0). Una vez soltado
el objeto, deja de haber aceleración horizontal (ax � 0), así que, durante toda la tra-
yectoria del objeto, la velocidad horizontal se mantiene constante: vx � vxo.
Según la ecuación x � xo � vxt (ecuación 3.2a), el objeto proyectado seguiría via-
jando indefinidamente en la dirección horizontal. Sin embargo, sabemos que esto no
sucede. Tan pronto como se proyecta el objeto, está en caída libre en la dirección ver-
tical, con vyo � 0 (como si se hubiera dejado caer) y ay � �g. En otras palabras, el ob-
jeto proyectado viaja con velocidad uniforme en la dirección horizontal y, al mismo
tiempo, sufre una aceleración en la dirección hacia abajo por la influencia de la grave-
dad. El resultado es una trayectoria curva, como se muestra en la figura 3.10. (Compa-
re los movimientos de las figuras 3.10 y 3.2. ¿Percibe el lector similitudes?) Si no
hubiera movimiento horizontal, el objeto simplemente caería al suelo en línea recta.
De hecho, el tiempo de vuelo del objeto proyectado es exactamente el mismo que si estu-
viera cayendo verticalmente.
82 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
Observe los componentes del vector de velocidad en la figura 3.10a. La longitud
del componente horizontal no cambia; pero la longitud del componente vertical au-
menta con el tiempo. ¿Qué velocidad instantánea tiene el objeto en cualquier punto
de su trayectoria? (Pensemos en términos de suma de vectores, como en la sección
3.3.) La imagen de la figura 3.10b muestra los movimientos reales de una pelota de
golf que se proyecta horizontalmente y una que se deja caer simultáneamente des-
de el reposo. Las líneas de referencia horizontales muestran que las pelotas caen 
verticalmente con la misma rapidez. La única diferencia es que la que se proyectó 
horizontalmente también viaja hacia la derecha cuando cae.
Ejemplo 3.5 ■ Inicio hasta arriba: proyección horizontal
Suponga que la pelota de la figura 3.10a se proyecta desde una altura de 25.0 m sobre 
el suelo y se le imprime una velocidad horizontal inicial de 8.25 m/s. a) ¿Cuánto tiempo
tardará la pelota en golpear el suelo? b) ¿A qué distancia del edificio tocará el suelo la 
pelota?
Razonamiento. Al examinar los componentes del movimiento, vemos que en el inciso a
buscamos el tiempo que la pelota tarda en caer verticalmente, es decir, un caso análogo 
al de una pelota que se deja caer desde esa altura. Éste es también el tiempo que la pelo-
ta viaja en la dirección horizontal. La rapidez horizontal es constante, así que podremos
calcular la distancia horizontal que nos piden en el inciso b.
Solución. Escribimos los datos eligiendo como origen el punto desde el que se lanza la
pelota y tomando el sentido hacia abajo como negativo:
Dado: Encuentre: a) t (tiempo de vuelo)
b) x (distancia horizontal)
y por el origen que elegimos.)
a) Como ya señalamos, el tiempo de vuelo es el mismo que la pelota tardaría en caer 
verticalmente al suelo. Para calcularlo, podemos usar la ecuación 
donde se expresa la dirección negativa de g explícitamente, como en el capítulo 2. 
Con vyo � 0, tenemos
Entonces,
b) La pelota viaja en la dirección x durante el mismo tiempo que viaja en la dirección y
(es decir, 2.26 s). Puesto que no hay aceleración en la dirección horizontal, la pelota viaja
en esta dirección con velocidad uniforme. Así, con xo � 0 y ax � 0, tenemos
Ejercicio de refuerzo. a) Colocando los ejes en la base del edificio, demuestre que la ecua-
ción resultante es la misma que en el ejemplo. b) ¿Qué velocidad (en forma de componen-
tes) tiene la pelota justo antes de tocar el suelo?
Proyecciones con ángulos arbitrarios
En el caso general de movimiento de proyectiles, el objeto se proyecta con un ángulo �
arbitrario respecto a la horizontal; por ejemplo, una pelota de golf que se golpea con
un palo (Nfigura 3.11). Durante el movimiento de un proyectil, éste viaja hacia arriba 
y hacia abajo mientras viaja horizontalmente con velocidad constante. (¿La pelota 
tiene aceleración? Sí. En todos los puntos del movimiento, la gravedad está actuando,
y )aS = -g yN .
x = vxo t = 18.25 m>s212.26 s2 = 18.6 m
t = A
2y
-g
= B
21-25.0 m2
-9.80 m>s2 = 2.26 s
y = - 12 gt
2
y = yo + vyo t -
1
2 gt
2,
yo = 0 (xo = 0
 ay = -g
 vyo = 0
 ax = 0
 vxo = 8.25 m>s y = -25.0 m
Ilustración 3.4 Movimiento de
proyectiles
3.3 Movimiento de proyectiles 83
Alcance R = x máx
y4
xo
ymáx
y
x
y3 = 0
xo
yo
o
xo
y1
xo
y2 
xo
xo
y6 6
-v
-v
y5
vxo
-v
 
�
�
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
▲ FIGURA 3.11 Proyección angulada Se muestran los componentes de velocidad de la
pelota en diversos instantes. (Las direcciones se indican con signos, aunque el signo � se
omite porque por lo general se sobreentiende.) Observe que vy � 0 en la cúspide de la 
trayectoria (ymáx). El alcance R es la distancia horizontal máxima (xmáx). 
(¿Por qué v0 � v6?)
▼ FIGURA 3.12 Arcos parabólicos
Las chispas de metal caliente que
saltan al soldar describen arcos
parabólicos.
(3.8b)
Puesto que no hay aceleración horizontal y la gravedad actúa en el sentido y negati-
va, el componente x de la velocidad es constante, mientras que el componente y varía
con el tiempo (véase la ecuación 3.3d):
(componentes de velocidad del
(3.9a)
movimiento de un proyectil) (3.9b)
En la figura 3.11 se ilustran los componentes de la velocidad instantánea en diversos
tiempos. La velocidad instantánea es la suma de estos componentes y es tangente a la
trayectoria curva de la pelota en cualquier punto. Observe que la pelota golpea el
suelo con la misma rapidez con que se lanzó (pero con �vyo) y con el mismo ángulo
bajo la horizontal.
Asimismo, los componentes del desplazamiento estándados por 
(componentes de desplazamiento (3.10a)
del movimiento de un proyectil) (3.10b)
La curva que producen estas ecuaciones (la trayectoria de movimiento del proyectil) se
denomina parábola. Solemos llamar arco parabólico a la trayectoria de un proyectil. Tales
arcos son muy comunes (Nfigura 3.12).
Cabe señalar que, igual que en la proyección horizontal, lo que los componentes del
movimiento tienen en común es el tiempo. Entre los aspectos del movimiento de proyec-
tiles que podrían interesarnos en diversas situaciones están el tiempo de vuelo, la 
altura máxima alcanzada y el alcance (R), que es la distancia horizontal máxima 
recorrida.
 y = vyo t -
1
2 gt
2 = 1vo sen u2t - 12 gt2 x = vxo t = 1vo cos u2t
(xo = yo = 0):
 vy = vyo - gt = vo sen u - gt
 vx = vxo = vo cos u
Este movimiento también se analiza usando componentes. Igual que antes, toma-
mos los sentidos hacia arriba como positivo; y hacia abajo, como negativo. Primero
descomponemos la velocidad inicial vo en sus componentes rectangulares:
(componentes de velocidad inicial)
(3.8a)
vyo = vo sen u
vxo = vo cos u
84 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
Nota: un proyectil sigue una
trayectoria parabólica.
Ejemplo 3.6 ■ El primer golpe del golf: proyección angulada
Supongamos que un golfista golpea una pelota en el “tee” dándole una velocidad inicial
de 30.0 m/s con un ángulo de 35	 respecto a la horizontal, como en la figura 3.11. a) ¿Qué
altura máxima alcanza la pelota? b) ¿Qué alcance tiene?
Razonamiento. La altura máxima tiene que ver con el componente y; el procedimiento
para obtenerla es como el que usamos para determinar la altura máxima que alcanza una
pelota proyectada verticalmente hacia arriba. La pelota viaja en la dirección x durante el
tiempo que tarda en subir y bajar.
Solución.
Dado: Encuentre: a) ymáx
b) R � xmáx
( y y final )
Calculemos vxo y vyo, explícitamente para usar ecuaciones de cinemática simplificadas:
a) Igual que para un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, vy � 0 en la altura má-
xima (ymáx). Así, calculamos el tiempo requerido para alcanzar la altura máxima (ta) con 
la ecuación 3.9b igualando vy a cero:
Despejando ta, tenemos
(Observe que ta representa el tiempo que la pelota está en ascenso.)
Entonces, la altura máxima ymáx se obtiene sustituyendo ta en la ecuación 3.10b:
La altura máxima también se podría haber obtenido directamente de la ecuación 2.11’,
con y Sin embargo, el método de resolución que usamos
aquí ilustra la forma de obtener el tiempo de vuelo.
b) Al igual que en la proyección vertical, el tiempo de ascenso es igual al de descenso, 
así que el tiempo total de vuelo es t � 2ta (para volver a la altura desde la que se pro-
yectó el objeto, y � yo � 0, como se observa a partir de y
)
El alcance R es igual a la distancia horizontal recorrida (ymáx), la cual se obtiene fácil-
mente sustituyendo el tiempo total de vuelo t � 2ta � 2(1.76 s) � 3.52 s en la ecuación 3.10a:
Ejercicio de refuerzo. ¿Cómo cambiarían los valores de altura máxima (ymáx) y alcance
(xmáx) si la pelota se hubiera golpeado inicialmente igual en la superficie de la Luna? 
(Sugerencia: gL � g/6; es decir, la aceleración debida a la gravedad en la Luna es la sexta
parte que en la Tierra.) No realice cálculos numéricos. Obtenga las respuestas examinan-
do las ecuaciones.
El alcance de un proyectil es una consideración importante en diversas aplicacio-
nes, y tiene especial importancia en los deportes donde se busca un alcance máximo,
como el golf y el lanzamiento de jabalina.
En general, ¿qué alcance tiene un proyectil lanzado con velocidad vo en un ángulo
�? Para contestar esta pregunta, deberemos considerar la ecuación empleada en el
ejemplo 3.6 para calcular el intervalo, R � vxt. Veamos primero las expresiones para vx
y t. Puesto que no hay aceleración en la dirección horizontal, sabemos que
y el tiempo total t (como vimos en el ejemplo 3.6) es
t =
2vyo
g
=
2vo sen u
g
vx = vxo = vo cos u
R = xmáx = vx t = vxo12ta2 = 124.6 m>s213.52 s2 = 86.6 m
t = 2vyo>g = 2ta . y - yo = vyo t - 12 gt2 = 0,
vy = 0.y = ymáxvy2 = vyo
2 - 2gy,
ymáx = vyo ta -
1
2 gta
2 = 117.2 m>s211.76 s2 - 12 19.80 m>s2211.76 s22 = 15.1 m
ta =
vyo
g
=
17.2 m>s
9.80 m>s2 = 1.76 s
vy = 0 = vyo - gta
 vyo = vo sen 35° = 130.0 m>s210.5742 = 17.2 m>s vxo = vo cos 35° = 130.0 m>s210.8192 = 24.6 m>s
y = 0yo = 0xo
 ay = -g
 u = 35°
 vo = 30.0 m>s
3.3 Movimiento de proyectiles 85
Entonces,
Utilizando la identidad trigonométrica sen 2� � 2 cos � sen � (véase el apéndice I),
tenemos
(3.11)
Vemos que el alcance depende de la magnitud de la velocidad (o rapidez) inicial, vo, y
del ángulo de proyección, �, suponiendo g constante. Hay que tener en cuenta que tal
ecuación sólo es válida en el caso especial, pero común, de yinicial � yfinal (es decir,
cuando el punto de aterrizaje está a la misma altura que el de lanzamiento).
Ejemplo 3.7 ■ Un lanzamiento desde el puente
Una chica que está parada en un puente lanza una piedra con una velocidad inicial de 
12 m/s en un ángulo de 45	 bajo la horizontal, en un intento por golpear un trozo de ma-
dera que flota en el río (▼ figura 3.13). Si la piedra se lanza desde una altura de 20 m sobre
el río y llega a éste cuando la madera está a 13 m del puente, ¿golpeará la tabla? (Supon-
ga que la tabla prácticamente no se mueve y que está en el plano del lanzamiento.)
Razonamiento. La pregunta es ¿qué alcance tiene la piedra? Si este alcance es igual a la
distancia entre la tabla y el puente, la piedra golpeará la tabla. Para obtener el alcance de
la piedra, necesitamos calcular el tiempo de descenso (a partir del componente y del mo-
vimiento) y, con él, calcular la distancia xmáx. (El tiempo es el factor vinculante.)
Solución.
Dado: Encuentre: alcance o xmáx de la
piedra desde el puente.
(¿Es igual a la distancia
entre la tabla y el
puente?)
Para obtener el tiempo en el caso de trayectorias hacia arriba, hemos usado vy � vyo � g,
donde vy � 0 en la cúspide del arco. Sin embargo, en este caso vy no es cero cuando la 
piedra llega al río, así que necesitamos obtener vy para utilizar esa ecuación. Este valor 
se determina a partir de la ecuación de cinemática 2.11’,
vy
2 = vyo
2 - 2gy
 1xo = yo = 02 xtabla = 13 m
 y = -20 m vyo = -vo sen 45° = -8.5 m>s u = 45° vxo = vo cos 45° = 8.5 m>s
vo = 12 m>s
alcance del proyectil xmáx
(sólo para yinicial = yfinal)
R =
vo
2 sen 2u
g
R = vx t = 1vo cos u2¢ 2vo sen ug ≤ = 2vo2 sen u cos ug
y
x
x
y = –20 m
xtabla = 13 m
xo = 0, yo = 0 (punto de lanzamiento)
45°
??
ov
▲ FIGURA 3.13 Lanzamiento desde el puente: ¿acierta o falla? Véase el ejemplo 3.7.
(continúa en la siguiente página)
86 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
1
2
45°
45°
vo
vo
h
▲ FIGURA 3.14 ¿Cuál tiene mayor velocidad? Véase el ejemplo 3.8.
despejando,
(con la raíz negativa porque vy es hacia abajo).
Ahora despejamos t en ,
En este momento la distancia horizontal entre la piedra y el puente es
Así que el lanzamiento de la chica se queda corto un metro (pues la tabla está a 13 m).
Podríamos utilizar la ecuación 3.10b, para determinar el tiempo,
aunque habría implicado resolver una ecuación cuadrática.
Ejercicio de refuerzo. a) ¿Por qué supusimos que la tabla está en el plano del lanzamien-
to? b) ¿Por qué en este ejemplo no usamos la ecuación 3.11 para encontrar el alcance? 
Demuestre que la ecuación 3.11 funciona en el ejemplo 3.6, pero no en el 3.7, calculando 
el alcance en cada caso y comparando los resultados con las respuestas obtenidas en los
ejemplos.
Ejemplo conceptual 3.8 ■ ¿Cuál tiene mayor rapidez?
Considere dos pelotas, ambas lanzadas con la misma rapidez inicial vo, pero una con un 
ángulo de 45	 arriba de la horizontal y la otra con un ángulo de 45	 abajo de la horizontal
(▼ figura 3.14). Determine si, al llegar al suelo, a) la pelota lanzada hacia arriba tiene mayor
rapidez, b) la pelota proyectada hacia abajo tiene mayor rapidez o c) ambas tienen la mis-
ma rapidez. Plantee claramente el razonamiento y losprincipios de física que usó para 
llegar a su respuesta, antes de revisar lo siguiente. Es decir, ¿por qué eligió esa respuesta?
Razonamiento y respuesta. En primera instancia, pensaríamos que la respuesta es b, ya
que esta pelota se lanza hacia abajo. No obstante, la pelota proyectada hacia arriba cae
desde una altura máxima mayor, así que tal vez la respuesta sea a. Para resolver este di-
lema, observe la línea horizontal trazada en la figura 3.14 entre los dos vectores de veloci-
dad, que se extiende hasta más allá de la trayectoria superior. Vea, además, que abajo de
la línea, las trayectorias de ambas pelotas son iguales. Asimismo, cuando llega a esta lí-
y = yo + vyo t -
1
2 gt
2,
xmáx = vxo t = 18.5 m>s211.4 s2 = 12 m
t =
vyo - vy
g
=
-8.5 m>s - 1-22 m>s2
9.8 m>s2 = 1.4 s
vy = vyo - gt
vy = 41-8.5 m>s22 - 219.8 m>s221-20 m2 = -22 m>s
3.3 Movimiento de proyectiles 87
nea, la velocidad hacia abajo de la pelota superior es vo con un ángulo de 45	 abajo de la
horizontal. (Véase la figura 3.11.) Por lo tanto, en lo que respecta a la línea horizontal y
más abajo, las condiciones son idénticas, con el mismo componente y y el mismo compo-
nente x constante. Por consiguiente, la respuesta es c.
Ejercicio de refuerzo. Suponga que la pelota lanzada hacia abajo se proyectó con un 
ángulo de �40	. ¿Qué pelota golpearía el suelo con mayor rapidez en este caso?
Sugerencia para resolver problemas
El alcance de un proyectil que se lanza hacia abajo, como en la figura 3.14, se obtiene co-
mo se hizo en el ejemplo 3.7. Pero, ¿cómo se obtiene el alcance de un proyectil lanza-
do hacia arriba? Podríamos ver este problema como uno de “alcance extendido”. Una
forma de resolverlo consiste en dividir la trayectoria en dos partes: 1) el arco sobre la 
línea horizontal y 2) el descenso bajo la línea horizontal, de modo que xmáx � x1 � x2.
Sabemos cómo calcular x1 (ejemplo 3.6) y x2 (ejemplo 3.7). Otra forma de resolver 
el problema es usar donde y es la posición final del proyectil, y
despejar t, el tiempo total de vuelo. Luego se sustituye ese valor en la ecuación 
La ecuación 3.11, nos permite calcular el alcance para un ángulo 
de proyección y una velocidad inicial específicos. Sin embargo, hay ocasiones en que
nos interesa el alcance máximo con una velocidad inicial dada; por ejemplo, el alcance
máximo de una pieza de artillería que dispara un proyectil con cierta velocidad inicial.
¿Hay un ángulo óptimo que dé el alcance máximo? En condiciones ideales, la respues-
ta sería sí.
Para cierta vo, el alcance es máximo (Rmáx) cuando sen 2� � 1, pues este valor de �
da el valor máximo de la función seno (que varía entre 0 y 1). Entonces,
(3.12)
Puesto que este alcance máximo se obtiene cuando sen 2� � 1, y dado que sen 90	 � 1,
tenemos
2� � 90	 o � � 45	
para el alcance máximo con una rapidez inicial dada cuando el proyectil regresa a la altura desde
la que se proyectó. Con un ángulo mayor o menor, si la rapidez inicial del proyectil es la
misma, el alcance será menor, como se ilustra en la ▼ figura 3.15. También, el alcance es
el mismo para ángulos que están igualmente arriba y abajo de 45	, como 30	 y 60	.
Así, para lograr el alcance máximo, el proyectil idealmente debe proyectarse con 
un ángulo de 45	. Sin embargo, hasta aquí hemos despreciado la resistencia del aire. 
En situaciones reales, como cuando se lanza o golpea fuertemente una pelota u otro obje-
to, ese factor podría tener un efecto importante. La resistencia del aire reduce la rapidez
del proyectil, y por tanto el alcance. El resultado es que, cuando la resistencia del aire es
1yinicial = yfinal2Rmáx = vo2g
R =
vo
2 sen 2u
g
,
x = vxo t.
y = yo + vyo t -
1
2 gt
2,
15°
x
y
30°
45°
60°
75°
> FIGURA 3.15 Alcance Para un
proyectil con cierta rapidez inicial,
el alcance máximo se logra
idealmente con una proyección 
de 45	 (sin resistencia del aire). 
Con ángulos de proyección
mayores y menores que 45	, el
alcance es menor, y es igual para
ángulos que difieren igualmente 
de 45	 (por ejemplo, 30 y 60	).
Exploración 3.5 Movimiento de un
proyectil hacia arriba y hacia abajo
88 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
▲ FIGURA 3.16 Resistencia del aire
y alcance a) Si la resistencia del
aire es un factor, el ángulo de
proyección para lograr un alcance
máximo es menor que 45	. 
b) Lanzamiento de jabalina. A causa
de la resistencia del aire la jabalina
se lanza a un ángulo menor que 45	
para lograr el máximo alcance.
▲ FIGURA 3.17 Atletas en acción a) Para maximizar un salto de longitud, los deportistas
corren tanto como sea posible, y se impulsan hacia arriba con la mayor fuerza para 
maximizar los componentes de velocidad (vx y vy). b) Cuando atacan la canasta y saltan
para anotar, los jugadores de baloncesto parecen estar suspendidos momentáneamente,
o “colgados”, en el aire.
factor, el ángulo de proyección para obtener el alcance máximo es menor que 45	, lo cual
produce una velocidad horizontal inicial mayor (▲figura 3.16). Otros factores, como el 
giro y el viento, también podrían afectar el alcance del proyectil. Por ejemplo, el backspin
(giro retrógrado) imprimido a una pelota de golf la levanta, y el ángulo de proyección 
para lograr el alcance máximo podría ser considerablemente menor que 45	.
No hay que olvidar que para lograr el alcance máximo con un ángulo de pro-
yección de 45	, los componentes de la velocidad inicial deben ser iguales, es decir,
tan�1(vyo/vxo) � 45	 y tan 45	 � 1, así que vyo � vxo. Sin embargo, habría casos donde
tal situación no sea posible físicamente, como lo demuestra el Ejemplo conceptual 3.9.
Ejemplo conceptual 3.9 ■ El salto más largo: teoría y práctica
En una competencia de salto de longitud, ¿el saltador normalmente tiene un ángulo de
lanzamiento a) menor que 45º, b) de exactamente 45º, o c) mayor que 45°? Plantee clara-
mente el razonamiento y los principios de física que usó para llegar a su respuesta, antes de leer 
el párrafo siguiente. Es decir, ¿por qué eligió esa respuesta? 
Razonamiento y respuesta. La resistencia del aire no es un factor importante aquí (aun-
que se toma en cuenta la velocidad del viento para establecer récords en pruebas de pista
y campo). Por lo tanto, parecería que, para lograr el alcance máximo, el saltador despega-
ría con un ángulo de 45º. Sin embargo, hay otra consideración física. Examinemos más de
cerca los componentes de la velocidad inicial del saltador (▼ figura 3.17a).
Para lograr un salto de longitud máxima, el saltador corre lo más rápidamente que
puede y luego se impulsa hacia arriba con toda su fuerza, para elevar al máximo los com-
ponentes de velocidad. El componente de velocidad vertical inicial depende del empu-
je hacia arriba de las piernas del saltador; mientras que el componente de velocidad hori-
zontal inicial depende principalmente de la rapidez con que se corrió hasta el punto 
de salto. En general, se logra una mayor velocidad corriendo que saltando, de manera 
que Entonces, dado que tenemos donde vyo>vxo 6 1u 6 45°,u = tan-11vyo>vxo2,vxo 7 vyo .
vxo
vyo
a)
b)
y
45° con resistencia del aire
45° sin resistencia del aire
x
< 45° con resistencia
del aire
 a) b)
3.3 Movimiento de proyectiles 89
en este caso. Por lo tanto, la respuesta es a; ciertamente no podría ser c. Un ángulo de 
lanzamiento típico para un salto largo es de 20 a 25	. (Si el saltador aumentara su ángu-
lo de lanzamiento para acercarse más a los 45	 ideales, su rapidez de carrera tendría 
que disminuir, y esto reduciría el alcance.)
Ejercicio de refuerzo. Al saltar para anotar, los jugadores de baloncesto parecen estar sus-
pendidos momentáneamente, o “colgados”, en el aire (figura 3.17b). Explique la física de
este efecto.
Ejemplo 3.10 ■ ¿Un “slap shot” es bueno?
Un jugador de hockey lanza un tiro “slap shot” (tomando vuelo con el bastón) en una
práctica (sin portero) cuando está 15.0 m directamente frente a la red. La red tiene 1.20 m
de altura y el disco se golpea inicialmente con un ángulo de 5.00	 sobre el hielo, con una
rapidez de35.0 m/s. Determine si el disco entra en la red o no. Si lo hace, determine si va
en ascenso o en descenso cuando cruza el plano frontal de la red.
Razonamiento. Primero dibuje un diagrama de la situación empleando coordenadas x-y,
suponiendo que el disco está en el origen en el momento del golpe e incluyendo la red 
y su altura, como en la ▼ figura 3.18. Note que se exageró el ángulo de lanzamiento. Un
ángulo de 5.00	 es muy pequeño, pero desde luego que la red no es muy alta (1.20 m).
Para determinar si el tiro se convierte en gol, necesitamos saber si la trayectoria del
disco lo lleva por arriba de la red o lo hace entrar en ella. Es decir, ¿qué altura (y) tiene 
el disco cuando su distancia horizontal es x � 15 m? Que el disco vaya en ascenso o en
descenso a esta distancia horizontal dependerá de cuándo alcanza su altura máxima. Las
ecuaciones adecuadas deberían darnos esta información; debemos tener presente que el
tiempo es el factor que vincula los componentes x y y.
Solución. Hacemos nuestra lista acostumbrada de datos, 
Dado: Encuentre: si el disco entra en la red
y, si lo hace, si va de subida, 
o de bajada
La posición vertical del disco en cualquier tiempo t está dada por así 
que necesitamos saber cuánto tiempo tarda el disco en recorrer los 15.0 m que lo se-
paran de la red. El factor que vincula los componentes es el tiempo, que se obtiene del
movimiento en x:
Entonces, al llegar al frente de la red, el disco tiene una altura de
¡Gol!
El tiempo (ta) que el disco tarda en alcanzar su altura máxima está dado por
donde y
como el disco llega a la red en 0.430 s, va en descenso.
Ejercicio de refuerzo. ¿A qué distancia de la red comenzó a descender el disco?
ta =
vyo
g
=
3.05 m>s
9.80 m>s2 = 0.311 s
vy = 0vy = vyo - gta ,
 = 1.31 m - 0.906 m = 0.40 m
 y = vyo t -
1
2 gt
2 = 13.05 m>s210.430 s2 - 12 19.80 m>s2210.430 s22
x = vxo t o t = xvxo = 15.0 m34.9 m>s = 0.430 s
y = vyo t -
1
2 gt
2,
 vyo = vo sen 5.00° = 3.05 m>s vxo = vo cos 5.00° = 34.9 m>s
 vo = 35.0 m>s u = 5.00°
 ynet = 1.20 m, yo = 0
 x = 15.0 m, xo = 0
y
x5.00° = � (exagerado para claridad)
(Hielo)
x = 0 (punto de lanzamiento) x = 15 m
y = 0
?
1.20 m
> FIGURA 3.18 ¿Es gol? 
Véase el ejemplo 3.10.
90 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
3.4 Velocidad relativa
OBJETIVO: Comprender y determinar velocidades relativas mediante la suma y
resta de vectores.
La velocidad no es absoluta, sino que depende del observador. Esto significa que es re-
lativa al estado de movimiento del observador. Si observamos un objeto que se mueve
a cierta velocidad, entonces esa velocidad debe ser relativa a algo más. Por ejemplo, en
el juego de los bolos, la bola se mueve a lo largo de la pista con cierta velocidad, por lo
que esta última es relativa a la pista. Los movimientos de los objetos a menudo se des-
criben como relativos a la Tierra o al suelo, en los que comúnmente pensamos como
marcos de referencia estacionarios. En otros ejemplos es conveniente utilizar un marco
de referencia en movimiento.
Las mediciones deben efectuarse con respecto a alguna referencia. Por lo regular,
esa referencia es el origen de un sistema de coordenadas. El punto designado como
origen de un conjunto de ejes de coordenadas es arbitrario y un asunto de preferencia.
Por ejemplo, podríamos “fijar” el sistema de coordenadas a un camino o al suelo, y
medir el desplazamiento o la velocidad de un automóvil relativos a esos ejes. Para 
un marco de referencia “en movimiento”, los ejes de coordenadas podría vincularse 
a un automóvil que avanza por una carretera. Al analizar un movimiento desde otro
marco de referencia, no alteramos la situación física ni lo que está sucediendo, sólo el
punto de vista desde el que lo describimos. Por lo tanto, decimos que el movimiento 
es relativo (a algún marco de referencia) y hablamos de velocidad relativa. Puesto que
la velocidad es un vector, la suma y resta de vectores ayudan a determinar velocida-
des relativas.
Velocidades relativas en una dimensión
Cuando las velocidades son rectilíneas (en línea recta) en el mismo sentido o en sen-
tidos opuestos, y todas tienen la misma referencia (digamos, el suelo), calculamos
velocidades relativas usando la resta de vectores. Por ejemplo, considere unos auto-
móviles que se mueven con velocidad constante a lo largo de una carretera recta y
plana, como en la Nfigura 3.19. Las velocidades de los automóviles que se muestran
en la figura son relativas a la Tierra o al suelo, como indica el conjunto de ejes de coor-
denadas que se usa como referencia en la figura 3.19a, con los movimientos a lo lar-
go del eje x. También son relativos a los observadores estacionarios parados a la
orilla de la carretera o sentados en el auto estacionado A. Es decir, estos observa-
dores ven que los automóviles se mueven con velocidades y 
La velocidad relativa de dos objetos está dada por la diferencia
(vectorial) de velocidad entre ellos. Por ejemplo, la velocidad del automóvil B rela-
tiva al automóvil A está dada por
Así, un individuo sentado en el automóvil A vería que el automóvil B se aleja (en la di-
rección x positiva) con una rapidez de 90 km/h. En este caso rectilíneo, los sentidos de
las velocidades se indican con signos más y menos (además del signo menos de la
ecuación).
Asimismo, la velocidad del auto C relativa a un observador en el auto A es
La persona del auto A vería que el automóvil C se acerca (en el sentido x negativa) con
una rapidez de 60 km/h.
No obstante, suponga que nos interesa conocer las velocidades de los otros autos
relativas al automóvil B (es decir, desde el punto de vista de un observador en el auto B)
o relativas a un conjunto de ejes de coordenadas, cuyo origen está fijo en el automóvil
B (figura 3.19b). Relativo a esos ejes, el automóvil B no se está moviendo: actúa como
punto de referencia fijo. Los otros automóviles se están moviendo relativos al automó-
vil B. La velocidad del auto C relativa al auto B es
vSCB = v
S
C - v
S
B = 1-60 km>h2 xN - 1+90 km>h2 xN = 1-150 km>h2 xN
vSCA = v
S
C - v
S
A = 1-60 km>h2 xN - 0 = 1-60 km>h2 xN
vSBA = v
S
B - v
S
A = 1+90 km>h2 xN - 0 = 1+90 km>h2 xN
vSC = -60 km>h. vSB = +90 km>h
Nota: ¡utilice los subíndices con
cuidado! de A
relativa a B.
vSAB = velocidad
3.4 Velocidad relativa 91
 c)
 a)
vAB = 90 km/h
vCB = 150 km/h
vB = 0
A
C
 b)
vBA = 90 km/h
vCA = 60 km/h
vA = 0
B
A
C
y
x
0
y‘
x‘
0
B
> FIGURA 3.19 Velocidad relativa La velocidad
observada de un automóvil depende del marco
de referencia, o es relativa a éste. Las velocidades
que se muestran en a) son relativas al suelo o 
al automóvil estacionado. En b), el marco de 
referencia es con respecto al auto B, y las 
velocidades son las que observaría el conductor
de este automóvil. (Véase el texto como 
descripción.) c) Estos aviones, que realizan 
reabastecimiento de combustible en el aire, 
por lo general se describen como en movimiento
a cientos de kilómetros por hora. ¿A qué marco
de referencia se refieren esas velocidades?
¿Qué velocidades tienen uno relativo al otro?
De forma similar, el auto A tiene una velocidad relativa al auto B de
Observemos que, relativos a B, los otros autos se están moviendo en el sentido x nega-
tiva. Es decir, C se está aproximando a B con una velocidad de 150 km/h en el sentido
x negativa, y A parece estarse alejando de B con una velocidad de 90 km/h en el senti-
do x negativa. (Imaginemos que estamos en el auto B, y tomemos esa posición como
estacionaria. El auto C parecería venir hacia nosotros a gran rapidez, y el auto A se es-
taría quedando cada vez más atrás, como si se estuviera moviendo en reversa relativo
a nosotros.) En general, observe que,
¿Qué sucede con las velocidades de los autos A y B relativas al auto C? Desde el
punto de vista (o de referencia) del automóvil C, los autos A y B parecerían estarse
aproximando, o moviéndose en el sentido x positiva. Para la velocidad de B relativa 
a C, tenemos
¿Puede el lector demostrar que Tome en cuenta también la si-
tuaciónen la figura 3.19c.
En algunos casos, podríamos tener que trabajar con velocidades que se toman con
respecto a diferentes puntos de referencia. En tales casos obtendremos las velocidades
relativas sumando vectores. Para resolver problemas de este tipo, es indispensable iden-
tificar cuidadosamente los puntos de referencia de las velocidades.
Examinemos primero un ejemplo unidimensional (rectilíneo). Suponga que 
un andador móvil recto en un gran aeropuerto se mueve con una velocidad de
donde los subíndices indican la velocidad del andador (w) re-vSwg = 1+1.0 m>s2 xN ,
vSAC = 1+60 km>h2 xN?v
S
BC = v
S
B - v
S
C = 190 km>h2 xN - 1-60 km>h2 xN = 1+150 km>h2 xN
vSAB = -v
S
BA
vSAB = v
S
A - v
S
B = 0 - 1+90 km>h2 xN = 1-90 km>h2 xN
Exploración 9.5 Dos aviones con
velocidades de aterrizaje diferentes
92 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
lativa al suelo (g). Un pasajero (p) en el andador (w) quiere transbordar a otro avión 
y camina con una velocidad de relativa al andador. ¿Qué velo-
cidad tiene el pasajero relativa a un observador que está parado junto al andador (es
decir, relativa al suelo)?
La velocidad que buscamos, está dada por
Así, el observador estacionario ve que el pasajero viaja con una rapidez de 3.0 m/s por
el andador. (Haga un dibujo que muestre la suma de vectores.) A continuación tene-
mos una explicación del uso correcto de los símbolos w.
Sugerencias para resolver problemas
Observe el patrón de los subíndices en este ejemplo. En el miembro derecho de la ecua-
ción, los dos subíndices internos de los cuatro subíndices que hay en total son el mismo
(w). Básicamente el andador (w) se utiliza como un marco de referencia intermedio.
Los subíndices externos (p y g) son, en ese orden, los mismos de la velocidad relativa
que está en el miembro izquierdo de la ecuación. Al sumar velocidades relativas, siem-
pre compruebe que los subíndices tengan esta relación: indica que la ecuación se plan-
teó correctamente.
¿Qué tal si un pasajero se sube en el mismo andador pero en la dirección contraria
y camina con la misma rapidez que el andador? Ahora es indispensable indicar con un
signo menos la dirección en la que está caminando el pasajero: 
En este caso, relativo al observador estacionario,
así que el pasajero está estacionario respecto al suelo, y el andador actúa como banda
de ejercicio. (¡Excelente actividad física!)
Velocidades relativas en dos dimensiones
Desde luego que las velocidades no siempre son en direcciones iguales u opuestas. No
obstante, si sabemos usar componentes rectangulares para sumar y restar vectores, se-
remos capaces de resolver problemas de velocidades relativas en dos dimensiones, 
como ilustran los ejemplos 3.11 y 3.12.
Ejemplo 3.11 ■ Al otro lado del río y río abajo: velocidad relativa 
y componentes de movimiento
La corriente de un río recto de 500 m de anchura fluye a 2.55 km/h. Una lancha de motor
que viaja con rapidez constante de 8.00 km/h en aguas tranquilas cruza el río (Nfigura
3.20). a) Si la proa de la lancha apunta directamente hacia la otra orilla del río, ¿qué velo-
cidad tendrá la lancha relativa al observador estacionario que está sentado en la esquina
del puente? b) ¿A qué distancia río abajo tocará tierra la lancha, relativa al punto directa-
mente opuesto a su punto de partida?
Razonamiento. Es muy importante designar con cuidado las cantidades dadas: ¿la velo-
cidad de qué, relativa a qué? Una vez hecho esto, debería ser sencillo el inciso a. (Véase la
Sugerencia para resolver problemas anterior.) Para los incisos b y c usaremos cinemática,
donde la clave es el tiempo que la lancha tarda en cruzar el río.
Solución. Como se indica en la figura 3.20, tomamos como dirección x la que tiene la ve-
locidad de flujo del río ( río a orilla), así que la velocidad de la lancha ( lancha a río)
está en la dirección y. Cabe señalar que la velocidad de flujo del río es relativa a la orilla y
que la velocidad de la lancha es relativa al río, como indican los subíndices. Tenemos una
lista de los datos:
Dado: (anchura del río) Encuentre: a) (velocidad de lancha
(velocidad del río relativa a la orilla)
relativa a la orilla) b) x (distancia río abajo)
(velocidad de lancha 
relativa al río)
 = 12.22 m>s2 yN vSbr = 18.00 km>h2 yN = 10.709 m>s2 xN
 vSrs = 12.55 km>h2 xN vSbs ymax = 500 m
vSbr ,v
S
rs ,
vSpg = v
S
pw + v
S
wg = 1-1.0 m>s2 xN + 11.0 m>s2 xN = 0
vSpw = 1-1.0 m>s2 xN .
vSpg = v
S
pw + v
S
wg = 12.0 m>s2 xN + 11.0 m>s2 xN = 13.0 m>s2 xNvSpg ,
vSpw = 1+2.0 m>s2 xN
Exploración 9.3 Compare el
movimiento relativo en 
diferentes marcos
3.4 Velocidad relativa 93
v
v
v
v
v
vv
rs
bsbr
500 m
rs
rs
bsbr
ymáx
x
x = 0
y = 0
x
�
�
▲ FIGURA 3.20 Velocidad relativa y componentes de movimiento Conforme la lancha
cruza el río, es arrastrada río abajo por la corriente. Véase el ejemplo 3.11.
Vemos que, a medida que la lancha avanza hacia la orilla opuesta, también es arrastra-
da río abajo por la corriente. Estos componentes de velocidad serían muy evidentes relati-
vos al corredor que cruza el puente y al individuo que tranquilamente pasea río abajo en la
figura 3.20. Si ambos observadores se mantienen al parejo de la lancha, la velocidad de cada
uno igualará uno de los componentes de la velocidad de la lancha. Puesto que los compo-
nentes de velocidad son constantes, la lancha avanza en línea recta y cruza el río diagonal-
mente (de forma muy parecida a la pelota que rueda por la mesa en el ejemplo 3.1).
a) La velocidad de la lancha relativa a la orilla se obtiene por suma de vectores. En
este caso, tenemos
Puesto que las velocidades no están sobre un eje, no podemos sumar directamente sus
magnitudes. En la figura 3.20 vemos que los vectores forman un triángulo rectángulo, así
que aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud de vbs:
La dirección de esta velocidad está definida por
b) Para obtener la distancia x que la lancha es arrastrada río abajo, usamos componentes.
Vemos que, en la dirección y, ymáx � vbrt, y
que es el tiempo que la lancha tarda en cruzar el río.
Durante ese tiempo, la corriente arrastra la lancha una distancia de
Ejercicio de refuerzo. ¿Cuál es la distancia que recorre la lancha cuando cruza el río?
x = vrs t = 10.709 m>s21225 s2 = 160 m
t =
ymáx
vbr
=
500 m
2.22 m>s = 225 s
u = tan-1¢ vrs
vbr
≤ = tan-1a0.709 m>s
2.22 m>s b = 17.7°
 = 2.33 m>s vbs = 3vbr2 + vrs2 = 412.22 m>s22 + 10.709 m>s22
vSbs = v
S
br + v
S
rs
1vSbs2
• El movimiento en dos dimensiones se analiza considerando
sus componentes rectilíneos. El factor que vincula a los com-
ponentes es el tiempo.
Componentes de la velocidad inicial:
(3.1a)
(3.1b)
Componentes de desplazamiento (sólo aceleración constante):
(3.3a)
(3.3b) y = yo + vyo t +
1
2 ay t
2
 x = xo + vxo t +
1
2 ax t
2
 vy = vo sen u
 vx = vo cos u
x
y
vx vx vx vx
vy
vy
vy
vy
vx
vy v
vx
vy v
vx
vy v
vx
vy
�
sen
v
94 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
Ejemplo 3.12 ■ Volar contra el viento: velocidad relativa
Una aeronave con una rapidez respecto al aire de 200 km/h (su rapidez en aire estaciona-
rio) vuela en una dirección tal que, cuando sopla un viento del oeste de 50.0 km/h, avanza
en línea recta hacia el norte. (La dirección del viento se especifica por la dirección desde la
cual sopla, así que un viento del oeste empuja hacia el este.) Para mantener su curso direc-
tamente al norte, el avión debe volar con cierto ángulo, como se ilustra en la >figura 3.21.
¿Qué rapidez tiene la nave a lo largo de su trayectoria al norte?
Razonamiento. Aquí también son importantes las designaciones de velocidad, pero la fi-
gura 3.21 muestra que los vectores de velocidad forman un triángulo rectángulo, así que
calculamos la magnitud de la velocidad desconocida utilizando el teorema de Pitágoras.
Solución. Como siempre, es importante identificar el marco de referencia de las velocida-
des dadas.
Dado: con ángulo Encuentre: (rapidez de la nave)
(velocidad de la nave respecto
al aire estacionario � rapidezdel aire)
este (velocidad del aire 
respecto a la Tierra, 
o al suelo � velocidad del viento)
El avión vuela al norte con velocidad 
La rapidez del avión (nave) respecto a la Tierra, o al suelo, es vpg, es su rapidez respecto
al aire. Vectorialmente, las velocidades respectivas tienen esta relación:
Si no soplara el viento (vag � 0), la rapidez del avión respecto al aire y respecto al suelo
serían idénticas. Sin embargo, un viento de frente (soplando directamente hacia el avión)
reduciría la rapidez respecto al suelo, y un viento de cola la aumentaría. La situación es
análoga a la de una embarcación que navega contra la corriente o corriente abajo, respec-
tivamente.
Aquí, es la resultante de los otros dos vectores, que pueden sumarse por el méto-
do del triángulo. Usamos el teorema de Pitágoras para obtener vpg, teniendo en cuenta
que vpa es la hipotenusa del triángulo:
(Es conveniente usar las unidades de kilómetros por hora, ya que en el cálculo no inter-
vienen otras unidades.)
Ejercicio de refuerzo. ¿Qué rumbo (dirección �) debe tomar el avión en este ejemplo para
avanzar directamente hacia el norte?
vpg = 3vpa2 - vag2 = 41200 km>h22 - 150.0 km>h22 = 194 km>h
vSpg
vSpg = v
S
pa + v
S
ag
vSpg
vSag = 50.0 km>h
vpguv
S
pg = 200 km>h
v
v
v
�
�
pg
N
O E
S
pa
ag
Viento del oeste
▲ FIGURA 3.21 Vuelo contra el
viento Para volar directamente 
al norte, el rumbo (dirección �) 
de la nave debe ser al noroeste.
Véase el ejemplo 3.12.
Repaso del capítulo
Ejercicios 95
Ejercicios
Los ejercicios designados OM son preguntas de opción múltiple; los PC son preguntas conceptuales; y los EI son
ejercicios integrados. A lo largo del texto, muchas secciones de ejercicios incluirán ejercicios “apareados”. Estos 
pares de ejercicios, que se identifican con números subrayados, pretenden ayudar al lector a resolver problemas 
y aprender. El primer ejercicio de cada pareja (el de número par) se resuelve en la Guía de estudio, que puede consul-
tarse si se necesita ayuda para resolverlo. El segundo ejercicio (de número impar) es similar, y su respuesta se da 
al final del libro.
7. EI ● Una pelota de golf se golpea con una rapidez inicial
de 35 m/s con un ángulo menor que 45º sobre la horizon-
tal. a) El componente horizontal de velocidad es 1. mayor
que, 2) igual a o 3) menor que el componente vertical de
velocidad. ¿Por qué? b) Si la pelota se golpea con un án-
gulo de 37	, ¿qué componentes horizontal y vertical de
velocidad inicial tendrá?
8. EI ● Los componentes x y y de un vector de aceleración
son 3.0 y 4.0 m/s2, respectivamente. a) La magnitud del
vector de aceleración es 1) menor que 3.0 m/s2, 2) entre
3.0 y 4.0 m/s2, 3) entre 4.0 y 7.0 m/s2, 4) igual a 7 m/s2. 
b) ¿Cuál es la magnitud y dirección de el vector acele-
ración?
9. ● Si la magnitud de un vector de velocidad es 7.0 m/s y
el componente x es 3.0 m/s, ¿cuál es el componente y?
10. ●● El componente x de un vector de velocidad que for-
ma un ángulo de 37	 con el eje �x tiene una magnitud de
4.8 m/s. a) ¿Qué magnitud tiene la velocidad? b) ¿Qué
magnitud tiene el componente y de la velocidad?
11. EI ●● Un estudiante camina 100 m al oeste y 50 m al sur.
a) Para volver al punto de partida, el estudiante debe ca-
minar en términos generales 1) al sur del oeste, 2) al nor-
te del este, 3) al sur del este o 4) al norte del oeste. b)
¿Qué desplazamiento llevará al estudiante al punto de
partida?
3.1 Componentes del movimiento
1. OM En ejes cartesianos, el componente x de un vector ge-
neralmente se asocia con a) un coseno, b) un seno, c) una
tangente o d) ninguna de las anteriores.
2. OM La ecuación se aplica a) a to-
dos los problemas de cinemática, b) sólo si vyo es cero, 
c) a aceleraciones constantes, d) a tiempos negativos.
3. OM Para un objeto en movimiento curvilíneo, a) los com-
ponentes de velocidad son constantes, b) el componente
de velocidad y necesariamente es mayor que el compo-
nente de velocidad x, c) hay una aceleración no paralela a
la trayectoria del objeto, o d) los vectores de velocidad y
aceleración deben estar a ángulos rectos (a 90°).
4. PC ¿El componente x de un vector puede ser mayor que
la magnitud del vector? ¿Y qué pasa con el componente y?
Explique sus respuestas.
5. PC ¿Es posible que la velocidad de un objeto sea perpen-
dicular a la aceleración del objeto? Si es así, describa el
movimiento.
6. PC Describa el movimiento de un objeto que inicialmente
viaja con velocidad constante y luego recibe una acele-
ración de magnitud constante a) en una dirección parale-
la a la velocidad inicial, b) en una dirección perpendicular
a la velocidad inicial y c) que siempre es perpendicular a
la velocidad instantánea o dirección de movimiento.
x = xo + vxo t +
1
2 ax t
2
Componente de velocidad (sólo aceleración constante):
(3.3c)
(3.3d)
• De los diversos métodos de suma vectorial, el método de com-
ponentes es el más útil. Un vector resultante se puede expresar
en forma de magnitud-ángulo o en forma de componentes
con vectores unitarios.
Representación de vectores:
(forma de magnitud-ángulo) (3.4a)
(forma de componentes) (3.7)
• El movimiento de proyectiles se analiza considerando los com-
ponentes horizontales y verticales por separado: velocidad
constante en la dirección horizontal y una aceleración debida
a la gravedad, g, en la dirección vertical hacia abajo. (Enton-
 C
S
= Cx xN + Cy yN
 
C = 3Cx2 + Cy2
u = tan-1 ` Cy
Cx
` t
 vy = vyo + ay t
 vx = vxo + ax t
ces, las ecuaciones anteriores para aceleración constante tie-
nen una aceleración de a � �g en vez de a.)
• Alcance (R) es la distancia horizontal máxima recorrida.
(3.11)
(3.12)
• La velocidad relativa se expresa en relación con un marco de
referencia específico.
Alcance R = x máx
y4
xo
ymáx
y
x
y3 = 0
xo
yo
o
xo
y1
xo
y2 
xo
xo
y6 6
-v
-v
y5
vxo
-v
 
�
�
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
(yinicial = yfinal)Rmáx =
v2o
g
alcance del proyectil, xmáx
(sólo para yinicial = yfinal )
R =
v2o sen 2u
g
96 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
12. ●● Una estudiante pasea diagonalmente por una plaza
rectangular plana en su universidad, y cubre la distancia
de 50 m en 1.0 min (▼ figura 3.22). a) Si la ruta diagonal
forma un ángulo de 37	 con el lado largo de la plaza,
¿qué distancia habría recorrido la estudiante, si hubiera
caminado dando media vuelta a la plaza en vez de tomar
la ruta diagonal? b) Si la estudiante hubiera caminado la
ruta exterior en 1.0 min con rapidez constante, ¿en cuán-
to tiempo habría caminado cada lado?
tes de la velocidad promedio de la pelota. b) Determine
la magnitud y el ángulo de su velocidad promedio. c) Ex-
plique por qué no es posible determinar su rapidez pro-
medio a partir de los datos dados.
3.2 Suma y resta de vectores*
21. OM Se suman dos vectores con magnitud 3 y 4, respecti-
vamente. La magnitud del vector resultante es a) 1, b) 7 
o c) entre 1 y 7.
22. OM La resultante de es la misma que la de a)
b) o c) d) 
23. OM Un vector unitario tiene a) magnitud, b) dirección, 
c) ninguna de las anteriores, d) tanto a como b.
24. PC En el ejercicio 21, ¿en qué condiciones la magnitud de
la resultante sería igual a 1? ¿Y a 7 o a 5?
25. PC ¿Un vector diferente de cero puede tener un compo-
nente x de cero? Explique su respuesta.
26. PC ¿Es posible sumar una cantidad vectorial a una canti-
dad escalar?
27. PC ¿Es posible que sea igual a cero, cuando 
y tienen magnitudes diferentes de cero? Explique su
respuesta.
28. PC ¿Hay vectores iguales en la ▼ figura 3.23?
B
S
A
S
A
S
+ B
S
-1BS - AS2.-1AS + BS2,-AS + BS,BS - AS , AS - BS
x
y
0
A
B C
D
E
F
G
29. ● Empleando el método del triángulo, demuestre grá-
ficamente que a) y b) si 
entonces 
30. EI ● a) ¿La suma de vectores es asociativa? Es decir,
b) Justifique su respues-
ta gráficamente.
1AS + BS2 + CS = AS + 1BS + CS2?
A
S
= B
S
+ C
S
.
A
S
- B
S
= C
S
,A
S
+ B
S
= B
S
+ A
S
*En esta sección hay unos cuantos ejercicios que usan vectores de fuer-
za Tales vectores deberán sumarse comose haría con vectores de
velocidad. La unidad SI de fuerza es el newton (N). Un vector de fuer-
za podría especificarse como con un ángulo de 20	. Cierta 
familiaridad con los vectores será muy útil en el capítulo 4.F
S
F
S
= 50 N
1FS2.
▲ FIGURA 3.23 ¿Vectores diferentes? Véase el ejercicio 28.
37°
50
 m
▲ FIGURA 3.22 ¿Por dónde? Véase el ejercicio 12.
13. ●● Una pelota rueda con velocidad constante de 1.50 m/s
formando un ángulo de 45	 por debajo del eje �x en el cuar-
to cuadrante. Si definimos que la pelota está en el origen 
en t � 0, ¿qué coordenadas (x, y) tendrá 1.65 s después?
14. ●● Una pelota que rueda sobre una mesa tiene una ve-
locidad cuyos componentes rectangulares son vx � 0.60
m/s y vy � 0.80 m/s. ¿Qué desplazamiento tiene la pe-
lota en un intervalo de 2.5 s?
15. ●● Un avión pequeño despega con una velocidad cons-
tante de 150 km/h y un ángulo de 37	. A los 3.00 s, a) ¿a
qué altura sobre el suelo está el avión y b) qué distancia
horizontal habrá recorrido desde el punto de despegue?
16. EI ●● Durante parte de su trayectoria (que dura exacta-
mente 1 min) un misil viaja con una rapidez constante de
2000 mi/h y mantiene un ángulo de orientación constan-
te de 20° con respecto a la vertical. a) Durante esta fase,
¿qué es verdad con respecto a sus componentes de velo-
cidad?: 1) vy � vx, 2) vy � vx o 3) vy � vx. [Sugerencia: trace
un dibujo y tenga cuidado con el ángulo.] b) Determine
analíticamente los dos componentes de velocidad para
confirmar su elección en el inciso a y calcule también qué
tan lejos se elevará el misil durante este tiempo.
17. ●● En el instante en que una pelota desciende rodando
por una azotea, tiene un componente horizontal de ve-
locidad de �10.0 m/s y un componente vertical (hacia
abajo) de 15.0 m/s. a) Determine el ángulo del techo. 
b) ¿Cuál es la rapidez de la pelota al salir de la azotea?
18. ●● Una partícula se mueve con rapidez de 3.0 m/s en la
dirección �x. Al llegar al origen, recibe una aceleración
continua constante de 0.75 m/s2 en la dirección �y. ¿En
qué posición estará la partícula 4.0 s después?
19. ●●● Con rapidez constante de 60 km/h, un automóvil
recorre una carretera recta de 700 m que tiene una incli-
nación de 4.0° respecto a la horizontal. Un observador
nota únicamente el movimiento vertical del auto. Calcu-
le a) la magnitud de la velocidad vertical del auto y b) la
distancia vertical que recorrió.
20. ●●● Un beisbolista da un home run hacia las gradas del
jardín derecho. La pelota cae en una fila que se localiza
135 m horizontalmente con respecto a home y 25.0 m
arriba del terreno de juego. Un aficionado curioso mide
el tiempo de vuelo en 4.10 s. a) Determine los componen-
Ejercicios 97
31. ● Un vector tiene un componente x de �2.5 m y un com-
ponente y de 4.2 m. Exprese el vector en forma de mag-
nitud-ángulo.
32. ● Para los dos vectores y 
calcule y muestre gráficamente a) b) y c)
33. ● Durante un despegue (en aire inmóvil), un avión se
mueve a una rapidez de 120 mi/h con un ángulo de 20	
sobre el suelo. ¿Qué velocidad tiene el avión respecto 
al suelo?
34. ●● Dos muchachos tiran de una caja por un piso hori-
zontal, como se muestra en la ▼ figura 3.24. Si F1 � 50.0 N
y F2 � 100 N, encuentre la fuerza (o suma) resultante 
mediante a) el método gráfico y b) el método de com-
ponentes.
xS2 - x
S
1 .
xS1 - x
S
2x
S
1 + x
S
2 ,
xS2 = 115 m2 xN ,xS1 = 120 m2 xN
35. ●● Para cada uno de los vectores dados, determine un
vector que, al sumársele produzca un vector nulo (un vec-
tor con magnitud cero). Exprese el vector en la otra 
forma (componentes o magnitud-ángulo), no en la 
que se dio. a) arriba del eje �x;
b) , c) con un 
ángulo de 60° arriba del eje �x.
36. EI ●● a) Si se aumenta al doble cada uno de los dos com-
ponentes (x y y) de un vector, 1) la magnitud del vector
aumenta al doble, pero la dirección no cambia; 2) la mag-
nitud del vector no cambia, pero el ángulo de dirección
aumenta al doble, o 3) tanto la magnitud como el ángulo
de dirección del vector aumentan al doble. b) Si los com-
ponentes x y y de un vector de 10 m a 45	 se aumentan al
triple, describa el nuevo vector.
C
S
= 8.0 cmB
S
= 12.0 cm2 xN - 14.0 cm2 yNAS = 4.5 cm, 40°
N
S
EO 30°
60°
(vista desde 
arriba)
F1
F2
> FIGURA 3.24 Suma
de vectores de fuerza
Véanse los ejercicios 
34 y 54.
x
y
12
.0 
N
37°37°
12.0 NF2 F1
> FIGURA 3.25
Suma de vectores
Vea el ejercicio 37.
x
y
30° 60°
C (15 m/s)
A (5.0 m/s)
B (10 m/s)
▲ FIGURA 3.26 Suma de vectores Véanse los ejercicios 40 y 41.
37. ●● Dos hermanos están jalando a su otro hermano en un
trineo (▼figura 3.25). a) Encuentre la resultante (o suma) 
de los vectores y b) Si en la figura estuviera a 
un ángulo de 27° en vez de 37° con el eje �x, ¿cuál sería
la resultante (o suma) de y 
38. ●● Dados dos vectores con longitud de 10.0 y angulado 
45º bajo el eje �x, y que tiene un componente x de �2.0 
y un componente y de +4.0, a) dibuje los vectores en los ejes 
x-y, con sus “colas” en el origen, y b) calcule 
39. ●● La velocidad del objeto 1 en forma de componentes es 
El objeto 2 tiene el do-
ble de la rapidez del objeto 1, pero se mueve en dirección
contraria. a) Determine la velocidad del objeto 2 en nota-
ción de componentes. b) ¿Cuál es la rapidez del objeto 2?
40. ●● Para los vectores de la ▼figura 3.26, obtenga A
S
+ B
S
+ C
S
.
vS1 = 1+2.0 m>s2 xN + 1-4.0 m>s2 yN .
A
S
+ B
S
.
B
S
,
A
S
,
F
S
2?F
S
1
F
S
1F
S
2.F
S
1
41. ●● Para los vectores de velocidad de la figura 3.26, ob-
tenga 
42. ●● Dados dos vectores y con magnitudes A y B, res-
pectivamente, restamos de para obtener un tercer
vector Si la magnitud de es 
¿qué orientación relativa tienen los vectores y 
43. ●● En dos movimientos sucesivos de ajedrez, un jugador
primero mueve a su reina dos cuadros hacia delante, y
luego la mueve tres cuadros hacia la izquierda (desde el
punto de vista del jugador). Suponga que cada cuadro
mide 3.0 cm de lado. a) Si se considera hacia delante (es
decir, con dirección hacia el oponente) como el eje positi-
vo y y hacia la derecha como el eje positivo x, indique el
desplazamiento neto de la reina en forma de componen-
tes. b) ¿En qué ángulo neto se movió la reina en relación
con la dirección hacia la izquierda?
44. ●● Dos vectores de fuerza, y
se aplican a una partícula.
¿Qué tercera fuerza haría que la fuerza neta o resul-
tante sobre la partícula fuera cero?
45. ●● Dos vectores de fuerza, con un ángulo de
60	 arriba del eje �x y con un ángulo de 45	
abajo del eje �x, se aplican a una partícula en el origen.
¿Qué tercera fuerza haría que la fuerza neta o resul-
tante sobre la partícula fuera cero?
46. ●● Un estudiante resuelve tres problemas que piden su-
mar dos vectores distintos, y Indica que las magni-
tudes de las tres resultantes están dadas por a) 
b) y c) Son posibles estos resultados? Si
lo son, describa los vectores en cada caso.
3F12 + F22 .F1 - F2
F1 + F2 ,
F
S
2 .F
S
1
F
S
3
F
S
2 = 5.5 N
F
S
1 = 8.0 N
F
S
3
F
S
2 = 1-6.0 N2 xN + 14.5 N2 yNFS1 = 13.0 N2 xN - 14.0 N2 yN
B
S
?A
S
C = A + B,C
S
C
S
= A
S
- B
S
.
A
S
B
S
B
S
A
S
A
S
- B
S
- C
S
.
98 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
� = 37°
w (50 N)
▲ FIGURA 3.27 Bloque en un plano inclinado Véase el
ejercicio 47.
30 m
20 m
30°
40 m
y
x
A
45°
B
20 m
▲ FIGURA 3.28 Suma de vectores de desplazamiento
Véase el ejercicio 49.
47. ●● Un bloque que pesa 50 N descansa en un plano incli-
nado. Su peso es una fuerza dirigida verticalmente hacia
abajo, como se ilustra en la ▼ figura 3.27. Obtenga los
componentes de la fuerza, el paralelo a la superficie del
plano y el perpendicular a ella.
*Suponga que los ángulos son exactos, al determinar cifras significativas.
Ventana
suspendida
F2F1
F3
52. EI ●●● La ▼ figura 3.29 representa una ventana decorativa
(el cuadro interior grueso), que pesa 100 N y que está sus-
pendida sobre un patio (el cuadro exterior delgado). Los
dos cables de las esquinas superiores están, cada uno, a 45°
y el izquierdoejerce una fuerza (F1) de 100 N sobre la ven-
tana. a) ¿Cómo se compara la magnitud de la fuerza que
ejerce el cable superior derecho (F2) con la que ejerce el ca-
ble superior izquierdo? 1) F2 � F1, 2) F2 � F1 o 3) F2 � F1. b)
Utilice su resultado del inciso a para determinar la fuerza
que ejerce el cable representado en la parte inferior (F3).
48. ●● Dos desplazamientos, uno con una magnitud de 15.0 m
y un segundo con una magnitud de 20.0 m, pueden tener
cualquier ángulo que usted desee. a) ¿Cómo realizaría la
suma de estos dos vectores de manera que ésta tenga 
la mayor magnitud posible? ¿Cuál sería esa magnitud? 
b) ¿Cómo los orientaría de manera que la magnitud de 
la suma fuera la mínima? ¿Cuál sería ese valor? c) Gene-
ralice el resultado a cualesquiera dos vectores.
49. ●●● Una persona camina del punto A al punto B como se
muestra en la ▼ figura 3.28. Calcule su desplazamiento
relativo al punto A.
53. ●●● Un golfista toma posición para su primer putt al ho-
yo que se localiza a 10.5 m exactamente al noroeste de la
ubicación de la pelota. Golpea la pelota 10.5 m en línea
recta, pero con el ángulo incorrecto, 40	 derecho hacia el
norte. Para que el golfista logre embocar la pelota con
dos golpes, determine a) el ángulo del segundo putt y 
b) la magnitud del desplazamiento del segundo putt. 
c) Explique por qué no es posible determinar la longi-
tud del trayecto del segundo putt.
54. ●●● Dos estudiantes tiran de una caja como se muestra en
la figura 3.24. Si F1 � 100 N y F2 � 150 N, y un tercer estu-
diante quiere detener la caja, ¿qué fuerza deberá aplicar?
3.3 Movimiento de proyectiles*
55. OM Si se desprecia la resistencia del aire, el movimiento
de un objeto proyectado con cierto ángulo consiste en
una aceleración uniforme hacia abajo, combinada con 
a) una aceleración horizontal igual, b) una velocidad 
horizontal uniforme, c) una velocidad constante hacia
arriba o d) una aceleración que siempre es perpendicu-
lar a la trayectoria del movimiento.
56. OM Un balón de fútbol americano se lanza en un pase
largo. En comparación con la velocidad horizontal inicial
del balón, el componente horizontal de su velocidad en
el punto más alto es a) mayor, b) menor, c) el mismo.
57. OM Un balón de fútbol americano se lanza en un pase
largo. En comparación con la velocidad vertical inicial
del balón, el componente vertical de su velocidad en el
punto más alto es a) mayor, b) menor, c) el mismo.
58. PC Una pelota de golf se golpea en un fairway plano.
Cuando cae al suelo, su vector de velocidad ha sufrido
un giro de 90	. ¿Con qué ángulo se lanzó la pelota? [Suge-
rencia: véase la figura 3.11.]
50. EI ●●● Una meteoróloga sigue el movimiento de una
tormenta eléctrica con un radar Doppler. A las 8:00 P.M.,
la tormenta estaba 60 mi al noreste de su estación. A las
10:00 P.M., estaba 75 mi al norte. a) La dirección general
de la velocidad de la tormenta es 1) al sur del este, 2) al
norte del oeste, 3) al norte del este o 4) al sur del oeste. 
b) Calcule la velocidad promedio de la tormenta.
51. EI ●●● Un controlador de vuelo determina que un avión
está 20.0 mi al sur de él. Media hora después, el mismo
avión está 35.0 mi al noroeste de él. a) La dirección general
de la velocidad del avión es 1) al este del sur, 2) al norte
del oeste, 3) al norte del este o 4) al oeste del sur. b) Si el
avión vuela con velocidad constante, ¿qué velocidad man-
tuvo durante ese tiempo?
▲ FIGURA 3.29 Una ventana suspendida sobre un patio
Véase el ejercicio 52.
Ejercicios 99
59. PC La figura 3.10b muestra una fotografía por destello
múltiple de una pelota que cae desde el reposo, al tiempo
que otra se proyecta horizontalmente desde la misma al-
tura. Las dos pelotas tocan el suelo al mismo tiempo.
¿Por qué? Explique su respuesta.
60. PC En la ▼figura 3.30, un “cañón” accionado por resorte en
un carrito dispara verticalmente una esfera metálica. El ca-
rrito recibió un empujón para ponerlo en movimiento hori-
zontal con velocidad constante, y se tira de un cordel sujeto
a un gatillo para lanzar la esfera, la cual sube y luego vuelve
a caer siempre en el cañón en movimiento. ¿Por qué la esfe-
ra siempre vuelve a caer en el cañón? Explique su respuesta.
ra B rueda por el piso directamente abajo de la primera
esfera, con la misma rapidez y dirección. a) Cuando la es-
fera A cae de la mesa al piso, 1) la esfera B está adelante
de la A, 2) la esfera B choca con la A o 3) la esfera A que-
da adelante de la B. ¿Por qué? b) Cuando la pelota A toca
el piso, ¿a qué distancia del punto directamente abajo del
borde de la mesa estarán ambas esferas?
68. ●● Se dejará caer un paquete de abastecimiento desde un
avión, de manera que toque tierra en cierto punto cerca de
unos excursionistas. El avión se mueve horizontalmente
con una velocidad constante de 140 km/h y se acerca al
lugar a una altura de 0.500 km sobre el suelo. Al ver el
punto designado, el piloto se prepara para soltar el pa-
quete. a) ¿Qué ángulo debería haber entre la horizontal y
la visual del piloto en el momento de soltar el paquete? 
b) ¿Dónde estará el avión cuando el paquete toque tierra?
69. ●● Un carrito con un cañón accionado por resorte dis-
para verticalmente una esfera metálica (figura 3.30). Si la
rapidez inicial vertical de la esfera es 5.0 m/s y el cañón
se mueve horizontalmente a una rapidez de 0.75 m/s, 
a) ¿a qué distancia del punto de lanzamiento la esfera
vuelve a caer en el cañón, y b) qué sucedería si el cañón
estuviera acelerando?
70. ●● Un futbolista patea un balón estacionario dándole
una rapidez de 15.0 m/s con un ángulo de 15.0	 respecto
a la horizontal. a) Calcule la altura máxima que alcanza
el balón. b) Calcule el alcance del balón. c) ¿Cómo podría
aumentarse el alcance?
71. ●● Una flecha tiene una rapidez de lanzamiento inicial
de 18 m/s. Si debe dar en un blanco a 31 m de distancia,
que está a la misma altura, ¿con qué ángulo debería pro-
yectarse?
72. ●● Un astronauta en la Luna dispara un proyectil de un
lanzador en una superficie plana, de manera que pueda
obtener el alcance máximo. Si el lanzador imparte al
proyectil una velocidad inicial de 25 m/s, ¿qué alcance
tendrá el proyectil? [Sugerencia: la aceleración debida a
la gravedad en la Luna es tan sólo la sexta parte que 
en la Tierra.]
73. ●● En 2004 dos sondas descendieron exitosamente en
Marte. La fase final del descenso en el Planeta Rojo con-
sistió en el rebote de las sondas hasta que éstas llegaron
al reposo (iban protegidas por “globos” inflados). En un
rebote, los datos de telemetría (es decir, los datos electró-
nicos enviados a la Tierra) indicaron que la sonda inició
uno de los rebotes a 25.0 m/s a un ángulo de 20° y tocó la
superficie a una distancia de 110 m (y luego rebotó otra
vez). Suponiendo que la región de aterrizaje era horizon-
tal, determine la aceleración de la gravedad cerca de la
superficie de Marte.
74. ●● En condiciones de laboratorio, el alcance de un pro-
yectil puede utilizarse para determinar su rapidez. Para
saber cómo se hace, suponga que una pelota cae rodando
por una mesa horizontal y toca el suelo a 1.5 m de la ori-
lla de la mesa. Si la superficie de la mesa está 90 cm por
encima del piso, determine a) el tiempo que la pelota es-
tá en el aire y b) la rapidez de la pelota cuando pierde
contacto con la mesa.
75. ●● Una piedra lanzada desde un puente 20 m arriba de
un río tiene una velocidad inicial de 12 m/s dirigida 45	
sobre la horizontal (▼ figura 3.31). a) ¿Qué alcance tiene la
piedra? b) ¿Con qué velocidad llega la piedra al agua?
?
vx
vy
▲ FIGURA 3.30 Carrito de balística Véanse los ejercicios 60 y 69.
61. ● Una esfera con rapidez horizontal de 1.0 m/s rueda has-
ta caerse de una repisa que está a 2.0 m de altura. a) ¿Cuán-
to tardará la esfera en llegar al piso? b) ¿Qué tan lejos de un
punto en el piso situado directamente abajo del borde de 
la repisa caerá la esfera?
62. ● Un electrón se expulsa horizontalmente del cañón de
electrones de un monitor con una rapidez de 1.5 � 106
m/s. Si la pantalla está a 35 cm del extremodel cañón, ¿qué
distancia vertical recorrerá el electrón antes de chocar con
la pantalla? Según su respuesta, ¿cree que los diseñadores
deban preocuparse por este efecto gravitacional?
63. ● Una esfera rueda horizontalmente con una rapidez de
7.6 m/s y se cae por el borde de una plataforma alta. Si la
esfera cae a 8.7 m de un punto en el suelo que está direc-
tamente abajo del borde de la plataforma, ¿qué altura tie-
ne la plataforma?
64. ● Se lanza una pelota horizontalmente desde la cima de
una colina de 6.0 m de altura, con una rapidez de 15 m/s.
¿Qué tan lejos del punto en el suelo directamente debajo
del punto de lanzamiento tocará el suelo la pelota?
65. ● Si el lanzamiento del ejercicio 64 se efectuara en la su-
perficie lunar, donde la aceleración debida a la gravedad
es de tan sólo 1.67 m/s2, ¿qué respuesta se obtendría?
66. ●● Un pitcher lanza una bola rápida horizontalmente
con una rapidez de 140 km/h hacia home, que está a 
18.4 m de distancia. a) Si los tiempos combinados de
reacción y bateo del bateador suman 0.350 s, ¿durante
cuánto tiempo puede mirar el bateador la bola después
de que sale de la mano del lanzador, antes de hacer el
swing? b) En su recorrido hacia home, ¿qué tanto baja la
pelota respecto a su línea horizontal original?
67. EI ●● La esfera A rueda con rapidez constante de 0.25
m/s por una mesa que está 0.95 m sobre el piso; y la esfe-
100 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
�
vo
4.0 m
20.0 m
Manzana Árbol
1.0 m
▲ FIGURA 3.32 Tiro a la manzana Véase el ejercicio 78. 
(No está a escala.)
76. ●● Si la máxima altura que alcanza un proyectil lanzado
a nivel del suelo es igual a la mitad de su alcance, ¿cuál
será el ángulo de lanzamiento?
77. ●● Se dice que Guillermo Tell atravesó con una flecha una
manzana colocada sobre la cabeza de su hijo. Si la rapidez
inicial de la flecha disparada fue de 55 m/s y el muchacho
estaba a 15 m de distancia, ¿con qué ángulo de lanzamiento
dirigió Guillermo la flecha? (Suponga que la flecha y la man-
zana están inicialmente a la misma altura sobre el suelo.)
78. ●●● Esta vez, Guillermo Tell dispara hacia una manzana
que cuelga de un árbol (▼ figura 3.32). La manzana está 
a una distancia horizontal de 20.0 m y a una altura de 
4.0 m sobre el suelo. Si la flecha se suelta desde una al-
tura de 1.00 m sobre el suelo y golpea la manzana 0.500 s
después, ¿qué velocidad inicial tuvo la flecha?
79. ●●● En su práctica, un jugador de hockey lanza un tiro a
una distancia horizontal de 15 m de la red (sin que estu-
viera el portero). La red mide 1.2 m de alto y el disco 
o puck es golpeado inicialmente a un ángulo de 5.0° por
arriba de la horizontal y con una rapidez de 50 m/s. 
¿El disco logró entrar en la portería?
80. ●●● En dos intentos, se lanza una jabalina a ángulos de 35
y 60°, respectivamente, con respecto a la horizontal, desde
la misma altura y con la misma rapidez en cada caso. ¿En
cuál de los dos casos la jabalina llega más lejos y cuántas
veces más? (Suponga que la zona de llegada de las jabali-
nas está a la misma altura que la zona de lanzamiento.)
81. ●●● Una zanja de 2.5 m de anchura cruza una ruta para
bicicletas (▼ figura 3.33). Se ha construido una rampa as-
cendente de 15	 en el acercamiento, de manera que el bor-
de superior de la rampa esté a la altura de la parte más
alta de la zanja. ¿Con qué rapidez mínima debe llegar una
bicicleta para salvar la zanja? (Añada 1.4 m al alcance 
para que la parte trasera de la bicicleta libre la zanja.)
y
x
20 m
R
45°
▲ FIGURA 3.31 Panorama desde el puente
Véase el ejercicio 75.
2.5 m
15°
▲ FIGURA 3.33 Salvar la zanja Véase el ejercicio 81. 
(No está a escala.)
30°
> FIGURA 3.34 ¡Ahí va
cayendo! Véase el 
ejercicio 82.
82. ●●● Una pelota rueda desde una azotea en un ángulo de
30° con respecto a la horizontal (▼ figura 3.34). Cae rodan-
do por la orilla con una rapidez de 5.00 m/s. La distancia
desde ese punto hasta el suelo es de dos pisos o 7.00 m. 
a) ¿Durante cuánto tiempo está la pelota en el aire? b) ¿A
qué distancia de la base de la casa cae la pelota? c) ¿Cuál es
su rapidez justo antes de que haga contacto con el suelo?
83. ●●● Un mariscal de campo lanza un balón —con una ve-
locidad de 50 ft/s a un ángulo 40	 arriba de la horizontal—
hacia un receptor abierto que está a 30 yd. El pase se suelta
5.0 ft sobre el suelo. Suponga que el receptor está esta-
cionario y que atrapará el balón si éste le llega. ¿Será pase
completo? Si no, ¿se quedará corto o “volará” al receptor?
84. ●●● Un jugador de baloncesto de 2.05 m de estatura ha-
ce un tiro cuando está a 6.02 m de la canasta (en la línea
de tres puntos). Si el ángulo de lanzamiento es de 25	 y el
balón se lanzó a la altura de la cabeza del jugador, ¿con
qué rapidez debe lanzarse para llegar a la canasta, que
está 3.05 m sobre el piso?
85. ●●● El hoyo en un green de golf plano y elevado está a
una distancia horizontal de 150 m del tee y a una altura 
de 12.0 m sobre el tee. Una golfista golpea su pelota con
un ángulo 10.0	 mayor que el de elevación del hoyo sobre
el tee ¡y logra un hoyo en uno! a) Elabore un diagrama de
la situación. b) Calcule la rapidez inicial de la bola. c) Su-
ponga que la siguiente golfista golpea su pelota hacia el
hoyo con la misma rapidez, pero con un ángulo 10.5	 ma-
yor que el de elevación del hoyo sobre el tee. ¿Entrará la
bola en el agujero, se quedará corta o lo rebasará?
3.4 Velocidad relativa
86. OM Usted viaja a 70 km/h en un automóvil por un cami-
no recto y horizontal. Un automóvil que viene hacia usted
aparece con una rapidez de 130/kmh. ¿Qué tan rápido se
aproxima el otro auto: a) 130 km/h, b) 60 km/h, c) 70
km/h o d) 80 km/h?
Ejercicios 101
▲
87. OM Dos automóviles se aproximan uno al otro sobre una
carretera recta y horizontal. El automóvil A viaja a 60 km/h
y el automóvil B a 80 km/h. El conductor del auto B ve 
que el auto A se aproxima con una rapidez de a) 60 km/h,
b) 80 km/h, c) 20 km/h, d) superior a 100 km/h.
88. OM Para la situación planteada en el ejercicio 87, ¿con
qué rapidez ve el conductor del automóvil A que se apro-
xima el automóvil B? a) 60 km/h, b) 80 km/h, c) 20 km/h
o d) superior a 100 km/h.
89. PC Con frecuencia consideramos a la Tierra o al suelo co-
mo un marco de referencia estacionario. ¿Es verdadera
esta suposición? Explique su respuesta.
90. PC Un estudiante camina en una banda sin fin a 4.0 m/s,
permaneciendo en el mismo lugar del gimnasio. a) Calcu-
le la velocidad del estudiante relativa al piso del gimnasio.
b) Calcule la rapidez del estudiante relativa a la banda.
91. PC Usted corre en la lluvia por una acera recta hacia su
residencia. Si la lluvia cae verticalmente relativa al suelo,
¿cómo deberá sostener usted su paraguas para proteger-
se al máximo de la lluvia? Explique su respuesta.
92. PC Cuando se dirige hacia la canasta para hacer una
anotación, un jugador de baloncesto por lo general lanza
el balón hacia arriba en relación con él mismo. Explique
por qué.
93. PC Cuando usted viaja en un automóvil que se desplaza
rápidamente, ¿en qué dirección lanzaría un objeto hacia
arriba de manera que éste regresara a sus manos? Expli-
que por qué.
94. ● Usted viaja en un auto por una autopista recta y pla-
na a 90 km/h y otro automóvil lo rebasa en la misma 
dirección; el velocímetro del otro auto marca 120 km/h.
a) Calcule su velocidad relativa al otro conductor. b) Calcu-
le la velocidad del otro automóvil relativa a usted.
95. ● Con prisa por aprovechar una ganga en una tienda de-
partamental, una mujer sube por la escalera eléctrica con
una rapidez de 1.0 m/s relativa a la escalera, en vez de
dejar simplemente que ésta la lleve. Si la escalera tiene
una longitud de 20 m y se mueve con una rapidez de 0.50
m/s, ¿cuánto tardará la mujer en subir al siguiente piso?
96. ● Una persona viaja en la caja de una camioneta tipo
pick-up que rueda a 70 km/h por un camino recto y pla-
no. La persona lanza una pelota con una rapidez de 15
km/h relativa a la camioneta, en la dirección opuesta al
movimiento del vehículo. Calculela velocidad de la pe-
lota a) relativa a un observador estacionario a la orilla del
camino y b) relativa al conductor de un automóvil que se
mueve en la misma dirección que la camioneta, con una
rapidez de 90 km/h.
97. ● En el ejercicio 96, calcule las velocidades relativas si la
pelota se lanza en la dirección en que avanza la camio-
neta.
98. ●● En un tramo de 500 m de un río, la rapidez de la co-
rriente es constante de 5.0 m/s. ¿Cuánto tardará una lan-
cha en terminar un viaje redondo (río arriba y río abajo), si
su rapidez es de 7.5 m/s relativa al agua?
99. ●● Un andador móvil en un aeropuerto tiene 75 m de
longitud y se mueve a 0.30 m/s. Una pasajera, después
de recorrer 25 m parada en el andador, comienza a cami-
nar con una rapidez de 0.50 m/s relativa a la superficie
del andador. ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer la longi-
tud total del andador?
100. EI ●● Una nadadora nada al norte con una rapidez de 0.15
m/s relativa al agua cruzando un río, cuya corriente se mue-
ve a 0.20 m/s en dirección al este. a) La dirección general de la
velocidad de la nadadora, relativa a la ribera, es 1) al norte del
este, 2) al sur del oeste, 3) al norte del oeste o 4) al sur del este.
b) Calcule la velocidad de la nadadora relativa a la ribera.
101. ●● Una lancha que viaja con una rapidez de 6.75 m/s res-
pecto al agua quiere cruzar directamente un río y regresar
(▼ figura 3.35). La corriente fluye a 0.50 m/s. a) ¿Con qué
ángulo(s) debe guiarse la lancha? b) ¿Cuánto tiempo tar-
dará en hacer el viaje redondo? (Suponga que la rapidez
de la lancha es constante en todo momento, y que se da
vuelta instantáneamente.)
150 mCorriente
▲ FIGURA 3.35 Ida y regreso Véase el ejercicio 101. 
(No está a escala.)
102. EI ●● Está lloviendo y no hay viento. Cuando usted está
sentado en un automóvil estacionado, la lluvia cae verti-
calmente relativa al auto y al suelo; pero cuando el auto
avanza, la lluvia parece golpear el parabrisas con cierto
ángulo. a) Al aumentar la velocidad del automóvil, este
ángulo 1) también aumenta, 2) se mantiene igual o 3) dis-
minuye. ¿Por qué? b) Si las lluvias caen con una rapidez
de 10 m/s, pero parecen formar un ángulo de 25	 relativo
a la vertical, ¿con qué rapidez avanza el auto?
103. ●● Si la tasa de flujo de la corriente en un río que corre en
línea recta es mayor que la rapidez de una lancha sobre
el agua, la lancha no puede viajar directamente a través del
río. Pruebe este enunciado.
104. EI ●● Usted se encuentra en una lancha de motor rápida
que es capaz se mantener una rapidez constante de 20.0
m/s en aguas tranquilas. En una sección recta del río la
lancha viaja paralelamente a la ribera. Usted nota que
tarda 15.0 s en recorrer la distancia entre dos árboles lo-
calizados en la orilla del río, los cuales están separados
400 m entre sí. a) Usted está viajando 1) a favor de la co-
rriente, 2) en contra de la corriente o 3) no hay corriente.
b) En el caso de que haya corriente [según lo que deter-
minó en el inciso a], calcule la rapidez de ésta.
105. ●● Una lancha de motor es capaz de viajar con una rapidez
constante de 5.00 m/s en aguas tranquilas. La lancha se di-
rige a través de un pequeño río (de 200 m de ancho) a un
ángulo de 25° río arriba con respecto a la línea que cruzaría
directamente el río. La lancha termina 40.0 m río arriba con
respecto a la dirección “que va derecho” cuando llega a la
otra orilla. Determine la rapidez de la corriente del río.
102 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos dimensiones
106. ●●● Un comprador se encuentra en un centro comercial
en la escalera eléctrica con dirección hacia abajo a un án-
gulo de 41.8° por debajo de la horizontal, con una rapi-
dez constante de 0.75 m/s. Al mismo tiempo, un niño
arroja un paracaídas de juguete desde el piso que está
arriba de la escalera eléctrica; el juguete desciende verti-
calmente con una rapidez constante de 0.50 m/s. Deter-
mine la rapidez del paracaídas de juguete como se le
observa desde la escalera eléctrica.
107. ●●● Un avión vuela a 150 mi/h (rapidez respecto al aire
en reposo) en una dirección tal que, con un viento de 60.0
mi/h que sopla del este al oeste, viaja en línea recta hacia
el sur. a) ¿Qué rumbo (dirección) debe tomar el avión pa-
ra volar directamente al sur? b) Si el avión debe recorrer
200 mi en dirección sur, ¿cuánto tardará?
Ejercicios adicionales
108. Se intenta anotar un gol de campo cuando el balón está en
el centro del campo, a 40 yd de los postes. Si el pateador le
da al balón una velocidad de 70 ft/s hacia los postes, a un
ángulo de 45° con respecto a la horizontal, ¿será bueno el
intento? (El travesaño de los postes está 10 ft por encima
del suelo, y el balón debe pasar por encima del travesaño
y entre los postes para anotar el gol de campo.)
109. En la ▼ figura 3.36 se muestra el instrumental para una
demostración en clase. Una arma de fuego se apunta di-
rectamente a una lata, que se suelta al mismo tiempo 
que se dispara el arma. Ésta acertará en tanto la rapidez
inicial de la bala sea suficiente para alcanzar el blan-
co que cae antes de que llegue al piso. Compruebe esta
afirmación, utilizando la figura. [Sugerencia: observe que 
yo � x tan �.]
110. EI Un lanzador de peso lanza un tiro desde una distancia
vertical de 2.0 m con respecto al suelo (justo por encima
de su oreja) con una rapidez de 12.0 m/s. La velocidad
inicial es a un ángulo de 20° por encima de la horizontal.
Suponga que el suelo es plano. a) En comparación con un
proyectil lanzado con el mismo ángulo y con la misma
rapidez a nivel del suelo, ¿el tiro estaría en el aire 1) du-
rante un tiempo mayor, 2) durante un tiempo menor, o 
3) durante la misma cantidad de tiempo? b) Justifique su
respuesta explícitamente, determine el alcance del tiro y
su velocidad justo antes del impacto en notación de vec-
tores (componentes) unitarios.
111. Una de las primeras técnicas para “lanzar” una bomba
nuclear consistía no en lanzarla, sino en dejarla caer
mientras el avión iba en ascenso a una alta rapidez. La
idea era “tirarla” durante el ascenso con un ángulo
pronunciado, para dar tiempo a que el avión pudiera
alejarse antes de que la bomba estallara. Suponga que
el avión viaja a 600 km/h cuando libera la bomba a un
ángulo de 75° por encima de la horizontal. Suponga
también que el avión libera la bomba a una altura de
4000 m por encima del suelo y que la bomba debe deto-
nar a una altura de 500 m sobre el suelo. Ignorando la
resistencia del aire, a) ¿cuánto tiempo tiene el avión pa-
ra alejarse antes de la detonación de la bomba? b) ¿Cuál
es la altura máxima con respecto al nivel del suelo que
alcanza la bomba? c) ¿Cuál es la rapidez de la bomba
justo cuando estalla?
112. El automóvil A circula por una autopista de entronque
de Los Ángeles hacia el este con una rapidez constante
de 35.0 m/s. El automóvil B está por entrar a la autopista
por la rampa de ingreso, y apunta a 10° al norte con res-
pecto a la dirección este desplazándose a 30.0 m/s. (Véa-
se la ▼figura 3.37.) Si los vehículos chocan, será en el
punto marcado con una ✖ en la figura, que se localiza so-
bre la autopista a 350 m de la posición del automóvil A.
Utilice el sistema de coordenadas x-y para representar las
direcciones E-O contra N-S. a) ¿Cuál es la velocidad del
automóvil B en relación con el automóvil A? b) Demues-
tre que los vehículos no chocan en el punto ✖. c) Determi-
ne a qué distancia están separados los automóviles (y
cuál va adelante) cuando el automóvil B llega al punto ✖.
�
Arma con interruptor, 
disparada en t = 0
Lata sujeta
por un imán
t = 0
y
y
yoLín
ea v
isua
l
vo
x x
se suelta en
A
B
▲ FIGURA 3.37 Una autopista de
Los Ángeles Véase el ejercicio 112.
▲ FIGURA 3.36 Tiro seguro Véase el ejercicio 109. 
(No está a escala.)
Los siguientes problemas de física Physlet pueden utilizarse con este capítulo.
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 9.1, 9.2, 9.7, 9.9
• Isaac Newton nació en la Navidad de 1642, el
mismo día en que murió Galileo. (De acuerdo
con el calendario gregoriano vigenteen la ac-
tualidad, la fecha del nacimiento de Newton
corresponde al 4 de enero de 1643. Inglaterra
no utilizó el calendario gregoriano sino hasta
1752.)
• Newton
– descubrió que la luz blanca es una mezcla
de colores y teorizó que la luz está cons-
tituida por partículas —a las que llamó
corpúsculos— y no por ondas. En la ac-
tualidad se sabe que la luz tiene natura-
leza dual, pues se comporta como una 
onda y está formada por partículas lla-
madas fotones.
– desarrolló los fundamentos del cálculo.
Por su parte, Gottfried Leibniz, un matemá-
tico alemán, desarrolló una versión similar
del cálculo. Siempre hubo una amarga 
disputa entre Newton y Leibniz, sobre
quién debería recibir el crédito por lograr 
la hazaña primero.
– fabricó el primer telescopio de reflexión con
una potencia de 40X.
• El astrónomo Edmond Halley se basó en el 
trabajo de Newton sobre la gravitación y las
órbitas para predecir que un cometa que ha-
bía observado en 1682 regresaría en 1758. El
cometa regresó, tal como él predijo, y en su
honor se le puso el nombre de Halley. Al con-
trario de la creencia generalizada, Halley no
descubrió el cometa. Sus apariciones perió-
dicas se habían registrado desde el año 263 
a.C., cuando astrónomos chinos lo vieron por
primera vez. Halley murió en 1742 y no pudo
ver el retorno de su cometa.
4.1 Los conceptos de 
fuerza y fuerza neta 104
4.2 Inercia y la primera 
ley de Newton del
movimiento 105
4.3 Segunda ley de 
Newton del 
movimiento 106
4.4 Tercera ley de New-
ton del movimiento 112
4.5 Más acerca de las 
leyes de Newton:
diagramas de cuer-
po libre y equilibrio
traslacional 116
4.6 Fricción 121
FUERZA Y MOVIMIENTO
C
A
P
ÍT
U
L
O
No es preciso estudiar física para saber qué se necesita para poner en mo-vimiento el automóvil de la fotografía (o cualquier otra cosa): un empu-jón o un tirón. Si el desesperado automovilista (o la grúa a la que pronto
llamará) puede aplicar suficiente fuerza, entonces este vehículo se moverá.
Sin embargo, ¿por qué el automóvil está atorado en la nieve? Su motor puede
generar fuerza suficiente. ¿Por qué el conductor no pone simplemente el coche en
reversa y sale de ahí? Para que un automóvil pueda moverse, se necesita otra
fuerza, además de la que el motor ejerce: fricción. Aquí, el problema con toda se-
guridad es que no hay suficiente fricción entre los neumáticos y la nieve.
En los capítulos 2 y 3 aprendimos a analizar el movimiento en términos de 
cinemática. Ahora nuestra atención se centrará en el estudio de la dinámica; es 
decir, ¿qué causa el movimiento y los cambios de movimiento? Así llegaremos 
a los conceptos de fuerza e inercia.
Muchos de los primeros científicos se ocuparon del estudio de la fuerza y el
movimiento. El científico inglés Isaac Newton (1642-1727 Nfigura 4.1) resumió 
las diversas relaciones y principios de esos estudiosos pioneros en tres afirma-
ciones, o leyes, que desde luego se conocen como leyes de Newton del movimiento.
Estas leyes sintetizan los conceptos de la dinámica. En este capítulo conoceremos
lo que Newton pensaba acerca de las fuerzas y el movimiento.
HECHOS DE FÍSICA
103
4
104 CAPÍTULO 4 Fuerza y movimiento
▲ FIGURA 4.1 Isaac Newton
Newton (1642-1727), una de las 
más grandes mentes científicas de
la historia, realizó aportaciones 
fundamentales a las matemáticas, 
la astronomía y varias ramas de la
física, entre ellas la óptica y la 
mecánica. Formuló las leyes del
movimiento y de la gravitación 
universal, y fue uno de los padres
del cálculo. Realizó algunos de sus
trabajos más trascendentes cuando
tan sólo tenía veintitantos años.
4.1 Los conceptos de fuerza y fuerza neta
OBJETIVOS: a) Relacionar fuerza y movimiento, y b) explicar qué es una fuerza 
neta o no equilibrada.
Primero examinemos de cerca el concepto de fuerza. Resulta sencillo dar ejemplos de
fuerzas, pero ¿cómo definiría en general este concepto? Una definición operativa 
de fuerza se basa en efectos observados. Esto es, describimos una fuerza en térmi-
nos de lo que hace. Por experiencia propia, sabemos que las fuerzas pueden producir
cambios en el movimiento. Una fuerza es capaz de poner en movimiento un objeto es-
tacionario. También acelera o frena un objeto en movimiento, o cambia la dirección
en que se mueve. En otras palabras, una fuerza puede producir un cambio de veloci-
dad (rapidez o dirección, o ambas); es decir, una aceleración. Por lo tanto, un cambio
observado en un movimiento, incluido un movimiento desde el reposo, es evidencia
de una fuerza. Este concepto nos lleva a una definición común de fuerza:
Una fuerza es algo que puede cambiar el estado de movimiento de un objeto
(su velocidad).
La palabra “puede” es muy importante aquí, ya que toma en cuenta la posibilidad de
que una fuerza esté actuando sobre un cuerpo; pero que su capacidad para producir
un cambio de movimiento esté equilibrada, o se anule, gracias a una o más fuerzas.
Entonces, el efecto neto sería cero. Así, una sola fuerza no necesariamente produce un
cambio de movimiento. No obstante, se sigue que, si una fuerza actúa sola, el cuerpo
sobre el que actúa sí experimentará una aceleración.
Puesto que una fuerza puede producir una aceleración —una cantidad vectorial—
la fuerza en sí deberá ser una cantidad vectorial, tanto con magnitud como con direc-
ción. Si varias fuerzas actúan sobre un objeto, lo que nos interesa en muchos casos 
es su efecto combinado: la fuerza neta. La fuerza neta, es la suma vectorial 
o resultante, de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema. (Véase la nota
al margen.) Considere las fuerzas opuestas que se ilustran en la ▼ figura 4.2a. La fuerza
neta es cero cuando fuerzas de igual magnitud actúan en direcciones opuestas (fi-
gura 4.2b). Decimos que tales fuerzas están equilibradas. Una fuerza neta distinta de
cero es una fuerza no equilibrada (figura 4.2c). En este caso, la situación puede anali-
zarse como si sólo estuviera actuando una fuerza, igual a la fuerza neta. Una fuerza 
neta no equilibrada, es decir, distinta de cero, produce una aceleración. En algunos 
casos, la aplicación de una fuerza no equilibrada también podría deformar un objeto,
gF
S
i ,F
S
neta ,
c) Fuerza neta distinta de cero (fuerzas no equilibradas)
a
Fneta = F2 – F1 ≠ 0
a
Fneta
F2F1
Fneta = F2 – F1 = 0
F1
b) Fuerza neta cero (fuerzas equilibradas)
F1
a)
F2
F2
F1
x
x
F1 F2
F2N FIGURA 4.2 Fuerza neta
a) Se aplican fuerzas opuestas a una
caja de embalaje. b) Si las fuerzas
tienen la misma magnitud, la 
resultante vectorial, o fuerza neta
que actúa sobre la caja, es cero. 
Decimos que las fuerzas que actúan
sobre la caja están equilibradas. 
c) Si las fuerzas tienen diferente
magnitud, la resultante no es cero.
Entonces, sobre la caja actúa una
fuerza neta (Fneta) distinta de cero
(no equilibrada) y produce una 
aceleración (por ejemplo, una caja
inicialmente en reposo se pone 
en movimiento).
Nota: en la notación la letra
griega sigma significa “sumatoria
de” las fuerzas individuales 
(como se indica con el subíndice i): 
es
decir, una suma vectorial. Como se
sobreentienden, a veces se omiten
los subíndices i, y escribimos gF
S
.
F
S
1 + F
S
2 + F
S
3 + Á ,=gF
S
i
gF
S
i ,
> FIGURA 4.3 Experimento de 
Galileo Una pelota rueda más 
lejos por la pendiente de subida a
medida que disminuye el ángulo 
de inclinación. En una superficie
horizontal lisa, la pelota rueda una
mayor distancia antes de detenerse.
¿Qué tan lejos llegaría la pelota en
una superficie ideal, perfectamente
lisa? (En este caso la pelota se 
deslizaría debido a la ausencia de
fricción.)
4.2 Inercia y la primera ley de Newton del movimiento 105
es decir, modificar su forma o su tamaño, o ambos (como veremos en el capítulo 9).
Una deformación implica un cambio de movimiento de una parte de un objeto; por 
lo tanto, hay una aceleración.
En ocasiones, las fuerzas se dividen en dos tipos o clases. La más conocida de es-
tas clases es la de las fuerzas de contacto. Estas fuerzas surgen de un contacto físico entre
objetos.Por ejemplo, cuando empujamos una puerta para abrirla o lanzamos o patea-
mos un balón, ejercemos una fuerza de contacto sobre la puerta o el balón.
La otra clase de fuerzas es la de las fuerzas de acción a distancia. Esto incluye la
gravedad, la fuerza eléctrica entre dos cargas y la fuerza magnética entre dos ima-
nes. La Luna es atraída hacia la Tierra por la gravedad, que la mantiene en órbita,
aunque nada parece estar transmitiendo físicamente esa fuerza. 
Ahora que entendemos mejor el concepto de fuerza, veamos cómo las leyes de
Newton relacionan fuerza y movimiento.
4.2 Inercia y la primera ley de Newton 
del movimiento
OBJETIVOS: a) Plantear y explicar la primera ley de Newton del movimiento, 
y b) describir la inercia y su relación con la masa.
Galileo sentó las bases de la primera ley de Newton del movimiento. En sus investi-
gaciones experimentales, Galileo dejó caer objetos para observar el movimiento bajo
la influencia de la gravedad. (Véase la sección A fondo al respecto del capítulo 2.) Sin
embargo, la relativamente grande aceleración debida a la gravedad hace que los obje-
tos que caen se muevan con gran rapidez y recorran una distancia considerable en un
tiempo corto. Por las ecuaciones de cinemática del capítulo 2, vemos que, 3.0 s des-
pués de dejarse caer, un objeto en caída libre tiene una rapidez de unos 29 m/s (64
mi/h) y habrá caído una distancia de 44 m (o cerca de 48 yd, casi la mitad de la longi-
tud de un campo de fútbol). Por ello, fue muy difícil efectuar mediciones experimen-
tales de distancia en caída libre contra tiempo, con los instrumentos que había en la
época de Galileo.
Para reducir las velocidades y poder estudiar el movimiento, Galileo usó esferas
que ruedan por planos inclinados. Dejaba que una esfera descendiera rodando por un
plano inclinado y luego subiera por otro con diferente grado de inclinación (▼ figura
4.3). Observó que la esfera alcanzaba rodando aproximadamente la misma altura en
todos los casos; pero rodaba más lejos en la dirección horizontal cuando el ángulo de la
pendiente era menor. Si se le permitía rodar por una superficie horizontal, la esfera
viajaba una distancia considerable, y más si la superficie se hacía más tersa. Galileo se
preguntó qué tan lejos llegaría la esfera si fuera posible hacer perfectamente lisa (sin
fricción) la superficie horizontal. Aunque era imposible lograrlo experimentalmente,
Galileo razonó que, en ese caso ideal con una superficie infinitamente larga, la esfera
continuaría rodando indefinidamente con un movimiento rectilíneo uniforme, pues
no habría nada (ninguna fuerza neta) que la hiciera cambiar su movimiento.
Según la teoría de Aristóteles del movimiento, que había sido aceptada durante
unos 1500 años antes de la época de Galileo, el estado normal de todo cuerpo es el re-
poso (con la excepción de los cuerpos celestes, que se pensaba estaban naturalmente
en movimiento). Aristóteles probablemente observó que los objetos que se mueven
sobre una superficie tienden a bajar su velocidad y detenerse, así que su conclusión
le pareció lógica. Galileo, en cambio, concluyó por los resultados de sus experimen-
tos que los cuerpos en movimiento exhiben el comportamiento de mantener ese mo-
vimiento, y que si un cuerpo inicialmente está en reposo, se mantendrá en reposo a
menos que algo haga que se mueva.
Exploración 4.2 Cambio de dos
fuerzas aplicadas
Exploración 4.3 Cambio de la fuerza
aplicada para llegar a la meta
Ilustración 3.2 Movimiento en un
plano inclinado
▲ FIGURA 4.4 Diferencia de inercia
El saco de arena más grande tiene
más masa y por lo tanto más inercia,
o resistencia a un cambio de 
movimiento.
106 CAPÍTULO 4 Fuerza y movimiento
Primera ley de Newton: la ley 
de inercia
Galileo llamó inercia a esta tendencia de los objetos a mantener su estado inicial
de movimiento. Es decir,
Inercia es la tendencia natural de un objeto a mantener un estado de reposo o
de movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante).
Por ejemplo, si usted alguna vez ha intentado detener un automóvil que rueda lenta-
mente, empujándolo, ha sentido su resistencia a un cambio de movimiento, a detener-
se. Los físicos describen la propiedad de inercia en términos del comportamiento
observado. En la >figura 4.4 se ilustra un ejemplo comparativo de inercia. Si los dos
sacos de arena tienen la misma densidad (masa por unidad de volumen; véase el 
capítulo 1), el mayor tendrá más masa y por lo tanto más inercia, lo cual notaremos 
de inmediato si tratamos de golpear ambos sacos.
Newton relacionó el concepto de inercia con la masa. Originalmente, señaló que la
masa era una cantidad de materia, pero luego la redefinió de la siguiente manera:
La masa es una medida cuantitativa de la inercia.
Es decir, un objeto masivo tiene más inercia, o más resistencia a un cambio de movi-
miento, que uno menos masivo. Por ejemplo, un automóvil tiene más inercia que una
bicicleta.
La primera ley de Newton del movimiento, también conocida como ley de inercia,
resume tales observaciones:
En ausencia de la aplicación una fuerza no equilibrada un cuerpo
en reposo permanece en reposo, y un cuerpo en movimiento permanece en
movimiento con velocidad constante (rapidez y dirección constantes).
Es decir, si la fuerza neta que actúa sobre un objeto es cero, su aceleración será cero. 
Se movería con velocidad constante, o estaría en reposo: en ambos casos 
4.3 Segunda ley de Newton del movimiento
OBJETIVOS: a) Establecer y explicar la segunda ley de Newton del movimiento, 
b) aplicarla a situaciones físicas y c) distinguir entre peso y masa.
Un cambio de movimiento, o aceleración (es decir, un cambio de rapidez o de direc-
ción, o de ambas cuestiones) es evidencia de una fuerza neta. Todos los experimentos
indican que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta
aplicada, y tiene la dirección de ésta; es decir,
donde los símbolos en negritas con flechas arriba indican cantidades vectoriales. Por
ejemplo, suponga que usted golpea dos pelotas idénticas. Si golpea una segunda pelo-
ta idéntica dos veces más fuerte que la primera (es decir, si le aplica el doble de fuerza),
debería esperar que la aceleración de la segunda pelota fuera dos veces mayor que la
de la primera (pero también en la dirección de la fuerza).
Sin embargo, como reconoció Newton, la inercia o masa del objeto también de-
sempeña un papel. Para una fuerza neta dada, cuanto más masivo sea el objeto, me-
nor será su aceleración. Por ejemplo, si usted golpea con la misma fuerza dos pelotas
de diferente masa, la pelota menos masiva experimentaría una aceleración mayor. 
Es decir, la magnitud de la aceleración es inversamente proporcional a la de la masa.
De manera que tenemos:
es decir, con palabras,
La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que
actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. La dirección de la ace-
leración es la de la fuerza neta aplicada.
aS r
F
S
neta
m
aS r F
S
neta
vS = es constante.
¢vS = 0 o
1FS neta = 02,
Nota: la inercia no es una fuerza.
ESTE LADO
HACIA ARRIBA
2a
2F
 b)
Si la fuerza neta se duplica,
la aceleración se duplica
m
ESTE LADO
HACIA ARRIBA
 a)
Una fuerza neta distinta de cero
acelera la caja: a � F/m
m
F
ESTE LADO
HACIA ARRIBA
ESTE LADO
HACIA ARRIBA
 c)
Si la masa se duplica, la aceleración
se reduce a la mitad
a/2
m m
F
a
▲ FIGURA 4.5 Segunda ley de Newton Las relaciones entre fuerza, aceleración y masa que
se ilustran aquí se expresan con la segunda ley de Newton del movimiento (suponiendo
que no hay fricción).
4.3 Segunda ley de Newton del movimiento 107
Segunda ley de Newton: fuerza 
y aceleración
Fneta
1.0 N
m
1.0 kg
Fneta = ma 
 1.0 N = (1.0 kg) (1.0 m /s2)
1.0 m/s2
a
▲ FIGURA 4.6 El newton (N)
Una fuerza neta de 1.0 N que 
actúa sobre una masa de 1.0 kg 
produce una aceleración de 
1.0 m/s2 (sobre una superficie 
sin fricción).
*Parecería que la primera ley de Newton es un caso especialde su segunda ley, pero no es así. 
La primera ley define lo que se conoce como un sistema inercial de referencia: un sistema donde 
no hay una fuerza neta, que no está acelerando o en el cual un objeto aislado está estacionario o se
mueve con velocidad constante. Si se cumple la primera ley de Newton, entonces la segunda ley, en 
la forma Fneta � ma, es válida para dicho sistema.
La ▲ figura 4.5 presenta algunas ilustraciones de este principio.
Dado que la segunda ley de Newton del movimiento suele expresar-
se en forma de ecuación como
Segunda ley de Newton (4.1)
Unidad SI de fuerza: newton (N) o kilogramo-metro 
por segundo al cuadrado (kg · m/s2)
donde La ecuación 4.1 define la unidad SI de fuerza, que muy adecuada-
mente se denomina newton (N).
La ecuación 4.1 también indica que (por análisis de unidades) un newton en 
unidades base se define como 1 N � 1 kg · m/s2. Es decir, una fuerza neta de 1 N da 
a una masa de 1 kg una aceleración de 1 m/s2 (Nfigura 4.6). La unidad de fuerza en 
el sistema inglés es la libra (lb). Una libra equivale aproximadamente a 4.5 N (en rea-
lidad, 4.448 N). Una manzana común pesa cerca de 1 N.
La segunda ley de Newton, permite el análisis cuantitativo de la fuer-
za y el movimiento, que consideraríamos como una relación de causa y efecto, donde
la fuerza es la causa y la aceleración es el efecto (movimiento).
Observe que si la fuerza neta que actúa sobre un objeto es cero, la aceleración del
objeto será cero, y permanecerá en reposo o en movimiento uniforme, lo cual es cohe-
rente con la primera ley. En el caso de una fuerza neta distinta de cero (no equilibrada),
la aceleración resultante tiene la misma dirección que la fuerza neta.*
Peso
Podemos usar la ecuación 4.1 para relacionar la masa con el peso. En el capítulo 1 vi-
mos que el peso es la fuerza de atracción gravitacional que un cuerpo celeste ejerce
sobre un objeto. Para nosotros, esa fuerza es la atracción gravitacional de la Tierra. Es
fácil demostrar sus efectos: si dejamos caer un objeto, caerá (acelerará) hacia la Tierra.
Puesto que sólo una fuerza actúa sobre el objeto, su peso es la fuerza neta y
podemos sustituir la aceleración debida a la gravedad por en la ecuación 4.1.
Por lo tanto, en términos de magnitudes, escribimos,
w � mg (4.2)
(Fneta � ma)
De manera que la magnitud del peso de un objeto con 1.0 kg de masa es w � mg � (1.0 kg)
(9.8 m/s2) � 9.8 N.
Así pues, 1.0 kg de masa tiene un peso de aproximadamente 9.8 N, o 2.2 lb, cerca
de la superficie de la Tierra. Sin embargo, aunque la relación entre peso y masa dada
aS1gS2 FS neta ,1wS 2
F
S
neta = ma
S,
F
S
neta = gF
S
i .
F
S
neta = ma
S
F
S
net r ma
S,
Ilustración 4.3 Segunda ley de
Newton y fuerza
Ilustración 4.1 Primera ley de Newton
y marcos de referencia
108 CAPÍTULO 4 Fuerza y movimiento
El valor de g en la superficie de la Tierra se denomina aceleración
estándar, y a veces se usa como unidad no estándar. Por ejemplo,
cuando despega una nave espacial, se dice que los astronautas
experimentan una aceleración de “varias gravedades”. Esta ex-
presión significa que la aceleración de los astronautas es varias
veces la aceleración estándar g. Puesto que g � w/m, también
pensamos en g como la fuerza (el peso) por unidad de masa. Por
ello, a veces se usa el término gravedades de fuerza para denotar
fuerzas correspondientes a múltiplos de la aceleración estándar.
Para entender mejor esta unidad no estándar de fuerza,
veamos algunos ejemplos. Durante el despegue de un avión co-
mercial, los pasajeros experimentan una fuerza horizontal me-
dia de aproximadamente 0.20g. Esto implica que, conforme el
avión acelera sobre la pista, el respaldo del asiento ejerce sobre
el pasajero una fuerza horizontal igual a la quinta parte del peso
del pasajero (para acelerarlo junto con el avión), pero el pasajero
siente que lo empujan hacia atrás contra el asiento. Al despegar
con un ángulo de 30	, la fuerza se incrementa a cerca de 0.70g.
Cuando alguien se somete a varias gravedades vertical-
mente, la sangre puede comenzar a acumularse en las extremi-
dades inferiores, lo cual podría hacer que los vasos sanguíneos
se distiendan o que los capilares se revienten. En tales condicio-
nes, el corazón tiene problemas para bombear la sangre por to-
do el cuerpo. Con una fuerza de aproximadamente 4g, la
acumulación de sangre en la parte inferior del cuerpo priva de
suficiente oxígeno a la cabeza. La falta de circulación sanguínea
hacia los ojos llega a causar una ceguera temporal, y si falta oxí-
geno en el cerebro, el individuo se siente desorientado y final-
mente pierde el conocimiento. Una persona común sólo puede
resistir varias gravedades durante un periodo corto.
La fuerza máxima sobre los astronautas en un trasbordador
espacial durante el despegue es de aproximadamente 3g; sin em-
bargo, los pilotos de aviones de combate se someten a acelera-
ciones de hasta 9g cuando salen de un vuelo en picada. Estos
individuos usan “trajes g”, que están especialmente diseñados
para evitar el estancamiento de la sangre. La mayoría de estos
trajes se inflan con aire comprimido y presionan las extremida-
des inferiores del piloto para evitar que la sangre se acumule 
ahí. Se está desarrollando un traje g hidrostático que contiene lí-
quido, por lo que restringe mucho menos los movimientos que
el aire. Cuando aumentan las gravedades, el líquido, al igual 
que la sangre del cuerpo, fluye hacia la parte inferior del traje 
y aplica presión a las piernas.
A FONDO 4.1 GRAVEDADES (
g) DE FUERZA Y EFECTOS SOBRE 
EL CUERPO HUMANO
por la ecuación 4.2 es sencilla, hay que tener presente que la masa es la propiedad fun-
damental. La masa no depende del valor de g; el peso sí. Como ya señalamos, la ace-
leración debida a la gravedad en la Luna es aproximadamente la sexta parte que en 
la Tierra, por lo que el peso de un objeto en la Luna sería la sexta parte de su peso 
en la Tierra; pero su masa, que refleja la cantidad de materia que contiene y su iner-
cia, serían las mismas en ambos lugares.
La segunda ley de Newton (junto con el hecho de que w � m) explica por qué to-
dos los objetos en caída libre tienen la misma aceleración. Considere, por ejemplo, dos
objetos que caen; uno de los cuales tiene el doble de masa que el otro. El cuerpo con 
el doble de masa tiene el doble de peso, es decir, que sobre él actúa una fuerza gra-
vitacional del doble. Sin embargo, el cuerpo más masivo también tiene el doble de
inercia, así que se necesitaría el doble de fuerza para imprimirle la misma aceleración. 
Si expresamos matemáticamente esta relación, escribimos, para la masa menor (m),
Fneta/m � mg/m � g, y para la masa mayor (2m), tenemos la misma aceleración: 
a � Fneta/m � 2mg/2m � g (Nfigura 4.7). En la sección A fondo 4.1 se describen otros
efectos de g que quizás usted haya experimentado.
FIGURA 1 Masaje neumático El dispositivo en las piernas se
infla periódicamente, empujando la sangre desde los tobillos y
previniendo que la sangre se acumule en las arterias.
En la Tierra, donde sólo hay 1g, se está usando una especie
de “traje g” parcial, con la finalidad de prevenir coágulos en pa-
cientes que se han sometido a cirugía de reemplazo de cadera. Se
calcula que cada año entre 400 y 800 personas mueren durante 
los tres primeros meses después de tal cirugía, a causa sobre todo
de los coágulos de sangre que se forman en una pierna, y se des-
prenden, pasan al torrente sanguíneo y finalmente se alojan en los
pulmones, donde originan una condición llamada embolia pul-
monar. En otros casos, un coágulo en la pierna podría detener el
flujo de sangre hacia el corazón. Tales complicaciones surgen des-
pués de una cirugía de reemplazo de cadera, con mucha mayor
frecuencia que después de casi cualquier otra cirugía, y lo hacen
después de que el paciente ha sido dado de alta del hospital.
Los estudios han demostrado que la compresión neumática
(operada por aire) de las piernas durante la hospitalización reduce
tales riesgos. Un manguito de plástico en la pierna,