TRIGONOMETRÍA - RUBIÑOS

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VEMStON COKBECIBA Y AUMENTABA 2 ^ EDICIONES DOMINOS
A /a facultad de ta UfJfVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 
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A m is alumnos, colegas y familiares, quienes comparten e l dia a día 
de m i existencia.
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NUEVA EDICIÓN : ENERO 2012
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D fagram ación y d ís a flo : lin p ra a io n :
• U ta Cordova • R aquel Becerra
• K arin Cabrera
• Khaterln Cabrera
• K hatorin Cabrera
• B randy Torras
• A lborto M oran
• Ekzabcth Ca|3 • YUrl M oran
C o rre cc ió n y re v is ió n . • R obarlo M om n
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LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 2 3 I TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRÍA LA ENCICLOPEDIA constituye un nuevo aporte 
científico, de especial significado, en ei desarrollo de la preparación preuniv ersitaria. Resultado de diferentes 
procesos de investigación, a través de nuestro colegas y de nuestra humilde experiencia, motivado por el 
deseo de ofrecer una obra útil en la delicada labor de esta línea de acción educativa, tan interesante, y 
dirigido a nuestros colegas y estudiantes de todas las regiones del Fterú. Este texto de Trigonometría describe 
, en general, ios temas que constituyen un curso de Trigonometría piaña y esférica ( espacial) de nivel pre­
universitario. Supone el conocimiento, por parte del estudiante, de los principios básicos de Geometría Elemental 
, Álgebra y Aritmética.
Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que nos avocamos a la 
enseñanza de las Matemáticas en las aulas . La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de las 
matemáticas, requiere no solamente de conocimientos teóricos, sino fundamentalmente de ia capacidad 
de resolver situaciones matemáticas, denominadas, ejercicios o problemas.
La practica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profundizar y cimentar los 
conceptos teóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo del libro ustedes, deberán tener en 
cuenta las sugerencias planteadas y analizarlas.
En cuanto a su estructura, el libro se desdobla en capítulos y en todos ellos, primero se aborda la parte teórica 
la cual se da en forma de tabla o cuadro sinóptico, un resumen de fórmulas y resultados estrechamente 
relacionados. Una larga experiencia ha convencido a los autores de que para los estudiantes es una gran 
ayuda el uso de toles resúmenes ya que resulta, a inicios, un tanto difícil el manejo sistemático de todas 
ellas.
Cada capitulo contiene problemas resueltos y propuestos. ¡os cuales están dosificados de menor a mayor 
grado de dificultad, los pri/neros son ejercicios de aplicación direcla, dados con la intención de afianzar ei uso 
de ios conceptos teóricos, los siguientes probiemasson preguntas de examenes de admisión planteadas en
las diversas universidades del medio ( UNI, UN.MSM, UNAC, PUCP.........etc.) y los últimos restantes son de
mayor grado de dificultad que requieren en algunos casos de algunos conceptos de Álgebra o Geometría. De 
esta manera el libro se hace didáctico y motivara al alumno los deseos de aprender yendo de lo más simple a 
lo más complejo.
Este texto ha surgido con el propósito de servir de apoyo en la formación integral del educando, que conducirá 
a la adquisición de nuevos conocimientos y experiencias, para obtener una preparación adecuada que 
complemente lo estudiado, y contribuya en forma idónea lia resolverlas dificultades que tendrá el estudiante. 
De esta manera, te ofrecemos un texto, cuyo objetivo principal es enseñar a! estudiante a resolver problemas 
y darle los conocimientos necesarios para ello. Para estructurar y dosificar los contenidos deI texto, se han 
analizado pruebas de ingreso de distintas universidades e institutos superiores deIpaís.
Además esta obra pretende desterrar toda postura utilitarista y empírica acerca del curso, propone en cambio 
un conjunto de lincamientos teóricos y metodológicos que son útiles no sólo para los estudiantes. Sino también 
para los docentes. Así, hemos ahondado en los conceptos más importantes, con el propósito de dolar al 
profesor de los principios necesarios para una cabal enseñanza. Los estudiantes deben analizar con la mayor 
minuciosidad en ¡a metodología a fin de lograr precisión y rapidez en sus respuestas. Después de todo, las 
ideas se han expuesto de un modo sencillo, y claro que sugerimos una lectura integral del material.
La variedad de problemas y ejercidos de carácter lógico, recreativo, intuitivo, visual, etc., son desarrollados 
de manera comprensible Uustrado con figuras que facilitan captar en forma grata y adecuada las relaciones 
y concteplos que se exponen en cada parte del contenido. Esto te permitirá desarrollar tu capacidad de 
razonamiento, intuidón y raciocinio, que, lógicamente . hará muy ameno el desarrollo de esta línea de 
acción educativa.
Finalizo, agradeciendo a todas las personas que de diferente manera colaboraron con la materialización de
’ueespem, que sea de mucha utilidad para quienes recorran sus páginas.
ElEditor.
VERSION CORREGIDA Y AUMENTADA EDICIONES RUBINOS
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CAPÍTULO
O f
LA TRIGONOMETRIA
A diferencia de la Aritmética, ei álgebra y la Geometría, 
que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la 
época de los babilonios, ios egipcios y los griegos.
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos 
siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para 
desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya 
razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para 
darle toda la flexibilidad y desarrollo.
En principio es la rama de la matemática que estudia las 
relaciones entre ios ángulos y los lados de un triángulo y 
la solución analítica de ellos .. Para esto se vale de las 
razones trigonométricas, las cuales son utilizadas 
frecuentemente en cálculos técnicos. En términos 
generales, la trigonometría es e! estudio de las funciones 
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 
Interviene directa o indirectamente en las demás ramas 
de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos 
donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría 
se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso 
del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Trigonometría proviene de los vocablos griegos TRJGON 
, que significa triángulo y METRON, cuyo significado es 
medida .
Gracias a la trigonometría se pueden hacer cálculos 
de longitudes inaccecibles, tales como el ancho de un 
río o la altura de una torre . Además de longitudes , 
permite calcular tiempos , como la hora en que pasará 
un satélite por determinado lugar.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se 
hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y 
la astronomía, en los que el principal problema era 
determinar una distancia inaccesible, es decir, una 
distancia que no podía ser medida de forma directa, 
como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se 
encuentran notables aplicaciones de las funciones 
trigonométricas en la física y en casi todas las ramas 
de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos 
periódicos, como el flujo de corriente alterna.
La trigonometría se divide en plana y esférica , según 
los triángulos que se trate: planos o esféricos .
O K M G E X :
Desde el punto de vista etimológico la trigonometría 
trató de la «Resolución de Triángulos», lo cual quiere 
decir que dados ciertos elementos convenientes de 
un trián g u lo se deben h a lla r sus elem entos 
restantes.
En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que 
de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir 
del tiempo una ciencia de tanta importancia como 
la trig o n o m e tría (y que hoy en día es una 
herramienta fundamental del análisis matemático) 
que en un comienzo fue soto un simple capítulo de 
la Astronomía.
Pero gracias a su aplicación a tas distintas ramas de 
la matemática y de la física, y sobre todo al empleo 
invalorable que de ella hacen la Astronomía y la 
Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo 
llegar tan lejos.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría 
son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
TR IG O N O M E TR ÍA PEANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de 
triángulos planos. Para ello , se definen las razones 
trigonométricas de los ángulos y se estudian las 
relaciones entre ellas.
La base de la trigonometría esté en las razones
{^ in t r o d u c c ió n a D Z K EDITORIAL RUBIÑ4BS]
trigonométricas , valores numéricos asociados a cada 
ángulo , que permiten relationar operativamente los 
ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes 
son seno , coseno y tangente , que se definen más 
adelante.
TR IG O N O M E TR IA E SFE R IC A
La trigonometría esférica , que se usa sobre todo en 
navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, 
es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias 
máximas contenidos en la superficie de una esfera. El 
triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene 
6eis elementos: los tres lados a tb ,c ,y los tres ángulos 
A , B y C. Sin embargo , los lados de un triángulo 
esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, 
y dado que son arcos de circunferencias máximas de 
una esfera, su medida viene dada por el ángulo central 
correspondiente. Un triángulo esférico queda definido 
dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al 
igual que en la geometría plana, hay fórmulas que 
relacionan las distintas partes de un triángulo, que se 
pueden utilizar para calcular los elementos 
desconocidos.
Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente 
forma para triángulos esféricos:
Sena _ Senb _ Sene 
SenA SenB SenC
La trigonometría esféricaes de gran importancia para 
la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. 
Es también el fundamento de los cálculos 
astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado 
triángulo astronómico se utiliza para encontrar la 
latitud y longitud de un punto, la hora del día, la 
posición de una estrella y otras magnitudes.
T R IA N G U L O E S F E R IC O s
Es un triángulo dibujado sobre una superficie esférica 
con tres arcos de circunferencia máxima. Todo 
triángulo esférico se obtiene mediante la intersección 
de un triedro con la superficie de la esfera.
Los lados a , 6, c del triángulo (arcos de circunferencia 
máxima) se corresponden con las caras del triedro. Los 
ángulos del triángulo son los correspondientes diedros 
del triedro.
El estudio trigonométrico del triángulo esférico da 
lugar a la trigonometría esférica.
t HJPARCO (190 - 120 a.C.) nació en 
la colonia griega de Nicea en Bitínia (en 
la actualidad te rrito rio turco) y se 
considera el creador de ia 
T rigonom etría . Fue el prim ero en 
elaborar tablas que relacionaban las 
longitudes de los lados en un triángulo, 
las que usa para estimar la distancia 
tierra - luna en 386 100 Km valor muy 
cercano al real y para elaborar sus 
mapas estelares en los que traslada sus 
^ o b s e rv a c io n e s a planos. Antes de 
/£■» H iparco, las tab las astronóm icas 
' ’ basadas sobre métodos geométricos no 
existían.
También se le atribuye la invención del astrolabio, instrumento 
que permitía fijar la altura de los astros.
Ptolomeo (85 - 1651 reconoce en la obra de Hiparco la más 
valiosa fuente para el desarrollo de su teoría geocéntrica.
INTRODUCCION 
A ZA TKIGOJVOJHETMA
La trigonometría fue iniciada por Hiparco , 
aproximadamente el año 150 a.C. Tiempo después 
Tolomeo siguió con estos estudios, basándose en sus 
estudios y de otros personajes de la Astronomía, para 
crear su sintaxis Matemática llamada Almagesto.
En el curso Comenzamos por tratar el uso de las 
unidades angulares, y sus equivalencias, para poder 
aplicarlas al cálculo de una longitud de arco de 
circunferencia , como también el área de un sector 
circular y algunos casos más, como es la determinación 
de la cantidad de vueltas que gira una rueda o dos 
poleas o más que están trabajando en un sistema
Después , nos introducimos a la columna vertebral de 
la Trigonometría que es el estudio de las razones 
trigonométricas, primero para un ángulo agudoy luego 
para un ángulo que posea cualquier medida , 
determinaremos dentro de ellos los valores de cada 
una de ellas por medio del estudio analítico y su 
representación mediante segmentos de recta dirigidos 
en la circunferencia trigonométrica .
Esta parte es fundamental ya que los temas siguientes 
trataran sobre las diversas identidades que las 
relacionan , las cuales por cierto son muy numerosas 
que solo con la constancia en la practica se puede
[ a n w w a w i g m o 0 3 L A E X a C L O F E O I 9 0 Í A ]
dominar, porque un mal entendimiento de los primeros 
temas conducirá , inevitablem ente , a dificultades 
continuas en las partes má6 avanzadas.
Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas 
que son imprescindibles , a las cuales llamaremos, 
identidades básicas, y o tras que son menos 
importantes; pero se dan con el fin que nos permita 
resolver situaciones matemáticas de un modo mucho 
más breve.
Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de las 
identidades en e l estudio de las funciones 
trigonométricas ya sea en las funciones directas e 
inversas, al hacer el calculo de sus dominios y rangos 
, al resolver una ecuación e inecuación trigonométrica 
o al resolver problemas de figuras geométricas, tan 
solo con el uso de las razones trigonométricas que 
relacionan sus elementos. Finalmente, culminaremos 
con los temas de: lím ites , derivadas e integrales 
trigonométricos , traslación y rotación , números 
complejos y trigonometría esférica.
Tenga presente que el objetivo, en el estudio de las 
Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar 
correcta y lógicamente una determinada definición , 
propiedad o teorema a cada problema que se está 
resolviendo. Solo a s i, el estudiante encontrará en las 
Matemáticas una recreación amena y á g il.
Hoy en d ía , los ingenieros y los físicos ocupan muchas 
de estas herramientas trigonométricas en su diario 
actuar , sin quizas conocer quien las crea y cual es su 
historia , la cual vamos a presentar a continuación.
HISTORIA
La historia de la trigonom etría se rem onta a las 
prim eras m atem áticas conocidas, en Egipto y 
Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los 
ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, 
hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a 
haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo 
I I a.C. el astrónomo Hipa reo de Nicea compiló una 
tab la trigonom étrica para resolver triángulos. 
Comenzando con un ángulo de 7,5° y yendo hasta 180P 
con incrementos de 7,5o, la tabla daba la longitud de 
la cuerda delimitada por los lados del ángulo central 
dado que corta a una circunferencia de radio r . Esta 
tabla es sim ilar a la moderna tabla del seno. No se 
sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco , 
pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo 
Tolomeo utilizó r —60 , pues los griegos adoptaron el 
sistema num érico sexagesimal (6ase 60) de los 
babilonios.
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía
el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos 
angulares de O ¿i0, desde 0a hasta 180°, con un error 
menor que
113600 de unidad . También explicó su método para 
compilar esta tabla de cuerdas , y a lo largo del libro 
dio bastantes ejemplos de cómo u tilizar la tabla para 
calcular los elementos desconocidos de un triángulo a 
partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que 
hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver 
triángulos esféricos, y durante muchos siglos su 
trigonom etría fue la introducción básica para los 
astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los 
astrónomos de la India habían desarrollado también 
un sistema trigonométrico basado en la función seno 
en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, 
al contrario que el eeno utilizado en la actualidad, no 
era una proporción , sino la longitud del lado opuesto 
a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa 
dada . Los matemáticos indios u tilizaron diversos 
valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo V I I I los astrónomos árabes 
habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia 
y de la India , y prefirieron trabajar con la función 
seno. En las últim as décadas del siglo X ya habían 
completado la función seno y las otras cinco funciones 
y habían descubierto y demostrado varios teoremas 
fundam entales de la trig o n o m etría tanto para 
triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos 
sugirieron el uso del valor r = I en vez de r - 60, lo 
que dio lugar a los valores modernos de las funciones 
trigonométricas. Los árabes también incorporaron el 
triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos 
descubrim ientos se aplicaron a la astronom ía y 
tam bién se u tiliz a ro n para m ed ir el tiem po 
astronómico y para encontrar la dirección de la M eca, 
lo que era necesario para las cinco oraciones diarias 
requeridas por la ley islámica . Los científicos árabes 
también compilaron tablas de gran exactitud. Por 
ejem plo , las tab las del seno y de la tangente, 
construidas con intervalos de 1/60 degrado (1 minuto) 
tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. 
Además, el gran astrónomo N asir a l-D ln al-Tusi 
escribió el Libro de la figura transversal, el primer 
estudio de las trigonometrías plana y esférica como 
ciencias matemáticas independientes.
E l occidente la tin o se fa m ilia riz ó con la 
trigonometría árabe a través de traducciones de libros 
de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer 
en ei siglo X II. E l prim er trabajo importante en esta 
materia en Europafue escrito por el matemático y 
astrónom o alem án Johann M ü lle r, llam ado 
Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también
m e EDiTORIAl, BTBEVO.S](A HTlOOPCCTOy ü
astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como 
Rético, introdujo el concepto moderno de funciones 
trigonométricas como proporciones en vez de 
longitudes de ciertas líneas. El matemático francés 
Francois Viéte incorporó el triángulo polar en la 
trigonometría esférica y encontró fórmulas para 
expresar las funciones de ángulos múltiples, senn 0y 
cosn 6 , en función de potencias de sen 0 y eos &
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran 
empuje gracias al matemático escocés John Napier, 
quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVU. 
También encontró reglas mnemotécnicas para resolver 
triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas 
analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos 
oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la 
publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton 
inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los 
fundamentos del trabajo de Newton fue la 
representación de muchas funciones matemáticas 
utilizando series infinitas de potencias de la variable 
x. Newton encontró la serie para e! senx y series 
similares para el cosx y la tgx. Con la invención del 
cálculo las funciones trigonométricas fueron 
incorporadas al análisis, donde todavía hoy 
desempeñan un importante papel tanto en las 
matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo 
Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas 
utilizando expresiones con exponenciales de números 
complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo 
una de las muchas aplicaciones de los números 
complejos ; además , Euler demostró que las 
propiedades básicas de la trigonometría eran 
simplemente producto de la aritmética de los números 
complejos.
LA TR IG O N O M E TR ÍA E G IPC IA
El documento más antiguo con procedimientos 
matemáticos de que se tenga noticia, es el papiro del 
Rhind. En el se encuentran los rudimentos de la de la 
rama de las matemáticas que más tarde se llamaría 
trigonometría. En la construcción de las pirámides 
un problema fundamental era mantener una
pendiente (inclinación) uniforme en cada cara y la 
misma en las cuatro caras. Este problema llevó a los 
egipcios a introducir un concepto equivalente al de 
cotangente de un ángulo.
L A T R IG O N O M E T R ÍA B A B IL Ó N IC A
• V - Se ha creído que toda la matemática que 
5v" se desarrolló antes de la civilización griega
Jz. k tenía un carácter netamente utilitarista. 
. Sin embargo, en tablillas de escritura 
- cuneiforme de los babilonios se encontró
'*■ - ®, una prototrigonometría donde se 
^ • presentan listas con temas de números 
V * ' pitagóricos.
L A T R IG O N O M E T R ÍA G R IE G A
La trigonometría al igual que cualquier otra rama de 
las matemáticas no es el fruto de la inteligencia de un 
sólo hombre, ni aún de una sola civilización. Con los 
griegos , se presentan por primera vez el estudio 
sistemático de las ralaciones entre los ángulos centrales 
de una circunferencia y la longitud de las cuerdas que 
subtienden . En los «Elementos de Euclides» no 
aparece la trigonometría , en el sentido estricto del 
término.
Pero se presentan teoremas 
relativos a la razón entre los lados de 
un triángulo rectángulo y problemas 
concretos como el teorema del coseno 
para un triángulo obtusángulo.
La astronomía exigió a los científicos de la época la 
medición de arcos y ángulos cada vez con mayor exactitud 
. De esta forma todo el progreso de la trigonometría 
durante la civilización griega se produjo al lado de! 
desarrollo de la astronomía. Se puede afirmar que la 
trigonometría fue nodriza de la astronomía.
Aristarco de Samos, según cuentan Arquímedes y 
Plutarco , propuso un sistema astronómico heliocéntrico 
anticipándoce a Copémico en más de mil quinientos 
años. Aristarco medió al ángulo entre la visual dirigida al 
centro del Sol y la visual dirigida al centro de la Luna 
cuando se encuentra medio llena y descubrió que este 
ángulo es menor en de ¡¿ cuadrante. Esto significa que la 
razón entre la distancia de la Tierra a la luna y de la 
Tierra al Sol es aproximadamente igual a sen 8a.
Otro astrónomo importante que 
contribuyó al desarrollo de la 
trigonometría , fue Eratóstenee 
de Cirene quien midió la
l a r a i w w i f f i m u T X T t i EXCMCLOPEDt MoT T ]
distancia reai de la Tierra al Sol y de la Tierra a la 
Luna a partir del radio terrestre.
Hiparco de Nicea, Menelao de Alejandría y finalmente 
Ptolomeo desarrollaron casi toda la trigonometría que 
se conoce hasta la época.
e l a l m a g e s t o p t o l o m e o
Claudio Ptolomeo vivió y trabqjó en Alejandría alrededor 
del ISO d.c. En su principal obra , llamada Almagesto 
que en árabe significa el más grande, Ptolomeo desarrolló 
, no sólo los modelos astronómicos geocéntricos que 
perduraron hasta Copérnico , sino también las 
herramientas matemáticas que además de la geometría 
elemental incluyen la trigonometría. El Almagesto es 
una obra maestra , en ella jamás presentó Ptolomeo una 
tabla trigonométrica sin explicar previamente ia forma 
de obtenerla y como calcularla.
Ptolomeo fue el último gran representante de la cultura 
helenística y con él , el desarrollo de la cultura y los 
progresos de la ciencia termina para Occidente. E) eje de 
desarrollo en el mundo se traslada al Oriente, a la India y 
Arabia.
LA TR IG O N O M E TR IA INO IA
Los indios adquidieron los conocimientos de los 
alejandrinos , pero la transformaron a la forma como se 
trabaja en la actualidad . Mientras que la trigonometría 
de Ptolomeo se base en la ralción funcional, a los arcos o 
ángulos centrales en una circunferencia y las cuerdas 
que ellos subtienden , los matemáticos indios 
transformaron esta relación y la convirtieron en el 
estudio de la correspondecia entre la mitad de la cuerda 
y la mitad del arco o ángulo central subtendido por la 
cuerda total. Así fue como nació , aparentemente en la 
India el antepasado de la función trigonométrica que 
conocemos como seno.
LA TR IG O N O M E TR IA A R A B E
Así como los árabes tuvieron que definirse entre el sistema 
de numeración indio y el griego; también en los cálculos 
astronómicos , hubo en Arabia al principio , dos 
trigonometrías . Una la geometría griega de las cuerdas 
tal como se encuentra en el Almagesto de Ptolomeo ; y 
la otra , basada en la tabla india de los senos. Así como 
en el sistema de numeración el triunfo correspondió a la 
matemática india , la trigonometría árabe adopto una 
forma más sistemática; en ella se demuestran algunos 
teoremas y se presentan las identidades para las funciones 
trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad. Las 
funciones trigonométricas como coseno, tangente, secante 
cosecante y cotangente se estudiaron através de las 
sombras que proyecta una varilla vertical sobre el piso y 
sobre una pared vertical.
La trigonometría se independiza de la astronomía por
primera vez en el tratado del árabe Nasir Eddin (1201 
• 1274) . Desgraciadamente , la obra de este 
matemático tuvo muy poca influencia en el desarrollo 
de esta ciencia posteriormente.
Pero es aquí donde propiamente se puede hablar de la 
trigonometría como una rama independiente de las 
matemáticas.
L 1 TR ÍG 0XO M E TRÍA fcV l ,\ 
E iTtO PA tíM H E Y A l,
Así como el álgebra llega a Europa, gracias a los árabes 
, lo mismo sucede con la trigonometría.
Los romanos nunca se interesaron por la 
trigonometría griega , a pesar de lo elemental y lo 
relativamente útil que era. Solo hasta el siglo XH los 
intelectuales latinos aprendieron la trigonometría 
árabe tal como aparecía en los tratados de astronomía.
Roberto de Chester, al traducir del árabe la palabra 
iiba le asigno el término de sinus que es el nombre 
latino de la palabra bahía o ensenada.
LA TR IG O N O M E TR IA 
RENAC EN TISTA
El matemático que retomó latrigonometría en Europa 
es Johann Múller (1436 - 1476) más conocido como 
Regiomontano, quien fundamentalmente se preocupó 
por traducir al latín las grandes obras de los griegos 
, Regiomontano escribió el libro «De triangulis» en 
el cual siguió los pasos de Nasír Eddin y sistematizó 
todos los conocimientos de la trigonometría como 
ciencia independiente de la astronomía . Sus 
manuscritos eran conocidos en el círculo donde 6e 
desempeñaba como instructor en la ciudad de 
Nuremberg , que se convertiría en un importante 
centro del saber, de las artes y de la invención; además 
de ser el centro de la impresión de libros. En esta ciudad 
se publicaron algunas de los más grandes clásicos 
científicos que iniciaron el Renacimiento.
Durante la época que vivió Regiomontano , Polonia 
atravesó una verdadera edad de oro cultural y la 
universidad de Cracovia en la que se matriculó 
Copérnico gozaba de gran prestigio en matemáticas
[¿AMNTMODUCCMOJV A j~ 1 0 ( ICIPITORLM, RtJBLXOS]
y astronomía. En el famoso libro que cambió toda la 
concepción sobre el universo «De las revoluciones 
y las órbitas celestes » , se encuentran importantes 
secciones de trigonometría que Copernico desarrolló 
con amplio dominio de la materia.
A finales del siglo XVI se desarrolló un entusiasmo 
considerable por la trigonometría , el cual se 
materializó básicamente en la publicación de síntesis 
y libros de texto . Durante este período se le dio por 
primera vez el nombre de trigonometría a esta rama 
del saber.
LA TR IG O N O M E TR ÍA
E N L A R E V O L U C IÓ N C IE N T ÍF IC A
Los momentos estelares de la humanidad se presentan 
durante las grandes crisis, cuando la aritmética, la 
geometría y el álgebra no pueden responder a los 
requirimientos del desarrollo de la ciencia ; una gran 
cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen 
para dar respuestas a los interrogantes que la época 
requiere . La geometría analítica , el cálculo, los 
logaritmos y el estudio en general del movimiento 
producen lo que se llama la gran revolución científica. 
En ella , la trigonometría es la principal aliada de los 
científicos que con las largas y precisas observaciones 
del movimiento de los planetas pueden fundamentar 
, con Newton a la cabeza , una nueva concepción del 
universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa 
precisión.
¿Sabías que...
el matemático francés Jean Baptiste 
Joseph Fourier (1768-1830) fue el 
descubridor de las aplicaciones más 
sorprendentes de las funciones 
trigonométricas?.
Utilizó las sumas de estas funciones para describir 
fenómenos físicos como la transmisión del sonido y el fiujo 
del calor. Sus investigaciones sobre este último tema le 
llevaron a introducir unas series trigonométricas conocidas 
hoy como Series de Fourier.
Una aplicación moderna de los descubrimiento de Fourier 
es la codificación digital del sonido en los discos compactos 
(CD).
Fourier quedó huérfano a corta edad, por lo que recibió 
su educación en una escuela militar, de donde se 
convirtió en maestro de matemática cuando tenía 20 
años. Más tarde rechazó ser designado profesor de la 
Ecole Polytechnique para acompañar a Napoleón en 
su expedición a Egipto de donde Fourier fue 
gobernador.
Cuando regresó a Francia empezó a hacer 
experimentos relacionados con el calor, pero la 
Academia francesa no publicó sus primeros trabajos 
por falta de rigor. Años más tarde, cuando Fourier fue 
secretario de la Academia logró publicarlos en la forma 
original.
Quizá debido a sus años de estudio sobre el calor y a 
los años que pasó en el desierto de Egipto, Fourier 
estaba obsesionado por mantenerse caliente, usaba 
varias ropas encimadas, incluso en el verano, y 
mantenía sus habitaciones incómodamente calientes. 
Evidentemente éstos hábitos, sobrecargaron su 
corazón y contribuyeron a su muerte a la edad de 62 
años.
La TRIGONOMETRÍA no se limita a la aplicación de 
resolución de triángulos a la geometría, astronomía, 
navegación y agrimensura sino que también se aplica 
en física. Así la vemos en el estudio de movimientos 
ondulatorios, vibraciones , sonido , corriente alterna, 
termodinámica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar 
el concepto de razones trigonométricas al de funciones
trigonométricas.
S IT U A C IÓ N P R O B L E M Á T IC A
Una fuerte ráfaga de aire impacta sobre un rascacielos, 
lo que ocasiona que la construcción se mueva de un 
lado a otro según un movimiento armónico 
amortiguado . La frecuencia de la oscilación es 0,5 
ciclos por segundo y la constante de amortiguamiento 
es c= 0,9. Calcule una ecuación que describe el 
movimiento del rascacielos. (Suponga k — 1 y t - 0 
instante cuando la ráfaga de aire golpea al rascacielos).
APLICAIOMES HISTORICAS
«El rasgo más importante de la matemática árabe fue 
la formación de la trigonometría, teniendo lugar la 
síntesis de diversos elementos trigonométricos: el 
cálculo de cuerdas y las tablas de los antiguos, en 
particular los resultados de Ptolomeo y Menelao, las 
operaciones de los antiguos hindúes, la acumulación 
de experiencias de mediciones astronómicas.
Sobre la base de este material heterogéneo los 
matemáticos de los países del Medio Oriente y ei Asia
[ á , T iU G O X O M E T íU A A D O LA EXCICLOPEDI A019 ]
Central introdujeron todas las Ifneas trigonométricas 
fundamentales. En relación con los problemas de 
astronomía, confeccionaron tablas de las funciones 
trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de 
exactitud. Lo6 datos acumulados fueron tantos que 
resultó posible estudiar las propiedades de los 
triángulos planos y esféricos, y los métodos de su 
resolución. Se obtuvo un sistema de trigonometría 
armonioso, rico en hechos, tanto plana como 
esférica....»
oeste (las áreas entre las cadenas de dejaron para más 
tarde) y se necesitaron décadas para completarla.
En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto 
como Inspector General y puso especial atención a tas 
montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a 
las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente 
desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron 
varias mediciones. Después de haberse hecho, los 
resultados necesitaron ser analizados laboriosamente 
por "computadores" en las oficinas de inspección; no 
eran máquinas sino personas que efectuaban los 
cálculos trigonométricos.
«...En el año 1461, apareció la obra «Cinco libros sobre 
triángulos de cualquier género», en la cual la trigonometría 
fue separada de la astronomía y tratada como una parte 
independiente de las matemáticas. La escribió el matemático 
alemán Johannes Müller (1436-1476), más conocido por 
Regiomontano...»
Pero tos hechos más famoso de la antigüedad fueron medir 
la altura de la gran pirámide, para ello Thales sólo uso su 
bastón y las sombras de la pirámide y el bastón y la medición 
del radio de la Tierra por Eratostenes.
«La trigonometría ha sido una herramienta útil desde la 
antigüedad, el famoso historiador gnego herodoto, describió 
tres hazañas de la ingeniería griega en la isala de Samos. 
Una de ellas era un túnel que trasladaba el agua a través del 
monte Castro a Samos, ia capital. Este se descubrió en 1882, 
2500 años después de su construcción y tenía l Km. de 
longitud y más de dos metros tanto en altura como en 
anchura...
Lo más notable del túnel es que los equipos de excavación, 
que comenzaron a cada uno de los lados, se encontraron en 
el cen tro con un e rro r de so lam ente 10 m etros 
horizontalmente y 3 metros verticalmente. Sabemos esto 
porque en el centro del túnel hay un recodo de este tamaño 
que hace que los dos túneles se unan....
Herón describió el posible método que utilizaron, desde su 
punto de vista usaron la semejanza de triángulos.»
M T R M G O rS O M E T R iA y E L E V E R E S T
Una aplicación histórica de la trigonometría
• t •
Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la 
"Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. 
Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos,monstruos con escalas circulares de 363 de ancho, cuyas 
lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5 
microscopios. Cada uno con su caja pesaba media 
tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. 
Usándolos el proyecto cubrió el país con múltiples 
cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-
La historia dice que en 1852 el jefe de ios "computadores" 
fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la 
mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más 
de 100 millas (160 km), se observó la montaña desde seis 
estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador 
sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el 
punto más alto de la Tierra”. Al principio se la designó como 
"Pico XV* por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó 
en memona de Sir George Everest, su predecesor en la oficina 
de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse 
y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en 
el "Museum of the Survey of India” en Dehra Dum.
Como dato adicional: para topogrefiar una 
tie rra los topógra fos la d iv iden en 
triángulos y marcan cada ángulo con un 
"punto de referencia”, que hoy en día es, 
a menudo, una placa de latón redonda 
fijada en el suelo con un agujero en el 
centro, sobre el que ponen sus varillas y 
teodolitos (George Washington hizo este 
traba jo cuando era un adolescente). 
Después de medir ia base, como la AB 
en el ejemplo del río, el topógrafo medirá 
(de la forma descrita aquí) los ángulos 
que se forman con el punto C y usar la 
trigonometría para calcular las distancias 
AC y BC. Estas pueden servir como base 
de 2 nuevos triángulos, que a su vez 
suministrarán bases para dos más ... y 
de esta forma construirá más y más 
triángulos hasta que se cubra la tierra al 
completo con una red que tiene distandas 
conocidas. Posteriormente se puede 
añadir una red secundaria, subdividiendo 
los triángulos grandes y marcando sus 
puntos con estacas de h ie rro , que 
proporcionarán distancias conocidas 
adicionales en las que se pueden basar 
los mapas o los planos.
[A B r w o o c c c r o j4
Hoy en día la posición sobre la Tierra 
se puede localizar de Forma muy-pretisa 
usando el sistema de posicionamiento 
global (GPS) de 24 satélites en órbita 
exacta, que están d ifund iendo 
constantem ente su pos ic ión . Un 
pequeño instrumento electrónico de 
mano recibe sus señales y nos devuelve 
nuestra posición con un error de 10-20 
metros ( aún es más preciso para usos 
m ilita res , los pa troc inado res del 
sistema). Se usa una gran cantidad de 
trigonometría, pero lo hace todo la 
computadora que está dentro de su 
aparato, lo único que usted necesita es 
pulsar los botones apropiados.
¡RESUM EN X
La época que al nacim iento de la 
trigonom etría se qu iera a tr ib u ir 
depende en realidad de la aceptación 
que a dicho término se le dé, vale decir, 
de la amplitud que a su significado se 
le quiere encontrar.
Así, tomada en su estricto significado 
e tim o lóg ico de «m edida de los 
triángulos», la encontramos ya en las 
lejanas ¿pocas de tos babilonios, los 
egipcios y los hindúes, allá por los tres 
y dos mil años antes de nuestra era.
Si la consideramos a la trigonometría 
como ese capítulo de la Astronomía, 
donde ciertas funciones del ángulo eran 
ya conocidas y em pleadas, la 
encontramos a partir de los trabajos de 
Hiparco allá por el año 140 a.C.
Pero la trigonometría como disciplina 
autónoma y sistemática, como esa 
ciencia analítica que es ahora, solo 
surgió y se desarrolló en el siglo XVII, 
después que el gran matemático Vieta 
perfeccionara adm irab lem en te el 
simbolismo algebraico, sin el cual jamás 
hubiera podido consolidar esta ciencia. 
Históricamente fueron los geómetras y 
astrónomos griegos quienes, entre los 
años 180 y 125 aJ.C. encontraron los 
princ ipa les fundam en tos de la 
trigonom e tría p lana y es fé rica , 
deducidos de la geom etría y los 
aplicaron a los problemas astronómicos. 
Según Theon, de Alejandría, entre los 
citados astrónom os griegos, es a 
hiparco, especialmente, a quien se le 
puede considerar como el verdadero 
creador de la trigonometría (Padre de 
la Trigonom etría), pues sobre los 
fundamentos debidos a éste, Ptolomeo 
publicó en el p rim e r lib ro de su 
atmagesto, una tabla de valores de las 
razones trigonom étricas, para ser 
usados en los cálculos astronómicos. 
Para resolver ios triángulos rectángulos, 
los gnegos procedían así: calculaban los 
lados aplicando e l Teorem a de 
Pitágoras, y los ángulos mediante un 
Teorema de Ptolomeo; la resolución de
 r » ~ L __________
triángu los cualesquiera la hacían 
descom poniendo en tr iá n g u lo s 
rectángulos (trazando altura).
Es a Reglomontano (1436 - 1476), al 
que se debe el renacim iento de la 
trigonom etría , pues fue él quien, 
valiéndose de traducciones del griego, 
escrib ió un notab le tra ta d o de 
trigonometría rectilínea y esférica, que 
puede considerarse como el prim er 
tratado de trigonometría europea.
Copérnico (1473 - 1543), fue el 
primero que demostró en forma sencilla 
las fórmulas trigonom étricas de la 
trigonometría esférica.
V ie te (1 5 4 0 - 1 6 0 3 ), no era 
m a tem ático de p ro fes ión , sino 
jurisconsulto que se ocupaba como 
abogado de asuntos de estado, pero su 
amor por la ciencia matemática fue tan 
grande que dedicaba la mayor parte del 
tiempo necesario para su descanso al 
estudio y a la investigación matemática. 
De posición económica desahogado, su 
espíritu noble y generoso lo llevó a 
proteger económicamente aun a sus 
contrarios científicos.
• hi ls* »v. rr« r «
Ú I t M
UATHLS'AUCA.
a
Como contribución a la trigonometría, 
en 1579 estableció las fórmulas que 
dete rm inan las funciones 
trigonométricas de múltiplos de un 
ángu lo , cuando se conocen las 
funciones trigonométricas del mismo, 
y por primera vez en occidente expone 
los métodos que permiten resolver 
triángulos planos o esféricas aplicando 
las 6 funciones trigonométricas, pues 
Reglomontano solo utilizaba el seno.
EomtRLxt R rm fo .vl
Neper (1550 - 1617), con la creación 
de los logaritmos, abrevió notablemente 
los cálculos trigonométricos, aunque en 
realidad su nombre en la historia de la 
trigonom e tría se destaca por las 
analogías que llevan su nombre, asi 
como por la conocida regla del 
pentágono de Neper, de tanta aplicación 
en la Resolución de Triángulos Esféricos.
Es sólo en el siglo XVII que 
la trigonometría comienza 
a form ar su carácter 
analítico, y es Euler (1707 
- 1763) el primero que en 
realidad hace progresar 
dicha ama de la 
matemática en este nuevo 
aspecto analítico, hasta 
darle forma que conserva 
actualmente.
HMCJllt! I
Completa los siguientes textos con 
ios datos correctos que 
correspondan a los espacios en 
blanco.
M k La Trigonometría aparece en 
Babilonia, ligada al estudio de la
Los astrónomos babilónicos 
de los siglos V y IV a . de C. 
acu m u laro n datos
............................ y
................................que permitieron
más ta rd e a los m atem áticos 
griegos construir gradualmente la
a ........................ ............que vivió
entre 310 y 230 a. de C., en una 
pequeña obra titulada ASobre la 
dimensión y las distancias del Sol 
a la Luna , establece algunas
trigonométricas.
& Hiparco de Niceo vivió entre
...................................... a. de C., vivió
en .............................................. es
considerado e l .................................
de la Trigonometría.
JfiL Ptolomeo escribió una obra 
m uy s ig n ific a tiv a para la 
trigonometría, que ios árabes la
enominaron.......................................
y que significaba
[ LvtnoDrcciox jjfi&f
ELEMENTOS AR ITM ETIC O S 
ALGEBRAICOS T GEOMETRICOS
PROPORCION GEOMETRICA
Es la igualdad entre dos razones geométricas; siendo una 
razón geométrica la comparación mediante la división 
de dos magnitudes.
Par ejemplo:
— = razón geométrica * rt 
b
4 = razón geométrica= r2 
d
r, = r2 => — = — ésta es una proporción geométrica, 
b d
Esta última relación se entiende como: “a” es a “b”, como 
“c" es a “d" se cumple:
i. = k l a = bk 
b d lc*=dk
a + c _ a _ c
II. a ¿ c ^ b + d b d 
b d a -c _ a _ c 
b -d b d
«I. f - T => * ± k = s ± l
b d a-b c-d
TEO RIA DE EXPONENTES
a" * a.a.a.... a ("m" veces)
-* a6* ............................................
(a")"* a*"
-> < a T = ............................................
a*, a» * a"1*"
-*■ a5 . a* * ........ ................... .........................
am mam.n
a5
............................................
a-" = — 
a"
-» a’ *= ........................................................
Va" =am
í/a*" =......... ............................................
j a j s a . EDtaOSES RLltLXtíS
'YV? = mVá
-
& 
b ?/b
tfáb=¡ifa,n&
-* í/ab = .................................................
PRODUCTOS NOTABLES
(a + b)2* a 2 + 2ab + b2
-+ (3x + y)* * ......................................
(a - b)2 ■ a2 - 2ab + b2 
> (x -2 y )2- ..........
(a + b)s« a3 + b3 + 3ab(a ♦ b) 
-> (3x + y)5» ....................
(a - b)’ * a3 - b3 - 3ab (a • b)
- > (3x - y)3 =.........................
a2 - b2 * (a + b) (a - b) 
-» x4 - y4 = ..........
a3 + b3 * (a + b) (a2 - ab b2) 
-> x3 + 8 = ........................
a3 - b3 * (a • b) (a2 ab + b2) 
-> x3 - 27 * ...................
ECUACIÓN DE S E G IN B O GRADO
Forma general:
ax2 ♦ bx + c ® 0 ; a * 0 
tiene dos raíces “x," a "x2" que se pueden obtener 
p o r
Fórmula general:
De la ecuación: ax2 + bx + c = 0
h t r * ------
-b±Vb2 -4ac
2a
* i =
x2 =
_ - b -t- yb2 - 4ac 
2a
-b-Vb2 -4ac
2a
Las ecuaciones de segundo grado presentan dos raíces 
"x," a % " que cumplen las siguientes propiedades:
1 4 IA EXCIfJDPEDLÍ 2012}
Dada: ax2 + bx + c - O
X = Xx 
x =x*
xt + x2 = — (Suma de raíces)
' a
xtx 2 = ™ (Producto de raíces) a
Por ejemplo, si la ecuación es:
2x2-3x-6 = 0 (a = 2; b = -3; c = -6)
b -3 3X i+ x2= - - = - — -> x ,+ x 2= -
X1*X2 = “ = ~ Y X1'X2 = “ 3 
TRIÁNGULO RECTÁNGULO S
h
Elementos:
a; b : Catetos
c : Hipotenusa
h : Altura relativa a la hipotenusa,
m : Proyección ortogonal del cateto Ma" sobre "c".
n : Proyección ortogonal del cateto "b" sobre "c".
Relaciones:
* Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa 
y su proyección sobre ella.
(a2» m . c b* = t i. c ,
'fi,- •-»
* La altura es media proporcional entre las proyecciones 
de los catetos sobre la hipotenusa.
Ji2 = m ;n
* El producto de los catetos es igual al producto de la 
hipotenusa por la altura relativa a ella.
a . b = c . h
Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de 
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 
a2 + b2= c2
AREA DE REGIONES GEOJMETRICAS
* Para triángulos oblicuángulos:
A =
* Para un triángulo rectángulo:
Rectángulo: 
a
TVapecio:
Baralelogramo:
ha.
A - t .h
A -á .b
m
[ . fw y o f lp c o o v
Rombo:
A » AC.BQ
Área de reglones circulares
Círculo:
A = x r2
Sector circular:
A = — — . xR z
s*ct0f 360°
Corona circular:
A = k(R2 - ñ
f J É W C Í Ó S R E S U E L T O So
M L c- m ^ . 2n + m¿Wk Si: — * 77 . calcular: A = --------
n 11 2n - m
a)
19
b)
25
25 19
d>
20
e)
26
19 19
« • §
Resolución:
_ . . . m 3 m 3 
Del dato: - - j j =»
por proporciones:
2n + m 22 + 3 
2n • m * 22-3
'~T'= sA j 9
KDH10XKS nimios
SI: - - A + B - 10. Calculan "B - A".
a) 1 
d) 4
Resolución:
b) 2 
e) 5
c) 3
A B . ÍA * 2k 
Del Dato: y = "3 => |8 . 3*
Luego reemplazamos en:
A + B - 1 0
4- 4
2k + 3 k « 1 0 => k ■ 2 
=s> A = 4 y B = 6
.. B - A - 2
Reducir C = a2.b3.a2.b3.a2.b3......... .a2i )3
30 térm inos
señale la suma de los exponentes finales de "a” y 
"b"
a) 35 b) 55 c) 75
d) 85 e) 95
Resolución:
En la expresión:
C = a2.b3-a2-b3......a2b 3.
30 términos
ordenando:
C = (a2.a2.a2...,a2) (b3-b3- b 3)
15 términos 15 términos
tenemos que:
(a23 2. .. .a 2) = (a2)15= a30
15 términos
(b3Jl3....¿ 3) = (b3)15= b45
15 términos 
Luego: C * a^.b45
30 ♦ 45 * 75
Factorizar P * x * - 9 x + 14
a) (x -7 ) b) ( x - 2) c) (x - 2) (x -7 )
d) (x -5 ) e) (x - 2) (x - 5)
Resolución:
Por aspa simple:
P = xa-9 x + 14
4 c
-7
2
-7x
-2x
•9x
P = < x -7 )(x -2 )
Resolver xa - 5x + 5 « 0
a)
5 + ̂ 5
b)
5-2^5
c)
4 + s/5
Resolución:
iu\ ExacLOPmLX&oa
Por fórmula: „ 5±V25-4(5)
' 2
* 1 -
*2 =
5 + V5 
2
5 - V5
Calcular V
x - 9
Resolución:
Por el teorema de Pitágoras:
(x - 2)2 + (x - 9)2 = x2 
x2 - 22x + 85 = 0 
x -17 x = 17
x - 5 x = 5 (No cumple)
Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que
su perímetro mide 46 m, siendo su diagonal igual a 17 m. 
¿Cuál es el área del terreno?
Resolución:
2a + 2b = 46 
a + b = 23 
T. Pitágoras: a2 + b2 = 172 
(a + b)2 = 232
¿+_b^ + 2ab = 232
172 + 2ab = 232 
2ab = 240 
ab = 120
i
Área = 120
Calcular el área de un círculo inscrito en un
cuadrado de perímetro 16 cm.
Resolución:
Del gráfico: R = 2 cm 
Luego: Aq = it (2)2 
Aq = 4tt cm2
JE fiC /C /O S P R O P UESWS
a 3
b ~ g-; calcular: m «
5
b)
11
11 5
7
e)
11
11 7
A _ 14
Sabiendo que: B “ 5
9 9
7 b) 5
5
e)
7
9 9
a+b
b-a
A -B
x + y 7 x
Si: w = 3 Hallan“ 7 ”
a) 1,5 
d) 5,5
c) 3,5
Si la suma de dos números es a su diferencia
b) 2,5 
e) 7,5
como 11 es a 5. ¿Cuál es la relación entre los 
números? (mayor a menor)
8 5 -
8 3 C* 7a) I
d> 5 e> 9
^ Reducir: A = (a + b)2 + (a - b)2
a) 2ab b) 2(a2 + b2) c) a2 + b2
d) 4ab e) a2 - b2
^ Simplificar: B = (a + b)2 - (a - b)2
a) 4ab b) 2ab c) a2- b 2
d) 2(a2 + b2) e) 0
- (x + y)2 - x 2 - y2 
Reducir C ---------------— ------------
a) 2 
d) 1
% Reducir.
a) 0,2
b) 4
e) 3
(x + a)2 - 2xa
C> 7
5a2 + 5x2
b) 0,3 c) 0,5
[ ¡x rR Q D rcaox
d) 0,1 e) 0,4
Factorizar : I * x* + 2x* + 3x*
a) x» b) xs (x + 2)
c) x* (3xs + x + 2) d) xz (x + 2)
e) x (x -2 )^
Factorizar : J * a3b + ab5 + 2ab
a) ab(a2 + b2) b) ab(a5 + 2)
c) ab(a2 * b2 + 2) d) a(a ♦ b)
e) b (a-b)
Resolver; x2 - 2x +1 * 0
a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3
d) x * -1 e) x ■ -2
Resolver, x2 - 3x ♦ 1 = 0
a) 3 ± Js b)
3 ± V 5
Resolver: xJ-5 x -2 *0 
r u» 5-3^5a) 5 + 3^5 b) — -—
c)
c)
3 ± i / 5
a) 12 
d) 15
b) 13 
e) 16
Calcular "h".
a) 20 
d) 19
b) 18 
e ) 13
c) 16
& Calcular
a) 20 
d) 13
b) 10 
e) 15
c) 12
MiMOYF.S RVBtXOS
i Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí
como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2, ¿cuánto 
mide su hipotenusa?
a) 5u b) 10 c) 13
d) 15 e ) 20
El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u.
Calcular el área de su regióa
a) 12^3 u3 b) 16^3 c) 18a/3
d) 241/3" e) 36i/3
Calcular el perímetro de un cuadrado, si el área de
su región mide 256 u2.
a) 56 u b) 60 c) 64
d) 72 e) 80
Hallar el área de un círculo, sabiendo que el
diámetro de dicho círculo mide 12 m. 
a) 144 xm z b) 72* c) 36*
d) 48* e) 24*
affiOa Calcular el radío de un círculo, si el área de su región
mide 196*.
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
Calcular el área de un sector circular de 60° de
ángulo centra] y 12 u de radio,
a) 12* u2 b) 24*
d) 32* e) 18*
c) 16*
Un sector circular tiene un ángulo central de 45® y
su área es 2* u2. Calcular el radio, 
a) 2 u b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
En el cuadrante AOB, AO = OB = 4 u. Calcular el 
área de la región sombreada.
a) (* - 2) u2 
d ) 2 (* -1 )
b) 2(w - 2) 
e ) 4(* -1)
c) 4(* - 2)
Calcular el área de la región sombreada, si "ABCD“ 
es un cuadrado de 2 u de lado.
a) (* - ! )u 2 
d) ( x - 4 )
b) (2 -* ) 
e) 2(4 - *)
c) (4 -* )
[ a i r o m o r o f i o i r o w g iw c o T u n EDITORIAL R ntE i'O S ]
ANGULO*TRIGONOMETRICU!
CAPÍTULO
02
ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
OBJETIVOS :
* Entender el porqué de la diferencia entre el ángulo 
definido en geometría y trigonometría ( el ángulo 
generado por la rotación de un rayo alrededor de un 
punto fyo (vértice), todo ello en un mismo plano).
recreación , se tiene deportes como el windsurfing en 
el que se hace uso del ángulo óptimo de estabilidad en 
la tabla para resistir no solo a las olas sino inclusive a 
la fuerza del viento que arreciasobre la vela . 
Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo 
de salida para llegar al destino, los ingenieros hacen 
los cálculos necesarios para encontrar el ángulo 
adecuado.
• if/ ff :
* Reconocer la características fundamentales de los Los ángulos pueden ser medidos con una regla 
ángulos trigonométricos en cuanto a su generación y graduada llamada transportador, 
tipo de rotación : horario y antihorario .
INTRODUCCIÓN:
A travéz de la historia los avances que se producen en 
todos los campos de la ciencia son el producto de 
satisfacer las necesidades . La trigonometría no es 
ajena a este proceso y establece una deñnición de 
ángulo diferente a la definición clásica planteada en 
geometría . «intersección de dos rayos con un vértice 
común».
Con el objeto de introducir en nuestro campo de 
estudio a los ángulos mayores a una vuelta, así como 
también , luego de establecer alguna conversión 
ángulos en el plano generadas en un sentido u otro 
(diferencias en el signo).
DEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo (en 
un mismo plano), alrededor de un punto f^o llamado 
vértice, desde una posición inicial hasta una posición 
final.Consideramos un ángulo positivo cuando la 
rotación del rayo sea contraria al movimiento de las 
manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rotación 
sea en el mismo sentido del movimiento (horario) el 
ángulos se considera negativo. 
nV.
Posición inicial
i _
“■ a6: Angulo positivo
Posición inicial 
/ ^
a: Angulo negativo
Origen del rayo 
(Vértice)
Se tienen desniveles en el terreno, y con la ayuda de la 
topografía se encuentran ángulos que luego se 
consiguen, tenemos planos horizontales para la 
construcción civil. Asimismo, en lo que respecta a la
(Lado fina l)
Sentido antihorario ̂ (+)
Sentido horario ¡
(Lado final)
nt<aes (—)
( a m w i t w g T m i í 1 i » [ M E iSdC LO PEO I W lT |
n o t a s :
* Los ángulos trigonométricos serán medidos en tres 
sistemas que estudiaremos a continuación , pero es 
bueno mencionar una convención a cerca de la rotación
Sentido % Medida
antihorario
f
positiva
de vueltas o llamado también número de revoluciones 
, así podemos obtener de manera natural los ángulosy 
sus asignaciones numéricas , como se muestra en la 
figura.
que genera un ángulo trigonométrico y su medida.
Sentido
------►
Medida
horario negativa
rV -9 0 * fT
* “ e "es un ángulo trigonométrico de medidas positiva.
* ux” es un ángulo trigonométrico de una medida 
negativa.
=>se cumple: x ~ -9 
fu á / o :
Si el rayo no g ira , la medida del ángulo será cero. 
d e ueu* veteU a:
[—►0 A
0 1 ■■■■ ■ ■» >
B
Se genera por la rotación completa de un rayo, es decir 
su lado final coincide con su lado inicial por primera 
vez.
I V - I V
— ► 0
M ED IC IÓ N D E UN ÁNGULO
Cuando medimos un ángulo , tratamos de asignarle 
un número que indique la magnitud de este . Se debe 
tener presente para un ángulo positivo , que cuando 
sea mayor la rotación , mayor será el ángulo.
ÁNGULO D E UNA VUELTA
Es aquel que se genera , cuando el lado final e inicial 
coinciden por primera vez luego de cierta rotación . 
Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir 
que ángulo de una vuelta es: IV.
La forma más lógica para medir el ángulo es el número
Sin embargo, estos no son los números que la mayoría 
de nosotros estamos acostumbrados a utilizar, cuando 
medimos los ángulos.
CARACTERÍSTICAS
l ) La medida del ángulo trigonométrico no se encuentra 
sujeto a restricciones pudiendo ser un ángulo de 
cualquier magnitud.
-oo<m<t trigonométrico <+®
E J E M P L O :
En la figura (1), el ángulo trigonométrico mide “3 
vueltas” , en la figura (2) el ángulo trigonométrico mide 
“- 2 vueltas".
TI) Si se cambia el sentido de la rotación de un ángulo, 
entonces su medida cambiará de signo.
O B S E R VA C IÓ N :
Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos 
estos deberán estar en el mismo sentido.
{á ANGVLO TMtGOXOlHBTKICO I T * ° X E o rro H u u , r v b l y o s )
Be
- 0
/ r 7 \ »
* De la figura se tiene
a + (~ 0 ) = —Vuelta 
2
=> a - 9 = j V
P R O B L E M A 1 : 
Del gráfico siguiente:
Indicar cuál(es) de las proposiciones son verdaderas 
(V) o falsa (F ):
I)E s :a = 0
W a + p - 180°
ID ) 0 es un ángulo positivo y a es un ángulo negativo 
A) W F B ) VFF C) VFV D )FFV
R E S O L U C IÓ N :
* Para relacionar ángulos trigonométricos estos deben 
de tener el mismo sentido. Luego, en el gráfico:
P
presentes aparezcan en el mismo sentido, de 
preferencia sentido antihorario. Por lo tanto el gráfico 
queda así:
* Donde se aprecia que : Q
- x = -p + a=$ x — p - a
P R O B L E M A 3 :
C) p -0 ~ vuelta D) 9 - p - —vuelta 
£ £
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando todo en sentido antihorario :
( - 0 ) + P - ~ vuelta
=> p - 0 = — vuelta 
2
I) FALSA , puesto que: -a = 9
U ) FALSA , puesto que: a + p = 180°
II I ) VERDADERA , puesto que 0 tiene sentido 
antihorario y a sentido horario .
RPTA: "D ”
P R O B L E M A 2 :
Interpretar “x ” en función de V y nfT
B )p -a 
O - p -a
D )2 a -P
E )a -2 p
R E S O L U C IÓ N :
* En primer lugar se debe tratar que los ángulos
RPTA: “C *
P R O B L E M A 4 :
Calcular “x*\ en función de V , np" y "0".
A)x = a + p + 0
B)x — a - p -0
C)x = a + p - 0
D)x - a - p + 0
E)x - ~ a - p + 9
R E S O L U C IÓ N :
* Según las recomendaciones anteriores, trataremos 
de colocar los ángulos en sentido antihorario:
\-0 = x - a + P 
[=> x = a - p - 0
RPTA: “B*
[ A TWGOMMETBJAÁ o o LA ElVCMCLOPEDI MOjM}
P R O B L E M A 5 : 
Calcular
A)-9<r
B)-190°
C)-19tP
D)-80P
E ) - 180°
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando en un mismo sentido:
0 A
A )j + P = 90°
B )f - f l = 90°
C)f+ fi = -90°
D )- + - f i = 90°
R E S O L U C IÓ N :
* Ordenando el gráfico :
RPTA: "B M
P R O B L E M A 7 :
Calcular
K) 30°
B) -30a
C) 3<r- 6x
D) 1(T
E )-l(T
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando en un mismo sentido:
+ 30“
* Del gráfico:
230° +x + 320° =360° =>x = -190° 
RPTA: “B ”
P R O B L E M A 6 :
Indicar la relación que se cumple 
entre y y y
9or
6x - 30»/<^?\3x+30o
* De la figura :
3x+3(r+9(r+6X - 30‘=18O> ̂ x = l(T 
RPTA: “D ”
P R O B L E M A 8 :
El gráfico mostrado, indicar la 
relación que existe entre 
"a", y y y .
A )0 -a + e^l8O° 
P j B)0 + a + e*18(r 
6, O fl-a-fim iatr
X D)a - 0 -0 = 18CP
R E S O L U C IÓ N :
*Replanteando el gráfico a nuestra 
conveniencia:
P R O B L E M A 10 :
En el gráfico mostrado, ¿cuál es el 
valor de "ar”?
AJx = 460° - 9
B)x = 270° + 9
C)x = 54<P'0
D )x = 460a + $
E)x = 440* - 6
R E S O L U C IÓ N :
’ Graficando adecuadamente:
* Porto tanto: x —90
f-&+x-9O>^360p 
{=> x = 460" + 9
t,”
RPTA : “D '
P R O B L E M A 11 :
Calcular “ar” del gráfico :
A)I vuelta - a - 0 
^ B it vuelta* a -0
PJ "
•P o r lo tanto: p~a-9=18ff*
RPTA: “C ”
P R O B L E M A 9 :
Calcular en función de
C)1 vuelta - a + 0
vuelta - a - 0
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando todos los ángulos en 
sentido antihorario; tenemos:
A v y y ,
A)a + p
B)a~ fi 
C kt-2 0
D )p -a
E)~ a - p
R E S O L U C IÓ N :
* Como ux ” está en sentido 
antihorarío; vamos a procurar que 
todos los ángulos aparezcan en el 
mismo sentido ; para ello sólo 
cambiamos y ; quedando:
Se aprecia: 
a + ( - p ) * x 
= > x ~ a -p
RPTA: “B '
a + ( - p ) + x ■ 1 vuelta 
a - p + x * l vuelta 
=> x = 1 vuelta -a + P
RPTA: “C ”
P R O B L E M A 12 :
Calcular ux n, en función de 
"a", y y y
A)a + p + 0
B)a - p + 0
C)a - p -9
D )p - a - 0
E )P -a + 0
R E S O L U C IÓ N :
* Note que el ángulo pedido está en
f&ATOtJLO TRMG0NOMETMUCO A E D lT iU U A I R r m x o s )
sentido horario, así que vamos a colocar todo en dicho 
sentido; así:
x = ( - 0) + 0 + ( -a ) 
Ordenando: 
x = f i - a - 0
RPTA: “D 9
PR O B LE M A 13 ;
Del gráfico, se cumple :
A)a + 8 = —vuelta
2
B)a - f i - vuelta
£
C)fi - a = —vuelta^ 
£
P
a
D)a + fi = 0°
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando todo en sentido antihorario :
PR O B LE M A 14 :
Del gráfico,se cumple: q
A)a + 0 = 1 vuelta
B)a - 8 = 1 vuelta
C)a + 0 = 0°
D )0 - a = 1 vuelta
R E S O L U C IÓ N :
* Del gráfico, colocamos todas las rotaciones en sentido 
antihorario:
0
A ) W F
B) FFF 
Q F F V
D ) VFV
E) W V
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando en un solo sentido :
P 
0
( -a ) + P + ( - 0) = ~ v => -a + p - 0 = — v
„ 1 => B - a - 0 = — v 
2
* Por lo tanto : I ) F ; I I ) F y U I ) V
RPTA: “C”
P R O B LE M A 16 :
En el gráfico mostrado ¿cuál es el valor de **xn ?
A) 3v + 0
B) 4 v -0
C) - v + 0 
4
D) - v - 0 
4
R E S O L U C IÓ N : 
* De la figura:
x+{-e~ r )= lv => x - 0 - — v = lv 4
Del gráfico mostrado calcular el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones:
l)a + p + 0 = \ v I I )a - p + 0 = ív I I I ) f i -a -0 = ± -v 
2 ¿ I
=> x - 0 = lv + —v 
4
5 5=> X - 0 = —v => x = —v + 0 
4 4
P R O B L E M A 1 7 :
En el gráfico mostrado, calcular “x ”.
A)lv-0 
miv+0
Q0-2v 
D )- lo -0
R E S O L U C IÓ N :
* De la figura: Iv + x = -0
= > X « - lV - 0
RPTA: “C9
[ A M K í t i w B n r m * í LA BWKXOFJEOI fOÍF|
PR O B IjEM A 18 :
En el gráfico mostrado. Calcular ux ”.
A )5v-0
0 ^ + 0 
4
D)3v - 0 
< - •
R E S O L U C IO N : 
* De la figura :
5 í j b Determinar “x*
x + la
S
* Despejando: x**—v + 0 4
RPTA: “ C*
@>Indicar verdadero (V) o falso (F ) :
^ ^ a — V ea negativo ( )
H )
a
a - ‘ V a p o s it iv o ( )
m j “a” ea negativo ( )
A )W V B)FFF C )W F D )F W E)VFV
1 Determinar “x * :
A)— vuelta —0
B ) í vuelta -2 0 
2
C) ̂ vuelta + 0 
J
D)~2 vuelta - — 
4 2
B)— vuelta + ̂
4 2
A)9O°+a + 0
B)18O*+a~0
C)27(P + a -0
D)18GP+0-a 
Determinar “x '
A)48*
<
C)90°
Dn<r
E)5(F
Determinar “x ”
A) 50°
B )S O *
C )3 0 0 
D>-30°
í») Determinar “x ”
/ vuelta - a - p
B) 1 vuelta + a -p
C) ^ vuelta - a - p
D ) — oueZ/o + o - p 
2
E) 1 vuelta ~a + p
@ ) Indicar la relación correcta , dado el siguiente 
gráfico:
A) 360* + a + p
B) 360°+a - p 
O 3 6 0 *-a -p
D ) 180°+a - P
E) 360°- a + p
@ Indicar el valor de si OM es bisectriz de 
<AOB■ j , A
A) 8°
B ) l ( f ^ - x
C) 18
D ) 20a
E) 3d
[zSA&GULO TMMG0NQMETMíCO A T g * T E D m m iA M , KURVVOs)
Calcular ux n del gráfico :
A) 10°
B) 1S°
C) 20°
D) 25°
E) 30?
x-130°
3x-10°
© S i : LI ll'L*2 ’ calcular: "x n.
A) 10°
B) 20°
C)30°
D) 40?
E) 50?
(O ) De la figura, hallar ux ”.
A )— vuelta 
3
B )^ - vuelta
3
C )^ - vuelta
4
D )— vuelta
o
^ H a lla r “x ” en función de “ a ” y “ 0 ” , además: of 
es bisectriz del ángulo AOB: ¿
B)a - 0 
D )
A )W V B)FFV C)FFF D)VFV E )F W 
@ Indicar verdadero (V ) o falso (F ) según 
corresponda:
I) Al sumar ángulos en diferentes sentidos ; resulta 
una ángulo negativo .............................. ( )
I I ) Al sumar dos ángulos negativos resulta un ángulo 
negativo............................................... )
I I I ) Los ángulos negativos tienen sentido antihorario
 ( )
A) V W B) F W C )FV F D)VFV E)FFF
A)a + p «1 vuelta
B)a + p = — vuelta
4
C)a - p -1 vuelta
D)a - p = — vuelta
4
g
E)p - a = — vuelta
4
3 
a + $
E)^— ^
O
Del gráfico mostrado , ¿cuál es el valor de ux ”?
**
@ D e l gráfico mostrado, indicar verdadero (V ) o falso
(F) según corresponda:
/) a + p = — vuelta 
4
II)a - p = 4 vuelta
III)p - a = 4 vuelta
4
Indicar la relación correcta :
A)a = p
B)a + 0 = -p
c * , - , . §
D )a -P = 2Q
E)a - 3p = 29
@ H a lla r ax " t si: L ¡f lL ¡-
A )-40? B) -50?
O 60? D) 70?
E) 75?
(^Determinar “x ” :
A)a + 0
B )a -0
C )0 -a
D )- a -0
E)2a - 0
Determinar “x ” del gráfico :
A)30°~ — 
2
0 + 50°
B)30° + 0
C)3€?~ 4
D)60°+- 
3
[ A m t iO S O M L , TKLXA 'irA iWCMCLOPEM ¿ O ÍF ]
@ )D e acuerdo al gráfico , señale lo correcto respecto (g )D e acuerdo al gráfico; señale lo correcto respecto a 
 ̂ ̂ __ los ángulos trigonométricos mostrados.a los ángulos trigonométricos mostrados.
A)a + 0 -S - 0 = 1 vuelta 0
B)a + 0 + 5 -0 = 1 vuelta
C)a + 0 + 5 + 0 = 1 vuelta
D)S + 0 - a - 0 = l vuelta
E)5 + 0 + a -0 = 1 vuelta 
Del gráfico , señale lo correcto :
A)0 + a = — vuelta
2
B )0 -a = — vuelta
2
C)0 + a = ~ vuelta
4
D)0 - a — — vuelta
4
(0)Del gráfico , señale lo correcto :
A)0 - 0 = — vuelta
4
B)0 - 0 = — vuelta
4
C)0 - 0 — — vuelta
2
D)0 - ^ = - vuelta 
@)Hallar ux ” en función de los ángulos mostrados.
A )a -0 -9 O °
B)a + 0 = 90° / * a + fP
C)0 - a + 90°
D)0 + a + 9O°
E)90° - a - 0
@ ) Hallar ux ” en función de
tA
A)p + a -0
B)p - a + 0
C)0 - a - 0
D)0 + a + 0
E )a -0 + 0
ÍK m m E R l Á X tilJ lA » T tU G O N O M É TW €&
os ángulos mostrados.
i ñ I2 M w a m w M m - : . ■ m
i ; . íEEJO-V-üEEEH
A)a + 0 + 0 = 1 vuelta
B)a + 0 -0 = 1 vuelta
C)a - 0 + 0 = 1 vuelta
D)a - 0 - 0 = 1 vuelta
E)a + 0 -Q = ~ vuelta
@|En este caso , Calcular “x ” en función de los 
ángulos mostrados.
A) 0 + a AV s B
B) 0 -a
C) a -0 ___________
D ) - 0 - a O C
@1 Con ayuda de la figura mostrada, luego el valor de
u I) >x sera:
A) 5° 
C) 18 
E) 30 '
B)10° 
D) 20'
De la figura ; calcular “x
A) a + 0 = 9O°
B) 0 - a = 90°
C) 0 - a = -18O
D) a - 0 = 90°
E) a + 0 = 18O°
De la figura; calcular “x 9
A) a + 0 Af B
B) a -0
C) 0 -a
D ) - a - 0
De la figura ; calcular “x f
A )9 0 ° ~
£
B )9 0 °+ - 
2
C )J8 0 °-~ 
2
D)180° + —
2
[A A ro ro o TMIO0NOMETMMCO~A E O tT O R IA I B íJIitXOS)
@ S i en el gráfico OX y OY son bisectrices 
de l^cO B y ZAOB respectivamente ; señale lo 
correcto.
A)a - 20 — 90° y
B ja -0 = 270°
C)a - 20 = 180°
D)a - 20 = 360°
Del gráfico , se cumple :
a
A)0 + a = — vuelta
2
B )0 -a = — vuelta
2
C)20 + a = ̂ ~ vuelta
£
@ De la figura :
A)a + c — b
B)a - c = 6
C)a + b = e
D)a - b = c
la figura mostrada, calcular el valor de “x ”.
A) 18
B) 18,5
C) 19,0
D) 19,5
E) 20
(Qj Calcular el valor de *anyn0 *' S i: a + 0 = 900
A)a = 0°; 0 = 360°
B)a = 225° ; 0 = -135°
Cja = 240°; 0 = -15O°
D)a = 135° ; 0 = -225°
E ja = 150°; 0 = -24O°
(Q) Indicar la verdad de las proposiciones:
1)a = 430°y 0 = 30°,entonces ay 0 soncoterminales.
U ja = 5 vueltas y 0 = 4 vueltas , entonces ay /fson 
co terminales.
III) a = 120° y 0 = 840°,entonces ay 0 son coterminales 
A jFW BjVFV C jV W DjFFF EjVFF 
(f^Dos ángulos coterminales ay 0 cumplen que :
0 < 0*600° < a + 0 <1900°, luego un valor de
¿ u
na" sera: 
A) 600 ° Bj 700 0 Cj 720 ° D)1440 E)980
(Q)De la figura mostrada , el valor de “ será:
y
A)
Cj
100
180
E jZ
5
(í^)DeI gráfico, señale la relación correcta entre "a " y
A)a + 0 = 180°
B)0 - a = 180°
Cja + 0 = 90°
D)a + 0 = -9O°
E)0 - a = 90°
@ D e acuerdo al gráfico ; señale lo correcto respecto 
a los ángulos trigonométricos mostrados.
Aja + 0 + 0 = 1 vuelta
Bja - 0 - 0 = — vuelta 
2
Cja + 0 - 0 = — vuelta 
2
Dja - 0 - 0 = 1 vuelta
Eja + 0 -0 = — vuelta 
2
(Q )De la figura ; calcular **x
A ja -0
B )0 -a
C)0 + a 
D j - a -0
E)N.A
@Calcular “x ”.
A}9 
B j-0 
C j-2 0 
D jl8O °-0 
E)90° - 0
AXGVLO TRU.Om
I TBIG OXOMETRIAA o o LA o c / o o m i W l t ]
CAPÍTULO
03
SISTE9IAS DE MEDIDA ANGULAR
"T
de una vuelta en 360 partes iguales.
Se divide en 360 
partes iguales
l vuelta
* Unidad : 1 (grado sexagesimal)
ta l que: o <1 vuelta <1 vuelta = 360c
M - > v
4 ' .
Los instrumentos de medición que fue creando el 
científico para ayudarse en la investigación 
permitieron recoger los datos sobre los que se basarían 
los posteriores cálculos que procesarían la información 
tomada de los hechos.
Expresar la medida de los ángulos en términos del 
ángulo de una vuelta no es muy común y poco práctica 
, para ello utilizamos los sistemas de medidas 
angulares.
Loe sistemas de medición angular fueron inventados 
con la finalidad de medir con exactitud y precisión al 
ángulo , siendo tres los sistemas más conocidos , los 
cuales son : sexagesimal, centesimal y radial, siendo 
el primero muy utilizado en aplicaciones de ingeniería 
, topografía y navegación .
S IS TE M A SEXAG ESIM AL 
O IN G LÉ S (S )
Es el sistema más utilizado en las aplicacionesde 
ingeniería, navegación ,etc
Es aquel sistema cuya unidad de medida es el grado 
sexagesimal ( I o) , el cual resulta de dividir el ángulo
360
* Sub unidades:
I o=60’ ( V : m inuto sexagesimal)
1 '=60”.......... (1 ” : segundo sexagesimal)
* En consecuencia : 1°=3600”
* Además debemos tomar en cuenta que:
a°b' c " = a° + b ’+ c '+ í a + + - ¿ - 1
l 60 3600)
E J E M P L O :
28a 24' 3T = 28° + 24'+ 3"
N O T A :
Ei sistema sexagesimal es un sistema de numeración 
posidonal que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la 
antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más 
moderna, por los árabes durante ei califato orne ya. El sistema 
sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y 
segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho 
sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de 
orden superior.
El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 
2 ;3 ;4 ;5 ;6;10;12;15;20;30 y 60), con lo que se facilita el 
cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más 
pequeño que es divisible por 1; 2 ;3 ; 4 ;5 y 6.
Al contrario que la mayoría de los demás sistemas de 
numeración, el sexagesimal no se usa mucho en la 
computación general ni en la lógica, pero sf en la medición 
de ángulos y coordenadas geométricas. La unidad estándar 
en sexagesimal es el grado. Una circunferencia se divide en 
360 grados. Las divisiones sucesivas del grado dan lugar a 
los minutos de arco ( 1/60 de grado) y segundos de arco 
(1/60 de minuto).
El uso del número sesenta como base para la medición de 
ángulos, coordenadas y medidas de tiempo se vincula a ia 
vieja astronomía y a la trigonometría. Era común medir el 
ángulo de elevación de un astro y la trigonometría utiliza 
triángulos rectángulos.
[a s is t e m a s DE M EDtDAS AXCVUUUS» O ] M [ E D n O R L ÍI, RiJBtÁOS]
El primer sistema sexagesimal conocido en la historia fue el 
creado en la antigua Mesopotamia entre los años 2000 y 3000 
a. C. Este sistema usaba la cuña y para representar unidades 
del 1 al 10 y la cuña horizontal < para representar la3 decenas. 
A partir del número 59, usaba un criterio posicio nal.
T <" « V
ixstf i?*«o 23x«r - 4343
La supervivencia actual del sistema sexagesimal en la 
medida de los ángulos y el tiempo se debe a su adopción 
por los griegos para los desarrollos aritméticos. 
O B S E R VA C I Ó N :
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos 
sexagesimales. El grado sexagesimal es el ángulo que 
se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes 
iguales.
* Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° — 60'
■ Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60"
/S k /S k
grados minutos segundos
N3 >'
E J E R C IC IO S !
Lü1 ¡ Pasa a minutoa loa siguientes medidos da ánguloa. 
7*= 7x60 = 420 
15* =
28* =
34*
34* 12 * 34 x 60 + 12 
25*7 =
4(7 51 =
52° 2 6 =
2 . Poaa a aegundos las siguientes medidoa de ánguloa.
12" = ¡2X60 =
2 6 •
5* = 5x60x60 = 
19* =
32‘ 16 = 32X60 + 19 = 
17 6- =
21° 46 = 
i r ser =
3 Poaa a segundos loa aiguientea medidos de ángulos. 
Í ' S S IT = 4x 60x60 + S5x 60 + 17 =
6° 56=
1620 41"=
22*3616 =
4 Pasa a m in u tos las aiguientea m ed idas de ángulos.
ISO" = 180 *60 =
SOO~ ss
730” =
660"
5 Pasa a g ra d os las s igu ien tes m ed idas de ángulos.
14400" = 14000+ 60+ 60 =420
660 32400"
6 E xpresa en g ra d o*, m in u tos y aegundos.
•2 4 983"
24 983 [ 60__
0 98 416 | 60
24 983" = 6 66 23" 
4>
383 66 6*
aar■
L.
JJ
36 470"
• S I 092 ‘
S IS TE M A CENTESIM AL 
O FRANCÉS (C )
Sistema cuya unidad de medida es el grado centesimal 
( l 1) , el cual resulta de dividir el ángulo de una vuelta 
en 400 partes iguales .Este sistema es de poco o nula 
aplicación práctica.
* Unidad : 1* (grado centesimal)
. . t <1 vueltaTa l que: 1 = -------------
H 400
<1 vuelta = 400
* Sub unidades: 
l g= 100m . M m : m inuto centesimal)
[ ATRMGDMMBTMIAa r?o LA ENCICLOEEDI f¿ ]T |
J" =100*.-.— .(V : segundo centesimal)
* En consecuencia : 1*=10000'
N O TA :
El grado centesimal admite como submúltiplos el minuto y 
el segundo centesimales. El m inuto centesimal es la 
centésima parte del grado centesimal y el segundo centesimal 
es la centésima parte del minuto centesimal.
Este sistema, que tiene la ventaja de que los múltiplos y 
submúltiplos están vinculados por potencias de 10, pretendió 
reemplazar al sexagesimal, pero no consiguió imponerse 
dado que la casi totalidad de los aparatos para medición de 
ángulos: sextantes, teodolitos, brú ju las, etc., están 
graduados según el sistema sexagesimal
GRADO CENTESIM AL: Cada una de las porciones 
que se consiguen al dividir el ángulo recto en 100 partes 
iguales.
En el sistema centesimal, la circunferencia se divide 
en 400g, cada grado se divide en 100 minutos y cada 
minuto en 100 segundos . Los segundos se dividen a 
su vez en décimas, centésimas, milésimas ...
Los grados centesimales se designan añadiendo el 
superíndice « g >» a los grados,« m » a los minutos y „ 
« g » a los segundos .
12* 36m 47,08'= 12 grados , 36 minutos , 47,08 
segundos
* Además debemos considerar que :
a8bmc‘ = a e + b m + c a
E J E M P L O :
* De la definición :0 = —= ~ ^ = 2r 2cm
* El número 2 no tiene 
unidades , así un ángulo 
de 2 (radianes) significa 
un ángulo que subtiende 
de un arco cuya longitud 
es dos veces la longitud del 
radio (£ = 2r ) .
O B S E R V A C IÓ N :
1 rad = 67°17'4S 1 rad > Io > l g
* El ángulo de media vuelta mide :
180° = 200* = n ra d
í vuelta
O -
* Aproximaciones de "¡r ”
ira 8,14161 x a ■22
ws-JS +s¡2 ira i m
SISTEMA RADIAL 
O CIRCULAR (R )
Llamado también internacional, el cual es un sistema 
cuya unidad de medida es el radián (lra d ) el cual 
representa la amplitud de un arco , en donde su 
longitud mide igual al radio de la circunferencia que 
lo contiene.
La medida de un ángulo en radianes (número de 
radianes) viene expresado por :0 a —
Lados del 
Angulo
* El ángulo de una vuelta mide:
EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES
36QP = 400e = 2nrad\ 0 ?
1 vuelta
\m<lvta = 360° = 400g = 2xrad
90° = lOO* *= — rad 
2 vuelta
tAola:
Usualmente en el lenguaje matemático no se escribe 
“radianes” pues ya se sobre entiende, por ejemplo ,
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES a ] a o [ E o m m iA i , R n tL x iis )
se escribe sen^ j en lugar de a e n ^ ra d j.
^Magnitud equivalente Factor de Conversión:
M iU iq u .
B«ÉÉe»»iem|*lBid6»ee*fldgmcaatoÉS«fcfloei6ey pacfeh «ente acdtvMdftdebdgucfciHttUcn 360 pctt«e*MvpbMcU » W ptUw 4a mH mUmk> con b damióo át w tfto, 365 álm. twMd» w potMc que mcd m 4«b* « qu* um drawicMfiáa k divida ttdbMnt* m acto pattoa (guaba qua original vat haadgono «eguhr y «ed« uno dd lee i*gela» ea «i o«»tto eü» 86*.
t&dtfM algán ilMMt de aeedide de dogulee ntflmmlri coa «1 rtMaeude¿e*I7 LencpoeatacaaítaBatinyeontoateeidividir le dwuatoaania aa<00 eme de (goal longHad. CedeiMOdeaeee
eesee «i|ke en áne* que eide wt gê e eerwteel Per e(wp*»ce mm Mae lee toignloa «edoa nddm 100 padoa centafaaab» o gpaba (J00*V Geee atabaca eactaakaat ce «tflleede en alguoaa ipikedocce Hanéem. Ved« celadederee ttanm lee traa e md («Odel. *gNe (em̂etoel) y gied# (ewÉewfí.
0 radián mkto «t ángulo qiw ha girado una rueda cuando la 
lenta ha rodado una dUtanda igual ai radio da la misma.
Es una prédica usual danotar un inguk) y su macüda oon la 
misma istra. Así aa «acribe a « 45* para indicar ai ángulo
a que ndde 46° (en el sistema sexagesimal) o bien? (en a) 
sistema radián).
¡j'Magnitud equivalente Factor de Conversión
n rad = 180° xrad
180°
lfto xrad x ,
=>a=1 ¡rx l 8 r = l s rad
E J E M P L O 8 :
Convertir a radianes la siguiente magnitud angular 
0=15 9
R E S O L U C IÓ N :
Magnitud equivalente Factor de CofifóHSfój^
xrad = 200e xrad
200g
/» xrad 3x ,=> 0=15g x - = — rad
200g 40
E J E M P L O 3 :
Convertir a sexagesimales la siguiente magnitud 
angular Q = 24g
Magnitud equivalente Factor de Conversión
*8O*■1II& 10g
9o
FACTORES D E COINVERSION
Son fracciones equivalentea la unidad y se obtienen 
dividiendo dos cantidades equivalentes, colocando en 
el numerador una medida en la unidad deseada y en el 
denominador se coloca su equivalente en la unidad a 
eliminar.
MAGNITUDES ANGULARES 
EQUIVALENTES 
*<1 vuelta : Iv => 360°= 400g- 2nrad 
* < L lano : l/2v => 280°= 2008—nrad 
* Grados: 9°=10g 
*<Recto : 114 => 90°= 100g= nl2rad 
* fióla:
“Para convertir un ángulo de un sistema otro , 
multiplicaremos por el factor de conversión”.
E J E M P L O 1 :
convertir a radianes la siguiente magnitud angular 
a — 12°
R E S O L U C IÓ N :
10g
E J E M P L O 4 :
Convertir 36° a radianes. 
R E S O L U C IÓ N :
* Como :
0= 24* X = 21,6°
xrad = 180° xrad
180°
- 1
* Ahora :
o/?o 0*0 xrad 36 _ x36 = 36 x = ---- x x rad = — rad
180° 180 5
E J E M P L O S :
Convertir 90g a radianes.
R E S O L U C IÓ N :
* Como: xrad #xrad = 200g =>----- = 1
200g
* Ahora : 90s = gog x ^ ^ = — rad
200g 20
E J E M P L O 5 :
Convertir a radianes y sexagesimales la magnitud 80s. 
RESOLUCIÓN:
i— 80*XJ!L =72°
80* J 101
L*. ftQK̂ jirad - 2xrad
E J E M P L O 6:
I o 1g 0°
Calcular : E = — + ------ + —
V l m 5g
R E S O L U C IÓ N :
* Recordemos : I o = 60* l g = 100m 9o = 108
* Reemplazando en :
[A IW W W W K T M A * T J l X LA JBXCMCLBPED1 *9 l*~ }
E = ~ + + ̂ = s E = 60 + 100+2 = 162
r i * 6*
E JE M PLO 7 :
Calcular «o + ¿«sabiendo que: ^ r0£* = a° & 
R E S O L U C IÓ N :
* equivalencia : xrad = ISO®
IdCf 48 48+1*
xrad 8
x , 180P—rad x 
8
factor d t 
eotnanUm
l) 16 * r> sexagesimales (*)
Factor de conversión =
* Luego: 
a=16‘
9®
10»
9® 144* 72*
14,4°o10' 10 
TI) 16 ' => radianes
Factor de conversión
* Luego:
«ra d
200'
a = 16*X
!@ tecuebda !
xrad 16 x rad 2x . —----------- s — rad
200* 200 25
En un sistema de medición dado , para pasar de una 
unidad superior a una inferior se multiplica por la 
equivalencia respectiva. Para pasar de una inferior a 
una superior se divide entre la equivalencia respectiva.
Por ejemplo , para el sistema sexagesimal se tiene el
cuadro siguiente:
= 22+—=22°+30 
2
* Luego: ^rad=22?30
8
* Comprobando : a = 22 ; b = 30 
•Entonces :a + b = 52
lAo/aó:
* Cuando se escribe grados , se refiere a los 
grados sexagesimales. 
“Para convertir de un ángulo de un sistema a 
otro ; multiplicaremos por el factor de 
conversión” .
E JE M PLO 8 :
Convertir a sexagesimal y radianes la siguiente 
magnitud angular a = 16*
R E S O L U C IÓ N :
E JE M P L O 1 :
Convierte 15°26’35" a segundos sexagesimales. 
R E S O L U C IÓ N :
18“15x3600*“54000"
28 = 26x60" = 1560"
•Luego:
1826*35" = 54 000" + 1 660" + 3S" =55 595" 
E JE M P L O 3 :
Convierte 24,3075° a grados , minutos y segundos 
sexagesimales.
R E S O L U C IÓ N :
* 24,3078° (se queda con la parte entera) ...........24°
* 0,3078=0,3075x60? =18,48...{parte entera)...!?
* 0,48 = 0,45x60'= 27'
•Luego : 24,3075° ~ 2818 2 T 
E JE M P L O 3 :
Convierte 39 864* a grados y minutos sexagesimales. 
R E S O L U C IÓ N :
39 864 \ 60
39 840 664 I 60
1 1 *28 660 
4
=> 39864* * 11°4'24*
E JE M P L O 4 :
Hallar el número de minutos sexagesimales de un 
ángulo positivo , si se sabe que el producto de su 
número de grados y segundos sexagesimales es 32400.
R E S O L U C IÓ N :
• Sea: m (minutos sexagesimales)
S : número de grados sexagesimales 
p : número de segundos sexagesimales.
• Luego : S xp = 32400...»............. ( I )
• Reemplazando equivalencias: S = 3 600p
[¿^SiSTEHAS DE MEDIDAS ANGCUÍHE& A ] 88 [
* Reemplazando en ( I ): (3 600p)p = 32 400
* resolviendo : p=3
* entonces : m =60’(3)=180'
t:nm >RL\L m u r ta s ]
(tenemos que expresar en una misma unidad • 
minutos)
•Recordar: 1° =60'=>2° =120'
lOloJ
0 i
PR O B LE M A 1 :
I ) Convertir 36° a grados centesimales. 
ZZ) Convertir 15°a (rad ).
I I I ) Convertir 80* a (rad). 
R E S O L U C IÓ N :
I) Utilizamos : 9° = 10* , entonces:
t i
40*
U ) Utilizamos : 180* = *• rad , entonces:
x rad
12
i »
I I I ) Utilizamos: 200' ■ n rad, entonces;
xrad 2x ,
 7 = — roa
200* 6
PR O B LE M A 2 : 
Señale el valor d e : p = £
— rad
180c
® í D )3
0
E)0,1
— rad x f 180°
^xrorf J
90•
• Reemplazando : p =
PR O B LE M A 3 :
2 o 2 ' 
2 '
90° 
180°
RPTA: “C*
Simplificar : P — •
A) 61 B) 72 
R E S O L U C IÓ N :
• De la expresión : P —
C)52
2 o + 2 ' 
2 '
D) 41 E) 60
•Luego : P = 120̂ 2 ' = I 221 = 61
2 ‘ 2 ‘
RPTA : “A ’
PR O B LE M A 4 :
Del gráfico mostrado, calcular “x ” .
A) 26 °
R) 26
C)-24
D) -27
E) -17
R E S O L U C IÓ N :
* Del gráfico : (5x - 9)Q = -160*
• Transformando el miembro 
sexagesimal: (5x - 9)° = -160* x
• Transformando el miembro derecho al sistema
9o
10*
A) 1 B) 2 
R E S O L U C IÓ N :
• Hay que convertir en un mismo sistema para poder 
operar:
=> —rad => sexagesimal 
2
=> ( 6x - 9 )°= - 144° x > 6 x -9 = - 144 
=> 6x = - 135 => x = -2 7
RPTA: “D ”
P R O B LE M A 5 :
¿Cuántos segundo hay en :p = 2°4 '6 'r>-
A) 7 444 B)7446 C) 7 446 D)7404 E) 7448
R E S O L U C IÓ N :
* Pasaremos a la misma unidad : 0 = 2° + 4 '+B'
* Recordar que:
> 2* = 7200'1° = 3 600'
1 = 6 0 ' 4 = 240'
• Luego: 0 = 7 200"+240'+5’ => 0 = 7445'
RPTA: “ »■'
P R O B LE M A 6 :
¿A cuánto equivale —del ángulo de 1 vuelta en cada 
sistema?
A )3 0 ° ; 60* ; — rad 
6
2 x
B)60° ¡ 70* ; ~ - r a d 
6
0 7 2 ° ; 80* ; — rad D )64° ; 70* ; ~ ra d 
6 6
R E S O L U C IÓ N :
• Sistema sexagesimal: ~z(l vuelta) = ̂ -(360*) = 72°
o 5
* Sistema centesimal: ^ (1 vuelta) = ̂ (400*) = 80*
LA ENCMCLOFEDI M01M ]
* Sistema radial: ^ (1 vuelta ) = ̂ (2 x r a d ) = ~ r a d
o o o
* Se pide : 72?; 80* ,* ~ r a d
5
RPTA: "C "
PR O B LE M A 7 :
Del gráfico, calcular ux " , si OC es bisectriz.
c ,
B
18
C)S D } 4 E ) 6A) 1 B)2
R E S O L U C IÓ N :
* Como los ángulos están en unidades diferentes; los 
vamos a expresar en las mismas unidades para poder 
operarlos. Todo lo convertimos al sistema sexagesimal; 
sea:
9o30*
10*
2 7o
p = ̂ - m d x ^ - = 10°
18 f
P R O B L E M A 9 :
2 7 °+ 2 3 ° SOP ,C = ------- ----- « —
100 10°
RPTA ¡ “C ’
En un triángulo, dos de sus ángulos miden —rad y
X »
^ ra a . ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer 
ángulo?
A)S0P B) 340° 0840“ D)60° E)50°
R E S O L U C IÓ N :
*Graficando , se nota que sólo debemos sumar los 
ángulos e igualar dicha suma a 180°. Pero primero 
convertiremos todo al sistema sexagesimal:
A = ~ r a d x - ^ - = 90°
2 x ra d
C = ~ r a d x I^ ~ = G0°
3 x ra d
=>90> + 6O* + x = 18O‘
=>* = ao®
P R O B L E M A 10 :
R P T A : “A
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando los ángulos en sentido antihorario; como 
OC es bisectriz, entonces:
Ck r ^ °
(5 x + 8 )°= (6 x -9 )°
5x+8=*6x - 9 A '
=> 8+9=6x ~ 5x => x=17
0
R P T A :
P R O B L E M A 8 :
Señale el valor de : C = * -?°-
-rr rad
Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo 
“B ” en radianes. D
A ) l r a d
3
B )~
4
®§
D)x
E )Z
R E S O L U C IÓ N :
* Transformando todos los ángulos al sistema 
sexagesimal:
_1 0 x* _ M íx * 9? _ 0„ 0
A = ~ x ^ - = 3 x 
3 3 jtfK
B = 9x°
xx , xx , 180° _ 0
C = — rad = — rad x--------— 6x
30 30 x ra d
=*A + B + C = 180Q=>3x°+9x0+6xo = 180o z>x = 10 
* Como:
B = 9x° => B~90° x Z ^ = - r a d
180° 2
R P T A : “ C M
P R O B L E M A 11:
Del gráfico , hallar “x ” si q c es bisectriz
B
A) 2 B) 4 C )6 D ) 12 E) 18
R E S O L U C IÓ N :
* Colocando los ángulos en sentido antihorario; como 
OC es bisectriz , entonces :
[■¿•SISTEMAS BE HEDIDAS ANGULARES A ] 84 EOm iRIAI, REBIS’ÓS]
(5x~3)*=(6x~9)* 
=>5x-3=6x -9 
=> -3+9=6x-5x 
=> x =6
RPTA ¡ UC ’
PR O B LE M A 12 : 
Señale el valor de : C¡
A) 1 B) 2
R E S O L UC IÓ N :
9o
30* + jar
* Luego , sabemos que: A + C = 90a
* Esto es:
(24n)°+ (36n)° = 9<7=>60n = 90=> n = -
2
9
C}3
rad RPTA : “E*
D) 4 B )6
PR O B LE M A 1 5 :
Calcular "x ” , en la igualdad :
a= 30, x — -=27*=> 
g JO*
„ x 180a nyia
0 = —ra d x -=20*
9 ir roa
c = 27°+13r_40a 
2(7 2(7
=>C = 2
rad + (40x)*=38r
D)i E)íRPTA : “B ”
PR O B LE M A 13:
En un triángulo, dos de sus ángulos miden ~ rad y %
O O
rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? 
A) 84* B) 74* C) 94* D) 64* E) 54* 
R E SO L UC IÓ N :
* Grafioando; se nota que sólo debemos sumar los 
ángulos e igualar dicha suma a 18(7, pero el primero 
convertiremos todo al sistema sexagesimal:
A = ^ r a d x - ^ - = 6(7 
3 xrad
C = - r a d x ^ -= 3 6 *5 xrad
* Luego
A + B + C - 18(7 
^ 6(7 +*+ 36*=18T => x= 84°
PR O B LE M A 14:
En un triángulo rectángulo, ios ángulos miden (40n)g 
y (24n)*. ¿Cuál es el valor de “n"l.
A)1 B)2 C)3 E) |
R E S O LU C IÓ N :
A) 1 B) 2 0 3
R E S O LU C IÓ N :
* Para poder operar , convertimos todos al sistema 
sexagesimal; sea:
xrad 180*a = -
0 = (40x)*x
xrad
97
10*
= > a =2 0 *
0 = (36x)*
Reemplazando:
2<7+(36x)*=38* => (36x)*=187 => x-
RPTA: ”En
PR O B LE M A 16 :
Simplificar: C = ^ -
A) 36 B) 46 C) 66 D) 66 E) 76 
R E S O L U C IÓ N :
* En la expresión : r + ^
* 4'
* Tenemos que expresar en minutos, para poder operar 
RPTA ; “A " i como: P=60 ^>3r = 180
* L u e g o : C = M ^ = ^ C = *>
4' 4'
RPTA: “B ‘
PR O B LE M A 1 7 :
¿Cuántos segundos hay en : o = 2° 3'4” ?
* Graficando la situación; note para poder operar los ^ 4 ® 7384 D) 7944 E) 9426
ángulos deben estar en las mismas unidades ; R E S O LU C IO N :
Convirtiendo:
C =(40n)* x-^~zz(36n)* 
10*
* Pasaremos las unidades a segundos ; así: 
0= 2* 34" = 2* + 3 + 4”
[ A M f iW J O l lE T m A á I A RXCMCLOPEDI l Ó i l )
* Como:
l a=360<r => 2e=72001'
V=60T^ 3=180
* Luego : 0 = 7200"+180" + 4"^>0 = 7554"
APTA .* UC ”
PR O B LE M A 18 :
¿Cuántos minutos centesimales hay en : 0 = 3*45m ?. 
A) 46 C)145 B) 246 D) 345 E) 445
R E S O LU C IÓ N :
* Convertimos todos a minutos:
0 *3 * 45m = 3* + 45*
* Como: i * . \Qom =$ 3* = 300m
* Luego : 0 = 300m+ 45m => 0= 345m
RPTA : “D n
PR O B LE M A 19 :
En el gráfico ; hallar “x ”
* Ahora si; igualamos: ,.. (36n)e
(7 7 1 +1 ) — ----- —
* Operando: 35n + 5 - 36nz$n = 6
* Luego : a = (7n + 1)° = 36°
*Lo convertimos a radianes:
a =36° x — rad => a = —rad 
180 5
RPTA i UC "
P R O B L E M A 81 :
En un triángulo isósceles, los ángulos miden (7rt •2)‘> 
y (7n + 4)*.¿Cuántos mide el ángulo desigual en el 
sistema sexagesimal?.
A) 60a B) 44* C) 36° D) 72° E) 54a 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando; tenemos:
A =(7n-2 )° y C =(7n+4 )*, para poder igualar
C) 27 D) 23 E) 43A) 17 B) 13 
R E S O LU C IÓ N :
'Colocando todos los ángulos en sentido antihorario y 
convirtiendo al sistema sexagesimal:
0=70* x -^ -=63a 
10*
70g + x°=90>
=> 33°+ * o=90° =o x°=2T => x=27
RPTA: UC ”
PR O B LE M A 20:
Sabiendo que un ángulo se expresa como (7n+ l)° y 
también como (8n )f . ¿Cuál es su medida radial?.
A jo ra d B )^ C j|- D )^ E )Z -
3 4 O o y
R E S O LU C IÓ N :
•Sea “ a ” el ángulo ; luego\ a - (7 n + iy y a=(8n)*
* Pero para poder igualar y operar, lo expresamos en 
la misma unidades:
9“ (36n)Ba = (8n)* x — -=><z = -------
10* 5
=> C= (7n + 4 )*x -^~ = — (7n + 4)*
10* 10
* Ahora si; igualando : A = C
•Operando: =>(7n-2)* = — (7n+4)°
10
70n - 20 = 63n + 36
=> 70n • 63n = 36 + 20 => 7n = 56 => n = 3
* Luego:
A = (7n - 2)° = 54a ; C = A = 54°
•Com o:
A + B + C = 18<P =>54° + x + 54° = 180°
=> x + 103° = 18(P=> x = 72°
RPTA : “D ”
P R O B LE M A 23 :
En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos miden 
(2071)* y (12n)\ ¿Cuál es el valor de “n"?
« i •IA) 1 B ) 2 C )3
R E S O L U C IÓ N :
• Graficando la situación, note que para poder operar 
los ángulos deben estar en las mismas unidades.
[ASMSTBMAS DE MEDIDAS AJVGUIARE& ^ ] BB ED ITO RIAL REBIÁOS)
Convirtiendo: P R O B L E M A 25 :
Al simplificar la siguiente expresión:
x° + 4x° + 9x°+„„ + n2x°
K -
* Luego, sabemos que : A + C = 90°, esto es:
(I2n)° + ( I 8n)° = 90° 30n = 90 => n = 3
RPTA: “C ”
P R O B L E M A 23 :
^ T? 1° + 2o + 3o + 4o + ....+ 200° 
Simplificar: r = — ------ —
l 8 + 28 +3 8 +4g + « . . + 100^
A)3¿4 B)4,12 C)4,42 D) 4,98 E)5,02
R E S O L U C IÓ N :
* Para este caso debemos recordar :
l + 2 + 3+....+n = n(n + 1)
2
* Que al aplicarla, se obtendrá :
^ 2 0 0 x 2 0 7 ^
JlOOxlOlJ 1018 101g 9o
P R O B L E M A 24 :
xg + 4 x e + 9xg +.... + n2xg J 
Se obtiene en grados sexagesimales:
* (t T ®(¿r c” ‘ ® ( f j
R E S O L U C IÓ N :
* Factorizando " x ” , se obtendrá :
K =
* Transformando : K = x° io * r 9° „—: * ------ x — - = 2^
9° J 20*
2 ) _ 402°_402°x 10g = 4020^i 42
 ̂ 909 9
RPTA: “C ”
Si: 0 = a5° b6 ' c7'\ es el complemento del ángulo de E)181a - 9p 
medida 14,3925°, calcular: H - a + ̂
RPTA: “C”
P R O B L E M A 26 :
Dado al ángulo trigonométrico de la figura , luego 
ocA0 cumplen la relación.
A)112a = 3fi
B)115a — 4p 
Ol45a = 6fi
D)162a = 5p
C
D)3B)1 02
R E S O L U C IÓ N :
•Debemos plantear:
a5° b6 ' c7" = 90P-14,3925°
=> a5° b6 ' c7 "=75,6075° = 75°+ 0,6075°
60'
E)5
R E S O L U C IÓ N :
• Del gráfico : am = p ”
18 i *
=>amx — — = /Tx —
100m 60”
l g 9° a V 1°=> a x ----- x— — = B x — x---
100 10g 60 60'
a5° b6 ' c7 "=75° + 0,6075° x
9x° _ 0° 
1000 3600
162x = 5fi
I o R P T A :“D ”
^>a5°b6' c7 "=75°+ 36,450'= 75°+ 36 + 0,45'
=>a5° b6 ' c7 n=75° + 36 + 0 ,4 5 'x ^
=>a50b6' c7"=75° + 36'+ 27"
=>o5° b6 ' c7n=75°36'27”
* Entonces :a = 7 ;b = 3 y c = 2
* Se pide : H = — = 5
P R O B L E M A 2 7 :
De la figura mostrada, calcular: 75o
4b
R P T A :UE ” A)
6
B) E ) - l
[d H J 6 W O T C T «U 4 M ENCiCLOPEDl X O lT ]
R E S O L U C IÓ N :
* De lo obtenido en el problema anterior, se obtendré: 
162a=5b=>?- = 5
b 162
* Se pide:
V 4b Y 4 *1 6 2 **4 x5 4 Y
125 5
Si
A) 21*90- B)61* C)21*96- D ) 21*36- E)23*36m 
R E S O L U C IÓ N :
* Del enunciado : m° = n* =* — = .............( I )
n 10
«Ahoraen:
( 62n» "l 10*
n ) * 9 .............
* Reemplazando (I ) en (I I ) :
- ( • - ■ y - T - * '
. ( I I )
RPTA: “B ”
PR O B LE M A 29 :
Para un ángulo central en el primer cuadrante sean a 
y 0 sus medidas en los sistemas sexagesimales y
27 9centesimal respectivamente. Si a » — + —, entonces
10 0
la medida de dicho ángulo en radianes es:
A ;_í_ B )— C )— D )— E) —
27 9 37 40 47
R E S O L U C IÓ N :
* Del enunciado:
a = 9k y 0 = lOk
* Que al reemplazarlo en la relación dada se obtendrá: 
27 Q
9k « — + => 90k2 = 27h + 9
10 lOk
>10k*-Sk-l-0 Descartado 
. por negativo
2k-i-o->k-
2
* Se pide:
216 6 
RPTA: “A ”
PR O B LE M A 28 :
Un ángulo $, mide en los sistemas sexagesimales y 
centesimalmyn respectivamente, calcular la medida 
de a en grados centesimales y minutos centesimales. 
( m*
xrad x . 
x - - - —rad
200* 40
RPTA: “D”
PR O B LE M A 3 0 :
Determine el valor de la sumatoria infinita siguiente:
F=xrad+90’+50* +Zmd+4ff+2& +-̂ wd+2¡F30 +12? 50"2 4
A) 600° B) 615a C) 630° D) 645° E)660P
R E S O L U C IÓ N :
* Agrupando adecuadamente:
F - xrad + 90a + 50* + —rad + 45* + 25* +...
2
...+^-rad + 22°30‘+12*50"' + ... (infinitos términos)
4
* Ordenamos:
i i . i wi „ i „ i
*J *| *1 * í " I *1
* Recordemos el uso de una progresión geométrica 
decreciente (suma límite):
a + o r + a r*+ ....= ------; 0 < r < l
1 - r
* Que al aplicarla en “F ”, se obtendrá:
F =
1 -
2 )
rad + 90°
‘ - i
50*
- h
F — 2 xrad + 180° + 100* =630*
360" 90°
RPTA: “C”
P R O B LE M A 31 :
Del gráfico siguiente, indicar cuál(es) de las 
proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):
I) Es: a - 9
W a + 0=180°
O I) o es un ángulo positivo y a es un ángulo negativo.
A) W F V . $
B) VFV
C)FFV - 10
D) VFF
E) FFF
[^S ISTEM AS DE M EDIDAS ANGULARES £> ] 38 (
R E S O L U C IÓ N :
EDMTORIAI, RUDUVOS]
•Para relacionar ángulos trigonométricos éstos deben 
de tener el mismo sentido. Luego, en el gráfico :
I)FALSO, puesto que: - a = 8 
U)FALSO, puesto que: 0 - a = 180°
* Reemplazando en (I ):
135 + C = 180a=>C = 45°
=> B + C = 135a
* Reemplazando en ( I ) :
135* + A = 180° x> A = 45°; B = 90°
=*► Se trata de un triángulo isósceles rectángulo 
P R O B LE M A3 4 :
Las medidas de los tres ángulos de un triángulo son:
f o x }
tll)V E R D A D E R O , puesto que 9 tiene sentido ifc+^^d ian esy (x+2 )*’
antihorario y a sentido horario.
R PTA : “C”
El mayor de ellos expresado en radianes es:
PR O B LE M A 32 :
A partir del gráfico, calcular :<x- 6
A) 400*
B) 360*
cuso?
D)470?
E) 450°
R E S O L U C IÓ N :
* Del gráfico:
Ai 100 B) 100 x
100+x ' 100+x
R E S O L U C IÓ N :
C)
100+x
D) 9x 
10+x
E)
90+x
0 + V + 9O* = 360°
=>0 + y=27O°
♦Además: a _ gp + p
- 8 - 9 0 °+ y
Convertimos cada uno de los ángulos a radianes 
t _ 9x° _ xrad xrad
10 10 
*(x+ 2)g=(x+2 )g x
180? 200
xrad _ (x + 2)xrad 
200* 200
*(x+ l)ra d
Como son los ángulos internos de un triángulo.
jr* (x+2)x L, ,+ — —+ (x+ l)= x :
sumando
a -e «18Q o+p + y
170»
=>a-0 = 46O°
PR O B LE M A 33 :
En un triángulo ABC se cumple que:
A + B = 3^ rad; B + C = 135° .Dicho triángulo es:
A)Equilátero B) Escaleno - rectángulo
Cfltósceles - rectángulo D) Obtusángulo 
R E S O L U C IÓ N :
200 200 
(2x+200)x+200+2x 
200 
99x -100
x(2x+2) + 200(x+l)
200 200 
2(x+100)x+2(100+x)=200x
x+100
RPTA : "E ” Luego el mayor ángulo será:
(x+l)rad={™ * + j)iw f => (x+l)rud={ - ^ - ] r a d .
K x+100 ) \x+100)
♦Dado:
• A + B + C = 180°.
x+100
RPTA: “B " 
EJERCIC IO S D E A PL IC A C IÓ N
(@7) Expresar en grados : 
a) 53? 16'50* =
. ( I )
4
6) 170*36'50* = 
c)28*10' =
R p ta : 53,28055556* 
Rpta : 170,6138889* 
R p ta : 28,1666666T
99 C LA ENCÍCLOPEDI
a>
b)
c)
d)
f íp ta : 46.01°
R p ta : 276,1519444°
R p ta : 989,6'
R p ta : 8899,6' 
R p ta : 2710'
R p ta : 4920¿3'
R p ta : 127183” 
R p ta : 261600" 
Rpta : 496819” 
Rpta : 1232336"
c# 45*36” =
e)276?09'0T =
Expresar en minutos:
16° 29'32" =
148° 19 '37 ’ =
46° 10 ' =
82° 18” =
Expresar en segundos:
a) 3 5 1 9 4 3 " =
b) 72°40' =
c) 180° 19” =
d) 342° 18' 66" =
Expresar en grados, minutos y segundos :
a) 38,466° = R p ta : 38? 27 ' 57,6"
b) 126,03334° = Rpta : 126° 02'
c )136,44' = Rpta :2° 16' 26,4”
d) 362,62'= Rpta :6 °0 2 ' 3 7 X
e)40436" = R p ta : 11° 13'56?
f) 6836T = Rpta :18° 59 ' 27“
Reducir a] sistema circular Para x = 3,14.
a) 42? 29 ' 36' = R p ta : 0,74 rad
R p ta : 2,61 rad = (516) x rad 
R p ta : 0,63 rad 
R p ta : 2,54 rad 
R p ta : 0,06 rad 
Rpta :0¿28 rad 
R p ta : 4,71 rad = (3/2) n rad
b) 160? =
c)36?18' =
d) 146? 36” =
e)184,68' =
f) 58348” =
8) 270? = „
@Reducir al sistema sexagesimal.
a) 1,36 rad =
b) 0 ¿ 8 rad =
e)(3/2)w rad =
d) (314) x rad =
e)(2/5)x rad =
f) (3/7) x rad =
g) (5/9) x rad -
h) (ll/ 12) x rad =
Rpta : 77° 57 ' 42,42? 
R p ta : 16° 03'03,44” 
R p ta : 270?
R p ta : 42? 59 ' 37,OT 
R p ta : 72°
R p ta : 7 T 08' 34¿29" 
Rpta :100?
Rpta : 165°
Se considera para x = 3,14.
^Expresar en el sistema circular un ángulo de:
a) 18°= Rpta : (1110) x rad
b) 30? =
c)36? =
d) 43? =
e)45° =
f) 60? =
g) 72° =
h) 75° =
i) 80? = 
í) 120? = 
k) 161° =
I)540? =
II) 36?40' = 
m) 42° 27 ' 32" = 
n) 42? 59 ' 37“ = 
ñ) 46? 20 '30" =
0) 55° 84 ' = 
p) 97° 25 ' =
q) 160? 03'24" =
Expresar en 
ángulo de:
a) ( 1/12) x rad =
b ) ( l !8)x r a d =
c)(l/5)x rad =
d) 1 rad =
e)(3/5)x rad =
f) (2/3) x rad =
g) (3/4)x rad -
h) 2,5 rad =
1) (415) x rad = 
j ) 2,7 rad =
k) 3,6 rad = 
l ) (4/3) x rad =
U) 4,18888 rad = 
m) (7/5) x rad = 
n) (513) x rad = 
ñ) (7/4) x rad =
o) 555555 rad = 
p) 6 rad = 
q) 6,17222 rad = 
r ) (7/3) xrad =
Rpta : (1/6) x rad 
Rpta : (1/6) x rad 
Rpta : 0,75 rad 
R p ta : (l/4)x rad 
Rpta :(l/3)x rad 
R p ta : (2/5) x rad 
Rpta : (5/12) x rad 
Rpta : (4/9) x rad 
Rpta : (213) x rad 
R p ta : 2,81 rad 
Rpta : 3x rad
R p ta : 0,62 rad 
R p ta : 0,74 rad 
Rpta : 0,75 rad 
R p ta : 0,81 rad 
R p ta : 0,98 rad 
Rpta : 1,70 rad 
R p ta : 2,61 rad 
el sistema sexagesimal un
R p ta : 15°
R p ta : 22° 30' 
R p ta : 36°
Rpta :5 T 19 ' 29,43" 
R p ta : 108°
R p ta : 120?
R p ta : 135°
Rpta :143? 18 ' 43J5?
Rpta : 144°
R p ta : 154° 46'37,4" 
R p ta :206?22' 09,94" 
Rpta : 240?
R p ta : 240? 07’ 36,76? 
R p ta : 252?
R p ta : 300?
R p ta : 315?
R p ta : 318° 28 ' 15,6? 
R p ta : 343? 56 '665" 
Rpta : 353? 49 ' 17^" 
Rpta : 420?
[^S ISTEM AS DE MEDIDAS ANGULARES A ] W |[
EJERCIC IO S
(Q) Expresar en radianes cada uno de los siguientes 
ángulos:
A)80° B)54° C)135° D)60° E)22°30*
@ l Expresar en radianes cada uno de los siguientes 
ángulos:
A)26‘ B)150* 0500* D)50* E)20*
Kh Convertir a grados sexagesimales:
EDIT4HUAI, RUB1ÑOS ]
j§) Convertir a grados centesimales.
X , X , „ , ^ x
A jo ra d B )3 -I-rad C )2^radD )3^ -rad E )4 -rad 
18 20 0 10 0
A )T2 rad *>To C)i D )~4 E)l
(^Señale el equivalente de 50g en el sistema circular.
A jorad
o
B
5
o ~
4 D ,’s * S
@ Siendo : —rad = ( x + 10)° 
Calcular:
A) 45° B)35° D)25° E)10°020 °
@Siendo : -j^rad = (5x + 15)8 
Calcular: ‘V \
A)1 rad B)2 0 3 D )4 E)5
@ Siendo: ( x + 4)° = 2x + 100 
Calcular: V .
A ) ~ B ) ~ O — D ) ~ E ) ~ 4 4 4 4 4
(Q ) Del gráfico:
E) 145
Determinar: E = —
— rad + 408
A)17— rad B)7 rad C)13— rad D)7 — rad E)11—rad A)1° 
10 18 36 50 6
B)12
8o
013 
n
D)14 E)16
A)3— rad B)29— rad 0 2 rad D)3x rad E )—rad A) 4 
50 20 9 5
@)E1 complemento de 40s en radianes es:
50° + — rad 
(Ut) Determinar : k = -------- — -
B) 6 C) 8 D)10 E)12
(Q ) ¿Cuántos segundos sexagesimales hay en:
0 = 4°3O1O"?
A) 16 210 B)16 120 016 012 D)4 300 E)43120
3°3'
Señale el equivalente de 40g en el sistema 
sexagesimal.
A) 18° B)2T 036° D)45° E)54°
@ ) Señale el equivalente de 50° en el sistema 
centesimal.
A)10* B)20* 030* D) 40* E)60*
Señale el equivalente de 150 en el sistema 
internacional.
(Q ) Determinar :<?*=- 
A)41 B)51
Determinar : c =
3 ' 
061 D)71 E)81
2 x "
» T ° T D)
31
« f
Si: 7380* = x °y 'zn
Determinar : x - y + z 
A)0 B)5 0 -1 D)6 E)-2
@ ) ¿A cuánto equivale — del ángulo de una vuelta en 
el sistema sexagesimal?
A)20° B)100° 0120° D)14<T E)16(T
@)Si:ar = ̂ del ángulo de una vuelta del sistema
centesimal. Calcular el ángulo en radianes.
. x1A jo ra d
2
B) 1
4 C ) *6
D)
8 « i
@>Si: ^rad + ( 10x)° = 40g ~ ^ x
12
Calcular "x n.
B )- 24
25 « - S
D) 44
25
E) 54
25
@ S i: — rad = ab°
[ a a n s im iB w a A n n LA EKCICLQFEDi MOÍM]
Calcular: -Ja + b 
A )j2 B )j3
@ S i: ~ rad = ab°cO'
C)4E D)y¡6 E)J7 © S im p lificar: E
80t +8a
1 8 ™ *
Calcular:
16 
a + b
B>i « f * !
A)7 B)8 C)4 D)12 E)2
@ ) ¿A cuánto equivale — del ángulo de 1 vuelta, en 
el sistema sexagesimal?
A)18“ B)20° 036a 0150a E)40°
L n ^ t v K 4 w ; ¿ 0 4 ü ^ i ¿ . w r f r f 0 4 i
FíiJ
ü s a - . - o i o s i b '
¡í /a j
' v r ' s s ^ s c a a s ,
@ ) Simplificar: K - 
A; 90 B;200
3*+5"
l» | t w i l » M í i 0 B í i
@ ) Convertir a radianes 235°.
A l r a d B )~rad O -^ -ra d D )^ -ra d Elxrad 
2 3 3 4
(6^ Convertir a radianes 140*.
A) 60
A)j¡¡rad Biy-nad C la ra d D )~ m d Elxrad 
^^Convertir a radianes 60°.
A)^-rad B l^ rad C larad D )~ rad E)-^-rad 
2 3 4 o 20
Convertir a radianes ISO9.
A l^rad Bl^rad C i^ jrad Dfxrad E le v a d E =
Con ayuda de la figura mostrada; m<ABC = 40*,
M<ACB = 76a • Calcular m<BAC 
B
A j e r
B) 68a 
O 69°
D) 70a 
El 72a
@ Con ayuda de la figura mostrada m<ABC = 60K. 
calcular m<BCD :
3 "
O101 D)87 B)88
(Q ) En un triángulo rectángulo los ángulos agudos
miden rad y 24n°. ¿Cuánto vale “n ”?
30
A)1 B)2 0 5 D)3 E)8
(Q ) En el triángulo, dos de sus ángulos interiores 
miden 70* y 90*. ¿Cuál es la medida sexagesimal del 
tercero?
A)20° B)S0° 040a 0136a E)72°
(Ti) ¿Cuántos minutos centesimales hay en: $=3*45"? 
A1223 B1224 0331 D)345 E)420
V V
AI calcular: E = - y + 3, se obtiene:
B161 062 D163 E)64
, se obtiene: 
D1163 E1164
<ífe Al calcular: W = +=~^~
v- ^ x x
A1160 B1161 0162
(Q ) Al calcular se obtiene:
r + 2 °+3 °+ .................. +63°
1 rad + 2 rad + 3 rad +....+63 rad
Al
180
B}x O 200 El 380
Al 120a 
B¡ 135a 
O 150a 
DI 180* 
E) 210*
D
B
2o 2*(Ttfy Al calcular: E - — + — , se obtiene:
A1160 B}180 0190 D1200 E)240
(Q ) Si secumple : 2°62' 63 " = (FQ’Q". Calcular Q*. 
A)1 B)4 0 9 0)16 B)25
@ Se sabe que la suma de dos ángulos es ^ rad y su
U
diferencia es 4°. calcular el menor ángulo en 
sexagesimales.
A)22° B)24a 026a 01281a EISOP
( Í^ S i “o ” representa la cantidad de minutos 
sexagesimales de un determinado ángulo y “6” es el 
número de milésimas de radián, contenidos en dicho
[^S ISTEM AS D E MEDIDAS AMtilXLAMES *> j « [ EDtTORIAM, M lttfO A 'l
ángulo.
Determinar la relación .
A) 64
Bx
B) 54_
6x o £7x
x » «
Bx E,l
@1 Hallar — + — con ayuda de la figura mostrada:
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 40
lo r o
<0)En el triángulo mostrado , calcular
A) 52
B) 53
C) 54
D) 56
E) 51
(frS) Si: — rad = (3n + 2)°, calcular “n
AJI B)2 C)3 D)4 E)6
@|SÍ: ~ r a d = aK bOm 5 c ', calcular: q + **—í
A)1 B)2 0 3
1° O' i* q<
@Calcular: K = ±-=- + ^ - +
2 ' 31
D)4
1°4'
4'
E)5
A)47 B)56 058 D)64 E)68
c -a@ ) Si: ■jjrad = lá°2b'4c't calcular:- ^ .
A)1 B)2 0 3 D)4 B)5
(g^Si: x*y 'z '~3>42'48H+St29'34''
Calcular: J - ——- —-
A)1 B)2 0 3 D)4 E)B
c
En la figura, calcular “m ”.
A) 6
B) 7
0 8 \ < 0 « V
D) a
E) 10
En un triángulo dos de sus ángulos miden
~ rad y 80*. ¿Cuánto mide el tercer ángulo en el 
sistema sexagesimal?
A)88° B)89° 0 8 T 0)86° E)78°
@ ) Se tienen dos ángulos cuya suma de medidas es 
14* y su diferencia 10*. ¿Cuál es la medida sexagesimal 
del mayor?
A)9°42' B)8P12' CJ9*15* D)1(T42’ E)1(T18'
@ ) Si: a + b = 64, calcular: N - o*6' ■* b°a'.
A)6Í°*’ B)64t,54* 065,,64, D)65a4’ E)66°44'
s m s t e m a s m : m m in A m i ^ w i
i n r a f ^ im n n im i i i . t M F h r a rtp n im R m
^ « S L ? ¡5?/
S í I
El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico 
gigantesco de la Estación Espacial 
Internacional. Este manipulador es operado 
controlando los ángulos de sus articulaciones. 
Calcular la posición final del astronauta en el 
extremo del brazo requiere un uso repetido 
de las funciones trigonómetricas de esos 
ángulos que se form an por los varios 
movimientos que se realizan.
f n i w m n ü r a i l /> o o : ¿ A EtVCiCLOrEDl g o fT )
FORMULAS DPCONVERSION!
O B J E T IV O S :
•Reconocer la fórmula de conversión entre los sistemas 
conocidos.
•Interpretar correctamente los ejercicios que 
involucran a los números de grados sexagesimales , 
centesimales y de radianes de un mismo ángulo.
L E C T U R A
El origen de la palabra trigonometría proviene del 
griego. Es la composición de las palabras griegas 
trígonon: triánguloy metron: medida; trigonometría: 
medida de los triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre 
de la trigonometría debido principalmente por su 
hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y 
los ángulos de un triángulo. También contribuyeron 
a la consolidación de la trigonometría Claudio 
P to lom eo y A r is ta rco de Samos quienes la 
aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, 
el profesor de matemáticas de Heidelberg (la 
universidad más antigua de Alemania) Bartolomé 
Pitiscua (1561-1613), publicó un texto con el título 
de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para 
la resolución de triángulos. El matemático francés 
Fran^ois Viéte (1540-1603) hizo importantes aportes 
hallando fórmulas trigonométricas de ángulos 
múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un 
gran impulso gracias al matemático escocés John 
Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a 
principios del siglo XVII. En el siglo XV III, el 
matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo 
de la trigonometría una ciencia aparte de la 
astronomía, para convertirla en una nueva rama de 
las matemáticas.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo 
objeto es la resolución numérica (algebraica) de los 
triángulos. Los seis elementos principales en todo 
triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando 
se conocen tres de estos elementos, con tal que al 
menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría 
enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar 
los otros tres elementos. En este estado de la 
trigonometría se deñnen las funciones trigonométricas
CAPÍTULO
r :
(seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en 
un triángulo rectángulo, como las razones entre dos 
de los lados del triángulo; el dominio de definición de 
estas funciones es el coi\junto de los valores que puede 
tomar el ángulo [0;180J.
Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita 
sus aplicaciones a los triángulos: geometría, 
navegación, agrimensura, astronomía; sino también, 
para el tratamiento matemático en el estudio del 
movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la 
corriente alterna, termodinámica, investigación 
atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el 
concepto de función trigonométrica a una función de 
una variable real, en vez de limitarse a una función de 
ángulos.
REEACIÓ N e n t r e e o s
NÚ9IEROS QUE R E PR E SE N TA N 
EA MEDMDA D E UN ÁNGULO
Consideremos ahora un ángulo trigonométrico positivo 
como se muestra en la figura :
* Siendo:
S : Número de grados sexagesimales del ángulo Q. 
C : Número de grados centesimales del ángulo o • 
R : Número de radianes det ángulo $.
* Se cumple:
S
180
C
200 X
S = 180K
C = 200K => - = — = 
9 10
R = xK
* También se cumple :
— = K=>
X
S = 9K
C = 10K
20 R = — K 
20
S
9
C_
10
.180£ 
x
C = 200— 
x
(¿kVOHMULAS DE CONVERSION a ED ITO RIAL R in tlÁ O s ]
OBSERVA C IÓ N :
^Sexagesimales ; Centesimales;
' ■ # de grado^ S C
3 *7
& # de minutos'. 60S 100C
’ # de segundoI 3 600S 10 000C
USO DE LA FÓRMULA
1) PARA CONVERTIR DE UN SISTEM A A 
OTRO
EJEMPLO 1 :
Convertir 54° al sistema centesimal. 
RESO LU C IÓ N :
* En este caso, tenemos:
Dato: S=54 ; incógnita =C.
* Sabemos:
S _ C 
9 ~ 10 
=>54°=60g
9 10
EJEM PLOS :
Convertir 36° a radianes.
RESOL U C IÓ N :
* Ahora tenemos:
Dato : S=36 ; incógnita =R.
* Sabemos:
S R 36 _ R R ^ x
180 x ^ 180 x ^ 5
^>36° = -r a d 
5
EJEMPLO 3 : •
Convertir 1 rad al sistema sexagesimal. 
R ESO LU CIÓ N : 
lrad => fí= I 
En la fórmula:
= 57,2958
S S _ 1 180
180 7r 180 7r 7r
*Luego:
lrad=57£95&,=5T+17,748’
=57°+ (0J2958X60) '=57°+17,7489 
= 5 T ir+ (0 ,748x60)”
=> l r a d = 57°17'44,88"
Z ) EN PROBLEMAS CONDICIONALES
EJEM PLO 1:
Hallar la medida de un ángulo en radianes , si su 
número de grados centesimales (C) y sexagesimales 
(S) cumplen : c - S = 4 
RESOL U C IÓ N :
* En este caso , partimos de un ángulo :
/ ~ ^ S a \T— *C
- R — incógn ita
* En el dato, procuramos colocar todo en función de la 
incógnita ; para ello usamos :
C = 200— A S = 180—
x X
* Luego: C - S = 4=>200 — -180— = 4
x x
^>20— = 4=>R = - 
x 5
=> el ángulo mide —rad,
5
rAíola:
Para todo ángulo trigonométrico se tiene que: 
y m < 0 *S °
o<Q 0 m<e=o
m<0-Rrad=> S*C#R
* además:
* Si: m<0 es positiva
S°oC*oRrad medidasequivalentes
valores numéricos 
diferentes
C> S> R 
• Si: m < 0 es negativa = > C < S < R
PARA TODO ÁNGULO E N E L SISTEMA 
SEXAGESIMAL
r
m< a =S° => #d¡e gradee =S
a 'r ► m «x =60S' => #de minutos =60S 
'— ► m<a =3600S”=> #de segundos =3600S
PARA TODO ÁNGULO E N E L SISTEMA 
CENTESIMAL
m<a«0° =*#degrados-C 
m<a ■ 1000“ => # de minutos - 100C 
m<a=10000(f =># de segundos=100000
iGOEOMETMiA* « □ c L A E & C iC L O P E D i ¿ O l í * )
COM PLEM ENTO Y SU PLE M EN TO D E UN
An g u l o
V
m
m < a = S ° valores 1
m < a = C ° => numéricos í- C
m < a = R rad de “o ” \- R
comple-i 
mentó > 
de 
a
u i )
suple­
mento /
de k—
a ^
m< = (90-8)° 
m «= (100-C )° =s 
m <=(j|-R )rad
m< = (l80-8 )°
m «-(200 -C )° => 
m «=G i-R )rad
D) —rad<>2ff> 
0
E) r o d o 18*
18
R ESO L U C IÓ N :
'Analizando cada una de las alternativas :
(VERDADERO) 
...(VERDADERO)
\)3€°=3ff>x^ ^ -= -ra d .. 
' 180P 6
 a -7 ,6 ° (VERDADERO)
24 24 xrad
La condición: 3 S -C = 34 .... (/ ), pero :
S C
í - 7 5 - * " ■C:= 9K 10K
* En (I ) : 3 (9 K )-1 0 K = 34 
=>17K = 34=>K = 2 
=>C = 10 (2 ) = 20 
=> el ángulo mide 20*
RPTA : “C*
PROBLEM A 3 :
Si los númerosque representan la medida de un 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son 
números consecutivos, ¿cuál es la medida radial del 
ángulo?
nA) —rad 
6
B / l
4
C)
10
D ) — 
20 E)í
PROBLEMA 1 i
Señala cuál de las laternativas presenta la equivalencia 
incorrecta.
Aj Sff’o —rad b> 15°<>— rad 
6 12
cj -~-rad<>7,5°
24
«•«. xra d x ,)1F=1SP x— — =— rad ,
' 180° 12
. x , 180°rad —— rad x ---------=
24 xrad
rad = —rad x - ^ - * = 2 0 ° (VERDADERO)
9 xrad
-ra d = J L rad x ^ - - = i a > (FALSA)
9 18 xrad
RPTA : “E”
OBLEMA 2 :
ale la medida centesimal de un ángulo que cumple
~C = 34y siendo US Hy 4iC ” lo conocido.
\0* B)15* C)20• D) 5* E) 30*
SO LU C IÓ N :
RESOL U C IÓ N :
* En estos casos se debe interpretar el enunciado . 
Tenemos un ángulo “ a w medido en :
sexagesimales = S
centesimales - C
radianes . R
* del enunciados: “S ” y MC ” => consecutivos.
* Es decir, s i :
T " ,}c-s = iC = n +1]
* Como piden “R ”: C - S = 1
2 0 0 - -1 8 0 — = 1 =*2 0 — = 1=>R = — 
x n x 20
jf
=$ el ángulo mide — rad 
20
RPTA : “Z>”
PRO BLEM A 4 :
Señale la medida circular de un ángulo que verifica :
S + C + i í = 05 + ̂ , siendo “S w, "C wy “R ” lo conocido 
4
por dicho ángulo.
A ) ^ rad 
o
C ) 1
5
D ) l
RESOL U C IÓ N :
* En la condición :
S + C + R = =-+95. 
4
.(/)
* Como piden la medida circular “R ” del ángulo, 
colocaremos todo en función de “i? ” ; para ello 
usaremos
S = 180—; C = 200— 
n n
[-ÁFORMVLA3 D E CONVERSION A X^JC EDTTORIAM. R V B lA os ]
• En (I ) : 180-+200— + R = 95 + - 
x x 4
x 4 x 4
R(380 + ir ) 380 + x R 1 „ x=> = — =:>- = - = » « = -
*■ 4 x 4 4
=> el ángulo mide ~ rad 
4
RPTA : “B”
P R O B L E M A 5 :
Sea S, C y R la medida de un mismo ángulo en los 
sistemas convencionales, tal que se cumple:
4R _ 300S 
x(S+C) (J l9C )*
Halle la medida del ángulo en radianes.
A) 27x B) 27x
8 4
R E S O L U C IÓ N :
4R
Condición: *(S + C)
C )
27 x
D &
4
300S
19C¡
P rrvM tm o a
 W” »
® T
180R
x
200R
Reemplazamos:
4R 300 x
180R
Luego: 1 _ 3 x 1 8 0 *
5 ~ 2 x 200R ^
1 300xI80xRxx* 
95 = 19 x 200 * 200*RJ
R =
27n
Calcular el valor de "12” , siendo :
S + C 3RS
38
* !
» » f C )9 Í
o D>10h
E)B i
R ESO LU CIÓ N :
• De la relación numérica :
180
- £ - = — =>S=180—; C = 200— 
200 x x x
180—+200 — 
 x______ x_
38 R
380 —
=> ' =
38
3R
' I T
3RS
=> í o ^ = ^ 5 - 0 h = j o -
RPTA i “O”
PRO BLEM A 7 :
Halle la medida de un ángulo en radianes que cumple 
C U S O:— = n + — y — = « + —
10 x J 18 x
siendo “S ” y “C ” lo convencional.
C)lA)1 rad B )2 
R ESO LU C IÓ N :
* Restando miembro a miembro:
«I
8 6■ A X _ W x n M r w h i i i m 4
18 *
O fl A;como pidan haoranK
S=180 — ; C = 200 —
X X
200— 1 8 0 - K
_ _ _ * ^ - = l =>20— -1 0 — = -
10 18 x x x x
R R 6
RPTA: “B”
PROBLEMA e :
Siendo US ”, "C ” y “R ” los números convencionales, 
para un mismo ángulo.
R 8 1 1=> 10 — = — > R = — => el ángulo mide—rad 
x x 2 2
RPTA:
PRO BLEM A 8 :
La diferencia de las inversas de las medidas de un arco 
en grado sexagesimales y en grados centesimales es 
igual a su medida en radianes dividido por 2x -Hallar 
la medida de dicho arco.
A )— rad B)6? C )± -ra d
18 12
D)7g E)10g
y “R ” los números de grados
R ESO LU C IÓ N :
* Sean “S n, "C ” 
sexagesimales, centesimales y radianes del ángulo, 
entonces:
± _ ± = R_
S C ~ 2x
1S0R* Sabemos que: S ------- ; C =
 .(dato)
200R
* Reemplazando en la ecuación se obtiene:
x _ x _ R
180R~ 200R~~2x;
R* =
900
R =
30
* Reemplazando en la ecuación inicial , se tiene 'este resultado significa que el ángulo mide: — rad
80
* Como * rad = 180°, entonces :
180?
30
— rad 
30
= 6°
RPTA: rB"
(z\m 6QXOM ETM UA* LA ENCMCLOPEUt AOIe ]
PROBLEMA 9 :
El número que representa el valor de un ángulo en el 
sistema centesimal es mayor en 11 unidades al número 
que representa al mismo ángulo en el sistema 
sexagesimal. Entonces, el valor del ángulo, en radianes,
es: (usar x = 3,14)
A) 0,172 B) 0,727 C) 2,750 D) 1,727 E) 3,172
R ESO LUCIÓ N :
* Sabemos que:
S : es el número de grados sexagesimales 
C : es el número de grados centesimales 
R : es el número de radianes
* además:
180 200
R
x
•P b r dato
* Sabemos que: R .
9 10 ±_
20
* Reemplazando en ( I ) : 
n x R x (
A I )
„_18QR 200R
X x
180R 200R Gx 20RV
1 _ ± ) = R
9 10J Gn
n
20RK90) Gx 300R x
= * = > R = « 0,128
RPTA: (,A*
P R O B L E M A 11 :
En el gráfico al medir el ¿ p a b se obtuvo 20* 20m. ¿Cuál 
es su medida en el sistema sexagesimal?
A) 18,I T B) 18,18? C) 17,16°
D) 16,15° E) 16,16° 
R E S O L U C IÓ N :
*Se tiene :
a=20* 20m =20* + 20m x
1*
100m
=20¿g
0 180R „ 200R=>S = ------- y C = -------
* De acuerdo a los datos del problema, se cumple que 
: C=S+11
200R 180R „
* Luego : ------------------ 11
x 20 20
* Entonces el ángulo mide: 1,727 radianes
RPTA : ••D ”
PR O B LE M A 10 :
La diferencia de los recíprocos de los números de 
grados sexagesimal y centesimal de un mismo ángulo 
es igual a su número de radianes que contiene el ángulo 
dividido por G x . Halle aproximadamente, el valor de 
dicho ángulo en radianes.
A) 0,128 B) 0,181 C) 0256 D) 0,362 E) 0,543 
R E S O L U C IÓ N :
0,2
*convirtiendo al sistema sexagesimal:
a =20,20* x
9°
10*
a=18,18?
RPTA : “B ”
P R O B L E M A 1 2 :
S , C y R son los números de grados sexagesimales : 
centesimales y radianes de un mismo ángulo 
respectivamente , donde se cumple que :
m S+nC=20R ............................ (V
6 m +5n = — ................................. ( I I )
D) 1/10 E) 9(10
12
Determine el valor de n/m 
A) 7/9 B) 4(7 C) 5(9 
R E S O L U C IÓ N :
*Se sabe : 5 _ c _ *_=
180 200 n
-+ S = 1 8 0 K Í C = 2 0 0 K ; R = nK
*De los datos:
mS + nC « 20R 
-+ m(180jC) +n(200J() =20(t^K)
—> 6m +5/i= —
12
*Luego:
9m +10n=n....... ...... ( I I I )
6m+5n = 7n/12......... ( I V )
*ReSOlviendo : m=n/18 a n=n/20
*Piden; n/m =9(10
RPTA : “E ”
[ a w m u m d e COXVERSIOX A T j K X M W T M m iv B TB tfO a il
PROBLEMA 13:
Hallar el ángulo, en radianes, que satisface la siguiente 
condición: La inedia geométrica de los números que 
representan la medida de ese ángulo, en grados 
centesimales y sexagesimales multiplicada por la suma
19
de las inversas de loe mismo, es igual a veces la
íHa /
semi diferencia de esos números.
A)4Í0k B )— C )1 0 ji D )J l0x E)>fñx 
x
R E SO LU C IÓ N :
* Del dato se deduce que: ^ j
* Sabemos que: ^ = — => S =
180 x x
200 x
200R
* Reemplazando en el dato :
¡Í180R'
vl r̂J
200R
180R 200R— ] = — H>R) 300\
(200R I80R'
Ü L X K
300\ 2
( eOR-JJdV 380Rx \ _ 19 f IOS' 
r )\36000R*)~\ 300
* Simplificando : 4Í6 - — => R = -JlOx
* R P T A : "A "
PR O B LE M A 14 :
Calcúlela medida de un ángulo, en radianes si S, C y 
R son los números que representan sus medidas en 
los sistemas sexagesimal , centesimal y radial, 
respectivamente ; y además se cumple:
2CS + 5 C S + 3 S * 38R
A) 23 x B )
C 2 + C S - 2 S 2 
47x
28 " ' 56
R E S O L U C IÓ N :
C ) f D ) 25 x 
28
Condición: 2 C *+ 5 S C + 3 S *_ 38R 
C * + S C -2 S * ~ x
Conocemos que: S=9k C^lOk R = * *20
Reemplazamos:
2 x 100k*+5 x 90ks+3 x 81k‘
100k2+90k - 2 x 81k2 
893ks 38R 19*47
28k3 x ^ 28
38R 
x
2x l9R R" 47x
56
RPTA : “B ”
PRO BLEM A 15:
Si los números que representan la medida de un 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son 
números pares consecutivos, el valor del complemento 
del ángulo, expresado en radianes, es:
B ,J
C) 3x
20
D) 7x
40
R E S O LU C IÓ N :
* Sea : S »2 n a C *2 n + 2 , n e Z
* Sabemos que: y ^ • 200
R
x
* Por propiedades, podemos decir que: 
S -C R 2n~(2n + 2)
¿SO - 200
R
x -20
R
x
2
20
R
x
•luego: RstjQ
• El complemento de este ángulo es: 
x x 4x 2x 
2 / 0 = ¿ o “ ~5~
RPTA¡"E"
PROBLEM A 10:
Sean dos ángulos, el primero mide p grados 
sexagesimales y el segundo q grados centesimales. La 
diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma 
de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los 
ángulos, tal como estabanmedidos originalmente, son: 
A )3 0 y l5 B) 45 y 30 C)60y45
D) 75 y 60 E) 90 y 75
R ES O LU C IÓ N :
• Dato : p - q * 15. . ( I )
* Si el segundo ángulo mide q grados centesimales ;
9q
entonces, su medida en grado sexagesimales, es: y -̂
* Dato : p + — = 129............................ ( I I )
* Restamos las igualdades (U ) - (I):
9q + q = 129-15
10 
=> q = 60
19q
10
= 114
• Entonces : p = 75
RPTAt " f l "
P R O B L E M A 1 7 :
Si S, C y R son los números de grados sexagesimales, 
centesimales y radianes de un mismo ángulo, además 
se cumple:
S + C+R — 76,62832; calcule la medida del ángulo
|A n W f lW « B T M U 4 > 49 j LA ENCMCLOrEDM *Q ÍM )
en radianes fasuma * = 3,1416 i.
A i í -
SO
B )—
25
C )—
20
D )
10 E,i
R E S O L U C IÓ N :
Condición: S+C +R =76,62832 
Conocemos que:
C_18QR ~ 200R
5 A 1 ^ + ^ y * + í * =76+¡r
X X X
R(380+x) (380+x) D *--------------- a --------------TJ / í= —
* 5 5
X '-"?-» í® + ~*- c > ^ - «
100 + * * 20O + * J0O + * 7
* £ )9 , 9°*
100 + x 10 100+x
RESOL U C IÓ N :
* Sean a, fi y 4 los tres ángulos del triángulo:
* Por dato : a = j ; p = (x + l)rad ; 4 = (x + 2Y
* Pasamos a y # al sistema radial:
a . f 2í l í - i - U a « - í í - r a d
w oA /soJ 200
4 * l x + 2)(-̂ -1 => 4 “ r o d
\200J 200
* Observar que : f i> 4 >a
* Además : a + ft + 4 = *
f ^ + ( , + i ) + £ ^ ± * ) = Jr
V 200J 200
* De esta igualdad, obtenemos : * < 
„ , 9 9x-100 ,
99x~100 
x + 100 
lOOx
ra d
x+100
R PTA :"C "
P R O B L E M A 19 !
Sean MS ”, " C ” y “i?" los números que representan la 
medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, 
centesimal y radial respectivamente. Si 
CS* + S * = (C - S )2 • Halle R.
A > _ J L _ C )~ ^ ~ - D )— — E ) *
30790 30780 30770 30760 30750
R E SO LU C IÓ N :
• En la condición : CS* + S3 = (C - S )2
Utilicemos: S = 0 E C -1 0 K R = i ; K 20
* Que al reemplazar, $e obtendrá:
10KÍ9K ) * + (9 K )5 = (10K - 9 E )2
=> 810Ka + 729K3 = K * => 1539 K = 1 => K = —
1539
* K = * i 1 1 20 = 20 539 J* Se pide : R 
x= > « =
RPTA i “E ” 
P R O B L E M A 18 :
(9x\
Los tres ángulos de un triángulo son I — I grados
sexagesimales, ( * + i ) radianes y ( * + 2) grados 
centesimales. El mayor de ellos, expresado en radianes,
30780
R PTA :“B "
P R O B L E M A 2 0 :
Si S y C son los números que representan la cantidad 
de grados sexagesimales y centesimales de la medida
/gK j . C°)I
de un mismo ángulo, calcule: £=t----------—
(Se+ C g)°
181
B)
181
400 200
R E S O L U C IÓ N :
C ) 181
100
D ) 200
181
E ) 400
181
s cConocemos que: S*—Cg a — — —
9 10
E n E : E = (s '+ C ° ) * 9o
(S °+C *)Q 10g
- 9 ( 9 2 / 0 1 „ 81 1 „ 181=> JE=— — + — x — s» B * + — =>£=■-----
/ o l a ) 2 9 ) 200 2 200
RPTA: “B”
P R O B L E M A 81 :
Si “S ” y “C ” representan la medida de un mismo 
ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
S —13 C —2 x*respectivamente, y Be cumple que —-— = — — = — ;
r x \ 8 12 4
calcule: E = l y 3 j * - 8 ; x > 0
A) 12 B ) 9 C )8 D ) 13 E )6
RE SO LU C IÓ N :
* Considerando : S = 9K C = 10K
* Que al reemplazarlo en :
S - 2 3 C - 2
8 12
Se obtendrá:
9 K - 1 3 1 0 K -2
2 3
=> 27 K - 3 9 = 2 0 K - 4 ^ K = 5
. . . C - 2 * * 2 0 (5 )-2
•Ahoraen: = — =>------ ----- x * => x = 4
{^FORMULAS DE CONVERSION* T ™ J . e d it o r ia l hitn riros ]
Se pide: F = ̂ + 3 >j4 - 3 = 13
RPTA ¡ "D ’
PR O B LE M A 22 :
•■ i3 3 £ 1
radianes , es:
, entonces la medida de a en
B)A i—
90 120
R E S O L U C IÓ N :
C )
180
D )
200
B )
( x * + y ° + z ° V ( I o
a ~ [ x * + y * + z * )
x + y + z 
{ x + y + z
270
\ \ í
1° 1 0 * 
1* X 9a
i8
=¡> a -
10 g
»T o b>TE C)-£-20 D )—25 E) 30
R E S O L U C IÓ N :
* De la condición, se obtendrá:
1 1 1 1 1
— — “ + —T- H r 4 T + 1s c c* cs c4
* Factorizando — :
. ( I )
i “ é[i+é +á +^ +^ +""ao]
= 5 - É [ ' * é ] -
* Ahora utilizamos:
Esto es i , según (I) 
5*
. a i )
S = 9K CmlOK R‘ 1dK
* Que al reemplazarlo en (I I ) , se obtendré:
j _ i r i i i o 
9 K S 10KÍ + 9 K ) 9 '
1 +
9K
l
9
* Se pide : R
» -£-~ => K = 1 
9K
— ( ! ) = — 
20 20
P R O B L E M A 24 :
Un ángulo mide x segundos sexagesimales ey minutos 
centesimales. Calcule el valor de:
¡J_ x (x -2 ,4 y )
(3y*)
A)321 B)322 C)324 D)344 E)424
R E S O L U C IÓ N :
íx=# de segundea sexagesimales. 
Por condición. jy = # ¡ninutos centesimales.
í = 3 S , i 3 í = “ 
y 10 y 5
r> ' j- 10* xrad xradConvertimos aradianes: a = —— x = > a = ------------
9 200* 180
RPTA: “C”
P R O B L E M A 23 :
El ángulo de la figura, cumple la relación:
S '• - c ’:= C s + c - 3 + C~* + . . . . .
* Hallar su medida en radianes
* = .3600*1 x_36s 
y=JOOe J y “ c 
asi:x-162k a y-5k 
Ahora en H:
RPTA: “C”
P R O B L E M A 2 5 ;
Calcule el número de radianes de un ángulo diferente 
de cero, para el cual sus números, de grados 
sexagesimales (S ) y su número de grados centesimales 
(C) verifican la relación:
S /r* f VC
l c ~ ^ c = l c ~ ^
A )JL BJ— C>— D) — E )—
90 180 200 360 120
R E S O L U C IÓ N i 
* Operando en la condición :
180R R x
Tso
JtPTA .* "B "
P R O B LE M A 26 :
Las medidas de los tres ángulos de un triángulo son: 
Z ^ + f ir a d ia n e s y 
El mayor de ellos expresado en radianes es:
A) 100 B) lOOx
100+x 100+x
R E S O L U C IÓ N :
C)
100+x
D) 9x
10+x
E)
90+x
RPTA : “C"
; ¿> mGOSOMETMMÁA 1 * 1 í LA ESC iCLO PKD l M01M]
Convertimos cada uno de los éngulos a radianes 
^9x° 9x° jirad xrad
~ W ~ ~ 1 0 ~ 1 8 (r==X200 
*(x+2)*= (x+2)* x
200g 200
*(x+ l)ra d
Como son los ángulos internos de un triángulo. 
« ♦ a 200(*+l)=x
200 200 
(2x+200)x+200+2x
200
99x-100
200 200 
2(x+100)x+2(100+x)=200x
*+100
2xrad
Convertimos los ángulos dado6 a radianes
•2 2 °3 0 = ^ = ? -ra d « ^ = ^ x í ! ^ = í í ^ 
2 8 6 6 200* 12
Ahora estos ángulos los convertimos al sistema " x ”
mx . A* A*—ra d x ---------= ----
8 2xrad 16
, xrad A*
12 2xrad 24
Por condición, estos ángulos deben de contener los 
menores números enteros en grados x.
o 
16
=> A=
24
=> A=mcm (16; 24) => A =48
Así los ángulos son: — rad=3x a L rad=2x
O 12
También: 48*=2xrad luego:
x^= R_ 
48 2x
P R O B L E M A 2 3 :
Sabiendo que el número de grados centesimales de un 
ángulo es al número de grados sexagesimales de otro 
ángulo como 5 es a 2; halle la diferencia de las medidas 
de estos ángulos en radianes, considerando que son 
complementarios.
,6x
AJi i
B) — 
29
C )—
26
D )
26
Luego el mayor ángulo sera:
, (99x-100 , ^ . ( 100x\ .(x+J)nwí=l -----------+1 \rads*(x+l)rad=\ \rad.
V x+100 ) Kx+lOO)
RPTA: “B "
P R O B L E M A 2 7 :
Se crea un sistema de medición X, el cual tiene como
unidad al grado (1*). Si los ángulos 22^30' y í0° * se
6
expresan en el sistema X como los menores números 
enteros , halle dichos ángulos , y una fórmula de 
conversión entre el sistema X y el sistema radial
« í' - H r £
R E S O L U C IÓ N :
Tenemos: í r:un grado x. Supongamos que: A“=m< 
de una vuelta.-
RESOL U C IÓ N :
* Sean los ángulos: ua n y “ P ", luego:
centaimaleM
(I ) a° + p ° = 90€
aexageaimale»
r
S i . I 
\____
. ( I I )
* De ( I ) en (W : a° + ~ a * =90°
2
= > « ° + ? a * x ^ - = 90° => a° + - a ° = 90°
2 10*
360°
9
—) 
4
13
y P**:90O- 360° 810e 
13 13
810° 360°
13 13
450° xrad 
13 * 180°
* Se pide : p° ~a° =
=s P ~ a - ^ I r a d 
26
R P T A i " D "
P R O B L E M A 20 :
Un alumno al convertir 759 a grados sexagesimales
utiliza la fórmula S = • Halle el error cometido
por el alumno (en rad).
A ) 13x B) Í5x C) 17 x
198
D ) 19x
216
B) 21x
36510 163
R E S O L U C IÓ N :
* Al utilizar la fórmula erróneamente, se obtendrá :
10° 750•75* = 75* x —— = ------ .
9* 9
* Donde el error, será :
Error . lo real • lo erróneo
=> Error = 75*
9
_ 7500 xrad xrad=> E rror x --------- 75* x -------
9 180* 200*
E rro r= 19x
216
RPTA : " C
RPTA i " D "
P R O B L E M A 30 :
Un estudiante observa que las agujas de su reloj formanun ángulo, cuyo número de grados sexagesimales y
{¿ZFQKMUjLAS BE CONVERSION A s e EDMTORtAM; RUBIÉOS)
centesimales son iguales, luego la hora que indica el 
reloj podría ser:
B) 6:30 A.M.
E) 12:30 RM.
12
A)3-15AM.
D) 12 M. 
R ESO LU CIÓ N :
* Piden: hora
C) 6 A.M.
3
RPTA : “ ¿T
PROBLEMA 31
* Luego : 2x rad = 960Sfi
* Entonces:
1 rad ~ ■
* j x t i * ( 4&0— rad = — (¿ rad) = — -----
96 96 ' 96V x
SH
= 5sh
R P T A : "C *
PROBLEMA 32 :
Determine el ángulo entre 100° y 220a que sea 
coterminal con 1285° .
A) 45° B) 56° C) 65° D ) 7S° E) 205° 
R ESO LUCIÓ N :
*Es importante observar que hay muchos ángulos 
diferentes que tienen el mismo lado inicial, lado 
terminal y el mismo vértice. A cualquier par de estos
ángulos se les llama ángulos coterminales.
9-a=360°n |; VneZ 
T - V j T u m
$: representa la medida del ángulo formado por 
el horario y minutero.
S : número de grados sexagesimales.
C : número de grados centesimales.
* Por dato: número o = s - C
* Por relación numérica: número $ ~ 9K = 10K
* El valor que cumple : K = 0
* Entonces la medida de q - q°
* Esto significa que la aguja esta superpuesta, entonces 
existe 12 veces (12 horas) cuando el horario a partido 
de la primera hora hasta las doce horas.
* Por lo tanto, existe 24 horas una de ellas es 12m ó 
12p.m.
'Lado Inicial
coterminales
* Ahora en el problema, se tendrá que :
/285° = 360°n ; Vn e Z
=> x = 1285° - 360° n
* Pero : 100° < x < 220°
=*-1185° <1285° - 3600 n < 220° 
=>-1185° < -360° n < - l 065°
1185° 1065°-------- > n > --------
360°
n - 3
360
3,29 > n > 2,96
* Se pide .x = l 285° - 360° (.3) = 205°
RPTA :
PRO BLEM A 33 :
Se creó un sistema para medir ángulo tal que el número 
de grados de un cierto ángulo es equivalente a la quinta 
parte de la diferencia del duplo del número de grados 
sexagesimales y el número de grados centesimales del 
mismo ángulo. ¿A cuántos radianes equivalen 128 
grados del nuevo sistema?
xA )2xrad B)3xrad C)—rad D) 5 xrad
2
R E SO LU C IÓ N :
E) 4 xrad
Si un grado Shary (1 ) equivale al 9Ó0ava parte de 
una vuelta, ¿a cuántos grados shary equivale — rad l
A) 6™ 8)37*“ C )5Sil D ) 7®* E)
R ESO LU CIÓ N :
* De la condición: m <l vuelta = 960?H
480SH
* Condición del problema -C )
* Se pide el equivalente del 128x en radianes.
* Del gráfico mostrado se tiene : R rad = A*
* Convirtiendo 128x a radianes :
128* =\ 128R rad , . ( I )
Í ( 2S-C)J
* Reemplazando : R - x k ; S = 180k; C ~ 200k
* En (I ) se obtiene : 128x = 4xrad
RPTA t MJE”
PRO BLEM A 34 :
Siendo “S ” y "C ” los números de grados sexagesimales 
y centesimales de un mismo ángulo que cumple:
¡A n u w w a w B T iiá * J3 C M ENCICLOPKDi *0 1 * ]
S i = C , + C '3 + C 's +.....
Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
Á>7
O —
15
D) — 
20
E )—
12
R E S O L U C IÓ N :
•D e: ■= * -= + —• + —? + - t + »
S C C 9 C* C4
* Factorizando ^ e n e ! segundo miembro :
1 l í t 1 1 'i
— 1 + — + —=■+....
S C\ c c * )
C ( t 1 1 \ C S + l 10 S + l
S [ * C * C * +""J ° s s ^ 9 " S
I
c
* =>S = 9=> m< es rad
20
R P T A : “D "
PR O B LE M A 3 5 :
Hallar R en :(S R )n= (S C ) m.Donde S, C y R 
representan el número de grados sexagesimales, 
número de grados centisimalesy el número de radianes 
respectivamente de un ángulo.
&W1D)s,
R E S O L U C IÓ N : 
Condición: (Si?)* = (SC )
Conocemos que:
S—
c =
180R
x
200R
180 R 200R Y" 180nxR
 x =>-----------
SU
X ) V X X J X••
I80mx200m xR 3m Rs" 180m x 200m xxn
2m RSm 180nxx im
xaotTxx" *" =>R*Jl80"~“ X 2 0 0 "m xx
x200n mxxxx*-m =>J?=
t* [l
-shs
RPTA ; "A "
PR O B LE M A 36 :
Siendo S y C los números que expresan la medida de 
un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal que cumple 20 < 3C - 2S < 60.
Halle la medida del mayor ángulo en radianes ,tal que 
<S y C son números enteros.
AJx/10 B)x/5 C )x (4 D)x/3 E )x l2
R E S O L U C IÓ N :
Condición para el ángulo pedido: 20<3C-2S<60
Conocemos que: S = 18° R a c 2° ° R
X X
600R 960R __ __ 240R * _ x^20 <-------------- <60=>20<------ <60^ — <R <—
X X X ¡2 4
vr 49
Como la medida del ángulo en los sistemas sexagesimal 
y como centesimal deben ser representados por#, 
enteros y además.
a=(9k)°^(10k)B a —36°<>—rad cuando \k=4
o
RPTA: “B>
P R O B LE M A 37 :
En la figura mostrada se cumple: 
a+b+c~47>5+0,125x
c rad
Entonces, el valor de a-b, es: 
A)-6,5 B )-4fi C>-3f5 
R E S O L U C IÓ N :
D)~2,5 E ) - l¿
Crad
Del gráfico: a ° * bg = c r a d => = —
180 200 x
Oa=180k b - 200k c —nh
Además se nos da que: _
a + b + c - 47,6 + 0,125x => 380k + x k = ^ -+ ^
2 8
luego: a -b*180k- 200k ■ - 20k 
a — b = —20 —¿ = —2,5
RPTA: "D M
P R O B LE M A 38 :
Los números que representan ia medida de un ángulo 
en los sistemas sexagesimal y centesimal son x* y
fcfrFOMMVLAS DB COXVEKJSIOX * r » n EDiTOtUAl, HUBIMOS]
xJOO+ l respectivamente. Halle el valor del 
complemento del ángulo, expresado en radianes.
A & « 5 * C A D )*°í B>*±20 '20 20 22 23
R E S O L U C IÓ N :
* Nos piden el complemento del ángulo en radianes:
* Tenemos: S=x10°, C=xl00+1
* Siendo C^S y A los números que representan la 
medida de un mismo ángulo.
Sabemos : S-180k, C=200k, R = *k
* Entonces, de los datos : .
C - S=1 = > 200k~180k= !=> k=4- = > R - ~
20 20
* Piden complemento del ángulo en radianes : ~
RPTA: “C "
JU ^rad B)
45
C) 10 « í
E>l
1 Señale la medida circular de un ángulo que cumple 
que: 2 S -C + 4 R = 40 + x-
A )—rad 
4 B>1
c>l DJ—
40 B ) L60
Señale la medida sexagesimal de un ángulo 
sabiendo que su número de grados sexagesimales y el 
de grados centesimales son enteros consecutivos.
A) 8“ B )^ C) 10T D ) 11a E) 12a
0S eñ a le la medida centesimal de un ángulo, sabiendo 
que verifica: C+S+2R=286£8 
A) 180* B) 200* C) 220* D ) 240* D) 260* 
(R ) Señale la medida radial de un ángulo que verifica: 
C-S=4.
A )i ¡ " *
B)
4 O
E ) Í I
5
0)Calcule el ángulo en radianes que cumple con la
C Srelación: — + — = 43 
4 5
B) C>*-
C S — 2
íJiCalcule el ángulo que cumple : — = —-— 
v 6 o
A )2r B) 30° 0 25a D) 33a E )22°
0 Calcular el ángulo en radianes si: 6S+5C=1040
E )x
@ Señale la medida sexagesimal de un ángulo que 
verifica : C=n+4 ; S=n-2
A) 36° B) 48“ C) 54° D ) 72° E) 81° 
( 0 Sabiendo que el número de grados centesimales 
que contiene un ángulo excede a su número de grados 
sexagesimales en 8 , ¿Cuánto mide el ángulo en 
radianes?
A jorad
4 « f c>í O Ko
Á )7 b>7 c>í D> J
3 S -C
Calcular el valor de : „
V “ O
Siendo S y C lo convencional para una medida angular
A) 18 B )17 C) 16 D ) 15 E) 14
©C alcu lar: J ^ | + 6
S : Número de grados sexagesimales 
C : Número de grados centesimales 
A) 5 B) -5 C) ±5 D) 25 E) ±25
(0> Señale la medida radial de un ángulo sabiendo 
que “S ” y “C” representan lo convencional 2C+S=58
0 ) Señale la medida circular de un ángulo sabiendo 
que le cuádruple de su número de grados sexagesimales 
es mayor en 217 que la mitad de su número de grados 
centesimales.
A) 30* B) 40* C)50* D) 60* E) 70*
(Ta) Señale la medida sexagesimal de un ángulo si la 
suma de la novena parte de un número de grados 
sexagesimales con la décima parte de su número de 
grados centesimales es igual a 40.
A) 120° B) 150a C) 180? D ) 200* E) 240 
0 1 Señale la medida centesimal de un ángulo que
CR s »verifica : —— —«■
& c
*0,19x 
O 150*
AJ~rad
8 B>¿
c>~10 <
señale la medida circular de un ángulo, sabiendo
que verifica: ^ = 20Siendo **S” y “ C ” lo
conocido.
A) 120a B ) 18a 0 150* D ) 90° E ) 180*
(Q Señale la medida circular de un ángulo que
satisface la siguiente condición: + J ~ + ] —— m 119 V 10 V x
A )-I—rad
100
B1— 150 O 180
D )—
200
E)
250
f alWMflTOHETJUAva n o LA ENCMC&OeEDI MOÍT)
(Qf Halle la medida internacional de un ángulo que 
verifica : Je* + S* + Ve* - S* = /̂lS2 + VÍ9
BJ—
20
D J - Í -
50
E)
400
A )J b >To c >\ w Í e>*
Sabiendo que "S ” , “C ” y “R n son lo conocido para 
un cierto ángulo no nulo; calcular:
2 g C -xS + 40R
(Q Hallar la medida circularde un ángulo que
J j - J j = ~ 4
A) 1 B) 2
A f o r a d
3 DJí C ) J D)ík B) g
J 2 x S - x C - 3 0 R
C )3 D) 4 E) 5
' Siendo “S ” y “C ” lo conocido para un ángulo no 
nulo; simplificar:
Hallar la medida francesa del ángulo que 
cumple: SP-C 5.
» «
j c + S ¡S S - 2 C
v c - s + v c - s
+ 1
m OJP/i m
s
A) 1 B) 2 0 3 D ) 4 E) 5
(Tit) Sean lo números “S ”, “C ” y “i?” lo convencional 
en la medición de un ángulo, luego al calcular : 
. 5 C - SA = — —— , se obtiene:
C -S
A) 21 B) 63 0 41 D) 71 E) 61
C + S
(&7) Siendo “S ” y "C M lo conocido, reducir: J = ~£_g
A) 8 B) 9 O 12 D ) 19 EJ 16
Determinar la medida centesimal de un ángulo que 
cumple: 3 S -2 C = 14 • siendo “S ” y “C " lo conocido. 
A) JO» B) 20* O 30* D) 40* E) SO*
Determinar la medida circular de un ángulo que 
cumple:C -S + R = 20+ x> siendo "S ” , **C” y UR ” lo 
conocido.
A)grad B )± C£ D )~ E )\
* 3 4 o
(Q ) Sean los números “S ” y **Cn lo convencional en 
la medición de un ángulo, luego al calcular :
„ C + S JC +S Q
B ‘ c ^ s * í c ~ s + 8 ' “ obt,cne:
A) 19 B) 20 C) 21 D ) 22 E) 23 
(^Señala la medida circular de un ángulo que cumple 
oC ac fíR
~ ~g¡¿ « siendo "S ” , “C ” y uR n lo conocido.
A )—rad 
4
O
3x
°>3i E> T
Determinar la medida sexagesimal de un ángulo
que cumple ’-2 C -S = 22> siendo “S n y " C " lo 
conocido.
A) 20° B) 12!° O 18° D ) 24a E) 12?
Señale la medida radial de un ángulo que 
cumple: 3 S -2 C + 35R = 7,¡416, siendo "S ", “R "y 
"C " lo conocido para dicho ángulo (g - 3,1416).
@ Sabiendo que “S ” y “C " son lo conocido para un 
mismo ángulo no nulo; simplificar:
A )—rad 
5 c> - k D )J i
E )—
60
12C + ■ 
' V C -S
• + 7
A) 1 B) 3 C) 6 D ) 6 E) 7
Determinar la medida de un ángulo en radianes si 
su número de grados centesimales excede a su número 
de grados sexagesimales en 4.
A )Z B )1 C J Í D )1 E )g
3 4 * o
^^Determinar el ángulo en radianes, que cumple : 
S = x * + iy C ~ x * +3 «siendo wS ” y "C * lo conocido.
( f^ Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de los 
números de grados centesimales y sexagesimales de 
un ángulo, es al producto de dichos números; como 38 
veces su número de radianes es a I36g > señale la 
medida radial del ángulo.
A )~rad
4 o . « T » T
(Í^Los ángulos interiores de un triángulo son a. p y e de
2frtal manera que se cumple: cr+£ =— rad ', 0 + 9 = 120° ■
3
Según esto, calcular: E * + ̂ 0
0
[A P g u r o Ü j DE CONVBmSMOX * IHDC B O fTO R tU BTBIXÓS\
A) 1 B) 3 C )5 D) 7 E) 9
<© Un alumno del colegio escóbe 60° en lugar de 60*. 
¿Cuál es e] error en radianes ?
A jo ra d B )^ -
10
O — 13
D ) ~
30
E ) i -
60
» \
B )* ±
5 C )i ro
D ) * í
5
30R +
“S”, "C ” y “R ” son lo convencional.
xC
10
A )2 B) 4 O 6 D ) 8 E ) 10
0 / 0 i E l
90 100 x
@ ) Calcular la medida del ángulo: — f -+ — = 1
a C A
A) 360a B) 400* 0 2 x ra d D) 1 vuelta E)TA. 
0 Calcular la medida de un ángulo en radianes si:
S C C +S
3 + l ~ c C s + I3
A l—rad 
5
B)
© H a lla r R :
6
C -R
C )í¡ °>To
S - R C +S 
~ IOS
0 1 7 rad
10 9
A) 19 rad B) 18 rad
D) 16 rad E) 15 rad
Calcular la medida de un ángulo en radianes s i: 
( iS 0 - j r ) B * = -
J + R
S - R
“S", “C ” y “R ” son lo convencional.
a .2x „.10x , _.J0 . 9 . „ J .
A l— B)—— rad O — rad D ) rad E )— rad
10 9 9x lOx 10
xrxis II r. • R + x 2 S -C © H a U a r fis , :— =
1(0» 44/“» I»y t4R n son lo convencional.
A )I± B )— rad O — rad D )— rad E )~ r a d 
9 7 7 11 11
<© Siendo "S ” , “C ” y " f í ” lo convencional, calcular:
(© E l número de grados sexagesimales de un ángulo 
más el número de grados centesimales del mismo 
ángulo es igual a 304. Hallar la medida del ángulo 
referido en radianes.
R: C + S C+2S fc + i 
V c -]C - S Y C -S 
A) 2 B) 3 0 4 D )5 E) 6
(©Determinar un ángulo en radianes, si se cumple:
6S
S
D ) 5
( © Si: 7 grados “poker” equivalen a 9 grados "fe” , y 
27 grados “fe” equivalen a 4 grados Calcular 84 
grados poker en grados “2 ”
Al i B )4 0 8 D) 12 E) 16
~ (C + S )x -2 0 R 
(©Calcular el valor de : A = •*£-
A)xrad
» § D l l e , To
< Si a cinco veces el número que representa los 
grados sexagesimales de un ángulo se le disminuye el 
doble del número de grados centesimales del mismo 
ángulo resulta 26; determine el número de radianes 
del ángulo.
Ko B )~ - 20 o —15
( © Determine la medida circular de un ángulo que
..(■•íX'-shx-iy-iverifica
ALn ~ l J
10^ r
a faetón*
B )—
10
D) n + 1 E)9n
(©Determine un ángulo en radianes, si:
\js+ -Js + j s +..7 = ^ C - yjc - ,jC
A) l,9xrad B)2,9 O 8,9 D) 4,1 E) 3,8
<© S y C son lo convencional y son números enteros,
^ c s
además se cumple: '
Calcule: ¿ _ gC -10
A) 9 B) -1 0 1 D ) O
lo m \9)m
E)2
<© El símbolo Q¿> indica un número de 2 cifras cuya 
primera cifra es a y la segunda es 6. Dos ángulos cuyas 
medidas son xey son tales que: ( x - l ( y - 1) radianes 
equivale a (x+y ) grados sexagesimales , además , 
(780bc - 180y) grados sexagesimales equivale a 1980 
radianes.
y
Entonces — cuando xey están en grados centesimales
{^TtUGO&OinETRiAÁ LA EKCMCLOPED1 ¿O I!* )
será igual a:
A )— B )-1 0 + x C )-1 0 + — D )~ 10 E) —
90 90 10
@ ) Si el complemento del arco x es radianes,
hallar el valor de x en grados centesimales.
A) 282 g 85 m 71a B)272g85m 71 8
C) 262 g85 g 718 D) 25 g 08 m E )142g85m 7l8
32 x(0^La conversión de — rad en grados
sexagesimales:
A) 460° B) 620° 0 560? D) 650° E) 640°
@> Sean dos ángulos. El primero mide p grados . 
sexagesimales y el segundo q grados centesimales. La 
diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma 
de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los 
ángulos tal como estaban medidos originalmente, son: 
A)30y 15 B)45y30 C)60y45 D)75y60 E)90y75
@ ) La diferencia de las inversas de las medidas de un 
arco en grados sexagesimales y en grados centesimales 
es igual a su medida en radianes dividido por 2x, hallar 
la medida de dicho arco.
A ) — rad 
15
B ) 6 ‘
D )7 g ra d o 8 cen tesim a les .
E ) 10 g ra d o s een tesim a lea ,
c > T ü ra d
El número que representa el valor de un ángulo 
en el sistema centesimal es mayor en 11 unidades al 
número que representa al mismo ángulo en el sistema 
sexagesimal. Entonces el valor del ángulo, en radianes,
es: (Usar 3,14)
A)0,172 B)0,727 C)2t750 D)l,727 E)3,172
Si los números que representan la medida de un 
ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimales 
son números pares consecutivos, el valor del 
complemento del ángulo, expresado en radianes, es :
3n
A )—
10
C)
20 40 * > T
300
@ Se tiene dos ángulos que se diferencian en un 
múltiplo de 360°. Se sabe que el cuádruple del menor
es a la suma del ángulo menor más el triple del mayor 
de los ángulos, como 4 a 5.
Hallar el menor de los ángulos si se sabe que está 
comprendido entre 1080° y 324GP.
A) 1280° B) 2160° C) 3200° D) 3210° E) 3230°
Las medidas de un ángulo, en el sistema 
sexagesimal y en el sistema centesimal, son:
el valor del ángulo en radianes es :
A)
119
B)
109 C)fo D) 19 E) 190
(Q) Hallar el ángulo que forman las prolongaciones 
de las direcciones AB y ED expresada en radianes en 
donde: a=60° , y = 75° , 0=45°
B D
Según las representaciones numéricas comunes 
C, R, S : Centesimal. Radianes y Sexagesimal, 
respectivamente.
Hallar un ángulo negativo que cumpla:
C + S - R 3 -17
Hallar el ángulo en radianes que satisface la 
siguiente condición:
La media geométrica de los números que representan 
la medida de ese ángulo,en grados centesimales y 
sexagesimales multiplicada por la suma de las inversas
19
de los mismos es igual a veces la semidiferencia 
de esos números.
c - s
A)-7 rad B )- 6 rad C)-9 rad D)-5 rad E)-4 rad 
@ Halle la medida sexagesimal de un ángulo mayor 
de una vuelta, si en la siguiente ecuación R representa 
el número de radianes que mide dicho ángulo.
= 5
A) 390° B) 405° C) 555° D) 625° E) 810°
(Q ) Del gráfico, calcular:
10x-9y
A)>flOx B) OlOyfc D)yf¡Ox Ehfíix
c =
x + 2z
( A f O a WF L » DB CONVem SIOX * I « D C E D IT O R IA L R u n d a s ]
,150 .600 180
< o < « f D) — 20 *> T o
i ¿En la igualdad, calcule 4,K " , bí ."S ” ; “C” y "B ” 
son lo conocido para un ángulo no nulo?
(S+C )g+ (C +R )2+(R+S)*=2(S+C+R )*-KS1
A ) ~ B )— C ) ~ D )— E)
x x x x x
(Q l Se crean dos nuevos sistemas de medición angular 
A y B, tales que sus unidades ( I a y 1B) equivalen a 
1°20' y l*20m respectivamente. Determine la medida 
circular del tercer ángulo de un triángulo; si dos de 
ellos miden 60a y 50a
a , 18* j „,2S t , _ .Í7 x . n .29x . „,28x .
V -S o ™ 1 B,- ñ rad c> - jo md
( í^ Siendo SyC dos números que expresan la medida 
de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y 
centesimal que cumple:
S C _ C 5 < 7 < — + —
2 3 2 3
Halle :N = R m ~Rm
Si Ru y Rm son los números de radianes del mayor y 
menor ángulo, respectivamente, que satisfacen la 
relación anterior y además S yC son números enteros.
A)
D)
1800+ 19x 
90
1800 + 19x 
720
B)
E)
1800 + 19* 
810 
1800+ 19x 
8100
C) 1800+ 19x 
81
@ ) Señale la medida circular de un ángulo que 
cumple:
rs+c-R>3+ rfi+ s + c i*+ rc + ji-n S is» s r s + c + B ; * - 
SCR
Siendo S, C y R lo conocido.
I9 *r )ra d B ) (s + ̂ ] r a d © f « + 4 ? ^ W í
A ) { 3 + l ^ ¡ rad W
K 9 + ü ) ro<' e>
¡ s + ^
{ 225
( • * £ )
v 135 J
Señale la medida sexagesimal de un ángulo que 
cumple:
S*+- = c 2-
s2 + c 2-
s 2 c 2- c2-
En un triángulo ABC: se cumple que:
Kt
A + C = 85x* + - — r 
x
A - C = — + l°-75x*x
Determine la medida circular del ángulo 4,B " si el 
ángulo «A» toma su menor valor posible. (xeR *)
A )— rad B )~ r a t i C )~ r a d D )— rad E )— rad 
9 9 9 3 5
( $ Si la diferencia de los números de grados
centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo,
es igual a : , , l2
° (n x + y r + (x -n y r
( x + y)s - ( x - y ) *
x ;y > 0. Señale el menor valor que toma la medida 
radial de dicho ángulo.
A)n2~
40
O M * + U § ¡
Siendo S y C lo convencional para dicho ángulo.
A) 9a B)0,9° C )$h6 D )$ fT Í E )^ T 2
Exprese el equivalente de en radianes.
Si:
Siendo S y C lo conocido para otro ángulo generado 
en sentido antihorario.
A j o r a d 
5
w*J07*D ) rad
B )^ - r a d
6
105x .
E )— — rad
-,10 3x .C) -------rad
121
120 107
@ Sabiendo que el número de radianes de un ángulo,
es de la forma : » 
ab
C)(n2 - 1 )— Además cumple :
40 ' n C - S + H R = n3,1416
(x = 3,1410)
Donde: S, C y R son lo conocido para dicho ángulo.
[ r t ñ i w M i w i e m t a LA ENCiCLOJEDM * 9 1 » ]
Calcular: o + 6
A) 2 B) 3 C )4 D ) 7 E ) 8
@ ) La unidad de medida de un nuevo sistema es 1 • y 
ésta se define como la media aritmética de las unidades 
de medida en los sistemas estudiados.
Hallar el equivalente del ángulo de una vuelta en el 
nuevo sistema.
10800**A)
D)
10800* 
19*+2000 
10800** 
19*+ 1800
B)
E)
19*+ 2000 
10800* 
19*+900
O
10800**
19**2000
A ) - 4 « - £ C ) - 3 D ) - 2 „ - £
Sabiendo que:
S = # de grados sexagesimales.
C = # de grados centesimales.
Para un determinado ángulo, tal que : 
S C
x = - X = ■
1+ 2 +
1 +
1 + x
2 +
2 + , C-
2 + x
Halle la medida de dicho ángulo en radianes:
Á ) 7 B' J o —10 D >— 20
E ) 2 *
5
Sabiendo que:
a => # d e m i n u t o e S e x a g e e i m a l e e .
6 => # de s e g u n d a S e x a g e s i m a l e s , 
c = > # de e e g u n d o a C e n t e e i m a les de u n 
m i em o á n g u l o .
Exprese la medida circular de *0 ".
S i; 0m +
A)0,132*rad 
D)0,212*rad
ac
B )0,262xrad 
E)0,136*rad
C)0,272*rad
JE-km m a m
U)C tm
; t ) V 8 )0 0 )D 7 )9 ] 8 )* P l » 10)C
t8)C
08)0
m .
07)C
Sp
D|J
Ü{fl
I7)DW)B\I9)K 01)8
11)0
I W | í ) l C *>E 1 4)1» 5)B H).l lfí)E
18)11 t$)C{l7)C t8)B 19)11 Í0)E
@1 Al medir un ángulo generado en sentido horario, 
se observó que los números que representan sus 
medidas en los sistemas convencionales, se relacionan 
como se indica.
8* es a la diferencia entre el doble del número 
intermedio y el menor como 1,25 es al recíproco del 
mayor número. Halle la medida de dicho ángulo en 
radianes.
DiSTLVTOS CAMINOS E N E L 
DESARROLLO D E LA TRIGONOMETRÍA
Ningún historiador se atreve a fijar los inicios del desarrollo de is 
ciencia trigonométrica. La trigonometría surgió seguramente a través 
de distintos hitos conductores y asociada a otras disciplinas como la 
aritmética, la geometría y, más tarde, el álgebra.
Uno de los caminos por los que se abrió paso la trigonometría fue el 
de la resolución de problemas de astronomía de la ciencia griega. 
En esta linea podemos citar la obra «Sobre las medidas y distancias 
del Sol y la Luna» en la que su autor. Aristarco de Samos. t <icutaba 
las distancias relativas Tierra-Sol, Tierra-Luna con procedimientos 
geométricos. Aristarco aproxima el seno de un ángulo expresado a 
partir de las razones de los lados de un triángulo rectángulo. La 
utilización de la geometría como base para cálculos que hoy 
consideramos trigonométricos es una constante en la ciencia griega
Otro camino que contribuyó al desarroSo de la ciencia trigonométrica 
fue la construcción de teblas de cuerdas correspondientes a 
diferentes ángulos. Aqui podemos citar ta obra de Hiperco de Nicea 
(150 aC). Menelao de Alejandría (70 dC) y sobre todo Ptolomeo 
(150 dC) con su obra el «Almagesto». En esta obra Ptolomeo calcula 
las cuerdas asociadas a ángulos centrales de 60*. 90*. 120*. 72* y 
36*. a partir de diversas proposiciones de los «Elementos» de 
Eudides y de un teorema que aparece por primera vez en el 
«Almagesto» y que ahora conocemos con el nombre de teorema de 
Ptolomeo y que es básico para demostraciones geométricas de las 
fórmulas trigonométricas.
Históricamente se puede considerar que tos árabes fueron quienes 
dieron el paso decisivo para el tratamiento sistemático de la 
trigonom etría. Seguramente fue esta civilización quien más 
contribuyó al desarrollo de la ciencia trigonométrica presentándola 
como ciencia independíente de sus aplicaciones en astronomía. Aquí 
podemos citar la obra Treité du quadrilatére de Nassir al- Din al- 
Tusi. Este tratado está dividido en cinco libros y cada uno contiene 
varia6 proposiciones y capítulos de trigonometría plana y esférica.
Si la sistematización de la trigonometría la hicieron los árabes, en 
Europa quien transm itió y mejoró esta sistem atización fue 
Regiomontanus con su obra De trianguBs Omrúmodis. Esta obra 
consta de cinco libros, dos de trigonometría plana y tres de 
trigonometría esférica y presenta una exposición sistemática de los 
métodos de resolución de triángulos cualesquiera pianos y esféricos. 
A partir de la difusión de esta obra se sucedieron otras que 
profundizaron en la trigonometría conduciéndola a la situación actual
[ T R IG O N O M E T R IA e o H IA EVCKWPEDLÍ 2012}
PRIMER REPASO PARCIAL
¿QEÉES V X Á X G rLO TRIGOXOJIÉTRICO?
En geometrft se define «I ángulo geométrico cerne U figura formada por dos rajes que 
tieieu el mismo erigen.
Ea trigefiemeUfa se define ai da guio trigonométrico como aquel que se genera por la 
reUdéo de un rajo (en un mismo piano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una 
poiióéi inicial hasta una ptsicién final.
^ OA : Posición inicial
OA’ : Posición final 
O : Vértice
a : Ángulo trigonométrico
OBSERVACIÓN:
- Si el giro del rayo es en sentido antihorario, el ángulo 
que se genera es positivo.
- Si el giro del rayo es en sentido horario el ángulo que 
se genera es negativo.
- Si el lado final coincide por primera vez con el lado 
inicial luego de un giro entonces el ángulo es el de una 
vuelta.
< IV
En un gráfico para poder s timar ángulos trigonométricos, 
estos deben de tener el mismo sentido.
EJEMPLO:
RESOLUCION:
De la figura adjunta:
' b
ta \
a + ( - p ) = y vuelta
a - p = — V 
H 2c o
SISTEM A B E M E D ID A S ANGELARES
Expresar la medida de un ángulo en términos del 
ángulo de 1 vuelta (caso del ejemplo anterior) no es muy 
común, por ello se utilizan sistemas de medidas 
apropiadas.1 )S IS TE M A B E M E D ID A SEXAGESIMAL:
También conocido como sistema de medida inglés.
Es aquel sistema que divide al ángulo de una vuelta en 360 
partes iguales.
Cada división es la unidad del sistema llamado wgrado 
sexagesimal” ( Ia).
Por lo tanto: X 1 vuelta = 360°
1=60'También tenemos: |j° = 601 
donde:
V : minuto sexagesimal 
1": segundo sexagesimal 
9 ) S ISTEM A B E M E D ID A CENTESIMAL
También conocido como sistema de medida francés. 
Este sistema es de poca utilización y carece de 
aplicaciones prácticas.
Es aquel sistema que divide al ángulo de una vuelta 
en 400 partes iguales.
Cada división es la unidad del sistema llamado “grado 
centesimal” ( 1*)
Por lo tanto: X 1 vuelta = 4008 
También tenemos: V* = I00m l m = 100•
donde:
lm: minuto centesimal 
7*; segundo centesimal 
3 ) S ISTE M A D E M E D ID A RAD IAL í
También llamado sistema de medida circular ó internacional. 
Este sistema es el de mayor utilización en matemáticas 
superiores.
La unidad de este sistema es el radian (1 rad) y se define como 
aquel que divide al ángulo de una vuelta entre 2n.
Por lo tanto: X 1 vuelta = 2n rad 
Valores aproximados de -x
7T = 3,1416 7T = 22 7T — y/3 + ̂ ¡2
•Conclusión: 1 rad > Io > 1®
FACTOR D E CONVERSIÓN
De las definiciones anteriores para el ángulo de una vuelta 
tenemos: < I vuelta = 360° = 400* = 2ít rad
Así tenemos: 180° = 200f = 7T rad A 9o = 10*
E J E M P L O :
Factor de 
- C conversión
«> 36° = 36°xÍ4 3 M )
V180V
s' 36o»-rad 
5
[m rém u u . KiTtLios 01 SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
Factor de 
conversión
i, /. — rad = 50® 
4
RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LO S TRES 
SISTEM AS
Considerando un ángulo trigonométrico positivo como
S : Número de grados sexagesimales del ángulo a 
C : Número de grados centesimales del ángulo a 
R : Número de radianes del ángulo a 
Entonces se cumple para el ángulo a: S' = C* = R rad (i)
Sabemos: 180* — 200a — jt rad (lí)
0) entre fii) te cumple: ^ * ¿“7 ........ (*>
La medida del ángulo puede ser positiva o negativa, 
dependiendo de:
¿Todo ángulo trigonométrico es generado mediante una 
rotación? Explique.
Para medir ángulos trigonométricos. ¿Cuántos sistemas se 
pueden utilizar?
5. ¿Cuáles son los sistemas convencionales de medida angular?
s c
De la anterior se conduye que:
QDemam:
Para un ángulo positivo como es nuestro caso se cumple:
C > S > R
EJEMPLO.
Si para un ángulo positivo se cumple: T~7r * ~
Siendo S, C y R lo comenta ocal para dicho ángulo, hallar su medida en d 
sistema internadooal.
RESOLUCIÓN:
. _ , „ I80R „ 20OR
De(*)obtenemos: S— — ;
Reemplazando en el dalo tenemos: I I 2R i SOR " 200R ‘ x
Hallar la relación de orden entre S, C y R, para un ángulo 
en el sentido antihorario:
7. Ordenar en forma creciente 
30°, 2tt>, 2nrad
8. I0! 'Redudr - p -
2R
Operando en el primer miembro: ]800 R
1—*s —— = r 2 r - s R =— El ángulo mide— rad¿
3600
EJERCICIOS :
1. ¿Cómo se genera el ángulo trigonométrico?
9. ¿En qué caso los tres números convencionales 5, C y R son 
Iguales?
10. ¿Qué es ei radián?
[ T B i l iO N W t E T H L X
GUIA DE REPASO
NIVEL I :
-IVCtfetda:
N-
U 1 b) 2
3608»??!?»
‘ 216a-« /10nd
e) 3 d) 4 • ) 1/3
a )xfirad
rad
d)x/Bred
b) s/4 rad 
• ) x/100 rad
4).- Raduc*:
p *(C + S) + « (C -S )
20R
a) 10 b) 20 c) 30
d)40 • ) 100
5).-Calcula : T .
4 « d - l
«)2 b)4
10
0 6 d)9 a )N A
« 9 ¡A FACICWrEDto M IS
2).- Calcula tai Angulo «n radian**, Si:
2S+6C» 13, 6 
a) ano rad b) x/100 rad
c) x/1000 red d)x/50rad
«) r/40 red
3).* Calcula un ángulo *n radian**, ai cinco 
v m k la medida en centesimal** mano» 
cuatro vaca» la medida *n sexagesimales, 
todo multiplicado por la medida #n 
radian*» as igual a 2, 8a.
e) x/10
6).* En un triángulo ABC. las madkias da lo* 
ángulos intamo» son:
A *9xV 8 » 10x*; C - — rad 10
Entonces *1 triángulo «s:
a) Equilátero
b) Isósceles
c) Rectángulo
d) Rectángulo Isósceles 
a) Escaleno
7).- Cale uta la medida de un ángulo en 
radianes si;
S + C * 95 
•) x / rad b) s/2 red c) x/3 rad
d) xM red e) n/5 rad
0).* Calcula al valor de:
Írad*40* 
n _ 3
ired+á*
a) 1 b)2 0 3 d )4 e)5
9).- Halla la medida de un ángulo en 
redtanes, si:
7
t
's* *10'
10).- Si se cumple que: 2*62' 63* > t í a ' 
H M a 'a ’ .
a) rJ4 rad 
d) rJSrad
b) x/2rad 
e)x/9rad
c)«ti5rad
a) 1 b)2 c)3 d)4 e) 5
11).* Reduce
SC , 3(C-S)
<P'-C} ' C + S 
e) 1 b) 2 c) 3 
12).* Los ángulos de un cuadrilátero AMOR 
se miden an tras sistemas diferente». El 
ángulo A mide 30*. al ángulo M mida 5/6n 
red y *1 ángulo O mida 90*. Determina la 
matída del ángulo R.
d )4 a )5
7).- Determina la metfida candar da un 
ánguloqu*veiiftca:S «x • 10
C « x + 10: 
siendo S y C lo conocido 
a) ruad b) x/2rad c) xMred
d) rJBred a) 2* red
8).- (Determina la medida circular de un 
ángulo que verifica :
S + C + R = 383.1416 
Siendo S. C y R lo conocido.
■} x/20 rad 
C)x/30rad
b) 11*/20 rad 
d)3x/20rad
e) erad 
d )2xred
b)s/2rad 
a) r.ftrtó
c) xMred
e) NA
13).- HaBa al ángulo an radianes que cumple 
con la relación:
C S 
- + - = 43 
4 5
14).- Calcula el equivalente de 20*.
a) 10* b) 9* c)*/4
d) x/10 rad e) x/19 red
15).- Calcula al equivalente de it/1
9).- HaDa la medida circular de un ángulo 
que cumple:
a) s/20 red 
d)x/5red
b) x/1 Orad 
e) x/Brad
c) xMred
a) 10* 
d) 16*
NIVEL II
1).- Calcula al e< 
a) 2*16' 
d) 3*46'
b) 10* C\
e)2A: o y
des/49 rad.
10).- Halle la medida circular de un ángulo 
que cumpla:
5+ií£,
C R
380 . * 
* R
■)5 rt/9 rad 
d)3n/10rad
b) 10 x/B rad 
a) 9 x/1 Orad
iceotacim af: 27
a) 50’ 
d) 200*
centesimal: 81 “
b )l5 0 ’ 
e) 125*
e)2*45'
c)2S"
c) 250*
11).- Determina al valor da 
quasaa falso:
1» + T*
a) 23 
d) 20
: 1»-1*
b) 22 
a) 21
c) x/9rad 
(«»0) para
c) 19
4).- La suma da dos ángulos as 90* y su 
diferencia as 18*. Encuentre uno da los 
ángulos an sexagesimales
12) .- Si el doble del número que egrese *1 
complemento de un ángulo an sengesimel 
as qjual al número que expresa su 
suplemento en centesimales. Hefta la 
medida mtemecional da dicho ángulo.
a) Absurdo b)x/9rad c) x/16 rad 
d) - x/16 red e) - x/8 rad
CLAVES DE RESPUESTAS
a) 40* 
d) 13*
b) 45° 
8)15*
e) 82°
6).- Sa tienen dos ángulos suplementarios, 
tales que el doble del menor es Igual al 
mayor disminuido en 30°. Halla al mayor en 
radones.
a) 13 nft rad 
e) 13 r/18rad 
#)x/18red
b)13x/20rad
d)5x/18rad
6).- Sabiendo que S y C representan lo 
convencional para un ángulo ‘ a* y edamás. 
C -S = 4
Hala la medida dretáw da ‘a*
NIVEL I
De 2)b 3)b A)b 5)c
6)d 7) d 8)d S)b 10)c
ID » 12) b 13)C 14) d 16) e
NIVEL II
1)d 2)b 3)c 4)b 5)c
6)c 7)4 9)« 9) a 10) b
11)e 12) *
a) * b) 2x e) 3* d) 4x a) 5x
f A TRIGONOMETRÍA** T**T U ENCiCLOPEDI MÓÍM]
CAPÍTULO
o b j e t i v o :
* Aplicar correctamente la fórmula para el cálculo de 
la longitud de un arco de circunferencia..
LECTURA
Ya los griegos anteriores a Sócrates descubrieron la 
parte de la Matemática que llamamos Trigonometría, 
de trascendental importancia en el desarrollo del resto 
de la Matemática, así como en todas las ciencias 
aplicadas. Entre las aplicaciones que entonces se 
hicieron de la Trigonometría encontramos una que 
nos llama poderosamente la atención. Tales de Mileto, 
en un viaje que hizo a Egipto, calculó la altura de las 
Pirámides por procedimientos trigonométricos. Para 
hallar esta altura solamente precisó dos datos que no 
le fueron difíciles de obtener. Estos son: la longitud de 
la sombra proyectada por la Pirámide y el ángulo con 
que el rayo de sol incide sobre la horizontal, ambos 
datos tomados a la misma hora.
= longitud timbra---------
h= altura de la pirám ide
á n g u lo d e l ra y o c o n la h o r iz o n ta l
La medida de la longitud de la sombra no ofrece 
dificultad alguna. Para la medida del ángulo del rayo 
solar, muy bien pudo hacerlo dejando resbalar la 
sombra sobre un plano paralelo al rayo de sol y 
perpendicular al suelo y a la cara de la Pirámide que 
queda en sombra, tal como muestra en la figura .
Alrevizar capítulos posteriores estaremos en 
condiciones de solucionar este problema que, unos 
siglos antes de Cristo, fue capaz de resolver Tales de
Mileto.
Hasta el hallazgo de la Trigonometría no se conocía 
más camino para resolver los problemas que el de la 
Geometría. En dicha parte de la Matemática se 
relacionan magnitudes de la misma naturaleza entre 
ellas para llegar al conocimiento de otras magnitudes 
desconocidas, pero que son también homogéneas con 
las primeras. Es decir, se manejan solamente elementos 
de un mismo conjunto: longitudes entre sí, áreas entre 
sí, etc.
Los griegos, descubridores de la Trigonometría, 
tuvieron la genial ocurrencia de salirse de estos 
conjuntos cerrados y relacionar elementos de conjuntos 
distintos, tales como las longitudes y las amplitudes.
Este es el objeto de la Trigonometría: estudiar las 
relaciones que existen entre la longitud de uno o más 
segmentos y la amplitud o ángulo con que estos 
segmentos inciden unos sobre otros.
LO N G ITU D D E UN ARCO
Se denomina arco a una porción cualquiera de una 
curva, como se observa en el gráfico:
Nosotros vamos a tomar una porción de circunferencia 
que también sería un arco; y su longitud será nuestro 
objetivo en esta parte del curso. En el gráfico, tenemos 
una circunferencia de centro O v radio R.
L = 0 x r
0 < 0 < 2 %
* Donde:
0 : número de radianes del ángulo central, 
r : radio de la circunferencia.
[^LONGITUD DE ARCO A ]® C E M T O R LU . RÍTUiÑOS]
Tomamos el arco AB y denotamos su longitud por L. *COE: L¡ - ar
Así mismo unimos O con*A y B formando el ángulo *FOB: L3 =0R=> LjLs = aOrR........... (1)
AOB «Orad» .
P R O P IE D A D E S
I ) En el gráfico
Se cumple:
DEM O STRA C ÍÓ X :
* Sector COD: $m — 5
* Sector AOB: 0(m +cj =a
Q m -f 6 c = a = > 6 c = a — b = > 6 ~
b
a — 6
Se cumple: L j X L s = X L 4
D E M O S T R A C IÓ X :
*A O F : L 2 = olR
Á2)E O D : L 4 —0r=> L 2L 4 = aOrR ......
Luego: (1) = (2) => L tL 3 = L 2L 4
CIRCUNFERENCIA 
Y CÍRCULO
SECTOR CIRCULAR
Sector
C ircu la r
Arco de 
Circunferencia
P R O B L E M A 1:
Calcular la longitud del arco correspondiente a un 
ángulo central de 80P en una circunferencia de 18m 
de radio.
A)nm B)2x C)3x D )4x E)8x 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando, tenemos que convertir primero el ángulo 
central a radianes:
* . /, a a o x rad . 4x ,I ) 0 = 8 0 * ------- =>0=— rad
180° 9
W Calculamos la longitud:
L = 0R = ^ -x l8
9
Operando: ¿ = 8xm
RPTA : i9E 9
¡ ¿xTKMG OVOME TE LA * u n . LA ENCICLOPEDIA MQ1M]
P R O B L E M A 2 :
En un sector circular, el ángulo central mide 30° y el
radio 12 cm. ¿Cuánto mide el arco? 
RESOLUCIÓN: A
Grafi cando: 12.
P R O B L E M A S :
Calcular la longitud de un arco cuyo ángulo central 
correspondiente mide 109 y el radio del sector mide 
lOm.
A)xm B)2x 
R E S O L U C IÓ N : C)\
D)4x E)8n
*0 = 30* x ^ ^ = > 0 = - r a d 
180° 6
*L = 0R => L = — x l2 => L = 2i7cm 
6
P R O B L E M A 3 :
En un sector circular, el ángulo central mide 36° y el 
arco correspondiente mide 6xm . ¿Cuál es la longitud 
del radio de dicho sector?
A)10m B) 20 C) 30 D) 15 
R E S O L U C IÓ N : ^
* Grafícando:
I ) Transformamos el ángulo central:
108 =10* x - i - - = — 
200g 20
W Luego: L = 0R
=> L 10 => L = — m
20 2
E) 5 RPTA i •*C"
I ) convertimos el ángulo central:
. x rod _ 3x ,0 *= 30c x => 0 = — rad
180° 6
W Aplicamos la fórmula: L = 0R=>6z = — xR
5
* Despejando: R=10m
RPTA: "A"
P R O B L E M A 4 :
En un sector circular, el ángulo central mide 72* y el 
radio 20 cm. ¿Cuánto mide el arco? 
RESOLUCIÓN: A
Grafícando:
P R O B L E M A 6 :
En un sector circular, el arco mide 12 cm. Si el ángulo 
central se reduce en su tercera parte, se genera un 
nuevo sector. Determinar la medida del nuevo arco. 
R E S O L U C IÓ N :
12
m
* r —
*A rrnn 7T TOd . 2h ,
e = 7^ x l 8Ó ^ ^ d = ' T rad
*L ~ 9 R => L = x20 => L = 8ncm 
o
P R O B L E M A 7 :
_ _ ¿ i +
Del gráfico, determina: ~ jL ¡
[^LOXGITUD DE ARCO A T ««T EDITORIA I, R V U lM ís )
R E S O L U C IÓ N : 
Del gráfico:
SectorBOF : L ¡ = 0 x 2 = 20 
SectorcoD : L g = 0 x 5 = 50 
SectorA0B : La = 0 x 6 = 6 0
Luego:
C = L *+ L » - 20 + 60 C _ 80 - i C _ "8
L t 50 50 5
P R O B L E M A 8 :
Calcular la longitud de arco que corresponde a un 
ángulo central de 50° en una circunferencia de
diámetro 36m.
A)25xm B)5x C)10x D)20x E)15x
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando y llevando el ángulo central en radianes:
xrad
180°
„ 5x . 9 = — rad 
18
L = 6 x R s $2-x 18 => L = 5xm 
18
BPTA ¡ "B"
P R O B LE M A 0
radios iguales a 20 km y 18km. repectivamente. 
Determina la longitud de la pista.
R E S O L U C IÓ N :
Graficando:
* SectorAOt&**27a * r ° - - ^ ~ ra d 
ÁO* 180 20
L, * 0 R «* — X 20 - Skm 
• 80
SectorBOC : 8 = 60a x
180 3
L g = 6 R = ? -x 18 - 8* k ms
=> L¡ + Ls — 9nkm 
P R O B L E M A 10 :
En un sector circular, el ángulo central mide 40* y el 
arco correspondiente mide 8x . ¿Cuánto mide el radio 
del sector?
A) 10 B) 20 C) SO D) 40 
R E S O L U C IO N : A
* Graficando:
B) 00
Una pista está formada por dos arcos consecutivos 
correspondientes a ángulos centrales de 27* y 60° con * Graficando :
* Convirtiendo el ángulo:
6 = 40* xX r a => 6 = — rad 
200* 5
* Aplicamos la fórmula: L = 6R => Sx = ̂ x B
5
* Operando: R=40
RPTAi“D"
P R O B L E M A 11 :
En un sector circular, se cumple que el arco mide Sx y 
el radio mide 6 . ¿Cuál es la medida sexagesimal del 
ángulo central?
A) I d B) 20° C) 90° D) 40° E) 60a 
R E S O L U C IÓ N :
[A TM G O X 0M E TM IA A 1 67 í M ENCICLOPEDIA 10/11
* En el gráfico, aplicaremos la fórmula:
L = OR =>3 x - 6*-6 => 0 = —rad
2
* Convirtiendo al sistema sexagesimal:
0 = *12* x J 8£ L => 0 = 90°
2 xrad
P R O B L E M A 12 :
De la figura, hallar:
1 b 
A ,2 D
B)1
c>7
DJ2 
EJ0.3
R E S O L U C IO N :
* Asumiendo que: m¿AOB = O
=> recordamos: 0 ~— 
r
* Para cada sector :
e = - .... (/ ) a e = - ^ r U i)a
* Igualando ( I ) y (II ):
x 3x
a a + b
a + ó
=> a + 6 = 3a => b - 2a
 o o a l
Piden: b = 2a ^ b ~ 2
RPTA i "A"
OBSERVACIÓN:
En un problema cuyo gráfico tenga la forma:
Se cumple: O
b -a
P R O B L E M A 13 :
Del gráfico, calcular " $
A) xrad
C)2x
D>¡
® T
R E S O L U C IÓ N :
* Aplicando la observación anterior:
9=xrad0 s 4 x -2 x = 2 x 
2 2
R P T A i" C n R PTA : *'A”
P R O B L E M A 14 :
El péndulo de un reloj mide 75 cm y al balancearse se 
desplaza 12°a cada lado de la vertical. ¿Cuál es la 
longitud del arco que describe?
A)5xcm B)7x C)10x D )8x E)6x 
R E S O L U C IÓ N :
* Por condición del enunciado tenemos:
O
* De la figura: Por dato la medida de a en grados en 
12°, por consiguiente la medida en grados del ángulo
2xAOB es 24°, equivalente en radianes a — .
15
* Aplicando la relación: ¿ = 8r , tenemos:
/=[^ f )(75em)
=0 longitud del arco: A B (¿ )~ lOxcm
RPTA ¡ "C"
P R O B L E M A 15 :
Calcular la longitud del radio de una circunferencia 
en
la que un ángulo central, que comprende un arco que
mide 51— m , tiene una medida en grados oO
centesimales representada por un número entero y en 
grado sexagesimales representada en la forma x°x\ 
A) 3m B) 4m C) 2m D ) 2,5m E) 3,5m 
R E S O L U C IÓ N :
[AtOJW ilTPD BE AKCO A n o m m iA i , rebmA q s )
' Grañcando:
' Además:
=>e = x ° + ^ -= > $ = ^ x °
0 = 61* x ;
J0O*
* Finalmente aplicamos:
L
61x
D)0* -a * * 9a 
R E S O L U C IÓ N :
* Grañcando:
E)9S-a = 29a
* Además según enunciado : 
AC AB (0 + x )r
AB BC Or
Or . ¡= — =$ Ga + a 
ar
9*
0* - a * - a 0
RPTA i ••D "
P R O B L E M A 17 :
Se tiene dos poleas de igual diámetro, conectadas por 
una faja de longitud igual a “m " veces (m e N ) la
longitud de la circunferencia de una de las poleas. 
Hallar el diámetro de las poleas, si se sabe que la 
longitud de la faja que no hace contacto con las poleas 
es 2L.
A ) L + 2 L + 2 C) 2L
x ( m - l ) x
R E S O L U C IÓ N :
* Grañcando adecuadamente:
D)
x ( m - i ) nmE)3L
60 60
* Transformando a centesimales:
. 61 , 10* 61 t ,0 = — * x - p - - — **,hiegoparaque "0" seaentero 
en centesimales, se tendría que: x = 54=3 0 = 61*
* Que al transformarse a radianes, será :
xrad 61x
100
100 RPTA t "C "
P R O B L E M A 10 :
Sobre una circunferencia de centro "O ” se tiene 3 
puntos: A, B y C (B entre A y C): si el punto B divide
a la longitud del arco A C , de modo que tu longitud del 
arco AB es media proporcional entre la longitud del 
arco AC y el arco BC • Se pide hallar la relación 
existente entre los ángulos AOB = 0 y BÓC = a 
A109 + a = 9a B)9*+a* = 20a C)as -0*20a
Longitud de la Faja =2L +2(nR) 
m (2xR) =2L +2nR =>R =
dato
* Se pide el diámetro, el cual será:
2R = 2 ¡ L 1 =
k (m-l)
2L
x { m - l )
RPTA : “C”
P R O B L E M A 18 :
La Figura muestra un monta carga con un tambor de
60 cm de diámetro, si el montacarga gira — radianes,
4
entonces la carga se eleva aproximadamente a una 
altura de: ( tomar x = 3,1416)
A) l ,68m
B) l,67m
C) l ,66m
D) l ,66m
E) l,63m
R E S O L U C IÓ N :
* Debemos deducir que la longitud del arco girado, es 
igual a la altura elevada de la carga.
[ á TKMGONOMETRJAA LA ENCICLOPEDIA M O l* ]
* Ahora aplicamos: L = 0 xR
=>L = ̂ -x (0 ,3 )= > L = ^ ^ x ~ = > L = l,65m 
4 4 10
R P T A : " 0 ”
P R O B L E M A 19 :
De la figura, calcular el perímetro del sector circular 
AOB. A
A) 20
B) 16
C) 12
D) 8
E) 14
R E S O L U C IÓ N : 
* Del gráfico:
B
R E S O L U C IÓ N : 
* Del gráfico:
.(/)
♦Además: {R + 5)0=14 R0 + 50=14
=> 4 + 50 = 14 =* 0=2 a R=2 
♦Sepide: L = (R + 3)0 = (.2 + 3)2 = 10
RPTA i “0 ’
P R O B L E M A 21 :
Calcule el perímetro de la región sombreada, siendo A 
y D centros, además AB=AD=4u,
L = Rx0=> x + 9 = ( x + í ) x 
= $ x + 9 = x 2 + x = > 9 = x 2 = > 3 = x
♦ Se pide -Perímetro: x + l + x + l + x + 9
=> Perímetro: 3x + 11 = 3 (3 ) + 11 = 20
R P T A : "A”
P R O B L E M A 20 :
Determine el valor de “L” en el esquema mostrado .
A) 5
B) 7
C) 9
D) 10
E) 12
R E S O L U C IÓ N :
* Trazando los radios, 
adecuadamente:
* Se deduce que : ^ 
BP U J 3
f f í
/ 7 V \
< / / 4 4 \ \
$oy
y a
A 6d 60°>
D
“ V
4
'B C = 4
* Se pide el perímetro de la región sombreada, es decir:
2* 2* (
— + — + 4 = 4\ 1 + —
3 3 { 3 )
R P T A : **A'
P R O B L E M A 22 :
En la figura mostrada se tiene un péndulo en 
movimiento. Hallar aproximadamente la longitud del 
péndulo si su extremo recorte lOitm •
20 mA) 26,ImB) 29,4
C) 28¿
D) 32,1
E) 62,5
R E S O L U C IÓ N :
* Sea x la longitud del péndulo y L Jt con L 2 los 
recorridos del extremo:
20 m
1*2 O " '* L ¡ 
* Del gráfico se cumple que:
2̂
r 54x r 37*,
A Lg = - 10)
180 180
[^LONGITUD DE ARCO A IZ°JC EDtTiPHIAi, RVBtXOS
* Pero por dato: Lj + L2 - IOx reemplazamos:
53x 37x ,-x + ̂ nrr\x = IOx
180 180
53x 37 x 37 ^ 254■=$-----+ ------------ = 1 0 => x = -----
180 180 9 9
= 28,2 
P R O B L E M A 23 :
A B
R E S O LU C IÓ N :
* Trazamos los recorridos del extremo A :
* Del gráfico notamos que :
= ~ x4 => L¡ = 2x ; L.¿ - — x3 -̂ > L2 = —
Ls =^x2=> Ls =>r ; L4 = 1 => L4 = |
^ La longitud total que recorre A es:
1*1 + 1*2 + f>3 + 1*4 = 2íC ̂ —— + JT + ~ - 5íT
rpta i **CM
P R O B L E M A 24 :
Calcular el perímetro de la figura sombreada siendo O 
y B centros. A
X*
A)5x + 6
B)5x + 12
C)5x + 1242-12 12
D)4x + 3
E)5x + 24
R E S O LU C IÓ N :
* Hacemos los trazos adecuados :
A
RPTA : "C"
En la figura mostrada la longitud de la cuerda AB es 
igual a 4m y la base sombreada es un cuadrado cuyo 
lado mide lm , si se gira en el sentido indicado hasta 
envolver toda la cuerda de dicha base. Calcular la 
longitud que recorre el extremo A.
A)4xm
B )6xm
C)5xm
D )10xm
E) 20xm
B
En el sector circular BOC se cumple que:
Ll - — x l2 =>Ll - 4 x .......... (/ )
ü
En el sector circular CBD se cumple que:
L2 = ^ -x 1 2=>L2 = x ......... (//)
2 12 2
* Sea 2P el perímetro de la figura sombreada:
P = L¡ + LS + 12..............(///)
* Reemplazamos / a // en III:
P = 4x + x +12 = 5x +12
P R O B L E M A 25 :
RPTAt
Dos ángulos centrales de una circunferencia cumplen 
lo siguiente:
I) Son suplementarios.
I I ) La diferencia de los arcos que subtienden es 2c/n.
4
II I ) La razón entre la medida de los ángulos es
x
Halle (en cm) la longitud del radio de la circunferencia.
2 x (4 -x )
Áí2(4 + x ) 0 i3(4 + x ) ^ 7 ( 4 + x ) 
x (4 -x ) x (4 - x ) } '
R E S O L U C IÓ N :
* Grafícando:
* Datos:
0 + a = ...............(/ )
$R - aR = 2 ......... (//)
0 4
a x
D) 4(4 + x) 
x (4 -x )
AHI)
* De (I) y ( I I I ) : Í £ + a = . a as 0 = 4x
x 4 + x 4 + x
Que al reemplazarlo en (I I ) , se obtendrá:
R 4xÁ
4+x 4+x
= 2 => R = 2(4 + x) 
x (4 -x )
RPTA: «A*
[ ̂ TR IG O N O M ETRIA^ MJk E&CiCMs O P E D IA XOÍM]
P R O B L E M A 26 :
Calcular el radio del cuadrante ACD , sabiendo que la 
esferita al soltarse del punto B, llega al punto C, 
además: AB = (x + 2)cm.
B
* Resolviendo : r = 2
RPTA i «C»
P R O B L E M A 27 :
Se tiene una lámina en forma de sector circular cuyo 
ángulo central mide — rad , al cubrir el arco con un
6x 3
hilo de — de longitud este no queda cubierto
totalmente, faltando una cierta longitud de hilo. Pero
c _
si es cubierta con una longitud de — m sobra una
t7
longitud igual a la que faltaba anteriormente. Halle 
(en m) el radio de la lámina.
A)3 B)4 C)6 D )6 E)7
R E S O L UCTÓN :
Gráflcamos de acuerdo a la condición:
.......................................... ( I I )
Sumamos ( I ) a (U ) ^ =>R=3 
luego el radio de la lamina es: 3m.
RPTA : “A ”
PROBLEMA 28 :
En el gráfico se muestran tres tuberías del mismo 
diámetro de longitud D , que para sujetarlas se las 
envuelve con un alambre de diámetro despreciable . 
Determine la longitud de dicho alambre .
A) D(x + 3)u
B) D(k + 2)u
C ) Dfn + 4)u
B ) D(n + B)u
E) DOr + 6}U
RESOLUCIÓN:
*Vista frontal de las tuberías :
*A1 unir los centros se forma un triángulo equilátero
oo1 o2
*Se pide:
Longitud delalamb„ = L=3 TP + E t P R (I )
*Del gráfico:
TP = 2r
C P R = r x ^ = ^
3 3
^Reemplazando en ( I ) :
L=3(2r) + ̂ ^ ( 2 r )
0
*Pero : D =2r
—> L s Dfn+3j ddta . « a »
P R O B L E M A 29 :
De la figura mostrada ;si
AC =l,5u , L ^ = L ^ = L ^ . Halle en radianes la 
medida de o .
[a l o x g m t u d d e a r c o * r ™ r E D ÍTV R Ltij R v m ñ o s
A)l!2 B)2 C)l/3
R E S O L U C IÓ N :
D atw L-g-Lgg-fl 
Conocemos que:
Se cumple:
En el problema: 30=-A£— — =>30=—*-DB S 0= 4/3
A) B
R E S O L U C IÓ N :
E ) F
r = ; R - —— > 2 /T r = f
*Datos: *
-> ( > ( l o n g i tu d d e l a r c o A B )
EJ3/4
C = C (A B M (B T )
-> r = - r + x if -> / = — X J - + x ^
2 2 2 f n
, 2 , 3x 0 0x n , n ,
i = —+ — => — = — => x = — => x r a a = — ra a 
4 n 4 7t 4 4
, . 4F ñ 45*=> xrad=45 ̂-=> xrad=---- + ----
2 2
T=D
RPTA : “C”
R P T A : “ D ”
PR O B LE M A 30 :
A partir del punto A se coloca una cuerda de longitud 
C sobre la superficie mostrada. Indique el punto en el
( 3(cual coincide el extremo de la cuerda , si r=— y R- —2 71 7t
(6?) Determinar: ux ”
A) 1,2 cm
B) 0,75 cm 
O 12 cm
D) 7,5 cm
E) 4,3 cm
@ ) Determinar “x
A) 0,5 m
B) 1,0 m 
O 1,5 m
D) 2,0 m
E) 2,5 m
Determinar “x ” .
A) 1
B) 0,1
C ) 0¿
D) 0,5
E) 1,1
0 ^
@ ) Determinar la longitud de un arco correspondiente 
a un ángulo central de 15°, en una circunferencia de 
diámetro 48m.
A )n tn B )2 x C )3n D ) 3x E)
4n
(A TR IG O N O M E TR ÍA * S LA mCiCLOPE&MA A012 ]
1 Determinar la longitud de un arco correspondiente 
a un ángulo centrald e 40* en una circunferencia de 
radio lOcm.
A )xcm B )2n C )3x D )5 x E )7 it
@ ) En un sector circular, el arco y el radio están en la 
relación de 4 es a 3. Determine la medida del ángulo 
central correspondiente.
* í « í
A ) —Arad 
4 °> í
A)—rad B)í C)i D> i E) l
<@ En un sector circular el arco y el radio están 
representados por dos números enteros consecutivos. 
Si el semiperímetro del sector mide 7m, calcular el 
ángulo central de dicho sector.A)0¿ rad B)0,4 00,6 D)0,7E)0,8
(Í5}> En un sector ciruclar el ángulo central, el radio y 
el arco están representados por número consecutivos. 
Calcular el ángulo central de dicho sector.
A)l,1424 rad B)l,4142 01,731 D)l,39 E)l,35
Calcular del gráfico mostrado, si: la. - *í
4 '
A) — rad B/— 
11 10
C) l l x D) lOx E) x
21
> En un sector circular, el arco mide 5xm y el ángulo 
central 30°. ¿Cuánto mide el radio?
A)30m B) 33 0 38 D) 42 E) 48
2
Del gráfico, calcular en el sistema francés.
A
A) 12*
B) 15*
O 30*
D) 20*
E) 40*
O
En el gráfico , Determinar "0 ".
En un sector ciruclar el radio mide — cm y el
x
ángulo central mide 45°. Determinar el arco 
correspondiente.
A)0tl cm B) 0,2 O 0,3 D) 0,4 E)0,5
En un sector circular el arco mide 16xm y el 
ángulo central mide 144°. Calcular el radio.
A) 14 m B) 16 O 18 D) 20 E) 23
@ E n un sector circular el arco es la cuarta parte del 
radio. Calcular la medida del ángulo central.
M f f B( f l < f ) ‘ ° e í -
@ En un sector circular el radio es el recíproco de la 
medida radial del ángulo central. ¿Cuánto mide el 
ángulo central de otros sector circular de radio 4, si 
poseen el mismo arco?
(í E n el gráfico, Determinar "o ".
A)3x
B)5x 
l3jt
5
, 9x 
~2 
l lx
O -
D)
E)-
@ ) Dd gráfico calcular la longitud que recorre el punto 
“P M si este cubre totalmente el cuadrado.
A )1 2 x k m ^ *
B)14x
C )1 7 x
D )2 0 x
E ) 24x
ÁLOXGITUB DE ARCO A Xz*X E v m m tA i ; R v n tñ o s )
f 0 1 0
A )— B )* ± C ) ^ D ) * *
3 5 4 10
Determinar “I ” .
A)2
B) 4
C)5
D) 7
E) 8
@ ) Del gráfico determinar “R ”
R 3B) 3 &
0 4
D) 5
E) 6
@)Determínar "x ” en los sectores mostrados.
3 * '
C ) Y 0 < Z 12 5
D )4 3
E) 4,5 x
@ Determinar la longitud de un arco correspondiente 
a un ángulo central de 60°, en una circunferencia cuyo 
radio es 3m.
A)n B )3n C)9ir
d >í ¡
E )2 n
@ Determinar el radio de una circunferencia tal que 
un arco de 15 cm de longitud subtiende un ángulo 
central de 3rad.
A) 15 cm B)12 cm O10 cm D)5 cm E)2,5 cm 
Determinar la longitud de arco en un sector 
circular cuyo ángulo central mide 40° y el radio es de 
15 cm.
Determinar la longitud de arco correspondiente a 
un ángulo central de 80° en una circunferencia de 36m 
de radio.
A)4itm B)16x C)32x D )36x E )n
@)Determinar la longitud de arco correspondiente a
un ángulo central de -- rad en una circunferencia de
4
8m de radio.
A )n m B )32n C )2 n
D ) ~2
E )4n
En un sector circular, el ángulo central mide 60° y 
el arco correspondiente mide 6x. ¿Cuánto mide el 
radio?
A) 6 B) 9 O 12 D) 18 E) 15
@ )E n un sector circular se cumple que el arco mide
6* y el radio mide 12 . ¿Cuál es la medida sexagesimal 
del ángulo central?
A) 45° B) 60° O 90° D) 180° E) 120°
@ ) En un sector circular, se cumple que el arco es el 
triple del radio. ¿Cuánto mide el ángulo central?
A) 1 rad B) 2 0 3 D ) 6 E) 12
En un sector circular, el arco mide 2ncm y el radio 
6cm. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo 
central?
A) 30° B) 450 O 00° D) 75° E) 15°
(Q ) En un sector circular la medida del radio y el arco 
están representados por dos números enteros 
consecutivos. Si el perímetro del sector es 17 cm, ¿cuál 
es la medida del radio?
A) 3 cm B) 4 0 5 D ) 6 E) 8
(f l ) Señale la longitud de un arco, correspondiente a 
un ángulo central de 45° en una circunferencia de 
8cm de radio.
A in cm B )3 n C )^ D )4 rt E )2 n
£
Determinar la longitud de una circunferencia cuyo 
radio mide 5m.
A)xm B)5xm C)lOxm D)20xm E)15xm 
Del gráfico, hallar “x*\
A) 2m
B) m 
O 4m
D) 5m
E) 6m
En un sector circular, el ángulo central mide 40g y 
el radio 20cm ¿Cuánto mide el arco?
A)2ncm B)4n C )6x D )8 n E)10n
(f¿J) En la figura halle el perímetro de la región 
sombreada.
A) (12 + x)m
B )(l2 + 2x)m
C )(l2 + 3x)m
D)(12 + 4x)m
E)H ) m
[ TKMGO^OHETBMAa U*Ji U ENCiCLOPKDlA M01M}
En la figura mostrada, la masa “3 f” se desplaza 
una distancia igual a 3m, de tal manera que la polea 
efectúa un giro de rotación igual a 45° alrededor del 
punto “0 ” . Determine la longitud del radio de la 
circunferencia aproxime (x = 3 )
correspondiente a un ángulo central de 30° si el radio 
de la circunferencia mide 18 m i
A)xm B)2xm C) 3xm D)6xm E)18xm
@^En el gráfico : Determinar ux ’\
O: centro de los arcos AB y CD 
AC = BD = 2
m (c ñ ) = 9
m(vUí) = x 
M<AOB = lrad
El tramo de una carretera está formada por 2 arcos 
de circunferencia, el primero tiene un radio de 18 km 
y un ángulo central de 40° y el segundo tiene un radio 
de 36 km y un ángulo central de 50°. Calcular la
22longitud total de este tramo (aproxime )
A,} 40 m B) 44 m C) 48 m D) 52 m E) 53 m 
(fjfy En la figura, calcule el espacio que recorre la masa 
"m " al ir desde *54” hasta
Datos: BC = 4m
f í ” .
CD = 2m 
D
A)xm
B)2xm
C)3xm
D)4xm
E)5xm
Calcular *V '
A) 7 B) 2
@ ) Determinar el perímetro de la región sombreada 
siendo Oj y 02 centros de la circunferencia de radio 
6m.
A) 2xm
B )6xm
C) I2xm
D) 18xm
E )8xm
(Q) Hallar la longitud recorrida por la esfera “m ” al ir En el gráfico , Determinar “L” . Si: L } + L2 - 16x
desde la ubicación *54” hasta su nueva ubicación “B ”
según la figura mostrada. 
m
A)x
B)2x
C)3x
D)3x
E )6x
( g ) Si la longitud de un arco es igual a 5xcm y su 
radio es 3cm. ¿En cuánto debe disminuir su ángulo 
para que la longitud del arco no varíe y su radio sea 4 
cm?
A) 150° B) 160° C) D) 200° E) 75° 
(Q) ¿Cuál es la longitud de un arco de circunferencia
A)4x
B )8x
C) 12x
D)16x
E )6x
A) 16°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 630 A R O
Del gráfico ; determinar n$n.
[¡^LONGITUD DB ABCO A u n EDITO RLU j RÜBEVOS]
{ © Determinar -o- si L 2=5L¡ 
L 2
DIRIGIDAí
(Q ) Determinar la longitud de un 
arco en un sector circular cuyo 
ángulo central mide 60* y el radio 
12 m.
A) 2ir m 
D) 8n m
B) 4tt m
E) 12-rrm
C) 6ir m
© D eterm in ar la longitud del 
arco de un sector circular de 
ángulo central 45°, sabiendo que 
la longitud de la circunferencia 
es 600 m.
Ai 75 m B) 60 m C) 120 m
D) 60 m E) 80 m
@ )E n figura determinar la 
longitud del arco BC si AE=20m
aí ~̂ DAJx m
B)2xm
C)4x m
D)6x m
E)8x m
© Determinar la longitud del arco BC
y
Al RB 
B) 2R6 
Ci 3R0 
Di 4R6 
E) 5RB
Calcular:
L , + L ¡ 
L 2 + L 3
© E n ia figura, determinar la 
longitud de] arco BC ,si AC=18 m
A) xm
B) 3xm
C) 5xm
D) 6xm
B) 8xm A
En la figura si 2 0 A =A D ,
, , L 2 + L 1 
calculan
A) 1/2
B) 213
C) 3/4
D) 215
E) 3/6
© Dado un sector circular de arco 
12m de radio (x+3)m y el ángulo 
centra] 2 radianes. Calcular *x *
Al 2 B)3 C) 6 DJ8 El 10
@ Determinar "Q
2m
A)0,5rad 
Bllrad 
C)2rad 
DISrad 
E) 1,5 rad
(Q ) En la figura se cumple: 
Calcular el área del sector:
A) 1
B) 2
C) 3 
O) 4 
El 5
© En la figura AOB y DOC son 
sectores concéntricos. Determinar
i*
A) 0,1
B) 02
C) 0,3
D) 0,5 
El l f i
Dada la circunferencia 
mostrada, calcular la longitud de su 
radio en términos de 'a 'y 'L '
L 2a
C>£- D )te B
r2L * 2 
a
(Q ) Del gráfico. Calcular * * + y•
( © Calcular la longitud de la 
circunferencia inscrita si la longitud 
de los arcos AB y CD miden 2 y 5.
©Calcular: A = —* + b* + c J
a (e -b )
© > Calcular
A) x i2 rad
B) x ¡3 rad
C) x ¡Orad
D) x 19 rad
E) x 110 rad
(© L a medida de un ángulo 
inscrito de una circunferencia es
+ V y contiene un arco
90 .
— (x 
ir
cuya longitud es (2x + l )m . 
Calcular "x " &i el radio de 18 
circunferencia es 4/3m.
/A) B) 1/4 cim
[&TBJGQ1VOMBTMIA* Uk ENCICLOPEDIA M01M ]
D) 1/8 E) 1110 
© A partir de la figura, calcular: 
o + 26A =
o — 6
36cm
A)xcm B)2xcm C)3xcm 
D)4xcm E)5xcm
O Del gráfico, calcula «L ».
AJjrcm B )2 x c m C )3 x c m 
D lá x c m B )6 s c m
O Del gráfico, calcula «L » .
Si la longitud de la 
circunferencia es 24 ir , calcular la 
longitud del arco
A) 6n
B) 9n
C) 12 7T O
D) ISir
E) 24-k
( © Del gráfico, calcula «L ».
A
36cm
A )xcm B)2xcm C )3xcm 
D )4xcm E )5xcm
Del gráfico, calcula «L ».
A )2ncm B )3ncm C )6 ftcm 
D )9 xcm E)12ncm
Del gráfico, calcula «L ,‘LS».
A
A> 7 f
D12S18
BUS |
« M i
« M i
© Del gráfico, calcula " L¡ - Ls
A )xcm B )2xcm C)3xcm 
D )4xcm E )5xcm
(© U n tramo de una autopista 
curvilínea está formado por 42 
arcos sucesivos. El primer arco
corresponde a un ángulo de ~ wl y
con un radio tal como A , el segundo 
corresponde a un ángulo central 
que es el doble del anterior y con 
un radio que es el doble del anterior, 
el tercer arco corresponde a un 
ángulo central y un radio ambos 
triplicados respecto al inicial, y así 
sucesivamente hasta el último arco. 
Determine la longitud total de la 
autopista curvilínea.
a ; 593nR B) 594jtR C ) 595nR
D) 596¡tR El 597rR
[CLAVES P E I A PEDIERA PRACTICA)
m m $ H=¡Wi
lylM I
¡m • h M 17)C
Wlfi
lOAVKS Mí 1-1 StAiLMt.l PHACTICAl
liocl
3EB3E2JÍM
LO X G tTTD D E AKCO
En matemática, la longitud de 
a rco , también llamada 
rectificación de una curva, es la 
medida de la distancia o camino 
recorrido a lo largo de una curva o 
dimensión lineal. Históricamente, 
ha sido difícil determinar esta 
longitud en segmentos irregulares; 
aunque fueron usados varios 
métodos.
Al considerar una curva definida 
por una función f(x ) y su respectiva 
derivada f ’(x ) que son continuas 
en un intervalo [a ;b ], la longitud S 
del arco delimitado por a y b es 
dada por La ecuación:
S = yjl + [ f ' ( x ) ] sdx
[A J B C ro i c n c c ü a ^ ' f 73 f K u rra m A t. r l v l v o s )
OBJETIVOS :
* Usar correctamente las fórmulas para el cálculo de 
la superficie de un sector circular.
* Interpretar loe ejercicios que contienen condiciones 
en forma literal sobre sector circular.
m m o D c c c i ú N :
El profano confunde a menuda circunferencia con 
círculo. Para no caer en dicho error, siempre hay que 
tener en cuenta que la circunferencia es una línea y 
no una superficie. Un ejemplo de aquella es una llanta 
de bicicleta vista de perfil.
Por regla de tres :
Superficie
o7rr“
S
ángulo
■+2 ir rad
-+Q rad
Entonces:
S = e s
2
También por longitud de arco, se tiene: L = 0 xr de 
donde se obtiene las siguientes relaciones:
FIGURAS
CNEL
CÍRCULO
€
Sefrtcmjto
©
S egm enra c jra A v
O
C oim * crcutar
Se<4or drtuJar
Trapecio areufar
S = — 
2 s = ío
OBSER VA C IÚ N :
En la primera fórmula si hacemos 9 a 2 * tenemos que 
el área del círculo es x r* . 
propiedad : ^
SECTO R CIRCULAR
Se denomina sector circular al área de la porción de 
círculo comprendida entre un arco de circunferencia 
y sus respectivos radios delimitadores. Para tener un 
sector circular hacen falta dos parámetros, a saber: el 
radio y el ángulo central en grados.
Ar e a b e im s e c t o r c ir c u l a r
A la porción sombreada de la figura, se denomina 
sector circular. Si 0 es el ángulo central expresado en 
radianes, de una circunferencia de radio r y si *ST 
denota el área de un sector circular subtendido por 0.
Dado el sector circular AOB de 
ángulo central AOB, de medida 
0 rad , radio r y arco AB de 
longitud L , se puede calcular su 
superficie de la siguiente 
manera:
S, _ a
Sg Lg 0
(R a d io constante)
TR A PE C IO C IRCULAR
* Separación de bases: A D = B C = R - r
* Para que el trapecio exista , se debe cumplir:
¡A lH W O iW J fgm iA o 1 79 t LA ENCICLOPEDIA *012 ]
0 <m < central < m < l vuelta
Orad Orad Sx rad
Graficando, reconocemos ]os siguientes datos:
0 < 9 <, 2x
ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR (S^ )
An g u l o c e n t r a l
* Área del trapecio circular
j * Valor numérico del ángulo 
central
6 M - L i
S o = f í « 2 - r * )
( 0 < 6 í 2jz)
* En función de las bases y el ángulo central
jGrod í>.|
r « _ r *
0 26
a le f l : ¡MI® 0
PROBLEM A 1:
En un sector circular el radio mide 4 m y el arco 
correspondiente mide 3xm. ¿Cuál ee el ¿rea del sector?
AJ6*ro* B)8x C)10x D)12x E)14x
R E SO LU C IÓ N :
(0 <0S2x)
OTRAS FORMAS DE CALCULAR EL 
Ar e a d e l t r a p e c io :
*En función de los radios y el ángulo central:
•Reemplazando: S=^^-=> S=^6xma
RPTA : “A3’
P R O B LE M A 2:
Calcular el área de un sector circular cuyo ángulo 
central mide 40* y su radio mide 10 m.
A )8xm2 B)10x C) 40x D )6x E)4x
RESO L U C IÓ N :
* Graficando, notamos que el ángulo no está expresado 
en radianes, por lo que el primer paso será :
y. x rad „ x ,d -4 0 e x ------— => 9 = — rad
200g 5
* Reconociendo datos : 9—— a R —10o
0R g
• Luego usamos : S = S= 5 x (í0 )* - 10° *
10
=» S — 10xm2
RPTA: “B ’
P R O B LE M A 3:
Calcular el área del sector circular mostrado.
A)2xm*
B)3x
C)x
D)7x
E)2,5x 6 ^
R E S O LU C IÓ N :
* Convertimos 30° a radianes ¡30° x^rEíLm*rad
180• 6
• El número de radianes e s : ^- => 9=^-
o o
[&8BCTOK CIRCULAME i «®jc EDITO RIAL R tru ix o s ]
* La longitud del radio es : 6m => r =6
* Aplicamos la fórmula:
-* (.6) 2 -A = — x0 => A=- ̂
2 2
x — =>A = 3x 
6
e=2o ° * rad 6 = —rad 
180° 9
* reconociendo datos:# = — a L=4 mrif
usaremos entonces la fórmula
(4*)* 16xs
S =—
20
2x —
* Reduciendo, queda : S=72x
PROBLEMA 5:
Un satélite describe una órbita circular alrededor de 
la tierra, a una altura de 572 kilómetros. En un cierto 
intervalo de tiempo, su radio vector (origen en el centro 
de la tierra), genera ángulo de Í00°. ¿Cuál es el área 
de la región barrida por el radio vector? Considerar el 
radio de la tierra igual a 6 376 kilómetros.
A)106xkm 2 B )(l0 6 ~ l)x k m 2
C)1226 308x km2 D)13 409 640x km2
R ESO LU C IÓ N :
* Grafícando tenemos:
Satélite
L-
^ \
Donde: R=6376km 
d—S72km
*# : Es el ángulo central cuya medida en grados es 
100, convirtiendo a radianes dicha medida se obtiene:
— ó 0 
9 9
r> el área del sector circular es: 3xm2
RPTA:
PROBLEMA 4 :
En un sector circular el ángulo central mide 20° y el 
arco correspondiente mide 4x. ¿Cuál es el área del 
sector circular?
A)24x B)36x C)48x D)72x E)96x
R ESO LU CIÓ N :
* Grafícando, notamos que el ángulo central no está 
expresado en radianes, así que : ^
0r
^Entonces de la relación : S = —— ; donde r=R +d
2
2
•Se ti w . S . f é f 943* ' " )
* Por consiguiente : S-13409640xkm2
RPTA : "IT
PRO BLEM A 6:
De la figura , hallar el área de la región sombreada :
(x±4)m
A)12m2
B) 6 m2 A
C) 8 m2 4m vv^
D) 10 m2 >\(2-x)m
E) 12 m2 
RESOL U C IÓ N :
* Debemos recordar que en un Trapecio circular:
RPTA i "D”
área J a + b}
{ 2 ¿
' Aplicando la fórmula :
^ (x + 4) + ( 2 - x ) y (4m)
=> A = ^ ~ j x 4 = > A=12m2
RPTA i “ E”
PRO BLEM A 7:
En un sector circular de área 100x , se reduce el ángulo 
a su mitad y el radio se duplica, obteniéndose un nuevo 
sector circular cuya área es:
A)100x B)200x C)50x D)25x E)400x
R E S O LU C IÓ N :
* Situación inicial: A
* Aplicamos: S= ̂
=>S. = — =700* 
1 2
= :> 0 R 2 = 2 O O x
I
[ a m 6 o > w > jfc rn iÁ r m LA ENCICLOPEDIA JtÓÍM }
* Situación final:
* Aplicamos: S—
Sg-
JIPZ4: "C“
O T R O M É T O D O :
PROBLEM A 9 i
=-2 = gx4 fl =eR3
2 4
= > S ¡ - 2 0 0 x
R P T A : ••B"
PROBLEMA 8 :
En un sector circular el ángulo central mide 4<f y en 
otro sector circular del mismo radio, el ángulo central 4 ( x + l )
mide 36°. Siendo “S ¡ " y “S*” las áreas de los sectores ^ 4x+2
Como tienen el mismo radio, entonces se puede aplicar 
la propiedad:
S, 9 S. 40° 10—Lm— z> —L —---- —---
a 36° 9
De la figura: Si AOB y COD son sectores circulares. 
Hallar el área de la región limitada por ABCD (en
circulares mencionados respectivamente, calcular:
S
< o < E)-
RESOL U C lO N ¡
* Para el primer sector: 
A
xrad _ _ x , =>0 = 2 — rad
180a 9
Usamos la fórmula:
2% xR *
0B* - 0R * * 9
~ ~Z~ i~~~2 ~ ------ 2
* Para el segundo sector:
C
R .
xR
jm nAn x rad A y ,0=36rx------- =>0=—rad
180° 8
* Usamos la fórmula : 8 —0R1
s - eR*
3 2 2
xR2
‘ 10
xR 1
Luego piden : K — = —S _ => -!£ .
S¡ x R 9
10
C) 4x+3 
D 4x+4 
E) 4x+5
R E SO LU C IÓ N :
* Considerándolo el ángulo central * $ •, se obtendrá:
=> 2x + 4 = 0 (x + 2)=> 0 = 2 
* Ahora en el trapecio sombreado :
2 tomb. ~
^x0 + {2x ± e j .
= * S Bomb. = x ( 2 ) + 2 x + 4 = > S mMnlh= 4 ( x + l )
RPTA í “A "
PROBLEMA 10:
Dada la figura , determinar el perímetrodel sector 
circular COD , sabiendo además que el área de la
y
región limitada por el trapecio circular es — u*.
A)3
B)9 a
1
c i
3 o < ú J
D > í9 C T
E}6
[A5BCT9M O lC B M lT i * n e d it o r l -u , K rp n o .v ]
R E SO LU C IÓ N :
* Del enunciado :
S - ltomb. ^
í 'x + íx + l ) ' ) J_ 7 O'
A 2 J * 2 _ 4
* Resolviendo :x=3
* Ahora consideramos que :
^ x x + 1 3&=—= ----r = » —1
r r + ~ r
x +1
1
r+ 2
5
r "*2
* Se pide el perímetro de COD, el cual será: 
2 r+ x= 2 ^ | j + 3=ff
PR O B LE M A 11:
RPTA: “B*
Además
2DQ=PC,2PC=OA;AB=6AC y6SDOC=SCPA',
RESOLUCIÓNi
* Del sector AOB : a (4 r)= 6 L ........ (/)
* Del sector PCA : f i (2 r )= L .........(//)
•De (/ )+ (// ),se obtendrá:— * 6 ■=> ...... (/U)
0 3
•Ahora;
$
8.
042r)s 
'A p c a = 2—
9- r »
Dividiendo 
miembro a miembro
*ADCQm 2 
• De lo último se obtendrá:
68 _4B
s e
9 
6 2
RPTA s **B*
PROBLEM A 18:
f 2
En el gráfico mostreado, -^ = — y el área de la región 
sombreada es igual el área de la región no sombreada
. Halle : ^ a
• AOD y EOF son sectores circulares
D
a (llk )* a íllk )* ¡(llk )0 + (U k )0 '\ nL_0(.lIk)i
=>~ 2 ^ +^ ~ + [ 2 r km— ~2~
• Operando: 242kza=73ks0 
0 242
73
RPTA í “ I*
[ m iG Q N o m : rm iÁA 83 C LA ENCICLOPEDIA XOIZ )
PROBLEM A 13:
A) 58 B) 59 
R ESO LU C IÓ N : 
* Del gráfico:
Q x2
C) 60 D ) 61 E) 62
S i =
Q(31x)2 Q(30x/
A
S 31 _ 2
0 x 2(312 -3 0 2)
=61
e
s= 6R* , ¡ r H _ =169,56x1*
A )
B )
C)
D)
l ( c*+bs}
4 J 
í (A s r )E )-t
RESOLUCIÓN: 
* Por teoría:
* R P T A : D M
PROBLEMA 14 :
Un molinete de riego tiene un alcance de 12 m y un 
ángulo de giro de 135°. Calcular el área (en m*) del 
sector circular mojado por el molinete . 
Usar* =3,14,
A)161¿6 13)163,56 C)165,56 D )167,56 E) 169.56 
RESOLUCIÓN:
*EI área de la región sombreada representa el área 
mojada por el molinete.
* En el gráfico :
* De donde:
S~Sqab “ Sqmn =
PRO BLEM A 16:
Hallar el radio del sector COD 
AB=0metros; SÁnnr- — Om*
A)JS
B)1
C)2
D )j2
E)-Js
RESOLUCIÓN:
Primero:
* Ahora aplicamos:
R P T A : “ EH
PROBLEM A 15:
En la figura se tiene un ángulo central de medida ¿ 
radianes y arcos de longitudes *'b99 y “ c 99 
respectivamente. Entonces el área de la región 
sombreada mide:
*ABCD
’ A0CD • ( 1)
ee = ^ (x + i ) (x -3 ) 
DATO
z * 2 = X * -/ = > *= >¡3
RPTA : “A ’
[¿ »s g c T M c a c p m ~ I® C EDITORIAL RUBIGOS]
PROBLEM A 17; P R O B LE M A 19 :
El área de un sector circular es de 4m *, su perímetro Calcular el área máxima del trapecio circular de
perímetro “p n-es de 0 m. Determinar el radio.
A) lm B) 2 m C) 3 m D) 4 m 
RESO LU CIÓ N :
* Del perímetro se deduce que :
2R+L=8 
=>L=8-2k____ (/ )
* Ahora del área:
 un
* Reemplazamos ( I ) en (W :
B (8 ~2R)
E) 8 m
2
PROBLEM A 18:
Halle el área de la región sombreada , siendo AOB y 
POQ sectores circulares , además 0 M = 0 ,Q
A)2xR*
B) xR*
4
3
O
B)*R*
RESO LUCIÓ N :
* Completando datos en el gráfico :
* De donde ee deduce que:
SL'tombnado = Si -s r
^ ̂ tambnado= * x («V a + « ) * X1 - ̂ (2R)* X I 2 3 23 
u R* J3
RPTA t “C '
A>— B )£ -
16 8
RESOL U C IÓ N :
• Graficando:
C )T
D
_2
E )2-
= 4 t»R 2 -4R +4=0=z(R -2 )*=0=>R =2
RPTA : "B ”
* Por dato:
I— perímet,
2h +b +B =P. ( t í
' Además:
s= ( ^ > <">
* Reemplazando ( I ) en ( I I ) : 
P -2 t i\ . Ph - 2h2
ro
22 ) 2 
* Tratando de completar cuadrados:
S= Ph P 2 P 2 h + ----
2 16 16
oril/U»
•-S-NíM íH
*S " será máxima, si "es mínimo, es
decir:
*MAX 16 v. 4 )
p * p «
T X - 0 - —16 16
BPTAi“AH
PRO BLEM A 80:
Hallar el perímetro mínimo de un sector circular de 
área constante igual a 16 m*.
Aj 12 m B )16m C )20m D )18m B)6 m
[A l«W (M H »lg E r itU " j : L A ENCICLOPEDIA *013 )
R E SO LU C IÓ N : 
♦ Grafícando: * Por dato: 
Area —16m*
♦ Se pide el perímetro : P = 2 R + L ..... (//'
* Reemplazando ( I ) en ( I I ) i L
_ 64 r=> P - — + L 
L
* Pero por desigualdades tenemos :
a + b ¿ -Job T i l px L z * — ¿ 8 
2
=>P *J6 
♦Luego: PmMmo=16
&AOB _ *
PROBLEM A 81:
S
De la figura, si: 7? a
^ °C O D 4
Hallar m0 *{O es centro y 2BC=OC=OD)
A)
10
C )í
° > í ¡
* í
RESO LU C IÓ N :
• Grafícando:
♦ Dato: 
2BC=OC=OD
SaAoa_l
S<3COD 4
90r
± Í2 x -0 ) Í2 r )s 4 4
=> 90=2x -0^> 100 = 2* » 0= - 
PROBLEM A 33:
RPTA i "B'•
Del gráfico, dados los sectores circulares, calcular el 
área sombreada . Datos : AB=—f*;BC=4xfi ;AD-2*fi
A )7 Ms
4*
Area lombreada
( 4x+2x\5 í f _ i
\— 2 J x ^ lom brrtuitt "
RPTA s “ D "
P R O B LE M A 23 :
De la figura mostrada, &ipM=La ,Q N =L¡ , í ‘t =3L¡ .
además: m<ABC=60° ,P yQ son puntos de tangencia, 
O P=O Q =R - DetermineS¡ +S,
B
A ) R*x B) R*x
6 ' 7
R E S O L U C IO N : 
B
C) R*x
8
B )^ B )^
♦ Sabemos que el área para un sector circular se calcula 
1 P
[aJB C T O I CIRCULAR a X * « I ED ITO RIAL a m c t a s )
aR*
•Del gráfico:
SB= 0R2
2
S|+S*-
<a+4)R*
íx R *
Pero: ía + í^ ^ r a d ^ S z + S j - - ^
3 2
x R l 
6
RPTA: “A ”
PR O B LE M A 24 :
En la figura mostrada AOB, COD, EOF son sectores 
c i r c u l a r e s = 6 sa,determine el 
área de la región sombreada en función de o , a y b.
E)
R E S O L U C IÓ N : 
•Graficando:
A H b -a ) 2a
~0
B ) (a -b )—
0
C )(b -2 a )—
D )(o -2 b )-Z -
20
E )
R E S O L U C IÓ N :
a - 2b
•Sabemos: 
s = (CAD+CBC)3
. 60°=- r a d 
3
-> (AD^ — x la — y
3 3 V
•Reemplazando en (I ):
CBC=-x4=— 
8 3
a 4k
3 3 6n i m
R PTA t“B '
Del gráfico: S=S^* (I)
OCD OEF
P R O B LE M A 26 :
De la figura mostrada S y 2 S son las áreas del sector 
circular AOB y del trapecio circular ABDC, además
f'^3 °=a y ^gg =&unidades.
Recordemos que; s - * L
O 28
en (1)
^ S . < ^ - £ = > s J b - a>‘ - a ¡ * S = < b -2a ) ± 
20 20 20 20
PR O B LE M A 2 5 :
RPTA • " f i " 6
Entonces , el valor de — ,es:a
La regadora que se muestran en el gráfico gira un 
ángulo de 60°. Si tiene un alcance máximo de 4m y un 
alcance mfnimo de im ; ¿cuál ee el área de la región 
regada?
b4 c>3*
R E S O L U C IÓ N :
[ A TÉUGWVOME i R ÍA * * 7 XL LA EN dC LO PEB IA MÓIM ]
B i t ■#*1 l ° M i ‘ O O/i
(^Determinar el área de un sector circular de radio 
6m y un ángulo central 60p.
A)3xm2 B)4x C)6x D )8x E)l2x
@ Determinar el área de un sector circular cuyo arco 
mide 8m y su ángulo central correspondiente 3 rad .
" h .3S * | - 
20
3 b3 
PR O B LE M A 3 7 :
A)6m3 B)4 « f
D)12 E)16
RPTA: “D*
Determinar el área de un sector circular de ángulo 
central 20f y de radio lOm.
A)xcm3 B )2x C)Bx D)10x E)15x
En el gráfico se muestra una plancha de madera . Si Determinar el área de un sector circular de una 
AB » OC = a y DOC es un sector circular, entonces cjrcunferencia de diámetro lOm y un ángulo central 
el área de la región sombreada es : de 12°.
A ÍA)-~-xm
O B )i r *o c>sé ’ D )í o ' E >'e
R E S O L U C IÓ N :
2V5
\ »n> /
r
ecr
A
h
r
(^Determinar el área de un sector circular cuyo radio 
y arco son números enteros consecutivos y de 
perímetro 16m.
A) 11 m* B) 12 C)15 D ) 16 E) 17
^D eterm inar el área de la región sombreada.
A )2xcm3
B)3x
C)4x
D )6x
E)12x
O
■ 4 •
B
* E b -O B C / m¿0CB~60"
sr= s A +2SJ±^ 6P=-rad3
(^Determ inar el área de la región sombreada ( “O ’ 
centro).
A)3xcm3
B)5x
C)10x \ 3 a
D)15x
E)20x
Determinar el área de la región sombreada. 
\2Rad 1 8m I IS m
RPTA: “B’
[aagmi ciícblüü I^ jC EPm tR lAM . R V m xÓ s ]
©Determinar el área del sector AOB mostrado. A)30 B)32 C)35 D)39
A)4m*
B)6 
0 8
D)10
E)12
E)42
4m
© S i: OA=AB=8m , Determinar el ¿rea del sector 
AOB.
A i 31 *A )— Km
c , 7 '
© Determinar el área de la región sombreada.
A)1 m*
B)2 Sm 
0 3
D)4
E)B
4m
A) 13 u*
B)15 
017
D)19
E)21
12
© D e l gráfico mostrado , Determinar :
G,
i ?~a . At
e - 8 t , + á ;
¡DIO
(© A un alumno se le pide calcular el área de un sector 
circular cuyo ángulo central es 2°, pero él describe 2 
radianes obteniendo un área A, si el área correcta es
B. Determinar: — .
t í
A )t B)■ C) 180 E) 200
© Si el área del sector mostrado es igual a 20m5 
Determinar *0 ". £
<
<T )£ « « * 12x*t
B )~S
C )^ TO
©Determinar el área de la región sombreada.
3,
A)8
B)10 
012
D)16 s
E)20 - p
(©D eterm inar el área del trapecio circular 
sombreado.
180 ' x 10 ' 9
© lE l ángulo central de un sector circular e6 igual a 
16a y se desa disminuir en T . ¿En cuánto hay que 
aumentar el radio del sector para que su área no varíe, 
si su longitud inicial era igual a 27m?
A) 3 m B) 6 0 9 D ) 12 B) IB
@ Determinar el área de la región sombreada.
A)10x
B)12x
C)15x
D)16x
E)18x
(©}Determinar B
A)1
B)2 
0 3
D)4
E)B
© S i : OA=2AB> Determinar: -gf
A" f
B)l
C)í
m m m a h\
© Se tiene un sector circular de radio igual a 2 m. Si 
el ángulo central que subtiende el arco es 60° , 
Determinar el área del sector circular.
A ) ~ m a B ) ~ m s D )~ m * E}xms
9 3 3 3
En la figura se pide determinar el área del círculo
[AimMGOIfOMBTHIAÁ' 1 w [ LA BTO íCLOFBPLi MOIM ]
mostrado. 
A^rms
B)x3m3
C)4x*m*
D)4xm3
E )8xm3
A)30xcm* B jlSx C) 15 x D)24x *> sf
A)10xcm B)30x C)20x D )I5x E)24x
El área de un sector circular es2xcmz . Si 
duplicamos el radio, sin alterar el ángulo central, se 
genera un nuevo sector circular cuya área es ;
A)4xcm1 B )8x C)16x D)32x E)64x
@1 Del gráfico mostrado , Determinar el área de la 
región sombreada.
A ) 6xm 2
B )5 x
C )7 x
D ) l l x
E )17x
^^Del gráfico , Determinar el ¿rea sombreada 
(a + b)c
B)
O
D )
2
(o+ fr)c
2
(a -b )c
Del gráfico , Determinar : K=-
En un sector circular el ángulo central mide 30* y 
el radio 10 cm. ¿Cuál es su área?
@ E n un sector circular, el arco mide 3x cm y el radio 
10 cm. ¿Cuál es su área?
^ En un sector circular, su área es 2xcm2 y su ángulo 
central mide 40*. ¿Cuánto mide el radio?
A )j5cm B)2s¡5 C )J lÓ D)2y[Í0 E)3yf5
- I
B>¡
C ,1
D)1
E)N .A
(T0¡ Determinar el área de la región sombreada.
A )2 5 x -'js
B )~ (8 * -y f3 )
O
C )^ -(2 x -3 ^ Í3 )
6
D)40x-s¡3
(Í7) Determine el área de la región sombreada en la 
figura:
A)16-2x
B)16 - 4x
C)16 - 6x
D)16-8x
E )8 -4 x
(Í^En un sector circular el ángulo central mide 20° y 
el radio 6m. ¿Cuál es su área?
A )xm s B )6x C )5x D )3x E )2x
(Bb) En un sector circular, el ángulo central mide 40* 
y el radio 20 cm. ¿Cuánto mide el arco?
A)2xcm B)4x C )6x D )8x E)10x
En la figura Determinar el área de la región 
sombreada.
A )x
B )6x
C)12
D)24
E)18 
cuadrante OA
(Q ) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco 
es numéricamente igual a la mitad del área de un 
cuadrado cuyo lado es igual al radio del sector Si el 
ángulo central "g" expresado en radianes toma su 
mayor entero posible. ¿Cuánto mide el arco del sector 
(O < 0 < 2 x )‘!
A) 12 B) 24 C) 72 D ) 48 E) 96
0 1 El ángulo central de un sector circular mide 16°, 
si se quiere disminuir en 7°, ¿en cuánto habrá que 
agregar el radio del nuevo sector, para que su área no
[^ S B c ro m c b c c m iT
varíe, si el radio inicial era 27 ero?
A) 9em B) 3 cm C) 1 cm D) 6 cm E) 7 cm 
(Q ) Determine el ¿rea de la región sombreada.
O : centro de los arcos.
AB y CD 
/7i(ab)=5
m {cb )=7
AC=BD=4 ~ A
A) 12 B) 36 C) 18 D) 24
(^Determinar el área sombreada :
A
A ) * - l *
B ) * -2
O ' - l
D )2 x -1
E)N.A
@ Si: S ¡+ S2=15*^*; Determinar “x n.
lEDC E D m tR L M j HEBt$W¡\
Sabiendo S=5L* ; calcular “x ”. S : Área.
n i? . ’DIO ¿U?J
(§J) Determinar el área sombreada:
A )2ab
B )a b
c j f
D J a + b
2a
Del gráfico, determinar: 
_ 2m*+n*
A )2*
B)3*
C )4*
D )5 *
ODOZS1
w
(Q ) Determinar el área de un sector circular cuyo 
ángulo central mide 30° y su radio 6cm.
A) ir cm1 B) 2 ir cm! C) 3ir cm2 
D) 4ir cm2 E) 5ir cm2
Calcular: S¡ + Sr (S, y Sg son áreasj
A) 7Oro-’ B) 48m! C) 28m2
D) 76m! E) 38m -’
Determinar el área del sector circular:
A) 20ir m2 20m„
B) 40ir m1
C) 60ir m2
D) 80ir m-
E) 100-rr m2
(63) En la figura: Calcular:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E)S
Calcular el área de la región sombreada si el arco 
ABC tiene por longitud 8 ir m.
jan
A) ¡Oír m1
B) 14it m-
C) 18ir ml
D) 24ir m2
E)36irm 2
[A TmtGOSQMKTRIAA I a l X - LA ENCICLOPEDIA *012 ]
( 0 A partir de la figura. Determinar 
el perímetro de la región sombreada:
© Dado un sector circular si el 
radio disminuye a la mitad la 
longitud de arco se duplica. ¿Cómo 
debe variar el ángulo central para 
que se cumplan todas las 
condiciones?
A) S » duplica B) Se triplica 
C)Sc cuadriplica D ) Se quintuplica
B) No ce puede determinar
© Del sector circular mostrado. 
Calcular (L¡ + L 2)s
h
A) 2m
B) 4m
C ) IS m 0
D) 64m
E) 128m
íffa) Calcular «S » (área)
A) 3ab
B) 5ab
C)2a6
D) ab 
El ab/2
<© Determinar el área de la región 
sombreada.
A)35cm}
B)20cm’ 
OSOcm1 
D)40cm¡ 
B)50cm}
\l4cm
4cm^
( © Se tiene un sector circular de 
radio v y ángulo central 36°. 
¿Cuánto hay que aumentar el 
ángulo central de dicho sector para 
que su área no varíe ,si su radio 
disminuye en un cuarto del 
anterior?
A) 64a 
D) 20a
B) 100a 
E)28‘
0 36a
( © De la figura, calcular el área de 
la región sombreada.
A) 2m2
B) 3m!
C)4m*
D) 5m ‘
E) 6m2
© Determina el área del sector 
circular AOB
A)54xm } B)34itm* CJ44irm1 
D) 14-nm1 E )52^m 2
(© S i : S, y Sg fson áreasj;0 ; 
centro. Calcular S¡ - St
O R
A) 0 B) n 0x111 D ) ~ E )y
( © De la figura, calcular el área de 
la región sombreada.
A)18u2
B)J5u- 
OI2u-
D )9u2
E) 6u*
A)xl2
B)ir 13 
O x !4
D)ir 15
E )irl6
En los sectores circulares 
mostrados hallar: $
( © Calcular el área del circulo 
sombreado. Sabiendo que: 
OA = OB = 2 + yÍ2 
A .
A) 7t B)2n
D9n 14 E)4n
@ )4 S y 12S
Determinar:
A) 1/2
B) 1/3 o 
O 1/4
D) 1/6
E) 1/12
B
OSx
son áreas.
© C a lcu la r "# " si el área de la
región sombreada es de 16 u* DE LIFRBIERA PR1CT7CÍ]
A) 2
B )3 
O h S
D) 2fi
E) 305
¡ q jH » ot: la s g c im i m e n a )
Z S a r -(2D'jIíC2D- 03>T4!Z¡3 
26 233 . 233’I?j(5E 233 -i]
© Calcular $ si 2L¡ = 3Lt
QygPEPAS y NUMERO DE VUELTAS A ] D2 [ EDITORIA Ij RUBMÑOS)
CAPÍTULO
o b j e t iv o : su centro se desplaza una longitud £ , aplicamos una
Identificar la relación para el número de vueltas y el regla de tres simple; así: 
ángulo girado por una rueda .
INTRODUCCIÓN Z
¿Cuál es el número de vueltas que da una rueda de la 
bicicleta?
R E S O L U C IÓ N :
Supóngase que una rueda de radio r gira una 
trayectoria recta . Entonces el centro de la rueda 
también se mueve en línea recta.
A medida que la rueda gira, un radio genera un ángulo 
0. Cuando el ángulo generado es de 27cr , la rueda 
también se mueve una distancia igual a su perímetro, 
es decir £ = 2nr*
Entonces observamos que cuando el centro de la rueda 
avanza una longitud igual a 2itr, la rueda ha dado una 
vuelta.
Luego para saber el número (n ) de vueltas que dará 
la rueda de radio r, en una pista horizontal, cuando
1 vuelta — — >2irr
n - £
n vuelta —— >£ 2n r
HÚMEROS BE VUELTAS QUE DA DEA 
RUEDA S IN ¡RESBALAR A L
DESPLAZARSE DE UNA POSIC IÓN A OTRA
En la figura se muestra una rueda de radio r, que se 
desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.
* El número de vueltas que da dicha rueda para tal 
condición se calcula mediante la siguiente relación:
Donde:
nr : Número de vueltas que da la rueda.
£e: Longitud descrita por el centro de la rueda. 
r : Radio de la rueda .
DISCOS - RUEDAS - ENGRANAJES
1 ) CUANDO UNA RUEDA (ARO 9 DISCO,—*) U 
RODANDO SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA .*
n : Número de vueltas al ir desde A hasta B
0g : Número de radianes del ángulo de giro (De A hasta B)
L : Longitud que recorre la rueda .
[AW G O SQ nETRIÁA 03 X LA gW JC tO FB JIA 3013 }
- e* ■i LM —flt “
2n
f í
2nr
n
a ( . R - r )
2 n r
3 ) R rE D A S U X ID A D ES P O R UXA FAJA 
TAXGEXCIAL O E X COXTRA TO i
* Se cumple:
&ir j —9s r a ni ri — n2ra L j - L 2
4 ) R rE D A S rX ID A S PO R S V CEXTRO t
9 } C U A lm o U X A R U E D A <A R O .D IS C O J VA 
R O D A X D O S O B R E U X A S U P E R F IC IE C U R V A t
S ) E X G R A X A J E S E X C O X T A C T O T P O L E A S 
U X ID A S P O R U X A F u l J A D E T R A X S R IS IÓ X tQ
* En la figura ( l )s c tiene dos engranajes y en la figura 
(2 ) se tiene dos poleas unidas por una faja de 
transmisión. En cada caso si A gira un ángulo eA 
entonces B girará otro ángulo 0B. Además las 
longitudes descritas por los puntos P, Q y F son iguales, 
es decir:
¿ p - £ q - / F
* De donde se concluye que:
B 'B
NOTA
f p : Denota la longitud de la trayectoria descrita por 
el punto P, análogamente para los otros puntos 
mencionados.
* En el diseño de los dientes de los engranajes se 
emplean curvas cicloidea (asi lo propuso Gérard 
Desargues en el año 1630). En Física se puede ver que 
un péndulo que tenga por limites una curva cicloide 
es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe 
a su vez una cicloide.
(«AW Zgm g 9 NUMERO DE VUELTAS * ] IMf [ EDMTORMAI, RlJBlXOS)
Un uso practico es el diseño de ciertos toboganes. Los 
hechos con forma de cicloide se utilizaron en la 
industria aeronaútica, pues se requería una forma 
apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso 
de emergencia.
CICLOIDE
Una cicloide es el lugar geométrico generado por un 
punto de una circunferencia al rodar sobre una línea 
recta; es la curva que describe un punto perteneciente 
a una rueda que gira sin deslizarse.
Si pensamos en la trayectoria de una válvula de una 
bicicleta tendremos una cicloide acortada y si pensamos 
en un punto de una rueda de un tren que sobresale del 
raíl tendremos una cicloide alargada.
Yk
'¿xt 3ar 4*t r x
Como la posición del punto P depende del ángulo girado 
$ y la constante r (radio de la rueda), entonces las 
ecuaciones paramétricas de la cicloide serán:
x = r ( 0 -senO) ; y=r(r-cos6 )
VELOCIDAD ANGULAR y LINEAL
Una fórmula muy relacionada con la fórmula de la 
longitud de arco € —0r es la fórmula
V=r(D
VELOCIDAD ANGULAR
La velocidad angular de una rueda que gira a velocidad 
constante es el ángulo generado en una unidad de 
tiempo, por un segmento girante que parte del centro 
de la rueda y llega al punto P sobre su circunferencia.
VELOCIDAD LINEAL
La velocidad lineal de un punto P en dicha curva es la 
distancia que recorre P por unidad de tiempo.
PR O B LE M A 1 :
Del gráfico mostrado, calcular el ángulo que barre la 
rueda al trasladarse de la posición a la posición 
“B ” . ^
A)2200°
B)1240°
C)1440°
D)920°
E)3n 82*
R E S O L U C IÓ N : 
* Graficando:
* Reemplazando valores:
9b * ~ * > 0 b - 4 k
=> El ángulo que barre la rueda es :
4jf radianes ó 1 440°
R PTA : “C "
P R O B LE M A 2 :
Calcular el número de vueltas que da la rueda al ir de 
la posición *54” hasta tocar la pared.
« ■ D ia R ii iA M t
[ATmiGONOMETmiAA T~ig~T LA EECtCLOPEÍMA t O i * }
Una rueda de una bicicleta tiene un radio de 50 cm si 
la rueda esta rodando sobre un plano horizontal a una 
velocidad de 10 RPM (revolución por minuto). ¿Cuál 
es la distancia aproximada que recorre la rueda en una 
hora?
A)300xm BfflOx C)400x D)500x E)650x
R E S O L U C IÓ N :
* De la condición el número de vueltas que da la rueda 
en un minuto es 10, entonces en una hora el número 
de vueltas será : 10(.60)= 600■
* Graficando:
* Datos: nv~600;r-0 ,5m 
Incógnita =d
* Se observa que : d=/c
* De la relación :
A
2xr
nv= . ^ => 600—
2x(0,5m )
d=600xm 
RPTA: "B ”
PR O B LE M A 4 :
En la figura, el elemento circular de radio r, rueda sobre 
la superficie mostrada, desde A hasta B. Si
L „ = 7 y R =9 r, determine el número de vueltas 
dada por el elemento circular.
# vuelta» ■
[”longitud de la trayectoria descrita 
[ por el centro de la rueda 
2xr
* Entonces del gráfico, se tendrá que :
# vueltas=-2-
7x x x /r> -v
2xr
RPTA: " D
P R O B LE M A 5 :
La figura representa una transmisión dentada de 
radies r , y r , como se indica. Si el punto P sobre la 
rueda de mayor radio r¡ gira un ángulo $, entonces el 
punto Q correspondiente sobre la otra rueda girará 
un ángulo igual a :
E)\QP\0
R E S O L U C IÓ N : 
* Graficando:
* Como ambas ruedas recorren la misma longitud de 
arco, entonces:
0xr¡-<zTg ^ a = í — 10
3 RPTA: "B "
(A T E «A S h NUMERO DE VUELTAS A l g« I EDfTORIAIj RUBMÜOS)
P R O B L E M A 6 :
En el sistema mostrado, la polea de radio 2 da ocho 
vueltas. ¿Qué ángulo gira la polea de radio 5?
A) 1 420P
B) 1 440°
C) 1 080°(
D) 960a
E) 720a \ g\
R E S O L U C IÓ N :
* Si la polea de radio 2 da ocho vueltas, entonces: Giró 
2 880°.
d4 = d2 =>04x4 = 02x2
=>04x4 = 2880° x 2 =>04=1440°
* Entre la polea de radio 4 y la polea de radio 6, 
barren el mismo ángulo.
z* 0 6 = 144O°Oa ~ 0 a
* Para las poleas de radio 6 y radio 8, recorren la misma 
distancia.
do-d* =>08x8=06x6=?0ax8 = 144O° x 6
=> 0g=lO8O° RPTA : “C "
PR O B LE M A 7 :
Los radios de las ruedas de una bicicleta son entre sí 
como 4 es a JO. Calcular el número de vueltas que da 
la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de 
1840x radianes.
A) 286 B) 368 C) 184 D) 390 E) 736 
R E SO L U C IÓ N :
* Sean R y r los radios de las ruedas de la bicicleta, 
por dato:
.(/)
r _ 4 
P~JÓ
* Sean n¡ y n% los números de vueltas que dan la rueda 
mayor y menor, respectivamente; entonces, se cumple:
 (//)nt xR=n2xr
n2 =
2* 
i _
=920
* D e (I I ) : R >̂ 92Q 1Q" J = — =>n,= 368
PR O B LE M A 8 :
Supóngase que una máquina tiene una rueda de 0,8
m de diámetro y gira a una velocidad de 60 vueltas 
por segundo.
I ) Calcular la velocidad angular de dicha rueda.
H) Determinar la velocidad lineal de un punto P en 
la circunferencia.
A )1 2 0 x — ; 4 8 x — B )3 2 x ;3 2 C )4 0 x ;4 2 D )4 8 x ; 60 
8 8
R E S O L U C IÓ N :
I) Sea 0 el centro de la rueda y P un punto en su 
circunferencia , como el número de vueltas por 
segundo es 60 y como cada vuelta corresponde a un 
ángulo de 2n rad . El ángulo generado por el segmento 
girante en un segundo será (60) ( 2* ) rad »o sea:
Velocidad angular = co = (60)(2x)=120z rad
TI) La velocidad lineal de P es la distancia circular 
que recorre en un segundo , se calcula esta distancia 
con la fórmula /=0r donde
2
r=0,4m=—m a 0=12Ox . así:
5
/= 0r=(12Ox)^ 'j=48x m , y por consiguiente, la
ffi
velocidad lineal de P es 48ic— .8
* A diferencia de la velocidad angular, la velocidad 
lineal si depende del radio de la rueda .
RPTA: **A ”
P R O B LE M A 9 :
Los radios de las ruedas de una bicicleta son como 3 a 
1. En hacer un cierto recorrido la rueda mayor dio 25 
vueltas menos que la menor. Hallar la suma de los 
ángulos girados por cada rueda.
A)80xrad B)100xrad
D ) 150 xrad E ) 90 xrad
R E S O L U C IÓ N :
* Grañcando:
C)120xrad
* Por dato, el ángulo que gira la rueda menor es de 
1840x rad ; entonces:
1840x * Del enunciado:
RPTA: “JT
"Número de "Número de
vueltas de la - vueltas de la =25
kmayor ^menor
[A iH B w w m m * LA EXCICLOrEDIA M I * ]
■-25
2xr 2x(3r)
* Al operar se obtendrá : L —75xr
* Se pide la suma del número de vueltas, es decir:
75xr 75xr-+---------= 50Vueltas
2xr 2x(3r) 2xr 2x(3r)
* Que en radianes , seré :
50 x l vuelta = 50 y. 2x rad = lOOx rad
RPTA: “B
PR O B LE M A 10 :
Si una rueda de radio "6a ” se mantiene fija y otra 
rueda de radio “a ", puede girar alrededor de ella, 
¿cuántas vueltas dará la rueda pequeña si parte y llega 
al mismo punto por primera vez?
A) 3 B) 4 C) 5 D ) 6 E ) 7
R E S O L U C IÓ N :
* Se sabe que: # vu e lto » e8paci° rec° rrido___
perímetro de una vuelta
* Luego en relación al disco móvil diremos que, cuando 
este retorna porprimera vez al punto P, su centro habrá 
recorrido la longitud de circunferencia de radio ( R + r )
2x (R + r )# Vueltas =
2xr
*Pero, como: R = 6a y r = a, luego al 
reemplazar en (I )
* Se tendrá que: # de vueltas= — =7 
n a
PR O B LE M A I I :
RPTA: “E ”
En la figura mostrada el cuadrado de lado 2cm rueda 
sin resbalar hasta que el punto A vuelve a tocar el 
piso. Calcule la longitud (en cm ) recorrida por el punto 
A.
A ) ( I + J Í )± 
D ) ( S + -JI)w
B )(l + -J2)x 
E) (S + 2-Js )m
« ( » ♦ # ) <
R E S O L U C IÓ N :
* Si queremos que el punto A vuelva a tocar el piso , 
este punto describe longitudesde arco como muestra 
el gráfico.
r i* B ’ % a\\Ani \B ..........
+
/ \ ^ i / \ \ i
; 2
\ ¡ y i \F
r — — b --------------
m . - ~Am
* Entonces , la longitud recorrida será:
= £<8) + Z (2 j2 )+ \<2) => L— =(2+j2)x 2 2 2 AA™
RPTA ¡ “D "
P R O B L E M A 1 2 :
Cuando el disco de radio r = i cm pasa deA a filo hace 
rodando sin deslizar por la superficie ACB, ¿cuántas 
vueltas logró dar en dicho recorrido? AC=44cm ;
=>#v =
44 + — + 33 
2 
2xr
" ♦ ( t ) í 
(22\ - n -S
RPTA i “ B "
P R O B LE M A 13 :
De la figura mostrada, calcular la distancia AB.
[AMECHAS 0 NUMERO DE VUELTAS a ] 98 f ED ITO RIAL R U B tN os)
A)4 + 52x
B )6+62x 
0 8 + 5 2 * 10 vueltas
D)4 + 26x
E)2+26x
4 vueltas
b
R E S O L U C IÓ N :
* Consideremos la posición inicial y final de los centros
A) 2
R E S O L U C IÓ N :
C)3 D ) 37
E )j
R 37
* Al operar resultará : 3R+3r=40r => — = —
A) 20°
B) 30° 
0 1 2 a
D )8°
E)6°
correa
< r % >
R E S O L U C IÓ N : 
* Del gráfico:
r
* Se pide : AB = 20x + 4 + 32x 
=> AB=52x+ 4
RPTA; “ A ”
PR O B LE M A 14 :
g
Una rueda de radio r da 10 vueltas al recorrer -7 de la4
circunferencia de una pista circular de radio R + r . 
JR
Hallar el valor de — .r
5 E £ >
En el sistema se cumple : dB = dA
= > 0B x r B = 0A x r A = > 0B x l 2 = ^ x 8 = > 0B= ^
* También se cumple : 0b —0q 
P R O B LE M A 16 :
x
RPTA : “ A "
Un aro de radio igual a -m
4
recorre una pista circular
de radio igual a 16m. Calcular el ángulo que subtiende 
el arco recorrido en el centro de la pista cuando el aro 
da 7 vueltas.
A) 123° B) 126a C) 200a D) 1021a E) 38° 
R E S O L U C IÓ N :
* Grafícando :
* Ahora:
# de vueltas =
2xr
^ 7=^ l =>a= liL = Z ^ =126 o 
10 102x(!)
RPTA:“ D** ^ _
PR O B LE M A 15 : ** ^4) R PTA : “ B ”
En el gráfico mostrado se tiene un sistema de P R O B L E M A 17 :
engranajes y poleas. La polea A de radio “8” gira un Del gráfico mostrado, hallar el ángulo que barre la 
ángulo de 30°. ¿Qué ángulo gira el engranaje C?, si el rueda al ir de la posición A a la posición D , si
radio de la polea B es de longitud "12” . AB=10m\ BC= 8m y CE = 6m.
ü í l LA OXCtCLOPKOlA 9 0 1 » ]
A)9rad
B)S°
_.9 + x .C)—;—rad
D)
2
18 + *
E)(9 + x)rad
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el recorrido del centro de la rueda:
* Reemplazamos: &a
8+6+X+4 18+x
si _d 1+di +d3+d4. f f --------------------------------
=>9B '
R P T A : “ D
* Ahora : # de vueltas» 2xr
6 + £ + ^ + í + 6 + ̂ 
#v = — 2— a— 2--------a_
2x . I
# v = ^ ± i í = « +2
2* x 
R PTA : “A "
P R O B LE M A 1 9 :
Del gráfico mostrado calcular el ángulo que barre la 
rueda al dirigirse de la posición A a la posición B, 
pasando por el “ Rompemuelle” .
A) 240°
B) 12(1
C) 320a
D)34(T
E) 280a
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el recorrido :
PR O B LE M A 18 :
Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio 
1 m al recorrer el perímetro del sector circular AOB 
de radio 6 m . \
A t — + 2
4 -
C ) — + 5
o X - 3M
B> w
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el recorrido
\7x
* £1 ángulo de 30a, se obtuvo debido al triángulo 
notable de 30° y 60°.
* Del gráfico: d= x 4 ~
TI 120*
8x
Se pide : = f* = _2_ - i í . =240° 
r 2 3
RPTA ; “A ’
P R O B LE M A 20 :
Una rueda se desplaza sobre un plano horizontal de A 
hacia B, barriendo rad- Calcular x, considerar
( - ¥ )■
I I
Dato: r*¡0,5u
R E S O L U C IÓ N :
* Sea el ángulo barrido por una rueda a , entonces:
[Amtmmáa a jw w b » ma v u e l t a s a ] 1 0 0 C EDITiH UAI, RCB lSO s]
p f - a * r^-j
longitud que rad io de
deecribeel la rueda
centro de la rueda
’ m * r 4 B c o ; y
RPTA: "B ”
P R O B L E M A S I :
Del gráfico adjunto, calcular el número de vueltas que 
da la rueda en ir de la posición “A ” hasta la posición 
"C".
Si: BC=2AB=3xr cm
A) l f i
B) 1
C)0,S
D) 3
E) 2,6
R E S O L U C IÓ N : 
* Graficando:
A) l B)l,5 C)2
R E S O L U C IÓ N :
D)2,5 E)3
Se pide: ne(# de vueltas de c) de B a C : nc = nfl
a r
5nfl= >n ,= -
=> # vueltas deC — —
2
RPTA: "B ”
P R O B L E M A 23 :
En la figura mostrada , si la manivela gira un ángulo 
de 30°, que distancia recorre (en m) el bloque.
manivela
Para el número de vueltas (N ) que da una rueda de
radio donde L c es la longitud que describe
el centro de la rueda.
* Del gráfico: N AC=NAB + N B +
* Dato: BC=2AB=3xr
3x x y — f*
* Reemplazando : N An~ — +-2 + ^xr
R E S O L U C IÓ N :
2xr 2xr 2xr
R P T A : “E ‘
PR O B LE M A 22 :
En el sistema adjunto, se tiene que el disco A gire 
000°.¿Cuántas vueltas da el disco C ?
0b =6O°
De B a A: 0B=0Á=>0Á *60°
[a n w w w w B im » ' TmX. LA ENCICLOPEDIA 9 0 1 » )
Ahora: L = LA - 0A xrA
- (5 )
x3 => L —x 
RPTA : “B” 
PR O B LE M A 24 :
Una rueda de radio a metros da 10 vueltas para 
recorrer un tram o de longitud L metros; otra rueda 
de radio (a2 + 62a - 3) metros gira 60° para recorrer 
el mismo tramo. Calcule a2 + 2a , en metros.
A) 3 B) 8 C)1S D) 24 E) 35
R E S O L U C IÓ N ;
* Piden : o * + 2o
* Para alto debemos recordar:
2nr &G r
f ) ' X ±
=>L = 20xxi
* Radio de la rueda (r ) : r = a
* Número de vueltas (n ) :n=10
* Recorrido: L
&2+62a-3
-O)
* Radio de la otra rueda ;r = a2 + 62a - 3
* Recorrido : L
* Medida del ángulo de giro: 60°
* De ( l ) i ( I I ) :
■ + 2 o - 3
RPTA 
PR O B LE M A 25 :
20 x x x a = — x {a2 + 62a — 3 
3
En el gráfico se muestra una plancha semicircular de 
radio igual a 30 cm . Si rueda hasta que AB queda 
horizontalmente (por primera vez) , ¿cuál es la 
distancia entre el centro ubicado en la posición 
mostrada y su posición final?
10*At— cn
- 20*B)— cm
„ 55*
° T ° "
« 7*D )~ c m
rA
RESOLUCION:
*Por número de vueltas de una rueda , sabemos :
’ m í girado por una' 
rueda de radio r en 
radianes
Longitud recorrida por 
eí centro de la rueda
. . n x 35 x• 70 X - ; = -pr => X ------
XSÓ 3
6 RPTA: uC "m
P R O B L E M A 26 :
Si las ruedas A y B dan 6 y 3 vueltas repectivamente 
desde su posición inicial, hasta el instante en que llegan 
a tocarce; además, RA = lu , RB—4u. Calcule D.
A)2(9x+1) B)4(9x+1) C)4(8x+1) D)36x+5 E)36x 
R E S O L U C IÓ N :
D
Del gráfico, luego de que ambas ruedas giran 6 y 3 
vueltas, como señala la condición. D = 12xr + 4 +6xR 
r = l
Como: = + 4 +24x=>D = 4(9x+1)
RPTA; “B”
P R O B L E M A 27 :
Dos ruedas cuyos radios miden 3m y 15m recorren 
espacios iguales, ¿cuánto debe medir el radio (en m) 
de una tercera rueda, para que recorriendo el doble 
del espacio de las anteriores realice como número de 
vueltas 5 veces la diferencia de las otras dos?
A )1 M B)1,S C)l,75 D)2 E)2Í25
R E S O L U C IÓ N :
[A a n trn ts a j p w d e v u e l t a s a 1 t o s 'C ED ITO RIAL H B M ta S l
Sea: n:# de vueltas. 
L
"a5 L2jrf3> ftr ío 2x(15) 30x 
Luego para una 3er rueda:
t - lO O O c m f
lOOOcm
Se Babe i^rcom o las ruedas recorren el mismo
espacio =* -
1000 1000 25 = ---------- = — vueltas
2xra 2 x (2 0 ) x
=> n B =
1 0 0 0 1000 250
n A + n B ~
2 x rB 2 x (2 2 ) 11 x
525
v u e lta 8
l l x
v u e lta s
P R O B L E M A 89 :
Q ' es la nueva ubicación del punto Q , al girar la rueda 
desde la posición (1) hasta la posición (2). Determine 
la distancia (menor a 2pr que hay entre Q y la 
proyección de Q ’ sobre el plano horizontal.
(1) (2)
A ) l , I r
B) 2 , I r
C )3 , I r
D ) 4 , I r
E) 5 , I r
R E S O L U C IÓ N i
2L
Por condición: nt =6(n3-n ¡a)
Reemplazamos:
L J L h \ L J 4 L \ 3
x x v 6jt S O x )^ x x l.30ar/ i? *
RPTA; “B ”
PR O B LE M A 8 8 :
Determine la suma del número de vueltas que dan las 
ruedas de una bicicleta de radios 20 cm y 22 cm al 
recorrer 10 m sobre una pista rectilínea.
S O L U C IÓ N :
* Se pide: x
* Se tiene de la figura : d=q r (q : ángulo de giro)
Bxr
•Pero:
^ *■( Í í - —Ir =» *»2,11 
2 \ 6 2/
oj íU f l
RPTA: "B ’
ifófíFil
@ ) Determinar el número de vueltas que da la rueda 
de radio “R ”, al trasladarse desde “P ” hasta chocar 
con la pared .
A )
B )
C )
D )
E )
D
2xR
D
xR
D - R
2xR
D - R
xR
D - 2 R
2xR
-D -
L A BSraCLOMSMMÁMOIM]
¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloque 
desciende hasta llegar al piso, siendo h~120xcml
0
A) 5
B) 10
C) 12
D) 18
E) 24 GÚSAi.
h
E) 540* •" y'TSSi
A|— -----187tm---- ------- ÍB
Si la rueda de radio 2 m recorre una distancia de 
16xm en forma rectilínea. Calcular el ángulo barrido.
A)2xrtxd B)6x C)8x D)10x E )l lx
(£2) Del gráfico mostrado, calcular el radio de la rueda 
si ésta barre 300p .
A )
B)
C)
D )
E )
30
5x + 3 
40 
3x + 4 
60 
5x + 3 
50 
3x + 5 
10 
5x + 3
De la rueda mostrada, determinar cuántas 
vueltas da la rueda de radio “r ” sobre la pista circular 
de centro "O ” , al recorrer el tramo AB (R =9r )*
Una rueda de radio 16 está sobre una pista circular 
de radio 36 y describe sobre dicha pista un ángulo 
central de 24(f. ¿Qué ángulo barre la rueda en este 
recorrido?
A ) —rad 
2 c 4 E,l
 Calcular el ángulo que barre la rueda al dirigirse
de la posición *54” a la posición “B ”
Una rueda de radio “r w gira sin resbalar por un 
camino circular de radio "¿ZMf como se muestra en la 
figura. Calcular cuántas vueltas dará hasta
que llegue a su posición inicial (B = 5 r)
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E)9
@)Del gráfico mostrado, calcular el ángulo que barre 
la rueda de radio 6 m al trasladarse desde el punto “A” 
hasta el punto “B ”
A) 180?
B) 270°
C)360°
D) 450P
A) 120°
B) 180°
C) 270P
D) 720°
E) 217°
(í(¡} En el esquema mostrado, se tiene que al hacer 
girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes que 
suman 28x . Determinar cuántas vueltas dará la rueda 
mayor.
A) 1
B) 1,5
C) 2 
W 2,5 
E) 3
(O ) Calcular la altura del punto 44P ”, luego que la
rueda da — de vuelta. 
3
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
 i Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre
si como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da 
la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8x
kRUEDAS g NUMERO DE VUELTAS A 1 JO * C ERtTORMAI; R ílt íÁ O S )
radianes.
A) 2 B) 3 C )4 D) 6 E) 8
Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la 
suma del número de vueltas que dan sus ruedas es 80. 
Se sabe que los radios de las mismas miden 3u y 5u.
A)100x B)200x C)250x D)300x E)500x
@ L a rueda de radio 1 m se desplaza desde A hacia 
B, dando 12 vueltas, determinar el valor de ud ”.
A) 46
B) 47 
0 48
D) 49
E) 50
" i B ) c 4 Djí E )To
(Q) De la figura, calcular el ángulo barrido por la rueda 
de **r” metroB de radio.
A)10xrad
B )3x
C)6x B
D)7x
E)8jt . >r
O
@Calcular la longitud de arco recorrido por '54", 
la longitud de arco recorrido por “ C ”
12x. = 1; R q = 4; R^ = 3 .
fo jo
@ )E n la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; 
cuando A gira (2n-4) vueltas, B gira (3n-¥4) vueltas. 
Calcular “n ” .
A) 5
B) 7 
O 10
D) 12
E) 17
Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radios están 
en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará 
la rueda menor, si la rueda mayor da 4 vueltas.
@ Se tienen dos ruedas conectadas por una faja, si 
hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran 
ángulos que suman 144°. Determine la diferencia de 
los números de vueltas que dan estas ruedas , si sus 
radios miden 3m y 5m.
A) 4x B)6x C)10x D)20x E ) 40x
Una rueda de radio “r ” da 30 vueltas al recorrer
— de la circunferencia de una pista circular de radio 
"R+r". Hallar:— .
Calcular el número de vueltas que da una rueda 
para ir desde la posición "A*9 hasta la posición “B ".
f á m a á t « a r t o s 103
SEGUNDO REPASO PARCIAL
¿ g r e ES VXA EOXGSTVD DE ARCO DE 
ÍX A CIRCCXEEREXCLl?
Se le denomina así a una porción de la circunferencia.
En la figura adjunta se la longitud 
de arco "L" que subtiende un ángulo central “0” 
(m edido en radianes) en una circunferencia de
Se cumple: 
L = 0 . r
O < 0 < 2n
A la figura sombreada se le llama sector circular AOB. 
EJEMPLO:
Calcular la longitud de arco de un sector circular de radio 20m 
v ángulo central de 72®.
RESO LUCIO N:
A
De la figura: 
r =20 cm
X 180®
L = 4* anReemplazando: L - ̂ j * <20 an)
APLICACIONES 
I) Engranajes en contacto y polcas unidas por una faja.
En cada caso se cumple que la longitud recorrido por tos 
puntos es la misma.
Es decir: l a = l b l c =Ld = l e
II) Discos unidos por uo eje.
En este caso el ángulo girado por los puntos es el 
mismo.
Es decir 0A =0B
III) Número de vueltas que da una rueda de una posición a 
otra.
En la figura se muestra una rueda que se desplaza por la 
superficie desde una posición inicial A hasta una posición 
final B.
Donde:
nT: Numero de vueltas que da la rueda 
(t : Longitud descrita por el centro de la rueda 
r : Radio de la rueda 
EJEM PLO :
Un niño sobre su bicicleta recorre una distancia de tO*m 
sobre una pista horizontal, si el numero de vueltas que dio la 
rueda mayor es 10. ¿Cuánto mide su radio? 
R E SO LU C IO N :
n ~ l O r íc ® d = 10* m. r «?
Reemplazando: io - *10* ro* '—S r = 0.5 m .-. r=50cm 
2*{r) ^
í IWICfliWWlEllui'
Número de vueltas Cuando la rueda gira:
106 LA ESCICLOPED1A *612
n =
271
Casos particulares 
1. Superficie lineal
2xr
2. Superficie curva Lc
___,-•* erad •
2nr
Poleas unidas por una faja y engranajes en contacto
8^1 = 02r2
^ y n j : Ángulos de giro y número de vueltas de la rueda (rt) 
02 y n2: Ángulos de giro y número de vueltas de la rueda ( r j
Poleas unidas por sus centros
01 = 02
nl = n2
0, y n j: Ángulos de giro y número de vueltas de 
la rueda (rt)
02 y n2 :Ángulo de giro y número de vueltas de la 
rueda (r2)
A. Área de un sector circular (s)
Se cumple:
Or2
0 < 0 5 2n
B. Área del trapecio circular (A)
b : Longitud del arco CD 
h : La distancia AD ó CB
B
Se cumple:
n1r1 = n2r2 t A = yO (R 2 - r 2)
2. A = ( ^ ) h
también: 0 =
a -b
EDITORIAL RFBEÍOS
TTT
107 I
G U I A D E R E P A S O
1).- Halla la longitud de un arco en un sector 
circular cuyo ángulo central mide 80° y el 
rad» 12m.
13).- Calcula 9 si 2Li ® 3Lj
a )2xm 
d) 8xm
b) 4sm 
e) t 2xm
c) 6xm a) 3m 
d )6m
b) 4m 
e) 8m
c) 5m
2).- En la figura, halla la longitud del arco BC, 
si AC=10m. 8).- En la figura, hada la longitud del arco BC si AE 3 20m.
a) vJ2 
d) tú5
b) x/3 
e) n/8
e)*/4
a)xm
d )6nm
b) 3xm 
e) 8nm
c)5xm
14).- En los sectores circulares mostrados, 
halla: 9.
a) 1/3
b) 2/3
c)1
d)4/3
e) 5/3
3).- Halla la longitud de una circunferencia si 
el ángulo central de 1rad subtiende un 
arco de longitud 6m.
a) Jim 
d) 6nm
b) 2xm 
e) 8xm
c)4xm
16).- Determina la longitud de arco de un 
sector cuyo ángulo central mida (x/3) rad 
y su radio mide (6x)m; sabiendo además 
que el perímetro de este sector es de
110m.
a)20m b)3Qm c)40m
d) 50m e) 60m
17).- Si a un sector circular sa le duplica el 
ángulo central y a su radio se le 
disminuye en 3m, se obtendrá un nuevo 
sector de longitud de arco igual a la mitad 
de la longitud del arco inicial; determina 
el radio del nuevo sector.
a) 5m 
d) 2m
b)4m 
e) 1m
6).- Halla la longitud del arco de un sector 
circular de ángulo central 45°, sabiendo 
que la longitud de la circunferencia es 
600m.
a) 75m 
d)65m
b) 60m 
e) 80m
c) 120m
12).- Calcula la longitud de la circunferencia 
inscrita si la longitud de los arcos AB y CD 
miden 2 y 5. D
a)x
b )2x
c) 3x
d)4n
e) 5x
18).- Determina el valor de 
esquema mostrado.
•) 5 
b) 7 
e)8
d) 10
e)12
c) 3m
V en el
7).- En el gráfico mostrado. Halla la longitud 
dei arcoBC.
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) c 3) a 4) b 5) b
6) a 7) c 0) b 9) d 10)b
11)d 12)c 13)c 14)b 15)e
16)d 17)e 18)d
[ n u f i o j w > w n u T TSill ios
A) 1 
D )4
B) 2 Q 3
E) 5
Simplificar la expresión:
xc+*s+20R , _ .
3»c - bs-2qr ' e ^ ̂y ^
son las medidas de un ángulo en grados 
sexagesimales, centesim ales y radiales 
respectivamente.
La diferencia de los recíprocos de
los números de grados sexagesimales y 
centesimales de un mismo ángulo es igual 
a su número de radianes que contiene el 
ángulo divid ido por 2 *. ¿Qué parte del 
ángulo de una vuelta es dicho ángulo?.
A) 0
D )!
B) I C)1
E )2
A) X 
20
D) X 
10
B) X
30
Q X 
60
1E)
80
. , . 'w 7> Se ha ideado un nuevo sistema paraSe crea un nuevo sistem a de■vim edición angular, donde su unidad 
fundamenta! es e l “gradón” (denotado por 
l c). Si un 'gradón" equivale a la quinta parle 
de un ángulo recto. ¿A cuántos gradones 
equivale 36o?.
A) 2 B) 2.5 C )3
D) 3.5 E) 4
El ángulo de la figura cumple las
relaciones
C + S » a ..... (1)
A) 0.036 
D) 0072
B) 0.052 Q 0068 
E) 0.082
Si y representa e l núm ero de
segundos sexagesimales; x representa el 
número de segundos centesimales para un 
mismo ángulo; entonces calcule x cuando
( 9 Yla medida del ángulo es I J25 I *
A) 200 
D) 2400
B) 800 C) 1400 
E) 4000
| ^
Si se cumple que:
167(p- q)=157(p+q)p, siendo p y q, los 
números de segundos sexagesimales y 
números centesimales de un mismo ángulo 
respectivamente. Determine e l valor de p.
m edir ángulos ta l que el valor de cualquier 
ángulo expresado en este nuevo sistema es 
equ iva lente a la tercera parte de la 
diferencia de la cuarta parte del número del 
grados sexagesimales y de la quinta parte 
del número de grados cetesímales del 
m ism o ángulo . ¿A cuántos radianes 
equivalen 10 unidades de este nuevo 
sistema?.
A) 2k B) 3x C) 4 *
D) 5x E) 6ti
U'n-
MWj'* Si a y b son dos números reales
positivos. Hállese ia mayor medida (en 
radianes) que puede tener un ángulo que 
cumple:
C+sJ ° +bU ax ) , dondecyS 
(a + b) + (a -b )
son su medida en grados sexagesimales y 
grados centesimales respectivamente.
A) 19 b, 1 » Q 380
D) _5 - 
190
E) J L 
380
D) 4 E )5
LV
Se tienen dos circun ferencias 
concéntricas, en las que se inscribe un
IA BSaOjOPEDlX SOIS
ángulo central dé terminando longitudes de 
arco sobre dichas circunferencias de 80cm 
y 45 cm respectivamente.
Calcule F = 16¿ - 2 ; siendo r y R los 
R
radios de las circunferencias (r<R).
A) 7 B) 8 Q 9
D) 10 E) 11
De la figura m ostrada, halle el
perímetro de la región sombreada, siendo 
A, B, C y D puntos de tangencia.
C) 12 + 15w+4>/3 
E) 18 + 10x+6>/3
D) 6 + 5 * + «ys
\f<$S Se tiene un sector c ircu la r cuva
longitud de arco es numéricamente igual a 
la m itad del área de un cuadrado, cuyo lado 
es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la 
longitud de arco del sector, si la medida del 
ángulo central expresado en radianes, toma 
su mavor valor entero posible?.
A) 12 B) 24 Q 48
D) 72 E) 144
Siendo 6 el ángulo central de un
sector circular cuya longitud de arco es 2* 
metros, calcular la longitud de su radio, en
metros, si: 3 ^ + 7^ - 1 0 .
A) 2.5 
D) 4
B) 2 C) 3 
E) 1
Si AOB y COD son sectores
c ircu la res, A B *3 u . CD = 4u y 
AC«BD= I u . Se pide hallar el área del sector 
AOB (en u2). C
Alf
9 
4
B| *L
D ) í
C) í 
2
4
3
E) í
En la figura se muestran las A,, A, y
A,, que están en progresión aritm ética, 
además
Lg¡ • a , La ■ b y Lj¿ ■ c
|
D) 3 E) 3-'
H allar e l área de la reglón 
sombreada si AOB y COD son sectores
circulares, donde 8 - y BC *= .
' l i f f Dos ciudades están separadas
1250kmen un mismo meridiano. H allarla 
diferencia de latitudes, suponiendo que la 
tie rra es una esfera de !2500km de
22diámetro. Usar
A’ ( f ) '
* ( ? ) '
B , ( - J
Di( f í
Dado un trapecio c ircu la r cuyo
perím etro m ide 20cm . H a lle e l va lo r 
máximo, en cm2, de su área.
A) 12on* B) 16cm* C| 20on* 
D) 25cm* E) 30on*
I ' w
Un arreglo de flores debe tener la 
forma de un sector circular de radio r y un
ángulo central 8 (es decir, como un trozo 
de pastel). Hállense ry 8 si el área es fija e 
igual a A ir y e l perímetro es mínimo.
A) VAu ;2rad
B) 2«/Au;-rad
C) V2Au: 2rad
D) >/Au : lrad
E) Au:2rad
Dados los puntos P (-2;5)yQ (7; 12).
Se pkle hallar el área de la reglón triangular 
formada por los puntos OMQ. Donde O es 
e l origen de las coordenadas y M es el punto 
medio entre P y Q.
A) 11 
2
0)11
4
B) ü Q »2
E) ®
4
En la figura adjunta ca lcu le e l
número de radianes que gira la esfera de 
radio r ai radar de A hada B, sobre la 
superficie curva de radio R(R=29r), si
x
X=6 ’
D) 5 x rad E) ¡rad
Calcule la altura en términos de R,
a la que se encontrará el punto A de (a 
rueda, cuando éste gire unángulo de 1305°, 
desplazándose sobre una pista horizontal.
A)(V2 + l)R 51 t r
C ) | i ± * / 2 |R
, ( * £ ) » 
2 + J 2 - 1
E)
Dos ruedas de radios R y r. R>r,
realizan e l m ism o recorrído si la rueda
menor da 10 vueltas y 1 « 1 . Calcular el 
r 2
núm ero de radianes que gira U rueda 
mayor.
A) 2n 
D) 10 rr
B] 4 x C) 8* 
El I2 x
& Dos ciudades separadas I270km
están sobre e l mismo meridiano. ¿Cuál es 
su d ife re n c ia de la titudes, en form a 
aproximada?. Suponga que la tierra es una 
esfera de 12700km de diámetro y considere 
x -22/7.
A} l l c 
D) 12°
B) 11.45° C) 11.90» 
E) 12.25°
& En e l sistema adjunto. ¿Cuánto
medirá el ángulo (en radianes) que se debe 
girar para que los centros de las esferas A y 
B se encuentren a la m ism a a ltu ra si 
inicialm ente dicha, diferencia de alturas es 
de 14 unidades?.
A) 0.5 
D) 2
B) 1 C) 1.5 
E) 2.5
X U M S D i LA PRACTICA P f M M »
[acuftiM T«iw»jiOTic»íBgAf8n.<»!>.iOT<><i>l l io [ EPrroHtu BEiretpS]
!razonesítí?ígonometrigas! d e m n g u lw a g u d ;<
CAPÍTULO
o s
OBJETIVOS :
♦ Conocer correctamente las definiciones de las 
razones trigonométricas de un ángulo agudo.
* Calcular las razones trigonométricas de un ángulo 
agudo a partir del triángulo rectángulo en que se 
encuentre.
IXTRODl'CCMÓX :
Una figura quizás poco conocida en 
algunos aspectos es la de Pitágoma, 
filósofo nacido en Sanios hacia el siglo 
VI a. C., gran matemático, autor de 
famosos legados: la tabla, el teorema 
y el triángulo, que llevan su nombre.
Se cuenta que era muy hermoso, al extremo que sus 
discípulos lo comparan con Apolo andando sobre la 
Tierra. La leyenda, al efecto, le atribuye un muslo de 
oro. Antíclidee, en su libro Z7 de Alejandro, anota que 
Pitágoras desarrolló grandemente la geometría y la 
aritmética, oficios de medir y contar para loe antiguos. 
Incluso sostiene que inventó la escala musical por una 
sola cuerda. Aristóxenes el Músico, le otorga el haber 
introducido en Grecia las pesas y medidas. Fue 
respetado con veneración por romanos, tucanos, 
picentes y meeepios. Su casa era llamada Templo de 
Ce res. Lo seguían normalmente no menos de 600 
discípulos, que consideraban su palabra como el verbo 
de Dios mismo. Se le atribuye, a más de su condición 
de matemático, la de un hombre muy sapiente en las 
cosas del vivir. Algunas de sus máximas se parecen a 
las de nuestro viejo Vizcacha, como aquélla de " no 
herir el fuego con la espada", significando que no 
debemos fomentar el encono o la enemistad de los 
poderosos, una váHante del "hacete amigo del juez, y 
no le des de que quejarse". Su posición frente a la 
existencia tuvo un claro sentido moral y estético, 
exhortando a usar del pudor, a huir de la gordura, a 
no andar siempre derrochando risa o trasuntando 
melancolía, a no hablar cuando la ira nos embarga, a 
rendir culto a los dioses y alabanza a los amigos. En 
alguna manera tuvo el sentido fatalista de los griegos, 
pues decía que el hado es la causa que regula el destino 
de los hombres y la historia. Ya en su tiempo sostuvo 
la redondez de la tierra, que será confirmada 
experimentalmente por Sebastián Etcano recién al
darse la vuelta al mundo en el siglo XVI. Enseñaba 
que la salud es perseverancia de la belleza y el cuidado 
y que el alma humana a la que consideraba inmortal 
se divide entre la mente, la sabiduría y la ira cuyo 
albergue es el corazón; que el alma se alimenta de la 
sangre, y que las palabras son como su soplo. Es 
Aristóteles quien dice que Pitágoras proscribía las 
habas, por cuanto éstas se parecían a "las partes 
pudendas". También proscribía los funerales, la cama, 
el ocio, el proceder como las bestias y la desarmonía 
entre los amigos. Su pensamiento matemático hacía 
derivar todas las cosas de la unidad, derivándose de 
ella lo múltiple, que es infinito. De los números 
devienen los puntos, con estos se hacen las líneas, con 
las líneas las figuras planas, con las figurasplanas los 
cuerpos. Estos constan de cuatro elementos: fuego, 
agua, tierra y aire, loe que conforman la creación 
entera. Dio al Sol condición de dios y fuente de vida 
por su calor benéfico. Tuvo miyer, hijos y alto concepto 
de la pobreza. Murió octogenario según algunos, y 
sobrepasando los 90, según otros. Una sentencia suya 
para no olvidar: Pongamos sal a las cosas, ella recuerda 
la justicia pues conserva todo lo que ocupa y penetra, 
y está hecha de cosas purísimas, como el agua y el mar. 
En este capítulo definiremos las seis razones 
trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotagente, 
secante y cosecante. Los nombres de estas se abrevian 
como: sen, coa, tg, ctg, aec y cae.
TR iÁ X G U L O RECTÁNG U LO
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus 
ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo 
recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la 
hipotenusa y se opone al ángulo recto.
♦Catetos: CAy C B ^ C A *b A C B = a
[A n w w w B im ^ m u LA W C T C W C T M 9 9 1 » )
* Hipotenusas: A B :
* Ángulos agudos:
• AB =c
CÁB y CBA => mCÁB = a a m CBA = 0 
TEORE>iA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras es una proposición atribuida 
a Pitágoras, según la cuál en todo triángulo rectángulo 
el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es 
igua l a la suma de los cuadrados de las 
longitudes de los catetos.
A B 2 = CA2 + CB2 c 2 = a 2 + b2
c = y¡a2 + b2
mCÁB + mCBA = 90a 0 + 0 = 90?
o b s e r v a c ió n :
En un triángulo rectángulo, también se verifica que:
I ) La hipotenusa es mayor que cualquiera de los 
catetos y menor que la suma de ellos, es decir en el 
triángulo se tendrá que:
| q < c | b < c | c < a + 6~
I I ) Al mayor ángulo se opone el mayor lado y así 
recíprocamente.
E JE M PLO S :
* Determinar ux n en cada caso:
Resolución: 
->x2 =9+4
- + * 2 = 1 3
* = v n r
Resolución.: 
172 = 152+*2 
- > 2 8 9 = 2 2 5 + * 2 
-► 2 8 9 - 2 2 6 = x 2
-> 6 4 = *2
-+ x = >¡64
x = B
El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su 
descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. 
Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se 
conocían ternas de valores que se correspondían con los lados 
de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver 
problemas referentes a los citados triángulos, tal como se 
indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado 
ningún documento que exponga teóricamente su relación. La 
pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., füe la 
primera gran pirámide que se construyó basándose en el 
llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-6.
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTAMOS
R A Z Ó N TRIG OXOJEÉTRSCA
Es aquel número que resulta de dividir las longitudes 
de dos lados de un triángulo rectángulo.
CÁLCULO DE LA S RAZONES 
TRIGONOM ÉTRICAS
El valor de las razones trigonométricas de ángulos 
agudos, se determinan en un triángulo rectángulo, 
estableciendo la división entre las longitudes de sus 
lados tomados de dos en dos y con respecto a uno de 
sus ángulos agudos.
Cateto opuesto 
Hipotenusa y al ángulo u6'
i I
f Cateto adyacente 
al ángulo u6n
* Ahora considerando al ángulo " 0 ", se tendrá que
. DEFINICIÓN NOMBRE
Longitud del cateto opuesto a 8 a 
Tjwqwtnri 1» hfrntomia» c
Seno de 
Theta
Longitud de cateto adyacente a 6 b 
longitud de la hipotenusa e
Coseno de 
Theta
t_n Longitud de cateto opuesto a 0 a 
Longitud del cateto adyacente a 8 b
Tangente de 
Theta
. n Longitud de cateto adyacente a 6 a b 
Longitud deí cateto opuestos 8 a
Cotangente de 
Theta
0 Lmgitud de la hipotenusa e 
Longitud del cateto adyacente a 8 b
Secante de 
Theta
longitud de la hipotenusa e 
” Longitud del cateto opuesto a 8 a
Cosecante de 
Theta
[A iJ IftT O TMlGmXmMETMICAS »r, JLTtiLXOS ACIW5 A ~f119 [ EDrroMwUj gpgrtos]
En un triángulo rectángulo se define como SENO de 
un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la 
longitud del cateto opuesto al ángulo entre la 
longitud de la hipotenusa.
Se define como COSENO de un ángulo agudo al valor 
obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo 
al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como TANGENTE de un ángulo agudo de 
un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido 
al dividir la longitud del cateto opuesto entre la 
longitud del cateto contiguo.
OBSERVACIÓN:
Para todo ángulo agudo “ 0 ” se cumplirá:
0 < s e n Q < l | tg Q > 0 ¡ secQ > l
0 < c o s 0 < 1 | ctgQ > 0 | cscQ > 1
E JE M PLO 1 :
Calcule los valores de las seis razones trigonométricas 
del menor ángulo “ 0 ” , en un triángulo rectángulo, 
cuyos catetos miden 5 y 12 unidades. 
R E S O L U C IÓ N :
* Grañcando:
* Aplicando e l teorema de Pitágorae:
S x W ^ + M*
-+x=>ÍÍ69 = 13
* Luego definimos:
5sene = ■
cose ■
13
12
13
pon otteoerlo c k 
te foiitrít etienz £ > — 2
Invierte sece =
13
12
tg* = l2
•* ^ 
Invierto
12c t g e = — 
o
E JE M PLO 2 :
Del gráfico, calcula $en9 ■
• n2 =1* +3* *1 0 = > n *J ÍÓ 
1
=> send =
410
E J E M P L O 3 :
En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 
2 y 3cm. Si el mayor ángulo agudo es a , calcula sen2a
R E S O L U C IÓ N :
Recuerda que los lados menores en un triángulo 
rectángulo son los catetos y que a mayor cateto se
* n* = 22 + 3 *= 1 3 = > n = J l3
sena = — =
n 7 7s
sen*a * 9/13
E JE M P L O 4 :
En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 
2 y 4Scm. Calcula el coseno del menor ángulo agudo 
del triángulo.
R E S O L U C IÓ N : c
Grañcando:
* n* =2* + Vfl* = 7 =* n = >/7
* 0 : menos <
A 2
2 2 
Luego: cos0 = — =>coa9=-j-
E JE M P LO S :
Del gráfico, determina: C = cosB ctgO
B
R E S O L U C IÓ N :
[&TBMGONOMM5TMIAÁ l l l » ! LA ENCICLOPEDIA AOIA ]
R E S O L U C IÓ N :
Del gráfico:
* n2 + 12 = 32 => n2 +1 = 9 
=> n2 = S => n = 2y¡2
Luego : C = eos $ ctgO
c = n x n = M x 2V2
3 1 3
E JE M PLO 6 :
Del gráfico, calcula C = cosa cosfi 
Del gráfico:
=>C = S/3
R E S O L U C IÓ N : 
Del gráfico:
Sea: ^
t±A B C : C°8Qr =
i»
fc^ACD: ooa fi = -
3 tt
Luego: C = cosar coa^ :=~ x '̂ '
■C = 3I4
trigonométricas de un ángulo agudo es suficiente 
conocer el valor de solo una de ellas ( )
4) El seno de un ángulo agudo puede medir 0,5 m..... ( )
5) Si los lados de un triángulo rectángulo se duplican; entonces 
el seno de sus ángulos agudos también se 
duplica................................................................. ( )
6) Si: tga — 0,5 y Ma ’* es un ángulo agudo; entonces 
podemos afirmar con seguridad que el cateto opuesto u a ” 
mide 1 unidad de longitud y el cateto adyacente mide 2 
unidades de longitud ......................................... ( )
E J E R C IC IO 1:
Completar la tabla usando los triángulos rectángulos.
\ <
■ 
\
- ,v„* ^ . f.
. • v.i
Sen jC A17
---- ----
Cos¿ ---- 2425
----
Tan X ---- ---- 34
Cot jC ---- ---- ----
Sec¿ ---- ---- ----
CbcjC ---- ---- ----
NO TA:
Los valores de las seis razones trigonométricas 
dependen únicamente de la medida del ángulo y no de 
las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.
* Lo anterior lo podemos describir a continuación, en
E JE R C IC IO 1 :
Indica la verdad (V) o falsedad (F ) de las siguientes 
proposiciones:
1) La cosecante de todo ángulo agudo es mayor que su 
coseno...............................................................( )
3
2) El coseno de un ángulo puede ser igual a ^ ......( )
S^Para determinar el valor de las 6eis razones
|V>
* Del triángulo rectángulo ACB tenemos que: 9&£=~
* Por otra parte del triángulo rectángulo AC9B r
Dl/Tl
tenemos que: aen0 - - ¡-5rAH
* ¥ A BC B'C Luego: ^ A/}
* Así encontramos el mismo valor para mioq sin 
importar cual sea el triángulo rectángulo que 
utilicemos para calcularlo, una idea similar podría 
servir para las otras razones trigonométricas .
[^ E u a tg f n tw w ic r M f,» de .ir e tm .i6n»#s ü j T t f EDtTO lUAI, RUBlSOS ]
PR O B LE M A 1 :
En un triángulo rectángulo, loe lados mayores miden 
13cm y 12em. Calcular el coseno del mayor ángulo 
agudo.A )4 z B ) 12 C ) J3 B > § E > l S
A )1 B ) 2 
R E SO L U C IÓ N :
* Graficando tenemos:
C )3 D ) í E ) í
L = 2
* Reemplazando en lo pedido se obtendrá :
L = a x b + c x b ^ 
o a b c
RPTA: "B "
PR O B LE M A 3 :
Si: secG = y¡7 ; calcular: P = t g 20 + -J428en0
A) 10 B) 12 C) 14 D ) 18 E)20
R E S O L U C IÓ N :
• Del dato:
12 '2 3
R E SO L U C IÓ N :
* Uno de loe lados mayores involucra a la hipotenusa, 
por lo tanto se puede grafícar.
* Por Pitégoras : 13% = 12S + x z
=>169 = 144 + x 2 =>x = 5
* A menor lado se opone el menor ángulo y viceversa, 
por kt tanto, el mayor ángulo agudo es ufi
* Nos piden : co »f i = —
RPTA : “C*
PR O B LE M A 2 :
En un triángulo ABC(B - 90° ) ; reducir:
L = sen A .esc A + eos A . sec A
* Ahora por el teorema de pitégoras :
x 2 +12 = ^ 7 2 ^ x = j6
* Luego reemplazamos en lo pedido :
P = +yfé2 =^P = 6 + ̂ y ¡ 6 - 1 2
R PTA : 4,B ’
P R O B LE M A 4 :
En un triángulo rectángulo ABC , recto en "C* 
reducir: J = caen B - actg A + bese B 
A) 2a B) 2b C )a D )b E )c
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el triángulo ABC :
c
* Reemplazando en lo pedido :
'7=c( f ) _0(o )+6( f ) =>J'=&_6+c=c
R P T A : °B ”
P R O B LE M A 5 :
Se tiene un triángulo rectángulo ABC.iB^fKP) ,
calcular: P — — sen A + —sen C + — tg A a c a
C )b D ) 2c E) 3A) a+b+c B) 2a 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el triángulo rectángulo A B C :c
* Reemplazando en lo pedido :
p 4 t e ) +f ( i K ( t ) = > F = j+ i+ i=3
RPTA: "B"
[&XmWQjmMBTBUA¿ m u LA ENCMCLOPEDÍA Í8 IF |
PR O B LE M A 6 :
En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del 
otro . Calcular el coseno del mayor ángulo agudo .
A) 2 yfS d i 4 ¡ /> i 45 n i 45 
— B ) ~ T C ) ~ T o b , To
R E S O L U C IÓ N :
* Grafícando y respetando la condición:
* Por Pitágoras : x 2 = ( a )^ + ( 2a
x 2 = a 2 + 4a2 => x 2 = 5a2 =>
* Mayor ángulo agudo: ”p m
d 1
* Por lo tanto: co*P = =>C08P = J¿
a i Jb Js=> 008 B = - p X - p = ----
45 45 5
RPTA : “B*
PR O B LE M A 7 :
Siendo uen un ángulo agudo, tal que: co»0 = --;
o
determinar senO.
1 B ) ~ C ) D ) E ) ^
ira - ' 5 
R E S O L U C IÓ N :
P R O B L E M A 8 :
En un triángulo rectángulo ABC , recto en MB” , se 
cumple que: Stg A = 2cscC; calcular:
M = 4Btg A + 6secC
A) 5 B) 7 C )9 D) J1 E) 13
R E S O L U C IÓ N ;
* Grafícando el triángulo rectángulo :
= j 5 a * Del dato: s (| )
* Para hallar "cM, aplicamos el teorema de Pitágoras: 
b- = a* + c2
* Reemplazando : 32 = 2 2 + C2 => C = y¡5
C
* Luego:
* Reemplazando:
3 3
2 C A* Interpretando la condición : cosO = — = - 'y *
3 H
w
*CJL=2a a H =3a, entonces llevando a un triángulo B) 2
M = > / 5 ^ j+ t f (| )= > A f = 2+5 (5 ) = 7i
RPTA : “D ”
PR O B LE M A 9 :
Del gráfico mostrado; calcular: L - tan a tan 0
a ; . c
rectángulo.
* Por Pitágoras : (3a)2 = (2a)2 + x 2
=> 9a2 = 4a2 + x 2 => x2 = 5a2 =>x = 45a 
H 3 ^ 3
RPTA : “D '
C )j
D> i
E)4
R E S O L U C IÓ N :
* Del gráfico , sea : BC = ha AM = MB = m
fsSgAZftTES TmiGOXOMETmiCAS D E AXG UIQ S AGVBOS A ] 1 1 0 ft̂ EMUTORMM ttUMIWOS}
• t± M B C : u „ 6 = f * A B C : tana =
n 2m
* Del gráfico, asumiendo valores para poder simplificar 
la expresión pedida , es decir :
p=S7H¥)=>/F¥-'’='®=»Ife.nptaz.ndom " i” : = |
RPTA : "C M
RPTA : “C " P R O B LE M A 12:
En un triángulo rectángulo ABC , recto en "C w, 
reducir: p = 8ec2A -c t g 2 B + 1
PR O B LE M A 10:
Del gráfico, si tga = calcular: ^Í6ts 0 
5 A
A) 3 /a
B ) 1,5 / kC
C)2,5
D )1
E )6
R E S O L U C IÓ N :
r \
* Del dato : *an _ 7, _ B C Reemplazando : 
« y a - 3 - A C
A) 2 B )a* C)b* 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando el triángulo rectángulo : 
B
D )c* E) abe
.(/)
* Pero por el teorema de Pitágoras se tendrá : 
c2 - a2 = b2
* Hallamos **x” (por Pitágoras):
x2 +52 = 72 =>x-2\Í6
* Que al reemplazarlo en ( I ) t se obtendrá :
b i 
b2
P = ^ r + i = J + J =
R P T A s “A M
PR O B LE M A 13:
♦Luego: 46 tg0 = >/ó 
PR O B LE M A 11:
[ w
= 2,5 En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia 
de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos 
RPTA: °C ” es 8 y con el otro es 9. Calcular el valor de la tangente 
mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
Del gráfico, hallar: P - -y/{/¿-8 + tg$)ctga
C
A)1
B) 2
C)3
D)Js
E)6
R E S O L U C IÓ N : 
* Graficando:
A) JL R) Z í
A )15 } 25
R E S O L UCLÓ N :
C) 2¿20 D )
30
17 E )1Ó
B
c - a = 8 => a = c - 8 
c ~b = 9 b = c - 9 
* Reemplazando:
\2 . t .
a2 + b2 = c2 (Pitágoras) 
( c -8 )2 + (c -9 )z = c2 ^>c2-34c + 145 = 0
lA H W M H W m A n m LA BNClCLOrBBMA »91M ]
■ (c-29)(c-5)=0~*
* Factorizando : 
c2-34c+146 =0
e -5 ^
haría “6 
negativo
•Entonces: b= 29 - 9 = 20 y a = 29 -8 = 21 
•Sepide : tg9 = ̂
7=29 J
■ffyfr No, porque
RPTA: “C‘
20
PR O B LE M A 14:
Del gráfico, hallar: tgCLxtg$
A)J
B ) l
C)3
D )4
E)2
R E S O L U C IÓ N :
* Del gráfico, asumiendo los valores para poder 
resolver:
A ~ ---------------------------
• Ahora lo pedido será : tgalgd = ( y —) ( ~ ) = y
RPTA: “B ’
PR O B LE M A 15:
Del gráfico, calcular: P = sen! 0
A>-£- B
' 14
B ) 2
C> J
D )9
E )5
R E S O L U C IÓ N :
• De la figura :
ABC
k . -
NMC
-*sen0= 7̂ - 2m
sen 6= m
(I )
01)
ó
sen2B=-r^-xS.
2m 7
s e n 29 = 14
RPTA : 4,A ’
PR O B LE M A 16 :
Cuando una persona en A está de pie en la cima de 
una montaña, es la primera en ver los rayos del sol 
naciente. La persona en B aún no los ve. La persona 
en B ve los primeros rayos del Sol sólo después de que 
la tierra ha girado de manera que B alcance la posición
e. Considere radio de la Tierra = 6366 km . Altura de
1061la montaña = 6000m sen 87® 30' 48" =
1 062
Calcule el ángulo central que subtiende el arco BC. 
A
Sol
Como O es centro de la tierra y C punto de tangencia, 
tenemos el triángulo rectángulo AOC (recto en C).
A
Donde
•OC=6366km 
•OA=OB + AB 
=> OA ̂ *6366+6 
=> OA=6372km
, OC 6366co.(m<AOC>=— = — cos(m<AOC )= 1061
1066
c o s (m < A O C ) = sen 87 e30 '48" 
=> m < A O C = 90° - 8 7 I,30 '48H 
=> m < A O C = 2 ° 2 9 1 2 n 
P R O B LE M A 17:
El perímetro de un triángulo rectángulo es 180 m. Si 
se sabe que la tangente de uno de sus ángulo agudos 
es 2,4. Calcular su hipotenusa.
[¿HMWEa nucw M enucjjiM AW cw ait'sM ü ] 113 [] Em t q h i .u , R tjn rtos )
A) 13 B) 26 
R E S O LU C IO N :
* Graficando del dato :
C)39 D ) 78
tge=2,4 = ^ = > íg d = ^
El 82 i ) Por Pitágoras : (2n)* = (n )S + x f
4ns = n* + x 2 => 3n2 = x 2 =* x = 
se deduce por JJ) Reemplazando en UK":
K = A + 2sen A ]comC - [ ( j & J + * ( £ . ) ]
Pitágoras
12k
n
Sn
5k * ( ! ) ? = *
L V" J R P T A :uD n
PR O B LE M A 19 :
k = 6 En un cuadrado ABCD, &e traza B E y C F ( “E ” en
CD y “F ” en AD ); tal que: FD=3AF y C E -E D , si; 
RPTA : “D ” ¿b EC _ a y ¿C F D = &\calcular:
J = 2 co ta . + 3 ta n 0
En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B ” ), de 5 g , ^ c j 1 DI 4 E )2
lados "a M, “6" y “c", se cumple que:
= *.reduce: K = [cot*A+28enAY°*
C)5 D )2
* Luego: perím etro = 180
1 3k+ 12k + 5k = 180
•Se pide: 13k = 13(6) = 78
PR O B LE M A 18:
R E S O L U C IÓ N :
C
E )±
secA-senC
A) 1 B)3
R E S O L U C IÓ N :
* Interpretando la condición en función de los lados 
del triángulo rectángulo. Q
« + £
D Reemplazando: £ ÍL = g
b _ c 
c b
W Efectuando operaciones:
¡I I ) Utilizando Pitágoras:
I ) Como : CE = ED => UE ” : punto medio 
i1) Además: FD = 3AF A F = a a FD = 3a 
O I) Reemplazando en *\J” :
J - 2 \ ^ C 1+ Si ^r—t I — 5
(o* -fe* )bc 
ocíft*
a* + c* = b* a. b* ~ c* = a* entonces queda :
= * ! = «= :, b = 2
RPTA: "A ”
PR O B LE M A 20:
En un rectángulo ABCD, se ubican los puntos "3 Í" 
MN ny “P Men BC, ~AD y AB respectivamente, tal
M C B P v n 
que: BM - AP - gj: ¿PCD = a a ¿M NA - 0
*7O íxfl^ O'
* Comparando : 6 = 2n, a = n => reemplazando en 
el triángulo rectángulo inicial.
Calcular: J ~ tan a + tan fi
a > t b > j c > I f
R E S O L U C IÓ N :
* Graficandoadecuadamente:
B a M
d > 7 E > r
4a
[rtnuMMmgraiA* TH iT l a mroicxéfEim iün
D Interpretando el gráfico:
ZIJ BM = AP = y f - = 2g- = ̂ = a4 3 2
B M = a¡ A P = a ; A ÍC = 4a; B P = 5a; jVD = 2a
5 
3
RPTA :"C ’
PR O B LE M A 21 :
Calcular: ta n ^
A)2
B)4
C ) l
D>i 
E>í
R E S O L U C IÓ N :
* Aplicando el teorema de Pitágoras en el:
ti.A B C : (Sm + 2)2 = ( 3 m - l ) 2 + {4m + 3)2
* Efectuando:
2Spd +20m+4 = 9p í? -G m +l+16p¿ +24m+9 
^>2m = 6=>m~3
* Ahora reemplazamos el valor de “m ” , y luego
prolongamos el cateto BA hasta un punto Q, tal que
la longitud AQ sea igual a la hipotenusa, con e! se forma£
un triángulo isósceles de ángulos iguales y :
C
.t - f l 8 B 1 
8 =>L82 17 + 15 32 4
15 B
RPTA: “D ”
PRO B LEM A 22:
En un triángulo rectángulo ABC (B=SHP) de lados a,
6 y e respectivamente, demuestre ^a/tí—l = c ~^
\2J a
R E S O L U C IÓ N :
Grafícamos el triángulo rectángulo ABC y 
prolongamos el cateto BA hasta el punto D. Tal que 
AD=CA =b Como el triángulo CAD es isósceles
entonces m <ADC=m<ACD=— EnelÉLCfiD
2
Por el teorema de Pitágoras f AABCJ 
b2=a2+c2 => b2- c 2=a2 =>(b + c )(b -c )= a 2
* = * - j ü r - ................................. ( " >a o+c
Reemplazando ( I I ) en (1) tan ̂A j = í — S. 
P R O B LE M A 23:
En un triángulo rectángulo ABCÍB~9Q°)t se traza 
la ceviana AD , tal que: D C -3B D . Si: m/BAD = a 
y mADCA - 6 ; calcular : K - co ta - 4tanQ
A ) l B) 0 C )2 D )-l E )-3
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando, tenemos :
B
AB = n; BD = m ^ DC = 3m
• fc^ABD: coíct = — * fciABC: t a n 0 = ¿ - 
m 4m
•Nospiden: K -c o ta -4 ta n 6
- ; ,K = ± - 4 X - P - = > K = 0 
m 4m
RPTA: “B "
P R O B LE M A 24:
En la figura mostrada, AOB es un sector cicular, 
m<AOB=90° ,OD —2CD. Calcule cotO
* » ( * ! « — •\2) b+c .<l)
[A tu fttts nmMít&tiETMiCAS DEAxeuiAs .xticnos *> ] IZ O f K O rrO R tM , HVHIXOS ]
A)2+Js B)l+y¡5 C)y¡5 D )>fe-1 E)y¡2
R E S O L U C IÓ N : A
P R O B LE M A 26:
En un triángulo ABC(m<B~90°)&:tan(A) xcos(C) =3 
halle: m = l¡*ecz(A )-3 c tc (C )
A)3 B)2 C )I D )iR E)i¡2
o s -3 b c( ! ) ( ! ) -
^ Pld/6 „ ¡b2 3b \ba -3 b cM = y¡8ee A - 3 esc C A f= J -y ------=J 5—
Reemplazamos el dato
62 :— a
M = t = . R r = > M = 1
PR O B LE M A 2 5 :
Del gráfico mostrado, calcular : K -
RPTA: “C” 
RPTA . >‘A » P R O B L E M A 27:
De la figura mostrada, si BC—CD=DE, entonces el 
valor de tan (a )tan(fi)& --sena
sene
A ) 1
B ) í
C) 3 
E ) l
R E S O L U C IÓ N :
* Del gráfico , sea : BC=n A)1I7 B)l/S 
R E S O L U C IÓ N :
C)l/4 D)l/3 E)l/2
t r _ sena 
sen 6 X I)
• f c ^ A B C ; , „ a = J ¡ - * M B C : scnO = -*-
3m -m
n
* Reemplazando en ( I ) : K = -̂ EL => K = -
n 3
m
RPTA:
Luego de señalar la semejanza de triángulos,tenemos
qUe: a b 1Tanct=—~ ATanfi=— => TandTanfi=—
2b 2a 4
RPTA i "C*
{AimiGOUfOMETmMAA 1 ** > c LA ENCICLOPEDIA j j g ]
PR O B LE M A 28 :
El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m y la 
tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto 
mide el cateto menor?
A) 13 m B) 66,3 m C)46,3 m D) 36,3 m B) 66,3 m 
R E S O L U C IÓ N :
•Dato: tona = 2,4 =>tana = ̂
5
• Además:
(perím etro d e l!^ )= 338
isa
A) 16 B)17¿ C)18,4
R E S O L U C IÓ N :
£3 ABCD: inscriptible 
1481
D)19¿ E)20,4
AJ3I4 B)2/3 
R E S O L U C IÓ N : 
B
0215 D)H8 B)1I4
= > 5k + 12k + 13k = 338 => 30k = 338 
• El cateto es : 5k=66,3 m
RPTA: “B”
PR O B LE M A 29:
En la figura mostrada; m<CAD = 9e, m <BDA=T, 
m<ABD=m<ACD=9ff‘ y AD =20u, Calcule la
Observe que el / \ ABD es isósceles
4D O
AC 4
RPTA: "A "
• I» m \ ouyi i o í f í
@ ) Si: sena = 0,2 • Determinar : E = cos 'a + tg*a
A ) h B,1i c>f d , ts e>1
Si: tg a = 1,5 . Determinar: F = sena + cosa
A ) i g B )m C) 4^2 D )1 E) 5>fl313 13
Ü Si: s e ca = 2 -Determinar : n = Tga* + esc3a
A ) 1 B ) r C )1 f d > 7 e >T3
¡6% Si: —L— = o,3 -Determinar: P = íeos^a- 2sena 
csca
A) 2 B )3 0 4 D) 5 B) 6
Determinar; sen P Si: tg$ = - j =
. A O
A BOC ; BC=2(10sen74V
BC= 20x( H ) ̂ BC=ll9‘2
RPTA: “D "
PR O B LE M A 30:
En la figura mostrada, si AD=3u, D C = lu , además 
2ü) es bisectriz del ángulo HBC, calcule cos(f)
A ) B ) ^¡f- C ) ^ D ) f E > j -3 ' 4 6
Si “ a ” es agudo, además: 3tg a - 2 = 0
Determinar : E - sen a cosa 
A ) 6 b > 7 c >77 d > 2
1 Si: sena = 0,75 a 0°< a < 90*
Determinar : 3y¡7ctg a 
A JI B) 2 C )3
<@Si: tga = ̂ ¿ A 0 °< a < 9 0 ° 
w3
Determinar: 3 sec*a + 2cscsa
13
D )7
E ) 13
E) 9
[¿>i,UMEai TTf6ftt8.»ET«/0.<BE,LTCtI4MA6nw.< A *] J t t f KítrrOHi.M. r u b i x o s )
A) 5 B) 10 C)16 D) 20
@ Si: seca - 2,6 A O e< a < 90a
E} 25 A ) 1 B ) 2 C ) | - D ) 3 E ) | -
O J?
Determinar: c (£ a + cs ca 
A )S D )3
B
@ De la figura : sena = ̂
Determinar: BCxAC
a ; í
B)3y¡3
C)8y¡2
D)10
E)1042
(Q) De la figura: tg$ = I Determinar: AB - BC
A ) 8 3 B
B )6
C )4
D )2
E )1
( f^ Determinar: sen 9 + eos 0
4
A)1
B) 1,2
C )l,3 
0)1,4 
E )l,6
@ De la figura; Determinar: esc a
A)y¡6
B )y fJ l 
Q yfÍ3 
D)y¡JS
A > T B > f C> f D > f E > f
a
Determinar : tg 0 + ctg 0 
A )1
B )2 5 a t
0 3
D ) 4
E)S
En un AABC»recto en "C ” , “A i" punto medio de 
BC • Determinar : SCfl<A£4C
A)yf Í0 B ) 34p*
3
De la figura: esc a = 2 .Determinar :B C *-A C
ti \ \ÍTÓ 
K' ) ~ W D ) f E ) 1
En un triángulo rectángulo la tangente de uno de 
sus ángulos águdoe es digual a 2,4. Determinar el 
perímetro de dicho triángulo si la hipotenusa mide 39 
cm.
A) 30 cm B) 60 cm O 90 cm D)120 cm E ) 160 cm
A) 4(1+43)
B )4 (4 -4 S )
C) 4 (1 -4 3 )
D)443
E )l$43
B
a
7iü° H
mC
rn|
@ SL- tg0 = 43; p z IC 
Determinar: sen*0 - c tg * 0
[Afinwwwniaá n m L A EXCICLOPEBíA W M 1
B>72 C)1 D ) f * > - h
@ De la Figura: tga - 1,3 .Determinar el área del 
cuadrado ABCD.
A ) 25 ® F---------------fF
B)100 *
C )8
D )36
E)16
@ De la ñgura ctga — 2 ; tg/3 = 0,7$
Determinar la medida de la altura relativa a AC
A ) 1,4 B
B )3
C )5 ,2
1
Con ayuda de la figura mostrada . 
Determinar:
A ) r
B> f
c > v
E = sena + cosa
D ) 12
E ) í -
Si se sabe que: sena = -4= , Determinar: t ga .
° > r e > t
A ) 1 B ) f C ) 2 
@ Si Be sabe que: csca. = 4Í0 . Del gráfico,
Determinar : M = cot2Q+ csc2B .
A ) 15
B)16
C)17
D)1S
E)23
un triángulo rectángulo ABC (C=90°)\ se 
cumple: secAsenA+secB.senB = 2 .
Determinar : Q = cscA.cscB
A)yf2 B )-j3 C)y¡6 D )2 E )3
@ Con los datos proporcionados en la figura, y 
sabiendo que: tg a = 3 , Determinar el valor de “6” .
A)2-JTd
B )3 4 Í0 S a
C )4 j l d
D) 5\f]0
E )6y [íd
En un triángulo rectángulo ABC (Ó = 90° ) . 
Simplifique : N - ^8en^
A ) a B ) a1
cco tC
C> ^ Ya“
D ) 1 E ) be
iSabiendo: ctg6 = 0,4 0 ” es un ángulo agudo).
Determinar : P — secO.cscd 
A) 2,9 B) 2,8 C)2,7 D ) 2,6 E)2,4
(@> En un triángulo rectángulo ACB (recto en "B ” ) 
Determinar : E ¡ s tonA + cotA
E> J
2secC + cscC 
A ) 1 B ) 2 C ) j D ) 3 
(^ D e te rm in a r el perímetro de un triángulo 
rectángulo ABC. Si el mayor lado mide 100 cm y el 
valor de la tangente trigonométrica de sus ángulos 
agudos es 0,76.
A) 100cm B) 180cm C)120cm D )240cm E) 480cm 
@ Determinar el área de un triángulo rectángulo 
ABC , s i : tan A = -jE y la hipotenusa mide 26 m .
A) 100 m* B) 120 m * C ) 140 m* D ) 260 ms B) 240 m* 
<Q) Determinar u tan9 ” , del gráfico, mostrado si
ABCD es un rectángulo y MD = 3AM = .
A )1
B ) 2
C) 3
D )4
E )5
Los lados de un triángulo rectángulo están en 
progresión aritmética. El coseno del mayor ángulo 
agudo de ese triángulo es:
A>°t B ) f C > T ° > T e )4s
Si el área de un triángulo rectángulo BAC (recto
[A lU iftIE J TM14M&OMETKICAS t>E AXGULOS AGUOOS A ] 1 .M |Q E onroH tjti, rtijn rñ o s )
en A ) es de 5m* y senB - 2senC . Determinar el 
perímetro del triángulo.
A)10m C )(l5 - 2yfí)m
D)Syfím E) (5 + 3 j í )m
(Q) Si x e y son los ángulos agudos de un triángulo 
rectángulo y además:
tanx + asee y _ coty + besesc Determinar : ~~ 
cotx tan y
A) 1 B) 2 C )3D) 4 E) 5
(Q) En el triángulo ABC ( c = 90° ) . Determinar 
“sen A ” , si se cumple que : 2cotA = 3cot B .
A )J L B )J ¿ Ü C ) M D ) ^ E )^ f -
@ Si: AL=a , P L=b . Determinar: E = 2 sen29 -1 .
a+b 
2A)
B ) — o
c>j f
o -6 
6 
q+b 
a - b
D)
E)
@ En un triángulo rectángulo ABC (É = 90° )
Simplificar: L = **n A + senC 
C0 8 Á + cosC
A) 1 B) tan A C) tan C D) sec A E) cscA
@ Si 0: ángulo agudo de un triángulo rectángulo y 
12si tand = — y su hipotenusa es 26. Determinar el 
área de dicho triángulo rectángulo.
A) 80 B) 100 C) 120 D) 140 E) 160
@ En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). 
Determinar tan—; si b - c = 2a
A)1 B ) í C)S D ) | E)3
En un triángulo rectángulo ABC (recto en A).
Simplifique: M = b jj^ - 
A) b B) a+6
cosB 
O O
- cosB 1 -cosC .- c j — = + c
J + cosC 
D )c E )b
@ De la figura , Determinar el valor de “x ”t si 
tanO = 0,75 •
A ) 15
B ) 20
C)30
D)40
E)60
Si se conoce que: sec 6 = , entonces determinar:
ctgO .
a \ UL
A ) 40 B )
11
40 C ) 40 D ) To E > J
“ 6 Mes un ángulo agudo y sen 0 = —
, X 2 9
Determinar : tan \90°-0 )
A ) 1120
d\ 13 n \ 17
B ) l o C )J o D ) — ' 20 E )
21
20
Conociendo los datos en la figura , y además: 
tg a — 2,4 . Determinar el valor de “a
A ) 22
B ) 23
C) 24
D ) 25
E )S S A í — „ ------ HC
@ ) Con ayuda de la figura, Determinar: W=tga+8eca
A )K
B )2K
Ci & +1
C) K - l
D )K 2
m K 2 - 1 
« 2 + 7
CasmDeuseGmimcTieADER. t. de ± m m agudos
2k
w 1 )0 6 )0 7̂ 8)C ÍO)B
w ñ f i. 15)6 m ÍT)A ff i 'c 10)11 m
b )E 04)1) m e
^ ^ f f íío M M ^ U f D Ío l
@ Si "a " es un ángulo agudo tal que:
y¡2
Cosa = — - .Calcular: Tgsa +1 
3
A) 1,5 B) 2,5 C)3,5 D) 4,5 E) 5,5
lÁ ñ Ü C M W B H llA a LA C T C ia O fB M A IM > 1
@ Si:0°< 0 < ttI2 donde:
■JsSer&=l Obtener el valor de:
M - \Í2Tg6 +3Coa*d 
A)1 B )2 C )3 D )4 E )5
A partir del gráfico,
3000
1000 ~B 
Calcular el valor de: E=Seca.Tga
AJJTo B j2 jjb C j3 j]d 
D) 4 Jj(j EJ5JJÓ 
@ S i "0 " es agudo tal que: 
Sen(90°- 0 ) *= 0,96
Obtener: E - CscO + CotO 
A) 3 BIS C) 7 D ) 1,5 E) 3,5 
En un triángulo rectángulo
0 En un triángulo rectángulo 
ABC ( recto en C) si la suma de sus 
catetos es "n" veces la hipotenusa.
Calcular E = (SenA + SenB)3 
A) ~B) n C) 2n D) n} E) 2n¡
@ En un triángulo rectángulo
ABC (B = 90° J ‘- se sabe que: 
SenA = 2senC Calcular:
1N = TgA ■+ SecA
A) c B) b + e
D ) a + e E) o - c
^ _ , TgA 9 Oh A partir del gráfico:
recto en B se cumple que: - •jj
Reducir:
N a (SecA + TgA) (SecA - TgA) + 4SecA 
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 
En un triángulo rectángulo 
ABC (rec to en B ) Reducir:
_ Sec3A - T g MA
C )a + b
P S en 'A + Sen' C
A) ab Bja*+b* C) a*-b*
D) 1 E )2
@1 En un triángulo rectángulo la 
secante de uno de sus ángulos 
agudos es2,6. Calcular el perímetro 
si la diferencia de sus lados mayor 
y menor es 24m.
A) 30 B) 60 C) 70
D) 90 E) 120
(@ En un triángulo rectángulo
ABC (recto en B) TgA =^- si su
4
perímetro es ( jo + 2-Jl7)m ■ 
Determinar la medida de su área. 
A) 4m! BJ 6m! C) 8m!
D) lOm1 E) 12m-
Calcular: M _ 9Csc2& -CotO
B j '- j C) f D) ^ E) f
(fifi En un triángulo rectángulo 
BAC se cumple que:
Jo
CosB CosC = — . Determinar la 
3
altura relativa a la hipotenusa, 
sabiendo que esta mide g j2 m •
A) Jim B) Jim C) 4m
D) Jsm E) Jim
@ En un triángulo ABC (C =90?)
Determina "SenA" si se cumple:
2CotA = SCtgB
A) J i s BJ JJd s C) JJd io
D) JJ io E) J i j
(73) A partir del gráfico ABCD es
un cuadrado. Calcular TgO
BA) 2
B) 3
C)4
D) 6
E )6
2a
0 A partir de la figura: Se tiene 
BC = 14m, CoaA = 0,96 ^
ctgA
A JI BJ 2 C) 4 D ) JJ E) Ji
(Q j En un triángulo rectángulo 
ABC (B = 90°) . reducir:
k = (b + cJT g — + (a + b J T g - 
2 2
Calcular el perímetro del triángulo 
rectángulo ABC.
A) 224m B) U2m C) 114m 
D) 214m E) 2l6m
(Q j Si: Tga = 3 , siendo na " un 
ángulo agudo . Reducir:
M = -JlO (Sena + Cosa)
A) 2 B) 4 CJ6 D ) 8 E) 12 
(Jjfi Del gráfico, calcular:
P = Cota - Tg0 
B
A‘
A) 3 B) ’1 C) •2 D) 1 B) 2 
@ En un triángulo rectángulo 
A B C (B = 9 0 ° ) se tiene que:
T gA = 2TgC 
Calcular: P = SenA senC 
A) 213 BJ Jy/3 CJ J¿J6
DJ Jota EJ Ji 16
A partir de la figura mostrada: 
Calcular: N = Tga + Tgi3
AJ 6 ojiaba
BJ 9 
CJ18 
DJ12 
EJ36
[A ca w g s TWfc DE ATQCL€S AGIVOS m jiU J » A ] 1<6 EDfTOULU, RUBLi’OS ]
OBJETIVO :
Identificar y analizar la relación entre las longitudes 
de loe lados de un triángulo rectángulo, cuyos ángulos 
agudos pueden ser 30°, 6045°, 375 y 53°.
INTRODUCCIÓN í
Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon 
tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en la 
construcción. Fueron ellos los que inventaron las 
cubiertas de dos aguas. Eso les permitió ensanchar 
mucho las naves de los templos y los grandes salones.
Descubrieron la manera de repartir el peso de la 
techumbre entre tres vigas, de tal manera que el 
trabajo que realizaba cada una al trabajar 
conjuntamente, era muy inferior que les 
correspondería 6Í se distribuyese entre las tres 
colocadas como vigas planas. Y según el trabqjo que 
hacen, así las nombraron: a las dos vigas que sostienen 
la techumbre las llamaron catetos, porque tienden a 
ir hada abajo (kazíemí); y a la viga de abajo la llamaron 
hipotenusa porque es la que lira (tenusa) por abajo 
(hipo) de las otras dos para que no se abran.
Los ángulos que miden 30° ; 45° y 600 son muy 
utilizados en Trigonometría. Podemos calcular los 
valores de las seis razones trigonométricas de estos 
ángulos notables sin necesidad de utilizar tablas o 
calculadoras. Para encontrar los valores de las razones 
trigonométricas del ángulo de 45°, consideremos un 
cuadrado cuyo lado tiene una longitud I .
\
\
A rW J^tommad* PitúforoM
x * - m i *
n rX **
E T ^ f l
Si trazamos bu diagonal tenemos que los ángulos 
agudos del triángulo rectángulo sombreado miden 45°.
Con el teorema de Pitágoras podemos encontrar la 
longitud de la hipotenusa.
Para encontrar los valores de las razones 
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°; 
consideramos un triángulo equilátero .
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
NOTABLES
Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo 
las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la 
proporción existente entre sus lados. Van a destacar 
los siguientes triángulos:
EV lar T K IÁ X G IE O RECTÁNGULO D E 45a 
LO S CATETOS 
T IE X E X L A ynsy iA LO X G iTTD
Consideremos un triángulo rectángulo con tales 
características y catetos con longitud igual a 1; 
llamemos “c ” a su hipotenusa.
(P itágoras)
Tal triángulo rectángulo se muestra en la siguiente 
figura. Con ayuda del diagrama podemos determinar 
con suma facilidad los valores de las razones 
trigonométricos para un ángulo de 45°.
* sen45° = - 4 . =
4 2 2
* 00845° = — = ~ -
* tg 45° = -j = i * sec 45° - —p = y¡2
[¿>nufi<MonETm>6~ I M LA BKCMCLOPBDMA J Í I Í1
E J E M P L O :
Lo* «n tguo r 
babilonios (1700 a.C.) 
fya calculaban la hipotenu$a> 
de un triángulo rectángulo i < 
isósceles multiplicando . / - A 
uno de sus catetos
porVT
k
2
la
De donde:
* sen 30° = ^
* * 30” = i = #
+ c o s 3 0 °= &
* Csec 30° = y = 2
m á ^ f i r o o s l E c z ^ c r a o s 
co jriiv firao s aproximados (a r; ssr)
Usualmente se utilizan triángulos rectángulos cuyos 
ángulos agud06 han sido aproximados. Asi por ejemplo, 
en el triángulo rectángulo de ladoB 3 f 4 y 5 . 
EJEM PLOS:
3k 3 20 \
■ i 5 3 \
4 15
AHORA CONSIDEREM OS E N TRIÁNG ULO 
EQ UILATERO /
Cuyos lados tienen una longitud igual a 2. Si bisecamos 
uno de sus ángulos, obtenemos un triángulo rectángulo 
que tiene una hipotenusa de longitud 2 y un cateto de 
longitud 1. El otro cateto tiene una longitud “o ”, cuyo 
valor podemos calcular con base en el teorema de 
Pitágoras como sigue:
se tiene que tan37°=3/4
(pero haciendo uso de una calculadora científica 
tendremos que :I\tn36°52>l l,63"=3/4, logrando así 
una mayor exactitud)
Así, considerando la aproximación calculemos los 
valoresde las razones trigonométricas de los ángulos 
de 3 7°y 53°, los cuales obviamente serán aproximados.
: 60°*- ■31°',\ \ ! « • :» , 45“
1 h
1 .
sen ' i
~2 \
t i 
( 2
3
S
4
5
t i
2
il eos
?. i
t i '
2 2
4
5
3
5
t i
2
C
¿ tan }
t¿ ,.v
t i
3 t i
3
4 \
4
i 1
1
r , *
; cot i• b
C-
t i
t i
3
4 /
3
' 3
4 1
r- * 
sec .
: i
2 t i
3 \
2
*
5
4
5
3 t i
f: A 
CSC 1
/
2 K2 t i
3
5
3
5
4 t i
fiftaazoiftBS rm fi. de axgvlos agudos xotabmjes a ] 12H [ EDiTOMUAfj RUBLVOSJ
OBSERVACIÓN
Una forma práctica para calcular las razones 
trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo es la 
siguiente: Partimos de un triángulo ABC (recto en
“C ”). Si queremos las razones trigonométricas de
entonces prolongamos el cateto CA hasta un punto 
tal que: AD=AB luego el triángulo DAB es
isósceles, <BDA = ~ .
* Por lo tanto: cot—= -
2 a
* Entonces:
, A c 6coi—=— + — => 
2 a a
coi—=csc A + cot A 
2
* Análogamente :
A a c - b
t o n — - = ------ - = --------
2 c + o a
ta n — =csc A ~ cot A 
2
* Consecuencia de lo concluido es:
c
2 5 a / 1*
7a
A 24a B A 7a B
* Es posible aproximar el ángulo agudo 6 en el 
siguiente triángulo rectángulo.
S i: — >10 
a
tt ' *Se aproximará as í:
S i : e a 57,3° b\
a
E JE M PLO :
23
Com o: — > 10 =► 
2 ~
23
=>0^4,98°
OTROS TRIÁNGULOS UTILIZADOS í
(*V* +
2 + J ía .B A t '/F)° B
o t¡ 2 — y¡2 a
A (V2 + l)a B A h+ '¡2 a B
8a
A 4a A 15a B
Datos para recordar
/ Trigonometría significa ‘medida de ángulo»’.
/ En un triángulo rectángulo lsó6cefe* (triángulo 45a - 45*), la 
hipotenusa m ide: a ^2.
En un triángulo rectángulo 30° - 60° el cateto mayor m ide {3 
vecea e l cateto m enor a * 3 /b
La razón trigonom étrica os la relación entre los lados del triángulo
y se expresa como una fracción. EJm.: ■ 4=ro oo
[aitwwojcimi' íM 9 r l a g ia o w w im j í i F I
Bloj 0]
! M í 0
PR O B LE M A 1 :
Calcular: P = tga60° + sec 45° x cae 45°
A) 1 B) 6 C) 6 D i 7 E ) 8 
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando loa valoree:
P={4s)* +{42){42)=3+2=5
RPTA : “B*
PR O B LE M A 8:
Calcular: Q=aens 30°+tan 37°
A ) 2 B i ^
m
C ) 1 D i 4 E i 0,3 
R E S O L U C IÓ N :
• Reemplazando valoree en la expresión :
PR O B LE M A 3 :
Calcular: A -
5 - 3tg 60° x ctg 60°
Ai 1 B )5 C i2 fi D i 3
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando los valores :
U)*+(.2 )* 1+4
Ei 4
A=
5 - M í ) 6 -3
=2,5
RPTA: "C‘
PR O B LE M A 4:
„ , . sen2 45°+ eos 60°
Evaluar: A = —
CSC 30°
L=(sec 53°+tan 53° ) eos 60°
(tan2 60° +5sen 37° ) sen 30° 
Calcular: L+A +T+A
Ai 5fi Bi 6,6 C) 7 D i 4 Ei 3 
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando valores en cada expresión :
'v í Y . i i i
2 2 ^ v 3 3 ) 2 3 2 2
< 2 ) + 2. - + ‘
T={J3)’ -5 * ^ x {= 3 
5 2
* Se pide : —+ ~ + 3 + — =6 ,5
4¿ Jí ¿
P R O B LE M A 5 : 
Hallar: "x + y "
A)1
B)2+4S
C) 4+2^3
D)43
E)5
R E S O L U C IÓ N : 
* Recordar que:
RPTA : “A*
R P T A i“C”
U-J3
* Se nota: a=2=> x =a4S =* x=2*j3
y = 2 a =*■ y = 4
* Luego: x +y=4+2j3
P R O B LE M A O :
Hallar: “x + y "
A) 6
B) 7
C)10
D) 8
E)12
R E S O L U C IÓ N :
* Recordar:
* Entonces:
k42=s42 => k=S 
x=k => x=5 
y=k y=5
* Se pide : x+y=5+5=10
P R O B LE M A 7:
Hallar: “x+y”
A ) 48
B)60
C)64
D)72
E)80
RPTA : "C ”
RPTA: “C’
fĝ MAZOMES T116 PE AXGVLQS AGUDOS MOTADLES A ] IS O MÚ&MTQKMAMj r u is/ñ o s ]
R E S O L U C IÓ N : 
* Recordar:
* Entonces:
4k =32 k =8 => x=5k => x=40 
=> y=3k => y -2 4
* Se pide : x+y=40+24=64
RPTA: “C”
PR O B LE M A 8:
Si es un ángulo agudo y ctgO =c8c60°.
Calcular : P***ec* e+tg*e ■
A) 7 B )8 C) 9 D ) 11 E) 12
R E S O L U C IÓ N :
* Del dato : ctge=cos60°
= > c t g 0 = i
v2
•Sepide: J » = ( ^ ) + ( | J = 9
4x\ 14x -1 8 => 20 = 14x - 3x
=> x = -
20
11
PR O B LE M A 10:
Del gráfico mostrado , calcular “tgP
C>í
D ) 3
E ) 2
R E S O L U C IÓ N :
* Utilizando adecuadamente el ángulo de 37°.
A
* Como: AB=3k B 2k D 2k C
A B C
’BC-4k => BD=DC=2k
ABD 3k <«/>=§
RPTA : “C'
RPTA: “C”
PR O B LE M A 9:
Hallar “x ” de la ecuación:
4xaen2 60°+aec2 45°=7x8ec60° - 9tg45° x esc 30°
A ) 20 B ) 2 C ) 11 ^ 7 7 E>
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando los valores de las R.T. de los ángulos 
notables:
4x {^y ) + (y f2 )2 =7 x (2 )~ 9 (1 )(2 )
P R O B LE M A 11:
Del gráfico, calcular: "tgy
B>T7
C> J
B
D )
i3
8
E ) 5
R E S O L U C IÓ N :
* Se observa que el ángulo agudo ‘V M no está en un 
triángulo rectángulo. En estos típicos problemas 
tenemos que hacer un trazo .
* La altura b H ± AC
* Recordar:
R P T A : “D ”
31 H 12
la n u flo jw M B n m u 12*11 l a jB w a c f m a < t u ]
=> 5k =15 => k =3 
•Luego : BH=3h => BH=9
HC=4k => HC=12 => AH=31
•Del t±AHB=>tgy=—
RPTA: "A*
PRO B LEM A 12:
En el gráfico mostrado, hallar " UxnQn.
R E S O L U C IÓ N :
• Construyendo un triángulo rectángulo notable ,
PR O B LE M A 13 :
En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo 
agudo es igual a la cotangente al cuadrado de su 
complemento. Calcule la suma del seno y coseno de 
dicho ángulo.
R E S O L U C IÓ N :
Grafícando
aragudo 
Complemento de a : 90° - a
Del enunciado tana = co t* (9 0 ° -a )
Por propiedad de complementarios
cottOff - a)=tana => tana=tan*a =>0=tan*a- tana
Factorizando Q=tana(tana-1 ) Igualando a cero
tana=0vtana=;a=45 =>8en45° + co845°
2 2
PR O B LE M A 14:
En la figura adjunta, se sabe que:
AB=18m, <CAD=¡5°y el <CBD =30°, calcular la 
longitud “CD”.
A) 6m
B) 7
C)8
D)9
E)5
R E S O L U C IÓ N :
• Podemos observar que el <■ ADB resulta: 25°, luego 
el triángulo ABD resulta ser isósceles, por lo tanto : 
BD=AB=18m, en el triángulo BCD, se tiene:
D
CD• Luego : —— =«?n 30°, CD-BD* 
BD M f l -
RPTA: “D”
PR O B LE M A 15:
En la figura adjunta, se sabe que : AJ3=J2m,
¿CAD—300 y el ¿CBD=4Sa. Calcular la longitud 
uCDn. D
A)17'm
B)16
C )I6 ,8
D) 16,2
E) 16,4
R E S O L U C IÓ N :
• Grafícando:
A 12 B x C
* Como en el ĉ bcd es isósceles : BC=DC=x
• En el bs. A C D , por definición :
cot30° => ACDC 4 3 -
12 + x ■ x=16,4m
RPTA : “E "
f ‘Jt«AJW BES l a f c PC AXtíC LSS .IG LW 9S M T A M íE S A j 189 E P ITO M A !, RUBIGOS]
PR O B LE M A 16:
En un triángulo ABC equilátero mostrado. Calcular
Bw .
B > f
C) sJs5
D)3
E)y¡3
R E S O L U C IÓ N :
* ^ADE notable de 37° y 53°, entonces:
AD=16a a ED=12a
* Por ser un cuadrado: AD=CD, entonces EC=4a.
* ^ F C E notable de 37° y 53a, entonces : CE=4a,
CF=3a, entonces: BF=13a.
* kxA B F - tan x= 13a A 13— —=> tanx=~~— 
16a 16
RPTA: “C”
PR O B LE M A 18 :
Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos
. „ , , , „ „ A .. . radios son *V” y "3 r " respectivamente . Calcular el
• Como el ángulo vr no está en un triángulo . , e , . , ,, , , , , , ° ángulo que forma la recta que pasa por los centros de
rectángulo, entonces debemos nacer un trazo, la altura ,__,_____ , , . ̂ . .^ ambos círculos con una de las tangentes extenores a
del punto D ± A B . ambos círculos.
A) 45° B) 60° C) 30° 
R E S O L U C IÓ N :
* Grañcando :
D )ltP E)B3?
A B D = > tg i f = -^ -= > tg y =
RPTA:
PRO B LEM A 17:
Si ABCD es un cuadrado, calcular utan x ”.
<
<
E)4
R E S O L U C IÓ N :
* Utilizando el ángulo de 37°:
B 13a
‘C " * Se traza :02Q//AC, en el
* sena= => senar=-r => a=30°
Ofin 4r 2
RPTA: “C”
P R O B LE M A 10:
En un rectángulo ABCD, se traza DH perpendicular 
a AC.SiAD=2AB y m <H A D =60\ baile la 
cotangente del ángulo BHA.
R E S O L U C IÓ N :
16a
D
Se pide coto Trazamos
nri
BP lA H = > co t0 = — ,
BP . ( I )
Como AD=2AB Sea AB=2K =>AD = 4K 
En el & A P B : BP = K y A P = K Í̂S
[ a i m w w u f i n i J M g i c w a á w i m l ü i l
* \ 2 ) 2 r * K 2 ) 2 2 2
Enel^.ABD .*A ff = 2K ^ p # = 2 K - K 4 3
o ir . j f /o
Reemplazando en f l j cof0= —---- ^ cotO = 2 -J s
A
PR O B LE M A 20 :
Dado el cuadrado ABCD, determine c/£0, además: Una semicircunferencia de radio (2+Vs)cm se divide
en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco
RPTA: “A*
P R O B LE M A 22 :
4EC=AD.
A) 3
B)1
c> i
D)í
E)2
R E S O L U C IÓ N:
* Utilizando los datos adecuadamente , se obtendrá :
comprendido entre la quinta y décima división sobre 
el diámetro horizontal en centímetros .
C ) 1B > i E ) 4
R E S O L U C IÓ N :
* Como la semicircunferencia se divide en 30 partes
iguales; entonces, cada ángulo central mide: 180*
30
* Hasta la quinta división, el ángulo central mide 30°. 
•Hasta la décima división, el ángulo central mide 60°.
* Graficamos el arco comprendido entre la quinta y 
décima división (sólo por facilidad).
* Observar en la figura que : x=OQ-OP.
O Q =Rcoa30°=^^-{ OP=Rcoé60°= —
2 2
* Luego del triángulo sombreado se aprecia que :
4a
. * * « = - = 2
R t/3 R R (4s -1 )
RPTA : “E '
PR O B LE M A 21 :
De la figura mostrada ABCD es un rectángulo, AD es * por dafa- R = j3+1 
diámetro de la semicircunferencia inscrita, "O n punto 
medio de AD. Halle: m<EOD.
A ) 53°
B)37°
C)30°
D ) 60 0
E)4S°
•R E S O L U C IÓ N :
* Utilizando los ángulos en el gráfico:
w
P * Q
RPTA
•Del £±ACD.
P R O B L E M A 23 : 
Del gráfico, calcular
A) 43
B)1
C)2y¡2
D )2 j3
E)4
R E S O L U C IÓ N : 
* Graficando :
B 543 * 643 C
TUIG, DE ATtlM S .IHUOS JW H H B A *] W |Q EDITORMAMi RÍUtlÁOS
I ) Trazamos la altura AH (observe)
W Como: m<ABC=150° => m<ABH=30° 
b±AHB: notable => AB=10 => A H =5; HB=ó43
104H117) ^ AH C: cot&=
PR O B LE M A 24 :
■■243
RPTA: "Z>’
En la figura mostrada, si MN=NB,tan (a ) -0,75, 
calcule la medida del ángulo x.
A)53°
R E SO L U C IÓ N :
Dato: iana=—=> a =37°
E)15°
 8 2 _
PR O B LE M A 2 5 :
Del gráfico, calcular ucg ta ’.
A)1
B) 42 1042,
RPTA : uB '
A 22
R E S O L U C IÓ N :
* El ángulo agudo “ a ” debe estar dentro de un 
triángulo rectángulo, por lo tanto se traza una altura
l ) Trazamos : BH XAC 
W L , AHB: notable (45
AB=1042 => AH=HB=10 
U I) Como : AH=10 => HC=12
^ BH C .cata - — - —
10 5
PR O B LE M A 26 :
Calcular el valor de ;
RPTA : “C '
N*
sen9 30o+ Íc ic * 60°+ — *ec3 60* 
________|__________36________
ctg4 30°+seo* 46°+3tg 45°
B > T2
C ) ±
12
D ) l -
12 B>f l
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando sus valores , resultará :
. . ñ
(43)* + {4 2 )* +3U )
r-+ M9 9
9 + 2+3
¡49 7
=, iVJ Í » as.fi_ai-L
14 14 12
RPTA: “C "
PR O B LE M A 2 7 :
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B ) se 
construye exteriormente el cuadrado ACDE. Calcular 
la cotangente del ángulo BEA, si además m<ACB 
mide 30®.
A)2+4s m4+¡3 q 4s QU+43 &4-J3
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando ^
* En el ^ E H B ; ctg0=4n+n^ ctg0=4+43
n
RPTA: “B "
PR O B LE M A 28:
Si AOB es un sector circular, F es centro de la 
circunferencia, D y E son puntos de tangencia, halle 
tan(9).
(¿k TRIGONOMETRIA* IM I LA EBCMCJLOrEBiA 9 0 1 » ]
AhÍ2+¿§ 
Dh¡3-242
R E S O L U C IÓ N :
Bb¡4-242
Eb¡2+M
Chls+24¿
Como: 0 = í? l^ t a n 0 = 4 2 - l 
2
ta n 0 = y j( 'j2 - 1) 2 => ta n 0 = 'j3 -2 y ¡2
RPTA : “D ’
PR O B LE M A 39 :
0=b2+a b -a 2 => +a2 ; 0=-^s-+—-2
o a
Como:—
a
0= aengB + senB - i
Luego: senB = dado que:
así que aenB=
B e (0° : 90°) => senB > 0 
4 5 -1 . _
Se nos da: íaju:=sen*B+
aensB - 
45-1
2
+1+43
Reemplazamos lo obtenido:
3-45 4 s -i +1+43 =>tanx=2+43
RPTA: "E*
En un triángulo rectángulo BAC,(AB=c ; AC=b; 
BC=a) ,el lado c es media proporcional entre los otros 
dos lados además 6e cumple:
tan(x)=sens(B )+ ^ ~ í - + l +431 calcule la medida 
del ángulo * en radianes.
A )k I4 B )x l 10 C )x ! 12 D)3x/10 E )5x!12 
R E S O L U C IÓ N :
tanxs
2 2
^ x = 7 5 ° o — rad 
12
P R O B LE M A 30 :
Un niño, haciendo centro (fijo) en su mano, gira una 
piedra atada a una cuerda inextensible y de longitud 
igual a 1 m, tal como muestra la figura. Si para un 
tiempo igual a cero la piedra está a su mínima altura, 
que es de 30 cm del suelo, calcule la altura de la piedra 
transcurridos 2 eegundos (asumir que el giro de la 
piedra se realiza en un mismo plano vertical y además, 
la velocidad angular constante es x!3 rad/s).
A )l¿S m
B) 2 ,15m
C)l,8 m
D)l,5 m
E) 2m.
R E S O L U C IÓ N :
* El fenómeno representa un movimiento circular que 
la analizamos de acuerdo a una vista frontal:
Condición: C = j ab Pero porel teorema de pitágoras: 
a2=b2+o2 =>as=b2+ab
[g S lü f tT E S TtUGm D E AXGCLOS A fitP O S 2SOT¿BLES A ] 1 3 6 |[ K O iT O K tA lj R U B títO S )
Datos:
• r= 1 m =100 cm (longitud de la cuerda)
• <D=^rad¡8 (velocidad angular)
o
• Para t=0, la piedra está en A a una altura de
30 cm; AH=30 cm 
Para t=2 s, la piedra está en B, donde :
a=a)*t- ^ radia j(2 a)
entonces, a= ^ ^ = 220°
• Se forma el triángulo rectángulo notable
BON, en el cual ON=50 cm
• Finalmente
BP=ON+OA+AH 
BP=50 cm+ 100 cm+30 cm 
=> BP=180 cm = lf8 m
PR O B LE M A 31 :
Del gráfico mostrado, calcule tan8 (Orad +15°).
A}2
B)l¡2
C)1I3 n¡3
D)2$Í2
E )l
RPTA ¡ “C*
0
Por deñnición de RT para un ángulo agudo:
- cateto opuestosenO- — —— —-------
hiponusa
Reemplazamos del triángulo:
^ 0 30 n 30sena—-----= — => sena——
X X 1Z
resolviendo es solución, pues : 
o
5 Í “ ]* v6y 1 sen—= v ■ = —
Nos piden:
,3
=tan8(30° + 15°)=l
tan8( Orad +15°)= tan3 ( —rad + 15°)
6
R P T A :
n
@ ) Determinar: 2cos60°+tg45°
A) 3 B) 2 C )4 D) 8 E)-3
Determinar: sen245°+sen 30°
A ) 1 B ) 4 C) 42 D ) 2 E ) 4 
4
^ Determinar : eos4 45° - —
A JI B) 0 0 2 D ) -1 E) 4
Determinar: **** - tg 30*
Jetg 53°
A ) 4 B ) 2 C )8 D ) JÓ E ) 1
@ ) Determinar: esc 30°+ sec 60°+ctg 45°
A) 1 B) 4 0 5 D ) 6 E) 8
@ ) Determinar:
sen 37° eos 37° tg 37° ctg 37° sec 37° esc 37°
A ) 2 B ) 1 C )8 D ) 12 E )
16
@ ) Determinar “x ” en :
[ f t w w w w m n i i ' T W X . LA EM XCLOrEBÍA J »IF )
@ Determinar : tg75°
A)4é-2 B)j3+2 Q jS - l 0)43-3 0)3-43 
(Q ) Determinar : tgff ^
A)1
B)2
C)3
« í
E)í¡
0 Determinar : tga
C ) f
D )
E)
£
5
41
(Q ) Determinar: tga
3_
4
37°
(ÍJ) Determinar aproximadamente: tg 
A ) 2 B ) 1 C ) i - D ) L E )
¿ O
53°
1_
5
D ) 2 B ) 4B ) 3
(T5¡ Determinar tgO, en :
A> i
°> 7
D)1
E )l
@ En el problema anterior, calcular : sena. 
8 7 _ 5 _ 9
lm mlm '" lm " lm
©D eterm inar:
A ) 4 B ) 2 C )8 D ) 1 E ) l 2
@Determ Ínar: fjlOtg 53° - 4ctg 37°
Q m • i
Determinar: 3sen37°+4cos37° 
A) 1 B) 2 C )3 D ) 4
<Q) Determinar : ctgO, en:
A )2 - l2
B ) l2 -1 
0 2 4 2 -1 
D) 242+1
E )8
Evaluar: C=3tans30o+sect 4 6 °-2 co »~
3
(Q Determinar aproximadamente: ctg- A) 1 B) 2 0 3 D ) 4 E) 6
[a ¿ u » ib » tuig. oe agcdos m .m / s A j 188 nPMTORiAi, nvrtrtios ]
(Q)Determinar :
C=(coe45°+coe6(P+2tan370)aec450 
A) 3 B) 4 C)66 D ) 7 E) NJL
Determinar:
£=(sen60°csc 4F)+(aen53Pcot6ff‘)
A) — © í * ®4 8 16 D)
1542
8 El
742
Siendo: tan cr=sen 60a 
Determinar: C-7$en*a+3cot* a 
A) 1 B) 3 0 6 D ) 7
(0 ) Siendo: cot&=coe37° 
Determinar: E -(cs c*Q -Í)* ta n 9 
A) 02 B) 0,4 O 0,6 D) 0,8
sen 60°+ eos 30*
sen 46°+ eos 45°
Determinar: E=
A) & B ) ^ - O ^ D) ~ -
E )9
B) 0,96
@1 Determinar: £ = 
A ) 5
cot* 30° + esc2 46°
esc 30°
■ > í «” í
@> Evaluar: R =2 sen 30°+3 tan* 60°+ sec* —
4
A) 2 B) 4 0 6 D )8 E)12
@ i Determinar: c= 3aec‘ -3ooM 5°
2 eos3 45°+3 tan53°
A) 12 B) 12 0 1,4 D) 1,5 El 1,6
@ Determinar ux “ en la igualdad :
xtan37a — csc*30a=4tans 45*+x sen*30°
A) 2 B) 4 0 8 D) 16 E) 32
@ Siendo: sen&=~cos60° "3” es agudo,
Determinar: tan*6.
Al 5 B llilO 01/16
M í t o f * « 0 W í
*> J B ) L 0 )2 D i 3
A10 B) 1 0 2 D ) - l E1 -2
Si :seca=2tg45°, Determinar: senatga. 
A) 1 B) 12 0 1,3 D ) 1,4 El 12
Reducir: + 2 tg 4 ^
tg30° coa 30° ctg46°
Al 2 B) 3 0 4 DI 6 El 6
< Determinar la altura del árbol:
A)5m
B )6
C)7
D )8
E )9
2m
@ »A1 calcular : 2tg45° - 3sen230°+5 coa2 60° , se 
obtiene:
" ’t CJ 7 7 Bl í
Si: E(x)=tgs 2x4-2 esc x+4stg x , luego al calcular 
E(30°) se obtiene:
A) 1+43 B l 2+43 C )5 D I 8 E ) 3+243
@ Si : 37xtg*30° - Sxaec* 30°=7tg45°+5aec60o
Calcular: P=tg* 15x+ctg*lOx
Al 2 Bl 3 0 4 DI 5 El 6
@ Calcular ux ” a partir de :
xtg23tf> - 2x*tg46°.c9C* 30°+ f sen 60°.sec 3^=1 tg*60
3 3
« - i
E ) . lA) 6 B ) 2 C ) - 2
@ Del triángulo ABC (B=90°). Calcular: AC.
A ) 4
B ) 6
O S / | 12
D ) 10
E ) 12
(Q ) Del gráfico, calcular “tgO
coa 30°
**/ Ví *
B )0,3 A
< *
1 0 0 ,4
/ íS 8
E ) - D)0,6 A * ' \
@ Determinar: E=sen 30° +2tg 47° - esc 40° E)0,8
|AHf6wojgnm<r T 2 a » T LA ENCICLOPEDIA M01» ]
( © Del gráfico, hallar: “sen 6” .
A ) 0,1 B ) 0 ,2 C ) 0 ,3 D ) 0 ,4 E ) 0,5 
© Si: ABCD es un cuadrado, calcular “tg x ” :
A )
13
IB
1 7 
16
E ) 15
13
@ ._8ec37°+tan37°Calcular el valor de : A ------- _ot), .—
s e c 53 + t a n 5 3
‘ > 1 -
A ) 1 B ) 2 
© ) Calcular el valor de :
U=(9en*45°+tan* 60°)(8ec60°+4tan37°)
A) 17 B) IB C) 15J¡ D) 17,B E) 19JB
© Calcular el valor de: 
D -Í2 »en t 60<>+8eni 45o)(43cot30o+3tanB3®)
A) 10 B) 12 C) 9 D) 16 E) 14
© E va lu a r : J=*ec80° .tan60°+coa2 45°
A) I f i B) 2 C) 2fi D) 3 E) 3¿ 
© ) Ayudándonos de la figura mostrada, calcular el
valor de “tga” .
c> l
« 7
• í t— Centro
0 Con la ayuda de la figura mostrada, calcular: 
tga, AB=BC=AC
A) sen 30®
B) sec 30°
C) eos 30°
D) esc 30°
E) tg 30®
B
© En la figura mostrada AG=2GD; m<ABC=60°; 
C D -B D . Calcular el valor numérico de tg9.
B )3 ^ 
o
C )3 i ro
(Sí) Calcular : J - t a n — » s e n — x c o t — 
^ 4 3 6
A) 1 B )2 C) 1,5
*
Calcular : J = ¿
D) 2fi E) 3
sen* -i-sen2 —
coat *
• ' í
A ) 1
Del gráfico, calcular “tanfi ”.
« f
c> í
D )i
* 5
' Con ayuda del gráfico, donde ABCD es un 
cuadrado. Hallar el valor de “tga” .
A , í 
2
B )*
3
C)1
D )2
E )9
Del gráfico, calcular utg{jP, si ABCD es un
Tmfc Jg ATSCXO» | «P 0 5 XOT.UtLES <6 ] 140 ( EDTTÜRMAL, RUBIGOS ]
cuadrado.
A)2
B)S D ) j
Q4 » 7t
JS^7°
M E
B
- I « f
a m w l>E H PKJHKRj 1 P ftH T iC i]
ÍWfflJE G!IZ3DKI1)I3SQ^CBI3I2 
aass!D3.03iDD‘OTHLL):iiinaDn 
3I£H)^:2ES]!3ni^!:EECrG]35
s g o n D io a
a ir e s DE LA SEÜPXDA PRACTICA)
r»wii:i3/i\ ¡SXofíSJD^iuvivsWM 
¡67) Calcular:
B^j6.tgGO°Mn4S°-5*m3rr
AJO B )J C )2
D ) ' 2 B ) - ¡
Calcular " i ” , si:
Sjr.aecSS® - scc60° =*+6/^45°
A) 0 B/ 1 C> 2
z » j e>2
@ Calcular “x ” , si:
2 x .(trc4 6 * - « c tj< 5 *)**re0* = 4 coa6 0 * - *
Al 0 B/ I CJ 2
f lM B ) - 2
Calcular:
B = ylJmc60‘ +2eig4Bt (•e rt5 0 s+ 6 c e ff« a ° j
A> V2 B> y¡3 C )2
D ) 3 B) 2>¡3
¡ Del gráfico, calcular tg6.
A
(Q ) Determinar el valor de:
B m8See60‘ + iS o it 4B '*10SaiS7m-7 J f* 6 0 *
A) 10 B) 12 O 18 D) 20 E) 24 
@ Reducir:
U = SOCotÓO" - IIX^c90’ + Tg46‘ *ÍS ee44 r
AJO B) 1 0 -1 D )-2 Ej-3 
Determinar en:
S * c * W - T g ’ ss" | aenSO' 
Sen*97° + ^ n ’ S T x
A) 1/2 B) 1/3
D) 1/4 E) 1112
Determinar AB
• = « e o 
01/6
S i: A P = 10y¡2 = P C = 24
A) 14
B)22 
024 
D)20 
EJ28
En la figura, obtener:
k = CtgO - C/g30c
Determinar "Tga ' 
B
A) 3/4 
D) 3/2
B) 3/8 
E) 3/5
0 2
i A partir del gráfico, obtener: 
Tanx 4- Cotx Si: BCI/AD
ÍL C
M u M ije
p tó i l j ir i i je M jD W lw U ttlJ IJ f
w m sjw da)*
A) 3/10 B) y O j 0 )9 E ) f 
l@ En la figura, calcular: £ =
A) 2/7 B) 3/7
O) 17/16 E) 7/9
O 7/16
A partir del gráfico. Calcular: 
Tg*(40 + 17°)
2Sec60°
@ Si: CD = 2AD = 20, obtener: 
3CotO
( f j ) De la figura. Calcular: 3CoW 
B
A) 24 B) 28 0 26 0 )3 2 E) 38 
(Q ) De la figura. Calcular: TgO
Q
A O ~ B
A) 4 B) 2 O I 0 )3 E) 6
[ a l t W M i W B I M U T » m m jw c »a ««p u m i » ]
@ Calcular "x "
A) 1I3B) 2/6C) 1/15D) 2I1SE) 4(15 
(^Determinar ntga"
Al 4 ^+1 B )4 f2 C JS fi+ l
D )2 (j2 + 1 ) E ) 4 +2
@ Sú BC = 4, obtener el valor de: 
CtgQ — ctg4S°
A)1 B )2 C) 3 D) E) 2 &
@ Calcular el área del triángulo 
ABC. Si: AC ~ lOOcm.
B C
A) 9Jj B) 12C) 15 D) 15JIE) 12 J}
Calcular rTg9"
A)2100cm‘ BlQSOcm*C)lOOOcm-'
D)2000cm-’ E)1150cm-’
@ D e l gráfico; calcular ”<gdRsi 
ABCD es un cuadrado.
A14 B) 1/4 C) 1(2 DI 3/2 El 2(3
(Q ) Del gráfico, calcular " tg<f>’ si 
el área del triángulo PM.C es igual 
a la del triángulo ABC.
P
fmmmmmB
<$>?) En un sector circular de radio 
36cm el ángulo central mide 20*. 
¿Cuánto mide su arco?
A) B) 18 jCJ ^ D I 9yradE) ^
Determinar la longitud de la 
circunferencia pequeña inscrita en 
el cuadrante. AOB. Si: OA = OB
- -ñ + 1
Al 7T B}-n 12 C1 2 * D) 2 f i i r El 3n 
(0 ) Del grófico.Determina: « r »
En la figura AB = 18, calcular 
BD. D
i Se tiene un sector circular de 
arco igual a lOOm. Si el radio se 
duplica y el ángulo central se reduce 
a su mitad.¿Cuál es la longitud del 
arco del nuevo sector?
A}50m B)70m CllOOm
D)25m El 200m
@ C alcu la r el perímetro de la
Al y B) f C) y DI f El ~
A partir del gráfico: S = área
Calcular: ^ — .
€s
A) 1 B) 2 C) 3 DI 4 El 6 
@ Del gráfico mostrado, obtener 
*L* M
n o fc BK X IB C U fS J C tP > S .W T .W E S A ] j j t f EPITOMA!. RÜBEtrOS]
A) 100 B) 80 C) 120 D) 60 E) 40 
@ ) Si se tiene que "Q "es agudo y 
además: Tga ~ SCtga
Calcular: £ = Sen + Cosa.
A) 1/4 B) 112 C) 8/4 D) 1 E) 5/4 
fñ^ABCD es un cuadrado y 
DE = 3AD 
B
A) 1/7 B) 7 C) 1/2 D) 1/8 E) 8
(0 ) Del gráfico. Calcular: 
E s (TgB + C tgB )*
A )7 / 0 0 B ) f c )™ D ) f E )^
( 0 A partir del gráfico. Obtener: 
x
A) 2 £ B) 2 C )2 jj E) £
@ Calcular: CtgB
D
C
5
(01 Del gráfico: 
B
A ) % m % C )3 / 7 D )% E )% 
( 0 Reducir:
E = 26Cob63°+ 36Tg37°+ 4Sens60° 
A) 20 B) 26 C) 86 D) 48 E) 88
( 0 En la figura: Tg<x= jj.
A ) 6/4 B) 8/8 C) 6/8 D) 4/8 E) 8/8 
( 0 Del gráfico. Determinar Ctgn
A) IB B) 1,6 C) 1,4 D ) IB B) 1,1 qUe: *37
A) 1 B) 2 C )3 D) 4 E) 8 
0 Calcular:
P = SecB + (Cotx)Tgx .Sabiendo
Cotx *-£r y Cote - (Tgx)Tt'.
Además consideramr =V2 +V3 
A ) 2tt B) 8n C ) ir D ) 4 * E) Bn 
( 0 A partir del gráfico. Calcular el 
valor de: E = r ( J lO -1 )
Determinar: ~
A) 3/8 B) 6/3 C) S- D )\ E) *-
( 0 Calcular " TgB" del gráfico, si 
BC = 30.
B
A) 10 B) 6 C )8 D)20 E) Jíq
( 0 A partir del gráfico obtener 
aproximadamente: Tgx
EL SISTEMA 
DEPOSICION AM IENTO GLOBAL 
(Global Poshionat System, GPS), EL 
SISTEMA CARTESIANO ESPACIAL
El GPS es un sistema espacial de radio 
navegación compuesto por 24 satélites 
que circunvalan la Tierra a una 
altura aproximada de 17 600 km y 
una red de estaciones terrestres de 
recepción y transmisión.
&»t«A <M 'm xw vi •»'
El servicio básico de GPS 
proporciona un error no mayor de 
100 metros en la determinación de 
la posición, y puede reducirse en 
determinados casos hasta un 
mínimo de 10 a 15 metros.
LA ENCICLOPEDIA M61M }
P R O P IE D A D E S ! D É j| LÁSJ RAZONES] 
TR IG O N O M ETR IC A S
-■ -.*■ - A . CAPITULO
' ' i É f t f e r o
Determinar equivalentes entre las razones 
trigonométricas de un ángulo agudo.
E 3 wtwophcc/ów|
A SÍ NACIÓ LA TRIGONOMETRÍA..
Desde los primitivos babilonios; la trigonometría era 
una auxiliar de la agrimensura, la astronomía y la 
navegación.
Los griegos relacionaban las medidas angulares con las 
de longitud, midiendo la cuerda del arco; esa es quizá la 
forma más sencilla y natural. Llamaron trigonometría de 
la función cuerda a esa medida, siendo el astrónomo 
Hiparco quien utilizó las relaciones trigonométricas 
alrededor del 140 a. C., para encontrar distancias en línea 
recta a través de la bóveda celeste, y Tolomeo (siglo XI 
.<LC.) sus más grandes cultivadores.
Pero en loe siglos V I y X de nuestra era, los astrónomos 
indios empezaron a usar no ya la cuerda del arco, sino 
la mitad de la cuerda del arco doble, que es la función 
que nosotros llamamos seno.
Los árabes adoptaron esto, que simplificó mucho las 
fórmulas trigonométricas; las perfeccionaron y luego las 
transmitieron a Europa juntamente con el álgebra a partir 
del siglo XII. Tuvo como centro de apogeo a España 
(Córdova, Toledo y Barcelona).
En los cursos preparatorios para los modernos ingenieros 
se desarrollan programas intensivos de física, química y 
matemática. En ellos los alumnos resuelven ecuaciones 
que, hasta no hace muchos años sólo un puñado de 
matemáticos podía hacer.
P R O P IE D A D E S D E L A S 
R A Z O N E S T R IG O N O M É T R IC A S
* Tenemos el bv. A RC. como referencia:
Al comparar dedos en dos los lados de un triángulo, 
algunas razones resultan recíprocas; esto es: Dos 
razones son recíprocas si el numerador de una es el 
denominador de la otra y viceversa.
R A Z O N E S R E C ÍP R O C A S
Son aquellas parejas de Razones Trigonométricas 
cuyos valores numéricos son inversos.
EJEM PLO :
senA =— cae A =—
al invertir se obtiene
* Ahora veamos que sucede si multiplicamos estos 
valores: . .
sen A x esc A = —r x — =1 
/ o
* Notamos que todo se elimina y el resultado es i, 
análogamente se efectúa con coa y sec ; tg y ctg.
1
O
sen A esc A = 1 
eos Asee A —l 
tgA ctgA ■ 1
sen A = ■
eos A =
tgA =
esc A 
1
sec A 
1
ctg A
=> Esto sólo se cumple para ángulos iguales. 
EJEMPLOS :
• Determinar “x ” en cada caso :
,ángulos iguale»
I) Si: »en4x.csc49° -1 =$4x=48° x=12°
ánguloa iguales
II ) Si: coa(60° - 5x).aecx =1 ̂ 60° - Sx =x 
=> 60°=6x => x=10°
,ánguloa iguales
[A n io fiB M jes ag las m a g a r a w w w ffin ic t fjT t f |[ ED ITO R IAL RÜBEQOS)
3 4 1TV) S i:*e»3=—=>cse3=—/eoa3=—=»#ec3=3 
* o 5
>̂ 5 3 3 2coi3=— ^íon3=-7=-; c#e3=—=> ten3=— 
3 JE 2 8
V) Si:
sen 0. esc ̂ * i
eos 3 . sec ̂ = J => 3 »#
tgG.ctg+~l
R A Z O N E S T R IG O N O M É T R IC A S
b e An g u l o s
C O M P U m E T A R IO S
B
L J
fo/ores iguales
/ !_& ^ , _ asen9=—=co8a ; co8ti=—=8ena
c c
ta n & = ~ = co ta ; cot 0 = ^ = tan a 
a b
c csec 9 = — = cs ca ; esc £h=—= sec a 
a b
3e llaman co-razones trigonométricas una de !a otra 
respectivamente.
Ejemplos :
* sen40°=co850° * sec2(f—csc7€P
* tan8(r=cotl(r * cotT=tan8T
* cos62°=sen286 * C9c24°=sec€6°
P R O P IE D A D D E L A S C O -R A Z O N E S
Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo, son 
respectivamente iguales a las co-razones 
trigonométricas de su complemento.
^^.send =am(9Q° • $)
\ RT(6) =Co -R T (90°-6 ) | tg* =ctg(90° - $)
SSs,§ecfl =ac(90° - $)
NOTA
* Dos ángulos agudos se llaman complementarios si 
su suma es un ángulo recto.
* En la figura que se muestra :
0y ar. Son ángulos complementarios (9 + a = 90°)
hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto “6 ” como 
9 y el ángulo opuesto a] cateto " a " como a en 
consecuencia:
sen A =— v coeB =— además: A +B =90° c e
Si: RT(e) =CoüT(<P) w+\ 8+4=90° I
t ( --------------
ángulos complementarios 
E J E M P L O S t
*Sen35° = Cos{90° - 35°) = Cos55°
*Tan\— \ = C o t í - - — ] = Cot —
\ 6 ) [2 5 ) 10
*08052° = Sec38°
E J E R C IC IO S :
* Hallar “x ” en cada caso :
@ ) Si: sen (x+2°) = eos {x -2 ° )^ > x+2°+x - 2°=90* 
2x=90° => x=45°
@ S i: tg 3x=cig 3x => 3x+3x=90°
=> 6x=90° => r=15°
wfc Si: sec{4x-20°)=csc7x=> 4x+20° +7x=90°
El seno de un ángulo agudo es igual al coseno del ángulo 
complementario; la tangente de un ángulo agudo es 
igual a la cotangente del ángulo complementario, la 
secante de un ángulo agudo es igual a la cosecante del 
ángulo complementario.
Debido a estas relaciones las razones:
• seno y coseno
• tangente y cotangente
• secante y cosecante
=> 11x^110° => x=10°
EJERCIC IO S :
Indicar la verdad de las proposiciones:
(0 ) sen a * esc a = 2 < )
@> tg 50° n cot 40° ( )
9€C 40° XC9C 4d^^l ( )
*•( )$ en 2 0 ° * cac 2 0 ° * 1
[A W H M W J Ig n U A it ] 145 \ LA JBIfCMCLOFEMUA E01M ]
@ S i : xs/o* ^ «m ^x seciO °sí ) A) 1 B ) 2 C) 3 D ) 4 E )6
R E S O LU C IÓ N :
S i: x=20° =} tg x *cot 20°=1 ) • Como ■
' R.T. J =COR.TÁ9Oo-0 )
=>ctg65°=tg25°
0 ^ 40°= COt 50° ............. ( ) * Jg ,
@ *ecSO ‘‘=c»cíO<’ ...... ( ) £=(/í25°+tg25°)xctg 25° => E=2tg25° xcig25° *>2
ü m É á ñ m i
PROBLEMA 1: g¡. tg3xxctg(x+20?)=l .............. fj)
Determinar "x ” , ai: /^x .rfgSO -.^nar .c^SO ^Í « c ( y + ÍO °)=C.e U +ÍO‘>) - ________________ _ffl?
A; 20o B) 20o C)12? D) 25° E) 16° „ ^
R E SO LU C IÓ N : Determinar: sen (x+y )
• o . -~I J J . D *j . A) 112 B )2 O I D )S E) 4
• Por la propiedad de las Razones Reciprocas: r e s o l u c i ó n :
tg 4xctg60°. sen 30°. esc 30° =1 => tg 4x ctg 60a-1 * g n (\) ¿g y tfg s q j , recíprocas puesto que son inversas
1 y además su producto es 1, entonces sus ángulos deben
• Tendremos : 4x=60° => x=15° ser iguales.
R P T A :UB
PR O B LE M A S : t .
* Ln ( I I ) seo y ese son razones complementarias, por
Sabiendo que: sen 4x. esc 40° =1, Determinar: “eos 6x” . tanto si son de valores iguales sus ángulos suman 90°. 
A) 2 B) 1 0 3 D ) 0,5 E) 7
=> 3x«x+20° x»20 «
R ESO LU C IÓ N : S , + <0°+, + 2 0 °= ¡»" ^ [*=2G
* Por la propiedad (razones recíprocas): * Finalmente :
=> sen 4x. esc 40° =1=* 4x=40° => x=20° sen(l0o+20°)=»en30o~ ^
¿ RPTA i “A "
I PROBLEM A Ó:
* Piden: cos6x=cos60^=—=0,5
* u Sabiendo que: com(6q° _ x )x*ec2x=7; sen3x=cos3y
PR O B LE M A S : Determinar : “2y-x ”
„ sec 70°. eos 25a.sen 50° AJ JO* B) 30? 0 60? 0)40? E) 0?
Q=-csc20°\sen65°.cos40° R E S O LU C IÓ N :
* Por recíprocas:
A) 1 B) 2 0112 0 )4 E) 0,6 r
R E SO LU C IÓ N : eos(00?- x I x n c 2x*1 =>60° - x=2x => 60° =3x =>x=20°
•Aplicando razones trigonométricas complementarias. * por complementarias:
I ) 8ec70?=csc20?\ sen3x=cos3y => 3(20°)+3y=90° => y=10°
W co825°=8en65°
TU) sen50?=cos40? * Piden .2y-x=0?
R P T A : " S "
* Por lo tanto : PROBLEM A 7:
_ sec70?.cos25° je n 50° . .
r*r2fl° menfí/s° crm4f¡° Reducir: P~{7$en420+2co8480)xcsc420+5sec600
r70° £0.83* tmStf
RPTA: “A" R E S O LU C IÓ N :
A) 9 B) 10 0 1 9 D ) 21 E) 22
PROBLEMA 4 : * Por complementarias •.*en42?—CQ9 4fP 
Determinar: E=(tg25°+cig 65°).ctg 25° * Luego reemplazando:
[i V rK O f/E A lD E S D E L A S MAMONES TKMOXOMETM1CA3 ] IM G [
jO 1
E D ITO R IA L RVDIÑO S]
P R O B L E M A 11:
Si :a=15°
P= (7 sen 42°+2sen 42°) esc 42°+5 (2 )
=> P = 9sen 42° x esc 42° +10=19
1 R P T A : "C” Calcular : Q=senax9en2axsen3axsen4axsec5a
PROBLEMA 8 :
Determinar “x ”:
tg(20°+x)xsen6x=ctg{70° ~x)xcos3x
A)9P BJ1QP C) 29° © « •
R E S O L U C IÓ N :
* Se observa : (20°+x)+(.70o - x)=90°
=> tg (20°+x )=ctg (70°-x )
•Reemplazando:
tg Í20°+x) x sen 6x=tg (20° +x) x eos 3x 
=> sen6x= cos3x => 6x+3x~90° => x=10°
RPTA: “B”
P R O B L E M A 9:
S i: sen 2x * sec y=l , Determinar :
A) 4 B) 6 C )8 D) 5
R E S O L U C IÓ N :
* Del dato:
s e n 2 x * sec y =1
csc(90o- y )
* Luego:
sen 2x x esc (900 - y) =!=> 2x=90°-y=> 2x+y=90Q
* Reemplazando en : P=csc2 ( “ ^ - }+C8c2 ( “ f " )
=> P=csc230°+csc2 45 o => P = 22+j2*=6
R P T A : "B”
P R O B L E M A 10:
. x 3x l lxco t-x csc — xcos -
Reducir: A=— ¿2------ £------M .x x . 2x sec—x sen —x tan—
8 4 5
AJI B) 2 C) 1{2 D) 114 E) 12
R E S O L U C IÓ N :
* Por razones trigonométricas complementarias :
r . x 3x x l l x 2x , xI ) 8ec-r=csc——; sen— =cos——; tan— =cot — 
8 8 24 24 ' 5 10
* Por lo tanto : 
A=
. x 3x l l x c o i— X CSC— x eos •
10 8 2 4 = ix x 2xsec — x sen — x tan — 
8 24 5
8n l ln
' 24
M *
““ 15
A ) 1 B )2 C ) ^ D ) ^ -
2 2
E )
R E S O L U C IÓ N :
* Reemplazando "a " se obtendrá:
Q =sen 15° x sen 3 (f x sen 45° x sen & f x sec 75°
8
RPTA: “E ”
P R O B L E M A 12:
S i: seca=csc2j , Determinar:
ií= ton - # ]+ sec {330° -3 c t-6 + )
A) 1 B) 2 C )3 D ) 4 E) 1/2
R E S O L U C IÓ N :
I ) sec a= cae 24 a+2¿ -90°
E) 10 R=tan +sec [ 330° “ 3 (a+2*)J
R —tan 900 ]+8ec[330o -3 (9 0 oY\
R=tan 45°+sec 60°=1+2=3
P R O B L E M A 13:
RPTA : “C*
Si:sen{a - 2Q°)=cos{0 - 30°) , "or^y son ángulos
agudos, Determinar:
A=
cot(a+0 - 85°)+tan(a+0 - 120°) 
D) 1/9 E) 315A) 2 B) 3 C)1
R E S O L U C IÓ N :
* sen{a - 20°)= co s (0 -30°) =* a - 20° +0 - 30° =90° 
=> a+0=14O°
* Reemplazando:
A=
= Í > A =
cot(l40° - 8B°)+tan(l40° -120°) 
tan 35° +cot70°
cot55° +tan20°
. _tan35° +cot70° 
~ tan35° +cot70°
R P T A : “A*
complemento
RPTA: “C ”
[A T m ieé iiw iB T a iA A TWT LA J B IC iae fflP M IÜ F ]
PROBLEMA J4:
S i: ar= 7o30', Determinar:
_ sena eos 2 a sen3a cos4a sen 5at i—------——H-— — i H------------- — i----- ——
coalla sen 10a eos 9a senoa eos 7 a
A) 1 B) 3 0 7 D) 6 E) 11
R E SO LU C IÓ N :
•Dato :as*7o30'=7,5° ; reemplazando en “R n:
R_ 9017,5° { coa 15° { sen22,5o eos30° sen37,5ooos82,5° sen 75a 0x67,5° sen 60° eos 52,5°
l ) sen7,5°-= eos82,5° 11) sen22,5°= coa67,5o
IB ) sen37,5°= eos52.5o IV ) coa lS°=sen75°
V) coa30°=sen60°
* Reemplazando:
R rsen7,5° f eos 15° ̂sen22,5° f eos30° f sm37,6° _ g 
sen 7,5° coa 15° aen 22,5° coa 30° ten 37,5°
RPTA : “D ”
PROBLEMA 15:
Si:e+a+0-9O°, reducir:
seniM o) + _ t g a
cosff ctg(0+0) *
A) 2 B )3 0 7 D) 9 E) 11
R ESO LU C IÓ N :
* Se observa:
• (&+a)+0=9O° => sen(,9+a) = cos f)
• a+{6+p)=90° => tga=ctg(0+p)
• (0+a)+0=9O° ^tg{0+a)=ctgfi
• Luego reemplazando:
RPTA: “D ”
PROBLEMA 10:
Sv.sen(4x+l<P)xtg(3x+3ff>)xaecx=ctg(60°-3x)
Determinar: Pm8tg*(3x-18l!)+7tg*(x+299)
A) 2 B) 7 0 9 D) 11 E) 13
R E SO LU C IÓ N :
* Del dato:
sen{4x+10o)xtg{3x+30o)aecx=ctg{60° -3x)
=*{3x*3(r’)+{60°-3x)=90° =>tg{3x+3O°)=etg{60P-3x)
* En (I ) :
sen Í4x+10°) x ctg ( 60° - Sar) x »e c x=ctgÍ60° - 3x) 
^ sen{4x + 10°)x aecx =1
eoc(.90°-x)
=> sen{4x+10o)x c s c Í9 0 ° -x )= ls* 4x+10-90°-x
=> 5x=80° => x=16°
• Piden .P=6tgí (3x -18°)+7 tge(x+29°) 
=> P=6tg2 ( 48° - 18°)+7tg* {16+29°)
=> P=6tg*30°+7tg*46°
* Reemplazando:
p=s( i r +7<i),=6(D +7=9
RPTA: “C "
+5tg20° xctg20p 
E) 4
PROBLEM A 17:
Reducir:
^ senf x aen 2o xsen3°__ .senSSP
coaf xcoa2° xcosS°.....„ eos 89°
A) 0 B) 1 0 2 D ) 3
RESO L U C IÓ N :
• Se nota:
aenl° = coa 89° 
aen 2° = coa 86°
aen 89°=coa 1°
• Luego reemplazando:
, , cos89,,coe8&1x(xm8T coa2?* cosí* „ ,
M - ---------------------------------------------------------+3*tg20Bxcte20f‘
coaI0co$Z,~~~co*8Tam88°ooa8Sf —-------— —i
=*M = l+3 (l)=4
RPTA:
PROBLEM A 18:
Si:
Q =tanl°-cotr+ tan2a-cot2a+ +tan89>-cot89P
R = tan l°x tan 2a x tan 3°.....tan88* * tan89p
S=aenl° - coa i ° +aen 2° - coa 2°+«... +sen 89° - coa 89°
Determinar: M =Q +R +S
A ) 1 B ) 0 C ) 2 D ) -1 E ) ~J2
R E S O LU C IÓ N :
• Q s fo n l e+tan 2*+ton 3*+„... + tan 89* 
- (C o tr+ C o t2 "+ C o t3 '+ ... +Cot89*)
=> Q =tan 1*+ tan 2*+ tan 3*+ ta n 8 T + ta n 8 6 ‘ +tan89‘
0013* eott* «of J*
- fc o t l°+cot2<'+cotS°+ .„..+cot87’ + coi88° + co<89c'\=* Q»0
l ( « 0 9 ° < • » * * ( M i * )
R=tan J*x tan 2° x tanS'..„. tan 87° x tan 8S3 xtan 89° =? R = I
oef J * <«19* <«(1*
S=aen J* - coa P+aen 2 *-eos 2*+..... +aen 89* - coa89*
=5 S=aen P+aen 2*+aenS*+ m ...sen 87° + aen 88‘+aen8&>- 
( coal° + coa2*+ coa3‘ +..... + eoB8T + cot88‘+ eoa89‘ )
■MOV* «W * ormST —n f ttnT «ai*
[^ r w n a u w » w las mmwes m w M C T M f i J j l W [ EPITORMAIj RVBt& OS]
P R O B L E M A S I :♦ Por lo tanto : S=0\ osea :
M = Q + R + S => M =l 
o *T 'T
RPTA: "A "
PROBLEMA IB :
Siendo Mor" y ” 0” loa menores ángulos positivos que 
verifican las relaciones:
sen a x gec (3a+9) =1......
ton tf x ton (2a+tf) = í_____ ( I I )
Determinar el valor de:
M=2gen (4a - 0)+tan (20-a )
A) 1 B) 2 C )S D) 4 E) 1/4
RESOLUCIÓN:
♦Como:
«eRaxwo(3a4é)*i^wmta j ---- -=* *e/ur=<?o*{Sa+0)
aec(3a+&)
=» a+30+0=90° => 4a+0=9O°___ ...(/ )
♦ Además:
tan9xtan(2a+0)~I ̂ tanfr*---- ~ ----T tan 0** coi (2a+d)
tan(2a + 0)
^ 9+2a+9=90° =o 2 a+20=90°...... (//)
• D e (I )y ( I I ) : a=15° a 0=30°
♦ Por lo tanto :
M=2sen(4 x l6° -3 0 ° )+ tan(2x30° -16 ° )
» M^2*en S0° + tan45° => M=2
RPTA : "B ”
PROBLEMA 90:
S i: »en (r+ w n x )= eo* (y+ coa y) .Determinar:
. Mi{«4ir) t o ) ( « n n o a i y ) , , , .A*— -—5----1—r+----- —----r— ¿+e«(x-fy)xc*c(*f7»-r+ao*y)
oo»(*»i;r+-co*.y) co t(x+y ) \ */ \
A) 1 B) 8 0 2 D ) 4 E) 31
R E SO LU C IÓ N :
♦ Del dato:
gen (x+een x)=coa (y+cos y ) => x+een x+y+ eos y= ̂
♦ Ordenando:
*+ y + sen :r+co* y * * ^ a+0» *
^ ” r 2 2a 0
I) sen a=cot9
I I ) tanO=cota
II I ) etc0= seca
♦ Reemplazando en *51” :
. sena , tan9 ,
A = - + +cogaxcMc0
cot 0 cota —-
eeca
♦ Por lo tanto : A =3
RPTA: "B ”
Siendo : BenSaxcsc 0=1-, tan0= cot 6a
Determinar: K=tang (3a+15°)+gec2 (2 0 -1 6 °) 
AJI B) 2 0 8 D ) 4 E) 1/2
R E S O LU C IÓ N :
♦ Tenemos : gen3axcac0=l=$.3a=0.~....(/)
♦También: tan0 = cot6a =>0+6a=9O°....... ( I I )
♦ De las ecuaciones ( I ) y ( I I ):
a = 10° ; 0=3OP
♦ Luego: K=tans (Sa+15°)+sec3 (2 0 -1 5 °)
=> R=tan* 46°+tecs 45° => K = l*+ j2 * K=3
RPTA : "C ”
PROBLEM A 22:
Si: tana=oot 2 0 . Determinar el valor de :
K = « n (5 ± M )+/0„ ( j +/,}
A) 3/2 B) 2/3 O I D )2 E )4
RESO L U C IÓ N :
♦S i: tan a= cot 2 0 =>a+20=9O°
♦Luego: K=gen30a+tan 45°=—+!=—
2 2
RPTA : “A ”
PROBLEM A 23 :
Siendo 3x e y ángulos agudos, además se cumple lo 
siguiente:gen (y+x)=gen(2y - 2x ); tan 3x. tany=l. 
Determinar: E=cot 3x+ cot y+ tan y
A) 2 B) 3 O I D ) 3/2 E) 0
R E SO LU C IÓ N :
♦ De los datos: gen (y+x)=sen (2y - 2x)
=> y+x=2y -2 x= g 3x=y
♦Como: tan3xtany=l
» ten Sxtan 3x=l => tan2 3x=l => tan 3x=l => 3x=45°
♦ E n to n c e s : x = I S ° a y = 4 5 °
♦ReemplazandoenE: E * cot 45°+cot 45°+tan 45° 
=> E=l+1+1=3
R P T A t“f lM
P R O B L E M A 24:
Si: cgc4a.cog(90°-2B)=1 y een70= — -—
' ' J gec4a
ra R M M D N E n U x » i »a g m m f fa w t t * 5 iF )
Determinar: sen9a
° ' í4 2
R ESO LUCIÓ N :
* D a t& é4a .«w (fl0 ° -2 p )= X
amtfi
^ csc 4a sen 2p—l
* Por razones trigonométricas recíprocas : 
4a=2p => p—2a
sen7fl*
sec4a
ü
=> aen7 p=coa4a
* Por razones trigonométricas 
complementarios: 7 P +4cr=90°
2a
d 14a+4a=90° o a=fi8 ; p=10°
y¡2* Nos piden :sen9a=sen460**—--
PR O B LE M A 35:
Si:
aec(40)xcos( 0+45°)= tan(4QP)x tan(50°)x9en(10°)
ct»£0°
Calcule: M =cot(0 ) - tan (40)
A)1 B)3-yf3 C )j3
R E S O L U C IÓ N :
Se nos da:
D )2 E >34-43
Sec40xCos(&+45°)= Tan4(rxTanS0°xSenl(r
CosSQP
Tenemos: Tan40a=CotS(f 
Coa8O*=Senl0°
Sec40xCos(0+45°) = 
ahora:
Cot5QPxTan5(F xSenlOP 
Senl(P
A)5 B)6 C)8 D)10 E)15
R E S O L U C IÓ N :
Condición:
I ) Cot(2x+10°)xCot(x+5a)= l 
Tan(80° - 2x ) * Cot(x+5•)=1
=> 80° - 2 x= *+5 ° => x=2Sa
II ) Cos3y *Csc2y=l
Cos3y= — -— => Cos3y=Sen2y => y=18°
Csc2y x______ j
Complementario*
Luego:
M=3Sec(x+y+Kr)=3Sec53P =* Af=3l |J =» M=6
RPTA: "A H
Lui i o i/ i
RPTA í “C”
(0 ) Resolver “ 0” (agudo) que cumpla: sen0=cos0. 
A) 10a B)2tT O 35a D) 45“ E)B5*
0 Resolver " x ” (ángulo agudo) que cumpla: 
tg(x+20*).cot80o=l 
A) 10° B) 2<T C) 40° D ) 60° E) 80° 
( 0 Sabiendo : sena —coa b
r. . senbDeterminar: to=------
cosa
A) 1 B) 2 C )3 D ) 4 E )S
0 ) Se sabe: tga=cot2a
y, ̂ sen a+eos 2aDeterminar: ----------------
sena
A) 1 B) 112 0 2 D ) 3 E) 4
Al operar : £ - M€n 4-eos 50°
sen 40°
Determinar un valor de “E ” .
A) 2 B) 3 C)1 D) 0 E )5
0 Determinar el valor de (a+0), si:
sena~cos2p=0 .....(7)
sen p, esc 4a=l .......( I I )
Sec40xCos(0+4tF‘)= l => 40=0445° => 0=15 
luego: M =CotB - Tan40
^ M = C o tí5 e-Ta n6 0°
=> M = (2 + 4 3 ) -4 3 ^ M -2
RPTA: “D ”
PR O B LE M A 26:
Si cot(2x+lú°)xcot(x+5°)= l y 
co#(3yJ xcscf2y) =7, entonces el valor de:
3sec(x+ y+l(P),eB:
A > j » > í C ) Í í . D ) 4’ * > T18 9
i Si: tan(x+2)cot (3x) =1. Calcular: E=(x+1)2 
A) 1 B) 2 C )4 D ) 6 E) 7
0 ) Indicar verdadero (V ) o falso (F ) según 
corresponda:
1) sen42°.aec48°-1.... ( ) I I ) tg20o.ctg70o=l.... ( ) 
III ) coalI°.cac79°=I...( )
[ A w f i m u w m l a s E U ft iE a r i w m H m i c u j 180 ED ITO R IA I, RUBEDOS]
A) FFV B )FFF C) W V DJ VFV B) W F Donde “x " e “y ” toman su menor valor positivo ;
& Si: 8en(3x+y)° C8c(x+3y)° =1
. _ »en (2*+y) aeníar+SO®)Determinar: E * 7- — ----1-------- {
aen(2y+x) eo$($0°-y )
AJI B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
@ Siendo "a ” y “ 6 ” los menores valores posibles se 
tiene que: # « i (2a+0)=eos(20+a)
„ ten 3 a
cot 38
+ csc2(a+0)
AJI BJ2
© S I : *+•*+/?= J 
Determinar:
. #en(0+a)t/ ------------ h la n a
DJ 3 E) 4
coa p cot(0+fl)
+7 tan(0+a)tan p
Ai 2 B) 3 C JU D ) 7 E) 9
(© In d ica r verdadero (V ) o falso (F ) Begún 
corresponde:
I) ten 20°. cot 20° «J
II ) coal4°.tecl4°-l
III) tecs 33°. coa2 33°=1
AJ FVF B) F W CJ V W DJ FFF E) VFV
© R ed u cir :
2»enU+2S°)
AJI B )2 
© Reducir:
CJ 3 D )4 E )5
3*en 65° + 2 tan 39° + * «ec 53° T " * 7*
coa 25° cot 51° cae 57° J 
AJI B) 3 CJA D ) 2 E) 4
©Determinar el menor valor positivo de “x ” que 
cumple:ta n (3 x - 10°)cot(x+40°)=l 
Ai 15? B) 20° C)25° D) 30“ E) 35°
Determinar „ . » . .
S =4aen 3x+2 coa 8y+ cot* (*+ y )
A) 3 B) 4 C )5 DJ 6 EJ 7
© D eterm inar: C-(aen2O0+3coa7O°)aec7O°
A) 2 B IS C) 4 D ) 5 EJ6
© Determinar: Q= tan 1° tan 2° tan 3 ° tan 89°
AJI BJ2 CJS DJ 89 E) 90
© Si: A +2B =^ , Determinar:
tanA . 2tan{A+B ) . 72an(A-J3)
cot2B cot B 
CJ 14
cot3B 
DJ 15
+2
AJ 10 BJ11 CJ 14 DJ15 EJ 13
©Determ inar “x ” :
4 cot 53°.ten (8x+20° ) =9 tans 30°. coa 2x
AJ 12? BJ 15° CJ 140 DJ 13? EJ 16°
© S i :
(2x+35°) = coi (5x - 15°)+tan 45° - 2sen 300 
Determinar (agudo).
AJ 10? BJ 20? CJ 30? DJ 40? EJ 45°
© Sabiendo que:
ten(2a+b)tec(l2° - 2c)=coa(a-26)csc(76°+2c) 
Determinar: M = fa n (2 a + 6 + c )fa n (o - 2 b -c )
AJI BJ2
© S i : fts -
C) 1!2 DJ 5 
ten 31a ̂ tan 47° 
coa 59° cot 43°
E) 7
Determinar: n * . rP=aen — + tan ■
AJI B) 2
3n 
CJ 3
2n 
DJ4 E J lfi
'DIO
(© S i: cot(2x+10 )tec(60°-3x )= l 
Determinar: E —2aen3x+ aec6x 
© Si : tg Í3 x -1 0 ° )= cot(x+40°) . Determinar el AJ 1 BJ 2 CJ 3 DJ 4
menor valor positivo “x ” .
A) 10? BUS0 CJ2Q? DJ 25“ EJ 30?
© S i : aen 2x=coa3x
Calcular: tan(3x - 1° ) +2tenÍ2x - 6° )
AJ 3 B) 4 C )5 DJ 6 EJ 7
© Siendo:
tan 3x. cot (x+20°) = i; «en 2x= cot (3y + 10°)
EJ5
Determinar el valor de en :
ten (2x - 7° ) « co« Í2x+29° ) 
A) 15? B) 16? CJ I T DJ 1& EJO?
í Bl?APf1i>f)4 f !F £ fll»' f tiJiFftíYT4f VtVita. ' T tt IC A V A H ÍT fffl* 1 fil 1 lA I T O W / w I n l l a l l j
f í ) 4 » ) D * )C 5 ÍT fí)C 7 )& 8 )lt to W W V
í t ) i
I V
H)R 15)( i7 )v \ f8 m m m i
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U EXCMCJL9FEBIA MOU)
R E SO LÚ C10 N' DE- T R IA NGU LO S^RKTANGULO?
^ A R E Á S T *
o b j e t iv o s :
* Relacionar los lados de un triángulo rectángulo 
mediante las razones trigonométricas .
* Calcular el área de una región triangular por medios 
trigonométricos.
INTRODUCCIÓN :
En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos 
para los dioses,...) exigió un alto grado de precisión. 
Para medir alturas se basaban en la longitud de la 
sombra y el ángulo de elevación del sol sobre el 
horizonte. En este procedimiento se utilizó una 
relación entre las longitudes de los lados de un 
triángulo rectángulo, que es lo que conocemos hoy 
como la relación pitagórica.
A r a ¿cómo podemos determinar U¡ altura de la montaña?
 CAPÍTULO
 f f
RE SO LU C IÓ N D E TR IÁ N G U LO S 
REC TÁN G U LO S
Hay ciertas longitudes que pueden ser expresadas en 
términos de otras longitudes y de razones 
trigonométricas de ángulos agudos ; esto recibe el 
nombre de resolución de triángulos. A continuación 
veremos cómo 6e hallan ciertas longitudes en 
triángulos donde uno de sus ángulos interiores es un 
ángulo recto.
CÁLCULO R E L A D O S D E 
UN TR IÁN G U LO RECTÁNG U LO
Para poder resolver problemas de estos tipos debemos 
conocer un lado del triángulo rectángulo y un ángulo 
agudo. Se van a presentar tres casos:
Regla General:
Clado incógnita-^ j, q lado dato
/Vmgm» que d j im podbit hallar d áegulo 
a di la figura, d problema quedaría remdlo 
undo la rdadáa taagaiie de a
Resolver un triángulo cualquiera significa determinar 
la medida de los tres ángulos interiores y la longitud 
de sus tres lados. En el caso de un triángulo rectángulo, 
se resuelve obteniendo los dos ángulos agudos (ya que 
uno mide 90°) y las longitudes de los tres lados del 
triángulo rectángulo. Esto se puede hacer si se da como 
dato la longitud de un lado y la medida de un ángulo 
agudo o si se conocen las longitudes de dos de sus lados. 
Una razón trigonométrica de un ángulo agudo 
comprende tres cantidades: las longitudes de dos lados 
y la medida de un ángulo, en consecuencia conociendo 
dos elementos de los tres podemos determinar el 
tercero. Por el teorema de Pitágoras, si se conocen 
dos lados se puede calcular el tercero. Luego se puede 
hallar cualquier razón trigonométrica de cualquiera 
de los ángulos desconocidos y consultando una tabla 
de valores o usando una calculadora, se hallara el valor 
de dicho ángulo. Luego, una vez conocido éste ángulo 
agudo se puede encontrar el otro, porque la suma de 
ellos es 90°.
lado incógnita = lado dato. R.T.0
PRIMER CASO:
Conocida la hipotenusa (a ) y un ángulo agudo 16) 
determine “x ” e “y** del gráfico adjunto.
* De la figura, por definición:
X
— —C08B
a
y— =seno 
a
x—a cose
y —aeend
a eené
E O rrO M A í, R U ItiÑ O S ][ ^ m s o i t o w p e m t w r L o s « c c T m a o s - j i E i s a ] 1 5 3 8 L 
E J E M P L O S :
*Del gráfico, por definición :
——ta m
a
y— =&ece
a
o
&
E J E M P L O S :
Conocido un ángulo agudo (6) y su cateto opuesto (a) , 
determine ux ” e "y” del gráfico adjunto.
a
* De la figura, por definición : 
x = a co tex— = cote 
a
y— -eses 
a
X = a C8C6 acotB
E J E M P L O S :
Conocido un ángulo agudo (0) y su cateto adyacente 
(a), determine ux n e "y” del gráfico mostrado.
m OBSERVACIÓN ]̂
Los casos anteriores se reducen a la siguiente regla
lad o desconocido
lad o conocid o
= R .T (0 )
E J E R C IC IO S :
* Determinar **xn en cada caso:
-> x = -► X =
-> X as
[&TmiGONOMKmiAj¿ LA ENCICLOPEDIA M01M)
Á R E A D E L A R E G IÓ N 
T R IA N G U L A R (S )
El área de cualquier región triangular esta dado por el 
semi producto de dos de sus lados multiplicado por el 
seno del ángulo que forman dichos lados.
Así tenemos:
* D e l g rá fico ;
S = —ab8en0 
£
DEMOSTRACIÓN i
* Por geometría S t se calcula así:
S= bxh ( h : altura relativa al lado b)
~ bxasenO 
S = --------------- => S=—ab sen 9 
2
E J E M P L O 1 :
Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo 
que AB—5cm ; AC=6cm y el ángulo comprendido 
entre dichos lados es igual a 37°.
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando tenemos:
B
* Nos piden : S
* De la figura: S=^{5cm ){6cm )sen370
£
S=-^(5 cm )(6cm )~ => S=9 cm2
E JE M P L O »:
Halle el área del triángulo isósceles ABC (AB = BC ) 
mostrado en la siguiente figura:
R E S O L U C IÓ N :
En la figura, se traza la altura BH desde B hacia AC. 
Tenemos: BH = 4^3 Sen30°
* Reemplazando el valor numérico, tenemos que:
BH = 2y¡3; AH = 6 => AC = 12 
Luego, el área del triángulo será:
Áreaa = 4ŷ x12 Sen30°= 12yÍ3 u2 
2
* En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por 
resolución de triángulos que: H =asen 0.
* Luego:
S S I OBSERVACIÓN |
B
C c cosG A
Dada la longitud c de la hipotenusa y a la 
medida del ángulo A , el área S del triángulo 
rectángulo está dado por :
p e m í r e n o s i E o a w i i o s . j i r » ] 1 5 1 E nrro iuA í, rmjbmños)
PR O B LE M A 1
Determinar “r w.
A) a sen 0 ctg 9
B) asecOtgO
C) a eos 9
D) acosBsen9
E) a sen29
R E S O L U C IÓ N :
*k±BAD a sen 9
:=co&9 => x=asen9co89
RPTA “D*
PR O B LE M A 2 :
Del gráfico, calcular ** JTb en función de “0 ** y "m 3
A)mtg9 B
B) mcos9
C) msenO
D) msecO
E) m esc29 Á H
R E S O L U C IÓ N :
* Trasladando el ángulo **9 M.
B
k. in>
*Del l \ BHC =>-----=cos9 => HB=mcosO
m
RPTA
PR O B LE M A 3 : 
Determinar ux ”.
A) a {sen x-tg p )
B) afetg p -co s a )
C) a ( sec x + sen p )
D) a (tga + ctgP )
E) a (tg a -s en p ) 
R E S O L U C IÓ N :
D a tan a* Trazando la altura D H :
l ) £±DCB: CD—a tan a 
Zl) &DHA: A H -a cot P
U I) AB=atana+acot0 A a cot bH a tan a B
=> x=a{tga+ctgp)
P R O B L E M A 4 : 
leí 
B
RPTA : UD*
8
Determinar "h w de la figura, s i: tg9+ctg9=—.
u
A) 64
B) 32
C) 16
D) 12
E) 6
R E S O L U C IÓ N :
* Trasladando el ángulo *&*,
b h c => HC=h tgO
* Se observa: AH + HC=AC
* Reemplazando : h ctg 9+h tg 9=32 
=> h(ctg0+tg0)=32 => h\ 1 1=32 => h=12
\ 3 J n iRPTA: “D*
P R O B L E M A 5 : 
Determinar UCD*\
A) m eos 9 tg p
B) m sen 9 eos p
C) mtg 9 sen P
D) mtgBcosp
E) m tgpeos9
R E S O L U C IÓ N : 
* Completar:
*Delfc^ PC
mtgB
-eosp => DC=mtg9cosp
RPTA: “D*
[■a t m ig o n o m e t m u á a ' u * * x LA EACiCJLOPEDlA A01M )
P R O B L E M A 6 :
Del gráfico; Determinar : P = tg 0 -c tg 0 
A ) 2 C
• í
s f
E ) - l
R E S O L U C IÓ N :
* Hacemos que : A D —BC=aa T /
i D
* Reemplazando:
o + c te 0
C tg B = -------- -A Z . ^ e tg Q ..
a
atgQ
a (l+ tg 0 )
—SctgQ =1 +tgQ => -l= tgQ -ctgQ => P=
RPTA:
PRO B LEM A 7 :
Determinar “x ” .
^ rjwm e+l) B )r (c o »0 -1 ) 
co*8 tg$
C )r(c.c0 -U ) D)
ctg0 1 - sen6
E )r(tg$+ l)
R E S O L U C IÓ N :
* Trazando el radio:
I)S±AQO: AO=csc0 
W t±C R A A B = xco t0
IU ) xcot&=rcsc0+r=>x=-
xcotB 
r (esc 0+1)
00/0 RPTA: "C ” 
P R O B L E M A 8 :
Del cuadrado ABCD , Determinar: “ED".
A) m (tg0~etg0)
B) m (coa 0 - sec 0)
C) m(sen0~cos0)
D) mtg0
E) mese9
* Del gráfico:
* Luego : AD ■ AB (lados del cuadrado)
=> ED+msenO&meos0 ED**m(eos9 - sec0)
RPTA: “B”
P R O B L E M A 0 :
Un triángulo isósceles, el lado desigual mide “2nw y 
los ángulos congruentes miden UP Determinar la 
altura relativa al lado desigual.
A )nctgfi B)ncoefi Qnsenf? D )n tg0 E)nsec(J 
R E S O L U C IÓ N : B
* Grafícando:
i
“E ”
* ^ BHC : BH=n tan fi ^ h sn tan fi
RPTA: “D ”
P R O B L E M A 10 :
Determinar si: AOB es un sector circular.
A) R ( l—eos 0)
B )R ( l - t g 0 ) 0-
C) Rtgd
D) RctgO
E) RcscO
B
A
R E S O L U C IÓ N : 
* Grafícando:
* De la figura: 
x+Rcos0=R => x=R - Rcos0 => x=J?(l - cos0)
RPTA: “A ”
P R O B L E M A 11 :
Del gráfico , Determinar “ sen 6 ”,
1A) 
C)
B)
221
12 m J L
227 17
10
7221
(sím b s o u x i o j d e n u T cn os «em n iriA S - a p e a s] jg «C EBMTOMUAM, RtJBtÑOS)
R E S O L U C IÓ N :
=> (4)(5)......(forma geométrica)
I I) SARn**—EBxAEx8en0 
2
=> SÁKR=íyf26 x y[82 xsenO (forma trigonométrica)
£
* Igualando:
^ U )(5 )» i ( j2 Í ) (> / 3 Í)w ft í^ gen9= ¡ f^ ̂ ¿ = ~ttz
2 2 xvü* -J221 
RPTA: "E "
PR O B LE M A 12 : 
Determinar “BD” .
ñ .
2 -J2,
3 j2
A)yf2 B)
C ) ^ - D)
E)
R E S O L U C IÓ N : B
* &ABD: Sabd=—(\Í2)(BD)sen53°
2
* A DBC: SDBC=í-{442){BD)sen37°
2
* ®ABC=^ABD+̂ ¿>BC
* Entonces:
Uj2)(BD)sen53°+U4j2)(BD)sen37°=Uj2){4j2) 
2 2 2
=>BD= 5j2
RPTA: "C '
P R O B L E M A 13 :
Del gráfico, Determinar “D C ” . 
A)^*ecGtgp B)~coa9tg p B
C)~9ec0ctgp D)~9ec09ecfi 
2 2
E)^ctg0secfi 
R E S O L U C IÓ N :
Del fcx.
m aec 0 
MCD => -D-C- =ctg 0m 8€C0
mDC—— sec 0 ctg p 
2
P R O B L E M A 14:
Si ABCD es un cuadrado y PQ=9AB. 
Determinar : tana + cota
A) 6
B) 3
C) 8
D) 5
E) 2 P D 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
RPTA: “C*
I) biBCQ :CQ=acota
i^ADP: P D —ataña 
* como : PQ=9AB 1-----
R
A / « X B
/Y a 1
At\o 0
¿ k O 1
Q
9a
^ atana+a+acota=9a => tana+cota=8
RPTA: "C ”
PR O B LE M A 1 5 :
En un rectángulo, las diagonales forman un ángulo 
agudo “2p¡” y miden **L\ ¿Cuál es el perímetro del 
rectángulo?
A)2L(aenp+coap) B)2L{co8p-tg p) C)2Ltg9
D)3Lcos0 E)I?
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando: £
L coa p
* k .O Q C:Q C=^sen>3 ; OQ=^cos0 
2 2
=> CD=Lsen p a AD—L cosP
[AT«fíéjV*MCnU« w r M BSCiCL0rSDMA M01M ]
Perímetro :
2£ (ie/i fi+ coa fi)
RPTA: “A*
P R O B L E M A 16 :
Del gráfico, Determinar: P=tgfl+tgO
A ) j BJ-J 
» !
B )I
R E S O L U C IÓ N :
* Hacemos: A B —a ; F E —a(l-tgB )^ec6
^ a e f
aaecO
* Reemplazando: P —tg fi+tg$
=* P « í - tg 0+tg $ ̂ P = I
RPTA : “E ”
P R O B L E M A 17 :
Determinar : TanO, si: AB=DE,
A)l2
B) 1
C) 2 
Di 4
E>l
R E S O L U C IÓ N D
4a
D E=4atan0+3a ; AB=4a ^ 4atan0+3a=4a
tan&=^-
4
RPTA: “E”
P R O B L E M A 10:
Se tiene un cubo de arista “a ” , desde un vértice se 
traza una de sus diagonales y una de las diagonales de 
sus caras, Calcular el seno del ángulo que forman dichas 
diagonales. _
A)J3 B ) ~ C )^ - D )^ - E )j2
R E S O L U C IÓ N :
Construyendo el gráfico
A D
Observamos en la figura que BCD se forma por las 
diagonales del cubo y de una cara con vértice D.
Luego aplicando Pitágoras, tenemos: BD=a43
Entonces, calculando el sen0, tendríamos:
racionalizando esta expresión:
43Sene=
P R O B L E M A 18 :
Del gráfico, Determinar: P -
RPTA : “B*
sen 9
C) 2b
B) — 
o
e4
R E S O L U C IÓ N
* Hacemos: AM=m
* Del &ABM
•Del AAAfC
=>s= artt—— ten 9 => sen 9= 2S
2 am
mb 2S=> s= ----aeno a=> *encr= mb
2S
gen 0
_ om _ b
tena 2S a
mb RPTA : UB '
P R O B L E M A 10 :
En la figura, Determinar fiF s iB C = o y m<ACB*a, 
m<ABD=a. E B
A)aaen*atg*a
B) a ten2a ctgsa 
d a cos2 atgs a 
Djacoa* actg*a ^
R E S O L U C IO N :
EMTOKtAM; RVm & 0& )
* Luego del triángulo sombreado:
xcota.csc a a tana. senaton a= :
a sen a co/ a.csc a
x ss a /an2 a x sen3 a
A)
D)
OksecO
OsecO+aseca 
OksecO
B)
E)
aksecd 
a sec 0+0 sec a 
aksecO
C)
ah sec a 
OsecO+aseca
a sec 0+0 sec a OsecO+aseca
R E S O L U C IÓ N :
^ ^ K 
* Dado: AB=CD => 0r=aR => 0r=%zR => R - —
a
f ^ O A P ; O P = r sec 0 ....... .
S \ P C O ' : P O '= R seca
* Además: O P+PO '=K 
=> rsecO+Rseca=K
r sec &+ j sec a = K => r =
* Luego en (I ) : CP=
Or
a
41)
ah
asecO+Oseca 
aKsec0
a sec 0+0 sec a
RPTA:
PR O B LE M A 21 :
Del gráfico, Determinar : tga igp
B)i
D )— EJ—
16 32
RESOL. U C IÓ N :
* Grañcando:
RPTA: t4A”
PROBLEMA 20:
Se tienen dos semicircunferencias de radios *VWy UR 9\ 
Desde un punto P se trazan tangentes a ambas 
semicircunferencias tal que AB^CD- Se pide, 
determinar la magnitud del segmento OP en función 
de a, Qy k t donde k es la distancia entre los centros 
0 0 9 de ambas semicircunferencias.
De la ñgura:
• tana= atan0 ̂ tanO
2a ~ 2
„ acotO cotO• tan p=— -
2a 2
P R O B LE M A 22 :
, tanO cotO 1
• tana tan B -------- x = —
2 2 4
RPTA: “B*
Del gráfico, Determinar: sen/?, si: AB==CD; tanO= —.
b
6o Vv D
C)
E)
65
yf65
65
3^65
65
R E S O L U C IÓ N :
* Del triángulo sombreado , obtenemos :
2sen0 2 *4 i3 4 4465sen B—— r*— — r- ------
45 4s 465 65 
RPTA
PR O B LE M A 23 :
En la figura, Determinar : tg*0.
A) 1 BJ2
°í w¡
m i
IA TmMeONOMBTMIA*
R E S O L U C IO N :
I M E t i ENCICLOPEDIA f t l i ]
* En el t i AME : AB=(2+ cae a) esc 60°
j ó
=* A B -(2+ese a ) 2——
U
RPTA g "A "
P R O B LE M A 26 :
De la figura, encontrar “sena” , sabiendo que O es 
centro de la circunferencia de radio JR.
cot 0=—— — => cot3 0= => tan3 0=— 
keotff 3
“D ”RPTA: 
P R O B L E M A 24 :
Del gráfico adjunto ; Determinar "A ” en función de 
uOny “R n.
A) R(2+tg6)
B) R(l+sen0)
C )R (l+cos9 )
D )R (l-s e n e )
E )R { l~ cos9 )
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
* 5
R E S O L U C IÓ N : 
* Graficando:
RctgaRcoaa
* Del gráfico : 4Rcosa^Rcosa+ Rctga 
=>3cosa=ctga
* De la figura: h=R+Rcos0 => h=R(l+cos0) 
P R O B L E M A 25 :
0 cosa 1acosa—------- => sen a——
sena 3
RPTA: “A”
Determinar el lado del triángulo equilátero ABC en
función de uct*, siendo “O " centro y r —l m .
o jo B
AJ ^ ( 2 + c i c f l )
B) t+sena
C) 2 -tg a
D ) 3 - tga
E) -Js+sena 
R E S O L U C IÓ N i
P R O B L E M A 27 :
RPTA: “C " ^ figura t Determinar AC en términos del radio de
la circunferencia “r ” y el ángulo **9 ” , P, Q y R son 
puntos de tangencia.
A) r{l+ tg (45°+e))
B )r{l+ tg (4 5 ° -O Í)
C) r{secO+cacé)
D) r(j+«w(45°+<?))
E) r{tg O+ctgO)
R E S O L U C IÓ N :
* En el Í^OPC : PC=rtg(4B° - 0)
=> AC=AP+PC => AC=r(l+tg{45° - * ) )
RPTA: “B ’
[^■MMtrrWJ BB 71U.TttW » I8C M M IW - j i m | i ¿ ¿ f E P IT O M A !, RCB íSO S}
P R O B LE M A 28 :
En un terreno que tiene la forma triangular la suma 
de dos ángulos interiores es 135® y la longitud de sus 
lados opuestos a dichos lados e&2uy3u. Halle el área 
de dicha región triangular.
R E S O L U C IÓ N :
Dato A+C=135° =* B=45° Como 
S5ABC= ABxBC $enB
3x2 — 
SAABC= ---- —2- SAABC=—-JSu*
2
P R O B L E M A 29 :
En la figura mostrada, ABCD es un rectángulo, 
AM=PC=2u, BP=3u,MB=5u,m<fMPD=$.Ha\lee\ 
valor de F=62jl802 c*c(9)-
A)8600 B)3 604 C)5 360
R E S O L U C IÓ N :
D)6 406 E )7208
Del gráfico D 7
§ 3 = 5x7 =>5+7+7,5+5x =35=>SX =15,5
Pero:
‘ 2
T _ 41802 a 31 4Í802
Luego: — -— send = y =* gJ = <*c0
=> 62 J1802 esc9= 3604
RPTA : “B "
P R O B LE M A 30 :
En la figura se tiene un cuadrado de lado L. En él se 
inscribe un rectángulo de lados a yb. Entonces el valor 
deL es.
A ) ^ ±
C )4 ñ b D ) ^ - 
£
E)2\[ab
R E S O L U C IÓ N :
* Del cuadrado ABCD , se tiene: AB =B C
asend+bcos9 — bsen 9+acos 9 
(a - b)sen0 = (a - b) cos0
* Sebemos que a y b Bon diferentes (rectángulo), 
entonces: tan9=l=>0=45°
•Se sabe que; l = agen 9+bcos 9
* Luego Reemplazando el valor de 0, resulta: t -
42
RPTA : “A ”
P R O B L E M A 31 :
Si ABCD es un cuadrado, E B = 2AB,AE=BF, 
m<EHD=90*, m<DEH=9
A E t>
Entonces, el valor de: cot(6) ,es: 
74130 „ ,W l3 0 „ J l4 l3 dA) B)
130 130
R E S O L U C IÓ N
C l­ iso
D )m
10 ISO
[atiwojwiíctjuaT
sUDEH: ^ ^ ften g+ co ifl
JlO
Conocemos:
Reemplazamos:
2 * 2 + 5
■JlO JlSO
T m íT LA tm aC LO PB D iA m i l
co*0= 7>/ÍW
2a cofC+eofB 
6 cofA+co/C 
R E S O L U C IÓ N 
Grafícando
Se tiene
o= B P + P C 
o -=AP
cotB+eolC 
=> b=BHcotC+BHcotA
Como BH=2AP
• a=APcotB +APcotC
b=AH+HC 
b
cotC+cotA 
b 2x
cot B + cotCcot C + coi A 
2a _ co tC + co t B 
b cot A + co tC
P R O B L E M A 33 :
Halle la razón entre las áreas de las regiones 
triangulares ABC y ADC respectivamente.
B
A)2sen(0)
B ) 2006(0)
Q 2aa¿(0 )
D)2cot?(0)
E )2 ta n (0 )
R E S O L U C IÓ N :
4a»en6 *■ <ico*9
j 2a x atand 
2
S, _2aen0co»Q 
Sg senO
4sen6xcos$
2tan0
s» -A- ■ 2 eos* 6
co»0 RPTA : “D ”
P R O B L E M A 34 :
ISO
RPTA: “A ”
P R O B L E M A 32 :
En un triángulo ABC, de lados a , b , c se trazan las &) B 
alturas interiores BH y A P . Si BH—2AP, demuestre C) 2
En la figura, hallar — 
A) 4
D) S 
B) 613
R E S O L U C IÓ N :
A
fttyeo»SS‘ m ̂
AABQr a - 53°/2 
AABP: Por teorema de la bisectriz AP — 2x 
AAHC=Ag=2(HC) 2x+
=> 6y*4y+10x^ —*5
x
RPTA : "B '
P R O B L E M A 35 :
De la figura mostrada , calcule tan a. S i:
ta n d = —A / a n í * — — —3 Sb+2a
A) 3
B) 4
C) 6
D) 6
E) 7
R E S O L U C IÓ N :
[ A m w u t i w m r m . T « i » 9 « i : c r j . i w M » - m u 1 M j [ ESUTOtUAJ, RCUrtiÓ s1
* Por condición del problema:
y fon^s-tan0=—
3
3a
3b+2a
• Al igualar ambas expresiones se tiene:
2 _ 3a
3 =
a 6 
3b + 2 a ^ b ~5**' .(I)
*Enel ^AH C:AB =2acot0=3a 
H D =3a-2b
•Además: BH 
HCtana1
BH
=» tana=
B D -H D = 4 b -3 a 
2a
4b-3a
tana=
R E S O L U C IÓ N :
* Según el gráfico :• tana—MQD
* Para que tama sea máxima QD debe ser mínimo como 
el punto D es arbitrario la longitud de QD es mínimo 
cuando P , D y Q son colíneales.
* Luego: QD=25
s $•Luego: ta n a - -— =>tamr=H10
RPTA ¡ “D ”
P R O B L E M A 97 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se 
cumple que: .
=2tanAxaecBaenB
KaenBJ \coaBJ 
Determine sen (A + B) + tan(A-B).
A)0 B) 1 C h l Dh2 E) 2
R E S O L U C IÓ N :
Del dato:
• Finalmente reemplazando en ( I ) resulta: tana=6
RPTA : “D ”
P R O B LE M A 30 :
En el gráfico se muestra una cancha de fútbol cuyo 
arco tiene una altura de 2,6 m y un futbolista se 
encuentra inicialemnte en P a 60 m de Q . Si se 
desplaza 26 m hasta D , halle el máximo valor que 
tómala tangente de a. Se sabe que m¿CDQ=a-
se observa que :
A+B=90°
entonces, se cumple que :
R .T (A )=co-RT (B )
Expresando el dato en términos del ángulo A tenemos
fsenA'j + J'cosA'j =2tanA gecB 
KaenBj \coaB) neA coéA
toaA ttnA coi A
■ (tanA)*+(cotA)*=2tanAcotA
■ (tanA)*+(cotA)* - 2tanAcotA=0
lia H A -eotA )*-0
=> tanA - cotA=0 =» ianA= taní A = l
tanA
=> tanA~l ^A=46>yB=4¡r
Piden:
sen(A +B)+tan(A - B)=aen90°+ tan0o 
=> aen(A+B)+tan(A - ¿J>=l+0 
=> 9en(A+B)+tan(A - B )~ 1
RPTA t “B"
P R O B L E M A 38 .* 
Complete la tabla.
0 a aen(O-a)
37• 30° N
46° S° M
Luego, calcule N -M (aproximadamente). 
v 3j9-yf2 B;-Ja-10 c ¡s4a-10 D )3j2-10_ E)13j3
10 1010 10 
R E S O L U C IÓ N :
De la tabla:
N=aen(0-a)/ 0=3r*a=3ff‘ 
^N^aen(3T-30°) 
=>N=aen3Tcoa3ff‘ -aen30’coa3T 
aproximadamente:
3-Í3 - 4
20
¡o
También:
M -a en (0 - a ) I 6 -45 ° /^a-89 
=> M=aen(46,,- 8 0)
=> M = s e n (3 D 
Aproximadamente:
[A iW M M I f lT lU A U * * £ LA ENCICLOPEDIA M91M]
Luego: M = | •En el \l -ODE í
RsenO 1
sena~ —op seraz- —aend ..... ( j )
2R 2
P R O B LE M A 39 :
Siendo x ;y ángulos agudos, y se cumple que
$en(x+z+u>)-tan (z - w)....................... (I)
cotfz - u>)=aec(y - z -w ) .......................... (II)
rpta t "C” • Dato : D E = IB E = RsenO
determine el valor de ta n x tany - tanx
tany
D)0AJI B h l Ch2
R E S O L U C IÓ N :
•De (I ) :
aen(x+z+w)=tan(z~w) .....................(* )
* de ( I I ) :
coafy - z - w ) = tan (z - w ) .....................(••)
De ( • ) * ( ” )'■
aen(x+ z +w) = eos ( y - z - w )
Por ángulos complementarios .*
E )2
* Del gráfico: ¿A B -C A E +tB E
• Reemplazando:
29R=2a J{+Jtsen0 => 29=%a+jísena => &=a+sena 
•Reemplazando en ( I ) :
aena= — $en(a+aena)
=> 2sena=sen( a+sena) => 2—aenfa+aena)
sena
Pero se cumple:
Piden:
K=tan3x tany -
eotx
x+y=90°
RT(x)=coRT(y)
tanx
tany
eebt
^ K=tansx - tan2 x => K~0
R P T A t "D
P R O B L E M A 40 :
A partir del gráfico halle el valor que toma 
aenfa+aena)
R P T A i " C "
(x+z+ic)+(y - * - u>) = 90° P R O B L E M A 41 :
En un triángulo de catetos 2aen6; cae 9 e hipotenusa 
igual a 2 , determine la tangente de uno de sus ángulos 
agudos.
A) 42 B) 2 C )3 D) 4
R E S O L U C IÓ N :
* Del enunciado sea el ángulo agudo a
* Nos piden:
K=tansx x eotx - tanx
eotx
E ) I
serta si OF=FB y DE=£BE
tartas 2aen$
.(I )
cacé 
tana=2aens 
• Por Pitágoras:
(2 a en 9 )*+ (ca c0 )*= 2 * => 4 sen29+
2moB
A) 1
R E S O L U C IÓ N i
• En el sector circular AOB: lA E -a2R =2aR 
•Sea: m IAO B -0
• En el sector circular AOB : tAB=92R=29R
aen2 9
=> 4aen29+l=4aen20 => 4 aen49 - 4aen2 0+1 =0 
•Luego:
(2aens9 - 1)2=0 
^ 2sen29 - l= 0 => 2aen29=l 
•Reemplazando en (I ): tana—1
P R O B L E M A 42 :
De la figura mostrada, si AE=ED=DC, 
calcule: tan(9)xcac(a)
RPTA
[ ¿ > t « > i r o » . T me i m w i M « g m w r a o j - jm ,» ] 164 -f^ EDiTQSUAti RUBIGOS]
A) 2
B )3
C) 4 
Di 6 
E) 6
R E S O L U C IÓ N :
C ÜW •m N m í m i m i u í é
(^ ) Del triángulo rectángulo , Determinar AB y BC
A) m*en+¡ m cosj A
B) m tg+; m ctg f
C) msen^¡ mesc 4
D) m senf; m tg j
E) m tg f; msenf
@ De la figura . Determinar ux ” e **yn.
A) d tg p ; dctgfi
B) dsen0 „• dctgfi
C) d tg p ; d tenfi 
Di d tg p ; deosp
E) dten P ; deosp
@ Determinar “x ” .
Ai o sen a eos 6
B) atgdcoaa
C) atgpsena
D) aeosGlga
E) a$en0tga
Determinar el área US " de 
A) m tga 
Bi m2sena
C )m ctga S
D )m 3cosa
Ei m2sen a eos a
@| Del gráfico. Determinar "x ".
A) acosatgp
B) o tg3a
C) aseeptga
D ) asen2atgp
E) a eos P sen a ^
Del gráfico, Determinar: tan 0
acosa
Del ADH\DH=(2aCo8a)Sena
A d h b -.
_ . DH 2aCosa * Sena _ „ „ _Tan3~—— = -------—---------- =* Tanff x Csca=2
HB aCosa
RPTA : “A ”
Si: AM _M B , |
2 3
* 4 * 4
° 4 » 44 6
* 4
@ ) Del gráfico T Determinar la distancia “PQ ” en 
función de loe datos mostrados. P .
A) H tanatanp
B) H (l- ta n a ta n p )
C )H (l- ta n a c o tp )
D) H cot a cot p 
Ei H { l-c o ta c o tp )
H
Si ABCD es un cuadrado, Determinar el perímetro 
del trapecio AECD en función de **IT y **d 
A iL (l+2 *en 0 -cos0 ) B £ C
B) L ( l+3sen 0 - eos 0)
C) L(l+sen 0 - cos0)
Di L{l+sen0-2cos0 )
Ei L (l+ te n 0 -3 eos0)
@1 Del gráfico , Determinar “x " .
A )L (c s c 0 - l ) B
B) L (cs c0 - cot0)
Ci L ( l -s e n 0)
Di L {sec0 -tan0 ) f\d
E )L (s e c 0 - l ) A
[ & TB1GONOMJS TMUA*~ M ENCICLOPEDIA M01M]
(HJ En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B ”), @ Del gráfico ,Determinarían ¿en función de "0 H,
la hipotenusa es “m ” y Á=0 . Determinar el perímetro A) 1,2 cot 0 R
del triángulo. B) 0,2cot 9
A) m {l+ tan0+ coa 0) B) m{l+sen0+cos0) O,3cot0
C) m(l+sec0+cos0) D ) m(l+aec0+tan0) B ) O,5cot0
E) m{l+cac0+cot0) E) 0,7 cot $
(Q ) En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B” ), @ Exprese el área del triángulo ABC , en función de
AB=m y A=<9. Exprese el área del triángulo en “9 ” y “n ”\ si: AB=BC=n. q
términos de “m ” y uff'. A) n2sen0cos0
A )m 2 tan6 B )0 ,5 m 2 ta n 6 C )m 28en0 B )n 2sen0
D )O ,5m 28en0 E )0 ,5 m 2senOcosO C) n2 cosO
Del gráfico, Determinar el perímetro del triángulo n 8en & c° 8 & A B
ABC , si: AB=BC. @ Del gráfico, Determinar ‘V ’.Si: BD=AByAC=n.
A) n(csc0 + l )
B) n{csc0 + 2)
C)n{sec9 + í )
D) n{sec0 + 2)
E) m(cot 0 + 1)
A) n (sen 0 - tan 0)
B) n {tan 0 - eos 0)
C) n {sen 0 - eos 0)
D) n (eos 9 - sen 0)
E)nsen9cos0 A
Del gráfico , Determinar la distancia mínima de @ Del gráfico, Determinar “x ”. 
“P n a la circunferencia de centro "O ” y radio "R ”. ^ m—no B
A) R{sec0-1 )
B )R ^ »e c ^ - l j
C) R (esc 0-1 )
D )R ^ c a c ^ -lj
E )R [c o t^ - l ' j
B)mten20
C) — ten 29 2
D) —WH0 2
E) ^ ten 20
’R - t
@ Determinar “x ”, del gráígM):
A ) msenff+ncoaO
B ) mcosO+nnenff
C) ( m + n )»en 0 co *0
D ) m tan$+naec0
@ Delgráfico, Determinar: tana, en función de e) m sec e+n tañe
A) 2tan0 g
B) 2cotO
C) tanO
D) ~cot0 
2 A Wf ■'
E) 4cotO A M C
@ Del gráfico, Determinar: tan a, en función de "a * 
(4bt,y 4t0 ,\
acoeO
A)
C)
E)
asenO 
b+acosO 
acosO 
b-asenO 
atanO 
b-acotO
B)
D)
b+asenO
asenO
b-acoe6
@ ) Del gráfico , Determinar “x ” . B
A ) msena
B) mtana
C) meosa
D) meota A^La
E) maeca D
Del gráfico , Determinar : K=ctga+ctg0
A' f » !
E ,l
íóJb]
[ T R If íO X r ftM E T R IA if ít t usa IA EXaCLOPEDlA SOIS
TERCER REPASO PARCIAL
En este capitulo definiremos las seis razones trigonométricas 
llamadas: Seno. Coseno. Tangente. Cotangente. Secante y 
Cosecante, abreviadas de la siguiente manera: Sen. Cos. Tg. Ctg. 
SecyCsc.
Un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo recto 
(90a). Los lados que forman el lado recto se llaman catetos y el 
tercer lado se llama hipotenusa. Además los otros ángulos del 
triángulo son agudos.
De la figura: 
o y p : Ángulos agudos 
a y b : catetos 
c : hipotenusa 
Se cumple:
• 0 < a <90°: 0 < P <90°
• a < c ; b < c
TEOREMA DE PITÁGORAS
‘‘La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo 
rectángulo es igual af cuadrado de la hipotenusa’'
Es decir a2+b2 -c 2
El teorema de Pitágoras será nuestro 
''caballito de batalla" y lo aplicaremos 
al problema de calcular una distancia.
(catetos o hipotenusa)
¿Qué son razones trigonométricas de un ángulo agudo?
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo son 
aquellos cocientes que se establecen entre los lados de un 
triángulo rectángulo con respecto de uno de sus ángulos agudos.
Con respecto del ángulo "a~ de la ñgura anterior, el cateto 
opuesto es "a", el cateto adyacente es “b“ y obviamente la 
hipotenusa es **c’\ asi se definen:
r — Cateto opuesto a! ángulo a a
0611 CL
hipotenusa c
Cateto adyacente al ángulo a b
hipotenusa c
„ Cateto opuesto al ángulo a a
Cateto adyacente al ángulo a b
Cateto adyacente al ángulo <x b
Ctg ct
Cateto opuesto al ángulo a a
«■cea r Hipotenusa c
Cateto adyacente al ángulo a b
Hipotenusa c
VM Vá "
Cateto opuesto al ángulo a a
Observación:
• Las razones trigonométricas Seno y Coseno son menores 
que la unidad.
• Las razones trigonométricas Secante y Cosecante son 
madores que la unidad.
Observación:
Conocido una razón trigonométrica de un ángulo agudo es 
posible hallar las demás.
Ejemplo:
Si para un ángulo agudo a se tiene que Tga— calcular las 
demás razones trigonométricas.
^ C a te to opuesto
Tga- —
^■ C a te to adyacente
Teorema de Pitágoras
!2; + 5! = x; 
169*X:e> X* 13 
de las definiciones tenemos:
. 5
c “ “ - f
T g a - 1 C t g a - £
S ~ a - j !
„ 13 
C s c a »—
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 
30’ . 60*. -I5*. 37* y 53*
Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a 
partir de los siguientes rectángulos.
Ejemplo:
• Sen 30" = ~ O Sen30° = y
1 0 7
•c«w4r> * - - L Í ^,*fV2 "TTlTT
* TsJr“ ? í o t *37* 'T
Así se pueden tener los valores:
RAZONES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
RECÍPROCAS
De las deñniciones para un ángulo agudo a tenemos:
R.T\¿ 30° 37° 45° 53° 60°
Sen
1 3 72 4 75«v»
2 5 2 5 2
Cos 75 4 75 3 1
2 5 2 5 2
Tg
75
3
3
4
1
4
3
75
ctg 75
4
3
1
3
4
A
3
Sec 275
3
5
4
72 5
3
2
Csc 2
5
3
72 5
4
275
3
Csca>
S eca »
Ctg a »
__¡__
Sena
__¡__
Cosa
I
Tga
c^> Sen a . C»c a ■ I
r-> C o sa .S eca »!
cO Tga.C lga»!
Ejemplos:
Si: Sena**-
A
Csc a * 3
. ^
i
7T
Las R.T. de los ángulos de 37*y 53° 
son aproximadas.
Observación:
Si: Ctga = V2 Tg a =
Cos 40* Sec 40° = 1
Tg 70»——i—
Ctg70»
SiiSenaCos 10o* 1 o a * 10°
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
' COMPLEMENTARIOS
. . r * Si dos ángulos agudos suman un ángulo recto, entonces se 
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo tgppctjtjen llaman complementarios de la flaum adjunta: 
únicamente de la medida de! ánguloy no de las longitudes de los 
lados del triángulo rectángulo. Por ejemplo de la figura:
De las definiciones, se cumplen:
E^ACB: Tg6=i
A’CB^Tge»! ^ Tg0 = J
Sen a = Cos p Cos a = Sen p
Tg a = Ctg p Ctg a • Tg p
Scca=CscP Csc a = Sec p
bs.A"CB':Tg9-4 0 Tg0--i 
6 2
De lo anterior, a las razones:
• Seno >• Coseno
Tangente y Cotangente 
Secante y Cosecantes 
Se llaman co-razones trigonométricas.
Finalmente concluimos que Tg a « i y no depende de los lados Ejemplos:
del triángulo rectángulo. * Sen 50° * Cos 40° Tg 80° = Ctg 10°
f T n t f í o x o j m T i U A í e s luí e x c ic lo pm lx son]
• Si: Seca “ Csc 75" => a = 15°
• Sen x = Cos (90° - x ) ; x es agudo
Resolver un triángulo significa hallar la longitud de sus 
lados y ángulos.
Para resolver el triángulo rectángulo necesitamos como 
datos un lado y un ángulo agudo, asi tenemos tres casos:
I CASO:
Datos: m. 9 
Incógnitas: x. y
• — Scnd o x = m Sen9
tn
• —-Coj0 o > ' “ mCos0
m
Conclusión:
aSe*6
II CASO:
Datos: m, 0 
Incógnitas: x. y
m
• — *Tg© cc> x *• m T g 0n
• — -SecQ c=> y = m Sec 0
tn
Conclusión:
—*CtgO o x = m Ctg9 
tn
— «Cscfl cí> y = m Csc 0 
tn
Conclusión:
Ejemplos:
Jícsciv
EJERCICIO:
De la figura adjunta, expresar el área sombreada en términos
RESOLUCIÓN:
111 CASO:
Datos: m. 0 
Incógnitas: x. y
EDITORIXL RVBlSOS 1 0 0 II RAZONES TRIGONOMETRICAS
Ü^ABC :BC = aSen<|> ( I)
b ^A B D : BD = a Tg 4.
L ^B E D : DE = BD Sen <|>
DE = aTg<|>Sen<t> (2)
basex altura
5. Si e es agudo =*■ Tañe Cote = 1.
6. El área de un triángulo ABC es y be SenA.
Recordar: Area de un triángulo =
En nuestro caso: Área A c b d =
2
B CxD E .(3)
( )
( )
7. En todo AACC se cumple: a2 = b2 + c2. ( )
8. En todo AABC se cumple: b - c < a < b + c. ( )
9. Si: A < B => TanA < TanB, siendo Ay B agudos. ( )
Reemplazando (1) y (2) en (3)
Á rea A C B D = (aSCT* )(aTgl|,Sen<l>)
Área A C B D = ̂ - T g fS e n 24>
10. Si 0 < A < B < 90° => CosA < CosB. ( )
P R A C TIC A D I R lG I DA
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
El área de una región triangular es igual al semiproducto ^ ¿ 9 Halle el área de la región triangular ABC, donde A,
de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que b y C son los puntos de intersección de las rectas y=x,
y = 2 -x ,y x = 2 .forman dichos lados.
A) 1U %
Del gráfico;
S = —ab Sen a 
2
P
' • " 
D ) 5
Si:
C)2 
E)3
tg8 - eos2 60° sec2 45°-tg0.secz 60°
S: Área de la región triangular ABC
EJEMPLO: 4 ¡:
sen26Ü°+tg0 sec260°-tgG-csc4 45° 
Calcule sen 0 (0 es agudo).
4
Calcular el área de una región triangular ABC i i AC - 8m. 
BC = 6m y el ángulo C mide 30°.
RESOLUCIÓN:
Calculando el área S 
Del zráfico:
A) A B) A
13
D) A
13
C)
13
E) A
12 13
Si csc2x cos4x= 1, calcular el valor de: 
V=sen(x+15°)+ctg3x+csc(4x - 30°).
A) 2.0 
D) 3.5
B) 2.5 C) 3.0 
E) 4.5
¿jk En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, 
calcular esc 0 , DO=OE.
8m
E JE R C IC IO S
En las siguientes preguntas indicar la verdad (V) o falsedad (F).
( )
( )
1. Si 0 es agudo => 0 < 0 < 90°.
2. Existen más de 6 razones trigonométricas.
3. Si: Sen0 = ± =>0 = 30°.
4. Si: 0 = 60° => Cose =1/2.
c ) 
( )
A) >/4Í 
D)
LA EXaCLOPEDL\ 2012
De la figura mostrada, determine la longitud del 
segmento BD en términos de m, 8y a , siendo AC—m.
B
A) msenO .c tg (0 -o )
B) m era0 .tg! 0 —a )
C) irisen0.tgf 6 -a )
D lm [tg a -c tg 0 ]
E) m era 0 .ctgf 9 - a } A
Se tiene la región triangular ABC, si AC=a, 
mZACB * mZBAR * a .
AB
D) JL E) —
B
Halle: M =
sena cosa
A)IKC-a B) a sen*a C) a cas* a
D) a tg* a E) a ctg2 a
De la figura mostrada,calcule x en términos de a 
ya , si O es el centro de la semicircunferencia y AP=a.
7 7
Sea el triángulo ABC, mostrado, si m¿BAC=e y 
AB»2u. Se pide hallar EC.
A) 2seiv0.sec0
B) 2 sen2 0 .eos 0
C) 2 sen5 0
D) 2 eos2 8 .sen 6
E) 2 eos10 .esc0
& En la figura mostrada M es punto medio de AC,
mZBCD-60°, AM=MD=2u. Hallar 4BN.
D
A )JÜ
A} a esc a .tga
B) ĉtgsa.seca
C) asee a.ctg a
D) -cscactga A
E) -seca.tga
En la figura mostrada, MN=4u, AM*(V3-l)u, 
CN-(>/3+l)uy m¿ABM = 0-Si (AB+BC) es mínima, halle
2sec6.
A) >/3 B) >¡5 C) 47
D ) 3 & E) 3>/7
En un triángulo ABC, si AB=2u. BC=5u, m^BAC «3p 
ym ¿ B C A -3 fl. Calcular tap.
a\ i r> J ? r.i &
Q 2 ( & * J 2 ) D)2 j2 + &
Con los datos proporcionados en la figura adjunta,
calcular el valor de la expresión: P *= tge tg+, donde 
CP»PB.
D
A) I B) I C) 1 
3 2
D) 2 E) 4
En la figura mostrada 3CD-7AB, calcule: 
eos 0. eos 0W.
sen20
A) 5
EDtTOHL\L RVBtXOS 171 RAZONES TRIGONOMETRICAS
En la figura mostrada ABCD es un rectángulo,
AM=PC=a, MB=3a, BP=2ay m¿MPD = x°.
Halle E=tgx -1.
A M B
A) 0.1 
D) 0.4
D) 2->/3 E) JS + 2
Con ayuda de la figura mostrada,
si S,= 15 S,, calcular cota
S,: área de la región triangular BAD.
S3: área de la región triangular BDC.
B
E) 0.5
i En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y M es 
un punto medio del lado AB. Hallar ctg 6.
A) 2
D) 6.5 É) t "
Del gráfico que se muestra encontar el valor de
6x+4y, si se sabe que BC—"12m y BM es mediana relativa 
a la hipotenusa.
Considere: tg37°=- 
4
A) 5 
D) 2
B) 4 C)3 
E) 1
En la figura mostrada AOD es un cuadrante, ty¡£|¡ 
son puntos de tangencia. Determinar E=(l
A) 1 
D) 4
C) 24 
E) 28
i Si: sen0~cos^j = O
«P r M 5!1)-0
Calcular:
B) 2
Si ABCD es un cuadrado, calcule tg$. (ADC es un 
sector circular). B C
sen
A) 0 
D) 2
a -
cos0+tg36°.tg
B) i
0+a
2
C) 1
E) 2\Í3
CLAVES DE LA PRACTICA DIRIGIDA
m m M P P H
A E D D C □ D c E a
c B DD D B D B E c
A) > /3-1 B) I
3
C) S + 2
ED ITO R IAL RC B lStíS ]
O B J E T IV O S :
* Diferenciar y reconocer loa elementos que define el 
ángulo de elevación, depresión y observación.
* Adquirir la destreza suficiente para poder entender 
de manera adecuada los problemas y poder plantear 
los gráficos para la posterior resolución de los 
ejercicios.
INTRODUCCIÓN S
En nuestra vida diaria observamos objetos e indicamos 
sus posiciones utilizando referencias que nos puedan 
permitir una mayor precisión al momento de ubicamos 
, en el capítulo que ahora vamos a estudiar definiremos 
en un mismo plano tanto al observador como el objeto 
que deseamos observar. Así también definiremos 
ángulos que nos van a perm itir visualizar 
determinados puntos del objeto en consideración. 
Primero lo haremos en planos verticales. Es así que 
es necesario conocer de antemano algunos términos 
que luego vamos a utilizar tales como Línea Vertical 
(línea que coincide con la dirección que marca la 
plomada), Plano Vertical (Es aquel plano que contiene 
a toda la recta vertical), Línea Visual (o Linea de mira, 
es aquella línea imaginaria que une el ojo del 
observador con el punto a observarse).
Una de las aplicaciones de los ángulos verticales son 
las ANTENAS PARABÓLICAS, porque éstas barren 
ángulos verticales y horizontales.
Las antenas parabólicas tienen como función la 
radiación o la recepción de ondas electromagnéticas, 
su elemento reflector parabólico concentra la energía 
en el punto focal, obteniendo así su característica de
transmisión o recepción unidireccional según sea su 
aplicación. Con la antena parabólica podemos obtener 
imágenes y sonido en directo de otros países ( partidos 
de fútbol, conferencias, noticias, etc.).
-v. ... r . : *
ÁNGULO V E R T IC A L
Se llama así a aquellos ángulos que están contenidos 
en un plano vertical. Los ángulos verticales son 
determinados en el instante en el cual 6e realiza una 
observación, estos ángulos se determinan en el punto 
desde el cual se está observando entre dos líneas 
imaginarias trazadas por dicho punto y que permitirán 
la observación; según su ubicación estos ángulos serán 
ángulos de elevación, ángulos de depresión o ángulos 
de observación.
V es el ángulo 
de elevación 
Horizontal 
"fT ea el ángulo 
de depresión
«r<a<900
ÁNGULO B E ELEVAC IÓ N
Para determinar un ángulo de elevación debemos de 
trazar una línea horizontal que pasa por el ojo del 
observador y la línea visual está por encima de la 
horizontal.
[ á> TRMGO&Q91ETMUÁA u m LA E&CMCLOPEDIA MOJA ]
Piano vertical
a-Angulo de Elevación
l i a n a
Horizontal
*
0= Angulo de 
Depresión
i
V 4 / > 
V 
*
6= Angulo de 
observación
KJ
2 I I I I I I I
S u m í
^ i i i i i i
S i i i i i i
^ i i i n i
s i l l í n
ÁNGULO D E D E P R E S IÓ N
Para determinar el ángulo de depresión debemos de 
trazar una línea horizontal que pasa por el ojo del 
observador y la línea visual está debajo de la horizontal.
En la figura se muestra la ubicación de los ángulos y 
depresión.
*a : E3 la medida del ángulo de elevación, porque se 
encuentra contenido en plano vertical.
* $: Es la medida del ángulo de depresión, porque está 
contenido en un plano vertical.
*£ :N o es un ángulo de elevación por que esta 
contenido en un plano inclinado .
OBSEKVACMÓ&:
El instrumento que nos ayuda a medir los ángulos verticales, 
asimismo los ángulos horizontales, es el teodolito, que tiene 
aplicación sobre todo en la industria de la construcción .
TEODOLITO
El teodolito es un instrumento de medición mecánico- 
óptico universal que sirve para medir ángulos verticales 
y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una 
precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares 
puede medir distancias y desniveles.
Es portátil y manual; está hecho para fines topográficos 
e ingenieros, sobre todo en las triangulaciones. Con 
ayuda de una mira y mediante la taquimetría, puede 
medir distancias. Un equipo más moderno y sofisticado 
es el teodo lito e lectrón ico , más conocido como 
estación total.
Básicamente, el teolodito actual es un telescopio 
montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, 
uno vertical y otro horizontal, con los que se miden 
los ángulos con ayuda de lentes.
[&AXGULO& HORIZONTALES T VEHTMCAMJBS A ] 17 4 £ l ih t o m a l r u b ig o s ]
COSSMBBRACfOimS PARA LA RESOLUCIÓN 
DJB PROBLEMAS
* La estatura de las personas se deberá considerar 
hasta sus ojos.
* Toda persona u objeto que posea una altura, será 
considerada perpendicular al nivel del suelo, a no ser 
que el problema indique otra situación .
* De no indicarse desde que altura se realiza la 
observación y no siendo esta altura la incógnita del 
problema, se deberá considerar que se está observando 
desde un punto del suelo .
X X
OS.,
Linea Horizontal X C
teco:
H
a : Ángulo de Elevación
* En el gráfico adjunto ,"0"es el ángulo bajo el cual se 
divisa la torre ,Note que deben trazarse las dos visuales 
;una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja . 
Luego n̂ Hes el ángulo formado por las dos visuales
Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal 
que , en la practica , lo vamos a ubicar en la rosa 
naútica.
En topografía el ángulo formado por dos líneas rectas
trazadas sobre el suelo se mide horizontalmente y se 
llama ángulo horizontal. Las líneas trazadas sobre el 
suelo se pueden reemplazar con dos líneas visuales . 
Estas líneas visuales parten del ojo del observador que 
constituye el vértice de un ángulo , y se dirigen hacia 
puntos fijos del terreno tales como una piedra, un árbol, 
un hormiguero, un poste telefónico o la esquina de un 
edificio.
“a” es un ángulo 
horizontal
R O S A N A U TIC A
Es un diagrama ubicado en planos horizontales y 
diseñado en base a la ubicación de los puntos cardinales 
que son: norte (N)> sur (S), este (E ) y oeste ( O -W ).
La rosa Náutica se emplea para localizar la posición 
de objetos o personas ubicados en el plano horizontal 
mediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.
La Rosa Náutica contiene a las treinta y dos(32) 
direcciones notables de la brújula, las cuales son 
obtenidas trazando bisectrices a partir de las 
direcciones principales, siendo el ángulo que forman 
dos direcciones notables consecutivas de 11°15\ tal 
como se observa en el gráfico.
N
f a i n m i M i n r m * t w t LA ETOfCXOWOM f l l )
BEMBOS Y D IRECCIONES
Para ubicar la posición de una persona u objeto con 
respecto a un punto determinado en el plano 
horizontal, se emplean con frecuencia to6 rumbos o 
direcciones; entendiéndose por:
BEM BOS
El ángulo agudo horizontal que forma la dirección de 
la persona u objeto con respecto al eje norte -sur, 
cuando ésta se desvía hacia el este (E ) u oeste (O )
D IRECCIONES
La línea recta sobre la cual se encuentra la persona u 
objeto con respecto a una Rosa Náutica, quedando 
determinada dicha dirección por su rumbo.
El rumbo de “A” con respecto 
a uP”es a al este del norte.
La dirección de UA" con respecto 
a “P” « NoE (norte a este).
DIRECCIONES OPUESTAS S
El opuesto de una dirección dada, se obtiene cambiando 
las direcciones que aparezcan por sus respectivos 
opuestos, sin cambiar el ángulo.
P O SIC IO N E S D E E A R O S A 
N ÁU TIC A
D I R E C C I O N E S
P R I N C I P A L E S
N
D I R E C C I O N E S
S E C U N D A R I A S
8
E J E M P L O i
••A” te halla el E3ff1N d e ‘,P ” 
"B ” se halla a l 040PNde“P ” 
“C ” se halla a l S42°0 de “P ”
Norte(N)
OeateiO) Este(E)
SurfSt
A estas direcciones, también se la pueden denotar así: 
”A"está 30° a l norte del este de " P ”
“B ”está 40°al norte del oeste de “P ”
“C"e»tá 42° a l oeste del sur de “P ”
Pero observe también que una dirección puede 
detectarse de dos formas :
Está alN24°Ede"R" 
Está alE66ANde"R” 
Está alO30°Nde"R ' 
Está a l de"R "
Está SlO°Ede"R" 
Está a l de’ R"
Ahora bien , algunas direcciones tienen la particularidad de 
obtenerse trazando bisectrices sucesivas , a partir de kw ejes 
principales ; por lo que su notación será también particular . 
Indicaremos lo que ocurre entre eIN orte y e l Este , y usted 
concluye los restantes por analogía .
[FAM ULOS BQmqOSTALBS T VEmnCALBS A J 179 [ _____________ E D ITO R IA L R U B V lO s]
En cualquiera de loe casos •.a^ lP lS ' ¿ f l = — rad
OBSERVACIÓN Z
N E oN 4 S °E
NO o N45°0
¡NNE o N22°30E 
NNO o N22°8(fO
N ^ N E o m r i S ’E
N —NO o Níl°UFO 
4
NOTA:
En todo problema donde se incluyan ángulos verticales 
y horizontales a le vez, se deberá bosquejar diagramas 
tridimensionales para tener una mejor visión y 
ubicación del problema.
SITU A C IO N E S C O M B IN A B A S
Cuando los enunciados de los problemas, mencionan 
ángulos verticales (de elevación o de depresión) y 
éngulos horizontales(uso de direcciones , 
generalmente), al mismo tiempo , la rosa náutica a 
emplear asume una posición más real; es decii; ubicada 
en un plano horizontal. Por ejemplo, gráfíquemos la 
siguiente situación:
“Desde un punto de tierra , se divisa al Norte lo alto 
de un poste con un ángulo de elevación " a " • Si luego 
nos desplazamos hacia el N60°E, hasta ubicamos al 
Este del poete , el ángulo de elevación para su parte 
más alta sería " fi". Ahora , note la representación 
gráfica:
E JE M PLO :
Una persona de altura uh ” observa en un determinado 
instante un helicóptero en la dirección NaE, con un 
ángulo de elevación 5 y a una altura “i/ ” .
E JE R C IC IO S
(0 ) ¿Cuán larga es la sombra que proyecta un mástil 
de l lm de altura cuando el sol tiene un ángulo de 
elevación de 30o?
Calcula la altura a la que se encuentra un barrilete 
si el ángulo que forma el hilo, de 35 m de longitud con 
la horizontal, es de 30° y la mano del niño que sostiene 
el hilo está a 80cm del suelo.
¡a n w w iw B n m ó T w t M BWaCWfBPtt ÜM1
PR O B LE M A 1 :
Si desde un punto en tierra ubicado a 20 m de la base 
de un edificio ; el ángulo de elevación para su parte 
más alta mide ST. Calcular la altura del edificio.
A) 18 m B) 10 C) 12 D) 16 E) 16
R E S O L U C IÓ N :
* Se deduce que : H-20tg37°
H-20tg37° => H -lS m
RPTA: "D "
PR O B LE M A S :
Una persona de 2 m de estatura, ubicada a 32 m de 
una torre de 34 m de altura; divisa la parte más alta 
con un ángulo de elevación de:
A) 28a 3)30° C )3 T D) 45a E) 60a
RESOLUCIÓN:
• Se deduce que : fy? # ” — =>tg0 '= l=*0=45°o2
RPTA :"D ”
PR O B LE M A 3 :
Un niño de estatura de 1J> m; esta ubicado a ffm d e 
una torre y observa su parte más alta con un ángulo 
de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? 
A )9m B) 8 C )7 D) 6,6 E) 9,5
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
* Se deduce que :
H =l,6 + 6tg53*=> ¿/=¿,S + 6 Í| )=> H=9,5m
RPTA: “E ”
P R O B LE M A 4 :
Una colina está inclinada un ángulo u$ M respecto a la 
horizontal. A una distancia "m ” del inicio de la colina 
y sobre ella se encuentra un objeto. ¿A qué altura se 
encuentra respecto a la horizontal?
A) msenO B) mcoaO C)mtgO
D ) mctgO E) m sec 6
RPTA: “A ”
P R O B LE M A 5:
Desde lo alto de un edificio de altura "h ” se divisa una 
piedra en el suelo con un ángulo de depresión ** p n. ¿A 
qué distancia de la base del edificio, se halla la piedra?
A)haec0 B)hcac0 Q htgfi Dihcoe* p E)hctg0 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
* Se deduce que :
~ = ctg 0 => x = h ctg fl 
n
C
RPTA:
P R O B LE M A 6 :
Desde un punto que se encuentra a 48 m del pie de
[¿aANGCIAM BOmiZONTAURS Y VBMtTlCALES A "j 1 7 8 |[ EDtTimiAt; RUBEDOS)
una torre el ángulo de elevación para la parte más alta
es 45°. ¿Cuánto debe acercar dicho punto para que el 
nuevo ángulo de elevación sea 53o?
A)10m B )6 C )4 D) 16 E) 12
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
48
* Se deduce que : 
4 8 -x
48
= c tg 5 3 °= > 4 8
=> 4 8 -x =36 => 12=x 
PR O B LE M A 7 :
RPTA : “E ‘
Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre 
con un ángulo de elevación Si el observador 6e 
acerca 20 m el ángulo de elevación sería “ p ” . 
Determinar la altura de la torre, si además se sabe 
que: ctg a -c tg 0 = 0,25.
A) 10 B) 80 01 60 D) 240 E) 40
R ESO LU CIÓ N :
* Graficando:
h
* Se deduce que : 
x + 96
- * + 9 6 -
96
= ctg 37° => jf + 96= 96^ j => x = 32 m
RPTA : "D ”
P R O B LE M A 9 :
Desde lo alto de un edificio se ve un punto en tierra 
con un ángulo de depresión “ a "y a otro punto ubicado 
a la mitad entre el primer punto y el edificio, con ángulo
de depresión “ 90° - a Determinar 
A)1 B)2 C)3 D H
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
: ctg2a-
E ) l
h ctg a
*Del gráfico se nota : 
h c tg a -h c tg p=20 h (ctg a - ctg p ) =20
=> h(0,25)=20=> h=80
RPTA: "B ”
PR O B LE M A 8 :
Desde lo alto de un faro, se divisan dos barcos a un 
mismo lado del faro, con ángulos de depresión de 45° y 
37°. Si la altura del faro es de 96 m. ¿Cuál sería la 
distancia entre los barcos?
A)4m B) 8 C)16 D) 32 E) 64
R E S O L U C IÓ N :
c tg *a -~ x ^
=> ctg2a - 2
RPTA: “B "
PR O B LE M A 10 :
Desde la parte superior de un edificio de 6 pisos iguales 
el ángulo de depresión para un punto en el suelo es 
“ P ” y desde la parte más alta del cuarto piso el ángulo 
de depresión es “ a ” Determinar : tg a .c tg p .
E)1°5
RESOL UCIÓN :
[á lU W W U C T M Ao 1 l M ENCICL0FUBIA — ¿ T )
* Graficando:
* Se aprecia:
4h 
~d 
* d 
Ctg=ñ
* a 4n d 2= > * a c * / * = - x - = -
RPTA : ,,B "
P R O B L E M A 11 :
Una pereona A se encuentra al este de otra persona B, 
si B se desplaza en dirección N —NE y la persona A 
en la dirección NO, se encuentra en el punto P . 
Determinar cuanto mide el ángulo APB,
A) 45a B) i r i S * C) 4 T ÍS ' D) S&tS’ E) 1T1B’ 
R E S O L U C IÓ N :
■E
* Sabemos que : N — NE = N ll°1 5 'E
4 -Q
* Luego, en la figura:
APB=45° + 0=46° + 11°1S' =>APB-S6°15'
RPTA : “D ”
P R O B L E M A 12 :
La elevación de una torre desde un punto A al oeste 
de ella es 60° y desde un punto B al sur de A , la 
elevación es de 30°. Si la torre tiene 76 m de altura 
.Determinar la distancia comprendida entre A y B .
A) 50y¡6 B)30\Í3 C )20j6 D)80-j2 E) 90
RESOLUCIÓN :
BP = 7SctgSO° = 7B-J8 
* Ahora por el teorema de Pitágoras:
AB2 + AP2=BP*^ x 2 + ̂ _= 7 rt2 (3 ) => **=75* ̂ 6 - 
=> x 2= 7S2 ) => X m 50'JS
RPTA ¿ "A ”
P R O B L E M A 13 :
La base de un muro de 7 metros de altura se halla en 
una línea que va de norte a sur . El rumbo de la luz 
solar es S60°E , y su ángulo de depresión es 50°. 
Determinar el ancho de la sombra del muro .
A)10m B)9m C)10fim 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
D)10jS m B)12m
•Visto de planta la sombra se nota que es ABCD .
ixahc (notable 30° y 60°)
=» x - 7^3 gen 60° = 7 43 ̂ j 
=0 x = 10,5 m
RPTA: “C "
PR O B LE M A 14:
Un niño observa la parte superior de un edificio con 
un ángulo de elevación de 18E°. Si el niño se encuentra 
a 24m del pie del edifício,¿cuónto deberá caminar (en 
m)en dirección del ediñcio, para obtener la parte 
superior de este con un ángulo de 26,6o?
A)4 B)8 C)10 D)12 E)16
R E S O L U C IÓ N :
notemos que: 3h * 24 =* h ■ 8 
Luego: el niño debe de caminar 8m
RPTA: “B "
PR O B LE M A 15:
Calcule la medida aproximada del ángulo de elevación 
del Sol» cuando una persona de h metros de estatura 
proyecta una sombra de 2h metros de longitud en un 
terreno a nivel.
A) 15° 13)18° C)18,5° 0)26,5° E)30°
R E S O L U C IÓ N :
2h
Como: Tan6=^---=>B=26?3ff 
2h 2
RPTA: “D ”
P R O B LE M A 16:
Al despegar de la pista un avión vuela en línea recta 
formando un ángulo de inclinación de 30° (en este 
trayecto recorre 100 m), posteriormente recorre 200 
m en línea recta horizontal de tal manera que desde 
el punto de despegue el avión es observado con un 
ángulo de elevación a', al calcular cot(a )se obtiene:
A)y¡3+1 B)4s+2 C)>Í3+3 D)>Í3+4 E)43+5
R E S O L U C IÓ N :
Del gráfico.
^ A 60-JH+200Cota= --------
50
Cota--Í3+4
trayectoria del avión
aoja
P R O B LE M A 17:
200
RPTA: “D '
Desde un punto en tierra se observa la parte más alta 
de un muro con un ángulo de elevación cuya medida 
es $. Si nos acercamos al muro una distancia igual a la 
altura» el ángulo de elevación es el complemento de#. 
Calcule P=tan (0 )+cot(0 ). —
A)4s + i b )4s o 4s - i
R E S O L U C IÓ N :
Hugo
htanQ,
hcotft.
r s T W I M EXCMCL0FBDIA J Ü T )
De] gráfico observamos que:
hCot& =h+hTan8» CotQ — Tan8—1 
Se pide: M=Cotg+TanB 
Conocemos que:
(Cot0+ TanO)* - ( CotO - TttnQ? - 4 
=>M3-1 3=4=>M=J5
RPTA : “B ”
PROBIJSMA 18:
Desde la parte superior e inferior del segundo piso de 
un edificio de 4 pisos iguales, se observa una piedra en 
el suelo (a 9m del pie del ediñcio)con ángulo de 
depresión a y 8 respectivamente y desde ta parte 
superior del edificio la depresión angular para la piedra 
es 4 > calcule la altura (en m )de dicho ediñcio , si
tan(4) ~ a ) - tanf 8}=—.
4
AJ63 B)64 C)62 
R E S O L U C IÓ N : 
Condición:
D)60
h
Tanj - Tana - TanO = ,
4 /
/ i
h
dyí
h
0 r \
h
E)SO
5
Sustituimos en la condición: 
9 9 9 - #
RPTA : "A ’
PR O B LE M A 19:
Una persona de l,8m de estatura observa la parte 
superior de un edificio de 21,8m de altura con un 
ángulo de elevación g. En la misma dirección la 
persona se acerca 12m al edificio, y el nuevo ángulo 
de elevación con que observa el mismo punto es el 
complemento de g. Halle 10tan(8)+3.
A)9 B)iO C)-<fÍ09 D)Jl26 E)12 
R E S O L U C IÓ N :
Del gráfico:
Tan8 = 20 20 - l2TanO
TanB—
20
12+a TanO
a = 20Tan8
igualamos las expresiones: 
20- 12Tan0
TanB
=? O=5Tans0+ 3TanB - 5 
luego:
TanB-
= 20TanB=> 20 - 12TanB= 20Tans8
_ -3±y¡S*-4<5 )(-5 ) 
2x5
=> TanB= -~3±yfl09
10
Pfero: Tan0>O =>TanB=^^—̂ -=*10Tan9+3=JÍ09
10
RPTA: “C”
P R O B LE M A 30:
Una estatua de 5 metros de altura descansa sobre una 
pedestal de 4m de alto. Si desde un punto en el piso se 
observa la cabeza de la estatua con un ángulo de 
elevación 28 y el ángulo de visual de la estatua es 8, 
halle la distancia del observador al pedestal y coa (28). 
A)6 y 0,6 R)7 y 0,7 C)8y0,8 D)10y0,9 E)12yO,8 
R E S O L U C IÓ N :
Del gráfico 
y\ sombreado:
Cos28=í 
5
=>28=3T
también:
4 37® f 1 4
ro n 3 = ^ Ton—
d 2 d 3 d
RPTA:
P R O B LE M A 31 :
Tres personas A , B y C se encuentran en un plano 
horizontal, tal que B se encuentra a una distancia de 
20m al norte de A y C se encuentra al este y noreste 
de B y A si encuentra al este y noreste de B y A 
respectivamente. Si A y B se desplazan en direcciones 
N53°E y S37°E respectivamente hasta que A se 
encuentra a 5 m al norte de B , y en ese instante C se 
encuentra alE 8 N de la nueva posición de A , luego 
el valor de tan 0 es :
[ajTOCTOJ momaojvTAues r verticales a ] ia »~ t e d it o r ía i , ¡t ro tó o s }
PR O B LE M A 83:R E S O L U C IÓ N :
* Del enunciado tenemos (nótese que A* y B’ son las 
segundas posiciones de A y B respectivamente)
1* 12 1 ^ 8 — *
*En el triángulo sombreado 
{AEñQ ,A 'H -U y HC = 8
a ^ . A'H 11* Luego , definimos : « * » » = ——= —
n C o
R PTA : “B "
PR O B LE M A 88:
Un alumno observa lo alto de un poste con un ángulo 
de elevación de 00°. Luego camina hacia la derecha 
una distancia igual a la distancia que lo separaba del 
poste inicialmente y en ese momento observa el mismo 
punto con un ángulo de elevación a-
Determinar: Sctg’ a . ~ -
A )1 B )2 C )^ D )3 E )~
R E SO L U C IÓ N :
* Graficando lo que va a suceder :
0 J2 J2 . i 2 
C‘g a = - ^ 3 = l 3 S C ‘g “ = I
=> Sctg*a’*2 RPTA : "B”
Los ángulos de elevación de las puntas de las astas de 
dos banderas, según gráfica vistas desde la posición A 
miden 30° y 60°; y vistas desde la posición B , miden 
60° y 45°. Si la longitud AB es de 18 m; entonces al 
calcular la diferencia entre las alturas de las astas, se
R E S O L U C IÓ N :
* Completando datos:
Ir
* En el ¿3SRB.-18 + —j^ = H ^ H —27 + 9-JE
* Se pide : H - h ~ 2 7 + 9>Í3-9^3
=>H -h =27 m
R PTA : “E ”
PR O B LE M A 34:
Dos helicópteros que vuelan en trayectorias 
perpendiculares a una altura de ISO m, disparan 
simultáneamente un misil cada uno para dar a un 
mismo objetivo . En el momento del disparo, uno de 
Iob helicópteros observa el objetivo con un ángulo de 
depresión de 37* y se encuentra a 250 m del otro . 
¿Cuál será el ángulo de depresión con el que observa 
el otro helicóptero al objetivo?
A) 15° B) 30° C) 3T D) 45° E) 53a 
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando:
[ ̂ TRIGONOMETRIA* T J ñ T EA ENCICLOPEDIA MOIM ]
Trayectorias _ 
perpendicular**
=> d= yjl940 => d~44,045m
RPTA : “f i "
PR O B E LA M A 26:
Desde un punto “P ” se divisa un objeto “A” al este y a 
15 m y otro punto uB n en la dirección E45°S y a
10^2 ni- ¿Cuál es la distancia entre *54” y "£?”?
A) y¡5 B)3j5
R ESO LU C IÓ N : 
* Según los datos:
B jS ji
I ) ‘14” se encuentra al este de “P ” a 16 m.
W “B ” enE45°Syal0j2m .
I I I ) Trazamos
B H L P A : BH=PH=10(45° => notable)04=5
IV ) Por Pitágoras: x 2=102 + 52
x 2—125 v=5^5
»60m
* Del triángulo sombreado : ^ =45°
RPTA : “D ”
PR O B LE M A 25:
Un hombre observa a su derecha la parte más alta de 
un edificio de 40 m de altura con un ángulo de 
elevación de 55°, y frente a él observa la parte más 
alta de otro edificio de 12 m de altura con un ángulo 
de elevación de 37°. Determinar la distancia que existe 
entre los dos puntos observados.
A) 44,015 m B) 44,045 m C) 44,075 m
D) 45,050 m E) 46,045 m
R E S O L U C IÓ N :
RPTA: “C”
P R O B LE M A 27:
Desde un punto se observan dos barcos en la dirección
N20°O y S70°O, a las distancias de 40 y 9 m 
respectivamente. ¿Cuál es la distancia de separación 
de los barcos?
A) 40 m B) 49 C) 41 DI 9 E) 81 
R E S O L U C IÓ N :
* Con los datos indicados» ubicamos las direcciones de
* Ĝ ABP: Por Pitágoras: x 2-4 0 2 + 92 =>x =41m
RPTA: “C”
P R O B LE M A 28 :
Un avión que se encuentra a una altura “H ” sufre un 
desperfecto y cae a tierra siguiendo una trayectoria 
recta que hace un ángulo con respecto a la horizontal 
de 16°; además, una persona en tierra observa la caída 
con un ángulo de 53°. Determinar la distancia del 
choque con respecto al observador.
4 4
R E S O L U C IÓ N : 
* Grafícando:
C) 117H
28
D) 25H E) 19H
K i r
[á ANGULOS BOOLZONTAUES Y VEMtTlCALES A ] 134 f¡BMTORIAf7 RVBM^OS]^(Distancia dd observador él choque) -Hcol 53°+Hcot 16°
= H (co t5 3 °+ co tl6 ° )= H (-+ — U — t í 
v * \3 7 ) 7
RPTA: “D ”
PR O B LE M A 29 :
Un navio que se dirige hacia el Norte, ve sobre una 
misma línea 2 faros en la dirección del Oeste; después 
de una hora de marcha, los faros aparecen uno al Sur- 
Oeste y al otro al Oeste - Sur- Oeste. Sabiendo que la
distancia de los faroB es de 10 42 km , Determinar la 
velocidad del navio en kmjh.
A) 10 m i l C)12 D) 13 E) 14
R E S O L U C IÓ N :
e -y 10km ,,V=-=> V=- =10 km i h
t lh
PR O B LE M A 30 :
Una persona de 1,76 m de estatura observa un árbol 
con un ángulo de depresión de 30° su base y con un 
ángulo de elevación de 60° su parte superior . 
Determinar la altura del árbol.
A) 5,25 m B)3,50m 
R E S O L U C IÓ N :
* Grafícación:
C)7m D)3yf3m E)7yf3m
* Del gráfico: H=4.(l,75)=7m
RPTA : "C ”
PR O B LE M A 31:
Desde un punto en el terreno se observa una torre con 
un ángulo de elevación “ a ”\ desde la mitad de la 
distancia el ángulo de elevación es complemento del
anterior . Determinar t g a ”
42 ■ C)2 D )^ - B) 42
* DaLG^BAC: 
ntga- H" .tt)
* Del CxABM:
H OI)
9 i 4 2tg* a = - ^ t g a ^
RPTA : “A ”
RPTA : UA ”
P R O B L E M A 32 :
Un pueblo se encuentra a 25 km al Norte de otro que 
a su vez está a 2543km al Este de un tercero, ¿en 
qué dirección está el tercer pueblo del primero?
A) E60°N B) mOPO C)060°S
D) S60°O E) N60°E
R E S O L U C IÓ N :
* Graficando : !«*• Puebk
N « f c 
A pueblo
e< H ri> E
* Entonces de la figura, el primer pueblo está al N6(TE 
del tercer pueblo.
R PTA : “E ”
P R O B LE M A 33:
En el gráfico se muestra un puente y para determinar 
su longitud se hacen mediciones a partir del punto P . 
Si desde P se observa A con un ángulo de elevación de 
6(T y B con un ángulo de elevación 45° , encuentra 
dicha longitud.
[amBOTUBIMU' LA M C íQ ^ T O a » 9 ia )
A) 100m
B)200 m
n, ^ A R
C) 20(10-43)
W 20(10+43)m i
E)20(l+43)m
- i mr t . iT ----------
kzom-i
R E S O L U C IÓ N :
•como AM= B N = P N => fW = 2043 
=>L = 20 + 204H => L - 20(1 +43 )m
RPTA: “E "
PR O B LE M A 34:
Desde un faro de 300m de altura sobre el nivel del 
mar se observa un barco que se aleja, con ángulo de 
depresión de medida ay media hora mas tarde se 
observa, en la misma dirección el mismo barco, con un 
ángulo de depresión de medida p . Halle la rapidez 
del barco (en m/hr).
A)10O[ cot( p ) - cot( a jj B)lSO[ cof( p ) - cot( a ) ]
C)300f ta n (p ) - ta n (a ) ] D)600[tanfp) - tan(a ) ]
E)600[ cotí p ) - cotí a ))
R E S O L U C IÓ N :
300Cota
3OOCot0
„ e 300(Cotp - Cota)m
'ierro . 'lofw- <
—hora 
2
P R O B LE M A 35:
Desde un punto ubicado en el suelo se observa un avión 
A volando a 600m de altura, en la dirección N30°E, 
con un ángulo de elevación de 37°; y desde ese mismo 
punto se observa, en ese mismo instante otro avión B 
volando a 800m de altura, con un ángulo de elevación 
de 6 3 en la dirección S60°E. Calcule la distancia (en 
m ) entre los aviones A y B.
A) SO426 B) 100426 C)100429 D )200426 E)200429
Apliquemos el teorema de Pitágoras en el AHB:
d2 = 10002 + 2002 =>d2 = 200S(5 S + 12 ) 
= > d = 200426
R P T A t"D "
P R O B LE M A 36:
Un navio que viaja exactamente hacia el ESTE a la 
velocidad uniforme de 40,8 km¡h, observa el pie de 
un faro exactamente en el rumbo NORTE a las 
5h 1,5' 15\ luego 8o al NORTE del NO a las 
7h 31' 45" y la parte mas alta del faro con un ángulo 
de elevación de 3T. Halle tas distancias del pie del 
faro a los dos puntos de observación y la altura del 
faro respectivamente.
A) 136km;l 70km y 127,Skm B) 14Qkm;180kmy 160 km
C) ISOkm; lOOkmy 120Jtm D ) 140km; ISOkmy 120km
B o m m o m A J u s s r v r m t íc a l e s a j 1 8 6 EMTimiAM, RfJBtXOS)
Observemos que:
t = 7h31 min 46a - 6hl,6m in 16a 
=:>t = 2h 29,6 min 30a
. o- 29 ,6 . 30^>t = 2h + — — h +
60
u ,
3600 ^ 4
La distancia d recorrida por el auto e s : 
d= 20 coa 22,6?
=> d s 20x0,924 =>d = 18,48 m
RPTA : “A "
P R O B LE M A 38:
Diana y Bryan, situados al SUR y al ESTE 
respectivamente de una torre, miden ángulos de 
elevación de 30° y a , respectivamente; la que se 
encuentra al SUR debe seguir la dirección E75aN y 
caminas 10 *¡3 m para llegar donde está Biyan. ¿Cuál 
es la altura de la torre?
A)2y¡2 + J2m B)5\¡2 + 43 m C)^10^3 + J s j í
D)5yfjW+~j2m E)
R E S O L U C IÓ N :
Además : 3 x= v t, dato : V= 40,8 kmíh
3 x = 40,8 x ■=> x = 34
4
En el sombreado :
h = Bxtan37° = 170x^-=>h = 127,5 km
4
Nos piden:
4x~136 km , 5x=170 km , h = 127,5 km
RPTA : “A*
PR O B LE M A 37:
Alejandro se encuentra al pie de un edificio y a 20m 
de distancia observa un auto en la dirección ESTE. El 
auto se desplaza en la dirección N67,5°0. Luego, 
Alejandro sube a lo alto del edificio de 20m de altura y 
observa al auto en la dirección NNE. Halle la distancia 
aproximada (en m) recorrida por el auto.
A) 18,48 B) 19,48 C) 20,18 D) 21,08 E) 22
R E S O LU C IÓ N :
m
En el D P T :
h = 10y¡3 eos 15°. tan 30°
h = I O S } 1 + C° 83?° x ^ ¡ - ^ h = 5 j2 + j3 ,
y 2 3
RPTA : “B ’f
PR O B LE M A 39:
Desde los extremos A y B de un puente se observa una 
piedra exactamente debajo de él, con ángulos de 
depresión de 15o y 22,5° respectivamente. Halle la 
distancia entre dichos extremos, si la distancia de la 
piedra al puente es de ,9d9f metros.
A)d(j3 + yf2) B)d(\¡3 + ■/§ +1) C)d(3 + j3 + j2 )
D)d(-Js -JH + 2) E)d(j3~¡2+1)
R E S O L U C IÓ N :
AB = d cot 15°+dcot22,5°
Se sabe que:
* Cot 15° = Csc30° + Cot30° = 2 + y[3
* Cot 22,5° = C8c45° + Cot45° = -¡2 + 1 
LuegoAB = d(2 + j3 + j 2 + l )
AB = d(3 + j3 + -JH)
RPTA: “C”
PR O B LE M A 40:
El niño Daniel está volando su cometa soltándole 
cuerda, la misma que se mantiene tensa y haciendo 
un ángulo e con la horizontal. A 120m, detrás de 
Daniel está el niño Alejandro, cuando la cometa se 
encuentra a 20m de altura, Alejandro la observa con
[ekjw ioim MBTatAA T w T LA B W a O W M Iá JÜ S 1
un ángulo a respecto a ia horizontal. ¿A cuántos 
metros de altura se encontrará la cometa para que sea 
observada por Alejandro con un ángulo 2a! suponer 
que el ángulo de la cuerda con la horizontal se mantiene
y t g ( » ) - L
..637A)-— m
23
n i2285». n l0s0 m
C)^ r m
n .lW lD )— m E) — m
3h
Dado que tan 6 = — se tiene:
* ti. EPD : PD=60
* ts. FQD : QD=3h
Ene] RPA ¡ tana = 
Luego:
20
180
l
9
. 2 tana . 9tan 2a -------- =— tan 2a = —
1 - tan a 40 -a )
En *1 2a =
120+ 3h
— (U )
Haciendo ( I ) = ( I I ) se obtiene: u B m
13
R PTA : **C"
PR O B LE M A 41:
Una persona divisa la parte mas alta de una torre con 
un ángulo de elevación 0 , siendo la longitud de la visual 
50-Jd metros, la torre se encuentra al norte de la 
persona. Luego, la persona avanza una cierta distancia 
hada el este y vuelve a observar el punto anterior, pero 
ahora el ángulo de eievadón es el doble del anterior y 
la longitud de la visual es 50 metros. Halle el valor del 
ángulo de eievadón 0.
A) IIP B) 30° C )3 r D) 45a E) 53° 
R E S O L U C IÓ N :
Vemos que: 60 aen20 = 5O43»en0
2sen6 cosO = yfÜsenO
cob0 = — =* 0 = 30°
2
NOTA : Si se pidiera la altura de la torre, la respuesta
RPTA : “B ’
sería : BOjS een30• = 2543; 3=30°
P R O B LE M A 42:
Juan sale de su caBa, ubicada al NORTE de una caseta 
de vigilancia, al mismo tiempo que lo hace Pedro, cuya 
casa esta ubicada al SE de la misma caseta. Si Juan 
recorre 100 m al ESTE y Pedro 7542m al NE, 
logrando encontrarse ¿Cuál es la distancia entre el 
punto de encuentro y la caseta de vigilanda (en m)?
A )2545 B )2542 C)504b D )5042 E)7542 
R E S O L U C IÓ N :
1 0 0 -x -1 5 0 -2 x
x~50
Finalmente:
d3 ^1002 +x* 
=>d* = 1003 + 503 d = S04ó
RPTA: "C "
P R O B LE M A 43:
Un velero que se dirige hacia el Norte ve en un 
determinado momento a dos faros ubicados en línea 
recta en la dirección Oeste; después de una hora de 
navegadón se observa que los faros se encuentran uno 
al SO y el otro a SSO. Si la distancia entre los faros es
fiSi&ltGULOS BOmiZOXTAUES T VBMTMCAUB8 A] 188 EDiTOHIAIj R V Itevos)
de 8 km, entonces la velocidad del velero en km/h es 
de:
B) 3(1+42)
E )2 (4 2 + l )
A )2 (y ¡2 -1 )
0 )5 (2 4 2 -1 )
C )4 (2 +4 2 )
• d = 8+dtan 45°
d
=>d = 8 + d (4 2 -l) 
=>d = 4(2+42)km
La velocidad del velero es :
v = d = 4(2± : ¡22km y ^ km
t lh h
RPTA : “C ”
PR O B LE M A 44:
Una embarcación A se dirige en dirección, NN E y B 
se dirige en dirección ESE. Si la embarcación A se 
dirige con una rapidez de 3kmlh yB se dirige con una 
rapidez de 12km!h. Halle la distancia (en km) entre 
A y B después de60 minutos.
A )^ 4 l7 B )4 l7 C & 4 Í7 D )24l7 E)3-íÍ7
3 2
R E S O LU C IÓ N :
Si las velocidades de las embarcaciones A y B son 
3kmjh y 12kmlh, entonces en 60 m in (lh ) recorren 
respectivamente:
PA = 3km , PB = 12km
Aplicando el teorema de Pitágoras en el fĉ . APB se 
obtiene:
d2 = 32 + 122
=>d2 = 32(12 + 42)=>d = 34l7km
RPTA í "B ”
P R O B LE M A 45:
Un faro envía un haz de luz en forma de abanico que 
se extiende del ESE al OSO. Una embarcación a 2 
km del faro que navega hacia el OESTE entra al haz 
de luz en el ESE y después de una hora sale del haz de 
luz en el OSO. ¿Cuál es la velocidad (en kmih) 
aproximada del barco?
A) 1,85 B) 2,85 C) 3,7 D) 4,85 E) 5,85 
R E S O L U C IÓ N :
Vemos que:
45°d-4cos =>d = 4x
2
t~ lh
42 + 42 >d=3,696km
La velocidad del barco es :
v = d = 316 9 6 k m ^ v = 3 7 k m / h 
t lh
RPTA: “C”
PR O B LE M A 46:
Desde un punto en tierra se observa la parte superior 
de un poste con un ángulo de elevación $ y su parte 
inferior con un ángulo de elevación a . Halle la altura 
del poste si este se encuentra sobre un muro de altura
[a r o w i iw f f in m ~ 180 r LA g lW JO O W JM K U 1
En el fe^ABW: tana- AB •AB=hcota
h cot a tan 0En el h ^ A B C : t a n 0 = ^ = - ^ -AB hcota
^=>x+h=$x = h(cot atan&-1 )
PR O B LE M A 47:
Un farol de 6 m t de altura, ubicado en el centro de un 
parque, alumbra a tres niños, proyectándoles sombras 
de Im t, 2m t y 3m t de longitud. Si sus ubicaciones 
respecto al farol son respectivamente O, N E y SE y 
además se sabe que tienen la misma estatura ( l f i m t) 
se le pide, determinar el área de la región triangular 
formada por los niños (en m t*).
A )^ {l2 + 6 j2 ) B j| (5 4 + «V 2 ) C)^(27 + j2 ]
D>|(27 + 5>/2) E )~ (54 + j2 )
R E S O L U C IÓ N :
Nos piden: S&¿gc-S 6AFfí+SflAPC+SaBK.......(I)
me, 4,5cota*4,5cot $ __
S fAPB = ----------2---------- aení35
_8 ¡ 2 4 - l 2 _ 9 j , 
4,5cotax4,5cot9
.-.(II)
®áAPC_
81 2
aenl3S°
oí s „ *¡2 27 .-.(IU )
’UBPC
4,5 cot p.4,Scot6
=»S6BPC
81 4 0 — x—x.2- 
8 8
27.. .(IV )
• (U ), <m ) y (IV ) en ( I ) :
S*uc = " j * + ^ - '/ * +
27 27x4
( 0 Al observar la parte superior de una torre, el 
ángulo de elevación es 53° medido a 36 m de ella, y a 
una altura de 12 m sobre el suelo. Determinar la altura 
de la torre.
A) 24 m B) 48 m C) 50 m D ) 60 m E) 30 m 
0 Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio 
se observan dos puntos “A” y “B ” en el suelo con 
ángulo de depresión de 37° y 53°. Se pide Determinar 
la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio 
es de 120 m.
A) 70 m B) 90 m C) 120 m D ) 160 m E)100 m 
( 0 Desde la orilla de un río se observa la parte más 
alta de un árbol en la orilla opuesta con un ángulo de 
elevación de 60°. Alejándose 20 m , el nuevo ángulo es 
de 33°. Determinar la altura del árbol.
A)12m B)12y¡3m C)15m D)IS43m E)10>Í3m 
(0 ) Al observar la parte superior de un obelisco , el 
ángulo de elevación es 37°, medido a 48 m de ella, y a 
una altura de 14 m sobre el suelo. Determinar la altura 
del obelisco.
A) 25 m B)15 m C)36m D)50 m E) 24 m
0 ) Desde lo alto de un faro ubicado en la playa, se 
observan dos botes anclados en alta mar y alineados 
con el con ángulos de depresión iguales a 30° y 60°
respectivamente . Si la altura del faro es de 30s¡3 m . 
Determinar la distancia que separa dichos botes . 
A)30 m B )30^3 m C)60 m D )6 0 j3 m E)46 m 
^ ^ A l mirar una hormiga la parte más allá de un 
ladrillo lo hace con un ángulo de elevación de 60° si se 
aleja una distancia de 20 cnC. El nuevo ángulo de 
elevación es de 30°. Determinar la altura del ladrillo. 
A)10cm B)1(U¡3 cm C)15cm D )12cm E)18cm 
0 ) A 16 m de la base de un árbol el ángulo de 
elevación para la parte más alta es 37°. Determinar la 
altura del árbol.
A)10m B ) l lm C)12m D)13m E)14 m
( 0 Si a 20 m de un poste se observa lo alto con un 
ángulo de elevación de 37° y luego nos acercamos al 
poste una distancia igual a su altura y el nuevo ángulo 
de elevación es de $. Determinar : tgO.
A) 1 B) 2 C )3 D ) 4 E) 6
@ Martín observa la parte superior de un muro con 
un ángulo de elevación $, cuando la distancia que los 
separa se ha reducido a su tercera parte, el ángulo de 
elevación se ha duplicado . Determinar la medida del
RPTA ¡ “A "
[a áWBtw goi/wmuts r wgmoitjw 4 ] 199 EDTTOKUU, KITBJttO.V
ángulo
A; 25* BJ 50» C; 45* D) 60° B; 75" 
0 Desde un punto en ei suelo se observa la parte 
más alta de un ediñcio con una elevación angular de 
37°, nos acercamos al edificio una distancia de 10 m y 
el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 
45*. Determinar la altura del edificio .
A) l in t B)15m C)28m D ) 30 m E) 32 m
0 Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros 
de 3 m y 4J3 m 6e observa sus puntos más altos con 
ángulos de elevación de 30° y 60° respectivamente . 
Determinar la distancia entre dichos puntos . 
A)10m B) 12 m C)14m D)16m E)18m
© Desde lo alto de un edificio se divisa un objeto en 
tierra con un ángulo de depresión ** 0 ” ( tan 0=2,5), 
a una distancia de 40 m de su base. ¿Cuál es la altura 
del ediñcio?
A) 100 m B) 126 C)70 D) 80 E) 120
(Q) Desde un punto en tierra ubicado a una distancia 
de 20 m de una torre, se divisa su parte más alta con 
un ángulo de elevación ua " ( tan a » I , 5 ) . Determinar 
la altura de la torre.
A) 16 m B) 30 0 60 D) 40 E) 45
@ Desde lo alto de una torre de 24 m de altura se 
observa un objeto en el suelo con un ángulo de 
depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base de la torre 
se encuentra el objeto?
A)12m B) 14 0 1 6 D ) 18 E)21
(Q) Desde la parte alta de un muro de 8 m de altura, 
se observa la parte alta y baja de un edificio con ángulos 
de elevación y depresión de 37° y 45* respectivamente 
. Determinar la altura del edificio.
Aj 10 m B) 12 O 14 D) 16 E) 18 
(Q Desde lo alto de un árbol se ve lo alto de un ediñcio 
con un ánguto de elevación de 37°, y se ve también la 
parte bqja con un ángulo de depresión de 530. Si la 
distancia del árbol al edificio es de 12 m , obtener la 
suma de las alturas del árbol y el ediñcio.
A) 37 m B) 38 0 39 D) 40 E) 41
(QlDesde un punto en tierra se divisa lo alto de un 
poste con un ángulo de elevación “ 0 ” . Si el punto 
está a 8 m de la base dél poste, ¿cuál es la altura del 
poste?
A)8 tan 0 B)8cot0 0 8 sen 0 D )8cob0 E)8cmc0 
(¿d) Desde lo alto de una montaña de 120 m de altura 
, se divisa en el suelo a un objeto con un ángulo de 
depresión de 32°. ¿A qué distancia de la base de la
montaña &e encuentra el objeto?
A) 190,324 m 
D) 168,171
B) 192,04 
E) 120,32
0196,1642
(Tffy Una persona ubicada a 6 m de un poste, divisa su 
parte más alta y base con ángulos de elevación y
depresión de 53y u0 ” ̂ an ^= ^ j respectivamente. 
Determinar la suma de alturas de la persona y el poste 
A) 12 m BJ16 0 14 d) 10 E) 20
@ Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un 
ediñcio con ángulo de elevación a nos acercamos a 
una distancia igual al triple de la altura del edificio y 
el ángulo de elevación es ahora q . Determinar : 
E —ctg a - ctg 6
A) 1 B) 2 0 3 D ) 4 E) 6
Desde lo alto de un ediñcio de 24m de altura se 
divisan dos objetos en tierra con ángulos de depresión 
de 45° y 37°. Si los objetos están a un mismo lado del 
ediñcio que distancia los separa .
A )3m B) 4 0 6 D) 8 E) 10
@1 Desde lo alto y bajo de un muro se observa lo alto 
de un poste con ángulo de elevación de 37° y 45° 
respectivamente. Si la distancia entre el muroy poste 
es 8 m. Determinar la suma de sus alturas.
A )6 m B )8 0 10 D) 12 E) 16
@)Una persona de “h " de estatura observa un ediñcio 
de **H" de altura con ángulo de elevación a determine 
la distancia entre la persona y el ediñcio . 
A )(B -h )tg a B )(H -h )c tg a C ;(B - A )*«ca 
D ){H -h )c tca E)Hhteca
l o r o
Una persona de 2 metros de estatura observa la 
parte más alta de una torre con un ángulo de elevación 
de 30°. ¿A qué distancia se encuentra de la base de la 
torre, si esta mide 82 m?
A )80m B)90 080^¡3 D)40 E)160
Ij^Dos edificios separados por una calle de 20 m de 
ancho, son observados desde el punto medio de la calle 
con ángulos que son complementarios. Determine ei 
producto de sus respectivas alturas.
A) 80 B) 90 0 100 D) 110 E) 120
A una distancia de 20 m . de un poste se observa su 
parte alta con ángulo de elevación 37°. Determine la 
visual.
A) 5 m. B) 15 0 26 D) 35 E) 40
(0)Una persona colocada a una distancia de 36 m del
f A U W W W iB im » l a e m o o m a u n ]
pie de una torre observa su parte más alta con un 
ángulo de elevación cuya tangente ea 7/12, Determinar
la distancia en la misma dirección que debe alejarse 
con respecto del punto de observación anterior para 
que el nuevo ángulo de elevación tenga por tangente 
0,25.
A) 44 B) 46 C)48 D ) 50 B) 62
VCM M KX Í »K L t IW M t’lt t PIM CI7CI
K M *)D 
Ifl LllllAuaitfBBHBllgir 
|¿»)c|:c s a . '.ü
si desde “B ” se observa "A” en la dirección N a O . 
Determinar “P B ”, si: AB > L •
AiPsena B)LcoeO C )Lsen(a+0 )
D)Lcoa(a + 0) E )0 cosL
@ D esde dos puntos “A” y UB ” situados al oeste y 
norte de una torre, se observa la parte más alta de 
esta con ángulos de elevación “ a ” y uf l n 
respectivamente y desde el punto medio entre UAH y 
“B " el ángulo de elevación es “ a Determinar : 
tan fi.cota
,2-Já
W á m m I S 0 S I M
Di * 4
(0 ) ¿Cuál es la medida del menor ángulo formado por 
N2QPE y S60PO1
A) 120° B) 140° O 100° D) 90° E) 200° 
@ ¿Cuál es el ángulo formado por las direcciones 
E2(EN y ÑUTO?
A) 10° B) 20° O 80a D) 70° E) 100a 
@ ¿C u á l es el menor ángulo formado por las 
direcciones E40°S y S30°O?
A) 10" B) 80° O 30° D) 70° E) 60* 
(ff )̂ Desde un punto “R ” se divisan dos objetos “T ” y 
“ P ” al este y sur a distancias de 3 y 4 km 
respectivamente. Determinar la distancia de 
separación entre UT ” y “P ".
AjSAm B )4 C) 5 D) 6 E) 10 
Desde un barco se divisan dos lanchas al S80°E y
N10°E a una distancia de 14 y 48 km 
respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre las dos 
lanchas?
A¡ 25 km B) 40 C) 60 Di 50 E) 62 
Desde un faro se divisan dos barcos al este y al sur 
a distwnriaB de 6 y 8 km respectivamente. Determinar 
la distancia de separación de los barcos .
Ai 8 km Bi 6 0 1 4 Di 10 Ei 20
Desde un punto “P ” se divisan dos objetos “A” y 
“B ” en la dirección N 0 E y EOS respectivamente, si 
desde “i1! ” se divisa a “B ” en la dirección S a £ , además: 
AB=L • Determinar la distancia entre "A"y “P ” . 
AiLcoad BiLcoaa C)0<x#L
D}Lcoa(0+a) E) Laen(8+a)
Desde un punto **Pn se divisan dos puntos *54” y 
“B ” en las direcciones N BE y EOS respectivamente,
@ Desde un punto Bituado al este de la esquina de un 
edificio se observa la esquina superior con un ángulo 
de elevación de 45a. Sí el vértice opuesto de la cara de 
este edificio se observa en la dirección O30aS ,
Determinar su altura si el ancho del edificio es de
20 m.
Ai 20 m B)10 01043 D)15s¡3 EÍ20-JÜ
(77) A 20 m del pie de un poste la elevación angular 
para lo alto del mismo es de 3T. ¿Cuál es la altura del 
poste?
Ai 15 m B) 12 m O 20 m
D) 24 m Ei 25 m
(Ti) Si a 20 m de un poste se observa lo alto con un 
ángulo de elevación de 37° y luego nos acercamos al 
poste una distancia igual a la de su altura la elevación 
es " $ Dterminar TgO 
Ai 1 B) 3 0 5 Di 7 Ei 9
@ Desde lo alto de un poste se divisa un objeto en 
tierra con un ángulo de depresión "a ", si el objeto se 
halla a una distancia de "d"m desde el punto de 
observación. ¿Cuál es la altura del poste?
A ) d T g a B ) d C tg u C i d C o »n
D id S e c a E i dSena
(73) Desde la base y la parte superior de una torre se 
observa la parte superior de un ediñcio con ángulos de 
elevación de 60a y 30° respectivamente, si la torre mide 
24 m entonces la altura del ediñcio es 
A)36m B) 24 41 m Q 4 8 m
D) 72 m E) 484$ m
(Q ) Una persona de 2 m de altura observa la parte 
superior de un poste con un ángulo de elevación ”$ " ei 
la persona se acerca 45 m hacia el poste el nuevo
ángulo de elevación es H0"si Ctg 9 . Ctg<p^3 .calcular 
la altura del poste.
[eSASGÜLOS aOmaOJSTALES T VBMTICALES O { 192 [ KfllTftHMf, RCBt^OS]
A) 13 m BJIBm O 17 m 
D) 19 m E) 21 m
A ) SaCteQ Seno B ) aSenO CtcO
C ) aSenO C jcq D ) a C*c0 Seno E j a ¡2 SenOCtca
(Q) Si ABC es un triángulo equilátero. Determina 
Cosa B
* > 3 ^ B ) T7 C ) ^ i D ) l í E)NJL 
(7^ Un mono observa la parte superior de un árbol 
con un ángulo de elevación « q ".Si el mono camina 
12 m hacia el árbol el nuevo ángulo de elevación es 
de 4fF y acercándose 4 m más el ángulo de elevación 
es el complemento de "Q Calcular la altura del 
árbol
AJ4 m B)6 m C)8m D)9m E)10m
Desde la parte superior de una torre se 
observan dos piedras en el suelo con ángulos de 
depresión de 37° y 53°, si la altura de la torre es 
12 m y las piedras están en línea recta y a un 
mismo lado de la base de la torre. Calcular la 
distancia entre las piedras.
A) 4 m B) 5 m C )6m D )7 m E )8 m 
@ Desde un faro a 15 m sobre el nivel del mar se 
observa una boya con un ángulo de depresión 
"a ’ (Tga=l,5 ) . En la base del faro a 10 m sobre el 
nivel del mar se vuelve a observar la misma boya 
con un ángulo" J3 ". Determinar dicho ángulo
A) 30a B) 46a C) 60a D ) 75° E) 1F
(@J) Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos 
en Tierra, a un mismo lado, con ángulos de 
depresión , a ,45° y 90°~ a (a <45°) si el punto 
intermedio dista del más alejado, el doble del más
cercano,calcular: N=6Tana+Cot*a
A)1 B)3 C)B D)7 E)9
(Oify Un poste, una persona y una torre están ubicados del 
modo que se mencionan y sus alturas están en la 
proporción 3; 1; S. Si de lo alto del poste se divisa lo alto 
de la persona con un ángulo de depresión “ Q mientras 
que la persona divisa lo alto de la torre con un ángulo de 
elevación a “ a "desde lo alto de la torre se ve la base del 
poste con un ángulo de depresión “ 4 "■
Si se verifica que: CotQ = mCota + nCot#
Calcular: K = m + 2n
A) 1 B)2 C)3 D)4 E)B
@ Tres móviles parten de " P ” con direcciones 
N30°0, 030PS y S3TO con velocidades V/ V, y V3 
respectivamente; notándose al cabo de un cierto tiempo 
que los tree son colineales, ubicándose el primero al
V*
norte del tercero. Calcular el valor de : H * " •
vi vs
A )j3 B )2 j3 C)2,l\¡3 D)2,2s¡3 E >1,2^3
<@Un móvil sale de “P ” recorriendo una distancia 
“L " al N aE , para luego recorrer la misma distancia 
44L ** al E aS y finalmente una distancia “d ” al SaO 
hasta ubicarse al este de “P ” .
Hallar ud " en función de *‘L " y “ a (a <4S°) 
A )L (l-S e n a ) B )L (l-C o s a ) C )L (1 -Tana )
D )L (S e c a -l) E )L (C *ca -l)
De un puerto, salen tres embarcaciones en las 
direcciones Oeste, O qS y Sur notándose al cabo de 
un cierto tiempo que la distancia entre las dos 
primeras, es la tercera parte de la distancia entre las 
dos últimas. Estando las tres colineales y 
visualizándose la primera al N a O del tercero.
Calcular el valor de : P-CotaCotO
A)3 B )1 C )j3 D )2 l3 E)9
O
Cuatro ciudades AJ3,C y D están orientados de la 
siguiente manera : B se encuentra al ONO de A y C al 
NE de A y D se encuentra al NNE de B y al NO de C. 
Si las ciudades B y C se encuentran a igual distancia 
de A. Hallar en qué dirección se encuentra la ciudad 
D respecto de A.
A iN ^ S B B fN ^ S O O N ^ N O D t N ^ S B B )S ^ N O
@ Pepe observa a Ito al N a E a una distancia :
“d j” ; pero Ito se está desplazando en la dirección 
E$S y después de recorrer una distancia “d ” es 
observadonuevamente por Pepe al E a N a una 
distancia 44dt finalmente recorre otra distancia “d” 
hasta ubicarse al eetede Pepe. Hallar “ a ”
[A llIS flW W m M / 199 C LA ENCICLOPEDIA < # ÍF )
A)ArcTan
DjArcCot
B)ArcCót
E)ArcTan
(4)
( í)
C)ArcTan
^^Dos embarcaciones parten de un puerto hacia el 
Ara¿?ySf00D~al¿?avelocidade6de3&m/A y 4kmlh 
respectivamente. Si al cabo de dos horas la recta que 
une ambos barcos corta a la derecrión Este del puerto 
en "M ”. Calcular " a ” para que la distancia del puerto 
al punto “M "sea mínima
A)3T B)45° C)53° D)60° E)74°
© . Tres móviles salen de un punto " p " a l Norte,
Este y SE con velocidades de 2, 3 y 4km!h 
respectivamente. Después de un cierto tiempo desde 
el tercero,se ve a los dos primeros en las direcciones
Cota -1N a O yO ^^respectivamente,Calcular: N —
b ) - L
c >¡ « - !
C o tf i- l
E n
b > Í - C )
4s_
2V, E ) 2V,
@1 Un maratonista sale de su punto de partida y 
recorre 300m al N 3TE , luego 100-J2m al NE y 
finalmente 260m al S16°0; hasta ubicarse al EONy 
de bu punto de partida . Calcular: Cot&
A )2 ,l B )2 ,2 C )2 ,3 D )l,75 E )l,95
(7^ Desde un puerto se divisa un barco entrando a la 
bahía al N a E ( a <45°)a una distancia “L ” . Si el barco 
se desplaza al S&E, después de qué tiempo , el barco 
será observado al Ea N desde el puerto; si su velocidad 
es “ V".
A )
D )
LCos2a
VCoa(O-a)
LSen2a
B)
E )
LCoa2a 
VCoa(0+a) 
LCos2$
C) LSen2a
VCos(0+a)
Desde un faro , se observa un barco que viaja al 
NE, en la dirección N15°E a 10 millas de distancia . 
Después que el barco recorre 10 Js millares es visto 
desde el faro al EaN . ¿Cuál es el valor de “ a ” ?
A)-+ArcTan — B)-+ArcTan— C )-+ A rcT a n ~ 
4 3 4 4 4 6
D)-+ArcTan— E)-+ArcTan—
4 9 4 12
(Q) Desde un puerto salen tres embarcaciones en 
direcciones N20°E, E4CPN y E50°S con velocidades 
V¡, V¡ , y Vj respectivamente ; verificándose que, al 
cabo de un cierto tiempo las tres están perfectamente
alineadas. Señale el equivalente de: jv= A _ _L
VCoa(0-a) VCoa(0-a)
(T^Tres personas salen de un mismo punto en las 
derecciones N a O , O aS y SE con velocidades 
proporcionales a los números l t l y - f é 
respectivamente. Al cabo de un cierto tiempo, desde 
la tercera se divisa a la primera en la dirección NxO y 
a la segunda al O y N.
Señale el equivalente de K —̂ CotxCoty 
A)Coaa+l B )Cota+1 C)Seca+l
D )Tana+l E)C$ca+l
(ñf)Vn maratonista sale de un punto “P"ubicado al E3te de
un estrado, y se desplaza bada Norte. Desde el estrado lo ven
al EfNy luego al E (j+ 0 )N ; notándose que las distancias
recorridas para la primera y segunda observación, son iguales.
Calcular el mínimo valor de CtUS
A )j2 B)2sÍ2 C ) ~ D)3s¡2 E)4-J2
 ̂ ¿
¡7 7 j . Una persona decide viajar y sale de su pueblo "A” en la 
dirección N (90°-a )E llegando a una dudad “B " en la 
cual decide tomar el rumbo S(900-2a)E y llega al pueblo 
“C ", finalmente decide retornar a su lugar de origen y se 
enrumba según N4 a O. Calcular “a " , si se sabe que de A 
hada “B ” existe la misma distanda que de “B” bada “C”.
A)10° B)15° C)30° D)20° E)40°
@ Un barco se encuentra en un punto A que está a 
32 millas y en dirección NSO°E respecto del punto , 
denominado P, el barco antes de llegar a P, se dirige a 
los puertos B, C y D. Calcular la distancia de P a D, 
sabiendo que B están al Este de P y al sur de A; C se 
encuentra en la dirección S80°0 de B y S10°E de P y 
D está en la dirección N80°O de C y S I 0°O de P-
(S i : Coa200Cos400Cos80°=^)
8
A)2miUaa
D)5m illaa
B)3m illaa
E)6m illaa
Dos barcos parten al mismo tiempo de un punto
"A ” siguiendo rumbos N E ~ N y E —SE , cuando el4 4
primero recorre (2 -4 2 ) millas observa al segundo
con dirección SE —E „ Calcular la distancia que separa 
a los barcos en ese enstante.
A ) Imilla B)2millaa C ) im illa s
D)2'l2millaa E )( 2+42 Imillas
C )4 m il la a P B L A T E R C E R A P R A C T IC D
[á M o a m a a x a u t ic a k s c a l a m a 1 i w ( BPfTtfMtt HCBtXOS]
CAPÍTULO
W 3
OBJETIVOS :
* Entender y aplicar correctamente la Geometría Analítica 
en diversos problemas planteados.
* Comprender las ecuaciones algebraicas para luego 
analizarlas si es poeible en un plano cartesiano.
* Consolidar el aprendizaje y aplicar correctamente los 
conceptos sobre diagrama cartesiano, par ordenado, etc.
* Calcular la distancia entre 2 puntos cualesquiera del plano, 
y demostrar teoremas de figuras geométricas.
* Definir el concepto de pendiente, calcular los ángulos de 
inclinación de segmentos e identificar las condiciones que 
deben cumplir las rectas paralelas y perpendiculares.
* Calcular el ángulo formado por dos rectas cualesquiera.
* Calcular el área de cualquier polígono en el plano cartesiano 
dadoe su vértices correspondientes.
* Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos 
puntos, pendiente y un punto, ei ángulo de inclinación y un 
punto.
'Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y 
ordenada al origen.
* Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a 
partir de la ecuación general de una recta.
* Graficar la recta a partir de su ecuación general.
* Identificar la ecuación general de segundo grado y los 
elementos que la componen .
* Reconocer los elementos esenciales de la ecuación de segundo 
grado, para considerarla una circunferencia real, una 
circunferencia imaginaria o un punto.
* Identificar los elementos necesarios que debe contener la 
ecuación general de segundo grado, para considerarla una 
pnréhnl», una elipse o una hipérbola.
* Identificar las características de una parábola de acuerdo a 
b u definición como lugar geométrico, y sus elementos 
preponderantes como vértice, foco, etc.
* Calcular las ecuaciones de una parábola con vértice dentro 
y fuera del origen.
* Definir la elipse y reconocer sus características de acuerdo 
a su definición y sus elementos: centro, focos, lado recto.
* Calcular las ecuaciones de la elipse, con eje focal paralelo al 
eje «X » y paralelo al eje «F » , con centro fuera y dentro del 
origen.
* Definir la hipérbola como lugar geométrico e identificar sus 
elementos.
* Calcular las ecuaciones ordinaria y general de la hipérbola
con su eje focal paralelo a los ejes del sistema de referencia .
MmCKOBVCCMÓN í
El primer gran paso adelante en la geometría, después 
de la época de los griegos fue el desarrollo de un nuevo 
método llamado geometría cartesiana (geom etría 
analítica).
Esta geometría es la fusión de la geometría clásica con el 
álgebra, creada por René Descartes en el siglo XVII. para 
dominar los posibles movimientos de los puntos sobre el 
plano a través de algo que ya sabemos manejar, los 
números. René Descartes, matemático y filósofo francés 
(1 S9S - 1 650) en su juventud se volvió soldado en el 
ejército del príncipe Mauricio Nassau, es autor del libro 
Discurso del Método fue él quien usó por primera vez pares 
ordenados de números para la ubicación de un punto en el 
plano, a lo que se le denomina coordenadas cartesianas 
del punto. El desarrollo del sistema de coordenadas 
cartesianas sirvió de fundamento al cálculo infinitesimal 
descubierto poco después por Newton y Leibnte.
— Coordenadas del 
punto " P ”
t
°(2;3)
Ordenada )
(2da.
componente) Par
Abscisa ordenado 
(Ira . 
compone nie)
DESIGUALDAD :
Es aquella comparación que se establece entre dos 
números reales, mediante los símbolos de desigualdad: 
<, > , S , 2 . Luego si a y b son números reales, 
entónces: a<b , a > b , asb y a¿b se llaman 
desigualdades , y se leen : 
a < b : «o menor que b» 
a>b : <a mayor que 6» 
a < b : «o menor o igual que 6» 
a ¿ b : «a mayor o igual que 6»
[A n w M in m ^ T m T l a a n a o o w g M k h ]
> : "mayor que"
< : "menor qué"
> : "mayor o igual que" 
< : "menor o igual que"
RECTA NÚMESUCA í
ESTRICTAS
NO ESTRICTAS
1 A 2 
2
—¡7 -3 -2 -1 0
* O : origen
* 2 : es la coordenada del punto Q
* -3 : es la coordenada del punto P 
D E F IN IC IO N E S í
1) Un número