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E L E M E N T O S
DE
M A T E M Á T I C A
P O R
P E D R O A B E L L A N A S
CATEDRÁTICO DE LA UNIVERSIDAD DE MADRID
DECIMOTERCERA EDICIÓN
M A D R I D
COPYRIGHT BY THE AUTHOR
1973
Depósito Legal: VI. 1-1975
I.S.B.N. 84 -400-8186-3
Heraclio Fournier, S.A. - H. Fournier, 19 - Vitoria
A la memoria de mis padres
PROLOGO A LA CUARTA EDICIÓN
Esta edición es una reelaboración total de la anterior. Hemos sentido
la necesidad de redactar casi completamente de nuevo este libro por dos ra-
zones fundamentales. En primer lugar, estimamos que las metas que nos
habíamos propuesto al redactar la segunda edición han sido ya superadas y
que era preciso señalar nuevos objetivos en este curso de carácter propedéu-
tico. Por otro lado, queríamos ofrecer un libro en el que el lector participase
de un modo más activo. Por ello, presentamos en esta edición un desarrollo
más completo y orgánico del álgebra lineal elemental y de la teoría de la in-
tegración de funciones de una variable real y hemos ampliado notablemente
el número de ejercicios, presentando, en el segundo volumen de esta obra, las
soluciones detalladas de los mismos. La experiencia nos ha enseñado que la
única forma de llegar a asimilar las ideas es el manejarlas en casos sencillos;
por ello, hemos procurado proponer algunos ejercicios inmediatamente des-
pués de cada definición de un nuevo concepto, con objeto de que el lector
llegue a darse cuenta del significado de la definición antes de proceder a ob-
tener propiedades o consecuencias de ella. Las soluciones a los ejercicios tie-
nen como finalidad orientar al lector sobre el modo de manipular con los con-
ceptos introducidos en el texto; por ello, recomendamos encarecidamente que
la consulta a las soluciones se haga después de que el lector haya resuelto él
ejercicio o, por lo menos, haya intentado seriamente resolverlo. Es preciso
tener presente que la labor de asimilación de ideas debe hacerla cada lector
de un modo estrictamente personal y que el esfuerzo que realice por contestar
a las cuestiones propuestas en los ejercicios es el fruto que realmente conse-
guirá con su estudio. Es un error pensar que se avanza en el estudio de una
disciplina cuando se consigue retener en la memoria una gran cantidad de
conocimientos de ella. Si no se ha aprendido, a maneiarlos, dichos conocí-^
mientos quedan reducidos en la mente del lector a palabras sin sentido. Es
evidente que el estudio bien hecho es más lento que el proceso de retener pa-
labras en la memoria, pero debe convencerse el lector de que esto último no
sirve para nada.
Entre las ampliaciones introducidas en esta nueva edición figura el pro-
ducto tensorial de vectores, el concepto de tensor y el producto exterior de
vectores. Creemos que estos conceptos, en su aspecto utilitario, deben pasar
VIII raÓLoco
a un curso de nivel propedéutico de la enser.ansa superior. Sin embargo, el
desarrollo que se ha hecho en el texto es completo, en su parte elemental. No
obstante, el lector que no aspire a ser matemático puede prescindir de todas
las demostraciones y limitarse a aplicar los conceptos a los ejercicios pro-
puestos. La redacción del texto se ha efectuado de modo que pueda desarro-
llarse un curso prescindiendo totalmente del estudio de los mencionados te-
mas, por lo que figuran en él dos versiones de la teoría de determinan-
tes. Algo análogo sucede con el estudio de las formas cuadráticas, de que
también puede prescindirse, salvo de las primeras definiciones, para continuar
con la teoría de cónicas y cuádricas. Tampoco es necesario en un curso nor-
mal seguir todo el detalle de la topología de la recta real o del espacio euclí-
deo, así como del desarrollo del concepto de integral.
Podría pensarse que, no siendo necesarias en una primera lectura, o en un
curso normal las demostraciones de la mayor parte de los teoremas que figu-
ran en esta obra, deberían haberse suprimido de ella. Esto, aparte de romper
la unidad científica que creemos debe tener todo libro de matemática, sería
poco formativo para el lector al privarle de poder conocer la interdependen-
cia de los diversos conceptos que se introducen, y esta curiosidad debe produ-
cirse en todo lector que realmente haya llegado a asimilar las ideas.
El problema de la enseñanza, en cualquiera de *as niveles, es esencialmente
un problema de selección. La ciencia y la técnica actuales han alcanzado un
grado de desarrollo extraordinario y el preparar al futuro científico o técnico
exige una preocupación por la sistematización y reducción de conceptos, pues
de otro modo no se llegaría a situar a las nuevas generaciones en condiciones
de utilizar los conocimientos adquiridos por el pensamiento humano hasta
nuestros días. Como consecuencia, es preciso una renovación constante de los
cursos y un descenso a niveles inferiores de conceptos o teorías que figuraban
en estadios más avanzados de los estudios. Como es natural, esto exige pres-
cindir de cuestiones que no tengan una gran vitalidad, aun cuando hayan figu-
rado durante muchas generaciones en los planes de estudio. Conseguir actua-
lizar un curso básico de matemática ha sido nuestro principal objetivo al re-
dactar esta nueva edición. Si con este trabajo consiguiéramos colaborar a me-
jorar la formación de nuestros futuros científicos y técnicos nos sentiríamos
altamente recompensados de nuestro esfuerzo.
Madrid, 15 de octubre de 1965.
ÍNDICE POR MATERIAS
PRIMERA PARTE
A L G E B R A L I N E A L
CAPITULO PRIMERO
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
Páginas
§ 1. Teoría de conjuntos:
1. Conjuntos 1
2. Algebra de las partes de un conjunto 6
§ 2. Producto de conjuntos. Aplicación. Función. Relación:
1. Producto de conjuntos 16
2. Relaciones. Correspondencias. Transformaciones. Funciones 18
3. Relación de igualdad. Clasificación. Conjunto cociente 24
4. Aplicaci nes o funciones uniformes 28
5. Relaciones de orden. Orden total. Buena ordenación. Lema de Zorn ... 33
6. Terminología y notaciones de la, lógica matemática 42
§ 3. Grupos:
1. Grupoides y semigrupos ....... 48
2. Grupos. Subgrupos 53
3. Homomorfismos. Isomorfismos 60
4. Grupos finitos 66
5. Grupos abelianos 68
§ 4. Anillos:
1. Anillos. Subanillos 73
2. Homomorfismos entre anillos. Isomorfismos 75
3. Anillos enteros. Ideales primos. Anillos euctideos 80
§ 5. Cuerpos:
1. Cuerpo de fracciones de un anillo entero 86
2. El cuerpo de los números racionales 88
3. El cuerpo de fracciones de un anillo de polinomios 91
X ÍNDICE POü MATERIAS
Páginas
CAPITULO SEGUNDO
E L E S P A C I O V E C T O R I A L
§ 1. El espacio vectorial:
1. Definiciones 99
2. Concepto de vector libre 101
3. El cuerpo de las razones de segmentos 105
4. El espacio vectorial de los vectores libres 119
5. Espacio vectorial. Dependencia lineal 124
6. Homomorfismos entre espacios vectoriales 140
7. Homomorfismo natural. Primer teorema de isomorfia 142
8. Operaciones con homomorfismos 149
9. Espacio dual de un espacio vectorial 155
10. Producto tensorial de vectores. Tensores 158
11. Producto exterior de vectores. Multivectores. Determinantes 168
12. Ecuaciones de los homomorfismos entre espacios vectoriales. Operaciones
con homomorfismos 185
§ 2. Matrices. Cálculo con matrices:
1. Operaciones lineales con matrices 194
2. Multiplicación de matrices. Transposición 197
3. Determinante de una matriz cuadrada 204
4. Matriz inversa de una matriz cuadrada 209
§ 3. Sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación lineal:
1. Definiciones. Regla de Cramer 212
2. Rango de una matriz. Dependencia lineal de vectores 214
3. Teorema de Rouché-Fróbenius 220
4. Sistemas lineales homogéneos 223
5. Variedades lineales en el espacio vectorial. Eliminación en sistemas ho-
mogéneos 227
6. Variedades lineales en el espacio afín. Eliminación en sistemas no homo-
géneos 232
CAPITULO TERCERO
EL E S P A C I O E U C L I D E O
§ 1. El plano afín:
1. La recta afín 240
2. El plano afín 2433. Ecuación de la recta en el plano. Incidencia en el plano 248
4. Ecuación implícita de una recta. Incidencia en el plano 251
5. Intersección en el plano ... 257
ÍNDICE POR MATERIAS X!
Páginas
6. Semiplanos. Figuras convexas 261
7. Orientación del plano afín 268
§ 2. El espacio afín:
1. El espacio afín ordinario 271
2. Coordenadas cartesianas en el espacio afín 273
3. Ecuación cartesiana del plano 275
4. Ecuaciones cartesianas de la recta 278
5. Incidencia en el espacio 280
6. Intersección en el espacio 282
7. Coordenadas afines en el espacio ... 291
8. Semiespacios. Figuras convexas 293
9. Orientación en el espacio afín 295
§ 3. El espacio vectorial euclídeo ordinario:
1. Multiplicación escalar de dos vectores libres 297
2. Multiplicación vectorial de dos vectores libres 300
3. Producto mixto de tres vectores 303
§ 4. El espacio euclídeo:
1. El plano euclídeo •. 305
2. El espacio euclídeo 316
3. Programación lineal 329
CAPITULO CUARTO
FORMAS CUADRÁTICAS. CÓNICAS. CUADRICAS
§ 1. Formas bilineales. Formas cuadráticas:
1. Formas bilineales 339
2. Formas cuadráticas ., 345
3. Descomposición de Witt de un espacio vectorial cuadrático. Signatura ... 352
4. Cálculo del rango y de la signatura de una forma cuadrática real 359
§ 2. Cónicas:
1. Cónicas. Reducción de la ecuación de una cónica 361
2. Invariantes métricos de una cónica 365
3. Estudio particular de las cónicas 367
4. Clasificación afín y métrica de las cónicas 371
§ 3. Cuádricas:
1. Cuádricas. Ecuaciones reducidas 373
2. Invariantes métricos de las cuádricas 382
3. Reducción de la ecuación de una cuádrica 384
4. Clasificación afín de las cuádricas ; : 385
XII ÍNDICE POR MATERIAS
Páginas
SEGUNDA PARTE
A N Á L I S I S I N F I N I T E S I M A L
CAPITULO QUINTO
TOPOLOGÍA D E L C U E R P O D E L O S N Ú M E R O S R E A L E S . FUNCIONES CONTINUAS
§ 1. El número real:
1. Topología en el cuerpo de los números racionales 393
2. El cuerpo de los números reales 403
3. Topología del cuerpo de los números reales 407
4. iLa función exponencial real 424
§ 2. Sucesiones y series de números reales:
1. Sucesiones de números reales 436
2. Series de números reales. Definiciones 444
3. Series de términos positivos 450
4. Criterios de convergencia para las series de términos positivos 452
5. Series de términos reales cualesquiera , 458
6. Sumación de series 464
§ 3. El número complejo:
1. El cuerpo de los números complejos 467
2. Potenciación de los números complejos 477
3. Topología en el cuerpo de los números complejos 481
§ 4. Topología del espacio euclídeo:
1. El espacio euclídeo 484
2. Funciones entre espacios euclídeos. Límites 487
3. Funciones continuas de variables reales 498
CAPITULO SEXTO
CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE VARIABLES REALES
§ 1. Diferenciales y derivadas:
1. El problema del cálculo diferencial 506
2. Diferencial de una función de una variable real 508
3. Diferencial de una aplicación A->• E^ 511
4. Diferenciales de las funciones elementales 520
ÍNDICE POR MATERIAS XUI
Páginas
§ 2. Estudio local de las funciones de variables reales:
1. Diferenciales sucesivas de una aplicación 524
2. Teorema del valor medio 529
3. El teorema de Taylor 536
4. Sucesiones funcionales 543
5. Series funcionales 546
§ 3. Funciones implícitas e inversas:
1. Diferencial parcial de una aplicación 558
2. Teorema de existencia de funciones implícitas 561
3. Máximos y mínimos condicionados 569
4. Cambio de variables 572
CAPITULO SÉPTIMO
C A L C U L O N U E E B i e O
§ 1. Resolución de ecuaciones:
1. Ecuaciones algebraicas. Relaciones entre las raíces y los coeficientes de
un polinomio 576
2. Resultantes 578
3. Eliminación 580
4. Raices racionales de una ecuación 581
5. Separación de las raíces irracionales 581
6. Cálculo de las raíces reales de una ecuación 584
§ 2. Cálculo numérico:
1. Interpolación 586
2. Funciones implícitas 596
3. Ajuste de ítmciones 599
4. Nomografía 609
CAPITULO OCTAVO
C U R V A S Y S U P E R F I C I E S
§ 1. Curvas:
1. Concepto de curva. Tangente 616
2. Puntos singulares de las curvas definidas en forma explícita 619
XIV ÍNDICE POR MATERIAS
Páginas
3. Fórmulas de Frénet 621
4. Curvas planas 627
5. Curvas planas definidas implícitamente 633
§ 2. Superficies:
1. Superficies. Definición. Plano tangente 641
2. Superficies en forma implícita. Curvas en forma implícita 645
3. Superficies regladas 649
4. Superficies de rotación y de traslación 653
CAPITULO NOVENO
I N T E G R A C I Ó N
§ 1. Integrales indefinidas:
1. Extensión del concepto de diferencial. Integral indefinida 656
2. Integrales inmediatas 658
3. Integración por descomposición y cambio de variable 659
4. Integración por partes 661
5. Integración de funciones racionales ... 663
6. Racionalización de funciones 665
§ 2. Integral de Riemann:
1. Integrales de Darboux 668
2. Limites filtrantes 671
3. Integral de Riemann 672
4. Propiedades de la integral de Riemann 675
5. Integral de Riemann-Stieltjes 682
6. Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes .... 688
§ 3. Convergencia de integrales. Integración de series funcionales:
1. Convergencia de integrales con un límite de integración infinito ... ... •.. 692
2. Convergencia de integrales con integrando no acotado ... ... 698
3. Integrales dependientes de un parámetro 702
4. Integración de serjes funcionales 711
§ 4. Aplicaciones geométricas de la integral definida:
1. Cálculo de áreas de figuras planas 715
2. Longitud de un arco de curva 720
3. Área de una superficie de rotación 723
4. Volumen de un cuerpo de rotación 724
5. Cálculo numérico de integrales 725
ÍNDICE ALFABÉTICO 7 2 9
P R I M E R A P A R T E
A L G E B R A L I N E A L
CAPITULO PRIMERO
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS
§ 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
1. Conjuntos.—El concepto de conjunto es un concepto primitivo, esto
significa que no se define. Ahora bien, admitiremos que todos los conjuntos
que en lo sucesivo empleemos son tales que se pueda averiguar si un objeto
dado pertenece o no pertenece al conjunto. Ejemplos de conjuntos: a) El con-
junto de las hojas de este libro, b) El conjunto de los alumnos de la Univer-
sidad de Madrid, c) El conjunto de los números naturales, d) El conjunto de
los puntos de una recta, e) El conjunto de las funciones continuas en un in-
tervalo, f) El conjunto de las velocidades de todos los puntos de un sólido
rígido en movimiento en un instante dado, g) El conjunto de los dias: lunes,
miércoles, viernes. Obsérvese que en todos los ejemplos anteriores se puede,
por lo menos teóricamente, averiguar si un objeto pertenece o no al conjun-
to. Cada una de las hojas de este libro es un elemento del conjunto definido
en a). El miércoles es un elemento del conjunto definido en g). Nombre el
lector un elemento de cada uno de los restantes conjuntos. Sin embargo, las
siguientes proposiciones no definen conjuntos: a') Los días que va a vivir el
lector de estas líneas, b') Los números naturales que se pueden definir em-
pleando menos de cien palabras del diccionario de la Real Academia de la
Lengua Española, c') Las longitudes de los diámetros de las gotas de agua
de las lluvias que se producirán mañana en toda la tierra.
NOTACIONES.—1. A los conjuntos los representaremos por letras mayús-
culas, o bien encerrando a todos sus elementos entre llaves. Así, por ejemplo,
diremos: conjunto A, C, M, X o bien conjunto {a, b, c, d, e}, conjunto {lu-
nes, miércoles, viernes}. Cuando no se pueden escribir todos los elementos
se emplea la siguiente notación: {x | x = 3}, que se lee: conjunto de todos
2 § 1, TEORÍA DE CONJUNTOS [Capítulo 1}
los números x tales que x es múltiplo de tres. A veces conviene emplear una
notación más breve para un conjunto y se escribe:
en donde el signo = debe interpretarse en el sentido de que A y {x \ x = 3}
son dos notaciones del mismo conjunto.
EJERCICIOS :
1. Representar mediantedos notaciones distintas los siguientes conjuntos:
a) Conjunto de las vocales.
b) Conjuntos de las raíces del polinomio x2 + 2 x — 3.
c) Conjunto de los segmentos iguales al segmento A B.
d) Conjunto de los números enteros comprendidos entre — 3, 5 y + 3, 5.
2. Nombrar un elemento de cada uno de los conjuntos del ejercicio anterior.
Los elementos de un conjunto se dice que pertenecen al conjunto, lo que
se expresa mediante el signo €, que se lee: pertenece a. Así, por ejemplo:
o€ A
se lee: el elemento a pertenece al conjunto A. Si el elemento b no pertenece
al conjunto A. se escribe:
b$ A.
DEFINICIÓN 1.—Se dice que el conjunto A es un subconjunto, o una parte,
del conjunto B, y se escribe:
A c B ,
cuando todo elemento que pertenece al conjunto A pertenece también al con-
junto B. La relación representada por el símbolo c se llama relación de in-
clusión. Si A no es parte de B se escribe:
Ac£B.
EJERCICIO :
3, Escribir, si existen, las relaciones de inclusión entre los siguientes conjuntos:
a) A = {conjunto de todos los perros}, B = {conjunto de todos los perros blancos}.
b) A — {conjunto de todos los triángulos isósceles}, B = {conjunto de todos los trián-
gulos equiláteros}.
1. CONJUNTOS 3
c) A = {conjunto de todos los rectángulos}, B = {conjunto de todos los rombos},
C = {conjunto de todos los cuadrados}.
d) N = {conjunto de todos los números naturales}, Z = {conjunto de los números ente-
ros}, Q =s {conjunto de los números racionales}.
e) A = { * | * = 4 } , B = { * | * = 6 } .
f) A = {conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de P y Q}, B = {conjunto
de todos los puntos del plano que pertenecen a la perpendicular al segmento P Q en <?u punto
medio}.
DEFINICIÓN 2.—Dos conjuntos se llaman idénticos cuando todo elemento
que pertenece a uno pertenece al otro. Si dos conjuntos A y B son idénticos
se escribe:
A = B o A = B.
En general se usará la segunda notación, salvo en los casos en que pueda ha-
ber posibilidad de confusión, en que se usará la primera.
-De la definición anterior se deduce inmediatamente el siguiente:
CRITERIO DE IDENTIDAD DE CONJUNTOS.—La condición necesaria y suficien-
te para que
A = B
es que
A C.B y B a A.
La relación de inclusión de conjuntos posee las siguientes propiedades
fundamentales cuya demostración realizará el lector como ejercicio:
PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE INCLUSIÓN.—I. Si A es un conjunto ar-
bitrario se verifica:
A c A.
Esta propiedad se llama reflexiva.
I I . S i A c B y B c A s e verifica A = B. Esta propiedad se conoce con
el nombre de antisimétrica.
I I I . A c B y B c C implican A c C. Conocida con el nombre de pro-
piedad transitiva.
4 § 1. TEORÍA DE CONJUNTOS [Capítulo I]
Hemos visto que, en general, los conjuntos se definen mediante una
propiedad característica de sus elementos. Esta definición de los conjuntos
puede conducir a las siguientes situaciones: a) Sea A el conjunto de todos
los números naturales tales que dividen á cualquier otro número natural. El
conjunto A está formado por un único elemento: el uno. b) Sea B el con-
junto de todas las rectas del plano euclídeo ordinario que son perpendicula-
res a sí mismas. El conjunto B no posee ningún elemento. Estos conjuntos
no corresponden a la idea ordinaria de conjunto, pero resulta cómodo con-
siderarlos como tales. A los conjuntos con un único elemento se les llama
conjuntos unitarios y al conjunto que no posee ningún elemento se le llama
conjunto vacío, y se representa por el siguiente símbolo:
0 = conjunto vacío.
Si A es un conjunto definido por la propiedad p, los subconjuntos de A
vienen definidos por propiedades q que se obtienen añadiendo a la propiedad
p alguna otra condición. Así, por ejemplo, si A es el conjunto de los perros
y B el conjunto de los perros blancos. Gomo siempre se puede añadir a la
propiedad p que define al conjunto A una condición que no la verifique nin-
guno de los elementos de A, resulta que conviene considerar al conjunto vacío
como parte de cualquier conjunto. Esto es, admitiremos que
(i) 0 c A,
cualquiera que sea el conjunto A.
Conviene asimismo distinguir entre un elemento x del conjunto A y la
parte del conjunto A formada únicamente por el elemento x; a esta última
la representaremos por {x}. Por consiguiente, las dos relaciones siguientes
son equivalentes, pero distintas:
x € A, { x } c A.
EJERCICIOS :
4. Sea A el conjunto dé todos los puntos x de un plano tales que el ángulo M X N sea
un ángulo recto, siendo M y N dos puntos distintos del mismo. Sea B el conjunto de los
puntos de la circunferencia de diámetro M N. ¿Son idénticos A y B?
5. A={x\x = 2m + 3n; m,n £ N }, pudiendo ser cero uno de ellos. B = { x \ x € N,
x >• 1 }. (El conjunto A se lee del siguiente modo: A es el conjunto de todos los números
naturales x tales que x es de la forma 2 m + 3 n, siendo m y n números naturales, pudiendo
ser cero uno de ellos.) ¿Qué relación existe entre A y B?
1. CONJUNTOS 5
DIAGRAMAS DE CONJUNTOS.—Para representar los conjuntos pueden
emplearse varios tipos de diagramas. Los más usuales son los siguientes:
1. Diagramas de Venn.—Cada conjunto se representa mediante una región
del plano tal como las de la figura 1, colocando en su interior el nombre del
conjunto. Cuando es necesario distinguir varias regiones se pueden rayar
algunas de ellas.
Fig. l .
Así, por ejemplo, los conjuntos M y N de la figura 1 vienen representados
por las regiones del plano limitadas por la línea cerrada c y por la circun-
ferencia c'. El conjunto A de la misma figura viene represen-
tado por el círculo rayado verticalmente, el conjunto B por el
circulo rayado horizontalmente y el conjunto C por la región
cuadriculada
La relación de inclusión B c A viene representada en el
diagrama de Venn mediante un esquema tal como el de la fi-
gura 2.
Fig. 2.
II. Representación lineal.—En otras ocasiones conviene representar los.
conjuntos por subconjuntos de puntos de una recta,
como en la figura 3. El conjunto A viene representado
por los puntos de un segmento de la recta x y el con-
junto B por los puntos N, P, Q, R de la recta y.
I I I . Diagrama mediante grajos.—Cuando interesa
hacer resaltar la relación de inclusión entre varios con-
Fl8- 3, juntos se representa cada conjunto por un punto del
plano con el siguiente convenio: si A c: B el punto re-
presentante de A se coloca por debajo del representante de B y se unen ambos
puntos mediante un trazo continuo. Dos conjuntos cuyos pui>
tos correspondientes no se unen con trazo no están relaciona-
do's mediante la relación de inclusión. Así, por ejemplo, la
relación entre los conjuntos A, B y C del diagrama de Venn
de la figura 1 viene representado por el siguiente grafo (figu-
ra 4):
V
Fig. 4.
6 § 1. TEORÍA DE CONJUNTOS [Capítulo I]
EJERCICIOS :
6. Representar mediante diagramas de Venn y grafos las siguientes relaciones de inclu-
sión : G c D , G c E , O c F , D c A , D c B , E c A, E c C , F c B, F c C.
7. Sea (2) él conjunto de todos los múltiplos de dos; análogo significado tienen (3), (4),
(8), (16), (6), (12), (24), (48), (»), (18), (36), (72), (144), (27), (64), (108), (216), (432). Cons-
truir el grafo correspondiente.
8. Dado un tetraedro de vértices A, B, C, D, se consideran los siguientes conjuntos de
puntos: { A }, { B }, { C }, { D }, E = segmento A B, F = segmento A C, G = segmento
A D, H = segmento B C, I = segmento C D, J = segmento B D, K = triángulo B C D,
JJ = triángulo A C D, M = triángulo A B D, N = triángulo A B C . Construir el grafo co-
rrespondiente.
2. Algebra de las partes de un conjunto.—Sea U un conjunto dado,
que supondremos fijo en todo este número. Representaremos por R (U) al
conjunto formado por todas las partes de U.
EJERCICIOS :
9. Escribir los elementos del conjunto R (U):
a) Siendo U = {1, 2, 3, 4 }.
b) Siendo U = { a, b, c }.
10. i Cuántos elementos posee R (U) cuando U posee n elementos ?
11. Si A c U, B <z U. ¿ Qué relación existe entre A, B y R (U) ?
DEFINICIÓN 3.—Sí A, B € R (U), se llama unión de A y B, y se repre-
senta por
AUB
al conjunto formado por todos los elementos de U que pertenecen a A o a
B o a ambos.
EJERCICIO :
12. Sí A = {1, 2, 3, 4 }, B = { 2, 4, 5, 6 }, escribir los elementos de A |J B.
De la definición resulta:
Si A, B € R (U) SP verifica que A U B € R ([/).
Empleando los diagramas de Venn, la unión del conjunto A (rayado ver-
ticalmente en la figura 5) y del conjunto B (rayado horizontalmente) es el
2. ALGEBRA DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO 7
conjunto rayado o cuadriculado de dicha figura. El grafo correspondiente
a. la unión es el indicado en dicha figura. De
la definición y de los diagramas de la figu-
ra 5 se deduce inmediatamente que:
(*) A c A U B.
Fig. 5.
PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS.—
Hemos visto ya que: La unión de dos con-
juntos es otro conjunto, y si los conjuntos
dados son partes de otro conjunto U, el conjunto unión es también parte
de U. Todo conjunto (2) está contenido en la unión de él con cualquier otro
conjunto. Pero, además, se verifican las siguientes propiedades básicas da
la operación unión:
I. Propiedad asociativa.—Si A, B y C son tres conjuntos arbitrarios,
se verifica que:
(•) (A U B) U C = A U (B U C).
Los diagramas correspondientes a la igualdad (3) son los siguientes:
(AuB)uOAu(BUC)
II . Propiedad conmutativa.
(4) A U B = B U A.
III. Propiedad ídempotente.
(5) A U A = A.
EJERCICIO;
13. Demostrar las propiedades anteriores.
8 § 1. TEORÍA DE CONJUNTOS [Capítulo I]
IV. Elemento ínfimo y elemento universal.-^-Para cualquier conjunto A
se verifica que
(6) A ( J 0 = A.
Si todos los conjuntos considerados son partes del conjunto U, se verifi-
ca que:
(7) A U U = U.
Por estas razones, al elemento 0 se le llama elemento ínfimo de R (U), y al
elemento U se le llama elemento universal de R (U).
DEFINICIÓN 4.--SÍ A, B € R (U) se llama unión de A y B, y se representa
por A U B, a todo elemento de R (U), tal que A c A U B , B c A U B ,
X €R (U), A c X y B c X implique A U B c X. Esto se puede expresar
mediante la siguiente notación:
(8) A U B = min. (X | A c X, B c X).
Se verifica el siguiente teorema:
1. Las definiciones 3 y 4 son equivalentes.
EJERCICIOS :
14. Probar el teorema 1.
15. Probar que la Def. 4 define un único elemento de R (U).
DEFINICIÓN 5.—Si A y B son dos
conjuntos, se llama intersección
de A y B, y se representa por
A. fl B al conjunto formado por to-
los los elementos que pertenecen;
simultáneamente a A y B.
Los diagramas correspondientes a
la intersección son los de la figu-
ra 7.
Consecuencias inmediatas de la definición:
a) La intersección de dos conjuntos es otro conjunto.
b) El conjunto intersección de dos conjuntos está contenido en cual-
quiera de ellos:
AnB
Fig. 7.
(9) A fl B C A.
2. ALGEBRA DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO 9
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.—I. Propiedad asocia-
tiva. Si A, B y C son tres conjuntos arbitrarios, se verifica que:
(iü) ( A n B ) n c = An(Bnc) .
Los diagramas correspondientes a la igualdad (10) son los de la figura 8.
II. Propiedad conmutativa.
(11) A fl B = B n A.
III. Propiedad ídempotente.
(12) A fl A = A.
IV. Elemento ínfimo y elemento universal.—Para cualquier conjunto se
verifica:
(13) A fl © = 0-
Si todos los conjuntos considerados son partes de un conjunto U, se verifica:
(14) A n U = A.
Las propiedades (13) y (14) caracterizan a los elementos ínfimo (0 ) y universal
(U) desde el punto de vista de la intersección.
DEFINICIÓN 6.—Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se re-
presenta por A fl B, a todo conjunto tal que A f l B c z A , A f l B c r B y de
X c A , X c B se deduce que X c A í l B ,
2. Las definiciones 5 y 6 son equivalentes.
Existe una primera propiedad común a la unión e intersección de con-
juntos :
10 § 1. TEOKÍA DI COMJUHTOS [Capítulo I]
V. Ley de simplificación.—Si A y B son conjuntos cualesquiera se ve-
rifica:
(16) (A U B)f| A = A, (A fl B) U A = A.
Los diagramas de Venn correspondientes a (15) son los siguientes:
( A U B ) H A (AoB)uA
Fig. 9.
Conviene recordar que en los diagramas de Venn la intersección de con-
juntos corresponde a la parte cuadriculada del diagrama y que la unión co-
rresponde a toda la parte rayada (una o varias veces).
Las cinco propiedades anteriores son fundamentales, especialmente las
I, II, III y V.
De las propiedades anteriores se deducen las siguientes:
1) A U B = B ea equivalente a A fl B = A.
2) A c B implica que A U C C B U C y que A fl C <= B n C, para todo
conjunto C.
3) A U B = B es equivalente a A c B.
4) Si U es un conjunto no vacío e I es una parte de U tal que para
toda parte X de U sea X U 1 = X, se verifica que I es el elemento ínfi-
mo. En virtud de 1) la condición anterior es equivalente a X fl I = I, para
cualquier X.
5) Si V es un elemento de R (U) tal que para todo X € R (U) sea
X fl V = X, o su equivalente, X U V = V, se verifica que V es el elemento
universal.
EJERCICIOS :
16. Demostrar el teorema 2.
17. Demostrar la propiedad 1).
18. Demostrar la propiedad 2).
2. ALGEBRA DE LAS PARTES DE UK CONJUNTO 11
19. Demostrar la propiedad 3).
20. Demostrar la propiedad 4).
21. Demostrar la propiedad 5).
VI. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.—Si A, B y C son tres conjuntos arbitra-
rios, se verifica que:
(16) A n (B U O = (Afl B) u (A n Q,
(17) A U (B fl C) = (A U B) n (A U C).
Los diagramas correspondientes a las igualdades (16) y (17) son los de las
figuras 10 y 11, respectivamente:
A n ( B u C ) * « g g t t t ó (AoB)ü(AnC)-5SSfg8S£'
Fig. 10.
Fig. 11.
DEFINICIÓN 7.—Si X €R(U), se llama complementario de X al conjunto
formado por todos los elementos de U que no pertenecen a X. Al complemen-
tario de X se le representa por
e(X).
12 § 1. TEORÍA DE CONJUNTOS [Capítulo I ]
El complementario posee las siguientes propiedades:
1) c (0) = U, c (U) = 0.
2) c(c(X)) = X.
3) c (A U B) = c (A) n c (B).
4) c (A fl B) = c (A) U c (B)
5) A c B implica que c (B) cz c (A).
6) A U c (A) = U, A n c (A) = 0.
EJERCICIOS :
22. Demostrar las propiedades distributivas.
23. Construir los diagramas tle Venn correspondientes a la definición de complementario1
y a las propiedades 2), 3), 4) y 5).
24. Demostrar las propiedades 1), 2), 3), 4), 5) y 6).
25. Si A y B pertenecen a R ( U ) y se verifica que A U B = U y A f) B = 0, entonces-
B = c A .
DEFINICIÓN 8.—Un elemento A de R (U) se llama átomo cuando A ^ 0 y
de 0 =)= X cz A, siendo X un elemento de R (U), se deduce X = A.
EJERCICIO :
26. Demostrar que los subconjuntos unitarios de U son átomos y que son los únicos-
átomos de R (U).
DEFINICIÓN 9. Se llama retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos
se han definido dos operaciones, llamadas unión e intersección, respectiva-
mente, y representadas por los símbolos U y fl, tales que si A y B son dos-
elementos arbitrarios de R, A U B y A fl B existen, son únicos y pertenecen
a R y estas operaciones verifican las siguientes relaciones:
i . Asociatividad.—Para tres elementos cualesquiera, A, B, C, de R, e s :
A u (B u c) = ( A U B ) U C A n (B n Q = (A n B) n c.
I I . Conmutatividad.—Si A, B, € R, se verifica:
A U B = B u A, A f| B = B fl A.
I I I . Idempotencia.—Para todo elemento A de R se verifica:
A U A = A, A fl A = A.
2. ALGEBRA DE LAS PARTES DE UX CONJUNTO 13
IV. Ley de simplificación.—Si A y B son elementos arbitrarios de R se
verifica que
(A U B) fl A = A, (A n B) U A = A.
De esta definición y de todo lo visto anteriormente, resulta el siguiente
teorema:
3 . El conjunto R (U) de las partes de un conjunto es un retículo.—La
misma demostración del ejercicio 17 prueba que:
4. Si A y B son elementos de un retículo R, las dos igualdades siguien-
tes son equivalentes:
A U B = B, A fl B = A.
La proposición 4 permite establecer la siguiente:
DEFINICIÓN 10.—Entrelos elementos de un retículo R se puede definir una
relación, llamada de ordenación, y representada por el signo c , del siguiente
modo:
(18) A c B es equivalente a A U B = E y a A fl F. = A.
5. La relación de ordenación de un retículo posee las tres propiedades
siguientes:
I. Propiedad reflexiva: A <z A, para todo A de R.
II . Propiedad antisimétrica: A c B y B c A , implican A = B.
I I I . Propiedad transitiva: A c B y B c C , implican A cz C.
EJERCICIOS :
27. Se llama H. al suceso que consiste en que al arrojar dos dados, en uno de ellos,
-por lo menos, salga el número i. Se llama H ( (J H . al suceso que consiste en que al arrojar
dos dados salga en uno de ellos, por lo menos, el número i, o el número ; . Se llama TI( fl H^
al suceso que consiste en que al arrojar dos dados salgan los números i y / . Análo-
gamente se definen (H, (J Hy) |J H ¿ , (H, [) Sj) (] H/ , , etc. Demostrar que el conjunto H
de todos estos sucesos, juntamente con el suceso imposible, H 0 , que es el suceso que con-
siste en que salgan números que no pueden salir, forman un retículo.
28. Sea P el conjunto de todas las proposiciones. Por ejemplo: {Hoy es sábado, está
lloviendo, brilla el sol, etc.}. En P se pueden definir dos operaciones, [},(]> del siguiente
modo: si p, q € P> p U 1 s e lee> P ° <? 0 a conjunción o actúa como copulativa y como dis-
yuntiva) ; p f| q se lee p y q. Demostrar que P es un retículo.
29. Demostrar la proposición 5.
14 § 1. TEORÍA DE CONJUNTOS [Capítulo I)
30. Sea C el conjunto de los conmutadores de un circuito eléctrico. Representaremos
por A U B a dos conmutadores montados en paralelo y por A f) B a dos conmutadores mon-
tados en serie, como indica el diagrama de la figura 12. Demostrar que C es un retículo.
p ^
B
A u B
Q P
^ ^
A B
A n B
Q
Fig. 12.
DEFINICIÓN 11.—Se llama elemento ínfimo de un retículo R, al elemente*
I definido por las propiedades equivalentes:
{19) X U I = X, X f| I = I, para todo X € R.
Se llama elemento universal de un retículo R, al elemento U definido por las-
propiedades equivalentes:
<20) X U U = U, X f\ U « X, para todo X € R-
Un retículo se dice que posee elemento ínfimo (elemento universal) cuando
existe en él un elemento (que es único) que cumple las condiciones (19)
(resp. las condiciones (20)).
DEFINICIÓN 12.—Se llama retículo distributivo a todo retículo que verifica
las siguientes propiedades distributivas:
<&) X u (Y n Z) - (X U Y) n (X U Z),
<22> x n <Y u z) = (x n Y) u (x n z),
para toda terna, X, Y, Z de elementos del retículo.
DEFINICIÓN 13.—Se llama retículo complementario a todo retículo tal que
para todo X € R existe el elemento complementario, c X, caracterizado por
las dos propiedades:
(28) X U c X * U, X f l e X - I ,
siendo U el elemento universal e I el elemento ínfimo.
2. ALGEBRA DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO 15
DEFINICIÓN 14.—Los retículos distributivos y complementarios se llaman
álgebras de Boole.
De todo lo que precede se deduce que el conjunto R (U) de las partes de
un conjunto es un álgebra de Boole.
EJERCICIO :
31. Comprobar que el retículo del ejercicio 28 es un álgebra de Boole.
SUSTRACCIÓN.—En un álgebra de Boole R se puede definir otra opera-
ción, llamada sustracción, del siguiente modo:
DEFINICIÓN 15.—Si A y B pertenecen
a R se llama diferencia entre A y B, y se
representa por A — B al siguiente elemen-
to de R :
(24) A — B = A fl c B.
El diagrama de Venn correspondiente a la A-B=región cuqdrícutada
diferencia A — B es el conjunto cuadricu- Fig. 13.
lado de la figura 13.
Se llama suma del elemento A con el elemento B al elemento A U Br
cuando A D B = 0. La suma de A y B se representa por A + B. Se verifica,
por tanto, que escribir A + B equivale a escribir A U B y A fl B = 0.
EJERCICIOS :
82. Deirostrar que
(25) <A — B) + B - A U B.
33. Demostrar que (A — B) fl (B — A) - e.
DEFINICIÓN 16. Si A y B pertenecen a R se llama diferencia simétrica
entre A y B, y se representa por A A B al siguiente elemento:
(26) A A B = (A — B) + (B — A).
EJERCICIOS :
34. ¿Por qué se puede poner el signo + en la definición (26)?
85. Demostrar que si R es un álgebra de Boole, respecto de la operación A «s un grupc*
abeliano. (El lector que no conozca la definición de grupo abeliano puede verla más ade-
lante: § 2, 5, def. 17.)
16 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
§ 2. PRODUCTO DE CONJUNTOS. APLICACIÓN.
FUNCIÓN. RELACIÓN
1. Producto de conjuntos.—Como podrá comprobar el lector, la ope-
ración de multiplicación de conjuntos es una operación básica de toda la ma-
temática y constantemente nos vamos a referir a ella.
DEFINICIÓN 1.—Dados dos conjuntos A y B, se llama producto de A por
B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares or-
denados {(x,y)}, en donde el primer elemento de cada par pertenece a A y
el segundo a B.
EJERCICIOS;
36. Escribir todos los elementos de A x B, siendo A = { a, b, c }, B = { 1, 2, 3, 4 }.
ídem de B x A.
37 ¿Es A x B = B x A?
Diagrama del producto de dos conjuntos.—Empleando para los conjuntos
la representación lineal se obtiene para el producto la representación carte-
siana indicada en la figura 14.
y
4l
2 .
1
0
(a,4)
(a,3)
\a,2) (
(a,U
3 i
(b,4)
(b,3)
(fcv2) '
íb.1)
\ " 1
(C4)
(C3)
(C,Z)
(C,1)
* X.
,yl
c
o i
Q
WM&'s&yWtí&s&í
fí&ÍSSS¿:^fe."S3i8S«wí
M
\ E
P
N
5 x
Ejemplos: 1. Sea A ''=> {a, b,c}, B •= {1 ,2 ,3 ,4} . Representando A en el
eje A-y B en el eje y (fig. 14), los elementos del conjunto A x B vienen re-
presentados por los nudos de la red obtenida al trazar por los puntos que
1. PRODUCTO DE CONJUNTOS 17
representan elementos de A paralelas al eje y y por los puntos que repre-
sentan elementos de B paralelas al eje x.
2. Si el conjunto A viene representado por todos los puntos del segmento
A B y el conjunto B por todos los puntos del segmento C D (fig. 14), el con-
junto A x B viene representado por todos los puntos del rectángulo M N P Q.
EJERCICIOS :
38. Sea A = { 1, 2, ..., 8 }, B = { 1, 2, ..., 5 }, representan gráficamente A, B y A x B.
¿ Cuántos elementos tiene A x B ?
39. Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, demostrar que A x B tiene m n
elementos.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE CONJUNTOS.—I. A'a A, B' <z B implican
que A' x B' cz A x B.
II . A x (B U C) = (A x B) U (A x C).
I I I . A x (B (1 C) = (A x B) O (A x C).
IV. Si M cz A x B y (x, y) € M, se llama proyección de (x, y) sobre A
al elemento x y proyección de (x, y) sobre B al elemento y, y se escribe:'
proy (x, y) = x, proy (x, y) = y.
Al conjunto de todas las proyecciones sobre A de los elementos de M se le
llaman proyección de Ai sobre A. Análogamente se define la proyección de
M sobre B, y se escribe:
proy M, Pr°y[i M.
Se verifica que:
(27) proy M c A, P r°yB M cz B.
Dados varios conjuntos: Ax, ..., An, se llama producto A± x ... x A„ al con-
junto de todos los conjuntos ordenados {xx,x2, ,..,xn), en donde xr € A,, ...,
xn € An,. Convendremos en poner (A x B) x C = A x B x C, lo que equivale
a admitir la ley asociativa en el producto de conjuntos.
EJERCICIOS :
40. Demostrar las propiedades I-IV.
41. Sea A el conjunto de diez alumnos de la clase, representados por los números
A = { 1 , 2. ..., 10 } y sea B el conjunto de los números { 0, 1, ..., 10 }. Representar gráfica-
mente A x B. Considerar el subcon junto, M, de A x B formado por los pares en que a cada
alumno le corresponde su última puntuación en Matemáticas. ¿Qué significa proyB (3, 7)?
2
18 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
2. Relaciones. Correspondencias. Transformaciones. Funciones.-—
Sea G un subconjunto de A x B :
(28) G c A x B .
DEFINICIÓN 16.—El subconjunto G define una relación, que designaremos
por R, entre los conjuntos A y B del siguiente modo:
(29) x R y < £ > (x, y) £ G,
en donde x € A, y € B, que se lee: x está relacionado con y en la relación
R (*).El subconjunto G se llama grafo de la relación R.
El subconjunto G de A x B define también una correspondencia, trans-
formación o función de A en B, que designaremos por /. Un elemento x de
A y otro y de B se llaman homólogos en la correspondencia o función f cuan-
do el par (x, y) pertenece a G. Si x € A, al conjunto de todos los elementos
homólogos de x en la correspondencia o función / se le llama imagen de x en
/ y se representa por / (x). Al conjunto de todos los elementos homólogos
del elemento y de B, se le llama original de y en la correspondencia o función
/, y se representa por or (y). Al conjunto A se le llama conjunto inicial de la
correspondencia o función, ál conjunto B conjunto final de la corresponden-
cia o función, y se escribe:
in (/) = A, fin (/) = B.
La correspondencia, transformación o función / hace corresponder, o
transforma, cada elemento x del conjunto inicial A en una parte (que puede
ser el conjunto vacío) de B, lo que se expresa del siguiente modo:
x JU f (x), x£A, / (*) € R (B),
siendo R (B) el retículo de las partes de B. Se llama grafo de la correspon-
dencia /, al subconjunto de A x R (B): {(x, f (> ) )} , t A . El mismo subcon-
junto G de A x B define otra correspondencia o transformación, g, que de-
signaremos con el nombre de recíproca de la anterior, que transforma, o hace
corresponder a cada elemento y € B, la parte g (y) de A formada por todos
los homólogos de y en la correspondencia /. A h correspondencia recíproca*
g, de / la representaremos también por f~x. El grafo de la correspondencia
recíproca, g, de la correspondencia / es el subconjunto {g (y), y}Víñ del pro-
ducto R (A) x B.
(*) Obsérvese que no es lo mismo decir que x e y están relacionados en la relación R
2. RELACIONES. CORRESPONDENCIAS'. FUNCIONES 19
Se llama conjunto original de la correspondencia, función, o transforma*
ción /, y se representa por or (/), al conjunto:
(30) or (/) = y or (y),
y conjunto imagen de /, y se representa por im. (f) al conjunto:
(31) im (/) = ( J / (x).
Si g es la correspondencia recíproca de la correspondencia /, se verifica:
(32) im (/) = or (g), or (/) = im (g), in (/) = fin (g), fin (/) = in (g).
EJERCICIOS :
42. Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { a, b, c, d}, sea / c A x B, definido poi / = { (1, á),
( 1 , 0 . (2, b), (3, a), ( 3 , 0 } - Decir qué es : a) in (/), b) fin (f), c) / ( l ) , d) / ( 2 ) , e) im (/),
f) or (/), g) / - 1 (o) siendo f-1 la correspondencia recíproca de /, h) f~l (0.. 0 / - 1 (<*)• ¿^e
verifica que 1 / c ? , ¿y que 2 / c ?
43. Tómese una moneda, tírese nueve veces y fórmense los pares g = { (x, y) }, en donde
X es el número ordinal' de la tirada e y es un 1 cuando en la tirada ha salido cara, y un cero
cuando ha salido cruz. Sea A = { 1, 2, ..., 9 }, B = { 0 , 1 } . g define una función de A en B :
g: A - ^ B .
¿Cuántos elementos tiene g (x), cualquiera que sea x? ¿Qué conjunto es g-1 (0) {] g-1 (1)?
¿Y rMOJUr ' í i ) ?
44. Sea A el conjunto formado por todos los alumnos de la clase. Se forma el subcon-
junto h de A x A del siguiente modo: Cada alumno escribe su propio nombre y, a conti-
nuación, el nombre de uno de sus amigos de la clase, pudiendo repetir esto como máximo
tres veces, h es el conjunto de todos los pares de nombres así obtenido. La relación h así
definida se llama relación de amistad. Obsérvese si se cumplen o no estas propiedades: a)
x h x, b) Si se verifica x h y (que se leería x es amigo de y) ¿ se verifica también y h x (e. e.
y es amigo de x) ? c) Si se verifica x h y e y h s ; se verifica x h s? ¿ Cómo se lee esta última
propiedad ?
45. Se toma un vidrio homogéneo de dos o tres centímetros de grueso, se hace incidir
sobre una de sus caras pulimentadas un haz luminoso monocromático y se miden el seno x
del ángulo de incidencia y el seno y del ángulo de refracción. Se hace el experimento para
varios ángulos de incidencia -x^, ..., xn, y se obtienen así los pares (x,y), (x , y), ....
(xn, yn), que definen una función, r, entre A = {x^ xn } y B = { y , .... yr }. ¿Cuántos
elementos tiene r (x) para cualquier x? ¿Cuántos tiene r - i (y) para cualquier v?
46. Sea A el conjunto de todos los puntos de la recta x (fig. 15) y B el conjunto de
todos los puntos de la recta y. Se puede tomar como imagen gráfica de A x B el cor
20 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I]
junto de todos los puntos del plano. Sea / el subconjunto de A x B representado por la
mancha de la figura 15A). ¿Qué conjuntos son: a) /(/>), b) / ( «O , c) / - ' ( ^ ) , d) / (O)?
47. A, B y A x B tienen el mismo significado que en el ejercicio anterior, g es el sub-
conjunto de A x B representado por la línea curva de la figura 15 B). Escribir g (/>), g («)>
g-1 (»), in (g), or (g).
48. Sean A y B el conjunto de los números racionales, Q. Sea / el subconjunto de A x B
formado por todos los pares de números racionales (x, y) tales que 6 — 2 x + 3 y = 0. Di-
bujar la gráfica de / . Calcular / (0) y f~x (<>)• ¿ C u á I e s s o n i m (/ ? o r ^ ? ¿ C u á n t o s ™ m e r o s
hay en / (x) para cualquier x £ Q? ¿Cuántos hay en / - 1 (y)?
Fig. 15.
49. Sean A y B el conjunto de los números racionales, Q. Sea / el subconjunto de A x B
formado por todos los pares (x, y) tales que y = | — 6 + 2x |. Gráfica de /. Hallar / (5),
/(O), f'1 (ü), /~1<2), / " H 1 0 ) . / _ 1 (—!)• Definir im (/) y or (/). ¿Cuántos elementos tienen
50. A y B tienen el mismo significado que en el ejercicio anterior, g es el subconjunto
de A X B formado por todos los pares (x, y) tales que y > | — 6 + 2x |. Representar g.
Definir g (2), g (3), g (10), g-i (0), ¿ - i (1), ¿ r 1 <(6), r ' ^ ^ ^ (<?)> or (g).
51. Si * es un número racional, se representa por ¡>] al mayor número entero que es
menor o igual a x. (Por ejemplo: — j = 1, | ^ - = — 2, [5] = 5, [— 3] = — 3.)
Sean A y B iguales al cuerpo Q de los números racionales. Sea F el subconjunto de A x B
formado por todos los pares (x, y) tales que y = [x]. Representar gráficamente F . Escribir
los elementos de los siguientes conjuntos: F (1,7), F í — I , F I - — j , F j — j , F x (4),
p - i ^ S ) , F - I (0), F - M — ) • Definir im (F) y or (F).
52. Tómense dos dados y anótese la suma de los números que se obtienen a! arrojarlos.
Repítase la operación 360 veces y anótense los números de veces que se ha obtenido la
suma 2, la suma 3, ..., la suma 12. Sea A = Q, B = N, siendo N el conjunto de los números
naturales. Sea $ el subconjunto de A x B formado por tcdos los pares (.r, y), siendo y
el número de veces que se ha obtenido como suma de los números de los dados x o un
número inferior a x. Representar gráficamente $ . Expresar $ (3), <i> (3.7). <j> (12), <J> (J ),
(Ji (13), d)- 1 (32), $ - i (25), or ($) , im ($ ) .
2. RELACIONES. CORRESPONDENCIAS. FUNCIONES 21
7 - • • • • •
« • • •
5 • • • • • • •
<•• • • • •
3 - • • • • •
2 - • • •
1 - •
1 1 1 1 1 1 1-
1 2 l • 5 ó 7
53. Sea A = N, B = Q y sea L el subconjunto de A x B formado por todos ¡os pares
(x, L x), siendo L x el logaritmo decimal de x que figura en una determinada tabla y x uno
de los siguientes números { 1 , 2, 5,10, 20, 30, .... 190, 200 }. Representar gráficamente L.
¿ Qué son or (L) e im (L) ?
54. Divídase una cuartilla en 16 trozos y numéren-
se los trozos, a los cinco primeros se les colorea de
rojo, a los cuatro siguientes de azul, a los tres si-
guientes de verde, a los dos siguientes de negro y a
los dos últimos se les deja blancos. Sean A y B igua-
les ambos al conjunto de los 16 primeros números
naturales: A = B = { 1, ..., 16 }. Entre A y B se de-
fine una relación R del siguiente modo: x ~R y equi-
vale a decir que los papeles numerados con los nú-
meros x e y tienen el mismo color. Representar grá-
ficamente la relación R. Comprobar que R posee las
tres propiedades siguientes: I. x R x, \¡ x £ A. I I . p¡„. jg
xRy implica y R x. ITT. .vR y e y R s implican
x Rz, ¿ Cómo afectan las propiedades I y II a la gráficade R ?
55. Sea R la relación representada por la gráfica 16. Comprobar que se verifican las
siguientes propiedades: I. x R x. II. xRy e yRx implican x = y. I I I . x R y e y R z im-
p lican x R s.
DEFINICIÓN 17.—A una correspondencia / de A en B, tal que / O) conste de
un único elemento, o sea el conjunto vacio, para todo x € A, se le llama una
correspondencia univoca de A en B. En tal caso, en lugar de poner / (x) = {y}
se escribe / (x)•= y. A la función correspondiente a una correspondencia unívo-
ca se le llama función uniforme. Si or (/) = in (/), la función uniforme se llama
aplicación. Si además im (/) = B, la correspondencia se llama suprayectiva, y la
función se llama aplicación de A sobre B o suprayección. Una correspondencia
unívoca de A en B tal que todo elemento de B sea imagen de un elemento de A
como máximo, esto es, tal que, para todo elemento y de B, se verifique que
or (y) es un único elemento o el conjunto vacío, se dice que es una correspon
dencia biunívoca de A en B; a la aplicación correspondiente se le llama aplica-
ción inyectiva o inyección. Si / es una correspondencia biunívoca de A en B y
además es una correspondencia suprayectiva, se dice que / es una correspon-
dencia biunívoca de A sobre B; a la función correspondiente a este caso se le
llama aplicación biyectiva o biyección. Por consigriiente, una aplicación bíyec-
tiva o biyección es una inyección que al propio tiempo es suprayección. Si f
es una biyección, la correspondencia recíproca es una aplicación suprayectiva
que representaremos por /_1 , y llamaremos aplicación inversa de /. Se
pondrá f'1 (y) = x, en lugar de f~x (y) = {*}. Se verifica que /_ 1 / es la apli-
cación idéntica de A sobre A y f f'1 es la aplicación idéntica de B sobre B.
22 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
Emplearemos constantemente los siguientes criterios:
I. La condición necesaria y suficiente para que A — B sea una aplicación
o función uniforme, es qwe\: 1) Para todo x € A, f (x) d¡z 0. 2) De y € f (x),
z € f (x) se deduce que y — z.
II . La condición necesaria y suficiente para que la aplicación A — B sea
suprayectiva es que para todo y perteneciente a B, exista un x-€A tal que
£(x) = y.
III. La condición necesaria y suficiente para que la aplicación A — B sea
inyectiva es que de f (x) = f (y) se deduzca que x = y.
IV. La condición necesaria y suficiente para que A — B sea una biyec-
ción es que i sea una aplicación inyectiva y suprayectiva.
EJERCICIOS :
5G. Decir si las siguientes correspondencias son unívocas, suprayectivas, biimívocas en,
o biunívocas sobre: a) La correspondencia del ej. 42. b) La correspondencia del ej . 43. c)
lia correspondencia del ej . 44. d) La correspondencia del ej . 45. e) La correspondencia del
ej. 4(¡. f) La correspondencia del ej. 47. g) La correspondencia del ej. 48. h) La correspon-
dencia del ej. 49. i) La correspondencia del ej. 50. j) La correspondencia del ej. 51. k) La
correspondencia del ej. 52. 1) La correspondencia del ej. 53. m) L3 correspondencia del
ej . 54. n) La correspondencia del ej . 55.
57. Decir si son aplicaciones, inyecciones o biyecciones las siguientes funciones: a) A = B
-- Q (Q, como siempre, es el conjunto de los números racionales), / = •{ (.r, x" — 5 x + 6) },
b) A = B = N, * = { (*, 2*) }, c) A = B = Q, A = j | . r , ^ f ^ ) ¡ •
NOTACIÓN.—Si A — B es una aplicación de A en B, a un elemento arbi-
trario de A = or (/) se le representa por una letra, por ejemplo x, que se
llama variable independiente. Al elemento correspondiente a x se le repre-
senta por otra letra, por ejemplo y, que se llama variable dependiente o fun-
ción, y se escribe
y = / <•*).
Por consiguiente, x representa un elemento de A y f (x) un elemento de
im (/) a B. Al conjunto A = or (/) se le llama también campo de variabilidad
de la variable independiente. Al conjunto im (/) se le llama campo de variabi-
lidad de la función.
Para definir una aplicación / no basta con dar la operación que es preciso
realizar para pasar de un elemento de or (/) al elemento de im (/), sino que
es preciso definir or (/) y fin (/).
2. RELACIONES. CORRESPONDENCIAS. FUNCIONES 23
fcjERCICIO.S :
58. ¿Está definida la función y = 2 * + 1? Completar de varios modos la definición de
esta función.
5». ¿Existe la función / (x) tal que x € Q, / (*) € Q' y * 2 + [/ ( O P + 1 = 0?
60. ¿ Existe la función / (x) tal que or (/) = N, siendo N el conjunto de los números
naturales y 28 ;r + 45 / (#) = 11, siendo fin (/) = Z, y Z el conjunto de los números en-
teros ?
61. ¿Existe la función g (x) tal que or (g) = Z, fin (g) = N, estando ligados x y g (x)
por la ecuación del ejercicio anterior?
DEFINICIÓN 18.—El paso de la variable independiente a la variable depen-
diente puede realizarse de varias formas, con lo que resultan distintos tipos
•de funciones. Una función se llama experimental cuando para pasar de la va-
riable independiente a la variable dependiente es preciso realizar un experi-
mento. Una función se llama matemática cuando para pasar de la variable in-
dependiente a la dependiente basta realizar procesos matemáticos. Una fun-
ción se llama tabulada cuando para pasar de la variable independiente a la
dependiente basta con mirar unas tablas.
Las ciencias experimentales persiguen pasar de las funciones experimen-
tales a las funciones matemáticas ; cuando consiguen esto dicen que han des-
cubierto una ley natural. Obsérvese que cuando se es capaz de encontrar una
función matemática igual a una función experimental, se pueden hacer pre-
dicciones respecto del fenómeno a que se refiere la función experimental. Apa-
rece aquí el concepto de igualdad de dos funciones, que, juntamente con la
igualdad de conjuntos, son los dos conceptos básicos de toda la matemática.
DEFINICIÓN DE IGUALDAD DE FUNCIONES.—Diremos que las funciones
y = f (x) e y-?= g (-*") son iguales sobre el conjunto C cuando: 1.°) El con-
junto C está contenido en los conjuntos originales de las dos funciones. 2.°)
Para todo elemento x que pertenezca al conjunto C se verifica que f (x) = g (x).
Si los conjuntos originales de las dos funciones son iguales diremos que las
funciones son estrictamente iguales.
EJERCICIOS:
62. Aplicar la definición 18 a las funciones de los ejercicios 53, 52, 51, 50, 60.
63.' Sea Q el conjunto de los números racionales y Z el conjunto de los numeres enteros.
Cada número racional se puede considerar como una aplicación de un subconjunto de Z en
otro subconjunto de Z del siguiente modo: sea — una fracción, sean (a) v (b) los conjun-
b
tos formados por todos los múltiplos de o y de b, respectivamente. - define una aplicación
24 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I]
de (¿») en (a) del siguiente modo: —- (m b) = m a, siendo m un número entero. Demos-
o
trar que si las fracciones —- y -— son iguales (e. e. con-esponden al mismo número racional)
o a
se verifica que las funciones correspondientes son iguales en un cierto conjunto. Determinar-
este conjunto.
DEFINICIÓN 19.—Atendiendo a los conjuntos in (/) y fin (/) las funciones
se clasifican en diversas clases, entre las que las más importantes son las si-
guientes : Funciones de variable natural son las que tienen in (/) = N, sien-
do N el conjunto de números naturales. Funciones de variable entera son
aquéllas para las que in (/) •= Z, siendo Z el conjunto de los números ente-
ros. Funciones de variable real son aquéllas para las que in (/) = R, siendo
R el conjunto de los números reales. Funciones de variable compleja son
aquéllas para las que in (/) = C, siendo C el conjunto de los números com-
plejos. Funciones enteras son aquéllas para las que fin (/) = Z. Funciones
reales son aquéllas para los fin (/) = R. Funciones complejas son aquéllas
para las que fin (/) = C.
3. Relación de igualdad. Clasificación. Conjunto cociente.—Según
la definición 16, definir una relación entre dos conjuntos es definir un sub-
conjunto del producto de aquéllos. Vamos a estudiarun tipo muy particular
de relaciones entre un conjunto y él mismo.
DEFINICIÓN 20.—Sea R un subconjunto en A x A, representaremos por
la misma letra la relación definida por él. La relación R se llama relación de
igualdad cuando verifican los siguientes postulados :
I. Para todo elemento x de A se verifica x R x.
I I . x R y implica y R x.
I I I . x R y e y R z implican x R z.
Dos elementos x, y relacionados mediante una relación de igualdad R se
llaman iguales respecto de R. Generalmente se dice simplemente que son igua-
les, dejando sobreentendida la relación respecto de la que son iguales. Sobre
un mismo conjunto se pueden definir, en general, varias relaciones de igual-
dad. Para representar las relaciones de igualdad se emplea el signo = , pera
pueden emplearse otros signos : a veces se emplea el = o el «¿.
EJERCICIOS :
64. Sea. N el conjunto de* los números naturales. Sea R el subconjunto de N x N for-
mado por aquellos pares de números naturales que, escritos en el sistema decimal, tienen
iguales las últimas cifras. Sea R la relación definida por R. Probar que R es una relación,
de igualdad.
'ó. RELACIÓN DE IGUALDAD. CONJUNTO COCIENTE 25
65. Sea A = N x N. En A se define la relación R del siguiente modo: (x, y) R (x*, y')
equivale a x + y' = y + x'. Demostrar que R es una relación de igualdad.
66. A es el conjunto de todos los segmentos del espacio euclídeo ordinario. E! segmento
a está relacionado en R con el segmento b cuando existe un movimiento en el espacio que
transforma a en b. Demostrar que R es una relación de igualdad.
67. Sea A el conjunto de todos los triángulos del plano. Si T y T' son dos triángulos,
se escribe T R T ' cuando T es semejante a T ' . Demostrar que R es una relación de igualdad.
68. Se escribe o R b, siendo a y b dos números, cuando existe otro número m, distinto
de cero, tal que a = m b. Decir si R es relación de igualdad: a) Cuando todos los números,
o, b, m, son enteros, b) Cuando todos los números son racionales.
Sea R una relación de igualdad definida en el conjunto A. Consideraremos
el subconjunto de R (A) formado por todas las partes C (x) de A, en donde
C (x) es la parte formada por todos los elementos y de A tales que x R y. A
este conjunto de partes de A lo representaremos por {C(x)}xeA .
El conjunto {C(x)} I £ A de partes de A posee las dos propiedades funda-
mentales siguientes-'
I. (JC(x) = A.
xe A
II . C (x) fl C (y) = 0, o bien C (x) = C (y).
DEMOSTRACIÓN.—I. Como todos los conjuntos C (x) son partes de A su
unión es también parte de A, esto es M C (x) a A. Recíprocamente, si
s € A, se verifica que s € C O) cz M C(x), luego A c | | C ( 4
xe xs A
II . Si z € C (x) D C (y), será x R z, yRz, de donde xRz, zR'y y x Ryy
luego x € C (y) e y € C (x). Si t € C (x), será x R t y como xRy, será y R t>
luego t € C (y). Por consiguiente, C (x) cz C (y). Reciprocamente, si u € C (y),
será y R u, y como y R x, será xRu, luego u € C (x) y, por tanto,
C (y) cz C (JI-), luego C (x) = C (y).
DEFINICIÓN 21.—Un conjunto {C,},-, de partes de un conjunto A se llama
una clasificación o una partición del conjunto A cuando se verifican las dos
condiciones siguientes:
i. UC'=A
t í I
ii. c, n Q = 0, i t- ;'•
Los subconjuntos C¡ se llaman entonces clases de A.
26 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I]
En virtud de esta definición se puede enunciar el resultado anterior del
siguiente modo:
Toda relación de igualdad R en un conjunto A produce en A una clasifi-
cación, cada clase está formada por todos los elementos de A que son igua-
les entre si en la relación R.
Esta proposición posee una recíproca:
Toda clasificación {Ci},,, de un conjunto A define una relación de igual-
dad, R, en A cuya clasificación correspondiente es {C'i).i:.
DEMOSTRACIÓN.—Sea R la relación definida en A del siguiente modo:
x R y es equivalente a decir que existe una clase C¡ que contiene a los dos
elementos x e y, esto es:
x R y es equivalente a : x £ C¡, y £ C¡, C, € { C¡ } ; .
a) La relación R es una relación de igualdad.—En efecto : I) Todo ele-
mento pertenece a la misma clase que él mismo y existe tal clase en virtud
de la condición I de la def. 21. II) La definición de R es simétrica. III) Si
xü y e y R z, se verifica que x € C,-, y € Q, y € C*. z £ Ck. Ahora bien, por
la condición II de la def. 21, de y € C¡, y € Ck se deduce ; = k, luego x € Q ,
s € Cj, y x R z.
b) La clasificación definida por R es la clasificación dada.—Sea C (%) la
clase formada por todos los elementos y tales que x R y, y sea C¡ la clase
de {C,}, s , , que contiene a ,,r. Si z € C (-r) será x R z, de donde x € C*, z € C t ,
y como x € Q, por la condición II de la def. 21, será / . = k, luego z € C¡. Por
consiguiente, C (x) c: Q. Recíprocamente, si z € C ;, corno x € Q, será x R z,
luego z € C (x), lo que implica, por ser z arbitrario, que C} cz C (x). Por con-
siguiente, C (x) •= Q, luego las clases C (x) coinciden con las clases C¡.
EJERCICIOS :
69. A es un conjunto de bolas de colores: rojo, azul, blanco, verde, naranja, a) En A
se define la relación R del siguiente modo: si x e y son dos bolas se escribe Í R J cuando
x e y tienen el mismo color. Comprobar que R es una relación de ig-ualdad. ¿Qué clasifica-
ción produce R en A? ¿Cuántas clases tiene la clasificación? b) Se consideran las partes
R, A, B, V, N, de A formadas por las bolas de colores rojo, azul, blanco, verde y naranja,
respectivamente. ¿Es { R, A, B, V, N } una clasificación de A? ¿Qué relación de igualdad
define esta clasificación? c) Se numeran correlativamente, a partir del uno, las bolas de cada
una de las clases A, R, B, V, N y se consideran los subconjuntos C¡ formados por todas las
bolas que tienen el mismo número i. ¿Es { C, } . u n a clasificación? ¿Cuál es la relación
de igualdad correspondiente?
70. ¿ Cuántas clases existen en la relación de igualdad del ejercicio 68 b) ?
3. RELACIÓN DE1 AGUALDAD. CONJUNTO COCIENTE 27
71. ¿ Es una clasificación der conjunto de los números naturales la formada por los sub-
conjuntos P e I de los números pares e impares ? ; Qué relación de igualdad corresponde a
esta clasificación?
72. Sea Q el conjunto de los números racionales. Sea C , n £ Z, siendo Z el conjunto
<ie los números enteros, el conjunto de todos los números racionales x tales que: a)
« < • * < » + 1. b) « < * < » + 1 . c) » < * < « + 1 . ¿Es el conjunto { Cn }H % 2 de par-
tes de Q una clasificación de Q? Cuando así sea, ¿cuál es la relación de igualdad corres-
pondiente ?
73. Sea 5* el conjunto de todos los polígonos. Sea Ct la parte de íP formada por todos
los polígonos cuya área es igual a i. ¿Es el conjunto { C¡ } /gjn+ > siendo R+ el conjunto
•de los números reales positivos una clasificación de j ? ? ¿ Cuál es la relación de igualdad
correspondiente ?
De la definición 21 se deduce inmediatamente que:
En una clasificación {Ct},-,, de un conjunto A cada clase d está unívoca-
mente determinada por cualquiera de sus elementos. En virtud de esta pro-
piedad, a cada elemento de una clase se le llama un representante de la misma.
Emplearemos muchas veces el siguiente:
CRITERIO DE IGUALDAD DE CLASES.—La condición necesaria y suficiente para
que dos clases de una clasificación sean iguales es que posean un elemento
común. Cuando la clasificación viene definida por una relación de igualdad
R, se puede enunciar este criterio del siguiente modo: Si x e y son represen-
tantes de las clases C (x) 3/ C (y), respectivamente, definidas por la relación
de igualdad R, se verifica que-'
(1) C ( x ) = C (y) es equivalente a xKy.
EJERCICIO :
74. Si R es la relación del ejercicio 69 a) y si x e y son dos bolas de A. comprobar la
proposición (1).
DEFINICIÓN 22.—De todo lo anterior resulta que toda relación de igualdad,
R, definida en un conjunto A, define un subconjunto en el álgebra R (A) de
las partes de A, formado por todas las clases correspondientes a la clasifica-
ción, a este subconjunto de R (A)formado por todas las clases de clasifica-
ción se le llama conjunto cociente de A respecto de la relación de igualdad R,
y se representa por A /R .
EJERCICIOS :
75. ¿Qué diferencia existe entre clasificación y conjunto -cociente?
76. A es un conjunto de bolas. Se meten todas las bolas de A en bolsas. Las siguientes
expresiones' ¿qué indican?: a) El conjunto de las bolsas de bolas, b) El conjunto de bolsas.
28 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
NOTACIÓN.—Como una clase de una clasificación queda definida por uno
cualquiera de sus elementos, para representar a la clase que contiene al ele-
mento x, en la clasificación producida por la relación de igualdad R, emplea-
remos las siguientes notaciones: x R, x + R, x. Para representar a los ele-
mentos del conjunto cociente se emplea la misma notación; por consiguien-
te, x R lo interpretamos tanto como conjunto de elementos de A como ele-
mento de R(A) .
EJERCICIOS :
77. En algunos casos sería fácil emplear nombres distintos para las clases y para los
elementos del conjunto cociente. Pónganse nombres distintos en el siguiente.: A es un con-
junto de cajas de colores. Se atan, formando un paquete, las cajas del mismo color. Nombrar
las clases y los elementos del conjunto cociente con nombres distintos. '
78. Sea A el conjunto de todos los polinomios en una única indeterminada x. Si /> y q son
dos polinomios, se escribe p R q cuando p y q tienen el mismo grado. Probar que R es una
relación de igualdad y ver que cada elemento de A/R se puede representar por un número
natural de modo único y que a cada número natural le corresponda un elemento de A/R.
4. Aplicaciones o funciones uniformes.—Recuérdese (def. 17) que se
ha llamado aplicación a una función (in / •= or /) tal que y € / (x), z € / (x)
implican y = z. Definida una relación de igualdad R en un conjunto A se pue-
de definir de un modo natural una aplicación n de A sobre A / R llamado epi-
morfismo natural del siguiente modo: a cada elemento de A se le hace co-
rresponder la clase que lo contiene:
n: x —^ x R, para todo x £ A.
Evidentemente, se verifica que or (n) = A y que de y € n (x), z € n (x), re-
sulta que y — x R, z = x R, y como x pertenece a una clase única, será y = zr
luego es una aplicación. Si z es un elemento de A / R y x es un elemento de
A perteneciente a z, será z = x~R, luego z = n (x).
EJERCICIOS :
79. A es un conjunto de bolas, R es la clasificación que resulta de meter las bolas err
bolsas. ¿Cuál es el epimorfismo natural?
80. Sea A el conjunto de habitantes de una localidad. Se define j r R y , siendo r t y dos-
vecinos de A, cuando x e y habitan en la misma casa. A /R y el conjunto B de las casas de
la localidad (suponiendo que todos los habitantes tengan casa) son dos conjuntos biyectivos.
S e a
(1) / : A-9>B
una aplicación de A en B.
4. APLICACIONES 29
La aplicación í produce una clasificación en A mediante la siguiente defi-
nición: x e y pertenecen a la misma clase es equivalente a f (x) = f (y).
DEMOSTRACIÓN.—Sea C(x) el subconjunto de A que contiene a x. Esto signi-
fica que y € C (x) es equivalente a / (y) = f (x). Evidentemente es I J C (x) = A.
J t S A
Si C (x) y C (y) tienen un elemento común, z, será / (x) — f (z) y f (y) = f (z),
luego f(x)=f(y). Si í € C ( * ) , de /(*) = /(•*), resulta f(t)=f(y), luego
t 6 C (y) y C (x) a C (y). Análogamente se ve que C{y) a C(x), luego si
C (x) y C (y) tienen un elemento común coinciden.
NOTACIÓN.—Al conjunto cociente de A respecto de la clasificación produ-
cida por / lo representaremos por A / / .
DEFINICIÓN 23.—Dadas las aplicaciones:
A L E y B Í C .
tales que fin (/) = or (g) = B, se llama producto de f por g, y se representa
por g f, a la correspondencia entre A y C definida del siguiente modo :
(2) £ / ( * ) = £ ( / ( * ) ) •
EJERCICIOS :
81. Comprobar que las funciones / : y = 4t x + 5 y g: y = x2 son aplicaciones de Q en Q,
siendo Q el cuerpo de los números racionales. Hallar las ecuaciones de los productos
g.f y f g-
82. Dadas las aplicaciones / y g, de Q en Q, definidas por las siguientes ecuaciones:
3 x -f- f>
y = ~— , y = éx3 — 7 ^ + 1, escribir las ecuaciones de g f y de f g.
2 x — i
83. Dadas las gráficas de las aplicaciones f y g, dibujar la gráfica de g f.
f g
84. Sean Q x Q — Q y Q — Q x Q , las siguientes aplicaciones:
/ (*, y) = (* - y)* + 2 x, g(x) = 1x3- i , | ^ t | _ \ . Calcular gf y f g.
f s
85. Sea R el cuerpo real y s e a R x R - R y R t R, definidas por f (x, y) = x* — 4 y,
g {x) = sen x. Calcular g f.
86. Sea R £ R x R x R, R X R x R ' R, R - R, siendo / (x) = (*-», — 3 x, 2),
g (y, s, t) = y + s + t, h («) = eos (M), calcular: h (g f), / (h g), g (f h).
30 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I J
87. Descomponer en producto de dos factores las siguientes aplicaciones: a) y = (2 x
+ l ) 3 . b) y = x¿ + x*. c) y = sen 3 x. d) y = log sen x. e) y = ^ t g x. f) y = log {x + 3).
g) y = 22X + 1. h) y = eos x + sen * .
88. Descomponer en producto de tres factores las siguientes funciones: a) y = (2x + 1)*.
x*
b) y = (sen x + eos x) x*. c) y = d) y = sen (x* + 3 x -+ 1). e) y - 2sen <•» x + 2>.
sen *• 4 - 2*
f) y = jr2 eos x + 2X log x + x sen *. g) y = sen (#3 + 1) eos (2 * + 1) ^/ *.
K sen ' eos *
h) y = '/*« +^3 * + 2 .
89. Descomponer en producto de cuatro factores las siguiente" funciones:
a) v = y x* + 1/3 # + 2 . b) y = | / * 4 - V # 4 - j / í " . c) y = 2*
1 8 / 7=~
d) y = z . e) y = y x3 -\- sen x • eos y x .
x-\ —
\ogx-\- Vx
f) y = sen (* + log eos x). g) y = tg (sen {x* + 1) eos (x* + 2xJ).
h) y =̂ log (sen .*• . eos x + 3* log .¡r).
90. Llamaremos descomposición canónica de una función a una descomposición en pro-
ducto tal que en cada factor no se realice más de una operación con una misma variable.
Hallar las descomposiciones canónicas de las siguientes funciones:
i) y=yx*+V'Sx+2 b) v = l / jc-f- l / t f + V *
i/~T¡ "ír^ ^ Vx* + \ - f x~^T
y x3 -f- sen x eos y *• d) y •= • -
«) V . .
- - a?
sen x* + 2*
, t 1 , O
c o s * \ n 1 O K Í * » 4 - 2 ) — s e n 2 * 4 -
e) y = t g sen — — \-2 . f) y = • — — -
^ 6 \ * « 4 - l / J gKSen(*» + 2,) ,
1 i *C0Sxt\ r\ _ iQK (x
3 + 2) — sen (2 x 4 - 1) • eos (2 x - 1)
. * - l
tg * + l
g) 1/ l/jff+T-V^^
r [/ y * + 3 — Vx-S
91. Hallar las descomposiciones canónicas de las siguientes funciones:
a) y = (x + x x + x x x + x x x x ) n .
' •* v 1 1 2 ' 1 2 3 1 1 2 3 4̂
X
sen (xx + x2) — leg -^- í -
b) v = — ^
eos xAxr — 2
T ' + **+ **+ x*+ Xs
file:///ogx-/
4. APLICACIONES 31
n , _
c) y = V log (x¡ 4 - xt) — sen {xi — *-,) eos (*, — ar4)
2*1 + *4 • eos (*, — *.)
•*"i ~ * i 4- T4
d) v = - * , + *«
j/Wi
-r3 ~\~ x4
92. Hallar las descomposiciones de las siguientes funciones:
a ) y = ( l , * + sen xt • log * , , - — - — — eos x1 sen (#, — 2 xt) I
\ Vx, log(*i+*s) /
V y áf2 + sen (*•, -f #2) /
c) y = \VVxi~+x7~ — Vxx — Xi
+ VX\ + *3 S e n (*1 — x3^ (2 *1 + ^22;S C0S ( V — 1) tg (̂ 3 — 4 *l)) •
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE APLICACIONES.
I. La multiplicación de aplicaciones es asociativa.—Esto significa que sí
/, g, h son aplicaciones tales que / es multiplicable por g y ésta por h, se ve-
rifica :
h(gf) = (h g) f,
en donde la igualdad es estricta. En efecto, basta observar que, para todo x
perteneciente al conjunto inicial de / se verifica que
[* '<£/)]* = * [<£ / ) * ] = * [ £ ( / * ) ]
[ ( * £ ) / ] * = (hg)(fx) = h[g(fx)].
Ya se ha visto en los ejercicios anteriores que la multiplicación de aplica-
ciones no es conmutativa. De la definición se deduce que la multiplicación no
siempre está definida, siendo necesario y suficiente para ello que el final del
primer factor coincida con el inicial del segundo.
II . A toda aplicación f se le pueden asignar dos aplicaciones, llamadas
unidades por la derecha y por la izquierda, y que representaremos por ud y u¡,
respectivamente, tales que f ud = f, Uj f = f.—En efecto, ud es la aplicación
talque si x € in (/) se verifica ud (x) = x. Análogamente, w, es la aplicación
32 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
tal qué si x es un elemento arbitrario de fin (/) se verifica ut (x) — x. Por
consiguiente, in (ud) = fin (ud) = in (/), in (u¡) = fin (w¡) = fin (/).
DEFINICIÓN 24.—Dado un conjunto C, a cuyos elementos se les llama objetos, v otro con-
junto Hom (C), a cuyos elementos se les llama morfismos, tales que: 1) Dado un elemento cual-
quiera, / € Hom (C), quedan determinados unívocamente por él un par ordenado (A, B) de
objetos de C, llamados objeto inicial y objeto final de /, respectivamente. 2) Cuando está defi-
nido el producto de morfismos éste es asociativo. 3) A todo morfismo / le corresponde una uni-
dad por la derecha y otra por la izquierda tales que f ud = /, ut f — f. Al par formado por
el conjunto C, de objetos, y conjunto Hom (C), de morfismos, con las condiciones anterio-
res, se le llama una categoría.
En virtud de esta definición y de lo que acabamos de ver, resulta.
Si C es un conjunto de conjuntos y Hom (C) es el conjunto de todas las aplicaciones en-
tre los conjuntos de C, el por (C, Hom (C)) es una categoría.
NOTACIÓN.-—Para representar productos de aplicaciones son cómodos algu-
nas veces los siguientes diagramas:
f f f
a) A > B . b) A > B . c) B > A
k \ c S g g'\ \g Hl G
F
/ '
C C < D
Decir que el esquema a) es conmutativo significa que da lo mismo pasar
de A a C por la derecha que por la izquierda. Lo que equivale a escribir:
h = g f- Decir que b) es conmutativo equivale a escribir la igualdad estricta
entre aplicaciones: gf = fg'. Decir que todos los diagramas de c) son con-
mutativos equivale a establecer las siguientes igualdades: F = g f, H = h F ,
G = h g, H •= G / y, como consecuencia, la propiedad asociativa. Los dia-
gramas varían de un caso a otro, pero generalmente sirven para aclarar las
ideas sobre las relaciones entre conjuntos y aplicaciones.
EJERCICIO :
93. Escribir las igualdades correspondientes a los siguientes, diagramas conmutativos:
f g f Z A
a) A — — > B — 2 _ > c b) A > B —2—». C c)
\ V /
¿ \ \ /h E < — D '" " P
j
A' y B' > C
f Z'
P
\
-> B > D
4. APLICACIONES 33
DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN.—Sea
(3) A X B
una aplicación. Sea n el epimorfismo natural:
(4) A Z. A//.
Consideremos la correspondencia cp entre A / / e im (/) definida del siguien-
te modo.
<5) 9 (*/) = /(*),
en donde representamos por xf a la clase que contiene a x. La función <p es
biunívoca sobre, o biyección. Evidentemente que or (cp) = A1//. Sea x f = y /,
esto significa que f (x) = f (y), y cp (x f) — cp (y / ) , luego o es una aplica-
ción. Es una inyección. En efecto, sea cp (x f) = cp (y / ) , esto significa que
/ (*") = / (30> y x f — y f> luego se trata de una inyección, cp es sobre. En
efecto, si y c: im (/) será y = f (x), para x € A, luego 9 (# /) — / (x) = y.
Finalmente, se puede definir una aplicación i de im (/) en B del siguiente
modo: si x € im (/), ¿ (>) — ¿r. Esta correspondencia Í es, evidentemente, una
inyección, que llamaremos inmersión. Por consiguiente, hemos obtenido el
siguiente diagrama conmutativo:
A - A / /
•(6) 4 . 1 *
B J— im (/)
en donde w es el epimorfismo natural, i es la inmersión y cp es una biyección.
EJERCICIOS :
94. Sea. A un conjunto de bolas de color rojo, azul, blanco, verde y negro. Sea B el
conjunto de los cinco colores { rojo, azul, blanco, verde, negro }. Sea / la función que trans-
forma cada bola en su color. Evidentemente que / es una aplicación de A sobre B, o epi-
morfismo. Hallar la descomposición canónica de / .
95. Hallar la descomposición canónica de la función / : Q —> Q, definida del siguiente
modo: / (x) = [x~\, en donde [>] — máximo número entero <^ x.
5. Relaciones de orden. Orden total. Buena ordenación. Lema
de Zorn.—Una relación R definida en un conjunto C es un subconjun-
3
34 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
to R de C x C. Vamos a estudiar ahora otro tipo particular de relación, lla-
mada ordenación.
DEFINICIÓN 25.—Una relación R definida en un conjunto C se llama una
relación de orden parcial, o simplemente, una relación de orden, cuando se
verifican las tres propiedades siguientes:
I . Para todo x de C se verifica xRx.
I I . Las relaciones x~Ry e yRx implican x = y.
I I I . Las relaciones xRy e yRz implican xRz.
De las tres propiedades anteriores, las fundamentales son la primera y la
tercera. Una relación que verifica sólo las propiedades I y I I I se llama una
relación de preorden.
EJERCICIOS :
96. Sea C el conjunto de todas las clasificaciones de un conjunto A. En el conjunto C
se puede aefinir una relación del siguiente modo: P R P ' significa que toda clase de la cla-
sificación P está contenida en una única clase de la partición P ' . Probar que R es una rela-
ción de orden.
97. Sea R (A) el conjunto de todas las partes de A,.probar que la relación de inclusión
es una relación de orden de R (A).
98. Sea N el conjunto de los números naturales. Se define en N la relación R del si-
guiente modo: x R y es equivalente a y = x + m, siendo m un número natural, o bien y = x.
Probar que R es una relación de orden.
99. Dar una definición análoga a la del ejercicio anterior para definir una relación de
orden en Z y en Q.
100*. Demostrar que toda relación de preorden define, en un cierto conjunto cociente
del conjunto dado, una relación de orden.
NOTACIÓN.—La relación de orden se acostumbra a representar por
el signo < .
Si el elemento a está relacionado con el b mediante la relación de ordena-
ción < , esto es, si a < b, se dice que, en la ordenación < , a precede a b, o
que b sigue a a, o bien, quea es menor o igual a b, o que b es mayor o igual,
a a. Si se verifican las dos relaciones: a < b y a ^ b, se escribe a < b y
se dicen que a precede estrictamente a b, o que b sigue estrictamente a a, o
bien, que a es menor que b o que b es mayor que a.
(*) Los ejercicios señalados con asterisco van destinados a alumnos aventajados.
5. RELACIÓN DE ORDEN 35
Si < es una relación de orden definida en el conjunto C, y si C" es
un subconjunto de C, se puede definir en C una relación de ordenación, < ' ,
del siguiente modo: si a y b € C , se escribe a < ' b si, y sólo si, es a < b en
C. La relación < ' se llama subordinada por la relación < , y se acostumbra
a representar por el mismo signo.
ETERCICTO :
101. Probar que la relación de ordenación en Z del ejercicio 99 es subordinada, de la
relación de orden en Q en el mismo ejercicio y que la relación de orden en N del ejercicio
98 es subordinada de la relación en Z del ejercicio 99.
DEFINICIÓN 26.—Si < es una relación de orden del conjunto C, se llama
segmento de extremos a 3- b, siendo a y b elemento de C, y se representa por
[a, 6] al conjunto de todos los elementos x de C tales que a < x < b.
Se llama segmento abierto Por la derecha (por la izquierda), y se repre-
senta por [a, b) (por (a, &.]) al conjunto de todos los elementos x de C tales
que a < x < b (tales que a < x < b). Se llama intervalo de extremos a, b , y
se representa por (a, b), al conjunto de todos los elementos x de C tales que
a<x< b. Al conjunto {a, b} formado por los extremos de un segmento se
le llama borde del segmento ; al conjunto {a, b} formado por los dos extre-
mos de un intervalo se le llama frontera del intervalo. Un subconjunto, A,
del conjunto C se llama convexo cuando para todo par de elementos x, y de
A se verifica que [x, y] cz A. Si A es un subconjunto de C se llama cierre
convexo de A, y se representa por A, al menor conjunto convexo que con-
tiene a A, lo que puede expresarse del siguiente modo:
A = I ] C, C convexo.
De la definición de cierre convexo resultan las siguientes propiedades:
I. A c Á .
II . A es convexo es equivalente a A = A.
III. x = x.
IV. A c B implica A c B .
V. Á U B C Z A Í T B .
VI. X n B = Á7TB.
36 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
EJERCICIOS:
102*. Demostrar las propiedades I-VI de la operación cierre convexo.
103. ¿Son los intervalos conjuntos convexos?
DIAGRAMAS PARA LA RELACIÓN DE ORDEN.—
Para expresar gráficamente la relación de or-
den se emplea el diagrama indicado en (§ 1,
1, III) . Así, por ejemplo, en el diagrama de la
fig. 17 la relación < está definida en el con-
junto C = {a, b, ..., m] del siguiente modo:
escribir b < / significa que: 1.°) en el dia-
grama, b está por debajo de j . 2.°) que b y
j figuran en el diagrama unidos por un seg-
mento o una poligonal cuyos lados son to-
elemento está relacionado consigo mismo.
EJERCICIOS :
104. Contestar a las siguientes preguntas relativas al diagrama de la figura 37: a) ¿Es
a «^ h? b) ¿Es a «^ /? c) ¿Es k <; l? d) ¿Es / <; Z? e) ¿Existe un elemento mínimo, esto
es, tal que sea menor o i g u a l a cualquier otro? f) ¿Existe un elemento máximo?
105. En el conjunto A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j , k, 1} se define la relación <^ por las
siguientes condiciones: a <^ b, b <; c, c <; d, 4 < ; e, e <^f, d <^ g, g <^.l, h <J i, t ^ /,
; <í g, j <^ k, k <^.l, y todo elemento está relacionado consigo mismo. Suponiendo todos
los elementos de A distintos entre sí, dibujar el diagrama correspondiente y comprobar que
•^ es una relación de orden.
DEFINICIÓN 27.—Sea A un conjunto con la relación de orden < , lo que. se
expresa también diciendo que A es un conjunto ordenado ( < ) . Sea B un
subconjunto de A. Se dice que m es una cota inferior de B si se verifica:
1.°) m € A. 2.°) Para todo x € B es m < x. Se dice que M es una cota supe-
rior de B cuando: 1.°) M € A. 2.°) Para todo x€B se verifica ¿ r < M . Si B
posee una cota inferior se llama acotado inferiormente, y si posee una cota
superior acotado superiormente. Un conjunto acotado es un conjunto aco-
tado superior e inferiormente.
EJERCICIOS:
106. Sea A el conjunto ordenado correspondiente al diagrama de la figura 17. a) ¿ Es
/ una cota superior de B = {i, h, k }? b) ¿Es d una cota inferior de B = {i, j , f, e, c }? c)
¿ Es acotado el conjunto B = { a, d, i, f } ? ¿ Cuáles son sus cotas ? d) ¿ Es acotado el con-
junto B = { g, f, e, c, b, a }?
FÍR 17.
dos ascendentes. 3.°) todo
5. RELACIÓN DE ORDEN 37
107. Definir, en el diagrama de la figura 17, subconjuntos acotados superiormente, infe-
riormente, no acotados y acotados.
108. ¿Es acotado un segmento? ¿Y un intervalo? ¿Y un conjunto convexo?
Al conjunto de todas las cotas superiores del conjunto B lo representare-
mos por S (B) y al conjunto formado por todas las cotas inferiores por I (B).
EJERCICIO:
109. a) ¿ Cómo son entre sí las siguientes proposiciones ?: El conjunto B no está acotado
superiormente. S (B) = 0 . b) Hallar S (B) en el diagrama de la figura 17, siendo B - {a,
e, d }. c) Hallar, en la misma figura, I (C), siendo C = { /, i, l, k }. d) Calcular, en el diagia-
ma de la figura 17. S (E) e I (E), siendo E = { g, k }.
Las operaciones Sel tienen las siguientes propiedades:
I. MczN implica S (M) ^ S (N) e I (M) z> I (N).
II . McIS(M)yMcSI (M).
I I I . S(M) = S1S(M) y I{M) = ISI (M).
EJERCICIO :
110. Demostrar las tres propiedades anteriores.
DEFINICIÓN 28.—Una ordenación < de A se llama filtrante superiormente
(o dirigida superiormente) cuando se verifica que, para todo par (x, y) de ele-
mentos de A, el conjunto S (x, y) no es vacío. Análogamente, se dice que <
es una ordenación filtrante inferiormente (o dirigida inferiormente) cuando
para todo par x, y de elementos de A se verifica que I (x, y) no es vacio. Una
ordenación < de A se llama filtrante (dirigida) cuando lo es superior e infe-
riormente. Un conjunto filtrante (superiormente, inferiormente) es un conjun-
to con una ordenación filtrante (superiormente, inferiormente).
EJERCICIOS :
111. Sea M el conjunto de todos los puntos de un segmento de la recta euclídea, de
extremos a, b. Una partición de M es el conjunto de los segmentos cuyos extremos son
xt_ , x., siendo a = x < x < ... < xfí < xn = b y n un número natural. Sea A el con-
junto de todas las particiones de M. En A se define la relación <^ del siguiente modo:
(a = XQ < xx < ... < xn = b) < (o = yQ < yx < ... < ym = b) cuando todo segmento [ y U l ,
y.] está totalmente contenido en un segmento íx} , Xj]. Probar que la relación <^ es una
relación de ordenación filtrante.
112. Sea T el conjunto de todos los triángulos del plano. Se define t <^ t' cuando e) trián-
gulo t está contenido en el t'. Probar que <s; es una ordenación filtrante superiormente.
38 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
DEFINICIÓN 29.—Un semirreticulo v es un conjunto ordenado filtrante su-
periormente, A, tal que para todo par de elementos, x, y, de A, se verifique
que existe un elemento u de A tal que S (x, y) = S (u). Un semirreticulo A es
un conjunto ordenado filtrante inferiormente, A, tal que para todo par de
elementos x, y, de A, se verifique que existe un elemento i de A tal que
I (x, y) = I (i). Un retículo es un semirreticulo v y un semirreticulo A.
EJERCICIOS :
113. ¿Son los conjuntos de los ejer-
cicios 111 y 112 semirretículos ?
114. Una malla tal como la de la
figura 18, ¿es semirreticulo? Un elemen-
to precede a otro cuando se puede pasar
del uno al otro mediante segmentos de
la malla constantemente ascendentes.
115. Transformar la malla del ejer-
cicio anterior en un retículo.
Los elementos u e i de los se-
FiS- 18, mirretículos v y A son únicos. Los
retículos definidos en la definición
anterior coinciden con los definidos en la definición 9.
EJERCICIO :
116. Demostrar la proposición anterior.
En virtud de la proposición anterior, podemos emplear la misma notación
que se ha usado en la definición 9, y pondremos:
(1) S (x, y) = S (x U y), I (x, y) = I (x f| y);
al elemento x U y se le llama unión de x e y, y al elemento x fl y se le llama
intersección de x e y.
De la definición (1) se deduce que si M es una cota superior de {x, y}, se
verifica que x U y < M, luego x U y es la menor de las cotas superiores de
{X, y}. Análogamente, x f\ y es la mayor de las cotas inferiores de {x, y). Eni
general, conviene introducir la siguiente:
DEFINICIÓN 30.—Si C es una parte del conjunto ordenado A y se verifica
que S(C) = S O ) e I (C) •= I ( O , a los elementos e y e' así definidos se les
llama, respectivamente, extremo superior y extremo inferior de C.
5. RELACIÓN DE ORDEN 39
Para justificar esta definición es preciso ver que e y e' están unívocamente
determinados cuando existen.
EJERCICIO :
117*. Probar que e y e' están unívocamente determinados por la definición 30.
NOTACIÓN.
S (C) = S (e) es equivalente a escribir e = ext. sup. (C).
I (C) = I (?') es equivalente a escribir e' — ext. inf. (C).
EJERCICIOS :
118. ¿ Son equivalentes las dos proposiciones siguientes ?:
I. Todo subconjunto de A posee un extremo inferior.
I I . A es un semirretículo A.
119. Dados dos elementos cualesquiera del conjunto del ejercicio 114, ¿están relacionarlos
por la relación <^?
120. Definir, en el conjunto del ejercicio 114, subcon juntos tales que dos elementos cua-
lesquiera de ellos estén siempre relacionados por la relación de ordenación.
DEFINICIÓN 31.—Un elemento m se llama elemento máximo del conjunto
C cuando se verifica: 1.°) m — ext. sup. (C). 2.°) ra€ C. Un elemento m' se
llama elemento mínimo de C cuando se verifica: 1.°) m'^— ext. inf. (C). 2.°)
m' € C.
EJERCICIOS :
121. ¿Posee un segmento elemento máximo? ¿Posee un intervalo elemento máximo o
•mínimo? Si un conjunto posee elemento máximo y mínimo es un segmento?
122. Sean C = { b,, &,, bt, c2, c¿, c4, d^ ¿ , , <*4 }, D = { &2, &4, c,f dv d2 }, E = { «,, i y c4.
c }, subconjuntos del conjunto del ejercicio 114. Decir si son segmentos y si poseen máximo
o mínimo.
DEFINICIÓN 32.—Un conjunto A se llama totalmente ordenado, o lineal-
mente ordenado, cuando posee una relación de orden, < , tal que, para todo
par, ~x,y, de elementos de A, se verifique que x <y o bien y < x.
EJERCICIOS :
123. ¿Es el conjunto del ejercicio 114 totalmente ordenado? ¿Es el conjunto de los nú-
meros racionales totalmente ordenado respecto de la relación de desigualdad ordinaria?
40 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo IJ
124. ¿Se puede definir una relación de orden entre los puntos de una circunferencia?
¿Y de orden total?
125. Se define la ordenación en el conjunto Z de los números enteros y en el conjunto
Q de los números racionales del siguiente modo: x <^ 3» equivale a y = x + z, siendo z un
número no negativo. Dado un número x, ¿existe otro número y tal que x <<; y, x -Jp. y, y de
x «^ z «^ y, x 4= s se deduzca z = y ?
DEFINICIÓN 33.—Un conjunto A se llama bien ordenado respecto de la or-
denación < , cuando cualquiera de sus partes posee un mínimo. Al mínimo
correspondiente a A se le llama primer elemento de A.
EJERCICIOS :
126. Respecto de la definición de ordenación del ejercicio 125, ¿es N bien ordenado?
¿Lo es Z? ¿Y Q?
127. Probar que toda buena ordenación es una ordenación total.
128. ¿Es*'bien ordenado, respecto de la relación de desigualdad ordinaria, el siguiente con-
jun to? : A = { 0 ; 0 , 9 ; 0,99; 0,999; . . . ; 1 ; 1.9; 1,99; . . . ; 2 ; 2,9; 2,99; 2,999; ...; 3, ... }.
129. ¿ Es bien ordenado, respecto de la relación de desigualdad ordinaria, el siguiente
conjunto?: B = {...; 3 ; 2 , 1 ; 2,01; 2,001; ... ; 2 ; 1,1; 1,01; 1,001; . . . ; 1; ,0,1;0,01; . . . ; 0 } .
130. ¿Es bien ordenado el conjunto del ejercicio 114? ¿Y el conjunto: { 0 ; 0,9; 0,99;
... ; 1 ; 1,09,1,099; . . . ; 1 , 1 ; 1,109; 1,1099; . . . ; 1,11; ... }?
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN TRANSFINITA.—Si A es un conjunto bien ordena-
do, respecto de la relación de ordenación < , y si (x) representa al conjunta
de todos los elementos y de A tales que y < x, y 4= x, si B es una parte de A
tal que se verifiquen las dos condiciones siguientes:
1.°) El primer elemento de A pertenece a B.
2.°) (x) € B implica que x € B, se verifica que A = B.
Un caso particular del principio de inducción transfinita es el principio de
inducción completa cuando se toma A igual al conjunto de los números na-
turales.
EJERCICIOS :
131, Enunciar el principio de inducción completa.
132. Dado el segmento [a, b], en-donde a y b son números racionales, y llamando
h = b —• a ]> 0, llamaremos proceso P a sustituir el conjunto C = {a, b } por el conjunto
C = {a, a +9,9 h, a + 0,99 h, a + 0,999 h, ..., a + h — b }. Aplicado el proceso P a cada
subconjunto de C formado por dos números consecutivos de C se obtiene otro conjunto
C . Aplicado P a cada dos elementos consecutivos de C se obtiene C. , etc. ; Es Cv. n natu-
ral, bien ordenado?
5. RELACIÓN DE ORDEN 4T
OBSERVACIÓN.—El principio de inducción transfinita permite demostrar la
igualdad de dos conjuntos, que es una de las demostraciones que se repiten
con más frecuencia en toda la matemática, de aquí su extraordinario interés.
Ahora bien, para poderlo aplicar es necesario definir previamente una buena
ordenación en el conjunto que se considere. De aquí nace la siguiente cues-
tión fundamental:
¿Se puede definir en cualquier conjunto una buena ordenación? Puede ob-
tenerse la demostración de la contestación afirmativa a la cuestión precedente
si se admite el siguiente:
AXIOMA DE LA LIBRE ELECCIÓN DE ZERMELO.—Si es c una correspondencia
arbitraria:
xZ. Y,
tal que or (c) = X, existe una aplicación f:
X Í Y .
tal que para todo x € X se verifica que el par (x, f (x)) es un par de la corres-
pondencia c.
Mediante este axioma se demuestra:
TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN.—En todo conjunto C se puede definir
una buena ordenación.
DEFINICIÓN 34.—Si X es una parte del conjunto ordenado A, se dice que
x es un elemento maximal (elemento minimal) de X cuando .r € X y no exis-
te ningún y € X tal que y > x, y 4= x (y < x, y 4= x)-
EJERCICIOS :
133. ¿Es equivalente decir elemento máximo y elemento maximal?
134. ¿Posee el conjunto del ejercicio 114 elementos maximales? ¿Cuáles son? ¿Posee
elemento máximo?
135. Si un conjunto X posee dos elementos maximales distintos a^p-b, ¿posee elemento
máximo ?
DEFINICIÓN 35.—Un conjunto ordenado A se llama inductivo si se verifica
que toda parte X de A, totalmente ordenada respecto de la ordenación subor-
dinada en X por la ordenación de A, está acotada superiormente.
42 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo I ]
EJERCICIO :
136. Sea el conjunto M de la figura 19, en donde la relación de ordenación se define
por: a «^ 6 significa que se puede unir a con b mediante segmentos de la figura tales que
ninguno de ellos sea descendente.
Fig. 19.
a) ¿Es el conjunto M de la figura 19 inductivo?
b) ¿Es el conjunto N, formado por los elementos representados por las letras c, d, e, f
en la figura 19 inductivo?
c) ¿Es inductivo el conjunto representado en el ejercicio 114?
Otra consecuencia muy importante del axioma de Zermelo es el siguiente:
TEOREMA DE ZORN.—Todo conjunto inductivo posee un elemento maximal,
Por lo menos.
6. Terminología y notaciones de la lógica matemática.—Entre las
posibles agrupaciones de palabras de un idioma hay algunas que se llaman
proposiciones. Ejemplos: a) Estudio matemática, b) Los «Elementos de
Euclides» es la obra más importante de la matemática, c) Las hojas de los
árboles son azules, d) Libro par extremadamente aquél, a), b) y c) son pro-
posiciones y d) no es una proposición.
Sea P el conjunto de todas las proposiciones. En este conjunto se pueden
definir dos operaciones fundamentales, llamadas unión y negación y represen-
tadas por la conjunción disyuntiva-copulativa «o» y por el adverbio «no», res-
pectivamente, tales que dadas dos proposiciones arbitrarias P , Q, se verifica
que P o Q es otra proposición que significa P o Q o ambas. Dada una pro-
6 . LÓGICA MATEMÁTICA 4 3
posición P se verifica que no P es otra proposición, que niega la propo-
sición P .
NOTACIÓN.—La operación unión la representaremos también por el sig-
no v y la operación negación por el signo ~~1.
PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN UNIÓN.—I. Asociatividad: (P v Q) v R
- P v (Q v R).
I I . Conmutatividad: P v Q = Q v P .
III. Idempotencia: P v P = P .
PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN NEGACIÓN.—I". Nilpotencia: 1 ("1 P) = P .
(Esta propiedad no se admite en todas las lógicas.)
Mediante estas operaciones se pueden definir otras. En primer lugar, la
operación intersección, que se representa por la conjunción copulativa y o por
el signo A .
DEFINICIÓN DE LA OPERACIÓN A.—Si P y Q son dos proposiciones, P A Q
es otra proposición definida por :
(1) P A Q = 1 ( ( - | P ) V ( - | Q ) ) (
o bien:
(D P y Q = no ((no P) o (no Q)).
De la definición (1) se deducen inmediatamente las siguientes propiedades
de la operación ~ l :
i r . 1 ( P A Q ) = O P ) V O Q ) .
I I I" . - l ( P v Q ) = n P ) A ( l Q ) .
Para obtener I I " basta aplicar a los dos miembros de (1) la operación ~I
y recordar I I" . Para obtener I I I " basta sustituir en (1) P y Q por ~1 P y
"1 Q, respectivamente y aplicar I".
Respecto de las operaciones v e A el conjunto P de las proposiciones es
un retículo. En efecto, además de las propiedades I, I I y I I I de la unión se
verifican las siguientes:
T. Asociatividad. (P A Q) A R = P A ( Q . A R).
II ' . Conmutatividad. P A Q = Q A P.
I I I ' . Idempotencia. P A P = P .
I V . Ley de simplificación. P v (P A Q) = P, P A (P V Q) = P .
44 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo 1}
EJERCICIO :
136. Admitiendo las propiedades I, II, III y I" demostrar las propiedades I', I I ' y I I I '
3' admitiendo además la primera igualdad de IV, demostrar !a segunda.
RELACIÓN DE IMPLICACIÓN.—En el retículo P de las proposiciones se pue-
de definir una relación, llamada implicación alternada, y representada por el
signo ->, que se lee implica, del siguiente modo:
(2) P —> Q es otra forma de expresar: Q V ( ~~1 P)
(3) (P - > Q) A (Q •-> P) se empresa mediante la notación P <—> Q.
Si P <—> Qse dice que las proposiciones P y Q son equivalentes.
EJERCICIO :
137. Enunciar, de acuerdo con la, definición (2), las siguientes proposiciones: a) El Ebro
es un; río australiano implica la matemática es poesía, b) Uno igual a cero implica dos igual
a uno. c) Me han suspendido en matemáticas implica el profesor es injusto.
V . Ley distributiva. Si P, Q y R son proposiciones arbitrarias de P , se
verifica que:
(4) PA(Q VR) = fPAQ)V(PAR), P V (Q A R) = (P V Q) A (P V Rj.
EJERCICIO :
138. Supuesta cierta la relación (4) de la izquierda, demostrar la de la derecha.
Hemos visto que admitidas las propiedades I, II, I I I , Y', y la primera
mitad de las IV y V, se podían demostrar las Y, 1Y, IIY y las otras partes
de las IV y V, entendiendo por demostrar el pasar del primer miembro de la
igualdad al segundo mediante una serie de sustituciones justificadas por las
propiedades admitidas. Esto equivale a interpretar el signo = colocado entre
dos expresiones únicamente como autorización para sustituir en cualquier ex-
presión la expresión del primer miembro de la igualdad por la expresión del
segundo miembro.
EJERCICIO :
139. ¿ Qué significado tiene el signo = en la igualdad entre proposiciones: A = B ?
tí. LÓGICA MATEMÁTICA 45
Se llama polinomio de Boole o proposición general a una combinación de
letras, llamadas indeterminadas o variables y los símbolos v, "1 (o sus deri-
vados A, —~>, <—>). Si se sustituyen las variables de un polinomio de Boole
por proposiciones se obtiene una proposición, que llamaremos valor particu-
lar del polinomio correspondiente a los valores particulares de las variables.
EJERCICIO :
140. Hallar valores particulares de los siguientes polinomios: a) (x V y) A s _> —| t V x.
b) ( 1 * ) A (?->*)•
VALORACIÓN DE LAS PROPOSICIONES.—Sea v una aplicación del conjunto P
de las proposiciones en el conjunto V = {0, 1}, definida del siguiente modo:
P - V
<5) » ( P V Q ) = » (P) + v (O), 1 + 1 = 1,
esto es, con el convenio de que 1 + 1 = 1, y
<6) v (~\ P) = complemento v (P),
siendo complemento de 1 el 0 y complemento de 0 el 1. Escribiremos abrevia-
damente: c {v (P)) en lugar de complemento v (P). De (5) y (6) se deduce:
( v(p nQ) = v[-i(n p^vcn Q))] = f»[np)vn Q)i
<7)
( = c [v (-[ P) + v ( 1 Q)] = c [c (zn(P)) + c (v (Q))],
luego, únicamente será v (P A Q) = 1 cuando sea [c («/ (P)) + c (v (Q))] = 0,
lo que exige que c (y (P)) = 0 y c (v (Q)) = 0, luego v (P) = v (Q) = 1. Por
consiguiente, (7) se puede expresar abreviadamente del siguiente modo:
(8) v(VKQ)=v{V).v (Q),
en donde el signo . significa producto de números.
Decir que v (P) = 1 se puede expresar también diciendo que P es verdad
Análogamente, v (P) = 0 es lo mismo que decir que P es falsa.
46 § 2. APLICACIONES. RELACIONES [Capítulo O
EJERCICIO :
141. Calcular los siguientes valores: a) v (P V ("1 P). b) v (P A (~| P)). c) v (A < > B)t
d) P [ A V B <-_> B V A], e) v [<A V B) V C <—> A v (B V C)]. f) v (A V A <—> A). g>
? (AV(AAB) <—> A), h) w [A A (B V C) < _ > (A A B) V (A A C)].
Obsérvese que existen proposiciones cuyo valor no depende del valor que
tomen las variables que figuran en ellas, mientras que en otras el valor de la
proposición varía al variar el valor que toman las variables.
DEFINICIÓN 36.—Una tautología es una proposición cuyo valor es uno,
cualesquiera que sean los valores que se den a las variables. Un absurdo es
una proposición cuyo valor es cero, cualesquiera que sean los valores que
se den a las variables. Si
A ^ - ^ B
es una tautología se dice que las proposiciones A y B son lógicamente igua-
les, y se escribe:
A = B.
En el conjunto P de todas las proposiciones se verifican las siguientes
igualdades lógicas:
I- (P v Q) v R = P v (Q v R), (P A Q) A R = P A (Q A R).
II. P v Q = Q v P , P A Q = Q A P .
III. P v P = - P , P A P = P .
IV. P V ( P A Q ) = P , P A ( P V Q ) = P .
V. P A (Q v R) = (P A Q) v (P A R), P v (Q A R) = (P v Q) A (P v'R)..
VI. Si P y Q son dos proposiciones arbitrarias, se verifica:
P v - l P = Q v - | Q , P A 1 P = Q M Q .
Si x es una variable,
x v ~~1 x es una tautología, que representaremos por v* y
*• A ~| x es un absurdo, que representaremos por ,A. •
6 . LÓGICA MATEMÁTICA 47
Se verifica que
P V Y = Y , P A y = P
P V A = P , P A A = A .
VIL l ( P v - I P A "1Q, 1 ( P A Q ) = I P v ~l Q.
VIII . v(P sQ) = 1 equivale a v (Q) = 1, o a v (P) = v (Q).
De las propiedades anteriores resulta el siguiente:
TEOREMA.—El conjunto de todas las proposiciones es un álgebra de Boole-
EJERCICIOS :
142. Demostrar las proposiciones I-VIII.
143. Decir si son o no verdad las siguientes proposiciones: a) 2 + 3 = 4 —̂ Avila está
en España, b) 2 + 3 = 4—^ Avila está en Francia, c) 2 + 2 = 4 —> Avila está en Francia.
d) 2 + 2 = 4 —> Avila está en España.
144. Decir si son verdad o no las siguientes proposiciones: a) Todos los triángulos son
equiláteros ^—^ El día tiene veinticinco horas, b) Todos los triángulos son equiláteros
<—> La semana tiene siete días, c) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto ^—>.
La semana tiene siete días.
PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN.—Si la proposición P (/>, q, . . . ; x, y, . . .) , que
está compuesta de proposiciones particulares p, q, ... y de indeterminadas
x, y, ..., es verdad también lo es la proposición que resulta de sustituir una
o varias indeterminadas por proposiciones particulares.
IMPLICACIÓN LÓGICA.—Se dice que la proposición A implica lógicamente, o
simplemente que implica, la proposición B, y se escribe A = = > B, cuando se
verifica que
v (A -> B) = 1.
Se dice que la proposición A es lógicamente equivalente a la proposición B,.
o que es lógicamente igual a la proposición B, y se escribe:
A <X> B, o A = B,
cuando se verifican las dos proposiciones siguientes:
A = > B y B = > A.
La relación de implicación lógica es una relación de orden.
48 § 3. GRUPOS [Capítulo I]
EJERCICIO :
145. Demostrar la proposición anterior.
DEFINICIÓN 37.—Una función proposicional definida sobre un conjunto C
es una expresión
P(x)
tal que al sustituir x por cualquier elemento p de C se verifica que P (p) es
una proposición que posee un valor v (P (p)) perfectamente determinado.
Como consecuencia de ser v (P (p)) igual a uno o a cero, P (x) establece
una clasificación de C en dos clases. Se llama clase verdad a la clase CP for-
mada por todos los elementos p de C tales que v (P (/»)) = 1.
La proposición CP — C se puede expresar del siguiente modo:
Para todo p € C se verifica que P (p) es verdad, que simbólicamente se
representa así:
(V p € Q P (/>),
él símbolo V, que se lee: para todo, se llama cuantificador universal.
Si P (x) es una función proposicional definida en C, la proposición:
Existe un p £ C tal que P (p) es verdad,
se expresa simbólicamente así:
(3 p e C) P (p),
a! símbolo 3 , que se lee existe un, se le llama cuantificador existencial.
Entre los dos cuantificadores V y 3 existen las siguientes relaciones:
1. - | ( V p € C ) P ( f ) = 0 / > € C ) " l P ( r t .
II. -\ (3 p £ C)P (p) = (V p £ Q ~\ ? (/o.
§ 3. G R U P O S
1. Grupoides y semigrupos.—Sea G un conjunto y a una aplicación
de G x G en G:
<1) G X G - G ,
1. GRUPOIDES Y SEMIGRUPOS 49
es to significa que a cada elemento {x,y) de G x G le corresponde un ele-
men to 2 de G, lo que se expresa escr ibiendo:
<2) s = a (x, y).
A un conjunto G más una aplicación a de G x G en G se le llama un gru-
poide. La aplicación a acostumbra a designarse, indistintamente, con los
nombres de adición y de multiplicación. En lugar de la letra a, como carac-
terística de la aplicación, se emplea, en el primer caso el signo + y en el
segundo el signo x o . ; por tanto, se escribe
<3) z = + (x, y), é z = . (x, y),
pero es costumbre, cuando se emplea esta característica, usar otra forma
<ie escritura, poniéndose:
<4) * = + (*, y) = {x + y), z = . {x, y) = (x . y).
Si no hay peligro de confusión, sepuede prescindir del paréntesis, escri-
biéndose :
{5) s = x + y, . z = x . y = x y.
A x -t- y se le llama suma de x e y, y a x y se le llama producto de x e y;
en el primer caso, x e y se llaman sumando y sumador, respectivamente, y
en el segundo, multiplicando y multiplicador.
EJERCICIOS :
146. Sea Q el cuerpo de los números racionales y o la aplicación a (x, y) = 2 x + y,
siendo las operaciones del segundo miembro la adición y mu'tiplicación de números racio-
nales. Calcular: a) a (y, x). b) a (a (x, y), s). c) o (x, a (y, z)). Representar mediante la no-
tación (5) las siguientes expresiones: d) a (a (x, y), z); e) a (x, a (y, z)); í) a (a (x, y), a (z. t)) ;
g) a {a (a {x, y), z), t).
147 Sea a la aplicación de R+ x R+ en R+, siendo R+ el conjunto de los números
y
reales positivos, definida por a (x, y) - Yx. Calcular a(y,x), a (a (x, y), s), a(x,a(y, z)),
i (í {x, y), a (¿r, t)), a (a (a (x, y); z), t)).
148. ¿Son grupoides los conjuntos de los ejercicios 146 y 147 respecto de las aplica-
ciones allí definidas? ¿Es grupoide el conjunto Q de los números racionales respecto de
y
la correspondencia a (x, y) = }/#? ¿Es grupoide el conjunto de los números naturales N
íespecto de la correspondencia a (x, y) = x — y? ¿Es grupoide N respecto de o {x, y)
= x — 3? ¿Es N grupoide respecto de a (x, y) = x + 3?
4
60 § 3. GRUPOS [Capítulo IJ
DEFINICIÓN 1.—Un semigrupo S es un grupoide en el que si x, y, z son
tres elementos arbitrarios de S, y a es la aplicación de S x S en S que de-
fine al grupoide, se verifica la siguiente:
LEY ASOCIATIVA:
a(x, a (y, z)\ — a (a (x, y), z) ,
o bien, escribiendo con la notación de (5):
xJrh-\-z) = (x+y) + z ' x(yz) = (xy)z.
EJERCICIOS:
149. ¿Es semigrupo el grupoide del ejercicio 146? ¿Y el del ejercicio 147? Sea
a (x, y) — x + y + 4, siendo x, y números racionales. ¿Es Q un grupoide respecto de
esta operación? ¿Es un semigrupo?
150 ¿ Son semigrupos los siguientes conjuntos ?: a) iLos números naturales N res-
pecto de la adición, b) N respecto de la multiplicación, c) El conjunto de los números
enteros Z respecto de la adición y de la multiplicación, d) El de los nú'-neros racionales
Q respecto de la adición y respecto de la multiplicación.
HOMOMORFISMOS.—Sea G un grupoide y sea a la operación de G. Sea.
G* otro grupoide y a* la operación de G*. Si / es una aplicación de G en G*:
se puede definir de modo natural una aplicación de G x G en G* x G*r
que representaremos con el mismo nombre /, del siguiente modo:
G X O - G ' X G *
es tal que
(6) / ( * , 30 = C/(*)»/(3»>.
Las aplicaciones de G, G*, G x G y G* x G* pueden representarse me-
diante el diagrama siguiente:
G —-* G*
W , | f a*
G X G — ^ G* X G*
1. GRUPOIDES Y SEMIGRUPOS 51
el cual, en general, no es conmutativo, esto es, no se obtiene el mismo re-
sultado pasando de G x G a G* por un lado que si se pasa por el otro.
EJERCICIOS :
151. Sea G el conjunto de los números naturales, G* el conjunto de los números ra-
cionales, sea a (x, y) = 3 x + y, a* (x*, y*) = x** — y* + 1, f (x) = — x*. ¿ Es conmutativo
en este caso el diagrama (7)?
152. Sea G — G* = Q ; sea a = a* = + U adición de números racionales y / (x) = m x,
siendo m un número racional fijo. ¿Es (7) conmutativo en este caso?
153. a) Sustituir en el ejercicio anterior a y a * por la multiplicación. ¿Es entonces (7)
conmutativo? b) Sustituir en el ejercicio anterior a y a * por la multiplicación y poner
/ (x) = x"1, siendo m natural. ¿ Es (7) conmutativo ? c) Si a y a* son la multiplicación y
si se limita a considerar únicamente los números racionales positivos Q+ = G y los rea-
m
les positivos R+ = G*, y si f (x) = \/x, siendo m natural. ¿Es conmutativo (7)? d) Y si
se pone en este último ejemplo f (x) = log x, siendo a la multiplicación y a* la adición?
DEFINICIÓN 2.—Un homomorfismo f es una aplicación de un grupoide
G en un grupoide G* tal que el diagrama (7) sea conmutativo, o lo que
es equivalente, tal que:
(8) o*f = fa,
siendo a la operación de G y a* la operación de G*.
La conmutatividad (8) puede expresarse de varias formas cuando las
operaciones o y a*" se expresan mediante la notación (5), dando lugar a las
siguientes relaciones :
I f(x + y)=f(x) + f(y), V ( * , y ) € G x G
1 / ( * + 30 = /(•*)• / (y),
(9) <
j /(*y) = /(*) + /(30.
I / (* y) =/(*) / (y) .
EJERCICIOS :
154. Sea' N x N - ^ N , siendo N el conjunto de los números naturales y a (x, y)
= m. c. d (x, y). Sea f (x) = n x, siendo n un número natural fijo. ¿ Es / un homomor-
fismo de N en N?
155. Sea A el conjunto de todas las funciones de la forma .y = m x + n, en donde
m y n son números enteros y x e y variables enteras. Dadas dos funciones 9 (x) = m x + n
y if> {x) = p x + q, se define a (9 , ^) = ^ cp. ¿Es A un grupoide? ¿Es A un semigrupo?
Dada la función <p (x) =•. m x + n, se representa por / (9) a la función / (9) = X <p + p
52 § 3. GRUPOS [Capítulo I]
= A ) » Í + H + | Í , siendo X y /x dos números enteros fijos. ¿Es / un homomorfismo
de A en A? ¿Se pueden determinar A y /i de modo que / sea un homomorfismo?
156. Sea N el conjunto de los números naturales mayores o iguales a n. Sea / la
correspondencia / (x) = n x, y g la correspondencia g (x) = m x, siendo m < n. ¿Es /
un homomorfismo? ¿Lo es g?
Siendo los homomorfismos aplicaciones, definen una clasificación en el con-
junto original. Sea
c» L G*
un homomorfismo de G en G*, y sea G/ / el conjunto cociente de G respec-
to de la relación de igualdad R definida por / en G (xRy < = > f(x) = f (y)).
A a clase de G que contiene a x la representaremos por x + f. Sean + las
operaciones de G y G*. En G/ / se puede definir una operación del siguien-
te modo:
(10) (*• +/) -f {y +/) =r x +y + / .
G/í es un grupoide (un semigrupo) respecto de la operación definida en
(10) siempre que G sea un grupoide (un semigrupo) respecto de + , llamado
grupoide cociente de G respecto del homomorfismo /.
Para demostrar la proposición anterior es preciso probar: 1.°) La uni-
formidad de la definición (10), esto es, que la clase x + y + f no depende
de los representantes x t y que se tomen de las clases x + / e y + / . 2.°) Que
si G es un semigrupo se verifica que G/ / posee la propiedad asociativa y,
por tanto, que es también un semigrupo.
EJERCICIOS :
157*. Demostrar la proposición anterior.
158. Sea G el conjunto de ios números reales del segmento [0,1], sea + la operación
binaría definida en G del siguiente modo: x + y = ^ x (1 — y). ¿Es G un grupoide?
¿ Es un semigrupo ?
DEFINICIÓN 3.—Si G -£ G' es un homomorfismo y es suprayección, se
dice que / es un epimorfismo. Si / es un homomorfismo tal que, para todo
par de elementos x, y de G, se verifique que / (x) — f (y) implique x — y,
se dice que / es un homomorfismo inyectivo, o simplemente una inyección.
Sí / es una suprayección y una inyección, se dice que / es un isomorfismo.
1. GRUPOIDES Y SEMIGRUPOS 53
Si existe un isomorfismo entre los grupoides G y G' (entre los semigrupos
G y G'), se dice que G y G' son isomorfos, y se escribe:
G«¿ G'.
EJERCICIOS :
159. Sea N el semigrupo aditivo de los números naturales y sea N -* N el homomor-
iismo / (x) —mx, siendo m un número natural fijo. ¿Es / un epimorfismo? ¿Es / una
inyección ?
160. Sea G = { x \ x € N, x = m y, y £ N, m £ N }, siendo m un número natural fijo.
Sea ISÍ el semigrupo aditivo de los números naturales, y / : G -+ N la aplicación
f (my) = y. ¿Es / un isomorfismo?
Sea G -»• G' un homomorfismo del grupoide G en el G', y sea G// el
grupoide cociente de G respecto de /. Se verifican las siguientes proposi-
ciones :
1. La aplicación G -> G'/f, definida por n (x) = x + f, es un epimor-
fismo.
2. La aplicación G/í — im(í), definida por b (x + f) = f (x), es un iso-
morfismo.
3. La aplicación im (f) -* Gv, siendo i (x) = x, es una inyección.
Estas tres proposiciones pueden expresarse diciendo que el diagrama ad-
junto es conmutativo:
G ^ > G '01/ >im(f)
EJERCICIOS :
161*. Demostrar las proposiciones anteriores.
2. Grupos. Subgrupos.
DEFINICIÓN 4.—Un grupo es un semigrupo tal que:
I. Existe un elemento neutro u, caracterizado por la siguiente propie*
dad: para todo elemento x del grupo se verifica que
(11) a (x, u) = ,J (u, x) = x,
54 § 3. GRUPOS [Capítulo I ]
o bien, escrito con notación aditiva:
(1T) x + u = u• + x •— x,
y con notación multiplicativa:
(11") X u = M x = X.
II . Todo elemento x del grupo admite un simétrico x ' caracterizado
por la propiedad:
(12) a {x, x') = a (x't x) = u,
o bien, con la notación aditiva:
(12 ) X + x' = x' + X = M,
V con la multiplicativa:
(12") * x" = jr' r̂ = u.
De la definición anterior se deduce inmediatamente que:
1. El elemento neutro es único.
2. La condición II es equivalente a la siguiente: para todo x existen
elementos x ' y x" tales que
a (x, x") = o (>", *•) = u.
Al elemento simétrico de x se le llama opuesto a x en la notación adi-
tiva, o inverso de x en la notación multiplicativa. Al opuesto a x se le
representa por — x y al inverso de x por x~x, o por — . Al elemento
x]+ (—y) se le representa abreviadamente por x — y y se le llama diferen-
cia por la derecha entre x e y. —y \+ x es la diferencia por la izquierda.
Análogamente, x y1 es el cociente por la derecha, e y'1 x el cociente por la
izquierda de x e y. Al elemento neutro se le llama cero en el caso aditivo, y
uno o elemento unidad en el caso multiplicativo. El cero será representa-
do por 0.
2. GRUPOS. SUBGRUPOS 55
EJERCICIOS :
162*. Demostrar 1.
163*. Demostrar 2.
164. a) ¿Es el conjunto de los números naturales un grupo respecto de la adición?
b)¿Y respecto de la multiplicación? c) ¿Es el conjunto de los números racionales un
grupo respecto de la adición ? d) ¿ Y respecto de la multiplicación ?
165. Sea P el conjunto de todas las permutaciones de cuatro elementos. En P se de-
fine el producto del siguiente modo: ((2, 3, 4, 1)) ( (3 ,1 , 4, 2)) = ((1, 4, 2, 3)), en donde
el primer número de la permutación del segundo miembro es el número que ocupa, en
la permutación que figura como segundo factor en el primer miembro, el lugar indicado
por el primer número de la primera permutación; el segundo número de la permutación
del segundo miembro es el que figura en el segundo factor en el lugar indicado por el
segundo número del primer factor, etc. ¿Es el conjunto P, respecto de esta definición,
un grupo ?
166. Sea A el conjunto de todas las aplicaciones de un conjunto C en sí mismo y B
•el subconjunto de A formado por las biyecciones. Se define en A, y por tanto en B,
l a operación multiplicación de aplicaciones. ¿Qué estructura tienen A y B?
3. El conjunto de todas las biyecciones de un conjunto C sobre sí mis-
mo es un grupo respecto de la multiplicación de aplicaciones como opera-
ción del mismo. En particular, si C es finito se obtiene el llamado grupo de
las permutaciones o de las sustituciones.
DEFINICIÓN 5.—Los grupos con un número finito de elementos se llaman
grupos finitos. Al número de elementos de un grupo finito se le llama orden
del grupo.
EJERCICIOS:
167 ¿Cuál es el orden del grupo de las biyecciones del conjunto C = {1 ,2 , .... n}?
168 Un tipo particular de permutación es la que transforma en sí rrismo todo ele-
mento excepto un par de ellos que se transforman uno en otro. Así, por ejemplo, la per-
mutación ((15 3 4 2)). A estas permutaciones se les llama transposiciones y se pueden re-
presentar escribiendo únicamente los elementos que varían, de modo que la permutación
anterior se escrbirá así (2, 5). Las permutaciones pueden escribirse también del siguien-
te modo: se escribe a continuación de cada elemento su elemento homólogo, de modo
que el elemento homólogo del último sea el primero. Así, por ejemplo, la permutación
( ( 2 5 1 3 4 ) } se escribirá así: ((2 5 1 3 4)) = (1 2 5 4 3), y ((3 1 2 5 4)) = (1 3 2) (4 5). (Las
permutaciones tales como las ( 1 3 2) ó (12 5 4 3), en las que el homólogo de cada ele-
mento es el siguiente y el homólogo del último es el primero, se llaman ciclos. Descom-
poner en producto de ciclos todas las permutaciones con cuatro elementos.
169. Tcdo ciclo (véase el ejercicio 168) se puede descomponer en producto de trans-
posiciones, así por ejemplo: (2 4 3) = (2 4) (2 3). Descomponer en producto de transpo-
siciones todas las permutaciones con cuatro elementos.
56 § 3 . GRUPOS [Capítulo I]
170. Cuéntese el número de permutaciones del ejercicio anterior que se descomponen
en producto de un número par de ti ansposiciones y el de las que se descomponen en pro-
ducto un número impar de ellas. ¿ Qué relación existe entre estos números y el número
total de permutaciones con cuatro elementos? ¿Es única la descomposición de una per-
mutación en producto de transposiciones? ¿Son de ¡a misma paridad los números de trans-
posiciones de dos descomposiciones de una misma permutación?
171 Una permutación se llama de clase par cuando se puede descomponer en un
número par de transposiciones, y de clase impar en caso contrario. Demostrar que el pro-
ducto de dos permutaciones de clase par es otra permutación de clase par.
172. Construir la tabla de multiplicar de las permutaciones con cuatro elementos.
DEFINICIÓN 6.—Un subconjunto H de un grupo G se llama subgrupo de
G cuando H es grupo respecto de la operación de G.
EJERCICIOS :
173 Mediante la tabla de multiplicar del ejercicio 172 contestar a las siguientes pre-
guntas : ¿ Es el siguiente subconjunto un subgrupo del grupo de las peí mutaciones con
cuatro elementos ? a) H = { (1, 2, 3) (4), (1) (2) (3) (4) }. b) K = { (1, 2, 3) (4), (2, 1, 3) (4) },
L =, { (1. 2. 3) (4). (2. 1. 3) (4), (1) (2) (3) (4) }.
174. Hallar todos los subgrupos del grupo de permutaciones con cuatro elementos (em-
pléese la tabla del ejercicio 172).
4. Para que el subconjunto H de un grupo aditivo G sea un subgrupo
de G, es necesario y suficiente que:
1. Para todo par (x, y) de elementos de H se verifique que x + y € H,
2. El elemento neutro de G pertenezca a H.
8. Para todo elemento x de H se verifique que — x € H.
DEMOSTRACIÓN.—Sea H un subgrupo. Si x, y € H, será x + y € H, ya
que + debe ser una aplicación de H x H en H. En H debe existir un elemento
neutro: o'. Sea 0 el cero de G. Si x es un elemento arbitrario de G se ve-
rifica que x + o/ = x + (—y + y) + o', siendo —y + y — 0, e y un ele-
mento de H. Recordando que o* es el cero de H, será:
x + o' = \x + (— y)] + (y + o*) = \x + (— y)] + y = x + [(— y) + y] = x + o = x,
por consiguiente,o' es cero de G, y como el elemento neutro es único, re-
sulta que o' •= 0. El elemento opuesto de todo elemento de H debe ser ele-
mento de H. Recíprocamente, si se cumplen las tres condiciones anteriores,
como la propiedad asociativa es cierta en G, también lo será en H, luego
H será grupo.
2. GRUPOS. SUBGRUPOS 57
A la suma de x con el opuesto de y se le llama diferencia entre x e yr
y se escribe:
x — y = x + (—y).
5. Para que el subconjunto H de un grupo aditivo G sea un subgrupo
de G es necesario y suficiente que para todo par de elementos x, y de H
se verifique que x — y € H.
DEMOSTRACIÓN.—Condición necesaria.—Si H es un subgrupo de G se ve-
rifican las condiciones del teorema 4, luego si x, y € H, por la condición 3
será — y € H, y, por la 1, x + (— y) = x — y € H.
Condición suficiente.—Demostración de la condición 2 de 4. Si x es un
elemento de H, de x, x€ H se deduce que x — x — o € H.
Demostración de 3.—Si x € H, como o € H, será o — x = — x€H
Demostracin de 1.*—Si x, y € H, será x, —y € H, luego x — (—y) — x
+ y € H.
EJERCICIOS :
175. Enunciar los teoremas 3 y 4 para grupos multiplicativos.
176. Sea M el conjunto de todos los movimientos del plano euclídeo; M+ el sub-
conjunto de los movimientos directos, esto es, aquellos movimientos que se pueden des-
componer ei. un número par de simetrías axiales; T el subconjunto de las traslaciones;
G el subconjuntv,de los g i ros ; G el subconjunto de giros de centro O ; C el subcon-
junto de las simetrías centrales; S el subconjunto de las simetrías axiales. Decir qué
subconjuntos de M. entre los mencionados, son subgrupos de M.
177. Dibujar los diagramas que indiquen las relaciones de inclusión de los subgrupo»
de los ejercicios 174 y 176.
178. Sea Z el grupo aditivo de los números enteros. Definir todos los subgrupos de Z»
179. Sea Q* el grupo multiplicativo de los números racionales (esto es, el conjunto
de todos los números racionales excluido el cero). Determinar algunos subgrupos de Q*.
DEFINICIÓN 7.—Sea G un grupo aditivo y H un subgrupo de G. Si x
es un elemento arbitrario de G, representaremos por x + H al conjunto de
todos los elementos de G de la forma x + y, cuando y recorre todos los
elementos de H. Análogamente, representaremos por H + x al conjunto
de todos los elementos de G de la forma y + x, cuando y recorre todos los
elementos de H. x + H se llama clase adjunta de H por la izquierda, y x
es un representante de la misma. H + x se llama clase adjunta de H por la
derecha y x es un representante de ella. Al conjunto de todas las clases ad-
58 § 3. GRUPOS [Capítulo I ]
juntas por la izquierda lo representaremos por G / H , y al conjunto de las
clases adjuntas por la derecha, por H A G .
6. G/H es una clasificación de G. En efecto: 1.°) De {x} c: x + H se
deduce: M {x\ c ( J O '+H) , y como ( J {x}= G, resulta G e M O + H ) .
n a xeG xeG xeG
De x+H c G se deduce I ) O + H ) c M G = G, luego I ) (x+B.) = G.
» í G xeG x3G
2.°) Sea y £{x + H) 0 (z + H). Entonces será y = x + h, y = z + k;
h, k € H. De donde x + h = z + k. Teniendo en cuenta esta última igualdad,
resulta: para todo t € x + H, será t = x + l, l € H, luego t = z + (k — h + l)
£ z + H, luego x + H c z + H. Recíprocamente, para todo s € s + H, será
A"= £ + w, w € H, luego Í = x + (h — k + m) € x + H, lo que equivale a
¿ + H cz x + H. Por consiguiente, x + H = xr + H.
7. .ar + H = #•+ H < = > — x + £ € H. Esta proposición es consecuen-
cia inmediata de la anterior.
Si el grupo G es multiplicativo, las clases adjuntas se representan me-
diante las notaciones siguientes: x H y H x.
EJERCICIOS :
180. Sea S el grupo de todas las permutaciones con cuatro elementos. Empleando las
notaciones del ejercicio 174, escribir todos los elementos de los siguientes conjuntos co-
cientes: S/A, S/K, S/J, S/B, S/C, S/N.
181. Sea M el grupo de los movimientos en el plano euclídeo y M+ el subgrupo de
los movimientos directos. Escribir los elementos del conjunto M/M+.
182. Sea S el grupo de todas las permutaciones con tres elementos: S = { 3 =(o) (£>) (c),
{a b c), (a c b), (o b), (a c), (b c) }. Sea A = { 1, (o b c), (a c b) } y B = { 1, (a b) }. Calcu-
lar los elementos de S/A, S\A, S/B y S\B.
En el ejercicio 182 se ve que el subgrupo A tiene la propiedad de que
S/A = S\A, mientras que el B no posee esta propiedad: S 'B 4= S\B.
DEFINICIÓN 8.—A los subgrupos H de un grupo G que poseen la propie-
dad de ser x + H = H + x para todo x de G se les llama subgrupos norma-
les o invariantes. Si H es un subgrupo normal del grupo aditivo G, se defi-
ne una adición en el conjunto cociente G / H del siguiente modo:
<1) (x + H) + (y + H) = (x + y) + H .
8. El conjunto cociente G/H respecto de un subgrupo normal H de G
es, respecto de la definición (1) de adición, un grupo.
GRUPOS. SUBGRUPOS 59
D E M O S T R A C I Ó N . — E n pr imer lugar hay que p robar que la corresponden-
cia (1) de G / H x G / H en G / H es una aplicación. Desde luego , está defini-
da en todo el conjunto producto G / H x G / H . Veamos que es unívoca. Sea
x + H = x' + H , y + H = y' + H . D e estas hipótesis se deduce que
x + h = x' + h'; h,h'£H; y + k = y' + k'; k, k' £ H.
Sumando miembro a miembro, se ob t iene :
(*• + &) + (y + k) = [x + h') + (y' + k').
o bien,
x + (h + y) + k = x* + (h' + y') + k'.
A h o r a bien, por ser H normal y h + y, h' + y' € G ^ H , exist irán elementos
Á2 y h\ en H tales que
h -f- y = y + h\, h' -\- y' = y' ~\-h\ ,
luego de la igualdad precedente se ob t i ene :
x + (y + hj + k = x1 + (y' + h\) + k'
o bien,
{x + y) + (hi + k) = (x* + y') + {h\ + k')t
que prueba que
(x + y) + H = (JC + y') + H.
L a adición (1) es asocia t iva:
l(x -f H) + (y + H)J + (* + H) = = [(x + y) + HJ + (* + H) = (x + y) + z + H
= x + (y + z) + H = (x + H) + í{y + s) + H] -= (x + H) + [(y + H) + (2 + H)].
La clase H = 0 + H es el elemento neut ro de G / H . E n efecto,
(x + H) + H = (x + o) + H = x + H, para cualquier * + H.
60 §8. Gauros [Capítulo I)
La clase — (x + H) opuesta a la clase x + H es la clase — x + H. En efecto,
(x + H) + (— x + H) = (x.+ (—*)) + H = o + H.
Al grupo G/H se le llama grupo cociente de G respecto del subgrupo-
normal H.
3. Homomorfismos. Isomorfismos.
DEFINICIÓN 9.—Sean G y G* dos grupos, que supondremos aditivos, y
/ : G -> G* una aplicación de G en G*. La aplicación / se llama homomorfis-
mo de G en G* cuando es un homomorfismo del grupoide G en el gru-
poide G*.
Recordando que se ha llamado aplicación / de G x G en G* x G* a la
aplicación
(2; /(*,.v) = (/*,/y),
decir que / es un homomorfismo de G en G* equivale a decir que el dia-
grama
G X G — •* G* X G*
es conmutativo, esto es, que para todo par (x, y) de G x G se verifica
C*> f + (*.y) = +f (*, y),
o bien, con la notación ordinaria:
(5) / ( * + y) = t* + fy-
EJERCICIOS :
.183 Escribir la condición (5) de homomorfismo en los siguientes casos: a) G es
multiplicativo y G* aditivo, b) G es aditivo y G* multiplicativo, c) G y G* son multi-
plicativos.
184. Sea Z el grupo aditivo de los números enteros. Se consideran las siguientes apli-
caciones : a) Z X Z, / x = 3 + x. b) Z 4- Z, g x = 3 x. c) Z X Z, h x = x¿. ¿ Cuáles de
ellas son homomorfismos ?
3. HOMOMORFISMOS. ISOMORFISMOS 61
185. Sea Z el grupo aditivo de los números enteros y Q* el grupo multiplicativo de
los números racionales. ¿ Es homomorfismo la aplicación / : Z ~* Q* definida por f x — ax.
siendo o un número racional?
1. Si i es un homomorfismo de G en G* se verifica que la imagen del
elemento neutro de G es el elemento neutro de G*.
DEMOSTRACIÓN. — Supongamos ambos grupos aditivos, f (x) = f (x + o)
= / (*) + f (o), de donde / (o) = 0*.
2 . Si f es un homomorfismo de G en G*, se verifica que f (— x) = — f (x)
y / ( * — y) = f x — fy.
DEMOSTRACIÓN.—o* = f(o) = f(x + (— x)) = fx +• / ( — x), luego /(—•*)
= — fx. f(x — y) = f(x + (— y))i= fx+f(—y)=fx + (—fy)=fx — fy.
3. La imagen de un homomorfismo i de G en G* es un subgrupo de G*.
DEMOSTRACIÓN, fx — fy — f (x — y) € im (f).
DEFINICIÓN 10.—Se llama núcleo de un homomorfismo G — G*, y se re-
presenta por ker (/), al siguiente subconjunto de G:
x£ktr(f)<¿>fx = o*,
siendo o* el elemento neutro de G*.
4 . El núcleo de un homomorfismo i de G en G* es un subgrupo nor-
mal de G.
DEMOSTRACIÓN.—a) o* = f x, o* = fy=> o* = fx — fy = f(x — y).
b) Sea x un elemento arbitrario de G y n un elemento arbitrario del nú-
cleo, de f(x + n — x) — fx + fn — fx = fx — fx=o*, se deduce que
x + n — x — n' € ker /, luego x + n = rí + x, lo que prueba que x'+ ker /
= ke r / + x, para todo x de G.
Siendo el ^núcleo de un homomorfismo / un subgrupo normal de G, se
puede definir la estructura de grupo en G/ker / mediante la siguiente defi-
nición de adición :
<3) (x + ker /) + (y + ker f) = (x + y) + kef /.
62 § 3. GRUPOS [Capítulo I]
5. Si H es un subgrupo normal de G, la aplicación
(4) G -^ G/H
definida del siguiente modo:
<5) n x = x + H.
es un homomorfismo de G sobre G/H cuyo núcleo es H.
DEMOSTRACIÓN.—n es una aplicación, n (x + -y) = (x + y) + H = (x + H)-
f (y + H) = n x + n y. Si o* = n x = x + H, recordando que el cero de-
G/H es o -f- H, esto es, que o* = o + H, será x + H = o + H, luego-
x 6 H. Recíprocamente, si .ar € H, será nx^= x + H = H = o*, luego
x € ker n.
A los homomorfismos tales como el (4)les llamaremos homomorfismos
naturales.
DEFINICIÓN 11.—Sea / un homomorfismo del grupo G en el G*. Se dice
que / es un epimorfismo cuando im / = fin /. Se dice que / es un homo-
morfismo inyectivo, una inyección o un isomorfismo de G en G*, cuando-
ker / = {o}. Si / es epimorfismo e inyección, se dice que / es un isomorfis-
mo, homomorfismo biyectivo o bíyección.
6. Si f es un isomorfismo, f es una correspondencia biunivoca o biyec-
ción. La condición necesaria y suficitnte para que un homomorfismo sea un-
isomorfismo es que exista una aplicación g de G* en G tal que g f sea la-
correspondencia identidad de G, y í g la correspondencia identidad de G*.
DEMOSTRACIÓN.—Para probar la primera parte queda por ver que f (x)
= f (y) implica que x = -y. Ahora bien, si / (x) = f (y), será / (x) — / (y) — o*
de donde f (x — y) •= o*, luego x — - y ( : k e r / = {o}, luego x = y.
En primer lugar, / es un epimorfismo. En efecto, si x* € G*, de
x* = f g x* = / (g x*) resulta que x* es imagen en / de un elemento de G.
Si x € ker /, / x = o*, y como f o — o*, g f x = g f o, y como g f es la iden-
tidad, x = 0. Finalmente, si / es isomorfismo, f~x es una aplicación de G*"
en G tal que f~x f es la identidad de G, y f f~l la de G*.
3. HOMOMORFISMOS. ISOMORFISMOS 6 $
EJERCICIOS :
186 Averiguar si son isomorfisnios los siguientes homomorfismos: a) / : Z -»- Z ,
f x = 5 x. b) P el grupo aditivo de los números pares, g : Z — P , g (x) = 2 x. c) h : Z -> Z,
/»(.*•) = — jir. d) é : Q* -• Q*, & (.*) = # 2 , siendo Q* el grupo multiplicativo de los núme-
ros racionales. e W : Q* -* Q*. /(•*") = — .
187. Si S es el grupo de las permutaciones con cuatro elementos, comprobar que el
grupo alternado A formado por todas las permutaciones pares es subgrupo invariante de
S y que el grupo diédrico D formado por D = { 1, (12) (34), (13) (24), (14) (23) } es sub-
grupo invariante de A.
188. Construir la tabia de multiplicar de A/D.
189. Sea A el grupo alternado de las permutaciones con cuatro elementos, y B el grupo
alternado de las permutaciones con tres elementos: A = { 1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3),
(12 3) (13 2), (12 4), (14 2), ( 1 3 4), (14 3), (2 3 4), (2 4 3 )} , B = {1, (12 3), ( 13 2 )} . Se
define la correspondencia- / : A —^ B del siguiente modo: si x € A, se pone / (x) = y
< £ > y z = x, siendo s 6 D = { 1, (12) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3) }. Comprobar que / es un
homomorfismo y que la correspondencia y . ker ( / ) ^ j e s un isomorfismo entre A/ker (/) y B .
7. Si f es un homomorfismo del grupo multiplicativo G en el grupo
multiplicativo GJ, se Puede obtener el siguiente diagrama conmutativo:
G >G'
(6) " I í *
G/ker (/) »im(f)
en donde n es un homomorfismo natural, b es una biyección, e i es la in-
yección natural, o inmersión, que transforma cada elemento de im (f) en él
mismo considerado como elemento de G.
DEMOSTRACIÓN.—Para que (6) sea conmutativo es necesario y suficien-
te que:
(7) / = i b n,
luego si x es un elemento arbitrario de G, será:
/ (x) = ibn (x) = i b {x . ker (/)),
luego habrá que definir
* (* . ker (/)) = /(*).
64 § 3. GRUPOS [Capítulo I]
Todo se reduce a probar que b es una biyección. a) in (b) = or (b), ya
que para toda clase x . ker (/) se verifica que b (x . ker (/)) = / (x). b) b es
aplicación, ya que x ker (/) = y ker (/) <=£> x y-1 € ker (/) < = í > / (^y_ 1) >= 1
< = > / ( * ) [ / ( y ) ] " 1 « ' 1 <=>/(-*")-=/Cv) <>=> * ( * • * « - ( / ) ) = * ( ? . ker (fl).
c) & es homomorfismo. Ya que b [(x ker (f)) (y ker (f))] = b [xy ket (J)]
= / ( * ? ) = / (* ) ./CV)'= ¿ (*ker (/)) . 6 (y ker (/)).
d) ker (¿>) = 1. Recuérdese que el elemento unidad de G/ker (/) es
ker (/), luego habrá que probar que ker (b) — ker (/). En efecto, b (x ker f)
= 1 < = > / (x) = 1 <=>x€ ker (/). Recíprocamente, si x € ker (/), x ker /
= ker / y b 'ker /) = / (x) = 1.
e) 6 es epimorfismo, ya que dado / (x) € im (/), se verifica .que
b (x . ker (/)) = / (*).
DEFINICIÓN 12.—Dos grupos G y G' se llaman isomorfos, y se escribe:
G % G',
que se lee: G isomorfo a G', cuando se puede establecer entre ellos un iso-
morfismo.
El teorema 7 se puede enunciar del siguiente modo :
8. PRIMER TEOREMA DE ISOMORFÍA.—Si
G - G '
•es un homomorf ismo de G en G', se verifica que
<8) GAer C/)*;im(/).
EJERCICIOS :
190. Aplicar el primer teorema de isomorfía al siguiente homomorfismo: Z -• Z,
f (x) = n x, siendo Z el grupo aditivo de los números enteros.
191. Sea Z el grupo aditivo de los números enteros, K = { 0 , 1 , ..., n — 1 }, un con-
junto en el que se define la adición del siguiente modo: x, y € K, x + y = z <=£> x + y
= a n + z, z < n. Mediante esta adición* es K un grupo. Sea Z ->- K la aplicación: f (x) = y
<j=> x = p n + y, y << n. Probar que / es un homomorfismo y aplicar el primer teorema
de isomorfía.
192. Sea G un grupo multiplicativo no conmutativo; a un elemento arbitrario de G.
Sea G -> G la correspondencia <p (x) = o x a - 1 . Demostrar que <p es un isomorfismo. A
«stos isomorfismos de G sobre G se les llama automorfismos interiores de G.
3. HOMOMORFISMOS. ISOMORFISMOS 65
193*. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que un subgrupo de un
grupo sea normal es que se transforme en sí mismo en todos los automorfismos interiores
-del grupo.
DEFINICIÓN 13.—Se llama automorfismo de un grupo a los isomorfismos
de dicho grupo sobre si mismo.
EJERCICIOS :
194. Hallar todos los automorfismos del grupo aditivo Z de los números enteros.
DEFINICIÓN 14.T—Sean G y G' dos grupos aditivos. Se representa por
Hom (G, G') al conjunto de todos los homomorfismos de G en G'. Se llama
suma de los homomorfismos / y g, y se representa por / + g, a la aplica-
ción de G en G' definida por
if + g) x = / x + g x, V x € G.
9. El conjunto Hom(G, G'), con la definición de adición anterior, es
un grupo aditivo abeliano si G' es abeliano.
DEMOSTRACIÓN.—a) / + g es un homomorfismo de G en G'. En efec-
to, f + g está definido en todo G y es una aplicación de G en G'. Ade-
más: (/ + g) (x + y) = / (x + y) + g (X + y) = / (x) + f(y) + g (x) + g (y)
= U{*) + g(•*)}'+ [/(y) + g(y)] = (f + g)* + (f + i)y- b) (f + g)* = f*
+ gx •= gx>+ fxi= (g + f)x.
c) La asociatividad es trivial.
d) La aplicación 0, tal que 0 (x) = 0', es un homomorfismo y es el elemen-
to neutro.
e) El opuesto al homomorfismo / e s — / , tal que (—f) (x) — — [/ (#)] .
10. Dados dos homomorfismos:
A Í B Í C ,
la aplicación producto g f es también un homomorfismo.
DEMOSTRACIÓN.—g f es una aplicación y g f (x + y) = g [f (x + y)]
= glf* + fy] = g(f*) + g(fy) = (gf)* + (gf)y-
1 1 . Dados los homomorfismos:
f s
A - B - C ,
h
5
66 3. GRUPOS [Capítulo I ]
se verifica que
j (g -t- h) = / g + f h.
DEMOSTRACIÓN.—/(£ + h) x = f [(g + h) x] = / [g x + h x] = / {g x) + / (h x)
= (fg)*+ (fh)* = (fg + fh)x.
DEFINICIÓN 15.—Se llama endomorfismo a todo homomorfismo de un
grupo en sí mismo.
12. Si G es un grupo abeliano se verifica que End (G), esto es, el con-
junto de todos los endomorfismos de G es un conjunto con dos operaciones:
una adición, respecto de la cual G es un grupo abeliano, y una multiplica-
ción asociativa con elemento unidad y distributiva respecto de la adición..
4. Grupos finitos.
DEFINICIÓN 16. Se llama grupo finito a todo grupo con un número fi-
nito de elementos. Al número de elementos de un grupo finito se le llama
orden del mismo.
EJERCICIOS :
195. ¿De qué orden es el grupo de las permutaciones con n elementos? ¿De qué or-
den es el grupo Z/(n)?
1. El orden de un subgrupo H de un grupo finito G es un divisor del
orden de G.
DEMOSTRACIÓN.—Se ha visto que todo subgrupo H de un grupo G de-
finé en G una relación de igualdad R del siguiente modo: xRy <i=> x — y
€ H. Las clases correspondientes a esta relación de igualdad se obtienen
sumando cada elemento x de G con cada uno de los elementos de H, y se
representa por x + H. Como dos de estas clases, que 'sean distintas,no
tienen ningún elemento común, se verifica que el número de elementos de
G es la suma de los elementos de cada una de las clases, y como todas ellas
tienen el mismo número de elementos que H, resulta que el número de
elementos de G es múltiplo del número de elementos de H .
Al número de clases producido por la relación de igualdad determinada
por un subgrupo H de un grupo finito G se le llama índice del subgrupo.
Por consiguiente, se verifica que
(9) orden (H) . índice (H) = orden (G).
4. GRUPOS FINITOS 67
2 . Todo grupo finito es isomorfo a un subgrupo de un grupo de per-
mutaciones.
D E M O S T R A C I Ó N . — S e a G un g r u p o finito, multiplicativo y de orden n:
ao> G = {gl,g2,...,gn}.
Con cada elemento g¡ de G se calculan los productos:
kH\ = ¿ V * gifr = * v . • • • ig> gn = gin, i = 1, 2 , . . . , « ,
y se hace corresponder a g t , en una correspondencia cp entre G y el grupo S
de las permutaciones con n elementos, la permutación:
(11) »te,) = (v<a .- '
in)»
G - S .
Se verifica: a) in (<p) = or (<p). b) cp es una aplicación, c) cp es un homomor-
iismo. En efecto, sea
gk ?t\ = gk¡1. • • •, gk g{„ — gi{n,
entonces sera:
<P (gk) = (*i i • • • , ¿ V • • • . *,-„. • • • , kn).
Por consiguiente:
(gk Si) gl = gk (gi gx) = gk git = g*,^ , ••• ,(gkgi)gn= gk (gi gn) = gk gi„ = ghin r
luego
Por otra parte,
(13) cp (gk) ff {g¡) = (¿, *fl k.n, . . . ¿„) ( ^ ¿J = ( ¿ ^ . . . , ¿,-J.
D e (12) y (13) se deduce
<p (8* 81) = <P (gk) <p (gt)-
68 § 3. GRUPOS [Capítulo I ]
d) <p es un homomorfismo inyectivo. En efecto, sea 9 (gt) = <? (gk)>
esto es :
luego
Como en G hay un elemento unidad, si éste es glt se verifica que:
giS\ = Si. P e r o 5.-5-i = ¿Vi - l u e S ° * = «i.
análogamente:
gkS\ — ik^ P e r 0 ¿ •* r i= í* 1 .
, u e s ° * = *i»
de estas relaciones y de (14) resulta que ¿ = k, luego g¿ = gk. Como im (<p)
es un subgrupo de S, el primer teorema de isomorfía proporciona:
G fíz im (q>).
EJERCICIOS:
196. Si <p es un endomoríismo de un grupo finito G, ¿qué relación existe entre ord (G),
ord (ker <p) y ord (im <p) ?
197. Si H y K son dos subgrupos de un grupo G, demostrar que la condición necesaria
y suficiente para que el conjunto de elementos { Í H L esté formado por clases dis-
tintas es que H f) K = { e }, siendo e el elemento unidad.
198. ¿ Cuántos endomorfismos posee un grupo finito G ?
199. Calcular el número de endomorfismos del grupo de las permutaciones con cuatro
elementos.
200. Si G es un grupo finito y x £ G, demostrar que el conjunto (x) formado por todos
los elementos x*1 = x ... x es un subgrupo conmutativo de G.
201. Probar que el conjunto Z formado por todos los elementos z de un grupo G que
son permutables con todos los elementos del grupo, esto es, tales que z x = x z, para
todo x € G, es un subgrupo de G, llamado el centro de G.
5. Grupos abelianos.
DEFINICIÓN 17.—Se llama grupo abeliano o conmutativo a todo grupo que
verifica la siguiente propiedad conmutativa:
5. GRUPOS ABELIANOS 69
Para todo par de elementos x, y del grupo se verifica:
x y = y x, si el grupo es multiplicativo, o
x + y = y + x, si el grupo es aditivo.
EJERCICIOS :
202. Comprobar que todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales. Si G es
un grupo abeliano y H un subgrupo de G, G/H es un grupo respecto de la definición de
adición de clases.
En lo que sigue escribiremos todos los grupos abelianos aditivamente.
OPERACIONES CON SUBGRUPOS DE UN GRUPO ABELIANO.
DEFINICIÓN 18.—Se llama intersección de dos subgrupos H y K de un
grupo abeliano, y se representa por H fl K, a la intersección de dichos gru-
pos considerados como conjuntos.
1. La intersección de dos subgrupos de un grupo es otro subgrupo.
DEMOSTRACIÓN.—Si H y K son subgrupos de G, y si x, y € H D K, se
verifica que x, y € H y x, y € K, luego x — y € H y x — y € K, de donde
x — y •€ H fl K, que prueba que H fl K es subgrupo de G. (Obsérvese que
en esta demostración no se ha hecho uso de la conmutatividad y que por
tanto el teorema es cierto también para grupos no abelianos.)
EJERCICIOS :
203 El conjunto (n) de todos los múltiplos de un número entero n es subgrupo d d
grupo aditivo Z de ios números enteros. Demostrar que (w) f) (n) = (M), siendo M el
m. c. m. (m, »).
204. Empleando la misma notación del ejercicio anterior, comprobar que la unión con-
iuntista de los subgrupos (4) y (7) no es un subgrupo de Z.
DEFINICIÓN 19.—Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, se
llama suma de H y K, y se representa por H + K al conjunto de todos los
elementos de G que pueden obtenerse como suma de un elemento de H y
otro de K, esto es :
(15) x'£ H + K < = > x = y + z, y £ H, z € K.
2. La suma de dos subgrupos de un grupo abeliano es otro subgrupo
del mismo.
70 § 3. GRUPOS [Capítulo I]
DEMOSTRACIÓN.—Sean H y K subgrupos de G. Sea x, y £ H + K. De
x = z + z'; y = t + f; z, t € H ; z', t' € K, se deduce que x — y = (z + z')
— {t + f) = (z — t) .+ (¿?' — O» s— t € H, y — t' € K, luego * — y € H + K.
EJERCICIOS :
205. Demostrar que la suma de los subgrupos (m) y (n) del grupo aditivo de los nú-
meros enteros es el subgrupo (d), siendo d = m. c. d. (ni, n).
206. Demostrar que si p y q son enteros primos entre sí se verifica que todo número
entero x se puede expresar en la forma x = y p + z q.
207. Si H es un subgrupo de G y n : G —> G/H es el homomorfismo natural, demos-
trar que si K' es un subgrupo de G/H, y si n-1 (K') es el conjunto de todos los elementos
x g G tales que n (x) £ K', se verifica que n - 1 (K') es un subgrupo de G que contiene a H .
208. En las mismas hipótesis del ejercicio anterior, si K es un subgrupo de G, probar
que n - i (w (K)) = K + H.
209*. Teniendo en cuenta los ejercicios anteriores, probar el segundo teorema de tso-
morfia: si H y K son subgrupos de G se verifica que H + K/K fs¿H/H ()K.
DEFINICIÓN 20.—Si H y K son dos subgrupos de un grupo abeliano G y
H 0 K = {o}, la suma H ••+ K se llama suma directa y se escribe H 0 K. Un
endomorfismo ic de un grupo H se llama proyector cuando es igual a su
cuadrado: rc2 (x) — -a (x), para todo x de G.
3. Si TC es un proyector del grupo G se verifica que
G = ker O) 0 im (*•).
DEMOSTRACIÓN.—a) Sea x€G y sea y = x — % (x). Recordando que
ic2 (x) = TZ (x) resulta que iz (y) = -K (X) — ic2 (x) = n {x) — TC (X) = 0, luego
y € ker n y x € ker (TC) + im (TT). Como ker (TT) ,+ im (%) a G, resulta que
G = ker (tz) + im (TC).
b) x 6 ker (ic) íl im^w) = í > TS (X) = 0, x = % (y) => o = ic (x) = TC2 (y)
= * (y) = x.
4. Si G = H 0 .KT, existe un proyector r cwyo núcleo es H y cuya
imagen es K.
DEMOSTRACIÓN.—'Sea x un elemento arbitrario de G, y x — y + z, y € H,
«sr 6 K. Se define n (x) = z. a) TC es una aplicación. En efecto, si « (x) = z',
sena .#• = y + ¿, y* € H, ¿' € K, de donde y + z = y' + z' e y — y' = z*
— z € H fl K," luego y— y', z — ¿. b) w es homomorfismo. Ya que si
x' = y' + z*; y, y' € H, z, z € K, es * + .r' = O + y') + (z + z'), de donde
ic (x + x") = z + z* ••= n (x) + TC (x*). c) «re es proyector. Puesto que si
x = y + z, y € H, z € K, como z= o + z, o € H, ¿r € K, se verifica que
ir (¿-) = £, ir (z) = £, l u e g o TC2 (X) \= -K (Z) = Z = TZ ( X ) .
5. GRUPOS ABELIANOS 71
EJERCICIOS :
210. Sea G = Z x Z x Z. En G se define la adición del siguiente modo: (x , x , x )
+ (y^ y2> ya) - (*x + yit X2 + y2,
x
3 -¡ yz)- Demostrar que G es un grupo abeliano.
211. Sea G el grupo del ejercicio snterior y sean: G el subconjunto formado por to-
dos los elementos de la forma (x^ o, o); G¿ el subconjunto de los elementos de la forma
{°>x2t°)'> G3 el subconjunto de los elementos de la forma (o, o, x ). Demostrar: a) G ,
"G2 y G3 son subgrupos de G. b) G = Gx 0 G2 © <¿y
212. Demostrar que G. % Z, i = 1 ,2 ,3 , siendo G¿ los grupos del ejercicio anterior.
Si n es un número entero positivo, se define n x, siendo x un elemento de
un grupo abeliano G por: nx = x,+ ... i+ x. Análogamente, 0 x= 0, sien-
do el 0 del primer miembro el número entero 0 y el del segundo el elemento
neutro de G. Finalmente se define (— n) x = — (n x), siendo — n un entero
negativo.
DEFINICIÓN 21.—Un sistema de generadores de un grupo abeliano G es
un subconjunto S de G tal que todo elemento x de G se pueda expresar en
la forma x — a-¡_ gx + ... + an gn, siendo gt € S, a¡ € Z, i = 1, ..., n. Si el nú-
mero de elementos de S es finito se dice que S es un sistema finito de gene-
radores de G. Un grupo que admite un sistema finito de generadores se
llama de tipo finito. Un sistema de generadores B de un grupo G se
llama una base cuando de x = TL gx + ... + an gn y x = a\ g\'+ ••• + a'mg
/
m
se deduce que m — n y se puedea ordenar los términos de modo que gt = g'u
•i — 1, ..., n, at = a'i, i — 1, ..., n. Los grupos que admiten una base se Ra-
iman grupos libres.
EJERCICIOS :
213. Comprobar que el grupo G del ejercicio 210 es un grupo libre.
214. Si G es un grupo libre con una base con n generadores, se verifica que
<G ^j Z x ... x Z, con la definición de adición en este último grupo: (x^ ..., xn) 4- (3^, ..., yn)
= í'x + 3v •••> xn + y,>
215. Sea G el grupo libre del ejercicio 210. Se define una aplicación v de G en Z*
hiendo Z* el conjunto de los enteros positivos, del siguiente modo: v (x^ x^, x¿)
= m. c. d. {x , x , x ). Comprobar que v (2. 4, 3) = 1 y que se puede elegir una base de
•G en la que figure el elemento (2, 4, 3).
216*. Sea L = Z x Z x Z x Z y L' el subgrupo engendrado por a = (2, 0, 6, 0),
h = (3, 6, — 12, 0), c = (3, — 6, 30, 0), d = (0, 4, 0, 12). Hallar una base, i<v w,,. M3. «4, de
L tal que / u , / u , f u , sea una base de L \
T ' l \' J2 2' '3 3 '
217*. Si L y L' tienen ei significado del ejercicio anterior, probar que
L/lL' ^ Z/(2j 0 Z/(6) 0 Z.
2L&*. Probar que si lL y L' tienen el significado del ejercicio 216 se verifica que
I../L' % Z/(2) 0 Z/(2) 0 Z/(3) 0 Z.
72 § 3. GRUPOS [Capítulo IJ
219*. Probar que si p y q son dos números primos entre sí, se verifica que
Z/(P ?) % Z/(P) © Z/(q).
5. Si L es un grupo libre de tipo finito y Lf un subgrupo de L, se pue-
de construir una base B = {ulf ..., u„} de L tal que existen unos números
enteros ilt ..., fn, tales que: 1.°) í t j f, | ... ¡ fn. 2.°) B' = {fx ux, f2u2, ..., fn un}
(en donde se prescinde de aquellos elementos cuyo coeficiente U sea cero) es
una base de L' (*).
6. Si G es un grupo abeliano de tipo finito se verifica que
G* íZ/tf1)0Z/(/a)©...©z/(/ f l),
en donde í1 | f2 | ... | f„ son números enteros, llamados factores invariantes,
del grupo G.
DEMOSTRACIÓN.—Sean {glf ..., gn} un sistema de generadores de G, y sea
L el grupo libre enendrado por la base {xlf ...,xn). Se define la aplicación*
„L ^ G: f(ax xy, ..., an xn) = a^gx + ... + an gn.
f es un epimorfismo de L sobre G y el primer teorema de isomorfía pro-
porciona :
G ^ LAer (/).
Como ker (/) es un subgrupo del grupo libre L se podrá hallar, en virtud
de 5, una base B = {ult ..., «„} de L tal que B' = {/x uít ..., fn un} sea una
base de ker (/). La correspondencia
L A e r ( / ) Z z / ( / 1 ) 0 . . . © Z / ( / n )
definida por
9 K*! «x + - + ** «„) + ker (/)] = (^ + {J{), ..., x% + (/„))
es un isomorfismo.
{*) La demostración de este teorema puede hacerse siguiendo la marcha del ejerci-
cio 216, como puede verse en ABELLANAS, Matemática para físicos e ingenieros. Romo,
1963. Madrid.
5. GRUPOS ARELIANOS 73
§ 4. A N I L L O S
1. Anillos. Subanillos.
DEFINICIÓN 1.—Se llama anillo a un conjunto A con dos operaciones,
llamadas adición y multiplicación, respectivamente, tales que: 1.°) Respecto
de la adición es A un grupo abeliano. 2.°) Respecto de la multiplicación es
A un semigrupo. 3.°) La multiplicación es distributiva respecto de la adi-
ción, esto es, se verifica que para toda terna x, y, 2 de A es:
x{y-\-z) = xy-\-xz, {y-\-z)x=yx-\-zx.
Si existe un elemento 1 tal que para todo elemento x de A se verifique
que 1 . x = x. 1 >= x, se dice que 1 es elemento unidad del anillo y que et
anillo posee elemento unidad. Si la multiplicación es conmutativa, el anillo
se llama conmutativo.
EJERCICIOS :
220. ¿Es el conjunto Z de. los números enteros un anillo? ¿De qué clase? ¿Es er
conjunto P de los números enteros pares un anillo? ¿De qué clase?
221. ¿Es ei conjunto de los polinomios con coeficientes lacionales y una variable un
anillo? ¿Cuál es el elemento unidad?
222. ¿Es el conjunto de los polinomios de grado n con coeficientes reales y una va-
riable un anillo?
223. ¿Es el conjunto de todos los múltiplos de un número entero m un anillo?
224. Sea Z el grupo aditivo de los números enteros. Sea End. (Z) el conjunto de
todos los endomorfismos de Z. Si x* e y* son dos endomorfismos de Z, se define:
(x* + y*) x = x* x + y* x e (y* x*) x = y* (x* x), siendo x cualquier número entero. Pro-
bar que End. (Z) es un anillo conmutativo y con elemento unidad.
225. Sea A un anillo arbitrario, y sea o el cero de la adición, esto es, x + o = x,
para todo x £ A. Probar que o . x = x . o = o, para todo x £ A y que x (— y) = — (•*" y).
226. Sea S el conjunto de todos los múltiplos de un número entero n. Se verifica que
el producto s% s2 de dos elementos de S pertenece a S. Sea Zs el conjunto de todas las
fracciones tales que el numerador es entero y el denominador pertenece a S. Probar que
Zs es un anillo
227. Sea S el. conjunto de todos los números enteros que no son divisibles por el
número primo p, y sea Z , el conjunto de todas las fracciones cuyo numerador es en-
tero y cuyo denominador pertenece a S. Probar que Zs es un anillo.
DEFINICIÓN 2.—Se llama subanillo B de un anillo A a todo subconjunto
B de A que sea anillo respecto de las operaciones de A.
74 § 4 . ANILLOS [Capítulo I]
Si B es un subanillo de A se verificará que la adición de A será también
ama operación de B, y recordando que una operación de B es una aplicación
de B x B en B, se verificará que para todo par x, y de B, x + y será tam-
bién elemento de B. En B existirá un elemento neutro o' respecto de la adi-
ción, y si o es el elemento neutro de A respecto de la adición, será y+o' = y
para toda 3/ € B. Ahora bien, si x es cualquier elemento de A, será: x'+ o'
= l> + (— y + y)] + o' = [x + (—y)] + (y + o') •= x + [(—y) + y] = x
l+ o = x, luego o' — o. Si x es un elemento arbitrario de B, se verificará
que — x € B. Por ser la multiplicación una operación de B, se verificará
que para todo par (x, y) de B el producto xy pertenecerá a B.
Reciprocamente, sea B un subconjunto de un anillo A que posee las
propiedades siguientes:
!
1. Para todo par x, y de B se verifica que x + y € B, x y € B e
y x € B.
2. El cero de A pertenece a B.
3. Si x pertenece a B, — x pertenece también a B.
Si se verifican las condiciones [1], B es un subanülo de A. En efecto,
en virtud de 1 la adición y la multiplicación de A son operaciones de B.
La adición es asociativa y conmutativa en B por serlo en A ; la adición
posee elemento neutro en B, y todo elemento de B posee opuesto en vir-
tud de 2 y 3, respectivamente. La multiplicación en B es asociativa, por
serlo en A, y es distributiva respecto de la adición por la misma razón.
1. Un subconjunto B de un anillo A es un subanillo de A <=£> Para
todo par x, y perteneciente a B se verifica que x — y € B , xy€/>' , y x 6 5 .
DEMOSTRACIÓN.—Bastará probar que la segunda proposición implica las
-condiciones [1]. En efecto, si x € B, de x€B, x€B se deduce que
x — x € B, luego o € B. Si x € B, como o € B, será o — x = — x € B. Fi-
nalmente, si x, y € B, se verifica que x,—3/ € B, y de aquí resulta que
x — (—y) = x + y € B.
(Obsérvese que a este resultado se hubiera llegado directamente sin más
•que recordar las condiciones necesarias y suficientes para que un subcon-
junto B de un grupo sea subgrupo, y para que un subconjunto de un se-
migrupo sea semigrupo.)
EJERCICIOS:
228. ¿Es el subconjunto (m) de tedos los múltiplos del número entero m un sub-anillo de Z?
1. ANILLOS. SUBANILLOS 75
229. ¿ Es el subconjunto (p (x)) de todos los múltiplos de un polinomio, un subanillo
del anillo de los polinomios con coeficientes racionales y una variable?
2. Homomorfismos entre anillos. Isomorfismos.
Dada una aplicación A —> B de un conjunto A en otro B, queda defi-
nida una aplicación de A x A en B x B, que representaremos por la mis
ma letra /, del siguiente modo •
fi*>y) = ifx> i y)-
EJERCICIO :
230. Dada la aplicación Z —> Z definida por / (x) = 3 x, escribir las imágenes en
X x Z -> Z x Z de / (1, 2), / (3, 5), / (4, — 2).
DEFINICIÓN 3.—Se llama homomorfismo del anillo A en el anillo B, a
toda aplicación / de A en B que hace conmutativo el siguiente diagrama:
A X A -^—^B x B
B a> A -L
AX A > B X B
en donde las aplicaciones de A x A en A y de B x B en B son la adición y
Ja multiplicación en A y en B, respectivamente.
La conmutatividad de [1] equivale a las siguientes igualdades:
( / + i*, y) = + / (*. y).
\ f • (*,y)= - f(*.y)>
•para todo par {x, y) de A x A. Las condiciones [2] pueden escribirse del
siguiente modo:
j f{* + y)=f* + fy,
( ) j / ( * . y) =f* . /y-
EJERCICIO :
231. De las siguientes aplicaciones, decir cuáles son homomorfismos y cuáles no.
íi) A es el conjunto de todos los polinomios con coeficientes racionales en una variable
x; B el conjunto de todos los números racionales; A -• B es la aplicación / (oQ + a^ x
76 § 4. ANILLOS [Capítulo I]
+ ... + a xn) = a + o m + ... + oft fn
n, siendo m un número racional, b) A y B son el'
conjunto de los números enteros; A •! B es la aplicación g (x) = n x, siendo n un nú-
h
mero entero, c) A y B son el anillo de los números enteros; A ->• B se define así:
h (x) = x71 siendo n un número entero, d) A es el conjunto de los polinomios con coefi-
cientes reales y una variable, y B es el conjunto de los números complejos. Se define
A -* B del siguiente modo:
j (o0 + axx + ...+ a2k x**) = (a0 + a, ( - 1 ) + a^ (—1)2 + ... + a^ (-1)*)
+ i(ax + a3 ( - 1 ) + ... + a2jt_x ( - l)*-i)
y
; (a0 + ... + a2k+1 *«+i) = (AO + a2 ( - 1 ) + ... +>a# (-1)*)
+ ¡ (fll + a, ( -1) + ... + a2fc+i ( - 1)*).
DEFINICIÓN 4.—Se llama imagen del homomorfismo A —y B, y se re-
presenta por im (/), al conjunto de los elementos x' € B tales que
(4) *> 6 im (f) <£> • = / (x)t xe A.
Se llama núcleo de / , y se representa por ker (/), al conjunto de Ios-
elementos x de A tales que:
(5) x £ ker (/) <£> / (*) = 0.
1. Si f £¿ Mn homomorfismo de A en B se verifica que im (f) es un
subavülo de B.
DEMOSTRACIÓN.—Sean x', y' € im (/). Esto es equivalente a x/=:fxr
?>= fy> de donde: * ' — / = / - r — / y = / ( . r —y) € im (7) yx'y' = fx.fy
= f(x y) € im /.
2. S Í f M un homomorfismo de A en B se verifica que ker (f) es un
conjunto de A que verifica las siguientes condiciones:
( 1) *, y € ker (/)=£> .r — y € ker (/).
j 2) * e ker (/), y € A = > * y 6 ker (/), y x € ker (/).
DEMOSTRACIÓN.—1) x, y € ker (/) < = t > / .* = 0, f y = 0 = > / .*• — / y
= 0 <=> f(x — y) = 0 < = > .r — y € ker (/).
2) * € k e r ( / ) , y € A < = > / * = 0, y € A = > fx . fy = 0, fy.fx
- 0 <=> f(xy) = 0, f(yx) = 0 < = > *• y € ker (/), y x € ker (/).
2. HOMOMORFISMOS ISOMORFISMOS 77
EJERCICIOS :
232. Si / es el homomorfismo / del ejercicio 231 a), comprobar ; que im (f) = B y
•ker (/; es igual al conjunto de todos los polinomios múltiplos de x — m.
233. Sea A el anillo de polinomios con dos variables independientes y coeficientes ra-
cionales, y B el anillo de polinomios con una variable y coeficientes racionales. Sea
j \ —̂ B la aplicación / (p (x, y)) = p (x, o). Probar que / es un homomorfismo y calcular
el núcleo y la imagen del mismo.
DEFINICIÓN 5.—Se llama ideal por la izquierda I del anillo A a todo sub-
conjunto I de A que verifica las condiciones siguientes:
i) *, :y€l => x — 3/6 I-
2) x € I, y e A =í> y x £ I.
Si en lugar de la condición 2) se verifica x y € I, el ideal se llama ideal
por la derecha, y si se verifican las dos, se llama ideal bilátero.
EJERCICIOS :
234. El núcleo de un homomorfismo es un ideal bilátero.
235. Sea I un ideal de A; demostrar que la relación
xRy <=> x — y € I
es una relación de igualdad.
23G. Si A/I es el conjunto cociente de A respecto de la relación de igualdad definida
por I, y si se define la adición (x + I) + (y + I) = x + y + I, y la multiplicación
(•*• + I) Cy + I) = •*"y + I, ¿es A/I un anillo cuando I es un ideal por la izquierda? ¿Y
cuándo I es bilátero?
3 . Si A es un anillo e I un ideal de A, la relación
(8) x R y <£> x — y£l
es una relación de igualdad. Al conjunto cociente de A respecto de la rela-
ción R lo representaremos por A / I y le llamaremos conjunto cociente de A
respecto del ideal I.
4 . Si I es un ideal bilátero de A, el conjunto cociente A/I se puede or-
ganizar como anillo mediante la siguiente definición:
Adición: {x + I) + (y + I) = x + y + I.
Multiplicación: {x + I) (y + T) = xy + I.
Al anillo A/1 se le llama anillo cociente de A respecto del ideal I.
(7)
78 § 4. ANILLOS [Capítulo I]
5. La aplicación suprayectiva natural
A ~ A/I ,
¿n la que nx = x + I, es un homomorfismo suprayectivo cuyo núcleo ex
1, llamado epimorfismo natural.
DEMOSTRACIÓN.—n es una aplicación. Sea ny = y + I, luego n(x + y)
= x,+ y + I = (x + .1) + (y + I) = n x + n y, n (x y) = x y + I = (x + I)
. (y + I) = (n x) (n y). Dada la clase x + I, se verifica que n x == x + I,
luego es un epimorfismo. Se verüica que n x = 0 < = > ¿r + I = 0
<==> .*• € I, luego ker (n) = I.
EJERCICIOS :
237. Construir las tablas de sumar y de multiplicar del anillo Z/(5), siendo Z el anillo
de los enteros y (5) el ideal de los múltiplos de 5.
238. Construir la tabla de multiplicar del anillo Z/(12).
239. Comparar la tabla de multiplicar del ejercicio anterior con ia tabla de multiplicar
ordinaria y con la tabla de multiplicar del ejercicio 237. ¿ Qué diferencia se observa entre
la tabla del ejercicio 238 y las otras dos? Compárense las filas de los números 1, 5, 7, 11.
con las restantes filas de la tabla del ejercicio 238. ¿Qué diferencias se observan? ¿Existe
algún elemento x =}: 0 de Z/(12) tal que x2 = 0 ? ¿ Existe alguno tal que x2 = x ? ¿ Existe
algún elemento u ^ 1 tal que 2 . u = 2, 3 . « = 3, 4 . MO = 4, 6 . « = 6, 8 . u = 8 , .
10 . u = 10 ? ¿ Sucede lo mismo para los elementos 1, 5, 7, 11 ? ¿ Cómo son los números
1, 3, 7, 11 respecto de 12? ¿Cómo son los restantes?
240. Sea A = Q x Q, siendo Q el conjunto de los números racionales. Se define en
A la adición y la multiplicación del siguiente modo: (x, y) + (x", y') = {x + x1, y + y');
(x, y) (x', y') = (x x', y y'). Demostrar que A es un anillo conmutativo. (El elemento-
$x, y) se llama igual al \z, i) y se escribe (x, y) — (z, t) cuando x = z, y = t.)
241. ¿Qué elementos del anillo del ejercicio anterior no poseen inverso? ¿Existen
elementos no nulos cuyo producto sea cero en el anillo del ejercicio anterior? ¿Existen
elementos distintos del elemento unidad cuyo producto por otro elemento sea este último,
excluido, naturalmente,, el cero?
DEFINICIÓN 6.—Un elemento a de un anillo A se llama divisor de cero
cuando se verifica que: 1.°) a df 0. 2.°) Existe otro elemento' b =(= 0 tal
que a b •= 0. Un elemento b de un anillo A se llama nilpotente cuando
existe un número entero positivo n tal que bn = 0. Un elemento c de un
anillo A se llama idempótente cuando c2 = c. Un elemento u de un anillo
A se llama unidad parcial cuando siendo distinto del elemento unidad del
anillo existe un elemento d tal que d u ~ d.
2 . HOMOMORFISMOS ISOMORFISMOS 79
EJERCICIOS :
242. ¿Cuáles son los divisores de cero del anillo del ejercicio 238r ¿Cuáles son los,
elementos nilpotentes? ¿Cuáles los idempotentes? ¿Cuáles son unidades parciales?
243. Hallar todos los divisores de cero del anillo Z/(30).
244. Demostrar que. la condición necesaria y suficiente para que m sea divisor de-
cero de Z/(n) es que m. c. d.(m, n) =£1. (o <^ m < w).
245. ¿ Qué condición debe cumplir m, o < m <C n, para que sea nilpotente en Z/(n) ?
246. ¿Qué condición debe cumplir m, o < m < n, para que sea idempotente en Z/(n)?
DEFINICIÓN 7.—Un homomorfismo A — B del anillo A en el B se llama
suprayectivo, o epimorfismo, cuando im (/) = B. Un homomorfismo / se
llama inyectivo cuando ker (/) = 0. Un epimorfismo inyectivo se llama.
isomorjismo. Si existe un isomoriismo entre los anillos A y B, éstos se
llaman isomorfos, y se escribe A % B . Un homomorfismo de un anillo en
si mismo se llama endomorfismo. Un endomorfismo que sea isomorfismo
se llama automorfismo.
6. TEOREMA DE ISOMORFÍA.—Todo homomorfismo A -. B del anillo A
en el B se puede descomponer (n forma canónica del siguiente modo :
A ¿ y B
(8) n
• h
A/ker ( / ) »- im(0
en donde el diagrama [8] es conmutativo, siendo n el homomorfismo na-
tural, b un isomorfismo e i la inyección i (x) = x para todo x € im (f).
DEMOSTRACIÓN.—Supongamos que existe la descomposición [8] del ho-
momorfismo /. Será f = i b n, de donde, si x es un elemento arbitrario de
A, será:
/ x = (i b n) Jf = i b (n x) = i b (x + ker /) = b (* + ker / ) ,
luego b debe definirse del siguiente modo:
(9) * (* + ker f) = / x.
b es una aplicación. En efecto, x + k e r / = j / -f k e r / < = í > x — y 6 ke r /
< = > f(x —y) = 0 <=>fx =fy <=í> b{x + ker/) = b {y + ker/).
80 § 4. ANILLOS [Capítulo I]
b es un homorfismo. En efecto: a) b [ (z -f- ker f)-\-{y-\- ker f) ]
= b (x + y + ker/j = / ( * -\-y) =fx +fy = b {x + ker/) + ¿ (j/ -f ker/) .
b) b [(x + ke r / ) b + ker / ) ] = ( . r ; + ke r / ) = / ( ^ ^ ) = / * . fy
= b(x + kerf).b(y + kerf).
b es epimorfismo. En en efecto, dado fx, se verifica que b (x -}•• ker/) =fx.
b es inyectivo, en efecto, ¿ (# -f- ker/) = ¿> (jp + ker/j < = > / # = / ^
<=>f(x—y) = 0, <=>x—y 6 ker/<C=> * -f ker /= j j / -f ker/.
En virtud de la definición 7 se puede escribir:
(10) AAer (/) % im (/).
EJERCICIOS :
247. Sea Q el conjunto de los números racionales ; representamos por Q [i] el conjun-
to de todos los polinomios con coeficientes racionales en la letra i, con la condición de
que i2 = — 1. En Q [t] se definen la adición y la multiplicación como en el caso de poli-
nomios con una indeterminada o variable. iLa relación i2 = — 1 permite escribir todo
elemento de Q [i] en la forma canónica a + b i, siendo a y b números racionales. Q [i]
•es, evidentemente, un anillo. Probar que si o + b i d£ 0 existe el inverso de a -t- b i.
248. Sea Q [x] el conjunto de todos los polinomios en una indeterminada x con coe-
ficientes racionales. Q [x] es un anillo. Sea Q [t] el anillo del ejercicio anterior, y sea
j la aplicación:
Q W - Q [*'] : / (flo + ° ! * + - + an *«) = ao + ° i * + - + °n *'"•
Demostrar que
Q [ » ] * Í Q [* ] / (**+ 1).
en donde (x2 + 1) representa el ideal formado por todos los polinomios de la forma
p (x) (*a + 1), />(*)€ Q l * ] .
249. Sea G el subconjunto de Q L¿] (ejercicio 247) formado por todos los elementos
a + b t. tales que a y b sean enteros. El conjunto G es un subanillo de Q [*], llamado
anillo de los enteros de Gauss. Sea Z [x~\ el anillo de todos los polinomios en una inde-
terminada con coeficientes enteros. Probar que
G % Z [x]/C** + 1).
3. Anillos enteros. Ideales primos. Anillos euclídeos.
DEFINICIÓN 8.—Los anillos que no poseen divisores de cero se llaman
anillos enteros. Un ideal p de un anillo A se llama primo cuando el anillo
cociente A'/p es entero.
3. ANILLOS ENTEROS. IDEALES PRIMOS 81
EJERCICIOS :
250. ¿Qué condición debe cumplir p para que Z/(¿) sea entero?
251. Sea Q [*•] el conjunto de todos los polinomios en una indeterminada x con coe-
ficientes de Q. ¿Es (*2 — 5 * + 6) un ideal primo? ¿Es primo (** —2)?
1. La condición necesaria y suficiente para que p sea un ideal primo
-de A es que x . y € p, x$p => y € p.
DEMOSTRACIÓN.—Si p es primo y (x + p)(y + p)=xy + p = o + p y
x + p rfr o + p será y + p = o + p < = > y€ p. Recíprocamente, si (x + p)
(y + p) = o + p, y x $ p = = > y € p < = > y + p <= o + p, el ideal p es
primo.
DEFINICIÓN 9.—Un ideal a de un anillo A se llama principal cuando existe
un elemento a € A tal que \x € a <=> x = y a, y € A. El elemento a se llama
una base del ideal í y se escribe a = (a).
E L ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.—Sea Z el anillo de los números
enteros.
2 . Todo ideal a de Z es un ideal principal.
DEMOSTRACIÓN.—A todo número entero x le haremos corresponder el
número no negativo: v (x) = | x |. Sea a un elemento de a tal que si x es
otro elemento arbitrario de a se verifique que v (a) < v (x), v (a) ^ 0 . Si r̂
es un elemento arbitrario de a, dividiendo x por a se obtiene:
(10) x = q a + r, v (r)< v (a).
De o € a se deduce que g a € c y de x € a, q a € a, se deduce que
x — q a •= r € a, y de v (r) < v (a) y la condición de mínimo de v (a) re-
sulta que v (r) = 0, pero v (r) >= | r | = 0 implica r ••= 0, luego de (10) se
deduce que
* = ? « ,
luego a c (o), y como (a) cz a, se obtiene a = (a).
DEFINICIÓN 10.—Dados dos ideales a y H e un anillo conmutativo A, se
llama suma de c y B, y se representa por a + í> al conjunto de todos los ele-
mentos de la forma x + y, x € a, y € fc.
3 . La suma de dos ideales es otro ideal.
6
82 § 4. ANILLOS [Capítulo IJ
DEMOSTRACIÓN.—^, t € a + h < = > z = x + y, t = x' + y'; x, x" € aT
y, y' € h, luego s — t = (xi+ y) — (x* + y') = (x — x*)-+ (y — y") € a + 6.
Si 2 € a + f> y í € A, será £ == ^ . + y, x € a, y € í>, luego
í s = t (x + y) = t x + t y •€ a + b-
De 2 y 3 se deduce:
4 . S Í (a) y (b) son dos ideales de Z, (a) + (b) = (d) es otro ideal de
Z y por tanto principal.
De 4 se deduce que (o) c (d), (b) c (d), luego:
(11) a = a' d, b = V d, a', V £ Z,
luego d es divisor común a a y b.
Además, de (a)i+ (b) — (d) se deduce que d € (a) + (¿>), luego:
(12) d = m a + n b; m, n £ Z,
luego [12] establece que todo divisor común de a y de & es divisor de d,
luego d es el máximo común divisor de o y b. Las fórmulas [11] y [12]
caracterizan al máximo común divisor de o y i .
De 4 se deduce el proceso para calcular d. En efecto, dividiendo a por
b se obtiene:
a = q b + r, v (r) < v (b), b <i a,
de donde:
r = a + (— q) b € (o) + (*),
si v (r) 4= 0,
b = q1r + r1, í ' ^ X ^ f ) ,
implica que
^ = b + ( - ?1) r e <o) + •(&),
asi, siguiendo como ^ (¿>) > z> (r) > z/ (r3) > ..., se llegará, después de un
número finito de operaciones a v (rn) = 0, de donde rn = 0, y como:
r — n r + r = q r . n-2 ' n n- i ~ n ^n n_i»
3. ANILLOS ENTEROS. IDEALES PRIMOS 83
será r^a € ( r ^ ) , r»_, = g»_i rn_2 + rn_l € (r,^), ..., b € OvJ , a € (r».!), luego
(a) + (6) c (r„_a). Ahora bien, dt
r = r — o r «—1 n-a *n-i n—2
r = r — o r n-a n-A • »-2 n-3
r = o — 5 ¿>
se deduce que
r»_t = rn- 3 - ?«-i ( V 4 ~ «*-a
r«-3) = ^ + ««-i W V s - ?»-i
rn-4
= <1 + Vn-X 9*_a) (
r n- 5 - ?n-s
r n-4) ~ «« - i r n - 4
= í 1 + ffn-x ?n- 2 ) V 5 - K
1 + ?» - i ?«- 2 ) «n-a + ? ^ 1
] r « - 4
= ... = m a + n b,
lo que prueba que rn.1€(a) + (b), luego ( r ^ J . e (a) + (b) y (r„_x) = (a)
+ (6), luego rn_x = d es el máximo común divisor de a y b. El algoritmo
anterior se conoce con el nombre de algoritmo de Euclides.
EJERCICIO :
252. Calcular el m. c. d. de 252 y de 186 y calcular m y n de la igualdad [12].
DEFINICIÓN 11.—Se llama intersección de dos ideales a y B, y se repre-
senta por a f\ h, a la intersección de a y t> considerados como conjuntos.
5. La intersección de dos ideales es otro ideal.
DEMOSTRACIÓN.—a) x, y € a (1 í» < = > x, y € a, x, y € í» = > x — y € c r
x — y € 6 = t > * — y € a fl f>.
b) JT € a fl £>, y € A <=£> * € a, x € í», y € A = > ¿r y € a, xy €b
= > 4: y € a 0 f>.
De 2 y 5 se deduce:
6. La intersección de dos ideales (a) y (b) de Z es otro ideal princi-
pal (M) de Z.
De 6 se deduce que (M) c (a), (M) c (b), luego M = p a, M = q b,
luego M es múltiplo común de a y b. Si x es un múltiplo comúnde a y br
será x — x' a, x = x" b, luego x € (a) fl (¿>), luego ,r 6 (M) y ¿ r= í M, lue-
go M es el mínimo común múltiplo de a y b.
84 § 4. ANILLOS [Capítulo I]
De 6, (11) y (12) se deduce el método de cálculo del mínimo común
múltiplo. En efecto, M = p a = p a' d, M = q b = q b' d, luego p oí d
ssqb'd, pa' = qb', y como de [12] se deduce que l = ma' + nb', re-
sulta p = ma'p + n Vp = mq b' + n p b' = (m q + n p) V = hb', h = mq
+ np, luego de p a' = q b' resulta hb' a' = q b', ha = q, luego M = h b' a,
luego (M) c (a b'), y como a V = oí b € (a) fl (b) = (M), es (a b') c (M), lue-
go (M) = (a ¿0 = (a' b) = (a' 6' rf) y M = a' &' d.
EJERCICIO :
252. Calcular m. c. m. (252, 186))
E L ANILLO DE LOS POLINOMIOS CON UNA VARIABLE.—Sea Q el conjunto de
los números racionales, y Q [x] el anillo de polinomios en una variable con
coeficientes de Q.
Se define la aplicación Q [x] ^ Z*, siendo Z* el conjunto de los enteros
no negativos, del siguiente modo:
v (o0 + ax x + ... + on x
n) = grado {aQ + ay x + ... + on •**») = n, an + .0 .
La aplicación 7/ permite proceder con Q [x] como se ha hecho en Z.
7. Todo ideal a de Q [x] es ideal principal.
DEMOSTRACIÓN.—Sea p (x) un polinomio de a tal que si q (x) es otro po
linomio cualquiera, distinto del cero, se verifique o <v (p (x)) < v (q (x)).
Si q (x) es un polinomio cualquiera de Q [x], distinto de cero, dividiendo
q (x) por />(#•), se obtiene:
q(x) = h (x) p(x) + r (x), v (r (*)) < v (p (x)),
de donde r (x) = q (x) — h (x) p (x) € a, y como v (r (x)) < que el valor
positivo mínimo, será r (x) = 0. Luego a — (p (#)).
8. Si (p (x)) y (q (x)) son dos ideales arbitrarios de Q [x ] , el ideal
(p (x)) + (q (x)) — (d (x)) es Principal.
De 8 se deduce:
p (x) = P] (x) d (x), q (x) = ? i (x) . d (x).
d{x) =w (x) p(x) + n (x) q (x).
(13)
3. ANILLOS ENTEROS. IDEALES PRIMOS 85
Las relaciones (13) caracterizan al polinomio p (x), salvo un factor de
proporcionalidad numérico. Si se elige d (x) con la condición de que el coe-
ficiente del término de mayor grado sea la unidad, al polinomio d (x) así
obtenido se le llama máximo común divisor de p (x) y q (x). Como en el
caso de los números enteros, se puede emplear el algoritmo de Euclides para
calcular el m. c. d. de dos polinomios.
EJERCICIOS r
254. Dados los polinomios 3 x* — 2 ** + x* + 1 = p {x) y 4 x* + 2 x + 3 = q (x), calcu-
lar el m. c. d. y los polinomios m (x) y n {x) de (13).
255. Hallar el m. c. d. de x& — 2 x* + 2 x* — 4 *2 + 5 x — 2 y *3 + x* — 5 x •*- 3 y los
polinomios m (x) y n (x).
De modo análogo a como se ha hecho en el caso del anillo Z, se ve que
(P W) fl (í (*)) = (M (*)),
siendo M (x) = p' (x) . q' (x) . d (x), d (x) = m. c. d. (/> (#), q (x)), p (x)
= P' (*) • d (x), q (x) = q' (x) d (x). El polinomio M (x) es el mínimo común
múltiplo de p (x) y q (x).
EJERCICIOS :
256. Calcular el m. c. d. y el m. c. m. de p (x) = x$ — 5 x* + 8 x* — 7 x* — 3 x + 18
q (x) = x* — *s + 2 *2 + x — 3.
257. Demostrar que Q [x]/(x — p) & Q.
258. Sea A el conjunto de todos los elementos de la forma o x + b, a, b € Q> *n donde
se define la adición y la multiplicación como si se tratara de polinomios en la indetermina-
da x con la condición de sustituir .r2 por x — 2. Demostrar que A ̂ Q [x~\/(x* — x + 2).
259. Hallar los divisores de cero de Q [x]/(x* — 1).
DEFINICIÓN 12.—Se llama anillo euclídeo a un anillo conmutativo y ente-
ro en el que existe una aplicación v del anillo en el semigrupo Z* de los
enteros no negativos tal que para dos elementos arbitrarios x, y del anillo
tales que v (x) < v (y) se verifique que y = q x>+ r, q, r pertenecen al anillo
y v (r) < v (x). En estos anillos se puede definir un algoritmo análogo al
de Euclides v se puede trasladar a ellos todo lo visto para Z y para Q [.*].
En el caso de Z es v (x) = | x |, y en el caso de de Q [x] es v (/ (x))
= grado / O ) .
86 § 5. CUERPOS [Capítulo I]
§ 5 . C U E R P O S
1. Cuerpo de fracciones de un anillo entero.—Sea A un anillo con-
mutativo y entero, esto es, sin divisores de cero. En A x A se define la si-
guiente relación R:
(1) {x, y) R (x', y') < = > x y' = y x1.
1. ha relación R es una relación de igualdad en A x A — {(x, 0)}.
En efecto: a) (x, y) R (x, y), ya que xy = yx.
b) (x, y) R {x\ y') <==> x y' = y x' <=> x' y = y' x <C=> (V, y') R (x, y).
C) (*, y) R (* ' , / ) y (jf, / ) R {*", y') <^=> Xy' = y x>, i y" = y' x"
= = > xy" (x'y')^= yx" (x' y'). Por ser (x,y), (x',y'), (x",y") elementos de
A x A — {(x, 0)} se verifica que y' 4=0. Si x' 4= 0, de la última igualdad se
deduce que xy" = yx", de donde {x, y) R (x", y"). Si fuese x' — % como
/ ^ O , de x y' = y x* resultaría x = 0, y de x" y" = y' x" resultaría V = 0,
luego x y" = 0 <= y x" y (x, y) R (x", y").
A la clase de A x A — {(x, 0)}/R, representada por el par (x, y) la de-
signaremos por — y le llamaremos una fracción.
DEFINICIÓN 1.—En K = A x A—{ (x , 0)}/R se define una adición del
siguiente modo:
(2) *--\- — = xy'+?*'
y y yy'
y una multiplicación, por
y y yy
2. La adición es uniforme.
En efecto: sean (x, y) y (x*,y') dos representantes de y , esto es :
(x, y) R (x*, y') y (z, t) y {z' t') dos representantes de -^-, es decir: {z, t) R
(z* t'). De estas relaciones se deducen que xy' =y x* y zt' = tz', de donde:
(* t + y z) y' t' = x y' (t t') + x ? (y y') = y x* (t t') + t / (y v') = i* f + ¿ y') y t,
1. CUERPOS DE FRACCIONES 87
de donde
x t -\- y z x' t' -\- y'
yt ~ y' f
•esto es
v ~ ** ~
+ V = ~7" + "7
X , Z X , z
3. La multiplicación es uniforme.
En efecto, de — = •L-r, — = —r se deduce x y' = y x', z f = t z', de don-
y y t t J J
de xzv't' = ytx-z < ^ = > - ^ = 4 4 ^ - > - — = — — •
y t z t y t v'« / '
4. £ / conjunto K es un grupo abeliano respecto de la adición.
En efecto: a) (* + <\ + * [1^ + ±±L\+ **!. = *'/+<>/
J \ b ^ d l ^ f \ bdf ^ bdf ) ^ bdf bdf
bde _ (adf-\-cbf)-\-bde __ adf+(cbf+bde) _adf cbf+bde
"*" bdf ~ bdf ~ bdf ~~bdf~T~ bdf
- , . « i / cbf i b d e \ _ a i / c i e \
b ~T\bdf'T bdf) b ~ l ~ W " r / / "
a c ad-\-bc bc-\-ad c a
b)
c)
b ^ d bd bd d ^ b
a 0 a x a
b x bx b
,. a , — a a-\-(—á) 0 , a — a
S. £ / conjunto K — \ — [ es un grupo respecto de la multiplicación.
en erecto, aj ( -y^ r | y- - -faj" —¡¿¿Jf - 7 ^ 7 7 - T " 7 7 _ ¿ \d JJ
. . a c o, c c a c a
b) ¿ d bd db d b
r x a x a
' b x b x b
,, 0 . a , 0 ¿ r . , a b ab
d) Si-r-=£-r- , — es una fracción y — — —.—
' b \ a J b a b a
6 . La multiplicación es distributiva respecto de la adición.
En efecto : 4 - í 4- 4- —1 =
a c f-\-d e a cf -\- a d e acf ade
~b ~df = ' ~bdf = ¿ <// ' bdf
a c a e a c a e
Ta *"~Ff = ~b~ ~~d~ ~T~ ~T ~f~ '
S8 § 5. CUERPOS [Capítulo I]
DEFINICIÓN 2.—Un conjunto K con dos operaciones, adición y multipli-
cación, tal que:
1. K es un grupo abeliano respecto de la adición.
2. K — {0} es un grupo abeliano respecto de la multiplicación.
3. La multiplicación es distributiva respecto de la adición; se llama un
cuerpo.
Todo lo anterior puede resumirse en la siguiente proposición:
7. El conjunto K de las fracciones de un anillo entero A es, respecto
de la adición y la multiplicación definidas en 1, un cuerpo, llamado cuerpo-
de fracciones del anillo A.
2. El cuerpo de los números racionales.—A partir del anillo Z de los
números enteros, se obtiene como cuerpo de fracciones el cuerpo Q de los
números racionales. En el cuerpo de los números racionales se puede es-
tablecer una ordenación del siguiente modo:
DEFINICIÓN 3.—Un número racional -r- (a y b enteros) se llama positivo
cuando a b es un entero positivo. Los números racionales no positivos ni
nulos se llaman negativos. Por consiguiente, se verifica que:
El conjunto de los números racionales es unión del conjunto Q + de los
números racionales positivos, el cero y el conjunto Q~ de los números ra-
cionales negativos. Estos conjuntos son disjuntos entre sí.
<x o!
Para la consistencia de la definición anterior espreciso ver que si -j- = —n-
y — es positivo, ~ también es positivo. En efecto, la igualdad anterior es
equivalente a ab' = b a'', que implica a V (b b') •= b a {b b'), equivalente a
a b b"z = a' b' b2 y como I/2 y b'z son enteros positivos, resulta que a b po-
sitivo equivale a a' b' positivo.
1. Si — es negativo se verifica que — -— es positivo. Ya que
- ± . = -TL±.y ab<Q=>(—a)b>0.
2. - ¡ - y -r- son positivos implica que - ¡ - + —r y ~r~r son Positivos.
En efecto, de a b •> 0 y c d > 0 se deduce que (a d + b c) b d = a b d%
+ cdb2>0, luego y + ^ > 0 y (a c) (b d) =~- (ab)(cd)>0, luego ^ ~ > ^
2. E L CUERPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 89
DEFINICIÓN 4.—El número racional —- es menor que el — , y se escribe
o a
- T - < — r , < ^ ^ > —; r e s positivo. Si el número —- es menor o igual al
D a d o o
número —- , se escribe — < —r . d o a
3. La relación < es una relación de orden total.
DEMOSTRACIÓN.
a) 4 _ < - L < ^ = r > abd2<cdb\
b d
En efecto, 4 - < - j <¿==£> ~r — 4 - e s positivo <¿=> (be — a d) b d>0
<$=>abd2<cdb2. Por otra parte, 4* = — <=> ad = be <=>ad(bd)
= bc{b a).
b) - i < - 1 Ya que a b b2 < a b b2.
C) " < JL y _£. < 4 . < = > abd
2<cdb2 y c d b2 < a b d2 <5=> a 6 d*
b d J d b
= cdb2 < = > ad = b c < = > 4 - = 4r •
d) 4 < 1 y 1 < 4 < = > abd2<cdb2 y cdf<efd2, de donde
0 d d f
ab d2f2 <cdb2f y c d b2 f < e f b2 d2, y por la transitividad de la relación
de ordenación de enteros, a b d2 f < e f b2 d2 y abf2<efb2 <==> -£• < y .
e) Por ser la relación de ordenación en Z total, si no se verifica a b d*
< c d b2, se verificará c d b2 < a b d2, que equivale a — < 4~ •
4 . Se verifican las siguientes relaciones:
, a c a m c , m . m -. ^
a) -r < —p = = > -T- H < -T- H , para todo — € Q
' b d b n a n r n
i \ a ^ c a . c' ,^ a , a' ^ c , c'
c) - T - < — y - > 0 = > < — .
' b a J n b n d n
d) -r- < — y — < 0 =^> — < — — .
' b a J n d n b n
\ d . „ b . _
e) -7- > 0 = > — > 0.
EJERCICIOS :
260. Demostrar las relaciones a)-e)
SO § 5. CUERPOS [Capítulo I ]
5. Se verifican las siguientes relaciones:
b) i < | , 1 < ^ = > 1 < ^ .
c) 1 < — ==£> 1 < |-M , n natural.
d) i < -̂ - ,m < n, m y n naturales ==$> 1 < l-M < I-H .
e) 0<±<1, 0<^<1 =>0<±± <1
f) 0 < - r - < A m < n > m : y n naturales => 0 < I—I < (T-1 < 1-
g) 0 <—<^-<l ==> 3 n natural, tal que 0 < (-H < - .
q b \ b I q
EJERCICIOS :
261. Demostrar la proposición de 5-
262. Probar que JL < _£_ < í > ad < 6 c, siempre que 6 y d tengan el mismo signo.
b a
6. Si ^-<^- y \ es un número racional arbitrario tal que 0 < X < 1,
b d
.y*? verifica que -¡- < X -^ ¡+ (/ — X) 4- ^ 4- • 7 b b v ' d d
En efecto. 1 < 1 < = í > í — ^ > 0 < ^ > | - ^ < 0 , luego: X y + (1
- ^ ) ^ - M T - j ) + 7 < 7 ^ q u e ^ > 0 . £ - ¿ < 0 = * > X ( ± - ¿ )
< 0. Poniendo 1 — X = \L, X = 1 — (A, será 0 < [i y X -|- + (1 — X) — = (1
a c a (c a\ a
7. Entre dos números racionales distintos existen infinitos números
racionales.
En efecto, en virtud de 6 existen tantos como números racionales exis-
ten entre cero y uno, ya que si 4- ^ — ^ 4-> poniendo — = X 4- + ( 1 — X) -^
^ b y a y o a
i , . x .. la c\ , c .. le x\ bd c x . c
se obtiene: - . = x ( T - - ) + _ , 1 = ( _ _ _ ) - ^ - ^ y como - - ^ < -
- T ' ^sulta , por ser £- - -f > 0, que ( ^ - ± ) ( ^ - - l ) " 1 < (-1 _ | . )
i—-— a-\ = 1 . luego X < 1 y 0 < X. Todos los números — se hallan
comprendidos entre 0 y 1.
2. E L CUERPO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 91
3. El cuerpo de fracciones de un anillo de polinomios.—Sea Q [x]
«1 anillo de polinomios con una indeterminada x y coeficientes en un cuerpo
Q, que generalmente supondremos el de los números racionales. En Q [x]
se define la igualdad del siguiente modo:
<1) o0 + ai x + ... + an x
n = b0 + bx x + ... + bn x<*
<=£> m = n, a = 6„, .... a„ = b„.
^̂ *̂ ' o o " **
El cuerpo de fracciones de Q [x] se representa por Q (x). Por consiguiente,
si P 1 (x), P 3 (•*"), P 3 (>) y P4 (x) son polinomios, la igualdad en Q (x) viene
definida por :
<2) A í f j - = A í ^ < = > P x {*•) P 4 (x) = P (x) P 3 (*), P 2 (x) * 0, P 4 (x) * 0.
EJERCICIOS
263. Demostrar que si P (x) ± 0, se verifica que —*' = —Ü_i—LJ_
P2 {*) P2 f*) P (x)
264. Demostrar que el cuerpo de fracciones de Z [x], en donde Z [*] es el anillo de
polinomios con coeficientes enteros, es igual al cuerpo de fracciones de Q [x~\.
Sea una fracción arbitraria de Q (x). Supondremos que el repre-
sentante (A (x), B (x)) elegido de esta fracción es tal que m. c. d. (A (x),
( A (x) \ B I
«1 conjunto de todas las fracciones de Q (x) que se obtienen al multiplicar la
——-I por cada uno de los polinomios de Q [x].
( A (x) \ | tiene las siguientes propiedades:
a) Es un subgrupo del grupo aditivo de Q (x).
b) / (*), g(*)SQ M ( 4 ^ - ) y E (*)> F (*) € Q [x] = >
1. E (*) [/ (*) + ¿T (x)] =E(x)f (x) + E(x)g (x).
2. [E (*) + F (*)] / (*) = E (x) f (x) + ¥(x)f (x).
(3) (
3. (E (x) F (*)) / (*) = E (*) [F (*) / (*)]
4. l.f(x) = j(x).
92 § 5. CUERPOS [Capítulo I]
DEMOSTRACIÓN.—Las propiedades (3) son consecuencia de las leyes del
cuerpo Q(x) y de la identificación E(x) = -±£L . Si f(x) = E (*) -£&-
y g (x) = G (x) -^S-» resulta, en virtud de (3), que
( A (x) \ b , } ), que posee las-
propiedades 1 se le llama un módulo con el dominio de multiplicadores Q [>],
2. Si C Cx) | B (x) je 2/m/¿™ gMt Q [x] -±£L c Q [x] ^AíL.
En efecto, AM. = D (,) A g € Q [*] ( * | | ) , siendo B (*) = C (*) D (*),
A (x) I A (#) \
luego si P (x) es cualquier polinomio, será P (x) Q
y € Q [>] I B 1 •
DEFINICIÓN 6.—Se llama suma del Q [»módulo Q [>] / *(*} ) y del
( M (je) \ 1, y se representa por
H4&)+°«rS&)-
al conjunto de todas las fracciones de Q (x) que se pueden poner en la forma:
H W w + K W w
cuando H (.*•) y K (•*•) recorren todos los polinomios de Q [x].
3. La JMína de dos Q [x] módulos es otro Q [x] módulo.
DEMOSTRACIÓN. - M = Q[>] (.AM.), N = Q M J - £ | f ) y sea
d (x) = m. c. d (B (x), D (*)), .B (*) = B' (x) d (x)t D (x) = D' (*) d (x), y
m. c. d. (A D', C B ' ) = Í (*), siendo A D' = L (*) . e (x), C B' = J (x) . e (*).
Sea M (or) *' + N (JT) w un elemento arbitrario de M + N, será:
B (x) D (x)
M , > AW C(«) M(*)A(*)D'(*) + N(*)C(*)B'(*)
B(*) ' w D(«) B' (*) D' (*) d {x)
= [M(*)L(*) + N(*)-J (*)]«(*) ¿(*)
B' (*) D' (#) ¿ (x) t y i l B ' (x) D' (*) d {x)
3. E L CUERPO DE FRACCIONES DE XJN ANILLO DE POLINOMIOS 93
luego
M + N c P .
Sea T(x) -——*}*' — un elemento arbitrario de P . De
' B (x) D (x) d (x)
«W = R (*) A .(*) D' (x) + S (x) C (x) B' {x),
ise deduce que
T(js) «(*) -_T(X)\ *(*>A(*) . s w c w I
v ; B" (x) D' (*) d(x) K ' [ B{x) "•" D {x) J
luego
P c M + N,
y, por tanto,
M + N = P
OBSERVACIONES.—1. El denominador B' (x) D' (x) d (x) de P es el míni-
mo común múltiplo de B (x) y D (x).
2. Si A(x) y B(JP) son dos polinomios de Q [x], existen otros dos polino-
mios, q(x) y r(x), unívocamente determinados por las siguientes condiciones:
1.°) A (x) = q O) B (x) + r (x). 2.°) grad. r (x) < grad. B (x).
4. Si B(x) = B1(x)...B.(x), (B|(x), B> (x)) = 1, i £ j , i, j = / , . . . , s
B\ = TT Bu se verifica que m. c. d. (B\, ..., B\) = 1, de donde:
(4) 1 = Rx(x)B[+ ... +tf s .x)£ ' s
Y, además, se verifica que
«\ m , / ^ W | n r , / A (x) /?! (x) \ i n r i /
4 ( x ) ^ s ( x ) \
DEMOSTRACIÓN. - ! . ' ) - ^ . = Wi {x) R j ^ _ | | L = = > Q W
( B¿ (y) X ) c °- M ( -BTÍT) * = !» •••» Í . = > segundo miembro de (5) está
contenido en el primer miembro.
94 § 5. CUERPOS [Capítulo I]
2.°) De (4) se deduce:
A (x) _ A (x) (R, (x) B\ (x) + . . . + R, (x) B's (x)) _ A (*•) R! (x) , A (*) Rs (x)
B (x) B (x) B, (*) ' " ' ' B, (*)
lo que implica que el primer miembro de (5) está contenido en el segundo..
( A \ A
-£-] determinan la base -%- unívocamentey
salvo un factor numérico.
DEMOSTRACIÓN.—Sea Q [x] (—) = Q [x\ /—I , de donde:
A „ , , A' A' „ , , A
que implican:
- r = M ( , ) _ y _ = N ( . ) i r ,
•4 -=MN-¿- , MN= 1
B B
y si m0x
n y PQX™ son los términos de mayor grado de M y N, respectiva-
mente, siendo m + M > 0 , sería m0p0 = 0, luego m0 = 0, o p0 = 0, en con-
tradicción con las hipótesis. Por consiguiente, M y N son números.
6. Si B (x) = Bl (x) ... Bs (x) es una descomposición factorial de B (x)-
tal que (B, (x), B} (x)) = 1, i dp j , i, j = 1, ..., s, si 4 f f = ^ W + - | ^ - »
grado (a (x)) < grado (B (x)), ¿/ /OÍ polinomios B\ y R¡ son los de (5), y sii
I R1A =q1B1 +• rv grad. (rj < grad. (Bj,
(6j ]
( K.A =%B. + ".. ¿rad- (rs) < Srad. (BB),
se verifica que
(7) P(*) = 9l <*) + .-. + «,(*), ^ - = - B ^ + - - - + - B ^ T -
DÉMOSTE ACIÓN.—De (6) y de (5) se deduce que
R1 B\ A = í ; B + f j B ' j ,
(8)
' R s B ' , A = qs B + rs B ' s ,
y sumando:
A = (R B' + ... + Rs B',) A = (Í + ... + g,) B + (^ B\ + ... + rs B's),
3. E L CUERPO DE FRACCIONES DE UN ANILLO DE POLINOMIOS 95
y como
grado (r, B',) = grado (rf) 4- grado (B',) < grado (Bt) + grado (B',) = grado (B),
resulta que grado (r1B\ + ... + rs B',) < grado (B), luego, por la observa-
ción segunda anterior:
P (*) = q1 (*) + - + Qs (*)»
a (*) = r! B 'i + - + rs BV
7. Si Bx (x) = (x — ai)
0*, como grad. (r, (x)) < grad. {Bx (x)), si
(9) h (x) = a u + a i 2 (x - a.) + . . . + a,a (x - a /
1 _ 1
se verifica que
{W)
Ti(X)
Bj(x)
a i l , a i 2 ,
o: ' a ¡ - l 1 • '
(x - aj) ' (x - a^
1 8iai * x — aj
ri w
y los coeficientes alx, ..., a ta « íá» unívocamente determinados por
Bx(x)
DEMOSTEACIÓN.—Dividiendo (9) por B, (x) = {x — a,)"»' resulta (10). Su-
pongamos que fuera
(11) nix)= bix I bit 1 --• [ *"*
Bi{x) {x-a,)ai {x — aifi-1 * — *i
Multiplicando (11) por B, (x), sería:
a.—1
n (x) = *,•» + ¿i* (* - a,-) + . . . + bia{x - ai) '
<
de ésta y de (9) se obtiene:
(12) {OÍX - bit) + (o,-, - bi2) (x - ot) + . . . +. (*,•„. - * í a p (¿ - a , ) " "
1 = 0 ,
de donde, dando a ir el valor at, resulta at x = bt x. Supuesto demostrado que
atj = bu, j•— 1, ...,;', de (12) se obtendría:
y como (.*• — 0|) / :£ 0, sería
(««+i - *tf+i) + • • • + <".•..- *,• J ( * - «/*'"
Í~J - ° .
i »
v para .r = a,, resultaría ai/ + 1 = ¿u+i-
96 § 5. CUERPOS [Capítulo I]
8. Si Bj (x) = (x2 + bj x + Cj)p> , se verifica que
(ID ni*)
mi\x + »/i
+
mjix + njt
B/(*) (x* + 6jx. + ejfi {pfi + bjx + ejfi
1
ma x 4 - «.„
y los polinomios m^x + nj!, i = 1, ..., $¡ están unívocamente determinados
rj (*)
Por Bj(x)
DEMOSTRACIÓN. — Dividiendo sucesivamente r¡ (x) por x2 + b¡x + c}, se
obtiene:
fj(X)
tnjiX + tijy
x* -\- bj x -f- <y
?i(*)
»»/»*+*/I
ae* -(- bj x -f- ¿>'
q%{x)
X* + ÓjX + Cj
fy-iW
mjpjx + nJ?j
X* + bjX + CJ
fpA*)
de donde
<12)
rj (x) = qx {x) (*
8 +ijx + c}) + *njíx-\-nji,
9i (*) = ?»(*) (*" + bj x + O) + mJ 2 * + "> 2 .
?p._l(«) = fy.(*) (*2 + fy* + <y) + »*yp.* + »yp.
de (12) se deduce, mediante sustituciones sucesivas:
<13) r, (*) = m, x x + tij x
+ (mj2X + nJ;¡) (X2 + bjX + C]) + ... + («yp.flf 4-Hyp.) (*
2 + ¿y * + cp
de donde:
B / - 1
Si fuese
(14)
ry(a?) »,• !*?-!-«,•,
B/(*) (*• + *,•* +'/'
•H...+
"VPy + w;Py
x* - | - ¿y af - | - ¿ry
3. EL CUERPO DE FRACCIONES DE UN ANILLO DE POLINOMIOS 97
de (13) y (14) resultaría:
(mJi—Pti)x + nJi — 4fi = H (*)(** + b,x + Cj),
de donde, por tener que poseer los polinomios de ambos miembros el mismo
grado, resulta que:
(mJ i - Pj i)"* + nj i - «/ i = °- H (*) = 0,
y la primera implica que mJl = p}l, n}1 = q¡x. Repitiendo sucesivamente el
razonamiento con H (x) = 0, queda probada la unicidad.
DEFINICIÓN 7.—A las fracciones de la forma —a- y mx-f-»
(* - ¿>)? J (x* + a x 4- ¿)T '
«n donde a, b, m y n son números de K, y a y fi números naturales, se les
llama fracciones simples.
9. TEOREMA 1.—Si el polinomio B (x) admite la descomposición factorial:
B (*) = (* — 0 l)
a> ... [x — a¿)'
á* (•*•» + br x + c ^ ... (JT* + ¿>r * + cr)
?r ,
siendo aj i ajt i =£ j> >' siendo los polinomios x
2 + fyx + c¡ primos y primos
entre sí, y si A (x) es otro polinomio arbitrario, siendo
A (x) = q (*) B (*) + r (*), grad (r (*)) < grad (B i*)),
¿£ verifica que la descomposición:
A(*)
B M = ?(*) +
( * - « 1 ) !
+ ...+
<15)
1 - ^ + -
\(*-<>s)S
+ ( l»r\X + n, (x* + ¿>rx + Cr)
x2
mr$r
X+nr$r
x2 -\- brx-\-cr
en fracciones simples es única.
7
98 § 5. CUERPOS [Capítulo I]
DEMOSTRACIÓN.—De 4 y 5 se deduce que la descomposición (5) está uní-
Alx)
vocamente determinada por • . La descomposición (7) de 6 es también
. . • a (x) r\ (») r's (x)
umca, ya que si _ _ - = _ L J - + . . . + __L1 f
(16) grad (/ , (*)) < grad (B,);
de esta relación y de (7), resultaría:
C . - O B ' , = fri-O B'x + - + ( ' Í - 1 - ^_ 1 )B ' J _ 1 ,
y de (4) se obtendría:
+ fr.-j - ^ , - x ) B',_x] = [R, ( r ' , - r , ) + Rs (r, ~r\] B\ + ... + [R ,_ i (>",
y como todas las B\, ..., B ' J . J son divisibles por Bs, el grado del segundo
miembro es mayor o igual al grado de B„ mientras que de (6) y (16) re-
sulta que grad ( / , — r,) < grad (B,), luego / , — r, = 0, y como el razona-
miento es válido para s = 1, ...,s, queda probada la unicidad de la descom-
posición (7). Finalmente, 7 y 8 prueban la unicidad de las descomposicio-
nes (10) y (11), respectivamente.
EJERCICIOS :
265. Descomponer en fracciones simples la fracción racional:
bieudo que x* — 3 x + 2 = (x —1)2 (x + 2).
x5 — 4 y 3 _ | _ a ; _ 2
x3 — 3 x + 2
^3 a-2 1 4 x 4 - 3
266. Descomponer en fracciones simples la fracción racional: — —
(x* + x -f l)s (x — l)*
CAPITULO SEGUNDO
EL E S P A C I O V E C T O R I A L
§ 1. EL ESPACIO VECTORIAL
1. Definiciones.—Sea K un cuerpo arbitrario, que el lector puede su-
poner el de los números racionales. Consideremos el conjunto V producto de
K por sí mismo «-veces:
<»
(1) V - K" = K x K x ... x K.
Los elementos de V ^son de la forma {xly x2, ..., #n), xt€ K, * = 1, ..., n.
La definición de producto de conjuntos establece la siguiente definición de
igualdad:
(2) (xlt ..., xj = (yif ..., yj < 0 ^ = yx, ..., *„ = y„.
DEFINICIÓN 1.—Se define una aplicación de V x V en V, llamada adición,
del siguiente modo:
<3) e v -> **) + (3v- •••' y») = (*i + y i xn + ?»)•
1. E L CONJUNTO V ES UN GRUPO ABELIANO RESPECTO DE LA ADICIÓN (3).
DEMOSTRACIÓN.—a) Asociatividad :
[(•\ *„) + (yv •••> -v„)3 + ( v •••> «„) = [•
r
1 + y1- •••>
xn + y«) + (*x> -> *¿
= ( ( ^ + y¿ + sv -. . í*„ + y„) + *«) = (*, + (y, + *2), - , *» + <y« + *J)
-= (*V •••> *„) + (y, + v - ' yn +
SJ = ('i- •••• *») T [Cv,. •-» yn) + (*i. •••> *„)J-
b) Conmutatividad. Es trivial.
100 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
c) Elemento neutro. Si 0 es el cero del cuerpo K, se verifica que, para
cualquier elemento de V, es :
d) Elemento opuesto. Dado el elemento (.x\, ..., xn) de V, el elemento
(—xx , ..., —x n ) posee la propiedad:
(x , .... x ) + (—x ,...,— x ) = (x —x,..., x — x ) = (0, ..., 0),
por lo que al elemento (—xlf ...,—xn) se le llama opuesto al elemento
(xlf ..., xn) y se le representa por — (xlt ..., xn).
DEFINICIÓN 2.—Se define una aplicación de K x V en V, llamada multi-
plicación de elementos de K por elementos de V, del siguiente modo:
(4) a (xv ..., xn) = (o x^ ..., a xn), a £ K, (xv ..., xj £ V.
2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE ELEMENTOS DE K POR ELEMEN-
TOS DE V.
I . Para todos a, b € K y (x1} ..., xn) € V, se verifica que:
(o + b) (xv .... xn) = a (xv .... xn) + b (xv ..., xn).
I I . Para todo a € K y (xx, ..., xn), (yl, ..., yn) € F , se verifica que:
a E(*v -"•' xn) + Üv - ' y„)] = a (xif ..., *fi) + a (yv .... j - J .
I I I . Para todo a, b € j£ y iodo (xx, ..., xn) f F « verifica que:
(fl b) (xx, ..., xn) = o [ * ( * , . - , * „ ) ] .
IV. Si í es el elemento unidad de K:
l.(xx, ...,xn) = (x^..,,xn).
DEMOSTRACIÓN I.
(a + & ) ( * • , , - » *"„) = ((<* + b) xv ..... (a + b) xn) =(axx + b x^ ..., axn + b xn)
= (axv ...,axn) + (bxj bxn) = a ( * . ...,x¿ + b (*x, . . . , *„ ) .
II .
o [(*v -. *„) + Cv-- 'yJ] = ° K + 3v •••> -rn + yn)
= [a (*x + y\)> - , a K + y j ] = (« *\ + « 3 \ . •••.. o * n + a ?„)
= ( o ^ , ..., axn) + (ayv . . . , a y n ) = a ( * , ...,«•„) + o (y^ ..., yn).
1. DEFINICIONES 101
III.
(a b) (xx> ..., xn) = ((a b) xx, ..., (a b) xj = (a (b * ), ..., a (b xj)
= a (b xx, ...^ bxj = a Ib (x^ ..., xn)].
IV.
l(xi,...,xn) = (l.xi,...,l.xn) = (xi,...,xn).
DEFINICIÓN 3.—Al conjunto V con las dos operaciones establecidas en las
definiciones 1 y 2 se le llama un espacio vectorial y a sus elementos vectores.
EJERCICIOS :
267. Demostrar que: a) 0 (*x, ..., xn) = (0, ..., 0). b) o (0, ..., 0) = (0, ..., 0). el (—1)
(x , .... x ) = — (x , .... x ) .
268. Probar que {xx, ..., xj = x^ (1, 0, ..., 0) + ... + * n (0, ..., 0, 1).
269. Probar que si ^ (1, 0, !.., 0) + . . . + * B (0, .... 0 , 1 ) = ^ (1, 0, .... 0) + . . .+y n (0, ..., 0 ,1)
se ver-fica que xx = yx, ..., xn = yn.
2- Concepto de vector libre.
DEFINICIÓN 4.—Se llama vector en el espacio euclídeo ordinario a un seg-
mento A B cuyos extremos se dan en un cierto orden. Por consiguiente, un
vector es el par formado por un segmento A B y la ordenación: A es el pri-
mer extremo, B es el segundo extremo. Al primer extremo de un vector se
le llama origen del vector, y al segundo extremo. Al vector formado por el
segmento A B, el origen A y el extremo B se le designa por A B.
En geometría elemental se demuestra el siguiente:
TEOREMA REDUCIDO DE DESARGUES.—I. A B C y A/ B' C son dos trián-
gulos situados en el mismo plano o en planos pa-
ralelos tales que A B \\ A' B', A C \\ A' C, A A'\\BB'
(fig. 20). Se verifica que:
B C || B' C < £ > C C || A A'.
Sea * ^ el conjunto de todos los vectores del es-
pacio. En ^ se define una relación, llamada equi-
polencia, que representamos por el signo ~, del si-
guiente modo :
Fig. 20.
102 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEFINICIÓN 5.—Se dice que el vector A B es equipolente al vector C D,
y se escribe: A B ~ C D, cuando : a) Si las rec-
tas A B y C D son distintas, se verifica que la
figura A B C D es un paralelogramo. b) Si las
rectas A B y C D coinciden, existe otro vec-
tor M N tal que A B ~ M N y C D - M N se-
9 1 gún la definición anterior (fig. 21).
1. La relación de equipolencia es una relación de igualdad.
DEMOSTRACIÓN.—a) Sea A B un vector arbitrario y A B C D un para-
lelogramo uno de cuyos lados es A B En virtud de la definición 5, b) se
verifica que
A B ^ Á l t
b) Sea A B ~ C D. S i A B y C D son rectas distintas (fig. 21 a), la figu-
ra A B C D es un paralelogramo, luego también lo es C D B A y, por tanto,
C D ^ A B . Si las rectas A B y C D coinciden, existe un vector M N tal
que A B ~ M N y C D - M N (fig. 21 b), luego C D - M N y Á B ~ M~N,
que expresa que C D ~ A B.
c) Si B B ' ~ A A ' y A A ' ~ C C , pueden presentarse los siguientes ca-
sos: 1.°) Las rectas A A', B B' y C C son distintas. En este caso (fig. 20)
se verifica que B B ' A ' A y A A ' C C son paralelogramos, luego B B' || A A',
A A' ¡| C C, A B || A' B' y A C || A' C ; luego, por el teorema reducido de
Desargues I, se verifica que B C || B' C y la figura B B' C C es también un
paralelogramo, luego B B' ~ C C . El lector demostrará como ejercicio al-
guno de los siguientes casos: 2.°) La recta B B' coincide con la recta A A".
3.°) La recta B B' coincide con la recta C C. 4.°) Las tres rectas A A', B B'
y C C coinciden.
DEFINICIÓN 6.—A las clases definidas por la relación de equipolencia se
les llama vectores libres, y al conjunto cociente ^/-^ = V se le llama espacio
de los vectores libres. A los vectores libres los representaremos por letras ne-
gritas minúsculas o encerrando entre paréntesis rectangular a uno de sus re-
presentantes ; por ejemplo: a = [A B ] .
2. CONCEPTO DE VECTOR LIBRE 103
2 . Si a = [A B] y b = [C D], se verifica que
a = b <=> A B ^ C D .
DEMOSTRACIÓN.—Basta observar que los vectores libres son conjuntos de
vectores, luego la igualdad de dos vectores libres es la igualdad de dos con-
juntos, y como estos conjuntos son clases relativas a una relación de igual-
ciad, la igualdad de las clases equivale (Criterio de igualdad de clases, 3 , § 2,
Cap. I) a que un representante de una esté relacionado por la relación de
igualdad con un representante de la otra.
3. Si a es un vector libre y 0 un punto arbitrario del espacio, existe un
representante único de a con origen O.
DEMOSTRACIÓN.—Sea A B un representante de a. Supongamos que O no
pertenece a la recta A B. En el plano A B O tracemos las rectas O P || A B,
B P || A O, con lo que se obtiene el pralelogramo A B P O, luego O P ~ A B
y, por tanto, O P es representante de a con rigen O. Si O Q fuera otro re-
representante de a, la figura A B Q O sería paralelogramo, luego Q B || A O
y Q O |! A B, de donde Q B || P B y Q O || P O, luego P B = Q B y
Q O = P O y Q = P . Si O perteneciese a la recta A B se tomaría un punto
O ' exterior a ella, se construiría el representante O' K con origen O' y, em-
empleando éste, se construiría el representante con origen O.
ADICIÓN DE VECTORES LIBRES. DEFINICIÓN 7.—Dados dos vectores libres,
a y b , se llama suma, y se representa por a + b , al vector libre obtenido
mediante la siguiente construcción: se toma un punto A
arbitrario, O, del espacio, el representante O A del vec-
tor a y el representante A B del vector b (fig. 22) y a+b
— v Fig. 22.
<5) a + b = [O B] .
4. La adición de vectores libres es una aplicación de V x V sobre V.
DEMOSTRACIÓN.—Sea O' otro punto arbitrario del espacio, O A' y A' B'
representantes de a y b, respectivamente. Supongamos que las rectas O A
104 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo III
y O' A' sean distintas y lo mismo A B y A' B' y O B y O' B'. Entonces los
triángulos O A B y O' A' B' son tales que
O A || O' A', A B || A' B' y O O' || A A' || B B '
(fig. 23); luego, por el teorema reducido de
Desargues I, se verifica que O B ¡| O' B', y la
figura O B B' O' es un paralelogramo, luego
O B ^ O ' B ' y [O B] = [O' B'] . Si algún par
de las rectas anteriores coincidiera, se podría
reducir la demostración al caso considerada
Fig. 23. utilizando otro punto auxiliar O". Se trata,
por tanto, de una aplicación, siempre que
se considere que ei conjunto de todos los vectores cuyo origen coincide cotí
su extremo forman un vector libre [XX] = 0, que representamos por 0. Como-
todo vector libre se puede considerar como suma de él mismo con este vec-
tor 0, la aplicación es suprayectiva.
5. El conjunto de los vectores libres V es un grupo abeliano respecto de
la adición (5).
Fig. 24.
DEMOSTRACIÓN.—1. Asociatividad. Sean a, b y c
tres vectores libres, y sean O A, A B y B C repre-
sentantes de a, b y c, respectivamente (fig. 24).
Se verifica que a + b ' = [O B] , b + c = [A O] y
(a!+ b) !+ c = [ Ó C ] •= a + (b + c).
2. Conmutatividad (fig. 25). Sean O A, A B y B C representantes de
a, b y a, respectivamente. Por consiguiente,.
O A C B es un paralelogramo y O B ~ A C, luego
a + b = b + a.
3. Elemento neutro. El vector libre 0 = [ X X ]
es el elemento neutro, ya que a + 0 = [ O A ]
+ [ A A ] = [ O A ] .= a.
4. Elemento opuesto. Dado el vector libre a
= [ Á B ] , se verifica que a + [ B A ] = [ A B ] + [ B A ] = [ A A ] = 0, luego
— a = [ B A ] .
Fig. 25.
2. CONCEPTO DE VECTOR LIBRE 105
A la suma de un vector a y el opuesto a un vector b se la representa del
siguiente modo:
a + (— b) = a — b,
y se le llama diferencia entre a y b.
3 . El cuerpo de las razones de segmentos.—En geometría se demues-
tra el siguiente:
TEOREMA REDUCIDO DE DESARGUES. 11.—Si ABC y A'B'C son dos
triángulos tales que A B \\ A' B', A C \\ A' C y
A A' corta a B B' en O, se verifica que B C \\ B' C
<==> O € C C (fig. 26).
Este teorema es verdad tanto si los triángu-
los A B C y A' B' C están en el mismo plano
como si están en planos distintos (y por tanto
paralelos).
DEFINICIÓN 8.—Dos segmentos se llamanigua-
les: A B I C D cuando existe un movimiento del
espacio que transforma uno en otro. Si S es el Fig. 26.
conjunto de todos los segmentos del espacio, al
conjunto cociente de S respecto de la relación de igualdad I lo representare-
mos por 2 : 2 = S/I y a sus elementos los llamaremos segmentos genérales.
Por ser los segmentos generales clases relativas a una relación de igual-
dad, se verifica:
1. Si a = [A~B], b = [C£~] :
j = J<¿> A B I C T D .
2. Dado un segmento general a = [A B] y una semirrecta r de origen
O, existe un único representante O P de a contenido en r y con origen O.
DEFINICIÓN 9.—Dados dos segmentos generales a y b, se llama suma
de ambos, y se representa por a + b, al segmento general obtenido mediante
la siguiente construcción: se toma una semi-
5 if Á i B r rrecta arbitraria, r (fig. 27), de origen O, .se
toma el representante O A de a, contenido en
Fig. 27. ~ , . x ,
r y con origen O ; en la semirrecta de origen
A contenida en r se toma el representante A B de b, se define :
a + b = [O B].
*06 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
3 . El conjunto S de los segmentos generales es un semigrupo conmuta-
tivo respecto de la adición definida en 9.
-En el conjunto S x S se define la siguiente relación:
(o, b) R (F, ¿tj <S> A A' || B B',
siendo (fig. 28)
O A g o , OA'£b~ CHB€fI OB' 6 ¿»
y O A y O A' dos semirrectas arbitrarias de origen O
4 . La relación R no depende del par de semirrectas elegido.
DEMOSTRACIÓN.—Sean O' A' y O' B' otras dos semirrectas (fig. 29) y
"OÁ, C A' €», ÜT, CTB' €"&, OC, <y~C£~c y OD, CTD' € d.
Mediante un movimiento se puede llevar la semirrecta O' B ' a coincidir con
la semirrecta O B y el segmento O ' B' con el 0~B y el O' D' con el O D
(fig. 29). La semirrecta O' A' tomará la posición O Ax y O' A', O' C se
transformarán en O A t y O Q , respectivamente; luego Ó Áx € a, O Bx € b.
Por consiguiente, los triángulos O A Ax y O C Q son isósceles, luego el
ángulo O A A j es igual al O C Q y las rectas A Ax y C Q son paralelas.
DEFINICIÓN 10.-
Fig. 28.
Como las rectas A B y C D también lo son, resulta que, por el teorema de
Desargues II , son paralelas las rectas B Ax y D Q , luego también lo son las
rectas A ' B ' y C D \
3. E L CUERPO DE LAS RAZONES DE SEGMENTOS 107
5. La relación R es una relación de igualdad en £ x S.
A B | | DEMOSTRACIÓN.—a) (a, 6) R (a, b)
A B (fig. 30).
b) (a, h) R (c, (f) < = > A B >\
C D <==> C D || A B <í=í>
(~c,"5)R(a,&).
c) fc b) R (7, d) (7, ^ R ( í
J) < ^ = í > A B | | C D , C D | |
E F = í > A B II E F = í >
Fíg, 30.
í> (a, b) R (e, f).
DEFINICIÓN 11.—A las clases de R — 2 x 2 / R se les llama razones y se
representan por — .
6. ~ = 4r <=>(a, b)R(c, d).
b a
POSTULADO DE PAPPUS.—Si A, C, E son puntos de una recta r ; B, D, F
puntos de una recta coplanaria s (fig. 31), se ve-
rifica que
A B || D E y B C || E F = > C D || A F.
r ig. 31.
7. Si =• = — y O 4 € a, O 5 € b, O C € c y
b d
~0~D^ d, siendo 0,A,B
puntos de una recta r
y O C D puntos de
otra recta s, se verifi-
ca que A C \\ B D.
DEMOSTRACIÓN.—Sea
O C € c, O B' <= b, C e r , B' Z s (fig. 32). De
O C I O C se deduce que O C C es un triángu-
lo isósceles y de O B I O B' que O B B' es isós-
celes, luego C C || B B'. Por otra parte, de
- : = r se deduce que A B' || C D, luego, por
b d
el postulado de Pappus, es A C || B D.
Fig. 32.
108 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
_ a c a b
8. — = •=- <-=> — = —
b d c d
DEMOSTRACIÓN.—Es consecuencia inmediata de 7.
9. De la definición 11 se deduce que, dadas dos razones — y — se pue-
b d
den hallar otras dos — y — , con el mismo denominador tales que
p P
a m e n
b p d p
siendo p un segmento arbitrariamente dado.
DEMOSTRACIÓN.—Sean (fig. 33) O A € a, O B € b, O C € c, O D € d y
O P € p. Trazando por P paralelas P M y P N a A B y C D , respectiva-
mente, resulta que si m = [O M] y « = [O N ] , se verifican las igualdades-
del enunciado.
A la operación de 9 se le llama reducción a común denominador.
Fig. 33. Fig. 34.
10. Si A B C y A' B' C son puntos de dos rectas coplanarias (fig. 34) ta-
les que A A' \\ B B' || C C, se verifica que
|A~B] (ATCJ [Fe]
[A' B'] [A' C'j fB' C]
DEMOSTRACIÓN.—Sea A' B" (fig. 34) la paralela a A B trazada por A'* y
B" y C" los puntos de intersección con B B ' y C C , respectivamente. Por ser
A A' B" B, A A' C" C y B B" C" C paralelogramos resulta que
[AB] = |A 'B "J , lAC) = [ A ' C ] , [ B C J = [ B " C " J ,
3. E L CUERPO DE LAS RAZONES DE SEGMENTOS 109
luego de la figura formada por los puntos A' B ' C y A' B" C", las paralelas
B' B", C C" y las igualdades anteriores resulta la primera igualdad de ra-
bones. Si en lugar de trazar la paralela a A B por A' se traza por B', resulta
la igualdad de la primera razón y la tercera.
DEFINICIÓN 12.—Una razón -= define una aplicación de 2 sobre 2, llama-
b
da proporcionalidad, del siguiente modo:
(6) _ (Jt) » y <£> — = Z. .
b b x
EJERCICIOS :
270. Dados los segmentos 5 = [A B] , b = [C D ] , x = [M N ] , construir el segmento
a ,
y = — (*).
271. Comprobar que para que la proporcionalidad — sea igu"l a la proporcionalidad - = .
b d
a c
es necesario y suficiente que la razón -= sea igual a la razón -^ .
b d
DEFINICIÓN 13.—Se llama suma de la proporcionalidad — y la proporcio-
b
nalidad — , y se representa por — -| , a la aplicación de 2 en 2 definida
d b d
del siguiente modo:
( a c \ —r a — Í —
b d ) b d
11 . La swmtf a> /aj proporcionalidades — y — es una proporcionalidad
b d
definida por la razón — - — , siendo — (x) i= y, — (x) = z.
x b d
DEMOSTRACIÓN.—De (6) se deduce que — = 4= » — = — > ltiegfo, por
b x d x
el ejercicio anterior, la proporcionalidad — es igual a la -^- y la propor-
b x
cignalidad —- igual a la — , luego
d x
(4 + 4)(o = (4+4)(7)=4(ó+4(7)
\ ¿ < / ' \ X XI X X
110 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo I I I
para todo t. Sean O X € x, O Y € y, Y Z € z, O T € t (fig. 35), si
Y T' II X T II Z T"
se verifica que
[O Y] [ O T ] [YZ] I T ' T " ]
[OXj [ÜT] [OX] [O T]
de donde,
(7) = [O T'J + [T' T"] = |O T"], (4+4)
\ x xl
íV, pero
y + z
(í) = [OT"l,
ya que X T || Z T" y [O Z] = y + z, luego
b d x
r y "4" * A la razón ——— que define la proporcionalidad suma de las proporciona*
X
lidades — y r se le llama razón surtía de las razones — y — •
b d b d
12. El conjunto R de las razones de segmentos es un semigrupo aditivo.
DEMOSTRACIÓN.—a) La uniformidad de la adición es consecuencia de la
definición (7).
b) Asociatividad. De — = ^-r, — = — , — = — > se deduce:
b x d x f x
8. E L CUERPO DE LAS RAZONES DE SEGMENTOS 111
c) Conmutatividad.
( a c \ — a — c - c — a _ (c a \ _
b di b d d b \ d b I
13. Dadas dos razones distintas 4- y 4 - ****** una rasron fímVa — te/
b a n
que — -\ = — , o — -\ = — . En el primer caso la razón — se*
1 b n d d n b r n
llama diferencia entre -^- y ~ , y se escribe:
m c a ^ ,. a m c
~ñ=Z~d~~b ~T~*~~ñ~~d '
DEMOSTRACIÓN.—Sea
a h c k
T ~ y ~d~~j
Si h < k existirá un segmento general / tal que h + l = k, luego
c _ k _ h-\-l _ h _ a l
<* ~ g ~ g ~ g g ~ b g
En caso contrario existirá un segmento * tal que k + t = h.
S* ~r + -- — ~r s e escrrt>e ~r" < ~4~ y s e dice Q"6 *a razón -T es me-
nor que ^j.
a DEFINICIÓN 14.—Se llama producto de la proporcionalidad -r- por la b
proporcionalidad — a la aplicación de 2 en 2 producto de las aplicaciones»
a c
d '
c a —
(8) ^ — (*)
d b -Ui'H
14. Sea — (m) = n y — (n) = p. Se verifica que
b d
c a p
d" b m
112 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEMOSTRACIÓN.—Sea — (x) = y, — (y) = z, siendo x un segmento ge-
¿ d
neral arbitrario. De las igualdades anteriores se deduce:
a n c p a y c z
b m d n b x d v
de donde
_ c a — p n —
* = — —(*) = 4 — (*)•
d b n m
Si (fig. 36) O M € m, O N € ti. O P € />. O X € jr, y si N Y || M X,
P Z || N Y, se verifica que Ü Y ^, OZ € *, y M X ||
PZ, luego r=- (*) = s, que demuestra (9).
En virtud de (9) llamaremos producto de la razón — por
h
la razón — a la razón —
Kig. 36.
15. El conjunto R es, respecto de la multiplicación, un grupo conmuta-
tivo y distributivo respecto de la adición.
DEMOSTRACiÓN.-r-a) La asociatividad es consecuencia de la asociatividad
de la multiplicación de aplicaciones.
b) Conmutatividad. Sea -4- = — . —r = — = — •
/ b n ' d p m
c a , % n m . , o , % a c , % » ^ v ? , v
luego
"7"T - ~~ñ~~T~d
3. EL CUERPO DE LAS RAZONES DE SEGMENTOS 113
c) Elemento unidad. — = —, para todo a y todo b, ya que (fig. 37)
a b
por ser los triángulos O A A' y O B B' isósceles las rectas A A' y B B' son
paralelas. Por consiguiente:
tn d tn tí tn
n a n n n
que prueba que — es - el elemento unidad de la multipli-
a
cación.
Fig. 37.
d) Elemento inverso. Dada la razón — se verifica que
a b a I a \ - 1 b
— — = — < = > — == —
b a a \ b I a
e) Distributividad. Sean
(W)-Hv+Í)x=
C tn C d
tn-\-n a 'm-\-tt
a b b
m n
b + b
m a n a c a e a
~Z I r ~Z T" ~~J I r ~7~ ¿ ' a b a b d b
EJERCIÓOS :
272. Calcular las siguientes razones: a) Datos -r - , —•r, — : calcular -r-
b d f o d f
o). Datos, los mismos. Calcular (-7-1 T\ / ~7 •
DEFINICIÓN 15.—En R x R se define la siguiente relación:
(10) (-?-• ^ H £ • 4) a c _ c a
La relación (10) es una relación de igualdad. Al conjunto cociente,
K •= R x R/T se le llama cuerpo de las razones relativas u orientadas. En
K se definen la adición y la multiplicación del siguiente modo:
(11)
114 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II ]
(12) ( a c \ / tn p \ i a m e p a p c m \
b ' d)\lT' 7 r \ T 7 + d q ' ~T~f + ~d~~¡r)
16. El conjunto K, respecto de las definiciones (11) y (12), es un cuerpo
conmutativo, llamado cuerpo de las razones orientadas.
El elemento cero de K es I ~ , - | - j y lo representaremos por 0. Si
- | - > -j , se verifica que
y si -£- < -4- se verifica que
Por consiguiente, cada elemento de K puede representarse por uno de los
pares siguientes:
( T ' ° ) - 0 ' (°'-=)'
Los pares I •—-> Oí se llaman razones positivas, los pares Jo, — | se llaman
razones negativas. Las razones positivas l -=-, 0) se representan única-
mente por -^- y las razones negativas JO, — I se representan por —.
n \ n I n
EJERCICIOS :
™ . c * - ( ^ — £ . ) ( i - É - ) .
E L PROBLEMA DE LA MEDIDA DE SEGMENTOS.—Sea ü un segmento general
fijo. Se puede definir una aplicación m de £ en K del siguiente modo:
S ., »* S *K _ x
I x > m (x) = -tr* •
l «
3. EL CUERPO DE LAS RAZONES DE SEGMENTOS 115
17. m es una aplicación inyectiva de 2 en K y homorfismo respecto de
las adiciones en 2 y en K.
DEMOSTRACIÓN.—En virtud de la definición es una aplicación. Es inyecti-
va, ya que
m (x) = m (y) => f_ = 2 L =>JL («) = 2- <*) 0 > * = ?•
u u u u
Finalmente, se verifica que
m (* + 50 " x _ y • — — + —• - m (*) + m {$)•
A la aplicación m se le llama una medida en el semigrupo 2 de los seg-
mentos generales respecto de la unidad ü.
18. Si K+ es el conjunto de todas las rosones positivas de K, se verifi-
ca que
DEMOSTRACIÓN.—Queda por probar que la aplicación m es suprayectiva.
a,
Sea -—• una razón positiva arbitraria. Se ha visto que se puede hallar un seg-
b
mentó c único tal que -^r = -rr-» <te donde m (c) = -^r.
b u b
MEDIDA APROXIMADA DE SEGMENTOS.—Sea F el conjunto de todas las ra-
zones de la forma —— , siendo m y n números naturales.
n u
19. F es un semicuerpo isomorfo al semicuerpo de los números raciona-
les positivos.
DEMOSTRACIÓN.—Sea Q+ el conjunto de los números racionales positivos
y pongamos:
Q--A.F
<16> i m
'f n (
m \ mu
n i nu
U 6 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
La correspondencia / es una aplicación. En efecto, si
— = <Q=T^> m n — nm ,
n n
será
ya que
, / !»* \ _ m ñ (mn)u
(m n')ü „ „ _x , ^ _
-\ ' — ((« n') ü) = (mnr)u
(n wO C
m u *n ü , . '"' fflü 7 . . ("' mü . _. — (m nO * = (n « -i- ... + n ü) .= — - = - (n «) + ... + — = - («« )
(«'
= m ü + ... + m u =B n' (m ü) = (n' m) *.
Análogamente,
*\iF]~ ~ñfü ~ _(n tí) w
y, en virtud de mri — n m', resulta (m n) ü •= (w m') ü, luego
La aplicación / es inyectiva. En efecto, si
( m \ i p \ mu . pu
—HM se:á -^== -
y, por lo demostrado arriba,
(w g) ü (n p) ü
de donde (m q) ü<= (n p) ü y si fuese m q> n p, esto es, m q = n p + r,
r > 1, sería (r + 1) ü <= ü, contradicción. Por consiguiente, m q = n p (ya
que por la misma razón no puede ser n q < n p), y esto prueba que — = -£— .
n q
3. EL CUERPO DE LAS RAZONES DE SEGMENTOS 117
La aplicación / es suprayectiva. Ya que dada la razón —=- de F se ve-
rifica q u e / ( ^ ) = -?£- .
Se verifica además que
(m q + n p) ü (m q) ü + (n p) ü f l m I * \ = f l mq +np \ ( m g + n ¿ _ J \ n ^ r g ) J \ nq ) (nq)ü ~ (»q) ü
{mq)ü (np)ü mü pü _ I m \ I p \
(n q) ü "T" (n q) ü n ü ~*~ q ü / \ n j ' r / \ q ) '
si m P \ si mP \ (mP)ü .. .. mü pü f\ £ - ) = / ( — I = -7—\—- . Ahora bien, — . (n q u) \ n q } J \ nq ] (n q) u ' nu qu * '
= ^Tfi- - ^ a - (3 « + ••• + S «) = —g- IP« + - + P «]
tn ü tn ü ^P ^P
— [(* n) S] = (nü + ... + nü) — mü + ... + m ü
nü nü
mü pü (ntp)ü
= (m p) u, que prueba que - ^ - - ^ - = ^ j - g " i l u e g° :
/ M / \ OTW ¿fi = / / w V / p \
J \ n q ) nü qü \ n ) J \ g ) '
Un segmento x se llama conmensurable respecto de la unidad ü cuando
se verifica que m (x) € F. En virtud del isomorfismo establecido en 19, a
todo segmento conmensurable se le puede hacer corresponder un número
racional del siguiente modo:
i > fi(x) = / m (*).
20. Elsubconjunto S0 de 2 formado por todos los segmentos conmensu-
rabies respecto de la unidad ü es un subsendgrupo de 2 y se verifica que (i
es un isomorfismo de S0 sobre el semigrupo aditivo de Q
+.
DEMOSTRACIÓN.—Como / es un isomorfismo bastará probar que la restric-
ción de m a 20 es un isomorfismo, pero, por la definición de 20, es £0 = mr
1 (F).
Al número racional {i (x) se le llama también medida del segmento x res-
pecto de la unidad ü.
Si x es un segmento no conmensurable respecto de la unidad ü, se dice
que ü es inconmensurable respecto de ü.
118 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
21. Dado un segmento x, inconmensurable con ü y un número natural
arbitrario n, se puede hallar un número racional único x n = ¡ — tal que:
n
as) 4 4 _ < m W < t f + «
i
nü ^ v ' nü
DEMOSTRACIÓN.—Por el postulado de Arquímedes, dado el segmento n x
existe un único número entero p tal que pü^nx<(P'+l)ü, de donde
y como
n x x (« x x —
- = - = — +•.•+-=- = « — =«[* (*)].
u u u u
resulta:
0.7) Jt±-<nímm<<L+fi*-
Ahora bien, se verifica: a) Si n es un número natural: = - ^ , ya
n d a
que —— (n d) = n c y
n d
c _ c ) « • _ _ ( * _ _
— (»*) = — (¿+ ... -!-</)=<:• = . . . + <:=»<:.
b) n —— = ——, ya que
n d n d
c e c
« ¿ » ¿ « rf n d
. a c c í e
c) n — = -=- = > - ^ = —— . En efecto, de a) y b) se deduce que
b d b n d
n —— = ~ y de esta igualdad y de la hipótesis se deduce que -^ = ——.
n d d b n d
3. EL CUERPO DE LAS SAZONES DE SEGMENTOS 119
D e c) y de (17) se deduce:
pü + á x + b~ (p + l)ü
fi v ' ü ü '
m (x) = -L-— J _ , m (x) + — = >*_. í— ,
t i S ' n f i v / 0 fifi
de donde:
y el signo de igualdad implica que x es conmensurable.
OBSERVACIÓN.—Si x es un segmento inconmensurable se puede obtener
tin conjunto:
*í<*2<*,< .<*„<...
de números racionales tales que se verifiquen las desigualdades (16).
El número xn se llama medida por defecto de x con un error inferior a —.
n
4. El espacio vectorial de los vectores libres.—Sea ü un segmento ge-
neral fijo que tomaremos como segmento unidad en todo lo que sigue.
DEFINICIÓN 16.—Se llama módulo de un vector libre, x, y se representa
por | x | a
[AB] •
u
Se llama dirección en el espacio ordinario al conjunto de todas las rectas
del espacio paralelas entre sí. Si d es una dirección y r una recta del conjun-
to d, se dice que r tienela dirección d. El conjunto de todas las direcciones
del espacio es una clasificación del conjunto de todas las rectas del espacio;
por consiguiente, una dirección queda unívocamente determinada por cual-
quiera de sus rectas, que se llama representante de la dirección. Se llama di-
rección de un vector libre x, a la dirección de cualquier recta que contenga
-a un representante del vector x. Si dos vectores x e y tienen la misma direc-
120 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
ción, se escribe x ¡| y. Dos vectores libres x e y se dice que tienen el mismo
sentido cuando se verifica que si O X € x y O Y € y, uno de los vectores
O X, O Y contiene al otro. Si O X y O Y son dos vectores de la misma
recta que tienen común únicamente el punto O, se dice que x e y tienen sen-
tidos opuestos. Si x e y tienen el mismo sentido escribiremos x | y. Si x e y
tienen sentidos opuestos escribiremos x j y.
22 . La relación f : tener el mismo sentido, es una relación de igualdad.
DEMOSTRACIÓN.—a) O X c O X < = í > x t x.
b) x | y < ^ í > Ó X c Ó Y , o, Ó Y c Ó X < = > y t x .
c) x t y, y t * <=> ( Ó X c O Y , o , Ó Y c Ó X ) y
(O Y c O Z , o, O Z cz O Y ) = > O X c Ó Z , o,
O Z <= O X <í=í> x t z.
23 . Si x e y son dos vectores libres, se verifica que
i-°) | x | = | y | .
(18) x = y <=> { 2.o) x || y.
3.°) x f y .
DEMOSTRACIÓN.—La implicación = t > es consecuencia de las definiciones
de Def. 16. Vamos a demostrar la implicación < ; — . Sea O un punto arbi-
trario y O X € x, O Y € y. De 2.°) se deduce que O, X, Y están en la mis-
ma recta r. De 3.°) que X e Y están en la misma semirrecta de origen O y
de 1.a que ^ = _ de donde X = Y. Por consiguiente, O X = (VY.
u
DEFINICIÓN 17.—Se llama producto de la razón r por el vector libre x, y
se representa por r x, al vector libre definido por las siguientes condiciones:
1- | r x | = | r | l x | .
(19) { 2. rxUx.
3. r > 0 = £ > r x t x ; r < 0 = j > r x j x
En virtud del teorema 23 , las condiciones (19) determinan de modo único
al vector r x .
4. E L ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES 121
EJERCICIO :
274. Dados la razón r y el vector libre x, construir r x.
24. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE RAZONES POR VECTORES LIBRES.
I. r ( x + y ) = r x + r y .
II . (r + s) x = r x :+ s x.
III. (f i) iBr(f i) .
IV. 1 x = x, siendo 1 la razón unidad.
DEMOSTRACIÓN.—I. Ó~X € x, O Y € y, O Z € xi+ y (ñg. 38), O X ' € r x ,
Ó Y ' € r y , O Z 7 6 r ( x - + y ) = > Í ^ H = | r x |
. . [OX] [OZ'] •
= I r | - í - ^ , ^r1- = \r (x + y) | = | r | | x
u u
. . . [0~Z] [OY'] , [OY]
i°x'] _ , r , i^L = | r , J?íl = , r J
[O X] [O Z] [O Y]
=> i^íl = i ? | l = J5LIL = í > X Z II X ' Z', Y Z | | Y ' Z ' = S > O X ' Z ' Y '
[Ó X] [O Z] [O Y]
es un paralelogramo = > [ O Z ' ] = [ O X ' ] + [ O Y ' ] < = t > r (x + y) = r x
+ r y .
I I . Es preciso distinguir los siguientes casos: a) r > 0, s "> 0. b) r > 0,.
¿ < 0, r + s > 0. c) r > 0, ¿ < 0, r + s <0. d) r < 0, J < 0. Basta ob-
servar que | r + j ¡ = r + i e n a ) y b ) y | r + i | = — (r + s) en c) y d) y
| r | = r en a), b) y c) y | r | = — r en d) y | J | = s en a) y ] s | = — s en
b), c) y d).
I I I . a) r > 0 , j > 0 . b) r > 0 , ,<f<0. C) r < 0 , s<0. Demostraremos, por
ejemplo, el b), | (r *) X | = | r s \ | x | = (| r \ \ s |) | x | = | r | (| 5 | | x |>
= | r | j í x | = | r ( í x ) | . Además, ( r j ) x | | x | | í x | | r ( í x ) . Finalmente, por ser
r s < 0, será (r s) x ^ x, por ser s <0 será Í x | x y por ser r > 0 será
r ( i x ) f Í x, luego r ( í x ) | x y ( r í ) x f r 0 x).
IV. Es inmediata.
Del teorema 5, núm. 2, y del teorema anterior, resulta, en virtud de la
definición 3 del número 1, el siguiente:
25 . TEOREMA.—El conjunto de todos los vectores Ubres del espacio es
un espacio vectorial sobre el cuerpo K de las razones de segmentos.
122 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
26. Sea 0 AXA2AS un tetraedro y sean a t = [0 Ax], a2 = [0 A2],
a3 = [0 A3]. Los vectores a15 a2 y a3 se llaman vectores libres no co-
planarios. Sea x un vector libre arbitrario. Existen tres razones x,, x2, x s ,
unívocamente determinadas por x y por (ax, a2, a3) tales que:
(20) x = x i a i + x2a2 + x3a3.
DEMOSTRACIÓN.—Sea O X € x y X X ' . X , | | 0 A2A3 , X X ' 2 X 2 | | O A 3 A 1 ?
X X'3 X3 || O Ax Aa (fig. 39). Los vectores OXx, O X 2 y Ó X 3 se llaman
las proyecciones de O X sobre los ejes O A„ O A2 y O A3, respectivamen-
te. Por ser la figura formada un paralelepí-
pedo, se verifica:
[OX'2] = [ O l t j + [OX,],
x = [OX] - [ Ó x \ ] + [OX3],
luego
(21) x = [ÓXX] + [ÓX2] + [OX,].
Ahora bien, si x1 =
[OÍA,]
cuando
[OX,]
Fig. 39.
a) ! xx a , | = | x1 | | a, | = - =
[O A,] t [O X , ] , y xx = — 1=^ cuando
[O A,]
[O Aj] l [O X J , se verifica que:
[ox,l [OÁ,] [Ole,]
= I [O X,]
[O A,] u u
b) xx ax || ax, ax H J O X , ] = > xx a, || [O X x ] . _ ^
c) Si [ O A J f t O X J es * x > 0 , luego xx a, \ [O X J . Si [O A,]
4, [O X, ] es xx < 0, luego [O A,] 4, xx [O A,] y, por tanto, xx [O A,]
t [OX,].
De a), b) y c) se deduce, por el teorema 23 , que
[ O X 1 ] = ^ a 1 .
Análogamente se prueba que [O X2] = x2 a2, [O X 3] = x3 a3 y teniendo
en cuenta (21) resulta (20).
4. E L ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES 123
Para probar la unicidad de las tres razones xlf x2, xa, vamos a emplear
la proposición 28 del siguiente número. Supongamos que
(22) x = y, ax + y2 a3 + y, a3.
De (20) y (22) se deduce:
*i a i + *2 »2 + *» »3 = 3\
a i + ^ a, + ya »,,
de donde, sumando a ambos miembros — (yx a j , — (y3 a2) y — (ya a3), te-
niendo en cuenta la asociatividad y conmutatividad de la adición de vectores,
las propiedades c) y d) de 28 y II, 24, resulta:
(23) (xl - y¿ a1 + (*, - y2) a2 + (*, - y,) a3 = tt
Si alguna de las razones xx — yx, x^ — y2, xa —ya, por ejemplo, xa —y t ,
fuese distinta de cero, existiría la razón inversa (x3 — y3)
_1 y multiplicando
por ella los dos miembros de (23) se obtendría, recordando III, 24, que
x,-ys
l^ xx-y%
2 ^ •
de donde, en virtud de d) 28,
- ( - S ^ ) - + ( - 5 ^ ) -
Si
•el vector O Yx (fig. 39) pertenecería a la recta O A j el O Y2 pertenecería a la
recta O A2, luego el vector suma, [O Y J + [O Y»] = as, pertenecería al pla-
no O Ax A2, en contradicción con la hipótesis de ser los vectores ax, a2, a,
no coplanarios. Por tanto, la hipótesis xa—y3:£0 es falsa, luego xa—ys = 0.
Análogamente, xx — yx = 0 y ^2 — 3^ = 0.
DEFINICIÓN 18.—Al conjunto de tres vectores libres no coplanarios
{aj, a2, a3} se le llama una base del espacio vectorial de los vectores libres.
Las tres razones (x1} x2, x3) unívocamente determinadas por el vector libre
x y la base {a,, a2, a,} se llaman coordenadas de x respecto de la base
1 * 1 » * 2 > &9)*
Obsérvese que (xlf x2, xz) es un elemento de K x K x K, siendo K el
cuerpo de ls razones de segmentos.
124 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
27. Existe una biyección T del espacio vectorial V de los vectores libres
sobre K x K x K.
DEMOSTRACIÓN.—Sea B = {a1} a2, a3} una base de V, la construcción hv
dicada en 26 permite hacer corresponder a cada vector libre x un elemento
(*u *2> xa) de K x K x K según el siguiente esquema:
(25) x -> OX -> { ÓX^ "ÓX2, ÓX, } -> { [ÓXJ, [OXa], [ÓX,] }
-> { xi a,, *2 a2, *z a, } ^ (^, *2, * s),
y la correspondencia (25) es unívoca.
Recíprocamente, dado {x1} x2, xs) € K x K x K, se puede obtener el
vector libre homologo en la correspondencia:
(26) (* i , á r a ,4 r 8 ) -^{ á r i a 1 ,* a a 2 ,* 3 a 3 }^{OX 1 ) ÓX 2 ,ÓX 8 } - ) O X - ) x = [ÓX],
en donde
Ó X , € *! a x ,ÓX, € *2 aa, ÓX8 € *, aa
y X es el punto de intersección de los planos Xx X.\ X'2, X a X'2 X i r
X8 X\ X ' , paralelos a O A2 A3, O A, Ax y O A , A2, respectivamente.
De (26) se deduce que la correspondencia entre (xlt x2, xz) y x definida
en (26) es la inversa de la correspondencia r definida en (25) y, por consi-
guiente, r es una biyección.
EJERCICIOS :275. Dado el vector libre x, construir (x , x , xj respecto de una base dada (a,, a^, afl)r
«n donde los vectores a , a y a, son perpendiculares dos a dos.
276. Resolver el mismo problema anterior en el caso en que ax, a2 y a, no sean ortogo-
•ales entre sí .
277. Dado un vector x mediante sus proyecciones O X y O X' en perspectiva caballera,
- , [OA|
construir el vector y = -. x, hallando sus proyecciones y su verdadera magnitud.
10 UJ
5. Espacio vectorial. Dependencia lineal.—Hemos visto en 1 y en 4
dos conjuntos distintos a los que se ha llamado espacios vectoriales porque
en los dos existían dos operaciones regidas por las mismas leyes. Además
de estos conjuntos existen otros muchos con dos operaciones regidas por
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 125
las leyes vistas para estos dos. Por ello supone una economía estudiar todos
ellos simultáneamente. Con este fin vamos a dar la siguiente definición:
DEFINICIÓN 19.—Sea K un cuerpo y V un grupo aditivo abeliano. A los
elementos de K los representaremos por letras minúsculas y a los de V
por letras negritas. Sea la aplicación:
(27) K x V - ) V ,
llamada multiplicación, tal que a cada par (a, x) le hace corresponder un úni-
co elemento de V representado por a x, y llamado producto de a por x, tal
que se verifiquen las siguientes propiedades:
t I. a (x + y) = o x + a y, para, todo a € K y todo par x, y € V.
i II. (o + b) x = a x + b x, para todo par o, b £ K y todo x € V.
(28) /
j III. (o b) x = a (b x), para todo par a, b € K y todo x € V.
IV. 1 x = x, para el elemento unidad 1 de K y todo x de V.
A un grupo abeliano juntamente con una aplicación (27) que cumpla las
propiedades (28) se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K y a sus ele-
mentos se les llama vectores. Al elemento cero de V lo representamos por 0
y al opuesto al elemento x por — x. Al elemento cero de K lo representamos
por 0, al opuesto al elemento a por — a y al inverso de a r|r 0 por — .
28. a) 0 x >= 0, para todo x € V. b) a 0 •= 0, para todo a € K. c) a (— x)
•= — (a x), para todo a € K y todo x € V. d) (— a) x = — (a x), para todo
a € K y todo x € V.
DEMOSTRACIÓN.—a) Si a es cualquier elemento de K, de a + 0 = a se
-deduce: (a + 0) x = a x y, por I I , a x + 0 x = a x, de donde, sumando a
ambos miembros el opuesto al elemento a x : 0 x = 0.
b) Si x es cualquier elemento de V, de x + 0 = x se deduce a (x + 0)
:= a x y, por I, a x + a 0 == a x, de donde a 0 = 0.
c) De 0 = x + (— x) se deduce a 0 = a x + o (— x), y por a) 0 - a x
+ a (— x), que prueba que a (— x) = — (a x).
d) De 0 = a + (— a) se deduce 0 x = [a + (— o).J x, y por II y b),
0 = a x + (— a) x, que prueba que (— a) x = — (a x).
Al elemento x + (— y) se le representa por x — y y se le llama dife-
rencia, entre x e y.
En lo que sigue supondremos que el cuerpo K es fijo.
126 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEFINICIÓN 20.—Un conjunto H e V se dice que es un conjunto de
vectores Hnealmente dependientes, o que sus vectores son Hnealmente de-
pendientes cuando existen elementos alt ..., an de K, no todos nulos,,
tales que
(29) ° i X l + - +anXn = ° ; Xi> - , X n € H .
DEFINICIÓN 21.—El vector x se dice que depende Hnealmente del conjunto
de vectores H cuando existen elementos alf ..., am € K tales que
(30) X = o1 X l + ... + am Xm ; xlt ..., xM € H.
EJERCICIOS :
278. Demostrar que si 0 € H, H es un conjunto de vectores Hnealmente dependientes..
279. Probar que el vector cero depende Hnealmente de cualquier conjunto H de vectores..
280. Sea V el espacio vectorial Q x Q, siendo Q el cuerpo de los números racionales.
Comprobar que los vectores a = (1, 2), b = (3, — 1), c = (4,5) son Hnealmente depen-
dientes.
281. Comprobar que el vector (4, — 2) depende Hnealmente de los a y b del ejercicio
anterior.
29. xx, ..., xm son Hnealmente dependientes <=> uno de los vectores
x.lf ..., xm depende Hnealmente de los restantes.
DEMOSTRACIÓN.—a) Demostración de = í > . Sea ax xx!+i...l+ an x«.= 0,
como uno, por lo menos, de los elementos a¡ ha de ser distinto de cero, su-
pongamos que sea at ^p 0, en cuyo caso existirá el elemento — y, multi-
pilcando los dos miembros de la igualdad anterior por él se obtiene:
i - ( a , x , + ...+<.„ * „ ) _ - ! - 0
y teniendo en cuenta (28) I y 28 b),
" i " i
y por (28) I I I ,
^ X i + ... + ^ - X n = 0,
«i 1 ai
pero - ax = 1, y recordando IV (28),
x 1 + ^ - x 2 + ... + - x n - 0 ,
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 127
de donde, por ser V un grupo aditivo,
*=-(-=H--(í4
y por 28 d),
*. = K)*>+-+(-^)-
b) Demostración de ^= . Si xx = í , x , ' + ...'+ bn x„, será
y como — xx = (— 1) xx, en virtud de 28, d), será
(r-l)xi + b2x2+... + bnxn = o
y como - 1 ^ 0 , los vectores Xj, ..., x« son linealmente dependientes.
DEFINICIÓN 22.—El conjunto de vectores H depende linealmente del con-
junto de vectores H' cuando todos los vectores de H dependen linealmente
del conjunto H'. Un conjunto de vectores se* dice que es un conjunto de vec-
tores linealmente independientes cuando no es un conjunto de vectores li-
nealmente dependientes.
30. La dependencia lineal es reflexiva y transitiva.
DEMOSTRACIÓN.—H depende linealmente de H' y H' depende linealmente
de H" implica que, para todo x de H, se verifica
n
x = 2 xi x'*' x'' € H'
y
m
7 = 1
de donde
n m
que prueba que x depende linealmente de H". De x - 1 . x se deduce que
todo conjunto de vectores H depende linealmente de sí mismo.
128 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEFINICIÓN 23.—Se llama variedad lineal engendrada por el conjunto de
vectores H c V, y se representa por L (H), al conjunto de todos los vec-
tores de V que dependen linealmente de H. H se llama sistema de genera-
dores de L(H). Un subconjunto H de V se llama variedad lineal cuando
L (H) = H .
3 1 . Las variedades lineales son espacios vectoriales respecto de las ope-
raciones de V.
DEMOSTRACIÓN.—Sea L (H) la variedad lineal engendrada por H.
a) L (H) es un subgrupo de V. En efecto, si x, y € L (H) será:
m m'
i• = 1 i = 1
Poniendo
B, = X,, i = 1, .... m, zt+TO = y,, i = 1, ..., m',
y
et = ar i = 1, .... m, cJ+M = 0, i = 1, ..., m'; d, = 0, t = 1, .... m, dm+t = bt, i = 1, .... m',
resulta
m + m' m + m'
. = 1 « = 4
<le donde
H + tn'
x — j= ^ (c, — dt)zr z, € H, i = 1, ...,tn + m'\
« = 1
luego x — y € L (H).
r
b) x € L (H), o € K = > x = 2 a ' x " X i € H ' t = 1, ..., r = > a x
r r
« • = i » • = i
c) Las propiedades (28), por verificarse en V. se verifican, «a fortiori», en
L ( H ) .
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 129
Por consiguiente: Las variedades lineales son subespacios vectoria-
les de V.
EJERCICIOS :
282. ¿Existe alguna variedad lineal formada por un único vector?
32. La variedad lineal engendrada por una variedad lineal es ella misma:
(31) L(L(H)) = L(H).
DEMOSTRACIÓN.—De 31 se deduce que L (L (H)) depende linealmente de
H, luego: L (L (H)) c L (H). Pero como por la propiedad reflexiva de la
dependencia lineal es L (H) e L (L (H)), resulta (31).
33 . L es una aplicación de R (V) en sí mismo que posee las siguientes
propiedades:
a) He L (H).
b) H c H' => L (//) c L (//')
c) L (H íl H') c L (H) fl L (H') cz L (H) U L {H') c L (H U H').
d) H y H' son variedades lineales => L (H f) H') = L (H) fl L (//')•
DEMOSTRACIÓN.—a) Es consecuencia de la reflexividad (31) de la depen-
dencia lineal.
b) H cr H ' ==> H depende linealmente de H' y como L (H) depende
linealmente de H, resulta, por la transitividad, que L (H) depende lineal-
mente de H' que implica L (H) a L (H').
c) De a) y de
H P ' c H c H y H ' , H f l H ' c H ' c H P '
se deduce
L (H D H') c L (H) c L (H U H') L (H f] HO c L (HO c . "L (H (J H'),
de donde
L (H fl H') C L (H) fl L (H'), L(H)UL : (H') c L (H U HO-
9
130 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo 113
d) H y H' son variedades lineales <C=í> L (H) = H, L (H') = H ' r
luego:
L (H n H') cH n H'
y como, en virtud de a), es
H fl H' c <L (H n H'),
resulta la igualdad.
EJERCICIOS :
283. Sea H = { a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0) }, H ' = {c = (0, 0,1), d = (0, 1,1) }. Compro-
bar que L (H D H') * L (H) f[ L (HO-
284. Comprobar que, si H y H' tienen el significado del ejercicio anterior, L (H) |J J4 (H')
* L (H U H').
DEFINICIÓN 24.—Un espacio vectorial (variedad lineal) se llama de tipo
finito cuando posee un sistema finito de generadores. Un sistema de gene-
radores se llama una base cuando son linealmente independientes.
34. Todo espacio vectorial de tipo finito posee una base.
DEMOSTRACIÓN.—Sea V un espacio vectorial de tipo finito y sea H — {u i r
..., u„} un sistema de generadores de V, u¡ =(= 0, i = 1, ..., n. Si u15 ..., u*
son linealmente independientes forman una base y el teorema está demos-
trado. En caso contrario existirá una relación de la forma:
(32) a l u 1 + ... + a n u n = 0,
v no todas las a¡ serán nulas. Si, por ejemplo, es an 4= 0, multiplicando (32)
por -— , >e obtiene :
m „ , . ( _ 5 . ) I l i + ... + (_^.)lti.
Si x es un vector arbitrario de V, será:
x = x u + ... + x u ,
1 1 n M n '
y, en virtud de (33). será:
••• + [x»->-^rx»)u^>
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 131
que prueba que Hx = {ux, ..., Un_x} es también un sistema de generadores de
V. Supongamos demostrado que H/ = {u15 ..., u„_i} es un sistema de ge-
neradores de V. Si fuese una base estaría probado el teorema; en caso con-
trario, procediendo del mismo modo obtendríamos otro sistema de genera
dores con un vector menos. Por consiguiente, repitiendo el razonamiento
como máximo n — 1 veces se obtendría una base.
35 . Si B •= {u1} ..., Un} es una base de un espacio vectorial V y x un
vector arbitrario de V, los elementos x15 ..., xn, tales que
(34) x = ^1u1 + ... +* n u n ,
están unívocamente determinados por x y por la base B.
DEMOSTRACIÓN.—Si fuese
(35) x = yt ul + ... +ynun,
de (34) y (35) resultaría:
(*x — yj u, + ... + (*„ — ?„) un = o,
y por ser ux, ..., u„ linealmente independientes, sería:
x = y , .... x = y .
36. Si B = {u1} ..., un} es una base de un espacio vectorial V y si V= K
(n
x ... x K, existe una biyección b entre V y V definida por b (x) = (x t ,
..., xn), siendo las-x-i los elementos de K determinados por (34), y esta biyec-
ción es tal que:
I. b (x + y) = b (x) + b (y).
II . b (a x) = a [b (x)].
DEMOSTRACIÓN.—En 35 se ha probado que b es una aplicación» Suponga-
mos que
b(X) = b(y) =(xi,....xn),
sería :
x = x U] + ... + xn un, y = *1VL1 + .- + *n u„,
132 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
de donde x = y. La aplicación es suprayectiva, ya que si (xlf ..., xn) € V ,
se verifica que
b (xt U l + ... + xn Un) = (xlf..., xn).
Sea
x - xx Ul + ... + xn Uft, y = yx u, + ... + yn u*.
b(x + j) = b ( ( ^ + yx) u , + ... + (*n + yn) un) = ( ^ + y^ .... xn + yn)
= i*v - . *„) + CVx» •••> y'n) = b(x) + b (y).
* (a x) = b(a (x± ux + ... + xn un)) = b ((a ^ ) u r + ... + (a * J un)
= (a *-if ..., a .rn) = a (*x, ..., xj = a b (x).
DEFINICIÓN 25.—A los elementos del conjunto (xlt ..., xn) correspondien-
te al vector x respecto de la base B, se les llama coordenadas de x respec-
to de B.
EJERCICIOS :
285. Expresar que el vector x pertenece a la variedad lineal engendrada por los vec-
tores a, b , c
286. Sea L = L (a, b , c, d) y B = { u j ; •••» u5 } una base de V. Sea a = ai ux + ••• + o5 u g ,
..., d = dx ux + ... + d5 u s , x = xi VLX + ... + xs u5 . Probar que
A ax + ¡x bi + v c i + p dv
Xa5+¡xb5 + vc5 + pd5,
A., fi, v, p € K.
37. Si L es la variedad lineal engendrada por H = {a u ..., a r } , se veri-
fica que
(36) x € IL < = > x = \ * 1 + . - + Ar a r .
En efecto, x € L < = > x depende linealmente de
{ ax, .., ar } <íí> x = A.x ax + ••• + A-r ar.
En virtud de (36) se dice que
x€ L<£>
(37) x = AX ax + ... + Ar ar
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 133
es la ecuación vectorial de la variedad lineal L. Si B = {u15 ..., u„} es una
base de V y si
X = *1 U l + - + Xn «n' a* = ° i i U i + ••• + a i „ « „ ' i = l,...,r,
se verifica que (37) es equivalente a
í *l = \ ° i i + - + ^ ° r 1 »
(38) |
( *n = \ am + - +-Karn>
por lo que a las ecuaciones (38) se les llama también ecuaciones de la variedad
lineal L engendrada por los vectores
a i = a h U l + ... + a i n u n , i = l , ..., r,
respecto de la base B.
Obsérvese que en las ecuaciones (38) las Xt y la xt son variables, mientras
que las ai} son números de K ; por consiguiente; el sistema de ecuacio-
nes (38) está caracterizado por los números
(39)
\n rn
DEFINICIÓN 26.—A un conjunto de números tal como el (39) se le llama
matriz sobre K. La matriz (39) se dice que tiene n filas y r columnas, o bien
que sus dimensiones son n x r. Dos matrices se llaman equidimensionales
cuando tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas.
Dos matrices se llaman iguales cuando son equidimensionales y los elemen-
tos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Por consiguiente,
» n - bn í n = m, a.. = btJ
(40) | | = | | < S >
/ r = s, • i = 1, ..., r, j — 1, ..., n.
b ... b
\m sm,
Se llama producto de una matriz 1 x r por una matriz r x n a la si-
guientes matriz 1 x n:
(41) (Xlt ..., \r) | : . I = ( a n A, + ... + afl Xr, ..., o i n A1 + ... + orn Ar)
134 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
EJERCIÓOS :
287. Averiguar sin son iguales las siguientes matrices:
7 \ / —r- — , (S - V2 ) (3 + / 2 )
3 1 + 1/5 I / 6 2
A =
0 1 -
^ 2
1 I ' I 105 - 90 1
288. Multiplicar la matriz (2, — 3 , —2, 3) por la matriz
¿i
289. ¿Se puede multiplicar la matriz (1, 3, —4, 2) por la matriz
Multiplicar (sen o, eos o) por ( sen o eos a \
eos o — sen a /
38. De la multiplicación de matrices y de la igualdad de matrices se de-
duce que el sistema (38) se puede escribir en la siguiente forma matricial:
(41) (^1,...,^n) = (A1,...,Ar)
por lo que a la ecuación (41) se le llama ecuación matricial de la variedad
lineal L engendrada por los vectores
a i = ° n u i + - + °m ««> -> a r = an ux + ... + <*rn un.
(Obsérvese que la primera fila de la última matriz de (41) está formada por
las coordenadas del vector ax, la segunda por las coordenadas de aa, etc., la
última fila por las coordenadas de ar.)
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 135
EJERCICIOS :
290. Escribir la ecuación matricial de la variedad lineal L engendrada por los vectores:
ax = 5 U l - 3 u 2 + 2 u3 - u4 , a¡í = 3 u 1 + 4 u a - 3 n , + u 4 ,
a 3 = 2 t t l - 7 u 2 + 5 u 3 - 2 u 4 ,
•siendo B = { ult u2 , u s , u 4 } una base del espacio vectorial.
291. Comprobar que la ecuación matricial de la variedad lineal del ejercicio anterior se
puede escribir en la siguiente forma:
( 5 — 3 2 — 1 \
3 4 - 3 l )
292. Hallar todos los valores de A , \2, A para los que se obtiene el vector 19 u, + 6 u
— 5 u 3 + u 4 de la variedad lineal L en la ecuación del ejercicio 290. ídem en la ecuación
•del ejercicio 291.
39. Si a15 ..., a r es una base de la variedad lineal L, a cada vector x € L
le corresponde una única matriz (X1} ..., 1T), llamada matriz de las coordena-
das de x respecto de la base {ax, ..., a r } , tal que
<42) x = A l & 1 + ... + A r a r .
La demostración es la misma vista en 35 para un espacio vectorial.
40. TEOREMA DE LA BASE—Si un espacio vectorial posee una base de m
vectores, no existen en él más de m vectores linealmente independientes.
DEMOSTRACIÓN.—Supongamos que B = {vi, ..., vm} sea una base del es-
pacio vectorial V y que los vectores {ulf ..., un) sean linealmente indepen-
dientes, n > m. Por ser B un sistema de generadores de V los vectores u<
dependen linealmente de los vectores de B :
U l = flll V l + - + V Vm'
<43)
Si en (43) fuesen cero todos los coeficientes de un mismo vector vt pres-
cindiríamos de este vector en las igualdades (43) y reordenaríamos la nume-
136 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II ]
ración delos subíndices. Por consiguiente, se puede suponer que no todos
los coeficientes de vx son cero. Reordenando, si fuera preciso, la numeración
de los subíndices de los m, se puede suponer que alx ^ 0, luego existe
—— . Multiplicando la primera igualdad por ^- y sumando a la igualdad
i ésima, i = 2, ..., n, se obtiene:
u i = ° n v i + - + V v«'
l4a , -+(-^)-'-(«"-í-)"+-
+(*--S-h-
(44) y
que poniendo
fllw = a i ; ~~ " ^ ' ali = — ~ ' * = 2 ' - ' w ' * = 2> •" ' m ' a n ^i i
se puede escribir así:
u = a v + a v 4- ... + a v u i 11 T l ~ 12 Ta ~ ~ íw vm
(45) / u« + a1 u = o1 v + ... + o1 v
a« + oJ- u = a1 v + ... + a1 v
Si todos los coeficientes de vj, i = 2, ..., m fuesen nulos en todas las igual-
dades (45), exceptuada la primera, prescindiríamos del vector vt en ellas y
reordenaríamos los números a}i2) i = 2, ..., n, y, reordenando los índices de
los uj, se puede suponer que al„ =£ 0. Procederíamos con las n — 1 últimas
igualdades (45) del mismo modo que se ha hecho con las (43). Supongamos
que se ha llegado a un sistema de igualdades tal como el siguiente:
Bi = °u vi + °ia v2 + - + fln v< + °i.i+i Vf+1 + • +
a
im v w ,
u a + a\ U l - a\2 y2 + ... + a i 2 , v, + a\;. + , v f + 1 + ... + o ^ v m ,
(48) I '
nt + o ' "
1 « + ... + a'.? ' u t , = o'.T 1Y¡ + a'-\ v t + 1 + ... + o ' . -
1 vm.
í ^ + o ' - 1 U. + ... + 0 - T 1 , Ui.. = a ' T 1 V, + O»"TJ, v / + 1 + ... + a - l y ,
Si n o s o n n u l a s t o d a s l as
a / * : » 7 = *» ••>n> k = *» •••»m '
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDEN-CÍA LINEAL 137
se puede suponer que se ha prescindido, a partir de la igualdad ¿-ésima, de
todos los vectores v, cuyos coeficientes sean cero en todas ellas, por lo que
se puede admitir que a'.r1 =£0. Multiplicando la igualdad ¿-ésima por - —
y sumando a la igualdad /-ésima, / = i + 1, ..., n, se obtendrá otro sistema
análogo al (46) sin más que hacer en él i igual a í + 1, lo que prueba que el
proceso se puede continuar mientras queden en el segundo miembro vectores
distintos del vector cero. Ahora bien, obsérvese que en (46) existen n — * + 1
igualdades en cuyos segundos miembros figuran como máximo m — i + 1
vectores distintos del vector cero ; luego, repitiendo el proceso como máxi-
mo m veces se obtendrán n — m igualdades cuyo segundo miembro será
cero. La última de estas igualdades será:
<47) «» + a"\ «j + - + <C, «„ = fi-
que prueba que los vectores ul, ..., u„ son linealmente dependientes, ya que
el coeficiente de un en (47) es 1 z\z 0> lo que está en contradicción con la hi-
pótesis de ser estos vectores linealmente independientes.
4 1 . Todas las bases de un espacio vectorial de tipo finito constan del
mismo número de vectores.
DEFINICIÓN 26.—Al número de vectores de una base de un espacio vecto-
rial se le llama dimensión del espacio vectorial, y lo designaremos por
dim. (V). Como las variedades lineales son espacios vectoriales, al número
de vectores de una base de una variedad lineal se le llama dimensión de la
variedad lineal.
42 . COROLARIO DE LA PROLONGACIÓN DE UNA BASE.—Dada una base
B1 = {uj, ..., u r} de una variedad lineal L de un espacio vectorial V de di-
mensión finita n, existe una base B = {ulf ..., u r, ur+1, ..., u„} de V en la
que figuran todos los vectores de la base B1 de L.
DEMOSTRACIÓN.—Si L = V la base B, será base de V y el corolario
está probado. Si L ^ V, como L cr V, existirá un vector ur+1, tal que
Ur+1 € L. Los vectores {ulf •••, ur, ur+1} son linealmente independientes, pues
en caso contrario existiría una relación de la forma:
(48) ai U l + ... + ar u r + ar+i u r + 1 = 0,
en la que no serían nulos todos los números a¡. i = 1 r -r 1. Si ar+-¡ fuese
cero la relación (48) establecería que los vectores ux, ... u, serían linealmente
dependientes, en contradicción con la hipótesis de formar una base de L. Si
138 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo I I ]
ar+1 dp 0, el vector ur+1 dependería linealmente de u15 ..., u r , luego pertene-
cería a L. Por consiguiente, si Lx = L (u1} ..., ur, u,-+1), se verifica que
B2 = {ux, ..., Un ur+1} es una base de Lx. Si Lx = V se acabó la demostra-
ción. Si Lx 4
1 V existirá un vector u r+2 tal que u r+a € L t . Asi siguiendo, se
llegará a un conjunto de vectores B = {ux, ..., u r , ..., u«} linealmente inde-
pendientes, y si L' = L (ui, .-., u«), será L ' = V, ya que, en caso contrario,
existiría otro vector un+i í L ' y serían {ux, ..., u„, un+i} linealmente indepen-
dientes en contradicción con el teorema de la base.
Del corolario anterior se deduce inmediatamente que:
4 3 . Si L es una variedad lineal de V se verifica que dim. (L) < dim. (V)
y dim. L — dim. V < = > L = V. '
EJERCICIOS :
293. Sea L = L (ax, a2 . a3) . ax = 2 n1— u2 + u3 , a2 = u1 + 2 u2 + 4 u3 , a3 = 5 u 1 —10 n a
— ' S u , una variedad lineal del espacio vectorial tridimensional V de base B = {u , u„, u , }.
a) Hallar una base de L. b) Prolongarla a una base de V.
294. Si B = {Uj. u 2 } es una base del espacio vectorial V, probar que vx = ux + 3 u 2 ,
v2 = 2 Uj + 7 u2 es también una base de V.
293. Hallar las relaciones entre las coordenadas (x , x ) y las (x* , x* ) de un vector x
respecto de las dos bases del ejercicio anterior.
44. Si B = {u,, ..., Un} y B* = {u*, ..., uQ*} son dos bases de un es-
pacio vectorial V y si ( x u ..., xn) y (xx*, ..., xn*) son las coordenadas de un
mismo vector x respecto de B y B*, respectivamente, se verifica que:
(49) (*V-•*••)=(*!• •"'*.) L^1.-^n) = (^1.-.^
#„)
b ... b ii . m
b ... b ni nn
D E M O S T R A C I Ó N . — S e a n
u = a u* 4- ... + a u* . í n* = b u 4- ... + b u
ui n u i ~ ' i * " n» \ u 1 11 u i ~ ~ m ui
(50) { (51)
*n = am U*. + - + ann « V ( « \ = bni « i + - + Kn ««'
De
(62) x = xx U l + - + xn u„ = x\ u*l + ... + * \ u\,
5. ESPACIO VECTORIAL. DEPENDENCIA LINEAL 139
se deduce:
*\ n\ + ... + x \ u\ = xl (axi n \ + ... + ain „*„) + ... + *n (aHl n\ + ... + ann u*n)
= ( o n ̂ + - . + aftl *„) u \ + ... + (a1B ^ + ... + ann * n ) U*M,
de donde, por ser B* una base,
(JS*l=sailX1 + - +
an1
Xn'
<53)
(**» = a in •*-! + ••• + ° „ „ V
Análogamente, de (52) y (51) se deduce:
xi u i + - + xn «* = *\ (*„ ux + ... + &llt u„) + ... + **n (6n i Ul + ... + bnn U n)
= (&,, •*•*, + ... + & x* ') u + ... + (b x* + ... + b x* ) u ,
v 11 l ' ' ni n **i ' ' v m i ' ' ni» n' "n '
<ie donde,
(54)
X = b x* + ... + b x* .
1 11 1 ~ ^ n i «'
n i" i ' ' nn n
Las ecuaciones (53) y (54) se escriben en forma matricial en la forma (49).
Las fórmulas (49), (53) y (54) se llaman fórmulas del cambio de base. Ob-
sérvese que las distintas filas de la matriz A de (49) son las coordenadas de
los vectores de la base B respecto de la base B* y las filas de la matriz B
de (49) son las coordenadas de los vectores de B* respecto de B.
EJERCICIO :
296. Si B = { u i , u2 , u3 } es una base de V, averiguar si u* = 2 u + u , u*„ « u
— 3 u 2 , u*3 = 5 u + u3 , es otra base y hallar las fórmulas del cambio de base.
45 . Si B -.= {uj, ..., un} es una base de V y Z?* = {v i ; ..., vn} son n vec-
tores de V, se verifica que:
<55) B* es base de V < £ >
U = b y + ... 4- b v .
i n i ' ' i « «
u = b v + ... 4- b v .
n ni T i ' ' nn Tn
DEMOSTRACIÓN.—Si B* es base de V se podrán expresar los vectores
Ui, ..., u„ como combinación lineal de los vx, ..., v„. Si los vectores
140 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II j"
Ux, ..., un dependen linealmente de los vx, ..., vn, se verificará, por la .transi-
tividad de la dependencia lineal, que V depende linealmente de {vx, ..., v„},
luego V c L (v i ; ..., vft) c V, que prueba que {v15 ..., v„} son un sistema
de generadores de V y, por el teorema de la base, v^ ..., vn son linealmente
independientes, luego forman una base.
6. Homomorfísmos entre espacios vectoriales.
DEFINICIÓN 27.—Se llama homomorfismo de V en V, siendo V y V dos-
espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, K, a toda aplicación / : V -> V
tal que los diagramas siguientessean conmutativos:
K X V • V
A V
K X V —-> V
La conmutatividad de estos diagramas equivale a que, para todo par
(x, y) € V x V y todo a € K se verifique que:
j I- / (x + y) = / (x) + / (y).
) II. f(ax) = a / (x) .
46. CONSECUENCIAS.—Seo f un homomorfismo de V en V. a) f (0) = 0 .
b) Los vectores x1? ..., xm son linealmente dependientes = t > Los vecto-
res f ( x j , ..., f (xm) son linealmente dependientes.
c) Si B = {up ..., un} es una base de V y {BL\, ..., a'n} n vectores arbi-
trarios de V, existe un único homomorfismo í de V en V tal que f (u¡) = a'iv
i = 1, ..., n.
DEMOSTRACIÓN.—a) De x + 0 = x y de (57) I se deduce / (x + 0)
= / (x), / (x) + / (0) = / (x), de donde, por ser V un grupo, / (0) = 0.
b) De ax Xj + ... + aOT xm = 0 y no todas las o, nulas se deduce que
/ (Oj xx + ... + am xm) = «i / (xO + ... + amf (xTO) = / (0) •= 0, que prueba
que / ( x j , . . . , / (x m ) son linealmente dependientes.
c) Supongamos que exista el homomorfismo / tal que / (m) •= a'f,
i — 1, ..., n. Si x = x1 Uj •.+ ... + xn un es un vector arbitrario, se verificará:
(68) / (x) = / (^ ux + ... + xn un) = ̂ a \ + ... + xn a'n,
luego el homomorfismo, si existe, es único.
+
v x v — • v
(56) f \ \f
+
v x v >• V
6 . HOMOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 141
Recíprocamente, tomemos (58) como definición de una aplicación / de V
•en V y veamos que es un homomorfismo que cumple las condiciones desea-
bas . 1) Si y = y1 ux + ... + yn u„, será:
/ (x + y) = / ((*x + yx) ux •+ ... + (*n + yn) un) = (*x + y,) a\ + ... + (*B + yn) a'„
= (*1 *\ + ... + xn a'n) + (yx a\ + - + yn a'n) = / (x) + / (y).
II)
f(ax) =t {{a * x ) ux + ... + (a * n ) u„) = (a * x ) a \ + ... + (a * n ) a'„
= a ( * a , 4- ... + *Ba'n . ) - o / ( x ) -
Finalmente, se verifica que / (u¿) = a' t.
EJERCICIOS :
297. Demostrar que / ( — x ) = — / (x), siendo / un homomorfismo.
298. Si los vectores a, , •••, an son linealmente independientes y / es un homomorfismo, ¿son
linealmente independientes los vectores / (a ) , . . . , / ( a n ) ?
299. Sea / el homomorfismo de Y en V definido por las siguientes condiciones:
/ (U l ) = 4 u ' : - 3 u'2 , / (u2) = u'x + 5 u'2 ,
siendo B = { u , n } una base de V y B' = { u' , u ' } una base de V . Calcular (x^ , x ' ^
en función de (x^ x^, siendo / ( ^ ux + x2 u2) = **1 u\ + < ¡ u ' 2
300. Resolver el mismo problema del ejercicio anterior en el siguiente caso:
/ (ux) = u ' , + u ' 2 — u'3- / (u2) = u\ — 4 u'3 ,
siendo B = { u , u 2 } una base de V y B' = { u\, u ' , u '3 } una base de V .
301. Hallar las ecuaciones (véase el ejercicio 299) del homomorfismo / tal que
/ (U l) = 2 u\ - xx'2 + u3, f (u2) = xi\ + 3 u ' 2 - 2 u'3 , / (u3) = - 7 u ' 2 + 5 u'3 ,
siendo B = •{ ux , u2 , ug } una base de V y B' = { u' , u ' , u ' } una base de V .
302. ¿ Es la correspondencia recíproca, del homomorfismo / del ejercicio 299 un homo-
morfismo ?
303. ¿Es la correspondencia recíproca de / en el ejercicio 300 un homomorfismo?
304. ¿ Es la correspondencia recíproca de la correspondencia / del ejercicio 301 un ho-
momorfismo ?
DEFINICIÓN 28.—Se llama imagen del homomorfismo f: V - > V / , a la ima-
gen de la aplicación /. Se llama núcleo del homomorfismo /, y se designa
142 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo I I I
por ker (/), al conjunto de todos los vectores x de V tales que / (x) = 0. Por
consiguiente:
x ' <E im (/) < = > x' = / (x), x € V.
x e ker (/) <£> f (x) = 0 ; ker (/) = / - i (0).
47 . CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN 28.—a) im. (f) es una variedad li-
neal de V. b) ker (f) es una variedad lineal de V.
DEMOSTRACIÓN.—a) x', y ' € im (/) <==> x' = / (x), y' = / (y), x, y € V,
= > x' - y ' = / (x) - / (y) = / (x - y) € im (/). Si x ' € im (/) y a 6 K,
a x ' = a / ( x ) = / ( a x ) € im (/).
b) x, y € ker (/) <=^> / (x) = 0, / (y) •= 0 =^> / (x) - / (y) = 0
= > / (x — y) = 0 = í > x — y € ker (/). Si x € ker (/), a € K = > / (x)
= 0, a f (x) = a 0 = 0, f (a x) = 0, luego a x € ker (/).
EJERCICIOS :
305. Hallar im (/) y ker (/) para el homomorfismo / del ejercicio 299.
306. Hallar im (/) y ker (/) para, el homomorfismo del ejercicio 300.
307. Hallar im (/) y ker (/) para el homomorfismo del ejercicio 301
308. Observar qué relación existe entre dim (V), dim (im (/)) y dim (ker (/)) en los e jem-
plos de los ejercicios 305, 306 y 307.
DEFINICIÓN 29.—Cuando im (/) = V7 el homomorfismo / se llama epimor-
fismo. Cuando ker (/) = {0}, el homomorfismo / se llama inyectivo. Un ho-
momorfismo que es epimorfismo e inyectivo se llama isomorfismo u homo-
morfismo biyectivo.
EJERCICIOS :
309. ¿Qué clase de homomorfismos son los de los ejercicios 299, 300 y 301?
310. Clasificar, de acuerdo con la def. 29, el siguiente homomorfismo / : / (ux) = u'x — 4 u'2 ,
/ (u2) = 2 ^ + 5 u'2 , / (u3) = 4 u'x + 7 u'2 , siendo B = { ux , u2 , u 3 } una base de V y
B' = { u'jf u '2 } una base de V .
7. Homomorfismo natural. Primer teorema de isomorfia.—Sea L.
una variedad lineal del espacio vectorial V.
DEFINICIÓN 30.—Se llama relación definida por L en V, y la representa-
mos por la misma letra L. a la siguiente relación:
(60) x L y < = > x — y € L.
7 . HOMOMORFISMO NATURAL. PRIMER TEOREMA DE ISOMORFIA 143
48 . La relación L definida en (60) es una relación de igualdad.
DEMOSTRACIÓN.—a) 0 € L <=£> x — x € L <=> x L x.
b) x L y < = > x — y € L = > y — x € L < = > y L x.
c) x L y e y L z < = > x — y € L e y — z € L = = > (x — y) + (y — z )
= x — z € L <=5> x L z.
49 . La relación de igualdad L es permutable con las operaciones del es-
pacio vectorial.
DEMOSTRACIÓN.—a) Si x es un vector arbitrario de V e y L z se verifi-
ca que (y + x) L ( z '+ x). En efecto, y L z <=> y — z € L ==> (y + x)
— (z + x) € L < = í > (y + x) L (z + x) .
b) x L y y z L t = > (x + z) L (y + t) . Ya que, en virtud de a)
es (x + z) L (y + z) e (y + z) L (y + t) .
c) Si a es un número arbirario de K y x L y se verifica que a x L a yt
ya que x — y € L = í > a (x — y) = a x — a y € L.
50. El conjunto cociente V/L es un espacio vectorial, llamado espacio
vectorial cociente de V módulo L.
DEMOSTRACIÓN.—En V / L se definen la adición y la multiplicación por ele-
mentos de K del siguiente modo:
DEFINICIÓN DE ADICIÓN EN V / L : (x + L) + (y + L) = x + y + L.
DEFINICIÓN DE MULTIPLICACIÓN EN V / L : a (x + L) = a x + L.
En donde x + L es la clase que contiene a x y a es un elemento arbitra-
rio de K.
La uniformidad es consecuencia inmediata de 49 y las restantes propieda-
des de espacio vectorial son triviales.
EJERCICIOS :
311. Terminar la demostración del teorema 50.
312. Si B = {Uj, u2 , u 3 } es una base de V y L = L ( U j , U2), comprobar que u3 + £ es
cna base de V/\L.
313. Si B = { Uj, u2.. u 3 } es una base de V y 13 = L (a, b) , siendo a = 4 ux — u 2 + u 3 ,
b = U ] + 3 u2 — u , . Hallar una base de V / L
314 ¿Qué relación existe entre dim (L), dim V y dim (V/L) en los ejercicios 312 y 313?
144 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo IIJ
5 1 . Si L es una variedad lineal del espacio vectorial V de dimensión fini-
ta, se verifica que
(61) dim (V) = dim (L) + dim (V/L).
DEMOSTRACIÓN.—Sea B = {u^ ..., u r} una base de L, en virtud de 42,
se puede prolongar la base B a una base B* = {ux, ..., u r , Ur+i, •••, u*} de
V. Vamos a probar que B' = {ur+i + L, ..., u» + L} es una base de V / L .
a) B' es un sistema de generadores de V/L. En efecto, sea x + L un
vector arbitrario de V / L ,
x = ^1u1 + ... +*rur+... +* t tun .
De x\ ux + ... + xr u,- € L se deduce que
{xx Ul + ... + xn „„) -(xr+l ur+1 + ... + xn un) € L;
que implica que
* + L ' = (*r+1 «r+1 + - + *r O +
L = Xr+1 (ur+I + L) + .. . + * n (un + L).
b) Los vectores de B' son linealmente independientes. En efecto, de
Xr+1 (ur+1 + L) + ... +\ (u* + L) = D
se deduce que
Xr+l
Ur+i + - +
A n«n€L,
o bien:
V i «r+l + - + kn «n = \ «i + - + Ar *r>
y, por ser los vectores u15 ..., un linealmente independientes, será Xx= ... =Xn = 0. Por ser B, B* y B ' bases de L, V y V / L , respectivamente,
se verifica que
dim (L) = r, dim (V) = n, dim (V/L) = n — r,
de donde resulta X61).
52. Si L es una variedad lineal del espacio vectorial V, la correspondencia
(62) V • V/L, n (x) = x + L,
7. HOMOMORFISMO NATURAL. PRIMER TEOREMA DE ISOMORFIA 145
que hace corresponder a cada vector x de V la clase x + L que lo contiene,
es un epimorfismo, que llamaremos natural.
DEMOSTRACIÓN.—Como cada vector pertenece a una única clase, n es una
aplicación. Es un homomorfismo:
a) n (x + y) = x + y + L = (x + L) + (y + L) = » (x) + » (y).
b) n (o x) = o x + L = o (x + L) = a n (x).
El homomorfismo es epimorfismo, ya que dada la clase x + L se verifica que
n (x) = x + L.
Sea
/
(63) V • V
un homomorfismo del espacio vectorial V en el espacio vectorial V , ambos
sobre el mismo cuerpo K. Por ser / una aplicación define en V una relación
de igualdad:
(64) x / y < = > / ( * ) = / ( y ) .
Sea V / / el conjunto cociente de V respecto de la relación de igualdad /. Se
verifica que la relación de igualdad f es igual a la relación de igualdad defini-
da en V por la variedad lineal ker (f). En efecto, sea R la relación de igual-
dad definida por ker (/). Se verifica:
a) x / y <£>/(x) =/(y) = > / « - / ( y ) =0 = > / ( x - y ) =0
<=>x — y € ker (/) <£> x R y.
b) x R y < í > x - y € k e r ( / ) <¡í> / (x - y ) = 0 = > / (x) - f (y) = 0
=í>/(x) = / (y ) <=D> x / y .
53 . PRIMER TEOREMA DE ISOMORFIA.—Sea (63) un homomorfismo arbi-
trario del espacio vectorial V en el espacio vectorial V, ambos definidos so-
bre el mismo cuerpo K. Se verifica que el diagrama:
f
V • V
(65) n\ \i
b
\r¡f ^im / / ,
10
146 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capitulo H]
es conmutativo, en donde n es el epimorfismo natural, b es un isomorfismo e
i es la inmersión definida por i (x7) = x ' para todo x ' € im (f).
DEMOSTRACIÓN.—Supongamos que el teorema es verdad. Sea x un vector
arbitrario de V, se verificará que
(66) f(x)=ibn (x),
pero
(67) n (x) = x + ker (/),
luego
* b n (x) = i b (x + ker (/)) = b (x + ker (/)) = / (x).
Por consiguiente, si se verifica (65) debe ser
(68) b (x + ker (/)) = / (x).
Definiendo b mediante (68) vamos a probar que es un isomorfismo.
a) b es una aplicación. En efecto, está definido en todo el espacio V/f.
Sea x + ker (/) = x' i+ ker (/). Esto implica que x — x' € ker (/), de donde
/(x-sO = 0, /(x)-/(xO =0, /(x) = /(x0
y, en virtud de (65),
b (x + ker (/)) = b (x' + ker (/)).
b) b es un homomorfismo. En efecto:
b [(x + ker (/)) + (y + ker (/))] = b [x + y + ker (/))]=/ (x + y) - / (x) + / (y)
= b [x + ker (/)] + b [y + ker (/)],
y
i> [o (x + ker (/))] = b (o x + ker (/)) = / (a x) = af (x)
= o [6 (x + ker (/))].
c) fc es epimorfismo. Sea x ' € im (/). Esto implica que existe un vector
x de V tal que / (x) = x ' ; por consiguiente,
¿(x + k e r ( / ) ) = / ( x ) = x \
7. HOMOMORFISMO NATURAL. PRIMER TEOREMA DE TSOMORFIA 147
d) b es inyectivo. En efecto,
b (x + ker (f)) = * (y + ker (/)) < = > / ( x ) = / ( y ) = t > / ( x - y ) = 0 <¿> x - y € ker (/)
<£> x + ker (/) = y + ker (/).
De (68) se deduce que
i 6 » (x) = i b (x + ker (/)) = ¿/ (x) = / (x),
luego el diagrama (65) es conmutativo.
DEFINICIÓN 31.—Dos espacios vectoriales se llaman isomorfos cuando exis-
te entre ellos un isomorfismo. Si V y V son isomorfos se escribe:
54. COROLARIO.—Si (63) es un homomorfismo arbitrario, se verifica:
(69) VAer (/) a- im (/).
EJERCICIOS :
315. Sea B = { ux, u3, u3, u4 } una base de V y B' = { u'1( u'2, u'3 } una base de V . Sea
/ el homomorfismo de V en V definido por:
/ (ux) = 3 ^ - u'a, / (u2) = n\ + 2 u'2, / (u3) = 0, / (u4) = 0.
Escribir las ecuaciones de n, b, i, f.
316. Sea B = { u2, u2, u3, u4 } una base de V, B' = {a\, u'2, u's } una base de V y sea
/ el homomorfismo de V en V definido por:
/ (Ul) = u\ + u'2, / (Ují) = 2 u\ -u'2,f (u3) = 3 u ; + 2 u'2, / (u4) = u', + 2 u'2.
Escribir las ecuaciones de n, b, i y /.
317. Sea B = { ux, u. , u3, u4 } una base de V, B ' = { u' l5 u'2, u'3 } una base de V y
sea / el homomorfismo de V en V definido por:
/ (Ul) = 2 u \ - u 2 + u'3, / (u2) = u\+2u'2 - n'3, / (u3) = 3 U ' 1 + u'2,
/ ( u 4 ) = 4 u ' 1 - 7 u ' 2 + 5u'3 .
Escribir las ecuaciones de n, b, i y f.
148 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
55 . Si n es el epimorfismo natural:
V — • V/L ,
se verifica que ker (w) = L, luego la igualdad (61) se puede escribir del
siguiente modo:
(70) dim V = dim (ker (»)) + dim (im (»)).
56. V % V <=£> dim V = dim V.
DEMOSTRACIÓN.—a) = í > . Sea / ; V -> V el isomorfismo de V sobre
V . Por ser / isomorfismo es epimorfismo, esto es, im (/) = V , pero si
B = {uj, ..., Un} es una base de V, se verifica que / ( lO, . . . , / (u») es un
sistema de generadores de V , luego dim V < dim V. Pero como f"1 es un
epimorfismo de V en V, el mismo razonamiento prueba que dim V < V .
b) < — Sean B = fu l f ..., un} y B' = {u^, ..., u'«} bases de V y V ,
respectivamente. Consideremos el homomorfismo: / ( u j = u^, . . . , / (u„)
= un. Este homomorfismo es epimorfismo. Además es inyectivo, pues si
/ (x) = / (y), sería / (x - - y) •= O, o bien
(*x - yx) u\ + ... + (xn - yn) U'n = 0,
y, por ser B' una base, resulta xx — y1 — ... = xn—yn = 0.
57. Si V—*• V es un homomorfismo arbitrario, se verifica que
(71) dim V = dim {ker (f)) + dim {im (f).
DEMOSTRACIÓN.—Del primer teorema de isomorfía se deduce que
dim (im (/)) = dim (V/ker (/)),
y, en virtud de 55,
dim (V) = dim (ker (n)) + dim (V/ker (/)),
y de estas dos relaciones resulta (63), ya que ker (n) = ker (f).
8. OPERACIONES CON HOMOMORFISMOS 149
8. Operaciones con homomorfismos. A) HOM (V, V').—Se representa
por Hom (V, V ) al conjunto formado por todos los homomorfismos de V en
V , siendo V y V espacios vectoriales arbitrarios definidos sobre el mismo
cuerpo.
DEFINICIÓN 32.—Adición en Hom, (V, VJ). Sean /, g dos homomorfismos
arbitrarios de V en V , se llama suma, y se representa por / + g a la siguien-
te aplicación de V en V :
(72) (f+g)(x)=f(x)'+g(x), Vx€V.
Se llama producto del número a de K por el liomomorfismo i de Hom (V, V),
y se representa por a f, a la aplicación de V en V":
(73) a / (x) = a [/ (x)]
EJERCICIOS :
318. Sean B = { ux , u„ }, B' = { u\, \x\ }, bases de V y V . Sean / y g homomorfismos de
Hom (V V ) , definidos del siguiente modo: / (ux) = 8 u\ + u',2, f (u2) = 4 u ' t + 3 u'2 ;
g (ux) = — 5 u ' j + 2 u'2, g (u2) = 4 u'j + 2 u'2.. Calcular las ecuaciones de f + g y de 6 / .
58. El conjunto Hom (V, V), respecto de las definiciones (72) y (73),
es un espacio vectorial.
DEMOSTRACIÓN.—a) La suma de dos homomorfismos es otro homomor-
fismo. En efecto:
(/ + g) (x + y) = / (x + y) + g (x + y) = (/ (x) + g (x)) + (/ (y) + g (y))
= (/ + £ ) « + (/ + g) (y).
(/ + g)(ax) = f (a x) + g(ax) = af(x) + ag (x) = a [f (x) + g (x)]
= <*[(/ + g) (x)].
b) El producto de un elemento a de K por un homomorfismo es un homo-
morfismo.
(o /) (X + y) = a [/ (x + y)] = a [/ (x) + / (y)] = a [/ (x)] + a [f (y)]
= af(x) + af (y).
(a /) (bx) = a [/ (b x)] =a[bf (x)] = [a b) [/ (x)] = (6 a) [f (x)]
= b[a(f(xm = b[af(x)].
150 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II}
c) Asociatividad.
W + g) + *] (x) - (f + g)(x) + h(x) =[/(x) + *<*)] + h(x) = /(x) + lg(x) + *(x)]
= /(x) +<* + *)(x) - [ / + (* + A)l (x).
d) Conmutatividad.
{t + g) (x) = / (x) + g (x) = g (x) + / (x) = (g + f) (x).
e) Elemento neutro. Sea 0 la correspondencia de V en V tal que, para
todo x € V se verifica que 0 (x) = 0. Esta correspondencia es una aplica-
ción. Es un homomorfismo:
0(x + y) = 0 = 0 + 0 = 0 (x) + 0 (y).
0(ax) =0 = a0 = o[0(x)].
El homomorfismo 0 es el elemento neutro de la adición:
(/ + 0) (x) = / (x) + 0 (x) = / (x) + 0 = / (x).
f) Elemento opuesto. Si / es un homomorfismo de V en V se verifica que
g (x) = — [/ (x)] es un homomorfismo. Desde luego, g (x)es una aplicación.
Además:
g{x + y) = - [/(x + y)] = - [/(x) + /(y)] = - [/(x)] + [-(/(y))]
¿T(«x) = -[/(<» x)] =-[<*/(x)] =o[ - ( / (x ) ) ] =ag(x).
El homomorfismo g (x) es el opuesto al / (x), ya que
U + g) (x) - f{x) + g (x) = /(x) + [-(/(x))] = 0 = 0(x).
Al homomorfismo g se le representa p o r — / . :
- / ( x ) = - [ / ( x ) ] .
g) a(f + g) = af + ag.
[a (f + g)1 (x) =o[(f + g) (x)] = o [/ (x) + g (x)] = a [/ (x)] + a [g (x)]
» a / ( x ) + a ; ( i ) = [a/ + a f ] (x).
8. OPERACIONES CON HOMOMORFISMOS 151
h) (a+ b)f= af + bf.
C(0 + b)f] (x) = (a+b) [/(*)] = a [/(*)] +M/(x)] = o/(x) + */(x)
= ( « / + * / ) ( « ) •
i ) (ab)f=a (b f).
i(a b) f\ (x) = (a ¿) [/ (x)] = a [b (f (x))] = a [b f (x)] = a (¿ /) (x).
j ) 1. / • = / .
( l . / ) x ) = l [ / ( x ) ] = / ( x ) .
59. dim (Hom (V, V)) •= rf¿m (F) . d¿m (F ) -
DEMOSTRACIÓN.—Sean B = {ux, ..., u„} y B ' = {u\, ..., u'm} bases de V
y V , respectivamente. Consideremos los homomorfismos ft¡ definidos del si-
guiente modo:
<74) ftj (ux) = 0, ..., fu (uf) = u'y, .... ft] (un) = 0 , i = 1, ..., n ; / = 1, .... m.
Sea / un homomorfismo arbitrario :
*(75) / (u() = * ( 1 u ; + ... + xim n'm, i = 1, ..., n.
De (74) y (75) se deduce:
/ («/) = K x Ai + - + *tx Ai + - + *»i Ai) (»i) + - + (*!» A» + - + * » A*
+ - + Xnm fnJ («<) = [C*u Al + - + XH Ai + - + *»i A*) + - + (*x« Am + • ••
+ *im Am + - + Xnm A J ] («i). *" = *» •••» W>
<ie donde
(76) / = (*u Ax + - + *4l Ai + - + *m /»i) + -
+ ^ i m Am + ••• + Xim Um + "• + Xnm Am)-
La expresión (76) prueba que el conjunto
\f*j \i=\ n
es un sistema de generadores de Hom (V, V')-
152 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
El sistema de generadores
\fij \i = í,...,H
es una base de Hom (V, V"). En efecto, supongamos que existiese una com-
binación lineal de la forma:
(77) (au flx + ... + ati fn + ... + ani /ni) + ...
+ (° 1 M / « ! + ••• +
atm fim + ••• + anmtnm) = °>
en donde el cero del último miembro es el homomorfismo cero. Aplicando (77)
a uj, resultaría:
ailu\ + ... + aímu'm = 0,
de donde atl = ... = aim = 0, i = 1, ..., n, luego los homomorfismos
\fij \ ,- = 1, ...,„
j = 1, ..., m
son linealmente independientes, luego forman una base de Hom (V, V ) . Su
número es n x m.
B) MULTIPLICACIÓN DE HOMOMORFISMOS.—Siendo los homomorfismos
aplicaciones, se puede definir el producto de homomorfismos como producto
de aplicaciones:
í / *
\ V • V , V > V",
(78) \
[ V • V", gf(x) = g[f(x)].
EJERCICIO :
319. Sea B = { u l } u 2 } una base de V, B' =•-{ u ' , u '2 } una base de V , B" = { vi'., u"a J
una base de V". Sean / y g los homomorfismos definidos por / (u ) = 6 u ' — 5 u 'L / (u )
= 2 u ' , + u'2 ; g (u\) = u '^ + 3 u"2 , g (u'2) = 4 u '^ + 7 u"2 . Hallar las ecuaciones del ho-
momorfismo g f.
60. La multiplicación de homomorfismos es asociativa. Dado el homo-
morfismo í de V en V existen los homomorfismos l v de V en V y 1^ de V"
y
en V tales, que f lv = f, 1V' f = f. El producto de dos homomorfismos es
otro homomorfismo.
8. OPERACIONES CON HOMOMORFISMOS 153
DEMOSTRACIÓN.—Siendo asociativo el producto de aplicaciones lo es el de
homomorfismos. La correspondencia lv definida por
lv(x)=--x, V x € V
es un homomorfismo, ya que
l v (x + y) = x + y = l v íx) + lv(y)
l v ( ox ) - ax = a [ l v ( x ) ] .
Se verifica que
/ l v (x) = / ' [ l v (x)] =/(x), Vx6V.
Análogamente se define 1T>.
Sea / un homomorfismo de V en V y ^ un homomorfismo de V en V".
gf (x + y) = g [/ (x + y)] = g [/ (x) + / (y)] = g [/ (x)] + g[f (y)]
= g t (x) + g f (y)
gf (« x) = g [f (a x)] = g [a / (x)] = * [ * ( / (x))] = a [ ¿ / (x)] .
C) END. (V).—Se llama endomorfismo a un homomorfismo de un espacio
vectorial en sí mismo. Al conjunto de todos los endomorfismos de V se le
representa por End. (V).
6 1 . End. (V) es un anillo con elemento unidad.
DEMOSTRACIÓN.—En virtud de 58 se verifica que End. (V) es un grupo
abeliano. En virtud de 59 la multiplicación es asociativa y posee elemento
unidad, l v , por la derecha y por la izquierda. Queda únicamente por probar
la distributividad.
íh (/ + g)l (x) - h [(/ + g) (x)] = h [f (x) + g (x)] = h [/ (X)] + h [g (x)]
= h t (x) + h g (x) = (h f + h g) (x), V x € V.
DEFINICIÓN 33.—Un anillo que además es espacio vectorial se llama un
álgebra.
62. End. (V) es un álgebra con elemento unidad.
Es consecuencia de 60 y 58.
154 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo I I ]
EJERCICIOS :
320. Sea / un endomorfismo de End. (V) y sea G - {fr } r 6 z„, siendo Z° el conjunto
•de todos los enteros no negativos. Sea L (/) = L (G) el conjunto de todas las combinacio-
nes lineales de elementos de G. Probar que L (/) es un álgebra respecto de las operacio-
nes de End. (V), por lo que se dice que L (/) es una subálgebra de End. (V).
321. Sea B = { u , u } una base de V. Sean / , , i = 1, 2, 3, 4, los endomorfismos de V
•definidos por :
fx (ux) = Uj, f1 (u2) = 0 ; /3 (Uj) = 0, / 3 ^¡j.) = u x ;
fa (ux) = u2 , fa (u2) = 0 ; /4 (ux) = 0, / 4 (u2) = u2 .
Demostrar que ft, i = 1, 2, 3, 4, es una base del espacio vectorial End. (V) y construir la
tabla de multiplicar correspondiente a la base.
D) G L (V).—Se llama automorfismo de un espacio vectorial sobre si
mismo a un endomorfismo que sea isomorfismo. Al conjunto de todos los
automorfismos de un espacio vectorial se le llama grupo lineal general del
espacio vectorial y se representa por G L (V).
63 . G L (V) es un grupo multiplicativo.
DEMOSTRACIÓN.—a) El producto de dos automorfismos es otro automor-
fismo. Se ha visto (60) que el producto de endomorfismos es otro endomor-
fismo. Sean f y g automorfismos de V. g f es inyectivo. En efecto,
£/(x) = gf(y)=> /(x) = / ( y ) = > x = y.
¿ • / e s epimorfismo. En efecto, dado x existe y tal que / (y) = x y existe z
tal que g (z) = y.
b) Si / es un automorfismo y f~l es la correspondencia inversa, se veri-
fica que /_ 1 es una aplicación y
t~l (x + y) = /-1 (x) + /-i (y) <¿> t [/-* (x + y)] - / [/-1 (x) + M (y)]
<£> x + y = / / - 1 (x) + ff~l (y) = x + y.
t-1 (ax) = a f-i (x) < £ > / [/-i (a x)] = / (a / - i (x)]
< £ > o x = a / / - i (x) = a x.
c) f~l es inyectivo y suprayectivo.
d) / / - 1 = //-i = i T .
9. ESPACIO DUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL 155
9. Espacio dual de un espacio vectorial.
DEFINICIÓN 34.—Se llama espacio dual de un espacio vectorial V al espa-
cio vectorial de los homomorfismos de V en un espacio Vx de dimensión uno.
Al espacio dual de V lo designaremos por V*. Por consiguiente,
V* = Hom (V, Vj).
A los vectores de V1* los representaremos por letras negritas, con asterisco.
64 . Si B = {ulf ..., un} es una base de V y {u} una base de Vx, se veri-
fica que los vectores:
(79) Uj* (Ul) = 0, ..., u,* (u,) = u, .... u¿* (un) =0, i = 1, .... n,
son una base de V*, llamada base dual de la base B de V. El espacio dual de
mn espacio vectorial tiene la misma dimensión que él.
DEMOSTRACIÓN.—Este teorema es un caso particular de 59 .
A la imagen del vector x mediante el homomorfismo x* de V* la represen-
tamos por x* x, en lugar de x* (x).
Entre los vectores de V y los de V* se puede definir una relación, llamada
ortogonalidad, del siguiente modo : el vector x* de V* se llama ortogonal
al vector x de V cuando:
(80) x* x = 0.
Por consiguiente: x* ortogonal a x < = > x € ker (x*). Como el núcleo de
un homomorfismo es una variedad lineal, resulta que: El conjunto de todos los
vectores de V* ortogonales a un vector dado x es una variedad lineal, que
representamos por <o (x).
Recordando que los vectores de V* son homomorfismos de V en V1( así
como las operaciones con homomorfismos, resultan las siguientes relaciones:
j t. x*(x + y) = x* x + x*y, II. x*(ax) =o(x*x)
( } j III. (x* + y*) x = x* x + y* x. IV. (o x*) x = a (x* x).
65 . SiE es un conjunto de vectores de V y L (E) la variedad lineal en-
gendrada por E, se verifica que
(82) « ( £ ) = « (L (£)), o» (£) = { x * | x* x = 0. V X € E }
es unavariedad lineal de V*.
156 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEMOSTRACIÓN.—a) Es evidente que o (L (E)) c= <o (E). Sea x* € co (E) y
sea x un vector arbitrario de L (E), será:
X = a j X l + ... + Ü J X J ; X i , . . . , x s € E,
luego
X* X = x* (ai xx + ... + as xs) = ai (x* xy) + ... + os (x* x s) = 0.
b) x*, y* € (o (E) =^> x* x = 0, y* x = 0 = > x* x — y* x = 0'
= > (x* — y*) x = 0, para todo x € E, luego x* — y* € u> (E).
c) x* € a) (E) = > x* x = 0 => a (x* x) = 0 => (a x*) x = 0 ,
Y a É K y V x í E = > a x* € <o (E).
El vector x de V se llama ortogonal al vector x* de V* cuando x* x = 0.
Si E* es un conjunto de vectores de V* y L (E*) es la variedad lineal engen-
drada por E*, y si OÍ (E*) y <o (L (E*)) representan los conjuntos de todos
los vectores de V ortogonales a todos los vectores de E* y de L (E*), res-
pectivamente, se verifica que
(83) «o (E*) = co (L (£*))
es una variedad lineal de V. La demostración es totalmente análoga a la an-
terior.
La variedad OÍ (L) formada por todos los vectores de V* ortogonales a
todos los vectores la variedad lineal L, se llama variedad ortogonal a la va-
riedad L. Análogamente, w (L*) es la variedad de V ortogonal a la varie-
dad L* de V*.
EJERCICIOS :
322. Sea B = { u 1 , U 2 , U3 } una base de V y B* = {u*x , u*9, u*3 } la. base dual de
V*. Hallar w { a. b . c }. siendo a = u5 — u 3 — u3 , b = 2 Uj + xx2 — u3 , c = ux + 2 u2 .
323. Comprobar, con los datos del ejercicio anterior, que w { a, b , c } = <o (L { a, b , c }).
324. Con los datos del ejercicio 322, probar que x € L { a, b , c } <=í> (—2u* + u*
- 3 u*3) x - 0.
325. Si B = { u , u„ u„, u , } es una base de V y B* = { u * , u * , u * . u* } la base
dual, calcular u> (L), siendo L la variedad lineal:
*x= X~2¡¿
, x = B\+ ¡i
(84) { 2
*3 = 2 A + 5 ju
x = — X + fi
9. ESPACIO DUAL DE UN ESPACIO VECTORIAL 157
326. Comprobar que x € L> x = xx ux + x2 u 2 + x% u 3 + x^ u4 < í > x es solución del
•sistema:
1 9
x + — x + — x = 0 , 1 7 3 7 4
(85)
/ x - . ,
7 a 7 4
Siendo L la variedad lineal del ejercicio anterior
/ x _ 1 * + ü , = 0.
66. S¿ £ ¿"Í un conjunto de vectores de V que dependen linealmente del
conjunto de vectores EJ', se verifica que
(86) <Ü ( £ ) = ÜÍ (£ ' ) •
La demostración es la misma que la de 65 a).
En virtud de 66, para hallar w (E) siendo E un conjunto arbitrario de vec-
tores, se puede sustituir E por un subconjunto E' cz E formado por vectores
linealmente independientes.
67. Si B = {ulf ..., un} y 5 * = {u*15 ..., u*n} son dos bases duales de
V y V*, respectivamente, y si E = {a1? ..., a m }, &i = au ux + ... + ain ua,
i = 1, ...,m. es un conjunto de vectores de V y x* = x*, u*j + ... + x*n u*n
un vector de V*, se verifica que
(87) x* € «o (E) <=> '
a x* + ... + a x* = 0 .
mi i ~ ' mn n
Por esta razón se dice que (87) son las ecuaciones implícitas de w (E). Si
"los vectores de 'E son linealmente independientes se dice que las ecuaciones
son linealmente independientes, y si los vectores E son linealmente depen-
dientes se dice que las ecuaciones (87) son linealmente dependientes.
DEMOSTRACIÓN.
X* 6 « (E) < = > x* a, = 0 , i = 1, ..., m < = > ati x*i + ... + ain x \ = 0. i = 1. ..., m.
De 67 y 66 se deduce que todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales
es equivalente a otro sistema de ecuaciones linealmente independientes, lla-
mado subsistema principal del sistema dado.
A las ecuaciones de una variedad lineal consideradas hasta ahora las de-
nominaremos ecuaciones explícitas o paramétricas de la variedad lineal. Para
158 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
obtener las ecuaciones explícitas de la variedad lineal <o (L) dada por sus ecua-
ciones implícitas basta resolver el sistema (87). Más adelante nos ocuparemos
de este problema.
68. Si L es una variedad lineal arbitraria de V, se verifica Lc<o(o>(L)).
En efecto, x € L = > x* x = 0 V x* € co (L), luego x € a> (w (L)). Se po-
dría demostrar ahora que L = -o (<o (L)), pero dejamos esta demostración
para otro lugar.
10. Producto tensorial de vectores. Tensores.—Sean V1 y V2 dos es-
pacios vectoriales con el mismo cuerpo base K. Sea Vx x V2 el conjunto
producto de los conjuntos V1 y V2. A los vectores de V^ los representaremos
por la letra x y a los de V2 por la letra y. Representamos por V el conjunto
de todas las expresiones de la siguiente forma:
(88) a, (Xl, yx) + ... + an (xn, yj, a, <= K, (x,, y,) í V 1 x V ; , ¡ = 1, .... n.
En V se define una adición del siguiente modo:
C°I (*!' *l) + - + °n (*»• y«)] + [í\ (XV y',) + - + bm (X'm, y ' J ]
(89) = [b1 (x\, y\) -*- ... + bm (x-m, y ' J ] + [^ (xv y¿ + ... + an (xn, y j ]
= oa (Xi, yx) + ... + an (xn, yn) + &1 (x^, y',) + - + &m (x^, y ' J .
Además, se verifica que
[o (Xl, y>) + ... + an (xn, yn)] + [0 (x\, y\) + ... + 0 (*-,, y',)]
(90)
= [o1(x1,y1) + - + on(xn,yn,)].
Se define también una multiplicación por números de K del siguiente modo
(91) * [o, (xlf yx) + ... + ow (xn, yfl)] = (* a,) (Xl, yx) + ... + (* an) (xn, yn)
verificándose:
(92) (o + fc) (x, y) = o (x, y) + ft (x, y)
(93) 1 (*, y) = (x, y).
69. El conjunto V con las operaciones de adición y multiplicación por
números definidas por (89), (90), (91), (92) y (93) es un espacio vecto-
rial sobre K.
10. PRODUCTO TENSORIAL DE VECTORES. TENSORES 15<>
DEMOSTRACIÓN.—a) Asoáaüvidad.
[[o, (Xl, yj + ... + am (xm, yj] + [*1 (x
/
1, y\) + ... + bn (x'n, y ' J ] ]
+ K (x'V y'V + ••• + cp (x",, y",)]
Hf) ' K (xi ' yi) + ••• + am (xm> y«) + h (*V y'i) + - + K (*'„. y'n)]
-f [c, (x'V y",) + ... + cp (x"p, y"„)]
(|§j °i (xi> yi) + - + am (xm, y„) + ^ (xV yV + - + *„ (x'n, y'n)
+ ci Wi> y'V + ••• + '* (x'V y%)
(isj t o i (xi> y i } + - + ° * ( x * ' y»")3 + [¿>i ( x V y'i} + - + bn (x'»> y'n)
+ c i (x"i» y'V + ••• + C Í (x'V y"„)3
(=) c°i ( x i- y i } + - + ° » ( x « ' ym)] + [£&i (*V yV + - + bn (x'n- y'n)3
+ [', (x"x, y"a) + ... + ^(x",,, y%)]].
b) Conmutatividad. Está postulada en (89).
c) Elemento neutro. Está postulado en (90).
d) Ar [(0i (xx, yj + ... + aw (xm, ym)) + (^ (x',, y'x) + ... + bn (x'n, y'J)]
p l * [0i ( x i ' y i } + - + a« ( x«' y«) + &i ( xV y V + - + ** (x'~' y'n)]-
jgj (* 0X) (xx, yx) + - + (k aj (xM, yw) + (k bj (x\, y'x) + . . . + ( * bn) &n, y'J.
H=; t(¿ ^ ) (xx, yx) + ... + {k aj (xm> ym)] + í(k bj (¿lt y\) + ... + bn (x'n, y'„)].
^ * [»! (xx, yr) + - + am (xM, y j ] + ¿ [bl (x^, y\) + ... + bn (x'n, y'n)].
e) [k + h) [ox (Xl, yj + ... + om (Xm, y j ] = [(é + h) aj\ (Xl, yx) + ...
+ í(k + h) aM] (Xfn, ym) = (* ̂ + h aj (xx, yj + ... + í¿ am + ft a j (xm, ym)
m [(* «x) (x,, yx) + (A ax) (Xl,yx)] + ... + [(* aj (xM, ym) + (/» yj]«
= (A' o,) (x2, yx) + (/Í a,) (Xj, yx) + .- + (* a j (xm, ym) + (/» a j (xm, y j .
^ = ^ [(* «x) (xx, y,) + - + (k aj (xm, yw)] + [(A o,) (xlf yx) + ... + (h aj (x^, y j ] -
(91y
* [o, (xx, yx) + ... + am (xm, y j ] + h [ax (xx, yx) + ... + am (xm, y j ] .
0 (A *) [«! (x,, yx) + ... + an (xw, y j ]
== [(* *) ax] (xx, yx) + ... + [(A k) am1 (xm, yM) = [A (* a^] (xx, yx) +
+ [A (¿ a j ] (xm, ym7. === A [(é aj (xv yj + ... + (k aj (xM, y j ] ,
== A [* [ox (Xl, yj + - + am (xm, ym)]].
160 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo IIj
g ) l [ a i ( x 1 , y 1 ) + ... + a m ( x w , y m ) ]
= } (1 • <\) (x,. y,) + - + (1 • aj (xm, ym) = ai (xv yx) + ... + am (xOT, ym).
h) Elemento opuesto. Dado el elemento de V :
«, (x,, y,) 4- •. • -̂ a», ¡xm, y mi-
se verifica que:
C°i <xi' *0 + •- + am (*«» y».)] + t ( - a!) (*!> yx) + ... 4- ( - am) (xm, y j ] .
p i °i ^xi' yi) + - + 0 * (xm> y«) + (— ai) (xi> yi) + - + (— O (xm- y j -
^ 7 ^ [<*! (xi; yx) + (— ox) (Xl.yx)] + ... 4- [am (xM> y j + (— oM) (xM, ym)].
_ [fli + (__ 0i)] (Xi, Yi) + ... + [0fK + ( - om)](xm, y j - 0 (Xl, y,) + ••• -r 0 (xw, ym).
Sea H el conjunto de todos los elementos del espacio vectorial V de las
siguientes formas:
(94) (x, + x2, y) - (Xl, y) - (x2, y).
(95) (x, yx 4- y2) - (x, y,) -(x, y2).
(96) (a x, y) — a (x, y), (x, a y) — o (x, y).
y sea L = L (H) la variedad lineal de V engendrada por H.
DEFINICIÓN 35.—Se llama producto tensorial del espacio vectorial V\ por el
espacio vectorial V2, y se representa por V1 (x) V2, al espacio vectorial co-
ciente de V módulo L :
V ! ® Vz = V/L.
A la clase (x, y) 4- L se le representa por x 0 y, y se llama producto ten-
sorial del vector x de Vx por el vector y de V2.
EJERCICIOS :
327. Demostrar: a) (xx + x a ) 0 y = x x (g)y + x 2 0 y . b) x ® ( y \ 4- y2) = x(g>yx + x
0 y 2 -
c) ( a x ) ® y = a ( x ® y ) - x ® ( a y ) . d) 0(g)y = 0, siendo el 0 del último miembro
el vector cero de V ® V .
328. Si B = { u , , u , } es una base de V, hallar un sistema de generadores de V 0 V
formado por cuatro vectores.
329. Si V es el espacio vectorial del ejercicio anterior, y si a (u, ® u ) 4- o (u ® u )
4- a (u, 0 u ) 4- a9 , (u. ® u j es un tensor de V ® V , cuyas coordenadas respecto de la
base { u . u , } de V son a.., calcular las coordenadas de este tensor respecto de la base
B' = { v a , v , }, siendo ux = 2 vx 4- 5 v2 , u„ = — va 4- 3 v2-
10. PRODUCTO TENSORIAL DE VECTORES. TENSORES 161
DEFINICIÓN 36.—Una aplicación / de Vx x V3 en K se llama bilineal cuan-
do se verifican las siguientes condiciones :
(97) / (x1 + x2, y) = f (xv y) + / (x2, y).
(98) / (x, y, + y3) = / (x, yx) + / (x, y2).
<»») / (a x, y) = / (x, a y) = a / <x, y).
EJERCICIO :
330. Comprobar que la aplicación / (x, y) = 3 x y + 5 x y — 7 x y + 4 x y es bi-
lineal.
70. Existe una correspondencia biunívoca entre las aplicaciones bilineales
de Vx x V2 en K y los homorfismos de V\ (g) V2 en K.
DEMOSTRACIÓN.—Sea n el homorfismo natural:
V J i > V/L (H) = Va 0 V2
y sea N la restricción de n al subconjunto Yx x V2 de V.
N es una aplicación bilineal de Vx x V2 en Vx Cg) V2. Por ser N la res-
tricción de una aplicación, es una aplicación. Además, por ser N restricción
del homorfismo n, siendo L (H) el subespacio engendrado por las expresiones
(9á), (95) y (96), resulta:
(100) N (X¡ + x2, y) = (x, + x2, y) + L = [(x^ y) + L] + [(x2, y) + H
= N(Xl ,y) + N(x2,y).
(101) N <x, yx + ya) = (x, yx + y2) + L == [(x, yx) + L] + [(x, y2) + L]
= N (x, 7l) + N (x, y2).
(102) N (o x, y) = (a x, y) + L = a (x, y) + L = a [(x, y) + OL]
= a N (x, y) = N (x, a y)
a) Sea g un homorfismo arbitrario de Va (g) V2 en K :
V'i X V2 K
N
1
v,(8>v2
11
162 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo III
Sea / = g N. Se verifica que f es una aplicación bilineal de Vx x V? en
K. En efecto, recordando que acabamos de probar que N es una aplicación
bilineal, resulta:
/ (x, + x2, y) = g N (xx + x2, y) = g [X (x,, y) + N (x2, y)]
= S (N (Xj, y)) + g (N (x2, y)) = g N (xx, y) + g N (x2, y)
- / (xlfy) + / (x2, y).
/ (x.-yj + y2) = g N (x. y i + y2.) === g [N (x, y,) + N (x, y2)]
= g [N (x, y,)] J- * [N (x, y2.)] = / (x, yx) + / (x, y,).
/ O x, y) = g N (a x, y) = g [a N (x, y)] = a £ [N (x, y)] = o / (x, y).
Por consiguiente, a cada homorfismo g le corresponde una única aplica-
ción bilineal / tal que / = | N .
b) Sea / una aplicación bilineal arbitraria y vamos a ver que existe un
único homorfismo g de V^ (g) V2 en K tal que / = g N.
En efecto, si existe g será:
/ (x, y) = ^ (N (x, y)) = g (x <g)y)
luego definiremos una correspondencia g de Vx (g) V2 en K del siguiente
modo:
l) £ ( x ® y ) = /(x,y).
9 5 2 a, (x, 0 y,) = 2 a, * (x, <g) yt).
Veamos que g es un homorfismo. 1) g es una aplicación. Sea
2 o, .(x, (8) y() = 2 6, (r-, <g) y',),
esto es equivalente a que
2 a, (x„ y,) - 2 bt (x'r y\) € L (H),
esto es :
2 a, (Xj, y¡) - 2 6, (xV y t) = 2 c [(x"1 + x"2, y") - (x'\, y") - (x"2, y")]
+ 2 d [(x*. y\ + y%) - (x*, y*a) - (x*, y%)] + 2 e [(a x**, y**) — a (x**, y**)],
de donde, teniendo en cuenta que / es una aplicación bilineal:
g [2 at (xf <g) y,) - 2 bt (x't (g)/,)] = 2 c [/ (x^ + x"2, y") - / (x"lf y) - / (x"2, y")]
+ 2 d [/ (x», y*, + y*2) - / (x*. y\) - f (x*, y*2.)] + 2 e [/ (a x**, y*') - a / (x*
#, y**)] = 0.
10. PRODUCTO TENSORIAL DE VECTORES. TENSORES 163
2) g es homorfismo. Es consecuencia inmediata de la definición 1) y
2) de g.
3) g es único, puesto que si existiese otro h se tendría que verificar la
condición 1), esto es, h (x <g) y) = / (x, y) y como x (g) y forman un sistema
de generadores de Vx (g) V2, al coincidir g y h en un sistema de generadores
coinciden en todo Vj (g> V2.
7 1 . -S^a (J7! (g) F2)* d espacio vectorial dual del espacio Vx <g) V2. Se ve-
rifica que
(103) dim (Vx (g) V^)* > dim (Vx) . dun (Va).
D E M O S T R A C I Ó N . — E n virtud de 7 0 , para definir un homorfismo de V j <g) V a
en K basta definir una aplicación bilineal de V1 x V 3 en K . Consideremos
las aplicaciones bil ineales:
(104) A/Cu^v^.^VJ
8JJt = 1, i = k; 8t)e = 0, i¡ :£ *
SJt = 1, ; = l; S„ = 0, / * l,
siendo B = {ult ..., u») una base de V\ y B' = {vx, ..., vw} una base de Vz.
Sea gij el homorfismo de Vx (g) V , en K correspondiente a ftJ, esto es, tal
que fij = gu N. Los homorfismos £ t / son linealmente independientes, pues
si existiese una relación de la forma:
(105) 2 atJ gi} = 0,
siendo el cero del segundo miembro (105) el homorfismo cero, sería:
(106) (2 atJ gt]) N = 2 a ( / {gt¡ N) = S at¡ ftJ = 0,
en donde el cero del último miembro sería la aplicación bilineal que trans-
forma todo par (x, y) en el número cero. Aplicando (106) al par (u*, Vi), se
obtiene:
£ au tu («*' •!> = °kl = °'
y como esto es cierto para cualquier k y cualquier /, 1 < k < n, 1 < / < m,
queda probado que los g4J son linealmente independientes. Como su número
es igual a n x ra = dim (Vx) . dim (V2), queda probado (103).
72.
<107) dim (V (g) V2) = dim (V (g) VJ* = dim (V ) . dim (V ).
164 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEMOSTRACIÓN.—Sean B = {ui, ..., u»} y B ' = {vlt ..., v«} bases de Vx
y Vs , respectivamente. Recordando que el conjunto {x 0 y}x«v,
e s i m sis-
y e V,
tema de generadores de Vx 0 V2, cualquier subconjunto B* tal que todo
vector de {x 0 y } x . , v , dependa linealmente de los vectores de B* será tam-
yev2
bien un sistema de generadores de Vi 0 V2. Ahora bien, si
x = xi ux + ... + xn un> y = yx U l + ... + ym vM,
se verifica que
(lü«) x Jg> y = *x y, (ux (g) YX) + ... + x* ym (un (g) v j
(108) prueba que B* = {ux 0 vx, Uj (g) va, ..., urt 0 vm} es un sistema de ge-
neradores de Vi (g) V2, y como el número de elementos de B* es n m, resul-
ta que
dim (yi (g) V2) < dim (Vx) . dim (V,2),
pero como dim (Vx (g) V2) = dim (V1 0 V2)*, resulta, teniendo en cuenta
(103), que
dim (Vx 0 VJ > dim (V,) . dim (V,),
luego queda probado (107).
De 72 se deduce como corolario inmediato:
73 . Si Z?i = {ui, ..., un} y B2 = {v15 ..., vm} son bases de Vx y V2, res-
pectivamente, resulta que
(109) B* = { U l 0 V l , .... U l 0 ym, .... u„ 0 vx un 0 vm }.
es una base de Vx 0 F 2 , llamada producto tensorial de las bases Bx y B2.
De 73 se deduce que un elemento arbitrario de V ^ V2 se podrá expre-
sar, de modo único, mediante la base (109) en la forma:
(110) a n (u, 0 v,) + ... + aim (U l 0 uw) + ... + ani (u„ 0 vx) + ... + anm (un 0 yj
por lo que a los números al}, i = 1, ..., n, j — 1, .... m, se les llama coor-
denadas del elemento considerado.
Sean Bx = {ux, ..., u„} y B'x = {u'i, ..., u'n} dos bases de Vx y
Ba = {vx, ..., vm} y B'2 = {v'j, ..., v'w} dos bases de V2. Sea B* la base
producto tensorial de Bx y B2 y B*' la base producto tensorial de B\ y B'2.
Sean Xu las coordenadas de un elemento de Ví 0 V2 respecto de B* e yiy las
coordenadas del mismo elemento respecto de B'*. Se desea hallar las relacio-
nes existentes entre las xtj y las yí;-.
10. PRODUCTO TENSORIAL DE VECTORES. TENSORES 165
Sean
( 1 1 1 ) i
U¿ = °ii "\ + - + ain «'n> ' - 1. - . "
'/ yi = bn v ' i + •- + bm v » . ;' = 1, ....»».
las relaciones entre las dos bases. De
•j i,k ik i j '
= 2 Z 2 J » °«¡ b* (u'< ®v'^" 2 ( 2 ** °«*>*)(u'<® v''}'
resulta que
(112) 3-,,= 2 **°«>«
que son las fórmulas de cambio de base.
La definición 35 se extiende a cualquier número finito de espacios
vectoriales. Si Vx, ..., V r son r espacios vectoriales sobre el mismo
cuerpo K, se forma el producto conjuntista V\ x V2 x ... x V r de estos es-
pacios y se considera el conjunto V de todas las formas lineales:
«j (x1? .... x r) + ... + as (zv .... z r ) . at € K, (X l , ..., x r ) , ... € \ \ x ... x V r .
El conjunto V es un espacio vectorial respecto de las definiciones análogas
a las (89), (90), (91), (92) y (93). Se llama H al subespacio vectorial engen-
drado por todas las formas lineales de uno de los siguientes tipos:
I (XX, -.., X, + x,', .... xr) — (Xj, .... x,, ..., xr) — (Xj, ..., x/, ..., xr) (Xj, .... a x¡, ..., xr) — o (Xj, ..., x,, ..., xr),
DEFINICIÓN 37.—Al espacio V / H se le llama producto tensorial de los
espacios V,, ..., V r y se representa por
V/H = V l ( g) . . .®V r ,
y se escribe
(xi; xa, ..., xr) i- H = Xj <g) x2 (g) . . . <g) xr.
166 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II1,
Como Vx 0 ... 0 V,- es un espacio vectorial, se podrá multiplicar tenso-
rialmente por el espacio vectorial Vr^ 0 ... 0 Vi. El producto tensorial de
estos dos espacios se representa por
( V 1 0 . . . 0 V r ) 0 ( V r + 1 0 . . . 0 V , ) .
Ahora bien, se puede, por otra parte, efectuar el producto tensorial de
los espacios Vx, ..., V,-, Vr+1, •••, V f , y se obtiene el espacio:
V , 0 . . . 0 V r 0 V , - + 1 0 . . . 0 V , .
Se verifica que estos dos espacios son isomorfos, por lo que pueden iden-
tificarse :
(V, 0 . . . 0 Vr) 0 (Vr + 1 0 . . . 0 V,) = V, 0 . . . 0 Vr 0 Vr + 1 0 . . . 0 V„
esto implica que puede escribirse:
(x, 0 . . . 0 Xr) 0 (xr+1 0 . . . 0 Xs) = Xj 0 . . . 0 xr 0 x r + , 0 . . . 0 x„
lo que puede considerarse como una ley asociativa.
DEFINICIÓN 38.—Dado un espacio vectorial V y su dual V*, cosideremos
el espacio vectorial:
(r (s
V, = V 0 . . . 0V 0 V* 0 . . . 0 V*,
a los elementos de V f se les llama tensores, r se llama orden de contrava-
riancia y Í orden de covariancia. x\ las coordenadas de los tensores de V f las
representaremos por
' l i - i ' r
X •
Ji . •••,JS
de modo que, si B = {ux, ..., uw} es una base de V y B* = {a*x, ..., u*„} es
la base dual de V*, un tensor de orden de contravariancia r y de orden de
covariancia s, vendrá dado por una expresión de la forma:
(113) 21X1'.'.'.JS
(u ' i ® ' • * ® u'> 0 U*A ® • • • ® u*j)'
en donde la suma está extendida a todas las combinaciones de orden n r-arias
y j-arias.
10. PRODUCTO TENSORIAL DE VECTORES. TENSORES 167
74. CAMBIO DE BASE.—Sean B = {Ul, ..., u„} y B '= {v1} ..., v„} dos bases de
V y B* = {u*!, ...,u*»}» B* /={v*1,...,v*„} sean sus respectivas bases duales.
Empleando la notación de Einstein, suprimiremos en lo que sigue el sigmo
de sumar, por lo que, si llamamos y '"'" ra las coordenadas de un tensor
/ i i • • • tjs
respecto de B' y B*', y x '"" r a sus coordenadas respecto de B y B*, y si
las relaciones entre las bases son:
< 114) u.k = a>'kVi, u¿* = b
lj Xj*,
se verificará:
/ . ' ' " *V (•*! <g> • • - (gf.v.y <g> v * A <g> • •. <g> v * ; ;
;¡ . . . j s
—*/,,.y.'/*r íu*i ^ • • • ® u * r ® n*/x (8) • • • ® «*o
=* t:::? [( -i', ̂ ) ® • • • ® K > ) ® (4; A ) ® • • • ® (*•; *>.)]
= *,*'"',*' aí' • • • °1' V •••*/*( V'l ® '• • ® v-v® v \ ® • • • ® T*Á).
de donde,
tina base,
(115)
p o r ser
x¿l ® . . . <g> v,y <g) V*^ <g) . . . <g) v,-,
se verif icará:
», . . . i ki ... k i i 1 l
v r = x a ' . . . a, d} ... ¿>.
que son las fórmulas del cambio de base.
Obsérvese que la relación entre las a1* y la bl¡ viene dada por:
u£* u , = (*>',. v,*) (a't v,.) = *', a\ (y* yt) = 6'¿ a\,
-esto es:
^ * f i f l í * = **• ¡ ^ = i , / - fe.
EJERCICIOS :
331. Sea §'•> el tensor contravariante de segundo orden de Kronecker. 8" = 1 cuando
i = j y 8 i ; = 0 cuando i =|= ;'. Si se efectúa el cambio de ba.se:
a, = 2 v% - 4 v2 , u2 = v, + 3 v2, V = 2. a,2 = — 4. a.* = 1, a* = 3
calcular las nuevas coordenadas de 8".
http://ba.se
168 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo I I ]
332. Sea 8', el tensor mixto de segundo orden de Kronecker, calcular sus coordenadas
respecto de la nueva base { v , v„,} dada en el ejercicio anterior.
333. Hallar las coordenadas del tensor covariante de segundo orden de Kronecker, Sit
respecto de la nueva base dada por las fórmulas del ejercicio 331.
334. Hallar las coordenadas del tensor tk}¡ respecto de la nueva base del ejercicio 331 r
siendo
1, si i = k ó j = k
0, si i 4= k> y j 4= k.
11. Producto exterior de vectores. Multivectores. Determinantes.—
Sea V un espacio vectorial sobre K, de dimensión n. Sea
V ^ = V X - - - X V y V ® r = V(g) . . . 0 V .
Si <r es una permutación de los números (1, 2, ..., r), representamos por o (i)
la imagen de i en la biyección que hace pasar de la permutación (1, 2, ..., r)
a la permutación <J, es decir:
o- = («r (1), o- (2) a ( r ) ) .
Representamos también por la misma letra o a la aplicación de V en V defi-
nida del siguiente modo:
(117) o- (xx, ..., xr) = (x0 (1)) ..., x0 ( r )).
EJERCICIO :
335. Si <r = (3 1 4 2) escribir cr (X l , x2> X3, x 4 ) .
Sea N la restricción a V' del homomorfismo natural de V sobre V ® r .
75. La aplicación N a es una aplicación multilineal (esto es, lineal respec-
to de cada una de las variables) de VT en V®r.
En efecto,
N o ( X „ . . ., X,. + X',-, . ,.,Xr) = N (Xo(l), ...,Xo(0 + x'o(i)i ...,Xo(r))
= Xo (1) 0 . . . 0 (Xo (i) + X'o («)) 0 • • • 0 Xo (r)
= Xo (1) 0 . . . 0 Xo (») 0 . . . 0 Xo (r) + Xa (1) 0 ... ® x'o (f) 0 . . . X„ (r)
= N o (X,,..., Xf, ...,Xr) + N o(x„ ...,X',-, ..., X r).
N O (Xx, . . ., X Xí, . . ., X r) = N (Xo (1), . . ., X Xo («), . . ., Xo (r))
= Xo (1) 0 . . . 0 (X Xo (i)) 0 . . . 0 Xo (,) = X [Xo (1) 0 . . • 0 Xo (/) 0 . . . 0 Xo (r)]
= X[N o(xt, ...,xr)]
*í =
11. PRODUCTO EXTERIOR PE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 169
76. Si a tiene el significado (111 ) , t y N es la restricción del homomorfis-
mo natural, se verifica que existe un homomorfismo, que representaremos
también por a, de V®ren V®r tal que el siguiente diagrama sea conmutativo:
"1
v
N
En efecto, basta definir:
(118) a (x, 0 . • . 0 Xr) = Xo(J) 0 . . . 0 X 8 » .
DEFINICIÓN 39.—Un tensor contravariante x de V®r se llama hemisimé-
trico, antisimétrico o alternado cuando se verifica que
cr (x) = i (<r) . X,
siendo i (-a) = (—1)€, y e el número de inversiones de la permutación «r.
Un homomorfismo / de V® r en otro espacio vectorial W sobre K, se llama
alternado cuando
EJERCICIOS :
336. Averiguar si son alternados los siguientes tensores:
a) 5 ( u , 0 u 2 ) - 5 ( u 2 0 u , ) . b) 2 ( u , 0 u 2 ) - M ( u 1 0 H 3 ) - 2 ( t i l 0 n 1 ) - 4 ( U 3 0 a 1 ) .
c) ( a , 0 u 2 0 u 3 ) + ( a , 0 u s 0 u , ) + ( n , ® n , ® u s) — ( a , ® n , 0 u 3 ) - (u 1 0 u , 0 u 2 )
— ( u 3 0 u 2 0 u , ) .
337. Añadir términos al tensor (u1 0 u t ) + 2 (Uj 0 u 2 ) para que resulte un tensor he-
misimétrico.
338. Añadir términos al tensor ux 0 ux 0 u2 , perteneciente a V ®
3 siendo B = {^ ,11 , ,
U } una base de V, para que resulte un tensor alternado.
339. En las mismas hipótesis del ejercicio anterior, completar el tensor nt 0 u2 0 u ,
a un tensor alternado.
340. ídem para el tensor Uj 0 U1 0 n , -
DEFINICIÓN 40.—Se llama alternación o antisimetrización a la aplicación
170 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
tal que
A (x) = i (o-x) <rl (x) + i (<r2) cr2 (X) + ... + i (-x, ,) <r fX (x ) ,
en donde s1} <r2, ..., <sr, son todas las permutaciones de (1, 2, ..., r).
77. La aplicación A es un endomorfismo y se verifica que A (x) es he-
misimétrico para cualquier x.
DEMOSTRACIÓN.—Según (118) se verifica que <s¡, i = 1, ..., r\ son endo-
morfismos y A es una combinación lineal de endomorfismos, luego es también
un endomorfismo. Las permutaciones <jj y <r, se llaman de la misma clase
cuandoi (<i¡) = i (oj), esto es cuando los números de inversiones de <J¡ y de
<s, son de la misma paridad. Como el producto de dos permutaciones de la
misma paridad es una permutación par y el producto de dos permutaciones
de distinta paridad es una permutación impar, resulta que
i (<rl <T¡) = ¡ (o-,.) . i (a;.) ;
en particular,
i K- • cr,) = [! (<r()]* = 1.
Por consiguiente, si <s es una permutación arbitraria, se verifica que
<r [A ( x ) ] = i (o^) [cr <r1 ( x ) ] + ¿ (o"2) [cr <r2 ( x ) ] + ... + i (<rf ,') [<r <r# , ( x ) ]
= i (<r) { i (o- o-j) [<r <r1 ( x ) ] + i (<r <r2) [cr <r2 ( x ) ] + ... + i (<r <rr,) [ir crr, ( x ) ] },
pero el conjunto {cr tT¿}I=1 ,¡ es igual al conjunto {««},•=!,...,r!> luego:
cr [ A ( x ) ] = i (<r) A (x) .
que prueba que A (x) es hemisimétrico.
78. x¡ = x; = > Xi 0 . . . 0 x,- 0 . . . 0 xy 0 . . . 0 x; € ker (A).
DEMOSTRACIÓN.—Si representamos por (¿, 7) la transposición que cambia
i en ; y j en i, como el conjunto {(i, j) <r*}¿= 1 ,! es igual al conjunto
{<7¡t}¿ = 1 ,,, resulta que a cada permutación de este último se le puede aso-
ciar otra que difiere de ella únicamente en la transposición (i, j) y será, por
tanto, de distinta clase, luego para todo c¡ se verifica que
o; (x, 0 . . . 0 x,-0 . . . 0 Xj 0 . . . 0 xr) = (i,j) aj (x, 0 .. . 0 x,-0 . . . (g) x>0 . . 0 xr)
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 171
luego los términos de
A (x, 0 . . . 0 x , - 0 . . . ® x 7 - 0 . . . 0 x r )
son dos a dos opuestos, luego
A (X, 0 . . . 0 x / 0 .. . 0 X /0 .. . 0 xr) = 0,
<de donde
X,® . . . x,-0 . . . X /0 . . . 0 x r 6 ker (A).
79. .Sí x es un tensor alternado de V®r, se verifica que
A (x) = (r !) x.
DEMOSTRACIÓN.
r! r \
A (x) = 2 ¿ (<r^ °V W = ^ [í (<r')]2 x = (f ! ) x.
DEFINICIÓN 41.—Al espacio V ^ ' / k e r (A) se le llama espacio vectorial de
los r-vectores de V, y lo representamos por V A r . A las clases x + ker (A),
x € V®' se les llama r-vectores de V. En particular, a x, 0 ... 0 x r '+ ker (A)
se le representa del siguiente modo:
Xi 0 X2 0 . . . 0 Xr +
k e r (A) — X l A x 2 A • • • A X»- '
y se llama producto exterior de Xj por x3, ••> por x r
EJERCICIOS :
341. Probar que todo multivector de V'v2 siendo B = { u1 , u2, u3 } una base de V, es
combinación lineal de los bivectores: Uj A u„, u, A u3- u , A u3-
342. Probar que si cr es una permutación arbitraria de (1, 2, 3), se verifica que
x , A x2 A x 3 - i (o) (;xa(1) A x a f 2 ; A x a ( H ) ) = 0 .
343. Calcular d i m V A 2 , siendo B = { u , u„, u3 } una base de V.
344. Calcular dim-VA 3 , siendo B = {u r. u 2 - u 3 } una base de V.
Los r-vectores de la forma xxA . . . A x r los designaremos con el nombre
de monomios.
172 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
8 0 . PROPIEDADES DEL PRODUCTO EXTERIOR.
I . (xj + Xo) A y = Xj A y + x 2 A y .
II . (a x) A y = a (x A y) = x A (a y).
I I I . Un multivector monomio con un factor cero es cero.
IV. Si a es una permutación de los números (1, 2, ..., r), se verifica que
(119) Xj A x 2 A . . . A x r = * ( o ) [ x B ( 1 ) A x o ( 9 ) A . . . A x o ( r ) ] .
V. Un multivector monomio con dos factores iguales es cero.
VI. Si B = {ux, ..., Un} es una base de V, B* = {u:il A . . . A U ¡ J , en
donde (i15 ..., ir) recorre el conjunto C de todas las combinaciones r-arias de
(1, 2, ..., n), es una base de Vx r .
VIL v<dim (V) = > dim (F v r ) = tn\.r>dim (V) = > V A r = {0}.
DEMOSTRACIÓN.—I. (xx -f- x2) A y = (x t -f x2j (gi y - | - ker (A) = [xí 0 y
+ x2 0 y] + ker (A) = [xx 0 y + ker (A)] + [x2 0 y + ker (A)] = (xx A y)
+ (x ,Ay) .
II. {a x) A y = (a x) 0 y + ker (A) = a (x 0 y) -f- ker (A) = a [(x 0 y)
+ ker (A)] = a (XA y) = a [ x 0 y + ker (A)] == a (x 0 y) -f ker (A) = x 0 (a y)
-f ker (A) = x A (a y).
I I I . X , A . . . A 0 A. . . A Xr = Xj 0 . . . 0 0 0 . . . 0 x r + ker (A)
= 0 + ker (A) = 0.
IV. La igualdad (119) equivale a las siguientes:
x, A xs A . . . A x,- - í (a) [x0( l ) A xa(2) A . . . A Xg(r )]
= x , 0 X 2 0 . . . 0 x r — í ( o ) [ x 3 ( 1 ) 0 x o ( 2 ) 0 . . . 0 x o ( > ) ] - f ker (A)
<JÍ> A J * ! ® * , ® . . . 0 x r - í ( a ) ( x o ( 1 ) 0 . . . ®X o W ) ] = 0
r!
<=> 2[*<°>) (°>(xt ® • • • ® xr)) - H°j) *"(a) (oy(x0 ( 1 )® . . . 0 x o ( r ) ) ) j
r! r\
^^iMiojiXi® ••• 0 x r ) ) - ^ í ( a y o ) ( q / a ( x 1 0 . . . ® x r ) ) = 0 ,
ya que el conjunto {i (a,-) c,} coincide con el conjunto de endomorfismos
{t (<T; ff) ffy ff}.
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 173
V. Si en (119) es x¡ - xy y <r es la permutación que cambia i por / de-
jando los restantes índices invariables, será
i(a) = - l y x a ( 1 | A . . . A x 5 ( . J A . . . A x s W A . . . A i s ( r )
= x , A . . . A x ; A . . . A x , A . . . A x r = X, A . . . A x , A . . . A x / A . . . A x r ,
con lo que (119) proporciona 2 (xj A ... A X,) = 0, de donde xY A . . . A X , = 0.
VI. Sea B = {ux, ..., un} una base de V y sea x un r-vector arbitra-
rio, r < n,
p P
«' = 1 i' = l
/
Í " = 1
en donde la segunda suma está extendida a todas las variaciones r-arias con
repetición de los números {1, ..., r}. Teniendo presente I I , resulta que todos
los términos con dos u ; . iguales son nulos; luego, si indicamos por
1' (h> •••> jr) al índice de la permutación (jlt ..., jr) respecto de la permuta-
ción natural de los números que en ella figuran, será, en virtud de IV,
x = V a ;
¿=l c
¿2 í Z¿(J\< ....Jr) *¿\ . . . < £ j (U*t A .. AU,
en donde ^ está extendida a todas las permutaciones de (kx <. k2 < ... < kr)
y ^T1 a todas las combinaciones r-arias de los números (1, 2, ..., n). Ahora
c
bien, el último miembro se puede escribir en la siguiente forma:
<120) ^='Z\2ai(21i(j'i yr)x{\...Jrr)\(nkih...hnkr),
c \» = l P /
•que prueba que {u¿ A . . . A uk ( c ,
e n donde (k¡, ..., kr) recorre el conjunto
1 r
C de todas las combinaciones r-arias de los números (1, ..., n) es un sistema
de generadores de V A r .
174 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
Los r-vectores {u¿ A . . . A U J C son linealmente independientes, ya que
i /•
2\,....*An** ••• AU* ) = °<=í> ¿L,'kk ...,* ( u ¿ ® .-.(8)UA ) € ker (A).
C C
<= í>ALz'x*1 . . . . ,*r(
u*1® •••®
u*r)
= . Z \ *f2
/(0)(a-(*,)(8>---®Vr)) = 0'
C P
en donde P es el conjunto de todas las permutaciones <r de los números-
{k1} ..., kr}. Ahora bien, como el conjunto de los tensores u,- ® . . . (g)u,-
forman una base de V®' , de la igualdad anterior resulta que X¿ k = 0
para toda combinación (kx, ..., kr) de C.
Por consiguiente, el conjunto Su* A . . . A u¿ i en donde (k1} ..., kr) reco-
rre las combinaciones r-arias de (1, 2, ..., n), es una base de V w .
VII . De VI se deduce que dim (v A ' ) = (* ) . Si r> n en cada término
de los r-vectores monomios, expresados mediante los vectores de la base-
existirán dos factores iguales, por lo menos, luego, por V, serán nulos.
EJERCICIOS :
345. Sean B = { ux, u2, u3 } y B' = { vv v2, v3 } dos bases de V y sea u1 = 2 v 1 - v 2
+ v3' ua = vi + v2 + 3v3, u3 = - v I + 5 v r v 3 . Si x =-
l-1u1+*au, + *,u,, y^y^i
+ y2 U 2 + ^3 U 3 ' X = * \ V l + ^ 2 V 2 + ^ 3 V3> T = ? 1 V l + ^ 2 V 2 + ^ 3 V C a l c u l a r la f ó f
muía del cambio de base en V A 2
8 1 . Si V y W son dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, í un
homomorfismo de V®ren W y A el endomorfisniG de alternación de V®r, se
verifica que: i es un homomorfismo alternado <==> í (ker (A)) — {0}.
DEMOSTRACIÓN.—a) =>. Sea x un tensor arbitrario de ker (A)
A (x) = O. Por ser / alternado es / a — i (<J) /, o bien, / = i (<J) / a, luego:
0 = / [ A ( x ) ] = / | ] r i ( c r ) < r ( x ) L = 2 ¿ ( ( r ) / a - ( x ) = ^ T / (x) = r ! / (x),
L o J o o
de donde / (x) = 0.
b) <; . Sea x un tensor arbitrario de V® r . De 80 IV se deduce que-
X — i (cr) o- (x) € ker (A),
1 1 . PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 17 &
de donde, por la hipótesis:
/ (x) - ¡ (o-) / <r (x) = 0,
queprueba que / es alternado.
MULTIPLICACIÓN EXTERIOR DE MULTIVECTORES.—Consideremos los espacios:
V®r-= V 0 . . ' . 0 V y V®* = V(g ) . ! . 0V.
Sea n la aplicación bilineal natural correspondiente al producto tensorial de
estos dos espacios vectoriales:
sea i el isomorfismo (véase la definición 37):
V® r (O) y ® i _ 1 ^ . y ® »• + S _
Representaremos por Ax, A2 y A los endomorfismos de alternación de
y®r} y ® i y v ®
r + í, respectivamente, y por TZ1} n2, ir, a los homomorfismos
naturales:
V®' JlUv®rlker(A1) = V
Ar, V®' - X V® '/leer (A,) = VA \
V®r + s-^+V®' + s¡ker(A) = V A r + í .
Sea <s = ~ i n. Se verifica que 9 es una aplicación bilineal:
v ® ' x v®J- ? > y A r + f .
Fijado un elemento y de V® J , se obtiene un homomorfismo alternado cpy de
V®'en VA(r+J) mediante la siguiente definición:
(121) ? y (x) = <p(x,y), x€ V®'.
Análogamente, fijado un elemento x de V®' , se obtiene un homomorfismo al-
ternado <px de V®-
5 en VA<r + í ), mediante la definición:
(122) <px(y) = qp(x.y), y € V ® * .
Sea -, + TU2 la apl icación:
y® r x v®^i + ^ V
A r
X v
A s
176 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
definida por
0rx + n2) (x, y) = {-x (x), *2 (y)).
82. La correspondencia ^ :
vKr x vxs v> P A r + s ,
definida del siguiente modo:
i (x*. y*) = <? (x, y), x* € VA r , y* € VAS,
siendo
(*! + TS) (x, y) = (x*, y*),
es una aplicación bilineal.
DEMOSTRACIÓN,—a) ^ es una aplicación. Sea
(*! + *2) (x, y) = (rr1 + »r2) (x't y') <£> «r1 (x) = n1 (x'), Tj (y) = ^2 (y')
< £ > >r1 (x — x') = 0, »r2 (y — y') - 0 < £ > xx — x' € ker (Aj, y — y' € ker (A3),
de donde, por el teorema 8 1 , se deduce:
<py ( x - x ' ) = o . *>x. (y —yO = o ,
o bien, por (121) y (122),
<p (x — x', y) = 0, 9 ( x . y — y') = 0,
y por ser 9 bilineal:
<P (x, y) = 9 (x*, y). «p 'x', y) = 9 (x, y').
luego
<p(x, y) = (píx'-yl-
b) Siendo 9 bilineal lo es ty.
DEFINICIÓN 42,—Se llama producto exterior del r-vector x* por el j-vector
y*, y se representa por x* A y*, a
X* A y* = $ (x*, y*) .
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 177
EJERCICIOS :
346*. Probar que <p es una aplicación bilineal.
347*. Probar que <p es una aplicación alternada.
.83. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EXTERIOR.—I. Si x t, i = 1, . . . ,
r + s, son vectores de V, se verifica que
(X, A . . . A xr) A (Xr + l A . . . A Xr+S) = X, A . . , A x r
A * r + 1
A ••• A * r + * •
II . Si x* y x*' son r-vectores e y* un s-vector, se verifica que
(x* + X*') A y* = x* A y* + x*' A y*.
III. Si a es un número y x* e y* son multivectores, se verifica que
(a x*) A y* = a (x* A y*) = x* A (a y*).
IV. Si x*, y* y z* son multivectores, se verifica que
(X* A x*) A z* = X* A (y* A z*).
V. Si x* es un r-vector e y* un s-vector, se verifica que
x* A y* = ( - 1 ) r s ly* A x*j .
VI. Los vectores xx, ..., x,- son linealmente dependientes
<£> xí A • A x r = 0.
VII. A toda variedad lineal r-dimensional L de un espacio vectorial V
le corresponde una recta vectorial única de r-vectores.
DEMOSTRACIÓN.—I. Esta propiedad es la definición de producto exterior
de multivectores en el caso particular de que ambos factores sean monomios.
I I y I I I . Las propiedades II y I I I son consecuencia del teorema 82, que
establece que la multiplicación exterior es una aplicación bilineal.
IV. Por ser la multiplicación exterior una aplicación bilineal, bastará
probar la proposición en el caso en que x*, y* y z* sean monomios. Sea
x* - x t A . . . A xr, y* = yx A . . . A y,, z* = zx A . .A z t ,
12
178 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
se verifica:
X* A y * = x , A . . . A xr A y , A . . . A y „
(X* A y*)A z * = x t A . . . A x r A y t A . . . A y^ A Z j A . . . A z,
y * A z* == y,, A . . . A ys A z , A . . . A z , ,
X* A ( y * A z*) = X j A . . . A x r A y , A . . . A y s A z , A . . . A z¿.
V. Por la misma razón, bastará probarlo en el caso en que ambos multi-
vectores sean monomios. Sea
x* = x , A . . . A x n y * = x r + , A . . . A x r + S
y sea
o- = (r + 1, ..., r + s, 1, 2, ..., r).
Se verifica que
y A x = a (x A y) = / (tr) (x A y) ;
pero i (c) = (— l ) r í , ya que el 1 forma inversión con los s primeros números
de ff, lo mismo sucede al 2, etc., hasta el r, y estas son las únicas mversiones,
luego el número total de inversiones es r s.
VI = 0 . De Xj Xi + ... + X rx r = 0, no todas las X, nulas, se deduce
que una, al menos, por ejemplo Xr, es distinta de cero, luego
xr = oa x + ... + ar_x *r_x,
luego:
X j A . . . A -X.T-X A X, = X[ A , . . A X r _ , A (<z, x t -f- . . . -f- tf/--i
xr-i^
= flj (Xj A . . . A x r _ , A x , ) -f- . . . - j - a, _ , (x , A . . . A x , -_ , A x r _ ^ = 0 ,
por ser la multiplicación exterior de vectores una operación multilineal y en
virtud de 8 1 , V.
VII . Sea B = {u15 ..., ur} una base de L y consideremos el r-vector:
u* = Uj A . . . A u r . Si B' = {v15 ..., v r} es otra base, se verificará:
Vj = an u : + ... + atr ur, i = 1, ..., r,
de donde
v, A . . . A v r = (flu u, + ... + o ] r u,.) A . . . A (o n Ul + ... + orrur)
1, .... r — 1 ,
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTI VECTORES. DETERMINANTES 179
lo que prueba que los r-vectores ux A . . . A u r y vx A . . . A V , correspon-
dientes a dos bases distintas de L son proporcionales, siendo el factor de
proporcionalidad:
(123) 2/(")«.<1>1-<W>r-
EJERCICIOS :
348. Si B = { n , u2 , u 3 } es una base de V, calcular las coordenadas de x A y , x A y A z
siendo x = ^ ux + * 2 u 2 + * , u 3 , J = yiu1+ y2 u 2 + ya u3 , x=*lu1+s2 u2 + sa « , .
349. Sea B = { u l ( u2 , u3 , u } una base de V,
a = 2 at u , , b = 2 bt u t , c = 2 c¡ vi,, d = 2 dt ú r
Sea x = a A b , y = c A d, calcular las coordenadas de x A y mediante las coordenadas
de x y de y.
350. Calcular la recta de multivectores correspondiente a la variedad lineal L de ecua-
ciones :
* x = * — P-
x2 = 3\-2fi
xz = 2 A -f 5 /*
x 4 = 4 A + 3 ¡i
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.—Sea
(124) A =
una matriz cuadrada de orden n, cuyos elementos pertenecen al cuerpo K.
Consideremos un espacio vectorial «-dimensional fijo V y una base fija
B = {u15 ..., u„} de V. Llamaremos vectores asociados a la matriz A en V,
respecto de la base B a los vectores:
(125)
180 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
DEFINICIÓN 43.—Se llama determinante de la matriz A, y se representa
por | A |, a la coordenada del «-vector ax A a2 A . . . A a„ respecto de la base
Uj A U2 A . . . A U„ .
84. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.—I.
en donde <J recorre el conjunto de todas las permutaciones de los números
(1, 2, ..., n).
I I . El determinante no depende del espacio vectorial V ni de la base B
en él elegida.
I I I . Se llama matriz transpuesta de una matriz A, y se representa por A',
a la matriz que se obtiene permutando sus filas por sus columnas. El deter-
minante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz dada:
(127) | A' | = | A |.
IV. Al permutar dos filas {columnas) de la matriz de un determinante se
obtiene otra matriz cuyo determinante es el número opuesto al determinante
de la matriz dada.
V. Si una matriz cuadrada tiene una fila {columna) de ceros, su determi-
nante es nulo.
VI. Una matriz con dos filas {columnas) iguales tiene determinante nulo.
VII . Si se multiplica una fila {columna) de una matriz por un número, el
determinante queda multiplicado por dicho número.
VIII . Una matriz con dos filas (columnas) proporcionales tiene deter-
minante nulo.
IX. El determinante de una matriz con una fila {columna) binomia es
igual a la suma de dos determinantes cuyas matrices tienen las restantes filas
(columnas) iguales a las de la matriz dada y la fila binomia viene sustituida
en cada matriz por los primeros términos y, respectivamente, por los segun-
dos de la linea binomia.
X. Se llama menor complementario de un elemento au de una matriz cua-
drada A al determinante de la matriz quese obtiene al prescindir en la matriz
A de los números que figuran en la fila y en la columna a que pertenece el
elemento aih Al menor complementario del elemento ai} lo representaremos
por ai}. Se llama adjunto de un elemento al} de una matriz A, y se represen-
ta por A¡; al producto : A¡; •= (— l )
i + ; a¡;. Se verifica que
(128) | A | = atl Ati + ... + ain A ¡n = alt Alt + ... + ani Ani, i = 1, .... n.
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES MULTIVECTORES. DETERMINANTES 181
XI. Empleando las mismas notaciones que en la propiedad anterior, se
verifica que
(129) 0 | l An + .. + aln Ajn = a}¡ Alf + ... + ani AnJ = 0, i * j .
XII . Se llama menor de una matriz A al determinante de cualquier sub-
matriz cuadrada de la matriz A, entendiendo por submatriz de una matriz
la que resulta de suprimir en la matriz un determinado número de filas y de
columnas. Al menor de la matriz A, que es el determinante de la submatriz
cuyos elementos están en las filas Í\, ..., ir y en las columnas j l t ..., j r , lo re-
presentaremos por | ix, j \ ; i2, j 2 ; . . . ; ir. jr |. Se llama menor complementario
del menor | ix, jx ; . . . ; ir, j r | de una matriz cuadrada A, al determinante de
la matriz que se obtiene al suprimir las filas i1, ..., ir y las columnas ;\, ..., j r
en la matriz A. Al menor complementario del menor \i1,j1; ...;ir,jr\ lo
representaremos por | ix, j 1 ; ... ; ir, jr |*. Se llama adjunto de un menor
| h, j \ ', ••• ', ir, jr | de una matriz cuadrada A, y lo representaremos por
Adj. \ h, jx', ... ; ir, jr | al siguiente número:
Adj. | i l f ; , ; . . . ; ir, j r | = (— 1) *x + ••• + ir + j1 + ... + j r | %x, j l ; . . . ; ir, j r |*.
Se verifica que
I A | = 2 I V h '>•••> *V ir I • Adj . I i l f ; , ; . . . ; i,, j r |,
en donde la suma está extendida a todas las combinaciones r-arias (j\, ..., j r)
de los números (1, 2, ..., n) o a las combinaciones r-arias (h, ..., ir) de dichos
números.
DEMOSTRACIÓN.—I. En efecto,
a, A . . . A a„ = ^*(a)alg{t) . . * „„ ,„> 'u , A • • •
A «^
s
II . Sea V otro espacio «-dimensional y B ' = {u'j, ..., u'„} una base ar-
bitraria de V . Sea
»'* = «li *\ + - + °ln W'n>
se verifica que
a\ A . . . A a 'n = 2 " * (°") °io ( i ) -
a»« (n> (u \ A . . . A «'„)•
182 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
III, Sea
b< = °rl «i + - + °«í «n>
se verifica que
bx A .. . A b» = £ i (r) ax (1) x ... ax (n) n (Ul A .. . A un)
x
- 2 ' « ax (x) x - °x <n) n 0' 00) 'Ux (i) A • • • A «x («>)
x
= V i (r-i) a . . . a . l n ( U i A . . . A u „ ) ,
^ _ ¿ l x X ( l ) «X x ( » )
IV. En virtud de I I I , basta demostrarlo para las filas:
a t A . . . A a/ . . . A a» A . . . Aa»= — at A . . . A af- . . . A a/ . . . A a«
<=> ]?'(<r) °i« (i) - ai* «> - a " <» •" a«° (*) ( u i A • • • A ^
= _ 2 * («•) % (D - a¡0 (O - % (;) -
an, <«) («x A • • • A »«)'
de donde
V. ax A . . A 0 A . . . A an — 0.
VI. Puesto que el producto exterior de varios vectores es nulo cuando
dos de los factores son iguales.
VIL En virtud de I I I es suficiente demostrarlo para las filas:
at A . . . A (t a,) A . . . A a„ = t [ax A . . . A a,- A . . . A a„] =>
VII I . Es consecuencia de que el producto exterior de vectores lineal-
mente dependientes es nulo.
IX.
a¿ A .. A (a,- -{- b,-) A . . . A a„ = a t A . . . A a,- A . . . A a„ -j- ax A . . . A b¿ A . . . A a„.
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 183
X . D e l a s p r o p i e d a d e s I V y V d e 8 3 s e d e d u c e :
a , A . . . A a, A . . . A a„ = [(ax A . . . A a,_,) A a, j A (a / + , A . . . A a„)
= ( - I)»"-» [ a • A (a, A . . . A a.- .^J A ( a f > 1 A . . . A a„)
= ( - l ) ' " 1 [ a , A [ (a , A . . . A a,-.,) A (a l + 1 A . . . A a , ) ] ] .
A h o r a b i e n ,
a , A . . . A &i_i A a l + 1 A . . . A a„ = «,-, (u2 A . . . A u„) - f a,2 (u , A u 3 A . . . A u„) + . . .
- f « í« (u , A . . . A U«_t) ,
luego
a , A . . . A a » = ( - 1 ) ' _ 1 f(a,-i U t + . . . + ain Um) A fot,-, (U, A . . . A u„)
- f a,-2(Uj A tt3 A . . . A u „ ) + . . . + a , - „ ( U t A . . . A U„_!)]J = (— l ) ' '
- 1 [ « ñ « a (n, A u 2 A . . .
A n„) + a í 2 o t 2 (U2 A u , A u 3 A . . . A u„) + . . . + ain a,„ (U„ A u t A . . . A u » . , ) ]
— ( — 1 ) ' ~ 1 X aVa¿j(nJ A Ut A . . . A uy_ t A u / + 1 A . . A u„
> = 1
= ( - !)«'-« V flya;> (— 1)>_1 (U, A . . . A u y _ , A uy A u / + 1 A . . . A u„)
> = l
= ¿ * , • > [ ( - l ) ' ^ " 2 a,7J (u1 A . . . A u„) = ^ «.v [ ( - V
i+J a>j] («i ^ . . . A u„)
í¿'«.7A,7j(u1
A ••• A u »)
XI. De
a , A . . . A a, A . . . A a /_ , A a ; A a / + , A . . . A a „ = 0
184 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II)
se deduce:
0 = (— Yy~l a,- A [a, A . . . A ay_, A a,+ 1 A . . . A a„]
H
= ( - 1)>_1 2 a ' '*°>* («A A «i A • • • A * * - i A u¿ + 1 A . . . A u„)
k = í
= < 2
a ' * ( ( - 1 V ' + * " , « / * ) ( a i A ••• A u * - i A u * A u A + l A ••• Au»)
M
= 2 «,* A,¿ (Uj A \ .. A u„) ,
k = i
XII .
a , A . . . A a« = - 1) » 2 r (a . A . . . A a . ) A
1 r
( * 1 A ••• A » / 1 - l
A a f 1 + l
A " - - A a J
. + + • r(,+í)
= (-l/4 '" V 2 2 | / ^' i ; - ' - ; , V - ; V | | í ' 1 ^- ' - ; , V - ; V | * ( U Á A -"
A u. ) (ttx A . . . A U / j - i A U, + 1 A . . . A n j
V , , / , i«'i
+ ---+ 'V-Z ÍT— + 01 + »-« + ...+(/V-D.. . . . . A
= ¿ l * i 7 i ; . - . ; w r | | ( - i ) 2 l » i ^ ; - " . » r > | * l
X (a, A . . . A nn),
pero
S + - + K~ ^f^- + Ü\ + r-2) + ... + OV-1)
= , i + ,.. + v + ; i + „ . + y r _ ^ 2 M ) ^ ^ - ^ - 2 ) _ 1
= ^ + ... + *'f + j1 + ... + ; r — 2 r.
y como (— l ) _ 2 r = + 1, resulta:
a, A . . . A a*
= ( ¿ L ' /,-/i; •' *;irJr'Adj' ,,-/i; • • , ; ' r 7 r ' ) ( U i A . . . A n J .
11. PRODUCTO EXTERIOR DE VECTORES. MULTIVECTORES. DETERMINANTES 185
EJERCICIOS :
351. Calcular los determinantes de matrices de primero, dé segundo y de. tercer orden,
352. Demostrar que si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila, previa-
mente multiplicada por cualquier número, el determinante de la matriz obtenida es igual al
determinante de la matriz dada.
353. Dada una matriz de tercer orden calcular otra cuyo determinante sea igual al de la
anterior y tal que todos los términos situados por encima de la diagonal principal de la ma-
triz (se llama diagonal principal de una matriz a la diagonal formada por los elementos que
tienen sus dos índices iguales) sean todos ceros.
354. Demostrar que en una matriz de tercer orden A se verifica que A „ A a o — A „ A0(v
ZZ 33 23 3 2
355. Probar que | p A | = pn | A |, siendo » el orden de la matriz.
356. Una matriz A se llama hemisimétrica cuando se verifica que A' = — A. Demostrar
que el determinante de una matriz hemisimétrica de orden impar es cero y el de una matriz
de orden par es suma de cuadrados. (Comprobar esto último para una matriz de cuarto
orden.)
357. Aplicar XII a una matriz de quinto orden.
12. Ecuaciones de los homomorfismos entre espacios vectoriales.
Operaciones con homomorfismos.—Sean V y V dos espacios vectoriales
sobre el cuerpo K de dimensiones n y m, respectivamente. Se ha visto (6, 4 5 ,
c) que un homomorfismo a de V en V queda unívocamente determinado cuan-
do se da la imagen de una base de V. Sean B •= {vti, ..., u„} una base de V
y B ' = {u1} ..., u'm} una base de V . Sean:
í a(Uj) - aLi u\ + ... + aimum,
(130) j
í «(Un) = O n i U 1 + ... + « n w u ' m ,
las imágenes de los vectores de la base B en el homomorfismo %. Si x es un
vector arbitrario de V, si x' = % (x) es su imagen en a y si
x =*1u1 + ... + *n u„.
x = x\ u\ + ... + *m u'm,
se verificará :
x\ u\ + ... + x'm u'm = a (x) = xi a (Uj) + - . + xn * (U|l)
= O n *t + ...+ owl xn) n \ + ... + (aim xi + ... + anm x¿u'm,
186 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
de donde
í *'i = fln *i + - + °m *n
(131) |
f x" = a x + ... + a x
son las ecuaciones del homomorfismo a respecto del par de bases (B, B'). Las
ecuaciones (131) se pueden escribir en forma matricial del siguientemodo:
' u - ° i*
(132) (x'v ..., x-J = (xit ..., xn) A, A = '
Resulta, por tanto, que, dadas las bases B, B' ae V y V se puede establecer
una aplicación:
(133) Hom(V,V) J + S f f t , ^
del conjunto de los homomorfismos de V en V en el conjunto S9tMxm de las ma-
trices de n filas y m columnas. Esta aplicación es una biyección. En efecto,
dada una matriz arbitraria A de 9Jí„xm, la correspondencia
*• x1 u' + ••• + ¡Cm u'
en donde las xx, ...,xn están relacionadas con las ¿fy, ...,-x^m mediante las
ecuaciones (132) o las (131), es un homomorfismo de V en V , luego I es su-
prayectiva. Si a y B son dos homomorfismos a los que corresponde la misma
matriz, de (130) se deduce que ambos homomorfismos transforman la base B
en los mismos vectores de V , luego son iguales.
85. TEOREMA DE DEFINICIÓN POR ISOMORFÍA.—Si R es un sistema algebrai-
co (por ejemplo un grupo, anillo, cuerpo, espacio vectorial, etc.) y M un con-
junto, entre los -que se ha establecido una biyección I, se puede definir una
estructura algebraica en M de modo que se obtenga un sistema algebraico
isomorfo a R, del siguiente modo:
Sea + una operación interna de R. A los elementos de R los designamos
12. ECUACIONES me LOS HOM-OMORFISMOS ENTRE tsr.\cios VECTORIALES 187
por x, y, ... y a los de M por x', y' ... Designamos por I a la biyección dada
de M en R y a la biyección de M x M en R x R:
I (*, 30 = (I 0O> I (30).
Se define la operación + en M de modo que el diagrama
(134)
MXM +RX R
I /-i I
sea conmutativo. Por consiguiente, será:
x' + y' = I-i (I (*0 + I CV')).
Si o es una operación externa de R, esto es, una aplicación de K x R en
R, siendo K un sistema algebraico, se designa por I la aplicación de K x M
en K x R definida del siguiente modo:
l(a,x') = (a,l(*0). <*€K.
Se define la operación externa ° en M de modo que sea conmutativo el si-
guiente diagrama:
T
KXM >KX&
(135)
M + — A*
y y - i y
DEMOSTRACIÓN.—a) Supongamos que R sea un anillo con la adición +
y la multiplicación •. La adición definida en M por (134) es uniforme. En
efecto, si x* + y' — ¿ y x + y' = t', será
z' = I-i (I (*o + I (y)), t' = i-i (I (*') + I (yo),
de donde
i (•) = i (*0 + i (3-') = i (O y *' = «'•
La adición en M es asociativa:
K + y') + * = I-1 (I ( • + y') + I (O)
= i-i [I (i-i (I (*0 + I (/))) + I (*01 = I-1 ((I (O + I (30) + I (O)
= i-i (i (*o + (i (JO + I 00)) = I-1 [i (*0 + i (I-1 (I (/) + i (O))]
= i-i [i (*o + i ( / + *0] = ** + ( / + *0-
188 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
La adición en M es conmuta t iva :
x» + y = i-1 (i (-o + i (y)) = i-1 (i oo + f (JO) - y + **.
El elemento I - 1 (0) es el cero de M :
X- + i-i (0) = i-i (i (*') +1 (i-i (0))) = i-* a ( ^ + o = i-1 (i « o - -v.
El elemento opuesto al elemento x' es I - 1 (— I (#0) . E n efec to :
A- + i-i ( - i (*o) = i-i (i ( ^ + i (i-i ( - 1 (**))))
= i-i (i (*o + ( - 1 C*0)) = i - 1 (0).
Aná logamente se demuest ran las propiedades homologas de la multiplica-
ción, por lo que nos l imitaremos a probar la dis t r ibut iva:
*' (y + *o = i-1 (i (*o • i (y + o ; = i-1 [i {*') i [i-1 (i (y) +1 (*o)]]
= i-i [i (*o [i (̂ ') +1 («oj] = i-1 [i (*-). i (y) +1 (*o. i oo]
=. i-> [i i- i (i {?). i (y» + i i- i (i (x') i (*'))]
= i- i ti (^ y) + 1 o*' o ] = ** y + -^ *'.
b) Supongamos que R sea un espacio vectorial. Nos limitamos a la ope-
ración externa . Sea a € K. La operación externa es un i fo rme:
a x' = z,! a x
1 = i' = > *> = I-i (a I (•)) = *'.
Si o, & € K .
(a + *>)*' = I-i ((a + b) I (JTO) = I-1 [al(x-) + bl (*')] =
I-* [I I"1 (a I (*')) + I I"1 (b I (O) ] = I-1 [I (a O + I (& ¿O] = a*1 + * x*.
,(x- + y) = i- i (o i ( f + y)) - i- i [a . i [ i - i (i (*') + i (y))]]
= I-» [o . (I (*') + I ÜO)] = I"1 [a I ( O + a I (y)]
= I - 1 [I I-i [a I ( O ] + I I"1 [a I 003] = I _ 1 t1 (o *0 + I (o y ) ] = a * ' + a / .
{ab)*- = I-i ((a fc) I (*0) - I"1 [a (6 (I (*0))] = I"1 [o [I I"1 (* (I (*0))]]
= I - 1 [o [I (6 O ] ] = a (& O .
1 . *' = I-i [1 . I (x')] = I-i (I (*')) = x'.
12. ECUACIONES DE LOS HOMOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 189
c) Análogamente se prueba en el caso de cualquier otro sistema alge-
braico.
Aplicando este teorema a la biyección (133), y recordando (57, 8, § 1) que
Hom (V, V ) es un espacio vectorial, las definiciones (134) y (135) dan lugar
en este caso a las siguientes definiciones de adición de matrices y de multi-
plicación de matrices por números.
Sean A y B dos matrices de 3Knym y sean a y (J sus homorfismos corres-
pondientes respecto de I - 1 . Se verificará:
A + B = I ( I - i (A) + I - i (B)) = I ( a + j8),
ahora bien, recordando que I (y) es la matriz formada por las coordenadas
de Y (u¡), i = 1, ..., n respecto de B', de
í (a + fi) U, = a Ux + fi Ux = (fln U\ + ... + aim u ' J + ( * n u\ + - + &1M u ' J
] = (°n + &n) «'i + - + (°i« + bim) U'M.
f (a + fi) Un - a Un + fi Un - (flni + bni) n \ + . . . + (\m + Km) *'m>
se deduce que
a + b ... a m + b „ n ' n i*» i «
a + b ... a _ 4- b
m ~ ni '•• nm T nm
Análogamente, la definición (135) aplicada a este caso da lugar a la si-
guiente definición de multiplicación de una matriz A de 3Jt„xW por un nú-
mero p :
pA = I(pi-i (A)) = I (p a )
y como
(P a) u , = p (« U l ) = P ( « n U\ + - + aim u ' J = (/> a j u \ + ... + (/> a i M) u 'm ,
(/> a)un = P (a un) = /> {a n\ + ... + anm u ' J = (/> a ) u\ + ... + (P anm) n'n,
(136) A + B =
190 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
resulta
(137)
Definición 44.—Se llama suma de dos matrices A y B de 3Jtmxn} y se re-
presenta por A + B a la matriz (136) que se obtiene sumando los números-
que ocupan el mismo lugar en las dos matrices. Se llama producto de una
matriz A por un número p, y se representa por p A, a la matriz que se obtie-
ne multiplicando todos los términos de A por p.
En virtud del teorema de definición por isomorfia, de las definiciones an-
teriores y del teorema (57, 8, § 1), resulta el siguiente:
86. El conjunto 9Jtnxm de todas las matrices de n filas y m columnas, con
elementos de un cuerpo K, es un espacio vectorial de dimensión n m, respecto
de las definiciones de adición y multiplicación por un número de la definición
anterior.
Obsérvese que para establecer la biyección (133) es necesario fijar las ba-
ses B y B' de V y V , respectivamente. A cada par de bases (B, B') corres-
ponde una biyección I.
Sea V un espacio w-dimensional sobre K y consideremos el conjunto'
End. (V) de todos los endomorfismos de V. Se ha visto (61, 8, § 1) que
End. (V) es un álgebra. La biyección (133) aplicada a este caso proporciona:
una biyección:
(138) End. (V)-U9Jt n ,
siendo 3Jín el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n. La biyec-
ción (138) permite definir en SJt* una estructura de álgebra, en virtud del
teorema de definición por isomorfia. Vamos a estudiar ahora la multiplica-
ción de matrices de un modo más general.
Sean V, V y V" tres espacios vectoriales sobre K de dimensiones m, n
y p, respectivamente. Sean a. fJ, y homorfismos que hacen conmutativo el
siguiente diagrama:
• \ \s
V"
12. ECUACIONES DE LOS HOMOMORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 191
El homorfismo y se llama producto de a por p, y se escribe Y = f* <*• Sean
A, B y C las respectivas matrices de a, p y y respecto de las bases
B = {u15 ..., um}, B' = {u\, ..., u'„} y B" = {u',, ..., u"„}:
B =
& n - 6 i *
bni - bnv
La matriz C se llama producto de la matriz A por la matriz B, y se escribe:
(139) C = A B.
De esta definición resulta que para que la matriz A se pueda multiplicar
por la matriz B es necesario que el número de columnas del primer factor
sea igual al de filas del segundo. Esta condición es suficiente en virtud de la
biyección (133).
De (139) se deduce:
y (u,) = ctl u", + ... + cip u"„ = P a (uf) = P (atl n\ + ... + a¡H u'n)
= a / ] / ? ( u ' 1 ) + ••• + fl,n^(u
,
w)
= °n ( ¿ n U"l + - + b,P U%) + - + üin (bm « ' , + - + bm> « V
= (<*H *„ + - + °in bn1)U", + - + K
b
l P + - +
ain bnp) « V
de donde:
cn = °n *u + - + °¿n bm> •••> CÍP = «n *!, + - + a¿„ *„„>
luego resulta:
fln - V \ / *„ - biP \ / ° « bu + - + am bm - »„ *u> + - + V *,
(140)
a ... a / \ b b I \ a b 4- ... 4- a b ... o ¿> „ + ... + a b „
«1 «* / \ "ni ••• unV I \ r>n "u T ^ mu "ni mi "iJ> ^ ^ mn nv ,
DEFINICIÓN 45.—Se llama producto de la matriz A, de dimensiones m x n,
por ia matriz B, de dimensiones n x p, y se representa por A B, a la matriz
del homomorfismo Y producto del homomorfismo <x por el homomorfismo p,
siendo a el homomorfismo correspondiente a la matriz A entre los espacios
VOT y V'„, respecto de las bases (B, B^ de estos espacios, p el homomorfismo
192 § 1. E L ESPACIO VECTORIAL [Capítulo II]
entre V'„ y V"„ correspondiente a la matriz B, respecto de las bases (B' y
B") y A B la matriz de Y respecto de las bases (B, B"). La matriz A B viene
entonces dada por la igualdad (140).
De esta definición, de 84, 83 y (138) se deduce el siguiente teorema:
87. El conjunto 3JÍ„ de todas las matrices cuadradas de orden n es un
álgebra isomorfa al álgebra de los endomorfismos de un espacio vectorial Vn:
(141) End-(Vn)%S5tK .
E L GRUPO G L (n) DE LOS AUTOMORFISMOS DE UN ESPACIO VECTORIAL ^ D I -
MENSIONAL.—Un automorfismo (8, 6 1 , D) de un espacio vectorial es un en-
domorfismo que es isomorfismo.
88. [* es un automorfismo de V] < = í > [B = {\x1} ..., un} es base de
V = C > B '= {a (ux), ..., a (u„)} es base de V].
DEMOSTRACIÓN.—=>.
ker (a) = 0 < = > [n (x) = 0 = > X = 0] ,
luego
xx a ( V + ••• + xn a (u„) = 0 < = > a ( ^ U} + ... + xn un) = 0 = > * u, + ...
+ *nun = 0 = > * 1 = ... = *n = 0,
por ser B una base de V.
O — . Sea a un endomorfismo. a) a es suprayectivo. Si x es un vector ar-
bitrario de V y si
X = Xx a (ux) + ... + xn a (U„) = a {xx U l + ... + Xn un),
«1 vector y = x, Uj + ... + .r« u„ es tal que a (y) = x.
b) ker (a) •= 0. En efecto,
X 6 ker (a) < £ > 0 = a (x) = a (*x ux + ... + *n U„) = *x (a (u^) + ... + xn (a (un)),
de donde .r, = ... = xn = 0 y x = 0.
12. ECUACIONES DE LOS HOMOMOHFISMOS ENTRÉ ESPACIOS VECTORIALES 198
89. a es un automorfismo de V = > a ( u j A . . . A a (un) 4
1 0, para toda
base B = {ult ..., uB}.
DEMOSTRACIÓN.—En virtud de 88 basta ver que
«(Ux) A . . . A a ( u n ) * 0 < í > B' = { « ( u 1 ) , . . . , a ( u n ) }
es base de V. En efecto: a) < — • . Si {v^ ..., v«} es una base de V y fue-
se vx A . . . A v„ = 0, sería vx 0 . . . 0 v« € ker (A), siendo A el endomorfismo
de alternación de V®\, lo que implicaría que A (vx 0 . . . 0 v») = 0, pero
A (vx 0 . . . 0 V„) = 2 * (o) (V«íij ® • ' • <8> •«(«;)••
lo cual es imposible por ser los tensores v a ( 1 > 0 . . . 0 v o ( n ) linealmente in-
dependientes, b) = £ > . Si B' no fuese base sería linealmente dependiente y
su producto exterior sería cero.
90. a es un automorfismo de V <¡=í> j A | 4= 0, siendo A la matriz de a.
respecto de cualquier base.
DEMOSTRACIÓN.—Es consecuencia de 89 y de
a (Ux) A . . . A a (un) = | A | (u, A . . . A u j .
Sea a el automorfismo definido por:
l a (u2) = a n ux + ... + ain ún,
(142) |
( * («a) = °»x U l + - + °»« »»•
Al automorfismo inverso lo representamos por a - 1 y a su matriz corres-
pondiente, respecto de la base B = {ux, ..., u n } , por A
- 1 . De (142) se dedu-
ce que
(143) a a"
1 = i <¡=> A A~* = I,
13
194 § 1. EL ESPACIO VECTORIAL [Capítulo 113
siendo i el automorfismo identidad: i (x) = x, V x € V e I la matriz unidad:
( 1 0 ... 0 j
0 0 ... 1
La matriz A - 1 se llama inversa de la matriz A.
De 90 se deduce:
9 1 . | A | ^ 0 < = í > La matriz A posee inversa.
De todo lo anterior resulta:
92 . El conjunto G L (n) de todos los automorfismos de un espacio vec-
torial n-dimensional es un grupo isomorfo al grupo multiplicativo de las ma-
trices cuadradas de orden n y determinante distinto de cero.
De (120) y (121) se deduce que
(145)
A | | A
De (143) y (145) se deduce, por la unicidad de la matriz inversa, que
A,,
| A | '
A j H
" » l
"• I A |
A«»
§ 2. MATRICES. CALCULO CON MATRICES
1. Operaciones lineales con matrices.
DEFINICIÓN 1.—Una matriz sobre un cuerpo, anillo, grupo, etc., K es una
aplicación de I x J, I = {1, ..., n), J = {1, ..., m}, en K tal como la si-
guiente :
3 -
4
0
1
2
2
0
0
1
5
3
1
0
6
1. OPERACIONES LINEALES CON MATRICES 195
Los elementos de K imágenes de los elementos (i, 1), ..., (i, tri) se dice que
forman la fila t-ésima de la matriz. Los elementos imágenes de (1, / ) , ..., (w, / ) ,
forman la columna /-ésima de la matriz. Los elementos de una matriz se re-
presentan por una misma letra con dos subíndices, que representan al elemen-
to {i, j) de I x J original del elemento dado. Por consiguiente, el primero
indica la fila a que pertenece el elemento y el segundo la columna, así por
ejemplo:
Una matriz de n filas y m columnas se dice que es de dimensiones n x m.
Dos matrices se llaman equi-dimensionales cuando poseen el mismo número
de filas y el mismo número de columnas.
A las matrices las designamos también por una letra mayúscula o ence-
rrando entre paréntesis su elemento general ai} del siguiente modo:
Siendo las matrices aplicaciones, dos matrices {ai}) y (bi}), aplicación de
I x J en K y de I ' x r en K, respectivamente, serán iguales cuando I x J
= I ' x J ' y a , r = bi}, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m.
Esto es, dos matrices A y B
B = (btJ) =
» » - » i »
bni •• bnm
se llaman iguales cuando son equidimensionales y los elementos que ocupan
el mismo lugar en ambas son iguales. Por consiguiente,
A = B < = > o n = blV o1 3 = bi2, ..., aim = bim; ... ; a n j = bni, .... o n w = bnm.
Al conjunto de todas las matrices de dimensiones n x m lo designaremos
por 9J[„xTO.
196 § 2. MATRICES [Capítulo II]
DEFINICIÓN 2.—Siendo los elementos de 3Knxm aplicaciones de I x J en
K, si K es un grupo aditivo abeliano se puede definir una adición en 9JtnxW
del siguiente modo: (a + b)t] — atJ + bi}, esto es :
b ... b _ \ i a 4- b ... a 4- b
11 i« \ / ii T 11 "* m T "i«
A + B =
b ... b I \ a 4- b ... a + b _
«i nm / \ rti ~ ni ' " nm ~ "nm
1. £/ conjunto 9Jínxm> respecto de la definición de adición anterior, es
un grupo abeliano, cuyo elemento cero, o matriz cero, es
0 .". 0
0 =
o . . . o
y la matriz opuesta, — A, de una matriz A es.
A =
EJERCICIOS :
358. Averiguar si son iguales las siguientes matrices:
52—42 4 + 12 + 9 \ / (5 + 4) (5 — 4) 52
- - j j - ( 2 - 1 ) (2 + 1 ) 1 ' ~ l - 2 22 — 1
359. Escribir las igualdades equivalentes a la siguiente igualdad de matrices:
(x, x , x ) = (a y 4- a y , a y + a y , a y + a y ) .
V 1 ' 2 ' 3'
v 11 Jl ~ 12 -V 21-̂ 1 ^ 22 -V 31 •'l ^ 82 Jv
360. Sumar las matrices :
/ 4 - 2 1 \
A = y B =
\ 5 4 0 /
/ — 3 3 0 \
\ - 4 - 3 l /
361. Demostrar el teorema 1.
1. OPERACIONES LINEALES CON MATRICES 197
DEFINICIÓN 3.—Si K es un anillo o cuerpo, dado un número p de K y una
matriz cualquiera (at]) de 9JT„xm, se llama producto de p por la matriz (ay),
y se designa por p {atj) a la matriz:
P (a,y) = (P at¡)
2. La multiplicación de números por matrices posee las cuatro propie--
dades siguientes:
I. p [(o,,) + (btJ)] - p (av) + p (bu).
II . [p + q] (a») •= /> (a,/) + g (a„).
III. [P q) (a») = p [q (au)].
IV. 1 . (aw) = (aM).
EJERCICIOS :
362. Multiplicar el número 4 por la matriz
-r> - 8 • "'• °\
. , -f, 2, lj '
363. Demostrar el teorema 2.
364. Demostrar que si 0 es el elemento cero de K, y A cualquier matriz, es 0 A = O f
que (— 1) A = — A.
De 1 y 2 se deduce:
3 . Si K es un cuerpo, el conjunto 9Jln><m es un espacio vectorial.
EJERCICIOS :
365. Hallar una base de 9J£„x3-
366. ¿Qué dimensión tiene 3 J I n x m ?
2. Multiplicación de matrices. Transposición.
DEFINICIÓN 4.—Dados los conjuntos de matrices ?fKmxn, 9JT„xp y 9Jlm,ip, se
puede definir una aplicación:
9Jlmx«
X 3"nxP > 9Jl»ixP'
198 § 2. MATRICES [Capítulo II]llamada multiplicación, del siguiente modo:
o ... a \ I b ... b „ \ ¡a b + ... + a b ... a b „ + ... + a b _ 11 ín I / 11 i» \ / 11 11 ~ ' m "ni " n "iJ> T ^ ''m "ni
a ..a I \ b ... b _ / \ o 6 -4- ... -4- a b ... a b _ 4- ... + a b
Obsérvese que para que la matriz A sea multiplicable por la matriz B es
necesario y suficiente que el número de columnas de A sea igual al número
de filas de B. Obsérvese también que puede ser A multiplicable por B y no
ser B multiplicable por A. Además, si las dimensiones de A y B son m x n
y n x p, respectivamente, las dimensiones de A B son m x p.
4. La multiplicación de matrices es asociativa, distributiva respecto de
la adición y conmutativa respecto de la multiplicación por números, esto es,
se verifica:
I. (A B) C = A (B C).
I I . A (B + C) = A B + A C.
III. (p A) B = /> (A B) = A (p B).
IV. Se verifica que A I = A para toda A, siendo
Análogamente, I A = A.
EJERCICIOS :
367. Comprobar 4 en casos particulares.
368. Probar que A O = O, O A = 0 , A (— B) = — (A B)
369. Calcular
\ 2 5 / \ - 2 3 / y \ - 2 3 / \ 2 5 /
370. Calcular (a^ a^, o3) I ¿2 I y I b% I (a^ o2, o s).
2. M U L T I P L I C A C I Ó N D E MATRICES. T R A N S P O S I C I Ó N 199
371. Calcular
372. Calcular
(Í : : ) ( : - : ) > c - D i : : : ) •
373. Escribir las igualdades equivalentes a la siguiente igualdad matricial:
3 — 1 5
(x,y,2)\ 4 2 — 3 | = (3 .2 ,1) .
1 6 — 7
374. Escribir la igualdad numérica equivalente a la siguiente igualdad matricial:
/ °11 fl12 °13 \ / l
( i . * . y ) ( «21 «22 «23 II * l = o .
\ °ai °3 2 °33 / \ y !
375. Escribir en forma matricial los siguientes sistemas:
Í
éx — 2 y = 4 ( 2x— y + 4ts— í = 1
3 x + 5 y = 2 b ) | x + oy— z + St = — 2
x— y = l I 5x + 2y — 6 2 + t - 4
376. Escribir en forma matricial los siguientes sistemas:
2 ^ + 3 3 1 - 6¿r = 0 í 1 + 5x + 63/ — 2z + t = 0 l 2 + 3 * — y = ¿
&)\ 5x+ y + éz = 0 b) I 3 — 2x+ y + éz + 5t =0 c) ) l + ix + 2y=y'
Sx — 2 y + s = Q / 6 + 3 * + 2;y — z + 7 í = 0 ( 5 — * + 6 y = s",
377. Escribir en forma matricial los siguientes sistemas:
° n * i + - + °m *n = 0. í ° n *i + - + am*n = V
a) { b) j
V -\ + - + amn Xn = °- ( V *x + - + «»« *n = Cm'
( 1 = 1 ,
1
f * ' . = « - + <*„, •*", + ••• + o„„ •*"«• V n n n\ \ * ' nn n
200 § 2. MATRICES [Capítulo II}
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES POR CAJAS.—Consideremos el siguiente pro-
ducto de matrices, en el que se han decompuesto las matrices A y B en cajas
del siguiente modo: se han trazado rayas verticales entre las columnas ix e
»! + 1, ¿2 e i2 + 1, . . . , ir e ir + 1 de la matriz A y entre las filas ix e ¿, + 1,
i2 e ¿3 + 1, ..., ir e ir'+ 1 de la matriz B. Las rayas horizontales de la ma-
triz A son arbitrarias, así como las rayas verticales de la matriz B. A las ca-
jas que se han formado en la matriz A se les ha llamado A u , ..., A i r + 1 , a las
de la primera fila, esto es, a las cajas limitadas por la horizontal trazada por
debajo de la fila ]\, etc., A4+1>1, ..., A í+1>r+1 a las cajas de la última fila, esto
es, a las que están por debajo de la última horizontal trazada por debajo de
la fila ;*,. Análogamente, se han designado por B n , ..., B l t + 1 a las cajas de
la matriz B situadas en la primera columna (a la izquierda de la vertical tra-
zada detrás de la columna h^ésima, etc., de modo que:
A =
a\ 1 • • • a\ *!
aj\l • • • aj\*'l
a i , + l l • • • aJs+l'\
&m\ • • • ami\
a\*r+\ " ' al"
aJtir + í '-'aJx*
a Á+l«V+l • • ' aJr+l"
Qmir+i • ' • &mn
A J + 1 , i . . . A J + 1 , r ^
B==
hx •
V •
*iV+ll •
bH\
. . ¿ IAJ
• • V i
. . ¿.v+i'*i
• • bnh^
. . .
. . .
. . .
¿JAH-1
*»!*/+1
^«V+l * /+ l •
¡>nkt+l
. . bxP
• • bip
•• ¿«V+l/
. . bnfi
Multiplicando la matriz A por la B se descomponen los diversos elementos
de la matriz A B tal como se indica a continuación:
2. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES. TRANSPOSICIÓN 20!
axx • • • axtl
aJ^x • • • aj^ix
« / ,+ 11. • • • « / Í + I » !
&m\ • • • Qnti*
aX ir + i • • • #»'«
tf/jíV+t . . • a / j»
"Á + l-'V + l • • • aJs + V
&m ir+ \ • • • &tnn
bXX • • • bX hx
biu . . . b i l h l
bir+u . . . bir+lhx
¿n\ • • • bnh-.
bikt+x • • • bxp
bi^ht+x • •• biyp
b¿r + 1kt+i . . . bir + 1p
bnht+\ • • • b„p
\
*• n Í J TÍ
^ a i * ^ * i + ••• + ^"xkbkx •••^?axkbkp + ••• + 2 a^bkp
2^af»kbkx + • •• + ¿? tf"«*¿*i ••• 2 a ' " * * * ) * + ••• -f /tamk
bkP
202 § 2. MATRICES [Capítulo II]
i i
2 *»* **>
»i «i
^\ «Á + l* ¿A1 • • • ̂ J aA+l* **/
+ ••• +
«V+1 V + 1
^ «/,+1 k bk x • • • 2^ ajs+ík bkp
•VH V+i
^ \ «»* ¿*i •• • • 2 amit bkP
A » B » - A » B i t + i
A * + l l B l l ••• A J + l l B l £ + 1
A i r + I
B , + 1 1
A l r+i B r + 1 t + 1
+ ... f
A P> A R
A I 1 B l l + - + A l . r + 1
B , + 1 1 -
A , ' l . í + 1 + - + A 1 . r+1 r+i , f+ 1
A s + i . i B l l + •" + A i + i . r + i
B r + u - A * + i . i B i . t + i + - + A « + i . r + i B r + i . t + i
Resulta, por consiguiente, la siguiente fórmula de multiplicación de matrices
por cajas:
. . .A . B. B
í . t + i
A A
S + l , 1 "• i + 1. r+1
B r + i , i • • • B r + i , f + 1
A n B x i + - + A , . r + 1
B r + l l l -
A „ B i . * « + - + \ . »"+l »"+l , t + l
A B 4- 4- A B
** + ! , ! ""ll ' *" ' *** + l.r+i ~r+i,i ••• *+i, l l , í + l ~ ••• ~ í + i , r+i r + i , t + i
+ ... 4- Ac B.
esto es, /a multiplicación por cajas se efectúa como si las cajas fuesen nú-
meros.
EJERCICIOS :
378. Multiplicar por cajas las siguientes matrices:
/ ¿ii ¿n
/ «11 «12 I «13 \ I bn bu
\ «21 «22 ! «23 / \
\ bn, bn*
2. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES. TRANSPOSICIÓN 203
379. Multiplicar por cajas las siguientes matrices:
>0
0
o
*x h
1 0
0 1
ait att a23
«31 I «3 2 «3 3
380. Multiplicar por cajas las siguientes matrices:
1
0
0
0
wx\
» í l
0
w„
^ 2 2
a , , a.
381. Multiplicar por cajas las siguientes matrices:
A.
0
o
' l
1
0
h
0
1
«n
« t i
«31
« 1 2
a2i
«3 2
«13
«2 3
«3 3
0 o
tx 1 o
¿> 0 t
DEFINICIÓN 5.—Se llama transpuesta de la matriz A, y la designaremos
por A", a la matriz que se obtiene al cambiar filas por columnas en la ma-
triz A :
ni ntn
EJERCICIOS :
382. Escribir las transpuestas de las siguientes matrices:
A =
2 — 3 4
í)
b.
B = C =
c
11
c
21
C31
C I2
C „
C32
C13
C«
C33
, X = (xx, x2, x3).
5. PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICIÓN DE MATRICES.
I. (A")' = A.
I I . (A + B)' = A' + B'.
I I I . (p A)' = p A'.
IV. ( A B ) ' = B ' A ' .
204 § 2. MATRICES [Capítulo I I ]
EJERCICIOS :
383. Demostrar las propiedades I, II y I I I .
384. Comprobar en un ejemplo la propiedad IV.
DEFINICIÓN 6.—Se llaman matrices simétricas aquellas que son iguales a
sus transpuestas y hemisimétricas las que sus opuestas son iguales a sus trans-
puestas :
A simétrica <=£> A = A'.
A hemisimétrica <==> A' = — A .
EJERCICIOS :
386. Probar que las matrices simétricas y las hemisimétricas son matrices cuadradas.
386. Probar que si A es hemisimétrica todos los términos de la diagonal principal son
nulos.
3. Determinante de una matriz cuadrada.—Sea a = (ilt ..., i„) una
permutación de los números (1, 2, ..., n). Pondremos:
o- (1) = ix, <r (2) = i2, . . . , o- (n) = in.
Si T = (jl} ..., ;/'„) es otra permutación, pondremos:
r or (1) = r (<r (1)) = r ( ^ = jiy , . . . , r <r (n) = r (cr (n)) = r ( t j = UH
EJERCICIOS :
387. Si o-= (3 4 2 5 1 ) y r = ( 2 1 5 3 4), calcular o-(1), <r (2), o-(3), o-(4), o-(5)r
T «r (1), . . . , r <r (5).
Dos elementos t* e i„ de una permutación <r se dice que forman inversión
cuando en el orden natural ih precede a ik. Si e es el número total de inver-
siones de una permutación a, se llama índice de o, y se representa por i (c),
a ( - l ) e .
EJERCICIOS :
388. Contar los números de inversiones de las siguientes permutaciones: o- = (34 2 5 1 ) ,
T = (2 1 5 3 4) , (r o- (1), r o- (2). r o- (3), r cr (4), r <r (5)),(cr r (1), <r r (2), <r r (3) , ir T (4),
r r ( 5 ) ) .
389. Calcular los índices de las siguientes permutaciones: o- = ( 2 5 1 4 6 3 ) , o- = ( 5 3 1 6 4 2 ) ,
r 3 = (4 2 6 5 3 1), <T^ = (2 1 4 3 6 5), <r% v , <r% o- , <r o-,, cr4 o-^
3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 205
Si o y T son dos permutaciones de los mismos números, la permutación
(r <r (1), r <r (2), r <r (3). r <r (4), ..., r a (n))
se llama producto de la permutación o- por la permutación T y se escribe sim-
plemente T o-. Se verifica :
(1) * (r or) = i (r) . i (o-).
En efecto, si el par de números (i, j) forman inversión en la permutación <s
para que sigan formando inversión en la permutación T or es necesario y su-
ficiente que no formen inversión en la permutación T, luego cada inversión
perdida al pasar de s a T J es producida por una inversión de T. Del mismo
modo, cada inversión de T perdida al pasar a T <r procede de otra inversión de
<t, luego el número de inversiones de T o- es igual a la suma de las inversiones
de <Í y de las de T disminuida en un número par, luego si e es el número de
inversiones de o- y e' el de T, el número de inversiones de T o- es e* = s + 6'
— 2 k, siendo k un entero no negativo, luego
(— l)e* = (— l)e+E' = (— l ) e . (— l)e ',
esto es, i (T C) = i (T) . i (<J).
DEFINICIÓN T.—Si P es el conjunto de todas las permutaciones de los nú-
meros (1, 2, ..., n), se llama determinante de la matriz cuadrada A de orden
w, al siguiente polinomio:
(2) I M = y*"(° - )« 1 ( , ( 1 ) « 2 , ( a > •••«„„(
3£ P
n)'
EJERCICIOS :
390. Calcular
11 12 13
a a a
21 22 23
a, a CL
I 31 32 33
-391. Calcular los signos de los siguientes términos de un determinante:
206 § 2. MATRICES [Capítulo II]
392. Calcular los siguientes determinantes:
2
4
— 3
— 5
1 2 3
4 5 6
7 8 9
1 0 0
8 2 3
9 1 2
1 2 3
2 4 6
5 7 — 4
6. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (*).
I.
(3) ¡A! = Y >(<r)%Miac(2)2...aoMn.
3 E P
I I . Si una línea de la matriz A está formada por ceros, el determinante
de A es nulo.
I I I . Si la matriz B se obtiene de la matriz A permutando dos de sus filas-
(columnas), se verifica que :
| B | = - | A | .
IV. Si una matriz posee dos líneas paralelas iguales, su determinante es-
nulo.
V. Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por
un número, su determinante queda multiplicado por este número.
VI. Dos filas (columnas) de una matriz se llaman proporcionales cuando
los elementos de una se obtienen multiplicando los de la otra por un mismo
número. El determinante de una matriz con dos líneas paralelas proporciona-
les es nulo.
vil .
% + bn - ain + bin "¡1 ••• "in
ni nn
+ : *«,-»i
(*) Las demostraciones de estas propiedades se han visto en (79, 11, § 1). El lector que nc
haya estudiado aquella parte se limitará a aplicar estas propiedades en los ejercicios que-
siguen.
3 . DETERMINANTE D E UNA MATRIZ 207
vin.
an + tah-
a,
ii
. .o . + p a,
• tn ~ * "jn
.. a, uJn
a nn
DEFINICIÓN 8.—Se llama submatriz de una matriz A a toda matriz que se
obtiene suprimiendo un cierto número (que puede ser nulo) de filas y un cier-
to número (que puede ser nulo) de columnas de la matriz A. Al determinante
de una submatriz cuadrada de la matriz A se le llama menor de la matriz
A. Si A es una matriz cuadrada, al menor que se obtiene suprimiendo la fila
í-ésima y la columna /-ésima se le llama menor complementario del elemen-
to at} y se representa por *tl. Si A es una matriz cuadrada, al menor que se
obtiene suprimiendo las filas y columnas distintas de las filas ilf ...,ir y de
las columnas ]\, ...,jr, lo designaremos por \iij1,i2j2> ...,irjr\. Al menor
que se obtiene suprimiendo las filas ix, ..., ir y las columnas j l t ..., jT se le
llama menor complementario del anterior y lo designaremos por | ix j \ , i2 j 2 ,
• ••> ir jr | *• Se llama adjunto de un elemento atj, y se representa por A,;, al
siguiente producto:
(4) A(y = ( - l )H->a í r
Se llama adjunto de un menor [ ix ¡lf i2 j 2 , ..., ir j r | de una matriz cuadrada,
y se designa por Adj. J ix jlf i2j2, ..., irjr \, al siguiente producto:
Adj. \ilj1,i¿i,...,ir1r\ = (-l)Ñ
+ " - + , V + V " - + M s V S ' V " - » U r P -
IX.
(5) atl Atl + ai2 A í3 + ... + o¡n A ín = <*l( A l f + ... + ani An, = | A |, i = 1, ..., n.
(6) °t1Aj1+*iiA,a+-+-*in
AJn:=auAll + - + a n t A n l = s 0 > * * >"'
X.
(7) l A l » 2 \\h>Í*h>->ÍrÍr\- A d Í - \Í1h->
Í
2Í2'>-''
ÍrJr\-
a ... a
11 m
an - °in
an-am
a ... a
ni nn
208 § 2. MATRICES [Capítulo II]
EJERCICIOS :
393. Aplicar la fórmula (3) a una matriz de tercer orden y comparar con el ejercicio 390.
394. Demostrar la propiedad I I .
395. Comprobar que
21 22 23
a a a
31 32 33
396*. Demostrar la propiedad IV.
397*. Demostrar la propiedad V.
398*. Demostrar la propiedad VI.
399*. Demostrar las propiedades VII y VII I .
400. Escribir tres submatrices de la matriz
A =
11 12
a a
22 23 24
401. ¿Son
B / * i i ° i 3 \ c - /
B « f l « M
\ a a 1 ' a a a I
\ 31 32 ' 31 32 34 /
submatrices de A (Ej . 400)?
402. Escribir un menor de primer orden, otro de segundo y otro de tercero de la ma-
triz A del ejercicio 400.
403. Escribir los menores complementarios /?„ y /? de la siguiente matriz:
B =
b b b b
11 12 13 14
b b b b
21 22 23 24
b b b b
31 32 33 34
b b b b
41 42 43 44
404. Escribir los adjuntos de b y de b en la matriz del ejercicio anterior.
405. Escribir los menores 111 ; 43 | | 23 ; 34 | de la. matriz del ejercicio 403.
406. Escribir los menores complementarios de los menores del ejercicio anterior. ídem
sus adjuntos.
407. Aplicar la fórmula (5) a la matriz del ejercicio 393 para i = 2.
tío,
408. Averiguar si
l3\ a 3 2
es menor complementario de algún elemento de la matriz
del ejercicio 393 y, en caso afirmativo, escribir el adjunto correspondiente.
409. Aplicar la fórmula (7) a la matriz B tomando i = 2, »' = 4.
3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 209
7. El determinante de mi producto de dos matrices cuadradas es igual
al producto de los determinantes de las matrices factores:
<8) A B | « | A | | B
DEMOSTRACIÓN.—Basta observar que
| A [ | B | =
o ... a 0 . . . . 0 i i m
AL ... a
1 . . . . 0
0 1
0 . . . . o
b ... b
11 m
0 ,
0 . .
1 . .
0 . .
. . 0
. . 0
. . 0
. . 1
- ( « i x
- K i
*u + ••
>» + ••
Ky
K
• + V KJ •
• + ann bm) •
. — (a b
. — (a b
+ ... + a b )
+ ... + o b J)
-Kn
- bnn
= (-!)«
O A B
I B
= ( _ 1 ^ + ( » + l + - . - + 2 » ) + ( l + . . . + » ) i A g
( 2 » + l ) 2 «
= (-1) j A B | = ( - l ) 8 " ( , , + 1>| A B | r = f A B | .
4. Matriz inversa de una matriz cuadrada.—Sea A una matriz cua-
drada tal que | A | =j= 0. De (5) y (6) se deduce:
(9)
'J I A I ¿ L v I A I
y = i y = i
14
210 § 2. MATRICES [Capítulo IIJ
de donde:
( . / A H AW1 \
'11 - - -« i» \ / | A I ' • • IA I I / 1 . . . 0
; ; - . - • ,
a»! . . . a»» / \ A1W Aw„ I \ 0 . . . 1
\ I At •'•• | A | /
Se llama matriz inversa de una matriz A, y se representa por A - 1 , a la
matriz tal que
(U)
En virtud de (10), si
(12) A-*
|A
se verifica que A A - 1 = I. Ahora bien, en virtud de (5) y (6) se verifica tam-
bién que
(13) A-i A = I,
luego (12) es la matriz inversa de la matriz A.
La matriz inversa es única, ya que si existiese otra B, tal que A B - I ,
de (13) se deduciría:
A-i (A B) = A-i, (A-i A) B = A-*, B = A-».
EJERCICIOS :
410. Calcular las matrices inversas de las siguientes:
1 — 1 2
A„
| A | •
A | H
A * j
" | A |
A»»
Mi?)- »-(")• c- • 31 • D
3 2 5
4. MATRIZ INVERSA 211
411. Suponiendo que | C — B | 4= 0» resolver la siguiente ecuación respecto de X :
A — X B + X C = D.
412. Calcular A* — 3 A — I, siendo A = / 3 ] , I = / * °j .
413. Comprobar, en casos particulares, que toda matriz cuadrada A es solución de la ecua-
ción ¡A — A I | = 0 cuando en ella se sustituye A por A y | A | por | A | I, siendo I lamatriz unidad.
414. Calcular las potencias sucesivas de la matriz
415. Calcular el determinante :
A =
X
0
0
0
0
a
— 1
X
0
0
0
b
0
— 1
X
0
0
c
0
0
— 1
X
0
d
0
0
0
— 1
X
e
0
0
0
0
— 1
X -í
416. Calcular la matriz X de modo que se verifique
XA = C,
siendo | A j 4= 0-
417. Considerar el caso particular del ejercicio anterior en que X = (x , ..., xn),
L = (Ci, ..., cn).
418. Aplicar el ejercicio anterior a la ecuación matricjal:
1 — 1 0
(*!'**>*»)! ° 1 1 | = (1, - 2 , 3).
212 §3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II]
§ 3 . SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
ELIMINACIÓN LINEAL
1. Definiciones. Regla de Cramer.—Se llama sistema de ecuaciones li-
neales a un conjunto de expresiones de la siguiente forma:
l °11 *X + °12 *2 + - + °1« *n = Cl>
1 ° » *i + °22 X2 + - + °zn *n = c2>
)
en donde las atj y los c¡ son números de un cuerpo K, i = 1, ..., w, / = 1,
..., n, y las xlt ..., .#„ son letras denominadas incógnitas. Se llama solución
del sistema (1) a todo vector p = (/>x, ..., pn) tal que se verifiquen todas las
igualdades siguientes:
(2)
Dos sistemas de ecuaciones se llaman equivalentes cuando tienen las mis-
mas soluciones. Esta relación de equivalencia entre sistemas es una relación
de igualdad.
Resolver un sistema es averiguar si posee soluciones y, en caso afirmativo,
hallarlas todas.
Los sistemas que poseen solución se llaman compatibles y los que no po-
seen solución incompatibles.
Si llamamos x, A y c a las siguientes matrices:
(3) x = (xit x2, ..., xn), A = | ! I , e = (clf .... cm),
el sistema (1) se puede escribir en la siguiente forma
(4) x A = c.
1» DEFINICIONES. REGLA DE CRAMER 213
Vamos a considerar, en primer lugar, el caso particular en que A sea una ma^
triz cuadrada de determinante no nulo.
REGLA DE CRAMER.—Sea el sistema (4), siendo
* = (¿v - ' xn)' A = | [ : I» I A | 4= 0, c = (cv ..., cn),
am - an
de (4) se deduce, multiplicando por la derecha por A - 1 ,
(5) x = c A - i .
1. Los sistemas (4) y (o) son equivalentes.
DEMOSTRACIÓN.—Sea p = (px, ..., pn) una solución de (4). Se verificará
(6) PA = c, •
de donde, multiplicando por la inversa de A,
(7) P = c A - i ,
que prueba que p es solución del sistema (5). Recíprocamente, si p es solución
de (5) se verificarán las igualdades (7) y, multiplicando por la derecha por A,
se obtiene (6), que prueba que p es solución de (4).
Como en el sistema (5) las incógnitas están unívocamente determinadas,
resulta que, en este caso, el sistema (4) tiene una única solución y ésta es el
vector del segundo miembro de (5). Efectuando las operaciones de (5) se
obtiene:
t*lt ...,xn) =
í
1
A „ + - + f . A « Cl A m + - + Cn Ann
A | | A !
de donde
(8)
1
A |
c a
1 21
.
c a n 2»
•°m
•
• °nn
11 n -11 1
m n-in n
fórmulas conocidas con el nombre de regla de Cramer.
214 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II]
EJERCICIOS :
419. Resolver el sistema:
l 5 ^ - 3 ^ = 1
j ^ + 2 ^ = 3
420. Resolver el sistema:
( 2X1~ *2+ XZ=»
421.Resolver el sistema:
x
i
2 xi + x2
- \ + *x2 +
x
z
SX1~ X2-2X, + X<
2. Rango de una matriz. Dependencia lineal de vectores.
DEFINICIÓN 1.—Se llama rango de una matriz A al mayor de los órdenes
de los menores no nulos de la matriz.
EJERCICIOS :
422. Calcular los rangos de las siguientes matrices:
( 1 2 3 \ 1
423. Si la matriz A posee un menor de orden r distinto de cero, ¿puede ser su rango
inferior a r?
424. Si una matriz de dimensiones m x n posee un menor de orden m distinto de cero,
¿cuál es el rango de la matriz?
425. Si B es una submatriz de la matriz A, ¿ qué relación existe entre r (B) y r (A) ?
= 2
= —1
= 4
= 1
= 5.
2. RANGO. DEPENDENCIA LINEAL 215
Dada la matriz
<»)
•designaremos por a< y a'; a los vectores formados por las filas y las colum-
nas de A, respectivamente:
a< = ( V °t2' - ' atn)> i = *> ->m> *} = ( V °a/ °m/)»> = *> ••••
n-
Sea L la variedad lineal engendrada por los vectores filas:
-(10) X = \SL1 + \2¡Í2 + ... + AMam.
1. TEOREMA FUNDAMENTAL. La dimensión de la variedad L es igual al
rango de la matriz A.
DEMOSTRACIÓN.—Supongamos que entre los vectores ax, ..., am haya r
linealmente independientes y que todos los restantes dependan linealmente de
ellos, por ejemplo: {a1? ..., a r} son linealmente independientes y
(11) &r+l = A*<i »x + - + Pir ar> » = *' - » n ~ r -
a) Por la transitividad de la dependencia lineal se verifica que todos los
vectores de L dependen linealmente de {a, ..., a r } , ya que de (10) y (11) se
•deduce:
x = ( \ + A»U V+1 + ... + fin_n Xn) ax + ... + (A, + nir \r+l + ... + M„_rr An) ar,
luego {a^ ..., a r} es un sistema de generadores de L y, como son lineal-
mente independientes, forman una base de L, luego:
<12) dim (IL) = r.
b) El rango de A es menor o igual a r. Sea
'Vi • • • "'V*
M =
* « • «
<*/,/, • . . A» '*'i
tin menor arbitrario de A de orden s > r. Por ser dim (L) ¡= r, el teorema
<ie la base implica que los vectores a,- , . . . , a,̂ son linealmente dependientes,
216 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo IIJ
esto es, uno de ellos, por ejemplo, a,- depende linealmente de los restantes,
luego una de las filas de la matriz del menor M depende linealmente de las-
otras y, por tanto, el determinante es nulo.
c) El rango de A es mayor o igual a r. Sea s el rango de la submatriz
formada por las filas a.1> ..., a , :
11 m
(13) B =
Si í < r, existiría un menor, por ejemplo, T :
(14)
1 1 '*' 1«
: +o
a ... a ¿i ss
y todos los menores de orden superior serían nulos. De (14) se deduce, por
el teorema de Cramer, que el sistema
(15)
a A + ... + a A —a
11 i ' ' íi s r
ais \L + ... + ass Xs = ars
tiene solución única. Ahora bien, por ser nulos todos los menores de orden
superior a s, se verifica que
a ... a a
íi i* it
° M - • assast
a ^ ... a . a .
1 1 1« 1*
, t = s + 1, ..., n,
0 . . .0 art — alt A 1 - . . . - a J t As
de donde, desarrollando por la última fila,
T
K Í - au \ ~ - - ast Xs) = °> t = s + l, ..., n,
y como T =̂ 0,
(16)
°l* + l \ + -
+ ass + l
A 5 =ar,s+1>
ain \ + ... + asn Ks = arn.
2. RANGO. DEPENDENCIA LINEAL 217
De (15) y (16) se deduce que
a r = A i a i + — + A i as>
que está en contradicción con la hipótesis de ser a1? ..., a í 5 ..., a , linealmen-
te independientes.
Por consiguiente, rango (B) = r. Como B es una submatriz de A, es
rango (B) < rango (A), luego
r <^ rango (A).
SEGUNDA DEMOSTRACIÓN (*). — Si dim (L) = r y s > r, los vectores
a , p . . . , a,- son linealmente dependientes, luego
a/j A . . A A,s = o ,
pero
(17) a r i A .. A &is = 2
O', » c m í
a» i^i • • • "M ;.t
flír A ' ' • a''sJs
(nh A . . A nj) = 0 ,
en donde (/,, ..., /,) recorre todas las combinaciones j-arias de orden n y u,.
es el vector (0, ..., 1, ..., 0) con el uno situado en el lugar /,. De (17) se de-
duce que todos los menores de orden s, siendo s > r, son nulos, luego
r (A) < r.
Por ser dim (L) = r, entre los vectores a< existen r linealmente indepen-
dientes, luego el producto exterior de dichos vectores es distinto de cero ;
luego una de sus coordenadas, que es un menor de orden r de la matriz A, es
distinto de cero, luego r (A) > r.
OBSERVACIÓN.—El teorema fundamental puede enunciarse empleando los
vectores columnas de la matriz A y la demostración es la misma.
CONSECUENCIAS.—I. El máximo número de filas {columnas) linealmente
independientes entre las filas (columnas) de una matriz es igual a su rango.
I I . El rango de una matriz es igual al número de sus filas (columnas)
<=£> Todas sus filas (columnas) son linealmente independientes.
(*) Esta demostración hace uso del producto exterior de vectores.
218 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II]
III. | 4 j 4= 0 < = > Todas las filas (columnas) de la matriz cuadradaA
son linealmente independientes.
IV. B es la submatriz de A formada por las r primeras filas (columnas)
y rango (B) = r (A) < = > Las filas (columnas) ar+1, .,.., am (a'r+1, ..., a'n)
dependen linealmente de las r primeras.
V. Si el rango de las m — r matrices (n — r matrices) que se obtienen
añadiendo a la submatriz B, de rango r, de la matriz A formada por las r pri-
meras filas (columnas) cada una de las filas (columnas) restantes es igual a
r, el rango de la matriz A es r.
VI. Los vectores en = (a^, ..., ato), i = 1, ..., n, forman una base del
espacio vectorial n-dimensional V <===> \ A \ d£ 0, siendo A la matriz cuyas
filas (columnas) son las coordenadas de los vectores ai.
CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ.—La consecuencia V proporciona el
siguiente método para el cálculo del rango de'una matriz A (9). Como el vec-
tor cero depende linealmente de cualquier conjunto de vectores, se prescinde
de todas las filas nulas que figuren en la matriz A. Supuesto que en A no
existe ya ninguna fila nula, se elige la submatriz
(18) A1 = ( « n ... ain)
formada por la primera fila. Se elige un menor de Ax no nulo, por ejem-
plo, ax l :
(19) a i i * ° -
Esto permite escribir:
rango (Ax) = 1.
Se considera la submatriz
( a a ... a \ 11 12 1«
° 2 1 °22 -
a2n!
y en ella se elige la submatriz formada por la columna que contiene el ele-
mento (19):
2 \ "21 /
Se añaden a la matriz Á2, sucesivamente, las restantes columnas de la ma-
triz (20) hasta encontrar un menor de segundo orden no nulo. Si todos ellos
2. RANGO. DEPENDENCIA LINEAL 219
fuesen nulos el rango de la matriz A2 (V) sería uno y la segunda fila depen-
dería linealmente de la primera, luego se podría prescindir de ella para el
cálculo del rango y se sustituiría en A2 la segunda fila por la tercera fila
de A. Así se seguiría hasta llegar a una fila de la matriz A tal que la matriz
( a a ... a \ 11 12 i .
°tl at2 - ain I
poseyese un menor de segundo orden, en el que entrase la primera columna,
distinto de cero. Si este menor fuese
<2l) * 0 ,
se formaría la matriz que resulta de añadir a la matriz A2 la fila siguiente
°11 fl12 •
fl*l fll» •
fl«+ll a i+12 •
.. a
• a t
.a
I *1 *-ff
't+in
se forma la submatriz de A3 con las columnas en que intervienen los elemen-
tos de la matriz del menor (21):
A. =
"<1 "i2
a. a.
i+ll 1+12
y se añaden sucesivamente a esta matriz las restantes columnas de la matriz
A3 hasta hallar un menor de tercer orden distinto de cero. Así se sigue hasta
agotar todas las filas de la matriz A. El orden del último menor no nulo ha-
llado es el rango de la matriz A.
EJERCICIOS :
426. Calcular el rango de la siguiente matriz:
A =
220 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo I I ]
3 0 3
— 1 1 0
0 2 2
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1 -
0
— 1
0
0
1
- 1
1
0
1
0
0
4
1
1
2
1
1
427. Calcular el rango de las siguientes matrices:
2 — 3 1 0 1 0
— 1 0 1 2 0 0
A = | 1 — 3 2 2 1 0 | , B =
1 — 6 5 6 2 0
0 0 1 0 1 1
3. Teorema de Rouché-Frobenius.—El sistema de ecuaciones:
( flii Xi + a i2 *"a + - + V *n = CV
(22) j
se puede escribir en forma vectorial del siguiente modo:
(23) * 1 a 1 + ^ a a , + . . .+* n a n = c,
en donde
í2 4) a¡ = (alt, a2t, ... amt), i = 1 n ; c = (c,, ..., cj.
Si el vector p = {px, ..., pn) es solución del sistema (22) se verificará:
(25) í 1 » 1 + M , + - + ^ a B = c,
relación que expresa que el vector c depende linealmente de los vectores
{a1? ..., a„}. Sea L = L (a^ ..., an) la variedad lineal engendrada por los vec-
tores a1? ..., an. La relación (25) expresa que c pertenece a L. Por consi-
guiente, se ha probado que:
(26) El sistema (22) tiene solución r^> c-€ L (ax> •••> an) .
Recíprocamente, c € L (ax, ..., a*) equivale a decir que c depende lineal-
mente de a15 ..., a„, esto es, que existen unos números (px, ..., />„) tales que
se verifica (25), pero esto equivale a decir que el vector p = (plf ..., pn) es
solución del sistema (22), esto es :
(27) c € L (aj , ..., an) = > El sistema (22) tiene solución.
De (26) y (27) se deduce el siguiente:
2. TEOREMA.—El sistema (22) tiene solución <=> El vector c = (cx,
..., cn) pertenece a la variedad lineal L (a.t, ..., an) engendrada por los vec-
3. TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS 221
tores ai = (a n , ..., ami), ..., an = (a in, ..., a ^ ) , cuyas coordenadas son los
coeficientes de xx, ..., xn, respectivamente.
3 . TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS.—1. El sistema (22) tiene solución
a n - a m
<£--=> rantifl I | = rango
a ... a
mi mn
2. Si se verifica la igualdad anterior de los rangos y si
(28) T =
a a.
=1=0,
el sistema (22) es equivalente al sistema:
cr ~ arr + i *r + \ — • . • — drn X„ <*r2 • • • &rr
•(29)
a \ \ • • • a \ r - \ c\ — <*itr + i xr + \ ~ • • • — a l « x-
ari . . . arr — \ ¿V —
ar' T + l xr + i — • • • — arn X*
DEMOSTRACIÓN.—1. En virtud de la consecuencia IV del teorema funda-
mental se verifica que
rango rango | ¡<¿> c € L (a l t - , an),
mi mn m
y, por el teorema anterior,
c € L (a , ..., aB) <==> El sistema (22) tiene solución.
2 . a ) L a r e l a c i ó n (28) impl ica que
<30)
222 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo III
La hipótesis y (30) implican, en vir tud de I V , q u e :
( ° r + i . i ' - > ° r + i . « '
Cr+ 1) =
A r + 1 > 1 (<*„» ••- ° i n -
C
x) + - + *r + i . r («n» - »
flr„> Cr)>
(31)
( K » . l ' - ' ° * . n» Cm) = A * i ( a n > - » V '
C
X) + - +
Xm,r ( " „ ' - » °r»> Cr)'
En virtud de (31), el sistema (22) se puede escribir en la siguiente forma:
/ «11*1 + - + °1n
Jr«-C1 = °>
(32) / flri*l + - + t t n . J r « - C i = °'
(33)
Amx ( » „ * ! + - + V *n - c i ) + - + \ » r ( a n * i + - + °rn Xn ~ Cr) = ° -
q1
\
b) De (32) se deduce que el sistema (22) es equivalente al sistema
« „ * ! + ••• + "1n
Xn = CV
a x + ... + a x = c , "ri i ~ ~ rn n r»
llamado subsistema principal del sistema (22) y a sus ecuaciones ecuaciones
principales de (22).
c) El sistema (33) se puede escribir en la forma:
r+i Xr+i '•• ° i n Xn' ^ a ^ + .-. + V *f = f a - a l f
f an ^ + -. + arr xf = cr-ar ...x„..-...-o„x_
(34)
I n * • - ! _ J_ n V — r n. _ „ „
r+i r+i rn n'
o bien:
;
= <C1 - ° l . r + i * r + 1 ~ - - V *«. • -
C ~ °r,-r+1 * r + 1 ~ ••; ~
arn Xn>'
Por el teorema de Cramer, (35) es equivalente a
(36) (xlt...,xr)
= ( C l - t f l . r + 1 * r + 1 - - - ° i n * » . - .
c r - °, . r+1 *r+1 ~ - ~ °m *„)[
a ... a
ir rr /
y (36) coincide con (29).
3. TEOREMA4 DE ROUCHE-FROBENIUS 223
EJERCICIOS :
428. Averiguar si tiene solución el siguiente sistema:
*X- \ + 2XZ~ *4 = 1
^ - 6 ^ + 7^,-4^ = 0.
429. Resolver, si se puede, el siguiente sistema:
2xi+ x 2 - x^ + x^ = - 1
xi~2x2 + 2x3- x i = 2
5 x — 5x„ + 3x = — 5
2 3 4
- x3 = 0
2 *! + 3 *2 —
4 X
3 +
2 *4 = —
3-
430. Resolver, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
X X + X =
2 * — 3 JT — * = 0
1 2 3
3 * — 5 *
b) 2 3 - ^2-3^3=-4
xx + 4 * 3 = 6
- * ! + * 2 = ' 1
* — 6 * + * — 2 * — * = 0
I 2 3 4 5
- * + 7 * — *• + 2 jr — 3 .*_ = 1
X 4- 4 A" = 0
3 4
3 * — 4 * — 4x = 1
<0
4 ^ + 6 ^ - J T 3 + 5 * 4 - 7 ^ = 0
. 7 ̂ + 2 * 2 + 3 x3 + 2 ^ = 7 .
Los sistemas que no tienen solución se llaman incompatibles.
4. Sistemas lineales homogéneos.—Se llaman sistemas lineales homo-
géneos a los siguientes:
Í37)
a n *i + - + V *n = °>
amiXl + -+amnXn = °"
De (37) se deduce que un sistema homogéneo posee siempre, como solu-
ción el vector cero: (0, ..., 0). Por otra parte, para un sistema homogéneo
224 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II]
siempre se verifica que el rango de la matriz de los coeficientes es igual al
rango de la matriz ampliada con los términos constantes. Sin embargo, el
vector cero, por ser siempre solución de un sistema homogéneo, se considera
como solución trivial del mismo.
DEFINICIÓN 2.—Se llamasolución de un sistema homogéneo a toda solu-
ción distinta del vector cero.
( an . . . a , „ \ I < n.
tfmj • • • a»ml
( a n . . . aA„\
I = r < n < = > El conjunto de todas las soluciones del
a»n • . • amnJ
sistema homogéneo (37) forman una variedad vectorial lineal de dimen-
sión n — r.
DEMOSTRACIÓN.—a) Si a¿ = (alt, ..., ami), i — 1, ..., n, el sistema (37) se
puede escribir en la siguiente forma:
(38) xi&1 + ... +* B a n =0. 0 = (0,...,0).
Si p = (/>!, ..., pn) es una solución de (37) distinta del vector cero, será:
(39) P1ei1 + ... + pnSin=0,
y la relación (39) expresa que los vectores ax, ..., an son linealmente depen-
dientes. Recíprocamente, si los vectores a i ; ..., an son linealmente dependien-
tes se verifica una relación de la forma (39) en la que no. son nulas todas las
pi, luego el vector p — (plf ..., pn) es una solución de (37). Ahora bien, en
virtud'de la consecuencia I del teorema fundamental se verifica que: «Las
columnas de la matriz de los coeficientes de (37) son linealmente dependien-
tes» < = > »Rango de la matriz de los coeficientes de (37) menor que el nú-
mero de incógnitas.«
b) Sea L el conjunto de todas las soluciones (incluido el vector cero) del
sistema (37). El conjunto L es una variedad vectorial lineal. En efecto, si
P = (/>!> ...» Pn) y q = (Qi> •••> <7n) son soluciones de (37), se verifican (39) y
(40) q1 ax + ... + qn an = 0.
De (39) y (40) se deduce que
(41) (P, + gx) ax + ... + (Pft + qn) an = 0,
4. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 225
y (41) prueba que el vector p + q es también solución de (37). Luego:
p, q € L => p + q 6 L.
De (39) se deduce:
( A ^ K + - + (A/>„)an = 0-
luego:
p€L=£>A.p€L,
luego L es una variedad vectorial lineal.
Sean a^ ..., a r Hnealmente independientes y ay+1, ..., an dependientes li-
nealmente de a,, ..., a r . Se verificará:
í pr+í. i
a i + ••• + Pr+l, r &r - ar+1 = 0,
<42)
f ¿m a i + - • + Pnr a r ~ a n = <>'
Las relaciones (42) prueban que los vectores
son soluciones del sistema (37), luego pertenecen a L. Ahora bien,
= n — r,
•Pnr 0 0 . . . - 1
ya que el menor formado por las últimas n — r columnas es igual a
(—l)n~r 4= 0. Por consiguiente, los vectores p r + 1 , ...., p n son linealmente in-
dependientes y rango (L) > n — r.
Los vectores {pr+1> • ••> pn} forman un sistema de generadores de L. En
efecto, sea q = (qlf ..., qn) otro vector arbitrario de L. Se verificará:
(43) qi a , + ... + qr ar + qr+l a r + 1 + ... + qn an = 0.
Multiplicando las igualdades (42) por qr+1, ..., qn, respectivamente, y suman-
do a (43) se obtiene:
<'l + ^r+l . l «r+i + - + Pni «n) a i + - + C?r + Pr+1,r *r + 1 + - + Pnr O
a r = 0,
15
226 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo III
y como los vectores a15 ..., a r son linealmente independientes
^ í l + ^ H qr+1 + - + Pni ?« = °>
(44)
y añadiendo a estas igualdades las siguientes:
(45)
ffn — o = 0,
se pueden escribir conjuntamente las (44) y (45) en la siguiente forma:
Q + ír+1Pr+1 + - +?„Pn
= °>
que prueba que el vector q depende linealmente de p r + 1 , ..., p n . Por consi-
guiente, B = {pr+i, ••-, pn} es una base de L y dim (L) — n — r.
DEFINICIÓN 3.—Las ecuaciones (37), o su equivalente vectorial(38), se lla-
man ecuaciones hnplícitas de la variedad lineal L formada por todas las so-
luciones de (37).
EJERCICIOS:
431. Resolver el siguiente sistema homogéneo:
4 * x - x2+ x a - xA+ xs==0
3*1+ *2 + 2x3+ * 4 - 2 * s = 0
xx-2x2- ^ - 2 ^ + 3 ^ = 0
— x
3 * + 2xa + 2x4- xs = 0.
432. Resolver los siguientes sistemas homogéneos:
x, —•*•„ + 3 x
1 2
a)
x + x
= 0
+ 2 x& + 2 x^ = 0
— 5 x _ = 0
b)
xi+3x2
x2 + x3 + 2x
f 2.
- * . = «
= 0
+ 3 * 5 = 0
+ x + xr = 0.
4. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 227
433. Calcular ), de modo que tenga solución el siguiente sistema homogéneo y hallar
todas las soluciones del mismo.
4 .a: + 3 . r = \x .
2 3 ^ 3
434. Resolver los siguientes sistemas:
= 0,
= 0. (
jr + 2 x + x
1 2 3
- x i + x2~4xs
Un caso particular importante de sistema homogéneo es el siguiente:
(46) = « — 1 .
En este caso la solución del sistema puede ponerse en la siguiente forma:
u»—]<2 • • • "n-\n Ctn—\*\ On—\\Z • • • &n—\n
Xn
( -1 ) ' "
a\'-i ai«'+j
Qn—\\\ • • • &n—\\i—\ Qn—\i+\ • • • C¡n—\yti
( -1 )"
11 . at»-t
On—\i\ • • • &n—]\n—\
en donde el denominador de xt es el menor de la matriz de los coeficientes
de (46) que se obtiene suprimiendo la columna i-ésima, multiplicado por
5. Variedades lineales en el espacio vectorial. Eliminación en sis-
temas homogéneos.—Dados los vectores
&1 = (c l x , ..., ain), ..., aOT = (o m i , .... amn),
la variedad lineal vectorial L = L (ax, ..., am), engendrada por ellos, tiene
por ecuación:
(48) X = A i a i + - + A«am-
228 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II]
La ecuación (48) es equivalente al sistema:
x = a A 4- ... -f a A .
(49)
\ 1 11 1
x = a A + ... + a A .
n in i ' ^ mn m
Las ecuaciones (49) se llaman ecuaciones explícitas o paramétricas de la
variedad lineal L. Se ha visto en el número anterior que una variedad lineal
se puede expresar también mediante ecuaciones implícitas. Se trata ahora de
hallar las ecuaciones implícitas correspondientes a la variedad lineal L cuyas
ecuaciones paramétricas son las (49).
Sean
(50)
En virtud de la consecuencia IV del teorema fundamental, se verifica
(51) x € IL < ^ > ;• (A) = r (B).
Ahora bien, si r (A) — r y
T = + 0,
se verifica que
(52) r (B) = r < = > r I : = r < £ > (53)
... o„ x.
rr r
.. a * 1. r+i ••• r, r+i r+i
a ... a x
5. VARIEDADES LINEALES E.N EL ESPACIO VECTORIAL. ELIMINACIÓN 229
Luego las ecuaciones (53) son las ecuaciones implícitas de la variedad lineal
L. Desarrollando las ecuaciones (53) se pueden escribir en la siguiente forma:
\ Mn xi + - + V Xn = °>
(54) j
0.
5. Sí (•$) son las ecuaciones explícitas de una variedad lineal L, de di-
mensión r, las ecuaciones (54) son las ecuaciones implícitas de L y se verifi-
ca que
(65)
( - - - ) - •
\ n-r, l '" n-r, n /
DEMOSTRACK')N.—De las equivalencias (51) y (52) se deduce que L es la
variedad de las soluciones del sistema (54), luego si el rango de la matriz
de (55) es s, en virtud del teorema 4, se A-erifica que dim (L) = n — s y como
por hipótesis es dim (Lj = r, se obtiene que s = n — r.
DEFINICIÓN 4.—Se dice que las ecuaciones lineales homogéneas:
^ * u xi + ... + ainxn = o.
(56)
son linealmente independientes, cuando el sistema formado por ellas no es
equivalente a otro sistema lineal con menos ecuaciones. En caso contrario se
llaman linealmente dependientes.
6. Las ecuaciones (56) son linealmente independientes
/ a ...a v
/ 11 m
<=> r
n i nm
DEMOSTRACIÓN.—Sea
(57)
230 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II]
y L la variedad lineal formada por todas las soluciones de (56). En virtud de
4 es dim (L) = n — s, y por 5 son (54) las ecuaciones de L y, por tanto, el
sistema (54) equivale al (56). Ahora bien, el número de ecuaciones de (54) es
n — (w — s) = s, luego dado el sistema (56) se puede hallar otro equivalente
con s ecuaciones, siendo s el rango de la matriz (57), con lo que queda pro-
bado el teorema.
7. Las ecuaciones (58) o (54) de la variedad lineal vectorial (J/9) son li-
nealmente independientes.
DEFINICIÓN 5.—La operación de pasar de las ecuaciones explícitas (49) a
las implícitas (54) de una misma variedad vectorial lineal, se llama elimina-
ción de los parámetros Xíf ..., XTO de las primeras.
8. Sean (56) las ecuaciones implícitas de la variedad vectorial lineal L.
Si el rango de la matriz de los coeficientes del sistema (5.'j) es r y si
(58) r = r-o,
se verifica que:
X! = 7 ' J . r + i \ + - +
7 \ „ V r '
í . r+i A l + • " + Tzn An_r
X r
X r + 1
=
—
Tr
— T
r+i A i
*,
+ • m K. -r'
T X
en donde r u , i = 1, ..., r, j = r •+ 1, ..., n, es el menor de la matriz de loscoeficientes de las r primeras ecuaciones de (56) que se obtiene sustitu-
yendo en la matriz del menor (58) la columna x-ésima por la columna j-ésima
de la submatriz:
ri rj ' rn/
de la matriz del sistema (56), son las ecuaciones explícitas de la variedad vec-
torial lineal L.
5. VARIEDADES LINEALES EN EL ESPACIO VECTORIAL. ELIMINACIÓN 281
Como
T ...T
l , r + i * i
T ... T
2, »•+! 2
<60, r\ Trr+i...Tr
- T ... ü
Ó ... —f
por ser el menor formado por las n — r últimas filas igual a (— T)n_r 4= 0,
los vectores formados por las columnas de la matriz (60) forman una
base de L.
OBSERVACIÓN.—El paso de las ecuaciones explícitas a las implícitas de una
variedad vectorial lineal L corresponde a la operación de eliminación de los
parámetros de las ecuaciones explícitas y el paso de las ecuaciones implícitas
a las explícitas equivale a la resolución del sistema formado por aquéllas.
Aparecen, por tanto, las operaciones de eliminación y resolución como in-
versas una de otra.
EJERCICIOS :
435. Hallar las ecuaciones implícitas de la variedad lineal L definida por las siguientes
ecuaciones paramétricas:
* 1 =
*2 =
^ 3 =
X =
4
— Ax + 2X2 ->-3A3 + 2A4
2 A 1 - 4 A ¡ - A 3 + X4
\~2\ + K + 2K
— 3 Aa + 6 A2 ~ 2 A3 — 5 A4
436. Hallar las ecuaciones implícitas de la variedad lineal L engendrada por los siguien-
tes vectores:
a, - (— 1, 0, 2, 0, 3), a2 = (2,1, 0,1, — 2). a3 = (1,1, 2,1,1),
a4 = (1, 2, 6, 2, 5), a. = (0, - 1 , 1 , 0, 0).
437. Hallar una base de la variedad lineal:
3 ^ - x2+ * 3 - 2 . r 4 + * 5 = 0
* x + 2 * j r + 8 * , - 4 * 4 + 2 * 5 =0
- 2 ^ + 3 ^ + 2 ^ - 2 ^ + * s = 0
*X - * 3 +
2 * 4 = 0
5 *2 + 4 * 3 ~ ~ 4 *< + 3 ' r 5 = 0
232 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo II}
438. Eliminar x^ y x en el siguiente sistema:
# — 2 #„ + 2 x = 0
1 3 4
2xi+ x2 + '¿x3~Sxi = 0
5x — x + x - 0.
439. Eliminar x y x en el siguiente sistema:
2x + x — x + 2 A = 0
1 ^ 2 3 ^ 4
A- — x + 2x X = 0
1 2 ~ 3 4
1 T 2 ^ 3 ^ 4
6. Variedades lineales en el espacio afín. Eliminación en sistemas
no homogéneos.
DEFINICIÓN 6.—Se llama variedad lineal en el espacio afín al conjunto de
todas las matrices (xlf ..., xn), llamadas puntos del espacio afín, que se ob-
tienen dando valores numéricos a Xx, ..., Xr, en el siguiente sistema:
*, = «„ A, + ... + a]r \r + cx
+ ... + a , A„ + c„
(01) ' * =l ' *r r 2
1 *1 = ° 1 , A l
) ^
« - - m \ + - + a » r ^ + c „ •*•_ = a
El sistema (61) se puede escribir en forma matricial del siguiente modo:
(82) x = A( al + ... + \rar + c,
siendo
Ahora bien, (62) puede ponerse en la siguiente forma:
(63) x — c = Xx ax + ... + \ r o r ,
que expresa que el vector x — c depende linealmente de los vectores
alf ..., ar, expresión que permite considerar el conjunto de vectores {x— c)
6. VARIEDADES LINEALES EN EL ESPACIO AFÍN. ELIMINACIÓN 23a
como una variedad lineal vectorial y aplicar lo visto para estas variedades
lineales.
Eliminando las Xt en (63), se obtienen la§ siguientes ecuaciones:
x — c = Aa ax + ... + kr ar < = > r
y si el rango de la primera matriz es s y
n\ fvf ti H /
a„ ...a.
±0,
la última igualdad de rangos es equivalente a:
a i i " V *i ~ f i
atx -
ass *s
a a x — c
í + l l 4+1* í+1 í + 1
= «.
(«4)
° 1 I -
°*1-
°«1-
• • » •
• f l «
• ° » »
xx~cx
x,-c*
xn~cn
= 0,
luego el sistema (64) tiene como soluciones todos los puntos de la variedad
lineal afín (61) y sólo ellos, por lo que a las ecuaciones (64) se les llama ecua-
ciones implícitas de la variedad afín, cuyas ecuaciones explícitas son (61).
Las ecuaciones (64) se pueden escribir en la siguiente forma:
(65)
« n *x + ... + «,„ *n + \ =0
M»-».i *i + - + Un-s,nXn + Un-s = °-
Al paso de las ecuaciones (61) a las (65) se le llama eliminación de los pa-
rámetros Xlt ..., Ar.
2U § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capitulo II]
DEFINICIÓN 7.—Se llama dimensión de la variedad lineal afín L definida
por (61), al rango de la matriz de los coeficientes de los parámetros X,:
dim (L) = r
9. Si (61) son las ecuaciones explícitas de una variedad lineal afín, L, de
dimensión s, las ecuaciones (65) son sus ecuaciones implícitas, y se verifi-
ca que
DEFINICIÓN 8.—Dado el sistema de ecuaciones:
( °n xi + - + °i« Xn = K
(66) I :
( ami * j + - +
amn Xn = bm>
se dice que las ecuaciones del sistema (66) son Hnealmente independientes
cuando
(67) r\ | = r l \ I = m,
\ a ... a I \ a ... a b I
\ « i mu I \ m\ mn m /
si los rangos de las matrices (67) son iguales, pero inferiores al número de
ecuaciones se dice que las ecuaciones son Hnealmente dependientes.
10. Las ecuaciones (65) son Hnealmente independientes.
11. Si el sistema (66) es compatible, esto es, si
*o,
6. VARIEDADES LINEALES EN EL ESPACIO AFÍN. ELIMINACIÓN 235
se verifica que el conjunto de todas las soluciones de (66) es una variedad
lineal afín de dimensión n — r, cuyas ecuaciones implícitas son (66) y cuyas
ecuaciones explícitas son:
l b _. r A T \
T i. r+i / v i ••• '1,11 An-r
2 b T \ T \
<68)
rb
Tv, r+i \ ~TT.aK~r
T\_
en donde Tlb es el determinante de la matriz que resulta de sustituir la colum-
na i-ésima de la matriz T por (b1, ..., br) y Tü es el determinante de la matriz
que se obtiene al sustituir la columna i-ésima de la matriz de T por (a1}, ..., arj).
Basta aplicar el teorema de Rouché-Fróbenius.
Como la matriz de los coeficientes de las Xlt ..., A„_r, en (68) es la opuesta
a la matriz (60), resulta que la dimensión de la variedad lineal (68) formada
por las soluciones de (66) es n — r.
EJERCICIOS :
440. Calcular la dimensión de la variedad lineal afín L.
* * = - A ] - 2 A 2 + A3 + 2
x- = A, + 3 A„ — 2 A„ — 5
3 ] 2 S
* = 4 A, — 2 A„. + 6 A. + 4
441. Hallar las ecuaciones implícitas de la variedad del ejercicio anterior.
442. ¿Son las ecuaciones
/ 3 xx — x2 + 2 x i = i
} x, —2xn+ x = 5
2 xx +. x2+ x¿ = ~
las ecuaciones de una variedad lineal afín?
236 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo IIJ
443. Hallar las ecuaciones explícitas de la variedad lineal afín:
5 x i + 2 x 2 ~ Sxs + x* = 1
2X1~ X2+ Xa~ *4 =
2
444. Calcular la dimensión de la variedad afín:
L :,
* 1 -
X* =
*3 =
*4 =
3 Ai ~~ Aa + 2 As + 5
\ ~ 2 A 2 - A3 + 4
- 2 A 1 + 4 A 2 + 2 A 3 - 1
— \x + 3 A2 + 2 A3 + 3.
445. Calcular la dimensión de la variedad lineal afín:
Zxi + 2xi— xa + xt— x.= 1
8 A'2 — 5 x — x — 9 -r. = — 3.
446. Hallar las ecuaciones implícitas de la variedad del ejercicio 444.
447. Hallar las ecuaciones explícitas de la variedad afín:
\ 2x2 + xz - 7 = 0
| xx — 8 x2 — 5 xA + 30 = 0.
448. Probar que la variedad lineal solución del ejercicio anterior es igual a la variedad
lineal del enunciado del ejercicio 444.
449. Hallar las ecuaciones explícitas de la variedad lineal del ejercicio 445.
450. Hallar d (L) + 1 vectores linealmente independientes que sean solución del sistema
<¡¡el ejercicio 445.
451. Eliminar el mayor número posible de incógnitas en el siguiente sistema:
x i - 2 x 2 + * 3 - l = 0
- * 1 + X2 + 4 X 3
+ 1 = 0
. ^ - 3 ^ + 6 * 3 - 1 = 0 .
452. Eliminar el máximo número posible de incógnitas en el siguiente sistema:
2 -^ + x2 — 4 xs + XA — 5 = 0
— xi + 2 xz + 3 x3 — 2 xA + 1 = 0
— •¿xi—4x2 + 2xs+ * 4 + 3 = 0
— 2 x — * + x — 1 = 0 .
6. VARIEDADES LINEALES EN EL ESPACIO AFÍN. ELIMINACIÓN 237
DEFINICIÓN 9.—Dado el sistema (66), se llama eliminar en él las incógnitas
(¿\, ..., xr) a la operación que consiste en hallar otro sistema
= *,.
.(69)
1 f i . r + i * r + i + - +
C
¡n
Xn
Cs,r+i*r+1 + - +
csnX« = Cs'
en las restantes incógnitas tal que
( o x + ... + a x A- a p + ... + a i> = b
j a x + ... 4- a x -4- a t> + ... + a j> = b
(70)
tiene solución única respecto de las incógnitas (x\,...,xr)
es solución de (69).
12. Sea
(Pr+i, •••,/>n)
<71)
Si r < s y
a i l - a i n hi
a w i . . . B.wnm b
m i m ina
r =
/ ri ' " rr
4=0,
j<? verifica que (70) tiene solución única respecto de (xx, ..., xr)
S i - a i r a i , r+i Pr+1 + - +
a m Pn ~ b i
(72)
anu - ami am,r+1 Pr+i + - +
amn Pn ~ K
DEMOSTRACIÓN.—Por ser T ^ 0 es
a., ••• o.
238 § 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ELIMINACIÓN [Capítulo III
luego si el sistema (70) tiene solución esta solución es única. Ahora bien, la
condición necesaria y suficiente para que el sistema (70) tenga solución es,
por el teorema de Rouché-Fróbenius, que se verifique (72).
13. Si s tiene el significado de (71) y r < s, se pueden eliminar en (66)
r incógnitas. Si T 4: 0, siendo T el menor de 12, se pueden eliminar las in-
cógnitas x1? ..., xr, y si
a n - am \
(73)
a. ... a b i i m i
a ... a b
si sn B
se verifica que el sistema que se obtiene al eliminar (x i r ..., xr) en (66) es,
(74)
a ... a a x + ... 4- a x — b
11 ir i, r+i -V+i T T am An " i
= r < £ >
a ... a a x + ... + a x — b
si sr s, r+i r+i ' ' «n n "a
(75)
a.. . . . a . . a. . . . x _ . . + . . . + a1H xB — \
rn n r
r+i,i " r+i,r r+i,r+i r+i ^ "* ^ r+i,nAn "r+j
a ... a a x + ... + a x — b
11 ir i.r+i r+i ^ ^ "m B " I
= 0>,
a r i - arr ar. r+1
X r+ 1 + - . +
a n . Xn ~ b r
a»l - asr \ r+ i
X r + i + - +
a
Bn
Xn ~ b .
= 0.
DEMOSTRACIÓN.—De (73) y (71) se deduce que el sistema (66) es equiva-
lente al sistema:
(76)
o x + ... + a x = b ,
ll 1 ' ' in n i '
aSlxx + ... + asnxn = bs,
y de 12 se deduce que se pueden eliminar las incógnitas (x1, ..., xr) y que el
resultado de la eliminación viene dado por (71), o bien por (75).
6. VARIEDADES LINEALES EN EL ESPACIO AFÍN. ELIMINACIÓN 239'
14. Si se verifica (71) el máximo número de incógnitas que se pueden eli-
minar en el sistema (66) es igual as — 1 y el resultado de la eliminación es:
una única ecuación
EJERCICIOS :
453. Eliminar el máximo número posible de incógnitas en el siguiente sistema.:
i * , - *, + 2 * , - *4 +
2 - o
' - - 2 ^ + x2 + * 3 + 3 ^ — 1 = 0
I 2 * 2 + 2 - * g + 4 . * 4 + 2 = 0
( *1 ~ 2 X2 + 7 *3 + 5 = 0 » .
CAPITULO TERCERO
EL E S P A C I O E U C L I D E O
§ 1. EL PLANO AFÍN
1. La recta afín.—Sea Ax una recta y Vx el conjunto de todos los vec-
tores libres (Cap. II , § 1, 2, def. 5) que tienen un representante (Cap. II ,
§ 1, 2, def. 7) en la recta r. Los vectores de Vx diremos que pertenecen a
la recta r. Si u es un vector de Va, cualquier otro vector x de V1 se puede
expresar en la forma (Cap. II , § 1, 4, def. 18):
(1) x = x u
en donde x es el módulo del vector libre x (Cap. II , § 1, 4, def. 7) respecto
del segmento unidad ñ correspondiente a un representante del vector libre u,
cuando x y u tienen el mismo sentido (Cap. II , § 1, 4, def. 17) y x es el
opuesto al módulo de x cuando x y u tienen sentidos opuestos.
EJERCICIOS :
454. Escribir en la forma (1) los vectores x = [A X], y = [B Y], z = [C Z], siendo
u = [<5Ü] (fig. 40).
» >l ' i I > i — x i • « i >
O U A x y BC z
Fig 40.
r> 2 1
455. Dibujar representantes de los vectores x = — u, y = — u.
7 18
Entre A1 y Vx se puede establecer una correspondencia biunívoca cuando
se fija un punto O en la recta, llamado origen. En efecto, dado un punto ar-
bitrario X de la recta (fig. 40), se define como imagen de X en dicha corres-
1. LA RECTA AFÍN 241
pondencia el vector libre [O X ] . La correspondencia que asigna como ima-
gen del vector libre x el extremo del representante O X de x con origen O
es la inversa de la anterior y ambas correspondencias son aplicaciones supra-
yectivas.
Al vector x = [O X ] correspondiente al punto X le llamaremos vector de
posición del punto X respecto del origen O.
Llamando <p a la correspondencia:
O
(2) A, >V l t
se verifica que
(3) <p: X^O>f^(OXJ = x,
(4) <p-': x - O X - X ,
CAMBIO DE ORIGEN.—Si se toma otro punto O' como origen, de la defini-
ción de adición de vectores libres (Cap. II ,
§ 1 , 2 , def. 8) se deduce que (fig. 41) -,, > |
o O' x
(5) [ÓX] = [OOI + [O7^], F ig. 41>
luego, si x y x ' son los vectores de posición del punto X respecto de O y O',
respectivamente, y si a es el vector de posición de O' respecto de O, (5) se
puede escribir en la forma:
(6) x = a + x'.
ABSCISAS EN LA RECTA.—Fijado un origen O en la recta, la corresponden-
cia (2) es una biyección de la recta en la recta vectorial Vx. Fijado un vector
libre u de Vx, se puede definir una aplicación <j/ de Vx en K, siendo K el cuer-
po correspondiente a los vectores libres, mediante:
\ 'b: V, >K,
(7) '
f >b (X) = -V <JÍ> X = . V U .
De (Cap. II . § 1 ,4 , def. 18) se deduce, en virtud de la definición (7), que la
16
242 § 1. EL PLANO AFÍN [Capítulo III]
correspondencia <̂ es una biyección. La aplicación producto de <p por <j* es una
biyección Y :
K
de Ax en K. Si x — Y (X), se dice que x es la abscisa de X respecto del sis-
tema de referencia R = { 0 ; u } .
1. x es la abscisa de X respecto del sistema de referencia R = {0; u}
< = > [ÓX] '= x u .
En efecto, decir que x es la abscisa de X respecto de R equivale a decir
que x = T (X) = * <p (X) = * ( [ O X ] ) = * (* u).
CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA.—Sean R = { 0 ; u } y R * = {0* ;u*}
dos sistemas de referencia en la recta Ax y x y x* las abscisas del punto X
respecto de ambos. En virtud de 1 se verifica:
(») [OX] = x u, [Ó*X] = x* u*,
y si a es la abscisa de O* respecto de R se verificará:
(9) [00*] = o u.
De (5), (8) y (9) resulta:
(10) xu = au + x*u * .,*
y si
(11) u* = b u,
se obtiene:
(x — a — b x*) u = 0,
de donde:
(12) x = a + bx*
que es la fórmula del. cambio de sistema de referencia en la recta.
2. LA RECTA AFÍN 243
EJERCICIOS :
456. Las abscisas de A y B respecto del sistema de referencia K son 5 y — 3 , respecti-
vamente, y respecto del sistema de referencia R* son —2. 4, respectivamente. Hallar la fór-
mula del cambio de sistema de referencia.
457. La abscisa de O* es 4 y la de O, — 1. Hallar la ecuación del cambio de sistema de
reíerencia.
458. La abscisa de O es 2 y las de U. 1 y — 5. Hallar la ecuación del cambio de sistema
de referencia.
2. El plano afín.—Al conjunto de todos los vectores libres (Cap. I I ,
§ 1, 2. def. 5) que poseen un representante en un plano A2 lo representa-
remos por V2 y diremos que están en el plano A2, o que pertenecen al plano A^.
2. El conjunto V2 es un subespacio de dimensión dos del espacio vectorial
V3 de los vectores libres.
DEMOSTR.ACIÓX.—X, y € V2 <—> A B € x, C D € y ; A B , C D € Aa. Si O
es un punto de A2 y O X ~ Á~B. Ó Y - Ó D , resulta que Ó X € x, O Y € y
y X Y € y — x. X Y € A2, luego y — x € A2. Si x € A2 también k x € A a
cualquiera que sea el número k de K.
3 . dim (F2) = 2.
DEMOSTRACIÓN.—Sea O A B (fig. 42) un triángulo de A2. Los vectores
Uj = [O A] y u3 = [O B] , son linealmente independientes, pues, en caso
contrario, uno de ellos, por ejemplo u2, dependería linealmente del otro u x :
U 2 = A U l
y por (Cap. I I , § 1 , 4 , def. 18) los vectores u : y u2 tendrían la misma direc-
ción y los puntos O, A, B estarían alineados. B = {u u u2} es un sist^™ia de
generadores de V2. En efecto, x € V2 < = > O X
€ x, O X € A2 (fig. 42). Las paralelas a O A y
O B trazadas por X cortan a las rectas O B y O A
en puntos X 2 y X : , respectivamente, y se verifica:
x - [ÓX,] + [ÓX2]
[ Ó X ] = x u,. [ Ó X ] = x2 u2, Fig- 42,
244 § 1. E L PLAXO AFÍN [Capítulo III]
de donde:
03)
luego B es un sistema de generadores y como son linealmente independientes,
forman una base de V2.
Siendo B = {u^ u3} una base de V2, los números (xlt x2) de (13) están
unívocamente determinados por x, y se llaman coordenadas de x respecto de
B. Al espacio vectorial bidimensional V2 se le llama plano vectorial.
CAMBIO DE BASE EN EL PLANO VECTORIAL V2.—Si B = {ux, u2} y B ' = {vl} v2}
son dos bases de V2 y (x1, x2), (ylf y2) son las coordenadas del vector libre x
respecto de B y B', respectivamente, se verifica que
(14) x =x1 ux + Í 2 U , = y1 v1 + y2 v2.
Si las coordenadas de ux y u , respecto de B' son (a1T, a12) y (a2l, a22), respec-
tivamente, se verifica que
= G,, V, + #,„ V,,
<15)
i u„ = o„, v, + «„„ v
\ U ! - 1 1 - 1
Sustituyendo (15) en (14) resulta:
v y + \ y = x (a v + o y ) + x (a v •+- a y )
- i T l ^ - > 2 Y 2 1 V 11 1 ^ 12 T 2 7 ' 2 ^ 2 1 *1 ' 22 Y SJ
= ( o n *x + o3 1 x2) V i + (a12 x^ + a , , * , ) r¡t,
y, por ser vx y v2 linealmente independientes,
( y, ^ V i + S i - 'v
(16)
/ y2 = a i 2 ^ + <*22*2,
o bien, empleando notación matricial,
(17) Ov y2) - (*v *2)
A ' A
a i l ° 1 2 \
«21 fl22 /
Si (6X1, &12) y (&21, 622) son las coordenadas de v P v2, respecto de B, se ve-
rifica que
(18) \ * , - .»„ . , + »„•,.
2. EL PLANO AFÍN 245
y sustituyendo en (14):
*i u i + x% u a
= ^ u ^i + * « y¿ u i + Vi* ^ + b22 ya) v
de donde,
( x = b y 4- b v
\ i u -ri T 21 J2
I x = b v + b y
[ 2 12 •'l ~ 22 •'2
(19)
o bien
(20) (*v *2) = 0\, 3*3) B; B =
De (17) y (20) se deduce que
/ bn » » \
\ >21 b*2 J
(yx. y2) = <yx, y2) B A,
y como (ylf y2) es una matriz arbitraria, B A = I, que prueban que B = A*
1,
y, por tanto, que j A | =)= 0, | B | dp. 0.
Las fórmulas (16), (17), (19), (20) se llaman ecuaciones del cambio de base
en el plano vectorial.
4. Si O es un punto del plano afín A2, se puede definir una biyección, 9,
de A2 sobre V2:
( °
( 2 1 ) »= • A . - ^ , _
f X^OX-+ [OX]=x .
DEMOSTRACIÓN.—cp es una aplicación, ya que O X está unívocamente deter-
minado por X y [O X ] lo está por O X. Es inyectiva, ya que si cp (Y) = x,
será LOY] = [ O X ] , de donde (3, § 1, Cap. II) X = Y. Es sur "ayectiva,
pues dado x, el vector O X € x es único y cp (X) = x. La aplicación inver-
sa de <p es
(22) cp*1: x - ^ Ó x ^ x - ^ X .
Al vector x = 9 (X) se le llama vector de posición del punto X respecto
del origen O.
El conjunto C2 formado por todas las matrices (x1) x2) de dimensión 1 x 2
246 § 1. EL PLANO AFÍN [Capitulo III]
4»
+
Vt — » - C ,
X — Xx U , 4 - Xt U 2 — (*! , tf2)
con elementos del cuerpo K es (Def. 3, 1, § 1, Cap. II) un espacio vectorial
bidimensional, a cuyos vectores llamaremos vectores algebraicos.
5. Si B = {uu ut} es una base del plano vectorial V2, existe una bisec-
ción <{/, de V 2 en C2 definida del siguiente modo:
(23)
DEMOSTRACIÓN.—Por ser (u1} u2) una base de V2, 4*
es una aplicación.
Es inyectiva, pues si ü (y) = (xlf x2), es y = xl XÍ1 + x2 ua = x. Es
suprayectiva, ya que, dado (xlt x2) se verifica que <J> C*\ ux + x2 u2) = (xlt x%).
DEFINICIÓN 1.—Se llama sistema de referencia en el plano afín A2, al con-
junto R = {O; Ui, u2} formado por un punto O del plano afín, y una base
B = {ulf ua} del plano vectorial V3 de los vectores libres del plano afín.
De 4 y 5 resulta que:
6. Dado un sistema de referencia R = {0; u u u2} en el plano afín, queda
definida una biyección Y, de A2 en C2, producto de <p por ty:
A , — ^ - V ,
(24) T\ • •
Al vector algebraico Y (X), imagen de X en Y, se le llama vector de las coor-
denadas cartesianas de X respecto del sistema de referencia R.
7. (xx, x2) es el vector de las coordenadas de X respecto de R <==> Y (X)
« (xlf xa) < = >
(26) CÓX] = *x u, + * , u2.
DEMOSTRACIÓN.—Y (X) ={xx, x2) <=£> 4» <p (X) = fo, #2) < = > «J> ([O X])
== (*i> *a) < = > [O X] = *! U! + x2 u2.
CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA EN EL PLANO AFÍN A2.—Sean R = {O;
u u u2} y R ' = {O'; vx, v2} dos sistemas de referencia en A2. Sean (xlt x2) e
2. EL PLANO AFÍN 247
(ylt y2) los vectores de coordenadas del punto X respecto de R y R', respec-
tivamente. De (25) se deduce:
(26)
iorx'\=yly1 + y2y2.
Ahora bien, de la definición de adición de vectores libres (Def. 7, 2, § 1,
Cap. II) se deduce que (fig. 43):
(27) [O 'X] = [ O ' 0 ] + [ 0 X ] .
Sea (ax, a2) el vector de las coordenadas de [O' O]
respecto de la base By = (vx, v2) y sean (allf a12) y
(a21, a22) los vectores de coordenadas de ux y ua, respec-
tivamente, respecto de B':
(28)
[O' O] = a% vx + a2 v2 ,
«i = axi v i + a i s V2'
De (26), (27) y (28) se deduce:
*i T i + y3
va - («i v i + ° 2
y
2 ) + *i ( ° n
v i + a 1 2
v
2 ) + ** K l • ! +
fl« v2>
" K + «11 *1 + ^ 1 * . ) V l + (°2 + «12 *1 + °22 *S> V
de donde, por la independencia lineal de v u v2,
(29)
j ?i = °i + °n *i + °21 *V
que son las fórmulas del cambio de sistema de referencia en el plano afín.
Para escribir las ecuaciones (29) en forma matricial conviene añadirles la igual-
dad 1 = 1, con lo que se puede escribir:
(30)
1 a,
( l i .y i iy^ = ( f t * i . * i ) A , A = | 0 a , , axt
0 a91 a,,
Ar|=0.
248 § 1. E L PLANO AFÍN [Capítulo III]
8. | A | £ 0.
DEMOSTRACIÓN.—| A | = j a " * , 2 I . Si fuese | A | = 0, sería una de las
I "31 alt I
filas de la matriz del último miembro linealmente dependiente de la otra,
p. e., (a21, a^) = X (a„, a12), de donde, teniendo presente (28), sería:
« 1 = al 1 V l - f «22 V 2 = >> («11 • • "f "18 V2^ = "'' U l •
y los vectores ux y u2 no serían linealmente independientes.
Por ser | A | :£ 0, se puede resolver el sistema de (30) respecto de
(1, xx, x2), y se obtiene:
(81) Q.,xi,x2) = (l,y1,y2)A-i, | A ¡ * 0,
que son las fórmulas inversas de las (30).
EJERCIÓOS :
459. Hallar la fórmula del cambio de sistema de referencia siendo [ O ' O ] = 2 v x — 3 v „ ,
u 1 = 4 v 1 — v2, n 2 = 3 v 1 + 6 v 2 .
460. Hallar la fórmula del cambio de sistema de referencia siendo [O O'] = 4 u + u . r
V1 = 2 u 1 + 3 u 2 , v a = — ^ + 5 ^ .
461. Hallar las fórmulas del cambio de sistema de referencia siendo (2, 3), (1, — 1), (5, 4)
las coordenadas de O', U , U 2 respecto del sistema de referencia R = { O ; n , u 2 } y siendo
(1,0) y (0,1) las coordenadas de U y U respecto de R' = { 0 ' ; v , , v 2 } .
462. Hallar las fórmulas del cambio de sistema de referencia sabiendo que las coordena-
das de los puntos M, N , P respecto de R son (1, 3), (2, — 1), (5, 7), respectivamente, y res-
pecto de R' son (4, — 1), (— 3, 2), (— 1, — 2), respectivamente.
463. Hallar las fórmulas del cambio de sistema de referencia, siendo (1,4), (— 2,3) ,
(5, — 2) las coordenadas de O', A', B' respecto de R y R' = { O ' ; [O ' A ' ] = v ,
[ Ó 7 B ' ] = v 2 } .
3. Ecuación de la recta en el plano. Incidencia en el plano.
O
A. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.—La biyección 9: A2 —>• V2, entre
el plano A2 y el plano vectorial V2, establecida al
fijar un origen O del plano, permite asociar a
cada punto X del plano su vector de posición
x = [O X ] (fig. 44). Sea la recta r determinada
por los puntos A y B ; sea X un punto arbitrario
de la recta r, y sean
F i g ' U- (32) a = [ O A ] , b = [ O B ] y x = [ Ó X ] .
3. ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO 24»
Se verifican las siguientes equivalencias:
X € r <=> [AX] || [ÁTB ] <=> [ÁX] = A [AB] <=> x - a = A ( b - a )
[ 1 « • + A,
<=> x = a + A (b — a) <=£> x = (1 — A) a + A b < í > j
( x = fi a + A b.
Por consiguiente, las ecuaciones
(33) x — a = A ( b - a ) ,
(34) x = a + A(b—a),
(35) x = ( l - A ) a + Ab,
( 1 = fi + A,
(36)
( x = AI a + A b,
que son condiciones necesarias y suficientes para que el punto X, cuyo vector
de posición es x, pertenezca a la recta r determinada por los puntos A y B,
cuyos vectores de posición son a y b , respectivamente, se llaman ecuaciones
vectoriales de la recta A B.
DEFINICIÓN 2.—Se dice que un punto X es incidente con la recta r, o que
la recta r es incidente con X, o que la recta r y el punto X son incidentes
cuando el punto X pertenece a la recta r, o la recta r pasa por, o contiene al
punto X.
Por consiguiente, la ecuación de una recta (33) — (36) expresa la condi-
ción necesaria y suficiente de incidencia de un punto X y la recta A B.
El vector b — a = [A B] que pertenece a la recta A B se llama vector
de dirección de la recta. Poniendo d = b — a, la ecuación (34) se puede es-
cribir de la siguiente forma:
(87) x = a + A d,
esto es, una recta queda determinada: