Ejercicios_propuestos_parcial_3

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
U
N
E
X
P
O
Ejercicios Propuestos - Tercer Parcial - Álgebra Lineal
Ejercicios Teóricos. Demuestre cada uno de los siguientes enunciados justificando
cada paso correctamente.
1. Sea {v1, v2, ..., vn} una base ortonormal de un E.P.I.V. Entonces para cada v ∈ V se
tiene que
v = 〈v, v1〉v1 + 〈v, v2〉v2 + ...+ 〈v, vn〉vn =
n∑
i=1
〈v, vi〉vi
2. sea 〈, 〉 : R2×R2 −→ R definida por: 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1−x1y2−x2y1 +αx2y2
Hallar todos los valores de α ∈ R para los cuales 〈, 〉 es un producto interno.
3. Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base ortonormal de un espacio vectorial con producto
interno V. Pruebe que cada v ∈ V se puede expresar de la forma v =
n∑
i=1
〈v, vi〉vi.
4. Fijemos n ∈ Z+ y a, b ∈ R con a < b. Para cualesquiera p, q ∈ Pn[x] definamos
la función 〈p, q〉 =
∫ b
a
p(x)q(x)dx, pruebe que esta función es un producto interno
sobre Pn[x].
5. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base ortonormal de un EPI V. Pruebe que para cada v ∈ V
se tiene que
v = 〈v , v1〉 v1 + 〈v , v2〉 v2 + · · ·+ 〈v , vn〉 vn =
n∑
i=1
〈v , vi〉 vi
6. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base ortonormal de un EPI V. Pruebe que para cada v ∈ V
se tiene
‖v‖2 = | 〈v , v1〉 |2 + | 〈v , v2〉 |2 + · · ·+ | 〈v , vn〉 |2 =
n∑
i=1
| 〈v , vi〉 |2
7. Seas A ∈ Mn una matriz simétrica y x, y ∈ Mn×1 autovectores de A asociados a µ
y λ con µ 6= λ. Demuestre que x ⊥ y.
Sugerencia: use el hecho de que 〈Bx, y〉 = 〈x,BTy〉 para toda matriz B ∈ Mn y
demuestre que (µ− λ)〈x, y〉 = 0.
8. Demuestre que si proyW v1 = proyW v2, entonces v1 − v2 ∈W⊥.
9. Sean A ∈ Mn×n(R) una matriz invertible y λ ∈ R un autovalor de A. Pruebe que
λ−1 es un autovalor de A−1.
1
10. Sean A,B ∈ Mn×n(R) con A invertible. Pruebe que AB y BA tienen exactamente
los mismos autovalores.
11. Sean W un subespacio vectorial de un espacio vectorial V con producto interno y
{w1, w2, . . . , wn} una base ortogonal de W. Pruebe que para cada v ∈ V se tiene que
proyW v =
n∑
i=1
〈v , wi〉
‖wi‖2
wi
12. Sean W un subespacio de dimensión finita de un EPI V y β = {w1, w2, . . . , wk} una
base para W. Pruebe que v ∈W⊥ si y sólo si v ⊥ wi para cada i ∈ {1, . . . , k}.
13. Sean V un EPI y L = {v1, v2, . . . , vm} ⊂ V un conjunto ortonormal. Pruebe que L
es linealmente independiente.
14. Sean V un espacio vectorial con producto interno y u, v ∈ V cualesquiera. Pruebe
que 〈u , v〉 = 0 si y sólo si ‖u+ v‖ = ‖u− v‖.
15. Sea A ∈Mn×n(R). Pruebe que:
a) si x, y ∈Mn×1(R), entonces 〈Ax , y〉 =
〈
x , ATy
〉
.
b) use el numeral anterior para probar que si x, y ∈Mn×1(R) son autovectores de
una matriz simétrica A asociados a autovalores distintos de A, entonces x e y
son ortogonales.
16. Sean W un subespacio vectorial de un espacio vectorial V con producto interno y
{u1, u2, . . . , um} y {v1, v2, . . . , vn} bases para W y W⊥ respectivamente. Pruebe que
{u1, u2, . . . , um, v1, v2, . . . , vn} es una base para V.
17. Sea A ∈Mn×n(R) una matriz diagonalizable y λ1, λ2, . . . , λn ∈ R los autovalores de
A, no necesariamente distintos. Pruebe que pA(0) = λ1 · λ2 · · ·λn.
18. Si λ, µ ∈ R son autovalores A,B ∈ Mn×n(R) respectivamente y x ∈ Mn×1(R) es
un autovector de A y B asociado a λ y µ, respectivamente, entonces λ + µ es un
autovalor de A+B con autovector asociado x.
Ejercicios Prácticos. Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas
suficientemente.
1. Sea V = P3[x] y W = gen({x+ x3, x− x3}). Usando el producto interno
〈p, q〉 =
3∑
i=0
p(i)q(i).
a) Encuentre bases ortonormales para W, W⊥ y V.
b) Para p(x) = 1+x+x3, encuentre polinomos en W y W⊥ de modo que su suma
sea p(x).
c) Use el producto interno para decidir si q(x) = 1 + x2 + x3 está o no en W.
2
2. Para
A =

4 0 0 0
−6 16 −6 6
−16 0 20 16
−16 0 16 20

Encuentre sus autovalores, autovectores, las multiplicidades algebraicas y geométri-
cas asociadas a estos y los espacios propios asociados a los mismos.
3. Consideremos el subespacio de R4 W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z; y = w}.
a) Determine una base ortonormal para W.
b) Determine W⊥ y una base para W⊥.
c) Exprese el vector v = (1, 0, 0, 1) como v = w + p donde w ∈W y p ∈W⊥.
4. Consideremos el subespacio de M2×2(R)
W =
{[
x y
z w
]
∈M2×2(R) : 2x− y + 3z − w = 0
}
.
a) Determine una base ortonormal para W.
b) Determine W⊥ y una base para W⊥.
c) Exprese el vector v =
[
1 −1
2 3
]
como v = w + p donde w ∈W y p ∈W⊥.
5. Consideremos el subespacio de R4
W =
{
(x, y, z, w) ∈ R4 : x− 2y + z − 3w = 0
}
a) Determine una base ortonormal para W.
b) Determine W⊥ y una base ortonormal para W⊥.
c) Exprese el vectorv = (1,−1, 2, 3) como v = w + p donde w ∈W y p ∈W⊥.
6. En M2×2(R) consideremos el subespacio
W =
{[
x y
z w
]
∈M2×2(R) : x+ 2y + 3z − w = 0
}
a) Hallar una base ortonormal para W.
b) Encuentre W⊥ y una base ortonormal para W⊥.
7. Pruebe que cada una de las siguientes matrices admite una factorización QR y
calcule una de tales factorizaciones.
a) A =

1 −1 −1
1 0 0
1 −1 0
0 1 −1
 b) A =
 1 −2 1−1 3 2
1 −1 −4

3
c) A =

1 1 1
0 1 0
0 0 1
0 1 1

d) A =

1 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 1

e) A =
 1 1 01 0 1
0 1 1

f ) A =
 2 0 16 2 0
−3 1 −1

g) A =
 2 1 01 3 1
0 1 4

8. En P2[x] considere el producto interno 〈p(x), q(x)〉 =
2∑
i=0
p(i)q(i). Sea W el subes-
pacio de P2[x] con base {x, x2}.
a) Encuentre una base ortonormal para W.
b) Encuentre W⊥.
c) Exprese el polinomio u(x) = 1 + x como u(x) = p(x) + w(x) con w(x) ∈W y
p(x) ∈W⊥. (2 ptos.)
9. Dada
A =
 1 0 2 −2−1 1 0 1
0 1 2 −1

Calcular n(A), r(A) y una base para cada uno de los espacios Im(A), R(A) N(A).
10. Sea V = P3[x] y W = gen({1 + x2; 1− x2}). Usando el producto interno
〈p, q〉 =
3∑
i=0
p(i)q(i)
a) Encuentre bases ortonormales para W, W⊥ y V.
b) Para p(x) = 1+x+x3, encuentre polinomos en W y W⊥ de modo que su suma
sea p(x).
c) Use el producto interno para decidir si q(x) = 1 + x2 + x3 está o no en W.
11. Para
A =
 1 0 0−2 1 2
−2 0 3

Encuentre sus autovalores, autovectores, las multiplicidades algebraicas y geométri-
cas asociadas a estos y los espacios propios asociados a los mismos.
12. Dada la matriz
A =
 1 2 a2 1 b
2 2 c

Sabiendo que x =
 11
1
 es un autovector de A asociado a λ1 = 1, calcule:
4
a) los valores de a, b y c.
b) los autovalores de A y las multiplicidades algebraica de cada de ellos.
c) los autoespacios de A y las multiplicidades geométricas de cada autovalor.
d) ¿es A diagonalizable? en caso afirmativo calcule las matrices diagonal D e
invertible P tales que D = P−1AP .
13. Sea W el subespacio de M2×2(R) cuya base es
{[
1 −2
0 1
]
;
[
−1 0
0 −1
]
;
[
1 1
0 0
]}
a) Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para calcular una
base ortonormal de W.
b) Calcular una base ortonormal para W⊥.
c) Calcular el vector proyW v, donde v =
[
1 −2
5 3
]
.
14. Sea W el subespacio de R4 cuya base es {(3, 0, 1,−1); (0, 2,−1, 0); (2, 2,−2, 2)}
a) Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para calcular una
base ortonormal de W.
b) Calcular una base ortonormal para W⊥.
c) Calcular el vector proyW v, donde v = (3,−2, 1, 4).
15. Determine una base para el complemento ortogonal del subespacio W de R5 generado
por los vectores (2,−1, 0, 1, 2), (1, 3, 1,−2,−4), (3, 2, 1,−1,−2), (7, 7, 3,−4,−8) y
(1,−4,−1,−1,−2). Dado el vector v = (1,−1, 1,−1, 1), calcule dos vectores w ∈W
y u ∈W⊥ tales que v = w + u.
16. Dado
W =


x
y
z
w
 ∈M4×1(R) : 2x− y + 3z − w = 0

a) Encuentre una base ortonormal para W.
b) Encuentre W⊥ y una base ortonormal para W.
c) Dada la matriz A =

2
−3
1
5
 encuentre matrices B ∈ W y C ∈ W tales que
A = B + C.
17. Determine al menos dos matrices no diagonales cuyos autovalores sean −2 y 3 y con
autovectores asociados  10
1
 ;
 01
1
 y
 11
1

5
18. En P3[x] consideremos el producto interno〈p , q〉 =
3∑
i=0
p(i)q(i) y sea W = P2[x]
visto como subespacio de P3[x].
a) Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para calcular una
base ortonormal de W.
b) Calcular una base ortonormal para W⊥.
c) Calcular el vector proyW p, donde p(x) = 1− 2x+ 5x2 + 3x3.
19. Sea W el subespacio de R4 generado por {(1, 1, 0, 0); (2,−1, 0, 1); (1,−2, 0,−3); (3,−3, 0,−2)}
a) Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para calcular una
base ortonormal de W.
b) Calcular una base ortonormal de W⊥.
c) Calcular el vector proyW v, donde v = (3,−2, 1, 4).
20. Dada la matriz A =

1 4 0 0
−2 7 0 0
−3 3 2 −3
3 −3 1 6

a) Calcule los autovalores de A y la multiplicidad algebraica de cada de ellos.
b) Calcule los autoespacios de A y la multiplicidad geométrica de cada autovalor.
c) ¿Es A diagonalizable? en caso afirmativo calcule las matrices diagonal D e
invertible P tal que D = P−1AP .
21. Sea S =
{[
1
2
1
2
−1
2
1
2
]
;
[
− 1√
6
2√
6
0 − 1√
6
]}
a) Compruebe que S es ortonormal.
b) Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para calcular una
base ortonormal de M2×2(R) que incluya los vectores de S.
c) Calcular una base ortonormal para el complemento ortogonal de W = span(S).
22. Dada la matriz
A =
 14 3 −150 5 0
9 3 −10

Calcule:
a) los autovalores de A y las multiplicidades algebraica de cada de ellos.
b) los autoespacios de A y las multiplicidades geométricas de cada autovalor.
c) ¿es A diagonalizable? en caso afirmativo calcule las matrices diagonal D e
invertible P tal que D = P−1AP .
23. Sea W el subespacio de R4 cuya base es {(1,−2, 0, 1); (−1, 0, 0,−1); (1, 1, 0, 0)}
a) Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt para calcular una
base ortonormal de W.
6
b) Calcular una base ortonormal para W⊥.
c) Calcular el vector proyW v, donde v = (3,−2, 1, 4).
24. Dada la matriz
A =
 2 2 21 1 1
2 2 2

a) Demuestre que A es diagonalizable y muestre matrices invertible P y diagonal
D tales que D = P−1AP .
b) Dado v =
 1−1
−2
, encuentre vectores en cada uno de los espacios caracteŕısti-
cos de A tal que v se puede escribir como suma de estos vectores.
c) Calcule A8v.
“Sólo es útil el conocimiento que nos hace mejores”
Sócrates
“Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo
algebraico”
Leonhard Euler
¡ÉXITO!
7