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Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 1 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez Algebra de Funciones Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y tienen cierta similitud a las correspondientes que pueden realizarse con números. La composición es una nueva operación. Reconocer sumas, productos, cocientes o composición de funciones resulta útil porque permite descomponer funciones a veces complicadas en otras más sencillas. Dadas f y g dos funciones. La función suma es la función definida por: . La función diferencia es la función definida por: . La función producto es la función definida por: . La función cociente es la función definida por: . En cada caso el dominio de la función resultante es el conjunto de valores comunes a ambos dominios de f y de g; en el caso del dominio del cociente deben excluirse además los x para los cuales el denominador es cero, es decir aquellos para los que La función compuesta es la función definida por: ; donde el dominio de (leer “f compuesta con g”) es el conjunto de números x del dominio de g tales que está en el dominio de f. Si tomo un x que pertenece al dominio de g, obtenemos ; si pertenece al dominio f, entonces podemos evaluar f en y obtener la expresión . La correspondencia que resulta de será la función compuesta o composición de f con g. Ver esquema. Ejemplo: Si y entonces . Función Inyectiva: Una función es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio, le corresponden imágenes distintas. Definición: Sea la función f: A → B. Diremos que f es inyectiva, si y sólo si, para todo par de puntos 𝑥" ∈ 𝐴, 𝑥' ∈ 𝐴 , 𝑠𝑖 𝑥" ≠ 𝑥' 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥") ≠ 𝑓(𝑥' ). Lo que es equivalente a decir 𝑠𝑖 𝑓(𝑥") = 𝑓( 𝑥') 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥" = 𝑥' Observación: Suele usarse la denominación uno a uno (1-1) par indicar funciones inyectivas. Ejemplos: a) Consideremos la siguiente función real f: ℝ → ℝ que a cada número real x le asignamos su triple, es decir, . Es decir 𝑓(𝑥) = 3𝑥. Haremos la comprobación análitica. gf + ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ gf - ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf -=- gf . ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf ×=× g f ( ) ( )( )xg xfx g f =÷÷ ø ö çç è æ 0)( =xg gf ! ( )( ) ( )( )xgfxgf =! gf ! )(xg )(xg )(xg )(xg ( ))(xgf ( ))(xgfx! ( ) 2xxf = ( ) 13 += xxg ( )( ) ( ) [ ] ( ) 16913)()( 222 ++=+=== xxxxgxgfxgf ! x3 matic Resaltado Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 2 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez Esta función es inyectiva ya que cualquiera sea el par de valores reales que tomemos 𝑥", 𝑥' 𝑓(𝑥") = 𝑓(𝑥'), 𝑜 𝑠𝑒𝑎 3𝑥" = 3𝑥' implica (simplificando) 𝑥" = 𝑥'. b) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥'. Esta función real f: ℝ → ℝ no es inyectiva ya que tomando por ejemplo 𝑥" = −1 y 𝑥' = 1, observamos que: 𝑥" ≠ 𝑥' pero 𝑓(𝑥") = 𝑓(−1) = 𝑓(𝑥') = 𝑓(1) = 1 Hay un criterio llamado CRITERIO DE LA RECTA HORIZONTAL para determinar si f es inyectiva siempre que se conozca la gráfica de la función. El criterio es el siguiente: Si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de la función en a lo más un punto, entonces f es inyectiva. Esta prueba funciona ya que como puede observarse en la gráfica, la recta corta a la gráfica en dos puntos distintos y que tienen la misma segunda coordenada, por lo tanto no cumple la definición de función inyectiva. 𝑥" ≠ 𝑥' 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑓(𝑥") = 𝑘 = 𝑓(𝑥') = 𝑘 Las funciones estrictamente crecientes y estrictamente decrecientes tienen la particularidad que son inyectivas en todo su dominio. Función suryectiva: Una función es suryectiva cuando el Rango o Imagen coincide con el codominio. Es decir, todo elemento del rango (conjunto de llegada) es imagen de al menos un elemento del dominio (conjunto partida). Definición: Sea la función f: A → B. Diremos que f es suryectiva, si y solo si, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑦. Es decir 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 Observación: Algunos autores llaman función sobreyectiva, a las funciones suryectivas, o también funciones sobre. Ejemplos: a) Consideremos la siguiente función real f: ℝ → ℝ que a cada número real x le asignamos su triple, es decir, . Como fórmula: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 o 𝑦 = 3𝑥 Esta función es suryectiva ya que para todo número real y existe un número real 𝑥 = E F tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦/3) = 𝑦. b) Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥'. Esta función de los reales en los reales f: ℝ → ℝ no es suryectiva ya que para y < 0 no existe ningún número real x tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥' = 𝑦. y = k x1,k( ) x2,k( ) x3 matic Resaltado matic Resaltado Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 3 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez c) Sin embargo si restringimos el dominio de la misma función al intervalo [0,+∞] y la llamamos 𝑔(𝑥) = 𝑥' quedará 𝑔: [0,+∞) → [0,+∞), resulta una función suryectiva y también inyectiva. La ley de correspondencia es la misma, observar dominio e imagen en la gráfica. Función Biyectiva: Una función es biyectiva cuando es inyectiva y suryectiva. Ejemplos usando diagramas: a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 4 No inyectiva Inyectiva No suryectiva No suryectiva Una función admite función inversa si y solo si es biyectiva Tarea para el lector: Explicar usando los diagramas anteriores porque es necesario pedir inyectividad y porqué pedir suryectividad. Función inversa En la figura I se usan flechas para representar una función biyectiva (inyectiva y suryectiva) de A en B. Es natural pensar que al invertir las flechas se obtiene una función de B en A, figura II. Si f es una función biyectiva, entonces la inversa de f (simbólicamente , no confundir con la recíproca de una función ) es la función cuyo dominio B, es la imagen o rango de f, y cuya imagen A, es el dominio de f. Podemos pensar que la función inversa de f , que indicamos con , deshace lo que f hace . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Suryectiva Inyectiva Biyectiva® 1-f 1 f 1-f matic Resaltado matic Resaltado matic Resaltado matic Resaltado matic Resaltado matic Resaltado matic Resaltado Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 4 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez En general para cualquier función biyectiva se cumple: sí y sólo si Si tomamos la variable independiente x y le aplicamos , obtenemos y si a le aplicamos , obtenemos la variable x de la cual partimos. Si es punto de la gráfica de una función biyectiva f, es decir , el punto es un punto de la gráfica de la función inversa , es decir . La gráfica de la inversa de una función f, se obtiene construyendo una gráfica simétrica a la de f, respecto a la bisectriz del primer cuadrante, es decir respecto de la recta y=x. La gráfica de una función y la gráfica de su inversa son simétricas respecto de la recta y=x. Observando la gráfica se visualiza de tal forma que si pudiéramos doblar el plano siguiendo el trazo de la recta y=x, las gráficas de 𝑓 𝑦 𝑑𝑒 𝑓P" se superpondrían. Es decir, usando la simetría, sin conocer la fórmula se podría dibujar la gráfica de la inversa de una función dada. Ejemplo gráfico Dada la grafica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), de dominio el intervalo [-2,0] e imagen el intervalo [0,4], se puede graficarla inversa reflejando sobre la recta y=x. Por tanto el dominio de la inversa 𝑦 = 𝑓P"(𝑥), es el intervalo [0,4] y el rango o imagen el [- 2,0]. En general siempre se cumple que si componemos una función con su inversa a izquierda y derecha se obtiene la función identidad. fyx Î),( 1),( -Î fxy f )(xf )(xf 1-f ( )ba, )(afb = ( )ab, 1-f )(1 bfa -= (𝑓P" ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓P"(𝑓(𝑥)) = 𝑥 (𝑓 ∘ 𝑓P")(𝑥) = 𝑓(𝑓P"(𝑥)) = 𝑥 matic Resaltado Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 5 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez Ejemplo: Verificar algebraicamente que (𝑓P" ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 para 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑦 𝑓P"(𝑥) = " ' 𝑥 𝑥 STUVWX Y Z⎯⎯⎯⎯\ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 STUVWX Y]^ Z⎯⎯⎯⎯⎯⎯\ 𝑓P"[𝑓(𝑥)] 𝑓P"[𝑓(𝑥)] = 𝑓P"(2𝑥) = 1 2 (2𝑥) = 𝑥 El lector puede comprobar también que (𝑓 ∘ 𝑓P")(𝑥) = 𝑓(𝑓P"(𝑥)) = 𝑥. ¿Cómo determinar la fórmula de la función inversa de f, conocida la fórmula de f? 1º) Considere la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥). 2º) Despejar de esta ecuación la variable 𝑥 en función de 𝑦. 3º) Para expresar la fórmula de 𝑓P" en función de 𝑥, intercambiamos 𝑥 por 𝑦, resultará 𝑦 = 𝑓P"(𝑥) Ejemplo: Determinar la inversa de 𝑓(𝑥) = " ' 𝑥 + 2 • Consideramos 𝑦 = " ' 𝑥 + 2 ; • Despejamos la variable 𝑥 𝑦 − 2 = " ' 𝑥 → 2𝑦 − 4 = 𝑥 • Intercambiamos 𝑥 por 𝑦 2𝑥 − 4 = 𝑦 entonces 𝑦 = 𝑓P"(𝑥) = 2𝑥 − 4 Es equivalente al proceso anterior al siguiente procedimiento: Dada cambiamos la y por x despejamos x la fórmula obtenida es Para obtener la fórmula o regla de correspondencia de la función inversa efectuamos un cambio de variables ya que a cada le corresponde el punto que resulta de cambiar sus coordenadas . 2 2 1)( +== xxfy 2 2 1 += yx yx =- 2)2( )(1 xfy -= 42)(1 -== - xxfy fyx Î),( 1),( -Î fxy matic Resaltado Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 6 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez EJERCITACION 1) Las gráficas corresponden a funciones f y g respectivamente. Trazar las gráficas de sus funciones inversas. 2) a) La gráfica dada corresponde a la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 3, usando la simetría respecto a la recta y=x, trazar aproximadamente la gráfica de la función inversa de f. Dar dominio e Imagen de f. b) Determine la fórmula de 𝑓P"(𝑥). c) Verificar que se cumple (𝑓P" ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 y (𝑓 ∘ 𝑓P")(𝑥) = 𝑥 3) Comprobar que las funciones f y g dadas, una es inversa de la otra verificando que (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 y (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 a) 𝑓(𝑥) = 16 − 𝑥' , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0 𝑔(𝑥) = √16 − 𝑥 b) 𝑓(𝑥) = " "cd , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0 𝑔(𝑥) = "Pd d 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1 c) 𝑓(𝑥) = " d 𝑔(𝑥) = " d 4) Restringir el dominio de cada función dada por su fórmula y gráfica, de modo que quede una función inyectiva. (no hay solución única) Determinar la fórmula de la inversa y graficar ambas (función de dominio restringido y su inversa) Apuntes para CÁLCULO – Unidad 1: LAS FUNCIONES 7 Complemento: Algebra de Funciones – Función Inversa Lic. Nélida H. Pérez 5) Determinar la fórmula de la función inversa en cada caso. Usar una computadora para representar en el mismo sistema de ejes la función y su inversa. a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1g b). 𝑓(𝑥) = 𝑥' Fh c) 𝑓(𝑥) = d√dicj
