Teórico Matemática Financiera

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MATEMATICA FINANCIERA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS de CÁTEDRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. ELVIRA CARRIZO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
INDICÉ 
 OPERACIÓN FINANCIERA ………………………………………………………..5 
 Postulado Fundamental………………………………………… …………………8 
 Tasa de Interés……………………………………………………. ……………….8 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO DISCRETO. ……………………….. …11 
Valor del capital cuando se capitalizan los intereses o Monto…………………11 
Operaciones Financieras Fundamentales……………………...........................15 
Operación de Capitalización……………………………………………………….15 
Operación de Actualización………………………………………………………..16 
Operaciones financieras equivalentes……………………………… …………...17 
Tasa de interés equivalente……..…………………………………………………18 
Utilidad de las tasas equivalentes……………………………….. ……………….21 
Valor del capital cuando se retiran los intereses 
al final de cada unidad de tiempo…………………………………………………22 
Tasas proporcionales de interés…………………………………………………...24 
Tasas acumuladas equivalentes…………………………………………………...27 
Incidencia de impuestos y gastos en 
operaciones financieras……………………………………………………………..28 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO CONTINUO……………………………..30 
Valor del capital al final de la operación financiera 
o Monto en el campo continuo……………………………………………………….30 
OPERACIÓN DE DESCUENTO DE DOCUMENTO…………….……………….36 
Interés y Descuento……………………………..…………………….……………..36 
Tasa de descuento …………………………………………….…….………………38 
Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés ……………………….39 
Tasa proporcional anual de descuento………………………… …………………42 
RENTAS CIERTAS…………………………………………………………………..44 
Rentas ciertas su equivalente financiero…………………………………………..44 
Valuación de uno o múltiples pagos. ………………………………………………44 
Valuación de pagos al final de la operación……………………………………….44 
Valuación de pagos al inicio de la operación. …………………………………….52 
Valor actual de pagos diferidos……………………………………………………..59 
SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE DEUDAS…………………………………..62 
 Características generales de todo sistema 
 de amortización de deuda …………………………………….………….…………63 
Elementos de los sistemas de amortización ……………………………………...63 
 Algunos sistemas de amortización de deudas 
 con características particulares ………………..……………………….……. ..….67 
 Sistema de amortización de cuotas iguales……….………………….………..…67 
Sistema de amortización de amortizaciones iguales………….. ……………….72 
Equivalencia de los sistemas de financiamiento …………………………………75 
 Sistemas de amortización de deuda mediante 
 el primer pago diferido……………………………………………. ……….………..75 
 Tasa de amortización. ………………………………………….………….………..80 
 RENTAS CIERTAS DE PAGOS IGUALMENTE ESPACIADOS Y 
 VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA…………………………….……84 
 Valor actual de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética crecientes ……………………..………………….…….84 
 Valor actual de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética decrecientes…………………………………………….86 
 Valor final de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética crecientes …………………………….…….….……….87 
 Valor final de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión aritmética decrecientes …………………………………………….88 
 Aplicación de valor actual de rentas ciertas de pagos 
 3 
 vencidos y variables en progresión aritmética ………………………….……89 
 RENTAS CIERTAS DE PAGOS IGUALMENTE ESPACIADOS Y 
 VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. ……………………………95 
 Valor actual de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión geométrica ……………………………………………………….95 
 Valor final de rentas ciertas de pagos variables 
 en progresión geométrica. ………………………………………………………..98 
 Aplicación del valor actual de rentas ciertas de pagos vencidos y 
 variables en progresión geométrica……………………………………………..99 
 VALUACIÓN DE DEUDA: USUFRUCTO Y NUDA PROPIEDAD.………..…102 
 Usufructo y Nuda Propiedad en los sistemas 
 de amortización de deudas…………………………………………………...…..102 
 Nuda Propiedad Y Usufructo en los sistemas de amortización de 
 deudas de cuotas constantes e iguales, sistema Francés…………….….......103 
 Nuda propiedad y Usufructo en los sistemas de amortización de 
 deudas de cuotas decrecientes y amortizaciones constantes 
 e iguales, sistema Alemán………………………………………………….……..108 
 CORRECCIÓN MONETARIA: ……………………………………………….......109 
 Análisis de operaciones financieras en un contexto 
 inflacionario…………………………….. …………………………………….109 
METODOS DE CÁLCULO QUE DISTORCIONAN 
 EL VALOR DE LA TASA ENUNCIADA……………………………………….….115 
 Sitema de amortización mediante el interés cargado o directo……………115 
 Sitema de amortización mediante el interés descontado…………………. .116 
 PROYECTO DE INVERSIÓN………………………………………………118 
 Proyectos de Inversión: concepto…………………………………………...…...118 
 Proyectos de inversión: elementos………………………………………..….….118 
 Rentabilidad de un proyecto de inversión……………………………………….121 
 Criterios de selección de proyectos de inversión………………………….…..121 
 Criterio del valor capital (VC)……………………………………………….……122 
 Criterio del periodo de reintegro con valores actuales (PR)…………….……124 
 Criterio de la tasa interna de retorno (TIR)……..………………………….…..127 
 Consistencia de la TIR……………………………………………………….…..129 
 Perfil del Valor Capital……………………………………………………….…..132 
 Análisis comparativo entre los 3 criterios de selección de proyectos 
 de inversión que consideran el valor capital en el tiempo……………….……133 
Tasa de intersección de Fisher………………………………………………...134 
TÍTULOS PÚBLICOS……………………………………………………………137 
Elementos del empréstito……………………………………………………….137 
Sistema de financiamiento del empréstito……………………………………138 
Elementos del título……………………….………………………………….… 138 
Sistema de financiamiento de cada título………………………………….…139 
Paridad de un título……………………………………………………………...142 
 FUNCIONES BIOMÉTRICAS…………………………………………………...143 
 Cantidad de personas de edad exacta x……………………………………..143 
 Cantidad de personas fallecidas entre dos edades consecutivas………...144 
 Números de años vividos por la generación l 0 
 entre las edades x y x+1………………………………………………………145 
Cantidad de personas comprendidas 
 entre dos edades exactas, x y x+1…………………………………………..146 
Probabilidad sobrevivencia de que una persona de edad exacta x ……...146 
Probabilidad de muerte de una persona de edad exacta x………….…….147 
Tasa de mortalidad……………………………………………………………..148 
Tasa central de mortalidad…………………………………………………….148 
 4 
Cantidad de años que vivirá el grupo desde la edad x 
hasta su total extinción, simbolizada por T x…………………………….….149 
Esperanza de vida o expectativa de vida…………………………………....150 
Relación entre la tasa de mortalidad y la tasa central de mortalidad……..150 
Tablas de vida……………………………………………………..………..…..151 
Metodología para la construcción de una tabla de vida………………..…..151 
SEGURO SOBRE LA VIDA DE LAS PERSONAS…………………………..153 
Seguro en caso de vida…………………………………………………………154 
Capital diferido…………………………………………………………………...154 
Rentas vitalicias………………………………………………………………….154 
Renta vitalicia inmediata……………………………………………………..…155 
Renta vitalicia diferida………………………………………………………..…155 
Renta vitalicia temporaria …………………………………………………..….156 
Renta vitalicia interceptada………………………………………….………....157 
Seguro en caso de muerte…………………………………………………..…158 
Seguro inmediato ………………………………………………………..……..158 
Seguro diferido……………………………………………………………..……158 
Seguro temporario…………………………………………………………..…..159 
Seguro interceptado………………………………………………………..……159 
Bibliografía…………………………………………………………………..……160 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
OPERACIÓN FINANCIERA: 
 
 No toda transacción en dinero puede considerarse operación financiera. 
 
 Se dice que una operación financiera, es una transacción en dinero no 
simultanea en el tiempo de la cual surge la retribución por usar un capital ajeno. 
 
 Se observan tres elementos que intervienenen una operación financiera: 
 
 Capital prestado 
 Retribución. 
 Tiempo transcurrido. 
 
 Capital prestado = capital que entra a la operación financiera (CI) 
 Retribución = pago por usar el capital ajeno ( I ) 
 Capital Final = capital que sale de la operación financiera (CF). 
 
 
El capital al final de la operación financiera es mayor que el capital al inicio: 
 
 CF > CI 
 
Para igualar esta expresión debemos sumar al capital inicial los intereses: 
 
CF = CI + I 
 
La presencia del interés es quien determina si la operación con dinero es o no 
financiera, será financiera toda operación de préstamo de dinero donde se 
cobre por usar el capital ajeno. 
 
 
Ejemplo: 
Por un préstamo de $.1.000 realizado durante 1 mes, se cobran $ 30. 
Identificamos los elementos: 
 
Capital prestado $ 1.000.- 
Retribución $ 30.- 
Tiempo transcurrido 1 mes. 
 
Se observa que el capital a devolver al finalizar el mes es $ 1.030, constituido 
por el capital prestado y la retribución. 
Llamamos: 
 
 Capital Inicial (CI): al capital prestado. 
 Interés (I): a la retribución pagada por usar el capital ajeno. 
 Capital Final (CF): al capital inicial más los intereses. 
 
 
 1030 = 1000+30.- 
 
El capital al final del mes es mayor que el capital al inicio de sea unidad de 
 6 
tiempo: 
 
 CF > CI 
 
El capital final es igual al capital inicial, pero ubicado en otro momento, al final 
de la operación financiera, luego que ha transcurrido el tiempo por el cual se paga 
por usar el capital prestado. 
 
Para igualar esta expresión se suman al capital inicial los intereses o los 
mismos se restan del capital final: 
 
 CF = CI + I o CI = CF – I 
 
Ambas expresiones son correctas, pero como los intereses surgen a 
consecuencia del capital prestado, el capital inicial es quien da origen a los 
intereses, por lo que nos inclinamos por la expresión donde los intereses se suman 
al capital inicial. 
 
 
Para obtener el importe del capital final será necesario que el tiempo transcurra, 
tiempo o periodo por el cual se usa el dinero prestado, dando origen a esa 
retribución por usar el capital ajeno: 
 
Se observa gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes Tiempo 
 
 
Avanzando en el desarrollo, se comprenderá la función exponencial graficada 
 
Los $ 30 representan el interés pagado por usar $ 1.000 durante un mes, es 
fundamental el definir un interés determinado a que capital inicial corresponde y 
cual es el plazo del préstamo, es decir aclarar cual es el capital que da origen a 
ese interés y por cuanto tiempo se presta dicho capital. 
El capital final es el importe del capital inicial ubicado en otro momento en el 
tiempo. 
Las transacciones financieras generan transformaciones en los valores 
monetarios una vez que el tiempo ha transcurrido. Vemos como $ 1.000 durante 1 
Capital. 
1.000 
1.030 
30 
 7 
mes se transforman en $ 1.030, notamos el crecimiento del capital a medida que 
pasa el tiempo. 
 
Si por lo contrario se realiza el préstamo de $ 1.000 durante 1 mes y al finalizar 
ese plazo se pacta devolver solo el capital prestado ($ 1.000), esta transacción no 
es financiera, ya que no se paga por el uso del capital ajeno. 
 
La presencia del interés es quien determina si la operación con dinero es o no 
financiera, en otras palabras, será financiera toda operación de préstamo de dinero 
donde se cobre por usar el capital ajeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Postulado Fundamental. 
 
De lo expresado anteriormente se desprende el postulado fundamental en la 
teoría del interés que dice: 
 
“El crecimiento del capital en la operación financiera es continúo a medida que 
transcurre el tiempo” 
 
La operación financiera es un proceso de transformación del capital, el capital 
prestado, capital que se introduce en el proceso, que entra en el circuito financiero, 
una vez que se transforma en un capital distinto, es el que sale del circuito, el 
importe del mismo es mayor ya que incluye el capital inicial y sus intereses. 
 
El crecimiento del capital en la operación financiera es similar al crecimiento 
biológico en los seres vivos, este crecimiento se produce continuamente. Lo 
demostramos más adelante, cuando analizamos el comportamiento del interés en 
el campo continúo. 
 
 
 Tasa de Interés. 
 
El crecimiento del capital es permanente y continúo durante el lapso de tiempo 
por el cual dura la transacción monetaria, este crecimiento se mide en un momento 
determinado. 
 
El crecimiento operado en el capital inicial es precisamente la retribución 
pagada por usar el capital ajeno, es el interés. 
 
En el ejemplo dado anteriormente, $30 es el crecimiento de $1.000 prestado 
durante 1 mes, es el interés de la operación financiera: 
 
 Correspondiente a $ 1.000 
 
Interés de la operación $ 30 Interés 
 Durante un mes. 
 
Para determinar el interés unitario de esta operación, será necesario 
preguntarnos: ¿Cuánto se pagará por cada peso prestado durante un mes, si por 
cada $ 1.000 se paga $ 30?. 
 
Para determinar el interés unitario, se realiza el cociente entre el interés y el 
capital inicial, en el ejemplo $30 dividido $ 1000, se logran 0,03 que es el interés 
de cada peso prestado durante un mes, este interés unitario es denominado Tasa 
de interés mensual. 
 
 
 Correspondiente a $ 1 
Tasa de interés mensual. 0,03 Interés 
 
 Durante un mes 
 
 9 
 
 
El interés de cada unidad de capital inicial en un mes es igual a 0,03 
mensuales y representa la tasa de interés, que se define como, el interés de un 
capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo, entendiéndose por unidad de 
tiempo, al momento al final del cual se calculan o computan los intereses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes 
 
 
La tasa de interés es 
- el interés de un capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo. 
- lo que se le suma al capital inicial de $ 1 para encontrar su valor final. 
 
Por ahora se simboliza: 
 
Capital inicial por C.I. 
 
Capital final por C. F. 
 
Interés por I 
 
Tasa de interés por i 
 
C.F – C.I = I = i 
 C.I C.I 
Así también para determinar el interés de $1.000 prestados por 1 mes 
conociendo la tasa de interés mensual, se procede: 
 
I = 1000 x 0,03 = 30 intereses de $1000 en un mes. 
 
 
I = CI x i para determinar el interés al final de una unidad de tiempo, bastara 
multiplicar el capital inicial por la tasa de interés correspondiente a esa unidad de 
tiempo: 
 
Es importante tener presente que el calculo del interés mediante la expresión CI 
x i (capital inicial por tasa de interés) es valida solo por que el número de unidades 
de tiempo es uno, de lo contrario el calculo del interés se realiza mediante la 
diferencia entre el capital final y el capital inicial CF - CI 
 
1 
1 + 0,03 
0,03 
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se grafica la tasa de interés 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Tiempo 
 
 
Se define, entonces a la tasade interés como el incremento o interés de un 
capital inicial de $1 en una unidad de tiempo, o lo que se le suma al peso inicial 
en una unidad de tiempo, para encontrar su valor final. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tasa de 
interés 
i 
Relación de 
1 en 1 
Interés de un capital 
inicial de $1 en una 
unidad de tiempo 
Capital. 
1 
1 + i 
i 
 11 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO DISCRETO. 
 
Valor del capital cuando se capitalizan los intereses o 
monto. 
 
El capital retirado de la operación financiera (C.F.) es función del capital 
prestado (C.I.), del tiempo que dura el préstamo o plazo de la operación y de la 
tasa de interés aplicada a la operación. 
 
Se supone un capital prestado de $ 1.000 durante un cuatrimestre, a una tasa 
de interés mensual del 0,03, entonces: 
 
Datos: 
C.I. = $ 1.000 
i = 0,03 mensual 
Plazo = 4 meses 
Unidad de tiempo = mes 
Numero de unidades de tiempo = 4 
 
Es importante determinar la unidad de tiempo de la operación, en nuestro caso, 
el mes, al aplicar la tasa mensual, los intereses se calculan mensualmente; en 
nuestro ejemplo los intereses se calculan mensualmente para continuar en la 
operación financiera, este procedimiento se denomina capitalización de los 
intereses: 
 
Se aplica la expresión para el cálculo de los intereses, I = C. I. × i y la 
expresión para el cálculo del capital final, C.F. = C.I. + I, Se realiza el análisis de 
las operaciones en cada una de las cuatro unidades de tiempo que dura la 
operación financiera: 
 
1º mes 
 
C.I. = 1.000 
I1º = 1.000 × 0,03 = 30 
C.F = 1.030 
 
2º mes 
 
CI = 1.030 
I 2º = 1.030 X 0,03 = 30,90 
CF = 1.060,90 
 
3º mes 
 
CI = 1060,90 
I 3º = 1060,90 X 0,03 = 31,82 
CF = 1092,72 
 
 
 
 
 12 
4º mes 
 
CI = 1092,72 
I 4º = 1092,72 X 0,03 = 32,78 
CF = 1125,50 
 
 
Se observa el importe mayor de los intereses I1º < I 2º < I 3º < I 4º a medida que 
transcurre el tiempo, esto, es a consecuencia de la capitalización de los intereses, 
en el 1er mes el capital que genera interés es 1.000 mientras que el que produce 
los intereses en el 2º mes es $1.030, importe mayor que el anterior a raíz de la 
capitalización de $30, así esto se repite durante los restantes meses, se 
comprueba el crecimiento continuo del capital, los intereses se han capitalizado, es 
decir, se han sumado al capital inicial de cada unidad de tiempo para generar 
nuevos intereses, si graficamos la función del capital final, veremos claramente la 
función exponencial y no lineal, ya que el crecimiento del capital en cada unidad 
de tiempo no es proporcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
 
Se observa que 1.030 representa tanto el capital al final del 1er mes, como el 
capital inicial del 2do mes, así también 1.060.9 es tanto el capital final de la 2da 
unidad de tiempo, como el capital inicial de la tercera, por lo que se debe asignar 
una simbología que represente el capital al momento donde se encuentra ubicado 
(al final de una unidad de tiempo o al inicio de la siguiente) así F ( 0 ) capital al 
inicio de la operación financiera , F( 1 ) capital al final de la 1era unidad de tiempo o 
inicio de la 2da, F( 2 ) capital al final de la 2da unidad de tiempo o inicio de la 3era, 
y F( n ) capital al final de la ene-sima unidad de tiempo o al final de la operación 
financiera. 
 
Para encontrar el capital final del cuatrimestre mediante una sola operación, se 
procede de la siguiente manara: 
 
 
1.000 
1.125,50 
125,50 125,50 
1.030 1.060,90 
1.092,72 
 13 
1º mes 
F( 1 ) = 1000 + 1000 x 0,03 = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
2º mes 
F( 2 ) = 1030 + 1030 x 0,03 = 1030 (1 + 0,03) 
 
Que si lo expresamos en función de $1000 en lugar de $1030 (realizamos 
$1030 en función de $1000) 
 
F( 2 ) = 1000 (1 + 0,03) (1 + 0,03)= 1000 (1+0,03) 
2 
= 1060,9 
 
 1030 
 
3º mes 
F( 3 ) = 1060,9 + 1060,9 x 0,03 = 1060,9 (1 + 0,03) = 1000 (1 + 0,03) 
2
 (1 + 0,03) 
 = 1000 (1 + 0,03)
 3
 = 1092,72 
 
4ºmes 
F( 4 ) =1092,72+1092,72x0,03 =1092,72 (1+ 0,03) = 1000 (1+ 0,03) 
3
 (1+ 0,03) 
 
 1092,72 
F( 4 ) = 1000 (1 + 0,03) 
4 
= 1125,50 
 
Es el capital inicial de $1.000 al cabo de 4 meses al 0,03 mensual. 
 
Se concluye que el valor del capital al final de n unidades de tiempo, de la tasa 
de interés i, será igual al capital inicial capitalizado n unidades de tiempo, 
mediante la expresión: 
 
 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i )
n
 
 
Donde se dice, que F( n ) es el capital final de un capital inicial F( 0 ) al cabo de 
n unidades de tiempo, utilizando en la valuación la tasa de interés i . 
 
Se observa que la unidad de tiempo es el momento al final del cual se 
computan o calculan los intereses, para pagarlos o para capitalizarlos. 
 
Para el cálculo de los intereses generados por los $ 1.000 durante los 4 meses 
se realiza la diferencia entre le capital al final del cuatrimestre y el capital al inicio 
de la operación: 
 
I = 125,50 = 1.125,50 – 1.000 
 
Como se aclaró anteriormente, cuando en la operación financiera hay más de 
una unidad de tiempo, el cálculo de los intereses solo se encuentra mediante la 
diferencia entre los capitales finales y iniciales. 
 
 
 
 
 
 
 14 
 
 F( 1 ) – F( 0 ) 
 
 
 Para n = 1 Intereses 
 F( 0 ) × i 
 
 
 Para n ≠ 1 Intereses F( n ) – F( 0 ) 
 
 
Se demuestra así, que el crecimiento del capital que interviene en la operación 
financiera, a medida que transcurre el tiempo es mayor, a consecuencia de la 
capitalización de los intereses, se representa gráficamente con la función 
exponencial, con lo cual se comprenden los gráficos anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F( 0 ) 
I 1 
 I 1 y 2 
I total 
F( n ) 
F( 0 ) 
 
 15 
 Operaciones Financieras Fundamentales. 
 
La operación financiera reconoce dos funciones u operadores fundamentales, la 
capitalización y la actualización. Estas funciones permiten valuar los valores 
monetarios en diferentes momentos del tiempo. 
 
La función de capitalización permite conocer el importe que asumirán los 
capitales depositados, luego de transcurrido un periodo determinado de tiempo, 
aplicando una tasa de interés a la operación. 
 
La función de actualización es la inversa de la anterior, muestra el valor 
monetario que al momento presente o inicial asumen los capitales finales o futuros, 
realizando la valuación a una tasa de interés. 
 
 
 
Operación de capitalización: 
 
Mediante la operación de capitalización se realiza el cálculo de los capitales 
futuros o finales, esto es, se calculan los intereses sumados al capital inicial: 
 
 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i ) 
n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 . . . n 
 
 
El exponente (n) en la expresión (1 + i)
n
 nos indica el numero de veces que se 
capitalizan los intereses o numero de unidades de tiempo, correspondientes a la 
tasa de interés utilizada para el calculo. 
 
En la expresión F( n ) = F( 0 ) (1 + i) 
n 
 ; al factor (1 + i) lo denominamos factor 
de capitalización, cuando se utiliza este factor, se valúan los capitales iniciales al 
final del periodo, es decir se traslada el capital inicial al finalde la operación 
financiera, tantas unidades de tiempo como corresponda según sea la tasa de 
interés utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
F( 0 ) 
 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i )
n
 
I 
 16 
La operación de capitalización, implica sumar los intereses al capital inicial. 
 
 
 
 Factor de capitalización (considerado como 
 operación) 
 
 
 ( 1 + i ) 
 Capital final de $ 1 iniciales en una unidad 
 de tiempo ( considerado como importe o 
 valor) 
 
 
 
 
Operación de actualización: 
 
La operación financiera inversa a la capitalización es la operación de 
actualización. 
 
Mediante la función de actualización se realiza el cálculo del capital inicial, 
partiendo del capital final, para una determinada tasa de interés y plazo estipulado, 
se actualiza por operación inversa a la capitalización, se obtienen las siguientes 
expresiones para el cálculo del capital inicial: 
 
 F( 0 ) = F( n ) / ( 1 + i ) 
 n 
 o F( n ) ( 1 + i ) 
– n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 n 
 
 
 
En la expresión F( n ) ( 1 + i ) 
- n 
 el exponente n indica el numero de veces que 
se actualiza el capital final o numero de unidades de tiempo de la tasa de interés 
utilizada en la valuación; a este factor ( 1 + i )
-1 
 se lo denomina factor de 
actualización, mediante este factor se calcula el importe del capital inicial, 
mediante la operación inversa a la capitalización, utilizando la tasa de interés, la 
que, en la operación financiera, se aplica al capital inicial. Más adelante en el 
desarrollo se encuentra un factor de actualización por directa. 
 
F( 0 ) 
F( n 
) 
 17 
En la actualización se restan los intereses del capital final para encontrar el 
valor del capital inicial 
 
 
 
 
 Factor de actualización (considerado como 
 operación) 
 
 
 ( 1 + i )
- 1
 
 Capital inicial de $ 1 final en una unidad 
 de tiempo ( considerado como importe o 
 valor) 
 
 
El factor de capitalización permite encontrar el importe del capital al final del 
periodo o sea el capital al inicio más los intereses correspondientes. 
 
Factor de capitalización → (1+i) 
1 
 
El factor de actualización, operación inversa a la capitalización, determina el 
importe del capital al inicio, capital prestado o financiado o sea el capital sin los 
intereses. 
 
Factor de actualización → (1+i) 
– 1 
 
 
 
 Operaciones financieras equivalentes. 
 
Si tratamos de averiguar la tasa de interés cobrada durante los 4 meses en el 
ejemplo dado en puntos anteriores, o sea la tasa de interés cuatrimestral, 
realizamos el cociente entre el interés correspondiente a los 4 meses y el capital al 
inicio de esos 4 meses: 
 
125,50 / 1.000 = 0,12550 
 
Se observa que para obtener el importe del capital al finalizar los 4 meses es 
indistinto utilizar la tasa mensual del 0,03 o la tasa cuatrimestral del 0,12550, 
teniendo en cuenta las unidades de tiempo de ambas operaciones, o sea, la 
cantidad de veces que se capitalizan los intereses, según sea la tasa utilizada en 
la valuación, así: 
 1.000 (1 + 0,03)
4 
 = 1125,50 = 1.000 (1 + 0,1250)
 1
 
 
Estas dos operaciones financieras se dicen operaciones financieras 
equivalentes, pues generan igual capital final al cabo del mismo periodo de tiempo, 
donde se utilizan en cada una de ellas, tasas de interés de unidades de tiempo 
diferentes. 
 
 
 18 
Tasa de interés equivalente. 
 
Las tasas de interés equivalentes son aquellas tasas de interés que teniendo 
unidades de tiempo diferentes, generan operaciones financieras equivalentes. 
 
En nuestro ejemplo, la tasa de interés del 0,1255088 cuatrimestral (si utilizamos 
la totalidad de los decimales) es equivalente a la tasa de interés del 0,03 mensual. 
 
Para explicarlo, analizamos primero el interés generado por los $1.000 en 1 
mes, el interés de $ 1.000 en 2 meses, en 3 meses y en 4 meses y luego pasamos 
a analizar el interés de $1 en 1 mes, de $1 en 2 meses, de $1 en 3 meses y de $1 
en 4 meses. 
 
I 1 = 30 interés de $1000 en 1 mes. 
 
I 1 y 2 = 60,90 interés de $1000 en 2 meses. 
 
I 1,2 y 3 = 92,72 interés de $1000 en 3 meses. 
 
I 1, 2, 3 y 4 = 125,5088 interés de $1000 en 4 meses. 
 
Se observan los intereses en un grafico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
Se analiza ahora el interés unitario en cada uno de los tramos (mes, bimestre, 
trimestre y cuatrimestre), interés de $ 1, en vez del interés de $ 1.000 en iguales 
tramos de tiempo, hacemos: 
 
 
I = 30 / 1.000 = 0,03 mensual U de T = mes , I = i 
 
 
 U de T = mes , I ≠ i 
 I = 60,90 / 1.000 = 0,0609 en dos meses 
 U de T = 2 meses , I = i 
 
 
1.000 
30 
 60,90 125,5088 
1.000(1+0,03)
4 
= 
 1.125,51 
 19 
 U de T = mes , I ≠ i 
 
I = 92,72/ 1.000 = 0,09272 en 3 meses U de T = 2 meses , I ≠ i 
 
 U de T = 3 meses , I = i 
 
 
 
 U de T = mes , I ≠ i 
 
 U de T = 2 meses , I ≠ i 
 
I = 125,5088 / 1.000 = 0,1255088 en 4 meses 
 U de T = 3 meses , I ≠ i 
 
 U de T = 4 meses , I = i 
 
 
 
Se observa en la siguiente gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 1 
 
 1 
 
 1 
Cada uno de los importes de los intereses encontrados se denominan tasas de 
interés, según concepto de tasa de interés, ya que representan el interés de $ 1 en 
cada una de las unidad de tiempo, mes, bimestre, trimestre y cuatrimestre, a cada 
una de ellas le corresponde una unidad de tiempo diferente. 
 
Si calculamos el capital al final del cuatrimestre de los $1.000 iniciales por 
ejemplo, con 0,03 mensual, el 0,609 bimestral o 0,1255088 cuatrimestral, 
encontraremos igual importe: 
 
 
1000 (1 + 0,03)
4 
 = 
 
1000 (1 + 0,0609)
2 
 = 1125,508 
 
1000 (1 + 0,1255088)
1
 =1 
0,03 
0,0609 0,1255088 
(1+0,03 )
4 
= 1,1255088 
 20 
Se observa cual es la unidad de tiempo en cada operación, (cual es la unidad 
de tiempo de la tasa utilizada en el calculo), para así realizar la cantidad de 
capitalizaciones necesarias según sea el caso. 
 
Las tasas que actúan en operaciones financieras equivalentes son entre sí 
tasas equivalentes de interés: 
 
 i = 0,03 mensual 
 i (2) =0,0609 bimestral Tasas equivalentes de interés 
 i (3) =0,092727 trimestral 
 i (4) =0,1255088 cuatrimestral 
 
Si en dos o más operaciones financieras actúan tasas de interés equivalentes, 
las operaciones son operaciones financieras equivalentes, coincidan o no en ellas 
los capitales iniciales y/o el plazo de las operaciones; si estos coincides los 
importes encontrados serán los mismos, pero si no coincidieran las operaciones 
son financieramente equivalentes, aún que los importes encontrados sean 
diferentes. 
 
 Las tasas de interés equivalentes son aquellas tasas de interés que teniendo 
unidades de tiempo diferentes, generan operaciones financieras equivalentes. 
 
 F( o ) (1 + i )
m
 
 
 F( m) = 1+I (m) = (1 + i )
m
 
 
 
 F( o ) (1+i (m) ) 
1 
 
 
 i tasa de interés (interés de la unidad monetaria en una 
 unidad de tiempo) 
 
 i (m) tasa de interés equivalente (interés de la unidad monetaria en 
 una unidad de tiempo m veces mayor a la unidad de tiempo de 
 la tasa i ) 
 
 
Se observa el grafico de las tasas de interés equivalentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . m 
1 
i 
i (2) 
 i (m ) 
(1+i )m 
 21 
La expresión que permite encontrar la tasa de interés equivalente a otra tasa de 
interés, es la expresión que se utiliza para el calculo de los intereses, es decir 
capital final menos capital inicial, en este caso capital final de un capital inicial de 
$1 en m unidades de tiempo a una tasa de interés i, es igual a: (1+i)
 m
 , menos el 
capital inicial que es de $ 1, entonces, la tasa de interés equivalente se representa 
por: 
 i (m) = (1 + i ) 
m
 – 1 
 
El valor que asume m refleja la relación entre la unidad de tiempo de la tasa 
utilizada para el cálculo y la unidad de tiempo de la tasa equivalente que se trate 
de encontrar: 
 
 
Utilidad de las tasas equivalentes: 
 
No todas las operaciones financieras coinciden en la unidad de tiempo y para 
poder optar por una u otra alternativa de inversión o financiamiento necesitamos 
comparar tasas de interés de igual unidad de tiempo en cada operación, por lo que 
las tasas equivalentes son fundamentales, así, operando en la tasa de interés de 
una de las operaciones financieras, buscamos la tasa equivalente a la unidad de 
tiempo de la otra operación, con lo cual se podrán comparar y así optar por la 
mayor cuando la operación implique una inversión donde los intereses se ganan y 
eligiendo la menor cuando debemos pagar intereses en algún financiamiento. 
 
Por ejemplo, para determinar la tasa equivalente cuatrimestral de 0,03 mensual 
se hace: 
 
 I = F( m) – F( o ) 
 
(1 + 0,03)
4 
 = 1,1255088 Capital final de $1 en cuatro meses a una tasa 
 de interés mensual del 0,03. 
 
(1 + 0,03)
4 
– 1 = 0,1255088 interés de $1 en cuatro meses, 
 considerando los cuatro meses como 
 unidad de tiempo. 
 
A este interés de $1 , en cuatro meses, lo definimos como tasa de interés, sí 
decimos que la unidad de tiempo es el cuatrimestre. 
 
Entonces la tasa de interés cuatrimestral equivalente es 
 i (4) = 0,1255088 cuatrimestral 
 
Practicamos con otros ejemplos para encontrar el valor de “m”: 
 
Con la tasa de interés del 0,0609 bimestral calculamos la tasa de interés 
equivalente: 
 
Al Cuatrimestre i (cuatrimestre) = (1+ 0,0609)
 2
 – 1 = 0,1255088 cuatrimestral 
 
Al Año i (año) = (1+ 0,0609)
6
 – 1 = 0,42576 anual 
 
Al Mes i (mes) = (1+ 0,0609)
1 / 2 
 – 1 = 0,03 mensual 
 22 
Al día i (día) = (1+ 0,0609)
6. 1 / 365 
 – 1 = 0,000972 diaria 
 
A los 45 días i (45 días) = (1+ 0,0609)
6. 1 / 365 . 45 
 – 1 = 0,0447 para 45 días 
 
 
Valor del capital cuando se retiran los intereses al final 
de cada unidad de tiempo. 
 
Se supone ahora que el capital prestado de $ 1.000 durante un cuatrimestre, a 
una tasa de interés mensual del 0,03, tiene pago de intereses mensualmente, 
entonces: 
 
F( 0 ) = $ 1.000 
i = 0,03 mensual 
Unidad de tiempo = mes 
Pago de intereses mensuales 
El capital prestado se devuelve al cabo de 4 meses 
 
Al final del 1er mes se pagan los intereses y continúa el préstamo de $ 1.000: 
 
F( 1 ) = 1000 + 1000 x 0,03 = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
Se retiran de la operación financiera los intereses del 1er mes continuando $ 
1.000 en préstamo 
 
F( 1 ) – 30 = 1.000 
 
Al inicio del 2do mes: 
F( 1 ) = F( 0 ) 
 
Al final del 2do mes 
 
F( 1 ) = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
Al pagar los intereses de ese mes, se retiran de la operación financiera los 
intereses del 2do mes 
 
F( 1 ) – 30 = 1.000 
 
Al inicio del 3er mes: 
F( 1 ) = F( 0 ) 
 
Al final del 3er mes 
 
F( 1 ) = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
Se retiran de la operación financiera los intereses del 3er mes 
 
F( 1 ) – 30 = 1.000 
 
Al inicio del 4to mes: 
 23 
 
F( 1 ) = F( 0 ) 
 
Al final del 4to mes concluye la operación financiera mediante el pago de los 
intereses y la devolución del capital prestado 
 
F( 1 ) = 1000 (1 + 0,03) = 1030 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 
 
 
Se observan 4 operaciones financieras, en cada una de ellas $ 30 es el interés 
de 1.000 en un mes, F( 0 ) × i 
 
30 × 4 = 1.000 × 0,03 × 4 = 120 ≠ I 
 
 
F( 0 ) × i × n ≠ I 
 
 No representa valor financiero 
 Es solo la suma de los intereses retirados al final de cada unidad de tiempo 
 Están ubicados en distintos momentos 
 Valores no homogéneos 
 
 
Se recuerda que n ≠ 1 por lo que no es correcto utilizar esa expresión para el 
calculo de los intereses. 
 
 
Cuando se presenta esta situación decimos que se pagaron $ 30 en cada uno 
de los 4 meses, son intereses mensuales que se retiran de la operación financiera 
(no se capitalizan) NO ES CORRECTO DECIR QUE SE PAGARON $ 120 en 
concepto de intereses. 
 
 
 
 
1.000 
30 30 30 30 
 24 
 Tasas proporcionales de interés. 
 
Se observa en la grafica, al final de cada uno de los mes durante un año, el 
interés de $ 1 a la tasa mensual de 0,03. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . 12 
 
 
Hemos demostrado que financieramente no es correcto decir que al cabo del 
año los intereses de $ 1 son 0,03 × 12 = 0,36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 11 12 
 
 
En la grafica anterior se observa que el único interés correcto del 0,03, es el 
correspondiente al 1er mes, (interés de $ 1 en una unidad de tiempo), el interés del 
2do mes, no es el interés de $ 1 sino que es el interés de $ 1,03 o sea 0,0309 y no 
0,03, al igual que en cada uno de los restantes meses en que se dividió el año, ya 
lo demostramos, que en una operación financiera donde no se retiranlos 
intereses, a medida que transcurre el tiempo, el interés en cada una de las 
unidades de tiempo, es mayor, a raíz de la capitalización de los intereses. 
0,03 
0,03 
0,03 x 12 = 0,36 anual 
para pagos mensual 
1 
$ 1 
0,03 0,03 0,03 
 25 
Si los intereses no se retiran mensualmente de la operación, el interés de $ 1 al 
cabo del año será 0,42576 = (1+ 0,03)
12 
 - 1 ; lo que corresponde a la tasa de 
interés equivalente anual al 0,03 mensual. Si se retiran tendremos 0,03 de interés 
mensual en cada uno de los 12 meses y No 0,36 de interés anual. 
 
Si se menciona 0,36 anual como interés al cabo del año, suponiendo que en 
cada mes se genera igual interés del 0,03 mensual, estamos cometiendo un grave 
error, estamos considerando en cada uno de los 12 meses que integran el año, 
igual interés al generado en el primer mes, siendo que si bien este es correcto para 
el primer mes, el interés correspondiente a cada uno de los restantes meses no es 
igual a 0,03, son importes mayores. 
 
A esta tasa proporcional de interés del 0,36 anual, para operaciones 
mensuales, se lo denomina tasa nominal anual de interés para pagos mensuales, 
y se la simboliza por i 
(m) 
o T. N. A. es la proporción anual del 0,03 mensual, 
este importe no refleja valor financiero, es nominal a consecuencia de la 
proporcionalidad. 
 
A partir de la tasa nominal anual mencionada del 0,36 para operaciones 
mensuales, se calcula la tasa mensual 
 
 i = 0,36 / 12 = 0,03 mensual 
 
Cuando la tasa nominal anual del 0,36 anual, refleja una proporción diferente al 
mes por ejemplo bimestral, trimestral o semestral, estamos en presencia de 
diferentes tasas nominales anuales: 
 
T.N.A del 0,36 para pagos o retiros bimestral 0,36 / 6 = 0,06 bimestral 
T.N.A del 0,36 para pagos o retiros trimestral 0,36 / 4 = 0,09 trimestral 
T.N.A del 0,36 para pagos o retiros semestral 0,36 / 2 = 0,18 semestral 
 
Se mencionan cuatro tasas nominales anuales según sean los pagos 
mensuales, bimestrales, trimestrales o semestrales. 
 
Las tasas de interés encontradas a partir de la proporción anual del 0,36, para 
las diferentes unidades de tiempo, no son tasas equivalentes entre si. 
 
Se comprueba cuando se busca con cada una de ellas, la mensual, la bimestral, 
la trimestral y la semestral, y luego se calcula la tasa equivalente a una 
determinada unidad de tiempo, por ejemplo el año 
 
(1+ 0,03)
12 
 - 1 = 0,42576 anual equivalente 
(1+ 0,06)
6 
 - 1 = 0,4185 anual equivalente 
(1+ 0,09)
4 
 - 1 = 0,4116 anual equivalente 
(1+ 0,18)
2 
 - 1 = 0,3924 anual equivalente 
 
En cada operación hemos encontrado diferentes tasas anuales equivalentes, 
por lo que se demuestra la no equivalencia financiera entre cada una de estas 
tasas de interés. 
 
 
 
 26 
Se observa que en: 
 
- La tasa de interés anual NO es igual a la TNA mencionada, sino que el 
verdadero interés anual de $ 1 es siempre mayor que el nominal mencionado. 
 
- Todas las tasas de intereses anuales calculadas son diferentes entre sí. 
 
 
- A mayor veces en que se divide el año la diferencia entre la verdadera tasa 
de interés anual es mayor que la TNA correspondiente. 
 
 
Elementos de la Tasa Nominal Anual 
 
Para el ejemplo dado, TNA del 0,36 para pagos mensuales, se observan 3 
elementos, a saber: 
 
- Proporción al año 
 
- 0,36 incremento del $ 1 en el año 
 
- Pago o retiro de intereses mensuales 
 
Cuando se mencione una tasa nominal anual de interés, es fundamental 
identificar cada uno de estos 3 elementos, (el único que no necesariamente es 
imprescindible es el año, ya que se ven las proporciones anuales y este elemento 
se denota en el concepto, TNA”), pero si o si debe figurar el importe del 
incremento, como así también el momento del pago o retiro de los intereses. 
 
La TNA se define como el incremento proporcional de $1 en un periodo de 
tiempo (generalmente el año), cuando habiendo dividido este periodo de tiempo 
en m partes iguales, se supone que el interés en cada una de las m partes es 
igual al interés generado en el primer enésimo. 
 
Tasa de interés nominal anual: Es la proporción anual a una tasa de interés 
cuya unidad de tiempo es inferior al año 
 
i 
(m) = TNA = i × m 
 
m representa el número de veces en que se divide el año 
 
De donde TNA / m = i interés del 1er emesimo de una unidad 
monetaria inicial 
 
 
Se observa en el grafico la tasa nominal anual de interés 
 
 
 
 
 
 
 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 m 
 
 
Se ven solo las proporciones anuales, sin desconocer que pudieran darse 
proporciones para otros periodos que no sean anuales. 
 
Al mencionar la tasa nominal anual de interés, como una tasa de interés, se 
comete un error financiero, ya que se considera igual interés en las m partes en 
que se divide el año, debido a que en la capitalización se van acumulando los 
intereses, cada vez el interés debe ser mayor, ya que se calcula sobre un capital 
inicial mayor. Este error determina que la tasa nominal anual de interés asuma un 
valor menor que la tasa de interés equivalente anual correspondiente 
 
 
 Tasas acumuladas equivalentes. 
 
Algunas inversiones de capital realizadas a una tasa de interés determinada y 
con una cierta duración a plazo, suelen renovarse sin retirar de la operación los 
intereses ganados, a una tasa de interés distinta y a iguales o diferentes plazos 
que los pactados originariamente. 
 
En estos casos la tasa de interés que actuó durante todo el periodo de tiempo 
en el que estuvo invertido el capital inicial la denominamos tasa de interés 
acumulada equivalente, y a partir de ella es que se encuentran las tasas de interés 
equivalentes correspondientes a diferentes unidades de tiempo 
 
Por ejemplo si una inversión se realiza durante 60 días a una tasa de interés del 
0,05 y el vencimiento de esta operación se renueva, sin retiro de intereses, por 35 
días más al 0,04, la tasa de interés para los 95 días (60 días + 35 días) será: 
(1+ 0,05)
1 
 * (1+ 0,04)
1 
 - 1 = 0,092 tasa para los 95 días 
 
Al 0,092 para los 95 días la denominamos tasa de interés equivalente 
acumulada. 
 
1 
i 
i 
i 
i 
 
i x m = T.N.A.= i (m) 
 
 para el enésimo 
 28 
Para calcular tasas equivalentes a cualquier otra unidad de tiempo, debemos 
realizar la operación con la tasa de interés acumulada equivalente correspondiente 
al plazo total. 
 
Si buscamos la mensual equivalente acumulada hacemos 
 
(1+ 0,092)
1/95 . 365 . 1/12 
– 1 = 0,02858 mensual 
 
Partimos de una tasa para 95 días, primero vamos al día, luego al año y por 
ultimo al mes. 
 
 
 
 
Incidencia de impuestos y gastos en 
operaciones financieras 
 
En las operaciones financieras el importe del capital final es igual al valor 
del capital retirado (CR), cuando en dicha operación no se deducen 
impuestos y/o gastos. 
 
 
 CF = CR 
Deducción = 0 
 I = IG = IR 
 
 Por lo contrario cuando a la operación financiera se le realiza alguna 
deducción, sea esta por impuestos y/o gastos, el importe correspondiente al 
capital retirado de la operación financiera no es el valor del capital final o 
monto, el importe retirado es menor al capital final o monto: 
 
 CF > CR 
Deducción > 0 
 I = IG > IR 
 
 
 Las Deducciones son generalmente para cubrir gastos y el impuesto al 
valor agregado, (IVA) que se cobra sobre el importe de los intereses ganados 
por la operación financiera.: 
 
 
 gastos 
 
 DeducciónImpuesto ( iva = 0,21 × Intereses ganados) 
 
 
 
 
 29 
Deducciones = gastos + 0,21 × IG 
 
IR = IG - Deducciones 
 
CR = CF – Deducciones = CI + IG – Ded = CI + IR 
 
 CF > CR CR = CF – Deducciones 
 
La tasa de rendimiento de la operación financiera, la que simbolizamos 
por “r”, no es igual a la tasa de interés de dicha operación. 
 
La tasa de rendimiento del capital invertido durante el tiempo que dura la 
operación, se obtiene mediante el cociente entre el interés retirado y el 
importe del capital inicial o capital invertido. 
 
r = IR / CI 
 
Se observa que n = 1 por lo que la unidad de tiempo de esta tasa de 
rendimiento coincide con el plazo de la operación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
TEORÍA DEL INTERÉS EN EL CAMPO CONTINÚO. 
 
 Valor del capital al final de la operación financiera o 
Monto en el campo continúo. 
 
Se definen los siguientes capitales finales: 
 
F( n ) capital al final de “n” unidades de tiempo 
 
F( t ) capital al final de “t” unidades de tiempo 
 
F( t + n ) capital al final de “t + n” unidades de tiempo 
 
F( t + 1 ) capital al final de “t + 1” unidades de tiempo 
 
F( t + 1/ m ) capital al final de “ t + 1/m” unidades de tiempo 
 
 
Si el capital inicial es F( o ) se definen los intereses como: 
 
I = F( n ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “n” unidades de tiempo 
 
I = F( t ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “t” unidades de tiempo 
 
 
I = F( t + n ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “t + n” unidades de tiempo 
 
 
I = F( t + 1 ) – F( o ) es el interés de un capital F( o ) en “t + 1” unidades de tiempo 
 
 
Se divide la unidad de tiempo siguiente al momento “t” en m partes iguales 
 
 
I = F( t + 1/ m ) – F( o ) representa el interés de un capital F( o ) en “t + 1/m” de 
 unidades de tiempo 
 
Se recuerda que solo para cuando n = 1 los intereses se pueden calcular 
mediante el producto entre el capital inicial y la tasa de interés correspondiente, de 
lo contrario no, entonces cuando la unidad de tiempo es diferente a uno (1) el 
cociente entre el interés y el capital inicial NO representa la tasa de interés, 
 
 u de t ≠ 1 I ÷ F( o ) ≠ i . 
 
 
Se analizan los intereses del capital F( t ) 
 
 
 31 
I = F( t + 1 ) – F( t ) corresponde al interés de un capital F( t ) en “1” unidades de 
 tiempo, la unidad de tiempo siguiente al momento t . 
 
Al dividir la expresión anterior por el capital inicial F( t ) 
 
[ F( t + 1 ) – F( t ) ] ÷ F( t ) = I = i corresponde al interés de $ 1 en la unidad 
 
de tiempo siguiente al momento “t” “tasa de interés” 
 
Se divide la unidad de tiempo en m partes iguales, el importe obtenido si bien 
representa un interés, el mismo no corresponde a tasa de interés 
 
[ F( t + 1/m ) – F( t ) ] ÷ F( t ) = I ≠ i corresponde al interés de $ 1 en el 
 
primer emesimo siguiente al momento t 
 
Al multiplicar la expresión anterior por m (cantidad de veces que se divide la 
unidad de tiempo siguiente al momento t ), encontramos un importe que no 
representa valor financiero, es una proporción, definida como el interés de un 
capital inicial de $ 1 en m emesimos (una unidad de tiempo), suponiendo que el 
incremento en cada uno de los emesimos en que se divide la unidad de tiempo 
fuera igual al incremento del 1er emesimo 
 
m × [ F( t + 1/m ) – F( t ) ] ÷ F( t ) = i (m) ≠ I 
 
Es una tasa Nominal no representa valor financiero, es proporcional, este 
análisis es en el campo discreto, procedemos a trabajar a partir de ahora, en el 
campo continuo. 
 
Reemplazamos en la última expresión a 1/m por h 
 
 i 
(m) = 1 ÷ F( t ) × [ F( t + h ) – F( t ) ] ÷ h 
 
Se desarrolla la teoría del interés en el campo continuo, dividiendo la unidad de 
tiempo en infinitas partes iguales, cada emesimo, ahora representa un 
infinitésimo, (m → ∞ ) 
 
lim i (m) = lim 1 ÷ F( t ) × [ F( t + h ) – F( t ) ] ÷ h 
 
 m → ∞ h → 0 
 
Se define la expresión como el interés de $ 1 en una unidad de tiempo, bajo el 
supuesto de haber dividido la unidad de tiempo en infinitésimos, y considerando 
que el incremento en cada uno de esos infinitésimos es igual al incremento del 
primer infinitésimo. 
 
Por definición de derivada, vamos a decir que: 
 32 
 
i 
(
∞
) = [1 ÷ F( t ) ] × [ d F( t ) ÷ d( t ) ] 
 
 
Derivada inmediata: 
 
i 
(
∞
) = d ln F( t ) ÷ d( t ) =  
 
(delta) simboliza la tasa instantánea de interés, definida como el interés 
o incremento de la unidad de capital inicial en una unidad de tiempo, 
suponiendo que el interés en cada uno de los infinitésimos en que se ha 
dividido la unidad de tiempo es igual el interés o incremento del primer 
infinitésimo. 
 
Esta tasa instantánea de interés, la que representa el crecimiento del $ 1 inicial 
medido en la unidad de tiempo es proporcional al incremento de cada instante en 
que se dividió la unidad de tiempo, esta proporcionalidad infinitesimal mantiene el 
valor financiero, por lo que NO podemos decir que la misma sea una tasa 
nominal. 
 
A continuación se demuestra la equivalencia financiera entre la tasa de 
interés y la tasa instantánea de interés. 
 
El capital al final del momento “ t ” representado por: F( t ) , esta en función del 
capital inicial F( o ) , del tiempo transcurrido “ t “ y de la fuerza del crecimiento del 
capital inicial, tasa instantánea de interés, simbolizada por 

Partimos de la ecuación diferencial, expresión de la tasa instantánea de interés 

 = d ln F( t ) ÷ d( t ) 
 
La resolvemos por variables separadas 
 
 d( t ) = d ln F( t ) 
 
Se integra en la expresión anterior entre cero y t 
 
 
 t t 
∫  d ( t ) = ∫ d ln F( t ) 
 0 0 
 
Se resuelve 
 
 33 
 t = ln F( t ) – ln F( 0 ) 
 
Por propiedades de logaritmo 
 
 t = ln [ F( t ) ÷ F( 0 ) ] 
 
e 
 t = F( t ) ÷ F( 0 ) 
 
Se despeja el capital final 
 
F( t ) = F( 0 ) × e  t 
 
 
Se define a F( t ) como el capital final de un capital inicial F( 0 ) al cabo de “ t “ 
unidades de tiempo de la tasa instantánea de interés 

Se recuerda que F( t ) se definió como el capital final de un capital inicial F( 0 ) 
al cabo de “ t “ unidades de tiempo de la tasa de interés i

 
F( t ) = F( 0 ) × (1+i ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 . . . t 
 
Por lo que se demuestra que la tasa de interés i y la tasa instantánea de interés 
, son dos tasas equivalentes de interés, las que generan operaciones financieras 
equivalentes 
 
De las expresiones del capital final en función del capital inicial en “ t “ unidades 
de tiempo a través de las tasas de interés i e instantanea de interés 

 F( t ) = F( 0 ) × e 
 t = F( 0 ) × (1+i)
 t
 
 
Se deduce que : 
F( 0 ) 
F( t )=F( 0 ) e 
 t =F( 0 )(1+i)
 t
 
 
 
 34 
 
e 
 t = (1+i ) t o 
 
e 
 = (1+i ) 
Se definió a la expresión (1+i ) como: 
 
- Capital final de un capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa de interés i. 
 
 - Factor capitalización 
 
Ahora definimos a e 
 como: 
 
- Capital final de un capital inicial de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa instantánea de interés 

- Factor de capitalización 
 
 
Lo que se observa en el siguiente grafico1 Tiempo 
 
 
Se definió a expresión (1+i ) 
- 1
 como: 
 
- Capital inicial de un capital final de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa de interés i. 
 
 - Factor actualización 
 
Ahora definimos a e 
-  como: 
 
- Capital inicial de un capital final de $ 1 en una unidad de tiempo a una 
 tasa instantánea de interés 

 - Factor de actualización 
 
Capital. 
1 
1+i = e 
 
i 
 35 
Lo que se observa gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Tiempo 
 
 
Se simboliza por “ v ” al factor de actualización o el valor actual de $1 finales en 
una unidad de tiempo: 
 
e – 
 = (1+i ) – 1 = v 
 
A partir de la siguiente expresión 
 t = ln [ F( t ) ÷ F( 0 ) ] 
 
Expresando el capital final en función del capital inicial de $ 1 en una unidad de 
tiempo, se obtiene la tasa instantánea de interés a partir de la tasa de interés i 
 
ln (1+i) 
 
Y de la igualdad e 
 = (1+i ), se calcula la tasa de interés i, a partir de la tasa 
instantánea de interés  
i = e  – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capital. 
(1+i )-1 = e - 
= v 
 
 
1
 
 36 
OPERACIÓN DE DESCUENTO DE DOCUMENTO. 
 
Interés y Descuento. 
 
Descontar un documento, implica hacerlo efectivo antes de su vencimiento, la 
operación financiera de descuento de documento, se da cuando por realizar 
dicha operación se cobra un determinado importe. 
 
Dados por ejemplo: 
Valor del documento a descontar = $ 100 
Importe cobrado por la operación de descuento = $ 20 
Vencimiento del documento un mes 
Valor recibido en la operación de descuento = $ 80 
 
Se ubican los valores en una grafica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes 
 
 
Operación de descuento 
 
C.F. = 100 se denomina valor nominal y se simboliza por V.N. 
C. I = 80 se denomina valor efectivo del documento, se simboliza por V.E. 
Vencimiento = 1 mes 
 
100 – 80 = 20 es el descuento de los $ 100 en un mes, se simboliza por D 
 
 
 de $ 100 
Descuento de la operación = $ 20 descuento 
 durante un mes. 
 
 
La diferencia entre el valor nominal del documento y el descuento da cómo 
resultado el valor efectivo de dicho documento. 
 
V.N. – D = V.E. 
 
80 
100
 
 
20 
 37 
O mediante la diferencia entre el valor nominal y el valor efectivo del 
documento, se obtiene el descuento cobrado por la operación financiera. 
 
V.N. – V.E. = D 
 
Operación de interés 
 
Si observando el grafico anterior, lo analizamos como una operación de interés 
 
C. I = 80 , se simboliza por F( 0 ) 
C.F. = 100, se simboliza por F( n ) 
Plazo = 1 mes 
 
100 – 80 = 20 es el interés de los $ 80 en un mes, se simboliza por I 
 
 
 de $ 80 
Interés de la operación = $ 20 interés 
 durante un mes. 
 
 
F( 0 ) = 80 = V.E. 
 
F( n ) = 100 = V.N. 
 
I = F( n ) – F( 0 ) = V.N. – V.E. = D 
 
I = D 
 
En la operación financiera de interés el capital inicial es quien genera el interés. 
 
En la operación de descuento de documento el valor nominal del documento es 
quien genera el descuento 
 
El interés es igual al descuento, solo que se debe aclarar bien que el interés 
corresponde al capital inicial, mientras que el descuento se refiere al capital final. 
 
 
 
 
 Interés de $ 80 en un mes 
 100 – 80 = $ 20 
 Descuento de $ 100 en un mes. 
 
 
 
 
 
 
 38 
Tasa de descuento. 
 
$ 20 es el descuento de $ 100 en un mes 
 
Si la unidad de tiempo de la operación financiera es el mes, mediante el 
cociente entre el descuento y el capital final se obtiene la tasa de descuento 
mensual. 
 
20 ÷ 100 = 0, 20 mensuales 
 
0,20 mensuales es el descuento de cada unidad de capital final en un mes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 mes 
 
 
La tasa de descuento es lo que se le resta al capital final de $ 1 para encontrar 
su valor actual.: 1 – 0,20 = 0,80 
 
Se grafica la tasa de descuento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
La tasa de descuento se define como el descuento de un capital final de $ 1 en 
una unidad de tiempo, o lo que se le resta al capital final de $ 1, en una unidad de 
tiempo, para encontrar se valor actual. 
0,80 
1
 
 
0,20 
1 – d = v 
1
 
 
 d 
 39 
Se observa que ( 1 – d ) representa el valor actual de un capital final de $ 1, en 
una unidad de tiempo, anteriormente a este valor actual de $ 1 en una unidad de 
tiempo, lo simbolizamos con (1+i )
 - 1 o v y también lo definimos como el factor 
de actualización. Por lo que para actualizar valores finales es valido utilizar como 
factor da actualización a ( 1 – d ), además de los mencionados anteriormente. 
 
En operaciones de interés el capital inicial se calcula actualizando el capital 
final, las unidades de tiempo que corresponda, con cualquiera de las siguientes 
expresiones: 
 
F( 0 ) = F( n ) × (1+i )
 - n = F( n ) × v 
 n = F( n ) × (1– d) 
 n 
 
 O en operaciones de descuento actualizando el valor nominal del documento, 
la cantidad de unidades de tiempo que correspondan, se obtiene el valor efectivo 
utilizando alguna de las siguientes expresiones: 
 
VE = VN × (1+i )
 - n = VN × v 
n
 = VN × (1- d) 
n
 
 
Si bien el interés es igual al descuento, pasamos a ver ahora, si la tasa de 
descuento es igual o no a la tasa de interés. 
 
$ 20 es el interés de $ 80 en un mes 
 
Si la unidad de tiempo de la operación financiera es el mes, mediante el 
cociente entre el interés y el capital inicial se obtiene la tasa de interés, como se 
observo anteriormente 
 20 ÷ 80 = 0, 25 mensuales 
 
i = 0, 25 mensuales ≠ d = 0, 20 mensuales 
 
 
El interés es igual al descuento, solo que se debe aclarar bien a que capital 
hace referencia. 
 
La tasa de interés NO es igual a la tasa de descuento 
 
0,25 mensual ≠ 0, 20 mensual i ≠ d i > d 
 
 
 
 
Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés 
 
Se busca encontrar la tasa de interés a partir de la tasa de descuento, por un 
lado y por otro, determinar la tasa de descuento a partir de la tasa de interés, luego 
se analiza la relación existente entre ambas tasas. 
 
La tasa de interés, es el cociente entre el interés y el capital inicial, cuando la 
unidad de tiempo es igual a uno, para el ejemplo planteado 
 
 40 
[100 – 80] ÷ 80 = 20 ÷ 80 = 0,25 mensual 
 
La tasa de descuento, es el cociente entre el descuento y el capital final, 
cuando la unidad de tiempo es igual a uno, para el ejemplo planteado 
 
[100 – 80] ÷ 100 = 20 ÷ 100 = 0, 20 mensual 
 
Se trabaja en las expresiones utilizadas para calcular ambas tasas, para una 
unidad de tiempo: 
 
En la formula de la tasa de interés, se reemplaza, en el denominador, el capital 
inicial por su igual en función al capital final 
 
F( 0 ) = F( 1 ) × (1+i )
 - 1 = F( 1 ) × (1 - d ) 1 
 
 
i = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 0 ) = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 1 ) × (1- d) 
1
 = d ÷ (1- d)Se obtiene la tasa de interés a través de la tasa de descuento mediante la 
expresión: 
 
i = d . 
 1- d 
 
Y en la formula de la tasa de descuento, se reemplaza, en el denominador, el 
capital final por su igual en función al capital inicial. 
 
F( 1 ) = F( 0 ) × (1+i )
 1 = VN = VE × (1+i ) 1 
 
d = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 1 ) = [F( 1 ) – F( 0 ) ] ÷ F( 0 ) × (1+i ) 1 = i ÷ (1+i ) 
 
Se obtiene la tasa de descuento a través de la tasa de interés mediante la 
expresión: 
 
d = i . 
 1 + i 
 
 
Relación entre ambas tasas: 
Se demuestra la relación entre ambas tasas, de la expresión i = d ÷ (1- d), 
se obtiene 
 
d = i × (1- d) 
 
Se recuerda que (1- d) = v = (1+i ) – 1 es el factor de actualización, mediante el 
cual se obtiene el capital inicial a través del capital final 
 
 41 
CI = CF × v 
 n
 
 
Para una unidad de tiempo, e i pesos ($ i) de capital final, se obtiene el capital 
inicial igual a d pesos ($ d) , por lo que la relación entre la tasa de interés y la tasa 
de descuento es que, la tasa de descuento es el valor actual de la tasa de interés 
en una unidad de tiempo. 
 
d = i × (1- d) = i × (1+i ) - 1 = i × v 
 
al capital final de i pesos ($ i) se lo actualiza por una unidad de tiempo para 
encontrar su valor inicial de d pasos ( $ d) 
 
De igual manera, de la expresión, d = i ÷ (1+i ), se obtiene: 
 
i = d × (1+i )
 
 
Se recuerda que (1+i) 
 
es el factor de capitalización, mediante el cual se 
obtiene el capital final a través del capital inicial 
 
CF = CI × (1+i )
 n
 
 
Para una unidad de tiempo, y d pesos ($ d) de capital inicial, se obtiene el 
capital final de i pesos ( $ i) , por lo que la relación entre la tasa de descuento y la 
tasa de interés es que, la tasa de interés es el valor final de la tasa de descuento 
en una unidad de tiempo; al capital inicial se lo capitaliza para encontrar su valor 
final 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
Se dijo que en una unidad de tiempo, el interés es igual al capital inicial 
multiplicado por la tasa de interés y que el descuento es igual el capital final 
multiplicado por la tasa de descuento, también en la unidad de tiempo 
 
si CI = d y CF = i , entonces I = D d.i = i.d 
 
Se sabe que CF – CI = I = D, se reemplaza por las tasas según corresponda y 
se obtiene: 
 
 
 
d 
i
 
 
 i. d 
 42 
Para n = 1 
 
 i – d = d.i = i.d 
 
Mediante la diferencia entre el capital final y el capital inicial se obtiene el 
interés del capital inicial o el descuento del capital final. 
 
Tasas proporcionales de descuento. 
 
AL igual que en las tasa proporcionales de interés, se ven solo las proporciones 
anuales, sin desconocer que pudieran darse proporciones para otros periodos que 
no sean anuales. Se denomina a esta proporción anual en operaciones de 
descuento, como tasa nominal anual de descuento y se la define como, el 
descuento proporcional de $1 en un periodo de tiempo (generalmente el año), 
cuando habiendo dividido este periodo de tiempo en m partes iguales, se supone 
que el descuento en cada una de las m partes es igual al descuento generado en 
el último enésimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 $ 1 
 
 
 
 
 
 1 2 m 
 
 
En la grafica anterior se observa que el único descuento correcto, es el 
correspondiente al último emésimo, represente el descuento de $ 1 final en una 
unidad de tiempo, el descuento del ante último emésimo, no es el descuento de $ 
1 sino que es el descuento de $ (1 – d) , al igual que en cada uno de los restantes 
emesimos a raíz de la operación de actualización, los descuentos efectuados 
serán menores en cada uno de los emesimos. El valor mayor corresponde al 
último e-mesimo. 
 
Se comete un error financiero, al considerar igual descuento en las m partes en 
que se divide el período de tiempo (año), ya que en la actualización se va 
descontando cada vez sobre un capital final menor. Este error determina que la 
tasa nominal anual de descuento asuma un valor mayor que la tasa de descuento 
equivalente anual correspondiente. 
 
d 
d 
d 
d 
 
d 
d 
d m = T.N.A d .= d 
(m) 
 
 43 
Similar que el caso de la tasa nominal anual de interés, en la tasa nominal anual 
de descuento se da que: 
 
- La tasa de descuento equivalente anual NO es igual a la TNA d 
mencionada, sino que el verdadero descuento anual de $ 1 es siempre menor que 
el nominal mencionado. 
 
- A mayor veces en que se divide el año la diferencia entre la verdadera tasa 
de descuento anual es mayor que la TNA d correspondiente. 
 
 
Son 3 los elementos de la Tasa Nominal Anual de descuento, a saber: 
 
- Proporción al año 
 
- importe del descuento del $ 1 en el año 
 
- Pago o retiro del descuento 
 
Cuando se mencione una tasa nominal anual de descuento, es fundamental 
identificar cada uno de estos 3 elementos. 
 
Tasa de descuento nominal anual: Es la proporción anual a una tasa de 
descuento cuya unidad de tiempo es inferior al año. 
 
Tasa nominal anual de descuento → TNAd d 
(m) 
 
 TNAd = d. m → d = TNAd / m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
RENTAS CIERTAS 
Rentas ciertas su equivalente financiero: 
 
Rentas ciertas es un conjunto de pagos que se efectúa a intervalos de tiempo 
pre-establecidos mientras subsista una situación dada, estos pagos pueden 
efectuarse al comienzo (pagos adelantados) o al final (pagos vencidos) de cada 
unidad de tiempo. 
Las dos operaciones financiera fundamentales, la capitalización y la 
actualización, permiten valuar estos pagos en diferentes momentos del tiempo. 
 
Estas valuaciones se realizan a las tasas pactadas en la operación financiera. 
 
 
 Valuación de uno o múltiples pagos. 
 
Valuar uno o múltiples pagos, depósitos o cuotas, significa determinar el valor 
financiero del o de los mismos, en un momento determinado, esto implica aplicar 
una determinada tasa de interés a cada pago por el tiempo que corresponda según 
donde se efectúe dicho pago y el momento donde se realiza la valuación. 
 
Las valuaciones bien pueden efectuarse en cualquier momento en el tiempo, 
aquí mencionaremos solo aquellas donde la valuación se realiza al final de la 
operación o al inicio de la misma. 
 
La valuación al final de los pagos se realiza mediante la operación de 
capitalización de cada uno de los pagos y la valuación al inicio de los pagos se 
efectúa a través de la operación de actualización. 
 
 Valuación de pagos al final de la operación. 
 
La valuación al final de los pagos vencidos o adelantaos a una determinada 
tasa de interés, implica transportar dichos pagos hasta el final de las n unidades de 
tiempo que dura la operación financiera, mediante la función de capitalización. 
El valor final de los pagos contiene los intereses generados por cada uno de 
esos pagos. 
 
 
Algunas aplicaciones prácticas de valuación al final de los pagos son: 
 
 depósitos de capitales en entidades financieras, 
 
 planes de ahorro previo utilizados para adquisición de artículos o 
bienes, 
 
 aportes provisionales realizados en los regímenes jubilatorios de 
capitalización. 
 
 
Si fuera el caso de un pago único, estaríamos ante la situación analizada 
cuando desarrollamos valor capital, cuando se capitalizan los intereses. 
 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Siendo CF la valuación al final de n unidades de tiempo, del único pago (CI) 
realizado en la operación financiera, valuado a una tasa de interés dada. 
 
Si la valuación fuera de múltiples pagos; debemos capitalizar cada uno de los 
mismos, hasta el momento final donde se valúan.Suponemos que los pagos se realizan a intervalos iguales de tiempo, se define 
ese intervalo como la unidad de tiempo de la valuación, por lo que la tasa de 
interés utilizada debe corresponder a dicha unidad de tiempo, por ejemplo, si los 
pagos fueran mensuales, la tasa deberá ser mensual. 
 
Se simboliza con C 1 C 2 C 3 y C n al importe del pago realizado en la primera, 
segunda, tercera y ene-sima unidad de tiempo, con n al número de pagos 
efectuados y VF la valuación al final de dichos pagos. 
Los pagos se pactan realizar al comienzo o al final de cada unidad de tiempo. 
 
 
 
 C1 C2 - - - Cn 
 
 
 
 C1 C2 . . . Cn 
 
 
Valuación al final de pagos variables y vencidos. 
 
La valuación al final de los pagos realizados al final de cada unidad de tiempo 
(pagos vencidos) será la suma del valor capitalizado de cada uno de los mismos. 
 
 
 
 C1 C2 ... Cn 
 
 
VFV = C1. (1+i)
 n – 1 + C 2 . (1+i) 
n – 2 + C3 . (1+i) 
n – 3 + . . . . . + Cn . (1+i)
 0 
 
 
Se define como el valor final de n pagos vencidos y variables valuados a la tasa 
de interés i 
 n-1 
 VFV = ∑ C n - p (1+i) 
p 
 p=0 
CI 
CFn = CI ( 1 + i ) 
n
 
 46 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos variables y vencidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 n 
 
 
 
Valuación al final de pagos variables y adelantados. 
 
La valuación al final de pagos realizados al comienzo o al inicio de cada unidad 
de tiempo (pagos adelantados) será la suma del valor de cada pago capitalizado: 
 
 
 
 C1 C2 Cn 
 
 
. . 
VFV = C1. (1+i)
 n + C 2 . (1+i) 
n – 1 + C3 . (1+i) 
n – 2
 + . . . . . + Cn . (1+i)
 1 
 
 
 
 . . n 
VF v = ∑ C n – p + 1 (1+i) 
 p 
 p = 1 
 
C1 
 
 
 C n 
 
 
VFv
rvv 
 Valor final de pagos variables y 
yencidos C 2 
 
C 3 
 
 47 
Se define como el valor final de n pagos adelantados y variables valuados a la 
tasa de interés i 
 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos variables y adelantados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 n 
 
 
 
Valuación al final de pagos iguales y vencidos. 
 
La valuación al final de los n pagos iguales realizados al final de cada unidad de 
tiempo será la suma del valor capitalizado de cada uno de los mismos. 
 
 
 
 C C C 
 
VF = C. (1+i)
 n – 1 + C. (1+i) 
n – 2 + C. (1+i) 
n – 3 + . . . . . + C. (1+i) 0 
 
 n n-1 
 VF = ∑ C (1+i) 
n - p
 = ∑ C (1+i) p 
 p=1 p=0 
 
 
Se aplica la propiedad matemática del método inductivo, donde sin necesidad 
de realizar la suma de los n pagos capitalizados, se obtiene el resultado del valor 
final buscado, mediante la formula que simplificar el cálculo. 
 
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica creciente se 
obtiene mediante el cociente entre el último término de la sumatoria multiplicado 
C1 
 
11 
 
 
 
. . 
VF v 
 Valor final de pagos variables y 
adelantados 
… 
C2 
 
C n 
 
 48 
por la razón menos el primer término de la sumatoria dividido la razón de la 
sumatoria menos el número uno: 
 [Último término × razón – 1er término] ÷ [razón – 1] 
 
Se aplica el método en el VF y se obtiene: 
 n-1 
 VF = C ∑ (1+i)
 p
 
 
 p=0 
 
VF = C [(1+i)
 n – 1 
 × (1+i)
 
 – (1+i)
 0 
] ÷ [(1+i) – 1] = C [(1+i) 
n 
 – 1
 
] ÷ [(1+i) – 1] 
 
 VF = C [ (1+i)
 n 
 – 1] ÷ i = C (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 
Se define a VF, como el valor final de n pagos iguales de $ C cada uno, 
vencidos y valuados a la tasa de interés i 
La expresión (1+ i) 
n 
-1 
 i 
Se define como el valor final de n pagos iguales de $1 cada uno, vencidos y 
valuados a la tasa de interés i y simbolizamos dicha expresión por sn┐i 
sn┐i = (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos iguales y vencidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 3 n 
C
 
 
C 
 
 
VF 
 Valor final de pagos vencidos e 
iguales 
 
C 
 
C 
 
 49 
Entonces se expresa el valor final de n cuotas vencidas de $ C cada una y 
valuadas a la tasa de interés i , como: 
 
VF = C (1+ i) 
n 
-1 = C sn┐i 
 i 
 
 
Valuación al final de pagos iguales y adelantados. 
 
La valuación al final de n pagos iguales realizados al comienzo o al inicio de 
cada unidad de tiempo, será la suma del valor de cada pago capitalizado: 
 
 
 C C C 
. . 
VF = C. (1+i)
 n + C. (1+i) 
n – 1 + C. (1+i) 
n – 2 + . . . . . + C. (1+i) 1 
 
. . n 
VF = ∑ C (1+i) 
 p
 
 
 p=1 
 
Se procede como se hizo para el cálculo del valor final de pagos vencidos 
utilizando propiedad matemática del método inductivo. 
 
Se aplica el método en el Valor Final de pagos adelantados y se obtiene: 
 
 . . n 
 VF = C ∑ (1+i)
 p
 
 
 p=1 
 . . 
 VF = C [(1+i)
 n 
 × (1+i)
 
 – (1+i)
 1 
] ÷ [(1+i) – 1] 
 . . 
VF = C (1+i)
 
 [(1+i)
 n 
 – 1
 
] ÷ [(1+i) – 1] 
 
 . . 
 VF = C (1+i)
 
 [ (1+i)
 n 
 – 1] ÷ i = C (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 . . 
Se define a VF, como el valor final de n pagos iguales de $ C cada uno, 
adelantados y valuados a la tasa de interés i 
 
La expresión (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
Se define como el valor final de n pagos adelantados e iguales de $1 cada uno, 
 . . 
valuados a la tasa de interés i y simbolizamos dicha expresión por sn┐i 
 
 50 
. . 
sn┐i = (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 
Entonces se expresa el valor final de n cuotas o pagos adelantados de $ C y 
valuadas a la tasa de interés i , como: 
 . . . . 
 V F = C (1+i) (1+ i) 
n 
-1 = C sn┐i 
 i 
 
Se observa en el grafico el valor final de n pagos iguales y adelantados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 n 
 
 
Debido a que los pagos se capitalizan el VF, tanto para el caso de pagos 
iguales y variables, adelantados como el de pagos vencidos, será mayor el valor 
final de dichos pagos que la suma matemática de los n pagos realizados 
 
 . . n 
VFv > ∑ C p en el caso del valor final de n pagos variables y adelantados
 
 p=1 
 
 n 
VFV > ∑ C p en el casodel valor final de n pagos variables y vencidos
 
 p=1 
. . 
VF > C . n en el caso del valor final de n pagos iguales y adelantados
 
 
 
VF > C . n en el caso del valor final de n pagos iguales y vencidos
 
C
 
11 
 
 
 
. . 
VF 
 Valor final de pagos adelantados e 
iguales 
… 
C 
C 
 
 51 
 Relación entre el Valor final de pagos vencidos y el Valor 
final de pagos adelantados. 
 
Estas relaciones se dan igualmente, si los pagos son variables o iguales, 
planteamos por simplicidad en la simbología el caso de pagos iguales: 
 
C sn┐i = c (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 . . 
C sn┐i = C (1+i) (1+ i) 
n 
-1 
 i 
 . . 
C sn┐i = = C sn┐i (1+i) 
 
 
Valor final de n pagos adelantados de $c cada uno es igual al valor final de n 
pagos vencidos de $c cada uno , capitalizado una unidad de tiempo, lo que 
equivale a decir que el valor final de n pagos vencidos es igual al valor final de 
pagos adelantados actualizados. 
 .. 
 C sn┐i = = C sn┐i (1+i) - 1 
 
También se observa la siguiente relación: 
 
 n-1 n-1 
 VF = C ∑ (1+i)
 p
 = C (1+i)
 0
 + C ∑ (1+i) p 
 p=0 p=1 
 . . 
C + C sn- 1┐i = sn┐i 
 
 
 Valor final de n pagos vencidos de $c cada uno es igual al valor final de “n–
1” pagos adelantados de “c cada uno, más el importe de un pago, esto es 
equivalente a decir que el valor final de n pagos adelantados es igual al valor 
final de “n+1” pagos vencidos, menos el importe de un pago. 
 
 . . 
C sn┐i = sn+1┐i - C 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
Valuación de pagos al inicio de la operación. 
 
La valuación al inicio de los pagos vencidos o adelantaos a una determinada 
tasa de interés, implica transportar dichos pagos al comienzo de las n unidades de 
tiempo que dura la operación financiera, mediante la operación de actualización. 
 
El valor actual de los pagos no contiene intereses, el interés esta incluido en 
cada uno de los n pagos que se efectúan 
 
Algunas situaciones donde se debe aplicar el cálculo del valor actual de los 
pagos son por ejemplo: 
 
 descuento de documento 
 
 sistema de amortización de deuda, 
 
 aceptación o rechazo de proyectos de inversión entre otros. 
 
La valuación al inicio implica la resta de los intereses, consiste en traer al inicio 
los pagos realizados al comienzo o al final de cada unidad de tiempo, esta 
operación se logra mediante la actualización de cada pago. 
 
 
Ante el caso de un único pago, nos situamos en el desarrollo de actualización 
donde CI = CF ( 1 + i ) 
- n 
 
 
 
 
 
 
 CI = CF ( 1 + i ) 
- n 
 
 
 
 
 
Siendo el importe de CI la valuación al inicio del capital final en una operación 
financiera, valuada a una determinada tasa de interés. 
 
 
 
Valuación al inicio de pagos variables y vencidos. 
 
Cuando la valuación al comienzo o al inicio de la operación es de múltiples 
pagos, debemos actualizar cada uno de los mismos al inicio de la operación, 
donde se valúan dichos pagos. 
 
La valuación al comienzo de la operación de pagos realizados al final de cada 
unidad de tiempo (pagos vencidos) será el importe que surge de sumar el valor 
C F 
 53 
 n 
actual de cada uno de esos pagos, valuados a una tasa de interés determinada, lo 
que simbolizamos con VAV 
 
 
 C1 C2 C3 CN 
 
Se recuerda que el factor de actualización (1+i) – 1 se simboliza por v, 
 
VAv = C1. v
 1 + C 2 . v
 2 + C3 .v
 3 + . . . . . + Cn .v 
n
 
 
Se define como el valor actual de n pagos vencidos y variables valuados a la 
tasa de interés i 
 
 
 n n 
 VAV = ∑ C p (1+i) 
–p = ∑ C p v 
p 
 p=1 p=1 
 
 
Se observa en el grafico el valor actual de n pagos variables y vencidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valuación al inicio de pagos variables y adelantados. 
 
 
La valuación al inicio de pagos realizados al comienzo de cada unidad de 
tiempo (pagos adelantados) será la suma de los valores actuales de cada uno de 
esos pagos, utilizando para la actualización una tasa de interés dada, a este 
 .. 
importe lo simbolizamos con VAv 
 
 
 C1 C2 Cn 
. . 
VAv = C1. v
 0 + C 2 . v
 1 + C3 .v
 2 + . . . . . + Cn .v 
n – 1 
 
 
… 
Cn-1 
Cn 
C1 
VAv 
2 1 
Valor actual de pagos 
variables y vencidos 
 54 
 
n 
Se define como el valor actual de n pagos adelantados y variables valuados a 
la tasa de interés i 
 
 
. . n - 1 
VAA = ∑ C p (1+i) 
- p 
 p = 0 
 
Se observa en el grafico el valor actual de n pagos variables y adelantados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 n – 1 n 
 
 
 
 
Valuación al inicio de pagos iguales y vencidos. 
 
La valuación al comienzo de la operación de pagos iguales realizados al final de 
cada unidad de tiempo, será el importe que surge de sumar el valor actual de cada 
uno de esos pagos, valuados a una tasa de interés determinada, lo que 
simbolizamos con VA 
 
 
 C C C C 
 
 
VA = C. v
 1 + C . v
 2 + C .v
 3 + . . . . . + C .v 
n
 
 
Se define como el valor actual de n pagos iguales y vencidos valuados a la 
tasa de interés i 
 
 n n 
 VA = ∑ C (1+i) 
–p = ∑ C v p 
 p=1 p=1 
 
Para encontrar una expresión de cálculo sencillo, se puede proceder como se hizo 
en el cálculo del valor final de pagos iguales, utilizándo el método inductivo, o 
mediante relaciones financieras, que es lo que aquí haremos, para ello se 
recuerda que: 
… 
Cn-1 
Cn 
C
 
C1 
. . 
VAA 
2 1 
Valor actual de pagos variables 
y adelantados 
 55 
 n 
 F( 0 ) = F( n ) ( 1 + i ) 
- n 
 
Por lo que VA = V F ( 1 + i ) - 
n 
 
Reemplazando el Valor Final de pagos iguales y vencidos por la expresión que 
permite su cálculo, se obtiene la formula sencilla para el cálculo del valor actual de 
pagos iguales y vencidos. 
 
VA = C (1+ i) 
n 
-1 ( 1 + i ) - 
n 
 i 
por lo que (1+ i) 
n 
( 1 + i ) – 
n = 1 y 1. ( 1 + i ) - n = ( 1 + i ) – n 
 
La expresión sencilla para el cálculo del valor actual de pagos iguales y vencidos 
valuados a una tasa de interés dada es: 
 
VA = C 1 – ( 1 + i ) - 
n 
 i 
La expresión 1 – ( 1 + i ) - 
n 
 i 
 
Se define como el valor actual de n pagos iguales de $1 cada uno, vencidos y 
valuados a la tasa de interés i y simbolizamos dicha expresión por an┐i 
an┐i = 1 – ( 1 + i ) - 
n 
 i 
 
Entonces se expresa el valor actual de n cuotas vencidas de $ C cada una y 
valuadas a la tasa de interés i , como: 
 
VA = C 1 – ( 1 + i ) – 
n = C . an┐i 
 i 
Se observa en el grafico el valor actual de n pagos iguales y vencidos… 
C 
C 
C 
VAv 
2 1 
Valor actual de pagos iguales 
y vencidos 
 56 
Valuación al inicio de pagos iguales y adelantados. 
 
La valuación al inicio de pagos iguales realizados al comienzo de cada unidad 
de tiempo, será la suma de los valores actuales de cada uno de esos pagos, 
utilizando para la actualización una tasa de interés dada, este importe se 
simboliza con 
 . . 
 VA 
 
 C C C 
. . 
VA = C. v
 0 + C . v
 1 + C .v
 2 + . . . . . + C .v 
n – 1 
 
 
Se define como el valor actual de n pagos iguales y adelantados, valuados a la 
tasa de interés i 
 
. . n - 1 
VA = ∑ C (1+i) 
- p 
 p = 0 
 
Se procede como se hizo para el cálculo del valor actual de pagos iguales 
vencidos utilizando relaciones financieras. 
 
 F( 0 ) = F( n ) ( 1 + i ) 
- n 
 . . . . 
Por lo que VA = V F ( 1 + i ) - 
n 
 
Reemplazando el Valor Final de pagos iguales y adelantados por la expresión 
que permite su cálculo, se obtiene la formula sencilla para el cálculo del valor 
actual de pagos iguales y adelantados. 
 . . 
VA = C ( 1 + i ) (1+ i) 
n 
-1 ( 1 + i ) 
- n
 
 i 
 . . 
 V A =
 
C ( 1 + i ) 
 
 1 - (1+ i)
 - n 
 
 i 
 
La expresión ( 1 + i ) 
 
 1 – ( 1 + i ) - 
n 
 i 
 
Se define como el valor actual de n pagos iguales de $1 cada uno, adelantados 
y valuados a la tasa de interés i y simbolizamos dicha expresión por ä n┐ 
ä n┐ = ( 1 + i ) 1 – ( 1 + i ) - 
n 
 i 
Entonces se expresa el valor actual de n cuotas adelantadas de $ C cada una y 
valuadas a la tasa de interés i , como: 
 . . 
VA = C ( 1 + i )
 
 1 – ( 1 + i ) – 
n = C . ä n┐ 
 i 
 57 
 
n 
Se observa en el grafico el valor actual de n pagos iguales y adelantados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 n – 1 n 
 
 
 
Al realizar la actualización de cada pago, cuando valuamos el inicio, estamos 
sacando de cada pago los intereses, recordemos que al actualizar restamos los 
intereses. Es por eso que el valor actual de n pagos sean vencidos o adelantados , 
variables o iguales, será menor que la suma matemática de los n pagos. 
 
. . n 
VAv < ∑ C p en el caso del valor actual de n pagos variables y 
 p=1 adelantados 
 
 n 
VAV < ∑ C p en el caso del valor actual de n pagos variables y vencidos
 
 
 p=1 
 
. . 
VA < C . n en el caso del valor actual de n pagos iguales y adelantados
 
 
 
V A < C . n en el caso del valor actual de n pagos iguales y vencidos
 
 
 
Relación entre el Valor actual de pagos vencidos y el Valor 
actual de pagos adelantados. 
 
Estas relaciones se dan igualmente, si los pagos son variables o iguales, 
planteamos al igual que en las relaciones entre el valor final de pagos vencidos y el 
valor final de pagos adelantados trabajamos sobre el caso de pagos iguales por 
comodidad en la simbología, pero igualmente se dan las relaciones si los pagos 
fueran variables. 
 
C an┐i = c 1 - (1+ i) - 
n 
 
 i 
… 
C 
C 
C
 
C 
. . 
VA 
2 1 
Valor actual de pagos iguales y 
adelantados 
 58 
C . ä n┐ = C (1+i) 1 - (1+ i) - 
n 
 
 i 
 
 C . ä n┐ = C an┐i (1+i) 
 
Valor actual de n pagos adelantados de $c cada uno es igual al valor actual 
de n pagos vencidos de $c cada uno , capitalizado una unidad de tiempo, lo 
que equivale a decir que el valor actual de n pagos vencidos es igual al valor 
actual de pagos adelantados actualizados. 
 
C an┐i = C . ä n┐ (1+ i) - 
1 
 
 
 
También se observa la siguiente relación: 
 
 n-1 n-1 
. . 
VA = C ∑ (1+i) - p = C (1+i) 0 + C ∑ (1+i) - p 
 p=0 p=1 
 
 
C . ä n┐ = C + C a n - 1┐ 
 
Valor actual de n pagos adelantados de $c cada uno es igual al valor 
actual de “n-1” pagos vencidos de $c cada uno, más el importe de un 
pago, o podemos decir que el valor actual de n pagos vencidos de $c 
cada uno es igual al valor actual de “n+1” pagos adelantados menos el 
importe de un pago. 
 
C a n ┐ = C . ä n+1┐ - c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
Valor actual de pagos diferidos. 
 
 
Cuando el primer pago se pacta realizarlo luego de transcurrida alguna/s 
unidad/es de tiempo, cuando el primer pago se difiere, el importe del valor actual 
se obtiene actualizando cuidadosamente cada una de las cuotas según donde 
estas se encuentren, ya que la 1er cuota no se abona en el primer período, los 
períodos diferidos son aquellos donde no hay pago de cuota, se simboliza al 
número de períodos diferidos por “k” y al valor actual de pagos diferidos por k / VA. 
 
Si el pago de la 1er cuota se realiza el final de la 2da unidad de tiempo, se dice 
que es diferido por 1, k = 1 
Si el pago de la 1er cuota se pacta efectuarse al final del 4to es diferido por 3 y 
k=3 
 
 
k = nro. de unidades de tiempo diferidas
 
 
La expresión que permite el calculo del valor actual de n pagos variables 
valuados a la tasa de interés i, donde se pacta realizar el 1er pago al final del 
período k+1 , es: 
 
 
 
k/VAv = C1. v
 1+ k + C2 . v
 2+ k + C3 .v
 3+ k
 + . . . . . + Cn .v 
n+k 
 
 n 
k/VAv = ∑ Cp v 
k + p 
 p=1 
 
Se extrae factor común a v 
k
 
 
k/VAv = v 
k
 [ C1. v 1 + C2 . v 2 + C3 .v 3 + . . . . . + C n .v n ] 
 
 n 
k/VAv = v 
k
 ∑ Cp v 
p = v 
k
 VAv 
 
 p=1 
 
 
Si los pagos son iguales, se observan las expresiones para su cálculo 
 
k/VA = C. v
 1+ k + C . v
 2+ k + C .v
 3+ k
 + . . . . . + C .v 
n+k 
 
 n 
k/VA = ∑ C v 
k + p 
 p=1 
 
Se extrae factor común a C. v 
k
 
 
k/VA = C. v 
k
 [ v 1 v 2 + v 3 + . . . . . + v n ] 
 60 
 
n 
 
 n 
k/VA = C v 
k
 ∑ v p = C v k an┐i 
 p=1 
 
 
Se observa en el grafico el valor actual de n pagos iguales diferido el 1ero por 1 
período 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 k / VA VA 
 
 
 
 
 1 2 3 . . . 1+n 
 
 
 
El importe del valor actual de n pagos diferido es inferior al importe del valor 
actual de n pagos, la diferencia es el importe de los intereses correspondiente a 
los periodos diferidos. 
 
 
 VA = k / VA ( 1+i)
 k 
 
k / VA  VA 
 
 k / VA = VA ( 1+i)
 - k 
 
 
 
Se realizo el análisis anterior para pagos vencidos, si los mismos se 
mencionaran anticipados, el valor actual de los n pagos no varia respecto al 
encontrado anteriormente,si se debe tener cuidado respecto a los períodos donde 
no hay pagos de cuotas. 
 
Si el pago se menciona anticipado se calcula como vencido y se computa el 
período en que se difiere el 1er pago, en un período menos, k – 1 
 
Lo expresado anteriormente se demuestra de la siguiente manara: 
 El valor actual de n pagos adelantados y variables de primer pago igual a $ C, 
diferido el primer pago por k unidades de tiempo, se obtiene actualizando cada uno 
de los pagos por las unidades de tiempo que correspondan: 
C 
C 
C
 
 61 
 . . 
K / VA v = C1. v
 k + C2 . v
 1+ k + C3 .v
 2+ k
 + . . . . . + Cn .v 
n-1+k 
 
Se extrae factor común a v
 k 
 
 . . n -1 . . 
 K / VAv = v 
k
 ∑ Cp + 1. v 
p = v k VA v 
 p=0 
 
Se reemplaza VA v por su igual, mediante la relación entre valores actuales de 
pagos vencidos y valores actuales de pagos anticipados: 
 
. . 
VA v =VA v ( 1+i)
 
 
 . . . . 
 K / VAv = v 
k 
VA v = v 
k 
 VA v ( 1+i)
 
 = v 
k -1 
VA v = K – 1 / VA v 
 
 
El valor actual de n pagos adelantados e iguales de $ C cada uno, diferido el 
primer pago por k unidades de tiempo, se obtiene actualizando cada uno de los 
pagos según corresponda 
 
 
 . . n -1 
 K / VA = v 
k
 ∑ C. v p = C v k ä n┐i = C v 
k-1 an┐i = k-1 / VA 
 p=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62 
 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE DEUDAS 
 
 
 
 La amortización de deuda es un caso particular del valor actual de pagos 
vencidos. 
 
El importe adeudado o saldo de la deuda es el valor actual de las cuotas que 
faltan pagar y no han vencido. 
 
El importe adeudado o saldo de la deuda es igual a la suma de las 
amortizaciones contenidas en cada una de las cuotas que faltan pagar y no han 
vencido. 
 
Los intereses se abonan sobre el importe del saldo adeudado al comienzo del 
periodo correspondiente. 
 
Las cuotas están compuestas por los intereses del periodo y la amortización 
correspondiente. 
 
Algunos sistemas de amortización con características particulares: 
 
 Sistema de amortización de deuda mediante el pago de cuotas iguales. 
 
Este sistema de financiamiento llamado Sistema Francés presenta las 
características de todo sistema de financiamiento además de la particular de este 
sistema: las cuotas son iguales, ante la disminución de los intereses se presenta 
un aumento en las amortizaciones a medida que se abonan las cuotas. 
 
 Sistema de amortización de deuda mediante el pago de cuotas 
decrecientes y amortizaciones iguales. 
 
Este sistema de financiamiento llamado Sistema Alemán presenta las 
características de todo sistema de financiamiento además de la particular de este 
sistema: las amortizaciones son iguales, ante la disminución de los intereses se 
presenta una disminución en el importe de las cuotas a medida que se van 
abonando. 
 
 Sistemas de amortización de deuda de intereses iguales, pago de 
intereses periódicos y amortización al vencimiento. 
 
Este sistema de financiamiento llamado Sistema Americano presenta las 
características de todo sistema de financiamiento además de la particular de este 
sistema: el importe financiado se amortiza al vencimiento por lo que los intereses 
de cada pago son iguales, este sistema esta constituido por n-1 cuotas iguales e 
iguales al importe del interés y una (la ultima) cuota compuesta por el interés y la 
amortización. 
 
 
 
 
 63 
Características generales de todo sistema de 
amortización de deuda 
 
 los intereses se abonan sobre el importe del saldo adeudado al comienzo 
del periodo correspondiente. 
 
 las cuotas están compuestas por intereses del periodo y la amortización 
 correspondiente. 
 
 el importe adeudado o saldo de la deuda es el valor actual de las cuotas 
que faltan pagar y no han vencido 
 
 el importe adeudado o saldo de la deuda es igual a la suma de las 
amortizaciones correspondientes a las cuotas que faltan pagar y no han vencido 
 
 
 
Elementos de los sistemas de amortización 
 
Saldo adeudado al comienzo de un periodo determinado 
 
En todo sistema de amortización de pagos inmediatos, el importe del saldo al 
comienzo del primer periodo es el valor actual de todas las cuotas o la suma de 
todas las amortizaciones: 
 n 
S 0 =∑ C p (1+i) 
-p 
 p=1 
 
 n 
S 0 = ∑ t p 
 p=1 
 
El importe del saldo después de pagar la primera cuota o saldo al comienzo del 
2º período cuando faltan (n-1) cuotas para cancelar la deuda y siendo la próxima 
cuota a pagar C 2 es igual al valor actual de las cuotas que aún faltan pagar y no 
han vencido o a la suma de las amortizaciones contenidas en esas cuotas que 
faltan pagar: 
 
 n-1 
S 1 =∑ C p +1 (1+i) 
- p 
 p=1 
 
 n 
S 1 = ∑ t p 
 p=2 
 
El importe del saldo después de pagar la segunda cuota o saldo al comienzo del 
3º periodo cuando faltan (n-2) cuotas para cancelar la deuda y la próxima cuota a 
pagar C3 simbolizado por: 
 
 
 64 
 n-2 
S 2 =∑ C p +2 (1+i) 
- p 
 p=1 
 
 
 n 
S 2 = ∑ t p 
 p= 3 
 
 
Generalizando el importe del saldo después de pagar la cuota numero r o saldo 
al comienzo del periodo r+1 es igual al valor actual de las (n- r) cuotas que faltan 
abonar para cancelar la deuda o a la suma de las amortizaciones contenidas en 
las n-r cuotas pendientes de pago, siendo la próxima cuota a pagar C r+1 
simbólicamente: 
 
 n-r 
S r =∑ C p +r (1+i) 
- p 
 p=1 
 
 n 
S r = ∑ t p 
 p=r+1 
 
 
 Saldo adeudado al final de un periodo 
 
En todo sistema de amortización de pagos inmediatos, el importe del saldo al 
final del primer periodo o saldo antes de abonar la primer cuota, puede calcularse 
a partir del saldo al comienzo del mismo periodo capitalizado o sumando el importe 
de la primer cuota al saldo al comienzo del periodo siguiente, el periodo 2do 
 
 S 0 (1+i) 
 
S´ 1 
 
 S1 + C1 
 
 
Para el saldo antes de pagar la 2da cuota 
 
 
 S 1 (1+i) 
 
S´ 2 
 
 S2 + C2 
 
Generalizando, el saldo al final del período r+1 
 
 
 
 65 
 S r (1+i) 
 
S´ r+1 
 
 Sr+1 + Cr+1 
 
 
El subíndice en la simbología de los saldos al comienzo y saldos al final hacen 
referencia al número de cuota en cuestión, así : 
 
 
 S r S´ r+1 
 
 
r indica el numera de cuota que acabo de abonadar 
 
 
 r+1 indica el número de la cuota que se esta por 
pagar 
 
 
 
 
Composición de la cuota 
 
En todo sistema de amortización de pagos inmediatos el importe de cada una 
de las cuotas esta compuesta por los intereses calculados respecto al saldo 
adeudado al comienzo del periodo y la parte correspondiente a la amortización del 
capital adeudado. 
 
 Importe de los intereses 
 
Los intereses en todo sistema de amortización de deuda se abonan sobre el 
importe del saldo adeudado al comienzo del período correspondiente. 
 
 El interés abonado en la primera cuota se calcula aplicando la tasa de interés 
utilizada en la valuación al importe total financiado. 
I1 = S 0 i 
El interés abonado en la segunda cuota se calcula aplicando la tasa de interés 
al saldo al comienzo del segundo período.I2 = S 1 i = (S 0 - t 1 ). i 
 
Generalizando, el interés abonado en la cuota e-resima se calcula aplicando la 
tasa de interés al saldo al comienzo del período r. 
 
Ir = S r-1 i = (S 0 - t 1 - t 2 - … … - t r - 1 ). I 
 
 
 
 
 66 
 n 
 
 Importe de las amortizaciones 
 
El valor amortizado en cada periodo mediante el pago de la cuota periódica 
representa el importe en que disminuye el saldo adeudado al comienzo de ese 
periodo una vez que se han abonado los intereses correspondientes. 
 
 El importe de la amortización abonada en la primera cuota: 
 
t1 = C 1 - I 1 
 
El importe de la amortización abonada en la cuota segunda: 
 
t2 = C 2 - I 2 
 
Generalizando, el importe de la amortización abonada en la cuota r: 
 
tr = C r - I r 
 
 
Se observa en el siguiente gráfico el importe del saldo al comienzo y al final de 
cada uno de las unidades de tiempo, como así también el importe de cada cuota y 
sus componentes, intereses y amortización: 
 
 
 
 S´1 
 
 I 1 S´2 
 t 1 I 2 
 
 S1 t 2 
 
 S2 S´n 
 I n 
 Sn – 1 t n 
 
 
 
 
 
Según sea la particularidad de cada sistema de financiamiento, serán las 
características de los componentes de cada una de las cuotas que lo amortizan. 
 
 
 
 
 
 
 
 
… 
C 2 
C n 
C 1 
S 0 
2 1 
 67 
Algunos sistemas de amortización de deudas con 
características particulares 
 
Se desarrollan algunos de los sistemas de financiamientos utilizados en 
sistemas de cancelación de deudas, estos son: 
 
 Sistema de amortización de deuda mediante el pago de cuotas iguales. 
 
 Sistema de amortización de deuda mediante el pago de cuotas 
decrecientes y amortizaciones iguales. 
 
 
Sistema de amortización de cuotas iguales 
 
Este sistema de financiamiento llamado Sistema Francés presenta las 
características de todo sistema de financiamiento además de las particulares de 
este sistema. 
 
Las cuotas están compuestas por intereses del periodo y la amortización 
correspondiente 
 
Los intereses se abonan sobre el importe del saldo adeudado al comienzo del 
periodo correspondiente, a medida que se abonan las cuotas el saldo disminuye 
por lo que los intereses serán decrecientes. 
 
 
El importe del saldo de la deuda es el valor actual de las cuotas que se adeudan 
y no han vencido o la suma de las amortizaciones correspondientes a las cuotas 
que faltan pagar no vencidas. 
 
Dadas las características de este financiamiento es más conveniente para 
calcular el importe de los saldos adeudados realizar el calculo del valor actual de 
las cuotas. 
 
 
 n 
S 0 = C ∑ (1+i) 
- p 
 p=1 
 
Lo que se resuelve matemáticamente mediante la siguiente expresión: 
 
 
S 0 = C 1 – ( 1 + i ) 
– n = C . an┐i 
 i 
 
 
 
 Para calcular el saldo al comienzo del periodo r+1 o saldo después de pagar 
la cuota numero r: 
 68 
 
 n-r 
S r = C ∑ (1+i) 
- p 
 p=1 
 
Lo que se resuelve matemáticamente 
 
S r = C 1 – ( 1 + i ) 
– ( n – r) = C . an-r┐i 
 i 
 
 
 Para calcular el importe de la cuota que amortiza el financiamiento se 
despeja de la expresión del cálculo del saldo al comienzo del periodo. 
 
 
 S 0 i 
C = _______________ 
 1 - (1+i) - n 
 
 
La característica particular de este sistema es que las cuotas son iguales, 
entonces ante la disminución de los intereses se presenta un aumento en las 
amortizaciones a medida que se abonan las cuotas. 
 
 
 
 
 I 1 > I 2 > I 3 > . . . > I n 
+ t 1 < t 2 < t 3 < . . . < t n 
------------------------------ 
 C 1 = C2= C3 = … = Cn 
 
Cada amortización será mayor a la anterior en el importe de los intereses que 
se dejan de abonar por la correspondiente disminución del saldo 
 
 
 69 
 
I 1 = S 0 . i 
 
I 2 = S 1 . i = (S 0 - t 1 ) i = S 0 i - t 1 i = I 1 - t 1 i 
 
I 3 = S 2 . i = (S 1 - t 2 ) i = S 1 i - t 2 i = I 2 - t 2 i 
 
 
El interés del período r es menor al interés correspondiente al período anterior 
en t r-1 . i. 
 
Como la característica de este sistema de financiamiento , es de cuotas iguales, 
la proporción en que disminuyen los intereses es en lo que se incrementan las 
amortizaciones, las amortizaciones son creciente en igual magnitud en que los 
intereses son decrecientes; el interés de la cuota “r” decrece en t r-1 . i, la 
amortización de dicha cuota “r” crece respecto a la anterior en t r-1 . i. 
 
Se encuentra el importe de la amortización mediante tres cálculos: respecto a la 
amortización anterior, respecto a la primera amortización y respecto a la cuota, a 
saber: 
 
Respecto a la amortización anterior: 
La amortización abonada en la cuota segunda será igual a la amortización 
anterior más lo que se deja de abonar en concepto de interés por la disminución 
del saldo adeudado, se procede a extraer factor común, a la amortización 
correspondiente en cada expresión y así mediante la capitalización de la 
amortización del período anterior queda expresada el formula para encontrar una 
amortización en función de la amortización anterior. 
 
 t2 = t 1 + t 1 . i = t 1 ( 1+ i ) 
 
t3 = t 2 + t 2 . i = t 2 ( 1+ i ) 
……. 
 
tr+1 = t r + t r . i = t r ( 1+ i ) 
 
Respecto a la primera amortización: 
En cada expresión del procedimiento anterior, se remplaza a cada amortización 
en función de la amortización abonada en la primer cuota 
 
t2 = t 1 ( 1+ i ) 
 
t3 = t 2 ( 1+ i ) = t 1 ( 1+ i ) ( 1+ i ) = t 1 ( 1+ i )
 2 
 
……. 
 
tr+1 = t r ( 1+ i ) = t 1 ( 1+ i )
r – 1 ( 1+ i ) = t 1 ( 1+ i )
 r 
 
Respecto a la cuota: 
 
Se trabaja en la composición de la primes cuota C = t 1 + I 1 
 
 70 
 Se despeja en la expresión anterior a t 1 además, se reemplaza a “ I 1“ y a “S0“ 
por sus iguales: 
I 1 = S 0 . i y S 0 = C 1 – ( 1 + i ) 
– n = C . an┐i 
 i 
Entonces: 
 
t 1 = C – I 1 
 
t 1 = C – C 1 – ( 1 + i ) 
– n . i 
 i 
Se opera matemáticamente: 
 
 t 1 = C ( 1 + i ) 
– n
 = C.v 
n 
 
Luego se reemplaza a t 1 por la expresión anterior en cada una de las 
amortizaciones en función de la primer amortización: 
 
t2 = t 1 ( 1+ i ) = C v 
 n ( 1+ i ) 
 
 = C.v 
n – 1 
 
t3 = t 1 ( 1+ i )
 2 = C v 
n 
( 1+ i ) 2 = C v 
n – 2 
 
……. 
tr+1 = t 1 ( 1+ i )
 r = C v 
n 
( 1+ i ) r = C v 
n – r 
 
 
el importe de la amortización del período “r+1” en función de la cuota, se 
encuentra actualizando el importe de la cuota por “n – r” períodos. 
 
Se observa el comportamiento de las amortizaciones correspondiente a cada 
una de las cuotas en el siguiente gráfico:1 2 . . . n 
 
 
 
t 1 
 C 
 
 
t 2 
t 3 
t n 
 71 
 
 
Cuadro de amortización sistemas de cuotas iguales 
 
 
 Numero 
periodo 
 Saldo al comienzo 
 Sr 
Saldo al final 
 S´r +1 
 Interés del 
Periodo Ir+1 
Amortización del 
periodo tr+1 
Cuota del 
periodo 
 C r +1 
1 S 0 S´1 = S 0(1+i) I1 = S 0 .i t 1 = c – I 1 c 
2 S 1 = S 0 – t 1 S´2 = S 1(1+i) I2 = S 1 .i t 2 = c – I 2 c 
3 S 2 = S 1 - t 2 S´3 = S 2(1+i) I3 = S 2 .i t 3 = c – I 3 c 
 … … … … … … 
 
 r+1 S r = S r-1 - t r S´r+1=S r(1+i) I r+1 = S r .i t r+1=c– I r+1 c 
 … … … … … … 
 N Sn-1=S n-2-t n-1 = t n S´n=Sn-1(1+i) = c 
 I n= S n-1.i 
 tn = c – I n = Sn-1 c = S´n 
 S 0 
 
 
 
Se observa en un cuadro el comportamiento de los elementos de un sistema 
de amortización de cuotas iguales, llamado sistema Francés. 
En este sistema de financiamiento, como en cualquier otro sistema, se dan 
las siguientes igualdades: 
 Saldo al comienzo del último período igual a la amortización contenida en 
la última cuota: Sn-1= t n 
 Saldo al final del último período igual al importe de la última cuota S´n = c 
 Suma de todas las amortizaciones igual al saldo al comienzo del 1er período. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 72 
Sistema de amortización de amortizaciones 
iguales 
 
Este sistema de financiamiento llamado Sistema Alemán presenta las 
características de todo sistema de financiamiento además de las particulares de 
este sistema. 
 
Las cuotas están compuestas por intereses correspondientes al periodo y el 
importe de lo que se amortiza en cada cuota. 
 
 
Los intereses se abonan sobre el importe del saldo adeudado al comienzo del 
periodo correspondiente, a medida que se abonan las cuotas el saldo disminuye 
por lo que los intereses serán decrecientes. 
 
El importe adeudado o saldo de la deuda es el valor actual de las cuotas que se 
adeudan y no han vencido o la suma de las amortizaciones correspondientes a 
las cuotas que faltan pagar no vencidas, al ser todas las amortizaciones iguales 
es más sencillo el caculo del saldo a través de la suma de las amortizaciones. 
 
El saldo adeudado al comienzo del primer periodo, cuando todavía no se ha 
realizado ningún pago: 
 
 n 
S 0 = ∑ t = t. n 
 p=1 
 
El importe del saldo después de pagar r cuotas, al comienzo del periodo r+1 
será: 
 
 n 
S r = ∑ t = t. (n-r) 
 p=r+1 
 
 
El importe de las amortizaciones se calcula mediante el cociente entre el 
importe adeudado y el número de cuotas que amortizan el sistema de 
financiamiento. 
 
S 0 / n = t 
 
S 1 / (n-1) = t 
 
……. 
 
S r / (n-r) = t 
 
 
La característica particular de este sistema es que las amortizaciones son 
iguales, entonces ante la disminución de los intereses se presenta una disminución 
 73 
en el importe de las cuotas a medida que se van abonando. Este sistema de 
amortización es de cuotas decrecientes. 
 
 I 1 > I 2 > I 3 > . . . > I n 
+ t 1 = t 2 = t 3 = . . . = t n 
------------------------------ 
 C 1> C2> C3 > …> Cn 
 
Cada cuota será menor a la cuota del período anterior en el importe de los 
intereses que se dejan de abonar por la correspondiente disminución del saldo. 
 
Lo que respecta al cálculo de los intereses se observa, para el primero, el 
segundo y generalizando: 
 
I 1 = S 0 . i 
 
I 2 = S 1 . i = (S 0 - t ) i = S 0 i - t i = I 1 - t i 
 
…………. 
 
 
I r + 1 = S r . i = (S r-1 - t ) i = S r-1 i - t i = I r - t i 
 
 
El interés del período r+1 es menor al interés del periodo anterior en t . i 
 
Esta proporción en que disminuyen los intereses es en lo que disminuye el 
importe de cada cuota respecto a la anterior. 
 
 
 
La característica de este sistema de financiamiento, es que las amortizaciones 
en cada una de las cuotas son iguales, por lo que las cuotas son decrecientes, la 
proporción en que disminuyen los intereses se refleja en el importe de cada uno de 
las cuotas, tanto el importe del interés como el importe de las cuotas disminuyen 
respecto al período anterior en igual magnitud, en “t . i” . 
 
 74 
La cuota de este sistema de financiamiento, al igual que la de cualquier otro 
sistema, esta compuesta por amortización e intereses, entonces: 
 
La cuota correspondiente a la primera unidad de tiempo 
 
C 1 = t + I 1 = t + S o. i 
 
La cuota abonada en el segundo periodo será igual a la cuota anterior menos 
el importe de los intereses que se dejan de abonar por la disminución de saldo 
respecto al período anterior 
 
C2 = C 1 - t.i 
 
Lo que se demuestra a partir de la suma de la amortización y el interés 
correspondiente a la segunda unidad de tiempo y reemplazando valores según 
corresponda: 
 
 C2 = t + I 2 = t + S 1 . i = t + (S o – t) . i = t + S o. i – t. i = C 1 - t.i 
 
La tercer cuota se puede calcular a través de la diferencia entre la cuota anterior 
y el importe de los intereses que se dejan de abonar por la amortización realizada 
 
C3 = C 2 - t.i 
 
C3 = t + I 3 = t + S 2 . i = t + (S 0 –2 t) . i = t + S 0. i – t. i – t. i = C 2 - t.i 
 
Generalizando la cuota abonada en el periodo r +1 
 
C r+1 = t + I r + 1 = t + S r . i = t + (S o – r t) . i = C r - t.i 
 
 
La cuota abonada en el período “r+1” será igual a la suma de la amortización 
más los intereses del primer período “r+1” , o a la cuota anterior menos el importe 
de los intereses que se dejan de abonar por la disminución de saldo respecto al 
período anterior. 
 
Cuadro de amortización sistema de amortizaciones iguales 
 
 Nume
ro periodo 
 Saldo al 
 comienzo 
 Sr 
 Saldo al 
final 
 S´r +1 
 Interés del 
 periodo 
 Ir+1 
Amortización 
del 
 periodo 
 t 
 Cuota del 
periodo 
 C r +1 
1 S 0 S´1 = S 0(1+i) I1 = S 0 .i t c 1 = I1 + t 
2 S 1 = S 0 – t S´2 = S 1(1+i) I2 = S 1 .i t c 2 = I2 + t = c1 - ti 
3 S 2 = S 1 - t S´3 = S 2(1+i) I3 = S 2 .i t c 3 = I3 + t = c2 - ti 
 … … … … … … 
 
 
r+1 S r = S r-1 - t S´r+1=S r(1+i) I r+1 = S r .i t cr+1=Ir+1+ t = cr - ti 
 … … … … … … 
 Sn-1=S n-2-t 1 S´n =S n-1(1+i) I n= S n-1.i t cn = In+ t = cn-1 - ti 
 75 
N = t = c n = Sn-1 = S´n 
Se observa en el cuadro el comportamiento de los elementos de un sistema 
de amortización de amortizaciones iguales, llamado sistema Alemán. 
Al igual que en el sistema Francés se dan las igualdades: 
 
 Saldo al comienzo del último período igual a la amortización contenida en 
la última cuota: Sn-1= t 
 
 
 Saldo al final del último período igual al importe de la última cuota S´n = Cn 
 
 Suma de todas las amortizaciones igual al saldo al comienzo del 1er período 
t.n = S 0 
 
 
 
 Equivalencia de los sistemas de financiamiento 
 
Analizando comparativamente los dos sistemas de amortizaciones planteados, 
se visualiza que ambos sistemas responden a idénticas características y en cada 
uno se presenta la que particulariza al sistema de financiamiento en lo referente a 
la composición de la cuota, lo que determinará un importe de la amortización 
diferente en cada uno de estos sistemas y no respecto al calculo de los intereses 
ya que los mismos en los dos sistemas de amortización se calculan iguales, los 
intereses se pagansobre saldo adeudado al comienzo de cada periodo, quedando 
claro que a igual tasa de interés la opción del deudor por uno u otro sistema es 
indistinta, ambos sistemas de financiamiento son equivalentes, aunque a simple 
vista confunde el importe a pagar en concepto de intereses que muestra menor 
valor en el sistema llamado Alemán que en el llamado Francés pero esto es a 
consecuencia de la mayor magnitud de las primeras amortizaciones del sistema 
Alemán respecto a las primeras amortizaciones del Francés. 
 
 
Sistemas de amortización de deuda mediante el primer 
pago diferido. 
 
 
Puede darse el caso que un sistema de amortización de deuda, cualquiera sea 
la característica del mismo, se pacte cancelar el importe financiado con el primer 
pago diferido algunas unidades de tiempo, esta situación es una aplicación del 
valor actual de n pagos vencidos diferido el 1ero de ellos. 
 
La expresión que permite el calculo del importe a financiar con el pago de n 
cuotas, valuados a la tasa de interés i, donde se pacta realizar el 1er pago al final 
del período k+1 , se simboliza por k/S0 : 
 
 
k/S0 = k/VAv = C1. v
 1+ k + C2 . v
 2+ k + C3 .v
 3+ k
 + . . . . . + Cn .v 
n+k 
 
 76 
 
 
 n 
k/S0 = ∑ Cp v 
k + p 
 p=1 
 
Se extrae factor común a v 
k
 
 
k/S0 = v 
k
 [ C1. v 1 + C2 . v 2 + C3 .v 3 + . . . . . + C n .v n ] 
 
 n 
k/S0 = v 
k
 ∑ Cp v 
p = v 
k
 S 0 
 
 p=1 
 
Por lo que se comprende que el importe financiado k/S0 es menor a S 0 , o sea 
que si capitalizamos el importe adeudado al inicio de la 1er unidad de tiempo 
 (k/S0 ), la cantidad de unidades de tiempo del diferimiento, se encuentra el valor 
actual al final de los períodos de diferimiento (k) o al inicio del “k+1”, lo mismo que 
decir, al inicio de la unidad de tiempo donde se realiza el 1er pago (S 0 ). 
 
La cantidad de unidades de tiempo que dura el financiamiento son k + n, k 
unidades de tiempo donde no se realizan pagos, y n unidades de tiempo donde se 
efectúan los pagos. 
 
En los períodos de diferimiento no se registran amortizaciones ni pago de 
intereses, aunque el saldo adeudado al comienzo de cada unidad de tiempo 
genera los intereses correspondientes. 
 
En sistemas de amortización con estas características no coincide el número de 
la unidad de tiempo con el número de la cuota que se abona, como ocurría en los 
sistemas de financiamiento donde el primer pago se registra en el primer período 
(pagos inmediatos). Por ejemplo si se abona la 1er cuota mensual, al final del 3er 
mes, decimos que k=2, y la 1er cuota se abona en el 3er mes, por lo que se debe 
prestar mucha atención, si estamos hablando de la cuota o del período. 
 
Se muestra la simbología que se utiliza para los saldos al comienzo y los 
saldos al final, ya que para simbolizar la cuota y sus componentes no habrá 
variación con respecto a la de los pagos inmediatos: 
 
La simbología de la primera cuota que se abona al final del período k, y la de sus 
componentes son: 
 
 C1 = I 1 + t 1 
 
donde I1 = S 0 . i 
 
La segunda cuota abonada al final del k+2 : 
 
C2 = I 2 + t 2 
 
donde I 2 = S 1 . i 
 
 77 
Generalizando, la cuota r abonada al final del período k+r 
 
Cr = I r + t r 
 
donde Ir = S r – 1 . i 
 
 
Para explicar la simbología que se utiliza para los saldos al comienzo y los 
saldos al final, se utiliza primero un ejemplo y luego se generaliza 
 
Se supone un financiamiento de 5 cuotas mensuales diferido el 1er pago 2 
meses, la operación dura 7 meses. 
 
 
El importe del saldo al comienzo de la operación, cuando no se han abonado 
cuotas y no ha transcurrido ningún mes, se simboliza por: 
 
2 / S0 = v 
2
 S 0 = 2 / 0 S0 
 
 
El importe del saldo al comienzo del 2do mes, cuando no se han abonado 
cuotas y ha transcurrido un mes, se simboliza por: 
 
1 / 1 S0 
 
 
El importe del saldo al comienzo del 3er mes, cuando todavía no se ha 
abonado la 1er cuota mensual y han transcurrido 2 meses, la primer cuota se 
abona al final de este mes, se simboliza por: 
 
0 / 2 S0 = 2 S0 
 
 
Las simbologías de los importes de los saldos al comienzo del 4to, del 5to, del 
6to y del 7mo son: 
 
0 / 3 S1 = 3 S1 , 0 / 4 S2 = 4 S2 , 0 / 5 S3 = 5 S3 y 0 / 6 S 4 = 6 S 4 
 
 
 
Se observa en una linea del tiempo 
 
 
│ 1 │ 2 │ 3 │ 4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 
2 / 0S0 1 /1S0 0 / 2S0 3S1 4S2 5S 3 6S 4 
 2S 0 
 
El importe del saldo al final del 1er mes, cuando no se han abonado cuotas y 
ha transcurrido un mes, coincide con el saldo al comienzo del 2do mes, se 
simboliza por: 
 
 1 / 1 S0 
 
 
El importe del saldo al final del 2do mes, cuando no se han abonado cuotas y 
han transcurrido 2 meses, coincide con el saldo al comienzo del 3er mes, se 
simboliza por: 
 78 
 
 0 / 2 S0 = 2 S0 
 
El importe del saldo al final del 3er mes, cuando se esta por abonar la 1er 
cuota y han transcurrido 3 meses, se simboliza por: 
 
3 S´1 
 
 
Las simbologías de los importes de los saldos al final del 4to, del 5to, del 6to y 
del 7mo, son: 
 
4 S´2 , 5S´3 , 6 S´4 y 7 S´5 
 
 
 
Se observa en una línea del tiempo 
 
 
│ 1 │ 2 │ 3 │ 4 │ 5 │ 6 │ 7 │ 
2 / 0S0 1 /1S0 0 / 2S0 3S´1 4S´2 5S´ 3 6S´ 4 7 S´5 
 
 2S 0 
 
Para generalizar la simbología tenemos en saldos al comienzo: 
 
Se hace notar que el periodo pactado diferir originariamente se simboliza por K 
(mayúscula) y los períodos diferidos en otro momento por k (minúscula) 
 
 
 k = períodos diferidos a ese momento 
k / t S r donde t = tiempo trascurrido 
 
 r = cuotas pagadas 
 
 
 
Si el tiempo transcurrido no supera a los períodos de diferimiento en ese 
momento, el valor pactado diferir al inicio de la operación financiera , se puede 
obtener con la suma entre períodos diferidos a ese momento y el tiempo 
transcurrido , K = k + t 
 
 
Si el tiempo transcurrido supera al período de diferimiento pactado al inicio de 
la operación financiera, el valor pactado diferir en el financiamiento, se puede 
obtener mediante la resta entre el tiempo transcurrido y el número de cuotas 
pagadas, K = t - r 
 
 
Para generalizar la simbología tenemos en saldos al final antes del pago de la 
cuota correspondiente: 
 
 
 t = tiempo trascurrido hasta ese momento 
 t S ´r donde 
 79 
 
 r = número de la cuota a pagada 
 
Las expresiones para el calculo de los saldos durante los periodos diferidos son, 
las que se obtienen capitalizando el saldo al inicio de cada periodo por una unidad 
de tiempo y las expresiones para el cálculo de los saldos una vez terminado el 
diferimiento, no es otra que la utilizada en sistemas de amortización de pagos 
inmediatos, o sea, el valor actual de las cuotas que faltan pagar o suma de 
amortizaciones que restan para cancelar la deuda. 
 
 n-r 
k + rS r =∑ C p +r (1+i) 
- p 
 p=1 
 
 n 
k + rS r = ∑ t p 
 p=r+1 
 
 
Mediente las expresiones anteriores se obtiene el importe del saldo despuésde 
pagar la cuota numero “r” o el saldo al comienzo de la unidad de tiempo k + r + 1. 
 
 
Para el cálculo de los componentes de cada una de las cuotas, observando bien a 
que número de cuota se refiere, se trabaja como en los sistemas de financiamiento 
de pagos inmediatos, la cuota r abonada al final del período k+r, estará constituida 
por el interés abonado en dicha cuota, correspondiente al período k + r y lo 
amortizado en ese momento. 
 
Cr = I r + t r 
 
Donde k + rS r – 1 = S r – 1 
 
Ir = S r – 1 . i 
 
 
El observa el grafico para el caso de un financiamiento a cancelar con el pago 
de n cuotas donde se pacta pagar la 1er al final del 2do período, o sea diferido por 
1 , k=1 
 
 
 
 2S´1 
 
 0 /1S 0 I 1 3S´2 
 t 1 I 2 
 
 2S1 t 2 
 
 3S2 1 + nS´n 
1/0S0 I n 
 n Sn – 1 t n 
 
C 2 
C n 
C 1 
S 0 
 80 
 
 1 2 3 n + 1 
Tasa de amortización. 
 
La tasa de amortización para cada unidad de tiempo, se define como la 
amortización real de cada unidad de tiempo para un saldo adeudado al comienzo 
del período de un peso, simbolizada por Ø r la tasa de amortización del período r y 
calculada mediante el cociente entre el importe de la amortización del período r y 
el importe del saldo adeudado al comienzo de dicho período, Ø r = t r / S r-1 
 
 Sistema de amortización de cuotas constantes e iguales, 
sistema Francés 
 
En el sistema de amortización Francés las tasas de amortización de cada 
unidad de tiempo se calculan mediante las siguientes expresiones: 
Ø 1 = t 1 / S 0 , Ø 2 = t 2 / S 1 , Ø 3 = t 3 / S 2 
Para la primera, segunda y tercera unidad de tiempo. 
 
Generalizando para la r-ésima unidad de tiempo: 
Ø r = t r / S r-1 
 
 Y para la última unidad de tiempo 
Ø n = t n / S n-1 
 
Se expresa el importe de los saldos al comienzo de cada unidad de tiempo 
por su igual respecto a la suma de las amortizaciones contenidas en cada una de 
las cuotas que faltan pagar y no han vencido. Se aclara además, que se reemplaza 
en la sumatoria de las amortizaciones a cada una de ellas respecto a la 
comprendida en la próxima cuota a pagar según el período que corresponda, y 
luego se utiliza la equivalencia financiera del valor final de n pagos vencidos e 
iguales de pesos uno cada uno, simbolizado por sn┐i y cuyo cálculo surge de 
(1+ i) 
n 
-1 
 i 
Para la primera unidad de tiempo: 
 n n n - 1 
 S 0 =  t p =  t 1 . (1+i) p-1 =  t 1 . (1+i) p = t 1 sn┐i = t 1 (1+ i) n -1 
 p=1 p=1 p=0 i 
 
Para la segunda unidad de tiempo: 
 81 
 
 
 n n n-2 
 S 1 =  t p =  t 2 .(1+i) p-2 =  t 1 . (1+i) p = t 2 sn-1┐i = t 2 (1+ i) n-1 -1 
 p=2 p=2 p=1 i 
 
Se generaliza para la unidad de tiempo r+1: 
 
 n 
 S r =  t r+1 (1+i) p - (r+1) = t r+1 (1+ i) n-r -1 
 p=r+1 i 
 
 Luego de reemplazar en la expresión del calculo de cada tasa de 
amortización, el saldo al comienzo del período, por su igual según se encontró en 
el procedimiento anterior 
 
Para la tasa de amortización correspondiente a la primera, a la segunda y a 
la r + 1 unidad de tiempo. 
Ø 1 = t 1 / S 0 , Ø 2 = t 2 / S 1 , Ø r + 1 = t r + 1 / S r 
 
Se reemplaza el importe del saldo según corresponda en cada una de las 
expresiones 
 
Ø 1 = t 1 / t 1 (1+ i) 
n 
-1 
 i 
Ø 2 = t 2 / t 2 (1+ i) 
n -1 
-1 
 i 
Se generaliza para la unidad de tiempo r + 1: 
 
Ø r+1 = t r+1 / t r+1 (1+ i) 
n -r 
-1 
 i 
 
Se opera algebraicamente en las últimas expresiones y para cada unidad de 
tiempo la tasa de amortización será: 
 
Ø 1 = i / [ (1+ i) 
n 
-1 ] 
 
 82 
Ø 2 = i / [ (1+ i) 
n -1 
-1 ] 
 
Se generaliza para la unidad de tiempo r+1 
 
Ø r+1 = i / [ (1+ i) 
n -r 
-1 ] 
 
Mediante la expresión anterior, se obtiene en el sistema de amortización de 
cuotas iguales (sistema Francés) la tasa de amortización de cada período 
mediante el cociente entre la tasa de interés utilizada en el financiamiento y su 
tasa de interés equivalente correspondiente al número de unidades de tiempo que 
aún faltan para cancelar el importe financiado. 
 
 Sistema de amortización de amortizaciones iguales, sistema 
Alemán 
 
En el sistema de amortización Alemán las tasas de amortización de cada 
unidad de tiempo se calculan mediante las siguientes expresiones: 
 
Ø 1 = t / S 0 , Ø 2 = t / S 1 , Ø 3 = t / S 2 
Para la primera, segunda y tercera unidad de tiempo. 
 
Se generaliza para la unidad de tiempo r + 1. 
Ø r + 1 = t / S r 
 
Y para la última unidad de tiempo 
Ø n = t / S n-1 
 
Se expresa el importe de los saldos al comienzo de cada unidad de tiempo 
por su igual respecto a la suma de las amortizaciones que faltan realizar 
contenidas en las cuotas adeudadas y no vencidas. 
 
Para la primera unidad de tiempo: 
 n 
 S 0 =  t p = t * n 
 p=1 
 
 Para la segunda unidad de tiempo: 
 n 
 83 
 S 1 =  t p = t * (n – 1) 
 p=2 
Generalizando para la unidad de tiempo r+1: 
 n 
 S r =  t p = t * ( n – r) 
 p=r+1 
 
Luego de reemplazar en la expresión del calculo de cada tasa de 
amortización, el saldo al comienzo del período, por su igual según se encontróen 
el procedimiento anterior 
Ø 1 = t / S 0 = t / t * n 
 
Ø 2 = t / S 1= t / t * (n – 1) 
 
Generalizando para la unidad de tiempo r+1 
 
Ø r+1 = t / S r = t / t * (n – r) 
 
Se opera algebraicamente en las expresiones anteriores 
Ø 1 = 1 / n 
 
Ø 2 = 1 / (n – 1) 
 
Generalizando para la unidad de tiempo r+1 
 
Ø r+1 = 1 / (n – r) 
 
A través de la última expresión, en el sistema de amortización de importes 
de cuotas decrecientes e importe a amortizaciones iguales, sistema Alemán, se 
obtiene la tasa de amortización de cada período mediante el cociente entre el 
numero uno y el numero de unidades de tiempo que aún faltan para cancelar el 
importe financiado. 
Por lo que en el sistema de amortización Alemán, cada tasa de amortización 
se calcula sólo teniendo en cuenta la cantidad de pagos no vencido que faltan 
realizar para cancelar el saldo adeudado, independiente de los restantes 
elementos pactados al concretar la operación financiera, como, el importe 
financiado, el saldo al comienzo de cada unidad de tiempo, el importe de la 
amortización y la tasa de interés utilizada en el financiamiento. 
 
 84 
 
 
RENTAS CIERTAS DE PAGOS IGUALMENTE 
ESPACIADOS Y VARIABLES EN PROGRESIÓN 
ARITMÉTICA. 
 
 Valor Actual de rentas Ciertas de pagos variables en 
progresión aritmética crecientes. 
 
Elementos y simbología 
VA vpa = valor actual de n cuotas variables progresión aritmética 
C = importe de la 1er cuota 
h= razón de la variación 
i=tasa de valuación 
 
VA vpa = C1.(1+i)
- 1+C2.(1+i)
- 2 + C3 (1+i)
- 3 + … + C n (1+i)
- n 
 
 La expresión anterior permite encontrar el importe del valor actual de n pagos 
vencidos, variables crecientes en progresión aritmética, valuados a la tasa de 
interés i, donde el primer pago es C y la razón en la variación es h 
 
Cada una de las cuotas es mayor a la anterior en h 
 
C1 = C 
 
C2 = C1 + h = C + h 
 
C 3 = C2 + h = C + 2 h 
 
. . . . . . . . . . 
 
C r+1 = Cr + h = C + r h 
. . . . . . . . . . 
 
C n = Cn-1 + h = C + (n– 1) h 
 
 
Por lo que se puede expresar también: 
 
VA vpa = C.(1+i)
- 1+(C+h).(1+i)- 2 + (C+2h).(1+i)- 3 + … + [C+(n-1)h](1+i)- n 
 
 n n n 
 VA vpa =  C p v 
p
 =  [C+ (p-1) h ] v 
p
 =  t p 
 p=1 p=1 p=1 
 
 Se trabaja para encontrar una expresión más sencilla para el cálculo de este 
tipo de rentas, se descomponen cada una de las cuotas y se actualizan los valores 
al inicio de la primera unidad de tiempo, con el propósito de actualizar importes 
 85 
iguales y utilizar la expresión sencilla para su cálculo. 
 
 
Así, en el primer renglón figúran n pagos de C cada uno, en el 2do renglón hay 
(n–1) pagos de h pesos diferido por una unidad de tiempo, en el 3ero (n–2) pagos 
de h , diferidos por 2, y así hasta el ultimo, donde hay un pago de h, diferido por 
(n–1) , lo que se ve en la siguiente línea del tiempo: 
 
 
 C1 C2 C3 Cn 
 │ 1 │ 2 │ 3 │ │ . . . │ n │ 
 C C+h C+2h C+(n-1)h 
 
C . an┐i C C C . . . C 
 
v. h . an-1┐i h h . . . h 
 
v
2
 .h . an-2┐i h . . . h 
 . 
 . 
 
 . 
 . 
 
 . 
 . 
 
v 
n-1
 .h . a1┐i h 
 
 
Se procede a sumar los valores encontrados: 
 n - 1 
 VA vpa = C . an┐i +  v 
p .h . an - p┐i 
 p = 1 
 
 
Se reemplaza por las equivalencias financieras y se opera matemáticamente 
 
 n - 1 
VA vpa = C . an┐i + h  v 
p . 1 – v n - p 
 p = 1 i 
 
 
 n - 1 
VA vpa = C . an┐i + h  v 
p
 – v 
n 
 p = 1 i 
 
 
VA vpa = C . an┐i + h  v 
p
 –  v n 
 i 
 
 86 
VA vpa = C . an┐i + h an - 1┐i – (n - 1 ) v 
 n 
 i 
 
VA vpa = C . an┐i + h an -1┐i – n v 
 n + v 
n 
 i 
 
 Se defina a la siguiente expresión como el valor actual de n pagos vencidos 
variables crecientes en progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de 
primer pago igual a C y razón de la variación h 
 
VA vpa = C . an┐i + h an ┐i – n v 
 n 
 i 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor actual de rentas ciertas 
variables crecientes en progresión aritmética de pagos anticipados, se utiliza la 
relación entre valores actuales de pagos vencidos y valores actuales de pagos 
anticipados 
 . . 
VA vpa = VA vpa (1+i) 
 
 Se reemplaza el valor de VA vpa por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor actual de n pagos anticipados, variables crecientes en 
progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de primer pago igual a C 
y razón de la variación h 
 
 . . 
VA vpa = [C . an┐i + h an ┐i – n v 
 n ] (1+i)i 
 
 
Valor Actual de rentas Ciertas de pagos variables en 
progresión aritmética decrecientes. 
 
 En el caso del valor actual de rentas que varían en progresión aritmética 
decreciente, cada una de los pagos es menor al anterior en h 
 
C1 = C 
C2 = C1 - h = C - h 
 
C 3 = C2 - h = C - 2 h 
. . . . . . . . . . 
C r+1 = Cr - h = C - r h 
. . . . . . . . . . 
C n = Cn-1 - h = C - (n– 1) h 
 
 Se encuentra el valor actual de dichos pagos actualizando cada uno de ellos, 
a la tasa de valuación utilizada. 
 
 87 
 n n n 
 VA vpa =  C p v 
p
 =  [C - (p-1) h ] v 
p
 =  t p 
 p=1 p=1 p=1 
 Se trabaja de igual manera que en el caso de las variaciones crecientes y se 
concluye con la siguiente expresión sencilla para el cálculo de rentas ciertas con 
estas características. 
VA vpa = C . an┐i - h an ┐i – n v 
 n 
 i 
 
 Se defina a la expresión anterior, como el valor actual de n pagos vencidos 
variables decrecientes en progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de 
primer pago igual a C y razón de la variación h 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor actual de rentas ciertas 
variables decrecientes en progresión aritmética, de pagos anticipados, se trabaja 
igual que para el caso de variación creciente, se utiliza la relación entre valores 
actuales de pagos vencidos y valores actuales de pagos anticipados, donde se 
reemplaza el valor de VA vpa por su igual y se encuentra la expresión 
correspondiente 
 . . 
VA vpa = [C . an┐i – h an ┐i – n v 
 n ] (1+i) 
 i 
 
 
Valor Final de rentas Ciertas de pagos variables en 
progresión aritmética crecientes. 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor final de rentas ciertas 
variables crecientes en progresión aritmética de pagos vencidos, se utiliza la 
relación entre valores finales de pagos vencidos y valores actuales de pagos 
vencidos 
 
VF vpa = VA vpa (1+i)
 n 
 
 Se reemplaza el valor de VA vpa por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor final de rentas ciertas con estas características del pago. 
 
VF vpa = [C . an┐i + h an ┐i – n v 
 n ] (1+i) n 
 i 
VF vpa = C . sn┐i + h sn┐i – n 
 i 
 Se defina a la expresión anterior, como el valor final de n pagos vencidos, 
variables crecientes en progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de 
primer pago igual a C y razón de la variación h 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor final de rentas ciertas 
variables crecientes en progresión aritmética, de pagos adelantados, se utiliza la 
 88 
relación entre valores finales de pagos vencidos y valores finales de pagos 
anticipados 
 . . 
VF vpa = VF vpa (1+i) 
 Se reemplaza el valor de VF vpa por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor final de n pagos anticipados, variables crecientes en 
progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de primer pago igual a C 
y razón de la variación h 
 . . 
VF vpa = [C . sn┐i + h sn┐i – n] (1+i) 
 i 
 
 
Valor Final de rentas Ciertas de pagos variables en 
progresión aritmética decrecientes. 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor final de rentas ciertas 
variables decrecientes en progresión aritmética de pagos vencidos, nuevamente, 
se utiliza la relación entre valores finales de pagos vencidos y valores actuales de 
pagos vencidos 
 
VF vpa = VA vpa (1+i)
 n 
 
 Se reemplaza el valor de VA vpa por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor final de n pagos vencidos, variables decrecientes en 
progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de primer pago igual a C 
y razón de la variación h 
 
VF vpa = [C . an┐i – h an ┐i – n v 
 n ] (1+i) n 
 i 
VF vpa = C . sn┐i – h sn┐i – n 
 i 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor final de rentas ciertas 
variables decrecientes en progresión aritmética, de pagos anticipados, se utiliza la 
relación entre valores finales de pagos vencidos y valores finales de pagos 
anticipados 
 . . 
VF vpa = VF vpa (1+i) 
 
 Se reemplaza el valor de VF vpa por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor final de n pagos anticipados, variables decrecientes en 
progresión aritmética, valuados a la tasa de interés i, de primer pago igual a C 
y razón de la variación h 
 
 . . 
VF vpa = [C . sn┐i – h sn┐i – n] (1+i) 
 i 
 89 
 
 
Aplicación de valor actual de rentas ciertas de pagos 
vencidos y variables en progresión aritmética 
 
 Aplicación de valor actual de rentas ciertas de pagos vencidos y 
variables en progresión aritmética crecientes 
 
En un sistema de amortización de pagos inmediatos y variables en 
progresión aritmética creciente es un caso particular del valor actual de rentas 
ciertas variables en progresión aritmética creciente de pagos inmediatos y 
vencidos, a efecto de facilitar los cálculos se podrá utilizar la expresión del valor 
actual de dichas rentas para determinar el importe de los saldos. 
 
VA vpa = C.(1+i)
- 1+(C+h).(1+i)- 2 + (C+2h).(1+i)- 3 + … + [C+(n-1)h](1+i)- n = S 0 
 
 
 
 
Saldo al comienzo de cada unidad de tiempo 
 
En el sistema de amortización de pagos inmediatos y variables en progresión 
aritmética creciente, el importe del saldo al comienzo de la primer unidad de 
tiempo es el valor actual de todas las cuotas variables crecientes o la suma de 
todas las amortizaciones: 
 
 n n n 
 S 0 = C p v 
p
 =  [C+ (p-1) h ] v 
p
 =  t p 
 p=1 p=1 p=1 
 
 
S 0 = C a n / i + h 
 a n / i – n v 
n 
 
 i 
 
El importe del saldo después de pagar la primera cuota o saldo al comienzo 
de la 2º unidad de tiempo cuando faltan n-1 cuotas para cancelar la deuda y siendo 
la próxima cuota a pagar C 2 igual a (c+h): 
 
 
S 1 = (C+h).(1+i)
- 1 + (C+2h).(1+i)- 2 + … +[C+(n-1)h](1+i)- (n -1) 
 
 
 
S 1 = (C + h) a n-1 / i + h a n-1 / i – (n-1) v 
n-1 = S 0 - t 1 
 
 i 
 
 
Generalizando el importe del saldo después de pagar la cuota número r o 
importe del saldo al comienzo de la r+1 unidad de tiempo, cuando faltan n- r 
cuotas para cancelar la deuda y la próxima cuota a pagar es C r+1 igual a (C+r h):90 
 n-r n-r n 
 S r = C p +r v 
p
 =  [C– (p+r-1) h ] v 
p
 =  t p 
 p =1 p =1 p = r+1 
 
S r = (C + r h) a n-r / i + h a n-r / i – (n-r) v 
n-r = S r-1 - t r 
 
 i 
 
Saldo al final de cada unidad de tiempo 
 
 En el sistema de amortización de pagos inmediatos y variables en 
progresión aritmética creciente, el importe del saldo al final de la primer unidad de 
tiempo o saldo antes de abonar la primer cuota, puede calcularse a partir del saldo 
al comienzo de la misma unidad de tiempo capitalizado o sumando el importe de la 
primer cuota al saldo al comienzo de la siguiente unidad de tiempo, la 2da. 
 
 S 0 (1+i) 
 
S´ 1 
 
 S1 + C1 
 
Para el saldo antes de pagar la 2da cuota 
 
 S 1 (1+i) 
 
S´2 
 
 S2 + C2 
 
Generalizando, el saldo al final de la r+1 unidad de tiempo 
 
 S r (1+i) 
 
S´ r+1 
 
 S r+1 + c r+1 
 
 
Composición de la cuota 
 
En el sistema de amortización de pagos inmediatos y variables en progresión 
aritmética creciente, el importe de cada una de las cuotas es mayor a la anterior en 
el valor correspondiente a la razón o variación (h) 
 
C1 = C 
 
C2 = C1 + h = C + h 
 
C 3 = C2 + h = C + 2 h 
. . . . . . . . . . 
C r+1 = Cr + h = C + r h 
. . . . . . . . . . 
 
 91 
C n = Cn-1 + h = C + (n– 1) h 
 
 El importe de cada una de las cuotas crecientes esta compuesto por 
los intereses y la amortización del período. 
 
La primera cuota esta compuesta por: 
 
 C1 = I 1 + t 1 = C 
 
La segunda cuota esta compuesta por 
 
C2 = I 2 + t 2 = C + h 
 
Generalizando, la cuota correspondiente a la r+1 unidad de tiempo 
 
Cr+1 = I r+1 + t r+1 = C + r h 
 
 Los intereses se abonan sobre el saldo adeudado al comienzo del 
periodo correspondiente 
 
En la primera unidad de tiempo: 
S 0 .i = I1 
 
Para la Segunda unidad de tiempo: 
S1 .i = I2 = (S0 – t 1).i 
 
los intereses en la r+1 unidad de tiempo: 
Sr .i = I r+1 = (Sr-1 – t r).i 
 
El importe de los intereses abonados en cada unidad de tiempo disminuye a 
medida que se abonan las cuotas, en la parte correspondiente al importe que se 
deja de abonar en concepto de interés por la correspondiente disminución del 
saldo adeudado, entonces: 
I 2 = I 1 – t 1 .i 
 
I 3 = I 2 – t 2 .i 
 . . . . . . . . . . 
 
I r+1 = I r – t r .i 
 
 
 Amortizaciones contenidas en cada una de las cuotas 
 
La amortización contenida en cada una de las cuotas se puede encontrar 
entre otras maneras, como la diferencia entre el importe de la cuota y los 
intereses correspondientes. 
 
En la primera unidad de tiempo: 
 
 t 1 = C1 – I 1 = C - S0 . i 
 
En la segunda unidad de tiempo: 
 92 
 
 t 2 = C2 – I 2 = (C + h) - S1 . i 
 
En la unidad de tiempo “r+1”: 
 
 t r+1 = Cr+1 – I r+1 = (C +r h) - Sr . i 
 
 
 
 Aplicación de valor actual de rentas ciertas de pagos vencidos y 
variables en progresión aritmética decrecientes 
 
En el sistema de amortización de pagos inmediatos, igualmente espaciados y 
variables en progresión aritmética decreciente, el importe del saldo al comienzo de 
la primera unidad de tiempo es el valor actual de todas las cuotas variables 
decrecientes o la suma de todas las amortizaciones: 
 
VA vpa = C.(1+i)
- 1+(C–h).(1+i)- 2 + (C–2h).(1+i)- 3 + … + [C–(n-1)h](1+i)- n 
 
 n n n 
 S 0 = C p v 
p
 =  [C– (p-1) h ] v 
p
 =  t p 
 p=1 p=1 p=1 
 
Para determinar el saldo al comienzo de cada unidad de tiempo o saldo luego 
del pago de la cuota, el saldo al final o saldo antes del pago de la cuota 
correspondiente y la composición de cada una de las cuotas variables en 
progresión aritmética decreciente, se trabaja de manera similar al que se realiza 
cuando las cuotas varían en progresión aritmética creciente, teniendo la 
precaución que en este caso, la variación entre cada uno de los pagos o cuotas 
que amortizan el financiamiento es menor a la anterior en la razón de la variación: 
 
C1 = C 
 
C2 = C1 – h = C – h 
 
C 3 = C2 – h = C – 2 h 
. . . . . . . . . . 
C r+1 = Cr – h = C – r h 
. . . . . . . . . . 
 
C n = Cn-1 – h = C – (n– 1) h 
 
Entonces las expresiones que permiten calcular, el Saldo al comienzo de cada 
unidad de tiempo y el Saldo al final de cada unidad de tiempo serán las que 
siguen: 
 
Saldo al comienzo de cada unidad de tiempo 
 
Al comienzo de la operación financiera: 
 
 n n 
 S 0 = C p v 
p
 =  t p 
 93 
 p=1 p=1 
 
S 0 = C a n / i - h 
 a n / i – n v 
n 
 
 i 
 
Al comienzo de la segunda, luego de abonar la 1era cuota: 
 
 n-1 n 
S 1 = C p +1 v 
p
 =  t p 
 p=1 p=2 
 
 
S 1 = (C - h) a n-1 / i - h a n-1 / i – (n-1) v 
n-1 = S 0 - t 1 
 
 i 
 
Generalizando el importe del saldo después de pagar la cuota número r o 
saldo al comienzo de la r+1 unidad de tiempo, cuando faltan n- r cuotas para 
cancelar la deuda y la próxima cuota a pagar es C r+1 igual a (C–rh): 
 
 
 
 n-r n 
 S r = C p +r v 
p
 =  t p 
 p =1 p = r+1 
 
 
S r = (C - rh) a n-r / i - h a n-r / i – (n-r) v 
n-r = S r-1 - t r 
 
 i 
 
 
Saldo al final de cada unidad de tiempo 
 
 En el sistema de amortización de pagos inmediatos y variables en 
progresiónaritmética decreciente, el importe del saldo al final de cada unidad 
de tiempo o saldo antes de abonar la cuota, puede calcularse a partir del saldo 
al comienzo de la misma unidad de tiempo capitalizado o sumando el importe 
de la cuota pagada al saldo al comienzo de la siguiente unidad de tiempo. 
 
Reemplazando el importe del saldo al comienzo por la expresión 
correspondiente se tiene: que el saldo al final de la “r+1” unidad de tiempo 
 
 
 
 S r (1+i) 
 
S´ r+1 
 
 S r+1 + C r+1 = S r+1 + ( C – r h ) 
 
 
 
 
 94 
 
 
Composición de las cuotas variables 
 
El importe de cada una de las cuotas decrecientes esta compuesto por los 
intereses y la amortización del período. 
 
La primera cuota esta compuesta por: 
 
 C1 = I 1 + t 1 = C 
 
La segunda cuota esta compuesta por 
 
C2 = I 2 + t 2 = C – h 
 
Generalizando, la cuota correspondiente a la r+1 unidad de tiempo 
 
Cr+1 = I r+1 + t r+1 = C – r h 
 
 
Como en todo sistema de amortización de deuda, los intereses se abonan 
sobre el saldo adeudado al comienzo del periodo correspondiente y a medida 
que se abonan las cuotas van decreciendo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 95 
 
 
RENTAS CIERTAS DE PAGOS IGUALMENTE 
ESPACIADOS Y VARIABLES EN PROGRESIÓN 
GEOMÉTRICA. 
 
 Valor Actual de rentas ciertas de pagos variables en 
progresión geométrica 
 
 
Elementos y simbología 
Valor actual de la renta = VAPG 
Número de cuotas = n 
Tasa de interés = i 
Razón de la variación = q 
Primera cuota = C = C 1 
Segunda cuota = C . q = C 2 
 
 
Se calcula, el valor actual de una renta cierta variable en progresión 
geométrica actualizando cada una de las n cuotas o pagos variables, donde la 
primera cuota es igual a C, la razón de la progresión q y la tasa de valuación i. 
 
VAPG = C1 v + C2 .v
 2
 + C3
 
. v 
3
 + . . . . . + Cn. v 
n 
 
Siendo 
 
C1 = C, C2 = C.q, C3
 
 = C . q 
2
 , . . . . . Cn = C.q 
n-1 
 
 n 
VAPG = C. v + C. q .v
 2
 + C. q
2 
. v 
3
 + . . . . . + C. q 
n – 1
. v 
n
 =  C . q p-1 .v p 
 p=1 
 
 
 Se extrae factor común C / q por un lado y por otro se extrae como factor a 
C . v .Además se utiliza el siguiente artificio o reemplazo matemático: 
 
q . (1+i)
-1 
 = (1+i 0 )
-1 
 
 
si (1+i)
-1 
 = v , puede expresarse a (1+i 0 )
-1 
 = v 0 
 
 Se obtienen dos expresiones para calcular el valor actual de una renta cierta 
variable en progresión geométrica de pagos vencidos 
 
 n 
 VAPG = C / q  q
 p .v p 
 p=1 
 
 
 n-1 
 96 
 VAPG = C . v  q
 p .v p 
 p=0 
 Reemplazando según el artificio matemático en las dos expresiones que 
permiten el cálculo del valor actual de rentas que varían en progresión geométrica, 
se obtiene: 
 
 n 
 C / q  v 0
 p
 
 p =1 
 
 
VAPG 
 
 
 
 n-1 
 C . v  v 0
 p
 
 P=0 
 
 
Entonces el valor actual de rentas que varían en progresión geométrica se 
puede expresar con cualquiera de las dos expresiones anteriores. 
 
 n 
  v 0
 p
 representa el valor actual de n pagos vencidos e iguales de $1 cada 
p =1 uno valuados a la tasa i 0 simbolizado por an┐i o 
 
 
 n-1 
  v 0
 p
 representa el valor actual de n pagos adelantados e iguales de $1 
P=0 cada uno valuados a la tasa i 0 simbolizado por ä n┐i o 
 
 
 
De manera que, si reemplazamos, en el valor actual de n cuotas variables en 
progresión geométrica de primera cuota igual a C, razón de la progresión q y tasa 
de valuación i, será: 
 
 VAPG = C / q an┐i o = C . v ä n┐i o 
 
 
Así a partir del artificio matemático planteado anteriormente, se pueden encontrar 
los valor de: 
 
q, i, ó i 0 
 
 1 + i 
 q = 
 1 + i 0 
 
i = q (1+i0) - 1 
 
 
 1 + i 
i 0 = - 1 
 97 
 q 
 
 De esta manera se podrá calcular en una renta cierta de estas 
características, cualquiera de los 5 elementos (VAPG , C, n, i, o q ) disponiendo de 
los datos de los 4 restantes. 
 
Optando por la expresión donde se saco factor común C / q , cuando se 
desconoce el importe de la tasa de interés y por la expresión donde se extrae 
como factor a C . v ,cuando el valor a calcular es la razón q, para el caso de los 
otros tres importes, valor actual, primer cuota y numero de cuotas es indistinto 
utilizar una u otra expresión. 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor actual de rentas ciertas 
variables en progresión geométrica de pagos anticipados, se utiliza la relación 
entre valores actuales de pagos vencidos y valores actuales de pagos anticipados 
 
 . . 
VA PG = VA PG (1+i) 
 
 Se reemplaza el valor de VA PG por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor actual de n pagos anticipados, variables en progresión 
geométrica, valuados a la tasa de interés i, de primer pago igual a C y razón de 
la variación q 
 
 . . 
VA PG = C / q an┐i o (1+i) = C . v ä n┐i o (1+i) 
 
 Si trabajamos en la 2da expresión se opera mediante relaciones financieras y 
se obtiene: 
 
 . . 
VA PG = C . ä n┐i o 
 
 Si se trabaja en la 1era expresión se debe recordar que: q . (1+i)
-1 
 = (1+i 0 )
-1 
 
 
donde: q . (1+i 0 )
 
 = (1+i)
 
 
 Se reemplaza a (1+i) por su igual, q . (1+i 0 )
 
 
 
 . . 
VA PG = C / q an┐i o q . (1+i 0 )
 
 
 
 
 A través de relaciones financieras y operando matemáticamente se obtiene 
igual expresión a la encontrada anteriormente: 
. . 
VA PG = C . ä n┐i o 
 
 
 
 98 
 
 
Valor Final de rentas ciertas de pagos variables en 
progresión geométrica. 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor final de rentas ciertas 
variables en progresión geométrica de pagos vencidos, se utiliza la relación entre 
valores actuales de pagos vencidos y valores finales de pagos vencidos. 
 
 VFPG = VAPG (1+i)
 n 
 
 Se reemplaza el valor de VA PG por su igual y se encuentra la expresión que 
permite calcular el valor final de n pagos vencidos, variables en progresión 
geométrica. 
 
VFPG = C / q an┐i o (1+i)
 n
 = C . v ä n┐i o (1+i)
 n 
 
 Se puede trabajar en cualquiera de las dos expresiones y se llega a igualresultado, lo hacemos en la 1era, para lo cual se reemplaza a (1+i)
 n
, por su igual 
q
 n
(1+i 0)
 n 
 
VFPG = C / q an┐i o q
 n
 . (1+i 0 )
 n 
 
 
 Se opera mediante relaciones financieras y matemáticas y se obtiene: 
 
VFPG = C q 
n - 1
 . sn┐ i o 
 
 
 Definido como el valor final de n pagos vencidos, variables en progresión 
geométrica, valuados a la tasa de interés i, de primer pago igual a C y razón de 
la variación q. 
 
 Para encontrar la expresión para el cálculo del valor final de rentas ciertas 
variables en progresión geométrica de pagos anticipados, se puede utilizar la 
relación entre valor final de pagos vencidos y el valor final de pagos anticipados o 
la relación entre valor actual de pagos anticipados y valor final de pagos 
anticipados: 
 . . 
VF PG = VF PG (1+i) = C q 
n - 1
 . sn┐ i o (1+i) 
 
 . . . . 
VFPG = VAPG (1+i)
 n 
= C . ä n┐i o (1+i)
 n 
 
 Se opera matemáticamente y se utilizan las relaciones financieras, según 
corresponda, de igual manera que se trabajó para los anteriores caso y se obtiene 
la siguiente expresión 
 . . . . 
VFPG = C q 
n 
. sn┐ i o 
 
 
 99 
 Se define la expresión anterior, como el valor final de n pagos anticipados, 
variables en progresión geométrica, valuados a la tasa de interés i, de primer 
pago igual a C y razón de la variación q. 
 
 
Aplicación del valor actual de rentas ciertas de pagos 
vencidos y variables en progresión geométrica. 
 
 
La amortización de una deuda mediante el pago de cuotas variables según 
ley de progresión geométrica es un caso particular del valor actual de rentas con 
esas características. 
 
Se define el importe financiado como, el valor actual de cada una de las n 
cuotas o pagos variables en progresión geométrica, siendo la primera cuota igual 
a C, la razón de la progresión q y la tasa de valuación i. 
 
 S 0 = C. v + C. q .v
 2
 + C. q
2 
. v 
3
 + . . . . . + C. q 
n – 1
. v 
n 
 
 n 
 C / q  q
 p
 .v
 p
 
 P=1 
 n 
 S 0 =  C . q
 p-1
 .v
 p 
 p=1 
 n-1 
 C . v  q
 p
 .v
 p
 
 P=0 
 
Al igual que se trabajo en el valor actual de rentas ciertas con estas características 
se remplaza q . (1+i)
-1 
 por (1+i 0 )
-1 
 
 
De esta manera se podrá calcular en un financiamiento de estas 
características, cualquiera de los 5 elementos ( S o , C, n, i, o q ) disponiendo de 
los datos de los 4 restantes. 
 
Reemplazando según el artificio, en las expresiones que permiten el cálculo del 
importe financiado 
 
 n 
 C / q  v 0
 p
 
 P=1 
 S 0 = 
 n-1 
 C . v  v 0
 p
 
 P=0 
 
Entonces el importe financiado o saldo al inicio de la operación financiera se 
puede expresar con cualquiera de las dos expresiones anteriores. 
 
De manera que, el valor actual de n cuotas variables en progresión 
geométrica de primera cuota igual a C, razón de la progresión q y tasa de 
valuación i, será: 
 100 
 
Saldo al comienzo = S 0 = C / q an┐i o = C . v ä n┐i o 
 
Optando por la primera expresión, luego de pagar r cuotas el saldo al 
comienzo del período r+1 será igual al valor actual de las n-r cuotas que faltan 
pagar y no han vencido, valuados a la tasa de interés i, donde la próxima cuota a 
pagar es igual a C r+1 = C. q 
r
 
 
 a n -r┐i o 
S r = C q 
r 
 q 
 
 Para el cálculo del saldo al final del período o saldo antes de abonar la 
cuota, se procede de igual manera que en los otros sistemas de financiamiento, 
capitalizando el saldo al comienzo del período o, sumando la cuota abonada al 
saldo al comienzo del período siguiente: 
 
 S r (1+i) 
 
S´ r+1 
 
 S r+1 + C r+1 = S r+1 + C q 
r
 
 
 
 Composición de las cuotas variables en progresión geométrica 
 
Cada una de las cuotas variables está compuesta por dos elementos, los 
intereses del período y la amortización correspondiente. 
 
C 1 = I 1 + t 1 = C 
 
C 2 = I 2 + t 2 = C. q 
 
C 3 = I 3 + t 3 = C. q 
2
 
…………………….. 
C r+1 = I r+1 + t r+1 = C. q 
r
 
………………………… 
C n = I n + t n = C. q 
n-1 
 
 
Interés abonado en cada cuota variable 
 
Los intereses se calculan sobre el importe del saldo adeudado al comienzo 
del período correspondiente. 
 
 an ┐i o 
 I 1 = S 0 . i = C 
 
 . i 
 q 
 
 an -1┐io 
 I 2 = S 1 . i = C q 
 
 . i 
 q 
 101 
………………………………………. 
 a n -r┐i o 
 I r+1 = S r . i = C q 
r 
 . i 
 q 
 
A medida que se van abonando las cuotas, disminuye el saldo adeudado en 
el importe correspondiente a la amortización, por lo que el importe de los intereses 
en cada período es menor al del período anterior. 
 
I 1  I 2  I 3  . . .  I n 
 
I 2 = S 1 . i = ( S 0 – t 1 ) . i = I 1 – t 1 .i 
 
I 3 = S 2 . i = ( S 1 – t 2 ) . i = I 2 – t 2 .i 
……………………………………… 
I r + 1 = S r . i = ( S r - 1 – t r ) . i = I r – t r .i 
 
 
 Amortización abonado en cada cuota variable 
 
El importe de la amortización abonada en cada una de las cuotas variables 
en progresión geométrica se podrá calcular: por diferencia entre la cuota y el 
interés correspondiente, que es lo que haremos, aún que también puede 
encontrarse en función de la amortización anterior o a partir de la primera 
amortización. 
 
Por diferencia entre la cuota y el interés correspondiente: 
 
 an ┐i o 
t 1 = C 1 - I 1 = C - C 
 
 . i 
 q 
 
 an -1┐io 
t 2 = C 2 - I 2 = C q - C q
 
 . i 
 q 
……………………………………….. 
 
 an - r┐i o 
t r + 1 = C r+1 - I r+1 = C q
 r
 - C q 
r 
 . i 
 q 
 
 
 
 
 
 
 
 102 
VALUACIÓN DE DEUDA MEDIANTE 
EL USUFRUCTOY LA NUDA PROPIEDAD 
 
 En todo sistema de financiamiento, el saldo adeudado, puede ser 
valuado, para cancelar la deuda anticipadamente o negociarla, en esta valuación 
la tasa de interés puede coincidir o no con la tasa pactada originariamente. 
 
 
 Al negociar la deuda el acreedor puede transferir los derechos en su 
totalidad o segregados, esto es por un lado los intereses de la deuda (usufructo 
del financiamiento) y por otro lado el capital adeudado (nuda propiedad del 
financiamiento). 
 
Se considera usufructo del financiamiento al valor actual de los intereses, que 
denominaremos en adelante como usufructo 
 
Se considera nuda propiedad del financiamiento al valor actual de las 
amortizaciones que denominaremos en adelante como nuda propiedad. 
 
El acreedor al transferir la deuda lo hace a una tasa de valuación la que 
puede coincidir o no con la tasa de interés pactada originariamente. 
 
 
 
 
 
 
+ + 
 
 
 
 
= = 
 
 
 
 
 
Usufructo y Nuda Propiedad en los sistemas de 
amortización de deudas 
 
 
 El Usufructo y la Nuda Propiedad al comienzo del período (r+1), cuando 
ya se han cancelado r cuotas, faltando (n-r) pagos para cancelar lo adeudado, 
valuados a la tasa de negociación iv, se calcula como: 
 
U r = Usufructo al comienzo del período r + 1, después de haber abonado la 
cuota errésima. 
 
Usufructo Valor actual de los 
intereses 
Nuda Propiedad Valor actual de las 
amortizaciones 
Propiedad plena Saldo adeudado 
 103 
NP r = Nuda Propiedad al comienzo del período r + 1, después de haber abonado 
la cuota errésima 
 
 
 
 n-r 
U r = ∑ Ir+p ( 1+ iv )
-p 
 
 P=1 
 
 n-r 
 NP r = ∑ tr+p ( 1+ iv )
-p 
 
 P=1 
 
 En todo sistema de amortización el saldo adeudado según usufructo y nuda 
propiedad es: S r = U r + NP r 
 
 El análisis se realiza para los sistemas de amortización de: cuotas 
constantes e iguales, (sistema Francés), y para amortizaciones constantes e 
iguales (sistema Alemán) En los sistemas de financiamiento mencionados, se 
trabaja para determinar primeramente la nuda propiedad, para calcular luego el 
importe del usufructo mediante diferencia entre saldo adeudado y nuda propiedad 
a la tasa de valuación correspondiente. 
 
 Si bien la valuación se realiza a partir de un momento determinado, con el 
fin de lograr explicar el tema, se realiza el desarrollo teórico a partir del inicio de la 
operación financiera. 
 
 
Nuda Propiedad y Usufructo en los sistemas de 
amortización de deudas de cuotas constantes e 
iguales, sistema Francés 
 
NUDA PROPIEDAD 
 
 La nuda propiedad al inicio de la operación, al principio de la primera 
unidad de tiempo. 
 
NP o = t 1 (1 + i v )
- 1 
+ t 2 (1 + i v )
- 2 
+ t 3 (1 + i v )
- 3 
+. . . + t n (1 + i v )
- n 
 
 
Recordando que t r+1 = t 1 (1 + i )
r 
 
 
y reemplazando, en NP o la expresión equivalente de las amortizaciones en 
función de t 1, se expresa la Nuda propiedad en función de la primera amortización. 
 
NP o = t1 (1+i v )
- 1 
+ t1 (1+ i)(1+i v)
- 2 
+ t1 (1+i) 
2 
(1+i v)
- 3 
+. . . +t1 (1+ i ) 
n -1
 (1+i v )
- n 
 
 
Se observa que en cada termino de la suma, t1 se actualiza a la tasa de 
valuación por un lado y por el otro se capitaliza a la tasa de interés pactada en 
la deuda original, se extrae factor común a t1 (1+i v )
- 1 y se llega a: 
 
 n-1 
NP o = t1 (1+i v )
- 1 
Σ  (1+ i) / (1+i v) 
 p 
 
 p=0 
 
 104 
 Si nos ubicamos al principio de la segunda unidad de tiempo, cuando ya 
se abonó la primera cuota, la nuda propiedad será: 
 
NP 1 = t 2 (1 + i v)
- 1 
+ t 3 (1 + i v )
- 2 
+ t 4 (1 + i v )
- 3 
+. . . + t n (1 + i v )
-( n-1) 
 
 
 Aplicando la relación de las amortizaciones en función de t 2, en la 
expresión anterior, se expresa la Nuda propiedad en función de t 2 y operando de 
igual manera que para NP o , se obtiene: 
 
 n-2 
NP 1 = t 2 (1+i v)
- 1 
Σ  (1+ i) / (1+i v) 
 p 
 
 p=0 
 
 A fin de explicitar la expresión matemática para el cálculo de la 
Nuda propiedad, se obtiene al comienzo del período (r+1). 
 
 n-r+1 
 NP r = tr+1 (1+i v )
- 1 
Σ  (1+ i) / (1+i v )
 p
 
 p=0 
 
 Con el objeto de simplificar los cálculos, se establece la siguiente relación 
 
 (1+ i) / (1+i v)  = (1+a) 
 
 En la expresión anterior se utiliza una tasa de trabajo (a) definida como tasa 
artificial de valuación cuya unidad de tiempo, coincide con las de las dos tasas de 
valuación utilizadas [tasa de interés pactada en la deuda original (i) y tasa de 
negociación (i v)] 
 
 Si se calcula la relación entre el factor de capitalización a la tasa (i) y el 
factor de actualización a la tasa (i v) surge otro factor a la tasa de trabajo (a), que 
se utilizará para simplificar los cálculos, como factor de capitalización o de 
actualización según corresponda. 
 
 Según sea la relación entre i e i v se presentan tres situaciones a saber: 
 
Situación nº 1: 
 
 La tasa de interés pactada originariamente en el financiamiento es mayor a 
la tasa de negociación. i  i v 
 
 (1+ i) / (1+i v)   1 consecuentemente (1+ i) / (1+i v) = ( 1+a) 
 
 En este caso para la valuación se utiliza una tasa de trabajo que actúa 
en un factor de capitalización. 
 
 
Situación nº 2: 
 
 La tasa de interés pactada originariamente en el financiamiento es igual a 
la tasa de negociación. i = i v 
 
 (1+ i) / (1+i v)  = 1 consecuentemente (1+ i) / (1+i v) = ( 1+a) para a = 0 
 105 
 
 En la valuación se anula la tasa de trabajo (a), ya que i = i v 
 
 
Situación nº 3: 
 
 La tasa de interés pactada originariamente en el financiamiento es menor 
a la tasa de negociación. i  i v 
 
 (1+ i) / (1+i v)   1 consecuentemente (1+ i) / (1+i v) = (1+a)
-1 
 
 Para la valuación se utiliza una tasa de trabajo que actúa en un factor de 
actualización 
 
Análisis de las tres situaciones 
 
 Teniendo en cuenta las tres situaciones posibles, se calculará el valor de la 
Nuda propiedad 
 
 Situación nº 1: i  i v Operación de capitalización a la tasa de 
trabajo 
 
 Si reemplazamos en cada expresión del cálculo de la nuda propiedad, al 
cociente por el factor de capitalización ( 1+a) se obtienen: 
 
 la Nuda propiedad al inicio de la operación. 
 
 n-1 
NP o = t 1 (1+i v)
- 1 
Σ (1+ a)
 p
 = t 1 (1+i v )
- 1 
s n ┐a 
 p=0 
 
 
 (1+ i) / (1+i v)   1 entonces, (1+ a)
 p
 actúa como factor de capitalización. 
 
 Al comienzo de la segundaunidad de tiempo: 
 
 n-2 
NP 1 = t 2 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 p
 = t 2 (1+i v )
- 1 
s n -1┐a 
 p=0 
 
 
 Con el objetivo de generalizar, se obtiene la siguiente expresión 
referida a la Nuda propiedad, al comienzo de la unidad de tiempo (r+1) 
 
 n-r+1 
NP r = t r+1 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 p
 = t r+1(1+i v)
- 1 
s n –r ┐a
 
 
 p=0 
 
 
Utilizando las relaciones financieras que correspondan se puede encontrar la Nuda 
propiedad al comienzo del período (r+1) mediante el cálculo del valor final de (n-r ) 
pagos iguales y vencidos valuados a la tasa de trabajo (a) siendo el importe de 
dichos pagos iguales a, [t r+1(1+i v)
-1
]. 
 
 106 
 La fórmula anterior permite simplificar la obtención del importe de la 
Nuda propiedad, para el caso donde la tasa de interés pactada originariamente es 
mayor a la tasa de negociación, mediante el cálculo del valor final de ( n-r) cuotas 
vencidas , valuadas a la tasa de trabajo, donde el importe de cada pago es el 
valor actual de la amortización del período correspondiente a la tasa de 
negociación. 
 
 
 Situación nº 2: i = i v : Valores constantes en el tiempo, la tasa de 
trabajo se anula 
 
 Si reemplazamos en cada expresión del cálculo de la nuda 
propiedad, al cociente por el factor ( 1+a) se obtienen: 
 
 n-1 
NP o = t 1 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 p
 = t1 (1+i v )
- 1 
. n 
 p=0 
 
Siendo i = i v , se anula la tasa de trabajo 
 
 Al comienzo de la segunda unidad de tiempo: 
 
 n-2 
NP 1 = t 2 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 p
 = t 2 (1+i v )
- 1 
. (n – 1) 
 p=0 
 
 Generalizando, al comienzo de la unidad de tiempo (r+1), resulta: 
 
 n-r+1 
NP r = t r+1 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 p
 = t r+1(1+i v)
- 1
 .(n- r) 
 p=0 
 
 En la expresión anterior se observa cómo se simplifica el cálculo de la 
Nuda propiedad, mediante la suma de (n-r) veces el valor actual de la amortización 
del período correspondiente a la tasa de negociaciónt r+1(1+i v)
- 1
]. 
 
 Situación nº 3: i  i v : Operación de actualización a la tasa de 
trabajo. 
 
 En esta situación, si reemplazamos en cada expresión del cálculo de la 
nuda propiedad, al cociente por el factor de actualización ( 1+a) se obtienen: 
 
 n-1 
NP o = t 1 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
- p
 = t 1 (1+i v )
- 1 
ä n┐a 
 p=0 
 
 (1+ i) / (1+i v)   1 entonces, (1+ a)
- p
 actúa como factor de actualización. 
 
 Al comienzo de la segunda unidad de tiempo: 
 
 n-2 
NP 1 = t 2 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 -p
 = t 2 (1+i v )
- 1
ä n-1┐a 
 p=0 
 
 Generalizando al comienzo de la unidad de tiempo (r+1), se obtiene 
 107 
 
 n-r+1 
NP r = t r+1 (1+i v )
- 1 
Σ (1+ a)
 -p
 = t r+1(1+i v)
- 1
 ä n-r ┐a 
 p=0 
 
 La fórmula anterior permite simplificar el cálculo de la Nuda propiedad 
para el caso donde la tasa de interés pactada originariamente es menor a la tasa 
de negociación, calculando el valor actual de (n-r) cuotas anticipadas, valuadas a 
la tasa de trabajo, donde el importe de cada pago es el valor actual, de la 
amortización del período correspondiente a la tasa de negociación. 
 
USUFRUCTO 
 
 Se determina el usufructo como la diferencia entre el saldo adeudado a 
ese momento, calculado a la tasa de negociación y la nuda propiedad 
correspondiente. 
 
 Determinando el usufructo al comienzo del período ( r+1) como: 
 
 U r = S r – NP r 
 
 Reemplazando en los saldos y las nudas propiedades según corresponda 
se obtiene el usufructo en las tres situaciones planteadas: 
 
Situación nº 1: Tasa de interés pactada originariamente en el financiamiento es 
mayor a la tasa de negociación, i  i v 
 
 Capitalizando a la tasa de trabajo y operando para el periodo (r+1) 
 
Ur = c a n-r ┐iv - tr+1(1+i v)
- 1 
s n –r ┐a 
 
Situación nº 2: Tasa de interés pactada originariamente en el financiamiento es 
igual a la tasa de negociación, i = i v 
 
 Valores constantes en el tiempo a la tasa de trabajo, operando para el 
periodo (r+1) 
 
Ur = c a n-r┐ iv - tr+1 (1+i v)
- 1 
(n –r) 
 
 
Situación nº 3: Tasa de interés pactada originariamente en el financiamiento es 
menor a la tasa de negociación, i  iv 
 
 Actualizando a la tasa de trabajo y operando para el periodo (r+1) 
 
Ur = c an-r┐ iv - tr+1(1+i v)
- 1
 än-r┐a 
 
 
 108 
Nuda propiedad y Usufructo en los sistemas de 
amortización de deudas de cuotas decrecientes y 
amortizaciones constantes e iguales, sistema Alemán 
 
NUDA PROPIEDAD 
 La nuda propiedad al inicio de la operación, al principio de la primera 
unidad de tiempo. 
 
NP o = t 1 (1 + i v )
- 1 
+ t 2 (1 + i v )
- 2 
+ t 3 (1 + i v )
- 3 
+. . . + t n (1 + i v )
- n 
 
 La característica de este financiamiento es que las amortizaciones son 
iguales en cada uno de los pagos realizados, entonces t 1 = t 2 = t 3 = … = t n 
 
NP o = t (1 + i v )
- 1 
+ t (1 + i v )
- 2 
+ t (1 + i v )
- 3 
+. . . + t (1 + i v )
- n 
 
 
 Operando matemáticamente y utilizando relaciones financieras se llega a: 
 
 n 
NP o = t
 
Σ (1+i v) 
- p 
 = t 1 - (1+ iv )
 - n 
 = t a n┐ iv 
 p=1 iv 
 
 Si nos ubicamos al principio de la segunda unidad de tiempo, cuando ya 
se abonó la primera cuota, la nuda propiedad será: 
 
NP 1 = t 2 (1 + i v )
- 1 
+ t 3 (1 + i v )
- 2 
+ t 4 (1 + i v )
- 3 
+. . . + t n (1 + i v )
- (n-1) 
 
 Las características del sistema de financiamiento analizado permiten 
expresar la NP1 como 
 
 n -1 
NP 1 = t
 
Σ (1+i v) 
- p 
 = t 1 - (1+ iv )
 – (n-1) 
 = t a n-1┐ iv 
 p=1 iv 
 
 A fin de explicitar la expresiónmatemática para el cálculo de la Nuda 
propiedad, se obtiene al comienzo del período (r+1). 
 
 n-r 
NP r = t
 
Σ (1+i v) 
- p 
 = t 1 - (1+ iv )
 – (n-r) 
 = t a n-r┐ iv 
 p=1 iv 
USUFRUCTO 
 Se determina el usufructo del sistema de amortización de cuotas 
decrecientes y amortizaciones iguales, como la diferencia entre el saldo adeudado 
a ese momento, calculado a la tasa de negociación y la nuda propiedad 
correspondiente. 
 
 Determinando el usufructo al comienzo del período (r+1) como: 
 
 U r = S r – NP r 
 
 Se reemplaza en los saldos y las nudas propiedades según corresponda 
se obtiene el usufructo: 
 109 
CORRECCIÓN MONETARIA 
 
 Análisis de operaciones financieras en un contexto 
inflacionario 
 
Mientras se mantiene la estabilidad en el nivel general de los precios, los 
importes de los saldos adeudados, de las cuotas y sus respectivos componentes 
tanto los intereses como las amortizaciones estarán expresados en moneda de 
igual poder adquisitivo que la moneda vigente al momento de concretarse la 
operación de financiamiento. 
 
Ante una inestabilidad en el nivel general de los precios, los importes 
adeudados y las cuotas a pagar para cancelar la deuda que oportunamente se 
calcularon a moneda del momento de concretarse el financiamiento, deberán 
ajustarse para equiparar el poder adquisitivo del dinero. 
 
La inestabilidad en el nivel general de los precios puede darse a raíz de: 
 
 Un aumento en el poder adquisitivo del dinero, se necesita menos dinero 
para adquirir lo mismo, proceso deflacionario. 
 
 Una disminución en el poder adquisitivo del dinero, se necesita más 
dinero para adquirir lo mismo, proceso inflacionario. 
 
Se analizara la situación de inestabilidad en el nivel general de los precios a 
consecuencia de la perdida del poder adquisitivo de la moneda, ajustando por 
inflación los sistemas de financiamiento. 
 
El coeficiente corrector por inflación surgirá de relacionar el precio de un bien 
en distinto momento de tal manera que refleje la perdida del poder adquisitivo de la 
moneda en el periodo analizado 
 
 P1 = P0 + C 
 
P0 = Precio a moneda del momento inicial (moneda constante) 
P1 = Precio a moneda del momento final (moneda corriente) 
C = Variación en el precio por cada P0 de moneda constante 
 
Se busca la variación por unidad de moneda constante: 
P1 / Po = P0 / Po + C / Po 
 
P1 / Po = 1 + C / Po 
 
C / Po = 
 
P1 / Po = 1+
 
  = Variación en el precio por cada unidad de moneda constante, se 
denomina tasa de inflación, 
La tasa de inflación, es el incremento de $ 1 constante (inicial) en una unidad de 
tiempo. 
 
 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 Tiempo 
 
 
Se observa que el comportamiento de la tasa de inflación es igual al de la tasa 
de interés, ambas registran cambios ocurridos en el capital inicial de $ 1 en una 
unidad de tiempo, solo que la consecuencia del cambio en la tasa de interés, es 
por usar capital ajeno, y en la tasa de inflación es por perdida del poder adquisitivo 
del dinero, por lo tanto cuando se necesite expresar alguna tasa de inflación en 
otra unidad de tiempo, se trabajará con equivalencias al igual que se hace en tasa 
de interés. 
 
Se despeja P1 , en la expresión P1 / Po = 1+ 
 
P1 = Po (1+ 
 
Se encuentra la expresión para ajustar valores monetarios constantes a 
monede corriente 
 
Para expresar valores monetarios corrientes a moneda constante la expresión 
será: 
 
P0 = P1 / (1+

(1+Representa el coeficiente corrector por inflación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 n 
 
 
En un contexto económico se relacionan Números Índices para reflejar la 
perdida del poder adquisitivo de la moneda en un periodo analizado y lugar 
1 
1 +  
 
Po 
P1 = Po (1 + 
n 
 C 
 111 
determinado, con lo que se encuentran las tasas de inflación correspondientes a 
los distintos periodos buscados, de tal manera surgen por ejemplo las tasas de 
inflación de enero, de febrero y de marzo de un determinado año, para corregir por 
la inflación del primer trimestre de ese año los valores monetarios, se realiza el 
producto entre el valor a ajustar y los siguientes coeficientes correctores 
(1+e(1+ f(1+ m donde e, f y  m corresponden a la inflación de 
enero, a la inflación de febrero y a la inflación de marzo respectivamente. 
 
 
Todos los desarrollos financieros realizados anteriormente, no contemplan la 
perdida del poder adquisitivo del dinero. Pasamos ahora ha observar la operación 
financiera en un contexto inflacionario, donde se deben ajustar los importes a 
moneda de igual poder adquisitivo. 
 
Según vimos, el valor del capital inicial F( 0 al cabo de n unidades de tiempo de 
la tasa de valuación i, se transforma en un capital final F( n) , donde la diferencia 
entre estos capitales finales y capitales iniciales da cómo resultado el interés de la 
operación financiera: 

 F( n ) = F( 0 ) ( 1 + i ) 
n 
 y F( n ) – F( 0 ) = I 
 
Este interés de la operación, en un contexto inflacionario, donde se registra una 
perdida en el poder adquisitivo del dinero, no es igual al rendimiento económico 
que surge de esa operación financiera. Llamamos rendimiento económico de la 
operación financiera a la diferencia entre capital final y capital inicial, donde ambos 
capitales están expresados en moneda de igual poder adquisitivo, al rendimiento 
económico lo simbolizamos con “R”. 
 
R ≠ I R  I 
 
 Para encontrar el rendimiento económico de la operación financiera, tenemos 
dos opciones o ajustamos el capital final a moneda de igual poder adquisitivo que 
la del capital inicial, o ajustamos el capital inicial a moneda de igual poder 
adquisitivo que la del capital final, o sea que por un lado: 
 
Se ajusta el capital final de moneda corriente a valores expresados en moneda 
constante, mediante el siguiente ajuste: 
 
F
A
( n ) = F ( n ) (1+ 
- n
 
 
Donde el rendimiento será: F
A
( n ) – F( 0 ) = R 
 
Tanto el capital final como el capital inicial están expresados en moneda 
constante. 
 
O por otro lado, se ajusta el capital inicial de moneda constante a valores 
expresados en moneda corriente, mediante el siguiente ajuste: 
F
A
 ( 0 ) = F ( 0 ) (1+ 
 n
 
 
F ( n ) – F
A
 ( 0 ) = R 
 
 112 
Tanto el capital final como el capital inicial están expresados en moneda 
corriente. 
 
Para explicar los valores que puede asumir el rendimiento económico de la 
operación financiera, según sea la relación entre la tasa de interés y la tasa de 
inflación, se puede trabajar ajustando por inflación cualquiera de las capitales, el 
inicial o el final, aquí se trabaja con valores ajustados a moneda constante, es 
decir se ajunta el valor del capital final. 
 
 F
A
( n ) = F ( n ) (1+ 
- n
 
 
F
A
( n ) – F( 0 ) = R 
 
Se reeplaza F
A
( n ) por su igual F ( n ) (1+ 
- n
 
 
 
F ( n ) (1+ 
- n 
– F( 0 ) = R 
 
Se reeplaza F( n ) por su igual F( 0 ) ( 1 + i ) 
n 
 
Se aclara que, la unidad de tiempo de la tasa de interés es la misma que la de 
la tasa de inflación, (si no lo fueran, se logra por medio de operaciones 
equivalente) 
 
F( 0 ) ( 1 + i ) 
n 
 (1+ 
- n 
– F( 0 ) = R 
 
Si a ( 1 + i) 
n 
 (1+ 
- n
 lo simbolizamos por ( 1 + r ) 
n 
 
 
Se obtiene el rendimiento económico de una operación financiera, se observa 
que en la expresión se utiliza una tasa de rendimiento, simbolizada por “r”, que 
surge de la relación entre la tasa de interés y la tasa de inflación y cuya unidad de 
tiempo es igual a la unidad de tiempo de ambas tasas mencionadas. 
 
F( 0 ) ( 1 + r )
 n
 
 
– F( 0 ) = R 
 
 
 
 
 F ( n ) 
 
 F
A
( n)   i 
 
 
 F
A
( n)  = i 
 
 F
A
( n)  > i 
 
 
 1 2 . . . n 
 
F( 0 ) 
 113 
Siempre que analicemos la operación financiera en un contexto inflacionario el 
rendimiento económico será inferior al interés ganado por la operación financiera 

 > 0 entonces I > R 
 
Se expreso para n unidades de tiempo a ( 1 + i )
 n
 / (1+
- n 
 como ( 1 + r ) n. 
 
Para n = 1 
 
( 1 + i )
 
 / (1+
 
= 1 + r , donde se despeja r 
 
 
 r = ( 1 + i ) / (1+ – 1 
 
Se define a r como la tasa de rendimiento de la operación financiera, 
rendimiento económico de $ 1 inicial en una unidad de tiempo 
 
  i entonces r > 0 y r  i 
 
 = i entonces r = 0 y r  i 
 
 > i entonces r  0 y r  i 
 
 
Para corregir por perdida del poder adquisitivo los importes de un sistema de 
financiamiento, estos valores monetarios deben ser ajustados a moneda del 
momento donde se encuentran ubicados, así se los deberá multiplicar por el 
coeficiente corrector utilizando según sea la tasa de inflación correspondiente en 
cada uno de los periodos a ajustar. 
 
Los importes de los saldos, las cuotas y sus componentes, luego de 
transcurrido alguna unidad de tiempo, deben corregirse por inflación, por la 
cantidad de unidades de tiempo trascurrida desde el inicio de la operación 
financiera, hasta el momento donde se encuentre ubicado el importe a ajustar por 
inflación. 
 
Para una tasa de inflación de igual unidad de tiempo a la tasa de valuación se 
tienen, los importes ajustados por una, dos, y “r” unidades de tiempo: 
 
El saldo al final de la 1era unidad de tiempo: 
A
 S´ 1 = S´ 1 . (1+
 
El saldo al comienzo de la 2da unidad de tiempo: 
A
 S 1 = S 1 . (1+
 
El importe de la 1era cuota y sus componentes 
A
 C 1 = C 1 . (1+
A
 I 1 = I 1 . (1+
A
 t 1 = t 1 . (1+
 
El saldo al final de la 2da unidad de tiempo: 
A
 S´ 2 = S´ 2 . (1+

 114 
El saldo al comienzo de la 3er unidad de tiempo: 
A
 S 2 = S 2 . (1+

 
El importe de la 2da cuota y sus componentes 
A
 C 2 = C 2 . (1+

A
 I 2 = I 2 . (1+

A
 t 2 = t 2 . (1+


El saldo al final de la unidad de tiempo “r”: 
 
A
 S´ r = S´ r . (1+
r

 
El saldo al comienzo de la unidad de tiempo “r + 1” : 
 
A
 S r = S r . (1+
 r

 
El importe de la cuota “r” y sus componentes 
 
A
 C r = C r . (1+
 r

A
 I r = I r . (1+
 r

A
 t r = t r . (1+
 r

 
 
De esta manera quedan los importes ajustados a monada del poder adquisitivo 
del momento donde dichos importes se encuentran ubicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 115 
METODOS DE CÁLCULO QUE DISTORCIONAN 
EL VALOR DE LA TASA ENUNCIADA 
 
 En todo sistema de amortización de deuda, como se explico anteriormente 
debe respetarse lo siguiente: 
 
 Cada una de las cuotas están compuestas por intereses del periodo y la 
amortización correspondiente. 
 
 El importe de los intereses abonados en cada uno de los períodos debe 
calcularse sobre el importe del saldo adeudado al comienzo de la unidad de tiempo 
correspondiente. 
 
 el importe adeudado o saldo de la deuda es el valor actual de las cuotas 
que faltan pagar y no han vencido. 
 
 el importe adeudado o saldo de la deuda es igual a la suma de las 
amortizaciones correspondientes a las cuotas que faltan pagar y no han vencido. 
 
 Estas son las características de todos los sistemas de amortización, 
cualquiera sea la particularidad del mismo, no obstante a ello, algunas entidades 
al financiar deudas no las aplican, y proceden de manera equivocada cuando 
calculan el importe de la o las cuotas a pagar, mediante lo cual, la tasa de interés 
es diferente a la tasa mencionada, la tasa enunciada en esos tipos de 
financiamiento resulta siempre menor a la tasa de interés realmente aplicada. 
 
 En este material, se demuestra la distorsión en la tasa enunciada en dos 
casos particulares, sin dejar de tener presente que pueden presentarse otros 
financiamientos, donde la entidad que los otorga, no aplique correctamente los 
procedimientos financieros, con lo cual, la tasa de interés aplicada, es diferente a 
la mencionada y utilizada en el calculo de la cuota según el método, como por 
ejemplo: 
Prestamos con cuotas calculadas con una tasa anual proporcional. 
Prestamos con cuotas calculadas anuales y cobradas en fracciones del año. 
Prestamos con cuotas calculadas vencidas y cobradas anticipadas. 
 
 Para tener la certeza que la tasa que se enuncia en la financiación de la 
deuda es la tasa de interés correcta, solo se debe verificar si las características 
mencionadas al comienzo se dan en ese financiamiento. De no ser así, se debe 
calcular la verdadera tasa de interés cobrada en la financiación, a partir del importe 
a las cuotas a pagar calculadas según el método utilizado, el número de pagos que 
amortizan el financiamiento y el importe financiado. 
 
Sistema de amortización MEDIANTE EL INTERÉS CARGADO o DIRECTO 
 
 Las entidades que aplican este procedimiento, calculan el importe de cada una 
de las cuotas mediante la siguiente expresión: 
 
C = (S0 / n ) + S0 . i e 
 
 116 
 El importe de cada una de las cuotas calculadas según este método (todas 
iguales) es el cociente entre el importe financiado y el numero de cuotas que 
amortiza la deuda, más el importe de los intereses, calculado con el producto entre 
el importe total adeudado y la tasa de interés enunciada. 
 
 Se observa que, el cociente S0 / n representa el importe de las 
amortizaciones, si fueran estas todas iguales, por un lado y por otro, el producto 
S0 . i e , representa el importe de los intereses correspondiente al primer periodo o 
el importe de los intereses de cada unidad de tiempo, si se amortizara al 
vencimiento, entonces, mediante la suma de estos dos importes, para determinar 
el valor de cada cuota, se esta procediendo equivocadamente, el importe es 
erróneo, un importe equivocado. El calculo hubiera sido correcto, si el 
financiamiento se amortizara con una única cuota, o si este calculo correspondiera 
al importe de la 1era cuota (no de cada una de ellas) y los importes de las 
restantes cuotas fueran decrecientes, en estos casos, la tasa enunciada sí sería la 
tasa aplicada, pero NO lo es, debido a que, este calculo se realiza para las n 
cuotas que amortizan la deuda. 
 
 La distorsión en este método, es a consecuencia de que en cada una de las 
cuotas calculadas de esta manera, se abonan intereses por el total de la duda y 
no se pagan intereses sobre el saldo adeudado, el deudor al realizar el pago 
periódico de las cuotas va amortizando parte de su deuda, debe pagar intereses 
por el importe ya cancelado o amortizado. 
 
 Al tener este tipo de financiamiento la característica de cuotas iguales, (como 
el sistema Francés) en la composición de las cuotas, como se demostró, los 
importes de las amortizacionesson crecientes y el importe de los intereses es 
decrecientes, por lo que para que este sea un correcto sistema de financiamiento, 
se debe calcular cual es la tasa de interés aplicada al mismo, mediante la 
expresión conocida 
 
S 0 = C . an┐i 
 
donde se calcula el valor de la tasa de interés i, que no coincide con la tasa 
enunciada i e siendo mayor la verdaderamente aplicada que la enunciada. 
 
 Esta tasa de interés encontrada, es la tasa aplicada al financiamiento con la 
cual se verifican las características de todo sistema de amortización, con el 
importe de la cuota calculada según el método del interés cargado o interés 
directo, el numero de pagos y el importe financiado o deuda al inicio. 
 
 
Sistema de amortización MEDIANTE EL INTERÉS DESCONTADO o 
ANTICIPADO 
 
 Algunas entidades para otorgar préstamos aplican este procedimiento, dicen 
cobrar los intereses por anticipados, y que las cuotas solo contienen amortización. 
(algo que sabemos no es correcto) 
 
 Calculan el importe de cada una de las cuotas periódicas mediante la siguiente 
expresión: 
 
 117 
C = Préstamo / n 
 
 El importe de cada una de las cuotas calculadas según este método (todas 
iguales) es el cociente entre el importe mencionado como préstamo (importe 
supuestamente financiado) y el numero de cuotas que amortiza la deuda. 
 
 El valor de los intereses descontados al inicio, se calculan mediante el 
producto entre el importe mencionado como préstamo, el número de pagos que 
amortizan el préstamo y la tasa enunciada en este método de cálculo. 
 
Intereses cobrados por adelantado = Prestamo . i e . n 
 
 Al descontar los intereses por adelantado, el importe que se recibe no es el 
valor del préstamo solicitado, es menor al valor del préstamo mencionado. 
 
 El importe que se obtiene como préstamo, es igual a la diferencia entre el 
valor del préstamo mencionado y los intereses cobrados por adelantado y 
calculados con la tasa mencionada, esta diferencia representa el importe que 
realmente se obtiene como crédito, el importe a amortizar, es el importe por el 
cual se abonan los intereses periódicos. 
 
S0 = Prestamo - Prestamo . i e . n 
 
 Se observa que se cobran intereses anticipadamente sobre un valor nunca 
prestado. Se recuerda que para que el sistema sea correcto, los intereses se 
calculan con respecto al saldo adeudado al comienzo del período donde ese 
interés se abona. La distorsión en este método de calculo es máxima, no se 
calculan los intereses sobre saldo adeudado, nunca deberían cobrarse intereses 
anticipadamente. 
 
 Al tener este tipo de financiamiento la característica de cuotas iguales, cada 
una de las cuotas esta compuesta por el importe amortizado y el importe de los 
intereses del periodo correspondiente, amortizaciones crecientes e internes 
decrecientes, además el valor actual de las cuotas es igual el importe financiado, 
por lo que para que este sea un correcto sistema de financiamiento, se debe 
calcular cual es la tasa de interés aplicada al mismo, con el importe de la cuota 
calculada según este método, el importe financiado y el numero de cuotas, 
mediante la expresión conocida 
S 0 = C . an┐i 
 
donde se calcula el valor de la tasa de interés i, que es diferente a la tasa 
enunciada i e siendo mayor la verdaderamente aplicada que la mencionada en 
este método de calculo. 
 
 Esta tasa de interés encontrada, es la tasa aplicada al financiamiento con la 
cual se verifican las características de todo sistema de amortización, con el 
importe de la cuota calculada según el método del interés descontado o interés 
anticipado, el numero de pagos y el importe financiado o deuda al inicio, o sea el 
valor que realmente se obtiene como préstamo. 
 
 
 118 
PROYECTO DE INVERSIÓN 
 
De manera permanente los gerentes de las empresas deben responder a la 
pregunta: ¿Qué activos debemos incorporar? Por lo tanto tienen que adoptar 
decisiones para adquirir bienes y servicios y esto impone erogaciones. Este punto 
de vista corresponde a una perspectiva desde la aplicación de los fondos. 
 
 El concepto de inversión 
 
Podríamos definir a la inversión: "invertir consiste en utilizar bienes para 
adquirir un conjunto de activos, reales o financieros, aptos para proporcionar 
rentas y/o servicios durante un cierto periodo de tiempo". 
 
Proyecto de inversión 
 
Entre las numerosas decisiones a tomar a menudo por la administración 
financiera de la empresa, ocupan un importante lugar las de aceptar o rechazar 
proyectos de inversiones reales y las de determinar el orden de preferencia de los 
distintos proyectos aceptables. Al tomar tales decisiones, la dirección de la 
empresa debe tener en cuenta distintos aspectos cualitativos y cuantitativos en 
cada proyecto. Se han propuesto y se han aplicado numerosos criterios para medir 
los principales aspectos cuantitativos a considerar. Se verán los criterios que 
consideran el valor del capital en el tiempo. 
 
Por lo contrario, aquellos criterios que no toman en cuenta el valor del capital en 
el tiempo, miden deficientemente tanto la rentabilidad de los proyectos, como otros 
parámetros que se consideran importantes en la selección de las inversiones. 
 
 
 Proyectos de Inversión: concepto 
 
En el ámbito financiero, un proyecto, es una posibilidad de financiación, o una 
posibilidad de inversión, o una combinación de ambas. 
 
La financiación consiste en la obtención de fondos de una o varias fuentes, 
mientras que la inversión es la aplicación de estos fondos para adquirir un conjunto 
de activos, sean éstos reales o financieros, aptos para producir rentas y/o servicios 
durante un cierto periodo de tiempo. 
 
Por lo general, la literatura no se refiere a la posibilidad de financiación como si 
fuera una parte del proyecto, y la trata de una manera completamente separada de 
la inversión. 
 
Nosotros coincidimos con quienes consideran que la inversión y la financiación 
son dos aspectos que no se pueden separar. 
 
Proyectos de inversión: elementos 
 
Un proyecto de inversión está integrado por un desembolso inicial, denominado: 
tamaño de inversión, capital invertido o inversión inicial, una tasa de costo de 
capital y una corriente posterior de nuevos ingresos y egresos de dinero cuya 
diferencia se llama, generalmente flujos de caja netos, o simplemente flujos netos, 
 119 
que se producen durante un periodo que se suele llamar horizonte económico de 
la inversión o duración de la inversión. 
 
En consecuencia los elementos que definen un proyecto de inversión, son los 
siguientes: 
 
 Capital invertido o inversión inicial, simbolizado por: ao o - ao representa el 
desembolso inicial necesario para llevar a cavo el proyecto, podrá ser capital 
propio o ajeno, así por ejemplo: -ao es de $100.000, o ao = -$100.000. 
 
 Tasa de costo del capital invertido, simbolizada por: k. 
Esta tasa representa el costo de cada peso invertido en una unidad de tiempo 
determinada, esta unidad de tiempo deberá corresponder al tiempo o periodo al 
final del cual se miden los flujos de caja, por ejemplo, 0,10 anual, si los flujos 
fueran anuales. 
 
 El horizonte económico del proyecto, simbolizado por: n representa el 
número de periodos en los cuales se generan ingresos y/o costos, por ejemplo: 5 
años 
 
 Ingresos o entradas de dinero que producirá la inversión durante cada 
periodo de tiempo, computados o medidos al final de cada uno de ellos, 
simbolizados por: b1 b2 b3 y en general bt, correspondientes al 1ero, 2do, 3ero y 
t-esimo periodo respectivamente. 
 
 Egresos o salidas de dinero que generara la inversión durante cada 
periodo de tiempo, estos gastos no son cubiertos o atendidos por la inversión 
inicial, son computados o medidos al final de cada uno de los periodos de tiempo, 
simbolizados por: c1 c2 c3y en general ct , correspondientes al 1ero, 2do, 3ero y 
t-esimo periodo respectivamente. No se computan como egresos la amortización 
del capital invertido ni su costo financiero. 
 
 Flujos de caja netos o cash-flow de cada periodo de tiempo es el importe 
que surge de la diferencia entre los ingresos y los egresos de cada periodo, 
simbolizados por: a1 a2 a3 y en general at, correspondientes al 1ero, 2do, 3ero y 
t-esimo periodo respectivamente. 
 
 
En el siguiente gráfico se observan los elementos mencionados anteriormente 
y su ubicación en el tiempo. 
 
 0 1 2 . . . n-2 n-1 n 
 / / / / / / 
 -ao a1 a2 a n-2 a n-1 a n 
 
 b1 b2 b n-2 b n-1 b n 
 c1 c2 c n-2 c n-1 c n 
 
 
 
 
 120 
Debemos aclarar que con cada uno de los egresos de dinero (ct), no se 
recupera la inversión, ni se paga el costo de su financiamiento, sino que estos 
egresos de dinero o costos son los que surgen de la puesta en marcha del 
proyecto. Por ejemplo el pago de los servicios, luz , gas ,teléfono. o reposición de 
mercaderías. 
 
Son precisamente los flujos de caja netos con los que se deberán cubrir la 
inversión inicial, pagar el costo de su financiamiento y producir alguna posible 
ganancia, por lo que, estos flujos de caja netos, at (t=1,2,...,n), están constituidos 
por tres componentes: 
 
1.- la recuperación de la inversión, 
2.- su costo de financiación y 
3.- la eventual utilidad que producirá el proyecto en cuestión. 
 
Tasa de costo de capital 
 
Las fuentes para financiar los Activos, son genéricamente dos, la externa 
(recursos ajenos) y la interna (recursos propios); la tasa de costo de capital, en 
proyectos de inversión, es la tasa que surge de relacionar con las funciones de 
equivalencias financieras, las tasas de ambas fuentes de financiación. 
 
Cuando el capital proviene de fuentes externas, su costo unitario será la tasa 
equivalente, que surja de relacionar las distintas tasas de interés aplicadas a las 
diferentes operaciones realizadas con terceros. 
 
Cuando el capital proviene de fuentes internas debemos tener presente que su 
costo es mayor al costo de los fondos ajenos, debido al riesgo empresario, la 
demora de la recuperación del capital invertido y la falta de garantías de terceros: 
 
Si denominamos “i” a la tasa de interés, definida como el costo unitario del 
capital ajeno por unidad de tiempo y “o” a la tasa de costo de oportunidad, definida 
como el costo unitario del capital propio por unidad de tiempo. 
La tasa de costo de capital invertido simbolizada por “k” definida como el costo 
unitario de cada peso invertido por unidad de tiempo, será equivalente a las tasas 
anteriores, equivalencia que surge de relacionar la tasa de interés y la tasa de 
costo de oportunidad y su unidad de tiempo será la que surja de la suma de las 
unidades de tiempo de las tasa utilizadas. 
 
( 1+ i ) ( 1+ o) – 1 = k 
 
Si esta tasa de costo de capital tuviera una unidad de tiempo que no 
corresponde a la de los flujos de fondos netos, a través de las operaciones de 
equivalencias financieras entre tasa de interés, se encuentra la tasa de costo 
correspondiente al periodo de tiempo deseado 
 
 
 
 
 
 
 
 121 
Rentabilidad de un proyecto de inversión 
 
Sólo se puede determinar con exactitud el rendimiento de una inversión una vez 
que ha transcurrido el tiempo y se conocen los distintos ingresos y salidas de 
dinero producidas por la inversión inicial. 
Se llama rentabilidad de un proyecto de inversión a un valor probable, que se 
estima antes de realizar la inversión. Por ello, cuando se habla de la rentabilidad 
de una inversión, en realidad debe entenderse que se refiere a la rentabilidad 
esperada de un proyecto de inversión 
La rentabilidad de un proyecto de inversión indica las ventajas, que se estima, 
resultarán de la inversión; la rentabilidad señala los beneficios, que se espera, 
obtendrá tanto la empresa que efectuara la inversión, como la economía en 
general. A la primera se la denomina rentabilidad financiera de un proyecto de 
inversión y a la segunda rentabilidad económica del proyecto de inversión. 
 
Rentabilidad Financiera de un proyecto de inversión 
 
La rentabilidad financiera de un proyecto de inversión, es un problema 
microeconómico y algunas veces parece estar un tanto divorciada con el interés 
general de la colectividad; una inversión, que es conveniente desde el punto de 
vista social, suele resultar, a menudo, no rentable financieramente para el inversor. 
La rentabilidad financiera, de un proyecto de inversión, se obtiene después de 
cubrir con los flujos netos la inversión inicial y su costo financiero. Es precisamente 
la rentabilidad financiera del proyecto, lo que se analiza a través de los criterios de 
selección para determinar la aceptación o no del proyecto de inversión de las 
empresas. 
 
Rentabilidad Económica de un proyecto de inversión 
 
La rentabilidad económica, es esencialmente un problema macroeconómico y 
trata de medir los beneficios que la inversión proyectada proporcionara a la 
colectividad. Estos beneficios pueden ser de muy variada naturaleza (disminución 
de la desocupación, aumento del Producto Bruto Interno, aumento de reservas 
monetarias, y otros.). 
La rentabilidad económica de un proyecto de inversión se mide, generalmente, 
mediante el aporte que se estima realizara la inversión al Producto Bruto Interno. 
 
Debemos señalar que no hay que confundir la rentabilidad económica y 
financiera de un proyecto de inversión con la rentabilidad económica y financiera 
de la empresa. 
 
Criterios de selección de proyectos de inversión 
 
Los procedimientos, o criterios, que se suelen utilizar para medir los aspectos 
cuantitativos, en la selección de proyectos de inversiones en las empresas, son 
numerosos y se diferencian según consideren o no el valor del capital en el tiempo. 
Al considerar el valor del capital en el tiempo, se considera el costo de dicho 
capital o interés del financiamiento del mismo, cuando se trabaja con esta 
modalidad se trabaja con los importes de los flujos de caja actualizados, es decir, 
valores ubicados en el presente, al inicio de la operación. De esta manera, a 
dichos flujos de caja se le descuentan los intereses, pagando el financiamiento del 
capital invertido, son valores actuales, de allí que se denominan flujos de caja 
 122 
netos. Por lo contrario cuando el método utilizado no tiene en cuenta el valor del 
capital en el tiempo, se analizan y evalúan importes o valores sin considerar el 
costo del capital invertido. 
 
Criterios que no consideran el valor capital en el tiempo 
 
Al no tener en cuenta el valor capital en el tiempo, esta modalidad de trabajo 
no incluye el costo del capital invertido, lo que puede inducir a tomar decisiones 
equivocadas, aceptando proyectos no viables y obtenerse, entre los proyectos 
aceptables, un orden de selección que induzca a cometer errores en la aceptación 
y determinación del orden de preferencia de los mismos. 
 
En estos criterios no se aplica un principio financiero básico que establece que 
solo son comparables valores que estén ubicados en el mismo momento en el 
tiempo; son métodos que podríamos llamar de primera aproximación. 
 
Criterios que tienen en cuenta el valor del capital en el tiempo 
 
Los criterios que se ajustan al principio financiero son tres: 
 
 Criterio de periodo de reintegro con valores actuales. 
 Criteriode valor capital de la inversión. 
 Criterio de la tasa interna de retorno. 
 
Estos tres criterios, al considerar el valor del capital en el tiempo, evalúan y 
comparan los importes de los flujos de caja en el mismo momento, es costumbre 
realizar el análisis de dichos flujos al inicio o momento inicial, utilizando para 
actualizar el valor de cada flujo de caja, la tasa de costo del capital invertido y 
transportándolo tantos periodos como corresponda, según donde se encuentre 
ubicado el importes del flujo respecto al momento inicial. 
 
Pasaremos a ver como con cada uno de estos tres criterios de selección y 
aceptación de proyectos de inversión se logra el objetivo fijado, actualizando los 
flujos de caja al inicio de la operación. 
 
 
Criterio del valor capital (VC) 
 
El valor capital, representa el aporte que la inversión inicial realizaría al capital 
de la empresa, es un valor o importe actual, generado por la inversión, está dado 
por el valor actualizado de los flujos de caja, incluida la inversión inicial, utilizando 
para dicha actualización la tasa de costo de capital. Este valor actualizado de 
todos los flujos se suele llamar también valor actual neto de la inversión (VAN). 
 
Cuando el valor capital (VC) o valor actual neto de la inversión (VAN) de un 
proyecto de inversión es igual a cero, no hay contribución alguna de la inversión al 
capital de la empresa, simplemente se recupera el capital invertido y se cubre el 
costo de su financiamiento. Si el Valor Capital o Valor Actual Neto es mayor a 
cero, el V.C. o V.A.N. asumen importes positivos, esta situación aumenta el valor 
del capital de la empresa en esa misma magnitud; a la inversa, si el Valor Capital 
o Valor Actual Neto es menor a cero, el V.C. o V.A.N. asume importes negativos, el 
 123 
valor del capital de la empresa disminuye. Según este criterio un proyecto de 
inversión debe aceptarse cuando su Valor Capital es positivo. 
 
De acuerdo sea el valor de la tasa de costo del capital invertido utilizada para la 
actualización de los flujos, será el importe del Valor Capital del proyecto, es la 
magnitud de la tasa de costo la que permite determinar si un proyecto es o no 
aceptable, ya que el VC crece cuando la tasa de actualización, tasa de costo del 
capital, disminuye y el importe del V.C. se reduce cuando dicha tasa aumenta. En 
otras palabras el calculo del Valor Capital dependerá del importe de la tasa de 
costo, tendremos tantos V.C. en cada proyecto de inversión como tasas de costo 
utilicemos para el calculo. 
 
El Valor Capital de un proyecto de inversión se podrá calcular mediante la 
siguiente expresión: 
 n 
 VC = a0 +  a p . (1+k) 
- p
 
 p=1 
 
 n 
 VC =  a p (1+k) 
- p
 
 p=0 
 
 
Donde: 
a0 es la inversión inicial o desembolso inicial, proveniente de fuente propia o 
ajena. 
k representa la tasa de costo de capital utilizada, cuya unidad de tiempo 
coincide con la de los flujos de caja, así si los flujos fueran anuales, semestrales o 
mensuales por ejemplo, la tasa de costo utilizada deberá ser anual, semestral o 
mensual según corresponda. 
a p representan los flujos de caja de cada periodo, a1 ,a2 , … , an , los que 
surgen de la diferencia entre los ingresos y los egresos según hemos visto. 
n es el número de periodos en los que se espera la inversión genere ingresos y 
egresos, denominado horizonte económico. 
Las criticas a este método son por un lado, la dificultad para determinar la tasa 
de costo de capital del capital, teniendo en cuento las distintas fuentes de 
financiación a que pueden recurrir una empresa, problema que se soluciona 
manejando correctamente la tasa de interés y sus equivalencias y por otro lado, es 
que el Valor Capital, en la forma en que esta concebido, depende de la dimensión 
de la inversión inicial de cada proyecto, no será el mismo Valor Capital aportado 
por un proyecto cuya inversión inicial sea de $10.000, por ejemplo, que el Valor 
Capital aportado por otro proyecto en las mismas condiciones relativas, pero con 
una inversión inicial de $1.000.000; el ultimo tendrá lógicamente, un VC mayor 
que el anterior, en consecuencia habría que considerar el VC por unidad de capital 
invertido para solucionar el problema. 
 
Se plantea el siguiente ejemplo 
 
Inversión Inicial: ao = – $30.000, o – ao = $30.000. 
 124 
Tasa de costo del capital invertido: k = 0,10 anual 
Horizonte económico del proyecto: n = 3 
Flujos de Fondo anuales: 
a1 = $ 15.000 
a2 = $ 10.000 
a3 = $ 20.000 
 
VC = 30.000+15.000 (1+0,10) 
– 1
 + 10.000 (1+0,10) 
– 2
 + 20.000 (1+0,10) 
– 3
 
 
 VC = $ 6.927,11 
 
Se encuentra un importe del VC positivo, 6.927,11 > 0 , por lo que el proyecto de 
inversión es aceptable 
 
Criterio del periodo de reintegro con valores actuales (PR) 
 
Cuando se utiliza este criterio se seleccionan aquellas inversiones donde se 
logre recuperar la inversión inicial y pagar el costo del financiamiento de la misma, 
antes de concluido el horizonte económico del proyecto. 
 
Se llama periodo de reintegro actualizado o plazo de recuperación actualizado, 
al tiempo necesario para cubrir con los flujos de caja actualizados, el importe de la 
inversión inicial y pagar su costo de financiamiento. 
 
Se trata de un criterio que da importancia al aspecto de liquidez de la empresa, 
ya que con él se seleccionan las inversiones que tienen más rápida recuperación. 
 
Para cubrir el capital invertido y su costo de financiación se deben actualizar los 
flujos de caja utilizando la tasa de costo de capital. Según sea el importe de la tasa 
de costo del capital utilizada para la actualización de los flujos, será el valor del 
periodo de recupero encontrado, es el importe de la tasa de costo la que permite 
determinar si un proyecto será o no aceptable a través de este criterio, ya que el 
valor del periodo de recupero se incrementa cuando la tasa de costo utilizada 
aumenta y el importe del mismo se reduce cuando dicha tasa disminuye. Al igual 
que el criterio del Valor Capital, el calculo del periodo de recupero dependerá del 
importe de la tasa de costo, tendremos tantos periodos de recupero en cada uno 
de los proyectos de inversión como tasas de costo utilicemos para el calculo. 
 
Para determinar el periodo de recupero actualizado realizamos el calculo de los 
flujos de caja actualizados y acumulados hasta superar la inversión inicial 
 
 r+1 
  a p . (1+k) 
- t
 > - a0 
 p=1 
 
- a0 es el valor de la inversión inicial representada con un importe positivo 
k representa la tasa de costo de capital utilizada con su respectiva unidad de 
tiempo según corresponda. 
a p representan los flujos de caja de cada periodo 
r+1 corresponde al periodo donde con los flujos de caja se logra recuperar la 
inversión inicial y pagar el costo del financiamiento 
Encontrado dicho importe de los flujos de caja actualizados y acumulados, 
denota que en el periodo anterior, el periodo r, se presenta la siguiente relación: 
 125 
 r 
  a p . (1+k) 
- p
 < - a0 
 p=1 
 
El periodo de recupero actualizado estará dado por un número entero de 
periodos (r) que corresponda al periodo anterior a aquel en el que la sumatoria de 
los flujos actualizados supero a la inversión inicial más una fracción (f): 
 
 Pr = r + f 
 
Si denotamos con a' r los flujos actualizadosy acumulados hasta el periodo r 
 r 
 a'r =  ap . (1+k) 
- p
 < - a0 
 p=1 
 
 y es r+1 el periodo en el cual los flujos actualizados y acumulados superan a la 
inversión inicial, la fracción f estará dada por: 
 
 - a0 - a' r 
 f = ------------------------ 
 a r+1. (1+k) 
-(r+1)
 
 
Si reemplazamos: 
 
 - a0 - a' r 
 Pr = r + ------------------------ 
 a r+1. (1+k) 
-(r+1)
 
 
Cuando el período de reintegro es igual al horizonte económico o duración del 
proyecto, solo se recupera el capital invertido y se cubre el costo de su 
financiamiento. Si el periodo de recupero es menor al horizonte económico (n), el 
proyecto es aceptado, ante el caso que con los flujos de caja no lograra recuperar 
le inversión inicial y pagar su financiamiento, no aceptamos la realización del 
proyecto. Según este criterio un proyecto de inversión debe aceptarse cuando el 
periodo de recupero es menor a n. 
 
La principal crítica que se puede hacer a este criterio, es que no se considera la 
rentabilidad del proyecto, por lo tanto la rentabilidad debe ser analizada por otra 
vía. 
 
Aplicamos el criterio del período de recupero actualizado, en el mismo ejemplo 
anterior, para determinar la aceptación o no del proyecto de inversión. 
 
Inversión Inicial: ao = – $30.000, o – ao = $30.000. 
Tasa de costo del capital invertido: k = 0,10 anual 
Horizonte económico del proyecto: n = 3 
Flujos de Fondo anuales: 
a1 = $ 15.000 
a2 = $ 10.000 
a3 = $ 20.000 
 
 
 
 126 
 r +1 
  atp . (1+k) 
- p
 > 30.000 
 p=1 
 
 
15.000 (1+0,10)
– 1
+10.000 (1+0,10)
– 2
+20.000 (1+0,10)
– 3 
= 36.927,11 > 30.000 
 
Entonces el período anterior donde los flujos netos de cajas actualizados 
igualan o superan a la inversión inicial, es, en este caso el 2do año, r = 2 
 r 
 a'r =  a p . (1+k) 
- p
 < - a0 
 p=1 
 
 a'2 =15.000 (1+0,10)
– 1
 +10.000 (1+0,10)
– 2 
= 21.900,82 
Se reemplazan los importes encontrados en: 
 
 - a0 - a' r 
 Pr = r + ------------------------ 
 a r+1. (1+k) 
-(r+1)
 
 
 
 30.000 – 21.900,82 
 Pr = 2 + ------------------------------ = 2 + 0,54 
 15.026,30 
 Pr = 2,54 
 
Se encuentra un importe del P.R actualizado de, 2,54 < n , por lo que el 
proyecto de inversión es aceptable . 
 
 Para determinar el periodo de recupero rápidamente, se podrían asentar los 
cálculos en columnas, de la siguiente manera: 
 
Periodo Flujo de fondo Flujos de fondo Flujos de fondo 
 Actualizado Actualizado y 
 Acumulado 
 
 t a p a p (1+k)
- p 
  a p ( 1+k)
 – p 
 
 
 Para el caso del ejemplo planteado 
 
Periodo Flujo de fondo Flujos de fondo Flujos de fondo Actualizado 
 Actualizado y Acumulado 
 t a p a p (1+0,10) 
- p 
  a t (1+0,10)
 –p
 
 
 
 
 1 15.000 13.636,36 13.636,36 
 
 2 10.000 8.264,46 21.900,82 
 
 3 20.000 15.026,30 36.917,11 
 
 127 
Se puede observar que si se calcula el periodo de recupero utilizando el cuadro 
que simplifica la actividad y se realiza para la totalidad de los periodos, el importe 
del valor capital (VC) surge de la diferencia entre el valor de todos los flujos de 
fondo netos actualizados y acumulados menos el importe de la inversión inicial. 
 
 
 
Criterio de la tasa interna de retorno (Tir) 
 
La tasa interna de retorno de un proyecto de inversión, la que simbolizamos 
por Tir, es una tasa que surge de relacionar la inversión inicial y los flujos netos 
de caja. 
 
Es la tasa que utilizada en la actualización, iguala la inversión inicial con el 
valor actual de los flujos de caja netos. 
 
En consecuencia esta tasa utilizada para la actualización, es la que verifica la 
siguiente ecuación: 
 
 – a0 = a1 . (1+tir) 
- 1
 + a2 . (1+tir) 
-2
 + . . . + an . (1+tir) 
- n
 
 
Iguala el desembolso inicial, primer miembro, al valor actual de los flujos de 
caja netos , segundo miembro. 
 
El valor de la tasa que verifique la ecuación anterior, es precisamente, la tasa 
interna de retorno del proyecto, es la tasa de productividad unitaria de cada peso 
invertido. 
 
Recordemos que los flujos netos tienen tres componentes: 
 el capital invertido. 
 el costo de ese capital invertido. 
 el posible rendimiento. 
 
Para determinar si un proyecto de inversión es o no aceptable según este 
criterio, se debe comparar la Tir de dicho proyecto con la tasa de costo de capital 
del mismo. 
 
Los proyectos de inversión serán aceptados cuando su Tir refleje un valor 
superior al de la tasa de costo de capital. Se considera que la empresa debe 
continuar invirtiendo hasta agotar los proyectos con Tir superior a la tasa de costo 
de capital. 
 
Este criterio es el único que permite medir la rentabilidad del proyecto de 
inversión, ya que acepta o no el proyecto, comparando la productividad unitaria 
con el costo unitario de cada peso invertido. 
 
A cada proyecto de inversión le corresponderá una y solo una Tir, aunque se 
modifique la tasa de costo del capital invertido el calculo de la Tir no variará en 
principio, lo que si puede cambiar es la aceptación o no del proyecto, ya que esta 
depende de la comparación entre la Tir y la k. 
 
 128 
Bajo el supuesto de que la tasa de costo de capital es la misma en todos los 
proyectos para obtener un orden de selección, se ordenan los proyectos rentables 
según el valor de la Tir. También podemos observar que la TIR, es la tasa de 
actualización que hace igual a cero el valor actual de los flujos, incluyendo dentro 
de estos a la inversión inicial: 
 
 n 
VAN = VC = a0 +  a p . (1+tir) 
- p
 = 0 
 p=1 
 
 n 
VAN = VC =  a p. (1+tir) 
- p
 = 0 
 p=0 
 
 
La crítica al criterio de la Tasa interna de retorno es que cuando los flujos de 
caja netos de un proyecto de inversión, no son todos positivos el criterio es 
inconsistente, ya que pueden presentarse más de una Tir o no encontrarse el 
valor de la misma. 
 
En efecto 
 
 n 
  a p . (1+ tir) 
- p
 = 0 
 p=0 
 
Para el ejemplo planteado anteriormente, el calculo de la tasa interna de retorno 
será: 
 
 ao = – $30.000. 
k = 0,10 anual 
Flujos de Fondo anuales: 
a1 = $ 15.000 
a2 = $ 10.000 
a3 = $ 20.000 
 Donde el VC = $ 6.927,11 
 
30.000 = 15.000. (1+tir) 
- 1
 + 10.000. (1+tir) 
-2
 + 20.000 . (1+tir) 
- 3
 
 
 0 = – 30.000 + 15.000. (1+tir) 
- 1
 + 10.000. (1+tir) 
-2
 + 20.000 . (1+tir)- 3
 
 
Es esta una ecuación de grado n y por lo tanto tiene n soluciones posibles. Hay 
n valores de tir para los cuales se verifica esta ecuación. 
 
Las n soluciones, o raíces de esta ecuación pueden ser reales o imaginarias. 
Por lo que se considera que este criterio no tiene consistencia. 
 
Según la regla de los signos de Descartes al resolver la ecuación de grado n 
donde se trata de encontrar el valor de la Tir , puede haber tantas raíces positivas 
como cambio de signos en los términos. Por lo tanto en un proyecto de inversión, 
donde la inversión inicial es negativa y todos los flujos de caja netos son positivos, 
solo puede haber una raíz positiva, una única solución, en consecuencia hay un 
solo valor posible para la Tir. No ocurre de igual manera en los proyectos de 
 129 
inversiones con algunos de los flujos de fondo negativos, ya que en este tipo de 
proyectos de inversión puede haber una, varias o ninguna raíz positiva, 
presentándose así la inconsistencia de este criterio de aceptación de proyectos de 
inversiones, para salvar este problema, transformamos los proyectos de inversión 
de flujos de fondo negativos (llamados “no simples”) en proyectos de inversión de 
flujos positivos y nulos ( a estos proyectos sin flujos de fondo negativos se los 
denomina “simples”), dando así consistencia al criterio de la Tir 
 
En el ejemplo, la tasa interna de retorno es igual al 0,2205 anual, es esa tasa de 
actualización, la que verifica la ecuación. 
 
 
 
Consistencia de la Tir 
 
Para dotar de consistencia al criterio de la tasa de retorno, deberían de alguna 
manera legítima eliminarse de los proyectos de inversión, aquellos flujos de caja 
netos de valores inferiores a cero, los flujos de signos negativos, que son los que 
crean la posibilidad de las múltiples tasas que originan la inconsistencia de la Tir. 
 
Al analizar la naturaleza de los flujos de caja y su finalidad, hemos dicho, que 
surgen de la diferencia, entre los ingresos y los egresos de cada periodo y 
computada al finalizar el mismo, cuya finalidad es la devolución de la inversión 
inicial, pagar el costo del financiamiento y la utilidad esperada de la inversión. 
 
Además como los únicos recursos con que se cuenta para hacer frente a los 
gastos de la inversión, son la inversión inicial y los ingresos de caja que se 
produzcan cada periodo, en aquellos donde los gastos sean superiores a los 
ingresos no se podrán abonar totalmente si no se hace una reserva en los años 
anteriores. 
 
No puede haber egresos de caja donde no hay dinero. Si los posibles egresos 
excesivos son originados por gastos optativos que harán aumentar los ingresos 
futuros deben considerarse como un proyecto separado. 
Si los gastos excesivos estimados son indispensables para continuar con el 
proyecto no pueden separarse de él. 
 
De cualquier manera, cuando se nos presente un proyecto de inversión con 
alguno de los flujos de caja negativo, lo eliminaremos, absorbiéndolo con los flujos 
de caja netos positivos de periodos anteriores, quedando el proyecto transformado 
en un proyecto de inversión con solo flujo de caja positivos o nulos. 
 
Recordamos que los valores de los flujos que analizamos no son valores 
históricos, son importes resultantes de ingresos y egresos estimados, son 
variables de un proyecto de inversión, en el que se estudia la posibilidad de 
realizarlo. 
 
El procedimiento a seguir para eliminar el flujo de caja negativo, es restarle al 
importe del flujo de caja anterior positivo, el valor actual del flujo de caja negativo, 
actualizado por medio periodo y utilizando para la actualización la tasa de costo del 
capital invertido. 
 
 130 
La actualización se efectuara por ½ y no por una unidad de tiempo, debido a 
que los ingresos y egresos generados durante todo el periodo son medidos al 
finalizar el mismo y no se puede con certeza precisar en que momento del periodo 
se genera el importe negativo, si al comienzo o al final, entonces para compensar 
se considera que el flujo negativo se produce a la mitad del periodo. Si no lograra 
cubrir el importe negativo con el flujo positivo anterior, la diferencia se actualizara 
por 1 periodo más para ser absorbida con el próximo flujo de caja positivo, o si el 
flujo anterior al negativo fuera nulo u otro negativo, se deberá actualizar por 1 y ½, 
ya que se actualiza solo por ½ período, en el periodo donde el flujo negativo se 
genera. 
 
El criterio a seguir es entonces, según el caso: 
1. El flujo de caja negativo se actualiza por medio periodo en el periodo 
donde se produce y se absorbe con el flujo de caja positivo anterior. 
2. Si en la situación anterior el valor del flujo de caja no lograra cubrir el 
importe negativo, la diferencia es actualizada por un periodo entero para ser 
absorbido con el próximo flujo positivo. 
3. Si el flujo anterior al negativo fuera nulo o negativo, se actualiza por un 
periodo más es decir, por un periodo y medio, para ser absorbido por el próximo 
positivo. 
Ejemplos numéricos: 
caso 1 
a0 = -50.000 
a1 = 20.000 a2 = - 5.000 a3 = 16.000 a4 =25.000 
 
una tasa de costo del capital invertido = 0,10 anual = k 
horizonte económico = 4 años = n 
 
0 1 2 3 4 
/ / / / / 
a0 a1 a2 a3 a4 
 -5.000 
 
Transformamos el proyecto de la siguiente manera: 
 
20.000 - 5.000 (1+0,10) 
-0,5
 = 15.232,69 
 
con lo que eliminamos el flujo negativo, dando consistencia al criterio de la 
 TIR, transformando las inversiones no simples en inversiones simples 
 
a0 = -50.000 
a1 = 15.232,69 a2 = 0 a3 = 16.000 a4 =25.000 
 
Para 0,10 anual = k y horizonte económico = 4 años = n 
 
caso 2 
a0 = -50.000 
a1 = 30.000 a2 = 5.000 a3 = -10.000 a4 =35.000 
 
una tasa de costo del capital invertido = 0,10 anual = k 
 
horizonte económico = 4 años = n 
 131 
 
 
 
0 1 2 3 4 
/ / / / / 
a0 a1 a2 a3 a4 
 -10.000 
Transformamos el proyecto de la siguiente manera: 
 
 
 5.000 - 10.000 (1+0,10) 
-0,5
 = - 4.534,62 
30.000 - 4.534,62 (1+0,10) 
-1
 = 25.877,62 
 
transformando el proyecto original en el siguiente proyecto 
 
a0 = -50.000 
a1 = 25.877,62 a2 = 0 a3 = 0 a4 = 35.000 
 
Para 0,10 anual = k y horizonte económico = 4 años = n 
 
caso 3 
a0 = -50.000 
a1 = 20.000 a2 = -3.000 a3 = -5.000 a4 = 45.000 
 
una tasa de costo del capital invertido = 0,10 anual = k 
 
horizonte económico = 4 años = n 
 
0 1 2 3 4 
/ / / / / 
a0 a1 a2 a3 a4 
 - 3.000 -5.000 
Transformamos el proyecto de la siguiente manera: 
 
- 3.000 (1+0,10) 
-0,5
 = - 2.860,39 
- 5.000 (1+0,10) 
-1,5
 = - 4.333,92 
20.000 - 2.860,39 - 4.333,92 = 12.805,69 
 
con lo que eliminamos los flujos de caja negativos, dando consistencia al 
criterio de la TIR, transformando la inversión no simple en inversión simple 
 
a0 = -50.000 
a1 = 12.805,69 a2 = 0 a3 = 0 a4 = 45.000 
 
Para 0,10 anual = k y horizonte económico = 4 años = n 
 
Cuando analizamos el criterio de la tasa interna de retorno, dijimos que a cada 
proyecto de inversión le corresponderá una Tir, aunque se modifique la tasa de 
costo del capital invertido el calculo de la Tir no varía, esto es así en las 
inversiones simples, mientras que en las inversiones no simples, el valorde la Tir 
podrá modificarse debido a que se utiliza la tasa de costo del capital para 
transformar las inversiones no simples en inversiones simples. 
 132 
Perfil del Valor Capital 
 
Trazar el perfil del Valor Capital es graficar en un sistema cartesiano los 
distintos importes del V.C. para diferentes tasas de costo de capital, en el eje de 
las ordenadas se representan los Valores Capitales y en el eje de las abscisas los 
valores de las tasas. 
 
Dijimos que según sea el valor de la tasa de costo del capital invertido utilizada, 
para la actualización de los flujos, será el importe que asumirá el Valor Capital del 
proyecto, el importe del Valor Capital a medida que la tasa de costo aumenta va 
disminuyendo. 
 
 
V.C 
 para una k = 0 
 
 
 
 
 
 
 para una k = TIR 
 
 
 
 
 0 Tasas 
 
 
La curva del perfil corta al eje de las ordenadas para un V.C. calculado a una 
tasa de costo igual a cero (k = 0), dicha curva corta al eje de las abscisas para un 
VC calculado a una tasa de costo de capital igual a la tasa de retorno, (Tir = k 
entonces el VC = 0), y para valores de la tasa de costo superiores a la Tir, el valor 
del VC arrojar importes negativos (Tir  k). 
 
Para el ejemplo planteado anteriormente, 
 ao = – $30.000. 
k = 0,10 anual 
Flujos de Fondo anuales: 
a1 = $ 15.000 
a2 = $ 10.000 
a3 = $ 20.000 
 
 VC = $ 15.000 para una tasa de costo del capital del 0 anual 
 
VC = $ 6.927,11 para una tasa de costo del capital del 0,10 anual 
 
VC = $ 0 para una tasa de costo del capital del 0,2205 anual 
 
VC  $ 0 para tasas de costo de capitales mayores al 0,2205 anual, tasas de 
costo mayores al valor de la TIR. 
 
 
 133 
Se observa en un grafico: 
 
 
 
 
 
V.C 
 
VC = 15.0000 
 
 
 
 
VC = 6.927,11 
 
 
 
 
VC = 0 
 0 0,10 0,2205 Tasas 
 
 
 
 
Análisis comparativo entre los 3 criterios de selección de proyectos de 
inversión que consideran el valor capital en el tiempo 
 
El Valor Capital de un proyecto de inversión representa el incremento que se 
producirá en el valor actual del capital de la empresa como consecuencia de la 
inversión; es el aporte que hará a ese valor actual, la inversión total proyectada, 
durante todo el tiempo de vigencia. 
 
En cuanto a la TIR, indica la productividad interna de una unidad de moneda 
invertida en una unidad de tiempo. Esta rentabilidad interna incluye el costo de 
capital y la renta neta o rentabilidad financiera de la inversión. 
 
Si realizamos la diferencia entre la formula del VC de un proyecto de inversión 
calculado para una determinada tasa de costo y la expresión donde la TIR verifica 
el VC igual a cero, tendremos: 
 
 n 
 VC =  a p . (1+k) 
- p
 
 p=0 
– 
 n 
 0 =  a p . (1+tir) 
- p
 
 t=0 
----------------------------------------------------- 
 n 
 VC =  a p [ (1+k) 
- p
 - (1+tir) 
– p 
]
 
 
 p=0 
 
 lo que se expresa 
 134 
 
 n (1+tir) 
p
 - (1+k) 
p
 
 VC =  a p ------------------------------ 
 p=0 (1+tir) 
p
 . (1+k) 
p
 
 
 
 
 
 n (1+tir) 
p 
 - (1+k) 
p
 
 VC =  ap -------------------------------------- 
 p=0 (1+tir+k +tir.k ) 
p
 
 
 
Como la tasa k es por definición positiva, el VC será positivo para cuando Tir>k; 
el VC será cero si Tir = k y será negativo si Tir < k; ambos criterios son 
equivalentes para decidir la aceptación o el rechazo de un proyecto de inversión, 
dado que según el criterio Tir los proyectos son aceptables cuando esta es mayor 
a tasa de costo del capital. 
 
Lo que puede observarse al graficar la curva que representa el perfil del VC 
para distintas tasa de costo de capital invertido de un determinado proyecto de 
inversión. 
 
Lo que respecta al criterio del periodo de recupero, se observa que si la 
inversión inicial es recuperada y pagado el costo del financiamiento, antes de 
finalizar el horizonte económico del proyecto, es debido a que los flujos de caja 
netos actualizados y acumulados superan a dicha la inversión inicial, en este caso 
el VC será positivo y el periodo de recupero será menor al horizonte económico, 
con ambos criterios se acepta el proyecto. 
 
 
Criterio Periodo de recupero actu. Valor capital Tasa de retorno 
 
SI Pr < n VC > 0 TIR > k 
Indistinto Pr = n VC = 0 TIR = k 
NO (no recupera) VC < 0 TIR <k 
 
 
Tasa de intersección de Fisher 
 
Los criterios del Valor Capital y de la Tasa Interna de Retorno, pueden no dar 
el mismo orden o jerarquía para seleccionar entre varios proyectos aceptados, esto 
es así, debido a que cada criterio mide distintos aspectos del proyecto. 
 
Sean dos proyectos de inversión que tengan distintas inversiones iniciales e 
igual duración, siendo la Tir del proyecto que tiene menor capital invertido superior 
a la Tir del proyecto de mayor capital inicial, según el criterio de la Tir resulta más 
conveniente el proyecto de inversión que requiere menor capital inicial, pero si 
comparamos los VC de ambos proyectos puede ocurrir que para la tasa de costo 
de capital a la que se realiza el análisis el criterio del VC proporcione un orden 
diferente en la selección que el obtenido con el criterio de la Tir. 
 
 135 
Cuando se presenta esta situación, de diferente orden en la selección de dos o 
más proyectos de inversión, sabemos con certeza que si graficamos los perfiles de 
los VC, estos se cortaran en el primer cuadrante, la tasa de corte se denomina 
tasa de intersección o tasa de Fisher, el importe de la misma es superior a la tasa 
de costo de capital a la que se realiza el análisis donde se determina el distinto 
orden en la selección. 
 
 
 
Valore Capital 
 
 
 VC proyecto 1 
 
 
 VC proyecto 2 
 Punto de corte 
 
 
 
 
 0 Tasas 
 TIR proyecto 1 
 
 TIR proyecto 2Tasa de intersección, tasa de Fisher 
 
 
Para tasas de costo de capital menores al punto de corte, (tasa de Fisher), hay 
diferente orden en la selección de los proyectos de inversión aceptados, según sea 
el criterio de la TIR o el criterio del VC, el CV del proyecto de Inversión 1 es mayor 
al CV Proyecto de Inversión 2 y la TIR Proyecto de Inversión 1 es menor a la TIR 
Proyecto de Inversión 2: 
 
 
 
 Proy Inversión 1 Proy Inversión 2 
 VC > VC 
 TIR < TIR 
 
 
Para tasas de costo de capital igual al punto de corte, (tasa de Fisher), los VC 
de ambos proyectos de inversión son iguales pero la TIR Proyecto de Inversión 1 
es menor a la TIR Proyecto de Inversión 2: 
 
 Proy Inversión 1 Proy Inversión 2 
 VC = VC 
 TIR < TIR 
 
 
 136 
Para tasas de costo de capital mayores al punto de corte, (tasa de Fisher), el 
orden en la selección de los proyectos de inversión aceptados, es el mismo, 
cualquiera sea el criterio de selección TIR o VC, el CV del Proyecto de Inversión 
1 es menor al CV del Proyecto de Inversión 2 y la TIR Proyecto de Inversión 1 es 
también menor a la TIR Proyecto de Inversión 2: 
 
 
 Proy Inversión 1 Proy Inversión 2 
 VC < VC 
 TIR < TIR 
 
En esta situación, donde para la tasa de costo de capital utilizada, se presenta 
igual orden en la selección de dos o más proyectos de inversión, cualquiera sea el 
criterio de selección, esto es, el criterio del VC o el criterio de la TIR, NO tenemos 
la certeza si los perfiles de los VC de los proyectos analizados se cortan o no en el 
primer cuadrante, (esto es, no tenemos certeza que exista tasa de intersección de 
Fisher) hasta tanto no grafiquemos los perfiles de los VC, ya que, ante esta 
situación puede ser que no se corten los perfiles, pero también puede ser el caso 
que la tasa de costo a la que se realiza el análisis sea superior a la tasa de corte o 
tasa de intersección, donde podemos decir que la tasa costo a la que se realiza el 
análisis, es superior a la tasa de intersección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 137 
TÍTULOS PÚBLICOS 
 
El Estado cuenta con la emisión de empréstitos, como una de las maneras de 
financiar recursos extraordinarios, esto constituye para el Estado emisor una 
deuda, la cual puede ser interna o externa, según las emisiones de los títulos-
valores, sean en territorio nacional o fuera del mismo. 
 
El valor del empréstito, se divide en partes iguales, generalmente múltiplos de 
10, cada una de esas partes constituye el valor de cada uno de los títulos que 
componen el empréstito. 
 
Este financiamiento tiene características diferentes a las observadas en los 
otros financiamientos desarrollados anteriormente, una en cuanto a las partes que 
intervienen y otra, respecto al monto o importe por el cual son colocados los títulos 
en el mercado financiero. 
 
En cuanto a las partes que intervienen en este tipo de financiamiento, se 
distinguen: un único deudor (el emisor del empréstito) y múltiples acreedores 
(poseedores de los títulos), por lo que, se deben diferenciar los análisis, según sea 
desde el deudor o tomador de los fondos (empréstito) o desde cada acreedor o 
colocador de los fondos (título). 
 
Los títulos por lo general no son colocados en el mercado al precio que figura 
impresos en ellos, esto depende del mayor o menor interés que tengan los 
posibles adquirientes por los mismos, esto hace que los títulos puedan ofrecerse, 
por menor, igual o mayor valor que el fijado por ley de emisión, este es el motivo 
por el cual, surge en este tipo de financiamiento, una tasa de valuación diferente a 
la tasa fijada por ley de emisión. 
 
Elementos del empréstito: 
 
Fecha de emisión: es la que corresponde al día en que el Estado emisor, emite 
el título, figura en ley de emisión. 
 
Fecha de vencimiento: es la correspondiente al día y año en que se cancelará el 
empréstito, figura en ley de emisión. 
 
 Valor Nominal: simbolizado por N, representa el importe por el cual el deudor 
debe pagar los servicios financieros (cuotas), es el importe sobre el cual se calcula 
la cuota destinada a pagar los intereses y amortización del capital adeudado. 
 
Valor efectivo: simbolizado por N´, representa lo que el deudor (tomador del 
crédito) realmente obtiene por la emisión del empréstito una vez colocados todos 
los títulos. 
 
Cuota o servicio financiero: se simboliza por A p y esta constituida por la parte 
correspondiente al pago de los intereses y la amortización del capital adeudado. 
 
Número de títulos de cada empréstito: simbolizado por m y representa el 
número de acreencias. 
 
 138 
Tasa de interés: simbolizado por i, es la tasa fijada por ley de emisión, es la tasa 
de valuación utilizada para calcular los servicios financieros a pagar, o sea los 
intereses y las amortizaciones correspondientes a cada período. 
 
Tasa efectiva: simbolizada por r, la tasa efectiva de un empréstito, indica el 
costo de cada unidad de capital obtenido en préstamo por unidad de tiempo. 
 
 
Sistema de financiamiento del empréstito 
 
Los n servicios financieros a pagar por el tomador del crédito, se calculan con 
la tasa de interés fijada por ley de emisión 
 n 
N =  A p . (1+i ) 
- p
 
 p= 1 
 
El valor actual de dichos servicios a pagar, es el valor nominal del empréstito. 
 
Estos servicios financieros o cuotas, están constituidos por los intereses y las 
amortizaciones correspondientes. 
 n 
N =  ( I p + t p ) (1+i ) 
- p
 
 p= 1 
 
Cuando los títulos no son colocados en el mercado al precio que figura 
impresos en ellos, surge una tasa de valuación diferente a la fijada por ley de 
emisión, la tasa efectiva, tasa de costo para el emisor, el valor actual de esto 
servicios o cuotas a pagar, valuados a esa tasa efectiva, da como resultado el 
valor efectivo del empréstito. 
 
 n 
N ´ =  A p . (1+r ) 
- p
 
 p= 1 
 
 n 
N ´ =  ( I p + t p ) (1+r) 
- p
 
 p= 1 
 
 
 
Elementos del título: 
 
Fecha de emisión: es la que figura en ley de emisión. 
 
Fecha de vencimiento: figura en ley de emisión, es la que indica el vencimiento 
de las obligaciones por parte del emisor. 
 
Valor Nominal: simbolizado por VN, el valor nominal de un título representa el 
importe que figura impreso en él, es el valor sobre el cual se calculan los intereses 
a cobrar por el acreedor antes que se hayan producido amortizaciones, el valor 
nominal surge del cociente entre el valor nominal del empréstito y el número de 
títulos. VN = N / m por lo que N = VN * m 
 
 139 
Valor efectivo: simbolizado por VE, valor efectivo de un título representa lo que 
el inversor o poseedor del título (cada acreedor) paga en la compra del título. 
 
Valor residual: simbolizado por VR, el valor residual de un título, es el valor del 
título luego de haberse practicado las amortizaciones del capital, el valor residual 
es el saldo adeudado, corresponde al valor nominal menos las amortizaciones 
practicadas. 
 
Cuota o servicio financiero: se simboliza por ap , la cuota o servicio financierode cada título, esta constituida por la parte correspondiente al cobro de los 
intereses por un lado y por otro, la amortización del capital. 
 
Tasa de interés: simbolizado por i, es la tasa fijada por ley de emisión, es la tasa 
de valuación utilizada para calcular los servicios financieros, o sea los intereses y 
las amortizaciones correspondientes a cada período. 
 
Tasa efectiva: simbolizada por r, la tasa efectiva de cada título, indica el 
rendimiento de cada unidad de capital invertido por unidad de tiempo. 
 
Valor técnico: simbolizado por VT, el valor técnico de un título, es valuar el título 
en un momento determinado, este momento de la valuación puede o no coincidir 
con la fecha del pago de los servicios financieros (cuotas), cuando coinciden la 
fecha de valuación y la fecha de pago, el valor técnico es igual al valor residual o 
valor nominal, según corresponda, pero, cuando la valuación del título se realiza 
dentro del intervalo de tiempo entre dos pagos sucesivos, el valor técnico será 
igual al importe del valor residual o valor nominal más los intereses devengados 
por el tiempo transcurrido desde el momento done se efectúo el último pago y la 
fecha de valuación. 
 
Se simboliza por t al tiempo transcurrido desde el último pago del servicio 
financiero y el momento de la valuación. 
 
VT = VN ( 1 + i ) 
t 
VT = VR ( 1 + i ) 
t 
 
 
 
Sistema de financiamiento de cada título 
 
Los n servicios financieros a cobrar por cada inversor o poseedor del título, se 
calculan con la tasa de interés fijada por ley de emisión. 
 
 n 
VN =  a p . (1+i ) 
- p
 
 p= 1 
 
El valor actual de los n servicios financieros o cuotas a cobrar, valuados a la 
tasa de interés fijada por ley de emisión, constituye el valor nominal de cada título. 
 
Cada uno de los servicios financieros o cuotas de cada título, están constituidos 
por los intereses y las amortizaciones correspondientes. 
 
a 1 = I 1 + t 1 
 
a 2 = I 2 + t 2 
 140 
………………. 
a r = I r + t r 
......................... 
a n = I n + t n 
 
El importe del saldo adeudado al comienzo de cada unidad de tiempo, es el 
valor nominal o residual, según corresponda, menos la amortización 
correspondiente. 
 
Al comienzo del 1
er
 período VN , 
Al comienzo del 2
 do
, luego de cobrar el 1
er
 servicio financiero VR = VN – t 1 
Al comienzo del 3 
er
, luego de cobrar el 2
 do
 servicio financiero VR = VR – t 2 
………………………………………………………………………………………………………………………………………. 
 
Al comienzo del “r+1” luego de cobrar “r” servicios financieros VR = VR – t r 
 
Si se han practicado algunas amortizaciones, el valor actual de los servicios 
financieros que faltan cobrar, valuados a la tasa fijada por ley de emisión, dará 
como resultado el saldo o valor residual de cada título. Así, el valor residual al 
comienzo del período “r+1” será: 
 
 n - r 
VR =  a p+r (1+i ) 
- p
 
 p= 1 
 
Los intereses se calculan sobre el saldo o importe adeudado al comienzo del 
período. 
 
I 1 = VN . i 
 
I 2 = (VN - t 1 ) .i = VR .i 
.................................... 
 
I r + 1 = (VN - t r ) .i = VR .i 
…………………………… 
I n = (VN - t n - 1 ) .i = VR .i 
 
Cuando los títulos no son colocados en el mercado al precio que figura 
impresos en ellos, cuando se paga por el titulo un valor diferente al valor nominal 
(en el momento de la emisión) o del valor residual (luego de algunas 
amortizaciones), surge una tasa de valuación diferente a la tasa de interés fijada 
por ley de emisión, esta es, la tasa efectiva del título, tasa de rendimiento para el 
inversor, el valor actual de los servicios financieros o cuotas a cobrar, valuados a 
esa tasa efectiva, da como resultado el valor efectivo de cada título. 
 
 n 
VE =  a p . (1+r ) 
- p
 
 p= 1 
 
Entonces como los títulos por lo general no son colocados en el mercado al 
precio que figura impresos en ellos, lo que depende del mayor o menor interés que 
tengan los posibles adquirientes por los mismos, hace que se presenten tres 
situaciones diferentes a saber: 
 141 
 
 El título puede ofrecerse por menor valor, se dice que cotiza bajo la par 
 El título puede ofrecerse por igual valor, se dice que cotiza a la par 
 El título puede ofrecerse por mayor valor, se dice que cotiza sobre la par 
 
 
Cotización bajo la par 
 
Analizamos la situación donde el título cotiza bajo la par, en este caso, el valor 
nominal del titulo es mayor que el valor pagado por él en la compra (VE), esto 
implica que la tasa de interés fijada por ley de emisión sea inferior a la tasa 
efectiva del título: 
 
 n n 
 a p . (1+ i ) 
- p
 >  a p . (1+r ) 
- p
 
p= 1 p= 1 
 
 VN > VE i  r bajo la par 
 
En cotización bajo la par la tasa de rendimiento del título es mayor a la tasa de 
interés fijada por ley de emisión. 
 
Cotización a la par 
 
Analizamos la situación donde el título cotiza a la par, en este caso, el valor 
nominal del titulo es igual que el valor pagado por él en la compra (VE), esto 
indica que las tasas son iguales, la tasa fijada por ley de emisión es igual a la tasa 
efectiva del título: 
 
 n n 
 a p . (1+ i ) 
- p
 =  a p . (1+r ) 
- p
 
p= 1 p= 1 
 
 
VN = VE i = r a la par 
 
 
En cotización a la par la tasa de rendimiento del título es igual a la tasa de 
interés fijada por ley de emisión. 
 
Cotización sobre la par 
 
Analizamos la situación donde el título cotiza sobre la par, en este caso, el valor 
nominal del titulo es menor que el valor pagado por él en la compra (VE), esto 
implica que la tasa de interés fijada por ley de emisión sea superior a la tasa 
efectiva del título: 
 
 n n 
 a p . (1+ i ) 
- p
   a p . (1+r ) 
- p
 
p= 1 p= 1 
 
 VN  VE i > r sobre la par 
 142 
 
En cotización sobre la par la tasa de rendimiento del título es menor a la tasa de 
interés fijada por ley de emisión. 
 
 
Paridad de un título 
 
La paridad no representa un valor, la paridad es una situación o un estado que 
se presenta en distintas circunstancias. 
 
Paridad entre dos títulos: se dice que hay paridad entre dos títulos, cuando 
estos títulos tienen igual tasa de rendimiento o tasa efectiva. 
 
Paridad del mismo título: se dice que hay paridad entre el valor de cotización de 
un titulo y su valor nominal, valor residual o valor técnico, cuando el precio de 
cotización es igual al valor técnico de dicho título para ese momento. 
 
La paridad es una situación que refleja una relación, relación entre lo que se 
paga por el título y lo que el título vale; se denomina relación de paridad, al 
cociente entre el precio de cotización del título y su valor técnico. 
 
Relación de Paridad = lo que se paga / lo que vale = RP 
 
Relaciónde Paridad = Precio de cotización / valor técnico = RP 
 
Cuando el cociente entre el valor de cotización y el valor técnico es igual a uno, 
se dice que hay paridad, en este caso el título cotiza a la par. 
 
 RP = 1 a la par i = r 
 
Si la relación de paridad es igual a uno, entonces el titulo cotiza a la par, por lo 
que la tasa fijada por ley de emisión (i) es la tasa efectiva del titulo (r) 
 
Cuando el cociente entre el valor de cotización y el valor técnico es mayor a 
uno, se dice que no hay paridad, en este caso el título cotiza a sobre la par. 
 
 RP > 1 sobre la par i > r 
 
Si la relación de paridad es mayor a uno, entonces el titulo cotiza sobre la par, 
por lo que la tasa fijada por ley de emisión (i) es mayor a la tasa efectiva del titulo 
(r) 
 
Cuando el cociente entre el valor de cotización y el valor técnico es menor a 
uno, se dice que no hay paridad, en este caso el título cotiza a bajo la par. 
 
 RP  1 bajo la par i  r 
 
 143 
Si la relación de paridad es menor a uno, entonces el titulo cotiza bajo la par, 
por lo que la tasa fijada por ley de emisión (i) es menor a la tasa efectiva del titulo 
(r) 
Funciones Biométricas 
 
Estudiar cuantitativamente el fenómeno vital, captando y analizando las distintas 
leyes que rigen en las agrupaciones o colectivos sociales, es aplicar 
procedimientos, métodos y conclusiones que proporciona la bioestadística o 
estadística vital, rama de la biometría, estas son herramientas útiles en ciencias 
tales como la economía, sociología, educación, medicina y en general en cualquier 
campo del conocimiento relacionado con la vida del hombre en sociedad. 
 
Tanto en la administración política, social y/o económica, publica como privada, 
es imprescindible conocer con la mayor exactitud posible las características de las 
poblaciones con respecto a las cuales se han de tomar decisiones, para que las 
aplicaciones prácticas puedan arrojar resultados satisfactorios. 
 
Las diversas funciones biométricas, funciones de la variable edad, simbolizada 
por x, que contiene una tabla de mortalidad entre otra son: 
 
1. Cantidad de personas de edad exacta x, según una tabla de mortalidad, 
simbolizada por l x. 
2. Cantidad de personas fallecidas entre las edades x y x+1, simbolizada por 
d x. 
3. Años vividos por una generación entre las edades x y x+1 o cantidad de 
personas comprendidas entre las edades x y x+1, simbolizada por L x. 
4. Probabilidad de que una persona de edad exacta x , este con vida al final 
del año ene-simo contado a partir de la edad x, simbolizado por n P x. 
5. Probabilidad de que una persona de edad exacta x , muera durante los n 
años siguientes al de la edad x, simbolizado por n q x. 
6. Tasa de mortalidad, simbolizada por q x. 
7. Tasa central de mortalidad, simbolizada por m x. 
8. Cantidad de años que vivirá el grupo desde la edad x hasta su total 
extinción, simbolizada por T x. 
9. Esperanza de vida o expectativa de vida, para una persona de edad x, 
simbolizada por e 
o 
x. 
 
 
 
1. l x es una de las principales funciones biométricas, indica la cantidad de 
personas de edad exacta x, sobrevivientes de un grupo inicial arbitrario de 
edad  (alfa). 
 
Esta función biométrica es una función decreciente, teórica que representa una 
población estática imaginaria. Es una función decreciente cuya edad más baja, 
representada por la letra griega , generalmente la edad o (cero), simbolizada por 
lo la que se denomina raíz o base de la tabla y es esta una cantidad arbitraria 
fijada por el constructor de la tabla de vida, que comúnmente es una potencia del 
numero 10, esta función se anula para valores de la variable x correspondientes a 
las edades más avanzadas, por lo general 100 años; la ultima edad para la cual se 
 144 
registran sobrevivientes se la representa por la letra griega  ( omega). Y 
generalmente es un grupo abierto. 
 
 
2. d x representa la cantidad de personas fallecidas entre dos edades 
consecutivas, cantidad de personas que habiendo cumplido la edad exacta x 
no llegaron a cumplir la edad exacta x + 1. 
 
 Esta función biométrica puede referirse a una población estática o dinámica, 
según sus valores provengan de la tabla de mortalidad o de la población real. 
 
En el caso que se refiera a una población dinámica, los datos del número de 
fallecimientos de edad x de una determinada población real, ocurridos durante un 
año determinado, se obtienen de las estadísticas vitales. 
 
Por lo contrario en el caso que se refiera a una población estática e imaginaria, 
la cantidad de fallecidos ( d x) surge de la diferencia entre el numero de las 
personas de edad exacta x, que están con vida al comienzo del año (l x) y la 
cantidad de los sobrevivientes de edad exacta x+1, al finalizar dicho año (l x+1), 
según una tabla de mortalidad. 
 
Simbólicamente para intervalos de edades de 1 año y según tabla de 
mortalidad: 
 d x = l x – l x+1 
 
Lo que nos permite expresar: 
 l x+1 = l x – d x 
 
Que representa la cantidad de personas de edad exacta x+1 y es igual a los 
sobrevivientes de edad exacta x menos las defunciones de personas entre las 
edades exactas x y x+1 
 
l x = l x+1 + d x 
 
La cantidad de personas de edad exacta x es igual a los sobrevivientes de edad 
exacta x+1 más las defunciones de las personas que con x años de edad no 
llegaron a cumplir x+1 años. 
 
 Se observa que el total de fallecidos después de cumplir la edad x es igual al 
número de personas que están con vida a dicha edad 
 
    
∑ d x+ t = ∑ l x+ t - ∑ l x+ t = l x 
t=0 t =0 t =1 
 
 Si en lugar de considerar el intervalo de un año, lo hacemos para n años, n d x 
representara el número de personas de edad exacta x que fallecen antes de 
cumplir la edad x+n, o número de personas que mueren durante los n años 
siguientes al de la edad x 
 
n d x = l x – l x+n 
 145 
 
 
3. L x es una función que representa una población dinámica, es real o 
imaginaria, según los datos se obtengan de un censo o muestra poblacional, 
donde se agrupan las personas de la población en estudio según la edad 
cumplida, o de lo contrario será imaginaria si su valor se relaciona con los 
sobrevivientes l x de una tabla de mortalidad. 
 
A esta función biométrica la denominaremos conceptualmente de dos maneras, 
a saber: 
 Números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1. 
 Cantidad de personas comprendidas entre dos edades exactas, x y x+1. 
 
 Trabajando a partir de ambos conceptos llegaremos a igual expresión para su 
cálculo, según datos de las tablas de vida. 
 
Números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1 
 
 Se analizan las defunciones ante una distribución uniforme de las mismas. (no 
se analiza el caso para edades menores a 5 años, donde la distribución de las 
defunciones no es uniforme). 
 
Suponiendo la hipótesis que las muertes se distribuyen uniformemente durante 
el año, compensando los tiempos de aquellos que fallecieron al comienzo, con los 
tiempos de los que lo hacen al final del año, decimos que cada uno de los 
fallecidos vive en el año de su muerte, en promedio medio año. 
 
½ d x representa la cantidad de años vividos por los integrantes del grupo l x, 
años vividos por las personas que fallecen entre las edades x y x+1. 
 
Entonces ½ de año, representa el tiempo medio vivido dentro del intervalo x y 
x+1 por cada una de las personas que fallecieron en dicho año. 
 
Simbólicamente: 
 
L x = l x+1 +½ d x 
 
L x = l x+1 + ½ ( l x - l x+1) 
 
L x = l x+1 + ½ l x - ½ l x+1 
 
L x = ½ l x + ½ l x+1L x = ½ ( l x + l x+1) 
 
 El símbolo L x representa el numero de años vivido por los integrantes del 
grupo inicial l 0 durante el año siguiente al de la edad x. 
 
 Si en lugar de considerar el intervalo de un año, lo hacemos para n años, n L x 
representa el numero de años vivido por los integrantes del grupo inicial l 0 
durante los n años siguientes al de la edad x. 
 146 
 
n L x = ½ ( l x + l x + n) . n 
 
Cantidad de personas comprendidas entre dos edades exactas, x y x+1 
 
Si razonamos a partir del otro concepto, L x es la cantidad de personas de edad 
x en un momento dado, número de personas de un grupo inicial dado que 
habiendo cumplido x años no han cumplido aun x+1 años de edad. 
 
Para trabajar desde este concepto, supondremos también que las defunciones 
se distribuyen uniformemente dentro de cada año, (para 5 o más años de edad), 
como estamos analizando la cantidad de sobrevivientes entre dos edades x y x+1, 
su valor surge de la diferencia entre la cantidad de sobrevivientes de edad exacta x 
y la mitad de las defunciones ocurridas entre las edades x y x + 1, si restáramos la 
totalidad de las defunciones se encuentra la cantidad de personas vivas de edad 
exacta x + 1, por lo que restamos ½ de las defunciones y así se encuentra la 
cantidad de personas vivas a la mitad del año. 
 
L x = l x - ½ d x 
 
L x = l x - ½ ( l x - l x+1) 
 
L x = l x - ½ l x + ½ l x+1 
 
L x = ½ l x + ½ l x+1 
 
L x = ½ (l x + l x+1) 
 
 
Observamos que razonando mediante ambos conceptos arribamos a igual 
expresión para calcular esta función biométrica, lo que nos permite decir que el 
número de años vividos por la cohorte inicial dada l 0 entre las edades x y x+1 
representa la cantidad de personas de dicha generación (l 0) las que habiendo 
cumplido la edad exacta x no han cumplido todavía la edad exacta x+1. 
 
El cálculo de la L x en el ultimo tramo de edad considerado, L  , lo realizaremos 
a través de la tasa central de mortalidad que se plantea mas adelante. 
 
 
4. P x representa la probabilidad de que una persona de edad exacta x 
sobreviva al año siguiente a la edad x, probabilidad que una persona de edad 
x llegue a cumplir la edad x+1. 
 
Probabilidad relaciona casos favorables del evento con el total de casos 
posibles, para calcular P x relacionamos cantidad de personas vivas de edad 
exacta x+1 con la cantidad de personas vivas de edad exacta x. 
 
P x = l x+1 / l x 
 
 147 
Representa la probabilidad de que una persona de edad exacta x llegue a 
cumplir la edad x+1, probabilidad que una persona de edad exacta x llegue con 
vida al final del año siguiente a la edad x. 
 
n P x representa la probabilidad de que una persona de edad exacta x 
sobreviva los n años siguientes a la edad x, probabilidad que una persona de edad 
x llegue a cumplir la edad x+n, probabilidad que una persona de edad x llegue con 
vida al final del año n contado a partir de la edad x . 
 
n P x = l x+n / l x 
 
n P x = P x . P x+1. P x+2 …. P x+n 
 
 P x = (l x+1 / l x) (l x+2 / l x+1) ( l x+3 / l x+2) ….( l x+n / l x+n-1) 
 
n P x = l x+n / l x 
 
n P x representa el producto entre las n probabilidades que una persona 
de edad exacta x llegue a cumplir la edad siguiente en cada año civil. 
 
 
5. q x representa la probabilidad de que una persona de edad exacta x, 
fallezca durante el año siguiente al de la edad x, probabilidad que una 
persona de edad exacta x no llegue a cumplir la edad x+1. 
 
q x = ( l x  l x+1 ) / l x = d x / l x 
 
La suma de ambos eventos sobre la vida de la persona de edad exacta x, es 
igual a uno 
 
 q x + P x = 1 
 
n q x representa la probabilidad de que una persona de edad exacta x, fallezca 
durante los n años siguientes al de la edad x, probabilidad que una persona de 
edad exacta x no llegue a cumplir la edad x+n 
 
 
n q x = (l x  l x+n ) / l x = n d x / l x = 1  n P x 
 
m /n q x representa la probabilidad de que una persona de edad exacta 
x, fallezca durante los n años siguientes al año m contado desde la edad x, 
probabilidad que una persona de edad exacta x fallezca entre las edades x+m y 
x+m+n. 
 
m / n q x = (l x+m  l x+m+n ) / l x 
 
n-1 / q x representa la probabilidad de que una persona de edad exacta 
x, fallezca durante el año n contado desde la edad x, probabilidad que una 
persona de edad exacta x fallezca entre las edades x+n-1 y x+n. 
 148 
 
n – 1 / q x = (l x+ n - 1  l x+n ) / l x 
6. q x tasa de mortalidad 
 
q x = (l x  l x+1 ) / l x 
 
q x = d x / l x 
 
d x representa el total de defunciones de personas de edad x, 
 
l x representa cantidad de personas de edad exacta x (vivos al principio del año), 
 
 Dicha relación nos define el concepto de la tasa de mortalidad: cantidad de 
defunciones por cada persona de edad exacta x. 
 
 Representa la tasa de mortalidad según datos de una tabla de vida y a la vez 
refleja la probabilidad de fallecer. 
 
7. m x representa la tasa central de mortalidad. 
 
 m x = d x / L x 
 
L x = l x - ½ d x = l x + ½ 
 
m x = d x / l x+ ½ 
 
 Si al total de fallecidos de edad x, lo dividimos por el número de personas de 
edad x + ½ , esto es cantidad de personas que están con vida a la mitad del año, 
obtendremos el valor de la tasa central de mortalidad, simbolizada por m x . 
 
m x = (l x  l x+1 ) / l x + ½ 
 
d x representa el total de defunciones de personas de edad x, 
 
l x + ½ representa cantidad personas comprendidas entre las edades x y x+1, 
igual a L x 
 
m x = d x / L x 
 
 La tasa central de mortalidad corresponde a una población dinámica, aplicada 
a una población teórica de una tabla de vida o a una población real si los datos de 
las L x se obtienen de un censo o muestra poblacional y los datos de los registros 
de las Estadísticas Vitales de defunciones correspondientes a la población en 
estudio. 
 
 Esta función biométrica nos es útil para calcular la cantidad de personas 
comprendidas entre la anteúltima edad exacta y la edad final considerada en la 
tabla de vida. 
 
 149 
 Partimos de la tasa central de mortalidad de la última edad  
m  = d / L 
 
Recordando que la suma de las defunciones desde la edad exacta x hasta el 
final de la tabla de mortalidad es igual al total de personas de edad exacta x 
 
∑ d x+t = l x 
t=0 
 
Podemos reemplazar a las defunciones de personas de edad , por el número 
de personas de edad exacta  
 
m  = l / L 
 
Y así despejando, obtener el valor de L 
 
L = l / m  
 
 
8. Cantidad de años que vivirá el grupo desde la edad x hasta su total 
extinción, simbolizada por T x. 
 
T x. representa la cantidad de años enteros que cada uno de los sobrevivientes 
vivirá hasta el final de la tabla de vida más las fracciones de año que cada uno de 
ellos vivirá en el año de su muerte. 
 
 l x+1 es la cantidad de sobrevivientes de la generación l x al final del 
primer año contado a partir de la edad x , cada integrante de este grupo, vivirá en 
el primer año, un año cada uno. 
 
 l x+2 es la cantidad de sobrevivientes de la generación l x+1 al final del 
segundo año contado a partir de la edad x+1 , cada integrante de este grupo, vivirá 
en este segundo año, un año cada uno. 
 
 Por lo tanto los años enteros a vivir por los componentes de la generación l x en 
un año determinado, serán tantos como el número de sobrevivientes al final de ese 
año. 
 
Se recuerda que, ½ d x representa la cantidad de años vividos por los 
integrantes del grupo l x, años vividos por las personas que fallecen entre las 
edades x y x+1. 
 
Entonces, ½ d x+1 representa la cantidad de años vividos por los integrantes del 
grupo l x+1años vividos por las personas de edad exacta x+1 fallecidas sin haber 
cumplido la edad exacta x+1, y así para x+2 y siguientes. 
 
 La fracción de año a vivir por los componentes del grupo inicial lx, en el año de 
su fallecimiento será ½ del número de fallecimientos ocurridos en ese año. ½ d x 
 
La suma de los años enteros a vivir por los integrantes del grupo lx, hasta el final 
de la tabla de vida, más la fracción de año que vivirá cada integrante de este grupo 
en el año del fallecimiento, nos determina la cantidad de existencia 
 150 
 
En símbolos 
   
 T x = ∑ l x + t + ∑ ½ d x + t 
 t=1 t=0 
T x = l x+1 + l x+2 + l x+3 + … + ½ d x + ½ d x+1 + ½ d x+2 +… 
 
T x = l x+1 + ½ d x + l x+2 + ½ d x+1 + l x+3 +½ d x+2 + … 
 
T x = L x + L x+1 + L x+2 + … 
 
  
 T x = ∑ L x+t 
 t=0 
 
Representa la cantidad de años que en conjunto vivirán todos los sobrevivientes 
de edad exacta x, hasta la total extinción de la cohorte. 
 
 
9. Esperanza de vida o expectative de vida, para una persona de edad x, 
simbolizada por e 
o 
x. 
 
El cociente entre el número total de años que vivirán los integrantes de la 
cohorte l x hasta su total extinción y el número de personas de edad exacta x, 
representa el número de años que en promedio vive cada una de las personas 
desde la edad x hasta el final de la vida. 
  
e 
o 
x = T x / l x = ∑ L x + t / l x 
 t=0 
 
Para valores de x iguales a cero, e
o
0, representa la esperanza de vida al nacer. 
 
e
o
0 = T 0 / l 0 
 
 
Relación entre la tasa de mortalidad y la tasa central de mortalidad 
 
Si partiendo de la tasa central de mortalidad se calcula la tasa de mortalidad 
remplazando a l x por su igual 
 
q x = d x / l x 
 
l x = L x + ½ d x 
 
 d x 
q x = -------------- 
 L x + ½ d x 
 
Multiplicando y dividiendo por L x 
 
 d x / L x 
q x = --------------------------- 
 L x / L x + ½ d x/ L x 
 151 
 
Remplazando y operando 
 m x 
q x = --------------- 
 1 + ½ m x 
Esta tasa asume valores muy pequeños, por lo que convencionalmente se 
multiplica y divide por el número 2, para su cálculo, la siguiente expresión es la 
tasa de mortalidad a partir de la tasa central de mortalidad. 
 
 2 m x 
q x = --------------- 
 2 + m x 
 
 
Tablas de vida 
 
Las tablas de mortalidad, llamadas también tablas de vida son el instrumento 
que permite conocer las características vitales de una determinada población, 
donde se representa la ley según la cual una generación hipotética se extingue, 
con lo cual se logra observar, entre otras, el comportamiento de la mortalidad por 
edades, obtener probabilidades de muerte y supervivencia o determinar el nivel 
general de mortalidad de una población en estudio. 
 
 Dicho esquema provee una completa descripción estadística de la mortalidad, 
constituye la base del modelo de población estacionaria, se basa en la hipótesis de 
que el comportamiento de la ley de mortalidad en un futuro próximo, puede 
deducirse de la mortalidad experimentada en el pasado. 
 
 Las tablas de vida consisten en disponer en columna los datos estadísticos 
vitales, llamados funciones biométricas, asignadas respectivamente a cada una de 
las edades, simbolizadas por la letra x. 
 
 La construcción de la tabla de mortalidad, exige elegir a una de las funciones 
biométricas como función fundamental y luego, utilizando los valores de esta 
función biométrica fundamental, calcular los importes para los sucesivos valores de 
la variable x, de las restantes funciones biométrica que componen las tablas. 
 
 
Metodología para la construcción de una tabla de vida 
 
 A partir de la mortalidad experimentada por una determinada población real 
durante un periodo dado y la cantidad de personas de la misma población en 
estudio, se obtiene la tasa central de mortalidad para los diferentes tramos de 
edades. 
 
Con la que se calcula la tasa de mortalidad para cada tramo de edades 
mediante la relación entre ambas tasas de mortalidad. 
 
Aplicando la tasa de mortalidad ya encontrada a la población inicial hipotética, 
se calculan las defunciones para iguales edades, lo que nos permite determinar 
la cantidad de sobrevivientes del grupo de personas dado originariamente. 
 
 152 
 Así por ejemplo. 
 
 m x = d x / L x 
 
Mediante la relación entre la tasa central de mortalidad y la tasa de mortalidad 
se calcula la tasa de mortalidad para cada tramo de edades: 
 
 q x = 2 m x / 2 + m x 
 
A partir de la tasa de mortalidad calculamos para cada edad las defunciones: 
 
 d x = l x . q x 
 
Mediante la diferencia entre la cantidad de personas de edad exacta x y las 
defunciones de personas de dicha edad, obtenemos el número de personas de 
edad exacta x+1: 
 
 l x+1 = l x  d x 
 
 Para calcular la cantidad de personas comprendidas entre dos edades o 
números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1 lo 
realizamos con la media de la suma de la cantidad de personas entre dos edades 
exactas: 
 
 L x = ½ ( l x + l x+1) 
 
 Utilizando el número de años vividos por la generación inicial dada entre dos 
edades, obtenemos la cantidad de años que vivirá el grupo desde la edad x hasta 
su total extinción: 
  
 T x =  L x+t 
 t=0 
 Para calcular la esperanza de vida o expectativa de vida, para una persona de 
edad x, lo realizamos a través del cociente entre el número de años que vivirá el 
grupo desde la edad x hasta su total extinción y la cantidad de personas de edad 
exacta x: 
 
 e 
o 
x = T x / l x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 153 
 
 
SEGURO SOBRE LA VIDA DE LAS PERSONAS 
 
Un seguro sobre la vida de las personas, es un contrato, denominado póliza del 
seguro, donde una compañía o empresa, la entidad aseguradora, se compromete 
a pagar un determinado importe de capital, al beneficiario del seguro, si se 
produce un determinado evento sobre la vida de la/s persona/s asegurada/s. 
 
La entidad aseguradora, recibe un importe, que se denomina prima, la que 
representa la esperanza matemática de los importes a pagar actualizados. 
 
Se verá la esperanza matemática de los montos a pagar, sin recargo, libre de 
gastos y pagadero de una sola vez, al momento de contratar el seguro, por lo cual 
a esta prima la denominamos prima pura y única, es este el pago que da 
derecho a cobrar el capital asegurado. 
 
La entidad aseguradora abona el seguro a quien corresponda, utilizando la 
totalidad de las primas, la totalidad de los importes cobrados a todos los 
asegurados, en teoría los importes de las primas cobradas y los seguros pagados 
deben ser iguales, en la practica, se efectúan recargos al monto de la prima 
(dejaría en este caso de ser pura) los recargos son por: seguridad, gastos y 
utilidades de la compañía aseguradora, situación que no analizamos, pues para 
tener un concepto elemental de los seguros sobre la vida de las personas , bastará 
el análisis de las primas sin los recargos. Además se verá la prima única, o sea el 
pago que se realiza de una sola vez, pues no se analizarán las primas anuales 
fraccionadas, que generalmente es lo que se pacta abonar. 
 
En la actualización de la esperanza matemática de los importes a pagar, la 
entidad aseguradora adopta una tasa de interés para la valuación y una tabla de 
mortalidad para las probabilidades sobre el evento de la vida de la persona 
asegurada, además supone que: la edad del asegurado corresponde al 
cumpleaños más próximo a la fecha de contratar el seguro, las reservas 
matemáticas de la entidad aseguradora se invierten a igual tasade valuación 
utilizada en el calculo de las primas, y la mortalidad de las personas aseguradas se 
supone, se producirá de acuerdo a las tablas de mortalidad utilizadas. 
 
Los seguros sobre la vida de las personas se clasifican en: 
 seguro en caso de vida 
 seguro en caso de muerte 
 seguro mixto. 
 
Se verán los seguros en caso de vida y los seguros en caso de muerte. 
 
 
 
 
 
 154 
 
 
Seguro en caso de vida 
 
Capital diferido 
 
El capital diferido, es un seguro en caso de vida, consiste en cobrar el capital 
asegurado al final de un determinado año, si en ese momento el asegurado se 
encuentra con vida. 
 
Para tener el derecho a cobrar ese capital, se debe realizar un pago al momento 
de contratar el seguro, la prima pura u única, este pago representa el valor actual 
de la esperanza matemática del mismo. 
 
El pago que da derecho a cobrar $ 1 de capital, se calcula mediante el valor 
actual de la esperanza matemática de ese pago, se simboliza por n E x a la 
prima pura y única que da derecho a cobrar el capital diferido de $1. 
 
n E x = n P x v 
n 
 
 l x+ n 
n E x = ------- v 
n 
 l x 
 
 
Rentas vitalicias 
 
Las rentas vitalicias surgen del conjunto de pagos a efectuarse mientras la 
persona asegurada permanece con vida. 
 
Se analizan las rentas vitalicias periódicas y anuales, las que se pagan siempre 
y cuando el asegurado este con vida en el periodo correspondiente, las que se 
clasifican en: 
 Renta vitalicia inmediata, el capital asegurado se abona anualmente a partir 
del contrato del seguro. 
 
 Renta vitalicia diferida, el capital asegurado se abona anualmente, después 
de transcurrido un tiempo específicamente determinado. 
 
 Renta vitalicia temporaria, el capital asegurado se abona anualmente, por un 
período de tiempo limitado desde el contrato del seguro. 
 
 Renta vitalicia interceptada, el capital asegurado se abona anualmente, por 
un período de tiempo limitado después de transcurrido un tiempo 
específicamente determinado. 
 
Para que se concrete el pago de esta renta el evento a producirse sobre la vida 
de la persona asegurada, es que la misma permanezca con vida. 
 
 155 
Las primas puras y únicas de estas rentas vitalicias, se calculan mediante el 
valor actual de la esperanza matemática de los importes a pagar 
 
Renta vitalicia inmediata adelantada 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por ä x 
y su cálculo es: 
 
  
 ä x = ∑ t P x v 
t 
 t=0 
 
  
 ä x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t=0 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al comienzo de cada 
año, mientras el asegurado de edad x se encuentre con vida, desde el momento 
de contratar el seguro. Cobra si el asegurado esta con vida a partir de la edad x. 
 
 
Renta vitalicia inmediata vencida 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por a x 
y su cálculo es: 
  
 a x = ∑ t P x v 
t 
 t=1 
 
  
 a x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t=1 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final de cada año, 
mientras el asegurado de edad x se encuentre con vida, desde el momento de 
contratar el seguro. Cobra si el asegurado esta con vida a partir de la edad x. 
 
 
Renta vitalicia diferida adelantada 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por n / ä x 
y su cálculo es: 
 
 
  
 n / ä x = ∑ t P x v 
t 
 t = n 
 
  
 n / ä x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 156 
 t = n 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al comienzo de cada 
año, después de transcurridos los n primeros años de contratado el seguro, 
mientras el asegurado de edad x se encuentre con vida. Cobra si el asegurado 
esta con vida a partir de la edad x + n. 
 
 
Renta vitalicia diferida vencida 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por n / a x 
y su cálculo es: 
 
  
 n / a x = ∑ t P x v 
t 
 t =n+1 
 
  
 n / a x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t = n+1 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final de cada año, 
después de transcurridos los n primeros años de contratado el seguro, mientras el 
asegurado de edad x se encuentre con vida. Cobra si el asegurado esta con vida 
a partir de la edad x + n. 
 
 
Renta vitalicia temporaria adelantada 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por ä x:n┐ 
y su cálculo es: 
 
 n - 1 
 ä x:n┐ = ∑ t P x v 
t 
= ä x – n / ä x 
 
 t = 0 
 
 n - 1   
 ä x:n┐ = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x – ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t = 0 t = 0 t = n 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al comienzo de cada 
año, durante los n primeros años de contratado el seguro, mientras el asegurado 
de edad x se encuentre con vida. Cobra si el asegurado esta con vida a partir de 
la edad x hasta la edad x + n. 
 
Renta vitalicia temporaria vencida 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por a x:n┐ 
y su cálculo es: 
 n 
 157 
 a x:n┐ = ∑ t P x v 
t 
= a x – n / a x 
 
 t = 1 
 
 n   
 a x:n┐ = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x – ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t = 1 t = 1 t = n+1 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final de cada año, 
durante los n primeros años de contratado el seguro, mientras el asegurado de 
edad x se encuentre con vida. Cobra si el asegurado esta con vida a partir de la 
edad x hasta la edad x + n. 
 
 
Renta vitalicia interceptada adelantada 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por n / ä x:m┐ 
y su cálculo es: 
 n+m-1 
 n / ä x:m┐ =∑ t P x v 
t 
= n / ä x – n+m / ä x 
 
 t= n 
 
 
 n+m-1   
 n / ä x:m┐ =∑ v 
t 
 l x+ t / l x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x – ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t= n t = n t = n+m 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al comienzo de cada 
año, después de transcurridos los n primeros años de contratado el seguro, y 
durante los siguiente m años, siempre que el asegurado de edad x se encuentrecon vida. Cobra si el asegurado esta con vida a partir de la edad x + n, hasta la 
edad x + n + m. 
 
 
 Renta vitalicia interceptada vencida 
El pago que da derecho al cobro de esta renta se simboliza por n / a x:n┐ 
y su cálculo es: 
 n+m 
 n / a x:n┐ =∑ t P x v 
t 
= n / a x – n+m / a x 
 t= n+1 
 
 
 n+m   
 n / a x:n┐=∑ v 
t 
 l x+ t / l x = ∑ v 
t 
 l x+ t / l x – ∑ v 
t 
 l x+ t / l x 
 
 t= n+1 t = n +1 t = n+m+1 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final de cada año, 
después de transcurridos los n primeros años de contratado el seguro y durante 
 158 
los siguiente m años, siempre que el asegurado de edad x se encuentre con vida. 
Cobra si el asegurado esta con vida a partir de la edad x+n, hasta la edad x+n+m. 
 
Seguro en caso de muerte 
 
En los seguros en caso de muerte, llamados seguros de vida, surgen del pago 
a efectuarse cuando la persona asegurada fallece. 
 
Se analizan los seguros en caso de muerte anuales, los que se pagan según 
contrato, al final del años en el que el asegurado fallece, estos seguros se 
clasifican en: 
 
 Seguro inmediato, el capital asegurado se abona a partir del contrato del 
seguro. 
 
 Seguro diferido, el capital asegurado se abona, después de transcurrido un 
tiempo específicamente determinado. 
 
 Seguro temporario, el capital asegurado se abona, por un período de 
tiempo limitado desde el contrato del seguro. 
 
 Seguro interceptado, el capital asegurado se abona, por un período de 
tiempo limitado después de transcurrido un tiempo específicamente 
determinado. 
 
Para que se concrete el pago de esta renta el evento a producirse sobre la vida 
de la persona asegurada, es que la misma fallezca. 
 
Las primas puras y únicas de estos seguros en caso de muerte, se calculan 
mediante el valor actual de la esperanza matemática del importe a pagar 
 
Seguro inmediato 
El pago que da derecho al cobro de este seguro se simboliza por Ax 
y su cálculo es: 
  
 Ax = ∑ t -1 / q x v 
t 
 t=1 
 
  
 A x = ∑ v t (l x+ t-1  l x+t) / l x 
 t=1 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final del año del 
fallecimiento del asegurado de edad x , desde el momento de contratar el seguro. 
Cobra cuando el asegurado fallece. 
 
Seguro diferido 
El pago que da derecho al cobro de este seguro se simboliza por n / Ax 
 159 
y su cálculo es: 
 
 
  
 n / Ax = ∑ t -1 / q x v 
t 
 t=n+1 
 
  
n / A x = ∑ v 
t (l x+ t-1  l x+ t) / l x 
 t=n+1 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final del año del 
fallecimiento del asegurado de edad x, si este fallecimiento ocurre después de 
transcurridos los n primeros años de contratado el seguro. Cobra si el asegurado 
fallece a partir de la edad x + n. 
 
 
Seguro temporario 
El pago que da derecho al cobro de este seguro se simboliza por A x:n┐ 
y su cálculo es: 
 n 
 A x:n┐= ∑ t -1 / q x v 
t 
= 
 Ax  n / Ax 
 
 t=1 
 
 n   
A x:n┐ = ∑ v t (l x+ t-1  l x+t) / l x =∑ t -1 / q x v t ∑ t -1 / q x v t 
 t=1 t=1 t=n+1 
 
 Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final del año del 
fallecimiento del asegurado de edad x, siempre que este fallecimiento ocurra 
durante los primeros n años de contratado el seguro. Cobra si el asegurado 
fallece durante las edades x y x+ n. 
 
 
Seguro interceptado 
El pago que da derecho al cobro de este seguro se simboliza por n /A x:n┐ 
y su cálculo es: 
 
 n+m 
n /A x:n┐= ∑ t -1 / q x v 
t 
=
 
n / Ax 
 

 
n+m / Ax 
 
 t=n+1 
 
 n+ m   
A x:n┐= ∑ v t (l x+ t-1  l x+ t) / l x =∑ t -1 / q x v t ∑ t -1 / q x v t 
 t=n+1 t =n+1 t=n+m+1 
 
 
Es la prima pura y única, que da derecho al cobro de $ 1 al final del año del 
fallecimiento del asegurado de edad x, siempre y cuando este fallecimiento ocurra 
 160 
después de transcurridos los n primeros años de contratado el seguro y durante 
los siguiente m años. Cobra si el asegurado fallece durante las edades x+n y x+ n 
+ m. 
 Bibliografía: 
Carrizo, José Fernando: Conceptos Básicos de Matemática Financiera 
Cooperadora FCE – UNC (1979) 
Carrizo, José Fernando: Rentas variables en progresión aritmética (VPA) 
Cooperadora FCE – UNC (1981) 
Carrizo, José Fernando: Rentas variables en progresión geométrica (VPG) 
Cooperadora FCE – UNC (1979) 
Carrizo, José Fernando: Criterios de evaluación y selección de proyectos de 
inversión en las empresas Cooperadora FCE – UNC (1979) 
Carrizo, Jose Fernando: Rentas Vitalicias. Cooperadora FCE – UNC (1976) 
Ortega, Antonio: Tablas de mortalidad. Centro Latinoamericano de Demografía 
1997 
Carrizo, Elvira” Sistemas de amortización de cuotas variables en progresión 
aritmética decrecientes” anales de Asociación de Profesores Universitarios de 
Matemática Financiera, año 2006. 
Carrizo – Karl de Vega: "Corrección monetaria, ajuste de operaciones 
financieras en el contexto inflacionario". Cooperadora FCE – UNC (1991) 
Carrizo – Karl de Vega: "Empréstito". Cooperadora FCE – UNC (1990) 
 Carrizo – Karl de Vega “Valuación de deuda en sistemas de amortizaciones, 
mediante el usufructo y la nuda propiedad” Cooperadora FCE – UNC (2010) 
Carrizo – Lima: “Amortización de deudas con pagos constantes diferidos en 
 el sistema de cuotas constantes". Cooperadora FCE – UNC (1993) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a 
Introducción 
 
 
¿De qué se trata? 
 
Se analizan los conceptos básicos y fundamentales que brinda la matemática 
financiera necesarios a la hora de decidir sobre Inversión de dinero. 
Para tomar decisiones de inversión es imprescindible manejar las operaciones 
de cálculo de la tasa de interés, tasa equivalente, capitalización y actualización de 
valor monetario. 
Estos conceptos permiten introducir a los desarrollos específicos que se 
realizan en los siguientes módulos. 
 
Se conceptualiza la operación financiera se comprenderá el postulado 
fundamental en la teoría del interés, ya que se interpreta la operación financiera 
como aquella transacción de dinero donde se paga por uso del capital ajeno, se 
entiende el postulado que sostiene “el capital crece continuamente”; el crecimiento 
de dicho capital es precisamente el pago por el uso del dinero ajeno. A este pago 
se lo denomina interés, en cada operación que generainterés surge la tasa de 
interés, la que permite identificar cual será el interés de cada unidad monetaria y 
por cada unidad de tiempo, se comparan las tasas correspondientes a distintas 
transacciones monetaria, se toman decisiones de inversión, se selecciona, la 
menor cuando se paga el interés y se opta por la mayor cuando se cobra el 
mismo. 
Al no coincidir necesariamente la unidad de tiempo en cada operación 
financiera, serán útiles pero optar por una u otra alternativa de inversión, las tasas 
equivalentes de interés. 
El capital retirado de la operación financiera, el que se localiza al final de la 
misma, es igual al capital ajeno a préstamo, ubicado al inicio de la operación más 
los intereses ganados por la transacción. 
Capitalizar es sumar intereses al capital inicial y Actualizar es sustraer los 
intereses del capital final. 
Mediante estas dos operaciones de capitalización y de actualización se 
trasladan los capitales en el tiempo, así también, se realiza la valuación de pagos 
al final de la operación o la valuación al inicio de la misma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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