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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Por. RODRIGO MAZUN CRUZ
SOFTWARE ESTADÍSTICO R
Descargar R desde http://cran.r-project.org/bin/windows/base/
Seleccionar el enlace donde dice: Download R X.X.X forWindows. Donde X.X.X es la versión de R más reciente. La actual es 3.1.1
http://cran.r-project.org/bin/windows/base/R-3.1.1-win.exe
Ejecutar el instalador de R
Descargar la versión más reciente de RStudio desde la dirección:
http://rstudio.org/download/desktop
La versión más reciente para el 9 de octubre es 0.98.162
http://download1.rstudio.org/RStudio-0.98.1062.exe
Ejecutar el instalador de RStudio
NOTACIÓN FACTORIAL
Es el producto de los números naturales desde 1 hasta n. Se denota con el símbolo n!, que se lee como “n factorial”.
La función factorial es formalmente definida mediante el producto:
Por definición tenemos:
0! = 1
1! = 1
EJEMPLOS:
2!= 1 x 2 = 2, también puede ser multiplicado en forma descendente desde n hasta 1, 2! = 2 x 1 = 2.
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 ó 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120
Podemos calcular el factorial de un número si sabemos su factorial anterior, por ejemplo ¿cuál es el factorial de 6?
Como ya calculamos 5!=120, entonces 6!, será
6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720, podemos deducir la siguiente fórmula como regla general
EJERCICIOS: Calcula o resuelve según la operación indicada.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
PERMUTACIONES
Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden sí importa. Para encontrar el número de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes fórmulas:
Sin reemplazamiento
Con reemplazamiento
EJEMPLOS:
A) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite reemplazamiento?
B) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite reemplazamiento?
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Ejemplo 1: Queremos formar todas las posibles palabras de cinco letras usando las de la palabra –”BABBY”.
Ejemplo 2: Hallar el número m de palabras de siete letras que se pueden formar usando las letras de la palabra ”BENZENE”.
EJERCICIOS:
1. Calcula
2. En una pista se encuentran 6 atletas y entran en el carril de los 100 metros. ¿De cuántas maneras se pueden organizar para ganar medallas de oro, de plata y de bronce?
COMBINACIONES
Una combinación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden no importa. Para encontrar el número de combinaciones de n objetos en grupos de r, se usa la siguiente fórmula:
EJEMPLOS:
2. ¿Cuántos conjuntos se formarán con las letras a, b, c, d, tomados de tres en tres?
1. Calcular
abc, abd, acd, bcc
Si fueran permutaciones, tendríamos 24 grupos:
abc, acb, bac, bca, cab, cba
abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
EJERCICIOS:
Una clase está conformada por 9 niños y 3 niñas. Encuentre el número de formas en que un profesor puede seleccionar un comité de 4.
Una mujer tiene 11 amigos. (a) Encuentre el número de formas en las que ella puede invitar a 5 de ellos a comer. (b) 2 de los amigos están casados y no asistirán separadamente.
Sol. 210
3. Un departamento consta de 30 miembros y se requiere un comité de 5 personas para realizar una tarea. ¿Cuántos comités distintos posibles hay?
Pasos para usar permutaciones y combinaciones
> install.packages(pkgs="gtools",dependencies=TRUE)
2. Aparece una ventana, seleccione el país
3. > library("gtools") para que el paquete esté disponible cada vez que se requiera utilizar permutaciones o combinaciones se debe llamar antes de usar los temas mencionados.
Una vez instalada la libreria, pruebe con el siguiente ejemplo:
> datos<-c("a","b","c")
> permutations(3,1,datos) # n=3, r=1
> permutations(3,2,datos)
> combinations(3,2,datos)
DIAGRAMA DE ÁRBOL
El diagrama de árbol es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias etapas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades.
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples.
[Anderson(2008).Estadística para administración y economía]
Fuente: Lind/Marchal/Wathen. Estadística aplicada a los negocios y a la economía
Diseño en línea: http://silverdecisions.pl/SilverDecisions.html?lang=en
Ejemplo: https://www.plandemejora.com/programa-online-gratis-para-hacer-arbol-de-toma-de-decisiones/
H = cara
T = cruz
Encontrar la probabilidad de la familia que tiene al menos un varón.
P(al menos un niño en una familia de tres hijos) = 7/8 = 0.875
B = niño
G = niña
¿Cuál es la probabilidad de que el tercer hijo en esta familia de tres hijos sea una niña? La pregunta en realidad es sencilla; la respuesta es 0.5 (4/8).
Fuente: Lind/Marchal/Wathen. Estadística aplicada a los negocios y a la economía
EJEMPLO:
EJERCICIO 1.
Supongamos que el primer reactivo de un examen es del tipo falso/verdadero y que el segundo es de opción múltiple con cinco respuestas posibles (a, b, c, d y e). Vamos a usar los dos reactivos siguientes. ¡Intente responderlos!
1. Verdadero o falso: Una libra de plumas es más pesada que una libra de oro.
2. ¿Cuál de las opciones ha tenido la mayor influencia en nuestra comprensión de la genética?
a. Gene Hackman
b. Gene Simmons
c. Gregor Mendel
d. Los jeans
e. Jean-Jacques Rousseau
Diseñe un diagrama de árbol de las posibles respuestas (espacio muestral) si una persona hace suposiciones al azar, ¿qué probabilidad existe de que conteste ambas correctas?
EJERCICIO 2.
Mario y Eduardo van a jugar un torneo de tenis. La primera persona que gane 2 juegos seguidos o quien gane un total de 3 juegos gana el torneo. Encuentre el número de formas como puede desarrollarse el torneo. Diseñe un diagrama de árbol de los resultados posibles de como el torneo puede ocurrir.
TEOREMA DEL BINOMIO
Los números
se denominan coeficientes binomiales puestos que estos aparecen como los coeficientes en la expansión de
TEOREMA DEL BINOMIO
TRIÁNGULO DE PASCAL
Los números que aparecen en el triángulo de Pascal son los coeficientes binomiales, de acuerdo al siguiente teorema
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
………………
EJEMPLOS:
1. Escribe en forma “compacta” la fórmula para (a + b)6
2. Desarrollar ( 2a - y2)5
NOTA: en todo desarrollo de la forma (a – b) n, los términos son alternadamente positivos y negativos.
3. Encontrar el cuarto término del desarrollo de ( 2a + b3 )6
De acuerdo con la fórmula general
el cuarto término se obtiene cuando k = 3
EJERCICIOS:
1. Desarrollar y simplificar
2. Encontrar el cuarto término del desarrollo de:
n
x
n
x
x
x
x
n
)
1
(
...
3
2
1
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-
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1
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-
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n
x
n
n
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-
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-
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4
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2
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7
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n
n
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n
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r
r
n
n
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=
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1
5
4
3
2
1
!
2
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5
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3
5
(
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5
3
5
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-
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x
x
x
x
x
P
625
5
4
4
5
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P
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!
2
1
...
2
1
r
n
n
n
n
n
n
n
n
P
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20
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3
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5
3
5
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P
420
1
2
1
2
3
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2
3
4
5
6
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2
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3
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7
2
,
3
7
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×
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P
m
=
1
7
P
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(
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r
n
r
n
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r
n
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20
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2
3
4
5
6
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3
4
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6
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3
!
3
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3
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6
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6
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3
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6
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-
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x
x
x
x
x
x
x
x
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1
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2
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2
3
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4
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4
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x
x
x
x
x
x
C
142506
1
2
3
4
5
26
27
28
29
30
!
25
!
5
!
30
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5
30
(
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5
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30
5
30
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k
k
k
n
n
k
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a
0
0
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n
r
n
r
n
C
C
C
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k
k
k
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+
6
6
0
6
6
)
(
(
)
[
]
10
8
6
2
4
3
2
4
5
5
2
4
2
3
2
2
2
2
3
2
4
5
5
2
5
2
10
40
80
80
32
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0
6
6
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(
9
3
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3
3
3
3
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160
8
3
2
1
4
5
6
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2
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b
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8
3
2
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2
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x