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En el siglo 1v a.c. Euclides incluyó en su obra "Elementos" algunos problemas sobre propiedades de los números. Entre otras cuestiones, estudió los números primos, a los que definió como "aquellos que solo pueden ser medidos por la unidad". Demostró, además, que la cantidad de números primos es infinita. En el siglo xv11 el matemático italiano Cataldi publicó una tabla que contenía los números primos hasta el 750. Esta y todas las tablas que aparecieron en años posteriores se utilizaron como fuente de consulta para resolver problemas y elaborar conjeturas. En 1914 el estadounidense Lehmer publicó la "Lista de los números primos del l al 10.006.72f'. Fue la primera en estar disponible para todos los matemáticos del mundo, pero cayó en desuso a partir del desarrollo de las computadoras. En todas las listas que se publicaron y utilizaron hasta mediados del siglo xx, el número l figuraba como el primero de los números primos. Sin embargo, en muchos problemas que involucraban el uso de estos números era necesario no considerar el l para el análisis, por lo que los matemáticos decidieron que era conveniente que el l ya no fuera primo. Desde ese momento se considera que el 2 es el menor de ellos. El mayor número primo conocido se halló en 2009 usando una computadora. Está formado por casi 13 millones de dígitos. / RA Q AS HACIE ESE ÁRl30 NEALÓGI ES QUE ESTOY l3USCANDO UNOS PRIMOS. Para un festival se necesitan 343 botellas de gaseosa. Las botellas vienen en paquetes de 12. , lCuántos paquetes se necesitan? lCuántas botellas sobran? Una hoja cuadriculada tiene 52 filas de cuadraditos, cada fila tiene 42 cuadraditos. Si se duplican ,a cantidad de filas y la cantidad de cuadraditos por fila, lla cantidad total de cuadraditos será el doble, el triple o el cuádruple de la inicial? Completá la siguiente tabla, teniendo en cuenta que en todas las ca¡as hay la misma cantidad de lápices. C.IIIWad de cajas -� c..tldad.Mpkes 2 3 720 8 l.152 • Los CD se envasan en paquetes de 144. Una máquina produjo 1.000. lCuántos CD pueden utilizarse para completar la mayor cantidad posible de cajas cerradas? 12 .- Un cometa pasa rodeando la Tierra cada 32 años. El último registro indica que pasó en 1988. lndicá el primer año después de 2092 en que volverá a pasar . ► 20 24 4.320 t Usando que 24 x 18 = 432, calculá. 48 X 18 = J:. i2 X 36 = 240 X 180 = ::., 25 X 18 = _ 23 X 18 = 34 X ]8 = Usando que 864 : 24 = 36, averiguá el resultado de los siguientes cálculos. Comprobá luego con la calculadora. 864: 36 = b) l.728 : 24 = 8.640: 24 = 8.640: 240 = 432: 24 = 432: 12 = Sin hacer las cuentas, marcá con una cruz entre qué números, aproximadamente, va a estar el resultado de cada cálculo. Entre 10.000 y Más de 100.000 100.000 253 X 93 = 15] X 35 = 68 X 42 = 642 X ]99= .; Sin hacer las cuentas, completá el siguiente cuadro. LCuántas cifras tendrá el cociente en cada caso? --�--'---1 dfra r 1.358: 12 1.199 : 46 6.362: 795 3.654: 193 - -=l. dfra=s_ ......... �=-3 cifras ,. lCuál es el menor número que hay que sumarle a estos para obtener el múltiplo de 13 más cercano? a) 194 b 235 � Encontrá tres números que tengan al 15 como divisor común. lHay una única respuesta? � Encontrá tres números que tengan al 15 como múltiplo común. lHay una única respuesta? Mo.chde: e 279 Si. uh 11\ÚMe.ro ¾olu.ro.L E:S e.l re.suilo..d..o de. l..l-"'A Mu18.pli.co.ci.Ól-'I. de. .dos o MÓ.S f<i.dore.s 9ue. SeA,I,\ i,,.ÚMe.ros 11\oJ:uro-lt:.S, e.11\te>\'\Ce.5 es MÚUtplo de. co..do. u.i,,.o de e.sos f<i.dore.s. 'Por ajWl\plo, como .36 ::. � x. 4, a-ú:ol-'l.ce.s .36 es mú.LHplo de. 4 'J de. ,. ío.mbi.w.. pu�de. de.ctrse. 9ue. si. o-L di.vi.di.r 1.,1.\,\ k.ÚMe.ro 11\Q.tu.r<i.l por ob-o i'\o.t_u.ro-L e.l resto e.s cero, e.l pri.me.r 1-'1.ÚMe.ro e.s mÚU:i.plo de.l sE:.9W\Clo. 'Por ajemplo, 36 t:.S n-,ú..l�io de. L)i,,. i,,.Úmero l'\ol:uro.L E:S di.vi.si.ble por oho si. M di.vi.di.r e.l pri.mero por tl Si::.9u� se. obl:i.ei,,.e. W'i 11\ÚMero 11\o.tu.ro-l como coci.�e. � e.l resto es ce.ro. 'Por ajemplo; .36 e.s di.vi.sible por 4 por9u.e. 36 divi.di.d.o 4 f:i.e.11\E:. coci.�e. , ';I restoº� 4 por9ue. 36 : 4 ;: , ';I tl resto es ce.ro. A su. ve.z.., si. u.t\ 11\WWc.ro E:S mú..Ll:i.plo de. oho, e.L se.9Ull\.do e.s di.vi.sor d.eL pri.me.ro. 'Por ajeMplo, COMO 36 E:.S MÚLHrLo de 4, E:..1-\1:okCE:.S 4 es di.vi.sor de 36. La cooperadora de una escuela compró 180 marcadores, 72 cuadernos y 144 lapiceras para repartir entre los alumnos. Se proponen organizar esos materiales en bolsas que cumplan todas las condiciones que se muestran al costado. a lCuántas bolsas pueden armar? b) lQué cantidad de útiles de cada tipo deben colocar en cada bolsa? � Una computadora va confeccionando dos listas, una con los múltiplos de 12 y otra con los de 15. lCuáles son los primeros cinco números que aparecen tanto en una como en otra lista? • En todas las bolsas debe haber igual cantidad de cuadernos. • En todas las bolsas debe haber la misma cantidad de lapiceras. • En todas las bolsas debe haber idéntica cantidad de marcadores. • La cantidad de bolsas tiene que ser la mayor posible. • No debe sobrar ningún útil. � Tres autitos giran en una pista, siempre a la misma velocidad. Todos parten a la vez del mismo lugar. Cuando el primer autito dio 8 vueltas, el segundo dio 6 y el tercero, l O. LDespués de cuántas vueltas volverán a encontrarse? Encontrá el menor número posible tal que al dividirlo por los tres que se proponen el resto sea cero. 1 12; 18 y 30. t , 70; 42 y 56. tJ-,, Una pared rectangular de 12 m por 9 m se va a cubrir con placas cuadradas de telgopor que tengan el mayor tamaño posible sin romper ninguna. LCuál puede ser la medida del lado de cada placa? � Ana ordena su colección de en Si los agrupa de a 6, de a 8 o de a 5 siempre le sobra l. a\ LCuál es la menor cantidad de CD que puede tener? LCuántos CD puede tener si se sabe que son menos de 400? [O> Tengo una cantidad de figuritas. Si las agrupo de a 4 o de a 5, me sobran 2, y sí las agrupo de a 3 me sobra l. LCu ántas figuritas puede ser que tenga si sé que son menos de l 00? ·a .... te en parejas Encuentren todos los números naturales mayores que 1.500 y menores que 2.000, que al dividirlos por 3 y porr 5 tengan resto l, y que al dividirlos por 7 tengan resto 3. Mo.cl,..eba F"t r,,,f�lmo CQMÚII\ MÚLHrLo (M,C,M) �t: C'Áos o ,..,,¿, 11\ÚMC".roa ""°'�"'ro.L� e.� "l Mt.11\0T d.e. .SU.11 MÚLHrLos C:OMUll'\U, CL MrhLMo CC>MÚi,,. ci.LvLsor (M,C:,C'Á,) c!t. c:loa o MÓ.s l,\ÚMt.ro5 l,\O.�uro.le.i: es �l Mo..�or et.e. ::ut. ci.Lvlsoru COMl.&11\U, La siguiente multiplicación puede pensarse como un producto entre factores de una sola cifra: 24 x l O = 3 x 8 x 2 x 5. Escribí para cada multiplicación otra que dé el mismo resultado utilizando números de una cifra. )2lxl5= 12 X 14 = 20 X 18 = � Decidí, sin hacer las cuentas, si es cierto que: - 35 x 24 va a dar el mismo resultado que 4 x 5 x 3 x 7 x 2. 18 x 15 va a dar el mismo resultado que 7 x 2 x 9 x 5. 5 x 5 x 9 x 2 va a dar el mismo resultado que 15 x 30. 3 x 7 x 2 x 14 va a dar el mismo resultado que 21 x 28. �, 12 x 36 va a dar el mismo resultado que 27 x 16. � Usando que 17 x 3 x 5 x 2 = 510, encontrá los siguientes cocientes sin hacer la división. 510: 17 = 510: 15 = e 510: 3 = � Sin hacer las cuentas, Les posible saber si el resultado de cada cálculo es múltiplo de l l? a ll X 12.345 11 X 12.345 + 1 11 X 12.345 + 11 11 X 12.345 + 16 e ll X 12.345 + 22 e 510:51= en parejas Encuentren todos los divisores de: 24 b 18 40 28 Encuentren 3 números que tengan solo dos divisores. Encuentren todos los números primos que están entre 1 y 25. Determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) e Todos los números terminados en 3 son primos. b) L No existen números primos terminados en cero. e) e I El 2es el único número par que es primo. d) L Un múltiplo de un número primo es también un número primo. Descomponé el 30 como una multiplicación entr€ sus factores primos. LEs posible encontrar otra multiplicación distinta con números primos que dé 30? � Si se suman dos números primos, Lse obtiene siempre otro número primo? LA veces? LNunca? Si se multiplican dos números primos, Les posible obtener otro número primo? lA veces? LNunca? Mo..ckde.: A los VI.Ú.Me.ros �,_e1.b..1.ro..le.s 91.Le. He.�e.� solo d.os d.tvtsore.s (e.l l 'j e.se. Mi.SMo VI.Ú.Me.ro) se. los llo..Mo.. VI.Ú.Muos pri.r,,os. St u� V1.(u\11e.ro VI.O..�uro.l He.1-'1.e. Mci.s d.e. d.os d.i.vi.sore.s, se. Lo d.e.V1.0Mi.V1.o.. VI.Ú.f't'le.ro corv,pues�o. El 1 �o e.s prtr,,,o �t col'\'lpue.s�o. iCuál será el resto de dividir por 17 el resultado de cada uno de los siguientes cálculos? 1 a) 17 x 89.345 + 1 b) 17 x 3.004 + 18 e) 17 x 29.754 + 34 d) 17 x 65.723 + 35 � LSerá cierto que si un número es múltiplo de otro, entonces el doble del primer número es también múltiplo del segundo? Si se multiplica un múltiplo de 5 con un múltiplo de 4, Lel resultado será siempre un múltiplo de 1 O? El producto de dos números naturales a y b es 120. Decidí, a partir de esta información, cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. a) e 5 es divisor de a o de b. b) e 11 no es divisor de a ni de b. e) e 12 es divisor de a y de b. d) [_ 3 es divisor de a o de b. Mo.chel:e E:11\ Mo.f:emá.Hco., po.ro. i.1-\cli.ctA.r 9u.e se mu.LHpli.CG.\I\ clos o má.s kÚ.r,,e.ros, se u.H.li.z.o. el st311\o ''x_", e.l "·", o to.Mbi.é."'-, ek G.L3'-Lko.s oco..si.oll\e.s, es posi.ble 11\o colaca.r ki.k31JY\. Si.<:)kO, 'Por aje..Mplo: 3 x. M + 5 se. pued.e. e.scrtbtr. COMO 3 • M -,. 5 O 3M + S. ?o.ro. clesi.':)ko..r re.Lo.doke.s ehlre. 1-\Úme.ros to.Mbi.�l-\. se u.so. e.sl:e. Hpo d.e e.scri.f:uro..s. 'Por. ajeMplo, los mú.LHplos d.e. 3 se. pue.d..� e.scri.btr. como 3 x. k o .3 k. Esf:o.s e.scrtl:u.ro.s repre.se.\.-Ú.o.k e.l re.sull:A.d.o ele MulHpli.co.r o. .3 por k. C.omo k rue.cle. i.r co.mbi.o.i-\.clo, se. lo. d.ü\.oMi.11\o. vo..ri.o.ble '.:, i::.k e..sl:os ca.sos re.pres�� cua.l9ui.er \I\Ú.Mero \l\o.f:u.ro.l. LQué condiciones tiene que cumplir el número natural a para que el resultado de a + 10 sea divisible por 5? Si a y b son dos números naturales, y a es múltiplo de b, Lcuál es divisor común mayor entre a y b? � En la división que sigue, encontrá, si fuera posible, un valor para el número natural m, de manera que el resto de la división sea O. 56 X ffl L-ª._ lnvestigá si es posible encontrar un valor natural de m para el cual el resto no sea O. tJ> 1 En la división que sigue, encontrá, si fuera posible, un valor para el número natural h, de manera que el resto de la división sea O. (48 + h)l.§_ lnvestigá si es posible encontrar un valor natural de h para el cual el resto no sea O. en parejas rJ LQué condición tiene que cumplir el número natural g para que la división siguiente tenga resto cero? LHay una única opción? (5 + g) L-ª._ Elijan 3 números naturales consecutivos y súmenlos. LEI resultado es múltiplo de 37 LSerá cierto que si se eligen otros tres números naturales consecutivos ocurre lo mismo? LPor qué? LEs cierto que la suma de tres números naturales consecutivos siempre da un número natural par? lPor qué? 1 Analicen la validez de la siguiente afirmación: "la suma de 5 números naturales consecutivos siempre da un número que termina en 0 11• Un número excede en 7 a un múltiplo de 12. iSerá posible saber cuál va a ser el resto de su división por 4? fil Utilizando fósforos se armó una secuencia de figuras como las del dibujo. Posición l Posición 2 Posición 3 �, lCuántos fósforos habrá en la figura que está en la posición 6? lCuántos fósforos habrá en la figura que está en la posición 23? 9 en parejas , Utilizando fósforos se arma esta secuencia de figuras: Posición l Posición 2 Decídan si la fórmula 5 + 4 n - 4, en la que n representa la posición que ocupa la figura en la sucesión, permite averiguar la cantidad de fósforos necesarios para armarla y expliquen por qué. � Esta serie de figuras está constituida por bordes de cuadrados formados por cuadraditos. En cada posición la longitud del lado es un cuadradito más que la longitud del lado anterior. Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 3 lCuántos cuadraditos habrá en el cuadrado que se encuentra en la posición 77 !:, ¿cuál o cuáles de las siguientes fórmulas permiten determinar la cantidad de cuadraditos de una figura que esté en la posición n? 4 X (n + 1) 2xn+4+2xn 4 X (n + 2) - 4 .., Para saber cuántos fósforos va a haber en cualquier posición de esta serie de figuras, se puede utilizar la fórmula: Sn + l, donde n es un número que representa la posición en la serie. Posición l Posición 2 Escriban otra fórmula que sea equivalente a partir de contar los fósforos de otra manera. � Elaboren una fórmula que les permita saber cuántos puntitos va a haber en cualquier posición para la siguiente colección de figuras. • Posición 1 • • • • Posición 2 • • • • • • • • • Posición 3 • • • • • • • • • • • • • • • • Posición 4 • Posición 3 �l Para ir de Buenos Aires a Córdoba hay tres rutas dist intas. Para ir de Córdoba a Catamarca hay cuatro caminos posibles. LDe cuántas maneras se puede ir de Buenos Aires a Catamarca pasando por Córdoba? Para acceder a su cuenta bancaria desde Internet, Nicolás utiliza una clave de 4 caracteres con las letras y los números Z, W, 5, 2. L(uántas combinaciones distintas puede obtener usando esos caracteres y sin repetir ninguno? Como le parece que es una clave fácil de descubrir, quiere modificarla. Una posibilidad es repetir los caracteres, por ejemplo, WWZ2. Otra alternativa es agregar un nuevo carácter y no repetir ninguno. Por ejemplo, WZ25A. lCuál de las dos opciones le conviene para tener la mayor cantidad de combinaciones? � Para un empleo se presentan 5 postulantes. El gerente va a seleccionar a 3 de los candidatos. LDe cuántas maneras diferentes puede armar ese grupo de 3 personas? Para un empleo se presentan 5 postulantes. El gerente va a seleccionar a 3 de los candidatos. Uno para cadete, otro para asistente, y el tercero para telefonista. LDe cuántas maneras diferentes puede armar ese grupo de 3 personas? Usando que 15 x 48 = 720, calculá . 15 X 24 = f) 45 X 8 = C 150 X 480= d' 16 x 48 = \ 15 X 47 = 15 X 58 = Si hoy es jueves, lqué día de la semana será dentro de 500 días? Encontrá el mínimo común múltiplo entre: a} 18; 15y32. ) 24 y 45 '-) 36 y 15 Encontrá el máximo común divisor entre 120 y 210. Algunos de los múltiplos de un número son 20, 200 y 2.000. LDe qué número podría tratarse ? lHay una única respuesta? 1 LEntre qué dos múltiplos consecutivos de 17 se encuentra el 2.129? Encontrá el menor número tal que al dividirlo por 36 y 24 dé resto cero . Encontrá todos los números naturales menores que 300 tales que al dividirlos por 5 y por 3 tengan resto 2 y al dividirlos por 4 tengan resto 1. Sin hacer la cuenta de dividir, decidí si los siguientes números son divisibles por 24. 312 372 ) 454 744 e] 1.058 ' El número 665 es divisible por 5 y por 7. LSerá cierto que también es divisible por 35? Averiguá cuál será el resto de dividir por 35 la expresión 21 x 15 + 3. lQué condición debe cumplir el número natural a, para que esta cuenta dé por resultado un número terminado en 3? ax5+3= � Determiná qué condición debe cumplir m, para que el resto de la división sea O. (32 + m) l.§_ � Usando puntitos se armó una colección de figuras como la del dibujo. En cada posición se agrega un "piso" más. Calculá cuántos puntitos hay en la figura que está en la séptima posición. ¿y en la que está en la número 157 • Posición 1 • • • Posición 2 • • • • • • Posición 3 � LCuántos números diferentes se pueden formar con los dígitos1, 2, 3 y 4? � De 4 cifras De 4 cifras diferentes De 3 cifras ► La siguiente sucesión se forma utilizando fósforos. ·-· L l l. l Posición 1 Posición 2 Posición 3 , Decidí si la fórmula 3n + 1, en la que n representa la ubicación en la serie, permite averiguar la cantidad de fósforos necesarios para armarla y explicá por qué. Encontrá otra fórmula que te permita averiguar cuántos fósforos habrá en cualquier lugar de la serie. [!> lDe cuántas maneras distintas pueden sentarse, uno al lado del otro, 5 amigos que van juntos al cine? �"> Completá la siguiente tabla, teniendo en cuenta que en todas las cajas hay la misma cantidad de lápices. Cantidad de cajas Cantidad de lápices ' 3 4 5 360 9 864 18 201 1.800
