Matemática activados 1 (7mo) - Puerto de palos

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MATEMÁTICA
Equivalente a 7.º
 
 
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Autores
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Cintia Kotowski
Lourdes Liberto
Silvana Mastucci
Gabriela Prandini
Nora Quirós
Susana Vázquez
Foto Activados: Laura Pezzatti
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Coordinadora de Diseño
Natalia Udrisard
Diseñadora de maqueta
Patricia Cabezas
Diagramación
Pablo Alarcón y Alberto Scotti para Cerúleo
Ilustradores
Wally Gómez
Viñetas de humor: Claudio Kappel
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Latinstock
Thinkstock
Wikimedia commons
Gerente de Preprensa y Producción Editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 1 : fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 2a reimp. - 
Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 
 224 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)
ISBN 978-987-547-527-4 
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. 3. Libros de Texto. I. Abálsamo, 
Roxana 
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2012.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-527-4
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por 
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la 
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante 
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición, segunda reimpresión. 
Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, 
Andrés Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. 
 
MATEMÁTICA
Equivalente a 7.º
 
matemática
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 
635 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la 
vida cotidiana a través de la fotografía.
Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente 
de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a 
todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.
Apertura: cada capítulo comienza 
con una actividad ilustrada 
relacionada con la foto que aparece 
en la sección Foto Activados.
En la situación inicial de 
aprendizaje se introduce el tema del 
capítulo a través de una estrategia de 
resolución de problemas.
En el cuadro de 
contenidos aparecen los 
temas numerados para su 
fácil identificación.
InfoActiva: brinda 
definiciones, clasificaciones, 
procedimientos básicos y 
ejemplos de cada contenido 
que facilitan la comprensión.
Conector: invita a repasar 
conceptos explicados en páginas 
anteriores.
Test de comprensión: incluye 
preguntas básicas que permiten 
evaluar la comprensión de la teoría y 
revisar errores comunes.
Mira
Foco
LOS capítuLOS incLuyen LaS SiguienteS SecciOneS y pLaquetaS:
 
Actividades: para cada tema se 
proponen distintas actividades que 
están organizadas de manera 
secuencial (las actividades de cada 
capítulo llevan una numeración 
independiente a la de los otros).
menteACTIVA: propone 
situaciones problemáticas con un 
mayor nivel de complejidad.
Integración: incluye más 
actividades para resolver en la 
carpeta.
Autoevaluación: propone 
más actividades para que cada 
alumno pueda evaluar los 
conocimientos adquiridos 
durante el capítulo.
Trabajos prácticos: 
incluyen más actividades para 
practicar los temas del 
capítulo.
Foto activados: en esta sección, Laura 
Pezzatti, especialista en el área de la matemática, 
ofrece una serie de actividades que conectan la 
matemática con la vida cotidiana a través de la 
fotografía.
Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron 
para que podamos advertir cuánta matemática hay a 
nuestro alrededor.
foto
 
Capítulo 1: NúMeros Naturales .............. 8
 1. Sistema de numeración decimal. ......... 9
 2. Multiplicación y división. 
 Propiedad distributiva. ........................ 11
 3. Potenciación y radicación. ................. 13
 4. Operaciones combinadas. .................. 15
 Integración .......................................... 19
 5. Divisibilidad y factorización. .............. 21
 6. Múltiplo común menor 
 y divisor común mayor. ..................... 23
 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. ........ 25
 Integración .......................................... 29
 Autoevaluación ................................ 31
Capítulo 2: FraccioNes 
 y expresioNes deciMales ......................... 32
 8. Orden y representación. ..................... 33
 9. Fracciones equivalentes. .................... 35
 10. Operaciones con números 
 racionales. .......................................... 37
 11. Potenciación y radicación 
 de fracciones. ..................................... 41
 12. Operaciones combinadas 
 con fracciones. ................................... 43
 Integración .......................................... 47
 13. Fracciones y expresiones decimales. .... 49
 14. Operaciones con expresiones 
 decimales. Porcentaje. ....................... 51
 15. Operaciones combinadas. .................. 55
 Integración .......................................... 57
 Autoevaluación ................................ 59
Capítulo 3: FuNcioNes ............................. 60
 16. Gráficos y tablas. ................................ 61
 17. Funciones. ........................................... 65
 18. Función de proporcionalidad directa. ... 67
 19. Función de proporcionalidad inversa. ... 69
 Integración .......................................... 71
 Autoevaluación ................................ 73
Capítulo 4: cuerpos ................................. 74
 20. Clasificación de los cuerpos. .............. 75
 21. Poliedros regulares. ............................ 77
 22. Desarrollo plano de cuerpos. ............. 79
 23. Punto, recta y plano. ......................... 83
 Integración .......................................... 85
 Autoevaluación ................................ 87
Capítulo 5: ÁNgulos ................................ 88
 24. Sistema sexagesimal. Operaciones. ...... 89
 25. Ángulos complementarios 
 y suplementarios. ............................... 91
 26. Ángulos adyacentes y opuestos 
 por el vértice. ..................................... 93
 27. Mediatriz de un segmento 
 y bisectriz de un ángulo. ................... 95
 Integración .......................................... 97
 Autoevaluación ................................ 99
Capítulo 6: Figuras plaNas .................. 100
 28. Triángulos. Elementos 
 y propiedades. ................................... 101
 29. Construcción de triángulos. ............. 103
 30. Cuadriláteros. Elementos 
 y propiedades. .................................. 107
 31. Construcción de cuadriláteros. ......... 109
 Integración ......................................... 113
 32. Círculo y circunferencia. Elementos 
 y propiedades. ................................... 115
 33. Construcción de circunferencias. ....... 117
 34. Polígonos. .......................................... 119
 35. Construcción de polígonos 
 regulares. ............................................ 121
 Integración ........................................ 125
 Autoevaluación .............................. 127
Índice general
 
Capítulo 7: períMetro, Área 
y voluMeN ................................................ 12836. Perímetro y área de 
 figuras planas. .................................. 129
 37. Área lateral y total de prismas, 
 pirámides y cilindros. ....................... 133
 38. Unidades de capacidad y 
 unidades de volumen. ...................... 137
 39. Volumen del prisma, de la pirámide, 
 del cilindro y del cono. .................... 139
 Integración ........................................ 143
 Autoevaluación .............................. 145
Capítulo 8: probabilidad 
y estadística ............................................ 146
 40. Variables, población y muestra ........ 147
 41. Recolección y organización 
 de datos. Tablas. .............................. 149
 42. Frecuencias absolutas y relativas. ....... 151
 43. Gráficos. ............................................ 153
 Integración ........................................ 157
 44. Promedio, mediana y moda. ............ 159
 45. Experimentos aleatorios. 
 Probabilidad simple. ......................... 161
 46. Cálculo combinatorio. ....................... 163
 Integración ........................................ 165
 Autoevaluación .............................. 167
Capítulo 9: NúMeros eNteros ............. 168
 47. Números negativos. 
 Orden y representación. ................... 169
 48. Adición y sustracción. ....................... 171
 49. Multiplicación y división. ................. 173
 50. Operaciones combinadas. ................ 175
 Integración ........................................ 177
 Autoevaluación .............................. 179
Trabajos prácticos .................................... 180
 Trabajo práctico 1 .............................. 181
 Trabajo práctico 2 ............................ 183
 Trabajo práctico 3 ............................ 185
 Trabajo práctico 4 ............................ 187
 Trabajo práctico 5 ............................ 189
 Trabajo práctico 6 ............................. 191
 Trabajo práctico 7 ............................ 193
 Trabajo práctico 8 ............................ 195
 Trabajo práctico 9 ............................ 197
Control de resultados ............................... 199
foto
 
NÚMEROS NATURALES
Contenidos
1. Sistema de numeración 
decimal.
2. Multiplicación y división. 
Propiedad distributiva.
3. Potenciación y radicación.
4. Operaciones combinadas.
5. Divisibilidad y factorización.
6. Múltiplo común menor y 
divisor común mayor.
7. Lenguaje simbólico. 
Ecuaciones.
1
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. Si todos van a ir al Circo Mágico, ¿cuánto dinero deberán pagar en total de entradas? 
Escriban un cálculo para encontrar el resultado.
b. Si solo van a ir algunas personas, inventen situaciones que se respondan con cada uno de 
los siguientes cálculos. Luego, respóndanlas.
• 2 . 13 + 2 . 30 = • 3 . 13 + 2 . 30 + 4 . 20 =
c. Comparen las situaciones que inventaron con las de sus compañeros.
capítulo
a. 3 . $13 + 2 . $30 + 4 . $20 = $179 Deberán pagar $179. b. Solución a cargo del alumno.
 
9
3 4 5 7 86 9
Sistema de numeración decimal
Nuestro sistema de numeración es:
• decimal, porque utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
• posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa en el número.
billón mil de millón millón mil
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ce
nt
en
a
ce
nt
en
a
ce
nt
en
a
ce
nt
en
a
de
ce
na
de
ce
na
de
ce
na
de
ce
na
un
id
ad
un
id
ad
un
id
ad
un
id
ad
un
id
ad
Los números naturales se pueden descomponer de distintas formas. Por ejemplo:
35 042 = 30 000 + 5 000 + 40 + 2
35 042 = 3 . 10 000 + 5 . 1 000 + 4 . 10 + 2 . 1
35 042 = 3 . 104 + 5 . 103 + 4 . 101 + 2 . 100
Se lee: treinta y cinco mil cuarenta y dos.
20 040 010 000 = 20 000 000 000 + 40 000 000 + 10 000
20 040 010 000 = 2 . 10 000 000 000 + 4 . 10 000 000 + 1 . 10 000
20 040 010 000 = 2 . 1010 + 4 . 107 + 1 . 104
Se lee: veinte mil cuarenta millones diez mil.
Todos los números se pueden escribir como una suma de productos en los cuales uno de los 
factores es una potencia de base 10.
Las unidades de un número se pueden expresar como el producto entre este y una potencia de 
diez de exponente cero (tengan en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno).
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál de las descomposiciones del número 3 085 es correcta?
3 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 3 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100
b. En la descomposición del número 38 548 194, ¿el 5 se multiplica por 105 o por 106?
c. ¿Es verdad que 1 000 000 000 es igual a 1 . 109?
d. ¿Es cierto que 10 es uno de los símbolos del sistema de numeración decimal?
9
1 2
Nombre: Curso: Fecha: / /
test de comprensión
infoactiva
a. La segunda. b. 105. c. Sí. d. No.
 
10
1. Unan con flechas cada número con su descomposición.
a. 4 048 080 380 • 4 . 108 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 105 + 8 . 103 + 4 . 100
b. 4 480 080 840 • 4 . 108 + 8 . 107 + 3 . 105 + 8 . 104 + 8 . 103 + 8 . 102
c. 480 388 800 • 4 . 109 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 104 + 3 . 102 + 8 . 101
d. 448 808 004 • 4 . 109 + 4 . 108 + 8 . 107 + 8 . 104 + 8 . 102 + 4 . 101
2. Completen para que se verifique la igualdad.
a. 6 . 107 + . 10 + 3 . 10
2 + 2 . 100 = 60 050 302
b. 1 . 109 + 1 . 106 + 5 . 105 + . 10 + 1 . 10
1 = 1 001 501 010
c. 9 . 1012 + 9 . 107 + . 10 + 9 . 10
3 = 9 000 090 019 000
d. 8 . 1014 + . 10 + 8 . 10
6 + 3 . 105 + 5 . 100 = 800 000 908 300 005
3. Escriban la descomposición en potencias de diez de los siguientes números.
a. 4 040 404 = 
b. 78 615 615 = 
c. 142 208 056 = 
4. Marquen con una X las expresiones que correspondan al número 360 306.
a. Trescientos seis mil trescientos seis. 
b. 300 000 + 6 000 + 300 + 6 
c. 3 . 107 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 
d. Trescientos sesenta mil trescientos seis. 
e. Tres centenas de mil, seis decenas de mil, tres centenas y seis unidades. 
f. 3 . 106 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 
g. 3 . 105 + 6 . 104 + 3 . 102 + 6 . 100 
h. Trescientos millones sesenta mil trescientos seis. 
i. 300 000 + 60 000 + 300 + 6 
5. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones dadas.
Es mayor que doscientos mil y menor que doscientos diez mil. El valor de dos de sus cifras 
equivale a 5 . 10 3 y 3 . 10 2 . La cifra de las unidades es el doble de tres.
205 356 215 356 206 536 205 303
1 Sistema de numeración decimalACTIVIDADES
10
5
1
1
9
4
3
4
8
1 . 108 + 4 . 107 + 2 . 106 + 2 . 105 + 8 . 103 + 5 . 101 + 6 . 100
7 . 107 + 8 . 106 + 6 . 105 + 1 . 104 + 5 . 103 + 6 . 102 + 1 . 101 + 5 . 100
4 . 106 + 4 . 104 + 4 . 102 + 4 . 100
X
X
X
X
 
11
1 4 5 6 8 97 10
Multiplicación y división. Propiedad distributiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
11
2 3
Los números que intervienen en una multiplicación y en una división tienen nombres especiales.
 Multiplicación División
 a . b = c D d
 r c
 /
 D = d . c + r
producto dividendo divisor
factores resto cociente
Propiedades de la multiplicación
Asociativa: si se cambia el orden de los 
paréntesis, el resultado no cambia.
(5 . 12) . 4 = 5 . (12 . 4)
Conmutativa: el orden de los factores no 
cambia el resultado.
6 . 8 = 8 . 6
Disociativa: un factor se puede descomponer 
en otros factores.
7 . 24 = 7 . (2 . 12)
Elemento neutro: el número 1 como factor 
no cambia el resultado.
15 . 1 = 1 . 15 = 15
Propiedad distributiva de la multiplicación
 
 
3 . (4 + 5) = 3 . 4 + 3 . 5 (9 – 3) . 2 = 9 . 2 – 3 . 2
Propiedad distributiva de la división
 
 
(12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2 (15 – 9) : 3 = 15 : 3 – 9 : 3
En la división, solo se puede distribuir el divisor.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se multiplica un número por uno, ¿qué número se obtiene?
b. ¿A qué es igual 532 . 70? ¿Cómo se puede resolver aplicando propiedades?
c. Los cálculos (3 +6) . 5 y 3 + 6 . 5, ¿dan el mismo resultado?
d. ¿Cuál es el resultado de 0 : 5? ¿Y de 5 : 0?
e. Los cálculos (15 + 20) : 5 y 5 : (15 + 20), ¿dan el mismo resultado?
f. Para obtener el resultado de 120 : (10 + 2), ¿se puede aplicar la propiedad distributiva?
infoactiva
test de comprensión
a. El mismo número. b. 37 240. Disociativa y asociativa. c. No. d. 0. No se puede resolver. e. No. f. No.
 
6. Expresen las siguientes sumas como multiplicación, si es posible, y resuelvan.
a. 3 + 3 + 3 + 3 = = d. 3 + 4 = = 
b. 2 + 2 + 2 = = e. 5 + 4 + 21 = = 
c. 4 + 4 = = f. 9 + 9 + 9 = = 
7. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda.
a. 1 . 3 = 1 c. 0 . 0 = 0 e. 0 : 10 = 0 
b. 3 . 0 = 3 d. 10 : 10 = 0 f. 10 : 0 = 0 
8. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. 45 : 3 = d. 108 : 12 = 
b. 78 : 6 = e. 248 : 8 = 
c. 140 : 10 = f. 1 260 : 20 = 
9. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta.
a. 3 + (2 + 4 + 1) 3 . 2 + 3 . 4 + 1 d. (20 + 40) : 5 20 + 40 : 5
b. (20 + 40) . 5 20 . 5 + 40 . 5 e. 120 : (20 + 40) 120 : 20 + 120 : 40
c. (6 + 12) : 6 6 : 6 + 12 : 6 f. (165 – 90) : 15 165 : 15 – 90 : 15
10. Resuelvan de dos maneras diferentes, cuando sea posible.
Sin aplicar la propiedad distributiva Aplicando la propiedad distributiva
(96 + 60 + 12) : 6
7 . (20 – 6)
150 : (20 + 10)
(25 – 13 + 18) . 4
(25 + 15) : 5
11 . (13 + 5)
2 Multiplicación y división. Propiedad distributivaACTIVIDADES
12
≠ ≠
≠=
= =
F
6
8
12 7
30
27
3 . 2
2 . 4
4 . 3
15 9
63
13 31
14
No.
No.
3 . 9
F F F
V V
= 168 : 6
= 28
= 96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6
= 16 + 10 + 2
= 28
= 7 . 14
= 98
= 7 . 20 – 7 . 6
= 140 – 42
= 98
= 150 : 30
= 5
No se puede aplicar la propiedad 
distributiva.
= 30 . 4
= 120
= 25 . 4 – 13 . 4 + 18 . 4
= 100 – 52 + 72
= 120
= 40 : 5
= 8
= 11 . 18
= 198
= 25 : 5 + 15 : 5
= 5 + 3
= 8
= 11 . 13 + 11 . 5
= 143 + 55
= 198
 
5 6 7
Potenciación y radicación
Nombre: Curso: Fecha: / /
13
2 3 4 98 1110
Potenciación
La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de 
factores iguales.
 4 2 = 4 . 4 = 16 “cuatro elevado al cuadrado” 4 3 = 4 . 4 . 4 = 64 “cuatro elevado al cubo”
Propiedades de la potenciación Ejemplo
• Para multiplicar dos potencias de igual base, se 
escribe la misma base y se suman los exponentes.
32 . 33 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3
= 3 2+3 = 35
• Para dividir dos potencias de igual base, se escribe 
la misma base y se restan los exponentes.
25 : 22 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2)
= 25–2 = 23
• Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe 
la misma base y se multiplican los exponentes.
 (52) 3 = (5 . 5) 3 
= (5 . 5) . (5 . 5) . (5 . 5)
= 52 . 3 = 56
• La potenciación es distributiva con respecto a la 
multiplicación y a la división.
(4 . 3)2 = 42 . 32
(12 : 4)2 = 122 : 42
Radicación
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
√ 
___
 64 = 8, porque 82 = 64 3 √ 
___
 27 = 3, porque 33 = 27
 Se lee “la raíz cuadrada de 64 es 8”. Se lee “la raíz cúbica de 27 es 3”.
Propiedades de la radicación Ejemplo
• La radicación es distributiva con respecto a 
la multiplicación y a la división.
 √ 
______
 9 . 16 = √ 
__
 9 . √ 
____
 16 
 √ 
________
 64 : 16 = √ 
____
 64 : √ 
___
 16 
• Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, 
se escribe una raíz con el mismo índice y con el 
radicando igual a la multiplicación o división de 
los radicandos dados, según corresponda.
 √ 
__
 8 . √ 
__
 2 = √ 
_____
 8 . 2 
 3 √ 
_____
 243 : 3 √ 
__
 9 = 3 √ 
________
 243 : 9 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuáles son los cuadrados de los primeros diez números? ¿Qué raíces pueden calcular conociéndolos?
b. El procedimiento 30 . 3 . 32 = 33, ¿es correcto?
c. Para resolver 4 √ 
___
 16 , ¿se debe calcular 16 : 4?
infoactiva
test de comprensión
a. 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100. b. Sí. c. No.
 
3 Potenciación y radicaciónACTIVIDADES
14
11. Escriban el desarrollo de cada potencia y resuelvan.
a. 72 = e. 105 = 
b. 35 = f. 28 = 
c. 14 = g. 54 = 
d. 41 = h. 63 = 
12. Escriban cómo se lee cada potencia.
a. 25: 
b. 32: 
c. 23: 
13. Escriban como potencia los siguientes productos y resuelvan.
a. = 5 . 5 . 5 = d. = 7 . 7 . 7 = 
b. = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = e. = 6 . 6 . 6 . 6 = 
c. = 3 . 3 = f. = 9 . 9 . 9 = 
14. Completen con V (Verdadero) o F (Falso).
a. (5 + 3)2 = 52 + 32 d. (8 : 4)
2 = 82 : 42 
b. (5 . 3)2 = 52 . 32 e. 2
3 = 32 
c. (8 – 4)2 = 82 – 42 f. ( 2 
7 ) 2 = 27 . 22 
15. Completen con los números que faltan.
a. √ 
__
 9 = , porque 
2
 = 9 f. 
3
 √ 
___________
 = 10, porque 10 = 
b. √ 
___
 25 = , porque 
2
 = 25 g. √ 
___________
 = 8, porque 8 = 
c. 3 √ 
__
 8 = , porque 
3
 = 8 h. 
4
 √ 
___________
 = 2, porque 2 = 
d. 3 √ 
__
 1 = , porque 
3
 = 1 i. √ 
___________
 = 11, porque 11 = 
e. √ 
____
 100 = , porque 
2
 = 100 j. 
4
 √ 
___________
 = 5, porque 5 = 
16. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.
a. 23 . 23 . 2 . 20 = f. √ 
__
 2 . √ 
___
 18 = 
b. 1012 : 1010 . 10 = g. √ 
___
 75 : √ 
__
 3 = 
c. 843 : 810 . 825 : 857 = h. 3 √ 
__
 5 . 3 √ 
___
 25 = 
d. (32)2 . 32 = i. √ 
_________
 81 . 16 : 4 = 
e. (10 . 2 : 5)2 = j. 3 √ 
____________
 64 . 27 . 125 = 
7 . 7 = 49 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100 000
3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256
4 6 . 6 . 6 = 216
dos elevado a la quinta potencia.
tres elevado al cuadrado.
dos elevado al cubo.
1 . 1 . 1 . 1 = 1 5 . 5 . 5 . 5 = 625
5 7
2 6
3 9
125 343
64 1 296
9 729
3 3
6 4
2 3
F V
V F
F F
3 3
5 5
22
1 1
1010
1 0001 000
6464
1616
625625
121121
3
2
4
2
4
23+3+1+0 = 27 = 128 √ 
______
 2 . 18 = √ 
___
 36 = 6
843–10+25–57 = 81 = 8 
3
 √ 
______
 5 . 25 = 3 √ 
____
 125 = 5 
32.2 . 32 = 34+2 = 36 = 729 √ 
___
 81 . √ 
___
 16 : √ 
__
 4 = 18
102 . 22 : 52 = 16 
3
 √ 
___
 64 . 3 √ 
___
 27 . 3 √ 
____
 125 = 60
1012–10+1 = 103 = 1 000 √ 
______
 75 : 3 = √ 
___
 25 = 5
 
6 7 8 109 1211
Operaciones combinadas
Nombre: Curso: Fecha: / /
15
3 4 5
Para resolver una operación combinando todas las operaciones, se pueden seguir estos pasos.
 1. Se separa en términos.
2 . √ 
____
 36 + 12 : 2 + 52 . 3 – 615 . 68 : 621 = 2. Se resuelven las potencias y raíces 
2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 62 = (aplicando las propiedades cuando 
2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 36 = sea posible). 
12 + 6 + 75 – 36 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y 
93 – 36 = divisiones.
= 57 4. Se resuelven las sumas y restas.
Si hay operaciones en el radicando o como base de una potenciación, se deben resolver antes 
de calcular la raíz o la potencia.
 √ 
______________
 52 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 1. Se separan los términos.
 √ 
_______________
 25 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 2. Se resuelven las operaciones que hay
 √ 
____________
 25 + 36 + 3 – (5 – 3) 2 + 144 : 12 = en el radicando y en la base de la 
 √ 
____
 64 – 22 + 12 = potencia respetando la jerarquía.
8 – 4 + 12 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
= 16 4. Se resuelven las sumas y restas.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
 
a. En el cálculo 10 . (5 + 4) : 3, ¿se separó en términos correctamente?
b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones que encierran los paréntesis?
c. ¿Cómo se suprimen los paréntesis en el cálculo (3 + 8) . 2 + 6 . (5 + 4), sin resolver las 
operaciones que ellos encierran?
d. ¿Es cierto que √ 
_____________
 2 . 12 + 3 . 22 = 36?
En la página 13 
podrán repasar las 
propiedades de la 
potenciación y la 
radicación.
 
infoactiva
test de comprensión
a. No. b. Solución a cargo del alumno. c. Aplicandola propiedad distributiva. d. No. Es igual a 6.
 
4 Operaciones combinadasACTIVIDADES
16
17. Resuelvan.
a. 2 . √ 
___
 81 – 42 = e. 25 . √ 
____
 100 + 3 . 42 =
 
b. (50 . 2 – 62 : 12)0 = f. √ 
__
 52 + 50 : 16 + √ 
___
 25 . 9 – 33 =
 
c. ( 3 √ 
__
 1 + 13)3 = g. (0 . 3 √ 
__
 1 + 3 . 5 . 14 – 3 √ 
___
 27 ) : √ 
____
 144 =
 
d. √ 
____
 100 + √ 
___
 25 : (22 + 50) – 14 = h. ( 25 + √ 
___
 36 ) . √ 
__________
 22 + 72 : 6 = 
 
18. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
a. El doble de la raíz cuadrada de veinticinco.
b. La raíz cuadrada del doble de cincuenta.
c. La raíz cúbica del triple de setenta y dos.
d. El cuadrado del producto entre diez y el doble de cinco. 
e. El cuadrado de la resta entre el cubo de cinco y cien.
f. El doble de la suma entre dieciocho y el cubo de tres, menos veintitrés.
2 . √ 
___
 25 = 10
 √ 
______
 2 . 50 = 10
 3 √ 
______
 3 . 72 = 6
(10 . 2 . 5)2 = 10 000
(53 – 100)2 = 625
2 . (18 + 33) – 23 = 67
2
1
298
24
1
152
8
10
 
4 Operaciones combinadasACTIVIDADES
17
Nombre: Curso: Fecha: / /
19. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación, cuando sea posible. 
a. 317 : 315 + 4 √ 
___
 16 = h. 23 . 2 . 23 + 5 . 3 √ 
__________
 (2 + 7) . 3 =
 
b. 52 . 5 . 5 + √ 
__
 8 : √ 
__
 2 = i. 42 : 7 + (23)2 . ( √ 
___
 121 – 3 √ 
__
 6 . 3 √ 
___
 36 ) =
 
c. 100 : (102 – 52 . 3) – 
3
 √ 
_________
 1 000 : 103 = j. 3 √ 
__________
 10 000 : 10 + √ 
___
 10 . √ 
_____
 1 000 =
 
d. (47)12 . 43 : (442)2 – 32 : 16 = k. (53)9 . (54)8 : 526 : (55)6 + 83 : 43 =
 
e. 29 . 27 . 2 : (28 . 28) – 0 : 3 √ 
_____
 1 000 = l. 
4
 √ 
___________
 103 + 74 . 4 + 154 : (3 . 5)2 – 480 : 60 =
 
f. ( √ 
___
 81 + √ 
__
 9 ) : 22 + 517 : 516 = m. √ 
____
 441 : √ 
___
 49 . ( 5 – 3 √ 
__
 8 + 22 ) =
 
g. √ 
__
 3 . √ 
___
 27 + (10 + 3)2 : √ 
____
 169 = n. (39)2 : (315 . 3) + √ 
_______________
 10 . (2 + 3) – 30 =
 
11
627
143
326
110
133
223
21
16
3
62
 2
8
22
 
4 Operaciones combinadasACTIVIDADES
20. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. √ 
______
 4 . 36 4 . √ 
___
 36 e. 112 + 122 – 63 11
2 + 63 – 122
b. 26 . 16 8
2 . 15 . 3 √ 
__
 1 f. √ 
____
 100 . 102 + 1 1 + 10
2 . √ 
____
 100 
c. [29 . (27)2] (220 . 23) g. √ 
___
 20 . √ 
__
 5 
( 3 √ 
__
 3 . 3 √ 
__
 9 ) 2 
d. 6 √ 
___
 64 . 27 6 √ 
___
 64 . 72 h. 
3
 √ 
__
 82 + 22 + √ 
___
 16 4
0 + 0 : 52 + 4 √ 
___
 81 
21. Marquen con una X el cálculo que corresponde a cada situación y resuelvan.
a. ¿Cuál es el resultado de la suma entre el cubo de la raíz cuadrada de veinticinco y la raíz 
cúbica del cuadrado de ocho?
 25
3 + √ 
__
 82 ( √ 
___
 25 )3 + 
3
 √ 
__
 82 3 . √ 
___
 25 + 3 √ 
_____
 2 . 8 
b. ¿A qué es igual el doble de la diferencia entre el cuadrado de cinco y la raíz cuadrada del 
cubo de cuatro?
 2 . 5
2 – √ 
__
 43 2 . (5 . 2 – 
4
 √ 
__
 43 ) 2 . (5
2 – √ 
__
 43 )
22. Completen. 
a. √ 
___
 16 + √ 
___________
 = 4 + 5 = 
b. √ 
_______________
 50 – = √ 
___________
 = 7
c. √ 
__
 9 + √ 
___________
 = 3 + = 12
d. 
3
 √ 
___________
 + 102 = + = 109
e. 
3
 + 3 √ 
_____
 1 000 = + = 74
f. 
2
 + 120 : = + 20 = 69
g. √ 
________
 144 . 100 + = √ 
___________
 . √ 
____
 100 + 
 = . 10 + = 168 
h. – √ 
_______
 64 : 16 = – √ 
___
 64 : √ 
___________
 
 = – : = 13
18
Para hacer un trabajo de educación artística, Luis y Juan deben cortar figuras de cartón. Luis 
necesita doce cuadrados de 25 cm de lado y Juan, diez rectángulos de 15 cm por 42 cm.
a. ¿Cuánto mide la superficie de cada cuadrado? ¿Y la de cada rectángulo?
b. ¿Quién usará más cartón para cortar todas las figuras?
menteACTIVA
<
=
=
> >
>
X
X
=
<
25
1
81
729
4
7
48 144 48
4812
15 16
15 8 4
15
496
64 10
9 100
9
49
9
a. Luis: 625 cm2. Juan: 630 cm2. b. Luis.
 
Integración
capítulo
11.2.3.4COnTEnIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
23. Escriban los números que corresponden a 
las siguientes expresiones. Luego, ordénenlos 
de mayor a menor.
a. 4 C de mil, 8 U de mil y 4 u 
b. 4 . 106 + 8 . 103 + 4 
c. 5 unidades de millón, 5 unidades.
d. 500 000 + 6 000 + 5 
e. 4 . 104 + 8 . 103 + 5 . 100 
f. 400 000 + 80 000 + 80 + 6 
24. Escriban el mayor y el menor número posi-
ble usando todas las cifras de cada uno de los 
siguientes números.
número Mayor Menor
28 719
162 357
84 165
98 716
25. Marquen con una X el número que corres-
ponde a la siguiente expresión.
4 . 108 + 4 . 105 + 3 . 104 + 9 . 103 + 1 . 102
a. 400 439 100 
b. 404 309 100 
c. 400 403 910 
26. Descompongan cada número de tres for-
mas diferentes.
a. 500 641 d. 948 999
b. 1 206 181 e. 35 112 048 910
c. 400 004 f. 6 200 200 200 200
27. Respondan.
a. En una división el cociente es 20, el divi-
sor es el doble de 12 y el resto es la cuarta 
parte del cociente. ¿Cuál es el dividendo?
b. Al multiplicar dos números, se obtiene 
9 526. Si uno de los factores es 11, ¿cuál es el 
otro factor?
28. Completen las operaciones teniendo en 
cuenta el siguiente cálculo.
30 . 25 = 750
a. 60 . 25 = 
b. 30 . 5 = 750
c. 3 . 25 = 
d. 30 . 250 = 
29. Resuelvan las multiplicaciones y divisiones.
a. 16 . 3 . 5 =
b. 47 . 2 . 100 =
c. 32 . 6 . 10 : 30 =
d. 15 . 4 : 6 . 5 =
e. 104 . 15 : 5 . 24 =
f. 450 : 90 . 20 . 13 =
g. 8 100 : 9 : 3 . 5 =
h. 12 . 21 : 14 . 8 : 24 =
30. Completen con = o ≠, según corresponda. 
Expliquen la respuesta.
a. 3 . 4 4 + 4 + 4
b. (3 + 8) . 2 3 . 2 + 8 . 2
c. 10 : (20 + 30) 20 : 10 + 30 : 10
d. (2 + 8) . (8 + 3) 2 + 8 . 8 + 3
e. (20 + 30) : 10 20 : 10 + 30 : 10
f. (3 + 8) . 2 3 + 8 . 2
31. Resuelvan.
a. 3 + 4 . 12 – 10 : 2 =
b. (3 + 4) . 12 – 10 : 2 =
c. 3 + 4 . (12 – 10) : 2 =
d. 3 + (4 . 12 – 10) : 2 =
32. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva.
a. (384 + 336) : 12 =
b. 35 . (42 – 18) =
c. 27 . (12 + 15 – 21) =
d. (105 – 40 + 75) : 5 =
e. (16 + 8 – 10) . 26 =
19
Solución a cargo del alumno.
240
9 400
64
50
7 488
1 300
1 500
46
60
79
840
7
162
22
28
364
6
408 004
4 008 004
48 005
480 086
485
866
5 000 005
506 005
98 721 12 789
7 500
75
1 500
86 541 14 568
765 321 123 567
98 761 16 789
X
2
=
=
=
≠
≠
≠
 
20
33. Escriban un par de paréntesis para obtener 
el resultado indicado.
a. 12 + 56 : 8 . 2 + 36 = 74
b. 100 : 50 – 5 . 5 + 8 . 6 = 52
c. 34 – 16 : 2 + 7 . 2 = 12
d. 15 + 3 . 18 – 50 : 2 + 26 = 43
34. Resuelvan.
a. 340 . 2 + 120 . 3 – 110 . 2 = 
b. 100 . 7 – 10 . 5 + 8 . 9 =
c. 16 . 4 + 8 : 2 – 4 . 2 =
d. 158 + (78 : 2 – 27) =
e. 372 + (28 + 36 : 4) – 119 = 
f. 543 – (25 . 5 + 16 : 2) = 
35. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según 
corresponda. Expliquen las respuestas.
a. 34 = 12 
b. (3 . 2)5 = 35 . 25 
c. 32 = 23 
d. √ 
____
 100 = 50 
e. (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52 
f. √ 
__
 9 + √ 
___
 16 = √ 
___
 25 
g. √ 
__
 8 . √ 
__
 2 = √ 
___
 16 
h. 3 √ 
___
 16 : 3 √ 
__
 2 = 3 √ 
______
 16 : 2 
36. Completen.
a. ( 6 – ) . 8 = – 40 = 8
b. (3 + 4) . = 39 + = 
c. 2 . ( + ) = 36 + 22 = 
d. ( 27 + ) : 9 = + 5 = 
e. ( + ) : 2 = + 13 = 39
f. (84 – 28) : = – = 4
37. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
a. La tercera parte del cubo de seis.
b. La raíz cuadrada de la suma entre ocho y 
cincuenta y seis.
c. La raíz cuadrada de treinta y seis, más la 
quinta parte de doscientos cincuenta.
38. Resuelvan aplicando las propiedades.
a. 2318 . (235)4 : (2330 . 237) . 23 =
b. 658 : (613)3 : 619 . (62)2 =
c. (1015)10 . 10124 : (1010)20 : 1070 =
d. 5 √ 
__
 5 . 
5
 √ 
__
 53 . 
5
 √ 
__
 54 : 
5
 √ 
__
 53 =
e. 6 √ 
___16 . 6 √ 
__
 8 : 6 √ 
__
 2 =
f. √ 
___________
 81 . 64 : 144 =
39. Rodeen con color el valor que hace cierta 
la igualdad en cada caso.
a. 28 . 2 . 27 = 2 15 | 1 | 16
b. ( + 5 ) 
2
 = 36 13 | 1 6
c. 32 + = 12 3 | 6 | 2
d. 
3
 √ 
____
 . 3 √ 
____
 125 = 5 5 | 1 25
e. (32)8 : (3 . 3 . 3
10) = 9 3 | 4 | 2
f. √ 
__________
 100 + = 11 121 | 1 | 21
40. Escriban el cálculo y resuélvanlo.
a. La resta entre el cubo del doble de diez y 
el triple del cuadrado de cuarenta.
b. La resta entre el cubo de seis y la mitad 
de la raíz cuadrada de cuatro.
c. El triple del producto entre el cuadrado de 
dieciséis y la raíz cuadrada de dieciséis.
d. La mitad de la mitad del triple del cuadra-
do de dieciséis.
e. La mitad de la raíz cúbica de la resta entre el 
cuadrado de diez y el cuadrado de seis.
f. La tercera parte de la diferencia entre 
ochenta y seis y cinco, aumentada en la raíz 
cuadrada de ciento sesenta y nueve.
41. Resuelvan.
a. √ 
____
 100 . 4 + 53 – 3 . 17 =
b. ( √ 
___
 25 + √ 
__
 9 ) . 4 =
c. 102 . 3 + 92 . 5 =
d. 10 . (106 . 109 : 1012) – 103 =
e. 3 √ 
____________
 100 : 10 + 17 + 82 =
f. 25 : (29 : 27 + 16) + 4 . 10 =
g. √ 
___________________
 (2 . 8 : √ 
___
 64 + 50) . 3 =
h. 3 √ 
_____
 4 + 4 – √ 
__
 4 + 3 . (27 : 64) =
i. 3 √ 
____
 343 + 3 √ 
____
 512 . 53 – √ 
___
 49 = 
j. 8 . ( √ 
____
 900 + √ 
_____
 1 600 – √ 
_____
 2 500 ) =
20
5
52 26 26
2614
13
18 11 58
8345
52 91
48
(
(
(
(
)
)
)
)
F
F
F
F
F
V
V
V
820
 722
 60
 170
 290
410
64 = 1 296
232 = 529
104 = 10 000
 
5
 √ 
__
 55 = 5
 6 √ 
___
 64 = 2
 √ 
___
 81 . √ 
___
 64 : √ 
____
 144 = 6
114
32
705
3
9 000
6
67
1 000
45
160
3 200
192
2
40
a. 72. b. 8. c. 56.
3 072
215
 
Un número a es divisible por otro b, cuando a : b es exacta, es decir, tiene resto igual a 0.
15 es divisible por 3 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de 15
Criterios de divisibilidad
Un número es divisible por: Ejemplo
• 2, cuando es par. 76; 174
• 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 153; 6 231
• 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. 12; 300
• 5, cuando termina en 0 o en 5. 80; 315 
• 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. 138; 942
• 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. 198; 909
• 10, cuando termina en 0. 50; 230
Un número es primo cuando tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. Por ejemplo, 5 es primo, 
ya que tiene como divisores el 1 y el 5.
Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 12 es compuesto, ya 
que tiene los siguientes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descom-
posición se la denomina factorización. Para factorear un número, se pueden utilizar los siguientes 
esquemas:
 
35
70
5
7
270
35
7
1
2
5
7 70 = 2 . 5 . 7
Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento.
 70 = 2 . 5 . 7 1. Se factoriza el número.
2 . 5 = 10 2 . 7 = 14 5 . 7 = 35 2. Se calculan todos los productos posibles
 de sus factores primos.
Divisores de 70: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo. 
Divisibilidad y factorización
Nombre: Curso: Fecha: / /
21
4 7 8 9 11105 6 1312
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para saber si un número es divisible por 6, ¿alcanza con saber que es divisible por 2?
b. ¿Es correcto decir que 1 es un número primo?
c. El número 95 356, ¿es múltiplo de 4?
infoactiva
test de comprensión
a. No. b. No. c. Sí.
 
5 Divisibilidad y factorizaciónACTIVIDADES
22
42. Escriban los números que cumplen con la condición indicada.
a. Los múltiplos de 3, mayores que 120 y menores que 141: 
b. Los múltiplos de 8, mayores que 200 y menores que 250: 
c. Los divisores de 6: 
d. Los divisores de 20: 
e. Los divisores primos de 60: 
43. Escriban un número que cumpla con las condiciones dadas, usando las cifras 4, 5, 7 y 8.
a. Múltiplo de 2, pero no múltiplo de 4: 
b. Múltiplo de 4 menor que 7 000: 
c. Múltiplo de 11 y par: 
d. Divisible por 4 y que la cifra de las unidades sea menor que 8: 
e. Divisible por 5 y mayor que 8 000: 
44. Marquen una X, según corresponda. 
Es divisible por... 1 2 3 4 5 6 8 9 10 25 100
20
264
415
550
1 125
6 500
9 801
48 000
45. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación.
a. 792 b. 600 c. 1 089 d. 4 410
792 = 600 = 1 089 = 4 410 = 
46. Completen con la factorización de los siguientes números. Tengan en cuenta el ejemplo.
a. 280 = . . d. 390 = . . . 
b. 165 = . . e. 297 = . 
c. 720 = . . f. 3 025 = . 
2 7 5
3 1 1
23 . 32 . 11 23 . 3 . 52 32 . 112 2 . 32 . 5 . 72
123, 126, 129, 132, 135, 138
4 578, 4 758, 5 478, 5 874, 7 458, 7 854, 8 574, 8 754 
208, 216, 224, 232, 240, 248
5 784, 5 748, 7 548, 7 584
1, 2, 3, 6
5 478, 5 874, 7 458, 7 854
1, 2, 4, 5, 10, 20
5 784, 7 584
2, 3, 5
8 745, 8 475
X X X X X
X X X X X X
X X
X X X X X
X X X X X
X X X XX X X
X X X
X X X X X X X X X X
2
3 3
2 5
3
5 11
3 11
11
5 13
5
1
1 3
4 2
1
1 1
2 2
1
1 1
1
 
Múltiplo común menor y divisor común mayor
Nombre: Curso: Fecha: / /
23
5 8 9 1412 1310 116 7
 1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para calcular el mcm de dos o más números, ¿siempre hay que multiplicar los números?
b. Dos números son coprimos si su dcm es 1. ¿Dos números consecutivos siempre son coprimos?
c. ¿Cuáles son los factores primos comunes entre 10 y 15? ¿Y los no comunes?
El múltiplo común menor (mcm) entre dos números es el menor de los múltiplos que tienen en 
común esos números, sin tener en cuenta el 0.
Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Algunos múltiplos de 6 son: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36…
12 es el menor múltiplo 
que tienen en común.
mcm (4;6) = 12
Para hallar el mcm (12;30) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el 
múltiplo común menor.
 
12 3
 4 2
 2 2
 1
30 2
15 3
 5 5
 1 
 12 = 3 . 2 . 2 30
 12 . 30 = 3 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5
 30 = 2 . 3 . 5 
 
12
mcm (12;30) = 22 . 3 . 5 = 60 Para calcular el mcm se multiplican los factores comunes y no
 comunes con su mayor exponente.
El divisor común mayor (dcm) entre dos números es el mayor de los divisores que tienen en común 
esos números.
Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Para hallar el dcm (28;98) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el divisor 
común mayor.
 
28 2
14 2
 7 7
 1 
98 2
49 7
 7 7
 1
 28 = 2 . 2 . 7
 2 . 7 es divisor común mayor entre 28 y 98.
 98 = 2 . 7 . 7
 
dcm (28;98) = 2 . 7 = 14 Para calcular el dcm se multiplican los factores comunes con su menor 
 exponente.
6 es el mayor de los divisores que 
tienen en común.
dcm (18;24) = 6
infoactiva
test de comprensión
a. No. b. Sí. c. 1 y 5; 2 y 3.
 
6 Múltiplo común menor y divisor común mayorACTIVIDADES
24
47. Factoreen los siguientes números. Luego, hallen el mcm y el dcm en cada caso.
a. 108 180 392 108 = 
 180 = 
 392 = 
mcm (108;180;392) = dcm (108;180;392) = 
b. 20 200 2 000 20 = 
 200 = 
 2 000 = 
mcm (20;200;2 000) = dcm (20;200;2 000) = 
c. 60 36 65 60 = 
 36 = 
 65 = 
mcm (60;36;65) = dcm (60;36;65) = 
48. Planteen y resuelvan.
a. En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, 
blancas y lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las 
lilas, cada 15 minutos. ¿Cada cuántos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz?
b. Un grupo de chicos recolectó 300 muñecas, 420 pistolas de agua, 480 pelotas y 600 rompe-
cabezas para formar paquetes y regalar enel Día del Niño en un club del barrio. Si en cada 
paquete colocarán la misma cantidad de cada juguete, ¿cuál es la mayor cantidad de paquetes 
que podrán armar? ¿Cuántos juguetes de cada tipo tendrá cada paquete?
c. Juan va al club cada tres días, Santiago cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres 
juntos el 1 de junio, ¿cuándo volverán a encontrarse? ¿Se encontrarán el 23 de junio? ¿Y el 25?
d. Para festejar el Día del Amigo, Camila compró 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 carame-
los. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para 
cuántas amigas le alcanza? ¿Qué deberá colocar en cada bolsa?
122 . 32 . 5 . 13 = 2 340
5 . 13
22 . 32
22 . 3 . 5
22 . 5 = 2024 . 53 = 2 000
24 . 53
23 . 52
22 . 5
22 = 423 . 33 . 5 . 72 = 52 920
23 . 72
22 . 32 . 5
22 . 33
Se encienden cada 60 minutos.
Podrán armar 60 paquetes con 5 muñecas, 7 pistolas, 8 pelotas y 10 rompecabezas cada uno.
El 13 de junio. No. Sí.
Para 6 amigas. Deberá colocar 2 esmaltes, 1 collar, 3 anillos y 6 caramelos.
 
Lenguaje simbólico. Ecuaciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
25
6 9 10 11 13127 8 1514
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El siguiente de un número, ¿cómo se expresa en lenguaje simbólico?
b. ¿Cómo se traduce x 2 al lenguaje coloquial?
c. La ecuación 5x + x + 2x = 56, ¿es equivalente a 7x = 56?
El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial.
La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
El triple de un número. 3 . x
La cuarta parte de un número. a : 4
El anterior de un número. b – 1
El doble de un número, disminuido en cuatro. 2 . x – 4
Si entre un número y la letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de multiplicar.
6 . x = 6x
Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita.
x – 3 = 20
 
 1.° miembro 2.° miembro
Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verda-
dera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación.
Para resolver una ecuación, se deben obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma 
solución, teniendo en cuenta las siguientes propiedades.
• Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad.
• Se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de la igualdad.
• Se aplica una potencia o raíz a ambos miembros de la igualdad.
 x + 3 = 12 6 . x = 42 x4 = 81
 x + 3 – 3 = 12 – 3 6 . x : 6 = 42 : 6 4 √ 
__
 x4 = 4 √ 
___
 81 
 x = 9 x = 7 x = 3
 x – 8 = 21 x : 5 = 8 3 √ 
__
 x = 5
 x – 8 + 8 = 21 + 8 x : 5 . 5 = 8 . 5 3 √ 
__
 x 3 = 53
 x = 29 x = 40 x = 125
infoactiva
test de comprensión
a. x + 1. b. Un número elevado al cuadrado. c. No, a 8x = 56.
 
49. Traduzcan al lenguaje simbólico.
a. El doble de un número. 
b. El anterior del doble de un número. 
c. El doble del anterior de un número. 
d. La mitad de un número. 
e. La diferencia entre un número y su anterior. 
f. El producto entre el doble de un número y su consecutivo. 
50. Unan con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente.
a. La tercera parte del cuadrado de un número. • (x : 3)2
b. El cuadrado de la tercera parte de un número. • x2 : 3
c. El producto entre un número y su cubo. • x . x3
d. El cubo del producto entre un número y su cubo. • [x + (x – 1)] : 2
e. La mitad de la suma entre un número y su anterior. • 3 √ 
_________
 x – (x – 1) 
f. La raíz cúbica de la resta entre un número y su anterior. • (x . x3)3
51. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvanlas.
a. 2 . (x – 5) = 36 b. x : 2 + 24 = 2 . 15
 
52. Encuentren el valor de cada incógnita y verifiquen.
a. 8 + m = 52 d. 3 + a : 2 = 19
 
b. t – 8 = 23 e. y3 = 25 . 2
 
c. 3 + x . 2 = 19 f. √ 
__
 n = 32 + 50
 
7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES
26
El doble de la diferencia entre un número y cinco 
es igual a treinta y seis.
La mitad de un número, aumentada en 24 es 
igual al doble de quince.
m = 17 a = 32
t = 16 y = 4
x = 8 n = 100
2a
2a – 1
2 . (a – 1)
a : 2
a – (a – 1) 
2a . (a + 1)
 
7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES
27
Nombre: Curso: Fecha: / /
53. Resuelvan cada ecuación y verifiquen la solución.
a. 3 + x = √ 
_______
 25 – 16 h. 10x + 15 + 4 = 37 + 4x 
 
b. 5x – 2 2 = √ 
___
 36 i. 42 + 9x + √ 
__
 4 = 16 . 5 + 2 + 7x 
 
c. x . (4 + 50) = 53 j. 6x – 6 + 3x = 3x + 6
 
d. √ 
__
 9 + x : 3 = 32 k. 3x + 5x – 49 = 2x + x + 11
 
e. 5 + x : 2 = 20 : 4 l. 9x + 45 – 5x = 16 + 5 . 6 + 3x
 
f. 6x + 3x + 7 . 3 = 5 + 35 . 2 m. 6x + 343 : 72 – x = (22 + 1) : 5 + 14 + 3x
 
g. 3x + 50 + x = 25 + 3 √ 
__
 1 n. 4x + 15 + 6x + 3 √ 
__
 8 : 2 = √ 
____
 100 + 8x 
 
x = 0 x = 3
x = 2 x = 32
x = 25 x = 2
x = 87
x = 0
x = 6
x = 8
x = 12
x = 1
x = 4
x = 4
 
28
7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES
28
El triple de la edad que Sebastián tendrá dentro de cinco años es igual al doble de la edad 
que tendrá dentro de 23 años. ¿Cuál es la edad actual de Sebastián?
menteACTIVA
54. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva.
a. 4 . (x + 2) = 28 e. 17x – 5 = 5 . (2x + 1) – 3
 
b. 36 + 59 = (20x + 10) : 2 f. 6 . (3x + 5) = 3 . (20 + x)
 
c. 3 . (4x + 6) = 198 g. 3 . (x + 2) = 2 . (x + 2) + 2
 
d. (x + 6) . 9 + 19 = 181 h. 3 . (x – 6) = (2x + 1) . 5 – 8 . 9
 
55. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados.
a. x3 + 3 . 14 = 52 . 10 + 8 c. (x – 2)3 + 18 = 530
 
b. 3 . 100 + 26 + √ 
__
 x = 12 . 28 d. √ 
_________
 6 . (x + 9) = 2 . 6
 
x = 5 x = 1
x = 9 x = 2
x = 15 x = 0
x = 12
x = 6
x = 100
Sebastián tiene 31 años.
x = 7
x = 10
x = 15
 
29
56. Escriban.
a. Todos los divisores de 28.
b. Todos los divisores de 45.
c. Todos los múltiplos de 15 mayores que 16 
y menores que 90.
57. Con las cifras 0, 2, 8 y 5 escriban un 
número que cumpla con las condiciones dadas.
a. Un número de cuatro cifras distintas que 
sea múltiplo de 2 y de 5 a la vez. 
b. Un número de cuatro cifras distintas que 
sea divisible por 2, pero que no sea divisible 
por 5.
c. Un número de cuatro cifras distintas que 
sea divisible por 3, pero que no sea divisible 
por 6.
58. Resuelvan.
a. Marcos dividió un número por 15 y obtuvo 
resto 0.
• ¿El número es múltiplo de 15?
• ¿El número es múltiplo de 3?
• ¿El número es múltiplo de 10?
• ¿El número es múltiplo de 5?
• ¿El número es múltiplo de 30?
b. Florencia dividió un número por 8 y obtu-
vo resto 5.
• Si quiere convertir el número para que sea 
divisible por 8, ¿cuánto deberá sumarle?
• Si quisiera que el nuevo número fuera múl-
tiplo de 80, ¿por qué número debería multi-
plicarlo?
59. Factoreen los siguientes números y expré-
senlos como multiplicación.
a. 1 400 = d. 2 835 = 
b. 1 056 = e. 2 548 =
c. 2 500 = f. 7 007 = 
60. Observen las siguientes potencias de diez 
y respondan. Expliquen sus respuestas.
1023 1012 1021 103
a. ¿Cuál expresa el dcm entre ellas?
b. ¿Cuál expresa el mcm entre ellas?
61. Resuelvan.
a. Si se divide un número por 3, por 5 y por 
7, el resto es 0; pero si se lo divide por 6, 
sobra 3. ¿Cuál es el número?
b. Si al número de la actividad anterior se lo 
divide por 2, ¿qué resto se obtiene? ¿Por qué? 
c. Si se divide un número por 5, por 9 y por 
7, el resto es 0; pero si se lo divide por 2, 
sobra 1. Si se cuadruplica el número, ¿qué 
número se obtiene?
d. ¿Por qué número se debe dividir 1 548 para 
que el cociente sea 64? ¿Cuál será el resto?
62. Tengan en cuenta la descomposición de los 
siguientes números y escriban V (Verdadero) o 
F (Falso), según corresponda. Expliquen la res-
puesta.
2 100 = 2 2 . 3 . 5 2 . 7 441 = 3 2 . 7 2 
2 200 = 2 3 . 5 2 . 11 440 = 2 3 . 5 . 11a. 8 es divisor de 2 200. 
b. 440 es divisible por 22. 
c. 49 es divisor de 441. 
d. 25 es divisor de 2 100 y de 2 200. 
e. 2 200 es divisible por 55. 
f. El dcm entre los cuatro números es 4. 
g. El mcm entre los cuatro números es: 
23 . 32 . 52 . 72 . 11 
h. 440 y 441 son coprimos. 
i. 2 200 y 441 son coprimos. 
j. 1 es el dcm entre los cuatro números. 
k. 2 100 es divisible por 7, pero no por 49. 
l. El dcm de 2 100 y 2 200 es: 22 . 52. 
63. Escriban.
a. Tres números mayores que 4 y que tengan 
el 64 como mcm.
b. Tres números menores que 80 y que ten-
gan el 20 como dcm.
29
Integración
capítulo
15.6.7COnTEnIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
1, 2, 4, 7, 14, 28
Sí.
3
No se sabe.
1, 3, 5, 9, 15, 45
Sí.
Sí.
Por 10.
103
1023
20; 40; 60
192; 128; 320
No se sabe.
30, 45, 60, 75.
105
1 260
Por 24. El resto será 12.
2 850
1
5 028
8 025
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
23 . 52 . 7
25 . 3 . 11
22 . 54
34 . 5 . 7
22 . 72 . 13
72 . 11 . 13
 
3030
64. Hallar el mcm y el dcm entre los siguien-
tes números.
a. 60; 90; 150.
b. 175; 200; 280.
c. 48; 80; 120; 180.
d. 17; 7; 11.
e. 84; 350; 450.
f. 27; 243; 729.
65. Resuelvan.
a. Si el papá de Ema recibe una publicación 
deportiva trimestralmente, una revista de 
actualización médica bimestralmente y un 
suplemento deportivo europeo cada 5 meses, 
¿cada cuántos meses recibe simultáneamente 
las tres publicaciones?
b. La mamá de Andrea tiene 300 cintas ver-
des y 450 blancas para armar moños de rega-
lo. Si todos los moños deben tener la misma 
cantidad de cintas de cada color, ¿cuántos 
moños podrá hacer? ¿Qué cantidad de cintas 
verdes y blancas tendrá cada moño? 
66. Planteen la ecuación y resuelvan. Luego 
verifiquen.
a. El doble de la edad de Mariana es igual a 
la mitad de cincuenta y seis. ¿Cuál es la edad 
de Mariana?
b. El precio de tres kilogramos de helado es 
igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuánto 
cuesta el kilo de helado?
c. El peso de Luca aumentado en seis es 
igual a la mitad de veinte kilogramos. 
¿Cuántos kilogramos pesa Luca?
d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto 
de panchos es igual al doble de ciento ocho. 
¿Cuánto se vendió en total?
67. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen.
a. (x + 12) : 6 – 5 = 3
b. (x – 3) : 3 + 20 = 42 + 8
c. 5x – 100 = 69 – 8x
d. 6x – 18 + 2x = 3x + 17 . 6
e. 3 . (x + 5) – 2x + 1 = 48 : 3
f. (x – 2) . 4 + 36 = 45 . 2 + x + 4
68. Resuelvan.
a. Agustín y su hermana Belén completaron un 
álbum de 420 figuritas deportivas. Agustín con-
siguió 162 figuritas más que su hermana. Si x 
representa la cantidad de figuritas que consiguió 
Belén, ¿cuál de las siguientes expresiones permi-
te calcular esas figuritas? ¿Cuántas figuritas obtu-
vo cada uno de ellos?
 x + 162 = 420 162 + x + x = 420
x + 162 + x – 162 = 420
b. Dos amigas, Sandra y Andrea, han tejido 
mantitas para vender. Andrea tejió 8 mantitas 
menos que Sandra y entre ambas se compro-
metieron a entregar 60 mantitas. Si x represen-
ta la cantidad de mantitas que tejió Sandra, 
¿cuál de las siguientes expresiones permite cal-
cular esa cantidad? ¿Cuántas mantitas tejió 
cada una?
 8 – x – 60 = x 8 – x + x = 60
x – 8 + x = 60
69. Escriban la ecuación y resuélvanla.
a. La suma entre el triple de un número y 
el doble de su siguiente es igual a la mitad 
de 84.
b. El cociente entre 20 y 5 es igual al doble del 
anterior de un número, aumentado en 4. ¿Cuál 
es el número?
70. Resuelvan las ecuaciones e indiquen cuá-
les tienen la misma solución.
a. √ 
____
 144 + x : 23 = 70 + 6 . 2
b. x + 3x – 812 : 811 = √ 
___
 64 
c. (x + 2) . 32 = (37)3 : 318
d. (54 – 53) . x – 25 . 10 = 250
71. Resuelvan las siguientes ecuaciones con 
potenciación y radicación. Verifiquen los resul-
tados.
a. x2 – (36 + 2 . 5) = 2 . 32
b. 25 + x3 = 36 + 82 + 2 . 25
c. 45 : (7 + 23) = 3x2
d. 3 √ 
__
 x + 6 . 8 = 52 . 2
e. (7 + 2)2 + √ 
__
 x = 9 . 10
f. √ 
__
 x + 6 . 5 = 22 . 32
30
mcm = 900; dcm = 30
Cada 30 meses.
mcm = 720; dcm = 4
mcm = 1 400; dcm = 5
mcm 1 309; dcm = 1
mcm = 729; dcm = 27
150 moños. 2 cintas verdes y 3 blancas.
mcm = 6 300; dcm = 2
14 años. 20 : 5 = 2 . (x – 1) + 4; x = 1
3x + 2 . (x + 1) = 84 : 2; x = 8
4 kg
$60
864
x = 15 x = 5
x = 4
x = 24 x = 8
x = 1
x = 13 x = 1
x = 1
x = 0 x = 81
x – 8 + x = 60; x = 34
x = 36 x = 8
x = 8
162 + x + x = 420; x = 129
x = 22 x = 36
 
31
Autoevaluación 1
72. Descompongan de tres formas diferentes.
26 062 206 = 
73. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible.
a. 4 . (5 . 7 + 10) + 270 : 30 – (18 – 4 . 2) = 
b. 58 . 513 : 519 + (4 . 9 – 12)0 – √ 
___
 45 : √ 
__
 5 = 
c. 
3
 √ 
___________
 23 . 40 + 231 + 102 . 5 = 
74. Resuelvan.
El médico le recetó a Florencia tomar un antibiótico cada 8 horas y un analgésico cada 6 horas.
a. ¿Cada cuántas horas debe tomar los dos medicamentos juntos?
b. ¿Cuántas pastillas del antibiótico debe tomar por día? ¿Y del analgésico?
75. Calculen el mcm y el dcm entre 675, 540 y 180.
76. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Verifiquen el resultado.
El doble de la suma entre un número y veinticinco es igual a la mitad de ciento ochenta y cuatro, 
disminuido en cuatro.
31
capítulo
2 . 107 + 6 . 106 + 0 . 105 + 6 . 104 + 2 . 103 + 2 . 102 + 0 . 101 + 6 . 100 
2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6 
20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2 000 + 200 + 6
507
Cada 24 horas.
3 pastillas del antibiótico y 4 del analgésico.
mcm (180;540;675) = 2 700; dcm (180;540;675) = 45
2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19
179
23
 
Fracciones y expresiones 
decimales
Contenidos
8. Orden y representación.
9. Fracciones equivalentes.
10. Operaciones con números 
racionales.
11. Potenciación y radicación 
de fracciones.
12. Operaciones combinadas 
con fracciones.
13. Fracciones y expresiones 
decimales.
14. Operaciones con 
expresiones decimales. 
Porcentaje.
15. Operaciones combinadas.
2
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. Completen.
En el grupo hay chicos, donde son varones y son mujeres.
b. Inventen preguntas cuyas respuestas sean cada una de las siguientes fracciones.
 4 __ 9 ; 
5 __ 9 ; 
3 __ 5 ; 
2 __ 9 
c. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron.
capítulo
9 5 4
b. ¿Qué fracción representa la cantidad de mujeres que hay? ¿Y la cantidad de varones? ¿Qué fracción repre-
senta a los varones de remera rayada? ¿Y a los chicos que usan anteojos?
 
33
Orden y representación
Números racionales
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción.
Se denomina fracción al cociente entre dos números naturales a y b (con b distinto de 0).
5
— 
8
numerador
denominador
Queda 5 __ 8 de torta.
Toda fracción mayor que un entero se puede expresar como número mixto.
 4 __ 3 = 1 
1 __ 3 
 un entero 1 __ 3 
Representación en la recta numérica
Para representar fracciones en la recta numérica, se divide cada unidad en tantas partes iguales 
como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador.
Para representar 3 __ 2 :
 0 1 2
3 
2
Como el denominador de la fracción es 2, 
se divide cada unidad en dos partes iguales.
Como el numerador es 3, 
se toman 3 de esas partes. 
Comparación de fracciones
Para comparar dos fracciones, se pueden usar distintos procedimientos.
• Para comparar 1 __ 4 y 
5 __ 6 : se multiplican cruzados los numeradores y denominadores, comenzan-
do por el numerador de la primera fracción. Se escriben los resultados obtenidos y se los 
compara. 1 __ 4 y 
5 __ 6 1 . 6 < 4 . 5 6 < 20, entonces 
1 __ 4 < 
5 __ 6 .
• Para comparar 1 __ 3 y 
1 __ 7 : como los numeradores son iguales y en 
1 __ 3 se divide al entero en menos 
partes que en 1 __ 7 , entonces 
1 __ 3 > 
1 __ 7 .
• Para comparar 5 __ 6 y 
6 __ 5 : como 
5 __ 6 es menor que un enteroy 
6 __ 5 es mayor que 1, entonces 
5 __ 6 < 
6 __ 5 .
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para representar 4 __ 6 en la recta numérica, ¿en cuántas partes se puede dividir la unidad?
b. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 4 __ 3 o 
20 ___ 15 
c. ¿Cómo pueden comparar 3 __ 8 con 
3 __ 5 ? ¿Y 
7 __ 8 con 
8 __ 7 ?
test de comprensión
33
10 11 12 14 15138 97 16
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
a. 6 o 3. b. Son iguales. c. Se analizan los denominadores. 7 __ 8 es menor que 1 y 
8 __ 7 es mayor.
 
34
1. Representen en la recta numérica las siguientes fracciones.
a. 5 __ 3 ; 
1 __ 3 ; 
3 __ 3 ; 
7 __ 3 
10 2
b. 1 __ 3 ; 
2 __ 3 ; 
3 __ 4 ; 
5 __ 4 
0 1
c. 1 __ 4 ; 
3 __ 6 ; 
2 __ 3 ; 
5 __ 6 
0 1
2. Escriban la fracción que representan los puntos indicados con letras.
0 dca b 1 e2 3
a = 
 
 b = 
 
 c = 
 
 d = 
 
 e = 
 
3. Escriban como número mixto las fracciones de la actividad anterior, siempre que sea posible.
a = 
 
 b = c = d = 
 
e = 
4. Ordenen de menor a mayor las fracciones que aparecen en el enunciado.
Elvira decidió hacer un pan dulce para compartir con sus nietos. Compró 3 __ 4 kg de frutas abrillanta-
das, 1 __ 2 kg de pasas de uva, 
3 __ 5 kg de almendras acarameladas y 
4 __ 5 de nueces.
5. Escriban la fracción que indica la parte pintada. Luego, ordénenlas de mayor a menor.
a. 
 
 b. 
 
 c. 
 
6. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones y represéntenlas en una recta numérica.
 10 ___ 9 - 
7 __ 6 - 
5 __ 6 - 
4 __ 9 - 
4 __ 3 - 
2 __ 3 - 
1 __ 6 - 
5 __ 9 
8 Orden y representaciónACTIVIDADES
34
 5 __ 3 
7 __ 3 
1 __ 3 
 1 __ 3 
2 __ 3 
3 __ 4 
5 __ 4 
 1 __ 4 
3 __ 6 
2 __ 3 
5 __ 6 
 3 __ 3 
4
4
3 10 7
6 3 6 2
0 0 1 2 3
6 12 24 29
9
9
5 5 5
9 9 9 9
9 9 9 9
 1 __ 2 ; 
3 __ 5 ; 
3 __ 4 ; 
4 __ 5 
 1 __ 6 < 
4 __ 9 < 
5 __ 9 < 
2 __ 3 < 
5 __ 6 < 
10 ___ 9 < 
7 __ 6 < 
4 __ 3 
 10 ___ 5 ; 
7 __ 5 ; 
3 __ 5 
 
35
Fracciones equivalentes
Nombre: Curso: Fecha: / /
35
8 11 12 13 15149 10 1716
Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional.
0 1
3— 
5
6—— 
10
3— 
5
6—— 
10
Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se pueden aplicar estos procedimientos.
Procedimientos para obtener fracciones equivalentes
Amplificación Simplificación
Se multiplican el numerador y el denominador 
por un mismo número natural distinto de cero.
4—— 
14
2— 
7
. 2
. 2
Se dividen el numerador y el denominador por 
un mismo número natural que sea divisor de 
los dos.
2— 
5
8—— 
20
: 4
: 4
2— 
5 es irreducible porque 
no se puede simplificar.
Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se puede aplicar la propiedad fundamental de 
las proporciones. Si al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la 
segunda, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el denominador de la primera por el 
numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes.
 15 ___ 12 es equivalente con 
20 ___ 16 , porque 15 . 16 = 12 . 20 = 240
Fracción irreducible
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son coprimos, es decir que 
solo tienen a 1 como divisor común.
 4 __ 7 es irreducible porque 4 y 7 son coprimos.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo reconocen una fracción irreducible?
b. La fracción irreducible de 35 ___ 15 , ¿es 
7 __ 3 ?
c. ¿Cómo se puede comprobar que 36 ___ 30 y 
48 ___ 40 son equivalentes?
d. ¿Cuál es la fracción irreducible de 56 ___ 36 ?
test de comprensión
infoactiva
a. El numerador y el denominador son coprimos. b. Sí. c. 36 . 40 = 30 . 48. d. 14 ___ 9 .
 
7. Escriban la fracción irreducible que representa cada color, en la siguiente figura.
a. Rojo: 
 
d. Amarillo: 
 
b. Verde: 
 
e. Blanco: 
 
c. Azul: 
 
8. Tachen las fracciones que no son equivalentes a la fracción dada.
a. 2 __ 7 
12 ___ 17 
6 ___ 21 
20 ___ 70 
10 ___ 42 
32 ___ 112 c. 
18 ___ 4 
9
 __ 2 
45 ___ 10 
90
 ___ 20 
27 ___ 6 
216 ____ 52 
b. 4 __ 5 
44 ___ 55 
16 ___ 25 
36 ___ 45 
68 ___ 85 
56 ___ 75 d. 
6 __ 3 
120 ____ 60 2 
108 ____ 57 
30 ___ 15 
1 __ 2 
9. Escriban como fracción irreducible la parte sombreada de cada figura.
a. d. 
 
b. e. 
 
c. f. 
 
10. Simplifiquen las siguientes fracciones y exprésenlas como fracción irreducible.
a. 84 ___ 48 = 
 
c. 248 ____ 52 = 
 
e. 630 ____ 180 = 
 
 g. 420 ____ 840 = 
 
b. 72 ___ 96 = 
 
d. 36 ____ 108 = 
 
f. 150 ____ 225 = 
 
 h. 825 ____ 396 = 
11. Completen con una fracción que se encuentre entre las fracciones dadas.
a. 3 __ 8 < < 
6 __ 8 c. 
7 __ 4 < < 
7 __ 3 e. 
2 __ 3 < < 
3 __ 2 g. 
2 __ 7 < < 
1 __ 2 
b. 4 __ 6 < < 
5 __ 6 d. 
9
 __ 5 < < 
9
 __ 2 f. 
1 __ 8 < < 
1 __ 5 h. 
2 __ 7 < < 
3 __ 8 
9 Fracciones equivalentesACTIVIDADES
36
1 1
1 1
1
2 24
4 8
12
1
3
1
4
3
8
1
4
1
2
7
4
62
13
7
2
1
2
3
4
1
3
2
3
25
12
3
16
5
8
25
12
5
6
5
14
13
18
20
10
6
40
19
56
 
Operaciones con números racionales
Nombre: Curso: Fecha: / /
37
9 12 13 14 161510 11 1817
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que 8 __ 5 + 
3 __ 5 = 
11 ___ 10 ?
b. Cuando se multiplican dos fracciones, ¿conviene simplificar antes de hacer el cálculo?
c. En el cálculo 2 ___ 15 : 
5 __ 3 , ¿se pueden simplificar el 15 y el 5?
test de comprensión
infoactiva
Adición y sustracción
Para sumar o restar dos fracciones de distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes 
que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el múltiplo 
común menor entre los denominadores.
 2 __ 5 + 
1 __ 4 = 
8 ___ 20 + 
5 ___ 20 = 
13 ___ 20 
7 __ 4 – 
5 __ 6 = 
21 ___ 12 – 
10 ___ 12 = 
11 ___ 12 
mcm (5;4) = 20 mcm (4;6) = 12
Los siguientes cálculos se pueden resolver mentalmente.
1 entero son 5 __ 5 1 + 
2 __ 5 = 
7 __ 5 2 enteros son 
14 ___ 7 2 – 
3 __ 7 = 
11 ___ 7 
Multiplicación y división
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.
 
3— 
4
2— 
3
 2 __ 3 
. 3 __ 4 = 
2 . 3 _____ 3 . 4 = 
1 __ 2 
2 __ 3 
. 3 __ 4 = 
2 . 3 ____ 3 . 4 = 
6 ___ 12 = 
1 __ 2 
1 1 1
2 21
Se simplificaron 
las fracciones que 
se quiere multiplicar.
En los dos casos 
se llega al mismo 
resultado.
Se simplificó 
la fracción 
resultado.
Para calcular una fracción de un entero, se debe multiplicar el número por el numerador de la 
fracción y dividirlo por el denominador.
 3 __ 4 de 1 000 = 
3 __ 4 
. 1 000 = 3 . 1 000 ________ 4 = 750
Toda fracción distinta de cero admite un inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multipli-
cativo de 2 __ 3 es 
3 __ 2 , porque 
2 __ 3 
. 3 __ 2 = 1. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por 
el inverso multiplicativo de la segunda.
 3 __ 4 : 
1 ___ 12 = 
3 __ 4 
. 12 ___ 1 = 9
a. No, es 11 __ 5 . b. Sí. c. No.
 
38
12. Resuelvan mentalmente.
a. 1 __ 7 + 
8 __ 7 = c. 
8 __ 5 – 
3 __ 5 + 
1 __ 5 = e. 
3 __ 8 + 2 = 
b. 10 ___ 3 – 
4 __ 3 = d. 
5 __ 6 – 
1 __ 6 + 
3 __ 6 = f. 1 – 
4 __ 9 = 
13. Marquen con una X el cálculo que representa la situación y resuélvanlo.
Un micro de larga distancia salió de la estación deRetiro rumbo a la costa atlántica. En el cami-
no, realizó varias paradas en las que subieron o bajaron pasajeros. En Retiro subió 3 __ 5 del pasaje, 
en San Clemente subió 1 ___ 10 del total, en Santa Teresita bajó 
1 __ 3 de los pasajeros y en San Bernardo 
subió 2 __ 5 . Si el recorrido finalizó en Mar de Ajó, ¿qué parte del pasaje llegó?
a. 3 __ 5 + 
1 ___ 10 – 
1 __ 3 + 
2 __ 5 = b. 1 – 
3 __ 5 + 
1 ___ 10 – 
1 __ 3 + 
2 __ 5 = c. 1 – ( 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 ) = 
14. Resuelvan.
a. 3 __ 4 – 
1 __ 2 + 
1 __ 8 = = 
b. 3 __ 4 – ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) = = 
c. 2 __ 5 + 
1 __ 2 – 
1 __ 3 = = 
d. 2 __ 5 – 
1 __ 2 + 
1 __ 3 = = 
e. 9 __ 4 – 2 + 
1 __ 7 = = 
f. 9 __ 4 – ( 2 + 1 __ 7 ) = = 
15. Completen los cálculos.
a. 1 __ 3 + = 
8 __ 3 b. – 
3 __ 5 = 
6 __ 5 c. + 
1 __ 4 = 2 d. 
17 ___ 9 – = 
8 __ 9 
16. Escriban <, > o = según corresponda.
a. 6 + 4 __ 3 7 b. 5 – 
2 __ 5 3 c. 
2 __ 4 + 
1 __ 2 1 d. 7 – 
20 ___ 6 4 
10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES
38
9
7
6
5
19
8
6
3
7
6
5
9
X
 18 ___ 30 + 
3 ___ 30 – 
10 ___ 30 + 
12 ___ 30 = 
23 ___ 30 
Llegó 23 ___ 30 del pasaje.
 6 __ 8 – 
4 __ 8 + 
1 __ 8 
 6 __ 8 – ( 4 __ 8 + 1 __ 8 ) = 6 __ 8 – 5 __ 8 
 12 ___ 30 + 
10 ___ 30 – 
15 ___ 30 
 63 ___ 25 – ( 56 ___ 28 + 4 ___ 28 ) = 63 ___ 28 – 60 ___ 28 
 12 ___ 30 + 
15 ___ 30 – 
10 ___ 30 
 63 ___ 28 – 
56 ___ 28 + 
4 ___ 28 
3
8
17
30
7
30
11
28
3
28
1
8
7
3
9
5
7
4
9
9
> > = <
 
17. Simplifiquen y resuelvan.
a. 12 ___ 5 
. 15 ___ 9 = b. 
21 ___ 7 
. 14 ___ 28 = c. 6 
. 1 ___ 12 = d. 
3 __ 5 
. 10 = 
18. Completen las siguientes igualdades.
a. 1 __ 2 
. = 5 b. . 7 __ 3 = 
6 __ 7 c. 
. 4 __ 5 = 20 d. 11 
. = 55 ___ 4 
19. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El doble de 5 __ 2 : d. Un tercio de 93: 
b. El triple de 4 __ 4 : e. Un medio de 412: 
c. El cuádruple de 1 __ 8 : f. Tres cuartos de 56: 
20. Lean atentamente y resuelvan.
a. Florencia regaló 2 __ 5 de las 45 figuritas que tenía repetidas. ¿Cuántas regaló en total? ¿Qué parte 
aún conserva?
b. Para llegar a Mar del Plata, Rubén consumió 3 __ 4 del tanque de nafta de su auto. Si el tanque 
tiene una capacidad de 52 litros, ¿cuántos litros le quedan aún?
c. Camila gasta 1 __ 3 de su sueldo en impuestos y 
1 __ 4 , en el alquiler de su departamento. Si su suel-
do es de $7 800, ¿cuánto dinero destina para alquiler e impuestos? ¿Qué parte de su sueldo le 
queda para otros gastos?
21. Resuelvan.
a. 13 ___ 9 : 
14 ___ 9 = b. 
9
 __ 4 : 
1 ___ 16 = c. 
135 ____ 27 : 
125 ____ 54 = d. 
6 ___ 17 : 
24 ___ 34 = 
22. Completen con la fracción que verifica la igualdad.
a. 1 __ 4 : = 
1 ___ 10 b. 
3 __ 7 : = 9 c. : 
1 __ 2 = 
5 __ 2 d. : 
1 __ 2 = 
2 __ 5 
10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES
3939
Nombre: Curso: Fecha: / /
4
1
3
2
1
2
6
1
5
4
25
1
18
49
10
1
1
5
5
4
1
21
10
4
13
14
36
1
54
25
1
2
 2 __ 5 
. 45 = 18; 45 – 18 = 27
Regaló 18 figuritas en total. Aún conserva 27.
 3 __ 4 
. 52 = 39; 52 – 39 = 13
Le quedan aún 13 litros.
 1 __ 3 
. 7 800 = 2 600; 1 __ 4 
. 7 800 = 1 950; 7 800 – 2 600 – 1 950 = 3 250
Para alquiler e impuestos gasta $4 550. Le quedan $3 250 para otros gastos.
2 . 5 __ 2 = 5 
1 __ 3 
. 93 = 31
3 . 4 __ 4 = 3 
1 __ 2 
. 412 = 206
4 . 1 __ 8 = 
1 __ 2 
3 __ 4 
. 56 = 42
 
23. Resuelvan y completen con <, > o =, según corresponda.
a. 1 __ 5 
. 2 __ 3 
1 __ 5 : 
3 __ 2 c. 5 : 
1 __ 5 
1 __ 5 
. 5 
b. 2 __ 7 
. 7 14 ___ 5 : 
14 ___ 5 d. 
1 __ 2 
. 3 __ 4 
21 ___ 6 : 
7 __ 3 
24. Escriban la letra del enunciado que corresponde a cada cálculo. Luego, resuélvanlo.
a. Un poste se pintó la mitad de blanco y la tercera parte de azul. ¿Qué parte está pintada?
b. La mitad de una herencia se reparte entre tres personas. ¿Qué parte le corresponde a cada una?
c. Dos amigos recorren un camino en su auto; el primero maneja la mitad del recorrido y el 
segundo, una tercera parte. ¿Qué parte aún no recorrieron?
d. Eduardo llenó el tanque de nafta de su auto para salir de viaje. Luego de consumir la mitad 
del combustible, cargó nuevamente un tercio de la capacidad del tanque. ¿Qué parte del tanque 
tiene nafta?
 1 – ( 
1 __ 2 + 
1 __ 3 ) = 
1 __ 2 + 
1 __ 3 = 
1 __ 2 : 3 = 1 – 
1 __ 2 + 
1 __ 3 = 
25. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.
a. La mamá de Josefina compró cuatro cajas de veinte bombones cada una. Entre Josefina y su 
hermana Micaela comieron una caja y 1 __ 4 de otra. ¿Cuántos bombones quedan?
b. En un micro escolar viajan 36 alumnos. Si 1 __ 3 de los alumnos desciende en el barrio de 
Saavedra, 2 __ 9 lo hace en Belgrano y 
1 __ 4 en Núñez, ¿cuántos alumnos continúan en el micro?
c. En una biblioteca hay 540 libros. Si se prestaron 1 ___ 18 de sus libros el lunes, y el martes se 
devolvieron 15, ¿cuántos libros quedan aún en la biblioteca?
10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES
40
Don Prudencio desea plantar 5 variedades de flores, que en total son 240 plantines: 60 son 
jazmines, 18 son fresias, 78 son rosales, 30 son lirios y el resto son orquídeas.
a. ¿Cuántos plantines de orquídeas tiene?
b. ¿Qué fracción representa cada variedad?
menteACTIVA
Quedan 55 bombones.
Quedaron 525 libros.
7 alumnos.
= >
> <
1
6
5
6
1
6
5
6
c a b d
Tiene 54 plantines de orquídeas.
J: 1 __ 4 ; F: 
3 ___ 40 ; R: 
13 ___ 40 ; L: 
1 __ 8 ; O: 
9 ___ 40 
a. 3 __ 6 + 
2 __ 6 = 
5 __ 6 b. 
1 __ 2 
. 1 __ 3 = 
1 __ 6 
c. 1 – ( 3 __ 6 + 2 __ 6 ) = 6 __ 6 – 5 __ 6 = 1 __ 6 d. 6 __ 6 – 3 __ 6 + 2 __ 6 = 5 __ 6 
 
Potenciación y radicación de fracciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
41
10 13 14 15 171611 12 1918
Potenciación
La potenciación permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales.
 ( 1 __ 4 ) 
2 = 1 __ 4 
. 1 __ 4 = 
1 ___ 16 ( 1 __ 4 ) 
3 = 1 __ 4 
. 1 __ 4 
. 1 __ 4 = 
1 ___ 64 ( 2 __ 5 ) 
1 = 2 __ 5 ( 2 __ 5 ) 
0 = 1 
1— 
3
1— 
3
El sector pintado ocupa la novena parte del cuadrado.
 ( 1 __ 3 ) 
2 = 1 __ 3 
. 1 __ 3 = 
1 __ 9 
Para obtener la potencia de una fracción, se debe calcular 
la potencia del numerador y la del denominador.
 ( 4 __ 3 ) 
2 = 4 
2 ___ 
 3 2 
 = 16 ___ 9 
Radicación
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Para obtener la raíz de una fracción, se debe calcular la 
raíz del numerador y la del denominador.
 √ 
___
 64 ___ 25 = 
 √ 
___
 64 
—————
 √ 
___
 25 
 = 8 __ 5 
 √ 
___
 16 ___ 81 = 
4 __ 9 porque ( 4 __ 9 ) 
2
 = 16 ___ 81 √ 
____
 1 ___ 27 = 
1 __ 3 porque ( 1 __ 3 ) 
3 = 1 ___ 27 
La potenciación y la radicación de fracciones cumplen las 
mismas propiedades que para los números naturales. 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué indica el exponente en la potenciación? ¿Y el índice en la radicación?
b. ¿Es cierto que ( 3 __ 7 ) 
2
 = 6 ___ 14 ?
c. ¿Cómo se resuelve 
4
 √ 
__
 16 ___ 81 ?
test de comprensión
infoactiva
En la página 13 
pueden repasar 
las propiedades de 
la potenciación y 
la radicación.
 
a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Se calcula la raíz del numerador y la deldenominador.
 
11 Potenciación y radicación de fraccionesACTIVIDADES
42
Si el área de un cuadrado es de 64 ____ 225 m
2, ¿cuál es la longitud de su lado?
menteACTIVA
26. Resuelvan las siguientes potencias.
a. ( 1 __ 5 ) 
2
 = b. ( 1 __ 3 ) 
4
 = c. ( 2 __ 7 ) 
2
 = d. ( 3 __ 2 ) 
3
 = 
27. Resuelvan las siguientes raíces.
a. √ 
___
 64 ___ 81 = b. √ 
___
 16 ___ 121 = c. 
3
 √ 
___
 125 ____ 64 = d. 
5
 √ 
____
 32 ____ 243 = 
28. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La raíz cuadrada de cuarenta y nueve cuartos. 
b. El cuadrado de cuatro tercios. 
c. La raíz cúbica de ciento veinticinco sesentaicuatroavos. 
d. El cubo de cinco sextos. 
e. La raíz quinta de un treintaidosavos. 
f. El doble de la raíz cuarta de un medio de treinta y dos. 
29. Completen los cálculos.
a. ( ) 
3
 = 1 ____ 343 b. ( ) 
4
 = 625 ____ 81 
 
c. √ 
_____
 = 11 ___ 12 d. 
5
 √ 
_____
 = 3 __ 2 
30. Calculen el área de las siguientes figuras.
a. 
 1 __ 5 m
b. 
 2 __ 3 m
1
25
1
81
4
49
5
4
4
11
8
9
27
8
 2
 3
 √ 
___
 49 ___ 4 = 
7 __ 2 
 
3
 √ 
____
 125 ____ 64 = 
5 __ 4 
 ( 4 __ 3 ) 
2
 = 16 ___ 9 
 ( 5 __ 6 ) 
3
 = 125 ____ 216 
 
5
 √ 
___
 1 ___ 32 = 
1 __ 2 
2 . 
4
 √ 
______
 1 __ 2 
. 32 = 2 . 
4
 √ 
___
 16 = 2 . 2 = 4
1
7
121
144
243
32
5
3
 ( 1 __ 5 m ) 
2
 = 1 ___ 25 m
2
 ( 2 __ 3 m ) 
2
 : 2 = 4 __ 9 m
2 . 1 __ 2 = 
2 __ 9 m
2
La longitud del lado del cuadrado es igual a 8 ___ 15 m.
 
Operaciones combinadas con fracciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
43
11 14 15 16 181712 13 19
Para resolver una operación combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos.
 ( 2 __ 3 ) 
2 + √ 
__
 1 __ 4 
. 2 + 7 __ 5 : 
3 __ 5 = 1. Se separa en términos. 
 4 __ 9 + 
1 __ 2 
. 2 + 7 __ 5 : 
3 __ 5 = 2. Se resuelven las potencias y raíces.
 4 __ 9 + 1 + 
7 __ 3 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= 34 ___ 9 4. Se resuelven las sumas y restas.
Existen calculadoras que no respetan la jerar-
quía de las operaciones, es decir, no realizan la 
separación en términos.
Tengan en cuenta que en los cálculos donde 
aparecen paréntesis, primero se resuelven las 
operaciones que ellos encierran.
 
 ( 3 __ 5 ) 
2 + ( √ 
____
 9 ____ 121 
. 11 – 5 __ 6 ) : 25 ___ 6 = 1. Se separa en términos. 
 ( 3 __ 5 ) 
2 + 13 ___ 6 : 
25 ___ 6 = 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis.
 9 ___ 25 + 
13 ___ 6 : 
25 ___ 6 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
 9 ___ 25 + 
13 ___ 25 = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
= 22 ___ 25 5. Se resuelven las sumas y restas.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuáles son los pasos para realizar un cálculo combinado?
b. ¿Es lo mismo ( 1 __ 3 + 2 __ 7 ) . 4 __ 9 que 1 __ 3 + 2 __ 7 . 4 __ 9 ?
c. En el cálculo 5 __ 7 
. 21 ___ 25 
. 14 ___ 3 , ¿se puede simplificar antes de resolver la operación?
test de comprensión
infoactiva
20
a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Sí.
 
31. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. ( 1 __ 9 + 1 __ 3 ) . 2 __ 5 – 2 ___ 15 = 
 
d. √ 
___
 25 ___ 121 
. 11 __ 4 – ( 2 __ 3 ) 
2
 = 
 
b. ( 2 __ 3 – 1 __ 6 ) . ( 54 ___ 5 – 12 ___ 5 . 9 __ 4 ) = 
 
e. ( 12 ___ 4 . 5 ___ 24 ) 
2
 + 3 √ 
___
 27 ___ 64 = 
 
c. 5 __ 2 + 
10 ___ 6 : 
15 ___ 12 – 
1 __ 3 = 
 
f. 5 __ 9 + 
4
 √ 
_____
 1 296 _____ 256 
. ( 4 __ 9 ) 
2
 = 
 
32. Planteen y resuelvan. 
a. Eduardo leyó un libro de 840 páginas en 3 días. El primer día, leyó 2 __ 5 del libro. El segundo día, 
la tercera parte del resto. ¿Qué parte leyó el tercer día? ¿Cuántas páginas representa?
b. Tres amigas repartieron una torta de chocolate. Noelia se quedó con la mitad de la torta y Belén, 
con la tercera parte del resto. ¿Qué parte le corresponde a Celeste?
c. Un atleta participó en una competencia de ciclismo que se realizó en cuatro etapas.
	 • Primera etapa: recorrió 1 __ 8 del total.
	 • Segunda etapa: recorrió 1 __ 7 del resto.
	 • Tercera etapa: recorrió las dos terceras partes de lo que llevaba recorrido.
¿Qué parte recorrió en la cuarta etapa?
12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES
44
2
45
29
36
73
64
27
10
7
2
23
27
1 – 2 __ 5 – 
1 __ 3 
. 3 __ 5 = 
2 __ 5 ; 840 
. 2 __ 5 = 336
El tercer día leyó las 2 __ 5 partes restantes, que representan 336 páginas.
Noelia: 1 __ 2 ; Belén: 
1 __ 2 
. 1 __ 3 = 
1 __ 6 ; Celeste: 1 – ( 
1 __ 2 + 
1 __ 6 ) = 1 __ 3 
A Celeste le corresponde 1 __ 3 de la torta.
1.° etapa: 1 __ 8 del total. 3.° etapa: 
1 __ 6 del total. 
2 __ 3 
. 2 __ 8 = 
1 __ 6 
2.° etapa: 1 __ 8 del total. 
1 __ 7 
. 7 __ 8 = 
1 __ 8 4.° etapa: 
7 ___ 12 del total. 1 – ( 1 __ 8 + 1 __ 8 + 1 __ 6 ) = 7 ___ 12 
 
33. Planteen y resuelvan las siguientes situaciones.
a. En la siguiente figura, abc y noc son triángulos equiláteros. Escriban la expresión que permite 
calcular el perímetro del área sombreada. 
 
 1— 4 m
b
o
a
n
c
3— 
4 m
b. En la siguiente figura, el lado del cuadrado efcg mide 1 __ 3 m y el del cuadrado abcd, 
2 __ 3 m. 
Escriban la expresión que permite calcular el área sombreada.
 
 
a
d g
e
c
f
b
34. Completen con <, > o =, sin hacer los cálculos.
a. ( 1 __ 3 ) 
2
 + ( 1 __ 3 ) 
2
 1 c. ( 6 __ 5 ) 
2
 1
b. 1 __ 2 + 
1 __ 2 1 d. 
3 __ 4 + 
1 __ 3 
. 3 2
35. Resuelvan.
a. √ 
__
 1 __ 4 
. √ 
___
 4 ___ 36 + 
5 ___ 12 
. 18 ___ 5 = 
 
c. √ 
___
 25 ___ 9 
. 9 ___ 25 + 
6 ___ 10 – 
6 __ 5 : 
12 ___ 10 = 
 
b. ( 3 __ 2 ) 
2
 – 5 __ 3 
. 6 ___ 15 
. 2 + √ 
__
 9 ___ 16 = 
 
d. 27 ___ 2 : 
15 ___ 4 – 
35 ___ 5 
. 10 ___ 24 = 
 
12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES
45
Nombre: Curso: Fecha: / /
< >
= <
mn – ac = am
 3 __ 4 m – 
1 __ 4 m = 
1 __ 2 m
2 . 1 __ 2 m + 
1 __ 4 m + 
3 __ 4 m = 2 m
 ( 2 __ 3 m ) 
2
 – ( 1 __ 3 m ) 
2
 =
 4 __ 9 m
2 – 1 __ 9 m
2 = 1 __ 3 m
2
5
3
41
60
1
9
1
2
 
46
12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES
46
36. Resuelvan.
a. ( 1 __ 2 + 1 __ 4 ) 
2
 : 1 __ 4 – √ 
__
 9 __ 4 + 
1 __ 5 =
 
d. √ 
___
 16 ___ 25 + 
7 __ 2 : 
14 ___ 4 
. 13 – √ 
___
 49 ___ 
 5 2 
 =
 
b. √ 
______
 2 __ 5 + 
6 ___ 25 
. 1 __ 2 + 
3
 √ 
___
 27 ___ 8 – 
 2 3 __ 5 =
 
e. √ 
______
 2 . 18 ___ 25 + √ 
_______
 1 + 21 ____ 100 – 
3 __ 5 =
 
c. ( 1 __ 2 + 1 __ 4 + 1 __ 3 ) . 1 ___ 13 + 2 __ 3 – 
3
 √ 
_____
 125 _____ 1 000 =
 
f. 
3
 √ 
_____
 3 __ 2 
. 9 __ 4 + 
4
 √ 
___
 81 – ( 1 __ 4 ) 
2
 =
 
37. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La suma entre un cuarto de diez y dos tercios de trece.
b. La diferencia entre las dos quintas partes de quince medios y la décima parte de doce.
Uno de los lados de una alfombra rectangular mide 3 __ 5 m y el otro, 
2 __ 3 m aumentado en 2 m. 
Indiquen cuál de las expresiones permite calcular.
a. El perímetro de la alfombra.
i. 2 . 3 __ 5 + 2 
. 2 __ 3 + 2 ii. 2 
. 3 __ 5 + 2 
. ( 2 __ 3 + 2 ) iii. 2 . 3 __ 5 + 2 __ 3 + 2 
b. El área de la alfombra.
i. 2 __ 3 + 2 
. 3 __5 ii. 2 + ( 2 __ 3 . 3 __ 5 ) iii. ( 2 __ 3 + 2 ) . 3 __ 5 
menteACTIVA
 1 __ 4 
. 10 + 2 __ 3 
. 13 = 67 ___ 6 
 2 __ 5 
. 15 ___ 2 – 
1 ___ 10 
. 12 = 9 __ 5 
 1 __ 4 
 3 ___ 10 
 19 ___ 20 
 87 ___ 16 
 17 ___ 10 
 62 ___ 5 
 
47
38. Representen en la recta numérica.
a. 1 __ 2 ; 
3 __ 4 ; 
2 __ 3 ; 
5 __ 6 
b. 1 __ 6 ; 
2 __ 5 ; 
4 __ 3 ; 
3 __ 2 
39. Indiquen la fracción irreducible que repre-
sentan los puntos marcados con letras.
0 1
c d ea b
2 3
40. Tengan en cuenta el entero e indiquen la 
fracción que representa cada figura.
Entero: 
a. c. 
b. d. 
41. Completen para obtener fracciones equiva-
lentes.
a. 8 ___ 20 = 10 = 
80
 = 
2
 = 
48
 
b. 56 ___ 34 = 
28
 = 
168
 = 
560
 = 
204
 
c. 105 ____ 315 = 21 = 
21
 = 
3
 = 
35
 
42. Escriban la fracción irreducible que corres-
ponde a la parte sombreada de cada figura.
a. c. 
b. d. 
43. Completen cada figura para obtener el 
entero correspondiente a cada fracción.
a. Un tercio. c. Un medio.
 
b. Dos séptimos. d. Tres cuartos.
 
44. Simplifiquen las siguientes fracciones.
a. 150 ____ 120 = d. 
64 ____ 124 = 
b. 86 ____ 108 = e. 
200 ____ 450 = 
c. 1 800 _____ 108 = f. 
336 ____ 288 = 
45. Resuelvan. Escriban el resultado como frac-
ción irreducible.
a. 2 __ 7 + 
5 __ 9 – 
1 __ 3 – 
1 __ 9 = 
 
d. 20 ___ 16 
. 32 ___ 15 
. 25 ___ 8 = 
b. 9 ___ 18 + 
25 ___ 4 – 
7 __ 6 =
 
e. 56 ___ 18 
. 15 ___ 14 : 
6 __ 5 =
c. 49 ___ 32 : 
147 ____ 16 = f. 
15 ___ 16 : 
21 ___ 20 : 
50 ___ 14 = 
46. Ordenen de menor a mayor los resultados 
de la actividad anterior.
47. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El triple de la raíz cuadrada de dieciséis 
novenos.
b. La raíz cúbica de la mitad de cincuenta y 
cuatro.
c. El producto entre un medio y dos quintos.
d. El cociente entre diez novenos y diez tercios.
e. La mitad de la suma entre dos tercios y 
cinco cuartos.
f. El cuadrado de siete quintos, más uno.
47
Integración
capítulo
28.9.10.11.12CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
4
3
5
4
43
54
50
3
16
31
4
9
7
6
2
3
5
3
2
1
4
200
7 1
63 105
5
10217
120
340
336
 1 __ 5 
1 __ 2 
7 __ 5 2 
29 ___ 10 
 1 __ 3 
 1 __ 8 
 2 __ 3 
 3 ___ 16 
 23 ___ 24 
 1 __ 5 
 1 __ 3 
3
4
 74 ___ 25 
Solución a cargo del alumno.
 25 ___ 63 
25 ___ 3 
 67 ___ 12 
25 ___ 9 
 1 __ 6 
c. 1 __ 6 < f. 
1 __ 4 < a. 
25 ___ 63 < e. 
25 ___ 9 < b. 
67 ___ 12 < d. 
25 ___ 3 
 1 __ 4 
 
4848
48. Lean atentamente y resuelvan.
a. Anabella tiene 108 fotos que se tomó con 
sus amigas. La cuarta parte las tiene pegadas 
en un mural en su pared, la mitad las colocó 
en un álbum y el resto, las quiere guardar en 
una caja. ¿Qué parte de las fotos piensa guar-
dar? ¿Cuántas fotos tiene pegadas en el 
mural?
b. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado, si se 
sabe que su área es de 121 ____ 100 cm
2?
c. Adriana tiene un sueldo de $6 360; desti-
na 1 __ 4 para el alquiler de su departamento, 
 1 __ 5 para impuestos, la tercera parte para dis-
tintos gastos del mes y el resto lo ahorra. 
¿Qué parte ahorra del sueldo?
49. Resuelvan.
a. 
3
 √ 
___
 27 ___ 8 
. [ ( 2 __ 3 ) 
2
 + 8 __ 3 ] – 10 ___ 3 =
b. 1 – ( 1 __ 2 ) 
2
 + 6 __ 8 
. 1 __ 3 + √ 
___
 36 ___ 9 =
c. 2 . [ 16 ___ 5 : 8 __ 3 + 7 ___ 10 . 5 ___ 14 – 1 __ 2 . ( 4 __ 3 . 12 ___ 8 ) ] =
d. √ 
______
 13 ___ 9 – 1 
. ( 5 __ 3 + 7 ___ 12 ) + 5 __ 3 =
50. Resuelvan.
a. Al casamiento de Graciela asistieron 60 invi-
tados, entre adultos, jóvenes y niños. Si hay 
 1 __ 2 de adultos y 20 jóvenes, ¿cuántos niños 
hay en la reunión?
b. Nicolás tenía ahorrados $432. Destinó la 
mitad para comprar una bici, la cuarta parte 
para comprar un videojuego para la computado-
ra, la sexta parte para un libro y 1 ___ 12 para hacerle 
un regalo a su hermana menor. ¿Cuánto dinero 
gastó en cada compra?
c. En el cumpleaños de Rodrigo, su mamá 
cortó la torta en 16 porciones. Si su amigo 
Juan come 1 __ 8 de la torta, su hermana 
Mariana 1 ___ 16 y Rodrigo 
1 __ 4 , ¿cuántas porciones 
sobraron?
d. La cuarta parte de un edificio está com-
puesta por departamentos de un ambiente, 
las dos terceras partes por departamentos de 
dos ambientes y el resto de tres ambientes. 
Si en total son 48 departamentos, ¿cuántos 
de cada tipo hay?
51. Planteen y resuelvan las siguientes situa-
ciones.
a. El área y el perímetro del siguiente rectángulo.
1— 
3 m
2— 
5 m
b. El área sombreada sabiendo que abcd y 
efcg son cuadrados, ab = 6 __ 5 m y cf = 
1 __ 2 
. ab.
d cg
a b
fe
c. El perímetro de la siguiente figura sabiendo 
que abce es un cuadrado, cde es un triángulo 
equilátero y ab = 1 __ 4 m.
a b
e c
d
d. El área sombreada, si abcd es un rectángu-
lo, ab = 9 __ 2 cm y bc = 
3 __ 4 cm.
a b
d ce
52. Escriban en lenguaje coloquial y resuelvan.
a. 3 __ 8 
. 1 __ 6 = c. √ 
______
 25 ___ 9 – 1 =
b. 3 __ 5 : 
10 ___ 3 = d. 
3 __ 4 
. √ 
___
 25 ___ 9 =
48
10 niños.
$216; $108; $72; $36
Sobraron 9 porciones.
 12 de un ambiente, 32 de 
dos ambientes y 4 de tres ambientes.
 1 __ 4 del total. 27 fotos.
 22 ___ 5 cm
$1 378
 4 __ 3 
 19 ___ 6 
3
 9 ___ 10 
a. Á. = 2 ___ 15 m
2; P = 22 ___ 15 m
b. AS = 27 ___ 25 m
2
c. P = 5 __ 4 m
c. AS = 27 ___ 16 m
2
 1 ___ 16 
4 __ 3 
 9 ___ 50 
5 __ 4 
 
Fracciones y expresiones decimales
Nombre: Curso: Fecha: / /
49
12 15 16 17 191813 14
Una fracción representa una relación entre dos cantidades.
Agustina quiere pintar las paredes de su casa. Para lograr el color que le gusta, mezcló dos 
potes rojos con cinco amarillos. ¿Cuál es la fracción que representa la relación entre los potes 
rojos y amarillos?
La fracción 2 __ 5 indica que cada dos potes rojos se deben utilizar cinco amarillos.
Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente que 
se obtiene es la expresión decimal de la fracción, que está formada por una parte entera y una parte 
decimal.
 5 ___ 10 = 0,5 “cinco décimos” 
5 ____ 100 = 0,05 “cinco centésimos” 
5 ______ 1 000 = 0,005 “cinco milésimos”
El denominador de una fracción decimal tiene tantos ceros como lugares decimales tiene la 
expresión decimal que le corresponde.
Una fracción irreducible tiene una expresión decimal finita, cuando los factores primos del deno-
minador son potencias de 2, de 5 o de ambos.
 3 __ 2 = 
15 ___ 10 = 1,5 
8 ___ 25 = 
32 ____ 100 = 0,32 
1 __ 8 = 
125 ______ 1 000 = 0,125
Existen fracciones que no se pueden escribir como fracción decimal y por lo tanto, no tienen una 
expresión decimal finita.
 2 __ 9 no tiene una fracción decimal equivalente, porque uno de sus factores primos (el 3) no es 
potencia de 2 ni de 5. Por lo tanto, 2 __ 9 es una expresión decimal periódica.
 2 __ 9 = 2 : 9 = 0,222… = 0,2 Se puede seguir dividiendo infinitamente. 
 La expresión tiene infinitas cifras decimales periódicas.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se obtiene la expresión decimal de una fracción?
b. La expresión 2,10, ¿se lee dos enteros diez décimos o dos enteros diez centésimos?
c. ¿Qué estrategia pueden utilizar para decidir si la expresión decimal correspondiente a 42 ___ 63 
es finita o periódica (sin hacer la división)?
test de comprensión
infoactiva
2120
a. Dividiendo numerador por denominador. b. Dos enteros diez centésimos. c. Encontrar la fracción irre-
ducible; si el denominador es 3 o múltiplo de 3, es periódica.
 
53. Escriban la expresión decimalque corresponde a cada fracción.
a. 1 __ 4 = 
 
c. 8 ___ 10 = 
 
e. 1 __ 2 = 
 
g. 4 __ 9 = 
 
b. 1 __ 3 = 
 
d. 5 ___ 10 = 
 
f. 2 __ 3 = 
 
h. 1 ___ 20 = 
 
54. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal.
a. 0,5 = 
 
b. 0,14 = 
 
c. 2,5 = 
 
d. 0,23 = 
55. Completen con <, > o = según corresponda.
a. 0,7 0,7 d. 0,23 0,2 g. 1,03 1,03
b. 0,24 0,241 e. 2,777 2,7 h. 0,7 7 __ 9 
c. 0,6 2 __ 3 f. 1,03 1,3 i. 
1 ___ 25 0,04
56. Marquen con una X las fracciones decimales.
a. 1 ____ 100 c. 
5 ___ 12 e. 
7 ___ 18 g. 
4 ____ 125 
b. 7 ___ 10 d. 
12 ___ 20 f. 
3 __ 8 h. 
4 ___ 45 
57. Completen con una expresión decimal que se encuentre entre los números dados.
a. 1,5 1,7 e. 1,12 1,12
b. 1,5 1,6 f. 0,83 0,83
c. 0,05 0,5 g. 0,83 0,83
d. 1,05 1,5 h. 0,68 0,68
58. Resuelvan.
a. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 0,2.
b. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 1,75.
59. Completen la tabla.
Fracción irreducible Fracción equivalente Fracción decimal Expresión decimal
 3 __ 5 
 10 ___ 8 
1,36
13 Fracciones y expresiones decimalesACTIVIDADES
50
0,25 0,8 0,5 0,444…
0,333… 0,5 0,666… 0,05
5
10
14
100
25
100
23
100
< =
<< >
>
= =<
X
1,6
2 : 10; 1 : 5
175 : 100; 7 : 4
1,123
1,54 0,832
0,5 0,834
1,2 0,685
X XX
X
 21 ___ 35 
6 ___ 10 0,6
 5 __ 4 
125 ___ 100 1,25
 34 ___ 25 
68 ___ 50 
136 ____ 100 
 
Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje
Nombre: Curso: Fecha: / /
51
13 16 17 18 1914 15
El resultado de multiplicar dos expresiones decimales finitas tiene tantos lugares decimales como 
la suma de los lugares decimales de los factores.
Cuando se multiplica una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la dere-
cha tantos lugares como ceros tenga el 10, 100, 1 000, etc.
1,21 . 10 = 121 ____ 100 
. 10 = 121 ____ 10 = 12,1
Para realizar la división decimal, se debe multiplicar el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000, 
para que el divisor sea un número natural.
43,25 : 1,5 22,8 : 4,12
 . 10 . 10 . 100 . 100
 432,5 : 15 2 280 : 412
Cuando se divide una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la izquierda 
tantos lugares como ceros tenga 10, 100, 1 000, etc.
Para calcular la potencia o raíz de una expresión decimal, se puede escribir 
la forma fraccionaria de la expresión y luego, se resuelve la operación. 
0,72 = ( 7 ___ 10 ) 
2 = 49 ____ 100 = 0,49 √ 
_____
 0,09 = √ 
____
 9 ____ 100 = 
3 ___ 10 = 0,3
Porcentaje
Un porcentaje indica la proporción de un entero. Para comprender cómo se obtiene un porcen-
taje se puede tener en cuenta el siguiente ejemplo: 
28% de 300 = 28 ____ 100 
. 300 = 28 . 300 ________ 100 = 84
Aproximación
Para aproximar por redondeo a una cifra decimal determinada hay que observar la cifra decimal 
siguiente:
• Si es mayor o igual que 5, se suma uno a la cifra 
considerada y se eliminan el resto de las cifras.
0,27 aproximado a los décimos es 0,3
• Si es menor que 5, la cifra considerada se 
deja igual y se eliminan el resto de las cifras.
0,24 aproximado a los décimos es 0,2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué estrategia se puede utilizar para multiplicar 5,24 . 0,3?
b. En el cálculo 5 : 1,2, ¿conviene multiplicar ambos números por cien?
c. El 13% de 1 690, ¿es lo mismo que 0,13 . 1 690?
test de comprensión
infoactiva
2120 22
En la página 41 
pueden repasar 
cómo se resuelve 
la potenciación y 
la radicación de 
fracciones.
 
a. Se pueden aplicar propiedades de la multiplicación. b. No, conviene multiplicarlos por 10. c. Sí.
 
60. Resuelvan los siguientes cálculos.
a. 6,25 + 8,73 = 
 
f. 12,07 – 10,28 = 
b. 5 + 3,807 = g. 20,08 – 19,19 = 
c. 39,06 + 15,41 = h. 3,21 + 4 – 6,17 = 
d. 15,097 + 3,809 = 
 
i. 8,12 + 3,15 – 7,01 = 
e. 7 – 4,519 = 
 
j. 11,03 – 8,25 – 1,7 = 
61. Planteen y resuelvan.
a. Natalia compró una remera de $125,30 y unas botas de $339,80. ¿Cuánto gastó en total?
b. Pablo fue al supermercado con $879,50 y gastó $607,45 en sus compras del mes. ¿Cuánto le 
sobró?
c. Marina tenía ahorrados $578,35, su madrina le regaló $137,20 y luego gastó $308,75 en un 
par de lentes. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado aún?
d. Ana Clara fue al shopping y gastó $139,99 en una remera, $150,50 en un short y $205,30 en 
una bikini. Si llevó $500,70, ¿cuánto dinero le sobró?
e. En una carnicería, el kilogramo de lomo cuesta $75,70. Si Claudio compró 2 kilogramos y 
medio, ¿cuánto dinero gastó?
62. Escriban como expresiones decimales y resuelvan.
a. 10,2 + 3 __ 5 = d. 
7 __ 8 + 3,46 – 
1 __ 5 = 
b. 7,389 – 17 ___ 4 = e. 22,7 – 
29
 ___ 5 – 7 = 
c. 26 ___ 8 – 0,75 = f. 6,23 – ( 1 __ 2 + 6 __ 4 ) = 
14 Operaciones con expresiones decimales. PorcentajeACTIVIDADES
52
14,98 1,79
8,807
2,481
0,89
54,47 1,04
18,906 4,25
1,08
125,30 + 339,80 = 465,10
Gastó en total $465,10.
879,50 – 607,45 = 272,05
Le sobró $272,05.
578,35 + 137,20 – 308,75 = 406,80
Aún tiene ahorrados $406,80.
500,70 – 139,99 – 150,50 – 205,30 = 4,91
Le sobraron $4,91.
75,70 . 2,5 = 189,25
Gastó $189,28.
10,8 4,135
3,139 9,9
2,5 4,23
 
63. Rodeen con color la respuesta correcta, sin hacer la cuenta.
a. 3,5 . 0,2 = 0,07 | 0,7 | 7 d. 1,2 : 0,3 = 0,04 | 0,4 | 4
b. 13 . 0,3 = 0,39 | 3,9 | 0,039 e. 0,6 : 1,5 = 0,4 | 4 | 0,04
c. 0,04 . 0,5 = 0,002 | 0,02 | 0,2 f. 9,6 : 3 = 0,32 | 3,2 | 0,032
64. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado.
a. 1,5 . 0,2 = g. 4,8 : 2,4 = 
b. 0,015 . 0,2 = • 3 h. 0,48 : 2,4 = • 2
c. 1,5 . 2 = • 0,3 i. 0,048 : 24 = • 0,2
d. 0,15 . 0,2 = • 0,03 j. 0,48 : 0,24 = • 0,02
e. 0,15 . 0,02 = • 0,003 k. 0,048 : 0,24 = • 0,002
f. 0,15 . 2 = l. 0,048 : 2,4 =
65. Completen las tablas.
Número : 10 : 100 Número : 100 : 1 000
2 0,05
3,55 300
384 0,45
0,87 2
0,3 0,07
66. Escriban cada número como fracción y resuelvan.
a. 0,43 = g. √ 
____
 0,81 = 
b. 1,92 = h. 3 √ 
______
 0,027 = 
c. 0,15 = i. √ 
____
 2,25 = 
d. 1,12 = j. √ 
____
 1,69 = 
e. 0,73 = k. 4 √ 
______
 0,0016 = 
f. 2,92 = l. 3 √ 
______
 0,343 = 
67. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Expresen el resultado como fracción y como 
expresión decimal.
a. La diferencia entre la cuarta parte de 128 y el cuadrado de 2,5.
b. La suma entre la tercera parte de 106,5 y la raíz cuadrada de 1,44.
14 Operaciones con expresiones decimales. PorcentajeACTIVIDADES
53
Nombre: Curso: Fecha: / /
128 . 1 __ 4 – 2,5
2 = 103 ____ 4 = 25,75
106,5 . 1 __ 3 + √ 
____
 1,44 = 367 ____ 10 = 36,7
0,2
0,355
38,4
8,7
0,02
0,0355
3,84
0,03
87 2 000
45
20
5 0,005
3 70 0,7
0,33
0,045
 ( 29 ___ 10 ) 
2
 = 841 ____ 100 = 8,41 
3
 √ 
_____
 343 _____ 1 000 = 
7 ___ 10 = 0,7
 ( 7 ___ 10 ) 
3
 = 343 _____ 1 000 = 0,343 
4
 √ 
______
 16 ______ 10 000 = 
2 ___ 10 = 0,2
 ( 11 ___ 10 ) 
2
 = 121 ____ 100 = 1,21 √ 
____
 169 ____ 100 = 
13 ___ 10 = 1,3
 ( 1 ___ 10 ) 
5
 = 1 _______ 100 000 = 0,00001 √ 
____
 225 ____ 100 = 
15 ___ 10 = 1,5
 ( 19 ___ 10 ) 
2
 = 361 ____ 100 = 3,61 
3
 √ 
_____
 27 _____ 1 000 = 
3 ___ 10 = 0,3
 ( 4 ___ 10 ) 
3
 = 64 _____ 1 000 = 0,064 √ 
____
 81 ____ 100 = 
9 ___ 10 = 0,9
 
68. Calculen mentalmente los siguientes porcentajes.
a. 20% de 100 = 
 
 d. 10% de 200 = 
 
g. 30% de 1 000 = 
 
b. 50% de 70 = 
 
e. 10% de 50 = 
 
h. 5% de 120 = 
c. 25% de 80 = 
 
f. 30% de 100 = 
 
 i. 3% de 100 = 
 
69. Resuelvan los siguientes porcentajes.
a. 4% de 120 = 
 
e. 55% de 7 000 = 
 
 
b. 10%de 580 = f. 42% de 300 = 
 
 
c. 26% de 2 000 = 
 
g. 130% de 500 = 
 
 
d. 70% de 130 = 
 
h. 175% de 400 = 
 
 
70. Resuelvan las siguientes situaciones y redondeen el resultado a los centésimos, si es necesario.
a. Daniela compró una licuadora que costaba $355,5. Como abonó en efectivo, le hicieron un 
descuento del 20%. ¿Cuánto pagó por la licuadora?
b. Silvia compró la misma licuadora que Daniela, pero como abonó con tarjeta de crédito, le 
recargaron un 16%. ¿Cuánto pagó Silvia?
c. A una fiesta de egresados asistieron 160 personas. El 25% de los asistentes era de otras 
escuelas y de los restantes, el 15% eran los alumnos organizadores. ¿Cuántos chicos de otras 
escuelas asistieron a la fiesta? ¿Cuántos chicos la organizaron?
14 Operaciones con expresiones decimales. PorcentajeACTIVIDADES
54
Un librero aumentó un 25% el precio de una novela que costaba $110. Una semana después se 
la vende a un amigo al mismo precio que tenía antes del aumento; ¿debió descontar un 25% al 
nuevo precio para llegar al mismo costo que tenía el libro?
menteACTIVA
20
4,8 3 850
58 126
520 650
91 700
20 300
35 5 6
20 30 3
$284,4
No, debe descontarle el 20% al nuevo precio.
$408,825
Asistieron 40 chicos de otras escuelas. 15 chicos organizaron la fiesta.
 
Operaciones combinadas
Nombre: Curso: Fecha: / /
55
14 17 18 1915 16
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado que incluye fracciones y expresiones decimales?
b. ¿Cómo se resuelve √ 
________
 1 ___ 25 + 0,12 ?
test de comprensión
infoactiva
Para resolver una operación donde intervienen fracciones y expresiones decimales combinando 
las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos:
2,5 . 4 __ 5 + 0,4
2 : 3 ___ 10 – √ 
_____
 0,36 = 1. Se separa en términos. 
 25 ___ 10 
. 4 __ 5 + ( 4 ___ 10 ) 
2 : 3 ___ 10 – √ 
____
 36 ____ 100 = 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción.
 25 ___ 10 
. 4 __ 5 + 
16 ____ 100 : 
3 ___ 10 – 
6 ___ 10 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.
 2 __ 3 + 
16 ___ 30 – 
6 ___ 10 = 
3 __ 5 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las
 sumas y restas, y se simplifica.
Si en el cálculo aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran.
 3 __ 2 
. ( 1,2 + 3 __ 5 ) – √ 
_____
 1,21 = 1. Se separa en términos. 
 3 __ 2 
. ( 12 ___ 10 + 3 __ 5 ) – √ 
____
 121 ____ 100 = 2. Se convierten las expresiones decimales a fracción.
 3 __ 2 
. 18 ___ 10 – √ 
____
 121 ____ 100 = 3. Se resuelven los paréntesis.
 3 __ 2 
. 18 ___ 10 – 
11 ___ 10 = 4. Se resuelven las potencias y raíces.
 27 ___ 10 – 
11 ___ 10 = 
8 __ 5 5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las 
 sumas y restas, y se simplifica.
En algunos casos, es posible aplicar la propiedad distributiva para suprimir los paréntesis.
2,5 . ( 3 __ 2 + 0,8 ) – ( 3 __ 2 ) 
2 = 1. Se separa en términos.
 5 __ 2 
. ( 3 __ 2 + 4 __ 5 ) – ( 3 __ 2 ) 
2 = 2. Se convierten las expresiones decimales a fracción.
 5 __ 2 
. 3 __ 2 + 
5 __ 2 
. 4 __ 5 – ( 3 __ 2 ) 
2 = 3. Se aplica la propiedad distributiva.
 5 __ 2 
. 3 __ 2 + 
5 __ 2 
. 4 __ 5 – 
9 __ 4 = 4. Se resuelven las potencias y raíces.
 15 ___ 4 + 
20 ___ 10 – 
9 __ 4 = 
7 __ 2 5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las 
 sumas y restas, y se simplifica.
2120 22 23
a. Se expresan todos los números como fracción. b. Primero se resuelve el radicando y luego, la raíz.
 
15 Operaciones combinadasACTIVIDADES
56
71. Coloquen >, < o = según corresponda.
a. 3 √ 
______
 0,008 + 1 3 √ 
______
 0,027 + 1 c. 2 . √ 
____
 0,64 2 . 3 √ 
______
 0,064 e. 5 √ 
________
 0,00032 4 √ 
______
 0,0016 
b. 1,22 – 1 1,12 – 1 d. 0,043 + 0,1 0,42 + 0,1 f. (0,1 + 0,03)2 1,32
72. Resuelvan los siguientes cálculos.
a. ( 0,62 – 1 __ 5 ) 
2
 = g. 4 √ 
______
 0,0001 : 3 ___ 20 + 1,2 – 
14 ___ 3 
. 2 __ 5 = 
 
b. √ 
_______
 12 ___ 10 
. 0,3 = h. ( 1 __ 3 + 1 __ 5 ) 
2
 : √ 
____
 2,25 + 5 __ 9 – 
4 ___ 90 = 
 
c. 1,32 – 1,12 = i. 
3
 √ 
____
 ( 1 __ 2 ) 
3
 + 3,2 – ( 0,12 + √ 
____
 0,04 ) =
 
d. 0,23 + √ 
___
 1 ___ 64 = j. ( √ 
___
 4 ___ 25 + 0,5
2 ) : 1,69 + 5 ___ 26 =
 
e. 1 __ 3 + √ 
____
 0,25 – 0,52 = k. ( √ 
_____
 0,642 + 3 √ 
__
 1 __ 8 – 
4 __ 5 ) : 34 =
 
f. 3 √ 
____________
 0,05 + 0,075 . 6 __ 5 + 
9
 ___ 10 = l. ( √ 
____
 0,01 + √ 
____
 0,25 ) 2 . 1 __ 2 + 0,12 =
 
< > =
> < <
 12 ___ 25 
 21 ___ 20 
 3 __ 5 
 1 __ 3 
 441 _____ 2 500 
 133 _____ 1 000 
 
349 ____ 100 
 3 ___ 10 
 473 ____ 675 
 1 ____ 100 
0
 15 ___ 26 
 
73. Ubiquen los siguientes números en una 
recta numérica.
a. 1 __ 5 ; 0,4; 1,2; 
3 __ 2 ; 2
b. 5 __ 3 ; 3,3; 2,6; 
2 __ 6 ; 3
74. Escriban cada fracción como expresión 
decimal. Luego, ordenen de mayor a menor las 
expresiones obtenidas.
a. 1 ___ 25 b. 
5 __ 9 c. 
7 ___ 10 d. 
7 __ 9 
75. Marquen con una X las fracciones decimales.
a. 3 ___ 16 f. 
17 ___ 8 
b. 7 _____ 1 000 g. 
23 ___ 15 
c. 5 ___ 27 h. 
9
 ___ 50 
d. 2 ____ 625 i. 
24 ___ 25 
e. 6 ___ 49 j. 
3 ___ 81 
76. Completen con >, < o = según corresponda.
a. √ 
____
 0,64 0,64 f. √ 
____
 0,04 1 __ 4 
b. √ 
____
 2,56 23 ___ 5 g. 7,7 7,77
c. 3 √ 
_____
 0,001 ( 1 ___ 10 ) 
2
 
 
h. 5 __ 9 0,5
d. 3 √ 
_____
 1 000 _____ 343 ( 1 __ 7 ) 
2
 
 
i. ( 3 ___ 10 ) 
2
 ( 3 __ 9 ) 
2
 
e. 3,52 25 ___ 2 j. ( 5 __ 4 ) 
2
 √ 
___
 25 ___ 4 
77. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. 0,252 + 0,52 – 3 √ 
______
 0,008 =
b. 3 √ 
___
 1 ____ 125 – 0,25 : 2 + 
17 ___ 40 =
c. 0,32 + √ 
___
 9 ___ 25 – ( 6 ___ 15 . 1,5 ) 
2
 =
d. 0,2 + √ 
__
 1 __ 9 + 
2 __ 3 =
e. 3 √ 
____________
 0,015 + 0,012 . 5 __ 6 + 
3 __ 2 =
f. ( 3 √ 
___
 27 ___ 8 + 0,5
2 ) : 1,5 – 1 =
g. ( √ 
____
 0,64 + √ 
____
 0,09 ) 2 – ( 0,9 . 22 ___ 3 . 1 __ 6 ) =
78. Escriban el número que verifica el cálculo.
a. ( 1 ___ 10 + 0,4 ) . = 3 ___ 16 
b. 
4
 √ 
_____
 . 1,5 = 1
c. 0,25 : 4 + = 5 ___ 16 
d. ( ) 
2
 + 0,5 = 11 __ 4 
79. Lean atentamente y resuelvan.
a. En una heladería, un kilogramo de helado 
cuesta $58,40. 
Cliente 1: compró 5 kilos.
Cliente 2: compró 2,5 kilos.
Cliente 3: compró 7,5 kilos.
¿Cuánto pagó cada cliente por su compra?
• Si al comprar más de 4 kilos se realizara un 
descuento del 10%, ¿cuánto debería pagar 
cada cliente?
b. Un pastelero compró 121 kg de chocolate a 
$65,5 el kilo para elaborar bombones.
• ¿Cuánto pagó por el chocolate que compró? 
• Si el kilo de bombones cuesta $82, ¿cuán-
tos kilos de bombones necesita vender para 
recuperar el dinero invertido?
80. Calculen el perímetro de las siguientes 
figuras.
a. 
ab = 3,85 cm
bc = 5,25 cm
 a d
b c
b. 
ab = 2,15 cm 
 a d
b c
c. 
ab = 4,08 cm
ac = 1 __ 2 
. ab cm
 
b
a c
57
Integración
capítulo
213.14.15CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
X X
X
X
X X
<
>
<
>
=
<
<
>
>
<
3
8
16
81
1
4
3
2
P = 10,2 cm
 9 ___ 80 
a. C1: $262,8; C2: $146; C3: $394,2
b. $792,55. Necesita vender 10 kg.
 1 __ 2 
 33 ____ 100 
 6 __ 5 
 7 __ 4 
 1 __ 6 
 11 ____ 100 
Solución a cargo del alumno.
d. 0,7 < c. 0,7 < b. 0,5 < a. 0,04
P = 8,6 cm
P = 18,2 cm
 
81. Respondan.
a. Sabrina multiplicó un número por 10, luego 
lo dividió por 13 y elresultado que obtuvo 
fue 9. ¿Cuál es el número?
b. A otro número lo dividió por 100, le sumó 
50,5 y obtuvo 100. ¿De qué número se trata?
82. Completen la tabla.
Aproximación por redondeo...
Expresión 
decimal
al entero a los 
décimos
a los 
centésimos
3,49
8,89
0,78
0,008
0,0096
13,0746
83. Resuelvan.
a. Antes de llegar a su destino, un avión rea-
lizó dos escalas. En la primera descendieron 
35 personas, en la segunda 50 y 175 llegaron 
al destino final. ¿Qué porcentaje descendió en 
cada escala? ¿Y en el lugar de destino?
b. En un curso de 36 alumnos, 3 no asistie-
ron el lunes a la escuela, ¿qué porcentaje de 
asistencia hubo ese día?
c. Si durante el mes de abril llovió 6 días, 
¿cuál es el porcentaje de días de lluvia?
d. Un equipo de música se vendió con un 
12% de descuento a $1 337,60. ¿Cuál es el 
precio sin descuento?
e. En un recital, se vendieron 624 entradas 
de un total de 780. ¿Qué porcentaje de entra-
das quedó sin vender?
84. Calculen mentalmente.
a. 10% de 140. g. 50% de 88.
b. 10% de 55. h. 50% de 1 350.
c. 20% de 90. i. 75% de 100.
d. 20% de 300. j. 75% de 1 200.
e. 25% de 1 000. k. 150% de 64.
f. 25% de 80. l. 150% de 1 300.
85. Lean atentamente y marquen con una X el 
cálculo que permite resolver el problema.
En el año 2005, una escuela tenía 600 alum-
nos en su matrícula. Si en el 2013 la matrícula 
aumentó en un 15%, ¿cuántos alumnos tiene 
ese año?
a. 600 . 1,15 
b. 600 + 600 . 15 : 100 
c. 600 . 15 : 100 
d. 600 . 0,85 
86. Respondan.
a. El 40% de una cantidad es 1 500. ¿Cuál es 
esa cantidad?
b. El 75% de cierta cantidad es 6 000. ¿De 
qué cantidad se trata?
c. Si el 125% de una cantidad es 120, ¿cuál 
es esa cantidad? ¿Y su 25%?
d. El 20% de cierta cantidad aumentada en 
15 es 29. ¿Cuál es esa cantidad?
e. El 30% de cierta cantidad, disminuido en 26 
es igual a 22. ¿Cuál es esa cantidad?
f. El 50% de una cantidad, multiplicado por 3 
es 141. ¿Cuál es esa cantidad?
 
87. Verifiquen que a todos los precios se les 
haya realizado un 20% de descuento. Corrijan 
los precios incorrectos.
Precio 
anterior
Precio con 
descuento
Camisa $240,20 $192,16
Pantalón $290,50 $246,93
Campera $350 $297,50
Zapatillas $315,70 $252,56
88. Resuelvan los calculos combinados.
a. 10% de $580 + 35% de $128 =
b. 112% de $53 – 50% de $47 =
c. 36% de $54 + 20% de $49 =
d. 75% de $81 + 90% de $142 =
e. 32% de $65 – 12% de $73 =
58
X
X
3 3,5
9 8,9
1 0,8
0 0
0 0
13 13,1
3,49
8,89
0,78
0,1
0,1
13,07
14
5,5
18
60
250
20
44
675
75
900
96
1 950
$102,8
Pantalón: $232,4; Campera: $280
$35,86
$29,24
$188,55
$12,04
11,7
4 950 
a. 1.° escala: 13,5%; 2.° escala: 19,2%; Destino: 67,3%
b. 91,7%. c. 20%. d. 1 520. e. 20%
3 750
8 000
96; 24
70
160
94
 
Autoevaluación 2
89. Representen en la recta numérica.
a. 1 ___ 12 ; 0,5; 0,3; 
5 __ 6 ; 0,75 
0
90. Escriban la fracción irreducible y la expresión decimal que corresponde en cada caso.
a. b. c. 
 
 
 = = = 
 
91. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La suma entre la raíz cuadrada de 0,64 y el cuadrado de 1 __ 2 . = 
b. La diferencia entre la raíz cuadrada de 49 ___ 64 y la raíz cúbica de 
1 ___ 64 . = 
c. El cociente entre la suma de 0,5 y 1 __ 5 , y la raíz cuadrada de 
49
 ____ 100 . = 
d. El producto entre la suma de 5 __ 8 y 
5 ___ 10 , y la raíz cuadrada de 2,56. = 
92. Lean atentamente y resuelvan.
a. En la librería “Pitágoras” se vendieron 120 novelas románticas durante el mes de marzo. En 
abril, la venta de esas novelas disminuyó un 15% y en mayo, aumentó un 25% respecto de 
marzo. ¿Cuántas novelas se vendieron durante los meses de abril y mayo?
b. En la misma librería hay un estante con libros de Matemática, Física y Biología. Los libros de 
Matemática son 32 y los de Física son 16; entre ambos representan el 60% del total de los libros 
del estante. ¿Cuántos libros hay en el estante? ¿Cuántos son de Biología?
93. Resuelvan los cálculos combinados.
a. 3 √ 
_______
 27 ___ 64 
. 125 ____ 8 + √ 
________
 1 – 0,75 – ( 1 – 1 __ 2 ) 
2
 = 
 
b. 2 __ 3 
. √ 
___
 1 ____ 144 + √ 
____
 1,44 : 0,42 – ( 1 __ 3 ) 
3
 = 
 
 
 
 
59
capítulo
3
4
2
3
3
8
21
20
5
8
1
1
9
5
17
8
203
 27
0,75 0,6 0,375
102; 150
80; 32
Solución a cargo del alumno.
 √ 
____
 0,64 + ( 1 __ 2 ) 
2
 
 √ 
___
 49 ___ 64 – 
3
 √ 
___
 1 ___ 64 
 ( 0,5 + 1 __ 5 ) : √ 
____
 49 ____ 100 
 ( 5 __ 8 + 5 ___ 10 ) . √ 
____
 2,56 
 
 
Funciones
Contenidos
16. Gráficos y tablas.
17. Funciones.
18. Función de 
proporcionalidad directa.
19. Función de 
proporcionalidad inversa.
3
capítulo
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la escena y respondan.
a. ¿De qué depende la cantidad de personas que podemos encontrar en cada puesto?
b. Si una persona tiene $50 para comprar naranjas, ¿de qué depende la cantidad que puede comprar?
c. Si solo se vende fruta por kilogramo y una señora gastó $36 en manzanas, ¿dónde compró?
d. ¿Cuántos kilos de cada fruta compró una persona que gastó $38 en “Lo de Fermín”? Pueden 
ayudarse armando una tabla donde registren los precios de cada fruta según la cantidad.
e. Modifiquen las situaciones anteriores para que tengan una única solución. Luego, respóndanlas.
a. De los precios, la calidad de la fruta, etc. b. Del precio del kg. c. “Sebastián” o “Don Juan”. d. Por 
ejemplo, 4 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. e. Solución a cargo de los alumnos.
 
61
 
Gráficos y tablas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x = 3?
b. ¿Se pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas?
c. El punto a = (2;3), ¿coincide con el punto b = (3;2)?
test de comprensión
61
18 19 20 22 232116 1715 24
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un 
punto llamado origen de coordenadas.
La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y).
Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el primero representa la 
abscisa y el segundo, la ordenada.
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5
b
a
c
y
x
o
250
200
150
100
50
0 1 2 3 4 5
q
p
y
x
Para representar 
estos puntos 
conviene tomar 
unidades distintas 
en cada eje.
o = (0;0) es el origen de coordenadas p = (1;150)
a = (1;1) b = (2;0) c = (0;4) q = (5;200)
 
Los gráficos permiten leer con mayor facilidad los 
datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la 
variación de la temperatura a través de las horas.
• En el eje x se representó el tiempo (expresado en 
horas) y en el eje y, la temperatura (en °C).
• A las 13 horas se registró la mayor temperatura 
y a las 10 horas, la menor.
• Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura 
aumentó y, luego, empezó a descender.
• Entre las 16 horas y las 17 horas la temperatura 
se mantuvo constante.
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 10 11 12 13 14 15 16 17
te
m
pe
ra
tu
ra
 (
en
 °
C)
tiempo (en horas)
//
Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente.
Tiempo (en horas) 10 11 12 13 14 15 16 17
Temperatura (en °C) 14 16 19 20 18 17 16 16
a. No. b. Sí. c. No.
 
1. Representen los puntos en el sistema de ejes cartesianos.
a = (3;1)
b = (2;3)
c = (6;7)
d = (7;0)
e = (0;9)
f = (0;0)
g = (9;5)
h = (5;10)
i = (1;6)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
x
2. Escriban las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el gráfico.
a = ( ; ) 
b = ( ; ) 
c = ( ; ) 
d = ( ; ) 
e = ( ; ) 
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
y
x
b
ea
cd
3. Representen los datos de la tabla en el sistema de ejes cartesianos.
x y
3 5
0 2
0 0
5 1
6 0
7 8
8 6
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
y
x
16 Gráficosy tablasACTIVIDADES
62
e
f
b
c
a
d
g
2
4
5
0
8
2
0
6
6
2
i
h
 
4. Completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen.
a. La ordenada es 5 y la abscisa, 7.
 a = ( ; ) 
b. La abscisa es 4 y su ordenada el doble. 
 b = ( ; ) 
c. Un punto que se encuentre sobre el eje de 
ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas. 
 c = ( ; ) d = ( ; ) 
d. La abscisa vale la mitad que la ordenada.
 e = ( ; ) 
e. El punto que cumple la condición anterior 
si y = 5.
 f = ( ; ) 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
5. Observen el gráfico y resuelvan.
a. Completen la tabla.
Hora Temperatura (en °C)
1
16
7:30
 24
b. ¿A qué hora la temperatura fue de 12 °C? 
 
c. ¿A qué hora se registró la temperatura 
máxima? ¿Cuál fue dicha temperatura? 
24
22
20
18
16
14
12
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
te
m
pe
ra
tu
ra
 (
en
 °
C)
tiempo (en horas)
//
6. Observen el gráfico y respondan.
Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un 
refresco y regresó. El gráfico representa la distancia desde la 
casa de Clara al parque a medida que transcurrió el tiempo.
a. ¿Cuántos minutos...
• ... tardó en llegar al parque? 
• ... estuvo en el parque? 
• ... tardó en regresar a su casa? 
b. ¿Tardó más para ir al parque o para volver? Expliquen 
la respuesta. 
 
16 Gráficos y tablasACTIVIDADES
63
Nombre: Curso: Fecha: / /
60
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 
di
st
an
ci
a 
(e
n 
cu
ad
ra
s)
tiempo (en minutos)
,
Estuvo 30 minutos.
Tardó 30 minutos.
A la hora 0 y entre las 2 y las 4 h.
A las 11 h. Fue de 24 °C.
Tardó 20 minutos.
Tardó más para ir que para volver. En el
gráfico se ve que para ir tardó 30 min y para volver, 20 min.
c
f a
b
e
7 5
4 8
3 6
0 3 7 0
2,5 5
6
14
20
11
d
 
64
16 Gráficos y tablasACTIVIDADES
64
7. Lean atentamente y respondan.
Para controlar el sano crecimiento de su perra India, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días. 
a. ¿Cuánto pesaba India al nacer? 
b. ¿Cuántos días tenía India cuando pesa-
ba 3 kg? 
c. ¿Cuál era el peso de la perra a los cua-
tro meses?
d. ¿En algún período la perra mantuvo un 
peso constante? En caso de ser afirmati-
vo, indiquen en qué período.
6
5
4
3
2
1
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 
pe
so
 (
en
 k
g)
edad (en días)
8. Observen y respondan.
Una empresa registró mediante el siguiente gráfico sus ingresos de los últimos 18 meses.
30
25
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
in
gr
es
o
s 
(e
n 
m
il
es
 d
e 
$)
meses
a. Transcriban en la siguiente tabla los ingresos de la empresa en los seis últimos meses.
Mes
Ingreso (en $)
b. ¿En qué mes se registró el mayor ingreso? ¿Y el menor? 
c. ¿En qué momento del año los ingresos de la empresa descienden? 
d. Completen la tabla, sabiendo que en los cuatro meses siguientes, las ganancias de la empre-
sa aumentaron $2 500 por mes.
Mes 22
Ingreso (en $)
e. Continúen el gráfico con los datos obtenidos en el punto anterior.
f. Si en los meses 23 y 24 se registró un ingreso de $22 500 cada mes, ¿el ingreso aumentó o 
disminuyó con respecto al mes 22? Representen estos datos en la gráfica.
150 días.
2 kg
No, siempre aumentó de peso.
0,5 kg
En el mes 12. En el mes 18.
A mitad de año.
El ingreso disminuyó.
19 20 21
17 500 20 000 22 500 25 000
13
22 500
14
25 000
15
25 000
16
27 500
17
22 500
18
15 000
 
65
17
Funciones
Nombre: Curso: Fecha: / /
65
16 19 20 21 232218 2524
Cada una de las siguientes gráficas representa una relación entre dos variables.
30
24
18
12
6
0 1 2 3 4 5
y
x
pr
ec
io
 (
en
 $
)
paquetes de salchichas
32
24
16
8
0 100 200 300 400 
y
x
pr
ec
io
 (
en
 $
)
cantidad de jamón (en g)
En el gráfico se relaciona la cantidad de paque-
tes de salchichas con su precio. Los puntos apare-
cen aislados porque se usan cantidades enteras 
(no se fraccionan).
En el gráfico se relaciona la cantidad de jamón 
con su precio. El gráfico está formado por una 
línea recta porque el jamón se puede vender en 
distintas cantidades. 
Los dos gráficos corresponden a relaciones que son funciones.
Una relación es función cuando para todo valor representado sobre el eje x le corresponde un único 
valor representado sobre el eje y.
Para una determinada cantidad (variable 
independiente) existe un único precio (variable 
dependiente). Se dice que el precio depende 
de la cantidad o que el precio está en función 
de la cantidad.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si un mismo valor de x tiene tres valores de y distintos, ¿se puede decir que es función?
b. Si a cada valor de la variable independiente le corresponde por lo menos un valor de la 
variable dependiente, ¿es función?
c. ¿El gráfico de una recta siempre es función?
d. La variable independiente, ¿se representa en el eje horizontal?
test de comprensión
infoactiva
a. No. b. No. c. Sí, salvo que sea paralela al eje y. d. Sí.
 
17 FuncionesACTIVIDADES
66
9. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función.
 
10. Marquen una X en los gráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta.
a. c. e. y
x
y
x
y
x
b. d. f. 
 
y
x
y
x
y
x
11. Resuelvan.
a. Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro.
Lado (en cm) 3 5
Perímetro (en cm) 5 10
b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
c. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico anterior? ¿Por qué?
d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, ¿es función? ¿Por qué? 
X
X
X
a., b. y c. no son funciones, porque para el mismo valor de x le corresponden dos o más valores de y.
Sí, es función porque a distintas medidas del lado le corresponden perímetros diferentes.
35
30
25
20
 15
10
5
0 1 2 3 4 5 6
pe
rí
m
et
ro
 (
cm
)
lado (cm)
Sí, es correcto porque el lado de un pentágono regular puede ser un número decimal.
y = 5 . x
1 2
15 25
El peso de la fruta en el comercio y el precio a pagar. 
El lado de un triángulo equilátero y su perímetro.
La velocidad con la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia.
 
2418
Función de proporcionalidad directa
Nombre: Curso: Fecha: / /
67
17 20 21 22 2319 2625
1. Respondan y expliquen sus respuestas.
a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, ¿se puede decir que son directamente pro-
porcionales?
b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta el doble, ¿cuánto 
debe aumentar la otra?
c. Si se multiplica por 1 __ 3 la variable independiente, ¿por cuánto se debe multiplicar la variable 
dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa?
d. A partir de los datos de una tabla, ¿cómo se puede identificar si se trata de una relación 
de proporcionalidad directa?
test de comprensión
infoactiva
Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante.
El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k).
El perímetro de un cuadrado es directamente proporcional a la medida del lado.
x: lado del 
cuadrado (en cm)
y: perímetro
(en cm)
1 4
2 8
4 : 1 = 4
8 : 2 = 4
k = 4 
(constante de proporcionalidad)
• Lenguaje coloquial: el cociente entre dos cantidades correspondientes es igual a 4.
• Lenguaje simbólico: y : x = 4, entonces y = 4 . x
 
fórmula de la función
La representación gráfica de cantidades directa-
mente proporcionales da como resultado un conjun-
to de puntos alineados sobre una recta que pasa por 
el origen de coordenadas.
8
4
0 1 2 
y
x
pe
rí
m
et
ro
 (
en
 c
m
)
lado (en cm)
y = 4 . x
a. No. b. El doble. c. Por 1 __ 3 . d. Si el cociente entre las dos variables es constante.
 
18 Función de proporcionalidad directaACTIVIDADES68
12. Escriban tres ejemplos de que sean directamente proporcionales.
 
 
13. Marquen con una X las relaciones que son directamente proporcionales.
a. b. c. d. 
x y
2 5
4 7
6 9
x y
3 12
7 28
10 40
x y
10 5
30 15
40 20
x y
5 2
10 4
16 6
14. Resuelvan.
a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional. 
Luego, representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos.
x y
49
14
4 28
5
6
9
b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
 
15. Observen el gráfico y respondan.
El siguiente gráfico representa el precio de 
un postre helado según su peso.
a. Completen la tabla.
Peso (en gramos) Precio (en $)
10
1 000
60
1 750
b. Las variables, ¿se relacionan de forma 
directamente proporcional? ¿Cuál es la 
constante de proporcionalidad?
pr
ec
io
 (
en
 $
) 80
70
60
50
40
30
20
10
0
25
0
50
0
75
0
1 
00
0
1 
25
0
1 
50
0
1 
75
0
2 
00
0
peso del postre (en g)
El tiempo que tarda en subir un ascensor según la cantidad de pisos que tiene que subir.
La cantidad de km que se pueden recorrer según la cantidad de nafta que tiene un auto.
La cantidad de litros de pintura que se necesitan para pintar una pared.
42
35
63
X X
56
49
42
35
28
21
14
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
250
1 500
70
40
Sí. La constante es 25.
La constante es 7.
2
7
 
21 232219
Función de proporcionalidad inversa
Nombre: Curso: Fecha: / /
69
24 25 26 2720
Dos variables se relacionan de forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores 
que se corresponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).
En la siguiente tabla se registraron algunos valores que corresponden a la base y la altura de 
rectángulos de 24 cm2 de área.
Base (en cm) Altura (en cm)
2 12
3 8
4 6
2 . 12 = 24
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24
k = 24 
(constante de proporcionalidad)
El producto entre dos cantidades correspondientes es 
igual a 24.
 x . y = 24, entonces y = 24 ___ x .
Cuando los valores de una variable aumentan, los de 
la otra variable disminuyen en la misma proporción.
La representación gráfica de variables inversamente 
proporcionales da como resultado una curva denominada 
hipérbola.
12
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 
y
x
al
tu
ra
 (
en
 c
m
)
base (en cm)
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta al doble, ¿qué suce-
de con la otra?
b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, ¿los puntos están alineados?
c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ¿se puede decir que las 
variables son inversamente proporcionales?
d. Si el producto entre la variable dependiente y la independiente es cero, ¿se puede decir 
que se trata de una relación inversamente proporcional?
test de comprensión
infoactiva
18
a. Disminuye a la mitad. b. No. c. No. d. No.
 
70
19 Función de proporcionalidad inversaACTIVIDADES
70
16. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales.
 
17. Marquen con una X las tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y 
hallen la constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un siste-
ma de ejes cartesianos. 
a. b. c. d. 
x y
1 3
3 1
15 5
x y
2 15
3 10
5 6
x y
2 63
3 42
9 14
x y
4 6
7 4
10 2
18. Lean atentamente y respondan. 
Laura está organizando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el complejo 
cultural Plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiler del lugar son de $8 000, deberá cobrar la 
entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala.
a. Completen la tabla.
Cantidad de butacas de la sala 125 320
Valor de la entrada 40
b. Las variables, ¿se relacionan en forma inversamente proporcional? Si es así, escriban la cons-
tante de proporcionalidad. 
c. Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.
X X
Sí, son variables inversamente proporcionales. k = 8 000.
Solución a cargo del alumno.
64
200
25
Cantidad de personas que pintan un edificio y el tiempo que tardan.
El tiempo que tarda un micro en recorrer una distancia y su velocidad.
Cantidad de recipientes necesarios para colocar dulce de leche según su tamaño.
b. c.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
k = 30
63
56
49
42
35
28
21
14
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y
k = 126
 
7171
Integración
capítulo
316.17.18.19COnTEnIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
19. Representen los siguientes puntos en un sis-
tema de ejes cartesianos.
a = (2;6) c = (5;18) e = (8;9)
b = (6;0) d = (7;14) f = (12;5)
20. Observen el gráfico y escriban las coorde-
nadas de cada punto.
300
250
200
150
100
50
0 1 2 3 4 5 6 7 
y
x
a
d
b
c
e
21. Ubiquen el vértice que falta para que se 
forme la figura indicada en cada caso.
a. Cuadrado.
10
6
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
d c
a
b. Romboide.
7
5
3
1
0 0,5 2 4
y
x
d
c
a
c. ¿Las soluciones son únicas? Si no lo son, 
indiquen otra posibilidad.
22. Resuelvan.
a. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes 
puntos están bien representados en el siste-
ma de ejes cartesianos.
a = (2;1) c = (7;7) e = (7;3) 
b = (5;6) d = (7;2) f = (8;6)
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
e
c f
b
a
d
b. Representen correctamente los puntos mal 
ubicados.
23. Lean atentamente y respondan.
Una enfermera registró la temperatura de un 
paciente en el siguiente cuadro.
Hora Temperatura (en °C)
7:00 38
8:00 37
9:00 37
10:00 38
11:00 39
12:00 38,5
13:00 39
a. Representen los valores de la tabla en los 
ejes cartesianos.
b. ¿La relación es función? Expliquen la res-
puesta.
c. ¿Se pueden unir los puntos del gráfico? 
¿Por qué?
24. Escriban ejemplos según la condición.
a. Dos relaciones directamente proporcionales.
b. Dos relaciones inversamente proporcionales.
c. Dos relaciones no proporcionales.
Los puntos mal ubicados son b, c y e.
Sí.
Solución a cargo del alumno.
Sí.
b
b
c
e
b
Solución a cargo del alumno.
En a. es única y en b., no. Otra posibilidad: (4;1).
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
 
7272
25. Resuelvan.
a. Completen la tabla para que sea una fun-
ción de proporcionalidad directa. Indiquen la 
constante de proporcionalidad.
Peso 
(en kg) 2 5 9 10
Precio 
(en $) 7 24,50 
b. Representen los datos en un gráfico carte-
siano.
26. Lean atentamente y resuelvan.
Para el cumpleaños de Julia, su mamá está 
preparando un gran bizcochuelo y necesita tres 
sobres de preparación.
3 cucharadas de leche tibia.
2 huevos.
5 cucharadas de agua.
200 g de manteca derretida.
por c
ada sobre de preparación
a. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita 
la mamá de Julia?
b. Las variables ¿se relacionan en forma direc-
tamente proporcional? Si es así, indiquen cuál 
es su constante. 
27. Resuelvan.
Gabriel compró las entradas para él y sus cinco 
amigos, para asistir a un recital.
a. Si pagó $900 por las seis entradas, ¿cuán-
to dinero le tiene que dar cada amigo?
b. Completan la tabla.
Cantidad de entradas Dinero que se debe abonar
2
450
5
6 900
c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? 
d. Representen la información en un gráfico.
28. Resuelvan.
Héctor, el dueño de una estancia, se irá de va-
caciones por 14 días y deja a Úrsula a cargo de 
sus cinco caballos. Respetando la dieta indicada 
por el veterinario, la cantidad de alimento que 
le deja alcanza para esas dos semanas.
a. Si antes de irse, Héctor trae dos caballos 
más, pero no agrega comida, ¿para cuántos 
días alcanzará?
b. Si solo hubiera dos caballos para alimentar 
con la misma cantidad de comida, ¿para cuántos 
días alcanzará el alimento?
c. ¿La relación es una función de proporciona-
lidad directa o inversa?
d. Completen la siguiente tabla de acuerdo 
con la información anterior.
Caballos Días para alimentarlos
1
2
5 14
7
5
e. Representenla información de la tabla en 
un sistema de ejes cartesianos.
29. Indiquen si las siguientes relaciones son 
directamente proporcionales (DP), inversamente 
proporcionales (IP) o no proporcionales (nP).
a. La cantidad de harina y de pizzas que se 
pueden hacer con ella. 
b. La cantidad de agua para regar una planta 
y su crecimiento. 
c. La cantidad de agua que arroja una man-
guera por minuto y el tiempo que tarda en 
llenar una piscina. 
d. La superficie representada de una provincia 
en el mapa y los kilómetros cuadrados que 
abarca dicha provincia dentro del territorio 
nacional. 
72
DP
NP
DP
DP
7
31,50 3517,50
300
750
3
14
70
35
10
Solución a cargo del alumno.
Sí. k = 3
$150
c. k = 150. d. Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
10
35
Inversa.
Solución a cargo del alumno.
 
73
Autoevaluación 3
30. Observen el gráfico y respondan.
Mariana realizó una excursión a las termas de Cacheuta. El siguiente gráfico representa la excursión 
desde que partió del hotel hasta su regreso, en función del tiempo.
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
di
st
an
ci
a 
(e
n 
km
)
tiempo (en h)
a. ¿Cuántas horas estuvo fuera del hotel? 
b. ¿Cuánto tiempo estuvo en las termas? 
c. ¿A cuántos kilómetros del hotel se encontraban las ter-
mas de Cacheuta? 
d. ¿Realizaron alguna parada en el camino? ¿A la ida o a la 
vuelta? 
e. ¿Cuántas horas duró el viaje de regreso? 
31. Resuelvan.
Pablo tiene varias peceras con forma de prisma. Todas miden 40 cm de largo y 20 cm de ancho, 
pero distintas alturas. La primera mide 60 cm de altura; la segunda 50 cm y la tercera, 70 cm.
a. ¿La altura de cada pecera y su volumen son variables directamente proporcionales? ¿Por qué?
b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?
c. Completen la siguiente tabla y luego representen la información en un sistema de ejes cartesianos.
Altura de la pecera (en cm) 40 70
Volumen de la pecera (en cm3) 40 000 48 000 
32. Piensen y resuelvan.
En la reunión de consorcio del edificio de Ana, decidieron cambiar la decoración del frente. El costo de 
la reforma es de $2 100 y será dividido entre todos los propietarios.
a. Si en total son 14 los propietarios, ¿cuánto dinero deberá abonar cada uno? ¿Y si fueran 30 pro-
pietarios?
b. Las variables, ¿se relacionan en forma directa o inversamente proporcional? Indiquen la cons-
tante de proporcionalidad.
c. Completen la tabla teniendo en cuenta la información de los ítems anteriores y representen 
los puntos en un sistema de ejes cartesianos.
Cantidad de propietarios 14 30
Monto a pagar (en $) 100 75
73
capítulo
Sí. Porque las dos variables aumentan en proporciones iguales.
k = 800. La variable independiente es la altura. La variable dependiente es el volumen.
Cada uno deberá pagar $150. Si fueran 30, deberían pagar $70.
Las variables se relacionan en forma inversamente proporcional. k = 2 100
10 horas.
 Duró 2 horas.
4 horas.
Se encontraban a 160 km del hotel.
Sí, a la ida.
32 000
50 60
56 000
150
21 28
70
 
 
Cuerpos
Contenidos
20. Clasificación de los 
cuerpos.
21. Poliedros regulares.
22. Desarrollo plano de 
cuerpos.
23. Punto, recta y plano.
4
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. El siguiente texto tiene datos incorrectos. Léanlo atentamente y escríbanlo como corresponde.
La gaseosa tiene forma de rectángulo; el helado, de triángulo y la pelota, de círculo. Esta últi-
ma es una figura que rueda, por lo tanto su superficie no es plana.
b. ¿Qué errores encontraron?
c. La cajita de jugo, ¿es una figura o un cuerpo? ¿Qué forma tiene?
d. Comparen el texto que escribieron con el de sus compañeros.
capítulo
a. La gaseosa tiene forma de cilindro; el helado, de cono y la pelota, de esfera. Esta última es un cuerpo 
que rueda, por lo tanto su superficie no es plana. b. Se nombra a los cuerpos con nombres de figuras.
c. Es un cuerpo. Tiene forma de prisma de base rectangular.
 
75
 
Clasificación de los cuerpos
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un cubo, ¿es un prisma?
b. ¿Qué figuras geométricas son las caras laterales de las pirámides?
c. ¿Qué cuerpos tienen una sola cara plana?
d. Las caras laterales de todos los poliedros, ¿son paralelogramos?
test de comprensión
75
22 23 24 26 272520 2119 28
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
Los cuerpos se clasifican en:
• Poliedros: tienen todas sus caras planas.
 
Prisma: sus caras laterales son paralelo-
gramos y sus bases son polígonos paralelos.
Pirámide: todas sus caras concurren en un 
vértice, excepto una que es la base.
cara lateral cara lateral
base
vértice vértice
bases
arista
arista
• Redondos: tienen al menos una cara no plana.
bases
radio 
de la base
altura
vértice
vértice
generatriz
radio
circunferencias 
máximas
 Cilindro Cono Esfera
a. Sí. b. Triángulos. c. Los conos. d. No. 
 
76
1. Unan con flechas, cuando sea posible.
• Prisma • Pirámide • Cilindro • Cono • Esfera
2. Escriban los nombres de los cuerpos que forman los siguientes objetos.
 a. c. e. 
 
 
 b. d. f. 
 
 
20 Clasificación de los cuerposACTIVIDADES
76
Cubo, pirámide de base 
cuadrada.
Esfera, cilindro.
Cono, cilindro.
Prisma de base hexagonal, 
cilindro.
Prisma de base triangular, 
pirámide de base triangular.
Prisma de base rectangular, 
prisma de base triangular.
 
77
Poliedros regulares
Nombre: Curso: Fecha: / /
77
20 23 24 25 272621 22 2928
Se llaman poliedros regulares a aquellos en los que todas sus caras son polígonos regulares iguales.
Existen solo cinco poliedros regulares.
Tetraedro Cubo Octaedro
Sus caras son cua-
tro triángulos equi-
láteros iguales.
Sus caras son seis 
cuadrados iguales.
Sus caras son 
ocho triángulos 
equiláteros iguales.
Dodecaedro Icosaedro
Sus caras son 
doce pentágonos 
regulares iguales.
Sus caras son 
veinte triángulos 
equiláteros iguales.
En todo poliedro se verifica la relación de Euler.
 C: cantidad de caras
 C + V = A + 2 V: cantidad de vértices
 A: cantidad de aristas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un prisma de base cuadrada, ¿es un poliedro regular?
b. ¿Todas las pirámides son poliedros regulares?
c. Las caras de una pirámide regular, ¿pueden ser triángulos isósceles?
d. La relación de Euler, ¿se puede aplicar a los poliedros no regulares?
infoactiva
test de comprensión
a. No siempre. b. No. c. No. d. Sí.
 
21 Poliedros regularesACTIVIDADES
78
3. Marquen con una X los poliedros regulares.
 a. c. e. 
 
 b. d. f. 
 
4. Unan con flechas cada cuerpo con el número de vértices que tiene.
 a. Cubo • 6
 b. Tetraedro • 20
 c. Octaedro • 4
 d. Dodecaedro • 15
 e. Icosaedro • 12
 • 8
5. Completen la tabla y verifiquen la relación de Euler.
Poliedro Nombre No de caras No de vértices No de aristas Verificación
Cubo
Tetraedro
 
X X
X X
6
8Octaedro
Pirámide de base 
cuadrada
Pirámide de base 
hexagonal
Dodecaedro
Icosaedro
5
4
8
6
5
4
12
12
8
6
6 + 8 = 12 + 2
8 + 6 = 12 + 2
5 + 5 = 8 + 2
4 + 4 = 6 + 2
7 7 12 7 + 7 = 12 + 2
12 20 30 12 + 20 = 30 + 2
20 12 30 20 + 12 = 30 + 2
 
Desarrollo plano de cuerpos
Nombre: Curso: Fecha: / /
79
21 24 25 26 282722 23 3029
El desarrollo plano de un cuerpo es la forma del cuerpo cuando se lo desarma.
El desarrollo de un cuerpo permite conocer las figuras que lo forman y también, construirlo. Para 
ello, es necesario agregarle al desarrollo del cuerpo solapas en algunas de sus aristas para poder 
doblarlas y pegarlas uniendo las caras.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El desarrollo de un cubo, ¿puede tener más de 6 cuadrados? 
b. El desarrollo de una pirámide de base triangular, ¿puede tener rectángulos?
c. El desarrollo del cono, ¿es igual al del cilindro, pero con solo un círculo de base?
infoactiva
test de comprensióna. No. b. No. c. No.
 
22 Desarrollo plano de cuerposACTIVIDADES
80
6. Completen la tabla.
Cuerpo Nombre Vista de frente Vista de abajo
Cono
Cilindro
7. Indiquen el nombre del cuerpo al que pertenece cada desarrollo.
a. c. e.
 
 
b. d. f.
 
 
8. Marquen con una X el desarrollo correspondiente al siguiente cuerpo.
 a. c. 
 b. d. 
Prisma de base rectangular
Pirámide de base triangular o 
tetraedro
Pirámide de base cuadrangular
Cono
Prisma de base pentagonal
Pirámide de base hexagonal
Prisma de base 
cuadrada
Pirámide de base 
hexagonal
Esfera
X
 
22 Desarrollo plano de cuerposACTIVIDADES
81
Nombre: Curso: Fecha: / /
9. Marquen con una X el nombre de los siguientes cuerpos teniendo en cuenta su desarrollo.
a. b. c.
 Prisma de base triangular. Prisma de base triangular. Prisma de base triangular.
 Prisma de base cuadrada. Prisma de base cuadrada. Prisma de base cuadrada.
 Pirámide de base cuadrada. Pirámide de base cuadrada. Pirámide de base cuadrada.
10. Respondan teniendo en cuenta que el cuerpo está formado por cubos iguales y se pintó de 
violeta toda la superficie.
a. ¿Cuántos cubos forman el cuerpo?
b. ¿Hay algún cubo que tenga todas las caras pintadas?
c. ¿Cuántos cubos tienen solo dos caras pintadas?
 
d. ¿Hay cubos que tengan la mitad de sus caras pintadas? ¿Cuántos?
e. ¿Cuántos cubos más debería tener el cuerpo para que queden cuatro cubos con solo dos caras 
pintadas? ¿Dónde los ubicarían?
11. Marquen con una X los prismas que corresponden al siguiente desarrollo.
 a. c. 
 b. d. 
El cuerpo está formado por 11 cubos.
No.
Uno solo.
No.
Habría que agregar seis cubos más. En el centro del cuerpo.
X
X
X
X
 
22 Desarrollo plano de cuerposACTIVIDADES
82
La caja en la que Martín guarda sus ahorros tiene forma de prisma rectangular. Si decide 
pintarla de modo que dos caras que tengan una arista en común no queden pintadas con el 
mismo color, ¿cuántos colores diferentes necesita como mínimo?
menteACTIVA
12. Completen con las caras que faltan para obtener el desarrollo del cuerpo indicado. Luego, 
copien los desarrollos y armen los cuerpos.
a. Cilindro. c. Prisma de base hexagonal.
 
b. Prisma recto de base triangular. d. Cubo.
 
13. Construyan un octaedro regular y numeren sus caras como se muestra en la imagen. Luego, 
marquen con una X el desarrollo que corresponde al cuerpo que armaron.
 a. c. 
 b. d. 
1
2 4 3
1
2 3 4
2
1 3 4
2
1 4 3
2
3
1
4
X
Necesita, como mínimo, 3 colores diferentes.
 
Punto, recta y plano
Nombre: Curso: Fecha: / /
83
22 25 26 27 292823 24 3130
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuántos puntos determinan una única recta?
b. ¿Cuántas rectas pasan por un punto?
c. Dos rectas paralelas, ¿pueden tener puntos en común?
d. Dos rectas alabeadas, ¿son perpendiculares?
infoactiva
En el siguiente prisma se pueden obser-
var los tres elementos fundamentales de la 
geometría del espacio: plano (α), recta (A) 
y punto (b).
Cada cara del cubo representa una por-
ción de un plano, las aristas son segmentos 
de rectas y los vértices son los puntos 
donde concurren tres o más aristas.
α
A
b
En el siguiente cubo, las rectas A, B y D son coplanares porque están incluidas en un mismo plano.
Las rectas coplanares pueden ser secantes (tienen 
un punto en común) o paralelas (no tienen puntos en 
común).
 B y C son secantes.
 A y B son paralelas.
Las rectas secantes pueden ser perpendiculares (se 
intersecan formando cuatro ángulos rectos) u oblicuas.
 B y C son perpendiculares.
 A y D son oblicuas.
Si dos rectas no están incluidas en el mismo plano, 
se denominan alabeadas.
 D y E son alabeadas.
A
B
C
D
E
test de comprensión
 a. Dos. b. Infinitas. c. No. d. No.
 
84
23 Punto, recta y planoACTIVIDADES
84
14. Marquen con una X las opciones correctas.
a. Por un punto pasan... c. Dos rectas perpendiculares...
 infinitas rectas. son secantes.
 una sola recta. no tienen puntos en común.
 solo dos rectas. forman cuatro ángulos de 90°.
b. Dos rectas paralelas... d. Dos rectas alabeadas...
 son secantes. son paralelas.
 no tienen puntos en común. no tienen puntos en común.
 pueden ser alabeadas. son perpendiculares.
15. Nombren dos rectas que cumplan las condiciones indicadas en cada caso.
a. Dos rectas perpendiculares. y 
b. Dos rectas paralelas. y 
c. Dos rectas secantes. y 
d. Dos rectas oblicuas. y 
e. Dos rectas alabeadas. y 
E
C
D
A
B
16. Pinten con el color indicado.
a. Azul: b. Rojo: c. Verde:
 dos planos paralelos. dos planos perpendiculares. dos planos oblicuos.
X X
X
XX
X
A B
CB
C E
ED
A D
Solución a cargo del alumno.
 
85
17. Marquen una X donde corresponda.
a. 
El cuerpo está compuesto por:
 Un cubo.
 Un prisma de base rectangular.
 Una pirámide de base cuadrada.
 Una pirámide de base triangular.
b. 
El cuerpo está compuesto por:
 Un cubo.
 Un prisma de base rectangular.
 Una esfera.
 Un cilindro.
 Un cono.
c. 
El cuerpo está compuesto por:
 Un prisma de base triangular.
 Una pirámide de base rectangular.
 Un prisma de base rectangular.
 Un cilindro.
 Una esfera.
18. Completen con V (Verdadero) o F (Falso) 
según corresponda.
a. Las pirámides tienen un solo vértice. 
b. Todos los poliedros son prismas. 
c. El cono tiene un solo vértice. 
d. La base del cono es una circunferencia. 
e. Un prisma de base pentagonal tiene cinco 
aristas. 
19. Completen teniendo en cuenta la relación 
de Euler.
a. Un poliedro regular que tiene 6 caras, 8 vérti-
ces y aristas es un .
b. Un 
 
tiene 12 caras, 
 vértices y 30 aristas.
c. Un poliedro que tiene caras, 6 vértices 
y 12 aristas recibe el nombre de 
.
d. Si un poliedro tiene 4 caras, vértices y 
6 aristas es un .
20. Verifiquen si se cumple la relación de Euler 
en los siguientes cuerpos compuestos.
a. 
b.
85
Integración
capítulo
420.21.22.23CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
b. Sí. 7 + 10 = 15 + 2
X
X
X
X
X
X
X
F
F
V
F
F
12
8
4
cubo
dodecaedro
octaedro
tetraedro
a. Sí. 9 + 9 = 16 + 2
20
 
8686
21. Marquen con una X el desarrollo que 
corresponde a un cubo.
a. 
b. 
c. 
d. 
22. Escriban rectas que cumplan con las condi-
ciones pedidas en cada caso.
A
C D
E
F
B
a. Tres rectas paralelas.
b. Un par de rectas paralelas.
c. Un par de rectas perpendiculares.
d. Dos pares de rectas oblicuas.
23. Completen con // (paralelas) o (perpendi-
culares). Pueden ayudarse realizando los gráficos.
a. A // B; B // C, entonces A C.
b. A // B; B ⊥ C, entonces A C.
c. A ⊥ B; B // C, entonces A C.
d. A ⊥ B; B ⊥ C, entonces A C.
e. A // B; B ⊥ C; D // C entonces A D.
f. A ⊥ B; B ⊥ C; C ⊥ D, entonces A D.
24. Dibujen en sus carpetas dos rectas que 
cumplan con las condiciones indicadas en cada 
caso.
a. Que dividan el plano en cuatro regiones.
b. Que dividan el plano en tres regiones.
c. Que dividan el plano en dos regiones.
d. ¿Cómo son los pares de rectas trazados en 
cada uno de los casos anteriores?
25. Realicen en sus carpetas un gráfico que 
cumpla con las siguientes condiciones.
A B; C A; D B y E D
26. Copien en sus carpetas los siguientes cuer-
pos y pinten en cada uno de ellos un par de pla-
nos que cumplan con las condiciones indicadas.
a. α y β son perpendiculares.
b. ε y δ son oblicuos.
c. π y γ son paralelos.
86
//
⊥
⊥
//
⊥
⊥
C, D y E.
A y E, E y F.
 A y B.
F y A.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
X
X
 
87
Autoevaluación 4
27. Completen.
a. Una pirámide de 6 caras tiene vértices y su base es un .
b. Un prisma de 8 caras tiene aristas y su base es un .
c. Un prisma de 10 vértices tiene caras y su base es un .
28. Completen la tabla.
Cuerpo No caras No vértices No aristas Relación de Euler
29. Marquen con una X los desarrollos que corresponden a este cuerpo.a. c. 
 b. d. 
30. Marquen con una X la opción que representa las siguientes relaciones entre rectas.
A // B, A // C y D C 
a. b. c. 
B
D
A
C
A
B
D
C
A
B
C
D
 
87
capítulo
6
18
7
pentágono
hexágono
pentágono
X
X X
X
6 6 10 6 + 6 = 10 + 2
 
Ángulos
Contenidos
24. Sistema sexagesimal. 
Operaciones.
25. Ángulos complementarios 
y suplementarios.
26. Ángulos adyacentes y 
opuestos por el vértice.
27. Mediatriz de un segmento 
y bisectriz de un ángulo.
5
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. ¿Dónde rebotará la bola violeta si se le pega con la blanca en el centro? Dibujen la trayectoria 
que hace la bola blanca hasta pegar en la violeta y la trayectoria de la violeta hasta tocar la 
banda.
b. ¿Dónde ubicarían la bola blanca para que haga entrar a la violeta en un agujero? Dibujen las 
trayectorias como en el punto anterior.
c. Comparen el ángulo que forman las dos trayectorias de la bola violeta con el que forman las 
trayectorias de la bola blanca.
d. Comparen las respuestas con sus compañeros.
capítulo
a. y b. Solución gráfica. c. Son iguales.
a.
b.
c.
 
89
Sistema sexagesimal. Operaciones
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Por qué se llama sexagesimal al sistema para la medición de ángulos?
b. ¿Cuál es el procedimiento para encontrar el equivalente a 15° en minutos?
c. ¿Cómo se pasan 72 000” a grados?
d. La suma de dos ángulos, ¿es correcto escribirla como 12° 65’ 78”?
test de comprensión
89
26 27 28 30 312924 2523 32
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
El sistema sexagesimal se utiliza para escribir medidas de ángulos. En este sistema, si se divide 
un giro completo en 360 partes iguales; cada una de esas partes se denomina grado. Para ángulos 
menores que un grado se utilizan el minuto (’) y el segundo (”).
1° = 60’ Un grado equivale a 60 minutos. 1’ = 60” Un minuto equivale a 60 segundos.
• Adición de dos ángulos. • Sustracción de dos ángulos.
 107o 92’
 48o 19’ 42” 108o 32’ 51”
+ – 65o 35’ 53” 67o 41’ 47”
 
 113o 54’ 95” 40o 51’ 4”
 + –
 1’ 60”
 
 113o 55’ 35”
• Multiplicación de un ángulo • División de un ángulo
por un número natural. por un número natural.
 17o 51’ 5”
 . 3
 
 51o 153’ 15”
 + –
 2o 120’ 2 veces 60’ 
 
 
 53o 33’ 15”
 86o 17’ 12” 2 – – +
 86o 16’ 60” 43o 8’ 36”
 
 0o 1’ 72”
 
+
72”
 
 0”
/ /
/
a. Porque las unidades se agrupan de a 60. b. Se multiplica por 60. c. Se divide por 3 600. d. No.
 
90
1. Expresen en segundos.
a. 23’ = c. 10° 3’ = 
b. 2° = d. 3’ 40” = 
2. Expresen en minutos.
a. 360” = c. 3° 2’ = 
b. 45° 120” = d. 15° = 
3. Unan con flechas las operaciones que dan el mismo resultado.
a. 43° 15’ + 21° 35’ = • 32° 25’ . 2 =
b. 79° 20’ – 14° 30’ = • 11° 3’ 20” . 4 =
c. 132° 40’ : 3 = • 78° 30” + 85° 45” =
d. 1 304° 10’ : 8 = • 87° 20’ 10” – 43° 6’ 50” =
4. Escriban el cálculo y resuelvan.
a. El doble de la suma entre 15° 35’ y 36° 42’.
b. La diferencia entre la tercera parte de 126° 45” y 32° 7’.
c. La suma entre la mitad de 47° 34’ y el doble de 26° 56”.
d. El cuádruple de 65° 23’ menos 23° 45”.
5. Completen para que se verifique la igualdad.
a. + 35° 50’ = 73° 5’ d. : 4 = 43° 10’ 30”
b. 165° 40’ 30” – = 149° 50’ 10” e. 3 . = 263° 1’ 15”
c. 27° 30” + = 119° 11’ f. . 4 = 169° 22’
6. Completen.
a. 79° 
 +
 36’ 15” 
 
 120° 51’ 5”
b. 84° 40’ 30”
 –
 40° 
 
 37’ 29”
c . 35° 30”
 . 2
 
 31’ 
d. 173° 4
 +
 60’ 26’ 
 108’
 0’
/
 
24 Sistema sexagesimal. OperacionesACTIVIDADES
90
1 380”
6’ 182’
36 180”
7 200”
2 702’ 900’
220”
64° 50’ 64° 50’
64° 50’ 44° 13’ 20”
44° 13’ 20” 1 630° 1’ 15”
1 630° 1’ 15” 44° 13’ 20’’
2 . (15° 35’ + 36° 42’) = 104° 34’
126° 45” : 3 – 32° 7’ = 9° 53’ 15”
47° 34’ : 2 + 2 . 26° 56” = 75° 48’ 52”
4 . 65° 23’ – 23° 45” = 238° 31’ 15”
37° 15’ 172° 42’
15° 50’ 20” 87° 40’ 25”
92° 10’ 30”
3’
44’
44°
1°
14’ 50’’
41°
43°
45’
71° 0’’
1’’
42° 20’ 30”
 
91
Ángulos complementarios y suplementarios
Nombre: Curso: Fecha: / /
91
24 27 28 29 313025 26 3332
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si dos ángulos suman 90° 1’, ¿son complementarios?
b. Si 
∧
 α y 
∧
 β son suplementarios, ¿se puede asegurar que ∧ α = 
∧
 β ?
c. ¿Se puede calcular el complemento de un ángulo obtuso?
d. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo recto?
test de comprensión
infoactiva
Para nombrar un ángulo, pueden utilizar una de las siguientes formas:
 ^ aob , se escribe el vértice en el medio;
 ̂ o , se escribe solo el vértice;
 
∧
 α , se escribe una letra griega.
b
a
o α
Los ángulos se clasifican según su amplitud en: nulos (miden 0°), agudos (miden más de 0° y menos 
de 90°), rectos (miden 90°), obtusos (miden más de 90° y menos de 180°) y llanos (miden 180°).
• Dos ángulos son consecutivos cuando tienen
 el vértice y un lado en común. α
γ
• Dos ángulos son complementarios • Dos ángulos son suplementarios 
 cuando suman 90°. cuando suman 180°.
γ
α
 
δβ
 
∧
 γ y ∧ α son complementarios 
∧
 β y 
∧
 δ son suplementarios
porque 
∧
 γ + ∧ α = 90°. porque 
∧
 β + 
∧
 δ = 180°.
 
∧
 γ es el complemento de ∧ α . 
∧
 β es el suplemento de 
∧
 δ .
 
∧
 α es el complemento de ∧ γ . 
∧
 δ es el suplemento de 
∧
 β .
Si ∧ γ mide 75°, entonces ∧ α mide 15°, Si 
∧
 β mide 75°, entonces 
∧
 δ mide 105°, 
porque 90° – 75° = 15°. porque 180° – 75° = 105°.
a. No. b. No. c. No. d. 90°.
 
25 Ángulos complementarios y suplementariosACTIVIDADES
92
7. Coloquen <, > o =, según corresponda.
a. Suplemento de 130°. Complemento de 1°.
b. Suplemento de 156°. Suplemento de 145° 30’.
c. Complemento de 45°. Suplemento de 135°.
d. Suplemento de 166° 56’. Complemento de 78° 45”.
8. Marquen con una X los ángulos consecutivos.
a. b. c. d. 
β α
δ
γ
π
ε θ
γ
9. Planteen las ecuaciones, resuelvan e indiquen el valor de cada ángulo.
a. Datos: c. Datos:
 
∧
 α = 3x + 10° ∧ ε = 4x – 10°
 
∧
 β = 2x + 35° 
∧
 δ = 5x + 100°
 
∧
 α y 
∧
 β son complementarios. ∧ ε y 
∧
 δ son suplementarios.
 
 
∧
 α = 
∧
 β = ∧ ε = 
∧
 δ = 
b. Datos: d. Datos:
ση
 
∧
 η = 2x – 10°
 
∧
 σ = 8x – 40° π
γ 
∧
 γ = 4x
 
∧
 π = 3x + 96°
 
 
 
 
∧
 η = ∧ σ = ∧ γ = ∧ π = 
 
10. Planteen las ecuaciones y resuelvan.
a. El complemento de un ángulo, disminuido en 30°, da por resultado 21°. ¿Cuánto mide el ángulo?
b. La suma entre el complemento de un ángulo y el suplemento es igual a su doble. ¿Cuánto 
mide el ángulo?
<
<
=
>
X X
3x + 10° + 2x + 35° = 90°
2x – 10° + 8x – 40° = 90°
90° – x – 30° = 21° 90° – 30° – 21° = x x = 99°
(90° – x) + (180° – x) = 2x 270° = 4 67° 30’ = x
4x – 10° + 5x + 100° = 180°
4x + 3x + 96° = 180°
x = 9°
x = 14°
x = 10°
x = 12°
37°
18°
53°
72°
30°
48°
150°
132°
 
Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice
Nombre: Curso: Fecha: / /
93
25 28 29 30 323126 27 3433
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si dos ángulos tienen un lado en común, ¿son adyacentes?
b. ¿Todos los ángulos adyacentes son suplementarios?
c. Los ángulos opuestos por el vértice, ¿siempre son suplementarios?
d. ¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes?
e. Si dos ángulos miden lo mismo, ¿se puede asegurar que son opuestos por el vértice?
test de comprensión
infoactiva
Ángulos adyacentes
Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.
 
∧
 α + 
∧
 β = 180°
αβ
Ángulos opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son 
semirrectas opuestas.
 
∧
 α y 
∧
 β son opuestos por el vértice.
 
∧
 π y ∧ γ son opuestos por el vértice.γπ
α
β
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.∧
 π + ∧ α = 180°
 
∧
 γ + ∧ α = 180°
 deben ser iguales
γ
π
α
a. No siempre. b. Sí. c. No. d. No. e. No.
 
26 Ángulos adyacentes y opuestos por el vérticeACTIVIDADES
94
11. Completen la tabla teniendo en cuenta el gráfico.
γ
π
α
 β
R
T
 
∧
 α 
∧
 β ∧ γ ∧ π 
35°
47° 30’
98° 45’
115° 20’ 10”
12. Escriban las ecuaciones, resuelvan y calculen el valor de los ángulos dados.
a. Datos: c. Datos:
 
∧
 α = 2x – 18° ∧ π = 17x – 20°
 
∧
 β = 5x – 5° ∧ ε = 2 . (7x + 5°)
α β
π 
ε
 
 
∧
 α = 
∧
 β = 
∧
 π = 
∧
 ε = 
b. Datos: d. Datos:
 
∧
 δ = 3x + 33° 
∧
 θ = 3x – 13°
 
∧
 ω = 8x – 47° ∧ γ = (x + 15°) . 4
δ ω
θ
γ
 
 
∧
 δ = 
∧
 ω = 
∧
 γ = 
∧
 θ = 
13. Tracen un par de ángulos que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso.
a. Que tengan un lado en común b. Que tengan el vértice en común 
y no sean adyacentes. y no sean opuestos por el vértice.
132° 30’
81° 15’ 98° 45’
145° 145° 35°
47° 30’ 132° 30’
81° 15’
64° 39’ 50”115° 20’ 10” 64° 39’ 50”
2x – 18° + 5x – 5° = 180°
3x + 33° = 8x – 47°
17x – 20° = 2 . (7x + 5°)
(x + 15°) . 4 + 3x – 13° = 180°
7x = 203
x = 29°
33° + 47° = 8x – 3x
x = 16°
17x – 20° = 14x + 10°
x = 10°
4x + 60° + 3x – 13° = 180°
x = 19°
40°
81°
140°
81°
150°
136°
150°
44°
α
β
β
α
 
Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
Nombre: Curso: Fecha: / /
95
26 29 30 31 333227 28 3534
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento (Mz) es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Los 
puntos de la mediatriz equidistan, es decir, están a la misma distancia de los extremos del segmento.
Para trazar la mediatriz pueden seguir estos pasos:
ba
punto medio 
del ab.
Mz
1. Se apoya el compás en uno de los extremos del 
segmento con una abertura mayor a la mitad del 
segmento y se traza una circunferencia.
2. Se repite el procedimiento apoyando en el otro 
extremo del segmento, con la misma abertura.
3. Se dibuja la recta que determinan los dos puntos 
de intersección de las circunferencias.
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo (Bz) es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Los puntos 
de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.
Para trazar la bisectriz, pueden seguir estos pasos:
b
p
Bz
a
o
1. Se clava el compás en el vértice o y se traza 
un arco que corte a los dos lados del ángulo.
2. Con la misma abertura se apoya en a y se traza 
un arco; luego, se apoya en b y se traza otro 
arco que corte el anterior, por ejemplo, en p.
3. Se dibuja la semirrecta 
 ___
 
›
 op , que es la bisectriz 
del ángulo.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cualquier recta perpendicular a un segmento es su mediatriz?
b. La bisectriz de un ángulo, ¿lo divide en dos ángulos consecutivos?
c. ¿Se puede trazar la mediatriz de una recta?
d. ¿Se puede dividir un ángulo en cuatro ángulos iguales utilizando la bisectriz?
e. ¿Se puede trazar la bisectriz de un segmento?
test de comprensión
infoactiva
a. No. b. Sí. c. No. d. Sí. e. No.
 
27 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ánguloACTIVIDADES
96
14. Tracen la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos.
a. b. c.
15. Tracen la mediatriz de cada uno de los siguientes segmentos.
a. b. 
16. Resuelvan.
a. Tracen la mediatriz del ab. Llamen o 
al punto medio del ab.
b. Marquen el punto c sobre la mediatiz. 
c. Tracen la 
 ___
 
›
 om , bisectriz del c ̂ o b.
d. Tracen la 
 __
 
›
 ot , bisectriz del m ̂ o b.
e. Completen con las medidas de los ángulos
obtenidos.
a ̂ o c = m ̂ o a = m ̂ o t = c ̂ o t = 
17. Completen el rt teniendo en cuenta las indicaciones en cada caso.
a. La recta R es mediatriz del rt. b. La recta M es la mediatriz del segmento que 
 representa la mitad del rt.
 
R
r 
M
r
¿Cómo pueden dividir un segmento de 7,5 cm en cuatro segmentos iguales usando solo el compás 
y una regla no graduada?
menteACTIVA
a
b
Solución gráfica a cargo del alumno.
Solución gráfica a cargo del alumno.
Hay dos opciones posibles.
——— Opción 1.
——— Opción 2.
Se debe trazar la mediatriz del segmento y luego, las mediatrices de cada mitad del segmento 
original.
90° 135° 22° 30’ 67° 30’
t t
o
c c'
Mz
m
t t'
m'
 
18. Resuelvan.
a. Tracen un par de ángulos opuestos por el 
vértice y un par de ángulos adyacentes.
b. Tracen las bisectrices de cada uno de los 
ángulos del ítem anterior.
c. Completen las siguientes oraciones tenien-
do en cuenta los gráficos realizados.
• Las bisectrices de los ángulos opuestos por 
el vértice forman un ángulo .
• Las bisectrices de los ángulos adyacentes es-
tán incluidas en rectas .
• Las bisectrices de los ángulos adyacentes 
forman un ángulo .
19. Calculen los ángulos indicados.
a. Datos:
 
 ___
 
›
 om bisectriz.
γ
β
o
α
138o
 m
 
∧
 β = 
 ∧ γ = 
 ∧ α = 
b. Datos:
R ⊥ S
S
π
εθ
δ
20o
R
 
∧
 π = 
∧
 θ = 
 
∧
 δ = 
∧
 ε = 
20. Elijan un par de los siguientes ángulos de 
modo que cumplan con la condición indicada 
en cada caso.
 
∧
 α = 28° 30’ 
∧
 β = 71° 30’ 
 
∧
 δ = 151° 30’ ∧ ε = 18° 30’
a. La suma es un ángulo obtuso.
b. Son ángulos suplementarios.
c. Son ángulos complementarios.
21. Tracen un par de ángulos que cumplan con 
las condiciones indicadas en cada caso.
a. Un par de ángulos complementarios no 
consecutivos.
b. Un par de ángulos suplementarios no con-
secutivos.
c. Un par de ángulos opuestos por el vértice 
y complementarios.
d. Un par de ángulos adyacentes e iguales.
e. Un par de ángulos opuestos por el vértice 
y suplementarios.
22. Escriban la medida de cada uno de los 
ángulos indicados.
a. El suplemento de 130° 25’ – 12° 50’. 
b. El complemento de 35° 30” . 2.
c. El ángulo adyacente al que mide 72° + 15° 15’. 
d. Cada uno de los ángulos que se obtienen al 
trazar la bisectriz del ángulo que mide 133° 40’. 
e. El ángulo opuesto por el vértice al que 
mide 145° 20’ – 37° 50’.
23. En cada caso, tracen el ángulo a ̂ o b sabien-
do que 
 ___
 
›
 om es bisectriz del mismo.
a. 
o
m
a
b.
o
m
a
97
Integración
capítulo
524.25.26.27COnTEnIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
llano
recto
perpendiculares
42°
138°
21°
20° 90°
160° 70°
Solución gráfica a cargo del alumno.
 ̂ α + ̂ β = 100°
 ̂ β + ̂ ε = 90°
 ̂ α + ̂ δ = 180°
a. 62° 25’ b. 19° c. 92° 45’ d. 66° 50’ e. 107° 30’
b
b
 
24. Planteen la ecuación e indiquen los valores 
de cada ángulo.
a. Datos:
 
∧
 ε = 3x – 3°
 
∧
 β = 5x + 2°
 
 __
 
›
 hj bisectriz.
βαε
γj
h
b. Datos: 
 
∧
 δ = 6x
 
∧
 π = 2x + 50°
T mediatriz del ab.
β α
δ
π
a
T
b
c. Datos: 
 
∧
 α = 4x – 10°
 
∧
 β = 5x + 28°
γ
β
δ α
d. Datos: 
 
∧
 π = 3x – 16°
 
∧
 ω = 5x + 40°
 
 ___
 
›
 om bisectriz
ρ
θ
π
ω0
m
25. Marquen una X donde corresponda tenien-
do en cuenta el siguiente gráfico.
Datos:
R ⊥ S
 
 ___
 
›
 om es bisectriz del 
∧
 α .
π
ε
β
θ
o α
γ
δ
m
S
R
Clasificación
Co
ns
ec
ut
iv
os
Co
m
pl
em
en
ta
ri
os
Su
pl
em
en
ta
ri
os
Ig
ua
le
s
Ad
ya
ce
nt
es
O
pu
es
to
s 
po
r 
el
 
vé
rt
ic
e
 α y 
∧
 
 
∧
 α y ∧ 
 
∧
 y 
∧
 
 
∧
 y 
∧
 
 
∧
 y 
 
∧
 y 
∧
 
 
∧
 y 
∧
 
26. Resuelvan.
Datos:
 
∧
 α : 2 = 17° 
 __
 
›
 ot bisectriz de 
∧
 β .
m ̂ o t = 45° 
 ___
 
›
 om bisectriz de 
∧
 α .
m
t
45o
β α
o
a. 
∧
 α c. ∧ α + 
∧
 β e. 
∧
 β + ∧ α : 2
b. 
∧
 β d. 
∧
 β : 2 f. 
∧
 β – ∧ α 
98
x = 8°; ̂ ε = ̂ α = 21°;
 ̂ β = 42°; ̂ γ = 138°
x = 12° 30’; ̂ δ = ̂ π = 75°; 
 ̂ β = 15°; ̂ α = 105°
x = 18°; ̂ δ = ̂ α = 62°; 
 ̂ β = ̂ γ = 118°
x = 12° 
 ̂ r = ̂ ω = 20° 
 ̂ θ = ̂ ρ = 160°
X X
X X X
X
X
X
X
X
X
X
XX
34° 90° 73°
56° 28° 22°
 
Autoevaluación5
27. Escriban el cálculo y resuelvan.
a. El doble del complemento de 34° 25’ b. La mitad de la diferencia entre el
más la tercera parte de 158°. suplemento de 12° 10’ y 56° 34’.
 
28. Completen con “a veces”, “siempre” o “nunca”, según corresponda.
a. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son iguales. 
b. Si dos ángulos son adyacentes, entonces son obtusos. 
c. El complemento de un ángulo de 120° es el ángulo de 60°. 
d. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son rectos. 
e. Dos ángulos adyacentes son suplementarios. 
29. Planteen la ecuación e indiquen la medida de los ángulos indicados.
β
α
δ
qt
Datos:
 
 __
 
›
 tq bisectriz
 
∧
 α = 3x – 10°
 
∧
 β = x + 40°
 
x = ∧ α = 
 
∧
 β = 
∧
 δ = 
30. Tracen la mediatriz correspondiente al ab y la bisectriz del ̂ d .
c
b
d
a
99
capítulo
2 . (90° – 34° 25’) + 1 __ 3 
. 158° =
= 68° 50’ + 52° 40’
= 163° 50’
3x – 10° = x + 40°
2x = 50°
x = 25°
[(180° – 12° 10’) – 56° 34’] : 2 =
= 111° 16’ : 2
= 55° 38’
a veces
nunca
nunca
a veces
siempre
25° 65°
65° 50°
bisectriz
mediatriz
 
Figuras planas
Contenidos
28. Triángulos. Elementos y 
propiedades.
29. Construcción de triángulos.
30. Cuadriláteros. Elementos y 
propiedades.
31. Construcción de 
cuadriláteros.
32. Círculo y circunferencia. 
Elementos y propiedades.
33. Construcción de 
circunferencias.
34. Polígonos.
35. Construcción de polígonos 
regulares.
6
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. ¿En qué objetos se pueden identificar figuras de tres lados? ¿Y de cuatro lados?
b. ¿Hay algún objeto en el que se pueda identificar una figura que tenga todos sus lados iguales?
c. Modifiquen las preguntas anteriores para que las respuestas sean únicas. Luego, respóndanlas.
d. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron.
capítulo
a. Servilletas, servilletero. Cuadro, sillas. b. En la guarda de la pared, la silla. c. Solución a cargo del alumno.
 
101
Triángulos. Elementos y propiedades
test de comprensión
101
30 31 32 34 353328 2927 36
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
Los triángulos se clasifican según sus lados en:
• Escalenos: todos sus lados miden distinto.
• Isósceles: tienen al menos dos lados iguales.
• Equiláteros: todos sus lados son iguales.
Los triángulos se clasifican según sus ángulos en:
• Acutángulos: tienen tres ángulos agudos.
• Rectángulos: tienen un ángulo recto.
• Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso.
En todo triángulo se cumplen las siguientes propiedades:
hc es la altura.
 
γ
β
α
c
a h
b
• La medida de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
ab < bc + ca bc < ca + ab ca < ab + bc
• La suma de los ángulos interiores es igual a 180°.
 ̂ a + 
^
 b + ̂ c = 180°
• La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.
 ̂ γ + ̂ β + ̂ α = 360°
• Cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente.
 ̂ a + ̂ α = 180° ^ b + ̂ β = 180° ̂ c + ̂ γ = 180°
• Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
 ̂ α = ^ b + ̂ c ̂ β = ̂ a + ̂ c ̂ γ = ̂ a + ^ b 
Dos triángulos son iguales cuando al superponerlos coinciden en todos sus puntos.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un triángulo obtusángulo, ¿puede tener un ángulo menor que 90°?
b. ¿Se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 35°, 27° y 118°?
c. Un ángulo exterior, ¿puede medir más de 180°?
d. ¿Es posible construir un triángulo equilátero rectángulo?
a. Sí, los ángulos que no son obtusos, son agudos. b. Sí, pues cumple la propiedad de los ángulos de 
los triángulos. c. No. d. No. 
 
102
28 Triángulos. Elementos y propiedadesACTIVIDADES
102
1. Calculen las medidas de los lados y de los ángulos que faltan.
a. El abc es isósceles y rectángulo. b. El def es obtusángulo e isósceles.
 
δ
d
f
e7 cm
11 cm
78°
c
a b6 cm
45°
8,5 cm
 
 
 
2. Calculen la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades.
a. Datos: c. Datos:
 ̂ a = 7x + 3° ̂ α = 8x – 39°
 
^
 b = 95° – 2x ̂ β = 7x – 41°
 ̂ c = 4x + 37° ̂ ε = 26° + 3x
c
a
b
α
β
εg
i
h
 
 
 
b. Datos: d. Datos:
 ̂ δ = 77° ̂ α = 90°
 
^
 d = 4x – 8° 
^
 j = 2x + 7°
 
^
 f = 6x – 35° 
^
 k = 8° + 3x
δ
d
f
e
α
j
l
k
 
 
 
 
__
 ac = 6 cm; ̂ c = 45°
x = 5°; ̂ a = 38°; 
^
 b = 85°; ̂ c = 57°
x = 12°; 
^
 d = 40°; ̂ e = 103°; 
^
 f = 37°
 
__
 df = 7 cm; ̂ e = 
^
 f = 39°; 
^
 d = 102°
x = 23°; ̂ α = 145°; ^ β = 120°; ̂ ε = 95°
x = 15°; 
^
 j = 37°; 
^
 k = 53°; 
^
 l = 90°
 
103
Construcción de triángulos
Nombre: Curso: Fecha: / /
103
28 31 32 33 353429 30 3736
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuántos datos se necesitan conocer como mínimo para construir un triángulo?
b. Si se conocen las medidas de los tres lados, ¿cuántos triángulos distintos se pueden construir?
c. ¿Es posible construir un triángulo conociendo la medida de los tres ángulos?
test de comprensión
infoactiva
Construcción de un triángulo dados sus tres lados
Datos: 
___
 ab = 4,5 cm; 
__
 ac = 3 cm; 
__
 bc = 4 cm
a b a
c
b a
c
b
1. Se traza el 
__
 ab . Se apoya la punta del 
compás en a y con una abertura igual 
al 
__
 ac , se traza un arco.
2. Se apoya la punta del compás en b 
y con una abertura igual al 
__
 bc se traza 
un arco que corte al anterior en c.
3. Se trazan los lados del triángulo.
Construcción de un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
Datos: 
___
 ab = 3,5 cm; 
__
 ac = 2,5 cm; ̂ a = 97°
a b a b a b
c
1. Se traza el ̂ a y con centro en a se 
traza un arco con radio igual al 
__
 ab que 
interseque a uno de sus lados en b.
2. Con una abertura igual al 
__
 ac , se 
apoya la punta del compás en a y se 
traza un arco que interseque al otro 
lado del ángulo en c.
3. Se traza el segmento 
__
 bc para formar 
el triángulo.
Construcción de un triángulo dados dos ángulos y el lado común a ellos
Datos: 
___
 ab = 3,5 cm; ̂ a = 65°; 
^
 b = 42°
a b a b a b
c
1. Se traza el ̂ a . Se traza un arco con 
centro en a y radio igual al 
__
 ab que 
interseque a uno de sus lados en b.
2. Sobre b se traza el ̂ b y se prolon-
gan los lados de ambos ángulos.
3. La intersección de las prolongacio-
nes de los lados de los ángulos deter-
mina el punto c del triángulo.
a. Se deben conocer al menos tres datos. b. Se puede construir un único triángulo. c. Sí, se pueden 
construir infinitos triángulos porque no se conoce la medida de los lados.
 
3. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.
a. Se puede construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 9 cm y el ángulo comprendido entre 
ellos, de 40°. 
b. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 15 cm, 8 cm y 6 cm. 
c. No se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 77°, 24° y 90°. 
d. Se puede construir un triángulo con un ángulo exterior de 103° y cuyos ángulos interiores no 
adyacentes a él midan 50° y 53°. 
e. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 12 cm. 
4. Resuelvan.
a. Completen la tabla con un gráfico de análisis de un triángulo que cumpla con las condiciones. 
Propongan las medidas de los lados y los ángulos.
Según sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
Se
gú
n 
su
s 
án
gu
lo
s
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo 
b. ¿Se pueden construir todos los triángulos? ¿Por qué?
29 Construcción de triángulosACTIVIDADES
104
2,8 cm
2 cm
2 cm
450
450
3 cm
5 cm
4 cm
600
300
7,1 cm
250
1300
5 cm
250
5 cm
3 cm
3 cm
3 cm
600
600
600
V
No se puede.
No se puede.
No. No se pueden construir triángulos equiláteros rectángulos ni obtusángulos porque en ambos casos la 
suma de los ángulos interiores excede los 180°.
V
VF
V
650
650
500
3 cm 5 cm
5 cm
620 330
850 3 cm2 cm
3,5 cm
2,5 cm
4,5 cm
9 cm
350 1250
200
 
5. Respondan y expliquen cómo lo pensaron. Luego, construyan los triángulos.
¿Es posible construir los siguientes triángulos utilizando solo el compás y una regla no graduada?
a. Un triángulo equilátero. c. Un triángulo escaleno.
 
 
 
b. Un triángulo isósceles. d. Un triángulo obtusángulo.
 
 
 
6. Construyan los siguientes triángulos usando solo transportador y regla.
a. Un triángulo isósceles def cuya base mida 5 cm y los ángulos adyacentes a la base midan 50°.
b. Un triángulo obtusángulo mno de lados 
___
 mn = 5 cm y 
___
 no = 7 cm, y ángulo ̂ n = 105°.
29 Construcción de triángulosACTIVIDADES
105
Nombre: Curso: Fecha: / /
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
 
29 Construcción de triángulosACTIVIDADES
106
7. Construyan los siguientes triángulos.
a. abc; ab = 3 cm; bc = 5 cm; ac = 6 cm. c. ghi; gh = 4 cm; gi = 5,5 cm; ̂ g = 105°.
 
 
 
b. def; de = 5,5 cm; 
^
 d = 60°; ̂ e = 55°. d. jkl; jk = 4 cm; jl = 6 cm; 
^
 k = 40°.
 
 
 
Diego está realizando una tarea para la escuela. Debe dibujar un avión, pero está preocupado 
por el diseño de las alas. Sabe que deben tener forma triangular y que uno de sus ángulos debe 
medir 60°. ¿Qué tipo de triángulo puede usar para dibujar las alas?
menteACTIVA
Equilátero, todos los ángulos deben medir 60°. Rectángulo, los otros ángulos deben medir 30° y 90°. 
Escaleno, sus otros ángulos podrían medir 50° y 70°.
Solución a cargo del alumno.
 
29 32 33 34 363530 31 3837
Cuadriláteros. Elementos y propiedades
Nombre: Curso: Fecha: / /
107
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Por qué el rombo, el paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado son paralelogramos?
b. ¿Se puede decir que el cuadrado es un rombo?
c. ¿Por qué los trapecios no son paralelogramos?
test de comprensión
infoactiva
Un cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cumple con las siguientes 
propiedades:
Nombre Figura Lados Diagonales Ángulos
Tr
ap
ez
oi
de
s Trapezoide
No tienen lados 
paralelos.
El romboide tiene 
dos pares de lados 
consecutivos 
iguales.
Romboide
La principal es 
mediatriz de la 
otra.
Tiene un par de 
ángulos opuestos 
iguales.
Tr
ap
ec
io
s
Trapecio 
rectángulo
Tienen un solo par 
de lados opuestos 
paralelos.
En el trapecio 
isósceles los lados 
no paralelos son 
iguales.
No se cortan en el 
punto medio.
En el trapecio 
isósceles son 
iguales.
Los ángulos no 
opuestos ni adya-
centes a las bases 
son suplementarios.
En el trapecio isós-
celes los ángulos 
adyacentes a las 
bases son iguales.
Trapecio 
isósceles
Trapecio 
escaleno
Pa
ra
le
lo
gr
am
os
Rombo
Tiene cuatro lados 
iguales. Los lados 
opuestos son 
paralelos.
Son perpendiculares 
y se cortan en su 
punto medio. Los ángulos 
opuestos son 
iguales.
Paralelogramo
Tienen dos pares 
de lados paralelos 
y opuestos iguales.
Se cortan 
mutuamente en su 
punto medio.
Rectángulo
Son iguales y se 
cortan en su punto 
medio.
Tienen cuatro 
ángulos rectos.
Cuadrado
Tiene los cuatro 
lados iguales y 
paralelos dos a dos.
Son iguales, 
perpendiculares y 
se cortan en su 
punto medio.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.
a. Porque poseen dos pares de lados paralelos. b. Sí. c. Porque poseen solo un par de lados paralelos.
 
30 Cuadriláteros. Elementos y propiedadesACTIVIDADES
108
8. Observen los cuadriláteros y resuelvan.
a. Completen la tabla teniendo en cuenta que puede ir más de un cuadrilátero por cada casilla y 
que cada cuadrilátero puede ir en más de una casilla.
FIGURA A FIGURA C FIGURA E FIGURA G FIGURA I
FIGURA B FIGURA D FIGURA F FIGURA H FIGURA J
Cuadrilátero
Paralelogramos Trapecios Trapezoides
Cuatro lados iguales.
Cuatro ángulos iguales.
Dos pares de lados iguales.
Dos pares de ángulos iguales.
Solo un par de lados iguales.
Solo un par de ángulos iguales.
Ningún par de lados ni de ángulos iguales.
b. ¿Pudieron ubicar todos los cuadriláteros? ¿Quedó alguna celda vacía? ¿Por qué?
9. Hallen la medida de los lados y los ángulos de los siguientes cuadriláteros. Expliquen la respuesta.
a. Trapecio isósceles. b. Romboide.
d
a 4 cm
2 cm
7 cm c
b
1300
j
i
l
k
4 cm3 cm
1260
2x x
 
 
 
 
 
Sí, quedaron celdas vacías porque no hay cuadriláteros que cumplan con las condiciones pedidas para 
esas celdas.
 ̂ a = 
^
 b = 130°; ̂ c = 
^
 d = 50°; da = 2 cm
 
^
 d + ̂ a = 180°
 
^
 j = 126°; 
^
 k = 36°; 
^
 i = 72°
126° + 126° + x + 2x = 360°
x = 36° 
jk = 4 cm, ij = 3 cm
B, F, J No hay. No hay.
No hay.B, F, I No hay.
E, I No hay. G
E, J A No hay.
No hay. A No hay.
CNo hay. G
No hay. H D
 
30 33 34 35 373631 32 3938
Construcción de cuadriláteros
Nombre: Curso: Fecha: / /
109
Para construir un paralelogramo, teniendo como datos los lados, pueden seguir estos pasos.
 
___
 ab = 4,5 cm; 
___
 ad = 3 cm
a b a
d
b a
d
b
c
1. Se trazan dos rectas paralelas y 
se determina sobre una de ellas el 
lado 
__
 ab .
2. Con centro en a y abertura igual al __
 ad , se traza un arco que corte a la recta 
paralela en d. 
3. Con la misma abertura y centro en b, 
se repite el procedimiento anterior 
para obtener el punto c. Se trazan los 
segmentos 
__
 ad y 
__
 bc para determinar el 
paralelogramo.
Para construir un rombo conociendo la medida de sus dos diagonales, pueden seguir estos pasos. 
 
__
 ac = 6 cm; 
___
 bd = 3 cm
a c a
d
b
c a
d
b
c
1. Se traza una semirrecta, sobre ella 
se determina la diagonal 
__
 ac y se traza 
la mediatriz. 
2. Con centro en el punto medio de la 
diagonal se trazan dos arcos cuyo radio 
sea la mitad de 
__
 bd y se determinan los 
puntos b y d.
3. Se trazan los segmentos para formar 
el rombo.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es posible construir un único rectángulo conociendo la medida de uno de sus lados?
b. ¿Es posible construir un rombo conociendo la medida de sus diagonales? ¿Es único?
c. ¿Es posible construir un cuadrilátero conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendi-
do entre ellos? ¿Es único?
test de comprensión
infoactiva
En la página 95 
pueden repasar 
los pasos para 
trazar la mediatriz 
de un segmento.
 
a. No, no es posible. b. Sí y es único ya que sus diagonales se cortan en su punto medio. c. Sí, es 
posible, pero el cuadrilátero no es único.
 
10. Construyan los siguientes cuadriláteros en sus carpetas, tracen las diagonales y respondan.
• Cuadrado de 3 cm de lado. • Rombo de 3 cm de lado.
• Paralelogramo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm. • Rectángulo de 4 cm por 3 cm.
a. ¿Cómo se clasifican los cuadriláteros que construyeron? ¿Cuántas diagonales tienen?
b. En cada cuadrilátero, ¿las diagonales miden siempre lo mismo? ¿Se cortan en su punto medio?
c. ¿En qué paralelogramos las diagonales forman un ángulo recto?
11. Construyan los siguientes trapecios en sus carpetas, tracen sus diagonales y respondan.
• Trapecio rectángulo cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y el lado perpendicular a las bases mide 2 cm.
• Trapecio isósceles cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y su altura sea de 2 cm.
• Trapecio escaleno cuyas bases miden 5 cm y 3 cm.
a. ¿Cuántas diagonales tienen los trapecios?
b. ¿Cómo son las diagonales? ¿Se cortan en su punto medio?
12. Completen teniendo en cuenta las actividades anteriores.
a. Los tienen dos diagonales.
b. Las diagonales de los paralelogramos se cortan en su punto medio y tienen igual medida en 
el y en el y diferente en el 
y en el .
c. Las diagonales de los trapecios no se cortan en su punto medio y tie-
nen igual medida.
d. Las diagonales de los trapecios y no se cortan 
en su punto medio y tienen diferente medida.
31 Construcción de cuadriláterosACTIVIDADES
110
Los cuadriláteros construidos son paralelogramos. Tienen dos diagonales.
Depende del paralelogramo;por ejemplo, en el cuadrado y el rectángulo son iguales, en el rombo y el 
paralelogramo, no. Sí, las diagonales se cortan en su punto medio.
Las diagonales forman un ángulo recto en los cuadrados y en los rombos.
Los trapecios tienen dos diagonales.
Solución gráfica a cargo del alumno. Existen muchas posibilidades.
En el trapecio isósceles las diagonales son iguales, pero no lo son en los trapecios rectángulo y escale-
no. No, en ninguna de sus clases.
cuadriláteros
rectángulocuadrado
rombo
paralelogramo
rectángulo escaleno
isósceles
 
13. Construyan los siguientes cuadriláteros usando regla y compás. Expliquen los pasos que rea-
lizaron para construirlos.
a. Un cuadrado cuya diagonal es el 
__
 pr . c. Un romboide defg.
 
p r
d
g
e
b. Un trapecio rectángulo de altura 
___
 mo , cuya d. Un trapecio isósceles abcd. 
base menor sea igual a su altura. 
o
m n
ba
c
14. Resuelvan.
Martín desea cubrir un rectángulo de telgopor con cuadriláteros de diversas formas, de modo tal 
que no quede espacio libre entre ellos.
a. ¿Podrá usar solo rombos y trapecios? Realicen un diagrama.
 
b. Si decidiera usar paralelogramos, ¿con qué otros cuadriláteros los podría combinar para que no 
queden espacios libres? Realicen un diagrama.
 
31 Construcción de cuadriláterosACTIVIDADES
111
Nombre: Curso: Fecha: / /
Sí, puede usar solo rombos y trapecios. Para que no queden 
espacios vacíos, la suma de los ángulos de las distintas figuras 
que queden consecutivos deben sumar 360° y 180°.
Podría combinarlos con rombos y trapecios.
s
q
M
f
q
p
d
 
112
31 Construcción de cuadriláterosACTIVIDADES
112
15. Calculen los ángulos interiores de cada uno de los siguientes cuadriláteros.
a. Datos: c. Datos:
 Paralelogramo efgh Trapecio isósceles abcd
 ̂ ε = 110° ^ d = 2 ̂ a 
h
ε
g
f
d
b
c
a
e
 
 
 
b. Datos: d. Datos:
 Romboide mnop Rombo ijkl
 ̂ δ = 78° ̂ r = 69°
 ̂ p = 2 ̂ n 
δ
m o
p
n
i k
Bz
l
j
π
 
 
 
Julián y su papá quieren hacer un barrilete con forma de rombo; para ello tienen un papel rec-
tangular cuyos lados miden 60 cm y 90 cm. ¿Cómo debe ser el barrilete para que sobre la menor 
cantidad posible de papel?
Pueden construir en sus carpetas un rectángulo de 6 cm por 9 cm para analizar los posibles casos.
menteACTIVA
 ̂ e = 70°; 
^
 f = 110°; ̂ g = 70°; 
^
 h =110°
 ̂ m = 102°; ̂ o = 102°; ̂ n = 52°; ̂ p = 104°
 ̂ a = 
^
 b = 60°; ̂ c = 
^
 d = 120°
 
^
 i = 
^
 k = 42°; 
^
 j = 
^
 l = 138°
Para que sobre la menor cantidad posible de papel, se debe construir un rombo cuya diagonal mayor sea 
igual a la diagonal del rectángulo.
 
113113
Integración
capítulo
628.29.30.31CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
16. Resuelvan.
a. ¿Con cuáles de los siguientes segmentos se 
puede construir el abc? Constrúyanlo.
• 
___
 ab = 12 cm; 
__
 bc = 6 cm; ca = 6 cm
• 
___
 ab = 9 cm; 
__
 bc = 4 cm; ca = 3,5 cm
• 
___
 ab = 7,5 cm; 
__
 bc = 5,5 cm; ca = 4 cm
b. Clasifiquen el abc que construyeron según 
sus lados y sus ángulos.
17. Resuelvan y expliquen cómo lo pensaron.
a. Con varillas de madera de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 
6 cm y 7 cm; ¿cuántos triángulos diferentes se 
pueden armar? 
b. Con varillas de 3 cm, 4 cm, 6 cm y 9 cm; 
¿cuántos triángulos diferentes se pueden 
armar?
18. Construyan los triángulos cuando sea posi-
ble y clasifíquenlos.
a. 
___
 de = 2 cm ; 
__
 ef = 3 cm; 
__
 fd = 4 cm
b. 
___
 gh = 3 cm; 
__
 hi = 2,5 cm; 
__
 ig = 3 cm
c. 
___
 mn = 8 cm; 
___
 no = 4,5 cm; 
___
 om = 4,5 cm
d. 
__
 xy = 2 cm; 
__
 yz = 5 cm; 
__
 zx = 3
19. Resuelvan.
Paula necesita recortar doce triángulos rectán-
gulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm.
a. Si tiene una hoja de cartulina de 10 cm por 
30 cm, ¿podrá recortar los triángulos que 
necesita? ¿Le sobra cartulina?
b. Si le sobra, ¿cuántos triángulos más podría 
recortar?
20. Resuelvan.
a. Construyan en una hoja cinco triángulos 
isósceles cuya base mida 3 cm y los lados 
iguales midan 4 cm.
b. Recorten los triángulos y armen un parale-
logramo, un rectángulo, un cuadrado, un tra-
pecio isósceles y un trapezoide.
c. ¿Pudieron armar todas las figuras? ¿Por 
qué? ¿Cuánto miden los lados y los ángulos 
de cada uno de los cuadriláteros que arma-
ron? ¿Cómo calcularon las medidas?
21. Lean atentamente, observen lo que hicieron 
los chicos y respondan.
La profesora les pidió a Laura, a Mariano y a 
Georgina que resuelvan el siguiente problema: 
“Calculen la medida de los ángulos exteriores 
de un triángulo abc cuyos ángulos interiores 
miden: ̂ a = 65°; ̂ b = 35° y ̂ c = 80°.”
α
δ
β
c
a
b
a. ¿Quiénes resolvieron correctamente el pro-
blema?
b. ¿Qué propiedades usaron?
c. ¿Qué propiedad pueden usar para verificar 
si las medidas que calcularon son correctas?
22. Piensen y respondan.
a. ¿Todo cuadrado es rombo? ¿Todo cuadrado 
es rectángulo? ¿Por qué?
b. ¿Todo paralelogramo es rectángulo?
Laura
 ̂ α = 180° – 35° – 80° = 65°
 ̂ β = 180° – 65° – 80° = 35°
 ̂ δ = 180° – 65° – 35° = 80°
Mariano
 ̂ α = 80° + 35° = 115°
 ̂ β = 65° + 80° = 145°
 ̂ δ = 65° + 35° = 100°
Georgina
 ̂ α = 180° – 65° = 115°
 ̂ β = 180° – 35° = 145°
 ̂ δ = 180° – 80° = 100°
Escaleno obstusángulo.
No.
No.
Sí.
a. 7. b. 2.
a. Sí. Sí. b. 36 triángulos más.
a. y b. Solución a cargo del alumno. c. No son 
posibles las construcciones del rectángulo y del 
cuadrado, ya que no es posible formar un ángulo 
recto con los triángulos isósceles dados.
Solución a cargo del alumno.
a. Mariano y Georgina. b. Solución a cargo del 
alumno. c. Suma de ángulos exteriores.
a. Sí. Sí. b. No.
 
23. Hallen la medida de los ángulos indicados.
a. Datos:
abcd cuadrado; abe equilátero
c
e
b
 d
a
α β
 ̂ α = ̂ β = 
b. Datos:
fghi trapecio rectángulo
 ̂ g = x – 32°
 
^
 h = 3x – 12°
i h
f g
 ̂ g = 
^
 h = 
c. Datos:
jklm paralelogramo; jkn rectángulo
 
 __
 
›
 jn bisectriz del ̂ j 
 ̂ m = 122°
nm l
kj
φ μ
 ̂ φ = ̂ μ = 
d. Datos:
opqr rombo
 ̂ r = 80°
θ
π
r
p
o q
 ̂ π = ̂ θ = 
24. Construyan las siguientes figuras y respon-
dan.
a. Un triángulo rectángulo en el que los lados 
que forman el ángulo recto midan 4 cm y 5 cm.
b. Un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual 
mida 35° y sus lados midan 3 cm y 5 cm.
c. Un cuadrado cuyo lado mida 3,5 cm.
d. Un rombo que tenga un ángulo de 50° y 
una de sus diagonales mida 3 cm.
e. Un trapecio isósceles, cuyas bases midan 
3 cm y 6 cm y dos de sus ángulos midan 60°.
f. Un paralelogramo que tenga un lado de 
7 cm y los ángulos adyacentes a él midan 50° 
y 130°.
g. Un rectángulo cuyas diagonales midan 
8 cm y formen entre sí un ángulo de 45°.
h. Las figuras que construyeron, ¿son únicas? 
¿Por qué?
25. Calculen los lados y los ángulos interiores 
de los siguientes cuadriláteros, sin medir.
a. abcd paralelogramo
4 cm
cd
750
ba
6 cm
b. efgh rombo
7,2 cm
650
e g
h
f
26. Calculen el valor de x.
abcd trapezoide
a b
c
d
700
1300
2x
3x
114
30°
24°
29°
40°
30°
156°
61°
50°
 ̂ φ = 29°
 ̂ μ = 61°
a. Sí, b. Sí, c. Sí, d. No, e. Sí, f. No, g. No.
ad = 4 cm; ab = 6 cm; ̂ c = 75°; ̂ d = ̂ b = 105°
ef = fg = he = 7,2 cm; ̂ g = 65°; 
^
 f = 
^
 h = 115°
x = 32°
 
31 34 35 36 383732 33 4039
Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades
Nombre: Curso: Fecha: / /
115
Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen con una condición.
Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a 
igual distancia de otro llamado centro.
Los siguientes son los elementos de la circunferencia.
El radio es la distancia de cualquier punto de la circun-
ferencia al centro.
Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una 
circunferencia.
La cuerda de mayor longitud es la que pasa por el cen-
tro.Se llama diámetro y equivale a dos radios.
Un arco es la parte de la circunferencia determinada por 
dos puntos de la misma. Por ejemplo abc es un arco de la 
circunferencia (el punto del medio se utiliza para identificar 
de qué lado de la circunferencia está el arco).
Se denomina ángulo central al que tiene como vértice el 
centro de la circunferencia. 
 ̂ α es un ángulo central.
La circunferencia y todos los puntos del plano interio-
res a ella determinan el círculo.
r
círculo
circunferencia
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dos circunferencias son tangentes, 
si tienen un único punto en común.
Dos circunferencias son secantes, 
si tienen dos puntos en común.
Dos circunferencias son concéntri-
cas, si tienen el centro en común.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El radio, ¿es una cuerda?
b. ¿El diámetro es la cuerda más larga?
c. La circunferencia, ¿forma parte del círculo?
test de comprensión
infoactiva
a
b
0
c
α
centro
cuerda
rad
io
diámetrocuerda
arco
a. No, porque las cuerdas unen dos puntos de la circunferencia y el radio une el centro con un punto 
de la circunferencia. b. Sí. c. Sí.
 
32 Círculo y circunferencia. Elementos y propiedadesACTIVIDADES
116
27. Realicen los pasos y respondan.
Elementos: hoja, lápiz, gancho mariposa e hilo.
Pasos:
1. Marquen un punto en el centro de la hoja.
2. Aten un extremo del hilo al gancho mariposa y claven el gancho en el punto que marcaron.
3. Aten el otro extremo del hilo al lápiz.
4. Extiendan el hilo y tracen la figura que se forma.
a. ¿Qué figura geométrica se formó? ¿Qué representa el gancho mariposa en la figura? ¿Y el hilo?
b. Si se mantiene el centro, pero se modifica el largo del hilo, ¿cómo es la circunferencia que se 
obtiene?
c. Si se mantiene el largo del hilo, pero se modifica el centro, ¿cómo es la circunferencia que se 
obtiene?
d. ¿Cómo son las circunferencias del ítem b? ¿Y las del ítem c? ¿Por qué?
28. Unan con flechas las respuestas correctas.
a. La cuerda más larga de una circunferencia es... … radio.
b. El arco es una parte de... … el diámetro. 
c. Una cuerda divide al círculo en dos... … el círculo. 
d. La distancia del centro a la circunferencia es... … la circunferencia. 
e. El diámetro es el doble del... … el radio. 
f. Los radios unen un punto de la circunferencia con... … arcos. 
g. Si se unen dos semicircunferencias se forma... … el centro. 
h. El interior de la circunferencia es... … la circunferencia. 
29. Marquen en la circunferencia los elementos que se indican.
a. El radio y el diámetro. ¿Cuánto miden?
b. Un ángulo central de 60°.
c. Un ángulo central de 210°.
d. Una cuerda de 2 cm y marquen con distinto color 
los arcos que corresponden a la cuerda.
Una circunferencia. El centro. El radio.
Se forma una circunferencia con el mismo centro, pero de radio distinto.
Se forma una circunferencia del mismo radio, pero con el centro corrido.
Las del ítem b. son concéntricas, ya que comparten su centro. Las del ítem c. son iguales, pero no concéntricas.
Solución a cargo del alumno.
 
33 35 36 37 3938 41403432
Construcción de circunferencias
Nombre: Curso: Fecha: / /
117
Se pueden construir circunferencias a partir de diferentes datos sin utilizar una regla graduada.
• Dado el radio: se toma la medida del radio con el compás, se pincha en el centro y se traza 
la circunferencia.
• Dado el diámetro: se encuentran el centro y el radio trazando la mediatriz del diámetro y luego 
se dibuja la circunferencia con el método anterior. 
• Dada una cuerda, se pueden seguir estos pasos.
ba
Mz (mediatriz de ab)
o
ba
radio
Mz (mediatriz de ab)
o
1. Se traza la mediatriz de la cuerda y sobre ella se marca 
un punto o cualquiera (excepto el que pertenece a la cuer-
da) porque todos los puntos de la mediatriz equidistan de 
sus extremos.
2. Se traza la circunferencia de centro o que pasa por los 
extremos de la cuerda. En este caso, se pueden trazar infini-
tas circunferencias según el centro elegido.
• Dado un arco de circunferencia, se pueden seguir estos pasos.
c
o
a
b
c
o
a
b
1. Se marcan tres puntos sobre el arco y se trazan las dos 
cuerdas que los unen. Se traza la mediatriz de cada una. El 
punto de intersección de las mediatrices (o) es el centro de 
la circunferencia.
2. Se pincha el compás en o y se traza la circunferencia que 
pasa por los puntos marcados sobre el arco.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se conoce el diámetro de una circunferencia, ¿se puede construir una única circunferencia?
b. A partir de una cuerda, ¿se puede construir una única circunferencia?
c. Si se conocen dos cuerdas consecutivas, ¿es posible construir la circunferencia?
Pueden repasar 
cómo se traza una 
mediatriz en la 
página 95.
 
infoactiva
test de comprensión
a. Sí. b. No, a partir de una cuerda se pueden construir infinitas circunferencias. c. Sí, porque conocer 
dos cuerdas consecutivas es lo mismo que conocer un arco de la circunferencia.
 
30. Construyan en cada caso una circunferencia que cumpla con las condiciones dadas.
a. 
___
 oa radio. c. 
__
 fg cuerda.
a
o f
g
b. 
___
 mn diámetro. d. rst
(
 arco
r
s
t
n
m
31. Construyan una circunferencia que pase por los vértices de las siguientes figuras. Expliquen 
cómo lo pensaron.
a. b. 
a b
d
fe
g
33 Construcción de circunferenciasACTIVIDADES
118
c
o
radio
radio
Mz
Mz
Mz
Mz
 Hay infinitas posibilidades. 
o
o
radio
 
34 36 37 38 4039 42413533
test de comprensión
Polígonos
Nombre: Curso: Fecha: / /
119
Se llama polígono a toda figura que tiene tres o más lados.
Clasificación según sus ángulos:
Convexo: cuando todos sus ángulos interiores 
son menores que 180º.
Cóncavo: cuando alguno de sus ángulos inte-
riores es mayor que 180º.
Clasificación según sus lados:
Regular: cuando todos sus lados y sus ángulos 
son iguales.
Irregular: cuando uno de sus lados o de sus 
ángulos es distinto a los demás.
Elementos del polígono:
• Diagonal: es el segmento que tiene por extre-
mos un vértice a otro no adyacente a él.
• Apotema (Ap): es el segmento perpendicular 
al lado del polígono cuyos extremos son el 
punto medio del lado y el centro del polígono.
• Ángulo central: es el ángulo cuyo vértice es 
el centro del polígono. a b
cf
de
α
apotema
diagonal
ángulo central
La suma de los ángulos interiores de un polígono es:
180º . (n – 2), donde n es la cantidad de lados.
En un hexágono (n = 6) la suma de los ángulos interiores es 180º . (6 – 2) = 720º.
Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 540º, ¿cuántos lados tiene?
180º . (n – 2) = 540º
 n – 2 = 540º : 180º
 n = 3 + 2
 n = 5 Entonces, el polígono es un pentágono.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un polígono irregular, ¿puede tener tres lados iguales?
b. Un polígono convexo, ¿puede tener una diagonal que no pase por su interior?
c. ¿Qué triángulo y qué cuadrilátero son polígonos regulares?
d. El ángulo central de un polígono regular, ¿puede medir 80°?
infoactiva
a. Sí. b. No. c. El triángulo equilátero y el cuadrado. d. No.
 
32. Midan los ángulos de los siguientes polígonos y respondan.
 FIGURA A FIGURA B
a. Clasifiquen los polígonos según sus lados y según sus ángulos.
b. Calculen la suma de ángulos interiores de cada uno de los polígonos. ¿Cómo son los resultados?
c. Tracen las diagonales desde uno de los vértices en cada uno de los polígonos. ¿Cuántos trián-
gulos se forman? ¿Se puede relacionar la cantidad de triángulos que quedan formados con la 
suma de los ángulos interiores?
33. Calculen la amplitud de los siguientes ángulos.
a. Datos: c. Datos:
 ̂ a = 8x + 12° ̂ m = 53° – x
 
^
 b = 7x + 35° ̂ n = 10x + 30°
 ̂ c = 153° – x ̂ o = x + 4°
 
^
 d = 8x – 13° ̂ p = 3x
 ̂ e = 6x – 1° 
 
^
 f = 3x + 38°
o
p
m
n
e
f
a
b
c
d
 
b. Datos: d. Datos:
 ̂ g = 4x – 10° ̂ r = 4x – 70°
 ̂ h = 5x – 64° ̂ s = 2x + 15°
 ̂ i = 3x + 16° ̂t = 90°
 ̂ j = 2x – 4° ̂ u = 3x – 25°
 ̂ k = 8x + 1° ̂ v = x + 20°
 ̂ l = x – 1°
r
v
t
u
s
l
g
h
i
j
k
 
34 PolígonosACTIVIDADES
120
El “A” es convexo regular, el “B” es cóncavo irregular.
En ambos casos la suma es la misma, 900°.
Se forman 5 triángulos. Sí, la suma de ángulos interiores de cada triángulo por la cantidad de triángulos 
es igual a la suma de ángulos interiores del polígono.
 ̂ a + 
^
 b + ̂ c + 
^
 d + ̂ e + 
^
 f = 720° 
 ̂ a = 140°; 
^
 b = 147°; ̂ c = 137°; 
^
 d = 112°; 
 ̂ e = 95°; 
^
 f = 86°
 ̂ m + ̂ n + ̂ o + ̂ p = 360°
 ̂ m = 32°; ̂ n = 231°; ̂ o = 25°; ̂ p = 63°
 ̂ g + 
^
 h + 
^
 i + 
^
 j + 
^
 k + 
^
 l = 720°
 ̂ g = 126°; 
^
 h = 106°; 
^
 i = 118°; 
^
 j = 64°; 
 
^
 k = 273°; 
^
 l = 33°
 ̂ r + ̂ s + ̂ t + ̂ u + ̂ v = 540°
 ̂ r = 134°; ̂ s = 117°; ̂ u = 128°; ̂ v = 71°
 
35 37 38 39 4140 43423634
test de comprensión
Construcción de polígonos regulares
Nombre: Curso: Fecha: / /
121
Para construir un pentágono regular con compás, regla y transportador, pueden seguir estos pasos.
b
a
c
d
e
720
720
720
720
720
1. Se dibuja una circunferencia y un 
radio. Se calcula el valor del ángulo 
central del polígono haciendo 
360° : 5 = 72°.
2. A partir del radio de la circunferen-
cia y tomando como vértice el centro, 
se dibujan cinco ángulos consecutivos 
de 72°.
3. Los puntos en donde se cortan los 
lados de los ángulos con la circunfe-
rencia son los vértices del pentágono.
Se puede construir un polígono regular a partir de un triángulo isósceles. Para ello, la medida 
del ángulo desigual del triángulo debe ser divisor de 360°.
Por ejemplo, dado un triángulo isósceles con el ángulo desigual de 45°, se puede realizar la 
siguiente construcción.
450 450450
1. Se traza la circunferencia tomando 
como centro el vértice del ángulo desi-
gual y como radio uno de los lados 
iguales.
2. Se toma con el compás la medida 
del lado desigual del triángulo y se 
marca sucesivamente en la circunfe-
rencia comenzando en uno de los vér-
tices del triángulo que intersecan a la 
circunferencia.
3. Se determinan los segmentos que 
son lados del polígono regular. El polí-
gono obtenido en este caso es un 
octógono.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcto decir que el ángulo central de un eneágono regular mide 40°? ¿Qué cálculo se 
debe realizar?
b. Si se conoce el ángulo central de un polígono regular, ¿se puede averiguar la cantidad de 
lados que tiene? ¿Cómo?
c. Si se unen el centro de un pentágono regular con cada uno de los vértices, ¿en cuántos 
triángulos isósceles se lo puede dividir?
d. A partir de un triángulo escaleno, ¿se puede construir un polígono regular?
infoactiva
a. Sí. 360° : 9. b. Sí. Se realiza la división entre un giro y la amplitud del ángulo. c. En 5 triángulos. 
d. No, solo se pueden construir polígonos regulares a partir de triángulos isósceles.
 
34. Completen sabiendo que los polígonos son regulares.
Polígono Cantidad de 
lados
Suma de ángulos 
interiores
Ángulo interior Ángulo central
Decágono 10
8 1 080
Pentágono
720 120
Dodecágono 150
35. Construyan los siguientes polígonos regulares.
a. Cuadrado. c. Eneágono. 
b. Hexágono. d. Decágono.
35 Construcción de polígonos regularesACTIVIDADES
122
5
6
108 72
30
135 45
60
540
Hexágono
Octógono
144 361 440
12 1 800
60o
36o
40o
 
36. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.
a. El ángulo central de un polígono regular de 20 lados mide 18°. 
b. Para construir un triángulo equilátero se debe trazar un ángulo central que mida 60°. 
c. A partir de un triángulo equilátero se puede construir un polígono regular. 
d. Para calcular el ángulo central de un polígono de 15 lados se resuelve 360° : 15. 
e. Los lados de un polígono regular son cuerdas de una circunferencia. 
f. Para construir un polígono regular se debe conocer la medida de un ángulo interior. 
37. Ubiquen el centro, el radio, la apotema y la circunferencia que pasa por los vértices de cada 
polígono. Expliquen cómo lo pensaron.
a. b. c. 
 
38. Construyan un octógono y un dodecágono con regla y transportador. Expliquen cómo lo pensaron.
35 Construcción de polígonos regularesACTIVIDADES
123
Nombre: Curso: Fecha: / /
Ap
0
Radio
Ap
0Radio
Ap
0
Radio
V
V
V
V
F
F
Solución a cargo del alumno.
 
39. Construyan un polígono a partir de los siguientes triángulos, cuando sea posible. Luego escri-
ban el nombre del polígono construido.
a. c. 
b. d. 
35 Construcción de polígonos regularesACTIVIDADES
Mariano fue a una granja y vio cómo las abejas construían su panal. Se dio 
cuenta de que cada una de las celdas tenía forma de hexágono, y que cada 
celda compartía sus lados con la celda vecina, sin dejar espacios vacíos.
a. ¿Es posible construir un panal con otras figuras geométricas que no sean hexágonos? Si 
fuera posible, ¿qué polígonos usarían?
b. Diseñen en sus carpetas, dos posibles panales teniendo en cuenta las siguientes opciones:
• Usando un polígono regular de más de seis lados.
• Usando dos polígonos regulares distintos.
menteACTIVA
124
a. Cuadrados y triángulos equiláteros. b. No se puede. Por ejemplo, hexágonos y triángulos equiláteros.
Hexágono regular.
Cuadrado.
No se puede construir el polígono.
Eneágono regular.
 
125
Integración
capítulo
632.33.34.35CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
40. Resuelvan.
Eugenia compró un nuevo compás y para pro-
barlo realizó las siguientes figuras.
FIGURA A
FIGURA B
a. Según su posición, ¿cómo se clasifican las 
circunferencias de cada figura?
b. Copien las figuras en sus carpetas. 
Expliquen cómo lo realizaron.
c. Los puntos de la figura B, ¿están alinea-
dos?
41. Construyan teniendo en cuenta las indica-
ciones dadas en cada caso.
a. Una circunferencia cuyo radio mida 2 cm.
b. Marquen los puntos b y c. Luego, tracen 
una circunferencia con centro en c de modo 
que b sea un punto interior.
c. Marquen los puntos d y e. Luego, tracen una 
circunferencia con centro en e y que pase por d.
d. Marquen los puntos f y g. Luego tracen 
una circunferencia que contenga a f y no a g.
e. Tracen el hi y luego una circunferencia que 
tenga al segmento como cuerda.
f. Tracen el jk y una circunferencia, de modo 
que el segmento sea su mayor cuerda.
42. Copien las siguientes figuras en sus carpe-
tas y luego, tracen la circunferencia que pasa 
por los vértices de cada una de ellas. Expliquen 
cómo lo pensaron.
a. 
c
b
d
a
b. 
f
e
43. Resuelvan.
a. ¿Qué elementos del cuadrado permiten trazar 
una circunferencia que pase por sus vértices?
b. ¿Es posible trazar una circunferencia que 
pase por todos los vértices de un trapecio 
rectángulo? ¿Por qué?
44. Construyan los polígonos.
a. Un pentágono regular cuyas diagonales 
midan 5 cm.
b. Una circunferencia a partir de una cuerda 
de 3,5 cm.
c. Un hexágono regular a partir de un triángu-
lo equilátero de 3 cm.
45. Construyan los siguientes polígonos tenien-
do en cuenta los datos.
a. Es regular, el ángulo central mide 60° y es 
convexo.
b. Es regular, tiene en total cinco diagonales y 
la suma de sus ángulos interiores es de 540°.
c. Comparen los gráficos con sus compañeros. 
¿La solución es única? ¿Por qué?
M
mediatrices
M, N y P
NP
a. Solución a cargo del alumno. c. Alineados.
mediatrices
L, M y N
M
d
L
N
a. Mediatrices o diagonales. b. No.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.Solución a cargo del alumno.
oo
o
 
126126
46. Construyan y luego, respondan.
• Triángulo equilátero.
• Cuadrado.
• Pentágono regular.
• Hexágono regular.
a. Tracen todas las diagonales que tienen 
cada uno de los polígonos construidos y 
completen la tabla.
Polígono regular Cantidad de diagonales
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
b. ¿Cuántas diagonalestiene un heptágono? 
¿Y un octógono? Expliquen cómo lo pensaron.
47. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). 
Expliquen las respuestas.
a. Una cuerda es un segmento que une dos 
puntos de la circunferencia. 
b. En un polígono regular, los lados y los 
ángulos son iguales. 
c. El ángulo central de un octógono regular 
mide 45°. 
d. La suma de los ángulos interiores de un 
polígono es 412°. 
e. El círculo es el contorno de la circunferen-
cia. 
f. El radio es el doble del diámetro. 
g. Un rectángulo es un polígono regular. 
h. El ángulo central de un triángulo equilátero 
mide 120°. 
i. Un pentágono puede dividirse en cuatro 
triángulos al trazar las diagonales desde uno 
de sus vértices. 
j. El decágono es un polígono que tiene doce 
lados. 
k. Para calcular el ángulo interior de un polí-
gono regular, se debe dividir 360° por la can-
tidad de lados. 
48. Observen los polígonos y respondan.
 A
B
C
D
E
F
a. Clasifiquen los polígonos en cóncavos y 
convexos.
b. ¿Cuántas diagonales tiene cada polígono?
c. Si dos polígonos tienen la misma cantidad 
de lados, ¿tienen la misma cantidad de diago-
nales?
49. Completen con “siempre”, “a veces” o 
“nunca”.
a. Un cuadrado es 
rectángulo.
b. Los pentágonos, hexágonos y octógonos, 
 son regulares.
c. Un rectángulo es 
un cuadrado.
d. es posible que un 
polígono regular sea cóncavo.
50. Lean atentamente y averigüen de qué polí-
gono regular se trata en cada caso. Luego, cal-
culen la medida del ángulo central.
a. Desde uno de sus vértices se pueden tra-
zar solo 12 diagonales.
b. La suma de sus ángulos interiores es 900°.
c. Es un polígono que no tiene diagonales.
d. Es un polígono que tiene el doble de 
lados que el polígono que tiene un ángulo 
central de 72°.
e. Su ángulo central mide el doble de 20°.
126
0
2
5
9
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
a. y b. Solución a cargo del alumno. c. Sí.
14. 20
a. Polígono de 15 lados. 24° b. Heptágono. 51,42° 
c. Triángulo. 120° d. Decágono. 36° e. Eneágono. 40°
siempre
a veces
nunca
a veces
 
127
Autoevaluación 6
51. Construyan las siguientes figuras.
a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales c. Un rombo cuya diagonal mayor mida 5 cm, 
midan 4,5 cm y el ángulo entre ellos mida 50°. su diagonal menor mida 3 cm y uno de sus 
 lados mida 4 cm.
 
 
 
b. Una circunferencia a partir de la cuerda mn. d. Un polígono regular a partir del siguiente 
 triángulo isósceles.
 
52. Calculen los ángulos interiores.
a. Datos: b. Datos: c. Datos:
 ̂ a = 12x – 14° ̂ m = 3x ̂ r = 8x + 2°
 ̂ c = 9x + 15° ̂ n = 5x – 16° ̂ s = 6x
 ̂ β = 7x + 99° ̂ o = x ̂ t = 22x – 14°
 ̂ u = 3x – 6°
127
capítulo
c
a
β
b
p
n
o
m
t
s
u
v
r
m
n
 ̂ a = 70°; 
^
 b = 32°; ̂ c = 78° ̂ m = 84°; ̂ n = 124°; ̂ o = 28°; ̂ p = 124°
 ̂ r = 98°; ̂ s = 72°; 
 ̂ t = 250°; ̂ u = 30°
50o
Mz
 
Perímetro, área y volumen
Contenidos
36. Perímetro y área de figuras 
planas.
37. Área lateral y total de 
prismas, pirámides y 
cilindros.
38. Unidades de capacidad y 
unidades de volumen.
39. Volumen del prisma, de la 
pirámide, del cilindro y del 
cono.
7
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y respondan.
a. Las siguientes son algunas de las preguntas que realizó un interesado por uno de los depar-
tamentos con las respuestas que recibió.
• Si quisiera colocar una guarda en las paredes, ¿cuántos metros necesitaré? 24 m
• ¿El largo y el ancho coinciden? No.
• Si quisiera ubicar un mueble de 5 m de largo, ¿puedo hacerlo sobre cualquiera de las paredes? No.
¿Sobre qué departamento realizó la consulta? ¿Cuáles son sus dimensiones?
b. Si hubiese preguntado por el otro departamento, ¿cuáles serían las respuestas?
capítulo
a. Sobre el monoambiente de 32 m2. Las dimensiones son: 8 m de largo y 4 m de ancho.
b. Por ejemplo, si el monoambiente es de 6x6 las respuestas serán 24 m, Sí, No, Sí; si es de 4x9, serían 
26 m, No, Sí, No.
 
129
Perímetro y área de figuras planas
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo equilátero con una multiplicación?
b. Si se divide un rombo por sus dos diagonales, ¿se obtienen cuatro triángulos de igual 
área? ¿Y si es un romboide?
c. ¿Se puede calcular el área de un cuadrado teniendo como dato el perímetro?
d. ¿Qué figuras tienen la misma fórmula del perímetro? ¿Y el área?
test de comprensión
129
38 39 40 42 434136 3735 44
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
Medir una longitud significa compararla con otra considerada como unidad de medida.
km 
kilómetro
hm 
hectómetro
dam 
decámetro
m 
metro
dm 
decímetro
cm 
centímetro
mm 
milímetro
: 10
 . 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
Perímetro y área 
El perímetro de una figura es igual a la suma de las medidas de todos sus lados. Para calcular 
el perímetro, todos los lados deben estar expresados en la misma unidad de medida. 
Se llama área a la cantidad de veces que entra en una superficie la unidad de medida elegida.
Un cuadrado de 1 metro de lado tiene un área igual a 1 m2.
Figura Fórmula del perímetro Fórmula del área
Triángulo l 
1
 + l 
2
 + l 
3
 b . h _____ 2 
Trapecio B + b + l 
1
 + l 
2
 
(B + b) . h
 __________ 2 
Romboide 2 . l 
1
 + 2 . l 
2
 D . d _____ 2 
Rombo 4 . l D . d _____ 2 
Paralelogramo 2 . l 
1
 + 2 . l 
2
 b . h
Rectángulo 2 . l 
1
 + 2 . l 
2
 b . h
Cuadrado 4 . l l2
Polígono regular n . l 
perímetro . apotema
 __________________ 2 
Círculo 2 . π . r π . r2
a. 3 . l. b. Sí. No. c. Sí, porque ambas fórmulas dependen de la medida del lado. d. Perímetro: cuadrado 
y rombo; rectángulo, paralelogramo y romboide. Área: paralelogramo y rectángulo, rombo y romboide.
 
1. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. En caso de que sea F, escriban la res-
puesta correcta.
a. 45 hm = 45 000 m d. 7,2 dam = 0,72 hm 
 
b. 0,054 m = 5,4 cm e. 0,721 hm = 7 210 cm 
 
c. 3,18 dm = 0,00318 km f. 32 cm = 0,0032 dam 
 
2. Calculen y escriban el resultado en cm.
a. El perímetro de un rombo de 30 mm de lado.
b. El perímetro de un rectángulo si uno de sus lados mide 0,2 dm y el otro mide el doble.
c. La longitud de cada lado de un triángulo equilátero, si su perímetro es 0,15 m.
d. El perímetro de un cuadrado de 0,6 dm de lado.
e. Los lados de un romboide sabiendo que su perímetro es de 32 cm y el lado mayor es el tri-
ple del menor.
3. Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Escriban el resultado en cm.
a. c.
8 cm
20 mm
0,000021 km
0,32 dm
12 cm
0,5 dm
 
b. d.
80 mm
2 cm
0,15 m
1,2 dm
40 mm
 
36 Perímetro y área de figuras planasACTIVIDADES
130
F
F F
V
V
V
4 500 m
0,000318 km 0,032 dam
12 cm
12 cm
5 cm
24 cm
4 cm y 12 cm
15,3 cm
22,28 cm
42 cm
41,42 cm
 
4. Completen según corresponda.
a. 3,2 m2 = dam2 c. 3 cm2 = dm2
b. 0,005 hm2 = dm2 d. 0,0042 hm2 + 0,5 dam2 = m2
5. Indiquen cuántos cuadrados de área tienen las siguientes figuras.
a. b. c. 
6. Rodeen con color la respuesta correcta.
a. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 9 cm2 de área?
1,2 dm 36 cm 12 cm2
b. Si en un rectángulo, la medida de la base y de la altura son números consecutivos y su perí-
metro es 18 cm, ¿cuál es su área?
81 cm2 20 cm2 90 cm2
c. ¿Cuál es el perímetro de un círculo cuya área es 7,065 dm2?
7,065 dm 9,42 dm 14,7 m
d. Si la base y la altura de un paralelogramo son iguales a las de un triángulo de área 15 cm2, 
¿cuál es su área?
30 cm2 7,5 cm2 ninguna de las anteriores
7. Calculen.
a. La base de un rectángulo de perímetro 30 cm y altura 6 cm.
b. La base de un triángulo de área 12 cm2 y altura 3 cm.
c. El radio de un círculo de perímetro 12,56 cm.
36 Perímetro y área de figuras planasACTIVIDADES
131
Nombre: Curso: Fecha: / /
0,032 0,03
5 000 92
11 10 23
9 cm
8 cm
2 cm132
36 Perímetro y área de figuras planasACTIVIDADES
132
8. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras.
a. b. 
6 dm
2 cm
6 cm
2,82 cm
4 cm
8 cm
Perímetro = Perímetro = 
Área = Área = 
9. Calculen el área sombreada de las siguientes figuras.
a. c. 
6 cm
8 cm
5 cm
1 cm
Área sombreada = Área sombreada = 
b. d.
2 cm
1,7 cm 5 cm
5 cm
4 cm
1 cm
Área sombreada = Área sombreada = 
10. Lean atentamente y resuelvan.
a. El área de un pentágono es de 7,5 dm2. Si la apotema mide 30 mm, ¿cuánto mide el lado?
b. Si al área de un rectángulo de 15 cm de base, se le resta el área de un pentágono de 80 cm2 
se obtiene 55 cm2. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?
De una masa rectangular de 30 cm de largo y 20 cm de ancho se cortan círculos de 5 cm de 
radio para preparar empanadas, de modo que se aproveche la mayor cantidad de masa posible.
a. ¿Cuántas tapas de empanadas saldrán? ¿Cuántos cm2 de masa sobran?
b. ¿Se pueden cortar más tapas con la masa que sobra? ¿Cómo?
menteACTIVA
21,64 cm
7,74 cm2
14,2 cm2
37,5 cm2
9 cm2
27,42 dm
20 cm2 50,13 dm2
9 cm
10 dm
a. 6 empanadas. Sobran 129 cm2. b. Sí, una más. Amasándola y estirándola de nuevo.
 
133
Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros
Nombre: Curso: Fecha: / /
133
36 39 40 41 434237 38 4544
El área lateral de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras laterales.
El área total de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras.
Área del prisma
Área lateral = perímetro de la base . altura
Área total = área lateral + 2 . área de la base 
perímetro 
de la base
h 
(a
lt
ur
a)
Área de la pirámide
Área lateral = 
perímetro de la base . altura de la cara lateral
 ________________________________________ 2 
Área total = área lateral + área de la base b 
(base)
h
(a
lt
ur
a)
Área del cilindro
Para calcular el área lateral de un cilindro, se debe calcular el área del rectángulo que forma su 
parte lateral.
La base del rectángulo coincide con la longitud de la circunfe-
rencia de la base del cilindro.
Área lateral = área del rectángulo = b . h = 2 . π . r . h
Área total = área lateral + 2 . π . r2 
h
(altura)
r
r
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si un prisma de base triangular y un prisma de base cuadrada tienen la misma altura, ¿el 
área total es la misma?
b. La diferencia entre el área total de una pirámide y su área lateral, ¿es el área de la base?
c. Si se conoce el área total de un cilindro, ¿se puede calcular el área de la base?
d. Para empapelar la columna de una habitación, ¿se debe calcular su área total?
infoactiva
test de comprensión
a. No, depende de las dimensiones de la base. b. Sí. c. No, se necesita la altura. d. No, se debe calcu-
lar el área lateral porque las bases no se podrían cubrir.
 
11. Unan con flechas los nombres de los cuerpos con sus correspondientes áreas laterales y totales.
Cuerpo Área lateral Área total
Prisma de base triangular regular • l2 . 4 • Área lateral + 2 . π . r2
Cilindro • b . h . 3 • Área lateral + b . h _____ 2 
. 2
Cubo • b . h _____ 2 
. 7 • Área lateral + l2 . 2
Pirámide de base rectangular • 2 . π . r . h • Área lateral + Per . Ap : 2
Pirámide de base heptagonal regular • 
 b 
1
 . h 
1
 
 ______ 2 
. 2 + 
 b 
2
 . h 
2
 
 ______ 2 
. 2 • Área lateral + b . h . 2
12. Calculen el área lateral y el área total de los siguientes cuerpos. Pueden ayudarse realizando 
una figura de análisis de los desarrollos correspondientes.
a. Prisma de base cuadrada. c. Cilindro.
4 cm
5 cm
10 cm
2 cm
 
 
 
b. Pirámide de base cuadrada. d. Pirámide truncada de base cuadrada.
5 cm
3 cm
2 cm
3 cm
4 cm
 
 
 
13. Resuelvan.
Sofía quiere cubrir cinco macetas con forma de prisma de base rectangular de 0,5 m de largo, 2 dm 
de ancho y 300 mm de alto, con venecitas cuadradas de 3 cm de lado. Si solo debe cubrir los latera-
les, ¿cuántas venecitas necesita?
37 Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindrosACTIVIDADES
134
Área lateral: 80 cm2
Área lateral: 30 cm2
Área total: 88 cm2
Área total: 39 cm2
Área lateral: 62,8 cm2
Área lateral: 36 cm2
Área total: 87,92 cm2
Área total: 56 cm2
50 cm . 30 cm . 2 + 20 cm . 30 cm . 2 = 4 200 cm2
4 200 cm2 : 9 cm2 = 466,7. Necesita 467 venecitas.
 
14. Calculen el área lateral y el área total. Escriban el nombre del cuerpo al que pertenece cada 
desarrollo.
a. c. 
5 cm
2 cm
4 cm
7 cm
8 cm
Área lateral: Área lateral: 
Área total: Área total: 
Nombre: Nombre: 
b. d. 
3 cm
10 cm
2 cm
6 cm
3 cm
Área lateral: Área lateral: 
Área total: Área total: 
Nombre: Nombre: 
15. Lean atentamente y calculen. Escriban el resultado en dm2.
a. El área lateral de un prisma de base rectangular, si las medidas de su base (en dm) son dos 
números impares y múltiplos de 3 comprendidos entre 8 y 18 y su altura es 10 cm.
b. El área total de un cilindro si el radio y la altura son dos números consecutivos, cuya suma es 15 cm.
c. El área lateral de una pirámide de base cuadrada si la altura de sus caras es la mitad de la 
medida del lado de la base, sabiendo que el área de la base es 16 cm2.
37 Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindrosACTIVIDADES
135
Nombre: Curso: Fecha: / /
0,16 dm2
6,59 dm2
4,8 dm2
60 cm2
188,4 cm2
112 cm2
96 cm2
76 cm2
244,9 cm2
161 cm2
144 cm2
Prisma de base rectangular.
Cilindro.
Pirámide de base cuadrada.
Prisma de base octogonal.
 
16. Calculen el valor de la incógnita.
a. Datos: b. Datos:
 Área total = 62 cm2 Todas las aristas miden lo mismo.
 Área total = 2 200 mm2
5 cm
3 cm
x
x
 
 
x = x = 
17. Resuelvan.
Una empresa fabrica dos tipos de carpas. ¿Cuántos m2 de lona se necesita para cada una de ellas?
a. b. 
3 m
10 m
5,2 m
15 m
1 m
10 m 3 m
15 m
 
 
18. Respondan.
Pedro quiere pintar el tanque de agua de su casa, de forma cilíndrica, de 2 m de diámetro y 3 m de alto.
a. Si la pintura rinde 1 m2 por cada medio litro, ¿cuántos litros serán necesarios?
b. Si el balde de 5 l cuesta $80, ¿cuántos baldes deberá comprar? ¿Cuánto gastará en total?
19. Resuelvan.
a. Agustín quiere cubrir las paredes de su cochera de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2,5 m de 
alto con listones de madera de 1 m por 5 cm. ¿Cuántos listones necesitará?
b. Cada cara de un cubo mágico se compone de 9 cuadrados de 20 mm de lado. Si se quieren 
construir sus caras en acrílico, ¿cuántos cm2 serán necesarios?
37 Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindrosACTIVIDADES
136
62 cm2 = 2 . 5 cm . 3 cm + 2 . (3 cm . x + 5 cm . x)
286 m2
2 200 mm2 = 22 . x2
464 m2
12,56 l
Deberá comprar 3 baldes. Gastará $240.
23 m + 2,5 m + 2,5 m . 2 m = 20 m2; 20 m : 0,05 m2 = 400 Necesitará 400 listones.
2 cm . 2 cm . 9 . 6 = 216 cm2
2 cm 10 mm
 
Unidades de capacidad y unidades de volumen
Nombre: Curso: Fecha: / /
137
37 40 41 42 444338 39 4645
Se llama volumen al lugar que ocupa un cuerpo en el espacio 
y capacidad a aquello que puede contener.
Unidades de volumen
Un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un metro de arista.
Un decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista.
Para armar 1 m3 son necesarios 1 000 dm3.
Para pasar de una unidad de volumen a otra que sea su inmediata inferior, se debe multiplicar 
por 1 000 y para pasar a su inmediata superior, se debe dividir por 1 000.
Se lee... Se simboliza... Equivale a...
Múltiplos
kilómetro cúbico
hectómetro cúbico
decámetro cúbico
km3
hm3
dam3
1 000 000 000 m3
1 000 000 m3
1 000 m3
Unidad metro cúbico m3 1 m3
Submúltiplos
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
dm3
cm3
mm3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
Unidades de capacidad
La capacidad de un cuerpo se mide en litros.
kl 
kilolitro
hl 
hectolitro
dal 
decalitro
l 
litro
dl 
decilitro
cl 
centilitro
ml 
mililitro
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
. 10
: 10
La siguientetabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad.
Volumen 1 m3 1 dm3 1 cm3
Capacidad 1 kl 1 l 1 ml
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para pasar de cm3 a m3, ¿qué cálculo se debe realizar? ¿Y a mm3?
b. ¿Es cierto que 1 kl equivale a 100 litros?
c. Para llenar un tanque, ¿es lo mismo saber el volumen que la capacidad?
infoactiva
test de comprensión
a. Se debe dividir por 1 000 000. Para pasar a mm3 se debe multiplicar por 1 000. b. No, equivale a 
1 000 litros. c. Sí, porque son equivalentes.
 
38 Unidades de capacidad y unidades de volumenACTIVIDADES
138
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. En caso de que sea F, corrijan el error.
a. 2 m3 = 200 cm3 d. 0,540 dm3 – 40 cm3 = 0,5 dm3 
b. 0,000034 hm3 = 34 m e. 0,06 dam3 + 55 cm3 = 0,01 dam3 
c. 4 200 m2 . 0,5 hm = 2 100 dam3 f. 3 cm2 . 1,2 cm + 0,004 dm3 = 3,64 cm3 
21. Completen las siguientes equivalencias.
a. 250 cm3 = ml d. 0,00018 m
3 = cl
b. 1 000 cm3 = l e. 280 dl = dm
3
c. 32 dl = cm
3 f. 135 kl = dm
3
22. Resuelvan los siguientes problemas.
a. Para su fiesta de cumpleaños Pablo compró botellas de gaseosa de 2,5 l. Si tiene 40 invitados 
y calculó 3 vasos de 300 cm3 por persona, ¿cuántas botellas de gaseosa compró? 
b. En un supermercado ofrecen tres botellas de aceite de la misma calidad. La primera es de 
750 cm3 y cuesta $15, la segunda es de 1 l y su costo es de $18 y la tercera es de 500 cm3 y 
cuesta $12. ¿Cuál conviene comprar?
c. Matías prepara un licuado con 500 cm3 de leche, 1 __ 4 litro de pulpa de frutillas y 200 ml de 
pulpa de durazno. ¿Podrá colocar la preparación en una jarra de un litro? ¿Por qué?
d. Ana prepara un perfume para sus dos mejores amigas mezclando 2 ___ 25 l de alcohol, 120 cm
3 de 
esencia de jazmines y 5 cl de agua. Si los frascos que consiguió tienen una capacidad de 80 ml, 
¿cuántos frascos puede llenar? ¿Le sobra perfume?
e. Para el mantenimiento de la piscina de un club, se le debe agregar cloro al agua semanal-
mente. Si la piscina tiene una capacidad de 138 kl y por cada 10 m3 de agua se debe agregar 
medio litro de cloro, ¿cuántos litros por semana son necesarios?
Las equivalencias entre unidades de capacidad y de volumen pueden 
servir, por ejemplo, para averiguar el volumen de una piedra. Si se dis-
pone de un vaso medidor lleno de agua, cuya capacidad es de 500 ml, y 
de una piedra que cabe dentro de ese vaso, ¿cómo pueden hacer para 
calcular el volumen de la piedra? 
menteACTIVA
F F
F V
V F
250 18
1 28
3 200 135 000
Sí, porque en total son 950 cm3 de preparación.
Conviene la de 1 litro.
Compró 15 botellas de gaseosa.
a. 2 000 000 cm3. c. 2 250 dam3. e. 60,55 m3. f. 7,6 cm3.
Puede llenar tres frascos y le sobran 10 ml.
Serán necesarios 6,9 l de cloro por semana.
Se puede llenar con agua el vaso, sumergir la piedra y luego, registrar la variación del volumen de agua.
 
Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono
Nombre: Curso: Fecha: / /
139
38 41 42 43 454439 40 4746
Volumen del prisma y de la pirámide
Volumen del prisma = área de la base . h Volumen del cubo = a3
a
aa
a: arista
base
altura
(h)
El volumen de un prisma es tres veces mayor que el volumen de la pirámide que tiene igual base 
y altura. 
Volumen de la pirámide = 1 __ 3 
. área de la base . h
h
Volumen del cilindro y del cono
Volumen del cilindro = área de la base . h Volumen del cono = área de la base . h _________________ 3 
Volumen del cilindro = π . r2 . h Volumen del cono = π . r
2 . h
 __________ 3 
r
h
r
h
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El volumen del cubo, ¿se puede calcular utilizando la fórmula del prisma de base cuadrada?
b. Si un cono y un cilindro tienen la misma base y altura, ¿es cierto que el volumen del cilin-
dro es el triple que el del cono?
infoactiva
test de comprensión
a. Sí, porque el cubo es un prisma cuya altura es igual a los lados de la base. b. Sí.
 
23. Calculen el volumen de cada cuerpo. Escriban el resultado en cm3.
a. d. 
 
 
 
b. e. 
7 cm
0,6 cm
0,05 m
3 cm
17 mm
 
 
 
c. f. 
0,3 dm
12 mm
6 cm
2 cm
1 cm
 
 
 
39 Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del conoACTIVIDADES
140
4 cm
3 cm
3 cm
50 mm
0,15 dm
 18 cm . 3 cm ____________ 2 
. 4 cm = 108 cm3
 14 cm . 1 cm ___________ 2 
. 6 cm = 42 cm3
 1 __ 3 
. π . (0,3 cm)2 . 7 cm = 0,6594 cm3
π . (5 cm)2 . 1,5 cm = 117,75 cm3
 1 __ 3 
. π . (0,6 cm)2 . 3 cm = 1,13 cm3
 1 __ 3 
. 
15 cm . 1,7 cm
 _____________ 2 
. 5 cm = 21,25 cm3
 
39 Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del conoACTIVIDADES
141
Nombre: Curso: Fecha: / /
24. Completen el siguiente cuadro correspondiente a prismas de base rectangular.
Largo Ancho Altura Volumen Capacidad
2 cm 3 cm 4 cm cm
3
 ml
5 dm 0,1 m mm 15 dm
3 l
6 cm cm 12 mm 36 cm3 ml
m 2 m 5 m m
3 40 kl
10 mm 20 mm 30 mm cm
3
 ml
25. Calculen la capacidad de los siguientes cuerpos. Expresen el resultado en litros.
a. b. 
60 cm
4 dm 360 mm
700 mm
 
 
 
 
26. Resuelvan.
a. Completen la siguiente tabla con el volumen correspondiente a cada cilindro.
Radio 1 cm 2 cm 3 cm 1 cm 1 cm 2 cm
Altura 4 cm 4 cm 4 cm 8 cm 12 cm 3 cm
Volumen 12,56 cm3
b. Observen la tabla y completen.
• Si el radio se duplica, el volumen es veces mayor.
• Si el radio se triplica, el volumen es veces mayor.
• Si la altura se duplica, el volumen es veces mayor.
• Si la altura se triplica, el volumen es veces mayor.
50,24 cm3 113,04 cm3 25,12 cm3 37,68 cm3 37,68 cm3
4
5 36
6
300
24 24
15
40
6
 1 __ 3 
. π . (2 dm)2 . 6 dm = 25,12 dm3
= 25,12 l
 1 __ 3 
. (3,6 dm)2 . 7 dm = 30,24 dm3
= 30,24 l
4
2
9
3
 
39 Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del conoACTIVIDADES
27. Calculen lo pedido en cada caso, teniendo en cuenta los siguientes datos.
a. Prisma de base rectangular c. Cono
Largo = 4 cm Diámetro de la base = 6 cm
Ancho = 3 cm Altura = 8,5 cm
La altura es igual a la mitad del largo.
Volumen = Volumen = 
b. Cilindro d. Pirámide de base cuadrada
Diámetro de la base = 6 cm Altura = 10 cm
Volumen = 141,3 cm3 Volumen = 30 cm3
Altura = Lado de la base = 
28. Calculen el volumen de los siguientes cuerpos.
a. b. 
 
6 cm
5 cm
2 cm
2 cm
9 cm 4 cm
 
 
29. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.
a. En una caja rectangular de 8 dm de largo, 60 cm de ancho y 1 m de alto se quieren colocar 
velas de 20 cm de diámetro y 50 cm de altura. ¿Cuántas velas se pueden colocar? ¿Qué volumen 
de la caja queda vacío? 
b. Como souvenir de su fiesta de 15 años Leila construye pirámides de vidrio que rellenará con 
arena de colores. Si quiere construir 90 pirámides de base cuadrada de 5 cm de lado y 4 cm de 
altura, ¿cuántos cm3 de arena necesitará?
142
Un cm3 de oro pesa 17,4 g, ¿cuántos kg pesa el lingote de oro?
• l: 0,15 m • B: 8 cm
• b: 0,65 dm • h: 400 mm
menteACTIVA
h
B
l
b
24 cm3
5 cm
80,07 cm3
3 cm
π . (2 cm)2 . 9 . 1 __ 2 = 56,52 cm
3 5 cm . 4 cm . 2 cm + 2 cm . 6 cm . 5 cm = 100 cm3
Se pueden colocar 30 velas y quedan 9 000 cm3 de la caja vacíos.
Necesitará 3 000 cm3 de arena.
75,69 kg
 
Integración
capítulo
736.37.38.39COnTEnIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
30. Calculen. 
a. El perímetro de un paralelogramo de área 
igual a 20 cm2, si la altura es 4 cm y sus 
otros lados miden 3 __ 5 de la base.
b. El perímetro de un trapecio isósceles, si 
el área es de 30 cm2, la altura es de 4 cm y 
cada uno de los lados iguales mide 6 cm.
c. El área de un romboide cuyas diagonales 
son dos números primos que al sumarlos se 
obtiene 15.
d. El área de un trapecio de base mayor igual 
6 dm, base menor igual a 2 __ 3 de la base mayor 
y altura igual a la diferencia entre la base 
mayor y menor.
e. El área de un cuadrado de lado igual al 
diámetro de un círculo de área 3,14 m2.
31. Calculen el área sombreadaen cada caso.
a.
8 cm
b.
4 cm
3 cm
10 cm
c.
2 cm
6 cm
12 cm
d.
10 cm
8 cm
32. Calculen el área lateral y total de cada uno 
de los siguientes cuerpos.
a.
4 cm
3 cm
b.
10 dm
4 dm
c. 
6 cm
3 cm
2 cm
 
33. Resuelvan las siguientes situaciones pro-
blemáticas.
a. Se desea colocar etiquetas alrededor de 
20 frascos de mermelada de 6 cm de diá-
metro e igual altura. ¿Cuántos cm2 de papel 
serán necesarios?
b. Se quieren construir cinco cubos de 50 cm 
de arista para un juego didáctico. ¿Cuántos 
m2 de cartón serán necesarios?
c. Manuel quiere cambiar el piso y las pare-
des de su baño, de 1,5 m de ancho y 2 m 
de largo y 3 m de alto, colocando cerámicas 
cuadradas de 25 cm de lado. Si cada caja 
contiene 20 baldosas, ¿cuántas cajas deberá 
comprar?
143
a. 16 cm. b. 27 cm. c. 13 cm2. d. 10 dm2. e. 4 m2.
13,76 cm2
Área lateral: 24 cm2
Área total: 40 cm2
Área lateral: 125,6 dm2
Área total: 282,6 dm2
Área lateral: 90 cm2
Área total: 120 cm2
14,72 cm2
18 cm2
79,25 cm2
a. 2 260,8 cm2. b. 7,5 m2. c. 20 cajas.
 
144144
34. Respondan.
Una jarra contiene 1 litro de agua y al colocar en 
ella un cubo de plástico se derramaron 64 ml.
a. ¿Cuánto mide la arista del cubo?
b. Si se colocan nueve cubos más en la 
misma jarra, ¿qué volumen de agua quedará? 
Escriban la respuesta en cm3.
35. Resuelvan.
Una nueva fragancia de perfume será envasada 
en frascos de forma piramidal con base cuadra-
da de 9 cm de lado y 12 cm de altura.
a. Si se quieren envasar 32 litros de perfume, 
¿cuántos frascos serán necesarios?
b. Si se quiere colocar de a nueve frascos en 
cajas cuadradas sin apilar, ¿qué dimensiones 
debe tener cada caja?
36. Piensen y resuelvan.
a. Para festejar el Día del Estudiante, los chicos 
llevaron a la escuela gaseosas para compartir. 
En total había tres botellas de 2,25 litros, dos 
de 1 000 cm3 y cuatro botellitas de 600 cm3. Si 
cada alumno tomó dos vasos de 1 __ 5 litro, ¿para 
cuántos alumnos alcanzó la bebida?
b. Nicolás debe llenar frascos de forma cilín-
drica de 6 cm de diámetro y altura igual a 
 10 ___ 3 del radio de la base con dulce de leche. Si 
cada bolsa contiene 47,1 cm3 de dulce de 
leche, ¿cuántas bolsas serán necesarias para 
llenar 12 frascos?
c. Se quieren fabricar conos de 50 cm de diá-
metro y 90 cm de altura para señalizar un 
camino. Con 2 m3 de plástico, ¿cuántos conos 
pueden fabricarse?
d. Si el volumen de una pirámide de base 
cuadrada es 45 cm3 y su altura es 5 cm, 
¿cuánto mide el lado de la base?
37. Resuelvan.
Los caramelos de dulce de leche vienen enva-
sados en cajas de a 20, apilados en dos capas. 
Las dimensiones de cada caramelo son 2 cm de 
largo, 2 cm de ancho y 1 cm de espesor.
a. ¿Qué dimensiones tiene la caja?
b. Si se duplican las dimensiones de la caja, 
¿cuántos caramelos podrá contener?
38. Resuelvan.
a. Si el volumen de un cubo es de 0,064 dm3, 
¿cuánto mide la arista?
b. Si la altura de un cilindro mide 6 cm y su 
radio es igual a 5 __ 3 de su altura, ¿cuál es el 
volumen?
c. El volumen de una pirámide cuya base es 
un hexágono regular es de 67 375 mm3. Si la 
altura mide 0,7 dm y el lado de la base mide 
3,5 cm, ¿cuánto mide la apotema?
d. Si el volumen de un cono es de 42,39 cm3 
y el radio de la base mide 3 cm, ¿cuánto 
mide la altura?
39. Calculen el volumen en cada caso.
a. 
0,3 m
50 cm
4 dm
Volumen = dm3
b. 
60 cm
4 dm
100 mm
Volumen = cm3
40. Calculen en cada caso según corresponda.
a. Para llenar las 3 __ 4 partes de un balde cilín-
drico de 24 cm de diámetro y 50 cm de altu-
ra, ¿cuántos litros de agua se necesitan?
b. Si el área de la base de un cilindro es de 
12,56 cm2 y el volumen es de 125,6 cm3, ¿cuál 
es el área lateral?
c. Si el área total de un prisma de base cua-
drada es 38 cm2 y el área lateral es de 13 cm2, 
¿cuánto mide el lado de la base?
d. En una pirámide de base pentagonal regu-
lar, el lado de la base mide 4 cm y la apote-
ma, 2,5 cm. Si el área total es 75 cm2, ¿cuál 
es el área de cada una de las caras?
144
a. 4 cm. b. 360 cm3.
a. 98. b. Largo: 27 cm. Ancho: 27 cm. Alto: 12 cm.
a. 0,4 dm. b. 1 884 cm3. c. 0,92 cm. d. 4,5 cm.
a. 22 alumnos. b. 72 bolsas. c. 33 conos. d. 3 cm.
a. 20 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de altura. 
b. Podrá contener 160 caramelos.
a. 17 litros. b. 62,8 cm2. c. 5 cm2. d. 5 cm2.
91,4
24 000
 
145
Autoevaluación 7
41. Completen.
a. El perímetro de una figura es igual a la de todos sus lados.
b. La fórmula del área de un paralelogramo es a la fórmula del área de 
un rectángulo.
c. La fórmula para obtener el perímetro de cualquier figura regular de n lados de longitud l 
es .
d. El área lateral de un cilindro de diámetro d y altura h es .
e. El área total de un cubo es .
42. Respondan.
Alrededor de una cancha de fútbol se colocan publicidades utilizando lonas de 80 cm de ancho. Si 
la cancha mide 100 m de largo y 80 m de ancho, ¿cuántos m2 de lona se necesitarán?
43. Resuelvan.
Agustín acomodó su cuarto como se ve en el 
siguiente plano. ¿Cuántos m2 le quedarán libres 
para circular?
 
0,70 m
100 cm
5 dm
1,90 m
90 cm
44 cm
2,5 m
3 m
1 200 mm
cama
tele
mesa de luz
escritorio
44. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.
a. Naty prepara conos rellenos de mousse de chocolate para una fiesta de 100 invitados. Si los 
conos tienen 6 cm de diámetro y 0,08 m de altura, ¿cuántos litros de crema necesita? Escriban 
la respuesta aproximada al litro.
b. Para preparar pan se necesitan 400 ml de agua tibia por cada 750 cm3 de harina leudante. Si 
se colocan esas cantidades en una máquina de amasar que tiene una capacidad de 1,75 dm3, 
¿qué volumen de la máquina quedará libre?
145
capítulo
4,99 m2
288 m2
75 litros.
600 cm3
suma
igual
π . d . h
l2 . 6
n . l
 
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. Inventen un enunciado con preguntas cuyas respuestas sean:
• 120 alumnos. • 80 alumnos. • 40 alumnos.
b. Comparen los enunciados con los de sus compañeros.
Votan 200 alumnos.
Probabilidad y estadística
Contenidos
40. Variables, población y 
muestra.
41. Recolección y organización 
de datos. Tablas.
42. Frecuencias absolutas y 
relativas.
43. Gráficos.
44. Promedio, mediana y 
moda.
45. Experimentos aleatorios. 
Probabilidad simple.
46. Cálculo combinatorio.
8
capítulo
Alumnos 
de secundaria 
básica
Alumnos 
de secundaria 
superior
a. Solución a cargo del alumno.
 
147
Variables, población y muestra
Estadística
La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener determi-
nada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede 
organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos y utilizarlos mejor.
Población y muestra
Se denomina población al conjunto de individuos (personas, animales, plantas, etc.) que se pre-
tende estudiar estadísticamente. Cuando es difícil estudiar toda la población, se selecciona una 
parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser representativa, es decir, debe elegirse de 
manera tal que del estudio estadístico se obtengan resultados muy próximos a los que se obten-
drían con toda la población.
Variables estadísticas
Cada uno de los temas que se estudia de una población o 
muestra se denomina variable estadística. Por ejemplo, si se hace 
una encuesta para averiguar las alturas de los alumnos de primer 
año, la variable es “altura de los alumnos de primer año”.
Las variables se clasifican en:
• Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos. 
“Comida preferida de los alumnos de primer año”.
• Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos. 
“Edad de los jugadores de un equipo de fútbol”.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el primer paso del trabajo estadístico?
b. La población, ¿es parte de la muestra?
c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80 alumnos del 
último año (repartidos en 3 cursos),¿cuál puede ser una muestra representativa?
d. Una variable, ¿puede ser cualitativa y cuantitativa a la vez?
test de comprensión
147
42 43 44 46 474540 4139 48
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
a. Recolección de datos. b. No, la muestra es parte de la población. c. La muestra podría ser de 8 alumnos 
de cada curso, aunque también podría coincidir con el total de la población, ya que no son muchos. d. No, 
ya que la cuantitativa se expresa mediante una cantidad y la cualitativa mediante una característica.
 
148
1. Marquen con una X el tipo de variable en estudio.
Variable Cualitativa Cuantitativa
La edad de los empleados de una empresa.
Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio.
Buscador de Internet que utilizan los alumnos de una escuela.
Modelo de automóvil más vendido durante el último año.
Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol.
Película más vista durante el mes de febrero.
2. Lean atentamente y respondan.
Una empresa de programación de juegos para computadora quiere crear un nuevo producto. Para 
ello, realiza una encuesta entre los usuarios, de entre 12 y 20 años, registrados en su sitio web 
para saber qué tipo de juegos prefieren. Entre las opciones están los juegos de acción, de estrate-
gia, de cartas, de búsqueda y de carreras. La encuesta fue respondida por 125 chicos de entre 12 y 
14 años, 132 chicos de entre 15 y 17 años y 93 chicos de entre 18 y 20 años.
a. ¿Cuál es la población a la que estará destinado el juego? ¿Cuál fue la muestra?
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
3. Escriban un ejemplo de variable cualitativa y un ejemplo de variable cuantitativa que puedan 
ser analizados en las siguientes poblaciones. Luego, propongan una muestra para cada población.
a. Un grupo de alumnos de 1.° año.
b. El personal de una empresa.
c. Golosinas vendidas en los 200 quioscos de un barrio, en el transcurso de una semana.
40 Variables, población y muestraACTIVIDADES
148
La población a la que estará destinado el juego son los chicos de entre 12 y 20 años. La muestra está 
compuesta por 350 chicos.
La variable es el tipo de videojuego. Es cualitativa.
Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, las edades y cualitativa, el color de ojos.
5 alumnos de 1.°
Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, la antigüedad en el puesto y cualitativa, el 
cargo jerárquico. 10 empleados de cada categoría.
Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, los precios y cualitativa, las marcas o los tipos 
de productos. 40 quioscos.
X
X
X
X
X
X
 
149
Recolección y organización de datos. Tablas
Nombre: Curso: Fecha: / /
149
40 43 44 45 474641 42 4948
Para realizar un estudio estadístico, es necesario usar una serie de herramientas y técnicas que permitan 
recolectar la información necesaria. Entre los principales instrumentos de recolección de datos se encuentran 
las encuestas, los cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante la 
observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden organizar en tablas.
Las tablas se utilizan para mostrar información sobre la relación entre dos o más datos.
En la historia de los juegos olímpicos, la delegación argentina obtuvo un total de 70 medallas: 
18 de oro, 24 de plata y 28 de bronce. El deporte que más medallas obtuvo es el boxeo, con 24.
En la siguiente tabla se muestra la cantidad de medallas obtenidas según el deporte.
Deporte Medallas Oro Plata Bronce %
Boxeo 24 7 7 10 34,3
Vela 9 0 4 5 12,9
Atletismo 5 2 3 0 7,1
Fútbol 4 2 2 0 5,7
Remo 4 1 1 2 5,7
Hockey 4 0 2 2 5,7
Tenis 4 0 1 3 5,7
Natación 3 1 1 1 4,3
Polo 2 2 0 0 2,9
Básquet 2 1 0 1 2,9
Pesas 2 0 1 1 2,9
Ciclismo 1 1 0 0 1,4
Taekwondo 1 1 0 0 1,4
Equitación 1 0 1 0 1,4
Tiro 1 0 1 0 1,4
Vóley 1 0 0 1 1,4
Esgrima 1 0 0 1 1,4
Yudo 1 0 0 1 1,4
Total 70 18 24 28 100
a. ¿Qué datos aparecen en la tabla?
La cantidad de medallas, el detalle del tipo 
de medalla por deporte y el porcentaje de 
cada uno sobre el total de medallas.
b. ¿Con qué criterio se ordenaron los 
deportes que obtuvieron la misma can-
tidad de medallas?
Se tuvo en cuenta cuál deporte obtuvo 
más medallas de oro, luego más medallas 
de plata y finalmente, el que obtuvo más 
medallas de bronce.
c. Si se suman los porcentajes de cada 
deporte, ¿coincide con el total? ¿Por 
qué ocurre esto?
Si bien la suma de los porcentajes repre-
senta el total de los datos (100%), no 
coincide porque los porcentajes de cada 
deporte están aproximados a los décimos.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Para qué se escriben los datos en una tabla? ¿Qué información brinda?
b. A través de una tabla, ¿se puede saber de qué tipo es la variable en estudio?
c. En una tabla se sumaron los porcentajes y se obtuvo 99,6%, ¿por qué ocurre esto?
test de comprensión
infoactiva
a. Para poder organizar los datos que se obtienen a partir de la recolección. Se pueden obtener el núme-
ro total de registros y los registros parciales. b. Sí, también se puede saber si la variable es cuantitativa o 
cualitativa. c. Porque los porcentajes están aproximados.
 
41 Recolección y organización de datos. TablasACTIVIDADES
150
4. Resuelvan.
Martín hizo una encuesta entre sus compañeros de colegio acerca de cuál es el club favorito de 
fútbol de cada uno de ellos y obtuvo los siguientes datos.
River, River, River, Boca, Boca, Racing, Independiente, Racing, River, Boca, River, River, Boca, 
Boca, San Lorenzo, Huracán, Racing, Independiente, Boca, San Lorenzo, Racing, San Lorenzo, 
Gimnasia, Vélez, River, River, Boca, San Lorenzo.
a. Completen la tabla.
Equipos River Boca Racing San Lorenzo Independiente otros
Cantidad de compañeros
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
c. ¿Cuál es el club con mayor cantidad de simpatizantes?
d. ¿Cuántos clubes tienen al menos tres simpatizantes? ¿Cuáles?
5. Completen la tabla y respondan.
El profesor de matemática está preparando un informe sobre los alumnos de primer año para pre-
sentar junto con la planilla de notas. Las siguientes fueron las notas obtenidas por los alumnos al 
finalizar el año.
10; 9; 9; 8; 8; 8; 5; 5; 4; 4; 10; 8; 8; 6; 6; 6; 6; 8; 7; 7; 10; 9; 3; 6; 6; 6; 10; 5
a. Completen la tabla.
Notas 10 9 8 7 6 5 4 3
Cantidad de alumnos
b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.
c. ¿Cuántos alumnos hay en el curso?
d. Si se aprueba con al menos 7 puntos, ¿cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos desaprobaron?
e. ¿Cuántos alumnos obtuvieron 8 puntos como mínimo?
f. Si la nota obtenida está entre 4 y 6, los alumnos deben rendir la materia en diciembre y si es 
menor que 4, deben rendir en marzo; ¿cuántos alumnos deben rendir en cada instancia?
La variable es el equipo de fútbol. Es cualitativa.
River.
Cuatro clubes tienen al menos tres simpatizantes. San Lorenzo, Racing, Boca y River.
La variable es la nota del trimestre. Es cuantitativa.
28 alumnos.
Aprobaron 15 alumnos y desaprobaron 13.
13 alumnos.
En diciembre deben rendir 12 alumnos y en marzo, 1 alumno.
7 348 4 2
1236 73 24
 
Frecuencias absolutas y relativas
Nombre: Curso: Fecha: / /
151
41 44 45 46 484742 43 5049
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4?
b. ¿Qué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia absoluta igual a 3?
c. Si en un caso el porcentaje de un valor de la variable es 27%, ¿significa que la frecuencia 
relativa correspondiente es 2,7?
d. ¿Puede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea 125%?
test de comprensión
infoactiva
Se denomina frecuencia absoluta (se escribe f) al número de veces que se repite cada valor de 
la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total de encuestados.
Se denomina frecuencia relativa (se escribe fr ) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total 
de elementos que forman la muestra. La suma de las frecuenciasrelativas siempre es 1.
Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por 100, se obtiene el 
porcentaje de la variable.
fr = f __ n n es el número de elementos que forman la muestra.
Entre los alumnos de primer año de una escuela se tomó una muestra de diez alumnos para 
averiguar cuántas materias tenían con calificación debajo de seis. Los resultados fueron: 0; 0; 
3; 4; 3; 5; 4; 3; 6; 5.
Cantidad de materias f fr Porcentaje
0 2 2 ___ 10 = 0,2 20%
3 3 3 ___ 10 = 0,3 30%
4 2 2 ___ 10 = 0,2 20%
5 2 2 ___ 10 = 0,2 20%
6 1 1 ___ 10 = 0,1 10%
Total 10 10 ___ 10 = 1 100%
a. No, ya que las frecuencias relativas siempre suman 1. b. Que ese valor se registró 3 veces cuando se 
buscaron los datos. c. No, le correspondería una frecuencia relativa de 0,27. d. No, ya que la suma total 
del porcentaje es del 100%.
 
42 Frecuencias absolutas y relativasACTIVIDADES
152
6. Resuelvan.
Los chicos de 1.° año tuvieron que elegir el nombre que los representará en una competencia in-
tercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios de la Argentina: toba (T), mapuche 
(M), wichí (W) y diaguitas (D). De la votación se obtuvieron las siguientes respuestas. 
M - M - M - W - W - W - M - D - D - T - M - T - D - M - M - M - D - M - M - W
W - D - D - M - W - M - W - M - T - D - M - M - W - W - W - W - D - T - T - W
a. Completen la tabla de frecuencias.
Nombre f fr %
Toba
Mapuche 
Wichí
Diaguitas
 Total
b. ¿Qué nombre resultó ganador? ¿Cómo se dieron cuenta? ¿Qué porcentaje obtuvo?
c. ¿Qué pueblos obtuvieron como máximo diez votos?
7. Lean atentamente y resuelvan.
El siguiente cartel muestra los horarios de las clases que se dictan en un gimnasio.
18 - 19 AEROBOX SPINNING PILATES AEROBOX AEROBOX PILATES
19 - 20 SPINNING PILATES ELONGACIÓN PILATES SPINNING RITMOS
20 - 21 RITMOS ELONGACIÓN RITMOS SPINNING RITMOS RITMOS
a. Completen la tabla de frecuencias.
Clases f fr %
Aerobox
Elongación
Pilates
Ritmos
Spinning
Total
b. ¿De qué clase hay más horarios disponibles?
c. ¿Qué clase tiene el menor porcentaje? ¿Por qué?
5 0,125 12,5
15 0,375 37,5
12 0,30 30
8 0,20 20
40 1 100
Mapuche, porque es el que tiene mayor frecuencia. Obtuvo 37,5%.
Los tobas y los diaguitas.
Ritmos.
Elongación, porque solo tiene 2 horarios disponibles.
3 0,17 16,67
2 0,11 11,11
4 0,22 22,22
5 0,28 27,78
4 0,22 22, 22
18 1 100
 
Gráficos
Nombre: Curso: Fecha: / /
153
42 45 46 47 494843 44 50
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué diferencias hay entre un gráfico circular y uno de barras? ¿Cómo muestra la información 
cada uno?
b. En un gráfico circular, ¿qué ángulo central debe tener un sector que representa el 25% del total?
test de comprensión
infoactiva
En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a través de gráficos. El tipo 
de gráfico puede variar según la información que se quiere brindar.
Gráfico circular
Los gráficos circulares o de secciones sirven para mostrar la distribución de respuestas en rela-
ción con el total de resultados obtenidos.
Se realizó una encuesta para conocer la opinión de 20 personas sobre un nuevo chocolate.
Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa 
una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sec-
tor se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres: 
100% 360°
10% x = 10% . 360° __________ 100% = 36° Corresponde a excelente.
bueno
50%
malo 20%
regular 20%
excelente 10%
Gráfico de barras
Los gráficos de barras sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden a cada valor 
de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en el eje horizontal se representan los distintos 
valores de la variable y en el vertical, las frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del 
mismo ancho cuya altura coincide con la frecuencia absoluta del valor de la variable.
Por ejemplo, diez personas opinan que es 
bueno.
opinión
excelente bueno regular malo
10
6
2
0
12
8
4
ca
nt
id
ad
 d
e 
pe
rs
o
na
s
Pictogramas
Los pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos. Cada dibujo 
representa una determinada cantidad.
a. Solución a cargo del alumno. b. 90°.
 
154
8. Completen las oraciones teniendo en cuenta la relación entre los porcentajes, la fracción del total 
y el ángulo central del gráfico de torta.
a. El % se representa con la mitad de un círculo y su ángulo central es de °.
b. El % se representa con la cuarta parte de un círculo y su ángulo central es de °.
c. El % se representa con la octava parte de un círculo y su ángulo central es de °.
d. El % se representa con la décima parte de un círculo y su ángulo central es de °.
9. Pinten según corresponda. Luego, escriban el porcentaje.
a. 1 __ 4 b. 
1 __ 5 c. 
3 __ 4 d. 
3 __ 5 
 
 
% % % %
10. Representen en un gráfico circular. Pinten del mismo color cada sector y su referencia. 
Mariana distribuye las actividades del día viernes de la siguiente manera.
 8 horas para dormir. 
 6 horas pasa en la escuela. 
 2 horas para realizar la tarea. 
 2 horas para jugar con sus amigas. 
 1 hora y media para viajar. 
 1 hora y media para navegar por internet. 
 El resto lo utiliza en las distintas comidas. 
11. Resuelvan.
Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer la opinión de los especta-
dores. Las respuestas fueron las siguientes.
Opinión Excelente Muy buena Buena Regular Mala
Cantidad de personas 20 15 10 15 5
a. ¿De qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó?
b. Realicen el gráfico circular con los datos de la tabla.
43 GráficosACTIVIDADES
154
50 180
25 90
10 36
12,5 45
25 20 75 60
Cualitativa. A 65 personas.
excelente
mala
regular
buena
muy
buena
descanso
escuela
comida
internet
dentista
amigas
tarea
 
43 GráficosACTIVIDADES
155155
Nombre: Curso: Fecha: / /
12. Observen los gráficos y respondan.
Los gráficos muestran la cantidad de alumnos distribuidos por sexo en cada curso que hay en el 
último año.
CURSO A CURSO B CURSO C
sexom v
14
10
ca
nt
id
ad
 d
e 
al
um
no
s
sexom v
14
12
ca
nt
id
ad
 d
e 
al
um
no
s
sexom v
15
12
ca
nt
id
ad
 d
e 
al
um
no
s
a. ¿Cuántas mujeres hay en cada curso?
b. ¿En qué curso hay menor diferencia entre la cantidad de varones y de mujeres?
c. Entre los tres cursos, ¿cuántos varones hay? ¿Y en total cuántos alumnos hay?
13. Completen la tabla con los datos de sus compañeros de aula y realicen el gráfico de barras 
correspondiente.
Sexo
Cantidad de 
alumnos
Mujeres 
Varones 
 
14. Resuelvan.
a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.
Mascota
preferida
Cantidad de 
personas
Perro 30
Gato 24
Peces 8
Aves 10
 
 
b. ¿A cuántas personas se encuestó para obtener la información anterior?
Hay 10 en el A, 12 en el B y 15 en el C.
En el B es donde hay menos diferencia entre la cantidad de varones y mujeres.
Hay 38 varones. Hay 75 alumnos en total.
Se encuestó a 72 personas.
Solución a cargo del alumno.
ca
nt
id
ad
 d
e 
pe
rs
o
na
s
mascotaperro pecesgato aves
24
30
10
8
 
43 GráficosACTIVIDADES
156
15. Observen los siguientes pictogramas y respondan.
sala
El pictograma muestra la cantidad de libros que 
hay en cada una de las salas de una biblioteca.
a. ¿En qué sala hay mayor cantidad de libros? 
¿Cuántos hay?
b. ¿Cuántos libros hay en total entre todas 
las bibliotecas?
B C DA
 Representa 1 000 libros.
ca
nt
id
ad
 d
e 
li
br
o
s
16. Completen el gráfico y respondan.
La siguiente tabla muestra el total de habitantes 
de la Argentina registrados en los últimos cinco 
censos de problación.
Año 1970 1980 1991 2001 2010
Habitantes
(en millones)
23 28 33 37 41
a. ¿Cuántos millones de habitantes creció la 
población entre 1980 y 2010?
Habitantes (en millones)
añ
o
s
2001
2010
0 12 3216 3620 40 44
1991
19808 28
1970
4 24
 Representa 4 millones.
Fuente: INDEC, Censo de Población y Vivienda.
17. Observen los siguientes pictogramas y respondan.
Cantidad de días que permane-
cen en la Argentina
Brasil
Chile
Estados Unidos
y Canada
Resto de América
Europa
Resto del mundo
 Representa 5 días.
Fuente: INDEC, encuesta de turismo internacional 2010.
En el pictograma se observa la cantidad de días 
que permanecen en el país los turistas que visi-
tan la Argentina, según su lugar de procedencia.
a. A partir del pictograma, ¿se puede saber 
desde dónde provienen los turistas que se 
quedan la mayor cantidad de días?
b. ¿Se puede saber la cantidad de gente 
encuestada?
En la sala B hay 6 000 libros.
En total hay 18 000 libros.
13 millones de habitantes.
Europa.
No, ya que no se tiene ninguna referencia numérica.
 
18. Resuelvan.
En una editorial se realiza un control de calidad 
analizando uno de cada 100 libros impresos. Se 
los revisa y se decide si la impresión final es 
correcta o incorrecta.
a. El conjunto de libros utilizados para el 
control de calidad, ¿representa la muestra o 
la población?
b. La variable estudiada ¿es cualitativa o 
cuantitativa?
19. Lean los siguientes datos y resuelvan.
En 30 comercios minoristas se averiguó el total 
de paquetes vendidos de una marca de galleti-
tas. Los datos obtenidos fueron los siguientes.
6; 6; 4; 5; 9; 7; 6; 8; 3; 4; 5; 5; 7; 4; 9; 
8; 8; 5; 6; 9; 8; 9; 8; 7; 6; 6; 6; 7; 5; 3
a. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenla.
b. Realicen la tabla de frecuencias.
c. Representen en un gráfico la información 
obtenida.
20. Resuelvan.
La siguiente tabla muestra el estado civil de los 
empleados de una empresa.
Estado civil Mujer Varón Total
Casados 4 8 12
Divorciados 2 3 5
Solteros 4 6 10
Viudos 2 1 3
Total 12 18 30
a. ¿Qué variables están en estudio? 
Clasifíquenlas.
b. Realicen un gráfico circular donde figuren 
los porcentajes según el sexo de los emplea-
dos de la empresa.
c. Realicen un diagrama de barras que mues-
tre el estado civil de los empleados.
d. ¿Qué porcentaje de las mujeres son casadas?
21. Observen y respondan.
Las tablas muestran el deporte preferido en dos 
cursos distintos.
Curso A
Deporte preferido f
Básquet 10
Fútbol 15
Vóley 8
Natación 12
Curso B
Deporte preferido f
Básquet 8
Fútbol 10
Vóley 10
Natación 12
a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es?
b. ¿En qué curso es menor el porcentaje que 
prefiere natación? ¿Y básquet?
22. Resuelvan.
Se analizó la frecuencia con la que los usuarios 
de 50 automóviles cargan combustible durante 
un mes.
a. Completen la tabla con los datos faltantes.
Cantidad 
de cargas
f fr %
2 6
3 8
4 10
5 0,24
6 14
7 8
8 6
b. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenlas.
c. ¿Cuántos autos cargan al menos cinco 
veces al mes?
d. ¿Qué porcentaje carga como mínimo ocho 
veces al mes?
157
Integración
capítulo
840.41.42.43CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
a. Representa la muestra. b. Es cualitativa.
a. Deporte preferido. Cualitativa. b. Natación, en el 
curso A, es del 26,67%. Básquet, en el B, 20%.
b. Cantidad de cargas al mes. Cuantitativa. c. 33 d. 12%
a. Cantidad de paquetes vendidos. Cuantitativa. 
b. y c. solución a cargo del alumno.
a. El sexo y el estado civil. Las dos son cualitativas. 
b. y c. Solución a cargo del alumno. d. 33,33%
3
4
0,06
0,14
0,08
0,16
0,2
0,12
12 24
12
20
16
7
 
158158
23. Observen el gráfico y resuelvan.
El siguiente gráfico muestra la cantidad de 
publicaciones de viviendas (en venta) según la 
cantidad de ambientes, de una página de anun-
cios clasificados.
cantidad de ambientes 
1 2 3 4 5 6
ca
nt
id
ad
 d
e 
de
pa
rt
am
en
to
s
10
7
4
3
2
1
12
a. Realicen una tabla de frecuencias a partir 
de la información del gráfico.
b. ¿Cuántos departamentos se publicaron en 
total?
c. ¿Qué porcentaje de los departamentos es 
de tres ambientes?
d. ¿Qué porcentaje de los departamentos 
tiene como mínimo tres ambientes?
e. ¿Cuántos departamentos tienen como míni-
mo cuatro ambientes?
f. ¿Cuántos departamentos tienen como máxi-
mo dos ambientes?
24. Lean atentamente y resuelvan.
A un grupo de 24 personas se les preguntó qué 
juego de mesa preferían. La mitad contestó las 
cartas; la cuarta parte, el ajedrez; dos, el ludo y 
el resto, las damas.
a. Completen la tabla.
Juego Cantidad de personas
Ajedrez
Cartas
Damas
Ludo
b. ¿Cuál es el porcentaje de los que prefieren 
jugar al ajedrez? ¿Y a las damas?
25. Observen el pictograma y resuelvan.
Ana Pedro LuisJuan
ca
nt
id
ad
 d
e 
pá
ja
ro
s
a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es?
b. Completen la siguiente tabla.
Nombre Juan Ana Pedro Luis
%
c. Representen la situación en un gráfico cir-
cular, indicando el porcentaje que le corres-
ponde a cada uno.
d. Si cada pájaro del pictograma representa a 
tres, ¿cuántos pájaros tiene Juan?
e. Si entre todos tienen 72 pájaros, ¿cuánto 
representa un pájaro dibujado?
26. Tengan en cuenta la información y resuelvan.
En la siguiente tabla se registró por edad un 
grupo de personas de un club.
1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40
Esteban
Julieta
Belén
Mía
Matías
María
Rocío
Micaela
Daniel
Javier
Pamela
Valeria
Juan
Ana
Rodrigo
José
Hernán
Carolina
Germán
Carlos
Graciela
Roberto
Anabella
Silvana
a. Realicen una tabla de frecuencias para 
hombres y otra para mujeres.
b. La suma total de los porcentajes en las 
tablas anteriores ¿es igual al 100%? Expliquen 
la respuesta.
c. Realicen un gráfico circular para cada tabla.
158
b. 29. c. 13,8%. d. 34,5% e. 6. f. 19.
25%; 16,67%
b. En el primero, sí. En el segundo, no, ya que se 
van aproximando los resultados; es 99%.
c. Solución a cargo del alumno.
a. Cantidad de pájaros que tiene cada uno, es 
cuantitativa. d. 15 pájaros. e. 4,5 pájaros.
6
12
4
2
31,25 12,5 37,5 18,75
 
Promedio, mediana y moda
Nombre: Curso: Fecha: / /
159
43 46 47 48 504944 45
Promedio
El promedio, también llamado media aritmética (se escribe x ), es el resultado de dividir la suma 
de todos los valores de la variable por la cantidad de valores que forman la muestra.
Se registraron las ventas diarias de gaseosas de 600 ml en determinado quiosco, durante 
una semana y se obtuvieron los siguientes datos: 20, 16, 17, 23, 20, 26, 25.
x = 16 + 17 + 20 + 20 + 23 + 25 + 26 ______________________________ 7 = 
16 + 17 + 2 . 20 + 23 + 25 + 26 ____________________________ 7 = 21
Moda
La moda (se escribe mo ) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, la que tiene 
mayor frecuencia.
En el ejemplo anterior, mo = 20.
Mediana
La mediana (se escribe me ) es el valor de la variable que está ubi-
cado en el lugar central luego de ordenar todos los datos de menor a 
mayor. La mediana divide la muestra de tal forma que deja igual can-
tidad de datos a su izquierda que a su derecha.
Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana 
es igual al promedio de los dos valores centrales.
Si se ordenan las cantidades de gaseosas vendidas, 
se obtiene lo siguiente.
mediana
16; 17; 20; 20; 23; 25; 26
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si la variable es cualitativa, ¿se pueden calcular las tres medidas anteriores?
b. La moda, ¿es el mayor valor que alcanza la variable?
c. ¿Cuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos?
d. El promedio, ¿siempre es representativo de los datos?
test de comprensión
infoactiva
a. Solo la moda, ya que no se puede calcular el promedio y tampoco se pueden ordenar de menor a 
mayor para calcular la mediana. b. No es el valor que mayor frecuencia tiene, o sea, la que más se repite. 
c. La mediana. d. No siempre, puede haber un valor muy diferente al resto que haga variar el promedio.
 
44 Promedio, mediana y modaACTIVIDADES
160
27. Calculen el promedio, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes grupos de datos.
a. 36; 38; 40; 40; 38; 38; 38; 42; 38; 36; 42; 36; 36; 38.
x = me = mo = 
b. 28; 30; 28; 28; 28; 28; 29; 35; 29; 30.
x =me = mo = 
c. 32; 29; 42; 34; 34; 40; 28.
x = me = mo = 
d. 25; 40; 56; 14; 74; 12; 120; 12; 22; 44; 77; 100; 16; 80; 11; 32; 17; 5.
x = me = mo = 
28. Calculen el promedio, la mediana y la moda.
Al lanzar un dado 30 veces los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes.
Número 1 2 3 4 5 6
f 8 4 3 5 7 3
x = me = mo = 
29. Completen los datos para que se verifiquen los resultados.
a. 15; 16; 17; 16; ; c. 15; 16; 17; 16; ; 
me = 16 mo = 16 me = 16,5 mo = 17
b. 15; 16; 17; 16; ; d. 15; 16; 17; 16; ; 
me = 16,5 mo = 16 me = 15,5 mo = 16
 
30. Resuelvan.
 Juliana, Pablo y Ana han recibido las notas de sus dos primeras evaluaciones. ana obtuvo 7 y 6, 
Pablo 8 y 5 y Ana, 9 y 6. 
a. Si Juliana quiere tener un promedio de 8 y todavía debe rendir dos evaluaciones más, ¿qué 
notas tendría que obtener para alcanzar el promedio deseado? 
b. A Pablo le falta rendir una sola evaluación, ¿puede alcanzar un promedio de 9 con las notas 
que ya tiene?
c. Si Ana rinde dos evaluaciones más y obtiene un promedio de 7, ¿cuáles son las notas que obtuvo?
Juli
38,29 38 38
29,3 28,5 28
34,14 34 34
42,1
3,27
30
3,5
12
1
En a. y b. las soluciones no son únicas.
Tiene que sumar entre las dos pruebas que faltan 19 puntos.
No, porque para alcanzar un promedio de 9 debería obtener 14 puntos en la evaluación que le falta.
Hay varias posibilidades: 10 y 5; 9 y 6; 8 y 7.
16 17
18 16
16 17
19 13
 
Experimentos aleatorios. Probabilidad simple
Nombre: Curso: Fecha: / /
161
44 47 48 49 5045 46
Experimentos aleatorios
Existen situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo de situa-
ciones, que dependen del azar, se las llama experimentos aleatorios.
Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un 
experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se denomina suceso.
Experimento: tirar un dado y observar el resultado.
Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por ejemplo, 
diagramas de árbol y tablas.
En una bolsa se colocaron fichas con números de tres cifras distintas formados por los dígi-
tos 1, 2, 3. ¿Cuál es el espacio muestral?
El espacio muestral está formado 
por los números: 123, 132, 231, 
213, 321, 312.
1
3 2
2 3
2
1 3
3 1
3
1 2
2 1
Probabilidad simple
En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número 
puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre el 0 y el 1.
Probabilidad de un suceso (P) = número de casos favorables _________________________ número de casos posibles 
Se tira un dado: 
• Todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir.
• Es más probable que salga un número par que un divisor de 3.
• Es seguro que salga un número natural menor que 7.
• Es imposible, por ejemplo, que salga el número 10.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Elegir qué remera usar, ¿es un experimento aleatorio?
b. ¿Puede el resultado de una probabilidad ser 3?
c. ¿En qué caso la probabilidad es igual a 0?
test de comprensión
infoactiva
a. No, porque no depende del azar. b. No, el valor máximo de la probabilidad es 1, nunca puede haber 
más casos favorables que casos totales. c. Cuando no hay posibilidad que el suceso ocurra. 
 
45 Experimentos aleatorios. Probabilidad simpleACTIVIDADES
162
31. Marquen con una X los sucesos que son aleatorios.
a. El número que saldrá al tirar un dado. c. Que llueva dentro de dos días. 
b. Próximo partido de un campeonato. d. Ganar la lotería. 
32. Escriban el espacio muestral en cada caso.
a. Se tira un dado.
b. Se tiran dos dados y se suman los puntos.
c. Se lanzan dos monedas.
d. Se lanza una moneda dos veces.
33. Lean atentamente y calculen la probabilidad en cada caso.
En la ruleta, los números van del 0 al 36 inclusive (el cero está pintado de color verde y del resto 
de los números, la mitad son rojos y la mitad, negros). Calculen la probabilidad de que al arrojar 
una bola resulte alguno de los siguientes casos.
a. Un número par. 
 
d. Un múltiplo de 5. 
b. Un número de color rojo. 
 
e. Un número mayor que 40. 
c. Un número menor que 22. 
 
f. Un número menor o igual que 36. 
34. Respondan.
En la escuela están organizando un festival para recaudar fondos para una excursión. Los chicos 
prepararon un puesto de tiro al blanco con dos discos y los siguientes premios.
Azul Oso peluche
Rojo Pelota
Verde Globo
DISCO A DISCO B
a. ¿Con cuál de los dos discos se tiene más posibilidades de ganar un oso de peluche?
b. En el disco A, ¿cuál es la probabilidad de acertar en el color rojo?
c. ¿En cuál de los dos discos es mayor la probabilidad de acertar en el color verde?
X X
X
1; 2; 3; 4; 5; 6.
Con el disco B, la probabilidad de azul es 1 __ 2 .
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9; 10; 11; 12.
 1 __ 3 
cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca.
En el A.
cara-cara; cara-ceca; ceca-cara; ceca-ceca.
19
37
22
37
37
37
18
37
0
37
8
37
 
Cálculo combinatorio
Nombre: Curso: Fecha: / /
163
45 48 49 5046 47
El cálculo combinatorio permite conocer la cantidad de grupos que se pueden formar con determi-
nados elementos, de acuerdo con una serie de condiciones, sin necesidad de enumerarlos uno por uno.
Pablo, Guillermo, Verónica y Lidia compraron entradas para ir al teatro y deben decidir cómo 
ubicarse. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?
La primera ubicación tiene 4 posibilidades; la segunda posición, 3; la tercera, 2, y la cuarta, 1.
4 . 3 . 2 . 1 = 24. Tienen 24 maneras distintas de ubicarse en los asientos.
Si se quieren formar grupos con determinadas condiciones a partir de 
otro con mayor cantidad de elementos, también se puede utilizar el 
cálculo combinatorio.
En el ejemplo anterior, si pierden dos entradas y deben decidir 
quiénes van al teatro y cómo se ubican, ¿de cuántas maneras 
distintas pueden hacerlo?
En este caso, la primera ubicación sigue teniendo 4 posibilidades y la 
segunda, 3. Y no quedan más lugares.
Por lo tanto, 4 . 3 = 12. Tienen 12 maneras distintas de decidir quié-
nes van y en qué asientos se ubican.
Hay casos donde se deben combinar elementos de distintos grupos.
Marcos va a ir al cine y debe elegir qué ropa ponerse. No se decide 
si llevar remera roja, blanca o negra; si ponerse jeans negros o azu-
les y si llevar sus zapatillas preferidas o los zapatos nuevos. 
¿Cuántas posibilidades tiene para vestirse?
Tiene 3 posibles remeras, 2 jeans y 2 pares de zapatillas. 
Por lo tanto, 3 . 2 . 2 = 12.
Tiene 12 posibilidades distintas para vestirse.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué ventaja tiene el cálculo combinatorio respecto de los diagramas de árbol?
b. Si además de saber cuántos números se pueden formar con distintas cifras, se quiere 
saber cuáles son los números, ¿qué estrategia de resolución se debe utilizar?
c. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?
test de comprensión
infoactiva
a. Si los datos del problema generan demasiadas soluciones, es más rápido realizar el cálculo. b. Para 
saber cuáles son los números, se puede realizar un diagrama de árbol. c. 9 . 8 = 72. Se pueden formar 
72 números diferentes.
 
164
46 Cálculo combinatorioACTIVIDADES
164
Para confeccionar un examen se dispone de 4 problemas de geometría, 3 de aritmética y 2 de 
ingenio. Si los ejercicios que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecuti-
va, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse los problemas?
menteACTIVA
35. Lean y resuelvan.
Laura está organizando sus vacaciones y tiene que elegir entre el campo, el mar o la montaña 
como destino. Para viajar tiene que elegir entre auto, micro o tren y para alojarse, entre el hotel o 
la casa de una amiga.
a. ¿De cuántas maneras distintas puede combinar las opciones para poder organizar sus vacaciones?
b. Si decide viajar en auto, ¿cuántas opciones tiene paraelegir?
c. Si su amiga no puede prestarle la casa, ¿cuántas opciones tiene?
36. Respondan.
Con los dígitos 2, 3, 5, 6 y 7 se desean formar números de tres cifras distintas.
a. ¿Cuántos números se pueden formar? ¿Cuántos de ellos son pares?
b. ¿Cuántos son múltiplos de 5 y cuántos son mayores que 500?
37. Resuelvan.
Se está realizando una selección para poner en escena la obra “Romeo y Julieta”. Se presentaron 
7 actores y 4 actrices. ¿De cuántas maneras pueden elegirse a los integrantes de la pareja protagónica?
38. Respondan.
El papá de Matías, Daniela y Marilina quiere regalarles a sus hijos un libro a cada uno. Tiene para 
elegir entre 3 libros de poesías, 4 novelas y 5 cuentos.
a. Si a cada uno le puede tocar un libro cualquiera, ¿de cuántas maneras puede realizar la compra?
b. Si a Matías solo le gustan los libros de novelas, ¿de cuántas maneras puede comprar?
c. Si quiere comprar un libro de cada clase, ¿de cuántas maneras puede realizar la compra?
3 . 3 . 2 = 18 maneras.
3 . 1 . 2 = 6 maneras.
3 . 3 . 1 = 9 maneras.
Se pueden formar 5 . 4 . 3 = 60 números. Números pares hay 3 . 4 . 2 = 24.
3 . 4 . 1 = 12 números y 3 . 4 . 3 = 36 números.
De 28 maneras distintas.
12 . 11 . 10 = 1 320 maneras distintas.
4 . 11 . 10 = 440 maneras distintas.
3 . 4 . 5 = 60 maneras distintas.
De 6 maneras distintas combinando los temas. De 24 formas distintas de organizar los de geometría. 
De 6 formas distintas de organizar los de aritmética. De 2 maneras de colocar los de ingenio. 
Total: 6 . 24 . 6 . 2 = 1 728 exámenes distintos.
 
165
39. Respondan.
En la siguiente lista se muestra el peso de un 
grupo de 12 amigos.
45 kg; 50 kg; 51 kg; 47 kg; 55 kg; 60 kg;
55 kg; 53 kg; 48 kg; 50 kg; 46 kg; 50 kg
a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es?
b. Calculen el promedio, la mediana y la 
moda.
40. Resuelvan.
La siguiente tabla muestra la edad de un grupo 
de chicos que integran el equipo de fútbol.
a. Completen la tabla.
Edad f fr %
12 9
13 6
14 9
b. ¿Cuántos chicos conforman el equipo de 
fútbol?
c. Calculen el promedio, la mediana y la 
moda de las edades del equipo.
d. Realicen un pictograma que muestre la 
situación presentada.
41. Calculen el promedio, la mediana y la 
moda en cada caso.
a. 3; 4; 9; 12; 4; 7; 8; 6; 1; 4.
b. 8; 15; 7; 9; 10; 6; 5; 5; 3.
c. 2; 7; 8; 10; 10; 12; 4; 3.
42. Resuelvan.
Dado el siguiente conjunto de datos.
4; 5; 6; 7; 8; 9; 8; 8; 9; 10; 12;
11; 10; 10; 11; 8; 7; 5; 9; 8; 8; 8
a. Calculen el promedio, la moda y la mediana.
b. Si a los datos anteriores se agrega el 654, 
¿qué ocurre con las medidas? ¿Cambian? 
Expliquen sus respuestas.
c. En determinadas situaciones, ¿son repre-
sentativas todas las medidas estadísticas? 
¿Por qué?
43. Marquen con una X la opción correcta.
Se lanzó un dado 50 veces, con los siguientes 
resultados.
número 1 2 3 4 5 6
f 8 7 12 10 8 5
a. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspon-
diente a la cara 4?
 1,6% 10 10% 
b. ¿Cuál es el porcentaje correspondiente a la 
cara 1?
0,16% 1,6% 16% 
c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 3?
 0,24 2,4 24% 
44. Respondan.
La siguiente tabla muestra la cantidad de 
amonestados que hubo en la última fecha del 
campeonato de fútbol.
a. Completen la tabla.
Equipos f fr %
Racing 6
Independiente 4
Boca 6
River 0
San Lorenzo 7
Vélez 2
Rosario Central 3
Total 28
b. ¿Cuál fue el porcentaje de amonestados 
que tuvo Boca?
c. ¿Cuál es la frecuencia relativa de amonesta-
dos que tuvo San Lorenzo?
d. ¿Cuántos amonestados tuvo Independiente?
e. Realicen un gráfico de barras con las fre-
cuencias absolutas.
165
Integración
capítulo
844.45.46CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
a. Es el peso de cada uno y es una variable cuan-
titativa. b. x = 50,83 kg; me = 50 kg; mo = 50 kg.
b. 24. c. x = 13 años. Es bimodal = 12 años y 14 
años. me = 13 años. d. Solución a cargo del alumno.
a. x = 5,8; me = 5; mo = 4. b. x = 7,5 ; me = 7; 
mo = 5. c. x = 7; me = 7,5 ; mo = 10
a. x = 8,23; me = 8; mo = 8. b. La moda se man-
tiene, la mediana también, pero el promedio 
queda 36,30. c. No, se debe analizar la situación 
para determinar cuál de los parámetros es más 
representativo.
0,375 37,5
0,25 25
0,375 37,5
X
X
X
0,21 21
0,14 14
0,21 21
0 0
0,25 25
0,07 7
0,10 10
0,98 98
b. 21%. c. 0,25. d. 4. e. Solución a cargo del alumno.
 
45. Resuelvan.
Los siguientes valores corresponden a las pre-
cipitaciones registradas (en mm) mensualmente 
en una ciudad del interior del país.
 40 36 24 43 56 78
 78 78 44 78 40 40
a. Calculen el promedio, la mediana y la moda.
b. Realicen un pictograma que muestre los 
registros.
46. Escriban tres experimentos aleatorios y 
determinen sus espacios muestrales.
47. Resuelvan.
Se tiene un mazo de cartas españolas (50 car-
tas) y se toma una. Calculen la probabilidad en 
cada uno de los siguientes casos.
a. Sea de oros.
b. No sea de espadas.
c. Sea impar.
d. Sea un comodín.
e. Sea un número menor que siete.
f. Sea un múltiplo de tres.
48. Resuelvan.
Una urna contiene siete bolillas rojas, cuatro 
blancas y nueve negras. Calculen las siguientes 
probabilidades al extraer una bolilla al azar.
a. Que sea roja.
b. Que sea blanca o negra.
c. Que no sea negra.
d. Que sea de cualquier color.
49. Calculen la probabilidad en cada caso.
Antonella y sus dos hermanas compraron una 
docena de facturas: tres medialunas de grasa, 
tres churros, cuatro medialunas de manteca y 
dos vigilantes.
a. Si Antonella decide comer tres facturas, 
¿cuántas posibilidades tiene para combinar 
las facturas?
b. Si eligen al azar una factura, ¿cuál es la 
probabilidad de comer un vigilante? ¿Y de 
comer una medialuna de manteca? ¿Y una de 
grasa?
50. Respondan.
Con los dígitos 3, 4 y 2 se forman todos los núme-
ros de tres cifras posibles para realizar un sorteo.
a. ¿Cuántos números conforman el espacio 
muestral?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 
múltiplo de 4?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 
número impar?
51. Resuelvan los siguientes problemas.
a. Con las cifras 5, 6, 7 y 8, ¿cuántos núme-
ros de dos cifras distintas se pueden formar? 
¿Y de cuatro?
b. En una camioneta entran ocho personas. Si 
todos saben manejar, ¿de cuántas formas se 
pueden ubicar? 
c. Una persona tiene cuatro remeras, tres 
pantalones, dos camperas y tres pares de 
zapatos. Si quiere vestirse con una prenda de 
cada tipo, ¿cuántas combinaciones distintas 
puede realizar? 
52. Resuelvan.
a. Para crear la bandera que represente al 
colegio de Ana se deben utilizar los colores 
rojo, verde, azul y amarillo. Si la bandera 
tiene que ser con rayas horizontales, ¿de 
cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 
los colores?
b. Eliana posee cuatro collares, cinco pulseras 
y cuatro anillos. Si desea ponerse un acceso-
rio de cada tipo, ¿cuántas combinaciones dis-
tintas puede realizar?
c. Nicolás tiene que rendir un examen oral en 
el que debe explicar tres de los siete temas 
que se vieron durante el año. ¿De cuántas 
maneras puede organizar su exposición?
d. En un restaurante el plato del día se 
puede armar combinando cada una de las 
siguientes opciones: una porción de carne o 
una de pollo; como acompañamiento, se 
puede elegir entre papas fritas, puré o ensa-
lada y como postre, helado, flan o ensalada 
de frutas. ¿De cuántas maneras se puede 
armar el plato del día?
166
a. 
_
 x = 52,92 mm; me = 43,5 mm; mo = 78 mm. 
b. Solución a cargo del alumno. 
a. 12 ___ 50 . b. 
38 ___ 50 . c. 
24 ___ 50 . d. 
2 ___ 50 . e. 
24 ___ 50 . f. 
16 ___ 50 . 
a. 7 ___ 20 . b. 
13 ___ 20 . c. 
11 ___ 20 . d. 
20 ___ 20 .
a. 12 . 11 . 10 = 1 320. b. 2 ___ 12 ; 
4 ___ 12 ; 
3 ___ 12 . 
Solución a cargo del alumno.
a. 27. b. 1 __ 3 . c. 
1 __ 3 . 
a. 12 y 24. b. 40 320. c. 72. 
a. 24. b. 80. c. 210. d. 12. 
 
Autoevaluación 8
53. Resuelvan.
En la siguiente tabla se observa la cantidad de materias que deben recuperar los alumnos de una 
escuela en el mes de diciembre.
a. Completenla tabla.
Cantidad de materias 0 1 2 3 4 5 6 7 Total
Cantidad de alumnos 170 30 45 35 10 15 10 5
fr
%
b. ¿Cuál es la variable? ¿Es cualitativa o cuantitativa?
c. Los datos obtenidos, ¿corresponden a la población o a una muestra? ¿Por qué?
d. Realicen en una hoja el gráfico de barras que muestra la situación.
e. Calculen el promedio, la mediana y la moda.
f. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que tiene que recuperar entre una y tres materias inclusive?
54. Resuelvan.
Se tira dos veces un dado.
a. Escriban todos los pares que se pueden obtener.
b. Calculen la probabilidad de que la suma sea 7.
55. Respondan.
En una escuela se deben cubrir los puestos de rector, director y vicedirector. Si hay diez candida-
tos, ¿de cuántas formas se pueden cubrir los cargos?
167
capítulo
La cantidad de materias; es cuantitativa.
Los datos corresponden a la población porque se tienen en cuenta todos los alumnos de la escuela.
x = 1,36; me = 0; mo = 0
 Solución a cargo del alumno.
34%
(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6), 
(4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6).
P = 1 __ 6 
720
0,53 0,09
53 9
0,14 0,11
14 11
0,03 0,05
3 5
0,03 0,02 1
320
3 2 100
 
Números enteros
Contenidos
47. Números negativos. Orden 
y representación.
48. Adición y sustracción.
49. Multiplicación y división.
50. Operaciones combinadas.
9
Situación inicial de aprendizaje
1. Observen la imagen y resuelvan.
a. Inventen un enunciado con los datos que se necesitan para responder a las siguientes pregun-
tas. Luego respóndanlas.
• Si se utilizaron 20 metros de soga, ¿a qué profundidad se encuentra el gancho?
• ¿Cuántos metros de soga son necesarios para alcanzar el cofre desde el barco?
• ¿Cuántos metros debe descender aún el buzo para enganchar el cofre?
b. Comparen el enunciado que inventaron con el de sus compañeros. ¿Son iguales? ¿Tienen las 
mismas respuestas?
capítulo
a. Por ejemplo, “Se quiere sacar un cofre que está en el fondo del mar desde un barco. El barco lanza 
una soga desde 4 metros de altura y el cofre está a una profundidad de 36 metros.
El buzo está a 10 metros de profundidad y debe ayudar a enganchar el cofre”.
Respuestas: Se encuentra a 16 metros de profundidad. Son necesarios 40 metros de soga. El buzo 
debe descender 26 metros.
 
169
Números negativos. Orden y representación
test de comprensión
169
49 5047 4846
infoactiva
Nombre: Curso: Fecha: / /
Números negativos
Los números naturales también se denominan enteros positivos.
Los números negativos son aquellos que tienen adelante un signo menos. Estos números suelen 
utilizarse, por ejemplo, para escribir las temperaturas bajo cero, indicar los subsuelos de un edificio, 
las pérdidas de dinero, las fechas ocurridas antes del nacimiento de Cristo, etc.
+3 = 3 Es un entero positivo. –3 Es un entero negativo.
Los enteros negativos, el cero y los enteros positivos forman el conjunto de los números enteros.
...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3... Los puntos suspensivos indican que existen infinitos negativos y positivos.
Orden y representación 
Para representar números enteros en la recta numérica, pueden seguir estos pasos:
1. Se ubica el cero y se determina una distancia 
entre dos enteros consecutivos.
2. Se representan los negativos a la izquierda 
del cero y los positivos a la derecha. 
–3–4 0 1–2 3–1 42
A partir de la representación en la recta, se puede decir que un número es mayor que otro que 
se encuentra a su izquierda.
–5 es mayor que –6.
Módulo o valor absoluto
Se llama módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre ese núme-
ro y el cero.
|–2| = 2 Se lee “valor absoluto de –2 es igual a 2”.
|2| = 2 Se lee “valor absoluto de 2 es igual a 2”. 
–3 0 1–2 3–1 2
Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.
2 y –2 son opuestos. –(–2) = 2 Se lee “el opuesto de –2 es igual a 2”.
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El cero ¿es positivo? ¿Y negativo?
b. ¿Es cierto que el valor absoluto de un número entero siempre es positivo? 
c. Dos números distintos ¿pueden tener el mismo módulo?
a. El cero no es un número positivo ni negativo. b. No. |0| = 0. c. Sí, dos números opuestos tienen el 
mismo módulo.
 
170
 
47 Números negativos. Orden y representaciónACTIVIDADES
170
1. Indiquen el número entero que corresponde a cada situación.
a. Se realiza un descuento de $20 en la primera compra con tarjeta de crédito. 
b. Se acreditan $15 al saldo telefónico por una promoción. 
c. La playa de estacionamiento se encuentra en el tercer subsuelo. 
d. María Angélica tiene una deuda de $300. 
e. En el nordeste de Francia la temperatura llegó a los 15 grados bajo cero. 
f. La empresa disminuyó las ventas en un promedio de 5 000 unidades por mes. 
2. Escriban una situación que represente el número entero indicado.
Número entero Situación
–5
12
–3
–9
5
8
3. Completen con <, > o =.
a. –3 4 c. –5 –2 e. |–4| |–5| g. |+3| |–3|
b. –9 |–9| d. –34 –1 952 f. –2 –4 h. |37| –37
4. Representen en la recta numérica cada número y su opuesto con un mismo color.
–5; 4; –9; 6; –2; 8
0 1
5. Observen y resuelvan teniendo en cuenta que a, b y c representan números enteros.
0 ab c
a. Indiquen el signo de cada uno de los números que representan las letras y expliquen por qué.
b. Teniendo en cuenta el ítem anterior, ¿qué signos tendrán –a, –b y –c?
c. ¿Cuál es el opuesto de b?
–20
15
–3
–300
–15
–5 000
5 años antes de Cristo.
3 grados bajo cero de temperatura.
Abigail tiene 5 años.
El edificio tiene 12 pisos.
9 m bajo nivel del mar.
Juan se compró 8 caramelos.
< < < =
< > > >
2–8 –6 5–4 –2 9
Como representan sus opuestos, b es positivo y a y c son negativos.
b representa un número negativo porque está a la izquierda del cero. a y c representan números positi-
vos porque están a la derecha del cero.
–b
 
171
Para resolver sumas y restas de números enteros, se deben tener en cuenta estos casos.
• Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el resultado 
lleva el mismo signo que los sumandos.
En una ciudad, a las 7 de la mañana se registraron 3 grados bajo cero. Una hora después, la 
temperatura bajó un grado. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 8 de la mañana?
–3 – 1 = –4 La temperatura fue de –4 ºC.
• Si los números enteros tienen signos distintos, se restan sus valores absolutos y el resultado 
lleva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto.
Si dos horas después, la temperatura subió 5 grados, ¿a cuánto aumentó la temperatura?
–4 + 5 = 1 La temperatura aumentó a 1 ºC.
Si en el cálculo aparecen paréntesis, se los debe eliminar aplicando estas reglas.
• Si el signo que lo precede es “+”, el signo del número 
encerrado entre los paréntesis no cambia.
–15 + (+12) = –15 + 12 = –3
– 9 + (–4) = –9 – 4 = –13
• Si el signo que lo precede es “–”, el signo del 
número encerrado entre los paréntesis cambia.
3 – (–20) = 3 + 20 = 23
5 – (+16) = 5 – 16 = –11
5048 4947
 
Adición y sustracción
Nombre: Curso: Fecha: / /
171
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La suma de dos números negativos, ¿da como resultado un número negativo?
b. La suma de dos números enteros, uno positivo y el otro negativo, ¿da como resultado un 
número negativo?
c. ¿Cómo se puede escribir una resta de números negativos como una suma?
d. ¿Es cierto que la suma de dos números opuestos es 1?
test de comprensión
infoactiva
a. Sí. b. No siempre, porque depende del signo que tenga el sumando de mayor valor absoluto. c. Restar 
dos números enteros es equivalente a sumarle al primero el opuesto del segundo. d. No, no es cierto, es 0.
 
48 Adición y sustracciónACTIVIDADES
172
En la calculadora de Malena no funciona elsigno “+” y necesita verificar si resolvió correcta-
mente la suma 340 + 520.
a. ¿Qué operación pueden hacer? 
b. ¿Cuál es el resultado? 
menteACTIVA
6. Resuelvan las siguientes sumas.
a. 3 + (–4) = = f. 3 – (+5) = = 
b. –2 + (–3) = = g. –2 – (–2) = = 
c. –5 + (+3) = = h. –3 – (–5) = = 
d. –2 + (+9) = = i. –4 – (+3) = = 
e. 3 + (–3) = = j. –9 – (–3) = = 
7. Completen con el número que verifica la igualdad.
a. + (–2) = 1 c. + (+5) = 3 e. 4 + ( ) = –6
b. –5 + (–3) = d. –3 + ( ) = –9 f. + (+12) = 0
8. Lean atentamente y respondan.
Jazmín tiene una deuda bancaria de $300. Si quiere saldar la deuda, ¿cuánto dinero tiene que de-
positar? ¿Cuál es la operación que representa esta situación?
9. Escriban en lenguaje simbólico y calculen cuál es el número.
a. La diferencia entre un número y –5 es igual a 2.
b. La diferencia entre un número y –9 es igual a 10.
c. La diferencia entre un número y 3 es igual a 0.
10. Completen la tabla.
a b a + b b – a b – (–b + a) a + (a – b) –b – a
–3 –2
–1 5
–5 5
–2 1
–1 –2
–5 0
–2 2
7 –7
0 –6
3 –2 –10
–8 –6 –12
Tiene que depositar $300. –300 + 300
x – (–5) = 2; x = –3 
x – (–9) = 10; x = 1
x – 3 = 0; x = 3
a. 340 – (–520). b. 860
3
4
0
3
–5 1 –1 –4 5
–5 5 5 –10
–5 –7 8 –1
9 –6 –3
 
Multiplicación y división
Nombre: Curso: Fecha: / /
173
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que (–3) . (–3) es igual a 6?
b. El producto de un número positivo por un número negativo ¿es un número positivo?
c. El cociente de dos números negativos ¿es un número positivo?
d. ¿La regla de los signos para el producto es la misma que para el cociente?
e. ¿A qué es igual el cociente entre un número y su opuesto?
infoactiva
Para multiplicar o dividir números enteros, se deben tener en cuenta estos casos.
• El producto entre dos números de igual 
signo es un número positivo.
4 . 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8
–(–3) = (–1) . (–3) = 3
 
• Si se dividen dos números de igual 
signo, el resultado es positivo.
10 : 5 = 2 porque 2 . 5 = 10
(–10) : (–5) = 2 porque 2 . (–5) = –10
• El producto entre dos números de dis-
tinto signo es un número negativo.
4 . (–2) = –2 – 2 – 2 – 2 = –8
(–4) . 2 = –4 – 4 = –8
• Si se dividen dos números de distinto 
signo, el resultado es negativo.
10 : (–5) = –2 porque (–2) . (–5) = 10
(–10) : 5 = –2 porque (–2) . 5 = –10
Para saber el signo de una división o multiplicación de 
números enteros, se puede utilizar la regla de los signos.
• Si los signos de los dos números son iguales, el resultado 
es positivo.
+ . + = + – . – = + + : + = + – : – = +
• Si los signos de los dos números son distintos, el resulta-
do es negativo.
+ . – = – – . + = – + : – = – – : + = –
El resultado de 864 . (–216) y de (–864) : 216 es negativo. 
El resultado de 864 . 216 y de (–864) : (–216) es positivo.
49 5048
test de comprensión
a. No es cierto, porque primero se multiplica el valor absoluto de los números y luego se aplica la 
regla de los signos. b. No, es negativo. c. Sí. d. Sí. e. –1.
 
49 Multiplicación y divisiónACTIVIDADES
174
¿Qué signo tiene el resultado de cada cálculo?
a. (–5) . (–15) . (–25) . (–45) : (–5) : (–15) . (–115) . (–115) : (–5)
b. (–8) . (–8) . (–64) : (–8) . (–4) . (–128) : (–16) : (–1)
c. (–240) . (–344) . 0 . (–441) : (–3) . 504 : (–4) . (–115) : (–80)
menteACTIVA
11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
a. 3 . (–2) = d. –2 . 3 = g. –2 . 3 . (–2) = 
b. 7 . 0 = e. 125 . (–2) . 0 = h. –3 . (–2) . (–1) = 
c. (–12) . (–2) = f. –2 . (–5) . (–4) = i. –2 . (–4) . 10 = 
12. Completen la tabla.
a b –a –b a . b a . (–b) –a . (–b)
–2 3
5 –3
7 0
–1 –4
–2 4
13. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. 12 : (–2) = c. –34 : (–2) = e. –60 : 12 = 
b. –18 : (–3) = d. –125 : 25 = f. –100 : (–2) = 
14. Completen con el número entero que falta para que se cumplan las siguientes igualdades.
a. 3 . = –6 d. . (–3) = 42 g. –125 : = –25
b. . (–5) = 100 e. 15 . = –45 h. : (–6) = 0
c. –7 . = –210 f. : (–43) = 1 i. –15 : = 3
15. Lean atentamente y respondan.
Romina le pidió a su papá $600 prestados.
a. ¿Cuál es el número entero que representa la deuda que tiene Romina con su padre?
b. Si en el mes de septiembre le devuelve un tercio del dinero, ¿cuál es la operación que debe 
realizar para calcular cuánto le tiene que dar a su papá?
c. ¿Cuál es el número que representa la cantidad que aún le falta pagar?
–6 –6 12
0 0 –6
24 –40 80
6–6–32
–70
3
–6
00 0
–44
–422–2
41 4
4
–1515–5 15
–6 17 –5
6 –5 50
(–2) –14 5
–20 (–3) 0
30 –43 (–5)
–600
–600 : 3
–400
a. Negativo. b. Positivo. c. El resultado es 0, por lo tanto, no es negativo ni positivo.
 
Operaciones combinadas
Nombre: Curso: Fecha: / /
175
Para resolver un cálculo combinando las cuatro operaciones con números enteros, se deben 
seguir los mismos pasos que con los números naturales.
 
–42 . 6 : 4 + 4 + 5 . (–3) – (–16)= 1. Se separa en términos.
–252 : 4 + 4 + (–15) – (–16) = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, 
–63 + 4 + (–15) – (–16) = aplicando la regla de los signos. 
–63 + 4 – 15 + 16 = 3. Se suprimen los paréntesis.
(4 + 16) – (63 + 15) = 4. Se resuelven las sumas y restas. 
20 – 78 = –58 
Para resolver un cálculo combinado donde hay paréntesis, primero se separa en términos. Luego 
se resuelven las operaciones que ellos encierran.
(–17 – 41) . (–2) + 96 : (–32) – 100 = 1. Se separa en términos y se resuelven las 
(–58) . (–2) + 96 : (–32) – 100 = operaciones que se encuentran entre paréntesis. 
116 + (–3) – 100 = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
116 – 3 – 100 = 3. Se suprimen los paréntesis.
116 – (3 + 100) = 4. Se resuelven las sumas y restas.
116 – 103 = 13 
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que –1 + 1 . 2 = 0?
b. En un cálculo combinado, ¿se pueden resolver primero las sumas y las restas y luego las 
multiplicaciones y divisiones?
c. ¿Qué significa el signo menos delante de un paréntesis?
test de comprensión
infoactiva
En la página 173, 
pueden repasar la 
regla de los 
signos.
 
5049
a. No, es igual a 1. b. No, hay que separar en términos y resolver cada uno de ellos. c. El signo menos 
delante del paréntesis representa el número opuesto al que está entre paréntesis.
 
176
50 Operaciones combinadasACTIVIDADES
176
16. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado.
a. 3 – 5 . (–2) + 8 = • –25
b. –23 . (–2) + 23 – 12 : (–6) = • 71
c. 45 – 45 : (–9) + 8 – 7 . (–3) = • –55
d. 19 : (–19) + 15 . 0 – 18 . 3 = • 21
e. 15 + 16 : (–4) + 12 . (–3) = • 79
17. Observen cómo resolvieron Martín y Laura los cálculos y respondan.
Martín 
2 – 5 . ( –2) + 4 = 
–3 . ( – 2) + 4 
6 + 4 = 10 
Laura
2 – 5 . ( –2) + 4 = 
2 – 10 + 4 
–8 + 4 = 4 
¿Resolvieron correctamente los cálculos? ¿Por qué?
18. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. –1 . (–3) + 6 : (2 – 15 : 3) + 4 = c. 24 – 672 : (–36 – 5 . 12) – 15 =
 
 
b. 18 : (12 – 3 . 2) + 2 . (26 – 12 . 3) = d. (17 + 16) . (–1) – (23 – 6) . 3 =
 
 
19. Coloquen los paréntesis donde corresponda para que se verifiquen los resultados.
a. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = 26 d. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –54
b. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –10 e. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = 10
c. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –2 f. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –18
20. Rodeen el resultado correcto en cada caso.
a. El triple de la diferencia entre cinco y doce.
–21 21 3
b. El doble del opuesto de tres más cuatro.
1 –14 2
c. La tercera parte de la suma del opuesto de ocho y el módulo de 5.
1 –3 –1
La resolución de Martín es incorrecta porque no aplicó la separación en términos. El procedimiento que reali-
zó Laura también es incorrecto porque no aplicó correctamente la regla de los signos.
3 + 6 : (–3) + 4 =
3 – 2 + 4 = 5
24 – 672 : (–96) – 15 =
24 + 7 –15 = 16
18 : 6 + 2 . (–10) =
3 –20 = –17
33 . (–1) – 17 . 3 =
–33 –51 = –84
 ( )
 ( )
 ( )
 ( ) ( )( )
 ( ) ( )
 
177177
Integración
capítulo
947.48.49.50CONTENIDOS
Nombre: Curso: Fecha: / /
21. Ubiquen en una recta numérica los siguien-
tes números.
a. –5; –1; 2; –2; –6; 8
b. –1; –3; 0; –10; 12; –12
22. Escriban un número que represente cada 
situación.
a. La temperatura fue de 3 grados bajo cero.
b. La deuda bancaria es de $500.
c. Una fosa marina es de 8 800 m.
d. Tengo $200.
e. Debo $200.
f. Un bebé bajó 300 g en su último control.
23. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Qué número es mayor: –3 o el opuesto de 8? 
b. ¿Qué número es mayor: el módulo de –5 o 5? 
c. ¿Qué número es menor: –4 o el opuesto de 5? 
d. ¿Qué número es menor: el opuesto de 3 o 
el opuesto del módulo de –3?
24. Completen con el anterior y el posterior de 
cada número.
a. < –3 < 
b. < –4 < 
c. < –500 < 
d. < |–3| < 
e. < –(–31) < 
25. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Cuántos números naturales se encuentran 
entre –6 y –3?
b. ¿Cuántos números enteros se encuentran 
entre –6 y –3?
26. Completen con <; > o =.
a. –3 –1 e. –12 –15
b. 0 –2 f. –4 –2
c. –8 |–8| g. –|17| –17
d. 10 –20 h. 4 |–2|
27. Ordenen de menor a mayor.
a. –120; 34; –36; |–7|; –137; 0
b. –40; –|–4|; 52; –3; 4; 123; 7
c. –15; 44; 0; –2; 33; 140; –12; 3
28. Resuelvan las siguientes sumas y restas.
a. –3 + (–5) = 
b. –4 + (+8) = 
c. –9 – (–3) = 
d. 0 – (+3) =
e. –12 – (+2) = 
f. –19 – (+19) = 
g. –19 – (–19) = 
h. 20 – (+24) = 
29. Lean atentamente y respondan.
a. Si a pertenece a los números enteros, ¿qué 
número hay que sumarle para que dé como 
resultado cero?
b. Si b pertenece a los números enteros, ¿qué 
número hay que restarle para que dé como 
resultado cero?
c. Si c es un número entero negativo, ¿su 
opuesto es un número negativo?
30. Lean atentamente y resuelvan.
a. Un famoso matemático nació en el año 
384 antes de Cristo y murió en el año 322 
antes de Cristo. ¿Cuántos años vivió?
b. Algunos documentos afirman que Thales de 
Mileto nació en el año 624 a. C. y falleció en 
el año 547 a. C. ¿Cuántos años vivió?
c. Si una persona nació en el año 15 a. C. y 
murió en el año 43 d. C., ¿cuántos años vivió?
31. Resuelvan los siguientes problemas.
a. En una montaña donde se practica esquí, 
la temperatura más alta fue de –3 °C, y la 
más baja, de –25 °C. ¿Cuál fue la diferencia 
de temperatura?
b. Un avión vuela a 9 000 m y un submarino 
está a –850 m. ¿Cuál es la distancia entre 
ambos?
c. Cecilia tiene $250 en el banco y debe pagar 
$150 de Internet y $180 de expensas. ¿Le 
alcanza el dinero? ¿Cuánto le falta, si además 
quiere pagar $120 de la cuota del gimnasio?
Solución a cargo del alumno. a. –137; –120; –36; 0; 7; 34. b. –40; –4; –3; 7; 52; 
123. c. –15; –12; –2; 0; 3; 33; 44; 140.
a. –3. b. –500. c. –8 800 m. d. 200. e. –200. f. –300.
a. Hay que sumar –a. b. Hay que restar b. c. No, es 
positivo.
a. Vivió 62 años. b. Vivió 77 años. c. Vivió 58 años.
a. 22°. b. 9 850 m. c. No. $200.
a. –3. b. Son iguales. c. El opuesto de 5. d. Son iguales.
a. No existe ningún número natural entre estos 
valores. b. Se encuentran dos números enteros.
–4
–5
2
30
–501
–2
–3
4
32
–499
< >
< =
> >
> <
–8 –14
4 –38
–6 0
–3 –4
 
178178
32. Resuelvan.
Hernán se retrasó varios meses con el pago del 
servicio de televisión por cable y financió su 
deuda de $780 en 6 pagos.
a. Si abonó $520, ¿cuántas cuotas pagó? 
¿Cuál es el valor de cada cuota?
b. ¿Cuánto dinero le falta pagar? ¿Qué opera-
ción debe realizar para averiguarlo?
33. Respondan.
a. ¿Cuál es el triple de –3?
b. ¿Cuál es el número que al dividirlo por –2 
dé como resultado 5?
c. ¿Hay algún número que al dividirlo por –7 
dé como resultado cero?
34. Completen y respondan.
a. ¿Cuáles pueden ser los factores para que 
se verifique el siguiente producto?
 . = –12
b. ¿Existe una única posibilidad? En caso de 
existir otra, indiquen cuál. 
c. ¿Pueden ser los dos factores positivos? 
¿Por qué?
35. Resuelvan las siguientes divisiones.
a. –15 : (–3) = d. 14 : (–7) = 
b. 10 : (–2) = e. 24 : (–1) =
c. –18 : (–3) = f. 16 : 0 = 
 
36. Completen con <, > o = sin hacer la cuen-
ta. Expliquen cómo lo pensaron.
a. 2 . ( –3) 6
b. – 4 . ( –3) 12
c. – 4 : ( – 2) –2
d. 18 : ( –9) 2
37. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. 2 . (–3) + 5 – 15 : (–3) = 
b. 12 + 3 : (–3) – 16 – 4 : (–2) = 
c. –3 . 6 . (–7) – 60 + 12 : (–6) = 
d. 34 . (–6) + 12 : (–3) – 4 . (–3) = 
e. 23 – 25 . (–5) + 125 – 12 = 
38. Observen atentamente y respondan.
Julia introdujo el siguiente cálculo en la calcula-
dora: 3 – 5 . 2 + 4 y obtuvo 0 como resultado. 
¿Es correcto? ¿Por qué?
39. Resuelvan.
a. 2 – (12 – 45) + 3 – 12 . (–3) =
b. –(23 – 36) . (–3) – 34 : (–2) =
c. 48 – 3 . 29 – (3 – 23 . 4) – 24 : (–24) =
d. –53 – (4 . 2 + 18) – 20 =
e. –30 – 12 . 2 – (16 – 4 . 2) =
f. 25 – (–3 . 4 + 5 . 8) – 3 . (–7) =
40. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. El doble del módulo de –8 disminuido en 
4 unidades, ¿a qué es igual?
b. La mitad de la suma entre el opuesto de 8 
y 20, ¿a qué es igual?
c. El producto entre el opuesto de 4 y un 
número es igual a –12. ¿Cuál es ese número?
d. El cociente entre un número y el módulo 
de –5 es igual a –6. ¿Cuál es ese número?
e. La diferencia entre el siguiente de –3 y el 
opuesto de un número da por resultado –5. 
¿Cuál es ese número?
f. La suma entre el opuesto de 4 y un núme-
ro es igual a 14. ¿Cuál es ese número?
41. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
a. –22 : (–11) – (–18 + 14 : 2) + (–7) =
b. 7 + 8 : (–4) – [4 + (–12) : 4] =
c. (–24) : (–6) – [8 : (–4) – (–2 – 3)] . 2 + 1 =
d. (–3) + 3. (–4 + 5) – 5 . [–2 + 7 . (–1) + 9] =
e. (–1 – 8) : (–3) + ( 9 – 2 . 5) . (–2) . (–2) =
f. –(–4 + 5) + 3 – 21 : (–7) : 3 . (–19 + 22) =
42. Respondan.
a. ¿El triple del opuesto de qué número 
sumado cinco da como resultado 14? 
b. ¿El doble del siguiente de qué número da 
como resultado –10? 
c. ¿La tercera parte de qué número es –30? 
d. ¿La suma entre qué dos números enteros 
es –15?
e. ¿La diferencia entre qué dos números enteros 
es –10?
178
a. 12. b. 6. c. 3. d. –30. e. –3. f. 18.
a. 3. b. –6. c. –90. d. –8 y –7. e. 5 y 15.
a. Pagó 4 cuotas de $130. b. 780 – 520 = 260
No, no es correcto porque la calculadora no realizó 
la separación de términos.
a. 6. b. 4. c. –1. d. 0. e. –1. f. 5.
a. 3 . ( –3) = – 9. b. El número es –10, porque 
–10 : ( –2) = 5. c. Si el 0, porque 0: (–7)= 0.
b. No, también puede ser. 2. (– 6) c. No, porque 
en ese caso el resultado sería positivo.
4 (–3)
5
4
–2
–5
–3
–196
–24
6
64
261
No es posible realizar 
esta operación.
<
=
>
<
74
–22
18
–99
51
–62
 
179
Autoevaluación 9
43. Escriban un número que represente cada situación.
a. Segundo subsuelo. b. Debo $300. c. Quinto piso. 
44. Ordenen de menor a mayor y representen en la recta numérica.
 –18; |–21|; 6; –15; 9
0
 45. Completen la tabla.
a Anterior Siguiente Valor absoluto Opuesto
–3
4
8
–9
46. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 15 + (–3) = c. –9 – (+12) = e. 18 : (–9) = 
b. –12 + (+8) = d. 16 . (–2) = f. –15 : (–5) = 
47. Unan cada cálculo con su resultado.
	 •	 –17
a. 3 . (–2) + 5 . 4 = • 14
b. –2 + 3 . (–4) + 7 = • 19
c. 12 : (–2) + 4 . (–8) + 6 = • –22
d. –4 – 16 : (–4) – 12 + 5 . (–2) = • –32
e. 12 + (–2) . 4 – 10 . (–2) = • 24
f. 15 – (–16) : (–8) + 3 . 2 = • –4
 • –7
48. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. 3 . (–2 + 5) – (4 – 5 . 2) = c. –12 – (3 . 2 – 8) + 12 : (–6) =
 
 
b. 7 – (2 – 4) + 6 = d. –(–3 + 4 . 2) . 5 – (5 . 2 + 3) = 
 
 
179
capítulo
–2 –300 5
–18; –15; 6; 9; 21
12 –21 –2
–4 –32 3
3 . 3 – (–6) =
9 + 6 = 15
–12 – (–2) – 2 =
–12 + 2 – 2 = –12
7 – (–2) + 6 =
7 + 2 + 6 = 15
–5 . 5 – 13 =
–25 – 13= –38
3
8
10
5
3
10
–5
–2
–7
6
–4
–9
–11
–8
–10
5
6–18 9–15 |–21|
 
Trabajos prácticosTp
fecha de entrega calificación
Números naturales
capítulo 1
Fracciones y expresiones 
decimales
capítulo 2
Funciones
capítulo 3
Cuerpos
capítulo 4
Perímetro, área y volumen
capítulo7
Ángulos
capítulo 5
Probabilidad y estadística
capítulo 8
Figuras planas
capítulo 6
Números enteros
capítulo 9
 
1. Resuelvan.
En un juego de mesa, hay cartas con descomposiciones de distintos números. Cada jugador recibe 
una tarjeta con un número y debe levantar cartas del mazo hasta juntar las tres descomposiciones 
que corresponden a su número. Gana el que logra juntar primero las tres descomposiciones.
Lola jugó con Flor y con Marcos. Estos son los números que les tocaron a los chicos.
LoLa
fLor
marcos
40 048 404 008
44 008
a. Flor dice que ganó. Estas son las cartas que juntó. ¿Tiene razón? ¿Por qué?
400 000 + 4 000 + 8 4 . 105 + 4 . 103 + 8 . 100
4 . 100 000 + 4 . 1 000 + 8
b. ¿Qué cartas debía juntar Lola para ganar? ¿Y Marcos?
2. Descompongan los siguientes números en potencias de diez y respondan.
45 650 = 
54 506 = 
a. Si las cifras de los números anteriores son las mismas, ¿por qué los números no lo son?
b. ¿Qué posición ocupa la cifra 6 en cada número? ¿Representan el mismo valor? ¿Por qué?
3. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones indicadas.
Es mayor que 372 y menor que 123. Todas sus cifras son diferentes. La cifra de las unidades es la 
mitad de la de las centenas. La diferencia entre las centenas y las decenas es 100.
 1 412 1 540 1 545 1 653
181
1
capítulo
Trabajo práctico
 Números naturales
Nombre: Curso Fecha / /
Sí, porque las tres descomposiciones corresponden a su número.
Porque el sistema de numeración decimal es posicional.
En el a. ocupa el lugar de las decenas y en el b., el de las unidades. No, porque las posiciones son distintas.
4 . 104 + 5 . 103 + 6 . 102 + 5 . 101 + 0 . 100
5 . 104 + 4 . 103 + 5 . 102 + 0 . 101 + 6 . 100
Lola: 40 000 + 40 + 8; 4 . 10 000 + 4 . 10 + 4 . 1; 4 . 104 + 4 . 101 + 4 . 100
Marcos: 40 000 + 4 000 + 8; 4 . 10 000 + 4 . 1 000 + 8 . 1; 4 . 104 + 4 . 103 + 8 . 100
 
4. Resuelvan e indiquen las operaciones que tienen el mismo resultado.
a. 3 √ 
_____
 1 000 . 23 – √ 
____
 900 : 3 = c. (56 . 5 . 58) : ( 5 7 ) 2 + √ 
___
 25 . √ 
____
 169 =
 
 
 
b. ( 103 ) 2 : (103 . 103) + 3 √ 
___
 64 = d. √ 
_____
 16 +9 + √ 
___
 16 – √ 
__
 9 – ( 3 . 2 ) 0 =
 
 
 
5. Escriban lo pedido en cada caso.
a. Todos los divisores de 36: 
b. Los primeros seis múltiplos de 13: 
c. El mcm (18;24;30): 
d. El dcm (18;24;30): 
e. El mcm (48;56;84): 
f. El dcm (48;56;84): 
6. Unan con flechas la expresión simbólica que corresponda con cada enunciado.
a. El doble del triple del anterior de un número. • 2 . (a + 1) + 10
b. El doble del anterior del triple de un número. • 2 . 3 . (a – 1)
c. El siguiente del doble de un número aumentado en 10. • 2 . (3a – 1)
d. La suma entre 10 y el doble del siguiente de un número. • (2a + 10) + 1
7. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. 2 . (3 + 4x) = 2x + √ 
___
 81 . 22 c. 3 . (x2 + 50) + √ 
____
 169 = 3 √ 
____
 125 . 2 + 6 . 3
 
 
 
b. 3x + 16 + 5x – (2 . 5 + 1) = 6x + (72 – 8) d. √ 
__
 x – √ 
____
 100 : 2 = 42 – 4 . 2
 
 
 
Trabajo práctico
Números naturales
capítulo
1
182
Tienen el mismo resultado a y c, b y d.
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
13, 26, 39, 52, 65, 78
18 = 2 . 32; 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5; mcm (18;24;30) = 23 . 32 . 5 = 360
18 = 2 . 32; 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5; dcm (18;24;30) = 22 = 4
48 = 24 . 3; 56 = 23 . 7; 84 = 22 . 3 . 7; mcm (48;56;84) = 24 . 3 . 7 = 336
48 = 24 . 3; 56 = 23 . 7; 84 = 22 . 3 . 7; dcm (48;56;84) = 2 . 3 = 6
10 . 8 – 30 : 3 =
80 – 10 = 70
515 : 514 + 5 . 13 =
5 + 65 = 70
106 : 106 + 4 =
1 + 4 = 5
 √ 
___
 25 + 4 – 3 – 1 =
5 + 4 – 3 – 1 = 5
6 + 8x = 2x + 9 . 4
8x – 2x = 36 – 6
x = 5
3x2 + 3 + 13 = 5 . 2 + 18
x2 = 12 : 3
x = 2
3x + 16 + 5x – 11 = 6x + 41
3x + 5x – 6x = 41 + 11 – 16
x = 18
 √ 
__
 x – 5 = 8
 √ 
__
 x = 13
x = 169
 
1. Marquen con una X las figuras en donde se pintó 3 __ 8 .
a. b. c. d. 
2. Indiquen la fracción que representa cada letra. Luego, escriban la expresión decimal que 
corresponde en cada caso.
0 2a c ed 3b 1 f
a = = c = = e = = 
b = = d = = f = = 
3. Expresen como fracción irreducible.
a. 32 ___ 30 = b. 
27 ___ 28 = c. 
25 ___ 55 = d. 
65 ___ 13 = e. 
48 ___ 30 = 
4. Marquen con una X las fracciones decimales.
a. 1 __ 8 b. 
8 ___ 17 c. 
99
 _____ 1 000 d. 
12 ___ 35 e. 
9
 ___ 30 
5. Ordenen de menor a mayor.
 31 ____ 100 ; 
2 __ 5 ; 0,2; 
3 __ 9 ; 0,301; 0,3; 
1 __ 4 ; 0,2
6. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción.
a. 13 ___ 10 = c. 
8 __ 9 = e. 
9
 ___ 10 = 
b. 7 __ 3 = d. 
4 __ 5 = f. 
8 __ 6 = 
7. Completen con <, > o =, según corresponda.
a. 1 __ 5 0,21 c. 
16 ___ 25 0,604 e. 0,57 0,571
b. 3,3 3,3 d. 5 __ 3 1,6 f. 1,2 
24 ___ 20 
183
2
capítulo
Trabajo práctico
Fracciones y expresiones decimales
Nombre: Curso Fecha / /
X X
0,4
0,9 2.1 3,2
1,5 2,6
2
5
16
15
27
28
5
11
5
1
8
5
9
10
21
10
16
5
3
2
13
5
X X X
0,2; 0,2 ; 1 __ 4 ; 0,3; 0,301; 
31 ____ 100 ; 
3 __ 9 ; 
2 __ 5 
1,3 0,8 0,9
2,3 0,8 1,3
<
>
>
=
<
=
 
8. Escriban como fracción irreducible.
a. 0,99 = b. 0,9 = c. 0,09 = d. 0,21 = e. 0,12 = 
9. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.
a. La diferencia entre la raíz cúbica de 27 ___ 8 y el cuadrado de 1,2.
b. El cociente entre el cubo de 0,2 y la raíz cuadrada de la diferencia entre 1 y 16 ___ 25 .
c. La suma entre el cuadrado de la mitad de 1 __ 5 y 0,39.
d. El producto entre la raíz cuarta de 1 ___ 81 y la raíz quinta de 
1 ___ 32 .
10. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.
a. 19 ___ 12 – √ 
_______
 25 ___ 36 + 
7 ___ 48 : 
11 ___ 13 = c. 0,2
2 . 50 ___ 3 + 
3
 √ 
___
 8 ___ 27 – 0,6 =
 
 
b. ( 2 __ 3 ) 
3
 – ( 1 __ 3 ) 
2
 + 4 ___ 15 
. 25 ___ 2 = d. 0,5
2 : 5 __ 4 + 2,5 – 
4
 √ 
__
 16 ___ 81 =
 
 
11. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.
a. De un rollo de cinta de 25 m, se deben cortar 1,2 m para la confección de moños. ¿Cuántos 
moños se pueden obtener? ¿Qué porcentaje de la cinta sobra?
b. En un libro de Matemática se destina el 65% de las páginas para ejercicios, el 25% del total 
para la teoría y el resto para los trabajos prácticos. Si tiene 24 páginas de trabajos prácticos, 
¿cuántas páginas tiene el libro? ¿Y las demás secciones?
Trabajo práctico
Fracciones y expresiones decimales
capítulo
2
184
99
100
9
10
9
100
21
10
6
5
0,23 : √ 
______
 1 – 16 ___ 25 = 0,008 : √ 
___
 9 ___ 25 = 0,008 : 
3 __ 5 = 
0,13
 
3
 √ 
___
 27 ___ 8 – 1,2
2 = 3 __ 2 – 1,44 = 0,06
 ( 1 __ 5 : 2 ) 
2
 + 0,39 = 1 ____ 100 + 
39 ____ 100 = 
2 __ 5 
 
4
 √ 
___
 1 ___ 81 . 
5
 √ 
___
 1 ___ 32 = 
1 __ 3 . 
1 __ 2 = 
1 __ 6 
Se pueden obtener 20 moños. Sobra el 4% de la cinta.
El libro tiene 240 páginas. Tiene 156 páginas de ejercicios y 60 de teoría.
 19 ___ 
12
 – 11 ___ 12
 : 11 ___ 13
 = 
 19 ___ 12 – 
13 ___ 12 = 
1 __ 2 
 1 ___ 25 
. 50 ___ 3 + 
2 __ 3 – 
3 __ 5 = 
11 ___ 15 
 8 ___ 27 – 
1 __ 9 + 
10 ___ 3 = 
95 ___ 27 
1 __ 4 
. 4 __ 5 + 
5 __ 2 – 
2 __ 3 =
 1 __ 5 + 
5 __ 2 – 
2 __ 3 = 
61 ___ 30 
 
1. Resuelvan.
a. Escriban las coordenadas de cada punto.
a = ( ; ) 
b = ( ; ) 
c = ( ; ) 
d = ( ; ) 
e = ( ; ) 
f = ( ; ) 
 
15
0 3 x
y
d
a
e
f
c
b
b. Representen los siguientes puntos 
en un sistema de ejes cartesianos.
a = (200;4)
b = (400;6)
c = (50;2)
d = (0;8)
e = (250;10)
f = (450;12)
 
2. Resuelvan.
El siguiente gráfico muestra la cantidad de casas vendidas durante unaño.
a. ¿Cuántas casas se vendieron en el mes de 
marzo? 
b. ¿En qué meses se vendieron más casas?
c. ¿En qué mes se vendieron 180 casas? 
¿Y menos de 170? 
d. ¿En algún mes no se vendieron casas?
e. ¿Cuántas casas se vendieron entre abril y 
julio inclusive? 
185
3
capítulo
Trabajo práctico
Funciones
Nombre: Curso Fecha / /
230
220
210
200
190
180
170
160
150
0 E F M A M J J A S O N D
ca
nt
id
ad
 d
e 
ca
sa
s
meses del año
2
5
6
0
9
11
10
25
5
30
15
30
12
10
8
6
4
2
 100 200 300 400 500 x
y
d
a
f
c
b
e
150
En agosto y septiembre.
Se vendieron 720 casas.
En junio. En enero y marzo.
No.
 
3. Completen las tablas para que se cumpla lo indicado en cada caso. Escriban la constante de 
proporcionalidad.
a. Variables directamente proporcionales. b. Variables inversamente proporcionales.
x y
5
21
10
x y
42
14
35
 k = k = 
4. Escriban un ejemplo de proporcionalidad directa, uno de relación de proporcionalidad inversa y 
otro de relación no proporcional.
 
 
5. Resuelvan.
Malena quiere ampliar una foto de su perra para colocarla en un portarretrato, sin que se deforme. 
Las medidas reales de la imagen son de 10 cm de ancho por 15 cm de alto.
a. Si el ancho de la foto debe ser de 30 cm, ¿cuánto debe medir el alto?
b. Si el alto de la foto pasa a ser de 30 cm, ¿cuánto debe medir de ancho?
c. La relación entre el ancho y el alto de la foto, ¿es directa o inversamente proporcional? ¿Cuál 
es la constante de proporcionalidad?
6. Lean atentamente y respondan.
Guadalupe recorrió, con su bicicleta, cierta distancia en 2 horas con una velocidad de 20 km/h.
a. Si quiere reducir la velocidad a la mitad, ¿cuánto tiempo tardará?
b. Si quiere recorrer la misma distancia en una hora, ¿a qué velocidad debe ir?
c. ¿Las variables son directa o inversamente proporcionales? ¿Cuál es la constante de proporcio-
nalidad?
Trabajo práctico
Funciones
capítulo
3
186
PD: La cantidad de minutos que se pueden hablar con el crédito del celular, si no se tiene promoción.
PI: La cantidad de páginas de cierto tamaño que se necesitan para escribir un texto, según el tamaño de 
la letra. NP: La hora del día y la temperatura.
Debe medir 45 cm de alto.
Debe medir 20 cm de ancho.
La relación entre los lados es directamente proporcional. k = 1,5
Tardará 4 horas.
Debe ir a 40 km/h.
Las variables son inversamente proporcionales. k = 40.
3
7
5
6
15
15
30
210
 
1. Completen con el cuerpo que corresponde a cada objeto.
a. Rollo de servilletas. e. Pelota de tenis.
b. Caja de zapatos. f. Tanque de agua.
c. Dado. g. Ladrillo.
d. Bonete. h. Lata de pintura.
2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.
a. En cualquier pirámide, la cantidad de caras coincide con la cantidad de vértices.
b. Un prisma de diez caras tiene diez vértices.
c. Un cilindro no tiene caras.
d. La cantidad de aristas de la base de cualquier pirámide es igual a la cantidad de vértices
menos 1. 
3. Marquen con una X cuál de los desarrollos corresponde a un prisma de base hexagonal.
a. b. c.
4. Copien el siguiente desarrollo y construyan el cuerpo. Luego, rodeen con color el cuerpo que
corresponde al desarrollo.
a. b. c.
187
4
capítulo
Trabajo práctico
Cuerpos
Nombre: Curso Fecha / /
F
V
F
V
Cilindro Esfera
Prisma Cilindro
Cubo Prisma
Cono Cilindro
X
 
5. Unan con flechas la cantidad de caras con el nombre del poliedro regular correspondiente. 
a. 12 • Cubo
b. 8 • Octaedro
c. 4 • Icosaedro
d. 15 • Tetraedro
e. 20 • Dodecaedro
f. 6 
6. Representen la siguiente situación y luego, completen con / (paralelas) o (perpendiculares).
A B; C A y B D
B C C D A D
7. Completen con / (paralelas), (perpendiculares), ⁄ (oblicuas) o AL (alabeadas).
A
B
D
C
A B C D
A
B
C
D
Trabajo práctico
Cuerpos
capítulo
4
188
⊥ ⊥ //
B
D
A
C
 
⊥ _⁄ //
⊥ AL AL
 _⁄ AL AL
// AL AL
 
189
5
capítulo
Trabajo práctico
Ángulos
Nombre: Curso Fecha / /
1. Calculen lo pedido en cada caso teniendo en cuenta los ángulos dados.
 ̂ = 30° 45’; ^ = 72° 27’; ̂ = 110° 8’ 30”
a. ( ̂ α + ^ β ) : 3 = c. ̂ γ – ( ̂ α + ^ β ) = 
 
 
b. ̂ γ : 2 – ̂ α = d. ^ β : 9 + ̂ γ = 
 
 
2. Coloquen una X para indicar la relación que existe entre ̂ y ^ .
 ^ Complementarios Suplementarios
15° 20’ 37° 20’ . 2
45° 30’ – 27° 161° 30’
80° 90° – ̂ α 
3. Escriban las ecuaciones y resuelvan.
a. El triple de un ángulo es 165° 30’. ¿Cuánto mide el ángulo?
b. La tercera parte de un ángulo es de 15° 20’. ¿Cuánto mide el ángulo?
c. La suma entre el doble de un ángulo y su suplemento es 200°. ¿Cuánto mide el ángulo?
4. Calculen el valor de los ángulos desconocidos y resuelvan.
Datos:
P ⊥ Q ^ β = 
 ̂ α = 22° 35’ ^ δ = 
 ̂ ε = 
ε
β
α
δ
P
R
Q
a. ̂ ε – ̂ α = d. 
^
 β + ^ δ – ̂ α = 
b. 
^
 δ + ̂ α = e. ( 
^
 δ – ^ β ) . 2 = 
c. 
^
 δ + ̂ α + ̂ ε = f. ̂ α : 2 + ̂ ε = 
(30° 45’ + 72° 27’) : 3 =
103° 12’ : 3 = 34° 24’
110° 8’ 30" – (30° 45’ + 72° 27’) =
110° 8’ 30" – 103° 12’ = 6° 56’ 30"
110° 8’ 30" : 2 – 30° 45’ =
55° 4’ 15" – 30° 45’ = 29° 19’ 15"
72° 27’ : 9 + 110° 8’ 30" = 
8° 3’ + 110° 8’ 30" = 118° 11’ 30"
X
X
X
2 . x + (180° – x) = 200°; x = 20°
x : 3 = 15° 20’; x = 46°
3 . x = 165° 30’; x = 55° 10’
67° 25’
67° 25’
112° 35’
157° 25’
90° 20’
78° 42’ 30"
44° 50’
135° 10’
202° 35’
 
5. Resuelvan.
a. Dibujen un ángulo obtuso y divídanlo b. Dibujen un ángulo cóncavo y tracen 
en cuatro ángulos iguales. su bisectriz.
6. Tracen lo pedido en cada caso y completen.
a. Tracen la mediatriz de 
___
 mq y llamen t al punto medio.
b. Tracen las mediatrices del 
___
 mt y del 
__
 tq . Llamen r al 
punto medio de 
___
 mt y z al punto medio de 
__
 tq . 
c. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. 
m q
• 
___
 mr mide lo mismo que 
__
 tz . 
• 
___
 mr mide lo mismo que 
__
 tq . 
• t es punto medio del 
__
 rz . 
7. Planteen la ecuación y calculen el valor de cada uno de los ángulos de las figuras.
a. Datos:
 M ⊥ T
 ̂ α = 7x
 
^
 β = 4x + 18°
 ̂ ε = 5x + 8°
 
ε
β α
T
M
 ̂ α = 
^
 β = ̂ ε = 
b. Datos:
 ̂ π = 4x + 12°
 ̂ α = 6x – 24°
 
^
 β = 2x – 10°
 
π
ε
β
α
 ^ α = 
^
 β = ̂ π = ̂ ε = 
Trabajo práctico
Ángulos
capítulo
5
190
Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.V
F
V
4x +12° = 6x – 24°
 36° = 2x
 18° = x
7x + 4x + 18° + 5x + 8° = 90°
 16x = 64°
 x = 64° : 16
 x = 4°
28°
84°
34°
26°
28°
84° 70°
 
191
6
capítulo
Trabajo práctico
Figuras planas
Nombre: Curso Fecha / /
1. Lean atentamente y resuelvan.
Una artesana quiere armar portarretratos de forma triangular. Para ello, cuenta con dos maderas de 
8 cm, dos de 5 cm, cuatro de 9 cm, dos de 12 cm, dos de 15 cm y tres de 3 cm. 
a. Completen la tabla con algunas de las posibles combinaciones que puede armar según la lon-
gitud de las maderas. Tengan en cuenta la cantidad que tiene de cada una.
Longitud madera 1 Longitud madera 2 Longitud madera 3
8 cm 5 cm
12 cm
15 cm 8 cm
9 cm
b. ¿Puede armar portarretratos con todas las maderas? ¿Por qué?
 
c. Clasifiquen los triángulos que forman los portarretratos según sus lados y sus ángulos.
2. Resuelvan.
a. Calculen la medida del lado desconocido sabiendo que el perímetro total de cada polígono es 35 cm.
 FIGURA A FIGURA B FIGURA C
8,6 cm
6,4 cm
7 cm
3 cm
y
x
z
9,8 cm
8,7 cm
7 cm
4 cm
1 cm
9 cm
2,5 cm
1,5 cm
 x = y = z = 
b. Calculen la suma de los ángulos interiores (SAI) de cada uno de los siguientes polígonos.
3. Calculen la medida de los ángulos desconocidos.
a. En el trapecio isósceles defg, el ̂ g mide el cuádruple del 
^
 d y el ̂ e mide 36°.
b. En el pentágonoirregular stuvw, el ̂ t mide la mitad del ̂ s . El ̂ u mide 37° más que el ̂ t . El ̂ v 
mide 47° más que el ̂ s . El ̂ w mide 1° más que el ̂ t y ̂ s mide 130°.
SAI A = 540° SAI B = 900° SAI C = 180°
 
^
 d = ̂ e = 36° y 
^
 f = ̂ g = 72°
 ̂ s = 130°; ̂ t = 65°; ̂ u = 102°; ̂ v = 177°; ̂ w = 66°
Solución a cargo del alumno.
Depende de las combinaciones utilizadas en la tabla.
10 cm 10 cm 16,5 cm
3 cm
3 cm 9 cm
9 cm
9 cm
12 cm
 
4. Tracen en las siguientes circunferencias lo pedido en cada caso.
a. Una cuerda 
___
 ab de menos de 3 cm y otra c. Un diámetro 
___
 pq y una cuerda 
__
 rs perpendicular 
cuerda cd de 3 cm. a pq, de menos de 2,5 cm de longitud.
b. Una cuerda st de más de 1,5 cm y uno de d. Un sector circular con un ángulo de 80°. 
los arcos que quedan determinados.
5. Completen la tabla.
Polígono
¿Regular o 
irregular?
Cantidad de 
lados
Ángulo central
Suma de ángulos 
interiores 
Irregular 3
Regular 360°
Trapecio isósceles
Irregular 4
Regular 60°
Regular 1 080°
Regular 40°
6. Construyan en sus carpetas las siguientes figuras.
a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado desigual mida 3,5 cm.
b. Un paralelogramo cuyos lados midan 2,5 cm y 4,7 cm y uno de sus ángulos mida 45°.
c. Un pentágono regular de 4 cm de lado.
Trabajo práctico
Figuras planas
capítulo
6
192
Triángulo escaleno
Cuadrado
Paralelogramo
Irregular
4
4
6
8 45°
––––––
––––––
90°
–––––– 180°
360°
360°
720°
1 260°9
Hexágono regular
Octógono regular
Eneágono regular
Solución a cargo del alumno.
 
193
7
capítulo
Trabajo práctico
Perímetro, área y volumen
Nombre: Curso Fecha / /
1. Ordenen de mayor a menor.
a. 7 500 dm; 48 m; 5 600 mm; 0,5 km; 50,4 dam
 
b. 3,2 dam2; 500 000 mm2; 0,052 hm2; 800 dm2
 
c. 0,65 m3; 0,0012 dam3; 420 000 cm3; 3 000 dm3
 
d. 3 500 l; 4 kl; 9 800 dl; 12 hl
 
2. Calculen el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos.
a. Cilindro. b. Pirámide de base cuadrada.
 Área lateral: Área lateral: 
 Área total: Área total: 
8 cm
12 cm
 Volumen: 
5 cm
6 cm
6,5 cm
 Volumen: 
3. Completen la tabla sabiendo que se trata de prismas de base regular.
Base del 
prisma
Apotema Lado de 
la base
Altura Área 
lateral
Área total Volumen Capacidad
Cuadrada 1 cm 2 cm 24 cm3 24 ml
Pentagonal 2 dm 3 dm 15 dm2
Hexagonal 3 m 3 m 1 m 27 m3
Octogonal 3 mm 10 mm 320 mm2 416 mm2 480 mm3 0,48 ml
4. Resuelvan.
Se volcaron en tres momentos diferentes 500 l, 25 000 cl y 82 dal de agua en un tanque cilíndrico 
de 1 m de diámetro. Si el tanque se llenó, ¿cuál es su altura?
 
5. Ordenen de mayor a menor. Escriban previamente todas las expresiones en litros.
2,5 l - 420 cm3 - 0,075 kl - 3 dm3 - 3,2 dal - 0,008 hl
3 000 dm3; 0,0012 dam3; 0,65 m3; 420 000 cm3
4 kl; 3 500 l; 12 hl; 9 800 dl
0,052 hm2; 3,2 dam2; 800 dm2; 500 000 mm2
7 500 dm; 50,4 dam; 0,5 km; 48 m; 5 600 mm
75 l; 32 l; 3 l; 2,5 l; 0,8 l; 0,42 l
La altura del tanque es de 2 m.
301,44 cm2 65 cm2
401,92 cm2
1 dm
6 cm 48 cm2 56 cm2
25 dm2 15 dm3 15 l
27 kl72 m218 m2
4 mm
90 cm2
602,88 cm3 50 cm3
 
6. Resuelvan.
a. Un prisma tiene una base de forma octogonal. El perímetro de la base es de 40 cm y su apo-
tema mide 3 cm. Si el volumen es de 600 cm3, ¿cuánto mide la altura?
 
b. El perímetro de la base de un cono es de 314 cm. Si la altura es igual al diámetro de la 
base, ¿cuál es el volumen del cono? Expresen el resultado en dm3.
 
c. El área lateral de un cubo es de 64 mm2. ¿Cuál es su volumen?
d. El volumen de una pirámide de base pentagonal es de 25,5 cm3. Si la altura mide 6 cm, ¿cuán-
to mide el área de la base?
7. Piensen y resuelvan.
Pilar quiere pintar un vitraux utilizando acrílicos de diferentes colores como indica el dibujo.
 a. ¿Cuál es el área que ocupa cada color?
 
 
 b. Si cada frasco de acrílico rinde 500 cm2, ¿cuántos frascos de 
 cada color necesita?
 
2 m
 
 
8. Respondan.
a. Andrés llena una bañera con forma de prisma rectangular de 1 m de largo, 60 cm de ancho y 
40 cm de alto para bañar a su perro. ¿Cuántos litros de agua necesitará para llenarla?
 
b. Francisco construye cajas de aluminio de 50 cm de ancho, 70 cm de largo y 30 cm de altura, 
sin tapa. Si desea construir 20 cajas, ¿cuántos m2 de aluminio necesitará?
 
c. Martín debe colocar dados de 2 cm de arista en una caja de 1,5 dm de ancho por 100 mm de 
largo y 8 cm de alto. ¿Cuántos dados entrarán en la caja?
 
d. El termotanque de la casa de Pedro tiene forma cilíndrica de 1,52 m de alto y 45 cm de diá-
metro. Si al bañarse consume 100 l, ¿cuántos litros de agua quedarán en el termotanque?
Trabajo práctico
Perímetro, área y volumen
capítulo
7
194
La altura mide 10 cm.
El volumen del cono es de 785 dm3.
El volumen del cubo es 64 mm3.
El área de la base es 12,75 cm2.
Necesitará 240 l de agua.
Necesitará 21,4 m2 de aluminio.
Entrarán 150 dados.
Quedarán 141,623 l en el termotanque.
Rojo: 43 frascos; azul: 2 frascos; verde: 18 frascos.
Rojo: 2,14 m2; azul: 1 m2; verde: 0,86 m2.
 
195
8
capítulo
Trabajo práctico
Probabilidad y estadística
Nombre: Curso Fecha / /
1. Escriban tres ejemplos de variables cualitativas.
2. Escriban tres ejemplos de variables cuantitativas.
3. Resuelvan.
Se encuestó a 25 personas al azar, para saber cuántas veces por día ingieren alguna fruta. Los 
datos obtenidos fueron los siguientes.
2; 0; 1; 1; 5; 3; 2; 4; 5; 1; 3; 3; 1; 1; 4; 2; 0; 3; 2; 2; 1; 1; 2; 0; 1
a. Completen la tabla de frecuencias.
Cantidad de frutas Total
f
fr
%
b. ¿Cuál es la cantidad promedio de frutas que ingieren por día?
c. Calculen la mediana y la moda.
4. Respondan.
Juan y Santiago están jugando a los dardos. En la siguiente tabla se observan los puntajes que 
obtuvieron. 
1° 2° 3° 4° 5°
Juan 60 60 40 100 100
Santiago 80 40 60 80
 a. ¿Cuál es el promedio de Juan?
 
 b. ¿Qué puntaje debe obtener Santiago para igualar el promedio de Juan?
 
8040 6060 4080 100
 Santiago debe obtener 100 puntos.
El promedio de Juan es 72 puntos.
me = 2; mo = 2
En promedio ingieren 1,8 frutas por día.
La cantidad de CD que tiene cada persona.
La cantidad de alumnos que hay en cada curso de la escuela.
La cantidad de jugadores que forman un equipo según el deporte.
El sabor favorito de helado de los alumnos de 1.° año.
El estado civil de los docentes de cierta escuela.
El lugar de residencia de un grupo de personas.
100
0 1 2 3 4 5
3 8 6 4 2 2 25
0,12 0,32 0,24 0,16 0,08 0,08 1
12 32 24 16 8 8 100
 
Trabajo práctico
Probabilidad y estadística
capítulo
8
196
5. Observen y luego, respondan.
La tabla muestra el registro de temperaturas mínimas del mes de junio.
a. Completen la tabla de frecuencias y realicen un gráfico de barras.
Temperaturas
(en °C)
f fr %
4 5
5 3
6 6
7 2
8 4
9 2
11 4
12 2
13 2
Total
 
b. ¿Cuál es el promedio, la mediana y la moda?
6. Calculen las siguientes probabilidades.
Se extrae una carta al azar de un mazo de 40 cartas españolas.
a. ¿Cuál es la probabilidad que sea oros? 
b. ¿Cuál es la probabilidad que no sea un as? 
c. ¿Cuál es la probabilidad que sea un rey? 
 
7. Resuelvan.
a. Tres corredores participan en una competencia.
• ¿De cuántas maneras distintas podrán llegar a la meta? ¿Cuáles?
 
• Si en la misma carrera se inscriben cinco personas más, ¿de cuántas formas distintas pueden 
llegar a la meta?
 
b. En un torneo de fútbol participan 12 equipos.
• Si un mismo equipo juega una vez por fecha, ¿cuántas fechas deberá jugar cada uno?
• Al finalizar el torneo, ¿de cuántas formas distintas pueden ubicarse los tres primeros puestos?
x = 7,63; me = 6,5; mo = 6
Podrán llegar a la meta de 6 maneras distintas. ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA.
Podrán llegar de 40 320 formas.
Cada equipo deberá jugar 11 partidos.
Pueden ubicarse los tres primeros puestos de 1 320 formas distintas.
 1 __ 4 
 5 __ 6 
 1 ___ 12Solución a cargo del alumno.
0,16 16
0,10 10
0,20 20
0,06 6
0,13 13
0,06 6
0,13 13
0,06 6
0,06 6
30 0,96 96
 
1. Escriban el número entero que corresponda a cada situación.
a. Carla gastó $500 de sus ahorros. 
b. La temperatura máxima en el mes de enero fue de 39 °C. 
c. Un pez se encuentra a 4 m de profundidad. 
d. Euclides nació en el año 300 a. C. 
e. Mariano dejó el auto en el segundo subsuelo del estacionamiento. 
f. Daniela tiene cinco mascotas. 
2. Ubiquen en la recta numérica los siguientes números enteros. Marquen con color el opuesto de 
cada uno de los números marcados.
–30; |–6|; 18; –42;
0
3. Indiquen el número que representa la letra a en cada caso. Expliquen cómo lo pensaron.
a. b.
–12 a 4 –40 a –5
 
 
4. Completen con <, > o =.
a. –5 –8 c. –32 –35 e. –16 –26 g. –567 –420
b. 9 |–9| d. –5 –|5| f. |–8| –9 h. –234 –100
5. Resuelvan.
a. –3 + (+5) = f. –12 – (–3) = 
b. 8 – (+9) = g. –(–3) + (–4) = 
c. –7 – (+12) = h. 12 – (+20) = 
d. –16 + (+25) = i. –18 – (–18) = 
e. –15 + (+7) = j. –8 + (+9) = 
197
9
capítulo
Trabajo práctico
Números enteros
Nombre: Curso Fecha / /
–500
–4
39
–300
5
a = –4 a = –30
–2
> > > <
= = > <
2 –9
–19 –8
9 0
–8 1
–1 –1
6–42 18–30 30–18 42–6
 
6. Resuelvan.
a. 3 . (–2) = d. –25 . (–5) = g. 57 : (–19) = 
b. –7 . (–4) = e. –36 : (–12) = h. –168 : (–7) = 
c. –16 . 2 = f. –140 : 20 = i. 418 : (–19) = 
7. Completen la tabla.
a b |a| |b| a + b –a – b –a . b –|a . b| |a| . |b| |a| . b
–3 15
3 5
0 –4
–7 14
–1 –3
8. Resuelvan los siguientes cálculos.
a. 16 – 3 . 2 + 15 : (–5) = e. –19 – 57 : (–3) + 18 . (–2) =
 
 
b. –10 : (–2) + 4 . 3 – 30 = f. 4 : (–2) + 12 . (–3) + 10 =
 
 
c. 12 – (15 – 3 . 2) – 14 = g. (5 – 3 . 4) . (–1) – 3 . (2 – 5) =
 
 
d. 16 – 3 . 2 + (12 – 9 . 3) : (–3) = h. 2 . (12 – 14 : 7) – 3 . 5 + 2 =
 
 
9. Escriban el cálculo correspondiente y resuelvan.
a. La suma entre el opuesto de –20 y el doble b. La diferencia entre –15 y el módulo del
del opuesto de 5. opuesto de 6.
 
 
198
Trabajo práctico
Números enteros
capítulo
9
–(–20) + 2 . (–5) =
20 – 10 = 10
–15 – |–6| =
–15 – 6 = –21
16 – 6 + (12 – 27) : (–3) =
16 – 6 + 5 = 15
2 . (12 – 2) – 15 + 2 =
2 . 10 – 15 + 2 = 7
12 – (15 – 6) – 14 =
12 – 9 – 14 = –11
(5 – 12) . (–1) – 3 . (–3) =
7 + 9 = 16
5 + 12 – 30 = –13 –2 – 36 + 10 = –28
16 – 6 – 3 = 7 –19 + 19 – 36 = –36
–6 125 –3
28 3 24
–32 –7 –22
5 3 5 2 –2 –15 15 15
–2 2 3 –5 –6 –6 6 6
–4 0 4 4 0 0 0 0
–2 7 2 9 5 –14 14 –14
–2 1 2 3 –2 –2 2 –2
 
199
Control de resultados
capitulo 1
1. Sistema de numeración 
decimal
1.
Por ejemplo, a. con 3.° opción.
2.
a. 5; 4 c. 1; 4 
b. 1; 3 d. 9; 8
3.
Solución a cargo del alumno.
4.
Va X en d., e., g., i.
5.
205 356
2. Multiplicación y división. 
Propiedad distributiva
6.
a. 12 d. No se puede, 7.
b. 6 e. No se puede, 30.
c. 8 f. 27
7.
Por ejemplo, a. F.
8.
a. 15 c. 14 e. 31
b. 13 d. 9 f. 63
9.
Por ejemplo, a. ≠.
10. 
Por ejemplo, fila 1: 168 : 6 = 28; 
96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6 = 28.
3. Potenciación y radicación
11.
Por ejemplo, a. 49. 
12.
Por ejemplo, a. Dos elevado a 
la quinta potencia.
13.
Por ejemplo, a. 5; 3; 125.
14.
Por ejemplo, a. F.
15.
Por ejemplo, a. 3; 3 y f. 1 000; 
3; 1 000.
16.
a. 128 e. 16 i. 18
b. 1 000 f. 6 j. 60
c. 8 g. 5
d. 729 h. 5
4. Operaciones combinadas
17.
a. 2 c. 8 e. 298 g. 1
b. 1 d. 10 f. 24 h. 152
18.
a. 10 c. 6 e. 625
b. 10 d. 10 000 f. 67
19.
a. 11 f. 8 k. 133
b. 627 g. 22 l. 223
c. 3 h. 143 m. 21
d. 62 i. 326 n. 16
e. 2 j. 110
20.
Por ejemplo, a. <. 
21.
Solución a cargo del alumno.
22.
Por ejemplo, a. 25; 9
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 1.2.3.4
23.
a. 408 004 d. 506 005
b. 4 008 004 e. 48 005
c. 5 000 005 f. 480 086
c. > b. > d. > f. > a. > e.
24.
Por ejemplo, fila 1: 98 721; 12 789.
25.
a. Va X en a.
26.
Solución a cargo del alumno.
27.
a. 485 b. 866
28.
a. 1 500 c. 75
b. 2 d. 7 500
29.
a. 240 d. 50 g. 1 500
b. 9 400 e. 7 488 h. 6
c. 64 f. 1 300
30.
Por ejemplo, a. =.
31.
a. 46 b. 79 c. 7 d. 22
32.
a. 60 c. 162 e. 364
b. 840 d. 28
33.
Solución a cargo del alumno.
34.
a. 820 c. 60 e. 290
b. 722 d. 170 f. 410
35.
Por ejemplo, a. F.
36.
Por ejemplo, a. 5, 48.
37.
a. 72 b. 8 c. 56
38.
a. 529 c. 10 000 e. 2
b. 1 296 d. 5 f. 6
39.
Por ejemplo, a. 16.
40.
a. 3 200 c. 3 072 e. 2
b. 215 d. 192 f. 40
41.
a. 114 e. 67 i. 1 000
b. 32 f. 45 j. 160
c. 705 g. 3
d. 9 000 h. 6 
5. Divisibilidad y factorización
42.
a. 123, 126, 129, 132, 135, 138
b. 208, 216, 224, 232, 240, 248
c. 1, 2, 3, 6
d. 1, 2, 4, 5, 10, 20
e. 2, 3, 5
43.
Por ejemplo, a. puede ser 5 874.
44.
Por ejemplo, en la fila 1 va X en: 
1, 2, 4, 5, 10.
45.
a. 23 . 32 . 11 c. 32 . 112
b. 23 . 3 . 52 d. 2 . 32 . 5 . 72
46.
Solución a cargo del alumno.
6. Múltiplo común menor y 
divisor común mayor
47.
a. mcm = 52 920, dcm = 4
b. mcm = 2 000, dcm = 20
c. mcm = 2 340, dcm = 1
48.
a. Cada 60 minutos.
b. 60 paquetes.
c. El 13 de junio. No. Sí.
d. Para 6 amigas.
7. Lenguaje simbólico. 
ecuaciones
49.
Por ejemplo, a. 2a.
50.
Por ejemplo, a. con 2.° opción.
51.
Por ejemplo, a. El doble de la 
diferencia entre un número y 
cinco es igual a 35. x = 13
 
 
200
52.
a. m = 17 d. a = 32
b. t = 16 e. y = 4
c. x = 8 f. n = 100
53.
a. x = 0 h. x = 3
b. x = 2 i. x = 32
c. x = 25 j. x = 2
d. x = 87 k. x = 12
e. x = 0 l. x = 1
f. x = 6 m. x = 4
g. x = 8 n. x = 4
54.
a. x = 5 e. x = 1
b. x = 9 f. x = 2
c. x = 15 g. x = 0
d. x = 12 h. x = 7
55.
a. x = 6 c. x = 10
b. x = 100 d. x = 15
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 5.6.7
56.
a. 1, 2, 4, 7, 14, 28
b. 1, 3, 5, 9, 15, 45
c. 30, 45, 60, 75
57.
a. 2 850 b. 5 028 c. 8 025
58. 
a. Sí. Sí. No se sabe. Sí. No se 
sabe.
b. 3. Por 10.
59. 
a. 23 . 52 . 7 d. 34 . 5 . 7
b. 25 . 3 . 11 e. 22 . 72 . 13
c. 22 . 54 f. 72 . 11 . 13
60.
a. 103 b. 1023
61. 
a. 105 c. 1 260
b. 1 d. Por 24. Resto 12.
62. 
Por ejemplo, a. V.
63. 
a. 192, 128, 320 b. 20, 40, 60
64.
a. mcm = 900, dcm = 30
b. mcm = 1 400, dcm = 5
c. mcm = 720, dcm = 4
d. mcm = 1 309, dcm = 1
e. mcm = 6 300, dcm = 2
f. mcm = 729, dcm = 27
65. 
a. Cada 30 meses. b. 150 moños.
 
 
66. 
a. 14 años. c. 4 kg
b. $60 d. 864 panchos.
67. 
a. x = 36 d. x = 24
b. x = 15 e. x = 0
c. x = 13 f. x = 22
68. 
a. x = 129 b. x = 34
69. 
a. x = 8 b. x = 1
70. 
a. x = 8 c. x = 1
b. x = 4 d. x = 1
71. 
a. x = 8 d. x = 8
b. x = 5 e. x = 81
c. x = 1 f. x = 36
autOevaLuacIón
72. 
2 . 107 + 6 . 106 + 6 . 104 + 
2 . 103 + 2 . 102 + 6 100; 
2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 
6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6; 
20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 
2 000 + 200 + 6
73.
a. 179 b. 23 c. 507
74. 
a. Cada 24 horas.
b. 3 pastillas de antibiótico y 4 
del analgésico.
75. 
mcm = 2 700; dcm = 45
76. 
2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19
capitulo 2
8. Orden y representación
1.
Solución a cargo del alumno.
2.
a. 4 __ 9 c. 
12 ___ 9 e. 
29 ___ 9 
b. 6 __ 9 d. 
24 ___ 9 
3.
Por ejemplo, a. 0 4 __ 9 .
4.
 1 __ 2 ; 
3 __ 5 ; 
3 __ 4 ; 
4 __ 5 
5.
a. 3 __ 5 b. 
10 ___ 5 c. 
7 __ 5 
 10 ___ 5 > 
7 __ 5 > 
3 __ 5 
6.
 1 __ 6 < 
4 __ 9 < 
5 __ 9 < 
2 __ 3 < 
5 __ 6 < 
10 ___ 9 < 
 7 __ 6 < 
4 __ 3 
9. Fracciones equivalentes
7.
Por ejemplo, a. 1 __ 2 .
8.
Por ejemplo, a. 12 ___ 17 , 
10 ___ 42 .
9.
Por ejemplo, a. 1 __ 3 .
10.
Por ejemplo, a. 7 __ 4 .
11.
Por ejemplo, g. 5 ___ 14 .
10. Operaciones con números 
racionales
12.
a. 9 __ 7 c. 
6 __ 5 e. 
19 ___ 8 
b. 6 __ 3 d. 
7 __ 6 f. 
5 __ 9 
13.
Va X en a. Llegó 23 ___ 30 del pasaje.
14.
a. 3 __ 8 c. 
17 ___ 30 e. 
11 ___ 28 
b. 1 __ 8 d. 
7 ___ 30 f. 
3 ___ 28 
15.
Por ejemplo, a. 7 __ 3 .
16.
a. > b. > c. = d. <
17.
a. 4 __ 1 b. 
3 __ 2 c. 
1 __ 2 d. 
6 __ 1 
18.
a. 10 ___ 1 b. 
18 ___ 49 c. 
25 ___ 1 d. 
5 __ 4 
19.a. 5 c. 1 __ 2 e. 206
b. 3 d. 31 f. 42
20.
a. Regaló 18. Aún conserva 27.
b. Le quedan aún 13 litros.
c. Alquiler e impuestos $4 550. 
Otros gastos $3 250.
21.
a. 13 ___ 14 b. 
36 ___ 1 c. 
54 ___ 25 d. 
1 __ 2 
22.
a. 10 ___ 4 b. 
1 ___ 21 c. 
5 __ 4 d. 
1 __ 5 
23.
a. = b. > c. > d. <
24.
Por ejemplo, a. con 1 __ 2 + 
1 __ 3 = 
5 __ 6 .
25.
a. Quedan 55 bombones.
b. Continúan 7 alumnos.
c. Quedan 525 libros.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
 
201
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Potenciación y radicación de 
fracciones
26.
Solución a cargo del alumno.
27.
Solución a cargo del alumno.
28.
a. 7 __ 2 c. 
5 __ 4 e. 
1 __ 2 
b. 16 ___ 9 d. 
125 ____ 216 f. 4
29.
a. 1 __ 7 b. 
5 __ 3 c. 
121 ____ 144 d. 
243 ____ 32 
30.
a. 1 ___ 25 m
2 b. 2 __ 9 m
2
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
12. Operaciones combinadas 
con fracciones
31.
a. 2 ___ 45 c. 
7 __ 2 e. 
73 ___ 64 
b. 27 ___ 10 d. 
29 ___ 36 f. 
23 ___ 27 
32.
a. 2 __ 5 , 336 páginas.
b. 1 __ 3 c. 
7 ___ 12 
33.
a. 2 . 1 __ 2 m + 
1 __ 4 m + 
3 __ 4 m = 2 m 
b. 4 __ 9 m
2 – 1 __ 9 m
2 = 1 __ 3 m
2
34.
a. < b. = c. > d. <
35.
a. 5 __ 3 b. 
1 __ 2 c. 
1 __ 9 d. 
41 ___ 60 
36.
a. 19 ___ 20 c. 
1 __ 4 e. 
17 ___ 10 
b. 3 ___ 10 d. 
62 ___ 5 f. 
87 ___ 16 
37.
a. 1 __ 4 
. 10 + 2 __ 3 
. 13 = 67 ___ 6 
b. 2 __ 5 
. 15 ___ 2 – 
1 ___ 10 
. 12 = 9 __ 5 
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 8.9.10.11.12
38.
Solución a cargo del alumno.
39.
a. 1 __ 5 c. 
7 __ 5 e. 
29 ___ 10 
b. 1 __ 2 d. 2
40.
a. 4 __ 3 b. 
2 __ 1 c. 
2 __ 3 d. 
5 __ 3 
41.
a. 4; 200; 5; 120
b. 17; 102; 340; 336
c. 7; 63; 1; 105
42.
Solución a cargo del alumno.
43.
Solución a cargo del alumno.
44.
Solución a cargo del alumno.
45.
a. 25 ___ 63 c. 
1 __ 6 e. 
25 ___ 9 
b. 67 ___ 12 d. 
25 ___ 3 f. 
1 __ 4 
46.
c. < f. < a. < e. < b. < d.
47.
a. 4 c. 1 __ 5 e. 
23 ___ 24 
b. 3 d. 1 __ 3 f. 
74 ___ 25 
48.
a. 1 __ 4 del total. 27 fotos.
b. 22 ___ 5 cm c. $1 378
49.
a. 4 __ 3 b. 3 c. 
9 ___ 10 d. 
19 ___ 6 
50.
a. 10 niños.
b. $216; $108; $72; $36
c. Sobraron 9 porciones.
d. 12 de un ambiente, 32 de dos 
ambientes y 4 de tres ambientes.
51.
a. Á. = 2 ___ 15 m
2; P = 22 ___ 15 m
b. AS = 27 ___ 25 m
2
c. P = 5 __ 4 m
d. AS = 27 ___ 16 m
2
52.
a. 1 ___ 16 b. 
9 ___ 50 c. 
4 __ 3 d. 
5 __ 4 
13. Fracciones y expresiones 
decimales
53.
Por ejemplo, a. 0,25 y b. 0,33...
54.
Solución a cargo del alumno.
55.
Por ejemplo, a. <.
56.
Va X en a., b., d., f., g.
57.
Hay infinitas posibilidades. Por 
ejemplo, a. 1,6.
58.
a. 2 : 10; 1 : 5.
b. 175 : 100; 7 : 4.
59.
Por ejemplo, fila 1: 21 ___ 35 ; 
6 ___ 10 ; 0,6.
14. Operaciones con expresio-
nes decimales. Porcentaje
60.
a. 14,98 f. 1,79
b. 8,807 g. 0,89
c. 54,47 h. 1,04
d. 18,906 i. 4,25
e. 2,481 j. 1,08
61.
a. $465,10 d. $4,91
b. $272,05 e. $189,28
c. $406,80
62.
a. 10,8 c. 2,5 e. 9,9
b. 3,139 d. 4,135 f. 4,23
63.
a. 0,7 c. 0,2 e. 0,4
b. 0,39 d. 4 f. 3,2
64.
Por ejemplo, a. con 0,3. y 
g. con 2.
65.
Por ejemplo, tabla 1, fila 1: 0,2; 
0,02.
66.
a. 0,064 g. 0,9
b. 3,61 h. 0,3
c. 0,00001 i. 1,5
d. 1,21 j. 1,3
e. 0,343 k. 0,2
f. 8,41 l. 0,7
67.
a. 25,75 b. 36,7
68.
a. 20 d. 20 g. 300
b. 35 e. 5 h. 6
c. 20 f. 30 i. 3
69.
a. 4,8 d. 91 g. 650
b. 58 e. 3 850 h. 700
c. 520 f. 126
70.
a. $284,4
b. $408,825
c. 40 chicos de otras escuelas. 
15 chicos organizaron la fiesta.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
15. Operaciones combinadas
71.
Por ejemplo, a. <.
 
202
72. 
a. 441 _____ 2 500 e. 
1 __ 3 i. 
349 ____ 100 
b. 3 __ 5 f. 
21 ___ 20 j. 
15 ___ 26 
c. 12 ___ 25 g. 0 k. 
1 ____ 100 
d. 133 _____ 1 000 h. 
473 ____ 675 l. 
3 ___ 10 
IntegracIón 13.14.15
73.
Solución a cargo del alumno.
74.
 0,7 < 0,7 < 0,5 < 0,04
75.
Va X en a., b., d., f., h. e i.
76.
Por ejemplo, a. <.
77.
a. 9 ___ 80 c. 
33 ____ 100 e. 
7 __ 4 g. 
11 ____ 100 
b. 1 __ 2 d. 
6 __ 5 f. 
1 __ 6 
78.
a. 3 __ 8 b. 
16 ___ 81 c. 
1 __ 4 d. 
3 __ 2 
79.
a. Cliente 1: $262,8; cliente 2: $146; 
cliente 3: $394,2
b. $792,55. Necesita vender 10 kg.
80.
a. 18,2 cm b. 8,6 cm c. 10,2 cm
81.
a. 11,7 b. 4 950
82.
Por ejemplo, fila 1: 3; 3,5; 3,49.
83.
a. 1.° escala: 13,5%; 
2.° escala: 19,2%; destino: 67,3%.
b. 91,7% d. 1 520
c. 20% e. 20%
84.
a. 14 e. 250 i. 75
b. 5,5 f. 20 j. 900
c. 18 g. 44 k. 96
d. 60 h. 675 l. 1 950
85.
Va X en a. y b.
86.
a. 3 750 c. 96; 24 e. 160
b. 8 000 d. 70 f. 94
87.
Pantalón: $232,4; Campera: $280.
88.
a. 102,8 d. 188,55
b. 35,86 e. 12,04
c. 29,24
autOevaLuacIón
89.
Solución a cargo del alumno.
90.
a. 3 __ 4 = 0,75 c. 
3 __ 8 = 0,375
b. 2 __ 3 = 
0,6
91.
a. 21 ___ 20 b. 
5 __ 8 c. 1 d. 
9 __ 5 
92.
a. 102; 150 b. 80; 32
93.
a. 17 ___ 8 b. 
203 ____ 27 
capitulo 3
16. gráficos y tablas
1.
Solución a cargo del alumno.
2.
a = (2;2), b = (4;0), c = (5;6), 
d = (0;6), e = (8;2)
3.
Solución a cargo del alumno.
4.
a. a = (7;5)
b. b = (4;8)
c. c = (0;3) y d = (7;0)
d. e = (3;6)
e. f = (2,5;5)
5.
a. Por ejemplo, fila 1: 14.
b. 0 horas; entre las 2 h y las 4 h.
c. A las 11 horas. Fue de 24 °C.
6.
a. Tardó 30 min. Estuvo 30 min. 
Tardó 20 min.
b. Tardó más para ir.
7.
a. 0,5 kg d. No, siempre
b. 150 días. aumentó de 
c. 2 kg peso.
8.
a. Solución a cargo del alumno.
b. En el mes 12. En el mes 18.
c. A mitad de año.
d. Solución a cargo del alumno.
e. Solución a cargo del alumno.
f. El ingreso disminuyó.
17. Funciones
9.
Solución a cargo del alumno.
10.
Va X en d., e. y f.
11.
a. Fila 1: 1, 2. Fila 2: 15, 25.
b. Solución a cargo del alumno.
c. Sí, es correcto. d. Sí.
18. Función de proporcionalidad 
directa
12.
Solución a cargo del alumno.
13.
Va X en b. y c.
14.
a. Por ejemplo, fila 1: 7. 
Solución gráfica.
b. k = 7
15.
a. Por ejemplo, fila 1: 250.
b. Sí. k = 25
19. Función de proporcionalidad 
inversa
16.
Solución a cargo del alumno.
17.
Va X en b. y c. Solución gráfica.
18.
a. Fila 1: 200. Fila 2: 64, 25.
b. Sí, son variables inversamente 
proporcionales. k = 8 000
c. Solución gráfica.
IntegracIón 16.17.18.19
19.
Solución a cargo del alumno.
20.
Solución a cargo del alumno.
21.
a. y b. solución a cargo del 
alumno.
c. En a. es único y en b., no. (4;1)
22.
a. Puntos mal ubicados: b, c y e.
b. Solución a cargo del alumno.
23.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Sí. c. Sí.
24.
Solución a cargo del alumno.
25.
a. Fila 1: 7. Fila 2: 17,50; 31,50; 35.
b. Solución a cargo del alumno.
26.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Sí. k = 3
27.
a. $150
b. Por ejemplo, fila 1: 300.
c. k = 150
d. Solución a cargo del alumno.
 
203
28.
a. 10
b. 35
c. Inversa.
d. Por ejemplo, fila 1: 70.
e. Solución a cargo del alumno.
29.
a. DP b. NP c. DP d. DP
autOevaLuacIón
30.
a. 10 horas.
b. 4 horas.
c. Estaban a 160 km del hotel.
d. Sí, a la ida.
e. Duró 2 horas.
31.
a. Sí.
b. k = 800. La variable indepen-
diente es la altura. La variable 
dependiente es el volumen.
c. Fila 1: 50, 60.
Fila 2: 32 000, 56 000.
32.
a. Cada uno deberá pagar $150. 
Si fueran 30, debería pagar $70.
b. Son variables inversamente 
proporcionales. k = 2 100
c. Fila 1: 21; 28. Fila 2: 150; 70.
capitulo 4
20. clasificación de los cuerpos
1.
Solución a cargo del alumno.
2.
a. Cubo, pirámide debase 
cuadrada. 
b. Esfera, cilindro.
c. Cono, cilindro.
d. Prisma de base hexagonal, 
cilindro.
e. Prisma de base triangular, 
pirámide de base triangular.
f. Prisma de base rectangular, 
prisma de base triangular.
21. Poliedros regulares
3.
Va X en b., c., e., y f.
4.
a. con 8. c. con 6. e. con 12.
b. con 4. d. con 20.
5.
Por ejemplo, fila 1: solución grá-
fica; 6; 8; 12; 6 + 8 = 12 + 2.
22. Desarrollo plano de cuerpos
6.
Solución a cargo del alumno.
7.
a. Prisma de base rectangular.
b. Pirámide de base triangular.
c. Pirámide de base cuadrangular.
d. Cono.
e. Prisma de base pentagonal.
f. Pirámide de base hexagonal.
8.
Va X en b.
9.
Va X en:
a. Prisma de base triangular.
b. Pirámide de base cuadrada.
c. Prisma de base triangular.
10.
a. El cuerpo está formado por 
11 cubos.
b. No.
c. Uno solo.
d. No.
e. Habría que agregar 6 cubos 
más. En el centro del cuerpo.
11.
Va X en a.
12.
Solución a cargo del alumno.
13.
Va X en a.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
23. Punto, recta y plano
14.
Por ejemplo, en a. va X en 
infinitas rectas.
15.
a. A y B c. C y E e. A y D
b. B y C d. D y E
16.
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 20.21.22.23
17.
Por ejemplo en b. va X en un 
cilindro, un cono y un prisma 
de base rectangular.
18.
Por ejemplo, en a. F.
19.
a. 12; cubo.
b. Dodecaedro; 20.
c. 8; octaedro.
d. 4; tetraedro.
20.
a. Sí. 9 + 9 = 16 + 2
b. Sí. 7 + 10 = 15 + 2
21.
Va X en a. y d.
22.
a. C, D y E.
b. A y B.
c. F y A.
d. A y E; E y F.
23.
a. // c. ⊥ e. ⊥
b. ⊥ d. // f. ⊥
24.
Solución a cargo del alumno.
25.
Solución a cargo del alumno.
26.
Solución a cargo del alumno.
autOevaLuacIón
27.
a. 6; pentágono.
b. 18; hexágono.
c. 7; pentágono.
28.
6; 6; 10; 6 + 6 = 10 + 2
29.
Va X en a., b. y d.
30.
Va X en b.
capitulo 5
24. Sistema sexagesimal. 
Operaciones
1.
a. 1 380’’ c. 36 180’’
b. 7 200’’ d. 220’’
2.
a. 6’ c. 182’
b. 2 702’ d. 900’
3.
Por ejemplo, a. y b. con 32° 25’ . 2
4.
a. 104° 34’ c. 75° 48’ 52’’
b. 9° 53’ 15’’ d. 238° 31’ 15’’
5. 
a. 37° 15’ d. 172° 42’
b. 15° 50’ 20’ e. 87° 40’ 25’’
c. 92° 10’ 30’’ f. 42° 20’ 30’’
6.
a. 14’; 50’’; 41° c. 45’; 71°; 0’’
b. 3’; 1’’; 44° d. 44’; 1°; 43°
25. Ángulos complementarios y 
suplementarios
7.
a. < b. < c. = d. >
8.
Va X en b. y d.
 
204
9.
a. ̂ α = 37°; ^ β = 53°
b. ̂ η = 18°; ̂ σ = 72°
c. ̂ ε = 30°; ^ δ = 150°
d. ̂ γ = 48°; ̂ π = 132°
10.
a. x = 39° b. x = 67° 30’
26. Ángulos adyacentes y 
opuestos por el vértice
11.
Por ejemplo, fila 1: 145°; 145°; 35.
12.
a. ̂ α = 40°; ^ β = 140°
b. 
^
 δ = 81°; ̂ ω = 81°
c. ̂ π = 150°; ̂ ε = 150°
d. ̂ γ = 136°; ̂ θ = 44°
13.
Solución a cargo del alumno.
27. Mediatriz de un segmento 
y bisectriz de un ángulo
14.
Solución a cargo del alumno.
15.
Solución a cargo del alumno.
16.
a., b., c. y d. Solución gráfica.
e. ^ aoc = 90°; m ̂ o a = 135°;
m ̂ o t = 22° 30’; ^ cot = 67° 30’
17. 
Solución a cargo del alumno.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 24.25.26.27
18.
a. y b. Solución a cargo del 
alumno.
c. Llano; perpendiculares; recto.
19.
a. 
^
 β = 42°; ̂ γ = 138°; ̂ α = 21°
b. ̂ π = 20°; ^ δ = 160°; ̂ θ = 90°;
 ̂ ε = 70°
20.
a. ̂ α + ^ β = 100° c. ^ β + ̂ ε = 90°
b. ̂ α + ^ δ = 180°
21.
Solución a cargo del alumno.
22.
a. 62° 25’ d. 66° 50’
b. 19° e. 107° 30’
c. 92° 45’
23.
Solución a cargo del alumno.
24.
a. ̂ ε = ̂ α = 21°; ^ β = 42°;
 ̂ γ = 138°
b. 
^
 δ = ̂ π = 75°; ^ β = 15°;
 ̂ α = 105°
c. 
^
 δ = ̂ α = 62°; ^ β = ̂ γ = 118°
d. ̂ π = ̂ ω = 20°; ̂ θ = ̂ ρ = 160°
25.
Por ejemplo, en fila 1 va X en: 
consecutivos, suplementarios y 
adyacentes.
26.
a. 34° c. 90° e. 73°
b. 56° d. 28° f. 22°
autOevaLuacIón
27.
a. 163° 50’ b. 55° 38’
28.
a. A veces. d. A veces.
b. Nunca. e. Siempre.
c. Nunca.
29.
x = 25°; 
^
 β = 65°; ̂ α = 65°;
 
^
 δ = 50°
30.
Solución a cargo del alumno.
capitulo 6
28. triángulos. elementos y 
propiedades
1.
a. 
__
 ac = 6 cm; ̂ c = 45°
b. 
__
 df = 7 cm; ̂ e = 
^
 f = 39°;
 
^
 d = 102°
2.
a. x = 5°; ̂ a = 38°; 
^
 b = 85°;
 ̂ c = 57°
b. x = 12°; 
^
 d = 40°; ̂ e = 103°;
 
^
 f = 37°
c. x = 23°; ̂ α = 145°; ^ β = 120°;
 ̂ ε = 95°
d. x = 15°; 
^
 j = 37°; 
^
 k = 53°;
 
^
 l = 90°
29. construcción de triángulos
3.
Por ejemplo, a. V.
4.
a. Solución gráfica.
b. No. No se pueden construir 
triángulos equiláteros rectángulos 
ni obtusángulos.
5.
Solución a cargo del alumno.
6.
Solución a cargo del alumno.
7.
Solución a cargo del alumno.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
30. cuadriláteros. elementos 
y propiedades
8.
a. Por ejemplo, en fila 1: B, F, J; 
No hay; No hay.
b. Sí. Sí.
9.
a. ̂ a = 
^
 b = 130°; ̂ c = 
^
 d = 50°; ___
 da = 2 cm
b. 
^
 j = 126°; 
^
 k = 36°; 
^
 i = 72°; __
 jk = 4 cm; 
_
 ij = 3 cm
31. construcción de cuadriláteros
10.
a. Paralelogramos. Tienen dos 
diagonales.
b. Depende del paralelogramo. Sí.
c. En cuadrados y en rombos.
11.
Solución gráfica. Existen muchas 
posibilidades.
a. Dos diagonales.
b. En el trapecio isósceles las 
diagonales son iguales, en los 
trapecios rectángulos y escale-
nos, no. No, en ningún caso.
12.
a. Cuadriláteros.
b. Cuadrado; rectángulo; para-
lelogramo; rombo.
c. Isósceles.
d. Rectángulo; escaleno.
13.
Solución gráfica.
14.
a. Sí. Los ángulos de las distintas 
figuras que queden consecutivos 
deben sumar 360° o 180°.
b. Con rombos y trapecios.
15.
a. ̂ e = ̂ g = 70°; 
^
 f = 
^
 h = 110° 
b. ̂ m = ̂ o = 102°; ̂ n = 52°;
 ̂ p = 104°
c. ̂ a = 
^
 b = 60°; ̂ c = 
^
 d = 120°
d. ^ i = 
^
 k = 42°; 
^
 j = 
^
 l = 138°
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
 
205
IntegracIón 28.29.30.31
16.
a. No; No; Sí.
b. Escaleno obtusángulo.
17.
a. 7 b. 2
18.
Solución a cargo del alumno.
19.
a. Sí. Sí.
b. 36 triángulos más.
20.
a. y b. Solución a cargo del 
alumno.
c. No son posibles las construc-
ciones del rectángulo y del 
cuadrado.
21.
a. Mariano y Georgina.
b. Solución a cargo del alumno.
c. Suma de ángulos exteriores.
22.
a. Sí. Sí. b. No.
23.
a. 30°; 30° c. 29°; 61°
b. 24°; 156° d. 40°; 50°
24.
a. Sí. c. Sí. e. Sí. g. No.
b. Sí. d. No. f. No.
25.
a. 
___
 ad = 4 cm; 
___
 ab = 6 cm;
 ̂ c = 75°; 
^
 d = 
^
 b = 105°
b. 
__
 ef = 
__
 fg = 
___
 he = 7,2 cm;
 ̂ g = 65°; 
^
 f = 
^
 h = 115°
26.
x = 32°
32. círculo y circunferencia. 
elementos y propiedades
27.
a. Una circunferencia. El centro. 
El radio.
b. Tiene el mismo centro, pero 
distinto radio.
c. Se forma una circunferencia 
del mismo radio, pero con el 
centro corrido.
d. En b., son concéntricas. En c., 
son iguales, pero no concéntricas.
28.
Por ejemplo, a. con el diámetro.
29.
Solución a cargo del alumno.
33. construcción de circunfe-
rencias
30.
Solución a cargo del alumno.
31.
Solución a cargo del alumno.
34. Polígonos
32.
a. El “A” es convexa regular, el 
“B” es cóncava irregular.
b. En ambos casos es 900°.
c. Se forman 5 triángulos. Sí.
33.
a. ̂ a = 140°; 
^
 b = 147°; ̂ c = 137°;
 
^
 d = 112°; ̂ e = 95°; 
^
 f = 86°
b. ̂ g = 126°; 
^
 h = 106°; 
^
 i = 118°;
 
^
 j = 64°; 
^
 k = 273°; 
^
 l = 33°
c. ̂ m = 32°; ̂ n = 231°; ̂ o = 25°;
 ̂ p = 63°
d. ̂ r = 134°; ̂ s = 117°; ̂ u = 128°;
 ̂ v = 71°
35. construcción de polígonos 
regulares
34.
Por ejemplo, fila 1: 1 440; 144; 36.
35.
Solución a cargo del alumno.
36.
Por ejemplo, a. V.
37.
Solución a cargo del alumno.
38. 
Solución a cargo del alumno.
39.
Solución a cargo del alumno.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 32.33.34.35
40.
a. y b. solución a cargo del 
alumno.
c. Alineados.
41.
Solución a cargo del alumno.
42.
Solución a cargo del alumno.
43.
a. Mediatrices odiagonales.
b. No.
44.
Solución a cargo del alumno.
45.
Solución a cargo del alumno.
46.
a. 0; 2; 5; 9 b. 14. 20
47.
Por ejemplo, a. V.
48.
a. y b. Solución a cargo del 
alumno.
c. Sí.
49.
a. siempre c. a veces
b. a veces d. nunca
50.
a. Polígono de 15 lados. 24°
b. Heptágono. 51,42°
c. Triángulo. 120°
d. Decágono. 36°
e. Eneágono. 40°
autOevaLuacIón
51.
Solución a cargo del alumno.
52.
a. ̂ a = 70°; 
^
 b = 32°; ̂ c = 78°
b. ̂ m = 84°; ̂ n = 124°; ̂ o = 28°;
 ̂ p = 124°
c. ̂ r = 98°; ̂ s = 72°; ̂ t = 250;
 ̂ u = 30°
capitulo 7
36. Perímetro y área de figuras 
planas
1.
Por ejemplo, a. F.
2.
a. 12 cm c. 5 cm e. 4 cm y
b. 12 cm d. 24 cm 12 cm
3.
a. 15,3 cm c. 42 cm
b. 22,28 cm d. 41,42 cm
4.
a. 0,032 c. 0,03
b. 5 000 d. 92
5.
a. 11 b. 10 c. 23
6.
a. 1,2 dm c. 9,42 dm
b. 20 cm2 d. 30 cm2
7.
a. 9 cm b. 8 cm c. 2 cm
8.
a. P = 21,64 cm; Á. = 20 cm2
b. P = 27,42 dm; Á. = 50,13 dm2
9.
a. 7,74 cm2 c. 37,5 cm2
b. 14,2 cm2 d. 9 cm2
10.
a. 10 dm b. 9 cm
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
 
206
37. Área lateral de prismas, 
pirámides y cilindros
11.
Por ejemplo, prisma de base trian-
gular regular se une con b . h . 3 
y con Área lateral + b . h _____ 2 
. 2.
12.
a. AL: 80 cm2; AT: 88 cm2
b. AL: 30 cm2; AT: 39 cm2
c. AL: 62,8 cm2; AT: 87,92 cm2
d. AL: 36 cm2; AT: 56 cm2
13.
Necesita 467 venecitas.
14.
a. AL: 60 cm2; AT: 76 cm2; 
Prisma de base rectangular.
b. AL: 188,4 cm2; 
AT: 244,9 cm2; Cilindro.
c. AL: 112 cm2; AT: 161 cm2; 
Pirámide de base cuadrada.
d. AL: 96 cm2; AT: 144 cm2; 
Prisma de base octagonal.
15.
a. 4,8 dm2 c. 0,16 dm2
b. 6,59 dm2
16.
a. x = 2 cm b. x = 10 mm
17.
a. 286 m2 b. 464 m2
18.
a. 12,56 l
b. 3 baldes. Gastará $240.
19.
a. 400 listones. b. 216 cm2
38. unidades de capacidad y 
unidades de volumen
20.
Por ejemplo, a. F.
21.
a. 250 c. 3 200 e. 28
b. 1 d. 18 f. 135 000
22.
a. Compró 15 botellas de gaseosa.
b. Conviene la de 1 litro.
c. Sí.
d. Tres frascos. Sobran 10 ml.
e. 6,9 l de cloro por semana.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
39. volumen del prisma, de la 
pirámide, del cilindro y del cono
23.
a. 108 cm3 d. 117,75 cm3
b. 0,6594 cm3 e. 21,25 cm3
c. 42 cm3 f. 1,13 cm3
24.
Por ejemplo, fila 1: 24; 24.
25.
a. 25,12 l b. 30,24 l
26.
a. 50,24 cm3; 113,04 cm3; 
25,12 cm3; 37,68 cm3; 37,68 cm3.
b. 4; 9; 2; 3
27.
a. 24 cm3 c. 80,07 cm3
b. 5 cm d. 3 cm
28.
a. 56,52 cm3 b. 100 cm3
29.
a. 30 velas. 9 000 cm3
b. Necesitará 3 000 cm3 de arena.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 36.37.38.39
30.
a. 16 cm d. 10 dm2
b. 27 cm e. 4 m2
c. 13 cm2
31.
a. 13,76 cm2 c. 18 cm2
b. 14,72 cm2 d. 79,25 cm2
32.
a. AL: 24 cm2; AT: 40 cm2 
b. AL: 125,6 dm2; AT: 282,6 dm2
c. AL: 90 cm2; AT: 120 cm2
33.
a. 2 260,8 cm2 c. 20 cajas.
b. 7,5 m2
34.
a. 4 cm b. 360 cm3
35.
a. 98
b. Largo: 27 cm. Ancho: 27 cm. 
Alto: 12 cm.
36.
a. 22 alumnos. c. 33 conos.
b. 72 bolsas. d. 3 cm
37.
a. Largo: 20 cm, ancho: 2 cm y 
alto: 2 cm.
b. Podrá contener 160 caramelos.
38.
a. 0,04 dm c. 0,92 cm
b. 1 884 cm3 d. 4,5 cm
39.
a. 91,4 b. 24 000
40.
a. 17 litros. c. 5 cm2
b. 62,8 cm2 d. 5 cm2
autOevaLuacIón
41.
a. Suma. d. π . d . h
b. Igual. e. l2 . 6
c. n . l
42.
288 m2
43.
4,99 m2
44.
a. 75 litros. b. 600 cm3
capitulo 8
40. variables, población y 
muestra
1.
Por ejemplo, fila 1: Cuantitativa.
2.
a. Población: chicos de entre 12 
y 20 años. Muestra: 350 chicos.
b. Tipo de videojuego. Cualitativa.
3.
Solución a cargo del alumno.
41. recolección y organización 
de datos. tablas
4.
a. River: 8; Boca: 7; Racing: 4; 
San Lorenzo: 4; Independiente: 2; 
Otros: 3.
b. Equipo de fútbol. Cualitativa.
c. River.
d. Cuatro clubes. San Lorenzo, 
Racing, Boca y River.
5.
a. 4; 3; 6; 2; 7; 3; 2; 1
b. Nota del trimestre. Cuantitativa.
c. 28 alumnos.
d. Aprobaron 15 alumnos y 
desaprobaron 13.
e. 13 alumnos.
f. En diciembre deben rendir 
12 alumnos y en marzo 1.
42. Frecuencias absolutas y 
relativas
6.
a. Por ejemplo, fila 1: 5; 0,125; 
12,5.
b. Mapuche, porque es el que 
tiene mayor frecuencia. 37,5%
c. Los tobas y los diaguitas.
7.
a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,17; 
16,67.
b. En ritmos.
c. Elongación.
 
207
43. gráficos 
8.
Por ejemplo, a. 50; 180.
9.
a. 25 b. 20 c. 75 d. 60
10.
Solución a cargo del alumno.
11.
a. Cualitativa. A 65 personas.
b. Solución a cargo del alumno.
12.
a. 10 en el A, 12 en el B y 15 el C.
b. En el B.
c. 38 varones. 75 alumnos.
13.
Solución a cargo del alumno.
14.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Se encuestó a 72 personas.
15.
a. En la sala B, hay 6 000 libros.
b. En total hay 18 000 libros.
16.
a. 13 millones de habitantes.
17.
a. Europa.
b. No.
IntegracIón 40.41.42.43
18.
a. Representa la muestra.
b. Cualitativa.
19.
a. Cantidad de paquetes vendi-
dos. Cualitativa.
b. y c. solución a cargo del 
alumno.
20.
a. Sexo y estado civil. Cualitativas.
b. y c. solución a cargo del 
alumno.
d. 33,33%
21.
a. Deporte preferido. Cualitativa.
b. Natación, en el grupo A y 
Básquet, en el grupo B.
22.
a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,06.
b. Cantidad de cargas por mes. 
Cuantitativa.
c. 33 d. 12%
23. 
a. Solución a cargo del alumno. 
b. 29 d. 34,5% f. 19
c. 13,8% e. 6
24.
a. Solución a cargo del alumno.
b. 25% ajedrez y 16,67% damas.
25.
a. Cantidad de pájaros. 
Cuantitativa.
b. 31,25; 12,5; 37,5; 18,75
c. Solución a cargo del alumno.
d. 15 pájaros. e. 4,5 pájaros.
26.
a. Solución a cargo del alumno.
b. En la de hombres, sí. En la 
de mujeres, no.
c. Solución a cargo del alumno.
44. Promedio, mediana y moda
27.
a. 
_
 x = 38,29; m
e
 = 38; m
o
 = 38 
b. 
_
 x = 29,3; m
e
 = 28,5; m
o
 = 28
c. 
_
 x = 34,14; m
e
 = 34; m
o
 = 34
d. 
_
 x = 42,1; m
e
 = 30; m
o
 = 12
28.
 
_
 x = 3,27 m
e
 = 3,5 m
o
 = 1
29.
a. 16; 16 c. 17; 17
b. 18; 19 d. 16; 13
En a. y b. las soluciones no son 
únicas.
30.
a. 19 puntos entre las dos pruebas.
b. No.
c. Hay varias posibilidades: 10 y 
5; 9 y 6; 8 y 7.
45. experimentos aleatorios. 
Probabilidad simple
31.
Va X en a., c. y d.
32.
a. 1; 2; 3; 4; 5; 6.
b. 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12.
c. cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca.
d. cara-cara; cara-ceca; ceca-
cara; ceca-ceca.
33.
a. 19 ___ 37 c. 
22 ___ 37 e. 
0 ___ 37 
b. 18 ___ 37 d. 
8 ___ 37 f. 
37 ___ 37 
34.
a. Con el disco B, P(azul) = 1 __ 2 .
b. 1 __ 3 c. En el A.
46. cálculo combinatorio
35.
a. 18 b. 6 c. 9
36.
a. 60 números. 24 son pares.
b. 12 números son múltiplos de 
5 y 36 son mayores que 500.
37.
De 28 maneras distintas.
38.
a. 1 320 maneras distintas.
b. 440 maneras distintas.
c. 60 maneras distintas.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
IntegracIón 44.45.46
39.
a. Peso. Cuantitativa.
b. 
_
 x = 50,83 kg; m
e
 = 50 kg; 
m
o
 = 50 kg
40.
a. Por ejemplo, fila 1: 0,375; 37,5.
b. 24
c. 
_
 x = 13 años; bimodal, 12 años 
y 14 años; m
e
 = 13 años.
d. Solución gráfica.
41.
a. 
_
 x = 5,8; m
e
 = 5; m
o
 = 4
b. 
_
 x = 7,5; m
e
 = 7; m
o
 = 5
c. 
_
 x = 7; m
e
 = 7,5; m
o
 = 10
42.
a. 
_
 x = 8,23; m
e
 = 8; m
o
 = 8
b. La moda y la mediana se 
mantienen. 
_
 x = 36,30.
c. No.
43.
Va X en:
a. 10 b. 1,6% c. 0,24
44.
a. Por ejemplo, fila 1: 0,21; 21.
b. 21% d. 4
c. 0,25 e. Solución gráfica.
45.
a. 
_
 x = 52,92 mm; m
e
 = 43,5 mm; 
m
o
= 78 mm
b. Solución a cargo del alumno.
46.
Solución a cargo del alumno.
47.
Por ejemplo, a. 12 ___ 50 .
48.
a. 7 ___ 20 b. 
13 ___ 20 c. 
11 ___ 20 d. 
20 ___ 20 
49.
a. 12 . 11 . 10 = 1 320
b. 2 ___ 12 , 
4 ___ 12 y 
3 ___ 12 
50.
a. 27 b. 1 __ 3 c. 
1 __ 3 
51.
a. 12 y 24 b. 40 320 c. 72
52.
a. 24 b. 80 c. 210 d. 12
 
208
autOevaLuacIón
53.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Cantidad de materias. 
Cuantitativa.
c. Población.
d. Solución a cargo del alumno.
e. 
_
 x = 1,36; m
e
 = 0; m
o
 = 0
f. 34%
54.
a. Solución a cargo del alumno.
b. P(suma = 7) = 1 __ 6 
55.
720
capitulo 9
47. números negativos. Orden 
y representación
1.
Porejemplo, a. –20.
2.
Por ejemplo, fila 1: 5 años a. C.
3.
Por ejemplo, a. <.
4.
Solución a cargo del alumno.
5.
a. b, negativo; a y c, positivos.
b. b, positivo; a y c, negativos.
c. –b
48. adición y sustracción
6.
a. –1 d. 7 g. 0 j. –6
b. –5 e. 0 h. 2
c. –2 f. –2 i. –7
7. 
a. 3 c. –2 e. –10
b. –8 d. –6 f. –12
8.
Debe depositar $300. –300 + 300
9.
a. x = –3 b. x = 1 c. x = 3
10. 
Por ejemplo, fila 1: –5; 1; –1; 
–4; 5.
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
49. Multiplicación y división
11.
a. –6 d. –6 g. 12
b. 0 e. 0 h. –6
c. 24 f. –40 i. 80
12.
Por ejemplo, fila 1: 2; –3; –6; 6; 
–6.
13.
a. –6 c. 17 e. –5
b. 6 d. –5 f. 50
14.
a. (–2) d. –14 g. 5
b. –20 e. (–3) h. 0
c. 30 f. –43 i. (–5)
15.
a. –600 b. –600 : 3 c. –400
MenteACTIVA
Solución a cargo del alumno.
50. Operaciones combinadas
16. 
Por ejemplo, a. con 21.
17.
Las dos son incorrectas.
18.
a. 5 b. –17 c. 16 d. –84
19.
Por ejemplo, a. (12 – 3) . 4 – 5 . 2 
20.
a. –21 b. –14 c. –1
IntegracIón 47.48.49.50
21.
Solución a cargo del alumno.
22.
a. –3 c. –8 800 m e. –200
b. –500 d. 200 f. –300
23.
a. –3 c. –5.
b. Son iguales. d. Son iguales.
24.
a. –4; –2 d. 2; 4
b. –5; –3 e. 30; 32
c. –501; –499
25.
a. Ninguno. b. Dos.
26.
Por ejemplo, a. <.
27.
a. –137; –120; –36; 0; 7; 34
b. –40; –4; –3; 7; 52; 123
c. –15; –12; –2; 0; 3; 33; 44; 
140
28.
a. –8 c. –6 e. –14 g. 0
b. 4 d. –3 f. –38 h. –4
29.
a. Hay que sumar –a.
b. Hay que restar b.
c. No, es positivo.
30.
a. 62 años. c. 58 años.
b. 77 años.
31.
a. 22° c. No. Le faltan $200.
b. 9 850 m
32.
a. 4 cuotas de $130 cada una.
b. 780 – 520 = 260.
33.
a. 3 . (–3) = –9
b. El número es –10.
c. Sí, el 0.
34.
a. 4 . (–3) = –12
b. No. Puede ser 2 . (–6).
c. No. El resultado sería positivo.
35.
a. 5 d. –2
b. –5 e. –24
c. 6 f. No es posible.
36.
a. < b. = c. > d. <
37.
a. 4 c. 64 e. 261
b. –3 d. –196
38.
No.
39.
a. 74 c. 51 e. –62
b. –22 d. –99 f. 18
40.
a. 12 c. 3 e. –3
b. 6 d. –30 f. 18
41.
a. 6 c. –1 e. –1
b. 4 d. 0 f. 5 
42.
a. 3 c. –90 e. 5 y 15
b. –6 d. –8 y –7
autOevaLuacIón
43.
a. –2 b. –300 c. 5
44.
–24; –15; 6; 9; 21
Solución a cargo del alumno.
45.
Por ejemplo, fila 1: –4; –2; 3; 3.
46.
a. 12 c. –21 e. –2
b. –4 d. –32 f. 3
47.
Por ejemplo, a. con 14.
48.
a. 15 b. 15 c. –12 d. –38
 
capítulo
1
 
Números Naturales
página 2
capítulo
2
FraccioNes y expresioNes decimales
página 4
capítulo
3
FuNcioNes
página 6
capítulo
4
cuerpos
página 8
capítulo
5
ÁNgulos
página 9
capítulo
6
Figuras plaNas
página 11
capítulo
7
perímetro, Área y volumeN
página 12
capítulo
8
probabilidad y estadística
página 13
capítulo
9
Números eNteros
página 15
foto
 
2
1
capítulo
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto?
 
 
2. ¿Cómo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática?
 
 
3. ¿Quiénes pertenecen a la misma generación? ¿Cuántas generaciones hay representadas en la foto?
 
 
Mira le sacó una foto a Martín con toda su familia y observó que hay 
algo de matemática en ella.
2
foto
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Los padres pertenecen a una misma generación y los abuelos a otra. En la foto hay representadas 
tres generaciones.
 
33
4. ¿Cuántas personas hay de cada generación distinta a la de Martín? ¿Hay alguna relación entre 
estas cantidades?
 
 
 
5. El grupo formado por los bisabuelos de Martín, ¿cuántas personas lo integran?
 
6. Resuelvan.
a. Si pudiéramos reunir en una foto a los padres de Martín, a todos sus abuelos, sus bisabuelos 
y sus tatarabuelos, ¿cuántas personas habría en ella?
 
 
b. Escriban un cálculo que les permita encontrar la cantidad de integrantes de cada nueva generación.
 
 
 
7. Lean atentamente y respondan.
Juan le contó un secreto a su mejor amigo y él pensó lo siguiente: “Como no voy a aguantar más 
de 30 minutos sin contárselo a nadie, voy a elegir a dos compañeros para contarles este secreto”.
a. Si a su vez, cada uno de estos compañeros le contó el secreto a otros dos a los 30 minutos y en 
el curso hay 25 alumnos, ¿en cuánto tiempo se enteraron todos del secreto de Juan?
 
 
 
b. Si la misma situación les sucediera a ustedes, ¿en cuánto tiempo se enteraría todo el curso?
 
 
 
c. ¿Qué suposiciones están haciendo para responder estas preguntas?
 
 
 
La generación de los padres tiene 2 y la de los abuelos, 4. De generación en generación se duplica la 
cantidad.
8 personas.
Habría 30 personas 2 + 4 + 8 + 16 o 21 + 22 + 23 + 24.
2n siendo “n” un número natural que representa el número de generación buscada tomando a la genera-
ción de los padres de Martín como la generación 1.
Empiezan sabiendo 2 y cada media hora aumenta el doble. Si en el curso son 25 alumnos, tardarán 
2 horas en enterarse.
Solución a cargo del alumno.
Se supone que cada uno les cuenta el secreto a dos personas que no lo saben. 
 
2
capítulo
En una reunión Foco fotografió a una de sus mejores amigas mien-
tras tocaba la guitarra.
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto?
 
 
2. ¿Cómo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática?
 
 
3. Las barritas verticales de metal que tiene el diapasón (mango de la guitarra), ¿son paralelas 
entre sí? ¿Aparecen a la misma distancia una de la otra? ¿Por qué piensan que es así?
 
 
4
foto
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno. 
Sí. No aparecen a la misma distancia. La idea es que al presionar en cada casillero, la cuerda se “acorta” 
y suena distinto. La última pregunta no se espera que la puedan responder, se tratará luego (las notas se 
obtienen por proporcionalidad y es lógico que los casilleros se hagan cada vez más chiquitos porque 
estamos tomando partes proporcionales de cuerdas más cortas).
 
4. Tengan en cuenta la foto de la guitarra y resuelvan.
puente
traste 4
casillero 2
mástil - diapasón
cejuela
a. Midan con una regla la longitud de una cuerda entre el puente y la cejuela y marquen en la 
foto los puntos que se piden a continuación (tomen la cejuela como 0 y el puente como 1):
• La mitad de su longitud. • La tercera parte de su longitud. • La cuarta parte de su longitud.
b. Numeren los casilleros y los trastes comenzando por el más cercano a la cejuela. ¿Con qué 
número de trastes coinciden los puntos que marcaron en el ítem anterior?
 
c. A cada traste le corresponde un casillero que lleva el mismo número. ¿Qué parte de la cuerda 
puede vibrar cuando se presiona en los casilleros correspondientes a los trastes marcados?
 
5. Lean atentamente y respondan.
En la escala musical hay un total de 12 sonidos (contando las notas y sus sostenidos que se 
escriben con #): DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI. Después del SI viene 
otra vez DO, y todo recomienza.
Cada cuerda corresponde a una nota diferente. Cuando se apoya el dedo sobre un casillero, se 
obtiene otra nota y se avanza en la escala según se presionen distintos casilleros.
a. La cuerda de arriba es MI; si ponemos el dedo en el primer casillero obtenemos FA, en el 
segundo FA#, etc. ¿Qué nota corresponde al casillero 12? ¿Y al 7? ¿Y al 5? 
b. La siguiente cuerda es LA. ¿Qué nota corresponde al casillero 12? ¿Y al 7? ¿Y al 5? 
6. Tengan en cuenta las actividades anteriores y respondan.
La siguiente cuerda produce el sonido DO, pero no tiene los trastes marcados.
puENtE CEJuELA
DO
a. ¿En dónde ubicarían el traste para obtener el siguiente DO? ¿Y para obtener el siguiente SOL? 
Márquenlos en la cuerda. 
b. La parte de la cuerda que vibra para obtener DO, ¿qué fracción es respecto de la que vibra 
para obtener SOL? 
c. Existe alguna relación entre las respuestas anteriores y el hecho de que 3 __ 4 
. 2 __ 3 = 
1 __ 2 ? Expliquen 
la respuesta. 
 
 
5
Con el traste 12, el 7 y el 5, respectivamente.
MI, SI, LA
 3 __ 4 
Se debe tomar 1 __ 2 de la cuerda. Se debe tomar 
2 __ 3 de la cuerda.
 para ir de DO a DO se toma 1 __ 2 de la cuerda. para ir de DO a SOL se toman 
2__ 3 de la cuerda, 
y luego, de esta cuerda “acortada” se toman 3 __ 4 (o sea, 
3 __ 4 de 
2 __ 3 , que es lo mismo que 
3 __ 4 
. 2 __ 3 ) y queda 
1 __ 2 , 
que justamente corresponde de vuelta a DO.
LA, MI, RE
 1 __ 2 , 
2 __ 3 y 
3 __ 4 .
DO SOL
 
¿ 
3
capítulo
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto?
 
 
2. ¿Cómo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática?
 
 
3. A través de la imagen se pueden descubrir distintas relaciones. Por ejemplo, en algunos pues-
tos hay más compradores que en otros. ¿A qué se puede deber esta diferencia?
 
 
Mira visitó el mercado y obtuvo la siguiente fotografía.
6
foto
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
por ejemplo, por el tipo de mercadería que se vende, por las diferencias de precios, etc.
 
4. Por ejemplo, si se tiene en cuenta la relación que existe entre el precio de las berenjenas y la 
cantidad que se vende por día, ¿en qué momento se venderá más: cuando sube o cuando baja el 
precio del kilogramo de berenjena?
 
 
5. Lean atentamente y resuelvan.
En el barrio donde se tomó la fotografía viven Estela, Lucio, Héctor y Marisa. Cada uno dijo lo 
siguiente sobre el precio de la berenjena:
• Estela: “Siempre compro 5 kilos de berenjenas, pero si el kilo cuesta $10 o más, no compro nada”.
• Lucio: “Si la berenjena cuesta menos de $5 el kilo, compro 3 kilos; si cuesta entre $5 y $8 (am-
bos incluidos) compro 1 kilo y si no, no compro”.
• Héctor: “Siempre compro la cantidad de kilos que me alcance con $10”.
• Marisa: “Si el precio de la berenjena es $4 o menos, compro 5 kilos; si es mayor que $4 y menor 
que $8 compro 4 kilos y si es $8 o más, compro 3 kilos y obviamente no pago más de $12 el kilo”.
a. Completen la tabla con las cantidades de berenjenas (en kg), según lo que dijo cada uno. 
Precio de 
la berenjena 
por kg
$1 $2 $3 $4 $5 $6 $7 $8 $9 $10 $11 $12
Estela
Lucio
Héctor
Marisa
b. Cierto día el precio de la berenjena era de $4 el kg y Estela, Lucio, Héctor y Marisa compra-
ron según lo que comentaron. Si el verdulero pagó el kilogramo a $3, ¿cuánto dinero ganó?
 
 
 
c. Otro día ofreció las berenjenas a $5 el kg y volvieron a comprar las cuatro personas según lo 
que comentaron. Si el verdulero pagó el kilogramo a $3, ¿cuánto dinero ganó?
 
 
 
d. ¿A qué precio le conviene vender el kilogramo de berenjenas para obtener la mayor ganancia 
posible si paga el kilogramo a $3?
 
 
 
7
Se supone que se venderá más cuando baja el precio.
5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 0 0
3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 0
10 5 3 2 2 1 1 1 1 1 0 0
5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3
Ganó $15.
Ganó $24.
Le conviene vender las berenjenas a $9 el kilogramo.
 
4
capítulo
Foco fue al parque con sus amigos y les tomó una fotografía mientras 
jugaban al fútbol.
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática?
 
2. ¿Qué figuras forman la superficie de la pelota? ¿Por qué piensan que se usa este poliedro 
para construir la pelota y no uno regular?
 
3. ¿Cuántas figuras de cada tipo llegan a ver en la foto? ¿De cuáles les parece que hay más? 
 
4. Calculen la cantidad de hexágonos, la cantidad de aristas y de vértices, si se sabe que la pelo-
ta tiene en total 12 pentágonos.
 
foto
8
Solución a cargo del alumno.
pentágonos y hexágonos. Se emplea este poliedro porque su volumen se aproxima mucho más al de la 
esfera que el de un poliedro regular.
Se ven (parcialmente) 4 pentágonos y 8 hexágonos. Hay más hexágonos.
Hay 20 hexágonos. para contarlos, hay que observar que cada pentágono está rodeado de 5 hexágonos 
y restar los elementos repetidos. Mediante un procedimiento similar, se determina que hay 90 aristas y 
60 vértices.
 
5
capítulo
Mira fue a jugar al pool y sacó esta foto porque encontró algo de 
matemática en este juego.
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática?
 
2. ¿A qué bola les parece que le va a pegar la chica que está jugando? ¿En qué dirección saldrá 
la bola si la bola blanca pega en el centro de aquella?
 
3. Lean atentamente y respondan.
Cuando se juega sin efecto y se pega a una bola, el ángulo que 
forma la trayectoria de entrada de la bola con la banda es igual al 
ángulo de la trayectoria de rebote con la banda.
En el tiro anterior, la bola violeta ¿entrará en algún agujero?
foto
9
Solución a cargo del alumno.
Le pegará a la bola violeta. Como estamos suponiendo que se trata de un golpe sin efecto y que la bola 
blanca golpeó a la bola violeta en el centro, entonces la bola violeta saldrá en la dirección del taco.
Saldrá en dirección al agujero del medio y podría entrar en él.
 
4. ¿En qué dirección debería poner el taco la chica que está jugando, si quiere pegarle a la bola azul?
 
5. Si la chica que está jugando quiere pegarle a la bola 15 haciendo una banda, ¿cómo puede 
hacer? ¿Entrará en algún lado?
 
6. En el tiro anterior, ¿de qué lado habría que pegarle a la bola 15 para que haya más chances 
de que entre en el hoyo del fondo a la derecha?
 
7. Lean atentamente y respondan.
Las marquitas que están en el borde de la mesa dividen el ancho de esta en 4 partes iguales y el 
largo, en 8. Sirven para poder medir los ángulos de entrada y salida de las bolas al hacer banda. 
En la imagen se ven las líneas imaginarias que pueden servir de guía para calcular las trayectorias 
y un ejemplo en el que la bola 1 entra en el agujero de coordenadas (8;0) si hace banda en (6;4).
a. ¿Dónde tendría que hacer banda la bola 2 para que entre en el agujero de coordenadas (0;0)?
b. ¿Dónde tendría que hacer banda la bola 3 para que entre en el agujero de coordenadas (4;4)?
c. ¿Dónde tendría que hacer banda la bola 4 para que entre en el agujero de coordenadas (4;4)?
8. Trabajen con un compañero. Dibujen en una hoja cuadriculada un rectángulo como el del ejer-
cicio anterior con algunas bolas. Propongan distintas jugadas para que las bolas entren en los 
agujeros. Recuerden escribir las coordenadas.
10
Debería poner el taco en la dirección de la recta que une la bola blanca con la bola azul.
Habría que pegarle a la bola 15 un poco más a la izquierda con la bola blanca (en lugar de en el centro 
como estábamos haciendo hasta ahora) y así la bola 15 saldría un poco más a la derecha teniendo mayor 
chance de entrar en el hoyo deseado.
En (8;2). 
En (2;0). 
En (2,5;0). 
puede hacer banda con el borde opuesto al que está. para pegarle a la bola 15 tendría que analizar los 
ángulos de entrada y de salida. Aparentemente, la bola no entraría en ningún agujero.
 
6
capítulo
Foco sacó una foto del restaurante al que irá con sus amigos a 
comer.
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática?
 
2. Las mesas ¿son todas iguales? ¿Cómo se podrían clasificar según su forma? ¿Qué otros tipos 
de mesas conocen? 
 
3. Foco, Fran, Santi, Seba, Lucas y Pablo quieren cenar en este restaurante.
a. ¿Qué tipo de mesa les puede ofrecer el mozo para sentarse? ¿Qué opción les conviene elegir?
 
b. Si eligen la mesa circular y piden una porción de papas fritas de entrada, ¿dónde tienen que 
ubicar el plato para que esté al alcance de todos? 
c. Si el mozo les prepara dos mesas cuadradas juntas, ¿dónde debería ubicar el plato de papas fritas?
4. ¿Qué otra forma podría tener una mesa para 6 personas que permita ubicar el plato de papas 
fritas para que esté al alcance de todos? 
11
foto
Solución a cargo del alumno.
No. Hay mesas cuadradas y circulares. por ejemplo, rectangulares. 
Les puede ofrecer una mesa circular o dos cuadradas. Les conviene la mesa circular.
En el centro. 
No hay un lugar justo para todos. Los perjudicados son los que están en los extremos y los demás son 
los beneficiados.
una mesa de forma hexagonal.
 
7
capítulo
Mira sacó una foto al estacionamiento que se puede ver desde la 
ventanade su cuarto.
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática?
 
2. Resuelvan. 
Observen el sector del estacionamiento que se encuentra al lado del edificio de techos negros.
a. Si un auto mide en promedio entre 4 y 5 metros de largo, y entre 1,6 y 2 metros de ancho, 
¿cuál es el perímetro de ese sector? ¿Y su área? 
 
b. Si una persona quiere dar una vuelta completa al edificio de techos negros (caminando cerca 
de la pared), ¿cuántos metros recorrerá aproximadamente?
 
c. ¿Qué área ocupa aproximadamente ese edificio?
 
12
foto
Solución a cargo del alumno.
 El rectángulo mide aproximadamente 41,6 m de largo y 
16 m de ancho, de modo que el perímetro y el área aproximados son de 115,2 m y 665,6 m2, respectivamente. 
En base a las medidas aproximadas antes obtenidas y estimando los valores restantes a partir de la 
medición en la foto, se obtiene un perímetro aproximado de entre 120 y 140 m. 
Ocupa aproximadamente 492,8 m2. 
 
En la escuela de Foco están realizando una votación para elegir al 
presidente del centro de estudiantes. 
Respondan.
1. ¿Que observan en la foto?
 
 
2. ¿Cómo les parece que se puede relacionar esta foto con la matemática?
 
 
3. ¿Cómo se puede hacer el recuento de votos para que sea lo más rápido posible?
 
 
13
PRESIDENTE 
ESTUDIANTIL
ELECCIONES
8
capítulo foto
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
 
4. Antes de la votación, se encuestó a 30 de los 500 alumnos que concurren a la escuela para 
saber a quién iban a votar como presidente. ¿Es representativa la información que se pudo haber 
conseguido?
 
 
 
5. ¿Y si se tuviera los datos de un curso de 40 alumnos? ¿Será lo mismo si se elige a 40 alumnos 
de distintos cursos?
 
 
 
 
6. Reúnanse en grupos y realicen una encuesta en el curso para obtener los siguientes datos: 
sexo, altura, talle de calzado, color de pelo. Luego, resuelvan.
a. Representen en el pizarrón los datos que obtuvieron usando algún recurso que sirva para 
analizarlos.
b. ¿Cuál es la altura que más veces se repite?
c. ¿Cuál es el talle de calzado que más veces se repite?
d. ¿Cuál es el color de pelo que más veces se repite?
e. ¿Hay alguna relación entre el sexo y la altura? ¿Y entre la altura y el color de pelo? ¿Y entre la 
altura y el talle de calzado? Expliquen las respuestas.
 
 
 
 
7. A partir de los datos que obtuvieron en la encuesta sobre la altura que más veces se repite, 
¿se puede asegurar que es la misma en todo el país?
 
 
 
14
tener los datos de un curso entero, aunque en principio contemos con más datos, tampoco generaría 
una tendencia debido a que al ser del mismo curso podría estar sesgado por algún pensamiento común. 
Elegir 40 personas de cursos diferentes sí podría marcar una tendencia.
No, ya que el voto de 30 alumnos no establece tendencia.
Solución a cargo del alumno.
No se puede concluir que pasa lo mismo en todo el país, ya que se trabajó con una muestra que no es 
representativa.
Se espera que los alumnos detecten que hay relación entre sexo y altura.
No se espera que altura y color de pelo estén relacionados. Sí se espera que la altura esté relacionada con 
el talle de calzado; en general la gente más alta tiene pies más grandes. De estos datos particulares se 
podrían ver algunas otras relaciones. Es importante en esta actividad considerar las distintas respuestas.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
Solución a cargo del alumno.
 
9
capítulo
Mira fue a bucear y sacó esta foto en la profundidad del mar.
Respondan.
1. ¿Qué observan en la foto? ¿Cómo les parece que podemos relacionarla con la matemática?
 
2. Si el buzo que se encuentra más cerca de la superficie está situado 20 metros bajo el nivel del mar, 
¿a qué profundidad se encuentran sus compañeros? ¿Qué cosas tuvieron en cuenta para responder? 
 
3. ¿Qué pasaría si todos ascienden 5 metros? ¿Qué cálculo hicieron?
4. Dos metros más abajo del buzo que se encuentra a mayor profundidad comienza la formación 
de coral, que tiene 12 metros de altura desde el fondo del mar. ¿Qué profundidad tiene el mar en 
esa zona?
 
5. Si a 20 m sobre la superficie del mar pasa un helicóptero que envía una señal sonora para calcular 
la profundidad del mar, ¿cuántos metros recorre la onda sonora hasta chocar con el fondo?
15
foto
Solución a cargo del alumno.
Se puede estimar que están a unos 21 o 22 metros.
Depende de la respuesta anterior. En este caso, sería entre 15 y 17 metros.
Aproximadamente 36 metros.
Recorre 20 – (–36) metros, es decir: 20 + 36 = 56 metros.
 
foto