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1.1. Liashko, A. K. Boiarchuk
l a . G . Gai, G . R Golovach
4
H M.JiitlllKi), A, K . liiHiji'iyii, M . I . t a l i . ! . K . I 'iwioiui'i
('ll[MMI(>'llimL HIK'«(>i1f INI IIMCIJIfH MHTOMIHUKI*. 't'OM 1. ' l i l t 11. II*
Miu'umiiih'ilvkhH hi ih j ik j : Hiricipaii
J. /. Liushkfi, A. K. SUuimlutk, hi. C.C.ui, G. J! Gotwach
Matcmatica superior. Problemas rcsueltos. To mo 2. Andlisis matematico:
edlculo integral p.iin funcioncs de una variable
'IVtitltuvitin tie In aiarta edition rusa (1997)
lis I, i serif consta do echo voliimenes. Los tun I to primeros tomos con los que se able esta obra,
I'nUtn dodicados al estudio practico de Ids fund ones, las sucesiones, las series, el cflkulo diferencial e
integral de Ins f Lindanes de una y varias variables; en ellos se presenter! soluciones completamente
• Eelalladas do los problemas expueslos en el famoso libro de li P.llemidovich.
I in los lomos 5 y f>, a parte de una detallada exposition de ia teoria de las funciones de variable
coniplej.% se rcsuelven escnipuiosamente cerca de -100 problem as, muchos de los males aparecen en
la inmortal coleccion del mate 'latico so vie tiro L.L Volkoviski. Ademas de los temas carac ten's Hcos
de los cursns de esle lipo, en esta parte de la obra se Italian euesliones menos comutics como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Ferrnat—Lagrange. Se presla una especial atenci&i a
las aplicactones conformes.
I in aprOximadamente 800 problemas resueltos pa so a pa so, los tamos 7 y H abarcan todus los topicos
del curso habitual de la teori.o de las ecuaciones diferenciales, En cad a section se ex pone el mini mo
leorico csliiclarnenle neeesario para In resolution de los problemas correspondicntes; muchos de
eslos aparecen en la genial coleccion de A,F. Filippov. Aslmismo, en estos volumenes se analizan
toda una serie de tenias basfante alfpicos para libros de esta clasc (teoila de la prolongation de la
Solution def problem a de Caucliy, ecuaciones diferentiales en deiivadas partiales de primer orden
no lineales, algunos metodos numsSricos para la resolution de ecuaciones diferenciales, nplication de
los eriterios de existentia de los ac los 1 unites en el piano lasico, etc.).
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Natalia HnoguUnaoa
Irina Mitkii-eva
Viktor Rominov
Viktoria Malishetiko, Konstantin Miedlwv y Maria Andridnova
Viktor Ronidmm i/ Vusili Podobied
Natalia Beketova
Svietiana tiotidiirenko y Anna Tubinu
Igor Korovin, Larisa Kirdiiishkhia y Luh Rodriguez Garcia
Natalia Armcheva y Elena I.6gvinova
Editorial URSS
http:/' ui'ss.i sa.ac.ru
ISBN 5 - 8 8 4 1 7 - 1 8 3 - 8 (Obra compfeUJ
5 - 8 8 4 1 7 - 1 8 5 - i (Tomo 2)
© Editorial URSS, 1999
Capitulo 1
FP — M • Mil • • • I
Integral indefinida
§ 1. Integrales indefinidas inmediatas
1.1. Definicion de integral indefinida
Definicion. Se dice que una funcion F : X —• M, X C R, es primitiva de una
I micron / : X —> R, si la funcion F es continua en X y su derivada es igual a f(x) en
Jodos ios puntos del intervalo X , a excepcion de un conjunto de puntos numerable.
Si la funcion F tiene derivada igual a /(a?) en cada punto del intervalo X, la
f uncion F se llama primitiva exacta de la funcion /,
El conjunto de todas las primitivas de la funcion / en el intervalo X se denornino
integral indefinida de la funcion / y se designa con el simbolo f f{x)dx. Si F es una
primitiva arbitraria de la funcion / en el intervalo X f se tiene
f(x) dx = F(x) + C,
Umde C es una constante arbitraria,
1.2. Propiedades fundamentals de la integral indefinida:
a) d (/ f{x) dx) = f(x) dx) b) f dF(x) = F(x) + C;
c) J Xf(x) dx = A / f(x) dXj A E R\{0}; d) / (f{x) + g(x)) dx ^f f(x) dx +/ g(x) dx.
1,3. Tabla de integrales inmediatas:
L / dx — x + C. IL / xndx X
, - f i + l
M +1+ C, n £ ™L
m. f ^ - in \x\ + a
J X 1 '
V.
/
dx - In x+l
IV. J
VI. /
dx
l+x.2
dx
vT X
arctg x + Cj
arcctg a; + C,
arcsen ar + C}
-arccos x + C.
vn. / : ( t o In + V x ^ i l ] + C, VIII. J V d ®
/ exdx
aX
iaa+C, a> 0, a ^ l ;
e* + C.
IX. J" sen xdx — — cos :c + C. X. f cos x dx — sen x + C.
XL / scrr a; -CtgX + C XII. / cos tg ar 4- C.
XIII. / sh a? dx — ch a; + C. XIV, / ch x dx ~ sh x Hb C.
YV r ——- f k - " r * - 1 . f ~ * YVT r f/;Jf i
('.inlluht I, lulrgivtl mdi-fiutd.i
1.4. IVU'tndoH prJfuip.ik 'H d e i n t e g r a t i o n
u) Mt'h>ihi tie hitmdiuiifitt dr utt nnevo atgutuenfn (cunt bio de variables). Si se tiene
jf(x) da: I''{x) I C, on Unlets / f(u) du ~ F(u) I- C.
b) Mel odd de filial Unci Ml. Si f f(x) dx = F(x) + C, a: £ X, al sustiiuir
x = if(t), >p:Y~> X,
dondo <p y su derivada ip' son funciones continuas, se obtLene
/ o • ip'(t) dt mF o <p(t) + C. /
c) Metodo de integration por paries. St u y v son funciones diferenciables y la funci6n
uv' tiene primitive entonces es valida ia formula siguiente
J u dv — wv — J v du.
1 . Demostrar que si J f{x) dx — F{x) + C, entonces
/ f(ax + b)dx = ~F{ax + 5) 4- C, a / 0 .
•* S o l u r i o n . Tenemos
f(ax -j-b)dx ^ - f(ax + b) d(ax -j- 6).
a
Gambia ado lucgo de variable hallamos
I f(ax + b)dx = ^ J f(ax -}- b) d(ax � �� � � J f(u) du = - F(?0 -l- C,
a.
donde u = aa; + b.
F o r e jemplo, utiJizando Ja labia de integral es calculamos
/ a
dx
+ X1
i / * f ( f )
a J i
1x = — arete — H- C;
+ « ) a *
— a rcsen — J - CT;
a
[ _ j £ - f =
J \Z'a2 - x2 J y / j _
J v^i^2 y a
donde C = Co — In |a|;
f d x = I f l i t ) = J _ , nJ x2 - 112 a. J 2a
-I C0 = hi® + \/V ± -i- C,
a; - a
x + a
+ C. *
(i I. Integrates indcfinidaN j rimed hit as n
Utilizando la fabla de integrales calcular las integrales siguientes:
• A
dx
sen x
< Solucion* Tenemos
dx
1 -f sen x
d( § x)
l + cos(§ - X)
a? ̂ +2fer,
/ 7T ̂ LF \
\4 2/COS'
fcGZ. •
aj
2 ) + C ,
3. x dx x8 2
Solution. Dado que
dx 1
x2 ~ a2 2a In
x — a
x + a + C
do acuerdo con el ej,l se tiene
x dx 1
xs 2 4
d{xA) 1 , is 4
(a?4)2 - (Viy 8V2
in
£4 + 2 + C. •
4 . da?
£\/a;2 + 1
M Solucion. Para x ^ 0 se verifies
dx dx
XV,X1 + 1
sgn x dx
por eso
dx
xvx2 + 1
hi 1
I®
+ \ I + 1x
5. dx
xVx2 — 1
< Solution. Dado que
dx sgn x dx
xVx2 --1 X 1 - J
X 2 i - f-M
resulta
-f C = - In 1 -f Vx
2 +1
a;
i
+ C. •
n1™1 • _
7 M > i
1) ta|i|luk> U Integral tilde I in Ida
6. f ..
./ Or' I l)«
< Solucir in . Uliltynndo el liecho de que ]a:| — x sgn x fcnemos
J J + 2 J \ a2/ V ##
+ C.
En cL proceso del caleulo de la integral asumimos que x estaba sometida a la
condici6n x -f 0. Sin embargo, mediante comprobadon directs ncs cercioramos de que la
funcion ^ es la primitiva de 7̂75572 para cualquier i f 8 .
/ dxV ^ l b x)
< S o l u t i o n . A partir de la desigualdad + x) > 0 ebtenemos el dominio de definicion del
integrand© X = { x : x > 0 V x < —1}. Para x > 0 tenemos
./ + ^ v W T T i 7 v '
Analogs men le, para 1 + x < 0:
di/^x^l)dx _ f dx — ~2 f -
y / x ( \ + J v-x - tv^x j y r
= - 2 In ( - 1 -f <J-x ) + C.
Ambas soluciortes pueden ser reunidas en una formula. De este modo, tenemos
f = 2 sgn at l n ( v f e y/W + H ) +C, «2[-1,0J. •
J \/x(i + x)
8 . f d x
<4 Solucion. El Integra ndo Gsia definido para 0 < « < 1, iuego
d{s/~x) r „ — arcsen y/x + C, • [ d x _ _ f d ? = 2 / -
7 / i ( l - a;) J v^v'T^t " J v / l - (y/xf
G f _
/ v'l I
S o l u t i o n . Si1 tiene
t dx I dx. f
J Vt 1 ./ rVc J* 1 1 ./ vT^TT ~
InjV * 1 ) H C = « - l n ( l + \/l +e2x ) + C.
jj I Integrates hidcfinidtiN inm<< J I
| q f mimi com xdx
J seiv x !• it cos2 x
•4 Solucion. Dado quo son x cos x dx -
sen x cos x dx 1
v/a2 sen2 x + b2 cos2 x Q> 2 _ h2
obtenemos
d(a2 sen2 x h fr2 cos2 x) _
Va2 sen2 x H- b2 cos2' x
1
a2-b2
a1 sen2 x + b2 cos2 x + C, 2 / it2a o
1 TL * dx
sen x
< Solucion, Se tiene
dx dx dx
sen x 2 sen | cos | r\ , X X 2 tg 2 COSz ^
d t g f
tg
a; J
por eso
da:
sen x tg
X In tg
a?
2
+ C , IE fcTT, fc G •
1 2 - /
dar
cos a;
^ Solucion* Analogamente al ejemplo anterior obtenemos
dx
cosx sen ( | + x) In
7Tf + l +C, fc € Z.
13 sha?
Solucion. Transformando el in teg ran do, para x f 0 obtenemos
d( t h f )da?
shx
da;
2 s h f c h f 2 th
da: _ f
¥d?f J th a;
In th x
2
+ C. •
14
• /
shar
Vch2af
* Solucion. Es evidente que
sha; , 1 = dx - • •
Vch2x y/2
d(V2 ch x)
(\flchx)2-l
J_
a/5
ln(V2chx + Vch2x) + C. •
15. sh x ch a; dx
8 I ' i ipitulo I. Integral i i i t lrl i i t i i l . i
Sohuirtn. (ii'iic
Nil x ch iK tlx sh a; ch x dx sh 2x dx d(ch 2x)
entonces
\Z»U'lx r ch'':r ^h^id.'x^h^-.si.^)' 2^/|ch22x + \ 2Vr2\/ch12x + l'
i ces
/' = 1 f = 1 h l ( c h 2 a ; , v ^ T l =
J V^VWdi^ 2V57 i/ch^ + l
1 J ^ + V d ^ + S h ^ + C .
2\/2 \ \/2 /
16. / dx
ch2£V/ tii2rc
Solution. Es evidente que
f 7 7 = = f Qi~hd(thx) = 3<yihx | C.
J ch2xv th^rc
I I C a l c u l a r las i n t e g r a t e s s i g u i c n t e s :
/
1 7 . / v T — sen 2x dx.
M Solucion. Dado que
Vl - son 2x — \J(cos x - sen xf- - ; cos x - sen x\ — (cos x - sen a;) Sgn {cos x - sen x),
entonces, al designar T(x) — f V l — sen 2a: dx obtenemos
-(sen x + cos ar) + C-,~ - 1-k ^ x < ~ - ir,
sen x + cos x + ~ - it ^ x < J ,
- - ( sena + casa?) + C b ^ ^ x < * + •
(—1)n(son x + cos »} + Cn, nir,
Dado que la funcion primitiva es continua, ha de cumplirse la igual dad
/ ( J + far) = i " ( | + J b r - o ) , fc g Z,
es dec it; (~l)fc+1<sen + COKHfe) + Q r l = lijn (~l)*(scn x + cos x) + CV donde xk =
~ + few, k £ %, Por tanto, obtenemos la igualdad -y/2 + Cti i V2 + Ck. Para k = 0
hallamos C\ -2V2 + C0. Si A = 1 vemos que C2 = 2 V 5 + C\ =2 -2V2 + Cn. Fmpleando
el mdtodo de induction maternities obtenemos C„ — 2\Zln + C, dnndc C — Q, es una
ctmstsinte aibitraiia.
I. htle^ralcs indeljnjil.iN iiiintkili*il«m
FinalnuMiUv lr;ins(omuindo la dtvsigiMldiid 'J I (w )7T t .p < j I U7r en In forma
X ~ 7 -{- 7T
Tl ^ < %
7r i i ,
lullamos que
£ " f +-K
IT
De este modo,
Vl - sen 2x dx = ( -1 ) (sen x -f cos x) + 2y/2
x 4 +1T1
7T + c . •
18. • • •
sen2 x + 2 cos2 a:'
^ Snlucion. Transformando el integrando obtenemos
m
dx
sen2 x + 2 cos2 a?
da? 1 f tgx
(tg2* + 2) cos2 x ~ V l S V5 '
donde nw - | < x < | rar, n G Z . Dado que la primitiva es continua, entonces
I ( ^ -f nir I -f- T2.7T 4- 0 n G Zj
rs decir,
7T
2V2
+ CB
7T
2V"2
+ G n-Hl-
I.)e nqui vemos que Cn+1 — + Cn o bien Cn = 4- C, donde C = Cq. Como
2ar+T- < n + l / n e Z , « e tiene n - r 2 * f *271 [ 2*
i tg® ^ /{#) ^ -— arctg + -7=V2 b \/2 v^
cs exacta en K. •
2% +7T
j . Por consiguiente, la primitiva
/ ( f + . - ) .+ C, x ^ - + n-K) lim I(x) . 7 r k
1 9
• /
1dx.
* Sol ucion. A partir de la igualdad
x - dx
1 J.;r
1- da? —
X ( * + £ ) 2 - 2
si* deduce que
xr — 1
;i;4 4 1
- da?
1 In
X + l _ X - y/2
a? + I _ 3? vVi
+ C 1 , a;In x V2 + 1
2v5 a;2 + xVl +1
+ C. •
20. ar + 1
i l t 1
dx.
1(1 <.'.i|'ilulo I. In tegra l Imli 'ftuitl i i
S o i u d d n , 1'iirti x / I! leiiomoK
^ i - t , l ± i , i & z i )tlx - _ £_ dx — - - 1 - ,
" H ( » - I ) + 2
por est)
Por definicion, hi primitiva dcbe ser continua, por consiguientc, J ( - 0 ) = f(-fO), es
decir, ^ + C_5 - + Ci. Tomando O-i = + C, = ^ + C, donde C es
Lino constante arbitraria, y suponiendo 1(0) — C, nos cercioramos de que la condition
/(- 0) = /(-| 0) = I®) s e verifica, entonces J a integral buscada se escribe en In forma
U® = j ^ = ~ arctg fc* + sgn ar + C, x* �� J(0) = lim I(x). •
21. J ^ d x , A e R' * > L 0$
Soluci6n. Examinemos ei caso A ^ 0. Sea [x] — n, entonces n ^ x < n -| y para ias
res tried ones de la primitiva x h-> /(i) a los inter,'a los [n, n 4 - « € N, obtenemosm-1 f s £ « - j £ r + <V
Debido a la continuidad de la primitiva debe cumplirse !(n) = /{« - 0), es decir,
—j^i+Qt = + Ch -1 obien CB — , n £ N, de donde lenemos sucesh'aniente
Cj = i + C0 = I + donde Q, = C,
c2 = ^A + A = I -I- ~~ I C, (3)
^ = A + W + j^1 + C -
Dado que n — [ jr j , de (2) y (3) hallamos
Sea, ahora, A — 0. Entonces, para x € [w, n + 1 [ , n 6 N, se tiene
f n
l(x) = I — dx —. n\x\x + Cn,
J x
Uebido a que la primitiva es continua, se tiene la igualdad I(n) — I(u -0). Entonces por
annlogia eon el caso examinado anterioEmenfe hallamos
C„ = - lit 2 - In 3 In n + C.
Dado tjue n — [a:] obtenemos
I rfa; ^ [je] I n s —lrt2 - In3 - Intel + C = feci In » - M®1!) -f C.
|i I. hUograles iiulrfmid+iH inmrdialtiH I I
V rsle modi >
x \ \ j dx
I? I Ax* 1 ( 1 + £ I
]
3* 1 1 1 fJ]V) f C si A / 0
[a] In ar - h\([x]\) + C si A 0.
La primitiva obtenida no es exacta. En efecto, la derivada de cualquier primitiva
exacta on todos los puntos de su dominio es igual al integrando. No obstante, el integrando
rti rues Lion tiene un conjunto numerable de puntos de discontinuidad de primera espeeie,
por !o cual no puede constituir la derivada de la primitiva construida. >
22
• / 1 • ! • • • • • • • • I • • dx, x £ ]0,1].
* SoJucion. Denotaremos l t, luego x h y dx 2 dt ^ - - — f J — " ( 3
/ f 11 j +oo[, Como resultado de la sustitucion obtenemos la integral
. Si X (E 10,1], entoncos
2 [t]dtt3
< un la ayuda del ejemplo anterior obtenemos (para A -- 2)
2 W
t3
dt t r 1 T 2* #
t ¥ » + 1
M
+ a
AI reg resar a la antigua variable tenemos
1 1 dx — - 1 1 1 1 1
'-•s/x-
v^J
donde x G ]0,1]. •
••• • • . • •
F alcular las integrates utilizando distintos metodos:
23 10x(l — x) dx.
A Solution. Haciendo uso de la identidad evidente x — 1 — (1 — a;) obtenemos
to;r(l — x) dx 10(1 - X)™ dx u(1 - x)L1 dx
(1 - x)10 <f(l - a) + j (1 - x)n d( 1 - x) 11 12 •
1 • • • • • • • i j
24. X
(l-x) V100
; dx
< Sofucion. Desarrollando la funcion x
pimto x — 1 obtenemos
x2 = (1
ry
x por la formula de Taylor en un entorno del
xf - 2 {1 - x) + 1.
J W eso
x dx
•••• ™ ™ • • •
(1 - x)m
(1 - xf - 2(1 - a) + 1
(1 - a;)100
dx
/
dx
(1 - »>
2 dx
(1 - X) +
+ dx
O^x)
1 1
100 97 (1 - a?) 49 (1 - x) +
1
99 (1 - x) bC, x^l. •
( .ipiliili) !. Integral indol l i i i i la
2 5 " h. dx-I I f V » ~ I '
Solucion. 'I mm fur ma ndo el integrand o para eliminar las expresiones irraciottales en el
denominador obtenemos
2 6 . J + x2dx.
•4 Solucidn. Dado que x3dx =*((! + x2) - l ) d(l + x2), se tiene
I x3Vl + X2 dx = ((1 1- arp - ( 1 1 or2)5) 1 + zr)
27. f
J X2 I-: x 2
A Solucion. Tenemos
1 __ 1 (x + 2)-\x-l) = 1 r 1 \
xr+x-2 ~ (x - t ) ( » + 2) ~ 3 ( » !)(« + 2) " 3 \x-l x + 2 / '
por consiguientc,
r dx _ 1 / f dx _ f dx \ _
J x2 x ~ 2 ~ 3 \J x — 1 J X + 2) ~
— | In fx — 1 ] — 1 In \x + 2\ + C=l\n
x- 1
x + 2
+ C.
28. f lJ x* +• + 2
Solucion. Dado que xdx — \ d(x2) y 2
1 1 ( x 2 + 2 ) - ( x 2 + � 1 1
x'1 4 Stf2 + 2 (x2 f l)(x- 4 2) (x2 + l)(x2 + 2) x2 + 1 x2 + 2'
entonces
f XdX 1 f 1 f
J x* + 3 x 2 + 2~ 2 J i? + l 2 J x7- + 2 2 a 2 + 2
2 9 . y sen 'xdx.
Solucion. Integrando la identidad
4 / l - c o s 2 x N 2 1 1 „ I 2 ,
sen — = - — - cos 2.-B + - cos 2x -
V 2 / 4 2 4
I. lnU'jj;iiiloM iildHinidtm liimcdLilas � ��
i i
4 2 cos '2.x
I | ais4;/: [1 I
obtenemos
8 8 2 ens 7.x
I- cos 4.x j
o
sen a? dx ^r - t s e n 4 ^ sen 4x + C,
O T C \JJLm
•
• I. •••B m IM !•• • • ̂ • - — • • • • ••
3 0 . f tg3# dx
4 Solucion, Se tiene
I U^xdx— I tea; ( — VJ J \coszx
1 dx tg x d(tg ar)
sen x da; 1 2 , , , i . ^ ~ - te a? + In cos # + C,
cos a: 2 °
7T
£ # y +
• • • I I I M I P I • • • I I •! I I 111 I • III I M • H || || III I 111 II •• I • M • •! I I iB • ||
3 1 . dx• • • • • • • • • • • • • •
sen x coŝ x
^ Solution* Utilizando la integral / dxsen x
dx
sen xcos x
cos1x + sen2 x
sen x cos2 x
dx
In tg ~ + C (v. ej, 11) hallarnos
dx
sen a? +
sen x
cos2 x
In tg
x
dx
1
2 cos x
kit
T •
3 2 . dxsen* x
4 Solution* Haciendo uso de la igualdad dx
��� x —d(ctga?) obtenemos
f dx
J sciV*
1
x sen2 x
d(ctg a?)
3 3 . ch x ch 3x dx.
(ctg x + 1) d{ctg x)
1 3-ctg x — ctg x + C. •
LiJ_l 4
M Solucion. Se tiene
1 1 ch x ch 3x dx — ^ / (ch 2x -f ch Ax) dx — ™ sh 2x + ™ sh 4a: + C. •
-n—i—i—111—i i—i •—i - I I • ••• • ! I I I B I I II
Pi I'mnleando el metodo de sustltucion hallar las integrates siguientes:
3 4 2 AO (1 — 5x ) dx.
M t .ijiilnlo !. Inlcgr.tl ImlHIuliLi
<4 Solution, 'limianilo t fir? I obloiYeittos X dx ('|f <i(; x'(t .'ijr)!l1 < / x t w ) d l ,
por consist lit ai U'
' - O f o + C . •
35. I dx.
J Vi-x2
Solucion. Sea v'l - X2 -- t, entonces t j — j — —dt y
= - J L ( 8 + 4x2 + + C, |x| < 1 . •
10
36. [
J 1 + cos2 a.'
•4 Soluri6n. Toinando 1 + cos2 :c — t obtenemos sen x cos x dx = luego
/ • s e n x c o ^ l + c
J 1 + cos2 a 2 J t 2 2.
— - ln(l + cos x) - - cos x + C.
37. f
J s/T+tf-
•4 Solucion. Al tomar t ~ a : obtenemos
38
• I dx(1 - x7f'2"
Solucion. Sea x = sen t, entonces dx = cos/cW, luego para [asp < 1 se tiene
/ 1 + + c =
39- JJrr
li I lulegr.iies irulofinUliif. iiimrdi.il.is IS
4 Solution. Sea x
nilonces t (.. |(J,
d g 2t — sgn /
MI'll .'{ , Si x ( | at). r r. I (
. 'lenirndo on cucnta ijue |>ara
sgn j; oneontramos
•;,()[; si X <: IA |nuf
eslos va lores de a: y / se verilira
/ X O • • • ™ • • • • m
y/x2-2
4 sgn cig 2t
sgn t
dt
v m i • • • II
2
sen3 2t
(sen'
se
2 ja2
A |»,irtir de la igualdad sen2£ = ~ - ^ S / |tg£| < 1 para \t\ < obtenemos
t + cos t)
sen31 cos31
dt sgn t ( cos 21•i 111 i — i —
sen2 21 In M l )
C
tg t X± V a ? - 2
V2
V2
y/2
SI X > V5,
si a; < —VX
I Je este modo,
/ sgn ,t >2
2
1
• I • I MM I • ••
f sgn^In a; + y x ' 2 ) + C
a?
2
.L i
- 2 + In|a: + \/x2-2\ + C. •
id
• r m w w T T • i • • MI • iwmim* • i i f m i •
40. a2 — a?2 da:.
Solution. Sea a: = asenf, entonces
2 — x2 dx a cos tdt (1 + cos 2t) dt
tH8™*) + C a x2r arcsen — 4-a x_ x2 + C} f'jc| ^ a •
II i•i i • i • • i • •• • • • • I •• I • •
41
• /
dx
yj{x2 + a2)3 *
* Solution* Sea a; = a tg t, a ^ 0, Entonces tenemos
da?
V V + «-2)3
cos t dt
1
sen f + C ••• • • • • • •
arVx1 + a2
42. a + a?
a - a:
da:
^ Sofucion. Sea x = acos2i, entonces 0 isU-JC ctgf, da: 2a sen 2f di y
a 4- x
• • • • •• •• i
a - x dx 4 a cos tdt 4 a ( " + 1\2 4 sen 21) + C
a arcsen xa Va
2 - x2 + C, a ^ x < a •
If) C'ujtfll® I. Integral indeiinhla
4 3 *
< Solucion. A3 tomar x = 2a sen" t obtenemos (v. ej. 29)
/ X \ i d X ~ 8 a 2 / S e " 4 1 d t ~ ft2 ( 3 < - 2 sen 2i + i sen + C =
3 a 2 a r c s e n - x) + C, 0 < x < 2a. >
44
• /
dx
y/{x~ a.)(b - x)
4 Solucion, Ai tomar x—a = (b— a) son2 i, tras imas transformaciones elementalesobtenemos
f dx = , = 2 [ dt = 2t + C — 2 arcsen < / ? — ^ -V C, a < x < b. •
J \/{x - a)(b - x) J \ b-a
45. / \/a2 f- a:2 (te,
Solucion. Sea x = a sh t, entonces dx = a ch f dt. Por consiguiente,
yja2(l \ sh2i) = a ch £ y
j V a 1 + x1 dx = a2 J c h ? t d t = ~ sh 21 + ~ + C.
A parfir de la igualdad sli t = - \ obtenemos ef - Dado que e! > 0,
entonces t = In \x+\fa2 + x*\—ln a. Evidenteiuente, sh 2t = 2sh t chf = 2 sh i \f 1 -f sh2t —
2 + ^ — frVS1 + x2, por locual obtenemos deiinitivamente
2
s/a? + x? dx = + y ln|* + \/«2 + ®2j + C. •
46.
J ]} x + a
< Solucion. El integrando esta definido para x < —a y para x > a. Sea x > a. En este ease,
poniendo x — a — 2ash2t obtenemos
J y x+~a dx ~4a Jsh2< dt~ 8 sh 2t " lat + c
Teniendoencuenta que ash 2i - Vx2 — a2, sh f = ^ j — — -- ••, t = !n(\/a; + <i*f
V^— a ) — In \/2d obtenemos linaimente
/ i/xTa dx = V®2 -a2-2aln{v^"-i:a + VaT 7 ®) f C.
[i I. Inli^ralcri Irulrfliild»iri hiiiirdi.iLis 17
.)
ii x < — af tomando x I a 2anW I liiilliimoM
i •• • taB I
—- dx - -4a I sh2t dt a sh 21 I 2af, I C x a
\/x2 + a2 -I- 2a In(yf-x - a -I- y/^-x + a ) + C. •
4 7 . / a A x + + 6) dx.
Nolucion. Suponiendo que b>ayx + a>0, x -\-b> 0, tomemos a; + a — (b ™ a) shz J
l-nlonces i/(® + + b)dx = (chU - 1) dt y
I Ulo que t = ln(y/x^+Vx + b ) ™ln Vb - a, sh41 = i/fr + + ft) hallamos
hnalmente
\/{x + + 6) dx - 2a; + + b y/{x a)(x + 6) - ln(V® + a+ + ft ) + C.4 v , • /v > / 4
Si ,r | o < 0, x |fc < 0, b> a, tomando x + i = —(b — a) sh t obtenemos
j + a)(x + 5) dx=-(b 4 a ) / (ch4f - 1) ttt = - s h 4 f + ( b ^ t + C =
- 2 a : + a + v ^ T a ^ T f e ) + ^ ^ + + C. •
•ii •• i III •••• i i i » w r m - 11 M • • ™ • •• • ^ I M I M I • • ! • || •
Aplicando el metodo de integration por partes hallar las integrates siguientes:
4 8 . f x 2 arccos x dx
Solution. Integrando por partes obtenemos
arccos x dx = / arccos x d I — = ~ arccos x -f
1 r x3 dx
111—1111 • •• ii
3 3 J v T ^
X-clvccosx-~ f x2 di^f1 - x2) — arccos x - \/l - / ^/\-x2 d(x2)
3 3 3 -3
3 JL 3> 3J /I n 2 arccos x - ~ x2 — ~\/(l - x2)3 + C, («} ^ 1. •
3 3 T 9
4 9 . f ^
18 t'api'Uilo I. Integral i n d e l l n i d a
S o l u t i o n . Se liene
arcsen x j' , / 1 \ 1 f dx , . ..
— dx — I arcsen x d — I = — arcsen x + I •-. x / 0, x < 1.x7- J \ xJ x J xVl ~xl
La ultima integral se calcuia del modo siguiente:
f dx _ f dx = f sgn«ri(|ar|)
J x V l ^ ' J ^ ( f c f - i 1 sgrtar-l̂ vW"
I
A l ' - l + C = In +a
Finalmente teneinos
.wc/>n T acimon T * "1"arcsen x . arcsen x , . — dx = h In
1 -1 VI - .J:2
50 j arctg V F
Solucion. Usando el metudo de integration por partes obtenemos
j arctg -Jx dx — x arctg \fx - j =
m t T ^ ) d x =
— x arc:tg \fx — y/x + J = X arc Eg \/x — \/x + arctg y/x + C, x >. 0
5 1 . j arcsen2x dx.
Solucion. Tenemos
/
2 f 2x
arcsen z dx — x arcsen x — I • -== - - arcsen x dx, — J VT^li?
= x a r c s c n 2 ® + 2 f arcsen x d[\/1 - x2 ) —
= x arcsen2a; + 2 y / l - x2 arcsen x — 2x -f C , |x| ^ 1. •
5 2 . J Xarcsen2® dx,
A Solution. Integrando pbr partes y hadendo uso del ejemplo anterior hallamos
J x arcsen" x dx = x J arcsen x dx -- J arcsen2® dx = (x — 1)J arcsen2® dx —
= (® — l) (x arcsen2® f 2\/1 — x2 arcsen x — 2x) + C, |x| <: 1. •
|i I, Inlr^nilcn Indi'firtidfi* lnnirtliiiUis
j tlx
J WT^f'
•4 Soluci6n. Al realizar aims tr.in^forni.u ioiu's rviilcntcs <.; integrar por partes obtenemos
i
dx I f (a2 + x2) - xl
• ••• • 11 • i — - ••
+ x2)2 a2 J (a2 + x2)2
1 X 1 f x / I \
, X | X f dx X — 4 C
"3 arctS " + 2a2(a2 + x2) " 2? / ~ 2a2(a2 + ^ + 2a3 g a + •
i iii i i • i II
54. j y a2 - x2 dx, \x\ ^ a.
-4 Snlucion. Integrando por partes obtenemos
I \/a2 - X2 dx — X\f a2 — X2 + / = Xycfi
J J v a2 — x2
x2
2 2 2
+ f — a dx = x\fa2 — x2 — f a2 — x2 dx + a2 arcsen — C\
J Va2 - x2
Krsolviendo esta ecuacion respecto a J va 2 — x2 dx obtenemos
f j f j / ^
a2 - a;2 daj = ™ y a2 - x2 + — arcsen — + a / 0. •
55, j x2 a2 + x2 dx.
4 Solution. Tenemos
j x \f a2 -f" x2 dx — j xd{^[a2 + x2¥^ = ^{a2 + x2y
2
(a2 + x2)\/a2 ±x2dx + C^ ~(a2 + x2y - j t y/a2 + a?2 dx + C\
t alciilemos la ultima integral
/ / • 1 j f j
I \f a2 ^ x2 dx = xy a2 + x2 — I • • - , dx = xy a1 + x2
J J va2 + ar
(x2 + a2) - a2 j
— , — / 7 T
j _ . i ., . L u l/U
v a2 + x2
r • L
07yV + x2 - / yfa2 + x2 dx + a2ln\x+ \/a2 + x2\ -1- C;
2
\A2 + ar2 dx = | + y ln|x + Va2 + a21 + C.
lin definitiva hallamos
x2\/a2 + a:2 dx = + a ^ + #2 - ~ tal® + V ^
o o 1 + x
2 + C. •
S6. / a; sen \/x dx.
7.0 C'api'Uilo I. Integral i n d e U t i i
•4 Solucion. Tomando en consideraei6n que x dx « 2{v/x):i d(y/x) i! intcgrando por partes
obtenemos
J x sen \fx dx — 2 J(Vx)3 sen y/x d{\/x) — - 2 J{*/xf d(cos y/x) =
= -2\/x3 cos y/x, + 6j x cos \fx d(s/x) — —2yfi?cos -Jx bjx ti(sen Vx) =
- -Isfx? cos -fx + 6x sen yfi — 12 J V® sen \/x d(\fx) —
cos y/x + 6® sen y/x -f 12 / y/x rf(cos y/x) =
= - 2 y/xi cos y/x + 6x sen s/x + 12Vi cos y/x - • 12 sen s/x + C =
= 2y/x (6 - x) cos \/x + 6 (x - 2) sen y /x + C , x > 0 .
5 V -
4 S o l u c i o n . Integrando por partes obtenemos
f S ^ l d x = f = _ f dx =
J (1 + x2 ) ! ' JvT+ x1 J v/(l i - r f
" VTTx2 / V H " ? ' / l ' - f ? v T + ; ? J {\\-x2)i '
de donde J = ^ - ^ - e ™ 1 * ! * + C .
5 8 . I\ ~ J e<1*CiK dx> h = j sen bx dx.
< S o l u c i o n . Eviden'emente ,
?! _ I f cos bx d(eai) = --eM cos to + - / sen bx dx = V * cos to + -/2;a J a a J « a
I2 =5 — f sen to d(e ' J I ) = - e " sen to - -- / e"* cos to d x = -eni sen bx - -ly, a J a a J a a
eax(a cos to + b sen to) ea:c{ttsen to - &eos bx)
h = ••- - o t2 = — ; t j b C .a1 + r a- -t- r
5 9 . j e2xsen2xdx.
•4 Solucion. litiUzando el ejemplo anterior obtenemos
J e'1 sen2 x dx — J e2* dx — ~ J e2x cos 2x dx =
= 7 f i 2 1 " 5 e21 (sen 2x + cos 2x) + C. • 4 o
ft I. Inlc^mleN IihIi*IIiiIdtiN InmcdialaN xi I
Nota. I\f ivilrnJo tic Ins inU'ftmh'H t|uo vIimii'm m snnHimmlon rit* Jmh;i cn In reduction de tin Iriuomio
cuiu Initio n (a Ion mi canon k\i y on ol cmplm Lii* JiijimuLim;
/ = ; S i 'A «/<>.
IK. / ^ r = ±|jn|az±®z|-|-6'.
V. f ^ y/z-i.111 = In I® + vV ± a
z| + C, a > 0.
«• Si
iv. /
VI. /
e/tf
h — ••• •• I l|M
-X
dx
2a In
fl | ft
a
V <r
xdx
y/a2±x2
--•- arcsen - | C,
rt
- ±Va2 ± a?2 -f C
VH. / Vrt2 - tf2 r/;;; fVo2^ a;2 -f v arcsen ~ + C, a > 0
VIII. / Vx2 dt a1 dx
|R| I la I far las integrates:
a 2 ±*r In Jar -h Vx2±a2\ + C,
60
• i dx3x2 — 2x - I
4 Solucion. Tenemos
da:
3x2 -2x-l
d(X M3J
• •II I LJ_(x 1 _ 4 3/ 9
X 1
3a;+ 1
1
+ C, a ; ^ - - , •
1111 ii II
6 1 .
x dx
x4 - 2x2 - 1
4 Solucion. Evidentemente,
x dx
x 4 - 2a;2 - 1
d(x -1) 1
(x2 ™ l)2 - 2 4V2
x
In x
V2. •
1 - V 5
x2 - 1 + V2
+ c,
��
• I X + 1 x2 + a: + 1 dx
< Solucion. Teniendo en cuenta la propiedad d) del p, 1.2 hallamos
x 1
X2 + X + 1
da; ( * + ; ) + §
(x + 1
d f x 4-
^ V3 v3
63. / da;
sen a; + 2 cos a: + 3
� Solucion. Tenemos
m
dx
2 sen | cos | X 1
• • • •l4 cos2 | 2 * (tg I )
tg f + 1 a r c tg j — + "'
( tgf + l) + 4
2wk — < x < 7T + 2n?r.
2 2 C'ii|iiluln I. In tegra l i m l e f m i d a
Como la primitiva dcbe ser continua, entonces dent' quo wHIienrse
m | 27J.7T - 0) = I (IT •(- 2mr I 0), n £ Z, | 4 C'„ = - 1 | CH+,t C„+i = JT + CH.
A partir de estas expresiones determinamos C„ — mr + C, donde C = Co es una constants
arbitraria. Como 2mr - n < x < tt 4 2nw, cs deeir,
n < <7i + l, entonces n — ———
2ir
De este modo,
I(x) = arctg t 8 4 x j + C , + 2n?r;
I(tt + 2?(7r) = lirn L{x), n f Z. •
as—
64
• /
X d®
V5 4 x - x2
Solucion. Evidentemente,
x dx _ 1. dx
\/5 4 x - x1 y/5 + x — xi 2 v ^ F - i ) 2 '
de donde
f x d3: fcTZ 1 2x 1 „ I - y g ^ > 1 4 V21I — = = = = = =s - v 5 + ar -- + - arcsen — + C, - — < a; < .
J V5+x - x2 2 V21 2 2
65
• /
dx
v'x4 - 2x2 - 1'
•4 Solucion, Para |®| > \/lb \/2 se tiene
x3 dx _ x2 d{x2) (x2 - 1) d(x2 - 1) , 1 d(x2 - 1}
— — 4 - •
Va? - 2x2 -• 1 2yJ(x2 - I)2 - 4 2y/{x2 — l)2 - 4 2 - 1 ) 2 - 4 '
de donde
x 3 dx
y v x - - 2 x 2 - 1 2 2 1 '
66, j' \/l + x - x2 dx.
•4 Solucion. Para 1 < x < 2 se tiene
/ ^ r r ^ d ® = J J 9 - - ( * - ( ® - i )
2x - 1 / r - — t ... '••§• 2x - 1 , ' — - — v 2 + x — x* 4 5 arcsen —-—- + C. •
4 o 3
ft I. Intc^idli'N InilHIiiiriji* Imm*di«i1«m
i 7 / ( I x I -ft2) dx
* * ™ t p • • ^ ^ 1 1 • • i • • • • i J xvl \ x a:2
SnlucUin. Para x ]
* • m
2
< Y'f x / 0, teuemos
I
I XV
- X -f x
xVl +
••• • an i i tm • m i l ia
X — X
d x
dx
J xVl + x — x2
+ a? - 1
v T T a: - x
dtiy2
Kn la primera integral sustituyamos £y entonces queda
da?
? V I + x — x
dt
yt2- + fsgnsc - 1
Ink +
sgn a:
2
+ <\ft2 + t sgna; 1 In 2- + jb + 2VT+a; - x
2"
La segunda integral se calcula directamente
(x — I) dx
J ~~ I I I I I •11 II I B i l l I 1
V I + x - X2
( - 2 x + 1 ) dx
2 V l + X - X2
d (x - \)
I:iilalmente hallamos
(X I^22
r I I I I I I
)
I I I I I I B I W I I Mill I I I II • I I I I
yl + x - x2
x
1 2x — - arcsen — —
2 y / 5
1
I In 2 + x + 2>/l + x - x
1
x y / i + X ™ X
1 2x - 1 - arcsen ———K C.
2 V5
6 8 , a? 1
xVx4 + 1
da?
Solucion. Para x ^ 0 tenemos
a r + 1
Vx4 + 1
dx = sgn x
1 + i
sgnx - In x
x1 +
1
x
x
dx = sgn x
1
x
d ( x
i )X /
v v 7 ! ) + 2
+ C — sgn x • inx
1 - 1 + Va;4 + 1
• II • ••• ••••• •• I
x
I - L • • •
lijercicios
Calcular las integrates:
L J v'l - Ax dx. 2. f - dx
2 - f - 4 a : + 4/ dx1 fens$_ 7 r t i l•>$' /m J dx 4 a :
2 - M t f + S
dx
x'
4 - f - a
sen 2x dx
2 cots2 x i tPscn2 x - 5 f v3̂ 2 dx
dx
X
3/2 '
10
15.
��
f _ J COScos ir serr 11. f -^T. 12, fcos3xdx. 13, 14. f ex2x dx. X O COST x *f 0
. IS. J dx. 19, J cos2 a? dx.
COB
I n 2 X 16, f ^ d s . 17. f ^ J ar ar J ® J a: v In x
f xV^TT dx, 21+ / (ar + \/xz + x + 1 dx. 22, / ^ | 1) dx -H" 2 3 . /
(X ( J) dx
2A Caplttilo I. integral indt-llitld.i
24. j fy, x > I. 25. / i f c . O I. 26. / lnl«| dx,X 27. J p—p , ® > I.
m J M U ^ , . 3 0 . / ^ . 3
J gfetf l j j 3 3 L / ^ r t o . S t / p g ^ f e
35. / A/1 - 2x2 -f x4 dc. 36. / arcsen (sena!) dx, 37. arccos (cosx) rfi, ar € IK.
38. J a?v"T+a? do:. 39. / x\l + xf3dx. 40. /
Calcular las integrales siguicntcs etnpleattdo el metodo de susiituci6n:
M
-'Gifer «
a , . / a c t * . , s o . / j f f e * . n - j ^ : ; * , , . H . / ^ s ^ S .
53 f .j**-" rfx
Calcular las integrales siguientes empltrando cl metodo de integracion por partes:
54. J a;3 In x dx. 55. J" a:3 sen a; rfa. 56. J ^f^, 57. f x2 cm x dx, 58. J x sei\! x dx.
60. 62. f arcsen | da;. 63. / £ arcsen * da?.
fi4. / x2arctg x dx. 65. J ^ arctg f rfar. 66. / a; arcctg a: dx. 67. J da:. 68. / ^e1" dx.
69. / e " cos2 x dx. 70. J dx. 71. JWxdx. 72. / x3 In2 as (fa. 73. / ^ r dx.
74. / ln(ar + v V -h I 2 ) dar, 75. / a;" ln(ar + v V - a2)dx. 76. f x sh « dx. 77. / x shJaf dx.
78. / ar'ch ar dx. 79. / dx. 80. / aitsen x arccos x da:. 81. / dx.
82. / * V sen ar d*. 83. / ^ dar. 84. / 85. / 8 6 . / ^ .
§ 2. Integracion de funciones racionales
Como es sabido, loda fraction propia
P(x) P{x)
Q(x)~ ft » fri(® -
i=t j=i
donde los ceros de los trinomios cuadrados ayx2 + bjx -h qj son complejos, admite el
desarrollo siguicnte;
m y^f jg I , 4<} \,
<2(x) ^^(X-Xj)"' (x--^)^-1 Z-XiJ
1 / R ' S t + r 1 ' 1 + C 0 ' , dO'L , /-K \
j-^\(ajX2 + bjx + Cj)m> (ajX2 + l>jx + Cj)mJ"1 rtj.x1 + bjX Cj/'
I,as constantes A^, B\P y C^' se determinan por el inetodo de los coefidentes indetermi-
oados.
t\ *. Irtlrgracirin de luiu-mmv* rationales 2i>
Hn algunos casus am delerminar las cnjislimteH /l,n An ,.., A\ correspond Irs
.1 lot* factores (a; -- :«()" en el desarrollo
P(x) P(x) An An..., A, R(x)
— • ! ! ' ' ' - - ' " " ' m w i _ • I • l • r n >_ L — 1 - 4 |ll • — > 4 ™ "• — • I / I
Q(x) " (.x - xt)nr(x) (x - x{)n (x - ari)" 1 x - xv r(x) 1 x
en ronveniente utilizar el metodo siguiente,
AI multiplicar la igualdad (2) por (x — X\)n obtenemos
® - An + (x - ZAA.-X + --- + {x~ a + {x- a , ) " ( 3 )
liMiieudo en cuenta que para x — x\ todos los sumandos del segundo miembro de la
ij;iiiildad (3), salvo el primero, son iguales a cero tenemos
A r(x) (4)I X ^ X |
I Vrivando luego la igualdad (3) hallamos
) - An+2(x - )An^2 + •. - + (n - - X! r 2 ^ + - a?!) + (a? - ^i)""1 ^
tie iltmde tenemos
a 1 =n̂—1 — I r(x) J (5)X=V\
lu'pitiendo sucesivamente el proceso descrito llegamos a la formula
1 (m\(w
(jiu' se usa para determinar las constantes An) A,t-.i>, >., A\ correspondientes al factor
x j )n.
De un modo analogo se calculan las constantes del desarrollo (1) correspondientes
ii olros ceros reales del polinomio x i—> Q{x).
Aplicando el metodo de desarrollo de fracciones en factores mas simples calcular las
inlegrales siguientes:
f o x ^ \ ^ . dx.
J ar - 5ar -f 6a:
Solucion* Separando la parte entera de la fraction
x3 + l 1 , 5xz-6x + l 1 H—
x3 — 5#2 6a: a?3 - 5xz -f 6x*
V descomponiendo el denominador en un producto de factores obtenemos
5a?2-6x + l 5X2-6X + 1 A B , C
— h r H
','H ( ' . i j t j inlo I. tiilijJii.il l inli ' l i i i it l , !
73. f
J 3^+1
Solucion. Dado que ar'1 4-1 = (x | l)(xz — x +1), entonces
-.A f J ^ + f ^ L d x .J +1 y «+i + i
De modo habitual se oblierte el sistema
x 2
x]
0 = A + B,
0 = -A 4 B+ C,
1 = A+ C,
de donde A = B — — p C — Asi pues, para x £ — 1
f dx i 1 /• g - 2 , K , t i I 1 / ( * - l ) d * '
2 J ( x - l r + l 3 6
1 2 x - \ _ 1 ( x 4 l ) 2 , 1 , 2 » - l i i j
4 —p arctg —7=— + C = - In ~ ~ -'--- + arctg —7=— + C. ;
V3 b V3 b x?- ~ x h y/3
7 4 . f 4 ^ - .
J xi - i
4 Solucion. Tenemos
/
x dx _ . / d® f Bx + C ,
J - ;i ~A J x-i 1 J x2 + x + i a x '
do donde hallamos x = A(x2 + x + 1) 4 (Bx 4 C)(x - I);
x 2
x 1
x°
t=A + B,
\ = A-B \ C,
0 — A ~ C.
Resolviendo el sistema obtenldo tenemos
4 = 1 . B = -\, E^1-.
3 ' 3 ' 3
Por consiguientc,
+ 1 arctg ® E ± 1 + C = i t o - f e ^ 4 4 = <* # 1).
75. f -p.
7 ar* +
liUefti.uinti de Itini'luiM'N liirloiMlcH 2{>
Hiiliit icMK Dado t|ue
xA 1 - (x2 + I f ~ 2x' {x* | xJl | !)(*' xs/2 |-1),
wimuM ii kiscar cl desarrollo del integrando en fraceiones simples en la forma
1 Ax + B Cx + D
x4 + l x2 + xy/2 +1 x2-xV2 + l
A piiilir de la identidad
1 = (Ax 4- B)(x2 - xV2 + 1) + (Cx + D)(x2 + xV2 +1)
His iiMinie el sistema de ecuaciones
x3
x2
x1
, 0
A + C,
0 = -V2A + B + V2C + D,
0^A-VlB + C+V2D,
xu [ 1 = 5 + 2?,
ilt- 1I1 tinlc A — -C — -X^, jB = D = Por consiguiente,
[ * + ^ dx--±- f dx
•J'1 I I 2\/2 J x2 + aV2 + l 2V2J x2-xy/2 + l
4 , , 1 f dx I f »- ^ dx + -
s/2 J x2 + xVl4-1 4 J (x + £\2 + l 2V2J x2 - xVl + l 1 2V2J
1 11 •• 1 11 rrm n- dx +
lomando en consideracion las formulas de sumacion de las funciones arctg (v. ej. 268
tlrl a\\>. I, 1.1), obtenemos defiriitivamente
t dx 1 . x2 + xVl+l 1 xV2 , 7T ' = / —I—7 = Jn —: 7= h —7= arctg =• H — £{x) + C,
w ' x4 + l 4V2 x2-xV2 + l 2V2 °l-x2 2V2
it 1111 u 11
+1 si x > 1,
e{x) = { 0 si \x\ = 1,
si X <
/(I) = lim I(x); J ( - 1 ) = lim I(x). •
x—>1 ar^-t
••"••II MM I •
7(i. dxX4 + X2 + 1
M m ion. Dado que x4+x2 + l = (x2 +1)2 - x2 = (x2 - a? 4- l)(x2 + x + 1), el desarrollo
iMisra en la forma
1 ^I + B t Cx + D
+
I m2 1 1 \ ™ i 1 .... ™ 1 1
; ! 0 t.'np/tulo I. Integral i m l e l i n i d a
D e la idenlidad I = (Ax 4 JJ)(x2 - x 4 1) + (Cx + D)(x2 + x + 1) se obt iene el sistema
0 « A + C ,
0 = -A I B 4 C I D,
0=A-B + C + D,
1 ~ B + D,
dc donde A = B = ~C = D = De cste modo,
f ^ I / » + * dx - 1 f x ~ • dx =
y x 4 ! ® 2 - ! ! 2J x2 \ x |-1 2 J x z - x + l
1 a;2 4- x _+1
~ 4 x2 - x + 1 ' 2V5 1
•1 , 1 / . 2x I 1 , , 2 x — 1 \
^ + a r c t g - ^ J h
v 5
Notese que (v. e j . 2 6 8 de! cap. 1, t. I)
2 x + 1
arctg :
. 2 x — 1 . , .
+ arctg = arctg — - j + 1t£(x),
donde la Juncidn e(x) se inlrodujo en el ejemplo anterior, y los valores de la funcion arc
del segundo miembro en los puntos x — son iguales a sus valores limites en dichj
puntos.
Finalmente tenemos
/ dx 1 xV3, = \ In % * x •( V a r c t g + + C.x + + x2 + 1 4 x2 - x 4 - 1 t - x 2 2 ^
77
• /
dx
x 6 4 1
^ Solucion. En primer lugar transformemos el integrando
1 (x" + 1 ) 4 (1 - x 4 ) x 4 + 1 1 - x 4 (x' - x2 4 1) 4 x 2
x 6 + 1 2(x6 + 1) 2 (x6 I 1) 2 (x6 4 1) 2 (x2 4 1 )(x4 - x2 4 1)
(1 - x 2 ) ( l 4 x2) 1
1-
x 2 - l
2 (x4 — + 1 )(1 + x2) 2 (x2 + 1 ) 2(x6 + 1) 2(x4-x2 +
Los dos primeros sumandos se integran con facilidad, por eso, hallaremos
dcsiurollo en fracciones simples solo del ultimo sumando. Tenemos
-x2 +1 Ax + B Cx 4 D
2 (x4 ~x2 + l)~ x2 + i/3x 4 1 x2 ~ \/3x4 l '
-y + = (Ax 4 B)(x2 - V 3 x + 1) + (Cx 4 D)(x' + S x + 1);
0 - A + C,
- ~y/3A 4 B + y/5C + D,
0 — A - V3B + C +
A = It 4- />
J?/ Inli'j*raci6n do (uiuioiicN ration,lies
It* donde A - —C B I) por lo t'tiitl
1
-f
x
II • • I "f
1 * -I f X 2
X4* I-1 2 (x2 + 1) 2 (.x6 + 1) 2a/3 X2 + V3X 1 2V3 x2 - V3x + 1
Integrando esta igualdad obtenemos
dx
x6 4 -1 2
arctg x + — arctg x -\ ^ In — h C.
6 4V5 x2 - V 3 x + 1
r m H T T T n I I • IB I I II
7H
x4 + x3 - a;2 + x — 1
Moliiciorn Dado que x3 - x* + a;3 - x^ + x - 1 — x4(x - 1) + xz(x — 1) + (a: - 1)
(.1= l)(:i;4 + x2 + 1) = (x - \){x2 + x + l)(x2
I ( tones simples tiene la forma siguiente:
x + 1), el desarrollo del integrando en
1
x x4 -h x3 — x2 + x — 1 X — 1
A . Bx + C Jlx + E
X̂ IC -f" 1 X X -f-1
I v Li identidad 1 = A(x
i tintemos el sistema
+ x1 + 1) + (Bx + C)(x - l)(x2 -x + l) + (Dx + E)(x3 - 1)
x
X'
ar
x
x
i
o
A + B + D,
0
0
0
1
- 2 B + C + E,
A + 2JB - 2C,
- J 3 + 2 C - Z ? ,
A - C - JS.
^r'uilviendo dicho sistema tenemos
A B i C
3 ' 0
- i D
6'
Am |uies,
dx
• ••• • ••••••• - • •••••••• i •
r'' x4 + x? - x2 + x - 1 I In I®-II
I
6
2
In | a: +a; + l 1 , 2x - 1 , ^
V5 "v^T"
1 , (x - l)2
7 ^ ~> 7 6 ar + x + 1
1 2x -
V=3 ^^
1 + C, x ^ 1. •
• ' h •• • • • • • • • • » • • -• I I I I I I -
74). i Bajo que condicion el resultado de la integration f — ax -f- bx + c
x3{x - 1) dx proporciona
ui luncion racional?
Solution. La integral sera una funcion racional si en el desarrollo
ax2 + bx + c _ A^ B^ D
x3(x — l)2 x3 x2 x
E
(x - 1) +
F
x — 1
Ion rocficientes D y F son iguales a cero. Imponiendo, pues, dicha condicion tenemos
ax} 4- hx A-r = A(x2 - 7x + 11-1- B(x? - 2x2 -I- x) 4- Ex?.
.'W Capfltilo i. Integral indduiida
jgualando los one licit-nit's tie Ins lerminos con igual potuneia de x obtenemos el sistema
x3 0 = B f E,
x1 a. — A - 2B,
b = -2JL + B,
c — A.
Eliminando de este sislema las ine6gnitas A, B y E hallamos la condicion requerida
a + 2b + 3c = 0. •
H Aplicando cl metodo dc Ostrogradski hallar las integrales:
�� f xdx
J (x-l)2(x + W
A Soluci6n. Tenemos
jc dx Ax2 -I Bx + C ( dx f jtx ( x - l ) 2 ( x + 1):! ~~ (x - l ) ( x +1)2 + J x - 1 + J X I 1 '
Derivando ambos miembros de la igualdad hallamos
(x2 - 1)(2 Ax -I B) - ( S i - l p i V f l r f C ) D
- H - • + E(as - l)z(® + l)3 (x - l)2(x + l)3 ' x ~ 1 ' x +1'
Redunendo a comiin denominador e igualando los numeradores obtenemos
x = -Axi + (A - 2 B) x2 + { - 2 4 + B-3C)x + C- U +
I D{x - + ?>x2 |- 3x +1) + E(x4 - 2x2 + 1).
igualando los coefieientes dc los terminos con igual potencia de x en ambos miembros de
esta identidad llegamos al sistema
® 4 0=p D + E,
x3 0 = -A + 2D,
x2 0 = A-2B- 2E,
1 = - 2 A + B-3C-2D,
x° o - C-B-D \ E,
dc donde results
Con si g uien te mente,
x dx I x-bx-!-2 , I . -f — m {x - J.)2(as + 'I)-' 8{a; - l )(s +1)2 16 \x-\ x + 1 C, x^ ±1.
8 i - I whf
fjj. hiLc^radiin de fiiiii'lom^M im'ioii.ilea
4 SoluciAn. 'Ihnenuw
dx
(a;3 + I)2
Ax H- Bx + C , _
i -i l X+ 1 � � � � � x2-x + �
i Jerivando esta igualdad y reduciendo el resultado a comun denominador obtenemos
In ii frntidnd 1
(/V.r | F)(x4 + x3 + x + 1), de donde
x5 I 0
Ax4 - 2Bx3 - 3Cx1 + 2Ax + B + D(x or4 + x3 + x2 - ® + 1) -I
xA
x
X
X
X
1
0
0
0
0
0
1
D + E,
-A- D + E + F,
- 2 B + D + F,
—3C + D + E,
2 A-D + E + F,
B + D + F;
A^-C^O, B 1
3 '
D E - 2
9'
4
A
tlx x
(X t):
f I In I® + 1| - |
3(®3 + l) 9 aj
x
2
x-2 *
_ _ _ _ _ / f m• II I B •••••• I I I I III I • f • •
2 - x +1
. 2 . 2x-
2 ^ + i + ^ a r c t g " v f
1 + C7 ® ̂ -1 •
8 2 . x
2 dx
I IB •• II B l l I
(x2 +2x + 2)2'
4 Solution. Tenemos
a; Ax + B
2 + 2x + 2 )2 x2 + 2x + 2 +
Cx + D Jax j x2 + 2x + 2
lr donde, derivando y reduciendo a comun denominador, llegamos a la identidad
x1 = A(x2 +2x + 2)- (Ax + B)(2x + 2) + (Cx + D)(x2 +2x + 2).
Jara deterrninar los coeficientes incognitos hay que resolver el sistema siguiente:
x'
x
x
X
I
0
0 = C,
1 A + 2C + D>
0 - -2B + 2C + 2D,
0 = 2A-2B + 2D,
* r 4 limde se obtiene
A = Q, J3 — 1, C=0, JD-1
t 'nf i uices
x dx 1
I I II 1 BTTTB
(x2 + 2x + 2)2 x2 + 2x + 2 arctg (x + l) + C. •
HX dx
( ^ T T r
ij||>Itulo I. Integral I ihIHIi iM.i
S o l u c i o n . luiK!mtis
f - ^ ±
J (*4 4 I)2
Bx {-Cx + D . f Ex I- Fx' H Gx + If ,
•j — xun a;4 +
de donde
1 = (3Ax2+ 2Bx + C)(x4-\ 1) - 4x3(Axi+ Bx2+ Cx -I D) + (:x4 I- Fx2+ Gx -f H),
0 =
0 = -A + F,
0 = -IB 4 G,
0 -3C 4 H,
A1 rosolver dicho sistema tenemos
C = - AD 4 E,
0 = 3 4 4 F,
0 — 2B I- G,
1
Por consiguiente, / dx 77 + 3 /' da4 J sc* + r (ai4 + l)2 i ( » * 4 1) 4
Haciendo USO de 1cm resultados del ej. 75 finalmente obtenemos
dx x I 4 ~ — I n — s — r -I- — ^ arctg - _2 4 ^ 4 C,(x4 + 1)? " 4.(ic4 •+1)16V5 s2 - -H 1 8V2
donde £(x) es el niismo que en e) ej. 75. •
1 - x ^ t>V2
A Solution. Aplicando la formula de Oslrogradski podemos representor la integral en la
forma/ dx Ax7 + Bx6 4- Cx5 + Dx4 + Ex3 -+ Fx2 + Gx + H {x*-^ f (a:'1 - l ) 2 / Kx3 4 Lx2 4 Mx 4-JVa * - 1 dx.
Dcrivando csta igualdad y reduciendo el re sulfa do a comun denominador obtenemos
la identidad
1 = (ar4 - l)(7Axs 4 6Bx5 |- SCx4 4 4Dx3 + 3Ex 2 +2Fx-r G) -
- fix3(Ax7 + Bxb + Cx" + Dx4 4 Ex3 + Fx2 + Gx + H) 4
+ - 2x 4 1)(Kx3 t- Lx2 4 Mx 4 N).
Comparando los coeficientes de las iguales poteneias de x en ambos miembros de
la igualdad tenemos
X11 0 — fir, X5 0 = -6B - 6F - 2M,
x10 0 = -A | i , x4 0 = ~5C - 7G -2N,
X9 0 = -2B + M, 0 = -4D - 8B 4 K,
x8 0 = -3C + N, X2 0 = - 3 E 4 L,
X7 0 = -4D - 2K, X1 0 = ~2F f M, «6 0 = -7A -SE-2L, 1 - - G 4 N.
'(','. Jnlr^iai ion do lutn iotirn iJiiniMfrs I ' l r
Ki'fuilvirndo el sistemii hallamos
A H - D = J'J - F = H - iiT - L - M (h <7 7
321
I h- ivik' inodo,
(a;4 - 1):
7x5 - 11a: 21
32 (a;4 - I)2 + 32
dx
x' 1
< almlando la ultima integral obtenemos finalmente
dx
Cx4 - 1):
7x5-UX 21 ,
32 (a4 - l)2 128
x 1
i ii • i • •• ••• i
X + 1
21
64
21G ~ —, JV :
32' 32
arctg x + C. •
—n 1 1—i—••• h i HI
I >HI»I minar la parte racional de las integrales siguientes:
H.ri x
2 + l
• • • • • • •
(x4 + a?2 + l)2
dx
H u \ 11 r i 6 n. Tenemos
x2 + 1
(x* + x2 + 1): dx
Ax3 + Bx2 + Cx + D
• • • Ml
X4 + x2 + 1 +
Ex3 + Fx2 + Gx + H
i •• ••• •• i
xt + X1 + 1 dx,
lr Jumle hallamos la identidad
i " I [ (x* + x2 +- l)(3Ax2 + 2Bx + C) -
- (4a?3 + 2x)(Ax3 + Bx2 + Cx + D) + (x4 + x + l)(Ex3 + Fx2 + Gx + H).
A partir del sistema de ecuaciones
x
x
x
x
6
0
0
0
-A + Ft
-IB - G + E
0-A-3C + F + H,
x
X
x
X
3 J
1
0
0
1
0
1
-4D + G + E,
3A - C + H + F>
2B - 2D + G,
C + H
iMi'iirmos = = D = = H _ _ 2 6' v 3' ~ — - - 67 " — 3 *
I )e este modo, la parte racional es igual a la expresion
x + 2x
6 (a?4 + x2 + 1)' •
HU• i 4 ®
5 - 1
(x5 + x + 1): dx.
Nulm ion. El desarrollo se busca en la forma
I 4 a5 - 1
I I ���� D:
dx Ax
4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E
I I I B I II • • I I
a?5 + x +1 +
Fx* + Gx3 + Ha? + Kx + L
X5 +x + 1
dx
n11
k
Ini ide se obtiene la identidad
(x5 + x + l)(AAx3 + 3Bxz + 2Cx + D)-
- {5x4 + l)(Ax4 4- Bx3 Cx2 + Dx + E) +
+ (x* + x + l)(Fx4 + Gx3 + Hx2 + Kx + L):
C';i[iilli!o f. Inlt-g!>il Intli'tfilillii
Ai rosoSvor el his lo in a dt1 ccUtK'i tines
x" 0 =» t\ x'1 0 , 3A -- 5li + G i- F,
x* 0 = --A 4 G, x3 0 = 4 A +2B+G + B,
ar7 0 - ~2B \ H; x3 0 = 3 B + C + K+E,
a;6 0 = - 3 C + K , a 1 0 = 2C + L + K,
x5 4 — -W + L 4- F, a:0 -1 - D - E E,
obtenemos A = B = C — E — F ~ G = H = K - L - Q, D — - 1 . De este modo, la
integral se reduce a SLI parte rational
— x
X5 + X + l' \
1 Empleando disttntos metodos hallar las integrates siguiertfes: j
f
J x*> + \
Solucion. Tenemos
f >J, - A f L. 1 f d(xz)
J x6 + l 3 J x* + 1 + 2 J x^ + r
Had en do uso del ej. 73 tenemos •
f x2 \-x . I _ 3 , J 2x2 - 1 1 . ( a j 2 - l ) 2 w
I ~T-T7 dx = ~ arctg ar + — = arctg - •• - + — In - -, + C. •
j i ' + l 3 6 2 < & V3 12 a s 4 - ® 2 * !
88. f J" ^ dx. J x(xs + 3a;4 + 2 )
Solucion. Tomando = t obtenemos I
f x4 -3 . 1 f (t-3)dt
J xixs + 3a;4 + 2) 4 J t(t - \)(i ~ 2 f
El desarrollo de la funri6n en fracciones simples se busca en la forma
t -3 _ A D^
t(t | +2) ~ t t +1 t • 2' \
de donde t~3=A(t I 1)(t + 2) I- Bt(t + 2) + Ct(t + I).
AI to mar sucesivamente t — 0, — 1, —2, obtenemos
a = 4 b = 4 > c = 4 1
De este modo,
= - I In ®4 + ln(x4 +1) - | \u(x4 +2)+C, xj- (1. >\
(> o
/
Jln-1* d x
xn + 1
v.' I iitc^i.u iui) tie funi'ioiH'N J.u inn.iIrN [\7
4 Solution. Se tiene
n J x" -j I n J xn + 1 xI I
n
iliihilc oo < x < foo para n par y x - 1 para n impar (n / 0). •
«m. / ' — d x
J xU x{xl° + I)2 '
4 Hnliuion. Multiplicarido el numerador y el denominador por x tenemos
I tlx 1 f d(x5) I f (x10 + 1) - sc10 5
I .i-(a:«r+ l)2 " 5 J x5(xw + l)2 5 J x5(xw + I)2 '
•, 5 r w„io , -n „io _s
. / Vx5(x10 + 1) (a;10 +1)
\ 5 , i / ^ + 1 ) — a? w . s ,
1 x5 x5 \ „ fk 1 , • 5 1 , , 10 . 1
5 I I I • IT) = To + x) + TnTx^TTi + c •' ar s1 0 + l (x10 + l ) 2 / v ' 5 ' 10 ' ' 10(xlo + l)
1 / . x10 . 1 •
()| f 1 - s 7 d
4 Noliirinn. Sea x = entonces obtenemos
I ®
.!'( I | X7) 7J t(l + t) 7 J f(l + f 7 J \t
2 ^ dt
1 + f /
| (In \t | - 2 In [1 +11) + C = | In ^ ' + C, a ^ 0 , - 1 . •
• I II I •• • • • I ' l l ' * ••
<)2. / „ dx.
a;4 + «2 + 1
4 "ml m i on. Para x ^ 0 tenemos
/ + J rrfx= I 1 + dx= f ^
+ 1 ./ x2 + 1 + A X ( * - £ ) + 3
J_ x2 - 1 (Ci si x> 0,
g xV3 {Ci s i 33 <0-
Como la primitiva debe ser continua, tiene que verificarse
*<-0) - fig + C2 _ - ^ + C, = #(+0),
<!>(:*:) es la primitiva del integrando.
De este modo,
a?4 + a2 4-1 a x = o.
X ('iipilulii I, Integral iml i ' lh i id . i
• • f 93. / dx.tf t- x? h xl + x + 1
< Solucion. Tms lii realization de vaiias transformaciones evidcntes tenemos
f I z k d x = f £ f c ± i l =
J a*+a?+a* + x +1 J x2 +* + 1 + ± + £ ,/ (x + 1)J + + I) - {
-
J ( j B + i + I ) * - ! v^ 2 ^ + ( l f v / 5 ) x + 2
•4 Solucion. Par analogue con el ejemplo anterior lenemos
-U- 1 r w+p , i h
95
y X s + i
A S o l u c i o n , A1 efectuar unas transformariones apropiadas obtenemos
f x l ± l f + + j /" f x2 dxJ a* + 1 dX ~ J (a^ + lX^-^ + l) J + l j xb +1
96.
Deducir la formula de recurrencia para el cakulo de la integral /„ ss f > j-1^.—.„,
a / 0, Empleando dicha formula calcular /3 = / ^Tz'̂ iiy -
Solucion. Hatiendo uso de Ja identidad
a:c2 + 6® f e ==• ^ ({2«a: + i»)2 + (4rtc - b2})
y efectuando la sustitueion 2 « x + b ~ i obtenemos
A1 integrar por partes /„ _ [ queda
r (4«)n_I / f , f f + A-A
W 1 * _ (4a)" " ' ( 1 — Tt) [ dt /' ^
2a(t2 + A)" - 1 a J {t2 + A)'1-1 ' (i J (t2 + A)" '
es d e d x A - i = a j g ^ L - 2(1 ~ n)In A +
t
Ji'f. InU'gracion tit- luni ioiu'N in.uiou.ilrs IV)
Kesolviendu t\sl<i igualdad res pec to i i /„ lia I Ian inn
(4 a)nH (3 In) 2a
n " A(1 - n)(t2 + A)»"J 1 ( I n)A " "
Sustituyendo t por su valor tenemos
T 2ax + 6 2n 2a T
W ^ — m — n n i l I J I I I H I , , , , . — , „ M J M M ^ ^ ^ ^ ^ M ^ ^ ^ ^ ^ — • i •• • • i m i i i i m i • i • G- • • • JT . j
B ~ (n - l)A(aa;2 + bx + c)""1 n - 1 A
l(n el ejemplo propuesto a = & = c — 1, n — 3, A = 4. De este modo/
2x + 1 . f dx 2x + l 2x + l
J O V I WU(x2 4- x + l)2 J (a:24-xH-l)2 6(x2±x + l)2 3(x2 + x + l )
2 f dx 2x + 1 2a;+ 1 , . 2x + l
• • • ™ " ~ I 1 i~~| I I •• • L ' • • • • • • ••••i—m n—n—• 1, 1 •• • i—•—i • • • • • F . , . . . .
I'.jrtvicios
II a I tat las integrales empleando el metodo de los coeficientes indeterminados;
•/' OT 88. / dx. 89. / dx.
I > 1 ' ' J \ * / " / JJ+x+A
llallar la parte racional de las integrales siguientes:
-M /' dx 94 f f2~3a+a;2) rfj, Q5 f ^ rfar 96 f Iz^r.?/ d x
§ 3, Integracion de funciones irracionales
Yhdiante la transformation de los integrandos en una combination de funciones
i iir i oil ales hallar las integrales siguientes:
M7. j dx, x ^ -1,
x 4- v 2 + x
Solucion. Tomando x + 2 — t tenemos
x+y/I+x J P + t-2 j V (f, - +1 - 2)
f dt
4* 21 +J (£ — l)(f2 + f + 2)
Alii ultima integral se le puede aplicar el metodo de los coeficientes indeterminados
3t2-6t A , Bt + C
~ r(i-l)(t2 + t + 2) t-1 t2 + t + 2>
dr donde hallamos
4 4 2
v < .ilnilamos luepT) la integral
4 0 Capil i i lo I. Integral i n d r t l n l d a
t - i„ _& f _dt,_ 15 [ ^
1 + 2) " 4 j t - l + 4 J t2 + / !• 2
„ In j f c * 1| + f In 112'+ * 2| - arctg + C
Asi pues , tenemos
/ x - t f T + x , 3 , 4 3 . 2 3 in —
1 5 . ,,2 , . , 27 . 2£ ••!•1
dx - -T - ™ r - 7 In - 1| +
x + 4 2 4
98. /' X dx
./ - x)
Solucion. Rs evidenle que
f = [ { p ! L Q < x < a .
J yx*(a -x) J \ a - x
' Iras la sus t i ludon = t l legamos a la integral de una (unci6n racional
Inlegrando p o r partes obtenemos
f f t* .. erf5 f dt at f dt I = a - - t l - a j - ^ M - ^ - a t + a f = + . j
La ultima integral se calcula transform a ndo el integrando del modo siguiente:
f dt 1 f (1 +t2) |- (1 - i2),, I f 1 +t2 I f t2 - 1 ..
j n i 3 ~ 2 / i+i*
2 J P + jz 2 J + i 2 j (t-})Z + 2 2./ 2 — (l + j)
- a n * » — 1 - — In + + 1
Asi pues, obtenemos
at a . f2 + (i . j g - j , „ t/ = — - — t t t —7= In — — - - — a r c t g — p - - C. •
99. / —;_-.. - . - — = = . (n es un niimero natural).
I "/7„. „ M l + l . MIl-1
fj.'l, Integration do fuiiriniit^ lihumii.tU's
Nnlik'itin. Obsorvetims tjntr
I dx
'<A
rn—run—•-
x - a)n+l(x - b)n— L
dx
i 11 * n " i i —
x—bkmos - - - — tn, entonces r~x -a ! r—
da; —if'1"1 dt y se tiened—a
I b
n f tn~l
- a J tn~l dt
n
b dt
n
b - a t + C
n
b - a
A|>lii jndn la formula
Pn(x)
• •••i ••
y
dx = Qn-i(x) y + a
dx
V
5
In
X b
x — a + a •
111 • ••• ii • • i i rn
J • • 1
iliMide y y/ax2 + bx + c; A es un numero; Pn0c) es un polinomio de grado w y
*Ju es un polinomio de grado n — 1 calcular las integrales siguientes:
100 X I ni l I • I •
V l + 2x - a?2
41 Si>lu( ion, Tenemos
x3 dx
V l + 2 x - x2
(Ax2 ±Bx + C)V1 + 2x - x2 + A dx
y/2-{x- 1):
I if i ivando esta identidad y reduciendo el resullado a comun denominador obtenemos x
IJ I /?)(! + 2x - x2) -f (^x2 + Bx -1- C)(l - x) + A, de donde
.....
x
x
X
X
1
0
1 3,4
0 = 5A - 2B
0
0
2A + 3B-C,
B + C + A,
B _ 5
6 '
Asf pues, para |x — 1| < V2 tenemos
1
3J
C 193 ' A = 4
x dx
• •• •
101
Vl + 2x - x2
• j x4 \/a2 - x2 dx.
2x + 5x +19
r r n 1 u
6
s/l + 2x — x2 4- 4 arcsenx — 1
V2
• + C. •
4 Solucion. Tenemos
s/a?-- X2x2 dx V - X
6
^ — • III • —"
v a2 — x2
dx
(Ax5 + Bx1 + Cx3 + £>x2 + Ex + F ) V a 2 - x2 + A dx
x
^ donde
, 4 . ^ n 3 . 2 . n m \ / . . 2 2\ / 3 , T-k 2 • i T 7 I \ i \
42 CapiLulo I. Integral ind«? fluid.1
Para deternmiar los cocficicntos del desarrollo qt>mparemos los coefirientes de la
iguales potencias de a1:
x
x5
0 = 3Ca2 - 2E.,
0 = 2Da2 - F,
0 = Ea2 + A.
- 1 =» - 6 4 ,
0 - - 5 B ,
a2 - 5urA - 4C,
0 - 4Ba2 - 3P,
A partir de este sistema obtenemos
4 = 4 i l - 0 , = F = 0, X = a~
Por consiguiente,
^ ~ x2 dx = ( y ~ 3T ~ ~ x2 + 16 arCSen jf| + C> M ^ l«l-/
102
• I -
J (x 4
dx
(x +1)5 Jx2 \- 2x
A Solution. A1 uSilizar la sustitucion x -f 1 — j obtenemos
f dx f t4 jjej
~ ./ (x -| I)5 Vxl + 2x ~ J vT^F'
Calcularemos
- J ^Ml (A\t\3 + B\t\2 + C\t\ 4 />) vA - f2 4 A j d\t\
Derivando respecto a |f| y reduciendo el resullado a comun denominador obtenemos 1,
identidad -\t\'1 - (34|(|2 4 2B\t\ 4 C ) ( l - Jij2) - li|(4if3 4 J5[i|2 I C\t\ 4 d) 4 A
donde
!*|4
\t\3
\t\2
- 1 = —44,
0 - -SB,
0 - 34 - 2C,
\t\
1*1°
0 = 2 B - D ,
0 = C + A ,
14 = j , B = 0, C= X> = 0, A = - | .
De este modo,
•= (—L
\4 ® 4 14|:e 4 1 |3 S|ar 4 1|w1 1 3 11 - t - r= - - arcsen ; — 4 C -••=(® 4 l)2 8 |® 4 1|
3®2 + 6® + 5 / T 7 7 3 1 , . . ^ n — - arcsen l- 1 + C , x < - 2 , a: > 0. » 8(3 4-1)4 > + l|
103.
[j.i, tnlegtacitin de (iimimicrt h ia* ioiules
NoluciYm. Tenemos
-f-2 x2 + 2 I 1
®z + l (a2 + l)Va? + 2" \/x? -1 2 ' (x2 l )v / 5 r +2 '
= In (x + + 2 ) .
I'ara calcular la integral / cambiemos de variable = t, entonces
jiird.i
A dx f dt _ _ a?
(a2 + i)Vs?Tl " J t2 +1 " a r c s
J W i •< isiguiente,
J llll I 1 I I
, dx = In + v W 2 ) + arctg . x 4- C.
^ +1 v 7 y/x2 + 2
•
Mmhitiendo los trinomios cuadrados a su forma canonica calcular las Integrales
Nt^mcntes:
104 x dx
(4 - 2x + x2)V2 + 2x - x
Fiolmiori. Tenemos
( . x2 dx f dx f (2x - 4) dx
W II • • 11 1 • • ••••• • I I I • I M I • I 111 I •••• • I I I • I • • I I • I I I • M^M • ••• • • • • • • I | L H—r^H
B J J ! • • • • | P • ••• I • • •• • • J " ™ ™ M • ' ~ ™ • •••! • I
• •• •••• I I I I •• I I I I •• I I
(4-2x + x2)V2 + 2x-x2 J V2 + 2x-x2 J (4 - 2x + x2)V2 + 2x
I | imera de estas integrales se calcula directamente
— +
x
I dx f dx x -1 arcseny/2 + 2a? - x2 J - (x - l)2 V3
11 k U segunda integral tomaremos x — 1 = z, luego
dz,
(3 + zl)V3 - z
integral obtenida se descompone en dos
T . T I 2 zdz „ f dz -*•! "t" J-2 — i ; • ^
(3 + zz)V3 - z2 J (3 + z2)V3^z
I ii primera de ellas se calcula mediante la sustitucion y/3 - z2 = t:
.Zi — 2 / — — — —̂ r In
6 ~t2 Ve V6-ti
V6 +1
Kty+ivsando a la variable x tenemos
T 1 , Vfi + V2 + 2as - x
44 CiipHulo 1. Integral i i u M i n u l a
IVirn calcular la integral I\ •-- —2J ponemos t, enlonci'S
, 2 r dt y/2 yz. y/2 . V2(x - \)
De este modo, finalmente tenemos
1 . V6 + V2 + 2x-x2 V2 . V2(x ~l) , _
? = arcsen—= = In — .. — arctg , — = = + C. •
V3 V6 s/b - V2 + 2x - x1 3 6 V2 + 2X
1 0 5 . Calcular la integral
! = f
7 (a:2 - ® + l)\/®r+® + 1
haciendo uso de la sustituciftn lineal fractional x = **
•4 Solution. Aplicando la sustituci6n propuesta obtenemos
J- _ 1 <g i - f f l r -a+t ) («+tu )+( i +t?
1 J ! + l r ' n L (1 + f )
tn j. fttW J. n
x + x +1 = .2 . _ , , (<* + pt)
2 + (l+t)(a+pt) + ( l - t f
(i + ty- • j
Defmamos los numeros a y p a partir de ia condicion de que los coeficieiites dc t
sean iguales a cero. Tenemos
2a/3 — a — 0 +2 = 0, 2a,8 +a ]-p + 2 = 0.
AI resolver el sistema obtenemos a — 1 y j3 — —1, luego
l - t , -2 dl L . 3t2 41J - — ; , dx ~ - ® — 3S 1 =
1 + f " (1 + f ) 2 ' (1 i )i2'
V P + ® + 1 = (si 1 -1-1 > 0, es decir, si x > - I ) .
De este modo,
j _ _2 f (t + Vdt_ _ 2 f tdt _ f
� � p P � l ) V F T 3 � (3t2 + 1 ) v F + 3 "
dt
Para elcalculode Laprimera deestas integrates utilicemos la sustitudon \>zz + 3 = w.
Obtenemos
2 f tdt f du _
J (312 f l ) / £ + 3 J 8 - 3n 2
1 J I- y/3u J _ h 2V2 + ^/W + 3)
2V6 ' 2s/2 - Vlu 2 V6 2y/2-y/W+S)
Regresando a la variable x tenemos
2 . tdt _ J _ h | ( 1 + x)V2 + n /3(® 2 + ® + 1)
/mi i fn~r~o . rn
f| V Integration de f'umfoiieN hiwioiiiileH I :>
ii :ie|;iiiida integral Nec.ilnilii media rite la susliludOn yp - ^ t
' ./ (3£
I • • - ~ | | • |
(3£2 f l)y/iTT5
2 + :l \/2 iirdg
f i V
V2
V2 (I x) • • • • • 1 • I-:/: I I
Hnalmente tenemos
/ 1
V6
z In
(1 + s)v/2 + ^/3(x2 + x + l)
vx2 — X + 1
L a r c t -
V2 arC S Vx1 + x + 1
x) + a •
I M • M • I • • 1 1 1 • • i • • • i •
fH Impleando las sustffwciorces de Euler:
. _ _ • • i • i _
1) \J(ix2 + bx + c = ±.y/ax + z si a > 0;
I I i — m i • • I I r w n V ^ ^ n r B ^ H B ^ ^ V ^ H
J) \f aw* bx + c — xz dz V e si c > 0;
M \f <txz + bx + c = \/ate — — x2) = z(x — £Ci)r hallar las integrates sigu-
lenles:
I (H>. / - da:
x +
rn n—•—n• - — • • • • • • • • • • • • •
-ar + 1
4 Solut ion, En dicho ejemplo a = 1 > 0, por tanto apliquemos la primera de las sustituciones
s/x2 + x + 1 x + z,
2 j
lr donde x = ^, dx = dz. A1 sustituir estos valores en la integral obtendremos2Z
2+2Z+2.
I 2z + 2z + 2 • • • • • •
2(1 + 2 zf dz.
Ill desarrollo del integrando se busca en la forma
2z2 + 2z + 2
z(l + 2zf
A B C
11 •••• I | I I I , i m ^ ^ ^ ^ • i i i i i i i i • i i • i • 11 •• h a m ^ ^ m r r
(1 + 2 zf 1 + 2 z- z
IWi determinar las incognitas A; B y C tenemos el sistema 2 — 2B+4C, 2
) C, de donde A = -3/ B - 3 , C = 2.
De este modo.
A + B + AC,
/ dz
(1 + 2z)2
3 dz
1 T 2 z
+ 2 dz 3
4
-I- — In
2(1+2b) 2 |l + 2sj3 + C,
^ ^ n l - n r * - n n i • iiiaiiHHHaiia 1 • •••• i • •
donde z — x vx1 + x + 1, x £ -1, •
107. dx
l + Vl-2x- a:2
4 Nnlut'ion. Dado que C — 1 > 0, entonces aplicando la segunda sustitucion de Euler
W I - Vl - 2x - x2 obtenemos
I dx
1 + Vl - 2a: - x2
-iz+2t± 1
t(f - 1)(£2 + 1) dt
I Jru ompongamos el integrando en fracciones simples
t2 + 2t + 1
i(t ™ l)(i2 + 1)
jL
1 1
B Ct + D
+ £2 + 1
i npllulo 1. i i ik 'g f i i l Imft'l inULi
Keduzcamos la ultima igualdad a eomuii dcmmtlniidtir
-A1 2t + 1 = yl(i3 - r + f -1) + B(t3 + () + £71 I D)(f - t)
e igualemos ios coefidentes de las potendas iguales de t:
e
t1
t i
t°
0 = A f B + C,
-I = -A-C + D,
2 = A+&-D,
1 = -A,
de donde obtenemos A = - 1 , B = 1, C = 0 y D -2.
Por consiguiente,
r _ _ f <M i f f
J t + J t-1 AJ fi+l ~
siendo xt = 1 + vT — 2x — -j?. >
In - - - ! - | - 2 a r c t g * + C,
108 - + 3x + 2
:+Vx2 + 3x |-2
A Solucitin. Dado que x2 + 3x-r2 = (x + l)(x+2), podemos tomar Vx1 -f ox + 2 - t(x i-l)
(tercera sustituciop de Euler). Tenemos
2-tX - --;
i
t2-V
dx = It di
(t2 - l)'2'= / -J x +
x -- Vx- + 3x^2 dx S=
v x 2 + 3 ® + 2
El desarrollo del integrando se busea en la forma
-2t~ — 4t A , 1
I- d t2)(t - l)(t !• IP •
C D S
+ • • + 7 1-
(t - 2)(t - 1 )(*-i-1)3 (£-| i)3 ' (t + l)2 ' t - f 1 t - i t-2'
de donde
-2f 2 -At = A(t - 2:)(( - 1) + B(t - 2)(t2 - 1) •+ C{t2 -31 + 2)(l2 + 2f + 1 ) +
+ D(t - 2)((;1 + 312 +3t +1) + E{t - l)(f3 4 312 + 314 1).
Tomando sucesivamente t — —1,1,2 obtenemos A = D = | y E —
Igualando en la identidad ios coefidentes de fA y f?, llegamos al sistema 0 = C +D + E,
0 = B — C + D 4- 2E, de donde hallamos los coeficientes inc6gnitos restantes
108' 18'
De este modo,
7 = -
)i l I n l r ^ u c m n do funcliiiion lt r»u inn.ilos '17
Nnlit. Milium Ios do un IHnomio iliforoncial
xm(a \ hx")1' (Ar,
tlmidc mr 11 y p son numcros rationales, puedenreducirso a iniogracionos de las funciones racionalos
mi ill m hon(o cn ios tres casos siguientes:
! 1 p mi numero entero, Hacomos la sustitucion a; = t s , donde N es el denominador amuln dt;
Wi li.urionos m y n.
i 'l(M '"..Li entero, Hacemos la sustitucion a + bx71 = tN r donde N es el denominador do la
n f
(liti ( Inn
1 1 h •( i -}-p entero. Apliquemos la sustitucion ax~n -\-b — t , donde N es el denominador do In
llili i ion ft,
fj I, Ios casos considerados equivalen a los siguientes: 1) p es entero; 2) m es entero; 3) m | p
#>< iMiloro.
I hitler las integrales siguientes:
/> _ _
^ B • • I I I I I • I I I • I M
I0CJ. Vx3+x*dx.
4 Solucion. Para x > 0, asi como para x < —1, se tiene
I ^ J dx - j x2(x X + 1 y dx.
Ai |iii v• — m = 2 y • es entero. Cambiando de variable x + 1— t obtenemos
' I fiw = ~ 2 I 3 - 2 I * > d o n d e ^ = / W^W' n = 3 ' 4 -
Hallemos la formula de recurrencia para el calculo de la ultima integral. Sea
I,n f d t „ ^ nM n n m i • I I ^ B I I • I I 1 1 • • I f fl ^ J ^ ^ ft 1 J (t2 „ a2)n > a r U-
n(o|',rando por partes Jn_i tenemos
dt t _ ^ f t dt t
11 - b • • • • • • • • • • • • • • • •" 1 ./ (t2 - a2)""1 " (tz - a2)n J (t2 - a2)" ~ (t2 - a2)"-1
- 2(» ~ 1) / {t\f t i t / dt = {t2 _ [ly, f - 2(» - 1 ) / ^ ! + 2{» - 1 k 2 / „ ,
i |r donde
r _ t 2 w - 3 _
M • • 11 ••• • • •• • • • • • • ••••• • b i i i i m • I H B I M p|
rt . - r t ^ . 1 - - - — 1 *
" 2(» - 1 )a2(f - a2)""1 2(n - 1 )a
A|'Ik .indo sucesivamente esta f6rmula (para a — 1) obtendremos
1 5,\_ t l r
Z{ 6(t2 — l ) 3 6 / ~ 3(tz - l ) 3 3
1 If ~t 3 \ t t 1( -t 1 \ _
:i<if2 - l)3 3 V4 (t2 - I)2 4 V 3(f2 - l)3 12 (t2 - l)2 4 \2(t2 - 1) 2 V"
t , t t 1,
^^^^^ • I I I l l l l l II I I I • • •• I I • ' •- I W •
3(t2- lf 12(t2 -1)2 8(t2 -1) 16
t - 1
t + 1
•I C.
AI icgresar a la variable x tenemos
r / , 8x2 + 2® - 3 , 1 , y / r + x ^ + 1 w1 — \/x — x — h x I n — — — = = h C . •
2 4 8 ^ ^
... j d.X.
(i mm n o . f
M Solucion. iin este ejemplo p — —2. Aplicando la primera su9tltuci6n x — tG obtenemos
6,3 . „ f dt , f i2 dt
Dado que / (f+w=41td (i+?)=- 2{TT̂5 +1
el resultado es
i = 6 i 5 - 4i3 + 18f 4 — - 21 arete t + C, t = x 6 . •
5 l + i 2 ° 1
1 1 1 . /
Solucidn. Se tiene m - 1, ti = = y ~ Tomemos 1 + x' = t?, entonces
V T i ^ 2 5
siendo t - y/1 -f v ' ? . •
1 1 2 . J y/3x~a?dx.
Solucion, A qui m = n — 2, p — | y 4-p = 1. Sustituyamos 3x~2-1 = t3, entonces
'-/^--ff^rlH^O-^U-V dtt3 +1'
Dado que (v. ej. 73)
/ dt l f di 1 , (i +1)2 , 1 t 1
tenemos
, 3/ 1 (f + 1 ) " V l . 2t - 1 „
J = 2 T T l ) " J * 1 * * - T a r t ' t g " v T + 6 '
donde i = 0 < a f ^ V 3 , j p < - V &
ercicios
MaJlar las integrates de las funciones irtacioilales siguientes:
( V w i + l l v W ^ I ' ' ^ n/Ws^U
!
A'+l '
105. f - ^ ' ^ J ^ d x . 106. f - ^ - d x . 107. f 108. f ^ ^ rf*.
101. f - i f c . 102. f 103. f , — . 104. / — —1
fH hiloj^Lit ion ilc fiiiuinm-h (rl^oiiomelnraH
§4. Integration de funciones trigonometricas
Las in teg rales doJ lipo
m ri . sen x cos xdx,
iluntli'm y n son numeros enteros, se calculan bien utilizando transformaciones bastantc
iirliliciales, bien aplicando las llamadas formulas de reduction de las polencias.
11 id I a i las integrates siguientes:
i i . i3.
J Si
cos X
sen3 x
dx.
No I in* ton. Integrando por partes obtenemos
A
MS X
URN* X
dx — ~~
2
cos3 x d( 1V sen2 x 2 \ sen2 x
cos2 ar
sen x
3
2
cos x — cos X
2 sen2 x
3 , I , a?
2 H* 2 x ^ A , feGZ. •
4 j
114. dx
senv a?
4 Solucion. Por analogia con el ejemplo anterior
dx
.son1 x
d (ctg x)
sen x
dx
sen° x
ctgx
sen x
tg
x
2
cos2 X
sen3 x
cos x
dx — cos x
sen2 x
dx
sen" x -f In
x
2
2 sen2 x + C, £ ^ kw. •
I I 5 .
sen3 a: cos5 as
4 Solucion. Tenemos
dx
a; cos5 a?
2 * dtzx
i + t g 2 ® 3 - § -
1
2 tg2^
I tg a; dx.
4 Solution. Evidentemente,
I j d a : 1 f (sec2, - I)2 ( s e c 2 ; ' : )
&7T
T
sec2 a?
sec4 a? 1 sec2a? + - 1n(sec2a?) -j- C ~
= t g ^ _ ^ - In I cos a?l + C\ a ^ » 4- Jfeir
t.i bien
/ tf* - / (sk•-*)*-ir -/•»• =
tg4af tg2x
4 In | cos x\ + C.
117 . Jctfxtix.
A Solucion. Tras la realization de van as transformaciones evidentes tenemos
J ctg4® dx - / ctg4* ( - 4 ^ - l ) * - ~ / ctg2* - l ) dx =
ctg5 a; c tg 3 x
_ — i L . . a. - ctg x - x + C, x ^ tor.
118 (ix
cos xv'serr a;
A Solucion. Tomando t1 — sen x, x / y , tenemos que
[ _ _ = f rf(senx) 3 j" _ 3 f dt_ ^ 3 f _dt^
J cossv ' s i r f® 7 (1 - seii2x)(sen2 x) i J 1 - " 2 J I - i? ^ 2 J 1 + *
1 . o -t)2 , V3 2i 4-1 1 . (l + o 2 , . 2 i - l
119. Deducir las fannul us de reduction de pot end us para las integ rales
a) In ~ f sen" x dx; b) Kn = [ — , n > 2. J J cos" x
-4 Solucion. Integrando por partes obtenemos
a) In - - J sen" - ' x d (cos x) = - cos x sen'1"1 x + (n — 1) J sen"~^ x cos2 x dx =
= - cos x scn"^1 x + (n - l)In~2 — (» — 1)T
de donde
/„ = -{(w - l)?n~2 ~ cos x sen""1 ar), n = 3 , 4 , . . - .
b ) * „ = f * dX = - S f - f r W )
J c o s " ' 1 ! COSn+l SB J cos"1 1 X cos X
de donde
hife^racirin do funcionoH (ri^ntiomrti ic.in 5
llill/.jnrio las fdrmulas:
noil sen = - (cos(tt — fi) — cos(<* + /? ) ) ,
11 » * \ cos {') =
urn a 0
�
_ (cOS(CK
- (senta
/3) + cos ( a + j0)) ,
j8) + sen(a + £ ) )
I I I las integrates siguientes:
1 2 0 . f ssen x sen ^ sen ^ da?.
Nntucion. Tenemos
•icn x son ™ sen ^ dx
2 3
1
4
1
2
cos 3x\ x j cos — I sen - dx 2 ) 3
x 5x 7x llx\ sen — + sen — -j- sen — — sen —- J
6 6 6 6 /
dx
3 x 3 5x
2COS6-10COST
3 7x 3 11® r ^
14 C 0 S I T 32 0 0 5 ~6~
•
- u 'g 1 I 1
1 2 1 . f tsen 2x cos2 3ar dx
Nulut'ion. Utilizando la formula III tenemos
i 2 nrn 2x cos 3x dx 1
8
(3 sen 2a? — sen 6x)(l + cos 6a;) dx
3 3 sen 2x — - sen 4x + - sen 8x 2 2
1sen 6x — ~ sen 12# j dx
3 3 cos 2a; + — cos 4a?
16 64
3 1 1cos 8a; + — cos 6x ^ cos 12a? + C,
128 48 192 I
• • i ••••"•
lfitll.il ias integrates de a continuation empleandolas formulas siguientes:
V «m(nr — jfl) = sen ( { x + a) — (x + /?)),
V MtnUv — (3) = cos(-te + a) — (x + / 3 ) ) -
122 dx
sen(# + a) sen{x + b)'
Niiliicion. Tenemos
dx 1
.• • • • •.
?ion(a; 4- a) sen(# + b) sen(a - b)
sen ((ar + a) - (x + &))
sen(a? + a) sen(x + 6) dx
1
sen(a - b)
cos(a? + 6)
sen(a? + b)
1
dx
sen(a - b)
In
cosfar + a) _ \ —; r dx I sen(ar + a) J
senfo + b)
sen(x + a) I sen(a - b ) £ 0. »
N2 C.ipilulo L Integral indelinida
1 2 3 . / — .J sen x — sen a
M Solucion. A partir de la identidad cos a = cos — ilegamos a que
f dx _ 1 f COS ( ( f e e ) - ( i ± g j , i
J sen « - sen n 2 cos a 7 s e n c o s 2±»
rfx —
2 2
cos a / 0. sen X / sen g, •
COS (JL
In
sen :
cos .- tc.
- i -a
124. J tgx tg(a; + a) dx.
< Solucion. Tenemos
I tg x %(ss + ft) dx = s x cos(x + a} + sen x sen (a; I- a)
I cos # cos(a: 4- a)cos a - 0
dx —
dx — x — —x + ctg <i In
cos x cos(x + a)
sen a ^ 0, cos x •/• 0, cos(ir + ft) f- 0. >
cos x
cos(a; -I- n) +
^ Not a. I.as integrales del tipo IR (sen sp, cos x)dx,
donde R es una funci6n racional, se roducen, en el caso general, a la integration de las funcior
rationales mediants la sustittidon tg 3 = I.
a) Si se verifies la igual dad
J? ( - sen x, cos a:) — —11 (sen x, cos x)
0
R (sen x, - cos x) = —R (sen a;, cos»),
results apropiadp apficar la sustitticion cos a; = t o sen x — t, rcspectivamente.
b) Si se verifier la igualdad
H (— sen x, - cos x) = R (sen x, cos a;),
aplicamos la sustiturion tg x = f.
Hi Hallar las integrales:
1 2 5 . I = / •
J 2 sen x - cos x -(- 5
Solucion. Tbmando t = tg (2n ~ l)w < x < (In + I n £ Z, obtenemos
I ^
^ J otz + 2t+2 = ^ arc,s + c,1 = vlarcts — 7 T ~ + v
Dodo que la primitiva es ttna funcidn continua, debe veriiicarse
I(2n* 4- v - 0) - I(3m + ar 4- 0), + C„ = + Cn+U
'vl- htlr^iaiion do luncUmcH til^onnmcHruas
I domic hallamos I 1 t'r siondi) C ('o mm conularilo iirhilraria. D11 la dcHLgiiiildad
* x I 7T < {2n I 2) ; ri <_* ^ < n I, sc dodiuv <|uo u bf;'" . Do este modo,2jt
;t; I fl
1 3 l g f + l x It
( \ X 4- (2n -h 1)tt;
J — lim /(a?) — —-~-7r, x = (2n -t- wGZ. •
m f = / sen2 as cos2 a? ^
sen0 x + cos® x
Holui ion. Cambiemos de variable t — tg2x, ^ - ~ < x < J + n 6 Z, Entoncos
/ t2dt 1 + V2 / y/2-1 f dt
r '+8i 2 + 8 2 J t2 + 4 + 2y/2 V2 7 t2 + 4 - 2 ^ 2
V2+V2. t V2-V2 . t t „
• » * i j ^ m — 4 j r m + c - =
V l + y/2 . tg2ar y/l-y/2 . tg2xarctg arctg - = = +
2 V 4 + 2V2 4 V 4 - 2
Dado que la primitiva es continua, se verifica
\/2+ V5 7T V2+V2 IT , _ V 2 +V2 7T , V2-V2 7T , _
~ 4 ~ ' 2 " 4 ' 2 + c , i " 4 ' 4 ~ " 2 + C " + 1 '
lo donde (por analogia con el ej. 125) obtenemos
Cn = + V 2 - V 2 )
4a? + 7T
2tt
IW ronsiguiente,
1/2TV2 t tg 2x \/2-V2 , tg 2a?/{,!.•) - — - arete ——• .—--•.— arete —j +
4 v / 4 + 2 V l 4
4
~ ) — lim I(x\ •
2 /
2 + V 2 - V 2 ~ V 5 ) [ ^ ] + C 7 a ^ * ™ 4 2 '
127. Demostrar que
dx Asenx + Bcosx f dx
4 - c (a sen ar -f b cos x)n (a sen x + b cos x)n~x J [a sen a? + b cos *
donde A, B y C son coefidentes indeterminados.
. iij'iiuiw i. imr^ini liiiM iiiiKiii
<4 So Union. IiitiigiUndo por pmtes obtenemus
j f d( -a cos x -I- h son x) — a cos x -f b ann x ^ f (a cos x — b sen
" J (a sen x + b cos a:)"11 (a sen a; + b cos a:)"+1 J (a sen x f 6 cos
x) dx
-a cos x 4 6 sen
(a sen x 4- d cos as)B+1
:r , J I f (a cos x — b sen
+ l ) j
x)n+2
x)2 + (6 cos x -j- a sen xf
x + b cos a;)"+2
tie donde
In =
( « - i M a 2 +
( T , b sen x - a cos x \
Vft ~ , + (a sen x + b cos 0 '
128. Hailar ,/ (sen a; + 2 cos a:)-1
•4 Solucidn. Iimpleartdo la formula demostrada en el cjemplo anterior, hallamos
j _ j / t dx j 2sen a: — cos x \
10 \J sen x + 2 cos x (sen x + 2 cos x)3 /
3 2 9 . Demostrar que
r dx A sen x { g t dx , Q f
J (a f 6 cos x}" (a + b cos a-)"-1 J (a -r f> cos a;)11"1 ' J (a + b cos '
j«| * |6|,
y determinar los coefidentes A, B y C, si n es un numero natural superior a nno.
< Solucion. Integrando por partes obtenemos
_ f dx f a j- b cos x . _ f d sen x
J {a + b cos xy~2 ~ J (a 4 b cos x)" 1 x ~ a n _ 1 + J (a + b cos X)tt~l "
_ r b sen x _ f _ b2 sen? x .
" ^ (a + bcos ar)'"1 lTi J J (a + bcosar)"
de donde, haciendo uso dela identidad b2 sen2 x = ~(cr-b2)-i 2a(ai-b cos x)-(a+b cos x)
obtenemos
In-2 = + , „_i + - b2)(n - 1)7,, - lain - 1 ) 1 ^ +{n- 1 )/n.2,(a f i>cosx ) "
f> sen x ft - 2
(» - l)(a ' - ti2)(a f b cos ar)*-1 (n - l}(a2 - b2) " 1 {ft - l)(a2 - bz)-Jn-2
A&t pnes,
A - — (2n - 3)a C = n-2
(n - l){f.2 - b2)' (n - l)(a2 - b2)' (n - l)(a?- - b2)'
1 3 0 . Hallar Sidx4 £ cos a; si: a) 0 < e < I; b) s > 1.
i. hilegiavion tit* luiuliiiirH litiNrnuhMiloH 55
ftoliuion, Tomemos h Ij; , (2u l)'/r < x ^ (?.n I I ' , n < Kn lonces,
M II
[
/
dx
1 4- £ COS X 1
2 f dt
> J e I IT
il) / 2
vT
• • •• -ci rc
VT4
4 Cn
2
VT
n h - -.•= arctg
v/l X
Vl + z
€ 2
I'm *uiulogfa con la solucion del ej\125 obtenemos
2
Vl-
v l ^ e t g f 2TT
arctg r—- •••— 4- - X + 7T " ii—
v T + V T ^ e 1 L 2tt
4 C, a; / (2n 4 1> ,
l ( (2« 4 1)tt) = lim I(x), $-*(2n+l}ir
b ) /
1 In^̂ —̂—Ve5—I
t £±1
£ + /f+TV ^
+ C7 x ^ 2n?r + tt
131 . Hallar
da;
(1 + £ COS
si 0 < e < 1.
4 Solution. Apliquemos la formula obterrida en el ej. 129. Suponiendo a = 1, b = ef n — 2,
uhiriiemos
dx
�� �� £ cos x)2 l - e t i l
e send?
+ e cos x - +
dx
1 + e cos x
1 —£ sen x
1 - e1 \ 1 + e cos x + arctg
vT
V l T e
+ 2tt
a: # 2n.Tr + TT,
I(2n7r + ?r) = lim I{x).
z-»2njrf?r •
VT^e 2
X + 7T"
2tt + C,
hjrrcicios
Kail at las integrales de las funciones trigonom£tricas:
MW. f dx(cos x-l-sun ft}
dx
aia>4 4 S sen-1
if a;
[IX C—f* . 114, f -F sen1 cos J
da;
111. f — J cos*
sen tf a \/ŝ n4 tf-J-cas4 a:- . us , r 1 ~
ar-ŝ rr r • ii2- j r,(sen 2 see '
v' sen da;, 116. J dx443 tgs
§ 5, Integracion de funciones trascendentes
Demostrar que si P(x) es un polinomio de rc-esimo grado, se cumple la igualdad
P{x) eax dx^e ax(P(x) P'(x)
v a a
f fS
^ Sa l i i i ' iAn. L.I deinostrai idn jto ufccttia nvdianlt* t'l nteiodo tie integracion por partes
T e n e m o s
f P(x) e" dx = ~e"xP(x) - - f e*P%t) dx -- \
J a, a J ;
= ~eaxP(x) - - (- eazP'(x) - - [ e""P"(x) daA =
a a\a a J >
_„axip{x) p ' f r h
I a a2 )
Empleando el metodo de induction matematica obtenemos
+ ~ J caxP"(x) dx
+ < - 1 ? 1 f e**Pi*+v
k + 1 J
(;X) dx, k <11
Suponiendo k — n y tomando en consideration que P(n'H'(;r) = 0 obtenemos !a formula
requerida. >
1 3 3 . Demostr . ir que si P(x) es u n polinomio de grado n, resulta
P"(x) J f W f r )/
/
, , sen ax / „. , , F'"' re \ , P(x) cos ax dx - — — - I P(a;) - —4—' 4 r I + a \ a~ a? /
(i- \ a£ a /
+ - ( p . w
a1 \ re' a 4 /
P(x) sen ax dx - - cos
Soluci6n. En (a demos tracion utilizamos el ej. 132. Sustituyendo en el mismo a por ire
donde i — obtenemos
I P{x) e!az dx ,P{x) P'(x) .P"{x) <«/ ,P��� P'( — e I —f— — + —7 \ a a: + i )4 c.
Haciendo uho de la formula dc Euler y separando las paries reales e i magmarias
obtenemos el resultado requerido. •
1 3 4 . Demostrar que la integral J R (a;) enx dx, donde R es una funcion racional cuyo
denominador posee solo raiccs males, puedc ser expresada a traves de las f unci ones
elementales y la funcion trascendente
J dx - li li (eQT) 4- C,
donde li x R <tx
" J In®'
|i!i. JnU'j»j«icirtn tic liiiH'loiu4P4 Immvmh'iilrs V/
hot i ic iO n. 'lodii fund on rational puede ser rrpiVHculmlii rn l.i lorn hi
n<x) M{x)
W ~ TV (x)'
1 M{x) y N(x) son polinomios. Sep a rando la parle cntcra P(x) (si est a existe) do la
I hi it ion racional tenemos
R (x) = P(x) +
iiiiMHio mk la multiplicidad de la rafz xif y A^j los coefidentes indeterminados. Integrandt
tf('i') hallamos
>
mk
R (x) eax dx - I P(x) d® + V V Aki I -r dx.
ax
„ (x - xkY
k i=1 " K
La primera integral se calcula integrando por partes / veces (i es el grado del
|iolinomio P(#)). Calcularemos la segunda integral
— I •
{v-XkY j ' \ (i~\){x-xkyj (i-l)(x-xky
' -i J dx ax f 1 ® e/: \ J (;x-xkY-1 V (i - 1)(® » arjfe)̂ 1 (i - 1)(» - 2)(a? - a*)1""2
a^2 \ , a{~2 f eax dx +(i - l)(i - 2) . . . l(x - Xf.) J (i- l)(i - 2) . . . 1 J x - xJt
f
i - 2) . . . 1 J
1 a a'~2
t: , + • * • + T: ttt^ r I + (i - l)(s - Sfc)-1 a - l)(i - 2){X - xky-2 (i - ! ) ! ( » — Xf.) Xt,}/
a l)! j v^x,d(x ~Xk) = v(T~ i)(x -
+ 77 7777 777 m * + ' " + 77 7777 T 1 + "77 TTp ll [€ 1(i - i)(i - 2)(x - Xhy~2 (i- iy.(x-xk)J (i -1)1
AMI |urns,
���
R (x) ea" dx = + J»' *
t i=i
• • • • •• • H • I
I * 15, ^Bajo que condiciones el resultado del calculo de la integral j ^ donde
( ) -- ao + — H h y a>u • • • j an son constantes, proporciona una funcion
olntHiital?
I ftnlucion. Utilizaremos las notaciones del ej. 134. Integrando por partes obtenemos
a2 $ , „ t: fX\ a3 a3 , a3 / an,loC* + a i n ( e - ) - + a2 Ii (e*) ^ ^ - ^ + ^ li (e^)
x lx1 2x 2 y ' (n- l)x1l~l
J- • --» li fo*\
l in C'npilitlo I. Intertill Imletinid.l
Vcinos, pues, que si so verifica la condition
1 IT 21 (« - 1)1
entonces la integral dad a cs una funcion elemental. •
1 3 6 . Calcular J (l-^Vda;.
•4 Solucion. Utilizaremos las notaciones del ej.134. Integrando por partes obtenemos
- e* - 41i(ex) - -ex + 41i (e1) = e* (l - 4 C, x /
\ a; /
0.
^ Ejercicios
Hallar las integrales de las func tones troncendentes siguientes:
• m . S ^ d x . 1 1 8 . / ? , ; , . 1 2 0 . / ^ .
121. / ch'icte. 122. /ch2»sh2® dx.123. / - - ^ ^ dx.
§6. Ejemplos varios de la integracion de funciones
11 Hallar las integrales:
1 3 7 . / , , ,J I T a:4 + Xs
<4 Solucion, Rep resent a ndo el denominador en la forma 1 + x4 4 a;8 — (a;4 4 l)2 - x*
(of 4 x2 4 l)(a:4 — xz 4 1) desarrollemos el integrando en fraccioncs simples
1 _ 1 j x. 4 1 _ ( 1 - x
1 4 x'1 4 a:8 2 V a;4 4 x2 + 1 X* - x2 4
Integremos cada uno de los sumandos del scgLindo miembro de esta exprest6n
[ + d x , f I k t z i L = ( g -1 & sgn x si 0,
J x* + x2 + t J + j \ o si jb = 0,
f } - f , = - f - 4
J x 4 x 4 1 J i ) 2 , 3 2V3 +
Asi j>ues, la integral buscada es igua! a
c. si X — 0.{
138. I - f dx
J {2 4 sen a:)2
f'jcniplos varioH dc la inlcjtjvhion dc lumionos
Soluci6n, Hariendn usodcl resultado dd oj. 131 Icnrmnri
dx
(2 + sen a;)2
d(f-as)
(2 +cos ( | - ® ) )
/ f p . . . . .
:» 2
cos a; 2 /'
1.F- — - . I — J M ^ U J - I - - - >- m
I son x 3 J
dx
2 -{- sen a;
* .ilculemos la ultima integral utilizando la sustitucion t — tg 2n7r - ?r < a; < 7r -[- 2n7r
» t 7/j(i ,
I(x) =
2 tg | - 1
Cn-
da? _ 2
2 + sen a; ~ ^ S V3
I >r la condicion /( + 2wk — 0) = J(7r + 2 * + 0), obtenemos (en forma parecida a la
it'Noludon del ej,125)
Cn
2?r
V3
n + C, C =-- C, 0i 2fwr - 7T < a; < 7T -f 2n?r.
IV este modo,
1 cos a? , 4 2 t g f + 1 , 4 — arete ——3 2 + senj; 3y/3 V3 3V5
x ^ 2mr + tr;
I(2?wr + ir) = lim I(ar). •
�� + sen a;)2
X -f 7T
~2TT + C,
139, / n da?.
4 Solucion. Si x > 0 tenemos
a? dx x2 + Ci
Analogamente, si ar < 0
a? da? a;
2 + C2,
De acuerdo con la definicion de primitiva, en el punto a? — 0 debe verificarse
t - C2 = Cf siendo C una constante arbitraria. Por tanto, para cualquier x tenemos
x\ dx — sgn x + C = — x2 + a •
B n
140. j ip(x) dxf donde tp(x) es la distancia del numero x al numero entero mas proximo.
4 Nnlucion* Segun las condiciones del problema <p(x) x-n\, n- i ^ a? < n + \f n G Zq,
|ior eso
I(x) I 1 1 <p(x) dx = ^(a? - n)|a? - n\ + Cny n — - ^ x < n +
^ M Ahk
i'liiendo en cuenta que la primitiva debe ser continua obtenemos
j ( n + l 0 ) = / ( » + ! )
60 ('iijiilulo I. Iiilcj'iitl imlt'llhiilii
i»i dedi1, A I ('„ t'( 1 C'„ ||, C,L|, - Cyl -I- j , dt: donde C,'ti ~ 2 + C, siendo C Ca ana
constat! le artnlraria.
Dado que n <: x + | < n + 1, resulta q u e n~ \x -f- | ] . Finalmente, hallamos
1 4 1 . j [x\\sei\ftx{dx.
Sofuci6n. Conforme a la definicion de parte entera tenemos
[x] | sen ttx\ --- { - l )n7t senira:, « < a: < n +1 , n £ Z^.
Por eso
f M)
I [x] | sen ttx| dx = — n cos nx -j-Cn, n ^x <n +1.
J V
En virtud de que la primitiva es continua, en los puntos x — n + I se verjiican las
igualdades
r ( - l ) " ' f l 11 r ( - l ) B «
|———ncos7ra + C„j = ^ (n 1) cos k x + Cn+i
i=n-i i
de donde CN. j = C„ + Resolviendo esta ecuacion obtenemos C„ — C + C — Cq.\
For eso,
v*+1
n ^ x < n -f 1,
p/ -j 1 ^
[as] | sen nx\ dx — y——— cos ?rx + n.J — + C,
Dado que x varia dentro de los limites indicados, cutonces n = [a;]. De este modo,
tenemos definitivamente
J [a:] jsenir&i = ^ (£»1 - ( - I p cos xx) +C,
donde C es una constants arbitraria. •
1 4 2 . Sen /(a:) una funciort continua monotona y / {ar) su funcion inversa. Deniostrar
que si J f(x)dx - F(x) -(• C, entonces
J f \x) dx = xrHx) - P{J~\at)) + C.
< Solucion, En virtud de las condkiones del prohiema se verifica la igualdad
Integrando I a respectoa obtenemos
I xd{r\*))=F(r\«)) + c ,
de donde
J xd(f \x))=xf~\x)- J ri(x)dx^F(f-1(x))+C.
!i 7 hilc^MciVin de luiuioni'H vcrlurkileH 61
0
Kmplcimdo variow mtflotlos apropiados hallar las liiLrgftilcrt ttiguicnteg:
* dx. 125. / 4x
dT 129 f -i110— dx 130 f — 131 f —
d X r 1ZV. J llfcosac a®- J ^ w u j , laisx)3' J (sun a?-®
133, f jfe r. m r®*(l + lna!)da?, 135. f
J 1 | Hl'll -X J C O S a ^ l + C O S t f ) J ^ y ±f € r
/ . ' ^S) <**•137- /(l« + - I1 - dx- 138- / V*(l - dx.
§ 7, Integracion de funciones vectoriales
y de matrices funcionales
Teorema 1. La funcion vectorial F = (Fi,F2, ..., Fm) es la primitiva de hi funcion
iU'ilttrial f = (/i, ft, -.., fm) en el intervalo X fc 1R. si y solo si en dicho intervalo Inn
fMH'iortes Ft son las primitivas de las funciones fi, i = 1, m.
Teorema 2. Por analogia, la matrix funcional B = (btJ-) es la primitiva de la ma friz
fittu iumil A = (dij) en el intervalo X si y solo si en dicho intervalo las funciones bij son las
fftinfUivas de las funciones aij, i — 1, m, j — 1? n.
S I la liar las integrales de las funciones vectoriales:
l43- / (vT-
1 1 1 , -dx.
x2 ' \fA-x1' 1 + 4 + a;2
4 Solucion, Designaremos medxante el simbolo I la integral indefinida de la funcion vectorial
d.ula. Conforme al teorema 1 se tiene
^arcsen x, arcsen—, arctg x, ^ arctg ^ + C , |a;| ^ 1
donde C € R 4 es un vector constante. •
I
4 Soluci6n. Por analogia con el ejemplo anterior
I fa:) = (In |1 + x|, In y / l + ® 2 , . . -, In 7 1 + s m ) + C •
145 . (cos x, cos 2x,..., cos mx) dx.
4 Solucion. Tenemos
, „ . , ( sen2& senm#\ , _ (cos x, cos 2Xj..., cos ma;) dx — I sen — - — , . . . , — — - j -f C.
t lipmmo I. imcgrtii iiitli'iiiiidii
Ilatlar l<is integrates ill* las matrices funcionate.s:
P / win :i: sen 2x sen 3a: sen 4x \
146 . I j cosx cos2x cos3x cos4® I
J \ tg x tc2x tg 3a: tg 4a; )
dx.
tg i tg 2x tg 3x tg i
< Solucion. Designaremos mediante A la matriz primitiva correspondiente, entonces
A(x) =
/ —* cos x \
2 3 4
sen 2a1 sen3z sen4x
sen x - - ~ —
In | cos a:) - In y/\ cos 2x\ — In \/| cos 3x\ - In {/]cos 4a:| / y la integral es igual a la matriz fundonal x i-* A(x) + C, donde C es una matrij
cons tan te. •
147, I (dij) dx, donde a,j = I J , i = 1, m, j = \,n, x > 0.
m Solucion. Para i y j fijos / • 7 iiia;j dx - - x J + Cij. 1 + 3 J
Por consigLiiente, j f e j ) dx = (fey) + C, donde 6jjf = x J y C — (cy) es una matriz
constants.
1 4 8 . Demosttar que/ (E + Ax)n dx - —Jl— A~\E+ Axfrl + C, {1) n 4-1
donde n es un mSmero natural; E es la matriz unidad; Ay C son matrices constantes de
un mismo orden y, ademas, A es regular.
-4 Solucion. Para demostrarlo es suficiente comprobar que la derivada del primer miembro
de la ecuaciSn (1) es igual a la matriz que figura en el integrando. De acuerdo con la regla
de dit'erenciacidn del producto de matrices tenemos
j r ' m + v r ) ' -
A " I
= —— UE + AxfA + (E + Axf^AiE + Ax)+->- + A(E + Axf).
n + 1 v '
Dado que las matrices Ay E + Ax con mu tan entre s i tenemos
\E + Aar)"1'1)' - ~rA{n + I ){E + 4ar)'1 - (E + Axf. •
V TIR "T" L R XB "I" 1
0 F jerc ic ios
Hall ar las integrates de las funciones vector! ales:
142. /(son x, cos x) dx. 143. j'(tg x, tg 2x, tg 3x) dx, x G ! 0, \ f .
144. J(t sen a;, x sen . . . , a- sen mx) da-. 145. J(xex\ j?e* ,
|„l,.Ki.uion de funeloiH'H v.'. IniL.l .s
n*,x\...,rw)<l*- 147. / < « y , . . . , « - > m * •«•
il.dlnr las integralen de matrices funck»nalw>
/• 2a; I cos 2® * * 1 hC" A 1 " |n' ) <**•
- * sen* + cos a: I ^ - sen* lna cos '' 2 ^
sen x
In a; J \ -sen®
; i s y T i .
, a 2 i
„, f ( ̂ ' ( x ) + A'<*)A<*)) dx = ^ t ® ) + C;
) ( ( f ^ ' W + 4- * = ^ («) + C.
' V n U ' S t r a r ^ / (M^Bix) + * ( . > ) = + C >
llolulc Ay B son matrices funcionales cuadradas
. , „ ,, una matriz cuadrada constante. Definamos la matnz e medrante igu<
A* = lim (JS? + * �
a ^ c c
I >,mostrar que f eA* dx = Ae** + C,
,l,„K1e C es una matriz cuadrada constante arbitraria.
C a p j ' t u l o 2
Integral definida
§1. Integral de Riemann
1.1. Integrates de Riemann superior e inferior. i
Criterio de integrabilidad de funciones
Definicion 1. Se denomina partition TT de un segmento (ft, 6] a un conjunto finite
de puntos , . . . , x„}, donde o = «o < < • " < » « — &- i
Sea / ; [ft, ft] — R una funcf6n acotada en el segmento To, 6] y sea TI una partition
arbitraria de dicho segmento.
Se denominan sumus integrates superior e inferior correspondientes • la partition II,
a los numeros
ft—1 n-1
Sa(f) = J2 M>Ax<> 5n(/) = J2 mAxi,
i-0 i=U
donde Mi — sup (f(x)}, m, = inf {/{x)}, Ax, — a -̂n - .t, .
Definicion 2, Los numeros
f f dx — inf (Sdf)hf fdx = snp{3a(f)h
J tn> J {nt
donde el infimo y el supremo se tomar. respecto a todas las partitioned posibles del
segmento [ft, tij, se denominan, respectivamente, integrates dc Riemann superior e inferior
de la funcion f en el segmento [ft, ft].
Definition 3. Una funcion f se llama integmUe seg&n RitttntWn en un segmento
[a, ft], si j f dx = f f dx; dicho valor comun de las integrales superior e inferior se
denomina integral de Riemann de la funcion / en dicho segmento y se designa mediante
b
el simbolo J' f{x)dx.
La clase de todas las funciones / integ rabies s eg un Riemann se denota mediante
/ G
Criterio de Integrabilidad. Para que una funcion acotada f : [«, ft] —> $! sen
integrable en el segmento [a, b\, es condition necesaria y mpciente que Vs > 0 crista una
partition II de este segmento hi! que 0 < S\[(f ) - Sii(/) < e,
J. Integral ilr Kii'iiiitikii (O
in forma abrevimla rl mterio de inlegrabiltdiul mi1 del modo sign ionic:
n-1
/ € R [a, Ve > 0 3 n : 0 ^ Su(f) - £,,(/) = ^Axi < e
i=i)
(MUiido lo-i — Mi — rrii la oscilacion de la funcion / en el segmento [Xj, £ti+ij).
L2. Integral de Riemann como limite de sumas integrates
Sea II una particion arbitraria del segmento [a, ft] y t/(II) — max Ax-t. En cad a O^i^tt-l
nrjimcnio elijamos un punto arbitrario & y consideraremos la llamada suma
itth\*ntl
n-l
i-0
apf
Sc- dice que lim Su(f) = I, si Ve > 0 3 6 > 0 :
vn A d(II) < £ |5n(/) - I \ < £ .
Teorema. Si:
b
I.) para d(II) ->0 3 lim Sn(f) — I, entonces f G R[atb] y J f(x) dx = I;
a
b
2) / G R [a, b]r entonces 3 l̂im^ £n(/) = / f(x) dx.
liste teorema proporciona dos definiciones equivalentes de la integral de Riemann.
1.3. Algunas clases de funciones integrables segun Riemann
Teorema S* / G C[a,b], entonces f E R[ay ft].
It\tttb\.
segmento
1.4. Medida de Lebesgue cero y medida de Jordan cero
Definition 1. Se denomina medida /jlJ de un segmento J — [at ft] (medida f i j
dr iin intervalo J — ]a, b[) a su longitud, es decir, al numero ft - a.
Definition 2, Un conjunto X C R. es de medida de Lebesgue cero/ si Ve > 0 existe
iin rccubrimiento numerable W — {Jy,j G N} de este conjunto mediante los segmentos
Jf (rccubrimiento numerable W = {Jj'fj G N} mediante los intervalos Jj) do medidas
00 oo 71
fti liiles que juy < £, donde Pj — lim / ^ W-
Como ejemplo de conjunto de medida de Lebesgue cero puede servir un conjunto
numerable arbitrario de puntos I C M ,
Definicion 3* Un conjunto X C K es de medida de Jordan cerof si W: > 0 existe
nn rccubrimiento finito W — {Jj} j = l7n] de este conjunto mediante los segmentos J j
(rccubrimiento finito W — { J j ; j = 1, ft} mediante los intervalos Jj) de medidas /.ij tales
n
que Y^H <
r . 1
K < i | < m u t ' l . 1 1 1 1 1 - ^ 1 , 1 1 t i c i m m . i
liiiiid ejcmplo du medida du Jordan euro pilodu survii' cualquier conjunto finito d
puntos X C IK., asi como cualqtiier conjunto numerable dt! puntos ¥ C K que tiene u
numero finito tie puntos Ji'mites.
A partir de la definicion 3 se deduce que todo conjunto que tiene medida de Jorda
cero tambien tiene medida de Lebesgue cero.
Teorema (de Lebesgue). Sea f : [a,b] —• 1R imafuncidn acotada y sea E C [a, 6]
conjunto de sus puntos de discontinuidad, La funcion f es integrable segun Riemann en
segmento [a, fc] si y solo si E es iin conjunto de medida de I.ebesgue cero.
De acuerdo am el teorema de Lebesgue, a la clase de funciones in teg rabies segil
Riemann le pertenecen tas funciones acotadas euyo conjunto de puntos de discontinuide
es bien a lo sumo numerable o bien tiene medida de Jordan cero.
1.5. Integral es de funciones definidas en con juntos acotados arbilrarios.
Corijuntos medibles segun Jordan
Definicion 1. Sea EC X C K. La funcion xK X ^ que satisface
X(x)
^ f 0 si x
y 1 si x
€ X\E>
e s ,
se denomina funcion caracteristica del conjunto £>'.
Definicion 2. Sea E C [«, ft] C ®t y sea / : [a, 6] —» R una funcion acotadi
Si fxu fe R [a, 6J, se tiene
0
j f(x)dx = J f(x)xB($dx.
Definicion 3. Sea E C [a, 6J C E y sea / ;£?—»• 18 tina fivnci6n acotadi
Extenderemos la funcion / a todo el segmento [a, 6] formando la funeidn
m<*\ - / / H si * e
~ \ 0 si x e [a,
Si la funcion F es integrable en el segmento cntonces
t
j f(x) dx J F(x)dx.
Definicion 4, Un conjunto acotado E C K cnya froniera es de medida de Lebesgu
cero, se denomina inedible segun Jordan, y la integral
\
XJx) dx,
donde [a, i»l es un segmento arbitrario que contienc E, se llama medida de Jordan de
conjunto E, o longitud de ese mismo.
ji I hih^iill J r NlriiMiui (>7
,6. rropiedadeH dt* ia * | «'N L tncdi.inle igualdadcs
I) Si f £ R frtj onUim rf < H h\, r umsl, y sc verifica, ademtfs,
cf(x) dx — c f(x) dx.
a a
2) Si /, g € R [a, b], tambien (/ ± g) € R [a, b] y, ademas,
0
f m dx± f g(x) dx.
a a a
3) Si f € R[a,b] y c 6 K b[, entonces
c t>
f{x)dx~ j f(x)dx + J f(x)dx (propiedad de aditividad).
a a
4) Si las restricciones de una funcion / : [af 6] Jt a los segmentos [a, c] y [c,
mm inlegrables, resulta que / € R [a, &] y en este caso se tiene
c
f(x) dx — I f(x) dx + / f(x) dx.
a a e
1.7. Fropiedades de la integral expresadas mediante desigualdades
1) Si una funcion / es integrable en [a. b] y f(x) ^ 0 Vac ( [a? b]f en™
&
hums ff(x)dx 0; si f(x) ^ 0, / E C[a^b] y f(x) ^ 0 en [a^b], tendremos
a
H
j /(:/;) dx ^ c > 0, donde c es una constante.
>t
2) Si f(x) ^ g(x) € fa, ft], donde /, £ 6 R[«, tenemos
/(a:) da? ̂ , g{x) dx.
a a
1.8. Formulas del cambio de variable y de la integracion por partes
a) Supongamos que se cumplan las condiciones siguientes; 1) / £ C[a> 6]; 2) el
'Hy,inento b] es el conjunto de los valores de cierta funcion x : 11—* g(t), a ^ t ^ f3,
Jrrivable con continuidad en /?[; 3) = a, <?(/?) — b.
hntonces se verifica la formula del cambio de variable
& P
f }{x)dx^ j f(g{t))g (t)dt
a a
k . i ^ ' I L I I I M . I M I t ' ^ I I M t i l I J l l l t l . l
)>} lonniihi th• In inh'f>Mcitifi for finrliV.
Si u, v t: C{l)[t(, b], so tiene
t S
J u(x)v'(x) dx = u(x) v(x)\^ ~ J v(x)u'(x)dx.
1 a
En los ejemplos 1-5 de a continuation, las integrales de Riemann se calculan c
ayuda de las somas integrales ������ Para toda funci6n /: [a. A) — R integrable segi
Riemann, se verifka
�
[ f(x) dx lim Sn(f)
J i/(l I]—o
a
independientemcnte de la partition H y de los puntos & £ [Xj, Xj+il- Por esta razon,
la resolution de dichos ejemplos las particiones II y los puntos se eligen de un moi
detcrminado.
SJ Calcular las integrates siguientes:
•i
- i
Solution. La funti6n / : x 1 + x, — I ^ x ^ 4, pertenece a la close C\—1, 4], p
consiguientc, / t R [a, bj. En virtud de que la funcion / es lineal al realizar una particid
II arbitraria del segmento 1-3,4] resulta conveniente tomar £ = . En este caso, �
sumn integral Sn(/) sera igual a la misma integral. Tenemos
n-1 7i- J
Mi) --- X] m) A x; - + — • ) =
- X,t - x0 + „ (xs - X o ) ( i + = 12,;
puesto que x(1 — —1, x„ - 4. Por consiguiente,
•i
(1 + as) dx = 12,5. •
- i
Db
xmdxr0<a<b,m^ -1.
a
•4 Solucion. Elijamos una partition il la! que las longitudes de los segmentos [xi,x,+i
formen una progresion geometries, y tomemos & = x,. Enlonces
X ; = Xoq', i M*, x0 = ft, x» = b, q = ^ " & = rt^j " Axi = ft(^) " " — l)
ft I Intr ĵNil ilt* UtiMiiiinii
i 0
I que d(FI) —> 0 para n —• oo y
lim 0)! 1
J* 1 . 1 It I
• £ / ( « ) * * < » ( ( , )•• - (i>m I I - a""'1) (!)''. I U l •• •
t 0
- In - 4- o
m+t •
N
1
lim
n—*
� �
m+1 In £ + o
� �
1
m +1
r f J I f
0 • I
h
mm f xm dx - lim SMf) i d( id—o
6m+l am+l
m + 1
_ l I • • • • • I I B I I 1 I B 1 • • • • I I I • • • • • • • •
b
/
dx 0 <a<b.
a
$ Nuliu'ion. Sea II = = a, X\j - - * t xn b} una partition arbitraria del segmento b\.
M inirgrandoes integrable en [a3 b\f por lo tanto, segun lo dicho anteriormente, lim $\\{f)
i^i'ilr y no depende de la eleccion de los puntos Tomando & V ^ ^ + i obtendremos
n-1
SM) - y; Ax,-
n-1
XiXi-1_|
y V l _ j_ _ l
-—As;, x^/ a b' i=0
iI.
da?Porconsiguiente, / ^ ™ lim S\\(f)— ° x o a
1 1
a b
•
i 11
7.
sen x dx.
o
4 Mucton. A1 tomar II — {xi — i ~ 0? n}, & = Xi, tenemos
n-1
* 7Tsen?
i~0 In 4 n
li-niendo en cuenta que d(II) —+ 0 para n —> oo, hallamos
sen 4n
AC
sen x dx V2lim
re—»oo <±71
7T (f " £)
0 ��
l. •
• • • • • • in
ir
51 ' i
2
ln(l - 2a cos x 4- a )dx para \a\ < 1 y \a\ > 1.
7(1 (',)|>iiulit 7. Integral dt-finiiia
Soluci6n. Gmsidemremos II =: |a;ft == ^k; k --• tf,»}, & xk, luego d(tt) — 0 pai
n —* oo. Al designsr z = e'K = cos x + i sen x, z ~ e ~,x -= cos af - i sen x obtendremos ;
71-1
fix) - Ha - z)(a - S), Sn(f) = J X) ^ ( a - ( a - e""ft) =
*=U j
Si ]«[ < 1, entonces lim Su(f) - 0, puesto que aln —'i 0 si n oo.
r/(ll} >o
Si jarj > 1, al representar Snif) en la forma
^ , « T / , 2 , {a - 1 ) { 1 - a 2,1 )\Snif) = - ( » b i a* + in * , nv a+x / }
Hegamos a que lim Su(f) = lim Snif) — * In Por consiguiente,.(I n-*oo
* i
f 1 / 1 1 , 2\ m f o si |o| < 1, j
o I
6- Sea / : [a, 61 —» R una funri6n monotona en el segmento [a, b], Demostrar que
������� �
B FE* !
Solucion. Si f € R [a, b], entonces para toda particion H del segmento \a,b\ y pari
cualquier elecci6n de los puntos £ [a;,-, aijj.i] se verifican las design a id.ides :
b \
Sn{f) < / m dx < Snif), Snif) Snif) ^ Sa(f),
« <
en virtud de las cuales | j fix) dx - 5n(/)| ^ Snif) - Snif)- j
Para una funcion / monotona, realizando la parficion del segmento [«,f>] en r.
partes iguales tendremos j
Snif) - Snif) -- I fiP) - f i a ) \ ]
Jf[x)<U;-SM) b
Designaremos - ~ Entonces se tiene / fix) dz-Sn(f) = 0 (Sn(f) -
ti L Integral de Kirmann 71
7- Sean /, y ( C|rrT b\, IJemostrar que
b
a
n-1
•l<'»de ffu(JV) = /(&) A®*, Xj < I,-, 0* ^ x M .
a-0
n-1
4 Solucion. A partir de la estimation |.Sn(/V) ~ < S|/(€i)| ™ A®*,
i=0
ilrl earacter acotado de la funcion /, de la condition tp G t>] y de la estimacion
- <p((,i)\ C î/ siendo ojj la oscilacidn de la funcion y? en el segmento i],
llfj'.imos a la conclusion de que lim (5n(JV) — =
h
ror consiguiente, Km anCfy) — Km £n(JV) = / •
�
H* DemostraT que la funcion de Dirichlet x b] donde
, . _ f 0 si a? es irracional,
X\x) i si a; es racional,
i integrable en el segmento 6],
4 Solucion. La funcion % acotada y es discontinua en todo punto del segmento [a,
el teorema de Lebesgue, x n o e s integrable en este segmento. •
• • • 11 . ^ ^ B ^ m - , U m i ^ T —I m i ^ 1—— •• 1 u ^
Demostrar que la funcion de Riemann f : [a, b] M, donde
f(x) = / » Si * = «'
si x irracional,
Miriulo m y n {rt > 1) numeros primos entre si, es integrable en [at b] y j f(x) dx = Q.
a
4 Solucion. En el ej,263 del cap. 1 del tomo 1 se demostro que la funci6n de Riemann
i+i. uml.ioua en cada punto irracional del segmento [•a, b] y discontinua en todo su punto
i m ional. Dado que dicha funcion esta acotada y el conjunto de sus puntos de discontinuidad
' numerable, entonces de acuerdo con el teorema de Lebesgue / £ ft [ft, &].
Para cualquiera que sea la partition II del segmento [a, 6], todo segmento [a;*, Xj \|
nmiiene puntos irracionales, por eso Su(f) = 0, luego
sup{5n(/)} = J fdx= j f(x)dx^0.
m
a
1 0 . lJciuoslt.it' quo una (iutcion discontinua / : % w sgn ^sen 0 < x ^ 1,
in teg m Wo en el semintervalo JO, 1],
•4 Solucion. La funcion / es discontinua en el conjunto numerable X = (ar^ = i ; k d N
y esta acotada. H! conjunto X tiene un punto limile, x = 0, y, por tanto, tiene medida d
Jordan cero. La funcion F : [0,1] K., siendo
f m _ / o s i x e J f u { 0 } ,
*{X)~\f(x) si x € [0, 1\\{X U {0 } } ,
esta acotada en el segmento [0,1], y el conjunto de sus puntos de disconttnuidad X U {Ofl
tiene medida de Jordan cero, por consiguiente, F € J?. [0, i 1. Confonne a la definition 3 del
p. 1.5, / e i m i ] . > \
1 1 . Demos trar que la restriction de una funcion / acoiada en un segmento [ft, 6] all
conjunto E -- {ft} es integrable en el cunjunto E y / f(x) dx ~= 0.
B
< Solution. Consideraremos la funcion F : [a, b\ E, siendo
F{x) = | /(ft) si x = a, 0 si a < x ^ b.
La funci6n F es integrable en el s e g m e n t s y / F(x) dx — 0, puesto que para f(a) ^ 0
a
la funcion es distontinua sflio en un punto, y para cualquier partition IT del segmento
it A
fa, b] se tiene SU(F) = 0, fFdx = j Fix) dx ^ 0. Designemos f fix) dx = j fix) dx.
Segim la definicion 3 del p. 1.5 obtenemos f f(x) dx — 0. •
1 2 . Sea / : [a, t>] -> IK una funcion acotada en el segmento b]. Denominaremos
partition H' dei segmento [ft, b\ cn la direction desde el punto b bacia el punto a a un
conjunto de pun los H' = { x 0 = 6, X j , , . . , xn — a}, siendo x( > x1+1, i = 0, a - 1. En
todo segmento [x,-+j, x j elijamos un punto arbrtrario y consideraremos la suma
n-1
i=0
Si 3 lim Sn<(f) -- /', se dice que la funcion / es integrable en el segmento [a, 6]
«il(Ilr J—•£>
en la direction desde ei punto b ai punto a y se escribe
a
J f(x) dx.
Ii I- IliU^iiii dr Kit'tuaim v:\
u
\ Miimilrar que si / (-' H b\f cnlnm-u rxlpile /' /(;/:) dx y sr verified, adem«is, J f(x) dx
b )> r»
f f(x) dx.
a
Nultu-ion. Si los puntos de la particion II — {a?o ~ a> 1t . . . , xn = 6} coinciden con los de la
(mi I ifion .11', y si los puntos G [X j ,X j + J coinciden con los puntos G fx*, Xj+j], entonces
*'ir(/) ~Sn(f), donde Su(f) = £ /(&) Ax, . Dado que 3 lim £n</) = / /(as) da:,
&
Molnnces 3 lim 5ir(/) = — f f(x) dx.
dprno i
13. Sean 1) / : [a, ft] R, / G 6], < /(x) ^ 5 ; 2) ^ : K,
^ < <: f B ] ; 3) g - ^ o f : [a, ft] R. Demostrar que £ G -R [a, &],
Niifncion. De la condicion / £ R [a, b] se deduce que la funcion / satisface el criterio de
I rhcsgue de integrabilidad segun Riemann.
La composition g = i?o f es continua en cada punto de continuidad de la funcion / y,
in ronsiguiente, satisface el criterio dc Lebesgue. Por tanto, g G R [a, ft]. •
Noi.i. Lis de subrayar que si la condicion de continuidad de la funcion ip se sustituye por In
MMulicion de su integrabilidad, la afirmacion del teorema demostrado pierde, por lo general, sn
v id ii \iv/t. Sean, por ejemplo, : ^ 1] M, / : [a, ft] —>• R,
m = {? S m . n 0 si x es racional?
n
• Til
X = -r, n 7
11 in uk'm y n (n J; 1) son numeros enteros primos entre si,
I ii luncion / es integrable en el segmento [a, &] (v, ej, 9), y la funcion ^ es integrable en el segmento
|u, I j. No obstante, la funcion ip o f : [a, b] R, donde
° / ( * ) = { i
0 si a? es irracional,
si x racional,
in 4's integrable en el segmento [a, ft] (v. ej.8).
14- Sea f £R [a, ft], Demostrar que j/| G R [a; ft] y
f(x)dxl ^
0
J|/<«)| dx
a a
Solucion. Dado que la funcion / satisface todas las condiciones del teorema de Lebesgue,
I,is mismas son validas tambien para la funcion |/|. De las desigualdades — |/(x)| ̂ f(x) ^
|/(x)|, x G [a, ft], y de la propiedad 2) del p. 1.7 se deduce que
b
|/(x)| dx ^ j f{x)dx < / \f(x)\ dx, es decir, f(x) dx < \f(x)\ dx, •
a a a a
S'tipt'hilo'?., Integral dpfinida
<!> Nut;i. Oltstjwi'tnws •.] lil1, por Id general, tie la integrabilidnd de |/| no se deducc la integrabilidai
ile /; por ejemplo, una funcKJn / : jit, U\ -»1R, donde
. _ / 1 si x es racional,
' ] -1 si x es irracional,
no es integrable en [a, b], a pesar de que la funcion |/[ si es integrable en e! mismo segmento.
1 5 . Sean / € It [«, b\, tp € R la. 6], Demostrar que ftp £ R fa, ft].
•< Solucion. Si las funciones / y <p tienen puntos de discontinuidad, eada uno de Iq
conjuntos de estos puntos es un conjunto dc medida de Lebesgue cero v la union de la
mismos es, en caso general, el conjunto de puntos de discontinuidad de la funcion f<p
Dado que dicha union de los conjuntos es un conjunto dc medida de Lebesgue cero, 1
funcion ftp satis face el criterio de Lebesgue de integrabilidad segiin Riemann.
1 6 . Demostrar que si dos funciones / y <p acotadas en un segmento [a, ft] coincident
todos los puntos, salvo tan s61o un conjunto X C [a, ft] de medida de Jordan cero, entonce
o bien estas funciones son integrables en fa, ft] y
S 8
J f(x) dx = J ip{x) dx,
a a
o bien no son integrables en el mismo segmento [a, ft].Solucion. Si f € R fa, ft], de acuerdo con el teorema de lebesgue el conjunto dc puntos de
discontinuidad de la funcion / tiene medida de Lebesgue cero. En virtud de las condidones
i.lel ejemplo, el conjunto de puntos de discontinuidad dc la funcion <p tambien es dc medida
de Lebesgue cero, por Io cual <p € R [a. ft], Confonne a la propiedad 2) del p. 1.6 la funcidr
a — / — >p es integrable en [«, ft], y a par Mr dd ej, 14 se deduce que Jcr] 6 R [a, ft]. Para
una partlci6n arbitraria II del segmento [a, ft] cada segmento far,, contendrii ai menos
un punto en el que |ct] - 0, por oonsiguiente, §n(|a|) — 0, supf5n(/)} = f |crj dx = 0/
fii}
f lq(»)| dx = f |«| dx = D. Dado que f a(x) dx), ^ / |«(a;)| dx, results J a(x) dx -
u — a a <i
h b b
f (f(x) - ip(x)) dx- - / f(x) dx - f <pix) dx = 0. a a n .
t> b
De este modo, f fix) dx = j <p(x) dx.
a a
Ahora bien, Si supusieramos que / £ R |ffl, ft] mientras que <p E ft ft], <i par fir de
lo demostrado se dedutiria que la funcion f debcrfa pcrtenecor a li. fa, b]. De este modo
obtendriamos una contradiction.
Por consiguiente, <p 0. It [ft, ft].
'(!> Kola, Del ej. 16 se dcduce que si f € It [«, ftl, entonces en un conjimfo do medida de Jordan cero
los valores de la funcion / pucderi sustitnirse por valores arbitrnrtos finitos sin que tarabicn la
propiedad de integrabilidad y el valor de la integral.
b
1 7 . Sea / € R [a, ft]. Demostrar que la igualdad J f' {x)dx 0 se verifica si yi
CJ
solo si f{x) — 0 en todos los puntos de continuklad de la funcion / pertenccientes al
segmento [a, ft].
I) I llllt'uitil tit' Kirmann 7f
i w t •
4 Nnlmiom Neceaitlttd. Lo ilrnutinnimri. mcdliinlr cl tnclodo de rcduccion aI absurdo, Stw
j\f\x)dx~ 0, donde / w eonlinim en el punto ( , /(%) 0. De la conLiiuiidad
it
i\v f rn el punto a?o se deduce que / (x) > 0 on eierto cntorno £(. q, 6). Haciendo tiso do
It 1 I'i'opicdad de aditividad d^ la integral tenemos
b ttu+d fr «o4-tf
f2{x)dx= j f2(x)dx+ J f(x)dx+ J f(x)dx> J f2(x)dx^c7
a a j—d 1 & X^-d
i Ii Hi'. In c > 0 es uu numero constante. Ast pues, hemos llegado a una con trad icc ion,
purslo que
b
�
2r(x) dx = Q.
a
Sufidencia. Sea f(x) = 0 en todo punto de contlnuidad. Dado que / E R[a,b\t se
l i m e f2 G R [a7 61. Cualquiera que sea la particion II del segmento [a, todo segmento
1 x, f | j contiene puntos de continuidad de la funcion / (en caso contraiio, para cierta
I urlicion II la restriction de la .funcion / a un segmento [xi , seria discontinua en todo
iviic segmento y, de acuerdo con el teorema de Lebesgue, se deduciria que / 0 /?, [a, b)).
For tanto, para cualquier particion II tenemos
b
Sn(f2) = 0, � f2dx= � }\x) dx = sup{5n(/2)} - 0. •
ma
18, Sea / : [a> b] —> M una funcion acotada y concava en el segmento [af b]. Demostrar
|IIC
�
( I
4 Solucion. La concavidad de la funcion / significa que la funcion - / es convexa, por
• •onsiguiente, f £ C[at 6] (segun el ej. 112 del cap. 2,1.1),
De este modo, / € R [a, b]. Utilizando la propiedad de concavidad hallamos
a + b\ ./<* + £ , b~i\ ^ I
2 I \ 2 2 / 2
Integrando respecto a £ dentro de los limites [0, b - a] y efectuando las sustituciones
a •[-£=( y b - £ z obtenemos
b-a b-a
(b 0 )
0 0 a
Al realizar la particion ri={a5t = a + i ~ ; i = n } y al tomar & = Xi, llegamos
ii que A Xi — — y
ft-l _ _ n—t
7b Capilulo 2. Inlcgr.ii ili'liiliiLi
Debidoi a la concavidad dc /, tenemos
>=o
Tomando en consideration que rf(ll) —* 0 para tt —* oo y pasando al limite par
n - * oq en el primer y segundo miembro de la ultima desigualdaid obtendremos
b
J M D X > ^ ( M + M ) I (j
AI comparar las.desigualdades (1) y (2) obtendremos las desigualdades requeridas. •
n
^ Solucion. En primer lugar, apliquemos dos veces la formula de integration por partes
(p.1.8) y utilicemos luego la solucion del ej. 4. Obtenemos
J x2 sen x dx — —x2 cos x j t); + 2 j x cos xdx ~
o 0 J
- 2^xsen:e|(J - J ~ 2 ( f " 0 ~ *
^ F.jercicios
Calcular las integrates defmidas formando las sum as integrales Sn(f) y pasando a] If mite
para d(ll) —» 0:
1. x i— x3, - 3 ^ x < 5. 2. x «-> -Jx, 0 < x ^ 1. 3. x >-* 3X, 0 < x ^ 7.
4. x >-» cos x, 0 < x < f . 5. x i--> 2 + 5x, -3 ^ x ^ 6.
Hallar los h'mites siguientfs:
6- » * ( $ Z ? •+ tt^j, 7. lim + ^ +>*• + s ^ ) .
8. * + > ) . 9. lim
Demostrar la integrabilidad de las funciones siguientes:
10- x f* - 2 [£J , 0 < 1. 11. [x]^"-1, 1 ̂ x < 10,5, a >0,
12. x i-» , 1 ^ x ^ 40, A > 0. 13. x [ar], 2^x^17. 14. x t-* , 0,5 < x ^ 10.
15. Sea f f R [a, &] y f{x) > 0. Designcmos fu = f(a j kSn), SB = Demostrar que
Jitn £ U = / f(z)dx, tim • • • f,.» ~ /1,1 k
ft 2. IfoivnuiH V 1 Annul A* rimnrtmniuiirn
lip 1 >.hlo <jur / (. C{'-] | L, 1 M y /(;*;) [), /'(.r) ^ 0, / 'V) ' 0 V* i |IT | 1 Vmoslnr i|iii'
>:/(M ^ I j fir) dr \<>(\)
k I i
17. S / £ Cr{2) la, &I y
i t
A. : ,//(«) , !« I <2* -
a fe L
2
n~+oo
n
1 liillnr lim n
§ 2. Teoremas y formulas fundamentals
del calculo integral
I'ntre los teoremas y formulas mas importantes del calculo integral figurnn: el
Ifuivma fundamental del calculo integral/ la formula de Newton—Leibniz, los teoremas del
viilur medio, asi como las formulas del cambio de variables y de la integration por partus
(ruias dos ultimas se describen en el p. 1*8),
2.1. Integral definida como funcion del limite superior
Teorema 1. Si" / G R [a, ft], la funcidn
$ : x I /(f) df, a < x < ft,
a
vti amtinua en el segmento [a, ft].
Teorema 2 (teorema fundamental del calculo integral). La funcidn
X
$ : x / fit) dt, a < x < ft,
a
donde f ; [a, ft] —* R, / G R [a, ft], es diferenciable en todo punto x G [a, ft] en el que la
funcidn f es continua y, ademdsf ~ /(x).
Teorema 3 (formula fundamental del cdlculo integral). Si / G R [a, ft]; el conjunto
de puntos de discontinuidad de la funcion f a lo sumo es numerable; F es una primitiva
tfdntraria de la funcidn f en el segmento [a, ft], entonces se verifica la formula
f(x) dx = F(x) j * = F(b) - F(a),
ifite se denomina formula de Newton—Leibniz.
2.2* Teoremas del valor medio
Primer teorema del valor medio. Si f G R [a, ft], g € R [a, ft] y g{x) ^ 0 (o bien
i}(x) ^ 0) \fx G [a, ft], entonces se verifica la formula siguiente
f{x)g(x) dx = p, j g{x) dx> m ^ p ^ M: (I)
donde rn— inf {/(#)}, M = sup {/(&)} *
Si / i ( • ' f t j , Iii fttrimilii (I) udopLi forma
II
, J f(x)g{x)dx = f{() j g{x)dx,
a a
Si / t C [a, fe] y g(x) = 1, tenemos
f f(x)dx = f(0(b~a), a, 6],
Segun do teorema del valor medio. Si
1) to funcidn f : [a, 6] —> K »o es creciente en el segmento [a, ft], f(x) > 0 V.x 6 [a, ft"
y y £ II [a, b], entonces 1 £ £ fa, 6] to/ que
I f(x)g(x) dx = /(a) j g(x) dx; (4
f/li ^Ift'
2) / no decrece en ft], /(&} ^ 0 Vi <E [a, ft] y g (:. R [a, b], entonces 3 rj € [a, 6]
uIb b f(x)<]{x) dx - f(b) J g(x) dx; (5)
3) / es monotomi cn [a, ft] y g 6 R [a, b], entonces 3 ^ € frt, 6] tat que
b £ b
f(x)g(x) dx~f(a) j g(x)dx t- f(b) j g(x)dx.
O
(6)
Las formulas (4)-(6) se conocen por el nombre de formulas de Bonnet,
Empleando la formula de Newton—Leibniz calcular las siguientes integrates
de Riemann:
2 0
ivr
* *= f * ,dX ,0<e<l-
J l + ecosx
•4 Solucion. Con forme aj ej. 130 del cap. 1 la funci6n
F : im |
, ( 2 * H- 1), a; = 7r 4- 2kn, fcEZ,
es una primitiva de la funcion x , z C- R , 0 < t < 1. Con ta ayuda de la formula
de Newton—Leibniz obtenemos
I = F{4ar)~ F(0)= - M = . •
V1 - £-
!i>V looiVLthih y Irirmulft* hmdriitit'iiiafrri 79
21. /
j-
/
dx
• • H I I I I H I H H • • • • I • ^ • • • • • I • a2 son2 x -1 b? a ttr ' o
felnlmioii. Transformando el ink'gt'iindo en In lorma
L
a2 sen2 a; + b2 cos2 x (a2 -f 62)(1 4- £ cos 2x)'
liinde t — ^rr^/ y efectuando en la integral el cambio 2a? = tf analogamente al ejemplo
Mulcrior obtenemos
%
I Iav} - bz
dt
0
1
+ e cos t
2
a & \ v T ? arctg
••• • i• i 111 hi i ii
i - k L t
1 •+ \e\ S 2
2tt
v T = 2tt
7T
0 2|ab| *
i I m|>leando la formula de Newton—Leibniz calcular las integrales de las funcioncs
iliscontinuas que citamos a continuation mediante la constructionde sus primitivas
i*n todo el intervalo de integracion:
��� �
f fix)
J 1 + f2(x)
(*) , , (x + iyix dx, f{x) 1)x3(x - 2) , f ? = I - 1 , 3 ] \ { { 0 } U { 2 } } .
E
4 Solution. La funcion / no esta definida en los puntos x = 0 y x
| 1,3]. El integrando puede escribirse en la forma
2 del segmento
f{*)
1 + f2(x)
(arctgf(x))\ x£E,
c
londe la funcion x i—> arctg f{x), x E Ef es una primitiva de la funcion jzji, acotada en
conjunto E. Segun la definicion 3 del p. 1.5 tenemos
f fix)
J 1 + /2W
dx F(x) dxy
E -i
donde ^(aj)
0
si x € E,
si x = 0 y x — 2.
AsC pues, para la primitiva $ de la funcion F en el segmento 1,3] obtenemos
arctg f(x) si - 1 ^ x < 0, y
arctg f{x) si 0 < x < 2,
arctg f(x) si 2 < x ^ 3t
lim arctg f(x)
lim arctg f(x) + C\
x—>+Q
lim arctg f(x) + Ci
x ���� �
lim arctg f(x) + C2 x->2+0
si x -- 0,
si x = 0,
si x = 2,
si x — 2.
mi CapHdto',!. Integral tU'llniilii
Por consiguiente, oblctlCliKW
C arctg /(«) si - I ^ x < 0.
im < arctg f(x) - x si Q^x<2,
[ arctg J{x) - 2?r si 2 ^ x ^ 3,
§, *(2) = - f*
Al aplicar la formula de Newton—Leibniz hallamos
donde $(0) = <J>(2) = - § » .
32
I = $(3) - $ ( - ! ) = arctg /(3) - 2TT - arctg / ( - I ) = arctg — - 2ir. •
2 3
j sen1 x 4-
tia:
• cos4 x
A Solucion. Tomando cn consideration la igualdad sen4 x + cos'1 x ~ |(14- £ cos 4a;), dond
£ — realizando en la integral el cambio 4a: — I y empleando las soluciones de 1
ejemplos 20 y 21 obtenemos
8 IT , _
=£ I irf^i=e ( v f ^ Farct8(Vrrf1* I)+ Par],s*
8?rg
v T 7 ?
_ = 2V2 TT.
2 4 - f
31,5
i
0,5
Solucion. La funcion / : a: 1—> [a-], 0 $ a; < +00, presents discontinuidades de primera
esperie en Ios puntos x = n, n € N. Construyamos su primitiva.
Si ]n - 1, tenemos f{x) = n - 1; si x 6 n I- 1[, entonces /(a;) - n
De este modo, la funcion F„--\ : x >-» (n - l)a; | C'n-\, Cn.% G K, es una primitiva de
restriction de la funcidn f al intervalo ]n — 1, n[, y la funcion F„ : x i-» nx i- C„, C„ c B ,
es una primitiva de la restriction de f al intervalo ]n, n -1 If. A partir de la condicion
de continuidad de la primitiva en los puntos a: =s n obtenemos F,t-i{n — 0) = Fn{n 1- 0),
es decir, (n - l)n + Cn_! - n1 h C„, de donde Cn — C,,^ - n, n E N. Suponiendo
n = 1 . 2 , . . , , obtenemos C\ —- Co - 1, C'2 = Ci — 2 — Ca — 3, C?, — C'2 — 3 = Co —
C\ — C3-4 — C0 - 10, ...,Cn = Co-^y1^, Cu - const.
Dado que n = [as], x G [rc, n +1[, resulta que F(x) = x[x] - Mfeltil fc»s la primitiva
de la funcion /.
De acuerdo con la formula de Newton—Leibniz tenemos
T = f (31,5) - F(0,5) = 31,5 • 31 - 31 • 16 = 480,5. •
2 5 . I J sgn (sen a;) da:,
••llT
(i',V JiMnvvutin y frimHiifi* lumhmriilalcH Ml
4 Nthhii i^n. KcpivstMili'timii Li luiulnn / : r i • mj>; x < R, en la forma
0 x ( {A;;i; k ( X}.
t Mdo que f(x) = / [ ^ J ^ P a r i l x ft ^t funci6n continua F : x t-> arccos {cos x), x R ,
una primitiva de la funcion acotada continua Por consiguientc.
I = F{20 ) - i^-l lvr) - arccos 1 - arccos ( -1 ) 7f\ •
« ! • • • • L
4n
2h. I f (-i)w dx.
21
4 Solution, Dado que ( - 1 ) ^ = sgn (son irx), x entonces tomando en consideration In
dilution del ejemplo anterior, tenemos
I 1
7T arccos (cos nx)
40 1
21 TT
(arccos 1 — arccos (—1)) = — 1* •
27* /
o
4 Solution. La funcion x ^ [e ], 0 ^ x < H-oo, es discontinua en los puntos xn
u 2,3,... . Sea x G ]xn, entonces
^ In n,
it[e 1 dx — nx -f G I , Cn = const.
I'.ira ar € ]#n+i> ^4-21 tenemos
f \ex] dx ^ (n + l)ac -f Cn+1, Cn+i ^ const.
Icniendo en cuenta la condition de continuidad de la primitiva de la funcion x [ea;],
0 < x < +oo, en los puntos obtenemos la relation existence entre Ctt y Crt+1:
Cn+i = Cn - ln(n + 1), n C N.
Suponiendo sucesivamente n = 2 , . . , en la igualdad obtenida hallamos
Cn = C - In n!, C = const.
I)e este modo, JF1 : x ^ - ln^e®]!), 0 ^ x < +oo, es la primitiva de la funcion
x [ex], +00.
Dado que [e2] = 7, tenemos I = F{2) - F{0) - ([e1]® - lnfle1]!)) = 14 - In 7L •
2 8 . 1=1 sgn (sen(ln x)) dx, E = JO, 1].
E
<S2 L'apiLuIn 2. Integral doltiiida
Solution. Lit funcion F : jit, I) —• R, donde
_ ^ sgn (sen{ln »)) si x £ JO, 1],
F(x)
0 si x = 0,
est a acotada en el segmento [0,1] y el conjunto X = {^t — e~k*', k € M} de sus puntoi
de discontinuidad es numerable. Por consiguiente, F £ 11 [0,1] y segun la definicion 3 de
p. 1.5 tenemos
i
J sgn (sen(lnx')) dx = J F(x)dx.
Dcsignemos F(x) = J .sgn (senQn x)) dx, x > 0. Si e"<*+ilsr < x < e. k11, tenemos
F(x) = (-lf^m+Ct, donde t = [ - ^ ] , C t = const. A su vez, si e~lkn)T <x< e'ik+1)wi
entonces F(x) — (-l) f ta; + Ck+3, Q^i = const.
A partir de la condition JF(e~(t+I*lr - 0) = F ( c ~ m i ) * I 0) obtenemos
& f t - Ci + ( - 1 ) * " 1 " 2e-(fc+1>"1
de donde C t = C0- - eT2* + . -. + V ^ ) , C0 - const. Por consiguiente,
F(x) m < - l ) H f H » - 2(e~r - e~2lt + ... + ( - l j r ! + C0, siendo F(0) =
lim Ck - C0 - 2 * , n i ) = ~1 + C„.*-> 100 1 + e *
De este modo,
r = F { \ ) - f { 0 ) = - 1 + 2 - = t h | . •
1 f e 1 e 1 2
1>
1 = J\x] Si 29. I- j jar] sen ^ dx.
Solution. Consideraremos F(x) — J[x] sen ~ dx, x ^ 0. Si a; f- ]n — 1, n[, tenemos
__ j . r . n . — M F(x) - ~(n - cos ^ + C„., 1, C„ i - const. Si x Q ]n, n + 1[, entonces F(x) =
- n ^ cos ~ + Cn, C„ — const A partir de la condicion F(n - 0) = F(n f 0) obtenemos
_ 6 ot . „ C„ « - cos - — + C t l - i ,7T f)
de donde
^ ^ , 6 / IT 2% , 717T\
C„ - C0 + - I cos — + cos " I + cos — . jr V ft 0 6 f
Por consiguiente,
F(x) = - - [ * ] cos ™ + - (cos ~ + cos 2~ + • • • + c o s [ 2 ] Q + Co,
IT D K V O O O /
1 - ^ ( 6 - 0 ) ^ 0 ) = ? . * ir
fi 2. li'llI'l'tllllN V tlHlllllltl*t linilhlllU'lllilll'H
II
' U "
�
ML / j x sgn (cos x) dx.
J !
4 Holiicion. Examinemos /''(x) j x sj»n (cos;r) dx, x (
\m puntos xfc — | + kir, k C Z, por eso
A!, Ml integrando es disconlinuo en
F(x) - ( -1 )
2
-b Cjt si a; 6
+ fe7Tf ^ + (fc + l)7T
A partir de la condicion F(x& — 0) = F(xk + 0) hallamos
Q
C*
7T (I +.') + + ( - l ) i _ 1 ( | + <* ~ I ) * ) ' + C0l C0 = const
I i.ulo que k
� � �
� ����
L x
7 T 1 9 X
tenemos
11 • I I • •
2 (I") + "<+ ( " I )m 1 I 7T2 +
S + f
7T rM 1 + c I)
IW consiguiente,
/ F 11
2
™7T F I — 7T4 =•4 ("-)
*(i*)!-
+ )
(b) +
9
2
7T 1 -
4/
93 2
3 2 * "
•• i " i •—i-
Nota. A veces, el calculo del limite de algunas suinas se puede llevar a cabo mediante la
li.insformacion de las mismas ensumas integrates de funciones mtegrables. Al pasar al limite pam
oo obtenemos una integral que sc calcula con la ayxtda de la formula de Newton—Leibnizii •>
( aicular:
31. lim Sn , Sn = H T-r H H n +1 ti + 2 2rc
4 Solucion, Al escribir Sn en la forma
S
£=:! L ^ fi
vcmos que esta expresion es la suma integral inferior de la funcion x i—• 0 ^ x ^ 1,
i]ue corresponde a la particion II — {Xi = i — 07 n } del segmento [0, 1] y a ia eleccion
& — xi, entonces
l
lim Sn - [ r5^ = 1^(1 + ®)| = 1*2. • n—i-oo y 1 + X fO
0
K'l I a pill I It)')., Inh'^r.il drflllilikf
3 2 . lim SH, Su ' ( J i I -[- + Jl-\ 2--l ••••! J l I " V ii-oci n \ V « V » V n /
» i- ii
Solution. Dado que Sn = £ y 1 + j = JC Aar*, donde /(i) = v T + S , 0 ^ a: < t 4 L " » ' ' U 11
1=1
6 = = — n, Aar; = tenemos
i
lim 5It = f V l + ^ d x ^ |(l + a ) ' = | ( 2 V f ~ l ) i • n—oo J o o J
» 1 3 3 . lim Snt Sn is sen - V ] — — - r - .
n 2 + cos ~
n j
Solucion. Debidoa que sen - = J ( i ) y lim O [ ) = 0, entonce
" " v " ' J n-*oo \n3/ 2 I cos — it=i * r f!
7T " 1 Km — Km — j - .
u-ico n-tr» n ' 2 4- cos — fc-1
Dado que | p — ^ - J /(&) donde /<») = 0 € : a ; < IT, & «
A; = 1, w, Aa^ — j , resulta
* * • i-u
rfa: 1 f <ix t Ĵr iK + TT )+ cos a; 2 1 — 0,5 cos a: ' V3 2TT )
(v. ej. 20). •
34. lim
(=1 i
Solution. Represenfemos Sn en la forma
1 v ' - 2=c _ i V — _ cP)
" - n Z-r - i i I ~ » " 1
i-1 in
donde = | f ) 2», S ^ = ~ £ A partir de la estimation 0 < fl? < ^ = j sc
i=l i=i
deduce que lim S® = 0, luego
i
lim Sn = lim S™ = f 2X dx ^ ~ Tt—'oo t*—*oo j in 2
1 = J ^
o ln2 ' *
[i'l. H'orcmiiH V Irtmttiliia fiiniltinH-nl.tli'M H.r>
lU'Holver las indetermitwifineHdel ll|Mi y ^ nlllirmuln la ivgla dc ril6pit.il y el
tiHHvma 2 del p. 1.3:
X
'•IKi i*
f cos t2 dt
l i m -
% HO
0
X
^ Huliu mn, Aplicando la primera regla de l/H6pital y el teorema 2 del p. 1.3/ obtenemos
X
J cos t2 dt
lim 0
X
r dlim — dx
2cos t dt lim cost L
0
lim
x J
0
e2'* dt
4 Nolucion. Aplicando dos veces la segunda regla de L'Hopital hallamos
X
el dt
oim
X
/ e2tl dt
o
dx
lim
A
dx (/ at) x
2 n t
lim
2e* J e dt
o
e2x2
x
2 J ef dt
o
x
lim
3T-++00
2 lim
3 T - + + 0 0
iJ * * 0
�� � �
�
dx
2 limae-»+oo 2xex
1
- 2 lim — x^+oo 2x
37.
1
Sea / € C [Q, +oo[ y f(x) —> A para x +oo. Hallar lim / /(rctf) dx.
0
4 Solucion. A1 realizar en la integral el cambio nx —t obtenemos
l n
lim /
n—>oo J
1/(Twc)cte = lim — I f(t)dt = lim y?n,k—»oo tl J n^oo
0 0
0, •
ar
donde son los valores de la funcion <p : x -* ^ / f(t) dt, 0 < x < +oo, en los puntos
xn — rtj n E R Por consiguiente,
o
�
limJ1—'OC lim -a;—'-hoc X f(t) dt
o
Si A - 0, resulta que Ve > 0 3 A > 0 ; Vz > A |/(®)| < §, Dado que ia funcion /
rata acotada, entonces 3 M > 0 : |/(®)| ^ M Vat G [0, +oo[.
{.'apfUtlo '.>. Integral tlcllniil.i
Sea :r > A. "lenonms
j; a *
\ J m dt = ~ f / t o d t / ( o d t -
A partir de las estimationes
A
dt g(a? - A) e
2x v 2
obtenemos la estimation
si x > -,vf—. Por consiguiente, iim fpn — A — 0.f n—oo
Para A£0,se tiene Ve > 0 3 A, > 0 : Var > Aj •=> .4 - e < f{x) < A Para
x > Ai tenemos
x Ai s Ai
J fit) dt-^j f(t) dt + J f(t) dt> j f{t) dt + (A - e)(x - Ai).
y o a, o
S
Por eso lim I f(t) dt = oo.
I—+0O J
0
Aplicando la segunda regla dc I/H&pital obtenemos
X X
lim i f f(t)dt= lim [ f(i) dt = lim /(x) = A.
I—+(« X J i'-i+oo dx J *-t+oo
0 0
Por consiguiente, lim <f,t — A. •
X;|Jmdt
/
2 QX1
C dt <w — para a: —+ -Hx>,
4 Solucion. Aplicando la segunda regia de L'Hopital demostraremos que ei limite
2nje' dt
lim •• Vj — Tenemos
2xfe/dt £(2 xj/'iU)
lim —— , = lim -J*—, - — = lim
•t ~+to ex I->-K» -E1 »-»+« 2xeJ
2 f el~ dt -I 2xe*
0
dx
/ h ' di \ (teJ* w \ ,
= Km r - + 1 = Urn - ~ r ° — r - + 1 = lim ( „ _ „, I 1] = 1.x-< 100 y xt? J it^xe1') J *->+oo\ex +2x~cz /
hit*
0
§2. leoivniitfi y ItfinuiLiN hHMliMiiriil.ilt'H H7
( iilniLir las integrales siguienlrr* iCft)l*4imlo un r»inihin d<
frit inula de Newton—Leibniz:
iable y empleando la
1*1. / dx•• • • ••
0
{a: -f l )vx 2 I 1
| Nnlmion. Tomando —77 = £ obtenemos xr - - 1, dx — x2 + l — ^ — + 2, entonceslyt I t * £ [
dt 1
+ l V2
t v ^ ) +
JL
V2
In
+
III I • 1 11 I |—
f
4
4
7
1 , 9 + 4\/2In ==—
V2 7
��� i + x
- i
4 Solucion. En la integral indefinida / ^ dx, x G E , realicemos el cambio de variable dol+x
•u-uerdo con la formula x X t, x ^ 0. Obtenemos
x'
H- x'
r d-X
dt x2-l + C7 X G E\{0}.
Mil el ej.20 del cap. 1 se demostro que la funcion
F : x f-> k a r c tgs/l
0 si x — 0,
londe e(x) — sgn x, es la primitiva de la funcion x ^ , x ER.
Por consiguiente, I = e(l) - £ { - l ) =
��� � l + x 1
X
H dx.
0,5
1
4 Solucion. Realicemos en la integral el cambio de variable x + - = t. Vemos que a cada
2 < t ^ 2,5 le corresponden dos valores de x, por eso, representemos la integral extend id n
al segmento [0,5; 2] como suma de dos integrales extendidas a los segmentos [0,5; 11 y
[1 ,2] :/ = J] +12/ siendo
1
I 1 l + x e X dx, I2 l + x
1
X
dx.
0,5 l
Puesto que en las integrales I\ e I2 se tiene, respectivamente, x = - ^f 4, x t±/ir:'11
frrmrps •
2,5 2
2,5 23 2,'i
I = j e ( = = + v ^ - 4) dt = J e< dVt2 - 4 + J e'y/t^idt ^
" 4 2 25 _
= e-\/t2 - 4j2'5 - J elVt2-4(U + j cV^-4 <« = l.Se2^.
1_1 1
7 142. Realizar el cambio de variable en la integral 1 = 1 /(ar) cos 2 rfa; segun la formula !
sen ar = 0 j
Solucion. Representemos la integral / en forma de una suma de integrates en los cuatro1
segmentos ffc", (k M)|] , k - 0,3, cn cad a uno de los amies la funcion x i-» sen x,
0 < x ^ 27r, cs monotona. En este caso, en los segmentos [—1, 0] y [0,1] quedan definidas
las funciones invcrsas de las restrict'iones de la funcion seno a los cualro segmentos
mencionados. Si ar € [0, tenemos ar — arcsen i , O ^ i ^ l . S i x g [|,sr], entonces
ar — 7r ~ arcsen t y i decrece de 1 a 0. Si ar e [TT, ffl"] , se tiene x = ir — arcsen t y t
decrcce de 0 a - 1 . Si x £ [|tt, 2;r], se tiene x = 2x -t- arcsen t, - 1 ^ t < 0. De este modo,
realizando el cambio de variable obtenemos
1 0 •. - I 0
1 -- J /(arcsen t)dt+j figc —arcsen t)dt+J /(* —arcsen t) dti J /(2iM arcsen () dt -
(j 1 0 u 1
= j (/(2TT + arcscn t) - f{v - arcsen t}) dt H J (/{arcsen t) - /(IT - arcsen dt. •
Integrando por partes deducir las formulas de recurrencia necesarias para el calculo
de las integrales siguientes:
4 3 . I = J $ennxdx.
0
•« Solucion. Integraremos por partes tomando sen x dx = dv(x), sen" x — u(x). Tenemos
1 „ — c o s X s e n " 1 arj + {n — 1 ) J s e n " 2 ar cos 2 a: da: =
0 >
~ { « - ! ) ( / s e n " - 2 x dx - j s e n " x dssj = ( f t - ! ) ( / „ _ . ; - / „ ) .
§7. Icoicimm y luniiiiltii htmlmiiriitiilrs H9
A purs, homos obtenido hi tvlacion de in uni'iiciii lti " /n Con su ayuda iinllanios
(2k l)l! /i
/
J H
f
• " I
(2k I I)!!
Mi n 7 k
si n 2k | 1
7 F
��� �n cos" X dx
0
Kijlucion. Haciendo el cambio | x
TV IT
�
£ obtenemos / cos" xdx ~ f sen" x dx. •
o o
���
<15. fn tg2nx dx
o
| Solucion, Integrando la identidad
tg a; dx = tg2" x d(tg x) - tg 2x dx>
tle'idc 0 hasta ~ obtenemos la formula de recurrencia
In
tg2""1 X
2n — 1
£ T
� 1
1
0 2n-l
it partir de la cual hallamos
Ln-
n
i n
( - D
i=I In - (2k - 1)
; + <- ! )" J0 = ( - l ) " ( / 0
n
( - D k-n
2 (n -k) + l
t r
londc 7 = f dx —
0
Introduciendo un nuevo indice de sumacion n — k = m obtenemos finalmente
1
�� � ( - 1 ) " £4 I
M )
tn
mO 2m+ 1
7T
��� �
�
sen x — cos x
sen x + cos x
����
dx.
0
4 Solucion. Realizando en la integral el cambio de variable j ~ x — t obtenemos
7T
In=~ tg2"+1f dt
tg2"*
" - 1 •
2 n
TV
T
+ In-1 =
n
o
1
2 n + 1 n-1
t'apflulo').. Integral dellnidn
limpleando fmcesivamruli' it — ) voces ta formula do ivcurreneia ohtenida tenemos
| VIM-I ,
donde Jo = / tg tdt / = In cos t 4=lnVl. •
i
4 7 . 7(2^,211) = J sen2mxcosz" xdx.
o
•4 Solucion. Haciendo el cambio cos x dx = dv(x), sen2"' a; cos2"' 1 x = u(x) y aplicando
formula de integration por partes obtenemos la relation de recurrencia
7n ~ ^
T(2m, 2n) = 2m + 2 ,2n ~ 2).
Apliquemos csta formula n - 1 veces. Entonces, tomando en consideration la solucion
ej. 43 obtendremos
I(2m, 2n) = (2n - l)(2m - 3) . . . 3 • 1
(2m +1)(2m + 3) . . . (2m + 2 n - 1)
(In - 1)1! (2m + 2» - 1)1J
I(2m + 2n, 0) =
k (2n - l)!!(2m - 1)!! jr =
((2m -f l)(2m + 3) . . . (2m + 2n - l))(2m -1 2n)<! 2 2(2m -I 2n)|!
x(2»)!(2m)! _ 7r(2»)i(2m)i
~ 2 m * , l + l (m + n)!2"i+nm!»! ~ + n) f
4 8 . /„ = J a;m(ln a;)" dx, E = ]0,1],
^ Solution. De acuerdo con la definicion 3 del p. 1.5 tenemos
i
/„ = j F(x) dx,
o
xmQnxT, x 6 B, Adonde F(x) ~
por la derecba en el piuito x ~ 0, por tanto, F € K [0, I j . Integrando por partes obtenem
Dado que lim F(x) = 0, la kmc ion F es continu
0, X ~ 0. X-+OB
f®M(lnxrldx = 0 m + 1 / rn. + 1
Razonando analogamente, para las integrales /„_», J t l - j t , . . - , I\ hallamos
In = ( - ! ) " : at(m +1)'»Jo>
t|2. i coir mas y fornuiliirt luiutiimrnLilrFi 91
i
thiMilr /() — f xm dx .. Miuilnuinte obtenemosM I I u
n\
Niriti. Notese que los ejemplos 49-54 son, en esencia, teoremas que pueden emplearse en el calculo
Hi' riiTias integrates y en el analisis de algunas cuestiones de la teoria.
4 9 . Demostrar que para una funcion continua / ; [ — — > K se tiene
i i
1) I f(x) dx = 2 I f(x) dx, si la funcion / es par;
f o
i
I f(x) dx — 0, si la funcidn / es impan
-t
| Nolucion. En virtud de la propiedad de aditividad de la integral, se verifica la igualdad
j o i
dx — I f(x) dx + / f(x) dx.
I -I o
Huslituyendo en la primera integral x — —t tenemos
i i
f{x) dx= (f(x) + f(-x)) dx.
-i o
!ii / es una funcion par, entonces f{x) + f(-x) — 2 f {x ) , 0 ^ x ^ I, y seobtiene 1). Si / es
una funcion impar, entonces f{x) + /(-ar) = 0, 0 ^ x ^ lr y se obtiene 2). •
• III • • • I I •
5 0 . Demostrar que: 1) dentro de todas las primitivas de una funcion par se encuentra
una primitiva impar, 2) cualquier primitiva de una funcion impar es funcion par.
4 Solucion. 1) Sea / € R[—l,l] una funcion par. La funcion
£
F:x^ f(t)dt + Ci C ~ const,
o
rs una primitiva de la funcion / en el segmento [ - J , J] (el conjunto de puntos de
I iscontinuidad de la funcion / a lo sumo es numerable).
Consideraremos la integral f f(t) dt y realicemos en la misma el cambio —t — z.
o
^ C'ii|iilulo '?. hiti'^iiil ilHiimhi
x
6%-x) - J f{z) dz I C.
'.) j
*
Por consiguiente, (F(—x) = - F(x)) <=> (C — 0), es decir, solo la funcion x
i)
—t ^ x < I, es impar.
2) Supongamos ahora que / es una funcidn impar en el segmento I, i]
/ <E R [ -1 , ij, entonces
x
J /(») dx - J /(f) dt + C, C = const,
o
am in em os una primitiva arbilraria de !a funcion /
X
Fj(*) = f m d t + Cj
o
pertencciente al conjunto < J /(() dt 4- C >. Tenemos
o '
-X X X
Fj(-x) - I f(t) dt + Cj = - J f(-z) dz + Cj j f[z) dz + Cj = Fj(x).
0 0 0
Por consiguiente, la funcion Fj es par, •
5 1 . Demostrar que si / : SE —>* IS es una funcidn continua periodica de periodo T|
entonces
O + T T
j f(x) dx — f f(x) dx,
donde a es un numero real arbitrario.
•4 Solucion. Debido a la propiedad do aditividad dt: la integral, tenemos
u+7 T u-i-T
j f(x)dx = J f(x)dx+ J f(x)dx.
T
A partir de la condition de periodicidad de la funcion / se deduce que
a+T a+T
J f(x) dx = j f(x - D dx.
T
Al realizar el cambio x — T - t, obtenemos
o+r
J f(x - T) dx = J fit) dt.
fjl'. 'trmrmas y formulas liiiitLliiiriihilrM
ftu i onsiguiente,
T (i v r
f f(*)dz f(x)dx - - j f ( x ) dx h I f(x) dx / f(x)dx.
a 0 a 0
- l - I - f T T — — P T ^ ^ H B W W . • I I I I I P I—• - I I I II — I—• • ! • ••• I—n
H2. Demostrar que para n impar las funciones
X X
F : x ~ f * s r t « , cos"
0 0
tdt
hi ii i periodicas de periodo 2irf y para n par cada una de las mismas es una suma de una
In noon lineal y una funcion periodica.
I Hnliidon, Llevaremos a cabo la demostracion para la funcion F. Sea n — 2m -f- 1, m £ N,
i'i ih >i ices
F(x + 2 ) = / sen t dt ^ F{x) + / sen2™*1
Vm analogfa con la solucion de los ejemplos 51 y 49 tenemos
2?r it
sen 2 m +Hdt= / sen2"1'1 tdt= f sen2ra+1 tdt = 0.
x �
i 'unsiguientemente, F(x + 2tt) = F{x)f es decir, F es una funcion periodica de periodo 2?r.
Si n — 2m, m £ N, tenemos
2w
+2*> - w + / •
o
M.uto que la funcion x sen x, x 6.R, es de periodo , y su restriction al segmento
", -•] es una funcion par, resulta
IT Tf
ft J 2
sen2m a? dx ~ 2 / sen x dx — 2 I sen x dar = 4 I sen x dx.
o o o
I \ > r consiguiente,
_ TT
C m = I sen2mxdx = 4 j sen2m a? da? = 2 ( 2 ^ *) ! !
o a
(vease la resolution del ej.43). De este modo, + 2 ) — F(x) =
Examinemos la funcion if? : a? F(x) - x, i E l . Dado que i>{x + 2?r) ~
F(x + 2 ) - ^-(as + 2 ) = + 2x) - Cm - ^-a? = i^z) - = ^(a?), entonces V es
una funcion de periodo 2it, luego
C
F{x) = + amx, x e R , am - ^ ,
vacuum !.. inic^iiii uriimua
ts; iliKir, la fuiii'iiin l>' piuxk* ivpnak^nLtrM! imiw sutiui de la funcion 2JT-periodica ip y.
funcion lineal (homoginwi) x H-» <i,„x.
5 3 . Demostrar quo la funcion
X
F :x>-+ j f(t)dt, a? G R,
Sg
donde / es una funcion continua periodica de periodo T, es, en caso general, una su'
de una funcion lineal y una funcidn periodica dc periodo T.
Soluridn. Segun el teorema 2 del p. 2.1, la funcidn F es derivable Va; G ffi y F'(x) = /(
Por ser / una funcidn periodica, tenemos F'(t + T) — f(t). Integrando en el segme
[a;0, x] hallamos F(x + T) - F(x0 -I T) - F(xj. Dado que
z„+r T
F(xa +T)= j f{l) dt = j f(t) dt - C, C = const,
Zc 0
entonces F(x + T) - F(x) - C. Si C = 0, tenemos F(x | 2') = F(x) y F es una funci
periodica de periodo T. Si C ^ (J, consideremos la funcidn
<1?: x »-> F(x) - x £ \R.
Por sec i ' una funcion periodica de periodo T , resulta que
C
F(x) = ^(ar) + ax, x C; !R, a = —,
es una suma de una funcion periodica y una lineal (homogenea). •
5 4 . Demostrar que si / £ C[0,1], entonces:
IT *
i T * s"
1) J /(sen -j-,) dx = j /{cos x) dx; 2) J a;/(sen x) dx — ~ j /(sen x) dx.
o o o f)
Solucion. 1) Tomando ~ — x — t obtendremos
I o ?
j /(sen x)dx = - J /(cos t} df = j /(cos f)
o
2) Escribamos
J xf(ser\x)dx^= J x/(sen(ir — a:)) dx
o
y hagamos el cambio tt - x = f; entonces
r
Q
de donde
J at/(sen x) dx = j(r-1) /(sen f) M-x j /(sen t)di~ J (/(sen () rff,
IroivilMN V friimulilN hllidfimrMlalrrt %
ft *
���������
���
������� �
(i «
i • fen nr
Nfil.i, hlii los ejemplos 55-(\2 Ne i?xarnin.in distinliiM mm do Ins cuales puoden ser
h i con la ayuda dc Ins formulas de liuler
clx ^ cos x -I * son x, c 1J: cos x - t sen
('rtl< ular (as integrates:
200jt
55- .1 ••« / Vl - cos 2a? dx.
i)
200?r
I Nuhuion* Dado que / - V2 / | sen �� �� y la funcion � ^ | sen ��� � E �� es periodica
o
,1. jHTLodo T = , entonces conforme al ej.51 tenemos
3T
I = 200V2 / sen sc da; = 400a/2,
0
5T
x sen �
W f - . L :1 + COS2 £
0
« fioliicion. Dado que I = / x/(sena;) dx, donde /(f) = a partir del ej.54 obtenemos
0
2 I 2 - s e n 2 a? 2./ l+cos z ar 2 It 4
0 7T
• 1 1 •
n r m i i
if
0
4 Solucion. Si a - 1, entonces I — J i ^ f S ^ T dx = /sen2 f donde £ = [0'
"Irnemos I = §.
Si a ^ 1 representemos / en la forma I = ^ (ii - ^ donde
f �� J. _ ? cos2jc— dx _
� 1 � � cos � � 1 � � cos �
° ^ 0Stcos® 1 , 1 Vfa. I J1 e = _ £ " g < 1? e2(l + cos ®) / e2 e2 ' l + « 2 '
0
I'or consiguiente, I = p j i ^ j (ir - (1 - £
tenemos
(apilulo?.. lnh'^iMl di-lnnda
l< 1 - f a t ' t f l J C " " - 7 h
'leniendo en cuenta que / = \ para a — 1, obtenemos
I = / I *,a|I Sil«i>1
58. , - / .
{2 + cos x)(3 + cos x ) '
A Solucion. De la identidad 1 = (3 -I- cos x) — (2 4- cos x) se deduce que
2t 2I
f __ dx _ r
� 1 -| COS X � 1
djE
+ FT cos a;'
donde - 1 g 2 = Puesto que
f)+ ̂ t̂ ])
59. = 10,
/ sen x
•« Solucion. Dado que lim Km (~1)*+ 1», entonces
IT
/
sen Ttx i
~—-dx = j m m
ti D
( s i i E j ? ,
f(x) = <J n si x = 0,
I s i x - J r .
2*
2tt
donde
Dc las formulas de Euler se deduce que SIT, kx — £ (e'*1 - e * i r ) , k — l ,n , por
consiguiente,
twj
{2(cos(n - l)x | cos(7i - 3)x h • • ' -T cnsx) si n es par,2(cos(n — 1}» + cos(n — 3)x H -f cos x) + 1 si n es impar.
filiHiii'Miim y friinmUtt Iiiihliiiiirnljlrs 97
•n
hm.lu que � cos (71
I)
dx A']:!u h 0, h i i ' • • j 'ii lenemos
sen 'ii x .
sen #
/i
/(;r) da; U si 'it. es pa r,7r si m es impar •
U
Ml. i cos(2rc + l)x
COS
dx, E I 0 , i r ] \ { f } .
# Nnlucion. La funcion x ^ x £ E, alcanza su valor limite para x y el valor
ilr Li funcion en dicho punto es igual a (— l}"(2n + 1), luego
cos(2ra -f
da:
cos
f(x) dx,
o
cos(2n+l}z
i mde /(x) X ,11
si x ^ Ej
(—I)"(2n + 1) si X 2'
De acuerdo con las formulas de Euler tenemos
cos(2n-h l)x = ~(ei{2n+1)x ' 1e cos a; = -[e + e )>
71
f{x) - 2 ]T)(- l) f c 1 cos 2 (n-(k- l))a>-f- Q^x^tt.
a-l
I >r consiguiente,
7f n 7T
I
(1 fc=l
cos 2 (ft - (ft - l))x dx + ( -1/V
0 tl sen a n 2( (fc - 1))
tr
fc=I 2 ( « - (ft - 1))
+ (-l)B*r = ( - l ) V •
o
K
61. / cos nx cos11 a: da?.
o
Solucion. Serviendonos de las formulas de Euler tenemos
Ti 1
' nx cos x 2»+i
{ inx , —/nan / (e + e ) { ix . » e + e j 1
71
2n+
2" 2n
n—t
kT (ZL̂
n
i2(n—k)x
&=o
-ilkx 1 1
72
A;—0 jfe=I
2» 2" y™̂ C* cos 2fta;.
Integrando la expresion obtenida en el segmento [0, ] y tomando en consideration las
iuualdades
<ftt Capttulo 2. lnlcKi.il del! 11 itl.i
•
J cos 2kx dx — 0, fc f, n,
»
obtenemos J — =;. •
7T
6 2 . I ^ l ^ n x ^ x d x .
0
a Solucion. Realicemos en la integral el cambio x — \ +1. Obtenemos
W SR2 1
I — sen J co$u t cos cos n™ J cos" £ sen n£ (ft.
IT JF
Dado que la funcidn t >-+ cos" t sen nt, - | < t ^ es impar, de acuerdo con el ej.
tendreinos
*T
J cos" £ sen ni — 0.
_ IF
Por consiguiente,
W
1
7 —senn^ J cos" tcosni dt.
_ w
En el ejemplo anteriorse demostrd que
7 T ' 2"
cos" t cos nt = ~ -f i E cos
Tomando en consideration las igualdades
j C°S 12kx dx — ~ sen 2kx2 fc - 0 , ft = 1, n,• i
hallamos
s e n n f f ,
6 3 . Los po/j'womios t/e Legendre sc definen mediante la fdnnula
- J L . ^
2"n!
Demostrar que
/
( 0 si in ^ n,
Pm(x)Pn(x)dx= ^ ,
_t I SSI m = n "
fil?. IV'omiutN y fiVutiilfta fiimliiitu'iiliiU's f->
| Noluci6n. Examinomits In Inlegrnl nl^ulciili* |una m • n
I f a 2 I)") xm (Ilx.
IWa ealcularla, apliquemos m veces la formula de integraci6n por partes. Obtenemos
i
/ = ( - 1 y*m\
Jldxn~m
dn-m—1- 1)« = ( - a , ^ - i f
-1
1
0, ���
-1
ilrbido a que - 1)"
- l
0 para k — 0, n — 1.
Dado que el polinomio Pn{x) se diferencia del polinomio ^ O®2 — 1)" s61o en un
111< tor constante, y el polinomio es una combination lineal de potencias �
�
� � = 0, �
�
11 partir de (1) se deduce que
i
P„{a:)Pm(;c) dx — 0 si m < n.
l
I in el caso de que m > n, se tiene, evidentemente,
i l
f Pm{x)Pn(x) dx — 0. As! pues, J Pm{x) Pn(x) dx -
' i -t
Examinemos ahora la integral
J Pm(x)xn dx
0 si m ^ ft.
0r en virtud de que
i
I - f P2(#) da; � �
�
�
�
�
�
� �
f 2 î re tt , 2 - 1 ) -^(x 1)" dx.
l - i
Para calcularla apliquemos n veces la formula de integration por partes. Obtendremos
In ����
1
22n(n[)
2 n d
dx2n ((� �� � �
- l
El coeficiente del termino de mayor orden del polinomio
- 1)" = (2n)l.
Consiguientemente,
(X 1)" es 1, por tanto,
(i!)
22
t
T{2ny. r
�����
�
�
{x2 - 1)" dx � ����» 2(2ti)! f
22™(»!)2 �
(x2 -1)" dx 2(2w)i f �
�
�� �
2���� � �
0 0
(en virtud de que la funcidn x >-» (xz — 1)", - 1 < x ^ 1, es par). Haciendo en la integral el
cambio de variable arcsen x - t y tomando en consideration la solucion del ej. 43 hallamos
j 2P»)! f js i i . 2(27f.)!(2»)!!__ _ _ 2_
" 22"(»02 J 2»W{2n +1)!! 2n + 1 '
6 4 . Sea f € H fa, i>] y la fimcion k »->• Fix), a ^ x ^ b, es tal que F (x) = f(x) er]
todo punto de [«, 6], a exception de los puntos a y ft y de un numero finito de puntoi
intenores c,, i — p, donde F presents discontinued a des de primera especie.
Demostrar <.̂ ue
/
J f(x) dx = F(b - 0) - F(a + 0 ) - £ (P(d + 0) - F(cf - 0)).
£=t
Sol ucidn. Veamos la funcidn x F\ (x), a < x < b, donde
{ Fix) si ar € Iq, q+if.,
F(a -\ 0) si ar - d, i - = a, Cp.(1 = ft.
JFfa+i - 0 ) si x ^ C i + u
Sea II una partition arbitraria del segmento [o, ft| que contiene los puntos q ,
i — I, jt>. Aplicando en cada segmento Jx; , Xj+j], j » - 1, la formula de incrementos
finitos obtendremosn-l 7i-1 n-1
Snif) = ~ *H*jS) = V Fiitj) Axj - E /<i> Axi> xi<$< ®J+i-
i=o j=0 j=o
Por otra parte, la suma 5'n(/) es de la forma
p
i~--a p-1
= F(b F(a + F{ct F(cp
F(a +Q)~22(F(c-t F(a
i=i
»
que / -ft [ M L se tiene lim Sn(f) = / /(a;) da* = F(a
E ^ f e + o ) - ^ - ® ) ) . >
• i
6 5 . I Jeter minar los signos de las integrates que vienen a continuation, empleando ios
teoremas del valor medio:
a) I = J dx, E =]0,2?r j, b) 1 = j x*2* dx.
IS 2
Ihnt'Hlit* V tdiiiiiiIftn Inndamcnt.di'N 10
4 Solucion. a) I .a funcion F : jo, ;>/i | > Ik', meiulo
h r H il- . . i
Ftx)
si < /'/,
wi ih
r.•I 4'ontinua en el segmento [ 0 , p o r lo cual F € It ]<), 2n\. Es evidente que
2ff
� � ��
�
� ��
E 0
De la propiedad de aditividad de las integrates resulta que
JT 2x 7T
F(x) dx F(x) dx + J F(x) dx^=7f J x + ir
o 0 0
���
(rn la integral J F(x) dx hemos hecho el cambio x - n = t). Al aplicar el primer teorema
H[
el valor medio obtendremos
7t
i=mo F K ) ln{a; + vr)+ 7T 10 7 T ^ l n 2 ) 0 < £ < i r ,5
o
le donde se deduce que I > 0.
b) Escribamos I = I\ + h , donde
o
I l j x3lx dx, h x*2x dx,
- 2 0
y realicemos el cambio x t en la integral 2i. Obtendremos
J — 2 #3sh(#ln2)
o
I )e acuerdo con el primer teorema del valor medio, tenemos
1 = 2 sh(£ In 2) / x3dx = 8 sh({ ln2)f 0 < £ < 2
o
Por consiguiente, J > 0. •
6 6 . Sea f e C [0, +oo[ y 3 lim f(x) = A, A 6 R, Hallarx—* +00
£
Hm i / /(i)<tt
J
0
Examinar el caso /ft) = arctg i, 0 < f < +oo.
Ciiptlulo Integral ileHnida
M Solucirtn. Dado qui; 3 lim J(x) - A, entonces Vt: > 0 :.! B > 0:
X—»+«JU
Analizareinos para a: > B la integral
~ J mdt = ± J f
ii
B
Dado que / 6 R10, B], se verifica / /(f) dt = C, C = const. De acuerdo con el primer
o
teorema del valor medio, tenemos
i
i j j ( t ) d i = m ( i - f ) , b ^ ^ x .
a
X
~ f f(t} dt — A\ para x > B. TenemosEstimemos a(s) —
D 1
a w = I f + m - * - / « > f I < M M + ( / f f ) _ M S + *
I JJ <T X Z
debido a que B < ( ^ x. Como const, entonces para x > 0 !o suficientemente
grande se cumple la desigualdad < y, por tanto, tambien la desigualdad
«{ar) < 5, a partir de ia cual se deduce que
faJ -+0O X J f(t) dt — A.
Si /(£) = arctg t, 0 < t < 4-00, entonces
X
lim — I arctztdt =
*-•+<» x J b 2
Estimar el valor de las integrales:
2 Tt
67. f .
J 1 -R O P COS
0
< Solucion. Representemos I en ta forma I = I\ + /1, donde
* it
T = / dx f jl
1 J 1 4- 0,5 cos x' 2 J 1-1 0j!,5 cos x
Cambiando de variable cn la integral h segun la formula 2JT - x — t Uegamos a
que I2 = /1. For consiguiente,
IhitiHiM* y I Oi in II I dM ftimLtmi'tUijIett \m
/ 7lx 4 L I
o
dx
2 vtitP : •
hi funcion / : ar
�
J0
dt
1 +2.cos; 0 ^ a ^ ir, en el segmento [0, tt] satisface todas las
t ondiciones del teorema de Legendre de incrementos finitos, en virtud de lb cual tenemos
I = 4(/(7r)-/(0))=4?r/'(£)
1 + 2cos2 I '
0 < £ < 3T
1
1 )<,d0 i u e 3 < S i ^ n estimacion y < I < 4?r, o bien
1?r
T <
/ |ir < Y - Designando 0 ( I - f ) : f obtenemos
y + M < 1-
100
68. I Z + 100 da?
o
4 Solucion. Dado que la funcion x ar+100, 0 ^ x < 100, es mono tana, y la funcirtn
i—> e - x 0 ^ x ^ 100, es continua, podemos aplicar a J el segundo teorema del valor
nedio (formula (6) del p. 22). Obtenemos
i 100
I W j dx + 0,005 j dx = 0,01 (l -t ie +0,005 (e * - e-too) , 0 < £ <100.
o £
Como £ = 100 6, 0 < 8 < 1, la integral I adopta la forma
( e
-1000
donde 0 i e , 0 < »l < 1.
• i • • • i •
200jr
��� �
sen a? dx.x
M Solucion. La funcion x es monotona, y la funcion x sen x,
IE J
x 7r, continua; por eso, aplicamos la formula del p. Obtenemos
i 200*
-A- f
IOOTT J
sen x dx + ; 1
2007T
sen x dx 1 - cos £
2007T , 1007T < £ < 200rr,
£
Por consiguiente, 0 < I < . Designemos 9 — 1 : — , luego I 100ir
0
���
, O < 0 < 1 •
! ! • I ••• • • t • | P1 I b • I—I- I • !••
���
�� � 2senior dx.
7 no
!()'! C'tipilillo 'I. Integral di'tinida
•4 Solucitin. Canibundo de variable sogun In formula A J: ' / obtendremos
2(W!«
2V* J y/t
Hadendo uso de la formula (6) del p. 2.2 hallamos
7 ̂ 2̂ (rah /sen'* + /*"**)= TSST- IooV
W e i
Evidentemente, 0 < / < por eso, I — 0 < 0 < 1. • jj
71.
M Solucion. En el segmento la, 6], la funcidn x J*., a ^ x < b, es decrccientey la funcion'
x ' ' cosss, a ^ ar ^ es continua. Por tanto, segun la formula (4) de! p. 2.2 tenemos
£
T I f , sen £ - sen a
I — I dx = —, < § < b.
•Jo. J v ia
De la estimation | sen £ — sen a| < 2 se deduce que
� �
i/o \/a
Al designar 0 = 1 : J j obtenemos
\/a
2
7 2 . Demostrar que lim I sen" a: dx = 0.
n -oo ./
u
Solucion. Fnra la demostracion podriamos emplear el resnltado de la solution del ej.43.
Sin embargo, hagamos uso del primer teorema del valor medio.
Representemos ln j sen" re dx en la forma - + , dondeb
* E AR
J 3 2
J ^ sen" sen"
o f - f
0 < s < x es un numero arbitrario fijado de antemano.
fj j ihtivitMN y Iriimuhin fiiiMlttmnilalcH \[)l->
I'ara todo u (. N rn Viilida lit rut lmm ion
itt dx
t:
2
N F i "" 2
hi* lo que sen" a: < sen* 1 ar, 0 < x < | - f , tenemos
TT £
2 2
In] < donde sen" x dx.
o
��� f11En virtud de que i j r > 0, la sucesion decreciente (/„ ) esta inferiormente acotada y
3 lim I® = C, C > 0.n »oc
I'or consiguiente,
r j - C + otnj L ���n-1
i iimde y son sucesiones infinitesimas.
De acuerdo con el primer teorema del valor medio tenemos
In ̂ = sen£„I*2i, 0 < < ^ — —,
de donde obtenemos C = es decir, C es una sucesion infinitesiina. Comoi-scnt '
<•' - const,resulta que C — 0. •
n±p
73. Demostrar la ieualdad lim /
J
sena?
a;
• da; = 0, j? > 0
n
Solucion. La funcion + es decreciente, y la funcion x sen x,
^ a: ^ n -lp, continua en todo segmento [n, n + p], por lo cual, aplicando el segundo
Irorema del valor medio (formula (4) del p. 2.2) obtendremos
n+j? iN I.Sw sen x j I f , cos n - cos ^ . ^ dx — — / sen x dx — —, n < tn < n + P-x u ! n n n
A partir de la estimation | In n ^ ~ se deduce que lim In = 0. • 71—^OO
7 4 . Sean / : [a, fc] —> M y <p : [a> 6] —• K. funciones continuas. La funcion <p es
derivable en el intervalo ]a, b[ y ip {x) ^ 0. Demostrar el segundo teorema del valor medio
(formula (6) del p. 2,2), aplicando la integration por partes y empleando el primer teorema
del valor medio.
N)f> Capttilto 2. Integral dHiniita
*
Soluei6n. Integranimiuspor partes la intern 11 J f(x)<fi(z) dx tomando dv(x) — fix) d&i
it
u(x) — <p{x). Obtenemos
1 ft 4 * • 6 ^
T = (y[x)Jf{t) dtj | - J(v'(x)Jf(t) dt) dx = m J f ( x ) dx - (ipib) - <fi(a)) J f ( x ) da
0
b
donde a la integral J (^<p'{x) f /{() dtj dx le hemos aplicado el primer teorema del valo]
a a
medio. En el case considerado, la a plication de este teorema es licita, puesto que la fimcida
2
I H / f(t) dt, a ^ X ^ b, es continua y <p'ix) > 0 conformea las condicionesdel problem*
a
l ias la realizaci6n de varias transformaciones simples, se obtiene
i (
J = <p(b) J fix) dx f <p(a) J f(x) dx. •
(
Para una funcidn f € R [«, 6] el niimero
b
M{f)=b^~a J f ( x ) d x
a
se denomina valor medio de la funcion f en el segmento [a, 6J.
H Para las funciones siguientes hallar sus valores medios en los segmentos indicados:
7 5 . p = £ o < w ^ 0 < e < 1.
1 • - e cos <p
M SoIuci6n. Con forme a la definicion de valor medio tenemos
M(p) = i J - d(p = A ( , 2 a r c t g ( J i ± l tg
m 2tt J 1 - e cos y %% V v T ^ 1-e h2 J
ry >- \ 2,1
ZT^ii 2ir \ J
+
Dada una elipse, a partir del curso de geometrfa analitica se sabe que s =
p = donde a es el semieje grande de la elipse y ft, su semieje pequeno, Ai sustiluir e
y p por sus valores, obtendremos M(j>) = 6. •
7 6 . f -.at*-* senxsen(i + <p), 0 ^ x ^ 2x.
•4 Solucion. Partiendo de la definicion de valor medio de una funcion tenemos
M<J) — J sen x sen(ai I - y>) dx = ~ j (cosy - cos(2x + <p)) dx —
o o 1 at
= — j s e n t t e + t f ) ^ . =
2* cos <p
2 '
§2, 'lt>nmiMH y ^rmiilnw hmdrtiiienLileN 107
7 7 . Hallar el valor medio de lit vHoddml de un cucrpo en cafda libre cuya velocidad
Init ial es igual a ity.
4 Solucion. La velocidad de un cuerpo en cafda libre en un instante t se expresa mediante
la formula
v{t) = v0 + gt,
donde g es la aceleracion de caida libre.
De acuerdo con la definicion de velocidad media tenemos
T
1 A , , 9T V(T) + vo M(v) = i J (vo + gt) dt = vo + 2 2
o
pucstoque f •
78. La intensidad de una corriente alterna varia segun la ley
• . f2lTt , \ % = t0 sen ̂ ĵT + ̂ J >
donde io es la amplitude t es el tiempo, T es el periodo y tp, la fase initial.
Hallar el valor medio del cuadrado de la intensidad de la corriente.
4 Solucion- Dado que i2 = ijj sen2 ( ¥ + ¥>) = 2 C1 " c o s +2<p))' resulta
2 a;
" « = a •
0
7 9 . Sean / £• R [a, ft] y G R [a> 6]. Demostrar la desigualdad de Cauchy—Buniakovski
�
f(x)g(x)dx ] ^ I f {x)dx I g (x)dx.
a a
4 Solucion* Dado que / £ R [a, 6] y g E R [a, &], se tiene
fgeR la, 6], / 2 G R [a, 6], / G it [a, &].
Designemos a = J f2(x) dx, j3 = / /(a?) <?(x) da;, 7 = / g [x) dx y examinemos
a a a
dos casos posibles:
1) a = 7 = 0;
2) al menos uno de los numeros a 6 7 es distinto de cero.
Consideraremos ante todo el caso 1). Sea a = 7 ~ 0. Integrando la desigualdad
1 / . .2
|/(«e)ff(*)| < 2 V + 5 a ^ ® ̂ fc»
<ib tenemos
\P\ < f |/(*)fl(»)| dx I<« I 7),
a
K/ra ( Vipftult? 2. Integral delinida
2) Si'a, por tijemplo, 7 > 0. I in este nisn, V/ L IIS OS vtflida Is • desigunldaj
(f(x) 1 <i(x)) >. (1, euya integraci6n nos da
+ 2fit -f a <*R.
Por consiguiente, el dtscriminante del Irinomlo cuadrado
y=yt2 + 2 fit + a
es no poshivo, es detir, fl1 - a7 < 0. De este modo, fl2 ^ ay. •
8 0 . Sea / e ft] y /{«) = 0. Demostrar la desigualdad
M sj (6 (3;) da-,
donde M ~ sup {|/(®)(}.
I Solucidn. Escribiremos la desigualdad de Cauchy—Bunlakovski
X
\f>f(t)g(t)<tt \ J f
2{t) dt J g2{l)dt.
\ a
Para g{t) — f'(l), f{l) = I, a < I < x, a < x < b, esta desigualdad adopta la forma
\ V
X X j & > \f f (It)dt\,I
a
de donde obtenemos la desigualdad
X
f fa(t) dt V s ^ a ^ |/{af)l>
(se ha tornado en consideraci6n que f{a) = 0).
La desigualdad sdlo se refuerza, si en el primer miembro de esta misma se sustituye
x = b; en el segundo miembro podemos tomar incluso aque! valor de x t [a, ft] para el
cual la funcion continua a; 1—1 \f(x)\, 0. ^ x ^ ft, aleanza su supremo M. Por consiguiente,
se verifica la desigualdad
e
M24.(b-a) I f i x ) dx. •
fU' li'ort'HMH y roniMihm ImnLiniruUlcs It)1)
Hjercirios
C.ikular las integral on qui- nl̂ tirn it iimllnuarJriii mi'diiinLc l.t ooiisUucciun dc las primi-
ll vas de los iutcgraiuloN c*n lutlci H iii|oivaJt» tit* inlt'gr.u ion y aplicando poster i or menle
la formula de Newton—Leibniz:
I'»[), 2 |2!i,:i
IH. / [x\x3dx. 19, / ^dx. 20. / ^ dx. 21. / [a?21 <te
100,2 20
J [#] | sen isx \ da;. 24, f max(l, x2) dx.
[>,23 -10
Calcular las integrates definidas siguientes:
ln5 1
^VF^T
• •• • • / / J • n 1 •• • •••
^ x<J[£2~2)'
22. f
0,04
i
y/x dx.
M 3 / 2 2v®
f u , dx- 26« f A 27. f 28. f(arcsens)4<ta.J 31 i/{x-2f x\f[z2~2)H J el+3 J f :i v /T Y n 0
'"»• J sen re <b. 30. / At. 31. / [cos (in i ) dz, n € N.��� ���
��
1
0
1
•»>• fek"—dx. S3. J ^ d x . 34. J f ^ d x . 35 ./
I 0 0
7T2
7T
2
1
:io. / dx. 37- / da;
J T2 5f
1-3-jc2 ^'* J a+bcosa;
U 0
• 3 8 . / ( f a• • i i {a2 sen2 i+62 toH2 • 39, / sen2n x dx, n € N,
o u
x dx,E = [ 0, vr]\ { § } , «GN.
Resolver las ecuaciones:a? 5
r ^ _ 42 f - - H6 "
a; 2£-f 1 13. Hallar los extremos absolutos de la funcion / : x »-• J ^ni -I ^ x
44. Estudiar los extremos de la grafica de la funcion
X
/:»•-> J(t- l)(t - If dt, xGR,
o
y hallar los puntos de inflexion.
sen a; cos x
45. Demostrar la identidad J arcsen \/i dt + f arccos Vt dt — |,
o o
n—1
46. Demostrar que kx
jfc=i
A-l _ (n-lj^-nz'^'+l
47. Calcular el valor medio de la funcion / : x i—> <2.
48, Hallar el valor de a para el cuaE el valor medio de la funcion x ^ \nxf 1 ^ x a, sera igual
a la velocidad media de la variation de la funcion.
49
52.
Comprobar que:
1 0,5 1
, d x < T^. 50. 0,5 < f ^ n ^ 1- 51. 0,78 < f < 0,93.
Demostrar las igualdades:
��� ���
= S3. I s
10U 100
b L - f i X J :
x dx =
0,005 20
T
. ... V .l|>IU!UI /.. MIH'K'1'I tlClUllllil
DciiiortU'iii que:
I 31*] I
B a o
w i>
t
59. Determinar el signo de la integral 1 = f srinx dx.
*
60. ^Ctiil de las integrates siguientes es de mayor valor: I\ = J e_ I cos2 xdx 6 h
f e~* cos3 x dx?
T
I tf
61. Hallar lim / 62. Hallar lim / /(x)^, donde a > 0, 6 > 0, / € 6'[0,1|.
§3. Integracion de funciones vectoriales,
de funciones de valores complejos
y de matrices funcionales
3.1. Integral de Riemann de una funcidn vectorial
Sea f : (a, ft] —+ E m una funcion vectorial de componcntes f j , j = 1, m, las cuales,
a su vcz, son funciones aeotadas en el segmento [a, 6). Elijamos una particion arbitraria 11
del segmento fa, b\ y fonrtemos, cualquiera que sea la election dc los puntos & € fas, Xi1i],
la sum a
n-l
S n f f > - = £ £ ( & ) A * i
i=0
que denominaremos suma integral de la funcidn vectorial f en el segmento [a, £>]. Segun la
definicion de operacion de adici6n en el espacio K™, la suma integral Sn(f) tiene la forma
S„{f) - (Saifi), Sn(h),Su(fm)), (1)
siendo Su(fj) - ^ //($) las sumas integrales de las funciones f j , j = 1, m. Sea
d(II) = max Axi. Pongamos lim Sn(f) I, si Ve > 0 3 6 > 0 : VII V tf(II) < 6 =>
(J(ri)-Q
|Sii(f) - 1 | <
Dcfinicion. Se denomina integral definida de una funcion vectorial f en un segmento
[a, ft] al limite
lim S[((f) = I,
si este ultimo existe.
Si en el segmento [a, ft] para la funcionvectorial f existe integral definida, diremos
que dicha funcidn es integrable segun Riemann en el segmento indicado. Designaremos su
Intcgracitin do liim'toiu It ill , y t\v mairiccH fiinciannles I f I
b
liilq;ra! con el s(mboh> f f{:r) rte. I VHlHnmvmoN incdlanlc f (' l£ [«, el conjunto do tod its
Inn lunciones vectoriales f inLrgrubles on ^
Teorema- Una funcidn vectorial f: |fx, b\ Rm ex integrable en un segmento [a, ft]
nl y solo si cada una de sus compimentes f j , j — 1? m, es integrable en dicho segmento,
Teniendo en cuenta este teorema vemos que para f(zR [a, ft] se tiene
b b b b
f(x) dx = U m dx, Jf2{x)dXj. *»j [fm{x) dx\� ���
a a a a
b
Observemos que el cambio de variable en la integral � f(sc) �� se reduce al cambio
6 a
ilo variable en cada una de las integrales J fj(x) dx, j = 1, m, puesto que la integraci6n
a
tic la funcion vectorial f se reduce a la integracion de m funciones numericas.
Si las funciones vectoriales f y g son integrables en [a> 6] junto con sus derivadas f
� g', entonces se verifican las formulas de integracion por partes de los productos escalar
y vectorial de estas funciones
a
f(x), g'(»)> dx = (f(x), g(x)} [ - J{f(x), s(x)) dx,
a a
b b
j[t{x\ g'(x)] dx = [Hz), g(s)] [ - J [f{x)9 g(*)] dx.
a a
3.2. Integral de Riemann de una funcidn de valores complejos
(3)
(4)
Definicion* Veamos una funcion / : [a, 6] C, donde f(x) = tt(a?) + Para
una particion H arbitraria del segmento [ay 6] y una eleccion cualquiera de los puntos
^ 6 [Xj,Xj+\\, construyamos la suma integral
Ti-l n-1
3"0 j=0
b
Kntonces / f(x) dx = lim <Sn(/), supuesto este limite existente,
a d{n)"+0
El conjunto de todas las funciones / de valores complejos integrables segun Riemann
se designa mediante / £ R [a, b].
Teorema. 3 Um Snif) 3 lim Sit fa) A 3 lim Snfa), siendo <m)-*o d(n)-o
lim Sn(/) = ( to 5n(«)f lim Sn(v)Vd(n)-*o \d{ hhd v d{ nj-o /
De este modo, una funcion de valores complejos / es integrable segun Riemann en
un segmento [a, 6] si y solo si it € JR (a, b], � € R fa, 6]. En este caso se tiene
f(x) dx = I u(x) dx + i I v(x) dx. (1)
a a
111- t'apilulo'?. I nit rit'li n iila
Si una luiicicu tie v it lores coinplejas / i-s integrality on uu segmento |«, b], entonce
su coin p jqt m}ri jiigada / es lambicn integrable cn ilichosegmento y el producto f f — \f\
GS una funcidn num erica integrable que satisface la formula
II u
J f(x)f(x)dx = J (u2{x) + v2(x)) dx. (2;
3.3. Integral de Riemann de una matriz funcional
Si x f-t A(x) — (aij{x)), a < x ^ b, es una matriz funcional de dimension n x m.
cuyos elementos son funciones acotadas en el segmento [a, b], entonces dicha matriz es un
elemento del espacio vectorial fffl sobre el campo !R. En dirho espacio puede ser definida'
la suma integral Sn(A) = {5n(«;;}), valida para cualquier particion II. del segmento [a, ft]
y cualquier eleccion de los puntos & t fx,-, SCj+i]- Sea
QIA(x) dx d=f lim Sn{A),4m- <0
supuesto este limite existente.
Teorema. 3 lim A'H(J4) 3 lim S'nfej), £ = 1, n, j = 1, m. Adenitis, se verifica
lim 5 n ( j t ) = ( lim 5 n (o , j ) ) •
Vemos que una matriz funcional A(x) es integrable en un segmento [a, 6] si y solo
si en dichu segmento son integrables toclos sus elementos Ojj y, en este casor
E> b jwtfw)* i-m. m
d a
La clase de todas las matrices funcionales A integrables en el segmento [a, b] se
designa mediante A r R [a, 6].
10
8 1 . Calcular I — J(Vx, 2*) dx considerandola como limite dc una suma integral.
0
< Solucion. Dado que •/x £ 11 [0,10j y I1 t R [0,10], rcsulta que 6 A 10,10],
Para cualquiera que sea la particion II del segmento [0,10] y la clecridn de los puntos
& £ te,asi+i],se tiene
: = ( lim £jt(Vs), lim Sn(2*)),
W D - L I I I I I D - O J
I
donde
£n<VS) = V ^ A»(, Sn(2X) - ^
n-1 n-1
1=0 i=0
[\[>. Integracion dc hjiuiniiiH vrclorinles, complcjjN y dr matriceN fundonaIi\s U3
Dividiondo el NCftnienio |0, !()| en n partes î nali'M y poniendo ft X{ i -
W ft
nbtonemos
i-0 r-tt
(I lemos tornado en consideracion que Ax j = ™).
— siendo xn — ^ Vi,
n
yn ~ n*. Dado que existe
lim —- ~ lim — — j - — lim • -Jfn+1 - yn n—*oo (n + 1)? - ns n m + I ) * ^ i j 3
nitonces segun el teorema de Stoltz existe
20lim Su(Vx) = 105 lim zn = -- /R). dtflHO n^ oo 3
^ 10 2 » - 2 « v 10 2 1 0 — 2 " 2 1 0 - 1I n virtud de que 5n(2 ) = — * — — y lim — - —^ = —:—- tenemos" - i n^oo n 2n — 1 ln2
2io _ 1
lim = i
dfliHO In 2
/ 20 / 2lt) 1 y
Por consiguiente, I = ( ^ v 10> -pr- }, • 3 v ' In 2
i
8 2 . Calcular I — j f(x) dx, donde
-l
1 1
2: cos a + 1' y/(I - lax + a2)(l - 2bx + fr2)
0 < a < 7t, |a| < 1, |&| < 1 , ab > 0.
I Solucion, Segun la formula (2) del p. 3.1, tenemos
I
i i
dx f dx
a + I5 / x2 - lx cos a + 15 J ^ ( 1 - 2ax + a2)( 1 - 2fce + 62) 7 '
- i - l
por eso, la integracion de la funcion vectorial f en el segmento [ - 1 , 1 ] se reduce al calculo
de dos integrates definidas de las funciones numericas correspondientes.
Evidentemente,
/, = d xx2 — 2x cos
l —i
i
/
d(x - cos a) _ 1 /
(x — cos or)2 -f sen2 a sen a \
x - cos a" 1
sen a i
1 / „ 1 — cos a . 1 + cos a \ I arctg arctg
n a \ sen a sen a J sen
(
(14
Lin In integral
h =
CapiUtlo 2, Infi'^nil dillnida
I
- i
dx
V^T- 2ax. + a2)(l - 2bx + b2)
= /
2v/ai> 7 y U ^ c X B - a : ) '
donde A = ~ + 5 = - + realicemos el cambio de variable aiguient
y/(A — i ) — — x). Obtendremos
S3IVT/
v̂ Hb J
dt
In
IMIvT
2\/oS + l
t - 1
ISHvT
iHiv^"
= _ J _ in / A = — In 1 + v 3
2Vab n V - 1 ) Vab 1 - Vat
Uiego
\ 2 sen « V ^ 1 - Vaft/
i
8 3 . Calcular I = J (f(x), g{tf)) <te, donde
0
«», - (ta { . + y n v ) , , * > - .
Solucion. Dado que %{x) = V(«), donde v(s) = ( v T + F , e""^*) , f'(a:) = f -1
\ V1 + Xz
acuerdo con la formula (3) del p. 3.1 obtendremos
i
i = < f c * ) , v ( s ) ) ] £ - J { ( ( x ) , V ( x ) ) d x ^ ( v T T ^ b ^ + +
0
1 a s 1 ^
- f f 1 + —• ~ J dx = V5 ln( l + V 5 ) + - 1 - /
Sustituyendo en la ultima integral arctg i = f e integrando por partes hallamos
i f
f eaKt*z f t el I* e' 1 I j- dx = / e cos tdt — —(cost + senf) — — - - .J (1 I J 2 ' a V ? 2 0 0
Asf pucs, I = V^ In (l + y/2 ) - •
fj I. hitcgracitin Jo hnu loiwis vectoriales, comploja* y ilv ma hires lummnalcs I \5
H4. Calcular I -- / g(,r)j dx, donde f(tt) - (:/r, g(rir) ^ (r;*, c 7 <t*u).
-1
Motucitin. Dadoqueg(x) = v'(a?),donde v(:z) = (e*, ^--),deacuerdocon la formula (4)
>,3.1 tenemos
l
I I.Iiffi*)M*)]\lt ~ f [{'(x)> v{a?)] dx = [f(l), v(l)] - [ f ( - l ) ,v ( - l ) ] -
l i I I
xe3xdx-| J x2e2xdx\ + j f 3 J x2ex dx - | J e3x dx J +
- i - i - i t - i 2
+ k| i f e2xdx —2 f xex dx
-t -
I nit ulando estas integrates y tomando en consideration que
11(1), v(l)] - [ f ( - l ) , v(- l ) ] = i sh 3 - ch 2 ) + j ( 2 c h l - | ch 3) + k(ch 2 - 2 sh 1),
nlilonemos
1 i ( i s h 3 " l c h 3 " c h 2 + ! s h 2 " f ^ 2 ) +
+ j ( | s h 3 - | c h 3 + 2 c h l - 6 s h l + 12e~3) + k (ch2 - ~ sh2 + 4 c h l - 6sh l ) ,
donde i , ) , k son los versores de los ejes de coordenadas correspondientes. •
jr
8 5 . Calcular I = J z{x) dx, donde z(x) = e^cos2 x + i sen2 x
0
Nulurion. Al aplicar la formula (1) del p. 3.2 obtendremos
TV IT
1=K/^+cos dx+1 / ~cos 2x̂ dx)
0 0
Integrando por partes llegamos a la expresion
/ - ~(ex ( l + cos lx + i{ 1 - cos 2®)) Q + 2(1 - i) j ex sen 2x dxj
ir
0
eff - 1 + (1 - 1 ) / sen 2®
0
J )ndo que
ex sen2a: da: = 1m J e{w%)* dx = W ^ T = I m f + 2 ^ = ~ 1)j
0 0
14 m u m n c
] 111 ('apilulo % Integral dHinida
I c* - 1 4 (i - !)(,:" - ' (3 - 2i), >
2x
. Demostrar que 1 — [ einxe imz dx - ( 9° S! m * 1 J 1 Z7r si in = n. 86 ,
Solucion. Aplicando la formula de Euler obtenemos
einxe-im I = cH»-„t)x __ cos(„. _ m ) x + j g ^ _ TO)j;,
Si m = n, se tiene e'^e"'™1 = 1, por consiguiente,
J — J dx — 2%,
o
Si m £ n, entonces
2ir 7.1,
I J cos{?i -• m)x tix + i J sen(« — m)x dx —
n = sen{n - m)x\o + ® cos(w — m)x|
8 7 . Calcular I — J Mx) dx, donde
A(x)
«2lM «22(«)
= xl\f] +x2, aziix) =
I- l}(a;2 + 2)'
cos a;
V2 4- cos 2x'
Solucion. De acuerdocon la formula (1) del p. 3.3 tenemos
0 < X < 1.
iIA(x) dx -
/ 1 i
j Bii(s;) dx J ay>(x) dx
0 o
1 i
/ aii (») dx J a-22(x) dx
o o
y la re solucion del ejemplo se reduce al cSlcido de las cuntro integrates.
Integrando la identidad = ~ hallamos
j an(x) dx - (arctg • - X arctg arctg - L
o
D<ld« que = ^ - ^ y j (te - | tenemos
'H Integrates iinpinpi.iN I 17
En virtud de quer* dx ^x2 d("| \ x?) I x') !)*/(! i x}) lonenios
i
«2,(s) dx = i f ((1 I- x2)i - (1+ ) d(l +
" 0 / 3 X? 3 . 2,i\ 1 3 /.!/=. 3
Tomando en consideration la identidad 2 + cos 2a? — 3 - 2 sen x hallamos
"•220*0 dx
d(V2 sen a?) 1 r f l \\l 1 ( f l~ arcsenli/ - sense = arcsenU/ -
II
W 3 S C"
Finalmente obtenemos
1 S
28 (\/2 + ^ arcsen sen 1
••• •—11 • • I
lijercicios
Calcular las integrales siguientes:
l
A3. / i(x) dx, i(x) = , ^ j ) • 64. / dar, = ( ^
cos arisen x
x
�
2
I' \ l
(>5. / f(a) dx, Afcc) X2 V f(zr) = (In2 arctg x) \ 3? X / i
66. / (f{®), g(a)) <fs, - (a3, In (a? + V T H ? ) ) , g(ac) = (e~*\ l ) .
o
§4, Integrales impropias
4.1. Integrales impropias de primera y segunda especie
Definicion 1. Sea J = [a, b[ un semintervalo del eje real R, donde bajo el simbolo b
puede sobrentenderse tambien +oo, Sea jf r J —* M una funcion integrable en cualquier
segmento [a, b*]C J ,
tf
Si existe el limite finito lim ff(x) dx, este ultimo se designs mediante el simbolo
hi) a +0Q
j f(x) dx si b € 3EE/ y mediante el simbolo J f(x) dx si b = 4-oo, y suele decirse que la
0 a b*
funcion / es integrable en sentido impropio en J , y el limite lim / f(x) dx se denominab'—>b-{) a
integral impropia (o generalizada) de la funcion f en J (de primera especie si ft ~ +oo,
y de segunda especie si b £ K).
b
Definicion 2. Sea J — ft], f : J-+R y existe el limite finito lim / f(x) dx.
a'̂ a+Q ntb
Fiste ultimo va a designarse mediante el simbolo f f ( x ) dx si a G M, o mediante el simbolo
• i<> tjftpmim i. I menial lUlmul.i
6
I f(:r) dx at a —00.
V b-0
Definici6n 3. Si existe el limite lim f fix) dx = f f(x)dx, se dice que 1
6-0 -K» V-b-0 a a
integral impropia f f ( x ) dx o J f(x) dx converge (existe). Si dicho limite no existe (o 4
n a
b-11 l-oo
infinite), se dice que la integral J fix) dx o J f(x) dx diverge (respcctivamente, diverg
a infinito).
b-0
Teorema (criterio de Cauchy). La integral f f(x) dx converge si y solo si
a
J fix) dx —• 0 para xi - > b — 0 y x ; —* f> - 0.
4.2. Convergencia absoluta
6 - 0 6 - 0
Definicion 1. Si. la integral / (/(a:)| dx converge, sc dice que la integral f f{x)di
absolutamente converge. a "
b-0
Sea f : [a. b[ —* ES una funcion no negativa. La convergencia del integral f f(x) da
a
conlleva la convergencia absoluta de la misma.
Sea f(x) ^ 0 Vx € [ft, 61, f(x) £ 0. Entonces la funclfili F : x t-* / f(i) dt,
6 - 0 u
a ^ x < b, crece a medida que crece x. La integral / f(x) dx existe si y solo si e! conjuntt
< J f(t) dt} esta acotado superiormente en el semintervalo [a, t>|.
u M
Si f(x) ) 0 V i £ [a, 6[ y la integral J f(x) dx no converge, entonces
J I ( x ) dx = +oo.
a
b-0
Si la integral J f(x)dx converge, sc cscribe
n
b-0
J f(x) dx < oo.
a
Definicion 2. Se llama integral condicionalmente convergent a una integral im~
propia que converge pcro no converge absolutamente.
Notese que si / 6 R [a, b\, entonces se verifica
j f(x) dx ~ J f(x) dx = j f(x) dx.
a a a 4-0
!i 1. InlegraieN iiiipropla* f M)
4.3. Fropiciludew algebra icas dc las integrals* ImptxiphiH
1) Sea / : [a, b\ • IR. Suponganios que Ja mstriccirtn dc la I'uncirtn / a cualquicr
rwgmcnto [a, 6'] C [«, sea integrable segun Riemann en dicho segmento. Entonces, la
liiiurion a f , a ™ const, tambien es integrable en [a, 6'] V a C Jit,
b-0 x
Por consiguiente, si 3 / f(x) dx — lim / f(t) dt, se verifica
a x-b-0 a
6-0
3 j af(x)dx = a / f{x)dx.
a a
2) Sean / : > IR y g \ [a,i>[—> M funciones cuyas restricciones a cualquier
nog men to [a> bT] C [ft, b[ son integrables segun Riemann en este segmento. La suma / + g
b-0
1, i mbien goza de la misma propiedad y, por consiguiente, si existen las integrales f f (a?) dx
b-0
y J g{x) dx, se tiene que
a
a
x
lim I (f(t) + g(t)) dt = lim / /(f) dt+ lim f g{t) dt, -*b-0 J 0-0 J x—>6—0 J
a a
cn virtud de lo cual
£••-0 b-Q b-0
J (/(*) + dx =. f f(x)dx + f g(x) dx.
a a a
De este modo, el conjunto E de todas las funciones / : [a, b[ —> M integrables
segun Riemann en todo segmento [at £/] contenido en [a, 6[ para las cuales convergen
ft-0
los integrales / f(x) dx, define un espacio vectorial sobre el campo IR, y la aplicaci6n
� � �
�
f i — f f(x) dx del espacio B en E es una forma lineal.
a
4.4. Cambio de variable en la integral impropia y formula
de integracion por partes
b-0
1) Sea / : [a, &[ IR, donde / € C[a,b[ y J f(x)dx < oo. Sea [a,/3[ otro
a
intervalo de IR, siendo a. a € IR, mientras que (3 y 6 pueden ser tanto finitos como
infinitos. Sea g : [a5 (3[ —• K una funcion creciente en el semintervalo [a, /?[ cuya derivada
(/ es continua en todo este semintervalo, a exception de un numero numerable de puntos
y se verifica, ademas,
tf ([a, PI) C [a, 61, g(a) = a, g(p-0) = b- 0.
Bajo estas condiciones resulta ser lfcita la formula de cambio de variable en la
integral impropia
b-0 p-0
f{x) dx= / / (<?(«)) g'(u) du. (1)
a a
7) Sc.t / : |< l , t Ik y k m jf : |«, b\ i lit, domic I,is luncioues /, ;J (
y a us tin mi mem linllo. Aplicando Li.formula tic intcgracifin por partes on un .segment®
(a, a; | C '»! obtenemos
j f(t)9'(t)dt. = f(x)9(x)-f(a)g(a)-J f'(t)g(t)dt. (2
u a .
Dado que e! producto /(«) r/(«) esta bien definido, entonces si dos terminoi
cualesquiera de los tres en la igualdad (2) tienen para x b — 0 un limite finito, el tercel
lermino de esta igualdad tambien tiene limite.
b-o t-o
Por ejemplo, si existen las integrales f fix) g'(x) dx y f f'(x) g(x) dx, tambidri
a (i
existe el producto fib- 0)g(b - 0).
Si existen la integral f f(x) g'{x) dx y el producto f(b — Q)y(b — 0), tambien existe
6 - 0 fl
la integral f f'(x)g{x)dx.
a
En cada uno de los casos analizados tenemos
6 - 0 6 - 0
j mg(x)dx^f(b-0)g(b~0)-f(a)g(a)- j f'{x)g{x)dx. (3)
O II
La formula (3) se denomina formula de integration por partes de las integrales
impropias.
4.5. Caso de un punto singular interior
Sea / : [a, ft]\{c} —» IK, donde c & b[, una funcion cuyas res trie done s a cualquier
segmento C [a, c[ y [^,6] C Jc, ft] son integrables segun Riemann. Se cscribe,
entonces,
b c-0 b
I f{x) dx J f(x) dx + J fix) dx, (1)
it a c t-0
si existe cada una dt1 las integrales que figuran cn el segundo miembro de (1) y la integral
impropia se llama convergente.
Si al menos una de dichas integrales no existe, suele decirse que la integral impropia
diverge.
4.6. Criterios dc comparaci6n. Critcrios de Abel y Dirichlet
1) Si / y g son funciones no negativas definidas en un semintervalo [a,+oc[ c
integrables en cualquicr segmento fa, x] C [a, +oo[, siendo f{x) g(x), entonces se tiene
f fit) dt^ j g{t.) dt, a^x< +oo.
<i u
+:» +00
La convergencia de la integral f gix) dx implica la convergencia de la integral j fix) dx.
M I it tn^inl ImpmpiiiN 121
i
A mi vcz, do la divergciujii de la Initial j f(x) dx uc deduce In divergoncia de la integral
•Ii > i
/ <j(x) dx.
n
2) Sea / : [a,-I oof > \\l una funcion integrable segun Riemann en cualquier
memento [ft, b'] que para x —* -foo es, ademas, una funcion infinitesimal del mismo nrden-foo
i|iir la funcion x a > 0. Entonces f f(x)dx converge para a > 1 y diverge para
a
a L
3) Sea / : [a, b[ —* R una funcion integrable segun Riemann en un segmento
I", b1] C [a, &[ que para x —» b — 0 tiene el mismo orden de crecimiento que la funcion
&-o
r
;r 1 ^ / A > 0. En este caso J f(x) dx converge si A < 1 y diverge si A 1,
a
Teorema (criteria de Abel), Sean f : [a> +oo[ —+ M y g: [a, -f oo[ —> R. Suponganwtt,
+oo
ademas, que la funcion � sea mondtona � acotada � la integral � ���� � converja.. Entomeu
-hco a
� integral � �(x��(x) dx tambien converge.
a
Teorema (criterio de Dirichlet).Sea f : [a7+oo[ —y M. una funcion cuya primitive
X
»-> j f{t) dt, a ^ x < +00, esta acotada. Sea g : [a?+oo[—> M una funcion que tiendv
•
monotonamente a cero para x •• > +oo. Entonces, la integral f f{x)g{x) dx converge.
a
4.7. Valor principal de una integral impropia divergente
+00
Sea / : R - > R y supongamos que la integral � ���� � div
—00
Si la funcion / es integrable segun Riemartn en todo segmento del eje real y si
A
existe lim f
jl-t+ooJ t — r - F W _ j
integral divergente y se designa mediante
diverja.
+oo
v. p. I f(x) dx — lim j f(x) dx.
J A™>+OQ
-oo
b
Sea / : [a, b]\{c} —> M, donde c G ]at b[, y supongamos que la integral f f{x) dx
a
c-e
Si para cualquier
> 0 lo suficientemente pequeno existen las integrales � ���� �
b
y / /(#) dtf y, ademas, existe
a
c—£ b b
l i m J ^ J f(x) dx + J f(x) dxj = v. p. J f(x) dx>
a c-\-c a
este ultimo se llama valor principal en el sentido de Cauchy de la integral divergente,
ftl Calcular las integrales impropias aiguienles:
: - i )
88. j COS 2nx In cos x dx.
-4 Solucion. De acuerdo con la definicion 1 del p.4.'1 tenemos
X
In = lim j cos 2nt In cos t dt.
i-J-0 J
o
Apliquemos la formula de inlegraci6n por partes a la integral
ljp(x) - cos 2nt In cos t dt,
P
tomando cos2nt dt =• dv, In cos t — u. Obtenemos
1i i n (») — — sen 2nt In cos
In
son 2nt tg t dt
v i
J _ In cos X , _1 t
2n (sen Inxy1 ' 4n J
cos(2rt - 1 - cos(2n +1) t
cos I
dt.
Andlogamente al ej. 60 podemos escribir
ti-i
C O s ( 2 " 7 1 ) f = 2 y V - l ) * - 1 cos 2{n - k)t + (-I) '*" \ cos t —'lfc=l
cos i
Tor consiguiente,
tt^i
n
In cos x
2n(sen 2nx)
Pasando al limite para ® - * | — 0 obtendremos
+ I fW*_ 1 sen + (_!)-•
-1 n Z - / > 2(n - ft) 4n2 2n\ jt=i
^ - i - r i + s : fe 7i
In cos x
4ji 2n (sen2rcx)-l
ctgx_ _ _ _ - = „
4 2ti z^i-o —2ra(scn 2?ia;)~2 cos 2nx
H'J Inli'HMh'H IniiMiinliiM 23
I
NlJ. 1
" " I x{x
dx
I I) , - , (ir I n)
1
i Solucion. Dado quo j ) : . ( . r l n) < I *
del p. 4,6, la integral In converge, pucsto que
oo, entonces de acuerdo con el critcrio 2)
hOO X
dx I dt — — limx—i-oo J £ ar-++oo
1
lim ( l - J ) = t
Segun la definicion de integral impropia tenemos
X
In lim
dt (i)^ iim iy'te)
j -3-1) * * * (< + X~>+OQ
1
[ >escomponiendo la fraction propia en una suma de fracciones simples obte
nemos
1
n
I II •• 111 11
Ak
i(t + l) . . . (t + n) ' +
J v —
donde Ak
(~i)k
kl(n - k)\
(-I)1
itrt
n!
I'or consiguiente,
1 ( ^ ( - D ' C . t ln(z + k) + ±(-l)™C* ln(l + * ) )
k=0 *=0
1 (in f l ( x + k ) ^ ' + E ( - l ) f c + 1 ^ ln(l + k))
k=0 fc=i
Dado que la suma de los coeficientes binomiales C„ que se encuentran en las
posiciones pares es igual a la suma de los coeficientes binomiales en las posiciones impares,
resulta que
lim J J ( x + fc)
ksvh(-1 ye;
k=0
luego lim In f [ + &)M)tC* = 0-£—'+00 k=Q
Asi pues, In - i £ ( - l ) f c + 1 C * ln(l + ft) •
! ! • I I
• •• 1 I 1
+00
9 0 . Calcular Im e —i L- dx, a > 0, cos #
0
M Solucion, La funcion x G R+\{xk}, = f + A , fc 6 Z0, tiene
puntos singulares a .̂. En virtud de que existe lim f(x) = ( Eft
funcidn 1i-> Fit), 0 +00, donde
��
���
���
Fit)
m si t ^ x k ,
(_1)"'+i(2m - l)e-°(T+t,r) si t = xk>
es inlegraUle cn cualqnkT segmonto |(), x], x • It.
Undo quo ol coiijifiito {x*} tiene inodidu de I.ehesgue ccro, se verifica
J T.
]m«-J F(t) dt,
por lo cual Im =- lim / F(t) dt. A partir de la solucion del ejemplo 60 results
Wl-i
F(t) e~al ( ( - l )™"1 H 2 cos 2(m - « ) t ) .
B=1
Por consiguiente,
m-ir i -u1 . ' t
J F{t) dt=(-tr1 ( + 2 x ^ r 1 J
0 " = 1 0
Dado que e"'t( cos 2(m - rc)f = Re resulta
2(m - n)t. dt.
_(- a+i2(m-«))f
cos 2(m - Jl)f (if = Re ;•-„,- ~rv -a + i2(m - n)
ji^ot tar
Re -,-—• - (cos Tim - n)t + i sen 2(m - n)t) 2{m - »)) =
a1 +4( jn - nr • lu
,-at
— -r (2(m — n) sen 2(m — n)t - a cos 2(m — 7i)f) =
a- + 4(m - Ji)2 v ' 0
: (e~aK{2{m — n) sen 2(m - n)x - a cos 2{m. - 7!.);c) + a) .
De este modo,
= lim (<~iy
I—+qp \
a2 + 4{m - n)2
j-11 - e
f - lV'" 1 _ \
2 ^ ~j— -.y ( e fw{2(?ri - 7i) sen 2{m - rc}:c - a cos(m - n)x) + a) J —
n = 1 a + \ )
= t J L _ + 2a V - J ^ L _ = b L + 2 a y
a ^ a2 + 4(m - ra)2 a ^ a- + 4?2 '
9 1 . Demostrar la igualdad J f(ax + ^) = ~ j f { y 0 f Aab) dx, donde a > 0
ii n
y & > 0, suponiendo que la integral en el primer miembro converge.
tj'l, Illh'gmll'N llltpHl|tltlM 12,' i
| ftolucitiii. Designernos I j f{nw I y iv|inwu(niu)M / rn la forma / /| I
o
hunk1
| i Vi
i i /It I da:.x/
o vi
hV.ilizado el cambio de variable ax + - — i obtendremos
+00
/l s / '<«(1
i
v'*2 - 4a6 }
—̂ J f f f
_!_!_• LLMUJllKilL • ^J^^^r ^ I-
1
2a / "»(1 + £Vtz-4ab' w,
+00
+oo
/ -II tut)
I oo
• • • • I • • •••• I
Vi1 - 4ab
dt I J f{t)d(Vl^4ab).
2 Vab
^ I I 11 • •• •
lomando en la integral Vt2 — 4ab — z tenemos
+oo
I z2 + 4ab) dz.
o
1 • • • • • • • • • • • • | | b i i b m i i
+00
9 2 . Supongamos que la integral j f{x) dx converge. Comprobar si este hecho nece
a
Siiriamente conlleva que f(x) —> 0 para x +oo.
I Soluci6n. La respuesta es negativa. Consideraremos, por ejemplo, la integral de Fresnel
+oo
/ = J sen x dx. Al hacer en la ultima el cambio x = t obtenemos
o
+00
2
sen t
~7t
dt ~ Ii I 2 j donde Ii
+o
sen£
27 Vi
+o
dt. L sen t
Vi
dt
i
Dado que lim
sent 0, entonces I\ existe. La integral I2 es convergente de acuerdo con
Xo Vi
el criterio de Dirichlet, puesto que i I 0 para t —> -boo, y la funcion x - > / sen t dt —
l
cos 1 - cos xf 1 ^ x < esta acotada por el numero 2 Va? £ ]1, +oo[, Por consiguiente,
I converge^ aunque la funcion ar sen x , 0 ^ x < +oo, no tiene limite para x —> +oo.
+ C O
Examinemos tambien I — f x sen x dx y realicemos el cambio x1 = t. Ob-
0 I oo
tendremos la integral convergente I = I f sen t2 dt. Al mismo tiempo, la funcion
4 0x x sen a; , 0 ^ x < H-oo, no esta acotada para x —• -foo, Por consieuiente, la integral
isai Capilulo2, Integral dcllnrd.i
impmpia f f(r) dx bimbi£n puede ser convergent!1 u ptwar do que In funci6n / no es
p i
acotada para x •» (oo. •
+00
9 3 . Demostrar que si la integral / f(x)dx converge y f es una funcion monotona,
a
entonces se verifica f{x) — o j para x —* +00,
•4 Solucion. Hn virtud de que la integral converge se tiene |/(a:)| —> (} si a; —* -|-oc. En
caso contrario, la integral serfa divergente, pues ia funcion /, por ser mon6tona, debe ser
de Signo delcrminado para todos los x suficientemente grandes, con lo que la funci6n
j m d t , a § 1 < +00, serin no acotada para x -* |-oo. De este modo, |/| ea
una funcion mondtona decreciente. Dado que la integral converge, para esta se cumple el
criterio de Cauchy
Ve > 0 3 A > a : V«h > A A Vx2 > A
ZiIf(x) dx < £.
I'ijemos un x0 > A arbitrario y para x > x0 consideremos la integral
X
J mdt.
Por ser |/| una funcion decrecicnte se tiene |/(,r)] ^ |/(x(])| para x > xg, lucgo
z
\ f ( x ) \ { x - - x u ) < < e .
I ,
Dado que lim x0\f(x)\ — 0, de la Ultima desigualdad sc deduce que lim xf{x) = 0, esI—i+OO it—
decir, f(x) = o ( i ) para x —> +00, >
9 4 . Hallar la representation de la funcion ( de Riemann mediante una integral impropia.
« Solucion. En el ej. 21 del cap. 1 se demostro que
Si X > 0 tenemos
1
I - : - .
V.
>H liiU^nildN hii|Hiipliirt 127
( omprobar la convcrgenclii tin Ium lti1i<graU*H ImpinphiH higuieiUes:
2
J In a?
0
fl Solucion. A partir de la desigualdad Jn x < x — 1, 1 < # < 1, se deduce la desigualdad
f-i (In ar)
1 > (x - 1) \ por esq,
�
* > 1hit J t-1 x-\
X X
2
I'uesto que lim In ~ — +oo, la integral / ^ diverge; por consiguiente, de acuerdo
U! I"~h0 1-1-0
\ on el p. 4.5 la integral I diverge. •
t
I , / k f e ® * ) ^ .
+o
fl Solucion. En un entorno a la derecha del punto ® = 0 compararemos el integrando con
la funcion / : a; 0 < x < j < A < 1. Con este fin analizaremos el limite
In(senz) 1 _ ln(sen#) „ ctg a:
lim • ~ : r lam r " T " - Inn — f — — -
y/x ar x-̂ +o ( J - A) arA~2 A+l A+i
X 2 X 2lim : — lim : — ™ 0
x-+o ( I - A) igxe (| - A) x
i
(puesto que A -f r >1).
Si x —• +0, el orden de crecimiento del integrando es inferior al de la funci6n /
Dado que la integral
i i j f f
/(*) dx = J J
�� ��
converge, entonces de acuerdo con el criterio de comparacion 3) del p. 4.6, la integral I
converge, •
97. i dxxP\nqx*
���
fl Solucion. Realicemos en la integral el cambio de variable In x — i. Obtendremos
+00
1= / dt
+0
IZfi liipiluk) 2. Iiitt^ral di'lltiula
Kepnsien tenuis 1 en la forma I •• • [\ (-ft , donde
W+0 Jl-pXtl dt, l% =
l-'JU
S H -+ +0 la funcion 1 , 0 < t ^ 1, q > 0, p 6 E , tiene ei mismo orden d«
crcdmiento que la funcion t>-* integral I\ no es impropia.
Tor consiguiente, conforme al criterio de comparacibn 3) de! p.4.6 la integral I\
converge si q < 1, y diverge si q $ 1.
O—PTF
Si t —* la funcion t ^ 1 < t < hoo, j> > 1, decrece mas rdpido que
cualquier funcidn del tipo f w 1 | f < +oo, o: > 1, en virtud de que en este caso
Vg £ R se verifies
efl-P>i i
por consiguiente, la integral J 2 convene para p > 1. Si p ^ 1 , /2 diverge.
Asi pues, la integral I converge tan sdlo para q < I y p > 1. •
98
• "I
10
sen2 x (to.
•4 Solution. Representando 1 en la forma I — I\ f h , donde
1 +00
, f sen2 x . t f sen" x ,
-0 I
vemos que la integral I\ existe, pues 3 lim - n — = 0.
JC-'+O 1
Ifscribiremos I i en la forma
+ 0C
Rn virtud de que lim f j = lim In a; — foo y la integral j dx converge segun
el criterio de Uirichlet, llegamos a la conclusion de qui? la integral fy diverge.
As! pues, la integral I diverge.
99
•I oo
• ' - / ;+0
dx
x? + x'i
•4 Solucidn. Para p = q la integral /, evidentemente, diverge. Por lo tanto esfudicmosla para
v f 4
!H tnlefiLtiiiuH tii111<«1I«ir* IM
Sea p < q. KepivHt'iilmulu la inh^ral I vi\ U\ Un\\u\ I /| I tj>f donde
/ dxU'J* ' J * /?
dx
xt> I a:'/'
11)
y xH p —> 0 para x +0, el integrando de ii tiene el
cxatninemos las integrales y I2 por scpnrndo.
Dado que - ^ d ^ F )
mismo orden de crecimiento que la funcion x 0 < x ^ 1, p > 0, luego la integral Vi
rxiste si p ^ 0.
Por consiguiente, de acuerdo con el criterio de comparacion 3) del p. 4.6, en el caso
1 't msiderado 11 converge si p < 1, y diverge si p ^ 1.
Analicemos L , representando el integrando en la forma
1 1
XP + X* x4(i + x?-yy 1 ^ x < -j-oo.
Tiira x —+ +00 se tiene f(x) — O { / por consiguiente, I2 converge para q > 1, y diverge
para q ^ 1.
Asi pues, si p < q la integral I converge para todos los p < 1 y q > 1.
$ip> q, la integral converge, evidentemente, para todo p > 1 y todo q < 1.
Ambos casos examinados pueden facilmente ser unidos en uno solo: I converge si
«iin{p, 9} < 1/ max{j?j 4} > 1. •
+00
1 0 0 . 1 f
J Pn(x)
dx, donde Pm{x) y son polinomios primos en tie sf dt
H-0
grados m y nf respectivamente.
Solucion, Si en el intervalo ]CL +oo[ el polinomio Pn{%) tiene ceros reales x
de acuerdo con el criterio 3) del p. 4.6 la integral diverge, puesto que para x
de crecimiento del integrando es igual al de la funcion
X{f entonces
xi el orden
x 1Xj)�
� x G S(xh 6), A 1,
donde S(x^ 6) es un 5-entorno del punto x
Si el polinomio Pn{%) no tiene ceros reales en el intervalo ]0, +oo[, entonces para
+00 se verifica — O (^^r ) - Conforme al criterio de comparacion 2) del p. 4.6 la
integral I converge si n — m > 1, y diverge si n — m < 1.
x
•
Pi
- M : Verificar la convergencia absoluta y condicional de las integrales siguientes:
+00
101. i serucx dx.
+0
< Solucion, Representemos I en la forma J = I\ + I2 f donde
1 +00
I sen a:
x dx> I2
sen a?
—— — I . "LJ-—
x dx.
+0 1
I'!{) Cilpftulo 2. Integral (Ictimtl.i
lixii mil tenuis Li integral
para 0 < < asj < 1.
Dado que 0 < < 1 para 3] x < x?, resulta 0 < I < X2 — y, por 3o tanto,
T —> 0 para —* 0, xi —* 0. Por consiguiente, de acuerdo con ei criterio de Cauchy Is
integral Ii converge.
x I Por cuanto = J sen t dt < 2 Vx £ Jl, hoof, y la funcion x M
1 < x < +00, decrece y tiende a cero, la integral T2 converge de acuerdo con el crite-
rio de Dirichlet.
De la convergencia de las integrales J j e L se deduce la convergencia de la
integral I .
A partir de la. desigualdad | sen a:| ^ sen2 xf valida Va; e iE, de la solucion del ej.98
y del criterio de coittpararidn 1) del p. 4:6 resulta que la integral
* T -l | sen x\ dx
diverge. Por consiguiente, I es absolutamente divergente. •
102 /ro 'sen (x +1) dx.
M Solucion. Sea I +I2+I3+I4donde
sen x cos
1 , +0"
/
sen x cos - f s
10 I 1 1 +00
/
cos x sen - f cos x sen -
S T - * * * h - j — ^ d x ,
+0 1 Realicemos el cambio \ ~ t en las integrales Ji y Obtenemos
h = /
I -COO
cos t sen 7 , f sen t cos 7
t2-a
• dt, h -- / fl-a dt.
Vemos que las integrales i i , e I2, J j son de un mismo tipo. Por eso, es suficiente
anali'zar las integrales L e y extender autom^ticamente el nisultado del analisis a las
integrales 2j e J 3 .
" Diftui represcntndon es valida sfilo para oqudlos valores del para met n para los males la integral I
extete.
f r l . i m p t u p i n
Dado que lim fort
x I I rxi X I, entonces 3 X[\ > 1
Va; > x{)
1 1 - < cos — < 1,2 x
cos I
2xur • f ' <
I
— . - •
y, por eso,
. - - f t i 0 para x -+ +oo y a > 0,
La primitiva de la funcion x sen x, 1 ^ x < +00, esta acotada Va; G [1, -f-oo|. De
cule modo, si a > 0 la integral I2 converge segun el criterio de Dirichlet.
Demostremos que 7*2 diverge para a ^ 0, Sea dado un 0 < £ < 1 arbitrario,
oniemos fi = -a y consideraremos un n G N tal que se verifique la desigualdad
I 1 'os - > P a r a x ^ \ Aplicando el primer teorema del valor medio a la integral
j.'i* 1 IK
/ xr sen x cos x dx, obtendremos la desigualdad
'un
{2n+l)ir
x^ sen x cos -- dx
X
2nw
2fg cos f > ^ £ ' 1 , 2nn ^ £„ ^ (2n + l)ir,
ilr la cual, conforme al criterio de Cauchy se deduce que la integral I2 diverge para a ^ 0,
pues \fxQ > 1 3 n G N tal que 2mr > x$. Por consiguiente, converge solo si a y 0.
Aplicando razonamientos analogos a la integral 13 vemos que I3 converge tan solo para
a > 0, es decir, para a < 2.
De este modo, las integrales I2 e I3 convergen simultaneamente si 0 < a < 2.
Estudiemos la integral J4 con la ayuda del criterio de Dirichlet Dado que 0 <
Xsen - 1
< P a r a todo x > 1, a + 1 > 0, y la funcion x f cos tdt, 1 x < H-oo,
x 1
cKta acotada, entonces la integral J4 es convergente para a + 1 > 0, es decir, para a > — L
'or consiguiente, I\ converge para a < 3, y ambas integrales convergen simultaneamente
piira < a < 3. Por cuanto ]—1,3[ fl 10,2[ = ]0,2[, la integral J es convergente para
()<ar< 2.Comprobaremos si la integral I2 es absolutamente convergente. De las desigualdadcs
1 - cos 2x sen x
4xa lx* <
sen x cos -
X
X a
< 1
X a '
i | Lie se cumplen Va? > 1 lo suficientemente grande, se deduce que I2 es absolutamente
convergente si a > 1, y es absolutamente divergente si a < 1.
Analogamente, es absolutamente convergente si 2 - a > 1, es decir, si a < 1.
Puesto que la intersection de los conjuntos { a G R : a > 1} y { a G M : a < 1} es el
i-onjunto varfo, no existe ningun valor comun de a £ IR para el cual ambas integrales I2
r I3 absolutamente converjan. Asf pues, la integral / absolutamente diverge.. •
•• • " M I
+ O O
I 0 3 , 1= J a;2 cos(e*)dx,
0
4 Solucion. Tomando en la integral ex = t obtenemos
+ 0 0
I in t t cos t dt,
I ,H i ajn'liilo 7. tnli'gi.d ilHiiml.i
Al aplicar la segunda ivgln do L'l 1(1 pi till li.illiimus
In ( .. In I . . . t „ Mm —7— = 2 lim - • 2 lim - ~ 0.1—-r-oo t- f—t-oa 1 1 • HX> t
Por consiguiente, — 1 0 para t —>• - 0 0 .
Dado que ia funcidn ar *-* J cos tdt- = sen x — sen 1, 1 ^ x < +00, esta acotada, 1
1
integral 1 converge de acuerdo con el criterio de Dirichlet.
De la desigualdad cos £j > ^ cos21, valida Vf > 1, se deduce que la integral
1-00 +00 +00
r f t 2 4M 1 f ln?'1 » . 1 f !"2 1 At 1\ = j — cos t dt ~ - j — - dt + 2 / cos ^ dt
1 1 1
diverge, pues / ~ dt = lim f In21 d(ln t) - lim | In3 x - +oc, y !a integral
| <T—H'® j X—*-fOO
-I CO
/ In f cos 21 dt
converge segun el criterio de Dirichlet. >
I® Hallar los lfmites siguientes:
1 0 4 . l i m / ^ d f .
JJ-Mtl "i '
Sohicidn.Al aplicar el primer teorema del valor medio a la integral J (x) — f .
obtendremos 1
Sea x fc ]0, donde s > Oesun ntimero arbitrario fijado de antemano. Fntonces
cos - l ) > por consiguiente f(x) —> f-co para x — +0.
Aplicando la segunda regla de L'Hopital tenemos
Um — - - lim - licit — = 1- •
a—H) a: 1 ar-+0 (a: l) s-̂ +0 — i-
1 0 5 . lim
/
| n iX
-4 Solucion. Para cualquier a > 0 la integral J dt converge conforme al criterio de
a
J-OO
f c~rdt
Dirichlet. Por eso / ^ dt = C, C = const, y lim^ -fl — j — - 0. Tor consiguiente,
„ In -
(i'L Integrates impmpiriN l.>.*
i « .
/ V * / , u
i1 , - i 1• i J j I -i i Plim -t— -- hm , x I n 1 as-- --Po In
X X
a
t
Nf la desigualdad I(x) — f ~ dt ^ e a(ln« - In a;) se deduce que lim /(a)
/ t i C " " - 1 - ^ 0
oo
x
•ntunces conforme a la segunda regla de L'Hopital obtenemos
lim M ^ l i m J ^ L = ^ 1 ^ = 1. •
• I II I MM • ••!•••! •^••llll
( 0 6 . Demostrar que para � > 0 3 li � = v. p. �
X
dt
1 • • •
lnf ' +0
Solucion. Para cualquier 0 < / < 1 y 0 < £ < 1 existen las integrales I\ -— J
2
™ / iih' Asu vez,
l+F
ft
I •—'c a;
1 I TPara 0 < x < 2 queda valida la descomposicidn ^ — + ^ + — 1), con lo cual
li X = lim (in \t - + + 0((t - i f ) IJ- ' + ]n{* - l)|*+£ + £
x +
1+e
v+0
+ 0((« - l)2) j j + e ) - ln(ar - 1) + f + 0((x - l)2) , 0 < * ^ 2.
Para x > 2 obtendremos
0 0 2 2
• • • • • ••
+oo
1 0 7 . Hallar v. p. / —=—™
r y a:2 - 3x + 2
o
( 2
Solucion. Los ceros reales del trinomio cuadrado y — x — 3x + 2 son a?x = 1 y #2 2,
por consiguiente,
-foo 3 +00
da;v, ' ' '
/
dx __ f dx
x2~3x + 2 " V , P ' 7 #2 — 3a; + 2 - 3a; + 2
0 0 3
\ ,I|>MIIII> / . I N M ' K I I T I I I I ' N I I M A
lim |
• f i '
f in 1 « 2]
B- 1 1
'•'• P
1 In : i'l )r >10 ^ ' * - 1 'i.i i « 2]B- 1 1 1 w X 1 1 2 l;i/ i- i ' 2•]- !im In , -—* -> I «> I — I
P— HI
= -bx2 + lim f i n + In + lim In | - In J
t-o * 1 ~ e I — /is j— hoc x - 1 2
Ejercicios
Calcular las integrates siguientes:67- /̂̂ fcr;
+OG ^OC -FOC
71. / c a s t a ite, « > 0 . 72. f e~ax senbx dx, a > U, 73. / ^ . n S N .
o
+00
/ «c - 62 > 0. 75. / < T " sen2" * (fx, a > 0.I
<3
76. a) 1- ~ J in sen X dx; b) = J In cos a: dx,
u I)
Estudiar la convergencia de las integrates siguientes:
+QO + 30 I +
P- I TTSferj- *>• / Tj^l- 80. /
0 U 0 0
8L /Insanadx, 8Z f^^-dx. 83. / j^pr- 84. f x*e~*" dx.
i) » o o
HOC / J , \ +JC
85. Jx"c Kt+'')dx. 86. J T s e f t ( i + i ) § .
-x o
Demostrar las dt?sigualdades:
•RK +OO -FEE
» - f < I f f f t* < I 0 < J e~* dx < 89. £ < :/ to. <fe < i +
0 2 1
0 1
-foe
92. 1- i / flfoj < l + £,n> l.
> II
i i
93. Demostrar que lim f n2x"'\l - x)dx £ / lira » V ~ l ( l - x) dx.
a fj
1 NO
94. Demostrar que si la integral J f(x) dx es absolutamente convergente, se verifica
o
+00 I XE
lim J f(x) I sen xj (to — § f f(x) dx.
o u 95. Demostrar la igualdnd
r " I ' 0
+O V II
+oc
96. Demostrar que la integral impropia f sen2 (IT (a- + j ) ) dx es divergente.
ff v I'muionoH lie variation *icolad*i
Hallar:
jr2
<>7- v. p. / r r a r ; , « < « < b. 98. v. P. / 99. v. P. / , para a > I U 0 0
§ 5. Funciones de variation acotada
Definicion 1, Sea / : [a, b] —* R; sea II una particion arbitraria del segmento
n - 1
|«, 6]; sea A/,- - /(®i+i) - /(£;) y sean Vj\(f;a%b) = 2 l^/tl- El numero Vh(/; a, b) se
i=0
denomrna variation de la funcion / respecto a la particion II, y el numero V{f; a) b)
sup{F|i(/; a, b)\, donde el supremo se toma respecto a todas las particiones posibles II del
(ii}
segmento [a, ft], recibe el nombre de variation total de la funcion / en el segmento [a, b].
Si V(f; a, ft) < oo, se suele decir que / es una funcion de variation acotada.
Definicion 2. Sea f : [a, b] —* sea II ima particion arbitraria del segmento
n-1
!«,&]; sea Af* = — f(a?t-) y sea Vh(f;a,ft) = |Afi|, donde | - | es una norm
z-0
euclidea en el espacio R m .
El numero F(f; a, 6) — sup{Vn(f; a, ft)}, donde el supremo se toma respecto a tod an
{ii}
las particiones posibles del segmento [a, ft], se denomina variacion total de la funcirtn
vectorial f en el segmento [a, ft].
Si y{f; a, 6) < oo, se dice que la funcion vectorial f es una funcion de variacion
acotada.
Teorema Sea f : [a, 6] —> R m . Para que la funcion vectorial f sea una funcidn
de variacion acotada en [ft, ft], es condicion necesaria y suficiente que cada una de sus
components f j , j = m, tenga variation acotada en dicho segmento.
Teorema 2, Si f : [a, ft] —̂• R y g : [a, ft] —* R son funciones de variation acotada en
[a, ft], eitfonces / -f <7 y tambien son funciones de variacion acotada en [af b].
Corolario. Para las funciones f y g mondtonas crecientes en [a, b], su dtferencia
f — g es una funcion de variation acotada en [a, 6J,
Teorema 3. Sea f : [a, ft] —> Rm una funcidn vectorial de variation acotada, Entonces
se verifica:
1) V(f; af y) - F(f; a> ar) + V(f; y) rf a ^ ar ^ y < 6;
2) toda funcion Vj : a? V(f; a, as) es confinwa en [a, ft] si f G C[a, ft].
Teorema 4, Sea f ; [a} ft] —> M una funcion de variation acotada en Ia} 6]. Entonces,
existen las funciones no decretientes p : \a. ft] —• R, q: [a, 6] —R tales que p{a) = q(a) =- 0
y Vx E [a, ft] se verifican las igualdades
f(x)-f(a)^p(x)-q( x), (I)
V(f; a, x) - p(x) + q(x). (2)
Las funciones p y q se denominan, respectivamente, funcidn de variation positiva y
funcidn de variation negativa de la funcion /.
1 0 8 * Tomando como ejemplo la funcion / : [G, 2] R, donde
f a ; sen | si 0 < x ^ 2,
JW ~ Q X s i x = Q
, K J ' I I I I U J IRID'^RTII ( I V H I I K I . I
(.loniortU'iH- qui* <i [iiirlii del Ihh'Iio de que unit inmiim continua ell un segmento no st
deduce que ia mifiitiit HCU una hi in: ton tic variiU'itiil acul.id.i.
Solucion. La funcHin f us continua en su dominio. Sea II -- {0, , SP31 • • * * f i 3>2}
una particion del segmento [0,2] , Entonces Vn(f;0,2) -- j - 2 . t + + + ••• + •
(2 + > 1 + I + i -I + i = C + Inn I- £,,, (J para n 00, C es la constante do
Euler, Por consiguiente, Vj](/; 0,2) —* +00 para n —* 00 y el conjunto {Vu(f; 0,2)} no esW
acotado superiormente. •
1 0 9 . Hallar las funciones de variacion positive, de variacion negativa y de variacion total
de la funcidn f 3x2 - 2x3, - 2 ^ x < 2.
M Solution. Construyamos primeraraente la funcion a: V(f-r -2, x), - 2 < a; ^ 2, tomando
en considerarion que / 6 C( 1 ) [-2,2] .
Sea II una particion arbitraria del segmento [ -2, x\, —2 •<_ x < 2, entonces
11-1 w-i
Vn{f; -2 , x) - ]£|/Css+1> - / M = Xi <&< sni+t,
i=0 i=0
(segun (a formula de incrementos finitos de Lagrange).
Por consiguiente, V\\(/; - 2 , = 5lt(|/'|), donde Sn(|/'|) es 1111a suma integral de
la funcion 1)/'(()], x, en virlud dc lo cual obtenemos
1
V(/;-2,a) \f'{L)\dt={
-// ' (« ) rff = -/(x) +28 si $ 0 ,
21) X
- f /(f) dt + / /'(t) dt. = f(x) + 28 si 0 < x ^ 1,
-1 (i
0 I X
- J f(t) dt + / f'(t) dt - f f'(t) dt ^30/(x) si
-1 0 1
A partir de las formulas (1) y (2) tenemos_ w . - w m - s w 1 0 JrSf
p(x) = — - — — = < /(») 31 0 < jr ^ 1,I{
t si I < x ^ 2,
V(f ; -2 , . ) - f(x) + /(- 2)
-- -—-— —— — =3 < 28 SI 0 ^ x ^ 1, k>
-fix) 1-28 si - 2 ^ x 0,
28 si 0 < x ^ 1,
-/(») +29 si 1 X < 2.
1 1 0 . Sea f : [«, !)| - t 1 una funcion de variacion acotada en [a, b\; scan p y q las
funciones de variaci6n positiva y de variacion negaliva de la funcion / Sean, ademas, p-t
y <71 funciones crecientes en el segmento [«. ft] tales que / - p\ ~ q\. Demostrar que
V(p; a, b) < V(pt; a: b), V(q; a, b) ^ V{ql} a, b).
I Solucion. Segun el teorema 4, las funciones p y q no decrecen en el segmento [a, i ] y
p{x) > 0, q(x) 0 Va; £ ]«. b], puesto que p(a) = q(a) = 0.
fj 't I'lllli luMt'N ill1 Vfirlrti Irtn lii oliiiLi :v/
Do la formula (2) wr di'dun* que * h|
P(x) V{f;a,'A) tfU0 Ml, f/(ir) |/(/; rr, :ir) p(x) (),
I>or consiguiente, se verilican las desigualdadoN
q(x) < !/(/; a;), p(a:) V (/; tt, a;), a ^ ® ^
Dado que / = pi — q\ f tenemos
V(f; a, x) = V(p2 - qx; a}x\ a^x^ b.
Para una particion arbitraria II del segmento [a, 6] examinemos la variacion
n-1| (pi(®i+i) ~ (?i(®i+i) - ft | ̂
( I )
i=0 n-1
<
i—0
Por tanto, V(f; a, 6) ^ a, 6). Analogamente, V(f; a, 6) ^ V(qi; a} 6). Tcniendo
cn cuenta que y q son monotonas y p(a) — q(a) — 0 llegamos a que
V(f>; a, ft) = p(b), V(q; a, ft) = g(ft).
las desigualdades (1) se deducen las desigualdades
V(p; a, b) = p{b) ^ V(f; a , ft) < Vfa; a, ft),
V(q; a, ft) = q(b) <. V(f; a, ft) ^ a, ft). •
• i i • 1 1 • • • • • • • • 1 1 •
X
1 1 1 . Sea g e i i [at 61; f(x) g(t) dt; - max{sr(i), 0} y g (t) = 0}.
a
Demostrar que / es una funcion de variacion acotada en [a, b] y que sus funciones
de variacion se definen mediante las igualdades
X �
V(f; a, x) I g(t)\dt, p(x) (t) dt, q(x) g (t) dt.
& a a
Solucion. Sea H una particion arbitraria del segmento [a, x\, a < x ^ b. De acuerdo con
fa definicion de variacion tenemos
Vu ( / ; a, x)
n-1
�
g(t) dt
n-1
= ^ \/ii\ Axh
i=0
donde inf {#(£)} ^ fa ^ sup {^(0}-
Por consiguiente/ y como <7 G [a, ft], tambien
x
G ii [a, 6], en virtud de lo cual V(f; a^x) = J Segun el teorema 4 tenemos
a
(Yipftuln ').. Integral di'Iiiiitl.i
For consiguiente,
IA*) t*»o 1«<*> j \<j{t)\<it.
0 a
X X
P(x) = I f 5(0(1 -I sgng(t)) dt ^ jg+(t)dti
ft a
x x
?<*) - | J9(t){ sgn MO - l ) <B = J 9~W dt. •
1 1 2 . Sea / ; [rt, /JJ —• K una funcion de variacion acotada en el segmento fcr, j3\ y
sea F : [ft, 6] —» R una funcidn que satisface la condicion de Lipschitz en el segmento
[ft, 61; ademas, [a, 6] D / (fa, /?]). Demostrar que la composition F o / es una funcion de
variacion acotada en el segmento [a, ft],
M Solution. f.a funcion F , satisface la condicion de Lipschitz en el segmento [«, A] si existe
un numero L — const ial que V x2 6 [«. ft] j F{x{] - ^(a^)! sj L\x\ ~ x2\-
Sca II una partition arbitraria del segmento [<*, p\. Tenemos
n-1 n - 1
W o / ; « , 0) = ]T|f(/(M) - *"(/&)) I < lY^\f{tM) - /((,-)[ = LVa{f; a, 0). \
i--0 i=0
De la desigualdad obtenida se deduce que la composicion F o f tiene variacion
acotada en el segmento [o, (}]. •
^ Ejercicios
100. Sea / : [a, 6] —> E um funcion de variation acotada cn el segmento |a, f>] y sea : I01! P\ ®
una funcidn mondtona; sea, ademas, [«,6] 3 p([t»,/3[) . Demostrar ejus la composicion f ° <p
ca una funcion dc variation acotada en el .segmento [or, /3],
101. Demostrar que la variacion total dt> la funcidn F : x >-+ J f(t) dt, a ^ x < b, f e. R l«, i>L es
ij>ual a u
f \m\ dt.
102. Demostrar que si una funcion x i-+ fix), a ^ x ^ b, licue variacidn acotada en el segmento
[a, b] y |/(s)| > c > 0 Var G b\, la funcidn x a < x ^ b, tambien « una funcion
de variation acotada en el mismo segmento,
103. Cakular: a) x; 0,2ir); b) V (cos x; 0, 2tt).
104. Calcular las funciones de variation postf-iva, de variacion negativa y de variacion total de la
funcidn a: i-i [x] — x, 0 ^ x ^ 2,
fjfi. Aplh iiihiiMH*H gi'onî triCtiH de In lnlcgrtil dclinida l,l()
§6* ApJicacioncs de la integral dcfinida
a la resolucion de problemas geometricos
6.1. Longitud dt1 arco de una curva recti ficable
Definicion 1. Llamaremos camino en a una aplicnrion continua f : [a, ft] > Rm,
a, 6] C R.
Definicion 2. Si la aplicacion continua f : [a? b] —* es biyectiva, el camino se
llama arco,
Definicion 3. Se denomina traza de un arco f : [a, ft] —• Mm o de una curva 7 la
imagen del segmento [a, b] respecto a la aplicacion f:
7 = {y 6 Mm : yj = fj(x)f a^x^b, j = 1, m} ,
Definicion 4. Sea f un arco en el espacio Si f(a) = f(6) y f(ai) f(x2) para
cualquier par de puntos distintos x\ y del intervalo ]a, b[f la curva 7 se denomina
curva cerrada simple.
Definicion 5. Una curva 7 es rectificable, si la funcion vectorial f tiene variacion
ncotada en el segmento [a, 6], Se llama longitud de la curva 7 a la variacion total V(f; a, ft),
Teorema, Si una funcion vectorial fr: [a, 6] Rm es continua en el segmento [a, b\,
entonces la curva 7 es rectificable y su longitud I puede calcularse mediante la formula
I= / \f'(x)\dx} (I)
a
donde \i'(x)\ = + /"(«) +" -• + / »
Consideraremos un caso particular del teorema: cuando rn = 2 y la curva 7 viene
dada mediante las ecuaciones parametricas x = <p{t), y = ip(t), a < t ^ /?. Entonces
|f(Q| - y la formula (1) adopta la forma
J V^W j= I vW) + i>a{t) dt (2)
a
Si TO — 3, es decir, la curva 7 viene dada mediante las ecuaciones parametricas
x = ip(t), y — ip{t)f z — xitff a ^ ' ^ fit Y s e verifican todas las condiciones del teorema,
entonces tenemos
P
1 = J ^(t) + xa(t) dt ���
2Si la curva 7 en IR se da en la forma fi{x) = x, fcix) = /(#), ^ ft/ donde
/ : [a, 6] R, / G 6], la formula (2) se transforma en
N i1 = I w i + /«(«) d®. (4)
a
Si la curva 7 en M esta determinada en coordenadas polares, es decir, mediante las
ecuaciones parametricas
x />(»?) cos y = p(tp) sen <p, ^ tp ̂ <pu p : /> € pi],
I'll} t.'iipiiulo'X. Iiili-(j,iiil (li'lhtnl.i
In fornill lit ('') so c.'M ribo
fij (5)
Pi
Como un caso particular veamos la situation cuando la curva en coordcnadaj
polares estii dada en la forma <p = tp(p), p\ ^ p ^ Pi- Entonces en la integral (5) hay que:
haccr un cambio de variable, despues de que Uegamos a la formula siguiente:
Pi
p\
6.2. CAlctilo dc areas de figures planas
Definici6n 1. Se denomina trapecio curuUirieo a una fig urn plana $ BLmitada
inferiormente por un segmento fa, 6] del cje Ox, superiormente por la grafica de una
funci6n no negativa / : [«, b\ —* R y por los lados mediante los segmentals de recta a x — a
y x =•«• (tig. 1).
Teorema 1. Todo trapecio curviltneo es una figura cuadriculdble y su area P se
calcula mediante la formula
b
P = j f{x) dx. ( J)
a
Si una funcion continua / : [a, ft] —* R cambia de signo en [a, b], la integral
h
f f(x) dx es igual a la suma algebraica dc las ireas de los trapecios curvilineos situados
a
por cncima y por debajo del eje Ox.
EI tirea de una flgura plana $ que esta acotada inferiormente por la grafica de
una funcion continua /j : [o, b] —> HE, superiormente por la grafica de una funcion continua
f i '• [«, —> E y por los lados mediante los segmentos de rectas x — a y x — b (fig, 2), se
calcula mediante la formula
b
j{hix)-f,ixj)dx. ���
V y>
(1 u b x C q X
Kg X. % 2.
Definicion 2. Se denomina vector curvilineo a una figura plana limits da por dos
rayos que forman los angulos tp — a y <p — (i con el ejc polar, y por una curva continua 7
defimda mediante la ecuacidn p — p(<p), p > 0, a ^ ip fi.
ApUi .u lonort goomiftricaH do hi Inlrgnil deHnhiu i f t.
Teorema 2. lotto mrlor omnlhteo es una figuttt pinna auulriatfahle tui/ti timt P
puede calculate mediante in formula
P = j I fi VP) P)
a
2Sea $ una region simplemente conexa de M , limitada por una curva cernula
,suave 7 de ecuaciones parametricas x = x(t), y = y(t), h ^t ^ h (una curva 7 se llama
suave, si en cada punto t del segmento [t^ tx] las funciones x e y son dcrivables con
continuidad y xa{i) + ya(t) £ 0).
Supongamos que 3> es una figura plana orientada convexa cuya frontera se rcconv
cn el sentido contrario de las agujas del retoj al variar el parametro t desde t{) h<ista t\.
Kntonces el area P de la figura $ puede calcularse mediante una de las formulas siguientes:
ii
JP = ~ j y(t)x'(t) dt, (4)
hi
<1
p j x{t)y\t)dt,
• t
P - 2| f (x(t)y'(t) - y(t)x'(t)) dt ���
*0
Si la figura $ no es convexa, mas puede ser dividida mediante rectas paralelas al
eje Oy en partes convexas, entonces a cada una de estas partes le pueden aplicarse his
formulas (4)—(6). Al sumar los resultados obtenidos, llegaremos de nuevo a las formulas
(4)-{6), validas para calcular el area de toda la figura
6*3. Calculo de volumenes de cuerpos
Definicion. Sea / : [a, 6] R y / € C([ a, £?]). Se llama cuerpo de revolution T a
una figura que se engendra al girar alrededor del eje Ox un trapecio curvilineo limitado
por la grafica de la funcion f , los segmentos de rectas x = a, x = b y el segmento [a, h\
del eje Ox.
Teorema 1. Todo cuerpo de revolution T es cubicabley su volumen puede calcularse
a partir de la formula
b
V = 1T j fix, dx. (1)
&
Consideraremos un cuerpoT limitado por los pianos x = a y x = b. Supongamos
que toda section del cuerpo T por un piano perpendicular al eje Ox en un ptiiilu
x £ [a) b], es una figura plana cuadriculable cuya area P(x) se conoce.
Teorema 2. Si el cuerpo T es cubicable y la funcidn P : x ^ t i ^ x C b, n
integrable en (a, b\, entonces el volumen V del cuerpo T puede calcularse segun la formula
/ P(x)dx. (2
�
\47 C'iljiilillug. Inh'^iit) iMiniil.i
��� � ������ �,IH �����
�
�
� � ���� �� ��� ������ � �� �
����� � �
�
��� � ����� �
���
� �� � ��
1 1 3 . 7 - { (2 , V) € IK2:1/ = 2px, I) x x0, p > ()}.
< Solucion. Apliquemos la formula (4) del p. 6,1 tomando en consideration la simctna del
conjunto de puntos {Af(x, y) e K2 : 0 ^ x < x0, y1 — 2px) respecto a! eje Ox:
•Jp + (s/2x)2
-I —
n n
= yfp-1 {Vlxf d(V2x) = 2 j y/p + t* dt = (t\/p + t2 + p ln(f + y/p + t2 )) =
0 0 r —
n V\ + 1 = + I n - — •
y i
1 1 4 . 7 = 1 ^ y < e } .
M Solucion. Tomemos y como variable de integraci6n. l a formula (4) del p. 6,1 adopta la
forma c c 1
Por consiguiente,
1 1 5 . 7 = { ( » , y) € : x = a(ah t - t), V ~ «(ch t - 1), 0 ^ t sj T } .
Solucion. Hadendo uso de la formula (2) del p. 6.1 obtendremos
x'(t) = a(ch t -1), y'(t) = a sh t,
xa(t) + ^ ( i ) = «2(shZi ch2f - 2ch t + 1) = 2«' (rh2< - ch t.) ~
\t .2,71 2a2ch *(ch t -1) = ia2ch t s h 2 | = 4a2sh3| (2 ch2- - l ) .
Por consiguiente,
T
f^i • 1.= % j /(^ch ty~Id(v^h |) =
0 . 0
= V 5 a f v f c h | V c h f - l n ( v 5 c i h | + V c K t ) j | o =
- « ( 2 ( c h —Vch2 - l ) - v/2 In — ^
A|Hl('ri4'loiir» gcomelncaH de Li InU^nii drimuia i i
���� 7 t*1 • i . P 1 ' -1 | nmy; 2 J
4 Solucion. La longitud dc la curva se calcula utili/ando la lormula (5) del p.ft.'l. Sr tiene
p'(v)
p sen (p
Av)+.P*(V)
P +
(1 + COS if)1 '
2 2 p sen (p 2p P
' • ' I M 1 • •
(1 + COS (p)2 ' (1 + COS ipY (1 + COS tpf 4 COS6 ^ '
TT IT
/ V
2
d<p
COS3 it
dip
7 f1 I T
COS3 <£_ 2p
dt
COS3 tf 2?
di
cos f(1 - sen21)
fl" a o o
7 T
��
d(sen t)
(1 - sen2 W
75
i
7!
2p
dz
- N 1 L L "
(1 - z2)2 2P
o 0
1 +
z dz
(1 - z*f
0 01y/i
2p dz
1-z +
0
2d " Z2) |0
dz
1 -z
1 , 1 + z ~ In ; 4 1 - z 10
* + 1
V2
0
p(V2 + ln(l + Vl)) •
117. 7
4 Soluci6n. Para calcular la longitud de la curva 7 hagamos uso de la formula (6) del p. 6.1.
Obtendremos
I + WOO)2 dp 2 2 p h) +
P
• • • • •
4 +
3 1 = 2 + - In 3, •
li 1,
1 1
1 1 8 . Demostrar que la longitud de la elipse 71 — {x — a c o s y — b sent, 0 ^ t ^ 27T}
es igual a la longitud de una onda de sinusoide 72 = {y ~
c Va2^.
c sen —, 0 ^ x ^ 2itb}, donde
4 Solucion. Designaremos la longitud de la elipse y la de una onda de sinusoide mediante t[
y l2f respectivamente. Tenemos
2?r 2jt
h = x'2(t) + ya(t) dt a2 sen2 t + ti2 cos21 dt
0 0
2 th Inb
I X1-h 77 COS1 T dx b2 b
0 0
2?r/>
Xb2 + (a2 - b1) cos2 f d
b a
2 cos2 t + b2 sen2 t dt
0 0
(en la integral se ha realizado el cambio � � ��
v upttliio :>. TI* 1 rj41.1l (Iriiimltf
l)<uk» 1 (lit1 Iuh 1'unt which t i-> sen" I, I. 1 > hw'l, I. ( 1HI, son dt* perrodo T ~ it
conformo ill irudn-nioH
>R
I, -. 2 1 \/«2 ^ r r 1 + f ^ j f i t dt =2 j va2 sen* i Tb2 cos2f dt =
0 — z f
= 4 J ^i2sen2t + b2co£tdt.
0
En forma parecida encontramos
= 4 J \/a2 cos21 + b2 sen3 if dt.
0
Cambiando do variable en la ultima integral segun la formula ~ — t = z obtenemos
(2 = j V* 2 sen2 i -f ft2 cos2 2 dz = ii.
I Calcular las areas de las fignras pi anas ! intifadas por las graficas de las funciones
siguientes:
119.
Solucion. La figura plana coirespondiente es una elipse con semiejes x = « y x = b.
Utilizando la simctria de los puntos de la elipse respecto a los ejes de coordenados,
calcularemos el area P\ en un cuadrante arbilrario. De acuerdo con la formula (1) del p. 6.2
encontramos
A
/ / IK2 / 2 ^
/Ji = 6 j d \ — -^dx = tib j cos t dt = —ab
0 0
(se ha rea I izado el cambio de variable j — son t). Tenemos, pues, P — 4Pi = nab. •
1 2 0 . /la;2 + 2Bxy + Cy? = -\, A> 0, AC - B2 > 0.
Solucion. Resolviendo la ecuacion Ax2 + 2Bxy -f Cy" — 1 — 0 respccto a x obtenemos
I'or consiguienle, jyl ^ Tfj ~ El area buscado se calcula con la ayuda de la
formula (2) del p. 6.2, que en el caso considcrado se escribe como sigue
o
p = j ^ M - x M ) dy,
\\u. Apllt a< ioncs gcomtflricjN tit1 la Inlcgral dcllnida 'IJ5
donde
By | ̂ A (AC-Br)yl
A
Hit ^A (AC lS')y>
A
Asi pues, tenemos
u
P 2A I ^ (AC - B
2) t dy B
2
A Ui
• • • • • •
y2 dy
-b - b
71"
A \ J a C - B
2 / cos21 dt irb~A
• • I I I ! • I l l I ! ! • I i H I
- B2 ™ 7T
VAC - ti}
o
(en la integral se ha realizado el cambio de variable arcsen j? = t). •
1 2 1 . y = e x \ sena:|, y — 0, x ^ 0.
-4 Solucion. La grafica de la funcion y : x >—• e~x\ sena?|, 0 ^ x < +oo, no corta al eje Ox
(que es su asintota para x -+ -boo). Por tanto, el conjunto de puntos del piano xOy limitado
por la grafica de la funcion y y el semieje positivo no es una figura cuadriculable en
sentido ordinario.
Consideraremos el conjunto de las areas siguientes:
X
P(x) I seni| dti x 6 K +
o
y pongamos
+00
P - f lim P(x) — X sen xl dx.
0
Representando P en forma de la suma siguiente
P E l -x I / e sen x j
far
dx — lim71
n <*+?>*
i E J • k—n
x sen x\ dx
y cambiando de variable en cada integral segun la formula x — for = t obtenemos
n %
� lim V n—*ook=0
n
sen t dt v V hm yn ^ oo
0 fc^O
-fear -t sent + cosfe € r———'
o
1 + e - f l "
71
iir 2 lim >
—kir
ft-s-00
/c=0
Como vcmos, el problema del calculo del area de la figura se ha reducido al calculo
de la suma de una progresion geometrica decreciente.
Asi pues, tenemos
P 1 +
7 T f T
1 e2 + e 2
2 ( 1 - e " * ) 2 c f - e - f 2 C t h 2
Mf> ( •fluln ?.. IiiIc^m! dclinld.i
1 2 2 . * a{a>s I | I sen /), y a(wn t I. ms /,), (i • / - 7n, y por el segmento de rcctn
m a, y C. (1.
< Solucion. Consideraremos (a figura plana MKNRI' limitada por el desarrollo de la curva y
el segmento de recta x -- a, y < Q (fig. 3). El <irca bus cada P es igual
a la suma de las areas del triAngulo MOP y de la figura MKNRPOM,
Es evidente que P&mop = ^a', puesto que OM — a, \MP\ = lira,
Pasando a las coordenadas polares p y <f> obtendremos
p — ® — a (1 +11), tg = sen t — t cos t cost + 1 sent
Para calcular el area de la figura MKNRPOM hagamos uso de lo
formula (3) del p. 6.2, y luego pasemos, en la integral, de la variable <p
a la variable f.
Diferenciando a nib OS miembros de !a igualdad
— -sen j ~ £ c o s _
c o s t + 1 s e n t '
obtenemos
dtp —
(wtfl*— t cost \4cos fit sun! J
it / sent - f cost\ _ t2
\cost -I-1 s e n t ) ' 1 +t2
For consiguicnte,
2ir
2 r ri i *2w2
MKlfEPOM -f ± t )t~ ,, 4 3 2 —7-r~ dt = -ir a . + t2 3
Finalmente queda
p na2 + = ^-(4tt3 + 3ff). . *•
123. x — a cos t, y = a sen t
2 + sen t '
< Solucion. A medida que la variable f crece desde 0 hasta 7r la variable x decrece desde a
hasta —a, luego la variable y — toma valores no negativos, creciendo de 0 a ^
cuando t varia entre los limit es [0, y decreciendo de | a 0 cuando t varia entre [ f , ir].
Si t crece de ir a 2ir, la variable a; crece desde —A hasta a, y en el intervalo ]TT, 2TT[ los
valores de la variable y — L2{t) son mayores que los de la variable y = en el intervalo
JO,xi, puesto que sent < 0 para i € 2JT[. Por consiguiente, las ecuaciones x — a coat,
y = %+sen* describen una curva cerrada con los puntos de rctorno (a, 0) y (—a, 0). Vemos
que la integral Pi — f y dx es igual al <1rea (tomada con signo negalivo) de la figura
0 2*
limitada por la curva Zj(f) y el segmento [—a, a j del eje Ox, y la integral fy — j ydx
f-if) A piit *u lours Kt'omeirican ur in um^.*
^s igual a I diva ill1 hi lij'imi lim i tad a por la curva //,.(/) y el siyinenlo | af <*J del ejV Ox,
lil area buscada I* en igual a la siima algebraica de y /••:
2* 2?r
P = P1 + P2 fm dx{t) a sen t 2-h sent (- a sen t) dt a
271
2 f sen31
J n |J1 IIV1— M
J 2 sen t dt
a 2ir 0 0
sen i — 2 sen t + 4
2 + sen t dt 9
2 + 8 a 2
dt
2 f sen /
o o
Dado que la funcion t i £ R, es de periodo 2 , entonces de acuerdocon
el ej. 51 tenemos
2+sent
2K IT "IT
dt
2 4- sen t
dt
2 + senf
< * ( t g f )
i
0 - - J T — It
tg2! + t g | + 1 vS
arctg'
VS it-(0
2tt
Consiguientemente, P = Tra2 f - 9 V •
1 2 4 . x = 2t-t2,y = 2tl -t*.
4 Solucion, La curva que define la figura plana en cuestion tiene un punto de autointerseccitin
en el origen de coordenadas, por lo tanto en el ejemplo considerado hay que calcular el
area limitada por el lazo de la curva. Como x = y = 0 para t = 0 y t = 2, resulta que
0 ^ t ^ 2.
A1 aplicar la formula (6) del p. 6.2 obtendremos
P 1
2 /(f
4 - 4f3 + 4f2) dt l/£
5 j 4 . 4 ^ M " 8
2 \ 5 f +
0 o
15
•
Hallar las areas de las figuras planas limitadas por las curvas dadas en coordenadau
polares:
125. p p1 - cos If
7T
4 'V = -*¥>
X
2
-4 Solucion. A1 aplicar la formula (3) del p. 6.2, obtenemos
TT TT
P P2
d(p
(i — cos tpy
TT
IR£4 i ^<4^2 + 3). • 6
••I—
126, p pl + e cos tp , 0 < e < (elipse).
k f
M8 (apilulo').. Iitti'fvnil dclliiida
< Soluririll. A jitirlii dc lit formula (3) del p. 6.2 y de l.i soli ic ion ilel uj. 131 del cap. i resulta
_. VL f # = P_ (
2 ./ (1| e cos ~<pf ' 2(1 ~ c2) V l + W ' t t w *
2
V'i
r
2jt
2 . ( 11 - £ . x\ , 2Tr r^ + TTlX 2!r fl-p2
1 2 7 . p —
y? sen^j 2
Solucion. En virtud de que el conjunto de los puntos {{<p,p) € iS1 : ^ ^ p 4
(I < < | } no es una figura plana cuadriculable en sentido ordinario, por lo tanto
lim P{e), siendon—+0
Dado que lim (ctee — = lim = lim ~ 0, obtenemos P =
lim P(e) = i >
f-t+0 *
1 2 8 . p = « cos <p, p = a(cos + sen M € <1>.
Solucion. Los puntos de la circunfercncia {p — a COS <p, < | } son simetricos respecto
al eje polar, y el radio de dicha circunferenria es igual a A partir de ia desigualdad
« cos ip sen <p < a(cos ip + sen <p) sen <p, valida para 0 < <p < |, se deduce que la
scmicircunferencia {/J — a cos <p, t) ^ (p < pertenece por completo a aqueJla parte
del cfrculo limitado por la circunferencia = a(cosip 4- sen<p), — ~ ^ <p -< que
se encuentra por encima del eje polar; por tanto, el punto M situado en el eje polar y
perteneciente, segiin las condiciones del problema, a la figura no puede pertenecer al
conjunto de puntos
| a sen <p cos (p ^ p sen ip < a(cos <fi � sen <p) sen 0 ^ ip 4. � � � IE".
Consiguientemente, la figura ^ cs la union del semicfrculo {p ^ a cos <p. 0 ^ (p ^ | } de
fire a ^ y del circulo {p sj a(C0S <p + sen <p), - | < <p < — } , situado bajo del eje polar.
Designaremos a este ultimo mediante Su drea P.* se calcula aplicando la f6rmula
o o 2 r . .,2
1 ' - — ( c t i s ^ « /5T _ 1 \
~ 2 V 2 ) E ~ 2 U 21'
De este modo, P - + T ( I ~ 2) = f ^ " *
AjWitai'iniu'H guomctriais nr in *
129. Hallar el de li^um plana limiliula pore! jirliilo de la curva \<p nrn / ,
Solucion. A medida que p crece de 0 a j , el iinĵ tih» <p crmk de I)
a 1; si p crece de ~ a 1, el angulo <p decrece desde I liasla 0 (fig* 4).
for tanto, el area buscada es igual a la suma do las integrates
siguientes
1 0 l O 1/2 P
\ J PHV) *P + l f P2(V) P2V(P) dP 4l '
0 1 o
tomada con el signo " — p u e s el primer sumando del primer miembro es igual al area del
segmento OrnBf y el segundo sumando es igual al area del sector OAB tomada con el
signo luego
1 l l
�� * f z a * ( isznirp �� f , \ / . P — — — j p cos np dp = — — ( p —-— ~ ~ I P sen TTp dp J = j p sen irp dp —
o i° 0
COS-JTp 0 , 1 f _ 1 ( 1 \l I p — j cos 7T/? dp ——1—y sen tt/j — —. •
7T ll TT J f . r (ft 7T
0
1 3 0 . Hallar el area de la figura plana limitada por la curva
2 at wt
7 -{(<P,P)£M2:p=YTt2> V + t2' r 1 + t
Solucion. De la condition p ^ 0 se deduce que t ^ Q. Dado que p — 0 para t — 0 y
p 0 para t —* , entonces 0 < t < -boo. Por consiguiente,
+O0 +00
i f t2dt
p " \ J M = 27ra' (l + t2fa + t f
0 0
Al integrar utilizando el metodo de Ostrogradski obtendremos
2 n
V 4(l-M2)(l + i) 4 6 / L \2 8/ V 4/
n
131. Hallar el drea de la figura limitada por un lazo del folio de Descartes x3 -f- y3 = 3tt(7;t/.
Solucion, Parametricemos el folio de Descartes tomando y = tx. Entonces obtenemos las
ecuaciones parametricas del lazo del folio de Descartes en la forma
ir>(l Capilulo 2. integral delliilila
I'ara calcular el rtitKi, luigamos uso do la formula (fi) del )>.(».% Utnuindti an consideration
que
(:r,(t)y'(t) - y(t)x'(t)) dt « x\i) dt,
Por consiguiente,
f Jl-^L- - f
2 J ( l + f»J* 2 J
+ 00 -H» _
2 r A At iJ- r Ati • f3^ a - 1 1°
( H O 7 2 t + i ^ U 2
o
1 3 2 . Calcular el area de la figura limitada por la curva cerrada x1 +yA — a2(x2 + y1).
< Solucion. Pasemos a coordenadas polares segun las formulas
x — p cos ip, y~p sen <p.
Dado que la curva es simelrica respecto a los cjes de coordenadas, tenemos 0 ^ <p ^ 2ir.
La ecuacirin de la curva que limita la figura plana adopta la forma p1 — g y ° ^ -.
Aplicando las formulas (3) del p.6.2 y teniendo en cuei\ta la solucion del cj.23
obtenemos
2, i
� �
2 J sen'1 ip 4- cos4 <p 2
o
1 3 3 . Calcular el area de la figura limitada por la curva x* + y* — ax?y.
A Solucion. Parametricemos la curva poniendo y — tx, resulta
t t2
• " ^ v + F ' v
y las variables x e y se anulan para t = 0, y tienden a cero para t —* oo. Ei conjunto de
puntos de la curva
7 = {f®, y) c: ®2 T a « v = a y ^ > 1 € ffi}
es simetrico respecto al eje Oy. Por consiguiente, la figura plana estS limitada por dos lazos
simetricos respecto al eje Oy y situados en el semiplano superior del piano xOy. Por eso,
el ilrca buscada es igual al area duplicada de la figura limitada por un solo lazo:
2
0 0
Utilizando la sustitucion y — j es ftidl demostrar que se verifica la igualdad
+00 +00 ,An -m—2
en virtud de la cual tenemos
tffi, ApIli tU iiiiirs geonmrlcan nr in him-j*
| I X ] " H i I i K )
, r dt 2 f t A d i 1 ft it m * r ' i 1 f
7- J o i t'lr v r + W i n i / 'U 1 4 J ( i+1 4 )
"M ' " dt I /" dt
! | lx 4 I | //a
Dado que ™ / y~r = £ / (conforme a la igualdad ('!)) tenemos
o o
4-oo
8 j T-M4 8
o
o
donde F{t) = ^ arctg ^ + ^ sgn t para M O y F{0) = 0 (v.ej,2Q del cap. I)-
Final mente tenemos 2
•TTr - J L . p - ^
8 v T 8V5
(|) Nota, Antes de pasar al calculo de voltimenes de los cuerpos segun las formulas (1) y (2) del p.
examinemos dos ejemplos en los cuales demostraremos algunas formulas utiles para el calculo <lr
volumeries de los cuerpos.
1 3 4 . Demostrar que el volumen V de un cuerpo de revolution T que se obtienc al gimr
alrededor del eje Oy un trapecio curvilineo
$ = {(#> 2/) € M2 : a < a < O^y^ /(a?)},
donde / : [a, 6] —> K es una funcion continua en el segmento, es igual a
V=2ir / xf(x)dx.
a
Solution. Sea II = {ccq = a, aci , . . . , 05tt = b} una partition arbitraria del segmento [a,
' Ml | —
En cada segmento [a?*, Xi±\], i = 0, n — 1, consideraremos dos rectangulos cuya base es v
mismo segmento [x-i, x'i+i] y las alturas son iguales, respectivamente, a nii y Mi, donde
m* - mm {/(a;)}, M% = mkx {f(x)}.
Las uniones de todos los rectangulos de un mismo tipo forman dos fig urn
escalonadas, una de las cuales se encuentra inscrita en la figura y la otra, circunscril
alrededor de la misma. Al hacer girar estas figuras escalonadas alrededor del eje Oy ^
obtienen dos cuerpos cubicables Ti y T2 compuestos de cortezas cilfridricas,
Los volumenes de los cuerpos T\ y J? son iguales, respectivamente, a
n-1 ti—1 n-1
VTl = - = £ 2 w m ' ^ +2Xi+1 AXi> Vt> = S 2 M ; + Ax,.
t̂ O t=0 {-0
Consideraremos la funci6n <p : x 2-nxfix), a ^ x Dado que (p £ R [a, J
entonces Ve > 0 311 : - Sn(tp) < donde Sn(<p) = 2 2wMiX^i Axif 5u(y?)
2'KmiXi Ax{.
1=0
Ctpliult) ?.. Integral lirlluiil.i
A parti I' lie las designed ad es evideillea
n-1
VTl = V lirimXi Ax{ J- irm> - S\\{tp) + V^ yrnii Ax},
i-0 i=0 i=0
n-1 ft—1
Vr, - y^ ZtMiZi+i AXi - KjVti - S„{ip) - ^ if Mi A®*
i=0 i*-0
resulta que V% - VTl = Su(v) - £[](¥>) ~%t donde Jn = £ Jr(M{ + «»() Aa;?. Estimando 7„
obtenemos |7„| < 2TTM(6 - a} d{fl), donde M — max {f(x}}, rf(II) = max Aar;.
Teniendo cm cuenta la desigualdad .So (<p) — 5'n (<p) < \ y eligiendo la particion 11
de modo que se cumpla la desigualdad2JxM{b - a) rf(ll) < obtendremos la desigualdad
Vj, — VT, < £, de la cual se deduce que el cuerpo T es cubicable (debido a la inclusion
TiCTcTz).
b h
Dado que lim V?, = 2jt fxf(x) dx, lim Vr, — 251 fx fix) dx, tenemos V —
6 M dfiiHo
1 I ''<n>~° i
2irJ'xf(x) dx. •
1 3 5 . Demostrar que el volumen V de un cuerpo de rcvolucion T engendrado al gtrar la
figura $ = {ftp, p) € K 2 : 0 ^ a ^ tp ^ fl sj ir, p = p(<p), p > 0 } , p € C [a, fl], alrededor
del eje polar, es igual a
f>
V J p3(ip) sen <p d<p. (1)
M Solucion. Sea II — {<p$ = or, <p\,..., tpn — fl} una partici6n arbitraria del segmento [a, fl\,
y una figura plana limitada por Ios segmentos de los rayos
f> — <Pi, <P — Vm y p»r el tramo de la curva ip Ht pi'p),
<Pi ^ ip ^ (f'g. 5).
Sean Mi = max (p(<p)} y vii = nun {p{<f)}. Exa-
minemos dos cuerpos 7\ y 'L\ engendrados al girar alrededor
del eje polar dos fig urns planas formadas por los sectores circu-
lates de radios M; y wij, respectivamente, y de fingulo central
Fig. 5. &<pi — ipj+i — <Pi, i = 0, n — 1. A partir de la definicion de Ios
cuerpos T, Tj y T2 se deducen las mdusiones T j C T C 2 ; .
Cakulemos los volumenes dc los cuerpos ?t y 7*2 empleando la formula (conocida
desde el curso de geometria) del volumen de un sector esferico V - donde h es la
alt»ra del segmento esMrico y R es el radio de la esfera. Tenemos
n i
i=0
n-i
v % - - c o s # i + i > = X ) M < s c n
'I V^ mr3 <Pi + VM wo I ^ ^V y t M, scn
i=0
, n-1
4 3 Vi + Vi-
sen
A &
i r 4 V s 3 Vif
Vt, m< H e n sen
A <Pi
t=a
f-jCi. A|tlU 4i« ioin'N goomolrii'iiM i\v la integral dclinidi
Designomos iplt sen fy -• max (ueny>|, nr\\<p nun y consular
Vl-^W'.Wtw VT V H't 11
rmas la diferencia de los volumenes
4 V—̂ ^ 11 /.A(n •
Vr, -)sen son
Ti — 1
diipi
3 i=0 2
I )c. las desigualdades (Mf - mf) sen <Pi ^ Mf sen (pi - m? sen sen Ap < se deduce
l.i desigualdad
n-1
- ^ < ? sen fr 3
mf sen A ^ = 5n(/) ~ 5n(/),
2=0
donde / : <p h-t 2ir (<p) sen ip, a ^ (p ̂ fl, es una funcion continua en el segmento |< , ji],
Dado que / € R [a, (3], entonces Ve > 0 3 I I : 0 < #n(/) - 5n(/) < P o r consiguiente,
Vv-, - V^ < e. De este modo, el cuerpo T es cubicable y su volumen V puede calcula rso
segun la formula ('!), puesto que
lim Vt, = lim Vji
d{ n)-»o d(n)~to
0
j p3 ((p) sen d<p. •
a
Calcular los volumenes de los cuerpos limitados por las superficies siguientes:
1 3 6 . Paraboloide de revolution cuya area de la base es igual a S y la altura es igual a i f .
Solution* Hagamos uso de la formula (2) del p. 6.3. La superficie de todo paraboloide de
• J r y
revolution se describe mediante la ecuacion z — x +y y cualquier section ortogona! del
r-p ry
cuerpo por el piano £ — cr 0 < c < H, es un circulo x -\- y ^ c. De este modo, el conjunto
A /-j
de secciones del cuerpo limitado por la superficie z — x +y es el conjunto de circulos
de radio z, cuyas areas P{z) son iguales a wz. De acuerdo con la formula (2) del p, 6.3
obtenemos E
irH2 SH V — 7f I z dz
2 2
o
ya que, segun las condiciones del problema, ttH — S, •
137. % +ya 1 ̂ ^ — -irC.
Solucion. El cuerpo esta limitado por un hiperboloide de una hoja y por los pianos
^ = ±c . Debido a que el cuerpo estudiado es simetricos respecto al piano xOy, resulla
suficiente calcular el volumen de la parte del cuerpo que se encuentra en el semiespntio
z ^ 0 y luego duplicar el resultado.
En toda section ortogona! del cuerpo por el piano z — C\t 0 < c\ < c, se obtienr
^ y2 _ una elipse
.2 \ 2 +
(nA+S) ( ) 1. Por eso, el area P(z) de la section transversal del
I.rvt < apitulo'?.. Integral ilt'linid.i
cuerpo por <*l piano os igual (conformc ill »'j. I f>) .1 vnh( I I ' j ) . Aplicando lo formula ����
del p. f>,3 oUlctH'tnu.s
e
V = 2 J P{z) dz - 2tab j ( l + -^j dz ^ •
138. x1 -f y2 + z2 = a2, x2 + y2 — ax.
1 Solucion. El cuerpo esludiado esta limitado por una parte de la superfine cih'ndnca f
por dos partes de la esfera. Es cvidente que el piano xOy divide el cucrpo en dos parte*
iguaies. Tor eso, examincmos aquella parte del cuerpo que se encuentra en el scmiespacio^
z S 0, En la seed on de dicha parte del cuerpo por un piano perpendicular al eje Ox s$
tiene un trapecio curvilfneo cuya area P(x) es
P(X) - 2 I V(<i2-z2)-fdy.
0
El volumen buscado V sc obtiene aplicando la formula (2) del p. 6.3:
a
r - 2 / p ( x ) dx.
(i
Calculemos primeramenle P{a;) realizando en la integral correspondiente el cambio t —
P{x) aa 2 f (a2 - X2) cos2t dt = (a2 - x2) farcscn . /-M- + .
J \ \a+x a+x/ «
Sustituyendo la exprcsion obtenida de P(x) en la formula para el calculo del
volumen V, hallamos
a ,
V = 2 [(a2 - a;2)(arcsen J - I I 2(7, + 12),J \ y 11 + 1 a + x/
donde
I\ — ((a - x ) arcsen . / — da;, 12 — j (a — x) \f ax dx — —a',
J V a + x J
0 0
Realicemos en 1\ el cambio de variable x — a tg2<p, 0 ^ ^
* *
I » T
h = a 3 J vKl - tg'V) rf(tgV) = « J ( ^ ( t g V - ' - j ( t g V - =
0 a
* ir *
/ 7 * * *V (f Vfck ~ 0*+ § /(tgV "̂ +1) " 5 /
ApllrarinnrK geometrical de Li I I ^ I detlnitla I L J
I'innlmente queda
S / 4 TT
15 3 V = 2 t t — + - - — = - a T T • • - - . •
. . ' J I " • ^ ^ ^ J V i i j • • • • •
���� Hallar el volumen de un cuerpo limitado por una superficie que se obtiene al girar
ht grafica de la funci6n x + (y - b) = a , (a;) ^ a, 0 < a < b, alrededor del eje Ox.
| Solucion. El cuerpo que se obtiene al girar la circuriferencia de radio a con centro en el
punto (0, &) tiene dos ejes de simetrfa: el eje Oy y la recta y = 6. Las ecuaciones de las
partes superior e inferior de la circunferencia respecto a la recta y — b tienen la forma
y$ b + a2 — x2, yi — b— \/a1 - x2, ja?| ̂ a,
respectivamente. Al aplicar la formula (1) del p. 6.3, obtenemos
a a T T
v = TT j{yl - y\) dx = 8?rb J Va2 - x2 dx = 87ra2b J cos21 dt = 2ir V k •
-fl 0 0
»in 1-
� � � � Hallar el volumen de un cuerpo limitado por una superficie engendrada al girar las
graficas de las funciones x = a(t — sen t)r y — a{ 1 — cos i), 0 ^ t ^ 2?r, y y = 0:
1) alrededor del eje Ox; 2) alrededor del eje Oy; 3) alrededor de la recta y — 2a,
4 Solucion. 1) Aplicando la formula (1) del p. 6.3 tendremos
2k a 2% 2TT
V = n j y2 dx^na3 J(l-co$tf dt^Sva3 / sen6 | dt =
� � �X 2
= 16ira3 J sen6 z dz = 32™3 J sen6 z dz = 32?ra3™ * | = 5 t t V
o o
(se ha utilizado la solucion del ej, 43).
2) Calculemos el volumen del cuerpo aplicando la formula demostrada en el ej. 134:
2% a 2ir
3 f / j . _ _ . . w * t \ 2V = 2?r / xy dx - 2xa / (f - sen t)(l - cos t) dt
0 0
2 jr Its
3 1 f x/-i ±\2 j± f — . . . n2 f ,v2 lira? I J t( 1 - cos t)f dt- j sen t(l - cos tf dtj = 2ira* J t( 1 - cos i) dt =
0 0 * 02tc 2%
lira* I t - 2 cos t + dt = 3?ra3 ftdt = 6 i r V .
o o
(Para la obtencion de este resultado utilizamos las igualdades J sen t(l — cos t) dt —
o
/ sent (1 - cost)2 dt = 0, f t ( - 2 cos* + dt = 0.)
—/r 0
t'apilulo 2. Inlegr.il (li*finitl.i
,1) Ptisenuw a un nuevo sistema do mmli'imdas segun tas formulas y\ ~ y «J
x\ — x. lil volumen buscado es V -- — siendo t/! el volumen tie un .eilindm
seccion circular de altura 2ira y de radio de la base igual a 2a; el volumen se calcit
mediante la formula
a™ i*
yz = 3T j y\ dx = TTtt3 I ((1 - cos 0 2 - 4(1 - cos i) + 4) (1 + cos 0 dt = -K2a.
G 0
Dado que V", - 87TV, se obtiene V - 7ir2a?. •
1 4 1 . Hallar el volumen de un cuerpo engendrado al girar una figura plana limitada
un lazo de la curva 7 = { x — 2t — t2, y = 4f — t3, t € iR} al reded or del: 1) eje 0
2) eje Oy.
< Solucion. 1) Dado que x — y — 0 para t — 0 y para t — 2, entonces 0 ^ < < 2. Al creel
el par&metro I de 0 a I, la variable x tambien crece de 0 a 1. Ahora, si t crcce desde
hasta 2, la variable 3: decrecera desde 1 hasta 0, luego
3 1 2 2
V = - i r J y2dx-ir J y2 dx = - j r j y2 dx = 2tt j { t - 1)(1W2 St" + f ) dt =•
1 0 D O
2) Para calcular el volumen, hagamos uso de la formula del cj. 134 y tengamos eflj
cuenta los razonamienfajs expresados analizando el caso 1). Obtendremos
2 1 2
V" = ~2x J xy dx - 2w Jxy dx = - -2ir jxydx —
- —2ir J[21 - t2)(4t- t?)2{\ - t)dt= -^TT.
105
1 4 2 . Hallar cl volumen de un cuerpo engendrado at girar una figura plana limitada pon
la grafica de una funcion definida paranietricamente (x2 + y2)2 — a2(x2 — y1): 1} alrededor
del eje Ox; 2) alrededor del eje Oy; 3) alrededor dc la recta y = X.
< Solucion. 1) Pasemos a coordenadas polares X = p cos <p,y — p sen <p. La ecuacion dc la
curva tiene la forma p = a cos 2<p, \<p - kir\ ^ k = 0 ,1 . Tomando en consideraci6n la
simctrfa de los puntos de la curva respecto al eje polar y la recta p cos ip — 0, hagamos uso
de la solucion del ej. 135. Obtenemos
T 0
4 f t I 47Tfl f 2 '
V = - j t / a cos1 2<p sen <pdtp~ I p c o s V ~ rf(cos^>) =
0 „ £
- % "<~Dr (*1 •-" 1+|T -
2) Tomaremos el rayo tp — * como el eje polar del sistema [p\ 0) (fig-6). Tenemos
P'(&) - pitp), $ — a = s .
tj(,. Apllriti ioiu'N R....m«ricait de l» «"»•
Apluiuemos alumi l.i l o n , u l 1 , 1 1
j,.urn essimetrica y qiu- wi. 0 < 0. Hallamos
demoslrnilii in «•! 4 l*-iii«-.KU» <•>< im-nU. t|iu- - I
TT
J T
4
V 3
sen0| dd
4nd
T
sen I dip
0
TT
TC
4iral 47ra'
3
f cos^ cos ipdtp^ ^ ^ I ( !
o
3a/2
4ira 4*a3 3!! 7T2
V
4^2 '
0 0
3) Tomemos el rayo p - 4
it{0) = p(v)>0 = ¥ "" I*
* por el eje polar del sistema (p\0) (fig. 7), entonces
a /)
Fig. 6. Fig. 7.
Tomando en consideracion la simettf a de la figura y la desigualdad sen *
la formula del ej. 135 obtendremos
0,segun
IT
0
V 3 /ow sen0|d0
47ra; cos5 2<p sen! y? - 5) |
J T
Realicemos en la integral el cambio t, entonces
I T
TT
V -
47Trt sen2 2t sen t dt
8V27T
3
a cos^ t sen^ i ti(sent)
o o TTft
3
2y dz.
0
i i „4 lleeamos a la formula F Tras efectuar la sustitucion ? - 1 - « iiegamua
^ W l , donde
+00 +00
J (1 + 1A4)3
du
u
(1 + u4)3
r dli,
o 0
(la ultima igualdad resulta de la solucion del ej. 133).
IW ('ii|>iUik>2. Intcgiiil definida
Integrando por pur Its obtenemos
1
8 ( 1 + M Y
I OU I'OO
3 f «'2 An 3 f _u
a J ( I H »4)2 ™ 8 J (1-
du
+ u4)2'
+ jt
En el ejemplo 133 se demostr6 que / n+ffi)' = — P o r consiguiente, / =
V - ~ 4 •
^ E j e r c k i o s
Calcular la longitud de la curva 7 si:
105. 7 = { (a , jr) £ K" : y - In x, V 3 ^ x < \/8}.
106. 7 = {(x, y) £ Hi2 : y — rt ch ^, fi^J^Hj, a > 0 } .
107. 7— { (» ,»/ ) € R * ; a : = a In Z & t - y / a * - b ^ y ^ a } .
108. 7 = { ( i , s ) e R ! : « l + = « ? , [s| < a } .
109. 7 = {(a;, jf) £ R : : i = a cos5f, y-a sen5i, 0 ^ i ^
110. 7 = { ( J , y, z) £ Kn : x — a. cosi, y - a senf, 2 — bt, 0 < t ^ (&}.
111. 7 - { ( ? f ,y , j j ) £ ie : V - - 3 y ) 2xy = 9zt O^z
112. 7 - { ( 1 , 5 , 2 ) 6 8 ' : jf = a arcsen f , «e> | In £ f t 0 < % J -
113. { ( s , VyZ) eSt3 : x - at, y = VSabt1, z^2bt\
114. Hallar la longitud de la curva definlda por La ecuacidn \fx + ^fy — -/a, desde t>l punto (0,
hasta el punto (a,0) .
115. La parabola 7 = { ( x , y) £ M.1:4ay — x2, x C 1R} rueda por el eje Ox. Demostrar que su
describe una catenaria
7 = {(*, y) G a3 : y = a ch \, x £ R } .
Hallar ct area dc las fig u raw pi anas limitadas por las gtaficas de las curvas siguientes:
116. La astroide + = <P, 117. La curva a:4 + y* — a;2 -hji2.
118. La podarta dc una elipse (x2 y2)1 = e^x1 + hl\f.
119. Las curvas y2 — x2' + y1 — 2tix, 2x — y = 4a. Calcular el area de la parte situada endma
del eje Ox.
120. El lazo de la estrofoide (a - x)y2 = (a + w)x2,
121. Tji curva (y — xf — x3 y el segmento correspondiente del eje Ox.
122. La curva y ^ J -4- y j \ = 1 y los segmentos correspondientes de los ejes de coordonadas.
123. La elipse y +- ]£ — 1 y la circunferencia x2 + y2 — ab. Calcular el area de la parte situada •
fuera de la circLinferencia.
124. La curva p = a cos4<p. 123, La hiperibola equilatcra p2 cos2p — a2, ^ <f ^
126. Las curvas p cos 2<p 4a2 cos®<p y p2 cos 2ip — a2. 127. li! laa> de la curva x' -f y7 = u^y3.
128. Ui curva x2y2 = 4(a: — 1) y una recta que pasa por el punto de inflexion de dicha curva,
129. Calcular el area de un cuadrado curvilfrieo fonnado por las elipses
|i7. ApHianoiu'tf iir lit inU'gml <1iMinuiii
Hallar los vnlumviU'N ile low cuorpo.s limilddiw por Un MUpnUiicN cn^fiulrati.iri af giiar
las curvas siguienles:
131). 7 = {(#, y) £ E2 : y sun j:, 0 ^ x ^ tt} alrededor del ojr Or.,
131. 7 - {(x> y) € R2 : (2a - x)y2 = a?3, 0 ^ x < a ^ 2} alivdedor del eje Ox.
132. 7 = y) € K2 : # = a(t - sent), y = a(l - cosi)> ^ 2tt«} alrededor de la rocla
y — ftu, {) < k <2, que la corta. (Calcular los volumenes do los dos cuerpos de rcvoluciim quo
se obticnen,)
133. 7 - {(x, y) € R2 : y = , x € R } alrededor de su asfntota.
(34. Una curva definida por la ecuacion p3 = a3 cos gira alrededor del eje polar. Determiner el
volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar la figura limitada por el lazo situado
en el tercer cuadrante.
135. Un segmento del circulo de radio R correspondiente al angulo central 2a gira alrededor de su
cuerda. Hallar el volumen del cuerpo de revoluci6n.
136. Un cubo de arista a gira alrededor de su diagonal. Determinar el volumen del cuerpo obtenido
como resultado de la revolucion de una de las caras del cubo.
137. Dado un cubo de arista a, determinar el volumen del cuerpo de revolucion engendrado durante
el giro de una de las caras del cubo alrededor de la diagonal de la cara opuesta.
138. Una curva definida mediante la ecuaci<5n a;4 ft/4 = 2 axy2 gira alrededor del eje Oy. Determinar
el volumen del cuerpo limitado por la superficie de revolucion obtenida.
Hallar los volumenes de los cuerpos limitados por las superficies:
139. 5 = { (^ j f jZ jeR 3 :xz-h4y2^8z, x2 + 4y2 = 1, z^O}.
140. S - {(ar, y, z) £ E3 ; y2 - 2p(a - x\ x - % - 0, x - 2% -- 0} .
L41. S - {(at, y, z) £ R3 : z2 - (a - x - y)a, x - 0, y - 0, z — 0} .
142. S = {(xjy, z) € R3 : z2 b(a - x2 + y2 = ax}.
144. El eje de un cilindro de seccidn circular recto de radio r (un vaso) forma un angulo a respecto
al horizonfce. El cilindro esta parcialmente lleno de agua. La parte del fondo cubierta dc agua
es un segmento circular de angulo central 2<p. Hallar el volumen de agua.
145. Tres rectas mutuameute perpendiculares entre sf constituyen los ejes de tres cilindros de
secciones circulares de radio r. Determinar el volumen de la parte comun de los tres cilindros.
i
§ 7. Esquema general de la aplicacion de la integral
definida* Ejemplos de mecanica y de fisica
7.1. Funcion aditiva de un intervalo
Si a todo segmento [a, conteriido en un segmento dado [a, 6] le corresponds? un
cLerto valor de una magnitud geometrica o fisica determirada P{[a, /?]), entonces P se
denomina funcion de segmento.
Definicion. Una funcion P ; [a, /?] P{[a, /?]), [a, f3] C [a, &J, se denomina
aditiva, si
V7 € R P{ => P([a, /?]) = P([a7 71) + P([7 , /?]).
Teorema- Sea P ; [at/3] w P([a,/3]), [oe,^] C una funcidn adi
V • faJ —> p € Cfa, b], una funcion tal que P([a:o, x]) = p{x - osq) + o(x
/.0 € [a, 6], Entonces se verifica la formula
�
P{[a,b])~ fp{x)dx. (I)
U>() (.'apilulo Intcftiitl dt'flttlilil
7.2. Calculo de momentos catittcos, iiintm'nlnn de incrcia y de cUDrdenadai
del centra de graved ad de curva* y figura* planas
Sea {Mj(xj, yj)} un sistema de puntos mafertales de masas rrij, j = 1, ft, que I
encucntran en el piano xOy. Las magnitudes
n 11
= m0)>
J* = ]C miv)
j=l j=i
se denominan, respectivomente, momenta estdtico y momenta de inertia de este si
puntos respecto al eje Ox.
Supongamos que una rnasa de densidad lineal /t = 1 esta uniformemente distribuidfl
por um curva suave 7 — {(a, y) £ : y — /(a;), a ^ x ^ ft). Ei momento estdtico y e
mom en to de inercia de la curva 7 respecto a los ejes de coordenadas se definen del modo
siguienle:
b 11
Mx = J f(xW\ + f'(xfdx, Mt = J x^\ + S'{xf dx, (1)1
l9 = j + f'(xf dx, Ty = J x2\/l + f'{x}2 dx, ����
u a
y las coordenadas del centro de gravedad C(£, q) de la curva 7 son:
My Af,
I ' = T ' ��
donde J es la longitud de la curva 7 .
Supongamos que un trapecio curvilfneo homogeneo se encuentra completamente ,
a un lado del eje Ox. Se denominan momentos estaticos y momentos de inercia de este.trapecio respecto a los ejes Ox y Oy a las magnitudes |
b i>
fw J f { x ) d x : My = sgn/(as) J xf(x)dx,
a e
b b
= /2(®)l/(®)l h = / ®2I/(®)I
(4)
(5)
y las coordenadas de su centro dc gravedad C(£, ?}) son:
p i * = •]?» (6)
donde P es el area del trapecio.
Nolcse que el centro de gravedad de una figura homogenen plana que tiene una eje
de simetrfa, se encuentra en dicho eje.
143. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la figura plana siguiente:
2 2
- {(at, ! / ) £ ! ' : ~ + ^ C i <U «» t&C f < ft}.
J\7 Aptlr.uioiu^ de la inlegml defhddn ini
I Soluci6n« Al aplicar niuvMivamonte las formulas {'!) y (ft), (ibleiuunoH
n
r , 2 ^ r 2 , t ^ I 1 1 w'2.
' r * ^ ' - l v 1 ah
0
3
U
a;2 . 6a2 ' - 2
o
0 2ja fo
« 3
i
. __ ?ra& 4a Tab 4b £ = My : = —, V = MX: — = -
(puesto que el area de la figura $ es igual a aft), •
•RN — , — , B K ^ —
1 4 4 . Hallar los mementos de inertia e Iy de un segmento parabolico $ limitado poro
la grafica de la funcion x y- > / 0 ^ x ^ 2a, y el segmento correspondiente del
eje Ox.
Solucion. Segun las formulas (5) tenemos
2a la
Ix = J{2ax - ac2)3 das = h = J ^(^x - = •
0 0
• • || | — ^ — L M ^ — r l - 1 - ^ ' ••
1 4 5 i Hallar las coordenadas del centto de gravedad de una semiesfera homogtfnea de
radio a.
Solucion. El eje Oz es el eje de simetria de la semiesfera
T = {(x, y, z) € R3 : x2 + y + z2 ^ a2, z > 0} ,
luego el centro de gravedad se encuentra en dicho eje, Cakularemos el momento estatico dM
respecto al piano xOy de un cinturon esferico de altura dz cuya base inferior dista z del
piano xOy. Para ello, consideraremos aproximadamente dicho cinturon esferico como un
cilindro de la misma altura y de base igual a la base inferior del cinturon esferico (es decir,
al circulo de radio r — Va2 — z2). Evidentemente, dM es igual a ir(a — z )z dz, luego
a
2
M — j z{a2 -z2)dz = ?~.
0
2 >7
Dado que el volumen de la semiesfera es ^na , tenemos
t _ 3M __ 3
C ~ 2 M 3 ~
Por consiguiente, C(£, 0 = (0,0, f a ) . >
, II •! . | . • • • L ^ * ^ L l ^
1 4 6 . Determinar la presion del agua sobre un tabique vertical en un canal si la seed on
del tabique es un semicirculo de radio aT y el diametro de dicho semicirculo se encuentra
en la superficie del agua.
Olpl'ltllo '}.. IlltCKt'itl dWhtid.i 1
Solution. IJtuigm'iitos mediante ((a:) In longitud tlt< una mrla horizontal Irazada a unfl
disinncia x dc A1) (fig. S). Aproximando la franju tiiniprontlidn cntrc los rectos horizon lal<M;
quo eslan it las dislancios x y x + dx dt; Afi por nil rcchingulo
do base l(x) y de altura dx, podemos calcular nproximndamente la
p res ion ^([x, xidx |) experlmentada por dicha franja. De hidrostatica
sc sabe que la presion dol agua sobre una franja sum erg id a un ell a es
igual al peso de la colli mm dc agua cuya base es dicha franja y cuya
altnra cs igual a la profundidad a la que la misma esta sumergida.
P([x, x + dx]) fcf a-i(ar) dx = 2xy/a2
Segun la formula (1) del 7.1 tenemos
c1 dx.
a
t\/(i1 — x2dx ~
Fig. 8.
1 4 7 . Un disco de espesor h, radio r y densidad 6 gira con una velocidad de n
revoluciones por segundo. Hallar el trabajo que se necesita para frenarlo.
•4 Solueir'ji. Segun el teorema de la variation de la energia cinetica, el incremento de In
energia en un cierto intervalo de tjempu es igual al trabajo realizado por !as fuei'zas
aplicadas al cuerpo durante el mismo intervalo dc tiempo
T-Tq = A,
donde T es la energia cinetica en el instante final, YQ es la energia cinetica inicial del cuerpo
y A es el trabajo de las fuerzas exteriores. Dado que el cuerpo es absoiutamente sOlido, el
trabajo de las fuerzas interiores es cero.
Dado qui5 al final del intervalo de tiempo el cuerpo se deliene,
entonces T — 0. Consiguientemente, To — —A.
Para calcular la energia cinetica, examinemos im cilindro de seccifin
circular de radio p, 0 < p ^ r , espesor dp y altura h. Su volumen (con
un error del orden de (dp)2) es igual a lit hp dp, y la masa dm es igual
a 2n6kp dp {fig. 9).
La velocidad lineai v de los puntos del disco que se encuentran
a una distnncia p del eje de revolution es igual a up, donde w es la
velocidad angular de! disco. Dado que el disco gira con una velocidad
de n revoluciones por segundo, tenemos u> = 2kn c"1 . Por consiguiente, v = 2nnp.
La energia cinetica del cilindro de seccion circular es aproximadamente igual a
v2 1 dTa = — dm = - w?'p2 dm = vSufhp^ dp.
Asi pass, con forme al csquema general de aplicacion de la integral obtenemos
r r
To = IT6h j « V dp 4n^Sn%h j p* dp = X$Sn2tir*.
% 9-
Tor consiguientc, A = —7'o = —iri&n1hrx. >
<) /. /vpm'iinoneH tie in inrrgroi iinnuun
1 4 8 , St: sabe i|uf dm cnrgus eloetricas de igual Higno ivpeleu con una luer/a ,
donde e\ y c2 son low valores de las cargas y r, la dlsiaiu ia mire las mismas. Determinar
el trabajo necesario para ace rear la carga — I desdr el inEim'Lo a una dislaneia il de la
carga e\.
<4 Solucion. El trabajo elemental dA es igual al producto dc? la fuerza por el desplaznmiento
elemental y por el coseno del angulo comprendido entre las direcciones de la flier/a
y del desplazamiento; dA — F cos a dr (fig. 10). En. el caso estudiado tenemos dA
F\ dr cos7r = -Fi dr — dr, puesto que Fi ~ De acuerdo con el esquema general
de la aplicacion de la integral, obtenemos
R
�
� �� rlao I I ' ^
oo
W Hjercicios
146. Una placa rectangular homogenea de lados a y fr'se divide en dos partes por una parribola
cuyo vertice coincide con uno de los vertices del rectangulo y que pasa por el vertice opueslo
a este ultimo, Hallar los centros de gravedad de las partes superior S\ e inferior del
rectangulo*
147. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de una figura homogenea limitada por In
parabola \fx + ^Jy — \fa y los ejes de coordenadas.
148. Hallar el momento estatko respecto al eje Ox de una figura homogenea limitada por Ins
graficas de las funciones % y x x2, x £ R.
149. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de una figura homogenea limitada por la gnifica
de la fundtin definida mediante la ecuacion y = ax — x4.
150. Hallar las coordenadas cartesianas del centro de gravedad de una figura homogenea limitada
por la grafica del lazo derecho de la lemniscata de Bernoulli p2 — a2 cos 2(p.
151. Hallar las coordenadas cartesianas del centro de gravedad de una parte de la espiral logaritmica
p = aev, f < (p ^ 77.
152. Dado un cono cuya base es de radio R y la altura es igual a H, Hallar el momento de inercin
de la superficie lateral del cono respecto a su eje de simetrfa.
153. Hallar la position del centro de gravedad de un cono homogeneo.
154. Los radios de las bases de un cono de section circular recto truncado son R y r , su altura
es h y su densidad es fi . ^Cual es el valor de la fuerza gravitatoria con la que actua este cono
sobre un punto material de masa rn colocado en su vertice?
155. Una gota de masa inicial M cae bajo la action de la fuerza de la gravedad y se evaporn
uniformemente perdiendo en cada segundo una masa m. ^Que trabajo efectua la fuerza de
gravedad en el intervalo de tiempo comprendido entre el inicio del movimiento y la evaporacitin
total de la gota? De spree iar la resistentia del aire,
156. Una placa triangular de base a — 0,4 m y altura ft = 0,3 m gjra alrededor de su base con una
velocidad angular constante — . Hallar la energta cinetica de la placa si su espesor es
d = 0,002 m y la placa esta fabricada de un material de densidad fi ~ 2200 kg/m3.
157. Una placa de forma triangular esta sumergida verticalmente en agua de modo que su base se
encuentra en la superficie del agua. La base de la placa es a y su altura es ft.
a) Calcular la presion del agua sobre cada uno de los lados de la placa.
b) Ĉomo variara la presion si damos la vuelta a la placa de modo que su vertice se encuentre
en la superficie del agua y la base sea paralela a la misma?
Pa
R dr
Fig. 10.
l.'apilulo'.'.. Integral tlcllniil.i
1!>H. Una Iwrra dc longilud I gira alrededor de 11110 de iillji extr d.unlit n vuoit.is por segundo,IJclurmuiiiL1 In tons ion cn el punlo do sujccion ni 1m ilcii/.idud lineal dc la barra es igual a a, Ln
fiier/a centrd'ugn QUE actda sobte una masa m que MI n HI eve pur una circunfoienda DC radio
con vciodiind angular ui es igual a mru)2.
159. Bajo la accion de una carga / un alambre de (ongitud I, tie seccion transversa! S y de modulo
de Young E, experiments un alargamlento A( igual a , Determinar el alargamiento de este
alambre bajo la acciiin de su peso si el alambre se encuentra colgado vertical men to. El peso
especifico del material es igual a /J.
160. BajO una carga de 9,8 H un alambre queda alargadn cn 0,01 in. iQu6 trabajo [ray que realizar
para alargar d alambre en 0,04 m?
161. ;Que trabajo se debe realizar para amontonar arena en tbrma de un cone con radio 1,2m y
con altura 1 m, si la densidad de la arena es igual a 2000 ea/it5?
162. De acuerdo con la ley de Joule la cantidad de calor desprendida por una corriente continua es
igual a Rci't, siendo c = 0,24 una constante; R, la resistencla; t, cl numero de scgundos e i,
la intensidad de la corriente. Hallar el calor desprendido en el caso de una corriente aiterna
i a cos bt.
163. Segun la ley de Ton icelli la velocidad con la que sale im liquids por un orificio de un recipients
es y / l y h , donde h es la profundidad del crificio respecto al nivei de la superficie del li'quido.
Determinar el tiempo requerido para que se vierta todo el agua oonienida cn tin embudo
conico con el vertice hycia abajo. El cirea dc la base del embudo es P, la altura es h y el urea
del oriticio en el vertice es v .
164. Undl indio de radio 0,15m y de altura 0,6 m esta lleno de aire a una presion de 9,8'IQ1 N/m2,
,;Qui5 irabajo hay que realizar para compriiruT isotermicamente el gas hasta que su volumert
disminuya cn dos veces?
165. Un punto material parte del punto (1,0) y se desplaza a lo largo del eje Ox de modo que su
velocidad es mimericamente igual a su posicion en la abscisa. iDonde se encoritrard el punto
10 s despu£s dc que empiece el movimiento?
§8. Integral de Stieltjes
8.1. Integral superior e integral inferior de Stieltjes.
Criterio de integrabilidod
Sean / : J —* IS, J = fa, 6], una fimcion acotada en el segmento J y a : J —)• &
una funcion no decreciente en dicho segmento. Sea fl = {u = x^ ,x„ = 6} una
particion arbitraria del segmento J . Formemos las sumas integrales superior e inferior
71—1 71-1
5H(/, a ) = A a i > ~ X ] m * A(*i>
i=0 • i-0
donde
Mi = sup {/{£)}, "ii - inf { i p ) } , Aa,- = a(Xi M ) - a f c ) ,
y definamos los niimeros siguientes
/ / da = inf {5n(/, a)}, f f da = sup {Sn(f, a)) ,
J im J {II>
tjiie reciben el nombic de integrities dc Stieltjes superior e inferior, respectivamente.
JiH. Integral de KllellJeH 10!
DefiniciAn. Si � � �� J � ���� el valor mimm de las integrales superior e inlerto
n » TH
se llama integral tic Stirltjes de la funcion / respei lo a la I urn'ion a y se designa media nl<
f(x) da(x).
a
El conjunto de todas las funciones / integrables segun Stieltjes respecto a I.)
funcion a en el segmento [a, 6], se designa mediante / E 5,(o:)[ti) 6].
De esta definicion se deduce que para a{re) = x la integral de Stieltjes coincide con
la integral de Riemann de la funcion / en el segmento J ,
En caso general, la funcion a puede ser discontinua en 0 . La funcion or se llama
funcion integrante.
Teorema (criterio de integrabilidad).
f E S(a)[at & ] ^ V e > 0 3 I I : 0 < Sn(f, ff) - 5n(/, a) < e.
8,2. Integral de Stieltjes como limite de sumas integrales
• •
Sea II una particion arbitraria del segmento Jr d(It) = max Ax^ En cadaÔ -̂ n—1
los segmentos [Xj, x ^ ] tomemos un punto arbitrario & y consideremos la suma
Snif,
i=0
que se denomina suma integral de Stieltjes.
defSe supone lim Snif, = L si
V £ > 0 3 £ > G : V I I A �
� �
� � 5 n ( / , a ) - 1 | < ��
Teorema.
1) Si para d(Il) -^0 3 lim Sn(/i ot)f entonces f £ &] y
b
hm^Snif, a) = J f(x) da{x);
a
b
2) Si / £ £(a)[a? b], or £ C[a, 6], entonces 3 lim Sji(f, a) = f f(x) da(x).
dfliHo l
Este teorema proporciona dos definiciones equivalentes de integral de Stieltjes
8*3. Propiedades fundamentals de la integral de Stieltjes
Teorema 1. Si:
1) / G S(a)[o, 6], g £ S{a)[a} b], se tiene (/ + g) £ S(a)[a, b], cf £ 5(a)[«, b\
c — const, verificdndose, ademas,
b b h b b
if + 0)0*0 da(%) = j f{x) da{x) + j g(x) da(x), j cf{x) da(x) = c j f(x) da(u:);
a a a a a
^Si a es discontinua, puede ocurrir que / 6 aunque lim Su (/, ct) no existe (v«ej. 154)
l(rf> ('.ipiluk»i2. In l i^at tli'flnldd
2) f,ii G S(a)[&, h\, /(:>:) < g(x) Vx C J , mUmr:;
h t,
J f(x) da(x}< J <;(*)<l«(xy,
a a
3) f t 5{a)[o, b] y si c. e ]a, entonces f € 5(a)[a, c| A / £ 5{a)[c, 6J. Entan«s
c & &
J fix) da(x)+ J f{x) da{af) = J f(x) da(x)-r
a c a
4) / G 5(a)[a, 6] Jf si |/{»)| < M Vx £ J , se tiene
b
| J f(x)da(x) ^ M(a(b) - a(a));
a
5) / G .5(«])[a, &] y / <~ 6], entonces / £ S(ai + »2)[«; # se verifica
b b b
J f(x)d(a3 + ac2)(x) = J f(x)da1(x) + j f{x)da?(x);
a a a
6) / £ 5(a}[ttj 6] y c es un numero positivo, resuHa que f 6 S(c«)[u, 6] y
b b
j f(x)d(ca(x))=c j f(x) da(x),
a a
Cabe senalar que para la integral de Riemann tambten resulta valida la afirmacion
inversa de 3): si f € R [is, c\y f f R [c, b], entonces f G R [ti, ft],
Por lo que se refiere a la integral de Stieltjes, notemos que, en ease general,
t b
la existenrin dc ff(x)da(x) y ff(x)da(x) no implica la existencia de ia integral
Jf(x)dc(x).a
Teorema 2. Supongamos que f G S{«)[a, 6], A -S fix) ^ B V x £ [o, ft], y <p 6
C[A, B], Consideraremos /« funcion g = <p u f : [a. b] Entonces g C S(«)la, b].
Teorema 3. Si f f 5(o)[a, b\ y g a 5(a)[a, ft], se time:
1} f9 E 5(a)[a, 6J;
2) 1/| G S(a)[a, ft] y f f(x) <ta(x)j < / \f(x)\ da(x).
a ' a
Teorema 4 ( formula de integraddn por partes). Sean f : ft] -+ E , g : [a, ft] —* fl
b b
y existe una dc las integrales de Stieltjes f f(x) dg(x) o bien f g(x) df(x). Entonces tambten
a a
exisle In otra integral y, inlands, se verifica la formula
b b
j f(x) dg(x) J M df(x).
'iH, integral de Stlelt|tf#i in/
8.4. Clawes de luiuiones integrables negun SI it'll jert
Teorema 1. Si una funcion f es continua en un uvytmmlo b\, resulta tftu
f G S(a)[a, 6].
Teorema 2. Si una funcion f es mondtona cn un segmento [a, b] y a C C [a, ft),
resulta que f G 5(a)[a, 6],
Teorema 3. Si f G R [a, b] y a satisface la condicion de Lipschitz en [tt, b\, result
que f E 5(a)[a, 6].
Sea h : J R una funcion de variacion acotada en el segmento J" = [a, b] y sea
/ : J —• R una funci6n arbitraria. Conforme al teorema 4 del § 5 la funcion h puede
representarse en J en la forma
h — a - f3t
donde a y p son funciones no decrecientes en dicho segmento.
Definicion. Tomemos, por definicion,
Q
I
b ft
f(x)dh(x)= f f(x) da(x) - f f(x) d/3(x), <l)
a a (t
si / G 5(a)[a, b]f f G S(/3)[a> 6]. En tal caso escribiremos / G 5{ft)[a,
£
Teorema 4* Si f G R [a, b], (p E R [a7 b], g(x) = + f (p(t) dt, a ^ x C (>,
yo — const, entonces f G 6] y se verifica a
f{x)dg{x)= / J{x)<p(x)dx. (2)
a a
8.5, Calculo de la integral de Stieltjes
Teorema. Sea f E C[a, b] y sea g una funcion continua a trozos en [a, b] cuyn
derivada g existe en todo punto de continuidad de la funcidn g y es integrable en dicho
segmento. Sean — a, r. 2 x*n — b Ios puntos de discontinuidad de la funcion g y dc m
derivada gl. En tal caso se verifica la formula
b
f(x)dg(x)= f f(x)g\x)dx + f{a){g(a + ty-g(a)] +
a a jii-1
+ m ( m - 9(*> - o)) + 1 ] /(«fc>(®(»i+o) - 9(4 - o))• o
k=l
8.6, Teorema del valor medio y estimacidn de la integral de Stieltjes
Teorema 1, Sean f : [a, b] R, m ^ f(x) < M Va; G [at6] y / G b). Sn
g : [a, b] -* E una funcion no decreciente en [a, b]. Entonces se verifica la formula
f(x)dg{x)^ti{g(b)-g(a)), (I
a
donde m ^ ji < M.
I(>H ('upitnlo 2, Inlcgtal defiuMa
(Mnriu. Hi f ( (J l>\, enioiicea I (_ i |<i,
^
J f(x)dg(x) = m(<l(l>) il(a)). ���
a
Teorema 2. Si f G C [a, &] y g: [a, 6) -> R es una funcion de variation acotada en
[ft. b\,es valida la estimation
bIf(x) dg(xj (3)
donde M — max \f(x)\, V(g; a, b) es la variation total de la funcion g.
149. Supongamos que a crece en {a, 6], a ^ xq < b, a es continua en el p unto x
b
fU'o) = 1 y fix) = 0 si x ̂ Xq, Demostrar que f t 5(a)[a, b\ y J f(x) da(x) =
a
< Solucidn. A parti r de la contimiidad de la funcion a en el punto xo se deduce que
V s > 0 3 < 5 > 0 : V a : E S(xQ, 6) fa(») - a(ic0)| <
Sea II una particion del segmento [a, 6] tal que rf(ll) < 6, Si el punto xq pe
un segmento [;r,, X(+i] para cierto i, 0 ^ i S ra — 1, entonces *>it(/, a) = — a
- a(xD) I a(xa) - «{£;) < e, Sn{/, «) = 0. Por consign iente,
0 ^ Su(f, a) - SMJ, a)<£ y / G S(a)[a, 6].
Dado quo A'n(/, a) — Q para cualquier particion II del segmento [a, b), ento
b
j f da = sup {Sa(f, or)} - f f(x) da(x) = 0. •
J {10 J
150. Lis funciones Pj : [—1, TJ JR, j = 1,2,3, cstan definidas del modo siguiente:
pjix) = 0 si x < 0, ftjix) = 1 si x > 0, /M0) = 0, fh(0) - 1, ft(0) =
Sea / una funcion acotada en J—1,1],
a) Demostrar que / G 5(̂ 1)1-1,1J o /(+0) = /(()), y se verifica, tambien
1
j m d p m m m .
- i
b) Formular y demostrar la proposickin analoga para fh •
c) Demostrar que / G 1,1] <-> / cs continua en el punto x = 0.
d) Sea / continua en el punto x — (J. Demostrar que
i i i
f f(x)dp1(x) = j f(x) dp2(x) = J f(x) dfUx) - /(fl).
- J - 1 - 1
J-jH. Integral deSIU*ll|«*N M l f
M Solucion, a) NmVHidud* Si / (- tf(A)I - I, 1ihiUuuvh dr animlo con la propiedad3) di
teorema 1 del p. 8.3,
i
/ € 5(A) [-1 , 0] A / € S(ft) [0,1] A J f{x) d(i{(x)
1 0 1 1
m dftt*) + j f(x) dfli(x) - Jf(x) d/i, (ar),
- l a a
a
puesto que J f(x) dfli(x) — 0.
- l I
A partir de la existencia de la integral / f(x) dfii(x) se deduce que V£ > 0 exisle
o
una particion II del segmento [0,1] tal que
0 < SU(f: A ) - Silt/, fil) <
Dado que A t e + i ) " A t e ) = 0 -si i ^ 0# y Afai ) ^ A{®o) ~ 1/ entonces
0 Snif, A) - 5n(/, A ) = "o < ^ (I)
donde es la oscilacion de la funcion / en el segmento [5% Xi] = [0T x{\. Entonces para
toda particion II* tal que d(II*) < d(II) obtenemos la desigualdad
Sn*(/, A ) - §n*</, A) = o>o < e, ���
de la cual se deduce que la funcion /, segun el criterio de Baire, es continua por la dorecha
en el punto x = 0:
/ (+0) = /(0).
Suficiencta, Sea /(+0) — /(0), es decir, la funcion / es continua por la derecha en el
punto x = 0, Entonces, Ve > 0 3 6 > 0 tal que en el intervalo ]x0j x0 + 6[ la oscilacion toj
de la funcion / satisface la desigualdad u)j < e.
Tomemos una particion arbitraria^n1 del"segm^n^-i1 i1)1xil13|ucontiatui.cl_DL|nlo
x = 0 y para la cual d(II) < 6. Obtendremos 0 ^ 5n(/7 A ) ~ 5n(/T A ) < E/ P o r consiguiente,
/ € 5(A) [-1,1]-
Dado que para cualquier particion II del segmento [—1,1] que contiene el pimlo
x — 0 se verifican las desigualdades
/ f{x)dpx{x)^Mu (3)
-1
donde m-\ = inf {/(x)}, Mi — sup{/(x)}, y lim mi — lim M\ — /(0), entonces s<
tiene
m dp, (x) - / ( o ) .
b) Razonando de una manera analoga obtenemos
1
ademas, / f(x) dA(#) — /(0)-
-1
70 C 'apituln 2. fntt>gmMM1nM<>
») bcu II unti p.irUi'ion arbitraria dol ttegmonlu | I, l| la I que til punto x -- 0
D pertofttw .1 II. Hi 0 1. Xj.i)[, se tiene ft, (/,//,) />'«</, ft) - ^j, donde es
i oscilacion de la funcion / en el segmento \xj,x} t ^ j. I'or consiguiente, (wj —1 0 para
:£U) 0) m (/( -0) - f(Q) V /(-! 0} = m V /(-()} - /((f) A /<+0) - w 3 •
Si el punto x — 0 se con tiene en la particion If y pcrtenece a iin segmento fxj ,
.memos Snif , ft) — Sn(f> ft) — + ^f 1 ) > siendo wj la oscilacion de la funcion /
n el segmento [aij,0] y w} la oscilacion de la funcion / en el segmento [0, ajj+i]. I3or
onsiguientc,
Su(f,(h)-Mf,fH)->G para d{U) - 0 o lim f(x) = /(G),
•s dcrir, la funcion / es continua en el punto a: — 0. Asi pues, (/ £ 5 ( f t ) [ - 1 , I j ) {/ es
ontinua en el punto x — 0 y se verifica, ademas,
i
j /(»)4f t (a) = /(0)).
-i
d) Si / es continua en el punto x = 0, todos los casos anleriores se cumplen
simult&neamente y, ademas,
t t i
J /(x)dfr(x)=J t(x)4(h(x)=J m m m = f m >
-1 - i -1
1 5 1 . En las condieioncs del problema 150, demostrar que ft € £ ( f t ) f - 1 , 1 ] a pesar de
rue lim A*n(ft, ft) no existe.
>1(11} >o
iolucion. La integrabilidad de ia funcion ft respecto a la funcion fij se deduce del caso a)
lei ej. 150. Tenemos
i
/32(x)d.0,(x)-.[32(Q) = f .
- l
Cualquiera que sea la particion II del segmento f 1,1] y la eleccion arbitraria de
os puntos 6 € [a?j, pi+i], i = 0, n — 1, si 0 G [x;, Xj+i\ se verifica
r •̂ s" ^ o
Suifa, ft) = Pi(Xi)) = | 0 ™ £ < 0'
Por consiguiente, lim Snfft , ft) no existe. •
^nta. L'l ejemplo analizado muestra que lo condicion <x fe C[a, 6J del teorema del p.8.2 no se puede
lespreciar.
1 5 2 . Demostrar que
3/
\\K. Integral de ,Sll<»ll|w
Soludkm. Vernon que K1 loncum integrants x i > |jr| j:r 0 r x - 3, en la difereiuia entiv
la funcion no decrut ienle x t--> [re], 0 < x ^ y [a lime ion mriente x -> x, 0 •.> x C 3.
Por lo tanto, segun In definicion de integral de Slu'ltjt'N mspedo a una funci6n integrants
de variacion acotada tenemos
x d([as] - or) — j x d[xJ j x dx.
� � �
La funcion x *-•> [x], 0 ^ x ^ 3, presenta discontinuidades de primera especie en los puntos
x = 1, x ~ 2 y 01=3, mientras que la funcion / : x ^ xf 0 ^ x < 3, es continua en todo
punto del segmento [0> 3]. Por lo tanto, conforme a la solucion del ej, 151 obtenemos
x d[x] = /(1) + /(2) + /(3) = 6,
o
Como / x dx — | finalmente queda
o
X
9 3
_ as) = 6 - | = •
o
1 5 3 . Supongamos que los puntos pi del segmento [a, 6] son tales que a — po < p} <
< * • • < Pn = ft. Sea g : ft] M una funcidn no decreciente en el segmento [a, 6] y
constante en todo intervalo pi+i[, i = 0, n - 1. Sea / : [a, b] ~• R, / 6 6]. Calcular
f(x) dg{x)
a
I Solucion* Los puntos pi son los puntos de discontinuidad de primera especie de la
funcion g. La funcion / es continua en el segmento [a, ft]. Teniendo en cuenta la solucion
del ej. 151 podemos afirmar que / e 5{t?)[a7 ft] y se verifica que
f(x) dg{x) - /(po)(fl(pb + 0) - g(p0)) +
a 1 n—1
+ £ /fa)(fo(Pi + - S(Pi)) + teiPi) - 0<Pi ~ 0))) + /<fti)(flfe.) - 9iPn - 0)) =
n-1
m { g ( a + 0) - g(a)) + f(pi)(g(pi + 0) - j f a - 0>) + f(b)(g(b) - g(b - 0)) •
• •• i r j n - ^ ^ ^ n - i ^ i — — i H V * • V 1 -
154. Sea G(x) = k{x) + g(x), a ^ a; < ft, donde h e C(1)[a, 6], ft'(a?) > 0 Va e [a, ft],
y sean g y / las funciones definidas en el ejemplo anterior. Calcular
/ dG(xl
a
172 ('iip/llllo 7. In l cg i . i l d c l i o i d a
S o l u t i o n , 1 lo quo la f n i a i o n G no d e c n r e on ol Hogmento ]«, b\ (pues, es igual a unci
soma do dos ftinciones no docrecientes on diclio segmento) , on virtud do la lor inula ( i ) dul
p. tenemos
b b h
I fix) dG(x) = j f(x) dh(x) + j f(x) dgix).
a a a
b b
Puesto que h £ , b], entonces J fix) dhix) — f fix)h\x) tlx, luego
a a
b b b
J fix) dG(x) = J f(x)h'(x)dx + J f(x) dgix),
b
donde J fix) dgix) se calcula mediaiite la formula obterrida en el ejemplo anterior. •
a
1 5 5 . Sea / G C[a,b], p t It [a, ft], pix) ^ 0 V;c fc [«, 6J, Demostrar que
b b
f fix) dP(x) = J fix)Vix)dx,
a a
x
donde Pix) = ^ p(t) dt, a^x^b.
i
Solucion. Consideraremos una particion arbitraria n del segmento [a, 6] y formemos la
suraa integral de Stieltjes de la funcion / rcspccto a la funcion P:
n-I n-1
Saif, = /«<)(P(»i+i) - %)) - /&> / dx> e f^. x<nl
i-1.1 1=0 2
Formaremos tambien la sum a integral de Riemann de lo funcion f p integrable en el
segmento [c, 6j:
B-l
1=0y examinemos lo diferencin
ii--]
Snif,P) -Sa(fp)^Yt fm(^J vix)dx-p{Si)
De acuerdo con el primer teorema del valor medio tenemos
j pix) dx = fit AXi, Wi < )ii Mi,
jib, integral m* rmriT|rn
donde mi -- inf {./>(;r)}( Mi sup Toiruiulo « roimidenuirin la estimation
|/(a?)| < Mr a ^ x ^ b, M -•= const, la desigualdad ;'(&)! donde û es la
oscilacion de la funcitin � en el segmento como la inlegrabilidad de l.i
funcion �
�
llegamos a la conclusion de que Ve > I) I��� 0:
TL1
. |.Sn(/, P) - Sii(/p)| ^ M A®*< e
i-A)
para toda particion II que satisface d{II) < 6.
�
De este modo, 3 lim Sn(/:P) = lim Sn����
��������
�� Por consiguiente,d{nHo d{nH0 a
o o
f G S(P) [a, &} y J f(x) dP(x) = J f(x)p(x) dx.
a a
n ku
156. Calcular / x
����� donde
- 2
x + 2 si x ^
= ^ 2 si - 1 < x < 0>
x2 + 3 si 0 < x ^ 2.
Solucion. La funcion 5 experimenta saltos iguales a 1 en los puntos x — - \ y x 0 y
su derivada g* es
1 si <
���� 0 si - 1 < a < 0,
2x si 0 < x ^ 2.
Aplicando la formula (1) del p. 8.5 obtenemos
xdg(x) = j xdx + 2 fx2 <te + (-1) • 1 + 0 • 1 * r l +2 0 6
-2 0
| • ' I I m ^ 1 I •• I w M ^ ^ j — | - L m ^ L H ^ ^ uu
1 5 7 . Supongamos que en un segmento [a, 6] del eje Ox estan uniformemente distribuidas
• • • — •
unas masas. Las masas estan colocadas en los puntos Xj, j — n. Hallar el momento
estatico de estas masas respecto al origen de coordenadas.
Solucion. Sea x a ^ x ^ b, la cantidad de masa en un segmento [a, x] C [a, 6].
Evidentemente, 3>(«) = 0 y la funcion 3? es no decreciente. Sea II una particion arbitraria
del segmento [a,6] en n partes. Vemos que en un segmento [a^se^i] se contiene In
masa — = A$(a;t). En particular, en el segmento (£c0t 2C1] se contiene la masn
$(aci) - $(a) ^ 0 (segun la condicion de que 3>(a) = 0). Considerando que en cada caso
la masa se encuentra colocada en el extremo derecho del segmento [a;*, x ^ ] , obtendremos
el valor aproximado del momento estatico dM de toda la masa respecto al origen dc
coordenadas
it-i
dM RS ^ a?i+i A4>(Si) = Sn(x, $),
171 tVipiUllo 2. Iitlc^itil drfinid.i
dtindc ,S'n(x, 'I') CH !,i suma iitlugml de Slielljos tie lit luiu ion x mspecto a la luncion <]>,
Pasnndo al limite para 11) —* 0 obtendrt'motf iit form u In para calcular el momento
eshitico M :
b
M = [ xd<\>{x).
Si x >-> fi(x) es la densidad lineal de la masa distribuida continuamente, entonces
*'<*) - m -
En los puntos Xjf j — I, n, la funcion $ es discontinua y en cada uno de estos
puntos su salto es igual a la masa ni j .
Aplicando la formula (1) del p. 8.5 para calcular la integral de Stieltjes obtenemos
b
M — I xfi{x) dx + ^T^ XjTJlj,
{ J=1
La formula obtenida muestra que la integral de Stieltjes permite reunir en una
formula integral diferentes casos de la distribucion continua y conccntrada de las masas.
P) E jercic ios
*
T
166. Sea / : x M sen x, tp : x i-» x2 — 3x + 5, x ^ |. Calcular J f(x) dip(x).
II
167. Sea / sea tp : x w k si < x ^ 97(G) = 0, k = T~n.
1
Calcular / f[x)d!p(x).
168. Sea / •. x ^ x, tp : x [x2], fl ^ ar ^ 5. Calcular J f(x) dip(x).
0
169. Sea / i t H ^ O ^ ^ l . y sea <p(x) = 0 si X g [<), \ [ y a: G ] 1 },<p ( j ) - 1.
i
Calcular ff(x)d<p{x).
c
i
170. Sea / -.x^x2, x ^ 1, ysea </>(x) ~ 1 si * € ]0,1[, ?(0) = <p(l) = 0. Calcular/ J
0
3 f 0 st x — -1,
171. Calcular
3 ( 0 st x — -1,
J x d<p(x), donde <p(x) — < 1 si — 1 < a: < 2,
-1 [ - 1 si
2 2 2
172. Calcular J x d<p(m), J x2 d<p(x), f (a-3 + 1) d<p(;as), donde
-2 -1
{ x + 2 si — 2 ^ a1 ^ -1 ,
2 si X < 0j
3 si 0 ^ x ^ 2,
173. Sea / una funcion de variacion acotada en el segmento (0,2ir] ysea f(2ir) — /(()). Demostrar
que el valor absoluto de cada una de las integrales
2it /1
j f(x) cos nx dx, f f(x) sen nx dx
0 a
no super* a OMM
§ 9 * C a l c u l o a p r o x i m a d o d e lais i n t e g r a l e s d e f i n i d a s
1°. Formula tie los rectangulos. Para una Iwuirtn y{x) C h\; h - b
x-i — a + ih {i - 0 , 1 , . . . , n); y{xi) = ^ se verifka la lonmila siguienle:
b
J y(x) dx ~ h (2/0 + Vi + • • • I- y/u i) -I- Un,
a
donde R n = ^ ^ y ' i O , a < f <
2°. Formula de los trapecios. Sea y = j/(®) € C i] , entonces
b
a
donde lln ~ — a ^ 7) < & y las demas notaciones son las mismas que
adoptamos en el apartado 1°,
3°. Formula de las parabolas {formula de Simpson), Sea y = y(x) £ C^fa,
Suponiendo n — 2k se puede obtener la formula de Simpson
b
J y(x) dx = | ((^0 + to) + + 3/3 + ' • • + + 2(y2 + y* + • • • 4- Vik-2)) + «
a
donde = - a ^ C O -
Nota. Si se verifica que
\\z - z\\0 ^ max ~ z{\ ^ Mhn,
donde Zi es un valor aproximado de la variable calcula do mediante una f6rmula dada, so dice
que el error de dicha formula en cierta clase de funciones es de n-esimo orden (M > 0 cs mtn
constante independiente de h),
De este modo, la f6rmula de los rectangulos tiene error de primer orden en la clase
y € b], la formula de Jos trapecios tiene un error de segundo orden en la clase y 6 C^fa, b\f
y el error de la formula de las parabolas en la clase y € 6] es de cuarto orden.
A menudo, en vez de la norma || - (|<j se consideran otras normas especiales que se eligen
a partir del tipo de problemas a resolver. A continuacion, vamos a denominar al segmento |aT t>\
con puntos marcados act- — a ih (z — 0 ,1 , . , . . u) red uniforms con un parametro de la red h ; Io
puntos Xi se denominan nodos de la red.
1 ^ -I I • • • ™ •! . . . • • ^ ^ l a * !• ' 1 1 . Ml ' II I M - " M . ^ - J l l • • , " , , , ' , , " , — L - ^ " • • • •
158. Aplicando la formula de los rectangulos (n — 12) calcular aproximadamentt
2?r
I — f x sen x dx y comparar el resultado con la solucion exacta,
0
Solucion. Consideraremos una red uniforme con el parametro de la red h ~ en 1
segmento [0, 271*]. Entonces Xi - (i — 0 , 1 , 2 , . . . , 12). De acuerdo con la formula de It
rectangulos tenemos
I7(> Capituk>2 integral iti'llnldft
|| || JI
/' . it \ •> .x ir'1' . iff n' /\ ^ . V/ a: sen a; </a: > i sen »-•••— > » Hell > cos tx l
ii ; ' >-0 ' 1 r.^1
7T3 / cos 6a; - sen y i V f̂2 / (fi son to • sen '2'- - y cos y 2 • cos 6a;) sen |
" ""36 V sen f J m ~ 36 \ ' sen2 j
I c o s f cos bx sen y * \ | 2 ( 1 1... ^ I T cos ĵ TT sen
3f
n sen f|ir)
sen2 f 36 sen2 JF12
7T2 11 cos ~ sen g 4- cos - sen — 12 12 — T * g
7T + \/3) ta
72 sen2 § — T * g 12
+ \/3) ta .,2961
(hcmos tornado ir ™ 3,14; i/3 fs 1,73), El valor exacto de la integral es I = 2w =
- 6 , 2 8 . . . . *
1 5 9 . Mediante la formula de los trapecios calcular la integral
1 - 1 i/1 - ^ sen2 .i; da: (« = 6)
o
y estimar el error de la f6rmula.
Soluci6n. En el segmento [0, f ] construyamos una reel uniforms; con el parametro de la
red h = {a:,- — i f,,-; i — 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . A partir de la formula de los trapecios,
'-zi^+mtiF^i)=u^^tf*^) -
_ w (2 + V3 1 / y/l4 + y/3 Vl5 * , V3V\ _
" 24 \ 2 V5 ' ' v 5 J J "
3 142 3 142 • 22 422
S3 ^ g f (3,732 + 3,966 + 3,873 + 3,742 + 3,606 i 3,503) i i - ' »1,4677.
Estimemos el error de la formula dc los trapecios. Para ello, estimemos Rn.
Evidentcmentc, |i?fl| < max
En nuestro caso, max^ j ̂ y^l - i sen2 x ^ j ^
Asi pues, ^ v W b n < 0,002. •
1 6 0 . Con la ayuda de la formula de Simpson calcular la integral
i'-/if?{k-z)-
( rtkulo .ipmxirmido de L Initial™ UHlnlfLi* i . / *•
< Solucion. Dividiemlo rl negmento |(), 1| en cuatro ptiilcu igunles {h ') r segun la io
dc Simpson tenemos / re ̂(Oyu f?A) + 4(z/, 2y}) ra •,(,(! I 0,5-1 3,76471 I 2,56-l-••
0,78539. •
~ • • ^
161. Tomando n = 10 calcular la constante de Catalan
G = I ^^dx.
\
X
0
< Solucion. Construyamos una red uniforme con el parametro de la red ft ~ 0fl {xi
i — 0,1, - -., 10} y calculemos aproximadamente G aplicando la formula de Simpso
G = + + + VS + V 7 + V ^ + +3/4 +1/6 + Jfe))-
Calculando los valores correspondientes con un error del orden de 10 obtenemos yo
3/io - 0,78540; yQ + y1Q = 1,78540; Vl = 0,99668; y3 - 0,97152; y5 - 0,92730; y7 - f
t/9 = 0,81424; 4(yi + jfe + ys + y? + Sfc) = 4 * 4,58220 - 18,32880; y2 = 0,98698; yA
y6 = 0,90070; y& = 0,84343; 2(»2 + 3/4 + 2/6 + 2/a) = 2 - 3,68238 = 7,36476. Sustituyvalores calculados hallamos
G « 1.78540 -f 18,32880 + 7,36476 = ^ ^
I III) ••
162. Utilizando la formula — = I z ^ calcular el mimero tt con un error de 14 J l + x2
o
l
Solucion. En el ej. 160 ya hemes calculado la integral / ,̂- mediante la formula d
™ I rr 0
Simpson/ tomando fe — 2. Estimemos el error de la formula. Dado que (v. ej. 77 del ca
1 r~2 ^ r sen ((Ti + 1 ) arctg a: j ,
l + x ' (1 + x^p'
entonces | 'S 4! para x 6 [0,1], por consiguiente,
Utilizando el resultadodel ej. 160 hallamos fl* & 4 * 0,78539 = 3,14156. Comparando
resultado obtenido con el valor de la tabla 7r = 3,141592 .., vemos que las cuatro pri
cifras decimales son correctas. •
163. Calcular I e dx con un error de 0,001.
o
I7S ' ('apitutn 2. Integral ilfllnid.i 9
< Soluddn. ('alt ulcnios ILI integral por in Mrmu/n do Simpson. Dado que |(tx )<4)| 22# £
para a: t [0,11, el prtfii metro de la red se elige a partir de la eondid6n (cstimando el error
de la formula de las parabolas) h* < KK-II )
Oividiendo el segmento [0,1] en 10 partes iguales obtenemos
j
/ " 30
e'1 dx w rjr ({?/o + Vie) I 4(ifi + ^ + 2/5 + Z/7 + 39) + 2(yz + m + & -f ys)).
o
Caleulemos los valores de la funcion e* en los nodos de la red con un error de lO"*'1 (se puede
utilizar, por ejempio, la formula de Taylor). Tenemos y0 = 1, i/i0 kj 2,71828, y\ 1,01004,
y3 ra 1,09417, y5 ra 1,28733, y7 ~ 1,63230, y9 as 2,24789, y2 Ptf 1,04081, ?/4 1,17351, 1
•yt fS 1,43332, ys v 1,89648, ya + yw ftJ 3,71828; 4(>n + y3 -1 y5 + i/7 4 - 7,27173 =
29,08692; 2(yz + ffil) 5,54412 = 11,08824;
vj 1 4*1 SCMl
~ M ( 3 , 7 1 8 Z 8 1 2 9 , 0 8 6 9 2 + 11,08824) = — - 1,4631 L
o
Asi pues, hemns obtenido un resultado con Ires cifras decimales exactas. >
l
1 6 4 . Calcular (e* - l ) In ^ dx con un error de 10"4.
o
< Solucion. Para X —» 0 se tiene (ex - 1) In i —• 0, por tanto la integral de Riemann existe.
La cx presion para la derivada del integrando de cuarto orden tiene forma muy compticada,
por eso es difieil estimaria. Es mas, ya la derivada primera del integrando no esta acotada
en [0, 1). En principio, podemos Utilizar la formula de Simpson, pero no podemos estimar
el error, Por cllo, desarrolkmos la funcion 1 - ex en scrie dc potencias de a; segun la
formula de Taylor:
donde R(x) — 0 < c < 1. Escribiremos el integrando en la forma
f(x)= ( l - ex) In a:
y designemos mediante f ( x ) ' a funcion
, , i f t x2 , X* , x* x5 x° \
m = + T + 120 720
InObviamente, f(x) — tp(x) + R.j(a;), donde Ri{x) — In xR{x). Estimemos li?j(at)| — .„
para x £ [0,1]. Dado que lim x7 In x = 0; In 1 = 0, la funcion \z\ — \x7 In x\ alcanza
X •!)
su maximo absoluto en un punto interior del segmento [0,1[. Derivando z(x) obtenemos
z'(x) - x6 + 7 x 6 In a;. Igualando a cero z'(x) vemos que cn cl punto x - e~* la funcion
| z{x)\ alcanza su extreme absoluto igual a
max ]z(x)\ —
- h "
1
7 c
('.ilciilu ..j.K.xii.uuio de In* liilcnrnlfN tlofJ»iUI.»h
Como \lt(x)\ • |>'"<l « G I" . ' I , oblenenu,. Li esli.n..n6n |/<*)
JRi (as) | < ~j:fr Do este iiuulo,
1 < 1.0 "
/(a) - <p(x)) dx ^ J \f(x) - 'te < 77
0 0
funcion <p(x) el error no superara a 10 .
Integrando por partes la funcion ip{x) tenemos
f(x) dx * (p{x) dx = i>{x) In® 0 + J ^ 2 + T 24 ^ 120 720 7! /
0 0 0 1 1 1 1 , 1
4 + 18 + 96 + 600 6 • 6! "h 7 • 7!J
donde
2 „4 J>
# c ) = - h r + T + ^ + 120 + 720 7 < r ^ 102 6 24 120
Hallamos con un error de 10
1 1
1 = 0,250000; i g = 0,055556; 1 = 0,010417; ^ = 0,001667; ^ 0,00023 i;
l
(1 - ex) In x dx w 0,250000 + 0,055556 + 0,010417 +
o + 0,001667 + 0,000231 = 0,317871 « 0,3179. •
����
1 6 5 . Calcular la integral de probabilidades I = j e * dx con un error de 0,001.
0
4 Solucion. La integral converge, por eso Vs > 0 3 > 0 tal que para A * Ax
+00
Xe dx < e.
Si conocemos A\, podemos escribir para A > A\\
A +00
-x
I= e"*a dx + R, donde R = e dx.
o A
Tomemos s = 10"3 e intentemos determinar un A apropiado para el cual el segmento
M pueda ser de longitud lo suMentemente pequena. Lo mas faal es hacer lo sxgmcnte.
sea 1 tal que ^ < e, entonces tambien la integral J e^ dx < e. Por lo tanto,
�
I Hi) Cnpflulu 2. InU-gr.il d» Hnlda
11\> it 11
f i
I)
A i+1
donde A < £ < A + 1 (segun el teorema del valor medio).
LEI desigualdad ob ten id a equivale a la desigunldad
i-v> Mm ii 11
< j a x ' dx - J e dx j v. *' dx = a ? < e,
t>
Tomando £ = 10" obtenemos
fl-
£ > Vln 1000 ps V^907755 ^ 2,628.
Por eso, podemos tomar A = 2,6.
Se pued e ob tenor una estimation mas fin a para A. Supongamos que se tiene un A
tal que
+ 00
/ j = I e~x dx < e.
A
dtReaHzando el cambio x2 — t (da: = obtenemos
-TOO -f-OO J
2 A
A1 A>
A partir de la condidon < £ hallamos Ae'* > In A + A2 > In do donde
A > y* In ™ — In jI. Dado que se debe cumplir A > 2 para e = 10-ii, en la expresion
sob radical podemos tomar In 2 en vez de In A:
A > vVlOOO — 2 in 2 sf ^6,90775 ~ 1,38628 - i/5,52147 = 2,35,
De este modo, para, por ejemplo, A ~ 2,-1, podemos estribir
+00 2,4
0 < J e d x - J dx < 1 0 " 3 .
u o
Ahora el problema se reduce al calculo de la integral
0
con un error de ID-3.
Notemos que en este ejemplo podrtamos proceder de modo igual al problema
anterior 164, es detir, aproximar la fund6n e~x mediante un polinomio. No obstante, en
virtud de que cl segmento dc integracion es de longitud 2,4 y las potencias de {2,4)" crecen
bas [ante rapido, deberiamos calcular mas de 15 term (no s del desarrollo en serie de Taylor
nam enrantizar la credsion neeesaria.
Calculomus la intrgrat / mediante (a I'rtrmula i\v Simpson. I Vlenninemow }/ '
de la funci6n y r . Dado que y^ - 4y (3 \2x* I 4,r1), st? tiene ;f/l)(tf)| ;
4(3 - 12 * 5,76 + 4 • 33,1776), z 6 [0; 2,4], pues V' ^ I y la funcion - 3 - I2x'?- I 4xA
crece monotonamente para x > De este modo, jy/^O''')) ^ 4-66,5904 ~ 266,3616,
0 < x ^ 2,4. Estimando el error R de la formula de Simpson
obtenemos en el caso considerado
^ 2,4 - 266,3616^4 w 3 ; 5 5 1 4 8 ^
XoU
A partir de la condicion |iZj < 10 3 hallamos
Para obtener el error deseado podemos tomar h — 0/L
Consideremos una red en el segmento [0; 2,4]: = {Xi = 0,li; i = 0 , 1 , . . . , 24}.
Para asegurar la precision exigida, calcularemos los valores del integrando en los nodos
de la red con una exactitud de hasta la quinta cifra decimal inclusive. Tenemos -- 1;
~ 0,00315; yx « 0,99005; y2 & 0,96079; y3 as 0,91393; yA a? 0,85214; y5 as 0,77880;
fts 0,69768; y7 s» 0,61263; » 0,52729; y9 Pa 0,44486; y10 « 0,36788; yn « 0,29820;
« 0,23693; jfoj pa 0,18452; « 0,14086; yls w 0,10540; w 0,07731; j/i? RJ 0,05558;
Pis « 0,03916; « 0,02705; ^o » 0,01832; */2i s» 0,01216; y21 fts 0,00791; 2/23 - 0,00504;
+ 2/24 & 1,00315;
•
12 11
4 3/2j_I - 4 ' 4,42822 = 17,71288; 2 Sfej 2 • 3,92627 = 7,85254;
12 11
/ « ^ ( » + 2/24 + 4 y2j-i 4- 2 £ Ky) « a 0,8856.
j - i j - i
Examinemos el valor exacto I = ~ — 0,8862, . , , asi como el error R ~ I - J
0.0006 = 6 • 10"4, Vemos
que el error obtenido resulta menor que el error indicado en las
condiciones del problems. •
• I • M L " • | • . ~ — , ,
166. Hallar aproximadamente la longitud de la elipse con ejes a = 10 y b = 6,
< Solucion. Las ecuaciones parametricas de la elipse son x = 10 cos f, y = 6sen£,
0 < i < 27T, y la longitud de su arco es
7T -rr
£ = 4
.
J W L — L ^ ' 1 — • I I . J
V 100 cos2 £ + 36 sen2 tdt — S / Vl7 + 8 cos 2x dx
0 0
v iijiiuuoji, inu'Hriii ueinmi.i
('aii/i lien ins l.i [jliteral mrdianlo la formula ill- Simpson, dividicndo Cl segmento [0, |J l*h
6 park's igualea (it ) . Gileuliiremoji kis valorew del integrando en los nodos de la red
wh te {ih; t - 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}:
ya = 5; i/6=3; yx = \j17 + 4V5 ftf ^23,928 « 4,892; jfa = \ZT7 + 4 = V21as 4,583;
=-v/17 » 4,123; jf4 = A/17 "̂ 4 = y/l3 k 3,606; ys = \/l7 - 4v^ « ^10,072 « 3,174;
+ Jte = 8; 4 (th 4-J/3 + Jfe)~ 48,756; 2 {jfe + y4) S316,378.
Sustituyendo los valores obtenidos cn la formula de las parabolas hallamos
J/*s 8 + 48,756 + 16,378) - RJ 51,056. •
v y
167. Construir la grafica dc la funcion y = j '—— dt (0 ^ x ^ 2jt) calculando para ello
0 jrel valor de la misma en un conjunto de puntos; tomese Ax = —.
< Soluci6n. Consideremos la red = = y ; i = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . Los valores de la
funcion y(x) en ios nodos de la red son;
W FTR 3 S "S
sen x I sen x f sen x
— - dx; J/2 = / da:; Jfe = / —jjj— dx;0 0 0
w » T T
1/4 /
sen a , / sen x . f sen x .
~<tx; y ^ j — d x ; y6 = j — - dx.
Asi pucs, el problema se reduce al calculo aproximado de seis integrates.
En el segmento [0,2vr]consideremos la red Cuh ~ {a;; — i — 0 , 1 , . , . , 2 4 } ;
obviamente, los nodos de la red Wh son nodos dt; la red d v Calculemos las integrales
mediante la formula de Simpson. Calculando los valores de la funcion de argumento
discrete yt = ^ ^ en los nodos de la red Sih obtenemos §0 = lim ^ ^ = « 0,2618;
* i - >0 * Lt
f?j fa 0,2590; y7 = 0,25; y3 as 0,2359; y4 « 0,2165; y5 ftf 0,1932; yb ~ 0,1666; y7 w 0,1380;
& w 0,1083; ft » 0,0785; j/io = 0,05; » 0,0235; §12 - 0; « -0,0199; ft* » -0,0337;
$15 fa -0,0471; #i6 f» -0,0541; jfi/ r; -0,0568; §J S SS -0,0555; y19 fii -0,0508; ym &
-0,0433; y-u «* -0,0336; $22 » -0,0227; y n Sf -0,0112; jfe4 = 0.
Evidentemente,
1 2 9579
Si W 3 (yo + j?4 + 4(Si + fei + 2fc) = — « 0,9860;
4 3
+ & + SftJfe-i + 2 £ fct) = « 1,6469;3/2
!te1 I ( m + V 1 2 + 4 J 2 i b - 1 + 2 y ; S i t ) = R; 1.8523;
fi'f. i illrino .ipmximado ue iniPf̂ rnirr* ni l II F
V\
K /
4 > i/9JL.
cy 1
3
i i v\u \ * 2-J -j2k•••'
10
(ya + §20 + 4 fcfc-1 + 2 ii™)
Ste
jt=i
12
Jb I
11
|.(»o + m + 4 vik . . ^
k=r k=i
Para x £ JO, [ se tiene y\x) > 0, para x £ ]?r, 2 [
se tiene < 0; / ( a ) < 0 si x £ ]0, y [. De
este modo, en el intervalo ]0,7r[ y(x) crece y en el
intervalo decrece; en elintervalo ]0, y [ la
funcion y(x) es convexa. La grafica de la funcion
estti presentada en la fig, 11, •
Ejercicios
10
t:j, I (W
3
, 7212;
4,5247
3
1,5082;
4,2568
3
/ • v
j ^ y 1,4189.
Fig. 11.
<•,.. j i i n . . . . . ^
174. Calcular In 10 = J ~ utilizando la regla de Simpson para n — 10. Hallar el coefteicnte M i k
o
paso de los logaritmos naturales a los decimates. Comparar el resultado obtenido con el valoi
que aparece en las tablas.
i
F
Respuestas
C a p i t u l o 1
- - 4a?. 2. arctg(# + 2). 3. f arctg (x + . 4. ln(a2 cos2 a;
b1 sen2 x). 5. ± ln(x2+4as+9). 6. tg §, a: ^ 7r+2&7r. 7. ^ arctg(a:2"). 8. ^ In
X , IT ̂ I . _ / kir
a*11--1
1 tg3x, a: ^ f + fc7i\ 12,3 o 7 / 2
x £ 0. 16. 5 In3 x, x > 0.
sen 2x ^ft
3
sen x + | sen3 x. 13. I c - *2 14.
�
��
��
l+ln2* 15.
jp̂ 1 11
��� �� ���
I
— • i
17. 2\/]nx, x > 1. 18. - tg a? + x, x ^ J + Attt.
19. § 20. + 1)K
3 . ~ , 2
4 . , ^ . \y/{x2 + 22. |lnjo;3 + §a;2 + 3aH I
23. In | a? + 1 + V2 + 2x + x2\, 24. +
I®1A , . /-I , , it 1 „i„r_i . V^ 1„ U 1\"
lap) '
25- H + [ a ] + ( l - I ) + - . . + ( l - X ) A ) . 26. arln[®]+^ In ( l — . 27. a
re—2
£
3i—1
1 In2 i±?-2 111 a 29. | ln3(l - x*), \x\ < 1. 30. - (a? + 1) ' .
31.
35.
-2~5x2
15VV+1)5 ' 3 2 . | I n . 3 3 . | a r c t g ^ . 34 1 a r c t g + 1 )
IT sgn x
X'
X Isi -00 < x < 1; cc — SI
36, (~l)n(x
donde n - ar+jr"
( - I ) " ) , donde n - [
1 ^ x < 1;
2x+x
z-
3
4 +00.
i )
21 40.
L 2tt
1
38. + La
2tt
39.
37. 51® — 27i7r[(a? 2rar) + TiTT2 ,
1 (x + l)23 - ±(a? + l)22 + 1 . • 23
s +
1
{x+9f ' 41
21
> ft. 42. -(ar a2) 2
x\ > a. 43*
Ac J_ f ft
fl4 V v ^ ^
a?
x
\x\ > a. 44,
46. ~{Va1 ~ x2)3 + a1 yftt?
Vx2—0? (v;rr— > a.
r w . "-1
ar a3 lnj a+Va-x
\x\ < a. 47. - ^ ^ < ft. 48. e
1
St 49. 2 arc sen £ +1(® - 2)V4~= ®
I*
1
5x2
56.
59,
50. In XC 51*]n(xVx2 -hi + Va?4 + x2 +1)•
£2 ^ 2
CT 1 a^+^+l
2 ill . 53 . i
1 - a r c t s h • 54.
X In or 16 X > 0. 5 5 . {3x x ^ x
a; ctg x — In | sen x|. 57. 2x cos x + (x2 - 2) sen x.
3 sen x cos x x _ 3 cos x k. x
*x 8sen4x 8 m 1l§ 2 4 sen 60.
sen x
• • I . . . — • —
4 cos4 x
x
: + 8cos^ x
~ tg4 x+ \ tg2 x+\n | cos x[. 62, x arcsen |+V4 - x1, |a;|
6) sen x - (x3 — 6x) cos x,
x sgn(2ir) _ coa(2x)
4 8 1
• 61. � ��� x -
5 8 . \
+ SH%(! + f)
63. l2xz arcsen a?
\x\ ^ 1. 64. f arctgx - f + | ln(l + z2). 65. - i arctg J - ^ In x ^ 0.
66.
69.
• • • ̂^̂2
a2+4
arctg a? + f . 67. arctg a; + | arctg a? + 68.
(a cos2 a; + 2 sen a? cos x + 2 ) . 70. -
a2 + a In a: I
ar > 0 . 72 . \ I n 2 x g in 3J "I" 27 , a; > 0 .
a;
73.
, x > 0. x *
In2 X 2 In &
a;
71. xhrx-2x lna: + 2a;y
X 5: 74. x ln(a; 4
Va1 + a?2) - Va2 + x2. 75. ^ ln(® + Va?2 - a2) 9
_ u • • • • • • • 76. a; ch a; — sh ^,
[ fift Kl>H|HII'NtllN
77. ' Y ' 78, I f>x) sli J: (3aT | o)« ltx. 79. x • y/\ - mcscnifc
80, ( Y ;'Vl r J a i r a i u : # a r e W sir I 2x I \/l • i * \x\ ̂ 1. 8t. f=fe®,
X •/• -2. 82. ( ( ) Kin X - COB x) ex. 83. x arctg x ~ In V l h x1 - | arctg2 x.
g4 L^'.JJ} .. . .* !_. gc aj s l „ • ) u t j ^ n x + \ Qt t .4.
• * »7- j J H f ? ® x2 * 3.
• 2 ^ - raSs- 89- 1 + ? ! » • ® - . i C T ' * * 1*1 "
u + 1 > + m + 4> - 24WAV x * (J- 9 L I a r c t s - 1 1 1 1 3,2 / % 2 -
^rr • ^ (toda la integral). 97. 2 In | y f r + 1 - 1 { f ^ p - j j g ^ : x ,6 0,
as > - I . 98. \ a ictg(fH)*, x # --2. 99. 4 v / ^ T 2 - T -2<Jl arctg x > - 1 .
100. In M L farcsenx -- |z| < % 102. 2 ( ® 3 + l ) x
+ + 103. ^ I n l ^ H ^ I - w ^ -
* ^ I f 3 + I ^ ^ A - t g f g j - J In +
^ 1. 106. In ( " ' " ' f f i f t ) • 107. dondet = y ^ , a / 0. 108. f
x2 0. 109. - i c t g ( x + ±)-±ctg3(x + i). 110. f In jtg ( | + §)| +
\x — cos x), St
COS t
| arctgfsen x - cos x), sen a; ^ - cos x. 111. In |tg || + arctg
In-1 vTSTz-^axt ' ' — I ' s e n m " ^ + s k ™ •
^ ^ S + i H - i - g B J * ^ * 115.arcsen x
(sen x - cos x). 116. § + | In |4 cos x + 3 sen si. 117. . 118. - ^ + a
x / 0. 119. | th f - | th3 f . 120. ^ + | arctg (sh x). 121. ^ + ^ +
1 2 2 . ^ - f 123. e W ^ W l i ^ * " 1 ' ) , ^ 1,2. 124. +
^ a r c f S 1 2 S " > 0. 126. cos2x > 0. 127. arctg ^ -> v'cos Ix-cos x 128. arctg Vcos 2x ~ Vcoslx. 129. x tg 130. i*2l\ X—XZQSZ 2" x sen x4cos z "
1 3 2 . ^ t g ( | - f ) , ^ - f + „ x . » e z . m - t g | + I n | t s ( | + f ) |
134. SB*y x > 0. 135. - e " * arcsen «* - ln(l + v T ^ e2:() + a:, - 0 0 < x < 0.
136. — a r c t g e^ - arctg2 (e^) +»,-- ln(l +e*). 137. ] ( j l + x|( l + « ) + (! - aj)|l-a;|).
138. y/l-xy/i, D ^ K L 139. - ^ in . 1 4 0 . h V ^ W +
Ix] — fr] ^1
E In 0 + (1 - D ' * > i- m l ^ + E i « > 0.
11=1 n=T
Kl'MplK'ttUlH
CapfUiIn 2
l i r *
1. 136, 2. 3. 4. 1. 85,5. (>. W>. 7, J . 8. 4r l.3 UtJ ' 4 J
17. - / » ) . 18. 37,5 • 150,2" - i(1,3'1 i 2'1 | . f | +- 1504). 19. ^ I
5 + ? + + 20.1n 21.74^74,2-{V5+V4+ hV94)-2v%3".
22. 0,92 + ^ + i + 0,22. 23. 228fi, 24. 25. 8 + 2 ^ * .
2 6 ' 4 + 1® • Z Z 4 " 2 8 ' T5 ~ 3 x 2 + 2 4 - 2 9 ' 2 i rS - 1 - 3 0- 0 s i l°l < !r
2T i_, ^ 1 2ch*? 5T , I Â :>si |a| - 1; — si |«1>1. 31. 4n. 32. 1+J[i . _ 9VS , 9 s . —
(2n+DI2ch ^ , 2jn2 2x . ( f t . ) ! *
(mJ+l1)(mJ+3I)...(n»IH-(2n+iy)' ' 8 ' TS^F' 1 1 4o363 ' 23"(h!)' "
40. . 41. ® = 2. 42. 2In2. 43. max f(x) = /(1), nun /(i) = / ( - i ) .
2_
II44. /mta = /(l) = - g ; puntos de inflexion: ( 2 , - 1 ) , ( f , - ^ ) . 47. 2 + In
48. Para a = e. 59. / < 0. 60. h > I2. 61.1 . 62. /(0)ln|. 63. Q In |
- +21n —t^— * —
1 a r c t 2 1 . l^J+^L) 6 4 f 2 v W 231
4 § 3 7 ' 2 1I2'3"WJ- 1 ^ ( 6 4 - (32 + 4 . + V i ^ F ) |(1 - In 2)
65. ( a u a 2 ) , donde = 2 - f i n 2 + f - + § arctg 2 - \ - J , a2 -
(In4)In f + | In | + f arctg2 - £ + 66. § + ln(l + y/l) - e"1 - 67.
^ • T f c - 6 9 . f ( v ^ - l ) . 70. f(f>-«)(a+3&). 7 1 . ^ . 7 2 . ^ .
7 4 . . 75. . 76. /i = J2 = - f In 2. 77. Converge.
78. Diverge. 79* Diverge, 80. Diverge. 81* Converge. 82, Diverge. 83. Diverge,
84. Converge absolutamente para n > 1; para n i j 1 diverge. 85* Converge. 86. Con-
verge. 97. In t^IEE m 98* 99.0. 103. a) 4; b) 4, 104. V([t] -t; 0, x) ^
v + p(x) = [as], = x, 0 ^ x ^ 2. 105. 1 -f | In 106, a sh 107. a In * .
108* 6a. 109* f (2 + 110* i0Va2 + b2. 111. + 112. + z{).
113. x0 + z0. 114. ^ ln(l + Vl) + a. 116* fxa2. 117* W2. 118. |{a2 + 62).
119* |(40 — 37r)a2, 120* 121* 0,L 122. f . 123* a r c s e n ^ , 124. El
2 2
area de la figura limitada por un bucle es igual a 125. y lntg +
126. (7r + \)a2. 127. g . 128. 8 L j l + - arctg J\ + ^ ) . 129. 4a6arctg
130. £ . 131. ln(l - - ( | + ab(4a + 6)). 132. Vi = a3((2fc2 - 6fc + 5)tu -
i(2k2 -13fc + 15)v/2Ar - fc2 ) . % = ffa3 ((2fe2 - 6k+5)( - f0) + |(2Jfe2 - 13fe + 15)V2fc - k2 ),
donde f0 = arccos(l - fc). 133.7r2a3. 134. gTra3. 135. 2?ra3(sen a - a cos a - -r<).
136. 137. f ^ . 138. i r 2 a 3 ^ . 139. 140. 141.
142. ~a2Vab. 143. ^ ( c ^ - e ~ « + 4 j ) . 144. |r3ctga((2 + c os V ) s e n ^ - 3 v c o s ( ^ ) .
145. 8(2 - V^)r3. 146. ( f , f ) y f ) . 147. ( f , f ) . 148. f + f . 149. 0).
150. 0). 151. ( •-f • , f • g j f ) . 152. donde M eS la masa
de la superficie lateral del cono. 153. A una cuarta parte de la altura (partiendo de la
I UK Ut'N|>IH>H|<tN
Iwsii). 154. 7nfin}th(1 Jir^TJ?)' d»ndt* T <•'<*'<> fMBsfcinli! jjravitatoria. 155. '—r
156. f» 0,41J05J* 157. a) b) dos vixm 158. 2*VfV. 159. 160. 0,785 J
161. 2264,4JT J. 162. - f ^ + ^ S P ) . 163* L64- 2̂4,35JT In 2 j. 165. £ = e •j . JDJ, — ^ . I lit. J III £ J. 1DJ. it —
166. -1. 167. 168. £ Vk. 169. 170. -1. 171. -5. 172. f ; f; ^
Jfĉ T
174. in 1® ftf 2,31; M = ~ » 0,433.
Indice
Capltulo 1. Integral indefinida
§ 1. Integrates indefinidas inmediatas 3
§ 2. Integration de funciones racionales 24
§ 3. Integration de funciones irracionales 30
§ 4. Integration de funciones trigonornetricas 49
§ 5. Integration de funciones trascendentes 55
§ 6. Ejemplos varios de la integration de funciones 58
§7. Integration de funciones vectoriales y de matrices funcionales 61
Capltulo 2, Integral definida
§ 1. Integral de Riemann 64
g 2* Teoremas y formulas fundamentals del calculo integral 77
§ 3. Integration de funciones vectoriales, de funciones de valores
complejos y de matrices funcionales 110
§4. Integrates impropias 117
§5. Funciones de variation acotada 135
§ 6. Aplicaciones de la integral definida a la resolution
de problemas geornetricos 139
g 7* Esquema general de la aplicacion de la integral definida.
Ejerrplos de mecanica y de fxsica 159
§ 8. Integral de Stieltjes 164
§9. Calculo aproximado de las integrates definidas 175
Respuestas 185
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