Resolución de los 5 problemas de álgebra

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GRUPO DE ESTUDIO “REYNAGA” 
 
 
Mg. Oscar Reynaga Alarcón Página | 1 
 
 
GRUPO DE ESTUDIO 
“REYNAGA” 
 
40 AÑOS DE SERVICIOS ACADÉMICOS 
Jr. Crl. I. Suárez 381 Urb. Huaquillay. Comas. Lima 
Director Mg. OSCAR REYNAGA ALARCÓN 
Móvil: 959 400 065 
 
EFICIENCIA, PUNTUALIDAD Y ALTA CALIDAD 
(Personalizado-Exclusivo) 
Estimados amigos 
 
Resolución de los cinco problemas de Álgebra del Primer 
Examen Parcial del CEPREUNI 2022-2 
Domingo 01 de mayo 
Problema 1. 
Indique cuántas de las siguientes proposiciones 
son verdaderas, donde A, B y C son conjuntos 
de números reales. 
 
I. [−1; 1]𝑐𝑐 ∩ [−2; 2]𝑐𝑐 = [−2;−1⟩ ∪ ⟨1; 2] 
II. 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 
III. 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 =  ⟶ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝑐𝑐 
IV. 〈−3; 1⟩ △ 〈0; 2⟩ = ⟨−3; 0] ∪ [1; 2⟩ 
Donde △ es la diferencia simétrica. 
 
A) 0 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
 
Problema 2. 
Sea 𝛾𝛾 ∈ , se define: 
 
𝐶𝐶𝛾𝛾 = {(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) | 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 40, 𝑦𝑦 ≤ 𝛾𝛾}. 
 
Determine el conjunto 𝐶𝐶𝛾𝛾 respectivamente 
para 𝛾𝛾 = 20 y 𝛾𝛾 = 4. 
 
A) y ∅ 
 
B) y {(6; 4)} 
 
C) y {(0; 4)} 
 
D) y {(4; 6)} 
 
E) y {(6; 4)} 
 
Problema 3. 
Determine la región del plano donde 
 
𝐻𝐻(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦2, 
 
es estrictamente positiva. 
 
A) 2 
B) 2 excepto los ejes 
C) 2| 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0 
D) 2 − {(0; 0)} 
E) 2| 𝑥𝑥 > 0, 𝑦𝑦 > 0 
 
Problema 4. 
Sea la inecuación 
 
𝑥𝑥2 − (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 ≤ 0. 
 
Determine el conjunto solución, donde 𝑚𝑚 > 1. 
 
A) ∅ B) − C) + 
D)  − {𝑚𝑚 − 1} E)  
 
 
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𝑦𝑦
𝑥𝑥
20 
2 10 
(6;4) 
Problema 5. 
Sea el conjunto 
 
𝑆𝑆 = �(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ∈ 2| 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 o 𝑦𝑦 ≤ −𝑥𝑥�. 
 
Señale la alternativa correcta luego de 
determinar si la proposición es verdadera (V) 
o falsa (F). 
 
I. El punto (2; 0) ∈ 𝑆𝑆 
II. 𝑆𝑆 = 2 
III. El segmento con extremos (8;−8) y 
(0;−3) está contenido en 𝑆𝑆. 
 
A) FVV B) VFF C) VFV 
D) VVF E) FFF 
 
Resolución 
Problema 1. 
I. FALSA. Prueba. Por una Ley de Morgan [−1; 1]c ∩ [−2; 2]c = ([−1; 1] ∪ [−2; 2])c =
[−2; 2]c, y sabemos que [−2; 2]c = 〈−∞;−2⟩ ∪ 〈2;+∞⟩ ≠ [−2;−1⟩ ∪ ⟨1; 2]. ∎ 
 
II. VERDADERA. Prueba. Sea 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵c (cualquier elemento) de aquí obtenemos 
sucesivamente que 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵c ↔ (𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∧ 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵c) ↔ (𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ∧ 𝑥𝑥 ∉ 𝐵𝐵) ↔ 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵, es 
decir 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵c = 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵. ∎ 
 
III. FALSA. Prueba. Por contraejemplo. Sea 𝐴𝐴 =  y 𝐵𝐵 = 〈−1; 1⟩, aquí 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = , sin 
embargo, esto no implica que 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴c, de hecho 𝐴𝐴c = ∅ ≠ 〈−1; 1⟩ = 𝐵𝐵. ∎ 
 
IV. VERDADERA. Pues 𝑆𝑆 = 〈−3; 1⟩ △ 〈0; 2⟩ = (〈−3; 1⟩ − 〈0; 2⟩) ∪ (〈0; 2⟩ − 〈−3; 1⟩), esto 
es por definición de △; efectuando obtenemos 𝑆𝑆 = ⟨−3; 0] ∪ [1; 2⟩∎ 
RESPUESTA. C) 𝟐𝟐. 
 
Problema 2. 
Primer caso. Cuando 𝛾𝛾 = 20. Se tiene que 𝐶𝐶20 = {(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) | 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 40, 𝑦𝑦 ≤ 20}. De aquí 
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 40 = (𝑥𝑥 − 6)2 + 4. La gráfica de esta relación es una parábola de vértice 𝑉𝑉 (6; 4). 
Pero 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 40 ≤ 20, de aquí 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 20 ≤ 0 ↔ (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 10) ≤ 0 ↔ 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 10. 
Entonces la gráfica de la relación 𝐶𝐶20 es una parte de dicha parábola con dominio [2; 10]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Segundo caso. Cuando 𝛾𝛾 = 4. Se tiene que 𝐶𝐶4 = {(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) | 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 40, 𝑦𝑦 ≤ 4}. De la 
condición 𝑦𝑦 ≤ 4, se desprende que 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 6)2 + 4 ≤ 4, es decir (𝑥𝑥 − 6)2 ≤ 0, de aquí 
(𝑥𝑥 − 6)2 = 0, obtenemos 𝑥𝑥 = 6 y puesto que 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 6)2 + 4, entonces 𝑦𝑦 = (6 − 6)2 + 4 = 4. 
 
En otras palabras, la gráfica de 𝐶𝐶4 es un único punto, a saber (6; 4). 
RESPUESTA. B) y {(𝟔𝟔; 𝟒𝟒)}. 
 
 
Problema 3. 
Se pide graficar la relación Ω = �(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ∈ 2| 𝐻𝐻(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦2 > 0�. La condición es 
equivalente a 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 32 𝑦𝑦
2 > 0, esta última desigualdad se puede reescribir empleando la 
técnica de completar cuadrados así (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2)
2 + 54 𝑦𝑦
2 > 0. La suma de cuadrados del primer 
miembro es siempre positiva, a menos que simultáneamente se cumpla (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦2)
2 = 0 y 54 𝑦𝑦
2 = 0; 
resolviendo este sistema de ecuaciones, conseguimos que 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 0 (esto significa que 
únicamente cuando ambos valore de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 son ceros, el polinomio cuadrático del primer 
miembro tendrá también el valor de cero, en cualquier otro caso, siempre será positivo). 
 
Luego Ω es la relación cuyos elementos son todos los puntos del plano cartesiano, con excepción 
del punto (0; 0). 
RESPUESTA. D) 𝟐𝟐 − {(𝟎𝟎; 𝟎𝟎)}. 
 
Problema 4. 
Primera forma. La inecuación 𝑥𝑥2 − (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 ≤ 0 es equivalente a (𝑥𝑥 − 𝑚𝑚−12 )
2 + 𝑚𝑚2 −
(𝑚𝑚−12 )
2 ≤ 0 (nuevamente se empleó la técnica de completar cuadrados). A su vez, la última 
desigualdad se puede reescribir así (𝑥𝑥 − 𝑚𝑚−12 )
2 + 3𝑚𝑚2+2𝑚𝑚−14 ≤ 0. Probaremos que el conjunto 
solución de esta inecuación es ∅. 
 
En efecto, desde que 𝑚𝑚 > 1, entonces 3𝑚𝑚2 > 3 y 2𝑚𝑚 − 1 > 1, luego 3𝑚𝑚2+2𝑚𝑚−14 > 1 > 0 (por 
supuesto no estamos siendo finos en las cotas, pero es correcto). Puesto que 
∀𝑥𝑥 ∈  ∧ ∀𝑚𝑚 > 1: (𝑥𝑥 − 𝑚𝑚−12 )
2 ≥ 0, entonces (𝑥𝑥 − 𝑚𝑚−12 )
2 + 3𝑚𝑚2+2𝑚𝑚−14 > 0, lo que implica que no 
existe algún 𝑥𝑥 real con 𝑚𝑚 > 1, tal que 𝑥𝑥2 − (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 ≤ 0. Luego CS = ∅. ∎ 
 
Segunda forma. El discriminante del polinomio 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 es Δ =
(𝑚𝑚 − 1)2 − 4(1)(𝑚𝑚2), es decir Δ = −3𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 + 1 y puesto que 𝑚𝑚 > 1, se deduce que Δ < 0. 
Además 𝑝𝑝(𝑥𝑥) posee un coeficiente principal positivo, que es la unidad. Por el teorema del 
trinomio cuadrático positivo, se tiene que ∀𝑥𝑥 ∈ : 𝑝𝑝(𝑥𝑥) > 0 (esto significa que no es posible 
que 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ≤ 0 para algún valor real de la variable 𝑥𝑥, cuando 𝑚𝑚 > 1. 
RESPUESTA. A) ∅. 
 
 
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Problema 5. 
Primera forma (Analítica) 
 
I. VERDADERA. El punto (2; 0) tiene como abscisa 𝑥𝑥 = 2 y ordenada 𝑦𝑦 = 0. Para que un 
punto pertenezca al conjunto 𝑆𝑆 debe satisfacer la condición 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 o 𝑦𝑦 ≤ −𝑥𝑥 (que es una 
disyunción y para que sea verdadera, es suficiente que se cumpla una de las desigualdades 
no estrictas). Así cuando 𝑥𝑥 = 2 e 𝑦𝑦 = 0 se cumple 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥, finalmente (2; 0) ∈ 𝑆𝑆. ∎ 
 
II. FALSA. Prueba. Por contraejemplo. El punto (0; 5) ∈ 2 sin embargo ni se cumple 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 
ni 𝑦𝑦 ≤ −𝑥𝑥, pues en ambos casos se tiene 5 ≤ 0, que es falsa, lo que indica que (0; 5) ∉ 𝑆𝑆, 
finalmente no es posible que 𝑆𝑆 = 2 (pues al menos tiene un elemento no común).∎ 
 
III. VERDADERA. Prueba. El segmento que tiene por extremos (8;−8) y (0;−3) está dada 
por la relación 𝐿𝐿 = �(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ∈ 2| 𝑦𝑦 = − 58 𝑥𝑥 − 3 y 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 8�, para ello se puede emplear 
el modelo 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 u otro 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) para construir la ecuación o regla de 
dependencia, ¡inténtelo! 
 
Probaremos ∀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ∈ 𝐿𝐿 ∶ 𝑦𝑦 ≤ −𝑥𝑥 (y así 𝐿𝐿 ⊂ 𝑆𝑆). En efecto. Sea (𝑥𝑥; 𝑦𝑦) ∈ 𝐿𝐿, y definamos 
𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦, tenemos que 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 + �− 58 𝑥𝑥 − 3�, es decir 𝑢𝑢 =
3
8 𝑥𝑥 − 3. Desde que 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 8 
entonces 0 ≤ 38 𝑥𝑥 ≤ 3 y −3 ≤
3
8 𝑥𝑥 − 3 ≤ 0. De aquí 𝑢𝑢 ≤ 0, esto es 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ≤ 0 y finalmente 
𝑦𝑦 ≤ −𝑥𝑥.∎ 
 
 
Segunda forma (Gráfica) 
 
Aunque su empleo en ocasiones puede no corresponder a la realidadmatemática, en el caso de 
rectas, segmentos o regiones definidas por desigualdades lineales (como las que muestra el 
problema) hay “mayor precisión” para tomar una decisión (siempre con precaución). En 
general al estudiante le parece más rápido esta forma. 
 
Así la región sombreada unida con las rectas de 
color azul representa a la relación 𝑆𝑆 ⊂ 2, 
definida por las desigualdades 𝑦𝑦 ≤ 𝑥𝑥 o 𝑦𝑦 ≤ −𝑥𝑥. 
 
Estimados amigos, “hablan las imágenes”. 
 
I. VERDADERA. “Observamos” (2; 0) ∈ 𝑆𝑆. 
 
II. FALSA. “Observamos” que 𝑆𝑆 no cubre 
todo el plano 2, luego 𝑆𝑆 ≠ 2. 
 
III. VERDADERA. “Observamos” 𝐿𝐿 ⊂ 𝑆𝑆. 
 
RESPUESTA. C) 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕. 
 
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 
𝑦𝑦
𝑥𝑥(𝟐𝟐; 𝟎𝟎) 
(𝟖𝟖;−𝟖𝟖) 
(𝟎𝟎;−𝟑𝟑) 
(𝟎𝟎; 𝟓𝟓) 
𝑳𝑳 
S 
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