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Primer Momento (Lapso) de Matemática
Guía de Nivelación Teórico Práctica
I CORTE
Números Enteros (Z) Obj.
El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra Z, y su
representación en forma de conjunto es:
𝑍 = {… , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Su representación grafica es:
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
Valor Absoluto de un Número Entero
El valor absoluto de un número entero se define así:
Si a ∈ 𝑍, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
| 𝑎 | = {
𝑎 𝑠i 𝑎 > 0
0 𝑠i 𝑎 = 0
−𝑎 𝑠i 𝑎 < 0
|𝑎| 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒: "𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎"
Ejemplos:
1) | 7 | = 7
2) |−4| = 4
3) | 0 | = 0
Operaciones Básicas en Z
Adición de Números Enteros
Caso 1: Adición de Enteros de Igual Signo
a) Se halla la suma de los valores absolutos, de los sumandos
b) A la suma obtenida se le coloca el signo común
Ejemplos:
a) 3 + 8 = 11
b) (−5) + (−4) = −9
c) 2 + 3 + 5 = 10
d) (−3) + (−1) + (−4) = −8
Caso 2: Adición de Enteros de Diferente Signo
a) Se halla la diferencia de los valores absolutos (el mayor
menos el menor)
b) A la diferencia obtenida se le coloca el signo del sumando
que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplos:
a) 4 + (−7) = −3
b) (−6) + 8 = 2
c) 9 + (−5) = 4
d) (−8) + 7 = −1
e) (−2) + (+1) + (−4) = (+1) + (−2) + (−4) = (+1) +
(−6) = −5
f) (+7) + (−2) + (+5) + (−6) = (+7) + (+5) + (−2) +
(−6) = (12) + (−8) = 4
Propiedades de la Adición de Enteros
a) Conmutativa
Si a y b son números enteros (𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍), en general se cumple:
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Ejemplos:
a) 6 + 3 = 3 + 6
9 = 9
b) 5 + (−7) = (−7) + 5
−2 = −2
b) Asociativa
Si a, b y c son números enteros (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍), en general se
cumple:
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
Ejemplo:
a) 3 + [5 + (−2)] = (3 + 5) + (−2)
3 + 3 = 8 + (−2)
6 = 6
c) Existencia del Elemento Neutro
Si a es un número entero (𝑎 ∈ 𝑍), existe el número entero cero
(0 ∈ 𝑍), 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, en general se cumple
𝑎 + 0 = 𝑎
0 + 𝑎 = 𝑎
Ejemplos:
𝑎) 4 + 0 = 4 𝑐) 0 + (−5) = −5
b) − 3 + 0 = −3 d) 0 + 6 = 6
d) Existencia del Elemento Simétrico u Opuesto
Todo número entero 𝑎 ∈ 𝑍 tiene su opuesto: −𝑎 ∈ 𝑍, tal que,
en general se cumple:
𝑎 + (−𝑎) = 0
(−𝑎) + 𝑎 = 0
Ejemplos:
𝑎) 4 + (−4) = 0
b) − 3 + 3 = 0
Sustracción de Números Enteros
Para hallar la diferencia de dos números enteros, se le adiciona al
primero, el opuesto del segundo, es decir:
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
Ejemplos:
𝑎) 4 − 5 = 4 + (−5) = −1
b) − 3 − 7 = −3 + (−7) = −10
c) − 6 − (−9) = −6 + 9 = 3
d) 8 − (−2) = 8 + 2 = 10
Adiciones y Sustracciones en Z
Eliminación de paréntesis
Los paréntesis, en las adiciones y sustracciones, se pueden eliminar
según el signo que los preceda, tomando en cuenta las siguientes
consideraciones:
1) Si el signo es + o no tiene signo, se elimina el paréntesis (con
el signo +); y los números que están dentro conservan su signo.
Ejemplos:
a) (−4) + (−7) = −4 − 7
b) (−5) + (−1 + 8) = −5 − 1 + 8
2) Si el signo es –, se elimina el paréntesis (con el signo – ); y los
números que están dentro cambian de signo.
Ejemplos:
a) −(+4 ) − (+7 ) = −4 − 7
b) −(−5) − (+7 ) = 5 − 7
c) −(+3 ) − (−1 + 2) = −3 + 1 − 2
Adiciones o Sustracciones Sin Paréntesis
Para efectuar adiciones o sustracciones que no tengan paréntesis,
se deben considerar los signos + ó – que están delante de cada
número.
1) Si son signos iguales, se halla la suma de los números, y al
resultado se le coloca el signo común.
Ejemplos:
a) 12 + 4 = 16
b) −15 − 5 = −20
c) 4 + 3 + 5 = 12
d) −3 − 1 − 2 = −6
2) Si son signos diferentes, se halla la diferencia de los números y
se coloca el signo que preceda al número que tenga mayor
valor absoluto.
Ejemplos:
a) 4 − 12 = −8
b) −10 + 15 = 5
Adiciones y Sustracciones Combinadas Sin Signos de Agrupación
En este caso se agrupan los números con signos iguales; se halla la
suma de los positivos y, aparte, la de los negativos y finalmente se
halla la diferencia respectiva.
Ejemplos:
−5 + 9 + 14 − 6 − 2 = 9 + 14 − 5 − 6 − 2
= 23 − 13
= 10
Adiciones y Sustracciones Combinadas Con Signos de
Agrupación
Cuando un ejercicio tenga varios signos de agrupación; se
eliminan según el signo que los preceda, + ó −, de manera análoga
a la eliminación de paréntesis. Primero se eliminan los paréntesis,
luego los corchetes y después las llaves.
Ejemplo:
−4 − {−5 + 8 − [6 + (−11)] + 7} − 12
= −4 − {−5 + 8 − [6 − 11)] + 7} − 12
= −4 − {−5 + 8 − 6 + 11 + 7} − 12
= −4 + 5 − 8 + 6 − 11 − 7 − 12
= 5 + 6 − 4 − 8 − 11 − 7 − 12
= 11 − 42 = −31
Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar dos números enteros, se multiplican los valores
absolutos de los factores y luego:
a) El producto será positivo, si los factores tienen el mismo signo
b) El producto será negativo, si los factores tienen signos
diferentes
Ejemplos:
a) ( 8 )( 7 ) = 56 c) (−3) ( 7 ) = −21
b) (−4) (−6) =24 d) ( 8 ) (−4) = −32
Propiedades de la Multiplicación de Enteros
a) Conmutativa
Si a y b son números enteros (𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍), en general se cumple:
( 𝑎 ) ( 𝑏) = ( 𝑏 ) ( 𝑎 )
Ejemplos:
a) (3) (−2) = (−2) (3)
−6 = −6
b) (−5) (−3) = (−3) (−5)
15 = 15
b) Asociativa
Si a, b y c son números enteros (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍), en general se
cumple:
𝑎 . (𝑏 . 𝑐) = (𝑎 . 𝑏) . 𝑐
Ejemplo:
a) [ ( 2 ) (−3) ] (−1) = ( 2 ) [ (−3) (−1) ]
(−6) (−1) = ( 2 ) ( 3 )
6 = 6
c) Existencia del Elemento Neutro
Si a es un número entero (𝑎 ∈ 𝑍), existe el número entero uno
(1 ∈ 𝑍), 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒, en general se cumple:
( 𝑎 ) ( 1 ) = 𝑎
( 1 ) ( 𝑎 ) = 𝑎
Ejemplos:
𝑎) ( 4 ) ( 1 ) = 4 𝑐) ( 1 ) (−5) = −5
b) (−3) ( 1 ) = −3 d) ( 1 ) ( 6 ) = 6
d) Distributiva de la Multiplicación
Si a, b y c son números enteros (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍), en general se
cumple:
( 𝑎 )[ ( 𝑏 ) ( 𝑐 ) ] = ( ) ( 𝑏 ) ± ( a ) ( c )
[ ( 𝑏 ) ( 𝑐 ) ] ( 𝑎 ) = ( ) ( 𝑏 ) ± ( a ) ( c )
Ejemplos:
𝑎) (−3) [ ( 4 ) + ( 5 ) ] = (−3) ( 4 ) + (−3) ( 5 )
= (−12 ) + (−15 )
= −27
𝑏) [ 3 − (−4) ] ( 5 ) = ( 5 ) ( 3 ) − ( 5 ) (−4 )
= (15 ) − (−20 )
= (15 ) + 20 = 35
División de Números Enteros
Para dividir dos números enteros, se divide el valor absoluto del
dividendo entre el valor absoluto del divisor, y luego:
a) El cociente será positivo, si el dividendo y el divisor tienen el
mismo signo
b) El cociente será negativo, si el dividendo y el divisor tienen
signos diferentes
Ejemplos:
a) 12 ÷ 3 =
12
= 4
3
b) − 24 ÷ 6 =
−24
= −4
6
) (−15) ÷ (−5 ) = −15 = 3
−5
) ( 8 ) ÷ (−4 ) = 8
−4
= −2
c
d
I CORTE
TALLER CON DEFENZA.
Cuaderno de Ejercicios
1. Efectúa las Siguientes Adiciones: valor (2pts)
a) (−4) + (−9) + (−2)
b) 104 + (−345)
2. Efectúa las siguientes sustracciones: valor (2pts)
a) 7 − (−3)
b) 12 − 14
3. Identifica, en cada caso, la propiedad aplicada: valor (0,5pts)
𝑎) 8 + 0 = 8
b) − 7 + 7 = 0
c) (−6) + (−2) = (−2) + (−6)
d) (−4) + [(−6) + (−3)] = [(−4) + (−6)] + (−3)
4. Elimina, en cada caso, los paréntesis: valor (2pts)
a) −(+4 − 6 ) + (−1 + 9)
b) (−2) + (−7) − (−8)
5. Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones combinadas:
valor (2pts)
a) 7 + 9 − 3 + 8 − 14 + 7 − 6 + 1 − 3
b) −4 − 5 + 7 + 16 − 15 + 13 − 2 − 36
II PARTE VALOR 10PTS
EJERCICIOS PARA DEFENZA ULTIMO NÚMERO DE LA CEDULA
0) {[4 + (−25 − 35)] − 6}
1) 1 + (4 − 7) − (−6 − 2) − 8
2) −(5 + 8) + (−10 + 4 − 9) − (30 + 2)
3) 8 − [−2+ (7 − 22) + 3]
4) 42 − [16 − (−4 − 20)] + 10 + 15
5) −6 + {9 − [−( 2 ) + 8]} + 1
6) −7 − {[−21 + (14 − 15)] − 6} + 9
7) -9-{[−2 + (−8 − −7)] − 6}
8) -12+ {[3 + (87 − 25)] − 1}
9) 18+(−612 + 13 + 40 + 24)
10) ⌊−61 − (67 − 45 − 20) + 60⌋ − 30
El Señor les bendiga y sea de provecho para su aprendizaje
este instrumento de evaluación.
Primer Momento (Lapso) de Matemática
I I CORTE
Guía de Nivelación Teórico Práctica.
Funciones
Consideremos dos conjuntos:
𝐴 = { 2 , 3 , 5 , 7 } 𝑦 𝐵 = { 4 , 9 , 25 , 49 , 11 }
y la relacion R: "divide a", definida por el siguiente diagrama sagital
Esta relación es tal que a cada elemento del conjunto de partida A,
se le hace corresponder un solo elemento del conjunto de llegada
B, cuando esto ocurre decimos que la relación es una función.
Definición:
Dado un conjunto de partida A y un conjunto de llegada B, se
denomina función de A en B, a toda relación que asocia a cada
elemento de A, un solo elemento de B.
Simbólicamente una función de A en B, se denota así:
𝑓: 𝐴 → 𝐵
Si un elemento 𝗑 ∈ 𝐴, está relacionado con un elemento 𝑦 ∈ 𝐵, se
dice que 𝑦 es la imagen de x, mediante la función f, lo cual se
escribe:
ƒ(𝑥) = 𝑦 se lee: “f de x es igual a y” ó “la imagen de x es y”
Considerando el ejemplo anterior, tenemos que:
En base al concepto anterior, otra forma de definir función es:
Dado un conjunto de partida A y un conjunto de llegada B, se
denomina función de A en B, a toda relación en la cual cada
elemento del conjunto de partida tiene una y solo una imagen en el
conjunto de llegada.
Ejemplo de dos relaciones que no son funciones y sus
justificaciones:
Ejercicios para practicar en casa.
Responde si las siguientes relaciones son funciones. Justifica tu
respuesta
Dominio y Rango de una Función
Si f es una función de A en B, entonces el conjunto de partida lo
llamaremos dominio de f, y lo denotaremos: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴
Al conjunto formado por todas las imágenes, lo llamaremos rango
de f, y lo denotaremos: 𝑅𝑔 𝑓
En el ejemplo inicial, tenemos:
Ejercicios Para practicar en casa:
En las siguientes funciones, usando la notación correspondiente,
indica:
1) Las imágenes de cada elemento del dominio
2) El dominio y el rango de la función
Funciones Definidas Mediante una Fórmula
Otra forma de definir una función, consiste en dar una formula, la
cual indica cómo se halla la imagen de cada elemento del dominio,
mediante la función.
Consideremos los conjuntos:
𝐶 = { 1 , 2 , 3 } 𝑦 𝐷 = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }
y la funcion g: C → D, definida por: g(x) = x + 1
Esto significa que la imagen de un elemento cualquiera 𝑥 ∈ 𝐶, se
obtiene sumando 1 a ese elemento, así:
Ejercicios para practicar en casa:
1) Dados los conjuntos: 𝐴 = { 1 , 2 , 3 , 4 }, 𝐵 = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } y
la función ƒ: 𝐴 → 𝐵, definida por: ƒ(𝑥) = 𝑥 + 2
Determina:
a) La imagen de cada elemento del dominio
b) El dominio y el rango de la función
c) El diagrama sagital correspondiente
2) Dados los conjuntos: C= { 1 , 2 , 3 , 4 }, 𝐷 = { 1 , 3 , 5 , 7, 8 } y la
función g: 𝐶 → 𝐷, definida por: g(𝑥) = 2𝑥 − 1
Determina:
a) La imagen de cada elemento del dominio
b) El dominio y el rango de la función
c) El diagrama sagital correspondiente
3) Dados los conjuntos: E= { 2 , 4 , 6 , 8 }, 𝐹 = { 13 , 7, 19 , 25 } y la
función h: 𝐸 → 𝐹, definida por: h(𝑥) = 3𝑥 + 1
Determina:
a) La imagen de cada elemento del dominio
b) El dominio y el rango de la función
c) El diagrama sagital correspondiente
Tipos de Funciones
Algunas funciones reciben nombres particulares como función:
sobreyectiva, inyectiva o biyectiva.
Función Inyectiva
Es toda función en la cual cada elemento del conjunto de llegada es
imagen de uno o ningún elemento del conjunto de partida.
Ejemplo:
Función Sobreyectiva
Es toda función en la cual cada elemento del conjunto de llegada es
imagen de uno o varios elementos del conjunto de partida.
Ejemplo:
Función Biyectiva
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es
decir:
Una función es biyectiva si cada elemento del conjunto de llegada
es imagen de uno y solo un elemento del conjunto de partida.
Ejemplo:
Ejercicios Para practicar en casa
De las siguientes funciones indica que tipo es, y justifica tu
respuesta.
Primer Momento (Lapso) de Matemática
I I I CORTE
Guía de Nivelación Teórico Práctica.
Sistema de Coordenadas Rectangulares
Consideremos dos rectas numéricas perpendiculares, cuyo punto
de intersección lo llamaremos origen del sistema.
Las rectas reciben el nombre de “ejes de coordenadas”.
Este sistema así constituido se denomina “sistema de
coordenadas rectangulares”
La recta x, se llama eje
de las abscisas
La recta y, se llama eje
de las ordenadas
Observa que:
1. A cada punto P, del
plano, le
corresponde un par
ordenado de
números (a, b) que
son sus
coordenadas, lo
cual se simboliza:
P(a,b) y se lee: “punto P de coordenadas a y b”
Donde la primera coordenada se llama abscisa de P y la
segunda coordenada se llama ordenada de P.
2. A cada par ordenado de números (a, b) le corresponde uno y
solo un punto P, del plano.
En la ilustración anterior tenemos:
P1(2,3) se lee: “punto P1 de coordenadas 2 y 3”
2 es la abscisa de P1
3 es la ordenada de P1
P2(3,2) se lee: “punto P2 de coordenadas 3 y 2”
3 es la abscisa de P2
2 es la ordenada de P2
P3(-2,2) se lee: “punto P3 de coordenadas -2 y 2”
-2 es la abscisa de P3
2 es la ordenada de P3
P4(-3,-1) se lee: “punto P4 de coordenadas -3 y -1”
-3 es la abscisa de P4
-1 es la ordenada de P4
P5(4,-3) se lee: “punto P5 de coordenadas 4 y -3”
4 es la abscisa de P5
-3 es la ordenada de P5
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro (4)
subconjuntos llamados cuadrantes, así:
IIc
Segundo Cuadrante
Ic
PrimerCuadrante
IIIc IVc
Cuarto Cuadrante
Tercer Cuadrante
Representación Gráfica de un Punto en un Sistema
de Coordenadas Rectangulares
Dadas las coordenadas de un punto: (𝑎, 𝑏); para determinar su
representación gráfica se siguen los siguientes pasos:
a) Se trazan perpendiculares a los ejes en a y en b
b) La intersección es el punto P
Representa, en un sistema de coordenadas rectangulares, el punto:
(3,2)
Ejercicios Para practicar en casa I PARTE
3
Representa, en un sistema de coordenadas rectangulares, los
siguientes puntos:
1) 𝑄(−2,3) 4) 𝑃(−2,5) 7) 𝐷(3,0) 10) 𝐺(0, −1)
2) 𝑅(−4, −3) 5) 𝐴(−2, −2) 8) 𝐸(0,3)
3) 𝑆(2, −5) 6) 𝐵(2,4) 9) 𝐹(−4,0)
Función Afín
Una función cuya grafica es una recta, recibe el nombre de función
afín y su ecuación es de la forma: ƒ(𝑥) = 𝑎𝑥 ± 𝑏 ó 𝑦 = 𝑎𝑥 ± 𝑏,
donde a y b son números racionales
y 𝑎 G 0
ƒ(𝑥) = 𝑎𝑥 ± 𝑏 es la ecuación de una recta que no es vertical o
paralela al eje de las ordenadas.
Si 𝑎 > 0(𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠i𝑡i𝑣𝑜) la recta es creciente
Si 𝑎 < 0(𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡i𝑣𝑜) la recta es decreciente
Ejemplos de funciones afines:
𝑎) ƒ(𝑥) = 3𝑥 − 2
𝑏) ℎ(𝑥) = −2 𝑥 + 3
3
𝑐) 𝑦 = 4 𝑥
𝑑) (𝑥) = 𝑥 + 5
𝑒) ƒ(𝑦) = 3𝑦 + 5
ƒ) 𝑔(𝑥) = −3𝑥
Ejemplos de funciones que no son afines:
𝑎) ƒ(𝑥) = 𝑥2 + 1 ¿Por qué? La variable x contiene
exponente mayor de 1, es cuadrática.
𝑏) ƒ(𝑥) = 2𝑦3 − 2 ¿Por qué? La variable y contiene
exponente mayor de 1, es cubica.
Representación Gráfica de una Función Afín
Para representar gráficamente una recta basta con conocer dos
puntos de ella.
Ejemplo:
Representa gráficamente la función Afín: ƒ(𝑥) = 2𝑥 − 1
Elaboramos la siguiente tabla de valores:𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑦 = (2)(1) − 1 = 2 − 1 = 1
𝑦 = (2)(0) − 1 = 0 − 1 = −1
𝑦 = (2)(−1) − 1 = −2 − 1 = −3
Ubicando los tres puntos anteriormente calculados, en un sistema
de coordenadas rectangulares, obtenemos la recta:
Ejercicios para practicar en casa :II PARTE
Representa gráficamente las siguientes funciones afines:
x y (x,y)
1 1 ( 1,1 )
0 -1 ( 0,-1)
-1 -3 (-1,-3)
5
1) 𝑦 = −2𝑥 + 1
2) 𝑦 = 3𝑥 − 4
3) 𝑦 = 4𝑥
4) 𝑦 = −8𝑥
5) 𝑦 = 𝑥 +
1
2
6) 𝑦 = −2 𝑥 + 1
Primer Momento (Lapso) de Matemática Guía de Nivelación Teórico Práctica
I CORTE
Valor Absoluto de un Número Entero
Operaciones Básicas en Z
Caso 1: Adición de Enteros de Igual Signo
Caso 2: Adición de Enteros de Diferente Signo
Propiedades de la Adición de Enteros
a) Conmutativa
b) Asociativa
c) Existencia del Elemento Neutro
d) Existencia del Elemento Simétrico u Opuesto
Sustracción de Números Enteros
Adiciones y Sustracciones en Z
Eliminación de paréntesis
Adiciones o Sustracciones Sin Paréntesis
Adiciones y Sustracciones Combinadas Sin Signos de Agrupación
Adiciones y Sustracciones Combinadas Con Signos de Agrupación
Multiplicación de Números Enteros
Propiedades de la Multiplicación de Enteros
a) Conmutativa
b) Asociativa
c) Existencia del Elemento Neutro
d) Distributiva de la Multiplicación
División de Números Enteros
Primer Momento (Lapso) de Matemática I I CORTE
Funciones
Definición:
Dominio y Rango de una Función
Funciones Definidas Mediante una Fórmula
Tipos de Funciones
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva
Ejercicios Para practicar en casa
Primer Momento (Lapso) de Matemática I I I CORTE
Sistema de Coordenadas Rectangulares
Representación Gráfica de un Punto en un Sistema de Coordenadas Rectangulares
Ejercicios Para practicar en casa I PARTE
Función Afín
Representación Gráfica de una Función Afín
Ejercicios para practicar en casa :II PARTE