Topografia_Aplicada

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Escuela de Ingeniería Civil-UTPL 
TOPOGRAFÍA APLICADA 
Autora: Nadia Chacón Mejía 
 
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UNIDAD 7 
Trazo de curvas 
 
El trazo de curvas se emplea en la construcción de vías para conectar dos líneas de diferente 
dirección o pendiente. Estas curvas son circulares y verticales. 
CURVAS CIRCULARES: 
Las curvas circulares se utilizan para empalmar tramos rectos, estas curvas deben cumplir con 
ciertas características como: facilidad de trazo, economía y deben ser diseñadas de acuerdo a las 
especificaciones técnicas. 
Existen diferentes tipos de curvas circulares, estas son: 
 Curva simple 
 Curva compuesta 
 Curva mixta 
 Curva inversa 
Curva simple: Es un arco de circunferencia que empalma dos tangentes. 
 
Figura 7.1 Curva simple. 
Fuente: Apuntes de Topografía: Ing. Julio González 
 
Curva compuesta: Es una curva que está compuesta por dos arcos de diferente radio. 
 
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Figura 7.2 Curva compuesta. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Curva mixta: 
 
Figura 7.3 Curva mixta. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Curva inversa: Son dos curvas colocadas en sentido contrario a la tangente común. 
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Figura 7.4 Curva mixta. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Elementos de una curva circular: 
 
Figura 7.5 Elementos de una curva circular. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Punto de intersección (PI): Es el punto donde se encuentran dos alineamientos rectos. 
Punto de inicio (PC, A): Es el punto donde comienza la curva. 
Punto final (PT, B): Punto donde termina la curva. 
Angulo de deflexión o ángulo central α : Es el ángulo formado por la prolongación de un 
alineamiento recto y el siguiente. Este puede ser a la izquierda o a la derecha dependiendo en qué 
sentido se lo haya medido. 
Tangentes (API y PIB): Es la distancia entre el punto de intersección (PI) y los puntos A y B (PC y 
PT). 
Radio (R, AB y AC): Es el radio de la circunferencia que describe el arco de la curva. 
Cuerda principal (AB): Es la línea recta que une el PC y el PT (A y B). 
External (PID): Es la distancia entre el punto de intersección y el punto medio de la curva (D). 
Flecha (DE): Distancia entre el punto medio de la curva (D) y el punto medio de la cuerda (E). 
Longitud de la curva (AB): Es el arco descrito por la curva de la circunferencia desde el PC hasta el 
PT. 
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A continuación se muestra la deducción de las fórmulas para calcular cada uno de los elementos 
de una curva: 
Longitud de la tangente y external: 
Del triángulo PIAC: 
 
 
 
 
 
 
Grado de la curva: 
 
Figura 7.6 Grado de la curva. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
 
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 Definición por arco: 
 Definición por cuerda: 
 
 
Longitud de la curva: 
 
Cuerda principal y flecha: 
Del triángulo AEC: 
 
 
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REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES: 
Para replantear una curva circular lo primero que se debe realizar es ubicar el PI, una vez ubicado 
el PI se mide la longitud de la tangente sobre el primer alineamiento (tangente de entrada) para 
localizar el PC (punto de inicio de la curva) y desde este punto se mide la longitud de la curva para 
localizar el PT (punto donde termina la curva). A partir de estos puntos se puede replantear la 
curva. 
Métodos para replantear una curva: 
Existen tres métodos para replantear una curva circular, los cuales son los siguientes: 
 Deflexiones angulares 
 Ordenadas sobre la tangente 
 Ordenadas sobre la cuerda principal 
Deflexiones angulares: Este método consiste en replantear todos los puntos de la curva desde el 
PC midiendo ángulos de deflexión y cuerdas, el ángulo de deflexión es el ángulo formado por la 
tangente y cada una de las cuerdas que se miden desde el PC hasta los puntos de la curva. 
El método de deflexiones angulares es el más utilizado. 
 
Figura 7.7 Método de deflexiones angulares. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
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Figura 7.8 Deflexiones angulares. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
A partir de la figura 7.8 se obtiene la fórmula para determinar la deflexión angular hacia cada uno 
de los puntos de la curva: 
 
 
 
 
Donde: 
 
 = Ángulo de deflexión medido hacia cada uno de los puntos de la curva 
c = Cuerda medida a cada uno de los puntos de la curva 
α = Á gulo de defle ió 
Lc = Longitud de la cuerda principal 
 
Ordenadas sobre la tangente: 
Este método consiste en replantear la curva por medio de ordenadas (y) las cuales son medidas 
perpendicularmente desde cada una de las tangentes hasta los puntos de la curva que corten las x, 
estas son medidas perpendicularmente al radio, como se indica en la figura 7.8. 
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Figura 7.8 Método de ordenadas sobre la tangente. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
 
A esta fórmula se da diferentes valores a x para determinar y, y de esta forma se localizan todos 
los puntos de la curva. 
En la siguiente tabla se muestra una tabulación para R = 1, así multiplicando cualquier radio por 
cada uno de los valores se obtiene x y y: 
x y 
0,1 0,0050 
0,2 0,0202 
0,3 0,0461 
0,4 0,0835 
0,5 0,1340 
0,6 0,2000 
0,7 0,2859 
0,8 0,4000 
0,9 0,5641 
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O también se pueden utilizar las fórmulas siguientes para calcular x y y: 
 
Ordenadas sobre la cuerda principal: 
Este método es similar al método anterior, la diferencia es que las ordenadas se miden sobre la 
cuerda principal. 
 
Figura 7.9 Método de ordenadas sobre la tangente. 
Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 305. 
. 
 
CASOS ESPECIALES DE REPLANTEO: 
En algunas ocasiones se presentan casos en los que no se puede replantear una curva por medio 
de los métodos mencionados anteriormente, a continuación se explica la forma en la que se debe 
realizar el replanteo: 
 Cuando el PI es inaccesible 
 Cuando el PI y el PC son inaccesibles 
 Cuando el PT es inaccesible 
 Replanteo de un punto cualquiera desde el PI 
 Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC por la presencia 
de obstáculos 
 
 
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Cuando el PI es inaccesible: 
 
Figura 7.10 Replanteo cuando el PI es inaccesible. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Primero se escoge dos puntos cualquiera A y B sobre las tangentes, como se indica en la figura 7.9, 
luego se mide la distancia AB y los ángulos θ con la ayuda de un teodolito. Con los ángulos 
edidos se dete i a los á gulos PIAB, PIBA, φ el á gulo de defle ió . Una vez calculados 
estos ángulos por medio de la ley de senosse determinan las distancias API y BPI. 
Luego se calcula la longitud de la tangente y la longitud de la curva, conocidos estos datos ya se 
pueden determinar las abscisas del PC y el PT, las cuales se miden desde los puntos A y B. 
Cuando el PI y el PC son inaccesibles: 
 
Figura 7.11 Replanteo cuando el PI y el PC son inaccesibles. 
Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 298. 
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Se escogen dos puntos cualquiera A y C sobre las tangentes y se miden los ángulos β y la 
distancia AC, con los datos medidos se calcula el resto de ángulos y la distancia API por medio de la 
ley de senos. 
En el punto A se levanta una perpendicular a API se u i a el pu to A’, luego po este pu to se 
t aza u a pa alela a API se lo aliza el pu to B’, la dista ia A’B’ de e se igual a 2APC. 
Para determinar el punto B se ide desde la B’ la dista ia B’B la ual es igual a AA’, pe pe di ula 
a AB. Desde A se mide la distancia PCA y se ubica el PC. 
Se ide el á gulo θ se t aza u a u va i ula u o á gulo al e t o es α-θ hasta llega al PT. 
Cuando el PT es inaccesible: 
 
Figura 7.12 Replanteo cuando el PT es inaccesible. 
Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 299. 
 
Se realiza el replanteo de los puntos normalmente hasta llegar al punto x, que es el último punto 
que se puede o se va desde el PC tie e u á gulo e t al igual a θ. 
Por lo tanto el ángulo que falta por localizar será igual: 
Luego se determina la distancia xA y ’ aplicando las siguientes fórmulas: 
Para localizar el punto q se mide sobre la línea A u a dista ia igual a 2 A, el pu to ’ se lo aliza 
leva ta do la lí ea ’ la ual es igual a ´ pe pe di ula a . 
 
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Replanteo de un punto cualquiera desde el PI: 
Para replantear un punto cualquiera desde el PI, en la figura 7.12 el punto A, es necesario conocer 
los siguientes valores: 
 El á gulo θ, 
 La distancia PIA 
 
Figura 7.13 Replanteo desde el PI. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
De la figura 7.12 se obtienen las siguientes fórmulas que se utilizan para el replanteo: 
 
 
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Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC por la presencia de 
obstáculos: 
 
Figura 7.14 Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC. 
Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 301. 
 
Cuando se presenta este caso se utiliza una estación intermedia o más de una si es necesario. 
 
 
 
 
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Caso especial para hallar el radio de una curva: 
 
Figura 7.15 Caso especial para hallar el radio de una curva. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Cuando se conoce la distancia del PI a un punto de la curva y su ángulo, y el ángulo de deflexión en 
el PI, se puede hallar el radio aplicando la siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURVAS VERTICALES: 
 
Figura 7.15 Curva vertical. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
Las curvas verticales se utilizan para conectar tramos de pendientes diferentes, calcular una curva 
vertical es dar las cotas a cada uno de los puntos. 
Las curvas verticales se trazan con la finalidad de que no existan cambios bruscos de pendiente en 
una vía, por lo general una curva vertical es la curva de una parábola. Las pendientes se expresan 
en porcentaje. 
Se dice que la pendiente es positiva cuando la tangente es ascendente y negativa cuando la 
tangente es descendiente. 
REPLANTEO DE CURVAS VERTICALES: 
Métodos para replantear una curva vertical: 
Existen dos métodos para calcular una curva vertical: 
 Desviación sobre la tangente 
 Desviación de la parábola 
Desviación sobre la tangente: 
Este método se basa en la ecuación de la parábola. 
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Figura 7.16 Método de desviación sobre la tangente. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
A partir de los triángulos semejantes AFE y ABC, se puede establecer las siguientes igualdades: 
 , por lo tanto: 
 
 
 
 
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Por medio de una propiedad de la parábola se puede expresar lo siguiente: 
 
Desviación de la parábola: 
 
Figura 7.17 Método de la curva. 
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía 
 
 
 
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Esta es la ecuación para calcular la cota de todos los puntos de la curva vertical.