Estadistica - Parte Uno-páginas-73

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5-6 La distribución normal como aproximación de la distribución binomial 277
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normal, el área sombreada es 0.0250.
El área del rectángulo rayado�
es 0.0267 (valor exacto�
que se obtuvo con la�
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dad binomial).
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FIGURA 5-26 Uso de la
corrección por continuidad de
la audiencia televisiva
continúa
n 5 15. Si utilizamos la fórmula de probabilidad binomial, deberíamos evaluar
una expresión que incluya 200!, pero muchas calculadoras y programas de
cómputo no manejan tantos datos. Por consiguiente, procedemos a emplear
una distribución normal para aproximar la distribución binomial.
Paso 1: Primero verificamos si es posible la aproximación:
np 5 200 ? 0.20 5 40 (Por lo tanto, np $ 5.)
nq 5 200 ? 0.80 5 160 (Por lo tanto, nq $ 5.)
Paso 2: Ahora procedemos a calcular los valores de m y s, necesarios para la
distribución normal. Obtenemos lo siguiente:
m 5 np 5 200 ? 0.20 5 40
s 5
Paso 3: Dibujamos la curva normal de la figura 5-26. La región sombreada
de la figura representa la probabilidad que buscamos. La aplicación de
la corrección por continuidad da como resultado la representación
de 32, ubicada entre 31.5 y 32.5.
Paso 4: He aquí el método que se empleó para calcular la región sombreada
de la figura 5-26: primero calcule el área total a la izquierda de 32.5;
después, obtenga el área total a la izquierda de 31.5; luego, calcule la
diferencia entre ambas áreas. Iniciando con el área total a la izquierda
de 32.5, debemos obtener la puntuación z que corresponde a 32.5. Si
nos remitimos a la tabla A-2, obtendremos
Usamos la tabla A-2 para encontrar que z 5 21.33 corresponde a una
probabilidad de 0.0918, que es el área total a la izquierda de 32.5.
Ahora, procedemos a obtener el área a la izquierda de 31.5, calculando
primero la puntuación z correspondiente a 31.5: 
En la tabla A-2 encontramos que z 5 21.50 corresponde a una pro-
babilidad de 0.0668, que es el área total a la izquierda de 31.5. El
área sombreada es 0.0918 2 0.0668 5 0.0250.
z 5
31.5 2 40
5.6568542
5 21.50
z 5
32.5 2 40
5.6568542
5 21.33
2npq 5 2200 ? 0.20 ? 0.80 5 5.6568542
278 CAPÍTULO 5 Distribuciones de probabil idad normal
INTERPRETACIÓN La probabilidad de que exactamente 32 televisores sintoni-
cen 60 minutos (de un total de 200) es de aproximadamente 0.0250. El plantea-
miento del problema también nos pide determinar si el resultado muestral del
16% constituye una evidencia suficiente para concluir que el valor de audien-
cia del 20% es incorrecto. Sin embargo, en lugar de considerar la probabilidad
de exactamente 32 televisores que sintonizan 60 minutos, debemos considerar
la probabilidad de 32 o menos. [En la sección 4-2, señalamos que x éxitos en n
ensayos es un número de éxitos infrecuentemente bajo, si P(x o menor) es muy
pequeña, como 0.05 o menos]. En la solución anterior vemos que la probabili-
dad de 32 o menos éxitos es P(menos que 32.5), que es 0.0918. Puesto que
0.0918 no es muy pequeño, no tenemos suficiente evidencia para concluir que el
valor de audiencia del 20% sea incorrecto.
Si resolvemos el ejemplo anterior por medio de STATDISK, Minitab o una
calculadora, obtendremos un resultado de 0.0267, pero el método de aproxima-
ción normal arrojó un valor de 0.0250. La discrepancia de 0.0017 sucede porque
el uso de la distribución normal da como resultado un valor que se aproxima al
que corresponde al área de la región sombreada en la figura 5-26, mientras que el
área correcta exacta es un rectángulo que se centra por arriba de 32. (La figura 5-26
ilustra tal discrepancia). El área del rectángulo es 0.0267, pero el área aproximada
de la región sombreada es 0.0250.
Interpretación de los resultados
En realidad, cuando utilizamos una distribución normal como aproximación de la
distribución binomial, nuestra meta no es sencillamente calcular un número de pro-
babilidad. Con frecuencia necesitamos hacer algún juicio con base en el valor de
probabilidad, como en la conclusión final del ejemplo anterior. Debemos compren-
der que las bajas probabilidades corresponden a sucesos con pocas posibilidades,
mientras que las altas probabilidades corresponden a sucesos posibles. El valor de
probabilidad de 0.05 suele utilizarse como punto de corte para distinguir entre su-
cesos posibles y sucesos imposibles. El siguiente criterio (de la sección 4-2) des-
cribe la aplicación de las probabilidades para distinguir resultados que pueden
ocurrir fácilmente por el azar, de aquellos que son en extremo poco comunes.
Uso de las probabilidades para determinar cuando
los resultados son poco comunes
● Extremadamente alto: x éxitos en n ensayos es un número extremadamen-
te alto de éxitos si P(x o más) es muy pequeña (como 0.05 o menos).
● Extremadamente bajo: x éxitos en n ensayos es un número extremada-
mente bajo de éxitos si P(x o menos) es muy pequeña (como 0.05 o menos).
5-6 Destrezas y conceptos básicos
Aplicación de la corrección por continuidad. En los ejercicios 1 a 8, los valores dados
son discretos. Utilice la corrección por continuidad y describa la región de la distribución
normal que corresponde a la probabilidad que se indica. Por ejemplo, la probabilidad de
“más que 20 artículos defectuosos” corresponde al área de la curva normal descrita en
esta respuesta: “el área a la derecha de 20.5”.
1. Probabilidad de que más de 15 personas en prisión quiten las etiquetas de advertencia
a las almohadas.
2. Probabilidad de que al menos 24 estudiantes comprendan la corrección por continuidad.
3. Probabilidad de que haya menos de 100 pasajeros en su siguiente vuelo comercial.
4. Probabilidad de que el número de distribuidores automáticos en Estados Unidos sea
exactamente 27.
5. Probabilidad de no más de cuatro estudiantes ausentes en una clase de estadística.
6. Probabilidad de que el número de CD defectuosos de Wayne Newton sea de 15 a 20,
inclusive.
7. Probabilidad de que el número de senadores estadounidenses ausentes sea de ocho a 10,
inclusive.
8. Probabilidad de exactamente tres respuestas “sí” en peticiones de citas.
Uso de la aproximación normal. En los ejercicios 9 a 12, haga lo siguiente: a) Calcule la
probabilidad binomial que se indica por medio de la tabla A-1 del Apéndice A. b) Si np . 5
y nq . 5, también estime la probabilidad que se indica con el uso de la distribución normal
como aproximación de la distribución normal; si np , 5 o nq , 5, entonces establezca
que la aproximación normal no es adecuada.
9. Con n 5 14 y p 5 0.5, calcule P(9).
10. Con n 5 12 y p 5 0.8, calcule P(7).
11. Con n 5 15 y p 5 0.9, calcule P(al menos 14).
12. Con n 5 13 y p 5 0.4, calcule P(menor que 3).
13. Probabilidad de más de 55 niñas Estime la probabilidad de que resulten más de 55 ni-
ñas en 100 nacimientos. Suponga que los niños y las niñas son igualmente probables.
¿Es poco común que resulten más de 55 niñas en 100 nacimientos?
14. Probabilidad de al menos 65 niñas Estime la probabilidad de que resulten al menos
65 niñas en 100 nacimientos. Suponga que los niños y las niñas son igualmente pro-
bables. ¿Es poco común que resulten al menos 65 niñas en 100 nacimientos?
15. Probabilidad de al menos aprobar Estime la probabilidad de aprobar un examen de
verdadero/falso de 100 preguntas, si el 60% (o 60 respuestas correctas) es la califica-
ción mínima de aprobación y si todas las respuestas son conjeturas. ¿Es la probabilidad
lo suficientemente alta como para arriesgarse a aprobar adivinando en lugar de estudiar?
16. Examen de opción múltiple Un examen de opción múltiple consta de 25 preguntas
con las respuestas posibles a, b, c, d y e. Estime la probabilidad de que, al adivinar, el
número de respuestas correctas sea de tres a 10, inclusive.
17. Experimento de hibridación de Mendel Cuando Mendel realizó sus famosos experi-
mentos de hibridación, utilizó chícharos con vainas verdes y vainas amarillas. Uno de
los experimentos implicó una cruza de chícharos, de manera que se esperaba que el
25% (o 145) de los 580 chícharosvástagos tuvieran vainas amarillas. En lugar de ob-
tener 145 chícharos con vainas verdes, obtuvo 152. Suponiendo que el porcentaje del
25% de Mendel es correcto, estime la probabilidad de obtener al menos 152 chícharos
con vainas amarillas, entre los 580 chícharos vástagos. ¿Existirá una fuerte evidencia
que sugiera que la probabilidad del 25% de Mendel es incorrecta?
18. Fármaco que reduce el colesterol La probabilidad de que una persona que no recibe
ningún tratamiento tenga síntomas de gripe es de 0.019. En un ensayo clínico de Lipitor,
un fármaco común que se utilizó para disminuir el colesterol, 863 pacientes recibie-
ron un tratamiento con tabletas de Atorvastatin de 10 mg, y 19 de estos pacientes experi-
mentaron síntomas de gripe (según datos de Pfizer, Inc.). Suponiendo que estas tabletas
no influyen en los síntomas de la gripe, estime la probabilidad de que al menos 19 de
5-6 La distribución normal como aproximación de la distribución binomial 279
las 863 personas experimenten síntomas de gripe. ¿Sugieren estos resultados acerca
de los síntomas de gripe que hay una reacción adversa al fármaco?
19. Probabilidad de al menos 50 hombres daltónicos El 9% de los hombres y el 0.25% de
las mujeres no pueden distinguir entre los colores rojo y verde. Este tipo de daltonismo
causa problemas con las señales de tránsito. Los investigadores necesitan al menos 50
hombres con este tipo de ceguera al color, de manera que seleccionan aleatoriamente
a 600 hombres para un estudio de percepción de las señales de tránsito. Estime la pro-
babilidad de que al menos 50 de los hombres no distingan entre el rojo y el verde. ¿Es
el resultado lo suficientemente alto como para qué los investigadores puedan confiar-
se de obtener al menos 50 hombres con daltonismo?
20. Teléfonos celulares y cáncer cerebral En un estudio de 420,000 usuarios de teléfono
celular en Dinamarca, se encontró que 135 desarrollaron cáncer cerebral o del sistema
nervioso. Suponiendo que los teléfonos celulares no tienen efecto alguno, hay una
probabilidad de 0.000340 de que una persona desarrolle cáncer cerebral o del sistema
nervioso. Por lo tanto, esperaríamos aproximadamente 143 casos de este tipo de cán-
cer en un grupo de 420,000 personas seleccionadas al azar. Estime la probabilidad de
135 o menos casos de este cáncer en un grupo de 420,000 personas. ¿Qué sugieren es-
tos resultados acerca de los reportes de los medios de comunicación que afirman que
los teléfonos celulares causan cáncer cerebral o del sistema nervioso?
21. Vuelos sobresaturados Air America está considerando la nueva política de registrar
400 personas en un avión que tiene sólo 350 asientos. (Estudios anteriores han reve-
lado que sólo el 85% de los pasajeros registrados llegan al vuelo). Estime la proba-
bilidad de que, si Air America registra a 400 personas, no haya suficientes asientos
disponibles. ¿Es esta probabilidad lo suficientemente baja para ser funcional, o debe-
rá modificarse la política?
22. Vuelos a tiempo Recientemente, el 72.3% de los vuelos de American Airlines llegaron
a tiempo (según datos del Departamento del Transporte de Estados Unidos). Al verificar
40 vuelos de American Airlines, seleccionados al azar, 19 llegaron a tiempo. Estime la
probabilidad de que 19 vuelos o menos, entre 40, lleguen a tiempo suponiendo que el
porcentaje del 72.3% sea correcto. ¿Será poco común que 19 vuelos o menos, entre 40
vuelos de American Airlines seleccionados aleatoriamente lleguen a tiempo?
23. Identificación de discriminación por género Después de que la rechazaron para un em-
pleo, Kim Kelly se entera de que la Bellevue Advertising Company contrató únicamen-
te a 21 mujeres entre sus 62 empleados nuevos. También de que el grupo de solicitantes
es muy grande, con igual número de hombres y mujeres calificados. Ayúdela a hacer
una acusación por discriminación, estimando la probabilidad de obtener 21 mujeres o
menos cuando se contrata a 62 personas, suponiendo que no hay discriminación por gé-
nero. ¿En realidad apoya la probabilidad resultante una acusación como ésta?
24. Dulces M&M: ¿el 10% son azules? Según un representante de asuntos de consumo
de Mars (la compañía de dulces), el 10% de todos los dulces sencillos M&M son azu-
les. El conjunto de datos 19 del Apéndice B indica que de 100 M&M elegidos, cinco
son azules. Estime la probabilidad de seleccionar al azar 100 dulces M&M y obtener
cinco o menos que sean azules. Suponga que el porcentaje de azules del 10%, estableci-
do por la compañía, es correcto. Con base en el resultado, ¿será poco común obtener
cinco o menos M&M azules cuando se seleccionan 100 al azar?
25. Grupo sanguíneo El 45% de nosotros tiene sangre del grupo O, según datos que pro-
porcionó el Great New York Program. El Providence Memorial Hospital está realizando
una campaña de donación de sangre, ya que su abastecimiento de sangre del grupo O es
bajo y necesita 177 donadores de este tipo de sangre. Si 400 voluntarios donan sangre,
estime la probabilidad de que el número de personas con sangre del grupo O sea al me-
nos de 177. ¿Es probable que el grupo de 400 voluntarios sea suficiente?
26. Muestreo de aceptación En la sección 3-4 establecimos que algunas compañías veri-
fican la calidad a través del método del muestreo de aceptación, por medio del cual se
280 CAPÍTULO 5 Distribuciones de probabil idad normal
rechaza el lote completo de artículos si una muestra aleatoria de un tamaño particular
incluye más de un número específico de defectos. La Dayton Machine Company
compra tornillos de máquina en lotes de 5000 y rechaza un lote si, cuando se saca una
muestra de 50, al menos dos son defectuosos. Estime la probabilidad de rechazar un
lote si el abastecedor está fabricando los tornillos con una tasa de defectos del 10%.
¿Es posible que el plan de verificación identifique la tasa inaceptable de defectos?
27. Choques de automóviles Entre los conductores de 20 a 24 años de edad hay una tasa
del 34% de accidentes automovilísticos en un año (según datos del National Safety
Council de Estados Unidos). Un investigador de seguros encuentra que en un grupo
de 500 conductores con edades que fluctúan entre 20 y 24 años, que se seleccionó
aleatoriamente, y que viven en la ciudad de Nueva York, el 40% tuvo accidentes el
año anterior. Si el porcentaje del 34% es correcto, estime la probabilidad de que en un
grupo de 500 conductores seleccionados al azar, al menos el 40% tuvieran accidentes
el año anterior. Con base en el resultado, ¿existe fuerte evidencia que apoye la aseve-
ración de que la tasa de accidentes en la ciudad de Nueva York es mayor al 34%?
28. Encuesta sobre clonación Una reciente encuesta de Gallup incluyó 1012 adultos que se
seleccionaron al azar, a quienes se les preguntó si “la clonación humana debe o no per-
mitirse”. Los resultados mostraron que el 89% de los encuestados indicaron que no de-
be permitirse. Un reportero de noticias desea determinar si estos resultados de encuesta
constituyen una fuerte evidencia de que la mayoría (más del 50%) de las personas se
oponen a dicha clonación. Suponiendo que el 50% de todas las personas se oponga, es-
time la probabilidad de obtener al menos 89% de oposición en una encuesta de 1012
personas seleccionadas al azar. Con base en el resultado, ¿hay fuerte evidencia que apo-
ye la afirmación de que la mayoría se opone a la clonación de humanos?
5-6 Más allá de lo básico
29. Ganar en la ruleta Marc Taylor planea hacer 200 apuestas, de $1 cada una, al número
7 en la ruleta. Un triunfo paga con posibilidades de 35:1 y, en cualquier giro, existe
una probabilidad de 1/38 de que el 7 sea el número ganador. De las 200 apuestas,
¿cuál es el número mínimo de triunfos necesarios para que Marc obtenga una ganan-
cia? Estime la probabilidad de que Marc obtenga una ganancia.
30. Reemplazo de televisores Los tiempos de reemplazo de televisores se distribuyen
normalmente, con una media de 8.2 años y una desviación estándar de 1.1 años (de
acuerdo con datos de “Getting Fixed”, Consumer Reports).Estime la probabilidad
de que, para 250 televisores seleccionados al azar, al menos 15 de ellos tengan tiem-
pos de reemplazo mayores de 10.0 años.
81. ‘Joltin’ Joe Suponga que un jugador de beisbol pega de “hit” .350, de manera que su
probabilidad de un “hit” es de 0.350. (Ignore las complicaciones causadas por las bases
por bolas). También suponga que sus intentos de “hit” son independientes unos de otros.
a. Calcule la probabilidad de al menos un “hit” en cuatro intentos, en un juego.
b. Suponiendo que este bateador pasa a batear cuatro veces cada juego, estime la pro-
babilidad de obtener un total de al menos 56 “hits” en 56 juegos.
c. Suponiendo que este bateador pasa a batear cuatro veces cada juego, estime la
probabilidad de al menos un “hit” en cada uno de 56 juegos consecutivos (que es
el récord de Joe DiMaggio en 1941).
d. ¿Cuál es el promedio mínimo de bateo que se requeriría para que la probabilidad
del inciso c sea mayor que 0.1?
32. Vuelos sobresaturados Vertigo Airlines trabaja únicamente con reservaciones anticipa-
das y registra una tasa del 7% de personas que no se presentan. ¿Cuántas reservaciones
podrían aceptarse para un avión con una capacidad de 250, si hay al menos una probabi-
lidad de 0.95 de que a todos los individuos que reservaron y se presenten se les acomode?
5-6 La distribución normal como aproximación de la distribución binomial 281