mcd_mcm

Vista previa del material en texto

1 
 
 1 
Unidad: 1 Aritmética 
Contenido: 
• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. 
Objetivos: 
 Comparar las definiciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. 
 Aplicar máximo común divisor y mínimo común múltiplo en le resolución de 
ejercicios y problemas del entorno. 
 Respetar las ideas, razones y argumentos de los compañeros de clase. 
Máximo Común Divisor 
El máximo común divisor (mcd) de dos o más números naturales es el mayor 
número que los divide a todos exactamente. Para encontrar el mcd se siguen los 
siguientes pasos: 
 Descomponer los números dados en sus factores primos. 
 Elegir los factores primos comunes elevados al menor exponente. 
 El mcd es el producto de los números encontrados en el paso anterior. 
 
Ejemplo: Calcular el mcd de 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟐𝟓𝟎 y 𝟔𝟖𝟎𝟎. 
 
 
 
 
 
 
 
6800 
3400 
1700 
850 
425 
85 
17 
1 
2 
2 
2 
2 
5 
5 
17 
 
 
𝑚𝑐𝑑ሺ1000, 250, 6800ሻ 
 = 2 × 52 = 50. 
1000 
500 
250 
125 
25 
5 
1 
2 
2 
2 
5 
5 
5 
 
 
250 
125 
25 
5 
1 
2 
5 
5 
5 
 
 
 
 
1000 = 23 × 𝟓𝟑 
250 = 𝟐 × 𝟓𝟑 
 6800 = 𝟐𝟒 × 𝟓𝟐 × 17 
 
 
 2 
 ¿Qué significa que 50 sea el mcd de 1000, 250 y 6800? 
 
a) 50 divide a 1000, 250 y 6800. 
b) Si existe otro divisor común de 1000, 250 y 6800, ese número divide a 50. 
 
Problema 1. 
 
 
 
 
Solución: 
Se debe encontrar el mcd de 250, 360 y 540. (¿Por qué?) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
250 
125 
25 
5 
1 
2 
5 
5 
5 
250 = 𝟐 × 𝟓𝟑 
 
360 
180 
90 
45 
9 
3 
1 
2 
2 
2 
5 
3 
3 
 360
= 𝟐𝟑 × 𝟓 × 32 
 
540 
270 
135 
27 
9 
3 
1 
2 
2 
5 
3 
3 
3 
 540
= 𝟐𝟐 × 𝟓 × 33 
 
𝑚𝑐𝑑ሺ250, 360, 540ሻ 
 = 2 × 5 = 10. 
La capacidad máxima de 
los barriles es 10 𝑙. 
 
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas 
capacidades se muestran en la figura. ¿Cuál es 
la capacidad máxima que deben tener ciertos 
barriles, para que en ellos se pueda envasar el 
vino contenido en cada uno de los toneles? 
 
 
 
 3 
Mínimo Común Múltiplo 
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números naturales es el menor 
número múltiplo de ellos. Para encontrar el mcm se siguen los siguientes pasos: 
 Descomponer los números dados en sus factores primos. 
 Elegir los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor 
exponente. 
 El mcm es el producto de los números del paso anterior. 
Ejemplo: Calcular el mcm de 𝟗𝟔, 𝟏𝟎𝟐, 𝟏𝟗𝟐 y 𝟑𝟎𝟔. 
 
La descomposición de los números dados en sus factores primos es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑚𝑐𝑚ሺ96, 102, 192, 306ሻ = 𝟑𝟐 × 𝟐𝟔 × 𝟏𝟕 = 𝟗𝟕𝟗𝟐. 
 
 ¿Qué significa que 9792 sea el mcm de 96, 102, 192 y 306? 
a) 9792 es múltiplo de 96, 102, 192 y 306. 
b) Cualquier otro múltiplo común a 96, 102, 192 y 306 es múltiplo de 9792. 
 
96 
48 
24 
12 
6 
3 
1 
2 
2 
2 
2 
2 
3 
96 = 25 × 3 
 
102 
51 
17 
1 
2 
3 
17 
 102
= 2 × 3 × 17 
 
192 
96 
48 
24 
12 
6 
3 
1 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
3 
192 = 𝟐𝟔 × 3 
 
306 
153 
51 
17 
1 
2 
3 
3 
17 
 306
= 2 × 𝟑𝟐 × 𝟏𝟕 
 
 
 4 
Problema 2. 
Tres avisos luminosos encienden sus luces así: el primero cada 6 segundos, el 
segundo cada 9 segundos y el tercero cada 15 segundos. A las 7 de una noche se 
encienden simultáneamente los tres avisos. ¿Cuántas veces coinciden encendidos 
los avisos en los 9 minutos siguientes? 
Solución: 
Se calcula el mcm de 6, 9 y 15: 
 
 
 
 
𝑚𝑐𝑚ሺ6, 9, 15ሻ = 2 × 32 × 5 = 𝟗𝟎. 
Los anuncios coinciden encendidos cada 90 segundos. Como 
9 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 540 𝑠𝑒𝑔, 
540
90
= 6. 
Resulta entonces que en los 9 minutos siguientes los avisos coinciden encendidos 
6 veces. 
6 
3 
1 
2 
3 
6 = 𝟐 × 3 
 
9 
3 
1 
3 
3 
9 = 𝟑𝟐 
 
15 
3 
1 
5 
3 
15 = 𝟓 × 3