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Radio
Polonio
Semana 26
Álgebra
Anual Virtual UNI Álgebra
semana
26
La logaritmación es una operación inver-
sa a la potenciación, puesto que mientras
en la potenciación se trataba de encon-
trar un número llamado potencia, cono-
cidos la base y el exponente, en la loga-
ritmación se trata de hallar el exponente,
conocidas la base y la potencia.
¡Tenga en cuenta que...!
El potencial hidrógeno o pH de una solu-
ción se define como
pH = – log[H+]
Por ejemplo, se sabe que la concentración
de iones hidrógeno en la sangre de una
persona saludable es [H+] = 3,98×10– 8
moles/litro. Luego, el pH de la sangre es
pH = – log10[3,98×10 – 8] ≈ 7,4
¡Sabía que...!
Logaritmos y Función logarítmica
DEFINICIÓN
El logaritmo de un número positivo N en la base b (b >0 ∧ b≠1)es el
exponente x al cual hay que elevar la base para obtener el número
N, es decir
logbN=x ↔ bx=N
En general, si se cumple que bx=N, tendremos que x= logbN.
Ejemplos
• log21024=10 ↔ 210=1024
• log93=x ↔ 9x=3 ↔ x =
1
2
• log(– 2)8 no definido en los reales.
De la definición de logaritmo se deduce que
logb1=0 logbb=1
Ejemplos
• log51=0
• log77=1
• logx1=0 si x > 0 ∧ x≠1
IDENTIDAD FUNDAMENTAL LOGARÍTMICA
De la definición, se deduce que
blogbN=N
donde N > 0; b > 0 y b≠1
Ejemplos
• 7 575log
= • 3 23 2log
= • 1
2
3
1
2
3
=
log
PROPIEDADES
1. logb AB= logb A+ logb B
2. log log logb b b
A
B
A B
= −
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log b (A+B) ≠ log b A+ log b B
log
logb
a
a
b
=
1
¡Tenga en cuenta que...!
e = 2,71828183...
¡Recuerde que...!
log log logb
n
b
n
b
nA A A= ( ) ≠
Ejemplos
log (log )2
3
2
35 5=
log log4
2
4
27 7= ( )
Observación
Resuelva la ecuación logarítmica
log log3
2
3 6 0x x− − =
Desafío
3. logbAn=nlogbA
4. log logb
n
bA
n
A=
1
5. log log
bn
m
bA
m
n
A=
6. log log logb bx
x
bn
nA A A= =
7. log
log
logb
c
c
A
A
b
= (cambio de base)
8. log
logb
A
A
b
=
1
9. log log log logb a c ba c d d=
10. AlogbC=C logbA
Ejemplos
• log215= log25 · 3= log25+ log23
• log log log log5 5 5 5
7
5
7 5 7 1
= − = −
• log381= log334=4log33=4(1)=4
• log log5
7
52
1
7
2=
• log log log16 24
3
227 3
3
4
3= =
• log log log25 25 564 64 8= =
• log
log
log
log
9
3
3
38
8
9
8
2
= =
• log
log7
2
2
1
7
=
• log257 · log72 · log23 · log35= log255=
1
2
• 3 52 5 2 3log log=
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Las funciones logarítmicas fueron de-
sarrolladas alrededor de 1594 por
el matemático escocés John Napier
(1550 -1617).
¡Sabía que...!
La base más importante en matemáticas
tanto en exponenciales como en logarit-
mos es el número e.
Representación de las funciones y = ex;
y = In x
X
y=1nx
y=ex
y=x
1
1
0
Y
¡Recuerde que...!
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica con base b > 0, b ≠1, se define como
f(x)= logbx
El dominio de esta función es Dom(f )=〈0; +∞〉 y su rango es
Ran(f )=R.
Propiedades
1. La función f es decreciente para 0 < b < 1 y creciente para b > 1.
2. La gráfica de la función f pasa por el punto P(1; 0).
3. La función f es continua en 〈0; +∞〉.
4. La función f es inyectiva (uno a uno); es decir, si logbx= logby
entonces x=y.
Respecto a su gráfica se consideran dos casos:
X
Y
0
1
y=logbx
0 < b < 1
X
Y
0 1
y=logbx
b > 1
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Forma general P(x)=Q(x)
donde P(x) o Q(x) son expresiones logarítmicas.
Ejemplos
• log3(3x+1)=4 • log2x= log2(x2 – 5)
Aplicación
Resuelva la ecuación
logx2= log(x+6)
Resolución
x ≠ 0 ∧ x+6 > 0
x > – 6
Luego x2=x+6
x2 – x – 6=0
(x – 3)(x+2)=0
x=3 x= – 2
∴ CS={– 2; 3}
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sistema decimal o de Briggs
Notación log10N = logN
Ejemplos
• log1010 = log10 =1
• log101000 = log1000 = 3
sistema hiperBólico o neperiano
Notación loge N = ln N
Ejemplos
• logee = lne =1
• logee
2 = lne2 = 2
• loge7 = ln7
Observación
Problemas resueltos
1. Si log 2=l, halle log258 en función de l.
Resolución
log log log
log
log25 52
3
58 2
3
2
2
3
2
2
5
= = =
log
log
log log25 8
3
2 10
2
3
2 10 2
=
=
−
λ λ
→ log25 8
3
2 1
=
−
λ
λ
∴ log25 8
3
2 2
=
−
λ
λ
2. Calcule S
n
nn
=
+
=
∑ ln
1
1
10
Resolución
S =
+
+
+ +
ln ln ln ... ln
2
1
3
2
4
3
11
10
= × × × ×
ln ...
2
1
3
2
4
3
11
10
= ln(11)
3. Determine el producto de las soluciones que presenta la
siguiente ecuación.
ln
ln ln
x
x x6
1
−
=
Resolución
Al operar, obtenemos
ln lnx x( ) = −2
6
↔ ln lnx x( ) + ( ) − =2
6 0
Factorizamos.
ln lnx x+( ) −( ) =3 2 0
↔ ln|x|=– 3 ∨ ln|x|=2
↔ |x|=e – 3 ∨ |x|=e2
↔ x=e – 3 ∨ x=– e – 3 ∨ x=e2 ∨ x=– e2
Por lo tanto, el producto de soluciones es
e e e e e− − −−( ) −( ) =3 3 2 2 2
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Práctica dirigida
1. Reduzca
log log log
log log
7 2
5
64
6 6
49
25
4
8
2 3
+
+
+
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 3,5 E) – 0,75
2. Sea
m x x x= + +( ) + + −( ) −log log log2 2 28 1 1 8 1 1
calcule n m= 25 5 2log ( )
A) 16 B) 27 C) 625
D) 36 E) 25
3. Si se sabe que logpqp=5
calcule log pq
p
q
3
4
2
A) –2 B) 62 C) 48
D) 60 E) 72
4. Si log2=l, entonces determine el equivalente
de log20080.
A)
2 3
2
λ
λ
+
−
B)
4 1
3
λ
λ
+
+
C)
3 1
4
λ
λ
−
+
D)
3 1
2
λ
λ
+
+
E)
2 1
3
λ
λ
+
+
5. Resuelva la ecuación logarítmica
log log3 3
23
1x x
x
+ =
y calcule la suma de todas sus soluciones.
A) 4 B)
28
9
C)
10
9
D)
37
9
E)
13
3
6. Resuelva la ecuación
lnxlnx – lnx15+ lnx7+15=0
y dé el producto de soluciones.
A) e3 B) e8 C) e –8
D) e –3 E) e –5
7. Considere la función f: R\{0} → R
definida por f(x)= log5x2
Señale la alternativa que presente la secuencia
correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las
proposiciones.
I. f es creciente en el intervalo 〈0; + ∞〉.
II. f es inyectiva en el intervalo 〈– ∞; 0〉.
III. Existe un único número a, tal que f(a)=0.
A) VVF B) VVV C) VFV
D) VFF E) FFF
8. Determine el Dom f y el Ran h
f xx x( ) −= −( )log 1 3
h(x)= log7(x+1) si x ∈ 〈6; 48]
A) 〈1; 3〉 – {2}; 〈1; 2]
B) 〈0; 3〉 – {2}; 〈1; 3]
C) 〈1; 2〉; 〈1; 2]
D) 〈2; 3〉; 〈1; 3]
E) 〈2; 3〉; 〈1; 2]
9. Esboce la gráfica de la siguiente función.
f(x)= logx3 · log2xlog3(x+1)
A) Y
X
1
1
B) Y
X
1
1–1
C) Y
X–1
D) Y
X
1
1
E) Y
X
1
1
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico
10. Sea la función f: 〈1; + ∞〉 → R, tal que
f xx x( ) = + −log log2 4 2 1, halle el rango.
A) 〈1; + ∞〉 B) [3; + ∞〉 C) 2; + ∞
D) [4; + ∞〉 E) [2; + ∞〉
Práctica domiciliaria
1. Calcule el valor reducido de E.
E = +
+
log log log5 3
2
12525
4
9
5
A) 1/3 B) 2 C) 3
D) 7/3 E) 5/3
2. Si se tiene que
A e
e
= ln log10
B = +log log27 25
381 2
calcule ln A+ log3 B.
A) 1+ log3 B) 1+ log2 C) 1+e
D) 2 E) 3
3. Dados los números a = 104 7
y c
kk = +1
1
. Halle
el valor de la siguiente expresión:
log log log ... loga a a ac c c c1 2 3 99+ + + +
A)
8
7
B)
12
7
C)
7
5
D)
8
5
E)
13
4
4. Calcule el valor de abcd si se cumple que
m x a b c d
m
x x x xa b c d
log ; ; ; ;
log log log log
= { } ⊂ − { }
= + + +
+4 1
1 1 1 1
R
A) 10 B) 100 C) 410
D) 103 E) 104
5. Si a; b y c son números reales positivos diferen-
tes de la unidad que cumplen las condiciones
loga bc a3 =
logb ac b3 =
logc ab c3 =
Halle el valor de
1
1
1
1
1
13 3 3a b c+
+
+
+
+
A) 1 B) 1/2 C) 1/3
D) 6 E) 3
6. Si log32=n, calcule log 3
2
6
en términos de n.
A)
n
n
+
−
1
1
B)
n
n
+
−
1
1
C)
n
n
+
−
2
1
D)
n
n1−
E)
n
n
+
−
3
1
7. Resuelva la ecuación
3 2 0 12 3log log log ,x x+ = − ( )
A) 7 1−{ } B) 5 1−{ } C) 2 1−{ }
D) 4 1−{ } E) 3 1−{ }
8. Calcule (x+y), luego de resolverel siguiente
sistema:
log log log logx y
x y
= − −
( ) =
−
48 3 2
4 64
3 2
A) 7 B) 2 7 C) 5
D) 6 E) 7 2
9. Al resolver la ecuación
ln log ln logx x+( ) = ( )2 2
se obtiene como soluciones a a y b.
Calcule α β
α
β
β
α
+( ) − +
2 .
A) 2 B) 3 C) 100
D) 400 E) 5
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10. Halle las raíces en la siguiente ecuación.
log logx x=
A) x1=1; x2=104
B) x1=10 – 2; x2=102
C) x1=10 –1; x2=103
D) x1=10 –1; x2=102
E) x1=1; x2=105
11. Sea la función
f x x x ex e e( ) = −( ) − + +( ) < <log log ;3 21 1 2 3
indique el valor de f
e9 1+( ).
A) 3 B) 5 C) 6
D) 9 E) 18
12. Calcule el área de la región sombreada.
1
x
1
5
X
Y
y=log2
A) log225 B) log25 C) log2625
D) log125 E) log25
13. Determine el dominio de la siguiente función
logarítmica.
f x x xx x( ) = −( ) + − +log 4 12 3
A) 〈– 2; 2〉 – {1}
B) 〈0; 2〉
C) 〈0; 2〉 – {1}
D) 〈0, 3〉 – {1}
E) 〈0; +∞〉 – {1}
14. Sea la función f: [4; 244〉 → R
tal que f x xx( ) = − +( )log3
2 2 1
Indique su rango.
A) log ;3 2 5
B) 1 53; log
C) [1; 5〉
D) [1; 4〉
E) 0 823; log
15. Sea la función f, tal que
f xx( ) = − −ln 1 1
Indique la secuencia correcta del valor de
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. Dom f=R
II. Ran f= [–1; + ∞〉
III. f es creciente en el intervalo [0; 1〉 ∪ [2; + ∞〉.
A) VFF B) VVF C) FVV
D) FVF E) VVV
01 - D
02 - D
03 - A
04 - E
05 - A
06 - A
07 - E
08 - B
09 - A
10 - A
11 - D
12 - A
13 - C
14 - C
15 - C