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Radio
Polonio
Semana 25
Álgebra
Anual Virtual UNI Álgebra
semana
25
• Una característica importante de la
función par es que su gráfica es simé-
trica con el eje Y.
f
(x; f(x))(– x; f(– x))
Y
Xx– x
• Una característica importante de la
función impar es que su gráfica es
simétrica con respecto al origen de
coordenadas (0; 0).
X
Y
f(x) f
x
– x
(x; f(x))
(– x; f(– x)) f(– x)
Observación
Funciones especiales y Función inversa
FUNCIONES ESPECIALES
Función par
Diremos que la función f es par solo si
f(x)= f(– x); ∀ x ∈ Dom f y (– x) ∈ Dom f
Ejemplo
La función f, tal que f(x)=x4+|x| es par, ya que Dom f=R y como
x ∈ R → (–x) ∈ R, además f(–x)= (–x)4+|–x|=x4+|x|
→ f(x)= f(–x)
Función impar
Diremos que la función f es impar solo si
f(– x)= – f(x); ∀ x ∈ Dom f y (– x) ∈ Dom f
Ejemplo
La función f tal que f x xx( ) = +3
es impar, ya que Dom f=R y como x ∈ R → (–x) ∈ R, además
f x x x xx−( ) = − + −( ) = − −3 3
f x x fx x−( ) ( )= − +( ) = −3
→ f fx x−( ) ( )= −
Material DidácticoAcademia CÉSAR VALLEJO
• Sea la función f creciente
X
Y
f(b)
f(a)
f
ba
Para Dom f= [a; b]
→ Ran f= [f(a); f(b)]
• Sea la función f decreciente
f(b)
f(a)
Y
X
f
ba
Para Dom f= [a; b]
→ Ran f= [f(b); f(a)]
¡Tenga en cuenta que...!
• La suma de funciones crecientes es
creciente.
• La suma de funciones decrecientes es
decreciente.
• La composición de dos funciones cre-
cientes es creciente.
• La composición de dos funciones de-
crecientes es creciente.
Nota
Funciones monótonas
• Función creciente
Diremos que la función f es creciente ∀ x1, x2 ∈ Dom f
Si para x x f fx x1 2 1 2
< → <( ) ( )
Ejemplo
La función f tal que f(x)=x2; x ≥ 0 es creciente ∀ x ≥ 0
0 x1
f(x1)
f(x2)
x2 X
Y
Para x1 < x2
→ f fx x1 2( ) ( )<
• Función decreciente
Diremos que la función f es decreciente ∀ x1; x2 ∈ Dom f
Si para x1 < x2 → f fx x1 2( ) ( )>
Ejemplo
La función f tal que f xx( ) = − −1, x ≥ 1 es decreciente ∀ x ≥ 1
x1 x2
f(x1)
f(x2) f
X
Y
Para x1 < x2
→ f fx x1 2( ) ( )>
Anual Virtual UNI Álgebra
De manera gráfica, podemos decir que
una función es inyectiva si su gráfica es
cortada a lo más una vez por toda línea
horizontal.
función no inyectiva
X
Y
función inyectiva
¡Tenga en cuenta que...!
• Demuestre que la función
f
x
xx( ) =
−
+
1
1
∀ x ≠ –1
es inyectiva.
• Demuestre que la función
f : [ –1; 3] → [ –1; 15], tal que
f(x) = 4x + 3 es sobreyectiva.
Desafío
FUNCIÓN INVERSA
Función inyectiva (univalente o uno a uno)
Una función f es inyectiva si a dos elementos diferentes en el domi-
nio le corresponden dos elementos diferentes en el rango, es decir,
Si a ≠ b → f(a)≠ f(b) ∀a, b ∈ Dom(f)
Ejemplos
2
4
6
8
4
16
36
64
f
1
2
–2
3
1
4
9
g
f es inyectiva g no es inyectiva
Equivalentemente
Una función f es inyectiva si cada elemento de la imagen está rela-
cionado con uno solo del dominio, esto es
Si f(a)= f(b) → a=b; a, b ∈ Dom(f)
Aplicación
Verifique que la función f xx( ) = − 3 es inyectiva
∀x ∈Dom(f )=[3; +∞〉
Resolución
Sea f(a)= f(b) → a b− = −3 3
a b− = −3 3
2 2
a b− = −3 3
→ a=b
Función suryectiva (sobreyectiva o sobre)
La función f : A → B es suryectiva cuando su conjunto de llegada es
el rango, es decir,
f es suryectiva ↔ Ran(f )=B
Material DidácticoAcademia CÉSAR VALLEJO
La notación f –1 se refiere a la inversa de
la función f y no al exponente –1 usado
para números reales.
f *(x) = f –1
(x)
Ejemplo
Sea f: [ – 3; 8] → [1; 12]
tal que f(x) = x+4
→ Df = [– 3; 8]; Rf = [1; 12]
Luego f –1: [1; 12] → [ – 3; 8]
tal que f –1
(x) = x – 4
→ Df –1= [1; 12]; Rf –1= [– 3; 8]
Observación
Para hallar algebraicamente la inversa de
una función biyectiva se procede del si-
guiente modo:
I. Se despeja x de la relación funcional
y = f(x).
II. Se intercambian las variables x e y.
La ecuación resultante es x = f *
(x)
.
¡Tenga en cuenta que...!
Halle la inversa de la función
f: R → R
tal que f(x) = – x5 + 4.
Desafío
Ejemplo
La función f: R → [3; +∞〉, tal que f(x)=x2+3 es suryectiva.
Veamos, hallemos su rango como x ∈ R → x2 ≥ 0 → x2+3 ≥ 3
entonces Ran(f )= [3; +∞〉.
Como Ran(f )=conjunto de llegada
f es sobreyectiva.
Función biyectiva
Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.
Inversa de una función
Sea f={(x; y) / x ∈ Dom(f )} una función biyectiva. Se define la fun-
ción inversa de f denotado por f * (o también f – 1), como
f *={(y; x) / x ∈ Dom(f )}
Ejemplo
Dada la función
f={(0; 4), ( – 2; 8), ( – 3; – 27)}, entonces
f *={(4; 0), ( – 8; – 2), ( – 27; – 3)}
Representamos por diagrama de Venn
0
–2
–3
Df
4
8
–27
Rf
4
8
–27
Df*
0
–2
–3
Rf*
f f*
PROPIEDADES
1. Dom(f *) = Ran( f ) 4. La función f * es inyectiva.
2. Ran(f *) = Dom( f ) 5. La inversa de f * es f.
3. y = f(x) equivale a x = f *(y) 6. La inversa de f es única.
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Sea f una función a; b ∈ Df a ≠ b.
Es suficiente verificar que existan 2
elementos del dominio de f, tal que si
f(a) = f(b), entonces
f no es inyectiva.
Ejemplo
Sea la siguiente la gráfica de f.
2
3 f
4
De la gráfica f(2) = f(4) = 3,
entonces f no es inyectiva.
Observación
Al conocer la gráfica de f, también será
posible conocer (vía reflexión con la recta
y = x) la gráfica de su inversa.
X
y=x
f
f –1
Y
¡Sabía que...!
Problemas resueltos
1. Halle la inversa de la función
f
x
x
xx( ) =
−
−
≠
2 1
3
3;
Resolución
I. Despejamos x.
y
x
x
=
−
−
2 1
3
yx – 3y=2x –1
yx – 2x=3y –1
x( y – 2)=3y –1
x
y
y
=
−
−
3 1
2
II. Intercambiamos x por y.
y
x
x
=
−
−
3 1
2
∴ f
x
x
xx( ) =
−
−
∧ ≠* 3 1
2
2.
2. Calcule (f+g) o h* si
f={(2; 3), (5; 1), (0; – 4)(1; 2)}
g={(2; 1)(5; – 2)(3; 1)(1; 0)}
h={(2; 3), (5; 4)(0; 1)(1; 6)}
Resolución
h*={(3; 2)(4; 5)(1; 0)(6; 1)}
Dom(f+g)=Dom f ∩ Dom g
={2; 5; 1}
→ f+g={(2; 4), (5; –1), (1; 2)}
Gráficamente obtenemos
(f+g) o h*
3
4
1
2
5
0
6 1
4
–1
2
h* f+g
∴ (f+g) o h*={(3; 4)(4; –1)(6; 2)}
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Sean las funciones
f x x x x xx( ) = + + + − + ∈2 21 1; R
g
x
x
xx( ) = −
− < <
1
1 1;
h x x xx( ) = + ∈3 sen ; R
¿Cuál de las siguientes alternativas es
incorrecta?
A) f es par.
B) g y h son impares.
C) La gráfica de g es simétrica al eje Y.
D) (g+h) es impar.
E) (g ·h) es par.
2. Sea la función f: [2; 6〉 → R
tal que f x xx( ) = − + −2 2 1
indique su rango.
A) [3; + ∞〉 B) [5; + ∞〉 C) [3; 13〉
D) [3; 15〉 E) [5; 13〉
3. Dada la gráfica de la función f
2
1
–1
3
Y
X
f
indique la gráfica de g si g fx x( ) −( )= 2 .
A)
X
Y g
3
B)
– 2 2
3
X
Y
g
C)
g
– 2–3 2 3
3
X
Y
D)
g
– 2 2
3
X
Y E)
– 2 2
3
X
Y
g
4. Determine cuáles de las funciones siguientes
son inyectivas.
I. f(x)=7x+3
II. h
x
x
xx( ) =
−
−
≠
2 1
2
2;
III. g(x)=x2+3 ; x < 0
A) solo I B) I y II C) I, III
D) solo III E) I, II y III
5. Si f : 〈 – 3; 2] → B
x → 2x2 – 1
es una función sobreyectiva, entonces deter-
mine el número de elementos enteros presen-
tes en B.
A) 19 B) 20 C) 21
D) 17 E) 18
6. Se define la función f : ; 2 0+ ∞[ → +R
donde f xx( ) = −2 4
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. f es inyectiva.
II. f es sobreyectiva.
III. f es biyectiva.
A) VVV B) FFF C) VFF
D) FVF E) VFV
7. Sea f la función definida por
f(x)=x3+x2+ax+b; x ≥ 1
donde f * es la función inversa de f, además
f *(0)=1 y f *(5)=2. Calcule f(3)
A) 30 B) 36 C) 12
D) 48 E) 24
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8. Determine las funciones inversas de
f = ( ) ( ) −( ){ }2 3 5 1 7 0; , ; , ;
g(x)=3x – 5 ∧ Domg=〈 – 1; +∞〉
A) f* ; , ; , ;= ( ) ( ) −( ){ }3 2 1 5 0 7
g
x
gx( ) =
+
∧ = − + ∞* Dom * ;
5
3
8
B) f* ; , ; , ;= ( ) ( ) ( ){ }3 2 1 5 0 7
g
x
gx( ) =
+
∧ = − + ∞* Dom * ;
5
3
8C) f* ; , ; , ;= ( ) ( ) −( ){ }3 2 0 5 1 7
g
x
gx( ) =
+
∧ = − + ∞* Dom * ;
3
5
7
D) f* ; , ; , ;= ( ) ( ) −( ){ }3 2 5 1 0 7
g
x
gx( ) =
+
∧ = − + ∞* Dom * ;
3
5
6
E) f* ; , ; , ;= ( ) ( ) −( ){ }3 2 5 1 7 0
g
x
gx( ) = +
∧ = − + ∞* Dom * ;
3
5
7
9. Calcule la función inversa de h si
h(x)=x2 – 4x+1 ∧ Dom h=〈 – ∞; 1]
A) h x hx( ) = + + = − + ∞
* ; Dom * ;2 3 2
B) h x hx( ) = − + = − + ∞
* ; Dom * ;2 3 2
C) h x hx( ) = − + = −∞ ]* ; Dom * ;2 3 1
D) h x hx( ) = + + = − + ∞
* ; Dom * ;2 3 1
E) h x hx( ) = − + = − + ∞
* ; Dom * ;3 2 1
10. Sea la función f : 〈–2; 2〉 → R
tal que f
x
xx( ) = − 2
Indique la gráfica de f*.
A)
X
Y
– 2
2
B)
X
Y
– 2 2
C)
X
Y
– 2 2
D)
X
Y
2
2
E)
X
Y
– 2
– 2
2
2
Práctica domiciliaria
1. Sean las funciones
f
x
x
x n nx( ) = ≠ ∈
sen
; ; π Z
g
x
x
x
n
nx( ) = ≠
+
∈
cos
; ;
2 1
2
π R
h x x xx( ) = + + ∈4 2 1; Z
indique la secuencia correcta de verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. f es par.
II. g es impar.
III. h es par.
A) FFV B) VFV C) VVV
D) FVV E) FFF
2. ¿Cuáles de las funciones siguientes son
inyectivas?
I. f(x)=2x – 5
II. g xx( ) = −1
III. h(x)=1– x2
A) I y II B) II y III C) solo I
D) I, II y III E) I y III
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3. Si f: [– 2; 3〉 → 〈a; b]
es una función sobreyectiva, tal que
f(x)=3 – x, determine f(ab+b – 3).
A) 2 B) 1 C) –1
D) 3 E) 0
4. Dada la función f: A → [3; 28]
tal que f(x)=x2–4x+7. Si f es sobreyectiva, de-
termine su dominio.
A) [2; 7] B) [–3; 6] C) [–2; 7]
D) [3; 7] E) [–3; 7]
5. Sea f una función, tal que
f: Z+ → Z+
f
n n
n nn( ) =
+
−
1
1
;
;
impar
par
Si Dom f=Z+, indique la secuencia correcta de
verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones.
I. f es inyectiva.
II. f es sobreyectiva.
III. f es biyectiva.
A) VVV B) VFF C) FFF
D) FVF E) VFV
6. Se define la función H: A → R, tal que
H(x)=x2–6x+1; A=DomH
Indique el número de proposiciones correctas.
I. Si A ⊂ [3; + ∞〉, H es inyectiva.
II. Si A ⊂ 〈– ∞; 3], H es inyectiva.
III. Si A ⊂ 〈3; + ∞〉, existe H*.
IV. Si A=R, no existe H*.
A) 4 B) 3 C) 2
D) 1 E) 0
7. Si f x xx( ) = + + −2 3 4
para todo x ∈ 〈4; +∞〉, calcule f f14
1
21
1
( )
−
( )
−+ .
A) 13 B) 17 C) 5
D) 8 E) 20
8. Si se tiene la función
f *: R – → R+, tal que f
x
x( ) =
*
2
3
,
calcule la función f.
(f * es la función inversa de f )
A) f x xx( ) = ≥3 0;
B) f x xx( ) = >3 0;
C) f x xx( ) = >3 0;
D) f x xx( ) = − >3 0;
E) f x xx( ) = − >3 0;
9. Calcule la función inversa (f –1) de
f
x x
x
xx( ) =
+ ≥
−
<
3 2 0
1
2
0
;
;
A) f
x
x
x
x
x( )
− =
−
≥
+ − < <
1
2
3
2
1
2
1
2
0
;
;
B) f
x
x
x
x
x( )
− =
−
≥
− − ≤ <
1
2
3
2
1
2
1
2
0
;
;
C) f
x
x
x
x
x( )
− =
−
≥
+ − < <
1
3
2
2
1
2 2 0
;
;
D) f
x
x
x
x
x( )
− =
−
≥
+ <
1
2
3
2
1
2 0
;
;
E) f
x
x
x
x
x( )
− =
−
≥
+ − < <
1
2
3
3
1
2
1
2
0
;
;
Anual Virtual UNI Álgebra
10. Dada la función
f(x)=x3–6x2+12x–6; x ∈ R
Si F(x) es la función inversa de f(x), halle F(x).
A) x x− ∈23 ; R
B) x x− + ∈ +2 23
0; R
C) x x− + ∈2 23 ; R
D) x x− + ≥2 2 0;
E) x x+ − ∈2 23 ; R
11. Determine el dominio y la regla de correspon-
dencia de f si su función inversa es la siguiente.
f x y y x x x* ; ;= ( ) ∈ = − + ∧ ∈ − ]{ }R2 2 2 5 2 1
A) 4 13 1 4; ∧ = + −( )f xx
B) 3 13 1 3; ∧ = − −( )f xx
C) 4 13 2 4; ∧ = − −( )f xx
D) 3 13 2 3; ∧ = + −( )f xx
E) 4 13 1 4; ∧ = − −( )f xx
12. Si g es la función inversa de g*, tal que
g*(x)=x7+1, determine la gráfica de g.
A)
X
Y
1
B)
X
Y
–1
C)
X
Y
1
D)
–1
X
Y E)
–1
X
Y
1
13. Si la gráfica de h es
esboce la gráfica de h x( )
* .
A)
X
Y
– 2 1
B)
X
Y
– 2 1
C)
X
Y
– 2 2
D)
X
Y
– 2 1
E)
X
Y
– 2 1
X
1
– 2
Y
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14. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones si se tiene en
cuenta que f y g son funciones reales de va-
riable real.
I. Si f es creciente y g es decreciente, enton-
ces (f+g) es nula.
II. Si f(x) es creciente, entonces f(–x) es decre-
ciente ∀ x; –x ∈ Dom f.
III. Si g(x) es decreciente, entonces g(–x) es cre-
ciente ∀ x; –x ∈ Dom g.
A) VVV B) FFV C) FVV
D) FFV E) FFF
15. Dadas las funciones
f x xx( ) = −( ) −( ) +1 5 4
g(x)=x2–6x+12
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I. Domf=Domg
II. (f+g) es decreciente ∀ x < 0
III. Ran(f+g)= [3; + ∞〉
IV. El mínimo valor de (f+g) es 3.
A) FFVV B) FVFF C) VFVV
D) VVFF E) VVVV
01 - C
02 - A
03 - B
04 - E
05 - A
06 - A
07 - A
08 - E
09 - A
10 - C
11 - E
12 - C
13 - A
14 - C
15 - E