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Álgebra P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo : Anual Virtual UNI Docente: Jimmy Astupillo Gráfica de funciones Semana 22 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓á𝒕𝒊𝒄𝒂 𝑪𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒈𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Gráfica de funciones C U R S O D E Á L G E B R A Los gráficos nos permiten comprender fácilmente nuestro entorno, el electroencefalograma detecta y registra los patrones de las ondas cerebrales. Es por ello que es importante estudiar las gráficas de funciones. Iniciamos la sesión entendiendo su definición y conociendo algunas gráficas notables, la función constante, lineal y cuadrática. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Gráfica de una función C U R S O D E Á L G E B R A Definición La gráfica de una función 𝑓 es la representación de todos sus pares ordenados 𝑥, 𝑦 en el plano cartesiano. 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = Τ𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑥 ∈ Dom𝑓 ∧ 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑓 = 2; 3 ; 4; −1 ; −1; 2 ; −3; 1 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Grafique la función 1 2−2 −1 3 4−3 0 −1 𝑋 𝑌 1 2 3 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 Una gráfica corresponde a una función, si al trazarle rectas verticales, estas la intersecan a lo más en un solo punto. Propiedad La gráfica de 𝑓 sí corresponde a una función. 𝒇 𝒈 La gráfica de 𝑔 no corresponde a una función. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Todo punto que pertenece a la gráfica de una función, 𝒇 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧: Verifica lo siguiente. 𝑎; 𝑏 𝑋 𝑌 𝑎 𝑏 𝑏 = 𝑓 𝑎 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Se muestra la gráfica de la función 𝑓. Calcule el valor de 𝑓 −2 . 𝑓 5 + 𝑓 4 . 𝑓 0 𝑿 𝒀 4 7 5 −2 Observe que • 𝑓 −2 = 0 • 𝑓 4 = 7 • 𝑓 0 = 5 ∴ 𝑓 −2 . 𝑓 5 + 𝑓 4 . 𝑓 0 0 . 𝑓 5 = 35 Resolución + 7 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧: Para encontrar los cortes de la gráfica con los ejes: Corte con el eje X: y=0 Corte con el eje Y: x=0 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: La gráfica de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑋 𝑌 A B C 𝒇 Encontramos los cortes con los ejes: Corte con el eje Y: x =0 → = 𝑓 0 = (0)2−5(0) + 6𝑦 → 𝑦 = 6 → A = (0; 6) Corte con el eje X: y=0 → 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑥 𝑥 −3 −2 → 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 2 Las coordenadas son: → B = (2; 0) ; C = (3; 0) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Para encontrar los puntos de intersección de dos gráficas, 𝒇 𝒈 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧: se deben igualar las reglas de correspondencias. 𝑥1; 𝑦1 𝑥2; 𝑦2 C U R S O D E Á L G E B R A 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Halle los puntos de intersección puntos en común 𝐴 y 𝐵 entre las gráficas de 𝑓 y 𝑔 𝑋 𝑌𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 −3 1 3 Resolución: 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 → 𝑥2 + 1= 𝑥 + 3 → 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑥 𝑥 +1 −2 → 𝑥1 = −1 ∨ 𝑥2 = 2 𝑥1 𝑥2 Luego 𝑦1 = 𝑓−1 = 𝑔 −1 𝑦2 = 𝑓 2 = 𝑔 2 𝐴 𝑥1; 𝑦1 𝐵 𝑥2; 𝑦2 ൝ ∴ Los puntos de intersección son 𝐴 −1;2 y 𝐵 2; 5 = 2 = 5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Gráficas notables 1. Función constante C U R S O D E Á L G E B R A 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: Es aquella función cuya regla de correspondencia es: 𝑓 𝑥 = 𝑘 ; 𝑘 ∈ ℝ Grafique 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 𝑦 −2 3 −1 3 0 3 1 3 2 3 ✓ La gráfica es una recta horizontal ✓ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = 3 1 2−2 −1 3−3 0 𝑋 𝑌 1 2 3 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 𝟐: 𝑋 𝑌 • 𝑔 𝑥 = 2 𝑋 𝑌 • ℎ 𝑥 = −3 0 0 2 −3 𝒇 𝒈 𝒉 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 2. Función signo 𝑓 𝑥 = sgn(𝑥) C U R S O D E Á L G E B R A = ൞ 1 ; 𝑥 > 0 0 ; 𝑥 = 0 −1 ; 𝑥 < 0 su gráfica es: 𝑋 𝑌 −1 0 1 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: 𝑓 𝑥 = sgn(𝑥 − 2) = ൞ 1 ; 𝑥 − 2 > 0 0 ; 𝑥 − 2 = 0 −1 ; 𝑥 − 2 < 0 su gráfica es: 𝑋 𝑌 −1 0 1 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 3. Función identidad 𝐼 𝑥 = 𝑥 Es aquella función cuya regla de correspondencia es Su gráfica es: 𝑥 𝑦 −2 −2 −1 −1 0 0 1 1 2 2 1 2−2 −1 3−3 0 𝑋 𝑌 1 2 3 −3 −2 −1 𝑰 𝟒𝟓° C U R S O D E Á L G E B R A 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧: La función: 𝑓 𝑥 = −𝑥 Su gráfica es: 𝑥 𝑦 −2 2 −1 1 0 0 1 −1 2 −2 1 2 −2 −1 3 −3 0 𝑋 𝑌 −1 −2 −3 3 2 1 𝒇 𝟏𝟑𝟓° C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 4. Función lineal 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0 Es aquella función cuya regla de correspondencia es − 𝑏 𝑎 ⟵ T.I. Raíz Función creciente 𝑋 𝑌 𝑏 − 𝑏 𝑎 T.I. ⟶ 𝑋 𝑌 𝑏 Función decreciente C U R S O D E Á L G E B R A 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: • Grafique 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6 𝑋 𝑌 • Grafique 𝑔 𝑥 = −3𝑥 𝑋 𝑌 ↑ Raíz ↑ Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0 Su gráfica es: ✓ Solo se necesitan dos puntos para su gráfica ✓ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ = T.I. Raíz = −6 3 𝑥 𝑦 0 0 −6 3 = T.I.Raíz = 0 1 𝑥 𝑦 0 −3 1 −3 Tabulando Tabulando 𝒇 𝒈 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Pendiente de la recta Se define como la tangente del ángulo formado por la recta inclinada y el eje 𝑥, en posición normal. 𝜽 𝐍𝐨𝐭𝐚: 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝜽 0° < 𝜃 < 90° 90° < 𝜃 < 180° 𝑓 𝑥 = 𝒂𝑥 + 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0Sea pendiente = tan 𝜃 = 𝒂 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: La gráfica de la función lineal 𝑓 𝑥 = 𝒂𝑥 + 𝑏 es 𝑋 𝑌 𝟑𝟎° 𝟐 Calcule 𝑎𝑏 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Del gráfico tenemos: 𝑏 = 2 (Por término independiente) Por pendiente 𝑎 = 𝑡𝑎𝑛30° → 𝑎 = 1 3 × 3 3 = 3 3 → 𝑎𝑏 = 2 3 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝐍𝐨𝐭𝐚: Ecuación simétrica de una recta Si conocemos los puntos de corte de la recta con los ejes X e Y, entonces conocemos su ecuación. 𝑋 𝑌 𝒂 𝒃 Su ecuación simétrica es: 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨: Encontrar las coordenadas del punto P 𝑋 𝑌 −𝟔 −𝟑 −𝟒 𝟐 𝑷 𝒇 𝒈 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧: Utilizando la ecuación simétrica de la recta, tenemos: En 𝑓: 𝑥 −6 + 𝑦 −3 = 1 → 𝑥 + 2𝑦 = −6 En 𝑔: 𝑥 −4 + 𝑦 2 = 1 → 𝑥 − 2𝑦 = −4 ൞ 𝑥 = −5 𝑦 = − 1 2 → 𝑷 = (−5;− 1 2 ) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 5. Función cuadrática C U R S O D E Á L G E B R A 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0 Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 𝑦 −2 4 −1 1 0 0 1 1 2 4 1 2−2 −1 0 𝑋 𝑌 1 2 3 4 Tabulando En general, la función cuadrática tiene la siguiente regla de correspondencia: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘 vértice Observación: ✓ 𝑓 𝑥 = −𝑥2 es una parábola abierta hacia abajo. 𝑋 𝑌 Su gráfica es: Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑉 ℎ; 𝑘 ℎ ℎ 𝑘 𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘 Completando cuadrados se tiene: ✓ La gráfica obtenida se llama parábola. T.I. ⟶ 𝑐 Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘 T.I. ⟶ 𝑐 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Gráficas notables C U R S O D E Á L G E B R A 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨: Grafique 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 1 2 30 𝑋 𝑌 1 2 3 −1 Resolución: → 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 − 1 Se tiene 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 → 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3+ 𝟒 − 𝟒 Coordenadas del vértice: 2;−1 • Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎 = 𝟎2 − 4.𝟎 + 3 + 3= 𝑦𝑓 0 • Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎 𝑥 − 2 2 − 1𝟎 = → 𝑦 = 3 → 𝑥 − 2 2 = 1 → 𝑥 − 2 = 1 ∨ 𝑥 − 2 = −1 → 𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = 1 𝑉 2;−1 2. La ordenada del punto de corte con el eje 𝑌 es el T.I. 1. Las abscisas del punto de corte con el eje 𝑋 son las raíces reales (considerando que las raíces reales). C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑉 ℎ; 𝑘 ℎ ℎ 𝑘 𝑘 𝑉 ℎ; 𝑘 Observación: El vértice 𝑉 ℎ; 𝑘 es el punto más alto o más bajo, según sea la gráfica de la función 𝑓. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0 𝑓mín = 𝑓máx = ℎ =− 𝑏 2𝑎 ; 𝑘 =𝑓 − 𝑏 2𝑎 y Dom𝑓 = ℝ Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo Punto mínimo Punto máximo donde 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨: Se lanza una piedra al aire tal que su altura queda determinada por lafunción 𝑓 𝑡 = −5𝑡2 + 50𝑡, donde 𝑡 es el tiempo en segundos y 𝑓 𝑡 es la altura en metros. Halle el tiempo en el que la piedra alcanza su máxima altura y cuál es dicha altura. Resolución: 𝑓 𝑡 = −5𝑡2 + 50𝑡Se tiene = − 50 2 −5 = 𝟓ℎ La altura máxima se encuentra en el vértice de la parábola tiempo altura 𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝑉 5; 125 𝒇𝒎á𝒙 = 𝑓 𝟓 = −5 𝟓 2 + 50. 𝟓𝑘 = = 𝟏𝟐𝟓 ∴ Para 𝑡 = 5 s se alcanza la altura máxima de 125 m. ൞ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Raíces reales y diferentes Raíces reales e iguales Raíces no reales 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 ∆ > 𝟎 ∆ = 𝟎 ∆ < 𝟎 𝑎 > 0 𝑎 < 0 𝑥1 𝑥1 = 𝑥2 𝑥2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 = 𝑥2 C U R S O D E Á L G E B R A Propiedades: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑎 ≠ 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟏 Si la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑛 − 3 𝑥 + 1 no interseca al eje𝑋, halle el mayor valor entero de 𝑛. Resolución: Como la parábola no interseca al eje 𝑋, las raíces de 𝑓 son no reales. Luego: ∆ < 0 → 𝑛 − 3 2 − 4 1 1 < 0 → 𝑛 − 3 2 < 4 → −2 𝑛 − 3< < 2 → 1 < 𝑛 < 5 ∴ máximo entero 𝑛 = 4 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐 A continuación se muestra la gráfica de la función cuadrática 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑛 − 3 𝑥 − 6𝑛. Halle 𝑛. Resolución: Como la parábola es tangente al eje 𝑋, las raíces de 𝑓 son reales e iguales. Luego: ∆ = 0 → 2𝑛 − 3 2 − 4 1 −6𝑛 = 0 → 4𝑛2 − 12𝑛 + 9 → 4𝑛2 + 12𝑛 + 9 ∴ 𝑛 = − 3 2 𝑋 𝑌 + 24𝑛 = 0 = 0 2𝑛 + 3 2 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
