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Álgebra P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Docente: Jimmy Astupillo Anual Virtual Uni Funciones especiales y función inversa Semana 25 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Función inversa En este tema se definen funciones especiales y la función inversa. Sus aplicaciones se encuentra en matemática superior e ingeniería. Al enviar un mensaje de voz, una persona emite una señal analógica el cual capta el celular A, aplica un codificador (𝑓) y lo transforma en una señal digital, esta señal viaja hasta su destino llegando como señal digital al celular B, éste le aplica un decodificador (𝑓∗) y lo transforma en una señal analógica, para que el receptor pueda escuchar el mensaje. 𝐸𝑚𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑎𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑎𝑛𝑎𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑆𝑒ñ𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙 𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑓) 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑓∗) 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Funciones especiales C U R S O D E Á L G E B R A Función par Diremos que f es par, solo si: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∧ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 Ejemplos Son funciones pares, en todo su dominio, las siguientes funciones 𝑎) 𝑓 𝑥 = 7 ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑏) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑐) ℎ 𝑥 = 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ Observación Las gráficas de las funciones pares, son simétricas respecto al eje Y 𝑋 𝑌 𝑥−𝑥 (𝑥; 𝑓 𝑥 )(−𝑥; 𝑓 −𝑥 ) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Función impar Diremos que f es impar, solo si: 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∧ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 Ejemplos Son funciones impares, en todo su dominio, las siguientes funciones 𝑎) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑏) 𝑔 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑐) ℎ 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥) ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ Observación Las gráficas de las funciones impares, son simétricas respecto al origen de coordenadas C U R S O D E Á L G E B R A 𝑋 𝑌 𝑥 −𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(−𝑥) (𝑥; 𝑓 𝑥 ) (−𝑥; 𝑓 −𝑥 ) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teoremas 1) La suma de dos funciones pares es par. Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥4 son funciones pares → (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥4 Es una función par 2) La suma de dos funciones impares es impar. Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 son funciones impares → (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥 Es una función impar 3) El producto de dos funciones pares es par. Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥4 son funciones pares → (𝑓. 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑥2. 𝑥4 Es una función par = 𝑥6 4) El producto de dos funciones impares es par. Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 son funciones impares → (𝑓. 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑥3. 𝑥 Es una función par = 𝑥4 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Funciones monótonas Función creciente Una función f es creciente en 𝑎; 𝑏 si para todo 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏 𝑥1 < 𝑥2 se cumple 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2) Ejemplo La función 𝑓 𝑥 = 𝑥 es creciente; ∀𝑥 ≥ 0 𝑋 𝑌 𝑥1 𝑥2 𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2) 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2) Observación En una función f creciente y continua, se cumple: 𝑋 𝑌 𝑎 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑓(𝑏) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎; 𝑏 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑓(𝑎); 𝑓(𝑏) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Función decreciente Una función f es decreciente en 𝑎; 𝑏 si para todo 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏 𝑥1 < 𝑥2 se cumple 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2) Ejemplo La función 𝑓 𝑥 = −𝑥 es decreciente; ∀𝑥 ≤ 0 𝑋 𝑌 𝑥1 𝑥2 𝑓(𝑥1) 𝑓(𝑥2) 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2) Observación En una función f decreciente y continua, se cumple: 𝑋 𝑌 𝑎 𝑓(𝑏) 𝑏 𝑓(𝑎) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎; 𝑏 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑓(𝑏); 𝑓(𝑎) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Teoremas 1) La suma de dos funciones crecientes es creciente Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 son funciones crecientes → (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 Es una función creciente en 𝑥 ≥ 0 2) La suma de dos funciones decrecientes es decreciente Tenemos: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 ; 𝑥 > 0 ; 𝑔 𝑥 = −𝑥 son funciones decrecientes → (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 − 𝑥 Es una función decreciente en 𝑥 > 0 3) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones crecientes entonces 𝑓𝑜𝑔 es creciente Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 son funciones crecientes → (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 2 = 𝑥 − 1 + 2 donde 𝑥 ≥ 1 es una función creciente 4) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones decrecientes entonces 𝑓𝑜𝑔 es creciente Tenemos: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 ; 𝑥 > 0 ; 𝑔 𝑥 = −𝑥 son funciones decrecientes → (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 1 𝑔 𝑥 = 1 −𝑥 = − 1 𝑥 donde 𝑥 < 0 es una función creciente C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 5) Si 𝑓 es creciente y 𝑔 es decreciente entonces 𝑓𝑜𝑔 es decreciente Tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 crece ; 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 decrece → (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 2 = 1 𝑥 + 2 donde 𝑥 > 0 , es una función decreciente 6) Si 𝑓 es decreciente y 𝑔 es creciente entonces 𝑓𝑜𝑔 es decreciente Tenemos: 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2 decrece ; 𝑔 𝑥 = 𝑥3 crece → (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = −𝑔(𝑥) + 2 = −𝑥3 + 2 es una función decreciente Puedes recordar los resultados de la composición de funciones crecientes y decrecientes, trabajando con la ley de signos de la multiplicación. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 → + 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 → − 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒+ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒− 𝑔 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑔 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − + 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ; 𝑥 > 0 𝑓𝑜𝑔 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Función inyectiva Llamado también función univalente o uno a uno. Una función f es inyectiva si a dos elementos diferentes en el dominio, le corresponden dos elementos diferentes en el rango, es decir: 𝑆𝑖 𝑎 ≠ 𝑏 → 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓(𝑏) ; ∀ 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 Ejemplo 𝐴 𝐵 𝑓 1 3 2 5 3 7 4 9 𝑓 es inyectiva 𝐶 𝐷 𝑔 1 3 2 5 3 7 4 9 𝑔 no es inyectiva En forma equivalente: Una función es inyectiva, si todo elemento de su rango le corresponde un solo elemento del dominio. 𝑆𝑖 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏) → 𝑎 = 𝑏 ; 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 Ejemplo Pruebe que 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − 1 ; 𝑥 ≠ 1 es inyectiva Resolución Sean 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 Si 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏) → 2 𝑎 − 1 = 2 𝑏 − 1 → 𝑎 − 1 = 𝑏 − 1 → 𝑎 = 𝑏 ∴ 𝑓 es inyectiva C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ¡ 𝐈𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞! En forma gráfica, se dice que una función f es inyectiva si toda recta horizontal (paralela al eje X), corta a la gráfica de la función a lo más en un punto. Ejemplo 𝑋 𝑌 𝑓 f es inyectiva 𝑋 𝑌 𝑔 g no es inyectiva Función sobreyectiva Llamada también función sobre o suryectiva. La función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es sobreyectiva cuando el conjunto de llegada 𝐵 es el rango, es decir 𝑓 es sobreyectiva ↔ 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝐵 Ejemplo Sea la función 𝑓: 1; 4 → 5; 11 𝑥 → 2𝑥 + 3 ¿es sobreyectiva? Resolución Tenemos 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 ; 𝑥 ∈ 1; 4 hallemos su rango → 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 → 2 ≤ 2𝑥 ≤ 8 → 5 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 11 → 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 5; 11 Como el rango es igual al conjunto de llegada f si es sobreyectiva∴ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ¡ 𝐈𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞! Si en una función no se indica el conjunto de llegada, entonces se asume que el rango es el conjunto de llegada por lo tanto la función es sobreyectiva. Ejemplo Dada la función 𝑓 𝑥 = 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 ; 𝑥 ∈ ℝ Como no se indica el conjunto de llegada → 𝑓 es sobreyectiva Función biyectiva Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vezEjemplo 𝑥 Si 𝑓: 2; 4 → 7;𝑚 → 2𝑥 + 𝑛 es una función biyectiva. Calcule 𝑚.𝑛 Resolución Tenemos: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 𝑛 ; 𝑥 ∈ 2; 4 ; es biyectiva, su gráfica es 𝑋 𝑌 2 7 4 𝑚 𝑓 2 = 2(2) + 𝑛 = 7 → 𝑛 = 3 𝑓 4 = 2(4) + 𝑛 = 𝑚 ቄ 3 → 𝑚= 11 ∴ 𝑚.𝑛 = 33 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Función inversa Sea 𝑓 = 𝑥; 𝑦 / 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función Se define la función inversa 𝑓∗(o también 𝑓−1) como: 𝑓∗ = (𝑦; 𝑥) /𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑦 = 𝑓 𝑥 Propiedades: 1) 𝐷𝑜𝑚𝑓∗= 𝑅𝑎𝑛𝑓 ∧ 𝑅𝑎𝑛𝑓∗ = 𝐷𝑜𝑚𝑓 2) 𝑓 𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑓∗ 𝑦 3) (𝑓∗𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 4) (𝑓𝑜𝑓∗)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ 5) (𝑓∗)∗= 𝑓 6) La gráfica de 𝑓∗ es simétrica a la gráfica de 𝑓 respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 𝑋 𝑌 𝑓 𝑓∗ (𝑥; 𝑦) (𝑦; 𝑥) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 inyectiva. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo Si 𝑓 = (1; 4); (2; −3) ; (−1; 0) ; (−2; 5) ; (4; 1) 𝑓∗ = (4; 1); (−3; 2) ; (0;−1) ; (5; −2); (1; 4) Entonces a) 𝐷𝑜𝑚𝑓= 1 ; 2; −1 ;−2 ; 4 ; 𝑅𝑎𝑛𝑓= 4 ;−3 ; 0 ; 5 ; 1 b) 𝐷𝑜𝑚𝑓∗= 4 ;−3 ; 0 ; 5 ; 1 ; 𝑅𝑎𝑛𝑓∗= 1 ; 2; −1 ;−2 ; 4 𝐷𝑜𝑚𝑓∗= 𝑅𝑎𝑛𝑓 ; 𝑅𝑎𝑛𝑓∗ = 𝐷𝑜𝑚𝑓 Luego: 𝑓(1) = 4 → 1 = 𝑓∗(4) 𝑓(−3)= 2 → −3= 𝑓∗(2) 𝑓(0) = −1 → 0 = 𝑓∗(−1) 𝑓(5) = −2 → 5 = 𝑓∗(−2) 𝑓(1) = 4 → 1 = 𝑓∗(4) 𝑓(𝑎) = 𝑏 → 𝑎 = 𝑓∗(𝑏) Además 𝑓∗𝑜𝑓 = (1; 1); (2; 2) ; (−1;−1); (−2;−2) ; (4; 4) 𝑓𝑜𝑓∗ = (4; 4); (−3;−3) ; (0; 0) ; (5; 5) ; (1; 1) (𝑓∗𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 (𝑓𝑜𝑓∗)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ Tenemos: 𝑓∗ = (4; 1); (−3; 2) ; (0;−1) ; (5; −2); (1; 4) 𝑓∗ ∗ = (1; 4); (2; −3) ; (−1; 0) ; (−2; 5) ; (4; 1) 𝑓∗ ∗ = 𝑓 Observación: 𝑓 = 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 4 ; 6; 7 es una función no inyectiva, su inversa 𝑓∗ = 2; 1 4; 3 4; 5 7; 6 no es función Por ello es importante garantizar que la función es inyectiva para realizar el cálculo de la inversa. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Cálculo de la función inversa (𝒇∗) Dado la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 Para calcular la función inversa, se tiene: 2) Cálculo del 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ Para ello, se calcula el rango de f, porque 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ 3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗(𝑥) Para ello: • Se despeja 𝑥 en función de 𝑦 • Se intercambia 𝑥 con 𝑦 Luego, la función inversa queda definida: 𝑦 = 𝑓∗(𝑥) ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: Encuentre la función inversa de: 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 ; 𝑥 ∈ 1; 5 1) Demostrar que 𝑓 es inyectiva Resolución Graficamos la función, tenemos: 𝑋 𝑌 1 𝑓(1) 5 𝑓(5) 𝑓 1) Como la gráfica es una recta, la función es inyectiva. 2) Tenemos: 𝑓 1 = 3(1) + 1 = 4 𝑓 5 = 3(5) + 1 = 16 → 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 4; 16 = 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ 4 = 16 = 3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗(𝑥) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1𝑦 = → 𝑥 = 𝑦 − 1 3 • Se despeja 𝑥: • Se intercambia 𝑥 con 𝑦: 𝑦 = 𝑥 − 1 3 = 𝑓∗ (𝑥) → 𝑓∗(𝑥) = 𝑥 − 1 3 ; 𝑥 ∈ 4; 16 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: Encuentre la función inversa de: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 ; 𝑥 ∈ −6; 0 Resolución Graficando la función, tenemos: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 = (𝑥 − 1)2 − 1 = 𝑥(𝑥 − 2) 𝑋 𝑌 0 2−6 𝑓 −6 𝑓 1) Por su gráfica, es una función inyectiva 2) Tenemos: 𝑓 −6 = (−6)2−2(−6) = 50 𝑓 0 = (0)2−2(0) = 0 → 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0; 50 = 𝐷𝑜𝑚𝑓∗ 3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗(𝑥) • Se despeja 𝑥: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 = = (𝑥 − 1)2 + 1 → (𝑥 − 1)2 + 1 = 𝑦 ; 𝑥 ∈ −6; 0 → (𝑥 − 1)2 = 𝑦 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 0 → 𝑥 − 1 = 𝑦 − 1 ∨ 𝑥 − 1 = − 𝑦 − 1 → 𝑥 = 1 + 𝑦 − 1 ∨ 𝑥 = 1 − 𝑦 − 1 No cumple −6 ≤ 𝑥 ≤ 0 • Se intercambia 𝑥 con 𝑦: 𝑦 = 1 − 𝑥 − 1 = 𝑓∗ (𝑥) ∴ 𝑓∗(𝑥) = 1 − 𝑥 − 1 ; 𝑥 ∈ 0; 50 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟑: Encuentre la gráfica de la función inversa de: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1 Resolución En forma gráfica tenemos: 𝑋 𝑌 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 1 𝑦 = 𝑥 1 𝒚 = 𝒇∗(𝒙) C U R S O D E Á L G E B R A Teoremas Sean 𝑓, 𝑔 funciones biyectivas, se cumple: 1) 𝑘𝑓(𝑥) ∗ = 1 𝑘 . 𝑓∗(𝑥) ; 𝑘 ∈ ℝ − 0 E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 → 𝑓∗ 𝑥 = 3 𝑥 Luego: = 5𝑓(𝑥) ∗= 1 5 . 𝑓∗(𝑥) = 1 5 . 3 𝑥5𝑥3 ∗ 2) (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ∗ = (𝑔∗𝑜𝑓∗)(𝑥) E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 → 𝑓∗ 𝑥 = 3 𝑥 además 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1 → 𝑔∗ 𝑥 = 𝑥 + 1 2 Luego: Halle (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ∗ = (𝑔∗𝑜𝑓∗)(𝑥) = 𝑔∗(𝑓∗(𝑥)) = 𝑓∗(𝑥) + 1 2 = 3 𝑥 + 1 2 (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ∗ w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
