Anual Uni Semana 26 - Aritmética

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo : Anual Virtual UNI
Docente: Ramiro Díaz Vásquez
REFORZAMIENTO
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Retroalimentar los temas más
saltantes desde nuestro último
reforzamiento.
• Aplicar los conocimientos adquiridos
en estos temas en la resolución de
problemas .
Con tarjeta CHIPLEY
(……5)𝐾= … . . 5 ; K∈ Ζ+
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
En este capítulo se busca reforzar los temas
de mayor incidencia, tratados en las últimas
semanas; y la forma de aplicar los aspectos
teóricos en la resolución de problemas;
haciendo énfasis en aquellos problemas
tipo examen de Admisión.
C U R S O D E A R I T M É T I C A
INTRODUCCIÓN 
PROBABILIDADES
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
CONCEPTOS PREVIOS
Experimento aleatorio (𝛆) Espacio muestral (Ω)
Son aquellas pruebas o ensayos en los cuales no
podemos precisar su resultado, ya que depende del azar.
Ejemplos
1. 𝜀1: Lanzar un dado y observar
el número que sale en la cara
superior del dado.
2. 𝜀2 : Lanzar dos monedas y
observar la figura que salen en la
cara superior de las monedas.
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados
de un experimento aleatorio.
Ejemplos
1. El espacio muestral asociado al experimento aleatorio
de lanzar un dado, será:
Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
2. El espacio muestral asociado al experimento aleatorio
de lanzar dos monedas, será:
Ω = { (C;C); (C;S); (S;C); (S;S) }
n(Ω) = 6
n(Ω) = 4
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
EVENTO 
Es un subconjunto del espacio muestral. Generalmente se denota utilizando letras mayúsculas (A, B, C, …)
Ejemplo 1
Del experimento aleatorio lanzar un dado y observar
el número que sale en la cara superior del dado.
El espacio muestral asociado a ese experimento
aleatorio será:
Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
Ahora definamos dos eventos:
A: obtener un resultado par.
A = { 2; 4; 6} n(A) = 3 
B: obtener un resultado menor que 5.
B = { 1; 2; 3; 4} n(B) = 4 
Ejemplo 2
Del experimento aleatorio lanzar dos monedas y
observar la figura que sale en la cara superior de las
monedas.
El espacio muestral asociado a ese experimento
aleatorio será:
Ahora definamos dos eventos:
D: obtener al menos una cara.
D = { (C;S); (S;C); (C;C) } n(D) = 3 
C: obtener figuras iguales.
C = { (C;C); (S;S) } n(C) = 2 
Ω = { (C;C); (C;S); (S;C); (S;S) }
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C AC U R S O D E A R I T M É T I C A
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento A, denotado por P(A), es el cociente entre la cantidad de casos favorables de que ocurra
el evento A y la cantidad total de posibles resultados de realizar el experimento aleatorio.
número de casos favorables de que ocurra el evento A 
P(A) =
número de casos totales de realizar el experimento aleatorio
APLICACIÓN 
Calcule la probabilidad de que al lanzar un dado,
se obtenga un número menor que 5.
ε : Lanzar un dado y observar el número que sale
en la cara superior del dado.
Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } n (Ω) = 6
Piden: P(B) =
n (B) 
n (Ω) 
4
6
2
3
= =
=
n (A) 
n (Ω) 
Resolución:
B: obtener un resultado menor que 5.
B = {1; 2; 3; 4} n(B) = 4 
APLICACIÓN 
Calcule la probabilidad de que al lanzar dos
monedas, resulte al menos una cara.
ε : Lanzar dos monedas y observar las figura que
sale en la cara superior de las monedas.
Ω = { (C,C); (C,S); (S,C); (S,S) } n (Ω) = 4
Piden: P(D) =
n (D) 
n (Ω) 
3
4
=
Resolución:
D: obtener al menos una cara.
D = { (C,S); (S,C); (C,C) } n(D) = 3 
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APLICACIÓN RESOLUCIÓN
RESPUESTA:
Piden: La probabilidad de que al escoger dos pruebas, estas sean defectuosas.
𝟏
𝟑
Se escogen al azar dos pruebas
rápidas para detectar el COVID 19
de un total de 10, de las cuales 6
son defectuosas, hallar la
probabilidad de que las dos sean
defectuosas
A)
2
3
B)
1
3
C)
4
5
D)
4
7
Del enunciado, podemos indicar que:
𝜀: elegir dos pruebas de un total de 10 que se tiene a disposición.
D1 D2
D3 … D6
B1
D: defectuosa
N° maneras diferentes de elegir
2 pruebas de las 10 disponibles = 𝑛 Ω = C
10
2
=
10!
8! 2!×
= 45
10 pruebas 
B2 B3 B4
B: buena
Sea A el evento. A : Las dos pruebas elegidas sean
defectuosas
𝑛 𝐴 C
6
2
=
6!
4! 2!×
= 15=
Luego:
P 𝐴
𝑛 𝐴
𝑛 Ω
=
15
45
=
1
3
=
Por lo tanto, la probabilidad de que las dos pruebas sean defectuosas es 1/3.
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APLICACIÓN
Se le pide a un estudiante que
escriba al azar un número de 3
cifras, halle la probabilidad de que
escriba.
I. Un número par.
II. Un número par que empieza
en uno.
A)
1
2
;
1
18
B)
1
2
;
1
9
C)
𝟏
𝟒
;
𝟏
𝟏𝟖
D)
𝟏
𝟒
𝐲
𝟏
𝟗
RESOLUCIÓN
Piden: Hallar las probabilidades en cada caso.
𝟏
𝟐
𝐲
𝟏
𝟏𝟖
RESPUESTA:
Por lo tanto, las probabilidades en cada caso seria
𝟏
𝟐
𝐲
𝟏
𝟏𝟖
.
Del enunciado:
𝓔 ∶ Escribir al azar un número de 3 cifras
De donde: 
abc = {100; 101; 102; 103;… . ; 998 ; 999 } → n = 900
℧
Entonces
A : Escribir un número par.
A = ሼ ሽ𝟏𝟎𝟎; 101; 102; 103;… . ; 998 ; 𝟗𝟗𝟗
n A = 450
De tal manera
P A =
n(A)
n( )
℧=
450
900
B: Escribir un número par que comienza en la cifra 1.
B = ሼ ሽ𝟏𝟎𝟎; 102; 104; 106;… . ; 196 ; 𝟏𝟗𝟖
n B = 50
De tal manera
P B =
n(B)
n( )
℧=
50
900
=
1
2
=
1
18
NUMERACIÓN
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Ejemplos:
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Ejemplos:
POR CIFRAS
POR BLOQUES
* 9874 = 9×103 + 8×102 + 7×10 + 4
* 657438 = 6×84 + 5×83 + 7×82 + 4×8 + 3
* 786025n = 7n5 + 8n4 + 6n3 + 2n + 5
* 727272 = 72×104 + 72×102 + 72
* 45345309 = 4539×94 + 4539×9
* 6506500658 = 678×87 + 658×84 + 658
CAMBIOS DE BASE
Primer Caso
De Base “n” a 
base 10
Por 
Descomposición 
Polinómica
Ejemplo:
Exprese 67438 en el sistema decimal 
67438 = 7×82 +6×83 + 4×8 + 3
= 3072 + 448 + 32 + 3
= 3555 67438 = 3555∴
Resolución:
Segundo Caso
De Base 10 a 
base “m”
Por Divisiones 
Sucesivas
Ejemplo:
Exprese 3546 en el sistema octonario
3746 8
2 468 8
4 58 8
2 7 
3746 = 72428
∴
Resolución:
Tercer 
Caso
De Base “n” a base “m”
Se aplican los dos casos anteriores, es decir:
BASE
“ n ≠ 10 “
BASE
“ m ≠ 10 “
BASE 10 
POR DESCOMPOSICIÓN 
POLINÓMICA
POR DIVISIONES 
SUCESIVAS
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CAMBIOS DE BASE ESPECIAL
1ER CASO:
* Se forman grupos de K cifras; a partir de la última cifra.
* Cada grupo así formado se descompone
polinómicamente, dicho resultado es la cifra en la nueva
base nK .
Ejemplo:
Exprese 10 202 112(3) en el sistema nonario.
10 20 21 12(3)
DE BASE “n” A BASE “ nK ” 
1x3+0 2x3+0 2x3+1 1x3+2
3 6 7 5(9)
10 202 112(3) = 3675(9)
∴
Resolución
2DO CASO:
* Cada cifra del numeral de la base nK genera un grupo
de k cifras en base n
* Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones
sucesivas entre n
Ejemplo:
Exprese 5 207(9) en el sistema ternario.
12 02 00 21(3)
DE BASE “nK ” A BASE “ n ” 
5 2 0 7(9)
5 207(9) = 12 020 021(9)
* Si las divisiones no generan K cifras, se completará con
ceros a la izquierda
5 3 
2 1
2 3 
2 0
0 3 
0 0
7 3 
1 2
∴
Resolución
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PROPIEDADES.
Numeral de Cifras Máximas1.
K cifras
n − 1 n − 1 n − 1 . . . (n − 1)n = nk − 1
Intervalo en el que se encuentra un numeral2.
K cifras
abc. . . pq n < nknk −1 ≤
APLICACIÓN 
Como el numeral es capicúa, se tendráRESOLUCIÓN 
𝑎 + 3 2𝑐 + 1 (𝑏 +1)(𝑏 + 2)
8
2 c + 1 = b+1
Si c = 1 3 b = 2
Si c = 2 5 b = 4
Si c = 3 7 b = 6
a+3 = b+2
4 a = 1
6 a = 5
8 No puede ser cifra 
de la base 8
a + b + c
= 4
= 9 Mayor valor
1 + 2 + 1
5 + 4 + 2
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APLICACIÓN
Piden la suma de cifras de: 𝑎 + 𝑏 + 𝑛 + 𝑘
= 213312𝑛9𝑎𝑏(𝒏𝟐)
Por cambio de base especial, llevaremos el numeral de
base “n” a la base “𝑛2”
21 33 12𝑛
21𝑛 33𝑛
se descompone polinómicamente cada 
bloque ; el resultado será la cifra en base 
𝑛2 .
(2𝑛 + 1)(3𝑛 + 3)(𝑛 + 2) 𝑛29𝑎𝑏 𝑛2 =
se igualan las cifras correspondientes
9 = 2𝑛 + 1 𝑛 = 4
𝑎 = 3𝑛 + 3 𝑎 = 15
𝑏 = 𝑛 + 2 𝑏 = 6
𝑛2 = 𝑘 𝑘 = 16
𝑎 + 𝑏 + 𝑛 + 𝑘 = 41 ∴ 4 + 1 = 5
RESOLUCIÓN
Por lo tanto, la suma de cifras es 5
DIVISIBILIDAD
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RESTOS POTENCIALES (R.P.)
Ejemplo:
Son los diferentes residuos positivos que se obtiene al
analizar las potencias consecutivas de un número entero
positivo, con respecto a cierto módulo
42 = 7 + 2°
41 = 7 + 4°
40 = 7 + 1°
45 = 7 + 2°
44 = 7 + 4°
43 = 7 + 1°
46 = 7 + 1
G = 3
G = 3
Se concluye
43k = 7 + 1°
43k+1 = 7 + 4°
43k+2 = 7 + 2°
⁞
Así tenemos
4300 = 7 + 1°
4602 = 7 + 2°
4901 = 7 + 4°
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio de divisibilidad por 2; 4 y 8
Módulo Criterio Caso particular
APLICACIÓN :
RESOLUCIÓN:
𝑎𝑏𝑐75𝑑
75𝑑
Luego:
7 5 𝑑 8
97 2
3 𝑑
4
3 2
0 ∴ 𝑑 = 𝟐
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2 + 𝑑° 𝑑 = 2°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 4 + 𝑐𝑑°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 4°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2°
𝑐𝑑 = 4°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 8 + 𝑏𝑐𝑑° 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 8° 𝑏𝑐𝑑 = 8°
Si 𝑎𝑏𝑐75𝑑 = 8, calcule 𝑑.°
=
=
°8
8°
2
4
8
Si
Si
Si
→
→
→
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Criterio de divisibilidad por 5; 25 y 125
Módulo Criterio Caso particular
APLICACIÓN:
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2 + 𝑑°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 4 + 𝑐𝑑°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 8 + 𝑏𝑐𝑑°
𝑑 = 2°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 4°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 2°
𝑐𝑑 = 4°
𝑎𝑏𝑐𝑑 = 8° 𝑏𝑐𝑑 = 8°
Si
Si
Si
Si 4𝑚𝑛66𝑎 = 25 + 13, calcule 𝑎.
°
RESOLUCIÓN:
4𝑚𝑛66𝑎 = 25 + 13
°
25 + 6𝑎
°
= 25 + 13
°
6𝑎 = 25 + 13
°
6𝑎 = 63
∴ 𝑎 = 𝟑
5
25
125
→
→
→
3° abcd = 3 + a + b + c + d°
9° abcd = 9 + a + b + c + d°
Criterio de divisibilidad por 3 y 9
APLICACIÓN:
Calcule el residuo que se obtiene al dividir 
57𝑎𝑎𝑎8 entre 3.
RESOLUCIÓN:
57𝑎𝑎𝑎8 3
𝑟
Podemos indicar que:
57𝑎𝑎𝑎8 = 3 + 5 + 7 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 8°
57𝑎𝑎𝑎8 = °3 + 20 + 3𝑎
3 + 2° 3°
57𝑎𝑎𝑎8 = 3 + 2°
∴ 𝑟 = 𝟐
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Criterio de divisibilidad por 11 y 7
Módulo Criterio Caso particular
→
APLICACIÓN (EX UNI 2000 II):
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 11
° 𝑓 − 𝑒 + 𝑑 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑎 = 11
°
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 11 + 𝑓 − 𝑒 + 𝑑 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑎
°
+ ++ −−−
→𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 7°
𝟏
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = 7 + 1𝑓 + 3𝑒 + 2𝑑 − 1𝑐 − 3𝑏 − 2𝑎°
𝟐 𝟏𝟑𝟐 𝟑
+−
°1𝑓 + 3𝑒 + 2𝑑 − 1𝑐 − 3𝑏 − 2𝑎 = 7
El número 𝑎26𝑏 es múltiplo de 11. Entonces la diferencia 
entre el mayor de ellos y el menor es:
RESOLUCIÓN:
𝑏 − 6 + 2 − 𝑎 =
𝑎 2 6 𝑏 = 11°
+−+−
11°
𝑏 − 𝑎 − 4 = 11°
−7
4
1er. Caso:
𝑏 + 7 = 𝑎
2do. Caso:
𝑏 = 𝑎 + 4
1
2
8
9
1
2
5
6
3
4
7
8
59
𝑎26𝑏máximo∴ 𝑎26𝑏mínimo
− = 12659262− = 𝟕𝟗𝟗𝟕
11
7
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e