Anual Uni Semana 36- Aritmética

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI
PLANA DE ARITMÉTICA 
(SEMANA 36) 
NÚMEROS 
AVALES III 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
OBJETIVOS
• Estudiar las características de un 
número decimal (aval) inexacto
periódico mixto.
• Determinar la fracción generatriz
de un número decimal (aval) 
inexacto periódico mixto.
• Aprender el cambio de base de 
números avales.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
INTRODUCCIÓN
Las antiguas civilizaciones no utilizaban las fracciones decimales,
Los egipciós se centraron en las fracciones unitarias y los
babilonios utilizaban un sistema sexagesimal manejando
fracciones cuyo denominadores eran potencias de 60.
Aunque las fracciones decimales eran conocidas y utilizadas por
árabes y chinos, se atribuye generalmente al científico y
matemático belga Simon Stevin (1548-1620), en sus obras la
Thiede y la Disme, la introducción de los decimales en el uso
común.
Stevin no utilizó nuestro actual sistema de anotación sino un
sistema propio , asi donde nosotros escribimos 923,456 , él lo
hacia 923(0) 4(1) 5(2) 6(3) simbolizando 923 unidades, 4
décimas, 5 centésimas y 6 milésimas.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
2) Número Decimal (Aval) Inexacto Periódico Mixto
Una fracción irreductible genera un número aval
inexacto periódico mixto, cuando su denominador
tiene como divisores primos al menos un divisor primo
de la base y otro factor primo PESI con la base.
Ejemplos:
•
27
55
=
27
5 × 11
Hay factor 5 y 11
•
92
185
=
92
5 × 37
Hay factor 5 y 37
= 0,490
= 0,4972
= 0,49090…
= 0,4972972…
•
1
6
=
1
2 × 3
Hay factor 2 y 3
= 0,16= 0,16666…
•
8
15
=
64
120
=
2245
4405
= 0,2313131…5 = 0,2෢315=
64
23 × 3 × 5
Hay factor 2; 3 y 5
Nota:
Para determinar el número de cifras de la parte no
periódica se considera el criterio del aval exacto y de la
parte periódica se considera el criterio del aval inexacto
periódico puro.
Ejemplos:
En base 10:
=
5
22 × 3
= 0,58෠3
1 cifra periódica
2 cifra no periódicas
Contenido en 9
•
5
12
=
19
51 × 11
= 0,3෢45
2 cifras periódicas
1 cifra no periódica
=
121
22 × 5 × 37
3 cifras periódicas
2 cifras no periódicas
= 0,16351
Contenido en 99
•
19
55
•
121
740
Contenido en 999
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
•
41
26×510×101×7
= 0,𝑎𝑏…𝑐 𝑥𝑦…𝑧
Contenido en 
4 nueves
12 cifras MCM(4; 6) = 12
Contenido en 
6 nueves
10 cifras
Genera 10 cifras 
no periódicas
En base 6:
Fracción Generatriz:
•
31
28×36×43
= 0,𝑎𝑏…𝑚 𝑥𝑦𝑧6
3 cifras
Contenido en 
3 cincos
8 cifras
Genera 8 cifras 
no periódicas
•
31
210×315×37
= 0,𝑎𝑏…𝑥 𝑚𝑛𝑝𝑞6
4 cifras
Contenido en 
4 cincos
15 cifras
Genera 15 cifras 
no periódicas
0, 𝑎𝑏…ℎpq…𝑧n
“k” cifras
𝑛 − 1 𝑛 − 1 … 𝑛 − 1 000…0𝑛
=
ab…ℎ𝑝𝑞 …𝑧
𝑛
“m” cifras
“m” cifras
− ab…ℎ𝑛
“k” cifras
Ejemplos:
En base 10:
=
654 − 6
990
• 0,654 =
648
990
=
185 − 18
900
• 0,185 =
167
900
=
46 − 4
90
• 0,46 =
42
90
• 3,2෠1 = 3 + 0,2෠1
También:
= 3 +
21 − 2
90
=
3 × 90 + 19
90
=
289
90
3,2෠1 =
321 − 32
90
=
289
90
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN
Si la fracción irreductible
𝑎𝑏
𝑐𝑎
genera un número
decimal de la forma 0, 𝑐 − 1 𝑐 − 1 21
Calcule el valor de a + b + c.
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 20
RESOLUCIÓN:
Piden:
Por lo tanto: El valor de “a + b + c” es 20
Por condición:
𝐒𝐢: 𝒄𝒂 = 𝟓𝟒
El valor de “a + b + c”.
𝑎𝑏
𝑐𝑎
= 0, 𝑐 − 1 𝑐 − 1 21
𝑎𝑏
𝑐𝑎
=
(𝑐 − 1)(𝑐 − 1)21 − (𝑐 − 1)
9990 → 2 × 5 × 27 × 37
→ 𝑐𝑎 = 54 o 74
𝑎𝑏
54
=
4421 − 4
9990
1 185
185 × 𝑎𝑏 = 4417 𝐍𝐨 𝐜𝐮𝐦𝐩𝐥𝐞
𝐒𝐢: 𝒄𝒂 = 𝟕𝟒
𝑎𝑏
74
=
6621 − 6
9990
1 135
135 × 𝑎𝑏 = 6615
𝑎𝑏 = 49
𝑎 = 4 ; 𝑏 = 9 ; 𝑐 = 7
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 20
…(D.C)
En otras bases:
• 0,3෠58 =
358 − 38
708
• 0,21෠47=
2147 − 217
6007
• 0,5෢489 =
5489 − 59
8809
• 0,14෢235 =
14235 − 145
44005
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
CAMBIO DE BASE DE NÚMEROS AVALES
1) De Base ≠ 10 a Base 10
Ejemplo:
Expresar 0,32415 a base 10 
1ra forma:
0,32415 =
32415
100005
=
446
54
×
𝟐𝟒
𝟐𝟒
=
7136
10000
= 0,7136
∴ 0,32415= 0,7136
2da forma:
0,32415=
3
5
+
2
52
+
4
53
+
1
54
0,32415 =
3
5
×
𝟓𝟑
𝟓𝟑
+
2
52
×
𝟓𝟐
𝟓𝟐
+
4
53
×
𝟓
𝟓
+
1
54
0,32415 =
446
54
×
𝟐𝟒
𝟐𝟒
=
7136
10000
= 0,7136
∴ 0,32415= 0,7136
2) De Base 10 a Base ≠ 10
Ejemplo:
Expresar 0,46666… a base 7 
1ra forma:
= 0 +
7
15
= 6 +
1
15
= 1 +
13
15
= 0,4෠6 =
46 − 4
90
=
7
15
De aquí:
7
15
0,4666…
4
15
13
15
0,4666… = 0,3…7
0,4666… = 0,31…7
0,4666… = 0,316…7
1
15
0,4666… = 0,3160…7
0,4666… = 0,316031…7
∴ 0,4෠6 = 0,31607
× 7 =
49
15
= 3 +
4
15
× 7 =
28
15
=
91
15
× 7
× 7 =
7
15
=
42
90
7
15
× 7 =
49
15
= 3 +
4
15
⋮
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
2da forma:
= 0,4෠6 =
46 − 4
90
=
7
15
De aquí:
0,4666… =
42
90
7 15
0,45
4
15
13
3 1
x 7
x 7
⋱
x 7
6
90
1 x 7
0
x 7
3…7
45
4
= 49
= 28
= 91
= 49
0,4666… = 0,316031…7
∴ 0,4෠6 = 0,31607
3) De Base ≠ 10 a Base ≠ 10
Ejemplo:
Expresar 0,3124 a base 6 
0,3124=
3124
10004
=
27
32
=
54
64
De aquí:
27 32
0,160
2
64
8
5 0
x 6
x 6
x 6
2
32
16 x 6
1
96
-
= 162
= 72
= 48
= 96
x 6
36
∴ 0,3124 = 0,502136
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN RESOLUCIÓN: 
Por lo tanto: El valor de “B – A” es 229
Sea: 
𝐴
𝐵
=
5
10
+
3
102
+
7
103
+
3
104
+
7
105
+⋯
Calcule el valor de B – A ; si 
𝐴
𝐵
es una fracción 
irreductible.
A) 226 B) 229 C) 232 
D) 246 E) 258
Por dato:
Piden: El valor de “B – A”
= 0,5෢37
𝐴
𝐵
= 0,5෢37
𝑭𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏
𝒊𝒓𝒓𝒆𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆
A = 266 ; B = 495
𝐴
𝐵
=
5
10
+
3
102
+
7
103
+
3
104
+
7
105
+⋯
𝐴
𝐵
=
532
990
→ 266 × 2
→ 495 × 2
𝐴
𝐵
=
266
495
B − A = 229
Convirtiendo a fracción generatriz:
=
537 − 5
990
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
APLICACIÓN 
RESOLUCIÓN: 
Por lo tanto: El valor de “𝒂 × 𝒃 × 𝒄” es 14
IGUALDAD DE NÚMEROS AVALES
Cuando se tiene una igualdad de números avales, se
deben igualar las partes enteras y las partes avales .
Si se tiene que:
𝑎𝑏𝑐, ෢𝑑𝑒𝑥
Entonces:
abcx = mny
= 𝑚𝑛, 𝑝𝑞𝑟𝑦
0, ෢dex = 0, 𝑝𝑞𝑟𝑦;
Si se cumple que:
𝑎4,2𝑏(6)= 𝑎0,2𝑐0(8)
Halle el valor de 𝑎 × 𝑏 × 𝑐.
A) 24 B) 28 C) 14
D) 10 E) 12
Piden: El valor de "𝑎 × 𝑏 × 𝑐".
Igualamos las partes enteras y también igualamos las partes avales:
𝑎46 = 𝑎08
0, 2𝑏6 = 0,2𝑐08
Descomponiendo polinómicamente:
6𝑎 + 4 = 8𝑎 4 = 2𝑎
𝑎 = 2
Expresamos en su fracción generatriz:
2𝑏6
1006
=
2𝑐08 − 2
7708
12 + 𝑏
36
=
126 + 8. 𝑐
504
14
7
84 + 7𝑏 = 63 + 4𝑐
21 + 7𝑏 = 4𝑐
1 7
b = 1 ; c = 7
Por dato: 𝑎4,2𝑏(6)= 𝑎0,2𝑐0(8)
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e