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PROYECTO INTEGRADOR
CARRERA DE INGENIERIA NUCLEAR
DESARROLLO DE UN SISTEMA DE ANALISIS DE
SENSIBILIDAD EN REACTORES NUCLEARES
MEDIANTE LA TEORIA GENERALIZADA DE
PERTURBACIONES AL PRIMER ORDEN EN
GEOMETRIAS 2D
Juan Matias Garcia
Director
Ing. Anibal Blanco
Asesor
Dr. Carlos J. Gho
Instituto Balseiro
Comision Nacional de Energia Atomica
Universidad Nacional de Cuyo
Junio 2005
Resumen
Los mGtodos perturbativos representan una herramienta muy util cuando se intenta
realizar an&lisis de sensibilidad, y encontraron numerosas aplicaciones en problemas de
ingenieria nuclear.
Con el objetivo de iniciamos en este tipo de an&lisis, elaboramos un programa capaz
de aplicar el mAtodo perturbativo conocido con el nombre de GPT a sistemas bidimen-
sionales de geometria rectangular, considerando primero el caso de un sistema homo-
g6neo compuesto por un material no multiplicative y estudiando luego sistemas hetero-
gAneos que cuentan con un material multiplicative, de mode de acercamos a lo que seria
la aplicacidn de los mAtodos perturbativos a problemas reales de ingenieria nuclear.
El programa desarrollado, que llamamos Pert, calcula el Hujo neutrdnico y la funcidn
importancia haciendo use de la Aproximacidn por Difusidn en un esquema multigrupo, y
las integrates perturbativas para la determinacidn de los coeficientes de sensibilidad.
Pudimos comprobar con el use de estos mAtodos el bajo costo computacional impli-
cado y la sencillez matem&tica de los sistemas que se necesitan resolver para lograr un
an&lisis detallado de la sensibilidad de la respuesta considerada.
Indice
1111 * t' »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» 1.
1 Introduccidn........................................................................................................................................... 3
1.1 Formabsmo Diferencial........................................................................................................................... 3
1.2 Formalismo GPT...................................................................................................................................... 5
2 Medio no multiplicative ................................................................................................................. 7
2.1 Presentacidn del problema..................................................................................................................... 7
2.2 Formalismo Diferencial........................................................................................................................... 8
2.3 Formalismo GPT...................................................................................................................................... 9
2.4 Obtencidn de coebcientes de sensibilidad....................................................................................... 10
2.4.1 Resolucidn del sistema directo................................................................................................. 10
2.4.2 Resolucidn del sistema adjunto................................................................................................ 11
2.4.3 Coebcientes de sensibilidad....................................................................................................... 12
2.4.3.1 Fuente (#=Q): .............................................................................................................. 12
2.4.3.2 Seccidn ebcaz absorci6n(p^ = 2a): ........................................................................... 13
2.4.3.3 Coebciente deDifusi6n(p^ = D): .............................................................................. 14
3 Medio multiplicative...................................................................................................................... 15
3.1 Introduccidn a los casos de estudio.................................................................................................. 15
3.2 MAtodo GPT.......................................................................................................................................... 17
3.3 Resolucidn numArica y programacidn.............................................................................................. 18
3.4 Primer caso de estudio: reactor con rebector................................................................................ 20
3.4.1 CAlcnlo del bujo escalar............................................................................................................. 21
3.4.2 Caiculo de la funcidn importancia.......................................................................................... 24
3.4.3 Determinacidn de coebcientes de sensibibdad..................................................................... 25
3.4.3.1 Coebciente de difusidn..................................................................................................... 26
3.4.3.2 Seccidn ebcaz de absorcidn.............................................................................................. 27
3.4.3.3 Seccidn ebcaz de nu-bsidn............................................................................................... 29
3.4.3 4 Fuente externa.................................................................................................................. 29
3.4.3.S Comparacidn de sensibilidad para diferentes parAmetros....................................... 30
3.5 Segundo caso: reactor con zona bquida........................................................................................... 31
3.5.1 CAlcnlo del bujo escalar............................................................................................................. 32
3.5.2 CAlcnlo de la funcidn importancia.......................................................................................... 35
3.5.3 Determinacidn de coebcientes de sensibibdad..................................................................... 36
3.5.3.1 Coebciente de difusidn...................................................................................................... 37
3.5.3.2 Seccidn ebcaz de absorcidn.............................................................................................. 37
3.5.3.3 Fuente externa.................................................................................................................... 38
3.5.3.4 Comparacidn de sensibilidad para diferentes parAmetros....................................... 39
4 Aspectos econdmicos .................................................................................................................... 41
4.1 Distribucidn de tareas ...................................................................................................................... 41
4.2 Estimacidn de costos......................................................................................................................... 42
5 Conclusiones ..................................................................................................................................... 45
Apdndice A Derivadas de Frechet ............................................................................................ 45
1
2 Indice
A.l Producto por un escalar..................................................................................................................... 46
A.2 Regia del producto.............................................................................................................................. 47
A. 3 Operadores no lineales..................................................................................................................... 47
Apendiee B Medio no multiplicative-Resolueion numeriea............................................. 47
B. l Caso nnidimensional...................................................................................................................... 48
B.1.1 Ecuacidn de los tres puntos.....................................................................................................49
B.1.2 Condiciones de contomo........................................................................................................... 49
B.1.3 Aplicacidn a nuestio caso......................................................................................................... 50
B.2 Caso bidimensional ......................................................................................................................... 51
B.2.1 Ecuacidn de los cinco puntos................................................................................................... 51
u; pertenedente al sistema:...........................................................................................................................52
pertenedente al medio que rodea al sistema:....................................................................................... 53
B.2.2 Resolucidn del sistema lineal................................................................................................... 54
M&todo Jacobi: .............................................................................................................................................. 54
M&todo Gauss Seidel:.................................................................................................................................... 55
B.2.3 AnAlisis de la convergencia del mGtodo................................................................................ 55
Ap6ndice C Soluci6n analftica-Sistema directo .................................................................. 56
ApAndice D Integraci6n numArica ............................................................................................ 57
D.l Polinomios interpolantes de Lagrange........................................................................................... 59
D.2 Integrales simples................................................................................................................................ 63
D.3 Integracidn compuesta....................................................................................................................... 64
D. 4 Integrales multiples............................................................................................................................. 64
ApAndice E Programa Pert ........................................................................................................... 65
E. l ParAmetros del sistema...................................................................................................................... 66
E.2 Caiculo del factor de multiplicacidn............................................................................................... 67
E.3 Caiculo del dujo y la importancia................................................................................................... 67
E.4 Determinacidn de los coebcientes de sensibilidad....................................................................... 72
Referencing
Agradecimientos
Capitulo 1
Introduction
Desde el inicio de los estudios en hsica nuclear de reactores, la teoria de perturba-
ciones ha jugado un papel muy importante. Fue propuesta inicialmente por Wigner en el
aho 1945 con la hnalidad de estudiar la reactividad introducida por diferentes materiales
en el nucleo de un reactor. Esta primer a formulaciOn encuentra numerosas aplicaciones
aun actualmente y la misma hace un uso extensive del concepto de Gujo adjunto, que
expondremos m6s adelante.
Hoy en dia existen grandes cOdigos computacionales para modelar en detalle pro-
blemas de distribuciOn de Gujos neutrOnicos, blindaje y dosis absorbidas; sin embargo, el
alto costo computacional que implica el uso de estos cOdigos tornan inadecuados a los
mismos para aplicaciones de naturaleza paramtirica como son los anOlisis de sensibi-
lidad.
Una de las principals ventajas de la teoria de perturbaciones es justamente la reduc
tion de los costos computacionales a la bora de analizar la sensibGidad de una determi-
nada respuesta ante modihcaciones de los par&metros del sistema Gsico, ya que los c&l-
culos sOlo involucran integrales sencillas en tOrmino de las cantidades sin perturbar del
sistema; en vez de calcular la respuesta para cada una de las variaciones de los par6me-
tros.
Las formulaciones propuestas de esta teoria se pueden clasihcar en las siguientes
categorias^^:
* Formalismo Variational: mOtodo variacional adoptado por Lewi ns (1965),
Pomraning(1967) y Stacey (1972,1974).
* Formalismo Differencial: basado en el uso de funciones adjuntas, adoptado por
Oblow (1976,1978), Weber y Oblow (1979) y Cacuci (1980).
* Formalismo GPT: Generalized Perturbation Theory, basado en el principio de
conservation de la funciOn importancia, adoptado inicialmente por Usachev
(1955) y utilizado extensivamente por Gandini (1967,1987).
Vale la pena aclarar que nosotros utilizaremos la teoria perturbativa aproximando al
primer orden, por lo que observamos el comportamiento hneal de la respuesta alrededor
del punto inicialmente calculado. Existen anOlisis a mayores Ordenes, sin embargo, para
estudios de sensibilidad, la aproximaciOn al primer orden es suGciente en muchos casos.
A continuation detallamos en forma genOrica los fundamentos teOricos que hacen al
Formalismo Diferencial y GPT, que son los mOtodos que utilizaremos en nuestras aplica
ciones.
1.1 Formalismo Diferencial.
Podemos escribir el sistema de ecuaciones asociado a nuestro problema hsico como:
m(/(f),P) = 0 (1.1)
3
4 Introduction
siendo:
m : operador
7 : vector de estado.
p : vector de par&metros.
f: vector posicidn en espacio de lag fases.
Y: = ,
f = [ri,r2,....,r;]^
Las condiciones de contomo se pueden expresar como sigue:
C(7(n,p) = 0 (1.2)
f": punto del contorno.
Si Uamamos A al funcional de respuesta a considerar, denotaremos:
^(7(r),P) = <^(r)7(r)> (13)
donde:
5"+ : funcidn conocida, Gjada por el funcional de respuesta elegido.
A primer orden, la variacidn de A ante perturbaciones de los par&metros viene dada
por:
donde:
Si denotamos con m' al operador perturbado, resulta:
(1.4)
= m'
donde // es el operador:
/ &ni &ni ami \
a/i a/z a/*
am2
" ^7" a/i a/2
ama ama
/\ a/i a/2 a/a
(1.5)
y representa la derivada de Precbet del operador m respecto de la funcidn / ^
Como lag perturbaciones son arbitrariag, para satisfacer la Ec. (1.5) debe cumplirse
que:
1.1. Ver ApGndice A.
#7/' = ^(«) (1.6)
1.2 FORMALISMO GPT. 5
donde
s«=“% (1.7)
El Formalismo Diferencial hace uso entonces de la dehnicidn de operador adjunto y
funcidn adjunta:
< > = < r ^ >+p (r, 7},) (i.s)
donde:
/ : vector adjunto de /.
: operador adjunto de #.
P : concomitante bilineal.
Imponiendo entonces para la ecuacidn adjunta:
P*/* = (1.9)
con: C*(/*) = 0 ,
se sigue, de la dehnicidn de funcidn adjunta que:
< / > = < r % > + w, (i io)
Reemplazando este resultado en la expresidn de &R de la Ec. (1.4) obtenemos la
expresidn resultante de este mAtodo:
fP = +</%)> +P] (1.11)
1.2 Formalismo GPT.
Este mAtodo, a diferencia del formalismo diferencial, no est& basado en las propie-
dades de las funciones adjuntas, sino que hace uso del principio de conservacibn de la
funcidn importancia^], segun el cual, si / es dicha funcidn, se satisface la relacidn:
= (1.12)
Por otra parte, las condiciones de contorno se incluyen en las ecuaciones del sistema
utilizando funciones delta.
La ecuacidn derivada se escribe entonces como:
= (113)
y la ecuacidn de la importancia seria:
(1.14)
con las condiciones de contorno correspondientes que aparecen autom&ticamente por
haber estado incluyAndolas desde un principio en los operadores.
6 Introduction
Sustituyendo este resultado en la Ec. (1.12) llegamos a la expresidn:
Z' A * A* ''SfeA'A'
/ > = </ (1.15)
Con este resultado, la Ec. (1.4) para &R puede expresarse, segnn el MGtodo GPT,
como:
(1.16)
Capitulo 2
Medio no multiplicativo
2.1 Presentacion del problema.
Analizaremos un sistema constituido por un recipients de seccibn rectangularque
contiene agna liviana y una fuente unifonnemente distribuida de neutrones y cuya altura
considerainos infinita, de modo que el problema planteado sea bidimensional. Bn la Pig.
2.1 se esquematiza el sistema propuesto.
a
Figura 2.1. Esquema del sistema consider ado.
Las dimensiones correspondientes al largo y al ancho son, respectivamente, las
siguientes:
a — 300 cm
b — 120 cm
B1 funcional de respuesta que analizaremos es el Hujo escalar en el punto central de
la seccibn, es decir, si al origen de los ejes lo ubicamos en ese punto, resulta:
= <^(j; = 0, y = 0) = <<^)> = < S+ <^)> (2.1)
Para calcular el Hujo escalar haremos uso de la aproximacibn por difusibn a un grupo
de energia^L por consiguiente, la ecuacibn que representa nuestro sistema, considerando
constants el coeficiente de difusibn, es:
+ (2.2)
<^(j; = a/2) = <^(j; = — a/2) = 0
<^(y = V2) = = - 6/2) = 0
7
Medio no multiplicative
siendo:
^: Bujo escalar.
D : coeBciente de difusidn.
Eg: seccidn eBcaz de absorcidn neutrdnica.
Q : fnente.
En lag condiciones de contorno hemos despreciado el valor de la distancia extrapo-
lada, longitud para la cual se puede suponer el Bujo nulo a Bn de obtener una buena
aproximacidn del mismo con la condicidn de contorno de Bujo entrante nulo (condicidn
de vacio, que es el caso que analizaremos).
Los valores que consideramos para los par&metros del sistema sin perturbar son:
D = 0.16cm
Eg = 0.02208cm"^
2.2 Formalismo Diferencial.
De la Ec. (2.2) se sigue que:
donde Uamamos:
_ _ A _ 0 =o
^(a; = o/2) = ^(a; = — o/2) = 0
<^(2/—6/2) — <^(3/ — " 6/2) — 0
(2.3)
El vector de estado, vector de par&metros y el vector posicidn serian, respectiva-
mente:
7(r)
p(f)
= <6(f) ,
%,3f
Luego
y:
Integrando por partes se puede ver f&cilmente que el operador de difusidn es autoad-
jnnto y dadas las condiciones de contorno, el concomitante bilineal es nulo. Para el Bujo
adjunto impusimos como condicidn de contorno que se anule en los hordes del sistema.
Resulta entonces para la ecuacidn adjunta:
^(.) ,| .
^3/2
/ 1 \
^7" "
/*
+ 'i
/*
(2.4)
(2.5)
2.3 PORMALISMO GPT. 9
<^*(a; = o/2) = <^)*(z
<6*(2/ = 6/2) = ^*(2/
S+
= ^).^(2/)
= — o/2) = 0
= — 6/2) = 0
(2.6)
Se signe entonces, de acuerdo al formalismo diferencial que:
^-= [<^g^> + <^g(q> + f ]
Y como F = 0 y 5"+ no depends de ningnn par&metro, llegamos a la expresibn:
&R
E= <f>*s'«>
(d 1 !> (2.7)
2.3 Formalismo GPT.
En este caso, para seguir la metodologia, debemos incluir lag condiciones de contorno
(Hujo nulo en el horde del sistema) en la ecuacidn diferencial, de modo que se verifiquen
al efectuar las integraciones correspondientes. Obtenemos entonces:
= 0 (2.8)
con lo que:
s<i>= _ (p)/f^+ (§),, (210)
De las reglas de reversion, segnn las cnales el operador de derivacidn de orden par
queda igual y las funciones delta pasan de una condicidn final a una inicial, resulta, para
el operador adjunto:
=-^^2+^(^ + ^) + ^(^-^) + ^2 + ^(3/ + ^) + ^(3/-^( )+^( ) (211)
10 Medio no multiplicative
Es decir: 77* — 77 .
La ecuacidn adjunta es : 77*<^* = , con #+ = f(a;).f (;/) .
Resulta entonces para este mGtodo, de la Ec. (2.16), que:
< <^5^> + < ^*g(q>]
A1 igual que antes, como no depende de ningun par&metro llegamos a que:
< <&* ^(i)>
Notemos que la Ec.
Diferencial.
(2.12) del
>
MGtodo GPT es id^ntica a la Ec.
(2.12)
(2.7) del MGtodo
2.4 Obtencion de coeAcientes de sensibilidad.
Con el propdsito de hallar resultados num^ricos sencillos de manejar y de interpretar
Hsicamente, deBnimos en forma genArica el coeBciente de sensibilidad^ al par&metro
como:
, _ #72/77o
^ ^P«/p«o (2.13)
donde % y P«o son los valores del sistema sin perturbar.
Ahora bien, observemos que para determinar cualquiera de los necesitamos
conocer el Bujo del sistema sin perturbar, o el Bujo adjunto, . For lo tanto,
debemos resolver al menos una vez las Ecs. (2.3) y (2.6).
2.4.1 Resolution del sistema directo.
Resolvimos numGricamente la ecuacidn del Bujo escalar y tambiAn la del Bujo adjunto
(o importancia, en este caso) aplicando el MAtodo de Diferencias Finitas centradas y
programando los algoritmos resultantes en lenguaje FORTRAN. Los detaUes num^ricos
se pueden observar en el ApAndice B.
Dado que el problema tiene solucidn analitica, los resultados obtenidos se veriBcaron
comparando con la misma^l Como la solucidn analitica es una serie inBnita, la compa-
racidn se Hev6 a cabo utilizando el programa Matlab, con el cual se consideraron los
veinte primeros t&minos de la serie y graBcamos el resultado.
En la Fig. 2.2 presentamos gr&Bcamente la fnncidn obtenida para el Bujo escalar a
partir de la resolucidn num^rica y en la Fig. 2.3 la veriBcacidn utilizando Matlab.
2.1. Ver ApGndice C.
2.4 OBTENClON DE COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD. 11
Figura 2.2. Flujo escalar resolviendo numericamente en FORTRAN.
Figura 2.3. Flujo escalar utilizando MATLAB.
Podemos deducir entonces, de la coiiicidencia entre ambas soluciones, que el pro-
grama calcula correctamente el flujo escalar del sistema.
For otra parte, la pequena variacidn espacial que presenta el flujo lejos de las ffon-
teras del sistema, justifican la aplicacion de la aroximacidn por difusidn al cMculo.
2.4.2 Resolution del sistema adjunto.
Para obtener el flujo adjunto usamos el mismo algoritmo que para el flujo escalar,
pero modificando la fuente por el valor de S+. La funcidn que determinamos se puede
observar en la Pig. 2.4.
12 Medio no multiplicative
Figura 2.4. Importancia, o flujo adjunto en este caso.
2.4.3 Coeficientes de sensibilidad.
A continuacibn, determinaremos para cada parbmetro el coeficiente de sensibilidad
correspondiente y observaremos cuanto se aleja la respuesta de este comportamiento
lineal ante perturbaciones del parbmetro en observacibn; resolviendo para esto la ecua-
cibn del flujo para algunos valores del mismo.
Las integraciones necesarias para obtener la sensibilidad a cada parbmetro se efec-
tuaron tambibn en forma numbrica, aplicando la Regia de Simpson Compuesta^ % en el
dominio de interbs y programando el algoritmo en lenguaje FORTRAN.
2.4.3.1 Fuente (pi = Q):
Para el tbrmino fuente, Q y de acuerdo a las Ecs. (2.12) y (2.13) tenemos que:
= <^>*^ (2.14)
en donde los parbmetros sin perturbar son:
Go =
= ^(z = 0, %/ = 0) = 4528.12 n
cm^.a
El resultado que hallamos es:
gg = 0.995 (2.15)
Si calculamos la variacibn relativa del flujo central para diferentes JQ, modificando el
valor de Q en la ecuacibn del flujo y comparamos con los resultados que arrojarfa este
mismo cblculo usando el coeficiente de sensibilidad, llegamos a los valores que muestra la
Tabla 2.1 y se grafican en la Fig. 2.5.
2.2. Ver ApAndice D.
2.4 OBTENClON DE COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD. 13
g (%) t r/o) s»g (%)
-25 -25 -24
-10 -10 -9
-5 -5 -5
-1 -1 -0.9
0 0 0
1 1 0.9
5 5 5
10 10 9
25 25 24
Tiibla 2.1. ComparaciAn con cAlcnlo dirccto.
Coef. sensibilidad
'2 -0.1 -
Variacion relativa del parametro
Figura 2.5. Goniparacion grafica.
Vemos que la aproximacidn lineal realizada con el coeficiente de sensibilidad es muy
buena en este caso, y dado que el valor de Sg es aproximadamente 1, la respuesta (flujo
central) varia proporcionalmente al valor de la fuente distribuida, lo cual es esperable en
forma intuitiva.
2.4.3.2 Seccion eficaz absorcion (p* = Sa):
Bn este caso, el coeficiente de sensibilidad viene dado por:
= <^.(--^)>*^
Bao = 0.0028cm"^
= 1^(3; = 0, y = 0) = 4528.12 ^ ^
Obteniendo:
-0.994 (2.1T)
Una comparacidn andloga a la que hicimos para el parametro fuente se muestra en la
Tabla 2.2 y Pig. 2.6.
■ - - Coef. sensibilidad
'2 -0.1 -
Variacion relativa de parametro
§M%)
Zja
Sr(%) &„.f| <%)
-25 29 24.8
-10 10 9.9
-5 4.T 4.9
-1 1 1
0 0 0
1 -0.9 -1
5 -4 -4.9
10 -8 -9.9
25 -18 -24.8
Tabla 2.2. ComparaciAn con calculo directo. Figura 2.6. Goniparacion grafica.
14 Medio no mulllplicallvo
Dado que el parAmetro es en este case la seccibn eficaz de absorcibn de neutrones, la
respuesta, que es el flujocentral varia inversamente proporcional a las modificaciones de
aquella, lo cual se puede verifcar tambi^n con los resultados obtenidos.
2.4.3.3 Coeficiente de Difusion (pi = D):
Para este ultimo parAmetro, el coeficiente de sensibilidad es:
(2.18)
Dq = 0.16 cm
<&, = #c = 0, %/= 0) = 4528.12 ^
Y result a:
=-0.0002 (2.19)
Observemos aliora la Tabla 2.3 y la Pig. 2.T, con la comparacibn correspondiente.
Variation relativa del parametro
iT »> 5n.g(%)
-25 0.15 0.005
-10 0.05 0.002
-5 0.02 0.001
-1 0.004 0.0002
0 0 0
1 -0.002 -0.0002
5 -0.02 -0.001
10 -0.04 -0.002
25 -0.1 -0.005
Tabla 2.3. Comparacion con calculo dirccto. Figura 2.7. Comparacidn grafica.
La variacibn del flujo central para cambios en el coeficiente de difusibn no muy
abruptos es muy poco apreciable, por lo que el coeficiente de sensibilidad di6 pr&ctica-
mente nulo. Sin embargo, en valores relatives, hay una diferencia importante entre
nuestra aproximacibn y la respuesta real.
Es claro que al aumentar el coeficiente de difusibn incrementamos las fugas del sis-
tema, con lo que el flujo en el punto central disminuye. Es decir, la variacibn del flujo es
inversamente proporcional a la del coeficiente de difusibn.
Capitulo 3
Medio multiplicative
Con el objetivo de aplicar los MGtodos Perturbativos a problemas bidimensionales
similares a los que podrla encontrarse con mayor frecuencia en el area nuclear, nos pro-
pusimos analizar respuestas relacionadas con sistemas en los que exista algun material
multiplicativo, y desarrollar un programa que calcule los coeficientes de sensibilidad
involucrados a partir de la resolucibn del sistema directo y del sistema adjunto corres-
pondiente al mismo.
3.1 Introduccidn a los casos de estudio.
Los sistemas que analizaremos tienen geometrla rectangular y poseen un material
multiplicativo rodeado de otro material no multiplicativo que funciona de reflector y
moderador de neutrones, como se esquematiza en la Pig. 3.1. Bn estos sistemas
incluimos una fuente externa de neutrones, por lo que, para alcanzar un estado estacio-
nario es necesario que las dimensiones de los mismos sean tales que exista subcriticidad
(factor de multiplicacibn men or a 1)R
Region multiplicativa
Region no-multiplicativa
Figura 3.1. Esquema del sistema analizado.
15
16 Medio multiplicative
Para el c&lculo del Hujo, es decir, para resolver lo que Uamamos el sistema directo
hacemos uso de la Aproximacidn por Difusidn pero considerando la variable energAtica
discretizada en una determinada cantidad de grupos que denotaremos con la letra g . La
ecuacidn resultante, con la variable de energia discretizada, es la que se conoce como
Ecuacidn de Difusidn Multigrupo y tiene la siguiente forma:
D.V^$ +A.$ + P.$+ Q = 0 (3.1)
donde:
D
/Di 0 0
0 Dg 0
0 0 Dg
0 \
0
0
\ 0 0 0 - Dg/
siendo D, el coeGciente de difusidn del grupo t;
(3.2)
— Sri S21 " ' Sgl
Si2 — Sr2 " ' Sg2
Si3 S23 ' Egg
Sig S2g " - - Srg
A:
X
siendo Zji la seccidn eBcaz macroscdpica de scattering del grupo j al % y:
(3.3)
(3.4)
donde S*; es la seccidn eBcaz macroscdpica de absorcidn correspondiente al grupo t y
Uamamos a Eri seccibn eBcaz macroscdpica de remocidn del grupo enegAtico t;
P -
con:
A =
' %1 ^
%2 g AT = 1/2.S/2
i ^0 Sfg ,
(3.5)
(3.6)
siendo X el vector que representa el espectro de Bsidn, S/i la seccidn eBcaz macros-
cdpica de Bsidn del grupo ^ y la cantidad de neutrones de Bsidn del grupo
3.2 M&TODO GPT. 17
/Qi\
02 (3.7)
si end o Qi la intensidad de la fnente externa correspondiente al grupo y:
donde representa el Hujo escalar de neutrones del grupo % de energia.
3.2 Metodo GPT.
Aplicaremos el M6todo GPT a los sistemas qne estamos considerando para evaluar
por medio del c&lculo de coe&cientes de sensibilidad la variacidn de respuestas del tipo:
A = < 5"+.$ > (3.8)
ante modificaciones de los par&metros del mismo.
Teniendo en cuenta qne nuestro sistema Asico se encuentra en vacio y qne este
mAtodo perturbativo implica la inclusidn de las condiciones de contorno en las ecua-
ciones, resulta qne:
m = - D.V^$ - A.$ - P.$ - J(f - fc).$ - Q = 0 (3.9)
donde fc representa los puntos del contorno del sistema.
El vector de estado, vector de par&metros y vector posicidn son los siguientes, respec-
tivamente:
/ = $ (3.10)
p = (D,A,X,#,(Q) (3.11)
f - (%, i/) (3.12)
Signiendo la metodologia, tenemos qne:
(3.13)
18 Medio multiplicative
# = [ - D.V% - A - P - J(f - fc)] (-) (3.14)
Y:
(3.15)
% - D/;.V2$ + A/i.$ + P/;.$ + Q/i (3.16)
La ecuacidn derivada tiene la forma:
#<&/i = (3 I?)
Y el sistema de la funcidn importancia seria:
= 5"+ (3.18)
donde para calcular el operador adjunto * debemos tener en cuenta que como cada
elemento de lag matrices del operador # ser&n considerados escalares, los mismos son
autoadjuntos y entonces el adjunto de los operadores matriciales son simplemente las
matrices transpuestas. Por lo tanto:
#* = [ - D.V^ - A* - P* - J(f - f^)] (-) (3.19)
Como D es una matriz diagonal, resulta que D* = D por eso es que en la ecnacidn
anterior no aparece la transpuesta de esta matriz.
Finalmente, resulta de este mAtodo que, a primer orden:
^ < $.5^ > + < > (3.20)
Las expresiones obtenidas en esta seccidn son las que aplicaremos a cada caso parti
cular de estudio.
3.3 Resolucion numerica y programacion.
Para resolver los sistemas directo y de importancia en un esquema multigmpo y
teniendo en cuenta diferentes materiales, asi como para calcular los coeficientes de sensi-
bilidad asociados a la respuesta analizada, se elaborard un programa en lenguaje FOR
TRAN que Uamaremos Pert y resuelve sistemas bidimensionales de geometria rectan
gular.
3.3 RESOLUClON NUM&RICA Y PROGRAMAClON. 19
El mismo estA compuesto por una serie de subrutinas y la secuencia de cAlculos que
realiza se puede resumir de la siguiente manera:
1. Lectura de dates del archivo de entrada.
2. Determinacidn del factor de multiplicacidn del sistema para asegurar que se satiz-
faga la condicidn de subcriticidad del sistema.
3. Resolucidn del sistema directo (cAlculo de hujo esc alar).
4. Resolucidn del sistema de importancia.
5. Determinacidn de los coeficientes de sensibilidad.
En el archivo de entrada tenemos que especihcar las dimensiones del sistema, es decir
el largo y el ancho de cada regidn de material. Podemos considerar hasta tres regiones
diferentes, cada una contenida dentro de la anterior y de forma rectangular. Asi, en el
segundo caso que estudiaremos se considera una subregibn multiplicativa rodeada de
agua que constituye la regidn de mayores dimensiones y dentro de la subregidn tenemos
una trampa de agua rectangular, que representaria una zona liquida de un reactor (ver
Fig. 3.21). La ubicacidn relativa de cada subregibn se especihca en el archivo de entrada
dando las coordenadas relativas del vdrtice inferior izquierdo del rectAngulo de la subre-
gidn respecto al vdrtice inferior izquierdo de la regidn juste mayor que la considerada.
Los parAmetros de cada regidn se deben especihcar en este archivo, y tambi&n las
tolerancias con que se realizar&n los cAlculos iterativos (ver Ap&ndice E).
En otro archivo especihcamos la discretizacidn del sistema complete.
Al correr el programa nos pide que especihquemos el nombre del archivo de dates de
entrada y la cantidad de grupos energAticos con que se realizarAn los cAlculos.
El programa se estructurd en diferentes niveles para el cAlculo. En la Fig. 3.2 se
esquematiza hasta el segundo nivel de subrutinas^ L
pertQQ
pertQi pert03
pert
Lectura Carga Calculo de k Flujo Importancia Coeficientes
de datos de
sensibilidad
Figura 3.2.
3.1. Ver ApAndice B
20 Medio mulllplicallvo
La rutina PertOO solo hja el tamaho del vector en el que sucesivamente se ir&n car-
gando todas las variables de las subrutinas y les pasa dicho vector a las subrutinas.
La subrutina PertOl se encarga de la lector a de los datos de entrada.
La subrutina Pert02 carga los datos correspondientes a cada parAmetro en matrices
que tienenen cuenta el grnpo de energia y el numero de malla de la discretizacidn espa-
cial, con lo que si hay un cambio de material cambia el valor del parAmetro que se est&
cargando en la matriz.
La subrutina Pert03 se encarga del cMculo del factor de multiplicacidn y si el mismo
resulta mayor o igual a 1 muestra por pantalla un mensaje de error.
La subrutina Pert04 resueve el sistema directo, calculando los Hujos escalares en cada
grupo de energia e imprimiendo en un archivo llamado 'Plujo.out' los resultados obte-
nidos.
La subrutina PertOS resuelve el sistema de la importancia, calculando la misma en
cada grupo de energia e imprimiendo los resultados en un archivo con el nombre 'Impor
tancia. out'.
Con los Aujos e importancias calculados y los valores de los parAmetros del sistema
sin perturbar, la subrutina Pert06 calcula los coefcientes de sensibilidad. Las integra-
ciones necesarias son llevadas a cabo por una subrutina que aplica la Regia de Simpson
Compuesta a nuestro sistema rectangular.
3.4 Primer caso de estudio: reactor con reflector.
Analizaremos en primer lugar un sistema en el cual la regidn multiplicativa est& cons-
tituida por siliciuro de uranio (I/sSiz), con uranio enriquecido al 20% y se encuentra
rodeada de agua pesada. AdemAs, la fuente externa est& ubicada cercana al combustible
pero en el agua, tal como se muestra en la Pig. 3.3.
Combustible
Agua pesada
y
X
Figura 3.3. Esquema del sistema en estudio.
3.4 PRIMER CASO DE ESTUDIO: REACTOR CON REFLECTOR. 21
Las dimensiones del sistema complete son de 300 cm de largo por 200 cm de audio y
la regidn de combustible tiene 40 cm por 30 cm. A su vez, la fuente ocupa una regidn de
3 cm por 3 cm y se encuentra a 2 cm de la regibn de combustible.
Trabajaremos considerando la variable energGtica discretizada en tres grupos, el
grupo 'r&pido', el grupo 'epitGrmico' y el grupo 't^rmico'.
La fuente externa es una fuente de neutrones rApidos, por lo que emite neutrones
s61o en el grupo r&pido y la intensidad de la misma es de 110000 .
La respuesta de la cual nos ocuparemos es el flujo escalar de neutrones en el punto
central de la zona multiplicativa, punto en el cual ubicamos tambidi el origen de coorde-
nadas de nuestro sistema. Entonces:
(3.21)
con lo que:
S+ = ^z).^(?/) (3.22)
3.4.1 Calculo del flujo escalar.
Utilizando el programa Pert, despu&s de verificar que el sistema era subcritico, el flujo
escalar obtenido para cada grupo de energia se presenta en las Figs. 3.4 a 3.6.
Figura 3.4. Flujo escalar - Grupo rapido.
22 Medio mulllplicallvo
Figura 3.5. Flujo escalar - Grupo epitermico.
Figura 3.6. Flujo escalar - Grupo termico.
Bn el flujo r&pido (Pig. 3.4) observamos un pico de neutrones que corresponde a la
fuente de neutrones ubicada junto al reactor. Bn los otros grupos energ^ticos se aprecia
cada vez menos la influencia de la fuente rApida, y la forma del flujo se hace m&s
sim^trica. Bn el grupo rApido, a medida que nos alejamos de la fuente va disminuyendo
el flujo escalar de neutrones.
Bn las figuras se aprecia claramente que el flujo se concentra principalmente en la
regidn multiplicativa, sin embargo, podria parecer por la escala de las grAficas que el
3.4 PRIMER CASO DE ESTUDIO: REACTOR CON REFLECTOR. 23
flujo se anula rApidamente cuando salimos de zona del reactor, no obstante, los neu-
trones continuan difundiendo a travbs del material reflector. Para observar esto, grafi-
camos en escalas logarftmicas los flujos del grupo r&pido y tbrmico y es lo que presen-
tamos en las Pigs. 3.T y 3.8 .
Figura 3.7. Flujo escalar - Grupo rapido.
Figura 3.8. Flujo escalar - Grupo termico.
Vemos que el flujo de neutrones difunde a lo largo de todo el sistema.
No obstante, las pronunciadas variaciones del flujo neutrbnico en lo que representa la
regibn multiplicativa nos sugieren que quizes exista una dependencia angular importante
del flujo angular o el medio sea muy absorbente, con lo que para tener mayor precisibn
24 Medio mulllplicallvo
seria necesario resolver directamente la Bcuacidn de Transporte con un m6todo tipo
s#].
3.4.2 Calculo de la funcion importancia.
Las funciones importancia obtenidas a partir del programa Pert, para cada grupo de
energla, se pueden observar en las Figs. 3.9 a 3.11.
Figura 3.9. Funcion importancia - Grupo rapido.
Figura 3.10. Funcion importancia - Grupo epitermico.
3.4 PRIMER CASO DE ESTUDIO: REACTOR CON REFLECTOR. 25
Figura 3.11. Fnncion importancia - Grupo termico.
La fuente del sistema de importancia es una funcidn delta en el centro del reactor,
por lo que la funcidn resultante es sim^trica respecto a ese punto, ya que la geometria
del sistema fisico es tambiGn sim^trica respecto de ese punto.
3.4.3 Determinacion de coeficientes de sensibilidad.
Consideraremos la sensibilidad del flujo en el punto central ante variaciones de los
coeficientes de difusidn, secciones eficaces de absorcidn, secciones eficaces de nu-fisi6n e
intensidad de la fuente externa.
B1 programa Pert calcula el coeficiente de sensibilidad para cada par&metro, que ya
definimos en el capitulo anterior para el caso no multiplicative come:
= if (3-23)
donde p^o y son los valores del par&metro y la respuesta sin perturbar, respectiva-
mente.
Para cada par&metro graficaremos la variacidn lineal de la respuesta que indica el
coeficiente de sensibilidad ante cambios relatives del par&metro de un 1%, 5%, 10% y
25%.
Bn las Tablas 3.1 y 3.2 se presentan los coeficientes de sensibilidad calculados tanto
26 Medio multiplicative
para la zona del combustible como para los par&metros del agua pesada.
ParAmetros de region Coeficiente
multiplicativa de sensibilidad
Di -0.88
D2 -1.65
Da -0.21
(/E/2 0.16
(/E/2 1.36
(/E/3 11.95
Eat -0.088
E0,2 -1.42
E&3 -6.49
ParAmetros de region
no-multiplicativa
Coeficiente
de sensibilidad
D] 0.0009
D2 0.240
d3 0.075
E&1 -0.66
E0,2 -0.46
E&3 -0.084
01 0.34
02 0
03 0
Ibbla 3.1. Cocficicntcs do sensibilidad (reactor). Tabla 3.2. Cocficicntcs do sensibilidad (rcficctor
fuentc).
3.4.3.1 Coeficiente de difusion.
De acuerdo a la Be. (3.20), obtenida a partir del M6todo GPT, tenemos que:
(3.24)
en donde el subindice i indica el grupo energ^tico.
Los resultados obtenidos para los coeficientes de difusidn del combustible se observan
en la Fig. 3.12 y los resultados para los coeficientes de difusidn del agua se grafican en la
Fig. 3.13.
Coef. de difusion 1
Coef. de difusion 2
Coef. de difusion 3
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.12. Variacidn lineal ante perturbaciones del coeficiente de difusidn del combustible.
3.4 PRIMER CASO DE ESTUDIO: REACTOR CON REFLECTOR. 27
Coef. de difusion 1
Co of. de difusion 2
Coef. de difusion 3
Variacion relativa del parametro
Figura 3.13. Variacidn lineal ante perturbaciones del coeficiente de difusidn del reflector.
Podemos ver que lag modificaciones del flujo en el punto central debido a perturba
ciones en los coeficientes de difusidn del reflector son un orden de magnitud menores a
las modificaciones que introducen estos coeficientes pero del combustible.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que el coeficiente de difusidn es un pardmetro
particular en la aplicacidn de los mdtodos perturbativos estudiados, ya que no es inde-
pendiente. Para aclarar esto, recordemos que para llegar a la aproximacidn por difusidn
a un grupo de energia para el caso unidimensional, se define al coeficiente de difusidn^
como:
3.E(r 3.(E( —/iQ.Eg)
donde:
seccidn eficaz de transporte,
: seccidn eficaz total,
S, : seccidn eficaz de scattering,
/iQ : valor medio del coseno del dngulo de scattering.
Por lo tanto, este coeficiente depende al menos de otras secciones eficaces, por lo que
no se satisfacen todas las hipdtesis de la aplicacidn de la teoria perturbativa.
3.4.3.2 Seccidn eficaz de absorcion.
Para las secciones eficaces de absorcidn resulta:
28 Medio multiplicative
en donde el subindice i indica el grupo energdtico.
Los resultados obtenidospara cambios de la absorcidn en el combustible se observan
en la Fig. 3.14 y los resultados para cambios en el agua se grafican en la Fig.3.15.
z / z /
///
---- Sigm
---- Sigm
---- Sigm
a absorcidn 1
a absorcidn 2
a absorcidn 3
X
X
X
X
—nx
x—--------
X
Xv
X
X
z z /
z z z /
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.14. Variacidn lineal ante cambios en la absorcidn del combustible.
---- Sigma absorcidn 1
---- Sigma absorcidn 2
— Sigma absorcidn 3
Figura 3.15. Variacidn lineal ante cambios en la absorcidn del reflector.
Como era de esperarse, un aumento de las secciones eficaces de absorcidn van en
detrimento del flujo neutrdnico; y las absorciones en el combustible afectan mucho mds
al dujo central (un orden de magnitud) que las absorciones en el reflector.
3.4 PRIMER CASO DE ESTUDIO: REACTOR CON REFLECTOR. 29
3.4.3.3 Section eficaz de nu-fision.
Bn este caso tenemos que:
SR (3.26)
en donde el subindice i indica el grupo energbtico.
Sblo el combustible tiene seccibn eficaz de fisibn no nula, y en la Fig. 3.16 presen-
tamos grbficamente los resultados obtenidos para cada grupo de energfa.
----- Sigma nu-fision 1
----- Sigma nu-fision 2
-----Sigma nu-fision 3
y
y\1
\
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa parametro
Figura 3.16. Variacidn lineal ante cambios en las secciones eficaces nu-fisi6n.
Bste parbmetro, en el rango tbnnico, es el que mbs influencia tiene en nuestra res-
puesta y como se espera intuitivamente, un aumento de las fisiones ocasiona siempre un
incremento del flu jo neutrbnico. La sensibilidad respecto a la seccibn eficaz del grupo
rbpido es muy baja simplemente porque el combustible prbcticamente no presenta
fisiones con neutron es rbpidos.
3.4.3.4 Fuente externa.
De acuerdo a la Be. (3.20), obtenida a partir del Mbtodo GFT, tenemos que:
SR
%
(3.2T)
en donde el subindice i indica el grupo energbtico.
Los resultados obtenidos se presentan en la Fig 3. IT.
30 Medio multiplicative)
Puente externa
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.17. Variacidn lineal ante modificaciones en la intensidad de la fuente.
3.4.3.5 Comparacidn de sensibilidad para diferentes parametros.
Con el objetivo de compaiar la sensibilidad de la respuesta ante peiturbaciones en
diferentes par&metros, giaficamos para cada grupo de energia las rectas de variacidn de
la respuesta ante cambios en los par&metros considerados. Bn las Pigs. 3.18 a 3.20 pre-
sentamos las gr&ficas correspondientes.
— Coef. de difusion
— Section eficaz de nu-fision
■ — Section eficaz de absorcion
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.18. Comparacidn en el rango termico.
Coef. de difusion
Section eficaz nu-fision
Section eficaz absorcion
^ -0.2
-0.2 -0.1 0 0.1 0JZ
Variation relativa del parametro
Figura 3.19. Comparacidn en el rango epitermico.
3.5 SEGUNDO CASO: REACTOR CON ZONA LIQUIDA. 31
Coef. de difusion
Section eficaz de nu-fision
Section eficaz de absorcion
Variacidn relativa del pardmetro
Figura 3.20. Comparaeion en el rango rapido.
Dado que en la regidn multiplicativa la fuente de hsi6n depende fundamentalmente
del hujo t^rmico, en el rango ttimico el parAmetro que da la mayor sensibilidad es la
seccidn eficaz de nu-hsi6n. Sin embargo, de los pardmetros del grupo rdpido el que oca-
siona variaciones mayores en la respuesta es el coehciente de difusidn, pues las fugas se
deben principalmente a neutrones rdpidos.
3.5 Segundo caso: reactor con zona liquida.
Ahora consideraremos un sistema parecido al del caso anterior pero con la diferencia
de que en la regidn multiplicativa (f/sSiz) tenemos ahora una subregidn de agua pesada,
que representaria una zona liquida dentro del reactor. Bn la Pig. 3.21 presentamos un
esquema de nuestro nuevo sistema.
Zona
liquida
Combustible
Agua pesada
y
X
Figura 3.21. Esquema del sistema en estudio.
Las dimensiones del sistema complete son de 300 cm de largo por 200 cm de ancho,
la regidn de combustible tiene 60 cm por 55 cm y la zona liquida es de 10 cm por 15cm.
A su vez, la fuente ocupa una regidn de 3 cm por 3 cm y se encuentra a 2 cm de la
regidn de combustible, como en el caso anterior.
32 Medio mulllplicallvo
TambiOn resolvanos este caso a tres grupos de energia, pero la respuesta que analiza-
remos es el flujo medio en toda la region que representa al reactor, es decir:
(3.28)
donde Vj. serfa el volumen de la region de interns y la integral se efectua sobre dicha
region.
Sin embargo, como el problema es bidimensional, consideramos a lo largo de la ter-
cera dimension una longitud unitaria, de modo que s61o nos interesan las areas involu-
cradas y podemos escribir:
R — < —:--$ >
/I f
siendo Ar el area de la region que ocupa el reactor.
For consiguiente, resulta:
(3.29)
(3.30)
3.5.1 Calculo del flujo escalar.
Los flujos obtenidos para este caso con el programa Fert se presentan en las Figs 3.22
a 3.24.
Figura 3.22. Flujo escalar - Grupo r&pido.
3.5 SEGUNDO CASO: REACTOR CON ZONA LIQUIDA. 33
Figura 3.23. Flujo escalar - Grupo epitermico.
Figura 3.24. Flujo escalar - Grupo termico.
Bn este caso se observa, a diferencia del case anterior de estudio, la depresidn del
flujo en la regidn central donde se ubica la zona liquida. Bsta regidn no multiplicativa y
con una seccidn eficaz de absorcidn neutrdnica importante provoca la caida del flujo
escalar mencionada.
Como hicimos en el caso anterior, para observar las variaciones de menor escala del
flujo neutrdnico que se producen en la regidn del reflector, presentamos en las Pigs. 3.24
y 3.25 los flujos r&pido y termico, respectivamente, pero en escala logaritmica.
34 Medio mulllplicallvo
Figura 3.25. Flujo escalar - grupo rapido.
Figura 3.26. Flujo escalar - Grupo termico.
De nuevo, vale la pena aclarar que, como en el caso anterior de estudio, deberiamos
verificar los resultados obtenidos aplicando un m6todo que resuelva la Bcuacidn de
Transporte. Pero, dado que nuestro objetivo es aplicar los mGtodos perturbativos y
nuestra herramienta es la aproximacidn por difusidn (que demostrd ser muy eficiente en
numerosas aplicaciones de ingenieria nuclear) nos basaremos en los flujos asi obtenidos.
3.5 SEGUNDO CASO: REACTOR CON ZONA LIQUIDA. 35
3.5.2 Calculo de la funcion importancia.
Las funciones importancia que obtuvimos para cada grupo de energia son las que se
observan en las Figs. 3.27 a 3.29.
Figura 3.27. Funcion importancia - Grupo rapido.
Figura 3.28. Funcion importancia - Grupo epitermico.
36 Medio multiplicative
Figura 3.29. Fnncion importancia - Grupo termico.
Bn este caso, en donde la respuesta es el flujo medio del reactor, la importancia toma
valores significativos principalmente en esa regidn, aunque en la zona liquida interior,
que es una zona no multiplicativa, la importancia de los neutrones que incurren en la
misma es apreciablemente men or.
3.5.3 Determinacion de coeficientes de sensibilidad.
Bn este caso analizaremos la sensibilidad del flujo medio en el reactor ante perturba-
ciones de los pardmetros de la zona liquida.
A1 igual que antes, calculamos el coeficiente de sensibilidad tal como se definid en la
Be. (3.23) y para cada pardmetro graficaremos la variacidn lineal de la respuesta que
indica el coeficiente de sensibilidad ante cambios relatives del pardmetro de un 1%, 5%,
10% y 25%.
Los coeficientes obtenidos se presentan en la Tabla 3.3.
Pardmetro de la zona liquida Coeficiente de sensibilidad
Di 2.1T
d2 2.18
D-a 0.60
-1.39
-2.62
-0.65
Tabla 3.3. Coeficientes de sensibilidad.
3.5 SEGUNDO CASO: REACTOR CON ZONA LIQUIDA. 37
3.5.3.1 Coeficiente de difusion.
Bn forma andloga al caso anterior:
(3.31)
en donde el subfndice i indica el grupo energdtico.
Los resultados obtenidos se observan en la Fig. 3.30 .
Coef. de difusion 1
Coef. de difusion 2
Coef. de difusion 3
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.30. Variacidn lineal de la respuesta ante perturbaciones
del coeficientede difusidn de la zona llquida.
Fodemos deducir que si el medio de la zona liquida es mds difusivo, aumenta la pro-
babilidad de que un neutrdn que ingresa en la misma pueda volver a la regidn multipli-
cativa sin ser absorbido antes, con lo que aumentaria el valor del flujo medio. De alu el
signo positive de estos coeficientes.
No obstante, vale aqui tambidn la aclaracidn que hicimos en el caso anterior referida
a la no independence del coeficiente de difusidn como pardmetro del sistema.
3.5.3.2 Section eficaz de absorcion.
Fara las secciones eficaces de absorcidn resulta:
-^-=<^.(-^)> (332)
en donde el subindice »indica el grupo energdtico.
Los resultados obtenidos para cambios de la absorcidn en la trampa de agua, de
acuerdo al coeficiente de sensibilidad calculado se muestra en la Fig. 3.31.
38 Medio multiplicative
Section eficaz absorcion 1
Section eficaz absorcion 2
Section eficaz absorcion 3
& 0.2
.3 -0.2
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa parametro
Figura 3.31. Variacidn lineal de la respuesta ante perturbaciones
en las absorciones de la zona llquida.
Claramente, si las absorciones en la zona liquida son m&5 probables disminuye el
Aujo de neutrones en la regidn, con lo que nuestra respuesta (Aujo medio) toma valores
menores.
3.5.3.3 Fuente externa.
Para la fuente externa resulta:
SR (3.33)
en donde el subindice i indica el grupo energ^tico.
Bn la Fig. 3.32 se puede observar gr&ficamente la sensibilidad del Aujo medio ante
perturbaciones de la fuente.
Fuente externa
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
Variation relativa del parametro
Figura 3.32. Variacidn lineal de la respuesta ante perturbaciones
en la intensidad de la fuente externa.
3.5 SEGUNDO CASO: REACTOR CON ZONA LIQUIDA. 39
3.5.3.4 Comparacidn de sensibilidad para diferentes parametros.
La comparacidn entre la sensibilidad para los diferentes pardmetros perturbados se
presenta en las Figs. 3.33 a 3.35.
Coef. de difusion
Section eficaz de absorcion
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.33. Comparaeion de sensibilidad en el rango rapido.
----- Coef. de difusion
— Section eficaz absorcion
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Variation relativa del parametro
Figura 3.34. Comparacidn de sensibilidad en el rango epitermico.
Coef. de difusion
Section eficaz de absorcion
Variation relativa del parametro
Figura 3.35. Comparacidn de sensibilidad en el rango termico.
40 Medio multiplicative
En estas Gguras podemos observar que las modiGcaciones en el Hujo medio que intro-
ducen tanto el coe&ciente de difnsidn como la seccidn eficaz de absorcidn son del mismo
orden, lo cual no es sencillo de predecir sin tener los coe&cientes de sensibilidad. Asi-
mismo, la sensibilidad a los par&metros t6rmicos es menor que respecto a los par&metros
r&pidos.
Capitulo 4
Aspectos economicos
En este capitulo analizaremos como se planibcd el proyecto, los tiempos reales involu-
crados en su desarrollo e intentaremos aproximar los costos necesarios para llevar a cabo
el mismo.
La evaluacidn econdmica de un proyecto, que tiene implicita la estimacidn de los
tiempos requeridos, es de fundamental importancia para determinar la viabilidad del
mismo. En nuestro caso se trata de un proyecto orientado a la investigacidn y posterior
desarrollo de un cddigo de cilculo, sin embargo, consideraremos algunos puntos impor-
tantes para la evaluacidn del mismo desde un punto de vista econdmico.
4.1 Distribucion de tareas.
La distribucidn de tareas en el tiempo a lo largo del ano que durd la realizacidn de
este proyecto, y que nos dan idea de como fue la evolucidn del mismo, se presenta en el
diagrama tipo Gantt de la Fig. 4.1.
Podemos observar en este diagrama que la primera mitad del ano se destind princi-
palmente a la profundizacidn de los aspectos tedricos, ya sea a travds del cursado de la
materia Mdtodos Perturbativos Aplicados a Problemas de Ingenieria Nuclear como en el
aprendizaje del lenguaje de programacidn FORTRAN, utilizindolo inicialmente en pro-
gramas de prueba no relacionados con la teoria perturbativa.
Fue para la materia en curso durante esta mitad del ano que desarrollamos lo que
seria la primera versidn de un programa perturbativo, que se aplica a problemas homo-
gdneos con alguna fuente de neutrones uniformemente distribuida en un sistema no mul
tiplicative. La programacidn era todavia bastante elemental. Posteriormente y basados
en este programa tuvimos en cuenta el caso a dos grupos energdticos.
Gran parte de la segunda mitad del ano la dedicamos a la implementacidn de los
algoritmos necesarios para resolver numdricamente con nuestro programa los sistemas
directo y adjunto de problemas multiplicativos para su posterior utilizacidn a travds del
mdtodo GPT, determinando los coe&cientes de sensibilidad. Primeramente se resolvid el
caso homogdneo a un grupo de energia, pasando luego a un esquema multigrupo y ter-
minando por considerar sistemas con diversos materiales, lo que se asemejaba mis a un
reactor nuclear.
A medida que se fue extendiendo el programa tuvimos que considerar estructurar el
mismo de modo que realice las operaciones en forma ordenada y el cddigo sea de simple
interpretacidn para quien tenga que manipularlo en alguna ocasidn, para lo cual se
invirtid tambidn un tiempo considerable.
Finalmente, teniendo el programa Pert en funcionamiento, nos dedicamos a utilizarlo
en los casos estudiados en capitulos anteriores y analizar los resultados. Lo que siguid
fue la escritura de los procedimientos seguidos y resultados obtenidos que aqui se pre-
sentan.
41
42 Aspectos econAmicos
4.2 Estimacion de costos.
Conociendo los tiempos involucrados en el proyecto, procederemos a estimar los costos
del mismo, aproximando para esto los valores correspondientes a los factores mAs inbu-
yentes desde el punto de vista econdmico.
Dado que en este proyecto nos dedicamos fundamentalmente a la programacidn para
el desarrollo de un sistema de c&lculo perturbativo en geometrias bidimensionales, los
principales costos son los relacionados con las boras m&quina (PC) y las boras bombre
puestas en juego. En el diagrama de la Fig. 4.2 queremos representar cuabtativamente
como se distribuye el tiempo empleado con la PC y el tiempo de consulta al director del
proyecto.
En la Tabla 4.1 presentamos los principales recursos utibzados, el tiempo total de
uso y el costo por bora de los mismos.
Recur so Cantidad de boras Costo por bora ($) Costo total ($)
PC 250 0.3 75
big. Anibal Blanco 70 30 2100
Personal Bibboteca 4 10 40
Juan Matias Garcia 400 3.7 1480
Ignacio Marquez 20 3.7 74
Alexis Weir 20 3.7 74
Tabla 4.1. Costo principales recursos.
Estos valores nos dan una idea de los costos que bacen a la realizacidn del proyecto,
pero para realizar una evaluacidn detallada del mismo deberiamos considerar un valor
para la tasa de descuento con que evaluamos el mismo y determinar los bujos de fondos
resultantes.
Figura 4.1. D
iagram
s G
antt.
Agosto 04 Septiembre 04 Octubre 04 Noviembre 04 Diciembre 04 Febrero 05 Marzo 05 Abril 05 Mayo 05 Junio 05
Busaueda biblioarafica
Bursado de materia Met. Perturbativos
3roaramas iniciales (aorendizaie FORTRAN)
3roqrama 1 arupo case no multiplicativo
3roarama 2 arupos caso no multiplicativo
3roarama 1 arupo caso multiplicativo
3roarama multiaruoo caso multiplicativo r
3roaramacion estructurada
3roarama multiarupo-heteroaeneo (Pert.for) r
Escritura tesis JL
4.2
EsriM
A
C
ldN D
E C
O
STO
S.
Figura 4.2. D
istribucidn del tiem
po em
pleado.
A.
A
apectoa econdm
icoa
Capitulo 5
Conclusiones
5.1 Conclusiones generates.
La aplicacidn de los MAtodos Perturbativos al primer orden nos permit# realizar
anAlisis de sensibilidad de respuestas como el Bujo neutrAnico en un punto particular de
un sistema o el Bujo medio de una regidn, a partir de un cAlculo que utiliza los par Am e-
tros del sistema sin perturbar, lo cual disminuye notablemente la cantidad de cuentas a
realizar, con la consecuente disminuciAnde costo computacional. De otro modo, para
cada parAmetro perturbado habria que recalcular la respuesta para saber cuAnto se
modiBca.
Vale la pena destacar ademAs la senciUez de las integrales involucradas en el cAlculo
de los coeBcientes de sensibilidad, que permite veriBcar fAcilmente si existe un error en
la determinaciAn de los mismos.
Por supuesto, tenemos la limitaciAn propia de la aproximaciAn al primer orden en la
variaciAn de la respuesta, es decir, que los resultados obtenidos sAlo son vAlidos en un
entorno reducido alrededor del punto de referencia para el cAlculo. Sin embargo, nuestra
primera aplicaciAn (caso no multiplicative), en la que comparamos la variaciAn lineal con
el cambio en la respuesta recalculando el sistema directo, demostrd que la aproximacidn
al primer orden puede resultar muy buena en muchos cases.
No obstante, para el an&lisis cualitativo de la sensibilidad de una respuesta, este c&l-
culo a primer orden resulta muy eBciente, como pudimos veriBcar en las aplicaciones a
los cases multiplicativos, en donde, en un esquema multigrupo, puede resultar muy com-
plicado deducir a priori cuAnto afecta un parAmetro particular a la respuesta observada.
Por otra parte, elaboramos un programa (Pert) que resuelve sistemas en dos dimen
sions de geometria rectangular y que probamos con las aplicaciones presentadas, que
podria representar el comienzo de un eddigo para anAlisis de sensibilidad aplicando el
mdtodo GPT, contemplando sistemas mAs complejos, de modo que encuentre aplica
ciones concretas en problemas corrientes de ingenieria nuclear.
Debemos destacar que los M&todos Perturbativos estudiados pueden ser aplicados a
una gran variedad de problemas de ingenieria. Siempre que exista un modelo mate-
mAtico, que a travds de un sistema de ecuaciones aproxime el sistema Rsico estudiado,
podremos aplicar los mAtodos GPT o Diferencial para analizar una respuesta de interAs
ante perturbaciones de los parAmetros considerados; de ahi lo poderoso de esta herra-
mienta que hemos presentado y aplicado en este trabajo.
45
46 Concluaionea
5.2 Trabajos futures.
La aplicacibu de este mAtodo no tiene que restringirse al primer orden solamente, sino
que podrian realizarse estudios m6s avanzados que implementen altos drdenes cuando se
requiera.
Este seria el caso en el que las variaciones de la respuesta seau lo suGcientemente
grandes como para que la aproximacidn al primer orden introduzca errores muy aprecia-
bles.
Un ejemplo de aplicacidn podria representarse por una respuesta que involucre espa-
cialmente regiones muy reducidas, de modo que pueden introducirse grandes cambios en
la misma a partir de perturbaciones en los par&metros. Es lo que sucederia si analizamos
el Hujo neutrdnico en una pequena regidn de un reactor nuclear, que Asicamente se
puede corresponded a la respuesta de un detector de neutrones.
Habria que tener presente que deben realizarse las implementaciones necesarias al
programa de c&lculo para que contemple estos casos, asi como Gexibilizar el mauejo de
multiples regiones para considerar casos heterogAneos m&s complejos.
Apendice A
Derivadas de Frechet
Dado el operador m que depende de la funcibn / , podemos expresar la variacibn de
m ante un incremento de / que denotamos d, como:
m(/ + d)-m(/) = F(d,/) + w(d,/) (A.l)
siendo:
lim w(d,/)
Idl
= 0 (A.2)
La funcibn F recibe el nombre de diferencial de Frechet y el operador F[(.), /] es la
derivada de Frechet.
Como ejemplo ilustrativo, consideremos el caso sencillo:
g = (A.3)
donde L es un operador lineal, entonces, la derivada de Frechet de g respecto de f viene
dada por:
gy — L ( ) (A.4)
A.l Producto por un escalar.
Este es el caso m&s sencillo para un operador lineal. Sea p un escalar y:
9 = P /
Entonces:
ag _ g(p./) _ / ,
a/ a/ ^ ^
(A.5)
(A.6)
A.2 Regia del producto.
En el caso de un producto de funciones g% - gg, siendo:
91 = /
92 = Lg /
(A.7)
(A.8)
47
48 Derivadaa de Frechet
para la derivada de frechet respecto de / se verifca como en lag derivadas normales
que:
a/ ^ a/ a/ (A.9)
A.3 Operadores no lineales.
La forma m&3 simple de estos operadores se representa por un escalar (dependiente
de la funcidn /) que Uamaremos g(/). En este caso.
(A.10)
Consideremos ahora un caso un poco m&s complejo, una funcidn de la forma:
(All)
donde L es un operador lineal. Entonces:
= % Z/Z + g-&(Z'/) = (§yZ'/ + gZ')( )
a/ a/ a/
Si consideramos la forma:
entonces resulta que:
a/
,a/M
af
a/(z)
a/
a/(a:)
a ra[@( )]
I &c
a'[g(
Del mismo modo, si tenemos la forma:
a(?/)
&c
obtenemos, para la derivada de Frechet respecto de /:
a/
a(g/) ^(9/) / ^F + 9 ) ( )
(A.12)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
Con estos casos analizados ya es suhciente como para comprender como se utilizan
las derivadas de Frechet en las aplicaciones que consideraremos de los mAtodos perturba-
tivos.
Apendice B
Medio no multiplicative-Resolution numerica
El sistema directo est& representado en nuestro caso por la ecuaciOn:
- D(r ).V^(r) + E„(f ).<f(r) = 0 (r) (B.l)
donde:
^ : Flujo neutrOnico.
D : CoeGciente de difusiOn.
En: SecciOn eficaz macroscOpica de absorciOn.
0 : Puente externa de neutrones.
Con la condition de vatio en los hordes del sistema.
Para explicar con mayor claridad la forma de resolver esta ecuaciOn analizaremos pri
mer o el caso unidimensional, el cual se extiende directamente al caso bidimensional en
cuestiOn.
B.l Caso unidimensional.
B.1.1 Ecuacidn de los tres puntos.
Este serf a el caso de una placa inGnita de material no multiplicativo, en la que dada
una fuente constante distibufda segun alguna funciOn particular, queremos calcular el
flujo de neutrones resultante.
El mOtodo que aplicaremos es el de Diferencias Finitas y la direction que nos interesa
se representarO, con la variable z, con lo que la Ec. (B.l) toma la forma:
- D(z).^-+ E„(z).#z) - 0 (z) (B.2)
De la aproximaciOn por difusiOn a la ecuaciOn de transporte se sigue que^^:
(B.3)
dz
dJ
dz + En-^ 0 (B.4)
Integrando la Ec. (A.4) sobre una malla genOrica A (ver Fig. B.l) obtenemos:
— Qo,t At (B.5)
49
50 Medio no multiplicative-Re soluciAn numArlca
A k-1 A k Ak+1
zk-i ! z k Zk+1
Zk Zk
Figura B.l. Puntos de mallas unidimensionales.
Para hallar la expresibn de J(z^) en funcidn del Hujo en lag mallas (Hnjo medio),
consideraremos los Hujos correspondientes a los extremes de la malla A y apli-
camos la condicidn de conservacidn de la corriente. Resulta entonces:
- ^-1
2 — 1
= — Dt-
^ At
(B.6)
Podemos despejar ahora ) de esta Ultima expresidn:
donde:
4W dt-i+ dt
dt-i + dt
d = D
A
(B.7)
(B.8)
Snstituyendo este resultado para ) en la Ec. (B.6) obtenemos la expresidn bus-
cada para la corriente neta:
dt—i,t i) (B.9)
donde:
dt-!,t = (B.10)
dt-i + dt
Introduciendo esta expresidn de la corriente en la Ec. (B.5) y reagmpando los t6r-
minos, Uegamos a una ecnacidn de la forma:
%,t—i — d&—i,t
= So,t-At + d&-i,t + dt,t+i
Gt,t+i dt,t+i
sfc — Qo,fc-Afc
siendo:
(B.ll)
B.l CASO UNIDIMENSIONAL. 51
La Ec. (B.ll), en donde el Hujo en cada malla est& relacionado con el Hujo en sus
mall as vecinas se conoce como Ecuacidn de los Ties Puntos de Diferencias Finitas (para
el caso unidimensional).
B.l.2 Condiciones de contorno.
Recordando que en la teoria de difusidn la corriente entrante o saliente en direccidn
normal a una super&cie se expresa como:
^ ^ (B12)
siendo y" la corriente entrante y la corriente saliente.
Y teniendo en cuenta que por definicidn del coeficiente de albedo que denotaremos o
se cnmple que:
= + (B.13)
donde representa una corriente externa de neutrones, reemplazando y y en
laEc. (B.13)utilizandolaEc. (B.12) obtenemos:
2^11 + 0/ l + o (B.14)
Utilizaremos este resultado para expresar las condiciones de contorno con la forma de
la Ec. (B.9), de modo que estas se puedan incluir f&cilmente al momento de programar.
Para esto, denotemos con el subindice r los par&metros y funciones del medio que rodea
nuestro sistema, y entonces expresaremosla corriente como:
-Ar = - ^r) = jj ^ ^ ' ^r
dt + dr dt + dr
A partir de la Ec. (B.14):
d&r — r, ^tr - 1 + 0
2j;ext
1+0
(B.15)
(B.16)
Snstituyendo la Ec. (B.7) en esta Ultima llegamos a que:
Jtr = K^) +i(j+£) ' (i+< "t^) (B17)
Por consiguiente, para expresar Jkr como en la Ec. (B.15) se deduce que deben ser:
(B.18). 1 /l-o
^"4"ll + o
^r = 4.3 ext
l — o (B.19)
B.l.3 Aplicaci6n a nuestro caso.
En nuestro caso particular de estudio, en el que los par&metros D, En y 0 son uni
formes en todo el sistema, resulta, de las definiciones en las Ecs. (B.8) y (B.10) que:
d&—11 — d& t+i— .At
00,t = 0
(B.20)
(B.21)
(B.22)
52 Medio no multiplicative-ResoluciAn numArlca
A pesar de que el sistema se encuentra en vacio (con lo que seria o = 0) incluiremos
el coe&ciente de albedo para tener la posibilidad de considerar luego el caso de que
exist a otro medio. Sin embargo, la corriente externa si se considerar& nula.
Entonces, para los flujos en las mallas de la frontera habr& que tener en cuenta que:
l — o
l + o (B.23)
, _ 2.dk-dr _ _____ 2.11.(1 a)______ ..
4 +dr 4.D.(l + o) + (l-o).At ^ ^
= 0 (B.25)
Con lo que la ecnacidn de los tres puntos se simpli&ca resultando, para el caso en que
no pertenece al borde del sistema:
2a-At + 2^—.^t+1 — 0 At (B.26)
B.2 Caso bidimensional.
B.2.1 Ecuacidn de los cinco puntos.
En este caso, que es el que nos interesa, se aplican en forma an&loga todas las ecna-
ciones utilizadas y deducidas para el caso unidimensional, con la diferencia de que al
tratar el problema en dos dimensiones la ecuacidn a la que Uegamos para el sistema
directo es la ecuacidn de los cinco puntos, pues ahora por cada malla tenemos cuatro
vecinas.
Las direcciones de interns se representar&n con las variables z e y, y dado que aplica-
remos el MAtodo de Diferencias Finitas dividiremos el sistema segun mallas rectangn-
lares y adem&s regnlares, y denotaremos con A% y Ay la separacion de las mallas (el
paso) en a; e respectivamente.
m
w_
A
n <
y
X
Figura B.2. Discretizacidn.
B.2 CABO BIDIMENSIONAL. 53
Consideremos el sistema de m x n mallas que se esquematiza en la Pig. B.2, donde se
indican las direcciones z e y. Si tomamos una malla gen^rica que denotaremos con el
subindice A y denotamos a las mallas vecinas con los subindices ui, i;3 y iq, como se
muestra en la Pig. B.3, la ecuacidn directa del flujo (que es un balance de neutrones
para cada celda) se puede expresar como:
4
^ ] -h'-rr^i 4" — Qt-A^Ay (B.2 I)
,=1
Figura B.3. Mallas vecinas de una malla generica.
Y como ya vimos para el caso unidimensional:
(B.28)
Reemplazando la Be. B.28 en la Be. B.2T, se sigue que:
4
^ (^t 4- Bg.i^t-AzAy Qt AzAy (B.29)
,=i
La Be. (B.29) es la ecuacidn de los cinco puntos, s61o que los t^rminos no se reagru-
paron todavia y en donde A^ toma el valor Az 6 Ay dependiendo de la malla vecina con-
siderada. Si reagrupamos obtenemos:
&t,t -^t4" St
&t,t — dkv\-^y 4™ dt«2 Az 4- dkvg- Ay + dkv.i-^x 4™ Bg
— "dt«^.Ay
Q'fc,y2 — dkv2- Az
^t,«3 — " Ay
Az
st — Qt Az Ay
donde:
(B.30)
54 Medio no multiplicative-ResoluciAn numArlca
Distinguiremos a continuacidn dos casos para lag malias vecinas, uno si la malla ^
pertenece a nuestro sistema y otro si dicha malla pertenece al medio que lo rodea (es
decir se encuentra en algBn horde del sistema):
Vi perteneeiente al sistema:
En este caso, como ya vimos:
= #4^ (B.31)
y representa el Bujo medio en la malla vecina.
Vi perteneeiente al medio que rodea al sistema:
Ahora resulta:
= dtr (B.32)
y = 0 , pues consideramos que no existe corriente externa aplicada.
En nuestro sistema de m x n mall as, si numeramos el Bujo medio en cada una de
ellas tal como se muestra en la Fig. B.4, desde 9^1 hasta n, la ecuacidn asociada a
cada malla varia dependiendo si estamos ubicados o no en el horde del sistema.
0m.n- 0m.n
•
0m+1
0 1 0 2 * * * 0 m
y
X
Figura B.4. Numeracidn de las mallas.
Para hallar el Bujo en cada malla debemos plantear la Ec. (B.30) de los cinco puntos
para cada una de ellas. Por consiguiente, obtenemos un sistema lineal de m x n ecua-
ciones con m x n incdgnitas (el Bujo en cada malla).
Para resolver este sistema existen diversos mdtodos de resolucidn numdrica que
podemos utilizar en nuestro programa. Nosotros aplicaremos uno de los mdtodos itera-
tivos existentes que es de sencBla aplicacidn, el Mdtodo de Gauss Seidel, que detaUamos
a continuacidn.
B.2 CASO BIDIMENSIONAL. 55
B.2.2 Resolueion del sistema lineal.
Dado el sistema lineal:
A X = B (B.33)
donde:
A : matriz de m n x m n elementos (matriz del sistema).
X : vector de m n elementos (incdgnitas).
B : vector de m n elementos (tGrminos independientes).
Podemos expresar la matriz A como la suma de tres matrices, una que contenga los
elementos de la diagonal (D), otra que contenga los elementos por debajo de la diagonal
(L) y la Ultima con los elementos ubicados por encima de la diagonal (U). Es decir D es
una matriz diagonal, L es triangular inferior y U es triangular superior. Con lo que:
(D + 6 + C/)-X =B
El metodo iterative de Jacobi propone, para hallar la solucidn del sistema lineal, el
siguiente esquema iterative:
- B (B.34)
Introduciendo la notacidn:
y
c = B
Esta t^cnica toma la forma:
%(t) - r-x^-^ + c
Esto es equivalente en un sistema lineal a despejar por cada ecuacidn una variable,
en funcidn de las restantes, y a partir de una suposicidn inicial para el valor de las
mismas iteramos hasta converger a la solucidn unica del sistema.
Nosotros utilzaremos el mAtodo de Gauss Seidel para resolver nuestro sistema, que es
semejante al metodo de Jacobi, con la diferencia de que la convergencia se acelera al
considerar para el c&lculo de cada incdgnita en la iteracidn k los valores ya calculados en
esta iteracidn de las variables anteriores tomadas, y para las variables que todavia no se
recalcularon considera el valor que tenian en la iteracidn anterior. Es decir, si son los
elementos de A, los elementos de X y los elementos de B; resulta:
Metodo Jacobi:
(&) E (t — 1) , .
para^ = l,2,...,m n (B.35)
Metodo Gauss Seidel:
a:; ' =
E Q>ij •£ j
(t) Em.n
?j—1 + 1 Q>ij •£ j
(&-1) + 6*
^ = 1,2,..., m - n (B.36)
56 Medio no multiplicativo-ReaoluciAn num&ica
La matriz del sistema lineal para calcular el flujo neutrdnico tiene como mAximo, por
fila, cinco elementos no nulos ya que usamos la ecuacidn de los cinco puntos.
Para aplicar el mdtodo iterative confeccionainos un prograina en lenguaje FOR
TRAN que aplica la Be. (B.36) a nuestro sistema.
Por cada flujo de malla que calculamos en cada iteracidn, los cuatro tdrminos del
numerador de la Be. (B.36) que pueden ser no nulos toman expresiones diferentes,
dependiendo de si las mallas vecinas se encuentran dentro o fuera del sistema. Para
tener en cuenta esto se implementd la subrutina 'cardinales' que toma cuatro variables
enteras: norte, sur, este y oeste; y cuya funcidn es la siguiente: si la malla vecina justo
por encima de la considerada est& dentro del sistema pone un 1 en norte, de lo contrario
pone un 0. Lo mismo para las mallas que estdn debajo, a izquierda y derecha; pero con
las variables sur, oeste y este respectivamente (ver Fig. B.5).
Norte
^i+m
Oeste
4>i
Este
0,-m
Sur
Ax
Figura B.5. Denomination de mallas vecinas.
Por lo tanto, teniendo en cuenta las Ecs. (B.30), (B.31) y (B.32), la Ec. (B.36) para
aplicar el mdtodo de Gauss Seidel se reduce en nuestro caso a:
D - (norte - As + sur-
Qk-^x-^y + D ■ ' (oeste.&W + este. <)>[+ i + D ■ ■ (norte.^ + sur.<)^^m)
+ oeste - -^+ este - -^) + dkr ■ [(1 — norte). A„ + (1 — sur).A„ + (1 — oeste). A^ + (1 — este).Ay\ Sa. A^.Ay
Esta es la ecuacidn que se implementa en el prograina. A1 vector de inedgnitas lo 11a-
maremos $.
Para determinar cudndo terminar de iterar fijamos una tolerancia que denotaremos s,
y decidimos que iteraremos hasta que se cumpla:
B.2 CASO BIDIMENSIONAL. 57
< G
donde la norma de los vectores se deRnid como:
(B.38)
11^11 = ' »= 1, m.n
Es decir, el mddulo delvector se corresponde con el valor absolute de la componente
con mayor valor absolute.
B.2.3 AnAlisis de la convergencia del mAtodo.
En la seccidn anterior explicamos el Mdtodo de Gauss Seidel, utilizado para resolver
el sistema lineal al que lleg&bamos luego de aplicar el Mdtodo de Diferencias Finitas a la
ecuacidn de nuestro sistema directo. Sin embargo, podriamos preguntarnos si este
mdtodo iterative converge a la solucidn buscada.
La condicidn necesaria y suRciente para que el Mdtodo de Gauss Seidel converja a la
solucidn unica del sistema lineal planteado (ver Ec. (B.33)) para cualquier eleccidn del
vector inicial es que la matriz del sistema (A) sea estrictamente dominante en sen-
tide diagonal^.
Una matriz cuadrada A de n x n elementos que denotaremos es estrictamente
dominante en sentido diagonal si y solo si se cumple:
n
|o««| > ^2 1^)1 ' ^ = 1,2,....,» (B.39)
La condicidn planteada per la Ec. (B.39) se veriRca en nuestro case particular, y es
lo que demostraremos a continuacidn.
Como ya vimos antes, aplicamos en cada malla la ecuacidn de los cinco puntos, per
lo que para cualquier Rla de la matriz de nuestro sistema tenemos a lo sumo cinco ele
mentos no nulos, de los cuales uno pertenece a la diagonal. La suma de los valores abso-
lutos de los cuatro elementos no nulos restantes se deduce del numerador de la Ec.
(B.37), y viene dado por:
A A,Z) - ^— (oeste + este) -I- Z) - - (norte -I- sur)
A,
(B.40)
Y el valor correspondiente para el elemento de la diagonal es:
D - (norte - + sur - + oeste - + este - ^%) + d&r - [(1 — norte). A^ + (1 — sur).A% + (1 —
l\y ^-y “£C ^-X
oeste).+ (1 — este). Ay] + Sa.A^.A y (B.41)
58 Medio no multiplicative-Re aolucidn num^rica
Pero la expresibn (B.41) contiene a la (B.40) y el resto de los tArminos son todos no
negativos. Sin embargo, el tArmino SnA^-Ay que es siempre positivo es el que nos ase-
gnra que se cumple la condicidn (B.39).
Por consiguiente, para cualquier eleccidn de 0^ tenemos la certeza de que el mAtodo
iterativo converge a la solucidn unica de nuestro problema.
Apendice C
Solution analitica-Sistema directo
El sistema directo, para el caso no multiplicative consider ado en el Capitulo 2, est&
representado por la ecuaciOn:
-D.V^ + Z«.^
con lag condiciones de contomo:
^(a; = o/2) = ^(a; = -
^(3/ = 6/2) = ^(3/ = -
- Q (C.l)
o/2) - 0 (C.2)
6/2) =0 (C.3)
Resolveremos analiticamente esta ecuaciOn, para comparar con la solution obtenida
con el programa realizado.
Dado que tratamos un problema estacionario, sOlo estamos interesados en la distribu
tion espacial del Hujo neutrOnico Para hallar esta funciOn, consideraremos la expan
sion de la misma en autofunciones del operador laplaciano^^. Es decir, fnneiones que
satisfacen una ecuaciOn del tipo:
V2/ + - 0 (C.4)
con las condiciones de contorno de las Ecs. (C.2) y (C.3).
El escalar es un par&metro arbitrario por ahora.
Estas autofunciones constituyen un conjunto completo en el sentido matem&tico, de
modo que cualquier funciOn con un 'buen comportamiento' se puede expresar como com-
binaciOn lineal de las mismas. Esto es:
00
(C.5)
Volvamos entonces a la Ec. (C.4) y para resolverla apliquemos separation de varia
bles. Escribimos entonces:
/(%,%) = X(%).y(!/) (C.6)
Reemplazando en la Ec. (C.4) obtenemos ecuaciones independientes en a; e 3/ que
podemos expresar como:
d^A
da;^
A(o/2) = A(-o/2) = 0
(C.7)
(C.8)
59
60 SoluciAn analftica-Siatema dlrecto
0 + ^ = 0 <c-9>
y(6/2) = y(-6/2) = 0 (C.10)
siendo:
a,2_|_^2_^2 (C.ll)
Las soluciones de las Ecs. (C.7) y (C.9) con sus correspondientes condiciones de con-
tomo son de la forma:
A»(z) = COS(an.z) (C.12)
siendo:
ctn (2n 4-1) - — (C.13)
Y:
^m(%/) C08(^m'!/) (C.14)
siendo:
<^m (2m + 1) - ^ (C.15)
Con lo que:
/m,n(z, {/) = ' COS(an.z) - COS^m-!/) (C.16)
en donde representan constantes a determinar.
Luego, la expansion de ^ en autofnnciones del laplaciano tiene la forma:
00
<6(z, 3/) = ^2 Orn.n ' COS(an.a;) - COS(^m !/) (C.17)
m,n=0
Antes de reemplazar este resultado en la Ec. (C.l) debemos expresar
tOrminos de las autofnnciones del laplaciano. Es decir:
la fuente en
00
Q = ^2 9^'"' cosW-a) - cos(^m !/) (C.18)
m,n=0
Utilizando la ortogonalidad de las autofnnciones, si multiplicamos la Ec. (C.18) por
cos(an.z) - cos(^m !/) @ integramos en el dominio de nuestro sistema, resulta:
_ 4
Q - cos(an.z) - cos(^m !/) - dzdy (C.19)
9m,n ^\m+n. l^Q
(2m + 1) - (2n + 1) ^
(C.20)
Ahora si, reemplazando las expansiones de Q y ^ en la Ec. (C.l) con la idea de cal-
cnlar los coeficientes correspondientes al Hujo, resulta:
SOLUClON ANALfTICA-SlSTEMA DIR.ECTO 61
00
1
# '
00
yi Om,n ' COS(an.z) - COS(^m !/) yi Om,n ' COS(an.z) - COS(^m !/)
m,n=0 m,n=0
yi 9m,n ' C08(a».z) - C08(^m !/)
m,n=0
Y por ser autofunciones del laplaciauo se sigue que:
0° 1
^2 ( " " <^m) ' (4n,n ' COS((%n.a;) ' C08(^m !/) " Y2
00
^2 9m,n ' C08(a».a:) - COS^m-!/)
m,n=0
C08(^m.!/)
1_
D
m,n=0
Luego:
( — " <^m — Yg) ' <W,n ' COS(an.z) - C08(^m !/)
(C.21)
^ ' Oim,n ' COs(o;n.®) •
m,n=0
(C.22)
E
r___2 _ a2 1
m,n=0
C08(^m.l/)
"n ' ^2 C08(an.
m,n=0
Utilizando nuevamente la ortogonalidad de las autofunciones se deduce que:
9m,n
1 _______ 9m, n_______
Zo 1 + + /%) .Z,2
Finalmente, recordaudo que:
oo
= ^2 Om,n Cos(an.a;) cos(^m i/)
m,n=0
el Hujo escalar viene dado explicitamente por la expresidn:
(-ir+" 16.Q
!/)
00
m,n=0
(C.23)
(C.24)
_l + («n + ^m)
cos(^m.;/)
Z..(2m+l).(2u + l)7r2 cos(an.z) -
(C.25)
62 SoluciAn analftica-Siatema dlrecto
siendo:
— (2/1 + 1) ' —
0m (2/71 + 1) —
Apendice D
Integration numerica
Con el objetivo de determinar los coeGcientes de sensibilidad, que involucran inte
grals espaciales en el dominio del sistema en estudio, elaboramos un algoritmo de pro-
gramacidn en lenguaje FORTRAN que aplica un mtiodo de integracidn numtiica cono-
cido con el nombre de Regia de Simpson Compuesta, que ahora explicaremos.
Consideraremos primero el caso de una fnncidn en una variable, que se extiende
luego f&cilmente al caso de integrales multiples
D.l Polinomios interpolates de Lagrange.
Consideremos una fnncidn / de una variable y para la cual queremos hallar una fnn-
cidn interpolate en el intervalo [o, 6]. Dividimos entonces este intervalo en n subinter-
valos cuyos extremes denominaremos zo, zg, ..., siendo o = zo y 6 = como se
esquematizaenlaFig. D.l.
Figura D.l. Funcion a interpolar.
La idea de un polinomio interpolante P es que satizfaga que:
^ = 1,2, ...,n (D.l)
El Polinomio de Lagrange de or den n para el nodo A (%&) que denotaremos tiene
las siguientes propiedadesM;
Ln,k{^i) = d , si i ^ k
63
64 Integration numOrica
Y la forma de este pobnomio genArico es la siguiente:
L°Mx) =. n (D,2)
De este modo, el polinomio interpolate que estamos buscando seria el siguiente:
f(z) — /(Z(|).Ln_()(z) + /(#l)'Ln,l(#) + ...4- (D.3)
n
f (a:) =
k~ 0
(D.4)
D.2 Integrates simples.
El mtodo b&sico con que se aproxima la integral debnida de una funcidn / = /(z)
recibe el nombre de cuadratura numtica y utiliza una suma del tipo:
/ (D.5)
El mtodo que utilizaremos nosotros est& basado en los polinomios interpolantes de
Lagrange. Integrando el segundo polinomio de Lagrange se deduce la Regia de Simpson.
Esto es, dada una funcibn como la que se esquematiza en la Fig. D.2, aproximamos la
integral debnida como:
(z -zi).(z -zg)
(ZQ-Zi).(zo-Z2)
(zo-zi).(zo-^)
- dz
/W + (z-Zp).(z-Z2)
(Zl-Zo).(Zi-Z2) /(zo) +
(D.6)
Figura D.2. Funcidn a integral num6ricamente.
D.4 INTEGRALES MULTIPLES. 65
Para deducir la expresiOn que utilizaremos en nuestro programa, hacemos uso de la
expansion de la ftmciOn / hasta el tercer polinomio de Taylor alrededor de aq. Entonces:
/(z) - /'(zi) + . (z - . (z - %i)3 (D.7)
Teniendo en cuenta que nuestros subintervalos son regulares, podemos denotar /i =
%2 - aq = aq - zo, con lo que, a partir de la Ec. (D.7) se sigue que:
/(z).dz ^ 2/i./(zi) + y - /"(zi) (D.8)
Reemplazando /"(aq) por la aproximaciOn ya utilizada (verApOndice B) del MOtodo
de Diferencias Finitas Centradas, resulta:
y /(z).da; ^2/i./(zi) + y [/(zo)-2./(zi) + /(z2)]j
Es decir:
/ /(z).dz- [/W+4./(zi) + /(z2)]
que es lo que se denomina Regia de Simpson.
(D.9)
(D.10)
D.3 Integration compuesta.
La expresiOn que se obtuvo para la Regia de Simpson, tal como se encuentra en la
Ec.(D.lO) no es aplicable a ntervalos de integraciOn grandes, pues el error que introduce
es muy grande.
Lo que se hace entonces para seguir utilizando estas expresiones con polinomios
interpolantes de bajo orden es subdividir el intervalo [o, 6] en n subintervalos, siendo n
par, y aplicar la Regia de Simpson en cada par consecutivo de subintervalos.
Si los subintervalos son regulares, siendo (6- o)/n resulta entonces:
n/2
E
J = 1
^ E / _
j = l ''3=2;-2
(D.ll)
[/(a:2j-2) +4./(z2j_i) + /(Z2j)] ^ (D.12)
D.4 Integrates multiples.
Para aplicar la Regia de Simpson al dominio bidimensional que Uamaremos R de una
funciOn /, y que se extiende en las direcciones a; e ?/ segnn los intervalos genOricos [o, 6]
y [c, d], respectivamente; dividimos los mismos en un numero par de subintervalos que
denotaremos m y n (ver Fig. D.3).
66 Inlegraclon num&ica
m intervalos
_____A______
> n intervalo:
Figura D.3. R,egi6n de integracidn.
Consideraremos nuevamente que los puntos de red se encuentran equiespaciados de
mode que quedan deEnidos los tamanos de los pasos en z e 1/ como A = y A =
Podemos escribir la integral doble a realizar en la forma:
R
(D.13)
Aplicamos entonces la Regia de Simpson Compuesta para resolver la integral en la
variable ?/:
For lo tanto:
j—1 j—1
(D.14)
pb pa
/ /
J a J c
pb -*• pb -*• pb
/ /(z,yo)dz + 2^2 / /(z,y2;)dz + 4^2 / /(z,y2j_i)dz +
J d x i J Cl „• i J Cl
(D.15)
j=i j=i
Aplicando luego la Regia de Simpson Compuesta a cada una de las integrales que
nos faltan resolver, llegamos a la expresibn buscada en la aproximacibn de nuestra inte
gral doble:
rb pd
J a J c
/(z, /W, yo) + 2 E /(at;, W + 4 E /(z2(_i, yo) + /(z2«, yo)
i= 1 i= 1
ni — 1 n — 1 771 —1 7i
E /W, ,2;) + 2 E E + 4 E E + E W
j = 1 j = 1 i=l j=l i=l j = l
771 771 71 — 1 771 71 771
E /(%0' Mu-i) + 2 E E + 4 E E + E
j = 1 J = 1 1=1 j = 1 1=1 j = 1
Ti — l n
/(Z0,y2m) + 2E /(Z2i,%2m) + 4E
i=l i=l
(D.16)
Esta expresibn es la que usamos en los programas para efectuar las integraciones,
correspondientes a los coeEcientes de sensibilidad.
Apendice E
Programa Pert
Como ya dijimos en el Capitulo 3, para la resolucibn de los sistemas directo y de
importancia, as! como para veribcar la snbcriticidad del sistema de estndio y para cal-
cular los coebcientes de sensibilidad se confecciond un programa en lenguaje FORTRAN
que Uamamos Pert. A continuation detallaremos la forma en que este programa resuelve
por medio de subrutinas los sistemas analizados.
E.l Parametros del sistema.
La ecuacidn que representa nuestro sistema, aplicando la Aproximacidn por Difusidn,
es la signiente:
D.V^0 + A.0 + P.0 + (Q = 0 (E.l)
En el arcbivo de entrada se encuentran los valores correspondientes a los coebcientes
de difusidn, secciones eficaces de absorcidn, secciones eficaces de nu-bsidn, secciones eb-
caces de downscattering (scattering de un grupo a otro de menor energia) y fuente
externa, para cada grupo de energia. El scattering de un grupo a otro de mayor energia
(up-scattering) no se tuvo en cuenta.
Estos valores son leidos del arcbivo de entrada por la subrutina pertOl y guardados
en vectores cuya cantidad de componentes es igual a la cantidad de gmpos energdticos
considerados, que denotaremos g .
Para resolver los sistemas directo y de importancia utilizamos, como en el caso no
multiplicative, el M&todo de Diferencias Finitas. Por tanto, consideraremos nuevamente
un sistema de m x n mallas rectangnlares y ademAs regulares para la discretizacidn del
problema. A diferencia del caso no multiplicative, en donde el sistema era homogdneo en
su totabdad y consideramos sdlo un grupo energdtico, en estos casos tenemos diferentes
materiales y la resolucidn se efectba en un esquema multigrupo. Se hizo necesario
entonces utibzar matrices de m x n bias y g columnas para los par&metros, de mode de
tener en cuenta los distintos grupos de enegia y las distintas mallas del sistema, pues si
de una malla a otra Gambia el material, seguramente cambian tambien las secciones efi
caces y dem&s par&metros.
La subrutina pert02 es la encargada de gnardar convenientemente los datos de
entrada en estas matrices, teniendo en cuenta la ubicacidn de los distintos materiales.
E.2 Calculo del factor de multiplication.
La subrutina pert03 es la que calcula el factor de multiplicacidn del sistema. Para esto
no tenemos en cuenta la fuente externa y consideramos, aplicando siempre la Aproxima-
cidn por Difusidn, el problema del Reactor Critico Asociado:
TP
D.V%0 + A.$ +=-$ = 0 (E.2)
A
67
68 Programs Pert
donde A es el factor de multiplicacidn.
La Ec. (A.2) posee inBnitas soluciones para el Eujo escalar $, a menos que se &je
otra condicidn para el mismo, como podria ser la potencia de trabajo del reactor. Sin
embargo, en nuestro caso lo que haremos es considerar la fuente de Esidn (neutrones
nacidos en el sistema) normalizada a un neutrdn^^. La fuente de fisidn se corresponde
con el tdrmino ^ la Ec. (E.2).
De este modo, el factor A se calcularfa como:
^2 A-
«=1
E "•s/fi.i) ■ (E.3)
en donde el subindice % indica la malla considerada de la discretizacidn y el subindice
j el grupo de energia.
Como los problemas que tratamos son bidimensionales, consideramos el area de la
malla % que denotamos A^.
La fuente de fisidn para la malla i, que llamaremos ft , viene dada explicitamente
por la expresidn:
<E'4)
Ahora bien, dado que calcularemos el Eujo en cada grupo de energia con la misma
subrutina que utilizamos para el caso no multiplicative (Ver Apdndice B), lo que le
pas amos para el c&lculo a esta subrutina son los coeficientes de una ecuacidn del tipo:
Ci.V^ + C2.$ = Q (E.5)
En nuestro caso <Ci es el vector con los coeficientes de difusidn; C2 es un vector
cuyas componentes son las secciones eficaces de pdrdida del grupo considerado de
energia, es decir, las secciones eficaces de absorcidn m&s las de downscattering a otros
grupos; y (Q es el vector de fuente de neutrones en ese grupo de energia, es decir, la
fuente de fisidn m&s la fuente de scattering de otros grupos al considerado. En forma
explicita, para la malla % del sistema (componente % del vector) y para el grupo de
energia
(E.6)
Y:
j = l
representando el primer tdrmino la fuente de scattering y el segundo tdrmino la
fuente de fisidn.
E.2 CALCULO DEL FACTOR, DE MULTIPLICAClON. 69
Para poder comenzar con el cOlculo dames un valor arbitrario a los Hujos en cada
grupo de energia. Estos Hnjos no pueden ser nulos pues el valor de A que obtendriamos
seria cero, lo cual nos ocasiona una division por cero en la determination de la fnente de
GsiOn. Llamaremos $GUESS gj gujo arbitrario para iniciar el cOlculo. Entonces, supo-
niendo nn Hnjo piano idOntico en todos los grnpos de energia, los primeros valores de A y
fnente de GsiOn, que corresponder&n a la iteration 0 en la resolnciOn del problema,
vienen dados por:
T71-T1
^GUESS .
f *4
t=l
A* E (E.8)
^GUESS
k ■E-'■=/(«) (E.9)
Lnego de calcular el factor de multiplication y la fnente total de fisiOn pasamos a las
iteraciones internas, esto es, a resolver el flujo en cada grnpo de energia. Para esto, cal-
culamos signiendo la Ec. (E.7) la fnente de cada grnpo de energia y los vectores (Ci y (C2
de la Ec. (E.5) y le pasamos estos valores a la subrutina que Uamamos Flujo. Esta
subrutina calcula el Eujo en el grupo de energia considerado en la iteration interna, apli-
cando el MGtodo de Diferencias Finitas Centradas y utilizando el mOtodo iterative de
Gauss Seidel, como se explicO en el ApGndice B.
Un esquema del c&lculo iterative que signe la rutina pert03 se observa en la Fig.
E.l .
^OUESS
k GUESS
No
Si
Fuente fision
FiguraE.l. Esquema de c&lculo de la subrutina pert03.
70 Programs Pert
Consideramos que el calculo de A converge cuando se cnmple la condicibn:
&(*) _ < G (E.10)
siendo G la tolerancia Gjada para el calculo de A.
Una vez que convergen las iteraciones, el valor de A obtenido se imprime en un
ardiivo Uamado 'factor.out'. Si el valor de A calculado es mayor o igual a 1 se muestra
por pantalla un mensaje de error diciendo que el sistema debe ser subcrltico.
E.3 Calculo del flujo y la importancia.
Para resolver el Gujo y la importancia la ecuacibn a considerar tiene la forma de la
Ec. (E.l). Las subrutinas pert04 y pertOS son las que se encargan de obtener el Gujo y
la importancia, respectivamente.
En estos casos, como no hay que tener en cuenta en la ecuacibn el factor de multipli-
cacibn, el calculo se basa fnndamentalmente en las iteraciones internas para cada grupo
de energia y en veriGcar si se cnmple la convergencia del Gujo en cada grupo. Recor-
demos que la fuente en cada iteracibn se calcula con los Gujos obtenidos en la iteracibn
anterior, con lo que continnar iterando imphca mejorar la fuente considerada aproxi-
mando cada vez mas los Gujos obtenidos en las iteraciones internas a los de la solucibn
del problema.
El esquema de calculo seria el siguiente: suponemos un Gujo y calculamos la fuente
correspondiente a cada grupo de energia, que incluye fuente de Gsibn, fuente de scatte
ring (como en la Ec. (E.7)) y adembs la fuente externa y luego, con la subrutina Flujo,
determinamos el Gujo (o importancia) en cada grupo energbtico. Podriamos decir que la
subrutina Flujo, encargada de lo que 11amamos iteraciones internas, se ocupa de la con
vergencia espacial del Gujo en cada grupo energbtico, para la fuente calculada. Luego, en
lo que serian las iteraciones extemas determinamos si los Gujos calculados convergen res-
pecto a los calculados en la iteracibn anterior, para los distintos grupos de energia.
A diferencia del calculo de A ahora debemos veriGcar la convergencia del Gujo (o
importancia) en cada grupo de energia, que es lo que nos interesa. Entonces, la condi-
cibn de convergencia que se impone es que se cumpla:
$(&) _ $(&-!)
< ^ext (E.ll)
para cada grupo de energia, siendo Egxt la tolerancia impuesta para el calculo del
Gujo e importancia.
Vale la pena aclarar la inGuencia de las tolerancias extemas e internas en el calculo
del Gujo o importancia. Nos referiremos de aqui en adelante al calculo del Gujo escalar
pero el razonamiento es igualmente vAlido en la determinacibn de la funcibn impor
tancia.
Como ya dijimos en el Apbndice B, que explica basicamente como se realizan las ite
raciones internas, los Gujos se numeraron en cada malla del sistema como se muestra en
la Fig. E.2.
E.3 CALCULO DEL FLUJO Y LA IMPORTANCIA. 71
0m.n- 0m.n
•
^m+1
^ 1 0 2 • * * 0 m
y
x
Figura E.2. Numeracidn de mallas del sistema.
El mGtodo iterativo de Gauss Seidel, como tambiAn se vi6, calcula el Bujo en una
malla, utilizando los ultimos Bujos calculados en las mallas anteriores y los Bujos de la
iteracidn anterior de las mallas que siguen. Esto Ueva a una asimetria inicial en el c&l-
culo del Bujo, a pesar de que el problema considerado sea simGtrico, pues el Bujo que se
calcula para la malla m.n , que es la Ultima malla, se obtiene a partir de valores de las
mallas anteriores que se fueron actualizando a medida que se efectuaba el c&lculo; mien-
tras que el Bujo de la malla 1 solo tiene en cuenta los valores supuestos inicialmente para
las otras mallas. De este modo, el Bujo de la malla m .n, est& mucbo m6s proximo a su
valor deBnitivo que el Bujo en la malla 1 que se calculd. Por lo tanto, si no se itera suB-
cientes veces (tolerancia alta) el Bujo obtenido probablemente presente una asimetria
debido a la forma de c&lculo. Llamaremos a la tolerancia para las iteraciones internas
Sint-
Por otra parte, en cuanto a las iteraciones extemas, si consideramos una tolerancia
alta (eext grande) entonces la fuente que se obtiene para el c&lculo no ser& la correcta, y
por m6s que las iteraciones internas se lleven a cabo con gran presicidn, tendremos sime-
tria pero la forma del Bujo no ser& la correcta.
Para veriBcar estas hipdtesis probamos el programa para un caso a un grupo de
energia y considerando toda la regibn compuesta por un solo material combustible y sin
una fuente externa de energia. La ecuacidn correspondiente seria:
= 0 (E.12)
El sistema era supercritico, pero la solucidn espacial de este problema es muy senciUa
y corresponde a un producto de funciones cosenos (el origen de coordenadas se
encuentra en el centro del sistema).
Primeramente dejamos la tolerancia externa (eext) Bja en un valor de 0.00001 y
corrimos el programa para valores de Sint de 0.001, 0.0001, 0.00001 y 0.000001. En un
archivo separado imprimiamos los valores del Bujo en los pianos centrales del sistema (es
decir en los puntos pertenecientes a los pianos % = 0 e = 0) donde la forma del Bujo
tiene que ser cosenoidal de acuerdo con la solucidn analitica. Los resultados obtenidos
para los puntos del piano y = 0 se observan en la Fig.E.3.
72 Programa Pert
tol = 0.001
tol = 0.0001
tol = 0.00001
tol = 0.000001
0.0016 -
0.0012 -
0.0008 -
0.0004 -
Mallas
Figura E.3. Asimetria del flujo calculado a medida que modificamos £int.
Puede verse clararnente la asimetria del flujo cuando la toleraucia interna es grande,
lo cual se va corrigiendo a medida que disminuye la misma.
Luego repetimos este procedimiento pero dejando esta vez la toleraucia interna (Emt)
Gja en un valor de 0.00001 y corriendo el programa para valores de Ee%t de 0.01, 0.001,
0.0001 y 0.00001. Los resultados obtenidos para los puntos del piano y = 0 se graGcan en
la Pig. B.4.
-- Toll =0.01
— ■ Toll = 0.001
— Toll =0.0001
— Toll =0.00001
0.0016 -
0.0012 -
0.0008 -
0.0004 - i:
Mallas
Figura E.4. Modification de la forma del flujo calculado a medida que variamos eext-
Observamos ahora que existe simetria pues la tolerancia interna es lo suGcientemente
baja, pero la forma del flujo se acerca a la cosenoidal a medida que disminuye la tole
rancia externa.
For otra parte, este ejemplo sencillo nos permit# veriGcar- que los Gujos se calculaban
correctamente y tambiAn el valor del factor de multipGcacidn, que se calcula analitica-
mente para este caso como:
k = (E.13)
E.4 DETERMINAClON DE LOS COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD. 73
donde es el buckling geomOtrico y se calcula para nuestra geometria rectangular
como:
B^
ancho
2
(E.14)
E.4 Determination de los coeficientes de sensibilidad.
La subrutina pert06 es la que calcula los coebcientes de sensibilidad. Dado que el
coeficiente de sensibilidad al par&metro p, se calcula como:
dB mo (E.15)
lo primero que efectiia esta subrutina es el cAlculo de la respuesta sin perturbar Bo-
For otra parte, se le pasan a esta subrutina los valores de los par&metros sin per
turbar.
Se determinan luego los valores de las funciones a integrar para el cAlculo de ^ .
Dado que trabajamos en un esquema a varios grupos de energia, deEnimos por cada
par&metro una matriz de m n Bias y g columnas, de modo que se cargue en la misma la
funciOn a integrar de cada grupo energOtico. Asi, por ejemplo, para la secciOn e&caz de
absorciOn de&nimos una matriz en la cual, en la primera columna se cargan los valores
de la funciOn a integrar para el grupo r&pido, en la segunda columna el grupo epitOrmico
y asi siguiendo.
A continuation, y para cada par&metro, se llama a otra subrutina Uamada 'Sensib',
que recibe el valor del par&metro sin perturbar en los diferentes grupos de energia, la
matriz de las funciones a integrar y el valor de la respuesta sin perturbar. A partir de
esots valores, esta subrutina determina los coeficientes de sensibilidad correspondientes a
cada par&metro, efectuando las integrates necesarias aplicando la Regia de Simpson
CompuestaE i.
Los resultados de los coeficientes se imprimen desde la subrutina Sensib en un
archivo llamado'sensibilidad.out'.
E.l. Ver ApAndice D.
References
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Aplicados a Problemas de Ingenierla Nuclear"; 1994.
[2] A. Gandini; "Generalized Perturbation Theory Methods"; Plenum pubhshing;
1987.
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1976; cap.5.
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vol III.
[5] J. Lamarsh; "Nuclear Reactor Theory"; Wesley Publishing; 1965; cap. 9.
[6] Stamm'ler y Abbate; "Methods of Steady State Reactor Physics in Nuclear
Design"; Academic Press; 1983; cap.VI.
[7] J.J. Duderstadt y L.J. Hamilton; "Nuclear Reactor Analisis"; John
Wiley&Sons; 1976; cap.4.
[8] Stamm'ler y Abbate; "Methods of Steady State Reactor Physics in Nuclear
Design"; Academic Press; 1983; cap.V.
[9] Burden y Faires; "Analisis Num&rico"; International Thomson; cap. 7.
[10] J.J. Duderstadt y L.J. Hamilton; "Nuclear Reactor Analisis"; John
Wiley&Sons; 1976; cap.5 (pag. 171-176).
[11] Burden y Faires; "Analisis Num&rico"; International Thomson; cap.3.
[12] Stamm'ler y Abbate; "Methods of Steady State Reactor Physics in Nuclear
Design"; Academic Press; 1983; cap.VIII.
74
Agradecimientos
Primeramente, agradezco a Dios por haberme acompanado todos estos anos y a
mi familia por apoyarme y darme Animo cuando mAs lo necesitaba.
Quisiera agradecer especialmente la ayuda y cooperacion de Anfbal Blanco, que
siempre estuvo dispuesto, con paciencia, buen humor y mucho respeto a discutir
los problemas que surgian en la realizacion del proyecto y a dar una palabra de
aliento.
Estoy igualmente agradecido con toda la gente de la division (DIFRA) que nos
soporto un ano entero y siempre poniendo buen humor y brindando su ayuda
cuando fuera necesario.
Gracias companeros de ingenierfa nuclear, que con su buen humor, sencillez y
amistad hicieron que este camino de formacion acadAmica sea mucho mAs fAcil de
transitar. Siempre me sent! agradecido por el regalo de un grupo excelente a nivel
personal para compartir estos anos bastante duros. En particular, gracias Alexis,
Ignacio y Federico por acompanarme y ayudarme en estos ultimos tiempos de
tanto trabajo.
Gracias Pablo, Hugo y David por ser tan buenos amigos, por tanta conhanza y
por ser mi familia en Bariloche.
Finalmente, un agradecimiento especial a mis amigos en TucumAn, por estar
siempre pendientes de todo, siempre dando Animo y por hacerme sentir que nunca
estuvimos lejos.
75