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<p>MATERIAL COMPLEMENTARIO</p><p>UNIDAD 2: CONDUCCIÓN DE CALOR</p><p>RESISTENCIAS TÉRMICAS</p><p>UNIDAD 2: CONDUCCIÓN DE CALOR</p><p>ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR</p><p>Mauricio Abugattas Arocena</p><p>FACULTAD DE QUÍMICA E ING. QUÍMICA</p><p>OPERACIONES DE TRANSM. DE CALOR – IQ0062</p><p>1</p><p>2</p><p>Ejercicio</p><p>En un contenedor esférico cuya superficie externa es de 0.5 m2 está a una</p><p>temperatura de –10 ℃ se almacena oxígeno líquido, que tiene un punto de</p><p>ebullición de 90 K y un calor latente de vaporización de 214 KJ/kg . El contenedor</p><p>se almacena en un laboratorio cuyo aire y paredes están a 25 °C.</p><p>Si la emisividad de la superficie es 0.20 y el coeficiente de transferencia de calor</p><p>asociado con la convección libre en la superficie externa del contenedor es 10</p><p>W/m2 K, ¿cuál es el flujo, en kg/s, al que se debe descargar vapor de oxígeno del</p><p>sistema?</p><p>3</p><p>La energía utilizada para la evaporación es igual al calor ganado proveniente desde el</p><p>exterior por convección libre y radiación</p><p>ሶ𝑚𝑒𝑣𝑎𝑝ℎ𝑓𝑔 = ℎ𝐴 𝑇∞ − 𝑇𝑠 + 𝜖𝜎𝐴(𝑇𝑠𝑢𝑝</p><p>4 − 𝑇𝑠</p><p>4)</p><p>ሶ𝑚𝑒𝑣𝑎𝑝 =</p><p>𝐴(ℎ 𝑇∞ − 𝑇𝑠 + 𝜖𝜎 𝑇𝑠𝑢𝑝</p><p>4 − 𝑇𝑠</p><p>4 )</p><p>ℎ𝑓𝑔</p><p>=</p><p>0.5𝑚2[ 10</p><p>𝑤</p><p>𝑚2𝐾</p><p>298 − 263 𝐾 + 0.2 ∗ 5.67𝑥10−8 𝑤</p><p>𝑚2𝐾4 2984 − 2634 ]</p><p>214</p><p>𝑘𝐽</p><p>𝑘𝑔</p><p>∗ 1000</p><p>𝐽</p><p>𝑘𝐽</p><p>𝑇∞ = 25°𝐶 + 273 = 298 𝐾 𝑇𝑆𝑈𝑃 = 25°𝐶 + 273 = 298 𝐾</p><p>𝑇𝑠 = −10°𝐶 + 273 = 263 𝐾</p><p>4</p><p>Gas a a alta temperatura</p><p>Gas a a baja temperatura</p><p>𝑞</p><p>Ejercicio 1</p><p>Para el siguiente sistema, en condiciones estacionarias encontrar el flujo de calor a</p><p>través del sistema, el coeficiente global de transmisión de calor y la temperatura T2</p><p>h1= 300 w/m2 K hr= 450 W/m2 K</p><p>L1=0.15m K1=0.33 W/m k</p><p>L2=0.05 m K2=1.20 W/m K</p><p>h2= 100 W/m2 K A= 10 m2</p><p>𝑞 =</p><p>𝑇∞1 − 𝑇∞2</p><p>𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =</p><p>1</p><p>1</p><p>𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑅𝑟𝑎𝑑</p><p>+ 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,2</p><p>𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =</p><p>1</p><p>ℎ1𝐴 + ℎ𝑟𝐴</p><p>+</p><p>𝐿1</p><p>𝑘1𝐴</p><p>+</p><p>𝐿2</p><p>𝑘2𝐴</p><p>+</p><p>1</p><p>ℎ2𝐴</p><p>Circuito Térmico :</p><p>Desarrollo Ejercicio 1</p><p>𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =</p><p>1</p><p>300(10) + 450(10)</p><p>+</p><p>0.15</p><p>0.33(10)</p><p>+</p><p>0.05</p><p>1.20(10)</p><p>+</p><p>1</p><p>100(10)</p><p>= 0.051 𝐾/𝑤</p><p>𝑞 =</p><p>1500 − 300</p><p>0.051</p><p>= 23,643 𝑤</p><p>𝑈𝐴 =</p><p>1</p><p>𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>𝐴𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙</p><p>𝑈 =</p><p>1</p><p>10 (0.051)</p><p>= 1.96 𝑤/𝑚2𝐾</p><p>5</p><p>h1= 300 w/m2 K</p><p>hr= 450 W/m2 K</p><p>L1=0.15m</p><p>K1=0.33 W/m k</p><p>L2=0.05 m</p><p>K2=1.20 W/m K</p><p>h2= 100 W/m2 K</p><p>A= 10 m2</p><p>𝑇∞1 = 1 500 𝐾</p><p>𝑇∞2 = 300 K</p><p>𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 =</p><p>1</p><p>1</p><p>𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑅𝑟𝑎𝑑</p><p>+ 𝑅1 =</p><p>1</p><p>ℎ1𝐴 + ℎ𝑟𝐴</p><p>+</p><p>𝐿1</p><p>𝑘1𝐴</p><p>𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 =</p><p>1</p><p>1</p><p>𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣,1</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑅𝑟𝑎𝑑</p><p>+ 𝑅1 =</p><p>1</p><p>ℎ1𝐴 + ℎ𝑟𝐴</p><p>+</p><p>𝐿1</p><p>𝑘1𝐴</p><p>=</p><p>1</p><p>300(10) + 450(10)</p><p>+</p><p>0.15</p><p>0.33(10)</p><p>𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 = 0.046 𝐾/𝑤</p><p>𝑞 =</p><p>𝑇∞1 − 𝑇2</p><p>𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣</p><p>𝑇2 = 𝑇∞1 − 𝑞𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 = 1500 − 23,643(0.046) 𝑇2 = 412.4 𝐾</p><p>Para encontrar T2 tomamos la porción</p><p>del circuito térmico que se muestra en</p><p>el esquema</p><p>6</p><p>Suponga una conducción de calor unidimensional de estado estable a través de la</p><p>forma simétrica axial que se muestra abajo. Suponiendo propiedades constantes y</p><p>ninguna generación de calor interna, bosqueje la distribución de temperatura en las</p><p>coordenadas 𝑇 − 𝑥. Explique con brevedad la forma de la curva que resulte.</p><p>Ejercicio 2</p><p>7</p><p>Desarrollo Ejercicio 2</p><p>Realizando el balance de energía:</p><p>q𝐼𝑁 − q𝑂𝑈𝑇 = 0 ya que las paredes del objeto están aisladas</p><p>q𝐼𝑁 = q𝑂𝑈𝑇 = qx</p><p>Por la Ley de Fourier:</p><p>𝑞𝑥 = −𝑘 𝐴𝑥</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑥</p><p>Como 𝑞𝑥 y 𝑘 son constantes 𝐴𝑥</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑥</p><p>= cte</p><p>Como 𝐴𝑥 crece en la dirección x decrece en la dirección x𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑥</p><p>8</p><p>Ejercicio 3</p><p>En el cuerpo bidimensional que se ilustra, se encuentra que el gradiente en la</p><p>superficie 𝐴 es 𝜕𝑇⁄𝜕𝑦 = 30𝐾/m. ¿Cuánto valen 𝜕𝑇⁄𝜕𝑦 y 𝜕𝑇⁄𝜕𝑥 en la superficie 𝐵?</p><p>9</p><p>Desarrollo Ejercicio 3</p><p>a) Estado estable.</p><p>b) El flujo de calor entra por la superficie B a 100 C y sale por la superficie A a 0 C , ya</p><p>que el resto de la frontera del objeto está aislada.</p><p>c) Dentro del objeto la conducción es bidimensional.</p><p>En la superficie “A”:</p><p>• Como el flujo de calor es perpendicular a la superficie, en la superficie 𝐴, al ser ésta</p><p>horizontal, el flujo de calor en la dirección x es cero, por lo que el gradiente de</p><p>temperatura en la dirección 𝑥 será 0.</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝐴</p><p>= 0</p><p>• El flujo de calor en la superficie 𝐴 será solamente en el eje y:</p><p>𝑞𝑦,𝐴 = −𝑘 𝑙𝐴 𝑒𝑠𝑝</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑦</p><p>; q′</p><p>𝐴 =</p><p>𝑞𝑦,𝐴</p><p>𝑒𝑠𝑝</p><p>= −𝑘𝑙𝐴</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑦</p><p>= − 10 2 30 = −600 𝑤/𝑚</p><p>Donde esp es el espesor del objeto.</p><p>El flujo de calor es negativo por lo que sigue el sentido negativo de ”y”</p><p>10</p><p>Y sólo hay flujo de calor en la dirección “x”</p><p>Además por conservación de energía, (entrada = salida) el flujo de calor es de la</p><p>misma magnitud en “A” que en “B” (𝑞𝑦,𝐴 − 𝑞𝑥,𝐵 = 0 ó 𝑞𝑦,𝐴 = 𝑞𝑥,𝐵 )</p><p>𝑞𝑥,𝐵 = −𝑘 𝑙𝐵 𝑒𝑠𝑝</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑥</p><p>; 𝑞′</p><p>𝐵 =</p><p>𝑞𝑥,𝐵</p><p>𝑒𝑠𝑝</p><p>= −𝑘𝑙𝐵</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑥</p><p>= −600 𝑤/𝑚</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑥</p><p>𝐵</p><p>=</p><p>𝑞′𝐵</p><p>−𝑘𝑙𝐵</p><p>=</p><p>−600</p><p>−10(1)</p><p>= 60 𝐾/𝑚</p><p>En la superficie “B”:</p><p>• Similarmente, en la superficie 𝐵 se tiene:</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑦</p><p>𝐵</p><p>= 0</p><p>11</p><p>Ejercicio 4</p><p>Considere un recipiente esférico de radio interior r1= 8 cm, radio exterior r2= 10 cm y</p><p>conductividad térmica k = 45 W/m · °C, como se muestra en la figura. Las superficies</p><p>interior y exterior del recipiente se mantienen a las temperaturas constantes de T1=</p><p>200°C y T2= 80°C, respectivamente, como resultado de algunas reacciones químicas</p><p>que ocurren en su interior. Obtenga una relación general para la distribución de</p><p>temperatura dentro de la capa esférica, en condiciones estacionarias, y determine la</p><p>razón de la pérdida de calor del recipiente.</p><p>12</p><p>Desarrollo Ejercicio 4</p><p>La transferencia de calor es estacionaria, ya que no cambia con el tiempo.</p><p>La transferencia de calor es unidimensional, dado que se tiene simetría térmica</p><p>con respecto al punto medio y, por tanto T(r).</p><p>La conductividad térmica es constante y no hay generación de calor.</p><p>Propiedades La conductividad térmica es k = 45 W/m · °C.</p><p>Análisis La formulación matemática de este problema se puede expresar como</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑟</p><p>𝑟2</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑟</p><p>= 0</p><p>Como r 0 ya que varía entre 8 mm y 10 mm</p><p>𝜕</p><p>𝜕𝑟</p><p>𝑟2</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑟</p><p>= 0 (1) 𝑟2</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑟</p><p>= 𝐶1 (2)</p><p>𝑇 𝑟1 = 𝑇1 = 200°𝐶</p><p>𝑇 𝑟2 = 𝑇2 = 80°𝐶</p><p>𝑇 𝑟 = −</p><p>𝐶1</p><p>𝑟</p><p>+ 𝐶2 (3)</p><p>13</p><p>𝑇 𝑟2 = −</p><p>𝐶1</p><p>𝑟2</p><p>+ 𝐶2 = 𝑇2</p><p>𝐶1 =</p><p>𝑟1𝑟2</p><p>𝑟2 − 𝑟1</p><p>𝑇2 − 𝑇1 (4) 𝐶2 =</p><p>𝑟2𝑇2 − 𝑟1𝑇1</p><p>𝑟2 − 𝑟1</p><p>(5)</p><p>𝑇 𝑟 =</p><p>𝑟1𝑟2</p><p>𝑟(𝑟2 − 𝑟1)</p><p>𝑇1 − 𝑇2 +</p><p>𝑟2𝑇2 − 𝑟1𝑇1</p><p>𝑟2 − 𝑟1</p><p>𝑇 𝑟1 = −</p><p>𝐶1</p><p>𝑟1</p><p>+ 𝐶2 = 𝑇1</p><p>Aplicando las condiciones frontera en (3):</p><p>Por lo que las expresiones para las constantes serían:</p><p>Reemplazando (4) y (5) en (3):</p><p>𝑞 𝑟 = −𝑘𝐴</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑟</p><p>= −𝑘 4𝜋𝑟2 𝐶1</p><p>𝑟2 = −4𝜋𝑘𝐶1 = 4𝜋𝑘</p><p>𝑟1𝑟2</p><p>𝑟2−𝑟1</p><p>𝑇1 − 𝑇2 =</p><p>𝑇1−𝑇2</p><p>𝑟2−𝑟1</p><p>𝑘 (4𝜋𝑟1𝑟2)</p><p>El flujo de calor viene dado por la Ley de Fourier y teniendo en cuenta la ecuación (2):</p><p>𝑞 𝑟 = 4𝜋 45</p><p>0.08 0.10</p><p>0.10 − 0.08</p><p>200 − 80 = 27,140 𝑤</p><p>14</p><p>𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑 =</p><p>𝐿</p><p>𝑘𝐴</p><p>15</p><p>Ejercicio 5</p><p>La superficie externa de una esfera hueca de radio 𝑟2 se sujeta a un flujo de calor uniforme 𝑞”2. La</p><p>superficie interna en 𝑟1 se conserva en una temperatura constante 𝑇𝑠,1.</p><p>Si los radios interno y externo son 𝑟1 = 50 mm y 𝑟2 = 100 mm, ¿qué flujo de calor 𝑞”2 se requiere</p><p>para mantener la superficie externa a 𝑇𝑠,2 = 50℃, mientras que la superficie interna</p><p>está a 𝑇𝑠,1 = 20℃? La conductividad térmica del material de la pared es 𝑘 =10 𝑊⁄m.K.</p><p>𝐴 = 4𝜋𝑟2𝑞 𝑟 = −𝑘𝐴</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝑞 𝑟</p><p>4𝜋</p><p>න</p><p>𝑟1</p><p>𝑟2 𝑑𝑟</p><p>𝑟2 = −𝑘 න</p><p>𝑇𝑠1</p><p>𝑇𝑠2</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑞 𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜</p><p>𝑞 𝑟</p><p>4𝜋𝑘</p><p>1</p><p>𝑟2</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑟1</p><p>= 𝑇𝑠2 − 𝑇𝑠1</p><p>𝑞 𝑟 = 4𝜋𝑟2</p><p>2𝑞´´ 𝑟2 𝑞´´ 𝑟2 =</p><p>𝑘(𝑇𝑠2 − 𝑇𝑠1)</p><p>𝑟2</p><p>2 1</p><p>𝑟2</p><p>−</p><p>1</p><p>𝑟1</p><p>𝑞´´ 𝑟2 =</p><p>10(50 − 20)</p><p>0.12 1</p><p>0.1 −</p><p>1</p><p>0.05</p><p>= −3000 𝑤/𝑚2</p><p>16</p><p>𝐶1 =</p><p>𝑟1𝑟2</p><p>𝑟2 − 𝑟1</p><p>𝑇2 − 𝑇1</p><p>𝑞 𝑟 = −𝑘𝐴</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑟</p><p>= −𝑘 4𝜋𝑟2 𝐶1</p><p>𝑟2 = −4𝜋𝑘𝐶1 = 4𝜋𝑘</p><p>𝑟1𝑟2</p><p>𝑟2−𝑟1</p><p>𝑇1 − 𝑇2</p><p>𝑞 𝑟 = 4𝜋 10</p><p>0.05 0.10</p><p>0.10 − 0.05</p><p>20 − 50 = − 377 𝑤</p><p>𝑞´´ 𝑟2 =</p><p>𝑞 𝑟</p><p>4𝜋𝑟2</p><p>2</p><p>=</p><p>− 377</p><p>4𝜋(0.12)</p><p>= − 3000 𝑤/𝑚2</p><p>𝑞 𝑟 = −𝑘𝐴</p><p>𝑑𝑇</p><p>𝑑𝑟</p><p>𝜕𝑇</p><p>𝜕𝑟</p><p>=</p><p>𝐶1</p><p>𝑟2</p><p>Del ejercicio anterior y</p><p>Luego:</p><p>Otro desarrollo equivalente:</p><p>FIN DE PRESENTACIÓN</p><p>17</p><p>Diapositiva 1</p><p>Diapositiva 2</p><p>Diapositiva 3</p><p>Diapositiva 4</p><p>Diapositiva 5</p><p>Diapositiva 6</p><p>Diapositiva 7</p><p>Diapositiva 8</p><p>Diapositiva 9</p><p>Diapositiva 10</p><p>Diapositiva 11</p><p>Diapositiva 12</p><p>Diapositiva 13</p><p>Diapositiva 14</p><p>Diapositiva 15</p><p>Diapositiva 16</p><p>Diapositiva 17: FIN DE PRESENTACIÓN</p>
