Vista previa del material en texto
<p>FACULTAD DE ARQUITECTURA, DISEÑO Y URBANISMO / UNL</p><p>Contenidos teóricos</p><p>APUNTE 02 3º Parte</p><p>El equilibrio y la estabilidad como exigencias estructurales</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES 1</p><p>César Bruschini - Griselda Armelini - Gabriela Cozzi - Sebastián Puig</p><p>Valeria Herrero - Sofía Feigielson - Rocío Orsi - Yaín Godoy</p><p>CURSO 2020</p><p>Turno Tarde</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 1 -</p><p>2.5 MOMENTO ESTÁTICO DE 1º ORDEN:</p><p>- Momento estático de una fuerza con respectos a un punto:</p><p>Se llama Momento Estático de una Fuerza con respecto a un punto,</p><p>al que denominamos Centro de Momentos, al producto de la intensidad de</p><p>dicha fuerza por la distancia del centro a la misma. Dicha distancia, se</p><p>denomina Brazo de Palanca de la fuerza respecto al centro.</p><p>M = P . d</p><p>Signo: Se adopta por convención que el Momento tendrá signo Positivo cuando la fuerza</p><p>tiende a producir un giro del cuerpo en el cual se encuentra aplicada, con respecto al centro O -</p><p>supuesto como fijo- en el sentido del movimiento de la agujas del reloj. En caso contrario, el Momento</p><p>tendrá signo Negativo.</p><p>Para comprender mejor el concepto, supongamos el siguiente ejemplo: queremos hacer girar</p><p>una puerta. El Centro de Momentos o Punto O, está representado por las bisagras, que son la fijación</p><p>de esa puerta al marco y la distancia d estará representada por la separación entre el punto O y el</p><p>punto en el que sujetemos la puerta para girarla.</p><p>Para que ésta puerta se ponga en movimiento, si la sujetamos desde la zona más alejada de</p><p>las bisagras, debemos aplicar una fuerza P1 que producirá un determinado momento M.</p><p>M = P1 . d1</p><p>Ahora bien, si quisiéramos tomarla desde un punto más cercano a las bisagras, deberemos aplicar</p><p>una fuerza P2, tal que:</p><p>M = P2 . d2</p><p>Como el momento a aplicar es el mismo, y d1 > d2, necesariamente la fuerza a aplicar P2 tiene</p><p>que ser suficientemente mayor a P1.</p><p>Vemos también que la magnitud Momento es compuesta. Si por ejemplo d = 3,00 m y P = 150</p><p>kg., resulta:</p><p>M = 150 Kg x 3.00 m = 450 Kgm (kilográmetros o kilogramo-metros)</p><p>- Teorema de Varignon: Teorema fundamental de los momentos estáticos.</p><p>“La suma de los momentos estáticos de cada una de las fuerzas componentes de un sistema</p><p>respecto a un centro O dado, es igual al momento de la Resultante de dicho sistema con respecto al</p><p>mismo centro”.</p><p>En realidad este teorema es consecuencia de la</p><p>definición de Resultante que vimos anteriormente,</p><p>pues, desde el momento en que la Resultante de un</p><p>sistema de fuerzas es equivalente al sistema dado (es</p><p>decir, que puede reemplazarse a éste por aquella) lo</p><p>será en todos sus efectos y la consideración de</p><p>momento estático no es más que un caso particular de</p><p>estos efectos.</p><p>M= P1 . d1 + P2 . d2 + P3 . d3 + ........... + Pn . dn = R . d</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 2 -</p><p>- Par de fuerzas:</p><p>“Dos fuerzas paralelas de igual intensidad y de sentido contrario, constituyen un sistema</p><p>especial de fuerzas denominado Par de Fuerzas o Cupla”.</p><p>Sean las fuerzas P1 y P2 paralelas y de sentido contrario y P2 > P1.</p><p>R = P2 – P1.</p><p>Gráficamente, se debe encontrar la resultante R. Si P1 va aumentando y P2 disminuyendo</p><p>gradualmente, podemos observar que el módulo de R es cada vez más pequeño y su recta de acción</p><p>se va alejando cada vez más del sistema dado. En el límite, cuando P2 = - P1, R es infinitamente</p><p>pequeña (en el límite es igual a 0) y se encuentra situada en el infinito del plano.</p><p>Veamos lo que ocurre cuando trazamos el funicular de las mismas:</p><p>1- En el polígono de fuerzas la resultante es 0.</p><p>2- En el polígono funicular, los lados (1) y (3) son paralelos, por su intersección pasa la resultante R</p><p>y, siendo paralelos, se encontrarán en el infinito del plano. Llegamos a la misma conclusión del</p><p>procedimiento anterior.</p><p>Analíticamente, en el sistema de fuerzas dados P1 y P2, tomamos momentos estáticos</p><p>respecto a un punto O que elegimos situado sobre la recta de acción de P2. Así tenemos que:</p><p>M= P1 . d1 + P2 . 0 = P1 . d</p><p>Igualmente, si tomamos momento estático de P1 y P2 respecto a un punto B de P1 tenemos:</p><p>M= P1 .d1 + P2 . (-d) = P1 . d</p><p>El valor P1 . d = - P2 . d, es característico del sistema dado y se</p><p>denomina Momento del par de Fuerzas.</p><p>Si tomamos momentos de las fuerzas del par respecto a un</p><p>punto O cualquiera del plano, tenemos que el Momento total del par:</p><p>M= P1 . d1 + P2 . d2 = P1 . d1 – P1 . d2 = P1 . (d1 – d2) = P1 . d : constante</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 3 -</p><p>- Pares iguales de fuerzas:</p><p>Dos pares son iguales cuando las fuerzas que lo constituyen y la distancia entre ellas son</p><p>iguales en ambos. Su posición en el plano es indefinida ya que son libres.</p><p>- Pares equivalentes de fuerzas:</p><p>Dos pares son equivalentes cuando tienen el mismo momento, es decir, el producto de una de</p><p>las fuerzas por la distancia entre ellas en cada uno es igual y tienen el mismo signo.</p><p>P1 . d1 = P2 . d2 = M (momento de los pares)</p><p>- Composición o suma de una Fuerza y un par:</p><p>Sea la fuerza P0, aplicada en el punto A y el par de momento M=P1 . d1.</p><p>De acuerdo a la definición de pares equivalentes, podemos transformar el par dado,</p><p>conservando su momento, variando d2 hasta hacer la fuerza P2 igual a P0.</p><p>Resulta que d2 = P1 . d1 / P0 = M / P0 y desplazándolo en el plano, hacemos</p><p>coincidir el origen de la P2 del par con el punto A de aplicación de la fuerza dada P0.</p><p>Las dos fuerzas P0 y P2 aplicadas en A se anulan, quedándonos únicamente la fuerza</p><p>- P2 aplicada en B.</p><p>Vemos así, que la composición de un par con una fuerza da por resultado una</p><p>única fuerza igual a la dada, trasladada paralelamente a sí misma, en el plano, a una</p><p>distancia d= M/P1 (igual al cociente del momento del par dado y la intensidad de la</p><p>fuerza con la cual se compone). El sentido depende del de la fuerza y del signo del</p><p>par.</p><p>Adoptemos un plano de ejes cartesianos. Tenemos una fuerza P1 paralela al eje Y con sentido</p><p>positivo. Tenemos también un par cuyo momento M es positivo. Vemos que el punto de aplicación de</p><p>P1 se desplaza hacia la izquierda.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 4 -</p><p>De la misma forma podemos calcular momento respecto al origen O. Por lo tanto:</p><p>M1= P1 . d1</p><p>Siendo do la distancia de O a P1, al componer la fuerza con el par dado -M, el momento total</p><p>resultante con respecto a o será:</p><p>MR = M1 – M</p><p>Vemos que el momento total disminuye, es decir, la fuerza P1 se traslada acercándose al</p><p>punto o de una cantidad:</p><p>d = M/P1</p><p>2.6 Descomposición de Fuerzas:</p><p>- Descomposición de una fuerza en dos direcciones dadas:</p><p>Para poder efectuar la descomposición de una fuerza en dos</p><p>direcciones dadas, es necesario que el punto de intersección de dichas</p><p>dos direcciones se encuentre sobre la recta de acción de la fuerza dada.</p><p>Dada la fuerza P y las direcciones a y b, cuyo punto de intersección es O,</p><p>que se encuentra sobre la recta de acción de P, existen dos</p><p>procedimientos:</p><p>1- Por la regla del paralelogramo: por el extremo del vector P trazamos 2 rectas paralelas a “a” y “b”.</p><p>Donde estas paralelas encuentran a las rectas a y b respectivamente, tenemos los puntos A2 y A1,</p><p>que con el punto O nos determinan los vectores componentes Pa y Pb.</p><p>2- Por medio del polígono de fuerzas: (en este caso el polígono se reduce al triángulo de fuerzas)</p><p>Por el origen de la Fuerza P, llevamos una paralela a “a” y por el extremo una paralela a “b” queda</p><p>determinado el punto M y con él los vectores fuerzas componentes.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 5 -</p><p>- Descomposición de una fuerza en tres direcciones:</p><p>Sea la fuerza P y tres direcciones dadas no</p><p>concurrentes a, b y c, para la descomposición hay</p><p>que valerse de un artificio:</p><p>1º Paso: Se descompone la fuerza P en una de las direcciones dadas -por ejemplo, la dirección a- y</p><p>otra auxiliar, determinada por el punto M (intersección entre la recta de acción de P y la dirección a) y</p><p>el punto N (punto de intersección de las direcciones b y c). De esta manera obtenemos Pa y Pbc.</p><p>2º Paso: Se descompone luego la fuerza auxiliar Pbc en las direcciones b y c.</p><p>En ambos pasos se pueden aplicar cualquiera de los procedimientos de descomposición (Regla del</p><p>Paralelogramo y Polígono de Fuerzas) indicados.</p><p>1- Por la regla del paralelogramo: Se descompone primero a P según a y la dirección auxiliar bc,</p><p>obteniendo la resultante parcial Pbc, que hay que volver a descomponer según b y c.</p><p>2- Aplicando el Polígono de Fuerzas: Idénticamente al procedimiento anterior, primero se</p><p>descompone a P según a y la dirección auxiliar bc, obteniendo la resultante parcial Pbc, que se</p><p>vuelve a descomponer según b y c.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 6 -</p><p>- Descomposición de una fuerza en dos direcciones paralelas dadas:</p><p>1º Caso: La Fuerza dada se halla entre las rectas de acción de las componentes buscadas.</p><p>Sea P la fuerza dada a descomponer según las rectas a y b, el problema se puede resolver</p><p>mediante la aplicación del polígono funicular, gráficamente y analíticamente.</p><p>Dado el valor de P, se la dibuja representada por un vector en una cierta escala y, adoptando</p><p>un polo cualquiera O, se obtienen los rayos polares 1 y 2.</p><p>Luego se traza un polígono funicular de esta única fuerza dada, rectas 1 y 2, que se cortan en</p><p>el punto M de la recta de acción de P. Obtenemos los puntos M y N en la intersección de estas rectas</p><p>1 y 2 con las direcciones dadas a y b.</p><p>Estos puntos M y N determinan una recta lado intermedio del funicular de las fuerzas Pa y Pb</p><p>componentes de P, cuyo valor se obtiene en el polígono de fuerzas, llevando por O el rayo polar</p><p>auxiliar paralelo al lado del funicular (L. auxiliar).</p><p>Queda así determinado el punto de encuentro de Pa y Pb sobre el segmento de P. Los dos</p><p>segmentos afectados por la escala de fuerza dan los valores de Pa y Pb.</p><p>Gráficamente, tenemos la fuerza P y las direcciones a y b. Llevamos sobre la recta “a” el valor</p><p>de P en una cierta escala de fuerzas (segmento AB).</p><p>Por A y B trazamos 2 rectas cualquiera que se corten en un punto de la recta “b”,</p><p>determinando el punto C.</p><p>Por O, trazamos una paralela a BC, obteniendo el segmento EC. El segmento EC mide en la</p><p>escala de fuerzas el valor de Pa componente de P según la recta “a” y el segmento AD en la misma</p><p>escala mide el valor de Pb componente de P según la recta b. En efecto, por comparación de los</p><p>triángulos rayados, que son semejantes, resulta:</p><p>d1 /d2 = Pb / Pa</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 7 -</p><p>Se cumple la condición establecida anteriormente.</p><p>Analíticamente tenemos que:</p><p>Pa = d2/d . P</p><p>Pb = d1/d . P</p><p>Veamos el siguiente ejemplo de aplicación:</p><p>La balanza romana, tan conocida por su uso callejero,</p><p>ejemplifica el caso de aplicación de descomposición de una</p><p>fuerza en dos direcciones. Aplicaremos el concepto de</p><p>Momento estático visto anteriormente.</p><p>Se requiere determinar el valor de una carga C, ubicada una</p><p>distancia invariable del punto de giro O, contando para ello</p><p>con la posibilidad de equilibrar el giro que produce esa fuerza</p><p>con una pesa de valor constante P que puede desplazarse a</p><p>lo largo del brazo más largo par modificar su valor x.</p><p>De este modo, se plantea la igualdad de los momentos de</p><p>cada una de las fuerzas, para lograr la horizontalidad del</p><p>brazo de la balanza, para luego despejar C.</p><p>C .c = P . x, C = P . (x / c)</p><p>2º Caso: La Fuerza dada es exterior a las rectas de acción de las componentes buscadas.</p><p>Sea P la fuerza dada a descomponer según las rectas a y b y considerando que Pa-b es exterior</p><p>a las rectas de acción de las componentes buscadas, en este caso también podemos resolver el</p><p>problema mediante la aplicación del polígono funicular, gráficamente y analíticamente.</p><p>Dado el valor de P, la representamos por un vector en una cierta escala y se adoptamos un</p><p>polo cualquiera O. Luego obtenemos los rayos polares 1 y 2.</p><p>Dibujamos un polígono funicular de esta única fuerza dada, rectas 1 y 2 que se cortan en un</p><p>punto de la recta de acción de P. En la intersección de estas rectas 1 y 2 con las direcciones dadas a y</p><p>b, obtenemos los puntos M y N. Estos puntos M y N determinan una recta lado intermedio del</p><p>funicular de las fuerzas Pa y Pb componentes de P.</p><p>Trazamos por O una paralela a la línea auxiliar determinada por los puntos M y N (L. aux.)</p><p>obteniendo el rayo polar que nos determina las componentes Pa y Pb según a y b buscadas. Los</p><p>segmentos afectados por la escala de fuerza nos dan los valores de Pa y Pb.</p><p>SISTEMAS ESTRUCTURALES I</p><p>- 8 -</p><p>Gráficamente, dadas una fuerza P y las direcciones a y b exteriores a la recta de acción de la</p><p>fuerza P, se debe llevar sobre la recta “a” el valor de P en una cierta escala de fuerzas, obteniendo el</p><p>segmento AB, y luego proyectar sus extremos desde un punto C cualquiera de la recta “b”.</p><p>Por O, trazar una paralela a BC, obteniendo el segmento DE.</p><p>El segmento AD mide sobre la recta “a”, en la escala de fuerzas adoptada, el valor de Pb</p><p>componente de P según la recta b; y el segmento CE, en la misma escala, mide sobre la recta “b” el</p><p>valor de Pa componente de P según la recta “a”.</p><p>En efecto, por comparación de los triángulos ADO y ECO, que</p><p>son semejantes, resulta:</p><p>d1 /d2 = Pb / Pa, cumpliéndose la condición establecida anteriormente.</p><p>Analíticamente se tiene que:</p><p>Pa = d2/d . P</p><p>Pb = d1/d . P</p><p>Donde, Pb (la componente más próxima) tiene el signo de P.</p><p>Pa, signo contrario</p>
