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Universidad Carlos I I I de Madrid
Departamento de I ngeniería Mecánica 1
TEORÍ A DE MECANI SMOS
3.- CI NEMÁTI CA DE
MECANI SMOS
Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Ingeniería Mecánica 2
Cinemática de máquinas
Estudio cinemático: determinación de
Trayectorias
Velocidades
Aceleraciones
Métodos analíticos y gráficos
Pares elementales
Rotación
Traslación
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Rotaciones (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes FUERZA
Vectores deslizantes ROTACIÓN
(Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas)
(Rotación, Momento de la rotación)
Velocidad
Reducción del
sistema de
vectores
deslizantes en un
punto dado.
NOTA: los vectores
deslizantes se aplican
sobre un sólido rígido
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Fuerzas (Vectores deslizantes)
Vectores deslizantes FUERZA
La reducción del sistema de vectores
Deslizantes FUERZA en un punto cualquiera P,
consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas,
en dicho punto P.
Posicionar el vector Suma de los Momentos de
las fuerzas respecto a dicho punto P.
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Reducción sistema de fuerzas en un
punto
En el punto de contacto P
El sólido rígido superior
Actúa mediante un sistema
Equivalente de vectores,
Consistente en:
- una resultante de las fuerzas
Actuantes.
- un momento suma de los
momentos de cada una de las
fuerzas en el punto P.
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Vectores deslizantes ROTACIÓN
La reducción del sistema de vectores deslizantes
ROTACIÓN en un punto cualquiera P, consiste en :
Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho
punto P.
Y
Posicionar el vector Suma de los Momentos de las
rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)
Rotaciones (Vectores deslizantes)
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El sólido rígido afectado por un sistema de rotaciones, puede
representarse por el esquema de la figura.
Cada bastidor está bajo el efecto de
una rotación.
Estando todos los ejes de rotación de
cada bastidor apoyados en el siguiente.
Cualquier punto P del sólido rígido está
afectado por una rotación suma de las
de cada bastidor.
Cualquier punto P del sólido rígido está
afectado por el momento suma de todas
las rotaciones, es decir su velocidad. w4
SÓLIDO RÍGIDO
w1
w3
w2
Rotaciones (Vectores deslizantes)
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Movimiento general de un sólido rígido
El sistema de referencia (SF) es fijo
P 0V V OPω= + ∧
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Movimiento general en el plano
P 0V V OPω= + ∧
IV 0=
P IV V I P= + ∧ω
Sólido
rígido
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Cinemática
Ecuaciones Mecánica
(dado un SF, SM)
Relaciones vectoriales
(A, B Є a un sólido rígido SR)
(Dado un SF, y un SM asociado al SR)
ABS ARR REL
ABS ARR REL
ABS ARR REL COR IOLIS
r =r +r
v =v +v
a a a a= + +
REL
REL COR IOLIS
REL REL COR IOLIS
A AB B
A AB B
A AB B
r =r +r
v =v +v +
+
v
+
0 0
+
v 0, ,
a a
a
a aa
a =
=
= =
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Ecuaciones Mecánica
(dado un SF, SM)
Relaciones vectoriales
(A, B Є a un sólido rígido SR)
(Dado un SF, y un SM asociado a un
punto del SR y // al SF)
ABS ARR REL
ABS ARR REL
ABS ARR REL COR IOLIS
r =r +r
v =v +v
a a a a= + +
COR IOLIS
COR IOLI
A AB B
A B AB
A
AB
S
B
r =r +r
v =v + +
+
0 2
v
+
+ +
( )
, v 0
AB
AB AB
rel
a
a a
a
a
r
d
r r
dt
ω
ω ω
ω ω
ω
=
=
×
× × ×
= × =
Cinemática
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Cinemática de un eslabón
Pegados al eslabón en estudio en el punto
C y paralelos al sistema fijo en todo
momento
31M
(absoluto)
Movimiento absoluto
del eslabón 3
respecto a los ejes
fijos ligados al
eslabón 1
3CM
(relativos)
Rotación
alrededor
de C
Movimiento absoluto
del eslabón 3
respecto a los ejes
fijos ligados al
eslabón 3
C1M Movimiento del punto C del
eslabón 3 respecto a los ejes
fijos ligados al eslabón 1(arrastre)
31 3C C1v v v= +
Rotación de
3 sobre C
Velocidad de un punto
genérico del eslabón 3
“Cinemática y dinámica de
Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
Corral, UPM, Madrid 1992
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31 3C C1a a a 0= + +
TIERRA
≡ eslabón
Aceleración en un eslabón (1)
Si localizamos los ejes móviles pegados a un punto
C del propio eslabón, y mantenemos el SM
paralelo al SF
31 3 1 COR IOLISa a a aC C= + +
Interpretación:
31
CORIOLIS SM 3C
a ROT TRAS
a 2 V 0
= +
= ⋅ ∧ ≡ω
0
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Aceleración en un eslabón (2)
≡ eslabón
31 32 21 COR IOLISa a a a= + +
ABS ARR REL COR IOLISa a a a= + +
ABS ARR RELv v v= +
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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Técnicas de determinación de velocidades
1. Método de proyección o componente axial
2. Método de las velocidades giradas
3. Cinema de velocidades
4. Método de las velocidades relativas
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1. Método de proyección
AB
A,B
AB v 0cte= ⇒ =
SF
A B
AB AB
v v=
Dado y la dirección de conocemosAv
Bv ⇒ Bv
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2. Método de las velocidades giradas ( I )
Técnica gráfica de cálculo de velocidades
Datos: Incógnita:CC, v y A Av
1. Giramos 90º sentido obtenemos C’
2. Obtenemos A’, siendo
3. Giramos 90º en sentido contrario a el segmento
obteniendo
ESLABON Cvω
CA || C'A'
ESLABONω A A'
Av
B
A
VA
VB
AB
Is
A'
B'
S
ωs
C
C'
VC
ISC
Cinema de
velocidades de
ABC (abc)
Eslabón
o
c
a
b
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A
N
v A'
N' N'' v NN''
→
→ → ≡
Cálculo de A
M
v A'
M ' M '' v MM''
→
→ → ≡
Cálculo de
Nv Mv
Cínema de
velocidades de los
eslabones:
2
4
O A oa
O B ob
AB ab
→
→
→
2. Método de las velocidades giradas ( I I )
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3. Cínema de velocidades ( I )
Sea un eslabón y su CIR en un instante dado.
Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector
posición 90º en el sentido de la rotación del eslabón y
haciendo una expansión o contracción de factor ω.
Si lo realizamos para todos los puntos eslabón se obtendrá,
posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de
velocidades (puntos homólogos de los del eslabón).
P
pr
CIR ω
P ∈ eslabón: P P
P P
v r
1
v r
si
k
ω
ω
= ∧
=
= ∧Vector unitario ⊥ al planok
Peslabón Pcínema
HOMOLOGÍA
90º ω
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3. Cinema de velocidades ( I I )
Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del
mecanismo articulado plano para cada eslabón
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4. Método de velocidades relativas
Sean Eslabón
A AB B
A, B
v v v
∈
= +
Rotación de B
sobre A
Traslación de B
A
B
Av
Bv
Av
Bv
ABv
AB
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Eslabón (4)
(1)
(2)
Cinema del
punto
auxiliarx
Cinema de velocidades del eslabón BCD
Datos:
Técnica del punto auxiliar:
obtención de la , a partir del
esquema de velocidades del
eslabón (4)
Encontrar tal que
Localizar un punto de 4, por
ejemplo C con velocidad de
dirección conocida, de modo que
esté localizado de manera que
Av
xv
X XB B
B BA A
X XB BA A
v v v
v v v
v v v v
⎧ = +⎪= + ⎨
= + +⎪⎩
X (4)∈
XB BAv || v BAX≡
X (4)∈
XC Cv || v
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Velocidades relativas. Mecanismo de
corredera
Eslabón (deslizadera) (4)
Análisis del punto C
Conocido el centro de
curvatura de la guía por
donde se desliza el eslabón
(4), podemos sustituir el
mecanismo por el
cuadrilátero articulado:
en C se hace el cálculo de
3 3 2 2C C C Cv v v= +
3 2(C C )y
2 0 3O ,C ,C,O
0Cv
3 3 0 0C C C Cv v v= +
Dir.
Dir. Dir. Tg. guía
Dato
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3
O2
O4
A
B
I 13
2 4
1
1
Cf
Cm
VA
VB
Polo de velocidades de un eslabón
CI R del eslabón (3) .
es un punto móvil
Eslabón
biela
CI R permanentes
CI R del
eslabón
(2) . Es
un punto
fijo
CI R del eslabón (4) .
Es un punto fijo
3P
Lugar geométrico
de los puntos de la
biela posicionados en
el sistema fijo a tierra
Lugar geométrico
de los puntos de la
biela posicionados en
el sistema móvil de la
biela
fC
mC
describe
la curva polar
La rodadura de la
curva sobre
la define el
movimiento del
eslabón
fC
mC
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3
B0
A0
A
B
I 13
Cf
Cm
VA
VB
uA
uB
ud
u'd
u
| | AA0
| | BB0
t t t
t
P P
lim
t
+∆
∆ →∞ ∆
Curvas polares
Velocidad de cambio de polo
tangente a la curva polar (PROPIEDAD)u⇒
t
3
P
t
CIR
en
⎧
≡ ⎨
⎩
t t
3
P
t t
CIR
en
+∆
⎧
≡ ⎨ + ∆⎩
Detalle:
P mC
fC CI R del
eslabón (3)
a d
b d
u u u
u u'
= + =
= +
Componentes
de Euler-Savary
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Fórmula de Euler-Savary ( I )
La componente de la velocidad de cambio de polo en la
dirección paralela a la velocidad de un punto cualquiera
del eslabón en estudio guarda relación con la velocidad
del punto según las distancias del punto y del CIR al
centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el
punto.
Sea A el punto
perteneciente al eslabón
Sea ρA el centro de
curvatura de A
ρA
A
ACC
CIR
Av
Au A
A
CA
CA
ACv
ICu
=
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Fórmula de Euler-Savary ( I I )
Relaciona:
u, , v,CIRρ
Velocidad de cambio de polo:
i i'
B B B A A A
AB B A
d CIR CIR
u
t
dS d dS d
v v
dt dt dt dt
ρ α ρ ατ τ
=
∆
⋅ ⋅
= = ⋅ = = ⋅
τ Vector unitario tangente
i B
i A
CIR ,B C B B
ACIR ,A C A
dS C d
dS C d
α τ
α τ
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Componentes de
Vectores paralelos a
i i'CIR CIR
A BdS ,dS
i A
i B
CIR ,A C i
A A A
B
CIR ,B C i
B B B
A
dS C CIR
PROY. u dS u v
dt
dS C CIR
PROY. u dS u v
dt
= = = ⋅
ρ
= = = ⋅
ρ
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Velocidad del
punto A de la
biela 3
Velocidad
del punto
B de la
biela 3
I13
Velocidad de cambio de polo
Obtención gráfica.
Aplicación a la biela 3 de un cuadrilátero
articulado de la Fórmula de Euler-Savary
A A 3 A, v , CIR uρ ⇒
B B 3 B, v , CIR uρ ⇒
A du u (u )= + ⊥
B du u ' (u ' )= + ⊥
Velocidad
cambio de
polo
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Teorema de Kennedy ( I )
CIR relativo es el punto
en el que la velocidad
relativa entre dos
eslabones dados se anula
Sea un mecanismo
articulado plano:
Sean 3 los eslabones:
A, B, C.
Los 3 CIR relativos 2 a
2 ESTÁN ALINEADOS
A|B B|ACIR CIR=
AB BC CAI , I , I Alineados⇒
Teorema de los tres
centros o teorema de
Kennedy
I13
I24 I21 I14
I23
I14
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Teorema de Kennedy ( I I )
Sean: A, B, C los eslabones
Sea ∆ el CIR relativo de A|B
Sea � el CIR relativo de A|C
Sea O el CIR relativo de C|B
A AO |B O |Cv v rad= ≡ α = π
∆ �
O
α
Al calcular las velocidades
relativas respecto al
eslabón B o C, se observa
que son iguales, pues O es
un punto CIR relativo
Para que sean iguales
los tres CIR relativos ∆, � , O
deben estar alineados
A AO |B O |Cv , v
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Cálculo de los CI R relativos usando el
teorema de Kennedy
( )N N 1
N eslabones (CIR relativos)
2
⋅ −
⇒
1. Se calculan los CIR
absolutos (N,1).
2. Se calculan los CIR
relativos en las
articulaciones (N,N-1).
3. Se calculan los CIR
relativos en las
deslizaderas
4. Se aplica el teorema de
Kennedy
( )guia⊥ →∞
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Escalas gráficas
Escala de longitudes
Escala de velocidades
Escala de aceleraciones
cos⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
cm grafi
cm real
α
coscm grafi
cm seg real
β ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
2βγ
α
=
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Cálculo de la aceleración en puntos pertenecientes
a un mismo eslabón (mismo SM)
B A BA
B A BA
B A BA
r r r
v v v
a a a
= +
= +
= +
d
dt
d
dt
Si A, B Є pieza sólido rígido
AB cte≡ B rota sobre A
BA
BA
BA
r
v
a
Posición de B respecto de A
velocidad de B respecto de A
aceleración de B respecto de A
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Posición velocidad y aceleración de
arrastre
P, se mueve respecto al sistema
móvil
El sistema móvil está
parametrizado por la posición
del origen del sistema móvil (O)
y el vector de rotación ( ω ) del
triedro móvil respecto al triedro
fijo.
M
M
M
r
v
a
Posición relativa
velocidad relativa
aceleración relativa
SF
SM
O
ω ( )
arr 0
arr 0 M
arr 0 M M
r r
v v r
a a r r
=
= +ω∧
= +α∧ +ω∧ ω∧
Posición, velocidad y
aceleración de arrastre
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Estudio de la aceleración ( I )
Pto A Є eslabón i
Pto B Є eslabón i
Pto C Є eslabón i+1
SM pegado al
eslabón i que
rota con ωi
respecto al SF
SF
SM
A B
Ci
i+ 1
C CA A
C CA rel A
C CA rel A CORIOLIS
C i 1, r r r
v v v v
a a a a a
∈ + = +
= + +
= + + +
B BA A
B BA A
B BA A
B i, r r r
v v v
a a a
∈ = +
= +
= +
B rota sobre
A con ωi
C rota sobre
A con ωi
Rotación
SM
C CA arr CORIOLISa a a a= + +
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Caso de movimiento circular
Aceleración de los puntos A y B Є pieza
Estudio de la aceleración ( I I )
2
t na a= ρ⋅α = ω ⋅ρ
d
dt
ω
cte
B A BAv v v= +
B A BAa a a= +
A
B
Av
BAω
Rotación
sobre A
Rotaciónarrastre
CORIOLIS
arr
a 0
v 0
=
=
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Ejemplos: Manivela
A Oa a=
A A
AO
C AO t n
a
C O a a a
+
≡ ⇒ = +
AO AOAO t na a a= +
Coincide el CIR = O
Coincide el polo = O
de aceleraciones
En general, los puntos del sólido con velocidad nula (CIR) y
aceleración nula (polo de aceleraciones) son distintos
CIR Poloaceleraciones≠
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Aceleración del polo del cínema de
velocidades
A
I
POLO
VELOCI DAD
I I ' I ''
a a
0
→ →
≠
A I AIa a a= +
I no es un punto
singular en cuanto a
aceleraciones
{ }A B BA Aa a a , ,a= + ω α
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Polo de aceleraciones ( I )
A I AI Ia a a (a 0 en general); A, I CIR= + ≠ ≡
A B BAa a a ; A, B= +
P A Pa 0 a a∃ = → = APa+
A APa a=
Si conocemos P, el
cuerpo se comporta
como un sólido
rígido en rotación
pura en ese instante
Modelo de
comportamiento
del eslabón en el
instante t en
cuanto a
aceleraciones XPa
P POLO DE ACELERACIONES≡
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Polo de aceleraciones ( I I )
A
B
Aa
Ba
θ
θ
Polo
aceleración
( )PP eslabon a 0∈ ≡ =
A AP
B BP
a a
a a
=
=
APa Aceleración relativa de A
alrededor de P, con ω y α
del eslabón
eslabón
(A, B,C) (a, b,c)→
Cinema de aceleraciones
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Aceleración normal
Construcción gráfica del vector aceleración normal
relacionado con una rotación (pura)
Centro
de
rotación
Teorema del cateto Teorema de la altura
c
h
m n
2h m n= ⋅
( )2c m m n= ⋅ +
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Obtención de la aceleración
Obtención de la aceleración de un punto cualquiera del eslabón a partir
de la aceleración en A:
B B|A Aa a a= + donde se obtiene la aceleración a partir de la cinemática
relativa de B respecto de A
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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ejemplo
Datos: es decir, conocemos
la secuencia gráfica sería:
1. Obtención gráfica de
2. Cinema del eslabón 2
3. Obtención gráfica de
4. Obtención gráfica de a partir de
y
5. Obtención gráfica de
AA tv ,a
2 2,ω α
Ana
B|Ana
Aa
Ana
At
a
Bna
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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ejemplo
AA tdatos v , a
Cinema de
velocidades del
eslabón 3
Cinema de
velocidades del
eslabón 5
Obtenemos conjuntamente
con y tenemos el cinema de
aceleraciones del eslabón 3 y
obtenemos
Ba
Aa
Ca
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Máquinas” A. de Lamadrid, A. de
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Análisis de aceleraciones ( I )
Piezas en contacto deslizante
En piezas articuladas
En piezas con contacto deslizante
P
1 2
articulación
P 1 o 2∈ (1) ( 2)
(1) ( 2)
P P
P P
a a
v v
=
=
1
2
3
SM P 1, 2∈Se conoce la
dirección de la
velocidad
relativa
(1) ( 2)
(1) ( 2)
P P
P P
v v
a a
≠
≠
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(3)Av (1)Av
(SM )Av
Análisis de aceleraciones ( I I )
Considero y enclavo en él el A 1∈ ( )1 1SM ,ω α
(abs ) (arr ) ( rel )SM
(3) (1) (SM )
A A A
A A A
v v v
v v v
= +
= +
1
13 2
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dir arrn
dir arrt
SM
Cálculo de aceleraciones ( I I I )
Cálculo de Aa
3 A AA O n ta a a a (1)= + +
A A
2
A
n t 3
3
v
a a dir O A
O A
= ⊥
A arr rel cora a a a (2)= + +
1arr Oa a=
arr arrn t
rel 1
cor 1 r 1 r
a a
comosi A 1
a || O P
a 2 v ( O P y v )
+ +
∈
= ⋅ω ∧ ⊥ ⊥
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Cálculo de aceleraciones ( I V)
(1) (2) (3) (4) (5)→ → → →Secuencia de cálculo
o
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
arrna
Ana At
a
cora
arrta
rel 1dir a || O P
1|| O P
3|| O A
At
dir a