31 Apuntes de Mecanismos - Tadeo Chavez - Inst Tecn Super Irapuato

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Apuntes de Mecanismos
M. en I. Alejandro Tadeo Chávez.
Instituto Tecnologico Superior de Irapuato.
Enero 2007
Contents
I Principios fundamentales. 5
1 Introducción al análisis de mecanismos. 6
1.1 Definición de la Cinemática de las Máquinas. . . . . . . . . . . . 6
1.2 Mecanismo y Máquina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rígido. 8
2.1 Eslabón o Barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Eslabones y Pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Clasificación de Pares Cinemáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número
de grados de libertad del movimiento relativo entre los
elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la forma en
que se mantienen los elementos en contacto. . . . . . . . . 17
2.4 Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos. . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Cadena Cinemática, Eslabonamiento e Inversión. . . . . . . . . . 19
2.6 Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de Grübler . 21
2.7 Excepciones al Criterio de Grübler. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Análisis cinemático de mecanismos planos articula-
dos. 27
3 Mecanismos Planos de Cuatro Barras,Rotabilidad y Criterio de
Grashoff. 28
3.1 Mecanismos formados por pares inferiores. . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Mecanismos Formados por Pares Inferiores. . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Mecanismos Planos de Cuatro Barras. . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Clasificación de los Mecanismos Planos de Cuatro Barras. Posi-
ciones Críticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Análisis de rotabilidad de un mecanismo de cuatro barras. . . . . 32
3.5.1 Excepción del Criterio de Grübler. . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.2 Primeras Condiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1
3.5.3 Segundas Condiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.4 Criterio de Grashoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.5 Comprobación del criterio de Grashoff a partir de las
condiciones de rotabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.6 Rotabilidad y Posiciones Críticas en el Mecanismo de Biela
Manivela Corredera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Análisis de posición en mecanismos de cuatro barras articuladas
(metodo analítico). 48
4.1 Los números complejos como vectores. . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 La ecuación de lazo vectorial para un eslabonamiento de cuatro
barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 La ecuación de lazo vectorial para un eslabonamiento de la manivela-
corredera de cuatro barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Solución de posición mecanismo con manivela-corredera invertida. 59
5 Análisis de velocidad. 61
5.1 Solución analítica para un eslabonamiento de cuatro barras con
juntas de pasador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera. . . . . . 63
5.3 Eslabonamiento de cuatro barras de manivela-corredera invertido 65
5.4 Velocidad de un punto cualquiera en un eslabonamiento. . . . . . 67
6 Soluciones Analíticas para el Análisis de Aceleración. 69
6.1 El eslabonamiento de 4 barras con juntas de pasador. . . . . . . 69
6.2 Eslabonamiento de 4 barras de manivela-corredera. . . . . . . . . 72
7 Análisis de velocidad y aceleración (metodo grafico). 75
7.1 Introducción y Motivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Análisis de Posición de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Análisis de Velocidad de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . . 78
7.4 Análisis de Aceleración de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . 83
8 Centros Instantaneos de Velocidad. 88
8.1 Introducción y Motivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2 Definición del Centro Instantaneo de Velocidad del Movimiento
Relativo Entre Dos Eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3 Ejemplos de Determinación de Centros Instantaneos de Velocidad
de un Mecanismo Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.3.1 Determinación de la Localización del Centro Instantaneo
de un Eslabón Cuando se Conoce su Velocidad Angular y
la Velocidad de un Punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.2 Determinación de la Localización del Centro Instantaneo
de un Eslabón Cuando se Conoce la Dirección de la Ve-
locidad de Dos Puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2
8.3.3 Determinación de la Localización del Centro Instantaneo
de un Eslabón Cuando el Movimiento Relativo Entre los
Eslabones es Translación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3.4 Clasificación de los Centros Instantaneos de Velocidad
de los Movimientos Relativos entre los Eslabones de un
Mecanismo Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.3.5 El Teorema de Aronhold Kennedy. . . . . . . . . . . . . . 94
8.3.6 Aplicación del Teorema de Aronhold Kennedy Para la Lo-
calización de los Centros Instantaneos de Velocidad Se-
cundarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.3.7 Aplicación de los Centros Instantaneos de Velocidad. . . . 96
9 Análisis Cinemático de Mecanismos Planos Mediante Computa-
dora Digital. 99
9.1 Análisis Cinemático de Mecanismos Planos Mediante Computa-
dora Digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.2 Análisis de Posición de Mecanismos Planos. . . . . . . . . . . . . 100
9.3 Criterio de Finalización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.4 Amortiguamiento del Método de Newton-Raphson Para Mejorar
la Posibilidad de Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.5 Ejemplo: Mecanismo plano de cuatro barras. . . . . . . . . . . . 103
10 Levas. 107
10.1 Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3 Posibles Problemas Durante la Operación de Mecanismos de Levas.108
10.4 Análisis del ángulo de presión en una leva de disco con seguidor
de rodillo. Traba del mecanismo de leva. . . . . . . . . . . . . . . 108
10.5 Análisis de los Esfuerzos de Contacto y del Socavamiento en Levas
de Disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.6 Desarrollo de las Ecuaciones de Simulación y Síntesis del Perfil
de Levas de Disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.6.1 Levas de Disco con Seguidor de Rodillo. . . . . . . . . . . 114
10.6.2 Determinación de las coordenadas del perfil de la leva. . . 115
10.6.3 Determinación del Ángulo de Presión. . . . . . . . . . . . 116
10.6.4 Determinación del Radio de Curvatura. . . . . . . . . . . 117
10.7 Levas de Disco con Seguidor Traslacional de Rodillo. . . . . . . . 117
10.7.1 Determinación del Perfil de la Leva de Disco con Seguidor
Traslacional de Rodillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.7.2 Determinación del Ángulo de Presión y Radio de Cur-
vatura de la Leva de Disco con Seguidor Traslacional de
Rodillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.8 Levas de Disco con Seguidor Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . . 119
10.8.1 Determinación del Perfil de la Leva de Disco con Seguidor
Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3
10.8.2 Determinación del Ángulo de Presión de la Leva de Disco
con Seguidor Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . . . . . . 120
10.9 Levas de Disco con Seguidor de Cara Plana. . . . . . . . . . . . . 120
10.9.1 Determinación de las Coordenadas del Perfil de la Leva
de Disco con Seguidor Oscilatorio de Rodillo. . . . . . . . 122
10.10Levas de Disco con Seguidor Traslacional de Cara Plana. . .. . . 126
10.10.1Determinación de las Coordenadas del Perfil de la Leva . 127
10.10.2Determinación de la Distancia de Contacto al Punto E . . 127
10.11Levas de Disco con Seguidor Oscilatorio de Cara Plana. . . . . . 128
10.11.1Determinación de la distancia de contacto al punto E. . . 129
10.11.2Determinación del Radio de Curvatura del Perfil de la Leva130
11 Síntesis analítica de eslabonamientos. 131
11.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.2 Tipos de síntesis cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.3 Puntos de precisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.4 Generación de movimiento de dos posiciones por síntesis analítica. 133
11.5 Generación de movimiento de tres posiciones por síntesis analítica.142
11.6 Síntesis analítica de cuatro y cinco posiciones. . . . . . . . . . . . 149
A Desarrollo de Funciones Mediante Series de Taylor. 151
B Solución por ecuaciones simultáneas. 154
4
Part I
Principios fundamentales.
5
Chapter 1
Introducción al análisis de
mecanismos.
La cinemática de las máquinas, también llamada mecanismos, es una disciplina
que enlaza ciencias más básicas, como dinámica, con otras más ingenieriles o de
aplicación, tales como el diseño de máquinas. Durante el estudio de la dinámica
se aprendió el cálculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos rígidos y agru-
paciones de cuerpos rígidos; además, se analizaron las fuerzas necesarias para
producir determinadas aceleraciones en los cuerpos. Mucho de ese material será
nuevamente estudiado en la cinemática de las máquinas; sin embargo, ahora el
estudio se concentrará en agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos.
Por otro lado, la cinemática de las máquinas concede especial atención a
las distintas posiciones que los cuerpos que forman parte de un mecanismo
adquieren durante el movimiento del mecanismo. Este análisis de posición es
requerido en el diseño de máquinas. Cronologicamente, la primera consideración
en un diseño, es el movimiento que es necesario producir a fín de cumplir con
el objetivo deseado; en un segundo término, se encuentran las consideraciones
de resistencia y rigidéz. En cuanto a predominancia, en algunos casos, como
en el diseño del mecanismo de impresión de una máquina de escribir manual,
el punto de vista más importante es aquel que se relaciona con el movimiento
requerido; mientras que en otros, como el diseño de trascabos y maquinaria
de construcción, los argumentos de resistencia y rigidéz predominan sobre los
argumentos puramente cinemáticos. En último caso, el diseño final debe obten-
erse después de un compromiso entre ambas consideraciones. Después de estos
comentarios preliminares, es posible intentar una definición de la cinemática de
las máquinas.
1.1 Definición de la Cinemática de lasMáquinas.
La cinemática de las máquinas se define como aquella división del diseño de
máquinas que concierne con el diseño cinemático de eslabonamientos, levas,
6
engranes, etc. A fín de precisar el significado de la cinemática de las máquinas
se requiere de dos definiciones adicionales.
Diseño de máquinas: Es la creación de un plan para la construcción de
una máquina o dispositivo para realizar una función.
Diseño cinemático: Es diseño sobre la base de requerimientos de movimiento,
en contraste con el diseño en base a requerimientos de resistencia y rigidéz. Así
pues, es posible redefinir la cinemática de las máquinas como: “Aquella parte
del diseño de máquinas que concierne con el diseño, en base a requerimientos
de movimiento, de eslabonamientos, levas, engranes, etc”.
1.2 Mecanismo y Máquina.
Haremos ahora una distinción conceptual entre mecanismos y máquinas.
Mecanismo: Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro.
Máquina (Machine): Es un mecanismo o una combinación de mecanis-
mos que trasmiten fuerza, desde la fuente de potencia hasta la resistencia a
vencer. Si las fuerzas están asociadas con la conversión de la energía de fluidos
a alta temperatura, entonces podemos hablar de una máquina térmica (En-
gine). Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el
movimiento, dejando en un plano secundario la transmisión de fuerza necesaria
para vencer la fricción o una fuerza exterior; en la idea de máquina, la mente
asocia la transmisión de fuerzas substanciales. Debe reconocerse que las partes
que constituyen un mecanismo deben ser resistentes a la deformación; es decir,
cuerpos rígidos aproximados.1
Además, puesto que en la cinemática de las máquinas no interesa la resisten-
cia y la rigidéz, supondremos que las partes de un mecanismo son completamente
rígidas y sin peso. A la luz de la anterior discusión, podemos definir un mecan-
ismo como un conjunto de cuerpos conectados de tal manera que cada uno se
mueve respecto a los demás y transmiten movimiento.
1Este requisito es necesario debido a la gran dificultad para analizar elementos flexibles en
movimiento. Sin embargo, desde hace algunos años, se han dado los primeros pasos en esa
dirección.
7
Chapter 2
Grados de Libertad del
Movimiento de un Cuerpo
Rígido.
Puesto que el interés de la cinemática se centra en el movimiento de los cuerpos
rígidos, es necesario explorar el concepto de grados de libertad del movimiento
de un cuerpo rígido. Grado de libertad de un cuerpo, es el número mínimo
de variables necesarias para especificar completamente la posición del cuerpo.
Si el cuerpo está libre de moverse en el espacio su movimiento tiene seis grados
de libertad, vea la figura 1.
Figura 1: Grados de Libertad de un Cuerpo Rígido libre de Moverse en el
Espacio.
8
Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posi-
ción del cuerpo: Tres variables para especificar las coordenadas de un punto
cualquiera del cuerpo, respecto a un sistema de referencia dado, y tres vari-
ables para especificar la orientación de un sistema coordenado formado por tres
líneas perpendiculares unidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de
esas variables se le asocia un grado de libertad. Al ponerse en contacto, con
otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de libertad, por
ejemplo
1. Un trompo que gira manteniendo contacto con un plano pierde un grado
de libertad, el de translación a lo largo del eje perpendicular al plano de
movimiento.
2. Si el trompo gira de manera tal que la punta permanece fija en un punto,
pierde los tres grados de libertad asociados a la translación.
3. Un cuerpo sujeto a rotación alrededor de un eje fijo pierde cinco grados
de libertad, restándole tan solo aquel asociado a la rotación alrededor del
eje fijo.
4. Un cuerpo sujeto a translación rectilínea, pierde todos sus grados de liber-
tad excepto aquel asociado a la translación a lo largo del eje de desplaza-
miento.
5. Un cuerpo sujeto a movimiento plano, un movimiento tal que todas las
partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos, tiene tres grados de
libertad. Dos de ellos están asociados a las translaciones a lo largo de
ejes linealmente independientes contenidos en el plano de movimiento y el
grado de libertad restante está asociado a la rotación alrededor de un eje
fijo perpendicular al plano, vea la figura 2.
Figura 2. Grados de libertad de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano
General.
9
Este último tipo de movimiento reviste especial importancia en virtud de
que en una gran parte de los mecanismos industriales los cuerpos que forman
el mecanismo se mueven de esta manera. Más aún, la mayor parte del curso se
centra sobre esta clase de mecanismos llamados planos.
El movimiento plano general tiene como casos especiales la traslación bidi-
mensional y la rotación alrededor de un eje fijo.
2.1 Eslabón o Barra.
Un eslabón o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de
acuerdocon lo dicho anteriormente, se supone que es rígido y sin peso.
La condición de rigidéz de los eslabones no es necesariamente total, sino solo
implica que sea rígido respecto a las fuerzas a las que se somete el eslabón.
Esta consideración da lugar a una clasificación de los eslabones de acuerdo
a su rigidéz:
1. Rígido en ambos sentidos, cuando el eslabón tiene rigidéz a tensión y
compresión. Ejemplos: La biela de un compresor, un engrane, el pistón
de una máquina de combustión interna, etc.
2. Rígido en un único sentido.
(a) Rígido cuando se sujeta a compresión. Ejemplo: Fluidos hidráulicos.
(b) Rígido cuando se sujeta a tensión. Ejemplo: Correas, bandas y ca-
denas.
A fín de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros.
Esas conexiones se realizan a través de ciertas partes de sus cuerpos que reciben
el nombre de elementos. La siguiente sección examina la relación entre ele-
mentos y pares.
2.2 Eslabones y Pares.
Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones, mantenidos per-
manentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre
ellos, recibe el nombre de par cinemático. Esta definición da lugar a una nueva
clasificación de los eslabones, esta clasificación depende del número de elemen-
tos que contiene un eslabón; en otra palabras, la clasificación indica el número
máximo de pares, que puede formar el eslabón.
Es lógico que si los eslabones tienen como función la transmisión de movimiento,
el número mínimo de pares que deben formar es dos; así pues, los eslabones se
clasifican en:
10
1. Eslabón o barra binaria, vea la figura 3.
Figura 3. Eslabón o barra binaria
2. Eslabón o barra poligonal.2
(a) Barra ternaria, vea la figura 4.
Figura 4: Dos Posibles Representaciones de una Barra Ternaria.
(b) Barra cuaternaria.
(c) Barra quinaria, etcetera.
Una vez que se han completado las clasificaciones de eslabones, es necesario
proceder con el estudio y clasificación de pares cinemáticos.
2.3 Clasificación de Pares Cinemáticos.
La clasificación de pares cinemáticos puede realizarse en base a tres diferentes
criterios.
1. El número de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones
que son conectados por el par.
2. El tipo de contacto entre los elementos.
3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.
2A fín de indicar que se trata de un único cuerpo, y no de tres o mas cuerpos unidos
mediante pares cinemáticos, los eslabones poligonales se anchuran.
11
2.3.1 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número
de grados de libertad del movimiento relativo entre
los elementos.
En esta clasificación, existen dos condiciones que imponen un límite superior e
inferior al número de grados de libertad, esas condiciones son:
• El par cinemático debe permitir movimiento relativo entre los elementos.
Por lo tanto, debe existir al menos un grado de libertad en el movimiento
relativo.
• Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben
permanecer en contacto. De aqui que deba existir como máximo cinco
grados de libertad en el movimiento relativo entre los eslabones. Una
vez que se han determinado los límites superior e inferior del número de
grados de libertad del movimiento relativo que permite un par cinemático,
es posible clasificarlos de forma exhaustiva.
Pares Cinemáticos de Clase I. Número de grados de libertad del movimiento
1. Número de grados de libertad perdidos 5.
Posibles casos:
1. Revoluta (R), permite un movimiento de rotación alrededor de un eje
fijo.
Figura 5. Par de Revoluta.
2. Prismático (P), permite un movimiento de traslación a lo largo de un
eje, o una curva dada.
12
Figura 6. Par Prismático.
3. Helicoidal o de tornillo (H), permite un movimiento de traslación a lo
largo de un eje y simultaneamente un movimiento de rotación, dependi-
ente de la translación, alrededor del mismo eje.
Figura 7. Par de Tornillo o Helicoidal
Pares cinemáticos de la clase II. Número de grados de libertad del
movimiento 2. Número de grados de libertad perdidos 4.
Posibles casos:
1. Esfera ranurada (Sl), permite un movimiento de rotación alrededor de
dos ejes linealmente independientes.
13
Figura 8. Par Constituido por un Esfera con Mango en Contacto con un
Soporte Ranurado.
2. Cilíndrico (C), permite un movimiento de traslación a lo largo de un eje
y un movimiento de rotación independiente alrededor del mismo eje.
Figura 9. Par Cilíndrico.
3. Leva (Ca), permite traslación a lo largo de un eje y rotación alrededor
de un eje perpendicular al primero.
Figura 10. Par de Leva.
Pares Cinemáticos de la clase III. Número de grados de libertad del
movimiento 3. Número de grados de libertad perdidos 3.
Posibles casos:
14
1. Esférico o globular (S), permite rotación alrededor de tres ejes . Es
decir permite rotación alrededor de un punto fijo.
Figura 11. Par Esférico o Globular.
2. Esfera sobre cilindro acanalado (Ss), permite rotación alrededor de
dos ejes linealmente independientes y traslación a lo largo de un tercer eje.
Figura 12. Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un
Cilíndro Acanalado.
3. Plano (Pl), permite traslación a lo largo de dos ejes y rotación alrededor
de otro eje perpendicular a los otros dos.
Figura 13. Par Plano.
15
Pares Cinemáticos de la clase IV. Número de grados de libertad del
movimiento 4. Número de grados de libertad perdidos 2.
Posibles casos:
1. Esfera sobre acanaladura (Sg), permite rotación alrededor de tres ejes
y translación a lo largo de otro.
Figura 14. Par Constituido por una Esfera con Mango en Contacto con un
Cilindro Ranurado.
2. Cilindro sobre plano (Cp), permite rotación alrededor de dos ejes y
traslación a lo largo de otros dos.
Figura 15. Par Constituido por un Cilindro en Contacto con un Plano.
Pares Cinemáticos de la clase V. Número de grados de libertad del
movimiento 5. Número de grados de libertad perdidos 1.
Posibles casos:
1. Esfera sobre plano (Sp), permite translación a lo largo de dos ejes y
rotación alrededor de tres ejes.
16
Figura 16. Par Constituido por una Esfera en Contacto con un Plano.
Clasificación de pares cinemáticos de acuerdo al tipo de contacto entre ele-
mentos.
En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en
1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a través de una
superficie. Ejemplos, Pistón-camisa de un compresor, par globular de un
portaplumas.
2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos ideal-
mente, a través de un punto o una línea. Ejemplos, Contacto entre una
leva y su seguidor de rodillo.
Para la transmisión de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los
pares inferiores; pues los superiores estarían sujetos a esfuerzos de contacto muy
elevados.
2.3.2 Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la
forma en que se mantienen los elementos en con-
tacto.
En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en
1. Pares abiertos ó cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en
contacto mediante el concurso de una fuerza externa tal como la gravedad
o la fuerza de un resorte deformado. Ejemplo, El par formado por una
leva y su seguidor en una máquina de combustión interna.
2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto
por la forma misma de construcción del par. Ejemplo, El par prismático
formado por el pistón y camara de un compresor.
2.4 Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos.
Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos;
su construcción es sencilla y su estudio relativamente simple, estas caracterís-
ticas, aunadas a su gran versatilidad de aplicación, son suficientes para que
nuestro curso se concentre en su estudio.
17
Los mecanismos planos se identifican porque todos sus eslabones están su-
jetos a movimiento plano general y los planos de movimiento son paralelos.
La pregunta que surge de inmediato es: Que clase de pares cinemáticos puede
formar parte de un mecanismo plano?.
Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo análisis. Un cuerpo
sujeto a movimiento plano general tiene tres grados de libertad; si además el
cuerpo está conectado a otros eslabones a fín de formar parte de un mecanismo,
entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos planos deben perder
como mínimo cuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles
pares a aquellos de las clases I y II.
Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecan-
ismos planos serán aquellos que permitan uno o varios de los movimientos que
constituyen el movimiento plano. De forma más correcta, debe decirse que
esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en el grupo de los
movimientos formados por todos los movimientos planos generales. Translación
a lo largo de dos ejes linealmente independientes contenidos en el plano, o
rotación alrededor de un eje perpendicular al plano. Un sencillo análisis muestra
que los pares que pueden formar parte de un mecanismo plano son: los pares
de revoluta, los pares prismáticos y los pares de leva.
Esta restricción sobre los tipos de pares cinemáticos que pueden formar parte
de mecanismos planos se basa exclusivamente en consideraciones del número de
grados de libertad en el movimiento relativo así como del movimiento asociado
a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados exclusivamente
por los pares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante
engranes cónicos, la junta de cardan, levas cilindricas, etc. Por lo tanto, deben
existir otras restricciones que conciernen a la disposición u orientación de los
ejes de los pares cinemáticos y que en conjunto con las anteriores, aseguran que
el mecanismo formado es plano. Estas restricciones se indican a continuación.
1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes
de rotación deben ser paralelos.
2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismático, el eje de desplaza-
miento del par prismático debe ser perpendicular a los ejes de rotación de
los restantes pares de revoluta.
3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotación
del par del par de leva debe ser paralelo a los ejes de los restantes pares
de revoluta y el eje de la traslación debe ser perpendicular a los ejes de
rotación de los restantes pares de revoluta.
Hasta aquí, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes
constitutivas de los mecanismos, toca ahora unirlas o conjuntarlas para pro-
ducirlos.
18
2.5 Cadena Cinemática, Eslabonamiento e In-
versión.
La entidad básica, a partir de la cual se generan todos los mecanismos se llama
cadena cinemática. La cadena cinemática se define como la unión de pares
cinemáticos y eslabones de modo que formen uno o varios circuitos ó lazos —
loops— cerrados.
Las cadenas cinemáticas se clasifican en:
1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinemática son
binarios.
2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligo-
nales.
Ejemplo. La cadena mostrada en la figura 17 tiene un único lazo y cinco
eslabones binarios, por lo tanto es simple.
Figura 17. Cadena Cinemática Simple.
La cadena mostrada en la figura 18 tiene dos lazos. Existe además otro lazo
que comprende parte de los otros dos lazos; sin embargo, puede probarse que las
ecuaciones escalares que genera este tercer lazo son combinaciones de las ecua-
ciones escalares que generan los dos primeros lazos. En esta cadena cinemática,
los eslabones 2, 5, y 7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son ternarios, por
lo tanto, la cadena es compleja.
Figura 18. Cadena Cinemática Compleja.
El siguiente paso en la generación de mecanismos es la generación de es-
labonamientos. Un eslabonamiento (linkage) es una cadena cinemática en la
cual se ha fijado uno de sus eslabones a un marco de referencia, este eslabón fijo
19
se denomina marco. Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con
un sentido más específico, para nombrar mecanismos formados exclusivamente
por pares inferiores.
Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en las figura 19 se han formado
fijando respectivamente los eslabones 1 y 5 de la cadena cinemática de la figura
17.
Figura 19. Dos Eslabonamientos Generado a Partir de la Cadena Cinemática
Simple de la Figura 17.
Estos dos ejemplos permiten introducir el último concepto de está sección.
Inversión. A partir de una cadena cinemática formada por n-eslabones,
puede generarse como máximo n eslabonamientos diferentes. Dado un es-
labonamiento, los diferentes eslabonamientos que se producen al fijar alterna-
tivamente uno de los otros eslabones de la cadena, se llaman inversiones del
eslabonamiento inicial.
Es importante reconocer que en una inversión, el movimiento relativo entre
los eslabones no se altera y solo cambia su movimiento absoluto. Un ejemplo
importante del concepto de inversión se encuentra en la síntesis gráfica de levas.
Una de las aplicaciones más importantes del concepto de inversión cin-
emática consiste en la búsqueda exhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta
parte del estudio de los mecanismos es conocida como síntesis de número o
sistemática.
Figura 20. Cadena Cinemática de Watt.
20
Por ejemplo, la sistemática nos indica que a partir de la cadena cinemática
de Watt, figura 20, los únicos eslabonamientos diferentes —sin importar las di-
mensiones de los eslabones— son los mostrados en la figura 21 y 22.
Figura 21. Eslabonamiento Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de
Watt.
Figura 22. Eslabonamiento Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de
Watt.
2.6 Grados de Libertad de un Eslabonamiento,
Criterio de Grübler
Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el número mínimo y
suficiente de variables requeridas para determinar completamente la posición del
eslabonamiento. Es decir, conociendo esas variables debe ser posible conocer la
posición de cualesquiera de los eslabones que forman parte del eslabonamiento.
Ejemplos. A continuación se presentan dos ejemplos de eslabonamientos
que incluyen un conteo de sus grados de libertad o movilidad.
1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento
plano con cuatro barras y cuatro pares de revoluta. Todos los ejes de
los pares de revoluta son paralelos. El eslabonamiento tiene un grado de
libertad o movilidad igual a 1.
21
Figura 23. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y
tres pares, un par cilíndrico entre el marco y la leva, un par de leva entre
la leva y el seguidor y un par prismático entre el seguidor y el marco. El
eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2.
Figura 24. Leva Espacial.
Una forma de determinar el número de grados de libertad de un eslabonamiento
consiste en observar su movimiento —si lo hay—, y determinar empiricamente ese
número mínimo y suficiente de variables.
Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad
de eslabonamientos que no han sido construidos; para solucionar este problema,
desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios de movilidad, uno de los
más sencillos es el criterio de Grübler.
A continuación se deducirá el criterio de Grübler para eslabonamientos
planos. Es decir, para aquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven
en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente
1. Imagine la formación de un eslabonamiento constituido por N eslabones,
vea la figura 25. Originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad
—3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos quese conectarán para
construir el eslabonamiento.
22
Figura 25. Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento.
2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se
fije al sistema referencia, vea la figura 26. Por lo tanto, el conjunto tiene
ahora 3 (N - 1) grados de libertad.
Figura 26. Cuerpos Rígidos Aislados que Formarán un Eslabonamiento, con
uno de Ellos Fijo.
3. Por último, a fín de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse
mediante pares cinemáticos, vea la figura 27. Puesto que los eslabones
están originalmente obligados a tener movimiento plano general, entonces
un par de la clase I —prismático o de revoluta— elimina 2 grados de libertad
y un par de leva, de la clase II elimina un grado de libertad.
23
Figura 27. Eslabonamiento Formado a Partir de los Cuerpos Rígidos
Inicialmente Aislados.
Así pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la
ecuación
F = 3(N − 1)− 2P1 − P2 (2.1)
Donde F es el número de grados de libertad del eslabonamiento, N es el
número de eslabones que forman el eslabonamiento, P1 es el número de pares
de la clase I que forman parte del eslabonamiento y P2 es el número de pares
de la clase II que forman parte del eslabonamiento.
La ecuación (2.1) se conoce como el criterio de Grübler.
Dependiendo del número de grados de libertad, un eslabonamiento se clasi-
fica en
1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una
estructura estáticamente indeterminada.
2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una
estructura estáticamente determinada.
3. F >0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un
mecanismo de 1, 2, 3, etc. grados de libertad, según sea el caso.
2.7 Excepciones al Criterio de Grübler.
Un criterio de movilidad, como el de Grübler, basado exclusivamente en consid-
eraciones del número de eslabones y de pares necesariamente debe tener excep-
ciones. Algunas de ellas se ilustran a continuación.
24
Figura 28. Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una Excepción
del Criterio de Grübler.
1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal
como el mostrado en la figura 28. Aplicando el criterio de Grübler, se
tiene que
F = 3(4− 1)− 4(2)− 0(1) = 9− 8 = 1 (2.2)
Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de
cuatro barras son a1 = 4u.l., a2 = 2u.l., a3 = 7u.l. y a4 = 1u.l.. y se trata
de ensamblar el mecanismo, se encuentra que la única manera en que los
eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura 28. Consecuentemente,
este “mecanismo plano de cuatro barras” tiene 0 grados de libertad y es
en realidad una estructura.
2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura 29.
Figura 29. Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinemáticos que Constituye
una Excepción del Criterio de Grübler.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
25
F = 3(5− 1)− 2(6)− 0 = 12− 12− 0 = 0 (2.3)
Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3,
y 4 son paralelos, además los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y
permiten que el eslabonamiento gire en el sentido indicado, por lo tanto
F = 1.
3. Finalmente considere el eslabonamiento mostrado en la figura 30.
Figura 30. Eslabonamiento de Dos Lazos con Pares Prismáticos y de Revoluta
que Constituye una Excepción del Criterio de Grübler.
Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que
F = 3(5− 1)− 2(6)− 0 = 12− 12− 0 = 0. (2.4)
Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un
lazo, aquel formado por los eslabones conectados por los pares prismáticos
está asociado a las traslacionales planas, mientras que cualquiera de los dos
restantes lazos está asociado al movimiento plano general. Puede probarse
que el eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.
26
Part II
Análisis cinemático de
mecanismos planos
articulados.
27
Chapter 3
Mecanismos Planos de
Cuatro Barras,Rotabilidad
y Criterio de Grashoff.
3.1 Mecanismos formados por pares inferiores.
Hasta aquí, hemos analizado algunos aspectos comunes a todas las clases de
mecanismos: Grados de libertad, análisis cinemático mediante metodos analíti-
cos y gráficos. Sin embargo, a fín de profundizar nuestros conocimientos acerca
de los mecanismos mas usuales, es necesario particularizar los análisis de acuerdo
a la clase de mecanismos a tratar. No obstante, se mantendrá vigente la restric-
ción de tratar exclusivamente mecanismos planos y se clasificarán como:
1. Mecanismos formados por pares inferiores.
2. Mecanismos que incluyen un par superior:
• Mecanismos de leva.
• Engranes y trenes de engranes.
Obviamente, el par superior que incluyen los mecanismos de leva y engranes,
es precisamente un par de leva.
3.2 Mecanismos Formados por Pares Inferiores.
Dentro de esta clase mecanismos se encuentra el mostrado en la figura 1; en re-
alidad estos mecanismos pueden, en algunos casos, construirse empleando pares
superiores. La verdadera razón detrás de esta clasificación consiste en la relativa
facilidad para realizar el análisis cinemático —posición, velocidad y aceleración—
de esta clase de mecanismos mediante las ecuaciones de clausura del mecanismo
28
y sus derivadas. Estos mecanismos tienen gran empleo por su capacidad de pro-
ducir movimientos no uniformes y transmitir fuerzas considerables a velocidades
elevadas.
Figura 1. Mecanismo formado por pares inferiores.
Aun cuando los métodos que se estudiarán a continuación son aplicables a
mecanismos relativamente complicados como el de la figura 1, haremos refer-
encia a mecanismos más simples como el mecanismo plano de cuatro barras y
cuatro pares de revoluta, figura 2 o el mecanismo de biela, manivela y corredera,
figura 3.
Figura 2: Mecanismo plano de cuatro barras.
29
Figura 3: Mecanismo de biela manivela corredera.
3.3 Mecanismos Planos de Cuatro Barras.
Uno de los mecanismos más simples, estudiados y poderosos, es el mecanismo
plano de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, a menudo conocido simple-
mente como mecanismo de cuatro barras, figura 2. La nomenclatura se indica
a continuación:
1. El eslabón 1, MN , cuya longitud es a1, se conoce como bastidor, marco
o eslabón fijo.
2. El eslabón 2, MA, cuya longitud es a2, se supone el motriz y se conoce
como manivela, eslabón de entrada, motriz o conductor.
3. El eslabón 3, AB, cuya longitud es a3, se conoce como eslabón acoplador.
4. El eslabón 4, NB, cuya longitud es a4, se conoce como seguidor, eslabón
de salida o conducido.
Debe tenerse en cuenta, que el término manivela se emplea, en algunas
ocasiones, con la connotación de un eslabón unido al bastidor que es capaz de
rotar completamente alrededor de su eje.
3.4 Clasificación de los Mecanismos Planos de
Cuatro Barras. Posiciones Críticas.
Dependiendo de la capacidad de rotar de los eslabones motriz y conducido re-
specto a su eje de rotación, rotabilidad, los mecanismos de cuatro barras se
clasifican en:
1. Doble oscilatorio, double rocker, cuando ambos eslabones unicamente pueden
oscilar, obviamente, el ángulo de oscilación es menor a 360o.
30
2. Rotatorio oscilatorio, crank rocker, cuando uno de los eslabones motriz o
conducido puede rotar, mientras que el otro solamente puede oscilar.
3. Doble rotatorio, double crank, cuando ambos eslabones pueden rotar.
La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo, está
intimamente ligada a la aparición de ciertas posiciones conocidas como posi-
ciones críticas. Existen dos diferentes tipos de posiciones críticas.
1. Posición límite. Una posición límite para el eslabón de salida, en un
mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el es-
labón acoplador y el de entrada es de 180o o 360o; es decir, las revolutasM , A y B están en línea, figura 4.
Figura 4: Posición límite en un mecanismo plano de cuatro barras.
2. Posición de puntos muertos. Una posición de puntos muertos para
el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el
ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180o o 360o,
las revolutas A, B y N están en línea, figura 5.
Figura 5: Posición de puntos muertos en un mecanismo de cuatro barras.
31
Es interesante notar que la clasificación es dependiente de cual eslabón se
considere el motriz.
Puede probarse que, salvo una excepción1, cuando en un mecanismo de cu-
atro barras se presenta una posición límite, el eslabón de salida estará imposi-
bilitado de rotar. Similarmente, si se presenta una posición de puntos muertos,
el eslabón de entrada no podrá rotar.
3.5 Análisis de rotabilidad de un mecanismo de
cuatro barras.
El objetivo de este análisis consiste en determinar las relaciones que deben
satisfacer las longitudes de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro barras
a fín de que el mecanismo sea doble rotatorio; como un subproducto se mostrarán
las posiciones críticas que se producen cuando los eslabones de entrada o salida
sólo oscilan.
3.5.1 Excepción del Criterio de Grübler.
La primera condición que un mecanismo plano de cuatro barras debe satisfacer
es que el mecanismo pueda realmente formarse y moverse, la condición viene
dada por
2am <
4X
i=1
ai (3.1)
Donde, am es la longitud del eslabón más grande y ai es la longitud del
i-ésimo eslabón.
Si la relación es una igualdad, el eslabonamiento constituye una estructura.
Si, por el contrario, la relación es una desigualdad del tipo >, la cadena no
puede cerrarse.
3.5.2 Primeras Condiciones.
Intituivamente debe reconocerse2 que las situaciónes más comprometidas ocur-
ren cuando los eslabones de entrada y salida se alinean con el eslabón fijo;
primero se analizarán las condiciones que aparecen cuando los eslabones de en-
trada y salida tratan de extenderse hacia el “exterior”.
• Eslabon de Entrada.
La primera situación crítica para el eslabón de entrada se muestra en la
figura 6.
1La excepción está constituido por el mecanismo paralelogramo, en el que α1 = α3 y
α2 = α4.
2Un análisis más riguroso puede encontrarse en “Condiciones de Rotabilidad, una Alterna-
tiva al Criterio de Grashoff”, Rico J.M., Memorias del IX Congreso de la Academia Nacional
de Ingenier´ıa, León Guanajuato, 1983.
32
Figure 6: Primera condición crítica en el eslabón de entrada.
De la desigualdad del triángulo, se tiene
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3.2)
si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá tomar la posición θ2 =
180o.
Si, por el contrario, se satisface que
a1 + a2 ≥ a3 + a4 (3.3)
Se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de esa posición
se muestra en la figura 7.
Figure 7: Primera posición de puntos muertos del eslabón de entrada.
El ángulo para el cual ocurre esta posición está dada por
θ2D1 = cos−1
Ã
a21 + a
2
2 − (a3 + a4)
2
2a1a2
!
(3.4)
Como puede observarse, las condiciones (2 y 3) no son excluyentes y
cuando se satisfacen ambas se obtiene que
a1 + a2 = a3 + a4 (3.5)
El eslabón de entrada puede tomar la posicion θ2 = 180o; más sin em-
bargo, se presenta una posición de puntos muertos que al mismo tiempo
33
constituye una posición límite. Esta posibilidad se muestra en la figura 8.
Figure 8: Posición límite y de puntos muertos.
Esta situación se repetirá en los otros análisis pero en aras de una mayor
fluidez, no se volverá a mencionar.
• Eslabón de salida.
La primera situación crítica para el eslabón de salida se muestra en la
figura 9.
Figure 9: Primera posición crítica para el eslabón de salida.
De la desigualdad del triángulo se tiene
a1 + a4 ≤ a2 + a3, (3.6)
si se satisface está condición, el eslabón 4 podrá tomar la posición θ4 = 0o.
Si, por el contrario, se satisface que
a1 + a4 ≥ a2 + a3, (3.7)
Se presenta una posición límite tal como la mostrada en la figura 10.
34
Figura 10: Primera posición límite.
El ángulo para el cual ocurre, esta posición límite viene dado, por
θ4L1 = 180o − α (3.8)
Donde
α = cos−1
Ã
a21 + a22 − (a3 + a4)
2
2a1a2
!
(3.9)
A partir de identidades trigonométricas puede probarse que
cos θ4L1 = − cosα (3.10)
Por lo tanto,
θ4L1 = cos−1
Ã
(a3 + a4)
2 − a21 − a22
2a1a2
!
(3.11)
3.5.3 Segundas Condiciones.
Las segundas condiciones más comprométidas ocurren cuando los eslabones de
entrada y salida tratan de extenderse hacia “el interior” del mecanismo. Es
decir, cuando los eslabones de entrada y salida tratan de obtener las posiciones
asociadas con θ2 = 0o y θ4 = 180o respectivamente.
1. Eslabón de entrada. Deben distinguirse dos diferentes situaciones:
• a2 > a1. La desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 3 y 4
conducen a
a4 ≤ a3 + (a2 − a1) ó a4 − a3 ≤ a2 − a1 (3.12)
a3 ≤ a4 + (a2 − a1) ó a3 − a4 ≤ a2 − a1 (3.13)
35
Figure 11: Segunda posición crítica para el eslabón de entrada, caso a2 > a1.
• a1 > a2. La desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 3 y 4
conducen a
a3 ≤ a4 + (a1 − a2) ó a3 − a4 ≤ a1 − a2 (3.14)
a4 ≤ a3 + (a1 − a2) ó a4 − a3 ≤ a1 − a2 (3.15)
Figura 12: Segunda posición crítica para el eslabón de entrada, caso a2 < a1.
Las cuatro ecuaciones (12, 13, 14 y 15) pueden resumirse en
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (3.16)
Si por el contrario, se tiene que
|a2 − a1| ≤ |a4 − a3| (3.17)
se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de la cual,
se muestra en la figura 13.
36
Figure 13: Segunda posición de puntos muertos.
El ángulo para el cual ocurre está posición es
θ2D2 = cos−1
Ã
a21 + a
2
2 − (a4 − a3)
2
2a1a2
!
(3.18)
2. Eslabón de salida. Sin comprobación, la condición que permite al es-
labón 4 tomar la posición θ4 = 180o es
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| . (3.19)
Si por el contrario, se tiene que
|a4 − a1| ≤ |a3 − a2| , (3.20)
se produce una posición límite, semejante a la mostrada en la figura 14.
Figura 14: Segunda posición límite.
De manera similar al desarrollo de la ecuación (18), puede mostrarse que
θ4L2 = cos−1
Ã
(a3 − a2)2 − a21 + a24
2a1a4
!
(3.21)
37
Es importante recalcar que los cálculos que se han realizado para de-
terminar los ángulos asociados a las posiciones de puntos muertos y de
posiciones límites no son exhaustivos, pues seria tardado dibujar todas
las posibles variantes; en casos generales lo más conveniente consiste en
realizar un dibujo en base a la colinealidad de las revolutas, NAB yMAB
respectivamente, y de allí calcular los ángulos.
Resumiendo, las condiciones
a1 + a2 ≤ a3 + a4
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3|
aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha supuesto es el motriz.
El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento en igualdad,
conduce a una posición de puntos muertos por cada condición.
Similarmente las condiciones
a1 + a4 ≤ a2 + a3
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2|
aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de estas condi-
ciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición límite por
cada relación.
Bajo estas condiciones el mecanismo será:
(a) Doble oscilatorio. Cuando sus longitudes no satisfagan alguna o
ambas de las condiciones de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón
4.
(b) Oscilatorio rotatorio. Cuando sus longitudes satisfagan ambas
condiciones del eslabón 2 y no satisfagan alguna o ambas de las condi-
ciones del eslabón 4 o viceversa. En el primer caso el eslabón capaz
de rotar será el 2 y se presentará al menos una posición limite. En
el segundo caso el eslabón capaz de rotar será el 4 y se presentará al
menos una posición de puntos muertos.
(c) Doble rotatorio. Cuando las cuatro condiciones anteriores se sat-
isfagan.
Con relación a eslabones que sólo pueden oscilar,es posible definir el
ángulo de oscilación, como el ángulo que el eslabón puede rotar sin que
se presente posiciones críticas. Las ecuaciones (2, 6, 16 y 19) permiten
conocer de manera rápida y eficiente la clase de mecanismo de cuatro
barras así como detectar el número de posiciones críticas.
38
3.5.4 Criterio de Grashoff.
Las condiciones de rotabilidad, deducidas en la sección anterior, son posteriores,
cronologicamente hablando, al criterio de Grashoff que igualmente permite clasi-
ficar a los mecanismos de cuatro barras, aun cuando no especifica en su caso, el
número de clase de posiciones críticas. De acuerdo con el criterio de Grashoff,
los mecanismos de cuatro barras se dividen en dos clases:
1. Mecanismos de la Clase I.
Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satis-
facen la condición
L+ s ≤ p+ q (3.22)
Donde, L es la longitud del eslabón más largo, longest, s es la longitud
del eslabón más corto, shortest, p, q son las longitudes de los eslabones
intermedios.
Dentro de esta clase, I, los mecanismos se subclasifican en
• Si el eslabón más corto, s, es el conductor o el conducido el mecanismo
es rotatorio oscilatorio, donde es eslabón capaz de rotar es el mas
corto.
• Si el eslabón más corto es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio.
• En cualquier otra situación el mecanismo es doble-oscilatorio, pero
el eslabón acoplador puede rotar 360o respecto a ambos, el eslabón
de entrada y el eslabón de salida.
2. Mecanismos de la clase II.
Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satis-
facen la condición
L+ s > p+ q (3.23)
Todos los mecanismos de la clase II son doble oscilatorios, ninguno de los
eslabones puede rotar 360o.
3.5.5 Comprobación del criterio de Grashoff a partir de
las condiciones de rotabilidad.
El criterio de Grashoff puede probarse a partir de las condiciones de rotabilidad
de los eslabones de entrada y salida; sin embargo, el desarrollo es tan laborioso
que es imposible presentarlo en su totalidad. Como ejemplo se probará que
un mecanismo de la clase I, en la que el eslabón más corto es el fijo, es doble
rotatorio. Es decir, se supondrá que el mecanismo satisface las condiciones
L+ s ≥ p+ q,
a1 = s.
39
Para probarlo, es necesario generar todas las posibles combinaciones en que
pueden seleccionarse los eslabones de entrada y de salida; existen 3 eslabones,
L, p, q, para dos posibilidades, a2, a4, asi pues, el número de combinaciones
será
C3,2 =
3!
2! (3− 2)! =
3!
2!1!
= 3.
Esas tres posibles combinaciones son:
1. a2 = p y a4 = q. Por lo tanto, a3 = L.
2. a2 = p y a4 = L. Por lo tanto, a3 = q.
3. a2 = q y a4 = L. Por lo tanto, a3 = p.
A continuación se analiza cada una de esas combinaciones.
1. a1 = s, a2 = p, a3 = L, a4 = q.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ó s+ p ≤ L+ q
rearreglando la ecuación se tiene que
p− q ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| ó | p− s| ≥ |q − L|
rearreglando la ecuación se tiene que
p− s ≥ L− q
o finalmente,
p+ q ≥ L+ s
esta última ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ó s+ q ≤ p+ L
rearreglando la ecuación se tiene que
q − p ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| ó | q − s| ≥ |L− p|
40
rearreglando la ecuación
q − s ≥ L− p ó q + p ≥ L+ s,
esta ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I.
2. a1 = s, a2 = p, a3 = q, a4 = L.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ó s+ p ≤ q + L
rearreglando la ecuación
q − p ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| ó | p− s| ≥ |L− q|
rearreglando la ecuación
p− s ≥ L− q
o finalmente,
p+ q ≥ L+ s
esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ó s+ L ≤ p+ q
esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| ó | L− s| ≥ |q − p| .
rearreglando la ecuación
L− s ≥ q − p
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
3. a1 = s, a2 = q, a3 = p, a4 = L.
(a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2.
a1 + a2 ≤ a3 + a4 ó s+ q ≤ p+ L.
rearreglando la ecuación
q − p ≤ L− s
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| ó | q − s| ≥ |L− p|
41
rearreglando la ecuación
q + p ≤ L+ s
Se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I.
(b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 ó s+ L ≤ q + p
Esta ecuación se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| ó | L− s| ≥ |p− q|
rearreglando la ecuación
L− s ≥ p− q
la satisfacción de esta ecuación es obvia.
Todas estas comprobaciones muestran que cuando en un mecanismo de la
clase I, el eslabón mas chico es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio, sin
importar cuales sean los restantes eslabones.
3.5.6 Rotabilidad y Posiciones Críticas en el Mecanismo
de Biela Manivela Corredera.
En esta sección, se mostrará como las condiciones de rotabilidad deducidas
para el mecanismo plano de cuatro barras pueden emplearse para determinar la
rotabilidad del mecanismo de biela manivela corredera y sus posiciones críticas.
Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura
15.
42
Figura 15: Mecanismo de biela manivela corredera, con los eslabones
equivalentes a un mecanismo plano de cuatro barras.
Debe recordarse que un par prismático es equivalente a un par de revo-
luta localizado en el infinito en una dirección perpendicular a la dirección de
movimiento relativo del par prismático. Por lo tanto, la longitud de los eslabones
1 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera estará dada por
a1 =∞+ e y a4 =∞ (3.24)
donde e > 0. Con estos datos, es posible analizar la rotabilidad de los
eslabones 2 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera.
43
Rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera.
En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela
manivela corredera mostrado en la Figura 15.
De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3.25)
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
∞+ e+ a2 ≤ a3 +∞ (3.26)
Por lo tanto, la condición se reduce a
a2 ≤ a3 − e (3.27)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (3.28)
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
|a2 − (∞+ e)| ≥ |∞− a3| (3.29)
o, notando que ∞+ e > a2 y que ∞ > a3,
(∞+ e)− a2 ≥ ∞− a3 (3.30)
o
e− a2 ≥ −a3 ó e+ a3 ≥ a2 ó a2 ≤ a3 + e (3.31)
Las ecuaciones 27 y 31 son las ecuaciones que determinan si el eslabón 2
puede rotar. En particular, si la excentricidad del mecanismo de biela manivela
corredera es nula, un caso muy común, ambas condiciones de rotabilidad del
eslabón 2, la biela, se reducen a
a2 ≤ a3 (3.32)
Si la ecuación 27 no se satisface, es decir si
a2 ≥ a3 − e ó a2 + e ≥ a3, (3.33)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de pun-
tos muertos como la que se muestra en la figura 16.
44
Figure 16: Mecanismo de biela manivela corredera en la primera posición de
puntos muertos.
Si la ecuación 31 no se satisface, es decir si
a2 ≥ a3 + e ó a2 − e ≥ a3 (3.34)
el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de pun-
tos muertos como la que se muestra en la figura 17.
Figure 17: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición de
puntos muertos.
Rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera.
En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela
manivela corredera mostrado en la Figura 15.De la primera condición de rotabilidad se tiene que
a1 + a4 ≤ a2 + a3, (3.35)
45
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
∞+ e+∞ ≤ a2 + a3 ó 2∞+ e ≤ a2 + a3 (3.36)
Es evidente, que esta condición no puede satisfacerse y se presenta la posición
límite indicada en la Figura 18.
Figure 18: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición
límite.
El valor máximo de la carrera de la corredera está dado por
s1 =
q
(a2 + a3)
2 − e2 (3.37)
De la segunda condición de rotabilidad se tiene que
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| , (3.38)
sustituyendo los valores a1 =∞+ e y a4 =∞, se tiene que
|∞− (∞+ e)| ≤ |a3 − a2| ó e ≥ |a3 − a2| . (3.39)
Si esta condición no se satisface, es decir si
e < |a3 − a2| (3.40)
se presenta la posición límite indicada en la Figura 19, en la que se supone
que a3 ≥ a2. El valor mínimo de la carrera de la corredera está dado por
s2 =
q
(a3 − a2)2 − e2 (3.41)
46
Figure 19: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición
límite.
47
Chapter 4
Análisis de posición en
mecanismos de cuatro
barras articuladas (metodo
analítico).
4.1 Los números complejos como vectores.
Hay muchos modos para la representación de vectores. Estos se pueden definir en
coordenadas polares, por su magnitud y su ángulo, o en coordenadas cartesianas,
mediante las coordenadas x y y.
Forma polar Forma cartesiana
R@∠θ r cos θıˆ+ r sin θjˆ (4.1)
rejθ r cos θ + jr sin θ (4.2)
La ecuación 4.1 emplea vectores unitarios para representar las direcciones
de las componentes x y y de un vector en forma cartesiana. En la figura 4.1 se
ilustra la notación con vectores unitarios en el caso de un vector de posición.
48
Figura 4.1. Notación de vectores unitarios para vectores de posición.
En la ecuación 4.2 se usa la notación de números complejos; en este caso la
componente en la dirección X se denomina parte real , y la componente en la di-
rección Y , parte imaginaria. El poco afortunado término "imaginaria" proviene
del uso del símbolo j para representar la raíz cuadrada del número −1 , que, por
supuesto no puede evaluarse numéricamente. Sin embargo, este número imag-
inario se usa en un número complejo como un operador, y no como un valor.
En la figura 4.2 se muestra el plano complejo en el que el eje real representa la
dirección de la componente X del vector en el plano, y el eje imaginario repre-
senta la dirección de la componente Y del mismo vector.
Figura 4.2. Representación con números complejos de un vector de posición.
De manera que cualquier término en un número complejo que no tenga el oper-
ador j, es una componente en x, y j indica una componente y.
49
Advierta en la figura 4.3 que cada multiplicación del vector RA por el oper-
ador j resulta en una rotación en sentido contrario de las manecillas del reloj
del vector, en un ángulo de 90o.
Figura 4.3. Rotaciones vectoriales en el plano complejo.
El vector RB = jRA está dirigido a lo largo de la parte positiva del eje imagi-
nario, o eje j. El vector RC = j2RA está dirigido a lo largo de la parte negativa
del eje real, porque j2 = −1, por lo tanto, RC = −RA. De modo semejante
RD = j3RA = −jRA, y esta componente se dirige a lo largo de la parte negativa
del eje j.
Una ventaja de utilizar esta notación de números complejos para representar
vectores en el plano proviene de la identidad de Euler:
e±jθ = cos θ ± j sin θ (4.3)
Cualquier vector bidimensional se puede representar mediante la notación
polar compacta que figura en el lado izquierdo de la ecuación 4.3. No hay
alguna función mas facil de diferenciar o integrar, ya que tal función es igual a
su propia derivada:
dejθ
dθ
= jejθ (4.4)
Utilizaremos esta notación de números complejos para los vectores, con el
fin de desarrollar y deducir las ecuaciones para la posición, la velocidad y la
aceleración de eslabonamientos.
50
4.2 La ecuación de lazo vectorial para un es-
labonamiento de cuatro barras.
La direcciones de los vectores de posición en la figura 4.4 se eligen a modo de
definir los ángulos donde se desean medir.
Figura 4.4. Lazo vectorial de posición para un eslabonamiento de cuatro barras
Por definición, en ángulo de un vector siempre se mide desde su raíz, no desde
su punta. Si se desea medir el angulo θ4 desde el pivote fijo O4, se debe colocar
al vector R4 de manera que su raíz esté en ese punto. Conviene medir el ángulo
θ3 en el punto donde se unen los eslabones 2 y 3, ya que el vector R3 se rota
ahí.
Una lógica similar dicta que los arreglos de los vectores R1 y R2. Observe
que el eje (real) X se toma por conveniencia a lo largo del eslabón 1, y el origen
del sistema del sistema de coordenadas global se toma en el punto O2, la raíz
del vector del eslabón de entrada, R2. Estas elecciones de las direcciones de los
vectores y del sentido, como se indican por sus puntas de flecha, conducen a
esta ecuación de lazo vectorial:
R2 +R3 −R4 −R1 = 0 (4.5)
Una notación alternativa que se puede usar para estos vectores de posición
son las etiquetas de los puntos en las puntas y raíces del vector (en ese orden)
como subíndices. El segundo subíndice por convención se omite si es el origen
del sistema de coordenadas global (punto O2):
RA +RBA −RBO4 −RO4 (4.6)
51
En seguida, se sustituye la notación de números complejos para cada vector
de posición. Para simplificar la notación y minimizar el uso de los subíndices
se denotan las longitudes escalares de los cuatro eslabones por a, b, c y d. Así
están rotulados en la figura 4.4. La ecuación será entonces:
aejθ2 + bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (4.7)
Éstas son tres formas de la misma ecuación vectorial, y se pueden resolver
para dos incógnitas. Hay cuatro variables en esta ecuación, a saber son los
cuatro ángulos de los eslabones. Las longitudes de los eslabones son todas con-
stantes en este eslabonamiento particular. El valor del ángulo del eslabón 1
también está fijo (en cero), ya que éste es el eslabón de fijación. La variable
independiente es θ2, la cúal sera controlada con un motor u otro dispositivo
impulsor. Esto permite encontrar los ángulos del eslabón 3 y 4. Se necesitan ex-
presiones algebraicas que definan a θ3 y θ4 como funciones sólo de las longitudes
constantes de los eslabones y de un ángulo de entrada, θ2. Estas expresiones
serán de la forma:
θ3 = f {a, b, c, d, θ2}
(4.8)
θ4 = g {a, b, c, d, θ2}
Para resolver la forma polar, ecuación vectorial 4.7, se deben sustituir las
equivalentes de Euler para los términos ejθ y después separar la ecuación vec-
torial en forma cartesiana en dos ecuaciones escalares que se pueden resolver
simultáneamente para θ3 y θ4. Sustituyendo la ecuación 4.3 en la ecuación 4.7:
a (cos θ2 + j sin θ2)+b (cos θ3 + j sin θ3)−c (cos θ4 + j sin θ4)−d (cos θ1 + j sin θ1) = 0
(4.9)
Ahora se puede separar esta ecuación en sus partes reales e imaginarias
haciendo cada parte igual a cero.
parte real (componente x):
a cos θ2 + b cos θ3 − c cos θ4 − d cos θ1 = 0 (4.10)
pero θ1 = 0, así:
a cos θ2 + b cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.11)
parte imaginaria (componente y):
ja sin θ2 + jb sin θ3 − jc sin θ4 − jd sin θ1 = 0 (4.12)
pero θ1 = 0, y eliminando a las j se obtiene:
a sin θ2 + b sin θ3 − c sin θ4 = 0 (4.13)
Las ecuaciones escalares 4.11 y 4.13 ahora se pueden resolver simultane-
amente para θ3 y θ4. Resolver este conjunto de ecuaciones trigonométricas
52
simultáneas es directo pero tedioso. La sustitución de algunas identidades
trigonométricas simplificará las expresiones. El primer paso es reescribir las
ecuaciones 4.11 y 4.13 de manera que se despeje una de las dos incógnitas en
el lado izquierdo de la ecuación. Se despejará θ3 y se determinará θ4 en este
ejemplo.
b cos θ3 = −a cos θ2 + c cos θ4 + d (4.14)
b sin θ3 = −a sin θ2 + c sin θ4 (4.15)
Después se elevan al cuadrado ambos lados de las ecuaciones4.14 y 4.15 y
se suman:
b2
¡
sin2 θ3 + cos2 θ3
¢
= (−a sin θ2 + c sin θ4)2 + (−a cos θ2 + c cos θ4 + d)2
(4.16)
Observe que la cantidad entre paréntesis en el lado izquierdo es igual a 1,
eliminando θ3 de la ecuación queda sólo por encontrar θ4.
b2 = (−a sin θ2 + c sin θ4)2 + (−a cos θ2 + c cos θ4 + d)2 (4.17)
Ahora se debe desarrollar el lado derecho de esta expresión y agrupar sus
términos.
b2 = a2+c2+d2−2ad cos θ2+2cd cos θ4−2ac (sin θ2 sin θ4 + cos θ2 cos θ4) (4.18)
Para simplificar aún más esta expresión se define a las constantes K1, K2
y K3 en términos de las longitudes constantes de los eslabones en la ecuación
4.18:
K1 =
d
a
K2 =
d
c
K3 =
a2 − b2 + c2 + d2
2ac
(4.19)
y:
K1 cos θ4 −K2 cos θ2 +K3 = cos θ2 cos θ4 + sin θ2 sin θ4 (4.20)
Si ahora se sustituye la identidad cos (θ2 − θ4) = cos θ2 cos θ4 + sin θ2 sin θ4,
se obtiene la conocida ecuación de Freudenstein.
K1 cos θ4 −K2 cos θ2 +K3 = cos (θ2 − θ4) (4.21)
Para reducirla ecuación 4.20 a una forma más facil de solucionar, es útil
sustituir las identidades de ángulo medio que expresarán los términos sin θ3 y
cos θ4 en función de tan θ4:
sin θ4 =
2 tan
¡ θ4
2
¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ ; cos θ4 = 1− tan2 ¡ θ42 ¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ (4.22)
Esto da como resultado la siguiente forma simplificada, donde las longitudes
de los eslabones y los términos conocidos del valor de entrada θ2 se agruparon
como las constantes A, B, C.
A tan2
µ
θ4
2
¶
+B tan
µ
θ4
2
¶
+ C = 0 (4.23)
53
donde:
A = cos θ2 −K1 −K2 cos θ2 +K3
B = −2 sin θ2
C = K1 − (K2 + 1) cos θ2 +K3
Observe que la ecuación 4.23 tiene forma cuadrática y la solución es:
tan
µ
θ4
2
¶
=
−B ±√B2 − 4AC
2A
(4.24)
θ41,2 = 2arctan
Ã
−B ±√B2 − 4AC
2A
!
(4.25)
La ecuación 4.25 tiene dos soluciones, obtenidas de los signos ± del radical.
Estas dos soluciones, como en cualquier ecuación cuadratica, pueden ser de tres
tipos: reales e iguales, reales y desiguales, complejas conjugadas. Si el discrim-
inante en el radical es negativo, entonces la solución es conjugada compleja, lo
cual significa simplemente que no se pueden unir las longitudes elegidas de los
eslabones para el valor escogido del ángulo de entrada θ2. Esto puede ocur-
rir, ya sea cuando las longitudes de los eslabones son incapaces de conectar en
cualquier posición o, en un eslabón de no Grashof, cuando el ángulo de entrada
está más allá de una posición de agarrotamiento. Hay entonces una solución
no real para ese valor del ángulo de entrada θ2. Exceptuando esta situación, la
solución usualmente será real y desigual, lo que significa que hay dos valores de
θ4 que corresponden a cualquiera de los valores de θ2. A éstas se les llama con-
figuraciones cruzada y abierta del eslabonamiento, y también se les conoce
como los dos circuitos del eslabonamiento. En el eslabonamiento de cuatro
barras la solución negativa de θ4 para la configuración abierta, y la solución
positiva da θ4 para la configuración cruzada.
La figura 4.5 muestra las soluciones cruzada y abierta para un eslabonamiento
de Grashof de manivela-balancín.
54
Figura 4.5. Solución de posición para las configuraciones abierta y cruzada del
eslabonamiento de cuatro barras.
Los términos cruzado y abierto están basados en la suposición de que el eslabón
de entrada 2, para el cual está definido θ2, está colocado en el primer cuadrante
(es decir, 0 < θ2 < π/2). Entonces un eslabonamiento de Grashof se define como
cruzado si los dos eslabones adyacentes al eslabón más corto se cruzan entre sí,
y como abierto si no se cruzan uno y otro en esta posición. Observe que la con-
figuración del eslabonamiento, ya sea cruzada o abierta, depende solamente de
la manera en que se ensamblan los eslabones. No se puede predecir sólo con base
en la longitudes de los eslabonamientos cuál solución sera la deseada. En otras
palabras, ya se puede obtener cualquier solución con el mismo eslabonamiento
con sólo considerar separado al pasador que conecta a los eslabones 3 y 4 en
la figura 4.5, y mover estos eslabones a otra de las posiciones en las cuales el
pasador los conecta nuevamente. Al hacer esto, se estará cambiando de una
solución de posición, o circuito, a la otra.
La solución para el ángulo θ3 es esencialmente similar a la de θ4. Regresando
a las ecuaciones 4.11 y 4.13 se pueden reordenar los términos para despejar θ4
en el lado izquierdo.
c cos θ4 = a cos θ2 + b cos θ3 − d (4.26)
c sin θ4 = a sin θ2 + b sin θ3 (4.27)
Elevando al cuadrado estas ecuaciones y sumándolas se elimina θ4. De la
ecuación resultante se puede encontrar θ3, como ya se hizo con θ4, con lo que
se obtiene la expresión:
K1 cos θ3 +K4 cos θ2 +K5 = cos θ2 cos θ3 + sin θ2 sin θ3 (4.28)
55
La constante K1 es la misma que se definio anteriormente, pero K4 y K5
son:
K4 =
d
b
; K5 =
c2 − d2 − a2 − b2
2ab
(4.29)
Ésta también se reduce a una forma cuadrática:
D tan2
µ
θ3
2
¶
+E tan
µ
θ3
2
¶
+ F = 0 (4.30)
donde:
D = cos θ2 −K1 +K4 cos θ2 +K5
E = −2 sin θ2
F = K1 + (K4 − 1) cos θ2 +K5
y la solución es:
θ31,2 = 2arctan
Ã
−E ±√E2 − 4DF
2D
!
(4.31)
Como el ángulo θ4, éste también tiene dos soluciones que corresponden a los
circuitos cruzados y abiertos del eslabonamiento, como se muestra en la figura
4.5.
4.3 La ecuación de lazo vectorial para un es-
labonamiento de la manivela-corredera de
cuatro barras.
El mismo enfoque de lazo vectorial utilizado anteriormente se puede aplicar
a un eslabonamiento que contiene correderas. La figura 4.6 muestra un es-
labonamiento de cuatro barras de manivela-corredera con corrimiento.
56
Figura 4.6. Lazo vectorial de posición para un eslabonamiento de cuatro
barras de manivela-corredera.
El termino corrimiento indica que el eje de corredera prolongado no pasa por
el pivote de la minivela. Éste es el caso general. Este eslabonamiento podría
representarse por solo tres vectores de posición: R2, R3 y Rs, pero uno de ellos
(el Rs) será un vector de magnitud y ángulo variables. Es más facil utilizar
cuatro vectores: R1, R2, R3 y R4 con R1 dispuesto paralelamente al eje de
deslizamiento y R4 perpendicular a él. En efecto, el par de vectores R1 y R4
son componetes ortogonales del vector de posición Rs desde el origen hasta la
corredera.
El análisis se simplifica al disponer de un eje coordenado paralelo al eje de
deslizamiento. El vectorR1 de longitud variable y dirección constante representa
entonces la posición de la corredera con magnitud d. El vector R4 es ortogonal a
R1 y define la magnitud constante del corrimiento del eslabonamiento. Advierta
que para el caso especial, la versión sin corrimiento, el vector R4 será igual a
cero y R1 = Rs. Los vectores R2 y R3 completan el lazo vectorial. El vector de
posición del acoplador R3 se coloca con su inicio en la corredera, la cúal define
entonces su ángulo θ3 en el punto B. Esta configuración particular de vectores
de posición conduce a una ecuación de lazo vectorial semejante al ejemplo de
eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador:
R2 −R3 −R4 −R1 = 0 (4.32)
Compare la ecuación 4.5 con la ecuación 4.32 y observe que la única diferencia
es el signo de R3. Esto se debe solo a la elección algo arbitraria del sentido del
vector de posición R3 en cada caso. El ángulo θ3 siempre debe medirse en el
inicio de vector posición R3, y en este ejempo será conveniente tener tal ángulo
θ3 en la junta marcada con B. Una vez que se han hecho estas elecciones
57
arbitrarias, es crucial que en las ecuaciones se observen cuidadosamente los
signos algebraicos resultantes, de lo contrario los resultados serán erróneos. Si
las magnitudes de los vectores (longitudes de eslabón) se representan por a, b,
c y d como se indica, los vectores de posición se sustituyen por sus equivalentes
de números complejos.
aejθ2 − bejθ3− cejθ4 − dejθ1 = 0 (4.33)
Se sustituyen los equivalentes de Euler:
a(cos θ2+j sin θ2)−b(cos θ3+j sin θ3)−c(cos θ4+j sin θ4)−d(cos θ1+j sin θ1) = 0
(4.34)
Se separan las componentes real e imaginario:
parte real (componente x):
a cos θ2 − b cos θ3 − c cos θ4 − d cos θ1 = 0 (4.35)
pero θ1 = 0, de modo que:
a cos θ2 − b cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.36)
parte imaginaria (componente y):
ja sin θ2 − jb sin θ3 − jc sin θ4 − jd sin θ1 = 0 (4.37)
pero: θ1 = 0, y las j se eliminan, de modo que:
a sin θ2 − b sin θ3 − c sin θ4 = 0 (4.38)
Se desea resolver las ecuaciones 4.36 y 4.38 simultáneamente para evaluar
las dos incognitas, longitud de eslabón d y ángulo de eslabón θ3. La variable
independiente es el ángulo de manivela θ2. Se conocen las longitudes de eslabón a
y b, el corrimiento c y el ángulo θ4. Pero observe que como se establece el sistema
de coordenadas paralelo y perpendicular al eje de la corredera, el ángulo θ1 vale
cero y θ4 es de 90o. La ecuación 4.38 se resuelve para evaluar θ3 y el resultado
se sustituye en la ecuación 4.36 para despejar d.
La solución es:
θ31 = arcsin
µ
a sin θ2 − c
b
¶
(4.39)
d = a cos θ2 − b cos θ3 (4.40)
Observe que de nuevo hay dos soluciones válidas correspondientes a los dos
circuitos del eslabonamiento. La función inversa del seno está multivaluada. Su
determinación dará un valor entre ±90o, y ello representa sólo un circuito del
eslabonamiento. El valor de d depende del valor calculado de θ3. Dicho valor
de θ3 para el segundo circuito del eslabonamiento se obtiene de:
θ32 = arcsin
µ
−a sin θ2 − c
b
¶
+ π (4.41)
58
4.4 Solución de posición mecanismo conmanivela-
corredera invertida.
En la figura 4.7 se muestra la inversión del eslabonamiento de manivela corredera
de 4 barras común, en el que la junta deslizante se halla entre los eslabones 3
y 4 en el punto B. Esto se muestra como un mecanismo de manivela corredera
con corrimiento. La corredera tiene rotación pura con su centro corrido desde
el eje de deslizamiento.
El sistema coordenado global se toma de nuevo con su origen en el pivote
de la manivela de entrada O2, y el eje positivo X a lo largo del eslabón 1, el de
fijación . En el punto B se colocó un sistema de eje local con el fin de definir
θ3. Considere que hay un ángulo fijo γ dentro del eslabón 4, el cual define el
ángulo de ranura con respecto a ese eslabón.
En la figura 4.8 los eslabones están representados como vectores de posición
que tienen sentidos congruentes con los sistemas de coordenadas elegidos por
conveniencia al definir los ángulos de los eslabones. Esta disposición particular
de vectores de posición conduce a la misma ecuación de lazo vectorial que el
ejemplo anterior de manivela-corredera. Las ecuaciones 4.32 y 4.33 también se
aplican también a esta inversión. Observe que la posición absoluta del punto B
se define por el vector RB , el cual varía en magnitud y dirección a medida que se
mueve el eslabonamiento. Se elige representar RB como la diferencia vectorial
R2 − R3 para utilizar los eslabones reales como los vectores de posición en la
ecuación de lazo.
Todos los eslabonamientos de corredera tendrán por lo menos un eslabón
cuya longitud efectiva entre las juntas variará conforme se mueva el eslabonamiento.
En este ejemplo la longitud del eslabón 3 entre los puntos A y B, designada como
b, cambiará cuando pase por la corredera en el eslabón 4. Por lo tanto, el valor
de b será una de las variables por determinar en está inversión. Otra variable
sera θ4, el ángulo del eslabón 4. Sin embargo , observe que también se tiene
una incógnita en θ3, el ángulo del eslabón 3. Esto da un total de 3 incógnitas.
Así que se requiere otra ecuación para resolver el sistema. Hay una relación fija
entre los ángulos θ3 y θ4, que se muestra como γ en la figura 4.8, lo cual da la
ecuación:
θ3 = θ4 ± γ (4.42)
donde el signo + se usa para la configuración abierta y el signo − para la
cerrada.
Al sustituir la ecuación 4.42 en la ecuación 4.33 se obtiene:
a cos θ2 − b cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.43)
a sin θ2 − b sin θ3 − c sin θ4 = 0 (4.44)
Éstas tienen solo dos incógnitas y se pueden resolver simultáneamente para
determinar θ4 y b. En la ecuación 4.44 se despeja la longitud de eslabón b y se
sustituye en la ecuación 4.43.
b =
a sin θ2 − c sin θ4
sin θ3
(4.45)
59
a cos θ2 −
a sin θ2 − c sin θ4
sin θ3
cos θ3 − c cos θ4 − d = 0 (4.46)
Al sustituir la ecuación 4.42, y después de alguna manipulación algebraica,
la ecuación 4.46 se reduce a:
P sin θ4 +Q cos θ4 +R = 0 (4.47)
donde:
P = a sin θ2 sin γ + (a cos θ2 − d) cos γ
Q = −a sin θ2 cos γ + (a cos θ2 − d) sin γ
R = −c sin γ
Observe que los factores P , Q, R son constantes para cualquier valor de
entrada de θ2. Para despejar de ahí a θ4 conviene sustituir las identidades de
la tangente del ángulo medio por los terminos en sin θ4 y cos θ4. Esto dará
como resultado una ecuación cuadrática en tan (θ4/2) que se puede resolver
para determinar los dos valores de θ4.
P
2 tan
¡ θ4
2
¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ +Q1− tan2 ¡ θ42 ¢
1 + tan2
¡ θ4
2
¢ +R = 0 (4.48)
Esto se reduce a:
(R−Q) tan2
µ
θ4
2
¶
+ 2P tan
µ
θ4
2
¶
+ (Q+R) = 0 (4.49)
sea:
S = R−Q; T = 2P ; U = Q+R (4.50)
luego:
S tan2
µ
θ4
2
¶
+ T tan
µ
θ4
2
¶
+ U = 0 (4.51)
y la solución es:
θ41,2 = 2arctan
Ã
−T ±√T 2 − 4SU
2S
!
(4.52)
Como fue el caso del ejemplo anterior, éste también tiene una solución
cruzada y una abierta, indicadas respectivamente por los signos + y − del rad-
ical. Observe que también se deben calcular los valores de longitud del eslabón
b para cada θ4 usando la ecuación 4.45. El ángulo de acoplador θ3 se obtiene
de la ecuación 4.42.
60
Chapter 5
Análisis de velocidad.
5.1 Solución analítica para un eslabonamiento
de cuatro barras con juntas de pasador.
Las ecuaciones de posición para el eslabonamiento de cuatro barras se dedujeron
en la sección anterior. El eslabonamiento se muestra de nuevo en la figura 5.1,
en la cual se indica también una velocidad angular de entrada ω2 aplicada al
eslabón 2.
Figura 5.1. Lazo de vectores de posición para un eslabonamiento de 4 barras
que muestra los vectores de velocidad para una ω2 negativa
Esta ω2 puede ser una velocidad de entrada variable con el tiempo. La ecuación
de lazo vectorial se repite ahora para convenencia.
R2 +R3 −R4 −R1 = 0 (5.1)
61
Como antes, se sustituye la notación de número complejo para los vectores,
que denotan sus longitudes escalares como a, b, c y d como se muestra en la
figura 5.1
aejθ2 + bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (5.2)
Para obtener una expresión que represente la velocidad se diferencia la
ecuación 5.2 con respecto al tiempo:
jaejθ2
dθ2
dt
+ jbejθ3
dθ3
dt
− jcejθ4 dθ4
dt
= 0 (5.3)
Pero,
dθ2
dt
= ω2;
dθ3
dt
= ω3;
dθ4
dt
= ω4 (5.4)
y:
jaω2ejθ2 + jbω3ejθ3 − jcω4ejθ4 = 0 (5.5)
Observe que el término θ1 se ha eliminado debido a que el ángulo es una con-
stante, por consiguiente, su derivada es cero. Observe también que la ecuación
5.5 es, de hecho, la velocidad relativa o la ecuación de diferencia de ve-
locidad.
vA + vB/A − vB = 0 (5.6)
donde:
vA = jaω2ejθ2
vB/A = jbω3ejθ3 (5.7)
vB = jcω4ejθ4
Ahora se necesita resolver la ecuación 5.5 para ω3 y ω4, conociendo la ve-
locidad de entrada ω2, las longitudes de eslabón y todos los ángulos de eslabón.
Por lo tanto, el análisis de posición deducido en la sección 4 debe efectuarse
primero para determinar los ángulos de eslabón, antes de que se complete este
análisis de velocidad. Se desea resolver la ecuación 5.5 para obtener expresiones
en esta forma:
ω3 = f(a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
(5.8)
ω4 = f(a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
La estrategia de solución será la misma que la efectuada para el análisis
de posición. Primero se sustituye la identidad deEuler en cada término de la
ecuación 5.5:
jaω2 (cos θ2 + j sin θ2) + jbω3 (cos θ3 + j sin θ3)− jcω4 (cos θ4 + j sin θ4) = 0
(5.9)
Se multiplica por el operador j:
aω2
¡
j cos θ2 + j2 sin θ2
¢
+bω3
¡
j cos θ3 + j2 sin θ3
¢
−cω4
¡
j cos θ4 + j2 sin θ4
¢
= 0
(5.10)
62
Los términos coseno serán los términos imaginarios, o los términos en la
dirección y, y puesto que j2 = −1, los terminos seno serán los reales en la
dirección x.
aω2 (− sin θ2 + j cos θ2) + bω3 (− sin θ3 + j cos θ3)− cω4 (− sin θ4 + j cos θ4) = 0
(5.11)
Ahora se puede separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes re-
uniendo por separado todos los términos reales e imaginarios:
parte real:
−aω2 sin θ2 − bω3 sin θ3 + cω4 sin θ4 = 0 (5.12)
parte imaginaria:
aω2 cos θ2 + bω3 cos θ3 − cω4 cos θ4 = 0 (5.13)
Observe que se han cancelado las j en la ecuación 5.13 . Se resuelven estas dos
ecuaciones 5.12 y 5.13, simultaneamente por sustitución directa para obtener:
ω3 =
aω2 sin (θ4 − θ2)
b sin (θ3 − θ4)
(5.14)
ω4 =
aω2 sin (θ2 − θ3)
c sin (θ4 − θ3)
(5.15)
Una vez que se han obtenido ω3 y ω4, se determinan las velocidades lineales
sustituyendo la identidad de Euler en las ecuaciones 5.7,
vA = jaω2 (cos θ2 + j sin θ2) = aω2 (− sin θ2 + j cos θ2) (5.16)
vB/A = jbω3 (cos θ3 + j sin θ3) = bω3 (− sin θ3 + j cos θ3) (5.17)
vB = jcω4 (cos θ4 + j sin θ4) = cω4 (− sin θ4 + j cos θ4) (5.18)
donde los términos reales e imaginarios son las componentes x y y, respecti-
vamente. Las ecuaciones 5.14, 5.15, 5.16, 5.17, 5.18 proporcionan una solución
completa para las velocidades angulares de los eslabones y las velocidades lin-
eales de las juntas en el eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador.
Observe que también hay dos soluciones a este problema de velocidad, corre-
spondientes a las ramas abierta y cruzada del eslabonamiento. Se determinan
por sustitución de los valores de las ramas abierta o cruzada de θ3 y θ4.
5.2 Eslabonamiento de cuatro barras de manivela-
corredera.
Las ecuaciones de posición para el eslabonamiento de cuatro barras de manivela
corredera con corrimiento se dedujeron en el análisis de posición. El eslabonamiento
se muestra nuevamente en la figura 5.2, en la que se tiene una velocidad angular
de entrada ω2 aplicada al eslabón 2.
63
Figura 5.2. Lazo de vectores de posición para un eslabonamiento de cuatro
barras de manivela-corredera que muestra los vectores de velocidad para una
ω2 negativa.
Esta ω2 puede ser una velocidad de entrada variable con el tiempo. La ecuación
de lazo vectorial se repite aquí para su conveniencia.
R2 −R3 −R4 −R1 = 0 (5.19)
aejθ2 − bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (5.20)
La ecuación 5.20 se diferencia con respecto al tiempo, haciendo notar que a,
b, c, θ1 y θ4 son constantes, pero la longitud del eslabón d varía con el tiempo
en esta inversión.
jaω2ejθ2 − jbω3ejθ3 − d˙ = 0 (5.21)
El término d con punto es la velocidad lineal del bloque de la corredera. La
ecuación 5.21 es la ecuación de diferencia de velocidad y puede escribirse en esta
forma.
vA − vA/B − vB = 0 (5.22)
o:
vA = vB + vA/B (5.23)
pero:
vA/B = −vB/A (5.24)
entonces:
vB = vA + vB/A (5.25)
La ecuación 6.21 es idéntica en forma a las ecuación 5.6. Observe que debido
a que se ordenó el vector de posición R3, con su principio en el punto B, dirigido
64
de B hacia A, su derivada representa la diferencia de velocidad de un punto A
con respecto a un punto B, lo opuesto de lo considerado en el ejemplo anterior de
un eslabonamiento de cuatro barras. Compare esto también con la ecuación 5.7,
observando que su vector R3 se dirige desde A hasta B. La figura 5.2 muestra
el diagrama vectorial de la solución gráfica a la ecuación 5.22.
Sustituya el equivalente de Euler en la ecuación 5.21,
jaω2 (cos θ2 + j sin θ2)− jbω3 (cos θ3 + j sin θ3)− d˙ = 0 (5.26)
se simplifica,
aω2 (− sin θ2 + j cos θ2)− bω3 (− sin θ3 + j cos θ3)− d˙ = 0 (5.27)
y se separa en componentes reales e imaginarios.
parte real:
−aω2 sin θ2 + bω3 sin θ3 − d˙ = 0 (5.28)
parte imaginaria:
aω2 cos θ2 − bω3 cos θ3 = 0 (5.29)
Éstas son dos ecuaciones simultaneás con dos incógnitas, d con punto y ω3.
La ecuación 5.29 puede resolverse para ω3 y sustituirse en la ecuación 5.28 para
encontrar d con punto:
ω3 =
a cos θ2
b cos θ3
ω2 (5.30)
d˙ = −aω2 sin θ2 + bω3 sin θ3 (5.31)
La velocidad absoluta del punto A y la diferencia de velocidad del punto A
contra el punto B se determinan a partir de la ecuación 5.22
vA = aω2 (− sin θ2 + j cos θ2) (5.32)
vA/B = bω3 (− sin θ3 + j cos θ3) (5.33)
vB/A = −vA/B (5.34)
5.3 Eslabonamiento de cuatro barras de manivela-
corredera invertido
Las ecuaciones de posición para este eslabonamiento de cuatro barras de manivela-
corredera invertido se dedujeron en la sección anterior. Este eslabonamiento se
muestra nuevamente en la figura 5.3, en la cual se indica también una velocidad
angular de entrada ω2 aplicada al eslabón 2. Esta ω2 puede variar con el tiempo.
Las ecuaciones de lazo vectorial mostradas anteriormente son también validas
para este eslabonamiento.
Todos los eslabonamientos de corredera tendrán al menos un eslabón cuya
longitud efectiva entre juntas varía conforme se mueve el eslabonamiento. En
esta inversión la longitud del eslabón 3 entre los puntos A y B, designada como
65
b, cambiará cuando pase por la corredera en el eslabón 4. Para obtener una
expresión de la velocidad se diferencia la ecuación de lazo con respecto al tiempo,
observándose que a, c, d y θ1 son constantes y b varía con el tiempo.
jaω2ejθ2 − jb˙ω3ejθ3 − b˙ejθ3 − jcω4ejθ4 = 0 (5.35)
El valor de dbdt será una de las variables por resolverse en este caso, y es el
término b con punto en la ecuación. Otra variable será ω4, la velocidad angular
del eslabón 4. Observe, sin embargo, que también se tiene una incógnita en
ω3, la velocidad angular de eslabón 3. Esto da un total de tres incógnitas. La
ecuación 5.35 sólo puede resolverse para dos incógnitas. Por lo tanto, se requiere
de otra ecuación para resolver el sistema.
Hay una relación fija entre los ángulos θ3 y θ4, indicada como γ en la figura
5.3 y definida en la ecuación que se repite aquí:
θ3 = θ4 ± γ (5.36)
Se diferencia con respecto al tiempo para obtener:
ω3 = ω4 (5.37)
Se desea resolver la ecuación 5.35 para obtener expresiones en esta forma:
ω3 = ω4 = f (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
(5.38)
db
dt
= b˙ = g (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2)
La sustitución de la identidad de Euler en la ecuación 5.35 da:
jaω2 (cos θ2 + j sin θ2)− jbω3 (cos θ3 + j sin θ3)
−b˙ (cos θ3 + j sin θ3)− jcω4 (cos θ4 + j sin θ4) (5.39)
= 0
Se multiplica por el operador j y se sustituye ω4 por ω3 a partir de la ecuación
5.37
aω2 (− sin θ2 + j cos θ2)− bω4 (− sin θ3 + j cos θ3) (5.40)
−b˙ (cos θ3 + j sin θ3)− cω4 (− sin θ4 + j cos θ4) (5.41)
= 0 (5.42)
Se puede ahora separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes al
agrupar por un lado los términos reales y por otro lado los imaginarios:
parte real:
−aω2 sin θ2 + bω4 sin θ3 − b˙ cos θ3 + cω4 sin θ4 = 0 (5.43)
66
parte imaginaria:
aω2 cos θ2 − bω4 cos θ3 − b˙ sin θ3 − cω4 cos θ4 = 0 (5.44)
Se agrupan los términos y se reordenan las ecuaciones 5.43 y 5.44 para aislar
una incógnita en el lado izquierdo.
b˙ cos θ3 = −aω2 sin θ2 + ω4 (b sin θ3 + c sin θ4) (5.45)
b˙ sin θ3 = aω2 cos θ2 − ω4 (b cos θ3 + c cos θ4) (5.46)
Cualquier ecuación puede resolverse para el b con punto y el resultado susti-
tuirse en la otra. Resolviendo la ecuación 5.45:
b˙ =
−aω2 sin θ2 + ω4 (b sin θ3 + c sin θ4)
cos θ3
(5.47)
Se sustituye en la ecuación 5.46 y se simplifica:
ω4 =
aω2 cos (θ2 − θ3)
b+ c cos (θ4 − θ3)
(5.48)
La ecuación 5.47 proporciona la velocidad de deslizamiento en el punto B.
La ecuación 5.48 da la velocidad angular del eslabón 4. Observe quese puede
sustituir a −γ = θ4−θ3 en la ecuación 5.48 para simplificarla aún más. Observe
que cos (−γ) = cos (γ).
ω4 = −
aω2 cos (θ2 − θ3)
b+ c cos γ
(5.49)
La velocidad de deslizamiento de la ecuación 5.47 siempre se dirige a lo largo
del eje de deslizamiento como se muestra en la figura 5.3. También hay una
componente ortogonal al eje de deslizamiento llamada velocidad de transmisión.
Esta se encuentra a lo largo del eje de transmisión, es decir la única línea a lo
largo de la cual se transmite cualquier trabajo útil mediante la junta deslizante.
Toda la energía asociada con el movimiento a lo largo del eje de deslizamiento
se convierte en calor y se pierde.
La velocidad lineal absoluta del punto A se determina a partir de la ecuación
5.32.
Puede determinarse la velocidad absoluta del punto B en el eslabón 4, puesto
que ahora se conoce ω4. De la ecuación 5.7
vB4 = jcω4e
jθ4 = cω4 (− sin θ4 + j cos θ4) (5.50)
5.4 Velocidad de un punto cualquiera en un es-
labonamiento.
Una vez que se han determinado las velocidades angulares de todos los eslabones
resulta fácil definir y calcular la velocidad de un punto en un eslabón cualquiera
67
para una posición de entrada del eslabonamiento. En la figura 5.4 se muestra
el eslabonamiento de cuatro barras con su acoplador, el eslabón 3, aumentado
para que contenga un punto de acoplador P . La manivela y el balancín han
aumentado también para mostrar los puntos S y U, que podrían representar
los centros de gravedad de esos eslabones. Se desea desarrollar expresiones
algebraicas para las velocidades de estos puntos de los eslabones.
Para encontrar la velocidad del punto S, trace el vector de posición desde el
pivote fijo O2 hasta el punto S. Este vector, RSO2 , forma un ángulo δ2 con el
vector RAO2 . El ángulo δ2 se define completamente por la geometría del eslabón
2 y es constante. El vector de posición para el punto S es entonces:
RSO2 = RS = se
j(θ2+δ2) = s [cos (θ2 + δ2) + j sin (θ2 + δ2)] (5.51)
Se diferencia este vector de posición respecto al tiempo para encontrar la
velocidad de ese punto.
vS = jsej(θ2+δ2)ω2 = sω2 [− sin (θ2 + δ2) + j cos (θ2 + δ2)] (5.52)
La posición del punto U en el eslabón 4 se determina del mismo modo,
utilizando el ángulo δ4 que constituye un corrimiento angular constante dentro
del eslabón. La expresión es:
RUO4 = ue
j(θ4+δ4) = u [cos (θ4 + δ4) + j sin (θ4 + δ4)] (5.53)
La derivada de este vector de posición produce la velocidad de ese punto.
vU = juej(θ4+δ4)ω4 = uω4 [− sin (θ4 + δ4) + j cos (θ4 + δ4)] (5.54)
La velocidad del punto P en el eslabón 3 puede determinarse a partir de la
suma de dos vectores de velocidad, tales como vA y vP/A. vA ya está definido
a partir del análisis de las velocidades del eslabón. vP/A es la diferencia de
velocidad del punto P con respecto al punto A. El punto A se elige como el
punto de referencia, debido a que el ángulo θ3 se define en un sistema coordenado
local cuyo origen se encuentra en A. El vector de posición RP/A se define en
la misma forma que RS o RU por medio del ángulo de corrimiento de eslabón
interno δ3 y el ángulo del eslabón 3, θ3.
RP/A = pej(θ3+δ3) = p [cos (θ3 + δ3) + j sin (θ3 + δ3)] (5.55)
RP = RA +RP/A (5.56)
Se diferencia ahora este vector de posición con respecto al tiempo para de-
terminar la velocidad de dicho punto.
vP = vA + vP/A (5.57)
Comparece está última ecuación con las anteriores. Esto es, de nuevo, la
ecuación de diferencia de velocidad.
68
Chapter 6
Soluciones Analíticas para
el Análisis de Aceleración.
6.1 El eslabonamiento de 4 barras con juntas de
pasador.
Las ecuaciones de posición para el eslabonamiento de cuatro barras con juntas
de pasador se obtuvieron en las secciones pasadas. El eslabonamiento se mues-
tra de nuevo en la figura 6.1, en la que tambien se indica una aceleración angular
de entrada α2 aplicada al eslabón 2.
Figura 6.1
Esta aceleración angular de entrada α2 puede variar con el tiempo. La ecuación
69
de lazo vectorial se mostró, en las secciones pasadas y se repite aquí por conve-
nencia:
R2 +R3 −R4 −R1 = 0 (6.1)
Como antes, se sustituye la notación de número complejo para los vectores,
y se designan sus longitudes escalares como a, b, c, d, según se muestra en la
figura 6.1:
aejθ2 + bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (6.2)
En la sección pasada se derivo la ecuación 6.2 con respecto del tiempo para
obtener una expresión de la velocidad, la cúal se repite enseguida:
jaω2ejθ2 + jbω3ejθ3 − jcω4ejθ4 = 0 (6.3)
Ahora se derivará la ecuación 6.3 con respecto al tiempo a fin de obtener
una expresión para las aceleraciones en el eslabonamiento. Cada término en la
ecuación 6.3 contiene dos funciones del tiempo, θ y ω. Al derivar con la regla
de la cadena en este ejemplo, resultarán dos términos en la expresión de la
aceleración para cada término en la ecuación de velocidad:¡
j2aω22e
jθ2 + jaα2ejθ2
¢
+
¡
j2bω23e
jθ3 + jbα3ejθ3
¢
−
¡
j2cω24e
jθ4 + jcα4ejθ4
¢
= 0
(6.4)
Simpificando y agrupando términos queda:¡
aα2jejθ2 − aω22ejθ2
¢
+
¡
α3jejθ3 − bω23ejθ3
¢
−
¡
cα4jejθ4 − cω24ejθ4
¢
= 0 (6.5)
Compare los términos agrupados en la paréntesis con las ecuaciones 6.4 y
6.5 ambos contienen las componentes tangencial y normal de las aceleraciones
de los puntos A y B, así como de la diferencia de aceleración de B a A. La
ecuación 6.5 es de hecho, la ecuación de diferencia de aceleración, la cual,
con la nomenclatura empleada aquí, es:
AA +AB/A −AB = 0 (6.6)
donde:
AA =
¡
AtA +A
n
A
¢
=
¡
aα2jejθ2 − aω22ejθ2
¢
AB/A =
³
AtB/A +A
n
B/A
´
=
¡
bα3jejθ3 − bω23ejθ3
¢
(6.7)
AB =
¡
AtB +A
n
B
¢
=
¡
cα4jejθ4 − cω24ejθ4
¢
En la figura 6.1 se muestra como actúan las componentes vectoriales en sus
respectivos puntos.
Ahora se necesita resolver la ecuación 6.5 para α3 y α4, conociendo la acel-
eración angular de entrada α2, las longitudes de los eslabones, todos los ángulos
de eslabón y las velocidades angulares. Por consiguiente, se debe comenzar por
el análisis de posición deducido anteriormente en la sección 4, y el análisis de
70
velocidad de la sección 5 para determinar los ángulos de eslabón y las veloci-
dades angulares antes de terminar este análisis de aceleración. Se desea resolver
la ecuación 6.6 para obtener expresiones de la siguiente forma:
α3 = f (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2, ω3, ω4, α2) (6.8)
α4 = g (a, b, c, d, θ2, θ3, θ4, ω2, ω3, ω4, α2) (6.9)
La estrategia de solución será la misma que se aplico en los análisis de posi-
ción y de velocidad. Se introduce primero la identidad de Euler en cada término
de la ecuación 6.5: £
aα2j (cos θ2 + j sin θ2)− aω22 (cos θ2 + j sin θ2)
¤
+
£
bα3j (cos θ3 + j sin θ3)− bω23 (cos θ3 + j sin θ3)
¤
−
£
cα4j (cos θ4 + j sin θ4)− cω24 (cos θ4 + j sin θ4)
¤
= 0 (6.10)
Se multiplica por el operador j y se reordena:£
aα2 (− sin θ2 + j cos θ2)− aω22 (cos θ2 + j sin θ2)
¤
+
£
bα3 (− sin θ3 + j cos θ3)− bω23 (cos θ3 + j sin θ3)
¤
−
£
cα4 (− sin θ4 + j cos θ4)− cω24 (cos θ4 + j sin θ4)
¤
= 0 (6.11)
Ahora se puede separar esta ecuación vectorial en sus dos componentes,
mediante la reunión por separado de todos los términos reales y todos los imag-
inarios.
parte real:
−aα2 sin θ2 − aω22 cos θ2 − bα3 sin θ3 − bω23 cos θ3 + cα4 sin θ4 + cω24 cos θ4 = 0
(6.12)
parte imaginaria:
aα2 cos θ2−aω22 sin θ2+bα3 cos θ3−bω23 sin θ3−cα4 cos θ4+cω24 sin θ4 = 0 (6.13)
Observe que las j se han cancelado en la ecuación 6.13. Las ecuaciones 6.12
y 6.13 se resuleven simultáneamente y se obtiene
α3 =
CD −AF
AE −BD (6.14)
α4 =
CE −BF
AE −BD (6.15)
71
donde:
A = c sin θ4
B = b sin θ3
C = aα2 sin θ2 + aω22 cos θ2 + bω
2
3 cos θ3 − cω24 cos θ4
D = c cos θ4
E = b cos θ3
F = aα2 cos θ2 − aω22 sin θ2 − bω23 sin θ3 + cω24 sin θ4 (6.16)
Una vez que se tienen soluciones paraα3 y α4 se obtienen las aceleraciones
lineales introduciendo la identidad deEuler en las ecuaciones 6.6 y 6.7,
AA = aα2 (− sin θ2 + j cos θ2)− aω22 (cos θ2 + j sin θ2) (6.17)
AB/A = bα3 (− sin θ3 + j cos θ3)− bω23 (cos θ3 + j sin θ3) (6.18)
AB = cα4 (− sin θ4 + j cos θ4)− cω24 (cos θ4 + j sin θ4) (6.19)
donde los términos reales e imaginarios son las componentes x y y, respecti-
vamente. Las ecuaciones de la 6.14 a la 6.19 proporcionan una solución completa
para las aceleraciones angulares de los eslabones, y las aceleraciones lineales de
las juntas en el eslabonamiento de cuatro barras con juntas de pasador.
6.2 Eslabonamiento de 4 barras de manivela-
corredera.
La primera inversión de la manivela corredera con corrimiento tiene la pieza
corrediza en deslizamiento sobre el plano de fijación, como se muestra en la
figura 6.2. Sus aceleraciones se evalúan en forma similar a como se hizo en el
eslabonamiento de cuatro barras articulado.
72
Figura 6.2
Las ecuaciones de posición para la cadena de 4 barras de manivela-corredera
con corrimiento se dedujeron en la sección 4. El eslabonamiento se muestra de
nuevo en la figura 6.2 en la cual también se muestra una aceleración angular
de entrada α2 aplicada al eslabón 2. Esta α2 puede ser una aceleración de
entrada variable en el tiempo. La ecuación de lazo vectorial se repite aquí por
conveniencia:
R2 −R3 −R4 −R1 = 0 (6.20)
aejθ2 − bejθ3 − cejθ4 − dejθ1 = 0 (6.21)
En la sección 5 se diferenció la ecuación 6.21 con respecto del tiempo. Ob-
serve que a, b, c, θ1 y θ4 son constantes, pero la longitud del eslabón, d, varía
con el tiempo en esta inversión.
jaω2ejθ2 − jbω3ejθ3 − d˙ = 0 (6.22)
El término d con punto es la velocidad lineal de la corredera. La ecuación
6.22 es la ecuación de diferencia de velocidad.
Ahora de derivará la ecuación 6.22 con respecto al tiempo para obtener
una expresión de la aceleración en esta inversión del mecanismo de manivela-
corredera:¡
jaα2ejθ2 + j2aω22ejθ2
¢
−
¡
jbα3ejθ3 + j2bω23e
jθ3
¢
− d¨ = 0 (6.23)
Simplificando:¡
aα2jejθ2 − aω22ejθ2
¢
−
¡
bα3jejθ3 − bω23ejθ3
¢
− d¨ = 0 (6.24)
73
Observe que la ecuación es nuevamente la ecuación de diferencia de acel-
eración:
AA −AA/B −AB = 0
AB/A = −AA/B (6.25)
AB = AA +AB/A
AA =
¡
AtA +A
n
A
¢
=
¡
aα2jejθ2 − aω22ejθ2
¢
AB/A =
³
AtB/A +A
n
B/A
´
=
¡
bα3jejθ3 − bω23ejθ3
¢
(6.26)
AB = AtB = d¨
Observe que en este mecanismo el eslabón 4 está en traslación pura, por
tanto, tiene ω4 y α4 a cero. La aceleración del eslabón 4 tiene sólo una compo-
nente "tangencial" de aceleración a lo largo de su trayectoria.
Las dos incógnitas en la ecuación vecotorial 6.24 son la aceleración angular
del eslabón 3, o sea α3, y la aceleración lineal del eslabón 4, d con dos puntos.
Para encontrarlas se sustituye la identidad de Euler,
aα2 (− sin θ2 + j cos θ2)− aω22 (cos θ2 + j sin θ2)
−bα3 (− sin θ3 + j cos θ3) + bω23 (cos θ3 + j sin θ3)− d¨ (6.27)
= 0
y se separan las componentes real e imaginaria:
parte real:
−aα2 sin θ2 − aω22 cos θ2 + bα3 sin θ3 + bω23 cos θ3 − d¨ = 0 (6.28)
parte imaginaria:
aα2 cos θ2 − aω22 sin θ2 − bα3 cos θ3 + bω23 sin θ3 = 0 (6.29)
La ecuación 6.29 se resuelve directamente para α3 y el resultado se sustituye
en la ecuación 6.28 para encontrar d¨.
α3 =
aα2 cos θ2 − aω22 sin θ2 + bω23 sin θ3
b cos θ3
(6.30)
d¨ = −aα2 sin θ2 − aω22 cos θ2 + bα3 sin θ3 + bω23 cos θ3 (6.31)
Las otras aceleraciones lineales se determinan a partir de la ecuación y se
muestran en el diagrama vectorial de la figura 6.2.
74
Chapter 7
Análisis de velocidad y
aceleración (metodo
grafico).
7.1 Introducción y Motivación.
Desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, la ausencia de her-
ramientas de cómputo obligó al desarrollo de métodos gráficos de análisis cin-
emático de mecanismos. Dentro de esta categoria se encuentran los siguientes
métodos
1. Polígonos de velocidad y aceleración.
2. Centros instantaneos de velocidad.
Aún cuando estos métodos son, ahora, mas tediosos y menos exactos que
aquellos métodos basados en el empleo de computadores digitales, es importante
conocer estos métodos, en particular el método de los centros instantaneos de
velocidad, pues proporciona una visión, al mismo tiempo, práctica y altamente
reveladora que tiene aplicación en la cinemática espacial y la cinemática de
engranages. Por otro lado, el método de los polígonos de velocidad y aceleración
permite mostrar las tres fases de un análisis cinemático completo que incluye el
análisis de posición, velocidad y aceleración de un mecanismo plano.
En el resto de estas notas muestran como resolver el análisis de posición,
velocidad y aceleración de mecanismos planos. El método de los poligonos
de los velocidad y aceleración requiere la solución consecutiva del análisis de
posición, del análisis de velocidad y del análisis de aceleración.
75
7.2 Análisis de Posición de Mecanismos Planos.
En esta sección se muestra como resolver el análisis de posición del mecanismo
plano. Posteriormente, se mostrará que el análisis de posición del mecanismo
plano involucra la solución de un sistema de ecuaciones no lineales, un prob-
lema complicado, pero que resuelto graficamente es casi trivial. Considere el
mecanismo plano mostrado de seis barras en la figura 1. La figura muestra las
longitudes de los eslabones y la escala a la cual se dibuja el mecanismo.
1. El primer paso consiste en localizar el punto O2 y trazar las dos líneas
perpendiculares que, partiendo de O2, permiten localizar el punto O6 y la
línea sobre la cual está localizado el punto C.
2. El segundo paso consiste en localizar el punto A trazando una línea que
pasa por O2 y con un ángulo de 45o con respecto al eje X, vea la figura 2.
76
3. El tercer paso consiste en determinar el punto C, localizando la inter-
sección de la linea horizontal que pasa por el punto O2 y un círculo con
centro en el punto A y radio igual a la longitud AC. Es evidente que
la solución indicada en la parte derecha de la figura 3 no es de interés en
este problema. Además, es posible determinar la localización del punto B.
4. El paso final del análisis de posición del mecanismo consiste en la deter-
minación del punto D, localizado en la intersección de dos círculos. El
77
primero de ellos con centro en el punto B y radio igual a BD y el segundo
con centro en el punto O6 y radio O6D. Es evidente que la solución indi-
cada con línea punteada, en la figura 4, no es la deseada.
El resultado de este análisis de posición es el dibujo del mecanismo mostrado
en la figura 1. Este dibujo es el punto de partida para realizar el análisis de
velocidad del mecanismo.
7.3 Análisis de Velocidad deMecanismos Planos.
En esta sección se muestra como, después de finalizar el análisis de posición de
un mecanismo plano, es posible resolver el análisis de velocidad del mecanismo.
A continuación se presentan los pasos necesarios para realizar el análisis de
velocidad del mecanismo.
1. El primer paso del análisis de velocidad consiste en seleccionar un punto
que servirá como origen del poligono de velocidad, así como la escala con
la que se dibujarán los vectores asociados al polígono de velocidad, por
ejemplo 1u.l. = 1mm/seg.. Como regla general, se recomienda dibujar
el polígono y los cálculos correspondientes al análisis de velocidad en una
nueva capa —“layer”— y con otro color. Por ejemplo, en el problema a
resolver se seleccionó una escala de 100mm = 1pulg./seg., vea la figura 5.
78
2. El segundo paso consiste en dibujar el vector que representa la velocidad
del punto A,
→
vA. Debe notarse que en el punto A existen en realidad dos
puntos A coincidentes, uno que forma parte del eslabón 2, A2, y el otro
que forma parte del eslabón 3, A3. Puesto que el punto A está localizado
en el eje de rotacióndel par de revoluta, ambos puntos tienen la misma
velocidad, es decir
→
vA2 =
→
vA3 (7.1)
Esta velocidad está calculada, como si el punto A forma parte del eslabón
2, por
→
vA =
→
ω2 ×→r A/O2 (7.2)
la magnitud de esta velocidad está dada por
| →vA |=| →ω2 || →r A/O2 | Sen 90o = 2
pu lg .
seg.
(7.3)
Puesto que la escala del polígono de velocidad es de 100mm = 1pulg./seg.,
el vector que representa
→
vA es de 200 mm. Además, la dirección de
→
vA es
perpendicular a ambos ω2, por lo tanto en el plano del dibujo, y a
→
r A/O2
. Debe notarse que para facilitar la medición de los vectores la punta de
flecha no está, como es usual, dibujada en el extremo del vector, el ex-
tremo del vector se denomina el punto A, vea la figura 6.
79
3. El segundo paso consiste en determinar la velocidad del punto C, como se
indicó en el primer paso, existen dos puntos C coincidentes. C3 que forma
parte del eslabón 3 y C4 que forma parte del eslabón 4. Como ambos
puntos yacen en el eje de rotación del par de revoluta tienen la misma
velocidad. Por lo tanto
→
vC3 =
→
vC4 (7.4)
Además, la velocidad del punto C3, está dada por
→
v C3 =
→
vA3 +
→
ω3 ×→r C/A = →vA2 +
→
ω3 ×→r C/A = →vA2 +
→
vC/A (7.5)
Por lo tanto, se tiene la ecuación vectorial
→
vA2 +
→
ω3 ×→r C/A = →v C4 (7.6)
Esta ecuación vectorial genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto debe
existir, como máximo, dos incógnitas escalares. Estas incógnitas son, la
magnitud de la velocidad angular ω3 y la magnitud de la velocidad
→
v C4 .
De manera gráfica, la ecuación (2) se resuelve dibujando, a partir del
punto A, una línea en la dirección de la velocidad
→
v C/A =
→
ω3 ×→r C/A y
a partir del punto O, una línea en la dirección de la velocidad
→
v C4 . La
intersección de ambas líneas determina el punto C, vea la figura 7.
80
4. El tercer paso consiste en determinar la velocidad del punto B3, a partir
de la ecuación (1) puede escribirse
→
vB3 =
→
vA3 +
→
ω3 ×→r B/A = →vA2 +
→
ω3 ×→r B/A (7.7)
Sin embargo, los puntos A, B y C son colineales. De manera que tomando
en cuenta las distancias entre los puntos, se tiene que
→
r B/A =
1
2
→
r C/A (7.8)
De aqui que
→
vB3 =
→
vA2 +
→
ω3 ×→r B/A = →vA2 +
1
2
→
ω3 ×→r C/A = 1
2
→
v C/A +
→
vA2 (7.9)
Esta ecuación puede resolverse graficamente dibujando un círculo con cen-
tro en el punto A, del polígono de velocidad, con radio igual a la mitad del
vector
→
v C/A que va del punto A al punto C. La intersección del círculo
con el vector
→
vC/A determina el punto B, el vector que va del punto O al
punto B determina la velocidad de ambos puntos B3 y B5, denominada→
vB, vea la figura 8.
81
5. El cuarto paso del análisis de velocidad consiste en determinar la velocidad
del punto D, nuevamente se tiene que
→
vD5 =
→
vD6 (7.10)
Esta ecuación puede escribirse como
→
vD5 =
→
vB5 +
→
vD/B =
→
vB5 +
→
ω5 ×→rD/B = →ω6 ×→rD/O6 =
→
vD6 (7.11)
De nueva cuenta, si la ecuación (5) puede resolverse debe tener como máx-
imo dos incógnitas escalares. En este caso, esas incógnitas son las magni-
tudes de las velocidades angulares
→
ω5 y
→
ω6. Graficamente esta ecuación se
resuelve dibujando a partir del punto B una línea perpendicular al vector
→
rD/B y dibujando a partir del punto O una línea perpendicular al vector
→
rD/O6 . La intersección de estas dos líneas determina el punto D, vea la
figura 5.
6. El paso final del análisis de velocidad consiste en determinar las magni-
tudes de los vectores del poligono de velocidad y a partir de ellos determi-
nar la magnitud y dirección de las velocidades angulares. En ocasiones,
es necesario además determinar la velocidad de un punto, como cuando
un eslabón está sujeto a un movimiento de traslación en cuyo paso todos
los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y la velocidad angular es
nula.
82
(a) Considere la determinación de la velocidad angular
→
ω5. El primer
problema es el determinar cual de los vectores del polígono de veloci-
dad permite determinar
→
ω5, la solución es muy simple, el vector debe
conectar dos puntos que pertenezcan al eslabón 5, es decir los puntos
B y D. En este caso es el vector
→
vD/B, del dibujo Autocad, se tiene
que la magnitud del vector es de 152.9509mm., por lo que, a partir
de la escala del polígono de velocidad es de 100mm = 1pulg./seg., se
tiene que
→
vD/B = 1.529509pulg./seg. (7.12)
El sentido es el indicado por el polígono de velocidad, de izquierda a
derecha y de abajo hacia arriba. A partir de la ecuación (5), se tiene
que
→
vD/B =
→
ω5×→rD/B |→vD/B | = |→ω5||→rD/B|Sen90o = |→ω5||→rD/B|
(7.13)
Por lo tanto,
|→ω5| =
|→vD/B|
|→rD/B|
=
1.529509pulg./seg.
4pulg.
= 0.38237725rad./seg.
(7.14)
El sentido se determina empleando la regla de la mano derecha, en
este caso es en sentido horario —cw clockwise—.
(b) Considere la determinación de la velocidad del punto C. Debe recor-
darse que
→
v C3 =
→
vC4 . Mida el vector que va del punto O al punto
C, del dibujo Autocad, se tiene que la magnitud del vector es de
116.0213mm., por lo que, a partir de la escala del polígono de veloci-
dad es de 100mm = 1pulg./seg., se tiene que
→
v C =
→
vC3 =
→
vC4 = 1.160213pulg./seg. (7.15)
El sentido de la velocidad es el indicado en el polígono de velocidad.
El resto de los resultados, que se emplearán como datos para el análisis
de aceleración, se determina de manera semejante.
7.4 Análisis de Aceleración deMecanismos Planos.
En esta sección se muestra como, después de finalizar el análisis de posición y de
velocidad de un mecanismo plano, es posible resolver el análisis de aceleración
del mecanismo. A continuación se presentan los pasos necesarios para realizar
el análisis de aceleración del mecanismo.
83
1. El primer paso del análisis de aceleración consiste en seleccionar un punto
que servirá como origen del poligono de velocidad, así como la escala con
la que se dibujarán los vectores asociados al polígono de velocidad, por
ejemplo 1u.l. = 1mm/seg2.. Como regla general, se recomienda dibujar
el polígono y los cálculos correspondientes al análisis de aceleración en
una nueva capa —“layer”— y con otro color. Por ejemplo, en el problema a
resolver se seleccionó una escala de 100mm = 1pulg./seg2., vea la figura 9.
En este caso se supondrá que la velocidad angular del eslabón 2 es con-
stante, por lo tanto α2 = 0rad./seg2.
2. El segundo paso del análisis de aceleración consiste en calcular todas las
aceleraciones normales y la aceleración tangencial del punto A. Para tal
fín, se tiene que, empleando el concepto de placa representativa, las acel-
eraciones normales están dadas por
→
anA =
→
ω2 ×→ω2 ×→r A/O2 = −|
→
ω2|2→r A/O2 (7.16)
→
anC/A =
→
ω3 ×→ω3 ×→r C/A = −|→ω3|2→r C/A (7.17)
→
anD/B =
→
ω5 ×→ω5 ×→rD/B = −|→ω5|2→rD/B (7.18)
→
anD =
→
ω6 ×→ω6 ×→rD/O6 = −|
→
ω6|2→rD/O6 (7.19)
Las magnitudes de estas aceleraciones normales están indicadas en la
figura 9. Por otro lado, la aceleración tangencial del punto A está dada
por
84
→
a tA =
→
α2 ×→r A/O2 = 0 pulg./seg.2 (7.20)
3. El tercer paso del análisis de aceleración consiste en determinar la acel-
eración del punto C, vea la figura 10.
De nueva cuenta debe notarse que existen dos puntos C coincidentes. C3
que forma parte del eslabón 3 y C4 que forma parte del eslabón 4. Como
ambos puntos yacen en el eje de rotación del par de revoluta tienen la
misma aceleración. Por lo tanto
→
aC3 =
→
aC4 (7.21)
Además, la aceleración del punto C3, está dada por
→
aC3 =
→
aA3+
→
anC/A+
→
a tC/A =
→
aA3+
→
ω3×→ω3×→r C/A+→α3×→r C/A (7.22)
=
→
aA2 +
→
ω3 ×→ω3 ×→r C/A +→α3 ×→r C/A (7.23)
Por lo tanto,se tiene la ecuación vectorial
→
aA2 +
→
anC/A +
→
α3 ×→r C/A = →aC4 (7.24)
Esta ecuación vectorial genera dos ecuaciones escalares y por lo tanto debe
existir, como máximo, dos incógnitas escalares. Estas incógnitas son, la
magnitud de la angular angular
→
α3 y la magnitud de la aceleración a C4
. De manera gráfica, la ecuación (7) se resuelve dibujando, a partir del
punto A, un vector que represente, a la escala seleccionada, la aceleración
85
normal anC/A y, a continuación, una línea en la dirección de la aceleración
tangencial
→
a tC/A =
→
α3 × →r C/A y a partir del punto O, una línea en la
dirección de la aceleración aC4 . La intersección de ambas líneas determina
el punto C, vea la figura 10.
4. El cuarto paso del análisis de aceleración consiste en determinar la acel-
eración del punto B, vea la figura 11.
a partir de la ecuación (6) puede escribirse
→
aB3 =
→
aA3+
→
ω3×( →ω3×→r B/A)+→α3×→r B/A = →vA2+
→
ω3×→r B/A (7.25)
Sin embargo, los puntos A, B y C son colineales. De manera que tomando
en cuenta las distancias entre los puntos, se tiene que
2
→
r B/A =
1
2
→
r C/A (7.26)
De aquí que
→
aB3 =
→
aA2 +
→
ω3 × ( →ω3 ×→r B/A) +→α3 ×→r B/A (7.27)
=
→
aA2 +
1
2
→
ω3 × (→ω3 ×→r C/A) + 1
2
→
α3 ×→r C/A (7.28)
=
→
aA2 +
1
2
→
anC/A +
1
2
→
a tC/A =
→
aA2 +
1
2
→
aC/A (7.29)
Esta ecuación puede resolverse graficamente dibujando un vector que conecte
el punto A con el punto C, este vector representa la aceleración total del
punto C respecto del punto A
86
→
aC/A =
→
anC/A +
→
a tC/A (7.30)
A continuación se dibuja un círculo con centro en el punto A, del polígono
de aceleración, con radio igual a la mitad del vector
→
aC/A. La intersección
del círculo con el vector
→
aC/A determina el punto B. Si se dibujara el vec-
tor que va del punto O al punto B, este vector determinaría la aceleración
de ambos puntos B3 y B5, denominada
→
aB.
5. El quinto paso del análisis de aceleración consiste en determinar la acel-
eración del punto D, nuevamente se tiene que
→
aD5 =
→
aD6 (7.31)
Esta ecuación puede escribirse como
→
aD5 =
→
aB5 +
→
anD/B +
→
a tD/B =
→
aB5 +
→
ω5 × (→ω5 ×→rD/B) +→α5 ×→rD/B
(7.32)
=
→
ω6 × (→ω6 ×→rD/O6) +→α6 ×→rD/O6 = →anD +→a tD = →aD6 (7.33)
De nueva cuenta, si la ecuación (10) puede resolverse debe tener como máx-
imo dos incógnitas escalares. En este caso, esas incógnitas son las magni-
tudes de las aceleraciones angulares α5 y α6. Graficamente esta ecuación
se resuelve dibujando a partir del puntoB un vector que represente, a la es-
cala seleccionada, la aceleración normal anD/B y, a continuación, una línea
en la dirección de la aceleración tangencial
→
a tD/B =
→
α5×→rD/B. Por otro
lado, es necesario dibujar, a partir del punto O un vector que represente,
a la escala seleccionada, la aceleración normal
→
anD y, a continuación, una
línea en la dirección de la aceleración tangencial
→
a tD =
→
α6 ×→rD/O6 . La
intersección de estas dos líneas determina el punto D, vea la figura 9.
87
Chapter 8
Centros Instantaneos de
Velocidad.
8.1 Introducción y Motivación.
Desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, la ausencia de her-
ramientas de cómputo obligó al desarrollo de métodos gráficos de análisis cin-
emático de mecanismos. Dentro de esta categoria se encuentran los siguientes
métodos
1. Polígonos de velocidad y aceleración.
2. Centros instantaneos de velocidad.
Aún cuando estos métodos son, ahora, mas tediosos y menos exactos que
aquellos métodos basados en el empleo de computadores digitales, es importante
conocer estos métodos, en particular el método de los centros instantaneos de
velocidad, pues proporciona una visión, al mismo tiempo, práctica y altamente
reveladora que tiene aplicación en la cinemática espacial y la cinemática de
engranages.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1.
Es bien claro que el eslabón 2 tiene un movimiento de rotación, respecto
del eslabón fijo, 1, alrededor del punto O2. De manera semejante, el eslabón
4 tiene un movimiento de rotación, respecto del eslabón fijo, 1, alrededor del
punto O4.1
Este conocimiento permite determinar de manera muy sencilla la dirección
de la velocidad absoluta; es decir respecto del eslabón fijo, como se muestra en
la figura 2. En verdad,
vM = ω2 × rM/O2 y vN = ω4 × rN/O4 (8.1)
1En sentido mas estricto, los eslabones 2 y 4 tienen un movimiento de rotación alrededor
de un eje fijo, cuya intersección, con el plano de movimiento, es respectivamente O2 y O4.
88
Por lo tanto, la velocidad del punto M es perpendicular al vector rM/O2 y
por lo tanto perpendicular a la linea O2M . Similarmente, la velocidad del punto
N es perpendicular al vector rN/O4 y por lo tanto perpendicular a la linea O4N .
Si se pudiera conocer, aún cuando unicamente sea de manera instantanea,
el punto alrededor del cual el eslabón 3 gira respecto al eslabón 1, entonces se
podría obtener, de manera muy sencilla la dirección de las velocidades de todos
los puntos del eslabón 3.
Si este punto se conociera, se denomina el centro instantaneo de velocidad
del eslabón 3 con respecto al eslabón 1. El resto de estas notas proporcionan una
definición formal de este punto, la teoría y técnica necesarias para su determi-
nación y su empleo en la determinación de la velocidades angulares o puntuales
de un mecanismo plano.
8.2 Definición del Centro Instantaneo de Veloci-
dad del Movimiento Relativo Entre Dos Es-
labones.
En este punto, es posible proponer un conjunto de tres definiciones equivalentes
de un centro instantaneo de velocidad entre dos cuerpos rígidos. Esta definición
requiere de la consideración de tres cuerpos rígidos, uno de los cuales actua
como referencia y que no requiere que este cuerpo de referencia este fijo o tenga
movimiento. Mas aún, esta definición no requiere que los tres cuerpos formen
parte de un mecanismo o aun que los cuerpos estén unidos entre si. Sin em-
bargo, la definición requiere que el mecanismo sea plano; es decir, que todos sus
eslabones se muevan en planos paralelos.
Definición 1. Centro instantaneo de Velocidad. Considere tres cuer-
pos rígidos denominados como i, j, k y considere el movimiento relativo de los
cuerpos rígidos i y j respecto del cuerpo rígido k, entonces es posible definir el
centro instantaneo de velocidad, o del movimiento relativo, entre los eslabones
i y j, denotado Oij = Oji de las siguientes tres posibles maneras.
1. El centro instantaneoOij es una pareja de puntos coincidentes, pertenecientes
uno al cuerpo i, Oi y otro al cuerpo j, Oj , tal que uno de los eslabones
gira respecto al otro, respecto a un eje perpendicular al plano de papel
que pasa por el punto Oij .
2. El centro instantaneoOij es una pareja de puntos coincidentes, pertenecientes
uno al cuerpo i y otro al cuerpo j, tal que no tienen velocidad relativa; es
decir:
kvOi/Oj = 0 (8.2)
3. El centro instantaneoOij es una pareja de puntos coincidentes, pertenecientes
uno al cuerpo i y otro al cuerpo j, tal que tienen la misma velocidad; es
decir:
kvOi = kvOj (8.3)
89
Notas. Debe notarse que las tres definiciones son simétricas, de manera que
está claro que Oij = Oji. Por otro lado, se preferirá escribir Oij donde i > j.
Además, es perfectamente posible que el centro instantaneo Oij este fuera de los
límites físicos de los cuerpos, de manera que se supondrá que los cuerpos rígidos
tienen dimensiones infinitas. Finalmente, es costumbre numerar los eslabones
de un mecanismo a partir del número 1 que, también es costumbre, se reserva
para el eslabón fijo.
Proposición 2. Las tres posibles definiciones de un centro instantaneo son
equivalentes.
Prueba: Suponga que Oi y Oj sondos puntos coincidentes en los cuerpos
rígidos i y j y que los movimientos de los cuerpos se observan desde el cuerpo
k.
1. 1 implica 2. Suponga que el eslabón i gira con respecto al eslabón j
alrededor del punto coincidente Oij , entonces
kvOi/Oj = kωOi/Oj × rOi/Oj =
£kωOi −k ωOj¤×0 = 0 (8.4)
2. 2 implica 3. Si
kvOi/Oj = 0 (8.5)
entonces
kvOi − kvOj = 0 (8.6)
Por lo tanto
kvOi = kvOj (8.7)
3. 3 implica 1. Si
kvOi = kvOj (8.8)
entonces, el único movimiento relativo entre los eslabones i y j es un
movimiento de rotación que instantaneamente tiene su eje de rotación
perpendicular al plano de movimiento y que pasa por el par de punto
coincidentes Oi y Oj .
8.3 Ejemplos de Determinación de Centros In-
stantaneos de Velocidad de un Mecanismo
Plano.
En esta sección, se mostrará como determinar la localización de un centro in-
stantaneo de velocidad cuando se conocen diferentes datos de la velocidad de
un cuerpo rígido. Posteriormente, se mostrará como a partir de la localización
de los centros instantaneos de velocidad de un mecanismo es posible determinar
la velocidad de cualquiera de los eslabones del mecanismo.
90
8.3.1 Determinación de la Localización del Centro Instan-
taneo de un Eslabón Cuando se Conoce su Velocidad
Angular y la Velocidad de un Punto.
Considere el eslabón mostrado en la figura 3, el cual se mueve respecto al sistema
de referencia representado por el plano. La velocidad angular del eslabón es de
ω = 10rad./seg.kˆ y la velocidad del punto A cuyo vector de posición respecto
al sistema coordenado mostrado en la figura es rA = 12ıˆ + 9jˆ, u.l. Además, su
velocidad está dada por vA = 15ıˆ− 6jˆ u.l./seg.
A fin de determinar la localización del movimiento relativo del eslabón re-
specto al plano, debe recordarse que el centro instantaneo es una pareja de
puntos, uno perteneciente al eslabón y el otro perteneciente al plano, que son
instantaneamente coincidentes y que tienen la misma velocidad. Puesto que
todos los puntos del plano están fijos, entonces el centro instantaneo O del
movimiento relativo del eslabón respecto del plano, debe tener velocidad igual
a 0.
Por lo tanto
0 = vO = vA + ω × rO/A (8.9)
De aquí que
0 = ω × 0 = ω × ¡vA + ω × rO/A¢ = ω × vA + ω × ¡ω × rO/A¢ (8.10)
De la identidad del triple producto vectorial y notando que ω y rO/A son
perpendiculares
ω × ¡ω × rO/A¢ = ¡ω · rO/A¢ ω − (ω · ω)rO/A = − |ω|2 rO/A (8.11)
De aquí que
rO/A =
ω × vA
|ω|2 (8.12)
Es importante señalar que esta ecuación indica que el vector de posición del
centro instantaneo O con respecto al punto A es perpendicular al vector de la
velocidad del punto A, vA. Numericamente
rO/A =
ω × vA
|ω|2 =
10kˆ × (15ıˆ− 6jˆ)
102
=
3
5
ıˆ+
3
2
jˆ (8.13)
Por lo tanto
rO = rA + rO/A = (12ıˆ+ 9jˆ) +
µ
3
5
ıˆ+
3
2
jˆ
¶
=
63
5
ıˆ+
21
2
jˆ (8.14)
8.3.2 Determinación de la Localización del Centro Instan-
taneo de un Eslabón Cuando se Conoce la Dirección
de la Velocidad de Dos Puntos.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 4. Los
vectores de posición de los puntos M ,A,B,N son
rM = (0, 0) rA = (0, 20) rB = (80, 20) rN = (50, 0). (8.15)
91
Suponga además que la velocidad angular del eslabón 2 es 10rad/seg. en
sentido antihorario. El análisis de velocidad del mecanismo plano de cuatro
barras, llevado a cabo mediante métodos analíticos, conduce al análisis de las
siguientes ecuaciones
vA = ω2 × rA/M = (−200, 0, 0) (8.16)
vB/A = ω3 × rB/A = (0, 80ω3, 0) (8.17)
vB = ω4 × rB/N = (−20ω4, 30ω4, 0) (8.18)
La ecuación a resolver es
vB = vA + vB/A o (−20ω4, 30ω4, 0) = (−200, 0, 0) + (0, 80ω3, 0)
(8.19)
La solución de este sistema de ecuaciones está dado por
ω3 =
15
4
rad./seg.c.c.w ω4 = 10 rad./seg.c.c.w (8.20)
Por lo tanto, la velocidad del punto B está dada por
vB = (−200, 0, 0) + (0, 80ω3, 0) = (−200, 300, 0) (8.21)
Considere ahora la determinación del centro instantaneo de velocidad del
eslabón 3 con respecto al eslabón fijo 1, entonces las velocidades que se deben
considerar son las absolutas y suponga que exclusivamente se conoce la dirección
de las velocidades de los puntos A y B. Esas direcciones se indican en la figura
5. De acuerdo con la ecuación (7) el centro instantaneo O está localizado en la
intersección de dos líneas. La primera pasa por el punto A y es perpendicular a
la dirección de la velocidad del punto A, vA, y la segunda pasa por el punto B y
es perpendicular a la dirección de la velocidad del punto B, vB. La construcción
se muestra en la figura 5.
8.3.3 Determinación de la Localización del Centro Instan-
taneo de un Eslabón Cuando el Movimiento Relativo
Entre los Eslabones es Translación.
Considere nuevamente el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la
Figura 4, en esta sección nos interesa el movimiento relativo del eslabón 4 con
respecto al eslabón 2. Entonces, se tiene que
ω4/2 = ω4 − ω2 = 10rad/seg.kˆ − 10rad/seg.kˆ = 0 (8.22)
La ecuación (12) indica que el movimiento relativo del eslabón 4, respecto
del eslabón 2 es, en ese instante, translación.
Considere ahora el punto A que pertenece al eslabón 2 y, ejerciendo un poco
la imaginación, suponga que el eslabón 4 se extiende, de manera que existe un
punto A que forma parte del eslabón 4 y que en ese instante coincide con el
punto A perteneciente al eslabón 2.
92
Entonces, las velocidades de los puntos A que pertenecen a los eslabones 2
y 4 son
vA2 = ω2 × rA/M = 10kˆ × 20jˆ = (−200, 0, 0) (8.23)
vA4 = ω4 × rA/N = 10kˆ × (−50ıˆ+ 20jˆ) = (−200,−500, 0) (8.24)
Por lo tanto, la velocidad relativa del punto A4 con respecto al punto A2, en
términos mas correctos debería decirse que es la velocidad del punto
A que pertenece al eslabón 4 respecto a un sistema de referencia
sujeto a translación y cuyo movimiento, de translación, es igual al
movimiento del punto A que pertenece al eslabón 2 está dada por
vA4/A2 = vA4 − vA2 = (−200, 0, 0)− (−200,−500, 0) = (0, 500, 0) (8.25)
Por lo tanto, el centro instantaneo de velocidad del eslabón 4, respecto del
eslabón 2, estará localizado en el infinito en la dirección perperdicular a la
velocidad vA4/A2 , como se muestra en la figura 6.
8.3.4 Clasificación de los Centros Instantaneos de Veloci-
dad de losMovimientos Relativos entre los Eslabones
de un Mecanismo Plano.
Los centros instantaneos de velocidad de los diferentes pares de eslabones de un
mecanismo plano pueden clasificarse en base a diferentes criterios.
1. Dependiendo si la localización del centro instantaneo pertenece fijo re-
specto al eslabón, o cuerpo rígido seleccionado como referencia, fijo o
base.
• Centros de velocidad permanentes. Si la localización del centro in-
stantaneo respecto a la pareja de eslabones permanece fija.
• Centros de velocidad instantaneos. Si la localización del centro in-
stantaneo, respecto a la pareja de eslabones, cambia durante el movimiento
del mecanismo.
2. Dependiendo si la localización del centro instantaneo puede realizarse me-
diante la simple definición de un centro instantaneo, primario, o requiere
la aplicación de métodos mas elaborados como el teorema de Aronhold
Kennedy, secundario.
3. Dependiendo si uno de los eslabones involucrados es el eslabón fijo, abso-
lutos, o no, relativos.
93
8.3.5 El Teorema de Aronhold Kennedy.
El teorema de Aronhold Kennedy, fue formulado independiente por Aronhold,
en Alemania, y Kennedy, en el Reino Unido, en la segunda parte del siglo XIX y
es la herramienta fundamental para la localización de los centros instantaneos,
secundarios, de velocidad para mecanismos planos. Es importante señalar que
la generalización espacial del teorema de Aronhold Kennedy unicamente tiene
unos 50 años de haberse conocido.
Proposición 3. Teorema de Aronhold Kennedy.Considere tres cuer-
pos rígidos i, j, k entonces los tres centros instantaneos asociados a los tres
movimientos relativos, Oik, Ojk y Oij entre estos tres cuerpos son colineales.
Es decir, los puntos Oik, Ojk y Oij yacen en una línea recta.
Prueba. Considere los tres cuerpos rígidos i, j, k mostrados en la figura 3,
donde se supondrá que los movimientos de los eslabones i y j se observan desde
el cuerpo k. Primeramente, por definición los centros instantaneos Oik y Ojk
satisfacen la condición
vkOik = 0 y v
k
Ojk =
0 (8.26)
Por lo tanto
vkOij = v
k
Oik + ω
k
i × rOij/Oik (8.27)
y
vkOij = v
k
Ojk + ω
k
j × rOij/Ojk (8.28)
Sustituyendo la ecuación (14) en la ecuación (15), se obtiene que el punto
Oij será el centro instantaneo asociado a los eslabones i y j, cuando se observa
desde el eslabón k, si y sólo si
vkOij = v
k
Oik ⇐⇒ ω
k
i × rOij/Oik = ωkj × rOij/Ojk (8.29)
Sin embargo, se tiene que
rOij/Ojk = rOij/Oik + rOik/Ojk (8.30)
Por lo tanto
ωki × rOij/Oik = ωkj ×
£
rOij/Oik + rOik/Ojk
¤
(8.31)
o h
ωki − ωkj
i
× rOij/Oik = ωkj × rOik/Ojk (8.32)
En esta ecuación hay que distinguir dos casos
1. Primer caso ωki − ωkj 6= 0. Puesto que las dos velocidades angulares
ωki ω
k
j son paralelas, la ecuación (17) es cierta si, y sólo si, rOij/Oik y
rOik/Ojk = −rOjk/Oik tienen la misma dirección, y por lo tanto los centros
instantaneos Oik, Ojk y Oij son colineales.
94
2. Segundo Caso ωki − ωkj = 0. En ese caso
ωki = ω
k
j (8.33)
y el movimiento relativo entre los eslabones i y j es, al menos instantanea-
mente, traslación pura, sin rotación alguna. Suponiendo que el plano de
movimiento es el plano X − Y , la dirección de las velocidades angulares
es la del eje Z. Por lo tanto, la ecuación (17) puede escribirse como
kˆ
h
ωki − ωkj
i
× rOij/Oik = kˆωkj × rOik/Ojk (8.34)
por lo tanto, los vectores rOij/Oik y rOik/Ojk son colineales y satisfacen la
ecuación
rOij/Oik =
ωkjh
ωki − ωkj
irOik/Ojk (8.35)
Además, a medida que ωki − ωkj −→ 0, el termino
ωkjh
ωki − ωkj
i (8.36)
se acerca al infinito, como corresponde a un movimiento de traslación
relativo.
8.3.6 Aplicación del Teorema de Aronhold Kennedy Para
la Localización de los Centros Instantaneos de Ve-
locidad Secundarios.
En esta sección, se mostrará como aplicar la teoría desarrollada en las sec-
ciones anteriores para la determinación de los centros instantaneos secundarios
de mecanismos planos.
Considere el mecanismo mostrado en la Figura 5. En la figura se muestran los
centros instantaneos primarios; es decir, aquellos que pueden determinarse por
la aplicación, correcta, de las tres posibles definiciones de un centro instantaneo
de velocidad, O21, O32, O43, O41, O53, O65 y O61.
A partir de la determinación de los centros instantaneos primarios, es posible
determinar los restantes centros instantaneos restantes conocidos como secun-
darios. Esta determinación se realiza aplicando sistematicamente el teorema de
Aronhold-Kennedy, de manera específica, el centro instantaneo de velocidad Oij
está localizado en la intersección de las líneas.
Oij Oik Ojk donde k ∈ {1, 2, 3, ..., n} y k 6= i, k 6= j (8.37)
donde n es el número de eslabones del mecanismo. El primer paso consiste
en determinar el número de centros instantaneos de velocidad de un mecanismo
95
plano. El argumento para esta determinación es el siguiente; puesto que Oij =
Oji, es evidente que el número de centros instantaneos, N , es el número de
combinaciones de los primeros n números naturales, el número de eslabones del
mecanismo, tomados de dos en dos. Es decir
N =
n!
2! (n− 2)! =
n(n− 1)
2
(8.38)
La siguiente tabla muestra una lista de las posibles combinaciones que per-
miten determinar los distintos centros instantaneos de un mecanismo plano de
seis barras.
.
Tabla I. Posibles Combinaciones Para la Determinación
de los Centros Instantaneos Secundarios
O21 O31 O41 O51 O61
O21 O31 O32 O31 O21 O32 O41 O21 O42 O51 O21 O52 O61 O21 O62
O21 O41 O42 O31 O41 O43 O41 O31 O43 O51 O31 O53 O61 O31 O63
O21 O51 O52 O31 O51 O53 O41 O51 O54 O51 O41 O54 O61 O41 O64
O21 O61 O62 O31 O61 O63 O41 O61 O64 O51 O61 O65 O61 O51 O65
O32 O42 O52 O62 O43
O32 O21 O31 O42 O21 O42 O52 O21 O52 O62 O21 O61 O43 O41 O43
O32 O42 O43 O42 O32 O43 O52 O52 O53 O62 O32 O63 O43 O32 O42
O32 O52 O53 O42 O52 O54 O52 O42 O54 O62 O42 O64 O43 O53 O54
O32 O63 O62 O42 O62 O64 O52 O62 O65 O62 O52 O65 O43 O63 O64
O53 O63 O54 O64 O65
O53 O31 O53 O63 O31 O61 O54 O41 O54 O64 O41 O61 O65 O51 O61
O53 O32 O52 O63 O32 O62 O54 O42 O52 O64 O42 O62 O65 O52 O62
O53 O43 O54 O63 O43 O64 O54 O43 O53 O64 O43 O63 O65 O53 O63
O53 O63 O65 O63 O53 O65 O54 O64 O65 O64 O54 O65 O65 O54 O64
8.3.7 Aplicación de los Centros Instantaneos de Veloci-
dad.
Finalmente, se mostrará como aplicar el conocimiento de la localización de los
centros instantaneos de velocidad de un mecanismo plano en la determinación
del análisis de velocidad del mecanismo. Existen varios métodos para realizar el
análisis de velocidad de un mecanismo mediante centros instantaneos de veloci-
dad, aquí unicamente se mostrará el método directo. Es costumbre seleccionar
al eslabón fijo como el eslabón 1 y al eslabón motriz como el eslabón 2. Suponga
que se desea conocer la velocidad angular del eslabón j.2
Entonces, es necesario localizar los tres centros instantaneos asociados a tres
eslabones: El eslabón fijo 1, el eslabón motriz 2 y el eslabón de interés j. Estos
2O bien, si el eslabón j tiene movimiento de traslación, la velocidad del eslabón j; es decir,
la velocidad de cualesquiera de los puntos que forman parte del eslabón j.
96
centros instantaneos son
O21 Oj1 Oj2 (8.39)
y de acuerdo con el teorema de Aronhold-Kennedy deben ser colineales; es
decir, deben estar localizados a lo largo de una línea recta.
La clave del problema reside en la misma definición del centro instantaneo
de velocidad relativo, Oj2. De la propia definición, se tiene que
1v2j2 =
1vjj2 (8.40)
La aplicación de este resultado fundamental depende de
1. El eslabón j está sujeto a movimiento plano general.
2. El eslabón j no está sujeto a movimiento plano general. Por lo que el
eslabón j está sujeto a
(a) El eslabón j está sujeto a un movimiento de rotación alrededor de un
eje fijo.
(b) El eslabón j está sujeto a un movimiento de traslación.
Case 1 Si el eslabón j está sujeto a movimiento plano general, se tiene
que la ecuación (20) puede escribirse como
ω2 × rOj2/O21 = 1v2j2 = 1vjj2 = 1vjj1 + ωj × rOj2/Oj1 (8.41)
Sin embargo, de la propia definición de un centro instantaneo de velocidad
absoluto, se tiene que
1vjj1 = 0 (8.42)
Por lo tanto, se tiene que
ω2 × rOj2/O21 = ωj × rOj2/Oj1 (8.43)
La solución de esta ecuación conduce a la determinación de la velocidad
angular ωj .
Case 2 Si el eslabón j está sujeto a rotación alrededor de un eje fijo, se
tiene que la ecuación (20) puede escribirse como
ω2 × rOj2/O21 = 1v2j2 = 1vjj2 = ωj × rOj2/Oj1 (8.44)
La solución de esta ecuación conduce a la determinación de la velocidad
angular ωj .
97
Case 3 Si el eslabón j está sujeto a traslación, el eslabón j no tiene ve-
locidad angular; es decir ωj = 0 y el problema se reduce a determinar la
velocidad absoluta de un punto del eslabón j, pues todos los puntos del
cuerpo j tienen la misma velocidad. Tomando como base el punto Oj2, se
tiene que la ecuación (20) puede escribirse como
1vjj2 =
1v2j2 = ωj × rOj2/O21 (8.45)
La solución de esta ecuación conduce a la determinación de la velocidad
del punto Oj2.
98
Chapter 9
Análisis Cinemático de
Mecanismos Planos
Mediante Computadora
Digital.
9.1 Análisis Cinemático de Mecanismos Planos
Mediante Computadora Digital.
En notas previas se mostró que paramecanismos planos de cuatro barras y
mecanismos de biela manivela corredera es posible obtener fórmulas para re-
solver sus análisis de posición, velocidad y aceleración.
Desafortunadamente para mecanismos mas complicados no es práctico, seguir
el mismo procedimiento. Entonces, es necesario encontrar un método general
para la solución del análisis cinemático de mecanismos planos.
A fín de encontrar las bases de este método es necesario recordar que las
ecuaciones, cuya solución constituye el an´alisis de posición de un mecanismo,
se generan descomponiendo las ecuaciones vectoriales que aseguran la clausura
de los lazos del mecanismo. Mas aún, por cada lazo independiente existen dos
ecuaciones escalares. Suponga que las ecuaciones escalares correspondientes al
análisis de posición del mecanismo están dadas por
fi(x1, x2, ..., xn, yn+1, yn+2, ..., yn+k) = 0 i = 1, 2, ..., n (9.1)
Las ecuaciones escalares pueden escribirse de manera vectorial como
f(x, y) = 0 (9.2)
99
donde el vector f representa una función vectorial real, con n componentes,
de variable real, x ∈ Rn y y ∈ Rk. El vector x representa el vector de variables
de la posición del mecanismo e incluye tanto las variables de entrada como las
incógnitas del análisis de posición, el vector y representa el vector de parámetros
del análisis de posición del mecanismo. Es importante señalar que en general,
las ecuaciones 1 son no lineales en las incógnitas x.
9.2 Análisis de Posición de Mecanismos Planos.
En esta sección se muestra la solución del análisis de posición de mecanismos
planos, cuyas ecuaciones están representadas vectorialmente por la ecuación 2.
Es importante señalar que el sistema de ecuaciones representadas por la ecuación
1 es no lineal.
Existe una multitud de métodos de solución de sistemas de ecuaciones no
lineales. Además, puesto que la solución de un sistema no lineal puede transfor-
marse en el problema equivalente de minimización de la suma de los cuadrados de
los residuos de las ecuaciones, todos los métodos de optimización no restringida
pueden emplearse en la solución del sistema no lineal de ecuaciones.
Aquí se mostrará el empleo del método de Newton-Raphson en la solución
del problema del análisis de posición de mecanismos planos. El apéndice mues-
tra el desarrollo de funciones de varias variables mediante series de Taylor, un
importante prerequisito para el estudio del método de Newton-Raphson.
De acuerdo al desarrollo del apéndice, cada una de las componentes escalares
del lado izquierdo de la ecuación 2 puede aproximarse como
fi(x) ≈ fi(x0) +
∙
∂fi
∂x1
∂fi
∂x2
......
∂fi
∂xn
¸
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1 − x10
x1 − x20
.
.
.
xn − xn0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(9.3)
El conjunto de las n ecuaciones se aproxima mediante
f1(x) ≈ f1(x0) +
∙
∂fi
∂x1
∂fi
∂x2
......
∂fi
∂xn
¸
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1 − x10
x1 − x20
.
.
.
xn − xn0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(9.4)
100
f2(
→
x) ≈ f2(
→
x0) +
∙
∂fi
∂x1
∂fi
∂x2
......
∂fi
∂xn
¸
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1 − x10
x1 − x20
.
.
.
xn − xn0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(9.5)
...
fn(x) ≈ fn(x0) +
∙
∂fi
∂x1
∂fi
∂x2
......
∂fi
∂xn
¸
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1 − x10
x1 − x20
.
.
.
xn − xn0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
(9.6)
El conjunto de las ecuaciones anteriores puede escribirse en forma vectorial
como
→
f (x) ≈
→
f (x0) + J(x0)(x− x0) (9.7)
donde
J =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
. . . ∂f2∂xn
...
...
...
∂fn
∂x1
∂fn
∂x2
. . . ∂fn∂xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
(9.8)
Esta matriz se conoce como la matriz Jacobiana del sistema de ecuaciones.
Suponga que en el análisis de posición del mecanismo se conoce una aproxi-
mación lineal, x01 , y, empleando la aproximación lineal, ecuación 4, del sistema
de ecuaciones del análisis de posición, se desea mejorar esa aproximación. Si se
emplearan todos los términos del desarrollo de la función mediante de series de
Taylor, la “aproximación” dejaria de serlo y se convertiria en la ecuación,
→
0 = f(x) = f(x0) + J(x0)(x− x0) + ... (9.9)
la solución
→
x del sistema no lineal de ecuaciones satisface la condición
f(x) =
→
0 (9.10)
Por lo tanto, la ecuación se reduce a
1En el análisis de posición de mecanismos planos, esa aproximación inicial puede facilmente
obtenerse mediante un esquema a mano alzada del mecanismo.
101
→
0 = f(x0) + J(x0)(x− x0) + ... (9.11)
Sin embargo, esta ecuación no puede resolverse de manera sencilla. Si ex-
clusivamente se emplean hasta los términos lineales, sólo podemos esperar que
el valor de f(x) se aproxime a
→
0 , pero la ecuación se reduce a
→
0 ≈ f(x0) + J(x0)δx (9.12)
donde
δx = x− x0 (9.13)
Debe notarse que la ecuación 8 representa un sistema lineal en la incógnita
δx, la solución del sistema puede representarse simbólicamente por2
δx = J(x0)−1f(x0) (9.14)
Como en el cálculo de δx se emplea una aproximación del sistema de ecua-
ciones, el proceso genera una nueva aproximación a la solución, dada por
x1 = x0 + δx (9.15)
En general, la nueva aproximación esta más cercana a la solución y el proceso
debe repetirse.
9.3 Criterio de Finalización.
El proceso de solución, de acuerdo con el método de Newton-Raphson, final-
iza cuando la aproximación satisface uno o varios de los posibles criterios de
finalización. Algunas alternativas se muestran a continuación
1. Magnitud del error de la solución.
|f(xj)| ≤ � (9.16)
2. Magnitud del vector de corrección.
|δxj | = |xj − xj−1| ≤ � (9.17)
3. Magnitudes de las componentes del vector de corrección.
|xj,i − xj−1,i | ≤ �i para i = 1, 2, ..., n (9.18)
donde xj,i y xj−1,i son las i-ésimas componentes de la j-ésima y j-1-ésima
aproximación, respectivamente.
2Si la matrix Jacobiana es singular, puede mostrarse que el mecanismo se encuentra en una
posición extrema de alguno de los eslabones motrices. En el caso particular de un mecanismo
plano de cuatro barras, las posiciones extremas del eslabón motriz son las posiciones límites.
102
donde � y �i son números positivos suficientemente pequeños. El mejor
criterio es el último porque permite control independiente sobre la precisión de
las incógnitas asociadas a ángulos y distancias, las cuales suelen tener diferentes
ordenes de magnitud en sus valores numéricos.
9.4 Amortiguamiento del Método de Newton-
Raphson ParaMejorar la Posibilidad de Con-
vergencia.
Es bien conocida la posibilidad de que el método de Newton-Raphson, bajo
ciertas circunstancias, oscile indefinidamente entre dos aproximaciones o bien
que la aproximación no converja. A fín de mejorar la posibilidad de convergencia
se emplea una modificación conocida como amortiguamiento, “damping”.
Suponga que xj y xj−1 son dos aproximaciones sucesivas de la solución
del sistema no lineal generadas a partir del método de Newton-Raphson. Las
aproximaciones están relacionadas mediante la ecuación
xj = xj−1 + δx. (9.19)
El proceso de amortiguamiento requiere de calcular la magnitud de los vec-
tores de errores asociados a cada una de las aproximaciones; es decir |f(xj)| y
|f(xj−1)|. Entonces, el amoriguamiento procede como se indica a continuación
1. Si |f(xj)| < |f(xj−1)|, la nueva aproximación es mejor que la anterior y
no es necesaria ninguna modificación.
2. Si |f(xj)| ≥ |f(xj−1)|, la nueva aproximación tiene un error mayor que
la anterior, por lo tanto, se propone una nueva aproximación mediante la
ecuación
xj = xj−1 +
µ
1
2
¶k
δx (9.20)
donde k es el número natural mas pequeño que satisface el criterio
|f(xj)| < |f(xj−1)| (9.21)
9.5 Ejemplo: Mecanismo plano de cuatro bar-
ras.
Para ilustrar el método considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado
en la figura 1. La ecuación del lazo del mecanismo está dado por
→
a 2 +
→
a 3 =→
a 1 +
→
a 4 (9.22)
103
Si se seleccionan los ángulos asociados a los vectores, θ1, θ2, θ3, θ4, a partir
del semieje positivo X, las componentes escalares de la ecuación 16, a lo largo
de los ejes X y Y están dadas por
a2 cos θ2 + a3 cos θ3 = a1 cos θ1 + a4 cos θ4 (9.23)
a2 sin θ2 + a3 sin θ3 = a1 sin θ1 + a4 sin θ4 (9.24)
Debe notarse que los parámetros del mecanismo son a1, a2, a3, a4, θ1, mien-
tras que las variables son θ2, θ3, θ4. Mas aún, si el eslabón motriz es el eslabón
2, el ángulo θ2 aun cuando es una variable, es un dato necesario para realizar el
analisis de posición, de modo que las dos ecuaciones 17 cuya solución constituye
el análisis de posición están dadas por
f1(θ3, θ4) = a2 cos θ2 + a3 cos θ3 − a1 cos θ1 − a4 cos θ4 = 0 (9.25)
f1(θ3, θ4) = a2 sin θ2 + a3 sin θ3 − a1 sin θ1 − a4 sin θ4 = 0 (9.26)
La matriz Jacobiana asociada a este sistema de dos ecuaciones con dos in-
cógnitas está dada por
J(θ3, θ4) =
"
∂f1
∂θ3
∂f1
∂θ4
∂f2
∂θ3
∂f2
∂θ4
#
=
∙
−a3 sin θ3 a4 sin θ4
a3 cos θ3 −a4 cos θ4
¸
(9.27)
Es importante notar que el determinante de la matriz jacobiana está dado
por
|J(θ3, θ4)| = a3a4(sin θ3 cos θ4 − cos θ3 sin θ4) = a3a4 sin(θ3 − θ4) (9.28)
Con las ecuaciones 18, 19 es posible realizar el análisis de posición del mecan-
ismo plano de cuatro barras. Suponga ahora que se ha realizado el análisis de
posición del mecanismo plano de cuatro barras, derivando las ecuaciones 18,
con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones correspondientes al análisis de
velocidad del mecanismo plano de cuatro barras. Estas ecuaciones están dadas
por
g1(ω3, ω4) = −a2 sin θ2ω2− a3 sin θ3ω3 + a4 sin θ4ω4 = 0 (9.29)
g1(ω3, ω4) = a2 cos θ2ω2 + a3 cos θ3ω3 − a4 cos θ4ω4 = 0 (9.30)
Debe notarse que, una vez resuelto el análisis de posición del mecanismo
plano de cuatro barras, las ecuaciones 21 representan un sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas, ω3 y ω4. Este sistema de ecuaciones puede es-
cribirse en forma matricial como
104
∙
−a3 sin θ3 a4 sin θ4
a3 cos θ3 −a4 cos θ4
¸ ∙
ω3
ω4
¸
=
∙
a2 sin θ2ω2
−a2 cos θ2ω2
¸
(9.31)
Debe notarse que la matriz de coeficientes de la ecuación 22 es la misma
matriz jacobiana del sistema no lineal de ecuaciones asociada al análisis de
posición del mecanismo. Por lo que, excepto en un caso, si el análisis de posición
tiene solución, entonces el análisis de velocidad del mecanismo tiene una solución
única.
La solución del análisis de velocidad del mecanismo plano de cuatro barras
está dada por
ω3 =
¯¯¯¯
a2 sin θ2ω2 a4 sin θ4
−a2 cos θ2ω2 −a4 cos θ4
¯¯¯¯
a3a4 sin(θ3 − θ4)
= ω2
a2
a3
sin(θ4 − θ2)
sin(θ3 − θ4)
(9.32)
y
ω4 =
¯¯¯¯
−a3 sin θ3 a2 sin θ2ω2
a3 cos θ3 −a2 cos θ2ω2
¯¯¯¯
a3a4 sin(θ3 − θ4)
= ω2
a2
a4
sin(θ3 − θ2)
sin(θ3 − θ4)
(9.33)
Derivando las ecuaciones 21, con respecto al tiempo, se obtienen las ecua-
ciones correspondientes al análisis de aceleración del mecanismo plano de cuatro
barras. Estas vienen dadas por
h1(α3, α4) = −a2 sin θ2α2−a2 cos θ2ω22−a3 sin θ3α3−a3 cos θ3ω23+a4 sin θ4α4+a4 cos θ4ω24 = 0
(9.34)
h1(α3, α4) = a2 cos θ2α2−a2 sin θ2ω22+a3 cos θ3α3−a3 sin θ3ω23−a4 cos θ4α4+a4 sin θ4ω24 = 0
(9.35)
De nueva cuenta, si previamente se han resuelto los análisis de posición y
velocidad del mecanismo plano de cuatro barras, las ecuaciones 25 representan
un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas α3, α4. Este sistema de
ecuaciones puede escribirse en forma matricial como
∙
−a3 sin θ3 a4 sin θ4
a3 cos θ3 −a4 cos θ4
¸ ∙
α3
α4
¸
(9.36)
=
∙
a2 sin θ2α2 + a2 cos θ2ω22 + a3 cos θ3ω23 − a4 cos θ4ω24
−a2 cos θ2α2 + a2 sin θ2ω22 + a3 sin θ3ω23 − a4 sin θ4ω24
¸
(9.37)
De nueva cuenta, la matriz de coeficientes de la ecuación 26 es la misma ma-
triz jacobiana del sistema no lineal de ecuaciones asociada al análisis de posición
del mecanismo. Por lo que, excepto en un caso, si el análisis de posición tiene
solución, entonces el análisis de aceleración del mecanismo tiene una solución
única.
105
En forma simbólica, la solución del análisis de aceleración viene dado por
α3 =
¯¯¯¯
a2 sin θ2α2 + a2 cos θ2ω22 + a3 cos θ3ω
2
3 − a4 cos θ4ω24 a4 sin θ4
−a2 cos θ2α2 + a2 sin θ2ω22 + a3 sin θ3ω23 − a4 sin θ4ω24 −a4 cos θ4
¯¯¯¯
a3a4 sin(θ3 − θ4)
(9.38)
y
α4 =
¯¯¯¯
−a3 sin θ3 a2 sin θ2α2 + a2 cos θ2ω22 + a3 cos θ3ω23 − a4 cos θ4ω24
a3 cos θ3 −a2 cos θ2α2 + a2 sin θ2ω22 + a3 sin θ3ω23 − a4 sin θ4ω24
¯¯¯¯
a3a4 sin(θ3 − θ4)
(9.39)
106
Chapter 10
Levas.
10.1 Objetivo.
El objetivo de estas notas es mostrar los procesos necesarios para determinar los
parámetros relevantes para el análisis y síntesis de levas de disco con diferentes
tipos de seguidor. Aún cuando, es posible encontrar estos análisis en libros
de referencia, los libros de texto usuales en el area de cinemática de máquinas
tratan estos temas de manera muy limitada y superficial.
10.2 Introducción.
Una vez que se ha seleccionado un programa de desplazamiento de la leva que
satisface las necesidades de movimiento del seguidor es el momento de determi-
nar la geometría de la leva. La geometría de la leva se determina seleccionando
el tipo de leva y de seguidor y proporcionando los valores de los parámetros
de diseño, cinemático, correspondientes al tipo de leva y seguidor seleccionado.
En particular para una leva de disco con seguidor traslacional de rodillo, los
parámetros necesarios son: Radio del círculo base, radio del seguidor y la ex-
centricidad de la línea del seguidor.
La selección de esos par ametros de diseño junto con el programa de de-
splazamiento permiten determinar el perfil de la leva y algunas otras variables
importantes para evaluar y aceptar o rechazar el diseño; por ejemplo, el valor
del ángulo de presión y el radio de curvatura de la leva. Es importante enfatizar
que el proceso de diseño o síntesis es iterativo y frecuentemente requiere de la
revisión del programa de desplazamiento seleccionado en primera instancia.
Ahora bien, en la síntesis de levas es práctica usual considerar como objetivo,
casi universal, sintetizar levas de dimensiones mínimas1. Evidentemente, este
propósito tiene como limitaciones que el desgaste de la leva y el seguidor sea
1Por ejemplo, un area de perfil o radio del círculo base mínimo reducen el costo de manu-
factura y el desbalanceo que pudiera provocar vibraciones objecionables a velocidades elevadas
respectivamente.
107
aceptable y que el movimiento del seguidor sea "fiel" al programa de desplaza-
miento sintetizado.
En este análisis no se pretende establecer las bases de la síntesis optima de
levas, sino tan sólo indicar cuales son algunos de los problemas que pueden pre-
sentarse durante la operación de las levas y como, a pesar de que algunos de esos
problemas requieren para su diagnóstico y corrección de un análisis dinámico
completo del mecanismo, existen algunas variables puramente cinemáticas que
permiten al diseñador dar una solución inicial que muchas de las veces es satis-
factoria.
10.3 Posibles Problemas Durante la Operación
de Mecanismos de Levas.
Algunos de los problemas que pueden presentarse durante la operación de levas
de disco que operan a velocidades bajas o moderadas y que en muchos de los
casos están interelacionados, son:
1. Traba del mecanismo.
2. Socavamiento de la leva o rápido desgaste de la superficie de la leva y el
seguidor.
3. Longitud excesiva del seguidor, cuando el seguidor es de cara plana.
4. Separación entre la leva y el seguidor.
Los dos primeros son relativamente frecuentes y recibirán la atención de este
apunte.
10.4 Análisis del ángulo de presión en una leva
de disco con seguidor de rodillo. Traba del
mecanismo de leva.
La posibilidad de que un mecanismo de leva se trabe es propio de levas con
seguidor de rodillo. Másaún, la probabilidad es mayor en las levas con seguidor
traslacional de rodillo, por lo tanto se realizará el análisis para una leva de
este tipo y los resultados se generalizarán para el caso de levas con seguidor
oscilatorio de rodillo.
En la Figura 1 se muestra una leva de disco con seguidor traslacional de
rodillo. La figura muestra las dimensiones del rodillo y del vástago, se muestran
además las fuerzas que actuan sobre el seguidor.
Las suposiciones del análisis se indican a continuación.
1. Las reacciones instantaneas horizontales de las guías, Q1 y Q2, se encuen-
tran concentradas en los extremos superior e inferior de las guías.
108
2. La línea de acción de la fuerza externa instantanea total2 , F coincide con
el eje longitudinal del vástago del seguidor.
3. El coeficiente de fricción entre las guías y el vástago del seguidor es con-
stante y está dado por μ .
4. El ángulo de presión instantaneo est a dado por α.
5. La distancia, constante, entre las guías del vástago del seguidor est a dada
por b y la distancia, instantanea, que el vástago del seguidor cuelga más
alla de las guías está dada por a.
Puesto que la fuerza F incluye la fuerza de inercia, el vástago puede analizarse
como si estuviera en equilibrio, por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio del
vástago son: X
fx = 0 −Q2 +Q1 −N sinα = 0 (10.1)
X
fy = 0 − F − μQ2 − μQ1 +N cosα = 0 (10.2)
X
MA = 0 − F
d
2
− μQ2d−Q2b+N
d
2
cosα−Na sinα = 0 (10.3)
Donde N es la fuerza normal entre la leva y el seguidor de rodillo. Re-
solviendo
N
F
=
b
b cosα− (2μa+ μb− μ2d) sinα (10.4)
Esta relación indica cuantas veces la fuerza sobre el vástago, F, se amplifica
en el punto de contacto entre rodillo y seguidor. Sin embargo, es demasiado
complicada para obtener recomendaciones prácticas, no obstante, para los val-
ores normales de μ.
μ2d¿ μb y μ2d¿ 2μa (10.5)
Por lo tanto, la ecuación (4) puede reescribirse como
N
F
=
b
b cosα− (2μa+ μb) sinα (10.6)
o
N
F
=
b
cosα− μ(2ab + 1) sinα
(10.7)
2Esta fuerza incluye el peso del seguidor, la fuerza del resorte y, si la hay, la fuerza de
inercia.
109
De la ecuación (6) puede que si α = 90o el cosαo = 0 y sinα = 1 - el
denominador se vuelve 0 y por lo tanto NF −→∞.
En realidad, para valores altos de la relación de amplificación el valor de N
es suficientemente grande para ocasionar un rápido desgaste de la superficie de
contacto de la leva y del seguidor o, si el vástago es relativamente flexible, que
el vástago se clave en el vértice inferior izquiedro de la guía situada mas cercana
a la leva.
Es interesante calcular para que valor de α, el denominador es igual a cero,
este valor se convertir a en el límite máximo teórico del valor del ángulo de
presión,
cosα− μ(2a
b
+ 1) sinα = 0 (10.8)
o
tanα =
sinα
cosα
=
1
μ(2ab + 1)
(10.9)
Considere un sistema de leva con valores típicos; a = 25.4mm(1pulg), b =
50.8mm(2pulg) y variemos el valor del coeficiente de fricción
1. Para μ = 0 α = tan−1
h
1
0(2· 12+1)
i
= tan−1∞ = 90o
2. Para μ = 0.1 α = tan−1
h
1
0.1(2· 12+1)
i
= tan−1(5) = 78.69o
3. Para μ = 0.2 α = tan−1
h
1
0.2(2· 12+1)
i
= tan−1(2.5) = 68.19o
4. Para μ = 0.3 α = tan−1
h
1
0.3(2· 12+1)
i
= tan−1(1.66) = 59.03o
Los resultados anteriores junto con la amplia experiencia han limitado el
máximo valor del ángulo de presión a 30o, aunque en circunstancias controladas
se han usado valores tan elevados como 50o.
Finalmente, pueden obtenerse las siguientes conclusiones prácticas
1. Mantenga al mínimo posible los valores de μ y a.
2. Mantenga al máximo posible el valor de b.
3. Haga el vástago lo mas rígido posible para evitar la posibilidad de que se
clave en los extremos de las guías.
4. Mantenga el huelgo entre el vástago y guías lo más pequeño posible.
Rothbart indica que el tipo de guías para vástago más adecuado son aque-
llas formadas mediante bujes lineales de bolas. Una vez que se ha encontrado
una aproximación del valor permisible del angulo de presión, el siguiente paso
consiste en determinar el máximo valor del ángulo de presión que se presenta
para una combinación del tipo de seguidor, parámetros de diseño de la leva y
del seguidor y programa de desplazamiento del seguidor. Este tema se discutirá
en otra sección.
110
10.5 Análisis de los Esfuerzos de Contacto y del
Socavamiento en Levas de Disco.
Dos problemas que frecuentemente ocurren durante la operación de levas de
disco son
1. El radio de curvatura en un punto de la superficie de la leva tiene un valor
tal que el perfil de la leva este socavado.
2. Los esfuerzos de contacto entre la superficie de la leva y el seguidor sean
de tal magnitud que produzcan una rápida erosión de la superficie de la
leva o del seguidor.
En ambos problemas, los radios de curvatura de la superficie de la leva y del
seguidor ejercen una gran influencia. Más aún, la presencia del socavamiento
invariablemente genera erosión de la superficie de la leva. Por lo tanto, se
considerará en primer lugar el problema del socavamiento de la superficie de la
leva.
1. El problema de socavamiento. El problema de socavamiento aparece en
todos los tipos de leva de disco; sin embargo, para ejemplificar se tomará
el caso de una leva de disco con seguidor traslacional de rodillo con un
programa de despazamiento y un conjunto de parámetros dado. Si se
reduce el radio del círculo báse (sólo por indicar un parámetro que tiene
influencia sobre el problema de socavamiento) el radio de curvatura de la
parte de la leva que corresponde a la elevación máxima disminuye figura
2 hasta que se hace cero, Figura 3 (convirtiendo el perfil de la leva en una
arista); si se continua reduciendo el radio del círculo báse el perfil de la
leva pasa de ser una sección convexa a una sección concava (sin pasar por
una línea recta) y teóricamente se genera el perfil mostrado en la figura 4.
Evidentemente es imposible producir semejante perfil, y en el proceso de
corte de dicho perfil se remueve la parte punteada del perfil ocasionando
que el seguidor no se mueva conforme a lo especificado.
Concluyendo, si se adopta la convención que el radio de la curvatura de la
leva en secciones convexas sea positivo y negativo en secciones concavas,
se tiene que, para evitar el socavamiento, debe satisfacerce que:
ρc ≤ rf (10.10)
Si se considera el efecto de los esfuerzos de contacto, este criterio requiere
modificación adicional, pues se puede probar que si ρc = 0, los esfuerzos
son teóricamente infinitos.
No debe inferirse que secciones concavas son intrísecamente objecionables,
para discutir este tema se hace necesario distinguir dos casos:
111
(a) Seguidor de rodillo. En este caso son aceptables secciones concavas,
siempre y cuando, la transición entre una sección concava y una con-
vexa halla ocurrido mediante una línea recta (ρc = ±∞). Además en
estas secciones puede presentarse el problema, indicado en la figura
II-3-a, que hace inoperable el perfil de la leva limitado por los puntos
A y B; para evitar esta situación se requiere que
|ρc| ≤ rf (10.11)
donde: rf = radio del seguidor De acuerdo a la conveción en secciones
cóncavas ρc < 0, por lo tanto, la condición resulta
−ρc ≤ rf (10.12)
ó
ρc ≤ rf (10.13)
Más aún durante los años 40’s y 50’s uno de los métodos más so-
corridos para la manufactura de levas consistía en posicionar suce-
sivamente un cortador de radio rg, usualmente rg > rf , sobre la
normal a la superficie de la leva y de manera que la leva y el corta-
dor sean tangentes. figura II-3b. Evidentemente, a fin de producir
satisfactoriamente el perfil de la leva, debe satisfacerse que
ρc ≤ −rg (10.14)
(b) Seguidor de cara plana. En este caso se presentaria la situación
mostrada en la figura II-3c, volviendo inoperable el perfil cóncavo
y ocasionando discontinuidades enel programa real de movimiento
del seguidor, es evidente que en este caso, las secciones cóncavas no
están permitidas.
2. El problema de los esfuerzos de contacto. A finales del siglo pasado Hertz
encontró que cuando dos cilíndros paralelos se oprimian entre si (figura
II-4a), el esfuerzo máximo compresivo venia dado por:
Sc =
vuut 2FπL( 1d1 + 1d2 )
1−μ21
E1
+
1−μ22
E2
=
vuut FπL( 1r1 + 1r2 )
1−μ21
E1
+
1−μ22
E2
(10.15)
donde
• E1 y E2 son los módulos de elasticidad de los materiales.
• μ1 y μ2 son los módulos de Poisson de los materiales.
• F es la fuerza normal de opresión.
112
Si la situación es la mostrada en la figura II-4b entonces
Sc =
vuut FπL( 1r1 + 1r2 )
1−μ21
E1
+
1−μ22
E2
(10.16)
Aún cuando una leva tiene un radio de curvatura variable, es posible
aplicar las anteriores ecuaciones sustituyendo r1 por el valor absoluto del
radio de curvatura del perfil de la leva ρc y r2 por el radio del seguidor rf
.
Cuando el seguidor de la leva es de cara plana r2 → ∞ por lo que las
ecuaciones se transforman en
Sc =
vuut FπL( 1r1 )
1−μ21
E1
+
1−μ22
E2
(10.17)
De cualquiera de las ecuaciones antes mencionadas es evidente el nocivo
efecto, que tiene lugar cuando el radio de curvatura de la superficie de la
leva tiende a cero, convirtiendose en un punto, que es
lim
r1→∞
Sc =∞ (10.18)
Por otro lado, de un análisis de las ecuaciones, es obvio que suponiendo
radios de curvatura del mismo valor absolutos, los esfuerzos de contacto
son mayores cuando el perfil es convexo.
Evidentemente, si el problema es diseñar el conjunto de leva y seguidor
para que soporte satisfactoriamente un número determinado de ciclos de
operación , se requiere un análisis total de los esfuerzos compresivos que
se generan tanto en lalleva como en el seguidor, así como el tratamiento
térmico y espesor de la leva.
Como una primera aproximación es frecuente sintetizar levas de disco que
satisfagan las siguientes restricciones:
(a) Para secciones convexas.
ρc ≤ rp1 (10.19)
(b) Para secciones concavas
|ρc| ≤ rp2 (10.20)
ρc ≤ −rp2 (10.21)
en donde
113
• rp1 y rp2 son radios predeteminados en base a la experiencia y
tal que
rp1 > 0 (10.22)
rp2 > Max(rf ) (10.23)
o bien
rp2 > Max(rf ) (10.24)
rp2 > Max(rg) (10.25)
10.6 Desarrollo de las Ecuaciones de Simulación
y Síntesis del Perfil de Levas de Disco.
En está sección, que constituye la parte medular del trabajo, se deducen las
ecuaciones necesarias para simular el comportamiento cinemático de la leva y
determinar su perfil. A fin de seguir un tratamiento más lógico, la sección se
divide en dos partes.
10.6.1 Levas de Disco con Seguidor de Rodillo.
Uno de los tipos más comunes de seguidor en la aplicación de levas que operan a
velocidades de medias y elevadas es el de rodillo. Si se seleccionan dos sistemas
de referencia; uno fijo OXY , con orígen en la revoluta de la leva, y otro móvil
O
_
X
_
Y con el mismo orígen, pero unido a la leva y por lo tanto girando a la
misma velocidad angular que la leva. Es evidente que las coordenadas absolutas
del punto de traza -que para un seguidor de rodillo es el centro del rodillo- E,
vienen dadas por las especificaciones del movimiento:
XE = XE(θ) (10.26)
YE = YE(θ) (10.27)
donde θ es el ángulo de giro de la leva. Sin embargo, las coordenadas del
punto de traza respecto al sistema móvil, Figura 9, determinan la curva de paso,
que para el caso de un seguidor de rodillo es paralela a la superficie de la leva.
Las ecuaciones que trasforman las coordenadas, Figura 9, del sistema móvil
(
_
x;
_
y) al sistema de referencia fijo (x; y) están dadas por
x =
_
x cos θ −
_
y sin θ (10.28)
y =
_
x sin θ +
_
y cos θ (10.29)
114
Las ecuaciones de transformación son invertibles y su inversa está dada por
_
x = x cos θ + y sin θ (10.30)
_
y = −x sin θ + y cos θ (10.31)
Estas ultimas ecuaciones expresan las coordenadas de la curva de paso en
términos del programa de desplazamiento del seguidor.
En el trascurso del análisis se requiere expresar las derivadas de
_
x y
_
y re-
specto al ángulo de giro θ , en términos de las derivadas de x y y. Así pues
_
x0 = (x0 + y) cos θ + (y0 − x) sin θ (10.32)
_
y 0 = −(x0 + y) sin θ + (y0 − x) cos θ (10.33)
Similarmente, para la segunda derivada, se tiene que
_
x00 = −(x0 + y) sin θ + (x00 + y0) cos θ + (y00 − x0) sin θ + (y0 − x) cos θ (10.34)
= (y00 − 2x0 − y) sin θ + (x00 + 2y0 − x) cos θ (10.35)
_
y 00 = −(x0 + y) cos θ − (x00 + y0) cos θ + (y00 − x0) cos θ − (y0 − x) sin θ (10.36)
= (y00 − 2x0 − y) cos θ − (x00 + 2y0 − x) sin θ (10.37)
Las ecuaciones (14; 15; 16) y (17) se conocen como ecuaciones diferenciales
de primero y segundo orden.
10.6.2 Determinación de las coordenadas del perfil de la
leva.
Del cálculo diferencial se sabe que la pendiente de una curva de paso está dada
por
m =
_
y 0
_
x0
(10.38)
consecuentemente la tangente del ángulo que define la dirección de la normal
a la curva de paso
_
β está expresada por
tan
_
β = − 1
m
= −
_
x0
_
y 0
(10.39)
ó
115
_
β = tan−1
Ã
−
_
x0
_
y 0
!
= − tan−1
Ã_
x0
_
y 0
!
(10.40)
en el apéndice I se muestra que sustituyendo las relaciones de primero y
segundo orden 3.4 y 3.5 en 3.6 se obtiene
_
β = −θ − tan−1
µ
x0 + y
y0 − x
¶
(10.41)
de la figura III-2 se sabe que las coordenadas de la superficie de la leva son
_
xc =
_
x − rf cos
_
β (10.42)
_
yc =
_
y − rf sin
_
β (10.43)
donde rf es el radio del seguidor. En coordenadas polares
Rc =
h_
x2c +
_
y2c
i 1
2
(10.44)
φc = tan
−1
µ_
yc
_
xc
¶
(10.45)
de manera similar las coordenadas del cortador son
_
xg =
_
x + (rg − rf ) cos
_
β (10.46)
_
yg =
_
y + (rg − rf ) sin
_
β (10.47)
donde rg es el radio del cortador. En coordenadas polares
_
Rg =
h_
x2g +
_
y2g
i 1
2
(10.48)
φg = tan
−1
Ã_
yg
_
xg
!
(10.49)
10.6.3 Determinación del Ángulo de Presión.
De la figura III-3 puede observarse que el ángulo de presión γ viene dado por
γ = θ +
_
ψ + 90o − ψ0 (10.50)
donde
_
ψ = tan−1
Ã_
y 0
_
x0
!
(10.51)
116
ψ0 = tan
−1
µ
y0
x0
¶
= − tan−1
µ
y0
x0
¶
+ 90o (10.52)
En coordenadas
γ = θ + tan−1
Ã_
y 0
_
x0
!
+ 90o + tan−1
µ
y0
x0
¶
− 90o (10.53)
ó reduciendo
γ = θ + tan−1
Ã_
y 0
_
x0
!
+ tan−1
µ
y0
x0
¶
(10.54)
sustituyendo en esta las relaciones de 1er orden se obtiene en el apéndice II.
γ = tan−1
µ
(y0 − x)y0 + (x0 + y)x0
y0y + x0x
¶
(10.55)
10.6.4 Determinación del Radio de Curvatura.
Del cálculo diferencial puede mostrarse que para una curva descrita mediante
ecuaciones paramétricas (
_
x,
_
y), el radio de curvatura viene dado por
ρ =
³_
x02 +
_
y 02
´ 3
2
_
x0
_
y 00 −
_
y 0
_
x00
(10.56)
Sustituyendo las relaciones de primero y segundo orden y desarrollando al-
gebráicamente, el radio de curvatura de la curva de paso resulta en el apéndice
II
ρ =
h
(x0 + y)2 + (y0 − x)2
i 3
2
(x− y0) (x00 + 2y0 − x) + (y + x0) (y00 − 2x0 − y) (10.57)
Esta expresión asigna valores positivos a las superficies cóncavas y negativos
a las convexas. Para la superficie de la leva se tiene
ρc = ρ+ rf (10.58)
10.7 Levas de Disco con Seguidor Traslacional
de Rodillo.
De la figura III-4 puede observarse que las coordenadas del centro del seguidor
respecto al sistema de referencia fijo, están dadas por
x = e (10.59)
117
y = s+ ya (10.60)
las relaciones diferenciales de primero y segundo orden están dadas por
x0 = 0 (10.61)
y0 = s0 (10.62)
x00 = 0 (10.63)
y00 = s00 (10.64)
10.7.1 Determinación del Perfil de la Leva de Discocon
Seguidor Traslacional de Rodillo.
Sustituyendo las ecuaciones paramétricas en las ecuaciones de las coordenadas
de la curva de paso de la leva se obtiene
_
x = e cos θ + (s+ y0) sin θ (10.65)
_
y = −e sin θ + (s+ y0) cos θ (10.66)
El ángulo que define la dirección de la normal se obtiene de la ecuación III-7
y en este caso está dada por
β = −θ − tan−1
µ
s+ y0
s0 − e
¶
(10.67)
Estos valores sustituidos en las ecuaciones III-8 y III-9 determinan las coor-
denadas del perfil de la leva.
10.7.2 Determinación del Ángulo de Presión y Radio de
Curvatura de la Leva de Disco con Seguidor Trasla-
cional de Rodillo.
Sustituyendo las coordenadas x y y sus respectivas derivadas (ecuaciones III-
17, III-18, III-19) en las ecuaciones generales del ángulo de presión y radio de
curvatura (ecuaciones III-14 y III-15) se obtiene
γ = tan−1
µ
s0 − e
s+ y0
¶
(10.68)
_
ρ =
h
(s0 − e)2 + (s+ y0)2
i 3
2
(s00 − s− y0) (s+ y0) + (−s0 + e) (2s0 − e)
(10.69)
118
Esta última expresión proporciona el valor que sustituido en la ecuación III-
16 conduce al radio de curvatura de la leva ρc. De la misma manera la figura
III-4 se observa que para una configuración dada de los parámetros de la leva
debe cumplirse que
rb =
£
y20 + e
2
¤ 1
2 − rf > 0 (10.70)
En el caso contrario, el sistema estaría mal definido.
10.8 Levas de Disco con Seguidor Oscilatorio de
Rodillo.
De la figura III-5 puede observarse que para una leva de disco con seguidor
oscilatorio de rodillo
x = −h+ L cos(φ0 + φ) (10.71)
y = L sin(φ0 + φ) (10.72)
de donde resultan las 1as y 2as derivadas
x0 = −Lφ0 sin(φ0 + φ) (10.73)
y0 = Lφ0 cos(φ0 + φ) (10.74)
x00 = −L(φ0)2 cos(φ0 + φ)− Lφ00 sin(φ0 + φ) (10.75)
y00 = −L(φ0)2 sin(φ0 + φ) + Lφ00 cos(φ0 + φ) (10.76)
10.8.1 Determinación del Perfil de la Leva de Disco con
Seguidor Oscilatorio de Rodillo.
La curva de paso de la leva viene dada por las ecuaciones paramétricas
_
x = −h cos θ + L cos(φ0 + φ) cos θ + L sin(φ0 + φ) sin θ (10.77)
_
x = −h cos θ + L cos(φ0 + φ− θ) (10.78)
_
y = h sin θ − L cos(φ0 + φ) sin θ + L sin(φ0 + φ) cos θ (10.79)
_
y = h sin θ + L sin(φ0 + φ− θ) (10.80)
119
y la dirección de la normal se obtiene de la ecuación III-7 que en este caso
resulta
_
β = −θ − tan−1
µ
−Lφ0 sin(φ0 + φ) + L sin(φ0 + φ)
Lφ0 cos(φ0 + φ) + h− L cos(φ0 + φ)
¶
(10.81)
_
β = −θ − tan−1
µ
L sin(φ0 + φ)(1− φ0)
h− L cos(φ0 + φ)(1− φ0)
¶
(10.82)
Las ecuaciones III-B y III-9 con los valores aquí obtenidos proporcionan las
coordenadas del perfil de la leva.
10.8.2 Determinación del Ángulo de Presión de la Leva
de Disco con Seguidor Oscilatorio de Rodillo.
Las ecuaciones generales del ángulo de presión y radio de curvatura, una vez
que se han sustituido las coordenadas x, y del punto de traza y sus derivadas,
vienen a ser según lo muestran los apéndices IV y V
γ = tan−1
Ã
L
R (φ
0 − 1) + cos(φ0 + φ)
sin(φ0 + φ)
!
(10.83)
_
ρ =
¡
L2(φ0 − 1) + h2 + 2hL(φ0 − 1) cos(φ0 + φ)
¢ 3
2
h2 + L2(φ0 − 1)3 + hLφ00 sin(φ0 + φ) + hL(φ0 − 2)(φ0 − 1) cos(φ0 + φ)
(10.84)
El valor resultante sustituido en la ecuación III-16 da el radio de curvatura
de la leva. También de la figura III-5 se observa que aplicando la ley de los
cosenos, la geometría de la leva exige que se cumpla
rb =
¡
h2 + L2 + 2hL cosφ0
¢ 1
2 − n > 0 (10.85)
para una adecuada definición del mecanismo.
10.9 Levas de Disco con Seguidor de Cara Plana.
Otro tipo com un de seguidor para un mecanismo de leva es el de cara plana.
Nuevamente se establecerán dos sistemas de referencia; uno fijo y otro móvil
unido a la leva. Desafortunadamente, el tratamiento no es ta simple como en el
caso de levas con seguidor de rodillo debido a que la curva de paso y la superficie
de la leva no guardan una relación sencilla entre sí. Con el objeto de tratar un
movimiento del seguidor lo más amplio posible, se especificar a el movimiento
plano general. En otras palabras se supondrá que
• Un punto de referencia E ( figura II-6) pertenece al seguidor se mueve
sobre una trayectoría respecto al sistema de referencia fijo dada por
120
xE = f1(θ) (10.86)
yE = f2(θ) (10.87)
• Dos puntos E y E0 pertenecientes al seguidor definen una línea L = EE0
(figura III-6)que forma un ángulo con la cara plana del seguidor, la cual
tiene un movimiento de rotación absoluto dado por
φf + β = f3(θ) (10.88)
Es evidente que este caso no es com un pero permite analizar una situación
general a partir de la cual se deriven los casos particulares de empleo más amplio
El fundamento del análisis es el mismo; las especificaciones del movimiento
del seguidor junto con otros parámetros geométricos del mecanismo permiten
determinar las coordenadas del punto de traza respecto al sistema de referencia
fijo, pero al mismo tiempo las coordenadas de este punto con respecto al sistema
de referencia móvil determinan la curva de paso de la leva, a partir de la cual
pueden deducirse las coordenadas de su superficie. Las coordenadas del punto
E0 son ( figura III-6)
xE0 = xE + L cos(φf + β) (10.89)
yE0 = yE + L sin(φf + β) (10.90)
Similarmente, las coordenadas del punto E00 son
xE00 = −uE00 sinφf (10.91)
yE00 = uE00 cosφf (10.92)
donde uE00 puede determinarse de la figura III-7, de ella puede observarse
que
uE00 =
___
OP +
___
PE00 (10.93)
sin embargo
___
OP =
___
EQ −
___
MN = yE cosφf − xE sinφf (10.94)
___
PE00 = L sinβ (10.95)
Por lo que finalmente
uE00 = yE cosφf − xE sinφf + l sinβ (10.96)
121
Ahora bien, empleando las ecuaciones de transformación del sistema fijo al
móvil (ecuaciones III-2) se tiene
_
xE00 = xE00 cos θ + yE00 sin θ = −uE00 sinφf cos θf cos θ (10.97)
_
xE00 = −uE00 sin(φf − θ) (10.98)
_
yE00 = −xE00 sin θ + yE00 cos θ = uE00 sinφf sin θ + uE00 cos θf cos θ (10.99)
_
yE00 = uE00 cos(θf − θ) (10.100)
que son las coordenadas del punto E00 con respecto al sistema de referencia
O
___
XY en términos de las especificaciones del movimiento.
10.9.1 Determinación de las Coordenadas del Perfil de la
Leva de Disco con Seguidor Oscilatorio de Rodillo.
EL perfil de la leva está formado por la envolvente de todas las rectas que para
un valor de tiene la distancia al orígen del sistema de referencia móvil dada por
uE00 = uE00(θ) (10.101)
Lo procedente ahora, es encontrar la ecuación de la familia de rectas. En
base a la figura III-8 y tomando como referencia los puntos P1(a, 0) y P2(0, b)
la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es
_
y −
_
y1 =
_
y2 −
_
y1
_
x2 −
_
x1
¡_
x −
_
x1
¢
(10.102)
la cual queda
_
y = − b
a
(
_
x − a) (10.103)
sin embargo
sin τ =
uE00
b
(10.104)
ó
b =
uE00
sin τ
(10.105)
cos τ =
uE00
a
(10.106)
ó
122
a =
uE00
cos τ
(10.107)
de aquí que
_
y = −
uE00
sin τ
uE00
cos τ
³_
x − uE
00
cos τ
´
(10.108)
y la ecuación buscada es
_
y sin τ +
_
x cos τ = uE00 (10.109)
Cabe hacer notar además, de la figura III-8 que
θ + τ =
π
2
+ φf (10.110)
de donde se obtiene la relación de dependencia entre θ y τ .
τ =
π
2
+ φf − θ (10.111)
Lo cual permite hacer un cambio de parámetro para tomar τ en lugar de θ
como tal, con lo cual la ecuación de la familia de rectas toma la forma
f(
_
x,
_
y, τ) =
∂f
∂
_
x
d
_
x +
∂f
∂
_
y
d
_
y +
∂f
∂τ
dτ (10.112)
Además, la tangente a un miembro de la familia viene dada por
d
_
y
d
_
x
= −
∂f
∂
_
x
∂f
∂
_
y
(10.113)
ó
∂f
∂
_
x
d
_
x +
∂f
∂
_
y
d
_
y = 0 (10.114)
Puesto que la envolvente es, en cada punto, tangente a un elemento de la
familia, debe satisfacerse III-42 y también III-41; así que la condición resulta
∂f
τ
dτ = 0 (10.115)
ó
∂f(
_
x,
_
y, τ)∂τ
= 0 (10.116)
que aplicada a III-40 queda
∂f(
_
x,
_
y, τ)
∂τ
=
_
y cos τ −
_
x sin τ − duE
00
dτ
= 0 (10.117)
123
Las coodenadas del punto de contacto se determinan resolviendo simultane-
amente las ecuaciones III-40 y III-43 para
_
x y
_
y en términos de τ
_
xc = uE00 cos τ −
duE00
dτ
sin τ (10.118)
_
yc = uE00 sin τ +
duE00
dτ
cos τ (10.119)
Estas ecuaciones paramétricas nos dan el perfil de la leva buscando. Tanto
uE00 como τ son funciones explícitas de θ, pero
duE00
dτ no se ha deducido aún;
esto se hará mas adelante. Ahora es posible determinar las coordenadas del
perfil del cortador, necesariamente para la manufactura de la leva. La dirección
de la normal a la superficie de la leva está definida por el ángulo τ , dado en la
ecuación III-39, que esta medido sobre el eje
_
x del sistema de referencia móvil.
Así pues las coordenadas del cortador son
_
xg =
_
xc + rg cos τ (10.120)
_
yg =
_
yc + rg sin τ (10.121)
Cálculo de la Distancia entre C y Ej
Otro análisis igualmente importante consiste en el cálculo de la distancia entre
C y E00, indispensable para localizar el punto sobre el seguidor donde se produce
el contacto con la leva. De la ecuación III-39 se tiene la igualdad
φf − θ = τ −
π
2
(10.122)
que sustituyendo en las ecuaciones III-37 las reduce a
_
xE00 = −uE00 sin
³
τ − π
2
´
(10.123)
_
xE00 = uE00 cos τ (10.124)
_
yE00 = uE00 cos
³
τ − π
2
´
(10.125)
_
yE00 = uE00 sin τ (10.126)
Consecuentemente
____
E00C =
h¡_
xc −
_
xE00
¢2
+
¡_
yc −
_
yE00
¢2i 12
(10.127)
124
____
E00C =
"µ
uE00 cos τ +
duE00
dτ
sin τ − uE00 cos τ
¶2
+
µ
uE00 sin τ +
duE00
dτ
cos τ − uE00 sin τ
¶2# 12
(10.128)
____
E00C =
duE00
dτ
= υ (10.129)
El signo de υ debe ser tal que satisfaga las ecuaciones III-4 ( figura III-8).
Determinación del Radio de Curvatura del Perfil de la Leva.
Una vez conocidas las ecuaciones paramétricas del perfil, es posible determinar
el radio de curvatura. En el apéndice VI se muestra que la ecuación es
ρ = uE00 +
d2uE00
dτ
(10.130)
Es preciso notar que las derivadas involucradas en las ecuaciones III-4, III-47
y III-48 son respecto al parámetro τ , mientras que a partir de las especificaciones
de movimiento sólo es posible conocer, de manera directa, las derivadas respecto
del ángulo de giro de la leva θ. Así pues es necesario aplicar la regla de la cadena.
Primeramente, derivando la ecuación III-39 se obtiene
dτ
dθ
= φf − 1 (10.131)
por lo que
dθ
dτ
=
1
φf − 1
(10.132)
donde los puntos indican derivadas con respecto a θ, como se representarán
en el resto de análisis. La segunda derivada viene dada por
d2θ
dτ2
=
d
dθ
µ
1
φf − 1
¶
dθ
dτ
= −
¡
φf − 1
¢−2 φ00f µ 1φf − 1
¶
(10.133)
d2θ
dτ2
= φ00f
1¡
φf − 1
¢3 (10.134)
Así pues se tendra que
d2uE00
dτ2
= u˙E00
dθ
dτ
=
u˙E00
φ˙f − 1
(10.135)
d2uE00
dτ2
=
d
dθ
Ã
uE00
φ˙f − 1
!
dθ
dτ
(10.136)
125
d2uE00
dτ2
=
⎡
⎢⎣
u¨E00
³
φ˙f − 1
´
− u˙E00 φ¨f³
φ˙f − 1
´2
⎤
⎥⎦ 1³
φ˙f − 1
´ (10.137)
d2uE00
dτ2
=
u¨E00
³
φ˙f − 1
´
− u˙E00 φ¨f³
φ˙f − 1
´3 (10.138)
que son derivadas aplicadas en las ecuaciones anteriores; sin embargo a un
es necesario hacer un cálculo para obtener las derivadas de uE00 con respecto a
θ. Derivando III-36
duE00
dθ
= u˙E00 = −
¡
xE + yEφf
¢
sinφf +
³
−xEφ˙f + y˙E
´
cosφf (10.139)
d2uE00
dθ2
= u¨E00 =
µ
−yE
³
φ˙f
´2
− 2x˙Eφ˙f − xEφ¨f + y¨E
¶
cosφf+
µ
xE
³
φ˙f
´2
− 2y˙Eφ˙f − yEφ¨f − x¨E
¶
sinφf
(10.140)
10.10 Levas de Disco con Seguidor Traslacional
de Cara Plana.
Para este tipo, el caso mas general ocurre cuando el seguidor se desplaza a lo
largo de una línea recta descentrada una distancia e. En estas circunstancias
las especificaciones de movimiento son, como lo muestra la figura III-9.
xE = e (10.141)
yE = s+ yo (10.142)
φf = Φ (10.143)
considerando que sin pérdida de generalidad el punto E se ha tomado como
lo índica la figura, la distancia L considerada anteriormente es en este caso igual
a cero, y la ecuación para uE00 resulta
uE00 = −e sinΦ+ (s+ yo) cosΦ (10.144)
por lo tanto
duE00
dθ
= u˙E00 = s0 cosΦ (10.145)
d2uE00
dθ2
= u¨E00 = s00 cosΦ (10.146)
Las ecuaciones III-50 con estos valores pasan a ser
duE00
dτ
= −s0 cosΦ (10.147)
d2uE00
dτ2
= s00 cosΦ (10.148)
126
10.10.1 Determinación de las Coordenadas del Perfil de la
Leva
El valor de τ es
τ =
π
2
+Φ− θ (10.149)
Ahora es posible obtener las coordenadas del perfil sustituyendo III-53, III-
54, III-55 en III-44
x¯c = [−e sinΦ+ (s+ yo) cosΦ] cos
³π
2
+Φ− θ
´
− [−s0 cosΦ] sin
³π
2
+Φ− θ
´
(10.150)
x¯c = [−e sinΦ+ (s+ yo) cosΦ] sin (θ −Φ) + [−s0 cosΦ] cos (θ −Φ) (10.151)
y¯c = [−e sinΦ+ (s+ yo) cosΦ] sin
³π
2
+Φ− θ
´
− [−s0 cosΦ] cos
³π
2
+Φ− θ
´
(10.152)
y¯c = [−e sinΦ+ (s+ yo) cosΦ] cos (θ −Φ) + [−s0 cosΦ] sin (θ −Φ) (10.153)
10.10.2 Determinación de la Distancia de Contacto al Punto
E
De la figura III-10 pueden observarse las siguientes relaciones
D = EC = EA+AE00 +E00C (10.154)
EA = (s+ yo) sinΦ (10.155)
AE00 = OD = e cosΦ (10.156)
E00C = v = −s0 cosΦ (10.157)
por lo que
D = (s+ yo) sinΦ+ e cosΦ− s0 cosΦ (10.158)
= (s+ yo) sinΦ+ (e− s0) cosΦ (10.159)
donde el signo positivo de D es en el sentido de v.
Sustituyendo los valores particulares de uE00 y
d2uE00
dτ2 para este tipo de
seguidor, en la ecuación III-48 se obtiene
ρ = −e sinΦ+ (s+ yo + s00) cosΦ (10.160)
127
Esta expresión da valores positivos en las secciones cóncavas de la leva. Por
último, de la geometría de la leva ( gura III-10) se puede observar la relación
existente entre rb y yo
rb = BD = BF −DF (10.161)
BF = yo cosΦ (10.162)
DF = e sinΦ (10.163)
rb = yo cosΦ− e sinΦ (10.164)
10.11 Levas de Disco con Seguidor Oscilatorio
de Cara Plana.
La figura III-11 muestra la geometría de este tipo de mecanismo de leva y
permite ver que las especificaciones de movimiento están dadas por
xE = −h (10.165)
yE = 0 (10.166)
φf = φf (θ) (10.167)
además
β =
φ
2
(10.168)
Por lo tanto, la ecuación para uE00 es
uE00 = h sinφf + L (10.169)
duE00
dθ
= u˙E00 = (h cosφf )φ
0
f = hφ
0
f cosφf (10.170)
d2uE00
dθ2
= u¨E00 = hφ00f cosφf − h
¡
φ0f
¢2
sinφf (10.171)
Así las ecuaciones III-50 resultan
duE00
dτ
=
hφ0f cosφf
φ0f − 1
(10.172)
d2uE00
dτ2
=
hφ00f cosφf − h
¡
φ0f − 1
¢ ¡
φ0f
¢2
sinφf¡
1− φ0f
¢3 (10.173)
128
Determinación de las Coordenadas del Perfil de la Leva
En este caso el valor de queda, como en la ecuación general III-39, en función
de φ y φf . Haciendo las sustituciones correspondientes, las ecuaciones III-44
pasan a ser
x¯c = (L+ h sinφf ) cos
µ
φf − θ +
φ
2
¶
−
hφ0f cosφf¡
φ0f − 1
¢ sinµφf − θ + φ2
¶
x¯c =
L
¡
φ0f − 1
¢
sin
¡
θ − φf
¢
+ h
¡
φf − 1
¢
sinφf sin
¡
θ − φf
¢
− hφf cosφf cos
¡
θ − φf
¢¡
φ0f − 1
¢
x¯c =
£
L
¡
φf − 1
¢
sin
¡
θ − φf
¢¤
sin
¡
θ − φf
¢
− hφ0f
£
cosφf cos
¡
θ − φf
¢
− sinφf sin
¡
θ − φf
¢¤¡
φ0f − 1
¢
x¯c =
£
L
¡
φ0f − 1
¢
− h sinφf
¤
sin
¡
θ − φf
¢
− hφ0f cos θ¡
φ0f − 1
¢ (10.174)
y¯c =
¡
L+ h sinφf
¢
sin
µ
φf − θ +
φ
2
¶
−
hφ0f cosφf¡
φ0f − 1
¢ cosµφf − θ + φ2
¶
y¯c =
¡
L+ h sinφf
¢
cos
¡
θ − φf
¢
−
hφ0f cosφf¡
φ0f − 1
¢ sin ¡θ − φf¢
y¯c =
L
¡
φf − 1
¢
cos
¡
θ − φf
¢
+ h
¡
φ0f − 1
¢
sinφf cos
¡
θ − φf
¢
− hφ0f cosφf sin
¡
θ − φf
¢¡
φ0f − 1
¢
y¯c =
£
L
¡
φ0f − 1
¢
−h sinφf
¤
cos
¡
θ − φf
¢
+ hφ0f
£
sinφf cos
¡
θ − φf
¢
− cosφf sin
¡
θ − φf
¢¤¡
φ0f − 1
¢
y¯c =
£
L
¡
φ0f − 1
¢
− h sinφf
¤
cos
¡
θ − φf
¢
+ hφ0f sin θ¡
φ0f − 1
¢ (10.175)
10.11.1 Determinación de la distancia de contacto al punto
E.
De la figura III-12 se tiene que
D = E0C = E0E00 −E00C (10.176)
E0E00 = h cosφf (10.177)
129
E00C = v =
hφ0f cosφf
φ0f − 1
(10.178)
por lo que
D = h cosφf −
hφf cosφf
φ0f − 1
(10.179)
D = h cosφf
Ã
1
1− φ0f
!
(10.180)
10.11.2 Determinación del Radio de Curvatura del Perfil
de la Leva
De la ecuación III-48 y con los valores de uE00 y
d2uE00
dτ2 obtenidos, el radio de
curvatura resulta
ρ = L+ h sinφf +
hφ00f cosφf + h
¡
φ0f − 1
¢ ¡
φ0f
¢2
sinφf¡
1− φ0f
¢3 (10.181)
ρ = L+ h
φ00f cosφf + sinφf
¡
1− φ0f
¢ ¡
1− 2φ0f
¢¡
1− φ0f
¢3 (10.182)
Existe también una correspondencia definida entre la posición inicial del
seguidor y el radio del círculo base. De la figura III-13 se observa que
rb = OA+ L (10.183)
OA = h sinφfo (10.184)
rb = h sinφfo + L > 0 (10.185)
Para una adecuada definición del mecanismo.
130
Chapter 11
Síntesis analítica de
eslabonamientos.
11.1 Introducción.
Una vez establecidas las bases del análisis de posición se podrá usar estas téc-
nicas para síntetizar eslabonamientos analíticamente
para posicones de salida especificadas. El procedimiento de síntesis analítica
es procedimiento más algebraico que gráfico y no intuitivo. Sin embargo, su
naturaleza algebraica lo hace más adecuado para el trabajo el computadora.
Sandor creó estos métodos de síntesis analítica y posteriormente sus discípulos
Erdman, Kaufman, y Loerch y colaboradores los desarrollaron.
11.2 Tipos de síntesis cinemática.
Erdman y Sandor definen tres tipos de síntesis cinemática: generación de fun-
ción, de trayectoria y de movimiento, las cuales se definen a continuación.
1. GENERACIÓN DE FUNCIÓN. Se define como la correlación entre
una función de entrada y una función de salida en un mecanismo.
Generalmente el resultado es un doble balancín o una manivela-balancín
con entrada y salida de rotación puras. Un eslabonamiento de manivela
corredera también puede ser un generador de función impulsado desde
uno u otro extremo, es decir, entrada de rotación y salida de traslación, o
viceversa.
2. GENERACIÓN DE TRAYECTORIA. Se define como el control de
un punto en el plano tal que siga alguna trayectoria prescrita. Normal-
131
mente esto se realiza con un eslabonamiento de cuatro barras de manivela-
balancín o de doble balancín, en donde un punto del acoplador describe
la trayectoria de salida deseada. En la generación de trayectoria no se
intenta tener control de orientación del eslabón que contiene el punto de
interés. La curva del acoplador se pasa por un conjunto de puntos de
salida deseados. Sin embargo, resulta común que se definan los tiempos
de llegada del punto de acoplador en sitios particulares a lo largo de la
trayectoria. Este caso se denomina generación de trayectoria con tiempos
prescritos y es análoga a la generación de función en que se especifica una
función de salida particular.
3. GENERACIÓN DE MOVIMIENTO. Se define como el control de
una recta en el plano, tal que asume un conjunto secuencial de posiciones
prescritas. Aquí es importante la orientación del eslabón que contiene la
línea. Normalmente esto se realiza con un eslabonamiento de 4 barras de
manivela-balancín o de doble balancín, en donde un punto en el acoplador
describe la trayectoria de salida deseada, y el eslabonamiento también
controla la orientación angular del eslabón acoplador que contiene la recta
de salida de interés.
11.3 Puntos de precisión.
Los puntos o posiciones prescritos para ubicaciones sucesivas del eslabón de sal-
ida (acoplador o balancín) en el plano, generalmente se denominan puntos de
precisión o posiciones de precisión. El número de puntos de precisión que
pueden sintetizarse está limitado por el número de ecuaciones disponibles para
su solución. Es eslabonamiento de cuatro barras se sintetiza por métodos de
forma de cierre hasta para cinco puntos de posición en el caso de generación
de movimiento o trayectoria (salida de acoplador) y hasta para siete puntos de
generación de función (salida de balancín). La síntesis para dos o tres puntos
de presición es relativamente sencilla, y cada uno de estos casos se puede re-
ducir a un sistema de ecuaciones líneales simultáneas fácilmente resolubles con
calculadora. Los cuatro o más problemas de sístesis de posición suponen la
resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas no lineales que requieren una
computadora, ya que son más dificiles de resolver.
Observe que estos procedimientos de síntesis analítica proporcionan una solu-
ción capaz de "estar en" los puntos de precisión especificados, pero no garantizan
la operación del eslabonamiento entre dichos puntos de precisión. Es posible que
el eslabonamiento resultante sea incapaz de moverse de un punto de presición a
otro debido a la presencia de una posición de agatorramiento u otra restricción.
Se podría diseñar una simulación del eslabonamiento sintetizado para obser-
var su operación e investigar la precencia de problemas, incluso si la síntesis se
realiza con un método analítico muy particular.
132
11.4 Generación de movimiento de dos posiciones
por síntesis analítica.
En la figura se muestra un eslabonamiento de cuatro barras en una pocisión con
un punto de acoplador en el primer punto de presición P1. También se indica un
segundo punto de presición (Punto P2) que la rotación del balancín de entrada,
eslabón 2, debe de alcanzar de acuerdo con un todavía no especificado ángulo β2.
Considere también que el ángulo del eslabón 3 (acoplador) en cada uno de los
puntos de presición, está definido por los ángulos de los vectores posición Z1 y
Z2. El ángulo φ corresponde al ángulo θ3 del eslabón 3 en su primera posición.
Este ángulo se desconoce al principio de la síntesis y debe determinarse. El
ángulo α2 representa el cambio angular del eslabon 3, de la posición uno a la
posición dos. Este ángulo se define en el planteamiento del problema.
Es importante advertir que el eslabonamiento es esquemático como se mues-
tra en la figura. Al principio se desconocen sus dimensiones y deben determi-
narse mediante esta técnica de síntesis. Así, por ejemplo, la longitud del vector
de posición Z1, como se muestra, no es indicativa de la longitud final de ese
borde del eslabón 3; ni tampoco las longitudes (W , Z, U , V ) o los ángulos (θ,
φ, σ, ψ) de cualquier eslabón mostrado, como predicciones del resultado final.
El planteamiento del problema es:
Diseñe un eslabonamiento de cuatro barras que moverá una recta en su es-
labón acoplador, tal que un punto P de esa línea estará primero en P1 y luego
en P2 y que hará girar la recta por un ángulo α2 entre dos puntos de presición.
Determine las longitudes y los ángulos de los cuatro eslabones y las dimensiones
del eslabón acoplador A1P1 y B1P1 como se muestra en la figura 9− 1.
133
Figura 9-1. a) Dos posiciones, b) Eslabonamiento esquemático constituido por
dos díadas, WZ y US. Se muestra la díada del lado izquierdo.
134
Figura 9-1 Complemento: se muestra de manera detallada todos los vectores
de la figura anterior.
El procedimiento para la síntesis analítica de movimiento de dos
posiciones es:
Definir los dos puntos de presición deseados en el plano respecto a un sistema
de coordenadas global arbitrario XY mediante los vectores de posición R1 y R2,
como se muestra en la figura 9-1a). El cambio en el ángulo α2 del vector Z es la
rotación requerida del eslabón acoplador. Observe que la diferencia de posición
del vector P21 determina el desplazamiento del movimiento de salida del punto
P y se define como:
P21 = R2 −R1 (11.1)135
La díadaW1Z1 define la mitad izquierda del eslabonamiento. La díada U1S1
define la mitad derecha. Observe que Z1 y S1 están incrustados en el acoplador
rígido (eslabón 3) y los dos vectores experimentarán la misma rotación por un
ángulo α2, de la posición 1 a la posición 2. La longitud entre pasadores y el
ángulo del eslabon 3 (vector V1) se define en términos de los vectores Z1 y S1.
V1 = Z1 − S1 (11.2)
El eslabón de fijación 1 se define también en términos de las dos diadas.
G1 = W1 + V1 − U1 (11.3)
Por lo tanto, si se pueden definir las dos diadas W1, Z1, y U1, S1, se podrá
determinar el eslabonamiento que cumple con las especificaciones del problema.
Primero se resolverá para la parte izquierda del eslabonamiento (vectores
W1 y Z1) y luego se empleará el mismo procedimiento para resolver la parte
derecha (vectores U1 y S1). Para W1 y Z1 se necesita solamente escribir una
ecuación de lazo vectorial alrededor del lazo, el cual incluye tanto la posición P1
como la P2 para la díada del lado izquierdo.
Se seguirá el sentido de las manecillas alrededor de dicho lazo comenzando
con W2:
W2 + Z2 − P21 − Z1 −W1 = 0 (11.4)
Ahora se introducen los equivalentes de números complejos para los vectores.
wej(θ+β2) + zej(φ+α2) − p21ejδ2 − zejφ − wejθ = 0 (11.5)
Las sumas de los ángulos de los exponentes se expresan como productos de
términos:
wejθejβ2 + zejφejα2 − p21ejδ2 − zejφ − wejθ = 0 (11.6)
Se simplifica y reordena:
wejθ
¡
ejβ2 − 1
¢
+ zejφ
¡
ejα2 − 1
¢
= p21ejδ2 (11.7)
Considere que las longitudes de los vectores W1 y W2 tienen el mismo valor
w, ya que representan el mismo eslabón rígido en dos posiciones diferentes. Igual
puede decirse que los vectores Z1 y Z2, cuya magnitud común es z.
Las ecuaciones son ecuaciones vectoriales, cada una de las cuales contiene
dos ecuaciones escalares, por lo tanto, se resuelven para dos incognitas. Las dos
ecuaciones escalares se desarrollan por sustitución de la identidad de Euler y al
separar los términos real e imaginario queda:
parte real:
[w cos θ] (cosβ2 − 1)−[w sin θ] sinβ2+[z cosφ] (cosα2 − 1)−[z sinφ] sinα2 = p21 cos δ2
(11.8)
parte imaginaria:
[w sin θ] (cosβ2 − 1)−[w cos θ] sinβ2+[z sinφ] (cosα2 − 1)−[z cosφ] sinα2 = p21 sin δ2
(11.9)
136
En estas dos ecuaciones se presentan ocho variables: w, θ, β2, z, φ, α2, p21
y δ2. Se pueden resolver solamente dos. Tres de las ocho se definieron en el
planteamiento del problema: α2, p21, y δ2. De las cinco restantes, w, θ, β2, z,
φ, se tiene que elejir tres como "opciones libres" (valores supuestos) con el fin
de resolver las otras dos.
Una estrategia consiste en suponer valores para los tres ángulos: θ, β2, φ,
según la premisa de que se desea especificar la orientación θ, φ de los dos vectores
del eslabónW1 y Z1 para que se adapten a las restricciones de empaque, así como
la desviación angular β2 del eslabón 2 para que se adapten a una restricción de
impulso. Esta elección presenta además la ventaja de conducir a un conjunto
de ecuaciones con incógnitas lineales y que de esta forma resultan más faciles
de resolver. Para esta solución, las ecuaciones se simplifican al igualar algunas
constantes con los términos supuestos y especificados.
En las ecuaciones 9.8, sean:
A = cos θ (cosβ2 − 1)− sin θ sinβ2
B = cosφ (cosα2 − 1)− sinφ sinα2
C = p21 cos δ2 (11.10)
y en la ecuaciones 9.9 sean:
D = sin θ (cosβ2 − 1)− cos θ sinβ2
E = sinφ (cosα2 − 1)− cosφ sinα2
F = p21 sin δ2 (11.11)
entonces:
Aw +Bz = C
Dw +Ez = F (11.12)
y al resolver simultaneamente,
w =
CE −BF
AE −BD ; z =
AF − CD
AE −BD (11.13)
Una segunda estrategia consiste en suponer una longitud z, un ángulo φ para
el vector Z1 y la desviación angular β2 del eslabón 2, y luego resolverla para
evaluar el vector W1.
Generalmente se utiliza este enfoque. Observe que los términos entre corchetes
en cada una de las ecuaciones 9.8 y 9.9 son las componentes x y y de los vectores
W1 y Z1, respectivamente.
W1x = w cos θ Z1x = z cosφ
W1y = w sin θ Z1y = z sinφ (11.14)
137
Se sustituye en la ecuación 9.8 y 9.9
W1x (cosβ2 − 1)−W1y sinβ2+Z1x (cosα2 − 1)−Z1y sinα2 = p21 cos δ2 (11.15)
W1y (cosβ2 − 1)−W1x sinβ2+Z1y (cosα2 − 1)−Z1x sinα2 = p21 cos δ2 (11.16)
Z1x y Z1y son valores conocidos de la ecuación 9.18, en la que se considera
a z y φ como opciones libres. Para simplificar más la expresión, combine otros
términos conocidos como:
A = cosβ2 − 1; B = sinβ2; C = cosα2 − 1
D = sinα2; E = p21 cos δ2; F = p21 sin δ2 (11.17)
sustituyendo,
AW1x −BW1y + CZ1x −DZ1y = E
AW1y +BW1x + CZ1y +DZ1x = F (11.18)
y la solución es:
W1x =
A (−CZ1x +DZ1y +E) +B (−CZ1y −DZ1x + F )
−2A
W1y =
A (−CZ1y −DZ1x+ F ) +B (CZ1x −DZ1y −E)
−2A (11.19)
Cualquiera de estas estrategias resulta en la definición de la díada izquierda
W1Z1 y sus localizaciones de pivote, lo cual proporciona la generación de movimiento
especificada.
Ahora se debe repetir el proceso para la díada de la derecha U1S1. La figura
9-2 destaca las dos posiciones U1S1 y U2S2 de la díada del lado derecho. El
vector U1 se encuentra inicialmente en un ángulo σ y se mueve por un ángulo
γ2 de la posición 1 a la 2.
138
Figura 9-2. Díada del lado derecho mostrada en dos posiciones.
139
Figura 9-2. Complemento
140
El vector S1 está inicialmente en el ángulo ψ. Observe que la rotación del
vector S de S1 a S2 se da en el mismo ángulo α2 que el vector Z, ya que ambos
están en el mismo eslabón. Para esta díada se puede escribir una ecuación de
lazo vectorial parecida a la ecuación 9.4.
U2 + S2 − P21 − S1 − U1 = 0 (11.20)
Reexprese en forma de variable compleja y reúna los términos:
uejσ
¡
ejγ2 − 1
¢
+ sejψ
¡
ejα2 − 1
¢
= p21ejδ2 (11.21)
Cuando esto se desarrolla y se introducen los ángulos apropiados, las ecua-
ciones de las componentes x y y serán:
parte real:
u cosσ (cos γ2 − 1)−u sinσ sin γ2+s cosψ (cosα2 − 1)+s sinψ sinα2 = p21 cos δ2
(11.22)
parte imaginaria:
u sinσ (cos γ2 − 1)−u cosσ sin γ2+s cos+ sinψ (cosα2 − 1)+s cosψ sinα2 = p21 sin δ2
(11.23)
La misma estrategia puede aplicarse a las ecuaciones 9.21 y 9.22, como se
hizo en las ecuaciones 9.8 y 9.9, con la finalidad de determinar las magnitudes
de los vectores U y S suponiendo los valores para los ángulos σ, ψ y γ2. Como
antes, las cantidades p21, δ2, y α2 se definen a partir del planteamiento del
problema.
En las ecuacion 9.21 sea:
A = cosσ (cos γ2 − 1)− sinσ sin γ2
B = cosψ (cosα2 − 1)− sinψ sinα2
C = p21 cos δ2 (11.24)
y en la ecuación 9.22 sea:
D = sinσ (cos γ2 − 1)− cosσ sin γ2
E = sinψ (cosα2 − 1)− cosψ sinα2
F = p21 sin δ2 (11.25)
entonces:
Au+Bs = C
Du+Es = F (11.26)
y al resolver simultaneamente,
u =
CE −BF
AE −BD ; s =
AF − CD
AE −BD (11.27)
141
Si se emplea la segunda estrategia, suponiendo en ángulo γ2 y la magnitud
y dirección del vector S1 (que definira al eslabón 3) el resultado será:
U1x = u cosσ S1x = s cosψ
U1y = u sinσ S1y = s sinψ (11.28)
Sustituya en la ecuación 9.21 y 9.22:
U1x (cos γ2 − 1)−U1y sin γ2+ S1x (cosα2 − 1)−S1y sinα2 = p21 cos δ2 (11.29)
U1y (cos γ2 − 1)−U1x sin γ2+ S1y (cosα2 − 1)−S1x sinα2 = p21 cos δ2 (11.30)
Sea:
A = cos γ2 − 1; B = sin γ2; C = cosα2 − 1
D = sinα2; E = p21 cos δ2; F = p21 sin δ2 (11.31)
Sustituya en la ecuación 9.28 y 9.29,
AU1x −BU1y + CS1x −DS1y = E
AU1y +BU1x + CS1y +DS1x = F (11.32)
y la solución es:
U1x =
A (−CS1x +DS1y +E) +B (−CS1y −DS1x + F )
−2A
U1y =
A (−CS1y −DS1x + F ) +B (CS1x −DS1y +E)
−2A (11.33)
Observe que existe una infinidad de soluciones posibles a este problema
porque se puede elegir cualquier conjunto de valores para las tres opciones libres
de las variables, en este caso de dos posiciones. Técnicamente hay una infinidad
de soluciones para cada opción libre. Existen muchas soluciones entre las cuales
elegir en cualquierproporción. Desgraciadamente no todas funcionaran. Al-
gunas tendrán defectos de circuito, de rama o de orden como posiciones de
agatorramiento entre los puntos de presición. Otras tendrán ángulos de trans-
misión o pivotes de posición deficientes, o eslabones exagerados. El juicio de
diseño es aún mas importante al seleccionar los valores supuestos para las op-
ciones libres. A pesar de su nombre, más adelante se pagarán las consecuencias
por dichas "opciones libres". ¡Elabore un modelo!.
11.5 Generación de movimiento de tres posiciones
por síntesis analítica.
El mismo planteamiento de definir dos díadas, una en cada extremo del es-
labonamiento de cuatro barras, que se usó en la síntesis de movimiento de dos
142
posiciones puede ser extendido a tres, cuatro y cinco posiciones en el plano.
Ahora se analiza el problema de la síntesis de movimiento de tres posiciones .
En la figura 9-3 se muestra un eslabonamiento de cuatro barras en una posición
general con un punto de acoplador localizado en su primer punto de presición
P1. También se muestran posiciones de segundo y tercer punto de presición
(puntos P2 y P3). Éstas se lograrán por la rotación del balancín de entrada,
eslabón 2, a través de ángulos aún no especificados β2 y β3. Observe también
que los ángulos del eslabón 3 del acoplador en cada punto de presición se de-
finen por los ángulos de los vectores de posición Z1, Z2 y Z3. El eslabonamiento
mostrado en la figura es esquemático. Al principio se desonocen sus dimensiones
y deben encontrarse por esta técnica de síntesis. Así, por ejemplo, la longitud
del vector posición Z1 como se muestra no indica la longitud final de ese borde
del eslabón 3; tampoco las longitudes o ángulos de cualquiera de los eslabones
mostrados predicen el resultado final.
143
Figura 9-3. Síntesis analítica de tres posiciones.
144
Figura 9-3. Complemento
El planteamiento del problema es:
Diseñe un eslabonamiento de cuatro barras que moverá una línea en su
eslabón acoplador, del tal manera que un punto P en esa línea estará primero
en P1, luego en P2 y después en P3, y también girará la línea por un ángulo
145
α2 entre las dos posiciones de presición y por un ángulo α3 entre la primera y
tercera posición de precisión. Encuentre las longitudes y ángulos de los cuatro
eslabones y las dimensiones del eslabón acoplador A1P1 yB1P1 como se muestra
en la figura 9-3.
El procedimiento de la síntesis analítica de movimiento de tres
posiciones es el siguiente:
Por conveniencia se localizará el sistema de coordenadas global XY en el
primer punto de presición P1. Se definen los otros dos puntos de presición
deseados en el plano con respecto a este sistema global como se muestra en la
figura 9-4. Los vectores de diferencia de posición P21, trazados de P1 a P2 y
P31, trazados de P1 a P3, tienen ángulos δ2 y δ3, respectivamente. Los vectores
de diferencia de pocisión P21 y P31 definen los desplazamientos del movimiento
de salida del punto P desde el punto 1 al 2 y desde el 1 al 3, respectivamente.
La díadaW1Z1 define la mitad izquierda del eslabonamiento. La díada U1S1
define la mitad derecha del eslabonamiento. Los vectores Z1 y S1 están incrus-
tados en el acoplador rígido (eslabón 3) y ambos experimentarán las mismas
rotaciones por un ángulo α2 de la posición 1 a la posición 2, y por un ángulo α3
de la posición 1 a la posición 3. La longitud de pasador a pasador y el ángulo
del eslabón 3 (vector V1) se define en términos de los vectores Z1 y S1como en
la ecuación 9.2. El eslabón de fijación se define como antes por la ecuación 9.3.
Como se hizo en el caso de dos posiciones, primero se resolverá la parte
izquierda del eslabonamiento (vectoes W1 y Z1) y después se usará el mismo
procedimiento para resolver la parte derecha (vectores U1 y S1). Al resolver
W1 y Z1 se necesita escribir dos ecuaciones de lazo vectorial, una alrededor del
lazo que incluye las posiciones P1 y P2, otra alrededor del lazo que incluye las
posiciones P1 y P3 (vease la figura 9-3). Se seguira el sentido de las manecillas
del reloj en el primer lazo para el movimiento de la posición 1 a la 2 comenzando
con W2, y luego se escribirá la segunda ecuación de lazo para el movimiento de
la posición 1 a la 3 comenzando con W3.
W2 + Z2 − P21 − Z1 −W1 = 0
W3 + Z3 − P31 − Z1 −W1 = 0 (11.34)
Se sustituyen los equivalentes de número complejo para los vectores.
wej(θ+β2) + zej(φ+α2) − p21ejδ2 − zejθ − wejθ = 0
wej(θ+β3) + zej(φ+α3) − p31ejδ2 − zejφ − wejθ = 0 (11.35)
Se reescriben las sumas de los ángulos en los exponentes como producto de
términos.
wejθejβ2 + zejφejα2 − p21ejδ2 − zejφ − wejθ = 0
wejθejβ3 + zejφejα3 − p31ejδ3 − zejφ − wejθ = 0 (11.36)
146
Se simplifica y reordena:
wejθ
¡
ejβ2 − 1
¢
+ zejφ
¡
ejα2 − 1
¢
= p21ejδ2
wejθ
¡
ejβ3 − 1
¢
+ zejφ
¡
ejα3 − 1
¢
= p31ejδ3 (11.37)
La magnitud w de los vectoresW1,W2 yW3 es la misma en las tres posiciones
debido a que representa la misma línea en un eslabón rígido. Lo mismo puede
decirse de los vectores Z1, Z2 y Z3, cuya magnitud común es z.
Las ecuaciones 9.36 y 9.37 constituyen un sistema de dos ecuaciones vec-
toriales, cada una de las cuales contiene dos ecuaciones escalares. Ese sistema
de cuatro ecuaciones puede resolverse para cuatro incógnitas. Las ecuaciones
escalares pueden desarrollarse sustituyendo la identidad de Euler y separando
los términos reales e imaginarios, como se hizo antes, en el ejemplo de dos posi-
ciones.
parte real:
w cos θ (cosβ2 − 1)−w sin θ sinβ2+z cosφ (cosα2 − 1)−z sinφ sinα2 = p21 cos δ2
(11.38)
w cos θ (cosβ3 − 1)−w sin θ sinβ3+z cosφ (cosα3 − 1)−z sinφ sinα3 = p31 cos δ3
(11.39)
parte imaginaria:
w sin θ (cosβ2 − 1)+w cos θ sinβ2+z sinφ (cosα2 − 1)+z cosφ sinα2 = p21 sin δ2
(11.40)
w sin θ (cosβ3 − 1)+w cos θ sinβ3+z sinφ (cosα3 − 1)+z cosφ sinα3 = p31 sin δ3
(11.41)
Hay doce variables en cuatro ecuaciones: w, θ, β2, β3, z, φ, α2, α3, p21, p31,
δ2 y δ3. Se puede resolver solamente para cuatro. Seis de ellas están definidas en
el planteamiento del problema: α2, α3, p21, p31, δ2 y δ3. De las seis restantes w,
θ, β2, β3, z y φ dos de deben elegir como opciones libres (valores supuestos) para
resolver las otras cuatro. Una estrategia consiste en suponer valores para los dos
ángulos β2 y β3, con la premisa de que es deseable especificar las desviaciones
angulares del eslabón 2 de acuerdo con una cierta restricción. (Esta opción tiene
también la ventaja de conducir a un sistema de ecuaciones lineales de solución
simultánea.)
Esto deja por hallar las magnitudes y los ángulos de los vectores W y Z (w,
θ, z, φ). Para simplificar la solución se sustituyen las siguientes relaciones con
lo que se obtienen los componentes x y y de los dos vectores desconocidos W y
Z, en lugar de sus coordenadas polares.
W1x = w cos θ; Z1x = z cosφ
W1y = w sin θ; Z1y = z sinφ (11.42)
Se sustituyen las ecuaciones 9.42 en las ecuaciones 9.38, 9.39, 9.40, 9.41 y se
obtiene:
W1x (cosβ2 − 1)−W1y sinβ2+Z1x (cosα2 − 1)−Z1y sinα2 = p21 cos δ2 (11.43)
147
W1x (cosβ3 − 1)−W1y sinβ3+Z1x (cosα3 − 1)−Z1y sinα3 = p31 cos δ3 (11.44)
W1y (cosβ2 − 1)+W1x sinβ2+Z1y (cosα2 − 1)−Z1x sinα2 = p21 sin δ2 (11.45)
W1y (cosβ3 − 1)+W1x sinβ3+Z1y (cosα3 − 1)−Z1x sinα3 = p31 sin δ3 (11.46)
Éstas son cuatro ecuaciones con cuatro incognitas W1x, W1y, Z1x y Z1y.
Al establecer los coeficientes que contienen los términos supuestos y especifica-
dos iguales a algunas constantes se puede simplificar la notación y obtener las
siguientes soluciones:
A = cosβ2 − 1; B = sinβ2; C = cosα2 − 1
D = sinα2; E = p21 cos δ2; F = cosβ3 − 1
G = sinβ3; H = cosα3 − 1; K = sinα3
L = p31 cos δ3; M = p21 sin δ2; N = p31 sin δ3 (11.47)
Se sustituyen las ecuaciones 9.47 en las ecuaciones 9.43, 9.44, 9.45 y 9.46
para simplificar:
AW1x −BW1y + CZ1x −DZ1y = E
FW1x −GW1y +HZ1x −KZ1y = L
BW1x +AW1y +DZ1x + CZ1y = MGW1x + FW1y +KZ1x +HZ1y = N (11.48)
Este sistema puede ponerse en forma de matriz estándar:
⎡
⎢⎢⎣
A −B C −D
F −G H −K
B A D C
G F K H
⎤
⎥⎥⎦×
⎡
⎢⎢⎣
W1x
W1y
Z1x
Z1y
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎣
E
L
M
N
⎤
⎥⎥⎦ (11.49)
Ésta es la forma general de la ecuación (Vease apéndice B). El vector de
incógnitas B se puede resolver al premultiplicar la inversa de la matriz de co-
eficientes A por el vector constante C, o al formar la matriz aumentada como
en la ecuación B.12 (vease apéndice B). Para cualquier problema numérico la
inversa de una matriz de 4× 4 puede determinarse con diversas calculadoras de
bolsillo o algún paquete de software como MAthLAB o MAPLE.
Las ecuaciones 9.47 y 9.48 resuelven el problema de síntesis de tres posi-
ciones para el lado izquierdo del eslabonamiento utilizando un par de valores
supuestos para β2 y β3. Se debe repetir el proceso anterior en el lado derecho
del eslabonamiento para encontrar los vectores U y S. La figura 9-3 también
muestra las tres posiciones de la díada US y los ángulos σ, γ2, γ3 , ψ, α2 y α3,
los cuales definen las rotaciones vectoriales para las tres posiciones. La deduc-
ción de la solución para la díada del lado derecho, US, es idéntica a la recién
efectuada para la díada izquierda WZ. Las indicaciones de ángulos y vectores
son la única diferencia. Las ecuaciones de lazo vectorial son:
U2 + S2 − P21 − S1 − U1 = 0
U3 + S3 − P31 − S1 − U1 = 0 (11.50)
148
Se sustituye, simplifica y reordena:
uejσ
¡
ejγ2 − 1
¢
+ sejψ
¡
ejα2 − 1
¢
= p21ejδ2
uejσ
¡
ejγ3 − 1
¢
+ sejψ
¡
ejα3 − 1
¢
= p31ejδ3 (11.51)
La solución requiere que se realicen dos opciones libres. Se supondran valores
para los ángulos γ2 y γ3. Observe que α2 y α3 son los mismos que para la díada
WZ. En efecto, se resolverá para los ángulos σ y ψ al encontrar las componentes
x y y de los vectores U y S. La solución es:
A = cos γ2 − 1; B = sin γ2; C = cosα2 − 1
D = sinα2; E = p21 cos δ2; F = cos γ3 − 1
G = sin γ3; H = cosα3 − 1; K = sinα3
L = p31 cos δ3; M = p21 sin δ2; N = p31 sin δ3 (11.52)
AU1x −BU1y + CS1x −DS1y = E
FU1x −GU1y +HS1x −KS1y = L
BU1x +AU1y +DS1x + CS1y = M
GU1x + FU1y +KS1x +HS1y = N (11.53)
Las ecuaciones 9.53 se resuelven utilizando el método de las ecuaciones ante-
riores al cambiar W a U y Z a S, y al emplear las definiciones de las constantes
dadas en la ecuación 9.52 en la ecuación 9.47.
También es evidente que hay infinidad de soluciones para este problema
de síntesis de tres posiciones. Una selección inapropiada de las dos opciones
libres podría llevar a una solución con problemas de circuitos, de rama o de
orden al moverse en todas las posiciones especificadas. Por lo tanto, se debe
comprobar la función de la solución sintetizada por éste o cualquier otro método.
La verificación más rápida es un modelo simple.
11.6 Síntesis analítica de cuatro y cinco posi-
ciones.
Las mismas técnicas deducidas anteriormente para la síntesis de dos y tres poci-
siones se extienden a cuatro y cinco posiciones al expresar más ecuaciones de
lazo vectorial, una para cada punto de presición. Para facilitar esto ahora se
expresarán las ecuaciones de lazo en la forma más general, aplicable a cualquier
número de posiciones de precisión. La figura 9-4. ilustrará la notación de la
solución general. Los ángulos α2, α3, β2, β3, γ2 y γ3 se designarán ahora como
αk, βk y γk, k = 2 a n, donde k representa la posición de precisión y n = 2,
3, 4 o 5 representa el número total de posiciones por resolver. El sistema de
ecuaciones general de lazo vectorial entonces se convierte en:
Wk + Zk − Pkl − Z1 −W1 = 0, k = 2 a n (11.54)
149
Lo cual, después de sustituir las formas numéricas complejas y simplificar
será:
wejθ
¡
ejβk − 1
¢
+ zejφ
¡
ejαk − 1
¢
= pk1ejδk , k = 2 a n (11.55)
Esto se expresa en una forma más compacta al sustituir la notación vectorial
para los términos a los cuales se aplica, sean:
W = wejθ; Z = wejφ; Pk1 = pk1ejδk (11.56)
entonces:
W
¡
ejβk − 1
¢
+ Z
¡
ejαk − 1
¢
= Pk1ejδk , k = 2 a n (11.57)
Erdman y Sandor denominan a la ecuación 9.57 ecuación de forma estándar.
Al sustituir los valores de αk, βk, y δk en la ecuación 9.57 para todas las
posiciones de presición deseadas, el sistema requerido de ecuaciones simultáneas
se expresa para la díada izquierda del eslabonamiento. La ecuación de forma
estándar se aplica también a la díada derecha US, con cambios apropiados a los
nombres de las variables conforme se requiere.
U
¡
ejβk − 1
¢
+ S
¡
ejαk − 1
¢
= Pk1ejδk , k = 2 a n (11.58)
El número de ecuaciones resultantes, variables y opciones libres de cada valor
de n se muestra en la tabla 9-1 (según Erdman y Sandor). Ésta proporciona
soluciones para problemas de cuatro y cinco posiciones.
TABLA 9-1 Número de variables y opciones libres para sín-
tesis analítica de movimiento de puntos de presición y trayectoria
temporizada.
Núm. de Núm de Núm. de Núm. de Núm. de Núm. de
Posiciones variables ecuaciones variables opciones soluciones
(n) escalares escalares prescritas libres disponibles
2 8 2 3 3 ∞3
3 12 4 6 2 ∞2
4 16 6 9 1 ∞1
5 20 8 12 0 Finito
150
Appendix A
Desarrollo de Funciones
Mediante Series de Taylor.
Considere una función real f(x) de variable real que es continuamente diferen-
ciable en el intervalo (a, b). Sea x0 ∈ (a, b) y suponga que deseamos conocer, al
menos aproximadamente, el valor de la función f(x) en un punto x ∈ (a, b) y
“cercano” a x0 en términos del valor de la función y sus derivadas en x0.
La aproximación puede realizarse mediante una serie de potencias cuya vari-
able sea (x− x0), es decir
f(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + ··· =
∞X
n=0
an(x− x0)n (A.1)
Esta expresión se conoce como una serie de Taylor.
Entonces, el problema se reduce, desde el punto de vista operativo, al cálculo
de los coeficientes a0, a1, a2,··· de la serie de potencias.
1. Para el cálculo de a0, haga x = x0, entonces
f(x0) = a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+ ··· = a0 y a0 = f(x0) (A.2)
2. Para el cálculo de a1, obtenga la primera derivada, respecto de x, de la
serie de Taylor, ecuación 29,
df
dx
= a1 + 2a2(x− x0) + ··· (A.3)
y sustituya x = x0,
df(x0)
dx
= a1 + 2a2(x0 − x0) + ··· = a1, y a1 = df(x0)dx (A.4)
151
3. Para el cálculo de a2, obtenga la segunda derivada, respecto de x, de la
serie de Taylor, ecuación 29,
d2f(x0)
dx2
= 2a2 y a2 =
1
2
d2f(x0)
dx2
(A.5)
4. Los restantes coeficientes se calculan de manera semejante
Así pues, la aproximación cuadrática de la función original está dada por
f(x) = f(x0) +
df(x0)
dx
(x− x0) +
1
2
d2f(x0)
dx2
(x− x0)2 + ··· (A.6)
Considere, ahora, el caso de una función real de varias variables reales
f(
→
x) = f(x1, x2, ..., xn) (A.7)
El problema de aproximación de esta función puede establecerse de la sigu-
iente manera. Suponga que se conoce el valor de la función y sus derivadas, en
este caso parciales, en el punto x0, determine una aproximación de la función
en un punto x “cercano” a x0.
La aproximación lineal de la ecuación original está dada por
f(x) ≈ a0 + b1(x1 − x10) + b2(x2 − x20) + ...+ bn(xn − xn0)+ (A.8)
c11(x1−x10)2 + c12(x1−x10)(x2−x20)+ ...+ c1n(x1−x10)(xn−xn0)+ (A.9)
c21(x2−x20)(x1−x10)+c22(x2−x20)2+...+c2n(x2−x20)(xn−xn0)+··· (A.10)
cn1(xn−xn0)(x1−x10)+cn2(xn−xn0)(x2−x20)+...+cnn(xn−xn0)2+··· (A.11)
De esa manera, el problema de aproximación se reduce de manera operativa
a la determinación de los coeficientes a0, b1, b2,···, bn, c11, c12, ...cnn. Para
obtener los valores de los coeficientes y, de esa manera, resolver el problema de
aproximación de funciones debe procederse como se indica a continuación
1. Para determinar a0, sustituya en la aproximación lineal 37, x = x0 ; es
decir x1 = x10, x2 = x20, · · ·, xn = xn0. De aquí que
f(
→
x0) = a0+b1(x10−x10)+b2(x20−x20)+...+bn(xn0−xn0)= a0. (A.12)
152
2. Para determinar cualesquiera de los coeficientes bi, determine la derivada
parcial de la aproximación con respecto a xi
∂f(
→
x)
∂xi
= bi + ··· (A.13)
y sustituya en la derivada parcial 39, x = x0; es decir x1 = x10, x2 =
x20,···, xn = xn0. De aquí que
∂f(
→
x0)
∂xi
= bi (A.14)
Por lo tanto, la aproximación lineal de la función f(x) está dada por
f(x) ≈ f(x0)+
∂f(
→
x0)
∂x1
(x1−x10)+
∂f(
→
x0)
∂x2
(x2−x20)+···+∂f(
→
x0)
∂xn
(xn−xn0)+···
(A.15)
o en forma matricial
f(
→
x) ≈ f(→x0) +
h
∂f(
→
x0)
∂x1
∂f(
→
x0)
∂x2
· · · ∂f(
→
x0)
∂xn
i⎡⎢⎢⎢⎣
(x1 − x10)
(x2 − x20)
...
(xn − xn0)
⎤
⎥⎥⎥⎦
(A.16)
153
Appendix B
Solución por ecuaciones
simultáneas.
Estos métodos de solución son utiles para los problemas de síntesis. El prob-
lema de síntesis de dos posiciones resulta en dos ecuaciones simultáneas que se
resuleven por sustitución directa. El problema de síntesis de tres posiciones con-
ducirá a un sistema de cuatro ecuaciones lineales simultaneas y requerirá de un
metodo de resolución mas complicado. Un planteamiento conveniente para la
resolución de conjuntos de ecuaciones lineales simultáneas consiste en ponerlos
en forma de matriz estándar y utilizar un resolvedor de matrices numéricas para
obtener las respuestas. Los resolvedores de matrices están integrados en la may-
oría de las calculadoras de bolsillo de ingeniería y científicas. Algunos paquetes
de hoja de cálculo y resolvedores de ecuaciones también resuleven matrices.
Como un ejemplo de este enfoque general considere el siguiente conjunto de
ecuaciones simultáneas:
−2x1 − x2 + x3 = −1
x1 + x2 + x3 = 6
3x1 + x2 − x3 = 2 (B.1)
Un sistema tan pequeño como éste se resuelve de modo extenso por el método
de eleminación, pero se pondrá en forma matricial para mostrar el enfoque gen-
eral , el cual funcionará sin que importe el número de ecuaciones. Las ecuaciones
B.1 se expresan como el producto de un conjunto de dos matrices igualado a
una tercera matriz.
⎡
⎣
−2 −1 1
1 1 1
3 1 −1
⎤
⎦×
⎡
⎣
x1
x2
x3
⎤
⎦ =
⎡
⎣
−1
6
2
⎤
⎦ (B.2)
Se hará referencia a estas matrices como A, B y C,
[A]× [B] = [C] (B.3)
154
donde A es la matriz de coeficientes de las incógnitas, B es un vector columna
de las incógnitas y C es un vector columna de los términos constantes. Cuando
la matriz A se multiplica por la B el resultado será igual a los lados izquierdos
de la ecuación B.1.
Véase en cualquier texto de álgebra lineal, una descripción del procedimiento
para multiplicación de matrices.
Si la ecuación B.3 fuese una ecuación escalar,
ab = c (B.4)
en vez de una ecuación vectorial (matricial), sería muy fácil resolverla para
determinar la incógnita b cuando se conoce a y c. Simplemente se dividiría c
entre a para encontrar b.
b =
c
a
(B.5)
Por desgracia la división no está definida para las matrices, por lo que se
debe usar otro método. Advierta que también puede expresarse la división en
la ecuación B.5 como:
b = a−1c (B.6)
Si las ecuaciones por resolver son linealmente independientes se puede en-
contrar la inversa de la matriz A y multiplicarla por la matriz C para encontrar
B. La inversa de una matriz se define como la matriz, la cual, cuando se multi-
plica por la matriz original, produce la matriz identidad. La matriz identidad es
una matriz cuadrada con números uno en la diagonal principal y cero en todo lo
demás. La inversa de un matriz se indica al agregar un superíndice -1 al símbolo
de la matriz original:
[A]−1 × [A] = [I] =
⎡
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎦ (B.7)
No todas la matrices tendrán inversa. Para que exista una inversa el de-
terminante de la matriz debe ser distinto de cero. La clase de problemas que
aquí se tratan tendrán matrices con inversa cuando todos los datos se calculen
correctamente para entrar en la matriz y representen un sistema físico real. El
cálculo de los términos de la inversa de una matriz es un proceso numérico
complejo que requiere una computadora o una calculadora de bolsillo prepro-
gramada para invertir una matriz de tamaño significativo. Para montar una
inversa se emplea generalmente el método numérico de eliminación de Gauss-
Jordan. Para el ejemplo simple de la ecuación B.2 se encuentra que la inversa
de la matriz A es:
⎡
⎣
−2 −1 1
1 1 1
3 1 −1
⎤
⎦
−1
=
⎡
⎣
1.0 0.0 1.0
−2.0 0.5 −1.5
1.0 0.5 0.5
⎤
⎦ (B.8)
155
Si se puede obtener la inversa de la matrizA, entonces se resolverá la ecuación
B.1 para determinar las incógnitas B al multiplicar ambos lados de la ecuación
por la inversa de A.
Considere que, a diferencia de la multiplicación escalar, la multiplicación ma-
tricial no es conmutativa; es decir, A×B no es igual a B×A. Se premultiplicará
cada lado de la ecuación por la inversa:
[A]−1 × [A]× [B] = [A]−1 × [C] (B.9)
pero:
[A]−1 × [A] = [I] (B.10)
así:
[B] = [A]−1 × [C] (B.11)
El producto de A y su inversa en el lado izquierdo de la ecuación es igual a
la matriz de identidad I. Multiplicar por la matriz de identidad es equivalente,
en terminos escalares, a multiplicar por 1, por lo que no se tiene efectos en el
resultado. Así las incógnitas se pueden despejar al premultiplicar la inversa de
la matriz A de coeficientes por la matriz C de los términos constantes.
Este método de solución funciona sin importar el número de ecuaciones pre-
sentes mientras se obtenga la inversa de A, suficiente memoria en la computa-
dora y tiempo disponible para hacer el cálculo. Observe que en realidad no es
necesario hallar la inversa de la matriz A para resolver el sistema de ecuaciones.
El algoritmo de Gauss-Jordan, el cual obtiene la inversa, también se utiliza di-
rectamente para despejar las incógnitas B al reunir las matrices A y C en una
matriz aumentada de n filas y n+1 columnas. La columna agregada es el vector
C. Este enfoque requiere menos cálculo, por lo que es más rápido y más exacto.
La matriz aumentada para ese ejemplo es:
⎡
⎣
−2 −1 1 M −1
1 1 1 M 6
3 1 −1 M 2
⎤
⎦ (B.12)
El algoritmo de Gauss-Jordan manipula esta matriz aumentada hasta que
esté en la forma que se muestra en seguida, en la cual la porción cuadrada
izquierda se ha reducido a la matriz identidad, y la columna más a la derecha
contiene los valores del vector columna de la incógnitas. En este caso los resul-
tados son x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3, los cuales representan la solución correcta
a las ecuaciones originales. B.1.
⎡
⎣
1 0 0 M 1
0 1 0 M 2
0 0 1 M 3
⎤
⎦ (B.13)
156