03 Axiomática de los números reales (Primera parte)

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Fundamentos de la Matemática Prof. Adrián Milano 
 
Tema 3: NÚMEROS REALES 
 
 “Los matemáticos no estudian objetos, sino la relación entre objetos” 
 Henri Poincaré - Matemático Francés (1845 – 1912) 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Existen varias formas de introducir los números reales. Una forma de hacerlo es comenzar definiendo los números 
naturales 0;1;2;3;...y construir a partir de ellos, junto con las operaciones adición y multiplicación, los números 
enteros ... 3; 2; 1;0;1;2;3;...   y los números racionales. Los números racionales son los que se pueden expresar 
de la forma
a
b
 donde a y b son números enteros y 0b  . 
Luego de construidos los números racionales podemos definir los números reales y finalmente los números complejos. 
Esta elaboración es bastante laboriosa y compleja y por lo tanto la hemos descartado. 
Otra forma de introducir los números reales, y que desarrollaremos a continuación, es considerarlos como elementos 
primitivos, sin definición, pero verificando una serie de propiedades, llamadas axiomas, cuya validez asumimos. 
Probablemente, el lector conozca los números reales y muchas de sus propiedades como, por ejemplo, que todo número 
real multiplicado por cero da cero y que el producto de números reales negativos es un número real positivo. Lo que 
quizás desconozca, es que todas las propiedades de los números reales se pueden deducir aceptando unas pocas. 
Así como en geometría, se enuncian algunos axiomas sobre ciertos objetos, que nunca fueron definidos, como son el 
punto, la recta y el plano, enunciaremos aquí los axiomas para los números reales sin definir en ningún momento lo que 
es un número real, lo que nos interesan son las propiedades que cumplen. 
 
Las teorías axiomáticas en la matemática tienen su origen aproximadamente 300 a.C con el matemático Euclides de 
Alejandría cuando este publica su obra “Elementos”, una colección de trece libros en los que son tratados diversos 
tópicos de matemática, y en especial de geometría. En dicha obra, luego de veintitrés definiciones, aparecen cinco 
axiomas relativos a la geometría plana y diversas proposiciones que pueden deducirse a partir de los axiomas. 
Los axiomas son supuestos iniciales que entrelazan ciertos elementos no definidos, llamados elementos primitivos. 
Se aceptan sin demostración y son el punto de partida del desarrollo de una teoría. Los axiomas y definiciones junto con 
las reglas de la lógica usual permiten enunciar nuevas propiedades, llamadas teoremas, que son proposiciones 
demostrables a partir de los axiomas y sus consecuencias. 
Una vez que son establecidos los elementos primitivos y se enuncian los axiomas de una teoría matemática, todas las 
proposiciones (teoremas) que se enuncien deben ser demostradas a partir de los axiomas o sus consecuencias. 
 
Desde los comienzos del siglo XX los matemáticos han estado interesados en decidir cuáles son los axiomas y los 
teoremas de una determinada teoría matemática, es decir, ¿cuáles son los supuestos y cuáles son las propiedades que 
son consecuencias de esos supuestos? Ha llevado años decidir que propiedades son axiomas y cuáles teoremas. 
En la actualidad dentro de la axiomática de los números reales se distinguen tres axiomas que son, el axioma de cuerpo, 
que reúne las propiedades asociadas a la igualdad, el axioma de orden, que trata propiedades relacionadas con la 
desigualdad y el axioma de completitud o del supremo que permite marcar la diferencia entre los números racionales y 
los números reales. Este conjunto de tres axiomas permite deducir todas las propiedades de los números reales. 
 
Presentaremos a continuación el sistema axiomático que caracteriza a los números reales. 
 
EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES 
Comenzaremos definiendo los conceptos primitivos y el axioma de cuerpo. Este axioma acepta el hecho de que existe 
un conjunto no vacío, el cual llamamos conjunto de los números reales, y en el cual se definen dos operaciones: adición 
y multiplicación, las cuales verifican ciertas propiedades. Este axioma, hace referencia a las dos operaciones más 
elementales que pueden realizarse entre los números reales y enuncia las propiedades operatorias básicas entre ellos. 
 
CONCEPTOS PRIMITIVOS 
Aceptemos la existencia de un conjunto no vacío, simbolizado por , llamado conjunto de los números reales, y 
cuyos elementos llamamos números reales y en cual están definidas dos operaciones llamadas adición y 
multiplicación. 
La adición se simboliza por  , y asocia a cada par de números reales a y b un único número real denotado por: 
a b , llamado suma de ba y . En la suma a b , ba y se llaman sumandos. 
La multiplicación se simboliza por  , y asocia a cada par de números reales ba y un único número real denotado 
por a b o ab , llamado producto de a por b . En este caso, ba y se llaman factores del producto ab . 
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
AXIOMA DE CUERPO PARA LOS NÚMEROS REALES 
La estructura algebraica ( , , )  es un cuerpo. Esto quiere decir, que en las operaciones adición y multiplicación 
cumplen las siguientes propiedades, cualesquiera sean los números reales ,a b y c . 
 
1) Propiedad conmutativa: a b b a   y a b b a   
 
2) Propiedad asociativa:     cbacba  y     cbacba  
 
3) Propiedad de neutro: 
 i) Existe un elemento e perteneciente a , llamado neutro de la suma o neutro aditivo que cumple: 
 a e e a a    cualquiera sea el número real a . 
 
ii) Existe un elemento u perteneciente a , u e , llamado unidad, neutro del producto o neutro 
 multiplicativo que cumple u a a u a    cualquiera sea el número real a .
 
 
 El lector reconocerá que e y u son respectivamente los que habitualmente llamamos 0 y 1 , nombre que le 
 atribuiremos más adelante, una vez que demostremos que e y u son los únicos que cumplen la propiedad de neutro. 
 
4) Propiedad de opuesto o simétrico: 
 Para cada número real a , existe un número real x , llamado opuesto o simétrico de a , tal que a x x a e   
 
 
5) Propiedad de inverso: 
 Para cada número real a e existe un número real y , llamado inverso de a , tal que a y y a u    
 
6) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: cabacba  )( 
 
Decir que la estructura ( , , )  es un cuerpo significa decir que en el conjunto están definidas las operaciones 
adición y multiplicación y que ellas cumplen las seis propiedades enunciadas anteriormente. 
 
 
OBSERVACIONES 
1) La propiedad de neutro, enunciada en el axioma de cuerpo, asegura la existencia de por lo menos dos números reales 
 distintos que son los neutros e y u . Si no admitimos que el neutro de la suma y del producto son distintos, el 
 conjunto de los números reales podría estar formado solo por este neutro ya que la estructura  ( , , )e   
 verifica todas las propiedades del axioma de cuerpo. 
 
2) Con lo que tenemos hasta este momento no podemos asegurar que el conjunto tenga infinitos elementos. En 
 efecto, llamemos 2 al conjunto cuyos elementos son los neutros cuya existencia está asegurada por el axioma de 
 cuerpo. Definimos la adición y multiplicación entre los elementos de 2 de la siguiente manera: 
 , , ,e e e e u u u e u u u e        y , ,,e e e e u e u e e u u u        
 No es difícil verificar que  2 ;e u con esta adición y multiplicación verifica las propiedades del axioma de 
 cuerpo. Por tal motivo, nada nos impide decir que hasta el momento es el conjunto 2 y por tanto, que 
 tiene solo dos elementos distintos que son e y u . 
 Esto nos demuestra que usando el axioma de cuerpo no podemos concluir que tiene infinitos elementos. 
 
3) La propiedad asociativa para la adición establece que, adicionar al número a el número b c es lo mismo que a 
 a b adicionarle c . La notación )( cba  utilizada en dicha propiedad, indica que primero debe realizarse la 
 operación dentro del paréntesis, es decir b c y luego )( cba  de izquierda a derecha. 
 Si bien la propiedad asociativa no asegura que ( ) ( )a b c a c b     , esto puede deducirse de la propiedad 
 conmutativa. Por tal motivo, podemos decir que en una suma donde aparezcan tres o más sumandos, estos pueden 
 reordenarse de cualquier forma, sin alterar el resultado. Por dicha razón, cuando en una suma, hay varios sumandos 
 no se usan paréntesis. Una observación similar puede hacerse con la propiedad asociativa para la multiplicación. 
 
4) La propiedad distributiva relaciona las operaciones adición y multiplicación y expresa que, multiplicar un número 
 real por una suma es lo mismo que multiplicar cada sumando por dicho real y luego sumar los productos obtenidos. 
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Los neutros de la suma y del producto son únicos. Este hecho puede demostrarse usando el axioma de cuerpo y es 
nuestro primer teorema. 
 
TEOREMA (UNICDAD DE LOS NEUTROS) 
 
El neutro de la suma y el neutro del producto son únicos. 
 
 
Demostración 
Demostremos la unicidad del neutro de la suma y dejaremos como ejercicio demostrar la unicidad del neutro del 
producto. 
Supongamos que existen e y 1e neutros de la suma. 
Como 1e es neutro de la suma, entonces 1a e a  , cualquiera sea a . 
Como e es neutro de la suma, entonces a e a  , cualquiera sea a . 
Considerando a e en la primera igualdad y 1a e en la segunda, tenemos que: 1e e e  y 1 1e e e  
Por la propiedad conmutativa 1 1e e e e   y dado que la adición es una operación en , concluimos que 1e e
Hemos demostrado de esta manera que el neutro de la suma es único. 
 
 
Ahora que sabemos que los neutros de la suma y el producto son únicos, los llamaremos “cero” y “uno”respectivamente 
y los representaremos por: 0 y 1 . Usando estos símbolos la propiedad de neutro se puede enunciar así: 
 
 
, 0 0 1 1a a a a a a a           
 
 
Enunciaremos a continuación un teorema que enuncia la unidad del opuesto y del inverso de un número real. 
 
TEOREMA (UNICDAD DEL OPUESTO Y DEL INVERSO) 
 
El opuesto de un número real es único y el inverso de cualquier número real distinto de cero es único. 
 
 
Demostración 
Demostraremos la unicidad del opuesto y dejamos como ejercicio la demostración de la unicidad del inverso. 
Si a es un número real cualquiera y x y 1x son los opuestos de a , entonces 0a x  y 1 0x a  . 
Luego:    1 1 1 10 0x x x a x x a x x x           y por lo tanto, el opuesto de a es único. 
 
Dado que cualquiera sea el número real a su opuesto es único, lo denotaremos por: ( )a o a . 
Lo correcto sería leer el símbolo a como “opuesto de a ” y no “menos a ” , debido a que la palabra “menos” da la 
idea de orden, concepto que todavía no hemos definido. 
De forma análoga, dado que el inverso de un número real 0a  es también único, lo denotaremos por: 
1a 
Usando estas notaciones, podemos enunciar la propiedad de opuesto y de inverso de la siguiente forma: 
 
, ( ) / ( ) ( ) 0a a a a a a           y 
1 1 1, 0 , / 1a a a a a a a           
 
 
PROPIEDADES QUE SON CONSECUENCIAS DEL AXIOMA DE CUERPO 
 
A continuación, enunciaremos propiedades que son consecuencia del axioma de cuerpo y que son válidas en cualquier 
conjunto que cumpla con el axioma de cuerpo. Estas propiedades son las reglas usuales del álgebra elemental. 
 
Una propiedad muy usada habitualmente en la matemática es la propiedad cancelativa. 
 
TEOREMA (PROPIEDADES CANCELATIVAS) 
Si ,a b y c son números reales cualesquiera, entonces se cumple: 
a) Propiedad cancelativa de la suma: Si a b a c   , entonces b c . 
 
b) Propiedad cancelativa del producto: Si a b a c   y 0a  , entonces b c . 
 
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Demostración de las propiedades cancelativas 
Demostraremos la parte a) del teorema y dejamos la demostración de parte b) a cargo del lector. 
   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
asociativa
a b a c a a b a a c a a b a a c                    
0 0
opuesto neutro
b c b c      . 
 
Las propiedades cancelativas pueden usarse para demostrar la unicidad del opuesto y del inverso de un número real. 
 
 
La tabla del 1 , que afirma que 1 ,a a a    , es parte del axioma de cuerpo. Sin embargo, la tabla del cero es un 
teorema que puede demostrarse a partir del axioma de cuerpo y lo veremos a continuación. 
 
TEOREMA (PROPIEDAD DE ABSORCIÓN) 
Cualquiera sea el número real a se cumple: 0 0 0a a    
 
 
Demostración 
Debemos demostrar que cualquiera sea el número real a , 0a  es el neutro de la suma, es decir, 0a a a   
En efecto, 0 1 0 (1 0) 1a a a a a a a            (Reconocer las propiedades aplicadas en cada paso) 
 
Una consecuencia inmediata de la propiedad de absorción es que 0 no tiene inverso. 
 
0 es el único número real que no tiene inverso 
 
 
En efecto, si existiera 
10 , inverso de 0 , entonces 
10 0 1   . Por la propiedad de absorción: 
10 0 0   . 
Teniendo en cuenta estas dos últimas igualdades concluimos que 0 1 y esto contradice el axioma de cuerpo. Por tal 
motivo, 0 no tiene inverso y es el único real que no lo tiene. 
 
Observar que si del axioma de cuerpo eliminamos la condición 0 1 y aceptamos que 0 1 , ganamos que 0 tenga 
inverso, pero de esta manera reducimos a que el conjunto de los números reales contenga solo al 0 , ya que: 
1 0 0 ,a a a a       y esto no es lo que queremos. 
 
 
El siguiente teorema asegura que, dados dos números reales cualesquiera a y b , las ecuaciones a x b  y 
a x b  (con 0b  ) tienen una única solución. 
 
TEOREMA (SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO) 
Cualesquiera sean los números reales a y b se cumple: 
a) Existe un único número real x tal que a x b  ( x se llamará diferencia entre a y b ). 
b) Si 0b  , entonces existe un único número real x tal que a x b  ( x se llamará cociente de a entre b ). 
 
 
Demostración 
Transformemos mediante propiedades conocidas la igualdad a x b  , que no sabemos si es verdadera para algún 
número real x , en otra más evidente que nos permita hallar un candidato a solución. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )a x b a b x b b a b x b b a b x a b x                         
Esto último permite concluir que el número real x que estamos buscando es: ( )x a b   . 
En efecto,    ( ) ( ) 0a b b a b b a a          . 
De esta manera hemos demostrado la existencia de al menos un número real ( )x a b   tal que a x b  . 
Demostremos a continuación que el x hallado es efectivamente el único que verifica la igualdad a x b  . 
Para ello, supongamos que existe un número real 1x tal que 1a x b  . Como existe x tal que a x b  , 
entonces 1x b x b   . Luego, por la propiedad cancelativa de la suma,1x x , como queríamos demostrar. 
La demostración de la parte b) es análoga y la dejamos a cargo del lector. 
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
El último teorema enunciado anteriormente conduce a las definiciones de diferencia y cociente entre números reales: 
 
DEFINICIÓN DE DIFERENCIA ENTRE NÚMEROS REALES 
Dados dos números reales a y b , llamamos diferencia o resta entre a y b al número real ( )x a b   . 
La suma ( )a b  la solemos anotar de la forma: a b , es decir, ( )a b a b    . 
 
La operación que asocia a cada pareja ( , )a b de números reales la diferencia a b se le llama sustracción. 
 
 
Dejemos claro que una operación binaria e interna (a veces llamada solamente operación) definida en un conjunto 
cualquiera X es una correspondencia (o función) que asocia a cada par de elementos de X un único elemento de X . 
Mientras la diferencia o resta es un número real, la sustracción es una operación en . 
 
 
DEFINICIÓN DE COCIENTE ENTRE NÚMEROS REALES 
Dados dos números reales a y b con 0b  , llamamos cociente de a entre b al número real 
1x a b  . 
El producto 
1x a b  se suele anotar de la forma: 
a
x
b
 , es decir, 
1 aa b
b
  . 
En particular: 
1 1x
x
  ya que 
1 1 11x x
x
    
a
b
 se llama fracción de numerador a y denominador b . 
La operación que asocia a cada pareja ),( ba de números reales con 0b  el cociente 
a
b
 se llama división. 
 
El lector debe saber distinguir la diferencia entre la división y el cociente. Mientras la división es una operación, la 
fracción o cociente es un número real. Podemos pensar, la división como una máquina que al introducir la pareja 
ordenada de números reales ),( ba , con 0b  , saca como resultado su cociente 
a
b
. 
 
 DIVISIÓN DIVISIÓN 
 
( , )
a
a b
b

 a
b
ab ),(
 
 
 
 
OBSERVACIÓN 1 
 
Es consecuencia inmediata de todo lo anterior que: 
 
Cualesquiera sean los números reales ,a b y x se cumplen las siguientes dos equivalencias: 
 i) a x b x a b     ii) Si 0b  , 
a
x a b x
b
    
 
Estas dos equivalencias son el fundamento a frases como “lo que está sumando pasa restando” y “lo que está 
multiplicando pasa dividiendo”. Este tipo de frases, que puede simplificar el lenguaje, se puede utilizar siempre y 
cuando se tenga claro la forma en que deben aplicarse las propiedades en la resolución de un problema, de lo contrario 
puede conducir a errores como el siguiente: 
 
 
, ,
" tan " " "
0
a está sumando b estádividiendo entonces
entonces pasa res do pasa multiplicando
x a x
a x ab
b b

       
 
Como puede apreciarse en el razonamiento anterior, hemos llegado erróneamente a que el valor de x que verifica la 
igualdad 0
x a
b

 es x ab  cuando en realidad el valor correcto es x a  (Justificarlo). 
 
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
OBSERVACIÓN 2 
Respecto a las expresiones 
0
0
 y 
0
a
 cuando a y 0a  hagamos algunas aclaraciones. 
Sabemos que en el caso que 0b  , 
a
c a b c
b
    . Si aceptamos esa equivalencia cuando 0b  y 
llamamos 
0
0
x  e 
0
a
y  cuando 0a  , estas igualdades significarían respectivamente que 0 0 x  y 
0a y  . 
Dado que la igualdad 0 0 x  es verificada por todo número real x , diremos que la expresión 
0
0
 es 
indeterminada. Sin embargo, en el caso 0a  , ningún número real y verifica la igualdad 0a y  . Por tal 
motivo, diremos que la expresión 
0
a
 cuando 0a  es una división indefinida o división imposible. 
Estos son los motivos por los cuales no aceptaremos la división entre cero. 
 
 
La siguiente propiedad, conocida como propiedad hankeliana, es de gran importancia en la resolución de ecuaciones y 
afirma que cada vez que el producto de dos números reales es cero, es porque alguno de sus factores es cero. 
 
TEOREMA (PROPIEDAD HANKELIANA O AUSENCIA DE DIVISORES DE CERO) 
 
Cualesquiera sean los números reales a y b , si 0a b  entonces 0a  o 0b  . 
 
 
Demostración 
Si 0a  la propiedad ya queda demostrada. 
Si 0a  y 0a b  entonces, dado que por la propiedad de absorción 0 0a   , podemos deducir que 
0a b a   . Si 0a b a   y 0a  , usando la propiedad cancelativa del producto, concluimos que 0b  . 
 
 
La propiedad hankeliana permite resolver problemas como el siguiente: 
 
EJEMPLO 1 
Hallar los números reales x que verifiquen la siguiente igualdad: ( 1)( 1) 0x x   
 
Solución: ( 1)( 1) 0 1 0 1 0 1 1
hankeliana
x x x x x x              
Concluimos así que los x para los cuales ( 1)( 1) 0x x   son es verdadera son 1 1x x    . 
Decimos, en este caso, que  1 ; 1S   es el conjunto solución de ( 1)( 1) 0x x   . 
 
Dejamos como ejercicio, hallar los números reales x que verifiquen la igualdad: ( 1)( 1) 0x x x   
 
 
Proponemos ahora al lector realizar el siguiente ejercicio que tiene como objetivo demostrar, basándose en el axioma de 
cuerpo y las propiedades anteriormente enunciadas, propiedades muy conocidas por el lector. 
 
Ejercicio 1 
Demostrar las siguientes propiedades donde a y b son números reales cualesquiera. 
1) 0 0  2) 
11 1  
3) 0 a a   4) 0a b a b    . 
5) ( 0 0) 1
a
a b a b
b
 
       
 
 6) 0 0a a    
7) ( )a b a b    8) ( )a b a b     
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Los siguientes cuatro teoremas resumen las propiedades usuales del álgebra elemental. 
 
TEOREMA (REGLA DE LOS SIGNOS) 
Cualesquiera sean los números reales a y b se cumplen las siguientes igualdades: 
1) aa  )( 
2) 
notación
( ) ( ) ( )a b a b ab ab       (En particular, ( 1)a a   ) 
3) abba  ))(( 
 
Demostración 
1) Para demostrar la igualdad aa  )( , bastará con demostrar que el opuesto de ( )a es a . En efecto, como 
 ( ) ( ) 0a a a a      , entonces el opuesto de ( )a es a . Hemos demostrado que aa  )( . 
2) Demostraremos que ( )a b ab   , es decir, que el opuesto de ab es ( )a b . 
 Como  ( ) ( ) 0 0a b ab a a b b       , entonces ( )a b ab   
3) Usando lo demostrado en las partes anteriores llegamos a que:  ( )( ) ( ) ( )a b a b ab ab         
 
La regla de los signos puede resultar un poco forzada para algunos estudiantes de enseñanza media. En el libro de 
Morris Kline, titulado “El fracaso de las matemáticas modernas”, se hace una ilustración de esta regla en problemas 
concretos y puede ser utilizada con éxito entre los estudiantes. En tal libro, una ganancia se asocia a un número positivo 
y una pérdida a un número negativo. De la misma manera, el tiempo en el futuro es representado por un número 
positivo y en el pasado por un número negativo. Si una persona pierde 4 pesos por día, en 6 días habrá perdido 24
pesos, por tal motivo ( 4)(6) 24   . Si pierde 4 pesos por día, 6 días atrás tenía 24 pesos más y por tanto 
( 4)( 6) 24   . De esta forma podemos justificar las frases“menos por más es menos” y “menos por menos es más”. 
 
TEOREMA (REGLA DE LOS INVERSOS) 
Cualesquiera sean los números reales a y b con 0a  y 0b  se cumplen las siguientes igualdades: 
1)  
1
1a a

  y 2) 
1 1 1( )ab a b   
Dejamos la demostración de la regla de los inversos a cargo del lector. 
 
El siguiente teorema resume las propiedades para el trabajo algebraico con fracciones. 
TEOREMA (OPERACIONES CON FRACCIONES) 
Si a , b , c y d son números reales cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes igualdades: 
1) 
1
a
a 2) 
notación
( )
( )
a a a a
b b b b
 
     
 
 si 0b  
3) 
a
b
b
a






1
 si 0ab  4) 
b
ca
b
c
b
a 

 
 , 
bd
cbad
d
c
b
a 
 si 0bd  
5) 
bd
ac
d
c
b
a
 si 0bd  6) 
bc
ad
d
c
b
a
 si 0bdc  
7) 
b
a
bd
ad
 y 
b
a
d
b
d
a
 si 0bd  
Demostraremos la igualdad 
a c ad cb
b d bd

  . Las restantes se demuestran de forma análoga. 
1 1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(( )
definición distributiva teorema
de cociente anterior
ad cb
ad cb bd ad bd cb bd ad b d cb b d
bd
              
1 1 1 1 1 1( ) ( )
conmutativa y inverso y definición
asociativa neutro de cociente
a c
a dd b c bb d ab cd
b d
           
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TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
TEOREMA ( CUADRADO DE UN BINOMIO Y UN TRINOMIO Y BINOMIO CONJUGADO) 
Definimos los conocidos números: 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ... a partir del número 1 cuya existencia es asegurada por el 
axioma de cuerpo. Estos números se definen así: 2 1 1 ; 3 2 1 ; 4 3 1 ; 5 4 1 ;        etc. 
Usando la notación 
2aa a , se cumplen las siguientes igualdades cualesquiera sean los números reales a , b y c : 
 
1) 
2 2 2( ) 2a b a ab b    y 
2 2 2( ) 2a b a ab b    (Estas dos igualdades son llamadas 
 cuadrado de un binomio). 
2) 
2 2( )( )a b a b a b    (Binomios conjugados) 
3) 
2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ac        (Cuadrado de un trinomio) 
 
Estas igualdades, cuya demostración dejamos a cargo del lector, pueden ser interpretadas geométricamente: 
 
2 2 2( ) 2a b a ab b    
2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ac        
 
Las propiedades enunciadas anteriormente junto con las enunciadas en el axioma de cuerpo, constituyen las propiedades 
usuales del álgebra elemental y justifican gran parte del cálculo operatorio con los números reales que el estudiante 
viene realizando desde la escuela. 
 
Proponemos a continuación resolver las siguientes ecuaciones justificando las propiedades utilizadas. Previamente 
explicaremos de manera informal que se entiende por ecuación. 
La palabra ecuación proviene del latín aequatio y aequationis que significa nivelación o igualación. 
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas, llamadas miembros de la ecuación, en la que 
intervienen ciertos datos conocidos y una o más variables relacionados mediante operaciones. Las variables de una 
ecuación son llamadas incógnitas de la misma y suelen representarse por letras del alfabeto. 
Ejemplos de ecuaciones son: 3 8 0x   , 2 5 2x x   , 
2 25
3
a a
a
  , 3 2 1x y  , 
( 1)( 1) 0x x   y 
23 2 3x y z   . 
Por ejemplo, en la ecuación 2 5 2x x   , 2 5x  y 2x  son los miembros de la ecuación y x es la 
variable. Para la ecuación 3 2 1x y  , los miembros son 3 2x y y 1 y las variables son x e y . 
 
Se llama solución o raíz de una ecuación a cualquier valor de la o las variables que pertenecen al conjunto donde se 
está resolviendo la ecuación y que hacen que la igualdad sea verdadera. Por ejemplo, la ecuación 3 8 0x   en 
( , , )  tiene solución 
8
3
x  , sin embargo no tiene solución en ( , , )  donde es el conjunto de los 
números naturales (no definido aún) dado que no es posible encontrar un número natural x para el cual 3 8 0x   . 
Al conjunto cuyos elementos son todas las soluciones de la ecuación se le llama conjunto solución de la ecuación. En 
el caso, que no existan soluciones, diremos que el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío. 
Resolver una ecuación significa hallar el conjunto solución de la misma. 
 
 
Ejercicio 2 
Resolver en ( , , )  cada una de las siguientes ecuaciones (de incógnita x ) reconociendo las propiedades utilizadas. 
En algunos casos el conjunto solución dependerá de los números reales a o b . 
1) 0 0x  2) 3 0x  3) 1ax  
4) 0ax b  5) 3( ) 2a x ax  6) (2 1)(3 2) 0x x   
7) (2 1)(3 2) 2x x    8) 
1x x 9) 
2 2( 2 1) (3 ) 0x x a     
49 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 3 
Sea M un conjunto de números reales que cumplen los siguientes axiomas: 
Axioma 1: 2 M . 
Axioma 2: 3 M . 
Axioma 3: Si x M e y M , entonces ( )x y M  . 
Axioma 4: Si x M , entonces (3 1)x M  . 
Demostrar los siguientes teoremas explicitando los axiomas o propiedades utilizadas. 
Teorema 1: 9 M . 
Teorema 2: 1 M . 
Teorema 3: Si x M e y M , entonces (3 1 3 )x y M   . 
Teorema 4: Si x M , entonces ( )x M  . 
 
 
 
ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 
 
Además de las propiedades algebraicas de es importante destacar las propiedades que forman parte del llamado 
axioma de orden. Este axioma, toma como concepto primitivo el de “número real positivo” y permite establecer un 
orden entre los números reales compatible con las operaciones de adición y multiplicación, permitiendo decidir si un 
número real es menor o mayor que otro dado. Además, gracias a este axioma, podemos demostrar que el conjunto de los 
números reales tiene infinitos elementos. 
 
 
El axioma de orden establece las reglas para el trabajo con las desigualdades. 
 
AXIOMA DE ORDEN 
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que existe un subconjunto de , 
llamado conjunto de los números reales positivos o conjunto de los positivos, que se denota con el símbolo: 

 y 
cuyos elementos cumplen las siguientes propiedades: 
 
1) Propiedad de tricotomía: 
 Cada número real a cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: 
 a) 0a  b) a
 o c) a
  
 
2) Propiedad de estabilidad o clausura de

 : 
 Si a
 y b
 , entonces ( )a b
  y a b
  . 
 Es decir, la suma y el producto de números reales positivos es un número real positivo. Este hecho, se expresa 
 diciendo que la adición y la multiplicación son operaciones cerradas o internas en 

. 
 
 
El axioma de orden establece propiedades que el lector seguramente ya conocía de cursos anteriores. Un número real no 
nulo, es positivo o su opuesto es positivo. Además, la suma y el producto de números positivos es un número positivo. 
 
 
OBSERVACIONES 
Con el axioma de orden queda claro que 0 no es un número real positivo. Además, si a
 , dadoque 
( ) 0a a   y 0 no es un número real positivo, la propiedad de clausura del axioma de orden, permite concluir que 
a no es un número real positivo. Esto lleva a las siguientes definiciones: 
 
Si a
 , decimos que a es un número real positivo y en el caso que se cumpla a   , diremos que a es un 
número real negativo . 
 
Si llamamos 

 al conjunto de los números reales negativos tenemos que  /a a    . 
Observar además que  0    y que esta unión es disjunta. 
50 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
A partir del axioma de orden podemos demostrar el conocido hecho que 1
 , asegurando de esta manera que el 
conjunto 

 es un conjunto no vacío. 
 
TEOREMA 1
 
 
Demostración 
Como 1 0 , entonces por la propiedad de tricotomía, 1
 o 1
  . 
Si 1
  , entonces por la propiedad de clausura, ( 1)( 1)
   . 
Usando la regla de los signos tenemos: 111)1)(1(  y por lo tanto 1
 . Hemos llegado a la siguiente 
contradicción: 1
  y 1
 . Tal contradicción surge de suponer que 1
  . Concluimos así que 1
 
 
Como consecuencia de este último teorema concluimos que 

 es un conjunto no vacío. 
¿Puede demostrarse que 

es un conjunto no vacío? Justificar su respuesta. 
 
 
A partir del conjunto 

 es posible definir el orden entre los números reales y dar significado a los símbolos de 
desigualdad  , ,  y  que seguramente el lector ya conoce de cursos antriores. 
 
DEFINICIÓN 
Sean x e y dos números reales cualesquiera. 
1) Decimos que x es menor que y (y anotamos: x y ) si, y solo si, ( )y x
  . 
 
2) Decimos que x es mayor que y (y anotamos: x y ) si, y solo si, y es menor que x . 
 
3) Decimos que x es menor o igual que y ( y anotamos x y ) si, y solo si, x y o x y . 
 
4) Decimos que x es mayor o igual que y ( y anotamos x y ) si, y solo si, x y o x y . 
 
 
La conjunción x y y z   se expresa abreviadamente como x y z  . Interpretaciones análogas deben 
darse a expresiones como x y z  , x y z  o x y z  . 
 
Es consecuencia inmediata de lo anterior que, ser un número real positivo equivale a ser un número mayor a cero y que 
ser un número real negativo equivale a ser menor a cero. Demostraremos este hecho en el siguiente teorema. 
 
TEOREMA 
 0x x
   y 0x x
   
 
Demostraremos la primera equivalencia y dejamos para el lector demostrar la segunda. 
 0 0 ( 0)x x x x
         
 
 
PROPIEDADES QUE SON CONSECUENCIAS DEL AXIOMA DE CUERPO 
 
TEOREMA (TRICOTOMÍA DE LA DESIGUALDAD) 
Cualesquiera sean los números reales a y b se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: 
 i) a b ii) a b o iii) b a 
 
 
Demostración 
Si a y b son números reales, entonces ( )a b
  . 
Por la propiedad de tricotomía del axioma de orden, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones: 
1) 0a b  2) ( )a b
  o 3) ( )a b
   
Si se cumple 1) entonces a b , si se cumple 2) entonces a b y si se verifica 3) tenemos que b a . 
51 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
TEOREMA (TRANSITIVA DE LA DESIGUALDAD) 
 
Cualesquiera sean los números reales a , b y c se cumple que: si a b y b c entonces a c . 
 
 
Demostración 
  
( )
( ) ( ) ( )
( )
a b b a
b a c b c a a c
b c c b

 

    
         
    
 
 
OBSERVACIONES 
La relación “menor” definida en es una relación de orden estricto total en . Esto quiere decir que, cualesquiera 
sean los números reales a , b y c se cumplen las siguientes propiedades: 
Inidéntica: a no es menor que a . 
Asimétrica: Si a es menor que b , entonces b no es menor que a . 
Transitiva: a b b c a c     
Tricotomía: Se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a b o a b o b a . 
 
A su vez, la relación “ menor o igual” es una relación de orden total en , lo que equivale a decir que, cualesquiera 
sean los números reales a , b y c se cumplen las siguientes propiedades: 
Idéntica: a b . 
Antisimétrica: a b b a a b     . (Esta propiedad se puede usar para demostrar que dos reales son iguales) 
Transitiva: a b b c a c     
Dicotomía: Se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: a b o b a . 
 
 
La siguiente propiedad es utilizada en la resolución de inecuaciones y nos permite sumar y multiplicar un mismo 
número real a ambos lados de una desigualdad. 
 
TEOREMA (MONOTONÍA DE LA DESIGUALDAD) 
Cualesquiera sean los números reales a , b y c se cumple: 
1) Propiedad de monotonía de la suma: Si a b entonces a c b c   . 
 
2) Propiedad de monotonía del producto: Si a b y c
 entonces ac bc . 
 
3) Si a b y c
 entonces ac bc . Como caso particular tenemos que si a b , entonces a b   
 
Demostración 
Demostraremos la parte 2) y dejamos la demostración de las restantes partes para el lector. 
Para que se cumpla que ac bc debemos demostrar que ( )bc ac
  . 
Como por hipótesis a b , entonces ( )b a
  . Como además c
 , usando el axioma de orden, 
concluimos que ( )b a c
  y por lo tanto que ( )bc ac
  . 
 
 
Las propiedades de monotonía de la desigualdad, que también son válidas cuando se cambia el símbolo de  por el de 
 es fundamental en la resolución de inecuaciones. 
Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, llamadas miembros de la ecuación, en la que 
intervienen ciertos datos conocidos y una o más variables relacionados mediante operaciones matemáticas. Las 
variables de una inecuación son llamadas incógnitas de la ecuación y suelen representarse por letras del alfabeto. 
Ejemplos de ecuaciones son: 3 2 0x   , 4( 5) 2x x x    , 2 3 3x y  y 
3
( 1)( 1) 0
2
x x
x
   

 
Se llama solución o raíz de una inecuación a cualquier valor de la o las variables que pertenecen al conjunto donde se 
está resolviendo la inecuación y que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al conjunto cuyos elementos son todas las 
soluciones de la inecuación se le llama conjunto solución de la inecuación. En el caso, que no existan soluciones, 
diremos que el conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío. 
Resolver una inecuación significa hallar el conjunto solución de la misma. 
52 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
EJEMPLO 2 
Resolveremos en ( , , , )   la inecuación: 
3
3 2
4
x
x

   
 
3 3
3 2 4( 3 2) 4 12 8 3 12 8 8 3 8
4 4Monotonía del Monotonía de
producto la suma
x x
x x x x x x x x
  
                    
 
 
1 1 5
11 5 ( 11 ) ( 5)
11 11 11
x x x             . 
Luego, el conjunto solución de la inecuación planteada es 
5
/
11
S x x
 
   
 
. 
 
 
Ejercicio 4 
Resolver en cada una de las siguientes inecuaciones de forma similar a como se resolvió la inecuación del ejemplo 2. 
1) 2 5 0x   2) 4 5 2 5x x   3) ( 3)(2 4) ( 4)(2 1)x x x x     
4) 
2
3
1x
 

 5) 
2 5
4
3
x
x

  6) 2 3 5 1 16x x    
 
 
 
Con la siguiente propiedad podremos sumar y multiplicar desigualdades. 
 
TEOREMA (MONOTONÍA GENERALIZADA) 
Cualesquiera sean los númerosreales a , b , c y d se cumple: 
1) Si a b y c d entonces a c b d   . 
 
2) Si 0 a b  y 0 c d  entonces ac bd . 
 
 
Demostración 
Demostraremos la parte 2) de la propiedad y dejaremos la demostración de la parte 1) para el lector. 
 
0 ( )
( ) ( ) ( )
0 ( )
a b b a
c b a b d c bd ac ac bd
c d d c

 

     
         
     
 
 
 
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ES UN CONJUNTO INFINITO 
Ya sabemos que 1 0 . Por la propiedad de monotonía de la suma: 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0         
Por lo tanto, el número 1 1 es un número distinto de 0 y 1 . Si llamamos 2 1 1  , entonces 2 1 y 2 0 
De manera similar quedan definidos los números 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; … todos distintos entre sí. Por lo tanto, como 
consecuencia del axioma de orden, deducimos que el conjunto de los números reales tiene infinitos elementos. 
 
 
Ejercicio 5 
a) Sabiendo que a es un número real, demostrar: 
 1) 0a   
1 0a  2) 0a  
1 0a  y 3) 0a  
1 0a  . 
b) Si a y b son números reales cualesquiera y 0a  , hallar en cada caso, discutiendo según a y b los x 
 para los cuales se cumple: 1) 0ax b  2) 0ax b  . 
 
Los resultados extraídos de la parte b) del ejercicio 5 se pueden esquematizar de la siguiente manera: 
 
 
 Si 0a  , ( ) ( )signo ax b sig ax b   
0sig a sig a
b
a


 
53 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 6 
a) Si a y b son números reales cualesquiera, demostrar que las siguientes proposiciones son verdaderas: 
 1) 0 ( 0 0) ( 0 0)ab a b a b         . Deducir que: 
20 0a a   . 
 Enunciar una proposición similar en el caso que 0ab  . 
 2) 
2 2 0 0a b a b     . 
 3) 
2 20 a b a b    . ¿Vale la proposición si se elimina la condición que ba y son positivos? 
 4) Si 
1 1
0 a b
a b
    . 
b) Usar lo demostrado en la parte a) para resolver en las siguientes inecuaciones: 
 1) (2 1)(2 3 ) 0x x   2) 
24 1 0x   
c) Demostrar que si a y b son números reales positivos, entonces 
1 1
( ) 2a b
a b
 
   
 
 
 
 
Demostraremos a continuación una propiedad que permite deducir que entre dos números reales existen infinitos. 
Dicha propiedad se conoce como de densidad de los números reales. 
 
TEOREMA (DENSIDAD DE LOS NÚMEROS REALES) 
Si r y s son números reales cualesquiera y r s , entonces existe un número real q tal que r q s  . 
En este caso, decimos que q está entre r y s . 
 
 
Demostración 
 
2
2 2
2 2
r s r r s r r s r s r
r s r s r s
r s r s s s r s s
         
      
        
 (Justificar los pasos realizados) 
Luego, existe un número real 
2
r s
q

 tal que r q s  como queríamos demostrar. 
 
 
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES 
 
Es como consecuencia del axioma de orden que los números reales pueden ser ordenados sobre una recta, 
interpretándolos así como puntos de ella. El procedimiento comienza tomando una recta horizontal r y sobre ella un 
punto cualquiera O al que llamamos origen y al cual le asociamos el número real 0 . A la derecha del punto O , 
elegimos sobre r , un punto cualquiera U . Fijamos el segmento OU como unidad de longitud asociando al punto 
U el número real 1 . De esta forma queda determinada la escala a considerar. 
Cada número real x se representa por un solo punto X de la recta r y recíprocamente cada punto X perteneciente 
a r representa a un único número real x . Este motivo nos lleva muchas veces a llamar punto x al número real x y 
viceversa. 
 
Si x e y son dos números reales cualesquiera, la desigualdad x y significa geométricamente que, sobre r , el 
punto x está a la izquierda de y . En particular, los números positivos están a la derecha del cero y los negativos a su 
izquierda. 
 
Si x e y son los números reales asociados a dos puntos X e Y de una recta en la cual se ha fijado un origen y una 
escala, es posible construir con regla y compás puntos de la recta que correspondan a cada uno de los siguientes 
números reales ; ; ;x x y xy  
1x y 
x
y
 . Dejamos a cargo del lector la construcción de tales puntos. 
De esta manera cada propiedad y trabajo algebraico con los números reales corresponde a una construcción geométrica. 
Como ejercicio se propone al lector interpretar geométricamente por ejemplo, las propiedades de monotonía. 
r 
54 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
En muchas ocasiones es conveniente trabajar con los intervalos de números reales. 
 
DEFINICIÓN DE INTERVALOS DE NÚMEROS REALES 
 
Si a y b son números reales con a b , llamamos intervalos de números reales a los siguientes conjuntos: 
 
1)  ( , ) ( ; ) /a b a b x a x b     ( intervalo abierto de extremos a y b o segmento abierto) 
 
 
2)      , ; /a b a b x a x b     (intervalo cerrado de extremos a y b o segmento cerrado) 
 
 
3)      , ; /a b a b x a x b     (intervalo cerrado por la derecha y abierto por la izquierda) 
 
 
4)      , ; /a b a b x a x b     (intervalo abierto por la derecha y cerrado por la izquierda) 
 
 
5)  ( , ) /a x x a    y  ( , ) /b x x b    (semirrectas abiertas) 
 
 
6)    , /a x x a    y    , /b x x b    (semirrectas cerradas) 
 
 
7) ( , )  
 
 
 
 
 
OBSERVACIONES 
 
1) Debe quedar claro que los símbolos  y  , que se leen “más infinito “ y “menos infinito” respectivamente, 
 no son números. Por ejemplo, el símbolo  en el intervalo ( , )a  es parte de la notación utilizada para 
 nombrar el conjunto de todos los números reales que mayores que a . 
 
2) Admitiremos también como intervalos a los conjuntos    ( , ) , ,a a a a a a    y  ,a a con a 
 Este tipo de intervalos se suelen llamar intervalos degenerados. 
 
3) Como consecuencia de la propiedad de densidad de los n[umeros reales, todo intervalo no degenerado de números 
 reales es un conjunto con infinitos elementos. 
 
 
 
Ejercicio 7 
Expresar las soluciones de las desigualdades planteadas en el ejercicio 4 usando intervalos de números reales. 
 
 
 
 
 
 
 
Los intervalos abiertos se representan así: 
Los intervalos cerrados se representan así: 
Este tipo de intervalos se representan así: 
Este tipo de intervalos se representan así: 
55 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 
 
Definimos a continuación un concepto muy utilizado en una rama de la matemática llamada Análisis Matemático. 
 
DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 
Dado x , se llama valor absoluto de x al número real , que denotamos por x , y que definimos de la siguiente 
manera: si 0x  entonces x x y si 0x  entoncesx x  . 
En forma resumida: 
si 0
si 0
x x
x
x x

 
 
 
 
 
Por ejemplo, 4 4 , 4 4  y 0 0 . 
 
Es consecuencia inmediata de la definición de valor absoluto que 0 ,x x   . 
 
 
En muchas situaciones en la que aparece el valor absoluto conviene considerar los dos casos posibles: cuando la 
expresión entre barras es positiva y cuando es negativa. Este procedimiento es el utilizado en el siguiente ejemplo para 
resolver una ecuación con valor absoluto. 
 
EJEMPLO 3 
Resolver en la ecuación 3 6 2x x   
Solución: Por definición de valor absoluto: 
3 6 si 3 6 0
3 6
3 6 si 3 6 0
x x
x
x x
  
  
   
 o lo que equivale a decir que: 
3 6 si 2
3 6
3 6 si 2
x x
x
x x
 
  
  
 
Por lo tanto, resolvemos las ecuaciones 
3 6 2 si 2
3 6 2 si 2
x x x
x x x
   

    
 
La primera ecuación tiene solución 
6
5
x  , pero no verifica la condición 2x  y la segunda tiene solución 6x  
que no cumple la condición 2x  . 
Concluimos de esta manera que la ecuación 3 6 2x x   tiene solución vacía. 
 
 
Ejercicio 8 
1) Escribir los siguientes números sin usar valor absoluto: 21 y 324  . 
2) Resolver en las siguientes ecuaciones e interpretar geométricamente. 
 a) 4x  b) 2 1 0x   c) 2 1 6x   d) 2 1 6x    
 e) 1 2x x  f) 1 2x x   g) 2x x  h) 2 2x x x  
 
 
A partir del valor absoluto de un número real podemos definir el concepto de distancia entre dos números reales. 
 
DEFINICIÓN DE DISTANCIA ENTRE DOS NÚMEROS REALES 
La distancia (o distancia usual) entre dos números reales x e y , representada por ( , )d x y , se define de la 
siguiente manera: 
si
si
( , )
x y x y
d x y x y
y x x y
 
   
 
 
En particular, ( ;0)x d x . 
 
56 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Muchas de las ecuaciones e inecuaciones en las que interviene el valor absoluto se pueden resolver interpretando el 
valor absoluto usando el concepto de distancia. Mostraremos como esto es posible en el siguiente ejemplo. 
 
EJEMPLO 4 
Resolver en la inecuación 2 5x   . 
Solución: 
Dado que 2 ( 2) ( ; 2)x x d x      , resolver la inecuación 2 5x   equivale a encontrar los 
números reales x cuya distancia a 2 es menor a 5 . Tales números reales son los que se encuentran entre 7 y 3 . 
Por lo tanto, la solución de la inecuación 2 5x   es  7;3S   . 
 
 
Ejercicio 9 
Usando el concepto de distancia entre dos números reales resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones: 
1) 3 7x   2) 3 7x   3) 3 5 2x x    
 
 
En el siguiente ejercicio proponemos demostrar las propiedades del valor absoluto. 
 
Ejercicio 10 (PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO) 
Demostrar que para cualquier par de números reales a y b se cumplen las siguientes propiedades: 
1) 
2 2a a 2) a b a b a b      
3) ab a b 4) 
aa
b b
 si 0b  
5) a a a   6) a b b a b     
7) a b a b a b      8) Desigualdad triangular: a b a b   
 
 
Sugerencia: Para demostrar la desigualdad triangular usar las propiedades 5) y 6). 
 ¿Qué condición deben cumplir a y b para que se verifique a b a b   ? 
 
Observe que todas las propiedades enunciadas en el ejercicio 10 son válidas si se cambia el símbolo de  por  . 
 
Ejercicio 11 
a) Resolver en las siguientes ecuaciones: 1) 2 1x x x    2) 2 4 2 4x x    
b) Resolver en las siguientes inecuaciones: 
 1) 7 2
2
x
  2) 2 4 2 4x x   3) 
3 12
1
2
x
x



 
 4) 1 2 3x x   5) 2 2 1 1x x x     6) 2 2 12x x    
 
 
Ejercicio 12 
a) Demostrar que  1;2x  se cumple: 2 1 3 3 4 10x x x      
b) Demostrar que x  se cumple: 1) 2
1 1 5
2 63 xx
 

 y 2) 2
22
99
xx
x



 
 
 
Ejercicio 13 
1) Si ,a b y  son números reales, demostrar que si a b   entonces b a b     . 
2) Deducir que si a b   , entonces a b   . 
57 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO REAL NO NEGATIVO 
 
Dado un número real positivo b , existe un número real positivo a tal que 
2a b . Este número a es el que 
llamamos raíz cuadrada de b y su existencia está garantizada por un axioma de los números reales, llamado axioma 
del supremo, que aún no hemos enunciado. 
Aceptemos por ahora la existencia de la raíz cuadrada de un número real no negativo, para poder resolver, entre otras 
cosas, ecuaciones de segundo grado. 
 
 
Ejercicio 14 
1) Si a y b son dos números reales no negativos, demostrar que: 
2 2a b a b   . ¿Qué ocurre con esta 
 equivalencia si a y b son dos números reales cualesquiera? 
2) Si a y b son dos números reales no negativos y 2a b , demostrar que a es el único número real cuyo 
 cuadrado es b . Con esto queda justificada parte de la siguiente definición. 
 
 
DEFINICIÓN DE RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO REAL NO NEGATIVO 
Dado un número real b no negativo, llamamos raíz cuadrada de b al único número real a no negativo que 
verifica la condición 
2a b . 
Si a es la raíz cuadrada de b anotaremos a b . Usando esta notación, si 0b  , entonces  
2
b b . 
 
Por ejemplo: 16 4 y 
1 1
4 2
 . 
No es correcto escribir 16 4  
 
 
Usando la definición de raíz cuadrada pueden demostrarse las siguientes propiedades, que dejamos a cargo del lector. 
 
PROPIEDADES DE LA RAÍZ CUADRADA 
Si a y b son dos números reales no negativos, se cumplen las siguientes propiedades: 
 1) 
2 si 0
si 0
a a
a a
a a

  
 
 2) ab a b 
 3)  
1
1a a

  si 0a  4) 
a a
b b
 si 0b  
 
Ejercicio 15 
a) Resolver las siguientes ecuaciones: 1) 2 5 7x   2) 
2(3 2) 7x   
b) 1) Encontrar dos números reales a y b que verifiquen: a b a b   . 
 2) Hallar la condición que deben cumplir los números reales a y b para que a b a b   . 
c) Si a y b son números reales cualesquiera, verificar que la igualdad 
2 2a b a b   no se cumple. 
d) Si a y b son dos números reales, demostrar que: 
 1) 0 a b a b    
 2) 0
2
a b
a b a ab b

      
e) Si a y x son dos números reales positivos, demostrar que 
2 1
2
ax
a
x

 (Esta desigualdad permite acotar 
 superiormente a ) Sugerencia: Para demostrar lo pedido desarrollar  
2
2 1ax  . 
58 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 
 
Diversos problemas conducen a la resolución de ecuaciones de la forma 
2 0ax bx c   donde a , b y c son 
números reales con 0a  . Uno de los más antiguos es el que consiste en hallar las medidas x e y de los lados de 
un rectángulo cuyo perímetro p y área a son datos conocidos. Dado que 2( )x y p  y xy a , despejandola incógnita y de la primera igualdad y sustituyendo en la segunda obtenemos que x debe verificar la igualdad 
2
p
x x a
 
  
 
, es decir, 
2 0
2
p
x x a    . 
De esta forma, resolver el problema planteado, implica hallar el valor de x que verifique 
2 0
2
p
x x a    . 
Una vez hallado el valor de x bastará sustituirlo en la ecuación 2( )x y p  y despejar el valor de y . 
 
Nos proponemos entonces hallar las soluciones de una ecuación de la forma 
2( ) : 0E ax bx c   donde 
0a  , b y c son números reales conocidos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones de segundo grado. 
 
Consideremos varios casos: 
 
1) Si 0a  entonces la ecuación 
2( ) : 0E ax  tiene una única solución que es 0x  . 
 
2) Si 0a  y 0b  entonces 
2( ) : 0E ax bx  tiene dos soluciones reales y distintas que son 0x  y 
 
b
x
a
  . En efecto: 
2 ( ) 0 0
b
ax bx x ax b x x
a
         . 
 
3) Si 0a  y 0c  entonces 
2 2( ) : 0
c
E ax c x
a
     . 
 Si 0
c
a
 , ( )E no tiene raíces reales y si 0
c
a
 , ( )E tiene dos raíces reales y reales que son 
c
a
  . 
 
4) En el caso 0a  , 0b  y 0c  para resolver la ecuación ( )E utilizaremos la famosa fórmula de 
 Bhaskaras (Bhaskaras, India:1114-1185) que a continuación deduciremos. 
 
 
22 2 2
2 2 2
2 2 2
0
4
2
2 24 4 4a
bx c b b b c b ac b
ax bx c a x a x x a x
a a a a aa a a
      
                  
       
 
 
 Por lo tanto, si 0a  , 
2 0ax bx c   
2 22 2
2 2
4 4
0
2 24 4
b ac b b b ac
x x
a aa a
    
        
   
 
 
 Si 
2 4 0b ac  entonces: 
 
2 22 2 2
2 2
4 4 4
2 2 2 24 4
b b ac b b ac b b ac
x x x
a a a aa a
     
          
   
 
 
 
2 24 4
2 2 2
b b ac b b ac
x x
a a a
   
      
 
 
 
 
 
59 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Si 0a  llamamos discriminante de la ecuación 
2 0ax bx c   al número real 
2 4b ac   . 
El número de raíces reales de esta ecuación dependerá del signo de su discriminante. 
 
a) Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   tiene dos raíces reales y distintas que 
 son: 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 (Esta fórmula se conoce como fórmula de Bhaskaras ) 
 
b) Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   tiene una sola raíz real que es 
2
b
x
a

 . 
 Esta raíz comúnmente se la llama raíz doble de la ecuación. 
 
c) Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   no tiene raíces reales. 
 
 
Observar que en el caso que la ecuación 
2 0ax bx c   tenga raíces reales y sea 0b  o 0c  las 
soluciones de la ecuación también se pueden obtener con la fórmula de Bhaskaras. Es decir, la fórmula 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 permite obtener las soluciones de la ecuación 
2 0ax bx c   en cualquier caso 
siempre que sea 0a  . 
 
 
A modo de resumen tenemos: 
 
 
Si 
2( ) : 0E ax bx c   es una ecuación donde 0a  , b y c son números reales, entonces 
 
1) Si 0a  entonces la ecuación 
2( ) : 0E ax  tiene una única solución que es 0x  . 
 
2) Si 0a  y 0b  entonces 
2( ) : 0E ax bx  tiene dos soluciones reales y distintas que son 0x  y 
 
b
x
a
  . 
3) Si 0a  y 0c  entonces si 0
c
a
 , ( )E no tiene raíces reales y si 0
c
a
 , ( )E tiene dos raíces 
 reales y reales que son 
c
a
  . 
 
4) En el caso 0a  , 0b  y 0c  para resolver la ecuación ( )E utilizaremos la famosa fórmula de 
 Bhaskaras. 
. Si 0a  llamamos discriminante de la ecuación 
2 0ax bx c   al número real 
2 4b ac   . 
 
 a) Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   tiene dos raíces reales y distintas que 
 son: 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 (Esta fórmula se conoce como fórmula de Bhaskaras ) 
 b) Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   tiene una sola raíz real que es 
2
b
x
a

 . 
 Esta raíz se la llama raíz doble de la ecuación. 
 
 c) Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   no tiene raíces reales. 
 
 
 
60 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Para algunos de los ejercicios que planteados a continuación usaremos la notación 
3x xxx y 
4x xxxx . 
 
Ejercicio 16 
Resolver las siguientes ecuaciones en : 
1) 
2x x 2) 
3 2x x 
3) 
21 x x   4) 
2 2( 3 1)(4 ) 0x x x    
5) 
2(2 5)(4 3 ) 0x x x   6) 
3 4
1 ( 1)( 2)
x x
x x x


  
 
7) 2
3 7 1 9
4 4 16
x
x x x

 
  
 8) 
2
2 2 3
2 1 2 1 4
x x
x x
    
    
    
 
9) 
4 26 8 0x x   10) 
4 2 8 0x x   
11) 
2 4 4 1x x   12) 2 4 4 1x x    
 
13) 2 1 1x x   14) 2 2 3 2 1x x    
 
 
Ejercicio 17 
Se considera la ecuación 
2 0ax bx c   con 0a  , b y c números reales y  y  sus dos raíces reales. 
1) Demostrar que: 
b
a
    y 
c
a
  . 
2) Demostrar que: 
2 ( )( )ax bx c a x x      . 
3) Escribir una ecuación de segundo grado que tenga raíces 4 y 
1
3
. ¿Es única? Justificar su respuesta. 
4) Si 0  y 0  , demostrar que 
1 1 b
c 
   
 
 
A continuación, se resumen algunas de las igualdades demostradas en el ejercicio 17 y que son de utilidad para resolver 
ejercicios como el 18 y 19. 
 
 
Si  y  son las raíces reales de la ecuación 2 0ax bx c   con 0a  entonces se cumplen las 
igualdades: 
b
a
    y 
c
a
  (Estas igualdades se llaman fórmulas de Cardano – Vieta o 
relaciones entre coeficientes y raíces para una ecuación de segundo grado) 
 
Además, 
2 ( )( )ax bx c a x x      
 
 
 
 
Ejercicio 18 
Sea considera la ecuación 
2 2( ) : ( 2) 2 0 ,E x m x m m m      . 
En cada uno de los siguientes casos, hallar m para que: 
1) la suma de las raíces de ( )E sea 3 . 
2) las raíces de ( )E sean opuestas. 
3) la suma de las raíces de ( )E sea igual a su producto. 
 
 
61 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 19 
Se considera la ecuación 
2 0ax bx c   con 0a  , b y c son números reales. 
Si una de la las raíces de la ecuación es el cuadrado de la otra, demostrar que 
3 ( ) 3b ca c a abc   . 
 
 
Ejercicio 20 
Se supone que las n ecuaciones del cuadro adjunto tienen coeficientes y raíces reales. 
 
 ECUACIÓN RAÍCES 
2
1 1 0x a x b   0 1,x x 
2
2 2 0x a x b   0 2,x x 
 …………………… 
2 0n nx a x b   0 , nx x 
 
Hallar las raíces de la ecuación 
2 1 2 1 2... ... 0n n
a a a b b b
x x
n n
        
     
   
 
 
 
SIGNO DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO 
 
Se consideran los números reales 0a  , b y c . Estudiaremos a continuación el signo del trinomio 2ax bx c  
cualquiera sea el número real x . Estudiaremos tres casos: 
CASO 1 
2 4 0b ac    
Si 
2 4 0b ac    , entonces la ecuación 
2 0ax bx c   admite dos raíces reales y distintas  y  y porlo 
tanto 
2 ( )( )ax bx c a x x      . 
Supongamos que   . 
a) x  , si x    entonces 0x   y 0x   . 
 Si 0a  entonces 
2 ( )( ) 0ax bx c a x x       y si 0a  entonces 2 0ax bx c   . 
b) x  , si x   entonces 0x   y 0x   . 
 Si 0a  entonces 
2 ( )( ) 0ax bx c a x x       y si 0a  entonces 2 0ax bx c   . 
c) x  , si x   entonces 0x   y 0x   . 
 Si 0a  entonces 
2 ( )( ) 0ax bx c a x x       y si 0a  entonces 2 0ax bx c   . 
 
Los resultados extraídos de a) , b) y c) se pueden esquematizar de la siguiente manera: 
 
2( )sig ax bx c  
0 0siga sig a sig a
 

 
CASO 2 
2 4 0b ac    
Si 
2 4 0b ac    , entonces 
2 22
2
2
4
2 24
b ac b b
ax bx c a x a x
a aa
    
          
     
 y la ecuación 
2 0ax bx c   tiene una sola raíz real que es 
2
b
a
 . 
Como 
2
0 ,
2
b
x x
a
 
    
 
 , entonces si 0a  , 
2 0ax bx c   y si 0a  , 
2 0ax bx c   . 
Resumiendo: 
2( )sig ax bx c  
0
2
siga sig a
b
a

 
62 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
CASO 3 
2 4 0b ac    
Por lo visto anteriormente 
2 2
2
2
4
2 4
b ac b
ax bx c a x
a a
  
      
   
 
Si 
2 4 0b ac  entonces 
24 0ac b  y por lo tanto 
2 2
2
4
0
2 4
b ac b
x
a a
 
   
 
 , x  . 
Concluimos entonces que x  , si 0a  , 
2 0ax bx c   y si 0a  , 2 0ax bx c   . 
 
Resumiendo: 
2( )sig ax bx c  siga 
 
 
Tenemos entonces: 
 
Si 0a  , b y c son números reales, el signo del trinomio 2ax bx c  cualquiera sea x es el siguiente: 
 
1) Si la ecuación 
2 0ax bx c   admite dos raíces reales y distintas  y  y supongamos que   , 
 entonces: 
2( )sig ax bx c  
0 0siga sig a sig a
 

 
2) Si la ecuación 
2 0ax bx c   tiene una sola raíz real que es 
2
b
a
 , entonces 
 
2( )sig ax bx c  
0
2
siga sig a
b
a

 
3) Si la ecuación 
2 0ax bx c   no tiene raíces reales, entonces 
 
2( )sig ax bx c  siga 
 
 
 
EJEMPLO 5 
Resolveremos en el cuerpo ordenado ( , , , )   las siguientes inecuaciones: 
1) 
2 2( 5 6)( 2) 0x x x    2) 
2
2
5 6
0
3
x x
x x
 


 
 
 
Solución 
1) Dado que 
2 2 0 ,x x    , para que se cumpla 
2 2( 5 6)( 2) 0x x x    debemos encontrar 
 los x para que 
2 5 6 0x x   . Para ello, hallaremos las raíces de la ecuación 
2 5 6 0x x   y 
 luego estudiaremos el signo de la expresión 
2 5 6x x  basados en el último recuadro. 
 
2 5 6 0 2 3x x x x       . Por lo tanto, 
 
2( 5 6)sig x x  
0 0
2 3
      
 
 Finalmente, los x para los cuales 
2 2( 5 6)( 2) 0x x x    son los x que cumplen 
 
2 5 6 0x x   . Observando el estudio del signo de 
2 5 6x x  concluimos que la solución de la 
 inecuación 
2 2( 5 6)( 2) 0x x x    es    ,2 3,S     
 
 
 
 
 
63 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
2) La condición para que la expresión 
2
2
5 6
3
x x
x x
 

 tenga sentido es que 
23 0x x  , es decir, que 
 0x  y 3x  . Por lo tanto 0x  y 3x  no podrán ser soluciones de la inecuación planteada. 
 Ya sabemos que si a y , 0b b  entonces 
1a a b
b
  . Por tal motivo, usando las propiedades 
 del ejercicio 5 y 6, el signo del cociente 
a
b
, cuando este tiene sentido, es igual al signo del producto ab . 
 Procedemos entonces a estudiar el signo de las expresiones 
2 5 6x x  y 
23x x 
 
 
2( 5 6)sig x x  
0 0
2 3
          
 
 
2(3 )sig x x 
0 0
0 3
        
 
 Finalmente, teniendo en cuenta que la expresión 
2
2
5 6
3
x x
x x
 

 no está definida para 0x  y 3x  , 
 estudiamos el signo de 
2
2
5 6
3
x x
x x
 

 . 
 
2
2
5 6
3
x x
sig
x x
  
 
 
 
0
0 2 3
         
 
 Concluimos así que la solución de la inecuación 
2
2
5 6
0
3
x x
x x
 


 es  ( ,0) 0,2 (3, )S      
 
 
 
Ejercicio 21 
Resolver en ( , , , )   las siguientes inecuaciones: 
1) 
2( 4 4)(1 2 ) 0x x x    2) (3 7 )(3 5)(1 2 ) 0x x x    
 
3) 
2( )(2 3) 2 3 0x x x x     4) (3 5)(2 3)( 2) ( 2)x x x x x     
 
5) 
2 2
2
( 1)(4 )
0
2
x x x
x x
   

 
 6) 
1
x
x
 
7) 
3 4
1 ( 1)( 2)
x x
x x x


  
 8) 
23 3 3
( 1)(3 ) ( 1)(3 )
x x x
x x x x x
  

   
 
 
 
Ejercicio 22 
Sea considera la ecuación ecuación 
2( ) : (10 6) (10 6) 3 2 0 ,E m x m x m m       . 
En cada uno de los siguientes casos, hallar ecuación m de manera que: 
1) ( )E tenga dos raíces reales y distintas. 2) ( )E tenga una única raíz real. 3) ( )E no tenga raíces reales. 
 
 
Ejercicio 23 
Sea considera la ecuación 
2( ) : (3 2) (4 2) 2 1 0 ,E m x m x m m       . 
En cada uno de los siguientes casos hallar, en caso de ser posible, los m para que: 
1) ( )E tenga una sola raíz real. 2) ( )E tenga dos raíces reales de distinto signo. 
3) ( )E tenga dos raíces reales negativas. 4) ( )E tenga dos raíces reales positivas. 
64 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Resolveremos ahora algunas ecuaciones e inecuaciones donde intervienen radicales. 
 
EJEMPLO 6 
Resolver en el cuerpo ordenado ( , , , )   las siguientes ecuaciones e inecuaciones: 
1) 4 10x x   2) 
2
2
0
3
x
x x



 3) 1 1x x   
Solución 
1) Comencemos planteando la condición que debe cumplir x para que 10x  sea un número real. 
 10 10 0 10x x x        
 Según lo demostrado en el ejercicio 14, la equivalencia 
2 2a b a b   solo es válida si a y b son dos 
 números reales no negativos. Usando esta idea, en vez de resolver la ecuación 4 10x x   , resolveremos 
 la ecuación  
2
2( 4) 10x x   que se obtiene de elevar ambos miembros al cuadrado. Una vez obtenidas 
 las soluciones de esta última ecuación verificaremos si son soluciones de la ecuación original 4 10x x   
 Si 10x   , 
2 24 10 ( 4) 10 7 6 0 1 6x x x x x x x x                 
 Como 1 4 1 10     y 6 4 6 10     , el conjunto solución de la ecuación es  1S   . 
2) Para resolver la inecuación 
2
2
0
3
x
x x



 procedemos de forma similar a como lo hicimos en el ejemplo 5, 2). 
 ( 2)sig x  
0
2
           
 
  23sig x x 
0 0
0 3
        23sig x x 0 0
0 3
     
 
 
2
2
si
3
x
g
x x
 
  
 
 
0
0 2 3
        
 
 En base al último signo estudiado concluimos que el conjunto solución de la inecuación planteada es  0,2S  
3) Para resolver la inecuación 1 1x x   comencemos estudiando el signo de cada miembro de la desigualdad. 
 ( 1)sig x  
0
1
        
 
  1sig x  
0
1
       

 
 Como puede observarse si 1 1x   , 1 0x   y 1 0x   y por lo tanto la desigualdad 
 1 1x x   es falsa. Es decir, la inecuación 1 1x x   no tiene soluciones entre 1 y 1 . 
 Cuando 1x  , las soluciones de 1 1x x   son las mismas que las de  
2
2( 1) 1x x   . 
  
2
2 2 2( 1) 1 2 1 1 3 0x x x x x x x           
  2 3sig x x 
0 0
0 3
         
 
 
2 3 0 0 3x x x x      . Teniendo en cuenta que para poder elevar al cuadrado era necesario que 
 se cumpla 1x  , concluimos que el conjunto solución de la inecuación 1 1x x   es (3, )S   
65 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 24 
Resolver en ( , , , )   las siguientes ecuaciones e inecuaciones. 
1) 
29 0x  2) 
29
0
1
x
x



 3) 
2(3 )
0
2(4 ) 1
x
x x


  
 
 
4) 5 2 8 7x x    5) 
1 3 10
3
2 3
x
x
 

 
 6) 
1 1 2
32x x
 

 
 
7) 
29 2x   8) 
2 2 24 4x x    9) 
2 4 5 2x x x    
 
 
10)
2 4 5 2 1x x x    11) 22 5 4 1 3 1x x x    12) 2 1
2
x
x
x
 

 
 
13)
2 24 5 6 0x x x x      14) 2 1 1 1x x    
 
 
 
NÚMEROS NATURALES 
 
Estudiaremos a continuación los números naturales y algunas de sus propiedades. 
Intuitivamente, pensamos en el conjunto de los números naturales como el conjunto que contiene al 0 , al 1 y a los 
números 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ,... que son generados por la adición repetida del 1 . 
Como ya hemos mencionado, como 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0         . Por lo tanto, el número real 1 1 , que 
llamamos 2 , es distinto de los números reales 1 y 0 . De forma análoga, surgen los infinitos números naturales todos 
distintos entre sí. 
Esta descripción de los números naturales, que intuitivamente puede resultar clara, no es del todo precisa pues no se ha 
explicitado que significa que “los números naturales se obtienen usando la adición repetida del 1” 
 
Definiremos el conjunto de los números naturales basándonos en la idea que es el “menor” conjunto contenido 
en que cumple con las siguientes dos condiciones: 1) 0 y 2) Si n entonces ( 1)n   . 
 
DEFINICIÓN DE CONJUNTO INDUCTIVO 
Decimos que un conjunto H  es un conjunto inductivo de si, y solo si, se cumplen las siguientes 
condiciones: 
1) 0 H y 2) Si n H , entonces ( 1)n H  . 
 
 
Ejemplos de conjuntos inductivos son y  0  y ejemplos de conjuntos no inductivos son  y  . 
 
Basados en nuestra idea intuitiva del conjunto de los números naturales, es claro que cualquier conjunto inductivo 
debería contenerlo, luego resulta lógico definir el conjunto de los números naturales como el conjunto intersección de 
todos los conjuntos inductivos de . 
 
DEFINICIÓN DE CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES 
Llamamos conjunto de los números naturales al conjunto intersección de todos los conjuntos inductivos de . 
 
Denotamos al conjunto de los números naturales como: y llamamos a sus elementos números naturales. 
De esta manera, un número natural es un número real que pertenece a todos los conjuntos inductivos de . 
 
Observar que dado que  0  es un conjunto inductivo de , entonces   0  y por lo tanto se 
verifica que 0 ,n n   . 
 
66 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Incluir al cero o no en el conjunto de los números naturales es una cuestión de conveniencia. Algunos autores, 
generalmente de libros de Análisis Matemático, excluyen al cero de los números naturales, debido a que los números 
naturales son índices de términos de una sucesión. Si ( )nx es una sucesión y consideramos que el primer número 
natural es el uno, entonces 1x es el primer término de la sucesión, 2x es el segundo y así sucesivamente. Si el primer 
número natural es el cero, entonces 0x sería el primer término de la sucesión, 1x el segundo, 2x el tercero, etc. y este 
corrimiento podría complicar en algunas ocasiones. 
Los libros de Álgebra, generalmente, consideran al cero como un número natural, debido a que en estos textos el 
principal interés está puesto en el estudio de las operaciones en un conjunto. Considerar al cero como número natural 
permite entre otras cosas, tener un neutro para la adición de números naturales y que la diferencia a b de números 
naturales sea una operación en no solo cuando a b sino también cuando a b . Incluir el cero como número 
natural, evita algunas excepciones. 
 
 
Ejercicio 25 
1) Indicar si alguno de los siguientes conjuntos son inductivos de . 
 a) 
1
2
 
 
 
 b)  c) X  tal que X es finito y 0 X . 
2) Investigar si la unión de conjuntos inductivos de es un conjunto inductivo de . Justificar su respuesta. 
3) Demostrar que la intersección de conjuntos inductivos de es un conjunto inductivo de y deducir que es 
 un conjunto inductivo de . 
 
 
Consecuencia de lo demostrado en el ejercicio 25, tenemos que: 
 
 es un conjunto inductivo de . 
 
 
 
El conjunto de los naturales es el menor de los conjuntos inductivos de en el siguiente sentido: Si H es un 
conjunto inductivo de , entonces H . Esta idea queda resaltada en el siguiente teorema que nos da la 
propiedad más importante de los números naturales. 
 
TEOREMA DE INDUCCIÓN COMPLETA 
 
Si H es un subconjunto de y H es un conjunto inductivo de , entonces H  . 
 
 
Demostración 
Como H es un conjunto inductivo de y la intersección de conjuntos está contenida en cada uno de ellos tenemos 
que H . Como además, por hipótesis H  , concluimos que H  . 
 
 
OBSERVACIÓN 
Dado que H  , para cualquier conjunto H inductivo de , podemos afirmar que es el menor 
conjunto inductivo de y que es el mayor de todos ellos. 
 
 
El teorema de inducción completa (también llamado en algunos textos principio de inducción completa) puede utilizarse 
para demostrar propiedades de los números naturales que seguramente ya son conocidas por el lector, como, por 
ejemplo, que la suma y el producto de números naturales es un número natural y que entre dos números naturales 
consecutivos no existe números naturales. Demostraremos estas dos propiedades en los siguientes dos teoremas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
TEOREMA 
Si a y b entonces ( )a b  y ab . 
 
 
Demostración 
Comenzaremos demostrando que si a y b entonces ( )a b  . 
Consideremos el conjunto  / ( )H n a n    . 
1) H  . 
2) 0 pues0a a  y por hipótesis a . 
3) Si n H entonces ( 1)n H  . En efecto:
( ) ( ) 1 ( 1) ( 1)
por def por ser asociativa
de H inductivo de
n H a n H a n H a n H n H               . 
 
Por 1) , 2) y 3) , por el teorema de inducción completa, tenemos que H  . 
Como por hipótesis b , tenemos que b H y por lo tanto ( )a b  . 
 
El razonamiento para demostrar que ab cuando a y b son números naturales es similar al anterior y es un 
buen ejercicio para el lector. 
 
 
OBSERVACIÓN 
La adición en es una operación que cumple las propiedades conmutativa, asociativa y de neutro. Sin embargo, no 
cumple la propiedad de opuesto, ya que: 0 0n n n n         . 
La multiplicación en también es una operación en que cumple las propiedades conmutativa, asociativa y de 
neutro y no cumple la propiedad de opuesto. 
 
 
El siguiente ejercicio justifica que la sustracción no es una operación en , es decir, que dados dos números naturales
a y b , no necesariamente se cumple que ( )a b  . 
 
Ejercicio 26 
1) a) Demostrar que el conjunto  / 0 ( 1)H n n n      es un conjunto inductivo de . 
 b) Deducir que si a y 0a  entonces ( 1)a   . 
2) a) Dado a , demostrar que  / ( )H n n a a n      es un conjunto inductivo de . 
 b) Deducir que si a , b y a b entonces ( )a b  . 
3) Si a , b y a b , demostrar que 1a b  . (Sugerencia: Razonar por reducción al absurdo) 
 
 
Es consecuencia del ejercicio 26 que la sustracción no es una operación en ya que la condición para que
( )a b  con a y b es que se verifique: a b . Es decir, para que exista en , la sustracción 
de dos números naturales el minuendo debe ser mayor que el sustraendo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Una diferencia entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los números naturales y es que, mientras entre 
dos números reales existen infinitos números reales, entre dos números naturales no necesariamente existen números 
naturales. a diferencia de , no es un conjunto denso. Diremos que es un conjunto discreto. 
 
TEOREMA 
Si a entonces no existe n tal que 1a n a   . 
 
 
Demostración 
Comenzaremos demostrando que no existe un número natural entre 0 y 1 . Para ello consideremos el siguiente 
conjunto:  / 0 1H n n n     . 
Observemos que: 1) H  . 
 2) 0 H . 
 3) Si n H entonces ( 1)n H  . En efecto: 0 1n H n n     . 
 Si 0 1 0 1 1 1 ( 1)n n n H          . 
 Si 1 1 1 1 1 ( 1)n n n H         
Dado que el conjunto H cumple las condiciones 1) , 2) y 3) , por el teorema de inducción completa, podemos asegurar 
que H  y por lo tanto todo número natural vale 0 o es mayor o igual a 1 , lo que equivale a decir que no 
existen números naturales entre 0 y 1 . 
 
Ahora, para demostrar que si a entonces no existe n tal que 1a n a   razonaremos por absurdo. 
Si existe n tal que 1a n a   , entonces 1a a n a a a      , es decir, 0 1n a   . 
Como n a , entonces ( )n a  (ver ejercicio 26 parte 2) b)) y esto contradice el hecho que entre 0 y 1 no 
existen números naturales. 
 
Este último teorema nos permite asegurar que el número natural 1a  es el “siguiente” del número natural a . Por 
tal motivo, decimos que a y 1a  son números naturales consecutivos. 
A partir de aquí, la distribución de los números naturales en la recta es la siguiente: 
 
Para cada a , el segmento de extremos a y 1a  se obtiene trasladando el segmento de extremos 0 y 1 . 
 
 
NÚMEROS ENTEROS 
 
Si al conjunto de los números naturales le agregamos sus opuestos obtenemos un nuevo conjunto llamado conjunto de 
los números enteros. De esta forma, dado dos números naturales la diferencia no necesariamente será un número 
natural, pero si será un numero entero. 
 
DEFINICIÓN DE NÚMERO ENTERO 
Decimos que un número real x es un número entero si, y solo si, x o x  . 
 
Llamamos conjunto de los números enteros, al conjunto denotado por , cuyos elementos son todos los números 
enteros. Simbólicamente:    / ( ) ,x x x n n          
 
 
De la definición anterior surge que   . 
 
 
Los elementos del conjunto  0 se llaman enteros positivos y los opuestos de los enteros positivos se llaman 
enteros negativos. 
Si denotamos por 

al conjunto de los enteros positivos y por 

al conjunto de los enteros negativos, tenemos: 
  0    
69 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
El primer teorema que enunciaremos respecto a los números enteros permitirá justificar que el conjunto de los números 
enteros está formado por las diferencias de números naturales. 
 
TEOREMA 
 
1) La diferencia de dos números naturales es un número entero. 
 
2) Recíprocamente, todo número entero se puede expresar como la diferencia de dos números naturales. 
 
 
Demostración 
1) Comenzaremos demostrando que si a y b entonces ( )a b  . 
 i) Si a b , entonces ( )a b  . Como  se concluye que ( )a b  . 
 ii) Si a b , entonces ( )b a  . Como ( )a b b a    , entonces se concluye que ( )a b 
. 
 iii) Si a b , entonces 0a b   . 
 
2) Sabemos que el conjunto de los números enteros está formado por los números naturales y sus opuestos y como 
 para cualquier a se cumple que 0a a  y 0a a   , queda demostrado que todo número entero 
 se puede expresar como la diferencia de dos números naturales. 
 
 
Como consecuencia inmediata de este último teorema concluimos que el conjunto de los números enteros está formado 
por todas las diferencias de números naturales, es decir,  /a b a b     . 
Usando esta forma de describir el conjunto de los números enteros proponemos al lector demostrar el siguiente teorema, 
que justifica que la adición y la multiplicación son operaciones (internas) en . 
 
 
TEOREMA 
Si a y b entonces, a  , ( )a b  y ab . 
 
 
 
OBSERVACIONES 
1) Al igual que en , la adición en es una operación que cumple las propiedades conmutativa, asociativa y de 
 neutro. Ahora, a diferencia de , la adición en cumple la propiedad de opuesto, ya que: 
 ( ) ( )a a a a

         . 
 
 En general, un conjunto no vacío en el cual está definida una operación que cumple las propiedades: conmutativa, 
 asociativa, de neutro y de opuesto se llama grupo abeliano. Así pues, ( , ) y ( , ) son grupos abelianos, 
 sin embargo ( , ) no lo es. 
 
2) La multiplicación en también es una operación que cumple las propiedades: conmutativa, asociativa y de 
 neutro. Sin embargo, no cumple la propiedad de inverso. En efecto, si 
1 1
1 0 1a a
a a
        
 A su vez, como 
1 1
0
a a
     , concluimos que 
1 1 1
a a a
      . 
 En realidad:
1
1 1a a
a
      . 
 
Resumiendo, con la operación adición tiene las mismas propiedades que , no así la multiplicación que cumple 
las propiedades conmutativa, asociativa, pero no cumple la propiedad de inverso. Por tal motivo, ( , , )  no es un 
cuerpo. Diremos que ( , , )  es un anillo conmutativo. 
 
En cuanto a la división, ésta no es una operación ni en ni en . 
70 
 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
NÚMEROS RACIONALESAsí como los números enteros surgen de realizar todas las posibles diferencias entre números naturales, los números 
racionales surgen de realizar todos los posibles cocientes de números enteros. 
 
DEFINICIÓN DE NÚMERO RACIONAL 
Llamamos conjunto de los números racionales al conjunto denotado por y definido de la siguiente manera: 
 / 0
a
x x a b b
b
 
         
 
 
Los elementos de se llamarán números racionales. 
Un número racional es un número real que puede expresarse de la forma 
a
b
 con a y b enteros y 0b  . 
 
 
OBSERVACIONES 
1) Un número racional se puede representar de infinitas formas, ya que , , 0
a an
n n
b bn
    . 
 En efecto, 
1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )
an a
an bn an b n a nn b ab
bn b
          
2) Dado que n  se cumple: 
1
a
a tenemos que    . 
 
Al igual que en los números enteros, la adición y la multiplicación son operaciones (internas) en . Una diferencia es 
que a diferencia de los números enteros, la división de números racionales es una operación interna en . 
 
TEOREMA 
Si a y b entonces, a  , ( )a b  , ab y si además 0a  , entonces
1a  
 
 
La demostración de este teorema es consecuencia inmediata del teorema de operaciones con fracciones ya enunciado. 
 
 
Es sencillo verificar que , además de cumplir con el axioma de cuerpo, cumple el axioma de orden. Por tal motivo, 
diremos que ( , , )  es un cuerpo ordenado. Esto hecho puede llevarnos a pensar que y son el mismo 
conjunto, lo cual no es cierto. Más adelante demostraremos que existen números reales que no son números racionales. 
 
 
A diferencia de lo que ocurre en y , entre dos números racionales siempre existe un número racional. Este hecho 
se enuncia en el siguiente teorema cuya demostración dejamos a cargo del lector. 
 
TEOREMA (DENSIDAD DE LOS NÚMEROS RACIONALES) 
 
Si r y s son números racionales cualesquiera y r s entonces, existe un número raciona q tal que r q s  . 
 
 
 
 
De esta manera, cualquier número racional puede representarse sobre la recta real. 
Dado cualquier número natural n , usando el teorema de Thales 
es posible realizar una construcción similar a la realizada en la figura 
adjunta, para ubicar sobre la recta real el número racional 
1
n
. 
Luego, mediante traslaciones convenientes podremos representar 
cualquier número racional 
m
n
 , m . 
 
71 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN COMPLETA 
 
Una técnica de demostración muy útil en matemática para demostrar propiedades que dependen de un número natural es 
el método de demostración por inducción completa. Este método está basado en el teorema de inducción completa y se 
usa para demostrar resultados sobre una gran variedad de objetos matemáticos distintos. 
 
Consideremos las siguientes proposiciones que dependen de un número natural n . 
1) 1( )P n : Cualquiera sea el número natural 2n  , 
3 234 124 120n n n   es un número negativo. 
2) 2( )P n : Cualquiera sea el número natural 1n  , 
2991 1n  no es el cuadrado de un número natural. 
3) 3( )P n : La suma de todos los números naturales hasta un número natural n es 
( 1)
2
n n 
. 
Analicemos la veracidad de cada una de estas proposiciones. 
 
1) Es sencillo verificar que para n igual a o3;4; 5 ; 6 7 la proposición 1( )P n es verdadera. 
 La pregunta es: ¿será válida para todos los números naturales? Un poco de trabajo operatorio nos permite concluir 
 que la proposición es falsa para valores de n mayores o iguales que 30 . Es decir, la proposición 1( )P n es falsa, 
 ya que existen números naturales para los cuales 
3 234 124 120n n n   no es un número negativo. 
 
2) Investiguemos ahora que ocurre con la proposición 2( )P n . 
 Si 1n  , 2( )P n es verdadera ya que 
2991 1 1 992   no es el cuadrado de un número natural. 
 Si 2n  , 2( )P n es verdadera ya que 
2991 2 1 3965   no es el cuadrado de un número natural. 
 Si 3n  , 2( )P n es verdadera ya que 
2991 3 1 8920   no es el cuadrado de un número natural. 
 Difícil es verificar que la proposición 2( )P n es falsa, ya que no es verdadera recién cuando n se sustituye por el 
 número natural 12055735790331359447442538767 . 
 
3) Si sustituimos n por o0;1;2;3;4;5;6 7 podemos comprobar fácilmente que 3( )P n es verdadera. 
 Ahora, si se nos ocurre sustituir n por 1000 o por 134528 ya no resulta tan sencillo verificar que también es 
 verdadera. Pero supongamos que después de mucho trabajo, logramos verificar que 3( )P n es verdadera para tales 
 valores de n , esto ¿es suficiente para concluir que la proposición es verdadera para todos los números naturales? 
 Obviamente la respuesta es no, ya que podría ocurrir algo similar a lo que ocurrió con la proposición 2( )P n , la 
 cual dejó de ser verdadera para un número natural “gigante”. 
 
La imposibilidad de probar la veracidad de una proposición para cada uno de los números naturales, genera la necesidad 
de tener algún método que permita, en un número finito de pasos, verificar que una proposición es verdadera en todos 
los casos. Uno de estos métodos, es el método de inducción completa. 
 
Una manera gráfica de ilustrar en que consiste el método de inducción completa es la siguiente: 
Supongamos que cada número natural lo representamos por una ficha de dominó y que colocamos todas las fichas de 
dominó de pie sobre una mesa de modo que, cuando cae una ficha, cae la siguiente. Es claro que, si cae la primera ficha, 
podemos concluir que caen todas las demás sin la necesidad de realizar el experimento. 
 
Las características esenciales que nos permiten asegurar que la 
proposición: “Todas las fichas de dominó caen” son las siguientes: 
1) La primera ficha de dominó se cae. 
2) Si se cae una ficha cualquiera de dominó, entonces se cae la siguiente. 
 
La no ocurrencia de alguna de estas condiciones no nos permite asegurar 
que se caerán todas las fichas de dominó. 
Por otra parte, observar que si sustituimos la condición 1) por la condición 
“Se cae la ficha que está en el lugar k ”, podemos concluir que se caen 
todas las fichas a partir de la que se encuentra en el lugar k . 
 
72 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
El siguiente teorema no es más que una formalización de las ideas mencionadas anteriormente y enuncia una forma 
equivalente de enunciar el teorema de inducción completa y que en general utilizaremos para demostrar propiedades que 
dependen de un número natural. 
 
TEOREMA (PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA O DE INDUCCIÓN FINITA) 
Sea ( )P n una proposición cualquiera que depende de un número natural n y que cumple las siguientes propiedades: 
a) BASE INDUCTIVA: ( )P k es verdadera para un determinado número natural k dado, es decir, la proposición 
 ( )P n es verdadera para n k . 
 
b) PASO INDUCTIVO: Si ( )P n es verdadera para algún número natural n k particular y elegido al azar, 
 entonces ( 1)P n  es verdadera ,n n k   . 
 
Entonces, bajo esas condiciones podemos asegurar que ( )P n es verdadera ,n n k   . 
 
 
Demostración 
Consideremos el conjunto  es verdadera/ ( )H x P x k   y demostremos que H  . 
1) (0 ) ( )P k P k  y ( )P k es verdadera por la parte a) de la hipótesis, entonces 0 H . 
2) Si ( )xH x P x k     es verdadera
)
( 1)
Como x k k
Por hipótesis b
P x k
 
   es verdadera (( 1) )P x k   es 
 verdadera ( 1)x H   . 
De lo demostrado en 1) y 2) , por el teorema de inducción completa, deducimos que H  . 
Luego: , ( ) ( ) ( )n n k n k n k H P n k k            es verdadera ( )P n es verdadera 
Concluimos así que ( )P n es verdadera ,n n k   . 
 
 
OBSERVACIONES 
1) El principio de inducción completa no afirma que deba demostrarse que ( )P n es verdadera para algún número 
 natural n k , lo que afirma es que suponiendo que ( )P n es verdadera para algún número natural n k , debe 
 demostrarse que también lo será ( 1)P n  . 
 La suposición que ( )P n es verdadera para algún número natural n k , se llama hipótesis inductiva y lo que 
 debemos demostrar, es decir que ( 1)P n  es verdadera, se llama tesis inductiva. 
 
2) El principio de inducción completa está implícito en aquellos argumentos matemáticos en donde se dicen frases 
 como “y así sucesivamente” o “etc.” 
 
 
EJEMPLO 7 (SUMA DE LOS PRIMEROS n NÚMEROS NATURALES) 
Utilizaremos el método de inducción completa para demostrar la veracidad de la proposición: 
 3( )P n Cualquiera que sea el natural n se cumple 
( 1)
0 1 2 3 ...
2
n n
n

      
1) Base inductiva 
 3(0)P es verdadera ya que para 0n  la igualdad 
( 1)
0 1 2 3 ...
2
n n
n

      se reduce a 0 0 
 (De esta manera hemos verificado que se cae la primera ficha del dominó) 
 
2) Paso inductivo: Hipótesis inductiva: 3( )P n es verdadera Tesis inductiva: 3( 1)P n  es verdadera. 
 Suponiendo que la proposición 3( )P n es verdadera para un natural n , demostraremos que la propiedad es 
 verdadera para el natural siguiente, es decir demostraremos que 3( 1)P n  es verdadera. (Hay que demostrar que 
 si cae la ficha del dominó que se encuentra en la posición n , entonces cae la ficha siguiente en la posición 1n  ) 
73 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Demostración 
Si 3( )P n es verdadera, entonces 
( 1)
0 1 2 3 ...
2
n n
n

      
Para demostrar que 3( 1)P n  es verdadera, debemos demostrar que: 
 
( 1)( 1 1)
0 1 2 3 ... ( 1)
2
n n
n n
  
        
Para lograr nuestro objetivo partimos de la suma 0 1 2 3 ... ( 1)n n       
Usando la hipótesis inductiva y sacando factor común es que podemos escribir las siguientes igualdades: 
 
 
por hipótesis extraemos factor
inductiva común n 1
3y finalmente oncluimosque es verdadera.
( 1)
0 1 2 ... ( 1) 1 ( 1) 1
2 2
2 ( 1)( 2)
( 1) ( 1)
2 2
c
n n n
n n n n
n n n
n P n

  
             
 
   
    
 
 
 
NOTA 
La igualdad 
( 1)
0 1 2 3 ...
2
n n
n

      es conocida como fórmula de Gauss en honor al matemático alemán 
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Según cuenta la historia, cuando Gauss tenía ocho años, un maestro como castigo 
por molestar en clase le propuso sumar los 100 primeros números naturales comenzando desde 1 para de esta manera 
tenerlo entretenido por un buen rato. Pero la sorpresa fue que Gauss obtuvo la respuesta casi de inmediato: 
1 2 3 ...99 100 5050     . Gauss se dio cuenta que las sumas 1 100 ; 2 99 ; 3 98 ; 4 97 ;    etc, 
valen todas 101 y que la suma 1 2 3 ...99 100    tiene en total 50 de esos sumandos, por lo cual es 
inmediato que: 
100 100 101
1 2 3 ...99 100 5050 50 101 101
2 2

          
 
Un ejemplo donde se puede utilizar esta fórmula es el siguiente: 
Una ruleta tiene números del 1 al 36 pintados en ella de manera aleatoria. Demostrar que, independientemente de la 
posición de los números, hay tres números consecutivos en la ruleta que suman 55 o más. 
Para obtener la solución, llamemos 1x a cualquier número de la ruleta y a partir de 1x llamamos en sentido horario a 
los demás números 2 3 4 36, , ,...,x x x x . 
Supongamos que no es cierto que hay tres números consecutivos en la ruleta que suman 55 o más. Es decir, 
 
1 2 3
2 3 4
3 4 5
1 2 3 4 36
34 35 36
35 36 1
36 1 2
55
55
55
....................... 3( ... ) 36 55 1980
55
55
55
sumando
miembro a
miembro
x x x
x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
   

   
  

        
  

   

   
 
En estas 36 desigualdades cada uno de los números 1 2 3 4 36, , , ,...,x x x x x aparecen exactamente tres veces, lo que 
implica que cada uno de los enteros del 1 al 36 aparecen tres veces y por lo tanto tenemos que: 
1 2 3 4 36
36 37
3( ... ) 3(1 2 3 4 ... 36) 3 1998
2
x x x x x
 
             
 
 lo que contradice que 
1 2 3 4 363( ... ) 1980x x x x x      . 
Esta contradicción proviene de suponer que no existen tres números consecutivos en la ruleta que suman 55 o más. 
74 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
EJEMPLO 8 (SUMA DE LOS PRIMEROS n NÚMEROS NATURALES IMPARES) 
Diremos que un número entero n es par si, y solo si, existe un número entero a tal que 2n a . Diremos que n 
es impar si, y solo si, existe un número entero a tal que 2 1n a  . 
Nos proponemos a continuación calcular la suma de los n primeros números naturales impares, es decir, calculemos: 
1 3 5 7 ... (2 1)nS n       . 
Comencemos por calcular esta suma para pequeños valores de n . 
 11 1n S   
 22 1 3 4n S     
 33 1 3 5 9n S      
 44 1 3 5 7 16n S       
 55 1 3 5 7 9 25n S        
Al observar que 
2 2 3 2
1 2 3 41 , 2 , 3 , 4S S S S    y 
2
5 5S  nos preguntamos si este patrón 
continúa indefinidamente, es decir, ¿será que 
2
nS n , n  ? 
Una forma de demostrar que efectivamente vale la igualdad 
21 3 5 7 ... (2 1)nS n n        es mediante el 
principio de inducción completa y lo dejamos como ejercicio para el lector. 
 
 
 
OBSERVACIONES 
 
Es frecuente en matemática, realizar procedimientos como los realizados en el ejemplo anterior. A partir de la 
observación de casos particulares se enuncia una conclusión general. Este proceso, conocido como inducción, permite 
obtener una proposición general a partir de una o varias proposiciones particulares y es contrario a la deducción, que es 
el proceso de inferir de una proposición general una proposición particular. 
En las ciencias experimentales, la inducción es el proceso por el cual a partir de observaciones o experimentos 
particulares se extrae una propiedad general. Por ejemplo, observando que al lanzar varias pelotas de lo alto de un 
edificio éstas caen, se concluye que al lanzar cualquier pelota de lo alto de un edificio ésta cae. Esta propiedad se 
considera verdadera, hasta que no se encuentre una pelota que al ser lanzada desde lo alto de un edificio no caiga. 
En la matemática, se utiliza un procedimiento parecido, se induce una propiedad, salvo que para poder concluir que es 
verdadera, se debe demostrar que siempre se cumplirá, no bastará con que dicha propiedad se cumpla para varios casos. 
Cuando se logró demostrar que tal propiedad es verdadera en todos los casos, la inducción es completa. 
 
 
 
Ejercicio 27 (SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA) 
1) Si a y d son dos números reales cualesquiera y n es un número natural, inducir una fórmula que dependa de n 
 que permita calcular la siguiente suma y demostrarla por el principio de inducción completa: 
 ( ) ( 2 ) ... ( )aa d a d a nd       . 
 ( , , 2 ,....,a a d a d a nd   se llaman términos de una progresión aritmética de razón o diferencia d ) 
2) Se consideran los números 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 , 23 ,...,302 . Calcular su suma. 
3) Usar la parte 1) para hallar una fórmula que dependa de n , para calcular la suma de los primeros n números 
 naturales (empezando en 1 ) y otra para hallar la suma de los primeros n números impares. 
 
 
Ejercicio 28 
Se considera la proposición 
2(2 1)
( ) : 1 2 3 ...
8
n
P n n

     , , 1n n  . 
1) Demostrar que si ( )P n es verdadera, entonces ( 1)P n  es verdadera. 
2) ¿Es correcto afirmar que ( )P n es verdadera , 1n n   ? 
 
 
 
 
 
 
75 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 29 
En este ejercicio obtendremos una fórmula para calcular la suma de los cuadrados de los primeros 1n  naturales. 
Dado que la suma de los 1n  primeros números naturales se puede obtener a partir de un polinomio de segundo 
grado, 
2( 1)
0 1 2 ....
2 2
n n n n
n
 
      , podemos pensar que la suma 
2 2 2 2 20 1 2 3 ... n     se 
puede obtener a partir de un polinomio de tercer grado. Investiguémoslo. 
a) Hallar los números reales , ,a b c y d para que la siguiente igualdad sea válida para 0, 1, 2n n n   
 y 3n  : 
2 2 2 2 2 3 20 1 2 3 ... n an bn cn d         . 
 Para los valores de , ,a b c y d hallados, demostrar utilizando el principio de inducción completa, que la 
 igualdad es verdadera para cada natural n . 
c) Verificar que 
2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...
6
n n n
n
 
     es válido para todo número natural n . 
d) Una cuerda de 820 metros se corta en cuerdas de 1;2;3;... metros y con cada una de ellas se construye un 
 cuadrado. Calcular la suma de las áreas de dichos cuadrados. 
 
COMPLEMENTO 1 
Mostraremos otra forma de obtener la igualdad: 
2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...
6
n n n
n
 
     
1) Calcular 
4321
4321
,
321
321
,
21
21
,
1
1 2222222222






 
2) Conjeturar una fórmula para calcular 
2 2 2 21 2 3 ...
1 2 3 ...
n
n
   
   
 en función de n y luego deducir la igualdad 
 
2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 ...
6
n n n
n
 
     
3) Deducir fórmulas que dependan de n para calcular:
 
 
2 2 2 22 4 6 ... (2 )n    y 
2 2 2 21 3 5 ... (2 1)n     
 
COMPLEMENTO 2 
Hallar una fórmula que permita calcular la siguiente suma: 
3 3 3 3 30 1 2 3 ... n     y demostrarla. 
 
 
Ejercicio 30 
Demostrar que para todo número natural 1n  se cumple: 
a)  1 2 1 ( 1)1 4 9 16 ... ( 1) ( 1) 2
n n n nn 

        b) 
1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 ( 1) 1
n
n n n
    
    
 
 
Ejercicio 31 
Demostrar usando el principio de inducción competa las siguientes proposiciones: 
1) Para todo número natural 3n  se cumple la desigualdad 22 1n n  . 
2) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados )3( n es ( 2)n  . 
 
 
Ejercicio 32 
a) Dados n puntos no alineados tres a tres, inducir una fórmula que permita calcular el número nS de segmentos que 
 se pueden trazar tomando como extremos dichos puntos y demostrarla por inducción completa. 
b) Inducir una fórmula que permita calcular el número nD de diagonales de un polígono convexo de n lados )3( n 
 y demostrarla por el principio de inducción completa. 
 
Ejercicio 33 
Demostrar que todo número natural mayor a 7 se puede escribir como suma de treses y cincos. Es decir, se pide 
demostrar que cualquiera sea el número natural 7p  , existen números naturales m y n tales que 3 5p m n  . 
76 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
BUENA ORDENACIÓN 
 
El conjunto de los números naturales tiene una particularidad que no la tienen los conjuntos , y y es la 
siguiente: Todo subconjunto X no vacío de números naturales tiene mínimo, es decir, que existe un elemento de X
que es menor que cualquier elemento que pertenezca a X . Es claro ver que esta propiedad no la tienen , y y 
tampoco, por ejemplo, los conjuntos  / 0x x    y  0, . 
Estas ideas dan lugar a un principio llamado principio de la buena ordenación que a continuación enunciaremos. 
Antes definiremos formalmente algunos conceptos que necesitaremos. 
 
 
DEFINICIONES (COTA SUPERIOR E INFERIOR , MÁXIMO , MÍNIMO , SUPREMO E ÍNFIMO) 
Si A es un conjunto no vacío de números reales, decimos que: 
 
1) El número real k es una cota superior del conjunto A si, y solo si, k es mayor o igual que cualquier elemento 
 que pertenece a A , es decir, , .k x x A   
 Llamaremos ( )cs A al conjunto de todas las cotas superiores de A . 
 
 
2) A está acotado superiormente si, y solo si, A tiene alguna cota superior. 
 
3) El número real h es una cota inferior del conjunto A si, y solo si, h es menor o igual que cualquier elemento 
 que pertenece a A , es decir , .h x x A   
 Llamaremos ( )ci A al conjunto de todas las cotas inferiores de A . 
 
4) A está acotado inferiormente si, y solo si, A tiene alguna cota inferior. 
 
5) A está acotado si, y solo si, A está acotado superiormente e inferiormente. 
 
6) El número real m es máximo del conjunto A si, y solo si, m es cota superior de A y m A . 
 Si un conjunto tiene máximo, entonces es único (demostrarlo). 
 Si m es el máximo del conjunto A escribiremos m máxA . 
 
7) El número real m es mínimo del conjunto A si, y solo si, m es cota inferior de A y m A . 
 Si un conjunto tiene mínimo, entonces es único (demostrarlo). 
 Si m es el mínimo del conjunto A escribiremos m mínA . 
 
8) El número real s es supremo o extremo superior de A si, y solo si, s es el mínimo del conjunto de las cotas 
 superiores de A . 
 Si el conjunto A tiene supremo s , este es único y lo denotamos como: sup( )s A o ( )s ext A . 
 
9) El número real f es ínfimo o extremo inferior de A si, y solo si, f es el máximo del conjunto de las cotas 
 inferiores de A . 
 Si el conjunto A tiene ínfimo f , este es único y lo denotamos como: inf( )f A o ( )f ext A . 
 
 
Observar que, si un conjunto no vacío de números reales tiene máximo, éste es el supremo del conjunto. Pero el hecho 
que un conjunto no tenga máximo, no nos permite concluir que no tenga supremo. Algo similar ocurre con el mínimo y 
el ínfimo de un conjunto. 
 
 
 
 
77 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
EJEMPLO 9 
1) El conjunto  7;11;4;3;1A está acotado superiormente e inferiormente. 
   ,11)(Acs , sup( ) 11máxA A  ,  ( ) ,1ci A   y ( ) 1mínA ínf A  . 
2) El conjunto  7;2B está acotado superiormente e inferiormente. 
   ,7)(Bcs y  ( ) , 2ci A   . B tiene mínimo 2 y no tiene máximo. 
 Además, sup( ) 7B  e inf( ) 2B  . 
3) Los conjuntos   ,aC y ( , )D a  donde a no están acotados superiormente. 
 
 
EJEMPLO 10 
Consideremos el conjunto 
3
, , 0A n n
n
 
   
 
 
Si bien es claro que el conjunto de las cotas superiores de A es  ( ) 3 ,cs A   y que 3 es el supremos de A , 
demostrémoslo usando las definiciones del recuadro anterior. 
1) 
1 3
, 1 1 3 3n n
n n
        es cota superior del conjunto A A está acotado superiormente. 
 Además, cualquier número real mayor que 3 es cota superior de A . 
2)Como 3 A , cualquier número real menor que 3 no puede ser cota superior de A , debido a que existe un 
 elemento del conjunto A que es mayor que él, el 3 . Por lo tanto sup( ) ( ) 3A máx A  y  ( ) 3 ,cs A   
 
 
Ejercicio 34 
a) Investigar en cada caso, si los siguientes conjuntos están acotados superiormente e inferiormente. Estudiar la 
 existencia de extremos, máximo y mínimo. 
 1)  / 3 2A x x     2)  / 3 2B x x     
 3)  / 3 2C x x     4)    / 3 2 3,2D x x       
 5)  / 2E x x   6)  / 2F x x   
b) Demostrar que los conjuntos 
3 1
, , 0
n
S n n
n
 
   
 
 y 
3
,
1
n
T n
n
 
  
 
 están acotados 
 superiormente. Hallar, en cada caso, el conjunto de las cotas superiores. 
 
 
 
Ejercicio 35 
Si A es un conjunto de números reales tal que 3sup A , indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o 
falsas, justificando sus respuestas. 
a) Todo elemento de A es menor que 3 . 
b) Todo número real mayor que 3 es cota superior de .A 
c) A no está acotado inferiormente. 
d) Existe un elemento en A que es mayor que 9
26 . 
e) Si A tiene máximo, entonces ( ) 3máx A  . 
 
 
Ejercicio 36 
1) Si A es un conjunto no vacío de números reales acotado superiormente, demostrar que   es el supremo de 
 A si, y solo si,  es cota superior de A y para cada número real 0  , existe a A tal que a   . 
2) De manera similar a lo planteado en 1), enunciar una condición necesaria y suficiente para que un número real sea 
 ínfimo de un conjunto de números reales. 
 
 
 
78 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 37 (OPCIONAL) 
Si A y B son conjuntos de no vacíos de números reales y   , definimos los conjuntos A B y A como: 
 /A B a b a A b B      y  ,A a a A   
a) 1) Dar un ejemplo en el cual A B , B está acotado e ( ) ( ) sup( ) sup( )ínf B ínf A A B   . 
 2) Si A B y B está acotado, demostrar que A es acotado y que ( ) ( ) sup( ) sup( )ínf B ínf A A B   . 
b) 1) Dar un ejemplo en el cual , ,a b a A b B     y ( ) sup( )ínf B A . 
 2) Si , ,a b a A b B     , demostrar que: sup( ) ( )A ínf B . 
c) Si A y B están acotados, demostrar que A B está acotado y que se verifica: 
 ( ) ( ) ( )ínf A B ínf A ínf B   y sup( ) sup( ) sup( )A B A B   . 
d) 1) Si A está acotado y 0  , demostrar que A está acotado, ( ) ( )ínf A ínf A  y sup( ) sup( )A A  
 2) Si A está acotado y 0  , demostrar que ( ) sup( )ínf A A  y sup( ) ( )A ínf A  . 
 
 
Estamos ahora en condiciones de enunciar el teorema de la buena ordenación. 
 
TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN O DEL BUEN ORDEN 
 
Todo subconjunto no vacío de números naturales tiene mínimo. 
 
 
Demostración 
Sea ,A A   . Estudiaremos dos casos: 1) 0 A y 2) 0 A . 
1) Si 0 A . Como sabemos que n  se tiene que 0n  , 0 0 , 0 ( )A k k A mín A       
2) Si 0 A . Consideramos el conjunto B de los números naturales que son estrictamente menores que todos los 
 elementos de A , es decir,  / ,B n n k k A     . Observar que A B   y 0 B . 
 
 0 ... ...
B A
 
 B no puede ser un conjunto inductivo, ya que si lo fuera, por el teorema de inducción completa, sería B  . 
 Si fuera cierto que B  entonces A  y esto contradice la hipótesis. En efecto: 
 
B A B A
A B A
A A A
 
     

   
    
 y esto último contradice la hipótesis del teorema. 
 Esta contradicción proviene de suponer que x B  , ( 1)x B  . Por lo tanto, existe 0x B tal que 
 0( 1)x B  
 Demostraremos que 0 1x  es el mínimo del conjunto A . 
 
0 0 0
0 0 0 0
0 0
, 1 ,
/ 1 ( 1)
( 1) 1 ,
x B x k k A x k k A
k A x k x A
x B x k k A
          
       
       
. 
 Luego, como 0 1 ,x k k A    y 0( 1)x A  , concluimos que 0 1x  es el mínimo de A . 
 
 
OBSERVACIÓN 
La definición de máximo y mínimo de un conjunto puede realizarse en cualquier conjunto ordenado, es decir, en 
cualquier conjunto en el cual se defina una relación de orden. Un conjunto bien ordenado, es un conjunto ordenado 
con la propiedad de que todo subconjunto no vacío de él tiene mínimo. Por tal motivo, el principio de la buena 
ordenación puede enunciarse como: es un conjunto bien ordenado. 
Observar que , y no son conjuntos bien ordenados pues, por ejemplo, no es cierto que todo subconjunto no 
vacío de números números enteros tiene mínimo. 
 
 
79 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
EJEMPLO 11 
Usaremos el teorema de la buena ordenación para demostrar que todo número racional se puede expresar de forma 
irreducible. Es decir, demostraremos que un número racional r se puede expresar de la forma 
a
r
b
 con a , 
 0b  y a y b no tienen divisores en común. 
Para ello, consideremos un número racional r y el conjunto   para algún0 /
a
A b r a
b
 
     
 
 
cuyos elementos son todos los denominadores posibles para r . 
Por la definición de A , A y A  (Observar que si r , entonces existe  0b  tal que 
a
r
b
 y 
eso explica que A  ). Luego, por el principio de la buena ordenación, existe 0 ( )b mín A . 
0
0 0
0
( ) /o
a
b mín A b A a r
b
       . 
Ahora, la fracción 0
0
a
b
 es irreducible, pues si no lo fuera al reducir la fracción 0
0
a
b
 obtendríamos para r un 
denominador 1b A que es menor que 0b y eso no es posible dado que 0 ( )b mín A . 
 
 
 
El siguiente teorema es una consecuencia inmediata del teorema de la buena ordenación. 
 
TEOREMA (CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN) 
 
Todo subconjunto A no vacío de números naturales que esté acotado superiormente tiene máximo. 
 
 
Demostración 
Como A está acotado superiormente, el conjunto  es cota superior de/B b b A  es un conjunto no vacío de 
números naturales. Por el teorema de la buena ordenación, existe ( )m mín B . 
( ) ( ) ( , )m mín B m B m b b B       . 
Como m B m  es cota superior de ,A m a a A    . 
Si fuera ,m a a A   , entonces 1 ,m a a A    y en este caso 1m  sería una cota superior de A y por 
lo tanto 1m B  . Esto último no puede ocurrir, porque tendríamos un elemento del conjunto B que es menor que el 
mínimo de B . La contradicción surgió de suponer que ,m a a A   . 
Luego, m A y ,m a a A   , es decir ( )m máx A . 
 
 
El teorema de la buena ordenación y el teorema de inducción completa son teoremas equivalentes, esto quiere decir que 
si se cumple el teorema de la buena ordenación se cumple el teorema de inducción completa y recíprocamente, si se 
cumple el teorema de inducción completa, entonces se cumple el teorema de la buena ordenación. 
Esta equivalencia, enunciada y demostrada en el próximo teorema, permite usar indistintamente uno de estos teoremas 
para demostrar algunas propiedades que dependen de un número natural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
TEOREMA 
 El teorema de la buena ordenación y el teorema de inducción completa son teoremas equivalentes. 
 
 
Demostración 
Comencemos demostrando que el teorema de la buena ordenación implica el teorema de inducción completa. 
Sea H  yH un conjunto inductivo de . Demostremos que H  . 
Supongamos por absurdo que H  . 
Si H  , entonces B H    . Por el teorema de la buena ordenación, existe ( )m mín B 
Como H es un conjunto inductivo de , 0 H y por lo tanto 0 B . 
0
1 ( 1) 1
( )
B
m m m
m mín B
 
     
 
 con ( 1)m   . 
( )m mín B  ( 1)m B  . Por tanto, ( 1)m H  . 
Si ( 1)m H  , dado que H es un conjunto inductivo de , concluimos que m H lo que es absurdo dado 
que m B y B H   . 
Hemos demostrado de esta forma que el teorema de la buena ordenación implica el teorema de inducción completa. 
 
Recíprocamente, el teorema de inducción completa implica el teorema de la buena ordenación. 
Supongamos que se cumple el teorema de inducción completa y no se cumple el teorema de la buena ordenación. 
Es decir, supongamos que existe un subconjunto de números naturales S  que no tiene mínimo. 
0 S , pues si 0 S , S tendría mínimo 0 . (Del mismo modo 1 S pues de lo contrario 1 sería el mínimo de 
S dado que 0 S . etc.). 
Sea  / ,B b b s s S     . 
1) Observar que 0 B pues 0 S . 
2) Si k B , entonces ,k s s S   y por lo tanto 1 ,k s s S    . 
 1k  no puede pertenecer a S porque de lo contrario S tendría como mínimo a 1k  . 
 Por lo tanto, 1k B  , quedando demostrado así que si k B , entonces 1k B  . 
De 1) y 2) se puede concluir, por el teorema de inducción completa, que B  . 
Si B  , entonces S  , lo que contradice nuestra hipótesis inicial. Esto quiere decir que nuestra suposición 
que existe un subconjunto de números naturales S  que no tiene mínimo es falsa. 
Ha quedado demostrado de esta manera que el teorema de inducción completa implica el teorema de la buena 
ordenación. 
 
En este último teorema demostramos que el teorema de inducción completa y el teorema de la buena ordenación son 
proposiciones equivalentes. Esto significa que toda proposición que pueda ser demostrada usando el teorema de 
inducción completa puede ser demostrada usando el teorema de la buena ordenación. 
 
 
DEFINICIONES POR INDUCCIÓN O RECURSIÓN 
 
No menos importante que demostrar propiedades por inducción completa es definir objetos en forma inductiva. 
Un objeto o concepto matemático se dice que está definido inductivamente o recursivamente, si se define 
explícitamente para un primer valor o para unos primeros casos y se da una regla o un conjunto de reglas que permiten 
definir un caso cualquiera en función del anterior o de los anteriores. Un ejemplo de definición recursiva es la que 
daremos a continuación. 
 
DEFINICIÓN (POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL) 
Si a y 0a  , entonces para cada n definimos 
na de la siguiente forma: 
0 1a  y 
1n na a a   
 
También definimos 0 0
n  cuando 0n  . 
En todos los casos 
na se llama potencia de base a y exponente n . 
 
81 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
OBSERVACIONES 
1) Es consecuencia de la definición de potencia de base real y exponente natural que: 
 
1 0 1a a a a a     (Observar que si 
0a lo definiéramos como 0 u otro valor distinto de 1 no tendríamos la 
 deseada igualdad 
1a a ) 
 
2 1a a a a a    , 
3 2a a a a a a     , 
4 3a a a a a a a      y ...
n
n factores a
a a a a    
2) El lector podría preguntarse porque no hemos definido el caso 
00 . Existen varias corrientes. Las que defienden 
 que 
00 1 y las que prefieren no definirlo. Daremos los argumentos en cada caso. 
 Si se define 
00 1 , la definición de potencia de base real y exponente natural se compacta y se reduce a: 
 
 Si a , entonces para cada n , 
na queda definido mediante: 
0 1a  y 
1n na a a   
 
 A partir de esta definición se deduce que 
00 1 , 
1 0 1 00 0 0 0 1 0 0      y en general 0 0
n  para 
 cualquier n . 
 Existen varias formas de justificar el motivo que nos lleva a definir 
00 1 . Una de ellas es utilizando el concepto 
 de función y es la siguiente: 
na es el número de funciones que pueden definirse entre un conjunto de n elementos 
 y otro con a elementos. Por ejemplo, si  1;2D  y  ; ;A p q r existen 23 funciones de dominio D 
 y codominio A (Escribirlas). Ahora, existe una sola función de dominio  y codominio un conjunto cualquiera 
 B con a elementos y es la función vacía :f B  . Por tal motivo 0 1a  . 
 Como caso particular, existe una sola función de  en  y por tanto debe ser 00 1 . 
 Bajo esta idea, si a y n podemos definir 
na como el número de funciones que pueden establecerse 
 entre un conjunto de n elementos y otro con a elementos. 
 
3) Los que prefieren abstenerse de definir 
00 se basan en lo siguiente: 
 Como se demostrará en el próximo ejercicio la igualdad 
m
m n
n
a
a
a
 es verdadera para 0a  y m n . 
 Por lo tanto, si 1m n  tenemos que 
1
1 1 0
1
a
a a
a
  y por otro lado 
1
1
1
a a
aa
  lo que implica que 
 
0 1
a
a
a
  . Si aceptamos 0a  en esta última igualdad tendríamos que 0
0
0
0
 
 Dado que ya hemos comentado que la expresión 
0
0
 es indeterminada, deberíamos considerar que 
00 también es 
 una expresión indeterminada y por tal motivo no puede valer 1 . 
 
Más información se puede encontrar en el siguiente link: https://www.youtube.com/watch?v=lqBXU-9Y3kU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=lqBXU-9Y3kU
82 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Resumimos a continuación las propiedades de la potencia de base real y exponente natural. 
 
PROPIEDADES DE LA POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL) 
 
Si a , b , 0a  , 0b  , n y m , entonces se cumplen las siguientes propiedades: 
 
1) ...
n
n factores a
a a a a    . 2) 
m n m na a a  
3)  
n
m mna a 4) 
m
m n
n
a
a
a
 si m n 
5) ( )
n n nab a b 6) 
n n
n
a a
b b
 
 
 
 
6) Si 0 a b  entonces 
n na b , 1n  
 
7) Si 1a  entonces 1
na  , 1n  
 
8) Si 0 1a  entonces 1
na  , 1n  
 
9) Si 1a  entonces 
m nm n a a   
 
10) Si 0 1a  entonces 
m nm n a a   
 
 
 
Ejercicio 38 
Demostrar las propiedades de la potencia de base real y exponente natural enunciadas en el último recuadro. 
Sugerencias: Para demostrar 1) usar el principio de inducción completa. Para 2) usar el principio de inducción completa 
dejando m fijo. Para 4) usar 2) 
 
 
Ejercicio 39 
1) a) Demostrar la desigualdad de Bernoulli que afirma lo siguiente: 
 
 
(1 ) 1nx nx   , n  , x  , 1x   
 b) Usar la desigualdad de Bernoulli para demostrar que existe un número k tal que 3n kn , n  . 
2) Demostrar que n  , si 5n  entonces 
22n n . 
 
 
Ejercicio 40 
a) Verificar que: 
2
1
1
2
1
 
4
1
1
4
1
2
1
 
8
1
1
8
1
4
1
2
1
 
 
 
 
b) A partir de a) inducir la ley general y demostrarla usando el principio de inducción completa. 
 
 
 
 
 
83 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS 
 
Dadosn números reales 1 2 3, , ,..., nx x x x , la suma 1 2 3 ... nx x x x    y el producto 1 2 3 ... nx x x x que 
informalmente tienen un sentido muy claro, se simbolizan de la siguiente manera: 
 
1 2 3
1
...
k n
n k
k
x x x x x


     y 1 2 3
1
...
k n
n k
k
x x x x x


 
 
De manera rigurosa, estos símbolos pueden definirse por recursión como lo haremos a continuación. 
 
DEFINICIÓN (SUMATORIA Y PRODUCTORIA) 
Dados n números reales 1 2 3, , ,..., nx x x x definimos: 
1) 
1
k n
k
k
x


 de la siguiente manera: 
1
1
1
k
k
k
x x


 y 
1
1
1 1
k n k n
k k n
k k
x x x
  

 
 
  
 
  
 
 
1
k n
k
k
x


 se llama sumatoria de los números 1 2 3, , ,..., nx x x x . 
 El símbolo , llamado sigma, es una letra del alfabeto griego y corresponde a la letra S de nuestro alfabeto. 
 
2) 
1
k n
k
k
x


 de la siguiente manera: 
1
k n
k
k
x


 y 
1
1
1 1
k n k n
k k n
k k
x x x
  

 
 
  
 
  
 
 
1
k n
k
k
x


 se llama productoria de los números 1 2 3, , ,..., nx x x x . 
 El símbolo  corresponde a la letra griega Pi mayúscula. 
 
 
Por ejemplo, si 1 2 31, 2, 3 ,..., nx x x x n    , entonces 
1 1
1 2 3 ...
k n k n
k
k k
x k n
 
 
       y 
1 1
1 2 3 ...
k n k n
k
k k
x k n
 
 
       . 
Esta última igualdad se llama factorial de n y se denota con !n . Por lo tanto, 
1
! 1 2 3 ...
k n
k
n k n


      
 
 
EJEMPLO 12 
En la suma 9 16 25 36 49 64     cada uno de los sumandos es un cuadrado perfecto y por lo tanto 
podemos escribirla de la forma 
2 2 2 2 2 23 4 5 6 7 8     . Cada uno de estos sumandos es de la forma 
2k donde 
k pertenece al conjunto  3;4;5;6;7;8 . 
Teniendo esto en cuenta podemos escribir: 
8
2
3
9 16 25 36 49 64
k
k
k


      
 
Ejercicio 41 
Expresar mediante símbolo sumatorio cada una de las siguientes sumas: 
a) 2 4 6 8 10 ... 80      b) 111111111  
c) 2 3 4 5 ... 22     d) 4 10 16 22 28 34 40 46       
 
84 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
La sumatoria cumple las siguientes propiedades, cuya demostración dejamos a cargo del lector. 
 
PROPIEDADES DE LINEALIDAD DEL SÍMBOLO DE SUMATORIA 
Sean 1 2 3, , ,..., nx x x x , 1 2 3, , ,..., ny y y y números reales. 
, ,n p n p     y   se cumplen las siguientes igualdades: 
 ( )
k n k n k n
k k k k
k p k p k p
x y x y
  
  
     , 
k n k n
k k
k p k p
x x 
 
 
  y 
1
k n
k
n 


 
 
 
Ejercicio 42 
a) Utilizando las igualdades obtenidas en ejercicios anteriores y las propiedades de linealidad del símbolo  , 
 obtener fórmulas que dependan únicamente de n para las siguientes sumas: 
 1) 


n
k
k
1
)92( 2) 


n
k
kk
1
2 )32( 3)  


n
k
kk
1
)3)(2( 4)  
2
3
( 2)( 3)
n
k
k k

  
b) Demostrar que no se cumple la igualdad: ( )
k n k n k n
k k k k
k p k p k p
x y x y
  
  
  
  
  
  
   
 
Ejercicio 43 
Investigar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas , ,n n p p    . Demostrar las 
verdaderas. 
a)
2
2
0
)12()12( 

nk
n
k 
b) 4)13(3)13(
2
3
2


nnkk
n
k
 
 
c)
2
1
2 2 ( 1)
1 2 1
nk n
k n
k n
k n

 
 
 
  
 d) 
1
1
2
n
k
n
k
 
 
 
Ejercicio 44 (SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) 
1) Sea x , 1x y 
2 31 ... nS x x x x      
 Efectuar xS , SxS  y deducir que 
2 31 ... nS x x x x     
1
11




x
xn
 
 (Los números
2 3, , , ,..., np px px px px se llaman términos de una progresión geométrica de razón 1x ). 
2) Dado x , 1x , demostrar por inducción completa que: 
1
11
0 





x
x
x
nnk
k
k
 
3) Calcular las siguientes sumas: a) 
1 1 1
1 ...
2 4 32768
    b) 



120
0
)532(
k
k
kk
 
 
 
Ejercicio 45 
Dada la igualdad 
2
5
)35(
22
1
bann
k
n
k




 
a) Hallar los números reales a y b sabiendo que la igualdad es verdadera para 1n  y 2n  y para los 
 valores de a y b hallados demostrar la igualdad por inducción completa. 
b) Calcular 


300
5
)35(
k
k y resolver la siguiente ecuación 
2
18321
)35(
3
1




x
k
x
k
 
c) Resolver 
2
42256
)35(
22
1




xx
k
x
k
 
85 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 46 
Dada la igualdad 


n
pk
nnk 242)32( 2 
a) Hallar p sabiendo que la igualdad es válida para pn  . 
b) Para el valor de p hallado en la parte anterior, demostrar la igualdad por inducción completa n  , pn  . 
c) Resolver la ecuación 


n
pk
k 459)32( para el p hallado en la parte a). 
d) Encontrar una fórmula que dependa de n , que permita calcular 


n
k
k
7
)69( 
 
 
Ejercicio 47 (FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL) 
Dado el número natural 2n , llamamos factorial de n , al producto de todos los números naturales mayores que 
cero y menores o iguales n . El factorial del natural n se denota por: !n 
a) Usar la definición anterior para calcular 2! , 3! , 4! y 5! . 
b) Para cada número natural 2n se cumple: ! ( 1)!n n n  . Sustituir en esta última igualdad n por 2 y luego 
 por 1 y concluir como debería definirse !0 y !1 para que esta última igualdad sea válida para todo número natural. 
c) Calcular 
!9
!12
 y 
!145
!147
 
d) Sea n un número natural cualquiera. Expresar los siguientes números sin factoriales: 
 1) 
!
!)2(
n
n 
 2)
!)2(
!)22(
n
n 
 3) 
!)43(
!)23(


n
n
 
e) Demostrar que: 1 1! 2 2! 3 3! ... ! ( 1)! 1n n n           , , 1n n   . 
f) Demostrar que: , 4n n   se cumple: 2 !
n n . 
g) Demostrar que 
1 1
2
1
1
1 ( 1)!
k nk n
k
n
k n
 

 
  
  
 , n  , 1n . 
 
 
En el ejercicio 47 se definió el factorial de un número natural n de la siguiente manera: 
 
 
Dado el número natural 2n , llamamos factorial de n , al producto de todos los números naturales mayores que cero 
y menores o iguales n . El factorial del natural n se denota por: !n 
 
Además, 0! 1 y 1! 1 
 
 
 
El factorial es útil para contar de cuantas maneras diferentes se pueden ordenar un conjunto de objetos. Por ejemplo, 
¿de cuántas maneras diferentes podemos acomodar n personas en n asientos? Tenemos n opciones para acomodar 
la primera persona. Para la segunda persona nos quedan 1n  opciones para ubicarla en los asientos, de modo que 
tenemos ( 1)n n  opciones de ubicar las dos primeras personas. Para la tercera persona tenemos 2n  formas de 
ubicarla en los asientos, por lo tanto para las tres primeras personas tenemos ( 1)( 2)n n n  opciones de ubicarlas en 
los n asientos. 
Razonando de forma análoga llegamos a la conclusión de que tenemos ! ( 1) ( 2) ... 2 1n n n n        formas de 
acomodar a las n personas en los n asientos. 
 
 
 
 
86 
 
TEMA 3NÚMEROS REALES 
 
ALGUNAS RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS 
Ejercicio 2 1) S  2)  0S  3) Si 0a  , 
1
S
a
 
  
 
 y si 0a  , S  
4) Si 0a  , 
b
S
a
 
  
 
 , si 0a  y 0b  entonces S  y 0a b  entonces S  . 
5) Si 
3
2
a  entonces 
3
2 3
a
S
a
 
  
 
 y si 
3
2
a  entonces S  6) 
1 2
;
2 3
S
 
  
 
 
7) 
1
0 ;
6
S
 
  
 
 8)  1 ; 1S   9) 
1
1 ;
5
a
S a
 
   
 
 
Ejercicio 4 1) 
5
/
2
S x x
 
   
 
 2) S
 3)  / 8S x x    
4) 
1
/ 1
3
S x x
 
    
 
 5) 
7
/
4
S x x
 
   
 
 6) 
1
/ 3
2
S x x
 
    
 
 
Ejercicio 8 2) a)  4 ; 4S   b) 
1
2
S
 
  
 
 c) 
7 5
;
2 2
S
 
  
 
 , d) S  
e) 
1
3
S
 
  
 
 f)  1S   g)  1S  h)  0; 1; 3S  
Ejercicio 11 a) 1)  1; 3 ; 3S    2)  2S  b) 1)    , 18 10,S       
3) 
7
( , 5) , 2 ( 2, )
2
S
 
         
 
 4) 
7
, (5, )
3
S
 
    
 
 5)  1,2S  
Ejercicio 16 a) 1)  0;1S  2)  0;1S  3) S  4) 
3 5
2;2;
2
S
   
  
  
 
5) 
4 5
0; ;
3 2
S
  
  
  
 6)  4S  7)  3S   8) 
1
8
S
 
  
 
 9) Para esta parte y la parte 10) se 
sugiere efectuar un cambio de variable llamando 
2x z ,  2; 2S    10) S  
11)  1; 4S    12) S  13)  4S  14) 
1
2
S
 
  
 
 
Ejercicio 18 1) 1m   2) 2m  3) 1m   o 2m  
Ejercicio 19 Sugerencia: Usar las relaciones entre coeficientes y raíces. Dado que 
3b es uno de los términos de la 
igualdad que debemos demostrar es conveniente calcular 
3( )  donde  y  son las raíces de la ecuación. 
Ejercicio 20 Las raíces son 0x y 
1 2 ... nx x x
n
  
 
Ejercicio 27 1) 
( 1)(2 )
( ) ( 2 ) ( 3 ) ... ( )
2
n a nd
a a d a d a d a nd
 
          
3) 
21 3 5 7 ... 2 1n n       
 
Ejercicio 29 a) 
1 1 1
, , , 0
3 2 6
a b c d    d) 1383,75 metros cuadrados 
e) 
3 3 3 3 30 1 2 3 ... n    
2
( 1)
2
n n 
  
 
 
87 
 
TEMA 3 NÚMEROS REALES 
 
Ejercicio 32 
a) Si el número de vértices del polígono es n , entonces el número nS de segmentos que se pueden trazar tomando 
 como extremos dichos vértices es 
( 1)
2
n n 
 (Demostrarlo por inducción completa) 
b) El número nS es la suma de los lados del polígono y el número nD de diagonales entonces 
 
( 1) ( 3)
2 2
n
n n n n
D n
 
   , , 3n n   
Llamemos ( )P n a la proposición 
( 3)
2
n
n n
D

 , , 3n n   
Demostraremos que ( )P n es verdadera por inducción completa. 
Base inductiva: Si 3n  , el polígono es un triángulo y no tiene diagonales, es decir 3 0D  
Por otra parte como 
3(3 3)
0
2

 , queda demostrado que (3)P es verdadera. 
Hipótesis inductiva: Supongamos que ( )P n es verdadera para cierto natural 3n  . 
Tesis inductiva: Demostraremos que 
1
( 1)( 2)
( 1) :
2
n
n n
P n D 
 
  , , 3n n   es verdadera. 
Demostración: 
A partir de un polígono convexo de n lados podemos obtener otro polígono convexo de 1n  lados agregando un 
vértice. El nuevo vértice incrementa en un solo lado más al polígono y el número de diagonales se incrementa en
( 2) 1n   . Por lo tanto, el número de diagonales del polígono convexo de 1n  lados es: 
 
1
( 3) ( 1)( 2)
( 1)
2 2
n
n n n n
D n
  
    
Ejercicio 33 
Llamemos ( )P N a la proposición: Cualquiera sea el número natural 7N  , existen números naturales m y n tales 
que 3 5N m n  
Base inductiva: (8)P es verdadera ya que 8 3 1 5 1    
Hipótesis inductiva: Supongamos que ( )P N es verdadera para un cierto natural 7N  . 
Tesis inductiva: Demostraremos que ( 1)P N  es verdadera. 
Por hipótesis inductiva, cualquiera sea el natural 7N  , existen números naturales m y n tales que 3 5N m n  . 
Existen dos posibilidades: a) 0n  o b) 1n  (PARE, intente con esta ayuda, hacer ahora la demostración 
usted mismo antes de seguir leyendo) 
a) 0 , 3 / 3n m m N m      
 Por lo tanto, 1 3 1 3 10 9 3( 3) 2 5N m m m          
 Luego, existen números naturales 1 3m m  y 1 2n  tales que 1 13 5N m n  
b) Si 1n  . 3 5 1 3 5 1 3 5 6 5 3( 2) 5( 1)N m n N m n m n m n               
 Luego, existen números naturales 1 2m m  y 1 1n n  tales que 1 13 5N m n  
A partir de a) y b) queda demostrada la tesis inductiva. 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
Elon Lages Lima. (2004). Curso de Análisis Vol1. Brasil: Proyecto Euclides. 
 
Michael Spivak. (1992). Cálculo infinitésimal. México: Reverté S.A. 
 
Miguel de Guzmán. (2001). El rincón de la pizarra. España: Pirámide. 
 
Siberio, D. (2003). Notas de Álgebra1. Montevideo: Centro de impresiones y publicaciones del CEIPA. 
 
Tom M Apostol. (1967). Calculus. México: Reverté S.A.