Solucionario Analisis Matematico I - ONE PART

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ANALISIS
MATEMATICOI
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA 
(1ER EDICIÓN)
SOLUCIONARIO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA -PERÚ
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IMPRESO EN EL PERÚ 
01 -01 -2012
» DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método 
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, 
registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento 
 ̂del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________
RUC N° 20520372122
Ley del Libro N° 28086
Ley de Derechos del Autor N° 13714
Registro comercial , N° 10716
Escritura Publica N° 448 4
solucionado análisis Mfffltf¡tf£olucionarios. net www.eduhperu.com
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PRÓLOGO
Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el 
texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado 
desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar 
en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso 
el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático 
para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de 
ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario.
Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas 
están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues 
pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus 
que da la solución de un problema.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis 
publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su 
avance y desarrollo intelectual
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
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INDICE
1. CAPITULO 1
1.1. SISTEMAS DE NÚMEROS REALES.............................................................. 1
1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCÓGNITA................43
1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS....................................................... ..A l,
1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113
1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120
1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141
1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188
1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221
1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264
1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319
2. CAPITULO 2
2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337
3. CAPITULO 3
3.1. LIMITES................................................................................................387
3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454
3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481
3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516
3.5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS................................................................520
3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554
3.7. ASÍNTOTAS......................................................................................... 577
3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597
4. CAPITULO 4
4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.................................................................. 615
4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639
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4.3. DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS.........................................................647
4.4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA....................................................................... 680
4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699
. CAPITULO 5
5.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................................................717
5.2. GRÁFICOS........................................................................................... 732
5.3. PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................757
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
SISTEMA DE NUMEROS REALES
Si a y b, son números reales positivos, demostrar que: + ̂ ] (a + b)>4
(a-b)‘ >0 => a"-2ab + b2>0
=> a2-2ab + b2+4ab>4ab => a2 + 2ab+b2>4ab 
( a + b̂ i(a + b)‘ >4ab => (a + b)>4 => |̂ - + ̂ -j(a + b)>4
Si a, b y c son números reales positivos, Demostrar que:
gUSEMUMÍ
(a-b)‘ >0 => c(a-b )' >0 
(a-c)? >0 => b(a-c)‘ >0 
(b-c)‘ >0 => a(b-c)2>0
...0 )
... (2)
... (3), sumando
c(a-b)2 +b(a-c)2 +a(b-c)'í >0, efectuando los binomios
a2c - 2abc+b2c + a2b - 2abc+c2b+b2a - 2abc+c2a > 0 
a2c +abe + b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a > 9abc
a2c + abe + a2b+b2c + abe+b2a + c2a + abe + c2b > 9abc agrupando adecuadamente 
(ac + be + ab) + b(bc + ac + ab) + c(ac + ab + be) > 9abc, dividiendo entre abe
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J b ™ a b ) (a + b+c)í9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)í9
jjfl Si a, b, c y d, son números reales positivos, Demostrar que:
- + - + - + -1 + (a + b + c + d)> 16 
a b c '
CAPITULO I
...O )
... (2)
... (3)
... (4)
... (5)
... (6), sumando
(a-b )> 0 => cd(a-b)2>0 
(a-c)' >0 => bd (a-cf >0 
(a-d)‘ >0 => bc(a-d f> 0 
(b - c ) '>0 => ad(b-c) >0 
(b-d) >0 => ac(b-d)2>0 
(c-d)~>0 => ab(c-d)2>0 
cd(a-b)' + bd(a-c)~ +bc(a-d)‘ + ad(b-c)‘ +ac(b-d)‘ + ab(d-c)‘ >0 
cd(a2 -2ab + b2) + bd(a2 -2ac + c2) + bc(a2 -2ad + d2) + ad(b? -2bc + c2) +
+ac(b2 -2bd + d2) + ab(c2 -2cd + d2)>0 
-2abcd + a2cd + a2bd + a2bc + b2cd - 2abcd + ab2d + ab2c - 2abcd
+bc2d+ac2d - 2abcd + abc2 + bed" - 2abcd+acd2 + abd2 - 2abcd > 0 
abed + a2cd + a2bd + a2 be + b2cd + abed + ab2d + ab2c +
+bc2d + ac2d + abed + abc2 + bed2 + acd2 + abd2 + abed > 16abcd
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a (bed + acd + abd + abc) + b( bed + acd + abd + abc) + c (bed + acd + abd + abc) +
+d(bed + acd + abd + abc) > 16abcd , sacando factor comun 
bed + acd + abd + abc
abed
(a + b + c + d)> 16
-l + - + l + - l + (a + b + c + d)>16
a b c d J
a , a 3b b2 .Si a y b dos números reales positivos tal que a > b. Demostrar que: — + — > ^
(a-b)3^0 => a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 > 0 => a’ +3ab2 >3a2b + b3
Diviendiendo entre a2b se tiene:
a 3b b2 .
=* r + — >— + 3 b a a
9
Va e % a* 0, demostrar que a“ + — > 6
(a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' + 9>6a2
a4 +9 s 9> 6 => a + — > 6
Si a,b,C€'JT, , demostrar que (b + c)(a + c)(a + b)>8abc
jQ¡a2»2SC2S3H¡íF
(a - c)2 >0, (a - b)2 > 0, a(b - c)* > 0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK
b(a - c)2 > 0, c (a - b)2 > 0, a(b - c)2 > 0 , sumando se tiene: 
b(a-c)2 +c(a-b)2 +a(b-c)2 >0 , desarrollando los binomios 
b(a2 -2ac + c2)+e(a'? -2ab + b2) + a(b2 -2bc + c2)>0 
a2b - 2abc + be2 + a2c - 2abc + b2c + ab~ - 2abc + ac2 > 0 
a2b + c2b + a2c + b2c + b2a + 2abc + c2a > 6abc + 2abc 
ab(a + b)+c2b+abe + a2c + b2c + abe + c2a > 8abc 
ab(a + b)+c2 (a + b)+abe + a2c +b2c+ abe £ 8abc 
ab(a + b)+c2 (a + b)+ac (a + b) + bc(b+ a) > 8abc , sacando factor común 
(a + b).(ab + c2+ac + bc)>8abc => (a + b).[b+(a+c) + c(a + c)]>8abc 
(a + bXa + cXb + c) > 8abc
& Si a, b, ce ÜK4, demostrar que a’b + ab3 < a4 + b4
(a2 -b2)2>0 => a4 -2a2b2 +b4 >0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1)
(a - b)2 > 0 => a2 - 2ab + b2 > 0 => a2 + b2 > 2ab
ab(a2 + b2)£2a2b2 ...(2)
a4 + b4-ab(a2 + b2)£2a2b2-2a2b2 => a4 + b4-ab(a2 +b2) >0 
a3b + ab3 ̂a4 +b4 a4 +b4 <a3b + ab3
Si a, b, ce 'JT demostrar que a2+b2+c2+3>2(a + b + c)
«■«-"•■‘ M tí.S íto n s n b s . net www edukperu corr-
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a — l)2 >0 => aJ -2a + l>0 ...(1)
(b-1)2 >0 => b2 -2b+ 1 >0 ...(2)
(c — I)2 >0 => c2-2a + 1>0 ... (3) sumando(l), (2 )y (3)
a" + b2 + c2 + 3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3¿:2a+2b+2c 
transponiendo términos se tiene: a2 + b2 + c2 + 3 £ 2(a + b + c)
Si 0 < a < 1, demostrar que a2 < a
0<a<1 => a > 0 a a < 1, multiplico por a 
a.a < 1.a => a2 < a
r.. L d e f ^ . d d+e+f fiT ii Si a,b,c son números reales positivos y Demuestre que — < — ----< -
a b e a a + b + c c
d d + e + f f d e e f „ , ,— <------<- => — < — a — < — => db < ea a de < af
a a+b+c c a b b c
sumando las desigualdades db + de < ea + af
sumando ad se tiene: ad + db + de < ad + ea + af, entonces
d(a + b + c) < a(d + e + 0 => — < ̂+ 6 —- •••(!)a a+b+c
- < —< - = > - < - a — <- => ec<fb a dc<fa, sumando las desigualdades 
a b e b e a e
ec + de < fb + fa, sumando cf se tiene: fe + ec + de < fe + fb + fa
.. " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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^ c, u \ d+e+f fc (f + e + d) < f (c + b + a) ------< -
a+b+c c
0
©
de(l)y (2 ): d d + e + f f— <------ < -
a a+b+c c
Demostrar que si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, entonces: 
(a + b + c)(a2 +b2 + c2)>9abc
(a-b)2£ab; (b-c)2>bc; (a-c)">ac 
c(a-b )2^abc; a (b-c)‘ > abe; b (a-c)2 > abe , sumando 
c(a-b )2 +a(b-c)J +b(a-c)2 >3abc 
a3+b3+c3>0, sumando 
a3 +b3 +c3 +c(a-b)2 + a(b-c)2 +b(a-c)2 >3abc 
a3+b3+c3 +a‘J c-2abc + b"c + bra-2abc + ac2+a2b-2abc + bc‘‘ >3abc 
a3 +b3 +c3 +a2c + b2c + b2a+ac2 + a2b + bc2 >9abc 
a2 (a + b + c) + b2 (a + b + c) + c2 (a + b+c) > 9abc , sacando factor común 
(a + b + c)(a2 + b2 + c2)>9abc 
Si a,b,c son números positivos y no iguales entre si, demuestre que:
(a + b + c)(a 1 +b"' +c"')>9
capitu ' 11
(2)
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a-b)2>0 => a2+bL'>2ab => a2c + b2c >2abc
(a-c)2 >0 => a2+c2 >2ac => a2b + c2b>2abc
(b-c)'> 0 => b +c2>2bc => ab2+ac2 > 2abc, sumando
a2c + b2c + a2b + c2b + ab~ + ac2 >6abc sumando 3abc 
abe + a2c + b2c + a2b + abe + c2b + abe + ab2 + ac2 > 9abc 
bc(a + b + c+)+ab(a + b + c) + ac(a + b + c)>9abc 
(a + b+<;)(bc + ab + ac) >9abc dividiendo entre abe
(a + b + c)(bc + ab + ac) ̂ / . w « . i i\ «^ --------- >9 (a + b+c)(a +b +c )>9
abe
^ Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a2 16b2 8a 32b
r ? + —— + 24 - n r+— b a b a
(a-2b)~ >0 =s> a2-4ab + 4b2 >0, elevando al cuadrado se tiene:
(a2 + 4b2 -4ab)¿ >0
(a2 + 4b2)2 -8ab(a2 + 4b2) + 16a2b2 >0 => (a2 +4b2 f + 16a2b2 £ 8ab(a2 + 4b2)
a4 +8a2b2 + 16b4 + 16aV ab(8a' + 32b*) a4+16b4.+ 24a2b2 ^ 8a2 + 32b2 
a2b2 ̂ a2b2 ^ a2b2 “ ab
a2 16b2 8a 32b
-Í- + — 2- + 24> — +---b a b a
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CAPITUI O I
(a - b)~ > 0 =í> a2 + b2 > 2ab => a2c + b2c > 2abc
(a-c)~ >0 => a2+c2>2ac => a2b+c2b>2abc
(b-c)">0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2 > 2abc, sumando
a2c + b2c + a2b + c2b + ab2 + ac2 > 6abc sumando 3abc 
abe + a2c + b2c + a2b + abe + c2b + abe + ab2 + ac2 > 9abc 
bc(a + b + c+)+ab(a + b + c) + ac(a + b + c)>9abc 
(a + b+c)(bc + ab + ac)> 9abc dividiendo entre abe
(a + b+c)(bc + ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' + b " +c > 9
Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a2 16b2 n . . 8a 32b7T + — r-+24> — +---
b a b a
(a - 2b f >0 => a2 - 4ab + 4b2 £ 0 , elevando al cuadrado se tiene:
(a2 +4b2 -4ab)2 >0
(a2 + 4b2 )2 -8ab(a2 + 4b2 ) + 16a2b2 >0 => (a2 +4b2) + 16a2b2 > 8ab(a2 + 4b2)
a4 +8a2b2 +16b4 +16a2b2 ̂ab(8a2 + 32b2) _ a< + i6b4 + 24a2b2 ̂8a2 + 32b2 
¡ V " a2b2 ^ a2b2 ~ ab
a2 16b2 8a 32b— + - 1-+24>— +---
b a~ b a
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O Si a2 + b2 = 1, Demostrar que:
-\Í2 <a + b<\¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x + y)'
(a - b) >0 => a2 + b2 £ 2ab => 1 +1 > 2ab + a2 + b2 => (a + b)‘ <2
-s¡2< a + b<\¡2
• 2 2 2
Si a + b = c, a > 0, b > 0, Demostrar que: a3 + b3 > c3
m m m
Aplicando la propiedad: (a + b)n <an+bn
2 2 2 2 
c = a + b => c3 = (a + b)3 < a3 + b3
? i ? 
de donde c3<a3+b3
a b ̂ cSi a + b > c > 0, Demostrar —— +---->
^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c
a + b> c => a + b + 2ab + abc> 0
a + 2ab + b + ac + 2abc + bc>abc + bc + ac+c
a + 2ab + b + c(a + 2ab + b)>bc(a+1) + c(a + 1)
(a + 2ab + b)(c + 1) c(a + 1)(b + l)
(a + l)(b + l)(c + l)~ (a + 1)(b + 1)(c + l)
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a + 2ab + b c a + ab + ab + b c>--- => --- r->-(a + 1)(b + l) c + 1 (a + 1)(b + 1) c + 1 
3x2 -5x-2 > 0 =>(3x + 1)(x-2)>0
O Si a, b, c > 0, Demostrar que: 3abc < a3 + b3 + c3
Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) > 9abc
a3 + b3 +c3 + (ab2 + a2b + ac2 + be2 + a2c + b2c) > 9abc
ab2 + a‘b+ac"1 + be2 + a2c + b2c = 6abc 
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
a ! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3 + b3 + c3 >3abc
Si c > 0, d > 0, 2d * 3c. Demostrar que: — > 1 - — 
w 3c 4d
(2d - 3c)2 >0 =>4d" - 12dc+9c2 >0 => 4d2 + 9c2 > 12dc
4d2 + 9c2 12dc Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- >
12dc 12c
d 3c d 3c— + — >1 => — >1---
3c 4d 3c 4d
r /h
Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar que —ÍL + —¡= > 2
Vb Va
j222¡q¡223I3¡F
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CAPITULO I
...O )
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(Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b + b >0
u o r rz a + b o Va Va VbVb Va Vb ~a + b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= + —= > 2
VaV b vavb Va Vb Vb Va
Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2 + c2a2 +a2b2 >abc(a + b+c)
J2¿¡¡22u222í!l2f
(be - ac)2 > 0 => b2c2 + a2c2 > 2abc2
(ca - ab)2 £ 0 => a2c* + a2b2 > 2a2bc
(bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2 >2ab2c sumando 
2(b2c2 + a2c2 + a2b2)^2abc(a + b + c)
b2c2+a2c2 + a2b2 £abc(a + b+c)
^ || a + b = 2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4 + b4 >2
J S ü »
(a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a + b)‘ =4 => a2 + b2 = 4-2ab 
4-2ab>2ab => ab<1
a2 + b2 > 2ab =s> (a2 + b2 )2 £ 4a2 b2 => a4 + b4 > 4a2b2 - 2a2b2 
a4 +b4 > 2a2b2 pero ab< 1 de donde a4 +b4 >2
Si a2 + b2 + c2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 1, demostrar que: ax + by + cz < 1
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
I . ^ ̂ ^ S^LÜQIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICOwww. solucionarlos.
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(a - x)2 > 0 => a2 + x2 > 2ax 
(b-y)2>0 => b2+y2>2by 
(c - z)2 > 0 => c2 + z2 > 2cz sumando 
a2 + b2 +c2 + x2 + y2 + z2 > 2(ax + by + cz)
1 + 1 > 2(ax + by + cz)
2 > 2(ax + by + cz)
ax + by + cz < 1
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Si a > 0, b > 0, Demostrar qu»: + + ̂b a a b
a - b e R => (a-b)2>0, desarrollando
a2-2ab + b2>0 sumando ab
a2-ab + b2 > ab, multiplicando por a + b
(a + b)(a2 -ab + b2)^ab(a-+-b), dividiendo entre a2b2
(a+b)( f -ab+bg) ^ ab(a+b) ^ a ^ b ^ a + b _ separando 
a2b2 a2b‘ a2b‘ ab
a b 1 1
ba + a2 ~ a + b
o Si 0 < a < 1, Demostrar que: a2 < a
¿rra'.T i-srrogr.Tíy
Como 0< a< l => a > 0 y a < 1 
Multiplicando a < 1 por a > 0 entonces
a.acl.a, de donde a2<a
© a > 0, b >0, a *b, demostrar Vab >a + b
(Va-Vb)2>0 => a-2>/aVb + b>0
i- i— / v 2>/aba + b>2VaVb dividiendoentre (a + b)=>1 >--- —
v ' a + b
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$
. O
Multiplicando por Vab se tiene: Vab >----
a + b
c- n , s\ i a3 + b3 f a + bSi a > 0, b > 0, demostrar que ----->
O
(a-b)2>0 => a'J -2ab + b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1’ - 6ab + 3b* > 0
Sumando a2 + b* en ambos miembros: 4a2 -6ab + 4b2 > a2 + b2 
Ahora sumando 2ab se tiene:
4aJ -4ab + 4b2 >a2 + 2ab + b2 => 4 (a2 -ab + b2 )>(a + b)‘
4(a + b)(a‘ -ab + 4b" )>(a + b )’ => 4(a3 + bJ )>(a + b)3 dividiendo entre 4
a3 + b3 > (a + b)' de donde a3 + b \ ( a + b demostrado.
Si a > 0, a * 1. Demostrar que: a3 + 4r > a2 + 4-
a a*
Como a * 1 => (a-1)‘ >0, como a4 + a3 +a2 + a + l >0 para a>0 
Multiplicando: (a - 1)2 (a4 + a3 + a2 + a +1) > 0. (a4 + a3 + a2 + a +1)
(a- l).[(a- l)(a4+a4+a2+a + l)]> 0 => (a-1)(a5- l ) >0
a (a-1 )- (a- l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1 
a6 +1 > a ' + a , dividiendo entre a1 
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CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a° + 1 a: +a a° 1 a5 a
— ~ >— ~ =* T + ~ >T + — a a a a a a
3 1 o 1
a + T > a ^ + — aJ a*
a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ + b3) > (a + b)’
(a + b)2 £ 0 => a2 - 2ab + b2 £ 0 multiplicando por 3 se tiene:
3a*’ -6'tb + 3b2 >0 sumando a2+ b2
4a2 -6ab + 4b2 £a2 + b2 ahora sumamos 2ab
4a2-4ab + 4b2 >a2+2ab + b2 => 4(a2-ab + 4b2)>(a + b)J
4(a2 -ab + 4b2).(a + b)>(a + b )3 => 4(a3 + b3)>(a + b )!
Si a y b son números reales, demostrar que: 
x/(a + c)2 + (b + d)2 < Va2 +b'J + Vc2 + d2
ac + bd <>/a2+b2Vc2+d2 , multiplicando por 2
2ac + 2bd < 2>/a2 + b2 Vcs + d2 sumando a2+b2+c2+d2
a2 + 2ac + c? + b2 + 2bd + d2 <(a2 + b2) + 2>/as +b£Ve2 +d2 +(c2 + d2)
(a + c)2+(b + d)̂ <|Va2 + b2 + Ve2 + d2 j
.V .- .aduKj: fc: -: rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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3» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPfTUi " l
^(a + c)‘ + (b + d)~ £ J (V a' + b2" + >/c2 + d2 j
yj(a + c f + (b + d)2 < Va2 + b2 + Ve2 + d'2 
Si a, b,c e R’ , demostrar que: (a + b + c ) ’ £27abc
(a + b + c)3 =a3 + b3 + c3 + 3(a2c + b2c + bc2 +ab2 +ac2) + 6abc ... (1)
(a-b )‘ >0 
(a-c)2 >0 
(b-c)2 >0
a + b‘ > 2ab a c + b‘c > 2abc
a2 + c2 > 2ac a2b + bc? > 2abc
b2 + c2 > 2bc ab" + ac2 £ 2abc
a2c + b2c + a2b + be2 + ab2 + ac > óabe 
Luego 3(a2c + b2c + a2b + bc2 + ab2 + ac2)>18abc ..-(2)
(2) en (1) se tiene: (a + b + c)3 > a*+ b3+c3+18abc + 6abc ..-(3)
Pero a3 + b̂ +c3 > 3abc ... (4)
Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a + b + c )’ > 3abc + 24abc = 27abc
(a + b + c)3 > 27abc 
O Si a, b, c y d son números reales cualquiera.
Demostrar: (ab + cd)~ < (a2 + c2 )(b¿ d2)
(ad-bc) >0 => a2d2 + b2ca >2abcd
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CAPITULO I
Sumando ambos miembros a V + c2d2 
a2b2 +c2d2 +a2d2 + b2c2 £a2b2 + 2abcd + c2d2 
a2(b2 + cs) + c2(b” +d2)>(ab+cd)2
(a2 + c2) (b2 + d2) > (ab + cd f
Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4 >-(a + b)4g
f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(ab + cd)‘ ^(a2+cs)(b2+ d2)
(a2-br ) >0 => a4 + b4 > 2a2b2 .
Sumando a4+b4 a ambos miembros
2a4 +2b4 >a4 + 2a2b2 + b4 => 2(a4+b4) > (a2+ b2)‘
a4 +b* >^(a! + b2)*
(a-b)¿ >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene:
2a2+2b2 >a2+2ab + b2 => a2 + b2 > i ( a + b)2
(a2+b2)2 >- (̂a + b)4
. (a + b)4a4 + b4 > ---- L
(1)
(2)
Colocando (2) en (1) se tiene;
Si a > 0 y b > 0. Demostrar que: 1a+-
v ay
8 -Y (a + b)“ +4
a + b
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o |
(a + a-')! +(b + b-')! =a2 + b! + ̂ - + 4
(a-b )‘ £0 => a2+b2^2ab => 2(a2 + b2)>a2 + 2ab + b‘
a2 + b2 >
>(a + b f
(2)
(a-b)2>0 => a2 + b2>2ab => a2 + 2ab + b2 > 4ab => (a + b)‘ >4ab
(a + b)4 > 16a2b2 => ——— >a~V 
v 1 16
Multiplicando miembro a miembro (2) y (3)
a2 + b2 > 8
a!b2 (a + b)2
Sumando miembro a miembro (2) y (4)
...(3)
...(4)
a2 + b2+- +b* (a+b)s 82.2a‘b (a + b)‘
de donde
2 , o aa +b + 2+b2 , (a + b)2 8+ 4 > --—— +------ + 4
ab (a + b)‘
...(5)
Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro 
de (5) tenemos.
r ir l p2 b + - 
b
>1
2
(a + b)2 +4^ 
a + b
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Si a > 0, b > 0 tal que a + b - 1. Demostrar que: 25
Utilizando el ejercicio (33)
í 0 a + - s+íb+iT ii '(a + b) + 4 '
l a, l b j 2l a + b J ; Como a + b = 1, lo reemplazamos
= 2(5)!
f t \2 f 
a + - | + 
k a
b+’i >?5 
b j 2
Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac + bd < ^(a2 +b2)(c2 +d2)
(ad - be)" > 0 => a2d2 + b2c2 > 2abcd 
2abcd < a2d2 + b2c2 
a2c2 +2abcd + b2d2 < a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 
(ac+bd)2 <(a2 + b2)c2 +(a2 +b2)d2 (ac + bd)‘ <(aL>+b2)(c2+d2)
ac + bd<yj(a¿ +b2)(c2 +d2)
Si a, b e R tal que a + b = 1. Demostrar que: a4 + b4 > -
M \m rn7 m \¡nw
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPíTUi OI
Utilizando el ejercicio (32) es decir: a4 + b4 > ^(a + b)8
Como por condición del problema a + b = 1, se tiene el momento de reemplazar
a4 +b4 >-(a + b)4 = -(1)4 =- de donde a4+b4>^8 8 8 8
81Si a,b e R tal que a + b = 3. Demostrar que a4 + b4 £ —
Utilizamos el ejercicio (32), es decir:
a4 + b4 > - (a + b)4; Como a + b = 3 entonces lo reemplazamos 
8
a«+b‘ * l ( a +b)4- | (3 )« - $ ! ••• +
© Si a,b,c,d e R*, demostrar que: ^(a + b + c + d)> Vabcd
(Va-Vb) >0 => a + b>2>/ab
(Vc-Vd ) >0 => c + d>2>/cd sumando
a + b + c + d>2(Vab + >/cd) . . . ( I )
Pero >/ab + >/cd >2>/>̂ b>/cd =2VVabcd =2Vabcd ... (2)
Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: 
a+b+c+d£ 2|Vab + Vcd)^ 2.2Vabcd
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a + b + c + d > 4Vabcd => -(a + b + c + d) > Vabcd
4
Si a,,a2,a3,...,an,b.lb2,...Jbn eR tal que: af + a‘ + ... + a2 =1, bj + b2 + ... + b2 = 1. 
Demostrar que a,b, + a2b2 +... + anbn £ 1
(a,-b,)2>0 => a;+b^>2a)b,
(a2-b2)2£0 => a2+b2>2a2b2
K - b n)2^0 => aj + b* £2anbn sumando
(a? + a2 +...+a*)+(bf +b| + ... + b2)í> 2(a,b, + a2b2 + ... + anbn)
1 + 1 £2(a,b, +a2b2 +... + anbn)
2 ;> 2(a, b, + a2b2 +... + anbn) .\ a,b, + a2b2 +... + anbn £ 1 
© Si -1 < a < 0, demostrar a1 > a
-l< a< 0= > a> -lA a< 0
Como a<0=> a2>0 de donde a > -1 => aí .a>-l(a;>)
a3 > -a2 ...(1)
a>-l y a<0 =>a2<-a (por-1)
... (2)
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
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De (1) y (2) se tiene: a '>-a2>a => a3>a
O Si -a> 0y (a-b)‘ >(a + b)\ entonces b>0
(a-b) >(a + b)~ =t< a2-2ab+b2 >a2+2ab+b2
CAPITU1 *> I
-2ab > 2ab
4ab < 0 => ab < 0 ... ( i )
Como -a > 0 => --> 0, multiplicando a (1) 
a
— (ab)<0 => - — <0 => -b<0 => b>0 a a
O Si a,b e R tal que 2a + 4b = 1. Demostrar que: a2 + b2 > —
20
jCS22¡iS3IÍI¡jr
De acuerdo a la condición del problema
2 > ̂ 2 i_° ̂ a ba >— a +b* >— + —10 ^ 10 5
b2 £ - a2 + b2 > 10
a2 + b2^2a + 4b = _L a2+b2>-I
20 20 20
S ia > 0 y b > 0 a3 + b3 £ a2b + ab2
(a-b)‘ >0 => a2-2ab + b‘ >0 a2-ab + b2 >ab, multiplicando por (a + b)
22 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Iwww. solucionarios. net www.edukperu.com
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a* - a b + b 2)(a + b ) ^ a b ( a + b) 
a3 + b 3 £ a 2b + ab 2
Si x,,x2,...,xn eR* y si /? = /̂x,.x2...xn y « = X| + , demostrar que p<a
O
/ /— /— \2 x, +x„ > 2 J x , x 2 / / i--------- \Jx, - Jx 2 ¡>0 => ‘ _____ => x,+x2+x3+ x4 £2(Vx,x2+Vx3x4 )
v ' x3 + x4 2:2yJx3xÁ
x, + x2 +x3 +x4 2:2̂ VX|X2 + >/x3x< )^2.2^Vxix2>/x3x4 = 4;¡/x,x2x3x4 
Luego <, +• x2 + x3 + x4 2 4 /̂x,x2x3x4 , generalizando
x, + x2 + x3 + x4 +... + xn £ nVxix2x3x4...xn
De donde Vx,x2x3x4...xn <,
a b eSi a, b, c, m, n, p e R / m > 0, n > 0, p > 0; , entoncesm n p
a b+a+c c— <------ < —
m m+n+p p
Demostración similar al ejercicio (10)que esta desarrollado
_ . . a. +a2 +... + anProbar que si a,<a2<... <a„ entonces a, <—1-- ------- < an
Énrm*vKmt*vw
a, £a, < an 
a, < a2 < an 
a, < a3 < a„
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CAPITII! O
a, +a, +... + a, <a, + a2 + .... + a„ <an + an +... + an ,
'--------V-------- ’ '-------- v-------- •
n-veces n-veces
na, <a,+a.,+... + an <nan, Dividiendo entre n se tiene:
a, + a¡, + ... + a a < —!------------ i--— < a.
® a3 -b3Demostrar que si 0< a<b<c entonces ------ < a + b + c3c(b-a)
a > 0, b > 0, c > 0 => á~ + b2 + 3c2 > 0 ... (1)
a > 0, b > 0, c > 0 => ab > 0, ac > 0, be > 0
ab + 3ac + 3bc>0 ... (2)
sumando (1) y (2) se tiene: a2 + b2 + 3c2 + 2ac + 3bc + ab > 0
Agrupando apropiadamente
(a* + ab + b2) + 3c(a + b + c )>0 => -(a2+ab + b2)<3c(a + b + c)
(a2+ab + b2)
----------< a + b + c , como b - a > 03c
(b-a)(a2 +ab + b2) (a-b)(a2+ab + b2)
---- ——— --- <a+b+c => ----- —— — -----<a+b+c
3c(b-a) 3c(b-a)
aJ - b 3 < a + b + c
3c(b-a)
O Probar que: a4 + b4 + c4 + d4 > 4 I abed I para a, b, c, d e R
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Como a, b, c, d e R => a2,b2,c2,d2 e R, además
ja2 -b2 e R i3' _ b! )
(c2 -d2 e R ^ >0 l
sumando
a4 +b4 +c4 + d4 >2(a2b2 + c2d2) ... (1)
(ab-cd)¿ >0 => a2b2+c2d2 >2abcd
2(a2b2+c2d2)>4labcdl ...(2)
De (1) y (2) por transitividad se tiene: a4 + b4 + c4 + d4 > 4 1 abed I
O Si a, b, c>0, demostrar que: 2(a3+b3+c3)>bc(b + c) + ac(c + a) + ab(a + b)
(a + b + c f =a3 +b3 +c3 +3(ab2 + ac2 +a2b + a2c + b2c + bc2) + 6abc 
Además se tiene: (a + b + c)3 - (a1 + b3 +C1) >0
Operando y agrupando adecuadamente y estas operaciones dejamos como ejercicio 
al lector para obtener el resultado.
2(a3 +b3 + c ’)>bc(b+c) + ac(a + c) + ab(a + b)
Demostrar que: a2b2 + b2c2 + a2c2 > abe (a + b + c ) , V a, b, c e R
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25
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(bc-ac)2 >0 
(ca-ab)~ >0 
(bc-ab)2 >'
•b2c2 + aV > 2abc2 
c2a2 + a2b2 > 2a2bc 
b2c2 +a2b2 > 2ab2c
sumando
2 (a V + b2c2 + a*c2) > 2(abc2 +a2bc + +ab2c) 
a2b2 + b2c2 + a2c2 > abe (a + b + c)
O V x e R, y n par, demostrar que: xn ̂ 1 
x M ‘ 2
x € R y n es par entonces xn -1 e R 
(xn -1)S >0 => x2n -2xn +1 > 0
x2n + 1>2xn es decir: 2xn<xs" + 1
2x” x<1 => X
x2n + 1
<1 
x2n+l 2
Demostrar que s ir> 0 y a < b entonces a < -a-~ < b
1 + r
Como r > 0 y a < b entonces se tiene: ar < br a a < b, agregando 
a + ar < a + br a a + br < b + br 
a(1 + r) < a + br a a + br < b(l + r) 
a + br a + bra <
1 + r 1+r < b , porque 1 + r > 0
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CAPtTUI * I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
$
a < a + tz>t < b por transitividr.d 
1 + r
Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: — + — > - +a b 1 1
b2 + a2 > a + b
a - b e R => (a-b)' >0, desarrollando a2-2ab + b2>0 sumando ab
a2 -ab + b2 > ab multiplicando por (a + b)
(a + b)(a2-ab + b2)>ab(a + b) dividiendo entre a2b2
(a + b)(a -ab + b‘ ) ab(a + b) a3+b’ a + b
----- --------- ->— => —r—— >----, separando
ab a b a2b2 ab ^
Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:
2x2 + y2 + z + w2 > - (xy + xz + xw + yz + yw + zw)
¡ g ¡ y
(x - y f >0 
(y-z )2^o 
(x -w )2 >0 
(y-z )2 >o 
(y - w )2 >0 
(z-w )2 >0
x2 +y2 >2xy 
x2 + z2 > 2xz 
x2 + w2 > 2xw 
y2 + z2 > 2yz 
y2 + w2 >2yw 
z2 + w2 > 2zw
sumando
3(x2 +y2 +z2 +w2)>2(xy + xz + xw + yz + yw + zw)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
CAPITUI O I
$
O
x‘ + y2 + z‘ + w 2 L - (xy + xz + xw + yz + yw + zvv)
3
j u2
Si a y b son números desiguales y positivos, demostrar que: a + b < — + —-
. b a
Por ser a y b positivos y desiguales se tiene:
(a-b)~>0 => a -2ab + b~>0
a2 -ab + b2 >ab
(a + b)(a~-ab + b )>ab(a + b) => ab(a + b)<(a + b)(a2-ab + b2)
(a + b)(a2-ab+b! ) a3 + b3
D<--------;------- => a + b<-----a + ab ab
a2 b2 a + b < — +— 
b a
separando
Si a, b ye son números positivos y distintos. Demostrar que: 
(a + b + c)2 <3(a2+b2+c2)
(a-b )¿ >0 
(a-c )2 >0 
(b - c )2 >0
a2 + b2 > 2ab
a2 + c2 > 2ac sumando
b2 + c2 > 2bc
2(a¿ +b‘ +c2) > 2ab + 2ac + 2bc sumamos a2 + b2+c2
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( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I ....................................................................................................................... \ ---------------------------------
3( a2 + b2 + c2) > a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac+2bc
3(a2+ b2+c2) >(a + b + c)~ (a + b + c) <3(a +b'+c2)
Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3 + b* )(a + b) > (a* + b‘ )
a y b son positivos y distintos, entonces 
(a- b f> 0 -=> a2-2ab + b2>0
a2 +b2 > 2ab, multiplicando por ab 
ab(a2 + b2) > 2a2b2 sumando a4 + b4
a4 + a3b + ab3 + b4 > a4 + 2a2b2 + b4 a3(a + b) + b3(a + b)>(a2+b2)2 
(a3+b1)(a + b)>(a2+b )
Si x, y son números distintos, demostrar que: (x4+y4 )(x‘ +y )>(x3+y3)
Como x e y son números distintos, entonces 
(x — y)2 > 0 => x2 + y2 > 2xy (por x2y2)
x2y2(x2+y2)>2x3y3 sumando x6 + y6
x6 + x4y2 + x2y4 + y6 >x6 + 2x3y3 + y6 => x4(x2 + y2) + y4(x2+y2)> (x3 + y3)2
(x4 + y4 )(x2 + y2) > (x3 + y3 )2
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Si x, y, z son números positivos, distintos, demostrar que: 
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz
Aplicando el ejercicio (49): 2(a3 + b3 + c3) > bc(b+c) + ac(a + c)+
Y el ejercicio (17); a3 + b3 + c3 £ 3abc
De la combinación de estos dos ejercicios que están desarrolladas.
Se concluye que: xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xyz
dfft Demostrar que: a < b < I => ̂< — ?
w a-1 b-1
a ̂b < 1 => a < b a b<1 
a < b => a - 1 £ b - 1 invirtiendo
— multiplicando por-1 a-1 b-1
— — sumando 1 a-1 b-1
1— L s i _ _ L =
a-1 b-1 a-1 b-1
a3 +b3 + c3 >3abc => 2>6abc
Sean a, b, c, x, y, z son números positivos distintos, demostrar que:
(a’ + b2 + c2)(x2 +y2 + z2)>(ax + by + cz)2
CAPITI" 0 I
ab(a + b)
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(bx + ay) £0 b2x2 + a?y2 > 2abxy
(cx-azf>0 => c2x2 + a2z2 >2acxz sumando
(bz-cy)* 20 b V + c V í2 b c y z
b V + a V + c V + aJz" + b 'V + c V > 2abxy + 2acxz + 2bcyz
Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros 
a2x2 + b2y2 + c2z2 + b2x2 + a2y2 +c2x2 +a2z2 +b2z2 +c2y2 >
a2x2 + b2y2 + c2z2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz
a2 (x2 + vs + z2) + b2 (x2 + y2 + z2) + c2 (x2 + y2 + z2) > (ax + by + cxf
(a2 +b2 +c2)(x 2 +y2 + z2)>(ax + by + czf
c3 d3Demostrar que: 0<d<c => —— — > d '(c-d )
0<d<c => 0<d a d < c 
0<d => 0<2d => 0 < 2d + c
2d + c > 0 => (c + d) + d > 0 
Multiplicando por c - d > 0 se tiene:
(c + dXc - d) + d(c - d) > 0 => c2-d2 + cd-d? >0
c2+cd>2dL’ sumando d~
c2 + cd + d2 > 3d2 (multiplicando por c - d)
(c-d )(c2+cd + d2) 
(c-d )(c2+cd + d2)>3d2(c-d) => ------- -------- > d2 (c-d)
i * i www. solucionarlos, netg W
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ........................................................................
• í L ^ l> d ’ (c-d) f £>*(*-<*>
^ Si 0 < d < c => d3(c-d )< ^ --y< c2(c-d)
Seguir el mismo desarrollo del ejercicio (62) que estâ en detalle y agrupando
convenientemente para obtener el resultado d ( c - d ) < — ~ ^ <c ^
O Si x > 0, y>0, z > 0, demostrar que:
a) xyz =1 => x + y + z > 3
b) xyz=1 a x + y + z = 3 o x = y = z=l
a) Aplicando el ejercicio (30): (a + b + c) £27abc
Para nuestro caso se tiene: (x + y + z) £ 27xyz para xyz = 1
(x + y + z)3 >27 sacando raíz cubica x + y + z£>/27=3
x + y + z £ 3
b) Es inmediato se deja para que se entrenen.
^ Demsotrarque: x>0, y > 0, z > 0 => ^ + ̂ + ” - 3 (sus‘ ^ = 1 ejercici° 64)
Aplicando elejercicio (50) que es: x2y! + y*2* + x2r - x + y + z) 
el ejercicio (64) que es: xyz = 1 =>x + y + z>3
Combinando estos dos ejercicios se obtiene:
x y z — + — + — 
y z x
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Demostrar para todo a y b rec* >/ab < -|= %¡aJ 4 b2
V2
(a - b ) '>0 => a2+b‘ >2ab 
ab£^(a2 + b2)
Sacando raíz cuadrada cubica se tiene: </ab < -1= Va2 + b2
y¡2
© Si x e y f: R, demostrar que: lxl + ly l^ lx + yl
|x + yf = |(x + y)2| = (x + y f = x2 +2xy + y2 ... ( i)
Como xy < I xy l= I x 11 y I ... (2)
Luego de (2) en (1) se tiene: |x + y|2 <|x|2 +2|x||y|+|y|‘
|x + y|‘ <(|x| + |y|)‘ de donde lx l + ly l> lx + yl
O Si x,,x2r..,xn€R tal que x,.x?...xn=1 entonces x, + x,, + ... + xn >n
Aplicando el ejercicio (44) esto es: x i-+ x,¿ *n > Wx..x„...xn v i Z n
Para x,.x,.x3...xn = 1 entonces — + X¿ +" ‘ + Xn > 1 de donde
x, + x2+... + xn ^n
ww w. ¿düíTper u .comwww. s o lu c io n a r io s J ir ,om s MATEMÁTIC01 ES
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
Si a, b € R, demostrar que: (a + b)4 <8(a4 +b‘ )
Es inmediato del ejercicio (32) que esta demostrado en detalle 
a4 +b4 >-(a + b)4 de donde (a + b)4 <8(a4+b4)
CAPITULO i
x2 + 1 + aSi a > 0, probar que: —-¡== 
Vx +
>a + l
Como ejercicio, probar que:
>/x2 +a > a
i sumando>1
Vx2 +a '
x2 + a +1 > a + 1
^ Si a,b,c e R* y si a2 + b2 +c2 = 8, Demostrar que: a3 + b3 + c3 £ 16^|
Aplicando la media potencial M, =
¡-i n
Como M3 > M2 entonces evaluamos
a3 + b3 + 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 |̂a +b + cT ^ ^8 e¡evancj0 a| cub0
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CAPITULO I c EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
a1+b'+c3
a3 + b* +c3 >3
= 8 ¡8 16 Í2 
3V3 " 3 V3
16 Í2 _ Í2 
3 V 3 y 3 a3 + b3 +c3
Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* + b*) > 4
Como a > 0, b > 0 => a2—b2eR de donde 
(a2-b2) >0 =í> a4-2a2b2 + b4 > 0 sumando 4a2b‘
a4+2a2b2+b4 Í4 a 2b8 => (a2 +b2)‘ > 4a2b2
( 1(a2 + b2 )(a2 + b2)— £4
ab U ! + b2
(a2 + b2)>4
Demostrar que si a,b,c son números reales positivos, entonces + c > Vabc
3
Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a + b + c)3 > 27abc
Sacando la raíz cubica se tiene: 
a + b+c >^27abc => a + b+c >3\/abc
a + b + c > yjabc
Si V x € R, tal que a > 0 a b > 0 y a2 £ x < b => Va <x < Vb v -Vb < x < -Va
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i r a r e n a M i n r
a < x 2 < b => a < x 2 a x 2 < b
=> x 2 - a > 0 a - V b < x < V b 
( X - V S ) ( x + > / a )> 0 a - 7 b < x < > / b
( x - > / a > 0 a x + V a > 0 ) v ( x - - s / a < 0 a x + V a < 0 ) a ( - > / b < x a x < V b )
Por la propiedad distributiva de la intersecccion
jjx<>/a a x£->/a) v (x<Va a x<-VajJ a |-Vb<x a x < 75)
(Va<x a x<Vb) v (-7b<x a x<-Va)
%/a<x<Vb v -Vb < x < - Ja 
© Si x,,x2,x3,...,xn € R , tal que: x,.x2.x3...xn =1, demostrar que: x,+x2+... + xn > n
J2 ¡ y £ S ¡¡M ü it
Aplicando el ejercicio (44) que es: x, + x2 > ^x,.x2...xr
Como x,.x2...xn = 1 entonces se tiene.
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAP|TULO I
x, +x„ +... + X. 
n
X + X + + X—1--2——— - >1 de donde x,+x2+... + xn > n
n
$ Si a,be R+, demostrar que: (a2 + b8 )(a + b)2 > 8a2b2
(a-b )“ >0 => a2+b2£2ab, multiplicando por (a-t-b)2
HSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMATICO L.NÁLISIS MATEMATICO L . twww. solucionarlos, net
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CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a2 + b2 )(a + b)‘ ^2ab(a + b)" => (a2 +bL’)(a + b)2 >2ab(a': + b2 + 2ab) ...(1)
Pero a2+b2>2ab ...(2)
De (1) y (2) se tiene: (a2 + b2)(a + b)2 > 2ab(2ab + 2ab) = 8a2b‘
.*. (a2+b2)(a + b)2 > 8a2b2
¿ 7 1 Si a + b + c = 0, demostrar que: ( - + — + - | + \ + \
^a b c j a b‘ c
t fm H ñ is w tC T ” 'b
Como a + b + c = 0 => abc(a + b + c) = 0. (abe) 
a2bc+ab2c + abe2 = 0, multiplicando por 2
2a2bc + 2ab*c + 2abc2 = 0 sumando a ambos miembros a2b2 + a2c2 + b2c2 
a2cb2 + a2c2 + b2c2 + 2a2bc + 2ab2c + 2abc' = a2b2 + a2c2 + b2c2V. ■■ ■ y ................✓
(ab + ac + be)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2 
Divididiendo entre a2b2c2 se tiene:
(ab + ac + be)' _ a2b2 + a2c2 + b2c2 ( ab + ac + be Y a2b2 + a2c2 + b2c2
a2b2c2 a2b2c2 abe ) a b e
1 1 1
- + — + - 
c b a )
^ 1 1 1 O 1 l Y 1 1 1J_ J _ _1_
* c ! + b! + a2
© 1 1 8Si a,beR*( demostrar que: -T + — >------
a (a + b)'
n s n
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
Aplicando el ejercicio (76) se tiene: (a* + b2 )(a + b)‘ > 8a’b
Dividiendo entre a2b2(a + b)2
(a2 +b2)(a + b)‘ 8aV . . a2 + b2 8
------ ------->--------- ¡r, simplificando ----- >----
a2b2(a + b) a2b2(a + b)‘ a V (a + b)
a2 b2 (a + b)
© Sean a, b, c números reales positivos tal que: a < b < c, demuestre que
a b 1<--- < —
a + c b + c 2
a c b c c <=> a < b a b < c
a < b a b < c => ac< bc a b + b < b + c
=> ab + ac < ab + be a 2b < b + c
2b=> a(b + c) < b(a + c) a ----< 1
b + c
a b b 1
=> ----- < ------ a ----- < -
a + c b + c b + c 2
a b 1<--- < —
a + c b + c 2
Si x > 0, x e R - {1}, demostrar que: x"'1 + — - < xn + — , V n > 1
x x
x > 1 => 1 < x, multiplicando por x2n“' -1 > 0
CAPITUI O I
/ ‘
38 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Iwww. solucionarlos, net
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----
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x2" '1 -1 < x(x2n‘'- l ) => x2""1 -1 < x2n - x 
x2"“' + x < x2n +1, dividiendo entre x
x +1 < x2n +1 , dividiendo entre xn-1
x2n"2 +1 x2n +1
x.x
x"'1 +— < X n + — 
xn xn
o Si 0 < a < b < c, demostrar que: —- + — > 2a ac
j2B¡ES¡2I3I¡I3r
Como a < b < c, entonces se tiene:
* > ia
c b c b2 b + c b2 0-> 1 => —+ - + — >3 => --- + — >3
Ü1>1
ac
a a ac
^ Í5 - 1 + — >3 i 
a ac
a ac
b + c-a b2 *
--------------------+ — >2
a ac
C- n 1 2 3 . 1 6 3Si 0 < — < — < —, demostrar que: - <------ < -
x y z x x+y+z z
Aplicando el ejercicio (10) se tiene:
d e f d d+e+f f_ = > _ < ------<-
a b c a a+b+c c
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................... CAPITUi O I
1 2 3 1 1 + 2 + 3 3 . 1
=> - < ----------- < - •• V v + V + Z zx y z x x + y + z z x x y-t-¿ ¿
Sean a, b, c, d números reales positivos distintos tal que ad > be, demuestre que:
abd + bedbe <------- < ad
a + d
c < d a be < ad
abe < abd a ab + be < a2 + ad
abe + bed < bed + abd a abd + bed < a2d + ad‘
bc(a + d) < bed + abd a bed + abd < ad(a + b)
bc(a + d) < bed + abd < ad(a + b)
bed + abd ,be <----- -— < ada + d
<¡> Sean a, b, c numerous reales positivos, demuestre que: 
abe > (a + b + c)(a + c - bXb + c - a)
Aplicando el ejercicio (30) que es: (x + y + z) >27xyz y el ejercicio
(x + y + z)3 >2 7 (y+ z-x)(z + x-y)(x + y-z ), se tiene:
(a + b + c)3 £27abc > 2 7 (b + c-a )(c + a-b)(a + b-c)
abe > (b + c - aXc + a - b)(a + b - c)
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f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I ' ----------------------------------
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
I. Resolver las siguientes inecuaciones
O 5x-2 > 10x + 8 >2x + 16 __
5x-2< 10x + 8 <2x +16 => 5x-2<10x + 8 a 10x + 8<2x + 16 
-8-2< 10x-5x a 10x-2x < 16-8 => -10<5x a 8 x < 8 
x > - 2 a x<1 => - 2 < x <1 x e <-2,1>
1 0 1 1— < 3x — <— 
5 ” 4 3
_ 1 < 3 x < — M C M (5 ,4 ,3 ) = 60 =x> - 1 2 < 1 8 0 x - 15< 20
5 " 4 3
1 7
3 < 180x < 3 5 => — < x ^ — =* X € 
60 >36
x 3x 5 ,<--- , a > b
J _ L
60'36
r a2-b2 a-b a + b
 -— MCM=a2 -b2 => x íU f a^ ^ l< - ^ -
a2 - b2 a-b a + b V a2-b2 ) a + b
5(a + b) / 5(a + b) \
1 + 3(a~^b) =* X e \ " ° ' l + 3 (a-b )/
% £ ^ + 4 > ^ i + 2x , a > b > 0
w 3a 6b ____________
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITI)' o I
2x 5x
— + 4>— + 2x, MCM = 6ab => 4bx + 24ab> 5ax+12abx 3a 6b
24ab> x(5a + 12ab-4b) => x--- — --- => xe(-«o,- 24ab
5a + 12ab-4b \ 5a + 12ab-4bo 6-3x2x +---- < 4
4
6-3x2x + —-— < 4 => 8x + 6-3x<16 => 5x<10 => x<2 => X€(-oo,2)
O x x i x- +— >1 + -, c>b>a >0 • a b c _____
X X X— + — > 1 + —, MCM =abc bcx + xac >1 + abx a b c
x(bc + ac - ab) > abe => x >---— --- => x e /---— ---.oo
be + ac - ab \ be + ac - ab '
O 2x-6< 2 í¿®
l-2x-3x2>0 => 3x2 + 2x -1 < 0 => (3x-l)(x + 1)<0 
O 3(x-5)-4(4-3x) > 2 (7-x )-3 (x-5 )
3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 + 12x >14-2x-3x + 15 
15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc)
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA
2x2 - 6x + 3 <0
2x2-6x + 3<0 => x2-3x + -<0
3] 9 3 .x — -- + -<0 =>
2 4 2
( 3 )* 3 J 3 3 &x — < — = > ----- < x — < —
2 4 2 2 2
3-y¡3 3 + 73-----< X <-----2 2
3-y¡3 3 + y¡3X 6<
2 ’ 2
2x2 +6x-9 < 0
2x2+6x -9<0 => x2+3x --<0
í 3 )* 9 9 _ ( 3 Y 27 _ f 3 3y¡3X H— -----< 0 => x + - ----<0 => \ X +------
2 4 2 [ 2 4 2 2
3 3 >/3x + - +---2 2 <0
3 + 3 / 3 3 + 3 / 3
X €
2 2
-3-3V3 -3 + 3V3 
2 ' 2
9x2 + 54x > -76
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIT1" ? I
9x~+54x>-76 =3> x~+6x + — >0
9
(x + 3)‘ -9 + -^ >0 => ( x + 3)2--^>0 x+3-—
3
x + 3 + >0
\ r ~ ~ v
-9 -\¡S 9-y?
x . , -
-4x2+4x + 3>0
1 3 / 1 3x = —-x-- => x e ( — ,- 
2 2 \ 2 2
4x2 + 9x + 9<0
o 9x 9
4 x '+ 9 x + 9 < 0 => x2 + — + -< 0 , completando cuadrados 
4 4
9 Y 81 9 . ( 9 V 63x + - ——— +— <0 => x + - +—<0 como
8] 64 4 l 8 64
f 9 Y 63 
x + — +— >0, Vx e R 8 J 64
La solución es <j> 
4x2-4x + 7 >0
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CAPITULO I
4x2 -4x + 7 > 0 => x2 - x + —> 0, completando cuadrados
4
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
f 1 1 7 f 1V 3 2— + — > 0 => x + — + — >0 como se conoce V x e R , x >0
4 4 l 2 ) 2
Entonces la solución es R. 
x4 -2x2 -8 < 0
x4-2x2-8<0 factorizando (x2-4) (x2 +2) < 0 
x2-/< 0 factorizando (x-2 )(x + 2)<0
V ~ ~ V
-2 2
/. x e <-2,2>
—4x2 -8 < -12x
-4x2 -8 < -12x => x2-3x + 2>0 => (x - 2 )(x - l)> 0
\/ - \ y
1 • 2
/. x e <-oo, 1> u <0,+oo> 
x2 -2yÍ3x-2 >0
jgg£¿MáÉMf
x2 - 2y/3x-2>0, completando cuadrados
( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene:
- •, - " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICOwww. solucionarlos, net 1
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPm " 91
©
©
( x - V 3 - 7 5 ) ( x - 7 3 + V 5 ) > 0
V
7 3 -7 5 S Í3 + J5
/. x e >/3->/5) ^ V 3 - V5,oo^
3 x 2 - 8 x + l l > 4 ( x - l )
3 x 2 - 8 x + 11 £ 4 ( x - l ) =̂> 3 x 2 - 8 x + 11 > 4 x - 4 => 3 x 2 - 1 2 x + 1 5 > 0 
Simplificando se tiene:
x 2 - 4 x + 5 £ 0 completando cuadrados (x-2)2 - 4 + 5 ^ 0 
(x - 2)2 +1 > 0 la respuesta es V x e SJ?
3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0
3 x 2 - 1 0 x + 3 < 0 => ( 3 x - l ) ( x - 3 ) < 0
x e 1,3
3
x (3 x + 2 ) < ( x + 2 ) ?
M S »
x (3 x + 2 ) < ( x + 2 ) ‘ => 3 x 2 + 2 x < x 2 + 4 x + 4 = > 2 x 2 - 2 x - 4 < 0
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CAPITULO I í EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x 2 - x + 2 < 0 facto riz and o ( x - 2 ) ( x + 1 )< 0
-1
O
O
(-1,2)
4x2 -8x + 1 <0
4 x 2 - 8 x + 1<0 => x2-2x + —<0, completando cu a d ra d o s
o í 3
(x - l)2- l + -<0 => (x-1)2 -- <0 factorizando x—1 — X — 1 + — 2
<0
2 - sÍ T 2+ yi
2 2
' 2 - & 2 + >/3 
2 ’ 2X €
5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 IMTNñ'VWt*
5 x 2 - 1 4 x + 9 < 0 factorizando ( 5 x - 9 ) ( x - l ) < 0
x e
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS D CAPITI" T í
O x2 + 3x + 2 > 0 ________________
x2 + 3x + 2 > 0 factorizando (x + 1 )(x + 2) > 0
-2 -1
xe (-oo,-2)^ (-1,oo)
1-2x-3x2 £0
J K ü ¡M S M f
1-2x-3x2 >0 => 3x2+2x-l<0 factorizando (3x-1)(x + 1)<0
-1
x e
3x2 -5x-2 > 0
i— ^ . n n - T i v r
3x2-5x-2>0 factorizando (3x + l)(x-2) > 0
V ~ ~ V
xe/-<x>,-Mu(2,ao)
(x2+2x)(x2-l)-24 > 0
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
K> + ro X 24 >0 => x4+ 2 X ’
1 2 -1 -2 -24
2 8 14 24 2
1 4 7 12 0
-2 -2 -12 -3
1 1 4 0
x4 + 2x3 - x2 - 2x - 24 = (x + 2Xx + 3Xx2 + x + 4)
(x-2)(x + 3)(x2+x + 4)>0 como x2+x + 4>0, V x e R entonces
O(x-2)(x + 3)£
x + x + 4
(x-2)(x + 3)>0
-3 2
x e <-00,-3> vj <2,+oo>
x(x-3)(x-l)(x + 2) > 16
x(x-3)(x-1)(x + 2)>16 => x(x-1)(x-3)(x + 2)>!6
(x2-x)(x2-x -6 )> 16 sea u = x2-x
u(u-6)> 16 => u2-6 u - 16>0 => (u-8) (u + 2)>0
u = x2-x => (x2-x-8)(x2-x + 2)>0, como x2-x + 2>0, V x e R
0Entonces (x - x -8 )>
x2 -x + 2
= 0 => x‘ — x—8 > 0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
Ccompletando cuadrados se tiene: x2-x + ->8 + -
4 4
, K 2 33 1 y/33 1 V§3
( X - - ) > -- => X --- > ----- V X — < -------2 2
1 + V33 1-733x>----- V x<-----
1-V33 \ /1 + V33xe(-oo,----- ) u ( ------ ,+00
2 / \ 2 
x4+2x3-x2+4x-6 <0
rn m s m m
x4 +2x* - x2 +4x-6<0, factorizando por Ruffini
1 2 -1 4 -6
1 3 2 6 1
1 3 2 6 0
-3 0 -6 -3
1 0 2 0
x4+ 2x3-x2 +4x--6 = (x-lXx + 3Xx2
(* - l)(x + 3)(x2 +2) < 0 como x2 +2
(x~1)(x + 3) = 0 => (x - l)(x + 3) < 0
V ~ ~ V
-3 1
x e (-3,1)
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CAPITIM 0 I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x2 + x-6)(4x-4-x2)<0
(x2 +x -6)(4x - 4 - x2)<0 => (x2+x-6)(x2-4x + 4) > 0
(x + 3)(x-2)(x-2)2 >0 => (x + 3)(x-2)3 >0
V
-3 2
x e < -oo,3] ̂ [2 ,+00 >
2x3+3x -llx-6> 0
2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3 +3x2- llx -6
2 3 - 11-6
4 14 6
2 7 3 0
2x3 + 3x2 - l lx -6 = (x- 2X2x2 + 7x + 3)
= (x - 2)(2x + 1 )(x + 3) entonces 
(x-2)(2xe+7x + 3)>0 => (x-2)(2x + 1)(x + 3)>0
1
2
x e
- 3 ' - i
[2,+oc >
O x3 -3x2 -I3x + 15>0
www r?d'jKDei •■¡on SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
x* -3xJ -13x + l5 >0, factorizando por Ruffini x3 -3x2 -13x + 15
CAPI7',,n i
O
1 -3 -3 15
1 -2 -15 1
1 -2 -15 0
x3 - 3x2 -13x +15 = (x -1 Xx2 - 2x -15)
= (x - IXx - 5Xx + 3) entonces 
(x -1)(x2-2x -15)>0 => (x- l)(x-5 )(x + 3) >0
Y .
-3 1 5
x e(-3,l)u(5,oo)
x4 -4x3 -x2 +I6x-12 >0
É O L W m U l'M *
x4 -4x3- x2 + 16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12
1 -4 -1 16 -12
1 -3 -4 12 1
1 -3 -4 12 0
2 -2 -12 2 2
1 -1 -6 0
x4 -4x3 -x2 +16x-12 = (x-lXx-2Xx2 -x-6)
= (x-1Xx-2Xx-3Xx + 2) 
(x- l)(x-2 )(x-3 )(x + 2)>0
- 2 1 2 3
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao) 
x5 + 3x4 -5x3 -15x2 +4x- 12 > 0
Tnrrrgr.i^r
x5 +3x4 -5x3 -15x2 +4x- 12 >0 
Factorizando por Ruffinni x5 + 3x4 - 5x3 -15x2 + 4x - 12
1 3 -5 -15 4 12
-1 -2 7 8 -12 -1
1 2 -7 -8 12 0
1 3 -4 -12 1
1 3 -4 -12 0
2 10 12 2
1 5 6 0
x5 +3x4 -5x3 -15x2 + 4x-12 = (x + l)(x - l)(x -2 )(x 2 +5x + ó)
= (x+ 1Xx-lXx-2Xx + 3Xx + 2)
~ ^ ^ A r ~ i r r - \ / ~ A A T -
-3 - 2 - 1 1 2
(x + 1Xx-l)(x2 + 5x + 6)>0
=> (x + 1Xx-lXx-2Xx + 3Xx + 2)>0
xe<-3,-2> u< —1,1 >u2,oo>
^ x5 -6x4 -x3 +29x2 +8x-15 < 0
x5 -6x4 - x3 + 29x2 + 8x -15 < 0
factorizando por Ruffinni x5 - 6x4 - x3 + 29x2 + 8x -15
. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Iwww. solucionarlos, net
S
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITUI O I
1 -6 -1 29 8 -15
-1 7 -6 -23 15 -1
1 -7 6 23 -15 0
3 -12 -18 15 3
1 -4 -6 5 0
5 5 -5 5
1 1 -1 0
x5 - 6x4 - x3 + 29x2 +8x-15 = (x + lXx- 3Xx - 5Xx2 + x -1) 
(x + 1Xx-3Xx-5Xx2 + x-1)<0, factorizando x2+x-1
(x + 1Xx-3Xx-5) 
(x + 1Xx-3Xx-5) 
(x + 1Xx-3Xx-5)
~ ~ V ~
x +: Y . i .
2 J 4
<0
i r -
1 s
X -I- ---------2 2
<0
1 V s lx + - +—2 2 <0
:y ;
l+ \ / 5-1 - 1 + \ Í S
. l + & \ / , - l + >/5\.. x€(-co,---_ W - l , -- -— \u<3,5>
O (x2 - 2x - 5Xx2 - 2x - 7Xx2 - 2x - 4) > 0
(x2 - 2x - 5Xx2 - 2x - 7Xx2 - 2x - 4) > 0, factorizando
1
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Iwww. solucionarlos, net www edukpery.com
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( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
©
[(x-1)2 -1-5](x2 -2x-7Xx2 -2x-4) > 0 
=> [(x-1)2 - 6 ][(x- 1)2 - 8 ][(x- 1)2 -5] > 0
=> (x -1 - >/ó)(x -1 + Vó)(x -1 + V8)(x -1 - n/8)(x -1 - >/5Xx -1 + n/5) > 0
1-2\Í2 1 - V6 1-V5 1+\¡S 1+46 1 + 2\Í2
x e ^-oo,l-2^2^ u ̂ 1 -yjb, 1 —VH^U^I + >/6^u(l + 2>/2,+cô
x5 -2x4 -15x3 >0
x5-2x4-15x} >0 => x3(x2-2x-15) >0 => x3(x-5Xx + 3) >0
+>1>+>1
-3 0 5
x e<-3,0 > u < 5,oo >
(x3 -5x2 +7x-3X2-x) > 0
Factorizando por Ruffinn x3 -5x2 + 7x-3
1 - 5 7 - 3
3 - 6 3 3
1 - 2 1 0
(x-3 )(x- l)2 (x-2) <0
+>l>+>1
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x e [2,3] ^ {1}
(x-a)(x-b )(x-c)(x-d )< 0 si a<b<c<d
m m m m n w ai
(x-a )(x-b )(x-c) (x-d)<0
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITU' O l
O
a b c d
xe(a,b )u (c,d )
(x2+6x -1Xx3-2x2 -2x + 4Xx + 5)5 >0
(x2 + 6x - IXx1 - 2x2 - 2x + 4Xx + 5)5 > 0, factorizando
=> [(x + 3)2 - 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x + 5)5 >0
=> [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0
=> [x + 3- VÍÓ](x + 3 + VÍÓXx - 2Xx - V2Xx + >/2Xx + 5)5 > 0
~ v : v + v • v + v - \a ~
-3- VIO -5 -\¡2 -3 + \/To \¡2 2
x e (-x,-3-VÍÓ )u(-5,-V2)u(-3+>/ÍÓ,V2)w<2,4oo> 
^ (6x + 3)2(x2 -1)3(3x -5)7 <0
(6x +3)2(x2-1)3(3x - 5)7 <0 => (6x + 3)2(x - l)3(x + 1)3(3x-5)7 <0
8
m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! . , wwwedukperu.comANÁLISIS MATEMÁTICO I . ,www. solucionarlos, net
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CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
o
-1
••• xe(-oo,-l)u^1,|^
(3-x)3(x2- l)2 (l-x )5x>0
M ü B W
(3-x)3(x2- l)2(1-x)5x >0 => x(x -3)3(x -1)2(x + 1)2(x -1)5 >0 
x(x -3)3(x -1)7 (x + 1)2 > 0
-i
x4 -2x2 -3x-2 >0
0 1
/. x e ( 0 , l ) u (3 ,o o )
x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2
1 0 -2 -3 -2
-1 1 1 2 -1
1 -1 -1 -2 0
2 2 2 2
1 1 1 0
x4 -2x2 -3x-2 = (x + 1Xx-2Xx2 + x + 1)
(x-lXx-2Xx2+ x + l)^0 , como x2+x + l>0, VxeR , entonces.
(x-lXx-2) > 0
x2 +x + 6
= 0 => (x- lXx - 2) > 0
www.edukperu.com i . S O I 1Cwww. solucionarlos, net
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
$
-i o
x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o >
x4-3x3+ 5x2 - 27x-36 <0
x4-3x3+ 5x2 - 27x-36 < 0 factorizando por Ruffinni
1 -3 5 -27 -36
-1 4 -9 36 -1
1 -4 9 -36 0
4 0 36 4
1 0 9 0
x4-3x3+ 5x2 - 27x-36 = (x + 1Xx -4Xx2+9)
(X + lXx l X Xx
> + 9) < 0, como x2+9>0, Vxe R ,
(x + 1Xx-4)<0
-1 4
X€<-1,4>
m
x4 - x2 <0 => x2(x2 -1)<0 => x2(x-l)(x + l)<0
+ V ¿ \/~ ~ * 
- 1 0 1
x e <-1,0> <j <0,1 >
CAPITI" n i
36
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . ,www. solucionarlos, net www.eduKperu.com
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O (2x2 -4x-1X3x2 -6x + 4Xx2 +4x-2)>0
Jg ^ S S S S iS M f
(2x2 -4x-lX3x2 -6x + 4Xx2 +4x-2)>0, factorizando se tiene: 
x2 -2x--1 f x2 -2x + -1(x2 +4x-2) >0
^(x-l)2 - l-^ j^ (x - l)2 - l + ̂ j[(x + 2)2 - 4-2]>0
f(x - l)2- | (̂x — l)2 + ̂ j[(x + 2)2-6]>0, como (x- l)s + ̂ > 0, V x e R
[ o\ _(x-1)2- - [(x + 2)2 -6J >0, factorizando 
-1_̂ |)íx-1+̂ )(x+2+.'̂ )(x+8“'̂ )>0
, Í3 2 + yfb , ¡3Puntos críticos x = 1 + J- =---- , x = - =
V 2 2 \ 2
2 - y f b , x = -2-Vó , x = -2 + n/ó
~ v 1 - ~ V .+
-2-\^6 2 - x/6~ -2 '/6 2 + /6
x5 +8x4 +12x3-x2 -8x-12>0
Factorizando por Ruffinni x5 +8x4 +12x3 -x2 -8x-12
www.edukperu.comwww. solucionarios. netSOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUI n i
1 8 12 -1 -8 -12
1 9 21 20 12 1
1 9 21 20 12 0
-2 -14 -14 -12 -2
1 7 7 6 0
-6 -6 -6 -6
1 1 1 0
x5 + 8x4 +12x3 - x2 - 8x -12 = (x - 1Xx + 2Xx+6Xx2 + x +1)
(x-1)(x + 2Xx +6Xx2 + x + 1)>0 , como x2+x + l>0, Vx e R , simplificar 
(x-1)(x + 2Xx + 6)>0
-6 -2 1
xe(-6,-2)u(l,oo)
^ (x2-1Xx2+9Xx + 4Xx + 5)>0
(x2 - lXx2 + 9Xx + 4Xx + 5) > 0, simplificando x2+9>0, V x e Ry factorizando 
(x-lXx + 1Xx + 4Xx-5)>0
- 4 - 1 1 5
xe(-oo,-4)u(-1,l)u(5,oo)
60 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I . ,www. solucionarlos, net www.edukperu.com
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
©
(x + 2Xx + 3Xx - 4Xx - 5) > 4 *■
(x + 2Xx + 3Xx-4Xx-5) > 44 => (x + 2Xx-4Xx + 3Xx-5) >44
=> (x2-2x-8Xx2-2x-15)>44 u =x2-2x-8
=> u = (u-7 )>44 => u -7u-44>0 => (u-1lXu + 4)>0 
=> (x2 - 2x-8-11Xx2 -2x-8 + 4) >0 => (x2-2x-19Xx2-2x-4)>0 
[(x-1)2-1 -19][(x-l)2-1 -4] > 0 => [(x-1)2- 2 0 j(x - l)2-5]>0
(x -1 - 2>/óXx -1 + 2>/5Xx -1 - >/5Xx -1 + >/5) > 0
v
1 + 2\ÍS 1 - \ÍS 1+\ÍS 1-2^5
xe(-oo,1-2>/5)u(l-75,1 + 7 5 )u (l + 275,®)
x + 6x4 +6x +4 >0
x6+6x4+6x2+4 >0 => u = x2 => (x2 )3+6(x2 )2+9x2+4 > 0
=> u3 + 6u2 + 9u + 4 > 0 
Factorizando por Ruffinni; u + 6u + 9u + 4
1 6 9 4
-1 -5 -4 -1
1 5 4 0
u* -1-6u2 + 9u + 4 = (u + IXu2 + 5u + 4)
= (u + IXu + 4Xu + 1)
www edukpervi.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
www. solucionarlos, net ■L
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPrr” ' n i
O
o
u = x2 => (x2+ lf (x 2+4)>0, como )C+1>0 a x2+4>0, V x e R
Entonces la solución es: V x e R 
x4 -3x2 - 6x-2<0
x4 - 3x2 - 6x - 2 < 0 , factorizando x4 - 3xJ - 6x - 2
x4 -3x2 -6x-2 = (x2 -2x-lXx2 +2x + 2) entonces
(x2 -2x-l)(x2 +2x + 2)<0, como x2+2x + 2>0, Vxe R , simplifican
x2-2x- l< ____-____= 0 => x2 -2x-l <0, completando cuadrados
x2 + 2x + 2
x2 -2x + l <2 => (x - 1)2 < 2 => -72 < x -1 < y¡2
1-72 < x < 1 + 72 
xe< 1-72,1+ 72 >
x5 -6x4 -17x3 +17x2 +6x-l >0
m m m m t
X5 -6x4 -17x3 +17x2 + 6x-l > 0 factorizando por Ruffinni
1 -6 -17 17 6 -1
1 -5 -22 -5 1 1
1 -5 -22 • -5 1 0
X 1 X X * -5x3 --22x2--5x + l ) >0
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f-8x 
+3x
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
XlX
-5x3 -5x
-2x
x4 -5xJ -22x2 -5x + l =(x2 -8x + 1Xx2 +3x + 1) 
(x-lXx2 -8x + 1)(x2 +3x + 1) >0
3 2 9(x- l)[(x-4 )2-15] 
(x-1)[(x-4)2-7 Í5 ](x-4 + 7Í5)
>0
r 3X + --------2 2
3 75
X H-- + ----
2 2
>0
A /
3 + /5 -3 + \fS 4- '/ l5 1 4 + \fl5
2 2
...
x4 -2x2 + 8x-3 > 0
Factorizando x4 - 2x2 + 8x - 3 
x4 +0x3 -2x2 + 8x-3
A
2x v -1 
+ 2 x ^ * 3
(x2+2x-lXx2-2x + 3 )>0, como x2-2x + 3>0, Vxe R , simplificamos
v - 2x v
/ v „ „ X
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITUt O I
x + 2x — 1 >
x -2x+3 
[(x + 1)->/2][(x + 1) + >/2]>0
x2 + 2x -1 > 0, factorizando
A /
-1-72 -1 + 72
xe(-<or 1 -^ |u ^ - 1 -h ^ o o ^ 
O x4 -2x3 -5x2 +10x-3 <; 0 Éimmrnaf
x4 -2x^ -5x2 + 10x-3 <0
x4 -2x3 -5x2 + 10x-3
x2 -3x -3
x2 X 1
(x2 - 3x +1 )(x 2 + x -3 ) < 0 , factorizando
3T 9 ix — — + 1
2 J 4
n 1 ^x + - --- 3
2 J 4
<0
1Y 13X H— ----
2 J 4
<0
r 3+75
X --------
í 3--75 ¥ 1-7Í3x — ■ X + ■ <0
-1 -\¡13 3-\/5 713-1 3+75
2 2 2 2
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
X €
'-1-73 3-y/S u n/T3 -1 3 + 75
2 2 2 ' 2
$ (x-7Xx-3)(x + 5Xx + 1)>1680
(x - 7Xx + 5Xx - 3Xx +1) > 1680
(x-7Xx + 5Xx-3Xx + 1)>!680 => (x2-2x-35Xx2-2x-3) > 1680 
u = x2-2x-3, reemplazando se tiene:
(u-32) 1680 => (u2-32u-1680)^0 => (u- 60Xu + 28) > 0
(x2 - 2x - 63Xx2 - 2x + 25) £ 0, factorizando se tiene: 
[ (x -1)! -1-63][(x - 1)! -1 + 25]20 => [(x -1 )*-64][(x-1)* + 24]£0
Como (x - l);' +24>0, V x e R, simplificando (x - l)2-64>0 
(x-1)2 >64 <x> x-1^-764 v x - 1 <- Vó4 
x - 1 > 8 v x - 1 < -8 
x>9 v xú-7
x e <-oo,-7] u [9,+oo>
(x + 9Xx - 3Xx - 7Xx + 5) ̂385
(x + 9) (x - 3) (x - 7) (x + 5) ̂385
(x + 9Xx-7Xx-3Xx + 5)<385 => (x2+2x-63Xx2+2x-15) <385 
u= x~+2x-15, reemplazando se tiene:
• . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICOwww. solucionarlos, net
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...................................................................................
(u-48)u^385 => u2 - 48u- 385 <0 => ( u - 5 5 X u + 7)^0 
(x2 +2x-15-55)(x2 + 2x-15+7)<0,factorizando se tiene:
[ ( x + 1)2 - 1 - 7 0 ] [ ( x + 1)2 - 9 ] ^ 0 => [(x + l ) 2 - 7 l ] [ ( x + l)2-9]<0 
(x + 1 + V7l)(x + 1->/7Í)(x + 1-3Xx + l + 3)<0
(x + 1+%/7Í)(x + 4)(x + 1->/ñ)(x-2)<0
-1 ~\¡71 -4 2 \¡7 Í-1
xe[-l->/71,-4j^[2,-l+>/7Íj
CAPITI1' « I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
INECUACIONES FRACCIONARIAS
Resolver las siguientes inecuaciones:
x + 1 x <
2-x x + 3
x+ 1, x 2 ilI_ _ JL _ < 0 => (x + 1Xx + 3)-x(2-x)
2-x x + 3 2-x x + 3 (2-xXx + 3)
x2+4x + 3-2x + x2 A 2x2 +2x + 3 _
---- --------------- <0 => -------------- >0
(2 - xXx + 3) (x-2Xx + 3)
como 2x +2x + 3>0, V x e R, entonces expresamos asi:
1 - o = > ---- !_____ >0
(x-2Xx + 3) 2x2+2x + 3 (x-2Xx + 3)
-3 2
/. X€<-oo,-3>u<2,oo>
3x-7 3-2x
—í— >0 =» — 1 - ^ 0 => 3-2x -4(3x - 7 ) , 0 
3x-7 3-2x 3x-7 3-2x (3x-7X3-2x)
31-14X ^ ^ ___14x_-31
(3x-7X3-2x) (3x-7X2x-3)
31 7 3x = — , x = - , x = - , puntos críticos
14 3 2
. . . SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I I. . . S O L IOwww. solucionarlos, net
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIW * •
3 31 7
2 4 3
'3 31
X € < ( —\2 14
x + 2 > x2 + 2
x + 2_x^+2>0 x2 (x -t- 2) - (x - 2)(x2 + 2) ̂Q
x-2 x2 " ~ x2(x-2)
x1+2x8-x3+2xg-2x + 4 )a 0 ^4>^-2x±4 a0 como 4x* _2x + 4 >0, V x e R 
x2(x-2) . x (x-2)
1 > „ ° --------------- = 0 => —r — ---> 0
x2(x -2) 4x2-2x + 4 x2(x -2)
: ~ V
0 2
/. x e < 2 ,0 0 >
x-2 > x
x + 4 x-2
=» ü z 2 . _ í _ a 0
x + 4 x-2 x + 4 x-2
(x-2)2-x(x + 4) x2-4x + 4-x2-4x
 ----- ----------- > 0 => -----------------------> U
(x + 4Xx-2) (x + 4Xx-2)
~8x+4 ¿ o =. — — — <o
(x + 4)(x-2) (x + 4Xx-2)
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cap itu lo I { EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
-4 I 2
2
/. xe< -oo,-4 >u \,2>
x -4 ; x -2
x2+2 x2 + 1
x3-4 x3-2
< (x3-4 )(x2 + 1)<(x3-2)(x2+2)
x2 + 2 x¿ +1
x5-4x2+x3-4<x5-2x2+2x3-4 =>2x2+x3>0 =>x2(x + 2)>0 
x = 0; x = -2, puntos críticos
v :
-2 0
x e < - 2 ,0 > ^ j< 0 ,o o >
x-1 < 2x x
x x +1 x-1
M K S B M M
x-1 2x x x-1 2x x ^ .---- < ------------ = > -------------- + ----- < 0
X X +1 X-1 X x + 1 x-1
(x8 — l ) ( x —1)—2x 2( x -1 )+ x 2( x + 1)
x(x + 1)(x —1)
x — x —x + 1 — 2x + 2x + x + x . 2x -x + 1 .
=> ------------ ;-----r;-----:---------- < 0 =>— -----T7------ < 0x(x + l) (x - l) x ( x + 1 ) ( x - 1 )
Como 2x2-x + l>0, Vxe R , entonces simplificamos
” — ̂ SOLUQONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO Il ■ ± www. solucionarlos, net
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...........................................................................CAPITU' O I
1 - o ^ ------1— so
x(x + l) (x - l) 2x2 - x +1 x(x + lX x - l)
x = -1; x = 1; x = 0, puntos críticos
A / ± V :
•i 0 1
X G< -00,-1 > U < 0,1 >
x2 +2 x~ + 1
y4 +1 y4 +1 ___MmxmAwm
— íll simplificando x4+l se tiene: 
x4+1 x4+1
x2 +2 > x2 +1 => 2 > 1, V x e R
/. La solución es V x e R 
x2 -2x < x + 8
x2 -2x x + 8 x! -2x x + 8 _ 2(x*-2x)-(x + 8X x-4) ^
I T T “ T * x-4 2 - 2(x-4)
2x2 -4x-x2 -4x + 32 ̂ ̂ (x-4) + 16 ̂Q
2(x-4) ” 2(x — 4)
Como (x-4)2 +16>0, V x e R =>
V
4
t 
■ * ■
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
1 3x + l — <---- < 4
X X
X G <-oo,4>
1 3x + l 1 3x + l 3x + l .— <---- <4 => —<----- a ---- <4
x x x x x
1 3x + l 3x + l , l-3x-1^.rt 3x + l-4x „------- <0 a ------4 <0 => -------<0 a -------- <0
x x x x x
— < 0 a ^ Í l < 0 => - 3 < 0 a — > 0
X X X
i» x — 1 x — 1
x g 9? a -----> 0 =2» ------> 0
x x
© x2 + 8 5x-8 x + 4 ~ 5
0 1
XG< -oo,0>U< l,oo>
x2 +8 5x-8 x2 +8 5x-8 ^ rt 5x2 +40-(5x-8)(x + 4) „----- > — -— = > ------------->0 => ---------- ------ ----- - > 0
x + 4. 5 x + 4 5 5(x + 4)
5x* + 40-5x2 + 8x-20x + 32 _ 72-12x x + 6
=> ---------- ---- ---------- >0 => ---->0 => ------------- <0
5(x + 4) 5(x + 4) 5(x + 4)
x = -4; x = 6, puntos críticos
-4 6
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x e <-4,6]
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ...................... .........CAPITU' f i
©
O
x + 4 x-2>
x"+4x + 4 x -4
^ ■ arrn m .T M T
x + 4 . x-2 _ x + 4 x-2 , 0>
x2 +4x + 4 x2 -4 (x + 2) X--4
(x + 4)(x-2)-x2-f 4 n x2 + 2x - 8 - x~ + 4 ̂n 
(x + 2)2 (x-2) (x + 2)2(x-2)
2x~ 4 >0 ^ — L_^>0, Vx e R, x^±2
1 2<•
x + 1 3x-l
(x + 2)2 (x - 2) (x + 2)
x e R - {-2,2}
_ L < _ L - * —_____ — <0 => 3x- 1-2(^ < 0
x + 1 3x-1 x + 1 3x-1 (x+1X3x-1)
3x-1-2x-2), n ^ ____x^3--- <0
(x + 1X3x-1) (x + lX3x-1)
x = 3; x = 1; x = - puntos críticos
3
-1 1 3
3
xe<-oo,-l,>u/^,3
©
f l
2 2x2 -3x + 3
2 <(x -2X2x + 3)
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
2x2 - 3x + 3 1+ ->0
(x-2)(2x + 3) 2
4x~-6x + 6 + 2x2-4x + 3x-6 _ 6x2-7x
--------------------------------------------------------------- >0 => ------------------------------->0
2(x-2X2x + 3) (x-2X2x + 3)
x(6x-7)
(x-2X2x + 3)
>0
3 7Puntos críticos: x = 2; x = 0; x = -; x = -
2 6
.3 0 7 2
2 6
w < 2, +oo >X E ( ^ i u \
© 2x-1 3x-1 x-7----+----- <4 +
v o. 1 v -i_ Ox + 1 x + 2 x — 1
(2x-lXx + 2) + (3x-1Xx + 1) 4x-4 + x-7 .
------ ;— ~ ----------------------------- <-:------ , simplificando(x + lXx + 2) x-1
5x~+5x-3 5x-12 5x2+5x—3 5x-12
(x + 1Xx + 2) x-1 (x + 1)(x + 2) x-1
(5x2+5x -3)(x -1)-(x + 1Xx + 2X5x -12)
<0
(x + lXx + 2Xx-l) <0, simplificando
-3x2 + 18x + 27 x2-6x -9 _ ,<0 => -— —-- —----- >0, factorizando
(x + lXx + 2Xx-l) (x + lXx + 2Xx-l)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
CAPITI"OI
O
o
(x-3 + 3j2)(x 3 3>/2)^ n HnnHp x =-2; x = 3-3>/2 ; x = -1 
(x + 1Xx+2Xx-1)
x = 1, x = 3 + 3v2 , puntos críticos
-2 3 - 3 ^ 2 -1 3 + 3 ¡2
x e
x < x-3
<2 + 4 x2 + x + 4
(-2,3 - 3>/2 j u < -1,1 > u(3 + 3>/2, +0° )
_ J L _ < x — = > x ( x 2 + x + 4 ) < ( x 2 + 4 ) ( x - 3 )
x2 + 4 x2 + x + 4
puesto que x2+4>0, x2+x + 4>0, V x e R
x ( x 2 + x + 4 ) é ( x 2 + 4) ( x - 3) => x 3 + x E + 4x £ x 3- 3x e + 4x -1 2
=> 4x2 <-12 => x2 <-3 pero Vxe R . La solución es <t>
(xg-2 )(x-5 )(x-3 )^ 
x(x2 +2)(x -3)
(xi -2)(x-5)(x-3) ' ̂
x(x2 +2)(x-3)
( x - 7 2 ) ( x + 7 2 ) ( x + 5 ) ( x - 3 ) ^
> x(x + 3 )
puesto que x2+2>0, V x e R
Puntos críticos: x = ± 3; x = ±72 ; x = -5; x = 0
V v : v
-5 ■72 0 72 /
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O
x e<-oo,-5'>u^-3,-72^'^0,—72^u<3,-oo>
' (6x-3)~(x2 + 1) (3x-5)'
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
(x + 6 )¿ (2x + 3 ),.,
(6x + 3)2 (x2 +l)3 (3x-5)7 ̂ (6x + 3)2(3x -5)? ^
(x + 6)2(2x + 3)17 > ^ (x + 6)2(2x + 3)’7 >
puesto que x¿ +1 > O, V x e R
- O V ¿ V
-6 3 1 5
'2 "2 3
x e < - o o , - 6 > u ( - 6, - | W - | , c o
( 4 x + 2 )2 ( x 2 + 2 )5 (2 x - 8 ) 9 
( x + 1)2 (2 x + 5 ) '7
ISMUlHT
(4x + 2)¿ (xa + 2 )5 ( 2 x - 8 ) q _o ^ (4x + 2)g(2x-8)g , Q 
( x + 1)! (2 x + 5 ) '3 ( x + 1)’ (2 x + 5 ) '3
puesto que x¿ +2>0, V x e R
1 5PuntOS críticos: X = 4; X =--: X =-- : X =-1
2 2
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
W (x-5) (x + 3)
cAPrrui o i
(x + 4) (x-2)
(x-5) (x + 3) x-5 x + 3
(x + 4)(x + 3)-(x-2)(x-5) 
(x-5)(x + 3)
x2 +7x + 12-(x2 -7x + 10)
<0 =* (x-5)(x + 3 T
14x42__ < o ; Puntos críticos: x = 5; x= -3; x -
(x-5)(x + 3)
-3
C.S.: xe(oo,-3)u(--,5
x-4 x+2
7 + - U - 2
:-4 x + 2
b e e e m m
Z í í í ! h í d +2<o
(x-4)(x + 2)
7x + 14 + x-4 + 2(x-4)(x + 2) n
(x-4)(x+2)
8 x + 10 + 2 ( x 2 - 2 x - 8 ) 
(x-4)(x+2)
x2 +2x-3 <0
2x2 +4x-6 
(x-4)(x+2)
(x+3)(x-1) , n 
(x-4)(x + 2)
<0
(x-4)(x + 2)
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Puntos críticos: X = -3; X = X = 1; X = 4
o
+ V 1 V t V 1 V +
- 3 - 2 1 4
C.S.: x e(-3,-2)u(l,4)
(x* + x-6)(x’ -x-6)
(x2 -4)(x2 -2)
jBEimSÜSMt
( * ! + *-6 )(.r! - *- 6 ) (* + 3) (a'- 2 )(a'-3)(.v + 2)
( * * - 4 ) ^ - 2 ) >0 " ( , - 2 ) ( , + 2 ) ( x - ^ ) ( , + ̂ ) >0
(x + 3)(x-3)_
7--- pr---- — >0 a x^±2. Los Puntos críticos: x = ±3; x = ±v 2
(x-V2)(x + >/2)
-3 -s¡2 s¡2 3
C.S.: X€<-co,-3>u<-\Í2,yj2><j<3,co>
@ x1z 2x±3>_3
^ x -4x+3
x2-2x + 3 x2-2x + 3 _ _I — --- > -3 => -r— ---- + 3>0, operando se tiene:
x -4x + 3 x -4x + 3
x -2x + 3 + 3(x“ -4x + 3) 2x2-7x + 6 _ (2x-3)(x-2)
------- -— --- ------ ^>0 => — ------->0 => ^---------r > 0
x -4x + 3 x -4x + 3 (x- l)(x-3 )
Puntos críticos: x = -; x = 1; x = 3; x = 2 2
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CAPITUl O I
O
V : V i V ___±—
1 3 2 3
2
3
C.S.: xe<oo,1>u<-,2>u<3,co>
J L + J_ > 2
x + 3 x — 1 ____jn m M M
5 , 1 ̂O _É— + —l--2 > 0, de donde se tiene:
x + 3 x — 1 x + 3 x — 1
5(x-1) + x + 3-2(x + 3)(x-1) n 
(x + 3)(x-l)
5x- 5 + x + 3-2(x2+2x-3) -2x2 +2x + 4 ̂n
(x + 3)(x — 1) > ^ (x + 3)(x-1)
x*-x-2 <0 (x-2Kx.tij<0
(x + 3)(x-1) (x + 3)(x-1)
Puntos críticos: x = -3; x = -l; x = 1; x = 2
-3 -1 1
xe<-3,-l >u<1,2>
« 3x + 1 1
2 > ------> -
. 3x + 1 1 rt^3x + l , 3x + 1 1
2 > ------> - => 2 > - a — —X X x x x
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
3x + l „ 3x + l 1 n 3x + 1+2x 3x
--------2 < 0 a ---------- > 0 = > ----------- < 0 a — > 0
x x x x x
— < 0 a 3 > 0 => — < 0
Puntos críticos: x = 0; x = -1
\ T ~ ~ V
-1 0
La solución es: x e [-1,0>
0 x^ -2 _x i 3 > _ 3
W v2 -L. 3x -4x + 3
x2-2x + 3 0 x2-2x + 3 0 , . |—------- > -3 => —t---------+ 3 > 0, efectuando las operaciones
x -4x + 3 x -4x + 3
x2 -2x + 3(x2 -2x + 3) x2 -7x + 6 A (2x-3)(x-2)
------ s— -̂-------- >0 => —-------- >0 => ----¿r— z r > 0x — 4x + 3 x — 4x + 3 (x-1)(x-3)
3
Puntos críticos: X = - ; X = 1; X = 3; X = 2
2
V 1 V + V = V
1 _3 2 3
2
Conjunto solución
© 2x4 +7x3 +8x2 +6x + 1 ^óx̂ 1 + 17.x4 +23x3 +18x2 +7x + 1
2x4 +7x3 +8x2 + 6x + 1
6x5 + 17x4 +23x3 +18x2 +7x+«1
>0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
CAPITULO I
Factorización por aspa doble en el numerador
(2x2 +5x + l)(x2+x + l) >0ÍX~2IX + 1)X + 1)(6X!+6X + 7)
como x2 + x + 1 >0, V x é R V 6x2 +6x+7>0, V x « R, simplificando
2 5x 1 x + — + —2 22x2 + 5x +1 ̂ __________x+sXx+Í)(x+1) (X+Ü(X+9(X+1)>0
2 5x 25 1 25
X2+ — + — + r.~77____ 2— 16—2—16_>o => tw —KHH (x+iXx+3>+i)
X + - T - -
^ --- >0, factorizando
5 (17 Ì 5 17
X+4 'V Í6 j r K 4 + \ Í 6 j
f 5 - V Ì7 x +
V 5 + >/Í7x + — -—
(x4)H)x+1) H)K)(X+1)
5-Vv7 5 + y¡V7 ____ 1_ v = - i x = -1. puntos críticos
X --------- , X ------- » X - 0 > o '
- \ / + V - V — ^ 
! 7 & ------ -i 4 1
Conjunto Solución: x e
<5
_2fl7+5 A<_I 1
3 4
1 /V i7-5
2 3
>vj
X — 1 x2-1
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CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
X — 1 X — 1
<5
X — 1 (x- l)(x + 1)
< 5 =>
x — 1 (x-lXx + 1)
-5 < 0
7(x + 1)-6-5(x-1)(x + 1) 7x + 7-6-5(x2+1)
(x + 1)(x-1) (x + 1)(x-1)
-5x2+7x + 6 . 5x2-7x-6 . (5x + 3)(x-2) „
<0 => T---- —---- ->0 => — ,---- r r --- ^ > 0
(x + l) (x - l) (x + 1)(x-1) (x +l)(x-1)
Puntos c riticos x = -1; x = — ; x = 1; x = 2
5
-1
xe(-»f-l)u^-|,1^u(2,+co)
<0
12x5 -35x4 -53x3 + 53x2 +35x - 12 
x6 +15x5 + 78x4 +155x3 + 78x2 +15x +1
12x5 - 35x4 - 53x3 -f 53x2 + 35x - 12 ̂Q
x6+15xs +78x4 +155x3+78x2 +15x + 1 <
Agrupando término en forma adecuada para su factorización
12(x5 - 1 )- 3 5 (x 4 - x )- 5 3 x 2(x - 1 ) 
x6+1 + 15(xs +x) + 78(x4 +x 2) + 155x3
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .........................\ ..................................... CAPITU!
12(x4 +x3 +x2 +x + l)-35x(x" + x + l)-53x* j
x3+¿ +,5l( x2+? l
+ 00 íX+x]+ 155
<0
3 |r n3u = X + —1V XJ
í 1Yu = X + —l XJ
1 3- + — => u 
X J X
( 23 12
( x - 1 ) ( 1 2 x 4 -23x3-76x2-23x + 12) ̂ (x l)|̂ 12x 23x 76 ̂ x%
u3 -3u + 15(u2 -2) + 78u-f 155 < ̂ u3+15u2+75u + 125
(x — 1) 12| x 2 + x12 l - 2 3 Í x + M - 7 6
<0
(u + 5)
(x- l)[l2 (u2-2)-23u-76]
( u + 5 )3
<0
(x — 1)f 12ug -23u-lOO] -A (x -1)(12u+25)(u , 4) ^ ^ u = x + i
(u + 5)3 ( u + 5) x
(x "1)líl2x + ̂ + 25j(X + x _ 4 J (x- l)(l2x2 +25 + 12)(x2 -4x + l) ^
I(X+H3 (x2 +5x + l)
(x-l)(3x + 4)(4x + 3)[^(x-2)2 -4 + l J
5 Y 25 , x + -¡ + 1
2 J 4
<0
(x-l)(3x + 4)(x + 3) x-2x>/3 j(x-2 + ̂ )
B*f)H-#)I
<0
H www.solucionarios.net www. edukperu .com
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CAPITULO I ............................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
4 3 r-x = 1; x = ; x = x = 2 +V3
X - 2 - J 3 ; X - 4 - &2 2 2 2
~ \A~^/ : y \/~r
. 4 .3 7 2 1 - 5 2 -^3 1 2 +\/3
4 3 4 2
, :r | ) v ( 4 í , á ) ^ . ( )
2x-l x + 2 x — 1 
x + 4 + 3-x > x + 3
2x-l _ x + 2 x — 1 2x-l x + 2 x—1 „ ,
! T ¡ T + 3 ^ > ^ 3 = > i r r 4 + í 3 5 ' Í Í 3 > 0 ' A c t u a n d o las o p e ra c io n es
(2x-l)(x2-9)+(x + 2)(x + 4)(x + 3)-(x-1)(x + 4)(x-3)
(x + 4)(x-3)(x + 3) >0
2x3 -x2 -18x + 9 + x3 +9x2 +26x + 24-x3 +I3x-12
(x + 4)(x-3)(x + 3) >0
-10x2 -31x-27 10x2 +31x + 27
> 0 => 7---- t ;-----TT----- < 0(x + 4)(x — 3)(x + 3) (x + 4)(x-3)(x + 3)
como 10x~ + 31x + 27 > 0, V x e R entonces se simplifica, es decir:
(x + 4)(x-3)(x + 3) <0 dedonde x = *4- x = -3» x = 3 puntos críticos
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_______________ _____________ . CAPITUl O )
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ...............................................................................
: \ / + \ /
.4 -3 3
xe(-co,-4)'-'{-3.3)
O S 1+X3 ^ * - x * + * “ -j L + 9
w (l- X ! )(1-x) (1-x) (1 + x ) ___________
jg g a s s a a a B T
. » .. (1 + x )(l- x +x! ) x(1-x)+x4(1-x)^0
( í d ? f r ^ >l ^ x f n ^ +9 * M f d « )
_ b ü --+ 9; x*±l
(l—x)(1—x) (l-x)(l+x)
1 - X + X* : X ( U X ] _ ^Q; X*±1
(l-x)O-x) (1 -x)(Ux)
_ ¡ W X (HX)(1-X + X‘ ) ^0 xse±1
(1-x)(1-x) (1-x)(1 + x)
x- xg + x3 1 -x+x8 ^o^r,. x#±1
(1-x) (1—x)(1-x)
( x - x i + x 3) ( 1 - x ) - 1 + x-xi ^o ^ n XJ¡±1
(1-x)
-x4+2x3- 2xg+ x - U x - x ^ Q^ n, X5t±1 
(1-x)!
-x4 +2x3 -3xa +2X-1 +g <Q. X, ± 1 
(x - l f
______________________;-------\rsoLucioNAtvWvv. solucionarlos, net
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
9- x4 -2x3 + 3x2 -2x + l
(x - l)!
<0; x * ±1 => 9-
r •> * \2x~ - x + 1
x — 1
<0; X * ± l
í ..2 
3-
X — 1
f ..2 
3 +
)\
X — X -f 1 
X — 1
<0; x* ±1
' 3 x - 3 - x 2+ x - l Y 3 x - 3 + x2 - x + 1
x" ! A x — 1
( -x2 + 4x - 4 
x^7~
f ..2x +2x-2
X — 1
<0; x*±l =>
<0; x*±1
(x-2)! [(x+1)! -3]
(x-1)2
>0; x*±1
(x-2)J (x + 1->/3)(x + 1 + >/3)
>0; x*±l
x = 2; x*±l; x=-l±>/3. Existe multiplicidad par en x = 2yx = 1
-1 -n/3 v/3-1
-V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co}
4x4 -20x2 +8 
x4 -5x2 +4
4x4 -20x2 +8
<8
<8
4x4 -20x®*+8
x4-5x2+4 x4-5x2+4
4x4 -20x2 +8-8x4 + 40x2 -32
-8<0, operando se tiene:
x4 -5x2 +4
<0, simplificando
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................................... S 9 fE r”
O
o
-4x'l +20x1-8 n x4-5x*+6 - _ (x___» o . factorizando
x4 - 5x* + 4 ~ x4 -5x2 +4 ® (x2- l)(x ! -4)
(x->/5)(x + -J2)(x-£ ) ( * + £ ) ' n
(x-1)(x + 1)(x-2)(x + 2)
Puntos críticos: x = ±\¡2; x=±l; x=±3; x = ±2
+ \/ : \/ r ~ y - \ A ~ r ~ y
_2 V3 s il -1 1 v/2 VB 2
Conjunto solución es: x e(-<r,-2) ^ - >/ í- >/2^u(-lfl)u(>/2,>/3)vj(2f-Hx)
( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_
(x4 + ])(x-2)
m i f M l i i ' T
(x-1)’ (x»-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x»- l)(x»- l)(x»^ )%n
(x4 +l)(x-2) (x4 +l)(x-2)
Simplificamos los términos (x4+l) y (x2 + l), (x-1) por ser siempre positivos
íx2- l f i_̂___L > o => --- £ 0 => x > 2 de donde x e <2,+qo>
x-2 * x-2
(x2 +5x + 6)(x4 -16)(x2 — 4x —12) ^
(1-3x)3 (x-1)(x! +l)
( x* + 5x + 6)(x4-16)(x*-4x-12) ^
(1-3x)3 (x -1)(x! +1)
Factorización por diferencia de cuadrados y aspa simple:
SOLUCIONAR! www. solucionarios. net www edukperu com
www. solucionarios. netCAPÍTULO I JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x + 3)(x + 2)(xJ -4)(x‘ 4)(x-6)(x + 2)
(l -3x)3 (x -1)(x2 +1)
(x2+4) y (x2-rl) son positivos V x € R, entonces simplificamos
(x + 3)(x + 2)(x-2)(x + 2)(x-6)(x + 2) (x + 3)(x + 2)’ (x-2)(x-6)
(3x — I)3 (x — 1) (3x — l)(x — 1)
-3 -2 3. 1
‘ 3
xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo)
O 4 x-2 4< —4-x 5 x
4 x—2 4 4 x—2 4< — => ------- ----- <0, efectuando la operación4-x 5 x 4-x 5 x
20x-x(x-2)(x-x)-20(4-x) 
5x(4-x)
20x + x3 -6x2 +8x-80 + 20x 
5x(x-4)
Factorización por Ruffinni:
<0
_ x3 -6x2 + 48x-80 . f> 0 => --- — :--- --- > 0, factonzando
5x(x-4)
1 -6 48 -80
2 .8 80 2
1 -4 40 0
_
* SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICOwww. solucionarios. net K
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■ CAPJT-w'l
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ....................................
( x - 2 ) ( x2 - 4 x + 40) ( x - 2 ) [ ( x - 2 ) 4 + 40J ^ fi
- ¿ (x - 4 )— >0 ~ S F * ) .
(x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos
5x(x-4)
x~2__ > o de donde x = 2; x = 0; x = 4 son los puntos críticos 
5x(x-4)
v - t a z :
3xg + 7x + 5 
x2 + 3x + 2 “
0 2 4
xe(0,2)u(4,oo)
3x2 +7x + 5 < 2 3x2 + 7x + 5 _ 2 < o , operando y simplicamos
x2+3x + 2 x‘ +3x + 2
3x2 + 7x + 5-2x2-6x-4 n _ _ í !± í± L - <; 0, como x2 + X + 1 >0, V x e R 
------------------- s0 =* (x+2)(x+l)
1
Entonces simplificamos X̂ + 2) (X + Í ) " 
entonces x = -2, x = -1 son los puntos críticos
-2 -1
X 6 (-2,-1)
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
(x'-' + x — o)(x? — x — 6)
(x2 -4)(x2 -16)
(x2 +x-6)(x2 -x-6)
-— -----r—- < 0 , factorizando se tiene:
(x2-4 )(x2-16)
(x + 3)(x-2)(x-3)(x + 2) (x + 3)(x-3)
7---- 77--- 77--- 7--- (<0 simplificando 7--- ( 7 ----£<0; x * ± 2
(x-2)(x + 2)(x + 4)(x-4) (x + 4)(x-4)
x = -3, x = 3, x = -4, x = 4, son los puntos críticos
- 4 - 3 3 4
x e (—4,3] w[3,4)
(l + x + x2)(2-x-x8)(x4 -2x2 -3x-2)
(2x2 -4x-l) (3x2 -6x + 4)(x2 +4x-2)(x2 -7)
(l + x + x2)(2-x-x2)(x‘l -2x2 -3x-2) 
(2x2 -4x-l) (3x2 -6x + 4)(x2 + 4x -2)(x2 -7)
factorizando cada expresión se tiene:
<0
1 0 -2 -3 -2
-1 1 1 2 -1
1 -1 -1 -2 0
2 2 2 2
1 1 1 0
(x + 1)(x-2)(x2 + x + l)
2Í x2 —2x — — j (3 ) í x2 -2x + ̂ -](x2 +4x-2)(x2 -7)
<0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
Como x2 + x +1 > 0, x
CAPITULO I
©
X2 -2x+- > o , V X 6 R, entonces simplificamos
_________(x + 1)(x 2)_________< 0 ̂ ^ctonzando
(2x2 -4x-l)(x2 + 4x-2)(x2 -7)
(x + l ) (x - 2 )
- ,-IÍx-i+I)x+2̂ )(x+2+̂ )(x'^)(x+'/7)
Í = 1 + J | , x = x = -2 + ̂ x = - 2 - ^ ; x = ̂ ; x = -V7:x = l; x = 2
X 12 X + 1
< 19 < x + 2
x I2 < i± l =, - * _ < H A 2 | < ^
x T Í 19 x+2 x + 1 19 x + 2
x + 1 19 X + 2 19
in v - iO v - 1 9 1 9 x + l9 - l2 x - 2 4 n , 7 x ~--^- < 0 a
19(x ^ T <0 A ~ W ( x - g ) ~ 19( X + 1) 19(x }
15 12 /. x e ( . 7
_ ( x - 3 M x + 2 )8 ( x + 1 ) ( x - 4 ) _ „ n
W x(x+2)(xs - 3 ) ( x + 3)(x2 + 4 )
g jm mvmñwww. solucionarlos. net www.edukperu.com
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
>0, x2 + 4 > 0 siempre positivo
(x-3)(x + 2)2 (x + l)(x-4) 
x(x + 2)(x2 — 3)(x 3)(x2 + 4)
Í x - 3) ¡x + 2Kx + 1) ( x - 4 ) >o -2
x(x -3)(x + 3)
Los puntos críticos: x = ±3; x = -2; x = -l; x = 4; x = 0; x = ±\¡3
-3 -2 ->/3 -1 0 n/3 3 4
Conjunto solución: x e (-oo, -3]u ̂ -2, -V3) u [-1,0) u (>/3,3]u[4 ,+°o)
2x2 -3x + 3 ]_
(x — 2)(2x +1) _ 2
2x2 -3x + 3 ̂ 1 2x2 -3x + 3 1>— => + - > 0, efectuando la operación(x-2)(2x + 1) 2 (x-2)(2x + l) 2
4x2-6x + 6 + 2x2-4x + x-2 _ 6x2-9x + 4
(x — 2)(2x +1) " ̂ (x — 2)(2x +1) "
como 6x2-9x + 4>0, Vxe R , entonces simplificamos
7— - rr-— — ̂0 , Los puntos críticos: x = x = 2 (x-2)(2x + l) 2
V ~ ~ V
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j ..............................
Conjunto solución x e ^-oo,-—̂ u(2,+<x>)
O
o
x + 1 x-1 1-x2
JB_ Î ITí MT
_ 2 _ + _ 3 _ > ü ± l => _ l _ + ̂ _ + —
x + 1 + x - l 1 - x 2 W X + 1 x-1 (x-1)(x + 1)
2 (x - l ) + 3(x + l) + x + 5 6x + 6 ^ J - > 0
( x + 1 )(x -1) ( x + 1 )(x -1) x-1
Los puntos críticos: x = 1; x * -1
i
Conjunto solución: x € (1, +oo)
_2_> 2x
x2 -5x + 6 2-x (3-x )(l-x )
2 _ > 2x
x2 -5x + 6 2-x (3-x )(l-x )
x 2 2x
(x-3)(x-2) x-2 (x-3 )(x- l)
x (x- l) + 2(x-3)(x-l)-2x(x-2) 
(x-3 )(x-2 )(x- l)
x2 — x + 2(x2 -4x + 3)-2x2 +4x
> 0, efectuando la operación
(x — 3)(x —2)(x — 1)
>0, simplificando
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CAPITI OI
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3x + 2x2 -8X + 6 - X 2 x2-5x + 6 _ _
—,------------------------------- rw— T77— 7r £ 0 => --—----- —----- > 0 , factorizando
(x “ 3)(x — 2)(x —1) (x —3)(x — 2)(x — 1)
(x-3)(x-2) i
(x — 3)(x — 2)(x — 1) ^ x ^ T " ° ; * * 2 ,3
Conjunto solución xe(l,+oo)-{2,3}
O 3 13 1— <----- r +x 4 ̂ x — 1 ) 4x + 12
Ém m rM vw m
3 13 1 13 1 3 A— £ — ---- r +------ => — ---- -+ —----- ----> 0
x 4 (x- l) 4x + 12 4(x — 1) 4(x-3) x
13x(x + 3) + x (x-l)-12(x-l)(x + 3)
4x(x-l)(x + 3)
13x* + 39x + x2 -x-12(x2 +2x-3)
-----------7----77----r-------- £ 0, simplificando
4x(x —l)(x + 3)
14x2 +38x-12x2 -24x + 36 ̂Q 2x2 + 14x + 36 x2+7x + 18 >Q
4x(x — l)(x + 3) 4x(x-1)(x + 3) ~ ^ 4x(x-l)(x + 3) ~
Como x2+7x +18>0, simplificamos —7---- ----- >0
x(x-l)(x + 3)
Los puntos críticos: x = 0; x = 1; x = -3
-3 0 11
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